Автор: Рашевский П.К.
Теги: математика геометрия дифференциальная геометрия учебное пособие исторические сведения
Год: 1950
Текст
>—¦ и„. "J
П. К. РАШЕВСКИИ
КУРС
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
Допущено' Министерством высшего об-
образования СССР в качестве учебника
Эля государственных университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 5 0 ЛЕНИНГРАД
11- 5-2
Опечатки
Стра-
Страница
39
76
96
154
214
Строка
5 св.
1 СН.
1 СН.
4 св.
3 сн.
Напечатано
[a(t),b@]-[ao.b0l<[
MiMi
VpC» ф VF<2)
так,
Должно быть
Н«(О,Ь(О]-[-о.Ь«]1<1[
VFA} H- VF'2)
Итак,
По чьей
вине
Тип
»
»
»
Редактор А. 3. Рывкин.
Техн. редактор С. Н*. Ахламов.
Т-00251. Подписано к печати 5/IV 1950 г. Бумага еох92/16=13,375 бум. л 26.75
печ. л. 43452 типогр. зн. в печ. л. Тираж 10.000 экз. Цена книги 10 руб. 20 коп.
Переплет 2 руб. Заказ № 58.
16-я типография Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к 3-му изданию
Введение . .
9
Глава I. Первоначальные сведении о кривых на плоскости. . . ц
§ 1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой .... ц
§ 2. Строение кривой вблизи обыкновенной точки. . 14
§ 3. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Декартовы
координаты
§ 4. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Пара-
Параметрическое представление 25
§ 5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке. Полярные
координаты С)П
§ 6. Строение кривой вблизи особых точек Основные
факты 32
§ 7*. Строение кривой вблизи особых точек. Точная теория .' .' 38
§ 8. Огибающая семейства кривых =1
§ 9*. Семейство кривых вблизи данной точки \ 59
§ 10. Асимптоты
§ 11*. Асимптота как предельное положение касательной . . 67
§ 12. Асимптоты алгебраических кривых 69
Глава II. Дифференцирование вектор-функций и его простейшие
применения к теории кривых 73
§ 13. Определение производной и техника дпфференцдрова-
ния ¦ •- 73
§ И. Истолкование вектор-функции как радиус-вектора кривой
в параметрическом представлении 79
§ 15. Достаточный признак обыкновенной точки gj
§ 16. Геометрический смысл дифференцирования вектор-функ-
Ции . . 82
§17. Дифференциал вектор-функции 86
§ 18. Две леммы " „_
§ 19. Ряд Тейлора для вектор-функции 89
§ 20. Строение параметрически заданной кривой в окрестности
ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКИ С)^
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 21. Длина дуги как параметр 96
§ 22. Касание кривых 102
§ 23*. Дополнительные сведения по теории касаяия кривых . . 107
Глава III. Теория кривизны плоских кривых 115
^§ 24. Соприкасающаяся окружность 115
§ 25. Построение соприкасающейся окружности предельным
переходом 123
§ 26. Кривизна 125
§ 27. Векторы t, n 128
§ 28. Формулы Френе 130
§ 29. Эволюта 133
§ 30. Эвольвента 138
§ 31. Натуральное уравнение кривой 141
Глава IV. Теория кривизны пространственных кривых 149
§ 32. Касательные; нормали 149
§ 33*. Касание кривой с поверхностью - 156
§ 34. Точки распрямления 160
§ 35. Соприкасающаяся плоскость 162
§ 36. Соировождающий трехгранник 165
""" § 37. Две леммы об окружности 169
§ 38. Соприкасающаяся окружность 172
§ 39. Кривизна пространственной кривой 174
§ 40. Формулы Френе. Кручение '176
§ 41. Вычислительные формулы для кривизны и кручения . ¦ 183
§ 42. Строение кривой вблизи обыкновенной точки 192
§ 43*. Соприкасающаяся сфера 198
§ 44. Натуральные уравнения 204
Глава V. Первоначальные сведения по теории иоверхностей. . . 217
§ 45. Криволинейные координаты на поверхности 217
§ 46. Кривые на поверхности 222
§ 47. Первая основная квадратичная форма 226
§ 48. Вторая основная квадратичная форма 235
**§ 49. Основная формула для кривизны кривой на поверхности 239
§ 50. Теорема Менье 240
§ 51. Линейная вектор-функция на плоскости 245
§ 52. Собственные направления и собственные значения . . . 247
§ 53. Основная вектор-функция и главные направления . . • 251
§ 54. Исследование кривизны нормальных сечений 253
§ 55. Формула Эйлера. Главные кривизны 256
§ 56. Вычисление главных кривизн и главных направлений ¦ 259
§ 57. Три типа точек на поверхности 262
§ 58. Вычислительные формулы 268
§ 59. Линии кривизны 271
§ 60. Асимптотические линии 276
§ 61. Третья основная квадратичная форма. Сопряженные напра-
направления 283
§ 62*. Зависимость между тремя основными квадратичными
формами 287
§ 63. Сферическое отображение поверхности 288
Глава VI. Линейчатые и развертывающиеся поверхности.... 294
§ 64. Понятие о линейчатых и развертывающихся поверх-
поверхностях 294
§ 65. Горловая точка 298
§ 66. Горловая линия. Строение развертывающейся поверх-
поверхности 301
§ 67*. Параметр распределения 307
§ 68. Огибающая семейства поверхностей от одного параметра 310
§ 69. Развертывающаяся поверхпость как огибающая семейства
плоскостей 315
§ 70*. Ребро возврата огибающей семейства плоскостей .... 316
§ 71*: Асимптотические линии и полная кривизпа линейчатой
поверхности 321
§ 72. Развертывающиеся поверхности как поверхности нулеиой
полной кривизны 324
§ 73*. Ортогональные траектории развертывающихся поверх-
поверхностей 326
§ 74. Геометрические свойства линий кривизны 332
§ 75*. Сопряженные сети на поверхности 336
Глава VII. Внутренняя геометрия поверхности 341
§ 76. Понятие об изгибании 341
§ 77. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности .... 342
§ 78. Индексные обозначения 343
§ 79. Деривационные формулы первой группы 345
§ 80*. Деривационные формулы второй группы 349
§ 81*. Роль второй квадратичной формы 351
§ 82. Теорема Гаусса 355
§ 83*. Формулы Петерсона-Кодацци 358
^ § 84*. Векторы на поверхности 361
§ 85*. Градиент скалярного поля на поверхности 363
§ 86*. Параллельное перенесение векторов на поверхности . . 366
§ 87*. Свойства параллельного перенесения 369
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 88. Нормальная и геодезическая кривизна кривой на поверх-
поверхности 374
§ 89. Вычисление геодезической кривизны 376
§ 90. Геодезические линии на поверхности 379
§ 91*. Геодезические линии с точки зрения параллельного перене-
перенесения на поверхности 383
§ 92*. Полугеодезическая система координат на поверхности ., 383
§ 93*. Экстремальное свойство геодезических 387
§ 94*. Об изгибании поверхностей непостоянной кривизны . . 391
§ 95*. Случай поверхностей, изгибаемых в поверхности вращения 397
§ 96*. Об изгибании поверхностей постоянной полной кривизны 403
§ 97*. Поверхности вращения постоянной кривизны 407
§ 98*. Обнесение вектора по замкнутому контуру 413
Краткие исторические сведения 422
Алфавитный указатель 426
ПРЕДИСЛОВИЕ К 3-му ИЗДАНИЮ.
При подготовке к 3-му изданию учебник подвергся значитель-
значительной переработке, главным образом с целью некоторых улучшений
в методике изложения, в расположении и планировке материала,
в выборе доказательств и т. д. Особенное внимание было обращено
на отчетливое выделение основного, минимального материала
курса. Для этого все остальные темы (а они, как правило, близко
примыкают к минимальному материалу и могут быть в том или
ином выборе присоединяемы к нему) отнесены в параграфы, отме-
отмеченные звездочкой.
Что же касается самих фактических сведений, сообщаемых
в курсе, то здесь изменения незначительны. Имеются лишь отдель-
отдельные небольшие добавления: особые точки в случае параметри-
параметрического представления кривой; построение соприкасающейся
окружности предельным переходом; параметр распределения
и горловая линия линейчатой поверхности.
К курсу присоединены также краткие исторические сведения.
Считаю своим долгом выразить глубокую признательность
редактору книги А. 3. Рывкину за его исключительно добро-
добросовестную работу над текстом и сделанные им ценные замечания.
Автор
ВВЕДЕНИЕ.
Хотя в математике обычно очень трудно составить себе общее
представление о данной области до знакомства с ней по существу,
дадим все же в самых общих чертах характеристику предмета
дифференциальной геометрии.
Как известно, аналитическая геометрия основана на сопоста-
сопоставлении: каждой точке пространства—трех чисел (координат);
каждой поверхности—уравнения, связывающего текущие коорди-
координаты; каждой кривой—двух таких уравнений. Благодаря этому
геометрические факты могут быть переведены на язык алгебры,
геометрические задачи могут быть решены приемами алгебры,
после чего результат при помощи обратного перехода вновь истол-
истолковывается на геометрическом языке. Основная идея здесь, оче-
очевидно, заключается в том, чтобы заставить сильный и действенный
алгорифм алгебры регулярным образом работать для геометри-
геометрических целей. При этом прогресс выражается не только и не столь-
столько в том, что старые задачи решаются более совершенным анали-
аналитическим методом, сколько в возможности неизмеримо расширить
самый круг геометрических проблем но сравнению с проблемами,
доступными элементарному подходу.
Дифференциальная геометрия означает аналогичное исполь-
использование в геометрических целях аппарата дифференциального
исчисления. При этом снова центр тяжести лежит в создании новой
области геометрического исследования, куда позволяет проник-
проникнуть применение нового алгорифма. Чтобы отдать себе отчет,
чем характеризуется эта область—область дифференциальной
геометрии,—нужно вспомнить, где и как вообще находит себе
применение аппарат анализа бесконечно малых. Чтобы привести
элементарный пример, рассмотрим прямолинейное, но неравно-
неравномерное движение точки по закону s = s(t), выражающему
пройденный путь в зависимости от времени. Изучим это движе-
движение за бесконечно малый промежуток времени 'от t до t~\-At.
Тогда, как известно из дифференциального исчисления, прой-
пройденный за время At путь будет выражаться величиной
As = s' (t) At + e At,
10
ВВЕДЕНИЕ
где s' (t)—производная, а е стремится к нулю вместе с At. Мы
замечаем, что если пренебречь s At, бесконечно малой высшего
порядка по отношению к At, то зависимость As от At окажется
линейной с коэффициентом s'(t), т. е. движение можно считать
равномерным, с постоянной скоростью s'(t).
Эта же идея лежит в основе всех приложений дифференциаль-
дифференциального исчисления: сложные зависимости становятся в бесконечно
малом линейными, неравномерные процессы—равномерными и т. д.,
если пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Мы полу-
получаем возможность изучать интересующие нас зависимости в чрез-
чрезвычайно упрощенном виде, правда, лишь в бесконечно малом.
Но, во-первых, это и само по себе бывает важно (в указанном
примере мы пришли к вычислению мгновенной скорости путем
дифференцирования пути по времени), во-вторых, интегральное
исчисление дает нам возможность вернуться, где это нужно, к оцен-
оценке процесса в целом *).
Дифференциальная геометрия является осуществлением этой же
идеи в области геометрии. Другими словами, геометрические
объекты—линии и поверхности —будут изучаться нами с точки
зрения их строения в бесконечно малых кусках. И это «микро-
«микроскопическое исследование» обнаружит нам ряд стройных законо-
закономерностей, не видимых простым глазом и обнаруживающихся
лишь в бесконечно малом. Возникает новый мощный метод иссле-
исследования геометрических объектов, более отчетливое представление
о котором мы получим при изучении его по существу.
Сделаем еще одно предварительное замечание. Так как сущ-
сущность метода связана с применением дифференциального исчи-
исчисления, то мы не должны быть связаны какими-либо ограниче-
ограничениями в смысле дифференцируемости рассматриваемых функций.
Если не оговорено противное, мы будем раз навсегда предполагать,
что все рассматриваемые функции однозначны и дифференцируемы,
причем имеют непрерывные производные до любого порядка, который
нам может понадобиться. Отметим также, что на протяжении
всей книги рассматриваются исключительно вещественные
переменные.
1) Мы говорим здесь о приложениях уже созданного дифференциального
исчисления. На самом деле, не только эти приложения, но и само создание
анализа бесконечно малых стало возможным только потому, что материаль-
материальные процессы имеют тенденцию в малых размерах приобретать равномер-
равномерный характер (пока, разумеется, не начинает сказываться атомное строение
вещества"). Эту тенденцию в абстрактной форме и отражает дифференциаль-
дифференциальное исчисление.
Г Л А В А I.
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ.
Эта глава занимает в курсе довольно своеобразное место.
В ней разбирается ряд вопросов, пограничных между анализом
и геометрией и, следовательно, доступных исследованию без
предварительных специально геометрических построений. Не-
Несмотря на важность этих вопросов и с точки зрения анализа,
и с точки зрения геометрии, следует иметь в виду, что они, соб-
собственно, мало типичны для основного содержания дифференци-
дифференциальной геометрии и не находят себе там прямого приложения.
Читатель может, при желании, начать изучение курса сразу
с главы II (особенно, если он знаком в основных чертах
с содержанием главы I из курса анализа) и возвратиться
к главе I позже.
§ 1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой.
Так как нашей задачей является изучение кривых в беско-
бесконечно малом, то мы будем интересоваться не столько кривой
в целом, сколько ее малыми кусками. Дадим основные опреде-
определения. Назовем простым отрезком х) кривой геометрическое место
точек, координаты которых хотя бы в одной какой-нибудь пря-
прямоугольной декартовой системе удовлетворяют уравнению
y = f(x) при х1<х*Сх2, A)
где хх, х2—два фиксированных значения. Конечно, f(x) предпо-
предполагается однозначной, непрерывной и достаточное число раз
дифференцируемой, как и все функции, которые мь1 будем рассма-
рассматривать.
Легко уяснить наглядный смысл этого определения. Простой
отрезок АгА2 (черт. 1) находится, очевидно во взаимно однознач-
однозначном соответствии с прямолинейным отрезком (жх, х2) на оси X,
причем каждая точка А отрезка АхАг получена из соответствую-
соответствующей точки х на оси X смещением этой точки параллельно оси Y.
*) Термин этот не является общепринятым и вводится нами в целях
уточнения терминологии.
10
ВВЕДЕНИЕ
где s' (t)—производная, а е стремится к нулю вместе с At. Мы
замечаем, что если пренебречь е At, бесконечно малой высшего
порядка по отношению к At, то зависимость As от А* окажется
линейной с коэффициентом s'(t), т. е. движение можно считать
равномерным, с постоянной скоростью s'(t).
Эта же идея лежит в основе всех приложений дифференциаль-
дифференциального исчисления: сложные зависимости становятся в бесконечно
малом линейными, неравномерные процессы—равномерными и т. д.,
если пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Мы полу-
получаем возможность изучать интересующие нас зависимости в чрез-
чрезвычайно упрощенном виде, правда, лишь в бесконечно малом.
Но, во-первых, это и само по себе бывает важно (в указанном
примере мы пришли к вычислению мгновенной скорости путем
дифференцирования пути по времени), во-вторых, интегральное
исчисление дает нам возможность вернуться, где это нужно, к оцен-
оценке процесса в целом г).
Дифференциальная геометрия является осуществлением этой же
идеи в области геометрии. Другими словами, геометрические
объекты—линии и поверхности —будут изучаться нами с точки
зрения их строения в бесконечно малых кусках. И это «микро-
«микроскопическое исследование» обнаружит нам ряд стройных законо-
закономерностей, не видимых простым глазом и обнаруживающихся
лишь в бесконечно малом. Возникает новый мощный метод иссле-
исследования геометрических объектов, более отчетливое представление
о котором мы получим при изучении его по существу.
Сделаем еще одно предварительное замечание. Так как сущ-
сущность метода связана с применением дифференциального исчи-
исчисления, то мы не должны быть связаны г«акими-либо ограниче-
ограничениями в смысле дифференцируемости рассматриваемых функций.
Если не оговорено противное, мы будем раз навсегда предполагать,
что все рассматриваемые функции однозначны и дифференцируемы,
причем имеют непрерывные производные до любого порядка, который
нам может понадобиться. Отметим также, что на протяжении
всей книги рассматриваются исключительно вещественные
переменные.
х) Мы говорим здесь о приложениях уже созданного дифференциального
исчисления. На самом деле, не только эти приложения, но и само создание
анализа бесконечно малых стало возможным только потому, что материаль-
материальные процессы имеют тенденцию в малых размерах приобретать равномер-
равномерный характер (пока, разумеется, не начинает сказываться атомное строение
вещества"). Эту тенденцию в абстрактной форме и отражает дифференциаль-
дифференциальное исчисление.
Г Л А В А I.
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ.
Эта глава занимает в курсе довольно своеобразное место.
В ней разбирается ряд вопросов, пограничных между анализом
и геометрией и, следовательно, доступных исследованию без
предварительных специально геометрических построений. Не-
Несмотря на важность этих вопросов и с точки зрения анализа,
и с точки зрения геометрии, следует иметь в виду, что они, соб-
собственно, мало типичны для основного содержания дифференци-
дифференциальной геометрии и не находят себе там прямого приложения.
Читатель может, при желании, начать изучение курса сразу
с главы II (особенно, если он знаком в основных чертах
с содержанием главы I из курса анализа) и возвратиться
к главе I позже.
§ 1. Обыкновенные и особые точки плоской кривой.
Так как нашей задачей является изучение кривых в беско-
бесконечно малом, то мы будем интересоваться не столько кривой
в целом, сколько ее малыми кусками. Дадим основные опреде-
определения. Назовем простым отрезком х) кривой геометрическое место
точек, координаты которых хотя бы в одной какой-нибудь пря-
прямоугольной декартовой системе удовлетворяют уравнению
y = f(x) при х1<Сх*Сх2, A)
где х±, х2—два фиксированных значения. Конечно, f(x) предпо-
предполагается однозначной, непрерывной и достаточное число раз
дифференцируемой, как и все функции, которые мы" будем рассма-
рассматривать.
Легко уяснить наглядный смысл этого определения. Простой
отрезок АгА2 (черт. 1) находится, очевидно во взаимно однознач-
однозначном соответствии с прямолинейным отрезком (xlt x2) на оси X,
причем каждая точка А отрезка АгА2 получена из соответствую-
соответствующей точки х на оси X смещением этой точки параллельно оси У.
*) Термин этот не является общепринятым и вводится нами в целях
уточнения терминологии.
12
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
О
X
Черт. 1.
хг
Таким образом, простой отрезок АгА2 получен из прямолинейного
отрезка (хх, х2) путем довольно простой деформации последнего;
можно считать, что A) выражает как раз закон этой деформации.
При этом непрерывность и дифференцируемость / (х) гарантируют
нам, с наглядной точки зрения, «плавный ход» отрезка АгА2. Так,
на нем не может быть изломов,
точек заострения типа М2 на черт. 2
и т. д.
Добавим еще следующее. По
определению простого отрезка его
уравнение, по крайней мере, в
одной какой-нибудь прямоуголь-
прямоугольной декартовой системе коорди-
^ яат, можно представить в виде A);
но это не значит, что то же самое
возможно в любой прямоугольной
декартовой системе координат. Так, если на черт. 1 поменять
местами оси X, Y, то f(x) перестанет быть однозначной.
Теперь нам нужно выяснить, в каком отношении находится
понятие простого отрезка к более сложным понятиям. Рассмотрим
геометрическое место точек, удовлетворяющих—своими коорди-
координатами х, у—уравнению
Р(х,у)=О, B)
где F (х, у) определена на
всей плоскости или в некото-
некоторой области на ней.
Это геометрическое место
мы будем называть кривой.
Такое название оправдывает-
оправдывается тем, что, как мы сейчас
увидим, малые куски геометрического места B) имеют, как пра-
правило, форму простых отрезков.
Назовем М обыкновенной точкой кривой B), если вблизи нее
кривая имеет вид простого отрезка; точнее, если М можно заклю-
заключить в прямоугольник (хотя бы очень малый) так, что попавшая
внутрь него часть кривой B) является простым отрезком. Точки,
в которых нельзя этого добиться, как бы мы ни з'меныпали раз-
размеры прямоугольника, называются особыми. (Таковы на черт. 2
точки Мг и М2.)
Теорема. Если в данной точке Ма (х0, у0) на кривой B)
значения частных производных от F (х, у) по х и у
Черт.
х(У) y{oyo)
не обращаются в нуль одновременно, то точка Мй (х0, у0) обыкно-
обыкновенная.
ОБЫКНОВЕННЫЕ И ОСОБЫЕ ТОЧКИ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
13
Доказательство вытекает немедленно из теоремы
существования неявной фувкции. Пусть для определенности
Рв{ха,уо)фО1).
Кроме того, так как (х0, у0) лежит на кривой B),
F(x0, ya) = 0.
Тогда теорема существования утверждает следующее: можно
указать заключающий точку Мо прямоугольник со столь малыми
сторонами 2г] и 2/г (черт. 3), что в нем (т. е. при значениях х, у,
ограниченных неравенствами х0—"q^x^Xa+rj, у0—' ' ' ' '"
уравнение
F(x, y) = 0
однозначно разрешается относи-
относительно у, т. е. может быть заме-
заменено эквивалентным ему урав-
уравнением вида
У\
Черт. 3-:
Здесь, как всегда у нас, / (х)— О
однозначная и дифференцируе-
дифференцируемая функция. Следовательно,
указанный прямоугольник вырезает из нашей кривой простой
отрезок, и точка Ма—обыкновенная по определению.
Из доказапной теоремы следует, что особыми могут быть
только те точки кривой B), в которых
Fx(x, y) =
= 0,
C)
т. е. обе частные производные обращаются в нуль одновременно.
Любопытно, что, таким образом, координаты х, у особых точек,
если таковые существуют на кривой, должны удовлетворять
сразу трем уравнениям: уравнению B) и двум уравнениям C).
Заметим, что формулированный в нашей теореме достаточный
признак обыкновенной точки не является необходимым. Возьмем,
например, параболу
которая, очевидно,вся состоит из обыкновенных точек (Fx— —1 =?0).
J) Если бы было Fu(xa, yo)=0, то, в силу нашего предположения, обяза-
обязательно выполнялось бы неравенство Fx (z0, у0) Ф 0, и мы поменяли бы роля-
ролями оси координат.
2) См., например, Г. М. ф и х т е н г о л ьц, Курс дифференциального
и интегрального исчисления, том I, 1947, гл. VI, § 2. Напомним еще раз,
что в нашем изложении подразумеваются существование и непрерывность
производных рассматриваемых функций.
14
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Рассмотрим уравнение, полученное из данного умножением
его левой части на х% -+- у2: '
Новое уравнение определяет ту же самую параболу, так как
множитель х2 + у2 обращается в нуль только в точке х.== у = 0, а эта
точка и раньше принадлежала параболе *).
Между тем теперь, как легко проверить, частные производные
по х и у от левой части уравнения в точке х = у=О, обе.обращаются
в нуль, хотя начало координат попрежнему является обыкновен-
обыкновенной точкой на нашей параболе.
Итак, не меняя кривой, а изменив лишь аналитическую при-
природу уравнения, можно добиться обращения в нуль FxmFv одно-
одновременно в точке, остающейся попрежнему обыкновенной.
В соответстзии со сказанным признак C) для особой
точки является необходимым, но не достаточным. Точки, где
Fx и Fv не обращаются в нуль одновременно, мы будем называть
заведомо обыкновенными.
§ 2. Строение кривой вблизи обыкновенной точки.
Как мы знаем, вблизи любой обыкновенной точки Мо (х0, у0)
кривая представляет собой простой отрезок, т. е. может быть
представлена уравнением
y=f(x) ДрИ Хо — 7} < X < Хо + ¦»?.
Изучим . поведение кривой вблизи фиксированной обыкновен-
обыкновенной точки Ма (хв, уа). Возьмем точку М(х, у) на выделенном около
Мо простом отрезке кривой. Обозначая для краткости
х—хо = Ах, т. е. х =
Ах,
можно написать, пользуясь разложением в ряд Тейлора с оста-
остаточным членом:
у = /(*) = у. + у.'Д*+у.'^ + у.-'(-^+---+у5»^ + лп. D)
Здесь уа, у'о, у,... представляют собой значения / (х) и ее последо-
последовательных производных в точке х = ха. Остаточный член Rn имеет
вид
где $ подходящим образом взято между х0 и х.
х) Как было оговерено во введении, мы рассматриваем исключительно
вещественные переменные, так что мнимые ветви для нас не существуют.
§ 2]
СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧКИ
15
Ценность выражения D) заключается в том, что ордината
^некоторой соседней точки М на кривой оказывается равной орди-
ординате г/о в точке М9 плюс добавочные члены, расположенные по
возрастающим степеням Ах.
По общей установке дифференциальной геометрии мы будем
изучать кривую в бесконечно малой области около точки Ма, т. е.
при М, стремящейся но кривой в Мо, и следовательно, при Ах,
стремящемся к нулю. Но тогда члены, идущие после у0 в выраже-
выражении D), будут бесконечно малыми соответственно 1-го, 2-го, 3-го
и т. д. порядков малости относительно Ах. Если нас интересуют
в данном вопросе лишь бесконечно малые до n-го порядка вклю-
включительно, а порядками более высокими мы пренебрегаем, то мы
будем говорить, что рассмотрение ведется с точностью п-го по-
порядка. В этом случае мы имеем право откинуть остаточный члеп
Rn, который будет бесконечно малым га+1-го порядка (не ниже,
как видно из его выражения), и уравнение D) принимает вид
У~Уо+у'а&х+---+у1Л)(^Р, E)
т. е. у выражается через Ах (а следовательно, и через х) много-
многочленом и-й степени. Итак, в бесконечно малом уравнение кривой
приобретает упрощенную форму E); но нельзя, конечно, упускать
из виду, что уравнение E) имеет место лишь с точностью тг-го
порядка, т. е. с ошибкой, бесконечно малой (не ниже) и4-1-го
порядка. В связи с этим мы употребляем знак приближенного
равенства. Точность п, с которой мы ведем рассмотрение, может
быть различной.
Начнем с наиболее грубой оценки поведения кривой. Положим
и = 1, т. е. будем учитывать лишь бесконечно малые одного по-
порядка с Ах, пренебрегая порядками высшими.
Тогда D) перепишется в виде
или, что то же,
где
У =
F)
Мы замечаем, что F) представляет собой, если пренебречь
бесконечно малым 2-го порядка Rlt уравнение прямой линии,
проходящей через точку Мо (ха, у0), с угловым коэффициентом у'о.
Таким образом, с точностью 1-го порядка кривая вблизи обы-
обыкновенной точки Ма (по обе ее стороны) неотличима от прямой
линии
я — Хо)' G)
16
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. I
Точнее это означает, что расхождение NM по ординате между
прямой линией G) и кривой F) будет бесконечно малым высшего
порядка по сравнению с Да; (черт. 4). Действительно, так как
ордината для точки М на кривой выражается правой частью F),
а для соответствующей точки N на прямой—правой частью G),
то разность между ними NM равна как раз остаточному члену Rlt
бесконечно малому не ниже 2-го порядка.
Как известно из основ дифференциального исчисления, каса-
касательной к кривой в точке Мо называется предельное положение
секущей МаМ при М, стремящейся в Ма по кривой; касательная
имеет угловой коэффициент у'о и, конечно, проходит через Ма.
Следовательно, касательная в точ-
точке Мо совпадает с прямой G) и,
значит, с точностью 1-го порядка
неотличима от кривой вблизи Мй.
В этом и заключается основной
геометрический смысл касатель-
касательной, который сказывается и в раз-
различных приложениях дифферен-
дифференциальной геометрии. Так, если
материальная точка принуждена
сначала двигаться по криволиней-
X ной траектории, а затем получает
свободу и движется по инерции,
то ее новая прямолинейная траек-
траектория будет касательной к преж-
Черт. 4.
хирин иудет касательной к преж-
прежней криволинейной траектории в точке отрыва от последней. Это
значит, что движение продолжается по инерции так, как если бы
в момент отрыва точка двигалась не по кривой, а по касательной
к ней.
Аналогично, если мы имеем тяжелую нить, подвешенную за
два конца и провисшую по некоторой кривой, то сила натяжения
нити, действующая на точку подвеса, будет направлена по каса-
касательной, т. е. так, как если бы вблизи точки подвеса нить была
натянута вдоль касательной. (Заметим, между прочим, что одно-
однородная тяжелая нить провисает по так называемой цепной линии
y = ach — = -2-(еа+е а ), которая обладает, как мы увидим далее,
многими замечательными свойствами.)
Изучим теперь уклонение кривой F) от ее касательной G).
Мы уже установили, что разность ординат для точек кривой F)
и касательной G) при данном х имеет вид
)', (8)
где $ заключено между х0 и х0 + Ах.
К 2] СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧКИ
Допустим сначала, что у" в точке ха положительна:
17
Так как у" (х)—непрерывная функция, то и около ха, в доста-
достаточно малой окрестности (а;0 — vj, жо+т)), она сохранит положи-
положительный знак. Беря Ах настолько малым, чтобы ха + Ах, а следо-
следовательно, и ? попали в эту окрестность, мы будем иметь в выра-
выражении (8) заведомо положительный коэффициент у" (?); следо-
следовательно, и все выражение будет больше нуля при любом знаке
у Ах, т. е. при смещении по кривой как вправо, так и влево.
Следовательно, вблизи хй уклонение NM кривой от касатель-
касательной будет в случае у>0 положительным, и кривая располо-
расположится над своей касательной.
В этом случае мы говорим, что в точке Мо кривая обращена
выпуклостью вниз.
Допустим теперь, что г/„<0. Тогда в достаточно малой окрест-
окрестности точки х0 у"(х) сохраняет отрицательный знак; в фор-
формуле (8) у" (?)<0, а так как (ДжJ>0 всегда, то
NM<0.
Кривая вблизи Ма расположится под своей касательной;
.мы будем говорить, что в точке М(, выпуклость кривой обращена
кверху.
В обоих случаях, как видно из (8), уклонение кривой от каса-
касательной будет бесконечно малым 2-го порядка.
Остается изучить случай у— 0. Допустим, что при этом у'„'фО.
Используем формулу D) при га = 2. Получим
y=>y, + yibx + y'"(t) Ц^. (9)
(Член 2-й степени относительно Ах исчез, так как y"Q = Q.)
Сравнивая (9) с уравнением касательной G), мы видим, что
разность ординат кривой (9) и касательной G) выражается при
каждом значении х так:
NM = ±-y"'(l)(Ax)s. A0)
Итак, вблизи Ма, где у=0, кривая неотличима от своей
касательной с точностью уже по крайней мере 2-го порядка (укло-
(уклонение NM не ниже 3-го порядка). В этом случае мы назовем Ма
точкой распрямления. Изучим теперь уклонение кривой от каса-
касательной при сделанном выше предположении у'^'фО (наиболее
типичный случай).
Ограничиваемся снова столь малой окрестностью точки х0,
(ж„ —1\, x,} + "q), что в ней непрерывная функция у"' (х) сохраняет
тот же знак, который она имела в х0, т. е. знак у'?.
2 П. К. Рашевский
18
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Тогда, беря х = хо-\-Ах в пределах этой окрестности, в силу
чего ? тоже попадает в нее, мы получаем неизменный знак у пер-
первого множителя в A0). Что же касается второго множителя,
то он меняет знак вместе с Ах, т. е. в зависимости от того, сме-
сместимся ли мы от ха вправо или влево.
В результате NM будет иметь знак плюс при смещении в одну
сторону от точки хй и знак минус при смещении в другую сторону.
Другими словами, в одну сторону от точки Мй кривая располо-
расположена над, а в другую сто-
У\ „, рону—под своей касатель-
7 ^6 кп ной (черт. 5).
В этом случае точка Ма
называется точкой пере-
перегиба. Такие точки являют-
являются пограничными между
точками с выпуклостью
кверху и точками с выпук-
выпуклостью книзу. Вблизи точ-
—X ки перегиба, как видно из
A0), кривая уклоняется от
Черт. 5. касательной лишь на беско-
бесконечно малое 3-го порядка.
Итак, случай у"аф0 изучен полностью, случай же 2/^ = 0 (точка
распрямления)—лишь в предположении у'о"ф0 (точка перегиба).
Перейдем теперь к самому общему случаю1). Выпишем после-
последовательность производных в точке ха:
У or У о
У(оп)>
Пусть у^1*1) будет первое по порядку число среди чисел этой
последовательности, отличное от нуля. Таким образом,
0; у =
= • • • = йп) = 0.
A1)
При га = 1 ига = 2мы получаем только что разобранные случаи.
Выпишем формулу D), используя условия A1); она примет вид
A2)
Вычитая из ординаты точки кривой A2) ординату точки каса-
касательной G) при том же значении х, мы получим уклонение NM:
A3)
х) Если оставить в стороне возможн ость обращения в нуль всех суще-
твующих в точке Мо производных от у (х).
§ 3]
КАСАТЕЛЬНАЯ II НОРМАЛЬ. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
19
Снова у*-"*1) (х) сохраняет в достаточно малой окрестности точки
Ха постоянный знак, именно, знак уап*1), и вопрос сводится к пове-
поведению (Да:)"*1. Здесь нужно различать два случая:
1) га нечетное. Тогда при любом знаке До; (Да;)п+1 положи-
положительно, и NM сохраняет постоянный знак, совпадающий со знаком
г/Сп+д) (?), т. е. со знаком у'"*гК Отсюда, если ^"+1)>0, то кривая
лежит над касательной, если у^"*1)<^0, то—под касательной, в обоих
случаях—по обе стороны точки касания Ма. Имеем, соответствен-
соответственно, выпуклость книзу или кверху. От разобранного выше случая
у"оф0 отличие здесь будет в том, что кривая уклоняется от каса-
касательной на бесконечно малое NM более высокого порядка, если
п=3, 5, 7,... При га=1 возвращаемся к случаю у'афО.
2) п четное. Тогда (АхI1*1 имеет тот же знак, что и Ах, т. е.
меняет знак в зависимости от того, вправо или влево смещаемся мы
по кривой из точки касания Мй. Вместе с (Да;)"*1 будет менять знак
и NM, как видно из A3). Следовательно, кривая по одну сторону
Мо расположена над, а по другую—п о д касательной. Имеем точку
перегиба общего вида, причем при я= 2 приходим к выше рассмо-
рассмотренному случаю у — 0, у™ Ф 0. При п= 4, б,... получаются точки
перегиба со все более тесным примыканием кривой к касательным,
взятым в этих точках: NM будет бесконечно малым 5-го, 7-го,...
порядка.
Практически кривая (в ее простом отрезке) состоит, вообще
говоря, из точек, удовлетворяющих условию у"фО. Лишь отдель-
отдельные точки оказываются точками распрямления, т. е. точками пере-
перегиба, или точками выпуклости с более тесным примыканием кри-
кривой к касательной, чем обычно.
§ 3. Касательная и нормаль в обыкновенной точке.
Декартовы координаты.
Пусть кривая задана уравнением
F(x, y) = 0. A4)
Рассмотрим какую-нибудь точку М0(ха, у0) на этой кривой,
в которой Fx и Fu не обращаются одновременно в^нуль. Пусть для
определенно сти
Р (
Тогда вблизи точки Мо, которая будет обыкновенной, кривую мож-
можно представить в виде простого отрезка
y = f(x). - A5)
Уравнение касательной в точке Мо будет, согласно G), иметь вид
У = Уо + Уо(х — ж0), A6)
где х, у—текущие координаты касательной.
2*
20
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
1ГЛ. I
Так как у'о есть значение производной от функции, неявно
определяемой уравнением A4), то
Уа Fv (*„ Уо) ¦
Вставляя это выражение в A6) и освобождаясь от знаменателя,
получим уравнение касательной в Мй в виде
Fx(x0, уо)(х-хо) +Fy(xo,yo)(y-!/o)=0. A7)
Ввиду симметрии этого уравнения относительно координатных
осей х, у оно сохранит свой вид и в том случае, если обыкновен-
обыкновенный характер точки Мо обеспечивается условием
Fx(x0, Уо)Ф0.
Как мы знаем, кривая вблизи любой обыкновенной точки Мо
с точностью 1-го порядка неотличима от подходяще выбранной
прямой линии, именно, от своей каса-
касательной в точке Мо. В связи с этим мы
естественным образом можем ввести
понятие об угле, образуемом двумя
кривыми в их общей точке Мо, пред-
предполагая, что Ма является обыкновен-
обыкновенной точкой для обеих кривых. А имен-
именно, углом между кривыми в точке Ми
мы назовем угол между их касатель-
касательными в этой точке (черт. 6).
Черт.. 6.
Если уравнения кривых известны, то легко найти угловые коэф-
коэффициенты их касательных в Мо, а отсюда и тангенс угла между
ними.
Во многих вопросах важную роль играет понятие нормали.
Нормалью к кривой в данной ее точке Мо называется прямая,
проходящая через Мо и образующая с кривой прямой угол(т. е. пер-
перпендикулярная к касательной в точке Мо).
Нормаль представляет собой, таким образом, нечто вроде пер-
перпендикуляра к кривой, чем и определяется ее значение.
Пусть, например, материальная точка может свободно двигать-
двигаться по данной кривой, но не может с нее сходить (просверленный
шарик, насаженный на изогнутый металлический прут). Тогда
эта материальная точка будет находиться в равновесии под дей-
действием приложенной к ней силы в том и только в том случае, когда
сила направлена по нормали к кривой.
Уравнение нормали легко получить из уравнения касательной
A7), переставив коэффициенты при х —х0 и у — уа и изменив
у одного из них знак на обратный:
Fx
о) (у — у0) — Fy (Хо, у0) (Х — ХО) =
A8)
3]
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
21
Действительно, как легко проверить по правилам аналитической
геометрии, прямая A8) проходит через М0(х,>, у0) перпендикулярно
к касательной A7), т. е. является нормалью.
В некоторых случаях для изучаемой кривой можно указать
определенную прямую линию, которая связана с ней какими-либо
интересными геометрическими зависимостями (например, для пара-
параболы— ее директрису, с которой парабола связана равенством
расстояний от точек параболы до директрисы и фокуса; или ее
ось, относительно которой пара-
парабола расположена симметрично,
и т. д.).
Часто бывает целесообразно
принять указанную прямую за
ось X, что облегчает изучение
кривой и прямой в их взаимной
связи. В частности, может ока-
оказаться интересным узнать поло-
положение точек пересечения Т и N
касательной и нормали к кри-
кривой с указанной прямой, при-
принятой за ось X (черт. 7). Пусть
р — проекция точки Мп кривой на ось X. Рассмотрим отрезки
РТ и PN, приписывая им направление на оси X от Р соответ-
соответственно к Т и N и беря их численное выражение со знаком ±
в зависимости от их направленности в положительную или отри-
отрицательную сторону оси X. Отрезки РТ и PN называются соот-
соответственно подкасательной и поднормалью.
Найдем абсциссы хТ и xN точек Т и N. Положим в уравнении
касательной A7) у = 0; тогда х превратится в абсциссу точки пере-
пересечения касательной с осью X, т. е. в хт.
Получим
Fx ¦ (xT-x0) + Fy • (-у„) = 0,
Черт. 7.
откуда
х — т —
Fy
A9)
Поступая аналогично с уравнением нормали A8), получим
F,
¦ ха — =— у0
Г 71
B0)
В левой части A9) стоит разность абсцисс точек Т и Р, т. е. числен-
численное выражение отрезка РТ; аналогично, в левой части B0) —
численное выражение PN. Напишем
РТ= -(
PN = (A
У*-
\
)
B1)
22
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Здесь в правых частях уравнений мы заменили для краткости
^Н*"' Уо\ через (^ Л и в *х(?°' Уо}
через — (^- Л и
^ \dy Jo
в соответствии с этим
,) \y Jo Fy{xa,yQ)
через ( -~ ) по-правилам дифференцирования неявной функции.
V. dx / о
Под Г-jjJo мы понимаем взятое в точке Ма отношение диф-
дифференциалов переменных, связанных уравнением A4). Конечно,
формулы B1) легко было бы вывести из наглядных соображений,
пользуясь тригонометрией: ТР есть один катет, уа = РМи— другой
катет в треугольнике ТРМа, а (—?-) —тангенс угла наклона
ч ах/о
касательной. Следовательно,
откуда следует сейчас же первая из формул B1). Мы предпочли
аналитический вывод формул B1) ввиду его полной общности,
в то время как при наглядном выводе пришлось бы трудиться над
исследованием различных возможных случаев расположения
треугольников ТРМ0 и NPM0, учитывать знаки отрезков и т. д.
Длины отрезков МаТ и MaN (взятые по абсолютной величине)
иногда называют, соответственно, длиной касательной и длиной
нормали.
Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, по-
получим
M0N =
Заменяя здесь хТ — х0 и хм—ха через РТ и PN, выраженные
по формулам B1), и вынося \уо\ из-под корней, приходим к фор-
формулам
B2)
Рассмотрим теперь несколько примеров, где требуется найти кри-
кривую, определенным образом связанную геометрически с прямой, приня-
принятой за ось X.
1. Кривая с постоянной поднормалью PN = a.
Мы ставим требование, чтобы для всех точек кривой поднормаль
PN сохраняла постоянную величину а (черт. 8). Пользуясь второй из фор-
формул B1), запишем
dy . _,
а=—г-у нли аах=уау.
§ 3] КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ
Интегрируя это уравнение почленно, получаем
23
или
У2
Мы получили параболу с осью, совпадающей с осью X, и с параметром
р= \а\. Кривая обращена вогнутостью влево в случае а < 0 и вправо —
в случае а > 0.
2. Кривая с постоянной по д ка сат е л ьной РТ = а.
Запишем требование постоянства
подкасательной во всех точках кри-
кривой, пользуясь первой из формул B1):
dx
dx
— —;— у = а или — =
dy a
dy_
У
М
Интегрируя почленно, получаем
х
а
откуда
Черт. 8.
где через уа обозвачено ес. Мы по-
получили график показательной функции (черт. 9; изображен случай а > 0).
3. Кривая с постоянной длиной нормали MaN—a
(для любой точки Мо на кривой).
Пользуясь второй из формул B2),
запишем наше требование в виде
или
или, наконец,
\dxj у*
\0
Т'
Черт. 9.
Иитегрируя почленно, получим
х= -
откуда
откуда
У а? —
ydy
а*—у*
Мы получили окружность радиуса а с центром на оси X.
4. Кривая с постоянной длиной касательной
24
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. I
Записывая это требование для любой точки кривой, получки, поль-
пользуясь первой из формул B2),
Мы будем рассматривать кривую лишь в верхней полуплоскости и
поэтому имеем право считать | у | = у > 0.
Введем в рассмотрение угол ?, 0 <. f <. ™, определяемый из условия
dv
Очевидно, ? есть угол, образуемый касательной к кривой с осью X.
Заменяя в B3) ? через ctg у, получим -Л-=а или
?-
у = a sin
B5)
Отсюда
dy = a cos '
Но из B4)
dx = dy ctg ip.
Вставив сюда полученное для dy выражение, получим
, cos2 v ,
dx= а —s-:—— dy,
sin <
или
dx--
= а( —. sin ip ) dv.
Интегрируя почленно, найдем
; = aAntg-|-
-f-cos
B6)
Мы получили искомую кривую в параметрической записи (см. следую-
следующий параграф), а именно, уравнения B5) и B6) выражают х и у как
функции угла р. Исследуя ее форму, легко убедиться, что она располо-
расположена симметрично отно-
сительно своей ординаты,
соответствующей значению
у = -н- (т. е. при ж = С), где
имеет особую точку с каса-
касательной, для обеих ветвей
направленной параллельно
оси Y (черт. 10).
Кривая эта называет-
называется трактрисой; в теории
поверхностей играет важ-
важную роль поверхность, об-
образованная ее вращением около оси X, так называемая псевдосфера.
Во всех четырех примерах произвольное постоянное С в ответах озна-
означает лишь возможность сдвигать полученную кривую параллельно оси X
как твердое тело; при этом кривая продолжает, очевидно, удовлетворять
условиям задачи.
Черт. 10.
§ 4] КАСАТЕЛЬНАЯ II НОРМАЛЬ. ПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ 25
§ 4. Касательная и нормаль в обыкновенной точке.
Параметрическое представление.
Рассмотрим геометрическое место точек М (х, у), координаты
которых определяются из уравнений
*¦=?(*). У = 4>@» B7)
где t — независимое переменное, пробегающее всевозможные зна-
значения в определенной области изменения
Такое геометрическое место мы будем называть кривой в пара-
параметрическом представлении.
Как мы сейчас увидим, в малых кусках мы будем, вообще гово-
говоря, получать простые отрезки, как и в случае задания кривой
уравнением B). Если же брать кривую в целом (что нас, вообще
говоря, интересовать не будет), то эти два способа определения
кривой не всегда равносильны.
Рассмотрим на кривой точку t = t0, ж0 = ср(^о). 2/»
в которой производные
не обращаются в нуль одновременно. Положим для определен-
определенности, что отлична от нуля именно <р' (t0):
?' (*о) Ф 0. B8)
Перепишем первое из уравнений B7) в виде
-я + тО^О- B9)
Мы можем рассматривать B9) как частный случай уравнения вида
F(x, 0 = 0.
При этом в точке х = х0, t =.*„ уравнение B9) удовлетворяется,
а частная производная по t от его левой части, равная, очевидно,
<?' (t0), отлична от нуля согласно B8). Тогда при значениях х к t,
достаточно близких к х0 и t0, уравнение B9) однозначно разре-
разрешается относительно t (согласно общей теореме существования
неявной функции—-см. сноску2) на стр. 13) и может быть пере-
переписано в виде
Теперь t, выраженное как функция х, мы можем подставить во
второе из уравнений B7), и тогда у выразится через ж однозначной,
функцией
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
где f(x) — ф (t (x)). Полученное уравнение имеет место при значе-
значениях х и t, взятых в достаточно малой окрестности х0, t0', в этой
окрестности наша кривая представляет собой простой от-
отрезок.
Итак,, при изменении t вблизи выбранного значения t0 кривая B7)
представляет собой простой отрезок, за исключением, может
быть, тех отдельных значений t0, которые удовлетворяю тсразу
двум уравнениям:
?'(*о) = Ф'('о)=О. C0)
Следует подчеркнуть, что здесь, таким образом, близость к
точке t = t0 берется в смысле значений параметра t. Возможны
случаи, когда при изменении t кривая, пройдя через какую-нибудь
точку при t = tx, снова про-
проходит через нее уже при
значении t — t2 (черт. 11).
Геометрически мы имеем
здесь одну точку и, оче-
очевидно, особую (самопере-
(самопересечение). Но при пара-
параметрическом представле-
представлении нам придется исследо-
исследовать эту точку дважды:
при значении t = 11 и при
t = ts. Пусть уравнения
C0) не выполняются ни
при tx, ни при t2, так что кривая вблизи значения tt является
простым отрезком PQ, а вблизи t2 — простым отрезком RS. Таким
образом, особая точка получается за счет того, что точки t = tt
и t = t2, удаленные друг от друга до значениям t, геометрически
совпали и простые отрезки PQ и RS пересеклись.
В дальнейшем мы рассматриваем кривую B7) лишь в таких
точках t0, в которых из ср' (t0), ф' (г0) хотя бы одна не обра-
обращается в нуль и которые, следовательно, заведомо являются
обыкновенными, если ограничиться значениями t, достаточно
близкими к tQ.
Дифференцируя B7), мы получим
dx = v'(t)dt, dy = <b'(t)dt.
Отсюда в рассматриваемой точке t0 [предполагая ср' (tu) Ф 0]
Черт. 11.
\dxjo
кроме того,
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
27
Вставляя все это в уравнение касательной G), получим его в виде
или
?' (*о) [У - Ф (*о)] = Y (to) [Х-<? (t0)].
C1)
[Ввиду симметрии этого выражения относительно обеих осей оно
сохранит свой вид и в предположении Y(t0) Ф 0.] Такой вид имеет
уравнение касательной в точке t — t0. Уравнение нормали отсюда
легко получить как уравнение перпендикуляра к прямой C1),
проведенного через ту же точку (х0, уа). Для этого достаточно
поменять местами коэффициенты при скобках, изменив знак
v одного из них. Получим
9' (t0) [х
' (*„) [у-^ (*„)] = 0.
C2)
Действительно, уравнения C2) и C1) удовлетворяют известному
условию перпендикулярности прямых; очевидно также, что пря-
прямая C2) проходит через точку Xo = <?(to), yo = ty(to).
Если использовать уравнение C1) при to=tx или tu = t.,
(черт. 11), получатся уравнения касательных соответственно кот-
резкам PQ или RS в точке их пересечения.
§ 5. Касательная и нормаль в обыкновенной точке.
Полярные координаты.
В некоторых случаях, например, когда с кривой связана гео-
геометрическими зависимостями определенная точка (например центр
для окружности), является целесообразным изучать кривую в по-
полярных координатах, приняв эту точку за полюс.
Уточним понятие о полярных координатах на плоскости. Пусть
фиксирована некоторая точка О, которую мы будем называть
полюсом, и выходящая из О полупрямая, которую будем называть
полярной осью. Пусть на плоскости дана любая точка М; соединяя
ее с О, получим прямую ОМ.
Назовем полярным углом точки М угол ср, на который нужно
повернуть полярную ось, чтобы она попала на прямую ОМ. Оче-
Очевидно, угол <р определится лишь с точностью до угла, кратного тс,
так как при добавочном повороте на 180° полярная ось попадает,
на ту же прямую ОМ, хотя и по другую сторону от точки О.
Когда полярный угол ср как-нибудь выбран, назовем полярным
радиусом1) точки М расстояние г=ОМ, взятое со знаком -f, если
1) Мы не будем употреблять здесь обычный термин «радиус-вектор»,
так как в дальнейшем он употребляется с большим основанием в совер-
совершенно другом смысле.
28
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
полярная ось после поворота прошла через точку М (на черт. 12
это будет при ср = ср1), и со знаком —, если полярная ось заняла
положение по другую сторону точки О (на чертеже — в случае
Таким образом, данной точке М полярный угол ср отвечает
неоднозначно, а г—однозначно, но после выбора ср. Зато, обратно,
заданием ср и г точка М определяется вполне однозначно: мы повер-
повертываем полярную ось на угол ср и откладываем на ней от точки О
расстояние г в положительную или отрицательную сторону
в зависимости от знака г.
Часто ограничиваются случаем г > 0, в связи с чем угол ср выби-
выбирают так, чтобы повернутая полярная ось обязательно прошла
через М; rf определится тогда
с точностью до угла, крат-
кратного 2ir. Однако это ограни-
ограничение оказывается неудач-
неудачным, так как иногда прихо-
приходится приписывать г отрица-
отрицательные значения в силу
аналитического характера
уравнения кривой. Итак.
у нас обе координаты при-
принимают любые значения от
— оо до + оо.
удовлетворяющих уравнению
Черт. 12.
Геометрическое место точек,
в полярных координатах:
г=г(9), C3)
можно при желании рассматривать как параметрически задан-
заданную кривую в прямоугольных декартовых координатах. Действи-
Действительно, если принять полюс О за начало, а полярную ось за поло-
положительное направление по оси X (см. черт. 12), то очевидно, что
декартовы координаты любой точки М однозначно выразятся через
ее полярные координаты:
Рассматривая геометрическое место C3), мы получим здесь х, у
как функции независимого параметра ср:
2/=r(cp)sincp,
C4)
т. е. кривую в параметрическом представлении. Было бы нетрудно
проверить, что кривая C4) при значениях ср, близких к какому-
нибудь данному значению ср„, всегда является простым отрезком
| 5] КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 29
за исключением, быть может, тех значений ср0, для которых
гЫ^г'Ы^О1).
Оставляя в стороне этот случай, рассмотрим в полярных коорди-
координатах касательную к нашей кривой в какой-нибудь точке М (ср, г)
(черт. 13).
Уточним сначала общее понятие об угле между двумя пря-
пряными a, b на плоскости.
Будем называть углом поворота ab от прямой а до прямой b угол,
на который нужно повернуть а, чтобы сделать ее параллельной
(или совпадающей) с Ь. Угол
этот берется со знаком +
или — в зависимости от на-
направления поворота (против
пли по часовой стрелке)
и определяется, очевидно,
с точностью до любого угла,
кратного тт. Тем самым тан-
тангенс угла аЬ будет вполне
определенной величиной.
Углы ab и Ьа отличаются,
конечно, знаками. Подчерк-
Черт. 13.
нем, что положительные на-
направления на прямых а и Ь не
играютпри этом никакой роли.
Обозначим через \ь угол поворота от прямой ОМ до касательной
в точке М. Роль угла р. заключается в том, что если в заданной
точке М указать еще значение р., то касательная в М вполне
определится. Мы хотим прежде всего научиться находить (х из
уравнения C3). Как окажется,
C5)
Если за полюс О принята не какая-нибудь случайная точка,
а геометрически связанная с кривой, то часто бывает интересным
детальнее изучить взаимное расположение полюса О, точки кри-
кривой М, касательной и нормали в ней.С этой целью восставим в О пер-
перпендикуляр к ОМ, за положительное направление на котором при-
примем положительное направление на ОМ, повернутое на угол + -к-.
Численные выражения (со знаками) отрезков ОТ и ON на этом'
перпендикуляре, где Т nN — точки его пересечения с касательной
МТ и нормалью MN, называются соответственно полярной под-
х) К такому виду приводятся условия C0) в нашем случае.
30
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
касательной и полярной поднормалью. Как
ния имеют вид
ON =
dr
[гл. I
их выраже-
C6)
Выведем теперь формулы C5), C6) для произвольно выбранной
точки М нашей кривой (черт. 13). Для этой цели перейдем в новые
полярные координаты, повернув полярную ось так, чтобы она
проходила через точку М. В новых полярных координатах поляр-
полярный угол точки М равен, очевидно, нулю, а полярный радиус г
сохраняет прежнее значение.
Принимая О за начало, новую полярную ось—за положительную
полуось X, перпендикуляр к ней с положительным направлением
на нем—за осьУи пользуясь формулами C4), получаем в точке М
х — г, у = 0.
Кроме того, дифференцируя C4), получим
dx = dr cos <p— rsincp d<p,
dy — dr sin cp -f- jr cos cp d<p.
Но в точке М <р = 0 и, если dx, dy вычислены при смещении иг
точки М, мы получаем из этих формул
dx — dr, dv =
Так как прямая ОМ совпадает с осью X, то tg jx есть угловой
коэффициент касательной в координатах х, у, и следовательно,.
^_ dy d<?
Формула C5) доказана.
Найдем теперь точки Т и JV, в которых касательная и нормаль
пересекают перпендикуляр к полярной оси в полюсе, т. е. ось Y.
Ординаты этих точек ут и ун определятся из требования, чтобы
угловой коэффициент отрезка ТМ, т. е. . , был равен угло-
угловому коэффициенту касательной tg p., а угловой коэффициент
отрезка NM, т. е. Ж. был обратным
C5) и зная,
dr
И —
откуда
dr
rdf
dr
§ 5]
КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
31
Так как ординаты ут, уы совпадают с численными выражени-
выражениями ОТ и ON, то формулы C6) тоже доказаны.
Конечно, формулы C5), C6) доказаны лишь в новых полярных
координатах, в которых полярная ось проходит через исследуемую
точку М. Но тем самым формулы будут верны и в старых (произ-
(произвольных) полярных координатах. Действительно, в результате
поворота полярной оси полярный радиус г каждой точки остает-
остается прежним, а полярный угол <р изменяется на константу (угол
поворота), а значит, da не меняется. Но в формулы C5) и C6)
входят лишь г, dr, с?<ри, следовательно, формулы остаются верными
в любой полярной системе координат.
Приведем некоторые примеры того, как рассмотренвые величины
характеризуют геометрическую связь между кривой и определенной
точкой, принятой за полюс.
1. Кривая, пересекающая под постоянным углом все;
лучи, выходящие из полюса: ц= н-о = const.
Пользуясь формулой C5), запишем это требование:
dy
или
т
Интегрируя почленно, получаем
? ctg ко + С = In г,
откуда
?ctg »
где через г0 обозначено ес. Итак, в этом случае г выражается показатель-
вой функцией от ср, причем ctg Но является коэффициентом в показателе.
Мы получили логарифмическую спираль.
2. Поднормаль ON = a — п ос т оян н а я.
Запишем это требование, пользуясь второй из формул C6). Получим-
dr
а
dr — a i
Интегрируя почленно, получаем
функцией у. Мы получили
Полярный радиус г выражается линейной
архимедову спираль.
3. Подкасательная ОТ = а — постоянная.
Запишем это требование, пользуясь первой из формул C6). Получим-
» <*?
— г2 —т- = а
dr
7^
32
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Интегрируя почленно, находим
a r
Мы получили гиперболическую спираль.
Заметим, что во всех трех случаях произвольная постоянная интегри-
интегрирования С не влияет на форму кривой; изменение С влечет лишь уве-
увеличение всех полярных углов на одну и ту же величину, т. е. поворот
кривой как твердого тела около О. Интересуясь лишь формой кривой,
можно считать С=0.
§ 6. Строение кривой вблизи особых точек. Основные факты.
Мы вернемся к изучению кривой, заданной в координатах
х> У уравнением
F(x, y) = 0. C7)
Поведение кривой вблизи ее любой обыкновенной точки М„ изу-
изучено нами достаточно хорошо в § 2; кривая является там простым
отрезком, и в бесконечно малом по обе стороны Ма она устроена,
грубо говоря, как слегка искривленный прямолинейный отрезок.
Теперь нам* нужно составить себе представление о поведении
кривой C7) вблизи ее особой точки Мо, по крайней мере в наиболее
распространенных случаях особых точек. Согласно C), в особой
точке первые производные левой части C7) обязательно равны
нулю:
FX = FB=O. C8)
Так как C8) имеет место не тождественно, а лишь в рассматривае-
рассматриваемой точке Мй, то вторые частные производные от F по х, у не имеют
никаких оснований обращаться в нуль в этой точке и практически,
вообще говоря, не обращаются в нуль.
Лишь в исключительных случаях в Мо помимо C8) имеют место
еще равенства
Fxx = Fxy = Fuy = Q. C8')
Если в Мо условия C8) имеют место, а C8') — нет, т. е. первые
производные—обе нули, а из вторых по крайней мере одна не
равна нулю, то мы говорим, что у нас двойная особая точка. Это
наиболее распространенный случай особой точки. Геометриче-
Геометрический смысл названия выяснится позже.
Если имеют место и C8) и C8'), но среди производных третьего
лорядка
Я ххх> -Гххуг Г хуу, -Г ции
хотя бы одна в точке Мо отлична от нуля, то мы называем Мп
тройной особой точкой. И вообще, если в Мо все частные производ-
производные от F до п—1-го порядка включительно обращаются в 0, но
§ 6]
СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК
33
среди производных га-го порядка есть хотя бы одна, отличная
от 0, то мы называем Мо п-кратной особой точкой.
В этом параграфе мы ставим себе целью лишь ориентироваться
ц основных фактах, не давая исчерпывающих доказательств (кото-
(которые в теории особых точек достаточно сложны). Мы будем рассу-
рассуждать так. Заранее мы не знаем, что представляет собой кривая
вблизи особой точки Мо. Предположим, однако, что из этой
кривой можно выделить часть, представляющую собой простой
отрезок, содержащий точку Мо.
Пусть уравнение этого простого отрезка будет:
y = f(x).
Так как простой отрезок входит в состав кривой, то после подста-
подстановки y = f(x) в уравнение кривой C7) должно получиться то-
тождество
F(x, f(x)) = O.
Всякое тождество можно дифференцировать любое число раз по
входящему в него независимому переменному. В данном случае
дифференцируем по х, считая, что в левой части стоит сложная
функция F(х, у), где y — f(x). Получим
Fx + FBf'(x)=O,}
Fxx + 2Fxyf (x) + FBBf (xy + FBf" (x) = 0, j
Fxxx + 3Fxxyf'(x) + 3Fxyyr(xy + F!iljyf'(xy-r- } C9)
+ 2Fxyf"(x) + 2Fyyf'(x)f"(x) + ~(Fllf"(x)) = 0 \
Рассмотрим эти равенства в особой точке Мо (xQ, ya). Предпо-
Предположим сначала, что эта точка двойная. Тогда
а среди F%x, F%y, F°yy имеется хотя бы одна производная, отличная
от нуля [нуликом вверху мы отмечаем то обстоятельство, что про-
производные вычислены в точке М0(х0 , у0)]. Будем считать для опре-
определенности, что Fyu Ф 0; этого всегда можно добиться поворотом
координатных осей. Первые два из равенств C9) примут вид
FW (**) = <>>
= 0, |
= 0. )
C9')
В случае обыкновенной точки мы из первого равенства C9)
могли вычислить угловой коэффициент/' (х0); теперь это невоз-
невозможно, так как Fx = Fg = 0 и относительно f'(x0) мы имеем не
уравнение, а тождество. Зато во втором равенстве C9) выпало
3 П. К. Рашевский
34
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Fgf"(x0), и мы получаем уравнение по отношению к угловому
коэффициенту f (ха), но уже не линейное, а квадратное.
Итак, если кривая содержит простой отрезок y==f(x), про-
проходящий через двойную особую точку Мо, то угловой коэффициент
его касательной в точке Ма, т. е. f (хй), должен быть корнем
квадратного уравнения
F°xx
f (x0)
= 0.
Рассмотрим три возможных здесь случая.
1-й случай:
Корни квадратного уравнения комплексно сопряженные, а
значит, такого простого отрезка вообще не может существовать,
так как угловой коэффициент
его касательной оказался бы
комплексным (мы же рас-
рассматриваем лишь веществен-
вещественные кривые). Более деталь-
детальное исследование (см. ниже
-X § 7*) показывает, что в этом
случае в достаточно малой
окрестности точки М0(ха, уе)
вообще нет точек кривой,
кроме самой точки Мо.
Такой геометрически не-
несколько неожиданный резуль-
результат объясняется тем, что у
Черт. 14.
нас кривая была определена как место точек, удовлетворяющих
уравнению B), т. е. более аналитически, чем геометрически.
Существование же некоторых точек кривой, лежащих «отдельно»,
мы теперь уже вынуждены принять как логическое следствие
нашего определения.
Точка Мо называется изолированной особой точкой кривой
(черт. 14).
Приведем пример. Кривая
имеет точку @, О) изолированной, ибо при значениях 0 < \х\ < 2
правая часть уравнения отрицательна и не может быть равна у3 ни
х|> 2 кривая
при каком вещественном значении у. При , ^, ^ ^ п^или
располагается симметрично относительно обеих' осей и состоит
целиком из обыкновенных точек.
Кривая х2+у2~0 вообще состоит из одной только изоли-
изолированной точки О@, 0).
§ 6] СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК
2-й случай: .
35
Корни квадратного уравнения—вещественные различные, и
можно ожидать существования двух простых отрезков. И действи-
действительно, более детальное исследование (§ 7*) показывает, что в этом
случае в окрестности двойной точки кривая состоит из двух взаим-
К,
Черт. 15.
но пересекающихся простых отрезков. Это так называемая узло-
узловая точка или точка самопересечения.
Элементарным примером узловой точки служит точка О @, 0)
на кривой у2 — х' = 0. Кривая эта представляет собой пару пря-
прямых, делящих пополам углы между осями и пересекающихся
в начале (черт. 15, а). Другим примером может служить лемни-
лемниската *)
(х2 +у* + а2у—4агхЛ = а4.
Эта кривая имеет форму восьмерки сточкой самопересечения в на-
начале координат (черт. 15, б).
3-й случай:
FaxxFaye-F% = 0.
Корни вещественные равные.
Этот случай не может быть столь же исчерпывающе охаракте-
охарактеризован, как первые два, и встречается в геометрически различных
формах. У всех них есть, однако, общая черта: все ветви кривой,
подходя к особой точке Мо, имеют в ней общую касательную (отве-
(отвечающую двойному корню квадратного уравнения).
Рассмотрим некоторые примеры двойных особых1 точек, отве-
отвечающие 3-му случаю. ''¦'¦'
*) Лемниската—кривая, для точек: которой* произведение расстояний
^ 2
от двух данных точек F1, F^ (фокусов) постоянно и равно -г- FjFo .
3*
36
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
1 Точка возврата
бическую параболу (черт. 16)
1-г о рода. Рассмотрим полуку-
полуку)
\ - *s r if " *" "
Легко проверить, что в начале координат
F% = F% = F1X = F%1I = O, F°g = 2,
и следовательно, мы имеем двойную точку. При этом
¦F уд-Р хх — -г ху = V,
так что налицо 3-й случай. Кривая подходит к точке О двумя вет-
ветвями (а именно, y=x\fx, у=—ж]/х),
имеющими в точке О общую касательную
и расположенными по одну сторону от общей
нормали и по разные стороны от общей каса-
касательной.
Когда вблизи двойной точки имеет место
такая геометрическая картина, мы называем
эту точку точкой возврата 1-го рода.
Практически в 3-м случае, как правило,
мы встречаемся с точкой возврата 1-го рода,
и лишь в виде исключения — с другой гео-
геометрической картиной поведения кривой.
Точный смысл этого утверждения будет
раскрыт в § 7*. Приведем примеры исклю-
исключительных случаев.
2. Точка возврата 2-г о рода.
Рассмотрим кривую
F{x,y) = {y-xy-x\=0.
Черт. 16. Значения частных производных 1-го и
2-го порядков в точке О (О, 0) те же, что
и в предыдущем примере. Снова имеет место 3-й случай.
Однако форма кривой вблизи точки О существенно иная
(черт. 17). Кривая подходит к точке О двумя ветвями (а именно,
у = х* + хг |/ж , у = х2 — хг ]/"ж), имеющими в точке О общую каса-
касательную и расположенными (вблизи точки О) по одну сторону
от общей нормали и по одну сторону от общей касательной
(нужно учесть, что хг}/ х при достаточно малых х мало сравни-
сравнительно с ж* и не имеет влияния на знак у).
В случае такоД геометрической картины мы будем называть
двойную точку точкой возврата 2-го рода.
3.Точка самоприкосновения. Исследуем кривую
F(x,y) = y*-x' = O.
§ 61
СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК
37
Значения частных производных 1-го и 2-го порядков в
точке О (О, 0) — прежние; имеет место 3-й случай.
Кривая состоит из двух парабол у = хг, у=—хг, касаю-
касающихся друг друга в точке О (черт. 18).
До сих пор мы ограничивались двои- у\
ными точками.
Пусть теперь Мо будет тройной особой
точкой и, следовательно,
Fx = Fu = Fxx=Fxu = Fuy = 0.
Первое и второе из равенств C9) обра-
обращаются при этом в тождества относительно
/' (^о), /" (хо)- Зато третье из равенств C9)
дает уравнение для определения /' (х0)
уже не квадратное, а кубическое:
Пхх + 3Fxxgf (х0) + 3F%yyf (xoy +
Для определенности будем считать
Fyyy ФО.
Таким образом, угловые коэффициенты Черт. 17.
касательных к простым отрезкам кривой,
проходящим через тройную особую точку Мо, удовлетворяют
(б этой точке) толъко-что полученному кубическому уравнению.
Приведем без доказательства сле-
следующие факты.
Каждому простому вещественному
корню этого уравнения отвечает простой
отрезок, принадлежащий данной кри-
кривой и проходящий через особую точку
с угловым коэффициентом касательной,
равным этому корню.
Если кратных вещественных корней
нет, то кривая в окрестности точки Мо
целиком состоит из простых отрезков,
пересекающихся в точке Ма и отвечаю-
отвечающих различным вещественным корням.
Если имеются три различных веществен-
вещественных корня, то таких отрезков 3, если
вещественный корень один, то отре-
отрезок тоже один (так что по существу
Черт. 18. мы возвращаемся к случаю обыкновен-
обыкновенной точки).
В случае кратных вещественных корней положение значитель-
значительно усложняется, и на этом мы останавливаться не будем.
38
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. I
Аналогично обстоит дело и в случае п-кратной особой точкиМо:
первые п — 1 равенств C9) обращаются в тождества [относительно
/' (ж„), /" (х0), . . ., /(™~1) (ж0)], а п-е равенство дает уравнение
п-Ш степени относительно /' (ж„). Это уравнение составляется
аналогично ранее полученным квадратному и кубическому урав-
уравнениям (тоже с биномиальными коэффициентами). То, что было
сказано о вещественных корнях кубического уравнения, остается
справедливым в этом общем случае.
§ 7*. Строение кривой вблизи особых точек.
Точная теория.
В этом' параграфе мы дадим полное доказательство фактов,
изложенных в § 6, по крайней мере в отношении двойных особых
точек. t
Рассмотрим кривую
F(x,y) = O.
Для простоты выкладок перенесем начало координат О
в изучаемую точку Мо (х0, у0). Так как старые координаты полу-
получаются из новых добавлением к ним постоянных, то в каждой дан-
данной точке значения частных производных от F (%, у) по новым
координатам будут те же, что и по старым (по правилу дифферен-
дифференцирования функции от функции). Поэтому все сказанное об
Fx, Fy, Fxx, Fxfl, ... в новой системе координат будет спра-
справедливо и в старой, т. е. в любой системе координат. "
Разложим F (х, у) в ряд Тейлора по степеням х, у с остаточным
членом Д3- Как известно, это разложение имеет вид
F (х, y)=Fo-r Fix + Fly + -I {F»mx* + 2Flyxy + F^f) + R2, D0)
где нулем наверху отмечены значения F(x, у) и ее производных,
взятые в точке @, 0), остаточный же член i?3 имеет вид
(F
3FxxlJx*y
Fgvvy3).
Здесь над частными производными поставлен значок ~, чтобы
отметить, что они взяты в некоторой промежуточной точке
(9ж, ву), где 0<6<1.
Но так как начало @, 0) сейчас находится в точке Мо на нашей
кривой, то оно удовлетворяет уравнению кривой, и мы имеем
F» = 0,
а так как, кроме того, точка Ма особая, то в ней
1 х — •* у — и>
т. е. имеют место условия C8).
К 71 СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ 39
Вставляя теперь в уравнение кривой вместо F (х, у) его раз-
разложение, мы получим уравнение кривой в виде
2Faxyxy +
R2 = 0.
Умножим обе части уравнения на 2 и обозначим для краткости
в выражении остаточного члена ~^FXXX, Fxxy, Fxyy, ^Fyyy, со-
соответственно, через А, В, С, D. Получим >
Flxa? + 2Flyxy + F^y* + (Ах3 +Вх*у+ Сху* + Dy>) - 0. D1)
Конечно, не нужно забывать, что А, Б, С, D суть также функ-
функции от х, у и именно в них скрыта вся сложная сторона уравнения
D1). При этом можно считать, что А, В, С, D—непрерывные функ-
функции, имеющие столько же непрерывных частных производных по
х, у, сколько их имеют соответственно Fxxx, Fxxy, Fxyv, Fyyy J).
Мы будем изучать поведение кривой вблизи особой точки
Мо @, 0), т. е. в некоторой окружающей эту точку области,
которую для простоты можно взять квадратной и определить
условиями
\х\ <71. \У\<Г1<
Эта квадратная область берется достаточно малой, чтобы в ней
(включая границу) выполнялись наши обычные предположения
*) При выводе остаточного члена ряда Тейлора в двух переменных
для F (х, у) обычно рассматривают F (tx, ty), считая х, у произвольно
фиксированными, a t переменным. Тогда F {tx, ty) есть функция одного
переменного J, которую можно разложить в ряд Тейлора по степеням t
с остаточным членом R2 в интегральной форме, положив затем t = i.
Получается как раз разложение D0), где остаточный член имеет вид
1
так что
ty dt
t*, ty)(\-tfdt,
'ty) A ~JJ dt
~~ ^ Fxxy(tx, ty)(l-t)*dt,
и аналогично для С и D.
Если, например, Fxxx имеет непрерывную производную по х (или по у),
то имеет ее и А, причем -^— получится дифференцированием по х под
знаком интеграла. Повторяя это дифференцирование нужное число раз,
мы докажем наше утверждение о дифференцируемости А, В, С, D.
40
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. I
о дифференцируемости функции F (х, у) достаточное число раз,
и как следствие этого была справедлива формула D1). При атом
непрерывные функции А, В, С, D будут, конечно, и ограничен-
ограниченными в пределах рассматриваемой квадратной области.
Ограничимся рассмотрением двойной особой точки, т. е. допу-
допустим, что в D1) у членов 2-й степени все коэффициенты сразу
не обращаются в нуль. Для удобства выкладок нам при этом жела-
желательно, чтобы среди этих коэффициентов именно для FBV было гаран-
гарантировано необращение в нуль. Но
это не составит нового предположе-
предположения, так как в случае
мы можем повернуть координатные
оси, и тогда остальные члены 2-й
степени (не исчезающие тождествен-
тождественно, как мы предположили) выделят
в новой системе координат отлич-
отличный от 0 коэффициент при у2. Итак,
мы считаем
Чарт. 19. Докажем теперь, что в доста-
достаточно малой области около Мо (О, 0)
отношение — для точек кривой ограничено снизу по абсолютной
величине:
> а>0,
т. е. около оси Y можно построить пару вертикальных углов, куда
точки изучаемой кривой не попадают (черт. 19).
Допустим противное, а именно, что в сколь угодно малой обла-
области | х | <z ~f\, | у | <С t\ найдутся точки (х, у) на кривой, для кото-
которых [отношение — сколь угодно близко к нулю. Так как эти
У
точки берутся на кривой, то для них удовлеторяется уравне-
уравнение D1). Разделив обе его части на г/а, получим
Но так как окрестность берется сколь угодно малой, то здесь у
сколь угодно мало; а так как в окрестности, по предположению,
находятся точки кривой со сколь угодно малыми отношениями
— , то все члены ?левой части, кроме Fgg, сколь угодно малы
§ 7] СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ 4$
для этих точек. Но Fgg постоянное, отличное от нуля, и, сле-
следовательно, не может обращаться в нуль при добавлении сколь
угодно малых величин. Получилось противоречие, доказыва-
доказывающее наше утверждение.
Итак, в достаточно малой окрестности точки Мо @, 0) (этой
окрестностью мы и ограничимся)
для точек М (х, у) на кривой
ограничено снизу 1), а следовательно,
ограничено сверху.
Введем для отношения X особое обозначение и; имеем
D3)
где Q — некоторое постоянное.
Перепишем теперь D1), разделив обе его части на ж2 (см. сноску).
Получим, пользуясь обозначением D3),
F°xx
1Flvu
Du3) = 0.
D4)
Решим уравнение D4) как квадратное уравнение относительно щ
в качестве свободного члена берем Fxx в сумме с четвертым членом
левой части, не обращая внимания на зависимость последнего
от и. Получим
V
J
F%x + х (А + Ви + См2 + Du")
Г УУ
¦ D5>
Такое выражение для и оказывается полезным, несмотря
на то, что в этом выражении и фигурирует в правой части
снова. Дело в том, что выражение
, D5'>
через которое входит и в правой части, стремится к нулю, если
заставить точку кривой М (х, у) стремиться по кривой в Мо @, 0).
Действительно, в выражении D5'), как известно из предыдущего,
величины А, В, С, D и и ограничены; поэтому выражение стано-
становится сколь угодно мало по модулю вместе с х, т. в. вместе с выбо-
выбором достаточно малой окрестности точки М0 @, 0).
Итак, ограничиваясь достаточно малой окрестностью, мы
делаем выражение D5') сколь угодно близким к нулю, а следова-
следовательно, значения и, пользуясь их выражением D5), сколь
угодно близкими к
ТР°
V К
F%x
Fyy
x) В частности, —=^0; следовательно, х не может обращаться в нуль
нигде, за исключением самой точки Мо.
42
СВЕДВНИЯ О. КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
1гл.
Обозначим через и, и м2 два возможных здесь значения,
т. е. два корня квадратного уравнения
Fix + 2Fxyu + F°gu2 = 0. D6)
Мы можем окончательно формулировать следующий результат:
значения и, т. е. отношения —, для точек изучаемой кривой
сколь угодно близки или к и,, или к и2, если кривая рассма-
рассматривается в достаточно малой окрестности своей особой точки
Ма (О, 0).
Точнее: для любого s > 0 можно указать столь малое t\, что для
всех точек М(х, у) на кривой внутри окрестности j х | < t\, | у | < ч\
или
-2- —В,
I V
< 3, ИЛИ — — U2
D7)
Геометрически условия D7) означают, что угловой коэффи-
коэффициент прямой М0М, направленной из начала Мо в какую-нибудь
точку М на кривой, сколь
У\ угодно мало отличается
/ г либо от щ, либо от и2 или
(что то же), что все точки
кривой попадают либо в
пару вертикальных углов,
сколь угодно тесно охваты-
охватывающих прямую с угловым
коэффициентом щ, либо в
аналогичную пару для м3,
если только кривая рассма-
рассматривается в достаточно
малой окрестности точки
Мо (черт. 20).
Черт. 20.
Как ясно заранее, полученный результат будет иметь совер-
совершенно различный геометрический смысл в зависимости от харак-
характера корней уравнения D6). Мы разберем поэтому отдельно три
различных возможных здесь случая.
1-й случай:
уд
xg
V )¦
Корни щ, и2—комплексные сопряженные.
D8)
J) Выписанное условие имеет одинаковый вид при любом выборе прямо-
прямоугольной декартовой системы х, у, так как из аналитической геометрии
известно, что дискриминант членов 2-й степени в инвариантном выраже-
выражении—в данном случае в левой части D1) — инвариантен при преобразова-
преобразовании х, у.
| 7] СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ 43
Мы утверждаем, что в этом случае около точки Мо @, 0) можно
выделить столь малую окрестность | х\ < ч\, \ у \ <С у\, в которой
совершенно нет точек нашей кривой, кроме самой точки Ма @, 0).
Допустим противное, т. е. что в сколь угодно малой окрест-
окрестности точки М'и найдутся точки нашей кривой, отличные от Мо.
Тогда, как мы знаем, для любого э > 0 можно указать достаточно
малую окрестность, в которой для точек кривой имеют место
неравенства D7).
Так как з сколь угодно мало, то это означает, что вещественное
переменное -- способно неограниченно приближаться к комплекс-
ным постоянным и,, и2! что невозможно.
Итак, некоторая окрестность Мо совершенно свободна от точек
нашей кривой, за исключением самой Мо @,0). Что же касается
Мо, то она принадлежит кривой, что можно проверить, подставив
в D1) значения х = у — 0. Мы получили изолированную точку.
2-й случай:
— F
X1J
0.
D9)
Корни и± и и2—вещественные различные.
В этом случае нет оснований думать, что кривая не существует
в окрестности точки Мо, но, наученные опытом предыдущего слу-
случая, мы должны это существование доказать. Кроме того, у нас
нет еще никакого обоснованного представления о том, как распо-
расположатся вблизи Мо точки нашей кривой (если она там существует),
кроме результата на стр. 42, указывающего на их сгущение около
направлений их и м3.
Нам придется перейти вместо х и у к новым переменным х и и,
где
= — и,
следовательно,
= их.
E0)
Так как для точек кривой, попавших в достаточно малую окре-
окрестность точки Мо @, 0), значения и становятся как угодно близкими
либо к щ, либо к и% (стр. 42), то переменные х, и достаточно рас-
рассматривать вблизи значений
или х = 0, и=и1, или ж = 0, и=гг2.
Ограничиваясь, следовательно, значениями х, и из какой-
нибудь окрестности |ж|<7), \и—иг\ < г в первом случае и
х\ < ~г), \и— и2 | < з во втором случае, мы не упустим при этом ни
одной точки кривой, попавшей внутрь достаточно малой окре-
окрестности точки Мо @,0) в плоскости х, у.
Для определенности изучим точки, для которых значения
х, и лежат в окрестности значений х =0, и=иг. Для точек, рас-
расположенных вблизи ж=0, и—и2, все рассуждения-повторятся
дословно.
44
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Нам уже известно, что, разделив левую часть уравнения кривой:
на х", мы приводим его к виду D4):
2F
xg
+ Du3) = 0.
Здесь А, В, С, D—непрерывные и дифференцируемые функции
от х, у, а следовательно, и от х, и.
Обозначим левую часть этого уравнения, рассматриваемую
как функция от а; и в, через <р (х, и):
( + + ?u). E1}
Само же уравнение, связывающее х и и, примет вид
<р(ж,в)=0. E2)
Вычислим еще частную производную от <р по и:
<?и(х, u) = 2(Fxy + F°yyu) + x ^(A + Bu + Cu' + Du3). E3)
Посмотрим теперь, что происходит с уравнением E2) при
значениях х = 0, и=и1г в окрестности которых рассматриваются
переменные х, и. Вставляя х = 0 и и = иг в E1), мы видим, что пер-
первые три члена дают 0, так как щ есть корень уравнения D6);
^последний же член равен 0 вместе с х.
Итак,
?@,в1) = 0, E4)
т. е. уравнение E2) удовлетворяется при ж=0, и= щ. Что же
касается частной производной E3), то она при тех же значениях
принимает вид
Vu^uJ-^liF^ + Fl^^O. E5)
Неравенство нулю имеет здесь место потому, что в противном
случае
F°
„ _ 1*»
а такой вид корень квадратного уравнения D6) имеет только
в случае равных корней и не может иметь сейчас, когда в силу D9)
корни и,, м2 действительны и различны.
Из E4) и E5) следует1), что уравнение E2) в достаточно малой
окрестности значений ж = 0, м== щ однозначно разрешимо относи-
относительно и, так что уравнение E2) в пределах этой окрестности
можно переписать в виде
b=*?i(s), E6)
*) Теорема^ существования неявной функции.
I 7] СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ 45
где функция <pi (x) непрерывна и дифференцируема нужное число
раз. При этом E6) удовлетворяется при х=0, и= ult другими
словами,
Ti(O) = »i.
Уравнение E6) выражает в простой форме зависимость между
х, и для точек нашей кривой в окрестности значений х= О, а= щ.
Теперь нетрудно, ограничиваясь той же окрестностью, в про-
простой форме переписать уравнение нашей кривой в переменных
х, у. А именно, так как у=их, то „
<56) дает ^ у] '"г
у = х^{х). E7)
Мы получаем нашу кривую в виде
простого отрезка, если ограничиться
достаточно малой окрестностью
вблизи значений х— 0, и= щ.
Совершенно аналогично в доста-
достаточно малой окрестности значений
ж=0, и=и2 мы получим кривую в
виде »
«=жср,(а;), E8)
3 T"v ' v ' Черт. 21.
т.е. также в виде простого отрезка.
Другими словами, точки кривой, для которых значения х, и
лежат в окрестности значений 0s в,, образуют простой отрезок
E7); а те точки, для которых х, и лежат в окрестности значений
О, м2, образуют другой простой отрезок E8). Эти два простых
отрезка исчерпывают все точки нашей кривой в достаточно малом
квадрате | х | < ч\, | у \ < у\ около точки Мв @, 0) в плоскости х, у,
потому что, в силу результата D7), значения х, и для таких точек
обязательно попадут в первую или вторую окрестность.
Очевидно, что простые отрезки E7) и E8) проходят оба через
точку ж = 0, у = 0 (убеждаемся подстановкой), так что в данном
случае особая точка образована в пересечении двух простых отрез-
отрезков, принадлежащих оба изучаемой кривой.
Мы получили узловую точку (черт. 21). Угловой коэффициент
касательной к простому отрезку E7) в точке Мо @,0) легко полу-
получить, дифференцируя
и подставляя затем х = О:
Аналогично угловой коэффициент касательной к E8) в точке
Мо @, 0) равен м3. Примеры узловых точек даны на стр. 35.
46
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
3-й случай;
FxxFyg — Fxy = 0.
Корни уравнения D6) м1; м2—вещественные равные, т. е.
[гл. I
и1 — Щ —
UB
E9)
Снова переходим вместо х, у к переменным х, и, где и=^ — „.
Пользуясь результатом D7), утверждаем, что если (х, у) есть
точка на кривой в достаточно малой окрестности | х\ < -ц-, \у j < -ц
около Мо @, .0), то значения х, и находятся в сколь угодно малой
окрестности значений 0, щ [теперь оба неравенства D7) означают
одно и то же, так как иг = щ]. В дальнейшем мы ограничиваемся
некоторой окрестностью значений ж=0, и=м1. Прежним путем
приводим уравнение кривой к виду E2):
где
F0)-
<р (х, и) -*
2F°xyu
+ Du). F1
. Однако дальше нам не удастся повторить исследование в том
виде, как оно шло для 2-го случая. Дело в том, что, вычисляя
значение <ои(х, и) при х = 0, и=щ, мы получим совершенно тем
же путем, как в формуле E5),
(у ^й1);
но это выражение, в противоположность формуле E5), будет
заведомо равно нулю—достаточно сослаться на выражение E9)-
для щ. Итак,
?„ @,10 = 0, F2)
ж мы не можем применить теорему существования неявной функции
так, как это было сделано во 2-м случае.
Заметим, что, дифференцируя выражение F1) для щ (х, и) по
и два раза и подставляя в результат ж = 0, гг= их, мы получим
[согласно D2)]
?uu@,u1) = 2F°pll^0. F2')
Не имея возможности выразить и через х из уравнения F0) •
вблизи значений х=0, и = м1? попытаемся выразить, наоборот.
х через и. Найдем частную производную
з>.г(х, и) =--(А + Ви+ Си' + Du3) + x~(A-\-Bu + Си" + Пи3).
S 7] СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК. ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ 47
Положим здесь х = 0, и = в,; второй член обращается в нуль вместе
с х. Что же касается первой скобки, то здесь нужно вспомнить,
что через А, В, С, D обозначены у Fxxx, Fxxy, Fxyy, — Fyuu при
значениях аргументов их и By (см. стр. 39). Когда мы положим
х = 0, и= м1; то у, равное их, тоже обращается в нуль, и эти част-
частные производные 3-го порядка получат аргументы ж=0, г/ = 0, что
мы обозначим нулем наверху. В результате
х @, вж) = -j1 (Fxxx + 3F°xxyu + 3F°xuyu-
. F3)
Весь вопрос теперь в том, является ли м^ т. е. двойной корень
квадратного уравнения D6)
в то же самое время корнем кубического многочлена, стоящего
в правой части F3). Никаких причин общего характера для
этого нет, и лишь в отдельных исключительных случаях, когда
квадратный и кубический многочлены D6) и F3) почему-либо
имеют общий корень щ [двойной для D6)], выражение F3) обра-
обращается в нуль.
Этот случай, требующий дополнительных исследований и при-
приводящий к иным формам строения кривой вблизи данной особой
точки, мы оставим в стороне.
Ограничимся основным случаем, когда щ не обращает в нуль
кубический многочлен, и, следовательно,
«рх(О,в1)^О. F4)
К этому следует добавить, что, подставляя х = 0, и=щ в F1) и
учитывая, что их есть корень уравнения D6), мы получаем
<? @, «0 = 0.
F5)
Снова применяем теорему существования неявной функции, на
этот раз к х, как функции и. А именно, переменные х, и связаны
вдоль кривой уравнением F0), левая часть которого ср (х, и) удо-
удовлетворяет при значениях х = 0, и = иг условиям F4) и F5). Отсюда
следует, что в достаточно малой окрестности значений ж =0, и=гг1
уравнение F0) однозначно разрешается относительно х и может
быть переписано в виде
х = х(и). F6)
Так как уравнение F0) удовлетворяется при х = 0, и=щ, то
равносильное ему уравнение F6) тоже удовлетворяется, и мы
имеем
г («0 = 0.
48
СВЕДВНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. I
Так как у нас м = —, то легко написать выражение для у:
у = их(и). F8)
Уравнения - F6), F8) дают параметрическое представление
нашей кривой в окрестности значений х= О, и = щ для неременных
х, и, или, что то же самое (см. начало исследования 3-го случая),
в некоторой окрестности точки Мо @, 0) в плоскости х, у. По нему
нетрудно составить себе представление о ходе кривой вблизи
исследуемой особой точки. Вычислим прежде всего х' (и). Так как
F6) есть разрешенное относительно а;уравнение F0), то по формуле
дифференцирования неявной функции имеем
Положим теперь и=и1; тогда ж=0 и, в силу F2),
ж'(в,) = 0, а следовательно, х" (и±) = — ?»°f"' ^ Ф 0 *). F9)
Разложим теперь F6) в ряд Тейлора по степеням и— иг. Так
как значения функции х(и) и ее первой производной [согласно
F7) и первой из формул F9)] обращаются в нуль при u=ult то
разложение начнется с членов второй степени:
x(u) = ±-x"(u1)(u-u1J + R2,
где
причем и—некоторое промежуточное значение между щ и и.
Обозначая для краткости -~-х" (щ) Ф 0 через а, запишем
х (м) = а(м-М1J + Д2. G0)
Рассматривая и вблизи щ, мы можем считать и— щ как поло-
положительным, так и отрицательным, т. е. как м> щ, так и м< иг.
В обоих случаях первый член разложения G0) будет сохранять
один и тот же знак, именно, знак а. А вместе с ним сохраняет тот
же знак и все разложение, так как при достаточно малой разности
\ и—и±\ остаточный член Я2, содержащий (и—щK, станет как
угодно мал по абсолютной величине сравнительно с первым чле-
членом, содержащим только (и—щJ.
Таким образом, при достаточно малом \и— щ \ , т. е. в достаточно
малой окрестности точки Мо (О, О), х(и) сохраняет все время один
и тот же знак, так что кривая располагается по одну сторону оси Y.
!) См. F2') и F4).
^ 7J СТРОЕНИЕ КРИВОЙ-ВБЛИЗИ ОСОБЫХ ТОЧЕК. ТОЧНАЯ ТЕОИШ 49
Перепишем формулу F8), отняв от обеих частей равенства по щх:
у — игх = {и — и1)х. G1)
Очевидно, что uLx есть ордината прямой с угловым коэффициен-
коэффициентом «!, проведенной через начало Мо. Следовательно, левая часть
G1) есть уклонение NM нашей кривой от прямой и, по ординате.
Итак, v
NM = A1 — 11,) х. G2)
Так как х сохраняет постоянный знак, то это выражение
меняет знак в зависимости от того, берем ли мы и < иг или и >> и,.
Б первом случае точки кривой рас-
лолагаются по одну сторону прямой
«„ во втором случае—по другую (на
черт. 22 соответственно книзу и
кверху).
Итак, кривая подходит к точке
_1/,1 (О, 0) двумя ветвями, отвечающи-
отвечающими значениям и <; щ и и > щ, обе—
ло одну сторону от оси Y, но одна
книзу от прямой и17 а другая квер-
кверху от этой прямой.
Чтобы окончательно составить се-
себе представление о ходе кривой,
заметим, что при и, стремящемся к
г;,, т. е. при стремлении точки М
но кривой в точку Л/о, х, согласно G0), есть бесконечно
малое 2-го порядка, a. NM, согласно G2), бесконечно малое 3-го
порядка относительно и—их. Таким образом, уклонение NM
кривой от прямой щ является бесконечно малым высшего порядка
сравнительно с абсциссой х. Это имеет место, разумеется, для
каждой из двух ветвей нашей кривой, которые, таким образом,
сближаются с прямой щ быстрее, чем с осью Y. Наглядно на чер-
чертеже это сказывается в том, что две ветви нашей кривой, прилегая
к прямой их сверху и снизу, образуют в М„ заострение. Действи-
Действительно, так как отношение — = и при стремлении М в Ма по кри-
кривой (по той или другой ветви, безразлично) стремится, очевидно,
к иг, то угловой коэффициент секущей МаМ имеет для обеих
ветвей предельное значение щ, а значит, обе онвг касаются пря-
прямой щ ( по разные ее стороны, но по одну сторону от оси У).
Итак, в основном случае— когда кубический многочлен F3) не
обращается в нуль— мы получаем точку возврата 1-го рода.
Случай, когда многочлен F3) обращается в нуль, мы будем
считать исключительным; в этом случае кривая может иметь
другое строение, что и было показано на примерах в § 6.
4 П. К. Рашевский
Черт. 22.
50
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл.. L
Укажем дополнительно, как обстоит дело в случае параметри-
параметрического задания кривой x—<?(t), г/= <!>,(?). Мы знаем, что вблизи
данного значения t = ta кривая имеет форму простого отрезка.'
если-хотя одна из производных <р' (t0), <!>'(?„) отлична от нуля.
Если же в данной точке Мо обе эти производные обратились в.
нуль, <р' (t0) = <!/ (t0) = О, но
(?'"Ф"-Ф>")(=,0 ФО, (*)
то оказывается, что кривая имеет точку возврата первого рода.
Действительно, перенесем для упрощения выкладок начало коор-
координат в изучаемую точку Мп, так что теперь <j> (ta) = <!> (to) = 0, и раз-
разложим о (t) и <!> (г) в ряды Тейлора по степеням t—10:
В силу (*) <р" (?„), t}>." (^0) не обращаются в нуль одновременно.
Пусть для определенности ср"(?о)==О. Тогда ясно, что кривая
лежит по одну сторону от оси Y, причем х—бесконечно малое
2-го порядка относительно t—t(l.
Проведем через Мц прямую с угловым коэффициентом иг =
— ._1М и вычислим уклонение NM нашей кривой от этой прямой
= VtH
? ('о)
по ординате, т. е. разность ординат
для кривой:
Ум = 4 Ф" Со) (* - ^оJ + 4 *
для прямой:
' _Ф"(*о) ФЧ
(черт. 22). При этои
< В силу условия (*) NM будет бесконечно малым точно 3-го
порядка относительно t—ta, т. е. снова получается вся картина
точки возврата первого рода.
Упражнения.
1. Эпициклоидой называется кривая, описываемая какой-нибудь,
точкой М подвижной окружности (радиус обозначим через Ля, где Я, а>0),
которая катится без скольжения J) по пеподвижной окружности (радиуса а),
находясь вне последней. Если же подвижная окружность катится по непо-
неподвижной, находясь внутри ее, то полученная кривая называется гипо-
гипоциклоидой. (В этом случае, очевидно, Я < 1.)
Показать, что если за начало координат принят центр неподвижной
окружности, а ось X проведена через точку М в том ее положении,
когда она попадает на неподвижную окружность и служит точкой касания,
J) Это значит, что точка касания пробегает равные пути по обеид?
окружпостям.
8]
ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
51
то уравнения эпициклоиды и гипоциклоиды имеют соответственно впд
-— = A + Я) cos If — л cos A -{- Я) у,
--- = A -+- Я) sin).tf — Л sin (I -f- Я) з
— = A,— Я) cos Я» + Я cos (Я — 1) »,
-У = A — Я) sin Я? + Я sin (Я — 1) ?,
а
где параметр <р — выраженная в радианах дуга, пробегаемая точкой касания
но подвижной окружности. Показать, что в точках, где у кратно 2тс, эпи-
и гипоциклоиды имеют точки возврата, лежащие на неподвижной окруж-
окружности, причем касательная направлена по радиусу этой окружности.
111
Начертить примерный ход эпициклоид при Д = — , — , -— , 1. Получен-
Полученная в последнем случае эпициклоида называется кардиоидой; записать
ее уравнение в форме F (х, у) = 0.
1 1
Начертить ход гипоциклоид при Я = — , — . Кривая, полу чениая
в первом случае, называется астроидой.
Составить уравнение нормали в произвольной точке эпи (гипо)
циклоиды и показать, что она проходит через соответствующее положение
точки касания обеих окружностей.
2. Циклоидой называется кривая, описываемая какой-нибудь точкой
окружности (радиуса), катящейся без скольжения по неподвижной прямой
(принимаемой за ось X). Вывести уравнения циклоиды
х
а
а
¦-1 — cos*?
(здесь ? — угол поворота катящейся окружности) и доказать, что при ю,
кратных 2-я, циклоида имеет точки возврата на неподвижной прямой
с касательными, перпендикулярными к этой прямой. Показать, что
нормаль к циклоиде проходит через соответствующее положение точки
касания окружности и неподвижной прямой.
§ 8. Огибающая семейства кривых.
До сих пор мы рассматривали отдельную кривую, заданную
уравнением F (х, у) = 0.
Во многих случаях приходится иметь дело с целым семейством
кривых. Под однопараметрическим семейством кривых мы пони-
понимаем множество кривых, определяемое уравнением
F(x,y,C) = O, G3)
которое называется уравнением семейства. Здесь С—:некоторое
переменное (параметр), имеющее определенную область измене-
изменения С, ¦<; С <! С2, в частности, может быть, меняющееся от—оо
до-г ас.
4*
52
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Уравнение G3) определяет множество кривых в том смысле,
что всякий раз, когда С принимает определенное постоянное зна-
значение-, уравнение G3) связывает толвкб х иг/ и дает определенную
кривую: множество тйких кривых (С), отвечающих всевозможным
Черт. 24.
значениям С, и называется однопараметрическим семейством
кривых.
При изучении семейства в целом играет большую роль прежде
всего понятие огибающей. А именно, во многих случаях удается
найти кривую Г, которая в каж-
каждой своей точке касается неко-
некоторой кривой семейства. Таким
образом, все кривые семейства
(по крайней мере в некоторой
области изменения параметра
С) подходят к кривой Г, каса-
касаются ее и «возвращаются назад»,
т. е. продолжают свое течение,
„ 95 оставаясь по ту же сторону от Г
ер ' (черт. 23 и 24). Таким образом,
кривая Г «огибает» кривые се-
семейства, разделяя плоскость на часть, занятую ими, и на часть,
куда кривые семейства не заходят. Однако возможны и исклю-
исключительные случаи (черт. 25), когда кривые семейства касаются Г,
«перегибаясь» через нее; тогда такого разделения не происходит.
На черт. 23 изображено семейство парабол
#_ (г-<?)' = О, G4)
полученных из параболы у = х2вв параллельными сдвигами вдоль
оси X. Параметр С имеет геометрический смысл величины сдвига.
Огибающей служит, очевидно, ось X.
§ 8]
ОГИВАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
53
Тем же самым путем из кубической параболы у =ж3 получается
семейство
г/-(х-С)а=О, G5)
изображенное на черт. 25. Огибающая—тоже ось X.
Переходим к теории вопроса. Ее удобно разбить на следу-
следующие пункты.
А) Мы назовем огибающим отрезком простой отрезок 1)
y = f(x), где хг<Сх<х„, G6)
для каждой точки М (х, у) которого можно указать определенную
кривую семейства, имеющую с ним касание в этой точке (черт. 24).
Указанная кривая семейства и отвечающее ей значение параметра
С будут меняться по мере движения точки М (х, у) по отрезку
y = f(z), так что С можно считать функцией от х:
С—С(х), хг<х«СХо.
При этом предполагается
1°. Точка М (х, у) всегда является обыкновенной точкой на
указанной кривой семейства.
2°. Функция С(х) имеет непрерывную производную С (х)
(в соответствии с нашими обычными предположениями) и ни mi
каком участке не является константой.
Последнее требование имеет следующий смысл: на том участке,
где С (х) имело бы постоянное значение, отрезок у = / (х) касался
бы все время одной и той же кривой семейства, т. е. совпадал
бы с ней. Таким образом, любая кривая семейства считалась бы.
огибающей на том основании, что она все время касается сама себя,,
что не представляло бы никакого геометрического интереса.
Мы ограничимся рассмотрением огибающих отрезков лишь
в достаточно малых кусках, где С (х) сохраняет постоянный знак,
С'(х)ФО. G7)
Это означает, что С(х) меняется монотонно, не возвращаясь к преж-
прежним значениям, т. е. что, двигаясь по отрезку G6), мы касаемся
все новых и новых кривых семейства.
Теперь выясним, каким условиям удовлетворяют точки оги-
огибающих отрезков. Запишем прежде всего, что через любую точку
х, y~f(x) отрезка проходит кривая семейства с параметром С (х):
F[x,f(x), С CI = 0.
G8)
Так как это имеет место при любом значении х, хх <! х << х2,
то G8) есть тождество относительно х и его можно почленно про-
1) Для определенности полагаем, что вдоль него именно у есть функ-
функция х, в противпом случае меняем обозначения осей. Это же будет
предполагаться в апалогичпых случаях it в последующем.
54
СВЕДЕНИЯ О КР11ВЫХ. НА. ПЛОСКОСТИ
1гл,
дифференцировать по х (рассматривая левую часть как сложную
функцию). Получим снова для каждой точки отрезка G6)
Fx + FBf'(x) + FdC'(x)^O. G9)
Запишем теперь Для той же самой точки равен-
равенство угловых коэффициентов касательных, с одной стороны, к от-
отрезку G6)—это будет f'(x); и, с другой стороны, к кривой семей-
ства с параметром С (х) — это будет—— [см. уравнение каса-
касательной A7)]. Итак,
f'(*)=-W или Fx + FBf'(x) = O. * (80)
р и
В уравнениях G9) и (80) речь идет об одной и той же точке
х, у=)(х) на огибающем отрезке и об одной и той же кривой
семейства с параметром С (х), касающейся огибающего отрезка
в этой точке, так что значения аргументов, а именно, х, у — f (х),
С=С(х) под знаком F, одни и те же.
Сравнивая G9) и (80), замечаем, что
Fc[x,f(x), C(x)]C'(x) = 0,
откуда, в силу G7),
Fc[x, f{x), C(x)] = 0. " (81)
Итак, всякая точка х, y = f(x) на огибающем отрезке есть
в то же время обыкновенная точка на кривой семейства с пара-
параметром С=С(х), причем удовлетворяется условие (81).
Б) До сих пор мы рассматривали на кривых семейства лишь
точки, заведомо обыкновенные, т. е. в которых Fx (x, у, С) и
Fn (x, у, С) не обращались в нуль сразу, причем считали для
определенности именно Fy (x, у, С) ф 0.
Теперь рассмотрим геометрическое место всевозможных осо-
особых точек всевозможных кривых нашего семейства. Речь идет,
следовательно, о точках (х, у), которые являются особыми хотя
бы для одной кривой семейства, т. е. для которых можно подо-
подобрать параметр С так, что Р (х, у, С)=0 (кривая семейства про-
проходит через точку) и, кроме того, Fx (x, у, С)— Fv (x, у, С) = 0
(точка для этой кривой—особая1)).
Мы имеем здесь три уравнения между тремя величинами х, у,
С. Они могут быть просто несовместны, т. е. кривые лишены осо-
особых точек. Например, для семейства парабол G4) F(х, у, С)==
=;у— (х — Су — 0 уравнение /^ = 1=0 невозможно.
*) В этом параграфе мы будем для краткости называть особой точкой
всякую точку, где Fx = Fy = 0, хотя в исключительных случаях такая
точка может оказаться и обыкновенной.
S 8]
ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ
55
Они могут определить отдельные особые точки. Например,
семейство концентрических окружностей с "центром в начале:
F(x, у, С)=5жг + г/2 — Са = 0; присоединяя ^ж==2х = 0, Ру = 2у = 0,
получаем точку х = у=0 и значение С=0. И действительно,
значение С = 0 определяет окружность радиуса О, состоящую
из единственной точки (начала), которая является, таким обра-
образом, изолированной особой точкой. Других особых точек нет.
Возможно, наконец, что существует целая кривая, состоящая
из особых точек кривых семейства. Дадим точные определения.
Назовем отрезком особых точек простой
отрезок
г/ = /(ж), где х1<ж<ж2, (82)
если можно указать такую функцию
С = С(х), х1<ж<х„ (83)
что при каждом значении х параметр С (х)'
определяет кривую семейства, имеющую со-
соответствующую точку отрезка х, y=f(x)
своей особой точкой.
Более наглядно: когда, меняя х, мы дви-
движемся по отрезку (82), С (х) определяет для
каждой точки отрезка параметр той кривой
семейства, которая эту точку имеет своей
особой точкой. Предполагается, конечно, что С (ж) имеет непре-
непрерывную производную С (х).
Снова ограничиваемся рассмотрением отрезков особых точек
лз достаточно малых кусках, где С (х) сохраняет постоянный знак,
С (х) фО.
(84)
Смысл этого условия тот же, что и раньше: двигаясь по (82),
.мы проходим особые точки все новых и новых кривых семейства,
не возвращаясь к прежним значениям С (черт. 26).
Запишем, что через любую точку х, y = f{x) отрезка (82) про-
проходит кривая с параметром С (ж):
F[x,f(x),
(85)
и что она имеет там особую точку:
Fx [х, f (х), С (х)) = F,, [х, f {х), С (х)} = 0. (86)
Равенства (85) и (86), верные при любом х, представляют собой
тождества. Дифференцируя (85) по х почленно, приходим снова
к G9), а сравнивая с (86), снова получаем
Fc[x, f(x), C(x)]C'(x) = 0.
56
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. I
Наконец, используя (84), получим
Fc[x,f(x), С(х)]=0. (87)'
Итак, всякая точка отрезка особых точек х, у = / (х) есть по опре-
определению особая'точка кривой семейства с параметром С= С (х).,
причем, как мы доказали, удовлетворяется условие (87). ,
В) Теперь естественно рассмотреть вообще геометрическое:
место таких точек (х, у), что для каждой из них можно указать-
значение С, удовлетворяющее сразу двум уравнениям:
F(x,y,C)=O, Fc{x,y,C) = O. (88)
Это геометрическое место мы будем называть дискриминантной-
кривой.
Очевидно, что все огибающие отрезки принадлежат дис-
дискриминантной кривой; действительно, G8). и (81) показывают,
что для всякой точки х, у = /(х) огибающего отрезка можно,
подобрать С, удовлетворяющее условиям (88).
То же самое для отрезков особых точек показывают уравне-
уравнения (85) и (87), так что все отрезки особых точек тоже принад-
принадлежат дискриминантной кривой.
Займемся теперь ближе самой дискриминантной кривой. Мы
имеем в (88) два уравнения с тремя переменными. Они могут ока-
оказаться несовместными,—например, во всех случаях, когда урав-
уравнение семейства дано в виде, разрешенном относительно С:
F(x,y) = C. (89)
Действительно, в этом случае
F(x,y,C)^F{x,y)-C, Fc(x,y,C)~-i,
и второе из равенств (88) невозможно. Отметим, кстати, что в се-
семействе (89) кривые при различных значениях С не могут, оче-
очевидно, иметь общих точек.
Уравнения (88) могут также определять лишь отдельные точ-
точки,— например, если все кривые семейства проходят через две-
данные точки, других же общих точек попарно не имеют. Таково
семейство окружностей:
F(x, у,С) = (х~Су±у*-(а> + С>) = 0,
проходящих через точки @, -{-а) я @, —а), а фиксировано. Здесь
Fc = — 2 (х — С) — 2С = — 2х;
приравнивая нулю, получим а- —0. Вставляя в само уравнение..
приходим к у~ — а* =0, т.е.у= + а. Дискриминантная кривая
выродилась в две точки.
Нас будет интересовать наиболее общий случай, когда зрав-
нения (88) определяют целую кривую. Назовем отрезком дискри-
8]
ОГИБАЮЩАЯ СВМЕЯСТВА КРИВЫХ
минантной кривой такой простой отрезок
г/==/(ж), ж, <я<ж2, (90)
вдоль которого так указаны значения С в зависимости от х,
С = С(х), хг^х^х.2, (91 >
что уравнения (88) удовлетворяются тождественно:
F[x,f(x),C(x)]==0, Fc[x,f(x),C(x)] = 0. (92)
Другими словами, отрезок дискриминантной кривой — это ее
достаточно малый кусок, для которого уравнения (88) удается
переписать в виде (90), (91), т. е. в виде, разрешенном относи-
относительно у ж С.
Дифференцируя но х первое из тождеств (92), получим
Fx + Faf (x) + FcC (х) = 0,
а учитывая второе из тождеств (92), приходим к тождеству
Fs + Fgf'(x)==0. (93)..
Допустим сначала, что точка х, y=f (x) отрезка (90) есть заве-
заведомо обыкновенная точка для кривой семейства с параметром
С=С{х) [как показывает первое из тождеств (92), кривая с пара-
параметром С (х) во всяком случае проходит через точку я, y — f(x)\.
Тогда Fa ф 0, так как в противном случае в силу (93) не только
FSI, но и Fx обратилось бы в нуль.
Перепишем (93) в виде
?
В левой части равенства стоит угловой коэффициент касательной
к отрезку (90) в точке х, y — f(x), а в правой—угловой коэффи-
коэффициент касательной в той же точке к кривой семейства с пара-
параметром С = С(х). Следовательно, и сами касательные совпадают.
Итак, отрезок дискриминантной кривой (90) в каждой своей
точке х, у = / (х) касается некоторой кривой семейства, параметр
которой определяется уравнением (91), если только эта последняя
кривая не имеет точку х, y = f(x) своей особой точкой.
Следовательно, отрезки дискриминантной кривой, свободные
от особых точек кривых семейства, суть огибающие отрезки.
Г) Окончательно можно формулировать итог этого параграфа
в виде следующего практического правила. Исследуя семейство
кривых, мы прежде всего должны составить уравнения дискри-
дискриминантной кривой:
F (х, у, С) = 0, Fc (х, у, С) = 0. (94)
Практически с этой нарой уравнений придется обращаться по-
различному в зависимости от конкретного случая. Возможно,-
.58
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
что удастся все три переменных х, у, С выразить в функции одного
параметра; или же удастся выразить С через х, у из одного урав-
уравнения; тогда, подставляя, в другое полученную функцию С(х,у)?
получим зФавнение дискриминантной кривой непосредственно
в виде <?(х, у)=0.
Нужно выделить ту часть дискриминантной кривой, для кото-
которой ж, у, С, кроме уравнений (94), удовлетворяют еще уравнениям
Fx(x,y,C) = Fv(x,y,C) = O. (95)
Так как мы знаем, что дискриминантная кривая содержит все
отрезки особых точек кривых семейства, а для этих точек условия
(95) необходимо соблюдаются, то в выделенную часть, наверное,
попадут все отрезки особых точек. Далее, нужно рассмотреть ;
остальную часть дискриминантной кривой, которая будет заклю-
заключать все огибающие отрезки и, обратно, каждый отрезок которой,
как только что было доказано, будет огибающим отрезком. На .
этом основании эту остальную часть дискриминантной кривой
мы будем называть огибаюгцей.
Пример. Уравнение семейства
F (х, у, С) = (у - СУ — (х — СУ = 0. -
Составляем уравнение дискриминантной кривой, присоединяя уравнение
Fc = — 2 (у — С) + 3 (х — СУ = 0.
Преобразуем оту пару уравнений к более удобному виду. Из второго
уравнениях получаем
у-с = ~ (х-су. (*)
Подставляя в первое, найдем
~(х~Су-(х-СУ^-1
4
= 0.
у у
Здесь имеются две возможности:
1) х — -С = 0; пользуясь равенством (*), запишем уравнение этой частя
дискриминаитной кривой в виде, разрешенном относительно у и С:
у = х, С —х.
4 8
2) х—С—jj- =0; тогда из (*) у — С =
в разрешенном относительно у ж С виде:
8
= ~: снова запишем уравнения
Мы получили две ветви дискриминантной кривой. Составим условия @5):
F 3OCJ 0 F 2QC
9]
СЕМЕЙСТВО КРИВЫХ ВБЛИЗИ ДАННОЙ ТОЧКИ
59
Проверяя их, видим, что для первой ветви они удовлетворяются, так что
первая ветвь содержит все отрезки особых точек. Что же касается вто-
второй1 ветви, то для нее проверка дает отрицательный результат, следова-
следовательно, вторая ветвь есть огибающая. Рекомендуется разобрать этот
пример на чертеже.
§ 9*. Семейство кривых вблизи данной точки.
Пусть в уравнении G3)
F(x, у, С) = 0
параметр С имеет фиксированное значение Со, т. е. из семейства
G3) выбрана определенная кривая и х, у также фиксированы,
т. е. на этой кривой выбрана определенная точка М0(х0, уа). Так
как точка Мо (х0> у0) лежит на кривой (С„), то
F(x0, y0, С0) = 0. (96)
Кроме того, считая точку заведомо обыкновенной, предполо-
предположим для определенности
Л, К, 2/о, Са)Ф0 >). (97)
Весь этот параграф посвящен изучению семейства кривых
тюлизи такой точки и при значениях С, близких к Со.
Сопоставляя условия (96) и (97), мы на основании теоремы
существования неявной функции можем утверждать, что при Зна-
Значениях переменных х, у, С, близких к х0, уй, Со, уравнение G3)
однозначно разрешимо относительно у и может быть переписано
:в виде
у = ч(х,С), (98)
л ричем
Уо = ? (хЛ, Сд).
Итак, уравнение семейства может быть переписано в виде (98),
но лишь в некоторой окрестности точки (хц, у0) и лишь для кри-
кривых, достаточно близких по значению С к Со.
Перейдем к другому значению С, близкому к Со. Получим дру-
другую кривую семейства. Выясним, каково расстояние по ордина-
ординате между данной точкой Мо на кривой (Со) и кривой (С).
Для точки Мо на кривой (Со) мы имеем ординату у0 = <р (ха, Са),
а для точки М на кривой (С) (при том же х = х0,- черт. 27) у =
= ?(з;0, С). Расстояние между кривыми по ординате имеет вид
В противном случае мы поменяли бы обозначения осей координат.
60
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 1
Оценим степень малости этого расстояния между кривыми (Со)
и (С) сравнительно с приращением параметра С — Со. Возьмем:
отношение
и заставим параметр С стремиться к значению Со. Тогда кривая
(С) неограниченно приближается к кривой (Со), точнее, ордина-
ордината у = ср (#<,, С) стремится к 2/о=?(^о, Со) и, следовательно,
точка Ж" стремится в точку Мо по вертикали (х0, С„ предпола-
предполагаются все время фиксировании-^
ми). Отношение (99) стремитсяг
очевидно, к пределу, равному ча-
частной производной ~ ПрИ Х = ХОг
—
Черт. 27.
с=о,
есть в сущности ча-
стная производная по С от г/, где у—функция, неявно опреде-
определяемая уравнением G3); по формуле дифференцирования не-
неявной функции
д? {х, С) __ _ Fc О, у, С)
ЭС Fy(x, у, С)
и, следовательно,
lim М°М — — рг(х<" У*' с«)
cJcaC-C0 Fv(xa,ya,C0)
Разберем два возможных здесь случая.
1-й случай:
Fc(x0, Уо, Са)Ф0. A02>
В этом случае точка (х,,, у0) на кривой Со есть, как мы будем
говорить, точка общего положения в том смысле, что практи-
практически для произвольно взятой точки на произвольной кривой
семейства мы должны ожидать соблюдения этого неравенства,.
и лишь в исключительных случаях имеет место равенство
Рс (х, у, С) = 0.
[Действительно, если бы это равенство имело место сплошь для;
всех точек на всех кривых семейства (или хотя бы внутри некоторой
области на плоскости х, у), то F (х, у, С) фактически не зависело
бы от С, и кривые семейства G3) все (или по крайней мере в этой
области) совпадали бы между собой,—случай, который практи-
практически мы устраняем из рассмотрения.]
•5 91
СЕМЕЙСТВО КРИВЫХ ВБЛИЗИ ДАННОЙ ТОЧКИ
Итак, предположим, что имеет место A02), а значит, как видно
из A01)',
lim -p- г~ 4= 0.
Это показывает, что расстояние МаМ по вертикали между точ-
'хой Ма на кривой (С„) и кривой (С) есть бесконечно малое одного
порядка с приращением параметра С—С, при переходе от кри-
кривой (Со) к {С).
Мы можем составить себе ясное представление о поведении
семейства кривых, если ограничиться достаточно малой обла-
областью около точки ха, у0 и значениями С, достаточно близкими
х Со. Тогда, как было уже пока-
показано, уравнение семейства можно
лереписать в виде (98)
у = <в(х, С),
L 9c _k-*? '
С = С„
; следует из A00) и A02). В силу
непрерывности —'-—,—— в рассма-
рассматриваемой области сохраняет постоянный знак, тот же, что она
згмеет при х — хп, С—Со- Будем считать для определенности
9ч (*, С)
дС
¦>0.
Тогда при фиксированном х и возрастающем С значение у
в уравнении (98) монотонно растет, так что из двух кривых при
разных значениях С—Сх и С = С2, С.2>С1, кривая (С2) располага-
располагается существенно «выше» кривой (Сх) (т. е. при одинаковых х име-
имеет большие ординаты) и, следовательно, не может пересекаться
•с нею. Кроме того, очевидно, что уравнение (98) при каждом фи-
фиксированном С дает нам кривые семейства в виде простых отрез-
отрезков: у выражается явно функцией х.
Как мы только что выяснили, отрезки эти располагаются
«слоисто» друг над другом, не пересекаясь. Такова картина строе-
строения семейства вблизи точки общего положения (черт. 28).
2-й случай:
Л; (So, 2/о, С») = 0. (ЮЗ)
В этом случае точку Мй (х0, ув) мы будем называть характеристи-
характеристической точкой семейства. Итак, характеристической точкой се-
зхейства называется всякая точка ха, у0, являющаяся заведомо
62
•СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 1
—« [ГЛ. 1
обыкновенной точкой некоторой кривой (Со) семейства, если в.этой"
кривой соблюдается условие A03). Следует подчеркнуть, что
точки 1-го и 2-го случаев различаются не по своему отношению
к кривой (Со), на которой они лежат,—и те и другие обыкновен-
обыкновенные точки на (Со), —а по своему отношению к семейству кривых.
Сопоставляя A01) и A03), получаем:
^ 0,
т. е. расстояние МйМ по вертикали между точкой Мо на кривой
(Со) и кривой (С) есть бесконечно малое высшего порядка сравни-
сравнительно с приращением параметра С—Со. Таким образом, на дан-
данной кривой (Со) характеристические точки выделяются из числа
остальных тем, что вблизи этих точек кривые семейства (С) осо-
особенно сгущаются около (Со); в то время как в точке общего поло-
положения расстояние между кривыми «по вертикали»—бесконечно
малое того же порядка, что и разность параметров С—Со, в харак-
характеристической точке это расстояние есть бесконечно малое выс-
высшего порядка.
Чтобы представить себе это наглядно, рассмотрим типический:
пример—семейство парабол G4);
г/-(ж~СJ = 0. A04)
Фиксируем некоторое значение С = Со, чем указывается одна из
парабол (Со) с вершиной в х= Сй. Заставим теперь С стремиться
к Сй, тогда парабола (С) неограниченно приближается к (Со),
Возьмем на (Сь) фиксированную точку Мй; тогда расстояние
М0М между кривыми по вертикали, как легко подсчитать, будет
бесконечно малое того же порядка, что и С—Со, если М„
не попало в вершину параболы (Со). Если же Мо перенести
в вершину (Со), х=Св, у = 0, то здесь расстояние по вертикали:
от (С) оказывается бесконечно малым высшего порядка сравни-
сравнительно с С—-Со. Это довольно ясно видно на черт. 23. Таким"
образом, вершины парабол, т. е. точки оси X, будут характери-
характеристическими точками семейства. Проверим это выкладкой. Про-
Производная по С от левой части A04) равна 2 (х—С), следователь-
следовательно, обращается в нуль в вершине каждой параболы (где х — С);
для вершин парабол выполняется, таким образом, условие A03).
Кривые семейства будз^т «сгущаться» около оси X.
В этом параграфе мы изучали поведение семейства вблизи
фиксированной точки на фиксированной кривой, причем играл
большую роль порядок малости расстояния <<по вертикали», т. е.
по направлению, параллельному оси Y. Может показаться по-
поэтому, что результаты исследования зависят не только от семей-
семейства кривых, но и от выбора системы прямоугольных координат..
Однако это не так, потому что при преобразовании координат
§ 91
СЕМЕЙСТВО КРИВЫХ ВБЛИЗИ ДАННОЙ ТОЧКИ
Черт. 29.
значения функции F (х, у, С) остаются прежними (если оставать-
оставаться в прежней точке и при прежних значениях С), а следовательно,
Fc (x, у, С) тоже сохраняет прежнее значение, и условия A02)
и A03) не меняют своего вида. В результате наше разделение
точек на характеристические и общего положения имеет один
и тот же смысл в любой системе координат х, у.
Вследствие (96) и A03) характеристические точки принадле-
принадлежат, очевидно, дискриминантной кривой (88); но, кроме того,
они являются заведомо обыкно-
обыкновенными точками кривых семей-
ства [по нашему предположению
(97)], а следовательно, образуют
огибающую.
В заключение докажем теорему,
подчеркивающую роль характе-
ристических точек как точек «cry-
щения» кривых семейства.
Если кривые (Со) и (С) семей-
ства пересекаются между собой
и точка пересечения М при С, стремящемся к Со, движется
по (Со), стремясь к предельному положению Мо, то Мо (если она
обыкновенная) есть характеристическая точка (черт. 29).
Так как точка М (х, у) лежит на обеих кривых F (х, у, С0) = 0,
F(x, у, С) = 0, то
F(x,y,C)-F(x,y,Co) = 0 j
или по теореме о конечном приращении
Fc (x, у, С,) = 0,
где Cj заключено между С, и С. Пусть теперь С
видно, Сх—^Сй и, по предположению, х—>хй, у—^у0, где хй, у„ —
координаты Мо. Переходя к пределу в A05), получим
Fc(x0, у0, С0) = 0,
т. е. для точки М (х0, у0) на кривой (Со) выполняется условие
A03). Теорема доказана.
Практически в большинстве случаев имеет место и обратное,
т. е. характеристические точки суть предельные положения то-
точек пересечения при неограниченном сближении пересекающихся
кривых. Однако не всегда: так, например, в семействе кубиче-
кубических парабол
совсем нет пересекающихся кривых, тем не менее, как легко про-
проверить, на каждой параболе (С) есть характеристическая точка
х — С, у = 0 (см. черт. 25).
A05)
Со; тогда, оче-
оче64
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НЛ ПЛОСКОСТИ
10. Асимптоты.
[ГЛ. I
<M(x(tl,y(t})
В этом параграфе мы рассмотрим вопрос об асимптотах. Суть
.дела заключается в том, что иногда уходящая в бесконечность
ветвь кривой имеет весьма простое устройство: она вытягивает-
вытягивается вдоль некоторой прямой, неог-
неограниченно к ней приближаясь.
Тогда, чтобы составить пред-
представление о форме кривой, бывает,
естественно, очень важно суметь
отыскать такие прямые (асим-
(асимптоты) .
Дадим теперь точные опреде-
определения. Пусть рассматривается
ветвь какой-нибудь кривой, задан-
заданная параметрически:
x = x(t), y = y(t), to<t<T,
A06)
причем при t, стремящемся к Т,
Черт. 30.
точка кривой М (х, у) стремится
в бесконечность, т. е. ее рас-
расстояние от начала бесконечно возрастает:
t-*T
U частности, Т может быть бесконечностью, т. е. область из-
изменения t будет от t0 до бесконечности.
Мы назовем асимптотой кривой A06) такую прямую, что
расстояние точки М на кривой от этой прямой стремится к нулю,
когда точка М стремится по кривой в бесконечность.
Другими словами,
MN —>0 при t—>T, A08)
где N—основание перпендикуляра, опущенного из М на прямую
(черт. 30).
Разумеется, далеко не для всякой кривой A06) и при соблю-
соблюдении условия A07) асимптота существует (возьмем, например,
логарифмическую спираль, которая раскручивается, неограни-
неограниченно удаляясь от начала и описывая около него неограничен-
неограниченное число оборотов).
Поставим следующую задачу. Пусть дана прямая
Ах + By + С = 0. A09)
Жаковы необходимые и достаточные условия того, что эта пря-
естъ асимптота, кривой A06)?
§
АСИМПТОТЫ
65
Возьмем прежде всего какую-нибудь точку М (x(t), у (t)) на
нашей кривой и вычислим ее расстояние MN от прямой A09)
(черт. 30). Как известно из аналитической геометрии, для этого
нужно левую часть A09) умножить на нормирующий множи-
множитель — и вместо текущих координат подставить координаты
точки М. Искомое расстояние MN (которое нас интересует лишь
по абсолютному значению) получится в виде
Л/Г т\т I Ах (?) -\- By \t) -f- C I
i4J\ = — .
У А* + В*
По самому определению, для того чтобы прямая A09) была
асимптотой, необходимо и достаточно, чтобы это расстояние стре-
стремилось к нулю при t —> Т; но так как знаменатель постоянный,
то это требование равносильно следующему:
Ax'(t) + By'(t) + С—г»0 при t—>T. A10)
Другими словами, левая часть уравнения прямой A09) при
t—> Т стремится к нулю, если в нее подставить координаты точки
М, стремящейся по кривой в бесконечность. Таков необходимый
и достаточный признак того, что A09) есть асимптота. г
Теперь нетрудно решить и такую задачу: как связаны с дан-
данной кривой A06) коэффициенты уравнения ее асимптоты {если та-
таковая существует)?
Допустим, что асимптота существует и не параллельна оси Y.
Тогда ее уравнение можно взять в виде
у — кх — 6 = 0,
где к и Ъ—некоторые постоянные. Согласно признаку A10)
y'(t) — kx(t) — b—=>-0 при t—>Т. (Ill)
Прежде всего замечаем, что при t —> Т обязательно | х (t) \ —s-oo.
Действительно, так как расстояние MN стремится к нулю, то при
М, стремящейся в бесконечность, N также стремится в бесконеч-
бесконечность уже по асимптоте, т. е. по прямой, не параллельной оси Y.
А это возможно лишь при бесконечном возрастании | х | для точки N,
а следовательно, и для точки М.
Если разделить теперь на х (t) левую часть A11), то это выраже-
выражение и подавно будет стремиться к нулю. Получим
x(t) x(t) '
г.
но так как Ъ — постоянное, то -
стремится к нулю, и значит,
y(t)
¦ к.
A12)
5 П. К. Рашевский
66
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
Далее, A11) утверждает, что разность между переменным
у {tj~— kx(t) и постоянным Ъ стремится к нулю, или
y(t)-kx(t)->b.
A13)
Итак, в случае существования асимптоты, не параллельной оси Y,
ее угловой коэффициент к есть предел отношения ^Ц , а отрезок
Ь, отсекаемый асимптотой на оси Y, есть предел выражения
у (t) —kx(t), в обоих случаях при t—> Т, т. е. когда точка кривой
M[x(t), y(t)] уходит в бесконечность. Отсюда сейчас же вытекает
правило для практического отыскания асимптот (не параллельных
оси Y) для заданной кривой A06).
Прежде всего исследуем отношение ?-)-/ при t—> Т. Если оно
X (t)
не имеет предела, то искомой асимптоты заведомо не существует.
Если же это отношение имеет предел, то, обозначая его через к,
исследуем выражение.
y{t)-kx{t).
Если это выражение не имеет предела, то асимптоты не существует.
Если же оно имеет предел (который обозначим через Ь), то асимпто-
асимптота существует, и ею будет служить прямая
у — кх — Ь = О. A14)
В самом деле, согласно последнему допущению,
y(t)-kx(t)~>b,
т. е. левая часть уравнения A14) стремится к нулю после подста-
подстановки х = х (t), y = y(t), при t—>T, а это, согласно A10), доказы-
доказывает, что A14) есть асимптота.
Мы оставили в стороне вопрос о том, как связано с данной кри-
кривой A06) уравнение асимптоты, если последняя параллельна ocuY.
Но в этом случае уравнение асимптоты имеет вид
х — а — О,
где а — постоянное. Согласно признаку A10)
x(t) — а—=>-0, или x(t)—>a.
A15)
A16)
Итак, а находится как предел х (t) при t—> Т.
Отсюда вытекает очевидное практическое правило для отыска-
отыскания асимптот, параллельных оси Y (черт. 31). Нужно исследовать
§ 11] АСИМПТОТА КАК ПРЕДЕЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ 67
х (t) при t—>T. Если предел х (t) не существует, то такой асимп-
асимптоты нет; если же он существует, то, обозначая этот предел
через а, получаем асимптоту
х— а=0.
При решении всех этих вопросов мы бра-
ликривую в параметрическом заданииA06).
Если кривая дана уравнением у = у{х),
Xo*Cx<Z °°1)г то, присоединив сюда тожде-
тождество х=х, мы вправе рассматривать эту
пару равенств как частный случай A06),
когда за параметр t принят х. Все вы-
выводы останутся верны. Угловой коэф-
коэффициент к находится как предел отно-
отношения УЛШ1 при х —> со, а свободный член
Черт. 31.
Ь — как предел выражения у (х) — кх при
х—=>-оо. Случай асимптоты, параллельной
оси Y, здесь возможен лишь в случае разрыва непрерывности
функции у (х), точнее, если у (х) стремится к бесконечности при
стремлении х к некоторому значению а (черт. 31).
§ 11*. Асимптота как предельное положение касательной»
Во многих случаях к понятию асимптоты можно подойти с не-
несколько иной точки зрения. А именно, имеет место такая теорема:
Если касательная к кривой A06) стремится к предельному
положению, когда точка касания стремится по кривой в бесконеч-
бесконечность, то это предельное положение есть асимптота. Все точки
кривой A06) считаем заведомо обыкновенными, т. е. x'(t), yr(t) не
обращаются в нуль одновременно.
В целях простоты выберем при доказательстве предельное
положение касательной за ось X. Напишем уравнение C1) каса-
касательной в точке x(t), у (t), разрешенное относительно Y (через
X, Y обозначаем текущие координаты):
A17)
Так как касательная при t
ее угловой коэффициент
Г стремится совпасть с осью X, то
=Ш A18>
г) Мы ограничиваемся, таким образом, случаем кривой, уходящей
в бесконечность вправо. В случае хо^х>— со все будет вполне анало-
аналогично.
5*
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
и свободный член уравнения A17)
У it)
х' (t)
x(t)
[гл. I
A19)
стремятся к нулю. Следовательно, начиная с некоторого значения
fiTaV1' ( ] % ограниченным, и знаменатель в выражении
A18) не может обращаться в нуль: х'^)Ф0. Пусть для определен-
определенности х' (t)>0. Тогда функция х (t) растет монотонно и, более того
при t->T стремится к бесконечности. В самом деле если бы x(t\
оставалась ограниченной, то в бесконечно малой разности MiV
вычитаемое стремилось бык нулю, а следовательно, стремилось бы
к нулю и у (t). Но ограниченность х (t) и стремление y(t) к нулю птзо
тиворечат тому, что точка x(t), у {t) стремится в бесконечность
Установив, что х (t)-^oo при t-> Т, мы легко выясним поведение
У (О- Для Этои Дели, разделив бесконечно малую величину A19) на
бесконечно большую х (t), получаем бесконечно малую g/*J У' (О
v' v х О х' (О*
Таккак^О, тои-|->0. Далее, представим у (t) в виде дроби
числитель и знаменатель которой при «-» Т стремятся к нулю яв-
являясь дифференцируемыми функциями. По правилу Лопиталя нуж-
нужно исследовать отношение производных числителя и знаменателя
и если эта новая дробь при t-+T стремится к пределу то преж-
пЯоизДво ныхТРеМИТСЯ К Т°МУ ^ ПреДеЛУ- Вычислим отношение
Г У W 1'
L ^ (О J ^40^@-^' (t) у (t)
L *@ J'
- *' (О
Это выражение совпадает с A19) и, следовательно, стремится
к нулю при t—> Т. Исходная дробь, представляющая у (t), тоже
стремится к нулю, а'значит, ось X (за которую принято предель-
предельное положение касательной) есть асимптота нашей кривой.
Теорема доказана. Заметим, что обратная теорема неверна,
т. е. асимптота может и не быть предельным положением касатель-
касательной, так как это предельное положение может не существовать.
Например, кривая у — — sin ж2, очевидно, имеет асимптотой осьХ
(при х—>со). Однако угловой коэффициент касательной к этой
кривой у'
¦ 2cos ж2— —sinж2
не стремится ни к какому пределу
§ 12]
АСИМПТОТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
69
дрИ х—>ос, и предельного положения касательной не сущест-
существует. Суть дела в этом примере в том, что кривая стремится к асим-
\s
Черт. 32.
птоте, колеблясь около нее все более мелкими волнами, тем не ме-
менее с резкими колебаниями направления касательной (черт. 32).
§ 12. Асимптоты алгебраических кривых.
Развитые сейчас методы относились к случаю параметрического
задания кривой. Укажем коротко метод отыскания асимптот
для кривых вида F (х, у) = 0 в частном случае алгебраической
кривой. Левая часть представляет собой, следовательно, целый
многочлен в переменных х, у. Перепишем уравнение в виде
F(x, y)~Fm{x,
A20)
где Fm(x, у) означает сумму членов т-Ш (старшей) степени,
Fm_1(x, у) означает сумму членов т — 1-й степени, ...,F0—сво-
...,F0—свободный член.
Учитывая однородность относительно х, у каждой суммы Fm,
Fm-\> • • • i можно переписать A20) в виде
+...+/?. = 0,
или, деля на хт обе части уравнения (точки оси Y, где ж =
не будем рассматривать), получим
Р
мы
1 1/
Для удобства введем обозначения ? = — , у\ = — ; тогда уравне-
ние перепишется в виде
-п) = РтA, 4L-^^A, -/!)+... +Sm/?0 = 0. A21)
Рассмотрим эту зависимость вблизи значений ? = 0, тг; = А1).
Для того чтобы при этих значениях зависимость имела место,
х) Этим значениям 5, f\ никакие х, у, понятно, не соответствуют, по
когда 5 -»¦ 0, то х -» со. Здесь и заключается выгода введения этих новых
переменных.
70
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
[ГЛ. I
придется, очевидно, значение к взять равным одному из веществен-
вещественных корней уравнения
Рт{1, Ч) = О- A22)
Ограничимся случаем, когда к— простой корень многочлена
Fm(l, -ц). Вычислим частные производные от <р по % и ч\ и подставим
значения ? = 0, т\ = к:
?е@, ft) = /Vx(l, к), <рч@, k) = F'm(l, к).
Здесь штрих означает дифференцирование по второму аргументу,
причем производная отлична от 0, так как к — простой корень. По
теореме существования неявной функции уравнение A21) вблизи
значений ? = 0, т/ = к разрешимо относительно у\:
,к.
где 7i@)=,к. A23)
Производная функции г( (?) при ? = 0, т\ = к равна по определению
у}' @) = lim
50
Ч (?) - к
а по правилу дифференцирования неявной функции
?г (°« *> F« (I, ft)
Следовательно,
?, (О- *)
A)
или, возвращаясь к я и у:
у —кх -
*¦?,(*. *)
*)
Здесь под а; и у подразумеваются текущие координаты той ветви
кривой, для которой зависимость между ?, т) задана уравнением
A23). Полученный результат показывает, что прямая
к)
^
A24)
А; — простой вещественный корень уравнения A22), будет слу-
служить асимптотой для одной ветви кривой A20) [именно, для ветви
A23)].
Легко убедиться, что этим путем отыскиваются все асимптоты
(не параллельные оси Y), если все вещественные корни многочлена
Fm(l, 7j) — простые. Если же этого ограничения не ставить, то
остальные асимптоты, отвечающие кратным корням к, существуют
лишь в исключительных случаях, только если Fm_x(\, к) тоже
равно нулю; они требуют более сложного исследования. Наконец,
§ 12]
АСИМПТОТЫ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ КРИВЫХ
71
чтобы не упустить асимптот, параллельных оси F, можно повто-
повторить исследование, поменяв ролями координаты х, у; тогда асим-
асимптоты, не параллельные оси X, будут определяться уравнением
'%тФ^ = О, A25)
причем здесь штрих означает дифференцирование по первому
аргументу, а к есть корень уравнения
Рт$, 1)=0.
Уравнение A25) определяет асимптоту, параллельную оси У,
тогда и только тогда, если Лс=О, т. е. если Fm(Z, 1) имеет нуле-
нулевой корень. В этом случае A25) принимает вид
F'm@,
Случай кратного нулевого корня мы также оставляем в стороне.
Упражнения.
1. Найти асимптоты кривой
х=
Вычертить ветви кривой, уходящие в бесконечность.
Решение. Прежде всего находим значения t, при которых кри-
кривая уходит в со; это будут
1) t -* 1;
2) t -* ±оо.
1) Исследуем случай, когда t ->¦ 1. Имеем к = lira У- существует и равен 4.
Составим разность
у— кх~у — 4а;= — 9t — 10 -> — 19.
Итак, асимптота существует и имеет уравнение
Г = 4а;-19.
Текущую ординату асимптоты обозначаем Y в отличие от текущей
ординаты кривой у. Чтобы выяснить расположение кривой относительно
асимптоты, составим разность
Итак, если ? -»¦ 1, причем t < 1, то кривая приближается к асимптоте
сверху и уходит в бесконечность влево (как легко проверить, х -» — оо),
а если t -»¦ 1, причем г > 1, то кривая приближается к асимптоте снизу
и уходит в бесконечность вправо (х -* +со).
72 ведения о кривых на плоскости [гл i
2) Исследуем случай, когда «^ оо. Имеем *.l«mj существует л pa-
вен ~ у" • Составим разность
~ = —
2 г-1
Итак, асимптота существует и имеет уравнение
Составим разность
-Л 1 ;
' 2 ~ПГГ ]
> 0 при t -* +оо,
< 0 при t -* — i
- - -г- - - — *¦"•
Итак, если t ->¦ +оо, то кривая приближается к асимптоте сверху
и уходит в бесконечность вправо (х -»¦ + со), а если t -* — оо, то кривая
приближается к асимптоте снизу и уходит в бесконечность влево
(х -* — со).
Исследованная нами кривая представляет собою гиперболу (показать).
2. Найти асимптоту гиперболической спирали, заданной в полярных
координатах уравнением
= — , 0
<со.
Отв. у —а.
Указание. Перейти к&параметрическому представлению в прямо-
прямоугольных координатах x=rcos<p, 3/=rsin<p, приняв у за параметр.
3. Найти асимптоты кривой 3-го порядка
Отв.
У а
Г ЛАВ А II.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
И ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ КРИВЫХ.
В этой главе мы должны ознакомиться с аппаратом, которым
мы будем пользоваться во всем последующем изложении. Это—
аппарат векторного анализа, точнее, векторного дифференциаль-
дифференциального исчисления. Основным его достоинством является соединение
приемов дифференциального исчисления с геометричностью поня-
понятия вектора.
§ 13. Определение производной и техника дифференцирования.
Основным понятием у нас будет служить цонятие вектор-функ-
вектор-функции скалярного (т. е. принимающего численные значения) пере-
переменного.
Мы скажем, что нам дана вектор-функция &(t), если каждому
значению вещественного переменного t в некоторой области изме-
изменения ti^Ct <Ct2 отвечает вполне определенное значение вектора а.
Под вектором здесь и в дальнейшем мы понимаем свободный
(т. е. отложенный из какой угодно точки) вектор в пространстве;
если речь идет о векторе, отложенном из данной точки, то это будет
оговариваться особо.
Как и в случае обыкновенных функций, мы будем рассматри-
рассматривать в дальнейшем функции лишь непрерывные и дифференциру-
дифференцируемые. Однако в применении к вектор-функциям эти понятия ну-
нуждаются в определении.
Определим прежде всего понятие предела для векторной пере-
переменной. Пусть аргумент t стремится к пределу t0; мы скажем, что
значение вектор-функции a(t) стремится при этом к пределу а0
(где а0 — некоторый постоянный вектор), если разность векторов
а @ — а„
стремится к нулю по модулю.
Итак, когда мы пишем
а(г)—>а„,
72
СВЕДЕНИЯ О КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ
вен
2) Исследуем случай, когда t
—— . Составим разность
оо. Имеем А--
[гл. I
существует и ра-
2 2 ^ 2 " г— 1 ~" 2 "
Итак, асимптота существует и имеет уравнение
2 + 2 •
Составим разность
-» »-г2 2 2 {_1 ] <0 при !¦¦ -оо.
Итак, если t -». + оо, то кривая приближается к асимптоте сверху
и уходит в бесконечность вправо (х -»¦ + оо), а если *-»-.— оо, то кривая
приближается к асимптоте снизу и уходит в бесконечность влево
(а:-* -оо).
Исследованная нами кривая представляет собою гиперболу (показать).
2. Найти асимптоту гиперболической, спирали, заданной в полярных
координатах уравнением
, 0 < <р < со.
Отв.
-а.
у
Указание. Перейти к»параметрическому представлению в прямо-
прямоугольных координатах a; = rcos<p, y=*rsinf, приняв <р за параметр.
3. Найти асимптоты кривой 3-го порядка
уз_
Отв.
3
—
3
= — 2х— — ,
1
ГЛАВА II.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
И ЕГО ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕНЕНИЯ К ТЕОРИИ КРИВЫХ.
В этой главе мы должны ознакомиться с аппаратом, которым
мы будем пользоваться во всем последующем изложении. Это—¦
аппарат векторного анализа, точнее, векторного дифференциаль-
дифференциального исчисления. Основным его достоинством является соединение
приемов дифференциального исчисления с геометричностью поня-
понятия вектора.
§ 13. Определение производной и техника дифференцирования.
Основным понятием у нас будет служить цонятие вектор-функ-
вектор-функции скалярного (т. е. принимающего численные значения) пере-
переменного.
Мы скажем, что нам дана вектор-функция а(?), если каждому
значению вещественного переменного t в некоторой области изме-
изменения tx<Ct <^2 отвечает вполне определенное значение вектора а.
Под вектором здесь и в дальнейшем мы понимаем свободный
(т. е. отложенный из какой угодно точки) вектор в пространстве;
если речь идет о векторе, отложенном из данной точки, то это будет
оговариваться особо.
Как и в случае обыкновенных функций, мы будем рассматри-
рассматривать в дальнейшем функции лишь непрерывные и дифференциру-
дифференцируемые. Однако в применении к вектор-функциям эти понятия ну-
нуждаются в определении.
Определим прежде всего понятие предела для векторной пере-
переменной. Пусть аргумент t стремится к пределу ta; мы скажем, что
значение вектор-функции a (t) стремится при атом к пределу а0
(где а0 — некоторый постоянный вектор), если разность векторов
стремится к нулю по модулю.
Итак, когда мы пишем
—а0
¦ ап,
74
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
то подразумеваем, что
—а0
0.
t-*t0
[ГЛ. II
A26)
Под модулем | а| какого-нибудь вектора а мы понимаем длину
отрезка, изображающего вектор, т. е. положительное число (или О,
если сам вектор а = 0). Поэтому наше определение векторного
предела сводится к понятию о стремлении к нулю вещественной
переменной, а это известно из анализа.
Следствие. Если a (t) —> а0, то модуль a (t) стремится
х модулю а0.
Действительно, разностъ модулей | a (t) |— |ао| двух векторов,
взятая по модулю, никогда не превышает модуля разности | a (t)—а0 .
ж в силу A26) должна в нашем случае стремиться к нулю. А это
и значит, что | а (г) | —»| а0 |.
В частности, a(t)—>0 равносильно с | a (t) |—^-0.
Дадим теперь определение непрерывности вектор-функции4
в точке t = t0. А именно, если при t, стремящемся любым способом
к ta, a(t) стремится к пределу &(t0), то функция a(t) называется
непрерывной при t = t0.
Определение непрерывности, пользуясь определением предела,
сложно записать формулой
|а(*)-а(*,)|-*а A26')
Теперь дадим определение дифференцируёмости, также вполне
аналогичное обычному.
Разделим приращение вектор-функции на приращение аргу-
аргумента t—10 (деление вектора на число):
а @ - a (t0)
t-tn
A27)
и изучим полученный вектор при t, стремящемся к ta. Если при
t, стремящемся к t0 (любым способом), вектор A27) стремится
к некоторому (одному и тому же) предельному вектору, то функ-
функция а (г) называется дифференцируемой в точке t0, и предельный
вектор называется ее производной в этой точке.
Этот вектор — производную в точке t0 — мы будем обозначать
через a' (t0). Определение производной, вспоминая определение пре-
предела, можно, очевидно, записать формулой
a(t)-a(t0)
t-tn
-»'(*.),
A28)
Если производная существует при каждом значении t, то a' (t)
снова представляет вектор-функцию от t. Если функция a' (t)
в свою очередь непрерывна и дифференцируема, то ее производная
a" (t) называется второй производной и т. д.
13]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
75
В дальнейшем нам придется рассматривать вектор-функции не
от одного, а от двух скалярных аргументов. В этом случае мы
совершенно аналогично рассматриваем частные производные. Част-
Частная производная здесь, как и в обычном анализе, определяется
как производная по одному аргументу при закрепленном значении
другого.
Нам нужно теперь установить правила дифференцирования
функций, получающихся из данных вектор-функций путем вектор-
векторных операций. Но еще раньше для них нужно установить правила
перехода к пределу1).
Пусть a (t), b (t), . .. будут векторные функции, а т (t), ... —
функции одного и того же аргумента t, при-
при10 значения этих функций стремятся к
скалярные
чем известно, что при t
пределам:
b (t)—>Ъ0, .. ., m(t)
m0
или, что то же самое,
|а@ —ао|-»0, |Ъ(*) —Ъо|->о.
, ...A29)
Мы утверждаем, что тогда при t—>tu:
1. Предел суммы двух вектор-функций существует и равен
сумме пределов:
@ + b(O»a0 + V A30)
Для доказательства нужно составить модуль разности:
}
—Ъо}|<|а(О —аа1+|Ъ(«)—Ь«1.
Неравенство, написанное нами, основано на том, что модуль
суммы векторов не превышает суммы их модулей. В последней сум-
сумме каждое слагаемое стремится к нулю согласно A29), следова-
следовательно, и подавно (напомним, что речь идет о положительных
величинах)
|{(О
чем A30) доказано.
2. Предел произведения m(t)a(t) (скалярной величины на
вектор) существует и равен тоао:
тA)&(г)~>т^0. A31)
Составим разность векторов
m(t) a(t)—moa0 = m(t){&(t) — ii0} + {m(t)—m0}aQ; A31')
отсюда
\m(t) a(t) — тоао\ <| т (t) 11 а(*) — а01 + \m(t) — т0 \ \ а01.
') При первом чтейии можно опустить доказательства последующих
предложений (до конца параграфа).
76
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Теперь всюду стоят скалярные (положительные) величины. В пра-
правой части в первом члене первый множитель стремится к \m(t0) \,
второй же — к нулю [согласно A29)]; во втором члене первый мно-
множитель стремится к нулю, второй постоянный; в результате пра-
правая часть стремится к нулю, а левая и подавно. Тем самым A31)
доказано.
3. Предел скалярного произведения a.(t)b(t) существует и ра-
равен а0Ъ0:
a(Ob(*)-»aobo. A32)
Составим разность (здесь речь идет о скалярных величинах)
а(«)Ь(г)-а„Ь0 = {а(г)-а0}Ь(г) + {Ь(г)-Ьс}а0. A32')
В справедливости этого тождества легко убедиться по свойствам
скалярного произведения. Далее,
| a (t) b(O-aobo | < | {а (*)-a0} Ь(«) | +1 {b(*)- b0} a01, A32")
так как модуль суммы не превосходит суммы модулей. Теперь за-
заметим, что так как скалярное произведение pq каких-нибудь век-
векторов р, q равно по определению ) р 11 q | cos (pq), то
|pq|<|p| iql-
Следовательно, если один множитель р стремится к нулю (что рав-
равносильно |р|—^0), а другой множитель q стремится к определен-
определенному пределу q0 (что влечет за собой |q|—Hqol), T0 правая часть
неравенства стремится к нулю, а следовательно, и подавно
lpq|-^O.
Теперь ясно, что в правой части неравенства A32") первое слагаемое
I {а(«)-*•
так как |а(?) — а01—>0, a|b(?)i—>|Ь0|. То же относится и ко
второму слагаемому. Левая часть A32") и подавно стремится
к нулю, и A32) этим доказано.
4. Предел векторного произведения [a (t), b (t)\ существует
и равен [а0, Ьо]:
[a(*),b(«)]-^[ao,be]. A33)
Составим разность (речь идет снова о векторах):
[а@,Ъ@]-[а.,.Ъ,]=[{а@-а0}, Ъ(О1+[ао, {Ъ (*)-*.}]• A33')
В справедливости этого тождества легко убедиться по свойствам
векторного произведения (раскрывая скобки). Отсюда
[а(О,Ь(О]-[а„,Ь„] < [{а@-а0}, Ь(*)]| + |[а„, {Ь(О-Ь„}]|,
A33")
13]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
;7
так как модуль суммы векторов не превосходит суммы их модулей.
Теперь заметим, что модуль векторного произведения [р, q] каких-
нибудь двух векторов р и q равен по определению I p I | q ]| sin pq j
я, следовательно,
Up, qlKiPi lql-
Поэтому, если | р | —>0, а | q] стремится к определенному пределу,
то |[р, q] |—*-0. Применяя эти соображения к правой части A33"),
убеждаемся, что она стремится к нулю, левая часть и подавно,
и A33) доказано.
Переходим к технике дифференцирования. Пусть &(t),
b(t), ... — вектор-функции, а т (t), ... — скалярные функции, те и
другие одного и того же аргумента t, непрерывные и дифферен-
дифференцируемые при t = tu. Их значения при t—ta обозначим через
а0, Ьо, - . .; та, ...
Мы утверждаем, что в этом случае будут дифференцируемы при
том же значении t = t0 и следующие функции:
1. Вектор-функция a(t) + b(t), причем
=а'(О + Ь'(О- A34)
В самом деле, приращение этой функции при переходе от tn
к t будет
После деления на t— t0 оно примет вид
?—
При t.—> t0 оба слагаемых стремятся к пределам, соответственно к
sl'(t) и Ь (t), следовательно, их сумма [согласно правилу A30)]
стремится к-пределу, а именно, к а'(t) + Ъ'(t). Тем самым дока-
доказана дифференцируемость функции a (t) -f- b (t) и j формула A34)
при значении t= t0.
2. Вектор-функция т (t)a(t), причем
{т (t) a (t)}r = m' (t) a(t) + m (t) a' (*). A35)
Приращение вектор-функции m(t)& (t) при переходе от t0 к t
мы возьмем в виде A31') и разделим на t— t0.
Получим
т (t) — пг0
t—
а0.
Заставим t стремиться к t0; тогда в первом члене множитель
т (t) стремится к т0, векторный множитель — к а' (*„), следователь-
следовательно, произведение по правилу A31) стремится к произведению пре-
пределов, т. е. к игоа'«(го). Во втором члене первый множитель
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[гл. II
стремится к т'(to), второй—постоянный вектор; предел суще-
существует и равен m'(to)&o- Поскольку существуют пределы слага-
слагаемых, то существует и предел суммы, равный сумме пределов
[правило A30)]:
Итак, показано, что к такому пределу стремится при t —> t0 прира-
приращение вектор-функции m(t)a(t), деленное на приращение ар-
аргумента t. Этим доказана дифференцируемость функции и спра-
справедливость формулы A35) при t = t0.
3. Скалярная функция a(t)b(t), причем
fa (*)b (t)}' - a' (t) Ь (t) + а[ (*) b' (t). A36)
Берем приращение этой функции при переходе от t0 к t в виде
A32') и делим на t—10. Получим
Mr
Мы имеем здесь сумму двух скалярных произведений, причем при
t —> ta множители в первом произведении стремятся соответствен-
соответственно к a'(t0) и Ьэ, а во втором —к а0 и Ъ' (t0).
Согласно правилу A32) при этом скалярные произведения
также стремятся к пределам, именно к скалярным произведе-
произведениям пределов. Поэтому предел написанного выражения су-
существует и равен
Таков предел отношения приращения функции а (t) b (t) к при-
приращению аргумента при t—»г„.Этим доказаны дифференцируе-
дифференцируемость функции и справедливость формулы A36) при t = ta.
4. Вектор-функция [a(t),b(t)j, причем
[а(«), Ъ@]' = [а'@.Ь(9] + [а@.Ь'(*)]- . A37>
Берем приращение этой вектор-функции (при переходе от ta
к t) в форме A33') и делим его на t— t0. Получим
Мы имеем здесь сумму векторных произведений. В первом из них:
множители при t—> t0 стремятся соответственно к пределам
а'(г0) и Ьо, во втором — к а„ и b'(t0). Так как по правилу A33)
векторные произведения стремятся к векторным произведениям
пределов, то предел написанного выражения существует и равен.
[a'(t0), Ь0] + [а„, Ъ'(*«)].
Этим доказана дифференцируемость функции [a(t), b(t)]
ведливость формулы A37) при ?= t0.
спра-
§ 14]
ИСТОЛКОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
79-
Нужно обратить внимание на порядок множителей в фор-
формуле A37): если множитель а стоит на первом месте слева, то
а и а' стоят на первом месте и в членах правой части. В случае
векторного произведения это имеет значение.
Как мы видим, формулы дифференцирования и способы их.
вывода с формальной стороны почти дословно повторяют обыкно-
обыкновенное дифференциальное исчисление. В частности, для всех трех
родов произведений повторяется в сущности одна и та же фор-
формула. Отметим, что если один из множителей постоянный, то, как
и обычно, его производная равна нулю, и один из членов правой
части исчезает. Получается правило вынесения постоянного мно-
множителя из-под знака дифференцирования.
Хотя здесь мы получили мало интересного по существу, зато
у нас обоснован теперь ряд вычислительных правил, которыми мы
будем широко пользоваться в дальнейшем. Мы ставим своей бли-
ближайшей задачей истолковать геометрически понятия вектор-функ-
вектор-функции и ее производной. Мы увидим, как эти понятия, введенные
нами пока совершенно абстрактно и потому несколько сухо и невы-
невыразительно, приобретут отчетливый геометрический смысл и лягут
в основу исследования сначала кривых, а затем и поверхностей
в пространстве.
В дальнейшем мы будем рассматривать лишь вектор-функции,
имеющие при всех значениях аргумента непрерывные производные
до того порядка, до какого в данном построении они нам
требуются.
§ 14. Истолкование вектор-функции как радиус-вектора
кривой в параметрическом представлении.
Пусть нам задана некоторая вектор-функция одного аргумента
t в определенной области изменения последнего:
г = г@. To^t<T. A38)
Фиксируем в пространстве некоторую точку О и будем при всех
значениях t откладывать вектор г (t) именно из этой точки. При
каждом значении t мы получаем определенный вектор, ОМ = г (t),
начало которого в точке О, а конец М зависит от выбора значе-
значения t. При t, меняющемся в своей области изменения (от То до Т),.
точка М описывает в пространстве некоторое геометрическое
место точек (черт. 33), которое мы будем называть параметрит
чески заданной кривой. Само уравнение A38), выражающее ра-
радиус-вектор точки М как функцию скалярного аргумента, мы будем
называть векторным параметрическим представлением кривой.
Нам нужно теперь установить связь с координатным заданием
кривой.
Примем фиксированную нами точку О за начало прямоугольных
декартовых координат в пространстве и обозначим через i, j, k
80
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
единичные векторы, отложенные по положительным направлениям
координатных осей. Тогда, как известно, любой вектор, в частно-
частности r(t), можно разложить по i, j, Ь, т. е. представить в виде
их линейной комбинации с численными коэффициентами. Эти
численные коэффициенты называются координатами вектора
и, если вектор отложен из начала О, совпадают с прямоуголь-
прямоугольными декартовыми координатами конца этого вектора. Итак,
r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)b. A39)
Координаты вектора r(t) обозначены нами через x(t), y(t), z(t),
так как они вместе с вектором г зависят от аргумента t. Но коор-
координаты вектора г. совпадают с
координатами точки M(t), так что
x = x(t), y = y(t), \ ,,,0
z = z(t), Г,<г<г./ ( V)
Итак, при изменении аргумен-
аргумента t координаты точки M(t)
меняются как определенные функ-
функции t, причем точка M(t) описы-
описывает нашу кривую.
В результате мы перешли от
векторного параметрического пред-
представления кривой A38) к ее координатному параметрическому
представлению A40). При этом функции x(t), y(t), z(t) дифферен-
дифференцируемы столько же раз, как и вектор-функция r(t). Действи-
Действительно, умножая разложение A39) поочередно на i, j, k ска-
лярно, получим
к
Черт. 33.
y(O ()j, (*) r(*)k.
Применяя к правым частям правила дифференцирования § 13,
убеждаемся в справедливости сказанного.
Обратно, если нам задано координатное параметрическое пред-
представление кривой A40), то мы построим вектор-функцию
T(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)b.
и будем ее откладывать из начала О. Конец вектора г (t) имеет
координаты x(t), y(t), z(t) и, следовательно, описывает нашу
кривую.
Мы возвращаемся к заданию кривой вектор-функцией x(t),
причем г (t) будет дифференцируема (в силу правил, установлен-
установленных в § 13) столько же раз, как и x{t), y(t), z(t).
Итак, задание вектор-функции A38), если ее откладывать
из начала О, вполне равносильно заданию кривой системой урав-
уравнений A40).
15]
ДОСТАТОЧНЫЙ ПРИЗНАК ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧКИ
81
Параметрическое представление кривой можно истолковать
наглядно, если понимать под параметром t время и точку М (г)
считать движущейся с течением времени. Тогда вектор-фун-
вектор-функция г(t) выражает изменение радиус-вектора точки М (t) стече-
стечением времени, a x(t), y(t), z(t) выражают изменениз ее коор-
координат.
§ 15. Достаточный признак обыкновенной точки.
Установив связь с координатами, займемся геометрической
стороной дела. Назовем простым отрезком пространственной
кривой геометрическое место точек, которое в некоторой прямо-
прямоугольной декартовой системе
координат задается уравне-
ниями
A41)
Черт.
z = g(x).
Здесь ж меняется в определен-
определенном промежутке х1 ¦<; х <с х2.
Так как / и g, как всегда
предполагается у нас,—одно-
нас,—однозначные функции, то наглядно
можно представлять дело так,
что простой отрезок простран-
пространственной кривой АгАг полу-
получен из прямолинейного отрез-
отрезка [х17 хг] путем смещения
каждой точки (х,0, 0) этого отрезка по перпендикулярной к нему
плоскости в положение А[х, f(x), g (x)] (черт. 34). При этом, так
как /(ж), g (х)—непрерывные и дифференцируемые функции,
то эта деформация прямолинейного отрезка в криволинейный
происходит «плавным» образом.
Теперь уясним себе устройство в малых кусках кривой A38),
или, что то же самое, A40). Точку t— t0 на кривой будем называть
обыкновенной," если при значениях t, достаточно близких к ?0,
кривая представляет собой простой отрезок. Этим, собственно го-
говоря, не устраняется возможность того, что при некотором удален-
удаленном от t0 значении t кривая вернется в ту же точку и получится
точка самопересечения (особая). Но на атс мы не будем обращать
внимания, так как будем интересоваться кривой лишь при значе-
значениях t, достаточно близких к его значению в рассматриваемой
точке.
Формулируем теперь достаточный признак обыкновенной точки:
если в данной точке t— t0 производные
x'(ta), у'(tQ), z'(t0)
6 П. к. Рашевский
82
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
не обращаются в нуль все одновременно {т. е. хотя бы. одна ф 0),
то точка t== t0 —обыкновенная.
Пусть для определенности х' (t0) Ф 0. Будем рассматривать
первое из уравнений A40)
х — x(t) =
как связывающее переменное ж (составляющее первый член) с пере-
переменным- t [входящим через свою функцию х (t) во втором члене].
Это уравнение, очевидно, удовлетворяется при t —10, x = х (t0), т. е.
в данной точке на кривой. Кроме того, частная производная по
t от его левой части, т. е. —x'(t), отлична от нуля при t= t0.
По теореме существования неявной функции наше уравнение
вблизи значений t=t0, x= x(t0) однозначно разрешимо относи-
относительно t и может быть переписано, следовательно, в виде t= t(x).
Вставляя полученное выражение t через х в остальные два из
уравнений A40), мы получим у та. z однозначно выраженными функ-
функциями х. Мы пришли к уравнениям вида A41), т. е. получили при
значениях t, близких к tb, кривую в виде простого отрезка. Точ-
Точка t0 действительно обыкновенная.
Доказанный признак можно теперь формулировать более геоме-
трично. Продифференцируем по t почленно уравнение A39), поль-
пользуясь установленными в § 13 правилами (i, j, k — постоян-
постоянные). Получим
Если в данной точке функции х', у', z' обращаются в нуль
одновременно, то г', очевидно, тоже равно нулю; обратно, если
г'=0, то равны нулю и все его координаты х', у', z'. Поэтому
достаточный признак обыкновенной точки, который состоит как раз
в отрицании такого положения вещей, может быть переформули-
переформулирован так: если в данной точке v'(t) ф 0, то точка—обыкновенгсая.
Точки, где соблюдается этот признак, мы будем называть
заведомо обыкновенными. В дальнейшем, за исключением тех слу-
случаев, когда оговорено противное, мы будем иметь в виду лишь заве-
заведомо обыкновенные точки. И действительно, точки, где г' (t) = 0,
являются на кривой исключительными, как правило же г' (t) Ф 0-
Если предположить, что на целом участке кривой г' (t) = 0, то
г (?) = const., и этот участок фактически вырождается в точку.
§ 16. Геометрический смысл дифференцирования
вектор-функции.
Истолковав вектор-функцию A38) как радиус-вектор некоторой
кривой в параметрическом представлении, можно весьма наглядно
изобразить весь процесс дифференцирования этой функции. Мы
исходим из некоторого значения t= t0; ему отвечает значение функ-
§ 16]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
83
ции r(t0), которое, будучи отложено из начала О, концом указы-
указывает некоторую точку Мо на исследуемой кривой:
г (*„) = ОМй
(черт. 35).
Переходим к некоторому другому значению t, которому таким
же образом отвечают значение г(?) и точка М:
г (*) = ОМ.
Составим разность этих двух значений вектор-функции:
= M0M, A42),
т. е. приращение вектор-функции есть вектор-хорда на кривой,
соединяющий исходную точку Мо с новой точкой М. Разделим при-
приращение г (г) — г (t0) на
приращение аргумента
t —10 и рассмотрим частное
^. A43)
г(«)-г
t— tc
Так как производилось
деление вектора на число,
получается вновь вектор,
направленный по той же Черт. 35.
прямой, что и числитель
М„М, притом в ту же сторону, если знаменатель t — tu > 0, и в
обратную, если t — to<O. Так или иначе, частное A43) напра-
направлено по секущей М0М. Заставим теперь г стремиться к t0. Тогда,
в силу предполагаемой непрерывности функции i(t), значение г (t)
стремится к г (?„) как к пределу, другими словами,
|()()
Записанная этим условием непрерывность функции г (t) в точке t= t0
теперь легко истолковывается геометрически: она означает, согла-
согласно A42), что длина хорды М0М стремится к нулю при t -^ t0. Дру-
Другими словами, когда значение параметра t стремится к t0, отвеча-
отвечающая t точка М на кривой стремится в точку Мо, отвечающую t0.
Непрерывность вектор-функции истолковывается, таким образом,
как непрерывность кривой.
В частном A43) числитель и знаменатель оба стремятся к нулю
при t, стремящемся к t0. Сам же вектор A43), в силу предполага-
предполагаемой дифферепцируемости вектор-функции, должен при этом стре-
стремиться к определенному вектор-пределу, который мы назвали
84
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
(§ 13) производной вектора г (г). Итак,
(О -г fa)
[гл. II
A44)
где г' (*о) Ф 0 по предположениям, сделанным в конце § 15.
Когда t стремится к tu, а точка М стремится по кривой в точ-
точку Ма, секущая М0М, вращаясь в пространстве около точки Ма,
остается в каждый момент направленной по вектору A43); и по-
поскольку последний стремится к предельному вектору г' (t0), то
секущая также стремится к предельному положению, а именно
к прямой M0Q, направленной по вектору г' (tQ).
Предельное положение Мо Q для секущей мы будем, как обычно,
называть касательной к кривой в точке Мо.
Итак, производная г' (t) от вектор-функции г (t) направлена по
касательной в точке t0 к кривой, которую г (t) в нашем геометри-
геометрическом истолковании определяет.
Таким образом, направление производной г' {t) получило вполне
ясное геометрическое истолкование. Модуль же г' (t) такого
истолкования не получил, и это не случайно. Вопрос зтот связан
со следующим важным обстоятельством, которое в усложненном
виде встречается потом и в теории поверхностей и в теории много-
многомерных пространств. А именно, нужно выяснить, какую роль игра-
играет параметр t для кривой, заданной посредством A38). Мы знаем,
что значениям t в промежутке 710<«<Т однозначно (и, если
устранить из рассмотрения точки самопересечения, взаимно
однозначно) отвечают точки кривой. Таким образом, параметр t
в указанных пределах играет роль координатной системы на кри-
кривой; он нужен для того, чтобы своими значениями взаимно одно-
однозначно отмечать точки кривой. Но так как геометрически он ничем
не был связан с кривой, то вполне возможно, сохраняя ту же кри-
кривую, ввести на ней другую параметризацию. Для этого достаточно
ввести новое переменное т, связанное с t функциональной зависи-
зависимостью
t = t(*), то<т<т1, A45)
Мы будем предполагать при этом, что производная t' (т) все время
положительна, так что г(т) —функция, монотонно возрастающая,
и что когда т пробегает свою область изменения от т0 до tlt
t растет от То до Т. В зтих предположениях функция t (т) допускает
обращение, т. е. можно записать:
L Х Ч /» 0 ^=- ^ "^ ¦* ? ( 1.4:0 )
и значения t от То до Т находятся во взаимно однозначном соответ-
соответствии со значениями т от т0 до тх. Отсюда ясно, что те и другие
одинаково годятся, чтобы отмечать точки исследуемой кривой,
§ 16]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
85
и выбор параметризации на кривой зависит от нашего произвола.
Запишем параметрическое представление кривой в новой парамет-
параметризации; для этого достаточно в A38) вставить выражение t через
т. Получим
г = г{г(т)}. A46)
Очевидно, вид функциональной зависимости г от z уже не тот, что
от t, тем не менее кривая осталась прежней, так как при т, пробе-
пробегающем значения от т0 до xlt t попрежнему пробегает значения
от Го до Т и радиус-вектор ОМ = г (t) описывает своим концом М
прежнюю кривую.
Итак, на неизменной кривой, заданной вектор-функцией A38),
можно произвольно менять параметризацию, отчего меняется вид
функциональной зависимости A38).
В том обстоятельстве, что параметризация кривой строится по
произволу и не имеет в общем случае геометрического смысла, ле-
лежит причина того, что модуль производной вектор-функции г (t)
по параметру не находит геометрического истолкования. Дейст-
Действительно, дифференцируя A46) по новому параметру т как функ-
функцию от функции, получим г' (t)t' (т). Мы видим, что производная
радиус-вектора той же самой кривой, но по новому параметру,
отличается от производной по старому параметру г' (t) скалярным
множителем V (т) > 0. Это означает, что направление производ-
производной осталось прежним—и оно действительно не зависит от выбора ¦¦
параметра, так как всегда идет по касательной,—а модуль произ-
производной изменился и, следовательно, он зависит от произвола
в выборе параметра и по отношению к самой кривой является
величиной случайной.
Мы ограничились для простоты заменой параметра A45) при
условии t' (t) > 0. Можно взять, конечно, и случай t' (т) < 0, т. е.
когда переменные t и х изменяются в обратных направлениях.
Тогда производная г' при переходе к новому параметру меняет
свое направление на обратное.
Всему сказанному можно дать наглядное истолкование, пони-
понимая под параметром t время. Прежде всего вектор A43) получает
смысл вектора средней скорости за время от t0 до t, а его предель-
предельное значение г' (t0) — вектора мгновенной скорости в момент t9.
Далее, переход к новому параметру т будет означать, что точка М
пробегает прежнюю траекторию, но иным образом с течением вре-
времени, например, раньше ее движение было ускоренным, а теперь
будет замедленным, и т. п. Параметр i будет снова означать
время, но при другом законе движения по прежней траектории.
Если закон движения по данной траектории изменился, то
точка М будет проходить через прежние положения с другими
скоростями, т. е. вектор скорости г' (t) будет иметь другую
величину (хотя и будет направлен попрежнему по касательной).
86
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
§ 17. Дифференциал вектор-функции.
[гл. II
Чтобы закончить геометрическое истолкование дифференциро-
дифференцирования, рассмотрим еще понятие о дифференциале вектор-функции.
Вернемся к соотношению A44), где записана дифференцируе-
мость вектор-функции г (t). По самому определению предела со-
соотношение A44) утверждает, что вектор
A47)
стремится к нулю при t, стремящемся к t0:
Перепишем A47), умножив обе его части на t — ta. Получим
г @ - г (*„) = г' (*0) (* — to) + a(t —Q. A47')
Формула A47') имеет интересный геометрический смысл (черт. 36).
Прежде всего левая часть совпадает с вектором смещения М0М,
переводящим нас из данной точки
_М' Мо (to) в некоторую другую точку
кривой М (t). Этот вектор смещения
(вектор-хорда) в правой части раз-
разложен на два слагаемых. Первое из
них равно вектор-производной в
точке t с численным коэффициентом
t—t0 и, следовательно, направлено
по касательной в точке Мо (на чер-
чертеже—вектор М0М'). Второе изобра-
изображено вектором М'М.
Пусть теперь t стремится к фикси-
фиксированному t0. Тогда во втором сла-
слагаемом бесконечно малый коэффи-
коэффициент t — t0 стоит при бесконечно
малом векторе а, так что мы имеем
здесь вектор, модуль которого — бесконечно малое высшего по-
порядка по сравнению с приращением аргумента t — t0. Что же
касается первого слагаемого, то так как г' (to) остается постоян-
постоянным, то г' (t0) (t—10) меняется пропорционально приращению
аргумента t— t0, сохраняя постоянное направление по касательной.
Таким образом, вектор МйМ, выражающий смещение из точки
Мо в бесконечно близкую точку М по кривой, распадается на смеще-
смещение М0М' по касательной, пропорциональное приращению аргу-
аргумента t — ta, и на вектор с модулем, бесконечно малым высшего по-
порядка сравнительно с t —10.
Черт. 36.
18]
ДВЕ ЛЕММЫ
87
Смещение М0М' мы будем называть главной линейной частью
смещения М0М [т. е. главной линейной частью приращения век-
вектор-функции г (t)] или дифференциалом вектор-функции г (t)
в точке t = to'-
dx = v'(to)dt, где dt = t — t0. A48)
Отсюда
г'(*„) = ?• A48')
Как и обычно, дифференциал аргумента здесь совпадает с его при-
приращением. Мы видим, что, введя понятие дифференциала вектор-
функцяи, можно рассматривать ее производную как отношение
дифференциалов.
Особенно наглядной становится формула A47'), если придать
t физический смысл времени. Тогда A47') показывает, что если
пренебречь бесконечно малыми высшего порядка, то в бесконечно
малом промежутке времени вблизи момента t = t0 смещение точки
М0М можно заменить через r'(to)(t—t0), т. е. считать движение
прямолинейным (направленным по касательной) и равномерным
(пропорциональным протекшему времени t —10). Скорость этого рав-
равномерного и прямолинейного движения по величине и направлению
задается, очевидно, вектором г' (tn), т. е. совпадает с мгновенной
скоростью криволинейного и неравномерного движения г = г(?).
§ 18. Две леммы.
Докажем теперь некоторые леммы, весьма существенные для
дал ьнейше го.
Лемма 1. Если вектор-функция m от скалярного аргумента
t сохраняет постоянный модуль, то при каждом значении t ее
производная ей перпендикулярна.
Так как квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату
самого вектора, то мы можем записать
I m (t) |2 =
= const.
Дифференцируя по t, получим
2m (t) m' (t) = 0,
откуда и следует, что m' (t) перпендикулярно к m (t).
Очень полезно наглядно представить себе геометрический
смысл этой леммы. Если откладывать т(?) из неизменной точ-
точки О, то вектор m (t) будет меняться лишь по направлению, ноне
по длине, и конец его опишет кривую, лежащую на сфере с цен-
центром О. Как известно из предыдущего, производная m' (t) будет
при каждом значении t направлена по касательной к этой кри-
88
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
вой, следовательно, по касательной к сфере, и, значит, она будет
перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания, т.е.
к вектору m(t).
В частности, лемма имеет место для единичных векторов; это
для нас и будет особенно важно в дальнейшем.
Введем понятие о скорости вращения вектор-функции fm (/)
по отношению к ее аргументу t. Для этой скорости, которая будет
иметь, вообще говоря, различные значения при разных значе-
значениях t, мы даем следующее определение. Дадим t приращение At
и возьмем угол Д<р, образуемый векторами m (t) и m (t + At) (пере-
(перенеся их для наглядности в общую точку приложения ОI). Соста-
Д<р
вим отношение д-1-, показывающее, ка-
какой угол поворота вектора m прихо-
приходится в среднем на единицу измене-
изменения аргумента t на участке t, t-\-A.t.
Заставим теперь At стремиться к ну-
нулю. Тогда предел взятого по модулю
отношения ду называется скоростью"
вращения вектор-функции m (t) по отно-
отношению к ее аргументу t.
Лемма 2. Скорость вращения единичной вектор-функции
m(t) равна модулю ее производной \т.' (t)\.
Опишем из точки О как из центра окружность единичного ради-
радиуса, проходящую через концы векторов m (t) и mty + At), т. е.
точки М и М' (черт. 37). Очевидно, что угол между векторам»
численно равен длине дуги ММ'. Мы можем записать
До __ ММ' _ ММ' ММ'
At ~ \At\~~ |Д?| " ММ' '
Здесь ММ' означает длину хорды ММ'. Но очевидно, что
m {t + At) — т (t) = MM',
так что длина хорды ММ' равна модулю приращения вектора
Черт. 37.
ММ' = \\ММ' | = | m (t + At) - m (t) |.
Перепишем теперь выражение
ДТ
в виде
At
m (t + At) - m (t) MM'
At ' MM'
x) Угол Af не является приращением какой-то функции <р, как можно
было бы подумать, судя по обозначению.
§ 19]
РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
Заставим теперь At стремиться к нулю. Вектор, стоящий в верти-
вертикальных черточках, стремится, очевидно, к производной т(?)т
а его модуль—к модулю |т'(*).|. Отношение же дуги окружно-
окружности ММ' к стягивающей ее хорде ММ' стремится к единице,,
когда дуга стремится к нулю. Итак, мы получаем
До
AT
\m'(t)
т. e. lim -rl
Лемма 2 доказана.
Полученное равенство можно переписать также в виде
?| = |m'(*)l+«,
где а—5> 0 вместе с At. Умножая почленно на \At\, получим
| Дер 1 = | m' (t) At | + а | At |.
Будем писать Дер вместо |Д<р|, подразумевая, что Д<р берется
всегда положительным. Тогда последнее равенство примет вид
Дер = | dm | +
A49)
так как m' (t) At = m' (t)dt = dm. Многоточие в формуле A49).
обозначает бесконечно малые высшего порядка.
Итак, главная линейная часть бесконечно малого угла поворота
Дер единичной вектор-функции m (t) равна модулю дифференциала
dm этой функции.
§ 19. Ряд Тейлора для вектор-функции.
В дальнейших выкладках у нас будет играть большую роль,
разложение вектор-функции в ряд Тейлора. Вывод этого разло-
разложения не представляет собой чего-нибудь принципиально нового
и просто использует соответствующее разложение для скалярных,
функций.
Вектор-функцию г (t) всегда можно представить в виде
v(t) = x(t)i±y(t)j + z(t)k, Т0<*<7\ A50>
разложив ее по единичным взаимно ортогональным векторам.
i, j, k-
Разложим теперь в ряд Тейлора по степеням разности t—10
каждую из функций x(t), у (t), z(t). Здесь t0 — произвольное фик-
фиксированное значение t. Во всех трех случаях разложение оста-
остановим на члене n-й степени, поместив далее остаточный член.
90 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
Получим
[гл. 11
Со)
" С»)
@ = *
'(*.) ^
В остаточных членах этих разложений под знаком n+1-и про-
производной фигурируют некоторые промежуточные между t0 и t зна-
значения tlt t2, t3, конечно, вообще говоря, различные между собой.
Умножим на вектор i обе части первого равенства, на j — обе
части второго, на к —третьего. Складывая все три равенства и
объединяя члены с одинаковыми степенями t— t0, получим
)
+ [х1 (t0) i + у' (t0) ] + z' (to) kj (t — ta)
( С) у" С„) j + z" (t0) k} -<Ц^
(t0) j
t0) k}
k}
^^ • A50')
Мы получили тем самым разложение в ряд Тейлора вектор-
функции г С). Действительно, в левой части стоит сама г С), как
видно из A50); в правой части в первой скобке стоит ее значе-
значение при t — to, г (t0), во второй скобке — значение ее производной
'приг=^0, г'Со), в третьей скобке—^то же самое для второй
производной г*(@)ит.д.; в предпоследней скобке стоит г(п>С„)-
В этом мы немедленно убеждаемся, дифференцируя равенство
A50) один, два, три, . . . , п раз по t почленно по известным
нам из § 13 правилам и вставляя в результат значение t — t0.
Что же касается последней скобки, то здесь стоит вектор, кото-
который мы для краткости обозначим через Qn:
Ц ()
Так как, рассматривая x(n+V(t), y(-n+i^(t), z^n+1~>(t), мы тем са-
самым, по принятому нами соглашению, предполагаем непрерыв-
19]
РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
91
ность зтих функций в промежутке T0<Ct^.T, то в этом же про-
промежутке они будут и ограничены при всех значениях t, оста-
оставаясь по абсолютной величине меньше некоторого постоянного.
В частности, и коэффициенты в A51), т. е. координаты вектора
Qn> будут ограничены при любых значениях tx, t%, ta, а потому и
модуль зтого вектора остается во всех случаях ограниченным:
IQn|<Cn, A51')
где Сп — положительное постоянное, одно и то otce при любых
значениях t и 10 в промежутке То, Т. Представить Qn в виде зна-
значения г(п+1) С) при некотором промежуточном значении t, вообще
говоря, нельзя. Но это не представляет какой-либо потери, так
как существенной является лишь оценка A51').
Перепишем теперь A50'), заменяя в нем скобки их указанными
выше значениями. Получим
г(О = Г(*.) + г'Со)Ц-
-Г {lo) 1#2
A52)
Это и есть разложение в ряд Тейлора вектор-функции скалярного
аргумента, вполне подобное обычному, если не считать более слож-
сложного вида векторного коэффициента Qn в остаточном члене.
Возьмем, в частности, это разложение при п=1:
ИЛИ
Г @ = Г (to) + Г' (to) С - to) + Qi -(
г С) - г С) = г' (to) С - to) +
A52')
Мы видим, что A52') представляет уточнение формулы A47');
роль а играет здесь -^-QiC — to), где Qx ограничено по модулю.
Для вычисления длины дуги кривой, которым мы займемся
в § 21, нам будет полезно оценить здесь разность длин хорды
(черт. 36)
1Д=г@-г(г0)
и соответствующего смещения по касательной (дифференциала)
М^ЬГ=г'(г0) (* — *«) = dr.
Сейчас мы берем значения t0 и t произвольно, не предполагая, что
t обязательно стремится к tn. Согласно A52') разность самих век-
векторов имеет вид
WJd — ?O1Z> = Q1-^^ или ДГЛГ = |
92
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
По элементарным свойствам треугольника М0ММ' взятая по
модулю разность двух сторон всегда меньше или равна третьей-
стороне, т. е.
\М0М—М0М'\*?М'М.
Здесь МйМ, М0М', М'М означают длины (модули) векторов
М0М, МйМ', М'М. Но так как
4 ь («.г.
то, пользуясь ограниченностью Qx по модулю [см. A51')], получим
М'М = ~ | Qx | (t - tof < -I Сг (t - toy
и, следовательно,
\MuM-M0M'\K\Ci{t-t9)\ A53)
где МйМ — любая хорда нашей кривой, соединяющая какую-то-
точку Мо (t0) с какой-то точкой М (t), а МйМ'— соответствующий
отрезок, отложенный по касательной в точке Мо [т. е. длина
вектор-дифференциала г' (t0) (t — t0)]. Это и есть нужная нам
оценка. Существенно здесь то, что Сг имеет одно и то же значение
при любых значениях t0, t в промежутке То, Т, т. е. одно и то же-
значение при любом выборе точек М0) М на рассматриваемой кри-
кривой г (t), T0^t<T.
§ 20. Строение параметрически заданной крипой в окрестности
произвольной точки.
Пусть кривая задана в параметрическом представлении
г = г(г).
Если в данной точке г' (t) ф 0, то точка—обыкновенная, и кривая
вблизи нее имеет вид простого отрезка. Вопрос же о том, какое
строение имеет кривая в окрестности любой своей точки, остается
до сих пор открытым. Мы займемся им в этом параграфе. Для на-
наглядности будем сначала считать кривую плоской.
Сместимся из данной точки М„ (t0) в бесконечно близкую точку
М (t) (см. черт. 35). Вектор смещения М0М выражается как раз-
разность г (t) — r(t0). Вставляя вместо г (t) его разложение A52)„
получим
г {t0)
Здесь мы попрежнему имеем в виду разложение в конечный
ряд Тейлора, хотя для краткости не выписываем последних чле-
§ 20] СТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ КРИВОЙ 93
нов. В дальнейшем г' (t0), г"(г„), ... будем обозначать для крат-
краткости через т'о, г„, ...
Так как точка Мо (t0) взята на кривой произвольно, то может
случиться, что г'о и даже еще некоторые производные радиус-
вектора в этой точке обратятся в нуль.
Рассматривая общий случай, найдем первую по порядку про-
производную радиус-вектора, отличную от нуля в точке Ma(t0).
Пусть порядок этой производной будет р. Итак,
г(р)
фо, г; = г;= ... =:
>=о.
Разложение М0М будет фактически начинаться с членов р-й
степени и примет вид
Теорема. Кривая в точке Мо (t0) имеет касательную,
направленную по вектору г(ор\
Доказательство. Разделим вектор МйМ на (t — to)p;
из предыдущего разложения получим
МрМ _ (р) J_
(t-toy- pi ¦+
Вектор М0М (черт. 35) направлен по секущей МйМ; следова-
тельно, вектор —- , полученный из М0М делением на число,
также направлен по секущей.
Когда t—Wo, а значит, t — ttt—>0, все члены правой части
стремятся к нулю, кроме первого члена, который остается по-
постоянным. Это означает, что
г. е. вектор
вленному по
VI
(t- to)P t^tp p\
стремится к предельному значению, напра-
нному по r(fu)
Секущая М0М направлена по вектору МаМ, а значит, и по кол-
линеарному с ним вектору
, и должна стремиться вместе
с последним к предельному положению, направленному по век-
вектору г^р) . А так как предельное положение секущей по опреде-
определению называется касательной, то теорема доказана.
Таким образом, мы одновременно установили и факт суще-
существования касательной и способ ее отыскания.
Отметим частный случай jD = l. В этом случае точка —заве-
—заведомо обыкновенная, а наша теорема дает ранее известный ре-
результат, а именно, что касательная существует и направлена по г0.
94
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[гл. II
Переходим к исследованию строения кривой вблизи произволь-
произвольной ее точки Мо (t0). Мы уже отметили первую по порядку про-
производную радиус-вектора, отличную от нуля, именно, ГдР^. Отме-
Отметим теперь первую по порядку производную r(oq\ неколлинеарную-
с г^р). Разумеется, q > p, и боль-
большей частью можно ожидать, что
д = Р+1, хотя это и не обяза-
обязательно. Во всяком случае пусть
в разложении МйМ в ряд Тейлора
первый член, неколлинеарный
(р) (~% -
с г0 , имеет вид г0
Выпишем его явно:
МПМ-
III
Черт. 38.
С другой стороны, вектор сме-
ЖРРГТ. „„ щения М0М всегда можно разло-
разложить по неколлинеарным векторам г(р) г(<?) Гчепт ЯЯ^ /
торыми коэффициентами а и fr ° ' ° ( Р 8)> С неко~
При этом главная часть коэффициента а при t —> ta будет, очевид-
очевидно, ~- (последующие члены ряда Тейлора высшего порядка
малости), а главная часть коэффициента Ъ будет ~f "' (преды-
(предыдущие члены ряда Тейлора коллинеарны с г^ и их составляю-
щие по г„ ' равны нулю, а последующие члены—высшего по-
порядка малости).
Знаки коэффициентов а и Ь будут совпадать со знаками их.
главных частей, т. е. при t —10 > 0 оба будут положительными,
а при t —10 < 0 знак а будет положительным или отрицательным
в зависимости от четности или нечетности показателя р, а знак
Ь — в зависимости от четности или нечетности показателя q.
В результате возможны следующие 4 случая:
1°.
2°.
3°.
4°.
р неч.,
р неч.,
р четн.,
р четн.,
Знак а
при t-to< О
q четн.
q неч.
q неч.
q четн.
Знак Ь
при t - t0 < о
20]
СТРОЕНИЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ КРИВОЙ
95-
Каждому из этих случаев отвечает определенное строение-
кривой в окрестности точки Мо (t0).
Проведем через Мо две прямые в направлении векторов-
го > го > они разобьют плоскость на 4 части, которые мы зану-
занумеруем, как I, II, III, IV «четверти» (черт. 38). Когда г—>t0, при-
причем t —10 > 0, то а и b оба положительны, и из разложения
br(oq)
видно, что точка М движется в I четверти. Таким образом, при
t > to кривая подходит к М всегда из I четверти.
Когда же t—>tn , причем t —10 < 0, то" здесь, как видно из-
того же разложения, нужно различать 4 возможных случая в за-
зависимости от знаков а, Ь:
1°.
2°
3°'.
4°.
(<*=-,
(а= +,
(«= +,
Ь =
¦ Ь =
ъ =
ъ =
+ ),
-),
)>
+ ).
- М
м
м
м
во
в
в
в
II
III
IV
I
четверти;
четверти;
четверти;
четверти.
Ill
Итак, при t < t0 кривая подходит к М,, из II, III, IV или I чет-
четверти в зависимости от того, какой из случаев 1°, 2°, 3°, 4°'
имеет место в точке Мо.
При этом во всех случаях кри-
кривая, подходя к Мъ, имеет каса-
касательную в направлении вектора
roPj (согласно вышедоказанной тео-
теореме). Поэтому:
в случае 1°, когда кривая под-
подходит из I и II четверти, она
имеет строение чертежа 38, Мо —•
точка основного типа;
в случае 2°, когда кривая под-
подходит из I и III четверти, она
имеет строение чертежа 39; Мо —
точка перегиба;
в случае 3°, когда кривая под-
подходит из I и IV четверти, она имеет
строение чертежа 40; Мй—точка
возврата 1-го рода;
в случае 4°, когда кривая подходит из I и I четверти, она имеет"
строение чертежа 41; Мо — точка возврата 2-го рода.
В случаях 1°, 2° мы имеем, таким образом, обыкновенные
точки1), в случаях 3°, 4° — особые.
Черт. 39.
х) Однако при этом, переходя к уравнению у — f (x), мы можем
гарантировать во всех случаях существование лишь первой производ-
производной /'(*)¦
96
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Из этих результатов вытекает способ практического исследо-
исследования данной точки Мо (t0).
А именно, нужно вычислить в данной точке последовательные
rjjp)
и отметить первую из них rjjp), отличную
производные г„, г^, .
от нуля, а затем первую после нее, T(oq\ с ней не коллинеарную
Числа р, q и определяют характер точки. Расположение кривой
вблизи данной точки связано с векторами v(p>, т(ч~> так, как это
указано на чертежах.
Ill
III
Черт. 40.
Черт. 41.
Полученные результаты верны и для пространственных кри-
кривых с той разницей, что кривая не будет лежать точно в плоско-
плоскости векторов г(р\ r(q\ а будет уклоняться от нее на величину,
однако бесконечно малую высшего порядка сравнительно со
смещениями в самой плоскости.
§ 2i Длина дуги как параметр.
Переходим к определению и вычислению длины дуги. Рассмот-
Рассмотрим кривую
Вставим между крайними значениями То и Т параметра t произ-
произвольно выбранные последовательные промежуточные значения
*0> ^1! ^2> - - - > tn.
Мы считаем при этом, что t0 совпадает с То, a tn с Т. Кривая разо-
разобьется выбранными нами точками на п кусков (черт. 42). Возьмем
какой-нибудь из них, М{Миг, отвечающий переходу от t—'tt
т* t~t{+i, построим хорду MiMi^x и соответствующий вектор-
диффе ренциа л
I 21]
ДЛИНА ДУГИ КАК ПАРАМЕТР
97
направленный по касательной в точке Afj. Таким образом, по-
построение черт. 36 повторено здесь для каждого перехода от
Составим сумму длин всех хорд MtMi + 1, т. е. длину ломаной
МйМгМг . . . Мп, вписанной в нашу кривую:
п-1
2
A54)
С другой стороны, составим сумму длин всех соответствующих
отрезков по касательным
п-1
п-1
?=0
A55)
Мы утверждаем, что разность между суммами A54) и A55)
стремится к нулю, когда разбиение кривой бесконечно измелъ-
Черт. 42.
чается, т. е. когда берется такая последовательность разбиений,
что А, наибольшая из разностей tt>1 — tt в данном разбиении,
стремится к нулю:
Д—>0, где Д>г; + 1 — tt.
Действительно, составим эту разность:
п-1
п-1 п-1
2 MtMUx- 2
i=fi
'=0
Так как модуль суммы не превосходит суммы модулей слагае-
слагаемых, то
п-1 п-1 п-1
2 МгМиг- 2 MtM\ [< 2 I M.M^-MiMW.
f-G
П. К. Рашевский
98
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ. И
Пользуясь оценкой A53), усилим неравенство, увеличив пра-
правую часть:
л — 1 л—1 л —1
г=0
?=Q
(Как мы знаем, Сг имеет одно и то же значение для всех хорд нашей
кривой, в частности для всех хорд МгМ1л1.)
Снова усилим неравенство, заменив в каждом слагаемом пра-
правой части один из множителей (?i+1— 1г) наибольшим из значений
этой разности Д. Получим
л —1
j=Q
п—1
i=0
л—1
Так как бесконечное измельчение разбиения означает стрем-
стремление Д к нулю, остальные же множители — постоянные, то пра-
правая, а следовательно, и левая часть неравенства стремятся к нулю.
Наше утверждение доказано. Что же касается суммы A55),
то ее можно рассматривать как интегральную сумму для скаляр-
скалярной положительной функции от t:
= \v'(t)\,
построенную на промежутке изменения аргумента t от Го = t0 до
T = tn. Поэтому при бесконечном измельчении разбиения сумма
A55) стремится как к пределу к интегралу
\T'(t)\dt.
A56)
То
Следовательно, и сумма A54), отличаясь от суммы A55) на
бесконечно малую, стремится к тому же самому пределу.
Итак, длина ломаной A54), вписанной в нашу кривую, стре-
стремится при бесконечном измельчении разбиения к пределу A56);
этот предел называется длиной нашей кривой.
При доказательстве мы использовали существование непрерыв-
непрерывной второй производной г" (г). Можно было бы ограничиться
более слабыми предположениями, на чем мы не останавливаемся,
так как раз навсегда предположили существование производных:
до любого нужного нам порядка.
Ранее уже говорилось о том, что выбор параметра t на данной
кривой является в сущности произвольным. Это вносит некоторую
§ 21]
ДЛИНА ДУГИ КАК ПАРАМЕТР
99
путаницу в изучение кривой в том смысле, что рассматриваемые
величины отражают как геометрические свойства, присущие кри-
кривой самой по себе, так и произвол в выборе параметризации.
Можно устранить это усложнение, выбрав параметризацию,
геометрически связанную с самой кривой, а именно выбрав за пара-
параметр длину дуги. Тогда при изучении кривой, заданной уравне-
уравнением A38), сама параметризация и все связанные с ней величины
геометрически вытекают из свойств самой кривой без какого-либо
существенного произвола»
Пусть у нас дана кривая г = г.(г), где t меняется в пределах
от То до Т. Фиксируем на кривой какую-нибудь точку Мй (ta) в
качестве начала отсчета (черт. 43).
Пусть теперь М (t) — любая точка на кривой; по формуле A56)
длина участка кривой МйМ от значения параметра t0 до значения
t (обозначим ее через s) выразится интегралом
t
\dt.
A57)
'о
В выражении A56) верхний предел интеграла был больше ниж-
нижнего, и длина кривой
получалась как величи-
величина положительная. В
формуле A57) мы будем
брать значения t как
ббльшие t0, так и мень-
меньшие t0, в связи с чем
длина дуги s будет по-
получаться со знаком + в Черт. 43.
первом случае и — во
втором случае. Итак, s выражена как функция верхнего предела /,
s = s(t). A58)
Дифференцируя выражение A57) по верхнему пределу t инте-
интеграла, получим
s'@ = 1 г'@1- С158')
По предположению, сделанному в конце § 15, г' (t) Ф 0, и следо-
следовательно,
Производная s' (t) положительна все время, и s (t)—функция,
монотонно возрастающая от значения s(T0) (отрицательного)
при t = То до значения s (Т) (положительного) при t = Т и прохо-
проходящая через 0 при t = t0. Такая функция допускает обращение,
V*
100
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
.т. е. уравнение A58) можно однозначно разрешить относительно t,
выразив t функцией от s:
. t = t{8), S(
Таким образом, не только каждой точке М (t) отвечает определен-
определенное значение s, но и каждому значению s в указанной области
изменения однозначно отвечает точка M(t) на кривой. Мы можем
принять s за новый параметр вдоль кривой, геометрически с ней
¦вполне связанный. Несущественный произвол заключается лишь
¦в выборе начала отсчета Мо, а также направления, в котором
дуга возрастает.
Вставляя выражение t = t (s) в уравнение кривой, получим
т. е. радиус-вектор выражен в функции параметра s. Теоретически
мы обычно и будем считать, что уравнение кривой записано именно
таким образом. Но практически переход к параметру s может быть
в конкретных случаях нецелесообразным в силу технических труд-
трудностей в выкладках. Поэтому сохраняют свое значение многие
вычислительные формулы, записанные для произвольной параме-
параметризации кривой.
В заключение укажем некоторые простые следствия. Умножив
обе части A58') на dt, получим
s' (t) dt = | г' (t) | dt.
Возьмем правую и левую части этого равенства по модулю; по-
получим
\ds\ = \dv\. A58")
Таким образом, модуль дифференциала длины дуги равен модулю
дифференциала радиус-вектора (все это при произвольной параме-
параметризации t вдоль кривой). Таким образом, геометрически диффе-
дифференциал дуги \ds\ изображается (см. черт. 36) длиной отрезка
касательной М0М', так как этот отрезок, взятый как вектор,
изображает dr! Путь же М0М, пройденный по кривой, дает не
дифференциал, а соответствующее точное приращение функции
s (t) при переходе от одной точки кривой к другой.
В частности, формула A58") остается верной и при выборе
дуги s в качестве параметра. Деля обе части на \ds\, получим
dt
ds '
1 =
A58'")
т. е. производная радиус-вектора по параметру-дуге есть вектор
единичный. Случайный характер модуля \r' (t)\, о котором гово-
говорилось выше, теперь исчезает.
§ 21]
ДЛИНА ДУГИ КАК ПАРАМЕТР
101
Наконец, представим полученные результаты в координатной
форме, что имеет особенное значение при решении конкретных
задач. Если кривая задана параметрически представлением A40),
то можно выразить радиус-вектор в функции того же t:
Дифференцируя это равенство по t, получаем
а умножая на dt, находим
dv = dx i + dy j -\- dz k.
По известной формуле для модуля вектора (корень квадратный из
суммы квадратов координат) получаем
г' (t) \ =
+ у' (О1 + z' (If,
\dv\ = У dx2 + dy2 + dz2 .
Сравнивая последние равенства с A58') и A58"), мы видим, что
s' @ = Ух' (tf + у' {tf + z' (tJ, \ds\ = У dx' + dy* + dz*. A59)
Выражение A56) для длины кривой примет вид
A59')
То
При фактическом вычислении длины дуги пользуются обычно
формулой A59'). В частности, когда параметром служит абсцисса х
(Xq^x^Cx,), формула A59') принимает вид
У i^y'(xy + z'
dx.
Рассмотрим, в частности, длину дуги в полярных
к о о р дината х.
Рассмотрим в плоскости X, Y кривую, заданную в полярных
координатах уравнением
Тогда, как мы знаем, можно перейти к параметрической записи
уравнения, приняв <р за параметр [см. C4)]:
х = 7- (ф)соз <р, y = r (tp)sin <р, z = 0.
102
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
1гл. Л
Последнее уравнение выражает, что кривая лежит в плоско-
плоскости X, Y. Вычисляя производные по параметру:
• х' —г' (tp)cos<p — r(tp)sincp,
у' = г' (<о) sin <р -+- г (<р) cos <р»
z'=0,
и беря сумму их квадратов, получим
или после умножения на dcp2
dx* + dy* + dz% = drz + г2 df*.
Отсюда формулы A59) принимают вид
A60)
а длина дуги равна
Упражнение.
Вычислить длину дуги эпициклоиды, гипоциклоиды, циклоиды (см.
упражнения на стр. 50) от начальной точки ? = 0 до произвольной
точки у < 2тс.
Отв. 4аАA+А) Л— cos-|Л, 4аАA-А) (l — cos-| \ 4а (l-cos-|- ) -
§ 22. Касание кривых.
При изучении кривых в бесконечно малом часто играет важную
роль порядок близости между двумя кривыми, выходящими из
одной точки. Так, допустим, что нужно составить себе представ-
представление о поведении кривой в бесконечно малом с определенной
степенью точности. Тогда подбираем другую кривую, которая
с этой степенью точности совпадает с первой. Если вторая кривая
обладает хорошо известным строением (является, например,
окружностью), то тем самым мы получаем представление и о ходе
первой кривой (в бесконечно малой области).
Изучим взаимное расположение двух каких-нибудь кривых
Схж С2, выходящих из общей точки Мо. На каждой из них примем
за параметр длину дуги s, так что уравнения кривых будут
Г* = !-!(*), Г2=Га<*). A61)
§ 22]
КАСАНИЕ КРИВЫХ
103
Примем для простоты точку Ма за начало отсчета дуги на обеих
кривых, так что
A61')
Во всем дальнейшем будем обозначать последовательные про-
производные от какой-нибудь функции по параметру s через г, г, ...
. . . , г, ... в отличие от производных г', г", . . . , г^п), . . . той же
самой функции, но по произвольному параметру t вдоль кривой 1).
В пределах этого параграфа нам понадобятся значения произ-
производных от гг и r2 no s лишь в точке Мо; мы будем их писать без
указания аргумента, подразумевая, следовательно, аргумент s = 0.
Изучим расхождение между кривыми Сг и С2, которое обнару-
обнаруживается, когда мы из общей точки Мо сместимся на одно и то же
расстояние s, заданное с определенным знаком (вдоль каждой из
кривых Сг и С2). Обозначим через Мг и М2 точки, куда мы таким
образом приходим (черт. 44). Другими словами, мы берем на
Сх и С2 соответственно точки
Мх и М2, отвечающие одному и
тому же
s. Итак,
значению параметра
или, что то же,
_=rx(s), OM2 = r2(s)-
Расхождение между кри-
кривыми Сх и С% естественно оценить
в связи е расстоянием МХМ2 Черт. 44.
между точками Мх и М2. Чем
выше будет порядок малости расстояния МхМг относительно s, тем
слабее расхождение кривых, тем теснее они сближены между собой.
Переходим теперь к выполнению этой оценки. Разложим rx (s)
я г2 (s) в ряд Тейлора по степеням s. Получим
(n)
A61")
S
ОМ„ = r2 (s) = r2 + r2s + r2 — +
x) Производные по параметру s, имеющему в дифференциальной гео-
геометрии особое значение, мы обозначаем точками, подобно тому как
в механике точками обозначаются производные по времени.
В некоторых руководствах по дифференциальной геометрии производ-
производные по параметру s обозначаются штрихами.
104
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ.
Здесь значения гх и г2 и их производных взяты в точке Мп.
Ряд Тейлора предполагается конечным, но остаточный член не
выписан, так как для дальнейшего вполне достаточно знать, что
этот член будет .при s, стремящемся к нулю, бесконечно малым
более высокого порядка, чем любой из не равных нулю предше-
предшествующих членов [см. A52); при t — t0, стремящемся к нулю, это
следует из ограниченности Qn по модулю].
Вектор М1М2 легко получить теперь как разность радиус-
векторов:
= ОМ,
+ (г2-Г1) ?+...+ (r2
(л) sn
" Г1) M
A62)
При вычитании Tj и г2 взаимно уничтожатся в силу A61'). За-
Заставим теперь s стремиться к нулю; тогда МгшМ2 будут точки
Cj и С2, отстоящие от Мо на одно и то же бесконечно малое расстоя-
расстояние s и стремящиеся, следовательно, в Мо, каждая по своей кри-
кривой. Чтобы оценить порядок малости МХМ2, сравнительно с s,
обратимся к разложению A62).
Теперь разберем различные возможные здесь случаи. Наибо-
• ¦
лее общим является тот, когда гх и г3 неколлинеарны, другими
словами, касательные к Сх и С2 в общей точке Ма не совпадают»
образуя угол, отличный от нуля (черт. 44). Тогда разложение A62)
начинается с члена
(г2
s,
отличного от нуля и бесконечно малого одного порядка cs. Так как
старший член определяет порядок малости и всего разложения,
то МХМ2 будет бесконечно малым того же порядка, т. е. одного-
порядка с длинами дуг МаМ1 = М0М2. Это—случай пересечения
кривых Сх и С2. Он вполне тривиален, и мы больше на нем не
останавливаемся.
Рассмотрим теперь другой возможный случай, когда rt и г3 кол-
линеарны, другими словами, касательные к Сх и С2 в точке Мо
совпадают. Мы говорим в этом случае, что Сх и С% имеют касание
в точке Мо- Так как, согласно A58'"), векторы тг и г2— единич-
единичные, то они, будучи направлены по общей касательной, или
совпадают между собой, или отличаются знаком:
Г3= —Г,.
A63)
§ 221
КАСАНИЕ КРИВЫХ
105
Условимся этот последний случай исключить раз навсегда из рас-
рассмотрения. Если бы, действительно, такой случай представился,
то мы изменили бы на одной кривой (например Сг) направление
отсчета на обратное, т. е. в качестве параметра ввели бы—s вместо s.
Тогда, ввиду изменения знака у аргумента, т± меняет знак, и мы
получаем
г2 = ix. A63')
Итак, направления отсчета на Сх и С% всегда можно согласо-
согласовать так, что будет иметь место A63'), а случай A63) устра-
устранится из рассмотрения. Это согласование мы будем предполагать
в дальнейшем выполненным. Геометрический смысл его в том, что
теперь при одинаковых значениях s мы будем смещаться по обеим
кривым в одну и ту же сторону от точки Мо. А только при этом
условии имеет смысл рассматривать расстояние М ХМ% и оценивать
порядок его малости (при смещении в разные стороны этот порядок
всегда 1-й независимо от степени близости кривых между собой).
Возвращаясь к разложению A62), видим, что в силу A63'),
член первой степени пропал, и оно начинается с члена 2-го порядка
малости относительно s:
А/,
А так как остальные члены разложения еще более высокого по-
порядка, то в случае касания расстояние МХМ2 — бесконечно малое
не ниже 2-го порядка относительно s. Этим существенно и отли-
отличается случай касания от
случая пересечения. м~
Кривые Сх и С2, ка-
касаясь друг друга, могут
сближаться между собой
в некоторых случаях осо-
особенно тесно (черт. 45).
Точнее говоря, расстояние
МгМ2, которое большей
частью оказывается беско- Черт. 45.
нечно малым 2-го порядка
относительно s, может иметь в некоторых случаях и более высо-
высокий порядок малости. Так, если кроме г2 — гх в точке Мо имеет
• • • •
еще место r2 = r1, то разложение A62) содержит лишь бесконеч-
бесконечно малые не ниже 3-го порядка.
Рассмотрим общий случай. В точке Ма, общей Сх и С3, мы
имеем, очевидно, г1 = г2; пусть, кроме того,
г1 = г2) г±= г2, .... Г1 = г2, A64)
106
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦЫЙ
[ГЛ. II
где точки означают дифференцирование по дуге. Тогда в разло-
разложении A62) пропадают все члены до n-й степени включительно,
так что расхождение MXM% является бесконечно малым не ниже
п+ 1-го порядка относительно смещения s. Тогда мы говорим, что
кривые имеют в 'Мо касание п-го порядка. Как мы видим, смысл
его заключается в том, что если рассматривать бесконечно малые
1-го, 2-го, ,.., п-го порядка, но пренебрегать более высокими поряд-
порядками малости, то расхождением МгМ2 придется пренебречь,
и кривые Сг и С2 станут в Мь в бесконечно малом неотличимыми
друг от друга.
Если при этом МгМ2 есть бесконечно малое точно п-\- 1-го по-
порядка (а не выше), то мы говорим, что налицо касание точно
п-го порядка. Для касания точно п-то порядка к условиям A64)
нужно добавить неравенство
(п + 1)
Ф Г2 ,
A64')
гарантирующее необращение в нуль члена п-\- 1-й степени относи-
относительно s в разложении A62).
Наиболее общим случаем касания является касание 1-го по-
порядка, когда п— 1, и условие A64) состоит только из одного пер-
первого равенства.
Подведем итоги. Кривые Сх и С% могут иметь в общей точке Мо
или пересечение' (если гг и г2 неколлинеарны), или касание
(если тг и га коллинеарны). Касание будет порядка п = 1, 2, 3, - . .
в зависимости от того, сколько последовательных производных от
• * • • ••
радиус-вектора по дуге г, г, г , ... совпадет для обеих кривых
в их общей точке.
Этим исчерпываются все могущие представиться здесь случаи
(направления отсчета предполагаем согласованными).
Мы принимаем для простоты точку Мо за начало отсчета дуги s.
Но очевидно, что если на Сг и С2 изменить начало отсчета произ-
произвольно, то это будет означать лишь добавление к параметру s неко-
некоторой постоянной. Значения производных по s не изменятся,
и условия A64) сохранят свой вид.
Запишем теперь условия касания п-го порядка A64) в коорди-
координатной форме. Совпадение векторов
. -. (л)
г, г, . . ., г
для обеих кривых в точке Мо равносильно совпадению соответ-
соответствующих координат этих векторов. Но, разлагая для какой-,
дшбудь кривой г (s) no i, j, k, получим
t(s) = x(s)i + y (s) j + z (s) k,
§ 23] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ КАСАНИЯ КРИВЫХ 107
где х, у, z — текущие координаты по кривой, выраженныев функции
параметра s. Дифференцируя последовательно по s, получим
• • # •
T=xi + y}+ zk,
• • •• •¦ ••
г = xl + у] + zk,
(п) (л) (л) (п)
г = xi + yl + zk.
Условия A64) примут следующий вид: в общей точке Mt производ-
производные по дуге от текущих координат
A65)
(п) (п) (п)
х, у, z; х, у, z; ...; х, у, z
должны иметь одинаковые значения для обеих кривых Сг и С2.
§ 23*. Дополнительные сведения по теории касания кривых.
Допустим, что уравнение какой-нибудь кривой представлено
вблизи Мо в виде
y = f(x), z = g(x),
что всегда возможно, так как мы рассматриваем только обыкно-
обыкновенные точки. Если вычислить последовательные производные
от у и z по х
/', /", ...,/(п>, 8', 8", -••,g(n) A65')
(тоже кончая п-м порядком), то легко видеть, что ихможно выра-
выразить через производные A65) от х, у, z по дуге s.
Действительно,
у
d •'
<ht — yJ± — ч /" = ^- = - =
Тх- -xds ~-x' d* Ids
у х -ху
И Т. Д.
Мы производим, коротко говоря, замену аргумента х аргумен-
аргументом s и все производные до п-то порядка от у, z по х выражаем
через производные тоже до п-го порядка тех же перемен-
переменных у, z (и самого х) по s г).
Обратно, переходя от аргумента s к аргументу х, можно все
производные A65) по s выразить через производные A65') по х.
1) См. Г. М. Фихте н го льц, т. I, гл. VI, § 4.
108 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ [гд. Ц
Для этого достаточно вспомнить, что
\ds\ = Y dx* + dV* -т- d?
и, следовательно, если отсчитывать s в сторону возрастания х,.
ds= + j/l + /'
g'" dx.
A66>
Отсюда легко вычислить производные до п-го порядка от s до ж
через производные A65').
По тем же правилам замены аргумента выражаем производные
до п-го порядка от х, у, z no s через производные до п-го порядка
от s, у, z по х.
В результате величины A65) выражаются через A65').
и обратно.
Следовательно, совпадение величин A65) в какой-нибудь
точке для двух кривых Сх и С2 влечет за собой такое же совпаде-
совпадение и для величин A65'), и обратно.
Поэтому условия A64) эквивалентны таким: в общей точке кри-
кривых Сх и С2 производные вдоль них от у, z no x до п-го порядка
включительно имеют общие значения.
Условия A64), а следовательно, и A65) исчерпывали при раз-
различных значениях п= 1, 2, 3, ... все возможные случаи касания,-
предполагая, однако, согла-
согласование направлений отсчета
на кривых Сх и С2.
Отметим, что эта оговорка
не нужна в последней нашей
формулировке. Действительно,
здесь берутся производные по
х, и выбор направления отсче-
отсчета вообще не нужен. Когда
же мы сводим эту формули-
формулировку к A65), переходя к аргу-
аргументу s, то направления от-
отсчета s на обеих кривых авто-
автоматически получаются согласо-
Черт. 46.
«.uiiiwi/Mi jLiuwiyiaiuruw согласо-
согласованными, а именно, как видно из A66), в сторону возрастания х.
Итак, мы предполагаем, что уравнения кривых Сг и С% имеют
соответственно вид
z = gl(x)
и
f 23] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ КАСАНИЯ КРИВЫХ 109
Согласно нашей формулировке необходимый и достаточный
признак касания п-го порядка в общей точке
заключается в совпадении производных в этой точке:
Здесь под знаком функций подразумевается аргумент х = х0.
Дадим геометрическое истолкование этого признака. Перейдем
из общей точки Мй (х0) в точки Мг и М% на кривых Сх и С2, отвеча-
отвечающие одному и тому же значению х (черт. 46). Оценим разность
значений у для этих двух точек.
у
Разложим /х (х/ и /2 (х) в ряд Тейлора по степеням х—х0:
\
/2 (х) = у, + /2
>
J
A67)
Беря разность j-(x) — fi(x), мы замечаем, что в правой части
пропадут в силу A66') все члены до я-й степени включительно.
Разложение может начаться лишь с членов га + 1-й степени, так
что при х, стремящемся к ха, разность значений у в точках Мх и
Ms будет бесконечно малой выше чем п-го порядка относи-
относительно х—х0.
То же относится и к разности значений z в точках Мх и Мг.
Итак, при смещении из общей точки Мо в бесконечно близкие
точки Мх и М2 с общей абсциссой х мы имеем расхождение в зна-
значениях у, бесконечно малое сравнительно с х-—х0, по крайней мере
п-^-1-го порядка; и то же самое для значений z.
Обратно, если это условие имеет место, то разности
/2 (х) — fx (х) и g2 (х) — gi(x) не могут содержать членов ниже
п -f- 1-й степени относительно х—ха, т. е. коэффициенты при
таки-х членах должны быть равны нулю. А эти коэффициенты, как
видно из A67), будут
An)
„(n
51
и их обращение в нуль приводит нас опять к A66'). Другими сло-
словами, только что формулированное условие равносильно усло-
риям A66') и представляет собой их геометрическое истолко-
истолкование.
110
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Наконец, докажем еще одну теорему общего характера, отно-
относящуюся к условиям касания плоских кривых.
Пусть даны: кривая Сх параметрическим представлением
x=x(t),
y=y(t)
и кривая С2 уравнением между координатами
F(x,y) = 0. A68)
Пусть они имеют общую точку Мо, отвечающую значению пара-
параметра f= t0 (черт. 47):
у
Запишем, что эта точка лежит и на С2:
F(xa,y0) = 0. A68'}
Вставим текущие координаты x(t), у (t) кривой Сх в левую часть
уравнения A68) (которое, конечно, не обязано удовлетвориться).
Получим некоторую функцию от t, которую обозначим через а:
() F
e() [x(t), y(t)];
при t=t0 эта функция, как видно из A68'), обращается в нуль
<р(го) = О.
Разложим <р (t) в ряд Тейлора по степеням t—10:
?(О = ?'(М(*-*о) + ?"(to) ^=^ + ¦ ¦
Если взять t переменным и стремящимся к ta, то <р (t) будет
бесконечно малым вместе с t— t0 и притом такого порядка малости,
какова степень первого члена
разложения, отличного от нуля.
Рассмотрим общий случай.
Пусть оказалось, что
= o. A69)
Условия A69) вполне равно-
равносильны требованию, чтобы раз-
разложение <р (t) начиналось с чле-
членов n + 1-й степени или выше,
т. е. чтобы <р(?) было бесконечно малым порядка выше п-го отно-
относительно t—16.
Мы утверждаем, что выполнение этого требования необходимо'
и достаточно для касания кривых Сг и С2 п-го порядка.
8 23] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ КАСАНИЯ КРИВЫХ Ш
Переходим к доказательству нашего утверждения. Ограничи-
Ограничиваясь рассмотрением заведомо обыкновенных точек, будем считать-
для определенности, что для кривой Сг
а^З^О, A70)
т.е.
и для кривой
о> У») =f
A70')
и что, следовательно, каждая из кривых Сг и С2 может быть при
желании записана вблизи Мо заданием у как функции от х.
Возьмем на кривой Сг какую-нибудь точку Мг [х (t), у (t)] и на
кривой С2 точку М2, отвечающую тому же зпачеиию х (черт. 47).
Координаты точки Мх обозначим через х, у [где х = x{t), y = y (t)];
у точки М2 абсцисса та же, а ординату обозначим через Y. Тогда*
уравнение A68) удовлетворяется для точки Мй, и мы имеем
F(x, У) = 0.
Выражение же функции ш (t) имеет, как мы помним, вид
4(t) = F(x,y).
Чтобы оценить порядок малости ср (t), удобно представить ее"
в виде разности
^(t) = F{x, y)-F(x, Y),
что вполне законно, так как вычитаемое равно нулю. Применяем
теорему о конечном приращении, рассматривая F как функцию
второго аргумента при фиксированном первом. Получим
где г]—некоторое промежуточное между у и Y значение. Отсюда
x,'fl). A71')
~O =
Пусть теперь t стремится к t0; тогда точка Мг стремится в Ма,
равно как и точка Мг, имеющая ту же абсциссу, что и Мг. Итак,
x(t)
x0
y0 при t-
Тогда значение ч, заключенное между у и Y, тоже стремится
к у0, и правая часть A71') стремится к пределу Fy(x0, yQ).
Итак, . .
112
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Но, согласно A70'), этот предел отличен от нуля, так что <р (t)
ж y — Y суть бесконечно малые одного порядка. К этому следует
добавить, что, согласно A70), t—10 и х—х0 тоже суть бесконечно
малые одного порядка. Поэтому порядок малости <в (t) относитель-
относительно t—ta совпадает с порядком малости.у—Y относительно х— х0.
Следовательно, если порядок малости <р (t) больше п, то порядок
малости у — Y относительно х—х0 тоже больше п, а это, как
было .установлено на стр. 109, необходимо и достаточно, чтобы
кривые имели касание n-го порядка (там нам приходилось
налагать такое же ограничение на разность значений z;
теперь это излишне, так как мы находимся на плоскости XY,
и 2 = 0).
Наше утверждение доказано. Интересно отметить, что если
порядок малости tp (t) и у—Y точно п-)-1-й (касание точно п-го
порядка), то главная часть у—Y будет степени п-\-1 относительно
х—х„ и в случае четного п будет менять знак вместе с х—ж0, т. е.
в зависимости от того, смещаемся ли мы из точки касания вправо
или влево. Касающиеся кривые расположатся так, что вправо
одна будет лежать «выше» второй, а влево—вторая «выше» первой.
В случае же нечетного п у—Y сохраняет постоянный знак, и по
обе стороны точки касания одна кривая лежит «выше» другой.
Доказанная теорема открывает путь к решению такой задачи:
Задача. Даны кривая
x = x{t), y = y(t)
и семейство кривых от п параметров
F(x, у, С 1г С2, ...,Сп
A72)
A73)
Всякий раз, когда мы даем параметрам Сх, С2, . . ., Сп какие-
нибудь постоянные значения, уравнение A73) определяет некото-
некоторую кривую. Совокупность всевозможных таких кривых мы
и называем 7г-параметрическим семейством.
Требуется среди кривых семейства A73) найти такую, которая
имела бы с данной кривой A72) в данной ее точке t= tb касание
и притом наивысшего возможного порядка.
Смысл задачи заключается в том, что, решив ее, мы найдем
кривую семейства, которая с наилучшей возможной точностью
воспроизводит данную кривую A72) в ее бесконечно малом куске
около точки ?= t0. Следует пояснить, что обычно кривая A72)
берется произвольной, кривые же семейства A73) — сравнительно
простого строения, так что мы остаемся в выигрыше, связывая
с кривой A72) более простой геометрический образ.
Решение задачи очевидно. Возьмем кривую семейства A73)
пока с неопределенными параметрами Сг, . . ., Сп и обозначим через
•<р (t, Сг, C-z, . . ., Сп) результат подстановки текущих координат
j 23] ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО TEOI-ИИ КАСАНИЯ КРИВЫХ 113
кривой A72) в левую часть уравнения этой кривой семейства:
9{t,CltCt, ...,Cn) = F[x(t),y(t),C1,C1, ...,Cn\. .,
Прежде всего нужно потребовать, чтобы при t= t0 эта функция
обращалась в нуль, т. с. чтобы точка на кривой A72) xo — x(ti)),
У в = У {*») лежала и на выбранной нами кривой семейства:
ф(*о, Clf C%, ...,С„) = 0. A74)
Далее, если мы хотим обеспечить в этой точке наилучший порядок'
касания кривой A72) и выбранной нами кривой семейства, нужно
потребовать [согласно A69)] обращения в нуль в этой точке после-
последовательных производных от a (t, Сх, С2, . . ., Сп) по Z в возможно
большем количестве:
?'(to,cltc2, ...,<:„) = о,
*"{ta,Cx, С,, ..., С„) = 0,
о" (*„ С,, С3, ...,С„) = 0,
A75)
Требования A74) и A75) представляют собой уравнения, свя-
связывающие неопределенные параметры Сх, . . .,Сп. Мы продолжим
систему уравнений A75) так далеко, пока она остается совместной
относительно Сг, . . ., Сп. В общем виде нельзя дать точного ответа
о допустимом числе уравнений A75), но можно ожидать, что так
как неизвестных п, то всего в A74) и A75) можно дать п урав-
уравнений, т. е. в уравнениях A75) остановиться на п—1-й произ-
производной. Это гарантирует касание п—1-го порядка.
Решая систему уравнений A74), A75) относительно С1; . . ., Сп,
находим кривую семейства A73), имеющую с кривой A72) в ее
точке t= tn касание наивысшего возможного .порядка. Вообще гово-
говоря, нужно ожидать, как мы видели, что это касание будет п—1-го
лорядка, если число параметров семейства равно п.
У пражне и и я.
1. Семейство A7:!) представляет собой семейство всевозможных пря-
прямых (не параллельных оси Y)
Найти прямую, имеющую касание 1-го порядка с кривой A72) в точ-
точке t = t0 (где х'A0)ф0).
Отв. Касательная у — Уо =—г (ж ~ хо)-
При этом, если х'ау — у'^с"а ф 0, то касание точно 1-го порядка, если
* / dhj\
же х'оу1 — у'ох'а = 0 (а значит, г -у-~ ) =0, и мы имеем точку распрямле-
* dec у о
пия. см. § 2), то касание 2-го пли еще более высокого порядка.
2. Семейство A73) представляет собой семейство всевозможных
окружностей
^ II. К. Рашеясшш
ДИФФЕРШШШ ОВАНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
[ГЛ. II
Найти окружность, имеющую касание 2-го порядка с кривой sl72>
в точке « = ?„ (такая окружность называется соприкасакпиеися).
Отв.
/2 . ,2
6 +Уо
(«f+»;*>»
Если х'оу1— </i
существует.
= 0 (точка распрямления), то искомой окружности
ГЛАВА III.
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ.
Мы подготовили в предыдущей главе аппарат дифференциро-
дифференцирования вектор-функций и установили ряд общих понятий теории
кривых. Теперь мы можем перейти к более детальному изучению
геометрии кривых. Мы начнем с геометрии плоских кривых.
Конечно, ее можно было бы получить как частный случай из
геометрии кривых в пространстве, но при таком подходе легко
могли бы ускользнуть многие своеобразные ее стороны. Чтобы вы-
выявить их в достаточной полноте, мы займемся в этой главе только
плоскими кривыми. В следующей же главе мы перенесем наши
результаты в обобщенном и расширенном виде на простран-
пространственные кривые.
Как видно из названия главы, речь будет итти о геометри-
геометрических построениях, связанных с кривизной плоской кривой.
И это вполне естественно, так как кривизна, степень искрив-
искривленности кривой, является важнейшей геометрической характе-
характеристикой ее поведения в данной точке. Мы увидим, как это
понятие различными нитями связывается с геометрией кривой.
§ 24. Соприкасающаяся окружность.
Простейший образ, связанный с данной точкой произвольной
кривой, — это ее касательная в данной точке. Касательная имеет
с кривой касание 1-го порядка (§ 20), так как первая произ-
производная радиус-вектора по дуге г в точке касания будет общей
для кривой и для ее касательной, как и вообще для любых
двух касающихся друг друга кривых (так как г есть единичный
вектор, направленный по касательной).
Таким образом, касательная воспроизводит ход кривой
вблизи точки касания с точностью 1-го порядка, т. е. если
пренебрегать бесконечно малыми 2-го порядка и выше.
Мы хотим теперь наглядно воспроизвести ход кривой вбли-
вблизи данной точки с точностью 2-го порядка, т. е. пренебрегая
лишь бесконечно малыми 3-го порядка и выше. При помощи
114
ДИФФЕРИП Ш1 ОВЛНИЕ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
[гл. II
Найти окружность, имеющую касание 2-го порядка с кривой s'152)
в точке ? = ?„ (такая окружность называется соприкасающейся).
Отв.
/2 , ,2
«О +У0
Если х'оу"о—
существует.
х"л = 0 (точка распрямления), то искомой окружноети 'ие
ГЛАВА III.
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ.
Мы подготовили в предыдущей главе аппарат дифференциро-
дифференцирования вектор-функций и установили ряд общих понятий теории
кривых. Теперь мы можем перейти к более детальному изучению
геометрии кривых. Мы начнем с геометрии плоских кривых.
Конечно, ее можно было бы получить как частный случай из
геометрии кривых в пространстве, но при таком подходе легко
могли бы ускользнуть многие своеобразные ее стороны. Чтобы вы-
выявить их в достаточной полноте, мы займемся в этой главе только
плоскими кривыми. В следующей же главе мы перенесем наши
результаты в обобщенном и расширенном виде на простран-
пространственные кривые.
Как видно из названия главы, речь будет итти о геометри-
геометрических построениях, связанных с кривизной плоской кривой.
И это вполне естественно, так как кривизна, степень искрив-
искривленности кривой, является важнейшей геометрической характе-
характеристикой ее поведения в данной точке. Мы увидим, как это
понятие различными нитями связывается с геометрией кривой.
§ 24. Соприкасающаяся окружность.
Простейший образ, связанный с данной точкой произвольной
кривой, — это ее касательная в данной точке. Касательная имеет
с кривой касание 1-го порядка (§ 20), так как первая произ-
производная радиус-вектора по дуге г в точке касания будет общей
для кривой и для ее касательной, как и вообще для любых
двух касающихся друг друга кривых (так как г есть единичный
вектор, направленный по касательной).
Таким образом, касательная воспроизводят ход кривой
вблизи точки касания с точностью 1-го порядка, т. е. если
пренебрегать бесконечно малыми 2-го порядка и выше.
Мы хотим теперь наглядно воспроизвести ход кривой вбли-
вблизи данной точки с точностью 2-го порядка, т. е. пренебрегая
лишь бесконечно малыми 3-го порядка и выше. При помощи
8*
116
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. III
прямой линии этого' сделать не удастся (за исключением слу-
случаев, когда данная точка на кривой—точка распрямления).
Мът обратимся к другой элементарной кривой — к окружности
и постараемся подобрать ее таким образом, чтобы она вблизи
данной точки кривой уклонялась от кривой лишь на бесконечно
малые (не ниже) 3-го порядка.
Итак, мы ставим себе следующую задачу.
Найти окружность, имеющую с данной кривой в данной ее
точке касание 2-го порядка. Такая окружность называется сопри-
соприкасающейся окружностью в данной точ-
точке кривой.
Мы будем предполагать, что данная
кривая определена параметрическими
уравнениями
Пусть на кривой дана какая-нибудь
Черт. 48. точка Ma(ta). Мы будем обозначать
x(t0), хAа), x"(t0),... через х0, х'о,
и т. д. Уравнение искомой окружности напишем в виде
Константы a, b, R— пока неопределенные.
Потребуем, прежде всего, чтобы наша окружность проходила
через точку М„, т. е. чтобы х0, у0 удовлетворяли уравнению
окружности: Получим
(xo-ay+(yu-by=,R\ A76)
Это первое из уравнений, связывающих неизвестные констан-
константы. Далее, смещаясь из точки Ма (*0) в бесконечно близкую
точку М (t) яо кривой, оценим уклонение кривой от окруж-
окружности следующим образом. Проведем прямую МС, где С(а,Ь) —
центр окружности (черт. 48), и отметим точку L в пересечении
-этой прямой с окружностью. Уклонение кривой от окружности
будет выражаться отрезком
LM = CM — CL.
Нам нужно так подобрать окружность, чтобы уклонение LM
при t—>ta было бесконечно малым {не ниже) 3-го порядка отно-
относительно t — t0 (касание 2-го порядка).
Но разность отрезков СМ — CL будет бесконечно малой того
же порядка, как и разность их квадратов СМ%—CU. В самом
деле, отношение этих двух бесконечно малых стремится к конеч-
§ 24]
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ
117
ному пределу, отличному от чуля:
СМ1 - CV-
так как
cm-cl
СМ-> СМа ( =
CL = R.
Следовательно, вместо того, чтобы добиваться 3-го порядка
малости для уклонения LM, мы можем добиваться этого же
самого для разности квадратов CM'— CU, что будет проще
в отношении выкладок. Так как
то
СМ* - CU = [х (г) -af + [у (t)- b]z — R*.
Полученную функцию от t кратко обозначим через <р (t):
? (О = [х(t)-аУ + [у (О- W— R*.
Разложим © (О в РЯД Тейлора по степеням t — te:
'Со);
,— +
2!
9'
3!
A77)
A77').
Для того чтобы <o(t) при t—> t0 была бесконечно малой 3-го
порядка, необходимо и достаточно, чтобы это разложение
начиналось с членов (не ниже) 3-й степени, т. е. чтобы
Дифференцируя по t развернутое выражение функции A77), по-
получим
y>O
Ч(Ь) {0@) + уЦу0
э" (t0) = 2 [х'в (х0 — а) + у (у0
х'о
0. J
A78)
Первое из этих уравнений уже встречалось нам в виде A76).
Разрешим два последних уравнения относительно х0 — а, у0 — Ь
(как систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными)
и изменим знаки у полученных выражений. Мы приходим
к следующему результату:
& "^0 У о.
и совершенно аналогично
¦ У о
A79)
118
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. III
Мы предполагаем при этом, что
<У'о — У>'оФО. A79')
В результате по "формулам A79) определяется центр соприкат
сающейся .окружности С {а, Ъ), а из первого уравнения A78)—
ее радиус R.
Формулы A79) совершенно симметричны относительно коор-
координатных осей; нужно только иметь в виду, что именно поэтому
знаменатели у них отличаются знаком.
' Центр соприкасающейся окружности называется центром
кривизны кривой в данной точке t = t0. Как мы видим, его
координаты выражаются через координаты ха, уъ данной точки
кривой x(t), у (t) и через их первые и вторые производные по
параметру (тоже в данной точке). Каждой точке кривой отве-
отвечают своя соприкасающаяся окружность и свой центр кривизны.
Теперь по первому из уравнений A78) легко найти Я2:
Отсюда, извлекая квадратный корень, получим, считая R всегда
положительным,
П==^Ш±Ш. . A80)
I хУо Ух I
Вычисленный нами таким образом радиус соприкасающейся
окружности называется радиусом кривизны кривой в данной
точке t — t0.
Мы видим, что в каждой точке кривой x(t), у (t) при условии
A79') существует и единственным образом определяется окруж-
окружность, имеющая с кривой в этой точке касание 2-го порядка
(соприкасающаяся).
Особо рассмотрим те точки, где знаменатель выражений
A79) и A80) обращается в нуль:
<у'о-У>'о = 0, A80')
и где радиус кривизны обращается в бесконечность. Здесь,
строго, говоря, соприкасающейся окружности не существует.
Разберемся в геометрической картине этого случая. Так как
dy
dx
х'
dx*
dx
то в данной точке, в силу A80'), j~1 = 0> и это будет точка рас-
распрямления (§ 2). Следовательно, в этой точке касательная имеет
с кривой касание не 1-го порядка, как обычно, а 2-го, и заменяет
в этом смысле соприкасающуюся окружность. Можно считать, что
941
СОПРИКЛСАИ. Щ \ПСЯ ОКРУЖНОСТЬ
119
здесь мы имеем предельный случай соприкасающейся окруж-
окружности —¦ случай бесконечно большого радиуса, когда окружность
превращается в прямую (касательную). Особенно наглядным это
становится, если двигаться по кривой x{t), у (t), стремясь
в точку ta, где соблюдается условие A80'). Тогда радиус сопри-
соприкасающейся окружности неограниченно растет, окружность
распрямляется, стремясь к касательной в точке ta как к своему
предельному положению.
Имеет смысл переписать еще формулы A79) и A80) в том
частном случае, когда уравнение кривой имеет вид
У = у{х),
т.е. роль параметра, t играет абсцисса х. Тогда
(штрих означает дифференцирование по х), и A79), A80) при-
принимают вид
хо=—уо
A81)
д A+Q3 .
\у:\ ' J . ¦
Б формулах A79), A80), A81) мы больше не будем писать
¦нуль при х ж у, так как точка была произвольно фиксирована
да кривой и полученные формулы справедливы для любой
точки. Сделаем еще замечание относительно черт. 48. Так как
разложение A77') начинается, вообще говоря, с членов 3-й сте-
степени, то при t —^ tg <p (t) имеет знак своей главной части
г"' (*о) "Г,, — и, значит, меняет знак при переходе от t < t0
к I >> 20. Следовательно, уклонение кривой от соприкасающейся
окружности меняет знак при переходе через точку касания Мо.
Тем самым кривая в точке касания, вообще говоря, переходит
с одной стороны своей соприкасающейся окружности на другую.
Замечание. В этом параграфе мы оценивали уклонение
кривой от окружности несколько иначе, чем в общей теории
касания кривых. Однако геометрически почти очевидно, что
результат от этого не меняется.
Несколько позже это будет показано и совершенно строго
{§ 41). Что же касается того, что за бесконечно малое 1-го
лорядка мы принимаем нриращение параметра t — ta вместо
4 20
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСШГХ КРИВЫХ
[гл. III
приращевия дуги s — sn, то это ничего не меняет. Действи-
Действительно,
а следовательно, s — ,у0 и t —10 — бесконечно малые одного по-
порядка [как и всегда, мы предполагаем т'(te) =?= 0].
П р и м е р ы и упражнения.
1. Центр кривизны, в полярных координатах. Пл^сть уравнение кривой
имеет вид C3) и оси X, Y выбраны как на черт. 13, т. е. ось X прохо-
проходит через рассматриваемую точку М на кривой. Если угол » отсчиты-
вается от оси ОХ, принятой за полярную ось, то имеет место параметри-
параметрическое представление C4). Дифференцируем по <f:
х' =т г' cos <р — г sin <р, х" = г" cos <р — 2г' sin в — г cos f,
у' — г' sin в -f г cos ip, у" — г" sin а + lr' cos а — г sin s.
Так как в точке М мы имеем ? = 0, то
х' ==г', х" = г" — г,
У' = Л У" — ->' ¦
Находим координаты центра кривизны С по A"9):
г" г— г*
(так как в точке М х=г,
визны R:
/ = 0). Отсюда легко вычислить радиус кри-
криЦентр кривизны С будет расположен где-то па норма
(см. черт. 13). Найдем отношение, в котором он делит отрезок N
NC х _ — х п. — 0 г'г ~ гт" /-
лл Л/Л"
'„V.
Сравнивая с C5), мы получаем
NC
Формулы ДЛЯ Л Я -jv
JVC
CM
остаются, очевидно, верными, если
полярную ось как л годно, а не обязательно проходящей чере:
дуемую точку М (ср. § 5).
2, Синус-спирали. Так называются кривые, для всех точек
NC
отношение -——-- остается постоянным. Запишем это условие:
С Л'1
выбра i ь
: иссл<>-
которых:
Отсюда ;i = Лз
NC
= const, т. е. 777=/-
§ 24|
СоШ'Шл.ЛСЛЮЩАЯСН OKPV,KHOCTI>
121
Следовательно, синус-спирали можно характеризовать и тем, что
вдоль них 'х есть линейная функция ?, т. е. угол наклона касательной
к неподвимспой полярной оси (этот угол равен <р -j- ;i) получает приращения,
пропорциональные приращениям полярного угла <р (с коэффициентол1 про-
пропорциональности 1 + А).
Найдем уравнения синус-сииралей в конечном виде в случае 2,ф0..
Поворотом полярной оси можно добиться обращения ц0 в — , так что
По.чьзуясь формулой C5), получаем
df /~. к "\ dr
rdT = tgCA? + Tj> T-e-T = "
Иптегрирл^ем почленно:
cos
da.
cos Л? + С т. е. г = r0 (cos Я«) У' ,
где
Составить себе представление о форме главной ветви сииус-снирали,
т. е. той ее части, для которой
2Я
2А
и, следовательно, cosAf>0.
Остальные части синус-спирали по форме повторяют главную ветвь.
Доказать следующие результаты:
В случае Я > 0 главная ветвь начинается в полюсе, где касается
направления »= — —= , максимально удаляется от полюса на расстояние /¦„
2л
при э = 0 и снова возвращается в полюс при f = •—= , касаясь этого на-
направления.
В случае Я < 0 главная ветвь при (р= — тт^ и ?==— уходят в беско-
бесконечность; наиболее приближается к полюсу при ? = 0, когда 7' = г0.
Локазоть, что в случаях
2, -1.-
-2
мы получаем соответственно окружность, кардиоиду (см. упражнения
в конце § 7), лемнискату (одну ветвь, см. черт. 15, б), прямую линию,
параболу, равнобочную гиперболу {одну ветвь).
Выяснить расположение полюса и полярной оси относительно каждой.
из этих линий, формулировать для каждой из них теорему о том, что
-^—j== Я, и выяснить соответственно расположение центра кривизны С
относительно отрезка MN.
122
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл.. III
В случае А = 0 основное соотношение дает -^ = 0; показать что синус-
дор
^спираль в этом случае тождественна с логарифмической спиралью. Центр
кривизны С попадает в точку N. .
3. Кривые Рибокура. Так называются кривые, центр кривизны которых
¦С делит в постоянном отношении Я отрезок нормали NM от оси X до
точки касания (черт. 7).
Пусть кривая задана уравнением t/ = /(a:)>o. Тогда, пользуясь фор-
формулами A81), получим
¦откуда
Nc
СМ Ус-Ум
УУ"
- ъ
— у —
у'2
УУ"
l + 3/'J
Интегрируем почленно (считая
1
т. е. _
/.=j=0):
т. е.
i'T*J, где С=е''А>0.
Отыскание кривой Рибокура в конечном виде сводится, таким образом,
к квадратурам, именно,
dy
В случае 1+А<0 ордината дменяется от наименьшего возможного
значения г/ = — до +оо, в случае 1 + Л>0 — от нуля до наибольшего
1
значения y = —t причем х монотонно растет в обоих случаях (если
в знаменателе брать корень со знаком +). Получаем главную ветвь кри-
кривой Рибокура.
Выполнить интегрирование в частных случаях
А = 0, -2, —i, -±
и показать, что кривая будет представлять соответственно окружность,
цепную линию С у = — [е*С + е~*С) V циклоиду (см. упражнения в
конце § 7), параболу.
Выяснить расположение этих кривых относительно оси X и располо-
расположение центра кривизны С относительно отрезка MN в каждом случае.
§ 25] ПОСТРОЕНИЕ СОПРИКАСАЮЩЕЙСЯ ОКРУЖНОСТИ 123
§ 25. Построение соприкасающейся окружности
предельным переходом.
Пусть в данной точке Ма кривой
x=x(t),
y = y(t)
требуется построить соприкасающуюся окружность. Выберем про-
произвольно еще две точки на нашей кривой, Мх и М2, и про-
проведем через Мй, Мх, М2 окружность
.¦(черт. 49).
Пусть точки М„, Мх, М2 отвечают
значениям параметра t= t0, tx, t2. Центр
окружности обозначим С (а, Ь). Разу-
Разумеется, он, вообще говоря, не совпадает
•с центром кривизны. Мы докажем сле-
„д \ющее.
Окружность, проведенная через точ-
точки кривой Мо, Мх, Мг, стремится
«совпасть с соприкасающейся окружно-
окружностью в точке Мо, когда точки Мх и М2
•движутся по кривой, стремясь совпасть
с неподвижной точкой Мо.
Это, разумеется, верно при условии, что соприкасающаяся
«окружность в точке Мо существует, т. е. что
"у' ф 0.
Черт. 49.
2/0^0
A82)
Переходим к доказательству. Пусть 3/ —произвольная точка
на кривой, отвечающая произвольному значению t.
Считая сначала точки Мх и М2 неподвижными и нашу окруж-
окружность неизменной, составим снова функцию <р (t) согласно фор-
формуле A77). Так как точки Мо, Мх, М-2 лежат в пересечении кри-
кривой с окружностью, то в этих точках М и L совпадают, СМ — CL,
а следовательно, обращается в нуль и функция со (t):
CD (t0) = <р (tx) = ? («2) = 0.
Будем считать для определенности, что t0 < tx < t». Приме-
Применяя теорему Ролля для промежутка t0, tx и t1} t2, получим
?'(«,) = 9'(«.) = 0.
тде
*0 <*»<*!. t1<ti<t.2.
Снова применяем теорему Ролля для функции ф' (t) в проме-
промежутке ts, tt. Получим
ср»(г,) = О, где t%<tt<tA.
124 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ [ГЛ.
Из полученных соотношений используем следующие:
?(*„)= О, ?'('*.) = О, «р'(О = 0.
Напишем их в развернутом виде:
? ((to) = (я. - ау + (у0 - bf - R2 = О,
?' (*,) = 2 К (хъ - а) + у,' (^ - 6)} = О,
9" (О = 2 (< (ж, - а) + ? (^ _ 6) + <
у'*} = 0.
A83>
Эти уравнения очень похожи на уравнения A78). Но в уравне-
уравнениях A78) все координаты х, у и их производные были взяты
в точке t = t,,, теперь же во втором уравнении они берутся для
точки t = t3, а в третьем уравнении—для t = t.. Последние два
уравнения A83) мы будем рассматривать как систему двух линей-
линейных уравнений с двумя неизвестными а, Ь (координаты центра
нашей окружности).
Заставим теперь tx и i2 стремиться к ta; точки Мг и М-2, следо-
следовательно, бегут по кривой, стремясь в точку Мо.
Вместе с 1г и t2 стремятся к t0 и заключенные между t._, и t±
значения tz и tb. При этом, очевидно, коэффициенты уравне-
уравнений A83) в пределе превращаются в коэффициенты соответ-
соответствующих уравнений A78).
Мы предполагаем, что условие A82) соблюдается. Тогда при:
ts и tb, достаточно приблизившихся к t0, будет соблюдаться
и условие
Это значит, что последние два уравнения A83) относительно неиз-
неизвестных а, Ъ образуют систему с детерминантом, отличным от
нуля.
Представим себе, что мы явно выразили а, Ъ из этих уравнений
через их коэффициенты, а затем перешли к пределу. В пределе
коэффициенты уравнений A83) превратятся в соответствующие
коэффициенты уравнений A78), а следовательно а и 6, найденные
из A83), превратятся в пределе в а, и 6, найденные из A78)
(т. е. координаты центра кривизны).
Итак, центр окружности, проведенной через Мо, Мг, М* при
Мг—*-М0, М-2—*-М0,- стремится совпасть с центром кривизны.
При этом окружность все время проходит через неподвижную
точку М„, и следовательно, стремится совпасть с окружностью,
тоже проходящей через Мо и имеющей центр в центре кривизны.
А такая окружность, очевидно, тождественна с соприкасающейся-
Этим наше утверждение доказано.
S 26]
КРИВИЗНА
§ 26. Кривизна.
125
Черт. 50.
В этом параграфе мы займемся понятием кривизны плоской
кривой. К этому понятию естественнее всего можно подойти,
поставив себе целью дать численную оценку степени искривлен-
искривленности кривой в данной точке. Действительно, как видно на-глаз»
различные кривые или одна и та же кривая в разных точках motvt
быть искривлены в большей или меньшей степени. Так, прямая
линия совсем не имеет искривления, окружность большого ра-
радиуса имеет слабое искривле-
тше, а по мере уменьшения
радиуса ее искривление ра-
растет. На черт. 50 искривлен-
искривленность кривой увеличивается
при движении по ней слева
направо. Все это, конечно,—
только наглядные соображе-
соображения. Чтобы подойти к точ-
точному определению, заметим,
-что чем сильнее искривление
кривой, тем быстрее меняет
свое направление касатель-
касательная к ней при переходе от точки к точке; так, прямая, являю-
являющаяся сама своей касательной, все время сохраняет постоянное
направление. Поэтому за меру искривленности кривой в среднем
на данном участке ММ' можно принять угол поворота касатель-
касательной, приходящийся в среднем на единицу пути, пройденного
точкой касания. Другими словами, нужно угол Да, образован-
образованный касательными в точках М и М' (черт. 50), разделить на
Ля—длину дуги ММ'. Полученное частное
*ср = ^, A84)
.взятое по модулю, называется средней кривизной дуги ММ'.
Отсюда же нетрудно перейти к понятию кривизны в данной
.точке М. Заставим точку М' стремиться по кривой в М. Тогда
предел, к которому стремится средняя кривизна дуги ММ', назы-
называется кривизной кривой в точке М. Мы будем обозначать кри-
кривизну через к.
Итак,
к = lim
Д.?
A85)
Формулированное здесь определение кривизны законно, так
как мы сейчас увидим, что предел, о котором идет речь, суще-
существует и является вполне определенным (при обычных наших
126
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. 111
предположениях). Предел берем по модулю, считая кривизну h
величиной всегда положительной или в крайнем случае нулем.
Пусть кривая задана параметрическим представлением х = х (t)r
Займемся вычислением кривизны кривой в произвольной точке.
Каждому значению t отвечают некоторая точка М (t) на кривой,
касательная в этой точке, и угол a.(t), образуемый касательно*
с положительным направлением оси X. Так как мы ограничи-
ограничиваемся заведомо обыкновенными точками, то х' (t), у' (t) не обра-
обращаются одновременно в нуль. Для определенности ограничимся
простым отрезком кривой, где х' ф 0; тогда касательная не па-
параллельна оси Y, и ее угловой коэффициент равен
tg«(O = s = S{J)' OTIWa a(O = arctg|^. A86)
Угол а задан здесь как функция t (хотя и неоднозначная; но
мы выберем одну из ветвей arctg, какую безразлично, так как
нам важна не сама функция a (t), а ее приращения, а они будут
всегда одни и те же).
С другой стороны, длина дуги s, отсчитываемая от некоторой
начальной точки до точки M{t) по кривой, есть также функция от t:
s = s A)я
Перейдем из точки M{t) в некоторую другую точку М' (t + At),
давая параметру t приращение At. Тогда функция a (t) примет
новое значение a.{t-\-At).
Очевидно, а (г + At) и а (t) суть углы, образуемые с положи-
положительным направлением оси X направлениями касательных соот-
соответственно в точках М' и М. Поэтому разность этих углов
a(t+At) — a(t)
есть угол поворота касательной при переходе из М в М'.
С другой стороны, s {t-\-At) и s (t) суть длины дуг, отсчитан-
отсчитанных от некоторой начальной точки соответственно до точек
М' и М. Разность этих дуг
s (t + At) - s (t)
выражает длину дуги от М до М'.
Поэтому средняя кривизна кривой на отрезке ММ' выражается
отношениемм
—"(О
"ср | s (« + At) — s (г)
Рассмотрим поведение этой величины при At, стремящемся
к нулю, т. е. при стремлении точки М' в Ж по кривой.
26]
КРИВИЗНА
127
Если переписать предыдущее выражение в виде
(t + At)— g(
Д{
s{t +Д{)— s(f)
то ясно, что при It —> 0 числитель и знаменатель стремятся к пре-
пределам, а именно к производным a' (t) и s' (t), следовательно, предел,
этого выражения (т. е. кривизна в точке) существует и выражается
так:
к =
a' (t)
s' (t)
A87)
Остается закончить вычисление. Находим а' (г), дифференци-
руя A86):
y"(t)x'(t)-x»(t)y'(t)
' ''
х' (t)z
у'х'-х'у'
1 +
SW
Что же касается s' {t), то пользуемся формулой A59), учитывая,
конечно, что у нас z = 0:
Вставляя в A87), получаем окончательно
A88)
Мы вывели эту формулу в допущении, что вблизи рассматри-
рассматриваемой точки М x'(t) Ф 0. Но ввиду ее полной симметрии отно-
относительно х, у она будет иметь тот же вид и при допущении у'(^фО,.
т. е. она имеет место в любой заведомо обыкновенной точке.
Сравнивая полученное выражение кривизны к с формулой
A80) для радиуса кривизны, мы приходим к важному соотношению
/c = -L. A89)
Кривизна и радиус кривизны — величины взаимно обратные.
Это соотношение, выведенное вычислением, интересно пояснить
геометрически. Заметим прежде всего, что для окружности вы-
вычислить кривизну особенно просто. В.этом случае (черт. 51) угол
между касательными в точках М и М' равен центральному углу
Да между радиусами ОМ и ОМ', проведенными в точки касания.
Соответствующая длина дуги ММ' = As равна центральному
128
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. Ш
Асе,
Черт. 51.
углу Да, умноженному на радиус окружности R, так что As = Я Act
Да 1
н, следовательно, v- = -j.-.
Средняя кривизна любой дуги окружности равна обратной
величине радиуса окружности. Ясно отсюда, что кривизна в любой
точке окружности также равна -^ и остается, таким образом,
постоянной от точки к точке.
Установив это, заметим, что из самого определения кривизны к
(теперь уже для любой кривой) видно, что для ее вычисления
достаточно знать производные текущих координат х, у по дуге s
лишь 1-го и 2-го порядков (одно
дифференцирование при вычисле-
вычислении а и еще одно при отыскании
lim д-). Но так как кривая имеет
с соприкасающейся окружностью
касание 2-го порядка, то значе-
значения этих производных у них будут
общими, а значит, будет общим
и значение кривизны. Итак, кри-
кривизна произвольной кривой в каж-
каждой ее точке равна кривизне сопри-
соприкасающейся окружности, а зна-
значит, обратной величине радиуса этой окружности {радиуса кри-
кривизны). Мы вновь пришли к соотношению A89).
Добавим еще, что теперь признак точек распрямления A80')
х"у' — у"х' = О
можно, пользуясь формулой A88), переписать в виде
k = 0. A90)
В частности, к точкам с кривизной нуль принадлежат все те
точки перегиба, в которых кривизна вообще существует (не
обращается в бесконечность).
§ 27. Векторы t, n.
С шшскон кривой в каждой ее точке М можно естественным
образом связать нечто вроде местной прямоугольной системы
координат. А именно, роль начала координат О будет играть сама
точка М, а роль осей X и Y — касательная и нормаль в этой точке.
В таком случае роль ортов i и j примут на себя единичные векторы,
направленные соответственно по касательной и по нормали. Эти
векторы мы будем обозначать t и п (черт. 52).
Пусть кривая отнесена к дуге, как к параметру:
t=i(s). A91)
27]
ВЕКТОРЫ t, П
129
Мы знаем, что производная г радиус-вектора по дуге есть еди-
единичный касательный вектор [см. A58'")]. Поэтому можно поло-
положить
t = r. A92)
По 1-й лемме § 18 производная единичного вектора ему орто-
ортогональна; следовательно, t _L t, и вектор t направлен по нормали.
Но, дифференцируя A92)
по s, получим
= r,
A93)
так что г тоже направлен по
нормали.
Условимся направлять век-
вектор п всегда в сторону векто-
вектора г(черт. 53).
Точки, где г = 0, мы оста-
оставляем в стороне (как мы вскоре
увидим, это будут точки рас
) З что есл
Черт. 52.
увидим, о уду р
прямления). Заметим, что если направление отсчета дуги s на
кривой заменить на обратное (т. е. изменить знак у s), то
кривой
v С = —^ умножается на — 1 (так как dx не меняется, a ds меняет
. •• Г d'v\
знак); что же касается г ( = -т- ) , то
этот вектор не меняется (так как dr n s
одновременно меняют знаки на обрат-
обратные). Следовательно, не меняется и
направленный по нему единичный век-
вектор п.
Поэтому вектор п будет вполне опре-
определенным, а вектор t будет менять свое
направление на обратное вместе с
направлением отсчета дуги s.
Покажем теперь, что центр кри-
кривизны С всегда лежит на нормали
в сторону вектора п (черт. 53). Будем рассматривать кривую
в прямоугольных координатах х, у, приняв за начало какую-
нибудь ее точку М, за оси — касательную и нормаль и за орты
i, j — векторы t, n в точке М. Запишем уравнение кривой A91)
в развернутом виде
Черт. 53.
¦9 П. К. Рашевский
130 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ [ГЛ. III
Дифференцируя, получим
В точке М вектор г (т. е. t) совпадает с i, и из первого равен-
равенства следует
кроме того, п совпадает с j и, следовательно, г коллинеарен с j
и направлен с ним в одну сторону, так что второе равенство даст
х = 0, у>0.
Найдем теперь координаты а, Ь центра кривизны С по форму-
формулам A79), учитывая, что в точке М координаты х, у равны в нашем
случае нулю, а производные их по параметру (причём параметром
служит дуга) удовлетворяют только что полученным соотноше-
соотношениям. Формулы A79) примут вид
«=0, 6 = 1.
у
Так как у > 0, то и 6 > 0, и центр кривизны С расположен
на положительной полуоси Y, т. е. на нормали в сторону вектора п.
Отсюда вытекает, что вектор МС отличается от единичного
вектора п по ложителъным численным множителем, равным длине
вектора МС, т. е. радиусу кривизны Л:
= Ra..
A94)
Вместе с центром кривизны С и вся соприкасающаяся окруж-
окружность расположена от касательной в сторону вектора п. А так
как кривая вблизи точки М уклоняется от соприкасающейся
окружности лишь на бесконечно малые 3-го порядка, то и кривая
(вблизи точки М) расположена в сторону вектора п от касательной
(см. черт. 53).
§ 28. Формулы Френе.
При изменении параметра s точка М движется по кривой,.
и вместе с ней будут меняться как функции от s векторы t и п:
t = t(s), n = n(s).
Выясним теперь, какой вид будут иметь производные векто-
векторов t и п по дуге s.
§ 28]
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ
131
Применим к вектор-функции t (s) 2-ю лемму § 18. На основании
ее скорость вращения единичной вектор-функции t (s) совпадает
с модулем ее производной:
= |t|. A95)
Здесь Аса— угол поворота вектора t (т. е. угол поворота
касательной), отвечающий приращению дуги As. Но левая часть
равенства, согласно A85), представляет собой кривизну к нашей
кривой. Отсюда окончательно
|t| = ft. A96)
Вектор t направлен по нормали (§ 27), причем единичный век-
вектор нормали п мы условились направлять в ту же сторону. Поэтому
t отличается от единичного вектора п положительным численным
множителем, равным, очевидно, длине вектора t, т. е. кривизне к.
Итак,
t = kn. ; A97)
v
Заметим, что признак точек распрямления A90)
может быть, согласно A96), переписан в виде
t = 0, т. е. г"=0. A98)
Таким образом, устраненные нами из рассмотрения точки,
где г = 0, оказались действительно точками распрямления.
Переходим далее к производной п единичного вектора п. Она
по 1-й лемме § 18 направлена перпендикулярно к п, а так как
п направлено по нормали, то п направлено по касательной и по-
поэтому может отличаться от вектора t только численным мно-
множителем:
где a — пока неопределенный множитель. Его нетрудно опреде-
определить, записав, что скалярное произведение t и п, в силу их пер-
перпендикулярности, равно нулю:
и продифференцировав это равенство по s. Получим
tn + tii = 0.
9*
132 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ [ГЛ. II
Вставляя сюда кп вместо t и at вместо п и учитывая, что
получим Jc + a = 0, откуда a= —к.
Выражение для п принимает окончательный вид
n=— kt. ~ A99)
Формулы A97) и A99) называются формулами Френе (для
плоской кривой). Как мы увидим, они будут играть большую
роль, особенно в теории пространственных кривых, где они при-
примут несколько усложненную форму.
Уясним себе геометрический смысл этих формул. Они выра-
выражают прежде всего производные векторов t, n через сами эти
векторы и через кривизну к в данной точке. Умножая A97) и A99)
почленно на ds, мы получим слева дифференциалы
dt = кп ds, dn = — kt ds. B00)
Таковы главные части приращений вектор-функций t (s) и n (s)
при переходе от значения аргумента s к бесконечно близкому
значению s + ds. Но геометрически фигура, образованная еди-
единичными взаимно ортогональными векторами t и п, может только
повернуться как твердое тело (если не обращать внимания на
точку приложения этих векторов). И действительно, легко пока-
показать, что формулы Френе с точностью 1-го порядка выражают
поворот векторов t и п при переходе по кривой из точки М (s)
в бесконечно близкую точку М' (s + ds) на бесконечно малый
угол, именно на kds (считая положительным направление вра-
вращения от t к п) (см. черт. 52).
В самом деле, если повернуть векторы t, n на угол к ds, то
их новые значения выразятся через старые, очевидно, таким
образом:
t + At = cos (к ds) t + sin (к ds) n,
n + An = cos (k ds)n — sin (A; ds) t.
Но так как мы ведем рассмотрение с точностью 1-го порядка,
т. е. пренебрегаем бесконечно малым 2-го и высшего порядков,
то cos (kds) можно заменить через 1, а sin (к ds) через kds.
Получим
At = к ds п,
Ап= — kdst.
Конечно, сохраняя лишь бесконечно малые 1-го порядка,
мы получили здесь не точные приращения At и An, а только их
главные части, т. е. дифференциалы. Мы вернулись, таким обра-
образом, к формулам B00).
§ 29]
ЭВОЛЮТА
133
Итак, B00) действительно выражают нам с точностью 1-го по-
порядка поворот t и п на угол kds; заметим, что этот угол пропор-
пропорционален пути ds, пройденному по кривой от М до М', а коэф-
коэффициентом пропорциональности служит кривизна к в точке М.
Последнее естественно согласуется с самим определением кри-
кривизны.
§ 29. Эволюта.
Формулы Френе дают нам удобное орудие для того, чтобы
следить за изменением t и п вдоль кривой. Мы воспользуемся
ими, чтобы изучить кривую, описываемую центром кривизны С,
когда точка М описывает данную кривую.
Геометрическое место центров кривизны для всевозможных
точек данной кривой называется ее эволютой.
Уравнение эволюты для кривой, заданной уравнениями
x = x(t), y = y(t),
у нас в сущности уже написано. А именно, достаточно перепи-
переписать формулы A79), выражающие координаты а, Ь центра кри-
кривизны С, для любой точки x(t), у (t) данной кривой:
B01)
Уравнения B01) представляют собой параметрические уравнения
эволюты данной кривой, так как выражают координаты центра
кривизны как функции того же параметра t, к которому отне-
отнесена данная кривая. При изменении t точка М(х, у) описывает
исходную кривую, а точка С (a, b) — ее эволюту, причем при
каждом данном значении t точка С является центром кривизны
исходной кривой в точке М.
При практическом отыскании эволюты обычно пользуются
формулами B01) или их частным случаем, когда кривая задана
уравнением у = f (х). Но при исследовании общих свойств эво-
эволюты, к которому мы сейчас переходим, гораздо более уместно
пользоваться векторной записью. А именно, предполагая, что
исходная кривая задана уравнением
r = r(s),
где г — радиус-вектор ОМ переменной точки М на кривой, мы
нашли выражение A94) для вектора МС, соединяющего точку М
с ее центром кривизны С (см. черт. 53):
МС = Rn.
134
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ ДРИБЫХ
[гл. III
Следовательно, радиус-вектор центра кривизны С, который мы
будем обозначать-через р, можно выразить так:
р = t)C^ OM + MC = r(s) + R(s)n (s).
Мы пишем здесь R(s) и и (s), чтобы подчеркнуть функциональную
зависимость этих величин от параметра s, но в дальнейшем мы
будем писать короче:
р (s) = г + Rn. B02)
Уравнение B02) можно рассматривать при переменном s как
параметрическое представление эволюты, радиус-вектор которой
р выражен в функции параметра s. Следует помнить, однако,
что вдоль эволюты параметр s уже не будет играть роли длины
дуги.
Вычислим прежде всего дифференциал радиус-вектора эволю-
эволюты р. Получаем
dp = ds + dR n + R dn.
Но, с одной стороны,
dx = г ds = t ds;
с другой стороны, пользуясь второй из формул B00), запишем
R dn = — R At ds = — t ds,
так как Rk = 1.
Таким образом, в выражении для rfp первый и третий члены
взаимно уничтожаются, и мы получаем
dp = dR n. B03)
Из этой основной формулы мы выведем важные геометрические
свойства эволюты.
М { Нам известно, что при каждом значении s радиус-вектор г (s)
определяет некоторую точку М на исходной кривой, а р (s) —
соответствующий центр кривизны (точку эволюты) С, лежащий
на нормали к исходной кривой. Дифференциал <2р радиус-векто-
радиус-вектора эволюты направлен (как и для любой кривой) по касатель-
касательной к эволюте в точке С. Но, с другой стороны, B03) показы-
показывает, что <2р только скалярным множителем dR отличается от
вектора п, т. е. направлен параллельно нормали МС. Следователь-
Следовательно, касательная к эволюте в точке С направлена параллельно
нормали МС и тем самым с нею совпадает.
Итак, нормали исходной кривой совпадают с касательными
к эволюте в соответствующих точках.
Чтобы вывести другое замечательное свойство эволюты, мы
ограничимся таким участком исходной кривой, на котором радиус
кривизны R меняется монотонно. Будем пробегать этот участок на
ЭВОЛЮТА
135
I 29]
исходной кривой, а также соответствующий ему участок на эволюте
в сторону возрастания R. (На черт. 54 рассмотрим участок от М
до Мх и от С до Сг.)
Возьмем обе части равенства B03) по модулю; учитывая, что
и — единичный вектор, получим
Мы знаем [см. A58")], что модуль дифференциала радиус-век-
радиус-вектора и модуль дифференциала дуги вдоль любой кривой совпа-
совпадают. Обозначая через da дифференциал дуги вдоль эволюты,
предыдущее равенство можно переписать так:
так:
Условимся на соответствующем участке эволюты (на чертеже от
С до С±) отсчитывать длину дуги а
в сторону возрастания R. Тогда <'
R и о растут одновременно, da
и dR имеют одинаковые знаки,
так что предыдущее равенство
влечет за собой
da=dR.
Интегрируя почленно, получим
\а = й-f-const.
Это означает, что приращения о
всегда равны соответствующим
приращениям R. Пусть на черт. 54
мы перешли из точки М в точку Мг и на эволюте — соответственно
из С в Сх. Тогда приращение, полученное о, равно, очевидно,
длине дуги эволюты ССг, так что можно записать
= R1-R. B04)
Здесь Rx—радиус кривизны в точке Мх, аи—-в точке М.
Таким образом, при монотонном изменении R на данном
участке его приращение равно пути, пройденному центром кри-
кривизны по эволюте. Любопытно отметить, что если переписать
{204) в виде
то это означает равенство длин прямолинейного отрезка С1М1
и комбинированной линии СХСМ. Таким образом, радиус кривизны
136
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. Ill
Rx = СХМ\ получился как бы распрямлением линии СХСМ путем
«сматывания» ее криволинейной части СгС с эволюты.
Мы имеем теперь достаточно ясное представление о том, что
происходит на участках монотонного изменения радиуса кри-
кривизны R(s). Нужно выяснить еще, как ведет себя эволюта в точ-
точках, где радиус кривизны исходной кривой переходит от возра-
возрастания к убыванию или от убывания к возрастанию, т. е. достигает
максимума или минимума. В этих точках производная R(s}
необходимо обращается в нуль, следовательно, dR также равно
нулю и, как показывает B03),
dp = 0, а значит, -~ = р = 0.
Вообще говоря, при этом
р фО, $% *р,
так что эволюта имеет точку возврата 1-го рода (/? —2, </ = 3; § 20).
Более детальное исследование показало бы, что в точках
экстремума радиуса кривизны R эволюта всегда имеет точку воз-
возврата 1-го рода (р—-четное, q = p-\-l—
нечетное, однако не обязательно р = 27
V = 3).
На черт. 54 в точке М2 кривая дости-
достигает максимального искривления, R дости-
достигает, следовательно, минимума М2С2, и
центр кривизны С;' описывая эволюту, в по-
положении С2 наиболее приближается к
исходной кривой. Эволюта образует за-
заострение (точка возврата), обращенное
к исходной кривой. Напротив, в точке Мгг,
где R достигает максимума, заострение
эволюты обращено в обратную сторону
от исходной кривой.
Теперь нам нужно хотя бы бегло уяснить
себе поведение эволюты вблизи точки рас-
распрямления (к = 0) на исходной кривой.
Прежде всего самой этой точке не отвечает никакая точка на
эволюте, так как R обращается в бесконечность. Когда же мы
приближаемся по исходной кривой к точке распрямления с той
или другой стороны, то R = -r- бесконечно возрастает, и центр
кривизны С стремится по эволюте в бесконечность. Итак, по
обе стороны точки распрямления Мо эволюта образует ухо-
уходящие в бесконечность ветви. Можно было бы показать, что
нормаль в самой точке Мо служит асимптотой для каждой из
этих ветвей (черт. 55).
Черт. 55.
§ 29]
ЭВОЛЮТА
137
В случае, когда точка распрямления есть точка перегиба,,,
ветви волюты уходят в бесконечность в разные стороны своей
общей асимптоты (так изображено на чертеже). Но возможны
и другие случаи обращения кривизны в нуль (именно, когда
касание кривой со своей касательной имеет нечетный порядок,
выше первого), тогда обе ветви удаляются в одну и ту же
сторону.
Другое определение эволюты.
Мы уже знаем, что эволюта в каждой своей точке С касается
нормали к исходной кривой в соответствующей точке М и, следо-
следовательно, принадлежит к огибающей семейства нормалей исход-
исходной кривой. Покажем, что эволюта в точности совпадает с этой
огибающей. Предполагая кривую заданной уравнениями
запишем уравнение ее нормали
[X-x(t)]x'(t) + [Y-y(t)]y'(t) = O, B05),
где X, Y — текущие координаты.
При переменном t это уравнение определяет семейство всех
нормалей к нашей кривой, причем t играет роль параметра се-
семейства. Как мы знаем (§ 8), чтобы найти огибающую, нужно
к уравнению семейства B05) присоединить еще одно, полученное-
дифференцированием его по параметру семейства t. Получим
[X - х {t)] x"(t) + [Y-y (t)} y"(t) - x'{tf - y'(ty = 0. B057
Решая эти уравнения относительно X, Y, мы получим коорди-
координаты точки огибающей, выраженные в функции параметра t,
т. е. параметрическое представление огибающей (особых точек
на нормалях, как на прямых, не существует, и дпскрими-
нантная кривая совпадает с огибающей).
Но легко заметить, что уравнения B05), B05') (относительно
X, Y) вполне эквивалентны двум последним уравнениям A78) (отно-
(относительно а, Ь), так что текущие координаты X, Y по огибающей нор.-
малей в точности совпадают с текущими координатами а, Ъ эволюты.
Итак, эволюту можно определить, как огибающую семейства
нормалей исходной кривой.
Упражнения.
1. Показать, что эволюта трактрисы (см. § 3, пример 4) есть цепная линия.
1 = -тг е'
2. Показать, что эволюта циклоиды есть та же циклоида, но парал-
параллельно смещенная; найти составляющие этого смещения по осям X и У
и относительное расположение кривых.
138
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. Ш
3. Показать, что для' гипоциклоид (см. упражнения в конце § 7)
эволюта есть кривая, подобная исходной кривой и получаемая из нее
поворотом около начала О на угол А те с последующим растяжением
1
в постоянном отношении ^=~ по всем лучам, выходящим из на-
1 — Мл
чала О. Показать, что для эпициклоид имеет место то же самое,
только вместо растяжения будет сжатие в отношении . .
§ 30. Эвольвента.
Пусть дана какая-нибудь кривая, определяемая уравнением
Р = Р(°)>
где Jp —-радиус-вектор, а о —длина дуги вдоль этой кривой
¦отсчитываемая от какой-нибудь начальной точки Со (а = 0). На ка-
касательной в каждой точке выбираем положительное направление
в сторону единичного каса-
касательного вектора t = J^ .
Откладывая по касатель-
касательным отрезки, мы будем
брать их длины со знаками
+ или — в зависимости
от того, в положительном
или отрицательном напра-
направлении от точки касания
они отложены. Отложим
прежде всего в начальной
точке Со произвольный от-
отрезок в0 = С0М0 (черт. 56).
Переходя в любую точку С
на кривой, мы строим в ней касательную, а на этой последней
точку М, откладывая отрезок
п
Черт. 56.
C0M0 — Cjj. B06)
Отрезок СМ укорочен по сравнению с С0М0 на путь СцС,
пройденный по кривой от начальной точки Со ДО нашей точки С,
т. е. на значение о в точке С. Итак,
СМ = в0 —а. B06')
Мы, таким образом, как бы навертываем гибкий, но нерастя-
жимый отрезок C0Mq на кривую так, что навернутая часть С0С
и остающаяся прямолинейной часть СМ в сумме равны по дли-
длине СаМ%.
Кривая, описываемая точкой М, когда С пробегает данную
кривую, называется эвольвентой, этой кривой.
30]
ЭВОЛЬВЕНТА
139
Нетрудно записать параметрическое представление эвольвенты.
Радиус-вектор точки М, который мы будем обозначать через г,
очевидно, выражается так:
г = ~ОМ = ОС + СМ = р (а) + С~Ж.
Что же касается вектора СМ, то он равен единичному касатель-
касательному вектору t, умноженному на длину отрезка СМ с соответст-
соответствующим знаком, т. е. на о0—-а:
Отсюда
¦o)t(o).
B07)
Таково уравнение эвольвенты, отнесенное к параметру в,
т. е. к длине дуги на исходной кривой. Так как начальный
отрезок <з0 выбирается произвольно и точку Мп на начальной
касательной можно взять где угодно, то эвольвенты B07) обра-
образуют целое семейство с параметром о0. Наглядно себе это можно
представить так, что гибкая, но нерастяжимая нить С0М0 в натя-
натянутом состоянии постепенно навертывается на исходную кривую.
Тогда каждая точка, отмеченная на этой нити, описывает одну из
эвольвент исходной кривой.
Докажем основное свойство эвольвенты, именно, что касатель-
касательная к исходной кривой в каждой точке С является нормалью
к эвольвенте в соответствующей ее точке М. Действительно,
дифференцируя B07), получим
dv = с?р — da t + («о — °) «*•
Так как вектор t есть сокращенное обозначение производ-
производив
ной -р , то первые два слагаемых в правой части взаимно уничто-
уничтожаются. Что же касается dt, то, согласно первой формуле
Френе A97),
dt : ,
-г- = t = fell.
Следовательно,
= (<30— a)knda.
B08)
Здесь k — кривизна, n — единичная нормаль для исходной кривой.
Как и для всякой кривой, dr, дифференциал радиус-вектора
эвольвенты, направлен по касательной к эвольвенте и в то же
время, отличаясь от п только скалярным множителем, паралле-
параллелен п. Следовательно, касательная к эвольвенте в точке М парал-
параллельна нормали в соответствующей точке С исходной кривой.
140
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. III
Отсюда следует, что нормаль к эвольвенте в точке М параллельна
касательной к исходной кривой в точке С, а так как обе прямые
проходят через точку М, то они совпадают между собой. Итак,
СМ служит не только касательной в С, но и нормалью в М.
Таким образом, каждая эвольвента исходной кривой пере-
пересекает под прямым углом все ее касательные (или, как говорят,
эвольвенты являются ортогональными траекториями семейства
касательных). При этом отрезок касательной ММ' между двумя
различными эвольвентами сохраняет постоянную длину (черт. 56).-
Действительно, если
¦Мл
для данной эволь-
эвольвенты начальный от-
отрезок на касательной
С0М0 = а0, а для дру-
другой эвольвенты он
будет С0М'0 = а'0, то
на касательной в про-
произвольной точке С (а)-
нам придется отло-
отложить соответственно
отрезки СМ = о0 — а
отрезок касательной
т. е. сохраняет постоянную длину от точки к точке (напомним,
что на касательных у нас установлено положительное направле-
направление и длины отрезков берутся со знаками).
Выясним еще, что происходит с эвольвентой в точке о = <з0,
т. е. в точке С1г где отрезок СМ обращается в нуль и точка эволь-
эвольвенты попадает на исходную кривую. В этой точке, как видно из
B08),
Черт. 57.
и СЛ/' = з0'—з [согласно B06')]. Тогда
между этими двумя эвольвентами равен
ММ' = СМ' -
= О или —* =
При этом, вообще говоря,
так что эвольвента имеет точку возврата 1-го рода (р = 2, q = 'di
§ 20). При более детальном исследовании нетрудно обнаружить,-
что точка возврата 1-го рода имеет место всегда, если только на
исходной кривой мы не попадаем в точку распрямления.
Это легко себе представить и наглядно, если учесть, что
отрезок СМ, проходя через нуль, меняет знак на обратный и начи-
начинает расти, откладываясь в обратном направлении (черт. 57).
§ 31]
НАТУРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ
141
Нетрудно, наконец, установить связь между понятиями эво-
эволюты и эвольвенты. Действительно, если мы построим для дан-
данной кривой эвольвенту, то нормали к эвольвенте, как мы вы-
выяснили, являются касательными к исходной кривой. Исход-
Исходная кривая будет, таким образом, огибающей нормалей, т. е.
эволютой по отношению к своей эвольвенте.
Обратно, если для данной кривой построена эволюта, то,
разбивая данную кривую на участки монотонного изменения R
¦а применяя свойство эволюты B04) (черт. 54), можем записать
Считая точку Сх фиксированной на эволюте, а С — перемен-
переменной, мы видим, что исходная кривая, описываемая точкой М,
является эвольвентой для своей эволюты (согласно определению
эвольвенты).
§ 31. Натуральное уравнение кривой.
Задавая кривую ее уравнением, мы пользуемся той или иной
координатной системой. Таким образом, в записи уравнения
отражается не только геометрическая форма кривой, но и выбор
координатной системы; между тем этот выбор является факто-
фактором произвольным и в принципе никак не связан с самой
кривой.
Возникает вопрос, нельзя ли характеризовать кривую урав-
уравнением, вид которого не связан с выбором координатной системы
и отражает только геометрическую форму самой кривой. Как мы
увидим, такое уравнение можно построить; оно будет называться
натуральным уравнением кривой.
Предварительно уточним некоторые понятия. В этом пара-
параграфе под кривой мы будем понимать плоскую кривую, допу-
допускающую параметрическое представление
причем на кривой указано определенное направление в качестве
положительного (кривая ориентирована). Как мы знаем (§ 21),
в этом случае вдоль нашей кривой можно перейти к дуге s в ка-
качестве параметра:
Условимся при этом отсчитывать s в положительном напра-
направлении, связанном с данной кривой. Произвольной остается
только начальная точка отсчета.
142
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. III
Обозначим через a (s) угол, образованный единичным каса-
касательным вектором
с положительным направлением оси X (черт. 58). Началь-
Начальное значение a (s) при s = О можно выбрать, очевидно, с про-
произволом до слагаемого, кратного 2-рг, в остальных точках
a (s) определится однозначно, исходя из непрерывности его>
изменения; а может меняться при этом в неограниченных
пределах.
Так как t (s) — вектор единичный, то его проекции на оси (его
координаты) будут соответственно cos а и sin а. В то же
время
а значит,
х (s) = cos а, у (s) = sin а.
B09)
Учитывая, что сейчас роль параметра t играет у нас длина
дуги s и, следовательно, производная &' (t) обращается в еди-
единицу, мы можем пере-
переписать формулу A87)
для кривизны в виде
*=«(«). B10)
S=S
0
Здесь мы сознатель-
сознательно опустили в правой
X части знак модуля. Мы
условимся приписывать-
в этом параграфе (и
только в нем) кривиз-
кривизB10) О
Черт. 58.
) р
не к знак не всегда -f, а± согласно формуле B10). Очевидно,
этот знак будет -{-, если в данной точке а > 0, т. е. если а растет
вместе с s, и—, если а < 0, т. е. если я убывает при возрастании s.
Так как сейчас у нас кривая ориентирована, то направление
возрастания s твердо установлено и соглашение о знаке /с имеет
однозначный смысл:
Дсбавочные соглашения об ориентации кривой и о знаке h
понадобились нам для большей общности теорем, которые-
мы собираемся доказать. Без этих соглашений нам при-
пришлось бы ограничиться кусками кривой, где к не обращается;
в нуль.
§ 31]
НАТУРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ
143
Основную роль будет играть у нас уравнение B10), выра-
выражающее кривизну к как функцию дуги s вдоль кривой. Перепишем
его в более отвлеченной форме:
\k = f(s), S0<s<S. B11).
Это уравнение называется натуральным уравнением кривой.
Теорема. Если две кривые С и С' отличаются только'
положением на плоскости, то их натуральные уравнения одина-
одинаковы (после согласования начальных точек отсчета дуги).
Когда мы говорим: отличаются только «положением на пло-
плоскости», то подразумеваем, что одна кривая может быть совме-
совмещена с другой, включая и совпадение ориентации, путем вра-
вращения на некоторый угол се и параллельного перенесения в пло-
плоскости (т. е. двигаясь в плоскости как твердое тело). Мы огра-
ограничимся этими наглядными кинематическими определениями,
имея в виду, что никакого труда не составило бы записать
и их точный математический смысл. Действительно, обычные
формулы преобразования прямоугольных декартовых координат:.
х' = х cos 9 — у sin а? + х0,
у' = х sin <р + у cos ср + у0,
если истолковать х, у как координаты произвольной точки М
на плоскости, а х', у'-—как координаты некоторой другой точ-
точки М' в той же самой координатной системе, — определяют
преобразование каждой точки М плоскости в соответствующую
ей точку М'. Это преобразование и есть поворот плоскости как
твердого тела на угол <р около начала координат с последую-
последующим параллельным перенесением на х0 параллельно оси X и на
у0 — параллельно оси Y.
Переходя к доказательству теоремы, заметим, что между
кривыми С и С можно установить взаимно однозначное соот-
соответствие, сопоставляя попарно те точки на С и на С", которые
совпадут между собой после совмещения кривых. Выберем
на кривых С и С (черт. 59) за начальные точки отсчета дуги
соответствующие друг другу точки Мо и М'о. Тогда в соответ-
соответствующих точках М и М' на обеих кривых всегда будут одина-
одинаковые значения s. Действительно, дуга М0М после совмещения
кривых и их ориентации займет положение М'аМ', а так как
во время движения кривой С как твердого тела длина дуги М0М
не меняется, то
ж следовательно, значение параметра s в М и М' одно и то же.
В частности, если в начальной и конечной точках кривой С зна-
значения s будут So и S, то в тех же пределах меняется s и на С.
144
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
гл. [III
м
Далее, в точках М и М' углы наклона касательных отли-
отличаются на постоянную. Действительно, при повороте кривой С
на некоторый угол се все касательные t к ней повернутся на этот
же угол, параллельное же перенесение на направлениях каса-
касательных никак не отразится. Поэтому значения угла а в точ-
точках М' и М (т. е. при одинаковых значениях s) отличаются
на <р> и ВИД функции a(s) для кривой С сравнительно с кривой
С отличается добавлением постоянной ср. Но это значит, что после
дифференцирования по s эта разница исчезает, и вид функции
a(s) будет один и тот же для обеих кривых. Другими словами,
формула B10) определит нам кри-
кривизну к в обоих случаях как одну
и ту же функцию от s (и при s, ме-
меняющемся в тех же пределах).. Этим
теорема доказана.
Более интересной является
Обратная теорема. Если
две кривые С и С имеют одно и то
же натуральное уравнение
A = /(s), ?„<*<?, B12)
то они отличаются только положе-
положением на плоскости.
Отметим на кривых С и С точки
отсчета Мо и М'о (черт. 59). Перене-
Перенесем параллельно кривую С, смещая
все ее точки на один и тот же век-
вектор, равный МОМ'О, т. е. с таким
расчетом, чтобы точка Мо попала в М'а. После этого повернем
кривую С около точки Мо так, чтобы единичный касательный
вектор t к кривой С в этой точке совпал с таким же вектором
к кривой С. В результате путем движения кривой С в плоскости
мы добились совмещения точки Мо и вектора t в ней с точкой М'а
и вектором t в ней. Мы докажем, что теперь кривая С целиком
совпадет с С; тем самым будет доказана наша теорема. Говоря
теперь о кривой С, мы будем иметь в виду ее после перемеще-
перемещения. В силу предыдущей теоремы натуральное уравнение кри-
кривой С осталось при этом без изменения и попрежнему имеет
вид B12), общий для Си С.
Так как при s = 0 мы попадаем на обеих кривых С я С в одну
и ту же точку Мо = М'о с одним и тем же вектором t, то и угол на-
наклона этого вектора к оси X можно считать одинаковым для обеих
•кривых:
Черт. 59.
a = я0 при s = 0.
B13)
J 31] НАТУРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ
Далее, выпишем формулу B10)
145
Учитывая, что на обеих кривых к выражается одной и той же
функцией дуги B12), можно записать сразу для обеих кривых
i (*) = /(*)¦
Интегрируя по s в пределах от 0 до s, получим
Так как я@) обозначено через а0, то окончательно
f(s)ds
Это показывает, что вид функции a (s) один и тот же для обеих
кривых.
Запишем теперь формулы B09)
x(s) = cos a(s), у (s) = sin a(.s).
Интегрируя почленно по s в пределах от 0 до s, получим
х (s) — х @) == \ cos я (s) ds, у (s) — у @) = ^ sin а (s) ds.
о о
Очевидно, х@), у @) суть значения х, у npns=0, т. е. суть коор-
координаты начальной точки отсчета М0 в случае кривой С и М'о в слу-
случае кривой С. Но точки Мо и М'о совпадают, и следовательно,
значения х@), у @) для обеих кривых будут одни и те же. Тем
самым и вид функциональной зависимости x(s),y(s) один и тот
же для обеих кривых С и С.
Эти кривые имеют одно и то же параметрическое представле-
представление и, следовательно, совпадают. Теорема доказана.
Две доказанные теоремы могут быть объединены в одной форму-
формулировке: для того чтобы две кривые имели одну и ту же
геометрическую форму, отличаясь лишь положением на плоско-
плоскости, необходимо1) и достаточно, чтобы они имели одно и то же
натуральное уравнение B12).
Таким образом, натуральное уравнение вполне характеризует
кривую с точки зрения ее геометрической формы. При этом выбор
координатной системы на плоскости никак не отражается на виде
г) После согласования начальных точек отсчета.
10 П. К. Рашевский
146
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
[гл. ill
натурального уравнения, так как последнее связывает величины.
s и к, которые зависят только от самой кривой, но не от коорди-
координатной системы на плоскости.
К полученным результатам нужно сделать еще существенное
добавление.
¦ Пусть совершенно произвольно задана непрерывная функция
f(s) в области изменения аргумента S0<Cs<*S. В этом случае
всегда можно построить кривую, для которой натуральное урае-
ление будет иметь вид
& = /(«), 50<s<6r.
Для доказательства выберем произвольно некоторую точку
М0(х0, у о) на плоскости и некоторый угол а0. Построим функ-
функцию а (s): . . •
n(s)= ^f(s) ds + а„,
о
B44)
и затем функции
x(s) = \ cos a.(s)ds-^-x0, у (s) — \ sin a (sj ds-r y0. B14')
о о
Построим теперь кривую, определяемую параметрическим пред-
представлением
х = х (s), у = y(s)
с ориентацией в сторону возрастания параметра s. Покажем, что
она будет как раз искомой кривой (выписывая эти уравнения,
мы еще не знаем заранее, будет ли параметр s длиной дуги вдоль
нашей кривой). Продифференцируем B14'):
dx = cos a (s) ds,
dy = sin *(s)ds.
Отсюда
\/dx* -j- di/^-ds,
т. e. ds действительно есть дифференциал дуги, и параметр s играет
роль длины дуги вдоль построенной кривой.
Перепишем B15) в виде
и выпишем затем выражение вектора t для построенной кривой:
t = г = х\ -г у\ = cos a (s) 1 Лг sin а (s) }.
§ 31]
НАТУРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ КРИВОЙ
Эта формула показывает, что единичный вектор t наклонен
к оси X под углом a(s). Вычислим, наконец, для построенной
кривой кривизну к по формуле B10):
k = a(s).
Но так как a (s) введено у нас согласно B14), то это значит, что»
* = /(*). . . . . .
Мы доказали, что построенная кривая обладает наперед за-
заданным натуральным уравнением.
Конечно, такая кривая будет не единственной. Как следует
из предыдущих теорем, таким же натуральным уравнением,
будут обладать те и только те кривые,
которые получаются из данной путем
ее движений по плоскости. В нашем
построении это обстоятельство сказа-
сказалось в произвольном ыборе точки Мо
и угла а:..
В заключение заметим, что зеркаль-
зеркально симметрические кривые (черт. 60) не
переводятся одна в другую движением
в плоскости (для этого требуется вра-
вращение в пространстве), так что они бу-
будут обладать разными натуральными
уравнениями. Возьмем на этих кривых
соответственные начальные точки от-
отсчета и соответственные ориентации;
чем тогда будут различаться их натуральные уравнения? Не-
Нетрудно подсчитать, что в соответственных точках значения угла
а для обеих кривых отличаются знаком, если не обращать вни-
внимания на постоянное слагаемое. В таком случае значения
к = я также отличаются знаком, и если для одной кривой натураль-
натуральное уравнение будет
* = /(«),
то для другой оно примет вид
Упражнения.
1. Показать, что натуральное уравнение ценной линии
Черт. 60.
есть
X
а. , а
aR =
и)
где R — радиус кривизны (дуга s отсчитывается от точки х = 0).
10*
148 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ [ГЛ. III
2. Найти кривую, натуральное уравнение которой
ц2й2+ Л>2=1,
1 1
где |i Ф v — постоянные > 0; s меняется от до Ч .
v v
Выразим кривизну:
Ищем угол наклона <*:
а = ^ A- ds =
¦Отсюда
к=-
I _ ,,2.,2
С
]i ds
- = — arcsin vs.
v
1 . ov 1 av ,
s = — sin — as = — cos — • di.
V Jl ]1 Ji
Примем a за параметр вдоль искомой кривой.
Так как
ая = cos о ds = — cos — cos a. dx == ^- ( cos ( 1-| 1 a + cos I 1 i 1 di,
dy = sin a ds = — cos — sin a^= — [ sin( 1-| )a + sin ( 1 ) а ) rfo,
I* I» 2|* V V. v J V V- J J
( si
I cos a ds =
J
sin
COS
?y= I sin ads =
( l + -^-Ja cosM--\
Во всех квадратурах мы откидываем произвольную постоянную, так
пак нам важно получить хоть одну кривую (остальные отличаются от нее
лишь положением на плоскости).
Повернув кривую около начала на угол — - — и введя в качестве
параметра <р = 2 —а + «, мы замечаем, что полученная кривая есть либо
гипоциклоида, либо эпициклоида (ср. упражнения в конце § 7). Выяснить,
при каких условиях, наложенных на у-, v, имеет место первое, при каких
условиях второе, и выразить в каждом случае а и Я через ц и v.
3. Найти кривую с натуральным уравнением
= a2, a=const.
Показать, что это — циклоида.
4. Найти кривую с натуральным уравнением
R3 = as.
Показать, что ото — эвольвента окружности.
ГЛАВА IV.
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ.
кривые
§ 32. Касательные; нормали.
Как было уже оговорено в начале § 15, мы рассматриваем
i=T(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k B16)
лишь в их заведомо обыкновенных точках, т. е. при условии
г' @ = х' {€) i + у" (t) j + z' (t) k Ф 0, B16')
или, записывая параметрическое представление B16) в коорди-
координатной форме
x = x(t), y = y(t), z =
мы ограничиваемся точками, где
*'(*), y'(t), z'{t)
B17)
не обращаются одновременно в нуль.
Истолковывая дифференцирование вектор-функции г (t), пред-
представляющей текущий радиус-вектор кривой в зависимости от
параметра t, мы_ обнаружили, что производная г'(г) направ-
направлена по касательной в соответствующей точке кривой M(t).
Воспользуемся этим результатом прежде всего для записи
уравнения касательной. Касательную в данной точке кривой
М{t) мы можем рассматривать как прямую, проходящую через
эту точку
M[x(t), y(t), z(t)]
по направлению вектора
Как известно из аналитической геометрии, уравнение такой пря-
прямой (в форме пропорций) имеет вид
Х- х(г) _ У-у@ _ Z-z(t)
x'(t) ' у' (г)
где X, Y. Z—текущие координаты.
z'(t)
B18)
148 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПЛОСКИХ КРИВЫХ
2. Найти кривую, натуральное уравнение которой
[гл. III
1 1
-Где [i Ф v — постоянные > 0; s меняется от до Ч .
V V
Выразим кривизну:
Ищем угол наклона а:
к =
Ух-
- = —arcsin vs.
¦Отсюда
1 - av , 1 av
s = — sin — , ds = — cos — • di
V |1 ]1 1!
Примем а за параметр вдоль Искомой кривой.
Так как
dx = cosa ds = — cos — cos a.d*= ^- ( cos ( 1 -| ) a + cos A ) a ) «**»
sin a ds = — cos — sin
то
Jsin А + — ^ о sinfl- —
COS а ds = Ь !*_>_ , У У- -
2(|i + v) + 2C|i-v)
J
cos
( 1 + — ) a cos ( 1 — )
= 1 sin я ds = —
Во всех квадратурах мы откидываем произвольную постоянную, так
как нам важно получить хоть одну кривую (остальные отличаются от нее
лишь положением на плоскости).
Повернув кривую около начала на угол — - — и введя в качестве
параметра « = 2 —« + «, мы замечаем, что полученная кривая есть либо
гипоциклоида, либо эпициклоида (ср. упражнения в конце § 7). Выяснить,
при каких условиях, наложенных на v, v, имеет место первое, при каких
условиях второе, и выразить в каждом случае а и Я через ц п v.
3. Найти кривую с натуральным уравнением
==а2> a=const.
Показать, что это — циклоида.
4. Найти кривую с натуральным уравнением
Показать, что ото — эвольвента окружности.
ГЛАВА 1\\
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ.
§ 32. Касательные; нормали.
Как было уже оговорено в начале § 15, мы рассматриваем
кривые
B16)
лишь в их заведомо обыкновенных точках, т. е. при условии
г' (t) = х' @ i + у' (i) j + z' (t) ЪФО, B16')
или, записывая параметрическое представление B16) в коорди-
координатной форме
x = x(t), y = y(t), z = z(t), B17)
мы ограничиваемся точками, где
x'(t), y'(t), z'(t)
не обращаются одновременно в нуль.
Истолковывая дифференцирование вектор-функции г (t), пред-
представляющей текущий радиус-вектор кривой в зависимости от
параметра t, мы_ обнаружили, что производная г' (t) направ-
направлена по касательной в соответствующей точке кривой M{t).
Воспользуемся этим результатом прежде всего для записи
уравнения касательной. Касательную в данной точке кривой
М (t) мы можем рассматривать как прямую, проходящую через
эту точку
M[x(t), y(t), z(t)\
по направлению вектора
Как известно из аналитической геометрии, уравнение такой пря-
прямой (в форме пропорций) имеет вид
X-x(t) Y-y(t) _ z-z(t)
~^Jt) у'it) —F(I)-'
где X, Y. Z—текущие координаты.
150
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [гл. IV
Нормалью к пространственной кривой называется перпенди-
перпендикуляр, восставленный к касательной в точке касания. Конечно,
в данной точке кривой будет бесчисленное множество нормалей.
Все они перпендикулярны к касательной в этой точке и заполняют,
следовательно, целую плоскость, перпен-
перпендикулярную к касательной.
Плоскость, проходящая через точку
касания перпендикулярно к касатель-
касательной, называется нормальной плоскостью
(черт. 61).
Заметим, что плоская кривая, если ее
рассматривать вмещенной в простран-
пространство, также обладает бесчисленным мно-
множеством нормалей. Мы рассматривали в
предыдущем лишь одну нормаль плоской
кривой потому, что ограничивались нор-
нормалью, лежащей в плоскости самой кривой.
Нетрудно составить уравнение нормальной плоскости как
плоскости, проходящей через точку кривой
M{x(t), y(t), z{t)\
перпендикулярно к касательному вектору
Черт. 61.
Из аналитической геометрии известно, что уравнение такой
плоскости имеет вид
х' (t) [X - х (t)] + у' (t) [Y~y (t)l + z' (t) [Z—z (t)] = 0. B19)
Мы получили уравнение нормальной плоскости.
Касательная плоскость к поверхности.
Рассмотрим поверхность, заданную уравнением между теку-
текущими координатами, т. е. геометрическое место точек, коорди-
координаты которых удовлетворяют уравнению
Fix, у, z) = 0. B20)
Проведем на этой поверхности какую-нибудь кривую B17).
Тогда при любом значении I точка M[x(t), y(t), z{t)\ кривой
лежит на поверхности, так что уравнение B20) после подстанов-
подстановки x(t), y(t), z(t) должно обращаться в тождество
F[x(t), y{t), z(t)] = O. B20')
Продифференцируем это тождество по t. Получим
Fxx' (t) + F, г/ (t) + Fz z' (t) = 0 B20".)
3 32]
КАСАТЕЛЬНЫЕ; НОРМАЛИ
151
r'
Черт. d'l.
в каждой точке кривой на поверхности. В левой части х', у', z'.
-зависят от выбора кривой на поверхности и представляют собой
координаты касательного к кривой вектора г' (t). Что же касается
Fx, Fy, F,, то они зависят только от выбора точки х, у, z на по-
поверхности. Составим вектор
V F (х, у, z) = Fxi + Fgi + FX, B21)
имеющий в каждой точке поверхности вполне определенное зна-
значение; VF — его краткое обозначение. [Собственно говоря, век-
вектор VF, определяемый формулой B21), существует в каждой
точке всей пространственной обла-
области, в которой задана дифферен-
дифференцируемая функция точки F (х, у, z).
Вектор VF (читается «набла
F») называется градиентом функ-
лии F, или, как часто говорят,
скалярного поля F (х, у, z). Поня-
Понятие градиента принадлежит к чис-
числу основных понятий векторного
анализа в специальном смысле
этого слова и имеет важные фи-
физико-механические применения.]
^Всматриваясь в левую часть
B20"), мы замечаем, что она представляет собой скалярное произ-
произведение векторов B21) и B16'), т. е. вектор-градиента в дан-
данной точке поверхности и касательного вектора к кривой, прохо-
проходящей по поверхности, в той же точке. Мы можем переписать
B20") в виде
VF(x, у, z)t'(t)=^O. B22)
Мы ограничимся рассмотрением на поверхности только тех
точек, где вектор V F не исчезает:
4F(x, у, г)Ф0, B23)
¦ила, что то же самое, где Fx, Fu, Fz не равны одновременно нулю.
Смысл этого ограничения мы выясним немного позже.
В таком случае формулу B22) можно истолковать геометри-
геометрически так.
Будем через данную точку М (х, у, z) поверхности проводить
всевозможные кривые по поверхности и брать к ним в этой
точке касательные векторы г' (t). Тогда B22) показывает, что
все эти векторы будут перпендикулярны к вектору VF (х, у, z),
вполне определенному в данной точке М (х, у, z), и расположатся
все в одной плоскости, проходящей через М перпендикулярно
к 4F (черт. 62).
152
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [гл. ДТ
Итак, касательные в дайной точке поверхности М (в кото-
которой VF фО) к всевозможным кривым, проходящим по поверхности,
располагаются в одной плоскости, перпендикулярной к VF. Эта
плоскость называется касательной плоскостью к поверхности
в точке М. •
Нетрудно составить уравнение касательной плоскости как
плоскости, проходящей через данную точку" М (х, у, z) перпен-
перпендикулярно к данному вектору B21). Уравнение будет иметь вид
Fx(x, у, z)(X-x) + Fv{x, у, z){Y-y) +
+ Fz(x, у, z)(Z-z)=O, B24)
где X, Y, Z— текущие координаты.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к каса-
касательной плоскости в точке касания (черт. 62). Очевидно, в каж-
каждой точке М нормаль будет единственной. Ее уравнение легко-,
составить как уравнение прямой, проходящей через данную»
точку М (х, у, z) в направлении вектора SF. Уравнение такой
прямой будет иметь вид
=
Fx(x, у, z) Fy(x, у, z) Fz{x, у, z) '
Выясним теперь смысл условия B23). Допустим для опреде-
определенности, что в данной точке именно Fz --р- О. Тогда по теоре.че-
существования неявной функции уравнение поверхности B20)
однозначно разрешимо вблизи данной точки относительно z и мо-
может быть переписано в виде
z = f(x, у). B25)
Если в какой-нибудь системе координат х, у, z уравнение
поверхности вблизи данной точки может быть написано в виде,
разрешенном относительно одной координаты, то мы будем на-
называть эту точку обыкновенной точкой поверхности.
Геометрически же уравнение B25) означает, как известно;,
что каждой точке Р (х, у, 0) в некоторой области D на плос-
плоскости XY отвечает одна и только одна точка поверхности
М'(х, у, z), получаемая путем смещения точки (х, у, 0) парал-
параллельно оси Z на отрезок f(x, у). Наглядно мы можем, следова-
следовательно, представлять себе соответствующий кусок поверхности
как кусок плоскости D, деформированный путем плавного сме-
смещения его точек в направлении, перпендикулярном к плоско-
плоскости (черт. 63).
Такой кусок поверхности мы будем называть простым ку-
куском поверхности.
Смещение является «плавным» в том смысле, что величина
смещения/(х, у) предполагается непрерывной и дифференциру-
дифференцируемой функцией точки Р (х, у, 0) в области D.
1 32]
КАСАТЕЛЬНЫЕ; НОРМАЛИ
153
Ытак, обыкновенная точка поверхности характеризуется тем,
что достаточно малая ее окрестность в пространстве (например,.
гиар с центром в данной точке) вырезает простой кусок поверх-
поверхности. .
Точки поверхности B20), в которых выполняется условие B23)
(и которые, как показано выше, обязательно будут обыкновен-
обыкновенными) мы будем называть заве-
заведомо обыкновенными.
Если условие B23) не со-
соблюдено, то точка может ока-
оказаться особой с совсем другими
свойствами. Так, для поверх-
поверхности
F (х, у, z) = х~ + у2 — z2 = 0
в точке х = у = z = 0 обращают-
обращаются в нуль все частные произ-
водные Fx, Fy, Fz. И действи-
тельно, эта точка служит вер-
вершиной конуса, вблизи которой,
как бы ни уменьшать окрест- Черт. г'з.
ность, уравнение конуса нельзя
записать в виде B25), а сам конус нельзя представить в виде
простого куска поверхности (см. черт. 63). Аналогично обстоит
дело и в точках самопересечения поверхности.
Наша теорема о существовании касательной плоскости, в ко-
которой расположатся касательные ко всем кривым на поверх-
поверхности, в таких точках тоже неверна.
Касательная и нормальная плоскость к кривой,,
полученной пересечением двух поверхностей.
Рассмотрим две какие-нибудь поверхности
FW(x, у, s) = 0, FW(x, у, z) = 0.
B26)
Геометрическое место точек, общих обеим поверхностям, мы
будем называть кривой их пересечения. Покажем, что это дейст-
действительно кривая в том смысле, что вблизи любой своей точки,
за исключением, может быть, некоторых особых, наше геометри-
геометрическое место предствляет собой простой отрезок (см. § 15).
Возьмем какую-нибудь точку М (х0, у0, z0) на кривой; ее ко-
координаты удовлетворяют по определению обоим уравнениям:
xo ,ya, zo) = O. B27>
Построим в точке Ма векторы
154
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Мы предположим, что эти векторы не коллинеарны друг
другу1), так что касательные плоскости к ибеим поверхностям
в точке Мо не совпадают между собой:
V F<-1) ф V F&K B28)
Это условие, которое практически обычно выполняется, за
исключением отдельных точек кривой, как раз и гарантирует
нам обыкновенный характер точки Ма на кривой, т. е. строение
кривой вблизи точки в виде простого отрезка. В самом деле,
перепишем условие B28) в координатной форме. Для параллель-
параллельности векторов необходима и достаточна пропорциональность
их соответствующих координат; поэтому условие непараллель-
непараллельности векторов VZ^4) и VF^ можно записать так: Fx\ F\, , Fir>
и F^\ Ff\ F^p не пропорциональны между собой, или, что то же,
хотя бы один из трех детерминантов 2-го порядка, выделенных
из соответствующей матрипы, отличен от нуля. Пусть для опре-
определенности
ФО.
B28')
Итак, значения хи, у0, z0 удовлетворяют уравнениям B26):
кроме того, якобиан левых частей B26) по переменным у и z от-
отличен от нуля в точке Мй, т. е. при значениях переменных х0, у0, z0.
По теореме существования неявных функций2) в этом случае
уравнения B26) вблизи значений х = ха, у — уа, z=z0 однозначно
разрешимы относительно переменных у и z и могут быть, следо-
следовательно, переписаны в виде
= z(x).
B29)
А это и показывает, что вблизи точки Мй кривая представляет
собой простой отрезок.
Поскольку в этом случае кривая имеет в Ма обыкновенную
точку, применимы все наши предыдущие результаты. Прежде
всего, раз кривая лежит на обеих поверхностях, касательная
к ней в точке Мо расположится на касательных плоскостях,
взятых к той и другой поверхности в той же точке Мо (по опре-
определению касательной плоскости). Следовательно, касательная
к кривой в Мо, являясь пересечением обеих касательных плоско-
плоскостей, будет перпендикулярна к обоим нормальным векторам
*) Тем самым ни один из них не обращается'в нуль, так как вектор,
равный вулю, можно считать коллинеарным любому другому.
2) Г. AI. Фпхтенгольц, т. I, гл. VI, § 2.
3 32]
КАСАТЕЛЬНЫЕ; НОРМАЛИ 155
(черт. 64). Отсюда ясно, что векторное произве-
дение
3
FP
B30)
направлено параллельно касательной к кривой пересечения.
VF'l'VF'2)
Черт. 64.
Теперь легко написать и уравнение этой касательной как
прямой, проходящей через данную точку Мо (х0, у0, s0) параллель-
параллельно вектору B30):
X — хи г - у0 Z - z0
У
FB) FB)
В z
FB)
B31)
Так же просто составляется и уравнение нормальной пло-
плоскости к кривой пересечения как плоскости, проходящей через
данную точку М0(х0, у0, z0) перпендикулярно к вектору B30):
(Х-х0)
Fm
B)
или
+ (Z— z0)
X — х0 Y — у0 Z — 201
f F
f
= 0.
= 0 B32)
B32')
В заключение можно пояснить на простых примерах, почему
условие B28) гарантирует обыкновенный характер точки на кри-
156
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
вой пересечения и почему несоблюдение этого условия, т. е. сов-
совпадение касательных плоскостей к обеим поверхностям в данной
точке, может привести к особому характеру этой точки.
Представим себе прежде всего две сферы, касающиеся друг
друга в некоторой точке Ма. В этой точке касательные плоско-
плоскости к обеим сферам совпадают, так что условие B28) не соблю-
соблюдено, и действительно, линия пересечения состоит из одной
только точки Мо, которая является на ней, таким образом, изо-
изолированной особой точкой.
Такое положение невозможно, конечно, в тех случаях, когда
касательные плоскости к сферам встречаются в точке пересе-
пересечения под углом, отличным от нуля.
Далее, возьмем пересечение гиперболического параболоида
с плоскостью z = 0. Если взять в качестве точки Ми качал») коор-
координат, лежащее на обеих поверхностях, то касательные пло-
плоскости к обеим поверхностям совпадут (для плоскости z = 0 ка-
касательной плоскостью служит, разумеется, она сама). И дей-
действительно, линия пересечения обеих поверхностей, т. о. пара-
прямых
на плоскости XY, имеет в начале координат особую точку (само-
(самопересечение).
§ 33 *. Касание кривой с поверхностью.
Пусть через данную точку Ма(х0, Уа, zo) (черт. 65) проходят
кривая x = x(t), y = y{t), z = z (t) (при t= t0) и поверхность.
F{x, у, z) = 0.
Как обычно, предполагаем, что в точке Мв соблюдаются усло-
условия
(для определенности пусть F, ф О) и
Г' @ = х' (t) i + y'(t)i + z'(t)}L^O.
Нас интересует вопрос об оценке близости между кривой:
и поверхностью в бесконечно малой области около точки М<,.
Мы подойдем к этой оценке следующим путем. Возьмем на кри-
кривой какую-нибудь точку M[x(t), у (t), z (t)] и проведем через нее
параллель оси Z до пересечения с поверхностью в точке, которую-
обозначим через М'. Ограничиваясь достаточно малой окрест-
окрестностью точки Мо, можно утверждать, что это пересечение
I 33J
КАСАНИЕ КРИВОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
157
произойдет и при этом в единственной точке. Действительно,
так как в точке Мо мы имеем Fz ф О, уравнение поверхности вбли-
вблизи нее может быть приведено к виду
z = f(x, у)
и после подстановки x(t), у (t) определяет нам точку на поверх-
поверхности с координатами x(t), y(t), Z, где
Z = f[x(t), y(t)\.
Эта точка поверхности и есть искомая точка М', так как она
имеет значения х, у, общие с М, и лежит с нею, следовательно,
на одной параллели оси Z. Отрезок
М'М = z(t) — Z, естественно, будет
измерять расстояние «по вертикали»
между кривой в точке М и поверх-
поверхностью.
Пусть теперь t стремится к ?и;
тогда точка М стремится в Ма, рав-
равно как и М', так что отрезок М'М
¦стремится к нулю. Изучим теперь
порядок малости отрезка М'М по
отношению к t— ta.
Для этого очень удобным приемом является составление
функции
y{t), z(t)], B33)
м
Черт. 65.
полученной подстановкой в левую часть уравнения поверхности
"текущих координат кривой. Так как кривая не лежит на поверх-
поверхности, то <р (t), вообще говоря, отлична от нуля; при t = t0 мы име-
имеем точку, общую кривой и поверхности, и следовательно, урав-
уравнение поверхности в ней удовлетворяется:
При t, стремящемся к ta, «p (t) стремится, следовательно, к нулю.
Покажем, что <р (t) будет при этом бесконечно малым одного поряд-
порядка с отрезком М'М.
Запишем, что точка M'\x{t), y(t), Z] удовлетворяет своими
координатами уравнению поверхности
O=F[x(t), y(t), Z].
Вычтем это равенство почленно из B23) и применим в правой
части теорему о конечном приращении, рассматривая F как функ-
дию третьего аргумента при закрепленных двух первых. Получим
9(t) = F[x(t), y(t), z(t)]-F[x(t), y(t), Z] =
= Fz[x(t), y(t), Q[z(t)-Z],
158
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
где С— некоторое промежуточное значение между z (t) и Z. Но при
t, стремящемся к t0, точки М и М' стремятся в Ма и, следова-
следовательно, 2 и Z вместе с заключенным между ними значением ", стре-
стремятся к zB. Очевидно также, что
x(t)-*xa, y(t)-+yB.
Поэтому из предыдущего равенства следует, что при t—> tn
Итак, отношение бесконечно малых z(t) — Z и ер (t) стремится к пре-
пределу и при этом отличному от нуля (по предположениям, сделан-
сделанным в начале этого параграфа). Мы видим, что z(t) — Z и <р (t) —
бесконечно малые одного порядка.
Наиболее тривиальная возможность здесь та, когда они будут
первого порядка относительно t— ta; в наглядном представлении
это будет пересечение кривой и поверхности под некоторым углом.
Этот случай мы оставляем в стороне и займемся случаями, когда
<i> B) [и, следовательно, отрезок М'М, равный z (t) — Z] будет бес-
бесконечно малым порядка выше первого относительно t— ta. Тогда
мы скажем, что кривая касается поверхности в точке Мй. Мы
говорим, что касание п-го порядка, если порядок бесконечно-
малого М'М будет выше п, и что касание точно «-го порядка
(а не выше), если порядок М'М точно п+ 1 (а. не выше).
Нам нужно выяснить прежде всего инвариантный характер
этих определений. Дело в том, что мы оценивали расстояние
М'М кривой от поверхности «по вертикали», т. е. в направлении
оси Z. Мы могли бы переименовать координатные оси, или, более
обще, произвести любой поворот координатных осей в простран-
пространстве и повторить все построение для новой оси Z, выбранной
произвольно (исключая только те положения, для которых:
Fz—0 в точке Мо, т. е. когда ось Z параллельна касательной
плоскости в Мо). Возникает вопрос, сохранит ли наше опреде-
определение касания тг-го порядка один и тот же геометрический смысл
при любом выборе координатной системы?
Но, преобразуя координатную систему, мы подставляем в урав-
уравнение поверхности
F(x, у, z) = 0
выражение старых координат через новые, оставляя без изме-
изменения сами численные значения F в каждой точке пространства;
следовательно, и значение F в каждой точке М (t) на кривой^
останется прежним, т. е. значения ср (t) [см. B33)] при каждом
данном t остаются те же. Отсюда следует, что порядок беско-
бесконечно малого <р (t) при t—> t0 остается без изменения при пере-
переходе к другой координатной системе.
§ 33] КАСАНИЕ КРИВОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ
Добавим сюда, что. условие г' (t) Ф О, т. е.
159
показывает, что t— ?0 есть бесконечно малое одного порядка
с модулем вектора г—г0, т. е. с длиной хорды М0М.Так как эта
длина не зависит от выбора параметризации на кривой, то поря-
порядок t — t0 один и тот же при всех допустимых параметризациях.
Итак, при любом выборе координатной системы х, у, z и пара-
параметризации t на кривой (с соблюдением, конечно, условий, ука-
указанных в начале этого параграфа) порядок бесконечно малых t— tn
и ф (t) остается без изменения. Следовательно, порядок о (t) (или,
что то же, порядок М'М) относительно t— ta зависит только
от самой поверхности и кривой, но не зависит от выбора коор-
координатной системы в пространстве и параметризации на кривой.
Наши определения имеют, следовательно, инвариантный гео-
геометрический смысл.
Наконец, следует указать практическую запись условий каса-
касания п-го порядка. Разложим функцию <р (t) в ряд Тейлора по сте-
степеням t—t0. Так как касание п-го порядка означает, что 9 (t)
есть бесконечно малое выше п-го порядка относительно t—t0,
то в разложении должны исчезнуть все члены до тг-й степени
включительно. Запишем условия этого, приравняв нулю коэф-
коэффициенты при t — tn в степенях <; п:
? (to) = ?' (*о) = <?" (*•) = В s • = ?
s • = ?<п)
= 0.
B34)
Очевидно, эти условия и достаточны, так как при их наличии
разложение может начаться не ниже чем с и-f- 1-й степени t— t0.
Первое из этих условий
? (t) = 0
выражает, что при ?= t0 точка кривой попадает на поверхность.
Второе из них, пользуясь выражением B33) для <s (if), можно
переписать в виде
о' (*0) = Fxx' (ta) + Fyy' (t0) + Fxz' (to) = 0
или
Эта формула показывает, что касательный вектор к привой
в точке Мй перпендикулярен к V F в той же точке и лежит, сле-
следовательно, в касательной плоскости к поверхности. В этом
и состоит, можно считать, касание 1-го порядка. Присоединяя
последующие условия, мы получаем более тесную близость кри-
кривой и поверхпости—касания 2-го, 3-го и т. д. порядков.
J60 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
§ 34. Точки распрямления.
При дальнейшем изучении пространственной кривой
мы присоединим к обычному нашему предположению, что
т. е. что все ее точки заведомо обыкновенные, еще предположение,
что
г" (t) и г' (t) не коллинеарны. B35)
Этим самым мы устраняем из рассмотрения точки, где
г" || г'. B36)
Ниже будет выяснено, что в случае B36) касание кривой
с ее касательной будет по крайней мере 2-го порядка. Такие
точки мы будем называть точками распрямления. Заметим, что
если условие B36) выполняется вдоль всей кривой, которая,
таким образом, вся состоит из точек распрямления, то кривая
вырождается в прямую линию. Действительно, параллельность
векторов г" и г' можно записать как пропорциональность их
координат:
х" @ ^ у" с) ^z" (*)
x'(t) y'(t) z'(t)-
Умножая это равенство im^ dt:
dx' di/' dz'
х' у' z'
и интегрируя почленно, получим
In х' + In a = In у' -г-1 n b = I n z' + In с,
где In a, In b, In с—постоянные интегрирования. Потенцируя,
приходим к равенству
ах' = by' = cz'.
Интегрируя еще раз и обозначая новые постоянные интегриро-
интегрирования через А, В, С, получаем
ах -f- А = by + В = cz + С,
т. е. уравнение прямой в пространстве.
Итак, кривая, отличная от прямой, не может состоять цели-
целиком из точек распрямления; если вообще эти точки на ней суще-
существуют, то встречаются лишь при отдельных значениях t и отли-
отличаются особым характером поведения кривой вблизи них, почему
мы и устраняем их из общей теории.
34]
ТОЧКИ РАСПРЯМЛЕНИЯ
161
Изучим теперь поведение г' и г" при переходе к другому
параметру, например т, вдоль той же кривой. Мы можем тогда
выразить старый параметр t как функцию от нового т:
Тем самым радиус-вектор г (t) можно рассматривать как функцию
от функции 1 и дифференцировать по т. Получим
dx*
B37)
Черт. 66.
Таким образом, первая и вторая производные по новому
параметру т выражаются через г' и г" линейными комбинациями
со скалярными коэффи-
циентами и, следователь-
следовательно, параллельны их пло-
плоскости (компланарны с г'
и г").
Конечно, верно и об-
обратное, т. е. что г' и г"
dt й2г
компланарны Ст-, jj, так
что вообще плоскость,
определяемая в точке M{t)
векторами г' (t), r"(t) (черт. 66), не зависит от выбора параметри-
параметризации на кривой. Если допустить на минуту, что наше усло-
условие B35) нарушено, так что в данной точке г'(г), r"(t) коллине-
v /ooa\ « dr d2t
арны, то из формул (^37) мы сейчас же получаем, что -з-, ^
коллинеарны с ними, а значит, и между собой.
Таким образом, если условие B35) нарушено при одном выборе
параметризации, то оно будет нарушено и при любом другом
выборе. Следовательно, если условие B35) имеет место при одном
выборе параметризации, то оно имеет место и при любом другом
ее выборе.
•
В частности, если за параметр принята дуга s, то г—единич-
¦ •
ный вектор, и его производная г ему ортогональна (лемма 1 § 18),
так что условие B35) соблюдается всегда, за исключением случая
обращения г в нуль. Итак, условие B35) принимает вид
ЧфО. B35')
Из рассмотрения устранены, следовательно, точки, где
г = 0. B36')
11 П. К. Рашевсккй
162
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Теперь видно, что это—действительно точки распрямления,
так как в них кривая со своей касательной имеет не только общее
значение г (единичный касательный вектор), но и общее значе-
• • • а *
ние г = 0 (г вдоль прямой линии всегда равно нулю, так как век-
вектор р—постоянный). А в этом случае кривая со своей касательной
имеет касание 2-го порядка (§ 22).
§ 35. Соприкасающаяся плоскость.
Пусть кривая задана параметрическим уравнением
Наша задача состоит в том, чтобы для любой точки М(t) этой
кривой (при ограничениях § 34) подобрать проходящую через
нее плоскость, наилучшим образом
«пригнанную» к кривой вблизи точ-
точки М (t), с наименьшим «зазором»
между ними. Мы сейчас сформули-
сформулируем точную постановку задачи.
Сначала проведем через М (t)
произвольную плоскость; зададим
ее единичным вектором т, ей орто-
ортогональным (черт. 67).
Дадим параметру t приращение
At, вследствие чего мы сдвинемся по
кривой из точки М в точку М'.
Оценим расстояние точки М' от
плоскости по перпендикуляру РМ'.
При At—>0 точка М' бежит по кривой в точку М, и расстоя-
расстояние РМ', очевидно, стремится к нулю.
При этом бесконечпо малое расстояние РМ' может иметь
различный порядок малости относительно At. Чем выше этот
порядок, тем теснее «пригнана» наша плоскость к кривой вблизи
точки М.
Мы будем говорить, что в точке М кривая имеет с плоскостью
касание п-го порядка, если РМ' есть бесконечно малое не ниже
п 4-1-го порядка относительно At, и касание точно п-го порядка,
если РМ' точно n+1-го порядка относительно At.
Заметим, что наше обычное предположение, г' (t) =?= О, поль-
пользуясь формулой A58'), можно переписать в виде
s'@ = 1 г'@1 ?=0, т. е. lim ^фО. B38)
Последнее соотношение показывает, что At имеет тот же
порядок малости, что и As~MM'.
Черт. 67.
§ 35]
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ
163
Следовательно, можно считать, что (в нашем определении
порядка касания) порядок бесконечно малого РМ' расцени-
расценивается по отношению к дуге As и, значит, имеет смысл, инвариант-
инвариантный относительно выбора параметризации t на кривой.
Точная формулировка нашей задачи принимает вид: найти
плоскость, проходящую через точку М с наивысшим возможным
порядком касания с кривой в точке М.
Для решения этой задачи заметим, что вектор смещения ММ'
представляет собой приращение г (t -f- At) — г (t) радиус-вектора
г (t) при переходе из точки М в точку М'. Запишем это, разло-
разложив приращение радиус-вектора в ряд Тейлора:
At
ММ' = v{t + At) - г@ = г'(«) • ^ + г"@ • ir + ¦ ' •
С другой стороны, расстояние РМ' представляет собой проек-
проекцию вектора ММ' на перпендикуляр к плоскости, проведенный
через точку М' (так как угол МРМ', очевидно, прямой) или,
что все равно, на направление вектора т, тоже перпендикуляр-
перпендикулярного к плоскости. Но проекция любого вектора на направление
единичного вектора выражается их скалярным произведением;
следовательно,
РМ' =тММ' =тг'@ у + тг"@ ' if + - •• B39)
Мы подставили вместо ММ' его разложение в ряд Тейлора.
Конечно, расстояние РМ' по этой формуле получается с опре-
определенным знаком, который, впрочем, сейчас для нас не важен.
Разберем возможные здесь случаи.
1°. mr' (О Ф 0.
Разложение B39) начинается с бесконечно малых 1-го порядка,
и РМ' есть бесконечно малое 1-го порядка. Мы имеем случай
касания 0-го порядка, т. е. по существу пересечение кривой
с плоскостью. Действительно, касательная к кривой, направлен-
направленная по вектору г', не перпендикулярна к вектору m(mr' ^=0)
и, следовательно, не лежит в плоскости, а пробивает ее под неко-
некоторым углом.
2°. тг'@ = 0.
Разложение B39) начинается с бесконечно малых (не ниже)
2-го порядка; РМ' есть бесконечно малое (не ниже) 2-го порядка,
и мы имеем случай касания 1-го порядка. Геометрически условие
2° означает, что касательная к кривой перпендикулярна к век-
вектору т, а следовательно, лежит в нашей плоскости.
Таким образом, касание 1-го порядка с данной кривой в дан-
данной точке М имеют те и только те плоскости, которые проходят
через касательную в точке М.
Такие плоскости мы будем называть касательными к кривой.
11*
164
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
В полученном пучке касательных плоскостей не все пло-
плоскости будут равноценны в смысле близости к нашей кривой.
А именно, если mr" Ф 0, то разложение B39) начинается с беско-
бесконечно малого точно 2-го порядка, и касание будет точно 1-го по-
порядка; если же mr" = 0, то разложение B39) начинается с беско-
бесконечно малых (не ниже) 3-го порядка, и касание будет 2-го порядка.
В этом последнем случае плоскость должна, следовательно, удо-
удовлетворять двум условиям:
оо
тг'(г) = О,
B40)
Такая плоскость существует и притом только одна: это будет
плоскость, проведенная через точку М и через отложенные из
М векторы г', г"
(черт. 68; напомним,
что г' и г" предпола-
предполагаются неколлинеар-
ными).
Действительно, ус-
условия B40) соблю-
соблюдаются в том и толь-
только в том случае, ког-
когда г' и г" ортогональ-
ортогональны вектору т, т. е.
лежат в рассматри-
рассматриваемой плоскости.
Черт. 68. . Плоскость, имею-
имеющая с кривой в дан-
данной ее точке М касание 2-го порядка, называется соприкасаю-
соприкасающейся плоскостью.
Как нами только что доказано, кривая в каждой своей точке
имеет одну и только одну (предполагая г'-ft-г"), соприкасающуюся
плоскость. Эта плоскость проходит через векторы г', г", отло-
отложенные из точки касания.
Любопытно, что отсюда следует, что плоскость векторов г', г",
совпадая с соприкасающейся плоскостью, не зависит от выбора
параметра t вдоль кривой. Этот результат был только что полу-
получен нами другим путем, из формул B37).
Роль соприкасающейся плоскости заключается в том, что среди
всех плоскостей, проходящих через данную точку кривой М (t),
она единственная так тесно прилажена к кривой, что при смещении
из точки М (t) по кривой уклонепие от нее будет бесконечно
малым 3-го порядка (не ниже) относительно приращения пара-
параметра t. Другими словами, если пренебречь бесконечно малыми
3-го порядка и выше, то всякую пространственную кривую в бес-
§ 36]
сопровождающий трехгранник
165
конечно малом около данной точки М (t) можно считать плоской,
а именно располомсенпой в соприкасающейся плоскости в этой точке.
Это обстоятельство можно подтвердить и другим, очень
наглядным путем. Перейдем из данной точки М (t) в бесконечно
близкую точку М' (t-j- At) (черт. 68). Разложим радиус-вектор
точки М' в ряд Тейлора, взяв остаточный член после члена
2-й степени:
Вектор смещения из точки М в точку М' равен
MM' =
I — г (t) = r' (t) At + 4rr" @ (AtY + -g- Q* (AiY-
Таким образом, если взять прежде всего член первого порядка
г' Дг, смещение происходит по касательной, а значит, и в соприка-
соприкасающейся плоскости. Затем, если добавить член второго по-
рядка -^ г" (Д2)а , мы смещаемся по направлению вектора г",
т. е. уклонившись от касательной, но еще в соприкасающейся
плоскости, и попадаем в некоторую точку М". И только добавле-
добавление остаточного члена выводит нас из соприкасающейся пло-
плоек ости, не ре водя из М" в точку М' па кривой. Но так как оста-
остаточный член при М, стремящемся к нулю, будет бесконечно
малым 3-го порядка (не ниже), то, если учитывать лишь беско-
бесконечно малые 1-го и 2-го порядков, допуская ошибку 3-го порядка,
можно сказать, что вблизи М (t) кривая лежит в своей соприка-
соприкасающейся плоскости1).
Очевидно, что для плоской кривой соприкасающейся пло-
плоскостью служит во всех точках плоскость, в которой кривая
расположена.
Добавим, что соприкасающуюся плоскость в точке М можно
построить как предельное положение плоскости, проходящей через
три бесконечно близкие точки Мх, М2, Мг на кривой, когда эти
точки стремятся в М. Доказательство мы здесь не приводим.
§ 36. Сопровождающий трехгранник.
С соприкасающейся плоскостью связан ряд других геометри-
геометрических построений. Прежде всего из бесчисленного множества
нормалей в данной точке пространственной кривой, которые нам
1) Отмстим, что в исключенном нами случае B36) оба первых члена
правой части направлены по касательной, и лишь остаточный член уводит
нас в сторону от нее. Таким образом, уклонение кривой от касательной
не ниже 3-го порядка малости, касание между ними 2-го порядка, т. е.
мы действительно имеем точку распрямления. Соприкасающаяся плоскость
становится неопределенной, так как любая касательная плоскость яв-
является в этом случае и соприкасающейся.
166
теория кривизны пространственных кривых [гл. IV
казались ранее равноценными по своим свойствам, теперь выде-
выделяются две особенные.
Нормаль в данной точке, лежащую в соприкасающейся пло-
плоскости, мы будем называть главной нормалью, а нормаль, перпен-
перпендикулярную к соприкасающейся плоскости, — бинормалью (черт. 69).
Соприкасающаяся плоскость берется, разумеется, в той же
точке кривой, где строятся нормали. Очевидно, касательная,
главная нормаль и бинор-
бинормаль, выходящие из одной
и той же точки кривой, обра-
образуют между собой прямые
углы.
¦ Таким образом, с каждой
точкой М на кривой есте-
естественным образом можно свя-
связать прямоугольную систему
координат, начало которой
совпадает с самой точкой М,
а оси—с касательной, глав-
главной нормалью и бинормалью
Д Салрикас.
гф. плоскость
Черт. 69.
точке М.
Роль координатных пло-
плоскостей будут играть:
(проходит через касательную и
через главную нормаль
соприкасающаяся плоскость
главную нормаль);
нормальная плоскость (проходит
и бинормаль);
спрямляющая плоскость—так мы будем называть плоскость,
проходящую через бинормаль и касательную. Смысл этого назва-
названия выяснится позже.
Совокупность трех построенных нами прямоугольных коор-
координатных осей и трех координатных плоскостей называется сопро-
сопровождающим трехгранником кривой в точке М. Сопровождающий
трехгранник строится в каждой точке кривой (где г" + г')
и меняется от точки к точке.
Найдем теперь уравнения элементов сопровождающего трех-
трехгранника. Уравнения касательной и уравнение нормальной пло-
плоскости получены уже в § 32.
Составим уравнение соприкасающейся плоскости. Так как век-
векторы г' и г" лежат в соприкасающейся плоскости, то их векторное
произведение
[г', г"] = {y'z" - z'y") i + (z'x" — x'z") j + {x'y"-y'x")\, B41)
отличное "от нуля в силу B35), будет к ней перпендикулярно.
Рассматривая соприкасающуюся плоскость как плоскость, про-
проходящую через данную точку М (х, у, z) на кривой перпенди-
§ 36] СОПРОВОЖДАЮЩИЙ ТРЕХГРАННИК 167
кулярно к вектору B41), мы можем записать ее уравнение в виде
(Z-z)(x'y''-y'x") = O, B42)
или
(В-г) [r'f r"]=0,
где X, Y, Z—текущие координаты, R—скользящий радиус-вектор
соприкасающейся плоскости. Левую часть B42) можно перепи-
переписать более сжато в виде определителя 3-го порядка:
Х—хY—yZ-z
х'
х"
У
У"
z'
Z"
= 0
B42')
или
(В-г, г',г") =
В этих формулах х, х', х" и т. д. взяты при аргументе t, фикси-
фиксированном на определенном значении, соответственно выбранной
точке на кривой.
Составим теперь уравнения главной нормали и бинормали.
Начнем с бинормали, так как вектор, перпендикулярный к сопри-
соприкасающейся плоскости и, следовательно, направленный по бинор-
бинормали, у нас уже построен. Это—вектор [г', г"] [см. B41)]. В таком
случае уравнение бинормали легко построить как уравнение
прямой, проходящей через данную точку М(х, у, z) на кривой
и параллельной вектору [г', г"] в этой точке. Уравнение это
(в форме пропорций) запишется по общим правилам так:
'Х-ее
-у
Z-z
z'x' — x'z
х у
B43)
Чтобы найти теперь направление главной нормали, составим
векторное произведение перпендикулярных к ней векторов,
а именно, г' и [г', г"]. Это векторное произведение будет, очевидно,
параллельно главной нормали. Вычислим его как двойное век-
векторное яроизведение:
[г', [г', r"]] = r'(r'r")-r"(r'r').
Не представляет труда вычислить координаты этого вектора
ж'(г'г") — x"(x'r'), y'(r'r")—y"(x'r'), z'(r'r") — z"(t't')
и записать уравнение главной нормали как прямой, проходящей
через точку М (х, у, z) кривой параллельно этому вектору.
168
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Точно так же легко можно написать уравнение спрямляющей
плоскости как плоскости, проходящей через точку М перпен-
перпендикулярно к направляющему вектору главной нормали.
На осях трехгранника мы условимся откладывать в опреде-
определенную сторону единичные векторы—орты нашей координатной
системы—и их направления будем считать положительными
направлениями на осях. Для этих ортов мы введем постоянные
обозначения:
t—орт по касательной,
п—орт по главной нормали,
b—орт по бинормали.
Чтобы установить направление векторов t, n, Ъ, будем пред-
предполагать, что кривая отнесена к дуге как к параметру
Тогда г есть единичный вектор, направленный по касательной.
Его мы и примем за вектор t:
t=r. . B44)
Дифференцируя это равенство по s почленно и учитывая,'
что производная единичного вектора t ему ортогональна (по 1-й
лемме § 18), получим
• • ¦
t = r _L t.
Таким образом, г направлен по некоторой нормали к кривой;
а так как вторая производная радиус-вектора по любому пара-
параметру (в том числе и по дуге) всегда лежит в соприкасающейся
• • • •
плоскости, то г направлен по главной нормали. При этом г ф О
в силу условия B35').
Мыусловимся единичный вектор по главной нормали п отклады-
откладывать в направлении вектора г.
Наконец, единичный вектор по бинормали Ъ мы направим
так, чтобы поворот на прямой угол от t к п происходил против
часовой стрелки, если смотреть с конца Ь. Другими словами,
векторы t, n, Ъ должны представлять собой правую тройку. Так-
как, кроме того, это векторы единичные и взаимно ортогональ-
ортогональные, то для них (совершенно так же, как для ортов i, j, k) имеют
место равенства
[t, n] = b, [n, b]=t, [b, t]=n.
B45)
Если направление отсчета дуги s мы изменим на обратное,
то, рассуждая совершенно так же, как и для плоской кривой
§ 37]
ДВЕ ЛЕММЫ ОБ ОКРУЖНОСТИ
169
(§ 27), получим, что t меняет направление на обратное, а п не
меняется. Что же касается Ь, то из первой формулы B45)
видно, что он меняет направление на обратное. Итак,
B46)
В §§ 34—36 мы проводили изучение пространственной кривой
в бесконечно малом с точностью уже не 1-го (как при построении
касательной), а 2-го порядка. С этим связано появление в рассмо-
рассмотрении не только первой, но и второй производной радиус-век-
радиус-вектора г (г), построение соприкасающейся плоскости и т.д.1).
§ 37. Две леммы об окружности.
Рассмотрим (черт. 70) единичный вектор в плоскости XY,
направленный под углом ср к оси X. Такой вектор мы будем
обозначать через е(ср). Очевидно,
его проекции (координаты) по осям
X, Y будут соответственно coscp,
sin ср, так что его разложение имеет
вид
е (ср) = i cos о -+- j sin ср.
Меняя ср, мы можем рассматривать
е (ср) (который будет при зтом вра-
вращаться) как вектор-функцию от ср.
Если е (?) откладывать из нача-
начала О, то конец его описывает окруж-
окружность радиуса единица.
Вычислим производную е (ев) по <
Черт. 70.
i. Получим
е' (<р) = — i sin ср + j cos <p = i cos ( <P + у ) + j sin f ? + у ) '
Как мы видим, получается вновь единичный вектор, но напра-
х) Результаты этого параграфа неприменимы, конечно, к точкам рас-
распрямления. Соприкасающаяся плоскость, главная нормаль и бинормаль в
том смысле, как мы их определили, в точке распрямления становятся неопре-
неопределенными. Впрочем, как можно показать, для них существуют предельные
положения, когда, двигаясь по кривой, мы стремимся в точку распрямления.
Эти предельные положения можно принять за соприкасающуюся пло-
плоскость, главную нормаль и бинормаль в точке распрямления. Нужно иметь
при этом в виду, что положительное направление на главной нормали
может скачком измениться на противоположное при переходе через точку
распрямления.
170 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
вленный к оси X под углом <р + у • Итак,
B47)
Таким образом, нами доказана
Лемма 1. Производная вращающегося на плоскости еди-
единичного вектора е по углу его поворота <р равна этому вектору,.
повернутому (в плоскости вращения) на угол + -?- .
Заметим, что перпендикулярность е' (<f) к е (<р) ясна также
ж из того, что е' (ф) должен быть касательным вектором к окруж-
окружности, описываемой концом радиус-
вектора е ('-р).
Возьмем теперь окружность про-
произвольного радиуса R, примем ее
пентр О за начало координат, а
ее плоскость—за плоскость XY
(черт. 71). Отнесем ее к длине дуги s
как к параметру, причем дугу s
будем откладывать от точки Мп,
где окружность встречается с по-
положительным направлением оси X.
Черт. 71.
Тогда значение s для любой точки М равно, очевидно, полярно-
полярному углу этой точки, умноженному на радиус R:
s = .RT; <p = J-.
Радиус-вектор г = ОМ точки М равен единичному вектору е (<р)
в направлении ОМ, умноженному на длину ОМ, т. е. R:
B48)
Это уравнение мы можем рассматривать как параметрическое
представление нашей окружности в векторной форме; параметром
служит дуга s.
Дифференцируя радиус-вектор по s, получим
/ Г s \ Si
где е ( — J означает производную по углу <р=—-, а -=- есть про-
производная ф по s. Пользуясь формулой B47), получаем оконча-
окончательно
§ 37]
ДВЕ ЛЕММЫ ОБ ОКРУЖНОСТИ
171
Как и следовало ожидать, производная от радиус-вектора по дуге
оказалась единичным вектором, направленным под углом <р+ -¦ ,
т.е. по касательной к окружности в точке М (черт. 71).
Еще раз дифференцируем по s; получим
Снова штрих означает дифференцирование по углу -= + -^. Поль-
Пользуемся формулой B47) еще раз; тогда можно написать
Так как добавление тг к углу ф означает поворот вектора
на 180°, то е(^ + ':) = —еС^) и' слеД°вательн°)
_
Вектор МО, ведущий из произвольной точки окружности
в ее центр, получается из радиус-вектора т = ОМ умноже-
умножением на — 1, так что, в силу B48),
—*><?)¦
B50)
Сравнивая формулы B49) и B50) и учитывая, что вектор е
—единичный, мы приходим ко второй лемме.
Лемма 2. Векторы МО и г одинаковы по направлению
и взаимно обратны по модулю (т. е. произведение их модулей
равно 1).
Заметим, что если два вектора а и Ъ одинаковы по направле-
направлению и взаимно обратны по модулю, то они выражаются один
через другой равносильными формулами
ь
Ъ =
B51)
Действительно, когда мы, например, вектор а делим на его
скалярный квадрат а2, т. е. на квадрат его модуля |а|2, то его
направление не меняется, а его модуль | а | после деления превра-
1
щается в -— .
Лемма 2 остается справедливой и в том случае, когда радиус-
вектор г откладывается из произвольного начала, а не из центра
окружности. Действительно, при сдвиге начала к г добавляется
постоянный вектор, и следовательно, производные г, г, ... не
меняются.
172 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV.
§ 38. Соприкасающаяся окружность.
Займемся теперь построением соприкасающейся окружности
к пространственной. кривой. Соприкасающейся окружностью в
данной точке М пространственной кривой мы называем окруж-
окружность, имеющую с кривой в этой точке касание 2-го порядка.
Как известно из § 22, необходимым1) и достаточным условием
касания 2-го порядка является совпадение для обеих кривых
значений г и г в точке касания. Итак, для искомой окружности
значения гОКр и г окр в точке М должны быть те же, что и известные
нам гиг для данной
кривой.
Мы не знаем зара-
заранее, что соприкасаю-
соприкасающаяся окружность су-
существует, и сначала
предположим это. Тогда
(по лемме 2 § 37) вектор
МС, ведущий из точ-
точки М в центр соприка-
Черт. 72. сающейся окружности С,
будет одинаковым по
направлению и обратным по модулю с вектором г и может
быть записан согласно B51):
Т
B52)
Собственно говоря, здесь имеется в виду вектор г для окруж-
окружности, но он в случае соприкасающейся окружности совпадает
в точке касания с вектором г для кривой. При этом г Ф 0 по усло-
условию. B35). Таким образом, центр соприкасающейся окружности
С (черт. 72),—если она существует,—однозначно определяется
вектором B52). Так как МС имеет то же направление, что
и г, а г всегда направлен по главной нормали в положитель-
положительную сторону (в сторону вектора п), то С лежит на главной нор-
нормали в положительную сторону от точки М. Так как МС иг —
векторы, обратные по модулю, то
= ~ B53)
1) После согласования направлений отсчета s, которое мы будем здесь
предполагать.
§ 38]
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ
173
или
R= —
г !
B54)
где R—радиус соприкасающейся окружности.
Итак, соприкасающаяся окружность должна иметь центр С
на главной нормали, проходить через точку М и иметь в ней общую
с кривой касательную (вектор г общий). Тем самым главная нор-
нормаль нашей кривой МС и ее касательная МТ должны лежать
в плоскости окружности, а значит, плоскость окружности должна
совпадать с соприкасающейся плоскостью кривой.
Итак, соприкасающаяся окружность,—если она существует,—
определяется единственным образом, а именно так:
В поъомситпелъную сторону главной нормали кривой отклады-
откладывается отрезок МС, определяемый по формуле B53), и из точки С,
как из центра, описывается в соприкасающейся плоскости окруж.-
ностъ радиусом МС.
В формуле B53) г вычисляется, конечно, для кривой в точке М.
Остается показать, что построенная таким образом окружность
действительно будет соприкасающейся. Из построения видно, что
окружность будет иметь в точке М общую с кривой касательную
МТ. Следовательно, единичный касательный вектор г в точке М
тоже можно считать общим для кривой и для окружности.
Далее, из построения точки С видно, что вектор МС будет
направлен по вектору г, вычисленному в точке М для кривой,
так как оба вектора направлены в положительную сторону глав-
главной нормали. Модули же этих векторов — взаимно обратные вели-
величины, как видно из формулы B53). Если теперь вычислить г
в точке М для построенной нами окружности, то по лемме 2 § 37
этот вектор тоже одинаково направлен с вектором МС и имеет
модуль, обратный модулю МС. Следовательно, г имеет в точке
М одно и то же значение и для кривой и для окружности. Совпа-
Совпадение значений г уже было установлено. Построенная нами окруж-
окружность—действительно соприкасающаяся.
Центр С соприкасающейся окружности называется центром
кривизны, а ее радиус R—радиусом кривизны пространственной
кривой в данной точке М.
Роль соприкасающейся окружности заключается в том, что
вблизи точки М она представляет нашу кривую с ошибкой беско-
бесконечно малой лишь 3-го порядка (не ниже), принимая за беско-
бесконечно малое 1-го порядка путь, пройденный из точки касания
по кривой (см. определение порядка касания кривых, § 22). Таким
174
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
образом, если в § 35 мы узнали, что в бесконечно малом, пренебре-
пренебрегая бесконечно малыми 3-го порядка, пространственную кривую
можно считать плоской (лежащей в своей соприкасающейся пло-
плоскости), то теперь мы знаем дополнительно, что в этих условиях
ее можно считать дугой окружности (именно соприкасающейся
окружности). В связи с этим понятно, почему получилось, что
соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся пло-
плоскости1).
Заметим, что соприкасающаяся окружность в точке М на кри-
кривой может быть построена и другим путем, именно как предель-
предельное положение окружности, проведенной через три точки Мх,
Ма, М3 на кривой, когда эти точки стремятся в точку М. Дока-
Доказательство этой теоремы мы оставляем в стороне.
В случае точки распрямления (г = 0) соприкасающаяся окруж-
окружность вырождается в прямую (касательную). Точнее, окружу
иости, имеющей с кривой касание 2-го порядка, в точке распря-
распрямления не существует, зато касательная там имеет с кривой каса-
касание 2-го порядка.
§ 39. Кривизна пространственной кривой.
Введем теперь понятие кривизны в данной точке
пространственной кривой. Вдоль пространствен-
пространственной кривой
в каждой точке определяется единичный касательный вектор
как функция дуги s.
Скорость вращения вектора t (или, что то же, скорость вра-
вращения касательной) в данной точке кривой по отногиеиию к пути s,
проходимому по кривой, мы называем кривизной к в данной точке.
а) Понятно также, что, пользуясь при изучении пространственной
кривой в бесконечно малом лишь первой и второй производными радиус-
• • •
вектора гиг, мы повторяем в сущности построения теории плоских кри-
кривых. Действительно, раз мы рассматриваем в данной точке только гиг,
то мы знаем в разложении вектор-функции г в ряд Тейлора вблизи дан-
данной точки лишь члены 1-й и 2-й степени. Но, пренебрегая в бесконечно
малом членами 3-й степени и выше, мы можем 'считать кривую располо-
расположенной в ее соприкасающейся плоскости, и нам приходится повторять
построения теории плоских кривых, заменив только плоскость кривой ее
соприкасающейся плоскостью в данной точке. Существенные особенности
пространственных кривых скажутся позже, когда мы привлечем в расмо-
трение г, т. е. повысим точность исследования до 3-го порядка.
§ 39] КРИВИЗНА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ
Другими словами,
ft = lim ? ,
175
B55)
где As — путь, пройденный по кривой, исходя из данной точки,
a A'f — угол соответствующего поворота касательной t. Но по
лемме 2 § 18
lim
Дер
и, следовательно,
А так как t = r, то
B55')
B55")
Мы замечаем, во-первых, что вообще &!>0, причем условие
B36'), характеризующее точки распрямления, может быть пере-
переписано в виде
к = 0. B56)
Уже полученный в начале § 34 результат о линии, сплошь
состоящей из точек распрямления, можно теперь доказать снова
в виде теоремы:
Для того чтобы линия была прямой, необходимо и достаточно,
чтобы ее кривизна во всех точках была равна нулю.
Необходимость очевидна, так как вдоль прямой век-
вектор t остается постоянным, сохраняя направление по прямой
и длину единица. В таком случае t = 0, и формула B55') приводит
к обращению кривизны к в нуль.
Достаточность. Если к = О, то B55') показывает, что
t = 0, а значит t сохраняет постоянное значение. Интегрируя
равенство
или
dr = t ds,
где t остается постоянным, получим
г0.
Здесь г0— постоянный вектор интегрирования. Очевидно, что при
переменном s конец вектора г описывает прямую.
ь+дь
176 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV |
Далее, оставляя, как обычно, в стороне точки распрямления, |
сопоставим B55") и B54). Получим ;
к = ±, B57)
т. е. кривизна и радиус кривизны суть взаимно обратные величины.
Эта теорема обобщает на пространство соответствующий результат
(§ 26) для плоской кривой. Данное там пояснение смысла соотно-
соотношения B57) применимо и^для пространственных кривых.
§ 40. Формулы Френе. Кручение.
Основной смысл формул Френе состоит в том, чтобы характе-
характеризовать вращение сопровождающего трехгранника t, n, b при
движении точки касания вдоль пространственной кривой. Дей-
Действительно, так как t, n, b—еди-
b—единичные взаимно ортогональные
векторы, то при бесконечно ма-
малом смещении точки касания
вдоль кривой эта тройка может
^t+Ai лишь повернуться как твердое
- тело (на изменение точки при-
приложения мы внимания не обра-
обращаем) (черт. 73). Мы займемся
сначала аналитическим выраже-
выражением этой идеи; к кинематиче-
кинематическому же истолкованию вернемся позже.
Считая кривую отнесенной к параметру s
r=r(s),
причем кривизна к нигде не обращается в нуль, мы, очевидно, мо-
можем и векторы сопровождающего трехгранника считать одно-
однозначно определенными функциями s:
t = t(s), n = n(s),. b = b(s).
Аналитическое содержание формул Френе будет заключаться
в разложении производных от векторов t, n, b по дуге s, т. е.
t, и, Ь, по самим этим векторам.
Легче всего выразить производную t. Мы знаем, что вектор
t = г направлен в каждой точке по главной нормали в положи-
положительном направлении, другими словами, в направлении вектора п.
Что же касается его модуля, то он равен кривизне, как показы-
показывает B55'). Следовательно, вектор t, как и всякий вектор, равен
§ 40]
ФОРМУЛЫ ФРЕНК. КРУЧЕНИЕ
177
своему модулю, умноженному на единичный вектор в том же
направлении:
t = ftn. B58)
Это и есть первая формула Френе. Вектор кп называется вектором
кривизны кривой.
Займемся теперь дифференцированием вектора b (s). Запишем
определение вектора b(s):
и продифференцируем это равенство почленно по s. Получим
b=[t,n] + [t,n].
В правой части первый член обращается в нуль, так как первый
множитель векторного произведения t коллинеарен второму, п,
как показывает B58). Итак,
b = [t, п].
Так как п — вектор единичный, то его производная п перпен-
перпендикулярна к нему; кроме того, вектор t также к нему перпендику-
лярен. Следовательно, векторное произведение t на п, перпен-
перпендикулярное к обоим этим векторам, будет направлено параллельно
п и будет отличаться от п только некоторым скалярным коэффи-
коэффициентом. Этот коэффициент, взятый с обратным знаком, мы обо-
обозначим через ¦/. Тогда векторное произведение [t, п.] равно — -лп,
и мы можем записать
Ъ=—ш.
B59)
Это есть третья формула Френе (вторую еще предстоит вы-
вывести). Коэффициент х в каждой точке определяется, очевидно,
единственным образом, включая и знак (в отличие от коэффициента
к, который по самому определению кривизны всегда положи-
положителен).
Значение коэффициента * в данной точке кривой мы будем
называть кручением кривой в этой точке. Геометрический смысл
кручения мы выясним несколько позже.
Используем формулы B45):
n=[b,t].
B60)
B60')
B60")
12 П. К. Рашевский
178 твория кривизны пространственных кривых [гл. IV
Продифференцируем по s последнее равенство; получим
. n = [b,t] + [b,t].
Подставим сюда выражения b и t из B59) и . B58). Получим
Пользуясь формулами B60) ж B60'), векторные произведения [n, t]
и [b, nl можно заменить через - b и - t, и выражение для п прини-
принимает окончательную форму
i = xb-*t. B61)
Мы получили вторую формулу Френе. Сделаем сводку всех
формул Френе:
B62)
= хЬ — At, j
Производные t, А, Ь по длине дуги s в данной точке разло-
разложены как мы видим, по самим t, n, b с коэффициентами
Tkl у Интересно отметить, что если в каждом разложении
Писать на первом месте член с t, потом с п, потом с Ъ, то
матрица коэффициентов разложении B62) примет вид
0 k Oil
— к 0 у.
0—х О
B62')
Чтобы уяснить кинематический смысл формул Френе, пред-
представим себе, что векторы трехгранника t(s), n(s), b (s) откла-
откладываются из фиксированной точки О, так что, когда мы дви-
движемся по кривой, меняя аргумент s, трехгранник вращается
как твердое тело около О.
Так как каждому значению s отвечает определенное поло-
положение трехгранника, то можно, перейдя в область кинематики,
условно истолковать s как время. Тогда, как мы сейчас увидим,
при каждом значении s («в каждый момент времени») для трех-
трехгранника можно указать определенный вектор мгновенной уг-
угловой скорости. Это значит, что точки трехгранника в этот
момент обладают такими скоростями, как если бы он вращался
около оси, направленной по некоторому вектору <в с угловой
скоростью | <о | и притом в направлении против часовой стрелки.
40]
ФОРМУЛЫ ФРЕНК. КРУЧЕНИЕ
179
если смотреть вдоль оси с конца вектора ш к его началу
(черт. 74).
Возьмем сначала какой-нибудь произвольно выбранный век-
вектор со и заставим трехгранник вращаться около оси, направлен-
направленной по вектору се, с угловой скоростью | аз |, т. е. так, чтобы угол
поворота был пропорционален приращению «времени» s с коэф-
коэффициентом пропорциональности ] аз |. Направление вращения
пусть согласовано с направлением аз, как указано выше.
Вычислим скорость движения точки Т, лежащей в конце
вектора t. Так как для Т вектор t служит радиус-вектором,
то, считая s временем, мы
должны принять за вектор
•
скорости производную t.
С другой стороны, считая,
что трехгранник вращается
около оси <о, мы видим,
что Т движется по окруж-
окружности радиуса РТ
где РТ — перпендикуляр,
опущенный из Т на ось
вращения. Считая, кроме
того, что угловая ско-
скорость вращения есть |а>|,
мы получаем для линей-
линейной скорости движения Т
произведение радиуса окружности на угловую скорость
| аз | • sin (а>, t).
В самом деле, угловая скорость выражает угол поворота за еди-
единицу времени; значит, умноженная на радиус окружности, она
дает путь, пройденный точкой Т по окружности за единицу
времени.
Что же касается линейной скорости движения Т, то она напра-
направлена по касательной к окружности и перпендикулярна, следо-
следовательно, к радиусу окружности РТ и к оси вращения аз
(черт. 74).
В итоге скорость движения Т как вектор направлена перпен-
перпендикулярно к плоскости векторов t, ев и имеет модуль, равный
произведению модулей этих векторов 1 • | о» | на синус угла меж-
между ними. Итак, эта скорость есть векторное произведение аз
на t; нетрудно убедиться, что множители нужно брать именно
в этом порядке, чтобы получить нужное направление скорости. Со-
12*
180 ТВОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
поставляя оба выражения, полученные для скорости движения
конца вектора t, получим
н совершенно аналогично
(
Ь=[оз,Ь]. J
Разложим вектор угловой скорости со по векторам t, п., Ь, обозна-
обозначая коэффициенты разложения через а, р, у:
<в = at + Рп + уЪ.
Вставим это разложение «е в предшествующие формулы; поль-
пользуясь равенствами B60), B60') и B60"), получаем
t = 0—pb + Y».
п= ab + 0 — ft,
b= — an+pt + O.
До сих нор вектор аз был выбран произвольно. Постараемся теперь
выбрать его так, чтобы скорости движения концов t, n, b при
вращении, определяемом вектором сй, совпадали с теми скоро-
скоростями, которые концы векторов t, n, Ъ имеют фактически согласно
формулам Френе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
только что выписанные формулы совпадали с формулами Френе
B62), т. е. чтобы выполнялись равенства
и, следовательно,
to
= xt + kb.
B64)
Итак, найден такой вектор угловой скорости с», именно, заданный
формулой B64), что определяемое им вращение трехгранника
сообщает концам векторов t, n, Ь те же линейные скорости по отноше-
отношению к s, которыми они обладают в данный момент фактически.
Теперь кинематический смысл формул Френе ясен. Они пока-
показывают нам, что при каждом данном значении s сопровождающий
трехгранник вращается как твердое тело с вектором мгновенной
угловой скорости B64), причем скорость берется по отношению
к проходимому по кривой пути s (который играет, таким образом,
роль времени).
Вектор угловой скорости аз лежит, как мы видим, в плоскости
t, b и разлагается лишь на два составляющих -Л и kb, так что
вращение трехгранника в данный момент слагается, можно счи-
считать, из двух вращений.
§ 40]
ФОРМУЛЫ ФРВНЕ. КРУЧЕНИЕ
181
Одно вращение отвечает слагаемому кЬ. Оно происходит
по определению вектора мгновенной угловой скорости около оси,
направленной по кЪ, и с угловой скоростью, равной | kb I , т. е.
около бинормали и с угловой скоростью к.
Направление этого вращения будет всегда от t к п, так как
А* > О и кЬ направлено в сторону Ъ, следовательно, с конца кЬ
вращение от t к и как раз представляется идущим против часовой
стрелки (мы везде пользуемся правой системой координат и пра-
правым векторным произведением).
Другое вращение отвечает слагаемому v.t. Оно происходит
около оси, направленной по xt, и с угловой скоростью, равной
I v-t |, т. е. около касат,елъной и с угловой скоростью |х|.
Что же касается направления этого вращения, то оно зависит
от знака х. В случае у. > 0 вектор Л направлен в сторону t и вра-
вращение происходит от п к Ь, так как именно такое вращение пред-
представляется идущим против часовой стрелки, если смотреть с конца t.
В случае х <С 0 вектор xt направлен в обратную сторону, и вра-
вращение происходит от Ь к п.
На это обстоятельство следует обратить внимание, так как
оно характеризует геометрический смысл знака кручения х.
Необходимо пояснить, что говоря о направлении вращения
трехгранника, мы предполагаем, что по кривой мы движемся
в сторону возрастания s. Действительно, мы исходили из
кинематического истолкования, где s играет роль времени
и, следовательно, в своем изменении считается возраста-
возрастающим.
Теперь интересно проследить, что происходит, когда мы напра-
направление отсчета дуги s изменим на обратное. Тогда при возрастании
s мы будем двигаться в обратную сторону и, следовательно, вра-
вращение трехгранника будет происходить в обратном, направлении.
Но так как при этом обратном отсчете дуги s в сопровождающем v
трехграннике t и Ъ изменят направление на обратное, а п оста-
останется прежним [см. B46)], то вращение от t к п и вращение от п
к b будут теперь иметь направления, тоже обратные прежним..
Поэтому, если раньше вращение трехгранника около касательной
имело направление, совпадающее с направлением вращения от п
кЬ, т. е. если х было>0, то и теперь, при обратном отсчете дуги s,
будет в точности то же самое. Это же относится, конечно, и к слу-
случаю х <; 0. Следовательно, не только модуль (что очевидно), но
и знак кручения -л 7i,e зависит от выбора направления отсчета s
вдоль кривой. Кручение х характеризует геометрические свойства
самой кривой в данной точке независимо от направления отсчета
дуги на ней.
Это легко проверить и непосредственно из третьей формулы
Френе. Действительно, при изменении направления отсчета дуги
на обратное левая часть формулы B59) не меняется, так как b и s
182 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
одновременно меняют знак на обратный; а так как п тоже не
меняется, то и коэффициент х остается прежним.
Нам нужно, наконец, остановиться на геометрическом смысле
кручения у~. Оно, собственно, уже получило у нас истолкование,
включая и знак, как угловая скорость вращения трехгранника
вокруг касательной.
Этому истолкованию в части, касающейся модуля ¦/-, можно
придать более простой вид.
Возьмем по модулю обе части третьей формулы Френе:
|Ь| = |—ш| = !*|> так как |п| = 1.
Применяя лемму 2 § 18 к вектор-функции b(s), получим
lim =~ = \Ь\ и, значит, lim
д?
As
= ht
Здесь Д? означает угол между двумя бинормалями, отстоящими
вдоль кривой на расстоянии As. Предел отношения -р, когда
вторая бинормаль стремится к совпадению с первой, мы называем
скоростью вращения бинормали в соответствующей точке по отно-
отношению к пути, проходимому по кривой. Мы видим, что эта ско-
скорость равна модулю кручтия |х| в той же точке. Таково геометри-
геометрическое истолкование модуля кручения. Но так как бинормали
перпендикулярны к соприкасающимся плоскостям, то угол между
бинормалями в двух точках кривой равен углу между соприка-
соприкасающимися плоскостями в тех же точках. Следовательно, повторяя
те же рассуждения, можно сказать, что | х | есть в то же время
скорость вращения соприкасающейся плоскости по отношению
к пути s, проходимому по кривой.
В заключение докажем теорему, хорошо выясняющую роль
кручения пространственной кривой.
Очевидно прежде всего, что, так как для плоской кривой сопри-
соприкасающаяся плоскость во всех точках одна и та же, ^именно пло-
плоскость самой иривой, то бинормали все нараллелъньГдруг другу,
а векторы Ъ во всех точках равны между собой. Отсюда скорость
вращения бинормали равна нулю, и следовательно,
х = 0.
Это можно видеть и прямо из третьей формулы Френе
Действительно, производная от постоянного b равна нулю, а так
как п заведомо отлично от нуля, то обращается в нуль круче-
кручение
41] ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ 183
Итак, если кривая-—плоская, то кручение х во всех точках равно
нулю. Несколько менее очевидна обратная теорема, которую
мы сейчас докажем:
Если кручение к во всех точках равно нулю, то кривая —
плоская.
Поскольку кручение % равно нулю, третья формула Френе
показывает, что Ь==0. Так как производная вектор-функции Ь (s)
тождественно равна нулю,
то и производные всех ее
координат тоже нули, следо-
следовательно, эти координаты и
сама вектор-функция остают-
остаются постоянными:
Ь= Ьо.
Итак, все бинормали
параллельны между собой
(черт. 75). Но касательная
в любой точке перпендику-
перпендикулярна к бинормали, следова-
тельно, все касательные на-
наЧерт. 75.
шей кривой перпендикулярны к постоянному Ьо. Запишем это:
tb0 = 0 или rbo = 0.
Умножая обе части последнего равенства на ds, получим
е?гЪ0 = 0 или e?(rbo) = O.
Следовательно,
где D—постоянная. Обозначим через А, В, С координаты Ьо, через
х, у, z—координаты г, т. е. текущие координаты по кривой. Тогда
Текущие координаты по кривой удовлетворяют уравнению
некоторой плоскости, на которой и расположится, следовательно,
наша кривая.
§ 41. Вычислительные формулы для кривизны и кручения.
В предыдущем параграфе мы впервые перешли к рассмотрению
кривой вблизи данной тачки с точностью 3-го порядка, т. е. учи-
учитывая бесконечно малые 1-го, 2-го и 3-го порядков. Действи-
Действительно, если для построения трехгранника t, n, b и кривизны к
нам было достаточно знать в данной точке лишь первую и вторую
184
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВВННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
производные гиг радиус-вектора г по дуге s, то в формулах
Френе при дифференцировании п и Ь по s (и, следовательно,
в выражении для х) должна появиться и третья производная г.
Но знать г., г, г в данной точке кривой s = So—все равно, что знать
разложение г (s) в ряд Тейлора по степеням s—s0 до членов третьей
степени включительно, т. е. рассматривать кривую вблизи данной
точки s0 с точностью 3-го порядка.
Сейчас мы фактически покажем зависимость между г, г, г,
с одной стороны, и t, n, Ъ, к, у.—с другой. Эти зависимости одно-
одновременно будут служить и вычислительными формулами, позво-
позволяющими находить все рассмотренные нами величины, исходя
из последовательных производных г, г, г радиус-вектора г
кривой по дуге s.
Прежде всего t по определению совпадает с первой производ-
производной г:
г =t. B65)
Дифференцируем по s и пользуемся первой формулой B62):
1 = кв. B66)
Еще раз дифференцируем по s и пользуемся второй формулой
B62):
Оконча тельно
г = кп + кп = кл + к(*Ъ -— Щ.
г= — кЧ + кп
B67)
Теперь выразим обратно t, n, Ь, к, % через г, г, г. Беря обе
части B66) по модулю и учитывая, что |п| = 1, приходим к уже
известной формуле
* = |г|. B68)
Вставляя это выражение к в B66), получаем формулу
г
B69)
Перемножая векторно равенства B65) и B66) почленно, получим
[г, г] = ЛЬ, B70)
§ 41] ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ 185
так как [t, п] — Ъ. Отсюда, пользуясь равенством B68), легко
выразить Ь:
[г, г]
м
B70')
Перемножим скалярно равенства B67) и B70) почленно. Полу-
Получим (учитывая, что tb = O, nb = O, Ь2 = 1)
(rr'r) = ft, B71)
где в левой части стоит смешанное произведение. Отсюда легко
выразить •/., учитывая, что к2 = | г | = г . Получим
(г г г )
B71')
Практически задание вектор-функции х (s) означает обычно
задание ее координат (текущих координат по кривой) в функции
параметра s вдоль кривой:
г (s) = х (s) i + у (s) j + z (s) k.
Поэтому имеет смысл выразить предыдущие формулы через
текущие координаты и их производные. Дифференцируя почленно,
мы получаем
zk>
zk,
г = asi-J-yj + zk-
Формулу B68) можно теперь переписать (пользуясь извест-
известным выражением для модуля вектора через координаты) в виде
х +у + z
B72)
Формула B71'), если переписать смешанное произведение
в виде определителя, примет вид
B73)
X
X
X
..2
У
У
У
..а
х +у
z
z
..2
+ z
186 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Перепишем также выражения для t, n, Ъ:
и =
V77'
+ у + ¦
I
Ь= -г^
.,2 ..2 .,2
х +у +z
V
B74)
а: у
..2 ..2
X +У +S
х +у + z
•.2 ..2 ..2
а; +у + z
Заметим, что так как t, и, Ь—единичные векторы, то их коор-
координаты (коэффициенты этих разложений) совпадают с их напра-
направляющими косинусами. Поэтому матрица коэффициентов в раз-
разложениях B74) есть матрица направляющих косинусов для трех
взаимно ортогональных направлений: по касательной, главной
нормали и бинормали в данной точке кривой. Эта матрица будет,
таким образом, ортогональной.
Все выписанные сейчас формулы относятся к случаю, когда
радиус-вектор г задан в функции параметра s. Теоретически это
всегда возможно сделать, но практически часто бывает довольно
утомительным вычислять t, n, b, к, * по этим формулам, если
предварительно приходится переходить от задания кривой в про-
произвольном параметре:
г = i (t) = х (t) i + у (() j + z (t) k,
B75)
к параметру s.
Поэтому мы покажем, как вычисляются кривизна и кручение,
исходя непосредственно из уравнения B75). Изучим предвари-
предварительно, как меняются некоторые выражения, составленные из
производных от радиус-вектора по параметру, когда мы пере-
переходим к новому параметру.
Итак, пусть старый параметр t задан как функция нового пара-
параметра т. Тогда радиус-вектор г (t) можно рассматривать как функ-
функцию от функции т. Вычисляем по соответствующим правилам
производные от г по х:
d^z =T di '
dH
dH
Штрихами обозначаем дифференцирование по старому пара-
параметру t.
§ 41] ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ 187
Перемножим векторно первые два равенства почленно. По-
Получим
Г_? > г!? = [Т'у Г"]. ( гЛ г B76)
так как в правой части векторы, коллинеарные г', дают в векторном
произведении между собой нуль.
Перемножим теперь скалярно равенство B76) и предшествую-
предшествующее ему равенство почленно. Получим, учитывая, что перемно-
перемножение векторного произведения на третий вектор скалярно дает
смешанное произведение:
ат d тй Т\ /__/__« _,„\ i dt\ ,^„_.
Остальные члены правой части исчезнут, так как [г', г"] перпен-
перпендикулярно к г" и г' и в скалярном произведении с ними дает нуль.
Интересно, что равенства B76) и B77) можно переписать
в виде, симметричном относительно обоих параметров t и т.
В самом деле, умножим обе части B76) на dx3, а обе части B77)
на dxe. Получим
Эти равенства показывают, что бесконечно малый 3-го порядка
вектор
[г', t"]di3
и бесконечно малый 6-го порядка скаляр '
(г' г" г"') dt'
инвариантны при переходе к любой другой параметризации.
Возвращаясь к формулам B76) и B77), примем, в частности,
за новый параметр х длину дуги s вдоль кривой; параметризацию t
оставим произвольной. Формулы примут вид
[Г, rj — 11 , Г J
Сравнивая их с формулами B70) и B71), мы получаем
B78)
B78')
188 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Но, как известно,
¦' |. B79)
-
dt
Поэтому, если взять обе части формулы B78) но модулю, полу-
получится
fe_l[r', г"]|
B80)
Вставляя полученное для к выражение в B78'), мы получим
Гр' г 12 1
1 ' l J ' ., fr'r"v'"\
|Г',8
I г' Is
откуда
(r'r"r'f;)
B81)
Здесь в знаменателе мы заменили квадрат модуля скалярным квад-
квадратом самого вектора. Формулы B80) и B81) приведены уже
к окончательному виду и служат для вычисления кривизны и кру-
кручения в случае, когда кривая задана уравнением
при любом выборе параметра t вдоль кривой. Перепишем в заклю-
заключение эти формулы в координатной форме.
Выпишем производные радиус-вектора по параметру V.
г'" —x'"i + у'"] + z'"k.
Отсюда по известным формулам векторной алгебры вычисляем
[г', г"] = {y'z" - z'y") i + {.z'x" - x'z") j + (x'y" - y'x") k,
x' y' z'
r'r'T'") =
x" y" z"
ж'" y'" z'"
Вставляя полученные выражения в B80) и B81), получаем эти
формулы в координатной форме:
. _ V(y'z"-z'y"y + (z.'x"-x'z"y + (x'y''—y'x")'- ~)
'~ (ж'Ча'Чг'8K'2 ' J
x'" y'" z'"
B82)
§ 41] ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ КРИВИЗНЫ И КРУЧЕНИЯ 189
Замечательно, что последняя формула выражает кручение ~/.
через производные текущих координат по параметру рациональ-
рациональным образом, и, следовательно, со вполне определенным знаком.
Напротив, выражение для к содержит квадратные корни, так что,
помимо формулы, нужна словесная оговорка, что неопределен-
неопределенность в знаке мы условились устранять, беря всегда знак + .
Чтобы установить связь с нредыдзоцим, отметим, что если
кривая лежит в плоскости XY и, следовательно, z^O, то выра-
выражение для к сильно упрощается и, как легко проверить, сво-
сводится к тому, которое мы имели в теории плоских кривых.
Найдем еще центр кривизны С, вернее вектор МС, ведущий в центр
кривизны из данной точки М на кривой. Рассмотрим сначала двойное
векторное произведение [[г', г"] г']. Нетрудно заметить, что оно всегда
направлено в положительную сторону главной нормали. Впрочем, это
выяснится из дальнейших выкладок.
Составим почленное векторное произведение равенства B76) и равен-
равенства
dv , dt
— — г -j- .
Получим
dv
dv
Отсюда следует, между прочим, что бесконечно малый 4-го порядка
вектор
[[г', r"j г'] dt*
инвариантен при переходе к любой другой параметризации.
Примем за новый параметр т дугу s. Тогда равенство примет вид
[[г, rjr] = [[r', г"] г
В силу B70) и B65) левая часть равна к [Ь, t], т. е. кп, и мы получа-
получаем [пользуясь B79)]
ГГг' г"] г']
- fta^ U ;JJ ' ¦ B83)
Вектор МС равен, очевидно, Ли, (см. черт. 72), так как он направлен
по единичному вектору п и имеет модуль, раваый радиусу кривизны R.
Итак,
МС =Rn = Yn- ' С283')
Разделим равенство B83) почленно на равенство B80), возведенное
почленно в квадрат. В левой части получим — , т. е. МС:
к
МС =
\\т', г"] г'1 г'2
[г', г"]2
B83*)
190
ТВОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВВННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
В правой части мы заменили квадраты модулей скалярными квадра-
квадратами самих векторов.
Найденное выражение МС в координатпой записи выглядит довольно
сложно. Мы не будем его выписывать в общем виде и ограничимся слу-
случаем плоской кривой (на плоскости XY). Тогда
r'=x'i + y'j; г'2=ж'2+у'2; г" = х"\+у"%
[г', т"] = (у"х' —х"у'Iг,- [г', г"]* = (у"х' -х"у')*;
[[г', г"] г'] =(у"х' - х"у') ( - y'i + x'j).
Теперь B83") примет вид
,Я( + у)
у"х' — х"у'х
Коэффициенты при 1 и j, т. е. проекции вектора МС на оси X, Y, дают
нам приращения координат а — х, Ъ — у при переходе из точки М на кри-
кривой в центр кривизны С.
Нетрудно проверить, что выражения для а —ж, Ъ — у получаются
те же, что и в формулах A79). Это показывает, что в § 24 мы только
по внешности видоизменили понятие о касании 2-го порядка между кри-
кривой и окружностью (см. § 24, замечание): по существу результат полу-
получился тот же, как и в случае обычного определения (которым мы поль-
пользуемся сейчас в теории пространственных кривых).
Примеры.
Применим предшествующую теорию к простейшему случаю не плоской
кривой — винтовой линии. Так называется линия, описываемая точкой М,
которая движется по какой нибудь образукщей прямого круглого цилин-
цилиндра, вращающегося в то же время около своей оси так, что путь, прохо-
проходимый точкой М по образующей, все время пропорционален углу пово-
поворота цилиндра.
Пусть уравнение цилиндра
Ж2 + г/2 = а2
и пусть Я —^коэффициент пропорциональности между углом <р поворота
цилиндра и путем, пройденным точкой М по образующей. Показать, что
если принять за начальное положение точки М точку Мд(а, 0, 0), то
положение точки М в зависимости от угла <р будет определяться коор-
координатами
x — acos<(, y = asintp, z = A<p.
Мы получили параметрическое представление винтовой линии; пере-
перепишем его в векторной форме:
где
8 (f) = i cos ? + j sin
Винтовая линия бесконечное число раз обвивается вокруг «вертикаль-
«вертикально поставленного» цилиндра, поднимаясь с каждым витком на высоту
2тсА (см. ниже черт. 78).
Вычислим вектор, направленный по касательной, дифференцируя г по ?:
§ 41] вычислительный формулы для кривизны и кручения 19:3
так как
Отсюда
ds~\v' I d-o = }/"а2 + Я2
тп™мв' * = ?VWa», если s отсчитывать от той же начальной
точки Мо и в сторону возрастания о.
Вычислим вектор t:
dt
~'ds"~
о -I ) .
к.
Очевидно,
V «2 + яа
Итак, касательная к винтовой линии направлена под постоянным углом
к оси цилиндра (т. е. к оси z). *
Дифференцируем г' по у:
г»=-ае(<р).
Легко проверить, что г" JL г', т. е. г" идет по нормали; но так как г"
всегда лежит в соприкасающейся плоскости, то эта нормаль будет глаз-
глазной. Все главные нормали винтовой линии пересекают ось цилш.дра и при-
притом под прямым углом. В самом деле, если к радиус-вектору г доба-
добавить г", то мы получаем ,l?k, т. е., смещаясь из точки М на вектор г"
по главной нормали, мы попадаем на ось Z: очевидно также, что г" i k
Вычислим -=- :
ds
~e
Сравнивая с первой формулой Френе, убеждаемся, что в нашем случае
, n= —
Очевидно
» = [t, П] = -
Дифференцируя по s, получим
db _ db d-f __ Я i
ds dv ds ~ i/a2_j_ дг Уа~2-1_ \z
Сравнивая с третьей формулой Френе, получаем
У а2 + Я
X
а2 + Х2
к.
а2 + А2 "
Таким образом, к и х для винтовой линии — постоянные. Знак х будет
таким же, как и знак \.
192 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Найдем, наконец, мгновенную угловую скорость <я:
1
ш = xt + kh =
У а? + А.2
к.
Оказывается что «а — тоже постоянная, так что трехгранник Френе
вращается все время около оси, параллельной оси Z, с постоянной угло-
угловой СКОРОСТЬЮ
§ 42. Строение кривой вблизи обыкновенной точки.
Мы будем предполагать, что в изучаемой точке М
к>0, кфО.
Первое условие устраняет случай точки распрямления. Второе
условие, с которым нам не приходилось еще сталкиваться, устра-
устраняет, сверх того, случай точки, где х = 0, т. е. где скорость вра-
вращения соприкасающейся плоскости по отношению к пути, про-
проходимому по кривой, обращается в нуль и соприкасающаяся
плоскость в этом смысле будет стационарной. Как мы знаем, если
х=0 во всех точках кривой, то кривая — плоская. Но и для суще-
существенно пространственной кривой возможны отдельные точки,
где удовлетворяется уравнение ч = 0. Вблизи таких точек «упло-
«уплощения» поведение кривой носит особенный характер, почему
мы и ограничиваемся лишь наиболее типическим случаем
у. Ф 0.
Предполагаем, что уравнение кривой задано в виде
r = r(s).
Пусть точкаМ отвечает данному значению s; перейдем в беско-
бесконечно близкую точку М', давая s приращение As. Тогда радиус-
вектор точки М' будет r(s+As), так что
ОМ = г (s), ОМ' = г (s
и, следовательно,
ММ' = ОМ' — ОМ = г (s + As) — г (s).
Разлагая приращение вектор-функции г (s) в ряд Тейлора по
степеням As, мы получим вектор смещения ММ' в виде
ММ' = Г -s + ~ г (AsJ + ¦?¦ г (AsK + . ..
Многоточием обозначен остаточный член, бесконечно малый пе
ниже 4-го порядка. Им мы будем пренебрегать, так как в_этом
параграфе изучается строение кривой с точностью 3-го по-
порядка.
§ 42J СТРОЕНИЕ КРИВОЙ ВБЛИЗИ ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧКИ
193
Пользуясь формулами B65), B66), B67), мы можем переписать
выражение для ММ' так:
МЖ = t As + ~ кп (AsJ + -| ( — кЧ + /m + fab) (AsK -f . ..
Правая часть равенства разложена по векторам t, n, b; соберем
коэффициенты при этих векторах. Получим:
MM' = t {As+ . . .}
n l~
. .. 1
B84)
В фигурных скобках при t, n, b выписаны главные части соот-
соответствующих коэффициентов, точками же обозначены бесконечно
-малые более высоких порядков.
Формула B84) даст нам ясное представление о поведении кри-
кривой вблизи данной точки (черт. 76). Прежде всего вектор ММ' раз-
разложен по t, n, b, другими словами,
смещение из данной точки М в беско-
бесконечно близью точку М' осуще-
осуществляется последовательными сме-
смещениями: ММг—по касательной,
МХМ2 — параллельно главной нор-
нормали и, наконец, М2М' — парал-
параллельно бинормали. Мы видим, что
коэффициент при t есть бесконечно
малое 1-го порядка относительно As,
коэффициент при п — 2-го порядка
и при b —3-го порядка. Это показы-
показывает, что в основном— на бесконечно
малое 1-го порядка — смещение про-
происходит по касательной:
= t(\s+ .. .). B85)
Черт. 76.
Далее, смещение по главной нормали будет бесконечно малым
уже 2-го порядка:
МХМ, = n (-J- к (AsJ
B86)
Учитывая лишь эти смещения, мы остаемся еще в соприкасаю-
соприкасающейся плоскости, т. е. в плоскости векторов t, n. Наконец, сме-
смещение по бинормали, впервые выводящее нас из соприкасаю-
соприкасающейся плоскости, будет уже только 3-го порядка:
М2М' = b f~ kv. (AsK + . . . Y
B87)
¦' П. К. Рашевский
194
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Таким образом, касательная, главная, нормаль и бинормаль
в данной точке кривой отчетливо различаются между собой по-
порядком малости смещений по их направлениям при движении.
из данной точки по" кривой.
Изучим теперь эти смещения более детально. Как показывает
B85), при,изменении знака у As смещение ММг меняет направ-
направление на|Ш>ратное (поскольку это происходит с его главной частью
Ast). ТмЬш образом, при As > О мы смещаемся по направлению
касательной в одну сторону (именно в сторону t), а при As < 0 —
в другую сторону (в сторону — t). В результате кривая вблизи
данной точки расположена по обе стороны нормальной плоскости:
(плоскости n, b) и пересекает ее в данной точке.
Далее, B86) показывает, что при любом As коэффициент при п.
остается положительным (у нас &>0), так что, смещаемся ли
мы по кривой в ту или другую сторону из точки М, смещение,
параллельное главной нормали, всегда направлено по вектору
п, т. е. в положительном направлении главной нормали. Поэтому
кривая в обе стороны от точки М расположена по одну сторону
плоскости векторов t, b, уклоняясь от нее в направлении п. Укло-
Уклонение это в своей главной части -^Zc(AsJ пропорционально ква-
квадрату пройденного пути по кривой с коэффициентом пропорцио-
пропорциональности -- к. Это еще раз поясняет геометрическое значение-
кривизны к.
Наконец, главная часть B87) содержит (AsK и потому меняет
знак вместе с As. Одновременно с этим меняет знак и все смещение
М2М', так что по одну сторону точки М кривая уклоняется от
соприкасающейся плоскости t, n в направлении Ь, а по другую
сторону—в направлении—Ь. Следовательно, в точке М кривая
переходит с одной стороны соприкасающейся плоскости на дру-
другую. Здесь нам придется различать два случая в зависимости
от знака •/-.
Пусть ¦/ > 0. Так как к > 0, то, если As > 0, коэффициент при b
в B87) будет положительным, и смещение М2М' направлено в сто-
сторону Ь; если As < 0, то коэффициент отрицателен, и смещение М2МГ'
происходит в сторону—Ь.
Сопоставляя все эти данные, мы видим, что при As >0 смещение
по касательной происходит в сторону t, по главной нормали в сто-
сторону п, по бинормали в сторону Ь; а при As < 0 соответственно
в сторону — t, n,—Ъ. Мы получаем ход кривой, начерченной на
левом черт. 77.
Пусть теперь * < 0. Очевидно, этот случай будет отличаться
от предыдущего только тем, что теперь при As >¦ 0 смещение по
§ 42] строение кривой вблизи обыкновенной точки" 19;>
бинормали происходит в сторону—Ь, а при As < 0 в сторону 0.
Ход кривой нанесен на правом черт. 77.
Нужно отчетливо уяснить себе, что поведение кривой в этих
двух случаях существенно различно, и никаким непрерывным
движением в пространстве нельзя заставить правую кривую при-
принять положение левой или наоборот. Зато при зеркальном отоб-
отображении правый и левый случаи меняются местами; это совер-
совершенно очевидно, если брать зеркальное отображение относительно
плоскости t, п.
Можно формулировать натлядное правило, чтобы отличать,
кривые положительного н отрицательного кручений. Допустим,
Черт. 77.
что мы смотрим с какой-нибудь стороны соприкасающейся пло-
плоскости в данной точке, заставляя подвижную точку пробегать
кривую в таком направлении, чтобы описываемый ею путь
казался закругляющимся против часовой стрелки (именно таковы
направления на кривых, указанные векторами t яа черт. 77).
Если при этом подвижная точка переходит с задней стороны
соприкасающейся плоскости на переднюю, то у. > 0 (левый чертеж),
если же с передней стороны на заднюю, то х < 0, (правый
чертеж).
Может показаться, что картина изменится, если «зайти с дру-
другой стороны» соприкасающейся плоскости, но это не так. Хотя
передняя и задняя стороны соприкасающейся плоскости поме-
поменяются при этом местами, но обратным придется взять и напра-
направление движения подвижной точки, чтобы с новой точки зрения
оно представлялось закругляющимся против часовой стрелки.
Поэтому, если раньше подвижная точка переходила с задней
стороны на переднюю, то то же самое будет представляться
и с новой точки зрения.
Следовательно, формулированный выше признак положитель-
положительного кручения связан только с формой самой кривой и не зави-
зависит от выбора точки зрения. То же самое относится, конечно,
и к отрицательному кручению.
13*
196
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [гл. IV
Полезно проиллюстрировать различие между случаями х > О
и •/- < 0 примером правой и левой винтовых нарезок на цилиндре
(черт. 78).
Для уяснения хода пространственной кривой вблизи данной
точки М имеет значение вид ее проекций на плоскости сопро-
сопровождающего трехгран-
трехгранника.
Возьмем прежде все-
всего проекцию кривой на
<=0 ее соприкасающуюся
плоскость t, n, в точ-
точке М. Для того чтобы Ж'
(черт. 76) спроектиро-
спроектировать на плоскость t, n,
L достаточно в векторе
ЧеРт- 78- смещения B84) отбро-
отбросить составляющую по
бинормали. Действительно, из построения видно, что проек-
проекцией М' будет М2, а вектор смещения из М в Мг имеет вид
ММ, = ММ,. + М\М, = t {(As) + . . .} + n 11- k (AsK + . . . j . B88)
Точка М-;, описывает плоскую кривую (проекцию в соприка-
соприкасающейся плоскости), причем смещение по t будет бесконечно
малым 1-го порядка, а перпендику-
перпендикулярно к t — 2-го порядка (всегда
направлено в сторону п) (черт. 79).
Отсюда видно, что прямая ММХ
имеет в точке М касание 1-го по-
порядка с полученной кривой и что
.последняя расположится по одну
сторону своей касательной ММХ.
Итак, проекция на соприкасающую-
соприкасающуюся плоскость вблизи точки М имеет
наиболее типический вид плоской
кривой вблизи ее обыкновенной точки. Нетрудно было бы пока-
показать, что кривизна к в точке М имеет общее значение для исход-
исходной кривой и ее проекции на соприкасающуюся плоскость.
Спроектируем теперь исходную кривую на плоскость t, b.
Проектируя М' на эту плоскость (см. черт. 76), мы попадаем
в некоторую точку Р, которая и описывает нам искомую кривую.
Очевидно, что вектор смещения из М в Р имеет теперь вид
М,
м
Черт. 79.
МР = ММХ + МХР = ММХ + М..М' =
B89)
§ 42[
СТРОЕНИЕ К1-ГЩОЙ ВБЛИЗИ ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧКИ
197
м
Другими словами, из разложения B84) достаточно выкинуть
член, направленный по главной нормали. Смещение МР будет
бесконечно малым 1-го порядка в направлении, параллельном t,
и бесконечно малым третьего по-
порядка перпендикулярно к t (т. е.
параллельно Ь). Это означает, что
прямая ММг в точке М имеет каса-
касание второго порядка с полученной
кривой, и последняя расположена
по обе стороны своей касательной
ММХ (коэффициент при b меняет
знак вместе с As).
Итак, проекция на спрямляю-
спрямляющую плоскость t, b имеет в М
точку перегиба (черт. 80).
Наиболее интересный результат получается при проектирова-
проектировании исходной кривой на нормальную плоскость n, b. Пусть
проекцией М' на эту плоскость
будет точка Q, которая и опишет
искомую кривую. Аналогично пре-
предыдущему смещение MQ получается
из смещения ММ' выкидыванием
из B84) слагаемого, параллель-
Черт. 80.
ного t:
Черт. 81.
B90)
Действительно, в этом случае MQ лежит в нормальной
плоскости n, b, причем
ММ' - MQ = t (As + . . .)
ИЛИ
откуда видно, что QM' перпендикулярен к п, Ь, т. е. Q есть проек-
проекция М'.
Мы видим, что смещение MQ имеет в направлении п состав-
составляющую бесконечно малую второго порядка, всегда направлен-
направленную в сторону п [к > 0, (AsJ > 0], так что проекция лежит по одну
сторону бинормали MQ1 (черт. 81). В перпендикулярном же
к п направлении смещение будет бесконечно малым третьего
порядка относительно As; оно меняет знак вместе с As, и проекция
198 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ ггл. IV
расположится по обе стороны нормали п. Так как смещение в сто-
сторону от п будет бесконечно малым высшего порядка [порядок
(-isK] сравнительно со смещением по п [порядок (AsJ], то кривая
по обе стороны главной нормали прижимается к ней, имея ее
своей касательной' в точке М для обеих ветвей.
Итак, проекция на нормальную плоскость имеет в М точку воз-
возврата 1-го рода (черт. 81). При изучении перечисленных трех
проекций мы непосредственно рассматривали их строение в бес-
бесконечно малом вблизи М и заключали отсюда о характере этих
кривых в точке М. Разумеется, те же заключения можно было бы
сделать на основании ранее выведенных формальных признаков.
§ 43*. Соприкасающаяся сфера.
Задача, которой мы будем заниматься в этом параграфе, носит
более специальный характер, чем предыдущие, и приводит нас
к сравнительно тонким построениям, связанным с пространствен-
пространственной кривой в данной ее точке. Пусть кривая задана уравнением
г = г (s) = х (s) i + у (s) j + z (s) k.
Возьмем произвольную сферу в пространстве
(x-ay + (y-by + (z-cy-Rl = O, B91)
где постоянные а, Ь, с, i?s —пока неопределенные.
Поставим себе задачей из всевозможных сфер подобрать такую,
которая в данной точке пространственной кривой имеет с ней
касание по возможности наивысшего порядка. По известным нам
правилам (§ 33) мы должны в левую часть уравнения сферы под-
подставить текущие координаты нашей кривой, составив, таким
образом, функцию
? (s) = [х (s) -аГ + [у (s) - ЬГ + [z (s)- сГ - Щ. B92)
Затем ми должны так подобрать постоянные а, Ь, с, Rs, чтобы
в данной точке кривой обеспечить обращение в нуль <р (s) и ее по-
последовательных производных до высшего по возможности порядка
|см. условие B34)]. Так как неопределенных постоянных, кото-
которые мы должны подобрать, у нас всего четыре, то мы можем рас-
рассчитывать удовлетворить четырем уравнениям
<? (s) = ?' («) = <?" <*) = ?'" (*) = 0, B93)
после чего в данной точке кривой обеспечивается касание 3-го
порядка со сферой B91).
Сфера, имеющая с кривой в данной ее точке касание 3-го порядка,
называется соприкасающейся сферой в этой точке.
Сейчас мы займемся отысканием этой сферы. Обозначим через S
центр пока произвольно выбранной сферы B91) и через rs — его
3 43]
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА
199
радиус-вектор. Так как координаты центра S, как видно из урав-
уравнения B91), обозначены нами а, Ь, с, то, очевидно,
rs = ai-r 6j + ck.
Пусть М — пока произвольная точка на кривой с радиус-
вектором
Отсюда вектор, соединяющий точку М с S, выражается в виде
^S = r,-r(s) = [a-x(*)]i+[6-y(s)]i + [c-z(s)]k. B94)
Возводя каждую часть равенства в скалярный квадрат, получим:
Ж? = [г, - г (s)]2 = [а - x(s)r +[6- у (s)]2 + [с -z(s)]2. B94')
Мы можем теперь переписать выражение B92) в виде
9(в) = [г(в)-г,]1-Л;> B95)
¦где rs — радиус-вектор центра *S некоторой сферы, а Rs — ее радиус,
гот и другой постоянные, пока неопределенные. Что же касается
x(s), то это — текущий радиус-вектор по кривой, выраженный
в функции параметра s (длины дуги). В дальнейшем аргумент s
при г и его производных мы подразумеваем, но не пишем.
Дифференцируем B95) по s, заменяя г, t, n через t, ka,-/.b — kt:
*" (s) = 2t (г — rs) + 2tr = 2/m (r - rs) + 2t2 = 2 [An (r - rs) + 1],
--?" (s) = 2 {kn (r — rs) + An (r — rs) + knr\ = 2 (An+A-/b—кЧ) (г — vs).
Фиксируем теперь значение s и, следовательно, точку М на
ачрявой с радиус-вектором г выберем вполне определенной.
Потребуем, далее, чтобы постоянные а, Ь, с, Rs (или, что то же,
Хз н Rs) удовлетворяли условиям B93). Эти условия можно теперь
записать в виде
(г-г,)»-д; = о, )
t(r — rs) = 0, I
ftn(r-r,) + l = O,
(кп + к-лЬ— кЧ}(т — rs).= 0.
Что касается первого уравнения, то оно служит для отыскания
радиуса сферы Rs, после того как центр ее S найден. Оно показы-
показывает, что так как соприкасающаяся сфера в точке М должна
дропти через точку М, то радиус сферы Rs нужно брать равным
200
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
расстоянию MS. Именно это и записано в первом уравнении B96),
так как (г — rs.J = MS1.
Что же касается остальных трех уравнений, то они служат-
для определения rs, который находится из них однозначно (пред-
(предполагая, что в точке М кривизна к > 0 и кручение * ф 0).
Разложим вектор MS, соединяющий точку М с центром сферы S..
по векторам t, n, Ь, взятым в точке М:
MS = rs — г = at + pn + yb,
где я, fi, у — пока неизвестные коэффициенты разложения. Их:
отыскание, как мы видим, вполне равносильно отысканию вектора<
MS и тем самым центра сферы S.
Второе из равенств B96) показывает, что вектор г — rs орто-
ортогонален к t, лежит, следовательно, в нормальной плоскости
в точке М и разлагается по векторам п и Ь. Коэффициент аи
равен нулю. Мы можем написать
г —rs = —-pn —yb. .
Вставляя это выражение в третье из равенств B96) и учиты-
учитывая, что Ьп = 0, п2=1, получим
— Ар _-+-1 = 0 или ? = .! = /?,
где R—радиус кривизны в точке М. Следовательно,
г — rs= — i?n —yb.
Остается найти у. Вставляем последнее выражение в четвертое
уравнение B96) и, учитывая, что попарные скалярные произ-
произведения t, n, b суть нули, а скалярные квадраты — единицы,
получаем
— Rk — ук-л. = 0 или у = — -—- = —
Окончательно
R
R
х
MS = ts — г = Rn + — b.
B97).
Итак, вектор MS, а вместе с ним и центр сферы S однозначно
определены. Из первого равенства B96) легко найти теперь ква-
квадрат радиуса сферы:
= (г--rsJ =
B98>
§ 43]
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА
201
Так как условия касания 3-го порядка B96) удовлетворены,,
то формулы B97) и B98) определяют центр S и радиус Д.. сопри-
соприкасающейся сферы в точке М. Наша задача решена.
Как видим, чтобы попасть из точки М в центр S, нужно сме-
сместиться сначала на вектор Rn. Мы попадаем в результате
Lcm. B83')] в центр кривизны С на главной нормали (черт. 82).
ТУ
После этого нужно еще сместиться на вектор — Ь, параллельный"
бинормали, после чего мы попадаем в S. Центр соприкасающейся,
сферы S лежит, таким образом, на пря-
прямой CS, проведенной через центр кри-
кривизны параллельно бинормали. Эта
прямая называется осью кривизны кри-
кривой в точке М. Очевидно, что окруж-
окружность, по которой соприкасающаяся
плоскость пересекается с соприкасаю-
соприкасающейся сферой, имеет центр в С (так
как С—основание перпендикуляра CS,
опущенного из S на соприкасающуюся
плоскость). Эта окружность, следова-
следовательно, — соприкасающаяся окруж-
окружность в точке М.
Заметим, что при обращении -/ в
нуль в данной точке центр сферы уда-
удаляется в бесконечность в направлении
бинормали, что соответствует вырожде-
вырождению соприкасающейся сферы в соприкасающуюся плоскость.
И действительно, в этом случае соприкасающаяся плоскость
имеет с кривой в дайной точке касание не только 2-го (как
обычно), но и 3-го порядка.
Изучим теперь кривую, описываемую точкой S,
движется по исходной кривой. Исходная кривая
к параметру s и, следовательно, вдоль нее г, t, n
выражаются как фз'нкции s. Поэтому, если
в виде
Черт. 82.
когда М
отнесена
b, R, х
переписать B97).
Г =
B99);
то г^ выразится в функции s, и B99) можно рассматривать как
параметрическое представление кривой, описываемой S. Конечно,
для нее параметр s уже не играет роли дуги. Возьмем производную,
от rs. no s. Получим
rs = г + Rn ^- Rn -r
ь.
202
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [гл. IV
Заменяя г через t и пользуясь формулами Френе, можно записать
rs = t + Rn + R (xb - fct) + ( -Y b + — (- xn).
Так как Rk = 1, то члены, содержащие t, исчезают; взаимно уничто-
уничтожаются и члены с п. Получаем
Интересно в связи с этой формулой исследовать частный слу-
случай, когда исходная кривая—сферическая, т. е. способна целиком
уместиться на поверхности некоторой сферы. Тогда эта сфера
бзгдет, очевидно, соприкасающейся сферой во всех точках кривой,
так что соприкасающаяся сфера при движении точки М по исход-
исходной кривой остается без изменения. Поскольку точка S, следо-
следовательно, неподвижна и ее радиус-вектор rs — постоянный, левая
часть C00) обращается в нуль, и мы получаем
= 0. C01)
Таково дифференциальное уравнение, связывающее вдоль
исходной кривой функции дуги R (s) и х (s) с их производными по s,
если эта кривая—сферическая.
Покажем, что условие C01) не только необходимо, но и доста-
достаточно для того, чтобы кривая была сферической. Действительно,
если оно выполнено, то из C00) следует, что
rs = 0 и, значит, rs = const.,
т. е. центр соприкасающейся сферы один и тот же для всех точек
3/ на кривой. Может показаться, что радиус Rs соприкасающейся
сферы может тем не менее меняться от точки к точке. Однако это
не так. Вычислим производную по s от Д*, пользуясь форму-
формулой B98). Получим
Из C01) следует теперь, что
d
~dl
и, значит, R3S = const.
Следовательно, и центр и радиус соприкасающейся сферы
остаются без изменения при движении точки М по данной кри-
кривой, и точка М движется по поверхности неизменной сферы.
Исходная кривая — сферическая.
5 43]
СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ СФЕРА
203
Итак, для того чтобы данная кривая была сферической, необхо-
необходимо и достаточно, чтобы функции R (s) и x(s), выражающие
радиус кривизны и кручение в зависимости от длины дуги s вдоль
лривой, были связаны дифференциальным уравнением C01).
Если оставить случай C01) в стороне, кривая, описываемая
центром S, не вырождается в точку и связана интересными завн-
¦сямостями с исходной кривой.
Прежде всего C00) показывает, что вектор г,, указывающий
направление касательной к кривой, описываемой S, параллелен
тзектору Ь, т. е. бинормали в точке М. Отсюда следует; что каса-
касательной в точке S к кривой, описываемой центром S, будет слу-
.жить ось кривизны CS, проходящая через S параллельно 1>
(черт. 82).
Обозначим через ts единичный касательный вектор к кривой.,
описываемой S. Как мы видим, он параллелен Ь, а так как векторы
яти единичные, то
Обозначим через ss длину дуги вдоль кривой, описываемой
точкой S. Направление отсчета ее выберем так, чтобы вектор ts
атмел то же направление, что и —Ь, так что можно считать
ts = — Ь. C02)
Дифференцируем обе части этого равенства:
dtx j db
dt = — db или
Применяем для каждой из кривых формулы Френе, обозначая
через ks и -/.s кривизну и кручение геометрического места цент-
центров S. Получим
ksnsdss = xnds. C02')
Так как п и ns отличаются только скалярными множителями,
то эти единичные векторы параллельны и, следовательно,
C03)
Таким образом, главные нормали обеих кривых параллельны
между собой.
Перемножив векторно левые части C02) и C03) между собой
дг правые между собой, получим
[ts, ns] = 4F [b, n]
31 ЛИ
bs = ± t C04)
— бинормаль в точке S параллельна касательной в М. .
204 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВГТШЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Дифференцируем обе части равенства C04):
. == ± dt или
ds
dss =
ds
J
ds.
Применяя формулы Френе, получим
— *snsdss = ± lends.
C04')
Мы замечаем, что C04') отличается от C02') в левой части лишь.
'л к
множителем—-—, а в правой части—множителем ^ — •
Отсюда следует, что эти-множители равны, т. е. что
¦= =F — •
C05)
Такова зависимость, существующая между отношениями кри-
кривизны к кручению для той и другой кривой.
Знаки ±, входящие в предыдущие формулы, существенны,
так как возможен как тот, так и другой случаи в зависимости
от выбора исходной кривой.
§ 44. Натуральные уравнения.
Как и в случае плоской кривой, естественно доставить сле-
следующий вопрос: нельзя ли характеризовать геометрическую
форму пространственной кривой уравнениями, вид которых не
зависел бы от выбора системы координат в пространстве и был бы
связан только с самой кривой?
Рассмотрим кривую, отнесенную к длине дуги, как к параметру::
r = r(s), 6
причем точки распрямления отсутствуют, к Ф 0.
Тогда вдоль кривой кривизна к и кручение -/. также являются
определенными функциями s:
* = *<*) >0,|
Так как длина дуги, кривизна и кручение суть величины, не
зависящие от выбора координат в пространстве, то и вид функцио-
функциональной зависимости к (s) и х (s) также от этого выбора не зависит.
Уравнения C06) называют натуральными уравнениями простран-
пространственной кривой. Как мы сейчас увидим, они характеризуют ее
геометрическую форму в смысле, вполне аналогичном случаю
плоской кривой.
Предварительно нам понадобятся некоторые вспомогательные
построения. Сошлемся прежде всего на следующую теорему/
анализа.
5 44]
НЛТ УРЛЛЬН ЫЕ УРАВНЕНИЯ
205
Пусть х—аргумент, рассматриваемый в некоторой области
изменения Х0^,х <^Х, а и, v, w — его неизвестные функции (число
нтих функций безразлично; мы берем три для примера). Потре-
Потребуем, чтобы эти функции удовлетворяли следующим условиям.
При любом значении х производные и, v, w должны линейно
выражаться через сами эти функции:
—J— = а^и -\- ах,и -4- a^w -\- аг,
dx
dw
а3,
коэффициенты allt а1%, . . . —наперед заданные функции от х,
непрерывные в области его изменения.
Кроме того, при некотором фиксированном значении х = х(,
функции и, и, гс должны принимать наперед заданные значения
Теорема утверждает, что функции и, v, го, удовлетворяющие
указанным требованиям, существуют и определяются единствен-
единственным обрагом во всей области изменения х1).
Рассмотрим теперь формулы Френе в связи с этой теоремой.
Разложим векторы сопровождающего трехгранника какой-нибудь
кривой по ортам i, j, k:
t = txi + tyl
n = nxi + Пуj
b = 6xi + bei
+ и.к, с матрицей
t.
Чх П:1 П,
Ьх Ь„ bz
C07)
Коэффициенты разложений совпадают с проекциями векторов на
оси X, У, Z & так как t, n, Ъ, — единичные векторы, то и с их напра-
направляющими косинусами. Матрица коэффициентов C07) есть матрица
х) Доказательство этой теоремы см. в книге В.В.Стеиаиов,
дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1947.
Поясним все же его идею, хотя бы для случая, когда аХ1, а12, . - -
— аналитические функции от х. Дифференцируя выписанные уравнения
по х, мы получим в левых частях вторые производные от и, v, w по х,
справа же войдут функции a, v, w и их первые производные (об извест-
известных нам функциях а1х, ... и их производных мы не говорим). Но первый
производные от и, г, w можно заменить их выражениями через и, v, w
из данных уравнений, так что окончательно и вторые производные от
н. v, го выразятся через и, v, w. Дифференцируя полученные уравнения
снова, и т. д., мы выразим производные любого порядка от и, v, w через
-сами и. v, w. Но при х — х0 значения и, v, w нам заданы; следовательно,
определятся и значения всех нризводпых от и, v, w по х. Следовательно,
в разложении и, v, го в ряд Тейлора по степеням х — х0 нам известны
все коэффициенты, т. е. функции и, г, w определены.
206 ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. 1\
направляющих косинусов взаимно ортогональных направлений:
t, п, Ъ по отношению к осям X, Y, Z. Очевидно, это — асатрипа
ортогональная; в этом легко убедиться и непосредственно, пере-
перемножая скалярно векторы t, n, b между собой; получаем
tn = 0, т. е. txnx + tun,, + tzn2 = 0 и т. д.
t2 l
= l, т. е.
= l и т. д.
Попарные произведения различных строк матрицы дают нуль,
а одинаковых— единицу. Выпишем формулы Френе, рассматривая
вдоль кривой кривизну к и кручение х как определенные функции
параметра s:
1
dt
-47 = k (s) n>
db
C08>
Вставим сюда вместо t, n, Ьих разложения C07). Тогда векторные-
равенства можно будет заменить равносильными им скалярными:
равенствами, приравнивая коэффициенты при j, j, k в правок
и левой частях каждого векторного равенства. Приравнивая,
коэффициенты при i, получим
^f- = k(s)nx, 1
dn-.
db^
Ts
• = — x(s)nx.
C08'}
Точно такую же тройку равенств мы получим для проекций иа
ось У и на ось Z, приравнивая коэффициенты при j и к. Получен-
Полученные девять равенств будут эквивалентны формулам C08), пред-
представляя собой формулы Френе в координатной форме.
Будем считать функции k(s), x(s) данными (и непрерывными),
a tr, nx, Ъх неизвестными функциями от s. От геометрического
смысла этих функций и самого аргумента s совершенно отвле-
отвлечемся. Тогда к системе дифференциальных уравнений C08') мы
вправе будем применить выше формулированную теорему ана-
анализа, которая примет такую форму:
Лемма. Функции tx, пх, Ъх от s, удовлетворяющие уравне-
уравнениям C08') и, кроме того, при s = 0 принимающие фиксированные
заранее значения, существуют во всей области изменения s и опре-
определяются единственным образом.
Переходим к изучению геометрической роли натуральных'
уравнений.
I 44]
НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
207
Черт. 83.
Основная теорема. Для того чтобы две кривые
С и С отличались лишь положением в пространстве (черт. 83),.
необходимо (после согласования начальных точек и направлений
отсчета s) и достаточно, чтобы их натуральные уравнения были
одинаковы.
Мы говорим, что кривые С и С отличаются лить положением
в пространстве, если одну из них можнс совместить с другой
путем ее непрерывного передвижения в пространстве как твер-
твердого тела. Таким об-
образом, совпадение на-
натуральных уравнений
необходимо и доста-
достаточно, чтобы кривые
геометрически имели
одну и ту же форму.
Переходим к доказа-
доказательству.
Необходимость.
Пусть в результате пе-
передвижения С как твер-
твердого гела нам удалось
совместить ее с С. Тем
самым между точками С иС установлено взаимно однозначное соот-
соответствие. Выберем за начальные точки отсчета на кривых С и С
соответственные точки Мо я М'в (совпадающие при совмещении
кривых) и аналогичным образом согласуем направления отсчета
дуги s на обеих кривых. Тогда для любой пары соответственных
точек М и УГ значения s будут одни и те же, так как при совме-
совмещении С и С М(, попадает в М'о, М — в М', и длины дуг М<,М
и М'аМ' оказываются одинаковыми.
Далее, если сопровождающие трехгранники, связанные с кри-
кривой С в каждой ее точке, передвигать совместно с ней как одно
твердое тело, то они, очевидно, остаются все время сопровож-
сопровождающими трехгранниками для передвигаемой кривой. Действи-
Действительно, так как при движении твердого тела все расстояния
между точками остаются без изменения, то не меняются и порядки
касания кривых с кривыми и поверхностями. Поэтому каса-
касательная прямая и соприкасающаяся плоскость в каждой точке
кривой остаются таковыми и во все время движения; следова-
следовательно, то же самое относится и к сопровождающим трехгран-
трехгранникам. Отсюда ясно, что угол Дер между касательными (или бинор-
бинормалями) в двух точках кривой при движении кривой как твер-
твердого тела остается без изменения. Так как длина дуги As между
этими точками тоже не меняется, то не меняется и д1 — средняя
208
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [гЛ. IV
скорость вращения касательной (или бинормали) на данном уча-
участке кривой, и (после перехода к пределу) мы можем утверждать,
что кривизна и кручение в каждой точке кривой сохраняют
свои значения (по модулю). Наконец, знак кручения также не
может измениться скачком на обратный ввиду непрерывности
движения.
Поэтому, передвинув С, мы сохраним в точке М. прежние зна-
значения кривизны к и кручения ¦/., но так как кривая С с точкой М
совместится с кривой С' с точкой М', то эти значения совпадут
со значениями к и х в точке М' кривой С.
Итак, в соответствующих точках кривых С ж С мы имеем оди-
одинаковые значения s, к, х. Следовательно, вид функциональных
зависимостей C06) должен быть один и тот же для обеих кривых:
при равных s у нас должны определяться всегда одни и те же зна-
значения, /сих. :
Достаточность. Нам дано, что натуральные уравне-
уравнения C06) кривых С и С одинаковы. Передвинем С как твердое
тело так, чтобы начальная точка отсчета Ма совместилась с началь-
начальной точкой М'о. Этого можно достичь параллельным смещением
на вектор М„М'а. После этого повернем С как твердое тело около
точки Ма (совпавшей с М'„) так, чтобы сопровождающие трехрап-
ники для кривых С и С" в этой точке совпали между собой.
Конечно, правую тройку единичных взаимно ортогональных век-
векторов можно перевести вращением в любую другую такую же
тройку.
Итак, непрерывным движением кривой С мы добились совпа-
совпадения точки Мо и сопровождающего трехранника в ней с точкой
М'и и сопровождающим трехгранником в ней. Мы покажем, что
при этом кривая С целиком совпадет с С, чем и будет доказана
наша теорема.
Вдоль кривой С и вдоль передвинутой кривой С векторы t, n, b
можно рассматривать как функции дуги s. При s = 0 мы попадаем
на кривой С в точку М'о, а на передвинутой кривой С—в пере-
передвинутую точку Мо, т. е. в ту же самую точку М'о. Но так как,
кроме того, сопровождающий трехгранник в точке Мп совпал
после передвижения С с трехгранником в точке М'р, то значения
t, n, b будут при s = 0 тоже одинаковы для обеих кривых. Итак,
при s = 0 на кривой С и на передвинутой кривой С мы имеем
одинаковые значения вектор-функций t (s), n(s), b(s). Тем самым
при s = 0 принимают одинаковые ^значения и проекции этих век-
вектор-функций tx, пх, Ьх и т. д., которые также являются функ-
функциями от s, но уже скалярными. Но функции tx, nx, Ъх вдоль
обеих кривых удовлетворяют, кроме того, одной и той wee системе
уравнений C08).
Действительно, вид функций к (ы) и v. (s) будет одинаков для
обеих кривых, поскольку он был одинаков для кривых С и С
§ 44]
НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
209
и при передвижении кривой С не менялся (последнее вытекает
из проведенного уже доказательства необходимости).
Итак, для обеих кривых функции tx, пх, Ъх удовлетворяют урав-
уравнениям C08) с одинаковыми коэффициентами и при s=0 прини-
принимают одинаковые значения. На основании леммы (в той ее части,
где говорится об единственности) мы можем утверждать, что вид
функций tx (s), nx (s), bx (s) будет одинаков вдоль обеих кривых:
С и передвинутой С. То же самое относится, разумеется, и к проек-
проекциям на оси Y и Z. Далее, вдоль любой кривой
dx .
1
ds
dz.
ds
и, следовательно,
dx
dx = tx ds,
x(s)= J tx(s)ds.
Таким образом, при данной функции tx (s) функция х (s) опре-
определяется с точностью до постоянного слагаемого, так что х (s)
для" С и для передвинутой С отличаются на постоянную. Но так
как при s = 0 мы попадаем на обеих кривых в одну и ту же
точку Мо, то значения х @) одинаковы для обеих кривых, а
следовательно, постоянная, на которую они отличаются, есть
нуль. В итоге x(s) имеет один и тот же вид вдоль обеих кривых.
То же относится, разумеется, и к у (s) и z(s). Обе кривые
имеют одно и то же параметрическое представление, и следова-
следовательно, передвинутая С действительно совпала с С. Теорема
доказана.
Чтобы полностью выяснить роль натуральных уравнений,
необходимо формулировать еще один важный дополнительный
результат:
Если в некоторой области изменения независимого переменного s,
Sh-^s^,S, заданы две произвольные непрерывные функции
cp(s)>0 и ф(в),
то всегда можно построить пространственную кривую, для кото-
которой натуральные уравнения будут иметь вид (в той же области
изменения s)
k=<p(s), x = <]>(s).
Из предыдущего ясно, что такая кривая определяется с точ-
точностью до положения в пространстве.
14 П. К. Рашевский
210
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Доказательство начинается с чисто аналитических рассуждений,
поскольку кривой нет и ее требуется еще построить. Построим прежде
всего девять функций аргумента s:
I bx, Ъу, bz.
C0 V)
Этим функциям мы не приписываем никакого геометрического смысла
рассматривая их с чисто аналитической точки зрения. Наложим на них
следующие требования. Функции первого столбца должны удовлетворять
дифференциальным уравнениям
dtx
C10)
ds
Г = - Ф (*) nx.
Таким же уравнениям подчиняем функции второго и третьего столбцов
(механически заменяя везде в C10) значок х на у и на z). Требуем, кроме
того, чтобы при s = 0 функции C09) принимали значения
C11)
Применяем теперь лемму к функциям tx, пх, Ъх. Так как уравнения C101
отличаются от C08') только обозначениями и и ф вместо к ж х ж так как
для tx, пх, Ъх указаны значения при .s = 0, то применение леммы здесь
законно. Мы можем утверждать, что функции tx, nx, Ъх, удовлетворяющие
выставленным требованиям, действительно существуют во всей области
изменения s. To же относится, конечно, и к функциям второго и третьего
столбцов матрицы C0 9? '
столбцов матрицы C0 9,?.
Итак, функции C09) построены.
матрица C09) будет ортогональной.
нибудь ее столбцов, например
Докажем, что при любом значении s
Составим произведение двух каких-
txty + пхпу
ш продифференцируем его по s. Получим
~(txty + nxny + bxby) = l-
dh+dZLyn +n dnv dbx dbv
Тождественное обращение этой производной в нуль легко проверить, заме-
заменяя производные от tx, nx, Ъх их выражениями из C10) и аналогично
поступая с производными от tv, пу, Ъу.
Итак, произведение каких-либо двух столбцов матрицы C09) остается
постоянным при любом значении s. Но так как при s==0 матрица C09)
принимает вид C11), то при s = 0 это произведение равно нулю, а следова-
следовательно, остается нулем и при любом значении s.
НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
211
Совершенно таким же образом, составляя произведение какого-нибудь
столбца на себя, например
и дифференцируя ото выражение по s, получаем производную, рав-
равную нулю. Следовательно, выписанное выражение остается постоянным,
а так как из C11) видно, что при s = 0 оно равно единице, то и при
любом s оно сохраняет это значение.
Итак, попарные произведения разных столбцов матрицы C09) дают
нуль, а одинаковых—единицу. Это и означает, что матрица — ортогональ-
ортогональная х).
Построим вектор-функции t, n, b того же аргумента s, определив их
формально равенствами
)
)
J
C12)
Никакого геометрического смысла мы им пока не приписываем. Составляя
их скалярные произведения и скалярные квадраты
tn= txnx + tyny + tznz и т. д.,
tf = t* + t* + t* и т. д.,
мы видим, что получаются попарные произведения строк ортогональной
матрицы C09) и, следовательно,
tn = nb = bt = O и t2 = n2 = b2 = l.
Вектор-функции t, а. Ъ образуют, следовательно, тройкз' единичных вза-
взаимно ортогональных векторов 2). Легко убедиться также, что вектор-функ-
вектор-функции C12) удовлетворяют дифференциальным уравнениям
dt л
dn
ds'
C13)
J
Действительно, подставляя сюда вместо t, n, b их разложения и сравни-
сравнивая коэффициенты при i в левых и правых частях, мы приходим к урав-
уравнениям C10), которые уже имеют место. Таким образом, составляющие
по i в левых и правых частях C13) действительно равны, и по совер-
совершенно аналогичным причинам мы получим то же самое и для составля-
составляющих по j и к.
Теперь, наконец, мы переходим к построению искомой кривой. Мы
определим ее параметрическим представлением
: V tx (s) ds, у = \ tv (s) ds, z = \ ts (s) ds.
C14)
') Определитель такой матрицы может быть только ± 1. Но так как
при s = 0, как видно из C11), этот определитель равен +1, а при измене-
изменении s меняется непрерывно, то он остается равным + 1 при любом s.
2) Так как определитель матрицы C09) равен +1, то вектор-функции
t(s), n(s), b(s) образуют правую тройку (мы считаем, что координатная
тройка!, j, k—правая).
14*
212
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [гл. IV
Так как tx, tv, г,—уже построенные функции от $, то формулы C14)
определяют нам текущие координаты х, у, z кал функции некоторого
параметра s во всей области его изменения и тем самым некоторую кри-
кривую в пространстве. При отом лы не знаем заранее, будет ли этот пара-
параметр вдоль построенной кривой играть роль длипы дуги п будут ли ранее
построенные нами вектор-функции t (s), и (s), Ъ (s) играть роль основных
векторов сопровождающего трехгранника для этой кривой. Все это нам
предстоит доказать.
Запишем выражение текущего радиус-вектора вдоль нашей кривой:
= i V t-xds + j \ г,, ds + k \
tsds.
Дифференцируя, получим
d-c = itj. ds + jty ds + kt= ds — t (s) ds. C15)
Беря обе части равенства по модулю и учитывая, что t (s) есть вектор
единичный, мы получим
! dv | = | ds | .
Сравнивая эту формулу с A58"), мы видим, что ds есть, действительно,
дифференциал длины дуги и, следовательно, параметр s играет роль длины
дуги вдоль кривой. Теперь формулу C15) можно переписать в виде
откуда ясно, что введенная ранее вектор-функция t (s) играет роль еди-
единичного касательного вектора к построенной нами кривой.
тт dt(s)
Нам известно, что в таком случае производная —г-1— направлена
по главной нормали к кривой в положительную сторот'. Первая из фор-
формул C13) показывает, что единичный вектор n(s), отличаясь от
dt(s)
ds
лишь положительным множителем <j> (s), имеет то же направление.
Итак, введенная ранее вектор-функция и играет роль единичного вектора
в положительном направлении главной нормали для ностроенной кривой.
Наконец, введенная ранее вектор-функция Ъ (s), единичная и ортогональ-
ортогональная к t (s) и и (s), будет вследствие этого единичным вектором, направлен-
направленным по бинормали и при этом в ту сторону, которая предписывается фор-
формулой B60). Итак, вектор-фзшкции t (s), a (s), Ъ (s) оказались для
построенной нами кривой векторами сопровождающего трехгранника.
Мы можем написать для этой кривой формулы Френе, которые будут
иметь обычный вид B62). Сравнивая их с формулами C13), которым "удо-
"удовлетворяют те же вектор-функции, мы убеждаемся, что вдоль ностроенной
кривой
к = о (s), х = ф (s).
Нам действительно удалось построить кривую с наперед заданным
видом функциональной зависимости кривизны и кручения от длины дуги.
Конечно, такая кривая будет не единственной; "она будет определена
с точностью до положения в пространстве. В процессе построения это
сказалось, во-первых, в произвольных постоянных в интегралах C14),
во-вторых, в произвольном выборе начального вида ортогональной матри-
матрицы C09) при s = 0. Для простоты мы взяли, правда, вполне определенный
начальный вид C11), но можно было бы взять вместо C11) любую орто-
ортогональную матрицу с постоянными элементами.
§ 44]
НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
213
Черт. 84
Примеры и упражнения.
!. Натуральные уравнения кривой имеют вид
k = k(s), * = 0.
Мы знаем уже из предыдущего (см. конец § 40), что это необходимо
и достаточно для того, чтобы кривая была плоской. Таким образом,
особенность натуральных уравнений плоской кривой в том, что вторая
функция дуги s, выражающая кручение, обращается тождественно в нуль.
Остается в рассмотрении первая функция, выражающая кривизну. Как
раз такое положение вещей мы имели, специально изучая натуральное
уравнение кривой на плоскости. Разница только в том, что тогда кри-
кривизне к мы условились определенным образом приписывать знак ^ ,
а теперь у нас к всегда больше
нуля. В связи с этим зеркально-
симметрические плоские кривые
имели тогда различные нату-
натуральные з'равнения (функции 7: (s)
отличались знаком), теперь же
они будут иметь одни и те же
натуральные уравнения. Это рас-
расхождение имеет интересный гео-
геометрический смысл.-Дело в том,
что, оставаясь в плоскости,
нельзя непрерывным движением
совместить зеркально-симметри-
зеркально-симметрические плоские кривые. Но, рас-
рассматривая эти кривые в простран-
пространстве, их можно совместить поворотом на 180° около оси симметрии, так
что с этой точки зрения они отличаются только положением в простран-
пространстве. Поэтому и натуральные уравнения их теперь одинаковы.
Интересно выяснить в связи с этим, в чем будет разница в натураль-
натуральных уравнениях зеркально-симметрических пространственных (существен-
(существенно неплоских) кривых. Примем для простоты плоскость симметрии за
координатную плоскость XY. Тогда в соответствующих точках симметри-
симметрически расположенных кривых значения х, у будут одинаковы, а значе-
значения z будут отличаться знаком. Пользуясь формулами B82), мы видим,
что при изменении знака у z кривизна к не изменится, а кручение х
изменит знак на обратный. Таким образом, натуральные уравнения зер-
кально-симметрических кривых отличаются лигиь знаком у функции у- (s),
В случае существенно неплоских кривых, т. е. в случае х ф 0, такие
натуральные уравнения будут существенно различны, что связано с невоз-
невозможностью совместить пеплоские зеркально-симметрические кривые непре-
непрерывным движением в прострапстве.
2. Линии откоса. Рассмотрим кривую, обладающую тем свойством, что
касательные к ней образз'ют постоянный угол с некоторым определенным
направлением. Если это направление наглядно представлять себе как вер-
вертикальное, то касательная к нашей кривой (которую мы будем назы-
называть линией откоса) будет направлена под постоянным углом к гори-
горизонтальной плоскости, так что крутизна подъема по кривой будет все время
одинакова.
Выясним, какими особенностями будут обладать натуральные урав-
уравнения линий откоса. Пусть р0 будет постоянным единичным вектором,
взятым по указанному направлению, так что р0 образует с единичным
касательным вектором t (s) постоянный угол <j> во всех точках кривой
(черт. 84). Так как косинус этого угла равен скалярномз' произведению
t на р0, то мы можем записать
tp0 = const.
214
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ Ш-ОСТРЛНСТВЕННЫХКГИВЫХ [гл. IV
Дифференцируя это равенство по s и учитывая, что р0 — постоянный
вектор, получим
tpo=O или А-про = 0.
Считая к Ф 0, т. е. исключая случай, когда лжнип откоса прямая,
получим
про = 0. C16)
Таким образом, главные нормали к линии откоса идут перпендикулярно
к постоянному направлению р0, в наглядном представлении — параллельно
горизонтальной плоскости. Так как вектор р0 в каждой точке кривой
идет перпендикулярно к п, то р„ можно поместить в спрямляющей пло-
плоскости, т. е. в плоскости векторов t, b, А так как t образует с р0 постоян-
постоянный угол <?, то и Ъ, перпендикулярный к t, образует с р0 постоян-
постоянный угол, так что скалярное произведение Ъ на р0, равное косинусу
этого угла, остается постоянным:
bl>0 = const.
Дифференцируем теперь C16) еще раз по s. Получим
откуда
или
ро = О или {хЬ — И)
-stop,- ^tPo = °
Ыы видим, что правая часть равенства есть величина постоянная. Следова-
Следовательно, для линий откоса отношение кручения к кривизне:
x(s):k (s),
остается вдоль кривой постоянным. В этом состоит ограничение, наложен-
наложенное на натуральные уравнения кривой. Покажем, что этот признак не
только необходим, но и достаточен.
Действительно, пусть нам известно, что вдоль кривой
~ = const.
Составим теперь вектор
C17)
C1S)
Очевидно, что в силу C17) этот вектор неизменно связан с векторами t, b.
образуя с ними постоянные углы и имея постоянную длину. Покажем
теперь, что сам вектор C18) остается постоянным вдоль кривой. Для этой
цели дифференцируем его по s; упитывая C17), мы получаем
h + 4-1 = - xm + -^ /ш = 0.
А' К
так, вектор C1S) есть вектор постоянпый и образует, кроме того, постоян-
постоянный угол с t, т. е. с касательной к кривой. Кривая есть, таким образом,
линия откоса; единичный вектор в направлении C18) совпадает с р0.
§ 44]
НАТУРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
215
3. Найти кривую, натуральные уравнения которой имеют вид
ft = fto>0, ?. = *o,
где ft0 и х0 — постоянные.
Мы уже знаем, что винтовая линия (см. ковец § 41) обладает этим
свойством; легко проверить, что, положив
' П
+ 4 '
мы получим винтовую линию с наперед заданными значениями кривизны ft0
и кручения х0.
Все остальные кривые с тем же свойством будут отличаться от этой
винтовой линии лишь положением в пространстве (согласно общей
теореме § 44).
4. Кривая С называется кривой Бертрана, если для нее можно указать
отличную от нее кривую С*, обладающую общими с С главными нормалями.
Пусть г (s) — радиус-вектор кривой С; так как в любой ее точке М
главная нормаль служит главной нормалью и для С*, то, сместившись
по главной нормали на какое-то расстояние а, мы попадем в соответству-
соответствующую точку М* на С*. Запишем:
г* = г + an,
где г* — радиус-вектор точки М*. Вычислим г* (точкой обозначаем диф-
дифференцирование по дуге s вдоль кривой С):
г* = t + an + а (хЬ — kt).
C19)
Так как касательная г* к кривой С* ортогональна к общей главной нор-
нормали п, то г*и = 0, т. е., в силу C19),
a = 0, a = const.
Итак,
г* = t A — ak) + axb. C20)
Дифференцируем г* еще раз по s; пользуясь формулами Френе, получим
г* = Аи A — ak) +1 (I — ak)' + а'лЪ — ал'П. C21)
Так как соприкасающаяся плоскость к С* должна заключать векторы
г*, г* и общую главную нормаль п, то эти три вектора должны быть
компланарны, что имеет место тогда и только тогда, когда векторы
[г*, а] и [г*, п] коллинеарны. Но в силу формул C20) и C21)
[г*, Bl =A — aft) b — axt,
[V*, n] =A — ак)Ъ — ait.
Коллинеарность этих векторов означает, что
¦1-акУ_а* е A^Y 0 I^L = b==
1 — ak ах' ' ' \ ж J ' х
const.
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [гл. IV
Итак, кривизна к (s) и кручение х (s) вдоль кривой Бертрана связаны
линейным соотношением
ак + Ьх = 1,
где афО и Ъ — постоянные.
Это ограничение, наложенное на натуральные уравнения кривой
Бертрана, не только необходимо (что мы показали), но и достаточно.
В самом деле, если оно имеет место для данной кривой С при некоторых
определенных а и Ь, то мы откладываем по главной нормали отрезок а;
конец его описывает новую кривую С*. Повторением предыдущих выкладок
убеждаемся, что С* имеет главные нормали, общие с С, т. е. С есть
кривая Бертрана (как, разумеется, и С*).
Выясним геометрический смысл постоянного Ъ.
Перепишем выражение для г*:
r* = t A — ак) + ахЪ=?.(Ы + аЪ). C22)
Так как главные нормали кривых С и С*—общие, то плоскости векторов
t, Ъ и t*, b* параллельны. Формула C22) показывает, что
где в — угол, образуемый направлением касательной к С*, т. е. векто-
вектором г*, с направлением касательной к С, т. е. вектором t (считая поло-
положительным направление вращения от t к Ъ). Итак, сопровождающие трех-
трехгранники для С и С* имеют общую главную нормаль и сохраняют
друг относительно друга неизменное положение (расстояние а между их
вершинами по общей главной нормали и угол в между направлениями
касательных остаются постоянными вдоль этих кривых).
Нужно иметь в виду, что п и п* могут как совпадать, так и отличаться
направлением [в зависимости от знака выражения х (bk — а*)]; в первом
случае кривизна и кручение связаны для С* уравнением — ак* -+- Ы* = !,
а во втором — уравнением ак* + Ь** = 1 (доказать).
Интересен частный случай кривых Бертрана, когда
& = 0, т. е. ак=1, к — -— = const.,
т. е. когда кривая Бертрана оказывается пространственной кривой постоян-
постоянной кривизны {косая окружность). Обратно, всякую косую окружность
можно рассматривать как частный случай кривой Бертрана, когда Ь = 0.
В этом случае смещение на а по главной нормали приводит нас, очевидно,
в центр кривизны, так что С* есть геометрическое место центров кри-
кривизны для С; тем же свойством обладает и С по отношению к С*, причем
С* будет тоже косой окружностью с той же постоянной кривизной
— (доказать).
Формула ctg в = — дает нам в этом случае 6= ±.~ , так что или t*=b,
b* = t, или t*= —Ь, b*= — t; при этом всегда п* = —н (доказать).
ГЛАВА V.
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
§ 46. Криволинейные координаты на поверхности.
В § 32 мы рассматривали поверхность, заданную уравнением
F{x,y,z) = O. C23>
Мы ограничивались при этом заведомо обыкновенными точками,
т. е. такими, где по крайней мере одна из частных производных
Fx, F,;, Fz отлична от нуля. Вблизи такой точки уравнение C23)
можно переписать в виде, разрешенном относительно одной коор-
координаты, например
z = f(x,y), C23')
что дает нам ясное представление о поведении поверхности.
При изучении поверхностей, как и при изучении кривых,
наиболее целесообразным способом их задания является параме-
параметрическое представление. Пусть нам дана вектор-функция двух
скалярных аргументов и, и, рассматриваемых в некоторой обла-
области их изменения:
г = г (и, v) = x (и, v)i + y (a, v)j + z (и, и) к. C24)
Здесь х, у, z — координаты этой вектор-функции, также явля-
являющиеся функциями и, v.
Будем откладывать г (и,с) из начала координат О. Конец
вектора г (и, и), который мы будем обозначать через М, имеет
своим радиус-вектором
т = г (и, v) C25)
и своими координатами
X = X (U, V), 1
y=y{u,v), } t325')
z= z(u, v). I
216
ТЕОРИЯ КРИВИЗНЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КРИВЫХ [ГЛ. IV
Итак, кривизна к (s) и кручение х (s) вдоль кривой Бертрана связаны
линейным соотношением
ак + Ьх = 1,
где а ф 0 и Ь — постоянные.
Это ограничение, наложенное на натуральные уравнения кривой
Бертрана, не только необходимо (что мы показали), но и достаточно.
В самом деле, если оно имеет место для данной кривой С при некоторых
определенных а и Ь, то мы откладываем по главной нормали отрезок а;
конец его описывает новую кривую С*. Повторением предыдущих выкладок
убеждаемся, что С* имеет главные нормали, общие с С, т. е. С есть
кривая Бертрана (как, разумеется, и С*).
Выясним геометрический смысл постоянного Ь.
Перепишем выражение для г*:
Г* = t A — ак) + ахЪ = х (Ы + аЪ).
C22)
Так как главные нормали кривых С и С*—общие, то плоскости векторов
t, Ъ и t*, b* параллельны. Формула C22) показывает, что
— угол, образуемый направлением касательной к С*, т. е. векто-
вектогде в , т. е. векто
ром г*, с направлением касательной к С, т. е. вектором t (считая поло-
положительным направление вращения от t к Ъ). Итак, сопровождающие трех-
трехгранники для С и С* имеют общую главную нормаль и сохраняют
друг относительно друга неизменное положение (расстояние а между их
вершинами по общей главной нормали и угол в между направлениями
касательных остаются постоянными вдоль этих кривых).
Нужно иметь в виду, что пив* могут как совпадать, так и отличаться
направлением [в зависимости от знака выражения *(bk— ax)]; в первом
случае кривизна и кручение связаны для С* уравнением — ак*+Ъ?.* — 1,
а во втором — уравнением ak* + bx* = i (доказать).
Интересен частный случай кривых Бертрана, когда
0, т. е. ак=1,
= —= const.,
а
т. е. когда кривая Бертрана оказывается пространственной кривой постоян-
постоянной кривизны {косая окружность). Обратно, всякую косую окружность
можно рассматривать как частный случай кривой Бертрана, когда Ь = 0.
В этом случае смещение на а по главной нормали приводит нас, очевидно,
в центр кривизны, так что С* есть геометрическое место центров кри-
кривизны для С; тем же свойством обладает и С по отношению к С*, причем
С* будет тоже косой окружностью с той же постоянной кривизной
— (доказать).
(Х>
ъ -
Формула ctg 6 =— дает нам в этом случае 6= ±— , так что или t*=b,
b* = t, или t*=-= —Ь, Ъ*~ —t; при этом всегда п* = —н (доказать).
ГЛАВА V.
ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
§ 45. Криволинейные координаты на поверхности.
В § 32 мы рассматривали поверхность, заданную уравнением
F(x,y,z) = 0. C23>
Мы ограничивались при этом заведомо обыкновенными точками, •
т. е. такими, где по крайней мере одна из частных производных
Fx, Fu, F. отлична от нуля. Вблизи такой точки уравнение C23):
можно переписать в виде, разрешенном относительно одной коор-
координаты, например
z = f(x,y), (З23'>
что дает нам ясное представление о поведении поверхности.
При изучении поверхностей, как и при изучении кривых,
наиболее целесообразным способом их задания является параме-
параметрическое представление. Пусть нам дана вектор-функция двух
скалярных аргументов и, и, рассматриваемых в некоторой обла-
области их изменения:
г = г (и, v) = x (и, и) i + у (и, и) j -f- z (и, v) fc.
C24)
Здесь х, у, z — координаты этой вектор-функции, также явля-
являющиеся функциями и, v.
Будем откладывать г (и, г) из начала координат О. Конец
вектора г (и, и), который мы будем обозначать через М, имеет
своим радиус-вектором
г = г{и, v) C2о)
и своими координатами
X = X (и, У), 1
у=у(и, и), >
z= z(u, v). I
C25')
218
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
Когда и, v пробегают область своего изменения, точка М
с координатами C25'), или, что то же, с радиус-вектором C25),
описывает некоторое геометрическое место точек, которое мы
будем называть поверхностью в параметрическом представлении
(черт. 85); Каждой паре значений и, и из области их изменения
отвечает точка поверхности. В дальнейшем, говоря о точке поверх-
поверхности, мы всегда подразумеваем задание определяющих ее значе-
значений и и и.
Возьмем частные производные радиус-вектора г по и иг;,
пользуясь разложением C24):
гц (и, и) = ха (и, v)i+yu (и, и) ] -f za (и, и)к,
г„(к, v) = xv(u, v)i + yv(u, v)j + zv(u, и) к.
C26)
Во всем дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь та-
таких точек поверхности, где векторы гц и г„ не коллинеарны1):
гц * г„. C27).
Коллинеарность та и г„ означала бы пропорциональность
координат этих векторов, т. е. пропорциональность элементов
в строках
У и,
C28)
Черт. 85.
Поэтому условие C27) означает,
что в данной точке эта пропорцио-
пропорциональность не имеет места и, сле-
следовательно, среди определителей
2-го порядка, получающихся из
матрицы C28), по крайней мере
один отличен от нуля. Пусть для
определенности в данной точке,
т. е. при данных значениях и, и, отличен от нуля первый из них:
хи Уи
Xv Уи\
Как известно из анализа2), если функции х(и, и), у (и, и) при
данных значениях и, v удовлетворяют условиям C28'), то вблизи
данных значений и, v и соответствующих им значении х, у урав-
уравнения
X=X(U, U), у = у(и, V)
?=0.
C28')
а) В частности, ни один из них не обращается в нуль.
2) Фихтенгольц Г. М., т. I, гл. VI, § 2.
§ 45] КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПОВЕРХНОСТИ
219
могут быть эквивалентным образом переписаны в виде, разрешен-
разрешенном относительно и, v,
и = и(х,у), v=v(x,y). C29)
После того как первые два из уравнений C25') приняли такой еид,
можно вставить эти выражения для и и и в последнее; получим
2 = z [и(х, у), и (ж, у)} или, короче, z = f(x,y). C30)
Итак, мы пришли к записи уравнения поверхности вблизи рассма-
рассматриваемой точки в виде C23'). Таким образом, соблюдение в дан-
данной точке поверхности C25) условия ти 1(- г„ гарантирует нам,
что эта точка поверхности будет обыкновенной, т, е. что вблизи
этой точки уравнение поверхности может быть записано в ви-
виде, разрешенном относительно одной координаты, например
z = f{x, у).
Другими словами, вблизи этой точки паата поверхность имеет
вид простого куска поверхности.
Мы обнаружили, таким образом, что вблизи своих точек, где
выполняется условие C27) гц ^ гв (мы их будем называть заведомо
обыкновенными), поверхность C25) ведет себя совершенно так же,
как и поверхность C23) вблизи своих заведомо обыкновенных
точек. Нужно отметить только, что для поверхности C23) термин
«вблизи» означает, что берутся значения х, у, z, достаточно близ-
близкие к данным их значениям, для поверхности же C25) подразуме-
подразумевается, кроме того, что и значения гг, и рассматриваются только
достаточно близкие к значениям их в данной точке.
Во всем дальнейшем мы будем интересоваться поведением по-
поверхности C25) лишь вблизи ее заведомо обыкновенных точек.
В таком случае первые два из уравнений C25') могут быть пере-
переписаны в виде C29)
и = и(х,у), v = v(x,y).
Это означает, что не только каждой паре значений к, v однозначно
отвечает точка поверхности, как показывают сами уравнения
C25'), но и, обратно, каждой точке поверхности х, у, ъ одно-
однозначно отвечает пара значений параметров и, и.
Таким образом, вблизи заведомо обыкновенной точки поверх-
поверхности C25) мы имеем взаимно однозначное соответствие мемеду
точками поверхности и парами значений и, v из соответствующей
области изменения и, а. На этом основании параметры называются
криволинейными координатами па поверхности.
Оговорка «вблизи заведомо обыкновенной точки» существенна
в том смысле, что в противном случае уравнения C25') могут при-
привести нас при других значениях и, v к той же самой точке х, у, z 1),
1) Самопересечение пли самоналожеБие поверхности.
220
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕН
|гл. V
благодаря чему нарушится взаимная однозначность соответствия
(одной точке будут отвечать две пары значений и, v).
В последующем, если не оговорено противное, мы будем подра-
подразумевать, что для' рассматриваемого куска поверхности налицо-
взаимно однозначное соответствие с некоторой областью изменения
параметров и, v, и во всех точках соблюдается условие C27).
Мы видим, что роль криволинейных координат и, п заклю-
заключается только в том, чтобы отмечать точки поверхности. В общем
случае криволинейные координаты геометрического смысла не
имеют и могут выбираться различными способами на одной и той
же поверхности. Действительно, введем наряду с параметрами
и, v новые переменные U, V, связанные с и, v функциональной
зависимостью
U=U{u,o), V = V(u,v).
C31)
Вид этих функций берем совершенно произвольно, требуя, однако,
чтобы в рассматриваемой области изменения и, и и в соответ-
соответствующей ей области изменения U, V написанные уравнения были
однозначно разрешимы относительно и, v, т. е. чтобы их можно
было эквивалентным образом переписать в виде
u=u{U,V), v=v{U,V). C31')
В таком случае область изменения переменных и, и, с одной сто-
стороны, и область изменения переменных U, V, с другой стороны,
находятся во взаимно однозначном соответствии. Следовательно,
переменные U, V в их области изменения можно с таким же пра-
правом считать криволинейными координатами на данном куске
поверхности, как и переменные а, и. Действительно, каждой паре
значений U, V отвечает, согласно C31'), пара значений и, v, а этим
последним — точка поверхности с радиус-вектором C25):
г = г(в, о) = т [u(U, V), v(U,V)}.
Мы получили параметрическое представление поверхности в но-
новых параметрах U, V. Обратно, каждой точке поверхности одно-
однозначно отвечает пара значений и, о, а следовательно, согласи©
C31), и пара значений U, V.
Таким образом, в выборе криволинейных координат на поверх-
поверхности имеется широкий произвол. Поэтому, изучая поверхность,
заданнз'Ю параметрическим представлением C25), нам придется
тщательно отделять существенные факты, относящиеся только
к самой геометрической форме поверхности, от случайных дан-
данных, зависящих от произвольного выбора криволинейных коор-
координат на поверхности.
Отметим как частный случай, что на плоскости или в какой-
нибудь области на ней можно также ввести общего вида криво-
криволинейные координаты: Для этого в данной области достаточно
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ-НА ПОВЕРХНОСТИ
достроить произвольные функции и, v прямоугольных декартовых
координат х, у:
и=и(х, у),
v = v(x, у).
При этом требуется, однако, чтобы в рассматриваемой области:
написанные уравнения были однозначно разрешимы относительно
х, у и могли быть, следовательно, переписаны в виде
х= х(и, и),
у=у(и, и).
'.В таком случае каждой точке х, у данной области на плоскости
однозначно отвечает пара значений и, v из области изменения этих
переменных, и обратно. Переменные и, v можно считать криволи-
криволинейными координата-
координатами данной области
на плоскости.
Элементарным при-
при:мером криволинейных к-
координат на плоско-
плоскости служат полярные \
координаты. Если взя-
взятая на плоскости об-
область не содержит по-
полюса и не охватывает
его кольцом (черт.86,а),
то полярные координаты удовлетворяют требованию взаимно
однозначного соответствия с точками области. Точнее: фиксируя
значения полярного угла © и полярного радиуса т в одной
точке и непрерывно изменяя их при перемещении по области,
мы нри любом выборе пути припишем каждой точке одну
н ту же однозначно определенную пару значений ср, г.
Напротив, если область содержит полюс О или охватывает
его (как на черт. 86, Ъ), то при каждом обходе вокруг полюса мы
возвращаемся в прежнюю точку области со значением ср, изменен-
измененным на 2тс. Взаимная однозначность соответствия нарушается.
Из общих определений вытекает, что при теоретическом рассмотре-
рассмотрении мы считаем такого рода случаи исключенными.
Укажем еще на географическую широту <р и долготу 6
Черт. 86.
как на пример криволинейных координат на сфере. Взаимная
однозначность соответствия имеет место при условии, что с по-
поверхности сферы удален меридиан б = ± тс, включая и его концы
{северный и южный полюсы).
222
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
§ 46. Кривые на поверхности.
[гл. V
Рассмотрим на поверхности геометрическое место точек, кри-
криволинейные координаты которых определяются уравнениями
j_ ¦.-. /*\ -. _, //\ /QOO\
1Л, Ы, уь j, О (J \С I j IOOliI
где t—независимое переменное. Пользуясь параметрическим пред-
представлением поверхности C25), можно записать радиус-вектор
любой такой точки в виде
.г = г [«(*), о @1- C33}
Таким образом, г выражается в конечном итоге как функция
одного аргумента t и, когда t пробегает область своего изменения,
г описывает своим концом некоторую кривую в пространстве.
Уравнения C32) определяют, таким образом, на поверхности
некоторую кривую.
В частности, в уравнениях C32) параметром t может служить
одна из криволинейных координат, например t = u. Тогда пара
уравнений C32) сводится к одному
у = v (и). C34)
С данной системой криволинейных координат на поверхности
наиболее непосредственно связаны так называемые координатные
линии, т. е. кривые, вдоль которых одна из координат остается
постоянной.
Будем называть линией и кривую, вдоль которой меняется
только и. Уравнение такой кривой на поверхности можно запи-
записать как частный случай C34):
v = const., C35)
считая, что функция и (и) является константой.
Совершенно аналогично уравнение линий у будет
и= const, C36)
Так как значение постоянной в правой части уравнений C35)
и C36) можно выбирать произвольно, т. е. в первом случае и, а во
втором случае и можно закреплять на любом значении, то каждое
из уравнений определяет нам целое семейство кривых от одного
параметра. Два семейства кривых на поверхности, каждое от
одного параметра, называются сетью кривых на поверхности. Мы
построили, таким образом, координатную сеть (черт. 85). Через
каждую точку М (ив, v0) на поверхности проходит ровно две
линии сети: линия к, получающаяся, если закрепить у на значе-
значении у„ (которое v имеет в точке М),
§ 46]
КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
223
и линия (.-, вдоль которой и закреплено на значении и0:
и= и0.
На плоскости в случае прямоугольных декартовых координат
координатная сеть образована всевозможными прямыми, парал-
параллельными осям, в случае полярных координат — окружностями
с центром в полюсе и выходящими из полюса полупрямыми.
Координатная сеть в значительной степени обусловливает
выбор системы криволинейных координат, так как, наблюдая
линии постоянных значений и и и, можно составить себе некото-
некоторое представление о ходе изменения этих параметров, однако —
неполное: о численных значениях параметров по виду кривых
мы ничего сказать, конечно, не можем. Более точно: сделаем
преобразование криволинейных координат на поверхности
U = U(u), V = V(v)
так, чтобы каждая новая координата зависела только от одной ста- .
рой, в остальном же преобразование произвольно. Конечно, система
координат изменится довольно существенно, но координатная сеть
останется прежней, так как если вдоль кривой и постоянное, то
V(v) также остается постоянным, и линии и совпадают с линиями
Ц. То же относится и к линиям и, V. Таким образом, координатная
сеть определяет криволинейные координаты с точностью до пре-
преобразования U (и), V (и). Другие преобразования здесь, как не-
нетрудно показать, невозможны.
Займемся теперь изучением касательных к кривым, проведен-
проведенным по поверхности. Пусть на поверхности дана кривая C32).
Пользуясь ее параметрическим представлением в пространстве
г = г[в(г), и @1.
находим дифференциал радиус-вектора
dr = гц (и, v) du + г„ (и, v) do, C37)
где
du = u'(t)dt, dv = v'(t)dt. C37')
В дальнейшем мы всегда будем считать, что du. dv не обра-
обращаются в нуль одновременно, так как мы рассматриваем на кривой
лишь заведомо обыкновенные точки, где dr = г' dt Ф 0.
Как и всегда, dx направлен по касательной к кривой. Мы ви-
видим, что в каждой точке кривой dx разлагается по векторам г„ (и, и),
г„(м, и) и, следовательно, компланарен с ними. Но эти векторы —
частные производные от г (и, и)—зависят только от выбора зна-
значений и, v, т. е. от выбора точки на поверхности. Таким образом,
в какую бы точку на поверхности мы ни пришли, двигаясь по
224
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕН
[гл. V
нашей кривой, касательная к кривой будет лежать в одной пло-
плоскости с векторами гц, г„ в этой точке (черт. 87).
Отсюда следует, что если через данную точку поверхностиМ(и, с)
проводить по поверхности всевозможные кривые, то касательные
к ни'м в этой точке расположатся все в одной плоскости, а именно
в плоскости векторов ги, г„. Мы знаем (см. § 32), что плоскость,
в которой расположены все касательные к поверхности в данной
точке, называется касательной плоскостью. Таким образом, мы
подтвердили прежний
результат, именно, что
такая плоскость суще-
существует, и обнаружили,
что она определяется
векторами г„ и г„ в
дайной точке [напом-
[напомним, что по условию
C27) гц и г„ не кол-
лине а рны].
Что же касается
самих векторов та и г„,
то они направлены по
касательным к коорди-
координатным линиям в дан-
Черт. 87.
натным линиям в дан-
данной точке. В самом деле, вдоль координатной линии, например и,
значение о остается равным постоянному vB, и равенство C33)
примет вид
где параметром служит независимое переменное и. Так как теперь
dc = 0, то формула C37) примет вид
dv = ru (и, vn) du.
Касательная к линии и направлена по dt, а следовательно;
и в направлении коллинеарного с ним вектора гц.
Аналогично обстоит дело и с линиями и.
Возвращаемся к общему случаю C37). Вектор, характеризу-
характеризующий направление касательной к кривой на поверхности в дан-
данной точке М, имеет вид1)
гц аи + г„ dv = Uu [ гц -j- -,-
Множитель du не играет роли для направления касательной; век-
векторы ги, г„ зависят только от выбора точки М на поверхности;
следовательно, выбор кривой, проведенной по поверхности через
') Считая для определенности, что du Ф 0.
КРИВЫЕ НА ПОВЕРХНОСТИ
точку М, сказывается только в значении частного do : du, где
du, dv — дифференциалы криволинейных координат вдоль рас-
рассматриваемой кривой. Итак, если поверхность и точка М на ней
даны, то направление касательной к кривой на поверхности в точ-
точке М вполне характеризуется отношением дифференциалов dv : du,
взятых вдоль этой кривой. (Точнее, здесь подразумевается dv : du =
= г/ (t) dt: и' (t) dt = v' (t) : u' (t), где t — параметр вдоль кривой.)
Очевидно, что и обратно, направление касательной, т. е. напра-
направление, параллельное вектору Tudu + г„с?и, определяет этот век-
вектор с точностью до численного множителя, а следовательно,
отношение коэффициентов его разложения dv : du определяется
этим направлением однозначно.
Этот простой результат будет часто применяться в дальнейшем.
Запишем теперь уравнение касательной плоскости в данной
точке М (и, у) на поверхности. Так как эта плоскость проходит
через векторы гц, rt> в данной точке, то она перпендикулярна
к к векторном}? произведению
3
Уи
C38)
Это векторное произведение, которое вследствие условия C27)
будет отлично от нуля, укажет нам, таким образом, направление
нормали к поверхности в данной точке. Касательную плоскость
в точке М (и, у) можно рассматривать как плоскость, проходящую
через М (и, и) [декартовы координаты этой точки в пространстве
будут х(и, v), у (и, о), z (и, v)] перпендикулярно к вектору C38).
Обозначая через X, Y, Z текущие координаты по плоскости,
нетрудно записать ее уравнение в виде
Х — х Y — y Z-:
xv Уо zv
= 0.
C39)
Действительно, здесь коэффициенты при разностях X — х, Y — у,
Z z совпадают с координатами вектора C38), а это и значит,
что плоскость C39) проведена через точку х, у, z перпендикулярно
к вектору C38).
Так же легко записать уравнение нормали как прямой, про-
проходящей через данную точку по направлению вектора C38):
Х — х
-У
Z -
У и .'/» i
i
-U 'О |
¦г-н Хо [
Ха Xv
У и У»
C40)
15 П. К. Ран
226
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
47. Первая основная квадратичная форма.
1гл. V
Мы переходим к изучению поверхности в бесконечно малом
вблизи какой-нибудь ее точки М (и, и). В этом параграфе мы огра-
ограничимся точностью 1-го порядка, т. е. будем учитывать лишь
бесконечно малые 1-го порядка.
Сместимся из точки М (и, о) по какой-нибудь кривой на по-
поверхности
о = в(«), в = о@
в бесконечно близкую точку М' (черт. 88). Если приращение пара-
параметра t при этом будет dt, то дифференциалы криволинейных коор-
координат на поверхности (отличные,
вообще говоря, от их приращений)
'1 ffL / будуТ
W u+du^j^Y du = u'(t)dt, dv = v'(t)dt.
В дальнейшем, много раз повто-
повторяя это построение, мы просто будем
говорить о дифференциалах du, dv.
отвечающих данному бесконечно ма-
малому смещению по поверхности. П\т
этом читатель должен помнить только что разъясненный точный
смысл этого выражения. Отношение этих дифференциалов dv : du
(если du ф 0) имеет вполне определенное значение v' (t): и' (t)
и характеризует, как мы знаем, направление касательной к пути
смещения.
Вычислим дифференциал радиус-вектора г вдоль нашей кри-
кривой, отвечающий смещению из М в М'. По формуле C37)
dx = гц du-\- Tvdv. C41)
Теперь нетрудно вычислить и дифференциал дуги ds кривой, отве-
отвечающей тому же смещению ММ'. Действительно, по общей фор-
формуле A58")
| = ! г„ du -j- rB dv | C41')
Черт. 88.
или
ds" = dr* = (ru du + г„
Раскрывая скобки, вычисляем скалярный квадрат в правой части
и получаем
ds' = Та du* + 2ru rv du dv + rldv\
Векторы ru, г„, а следовательно, и их скалярные произведения
суть функции от и, и и зависят, следовательно, лишь от выбора
§ 47]
ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
227
точки М (и, и). Введем для этих скалярных произведений сокращен-
сокращенные обозначения
гп*„ = Е (и, у),
rutD = F(u, v),
rvrD = G(u, v).
C42>
Тогда предыдущая формула может быть переписана в виде
ds2 = Е (и, и) du* + IF (и, v) dudv + G (n, v}dv\ C43)
Выражение в правой части называется первой основной квад-
квадратичной формой на поверхности и играет в теории поверхностей
огромную роль.
Как известно, вообще квадратичной формой называется целая
рациональная функция (многочлен), однородная второй степени.
Таким образом, C43) является квадратичной формой по отноше-
отношению к дифференциалам du, dv. Что же касается коэффициентов
квадратичной формы Е, F, G, то они от du, dv не зависят, а зави-
зависят лишь от выбора точки М (и, о) на поверхности, по отношению
к которой квадратичная форма составлена.
Значение первой квадратичной формы заключается в том,
что она выражает квадрат дифференциала дуги ds при бесконечно
малом смещении по поверхности. При этом коэффициенты квад-
квадратичной формы определяются той точкой М (и, о), из которой
производится смещение, а дифференциалы du, do отвечают дан-
данному смещению из М.
Таким образом, первая квадратичная форма служит нам преж-
прежде всего для измерения в бесконечно малом длин вдоль поверх-
поверхности. Разумеется, мы выражаем посредством C43) лишь диф-
дифференциал ds, т. е. длину дуги смещения ММ' с ошибкой, беско-
бесконечно малой 2-го порядка.
Однако посредством интегрирования нетрудно перейти и к
точному вычислению длин на поверхности. Пусть, действительно,
первая квадратичная форма на поверхности нам известна, т. е.
известен вид функциональной зависимости Е, F, G от и, v. Пусть,
далее, нам задан отрезок какой-нибудь кривой на поверхности
u=u(t), v = v(t), 710<г<2'.
Вдоль этой кривой дифференциал дуги будет выражаться, если
воспользоваться формулой C43), таким образом:
v)du2+ 2F(u, v)dudv + G(u,
15*
228
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Интегрируя дифференциал ds в пределах от Та до Т, получим
точную длину соответствующего отрезка кривой от точки М-\а
до точки Mi:
2 о
В подинтегральном выражении мы выиесли dt из-под знака
корня. При этом, так как нам известны Е, F, G как функции от
и, у, а и, v—как функции от t, то
под знаком интеграла стоит изве-
известная нам функция от t. Задача
сводится к квадратуре.
Зная первую квадратичную фор-
форму на поверхности, можно изме-
измерять не только длины, но и углы
между кривыми. Действительно,
пусть из точки М выходят две кри-
кривые. Обозначим через du, do диф-
дифференциалы криволинейных, ко-
координат, отвечающие бесконечно малому смещению по одной кри-
кривой, и через ои, Ьо — то же самое для другой кривой.
Соответствующие дифференциалы радиус-вектора мы обозна-
обозначим через dv и or (черт. 89). Согласно C41)
Черт. 89.
dv = гц du 4- г„ dv; or = гц Ьи + г „ос.
C45)
Как всегда, эти дифференциалы направлены .по касательным
к соответствующим кривым. Следовательно, угол между каса-
касательными (который мы и называем углом между кривыми) можно
вычислять как угол между векторами C45). Как известно, коси-
косинус угла между векторами равен их скалярному произведению,
доленному на произведение длин:
cos (dv, or) =
dr 3r г„г„Dмйи-гг„г,. {du Sv+ dv du) 4- г„г,, dv dv
I dr j ¦ I Sr j I ds \ ¦ ; ds ;
В числителе мы вычисляем скалярное произведение dror, поль-
пользуясь формулами C45), а в знаменателях заменяем [с?г|и|ог[ со-
соответствующими дифференциалами дуг j ds | и | 8s J па основа-
основании C41').
Замечая, что скалярные произведения в числителе суть Е, F, G,
и заменяя ds и 8.9 их выражениями, согласно C43), получим
§ 47J
ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
22У
окончательно
cos (dt, or) =
Е du ди + F(du 8v + dv Su) + G dv dv
2Fdu dv+Gdv2-
2F Su Sv + Gdv*
. C46)
Так выражается косинус угла между двумя кривыми на поверх-
поверхности через дифференциалы координат кии, отвечающие смеще-
смещениям вдоль этих кривых из точки их пересечения. Заметим, что
C46) — вполне точная формула, так как правая часть зависит
фактически лишь от отношений дифференциалов du : dv и 8и : оо,
а эти отношения имеют точные значения, зависящие лишь от на-
направлений касательных к кривым в точке М. Числитель правой
части называется по отношению к du, dun ou, о и билинейной фор-
формой, полярной по отношению к квадратичной форме C43).
В частности, если мы ищем угол ср между координатными лини-
линиями в какой-нибудь точке М (и, и), то можно считать
du фО, dv = 0 (смещение по линии и),
ои = 0, ои Ф 0 (смещение по линии у).
Формула C46) примет вид
Знак ± здесь указывает, что в качестве угла ср можно взять любой
из смежных углов, образуемых координатными линиями. Если,
в частности, коэффициент F равен нулю, то это равносильно обра-
обращению в нуль cos ф и означает, что угол © — прямой.
Наконец, первая квадратичная форма позволяет вычислять на
поверхности также и площади. Прежде всего дадим определение
понятия площади на поверхности.
Возьмем на поверхности какую-нибудь область D. Для опре-
определенности будем считать, что она ограничена кусочно гладкой
кривой. Область D можно рассматривать одновременно как область
изменения параметров и, v, именно как область, которая образо-
образована парами значений и, v, отвечающими точкам области D. Ра-
Разобьем область D, проведя на поверхности некоторое конечное число
координатных линий одного и другого семейств. Область D распа-
распадется на так называемые криволинейные параллелограммы, каж-
каждый из которых ограничен с двух сторон отрезками линий и и
с двух сторон — отрезками линий v. Один из таких параллелограм-
параллелограммов в увеличенном масштабе дан на черт. 90 внизу. На куски этих
параллелограммов, вырезаемые областью D около ее границы, мы
не обращаем внимания, так как при последующем переходе к пре-
пределу в процессе бесконечного измельчения разбиения их роль
сведется к нулю.
230
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл! V
Рассмотрим один из параллелограммов. Пусть М (и, v) будет
его вершина с наименьшими значениями и, а и пусть другие вер-
вершины его будут Мх (и + Аи, v), М2 (и, v + Av), М' (и + Аи, v -+ Av);
ММХ и МгМ' суть.отрезки линий и, а ММ2 и МХМ' — отрезки
ЛИНИЙ V.
При переходе из Ж в Мг по линии и v остается постоянным,
а и получает приращение Аи, так что радиус-вектор г (и, и) полу-
получит приращение
г (и + Дм, и) — г (и, и) = ММг.
Заменим это приращение соответствующим дифференциалом ра-
радиус-вектора г, рассматривая г как
функцию от и при закрепленном зна-
значении v.
Этот дифференциал будет равен, оче-
очевидно, гц Дм; смещением на этот вектор
мы заменяем криволинейный переход
MML, (черт. 90). Совершенно анало-
аналогично заменяем криволинейное смеще-
смещение ММ2 прямолинейным смещением
,д/' на соответствующий частный дифферен-
дифференциал радиус-вектора:
r> отличие от обычного здесь Дм и
Av — не бесконечо малые, но в дальней-
Черт. 90. шем при бесконечном измельчении раз-
разбиения Дц и Av стремятся к нулю, так
что ошибка, допущенная: при замене приращения радиус-век-
радиус-вектора его дифференциалом, превратится в каждом из парал-
параллелограммов в бесконечно малую высшего порядка.
Заменим, наконец, криволинейный параллелограмм прямоли-
прямолинейным параллелограммом, построенным на векторах ти Аи,
г„ Av и лежащим, следовательно, в касательной плоскости
в точке М (и, v). Этот параллелограмм приближенно заменяет
криволинейный и тем точнее, чем меньше размеры последнего.
Площадь прямолинейного параллелограмма, построенного на
данных векторах, равна модулю векторного произведения этих
векторов, так что в нашем случае можно записать ее в виде
Да = | [г„ Ан, г„ Ди] | = | [г„, г„] | Ди Av.
Весьма существенно, что эта площадь может быть выражена при
помощи коэффициентов первой квадратичной формы. Действитель-
Действительно, для любых двух векторов—по самому определению векторного
§ 471
ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ. ФОРМА
231
и скалярного произведений—имеют место равенства
|[а, b]| = |a| |bjsin(a?b), ab= |a |j b| cos <aj
отсюда ясно, что
[а, Ъ] Г + (аЪ)« = 1 а |" S Ъ |
А так как квадрат модуля вектора равен скалярному квадрату
самого вектора, то окончательно
|[a,b]|a +(abJ = a2b2.
Применим эту формулу к векторам г„, ти:
| [г„, г„] |2 + (г„гиJ = г^Г5
л воспользуемся обозначениями C42). Получим
?\ C47)
C48)
|[г„, tv]\* = EG-F\ |[гв, г„]|=
Площадь Аа примет теперь вид
=У~EG — F2 Дм Ао,
где значения коэффициентов Е, F, G взяты, очевидно, в точке
М (н, (;). Таким образом, надстраивая над каждым криволиней-
криволинейным параллелограммом нашего разбиения соответствующий ему
прямолинейный параллелограмм, мы получаем площадь послед-
последнего Да в виде произведения корня квадратного из дискриминанта
аервой квадратичной формы на приращения координат Дм, Av,
отвечающие сторонам криволинейного параллелограмма.
Дискриминант первой квадратичной формы EG—Т^есть функ-
функция м, и; в формуле C48) он взят в точке М, где прямолинейный
лараллелограмм касается криволинейного.
Составим теперь сумму всех площадей
- F* Аи Av, C49)
где суммирование распространено по всем параллелограммам дан-
данного разбиения, попавшим внутрь области D.
Будем теперь бесконечно измельчать разбиение, т. е. беско-
бесконечно увеличивать число начерченных координатных линий из
того и другого семейства с таким расчетом, чтобы наибольшее
значение Аи в данном разбиении стремилось к нулю, равно как
и наибольшее значение Av.
Предел, к которому стремится при этом сумма площадей
C49), называется площадью области D на поверхности.
Для того чтобы это определение имело смысл, нужно пока-
показать, что этот предел существует и зависит только от выбора
области D на поверхности (и не зависит, следовательно, от способа
232
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ' ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
измельчения разбиения и от выбора криволинейных координат на
поверхности).
Чтобы обнаружить это, нужно обратиться к теории кратных
интегралов. Так как у EG— F* есть непрерывная функция от и, с,
то указанный предел действительно существует, не зависит от спо-
способа измельчения разбиения и равен двойному интегралу от
у EG-—F2 по D, как по области изменения переменных и, v. Обо-
Обозначим этот предел через а:
а = Iim2 VEG — F% Аи Ad =
и
Т* du do. C50)
Остается показать, что полученное выражение не зависит от выбора
криволинейных координат на поверхности. Допустим, что мы перешли
к новым криволинейным координатам U, V при помощи преобразования
(:Ш). Рассматривая г как функцию новых параметров U, V
г = гG7, V),
я U, V — как функции от и, v, мы можем продифференцировать v \ю и.
и по v как сложную функцию:
dU
dv
dV
Таким образом, при другом выборе криволинейных координат и, г
на поверхности в каждой данной точке поверхности частные производ-
производные радиус-вектора по и и v, г„ и г„ меняют свои значения, хотя сам
радиус-вектор г остается, конечно, без изменения. Поэтому коэффици-
коэффициенты Е, F, G, вычисленные согласно C42), в тех же точках будут уже
другими.
Составим векторное произведение
[ги,
dU dV r . , dV dU
dV dVdU
У EG - рт =
d(U,V)
Беря правую и левую части равенства но модулю и вспоминая равен-
равенство C47), ползучим
\д{У,У)
д (и, v)
C51)
где Е, F, G означают коэффициенты первой квадратичной формы в новых
криволинейных координатах U, V. Формула C51) интересна тем, что она
выражает закон преобразования дискриминанта первой квадратичной
формы при переходе от новых координат к старым. Мы видим, что
корень квадратный из дискриминанта умножается на модуль якобиана
от новых координат по старым.
Подставляя полученное выражение C51) в интеграл C50), получим
VEG-F*dudv=
п
д (и, v)
du dp.
§ 4/j.
ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
233
Пользуясь формулой преобразования переменных под знаком кратного
интеграла х), мы можем переписать правую часть в новом виде, переходя
к переменным U, V:
C5:!)
{ V~~EG-F*dudv= \ \'yrEG—
D Г,
Интегрирование в правой части производится по области изменения
цеременных U, V, которую мы обозначаем V и которая соответствует
прежнему куску поверхности, тому же, что и область D в переменных а, у.
Формула C52) показывает, что результат вычисления ллощади данного
куска поверхности будет один и тот яке в любой системе криволинейных,
координат на поверхности. Наше определение площади является, следо-
следовательно, законным, и мы можем вычислять площадь области на поверх-
поверхности по формуле (Н50).
Подведем итоги. Пусть в некоторой системе криволинейных
координат и, о на поверхности нам задана первая квадратичная
форма
ds"- = Edu2^- 2Fdu do + Gdo\
другими словами, пусть Е\ F, G заданы как функции и, и. Тогда,
хотя бы мы ничего больше о поверхности не знали (не знали бы ее
формы в пространстве, не имели бы ее уравнения и т. д.), мы можем
вычислять длины кривых на поверхности, углы между ними и
площади областей на поверхности—по формулам C44), C46) а
C50). В главе VII будет подробно развита эта точка зрения на
поверхность. Те геометрические свойства поверхности, которые
можно установить, исходя из задания только первой квадратич-
квадратичной формы, образуют так называемую внутреннюю геометрию
поверхности.
В заключение одно замечание из области алгебры. Первая ква-
квадратичная форма C43) но самому своему определению выражает
ds", или, что то же, dr* и, следовательно, есть форма положи-
положительная при всех значениях du, dv, кроме, разумеется,
du~=dv=0. Отсюда вытекает, как можно показать чисто алгебра-
алгебраическим путем, что ее дискриминант также положителен:
F2>0. C53)
Мы уже убедились в этом из геометрических соображений —
формула C47) показывает, что дискриминант равен скалярному
квадрату вектора [г„, г„1.
Далее, так как C46) выражает косинус, то дробь в правой
части по модулю<; 1, и следовательно, числитель по модулю никог-
никогда не превосходит знаменателя. Это неравенство, имеющее место
при любых du, dv и 8м, 5и, также можно алгебраически вывести
из положительности квадратичной формы.
Фихтенгольц Г. М., т. II.
J234
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
Заметим еще, что если дифференциал дуги ds вычисляется вдоль
линии и, то dv = 0, и формула C43) принимает вид
ds2 = Edu\
Отсюда видно, что
Е>0 и ds = ]/rE du. C54)
Вычисляя аналогично дифференциал дуги ds вдоль линии v, убе-
убеждаемся, что
G>0 и ds = yGdv. C54')
Пример.
Поверхность вращения. Рассмотрим поверхность, образованную вра-
вращением около оси Z какой-нибудь кривой С, расположенной в плоско-
плоскости XZ. Пусть параметрическое представление кривой С будет
х = ф (и) > 0, z = f(u)
(условие i>(u) > 0 устраняет пересечение кривой с осью вращения). Чтобы
характеризовать|аоложение какой-нибудь точки М на поверхности, мы
будем указывать значение параметра и, т. е. положение точки на исход-
исходной кривой С, и угол v, на который кривая С повернулась около оси Z
{сделать чертеж). Очевидно, меняя и, мы пробегаем кривую С, а меняя
с, мы заставляем С описывать нашу поверхность вращения.
Координаты х, у, z точки М выразятся через и, v:
х = ф (и) cos v, у = ф (и) sin v, z = f (и).
Радиус-вектор примет вид
г (и, v) = ф (и) е (v) + f (и) к, где е (v) = i cos г>+ j sin w.
Легко проверить, что при указанном выборе криволинейных коорди-
координат в, л на поверхности вращения координатные линии и представляют
собой меридианы, а линии v — параллели.
Составим первую квадратичную форму. Вычисляем:
Отсюда
ги = V {и) е О) + ?' («) 'ч, г„ = ф (u) e f v + -?
(ф'2
Мы замечаем, что коэффициенты Е, F, G зависят лишь от одной
координаты и; при этом F = 0, что и следовало ожидать, так как мери-
меридианы и параллели (т. е. наши координатные линии) ортогональны.
Найдем первую квадратичную форму ha сфере радиуса а, рассматри-
рассматривая ее как поверхность вращения. В качестве кривой С возьмем полуок-
полуокружность с центром в начале координат:
i=a cos к, z = a sin и;
—(сделать чертеж).
Получаем согласно предыдущей формуле
ds2 = a2du2+a2 cos2 и dv2; Е = а*, F = 0, G = a2 cos2u.
Показать, что и и v играют на сфере роль широты и долготы. Полу-
Получить значения Е и G другим путем, а именно, вычислив из элементарных
соображений ds вдоль меридианов и вдоль параллелей и подставив затем
найденные выражения в C54) и C54').
¦% 481
ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
235
§ 48. Вторая основная квадратичная форма
на поверхности.
Продолжаем изучение поверхности вблизи какой-нибудь ее
точки М. Пусть ММ' (черт. 91)—одна из кривых на поверхности,
проходящих через М. Предположим для простоты, что вдоль
этой кривой за параметр принята длина дуги s, так что текущие
координаты и, и выражаются как
•функции s:
m = m(s), v=v(s) /s' М
, следовательно,
C55)
Пусть длина дуги ММ' равна As,
т.е. As есть приращение параметра
s при смещении по кривой из М в
М' (считая, что s растет в этом
направлении). Соответствующее
приращение Дг радиус-вектора г равно, очевидно^ ММ', так что,
разлагая это приращение в ряд Тейлора, можно записать
Черт. 91.
MM' = Дг = г As + 4" 'T'(UST +
C56)
где г, г, ... взяты в точке М. Пусть теперь As стремится к нулю,
т. е. смещение ММ' берется бесконечно малым. Если вести иссле-
исследование с точностью 1-го порядка, то в правой части достаточно
принять во внимание лишь первое слагаемое г As, совпадающее
с дифференциалом dr. В таком случае смещение ММ' можно счи-
считать направленным по касательной к кривой в точке М последо-
последовательно, лежащим в плоскости, касательной к поверхности в М.
В сущности мы именно так и поступали в предыдущем параграфе,
так как у нас играли роль лишь дифференциалы радиус-вектора
при смещении из данной точки по поверхности.
В этом параграфе мы переходим к более глубокому изучению
поверхности в бесконечно малом, учитывая при смещении по кри-
кривой. ММ' бесконечно малые не только 1-го, но и 2-го порядка. Это
скажется в том, что в рассмотрение войдут кривизна и соприкаса-
соприкасающаяся плоскость кривой смещения ММ', которое нельзя уже
считать расположенным в касательной плоскости. Мы начнем имен-
именно с оценки уклонения от касательной плоскости при смещении из
точки касания М в бесконечно близкую точку М' по какой-нибудь
кривой на поверхности (черт. 91).
236
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Пусть Р будет основание перпендикуляра, опущенного из Мг
на касательную плоскость. Построим в точке М единичный век-
вектор т, направленный по нормали к поверхности (в произвольно
выбранную сторону). Очевидно, что тогда вектор РМ' паралле-
параллелен т, так что можно записать
РМ' = 1т,
где I — численный коэффициент, положительный, если уклонение
РМ' от касательной плоскости направлено в сторону т, и отри-
дательный—если оно направлено в обратную сторону. Кроме того,
так как m — вектор единичный, то I по модулю равен как раз укло-
уклонению РМ'. Мы будем коротко называть I уклонением и постара-
постараемся его вычислить.
Так как, очевидно,
ММ' = МР + РМ' = МР + 1т,
то равенство C56) можно переписать в виде
МР + lm = г As + у г (AsJ + . ..
Теперь нетрудно вычислить I, умножая скалярно обе части ра-
равенства на т. Так как т перпендикулярен к касательной плоскости:
с лежащими в ней векторами МР и г As, то первые слагаемые
в левой и в правой частях обратятся в нуль. Кроме того, вектор
m—единичный, так что тг = 1. В итоге получим
=4 rm(As)a+...
C56')
Мы вычислили уклонение I от касательной плоскости при сме-
смещении из точки касания М; оно будет бесконечно малым 2-го
порядка. Главная часть его выписана, точками же обозначены
бесконечно малые более высокого порядка. Главной частью укло-
уклонения I мы сейчас и займемся.
Скалярное произведение гш можно представить в двух видах.
Во-первых, дифференцируя формулу C55) по s, получим
Дифференцируем по s еще раз, учитывая, что
г„ = гн(гф), u(s)), tv = t,,(u(s), v(s)).
Получим
г = г„„и! + г„„мю + г„ и + г„цvu + г„„ о2 + г„ v. C57)
Через тии, i'uv = Tvu, vvu обозначены вторые частные производные.
§ 48]
ВТОРАЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
237
Умножая C57) скалярно на m и учитывая, что гц, г„ лежат в каса-
касательной плоскости и. следовательно, перпендикулярны к т,получим
гт = гицпш +
и о
Введем обозначения
C58)
C59).
Значения L, М, N зависят от выбора точки (и, и) на поверхно-
поверхности, касательная плоскость в которой сейчас рассматривается.
Так как направление ш может быть изменено на обратное, то
L М N являются не вполне определенными в том смысле, что
знаки у них можно изменить одновременно на обратные. Обычно
мы будем предполагать, что вектор m выбран в каждой точке по-
поверхности по формуле
[г г]
m
YEG -
Действительно, вектор в числителе направлен по нормали к
поверхности, а так как в знаменателе стоит его модуль [см. C47)],
то получается единичный вектор по нормали. При данном выборе
криволинейных координат и, v вектор ш, а следовательно, и
/ М N будут являться вполне определенными функциями от и, v.
Вставляя выражение C60) для m в формулы C59), мы получим
выражения для L, М, N в виде
L (и,
EG — F3
C61)
В числителях здесь стоят смешанные произведения соответству-
соответствующих векторов.
Переписывая теперь C58) в сокращенных обозначениях
rm = Ьи- + ЧМ'и г, + Nn*
1
я умножая обе части на -^ (As)", получим
-| rm (.-AsJ =4r(L dv? +,2Mdu dv -H <Vdv*),
• ¦
так как и JXs = du, v-±s — do.
C62)
238 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
Теперь C56') можно переписать в виде
[гл. V
Таким образом, главная часть уклонения от касательной пло-
плоскости при смещении по поверхности из точки касания М в беско-
бесконечно близкую точку М' выражается половиной квадратичной
формы
Эта форма называется второй основной квадратичной формой
на поверхности. Как и первая, она является квадратичной формой
по отношению к дифференциалам координат, отвечающим смеще-
смещению из М в М', причем коэффициенты ее суть функции координаг
и, v точки М.
Коэффициенты второй квадратичной формы можно выразить.
и несколько иначе. Воспользуемся тем, что вектор т, направлен-
направленный по нормали к поверхности, ортогонален к касательным век-
векторам г„, го и образует с ними скалярные произведения, всегда
равные нулю:
C63>
Дифференцируем каждое из этих тождеств по каждому из аргу-
аргументов кии поочередно:
шиги -4- mruu = 0, murD + mr^ = 0,
moru + тгш; = 0, т„то + mrVD = 0.
Сравнивая с формулами C59), получаем
L =гцит= —muru,
М = rUp т == — т„ ги = — т„г„,
Далее, согласно C37),
й?г = гц du + xv do
и аналогично
dm = niu du + т„ dv.
Перемножая скалярно dx на dm, получим
dx dm = г„тц du2 + (гцт„ + г„тц )dudv + xvmv dv2.
Пользуясь формулами C63), можно переписать это равенство'
в виде
dx dm = — L du2 — 2 M du dv — N dv\
§ 49]
ФОРМУЛА ДЛЯ КРИВИЗНЫ КРИВОЙ НА ПОВЕРХНОСТИ
239
Отсюда получаем такую краткую запись второй основной ква-
квадратичной формы:
L du* + 2М du dv + N dv* = —dt dm. C63')
Дифференциалы du, dv, dr, dm берутся в этой формуле при
одном и том же (произвольном) бесконечно малом смещении из дан-
данной точки поверхности.
§ 49. Основная формула для кривизны кривой
на поверхности.
Воспользуемся теперь другим видом записи скалярного произ-
произведения г т. Для этого вспомним, что вдоль всякой кривой
r = t и, следовательно, по первой фор- ^
муле Френе
где k — кривизна, а и—единичный век-
вектор по главной нормали. Применяя зту
формулу к кривой смещения ММ' в
точке М, мы можем написать
или
г m = kam
rm = Л cos б,
C64)
Черт. 92.
где & — угол между единичными векторами m и п, т. е. угол ме-
между положительными направлениями главной нормали к кривой
ММ' и нормали к поверхности в точке М (черт. 92).
Сравнивая C64) с C62), получим
d
du dv
Мы пишем здесь
du
dv
.-г- , -г- вместо к, и.
ds ' ds '
Приводя правую часть к общему знаменателю ds* и заменяя
его первой квадратичной формой C43), получим
L dv? + 2 М du dv 4- Ndtfl
ftcos6=
Это и есть основная формула, геометрический смысл кото-
которой мы должны уяснить себе. Если точка М на поверхности
задана, то коэффициенты Е, F, G, L, М, N имеют вполне опре-
определенные значения, так что их можно считать постоянными.
В таком случае правая часть формулы зависит только от отноше-
отношения дифференциалов do : du, в чем легко убедиться, деля числитель
240
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
|гл. V
и знаменатель на dif или на dv*. Но отношение do : du харак-
характеризуется направлением касательной к кривой смещения ММ'
в точке М (см. § 46). Поэтому правая часть C65) зависит только
от направления .касательной МТ к кривой ММ' и имеет одно
п то же значение для всех кривых ММ' на поверхности, име-
имеющих в данной точке М общую касательную.
Пусть касательная МТ к кривой ММ' задана; тогда правая
часть C65) вполне определится. Мы рассмотрим лишь случай,
h'oada она отлачна от нуля ж когда, следовательно, и в левой
части к > 0, cos 6 ф 0, т. е. 6 ф ^ .
Соприкасающаяся плоскость к кривой ММ' в точке М ос-
остается еще при этом неопределенной; точнее, разные кривые
ММ' с общей касательной МТ в точке М могут обладать раз-
различными соприкасающимися плоскостями, образующими пучок
плоскостей, проходящих через МТ.
Если соприкасающаяся плоскость к ММ' в точке М также
указана, то в ней определится и главная нормаль как перпендику-
перпендикуляр к МТ в точке М. Следовательно, определится и угод в между
главной нормалью в положительном направлении п и нормалью
к поверхности т1). Но в формулу C65) входит еще кривизна к,
которая, как мы видим, теперь определится однозначно, после
деления на cos 6 обеих частей формулы.
Таким образом, задание касательной МТ и соприкасающейся
плоскости кривой ММ' в точке М вполне определяет ее кривизну
к. Отсюда все кривые на поверхности, имеющие в данной точке
общую касательную и общую соприкасающуюся плоскость
при Ь Ф ~- }, имеют в этой точке и общую кривизну.
Итак, роль формулы C65) заключается в том, что для всевоз~-
можных кривых, проведенных по поверхности через данную точку
J/", устанавливается определенная зависимость между направле-
направлена г м касательной, положением соприкасающейся плоскости и кри-
криви той в точке М.
§ 50. Теорема Менье.
Мы видели, что формула C65) устанавливает зависимость кри-
кривизны кривой на поверхности от положения касательной и сопри-
соприкасающейся плоскости к этой кривой в данной точке. Изучим
прежде всего зависимость кривизны от положения соприкасаю-
соприкасающейся плоскости при заданной касательной.
г) Так как к > 0, то из C65) определяется знак cos 6, а, следовательно,
из двух смежных углов, образуемых главной нормалью к кривой и нор-
нормалью к поверхности, мы выбираем один вполне определенный.
50]
ТЕОРЕМА МЕНЬЕ
244
Итак, в данной точке М на поверхности рассматриваются все-
всевозможные проходящие через нее по поверхности кривые с общей
касательной МТ, заданной, разумеется, в касательной плоскости
к поверхности.
Пусть Г—одна какая-нибудь из этих кривых, п— ее единич-
единичный вектор по главной нормали, С — центр кривизны (черт. 93).
Среди всевозможных кривых
с касательной МТ можно вы-
выбрать одну, наиболее непосред-
непосредственно связанную с самой по-
поверхностью.
Мы будем называть нормаль-
нормальным сечением поверхности в точ-
точке М кривую пересечения по-
поверхности с нормальной пло-
плоскостью в точке М, т. е. с
плоскостью, проведенной через
нормаль в точке М. Таких пло-
плоскостей в каждой точке М бес-
бесчисленное множество, соответ-
соответственно чему мы получаем и
бесчисленное множество нор-
нормальных сечений.
Но всегда можно построить нормальное сечение с заданной
касательной МТ. Действительно, проведем нормальную плоскость
TMN через МТ и нормаль к поверхности MN и возьмем ее пере-
пересечение с поверхностью. Получим нормальное сечение Го; его
касательная должна лежать, во-первых, в его плоскости TM'N
(Г„— плоская кривая) и, во-вторых, в касательной плоскости к
поверхности, как и для всякой кривой, проведенной на поверхно-
поверхности. Но ТМ есть как раз прямая, лежащая в обеих этих плоскостях
и совпадающая, таким образом, с касательной к Го.
Итак, нормальное сечение Го с заданной касательной
МТ всегда можно построить и, очевидно, единственным
образом.
В случае, когда кривизна к0 нормального сечения Го в точке М
равна пулю, направление его касательной МТ называется асимпто-
асимптотическим направлением в точке М.
Случай асимптотического направления МТ мы устраним: из
рассмотрения. Этим мы мало теряем в общности, так как в данной;
точке поверхности, как мы скоро увидим, имеется не более дву-х
асимптотических направлений (если не считать исключительного
случая, когда в данной точке
Черт. 93.
и любое касательное направление является асимптотическим).
16 П. К. Рашевский
242
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
Итак, мы будем считать, что в точке М кривизна к0 нормаль-
нормального сечения Го отлична от нуля
А„>0.
Это предположение нужно нам потому, что мы хотим рассмат-
рассматривать центр кривизны нормального сечения Го", в случае же ка — О
центр кривизны уходит в бесконечность.
Так как соприкасающаяся плоскость плоской кривой Го сов-
совпадает просто е ее плоскостью TMN, то главной нормалью к Г»
будет служить перпендикуляр к МТ в плоскости MTN, т. е_
нормаль MN к поверхности. Обозначим через Со центр кривизны
кривой Го, лежащий, таким образом, на нормали MN. Единич-
Единичный вектор m по нормали MN направим для удобства в сторо-
сторону Cv, т. е. в положительную сторону главной нормали Го, так что
m = n0, C66)
где п0 — единичный вектор по главной нормали кривой Го.
Применим теперь формулу C65), во-первых, к кривой Г,
во-вторых, к Г,, нормальному сечению е той же касательной МТ;
получим
Л COS 0 —
ka =
L d"a + 2М du
2Fdudv + G dtp-
s" 1
L duz + 2M dudv + N d& \
Edu* + 2Fdudv + Gdv* ')
C6:
Здесь через к0 обозначена кривизна рассматриваемого нормаль-
нормального сечения в точке М. Множитель cos 9 исчез во второй форму-
формуле потому, что для кривой Го угол в между m и п0 равен нулю.
и значит, косинус его равен единице.
Мы замечаем, что правые части формул C67) равны между
собой. Действительно, коэффициенты Е, F, G, L, М, N одинаковы,
потому что относятся к одной и той же точке М, а отношения
do-, du одинаковы в обоих случаях потому, что характеризуют
направление касательной МТ, общей для Г и Го.
Приравнивая левые части, получаем
к cos в = ка.
C68)
Отсюда видно, между прочим, что угол 6 — острый (черт. 93), так
как к0 > 0, к > 0, следовательно, cos б > 0. Формулу C68) можно
переписать в виде
R = R0 cos б, C69)
где Ли Л, суть радиусы' кривизны соответственно Г иГ„
R-- В --
§ 50]
ТЕОРЕМА МЕНЬЕ
243
Очевидно, что, так как нормали шип обе перпендикулярны/
к касательной МТ, то б, равный mn, измеряет двугранный угол
между плоскостями ТМС0 и ТМС.
Итак, радиус кривизны произвольной кривой Г на поверхности
равен в данной точке радиусу кривизны нормального сечения Го,
взятого в той же точке и с той же касательной, умноженному\на
косинус угла в между соприкасающейся плоскостью к Г и плоско-
плоскостью нормального сечения Го. В этом и заключается в сущности
теорема Менье. Но ей можно придать очень наглядную геометри-
геометрическую формулировку, к которой мы сейчас и переходим.
Построим треугольник МССп (черт. 93). Так как С и Со
суть соответственно центры кривизны, то
МС=Л,
Формулу C69) можно переписать, следовательно, в виде
¦ cose.
Из этого соотношения следует, что треугольник МССа прямоуголь-
прямоугольный с прямым углом МССа. Следовательно, С есть основание пер-
перпендикуляра, опущенного из Со на главную нормаль кривой Г.
Итак,
с„с х мс.
Кроме того, касательная МТ перпендикулярна к обеим нормалям
МС и МСа и, следовательно, перпендикулярна к любой прямой
в их плоскости, в частности, к прямой С0С. Отсюда вытекает,
что Со С перпендикулярна к плоскости прямых МС и МТ, т. е. к
соприкасающейся плоскости кривой Г.
Теорему Менье можно теперь формулировать так: центр
кривизны С для данной точки М кривой Г на поверхности можно
получить как основание перпендикуляра, опущенного на соприка-
соприкасающуюся плоскость кривой Г из центра кривизны нормального
сечения Го, взятого в той же точке М и имеющего общую каса-
касательную с Т.
Чтобы нагляднее представить себе положение вещей, возьмем
сечение черт. 93 плоскостью СМСа (черт. 94), перпендикулярной
к касательной МТ.
Если представить себе, что соприкасающаяся плоскость
ТМС вращается около неизменной касательной МТ, удаляясь
от соответствующей нормальной плоскости TMN, то век-
вектор п поворачивается в плоскости черт. 94, а так как угол
МСС0 остается прямым, то центр кривизны С описывает окруж-
окружность, построенную на МС0, как на диаметре. Когда угол б
стремится к -J- и, следовательно, соприкасающаяся плоскость
16*
244
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
ТМС стремится совпасть с касательной плоскостью к поверхно-
поверхности, радиус кривизны МС стремится к нулю, и кривизна беско-
бесконечно возрастает (напоминаем, что случай асимптотического на-
направления МТ исключен из рассмотре-
рассмотрела Поверхность ния\
Интересно отметить частный случай,
когда кривая Г есть сечение поверхно-
поверхности некоторой плоскостью, но уже не
обязательно нормальной. Тогда эта
плоскость, содержа в себе Г, служит
для Г и соприкасающейся плоскостью.
В этом случае черт. 93 нужно предста-
представлять себе так, что кривая Г лежит в
своей соприкасающейся плоскости ТМС
и получена ее пересечением с поверх-
поверхностью. Вращая плоскость ТМС око-
около неизменной касательной МТ и
г беря в качестве кривых Г сечения по-
поверхности этой плоскостью, мы наблюдаем изменение радиуса
кривизны R и положения центра кривизны С сечения F по тому
же в точности закону, что и в общем случае.
Примеры.
1. Если рассматривается поверхность сферы, то теорема Менье в при-
применении к плоским сечениям приобретает элементарный характер. Дей-
Действительно, касательная плоскость к сфере
всегда перпендикулярна к радиусу, прове-
проведенному в точку касания, и, следователь-
следовательно, этот радиус служит нормалью. Та-
Таким образом, все нормали к сфере проходят
через ее центр, а следовательно, и всякая
нормальная плоскость во всякой точке
сферы проходит через центр. Отсюда сле-
следует, что все нормальные сечения Го суть
окружности больших кругов сферы, и центр
кривизны Со любого нормального сечения Го
совпадает с центром сферы. Если взять,
с другой стороны, в качестве кривой Г лю-
любое плоское сечение сферы, то получается
окружность и, следовательно, центр кри-
кривизны С кривой Г есть центр этой окруж-
яоети (черт 95). Если теперь из центра Черт. У5.
кривизны Со, т. е. из центра сферы, опу-
опустить перпендикуляр на плоскость окружности Г, то мы попадаем,
в силу элементарной теоремы, в центр окружности Г, или, что то же, в ее
центр кривизны С.
2. Рассмотрим Нормальное сечение поверхности вращения (см. ниже
черт. 124) в точке М, имеющее касательную, общую с параллелью (т. е. пло-
плоскость сечения проходит через нормаль MQ перпендикулярно к плоскости
чертежа). По теореме Менъе центр кривизны нормального сечения1 должен
проектироваться в центр кривизны наклонного сечения с той же касатель-
'Нармаль
§ 51]
ЛИНЕЙНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ НА ПЛОСКОСТИ
245
ной, в частности в центр Р окружности (параллели). Отсюда, вытекает, что
центр кривизны нормального сечения должен лежать на оси вращения и,
следовательно, совпадать с точкой Q (точкой пересечения нормали и оси
вращения).
§ 51. Линейная вектор-функция на плоскости.
Целью §§ 51, 52 является подготовка некоторого необходи-
необходимого нам материала из области векторной алгебры (в широком
смысле этого слова). Все построения происходят на некоторой фик-
фиксированной плоскости.
Пусть на зтой плоскости каким-либо образом определен закон,
по которому каждому вектору и отвечает определенный вектор w:
w = ^l(u). C70)
Другими словами, вектор w есть однозначная вектор-функция
переменного вектора и.
В отличие от предыдущего аргументом вектор-функции яв-
является здесь не скалярное, а векторное переменное.
Мы ограничимся рассмотрением только линейных вектор-функ-
вектор-функций А (и). Это значит, что А (и) должна обладать следующими
двумя свойствами:
1°. Для любых двух векторов и и v должно соблюдаться
равенство
т. е. функция от суммы двух векторов равна сумме функций от
каждого слагаемого по отдельности.
2°. Для каждого вектора и и.каждого числа X должно соблю-
соблюдаться равенство
А (Щ = ЪА (и),
т. е. числовой множитель можно выносить за знак функции.
Линейная вектор-функция может быть задана следующим
образом. Пусть аг, а,— два каких-нибудь неколлинеарных век-
вектора и bx, b2 — два каких угодно вектора.
Лемма. Существует одна и только одна линейная вектор-
функция А (и), значения которой равны blt b2 при значениях
аргумента а,г, а2 (где ах ~jf- а2):
Действительно, любой вектор и может быть разложен по а1; а2
с некоторыми численными коэффициентами
и=ага1+а2а2. C72)
246
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Тогда, предполагая, что искомая функция А (и) существует,
мы можем ее вычислить, используя свойства 1°, 2°:
А (и) = А (ахах + »2а2) = А (агаг) + А (оца2) =
= «14(a1) + M(ai) = «ib1+a,b1. C73)
Итак, функция А (и) разлагается по Ьи Ь2 с теми же коэф-
коэффициентами, с какими аргумент и разлагается по а1( а2. Это
показывает, что искомая функция А (и) (если она существует)
может быть построена только одним именно указанным сейчас спо-
способом. Нетрудно, далее, проверить, что функция А (и), таким
образом построенная, обладает свойствами 1°, 2°, т. е. действи-
действительно будет искомой линейной век тор-функцией.
В самом деле, пусть и и v — произвольные векторы; запишем
их разложения
u=ala1+a2a2, v =
В таком случае
а значит, согласно правилу C73),
C74)
= («ibi + a,b2) + Oxb, + p2b2) = A (u) + A (v).
Свойство 1° проверено. Свойство 2° проверяется еще проще:
при умножении вектора и на число X коэффициенты разложения
C72) а1( а2 умножаются, очевидно, тоже на X; следовательно, на X
умножается и вектор-функция А (и), как видно из ее разложе-
разложения C73). Этим завершается доказательство леммы.
Нас будут интересовать не любые, а симметрические линейные
вектор-функции. Мы будем называть линейную вектор-функцию
А (и) симметрической линейной вектор-функцией в том случае,
когда для любых двух векторов и и у имеет место равенство
v4(u) = tlA(v), C75)
т. е. скалярное произведение одного вектора на функцию второго
всегда равно скалярному произведению второго вектора на функ-
функции первого.
Если условие C75) имеет место хотя для одной пары неколлине-
арных векторов аг, а,, то оно справедливо и для любой пары векто-
векторов u, v.
В самом деле, пусть имеет место равенство
C76)
Требуется проверить справедливость равенства C75).
§ 52] СОБСТВЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 247
Пользуясь разложениями C74), вычислим левую часть C75):
тгА (и) = (Рл + р2а2) А (а^ + asaa) =
= (РА + Ра) [»ХА (ах) + аа 4(а,I =
(а2) + %лх&2А (ах) + р2а2а2^1 (а2). C77)
Правая часть C75) получается из левой перестановкой векторов
а и v между собой. Очевидно, это равносильно замене коэффици-
коэффициентов а на fi, и наоборот; в результате первый и четвертый члены
разложения C77) не меняются, а второй и третий меняются лишь
местами, как нетрудно заметить, используя равенство C76). Итак,
у А (и) и u-A(v) имеют по существу одно и то же разложение C77),
откуда и вытекает равенство C75).
§ 52. Собственные направления и собственные значения.
Вектор е ф 0 называется собственным вектором линейной век-
вектор-функции А (и), если значение А (е) коллинеарно самому е.
Это можно записать в виде
А (е) = А-е,
C78)
аде численный коэффициент к называется собственным значением
. шнейной вектор-функци и А (и). -
Если е есть собственный вектор, то любой коллинеарный ему
вектор ае (где а — любое число) тоже будет собственным вектором
и притом с тем же самым собственным значением. Действительно,
А (ае) = лА (е)
= Хае,
Другими словами, если заменитье на ае, то условие C78) продол-
продолжает соблюдаться.
Таким образом, все векторы, идущие в том же направлении,
что и вектор е (т. е. векторы ае при а > 0), и все векторы, идущие
в обратном направлении (т. е. векторы ае при а < 0), также
будут собственными векторми с тем же собственным значением X.
Естественно поэтому вместо отдельного собственного вектора е
рассматривать пару взаимно обратных направлений, все векторы
которых будут собственными с общим собственным значением X.
Такую, пару взаимно обратных направлений мы будем называть
•собственным направлением линейной вектор-функции А (и).
Собственные направления для произвольной линейной вектор-
функции А (и) не всегда существуют. Так, например, если А (и)
означает поворот и на постоянный угол (отличный от 0 и тс), то
•собственных направлений, очевидно, нет, так как равенство C78)
никогда не выполняется,
Однако для симметрической линейной вектор-функции А (и)
«собственные направления всегда существуют, а именно, всегда
248
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
|ГЛ. V
можно найти два взаимно ортогональных собственных направле-
направления. Это мы сейчас и покажем.
Введем на рассматриваемой плоскости прямоугольные коорди-
координаты х, у. Разложим значения нашей функции А (и) для ортов
i и j по самим этим ортам:
^(J)=«*
C79)
Коэффициенты разложений могут быть различными в зависимости
от выбора функции А (и).
Умножая скалярно первое разложение на j, а второе — на i,
получим (учитывая, что i2 = js = l, ij = 0)
Но, в силу условия симметрии,
следовательно,
«12 = a21. C80)
Ищем теперь собственные векторы е нашей вектор-функции
А (и). Пусть е задан своим разложением по ортам
e = xi + yj. C81)
Тогда
А (в) = A (xi + yj) = xA (i) + ^ (j).
Пользуясь разложениями C79), получим
А (е) = (апж + aixy) i + (а13ж + а,2у) j. C82)
По определению собственного вектора
Л(е) = Хе, C83)
где собственное значение X, как и собственный вектор е, является,
неизвестным.
Итак, мы должны потребовать, чтобы разложение C82) отли-
отличалось от C81) лишь некоторым численным множителем X, т. е.
ах1х + аг1у = кх,
а12х -f- а«2у = ку.
Мы получили два уравнения с тремя неизвестными х, у, Х-
При этом относительно х, у уравнения однородные, так что факти-
фактически нам придется определять не х, у, а их отношение у : х (т.е.
не собственный вектор, а собственное направление); неизвестных
,§ 52J СОБСТВЕННЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 249'
по существу будет лишь два, X и у : х. Перепишем наши уравнения
в виде
(alx-k)x + azxy=0, 1
ах2х + (а2а — X) у = 0. J
Для того чтобы такая система была совместной относительно-
х, у (не считая тривиального решения х = у = 0, которое не дает
собственного вектора), необходимо и достаточно обратить в нуль-
определитель системы
,,— X а,
*21
. — X
т. е.
л2 —
= 0,
— a2lz) = 0.
C85)
Мы получили квадратное уравнение, которому необходимо
должны удовлетворять искомые собственные значения X. Число
их не может быть, следовательно, больше двух. Раскрывая опреде-
определитель, мы приняли во внимание, что alz = a.21, и это единственный,
но зато очень важный пункт наших выкладок, где используется
условие симметрии C80).
В силу него мы можем утверждать, что квадратное уравнение
C85) будет иметь обязательно вещественные корни. Действительно,
аХХ +
«±
«И + «22
C86)
Как мы видим, подкоренное выражение отрицательным быть-
не может.
Случай, когда корни Xt, X2 различны, мы будем называть-
основным, когда X1 = X2—исключительным.
Основной случай Х1^=Х2. Подставляя \=к1 в урав-
уравнения C84), мы обращаем определитель системы в нуль, так-
что из одного уравнения будет следовать другое и из единствен-
единственного оставшегося уравнения можно найти нетривиальное реше-
решение хг, ух [в тождества оба уравнения C84) не обратятся, так как
в этом случае при подстановке X = Х2 определитель системы
оказался бы отличным от нуля].
Решение хх, ух определится, конечно, с точностью до умноже-
умножения хг, ух одновременно на произвольный множитель а. Таким
образом, корню Хг будет отвечать вектор
ег == x,i + yj,
заданный с точностью до умножения на произвольное число а,
т. е. по существу определяется не вектор, а направление. Так.
:250
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
как при этом система C84) удовлетворяется [что равносильно C83)],
то мы имеем
Л(е1) = Х1е1. . C87)
Совершенно аналогично для корня Х2 найдем вектор е., такой,
что
.Д(е2) = Х2е2. C88)
Итак, в случае различных корней уравнения C85) Хг Ф Х2, каж-
каждый из них является собственным значением, отвечающим одному
(и только одному) собственному направлению.
Так как других собственных значений быть не может, то и соб-
собственных направлений будет
ровно два.
Остается показать, что
собственные направления
взаимно ортогональны. Для
этого мы умножим скалярно
обе части равенства C87) на
е2, а обе части равенства
C88) — на ех. Получим
iSi-A (е2) = к2&1^2-
Черт. 96. Левые части равны по
условию симметрии C75).
Следовательно, правые части тоже равны, и их разность дает
нуль:
(Х1 — Х2) 6^2 = 0.
Так как X, — Х2 Ф 0, то (черт. 96)
^О, e1±e2.
C89)
Ортогональность доказана.
Итак, в рассматриваемом случае переход от вектора аргу-
аргумента и к вектору А (и) заключается в том, что плоскость вместе
с начерченными на ней всевозможными векторами и растяги-
растягивается по двум взаимно перпендикулярным направлениям et и е2
в отношениях Хх и Х2. Конечно, Хх, Х3 могут иметь и отрицатель-
отрицательные значения; тогда растяжение будет происходить с «перепро-
кидыванием» в обратную сторону. Когда X, (или Х2) имеет значе-
значение, по модулю меньшее 1, то «растяжение» в отношении Хх
(или Х2) нужно понимать, конечно, как сжатие в соответствующем
отношении.
Исключительный случай Хх = X». В этом случае
подкоренное выражение в C86) должно обратиться в нуль, а так
§ 53] ОСНОВНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ И ГЛАВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ 251
как это есть сумма квадратов, то
а,1-а22=0, а12 = 0. C90)
Обозначим
a1i = «22=a- C91)
Согласно C86) получим теперь
X = а.
Уравнения C84) при Х = а обращаются, как видно из C90),
C91), в тождества, т. е. удовлеторяются при любых х, у. Это зна-
значит, что любой вектор будет являться собственным вектором с соб-
собственным значением Х = 0.
Мы можем, следовательно, записать
А(и) = аи
C92)
при любом векторе и. Вектор-функция А (и) получается простым
умножением аргумента и на постоянное число а. Плоскость с на-
черч иными на ней векторами и подвергается при этом преобра-
преобразованию подобия. Любое направление будет являться собствен-
собственным направлением.
Можно найти, конечно, и два взаимно ортогональных собствен-
собственных направления—таковыми будут любые два ортогональных
направления.
§ 53. Основная вектор-функция и главные направления.
Возвращаемся к изучению поверхности
г = г(м, и)
вблизи какой-нибудь ее точки М (при обычном предположении
ги -Щ Г„)- Нормальный к поверхности единичный вектор m также
является функцией криволинейных координат:
т = т(м, и).
При бесконечно малом смещении из данной точки М по поверх-
поверхности оба вектора получают приращения, главные части которых
выражаются дифференциалами:
dt = xu du + г„ dv, \
dm — т„ du -j- m,, dv j
C93)
[точный смысл du, dv — см. § 46 C37')].
Оба дифференциала dt, dm лежат в касательной плоскости
и точке М' (черт. 97), потому что о?г—касательный вектор к линии
смещения, a <fon—дифференциал единичного вектора m и, следо-
следовательно, ортогонален к вектору ш.
252
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл.-V
Так как из данной точки М можно смещаться по разным напра-
направлениям на поверхности, то dv и dm будут различными в зависи-
зависимости от направления и величины смещения. Однако при этих
изменениях векторов dv и dm. вектор dm все время выражается
через dr некоторой вполне определенной линейной вектор-функ-
вектор-функцией, заданной в касательной плоскости в точке М:
= A(dv). C94)
В самом деле, согласно § 51, в плоскости всегда можно построить
линейную вектор-функцию, которая наперед заданную парунекол-
линеарных векторов переводит в наперед заданную пару других
векторов. При этом такая .функция бу-
будет единственной. Пользуясь этим ре-
результатом, построим в касательной
плоскости линейную вектор-функцию
А (и) так, чтобы она переводила некол-
линеарные векторы ru, tv соответствен-
соответственно в векторы mu, т„:
А(хи) = ти, Л(гв) = ти. C95)
В таком случае функция А (и) всег-
всегда переводит dr в dm, так как, соглае-
но C93), о?щ раскладывается по mu, mK
Черт. 97. с теми же коэффициентами du, dvr
с какими dv разлагается по ги, г„.
Таким образом, для каждой точки М на поверхности в касатель-
касательной плоскости строится вполне определенная линейная вектор-
функция А (и), обладающая свойством
dm. = A (dx).
Эту вектор-функцию мы будем называть основной вектор-
функцией в данной точке М на поверхности.
Нетрудно заметить, что основная вектор-функция будет сим-
симметрической. Действительно, согласно § 51, для этого достаточно
соблюдение условия C76)
л1А(лш) = ллА(л1) C96)
хотя для одной пары неколлинеарных векторов аг, а2. В нашем
случае возьмем в качестве векторов alf a2 неколлинеарные век-
векторы г„, г„ А(х), 4B), 395
с тц, т„, и условие C96) примет вид
р 2 р
„, г„; тогда А(ях), ^4(а2), согласно C95), совпадут
C96)
Но это условие действительно соблюдается, как мы видели уже
раньше [вторая из формул C63) §48]. Итак, основная вектор-функ-
вектор-функция A (dx) — обязательно симметрическая.
? 54] ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВИЗНЫ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИЙ 253
В таком случае в касательной плоскости в точке М всегда можно
найти два взаимно ортогональных собственных направления век-
вектор-функции А (и) с соответствующими собственными значениями
К, ^ (§ 52).
Собственные направления основной вектор-функции А (и)
в каждой данной точке поверхности называются главными напра-
направлениями на поверхности в этой
точке.
Собственные направления
определяются условием колли-
коллинеарности А (и) и и:
А (и) || и.
Поэтому главные направле-
направления в данной точке поверхности
можно определить условием
dm || dv,
так как, согласно C94), A (dx)
совпадает с dm.
Как следует из результатов
§ 52, в основном случае (Х1 ф Х2)
в данной точке существует
ровно два (касательных к поверх-
поверхности и ортогональных между
Черт. 98.
собой) главных направления; в исключительном же случае (лг = ~к2)
любое касательное к поверхности направление является главным.
Главные направления обладают важными геометрическими
•свойствами, которые выяснятся в следующем параграфе.
Построим в касательной плоскости единичные векторы Ь1г t2,
идущие по взаимно ортогональным главным направлениям
(черт. 98). Так как tu t2 — собственные векторы основной вектор-
А () зписать
(черт. 9) u 2
функции А (и), то можно записать
C97)
§ 54. Исследование кривизны нормальных сечений.
Согласно теореме Менье, кривизна произвольной кривой на
поверхности в данной точке весьма просто и наглядно выражается
через кривизну нормального сечения с той же касательной в дан-
данной точке. Теперь нам остается изучить, как будет меняться кри-
кривизна нормального сечения в данной точке М в зависимости от
его направления (мы знаем, что по каждому касательному к поверх-
поверхности направлению в данной ее точке проходит одно и только
«дно нормальное сечение, § 50).
254
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Главная нормаль к нормальному сечению совпадает с нормалью
к поверхности (§ 50), так что единичный вектор главной нормали
п0 коллинеарен с единичным вектором т:
по=±т. C98)
Сейчас мы не можем оставить здесь только знак + (как мы это
делали в § 50), потому что мы будем рассматривать всевозможные
нормальные сечения в данной точке, и может оказаться, что век-
векторы п0 будут в различных случаях направлены в противополож-
противоположные стороны; а тогда нельзя выбрать вектор m совпадающим
со всеми этими векторами.
Вследствие C98) угол 6 = пш0 принимает значения 0 или т^
а следовательно,
cos8=±l. C99)
Условимся приписывать кривизне нормального сечения знак ¦— ,
если п0 = т, и знак — , если п0 = — т. Кривизну нормального
сечения, снабженную знаком, будем обозначать к.
Так как нормальное сечение, как и всякая плоская кривая,
уклоняется от своей касательной в положительную сторону глав-
главной нормали, в данном случае в сторону вектора п0, то знак кри-
кривизны к имеет следующий геометрический смысл.
Если к >• 0, т. е. no = m, то нормальное сечение уклоняется-
от своей касательной в сторону вектора т; если к < 0, т. е„
по= —т, то в сторону вектора — т.
Применим теперь к нормальному сечению основную формулл-
C65): " *
, й _ L du3 + 2М dudy + N dv2
Л COS Edu* + 2Fdudv + Gdv* •
Здесь к — кривизна нормального сечения в обычном смысле,
т. е. величина положительная, a cos 9, согласно C99), равен 1
в случае no = m и — 1 в случае по= —т. Следовательно, A cos 6
в первом случае равно к, а во втором случае равно — к, т. е.
в обоих случаях совпадает с к. Итак, окончательно
j Ldu*+2Mdudy+Ndy* (Ai\n\
Edu* + 2Fdudv+Gdv2 ' DШ;
Эта формула выражает кривизну нормального сечения в зави-
зависимости от точки на поверхности, где это сечение построено, и ог
направления его касательной (от точки зависят значения Е. F, G,
L, M, N, а от направления касательной зависит отношение do : du).
Мы исследуем формулу D00), считая, что точка на поверхности
остается неподвижной, а касательная нормального сечения вра-
§ 54] ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВИЗНЫ НОРМАЛЬНЫХ СЕЧЕНИИ 255
щается в касательной плоскости поверхности. Пусть t будет еди-
единичный касательный вектор нормального сечения в данной точке,
tj и t2 — единичные взаимно ортогональные векторы по главным
направлениям (см. черт. 98). Обозначим через <р угол поворота от tj
до t (положительным направлением вращения считаем направле-
направление от ti к t2). Тогда каждому значению <р отвечает определенный
касательный вектор t, а значит, и определенное нормальное
сечение, кривизна которого А будет, таким образом, пекоторой
функцией <р:
~к =%(?). D01)=
Мы должны установить вид этой функции и исследовать ее.
Запишем прежде всего в формуле D00) вторую квадратичную
форму в виде —dr dm [согласно C63')], а первую квадратичную
форму — в виде ds2. Получим
Г dr dm dr dm ,/nn\
fc • D02)*
ds*
ds ds
Как мы знаем (§ 53),
dm = A (dr),
где A (u) — основная линейная вектор-функция в данной точке.
Разделим обе части этого равенства на ds,, причем в правой части
деление можно произвести под знаком функции А (е?г)(в силу ее
линейности). Получим
D03),,
ds
ds
Для всякой кривой, в том числе и для нашего нормаль-
нормального сечения,
dr
ds
= t,
где t — единичный касательный вектор (черт. 98). Очевидно, про-
проекции t на tj и t3 равны cos<p и sin<p, так что можно написать
dt , , ,
разложение вектора-j-== t no t, и t2 в следующем виде:
D04)
dr
~ = tx cos <p + ta sin <p.
Подставляя этот результат в D03) и пользуясь линейностью
вектор-функции А (и), получим
-3-- == A (tx cos cp -J-1» sin «) = cos у • A (tx) + sin ев • A (t,).
Наконец, в силу формул C97), получим окончательно
— = \х cos cp • tj + X2 sin ср • t2; D05)»
:256
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Теперь остается подставить выражения D04) и D05) в формулу
D02). При скалярном перемножении этих выражений мы учиты-
учитываем, конечно, что t" = tJ = 1, М2 = 0. Формула D02) примет
вид
к= — Xj
D06)
Этим самым мы нашли вид функции к(<р), т. е. зависимость
кривизны нормального сечения от угла наклона его касательной
к первому главному направлению.
§ 55. Формула Эйлера. Главные кривизны.
Теперь мы должны выяснить геометрический смысл формулы
D06) и прежде всего коэффициентов — к1г — Х2. Оставим сначала,
в стороне исключительный случай и будем считать Хг Ф к2.
Положив ср = 0, мы приведем вектор t в совпадение с ti и полу-
получим нормальное сечение с касательной, идущей в первом главном
направлении, а при ф = ~ —нормальное сечение с касательной,
идущей во втором главном направлении. Обозначим кривизну к
первого нормального сечения через кг, а второго—через к2. Тогда
соответственно при ср = 0 и <р = тс формула D06) принимает вид
К=—К, к2= — Х2. D07)
В основном случае, который мы сейчас рассматриваем, оче-
очевидно,
Нормальные сечения в данной точке поверхности, касательные
к которым идут по главным направлениям, называются главными
сечениями, а их кривизны kL, k2 — главными кривизнами в данной
точке поверхности.
Теперь, в силу D07), формула D06) может быть записана
в окончательном виде
% = k± cos2 ев + к. sin2 ср.
D08)
Это и есть формула Эйлера, выражающая кривизну произволь-
произвольного нормального сечения через главные кривизны кх, /с2 и угол <р,
образуемый касательной этого нормального сечения с первым
главным направлением.
Заменяя cos2 ев через 1 — sin2 ср, формулу можно переписать
-в виде
% = кг + (ка — /q) sin2 ср. D081)
Для определенности будем считать &2 > к^.
3 55]
ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА. ГЛАВНЫЕ КРИВИЗНЫ
257
Так как sin2 ср достигает наибольшего значения 1 при ср = 4- ~
и наименьшего значения 0 при <р = 0 или тс, а коэффициент при
sin2 о равен &2 — к1 >• 0, то к достигает наибольшего и наимень-
наименьшего значения при тех же значениях <р.
Но при 9= ± у к = к2, а при <р = 0 или тс k = 'kt.
Итак, одна из главных кривизн представляет собой наименыиее,
а другая наибольшее возможное значение кривизны нормального
сечения в данной точке поверхности.
Чтобы проследить изменение к в зависимости от ср, достаточно
менять ф в пределах от —^~ до +у, так как значения к, как
видно из D08), будут периодически повторяться с периодом тс.
Геометрически это означает, что при добавлении тс к аргументу да
касательная нормального сечения поворачивается на 180° и со-
совмещается со своим прежним положением, так что нормальное сече-
сечение остается прежним, а значит, и к получает прежнее значение.
Далее, при замене ср на —ср значение Ъ, как видно из D08),
ае меняется.
Таким образом, нормальные сечения, касательные к которым
расположены симметрично относительно главных направлений,
имеют одинаковую кривизну.
В связи с этим достаточно рассмотреть изменение к при росте
угла ср от 0 до 4г ¦ Действительно, при этом — ср пробегает значе-
значения от 0 до
, определяя в каждый момент нормальное сечение
с той же кривизной к( — ср) = &(ср).
При росте угла <р от 0 до -?¦ sin2 ср монотонно растет отО до 1;
следовательно, как видно из D08'), к монотонно растет от кг до к*.
Таким образом, при повороте касательной нормального сече-
пия\от первого главного направления до второго кривизна нормаль-
нормального сечения монотонно растет т минимального значения к1 до
максимального &2 •
/Те определения, которые мы дали главным направлениям
и главным кривизнам, можно отчетливо выразить в виде краткой
формулы. Представим себе, что мы делаем бесконечно малое сме-
смещение по поверхности из данной точки М в каком-нибудь из двух
главных направлений (т. е. движемся по кривой, которая в началь-
начальной своей точке М касается главного направления).
При этом смещении (как и при любом бесконечно малом
смещении)
dA{d)
17 П. К. Рашевский
258
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Но так как касательный вектор dx идет в главном направле-
направлении, т. е. в собственном направлении вектор-функции А (и), то
Гл. напр.
п. напр.
Черт. 99.
или A (dr) = X2 dr,
причем, согласно D07), Х1==—к1г Х2= —к.2. В результате мы
получаем так называемые формулы Родрига
о?т=—kxdv или dm =—k.Ldr. D09)
Итак, в случае бесконечно малого смещения в главном направле-
направлении {первом или втором) dm и dr коллинеарны и имеют место
формулы D09) (первая или вторая)
(черт. 99).
Обратно, если для какого-нибудь
бесконечно малого смещения из дан-
данной точки М по поверхности dm
и dr коллинеарны, так что можно
записать формулу
dm= -kdv, D09')
где — к — некоторый численный ко-
коэффициент, то направление смеще-
смещения— главное, а к равно соответ-
соответствующей главной кривизне кг
или к2.
В самом деле, так как dm = A(dr), то из формулы D09') сле-
следует, что направление dv — собственное для вектор-функции
А(и), т. е. главное для поверхности в данной точке. Коэффи-
Коэффициент—Лесть собственное значение и равен, следовательно, —к,
или —к,.
Мы рассматривали до сих пор основной случай Кг ф л2.
Перейдем теперь к исключительному случаю: >.1 = ).2 = а.
Формула D06) дает теперь:
Л——a cos2 <р — asinatp= —а.
Другими словами, кривизна нормального сечения в даннойточке
остается одинаковой по всем направлениям. Такая точка называется
точкой закругления (омбилической точкой).
Как уже отмечалось, в такой точке любое касательное к по-
поверхности направление является главным. Единственное зна-
значение кривизны к = — а естественно считать и единственным
значением главной кривизны
к1 — к2= — а.
Формула Родрига имеет место при любом бесконечно малом сме-
смещении из точки закругления. Действительно, основная вектор-
§56]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ КРИВИЗН
259
функция А (и) при любом и выражается формулой C92)
А (и) = аи.
Следовательно, при любом смещении
dm = A (dr) = a dr,
где а равно взятой с обратным знаком главной кривизне.
Пример точки закругления дает любая точка сферы и любая
точка плоскости (в последнем случае Х1 = Х2.= а = 0).
§ 56. Вычисление главных кривизн и главных направлений.
Мы ставим в этом параграфе следующую задачу. Пусть на по-
поверхности в данной точке уже вычислены коэффициенты пер-
первой и второй основных квадратичных форм. Требуется найти глав-
главные направления и главные кривизны. При этом главные напра-
направления мы будем задавать отношением дифференциалов db : du,
отвечающих бесконечно малым смещениям в этих направлениях.
Мы ищем главные направления и главные кривизны из (необ-
(необходимого и достаточного) условия D09'):
dm= —-к dr.
Здесь dr идет по любому из главных направлений, а к обо-
обозначает соответствующую главную кривизну. Напишем вместо
dr, dm их развернутые выражения
• mvdv = — к (rudu + Tvdv).
Это одно векторное равенство можно заменить двумя скаляр-
скалярными, а именно, умножая скалярно обе части равенства на гы
и г„ по очереди:
murudu + mvTudv = — к (rurudu + rvrudv),
murvdu + mvrvdv = — к (rurvdu + xvvvdv).
Двух скалярных равенств достаточно потому, что векторы dm
и —kdt заведомо лежат в касательной плоскости, и для их
равенства не только необходимо, но и достаточно, чтобы они
давали одинаковые скалярные произведения с двумя неколлине-
арными векторами в этой плоскости. В качестве таких векторов
мы взяли г„, г„.
Полученные уравнения можэо переписать, умножив их|по-
их|почленно на — 1 и заменив скалярные произведения коэффициентами
первой и второй квадратичных форм [согласно C42) и C63)].
Получим
Ldu + Mdv = k{Edu+Fdo), \
17*
260
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Из этих двух уравнений мы должны определить два неизве-
неизвестных: главную кривизну к и отношение dv : du, отвечающее глав-
главному направлению. Исключая сначала к, получим
Ldu + Mdo Edu + F dv
Mdu + Ndv Fdu + Gdc
= 0.
D11)
Действительно, обращение в нуль этого детерминанта равно-
равносильно пропорциональности его столбцов, что в явном виде и выра-
выражается формулами D10) (при этом всегда можно считать, что пер-
первый столбец пропорционален второму, так как второй столбец не
может иметь оба элемента, равные нулю: иначе мы получили бы
EG— Fа = 0, так как du, dv одновременно в нуль не обращаются).
Раскрывая детерминант, получим
(LF - ME) du% + (LG - NE) du dp + (MG - NF) do" = 0. D11')
Этому уравнению можно придать более компактную запись:
- dv1 du do — du2!
E
L
F
M
G
N
= 0.
D11")
Таким образом, для того чтобы касательное к поверхности
направление было главным, необходимо и достаточно, чтобы отве-
отвечающие ему du, dv обращали в нуль квадратичную форму D11').
Выделим сначала исключительный случай, когда любое каса-
касательное направление является главным и, следовательно, D11')
удовлеторяется тождественно при любых du, dv. Другими
словами, коэффициенты квадратичной формы D11') должны все
равняться нулю. Но это происходит тогда и только тогда, когда
в детерминанте D11") последние две строки пропорциональны:
L М _N ,,л 9ч
т? — /г — г* * \ /
Таким образом, исключительный случай—случай точки закругле-
закругления—характеризуется пропорциональностью коэффициентов вто-
второй и первой основных квадратичных форм. Как очевидно следует
жз формулы D00), общее значение отношений D12) будет равно
достоянной по всем направлениям кривизне нормального сечения.
Теперь точки закругления оставим в стороне. Тогда квадратич-
квадратичная форма D11') имеет хотя один отличный от нуля коэффициент.
Пусть это будет коэффициент при dv*:
MG-NF ФО.
В такой случае для искомого главного направления du Ф 0.
В самом деле, если предположить du = 0, то D11') дает
Ъ2 = 0, т. е. do —0,
§ 56]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ КРИВИЗН
261
но одновременное обращение в нуль du и dv невозможно. Итак,
мы имеем право поделить D11') на du* почленно и вычислить
dv
з- из полученного при этом квадратного уравнения
{LF-ME) + {LG-n
— NF) (рУ = 0.
При этом мы знаем заранее, что это квадратное уравнение
имеет два различных вещественных корня, так как по ранее дока-
доказанному всегда существует два различных главных направле-
направления г).
Если в уравнении D11') отличен от нуля коэффициент при du",
то мы можем поступать совершенно аналогично, поменяв лишь ро-
ролями параметры и, у. Наконец, если оба квадрата имеют нулевые
коэффициенты, то должен быть отличен от нуля коэффициент при
dudn, и уравнение D11') принимает вид
dadv = 0.
Это значит, что одно главное направление характеризуется
уравнением dv = 0, а другое — уравнением du = 0, т. е.
главные направления совпадают с направлениями координатных
линий.
Так или иначе, мы во всех возможных случаях получаем два
значения для dv : du (или du : dv), отвечающие двум главным напра-
направлениям в данной точке поверхности.
Переходим к вычислению главных кривизн. Перенося в урав-
уравнениях D10) все члены влево, можно переписать эти уравнения
в виде
(L — kE) du+{M — kF) do = 0,
{М — kF) du+(N — kG) dn = 0.
Так как для главного направления du, dv и главной кри-
кривизны к эта система двух однородных уравнений относительно
du, dv совместна, то определитель этой системы должен быть равен
нулю:
L — kE M-kF
M-kF N — kG
= 0.
Мы получаем квадратное уравнение относительно к, которому
х) С чисто алгебраической точки зрения причина вещественности
и неравенства корней лежит в том, что выбор коэффициентов Е, F, G,
L, М, N не вполне произволен: должно соблюдаться неравенство
EG — F2>0 [см. C53)].
262
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
должны удовлетворять главные кривизны кх и &2 и из которого
их можно определить. Напишем это уравнение в развернутом-
виде:
(EG — Fi)k2 + {2MF-?!N—LG)k + {LN-M2) = 0. D13)
Нетрудно было бы написать явные выражения для каждой из
главных кривизн кх, А2,- как для корней этого квадратного урав-
уравнения. Но эти выражения были бы довольно громоздки, и вычи-
вычисление их не дало бы какого-либо преимущества. Зато из урав-
уравнения D13) можно сравнительно просто получить сумму и произ-
произведение главных кривизн. Действительно, после того как левая
часть уравнения будет поделена на коэффициент при Л2, т. е.
на EG — F*, произведение корней будет равно свободному члену,
а сумма корней—коэффициенту при к с обратным знаком. Итак,
К + к2 =
LN-M*
EG — F* '
EN + LG- IMF
EG-F*
Произведение главных кривизн в данной точке поверхности
называется полной или гауссовой кривизной поверхности в данной
точке. Эта величина играет огромную роль в теории поверхностей
по причинам, которые выяснятся в главе VII. Мы будем обозна-
обозначать полную кривизну через К.
Полусумма главных кривизн в данной точке поверхности назы-
называется средней кривизной поверхности. Ее мы будем обозначать
через И1). Окончательно предшествующие формулы перепишутся
в виде
D13")
EN + LG- 2MF
EG-F*
Мы видим, что полная кривизна К равна отношению дискри-
дискриминантов второй и первой квадратичных форм.
§ 57. Три типа точек на поверхности.
Для того чтобы окончательно составить себе представление
о поведении поверхности вблизи данной точки М, нам придется
отдельно рассмотреть три возможных здесь случая.
г) Заметим, что для
постоянное значение).
точки закругления К'= к2, Н = к(к сохраняет
571
ТРИ ТИПА ТОЧЕК НА ПОВЕРХНОСТИ
263
I. В данной точке М полная кривизна^
положительна.
Так как знаменатель в правой части D13') всегда положите-
положителен [см. C53)], то К всегда имеет знак числителя. Итак, мы пред-
предполагаем, что в данной точке М
К> 0, т. е.
— M*> 0.
В этом случае точка М называется эллиптической. Изучим пове-
поведение поверхности вблизи, такой точки. Так как К, т. е. произ-
произведение kjc^, положительно, то главные кривизны kL и к, имеют
одинаковый знак. Допустим
для определенности, что
кх .> и, /c3 s> v.
Таким образом, оба главных се-
сечения загибаются в одну и ту
же сторону, именно в сторону
вектора т. Формула Эйлера
D08) ^
к = кг cos2 <p+ Я
'Глабн. напр.
Черт. 100-.
показывает, что А для всех нор-
нормальных сечений также поло-
положительно, так как положитель-
положительны все члены в правой части.
Следовательно, все нормальные сечения загибаются в сторону
вектора т, поверхность по всем направлениям загибается в одну
сторону и располагается с одной стороны своей касательной
плоскости (черт. 100). Наибольшей и наименьшей кривизнами
обладают главные сечения; промежуточные же нормальные сече-
сечения имеют промежуточные значения кривизны. Асимптотических
направлений (см. § 50) в эллиптической точке, очевидно, нет.
Когда касательная к нормальному сечению, вращаясь около
точки М, описывает прямой угол от одного главного направле-
направления до другого, кривизна к нормального сечения, как мы знаем,
монотонно меняется от одного из значений кг, А2 до другого.
При дальнейшем повороте на прямой угол это же монотонное
изменение происходит в обратном порядке, и мы возвращаемся
к исходному главному сечению.
Случай, когда к1; к% обе отрицательны, ничем существенным
не отличается от рассмотренного, только лишь все сечения заги-
загибаются в сторону — т. Так как выбор положительного напра-
направления на нормали к поверхности условен, то можно при жела-
желании, принять— m за т. Тогда мы вернемся к случаю положитель-
положительных к,, к,.
264
СВЕДЕНИЯ' ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕН
[гл. V
II. В данной точке М полная кривизна К
отрицательна.
Так как К и LN — М% имеют всегда одинаковые знаки, та
в такой точке .
К < 0 и LN — М% < 0;
точка называется гиперболической. Так как К, т. е. произведе-
произведение kxk.2, отрицательно, то кг и к2 имеют разные знаки. Пусть.
для определенности
К < 0, к2 > 0.
Следовательно, одно из главных сечений загибается в сторону,
обратную т, а другое — в сторону m (черт. 101). Когда касатель-
касательная к нормальному сече-
сечению, вращаясь около точ-
точки М, описывает прямой
угол от одного главного
направления до другого,
его кривизна к растет мо-
монотонно от значения kt •< 0*
до значения к2 > 0. Следо-
Следовательно, по дороге к про-
проходит через значение нуль>
Найдем направление каса-
касательной к нормальному
г. напр.
Черт. 101.
Воспользовавшись формулой Эйлера
ние для к:
к — кг cos" ® -f- k2 sin2 © = 0,
откуда
сечению с кривизной нуль.
приравняем нулю выраже-
|i. D14)
Заметим, что так как кх и &2 разных знаков, то под корнем
стоит положительная величина. Мы получаем два нормальных
сечения: одно, направленное под углом
и второе, направленное под углом
<р = - arctg y—bt
и, следовательно, симметричное первому относительно главных
направлений (напомним, что угол •о отсчитывается от одного
из главных направлений).
§ ьг\.
ТРИ ТИПА ТОЧЕК НА ПОВЕРХНОСТИ
265
Многозначность arctg не играет роли, так как добавление-
к <р угла, кратного тс, приводит нас к прежнему нормальному
сечению.
Итак, мы получили в точке М два нормальных сечения, имею-
имеющих в этой точке кривизну нуль. Касательные к этим сечениям
в точке М расположены симметрично относительно главных напра-
направлений и образуют асимптотические направления в данной точке.
Из двух пар вертикальных углов, образованных асимптоти-
асимптотическими направлениями, одна пара заключает, очевидно, на-
направления, отвечающие нормальным сечениям с отрицательной
кривизной А;, и в этих направлениях поверхность загибается
«книзу» (т. е. в сторону, обратную ш). Другая же пара заклю-
заключает направления с положительной кривизной к соответствую-
соответствующих нормальных сечений; в этих направлениях поверхность
загибается «кверху» (т. е. в сторону т). В результате поверх-
поверхность вблизи гиперболической точки имеет седлообразную форму-
(черт. 101).
III. В данной точке М полная кривизна К = 0.
Как видно из D13'), это условие равносильно такому:
точка называется в этом случае параболической.
Так как в данной точке
К = АЛ = 0,
то по крайней мере один из множителей А1; к2 равен нулю. Пусть
&1 =#= о, к2 = 0.
Случай /сх = 7с2 = 0 оставляем в стороне, так как это — частный
случай точки закругления. Считая для определенности кг < 0.
мы имеем одно главное сечение, загибающееся книзу. Что же
касается другого главного сечения, то мы знаем, что плоская
кривая в точке, где ее кривизна равна нулю, имеет точку, рас-
распрямления, а значит, точку перегиба, если оставить в стороне
исключительные случаи (см. § 2).
Поэтому, как правило, второе главное сечение перегибается
с одной стороны своей касательной на другую. Поверхность имеет'
вид, изображенный на черт. 102.
Асимптотическое направление совпадает в этом случае с одним
из главных направлений, именно отвечающим главной кри-
кривизне &з = 0. Других асимптотических направлений в параболи-
параболической точке не будет, так как при переходе от одного главного
сечения к другому кривизна /с меняется монотонно от /с2 = 0 до<
кх Ф 0 и, следовательно, больше через значение 0 не проходит..
266
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
Главн напр
Поверхность, сплошь состоящую из параболических точек,
Л1Ы будем впоследствии подробно изучать. Вообще же говоря,
лараболические точки (где i? = 0), если только они на поверхно-
поверхности имеются, обра -
зуют линию, отделяю-
отделяющую точки эллипти-
эллиптические (где К > 0) от
точек гиперболиче-
гиперболических (где К < 0).
В типическом слу-
случае параболической
точки, изображенном
на черт. 102, эллип-
эллиптические точки рас-
расположены, очевидно,
в левой, а гипербо-
гиперболические — в правой
части поверхности.
Их отделяет некоторая кривая на поверхности, состоящая из
параболических точек и проходящая через М.
Примеры.
1. Показать, что в дапной точке поверхности сумма кривизн нор-
нормальных сечений, направленных под прямым углом друг к другу, есть
величина постоянная. " "
2. Применим предшествующую теорию к позврхности врауления. Ра-
Радиус-вектор выражается у нас (см. конец § 47) так:
Черт. 102.
Выберем в качестве параметра и на исходной кривой С координату z;
тогда z = »(ц) = и, так что уравнение поверхности примет упрощен-
упрощенный вид
г = ф (и) е (г?) + ик.
Вычисляем производные и коэффициенты первой и второй квадратич-
квадратичных форм. Имеем
Отсюда
ж так как
(v) г =4'еЛ —^
[гц, г„] ^ Аф'к - фв (г;) = я/к - е (г>)
' , М = rutJm = 0, JV = rUDm =
§ 57]
ТРИ ТИПА ТОЧЕК НА ПОВЕРХНОСТИ
267
Определяя главные направления по формуле D11), получим
L N
Е G
откуда или du=0, или dv = 0, т. е. главные направления совпадают
с касательными к координатным линиям — меридианам и параллелям
нашей поверхности вращения.
Вычислим по формуле D00) главные кривизны как значения к, отве-
отвечающие главным направлениям. Положив сначала dv=0 (направление ме-
меридиана), потом du~Q (направление параллели), получим соответственно:
? ф" JV 1
1 Е A+ф'а)^2' i & ф |/Ч + ф'2
Интересно отметить, что, так как в наших предположениях уравне-
уравнение исходной кривой С в плоскости XZ имеет вид
то кг, кривизна нормального сечения в направлении меридиана, совпадает
но модулю с кривизной кривой С Это и заранее можно было предвидеть,
так как нормальное сечение в направлении меридиана есть сам меридиан,
а любой меридиан поверхности можно рассматривать как повернутую
около оси вращения кривую С. Знак кг у нас будет получаться обратный
знаку ф", т. е. +, если кривая С обращена выпуклостью от оси враще-
вращения, и — , если она обращена выпуклостью к оси вращения.
Далее, так как -г- равно ф }'1 + ф'2, то из формулы B2) следует,
что это есть отрезок нормали кривой С от точки М до оси вращения
(отрезок MQ на черт. 124). Интересно заметить, что этот результат уже
получен нами в § 50, пример 2, где было доказано, что MQ есть радиус
кривизны нормального сечения в направлении параллели.
Вычислим полную и среднюю кривизны:
К = Ms= -
-у-»"-
фA+ф'2J
Если кривая С обращена выпуклостью от оси вращения, т. е. ф" < 0.
то К > 0, и поверхность состоит из эллиптических точек; в противном
случае она состоит из точек гиперболических.
3. Отметим один замечательный класс поверхностей отрицательной
лолной кривизны — минимальные поверхности. Так называются поверх-
поверхности со средней кривизной Н, равной нулю во всех точках. Очевидно,
это равносильно тому, что главные кривизны кг и к,± отличаются только
знаком; формула D14) дает в этом случае ?=± — , т. е. асимптотическио
направления суть биссектрисы прямых углов между главными направле-
направлениями и, следовательно, ортогональны между собой.
Особое значение минимальных поверхностей связано со следующим
фактом. Пусть нам дана поверхность в виде односвязной области, огра-
ограниченной замкнутым контуром. Будем менять поверхность, оставляя
неизменным ограничивающий ее контур. Допустим, что среди всевоз-
всевозможных таких поверхностей (т. е. пленок, натянутых на данный контур)
нам1 удалось найти поверхность с наименьшей площадью. Тогда эта по-
поверхность будет обязательно минимальной, т. е. с нулевой средней кри-
кривизной. Так, мыльная пленка, натянутая на изогнутый в пространстве
проволочный контур, принимает форму минимальной поверхности.
268
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
д; V
Решим теперь задачу: найти всевозможные минимальные поверхности-
вращения .
Потребуем обращения в нуль средней кривизны Н, вычисленной
в предыдущем примере. Получим
где х= ф (г) — уравнение кривой С, или
1 е
Отсюда после интегрирования получаем
if —а У
Ф'2. а = const.,
или
V
i-.-i
= 1.
Перепишем это уравнение в виде
Интегрирование дает
Кривая С, вращением которой образована поверхность, есть цепная
линия, имеющая ось вращения директрисой. При последнем интегрирова-
интегрировании мы пренебрегли постоянной, так как она означает лишь параллель-
параллельное смещение поверхности параллельно оси вращения.
Полученная поверхность называется катеноидом; на первый взгляд,
она ио своей форме похожа на однополостный гиперболоид вращения^
сильно сплюшенный в направлении оси вращения.
§ 58. Вычислительные формулы.
В предыдущих параграфах при изучении поверхности пред-
предполагались известными коэффициенты первой и второй квадра-
квадратичных форм и остальные величины выражались посредством их.
Остановимся несколько подробнее на формулах, позволя-
позволяющих из уравнения поверхности
г = г (в, v)=x(u, v) i + у (и, и) j + z (и, о) к D15>
даходить эти коэффициенты. Для частных производных от г
по параметрам и, v мы получаем следующие выражения, диф-
дифференцируя D15). почленно:
гц = xui
г„ = xvi
УшА "Ь
= Жта1 + Vvvi +
D16)
58]
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
269
Записывая теперь скалярные произведения в формулах C42)
я развернутом виде, получим развернутые формулы для коэф-
коэффициентов первой квадратичной формы:
VuVv
D17)
Перепишем теперь формулы C61), причем запишем смешан-
смешанные произведения в числителях как определители третьего
порядка, пользуясь разложениями D16):
/ * =^ ¦
я ни Уин ^и
хи Уи zu
хи ув zv
У BG—F*
, м =
xuv Уии zuv
*и Уи zu
*v Vv zv
Xvv
xu
xv
Vvu
Уи
Уи
Zuv
za
zv
, D18)
Мы выписали довольно громоздкие формулы D17) и D18),
"чтобы показать, как фактически вычисляются в общем случае
коэффициенты основных форм. Исходным пунктом здесь являются
«функции, выражающие текущие координаты х, у, z на поверх-
поверхности через криволинейные координаты в,-и.
Остановимся на важном частном случае, именно, когда
шоверхность задана уравнением
= /(*. У)-
D19)
13десь можно считать, что две из декартовых координат х, у
яграют роль криволинейных координат и, и на поверхности,
¦а третья декартова координата z выражена как функция х, у.
Нетрудно и радиус-вектор, скользящий концом по поверхности,
выразить как функцию от х, у. Действительно,
г = х\ + у] + zk
ш, следовательно,
г — xi 4- in 4- f (т iA к iu.\ Q'\
Выведем формулы D16) для этого частного случая пара-
параметрического представления поверхности, дифференцируя D19V)
ло х ш у (х играет роль и, у — роль и):
Г^ =1
D20)
270
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
Вычисляем теперь коэффициенты первой квадратичной формы:
как скалярные произведения:
Е = т% = 1 + /*, \
F = rxTf,=fJ№, J D21)
G =тг = 1+ f ¦
*у ~ >у' )
отсюда
EG — F* = 1 + fl + f*y. D22)
Заметим, что формула C50) для площади куска поверхности:
принимает теперь вид
D22'>
где область изменения переменных х, у совпадает с проекцией,
данного куска поверхности на плоскость XY [задание поверхно-
поверхности уравнением D19) означает взаимно однозначное соответствие-
между точками поверхности и их проекциями на плоскость XY]-~
Далее, составим векторное произведение
[тх, *v] = [i + /xk, j+/tfk]=k-/,i-/.,j.
Этот вектор направлен, как мы знаем, по нормали к поверхности,
так как первые частные производные радиус-вектора по пара-
параметрам лежат в касательной плоскости. Длину вектора [тх, ту]
легко подсчитать, зная его координаты:
Единичный вектор m по нормали к поверхности мы получимг
разделив вектор [rx, г,,] на его длину:
т =
D23)
Наконец, вычислим коэффициенты второй квадратичной формы
как скалярные произведения:
fxx
L = rx3jm =
М — ггИт = —г.
t,
xv
D24)
N — г„„т ==
hy
|
ff J
Интересно еще выражение полной кривизны К:
LN-M* fxxf,n,-fiv
тг
EG-F*
D25).
§ 59]
ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
271
§ 59. Ланий кривизны.
До сих пор мы рассматривали поверхность лишь в бесконечно
малом вблизи какой-нибудь ее точки. Но полученные нами резуль-
результаты можно связать с построениями, осуществляемыми уже на
целом куске поверхности. Сюда принадлежат прежде всего линии
кривизны.
Линией кривизны на поверхности называется кривая, в каждой
точке которой касательная направлена по одному из двух главных,
направлений в этой точке
поверхности (черт. 103).
Пусть уравнения кривой
на поверхности будут
u = u(t), v = v(t),
где t — параметр вдоль кри-
кривой. Тогда в любой точке
кривой, т. е. при любом зна-
значении t, касательная к ней
должна итти по главному на-
направлению в этой точке, а
для этого необходимо и до-
достаточно, как мы знаем, что-
чтобы du, do при смещении по кривой были подчинены условию
Ldu-\-M dv M du+ N dv
Е du + F dv Fdu + Gdv
Глсшн. налр.
Норм сечение
Линия
.¦кривизны
Черт. 103.
= 0,
или в развернутом виде
(LF — ME) du* + (LG — NE) du do + (MG—NF) do* = 0. D26)
Итак, для того чтобы кривая на поверхности была линией кри-
кривизны, необходимо и достаточно, чтобы дифференциалы du, dv вдоль
нее в любой точке удовлетворяли уравнению D26), где L, М, ЛТ, Е
F, G взяты для этой же точки.
Разберем подробнее, что дает этот результат для изучения
линий кривизны. Так как точки закругления мы считаем исклю-
исключенными, то уравнение D26) нигде не обращается в тождество отно-
относительно дифференциалов, т. е. все три коэффициента не обраща-
обращаются одновременно в нуль.
Допустим, что в уравнении D26) хотя один из коэффициентов,
при du2, dv2 отличен от нуля. Пусть для определенности
LF — МЕфО.
Тогда, деля левую часть уравнения на dv*, получаем квадратное
уравнение относительно du : dn
{LF - ME) (J?
— NE) d? + (MG - NF) = 0. D26')
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Решая его, получим, как мы знаем, два действительных различных
корня (отвечающих двум взаимно ортогональным главным напра-
направлениям в каждой точке)
%=*h{u,v), pv = f,(u,v). D27)'
Мы записали полученные корни как функции от и, v на том
основании, что коэффициенты квадратного уравнения зависели
от и, v через коэффициенты первой и второй квадратичных форм.
Формулы D27) характеризуют главные направления в любой точке
поверхности. Таким образом, уравнение D26) приводит либо к пер-
первому, либо ко второму из уравнений D27). Следовательно, вдоль
.линий кривизны должно иметь место либо первое, либо второе
из уравнений D27). В
теории дифференциальных
уравнений доказывается,
что через каждую точку
х0, уй на плоскости х, у
проходит одна и только
одна кривая, вдоль кото-
которой переменные х, у и их
дифференциалы dx, dy удо-
удовлетворяют заданному ура-
уравнению вида
2=/(*.у).
Другими словами, существует функция у(х) (и притом только
вдна), производная которой ¦— связана с аргументом х и са-
самой функцией у указанной зависимостью и которая цри х — хп
принимает значение уй. Идея доказательства может быть по-
пояснена подобно тому, как это сделано в подстрочном примечании
ла стр. 205.
Применяя этот результат к уравнениям D27), мы видим, что
через каждую точку М (и, о) на нашей поверхности проходит одна
линия кривизны, вдоль которой удовлетворяется первое из уравне-
уравнений D27), и одна, вдоль которой удовлетворяется второе из них.
Мы получаем два семейства (сеть) линий кривизны. Сеть эта орто-
ортогональная, так как линии кривизны разных семейств направлены
по двум взаимно ортогональным главным направлениям и встре-
встречаются всегда под прямым углом (черт. 104).
Мы оставили в стороне случай, когда в уравнении D26) обраща-
обращаются тождественно в нуль коэффициенты при обоих квадратах,
так что имеют место условия
= 0 D28)
$. 59]
и D26) принимает вид
ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
— NE)dudo=Q.
Так как все три коэффициента в уравнении D26) не обращаются
в нуль одновременно, то LG— NE Ф 0, следовательно,
или du = Q, или dv =
D29)
Таким образом, вдоль линий кривизны или du = Q, т. е. а
постоянное, или do = 0, т. е. п постоянное. Следовательно, мы сно-
снова получаем сеть линий кривизны с той особенностью, что она
совпадает с координатной сетью. При этом нужно иметь в виду,
что координатная сеть зависит от произвольного в принципе
выбора криволинейных координат на поверхности, в то время как
сеть линий кривизны строится на данной поверхности вполне
однозначно, как видно из самого определения линий кривизны.
Поэтому совпадение обеих сетей означает в сущности такой спе-
специальный выбор криволинейных координат на поверхности, что
координатная сеть совпадает с сетью линий кривизны. Можно
было бы показать, что на любой поверхности в достаточно малой
окрестности какой-нибудь точки, не являющейся точкой закруг-
закругления, такой выбор криволинейных координат всегда возможен.
Укажем необходимый и достаточный признак того, что данная
координатноя сеть на поверхности совпадает с сетью линий
кривизны-
Этот признак заключается в том, что в соответствующей си-
системе коорлинат и, с средние коэффициенты первой и второй квад-
квадратичных форм тождественно обращаются в нуль:
F = М = 0. D30)
Достаточность. Из условий D30) немедленно следуют
условия D28), а следовательно, повторяя прежние рассуждения,
получаем, что линии кривизны определяются условием D29)
н совпадают с координатными линиями.
Необходимость. Пусть координатные линии суть
линии кривизны. Тогда вдоль них должно соблюдаться условие
D26), которое вдоль линий гг. запишется в виде
так как вдоль линий и мы имеем da = 0, du ф 0. Совершенно ана-
аналогично, условие D26) вдоль линий v дает
MG-NF = Q.
Если допустить, что F, М не обращаются одновременно в нуль,
то мы имеем здесь два линейных однородных уравнения относи-
18 П. К. Гашевский
274
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
тельно F, М, совместных между собой. Определитель системы дол-
должен быть равен нулю:
LG-NE = O.
В результате все три коэффициента уравнения D26) обращаются
в нуль, что невозможно, так как точки закругления устранены из
рассмотрения. Следовательно, необходимо
Заметим еще, что в отдельности первое из условий D30) F = 0,.
т. е. г„ г„ = 0, г„ JL г„, выражает ортогональность координатной се-
сети, а второе—ее сопряженность, т. е. сопряженность направлений
координатных линий в каждой точке поверхности.
Понятие о сопряженных направлениях будет дано в § 61.
В следующей главе, после знакомства с развертывающимися:
поверхностями, будет доказана теорема о нормалях к поверх-
поверхности вдоль линий кривизны (§ 74).
Примеры.
1. Линии кривизны на поверхности вращения совпадают с ее мериди-
меридианами и параллелями, так как главные направления в каждой точке каса-
касаются меридиана и параллели (пример 2, § 57).
2. Замечательный способ отыскания линий кривизны дает теорема-
Дюпена.
Допустим, что в пространстве построены три семейства поверхностей,,
каждое от одного параметра:
Fx(x, у, z) = Cx, F2(x, у, z) = Cz, Fa(x, у, z) = C3.
В некоторой области пространства, где определены функции Fx, F2, Fs,
через каждую точку М проходит по одной, поверхности из каждого се-
семейства; если три плоскости, касательные к этим позерхностям, взаимно-
ортогональны во всех точках М, то мы говорим, что три семейства поверх-
поверхностей образуют триортогональную систему. Такую систему образуют,,
например, плоскости, проходящие через ось Z, прямые круглые конусы,,
имеющие осью ось Z, и сферы с центром в начале.
Введем обозначения
Ui = F%(x' У' z)> Щ=#ЛХ, у, z), ut = F,,(x, у, г)
и выразим из этих уравнений х, у, z, обратно, как функции от иг, иг, и9_
Тогда и радиус-вектор любой точки М в рассматриваемой области-
пространства можно рассматривать как функцию переменных щ, ма, иг:
г = г(ц1, иг, иг).
Положим здесь, например, u3 = Cs, где С3 = const.; тогда тем самым
Fs(x, у, z)—Cz, и мы получаем одну из поверхностей третьего семейства
(при этом заданную в параметрическом представлении через иг, и2).
Поэтому гх (вектор с индексом 1, 2 или 3 означает производную от
этого вектора соответственно по щ, щ, и3) равно как и га будут касатель-
касательными векторами к поверхности третьего семейства. Аналогично rs, гЕ
касаются поверхности первого семейства, а г3, гх — поверхности второго-
семейства. Итак, тг лежит на пересечении плоскостей, касательных к по-
поверхностям второго и третьего семейств, и аналогичное утверждение имеет/
место для !¦>. и г3.
§ 59]
ЛИНИИ КРИВИЗНЫ
275
В силу взаимной ортогональности касательных плоскостей к поверх-
поверхностям первого, второго и третьего семейств, векторы тг, г2, г3, направ-
направленные по прямым их пересечения, тоже взаимно ортогональны, так что
мы имеем в любой точке
г1г2 = О, г2г3 = 0, r3i*i = 0-
Дифференцируя первое уравнение по и3, второе — по их и третье —по и,
получим
= 0, г21г3 + ГоГ31 = 0,
здесь г13 = г31 = дм qu и т. д. Складывая два первых уравнения и вычи-
вычитая третье, получаем ггг31=0, и аналогично Г!Г23 = 0, r3r12 = 0.
Рассмотрим для определенности поверхность третьего семейства
г=г(м1, м2, м3), где ms = C3.
Так как Гц гг касаются этой поверхности, то перпендикулярный к ним;
вектор г3 направлен по нормали ш к поверхности.
Вычислим средний коэффициент второй квадратичной формы
M = mrUD.
Так как вектор m параллелен г3, a ruv есть в нашем случае г12, то
М = 0,
ибо у нас г12г3=0, т. е. г3 _]_ г12.
Точно так же средний коэффициент первой квадратичной формы равен
нулю:
F = rurv = rlri = 0.
Итак, М = F = 0, следовательно, координатная сеть ии щ на нашей
поверхности есть сеть линий кривизны. Но эта координатная сеть полу-
получается так: на поверхности и3 = С3, т. е. Fs{x, у, z) = C3, мы полагаем
либо M1 = const., т. е. Ft (x, у, z) = const., либо M2 = const., т. е.
F2(x, у, z) = const. Другими словами, поверхность третьего семейства мы
пересекаем со всевозможными поверхностями первого и второго семейств.
Окончательно получаем следующий резз'льтат: линии, по которым
поверхности какого-нибудь одного семейства триортогональной системы
пересекаются с поверхностями двух других семейств, суть линии кризиэны.
В этом и состоит теорема Дюпена.
3. Применим теорему Дюпена к отысканию линий кривизны на цент-
центральных поверхностях второго порядка.
Пусть дана поверхность
где для определенности А < В < С.
Включим эту поверхность в триортогональную систему поверхностей
2-го порядка, которую построим следующим образом.
Первое семейство:
A-d В-С1 г С-Сх
где параметр семейства Сг меняется в пределах
— оо < Сг< А;
семейство состоит из эллипсоидов.
,|
276
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
Второе семейство:
Л
¦ + ¦
где
,s в-с, г с-с»
А < Cs< 5,
состоит из однополостных гиперболоидов.
Третье семейство:
Л - С,
¦+-
где
В — Са С — С3
В<С3<С,
состоит из двуполостных гиперболоидов.
Можно показать, что через каждую точку пространства х, у, z, не ле-
лежащую на координатных плоскостях, проходит одна и только одна поверх-
поверхность из каждого семейства. Докажем, что нормали к этим трем поверх-
поверхностям в каждой данной точке взаимно ортогональны (т. е. что мы полу-
получили действительно триортогоиальную систему).
Возьмем вектор-градиент от левой части первого и от левой части
второго уравнений:
2z
к.
Составив скалярное произведение этих двух векторов, мы легко убе-
убеждаемся, что полученное выражение равно нулю. Для этого достаточно из
уравнения первой поверхности вычесть почленно уравнение второй поверх-
лости(оба они удовлетворяются в рассматриваемой точке). Получим
¦(С.
'J' \ (А -
У1
Сг) (Л - С,) + (В - Сг) {В - С,) + (С - С,) (С
In
- С,) J ~ •
Левая часть здесь лишь не равным нулю множителем отличается от
скалярного произведения ^F1 VF2, и требуемое доказано. Так же можно
доказать равенства Vfx ^F3 = О, VF2VF3 = O.
Построив таким образом триортогональную систему, момспо найти
линии кривизны на каждой из поверхностей системы (в частности, на ис-
исходной поверхности), пересекая эту поверхность с не включающими ее
двумя семействами поверхностей. Если, например, А, В, С были поло-
положительны, следовательно, исходная поверхность — эллипсоид, то линии
кривизны получатся: одно семейство —в пересечении с однополостными,
.другое — с двуполостными гиперболоидами триортогонаиьной системы.
§ 60. Асимптотические линии.
Мы уже знаем, что асимптотическим направлением в данной
точке поверхности называется направление, касательное к нор-
нормальному сечению с кривизной нуль в этой точке. Выпишем
общую формулу D00) для кривизны нормального сечения
Г _ L
+ 2М" du dv + N dv-
E du3 + 2F du dv + G
§ 60]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
277
Для обращения к в нуль необходимо и достаточно обраще-
обращение в нуль числителя дроби. Следовательно, условие
L du2 + 2М du dv -rNdv*= 0,
D31)
наложенное на дифференциалы du, dv при смещении из данной
точки по некоторому нормальному сечению, необходимо и доста-
достаточно для того, чтобы касательная к этому нормальному сече-
сечению шла по асимптотическому направлению.
Но и при смещении из данной точки по произвольной кривой
условие D31) остается необходимым и достаточным для того,
чтобы касательная к этой кривой шла по асимптотическому
направлению. Действительно, ввиду однородности условия D31)
относительно du, dv оно накладывается по существу на отно-
отношение du: dv, которое зависит лишь от направления касатель-
касательной. Поэтом}', если условие D31) выполняется, то выполняется
одновременно для всех кривых на поверхности с общей каса-
касательной в данной точке, в том числе и для нормального сечения;
а это означает, что общая касательная идет по асимптотическому
направлению.
Кривая на поверхности, касательная к которой в каждой,
точке направлена по асимптотическому направлению в этой
точке, называется асимптотической линией.
В силу только что сказанного, для того чтобы кривая на
поверхности была асимптотической линией, необходимо и до-
достаточно, чтобы вдоль нее в каждой точке соблюдалось усло-
условие D31)
L du* -J- 2M du do + N do2 = 0.
Здесь du, do — дифференциалы текущих координат вдоль асимп-
асимптотической линии, a L, М, N—функции этих координат.
Разберем в отдельности возможные три случая поведения
асимптотических линий.
1. Поверхность состоит из эллиптических то-
точек.
К > 0, LN- АГ- > 0. D32)
В таком случае условие D31) невыполнимо ни при каких du, dv,
так как вторая квадратичная форма, стоящая в левой части D31),
существенно положительна, если L > 0, и отрицательна, если
L < 0. Действительно,
L du1 + Ж dudv + N da* = ±
.Li
dof + (LN- iVP) dv'-},
и так как выражение в фигурной скобке заведомо положительно,
то вторая квадратичная форма при любых du, do имеет знак L
и в нуль обращаться не может; заметим, что L не может обра-
обращаться в нуль в силу того же условия D32).
278
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
Следовательно, в этом случае на поверхности не существует
асимптотических линий. Впрочем, мы уже видели, что в эллип-
эллиптической точке ни одно из нормальных сечений не имеет кри-
кривизны к = 0.
2.. Поверхность состоит из гиперболических
точек.
К<0, LN-M*<0. D33)
В этом случае асимптотические линии существуют и образуют
сеть на поверхности. Действительно, пусть во второй квадра-
квадратичной форме отличен от нуля хотя один из коэффициентов при
квадратах. Пусть для определенности
на рассматриваемом куске поверхности. Тогда после деления
левой части условия D31) на dv2 это условие можно записать
в виде квадратного уравнения
КяУ+ »"% + »-<>¦
решая которое, получим два корня
du _ М , ]/М2—LN
и
dv
M
L
Вследствие D33) под радикалом стоит положительная величина.
Учитывая, что вместе с L, М, N правые части уравнений являются
функциями от и, v, и обозначая эти функции через ?1 и ф2, полу-
получим, что асимптотические линии характеризуются тем, что вдоль
них
? = ?i (и, v) или ^ = <ps- (В> v). D34)
Повторяя рассуждения, примененные нами к линиям кривиз-
кривизны, мы заключаем, что через каждую точку поверхности проходит
одна и только одна асимптотическая линия, вдоль которой соблю-
соблюдается первое из уравнений D34), и одна и только одна,—вдоль
которой соблюдается второе из этих уравнений. Касательные
к этим линиям в данной точке образуют асимптотические напра-
направления; мы еще раньше видели, что в гиперболической точке
таких направлений будет два.
Таким образом, асимптотические линии образуют на поверхно-
поверхности два семейства, так называемую асимптотическую сеть.
Если обращаются тождественно в нуль оба коэффициента при
квадратах во второй квадратичной форме, т. е. если L = N = 0,
то условие D31) принимает вид
Ш du do = 0,
60]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
279
Если бы М тоже обращалось в какой-нибудь точке в нуль, то в этой
точке мы имели бы частный случай точки закругления, когда
к по всем направлениям равно нулю [см. D12)]. Но точки закру-
закругления исключены из рассмотрения, так что М Ф 0, и из преды-
предыдущего уравнения следует, что вдоль асимптотических линий
<2в = 0 или dv = 0. D35)
Таким образом, в этом случае снова имеем два семейства асимпто-
асимптотических линий, причем одно из них совпадает с семейством коор-
координатных линий и, а второе — с семейством координатных линий у.
Асимптотическая сеть однозначно определяется на поверхно-
поверхности, выбор же координатной сети произволен. Можно показать,
что в достаточно малой окрестности гиперболической точки по-
поверхности всегда можно так выбрать систему криволинейных коор-
координат, что координатная сеть совпадает с асимптотической.
Необходимым и достаточным признаком того, что выбранная
на поверхности координатная сеть совпадает с асимптотической,
является тождественное обращение в нуль коэффициентов при ква-
квадратах во второй квадратичной форме:
L = N = 0. D36)
Достаточность этого условия только что была доказана. Что же
касается его необходимости, то, если координатные линии явля-
являются асимптотическими, то вдоль них должно соблюдаться усло-
условие D31). Но вдоль линии и
du Ф 0, dv=0,
так что D31) принимает вид L=0. Совершенно аналогично полу-
получаем N = 0, используя условие D31) вдоль линии и.
Докажем теперь интересное характеристическое свойство
асимптотических линий.
Для того чтобы линия на поверхности была асимптотической,
необходимо и достаточно, чтобы она или была прямой, или имела
¦в каждой точке касательную плоскость к поверхности своей сопри-
соприкасающейся плоскостью.
Выпишем основную формулу C65), имеющую место для любой
кривой на поверхности:
L du* + 2М dudv + N dv*
kcos 6 =
E du? + 2F du dv + G dv2
Для того чтобы линия на поверхности была асимптотической,
необходимо и достаточно соблюдение вдоль нее условия D31),
т. е. обращение в нуль правой части этого уравнения, а следова-
следовательно, и левой его части:
k cos 6=0. D37)
280 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
'¦Но здесь представляются две возможности: или
Ц-'л. V
т. с. кривизна линии тождественно равна нулю, и, значит, линия
прямая; или в точках, где кривизна отлична от нуля,
cos 9 = 0,
т. е. угол 8 между нормалью m к поверхности и главной нормалью
п к кривой равен 90°. В этом случае вектор п перпендикулярен
к m и лежит, следовательно, в касательной плоскости к поверхно-
поверхности. Так как касательный вектор t всегда лежит в касательной
плоскости к поверхности, то эта плоскость содержит оба вектора t.
п и совпадает, следовательно, с соприкасающейся плоскостью
к кривой. Теорема доказана.
В заключение докажем теорему Белыпрами-Эннепера о кручении.
асимптотических линий. Заметим прежде всего, что единичный вектор
но нормали к поверхности, будучи перпендикулярен соприкасающейся
плоскости к асимптотической линии, направлен по бинормали к ней
Поэтому вдоль асимптотической линии m совпадает с единичным не кто-
ром b no бинормали или отличается от него знаком:
Ь = ± т. D38)
Всцомним затем третью формулу Френе
db
ds
Умножая скалнрно обе части на п и учитывая, что и2—1, получим
db
п •т— = — и.
ds
Так как п = — [t, b] [см. B60")], то иоследнгою формулу можно пере-
переписать в виде
где в правой части стоит смешанное произведение трех векторов. Полу-
Полученная формула верна для любой пространственной кривой. Применим ее
для асимптотической линии на поверхности. Так как теперь Ь = ±ш, то
ш, ~ J . D40)
Здесь вектор ш рассматривается вдоль асимптотической линии как функ-
функция дуги s.
Преобразуем полученное выражение для кручения асимптотической
линии. Выпишем для асимптотической линии в какой-нибудь ее точке
формулы D04) и D05):
t = cos o-ti + sina-ta,
dm , , ,
, = — Aj cos s-fr, — A-3 sin a -t,.
D41>
§ 60]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
28-1
Здесь tx и t2 — единичные векторы но главным направлениям в дайной,
точке, f — угол, образуемый вектором t с %г. Но так как t касается асимп-
асимптотической линии, то он идет по асимптотическому направлению в дант.
ной точке, и угол <? удовлетворяет, следовательно, условию D14)
- ^ . D42)
Теперь остается вставить выражения D41) в формулу D40). Получим
¦л = [cos » -tx —1— sin *• ts, m| ( — кг cos f-t1— /t.2 sin ?-t2).
Раскрывая скобки в векторном произведении, учитываем, что tx, m^
t» —единичные взаимно ортогональные векторы и, следовательно, при.
подходящей нумерации tlt t2 можно считать
l5 m] =
[ts, m] = — tj.
Получим
= (со.<5 a -t.2 — si
?¦ tj. — kt sin
Раскрывая, наконец, скобки в этом скалярном произведении, приходим.
к формуле
-л = cos ? sin s- (*! - А-2) =
так как t? = t|=l, \,xt% = §. Но для асимптотической линии угол « удо-
удовлетворяет условию D42), причем знак ± в правой части D42) характе-
характеризует, по какому из двух асимптотических направлений в данной точье
идет наша асимптотическая линия.
Вставляя в выражение для х значение tg <f, получаем
1 *,
Мы видим, что кручения асимптотических линий, проходящих через данную'
точку по двум асимптотическим направлениям, отличаются только знаком.
Что же касается модуля кручения х, то, возводя у. в квадрат, получаем
из предыдущей формулы
у* = -k1ki=-K
или
* = ± V -К.
D4:;)'
Итак, модуль кручения асимптотической линии- равен корню кзадратному
из взятой с обратным знаком полной кривизны в рассматриваемой точке
поверхности. Напомним, что сейчас мы рассматриваем поверхность, состо-
состоящую из гиперболических точек, так что'— К—величина положительная.
Два подчеркнутых предложения составляют содержание теоремы Бель-
трами-Эннепера, которая, таким образом, доказана.
3. Поверхность состоит из параболиче-
параболических точек.
-М2 = 0. D44)
В этом случае L и N не могут обращаться в нуль одновременно,
так как тогда М также обратилось бы в нуль, и мы имели бы част-
282
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
ный случай точки закругления, когда все к равны нулю. Пусть для
определенности L Ф 0.
Деля, как и в предыдущем случае, левую часть уравнения D31)
du
на dv2, приходим к квадратному уравнению относительно -j-
dv
которое, в силу D44), имеет теперь лишь один корень
f
dv
D45)
Правая часть этого равенства есть функция от и, v. Ссылаясь на
ту же теорему анализа, что и в предыдущих случаях, можно утвер-
утверждать, что через каждую точку поверхности проходит одна и
только одна кривая, вдоль которой соблюдается уравнение D45),
т. е. одна и только одна асимптотическая линия [действительно,
в рассматриваемом случае условие D31) оказалось эквивалентным
равенству D45)]. На поверхности имеется одно семейство асимпто-
асимптотических линий. Это связано с ранее полученным результатом
(§ 57), что в параболической точке имеется лишь одно асимптотиче-
асимптотическое направление и это асимптотическое направление совпадает
с тем из двух главных направлений, которому отвечает главная
кривизна нуль. Поэтому для поверхности, состоящей из парабо-
параболических точек, асимптотические линии суть в то же время
и линии кривизны; они образуют одно из двух семейств линий
кривизны и будут, как мы убедимся впоследствии (см. ниже § 72),
обязательно прямыми линиями.
Примеры
1. Асимптотические линии на поверхности вращения (см. пример 2
а 57). Составим дифференциальное уравнение асимптотических линий
L du2 + 2М du dv + N dip = 0,
которое в нашем случае примет вид
- ф" Лма + ф rfp'
(параметр и совпадает с z). Отсюда
Отыскание асимптотических линий сводится к квадратуре, причем ин-
интеграл вещественный, если ф" > 0, т. е. если К < 0. Произвольная посто-
постоянная С означает, что, найдя одну асимптотическую, мы можем ее повер-
повернуть вокруг оси Z На произвольный угол С (все значения угла v вдоль
кривой изменятся при этом на С), причем она останется асимптотической
на той же поверхности.-
I 61] ТРЕТЬЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА 283
2. Асимптотические линии на катеноиде. В этом случае (пример 3 § 57)
а / а
= ?(« +е
О-
следовательно,
r-ji+-
du
Дифференциальное уравнение асимптотических линий есть d«=i — ,
откуда u = av + C (первое семейство) или м= — av + C (второе семейство).
Таким образом, асимптотические линии катеноида обвиваются вокруг
него, напоминая винтовые линии, причем приращения v и и пропорцио-
пропорциональны. Другими словами, и, «подъем в вертикальном направлении» (у Нас
u — z, см. пример 2 § 57), растет пропорционально V, углу обхода вокруг
оси вращения (для второго семейства нужно говорить о «спуске в верти-
вертикальном направлении»).
Так как катеноид — минимальная поверхность, то асимптотические
линии идут под углами в 45° к линиям кривизны, т. е. меридианам и па-
параллелям катеноида.
§ 61. Третья основная квадратичная форма.
Сопряженные направления.
Когда мы движемся по какой-нибудь кривой нэ поверхности,
отнесенной для простоты к дуге, как к параметру: и = и (s), v = v(s),
то единичный вектор m по норма-
нормали к поверхности, являющийся
функцией от и, и, можно рассма-
рассматривать вдоль этой кривой также,
как функцию от s:
m = m{u(s), v(s)}
Согласно формуле A49)
¦Д<Р = | dm | +
Черт. 105.
где Д<р—-угол между нормалями
m и m + am в бесконечно близких
точках кривой М и М', причем точ-
точками в формуле обозначены бесконечно малые высшего порядка.
Обозначая главную линейную часть угла Дер через d<$, можно
записать
d<o = | dm | .
Переходим к основной задаче этого параграфа—к изучению
взаимного расположения двух касательных плоскостей к поверхно-
поверхности: в данной точке М ив бесконечно близкой точке М' (черт. 105).
Это взаимное расположение характеризуется величиной дву-
двугранного угла между плоскостями и положением прямой их пере-
пересечения.
Так как угол Д? между нормалями в точках М и М' численно
равен двугранному углу между касательными плоскостями в
jthx же точках, то можно сказать, что угол поворота касательной
284
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[гл. V
плоскости при смещении из точки М в бесконечно близкую точку Мг
равен (если взять его главную линейную часть dtp) модулю дифферен-
дифференциала dm, отвечающего этому оке смещению.
Так как d<p есть модуль вектора dm, то квадрат dy равен ска-
скалярному квадрату этого вектора:
d<a°- = dm\ D46)
Так как при смещении по поверхности
dm — ти du + mB dv,
то, возводя dm в скалярный квадрат и вводя обозначения
mu = e(u,v), mumv = f(u,v), m2D = g(u,v), D46')
получим
do2 = edui+2fdudv + gdv2. D47)
Мы получили в правой части квадратичную форму относительно du,
dr; коэффициенты ее суть функции координат и, v. Эта квадратич-
квадратичная форма называется третьей основной квадратичной формой
на поверхности. Интересно сопоставить все три квадратичные
формы:
Первая ds2 — dr2,
Вторая 1 = — dr dm,
Третья rfcp2 = dm2.
Таким образом, первая и третья формы отличаются тем. чт»
векторы гит меняются ролями; вторая же форма занимает про-
промежуточное положение между ними. Этому соответствует и гео-
геометрический смысл основных форм. А именно, если во всех слу-
случаях иметь в виду главные части соответствующих бесконечно
малых величин, то можно сказать, что основные формы выражают
нам:
Первая—квадрат расстояния между двумя бесконечно близ-
близкими точками на поверхности.
Вторая—расстояние от одной из этих точек до касательной
плоскости в другой точке.
Третья—квадрат угла между касательными плоскостями в
этих точках.
Рассмотрим теперь прямую пересечения касательных плоско-
плоскостей в данной точке М и в бесконечно близкой точке М'. Уравне-
Уравнение первой плоскости имеет вид
(R —г)т = 0,
D48)
где R — текущий радиус-вектор, г — радиус-вектор точки М
и т —единичный вектор нормали в точке М.
i 61]
ТРЕТЬЯ ОСНОВНАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА
28?
Аналогично этому запишем уравнение второй плоскости,
переходя в точку М' и заменив г, m через г + Аг, m + Am;
(R — г— Аг) (m + Am)=O. D48')
Прямая пересечения определяется системой уравнений D48),
D48'). При этом второе уравнение можно заменить более простым,
раскрывая в нем скобки, вычитая из него первое уравнение и деля
результат на As почленно. Получим
= 0. D48")
Так как М'—>М, т. е. As—»0, то
Дш dm Дг dx
5s
, m-h
т.
dr
Так как ^ и m взаимно ортогональны, то в пределе вычита-
вычитаемое в D48") обращается в нуль, и D48") принимает вид
(В_г)^=0. D49)
Что же касается уравнения D48), то оно остается без изме-
изменения. Оставляя в стороне исключительный случай, будем
считать
dm , п
ds ^ °-
Тогда пара уравнений D48), D49) определяет прямую, прохо-
проходящую через точку М, так как эти уравнения удовлетворяются
при R = г; кроме того, эта прямая лежит в касательной плоскости
в точке М [согласно D48)] и направлена ортогонально к вектору dm
[как показывает D49)].
Итак, прямая пересечения неподвижной касательной плоскости
в точке М и бесконечно близкой касательной плоскости в точке М'
стремится занять положение прямой, касательной к поверхности
в точке М и направленной ортогонально к dm (где дифференциал
вектора m берется при смещении из М в М').
Так как dm = A(dt), a dr направлен по касательной к линии
смещения, то прямая пересечения в пределе направлена ортого-
ортогонально к основной вектор-функции А от вектора, касательного
к линии смещения.
Если в касательной плоскости в данной точке М даны два век-
вектора и и т такие, что
тЛ(и) = 0, т. e. v±4(u), D50)
то направление вектора т мы будем называть сопряженным направле-
направлению вектора и (направления рассматриваются с точностью до за-
286
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
мены на противоположные). Очевидно, для каждого направления к
существует одно и только одно направление v, ему сопряженное, —
в случае A(xi) Ф 0. В исключительном же случае, когда А (и) = 0г
любое направление у в касательной плоскости можно считать со-
сопряженным направлению и.
Сопряженность есть свойство взаимное. Действительно,,
условие D50) можно записать в виде равенства нулю скаляр-
скалярного произведения
уА (и) = 0.
Но, в силу симметричности основной вектор-функдии А (и),
у^4 (и) == и А (у)
и, следовательно,
А (у),
т. е. направление вектора и, в свою очередь, сопряжено
направлению вектора у.
Пользуясь термином сопряженности, можно сказать, что пре-
предельное положение прямой пересечения имеет направление.,
сопряженное с направлением касательной к линии смещения.
Дадим более развернутую формулировку этого предложения.
Пусть в данной точке М на поверхности выбраны два любых:
взаимно сопряженных направления; пусть М' — бесконечно близкая-
точка поверхности, причем секугиая ММ' стремится совпасть-
с каким-нибудь одним из этих направлений. Тогда прямая пересе-
пересечения касательных плоскостей в точках М и М' стремится
совпасть с другим из этих направлений.
Разумеется, в этой формулировке под направлениями нужно'
иметь в виду прямые, проходящие в этих направлениях черег-
точку М; при этом исключительный случай А(п) = 0 или А(у) — 0'
предполагается устраненным.
Если дифференциалы криволинейных координат и, и, а также
векторов г, m при смещении по одному из сопряженных направле-
направлений обозначить через du, du, dr, dm, а по другому— Ьи, bv,
8r, 8m, то условие сопряженности, согласно D50), будет иметь вид;
т. е.
5г _L A (dr),
or _L dm,
или
or dm = 0.
Запишем здесь дифференциалы в развернутом виде
(гц ов + г„ 8у) (т„ du +• т„ dv) = 0.
D5О'>
Раскрывая скобки и пользуясь формулами (ЗбЗ) для коэффи-
коэффициентов второй основной квадратичной формы, мы получим (после-
62J
ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ КВАДРАТИЧНЫМИ ФОРМАМИ
287
изменения знака левой части)
Ldubu-Y M (du bv + dv ш) + N dv av = 0.
D50")
Условие сопряженности двух направлений du, dv ш, cv заклю-
заключается, таким образом, в обращении в нуль билинейной формы,
полярной второй квадратичной форме и выписанной для du, dv; аи, Згг.
Из этой записи еще раз видно, что условие сопряженности
D50') симметрично относительно обоих направлений, так что его
можно писать и в виде dr8m = 0.
Отметим условие сопряженности координатной сети, т. е.
сопряженности направлений координатных линий в каждой точке
поверхности. Для координатных линий
= 0, ом = О,
0,
и условие D50") принимает вид Mdu bv = 0, т. е. М—0.
Искомое условие заключается в обращении в нуль среднего
коэффициента второй квадратичной формы.
В частности сеть линий кривизны (§ 59) всегда является со-
сопряженной, и главные направления всегда сопряжены между
собой.
§ 62*. Зависимость между тремя основными
квадратичными формами.
Третья квадратичная форма играет меньшую роль в теории
поверхностей, чем первые две, что в значительной мере объясняет-
объясняется следующей причиной. Оказывается, что третья форма может
быть алгебраически получена из первых двух при помощи изящной
формулы, которую мы сейчас выведем. Пусть бесконечно малому
смещению из точки М отвечают дифференциалы координат du, dv;
тогда, как мы знаем из формул D04) и D05), при том же смещении
dr
—- = COS
Sill CD-12,
-f -t2,
D51)
где tx и t2 — единичные взаимно ортогональные векторы по главным.
направлениям. Умножая первую формулу на кг и складывая со
второй, получим
dm
dt .
di = sm ?
или, умножая на ds,
dm -f k1 dr — sin -f • (кг — k2) ds • t2.
288
СВЕДЕНИЯ НО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
Мы видим, что вектор dm + ktdr лишь скалярным множителем
отличается от t., и, следовательно, ему параллелен:
dm + k1dr\\ t2.
Совершенно аналогично, умножая первое из равенств D51)
на к> и складывая со вторым, убеждаемся, что
dm -r к., dx ;| t,.
Поскольку векторы dm-^-k^dr и dm-\-k«dr параллельны
векторам t2 и tlt между собой взаимно ортогональным, то они и
сами ортогональны между собой, и их скалярное произведение
равно нулю:
Раскроем скобки:
dm*
z = 0.
Но к± + к., есть удвоенная средняя кривизна, т. е. 2Н, a ktk., есть
полная кривизна К, следовательно, эта формула перепишется
окончательно в виде
III — 2H-11 +К-1 = 0. D52)
Здесь через III коротко обозначена третья квадратичная форма
dm.', через П—вторая форма—dr dm и через I—первая форма
dr~. Так как К и Н выражаются, как мы знаем, через коэффи-
коэффициенты первой и второй форм, то формула D52) позволяет выра-
выразить третью форму целиком через первые две, и притом чисто
алгебраическим путем.
§ 63. Сферическое отображение поверхности.
Третьей квадратичной форме можно придать весьма наглядное
истолкование, если воспользоваться геометрическим построением,
которое называется сферическим отображением поверхности
и бывает полезным во многих случаях. А именно, из одной
и той же точки О (черт. 106) при любых значениях криволи-
криволинейных координат и, v будем откладывать единичный нормаль-
.ный вектор т, являющийся вдоль поверхности функцией a, v,
т = m (и, о).
D53)
Так как вектор m—единичный, то при переменных и, о конец
его будет двигаться по сфере радиуса 1 с центром в О. Каждой
точке и, о на нашей поверхности будет отвечать точка единич-
единичной сферы с радиус-вектором m (u, к). Рассматриваемая об-
область на поверхности однозначно отобразится на соответствую -
§ 63]
СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
289
щую область единичной сферы, для которой уравнение D53)
можно рассматривать как параметрическое представление: m—
как радиус-вектор, а в и у—как параметры1).
Двигаясь по какой-нибудь кривой на поверхности, мы описы-
описываем соответствующую кривую на единичной сфере, вдоль которой
т(и,и)
Черт. 106.
dm будет дифференциалом радиус-вектора и, следовательно,
квадрат дифференциала дуги будет выражаться формулой
Таким образом, при сферическом отображении поверхности
третья квадратичная форма на ней превращается в первую квад-
квадратичную форму на единичной сфере.
Разумеется, при этом предполагается, что параметрам и, v
приписываются на поверхности и на сфере одинаковые значения
в соответствующих точках, как это и было осуществлено в только
что проведенном построении.
Выведем теперь одну вспомогательную формулу, которая
позволит нам получить интересное геометрическое истолкование
полной кривизны К при помощи сферического отображения
поверхности.
Пусть N—точка, отвечающая в сферическом отображении точке
М на поверхности (черт. 106). Вектор m служит единичной нор-
нормалью не только для поверхности в точке М, но и для сферы
в точке N. Действительно, m является радиус-вектором точки N,
а так как радиус сферы, проведенный в какую-нибудь точку
на ней, перпендикулярен к касательной плоскости, то вектор
направлен по нормали к сфере в точке N. Таким образом, поверх-
поверхность и сфера имеют в соответственных точках М, N параллель-
1) Мы предполагаем, что К — полная кривизна поверхности — отлична
от нуля. Немного ниже показано, что в этом случае и, v действительно
способны служить криволинейными координатами на сфере. Случай же
тождественного обращения К в нуль приводит к вырождению отображе-
отображения: поверхность отображается в линию на сфере (см. ниже § 72).
19 п. К. Рашевсютй
290
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
ные касательные плоскости. В этих плоскостях, перпендикуляр-
перпендикулярных к вектору т, располагаются частные производные от радиус-
вектора по параметрам: для поверхности гц, rv, для сферы mu, т„.
Составим векторные произведения [тц, т„] и [ru, rj; они напра-
направлены каждое перпендикулярно к соответствующей касательной
плоскости и, следовательно, параллельно вектору т. Будучи
коллинеарными, эти векторные произведения отличаются лишь
скалярным множителем:
[та,щ\ = а[1и, rv]. D54)
Неопределенный пока множитель а нетрудно подсчитать.
Умножим скалярно обе части равенства на векторное произведе-
произведение [г„, г„]. Применяя известную из векторной алгебры формулу
для скалярного произведения двух векторных произведений
получим
В определителе левой части стоят скалярные произведения, отли-
отличающиеся лишь знаком от коэффициентов второй квадратичной
формы [см. C63)]; справа же скалярные произведения в опреде-
определителе совпадают с коэффициентами первой квадратичной формы
[см. C42)]. В результате равенство можно переписать в виде
или
[a,
rumu
гл
b]
r
[c,
d] =
ae
be
ad
bd
— L
— М
-М
- N
= а
Е
F
F
G
a =
LN-M*
EG-F*
Но, согласно D13'), это выражение совпадает с полной кривизной if,
так что окончательный вид формулы D54) будет
=#[ГЦ, Г„].
D55)
Эту формулу мы и хотели вывести. Теперь уясним себе ее геометри-
геометрический смысл. Мы ограничиваемся случаем, когда
#=#=0.
D56)
Тогда прежде всего т„ и ш„ не коллинеарны. Действительно,
по нашим предположениям ги и г» не коллинеарны, т. е. [ти, rv]
отлично от нуля, а следовательно, и [ш„, т^] отлично от нуля,
как видно из D55). Итак, ши и т0 не коллинеарны.
63]
СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
291
Соблюдение этого условия для вектора m (и, v) как для радиус-
вектора единичной сферы означает, что параметры и, и в доста-
достаточной близости каждой данной точки действительно способны
играть роль криволинейных координат и на этой сфере (взаимная
однозначность соответствия, см. § 45). В дальнейшем мы предпо-
предполагаем, что в рассматриваемой области изменения и, v это имеет
место.
Беря обе части равенства D55) по модулю, получим
|[тц, то]| = |^||[гц, го]|. D57)
Модуль векторного произведения | [г„, г0] |, как мы знаем из фор-
формулы C47), равен корню квадратному из дискриминанта первой
квадратичной формы:
l[ruf td\\=Veg-f:
Применяя эту же формулу к единичной сфере, для которой радиус-
вектором служит m (и, и), а первой квадратичной формой —
третья квадратичная форма на исходной поверхности, получим
| [mu, mv] | = Y7g=r.
Теперь D57) примет вид
Vё^11? = \К\ V'EG^F*. D58)
Рассмотрим некоторую область изменения параметров и, v.
Ей будет отвечать определенная область D на исходной поверх-
поверхности и одновременно область D* на сфере, в которую D переходит
при сферическом отображении. Вычислим площадь а* области D*,
пользуясь формулой C50) применительно к поверхности сферы.
Так как коэффициенты первой квадратичной формы для сферы
обозначены нами через е, /, g, то формула C50) дает
где двойной интеграл распространен по соответствующей области
изменения параметров и, v. Пользуясь формулой D58), выраже-
выражение для а*
можно переписать в виде
\К
- F2 du dv.
D59)
С другой стороны, как видно из той же формулы C50) уже
в применении к исходной поверхности, площадь в области D
на исходной поверхности выражается интегралом
а ==
EG — Fs du dv
по той же области изменения параметров и, v.
D60)
19*
292
СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
[ГЛ. V
Допустим теперь, что область D на поверхвости неограниченно
уменьшается, стягиваясь в точку М. Тогда соответствующая
область D* на сфере также неограниченно уменьшается, стяги-
стягиваясь в точку N. Тогда, как следует из основных свойств кратных
интегралов, отношение интегралов D59) и D60) стремится к пре-
пределу, равному отношению подинтегральных выражений в той
точке, к которой стягивается область интегрирования. Так как
это последнее отношение равно в нашем случае | К | в точке М,
то можно написать
о*
о
К\. D61)
Мы получили интересное истолкование модуля полной кри-
кривизны поверхности в данной точке М как предела отношения пло-
щади а* на единичной сфере к соответствующей площади а на
поверхности, когда эта последняя1) неограниченно стягивается
к точке М.
Чтобы истолковать теперь и знак К, вернемся к формуле
D55). Если К > 0, то векторные произведения [ги, г0] и [иц, т0]
направлены в одну сторону и, следовательно, направление вра-
вращения от гм к tv то же самое, что и от mu к т„ (напоминаем,
х) Точнее область, для которой площадь в берется.
§ 63]
СФЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ
293
что[эти две пары векторов лежат в параллельных плоскостях) (черт.
107 вверху). Если же К < 0, то векторные произведения
имеют взаимно обратные направления, и направления вращения
от ги к. rD и от mu к т„ противоположны (черт. 107 внизу).
В связи с этим нетрудно показать следующее.
Возьмем бесконечно малое смещение из точки М по поверх-
поверхности
dr = rudu + rv dv
и соответствующее ему смещение из точки N по сфере
dm =
dv.
Будем вращать направление dr, увеличивая отношение -^-;
тогда в разложении dr составляющая по~го растет сравнительно
с составляющей по гм и dr вращается в направлении вращения
от г„ к г„; соответственно вектор dm вращается в направлении
от mu к т0. Отсюда следует, что при К > 0 направление вращения
dm совпадает с направлением вращения dr, а в случае К < О
ему противоположно.
Итак, вращению около точки М на поверхности в определенном
направлении в сферическом отображении поверхности соответ-
соответствует вращение около точки N в том же направлении, если
К > 0, и в обратном, если К < 0.
Говорят, что в первом случае при сферическом отображении
ориентация поверхности сохраняется, во втором же—меняется
на обратную.
ГЛАВ А VI.
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ.
В эт.ой главе мы будем заниматься одним замечательным
частным классом поверхностей, именно линейчатыми, в частно-
частности развертывающимися поверхностями. Эти поверхности инте-
интересны не только по своим специальным геометрическим свойствам,
но и по тем применениям, которые они имеют в общей теории.
§ 64. Понятие о линейчатых и развертывающихся
поверхностях.
Поверхность, представляющая собой геометрическое место
прямых линий, называется линейчатой. Точнее линейчатую
цоверхность мы будем строить следующим образом.
Возьмем какую-нибудь кривую в пространстве; пусть Р — ее
текущий радиус-вектор, а и—параметр, к которому она отнесена,
Р = Р (»)- D62)
Эту кривую мы будем называть направляющей. В каждой точке
этой кривой зададим единичный вектор, который будет являться,
таким образом, также функ-
функцией параметра и вдоль
кривой,
1 = 1 (и). D63)
Через каждую точку N
направляющей линии с ра-
радиус-вектором Р (и) про-
проводим прямую параллель-
параллельно вектору 1 (и), отвечаю-
отвечающему этой точке. В резуль-
результате мы получаем в про-
Черт. 108. странстве семейство пря-
прямых (черт. 108)от одного
параметра, именно от и. Эти прямые мы будем называть образую-
образующими. Выбор образующей определяется, таким образом, значе-
64]
ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
295
нием и; что же касается выбора какой-нибудь точки М на этой
образующей, то его мы будем характеризовать расстоянием NM
по образующей от направляющей линии до точки М. При этом
расстояние NM мы берем со знаком, принимая на образующей
направление 1 за положительное. Будем обозначать расстояние NM
коротко через v,
В таком случае радиус-вектор произвольной точки М на произ-
произвольной образующей, определяемой значением и, можно записать
в виде
г = ОМ = ON + NM,
где
действительно, вектор NM коллинеарен единичному вектору 1
и потому отличается от него лишь скалярным множителем, рав-
равным длине NM с соответствующим знаком, т. е. множителем v.
Итак, окончательно
г=р(в) + о1(в). D64)
В результате радиус-вектор произвольной точки М на произ-
произвольной образующей выразился как функция двух независимых
параметров и, о. Мы получили, таким образом, параметрическое
представление линейчатой поверхности, именно той, которая
образована прямыми (образующими) построенного нами однопара-
метрического семейства прямых.
Фиксируя в этом уравнении и и меняя и, мы движемся, оче-
зидно, по образующей, отвечающей данному значению и. Следова-
Следовательно, семейством координатных линий v у нас будут служить
образующие. Если же фиксировать v и менять и, то мы идем по
образующим «параллельно» направляющей линии в том смысле,
что расстояние NM = v остается постоянным.
Таким образом, координатные линии и образуют семейство
линий, «параллельных» направляющей линии, которая сама
также входит в это семейство и отвечает случаю, когда v фикси-
фиксировано на значении 0.
Заметим, что направляющая линия геометрически ничем на
заданной линейчатой поверхности не выделяется. В качестве
направляющей может быть взята любая кривая на линейчатой
поверхности, последовательно пересекающаяся с ее образую-
образующими; произвол этот отразится только на выборе параметров
и, v на поверхности.
296
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
Вычислим теперь частные производные радиус-вектора по
параметрам. Очевидно,
гм=р'(а)+ »!'(»), г„ = 1(в). D65)
Составим векторное произведение этих векторов, направлен-
направленное, как мы знаем, по нормали к поверхности1):
[ги,г„] = [рМ] + е[1',1]. D66)
Исследуем поведение нормали к линейчатой поверхности,
когда точка движется по поверхности вдоль какой-нибудь обра-
образующей, т. е. когда мы меняем v при фиксированном и. Так как
Р, 1 являются функциями только и,
dm то векторные произведения [Р', I]
и [Г, 1] остаются постоянными,
и правая часть D66) может менять-
меняться лишь вследствие изменения коэф-
коэффициента V.
Здесь мы будем различать два
случая, общий и специальный.
Общий случай: векторные
произведения [р', 1] и [Г, 1] не
коллинеарны. В этом случае при
движении вдоль образующей, т. е.
при изменении о, первое слагаемое
в правой части D66) постоянно, вто-
второе же, ему не параллельное, изме-
изменяется пропорционально v. В результате вся правая часть пред-
представляет собой вектор, направление которого меняется вместе с и.
Следовательно, вдоль образующей направление нормали к поверх-
поверхности меняется от точки к точке. Очевидно, что касательная
плоскость в какой-нибудь точке на данной образующей проходит
через эту образующую (так как образующая является своей соб-
собственной касательной). Поэтому при движении точки касания
вдоль образующей касательная плоскость, все время проходя
через образующую, вращается около нее. В этом случае линей-
линейчатая поверхность называется косой (черт. 109).
Специальный случай: векторные произзедения
[Р', 1] и [Г, 1] коллинеарны. В этом случае оба слагаемых.в пра-
правой части D66) параллельны друг другу (а следовательно, и своей
сумме) при любом значении v. Таким образом, все нормали вдоль
данной образующей параллельны между собой, так как они
параллельны векторам [Р', 1] и [!', 1]. Когда точка касания дви-
движется вдоль образующей, то касательная плоскость проходит
все время через образующую; и так как касательная плоскость
') Мы предполагаем, как обычно, что векторы гя, т0 не параллельны.
Черт. 109.
§64]
ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙЧАТЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ
297
должна, кроме того, оставаться перпендикулярной к неизменному
направлению нормали, то она не может вращаться около образую-
образующей и остается неподвижной.
Итак, в рассматриваемом случае касательные плоскости
к поверхности в точках, расположенных на одной и той же обра-
образующей, совпадают между собой. Такую линейчатую поверхность
мы будем называть развертывающейся поверхностью (черт. 110).
Обратно, если мы имеем развертывающуюся поверхность,
т. е. касательная плоскость для всех точек образующей одна
и та же, и нормали вдоль обра-
образующей параллельны, то направле-
направление вектора D66) не зависит от
значения v, что возможно лишь
в случае
[РМШ1М]. D67)
Таким образом, условие D67)
необходимо и достаточно для того,
чтобы линейчатая поверхность ока-
оказалась развертывающейся. Этому
условию можно придать более
простую форму.
Общее направление двух век-
векторных произведений будет орто-
ортогональным ко всем их множите-
множителям, т. е. к векторам 1,1', Р',
которые, таким образом, оказы-
оказываются компланарными (параллельными одной плоскости).
Легко видеть, что это условие и достаточно. Итак, условие
D67) может быть переписано в эквивалентном виде
1(и), 1'(и), р'(и) компланарны, т.е. A,1', Р') = 0. D68)
Это условие наложено, как мы видим, на вектор-функции Р (и)
(радиус-вектор направляющей кривой) и 1 (и) (единичный вектор
на образующей). Плоскость векторов D68) будет параллельна
векторам D65) при любом значении v, т. е. параллельна касатель-
касательной плоскости, проходящей через соответствующую образующую.
Пример. Минимальным геликоидом называется линейчатая поверх-
поверхность, описываемая подвижной прямой (образующей), которая, все время
пересекая под прямым углом некоторую неподвижную прямую (ось), вра-
вращается около этой оси и одновременно смещается вдоль нее пропорцио-
пропорционально углу поворота.
Образующие геликоида расположены, следовательно, наподобие сту-
ступенек винтовой лестницы.
Если принять ось геликоида за ось Z и считать ее направляющей
линией поверхности, то можно записать
Черт. 110.
298
ЛИНЕЙЧАТЫЕ .И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
где за параметр и принят угол поворота образующей сравнительно
с начальным ее положением, а А. — постоянный коэффициент пропорцио-
пропорциональности.
Если начальное положение образующей принять за ось X, то вектор 1,
указывающий направление образующей, будет в нашем случае
I (и) = i cos и + j sin и.
Записать параметрическое представление геликоида в виде D64), найти
его первую и вторую квадратичные формы и показать) что геликоид —
поверхность минимальная
Показать, что одно семейство асимптотических линий совпадает
с образующими, а второе — с винтовыми линиями, описываемыми точками
подвижной образующей.
Показать, что уравнения линий кривизны будут
v= ±sh(M —u0), и„ — const.
§ 65. Горловая точка.
До сих пор мы изучали поверхности обычно в бесконечно
малой окрестности данной точки. Но так как линейчатая поверх-
поверхность имеет особенно простое строение—состоит из прямолиней-
прямолинейных образующих, то ее можно рассматривать сразу в окрест-
окрестности целой образующей. Дру-
Другими словами, можно взять про-
произвольную образующую, кото-
которая отвечает некоторому значе-
значению и, и рассмотреть бесконечно
близкую образующую, которая
отвечает значению и + Дни стре-
стремится к первой образующей, опи-
описывая нашу линейчатую поверх-
поверхность (по крайней мере в неко-
некоторой ее части, прилегающей к
образующей и).
Таким образом, мы должны
рассмотреть взаимное располо-
расположение двух бесконечно близких
образующих.
Значения Р (и), 1 (и) при дан-
данном значении и мы будем обозна-
обозначать просто f,l, а при наращенном значении и + Аи через
р + дрл + дь
Найдем прежде всего общий перпендикуляр ММ' к образую-
образующим и, и+ Дм (черт. 111).
Радиус-вектор точки М, согласно D64), можно записать в виде
ГОРЛОВАЯ ТОЧКА
299
§ 65]
где, однако, v неизвестно и должно быть найдено. Аналогично
запишется и радиус-вектор точки М', который мы обозначим
г + Аг:
г+ Лг=Р + ДР + (в + Дв)A+ Д1).
Здесь в + Дв также неизвестно.
Вычитая из второго равенства первое, мы вычислим вектор Дг,
который, очевидно, совпадает с ММ'.
ММ' = Дг = Д Р. + и Д1 + Дв A + Д1).
Так как ММ' направлен по общему перпендикуляру к двум
образующим, то он ортогонален и к 1, и к 1 + Д1, а значит, и к их
разности Д1. Следовательно, будут равны нулю и скалярные
произведения:
ШГ1 = 0, ЖЖ'Д1 = 0.
Вставляя в эти равенства вместо ММ' его выражение, получим
соответственно:
ДР! + в Д11 + Ди A + 1А1) = О
(так как Р = 1), и
Д Р Д1 + вДР + Дв AД1 + ДР) = 0.
Для дальнейшего будет удобно поделить первое уравнение
на Ди, а второе — на (ДиJ почленно. Получим, обозначая д-
через го:
де Д1
Ди Дм
D69)
Мы имеем два уравнения с двумя неизвестными v и га, из кото-
которых, вообще говоря, можно их найти, после чего определятся
и точки М, М', а значит, и перпендикуляр ММ'.
Однако ММ' — общий перпендикуляр к образующим и, и + Дм—
есть прямая, в значительной мере случайная, так как при
Ди—> 0 она будет передвигаться ввиду перемещения второй обра-
образующей, стремящейся к совпадению с первой.
Поэтому гораздо естественней вместо ММ' рассматривать
его предельное положение при Дм —> 0, которое будет вполне опре-
определенным для каждой данной образующей м. Существование
такого предельного положения нужно, конечно, доказать. Однако
для этого нам придется устранить из рассмотрения цилиндриче-
цилиндрические поверхности. Действительно, у цилиндрической поверхности
образующие параллельны, общий перпендикуляр двух образующих
300
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
неопределенный, так что нет смысла говорить о его предель-
предельном положении. Параллельность образующих можно записать
условием
1 (и) = const. или Г (и) = 0.
Устраняя цилиндрические поверхности, мы будем предпо-
предполагать
\'{и) Ф 0.
Конечно, и у нецилиндрической поверхности для отдельных
образующих Г (и) может обращаться в нуль, но мы таких образую-
образующих рассматривать не будем.
При Ди—>0 коэффициенты уравнений D69) стремятся к пре-
пределам, которые нетрудно найти. Нужно только иметь в виду, что
Аи
Т -0 = 0,
Аи 1 '
1Д1-
- _* И' = О
Ли
(так как Г J_ 1 в силу леммы 1 § 18).
В пределе уравнения D69) с неизвестными и, го примут вид
= 0, |
= 0. J
D69')
Детерминант этой системы
О 1
Г2 О
= — I'2
0.
Значит, и у системы D69) при достаточно малом Ди детерми-
детерминант тоже не равен нулю, и система D69) рмеет единственное
решение и, w (т. е. существует вполне определенный перпенди-
перпендикуляр ММ').
Решение ?;, го системы D69) стремится в пределе к решению
системы D69'), так как v, го вполне определенным образом выра-
выражаются через коэффициенты системы, а коэффициенты системы
D69) стремятся к коэффициентам системы D69') (причем детерми-
детерминант системы стремится к пределу, не равному нулю). Итак,
о—>в0,
Ди-»0
W =
Av
Аи
гоп
где v0, w0—решение системы D69'), т. е.
D69")
§ 66]
ГОРЛОВАЯ ЛИНИЯ
301
Так как v — координата точки М на образующей и, то v—*v0
означает, что М стремится по этой образующей к предельному
положению Мй с координатой vu.
Таким образом, основание М общего перпендикуляра ММ'
при Ди—»-0 стремится по образующей и к предельному полооке-
нию Ма; точка Мй называется горловой точкой образующей и.
Горловая точка на каждой образующей отмечает «самое узкое
место» линейчатой поверхности в окрестности этой образующей.
Нетрудно написать явно радиус-вектор горловой точки согласно
D64) и, пользуясь D69"):
г=?(и)-Щ^Ци). D70)
Что же касается предельного положения самого перпендику-
перпендикуляра ММ', то оно пройдет через Мй параллельно вектору [1, Г].
Действительно, ММ' перпендикулярен к направляющим векто-
векторам 1, 1 + А1 образующих и, и + Ди. А значит,
Поделив правую часть на Ди, получим
™»n[i, ?].
Это векторное произведение при ни—=*0 стремится к пределу
[1,1'].. Следовательно, в то время, когда основание перпендику-
перпендикуляра ММ' стремится в точку Мо, его направление стремится
к направлению вектора [I, Г].
§ 66. Горловая линия.
Строение развертывающейся поверхности.
Итак, на каждой образующей линейчатой поверхности имеется
[в предположении Г (и) Ф 0] ровно одна горловая точка. Геометри-
Геометрическое место горловых точек называется горловой линией. Если
в уравнении D70) считать и переменным, то оно покажет измене-
изменение радиус-вектора горловой точки в зависимости от параметра и,
т. е. от выбора образующей. Мы получаем, следовательно, пара-
параметрическое уравнение горловой линии.
Геометрический смысл горловой линии состоит в том, что
она «опоясывает» линейчатую поверхность по самому узкому
ее месту. Так, например, для однополостного гиперболоида вра-
вращения
302 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
который является дважды линейчатой поверхностью (две системы
прямолинейных образующих), горловой линией в обоих случаях
будет окружность его пересечения с плоскостью XY
х* + у* = а\ z=0.
На этом примере видно, что горловая линия пересекает образую-
образующие, вообще говоря, не под прямым углом, вопреки тому, что
можно подумать с первого взгляда.
Заметим, между прочим, что для однополостного гиперболоида
общего вида
горловая линия не будет линией пересечения с плоскостью XY
(она будет пространственной кривой 4-го порядка, особой для
каждой системы прямолинейных образующих).
Чтобы горловую линию было удобнее изучать, примем ее
за направляющую кривую р = Р (и). Тогда в формуле D70) радиус-
вектор г горловой линии совпадает с радиус-вектором Р напра-
направляющей кривой, так что вычитаемое должно обратиться в нуль.
А это значит
Р'1' = 0, ;т. е. I' ± р'. D70')
Очевидно, это условие и достаточно для того, чтобы напра-
направляющая совпадала с горловой линией.
Теперь нам придется отдельно рассмотреть два случая.
1°. Косая линейчатая поверхность. Век-
Векторы 1, Г, Р' не компланарны. Касательная плоскость к поверх-
поверхности в горловой точке iV(cM. черт. 108) проходит через образую-
образующую (т. е. через вектор 1) и через касательный вектор Р'(и) к горло-
горловой линии (теперь мы считаем направляющую, изображенную
на черт. 108, горловой линией). Но вектор 1' ортогонален к 1
(§ 18) и ортогонален к f в силу D70'). Следовательно, вектор Г
направлен по нормали к поверхности в горловой точке N.
Обратно, если в некоторой точке поверхности нормаль напра-
направлена по вектору У, то эта точка будет горловой. Действительно,
проведем через данную точку какую-нибудь направляющую
Р (и); тогда нормальный вектор 1' ортогонален касательному век-
вектору р', условие D70') соблюдается, а значит, уравнение D70)
дает
г=Р,
т. е. горловая точка г совпадает с данной точкой р.
Итак, в горловой точке N нормаль к поверхности идет по век-
вектору Г. Проследим, как поворачивается нормаль к поверхности
по мере того как мы смещаемся по образующей из горловой
точки IV на некоторое расстояние и в точку М.
§ 66] ГОРЛОВАЯ ЛИНИЯ 303
Согласно D66) нормаль к поверхности направлена по вектору
Но в нашем случае Р', 1 J_ Г, так что векторное произведение
[Р', 1] направлено по Г и отличается от Г лишь некоторым числен-
численным множителем
[?',l]=pV. D71)
Конечно, число р для разных
образующих имеет разные зна-
значения (т. е. является функ-
функцией и).
Итак, нормаль к поверхно-
поверхности в точке М направлена по
вектору
j»l' + u[l',1]- (*)
Векторы Г и [Г,1], по ко-
которым разложен вектор (*),
ортогональны между собой и
имеют Одинаковую длину 11' |.
Поэтому тангенс угла а, кото-
который вектор (*) образует с век-
некоторым числен-
Черт. 112.
тором Г (черт. 112), выражается отношением коэффициентов:
tga=-.
в р
D71')
Но вектор (*) направлен по нормали в точке М, а 1' — по нор-
нормали в горловой точке IV.
Итак, по мере смещения из горловой точки вдоль образующей
тангенс угла поворота нормали растет пропорционально прой-
пройденному пути. В формуле D71') все величины берутся со знаками.
Угол а. считается положительным при повороте от 1' в сто-
рону [Г, 1].
Когда v —^ ± со , угол я —> ± у (если р > 0), или а —» ^ -^-
(если /><0). Заметим, что р нулем быть не может; иначе,
согласно D71), получилось бы
что противоречит условию некомпланарности векторов 1, Г, Р'.
2°. Развертывающаяся поверхность. Векторы
1, Г, Р' компланарны. Кроме того, согласно D70'),
рт=о.
304
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
Рассмотрим сначала исключительный случай, когда оба усло-
условия соблюдаются вследствие того, что
р' = 0.
Это означает, что
Р(м) = const.,
т. е. горловая линия вырождается в точку—горловые точки на
различных образующих совпадают между собой. Мы получаем
коническую поверхность с вершиной в общей всем образующим
горловой точке.
Переходим к основному случаю, когда
?'(и)фО.
Тогда Р'J_ I' в силу D70'). Кроме того, 1 _L Г, так как |1| = 1.
Далее, все три вектора компланарны и могут быть для нагляд-
наглядности помещены в одной
плоскости. В результате
Р' и 1, векторы, ортого-
ортогональные к одному и то-
тому же вектору 1', кол-
линеарны между собой
(черт. 113)
Горловая "^ II! Р'
линия
(редро возврата; Так как образующая
развертывающейся по-
поверхности направлена по
1 (и), а касательная к гор-
горловой линии—по Р'(п) и
так как обе они проходят
Черт. 113. через горловую точку N,
то должны совпадать.
Итак, в основном случае развертывающаяся поверхность пред-
представляет собой геометрическое место касательных к своей горло-
горловой линии. Горловая линия развертывающейся поверхности
называется ее ребром возврата. Заметим, что касательная пло-
плоскость к развертывающейся поверхности, постоянная вдоль
данной образующей, совпадает с соприкасающейся плоскостью
ребра возврата в горловой точке N. Действительно, вектор 1(и),
единичный касательный вектор к ребру возврата, имеет произ-
производную Г (и), направленную по главной нормали ребра возврата.
Таким образом, плоскость векторов 1, Г, отложенных в точке iV,
есть соприкасающаяся плоскость ребра возврата и в то же время
касательная плоскость развертывающейся поверхности (см. ко-
конец § 64).
§ 66]
ГОРЛОВАЯ ЛИНИЯ
305
Нами был исключен из исследования случай цилиндрической
поверхности (§ 65). Между тем зто также случай развертывающейся
поверхности. Действительно, в этом случае
I (и) = const., Г (и) = 0,
так что компланарность векторов 1, Г, р' имеет место при
любом выборе направляющей Р = р (и) (горловой линии в
этом случае не существует).
Итак, всякая развертываю-
развертывающаяся поверхность будет или
цилиндрической, или конической,
или геометрическим местом ка-
касательных к некоторой кривой.
Последний случай —основ-
—основной, а два первых—исключи-
первых—исключительные (черт. 114, 115). Верна
и обратная теорема.
Всякая поверхность, являю-
являющаяся цилиндрической, кониче-
конической или геометрическим местом
касательных к произвольной
кривой, будет развертывающейся поверхностью.
Для цилиндрических поверхностей мы это только что показали.
Далее, пусть дана произвольная коническая поверхность, т. е.
линейчатая поверхность, образующие которой проходят через
фиксированную точку О. Если точку О
выбрать за начало координат, то радиус-
вектор любой точки на поверхности будет
лежать на соответствующей образующей
и будет коллинеарен, следовательно, век-
вектору 1(и). •
где q (и) — скалярный коэффициент. От-
Отсюда
Черт; 115.
и, следовательно, требование компланарности D68) соблю-
соблюдается.
Наконец, линейчатая поверхность, образованная касатель-
касательными к произвольной пространственной кривой, всегда дает нам
развертывающуюся поверхность. Действительно, примем эту
кривую за направляющую линию
20 п. К. Рашевский
306
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХ ЧОСТИ [ГЛ. VI
на полученной линейчатой поверхности. Так как образующие
поверхности в каждой точке этой кривой направлены по ее каса-
касательным, то вектор 1 (и) всегда параллелен Р' (и) и, следовательно,
условие D68) соблюдается. Мы имеем развертывающуюся поверх-
поверхность.
Развертывающаяся поверхность своим ребром возврата делится
на две полости. А именно, когда точка касания описывает ребро
возврата, то касательная к нему описывает развертывающуюся
поверхность, причем полукасательная, расположенная по одну
сторону точки касания, описывает одну полость, а другая полу-
полукасательная—другую. Эти две полости как бы обрезаны по ребру
возврата и склеены вдоль него друг с другом и притом довольно
своеобразно. А именно, обе полости подходят к ребру возврата
с одной стороны (черт. 115) и склеиваются там под углом нуль,.
т. е. касаясь друг друга. Если пересечь развертывающуюся
поверхность плоскостью, нормальной к ребру возврата в какой-
нибудь точке М, то в сечении получается кривая вида PMQ,
имеющая в М точку возврата. В точке М встречаются ее ветви РМ
и QM, полученные пересечением нормальной плоскости с двумя
полостями развертывающейся поверхности. Конечно, точки
ребра возврата являются особыми для развертывающейся
поверхности.
Проверка всех этих утверждений требует добавочных выкла-
выкладок, которые мы опускаем.
Итак, у нас исчерпаны все возможные случаи строения развер-
развертывающейся поверхности: специальные—цилиндрические и кони-
конические поверхности—и общий—геометрическое место касатель-
касательных к какой-нибудь кривой в пространстве. В частности, эту
кривую можно взять плоской, и тогда развертывающаяся поверх-
поверхность оказывается плоскостью.
Докажем теперь, что развертывающуюся поверхность {по край-
крайней мере в окрестности любой обыкновенной точки) можно путем
непрерывной деформации, сохраняющей без изменения длины
всех кривых на поверхности, наложить на плоскость. Другими
словами, изгибая кусок развертывающейся поверхности бея
растяжений и сжатий, мы можем сделать его куском плоскости.
Этим и объясняется само название поверхности «развертываю-
«развертывающеюся». Другие поверхности таким свойством не обладают;
например, если взять кусок поверхности сферы, даже очень
малый, то его никоим образом нельзя развернуть на плоскость,
если не прибегать к растяжениям или сжатиям.
Для доказательства примем за направляющую линию Р (и).
ребро возврата (в случае цилиндрических и конических поверх-
поверхностей теорема почти очевидна), причем и считаем длиной дуги
вдоль ребра возврата. Так как образующие совпадают с касатель-
касательными, то вектор 1 (и) совпадает с единичным касательным векто-
§ 67] ПАРЛАЖТР РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ром t(u). Уравнение D64) примет вид
307
rp(B) + ot(«).
Отсюда
г0 = t, г„ = t + vkn,
где Р'(гг) заменено через t, a f (»)—по первой формуле Френе —
через кп. Отсюда коэффициенты первой квадратичной формы
вычисляются так:
Е=*тЪ = 1 + v2 кг (и), F = rurv = l, G = rS = l.
Будем непрерывно изменять ребро возврата как простран-
пространственную кривую; для этой цели можно непрерывно менять вид
функций, входящих в его натуральные уравнения:
к = к(и)>0, х=х(и).
Сообразно нашим целям будем оставлять вид функции к(и)
без изменения, а вид функции х (и) будем менять непрерывно
с таким расчетом, чтобы к (и) в конце кондов обратилось тожде-
тождественно в нуль,
х(в) = 0,
т. е. чтобы ребро возврата сделалось плоской кривой.
При указанной деформации ребра возврата будет непрерывно
деформироваться и определяемая им развертывающаяся поверх-
поверхность, причем в конце концов она станет плоской (для плоского
ребра возврата). При эюм мы отображаем каждую точку М (и, и)
на первоначальной поверхности в точку с теми же значениями
и, v на деформированной поверхности.
Теперь нужно убедиться в том, что отображение на пло-
плоскость (взаимно однозначный характер которого можно гаранти-
гарантировать лишь в малом) происходит без изменения длин кривых
на поверхности. Но это сразу видно из выражений для Е, F, G,
так как х (и) в эти выражения не входит, а вид функции к (и)
остается неизменным; следовательно, и вид функций Е, F, G
по отношению к аргументам и, v остается прежним. Отсюда сле-
следует, что и длины всех кривых на поверхности, выражаемые
согласно формуле C44), остаются в процессе деформации неиз-
неизменными.
§ 67*. Параметр распределения.
Вернемся к произвольной линейчатой поверхности
Случай цилиндрической поверхности исключаем и считаем
V {и) ф 0.
20*
308
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
При переходе от данного значения параметра и к бесконечно
близкому значению и-\- Аи образующая и переходит в положение
и-\- Аи (см. черт. 111), поворачиваясь на некоторый угол Дев
и уклоняясь от прежнего положения на расстояние АЪ = ММ'.
Обе эти величины бесконечно малы, но отношение -т- будет стре-
стремиться, как мы сейчас покажем, к определенному пределу.
Этот предел является важной геометрической характеристи-
характеристикой линейчатой поверхности в окрестности данной образующей.
Он показывает, грубо говоря, какое уклонение образующей от
первоначального положения приходится на единицу угла пово-
поворота этой образующей при ее бесконечно малом смещении по по-
поверхности.
Найдем сначала предел отношения т-^-,, причем угол Д<р бу-
будем считать всегда положительным. Так как Д<р есть угол пово-
поворота единичного вектора 1 (и), то по лемме 2 § 18
!ГТ = |1'(ИI- D72)
Далее, составим смешанное произведение
A, 1 + А\, LL') = A, 1 + Д1: ~ММ%
Мы" заменили LL\ на ММ', так как разность этих векторов
равна M'L'—ML, причем ML коллинеарно 1, первому множи-
множителю, a M'L'—коллинеарно 1+Д1, второму множителю сме-
смешанного произведения. Следовательно, прич такой замене смешан-
смешанное произведение сохранит прежнее значение.
Далее, объем параллелепипеда, построенного на векторах
1, 1+ Д1, ММ', будет равен Д^-sin Дер, так как ММ' ортогонален
к 1 и 1+Д1, а векторы 1, 1+Д1—единичные.
Условимся приписывать ДХ. знак смешанного произведения
A, 1+Д1, ММ'); тогда правую часть равенства можно заменить
через ДХвтДу. В левой части мы откинем 1 во втором множи-
множителе (т. е. слагаемое, коллинеарное с первым множителем) и заме-
замеLL' через ДР (черт. 111). Получим
ним
A, Д1, ДР) = AXsin Д-f.
Разделим полученное равенство почленно на (АиJ:
(. Д1 А(\ ДХ sin Д?
*' Дй ' Ьп) ~
| Дм|
§ 67]
Отсюда
ПАРАМЕТР РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
3091
АХ
I Да/
Аи' Аи)_{}' Аи' Аи)
Д» sinAf *
sin Д?
I Аи I
| Дм | Д-f
Последнее выражение при Ли—> 0, очевидно, стремится к пре-
пределу, который нетрудно подсчитать, пользуясь соотношениями
— 1' ^1 Р' sin Д? •
Дм ' Аи • ' Д^ '
а также соотношением D72). Получим
_ (I, V. еО
Деля полученное равенство на D72) почленно, получим окон-
окончательно
д* _ СМ', е') _(М',е')
D73)
Таким образом, lim д- существует и вычисляется согласно D73).
Этот предел называется параметром распределения линейчатой
поверхности. Для каждой образующей он имеет, вообще говоря,
свое значение и является функцией параметра и.
Если, в частности, поверхность развертывающаяся, то 1, 1', Р*
компланарны, и смешанное произведение в правой части обра-
обращается в нуль. Следовательно,
и расстояние ДХ является бесконечно малым высшего порядка
сравнительно с углом поворота Дер.
Условие D73') не только необходимо, но и достаточно для
того, чтобы линейчатая поверхность была развертывающейся,
так как из D73') следует, согласно D73), что
A, 1', Р') = 0, 1, 1', Р' компланарны.
Итак, условие D73'), т. е. обращение в нуль параметра рас-
распределения, необходимо и достаточно для того, чтобы данная
линейчатая поверхность была развертывающейся. Для косой
линейчатой поверхности параметр распределения отличен от
нуля. При этом существенно, что коэффициент р в формулах
D71), D71') совпадает с параметром распределения. Действительно,
согласно D71),
[РМ] =р\'*
310 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
Умножая обе части равенства на 1' скалярно, получим
или
¦ _(М', е') _
,. ДА.
= bm -т-
ди-й> д?
Знак параметра распределения р косой линейчатой поверх-
поверхности, очевидно, совпадает со знаком ДХ (так как Да > 0) и имеет
следующий геометрический смысл.
Наблюдая из точки М' на второй из двух бесконечно близ-
близких образующих (черт. 111) за вращением первой образующей
вокруг ее точки М на угол Д<р до совпадения по направлению
с первой образующей, мы в случае р > 0 увидим это вращение про-
происходящим против часовой стрелки, а в случае р < 0—наоборот.
Весьма существенно, что этот результат не зависит от того, какую
образующую мы будем считать первой и какую второй.
Упражнения.
1. Показать, что горловая линия геликоида совпадает с его осью
и что его параметр распределения есть величина постоянная.
2. Найти вычислением горловую линию и параметр распределения
однополостного гиперболоида вращения; гиперболического параболоида
ж2— j/a = 2/)z.
3. То же самое для однополостного гиперболоида и гиперболическо-
гиперболического параболоида общего вида.
§ 68. Огибающая семейства поверхностей от одного параметра.
Рассмотрим в пространстве семейство поверхностей, завися-
зависящих от одного параметра С:
F{x,y,z,C) = 0. D74)
Каждому значению С в рассматриваемой области его изменения
отвечает поверхность, определяемая уравнением D74). Для семей-
семейства D74) можно развить теорию огибающих, аналогичную тео-
теории огибающих семейства кривых на плоскости.
Огибающей мы будем называть поверхность1), которая в каждой
своей точке касается некоторой поверхности семейства .
При этом предполагается, что в рассматриваемой области,
пространства на поверхностях семейства и на огибающей имеются
только заведомо обыкновенные точки, особые же точки устранены
из рассмотрения.
Будем искать уравнение огибающей (или ее части) в виде
<р(х, у, z)= 0, D75)
предполагая, что огибающая семейства D74) существует. Пусть
г) Точнее, совокупность всевозможных таких поверхностей.
68]
ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ
311
М (х, у, z)—какая-нибудь точка, взятая на огибающей. Тогда по
определению огибающей эта же точка лежит и на некоторой
поверхности семейства, причем касательная плоскость будет
в этой точке общей для обеих поверхностей.
Пусть С—значение параметра, отвечающее этой поверхности
«емейства. В таком случае координаты х, у, z удовлетворяют,
во-первых, уравнению огибающей
<р (х, у, z) = 0
и, во-вторых,—совместно с С—уравнению поверхности семейства
F(z,y,z,C) = 0. D76)
Эти два равенства имеют место в каждой точке огибающей. По-
Поэтому при бесконечно малом смещении точки М(х, у, z) по огибаю-
огибающей мы имеем право дифференцировать эти равенства почленно.
Получим
<?xdx+<?gdy+yzdz = 0,
Fxdx + Fydy+ FzdzAf FcdC = 0,
где dx, dy, dz, dC—дифференциалы, соответствующие проделан-
проделанному бесконечно малому смещению'). Но так как касательные
плоскости для обеих поверхностей в точке М (х, у, z) совпадают,
то нормаль тоже общая, и градиенты
„ j + ?zb, FJ. + FBi + Fz\l,
направленные по нормалям соответственно к огибающей и к по-
поверхности семейства (§ 32), должны быть параллельны. Другими
словами,
Fx- <?x=Fy ¦ <?y = Fz-9z-
В таком случае первое из уравнений D77) влечет за собой
Fxdx
g dy+Fzdz =
так что от второго уравнения остается только
Fc dC = 0.
Случай dC = O мы оставляем в стороне, так как он означал бы,
что С сохраняет при движении точки М (х, у, z) по огибающей одно
и то же значение, т. е. что все точки М(х,у, z) на огибающей
попадают на одну и ту же поверхность семейства. Формально
это не противоречит нашему определению огибающей, но, конечно,
«лучай совпадения огибающей с одной из поверхностей семейства
2) Вполне уточненное доказательство можно получить, относя огибаю-
огибающую поверхность к ее параметрам u, v и рассматривая х, у, z, а также С
как функции этих параметров. Тогда D75) и D76) превращаются в то-
тождества относительно и, и и в качестве таковых дифференцируются почлен-
почленно (берутся полные дифференциалы при аргументах и, Ь)~.
312 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
мы оставляем в стороне, как вполне тривиальный. Тогда мы должны
считать, что dC Ф 0 и, следовательно,
Итак, каждая точка М (х, у, z) на огибающей и параметр С,
отвечающий поверхности семейства, которая касается огибающей
в этой точке, связаны уравнениями
F(x,y,z,'C) = Q, Fc{x,y,z,C) = 0. D78)
Рассмотрим теперь эту пару уравнений независимо от оги-
огибающей. Так как здесь мы имеем два уравнения, связывающих че-
четыре величины, то практически можно ожидать, что отсюда удастся
выразить х, у, z и С как функции двух из них, или, более обще,
как функции двух каких-нибудь независимых параметров и, v
в достаточно малых областях изменения величин х, у, z, С; более
детальный анализ условий этого мы оставляем в стороне.
Тогда х, у, z, выраженные как функции и, v, определят нам
некоторую поверхность, а С, тоже как функция и, v, сопоставит
каждой точке этой поверхности определенное значение С. Полу-
Полученную поверхность (или точнее систему всевозможных таких
поверхностей) мы будем называть дискриминантной поверхностью.
В каждой точке этой поверхности и для соответствующего зна-
значения С соблюдаются по определению уравнения D78).
Так как выше мы выяснили, что для огибающей и соответ-
соответствующих ее точкам значений С уравнения D78) заведомо имеют
место, то отсюда следует, что огибающая лежит на дискрими-
дискриминантной поверхности.
Теперь мы докажем и обратное, именно, что дискриминантная
поверхность в каждом своем простом куске является огибающей.
Тем самым будет установлено полное тождество обеих поверхностей.
Пусть М(х, у, z)—какая-нибудь точка на дискриминантной
поверхности и С—соответствующее значение параметра. Тогда
имеют место равенства D78); прежде всего
F(x,.y,z,C) = O, D79)
т. е. поверхность семейства, отвечающая данному значению С [обо-
[обозначим ее коротко через (С)], проходит через точку М. Покажем,
более того, что она касается дискриминантной поверхности в этой
точке М. Этим наше утверждение будет доказано. Сместимся иа
точки М по дискриминантной поверхности; так как D79) имеет
место в любой ее точке, то мы имеем право это равенство дифферен-
дифференцировать. Получаем
Fx dx +Fgdy+ Fz dz + FcdC=O,
где дифференциалы отвечают бесконечно малому смещению по
дискриминантной поверхности (см. предшествующую сноску).
§ 68]
ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА ПОВЕРХНОСТЕЙ
313
Но так как х, у, z, С удовлетворяют и второму из уравнений D78),
то FC = Q, и мы получаем
Fx dx + Fg dy + Fz dz — 0. D80)
Обозначим коротко
это—градиент левой части уравнения поверхности семейства,
направленный, как мы знаем, по нормали к поверхности семейства.
Он взят нами в точке М (х, у, z) при соответствующем ей зна-
значении С и направлен, следовательно, по нормали к поверхности
(С) в точке М. Далее, дифференциал радиус-вектора dr при рас-
рассматриваемом смещении по дискриминантной поверхности можно
записать в виде
dr = dx i + dy j + dz k.
Отсюда левую часть D80) можно представить в виде скалярного
произведения
Так как dv—дифференциал радиус-вектора при произволь-
произвольном смещении из точки М по дискриминантной поверхности,
то все касательные к этой поверхности в точке М направлены
перпендикулярно к VF. Следовательно, Vi*1 направлен по нор-
нормали к дискриминантной поверхности в точке М. А так как, кроме
того, он направлен по нормали к поверхности (С) в той же точке М,
то нормали и касательные плоскости к обеим поверхностям в
точке М совпадают. Это значит, что дискриминантная поверх-
поверхность в каждом своем простом куске является и огибающей.
Итак, огибающая поверхность совпадает с дискриминантной
поверхностью D78) *). Заметим, что при доказательстве существен-
существенную роль играло предположение, что в рассматриваемой области
на поверхностях семейства и на огибающей имеются лишь заве-
заведомо обыкновенные точки. Это сказалось в том, что мы градиенты
VF, Vcp предполагали отличными от нуля, без чего наше доказа-
доказательство оказалось бы несостоятельным.
При практическом отыскании огибающей мы используем ее
совпадение с дискриминантной кривой, т. е. исходим из уравне-
уравнения D78). Конечно, нет необходимости обязательно выражать
х, у, z, С в функции двух независимых параметров, как это мы
делали при теоретическом рассмотрении. Нас вполне устроит,
если удастся исключить из этих двух уравнений С, получив
одно уравнение непосредственно между текущими координатами
х, у, z—уравнение огибающей.
1) Если не обращать внимания на возможные особые точки дискри-
дискриминантной поверхности.
314
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI.
"В заключение следует ввести еще одно важное понятие, свя-
связанное', с предыдущими построениями. До сих пор мы исходили
из огибающей и уже в связи с ней рассматривали поверхности
семейства. Пусть. теперь, наоборот, дана поверхность семей-
семейства {С)
F(x,y,z,C) = O D81)
при каком-нибудь фиксированном значении С. Нас интересуют
те точки этой поверхности, где ее касается огибающая. Мы знаем,
что координаты этих точек связаны с соответствующим значением
параметра С уравнениями D78). Следовательно, к уравнению
D81), выражающему, что точка (х, у, z) лежит на поверхности (С),
нужно присоединить уравне-
уравнение
Fc(x,y,z;C) = O. D82)
Так как сейчас С фикси-
фиксировано, т. е. поверхность (С)
задана, то уравнения D81)
и D82) наложены только на
(х, у, z) и определяют нам,
как правило, кривую, лежа-
лежащую на поверхности {С).
Точки этой кривой лежат в
то же время и на огибающей,
причем всем им отвечает
фиксированное значение С, т. е. во всех этих точках огибаю-
огибающая касается одной и той же поверхности (С).
Кривая, вдоль которой огибающая касается данной поверх-
поверхности семейства, называется характеристикой. Уравнения D78)
превращаются в уравнения характеристики при фиксированном С.
Очевидно, огибающую можно рассматривать как геометрическое
место характеристик: каждая из поверхностей семейства касается
огибающей по характеристике, которые в совокупности запол-
заполняют всю огибающую (черт. 116).
Нетрудно доказать, что если существует предельное положе-
положение линии пересечения бесконечно близких поверхностей семей-
семейства (С) и (С + А.С) при АС—^0, то это будет характеристика,
лежащая на (С).
Пример. Каналовой поверхностью называется огибающая семейст-
семейства сфер
(х - а)* + (у- Ъу + (z - су - R* = 0>
где а, Ь, с, R суть функции параметра С.
Показать, что характеристики будут в этом случае окружностями,
так что каналовая поверхность всегда образована ос1 окружностей (обрат-
(обратное, однако, неверно).
Черт. 116.
| 69] РАЗВЕРТЫВАЮЩАЯСЯ ПОВЕРХНОСТЬ КАК ОГИБАЮЩАЯ 315
§ 69. Развертывающаяся поверхность как огибающая
семейства плоскостей.
Изучим теперь важный частный случай огибающей семейства
поверхностей, именно, когда эти поверхности суть плоскости.
Общий вид уравнения такого семейства будет
{a)z + D(a.) = 0, D83)
где х, у, z—текущие координаты плоскости, а А, В, С, D—коэф-
D—коэффициенты ее уравнения, зависящие от параметра семейства а.
Характе-
Характеристика
Черт. 117.
Найдем характеристику, лежащую на данной плоскости
¦семейства. Для этого к уравнению D83) нужно присоединить,
как мы знаем из § 68, еще уравнение
D84)
А' (а) х + В' (а) у + С (а) г + D' (а) = О,
полученное дифференцированием левой части D83) по параметру а.
Мы будем считать, что уравнения D83) и D84) совместны и неза-
независимы1). Тогда совместно они определяют на данной плоскости
семейства прямую, которая и будет служить характеристикой.
Итак, характеристики в нашем случае—прямые, и огибающая —
как их геометрическое место—представляет собой линейчатую
поверхность. Эта поверхность, как легко показать, будет не
только линейчатой, но и развертывающейся. Действительно,
вдоль характеристики, т. е. вдоль своей прямолинейной обра-
образующей, огибающая поверхность касается поверхности семейства,
т, е. некоторой плоскости из семейства D83) (черт. 117). Эта пло-
х) Это всегда имеет место, за исключением случая А' :А — В' : В =
— С':С, с которым мы кратко ознакомимся, чтобы в дальнейшем оставить
его в стороне. Путем почленного интегрирования по а мы убеждаемся,
что In Л, In В, In С могут отличаться друг от друга лишь постоянными
слагаемыми, а следовательно, А (а), В (а), С (.а) находятся друг к другу
в постоянных отношениях. Другими словами, у всех плоскостей семейства
D83) коэффициенты А, В, С пропорциональны, что означает параллелизм
всех этих плоскостей. Итак, D83) представит нам лучок параллельных
плоскостей (в частном случае сливающихся в одну плоскость). Огиба-
Огибающей, очевидно, не существует.
316
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
скость служит, таким образом, общей касательной плоскостью
во всех точках образующей, так что наша огибающая являет-
является развертывающейся поверхностью по самому определению по-
последней.
Обратно, всякая развертывающаяся .поверхность есть огибаю-
огибающая некоторого семейства плоскостей от одного параметра. Дей-
Действительно, семейство образующих развертывающейся поверх-
поверхности зависит от одного параметра. А так как через данную обра-
образующую проходит единственная касательная плоскость (касаю-
(касающаяся поверхности во всех точках образующей), то семейство
всевозможных касательных плоскостей к развертывающейся
поверхности будет зависеть только от одного параметра (в отли-
отличие от этого для произвольной поверхности семейство касатель-
касательных плоскостей будет зависеть от двух параметров). В результате
развертывающаяся поверхность в каждой своей точке касается
некоторой плоскости из однопараметрического семейства своих
касательных плоскостей, т. е. является для этого семейства
огибающей.
Итак, для того чтобы поверхность была развертывающейся,
необходимо и достаточно, чтобы она была огибающей семейства
плоскостей от одного параметра.
§ 70*. Ребро возврата огибающей семейства плоскостей.
Развертывающейся поверхности можно, таким образом, дать
второе определение как огибающей однопараметрического семей-
семейства плоскостей.
Продолжим теперь изучение семейства плоскостей, заданного
уравнением D83). Мы знаем, что огибающая отыскивается как
геометрическое место прямых (характеристик), определяемых
парой уравнений D83), D84) при всевозможных значениях а.
Поставим вопрос, как найти ребро возврата огибающей, если тако-
таковое существует (т. е. если огибающая—не цилиндрическая и не
коническая поверхность).
Отметим для каждого значения а на отвечающей ему характе-
характеристике точку, где эта характеристика (образующая разверты-
развертывающейся поверхности) касается ребра возврата. Пусть коорди-
координаты этой точки выразятся пока неизвестными нам функциями
х = х(я), у = у(л), z = z(a). D85)
Тогда эти функции удовлетворяют прежде всего уравнениям D83)
и D84), так как при каждом значении а соответствующая точка
D85) лежит на соответствующей характеристике. Итак, имеем
тождества
D86)
| 70] РЕБРО ВОЗВРАТА ОГИБАЮЩЕЙ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКОСТЕЙ 317
где аргумент а при всех рассматриваемых величинах для крат-
краткости не выписывается. -.:
Теперь нужно дополнительно выставить требование, чтобы
при каждом значении а производная радиус-вектора
вдоль ребра возврата была направлена по соответствующей
характеристике. Но эта характеристика лежит, во-первых, на
плоскости D83) и, следовательно, перпендикулярна к вектору
Ах + В] + С\,
а во-вторых,—на плоскости D84) и, следовательно, перпендику-
перпендикулярна к вектору
Очевидно, этими условиями направление характеристики вполне
определяется, так что, для того чтобы г' был направлен по харак-
характеристике, необходимо и достаточно, чтобы он был перпендику-
перпендикулярен к выписанным двум векторам. Запишем это, приравнивая
нулю скалярные произведения вектора г' с каждым из двух
выписанных векторов:
Ах' + By' + Cz' = 0,
А'х' +В'у' + C'z' = 0.
D87)
Итак, условия D86) и D87), наложенные на функции D85),
необходимы и достаточны, чтобы кривая, определяемая уравне-
уравнениями D85), была ребром возврата для огибающей рассматривае-
рассматриваемого семейства плоскостей. Действительно, D86) выражает, что
при каждом а точка кривой D85) лежит на соответствующей
характеристике, а D87) — что эта характеристика направлена
по касательной к кривой D85) и, следовательно, с этой касатель-
касательной совпадает.
Условия D86), D87) нетрудно преобразовать. Дифференцируя
первое из равенств D86) по а, получим
A'x + B'y + C'z + D' + Ax' +By' + Cz' = 0.
Принимая во внимание второе из равенств D86), можно отбросить
здесь первые четыре члена. Получаем первое из равенств D87),
которое, таким образом, самостоятельного значения не имеет
и получается как следствие из D86).
Дифференцируем теперь второе из равенств D86). Тогда
А"х + В" у + Cz +D" + A'x' + В'у' + СV = 0.
318
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И Р/ ЗВЕРТЫВАЮЩИЬ^Я ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
Принимая во внимание второе из равенств D87), можно отбро-
отбросить здесь последние три члена, после чего получается
A"x + B"y-\-C"z + D" = O. D88)
Обратно, из D88) и из предыдущего равенства немедленно
следует второе из условий D87). Поэтому условия D86) и D87>
равносильны условиям D86) с добавлением условия D88). Окон-
Окончательно получаем следующие требования, наложенные на х{а),
() ()
D89)
Ах+ Ву+ Cz + D = 0, I
A'x+B'y + C'z + D' = O, }
А"х + В"у + C"z + D" = О, J
необходимые и достаточные для того, чтобы функции ж (а), у (а).
z(a) определяли ребро возврата.
Если определитель системы отличен от нуля:
А В С
А' В' С
А" В" С"
ФО,
D90)
то система трех линейных уравнений D89) однозначно раз-
разрешается относительно х, у, z, и искомые функции, определяю-
определяющие параметрическое представление ребра возврата, получаются
непосредственно. При этом не исключена возможность, что х, у, z
окажутся постоянными, т. е. ребро возврата выродится в точку
(случай, когда семейство плоскостей огибает коническую поверх-
поверхность). В случае же тождественного обращения в нуль определи-
определителя D90) линейные уравнения системы D89), как известно, несов-
несовместны (что означает отсутствие ребра возврата) или при
добавочном условии зависимы между собой, так что их решение
становится неопределенным.
Чтобы уяснить себе положение вещей в этом случае, соста-
составим вектор-функцию параметра а: I
N (а) = Ai + В] + Ск. D90')
Очевидно, что обращение в нуль определителя D90) можно
записать теперь в виде
(N, N', N") = 0, D91)
где в левой части стоит смешанное произведение векторов N (а),
N' (а), N"(a). Другими словами, N, N', N" компланарны. Обозна-
Обозначим через n(a) единичный вектор, перпендикулярный к их пло-
плоскости; тогда
nN = nN' = nN" = 0. D92)
§ 70] РЕБРО ВОЗВРАТА ОГИБАЮЩЕЙ СЕМЕЙСТВА ПЛОСКОСТЕЙ 319
Дифференцируем по а первые два произведения:
n'N + nN' = n'N' + nN" = 0.
Сравнивая с D92), получим
n'N = n'N' = 0.
Отсюда следует, что п' = 0; действительно, в противном случае
п' ортогонален плоскости N, N' (N и N' не коллинеарны, см.
сноску на стр. 315) и,
следовательно, парал-
параллелен п, что невоз-
невозможно, так как | п | = 1
и n' _J_ n.
Итак, п' = 0, п =
= const., а следова-
следовательно, вектор N (а)
ортогонален все вре-
время постоянному век-
вектору п.
Так как плоскости Черт. 118.
семейства D83) пер-
перпендикулярны к соответствующим векторам N (а), то постоян~
ный вектор п параллелен плоскостям семейства D83) при любом
значении а.
Все плоскости семейства оказываются параллельными постоян-'
ному вектору. В результате их огибающая будет цилиндрической
поверхностью с образующими, параллельными тому же вектору.
Ребро возврата отсутствует, что отвечает несовместности уравне-
уравнений D89).
Возможно, однако, вырождение такого семейства просто в пу-
пучок плоскостей; тогда цилиндрическая огибающая поверхность
вырождается в ось пучка. Понятие ребра возврата теряет вообще
смысл, и этому-то случаю отвечают линейная зависимость между
уравнениями D89) и неопределенность их решения.
Итак, если оставить в стороне исключительные случаи, то при
каждом значении а уравнение D83) определяет плоскость семей-
семейства; уравнения D83) и D84) определяют на этой плоскости пря-
прямую — характеристику. Присоединяя еще одно уравнение, мы при-
приходим к системе D89), которая на этой характеристике определяет
точку ребра возврата. Когда параметр а меняется, то характери-
характеристика описывает огибающую развертывающуюся поверхность, для
которой плоскости семейства служат касательными вдоль харак-
характеристик; точка, отмеченная на характеристике, описывает ребро
возврата, для которого характеристики служат касательными,
а плоскости семейства — соприкасающимися плоскостями (послед:-
нее вытекает из свойств ребра возврата, см. § 66) (черт. 418).
320
ЛИНЕЙЧАТЫЕ Я РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
Заметим еще, что характеристику из данной плоскости семей-
семейства можно получить как предельное положение прямой пере-
пересечения этой плоскости с бесконечно близкой плоскостью семей-
семейства, а точка ребра возврата на данной плоскости семейства
может быть получена как предельное положение точки пересече-
пересечения данной плоскости и двух бесконечно близких к ней плоско-
плоскостей семейства.
При меры.
Рассмотрим в заключение несколько интересных примеров огибающих
семейства плоскостей, связанных с произвольно выбранной пространствен-
пространственной кривой. Пусть попрежнему г = г (s) — уравнение этой кривой, отне-
отнесенное к дуге s как параметру, a t (s), n (s), b (s) — векторы основного
трехгранника, рассматриваемые как функции от s.
1. Семейство соприкасающихся плоскостей. Уравнение
соприкасающейся плоскости в произвольной точке s нашей кривой мы
запишем как уравнение плоскости, проходящей через точку г (s) перпен-
перпендикулярно к вектору b (s):
(R-r(s))b(s) = 0;
Здесь уравнение дано в сокращенной векторной записи, причем под R мы
понимаем радиус-вектор произвольной точки плоскости:
К = Xi + Г j + Zk,
где X, Y, Z —текущие координаты. Так как в уравнении участвует пара-
параметр s, то мы имеем здесь целое семейство соприкасающихся плоскостей,
взятых для любой точки кривой. Найдем прежде всего характеристики.
Для этого к уравнению семейства присоединим результат его дифферен-
дифференцирования по s. Получим
или
- г' (s) b (s) + (К - г (s)) b' (s) = 0
(R-r(s))n(s) = 0,
так как г' (s) = t (s) JL b (s) и b'(s)= — x (s) n (s) (мы считаем x(s)=f=Q).
Мы видим теперь, что R — r (s) перпендикулярно к b (s) и к n(s)
одновременно и, следовательно, направлено по t (s); характеристика при
каждом значении s совпадает с соотзетстзующей касательной к кривой.
Наконец, для получения точек ребра возврата присоединяем третье
уравнение, которое получится из второго, т. е. из
(R-r(S))n(s) = 0
дифференцированием, снова по s:
- г' О) n (s) + (В - г (s)) О О) b (s) - k (s) t (s)) = 0.
Так как г'(s) = t (s) J_ n (s), то первый член отпадает. Комбинируя это
уравнение с ранее полученвыми, мы видим, что R — г (s) дает нуль
в скалярном произведении со всеми тремя векторами t (s), n (s), b (s)
и, следовательно, сам обращается в нуль. Итак, для точки ребра возврата
R = r(s),
т. е. она совпадает с соответствующей точкой кривой. Ребром возврата
служит исходная кривая.
§ 71]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОЛНАЯ КРИВИЗНА
321
2. Семейство нормальных плоскостей. Уравнение нор-
нормальной плоскости как плоскости, проходящей через точку г (s) перпен-
перпендикулярно к t (s), имеет вид
(R-r(s))t(s) = 0.
При переменном s мы имеем здесь семейство нормальных плоскостей.
Присоединяем для отыскания характеристик второе уравнение, полу-
полученное дифференцированием по s:
- г'(s) t (s) + (R - г (s)) t'O) = (), T.e. —1 + (R—r(s))*(s)n(s) = 0.
Отсюда легко вывести, что точки R расположены на прямой, параллель-
параллельной b (s) и проходящей через центр кривизны v(s)+ n(s). Другими
словами, характеристика при каждом значении s совпадает с осью кри-
кривизны. Следовательно, оси кривизны пространственной кривой образуют
некоторую развертывающуюся поверхность, огибающую семейство нор-
нормальных плоскостей. Чтобы отыскать ребро возврата, которого касаются
все оси кривизны, нужно присоединить третье уравнение, полученное
новым дифференцированием по s. Но соответствующая выкладка была
фактически проведена в § 43, при выводе формул B96), где она приво-
приводила нас к отысканию радиус-вектора rs для центра соприкасающейся
сферы. В данном случае совершенно аналогичные формулы получатся
для вектора R, так что ребро возврата совпадает с геометрическим
местом центров соприкасающихся сфер.
3. Семейство спрямляющих плоскостей. Имеем
(R - г (s)) n (s) — 0.
Соответствующая выкладка легко приводит нас к выводу, что характе-
характеристики будут совпадать с мгновенными осями вращения трехгранника
t, n, b. Образованная ими развертывающаяся поверхность называется
спрямляющей. Название это объясняется тем, что после развертывания
этой поверхности на плоскость исходная кривая обратится в прямую.
§ 71*. Асимптотические линии и полная кривизна
линейчатой поверхности.
Пусть дана произвольная линейчатая поверхность. В каждой
ее точке направление образующей будет служить асимптотиче-
асимптотическим направлением, т. е. кривизна нормального сечения в этом
направлении равна нулю. Действительно, плоскость, проведенная
через нормаль и направление образующей в данной точке поверх-
поверхности, очевидно, пересекается с поверхностью по образующей,
которая и служит нормальным сечением. Кривизна его как пря-
прямой линии равна нулю. Таким образом, образующие линейчатой
поверхности дают одно из двух семейств асимптотических линий
на ней.
Проверим этот результат выкладкой. Воспользуемся пара-
параметрическим представлением линейчатой поверхности D64)
г=Р(в) + о1(и).
Вычислим вторые частные производные радиус-вектора по и, и:
ruu=P" + «l", ru, = l', rOT = 0. D93)
21 П. К. Рашевскиа
322
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
Учтем также, что единичный вектор по нормали можно получить,
разделив нормальный вектор D66) на его модуль (всегда равный
\fEG-F*):
ш =
VEG — F*
Отсюда по формулам C59), определяющим коэффициенты вто-
второй квадратичной формы, получаем
Аф + Bv + С
М = rjn =
N = 0,
D
Yeg —
D94)
где коэффициенты А, В, С, D имеют, очевидно, следующие зна-
значения:
= A", 1', 1), В = (Р", 1', 1)
= (Р", Р', 1), ?> = (!', 'р', 1),
% Р', \),\
D95)
и, следовательно, зависят только от и. Дифференциальное урав-
уравнение
L du2 + 2М du dv + N dv' = О,
определяющее асимптотические линии, примет теперь вид (после
откидывания знаменателя ]/ EG — F*)
(Av2 + Bv + C)du*+2D du dv = 0,
[(Avz + Bv + C) du+ 2D dv] du = 0.
Отсюда или
du=0,
что дает нам в качестве одного семейства асимптотических линий
координатные линии v, т. е. образующие: или
{Av2 + Bv + C)du + ID dv = 0,. D96)
что определяет нам второе семейство асимптотических линий.
Здесь следует различать два случая.
Косая (т. е. неразвертывающаяся) линейчатая
поверхность. Так как необходимыми достаточным призна-
признаком развертывающейся поверхности служит компланарность
векторов 1, Г, Р'[см. D68)], т. е. обращение в нуль смешанного
произведения этих векторов, то в нашем случае это смешан-
смешанное произведение отлично от нуля и, следовательно,
§ 71]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ И ПОЛНАЯ КРИВИЗНА
323
Дифференциальное уравнение D96) оказывается уравнением
типа Риккати:
du
2L>
Решения этого уравнения
и = v (и)
дают уравнения асимптотических линий второго семейства. По
известным свойствам уравнения Риккати любые четыре его
решения
^(u), v2(u), v3(u), и4(и)
образуют постоянное «ангармоническое отношение»:
У, (») - Уг (») ¦ У, («) ~ Уг («О =
Уз (.») - Уг (») «4 (») — Уг (и)
Геометрически это означает, что, пересекая какую-нибудь чет-
четверку асимптотических второго семейства всевозможными обра-
образующими, мы получаем на каждой из образующих четверку точек,
ангармоническое отношение которых будет иметь одно и то же
значение.
Действительно, иг(и), v2(u), vs(u), vi(u) при данном зна-
значении и суть координаты четырех точек на соответствующей
образующей, в которых она встречается с четырьмя асимптотиче-
асимптотическими линиями.
Отметим еще, что для линейчатой поверхности полная кри-
кривизна имеет вид
„ LN-M*
EG—F* (EG — F^
D97)
Мы воспользовались здесь формулами D94). В нашем случае
неразвертывающейся поверхности, когда D Ф 0, мы получаем
полную кривизну существенно отрицательной. Это видно, впро-
впрочем, уже из того, что поверхность содержит два семейства асимпто-
асимптотических линий.
Теперь рассмотрим другой возможный случай.
Развертывающаяся поверхность. В этом
случае в силу признака D68) у нас D = 0, уравнение D96) дает
тоже
du — 0,
и оба семейства асимптотических совпадают. Это возможно лишь
в случае 3 § 60, так что асимптотические (образующие) суть в то же
время линии кривизны одного семейства я
Х = 0; D98)
21*
324
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
мы получаем, следовательно, поверхность нулевой полной кри-
кривизны. Также из формулы D97) непосредственно видно, что из
D = 0 следует К = 0.
Итак, развертывающиеся, поверхности выделяются среди линей-
линейчатых обращением в нуль полной кривизны. Мы покажем, далее,
что и вообще развертывающиеся поверхности тождественны
с поверхностями нулевой полной кривизны.
Пример. На однополостном гиперболоиде и гиперболическом пара-
параболоиде асимптотические линии обоих семейств совпадают с прямолиней-
прямолинейными образующими. Следовательно, биссектрисы углов между образую-
образующими дают "главные направления. j
§ 72. Развертывающиеся поверхности как поверхности V
нулевой полной кривизны.
Можно показать без каких-либо выкладок, что развертываю-
развертывающаяся поверхность имеет нулевую полную кривизну
Действительно, вдоль прямолинейной образующей касательная
плоскость, а значит, и единичный вектор нормали m остаются
постоянными, так что
dm = 0.
Вектор нуль коллинеарен с любым другим вектором, так что
можно считать, что
dm || dr,
где dx— дифференциал радиус-вектора вдоль образующей. А это
значит (§ 55), что прямолинейная образующая в каждой своей
точке идет по одному из главных направлений.
Это главное направление будет и асимптотическим, так как
прямолинейная образующая обязательно будет асимптотической
линией (§ 60). Но совпадение асимптотического и главного напра-
направлений имеет место только в параболических точках, так что
все точки развертывающейся поверхности параболические и
Верна и обратная теорема. Если все точки поверхности пара-
параболические, КssO, то поверхность развертывающаяся. То, что
поверхность линейчатая, заранее не предполагается.
Как мы знаем (конец § 60), в случае 2?" = 0 на поверхности
имеется лишь одно семейство асимптотических, совпадающее
с одним из двух семейств линий кривизны. Следовательно, каса-
касательная к аснмптотической линии в каждой точке идет по напра-
направлению одновременно и асимптотическому и главному, при-
§ 72]
РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ
325
чем соответствующая главная кривизна к2 в этом случае равна
нулю (§ 57):
к%=0.
Кроме того, при бесконечно малом смещении вдоль асимпто-
асимптотической имеет место формула Родрига
так как это смещение происходит в главном направлении.
Сопоставляя эти формулы, получим
dm. = 0; m = m0 = const.
Единичный нормальный вектор m остается постоянным вдоль
асимптотической линии и, следовательно, нормали к поверхности
во всех точках асимптотической линии параллельны между собой.
Более того, нетрудно показать, что плоскости, касательные
к поверхности в точках асимптотической линии, все совпадают
между собой.
В самом деле, рассмотрим вдоль асимптотической линии ска-
скалярное произведение гт0. Дифференциал его, в силу постоянства
т0, имеет вид modt и равен нулю, так как dx направлено по каса-
касательной к асимптотической линии и, следовательно, перпенди-
перпендикулярно к Шо- Итак, гШо остается постоянным. Пусть г0 — радиус-
вектор какой-либо фиксированной точки Мо асимптотической
линии. Тогда
rmo = romo и, следовательно, (г — го)то = О.
Отсюда следует, что вектор г — г0> соединяющий фиксированную
точку Ма на асимптотической линии с ее произвольной точкой,
перпендикулярен к т„, и лежит, следовательно, в касательной
плоскости в точке Мо- Таким образом, асимптотическая линия
всеми своими точками лежит в касательной плоскости в точке Мй.
В результате эта плоскость, заключая асимптотическую линию
и будучи перпендикулярна к постоянному вдоль нее нормальному
вектору т0, будет служить касательной плоскостью во всех ее
точках.
Так как асимптотические линии образуют семейство от одного
параметра и каждой из них отвечает единственная касательная
плоскость, то рассматриваемая поверхность обладает семейством
касательных плоскостей от одного параметра, для которого она
является, очевидно, огибающей. На основании доказанного
в § 69 мы знаем, что тем самым поверхность будет и развертываю-
развертывающейся. Наша цель достигнута: доказано, что, для того чтобы по-
поверхность была развертывающейся, необходимо и достаточно,
чтобы ее полная кривизна К была равна нулю.
326 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
§ 73*. Ортогональные траектории развертывающихся
поверхностей.
Из двух взаимно ортогональных семейств линий кривизны,
которые имеются на каждой поверхности, в случае развертываю-
развертывающейся поверхности одно превращается в семейство прямолиней-
прямолинейных образующих, а другое—в семейство их ортогональных траек-
траекторий, т. е. кривых, встречающих все образующие под прямым
углом.
Если даны две пространственные кривые, точки которых
можно поставить во взаимнр однозначное соответствие так, что
каждая касательная к первой кривой является нормалью в соответ-
соответствующей точке второй кри-
кривой, то первая кривая на-
называется эволютой по отно-
отношению ко второй, а вто-
вторая—эвольвентой по отноше-
отношению к первой (черт. 119).
Очевидно, что то же са-
самое может быть формулиро-
формулировано и так: эволюта и эволъ-
Черт. 119. вента—это соответственно
ребро возврата и некоторая
ортогональная траектория какой-нибудь развертывающейся по-
поверхности.
Действительно, касательные к эволюте образуют некоторую
развертывающуюся поверхность, для которой эволюта является,
таким образом, ребром возврата и на которой эвольвента, имея
образующие своими нормалями, служит ортогональной траекто-
траекторией.
Обратно, на всякой развертывающейся поверхности ортого-
ортогональная траектория пересекает образующие под прямым углом
и имеет их, следовательно, своими нормалями; для ребра же воз-
возврата образующие служат, как мы знаем, касательными в соот-
соответствующих точках.
Итак, второе определение эквивалентно первому, и только
лишь в случае плоских кривых предпочтительнее первое (вполне
совпадающее с ранее известным). Действительно, развертываю-
развертывающаяся поверхность, о которой идет речь во втором определении,
оказывается в этом случае плоской и ее образующие становятся
неопределенными.
Мы рассмотрим теперь две задачи.
1. По данной эволюте (ребру возврата)
найти эвольвенту (ортогональную траек-
траекторию). Пусть уравнение ребра возврата будет
?=? («)•
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
327
§ 73]
При образовании развертывающейся поверхности мы примем
ребро возврата за направляющую кривую; тогда вектор-функция
1 (и), указывающая направления образующих, совпадает с еди-
единичным касательным вектором к ребру возврата, так что
и ли d Р (и) = 1 {и) ds (и), D99)
где s (и)—длина дуги, отсчитываемая вдоль ребра возврата в сто-
сторону возрастания и.
Вводим криволинейные координаты и, v обычным для линей-
линейчатой поверхности путем (§ 64) и ищем уравнение ортогональной
траектории в виде
v = и (и). E00)
Так как радиус-вектор произвольной точки поверхности имеет
вид D64), то вдоль кривой E00) мы имеем
отсюда
или, заменяя d?, согласно D99),
dv = 1 (ds + dv) + v rfl.
Потребуем теперь, чтобы вектор dt, касательный к рассматри-
рассматриваемой кривой, был при каждом значении и перпендикулярен
к соответствующей образующей, т. е. к вектору 1(м).
Дифференциал d\ единичного вектора 1 перпендикулярен к 1;
поэтому остается потребовать, чтобы обращалась в нуль соста-
составляющая по 1, т. е. чтобы
ds (и) + dv (и) = 0.
Интегрируя это соотношение, получаем
v{u)=C — s(u), E01)
где С—произвольное постоянное. В результате мы получаем
семейство кривых, каждая из которых есть ортогональная траек-
траектория развертывающейся поверхности и, следовательно, эволь-
эвольвента по отношению к ребру возврата.
Уравнение E01) показывает, что при движении по ребру воз-
возврата отрезок образующей MtM2 (черт. 119), численно выра-
выражаемый функцией v (и), уменьшается на столько, на сколько
увеличивается s (и)—длина дуги, отсчитываемая по ребру воз-
возврата.
Далее, если
o = v1(u) и v = v2 (к)
328 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
—уравнения двух ортогональных траекторий, то, согласно E01),
откуда
и2 (и) — vx (и) = С2 — Сх.
Итак, отрезок образующей между двумя ортогональными траек-
траекториями сохраняет постоянную длину.
2. По данной эвольвенте (ортогональной
траектории) найти эволюту (ребро воз-
возврата). Пусть уравнение дан-
данной кривой в пространстве
будет
Р = Р (*); E02)
где s—длина дуги.
Требуется построить раз-
развертывающуюся поверхность,
для которой данная кривая
будет служить ортогональной
траекторией; тогда для ребра
возврата этой поверхности дан-
данная кривая сама собой будет
служить эвольвентой. Примем
за направляющую кривую искомой поверхности (см. начало
§ 64); так как образующие последней должны ортогонально пе-
пересекать кривую E02), то вектор 1 (s) должен быть при каждом
значении s направлен по нормали к этой кривой. Поэтому ] (?)
лежит в плоскости векторов n(s) и b(s). Обозначая через ^(,?)
угол, образуемый l(s) с n (s) (черт. 120), можно искать вдоль
кривой единичный вектор 1 в виде
1 = n cos <р + b sin 9. E03)
Потребуем теперь, чтобы линейчатая поверхность с направляю-
направляющей линией Р (s) и образующими, идущими по 1 (и), была раз-
развертывающейся. Согласно § 64 для этого необходима и достаточна
компланарность векторов Р', 1, Г, т. е. в нашем случае векто-
ров t, 1, fs .
Дифференцируя разложение 1 E03), получим
Черт. 120.
|) — Щ cos 9 — n sin <p ?; — -,ш sin o + b cos 9 ^ =
к cos 9 ¦ t~(jfs -r 'A ( — sin 9 • n -f cos <p • b).
E03'}
§ 73]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
329'
Очевидно, линейная зависимость полученного вектора от
векторов t, 1 имеет место в том и только в том случае, если
g+* = 0.- E04).
Действительно, если E04) имеет место, то в выражении -т-
остается только член, параллельный t, так что линейная зави-
зависимость налицо. Напротив, если
-гг 4-"'- Ф 0. то в выражении -г-
ds ' ' l ds
имеется еще член, параллельный
вектору
— sin 9 • n + cos 9 • b
и, следовательно, ортогональный
и к t, и к 1 [что легко проверить,
пользуясь выражением E03)]. В
этом случае линейная зависимость
от t и 1 не может, очевидно,
иметь места.
Итак, для того чтобы по-
построенная нами линейчатая по-
поверхность была развертывающей-
развертывающейся, необходимо и достаточно со-
соблюдение условия E04), которое можно переписать в виде-
М,
Черт. 121.
= —-/ (s) ds или ? = — \ х (s)
ds.
E05)
При интегрировании здесь войдет произвольная постоянная,
так что допустимых функций со (s) будет бесчисленное множество,
причем все они друг от друга отличаются постоянными слагае-
слагаемыми.
В соответствии с этим можно построить бесчисленное множе-
множество развертывающихся поверхностей, для которых исходная
кривая Р (s) служит ортогональной траекторией. А именно, любая
из этих поверхностей образуется нормалями, проведенными
в каждой точке кривой Р (s) по направлению вектора E03), т. е. под
углом га (s) K главной нормали. При этом 9 (s) определяется урав-
уравнением E05). Если от одной такой поверхности перейти к дру-
другой, то <р (s) может измениться лишь на постоянное; следовательно,
все нормали кривой, служащие образующими поверхности, повер-
повернутся на один и тот же угол, каждая в своей нормальной плоско-
плоскости (черт. 121).
Отсюда следует, что если две развертывающиеся поверхности
имеют общую ортогональную траекторию, то -их образующие
встречаются на ней под постоянным углом.
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
Обратно, если образующие развертывающейся поверхности
в точках, где они встречаются с какой-нибудь ортогональной
траекторией, повернуть все на один и тот же угол в плоскостях,
нормальных к траектории, то в новых положениях они опять
образуют развертывающуюся поверхность. Это также непосред-
непосредственно следует из предыдущих рассуждений, так как при доба-
добавлении к функции ф (s) постоянного слагаемого она попрежнему
удовлетворяет условию E05) и, следовательно, посредством век-
вектора E03) попрежнему определяет развертывающуюся поверх-
поверхность.
Итак, мы умеем построить для каждой пространственной кри-
кривой всевозможные развертывающиеся поверхности, для которых
данная кривая служит ортогональной траекторией. Для этого
достаточно принять данную кривую Р (s) за направляющую и про-
провести через каждую ее точку М образующую по направлению
вектора
1 (s) = n cos ср + b sin ср, где ср = — \ х (s) ds.
Найдем теперь ребро возврата для какой-нибудь из этих поверх-
поверхностей (на черт. 121 изображены два таких ребра возврата).
Воспользуемся формулой D70), которая дает параметриче-
параметрическое представление горловой линии (совпадающей в случае раз-
развертывающейся поверхности с ребром возврата):
г = V (s) —
E06)
Роль параметра и у нас играет дуга s.
Очевидно,
где t—единичный касательный вектор, и, согласно E03') и E04),
1' (s)= -kcos 9 ¦ t. E07)
Отсюда следует
Р' (S) 1' (*)=—* cos <p, 1' (sI = к3 cos2 ср. E08)
Пользуясь формулами E08) и E03), мы можем переписать
уравнение E06) в виде
г = Р (*) +
к cos if
(и cos ср + b sin ср) = Р + Rn + R tg ? b, E09)
где 7?=-r- есть радиус кривизны исходной кривой Р (s).
Все величины, стоящие в правой части, являются функциями s,
причем функция ф определена с точностью до постоянного слагае-
слагаемого согласно E05).
Формула E09) позволяет по заданной наперед кривой Р (s)
(эвольвенте) найти эволюту, т. е. ребро возврата развертываю-
73]
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ
331
Черт. 122.
щеися поверхности, ид^ющей данную кривую своей ортогональ-
ортогональной траекторией. Этих эволют будет бесчисленное множество,
так как ср (а) включает произвольное постоянное слагаемое.
Геометрически мы попадаем из точки М на кривой Р (s) в соот-
соответствующую точку Мх на ее эволюте, сместившись сначала
на вектор Rn, что приводит нас в центр кривизны С, и после
этого сместившись на вектор bR tg cp,
т. е. параллельно бинормали, и,
следовательно, вдоль оси кривизны.
Мы останавливаемся в некоторой
точке Мх на оси кривизны так, что
направление ММХ образует с глав-
главной нормалью МС угол ср (черт. 122).
Когда точка М движется по кри-
кривой р (s), то точка Мх описывает
одну из эволют этой кривой. Так
как при этом ось кривизны описы-
описывает развертывающуюся поверх-
поверхность (см. § 70, пример 2), то все
эволюты расположатся на этой по-
поверхности. При этом через каждую
точку Мх этой поверхности проходит одна и только одна
эволюта. Действительно, произвольное постоянное в интеграле
E05) всегда можно подобрать так, чтобы при каком-нибудь
заданном значении s = s0 функция ср (s) приобрела любое наперед
заданное значение; в связи с этим можно добиться, чтобы вектор
E09) при заданном значении s = s0 указал своим концом в любую
наперед заданную точку на соответствующей оси кривизны.
Меняя далее s, мы получим эволюту, проходящую через любую
наперед заданную точку на заданной оси кривизны, отвечающей
s = sn, т. е. через любую точку поверхности осей кривизны.
Итак, эволюты располагаются на развертывающейся поверх-
поверхности осей кривизны, целиком ее заполняя; при этом их каса-
касательные в соответствующих точках Мх и М'х (черт. 122) сходятся
на эвольвенте в точке М под постоянным углом МХММ'Х. Нор-
Нормальная плоскость к эвольвенте касается вдоль оси кривизны
СМХ развертывающейся поверхности осей кривизны.
В частности, плоская кривая, если ее рассматривать в про-
пространстве, обладает, кроме известной нам из главы III плоской
эволюты, еще бесчисленным множеством пространственных эво-
эволют. Они все расположатся на развертывающейся поверхности
осей кривизны, которая будет в данном случае цилиндрической.
Действительно, оси кривизны плоской кривой суть перпендику-
перпендикуляры к ее плоскости, проведенные через точки ее плоской эволюты.
Все свойства, доказанные в общей теории, сохраняются, конечно,
и здесь.
332 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
§ 74. Геометрические свойства ланий кривизны.
С развертывающимися поверхностями связана геометрическая
характеристика линий кривизны на любой поверхности. До сих.
пор линии кривизны определялись у нас как кривые, в каждой,
своей точке касающиеся главного направления поверхности
в этой точке. Теперь мы можем доказать следующую теорему:
Для того чтобы кривая на поверхности была линией кривизны,,
необходимо и достаточно, чтобы нормали к поверхности вдоль-
этой кривой образовывали развертывающуюся поверхность.
Пусть на поверхности дана какая-нибудь кривая, уравнение-
которой пусть будет
В каждой точке этой кривой берем нормаль к поверхности; она
идет по направлению единичного нормального вектора т, кото-
который вдоль кривой также является функцией ее параметра
m = m(s).
Построенные нами нормали образуют линейчатую поверх-
поверхность, для которой кривую Р (s) можно рассматривать как на-
направляющую, a m (s) играет роль вектор-функции l(s) (см. § 64).
Допустим, что кривая Р (s) на исходной поверхности есть
линия кривизны. Тогда вдоль этой кривой соблюдается формула
Родрига D09), например,
dm= — Aj
или, что то же,
E10)
где kx (s)— соответствующая главная кривизна поверхности, рас-
рассматриваемая как функция параметра s вдоль линии кривизны.
Из формулы D68) следз'ет, что компланарность векторов
m(s), m' (s), P' (s) является в нашем случае необходимым и доста-
достаточным признаком того, что построенная линейчатая поверх-
поверхность нормалей будет развертывающейся. Но E10) показывает,
что т' (s) параллельно f'(s). Следовательно, компланарностью,
m', P' заведомо имеет место, и поверхность нормалей — раз-
развертывающаяся.
Найдем, между прочим, ребро возврата этой развертываю-
развертывающейся поверхности. Воспользуемся параметрическим предста-
представлением горловой линии (которая в случае развертывающейся
поверхности совпадает с ребром возврата):
E11)
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ КРИВИЗНЫ
333
Мы переписали здесь формулу D70), учитывая, что роль
параметра и у нас играет дуга s и роль вектора 1 (и)—вектор m(s).
В нашем случае
Р'(*) = *•
тде t—единичный касательный вектор к линии кривизны, и,
в силу E10),
m' (s) = - М,
так что
P'(s)m'(s)= -hl} m'(sy = kl
Уравнение E11) окончательно
примет вид
r = P(s) + ii1(s)m(s). E12)
где
тг называется главным ра-
Черт. 123.
диуеом кривизны и имеет тот же знак,
что и соответствующая главная кри-
кривизна кх. Таким образом (черт. 123),
вектор МС, соединяющий точку М
линии кривизны на поверхности с соответствующей точкой С
ребра возврата, имеет вид
МС = Rrm.
Другими словами, отрезок нормали МС по модулю равен
главному радиусу кривизны Rx; при этом он направлен в сто-
сторону ± m в зависимости от знака у главного радиуса кри-
кривизны Rx.
Итак, каждая линия кривизны на поверхности сопровождается
кривой в пространстве, касательные к которой являются норма-
нормалями к поверхности вдоль линии кривизны (если оставить в сто-
стороне случаи вырождения ребра возврата).
Взятые для всех линий кривизны на данной поверхности, эти
ребра возврата в свою очередь образуют поверхность (так назы-
называемую поверхность центров), состоящую из двух полостей; каж-
каждая полость отвечает одному семейству линий кривизны.
Вернемся к кривой Р (s) на исходной поверхности и допустим
теперь, что нормали к поверхности, взятые вдоль кривой Р (s),
образуют развертывающуюся поверхность. В таком случае необ-
необходимо соблюдается условие D68) и, следовательно, векторы
334
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VI
N
должны быть компланарны при каждом значении s. Но f как
касательный к поверхности вектор ортогонален к т; далее, т'
как производная единичного вектора m также ортогональна к т.
Следовательно, f и т', находясь в одной плоскости с ти будучи
к нему ортогональны, параллельны между собой:
m'|| P' или dm\\df.
Но это условие необходимо и достаточно для того, чтобы на-
направление о?р было главным направлением в данной точке поверх-
поверхности. Следовательно, в любой точке
1 кривой р (s) ее касательная, парал-
параллельная с?р, направлена по главно-
главному направлению в этой точке, и
кривая р (s) есть линия кривизны.
Формулированная выше теорема до-
доказана.
В связи с этой теоремой приведем;
несколько примеров. Возьмем любую
кривую на сфере (в предельном слу-
случае—на плоскости). Так как любая
точка сферы есть точка закругле-
закругления, то всякое направление можно
считать главным. В связи с этим лю-
любую кривую на сфере можно счи-
считать линией кривизны. Доказанная в этом параграфе теорема
имеет место для любой кривой на сфере. Действительно, все
нормали к сферической поверхности проходят через ее центр
и, следовательно, нормали, взятые в точках любой кривой
на сфере, образуют коническую (т. е. развертывающуюся) по-
поверхность.
Рассмотрим еще в качестве наглядного примера линии кри-
кривизны на поверхности вращения. Мы утверждаем, что это
будут меридианы и параллели. В самом деле, пусть поверхность
образована вращением плоской дуги MNоколо оси, лежащей в той
же плоскости а (черт. 124). Так как поверхность получится совер-
совершенно симметричной относительно плоскости а, то нормаль к по-
поверхности в точке М лежит в этой плоскости и пересекает ось
вращения в точке Q (или параллельна оси). При вращении дуги
MN около оси точка М описывает одну из параллелей, а прямая
MQ прямой круглый конус (или цилиндр), оставаясь все время
нормалью к поверхности в точках параллели. Таким образом,
нормали вдоль параллели образуют развертывающуюся поверх-
поверхность, и параллели являются линиями кривизны.
Еще проще убедиться в том же самом для меридианов, напри-
например для меридиана MN. Все нормали к поверхности вдоль MN
Черт. 124.
§ 74]
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ КРИВИЗНЫ
335-
Черт. 125.
лежат, как уже было замечено, в плоскости а и образуют, следо-
следовательно, развертывающуюся поверхность (плоскость).
Возвращаясь к общей теории, выведем важное следствие из теоремы
этого параграфа. Пусть две поверхности Slt S2 пересекаются по кривой С,
которая служит линией кривизны для каждой из них. Тогда нормали
к каждой из двух поверхностей вдоль линии С образуют развертываю-
развертывающуюся поверхность, и мы имеем две развертывающиеся поверхности, для
которых С служит общей ортогональной траекторией. Из результатов
предыдущего параграфа следует, что образующие развертывающихся
поверхностей, т. е. нормали к поверхностям Sx, S2, встречаются вдоль
кривой С под постоянным углом (черт. 125).. Следовательно, касательные
ячоскости к Si и St в точках кривой С также образуют между собой
п (стоянный угол. Нами доказана теорема:
Две поверхности S^ и 6'2, имеющие общую
линию кривизны С, пересекаются вдоль нее под
постоянным углом.
Нетрудно доказать и обратную теорему:
Если две поверхности Sx и S2 пересекаются
идолъ некоторой кривой. С под постоянным
углом и если С слгркит линией кривизны для
Sx, то она будет линией кривизны и для S2.
В самом деле, рассмотрим линейчатые по-
поверхности, образованные нормалями к S1 и S.,
вдоль кривой С. Так как С есть линия кри-
кривизны для Sx, то первая из этих поверхностей —
развертывающаяся. Что же касается второй по-
поверхности, то ее образующие (т. е. нормали' к
Ss) получены из образующих первой (т. е. из нормалей к Sx) поворотом
их в нормальных к С плоскостях на постоянный угол (так как S± и Ss
встречаются вдоль С под постоянным углом). Как известно из предыду-
предыдущего параграфа, при этих условиях вторая линейчатая поверхность будет
тоже развертывающейся и, следовательно, С будет линией кривизны
и для поверхности S2.
Доказанная теорема имеет ценные применения при отыскании линий
кривизны в конкретных случаях. Так, например, если данная поверх-
поверхность пересекается под постоянным углом с какой-нибудь сферой, то
линия пересечения обязательно будет линией кривизны. Действительно,
на сфере любую кривую, в том числе и линию пересечения, можно счи-
считать линией кривизны; следовательно, она будет линией кривизны и на
данной поверхности. То же относится и к пересечению данной поверх-
поверхности с какой-нибудь плоскостью.
В частности, отсюда следует, что на каналозой поверхности (см. конец
§ 68) ее круговые характеристики дают одно семейство линий кривизны;
действительно, вдоль каждой характеристики каналовая поверхность
касается одной из сфер огибаемого семейства, т. е. образует с этой сфе-
сферой постоянный угол (равный нулю).
Обратно, всякая поверхность, обладающая одним семейством круго-
круговых линий кривизны, есть каналовая. Действительно, проведем через
каждую круговую линию кривизны сферу, касающуюся поверхности хотя бы
в одной точке; эту окружность, как и всякую кривую, на сфере можно
считать тоже линией кривизны. Вдоль общей линии кривизны поверхность
и сфера должны образовывать постоянный угол. Но этот угол в одной
точке нуль, следовательно, он все время равен нулю, и построенная нами
сфера касается поверхности вдоль всей круговой линии кривизны, Мы
получаем семейство сфер, по одной для каждой круговой линии криви-
кривизны, огибающей которого служит данная поверхность.
336 линейчатые и развертывающиеся поверхности, [гл. VI
§ 75*. Сопряженные сети на поверхности.
Рассмотрим следующую задачу. На поверхности S взята произ-
произвольная кривая С. Требуется провести через каждую точку М
кривой С прямую, касательную к поверхности, так, чтобы эти пря-
прямые образовали развертывающуюся поверхность. Тривиальное
решение, когда берутся касательные к самой кривой С, мы оста-
оставим в стороне. Пусть Р будет радиус-вектор произвольной точки
М на кривой С, а 1 — единичный вектор, определяющий направле-
направление некоторой касательной к поверхности в точке М. Рассматри-
Рассматривая кривую С как направляющую линию получаемой таким обра-
образом линейчатой поверхности, запишем условие D68), необходи-
необходимое и достаточное для того, чтобы линейчатая поверхность была
развертывающейся:
1, d\, c?P компланарны.
Так как 1 и о?Р определяют в нашем случае касательную пло-
плоскость к поверхности в точке М, то условие можно переписать
в виде
d\ лежит в касательной плоскости,
или, что то же, вдоль кривой С соблюдается условие
m d\ = 0,
E13)
где m — единичный нормальный вектор к поверхности.
г м Так как 1 — касательный к поверхности вектор, то он все время
ортогонален к т, так что вдоль кривой
1ш = 0.
Дифференцируя, получим
d\ т + 1 dm. — О,
откуда видно, что условие E13) равносильно следующему:
Ыт=0. E14).
Этим поставленная задача решена. Для того чтобы касатель-
касательные к поверхности, взятые вдоль данной кривой С, образовывали
развертывающуюся поверхность, необходимо и достаточно, чтобы
в каждой точке М на С соответствующая касательная была на-
направлена по вектору 1, ортогональному к dm (где dm — дифферен-
дифференциал единичного нормального вектора m вдоль кривой С).
Оставим в стороне исключительный случай, когда вдоль С все
время dm = 0; последнее означает, что кривая С — плоская, при-
причем во всех точках кривой С ее плоскость служит касательной
плоскостью к поверхности. Тогда 1 можно выбирать в касатель-
касательной плоскости как угодно, все равно получаем развертывающуюся
поверхность, а именно, плоскость кривой С.
§ 75]
СОПРЯЖЕННЫЕ СЕТИ НА ПОВЕРХНОСТИ
337
Итак, считаем «Ли ф 0. Направление вектора 1 определяется
тогда однозначно как ортогональное к dva — A(dT) или, что то
же самое, сопряженное с направлением dr [по определению
сопряженных направлений, D50), § 61]. Направление I мы рас-
рассматриваем с точностью до замены на обратное.
Итак, для того чтобы касательные к поверхности S, взятые
по одной в каждой точке кривой С (лежащей на S), образовывали
развертывающуюся поверхность, необходимо и достаточно, чтобы
направления этих касательных были сопряжены с направлениями
касательных к кривой С.
Далее, заметим, что касательная плоскость в точке М будет
общей для исходной поверхности S и для построенной раз-
развертывающейся поверхности. Действительно, вектор 1 будет,
очевидно, касательным к обеим поверхностям и вектор dv —
тоже, так как кривая С, которой dv касается, лежит на
обеих поверхностях. Векторы 1 и dv (непараллельные по пред-
предположению) определяют, следовательно, общую касательную
плоскость.
Таким образом, касательные плоскости к исходной поверхности
S в точках М кривой С служат касательными плоскостями и к по-
построенной развертывающейся поверхности вдоль соответствую-
соответствующих образующих.
Другими словами^ построенную развертывающуюся поверх-
поверхность можно рассматривать как огибающую семейства касатель-
касательных плоскостей к поверхности S в точках кривой С.
Рассмотрим, наконец, сопряженные сети на поверхности. Под
сетью вообще мы понимаем два семейства кривых на поверхности,
каждое от одного параметра:
и) = Са. E15)
ш2
такие, что через каждую точку поверхности проходят две кривые
сети, по одной из каждого семейства. Под сопряженной сетью мы
понимаем такую сеть, что в каждой точке поверхности проходя-
проходящие через нее кривые сети имеют сопряженные направления каса-
касательных. Из только что доказанного следует, что для этого
необходимо и достаточно, чтобы вдоль каждой линии одного
семейства касательные к линиям другого семейства образовывали
развертывающуюся поверхность (черт. 126).
Сопряженные сети можно строить на поверхности весьма
разнообразными способами. Один геометрически очень наглядный
способ дает теорема Кенигса.
Возьмем в пространстве произвольную прямую I (черт. 127)
и будем проводить через нее всевозможные плоскости. Пересекая
ими поверхность, мы получим на ней семейство кривых от одного
параметра (на чертеже ах, а2,...). Касательные к этим кривым,
находясь в одной плоскости с прямой I, пересекаются с нею.
22 П. К. Рашевский
338
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гЛ. VI
Рассмотрим геометрическое место точек, взятых по одной на
каждой из кривых а так, что касательные к кривым а в этих
точках сходятся в данной точке L на дрямой I. Это геометричес-
геометрическое место мы будем
называть линией те-,
ни (оно служит гра-
границей освещенной и
неосвещенной частей
поверхности, если
источник света нахо-
находится в точке L).Каж-
L).Каждой точке L на пря-
прямой I, если из L
можно проводить ка-
касательные к поверх-
Черт. 126^ ности, будет отвечать
своя линия тени, так
что линии тени образуют также семейство от одного параметра.
Покажем теперь — ив этом заключается теорема, — что линии тени
совместно с плоскими сечениями а образуют сопряженную сеть.
В самом деле, касатель-
касательные к кривым а, взятые
вдоль какой-нибудь линии
тени Ь, по самому по-
построению сходятся в одной
точке (на прямой I) и обра-
образуют, следовательно, ко-
коническую поверхность (ча-
(частный случай разверты-
развертывающейся). Следователь-
Следовательно, направления этих ка-
касательных к кривым а со-
сопряжены с направлениями
касательных к рассматри-
рассматриваемой линии тени b. A
так как это имеет место Чррт. 127.
для каждой линии тени,
то и в любой точке поверхности линии а и Ь встречаются, имея
сопряженные направления касательных. Мы получили сопря-
сопряженную сеть.
Самый общий вид сопряженной сети на данной поверхности,
можно получить, выбирая одно из семейств сети совершенно
произвольно; тогда второе семейство однозначно*) определится,
если потребовать, чтобы сеть получилась сопряженной. В самом
С нижеуказанным исключением..
§ 75]
СОПРЯЖЕННЫЕ СЕТИ НА ПОВЕРХНОСТИ
339
деле, пусть одно семейство задано произвольно,
ш(и, и) = С.
E16)
Тогда в каждой точке поверхности дифференциалы криволи-
криволинейных координат при смещении по кривой семейства (их мы
обозначим через 8и, 8и) будут связаны соотношением
в8и = О, E16')
которое мы получим, дифференцируя E16). Мы исключаем из рас-
рассмотрения особые точки кривых E16), так что из шш ши по
крайней мере одно не равно нулю. Пусть для определенности
ши Ф Q, следовательно, 8м ф. 0.
Мы должны построить теперь второе семейство, сопряженное
с первым. Пусть du, do будут дифференциалы координат и, v при
смещении из какой-нибудь точки поверхности по кривой второго
семейства. Потребуем теперь сопряженность сети, что равно-
равносильно соблюдению условия D50") в каждой точке поверхности.
Перепишем это условие:
LduZu + Mduov + Mdvbu + Ndvhv — O. E17)
Деля на 5в и заменяя ~ через —-? в силу E16'), получаем
(^v = 0. E18)
В круглых скобках стоят известные нам функции от и, v, так
что мы получаем дифференциальное уравнение, которое можно
переписать в виде
?
если коэффициент при dv отличен от нуля. По теореме существо-
существования мы получаем семейство интегральных кривых, проходящих
по одной через каждую точку поверхности. Это семейство от
одного параметра и составит сопряженную сеть совместно
с произвольно выбранным семейством E.16).
Если коэффициент при dv равен нулю, но. при du отличен от
нуля, то получаем du= 0, т. е. искомое семейство совпадает с семей-
семейством координатных линий и. В обоих случаях второе семейство
опре делится однозначно.
Наконец, если оба коэффициента равны нулю, то уравнение
E18) удовлетворяется при любых du, dv, т. е. любое семейство
на поверхности образует с выбранным семейством E16) сопряжен-
сопряженную сеть. Чтобы выяснить, когда такой случай возможен, запи-
запишем условия
L-M^- = 0, M — N^l = 0. E19)
22*
340
ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
Отсюда немедленно следует
LN — ЛР = 0,
а следовательно, полная кривизна К тоже равна нулю, и наша
поверхность оказывается развертывающейся. Вставим теперь-
в E19) вместо — — снова '-г— • Получим
откуда, умножая первое выражение на Sit, второе на 8» и скла-
складывая, получим
L ом2 + 2М Ьи Зц + N су2 = 0.
Это показывает, что дифференциалы координат Ьи, Ьо' вдоль
кривых семейства E16) удовлетворяют уравнению асимптоти-
асимптотических линий, т. е. семейство E16) есть семейство асимптоти-
асимптотических линий. Но на развертывающейся поверхности" асимпто-
асимптотические линии совпадают с прямолинейными образующими.
Следовательно, по произвольно выбранному семейству E16) на
данной поверхности однозначно определяется второе семейство,
образующее с первым сопряженную сеть, за исключением случая,
когда E16) есть семейство образующих на развертывающейся
поверхности. В последнем случае второе семейство становится
неопределенным.
К этому следует добавить, что может случиться, что второе
семейство хотя и определится однозначно, но совпадает с первым,
так что сопряженная сеть выродится фактически в одно семей-'
ство. Посмотрим, когда это возможно. В таком случае можно
принять du, dv вдоль кривой второго семейства совпадающими
с Зи, 8ц вдоль кривой семейства E16), и условие сопряженности
E17) примет вид
Lbit + 2Mbiiv + Nio* = 0. E20)
Таким образом, Зм, Ьо вдоль кривых семейства E16) удов-
удовлетворяют дифференциальному уравнению асимптотических
линий. Итак, совпадение второго семейства с исходным семейством
E16) означает, что -в качестве исходного семейства E16) выбрано
одно из двух семейств асимптотических (подразумевается, на
поверхности, где К < 0). Это и естественно было ожидать, так
как асимптотическое направление само себе сопряжено, и усло-
условие E20), характеризующее асимптотическое направление,
можно рассматривать как частный случай условия E17), когда
записывается сопряженность данного направления самому себе.
ГЛАВА VII.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ.
§ 76. Понятие об изгибании.
Пусть в пространстве даны две поверхности S и S*, между
точками которых установлено взаимно однозначное соответствие
так, что длина любой кривой на поверхности S равна длине соот-
соответствующей кривой на поверхности S*. Такого рода. взаимно
однозначное отображение поверхности S в поверхность S* мы
будем коротко называть изгибанием х) поверхности^ в поверхность
S*; мы будем также говорить, что S* получена путем изгибания
S и т. д.
Само соответствие между S и S* мы будем называть изо-
изометрическим.
Термин «изгибание» связан с наглядным представлением о по-
поверхности как о гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленке;
такую пленку можно изгибать в пространстве, меняя ее форму, но
сохраняя длины всех кривых на ней. Примером может служить
свертывание плоского листа бумаги в цилиндр или конус. При-
Приведенное определение изгибания формулирует математическую
сущность этого наглядного представления.
Всякую поверхность можно изгибать (по крайней мере, если
ограничиваться достаточно малыми ее кусками). Но, изгибая
данную поверхность, можно получить далеко не все остальные
поверхности, а только определенный их клрсс. Дело в том, что
далеко не всякие две поверхности допускают изометрическое соот-
соответствие между собой.
Так, например, даже очень малый кусочек сферы нельзя
изогнуть на кусочек плоскости или на кусочек сферы другого
радиуса.
*¦)¦ Строго говоря, такое отображение называется изгибанием только
в том случае, если оно может быть осуществлено непрерывной дефор-
деформацией поверхности ?>' в поверхность S* с сохранением всех длин
на S. Мы позволим себе употреблять этот термин в более широком
смысле.
340 ЛИНЕЙЧАТЫЕ И РАЗВЕРТЫВАЮЩИЕСЯ ПОВЕРХНОСТИ [гл. VI
Отрюда немедленно следует
а следовательно, полная кривизна К тоже равна нулю, и наша
поверхность оказывается развертывающейся. Вставим теперь-
в E19) вместо — — снова '-?- . Получим
откуда, умножая первое выражение на ом, второе на 8и и скла-
складывая, получим
L 8ма + 2М Ьи Зц + N си2 = 0.
Это показывает, что дифференциалы координат Ьи, Ьо вдоль
кривых семейства E16) удовлетворяют уравнению асимптоти-
асимптотических линий, т. е. семейство E16) есть семейство асимптоти-
асимптотических линий. Но на развертывающейся поверхности" асимпто-
асимптотические линии совпадают с прямолинейными образующими.
Следовательно, по произвольно выбранному семейству E16) на
данной поверхности однозначно определяется второе семейство,
образующее с первым сопряженную сеть, за исключением случая,
когда E16) есть семейство образующих на развертывающейся
поверхности. В последнем случае второе семейство становится
неопределенным.
К этому следует добавить, что может случиться, что второе
семейство хотя и определится однозначно, но совпадает с первым,
так что сопряженная сеть выродится фактически в одно семей--
ство. Посмотрим, когда это возможно. В таком случае можно
принять du, dv вдоль кривой второго семейства совпадающими
с Зи, bv вдоль кривой семейства E16), и условие сопряженности
E17) примет вид
Lou2 + 2Mbubv + Navi = 0. E20)
Таким образом, Зи, Ьо вдоль кривых семейства E16) удов-
удовлетворяют дифференциальному уравнению асимптотических
линий. Итак, совпадемте второго семейства с исходным семейством
E16) означает, что'в качестве исходного семейства E16) выбрано
одно из двух семейств асимптотических (подразумевается, на
поверхности, где К < 0). Это и естественно было ожидать, так
как асимптотическое направление само себе сопряжено, и усло-
условие E20), характеризующее асимптотическое направление,
можно рассматривать как частный случай условия E17), когда
записывается сопряженность данного направления самому себе.
ГЛАВА VII.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ.
§ 76. Понятие об изгибании.
Пусть в пространстве даны две поверхности S и S*, между
точками которых установлено взаимно однозначное соответствие
так, что длина любой кривой на поверхности S равна длине соот-
соответствующей кривой на поверхности S*. Такого рода, взаимно
однозначное отображение поверхности S в поверхность S* мы
будем коротко называть изгибанием г) поверхности S в поверхность
S*; мы будем также говорить, что S* получена путем изгибания
S и т. д.
Само соответствие между S и S* мы будем называть изо-
изометрическим.
Термин «изгибание» связан с наглядным представлением о по-
поверхности как о гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленке;
такую пленку можно изгибать в пространстве, меняя ее форму, но
сохраняя длины всех кривых на ней. Примером может служить
свертывание плоского листа бумаги в цилиндр или конус. При-
Приведенное определение изгибания формулирует математическую
сущность этого наглядного представления.
Всякую поверхность, можно изгибать (по крайней мере, если
ограничиваться достаточно малыми ее кусками). Но, изгибая
данную поверхность, можно получить далеко не все остальные
поверхности, а только определенный их клэсс. Дело в том, что
далеко не всякие две поверхности допускают изометрическое соот-
соответствие между собой.
Так, например, даже очень малый кусочек сферы нельзя
изогнуть на кусочек плоскости или на кусочек сферы другого
радиуса.
*)• Строго говоря, такое отображение называется изгибанием только
в том случае, если оно может быть осуществлено непрерывной дефор-
деформацией поверхности ?> в поверхность S* с сохранением всех длин
на S. Мы позволим себе употреблять этот термин в более широком
смысле.
342
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
§ 11. Внутренняя геометрия и изгибание поверхности.
Пусть на поверхности S, отнесенной к криволинейным коор-
координатам и, и, задана первая квадратичная форма
ds* =
2Fdudv + Gdv\
E21)
т. e. E, F, G заданы как функции от и, и. При этом уравнение самой
поверхности может быть и не задано, так что мы, возможно, не
знаем ничего определенного о форме поверхности в пространстве.
Тем не менее мы сможем рассматривать внутреннюю геомет-
геометрию поверхности (§ 47). Внутренняя геометрия поверхности изу-
изучает те связанные с поверхностью геометрические построения
и величины, которые могут быть определены на основе знания одной
лишь первой квадратичной формы.
Так, например, понятие о длине s отрезка кривой на поверх-
поверхности относится к внутренней геометрии. Действительно, если
кривая задана уравнениями
u = u{t), v = v(t), ?0<?<*i, E22)
то s вычисляется по формуле
<522'>
в которой используется лишь первая квадратичная форма.
Напротив, кривизна кривой, заданной на поверхности урав-
уравнениями E22), не может быть вычислена на основе знания лишь
первой квадратичной формы и к внутренней геометрии поверх-
поверхности не относится.
К внутренней геометрии относится еще, как мы знаем из § 47,
понятие угла между кривыми на поверхности и площади куека
поверхности. Мы познакомимся вскоре и с другими, более тон-
тонкими построениями внутренней геометрии. . ,
Сейчас мы хотим установить связь между внутренней геомет-
геометрией поверхности и изгибанием поверхности. Будем сохранять
в процессе изгибания у каждой точки те криволинейные коорди-
координаты и, v, которые она имела до изгибания. В такой случае
не меняются и значения du, dv, отвечающие переходу в бес-
бесконечно близкую точку. Так как по определению изгибания
длины всех кривых на поверхности остаются без изменения, то
остается без изменения и дифференциал дуги ds, а тем самым
и значение квадратичной формы E21) при любых du, dv.
Это возможно лишь в случае, когда Е, F, G в каждой точке
и, v сохраняют прежние значения, т. е. остаются прежними функ-
функциями и, v, а значит, новая квадратичная форма E21) тожде-
тождественно совпадает с прежней.
§ 78]
ИНДЕКСНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
343
Итак, первая квадратичная форма при изгибании не меняется,
а так как внутренняя геометрия поверхности вполне определяется
первой квадратичной формой, то и внутренняя геометрия инва-
инвариантна при изгибании.
Обратно, геометрические построения и величины, связанные
с поверхностью и инвариантные при изгибании, вполне опреде-
определяются заданием первой квадратичной формы, т. е. принадлежат
внутренней геометрии поверхности.
Действительно, пусть на поверхности S нам задана первая
квадратичная форма (но сама поверхность S, возможно, не задана).
Построим любую поверхность Sa, обладающую той же первой
квадратичной формой. Это значит, что при подходящем выборе
на ?0криволинейных координат коэффициенты Е, F, G выражают-
выражаются теми же функциями от и, v, как и на S. Будем считать соответ-
соответствующими точки на S ж Sb, если они снабжены одинаковыми
координатами и, и. Тогда длины соответствующих кривых будут
равны [так как они выразятся одной и той же формулой E22')],
и Sa получается из S изгибанием. Все геометрические построения
и величины, инвариантные при изгибании, можно сначала реа-
реализовать на уже построенной поверхности S.Jt а затем перенести
наб", пользуясь установленным между So тя. S соответствием. Так
как это соответствие есть изгибание, а речь идет о построениях
и величинах, инвариантных при изгибании, то мы получим в ре-
результате такие же построения и величины, как если бы мы нашли
их непосредственно на S (чего мы не можем сделать, так как
поверхность S нам не задана). Итак, зная на S лишь первую
квадратичную форму,.мы можем провести на S все геометриче-
геометрические построения и найти все величины, инвариантные при изги-
изгибании; эти построения и величины принадлежат, таким образом,
внутренней геометрии поверхности.
Обе приведенные выше формулировки можно объединить сле-
следующим образом:
Занимаясь внутренней геометрией поверхности, мы рассма-
рассматриваем ее геометрические свойства, инвариантные при изгибании.
Представим себе поверхность как абсолютно гибкую, но нерас-
нерастяжимую пленку; тогда мы интересуемся лишь теми геометри-
геометрическими свойствами фигур, начерченных на этой пленке, кото-
которые остаются без изменения, какую бы (достаточно гладкую) форму
мы ей ни придали.
§ 78. Индексные обозначения.
Начиная с этого параграфа, мы переходим к новым обозначе-
обозначениям. Криволинейные координаты на поверхности и коэффи-
коэффициенты первой и второй квадратичных форм мы будем обозначать
буквами, снабженными целесообразно подобранными значками
344
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
(индексами). Прежде всего криволинейные координаты и, v мы
будем обозначать и1, и2. Значки 1, 2 поставлены нами вверху, а не
внизу по весьма существенным причинам, которые полностью рас-
раскрываются в тензорном анализе; здесь мы не можем вдаваться
в изложение их. Коэффициент первой формы Е мы обозначаем
через gxx, F — через g12 или g2x безразлично (так что gri2 = gr2i)>
G—через g22. Коэффициенты второй формы обозначаем аналогично
&ii> ^12 = ^2i> ^22- Дифференцирование радиус-вектора г поверх-
поверхности по и1 мы отмечаем значком 1, поставленным при г снизу,
а дифференцирование по м2— значком 2 снизу.
Нижеследующая таблица дает переход от новых обозначений
к старым:
и
и1
V
и2
Е
gn
F
glS
F
gn
G
#22
L
Ьгг
M
bl2
M
К
N
Ь22
I»
r2
Гц
Tl2 == Г21
p
Г22
E23)
Новые обозначения кажутся значительно сложнее и неудоб-
неудобнее старых; тем не менее в тех вопросах, которыми мы сейчас
займемся, обнаружатся их большие преимущества, заключаю-
заключающиеся в сжатой и наглядной записи различных формул и со-
соотношений.
Прежде всего запишем в новых обозначениях первую квадра-
квадратичную форму:
= E du% + 2Fdudv + Gdo* =
2g1
g2i
Мы видим, что значки у glx, gX2, g22 подобраны так, чтобы они сов-
совпадали с номерами координат, от которых взяты дифференциалы
в соответствующем члене. Очевидно, формулу можно переписать
в виде
Совершенно аналогично, вторая квадратичная форма примет вид
Сделаем еще один шаг в упрощении записи. Мы будем подра-
подразумевать, что по аир производится суммирование (в котором а и ^
пробегают значения 1, 2), не выписывая явно знаков суммирова-
§ 79}.
ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ПЕРВОЙ ГРУППЫ
345
ния. Таким образом, запись первой и второй квадратичных форм
примет вид
go.fi du°-dut и ba.fi dua du$. E24)
Более того, мы условимся раз навсегда, что если в написанном
одночленном выражении дважды встречается один и тот же бук-
буквенный значок, например а, один раз наверху и один раз внизу,
то подразумевается, что выражение просуммировано по этому знач-
значку а, т. е. а приданы последовательно значения а = 1, 2, и резуль-
результаты сложены. Знак 2 пРи этом лишь подразумевается, но не
выписывается. Очевидно, E24) есть частный случай такой со-
сокращенной записи.
На первый взгляд кажется, что эта запись будет давать повод
к многочисленным недоразумениям; однако, как мы увидим, она
оказывается весьма практичной.
Перепишем еще известные нам выражения для коэффициентов
первой и второй квадратичных форм в новых обозначениях. Мы
имеем
Е = т..т... F = г„г„, G = r,,r,,, L = r,,,,in,
= гигт, лг = ]
Теперь получим
gll = *l
611 = г1
g12 = r1r2,
&i2 = r12m.
Очевидно, эти формулы можно переписать кратко, употребляя
буквенные обозначения для индексов:
. gij = *irj, bu = Tt]m. E25)
Действительно, если здесь давать i, / значения 1, 2 во всевоз-
всевозможных комбинациях, то формулы E25) порождают выписанные
выше шесть формул. Мы условимся раз навсегда, что если в дан-
данном равенстве какой-нибудь буквенный значок (например i) встре-
встречается по одному разу в каждом члене, то равенство подразуме-
подразумевается верным при любом значении i = 1, 2; то же относится и к слу-
случаю, когда таких (встречающихся по одному разу) значков не-
несколько.
§ 79. Деривационные формулы^первой группы.
Когда мы рассматриваем вопросы, связанные в первую оче-
очередь с кривизной кривых на поверхности, мы неизбежно сталки-
сталкиваемся со вторыми производными rtJ- радиус-вектора г по криво-
криволинейным координатам. Так называемые деривационные формулы
первой группы имеют своей целью исчерпывающе выяснить строе-
строение векторов ru-.
346
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
Переходим к выводу деривационных формул. Рассмотрим вто-
вторые производные радиус-вектора г по криволинейным координа-
координатам в данной точке, г?/- (i,j = 1, 2). Каждый из этих векторов разло-
разложим по векторам гх, г2, т, т. е. по двум неколлинеарным каса-
касательным векторам г1; г2 в данной точке и по единичному нормаль-
нормальному вектору т. Запишем
ти = G}irl
al7m.
E26)
Через G\j, G\j обозначены коэффициенты разложения при г1} г2;
значки i, j поставлены внизу, чтобы отметить, что разлагается
вектор Г{/. Через ati обозначен коэффициент при m в разложе-
разложении ти-. Фактически в записи E26) заключаются три формулы,
получающиеся из E26) при i,j, равных соответственно 1, 1; 1, 2;
2, 2. Случай i = 2, j = 1 ничего нового не дает, так как, очевидно,
г12 = г21, и коэффициенты разложения должны тоже быть оди-
одинаковыми:
Эти равенства, выражающие, как говорят, симметрию величин
G(j относительно нижних индексов, можно записать одной форму-
формулой с буквенными индексами
Gki]=Gfi (i, j, Л=1,2), E27)
Действительно,'пробуя всевозможные комбинации индексов i, j,
к, мы получим формально восемь равенств, из которых четыре
будут тождествами, а остальные четыре совпадут с предшествую-
предшествующими равенствами, каждое из которых появится по два раза.
Займемся теперь подсчетом коэффициентов в разложении
E26). Умножая скалярно на m обе части равенства E26) и учи-
учитывая, что m перпендикулярен к касательным векторам тг, г2,
так что mi1! = mr2 = 0, получим
Другими словами, коэффициенты а,-; совпадают с коэффициентами
второй квадратичной формы, как это видно из E25). Итак,
и разложение E26) перепишется в виде
rf/ = Gi/T1 + G?yr1 + 6wm. E28)
Остается найти шесть коэффициентов G*j(i, /, ft = l, 2).
Введем сокращенные обозначения для следующих скалярных
произведений:
Gb,u (i, j, к=1, 2). E29)
79]
ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ПЕРВОЙ ГРУППЫ
347
Как мы видим, если давать г, j, к всевозможные комбинации зна-
значений 1, 2, получается шесть существенно различных величин Gu, ц,
так как относительно последних двух индексов они будут, оче-
очевидно, симметричны:
Умножим теперь скалярно обе части равенства E28), во-пер-
во-первых, на Tj и, во-вторых, на г2. Получим
/ = 1, 2).
}
E30)
Коэффициенты первой квадратичной формы появились здесь
в силу формул E25), а последние члены обратились в нуль вслед-
вследствие ортогональности rlf г2 к т. Считая i, j в формулах E30) на
время фиксированными, можно рассматривать E30) как систему
двух уравнений с двумя неизвестными g\j и Gtj. Легко, конечно,
разрешить эту систему; в результате получим
1 1 ^
¦ri, g22 *•" 12 2'"' I, {S30F)
Итак, величины Gk,ij выражаются через величины Gu посред-
посредством E30) и, обратно, величины Gjj- — через Gu, ц посредством
E30'), в обоих случаях с участием коэффициентов первой квадра-
квадратичной формы.
Введем сокращенные обозначения
Другими словами, матрицы
связаны друг с другом как матрицы взаимных миноров. Теперь предыду-
предыдущие формулы могут быть переписаны в виде
.+S-G^. E32)
Мы видим, что в этой записи E32) G^ имеют вполне закономерное строе-
строение: в выражении для G\j первый значок наверху у членов в правой
части будет 1, т. е. такой же, как у G\t наверху. Второй же значок
наверху сначала имеет значение 1, потом 2, т. е. всегда такое же, как
численный значок внизу в тех же членах правой части. То же имеет
348
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VII
место и для~второй из формул E32). Исходя из этого, мы можем пере-
переписать эти формулы сокращенно в виде одной:
(*, /, к = 1,2).
E33)
Действительно, давая к значения сначала 1, потом 2 и производя каждый
раз в правой части подразумеваемое там суммирование по индексу <*,
2
2 . мы вернемся к подробной записи: E32) тех же формул. Совершенно
о.=1
аналогично, формулы E30) можно переписать в сжатом виде так:
Gt,H = GiiS*k О./, »= 1,2). E34)
Как мы сейчас покажем, — и это очень важное обстоятельство —
величины Gic,tj могут быть выражены через частные производные
коэффициентов первой квадратичной формы g// по и1, иа. В самом
деле, запишем, пользуясь формулами E25):
Здесь каждый из значков i, f, к имеет значение либо 1, либо 2,
но во всяком случае одно и то же во всех трех формулах. Про-
Продифференцируем первое равенство по ик, второе по и*, третье
по иК Получим
Почленно сложим последние два равенства и вычтем из них первое.
Тогда, учитывая, что порядок значков у Гц и g,-; не играет роли (так
как Г12 = г2а и gia = g2i), мы получим
duJ
ди?
Остальные члены левой части, как легко проверить, взаимно унич-
уничтожаются. Отсюда, пользуясь сокращенным обозначением E29),
нолучим
*<*' dSi* E35)
Это — одна из основных формул теории поверхностей; смысл
ее заключается в том, что скалярные произведения вторых част-
частных производных радиус-вектора г (и1, и2) на его первые частные
производные удается выразить посредством только козффициен
тов первой квадратичной формы (точнее, через производные о
80]
ДЕРИВАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ВТОРОЙ ГРУППЫ
349
них). Этот факт совсем не самоочевиден и имеет в дальнейшем
важные применения.
Выпишем три из формул E35):
Остальные три получаются из этих заменой значка 1 через 2,
и наоборот.
Выражения E35), полученные нами для величин Gk,tj, часто
называются символами Христофеля 1-го рода. Подставим эти
выражения в формулы E30').
Тогда и все величины Gfj выразятся через коэффициенты пер-
первой квадратичной формы gt,- и их первые частные производные ^р^ .
Полученные выражения для G,,-, которые мы явно выписывать не
будем, часто называются символами Христофеля 2-го рода.
Теперь в формулах E28) подсчитаны все коэффициенты, при-
причем коэффициенты G\j, Gf/ вполне определяются из первой квад-
квадратичной формы на поверхности. Формулы E28) мы будем назы-
называть первой группой деривационных формул (деривационные фор-
формулы Гаусса).
§ 80*. Деривационные формулы второй группы.
Переходим к выводу второй группы деривационных формул.
Запишем перпендикулярность вектора m к любому из касательных
векторов rlt т2'.
0 (i = l, 2).
Продифференцируем теперь это тождество по любой из координат
а1, и2
Эй3
или
= 0 (i, 7=1, 2)
= 0.
т,г,- +
В силу E25) второе слагаемое совпадает с &!;-, и мы получаем при
любых i, /
m;-rz=-bl7 (i, / = 1, 2). E36)
Эти выражения для коэффициентов второй квадратичной формы
уже были в свое время получены нами в старых обозначениях.
Назначение второй группы деривационных формул состоит
в том, чтобы дать частные производные единичного нормального
вектора m по в1 и а! в разложении по основным векторам г1( Г3,т
350
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
в каждой точке поверхности. Эти частные производные — мы их
будем обозначать т1; т2 —• взяты от единичного нормального
вектора т, следовательно, ему ортогональны и расположены
в касательной плоскости к поверхности. Поэтому при их разло-
разложении можно ограничиться векторами гх и гг:
где через— Ь) обозначены неизвестные пока коэффициенты разло-
разложения. Значки при Ь расставлены так, что обе формулы E37)
можно записать в нашей сокращенной записи:
mf=-6}ri-6ir1=-6?r. .(» = 1, 2). E37')
Чтобы подсчитать коэффициенты b[, умножим скалярно обе части
равенства E37') сначала на v1} потом на г2. Получим
В силу E36) и E25) мы узнаем слева коэффициенты второй, а спра-
справа первой квадратичной формы; равенства переписываются так:
E38)
+ bfg21, )
+ b\g^. j
Решая эти уравнения относительно Ь\ и Ц, получаем
Эти обе формулы можно объединить в одной:
b[ = bia.g°-K E38')
Здесь i, / придаются все четыре возможные комбинации значении
2
1, 2, а по а производится суммирование, ^j • Формулы E37), где
коэффициенты Ъ\ определяются согласно E38'), и называются
второй группой деривационных формул (формулы Вейнгартена).
Объединим теперь формулы E28) и E37), переписав их в виде
= G\iri + С\гх, + bHm, (i = 1, 2), j,
i
J
E39)
§ 811
РОЛЬ ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
351
Смысл этих формул заключается, очевидно, в следующем. Они
выражают первые частные производные х) по ц1 и и2 от основ-
основных векторов в данной точке поверхности— двух касательных тх и г2
и одного нормального т. Эти частные производные от т1г г2, m
получаются в виде разложения по самим векторам rlf r2, m.
Дифференцируя эти формулы еще раз и пользуясь уже имею-
имеющимися разложениями первых производных, получаем и вторые
производные от га> т2, т, разложенные по гг, г2, т; то же отно-
относится и к производным третьего и т. д. порядков. Это позволяет
отнести всю картину поведения поверхности (в бесконечной бли-
близости данной точки определяемую именно значениями последо-
последовательных частных производных от г в этой точке) к основным
векторам Tlt г2, т. Особенно существенно при всем этом, что коэф-
коэффициенты разложения E39) определяются, как мы видели, цели-
целиком через коэффициенты gtj, btj первой и второй квадратичных
форм (и их производные); то же будет относиться, очевидно,'
и к разложению производных от векторов г1? гг, m по и1, и" вто-
второго и выше порядков.
§ 81*. Роль второй квадратичной формы.
Выведенные в § 80 деривационные формулы E39) играют фунда-
фундаментальную роль в теории поверхностей вообще, в том числе и при
изучении внутренней геометрии поверхности. Но прежде чем
окончательно перейти в область внутренней геометрии, мы исполь-
используем эти формулы, чтобы ответить на некоторые естественно воз-
возникающие вопросы из «внешней» геометрии поверхности. Мы
знаем, что задание первой квадратичной формы на поверхности
определяет внутреннюю геометрию на поверхности, т. е. характе-
характеризует поверхность с точностью до ее изгибания. Какие аналити-
аналитические данные следует присоединить к первой квадратичной
форме, чтобы изгибание сделалось невозможным и поверхность
приобрела твердую форму в пространстве? На это отвечает сле-
следующая теорема: ,
Если на некоторой поверхности S заданы и первая и вторая
квадратичные формы, т. е. если в некоторой системе криволиней-
криволинейных координат и1, и* коэффициенты gtj, Ьц заданы как функции
от и1, и2, то геометрическая форма поверхности S в простран-
пространстве вполне определится"). Более точно: любая поверхность S*,
обладающая теми же первой и второй квадратичными формами,
х) Отсюда и термин — деривационные формулы (derivee — производ-
производная).
а) В этом параграфе мы предполагаем, что На рассматриваемых по-
поверхностях направление единичной нормали m выбрано всегда в сторону
векторного произведения [гх, г3]. чем устраняется неопределенность
в знаке второй квадратичной формы [см. C60)].
352
. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
может отличаться от S лишь положением в пространстве, т. е.
получается из S движением S как твердого тела в простран-
пространстве. Отметим, между прочим, что обратная теорема очевидна:
передвигая S как твердое тело в пространстве, мы не меняем
на S ни первой ни второй квадратичных форм, что легко выте-
вытекает из их геометрического смысла.
Итак, пусть даны две поверхности S и S*, обладающие оди-
одинаковыми первой и второй квадратичными формами. Более точно:
на S и S* можно так согласовать выбор криволинейных коорди-
координат и1, и2, 4Togt/ и Ьи будут выражаться одинаковыми функциями
от и1, и2, причем и область изменения переменных и1, иа будет
на S и S* одинакова. Мы будем называть точку Мнаб' и точку М*
на S* соответствующими точками, если им отвечают одинаковые
значения в1, и3. Очевидно, что в соответствующих точках обеих
поверхностей значения gtl- и btj тоже будут одинаковы. Докажем,
что движением S* в пространстве можно добиться совмещения S*
с S таким образом, что каждая точка М* совпадет с соответ-
соответствующей точкой М.
Фиксируем прежде всего на поверхности S некоторую точку Ма
в качестве начальной; соответствующую ей точку М* на S*
примем за начальную naS*. Рассмотрим векторы г1( г2 как в точке
Мо поверхности S, так и в точке М* поверхности S*. Мы заме-
замечаем, что скалярные квадраты rf,r!j и скалярное произведение
г^г будут равны соответственно gla, g2a и gl2 и, следовательно,
имеют одинаковые значения в той и другой точках. Отсюда сле-
следует, что векторы га, г2 в точках Ма и М* имеют соответственно
одинаковые длины и образуют между собой одинаковые углы.
Поэтому фигуры, образуемые векторами гх, г3 в точках Мй и М*,
конгруэнтны, и движением поверхности S* как твердого тела
можно добиться совпадения точки М* и векторов г1; г2 в ней сточ-
сточкой Мь и векторами^, г2 в ней. Тогда векторы m в точках М* и МЛ
тоже совпадут, так как они будут одинаково направлены в сто-
сторону вектора [г^Гг].
Итак, движением поверхности S* как твердого тела мы доби-
добились совмещения точки М*^ и основных векторов гх, г3, m в ней с со-
соответствующей точкой Мо на поверхности S и с основными векто-
векторами гх, г2, m в ней. Остается доказать, что теперь поверхность
S* целиком совместилась с S.
Возьмем на поверхности S какую-нибудь кривую
в* = »»(/), в2 = м2(г), E40)
которая при г = 0 проходит через точку Ма. Пользуясь этими же
уравнениями E40) на поверхности S*, мы получаем там соответ-
соответствующую кривую, т. е. одинаковым значениям t будут отвечать
соответствующие точки на обеих поверхностях. В частности,
при г=0 кривая на поверхности S* проходит через точку М*.
31]
РОЛЬ ВТОРОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ
353
Изучим изменение векторов г1( г2 m вдоль кривой E40) на по-
поверхности S. Эти векторы являются функциями координат и1,
и1 на поверхности; но так как вдоль кривой E40) и1, и~ в свою
очередь зависят от t, то rx, ra, m в конечном итоге являются функ-
функциями от t. Запишем их производные по t:
dt1 i9rx du1 r dt^ du2 f /~ч du1 , „s du2
du1 dt du'2 dt v 1г dt 12 dt
dt
dr..
dm
du1
G-la
7r
r,
-^ -r bls
dr.,
du1 <Эг2 du2 I /~<\
~~dT • ~fa* ~2T = l Cr-
, da1' , ^,, du?
du1
dt
dt
¦-¦-
dt )
¦-¦- dt
m,
m,
din du1
du1 dt
dm du2
du- dt
-(ч?-+ч^
r,—
-ж
E41)
Здесь для получения окончательных выражений в правой части
использованы деривационные формулы E39).
Мы замечаем, что выписанные равенства дают нам систему
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений в нор-
нормальной форме, если рассматривать г1( г2, m как неизвестные
функции от t. Действительно, производные от тг, г2, m no t
выражены как линейные комбинации самих векторов гх, г2, т.
Коэффициенты при г1; г2, ю в правых частях выражаются при
этом через величины <??; и Ьи, т. е. через коэффициенты второй
и первой квадратичных форм и их производные, и через произ-
производные -^- , -^- вдоль кривой E40).
Если мы рассмотрим теперь соответствующим образом кривую
E40) на поверхности S*, то вдоль нее мы также придем к уравне-
уравнениям E41), причем не только общая запись уравнений, но и вид
функциональной зависимости от параметра t выражений
в круглых скобках будет прежний. Действительно, при одинако-
одинаковых значениях t мы попадаем на обеих поверхностях S и S* в со-
соответствующие точки, где значения и1, и2—одинаковые, следова-
следовательно, значения ~ , -^-—тоже одинаковые; кроме того, и это
dt at
самое существенное, значения gu-, Ь{,- и их производных в соот-
соответствующих точках — тоже одинаковые, так как gijt bifna обеих
поверхностях выражаются одинаковыми функциями от и1, w.
Следовательно, и значения G^—тоже одинаковы. Итак, коэф-
коэффициенты при г1? г2, ш в системе линейных дифференциальных
23 П. К. Рашевсгшй
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
уравнений E41) будут одинаковыми функциями t как вдоль кри-
кривой E40) на поверхности S, так и вдоль соответствующей кривой
на поверхности S*. Но, кроме того, при ? = 0 мы попадаем
на обеих кривых в точки Ма и М*, совпавшие между собой,
причем в этих точках векторы г±, r>, m имеют одинаковые зна-
значения для обеих поверхностей.
Итак, при рассмотрении rl5 r2, m как функций t вдоль кривой
E40) на поверхности S и вдоль соответствующей кривой на поверх-
поверхности S* эти функции Гц, г2, ш удовлетворяют не только одной
и той же нормальной системе линейных дифференциальных урав-
уравнений E41), но и принимают при ? = 0 одни и те же начальные
значения. Из анализа известно, что этими данными ri; ra, m как
функции от t определяются однозначно1) и должны, следователь-
следовательно, быть одинаковыми вдоль кривой E40) на S и вдоль соот-
соответствующей кривой на S*.
Возьмем какое-нибудь значение t; ему отвечает некоторая
точка М на кривой E40) поверхности S и соответствующая
точка М* на кривой E40) поверхности S*. Приращение радиус-
вектора при переходе из точки Мо при г = 0 в точку М может
быть выражено, очевидно, интегралом вдоль кривой E40)
dt
Аналогично выражается приращение радиус-вектора при пере-
переходе из точки М* в точку М*. Но так как г15 г3 вдоль обеих кри-
кривых—одинаковые функции от tvi так как и1, и2—тоже одинаковые
функции от t, то этот интеграл имеет одно и то же значение
в обоих случаях. Вектор смещения МЛМ совпадает с вектором
М*М*, а так как точки Мо и М* совпадают, то и точки М и М*
совпадут. Итак, любые две соответствующие точки М и М*
на кривых E40) поверхностей S и S* совпадают. Но кривую E40)
мы проводили по поверхности S совершенно произвольно и могли
притти в любую точку М на S; следовательно, поверхность S
всеми своими точками совпадает с соответствующими точками
поверхности S*. Теорема доказана.
Легко было бы показать теперь, что совпадение первых квад-
квадратичных форм на поверхностях S и S* и отличие вторых форм
г) Степанов В. В., Дифференциальные уравнения, гл. IV, § I:
гл. VII, § 2.
Соответствующая теорема доказывается в анализе, конечно, для ска-
скалярных функций. Но, разлагая наши вектор-функции г1; га, m по осям
X. Г, Z. мы можем вместо трех векторных уравнений E41) записать
девять скалярных с девятью неизвестными скалярными функциями—коор-
функциями—координатами векторов гг, га, т. Этим мы обнаруживаем законность приме-
применения теоремы в нашем случае.
§ 821
ТЕОРЕМА ГАУССА
Зоа
лишь знаком означает, что одна из этих поверхностей может быть
получена из другой движением как твердое тело и зеркальным
отражением.
Нами выяснено, что первая и вторая квадратичные формы
определяют поверхность с точностью до ее положения в про-
пространстве, и следовательно, все остальные геометрические данные
и величины, связанные с поверхностью, целиком определяются
заданием gt] и Ьц. Но возникает вопрос, нет ли, кроме того,
какой-либо связи между самими gi} и Ьц как функциями в1, и">
связи,, имеющей место на любой поверхности и в любых коорди-
координатах и1, и2. Другими словами, нас интересует вопрос: в какой
мере задание gtj, т. е. внутренней геометрии поверхности, огра-
ограничивает выбор btj и тем самым влияет на окончательное офор-
оформление поверхности в пространстве?
Наиболее естественный путь для ответа на этот вопрос состоял:
бы в составлении условий интегрируемости деривационных фор-
формул E39). А именно, нужно было бы сначала выписать форму-
формулы E39) при t = l и продифференцировать их почленно по к2;
потом, наоборот, выписав E39) при t = 2, продифференцировать
их но и1. Легко видеть, что в обоих случаях в левых частях
формул E39) получится одно и то же; следовательно, можно
приравнять и правые части соответствующих формул. Полу-
Получим три векторных равенства; разлагая участвующие в них век-
векторы по г,, г», m и сравнивая коэффициенты при них, прихо-
приходим к девяти уже скалярным уравнениям (из которых суще-
существенными, как оказывается, будут лишь три). Эти уравнения
дают нам искомую зависимость между gi}- и 6,-у (с участием и про-
производных от этих величин).
Мы не пойдем непосредственно этим путем ввиду его техниче-
технической сложности, а применим в сущности тот же прием, но в не-
несколько замаскированном виде.
Этому будут посвящены §§ 82, 83. Соответственно с двумя груп-
группами деривационных формул мы получим и две группы условий
интегрируемости—формулу Гаусса и формулы Петерсона-Кодацци.
При этом формула Гаусса, как мы увидим, имеет важнейший
геометрический смысл: она показывает, что полная кривизна К
поверхности может быть определена на основе одной первой
квадратичной формы.
§ 82. Теорема Гаусса.
В этом параграфе мы покажем, что полная кривизна поверхно-
поверхности К = k-Jkb может быть выражена через коэффициенты gtj первой
квадратичной формы и их первые и вторые частные производные
по криволинейным координатам и\ и2.
Тем самым полная кривизна К вполне определяется при зада-
задании первой квадратичной формы на поверхности, а следовательно,
23*
356
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
принадлежит к внутренней геометрии поверхности и остается
инвариантной при изгибании.
Это—один из наиболее глубоких результатов теории поверх-
поверхностей; его нельзя усмотреть непосредственно, из определения
полной кривизны К = кгк%, так как кг, к2 по отдельности при
изгибании меняются. Выпишем формулу E35):
duf
дик
Продифференцируем обе части по и1, где I, /, к, I можно давать
в любой комбинации значения 1, 2. Получим, обозначая через
г?/[ третью производную г по и1, и>, и1:
Так как эта формула верна при любых значениях индексов
i, j, к, Z = 1. 2, то она останется верной, если то значение, кото-
которое имел индекс I, мы припишем /, и наоборот. Формально это
будет означать, что индексы I и / поменяются местами:
Вычитая из верхней формулы нижнюю почленно и учитывая,
что порядок индексов, указывающих последовательные частные
дифференцирования по и1, и2, не играет роли, получим
— 1/ &gij | d*gkl
Кажется на первый взгляд, что здесь заключается большое коли-
количество формул в зависимости от значений, которые мы будем
придавать индексам i, j, к, I. На самом деле существенной здесь
является лишь одна формула, получаемая при i = j=i,k = l = 2:
ri2rii= — y(
диЮи.1
E42)
Если попробовать другие комбинации значений i, j, к, I, то легко
убедиться, что получаются либо тождества, либо то же самое
уравнение E42).
В самом деле, если i — к, то справа и слева получается тожде-
тождественно нуль. То же происходит, если j = l. Остается случай,
когда I и к различны, т. е. имеют значения 1, 2, и /и I тоже
различны, т. е. также имеют значения 1, 2. Положим ли мы i = 1,
к = 2, или наоборот, не имеет значения, так как разница будет
лишь в знака.х обеих частей равенства. То же относится и к ин-
индексам j и I.
82]
ТЕОРЕМА ГАУССЛ
Формула E42) показывает, что определенная комбинация
скалярных произведений вторых производных г?угйг определяется
первой квадратичной формой, хотя это и неверно по отношению
к каждому произведению ri;rfe? в отдельности. На основе фор-
формулы E42) мы покажем, что дискриминант второй квадратичной
формы ЬП622 — &12 также определяется первой квадратичной фор-
формой. Выпишем с этой целью формулы E28) при различных зна-
значениях i, j:
Gl% + b.2im. E43)
г12 =
г22 =
В правых частях использована сокращенная запись суммиро-
суммирования. Составим следующие скалярные произведения, помня, что
скалярные произведения тх, г2 на m равны нулю:
Здесь у, 2, как и а, {3, —независимые индексы суммирования, про-
бегаюшие значения 1, 2; при этом у входит в выражение E43)
для г12> а 3 — в совершенно аналогичное выражение для г12) взя-
взятое вторым множителем в скалярном произведении г12г12. Учиты-
Учитывая, что гаГя — ?ав и пг = 1, и вставляя полученные выражения
в E42), приходим к окончательной формуле
ИЛИ
<52?i
ди^ди2 " 2 ди?ди* 2 ди^ди1-
Эта формула ъазывается формулой Гаусса. Ее значение состоит
в следующем. Прежде всего правая часть E44) содержит только
8цг Sii> 822 и их первые и вторые производные по и1, и2. Дей-
Действительно, три члена, содержащих вторые производные, у нас
выписаны; что же касается величин Gfj, то они целиком выра-
выражаются через glx, g12, g22 и их первые производные по и1, и~
согласно формулам E30') и E35). Можно было бы выписать сум-
суммирование по у, 8 и а, р в развернутом виде и фактически напи-
написать последние два члена формулы E44) выраженными "через
g11; g12, g22 и их первые производные по и1,'- Никаких труд-
трудностей, кроме чисто технических, выкладка не представляет,
но результат дает громоздкий и лишенный наглядности, поэтому
останавливаться на ней мы не будем.
Итак, правая часть формулы E44) зависит только от первой
квадратичной формы; левая же часть есть, очевидно, не что иное,
как дискриминант второй квадратичной формы, в старых обозна-
обозначениях LN—М°.
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
РХтак, при задании первой квадратичной формы на поверх-
поверхности вторую квадратичную форму нельзя выбирать произвольно
уже потому, что ее дискриминант будет вполне определен фор-
формулой Гаусса. '
Этот результат допускает чрезвычайно важную геометриче-
геометрическую формулировку. Мы знаем, что полная кривизна поверх-
поверхности определяется формулой
к -h ic l
¦—
— V
ьцьд.-ь;,
_ 2 •
S11S22 Sl%
Мы видим, что в силу E44) полная кривизна К на поверхности
вполне определяется коэффициентами первой квадратичной формы
и их первыми и вторыми производными по и1, и2.
Допустим теперь, что рассматриваемая поверхность подвер-
подвергается изгибанию. Мы знаем, что если при этом сохранять у ка-
каждой точки те значения и1, и3, которые ей отвечали до изгибания,
то и gtl, g12, g22 остаются теми же функциями от и1, и2, как и до
изгибания (см. конец § 77), и следовательно, они и их производ-
производные в каждой точке сохраняют прежние значения. Отсюда сле-
следует, что при изгибании поверхности полная кривизна К в каждой
ее точке остается.без изменения. Таким образом, хотя при изгиба-
изгибания поверхность вблизи каждой точки меняет свою форму, вслед-
вследствие чего главные кривизны меняют свои значения, но их про-
произведение—полная кривизна К — остается постоянным.
Отсюда вытекает ряд важных выводов. Из их числа докажем
следующую теорему.
Всякая поверхность, изгибаемая на плоскость (или на кусок
плоскости) есть развертывающаяся поверхность.
Действительно, так как при изгибании полная кривизна К
сохраняет свое значение, то во всех точках данной поверхности
она должна быть такой же, как и на плоскости, т. е. нулем. А это
означает, что данная поверхность — развертывающаяся (§ 72).
Доказанная теорема является обратной теореме конца § вб.
Теперь мы можем утверждать следующее:
Для того чтобы поверхность была развертывающейся, необ-
необходимо и достаточно, чтобы она (по крайней мере в окрестности
каждой своей обыкновенной точки) была изгибаема на плоскость.
§ 83*. формулы Петерсона-Кодацци.
Переходим к выводу формул Петерсоиа-Кодацци — еще двух
дифференциальных уравнений, связывающих коэффициенты пер-
первой и второй квадратичных форм. Используя выражения E36)
для коэффициентов второй квадратичной формы, можно написать:
4 83] ФОРМУЛЫ ПЕТЕРСОНА-КОДАЦЦИ
Дифференцируем первое равенство по и2, а второе—по м1:
^=-m14r,-m1r?2,
дЪ-,,
з^= -т21г;-т,гA.
Вычитаем из первого равенства второе, учитывая, что
Получим
359
ди-
Вставим сюда
выражения для тп и ri2, взятые из E28):
Гц =
. + bum,
Получим, учитывая, что скалярные произведения mlt пц на ш
дают нуль, так как m — единичная вектор-функция и, следова-
следовательно, ортогональна своим производным:
Снова пользуясь выражениями E36), можно переписать урав-
нение в виде
эъи дЬг, __ ___ ~i , __ аь ha, j_ о, а + Gf,6,i
или окончательно
диг
E46)
Давай индексу i последовательно значения 1 и 2, получаем два
дифференциальных уравнения, связывающих коэффициенты вто-
второй квадратичной формы Ьгг, 612, 622 и их первые производные
с коэффициентами первой квадратичной формы gllt gia, g22 и их
лервыми производными (входящими исключительно через вели-
величины Gij). Эти два уравнения называются формулами Петерсона-
Кодацци.
Для того чтобы полностью осветить роль формулы Гаусса E44)
и формул Петерсона-Кодацци E46), формулируем, хотя и без
доказательства, следующую основную теорему. Как уже упо-
упоминалось, отыскивая условия интегрируемости деривацион-
деривационных формул E39), мы приходим к девяти уравнениям, связываю-
связывающим коэффициенты g?,-, btj и их производные. Как показала бы
300
JJH> ТРКННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ IJOHEPXHOCTII
[гл. \П
соответствующая выкладка, среди этих девяти уравнений только
три существенных, а именно формулы Гаусса и Петерсона-Кодацци ^
Исходя из того, что формулы Гаусса и Петерсона-Кодацци исчер-
исчерпывают условия интегрируемости системы деривационных фор-
формул E39), и пользуясь соответствующими теоремами существова-
существования из теории дифференциальных уравнений, можно доказать
такую теорему:
Пусть в некоторой односвязной области изменения перемен-
переменных и1, и* заданы две дифференциальные квадратичные формы
с коэффициентами соответственно glx, g12, g2! и 6U, b12, й32. Точ-
Точнее, коэффициенты этих форм заданы как функции от и1, гг.
Единственное ограничение, наложенное на коэффициенты
первой квадратичной формы:
gugM — glz > 0, gia >0,
что означает, что форма положительная1).
Единственное ограничение, наложенное на коэффициента
второй квадратичной формы, то, что они должны удовлетво-
удовлетворять совместно с коэффициентами первой квадратичной формы
уравнениям E44) и E46) (формулам Газ^сса и Петерсона-
Кодацци) .
Тогда можно построить поверхность, для которой (при опре-
определенном выборе криволинейных координат и1, и1) первая
и вторая квадратичные формы совпадут с наперед заданными нам
дифференциальными квадратичными формами (а область изме-
изменения криволинейных координат и1, гг совпадет с наперед за-
заданной областью изменения переменных и1, и и2).
К этому следует добавить, что на основании доказанного
в § 81 такая поверхность определится с точностью до движения
ее как твердого тела в пространстве.
Итак, чисто аналитически заданные две дифференциальные
квадратичные формы, из которых одна положительна, а другая
связана с нею формулами Гаусса и Петерсона-Кодацци, всегда
могут быть осуществлены на некоторой поверхности как ее пер-
первая и вторая квадратичные формы. Мы можем это выразить и так.
сказав, что формулы Гаусса и Петерсона-Кодацци представляют,
собой необходимое и достаточное условие того, чтобы две анали-
аналитически заданные квадратичные дифференциальные формы, аз
которых одна положительная, служили первой и второй квадра-
квадратичными формами для некоторой поверхности {которую они
определяют в этом случае с точностью до движения).
!) Чтобы убедиться в последнем, достаточно представить форму л виде-
§ 84]
ВЫ1ТОРЫ НА ПОВЕРХНОСТИ
361
§ 84*. Векторы на поверхности.
Переходя к изучению внутренней геометрии поверхности, рас-
рассмотрим с этой точки зрения векторы на поверхности. Под век-
вектором на поверхности мы понимаем вектор, заданный в какой-
нибудь точке поверхности и лежащий в касательной плоскости
в этой точке. Пользуясь тем, что в каждой точке М имеются два
вектора, xL и г2, касательные к координатным линиям в этой
точке (черт. 128), мы будем вся-
всякий касательный вектор а в точ-
точке М разлагать по г1; г2-"
E47)
г.
а = а'г,
а г2.
Черт. 128.
Через о1, а2 мы обозначаем коэф-
коэффициенты разложения. Мы мо-
можем, таким образом, аналити-
аналитически задавать вектор в дан-
данной точке поверхности парой
его координат а1, а2.
Разумеется, при переходе от
данной системы криволинейных
координат и1, и1 на поверхно-
поверхности к какой-нибудь другой систоме, координаты а1, а" того же-
самого вектора а принимают другие значения, так как векторы
гх я г2 становятся другими.
Заметим кстати, что различные другие рассмотренные нами
величины: gtj, Ьц, Gtj, также принимают новые значения при
переходе к новым координатам и1 , и% на поверхности. Изучение
соответствующих законов преобразования привело бы нас
в область тензорного анализа, в которой впервые полностью
раскрылся бы смысл индексных обозначений, введенных нами
в этой главе. Однако мы не можем здесь этим заниматься,
и индексные обозначения останутся для нас лишь орудием
сокращенной записи формул.
Допустим, что рассматриваемая поверхность S подвергается,
изгибанию. Всякий вектор а, касательный к поверхностиSв какой-
нибудь точке М, мы условимся преобразовывать при этом следую-
следующим образом. Проведем через точку М какую-нибудь кривую С,
лежащую на S и касающуюся вектора а в точке М. Мы потре-
потребуем, чтобы после изгибания поверхности S вместе с лежащими
на ней кривой С и точкой М вектор а продолжал касаться кри-
кривой С в точке М, сохраняя при этом прежнюю длину (и указывая
прежнее направление вдоль С).
Пусть уравнение кривой С на поверхности S было
и1 = и1@, «' = »*(*)• E48)
362
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. VII
Тогда касательный вектор к кривой С в какой-нибудь точке М,
направленный в сторону возрастания параметра t, может быть
получен в виде
dt
du1
du-
Будем теперь изгибать поверхность S, сохраняя прежние значе-
значения и1, и2 в каждой ее точке. Тогда уравнение кривой С*
на поверхности S*, куда перейдет кривая С на б1 после изгиба-
Чорт. J29.
ния, попрежнему имеет вид E48), а касательный вектор к кри-
кривой С* в точке М* может быть получен в виде
dr*
Hi
* du1
*1 dt
* du2
Мы утверждаем, что вектор -^ в точке М переходит при изги-
изгибании именно в вектор -Jj в соответствующей точке М* (черт. 129).
В самом деле, эти векторы приложены в соответствующих точках
М и М* и направлены по касательным к соответствующим кри-
кривым С и С* в соответствующие стороны—в сторону возрастания t.
Остается показать, что длины этих векторов одинаковы. Вычи-
Вычислим скалярные квадраты этих векторов:
dt dt
' "8и1Г dt ' b2»\dtJ ¦
Так как при сохранении прежних и1, и2 коэффициенты glt, gv2,
?,2 при изгибании не меняются, то g*; =gir и выписанные выра-
выражения совпадают. Итак, -j* вдоль С переходит при изгибании
в dJl вдоль С*. Мы замечаем при этом, что коэффициенты раз-
dt
85]
ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
363
dr* . - du1 du-
ложения -у- по г*, г" равны -г-, -г? и совпадают, следовательно.
с коэффициентами разложения -~ по гх, г2. Таким образом,
.при изгибании поверхности S вместе со всевозможными касатель-
касательными к лей векторами координаты последних а1, а% остаются
без изменения (предполагая, что после изгибания каждой точке М
отнесены прежние значения и1, и2). Этот результет выведен
у нас, собственно, для вектора -т- вдоль кривой С, по так как
кривую С на поверхности и параметризацию t ш& С можно выби-
дзать произвольно, то в качестве -т- можно получить любой
.касательный к поверхности вектор а. В частности, если а1 = 1,
a1 = 0, то а совпадает с г1( и мы заключаем, что после изгиба-
ния координаты а1, а2 снова равны 1, 0, и следовательно, гх пере-
переходит после изгибания в г*. То же относится и к iv
§ So*. Градиент скалярного поля на поверхности.
Введем теперь понятие о векторном поле на поверхности.
Пусть в каждой точке поверхности нам задан вполне определен-
определенный вектор а, касательный к поверхности в этой точке. Анали-
Аналитически это означает, что координаты вектора а в каждой точке
заданы как функции и1, и2:
a1 = ar(u\u2), a* = at(u1, и").
J3 этом случае мы говорим, что на поверхности задано векторное
зголе. Особенно нас интересует частный случай градиентного век-
векторного поля. А именно, пусть на поверхности задано скалярное
поле <р, т. е. каждой точке М отнесено вполне определенное зна-
значение переменной величины о. Аналитически это означает, что <в
задана как функция и1, и2:
» = ср(в1, и2).
Построим теперь в каждой точке поверхности касательный век-
вектор а, определяемый тем требованием, чтобы его скалярные про-
произведения с координатными векторами гх, г2 были равны частным
производным ~1, -г-^, (последние мы будем обозначать коротко
ri> ?->)• Итак,
ai1! = со,, аго = з.,, E49)
Покажем, что такой вектор всегда можно построить. Пусть
я1, а2 — его координаты; тогда
а = а1г1 -г а"т.,,
Я'-
364 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. ЛИ
и условия E49), если учесть, что гл1/ — gu, примут вид
Эти два уравнения однозначно разрешаются относительно a1, a"t
~ gia?i
E50>
Таким образом, вектор а однозначно определяется в каждой
точке. Однако мы еще не можем утверждать, что а образует век-
векторное поле на поверхности, так как в понятии поля подразу-
подразумевается, что значение рассматриваемой величины (вектора а.
скаляра о и т. д.), определяясь выбором точки на поверхности-
не зависит при этом от выбора системы координат и\ и'~
на поверхности. Между тем в нашем определении а посредством
требований E49) это неясно. Покажем, что вектору а в каждой-
точке поверхности можно дать и чисто геометрическое определе-
определение, при котором его независимость от выбора координат на по-
поверхности будет ясна.
Пусть через данную точку М проходит произвольная кри-
кривая С по поверхности, отнесенная к длине дуги. Тогда, рас-
рассматривая вдоль этой кривой значение величины -л как функ-
функцию от s, можно взять производную
df
d~s~
du1
-
ds
du*
'2 ds
Так как вектор а удовлетворяет условиям E49), то можно ле-
d<a
реписать -— в виде
ds
du1 du- / du1 , du*\ dr
— ar, —,—г ar > -г- = a ( r, -j—г г., т— = а-з-
1 ds - ds \ * ds - ds J ds
или окончательно
Ts
= at,
E51):
где t — единичный касательный вектор к кривой Сл направлен-
направленный в сторону отсчета дуги s.
Итак, скорость изменения величины » по отношению к пути,
проходимому по кривой С, равна в каждой точке проекции
вектора а на положительное направление касательной к кри-
кривой С.
Отсюда легко дать геометрическое определение вектора а.
Если взять в качестве С линию уровня скалярного поля i
^(и1, к2) = const.,
ГРАДИЕНТ СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ НА ПОВЕРХНОСТИ
565
то левая часть E51) обращается в нуль и, следовательно, а
ортогонально к t. Другими словами, вектор а в каждой точке
п >верхности направлен по нормали к линии уровня <р.
Если взять теперь в качестве С кривую, касающуюся век-
тпра а в данной точке и отсчитывать по ней дугу s в сторо-
сторону а, то t будет направлено в
сторону а, так что
ta = | а |
и E51) принимает вид
Мы видим, что | а I имеет гео-
геометрический смысл -скорости Черт. 130.
изменения <э по отношению к
.s в направлении, ортогональном линии уровня. Наконец, эта же
формула показывает, что ,/>0, <р растет вместе с s, т. е. в сто-
сторону а.
Итак, а строится в каждой точке поверхности как каса-
зпе.льный вектор, нормальный к линии уровня гр, направленный
ч сторону возрастания <в и по длине равный скорости изме-
изменения ср относительно s в нормальном к линии уровня напра-
e.ienuu (черт. 130).
Это построение показывает, что а определяется независимо
от выбора системы координат в1, и2 на поверхности и обра-
образует инвариантное векторное поле на поверхности. Такое век-
векторное поле а называется градиентным по отношению к скаляр-
скалярному ПОЛЮ ср.
Из этого же построения ясно, что при изгибании поверх-
поверхности вместе со скалярным цолем <р и векторным полем а послед-
последнее остается градиентным по отношению к <р.
Вычислим, наконец, для двух данных скалярных полей
о (и1, и") и ф (и1, и2) скалярное произведение отвечающих им гра-
градиентных векторов а, Ь.
Полученную величину будем обозначать через V(cp, d>). Возьмем
разложение вектора а
а = а1г14- а2г2
и умножим скалярно обе части равенства на Ь. Получим
V (ср, Л) = ab = a^b + a2r3b.
Пользуясь условиями E49) в применении к b как градиенту '!>т
переписываем это равенство в виде
. V (з, 6) == ab = a1Cii + a2|l)o.
368
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
Особенно важен частный случай, когда Da = 0. Это означает,
что при переходе из М в М' дифференциал da, целиком напра-
направлен по нормали т, или, другими словами, при проектировании
а — da на касательную плоскость в точке М мы получаем исход-
исходное значение вектора а в точке М. В этом случае мы будем гово-
говорить, что вектор а + da, есть вектор а, параллельно перенесенный
ив точки М в бесконечно близкую точку М'. Таким образом, у нас
определено параллельное перенесение вектора а из точки М
в бесконечно близкую точку М' на поверхности. Для этого нужно
в касательной плоскости в точке М' подобрать вектор, превра-
превращающийся в вектор а при проектировании его на касательную
плоскость в точке М.
Переходим к аналитической записи абсолютного дифферен-
дифференциала. Пусть вдоль рассматриваемой кривой в каждой точке t
координаты вектора a (t), т. е. коэффициенты его разложения
по векторам т1г г2 будут а1 (t), а1 (t). Итак,
а = ah + "
где rlf г2 — координатные векторы поверхности в той нее точке t.
Вычисляем da,:
da, — da1rl -r da"vt -f a1 (rudn' -f- г12б?и2) -)- a2 (r^du1 -f- i,.2du*).
Воспользуемся деривационными формулами E28):
da, = da1i1 -j- G?a*r2 + a1 {(G111r1 + Gl1r2) du1 + (G^r,. -f G'l2r2) du'\ -i-
-r- a- f (G«rt 4- G'Lv») du1 + (Gl.j, + GI2r2) du'} + ...
Точками обозначены члены, содержащие вектор m и образующие
нормальную составляющую вектора da.. Откидывая эту нормаль-
нормальную составляющую и оставляя лишь явно выписанные члены,
мы получаем вместо d& абсолютный дифференциал Da. Объеди-
Объединяя коэффициенты при гх и г2, запишем
Da = rx (da1 + G^a'du1 + G^du* + G\xa4v? -f G^du1) +
-f r2 (da1 + Glydu1 + G^du* + G^cfdu1 + G^du1).
Абсолютный дифференциал Da получился прямо в разложении
до координатным векторам га, г2. Следовательно, выражения
в круглых скобках суть координаты абсолютного дифференциала;
ах мы будем обозначать Da1, Da1. Итак,
E54)
Da1 = da1 + Gi
Da? = da* + G%a?du*. )
§ 87]
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНЕСЕНИЯ
369
В правой части мы использовали сокращенную запись суммиро-
суммирования, развернув которую, мы вернемся к прежним выражениям
в круглых скобках. Итак, у нас получены координатные выра-
выражения абсолютного дифференциала.
В частности, если вектор а перенесен параллельно, т. е. если
Da = 0, то и координаты Da обращаются в нуль, и из E54) мы
получаем
da1 = —
da2 = —
E55)
Такова аналитическая запись параллельного перенесения век-
вектора а из М в бесконечно близкую точку М'. Дифференциалы
координат вектора а при этом параллельном перенесении выра-
выражены через его коодинаты а1, а3 в точке М, через величины G^j
в точке М и, наконец, через дифференциалы координат du1, du2,
отвечающие бесконечно малому смещению из точки М в М'
по поверхности.
§ 87*. Свойства параллельного перенесения.
До сих пор мы рассматривали параллельное перенесение на
поверхности лишь в бесконечно малом. Теперь нетрудно ввести
это перенесение и в конечном, но
при условии наперед заданного пу-
пути перенесения.
Пусть снова на поверхности
задана кривая ul(i), и2 (t), в на-
начальной точке которой и1 @), и2 @) а"
построен какой-нибудь касатель-
касательный к поверхности вектор а0. Мы
скажем, что совершенб параллель-
параллельное перенесение вектора а0 вдоль
кривой, если в каждой точке кри-
кривой t построен касательный к поверхности вектор а (г) так, что
при переходе от точки t к t + dt вектор a.+ d& есть парал-
параллельно перенесенный вектор а, т. е. при любом значении t диф-
дифференциал da.(t) параллелен нормали ш в соответствующей точке
поверхности; при этом в начальной точке t = 0 вектор a (t) совпа-
совпадает с а0 (черт. 132).
Другими словами: вектор-функция a (t) должна быть построена
таким образом, чтобы ее координаты аг (t), а2 (t) удовлетворяли
при любом переходе от t к t-\-dt условиям E55), выражаю-
выражающим параллельное перенесение на бесконечно малом участке;
это значит, что функции ax(t), a* (t) должны удовлетворять
24 п. К. Рашевский
Черт. 132.
370
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
дифференциальным уравнениям, получающимся из E55) после
деления на dt:
dt
da*
dt
E56)
Мы имеем здесь нормальную систему двух линейных отно-
относительно a1 (t), a2 (t) дифференциальных уравнений. Действи-
Действительно, производные от а1, а" по t выражены, как показывают
правые части, линейно относительно а1, а2; коэффициентами же
при а1, а3 служат известные нам функции t; вдоль кривой мы
знаем и1, и2 (и их производные) как функции от t, что же касается
величин Gij, то они на данной поверхности — определенные функ-
функции от и1, и3, следовательно, вдоль кривой—определенные функ-
функции от t.
Сверх того, при t = 0 искомые функции а1, а3 должны прини-
принимать наперед заданные значения al, а3 координат вектора а0.
Функции а1 (?), a2(t) определяются однозначно из нормальной
системы E56) и начальных условий (как доказывается в теории
дифференциальных уравнений). Итак, параллельное перенесение
данного вектора вдоль данной кривой на поверхности всегда
можно осуществить и при этом однозначно.
Однако здесь есть существенная разница в сравнении с парал-
параллельным перенесением векторов в пространстве (или на плоскости).
А именно, у нас нет никакой гарантии, что, перенося данный
вектор а0 из точки Ма в точку М вдоль какого-нибудь пути, мы
будем приходить в точку М с одним и тем же вектором неза-
независимо от выбора пути МаМ. Напротив, более детальное иссле-
исследование покажет нам, что, за исключением развертывающихся
поверхностей, на всех остальных результат параллельного перене-
перенесения вектора на поверхности зависит не только от исходного
значения вектора а0, начальной точки Мо и конечной точки М
пути перенесения, но и от выбора самого пути перенесения.
Выведем теперь одно весьма существенное свойство парал-
параллельного перенесения векторов на поверхности, сближающее
это перенесение с обычным. А именно, если в начальной точке
г = 0 задать не один вектор а0, а рассмотреть всевозможные каса-
касательные к поверхности векторы и подвергнуть их затем все парал-
параллельному перенесению вдоль кривой на поверхности, то длины
этих векторов и углы меэкду ними сохраняются без изменения.
Другими словами, если представлять себе, что касательная
плоскость к поверхности в начальной точке ? = 0 образована все-
всевозможными векторами, касательными к поверхности в этой
точке, то при параллельном перенесении этих векторов каса-
касательная плоскость перемещается как твердое тело (совпадая
§ 87]
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНЕСЕНИЯ
371
последовательно с касательными плоскостями во всех точках пути
перенесения).
Для доказательства достаточно показать, что скалярное произ-
произведение двух каких-нибудь векторов а, Ь, касательных к поверх-
поверхности в данной точке, сохраняет постоянное значение при парал-
параллельном перенесении этих векторов вдоль какого-нибудь пути
на поверхности. Составим скалярное произведение аЬ и вычислим
его дифференциал, отвечающий бесконечно малому смещению
по пути параллельного перенесения:
Так как а и b переносятся параллельно, то da и dbнаправлены
по нормали к поверхности (их касательные составляющие Da,
Db равны нулю). Следовательно, da, db перпендикулярны каса-
касательным к поверхности векторам а, Ь, и мы получаем
d(ab) = O, ab = const.
В частности, остаются постоянными скалярные произведения аа,
bb, а значит, и длины | а |, | b |, а также cos (ab), равный -.—:—-г— .
Каким образом при параллельном перенесении сохраняется
длина переносимого вектора а, в то время как при каждом бес-
бесконечно малом смещении а оказывается проекцией а + da и, сле-
следовательно, «короче» его? Дело здесь в том, что da не есть точное
приращение Да переносимого вектора а, а лишь главная часть
этого приращения. Поэтому, хотя а и а+ Да действительно оди-
одинаковой длины, a + da отличается от них подлине («длиннее» их),
ио на бесконечно малую второго порядка.
В заключение параграфа докажем следующую важную тео-
теорему:
Абсолютное дифференцирование и параллельное перенесение
векторов на поверхности принадлежат к внутренней геометрии
поверхности; другими словами, эти операции инвариантны отно-
относительно изгибания поверхности.
Эта теорема не только не самоочевидна, но представляется
на первый взгляд даже маловероятной. Действительно, при
абсолютном дифференцировании вектор-функции a(t), как ка-
кажется, играет существенную роль форма поверхности в про-
пространстве, меняющаяся при изгибании. Мы хотим доказать, что
вопреки этому абсолютное дифференцирование будет давать преж-
прежний результат. Более точно: при изгибании поверхности S опре-
определенным образом преобразуются (§ 84*) и заданные на ней век-
векторы; в частности, векторы поля a(t), заданного вдоль ка-
какой-нибудь кривой С, образуют, после изгибания поле a *(t)
вдоль соответствующей кривой С* на- преобразованной поверх-
поверхности S*. Аналогично и абсолютные дифференциалы Da поля a (t)
24*
372
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
преобразуются при изгибании S в какие-то векторы в соответству-
соответствующих точках поверхности S*.
Мы утверждаем теперь, — ив этом заключается сущность тео-
теоремы,— что при изгибании S абсолютные дифференциалы Da поля
a(t) вдоль С преобразуются в соответствующие абсолютные диф-
дифференциалы D*a* поля а* (г) вдоль С*. Именно это мы понимаем
под инвариантностью абсолютного дифференцирования относи-
относительно изгибания.
Переходя к доказательству, предположим, что при изгибании
мы сохраняем прежние значения и1, и* у каждой точки, т. е. преоб-
преобразованные точки на S* имеют те же значения и1, и2, что и отве-
отвечающие им исходные точки на S. В этом случае, как доказано
в § 84*, координаты преобразованных векторов остаются преж-
прежними. Поэтому вектор-функция a* (t), заданная вдоль кривой С*,
имеет в разложении по г*, г* те же координаты а1 (t), а2 (t), что
и исходная вектор-функция a (t), заданная вдоль С в разложении
по гг,'г2. Кроме того, как известно из § 77, в наших предположе-
предположениях функциональная зависимость gtf от и1, и2 остается при
изгибании поверхности прежней, следовательно, в соответствую-
соответствующих точках величины G,;- сохраняют прежние значения.
Это значит, что правые части E54) не изменятся, если вместо
смещения по кривой С взять соответствующее смещение по кри-
кривой С* и вместо поля a (t) вдоль С рассмотреть соответствующее
поле a* (t) вдоль С*. Следовательно, и левые части сохраняют
прежние значения, т. е. координаты Da не изменились от того,
что Da вычислен не для поля a (t) вдоль С на S, а для поля a* (t)
вдоль С* на изогнутой поверхности S*. Но раз соответствующие
абсолютные дифференциалы Da и ?>*а* на поверхностях S и S*
имеют одинаковые координаты, то в наших предположениях это
означает, что Da при изгибании поверхности переходит в D*a*.
Теорема доказана.
Итак, если сначала поле a{t) изогнуть вместе с S на поверх-
поверхность S* и там взять его абсолютный дифференциал, то резуль-
результат ?>*а* будет тот же, как если взять сначала Da на поверх-
поверхности S, а потом изогнуть Da вместе с S на поверхность S*.
В частности, отсюда следует, что если ?>а = 0, т. е. если вектор-
функция a (t) выражает параллельное перенесение вектора вдоль
кривой, то и D*a* = 0, т. е. после изгибания вместе с поверх-
поверхностью S векторов a (t) они продолжают уже на поверхности S*
изображать параллельное перенесение вектора вдоль соответ-
соответствующей кривой. Параллельное перенесение инвариантно отно-
относительно изгибания.
Приведем пример, где применяется эта теорема. Рассмотрим
поверхность прямого круглого конуса (черт. 133); пусть требуется
перенести параллельно вектор а0 из точки Мо в точку Мг по
какому-нибудь пути МйМг. Для простоты возьмем а0 направлен-
§ 87]
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНЕСЕНИЯ
373
ным по образующей и будем считать, что путь МаМ1 встречает
каждую образующую конуса не более одного раза. Возьмем
кусок конической поверхности SMOMXS и развернем его на пло-
плоскость; он примет вид треугольника SMaMx с криволинейной
стороной МаМх. Перенося вектор а0 из Мо в Мг уже на пло-
плоскости, мы приходим в точку Мг с вектором а1; который напра-
направлен к образующей MtS под углом а, где а — угол М0ЗМг. Если
теперь, обратно, навернуть плоский треугольник на конус, то
по нашей теореме параллельно перенесенный вектор останется
параллельно перенесенным и, следовательно, вектор аг уже на
конусе, направленный под углом а к образующей MtS, будет
играть роль параллельно перенесенного вдоль пути МаМг век-
вектора а„.
В частности, при обнесении вектора а0 вокруг основания конуса
он вернется в прежнюю точку, повернувшись относительно обра-
образующей на угол, равный
, где г — радиус основания конуса,
a l = SM0—длина образующей.
Заметим еще следующее: пусть две поверхности Sx и S2 ка-
касаются друг друга вдоль данной кривой С и имеют, следовательно,
вдоль этой кривой общие нормали; тогда из определения парал-
параллельного перенесения вытекает без труда, что параллельное пере-
перенесение векторов вдоль кривой С на поверхности Sx будет слу-
служить в то же время и параллельным перенесением на поверх-
поверхности S2. Пользуясь этим соображением, легко осуществить,
например, параллельное перенесение векторов вдоль параллели
на какой-нибудь поверхности вращения.
Для этого достаточно построить прямой круглый конус
с той же осью вращения, касающийся поверхности враще-
вращения по этой параллели, и осуществить искомое перенесение на
конусе.
374 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VII
§ 88. Нормальная и геодезическая кривизна
кривой на поверхности.
Пусть на поверхности S проведена произвольная кривая С.
При изгибании поверхности S вместе с ней изгибается и кривая С,
и кривизна ее меняется. Оказывается, однако, что кривизну
кривой С можно в известном смысле «разложить» на кривизну,
зависящую от формы поверхности и меняющуюся при изгибании
(нормальная кривизна), и кривизну, инвариантную при изгиба-
изгибании и принадлежащую к внутренней геометрии поверхности
(геодезическая кривизна). В этих во-
вопросах мы и должны сейчас разо-
разобраться.
Для произвольной кривой С в про-
пространстве вектором кривизны [см. B58)]
мы назвали вектор
dt ,
ds
тт
Черт. 134.
Пусть кривая С лезкит на поверхности
S. Построим в данной ее точке М еди-
единичный касательный к С вектор t,
единичный нормальный k S вектор m
и единичный вектор u=[m,t], каса-
касательный к S (так как он ортогонален к ш) и нормальный к С
(так как он ортогонален к t). Вектор кривизны кп кривой С
можно разложить по направлениям ш и и, так как все три век-
вектора лежат в одной плоскости — в нормальной плоскости кривой
С (черт. 134):
Вектор MN, совпадающий с проекцией вектора кривизны
на нормаль к поверхности, мы будем называть вектором нормаль-
нормальной кривизны кривой С, а вектор MG, совпадающий с проекцией
вектора кривизны на касательную плоскость к поверхности,
вектором геодезической кривизны кривой С.
Длину вектора MN мы будем называть нормальной кривизной,
а длину вектора MG — геодезической кривизной кривой С на поверх-
поверхности S.
Вектор нормальной кривизны MN совпадает, как нетрудно
заметить, с вектором кривизны нормального сечения с той же
касательной МТ. Действительно, будем считать, как мы это
делали в § 50, что m направлен в положительную сторону
главной нормали нормального сечения, m = n0. Тогда имеет место
формула C68)
ко = к cos б.
§ 88] НОРМАЛЬНАЯ И ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ КРИВИЗНА КРИВОЙ
С другой стороны, как видно из черт.- 134,
MN = kcosb,
так как к есть длина вектора кн. Итак,
= k0,
375
т. е. вектор МN по длине совпадает с кривизной нормального
сечения. Кроме того, так как угол 8 острый, вектор MN напра-
направлен в сторону вектора m = n0 и, следовательно, представляет
собой вектор кривизны
нормального сечения.
Таким образом, для
всех кривых на поверх-
поверхности с общей касатель-
касательной МТ в данной точке
М вектор нормальной
кривизны будет общим,
так как он совпадает с
вектором кривизны нор-
нормального сечения с той
же касательной МТ.
Тем самым будет общей
и нормальная кривизна,
которая совпадет с кри-
кривизной этого же нор-
нормального сечения.
При изгибании по-
поверхности нормальная кривизна кривой, вообще говоря, меняется.
Переходим к геодезической кривизне. Выясним прежде всего
ее геометрический смысл.
Через кривую С на поверхности S проведем цилиндрическую
поверхность с образующими, параллельными нормали т. Эта ци-
цилиндрическая поверхность в пересечении с касательной пло-
плоскостью к поверхности S в точке М даст некоторую кривую Со
(черт. 135). Очевидно, Сй есть ортогональная проекция кривой С
на касательную плоскость в точке М.
Касательная плоскость к цилиндрической поверхности в точке
М пройдет через образующую, направленную по т, и через каса-
касательную МТ к кривой С. Тем самым нормаль к цилиндрической
поверхности пойдет по направлению MG, ортогональному к m
и МТ. Касательная к кривой Со в точке М лежит в ее плоскости
и в то же время в касательной плоскости к цилиндрической
поверхности, т. е. совпадает с МТ.
Кривые С и Со, лежащие на цилиндрической поверхности,
имеют, таким образом, общую касательную МТ. При этом Со
376
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
является нормальным сечением цилиндрической поверхности,
так как плоскость кривой Со проходит через нормаль цилиндри-
цилиндрической поверхности MG.
С точки зрения цилиндрической поверхности вектор MG есть
вектор нормальной кривизны кривой С, так как он* совпадает
с проекцией вектора кривизны ко. на нормаль MG к цилиндри-
цилиндрической поверхности. Следовательно, вектор MG совпадает с век-
вектором кривизны нормального сечения Со с той же касательной МТ.
Теперь оставим в стороне цилиндрическую поверхность и вер-
вернемся к исходной поверхности S. Тогда последний результат
можно формулировать так:
Вектор геодезической кривизны MG кривой С на поверхности S
совпадает с вектором кривизны ее ортогональной проекции Со
на касательную плоскость к поверхности S в данной точке М.
Тем самым и геодезическая кривизна кривой С совпадает
в данной точке М с кривизной ее проекции Со на касательную
плоскость в точке М.
§ 89. Вычисление геодезической кривизны.
По определению вектор геодезической кривизны MG полу-
получается проектированием вектора кривизны ка на касательную
плоскость к поверхности, т. е. отсечением у него нормальной
составляющей, направленной по т. Как мы знаем из 1-й формулы
Френе,
Так как кривая лежит на данной поверхности, то
т = т(и\ и2),
причем текущие координаты и1, и2 можно считать функциями
параметра s на кривой. Вычислим первую и вторую производные
г, г от полученной таким образом сложной функции:
r = r^ + r2^, ! E5?)
Эту формулу мы уже раз получали в виде C57); теперь она только
переписана в новых обозначениях.
При сокращенной записи суммирования формула примет вид
г = таи'и> + г^1 + г2к2,
что нетрудно проверить, выполняя суммирование по i, f.
89]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКОЙ КРИВИЗНЫ
377
Вместо ri7- вставим их разложения согласно деривационным
формулам E28). Получим
При полученной записи вектора кривизны нетрудно отбро-
отбросить его нормальную составляющую и оставить лишь его танген-
тангенциальную составляющую. Для этого достаточно откинуть член
с m и сохранить лишь касательные к поверхности члены с гг
и г2. В результате получим вектор геодезической кривизны МG
в следующем виде:
i^ = (^ + Gb-MIV)r1 + (K2 + Gi>V-)r2. . E58)
Чтобы найти геодезическую кривизну нашей кривой, теперь
достаточно подсчитать длину вектора МG. Наиболее удобно это
сделать следующим путем. Единичный касательный вектор t
к нашей кривой, согласно E57), имеет вид
Перемножим векторно две последние формулы почленно.
Получим
[t, MG] = [г,, г3] {и1 (и* + Gb'u'ui) - и2 (и1 + G^uti)}. E59)
В правой части мы воспользовались, конечно, тем, что
[Гх, Гг] = — [Г2, rj, [Гх, ГЛ = [Г2, Г2] = 0.
Приравняем модули обеих частей равенства E59). Так как t
и МG взаимно ортогональны, причем t—единичный вектор, то
в левой части получим
lit, Жё |Щ ^
где через кд обозначена геодезическая кривизна. В правой же
части, согласно C47),
*) I • E6°)
Получим
К =
Мы получили формулу геодезической кривизны. Из нее непо-
непосредственно видно, что геодезическая кривизна принадлежит вну-
внутренней геометрии поверхности и есть, следовательно, инвариант
изгибания. Действительно, если в процессе изгибания в каждой
точке поверхности сохранять без изменения значения криволи-
криволинейных координат и1, и2, то, как мы знаем, величины Gtj тоже
378
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
не меняют своих значений; производные и', и1 по дуге также
не меняются, так как длина дуги в процессе изгибания инва-
инвариантна. Следовательно, как видно из E60), геодезическая кри-
кривизна кд тоже остается инвариантной.
Формулу E60) можно переписать, развертывая сокращенно
записанные суммы.
Получаем
+ (Gl3 - 2G>2) и1 («У - Gi (иГ !• E61)
Допустим, что кривая на поверхности задана уравнением
«¦ = /<«*).
Тогда производные от а2 по и1 могут быть выражены через произ-
производные по s:
Вынося | и1 [3 за скобку из выражения E61), мы получим
\f"(^) + Gl1 + BG22-Gl1)f'(u1)-
ds
Так как
- 2GJ.) [/' (и1)]2- Gi [/' (к1)]31.
ds =
2gl
(da'I =
' (u1)
то окончательно выражение для кд мы получаем в виде
— 8is
Любопытно применить зту формулу в частном случае, когда
наша поверхность есть плоскость, отнесенная к прямоугольным
декартовым координатам х, у. Тогда dsz = dxi + dy", т. е. gn=g22 = l,
gi2=0, и все частные производные от gtj, как от постоянных, равны
нулю, вследствие чего обращаются в нуль все величины G,*.
Формула E62) принимает вид
д
A + Г2J
Мы возвращаемся к хорошо известной формуле для кривизны
кривой на плоскости.
§ 90]
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ
379
§ 90. Геодезические линии на поверхности.
Геодезической линией на поверхности называется кривая, гео-
геодезическая кривизна которой в каждой точке равна нулю. Таким
образом, смысл этого определения в том, что оно выделяет класс
«прямейших» линий на поверхности. Действительно, если поверх-
поверхность дана, то одна, и та же нормальная кривизна навязывается,
как мы знаем, всякой ее кривой, проходящей через данную точку
по данному направлению, и избавиться, от этой кривизны мы
не можем. Напротив, геодезическая кривизна зависит от формы
кривой на поверхности, и для определенного класса этих кривых
можно заставить геодезическую кривизну обратиться в нуль.
Обращение в нуль геодезической кривизны равносильно обра-
обращению в нуль вектора геодезической кривизны MG (см. черт. 135),
длину которого она представляет. Но вектор MG совпадает
с проекцией вектора кривизны кп на касательную плоскость.
Таким образом, для того чтобы линия на поверхности была гео-
геодезической, необходимо и достаточно, чтобы проекция ее вектора
кривизны кп на касательную плоскость равнялась нулю. Это
равносильно тому, что вектор кривизны кп или направлен по
нормали m к поверхности, или просто обращается в нуль, к = 0.
Итак, для того чтобы линия на поверхности была геодезической,
необходимо и достаточно, или чтобы ее главная нормаль во всех
точках совпадала с нормалью к поверхности, или чтобы линия
была прямой. Последний случай, естественно, встречается редко,
в виде исключения (если не считать плоскости, на которой гео-
геодезические вообще совпадают с прямыми линиями).
Основываясь на формулированном признаке геодезических
линий, в некоторых случаях их легко можно обнаружить. Так,
очевидно, для сферы геодезическими служат окружности боль-
больших кругов, так как их главные нормали проходят через центр
сферы и совпадают с нормалями к сфере.
Переходим к составлению дифференциальных уравнений гео-
геодезических и к выяснению вопроса о «количестве» этих кривых
на поверхности, точнее о степени произвола в построении геоде-
геодезической.
Пусть и1, и2— текущие координаты вдоль геодезической, рас-
рассматриваемые как функции длины дуги s. Обращение в нуль
вектора геодезической кривизны можно записать, приравнивая
нулю коэффициенты его разложения E58) по Гд и г2:
E63)
dT
ds2
ds ds
Мы имеем нормальную систему двух дифференциальных урав-
уравнений 2-го порядка, где искомые функции суть и1, и%, a s — аргу-
аргумент. Вторые производные искомых функций выражены здесь
380
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
определенным образом через сами искомые функции, входящие
через величины G\j (и1, иг), и первые производные искомых функ-
функций. Исследование системы E63) несколько усложняется тем, что
аргумент s должен здесь иметь геометрический смысл дуги,
в силу чего, кроме уравнений. E63), функции b\(s), ю2 (s) должны
удовлетворять добавочному соотношению
ds" = g^d
Поэтому мы предпочтем искать уравнения геодезических, отне-
отнесенные не к дуге как к параметру, а к одной из текущих коорди-
координат, например и1 Пусть искомое уравнение геодезической будет
Пользуясь тогда для геодезической кривизны выражением E62)
и приравнивая его нулю, мы приходим к дифференциальному
уравнению 2-го порядка, очевидно, необходимому и достаточному
для того, чтобы и2 = / (и1) определяло геодезическую линию:
/"== -Gl1-№lz-G111)f' + (-Gl + 2G112)n + Glj'\ E64)
Вторая производная искомой функции /" выражена как мно-
многочлен третьей степени относительно первой производной, причем
коэффициенты многочлена известным нам образом зависят от аргу-
аргумента и1 и искомой функции и2.
По теореме существования решения в применении к дифферен-
дифференциальному уравнению 2-го порядка можно произвольно выбрать
начальные значения (а1)^, (и2H, (j~i) и потребовать, чтобы при
и1=(к1H искомая функция и2 обратилась в (м2H, а ее производная
в ( -j-^ ) . 1 огда существует одно и только одно решение уравнения
E64), удовлетворяющее этим условиям [и определенное по крайней
мере вблизи значения к1 = (к1H].
То же самое геометрически означает, что через каждую точку
(иг)а, (игH по каждому направлению (т--Л проходит одна и только
одна геодезическая, уравнение которой по крайней мере вблизи
данной точки получается в виде и2 = /(и1).
Заметим, что фактически геодезическую можно продолжать по
поверхности или неограниченно, или вплоть до края поверхности,
многократно применяя указанную теорему существования и при-
принимая каждый раз за начальную точку и начальное направление
конец уже построенного куска геодезической и касательное
направление в нем. Вблизи тех точек, где -t-j обращается в бес-
бесконечность (точнее, где -т—% обращается в нуль), уравнение геодези-
§ 90]
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ
381
ческой следует искать в виде и1 = /(и2); все будет обстоять совер-
совершенно аналогично, лишь значки 1, 2 поменяются ролями. Геодези-
Геодезическая в целом составится из кусков, в которых ее уравнение
будет записываться в виде или и* = f (и1) или ю1 = /(м3).
Мы видим, что множество геодезических на поверхности ведет
себя в известном смысле также, как множество прямых на плоско-
плоскости: через каждую точку по каждому направлению можно про-
провести геодезическую. Это и не удивительно, так как прямые на
плоскости есть, очевидно, частный случай геодезических на по-
поверхности.
Подходя к вопросу несколько иначе, можно сказать, что, так
как дифференциальное уравнение E64) 2-го порядка, то семей-
семейство геодезических зависит от двух параметров (ранее рассмотрен-
рассмотренные семейства кривых зависели обычно от одного параметра).
Геодезическая кривизна есть инвариант изгибания поверхности.
Следовательно, если для данной кривой на поверхности она
равна нулю, то и после изгибания поверхности она остается
равной нулю. Это значит, что при изгибании поверхности геодези-
геодезические линии переходят снова в геодезические и, следовательно,
понятие о геодезической линии принадлежит внутренней геомет-
геометрии поверхности (чего нельзя сказать о линиях кривизны и асимп-
асимптотических линиях).
В частности, при изгибании развертывающихся поверхностей
на плоскость их геодезические линии переходят в прямые.
Можно было бы показать, что в не слишком больших кусках
поверхности геодезическая линия, соединяющая какие-нибудь
две точки, всегда является не только «прямейшей», но и «крат-
«кратчайшей» среди всех кривых, соединяющих эти точки.
Примеры и упражнения.
1. Если материальная точка может свободно двигаться по поверхности,
но не может от нее отрываться, то при отсутствии внешних сил (не считая
сил реакции поверхности) точка описывает геодезическую траекторию.
Действительно, ускорение, испытываемое точкой, вызывается силой
реакции поверхности, которая направлена по нормали к поверхности.
Следовательно, вектор ускорения r" (t), где t — время, направлен по нор-
нормали к поверхности, так что она (нормаль) лежит в соприкасающейся
плоскости траектории точки. Кроме того, нормаль к поверхности является
нормалью и к траектории, а значит, совпадает с ее главной нормалью.
Траектория, следовательно, геодезическая.
2. На поверхности лежит невесомая нить, которая может свободно
передвигаться на поверхности, но не может отрываться от нее. Если эта
нить с некоторой силой натянута между двумя точками поверхности
и находится в состоянии равновесия, то она пролегает по геодезической
линии (предполагается, что на нить не действуют никакие силы, кроме
сил ее натяжения и реакции поверхности).
Действительно, если силу натяжения в данной точке нити обозначить
через Т, то вектор этой силы будет равен Tt, где t — единичный касатель-
касательный вектор к нити.
382
Тогда
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
d (Tt) = dTt + Tdt
[гл.- VII
выражает равнодействующую сил натяжения, приложенных к концам
бесконечно малого отрезка иити (бесконечно малыми 2-го порядка мы
пренебрегаем). Эта равнодействующая при наличии равновесия уничто-
уничтожается реакцией поверхности, а значит, направлена по нормали к поверх-
поверхности. В частности, она направлена ортогонально к t, а потому из двух
ее составляющих, dTt ||t и Tdt ± t, первая должна обратиться в нуль:
<?Г = 0, Т = const.
Оставшаяся составляющая Tdt должна быть направлена по нормали
к поверхности, т. е.
- dt || m, -j- || m, а значит, ftn||m.
с нормалью к поверхности, и нить пролегает
Главная нормаль совпадает
по геодезической.
3. Пусть точка М описывает геодезическую линию на произвольной
поверхности вращения. Обозначим через р расстояние от точки М до оси
вращения и через о — угол в точке М между данной геодезической линией
и проведенной через точку М параллелью поверхности вращения.
Доказать, что вдоль каждой геодезической линии на поверхности вра-
вращения
р cos a = const.
Указание. Проверить сначала, что
pcoso = (l, г, t),
где 1 —единичный вектор, направленный по оси вращения, г — радиус-век-
радиус-вектор точки М, отсчитываемый от начала О, выбранного на оси вращения,
t — единичный касательный вектор геодезической. Затем проверить, что
дифференциал полученного смешанного произведения равен нулю, учиты-
учитывая, что
dl = 0, rfr||t, dt\\ in (а ш компланарен с I и г).
4. Из соотношения
о cos а = С
можно вывести важные геометрические следствия. Будем считать СфО
(в случае С = 0 геодезическая представляет собой меридиан поверхности
вращения).
Когда мы движемся по геодезической, переходя из более «узкой»
в более «широкую» часть поверхности вращения, т. е. когда р растет, то
| cos а | убывает, направление геодезической удаляется от направления
параллели и приближается к направлению меридиана. Если при этом
р -* оо, то cos а ~* 0, т. е. направление геодезической неограниченно при-
приближается к направлению меридиана.
Когда же мы переходим из более «широкой» в более «узкую» часть
поверхности, т. е. когда р убывает, то !cosa| растет, и направление гео-
геодезической приближается к направлению параллели. Однако при движении
по данной геодезической р пе может убывать неограниченно, так как |cosa!
не может стать больше 1. В связи с этим наименьшее значение, которого
способно достигать р, равно \С\. Когда р = | С |, то ) cos a | =1, а = 0 или -к,
геодезическая касается параллели и возвращается снова в более «широкую»
§ 92]
ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
383
часть поверхности (располагаясь симметрично относительно плоскости
меридиана, проходящего через точку р=|С |).
Исследовать с этой точки зрения ход геодезических на сфере и на
прямом круглом конусе, рассматривая эти поверхности как поверхности
вращения.
§ 91*. Геодезические линии с точки зрения
параллельного перенесения на поверхности.
Пусть на поверхности S дана какая-нибудь кривая С. В каждой
ее точке имеется единичный касательный к ней вектор t, так что
вдоль С возникает векторное поле t.
По определению вектора геодезической кривизны MG он
равен проекции вектора кривизны
ds
на касательную плоскость к поверхности.
Но проекция вектора dt на касательную плоскость равна,
согласно E53), его абсолютному дифференциалу Dt. Следова-
Следовательно ,
Для того чтобы кривая С была геодезической, необходимо
и достаточно, чтобы вектор геодезической кривизны во всех ее
точках равнялся нулю:
ds
• = 0, т. е.
Но обращение в нуль абсолютного дифференциала Dt означает,
что вектор t переносится параллельно вдоль кривой С.
Итак, для того чтобы кривая С была геодезической на поверх-
поверхности S, необходимо и достаточно, чтобы поле ее единичного
касательного вектора t получалось его параллельным перенесе-
перенесением вдоль кривой С из какой-нибудь ее начальной точки.
§ 92*. Полугеодезическая система координат на поверхности.
Допустим, что нам удалось выбрать такую специальную
систему координат к1 = и, и2 = v на поверхности, что коорди-
координатные линии и суть геодезические и ортогональны к линиям и.
Такую координатную систему можно осуществить бесчислен-
бесчисленным количеством способов; позже мы покажем, как подойти
к этому строго, пока же ограничимся такими наглядными сооб-
соображениями: в качестве координатных линий и берем произвольное
семейство геодезических от одного параметра, т. е. выбираем
384
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ; VII
сю1 геодезических из их общего количества ос2. Координатные же
линии v мы строим как ортогональные траектории к линиям и.
Так как линии и суть геодезические, то вдоль них должно удо-
удовлетворяться уравнение E64). Но вдоль линии и мы имеем
у = м2 = const.,
следовательно, f(ux) — const., /' = /" = 0. Вставляя эти значения
в E64), мы получаем вдоль линии и
Так как линия и может быть проведена через любую точку
поверхности, то в нашей координатной системе мы имеем для
любой точки поверхности
GJ, = O. E65)
К этому мы присоединим еще известное условие ортогональ-
ортогональности координатной сети
^ = ?12 = 0. '".. E66)
Легко проверить, что условия E65) и E66) не только необходимы,
но и достаточны, чтобы координатные линии и были геодезиче-
геодезическими и чтобы сеть была ортогональной. Пользуясь теперь вто-
второй из формул E30) при г = / = 1и учитывая, что glt = 0, получим
Отсюда мы видим, что условие E65) равносильно обращению
в нуль G2>11, так что окончательно условия E65) и E66) можно
переписать в виде
G2lll = 0, g12 = 0. E67)
Но для величин Gki u- у нас имеется выражение E35), которое
дает при к = 2, i = / = 1
*'1Х Эй* 2 ди* •
Так как g12 = 0, то обращение G2>11 в нуль равносильно, оче-
очевидно, обращению в нуль ^ , так что условия E67) перепи-
перепишутся в виде
fgf = O. git = O. E68)
Мы видим, что giX от и2 не зависит и может быть функцией лишь
одного в1. Рассмотрим первую квадратичную форму, возвра-
возвращаясь к обозначению и1 = в, u2 = v, gll = E, gn=F, 8a=1G.
Имеем
ds2 = E (и) du2 + G (u, v) dv\
§ 92]
ПОЛУГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ
385
Это выражение можно еще упростить, введя в качестве первой
координаты и новое переменное (у нас всегда Е > 0, G>0):
E{u)du.
E69)
Так как новая координата и есть функция старой, то линии и,
т. е. линии, вдоль которых и сохраняет постоянное значение,
останутся прежними. То же относится и к линиям и, так как
координату v мы не меняем. В результате перехода к новым кри-
криволинейным координатам и, v [где и прежнее, а новое и выра-
выражается через прежнее и посредством E69)], мы можем, очевидно,
переписать первую квадратичную форму в виде
ds2 = du* + G(u, v)dv2.
Систему координат, где rfs2 имеет такой вид, т. е. где
E70)
J2 = g11 = l, F = g12 = 0, E70')
¦мы будем называть полугеодезической. Так как условия E68)
в этом случае, очевидно, имеют место, то линии и геодезические,
а линии v им ортогональны.
Кривые однопараметрического семейства, образующего орто-
ортогональную сеть совместно с каким-нибудь однопараметрическим
семейством геодезических, называются геодезическими паралле-
параллелями друг по отношению к другу. Таким образом, линии v обра-
образуют семейство геодезических параллелей.
В полугеодезической системе координат легко обнаружить
интересное свойство геодезических параллелей. А именно, дви-
двигаясь вдоль какой-нибудь линии и, мы имеем du = 0, и E70) при-
принимает вид ds=du. Отсюда следует, что вдоль линии и пара-
параметр и играет роль длины дуги, и длина отрезка линии и между
точками и=а и м=6 равна Ь—а. Возьмем теперь две какие-нибудь
геодезические параллели, т. е. две линии v: u=a, и=Ь. Тогда
заключенные между ними отрезки ортогональных к ним геоде-
геодезических, т. е. линий и, имеют все одну и ту же длину,
именно b — а.
В полугеодезической координатной системе сильно упро-
упрощаются выражения для основных величин, связанных с поверх-
поверхностью. Вычислим прежде всего величины Gkyij. Пользуясь фор-
формулами E35) и учитывая, что сейчас у нас gu=l, gi2=0> gi2=G,
получим
2 5м1
2 ди
1 ди?
\j_dG-
~~Tdv
25 П. К. Гашевский
386 внутренняя геометрия поверхности
Далее, формулы E31) дают
Пользуясь теперь формулами E32), получим
[гл. VII
E71)
E71')
' ~ 1G ди' -• 2G dv' >
Вычислим полную кривизну К, пользуясь формулами E44)
и E45):
Г* -о
- — :-г + ( -я Чг ) G
2 ди2 V.2G ^ыу
А = Q •
В числителе здесь стоит выражение E44), в котором уцелели
только члены
а остальные слагаемые—нули, так как G*2 = i
тельно можно написать
1=0. Оконча-
ОкончаE72)
Запишем, далее, дифференциальное уравнение геодезиче-
геодезических E64). Учитывая формулы E71'), получаем
Г-±%Г. E73)
f" ~ G duf ^
где уравнение геодезической ищется в виде и = /(м).
Укажем, наконец, аналитический подход к построению полу-
полугеодезических координат: пусть в полугеодезических коорди-
координатах и, v задано скалярное поле на поверхности, ср (и, v); тогда
скалярный квадрат его градиента (первый дифференциальный
параметр) V (ср), выражающийся по формуле E52'), в силу E71),
примет вид
Аналогичным образом вычисляем V (<?, 4) для двух скалярных
полей на поверхности [см. E52)]:
г G dv dv-
Если взять скалярные функции ср (и, и) и ty (и, v) частного
вида, а именно,
<р(ю, c) = u, ф(и, и) = и,
§ 93]
ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
387
то, очевидно, мы получим
7(») = 1, V(b, v) = 0. E74)
Допустим, что мы находимся в произвольных координатах в1, и2,
а полугеодезические координаты и, v ищем как функции и1, и".
Мы имеем тогда право переписать уравнения E74), выразив их
левые части V (и) и V (и, v) по формулам E52') и E52) уже в коор-
координатах в1, и2, так как значения V (и), V(u, v) не зависят от
выбора системы координат на поверхности. Получаем диффе-
дифференциальные уравнения в частных производных для искомых
функций в (и1, иг), v (в1, в2)
ди ди
E74')
Мы пришли к аналитическому методу отыскания полугеоде-
полугеодезических координат и, v как решений этих уравнений. В самом
деле, уравнения E74) не только необходимы, но и достаточны
для того, чтобы функции и (и1, и2), v (в1, и2) (в той области, где
к ним вообще можно перейти как к координатам на поверхно-
поверхности) служили там полугеодезическими координатами.
Чтобы убедиться в этом, достаточно записать уравнения E74),
которым удовлетворяют и, v, приняв в то же время в, и за
координаты в1, и1. Мы получаем, как легко подсчитать, g11 = l,
ди . dv е\ ди ~ dv л\
как теперь ^ = 1-^=0,^ = 0, ^ = 1> °Ткуда
сейчас же следует, что ^„ =
тельно полугеодезическая.
= 0, т. е. система действи-
действи§ 93*. Экстремальное свойство геодезических.
В этом параграфе мы докажем экстремальное свойство геоде-
геодезических: по крайней мере в некоторой окрестности каждой обык-
обыкновенной точки на поверхности любой отрезок геодезической
линии короче всякой другой кривой, соединяющей те же точки.
Покажем прежде всего способ построения пол у геодезических
координат на поверхности; одновременно выяснится и степень
произвола в их выборе. Мы утверждаем следующее: любая кри-
кривая Со на поверхности, если ограничиться достаточно малым
куском поверхности около какой-нибудь обыкновенной точки,
может быть включена в семейство геодезически параллельных
ей кривых С, причем существует полугеодезическая система
координат и, v,. в которой эти кривые служат линиями v. Таким
образом, в малых кусках поверхности геодезические парал-
параллели всегда можно рассматривать как линии и некоторой полу-
полугеодезической системы.
25*
388
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
Переходя к доказательству, отнесем кривую Со к какому-
нибудь параметру у. В каждой точке у кривой Со берем напра-
направление на поверхности, ортогональное к направлению Со
(черт. 136), и проводим через точку и в этом направлении геоде-
геодезическую линию. Это, как мы знаем, можно выполнить и притом
единственным образом. Отложим на построенной геодезической
дугу, длину которой обозначим через в (снабжая и знаком ±
в зависимости от того, в какую сторону от Со отложена дуга).
В результате мы приходим в некоторую точку М на поверх-
поверхности, положение которой вполне определяется значениями в, у.
Считая, что поверхность
отнесена к каким-то коор-
координатам в1, в3, мы полу-
получим значения в1, в2 для
точки М как функции в, у:
в1 = в1 (в, у), «г = в2 (в, v).
Ссылаясь на теоремы ана-
анализа, можно было бы по-
показать, что эти функции
непрерывно дифференци-
Черт. 13S. руемы и что в любой точке
о0 кривой Со (в = 0, v = v0)
г д (и1, и2) „ ,.
якобиан -^-. —¦ отличен от нуля, отого достаточно, чтобы утвер-
утверждать, что в достаточно малой окрестности точки в = 0, v = и0
наши функции допускают обращение
в = в(в\ в2), у = у(в1, и2)
и, следовательно, и, « можно принять в этой окрестности за кри-
криволинейные координаты (так как налицо взаимно однозначное
соответствие точек окрестности с парами значений в, v). Из самого
построения ясно, что линии в будут геодезическими, причем вдоль
них параметр в играет роль дуги, и что линия С„ принадлежит
к числу линий у (именно, при в=0). Покажем, что ds* имеет
вид E70); тем самым наше утверждение будет доказано, так как
тогда Со совместно с остальными линиями v образует семейство
геодезических параллелей.
Рассматривая и как и1 и у как иг, мы приходим снова к усло-
условию E65)
выражающему, что линии в суть геодезические. Поелейнее из
уравнений E30) дает нам теперь (при i = / = 1)
E75)
§ 93]
ЭКСТРЕМАЛЬНОЕ СВОЙСТВО ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
389
(мы еще не знаем, будет ли g12 обращаться в нуль). Так как вдоль
линии и1 дифференциал дуги всегда выражается формулой
и так как в нашем случае он совпадает с с^в1(в=в1 играет роль
дуги вдоль линии в), то мы заключаем
e» = i. E76)
Формула E67') принимает теперь вид
Сравнивая E75) и E77), мы получаем
ди1
в*
Интегрируя это уравнение по аргументу и1 при фиксирован-
фиксированном в1, получим
и1
J G\x du.1
здесь gi2 @, в2)—значение g12 в некоторой точке в2 на кривой С„
(в1 = в = 0). В правильности формулы E78) легко убедиться
непосредственной проверкой. Но так как геодезические линии в
проводились у нас ортогонально к кривой С„, то g12 @, и*), т. е.
g12 в точках кривой Со, равны нулю; в силу E78) получаем
?и = 0. E79)
Формулы E76) и E79) показывают, что ds~ у нас действительно
имеет вид E70). Этим наше утверждение доказано, и мы умеем
строить полугеодезическую систему, исходя из произвольной
кривой Со.
Поясним наглядно, почему при доказательстве нам пришлось
ограничиться лишь достаточно малым куском около какой-
нибудь точки у0 на кривой Со. Ортогональные к Со геодезические,
проведенные нами, начнут, возможно, пересекаться, если мы их
продолжим слишком далеко, и не смогут тогда служить коорди-
координатными линиями искомой полугеодезической системы.
Из доказанной теоремы легко вытекает такое следствие:
всякая геодезическая линия в достаточно малой окрестности дай-
дайной своей точки Мо может быть включена в полугеодезическую
систему координат в качестве линии в. Действительно, для
этого достаточно через точку Мо ортогонально к геодезической
провести произвольную кривую Со, а затем, исходя из Со,
построить вблизи Мо только что указанным методом полугеоде-
390
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
зичеекую систему координат. Исходная геодезическая автома-
автоматически окажется в числе линий гг этой системы.
Теперь мы можем доказать следующее экстремальное свой-
свойство геодезических. Отрезок геодезической АВ меокду точками А
и В на ней дает кратчайшее расстояние меокду А и В по срав-
сравнению со всеми другими кривыми АВ на поверхности, соединяю-
соединяющими эти точки, при условии, что точка В берется в доста-
достаточно малой окрестности точки А.
В силу сказанного выше мы можем считать рассматриваемую
геодезическую в достаточно малой окрестности около А линией и
некоторой полугеодезической системы. Пусть АВ (черт. 136) —
отрезок линии и и пусть значения гг в точках А и В суть соот-
соответственно а ж Ь. Тогда, как мы знаем, длина АВ равна Ь —«
(считая b > a).
С другой стороны, соединим А ж В произвольной кривой АВ.
Ее длина, в силу E70), выражается взятым вдоль нее интегралом
в
•г* + G (и, v) dp3.
в
Этот интеграл не меньше, чем интеграл \ | d и | , взятый вдоль
А
той же кривой (достаточно сравнить подинтегральные выражения,
помня, что G > 0); но интеграл от модуля не меньше модуля
интеграла и, следовательно,
в в
А А
Знак = имеет место, если du все время положительно, т. е.
если и вдоль кривой АВ от значения а до Ъ растет монотонно.
Если же гг при этом колеблется, то имеет место знак >.
Итак, во всяком случае
в
Y u* + G(u,v)dv* >Ъ — а.
Этим наше утверждение доказано. Заметим, что оговорка о том,
что геодезическая берется в достаточно малом куске, является
существенной. В самом деле, рассмотрим геодезическую на
сфере, т. е. окружность большого круга. Две точки 4иВна этой
окружности разбивают ее на два куска; один из них больше,
э другой меньше половины этой окружности (если точки А и В
не диаметрально противоположны). Если соединить А и В мень-
меньшим куском, то это будет действительно кратчайшее расстояние
94]
ОБ ИЗГИБАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
391
между .4 и В по сфере; если же их соединить большим куском,
то этого, очевидно, не будет, хотя А и В соединены отрезком
геодезической. Таким образом, для того чтобы доказанное свой-
свойство имело место для геодезических на сфере, их тоже нужно
брать в кусках «достаточно малых», а именно меньших полу-
полуокружности.
Доказанное экстремальное свойство не только необходимо,
но и достаточно для того, чтобы кривая была геодезической.
Чтобы это обнаружить, нужно заняться вариационной задачей
на определение минимума интеграла
YEdu2 + 2F dudv + Gdv*,
взятого по какой-нибудь кривой на поверхности, соединяющей
две данные точки А, В. Тогда мы приходим к дифференциаль-
дифференциальному уравнение геодезической в качестве уравнения Эйлера-
Лагранжа для этой вариационной задачи.
§ 94*. Об изгибании поверхностей непостоянной кривизны.
В основу всей этой главы у нас было положено понятие изги-
изгибания. Уже говорилось, что, разумеется, не всякие две поверх-
поверхности изгибаемы одна в другую. Между тем мы не имеем еще
ответа на естественно возникающий вопрос:
Даны две поверхности, S и S*. Как узнать, изгибаемы ли
они одна в другую?
Этой задачей мы сейчас и будем заниматься. Отметим прежде
всего, что при изгибании поверхности полная кривизна К
в каждой точке остается прежней (§ 82). Поэтому, если во всех
точках поверхности К имело одно и то же значение, то и после
изгибания К сохраняет во всех точках то же значение. Другими
словами, поверхности постоянной полной кривизны при изги-
изгибании переходят только в поверхности постоянной полной кри-
кривизны (с тем же ее значением). Следовательно, поверхность
с непостоянной полной кривизной может изгибаться только
в поверхность с непостоянной полной кривизной. В этом пара-
параграфе мы займемся поставленной выше задачей только для
случая, когда S и S* обладают непостоянной полной кривизной.
Рассмотрим на поверхности S скалярное поле К (и1, и2), обра-
образуемое полной кривизной. Составим для этого поля первый диф-
дифференциальный параметр E52')
= s*??LEEaw E80)
Получаем два скалярных поля; другими словами, К и УК суть
392
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
функции от и1, иг, причем значения их в данной точке не зави-
зависят от выбора координатной системы в1, и". Итак,
-**- [ 1 \Ц > ^ / у * ^-"- ) == /2 \™ > ^ / • \ОО 1 )
Будем различать теперь два возможных случая.
1. V (К) функционально независимо от К. В таком случае
якобиан =(i г\ не обращается тождественно в нуль. Будем рас-
рассматривать поверхность S вблизи какой-нибудь ее точки Ма, где
<*;§ ф °-
Как известно из анализа, в этом случае вблизи точки Мо можно
выразить, обратно, в1, и' как функции от К, VK. Следовательно,
К, VK можно принять за криволинейные координаты на по-
поверхности по крайней мере в некоторой окрестности Мо, так как
там будет иметь место взаимно однозначное соответствие между
точками поверхности и значениями К, VK. "
Допустим теперь, что поверхность S (хотя бы в некоторой
окрестности точки Мо) изгибается в какую-то другую поверх-
поверхность S* в окрестности точки М*. При изгибании поверхности
кривизна К остается в каждой точке прежней, другими сло-
словами, вид функции К (в1, и") не меняется, если сохранить у каждой
точки ее прежние координаты и1, и2. Но при этом и значения gllr
gi2> S22 тоже сохраняются без изменения, а следовательно, и VK
[см. E80)] после изгибания сохранит прежнее значение.
Итак, каждая точка поверхности S переходит при изгибании
в некоторую точку поверхности S* (в частности, точка Мо в М*)
с теми оке значениями К и ViiT. Можно сказать, что, приняв К и
VК за криволинейные координаты, мы сохраняем в каждой точке
прежние значения координат после изгибания. Но в таком случае
значения gxi, g12, g2? должны также оставаться без изменения.
Итак, для изгибания окрестности точки М„ на поверхности S'
в поверхность S* необходимо, чтобы на поверхности S* имелась
точка М* с теми оке значениями К и УК, что и в Мо, причем, если
в окрестности М* принять К и VK за криволинейные координаты
(что долокно быть возможно), то gxl, gvz, g22 в этих координатах
долмсны быть такими оке функциями координат, как и в окрест-
окрестности Мо, когда за координаты приняты тоже К и Vlf.
Теперь очевидно, что это условие не только необходимо, но
и достаточно: можно осуществить изгибание, поставив в соот-
соответствие каждой точке окрестности Мп на S точку окрестности
М* на S* с теми же значениями К и VK (предполагается, конечно,
что область изменения К и VK берется одинаковой для обеих
окрестностей). В таком случае gllt g12, gi2, взятые в коорди-
координатах К, VK, будут в соответствующих точках одинаковы, а еле-
§ 94]
ОБ ИЗГИБАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
393
довательно, и ds* будет для соответствующих бесконечно малых
смещений иметь одно и то же значение.
2. Рассмотрим теперь второй случай, когда на поверхности
К и VK функционально зависимы,
E82)
Согласно E52') V (К) есть скалярный квадрат вектора градиента
от К. Следовательно, V (К)>0, причем тождественное обраще-
обращение V (К) в нуль означает тождественное обращение в нуль и
_ Ж ЭК
вектора-градиента, т. е. обеих частных производных ^, ^ .
Этот случай — поверхности с постоянным значением К — оставлен
пока в стороне.
Будем рассматривать поверхность S вблизи какой-нибудь
ее точки Мо, где Ч(К)фО и где, следовательно, V {К) > 0.
Построим новую функцию от К
Здесь под Кь мы понимаем значение К в точке М^ Очевидно, что
ди дК1
E84)
Теперь E82) может быть переписано в виде
т7 / \ .и ди ди .
V (и) — ga* —- —о = 1-
Итак, нами построено скалярное поле и, удовлетворяющее пер-
первому' из уравнений E74'). Построим теперь скалярное поле
о (и1, м2), где v (и1, и') — какое-нибудь из решений второго уравне-
уравнения E74'). Это уравнение относительно v [и1, иг) есть однородное
линейное уравнение в частных ч производных 1-го порядка.
Поэтому, если v (и1, и2) есть решение, то и любая функция от г;
тоже будет решением1). При этом всегда можно и (м\ и3) подо-
подобрать так, что в точке Мо Jj , ^ не обращаются обе в нуль.
Следовательно, в точке Мо
д(и, v)
д (и3,_«2
>ф0,
так как в противном случае JJ, | были бы пропорциональны
^ ^L и из второго уравнения E74') следовало бы, что левая
ди1 ' ди2 .
Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, гй. VIII, § 2.
394
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
часть E84) равна нулю. Следовательно, в некоторой окрестности
точки Мо можно установить взаимно однозначное соответствие
между парами значений и1, и" и и, и. Принимаем теперь и, v
за криволинейные координаты. Так как условия E74) выполнены,
то это будет полугеодезическая система координат. При этом
линии у — геодезические параллели—будут в то же время ли-
линиями уровня полной кривизны. Действительно, обращая функцию
E83) [что всегда можно сделать, так как -?? = —-г—==. > 0, т. е.
dK ур (лг) -^
и (К) — монотонная функция], запишем
* = <р(в) E85)
и, следовательно, вдоль линии v, т. е. при и = const., К тоже
сохраняет постоянное значение.
В полугеодезической системе первая квадратичная форма
имеет вид E70)
dsa = du% + G {и, v) dv2,
а полная кривизна выражается формулой E72)
*г 1 д2 У&
= <р(и), то мы
Но так как в рассматриваемом сейчас случае
получаем
Другими словами, \/~G должен удовлетворять линейному диф-
дифференциальному уравнению 2-го порядка относительно аргу-
аргумента и:
i)Y G = 0. E86)
ди
Общее решение такого уравнения имеет вид
j/G = A, (v) d»x {и) + А2 {v) 4>2 (в),
E87)
где tyi и ф2, определенные линейно независимые частные реше-
решения, — функции от и, a Ait A2 — произвольные коэффициенты, не
зависящие от аргумента и и, следовательно, могущие зависеть
только от v.
Итак,
ds* = dul + [^ {и) А, (и) + <!>2 (и) Аг (v)\x dv2. E88)
Допуетим теперь, что рассматриваемая поверхность S изгибаема
в некоторую другую поверхность S*. Так как К и V (К) при изги-
изгибании сохраняют свои значения, то функциональная зависимость
§ 94]
ОБ ИЗГИБАНИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ
395
E82) необходимо имеет место и на S*. Поэтому, переходя на S*
в полугеодезические координаты, построенные аналогичным обра-
образом, мы получим функциональную зависимость и от К E83) и
if от и E85) совершенно такой же, как и на поверхности S, сохра-
сохраняя прежнее значение постоянного Kv. Частные решения ^г(и),
*2 (и) можно взять такие же, как и на поверхности S, так как
уравнение E86) сохранит в точности прежний вид. Но вид функций
Аг (v) и А2 (и) может оказаться теперь иным, так что на S* мы полу-
получаем
ds* = du** + [Uij (и*) А* (о*) + ф, (и*) At (v*)]* dv*\ E89)
Так как при изгибании S в S* значения К сохраняются, то,
в силу E83), сохраняются и значения гг. Итак, в соответствующих
точках обеих поверхностей
и*г=и. E90)
Следовательно, линии и (м = const.), образующие семейство гео-
геодезических параллелей на S, перейдут после изгибания в линии и*,
образующие аналогичное семейство на S*. Линии и (u=const.) — ор-
ортогонально секущие линии и — ввиду сохранения углов при изгиба-
изгибании продолжают служить ортогональными траекториями линий v*
после изгибания S в S*. Следовательно, всякая линия «перейдет
¦после изгибания в некоторую линию гг*, т. е. из v = const,
следует v* = const. А это значит, что при изгибании S в S* значе-
значения v* в преобразованных точках зависят только от значений о
в исходных точках:
v* = v*{v). E91)
Итак, в специфических координатах, которые мы ввели на обеих
поверхностях, аналитическая запись изгибания необходимо имеет
вид E90), E91). Необходимо, кроме того, совпадение d^ для
соответствующих бесконечно малых смещений, т. е. необходимо
тождество квадратичных форм E88) и E89) при условиях E90),
E91). Очевидно, это тождество сводится к следующему:
<!>! (в) АХ dv* + <|J (в) A* dv* = ± (^ (а) Ах dv + <b2 (и) A, do)
или
\ {и) {A* dv*
+ Ь (и) (А*2 do*
dv) = 0.
Здесь коэффициенты при tyi(M) и фа (и) не зависят от и и мы выну-
/кдены^приравнять их нулю, так как в противном случае мы имели
бы линейную зависимость между <!>j и ^2. Получим
А\ dv* Т Аг dv = 0,
откуда
у*)
00
Af(v*)
О)"
E93)
396
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл.
(Так как А1г А2 одновременно не обращаются в нуль, — иначе
G = 0, — считаем для определенности Ах ф 0.) Внутренняя геомет-
геометрия поверхности S в рассматриваемом втором случае может ока-
оказаться двух типов. Рассмотрим их отдельно.
Случай 2а.
Ах и А2 — линейно независимые функции от v. Тогда правая
часть — непостоянная функция от v. В таком случае левая часть
тоже должна быть непостоянной функцией от v*, и уравнение
E93) дает нам в неявной форме функциональную зависимость
между v и и*. Итак, необходимо, чтобы в рассматриваемой обла-
области изменения v существовала функция v* (v) (взаимно одно-
однозначно отображающая область изменения v на область измене-
изменения v*), удовлетворяющая конечному соотношению E93) и диф-
дифференциальным соотношениям E92) (точнее одному из них,—
другое будет следствием).
Перечислим необходимые условия изгибаемости поверхности
S в S*.
На S* должна иметь место та же самая функциональная зави-
зависимость V (К) от К, что и на S; можно определить из E93) функцио-
функциональную зависимость v* от v так, что условия E92) удовлетворятся.
Нетрудно видеть, что перечисленное не только необходимо, но
и достаточно. Действительно, если все это соблюдается, то пре-
преобразование S в S*, определяемое формулами E90), E91), осуще-
осуществляет изгибание S в б1*. Из предыдущих выкладок видно, что ds"
для соответствующих бесконечно малых смещений сохраняет свое
значение.
Случай 26.
Ак, Аг—линейно зависимые функции и:
Тогда из E93) следует, что А*— С А*. В таком случае E88) можно
переписать в виде
ds2 = dui + u{uJA1{vydv\ E94)
где
Очевидно, ф (и) также является решением уравнения E86).
Совершенно аналогично, E89) приведется к виду
где
ds* = du*2 + <]> (и*J A* (v*J А;*2,
О (в*) =ф,(в*)+ ?«!>»(»*)•
E95)
§ 95] ПОВЕРХНОСТИ, ИЗГИБАЕМЫЕ 13 ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 397
Так как А., : Аг = А* : А*— С, то нижнее из условий E92) есть
следствие верхнего, такчто, ограничиваясь однимверхним, получим
A\4v*)dv*= ±A1(o)dv,
откуда после интегрирования получаем в неявной форме функцио-
функциональную зависимость между и* и и:
\ Af (и*) do* = ± \ Ах (и) do. E96)
Перечислим теперь необходимые условия изгибаемости S в S*
в исследуемом случае.
На б1* должна иметь место та же самая функциональная зави-
зависимость V (К) от К, что и на S; отношение А* : А* должно быть рав-
равно той же постоянной С, что и отношение А%: Ах.
Нетрудно видеть, что эти условия не только необходимы, но
ж достаточны. В самом деле, устанавливая зависимость v* от о при
помощи E96) и полагая и*— и, мы осуществляем изгибание поверх-
поверхности S в S*. Чтобы убедиться в этом, достаточно сравнить квад-
квадратичные формы E94) и E95) для соответствующих смещений,
т. е. при и* = и, du* = du и при условии E96). Очевидно, оба
выражения будут тождественны. Задача, поставленная нами в этом
параграфе, разрешена.
§ 95*. Случай поверхностей, изгибаемых
в поверхности вращения.
Рассмотрим теперь ближе внутреннюю геометрию поверхности S
в случае 26 § 94. Этот случай характеризовался тем, что в спе-
специальной координатной системе квадратичная форма приняла
вид E94). Сюда можно внести дополнительное упрощение, приняв
в качестве координаты v функцию от v
^ Ах (v) dv,
которая будет монотонной, так как Аг (v) сохраняет постоянный
знак (обращение Ах в нуль повлекло бы G = g22 = 0). При этом
новом выборе координаты v E94) принимает вид
ds2 = du% +- if {иJ dv2. E97)
Чтобы выяснить геометрический смысл случая 26, докажем
следующую теорему:
Для того чтобы поверхность S была изгибаема в некоторую
поверхность вращения, необходимо и достаточно, чтобы ds% в спе-
специально подобранных координатах приводилось к виду E97).
Рассмотрим прежде всего какую-нибудь поверхность вращения,
образованную вращением около оси Z некоторой кривой С, про-
398 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ [ГЛ. VII
веденной в плоскости XZ и не пересекающей оси Z. Эту кривую С
мы зададим параметрическим представлением
2 = <р(и), ж = ф(и) >0,
где и—длина дуги вдоль С. Обозначим через v угол поворота кри-
кривой С около оси Z; тогда положение любой точки на поверхности
определяется значениями и, v; v определяет положение кривой С,
а и — определенную точку на ней. Линии «служат меридианами,
a v — параллелями поверхности; они образуют, очевидно, ортого-
ортогональную сеть, следовательно, средний коэффициент F=g12 в квад-
квадратичной форме ds% обращается в нуль:
Но если мы движемся вдоль линии гг, т. е. по меридиану, то dv = 0
\
Но, с другой стороны, вдоль меридианов и имеет геометрический
смысл длины.дуги, так что ds=du, и мы получаем Е=\.. Итак,
ds* принимает вид E70)
ds2 = du2 + Gdv\ E98)
Отсюда следует, что система координат у нас полугеодезическая,,
значит, параллели (линии у) суть геодезические параллели, мериди-
меридианы (линии и)—геодезические линии, к ним ортогональные. То, что
меридианы—геодезические линии, можно видеть и непосредственно
из того, что их главные нормали (т. е. нормали к меридианам,
лежащие в их плоскостях) совпадают с нормалями к поверхности.
Вычислим теперь G. При вращении кривой С около оси Z каж-
каждая точка x = ty(u), z — a>(u) кривой С описывает параллель
поверхности вращения, т. е. линию v. Так как v есть угол поворота,
а х = ф (гг) есть, очевидно, радиус описываемой окружности, то
путь, пройденный точкой, равен vb(u). Следовательно, вдоль
линии v (т. е. при и постоянном)
ds = ty(u)dv, rfs* = ф (ггJ ЛЛ
Формула E98) при тех же условиях дает ds* — G dv", откуда
С = <Ми)г.
Итак, окончательно E98) принимает вид
dsa = tf»2 + ф (вJ dv\ ф (и) > 0. E99)
Этим первая половина теоремы (необходимость) доказана. Дей-
Действительно, пусть поверхность S изгибаема на поверхность враще-
вращения, на которой, как мы знаем, первая квадратичная форма ds%
в координатах и, v приводится к виду E99). Припишем каждой
точке поверхности S в качестве координат те же значения и, v, что
и в соответствующей точке поверхности вращения. Так как для соот-
§ 95] ПОВЕРХНОСТИ, ИЗГИБАЕМЫЕ В ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 399
ветствующих смещений ds2 должно иметь одинаковое значение
на обеих поверхностях, ds2 будет выражаться и на поверхности
S формулой E99).
Обратно, пусть на некоторой поверхности S удалось подобрать
координаты гг, v, ограниченные односвязной областью изменения,
так, что ds2 принимает вид E99). Покажем, что можно построить
такое семейство поверхностей вращения от одного параметра, что
поверхность S изгибаема на любую из поверхностей этого семей-
семейства.
В самом деле, построим в плоскости XZ кривую С, вдоль которой
где и* — длина дуги вдоль кривой, а а>0 — произвольно выбранное
постоянное. Следовательно, dx=a<y'(u*) du*, а так как, кроме того,
d** d2d2+d* то
dz
du* ~
Итак, кривая С получена в параметрическом представлении через
длину дуги гг*. Произвольное постоянное интегрирования не игра-
играет никакой роли для формы поверхности вращения, так как озна-
означает лишь смещение кривой С параллельно оси Z. Что же касается
постоянной а, то мы ее ограничим сверху:
где А равно минимальному значению в интервале изменения и
на поверхности S. Этим мы обеспечиваем положительное значение
подкоренного выражения, если гг* мы будем рассматривать в том
же интервале изменения, что и и. Рассмотрим теперь поверхность,
образованную вращением кривой С около оси Z. Обозначая через v*
угол поворота, мы получаем на этой поверхности криволинейные
* * М
координаты и*
Мы знаем, что ds2 при этом примет вид
ds* = du*2 + а" $ (и*J dv*\ F00)
Установим теперь между данной поверхностью S с первой квад-
квадратичной формой E99) и построенной нами поверхностью вращения
с первой квадратичной формой F00) взаимно однозначное соответ-
соответствие таким образом:
в* = гг, »* = -|- - F01)
Мы получим, очевидно, изгибание, так как формы E99) и F00)
для соответствующих смещений будут принимать на обеих поверх-
поверхностях одно и то же значение, и длина дуги вдоль соответствующих
кривых будет одна и та же. Заметим, что v* на поверхности враще-
вращения имеет смысл рассматривать в интервале изменения не более
400
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
2тс, так как значения угла поворота и*, отличающиеся на 2-,
приводят нас в одну и ту же точку. Если область изменения г;
на поверхности S такова, что F01) дает значения v*, меняющиеся
в более широком интервале, чем 2л:, то мы будем представлять себе,
что поверхность S при изгибании на поверхность вращения «нави-
«навита» на нее несколько раз. Однозначность отображения будет иметь
место лишь в одну сторону, именно с поверхности S на поверхность
вращения; взаимную же однозначность можно обеспечить, огра-
ограничиваясь кусками поверхности S, в которых интервал изменения v
меньше 2*ка.
Формулы F01), как легко проверить, определяют изгибание
и в том случае, если вторую из них переписать в виде
где Ь—произвольное постоянное. Действительно, геометрически
это означает, что после изгибания iS" на поверхность вращения мы,
увеличив все о* на постоянное Ъ, повернули ее около ее оси на
угол Ь. В результате мы получим, конечно, прежнюю поверхность
вращения, на которую снова изогнута поверхностьS, только точки,
отвечающие на поверхности вращения точкам S, довернулись по
сравнению с прежними своими положениями на угол Ъ около оси
вращения. Отметим, что неопределенное постоянное интегриро-
интегрирования в формуле E96) имеет аналогичный геометрический смысл:
в случае 26 после изгибания S на S* последняя может еще «сколь-
«скользить» по себе самой вдоль линий v.
Мы получили целое семейство поверхностей вращения, на кото-
которые изгибается S. Вид этих поверхностей зависит от произволь-
произвольного параметра а. Все они изгибаемы друг на друга. Постараемся
по возможности яснее представить себе характер этого изгибания.
Возьмем поверхность, отвечающую данному значению а, и вырежем
из нее кусок ABCD, ограниченный двумя параллелями и двумя
меридианами Mj<m<;m2, v1^v^.v2. На этой поверхности rfs2
имеет вид F00)
Возьмем теперь другую из наших поверхностей, где а имеет другое
значение а*, и ds* можно записать в виде
ds2 = du** + а*2 <1> (и*J dv*2.
Вырежем из нее кусок, ограниченный двумя параллелями и двумя
меридианами м1<гг*<гга, v^\ ¦< и* < сг -^ Очевидно, что фор-
формулы и* = и, v* = v ~ устанавливают между этими двумя кус-
кусками взаимно однозначное соответствие, являющееся изгибанием
§ 95] ПОВЕРХНОСТИ, ИЗГИБАЕМЫЕ В ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ 401
(соответствующие ds2 имеют одинаковые значения). Пусть а* < а;
тогда для кривых С а С* в плоскости XZ, вращением которой
образованы наши поверхности, мы имеем
>с в
Черт. 137.
и, следовательно, в соответствующих точках (где и* = и) мы имеем
| х* | < 1 х |. Таким образом, изгибая кусок первой поверхности, мы
теснее окружили им ось вращения, навив его на более «узкую»,
вторую, поверхность вращения. Это уменьшение (в отношении
а* : а) расстояний от
оси вращения ком- д* I ?*
пенсировано увели-
увеличением (в отноше-
отношении а* : а) интервала
и2—vu в котором изме-
изменяется v. В результа- D
те (черт. l37)i5S* =
— АВ, причем мень-
меньший радиусдуги^.*5*
компенсирован ббль-
шим центральным углом, в пределах которого изменяется v.
Заметим, что при достаточном уменьшении а* этот централь-
центральный угол становится > 2^, т. е., навивая на достаточно узкую
вторую поверхность кусок ABCD, мы покроем ее более одного
раза. Более тесно окружая ось Z, вторая поверхность в то
же время «выпрямляется» в вертикальном направлении; точнее,
хотя AD = A*D*, но проекция A*D* на ось вращения больше,
чем проекция AD. Это легко получить, сравнивая формулы
z= { \,/l—a*f(uydu, z*= ^ i/l — a*2$'(u*ydu* при а* < a.
Если теперь взять для второй поверхности, наоборот, а* > а,
то поверхности, очевидно, поменяются ролями: вторая отойдет
дальше от оси и укоротится «по вертикали». Следует только пом-
помнить, что, увеличивая а*, мы можем притти к мнимым значе-
значениям г*; поэтому при слишком больших а* мы или совсем не
получим поверхности вращения, или сумеем отобразить на полу-
полученную поверхность лишь часть ABCD (именно ту, в которой
a*2ty'(uy остается < 1).
В следующем параграфе нам встретятся конкретные примеры
такого рода изгибания поверхностей вращения.
Покажем еще, что для поверхностей, изгибаемых на поверхности
вращения, интегрирование дифференциального уравнения геодези-
геодезических сводится к квадратурам. Будем интегрировать дифференци-
26 п. К. Рашевский
402
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
альное уравнение геодезических в виде E73). Такой вид оно при-
принимает, когда поверхность отнесена к полугеодезическим коорди-
координатам гг, v, и геодезическая ищется в виде v = f(u). Но так как
в нашем случае ds" имеет вид E97) (изгибаемость на поверхность
вращения), то налицо добавочное упрощение, именно
т. е. G—функция одного только п. Поэтому E73) перепишется
теперь в виде
или
24'
где / (и) —искомая, а ф (и) —данная функция от и. Умножим на ф2:
ф2/" + 2фф'/'= — ф'ф3/'3
или
(Ф7У + (Ф7'K тъ — 0, т. е. 71
Интегрируя почленно и умножая на —2,
гралу нашего уравнения:
приходим к первому инте-
интеF02)
где С2—неопределенная постоянная, очевидно, заведомо положи-
положительная. Отсюда
/'= ±
Следовательно, отысканием как функции / (и) сводится к квадра-
квадратуре
du
Получаем уравнение семейства геодезических, содержащее две
произвольные постоянные Си Сг. Чтобы установить весьма инте-
интересный геометрический смысл постоянной С, вычислим вдоль геоде-
геодезической линии косинус угла а, под которым она встречает линии v,
т. е. параллели поверхности вращения. Пусть дифференциалы
координат вдоль геодезической будут du > 0, dv, а вдоль линии и
соответственно 5и= 0, Su > 0.
§ 96] ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСТОЯН. ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ 403
По формуле C46) получаем, сократив Su в числителе и знаме-
знаменателе:
F du + G dv
cos a = •
Так как у нас
У G (E du2 + 2F dudv + G dv2)
E=l, F = 0, С = ф2,
то
cosa =
/'ф2 (им2 + ф2 dv2)
,, dv
ГДе f =du-
Очевидно,
ф cos a =
?Г
Сравнивая с F02), мы замечаем, что ф cos а = -ту •
Итак, вдоль геодезической на поверхности вращения произведение
расстояния от оси вращения [т. е. ф(«)] на косинус угла между
геодезической и параллелью остается постоянным (см. § 90, при-
пример 3).
При изменении постоянной Сх геодезическая, очевидно, сколь-
скользит по поверхности, вращаясь около ее оси вращения.
§ 96*. Об изгибании поверхностей постоянной полной кривизны.
Рассмотрим поверхность S постоянной полной кривизны:
К =const. F03)
Возьмем на S произвольную точку Мо и выберем в Мо произ-
произвольное касательное к поверхности направление t0. Проведем по
этому направлению через точку М0 геодезическую линию и исполь-
используем ее в качестве кривой Со, определяющей вблизи точки Ма полу-
reofle3H4ecKvK> систему координат (см. начало § 93). Мы относили
в общем случае кривую С„ к произвольному параметру и; теперь
мы примем в качестве v длину дуги кривой Са, отсчитываемую от
точки Ма.
Мы получим полугеодезическую систему координат и, v с той
особенностью, что наперед заданная точка Мо имеет координаты
@,0), координатная линия гг=О будет геодезической и параметр
v вдоль нее играет роль дуги (остальные линии и = const, будут,
как и в общем случае, геодезическими параллелями к ней, но сами
геодезическими быть не обязаны). Как и в общем случае,
v2. F04)
26*
404
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
В начале § 92 мы вывели условие E65) G^ = 0, исходя из того,
что линии и (т. е. и1) служат геодезическими. Так как сейчас
у нас одна из линий v (т.е. м2) служит геодезической, мы получим
совершенно аналогичным образом, что в точках этой линии
Пользуясь формулами E71'), имеющими место в полугеодезической
системе координат, мы можем переписать это условие в виде
• = 0 при и = 0 (т. е. вдоль линии Со).
F05)
Далее, так как вдоль линии Со роль дуги играет параметр
v,ds = dv, a du = 0, то F04) показывает нам, что
G = l при и = 0 (т. е. вдоль линии Са). F06)
Перепишем теперь формулу E72) для полной кривизны
ди2
или
F07)
где К—постоянное. Мы видим, что }/~G по отношению к и удо-
удовлетворяет простому линейному дифференциальному уравнению
2-го порядка с постоянными коэффициентами. Решения такого
уравнения хорошо известны:
IA cos (угКи) + Bsin ([/~Ки), если К > 0,
А + Ви, если К = 0, F08)
A ch. (|/ — Ки) + Bsh (]/ —Ки), если К < 0,
где А и В—произвольные, не зависящие от и величины; в нашем
случае они могут зависеть только от v. Положим здесь и = 0 и
используем условие F06). Получим во всех трех случаях
1=А.
Далее, дифференцируя F08) по и:
-Ay"Ksin(\f Ки) + ВУ К cos (У Ки),
В> ,
А\г -К sh (У -Ки) + В\Г- К ch(/ -Ки)
и используя условие F05), получим во всех трех случаях В — О.
§ 96] ИЗГИБАНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПОСТОЯН. ПОЛНОЙ КРИВИЗНЫ 405
Теперь F08) принимает вид
cos (УКи), если К > 0,
1, если К = 0,
ch ([/ — Ки), если К < 0
и, следовательно,
(du2 + [dv cos (УЖи)]\ если К > 0,
du*+dv\ если Я = 0,
du*+[dvch(y — Ки)]*, если К < 0.
F09)
До сих пор мы рассматривали одну поверхность S постоянной пол-
полной кривизны К в полугеодезических координатах и, v. При этом
точка @, 0) и направление координатной линии и — 0 в этой точке
совпадали с наперед заданными точкой Мо и направлением t,,
в ней.
Возьмем теперь другую поверхность S*mou оке постоянной кри-
кривизны К и на ней произвольно точку М* с направлением t* в ней.
Повторяем предыдущее построение и получаем вблизи М\ полу-
полугеодезическую систему координат гг*, v*, причем
du** + [dv* cos (У Ки*)}\
d*° d*\
F10)
du** + [dv* ch (l/ ~^
Установим между S и S* взаимно однозначное соответствие (по
крайней мере в окрестностях точек Мо и М*, где имеют место
построенные полугеодезические системы координат)
и* = и, v* = v. F11)
Сравнивая F09) и F10), мы видим, что соответствующие дифферен-
дифференциалы дуг на обеих поверхностях равны между собой и, следова-
следовательно, налицо изгибание S в б1*. При этом из F11) видно, что точ-
точке @, 0) и линии и = 0 отвечает точка @, 0) и линия и* = 0. Следо-
Следовательно, точка Мо с направлением t0 переходит в точку Af* с на-
направлением t* .
Итак, две поверхностиS uS* одной итойже постоянной полной
кривизны К всегда можно изогнуть одна в другую так, что наперед
заданная на S точка Мо с направлением t0 в ней переходит на S*
в любую наперед заданную точку М* с направлением t* в ней (под-
(подразумевается, что речь идет об изгибании поверхности S не обя-
обязательно в целом, а хотя бы в некоторой окрестности точки Мо на
некоторую окрестность точки М*). Следовательно, все поверхности
данной постоянной кривизны К имеют в малом одну и ту же вну-
внутреннюю геометрию.
406
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
Фиксировав Мо, t0 на S, можно произвольно выбирать М*, t*
на б1* и изгибать, таким образом, один и тот же кусок поверхности
iS" на всевозможные места поверхности S* с теми же тремя степе-
степенями свободы, как и при наложении куска одной плоскости на
другую плоскость (два произвольных параметра —координаты
точки М* и один произвольный параметр характеризует выбор
направления t*).
Можно не брать двух различных поверхностей, а ограничиться
одной поверхностью S постоянной кривизны К. Тогда те же рас-
рассуждения позволяют нам изгибать окрестность любой точки Мх на
ней в окрестность любой другой точки М2 так, чтобы Мх попадало
в М3 и чтобы наперед заданное направление в Мх перешло в любое
направление в М2- В частности, оставляя точку Мх на месте, мож-
можно «повернуть» около нее ее окрестность, т.е. так отобразить окрест-
окрестность на себя, чтобы все длины остались без изменения. Все
направления, выходящие из Мх, повернутся при этом на один и
тот же угол.
Так как при изгибании длины и углы остаются безизменения, то
мы видим, что во внутренней геометрии поверхностей постоянной
кривизны возможно «передвигать» фигуры с теми же тремя степе-
степенями свободы, как и на обыкновенной плоскости. Точнее, имея
в окрестности данной точки какую-нибудь фигуру, мы можем
(путем изгибания окрестности в другуюокрестность)отобразитьэту
фигуру с тремя степенями свободы в любое другое место поверхно-
поверхности с сохранением всех длин и углов. А в этом и состоит сущность
понятия движения.
Итак, особенностью поверхностей постоянной кривизны
является полная однородность их внутренней геометрии, столь же
полная, как и для обыкновенной плоскости (самоналожение с тремя
степенями свободы). Естественно ожидать, что эта внутренняя гео-
геометрия обладает интересными свойствами.
И, действительно, в случае К = 0 мы получаем, согласно F09),
такую же внутреннюю геометрию в малом, как и на плоскости,
так как ds" имеет вид du?-\-du'i (как на плоскости, отнесенной к пря-
прямоугольным координатам гг, и). Этого нужно было ожидать, так
как условие К = 0 равносильно тому, что поверхность развертыва-
развертывающаяся, т. е. изгибаемая на плоскость (см. конец § 82).
В случае К > 0, как видно из F09), мы получаем внутреннюю
геометрию, в малом такую же, как на сфере, так как ds2 имеет вид
du2 + [dv cos (J/^ifM)]2, т. е. совпадает с первой квадратичной
формой на сфере радиуса , причем ]/ К и служит широтой,
V К
а ]/ Kv —долготой (см. § 47, упражнения). Такова же (в ма-
малом) внутренняя геометрия на так называемой эллиптической
плоскости.
§ 97]
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
407
Наконец, в случае К < 0 мы получаем внутреннюю геометрию
плоскости Лобачевского.
Геометрия Лобачевского, исторически первая и наиболее инте-
интересная из неевклидовых геометрий, была первоначально построена
им синтетическим путем в результате замены постулата параллель-
параллельности Евклида новым постулатом, согласно которому в данной
плоскости через данную точку можно провести сколько угодно
прямых, не пересекающих данную прямую. Геометрия плоскости
Лобачевского реализуется на поверхностях постоянной отрица-
отрицательной кривизны в следующем смысле.
Односвязный кусок такой поверхности всегда можно взаимно
однозначно отобразить на кусок плоскости Лобачевского с со-
сохранением длин всех кривых, углов между ними, площадей всех
фигур и т. д. Геодезические линии поверхности отображаются при
этом в прямые плоскости Лобачевского. Однако доказано, что
нельзя построить всюду «гладкую» поверхность постоянной отри-
отрицательной кривизны, которая была бы способна развертывать-
развертываться таким образом на плоскость Лобачевского в целом.
§ 97*. Поверхности вращения постоянной кривизны.
В этом параграфе мы рассмотрим те поверхности постоянной
кривизны К, которые являются в то же время поверхностями вра-
вращения. Хотя это — весьма частный случай, но зато он очень нагля-
нагляден и интересен геометрически. Будем считать К ф 0, оставляя в
стороне развертывающиеся поверхности, строение которых уже
выяснено.
Будем искать в плоскости XZ кривые С, вращением которых
около оси Z образуется поверхность данной постоянной кривизны
К. Пусть уравнение кривой С (не пересекающей оси Z) будет
где и—длина дуги вдоль С. Тогда, согласно E99), мы получаем
для поверхности вращения
ds* =
ty (b)s dv\
где вторая координата и—угол поворота кривой С около оси Z.
Найдем полную кривизну К нашей поверхности вращения по фор-
формуле E72):
„_ 1 6>а V~G
Так как в нашем случае |/ G = ty{u), то
1
к- —
Г («)•
408
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
Потребуем теперь, чтобы К имело наперед заданное постоянное
значение; тогда для ф (и) получаем обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение
ф" (и) + К<3> (и) = 0.
Интегрируя это уравнение, получим
*Ь(и) = a
ф (в) = ае^^" + be ~У^и,
К этому нужно добавить, что, так как
du* = dx% + dz\
то
u + bsiny/Ku, если К > 0, i
^и, если К <Q. \
F12)
dz = ]/du3 — dx* = У" 1—ф'(иJ du.
= ? (в) =
A*.
F12')
Здесь мы берем радикал со знаком +, предполагая, что дуга и
отечитывается в сторону возрастания z. Кроме того, мы предпола-
предполагаем здесь, что z = 0 при w = 0, т. е. что кривая С передвинута
параллельно оси Z так, что точка в = 0 попала на ось X. Все это,
не сужая геометрического решения задачи, позволяет более просто
записать формулы.
Рассмотрим сначала случай К > 0. Меняя точку отсчета дуги
и вдоль кривой С, т. е. заменяя и через «--(- и0> можно подобрать
и0 так, что ф (и) примет упрощенный вид
и,
х = ф (м) == a cos УЖи, F13)
где а—постоянное > 0, имеющее теперь, разумеется, другое зна-
значение. В самом деле, подставляя в первую из формул F12) и-\-и0
вместо и, получаем в правой части
(a cos \>гКи„ + &sin]/isTMo) cos j/К и +
+ (b cos]/" К и0 — asin|/ К щ) sin
и достаточно взять
F14)
Формула F12') принимает вид
a
*= \ V 1-а'К sin2 у"Kudu.
§ 97]
ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ
409
Меняя гг от значения нуль,мы должны ограничиться интервалом
до-| -т= , так как при этих
2Ук *
его изменений не более чем от
Ч.УК
У У
значениях х обращается в нуль, и мы попадаем на ось Z. Здесь мы
должны закончить кривую С, так как не хотим пересекать ось
вращения.
Если а<С—= , то для каждого значения ив этих пределах мы
V к
получаем значение z согласно F14), причем подкоренное выраже-
выражение остается положительным. Чем меньше брать а, тем меньше
будет х и тем больше будет z при тех же значениях и, как легко
л Н
А"
\М"
В"
видеть из F13) и F14). Геометрически это значит, что дуга С, упи-
упираясь концами в ось вращения, все более приближается к ней,
вытягиваясь в то же время вдоль нее (и сохраняя неизменную длину
—%= , равную интервалу изменения дуги и). В частности, при
a = -j=r интеграл F14) легко берется, и мы получаем
г = —г=г sin]/К и, х == —= cos l/Ки,
У к v УК *
т. е. С становится полуокружностью радиуса —j-=., упирающейся
концами в ось вращения (черт. 138). При уменьшении же парамет-
параметра а дуга С вытягивается вдоль оси Z, сохраняя прежнюю длину
-?= . В точке В', где и= ^=. как легко подсчитать,
У К 2 У К
dx = -f- a ]/ К du,
dz = Yi—azK du,
так что
dx h V ^K ~ 1 •
410
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
Таков ctg угла, под которым кривая С в точке В' (и, в силу
симметрии, в А') встречает ось вращения.
1 1
При вращении случай а = —=¦ дает сферу радиуса —¦r-. , a
у 1С у К
случай а < ———веретенообразную фигуру, более вытянутую
у к ¦
вдоль оси Z и более узкую, чем сфера (с коническими особыми
точками в А' а В'). Нетрудно показать, что полученная фигура
пос'ле разреза по меридиану может быть изогнута в кусок сферы
радиуса -j=, заключенный между двумя ее меридианами.
Теперь рассмотрим случай а > -у= . В этом случае приходится
сузить интервал изменения и, чтобы под интегралом в F14) не
получалось мнимости. А именно, нужно потребовать, чтобы было
а?К sin2 У К и < 1, или -^=- < sm\^K и.< +
—К= ¦
Итак, теперь и может меняться от нуля лишь в этом суженном
интервале. При крайних значениях и, когда sin \/К и— ±"—y=z,
а у К
мы получаем из F13), очевидно, наименьшие возможные значения х
хА, = хв. = а\/ 1 — sin2j/Z и = у а? — |г.
Это значение положительно, т. е. теперь дуга С кончается, не
доходя до оси вращения на это расстояние (черт. 138). Наиболь-
Наибольшее значение х достигается при и = 0; оно во всех трех случаях
равно а. В конечных точках А", В", как легко видеть из F14),
dz -— 0; следовательно, касательные к дуге С перпендикулярны к
оси Z.
Вращением дуги С получается некоторый «пояс», окружающий
ось Z. Нетрудно показать, что, разрезав этот «пояс» по меридиану,
его можно изогнуть на поверхность сферы радиуса ~^_ , причем
он опояшет сферу по кольцу (идущему вокруг сферы по обе сторо-
стороны экватора симметрично) один раз, начнет навертываться на нее
по тому же кольцу вторично и т. д., пока не исчерпается его длина,
которая по экватору равна 2тса и больше, следовательно, эква-
тора сферы, равного по длине —— .
Теперь рассмотрим случай К < 0. Здесь во второй формуле
F12) придется различать три возможности.
1) а и Ъ одинаковых знаков. Тогда, меняя точку отсчета и, т. е.
заменяя и через и+м0, мы замечаем, что коэффициент а умножится
§ 97] поверхности вращения постоянной кривизны 411
на е* ~Ки°! а Ь разделится на это же положительное число. Оче-
Очевидно, щ можно подобрать так, что а и Ь сравняются (доста-
(достаточно взять e^-^^t). Мы получим
х = Ъ(и) = ^(е+Г^и + е-^-Ки) = асЪ \f=Ku, F15)
где а —постоянное > 0, имеющее новое значение. Согласно F12')
и
z = cp(u)= ^ V l + a*K
Y — Kudu.
F16)
Чтобы избежать мнимости, приходится ограничить интервал изме-
изменения и:
— Ku>0,
или
a V -К
- К
Очевидно, что при крайних значениях shi/—Ки= +—.
v aV-K
будут достигаться, согласно F15), наибольшие значения х, наи-
наименьшее же будет равно аи достигается при м = 0 (черт. 139, а).
0\ Л_ А
У=
а
Черт. 139.
Дуга С обращена выпуклостью к оси вращения; в конечных
точках А, В, как легко проверить, dz = 0 и, следовательно,
касательные перпендикулярны к оси вращения. При увеличении
а дуга С удаляется от оси Z, а интервал изменения и, т. е. длина
дуги С, уменьшается. Наоборот, при уменьшении а длина дуги С
неограниченно увеличивается, причем С все теснее сближается
с осью Z.
2) а и Ь разных знаков. Аналогичным приемом можно добиться
( если взять е * "°= Л того, что а и Ъ будут отличаться
лишь знаком.
412 ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
Получим
[гл. VII
^ F17)
Возьмем для определенности а > 0; тогда и можно менять от
нуля лишь в положительную сторону (чтобы х был > 0). Так как
F12') дает
U
= T(M)= ^ V1
^ГК и du,
F18)
то, чтобы избежать мнимости, интервал изменения и. следует огра-
ограничить условием
или
4=,
причем и > 0.
Так как ch вещественного аргумента всегда > 1, то здесь а
нельзя брать каким угодно; допустимы лишь значения а< .
Когда и меняется от 0 до крайнего значения (ch |/ —Ки =
). то ос растет от 0 до а |/ ~г — 1 = |/ — А- — а2,
причем дуга С наклонена к оси X в точке О под определенным
углом, который все время уменьшается и в крайней точке А
доходит до нуля (черт. 139,6).
3) Наиболее интересен случай, пограничный между этими
двумя—когда бдин из коэффициентов равен нулю. Геометрически
а = 0 или 6 = 0 дает одно и то же, так что ограничимся случаем
« = 0.
Тогда
где <[> (и) > 0, следовательно, 6>0. Меняя точку отсчета дуги ит
т. е. заменяя и через и -f- м0, мы добиваемся обращения 6 в
Г нужно взять щ так, чтобы be-У~Ки» =—JL_
Теперь
U
= ср (и) = ^ ]/" 1— е-гГ^к*
F19)
98]
ОБНЕСЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ
413
Мы видим, что подкоренное выражение положительно при любых
и >> 0, так что и меняется от 0 до со. При этом х уменьшается от
1
значения —=^ , стремясь к нулю при и—>эо; z монотонно растет.
у — К
Кривая начинается в точке А (где касательная к ней совпадает
с осью X, так как dz = 0 при и = 0) и асимптотически приближается
к оси Z в положительном направлении (черт. 139,с). Кривая зта на-
называется трактрисой и обладает многими интересными свойства-
свойствами. Так, отрезки ее касательных от точки касания до оси Z имеют
одну и ту же длину
она служит эвольвентой цепной
линии
chz]/ — К
(именно той из эвольвент, которая встречается с цепной линией
в ее вершине).
• Интеграл, через который выражается z, в этом случае может
быть вычислен в элементарных функциях. А именно,
2 =
~ ¦
При вращении трактрисы около ее асимптоты (оси Z) полу-
получается поверхность постоянной отрицательной кривизны К, урав-
уравнение которой, как мы видим, можно представить в элементарных
функциях. Поверхность эта называется псевдосферой.
§ 98*. Обнесение вектора по замкнутому контуру.
Вводя параллельное перенесение векторов на поверхности, мы
упоминали о той его особенности, что, вообще говоря, перенесе-
перенесение одного и того же вектора а из данной точки А в данную
точку В будет давать различные результаты в зависимости от
выбора пути перенесения. Мы должны теперь отдать себе ясный
отчет, каким образом изменение пути АВ при сохранении конеч-
конечных точек А, В влияет на результат параллельного перенесения
из А в В. Так как длина вектора р при параллельном пере-
перенесении не меняется, то разница в результате может сказаться
только на направлении перенесенного вектора.
Пусть вектор р, перенесенный из А в В по пути AM В, занял
положение р1( а перенесенный по другому пути AN В — занял
положение р2 (черт. 140). Спрашивается, на какой угол вектор р2
повернут по сравнению с рх. Этой задачей мы и займемся в настоя-
настоящем параграфе. Сведем ее к эквивалентной задаче, технически
более удобно формулируемой. А именно, совершим параллельное
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
перенесение векторов 1>2,р1 по пути BNA в точку А. Тогда р3
вернется в исходное положение р, а рх придет в точку А в виде
некоторого вектора р3. Угол между р и р3 будет как раз равен
искомому углу между р1 и р2, так как при параллельном перенесе-
перенесении углы не меняются. Но вектор р3 можно рассматривать как
вектор р, обнесенный по замкнутому контуру AMBNA и вернув-
вернувшийся в точку А с новым направлением (черт. 140). Поэтому
поставленная нами задача сводится к такой:
На поверхности дан замкнутый контур. Возьмем в какой-
нибудь его точке Мо вектор р и совершим параллельное перенесение
этого вектора вдоль контура. Мы вернемся в точку Мо с векто-
вектором р, повернутым на некоторый угол' Д<р по сравнению с его
исходным положением. Требуется
найти угол Дер.
Как везде, где говорится о па-
параллельном перенесении векторов
на поверхности, мы имеем в виду
вектор р, касательный к поверх-
поверхности.
За положительное направление
отсчета углов на поверхности мы
принимаем направление вращения
Черт. 140. дг дт - а
от г, == ¦=-=• к г, = гп; и обходить
1 ди1 ди2
контур будем в положительном направлении. Единичная нор-
нормаль ш выбирается в сторону векторного произведения [г1т г2].
Контур мы рассмотрим простой, ограничивающий однОсвязную
область на поверхности. Контур этот, разумеется, непрерывный,
но на нем допускается конечное число угловых точек; другими
словами, он составлен из конечного числа дуг, каждая с непре-
непрерывно вращающейся касательной; но в точках примыкания со-
соседних дуг их касательные могут встречаться под углом.
Построим на поверхности поле единичного вектора а, т. е. в каж-
каждой точке и1, и2 на поверхности зададим касательный к поверх-
поверхности вектор а (и1, и2) длиной единица.
Пусть а0 будет значение этого вектора в некоторой точке Мо
нашего контура. В этой же точке возьмем какой-нибудь касатель-
касательный к поверхности вектор р0, для простоты тоже единичный,
который мы затем будем параллельно обносить в положительном
направлении по контуру. Пусть <ро будет угол аоро (учитывая
и знак). В каждой точке контура Ммы можем составить угол а —ар,
т. е. угол, образованный вектором а в этой точке с вектором р0,
параллельно перенесенным в эту точку и занявшим там положе-
положение р (черт. 141). После того как мы обойдем контур и вернемся
в Мо, вектор р займет положение рх, и угол ср примет некоторое
§ 98] ОБНЕСЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ
значение <pi» равное аорх. Очевидно,
aoPi = аоро + poPi
или
415
а
Черт. 141.
где Д<р — угол, образованный обнесенным вектором рх с его исход-
исходным положением р0. Итак, Д? равно <рх — ср0 и совпадает с при-
приращением угла <р за время
обхода контура. На этом
основании можно записать
9, F2°)
где интеграл взят по кон-
контуру, начиная от точки
Мо и кончая этой же точ-
точкой (под таким интегра-
интегралом мы понимаем, конеч-
конечно, сумму интегралов по
дугам, составляющим кон-
контур). Под знаком интегра-
интеграла стоит а?<р, т. е. диффе-
дифференциал угла <р, образо-
образованного параллельно переносимым вектором р с вектором поля а.
Так как векторы а и р — единичные, то
cos 9 = ар.
Дифференцируя, получим
— sin <р • с?ср = с?а р + а <^Р- F21)
Вектор р параллельно переносится и, следовательно (§ 86),
о?р || т,
а значит,
ао?р = О,
так как а направлен по касательной плоскости, ар — по нормали.
Теперь F21) принимает вид
tf<p = rfap. F21')
Если брать вместо р другие параллельно переносимые по дан-
данному пути векторы, то углы с?, образуемые ими с вектором а,
будут отличаться друг от друга всегда на константу, так как парал-
параллельно переносимые векторы образуют между собой постоянные
416
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[гл. VII
углы. А следовательно, d<f> при любом выборе параллельно пере-
переносимого вектора будет иметь одно и то же значение.
Обозначим через Ь вектор а, повернутый в касательной пло-
плоскости на +90°, так что a, b, m образуют в каждой точке поверх-
поверхности правую тройку ортов. Заменим (на один момент) парал-
параллельно переносимый нами вектор р другим параллельно
переносимым вектором, который в данной точке пути совпа-
совпадает с вектором Ь. Тогда формула F21'), примененная к новому
вектору, дает
так как в данной точке пути для нового вектора »=-?¦ • А так как
d<D не изменяется при переходе к новому параллельно переноси-
переносимому вектору, то полученная формула справедлива и для преж-
прежнего параллельно переносимого вектора р. Итак,
d<p = — b d&. F21")
Теперь F20) можно переписать в виде
Д<р= — &
Так как da, =
где ax = ^, aa = ^
то
Дер = _ & (axb du1 + aab du2).
F22)
Воспользуемся здесь известной формулой для преобразования
криволинейного интеграла по замкнутому контуру:
Двойной интеграл справа берется по области, ограниченной кон-
контуром. В левой части предполагается, что контур обходится
в положительном направлении, т. е. в направлении вращения
от положительного направления оси X к положительному напра-
направлению оси Y. Но в интеграле F22) мы имеем именно такое напра-
направление обхода, если считать, что и1 соответствует х, а и2 соот-
соответствует у1). Формулу F22) можно переписать теперь в виде
«9A4,1») <9(aib)
ди1
= -^(ajh-a,
i du1 du2,
\ du1 du2 =
F23)
x) Наши рассуждения в части, касающейся направления^ обхода кон-
контура, основаны на наглядных представлениях; можно было бы сделать их
вполне строгими путем формального определения положительного напра-
направления обхода как такого, когда (Ю и1 йиг > 0.
§ 98]
ОБНЕСЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ЗАМКНУТОМУ KOHTVPV
417
где двойной интеграл взят по области, вырезаемой на поверх-
поверхности нашим контуром (в фигурной скобке мы выполнили диффе-
дифференцирование скалярных произведений, причем члены ± a b
взаимно уничтожились). "
При смещении точки по поверхности трехгранник, образован-
образованный единичными взаимно ортогональными векторами a, b, m
испытывает вращение. Пусть смещение точки происходит по
координатной линии в1. Обозначим через «и»! вектор мгновенной
угловой скорости трехгранника, вычисленный по отношению
к переменному в1. Тогда в точном соответствии с формулами
B63) получим
»i = [e»i» а]. Ьх = [<«>!, b], т^Еш,, m].
Здесь at = -^ , . .. Подставим сюда вместо ю, его разложение
по ортам a, b, m:
где alt plf fx — коэффициенты разложения. Получим
а1=—pxm + Yib, Ь1=—у^ + а.т, m1==— ajb + ^а. F24)
Совершенно аналогично смещение по координатным линиям
приводит нас к формулам
аа= — p2m + Y2b, Ь2=—Y2a + a2m, ша=-а,Ь+р,а. F24')
Из F24) и F24') немедленно следует, что
a2bi = — ахр2, aiba = — *apx,
так что
Таким образом, F23) принимает вид
Сошлемся теперь на формулу D55)
F25)
Так как у нас единичная нормаль m направлена]^ сторону
\хг, г2], то
и, следовательно,
[r1, г2]|
Г1, г2]|т.
Так как, в силу формулы C47),
|[г„ г2]| = 1
П. К. Рашевсквй
418
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
. VII
то
[m1? m3] = К Vg^g-ii — glt m.
Но, с другой стороны, пользуясь F24) и F24'), без труда
получаем
[mx, m2]=—axp2[b, a]—^«2 [a, b] = (а.^2 — а2рх) т.
Сравнивая две последние формулы, мы видим, что
*iP* — «iPi = К \/'g11gn--g'a. F26)
Следовательно, F25) можно переписать в виде
А9 = J J К ]/^lxg22-gi2 cfo1 А»1. F27)
Можно придать этому результату более отчетливый геометриче-
геометрический смысл, если вспомнить, что, согласно C50), элемент площади
d<s имеет вид
da = }/rg11g22 — gi2 du1 du*,
т. е. после интегрирования этого выражения по области измене-
изменения в1, и2 получается площадь соответствующей области на
поверхности. Тогда F27) можно переписать в окончательном виде
Д<р = ^ К da.
F28)
Таким образом, угол поворота вектора, параллельно обнесен-
обнесенного по замкнутому контуру на поверхности, равен интегралу
¦от произведения элемента площади на полную кривизну, распро-
распространенному по области, охваченной контуром.
Если 2Г = 0, т. е. поверхность — развертывающаяся, то и Дер
равен нулю. И действительно, мы знаем, что развертывающаяся
поверхность изгибаема на плоскость и имеет одинаковую с ней
внутреннюю геометрию; в частности, значит, после параллельного
перенесения вектора по любому контуру (охватывающему одно-
связную область без особых точек в ней) он возвращается в ис-
исходную точку с прежним направлением.
Если К > 0, то Д р > 0 — обнесенный вектор повернулся в поло-
положительном направлении, т. е. в том самом, в каком мы обходили
контур; если же К < 0, то в обратном.
В случае поверхности постоянной кривизны К можно вынести
из-под знака интеграла, и мы получаем
А9 = К<з, F29)
где о — площадь, охваченная контуром. Итак, угол поворота Дер
просто пропорционален площади обхода, причем коэффициентом
пропорциональности служит полная кривизна.
§ 98]
ОБНЕСЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ
419
Возвращаясь к общему случаю, придадим полученному ре-
результату несколько иную форму.
Рассмотрим тот же контур, с тем же полем а и параллельно
обносимым вектором р; проследим, кроме того, поведение напра
вленного по касательной к контуру вектора t. Вектор t непре-
непрерывно меняет свое направление, за исключением угловых то-
точек (например, Мо на
черт. 142), где он скач-
ком поворачивается на \ ф
некоторый угол.
Обозначим, как и
раньше, через ср угол ар
и через ф —угол pt. Та-
Таким образом,
Проследим измене- Черт. 142.
ние всех этих углов при
обходе контура. Так как после обхода векторы ant возвращаются
в свои прежние положения, то угол <р + ф в процессе обхода может
получить приращение только лишь вида 2кк, где к — целое. Мы
утверждаем, что в наших предположениях это приращение равно 2тс.
Действительно,будем непрерывно деформировать нашу поверхность
так, чтобы она в конце концов превратилась в плоскость, затем
непрерывной деформацией контура переведем его в круг и непре-
непрерывной деформацией поля а переведем его в поле векторов, парал-
параллельных между собою. В силу непрерывности деформации при-
приращение угла <р + >1> будет тоже изменяться непрерывно, но так как
оно может меняться лишь скачком на 2тг, то вообще будет оста-
оставаться без изменения. Так как для окружности поворот вектора t
по сравнению с постоянным вектором а при обходе в положи-
положительном направлении равен + 2тг, то таким было приращение
угла ср -f¦ ф и для исходного контура на поверхности (черт. 142) *).
Итак,
Д(? +4.) = 2я, Д<р+Дф = 2тг. F30)
Займемся теперь приращением Д<!> угла <j». Оно составится из
непрерывного изменения ф вдоль дуг, составляющих контур, и из
скачков в угловых точках. Мы можем, следовательно, записать
4 = <?
F31)
г) Разумеется, чтобы стать вполне строгим, это место доказательства
нуждается в уточнении.
27*
420
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТИ
[ГЛ. VII
Здесь под интегралом мы понимаем сумму интегралов по п дугам,
составляющим наш тг-угольный контур, а под Д?<|> — скачок угла ф
(т. е. поворот вектора t) в г'-й угловой точке.
Так как d> = pt, т. е. —* = tp, то совершенно аналогично F21")
получаем
<*(-<!>)=-u dt,
где и получается из t поворотом на +90° в касательной плоскости.
Деля обе части равенства на ds и учитывая, что
получим
Скалярное произведение в правой части дает нам проекцию
вектора кривизны нашего контура на вектор и и совпадает с гео-
геодезической кривизной контура (т. е. с длиной вектора MG, см.
черт. 135). Однако в отличие от предыдущего геодезическая кри-
кривизна кд будет получаться здесь со знаком ±, а именно, в зави-
зависимости от того, будет ли контур в данной точке отклоняться
от своей касательной в сторону вектора и или —и. Итак,
**--к
ds a
Вставляя теперь выражения F28) и F31) в формулу F30)
и заменяя dty через кд с?«,^получим теорему Гаусса-Бонне
К
кд ds
F32)
Отметим интересные частные случаи. Во-первых, пусть кон-
контур будет гладким (без угловых точек). Тогда формулу можно
переписать в виде
К da + <? кдds = 2it.
F33)
Формула F33) связывает, таким образом, длину контура и геодези-
геодезическую кривизну вдоль него с охваченной им площадью и пол-
полной кривизной на ней.
g|i? Во-вторых, пусть контур — тг-угольный и образован дугами
геодезических. В этом случае kg = 0. Формула F32) принимает вид
гф = 2и— ^ К da.
F34)
§ 98]
ОБНЕСЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ЗАМКНУТОМУ КОНТУРУ
421
Мы имеем здесь обобщение теоремы планиметрии о сумме внеш-
внешних углов многоугольника. Роль этих углов играют А4ф, а роль
прямолинейных сторон—отрезки геодезических. В случае К — О,
когда внутренняя геометрия поверхности совпадает с геометрией
плоскости, мы получаем эту теорему в точности.
Черт. 143.
Применим F34), в частности, к геодезическому треугольнику
(я = 3) (черт. 143). Так как каждый из углов Atty равен it минус
соответствующий внутренний угол, то
= Зп - (А + В + С).
Вставляя в F34), получим
F35)
Сумма углов геодезического треугольника равна двум прямым
плюс некоторая поправка, положительная в случае i?^>0 (избы-
(избыток) неотрицательная в случае К < 0 (недостаток). В частности,
в случае постоянной полной кривизны эта поправка имеет вид
и пропорциональна площади треугольника <з.
КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ.
На первоначальных этапах своего развития дифференциаль-
дифференциальная геометрия почти неотделима от анализа бесконечно малых.
Дифференциальное и интегральное исчисления возникли в
XVII веке в связи с потребностями естествознания и техники.
Само открытие дифференциального и интегрального исчислений
было теснейшим образом связано с механическими и геометри-
геометрическими представлениями; так, дифференцирование данной функ-
функции трактовалось обычно как задача проведения касательной
к данной кривой. В XVII и в первой половине XVIII века,
одновременно с зарождением и развитием анализа бесконечно
малых, делала свои первые шаги и дифференциальная геометрия:
за это время была построена в основном теория плоских кривых,
однако дифференциальная геометрия в пространстве находилась
лишь в зародыше.
Крупный сдвиг в этом направлении (как и вообще почти во
всех отделах математики) был произведен работами знамени-
знаменитого математика Л. Эйлера A707 —1783), члена петербургской
академии наук. В 1760 г. он опубликовал работу, з которой были
исследованы кривизны нормальных сечений поверхности в данной
точке, были введены главные направления на поверхности и дана
формула, носящая и сейчас его имя. Эйлер исследовал также
развертывающиеся поверхности; при этом он впервые рассматри-
рассматривал криволинейные координаты на поверхности.
Из большого числа других результатов Эйлера упомянем вве-
введение им параметрического представления пространственных
кривых (причем за параметр принималась дуга); натуральных
уравнений плоских кривых; величин по существу совпадающих
с коэффициентами Е, F, G первой квадратичной формы (и уста-
установление их инвариантности при изгибании).
Дальнейший вклад в развитие дифференциальной геометрии
в конце XVIII и начале XIX века внесен школой Гаспара Мошка
A746 —1818), крупного математика, инженера и деятеля фран-
французской буржуазной революции. Между прочим, к этому периоду
относятся излагаемые в курсе теорема Менье (§ 50) и формулы
Родрига (§ 55).
КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
423
Несмотря на большое число сложных и тонких построений,
которыми дифференциальная геометрия обладала уже в начале
XIX века, такие фундаментальные понятия, как кривизна и кру-
кручение пространственной кривой были явно сформулированы
.лишь в 1826 г., а формулы Френе были получены еще значи-
значительно позже A847). Между прочим, эти формулы, как и все фор-
лгулы дифференциальной геометрии в XIX веке, имели координат-
координатную запись; векторное изложение вошло в обиход лишь в XX веке.
Идеи внутренней геометрии поверхности принадлежат Гауссу
A777 —1855), который пришел к ним в результате своей практи-
практической деятельности в области геодезии. Свои исследования,
в том числе и известную теорему об инвариантности полной кри-
кривизны К при изгибании, он опубликовал в 1827 г.
Большой вклад в развитие дифференциальной геометрии
в XIX в. внесли русские геометры.
Выдающийся геометр Ф. Миндинг A806— 1885), профессор уни-
университета в Дерпте (Тарту) и член-корреспондент Петербургской
академии наук, рассмотрел геодезическую кривизну кривой на
поверхности и показал ее инвариантность при изгибании.
Далее им были изучены поверхности постоянной полной кри-
кривизны К = const.; на них, по существу, была установлена тригоно-
тригонометрия, рассмотрено изгибание поверхностей и те частные случаи,
когда они являются в то же время поверхностями вращения.
Московская школа дифференциальной геометрии ведет свое
начало от замечательного геометра К.М. Петерсона A828 —1881).
Ученик Миндинга К. М. Петерсон получил образование в Дерпт-
ском университете, а затем работал преподавателем математики
в Москве. Он был одним из основателей Московского математиче-
математического общества A867). В области дифференциальной геометрии
ему принадлежит ряд крупных результатов, многие из которых
были затем несправедливо приписаны иностранным ученым.
Так, условия E46), связывающие коэффициенты первой и вто-
второй квадратичных форм и известные под названием формул Май-
нарди-Кодацци, по существу, впервые были получены К. М. Пе-
терсоном в его неопубликованной диссертации (за 4 года до Май-
нарди и за 15 лет до Кодацци, придавшего им современную
форму). Там же была доказана теорема, приписываемая Бонне, об
определении поверхности заданием первой и второй квадратич-
квадратичных форм (за 14 лет до Бонне).
Далее, в 1868 г. К. М. Петерсон опубликовал книгу «О кривых
д поверхностях*, в которой, между прочим, содержалось решение
вопроса об изгибании минимальных поверхностей и поверхностей
переноса. Первый из этих результатов неправильно приписывался
Шварцу, а второй—Бианки.
Из разнообразных исследований, принадлежащих К. М. Пе-
терсону, мы отметим еше только одно. А именно, им было введено
424
КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
понятие об изгибании на главном основании, т. е. о таком (непре-
(непрерывном) изгибании поверхности, при котором некоторая сеть
на поверхности остается все время сопряженной.
Ряд частных случаев изгибания на главном основании был
исследован самим К. М. Петерсоном; в дальнейшем же эта тема
оказалась весьма плодотворной и вызвала к жизни значительную
научную литературу.
Из последующих ученых Московской школы необходимо ука-
указать прежде всего Д. Ф. Егорова A869—1930), весьма разносто-
разностороннего математика, которому принадлежит, в частности, ряд
крупных результатов и в области дифференциальной геометрии.
Среди них наибольшее значение имеет его докторская диссерта-
диссертация, посвященная так называемым триортогональным JS-системам.
Большую роль в воспитании новых кадров дифференциальных
геометров сыграла блестящая педагогическая деятельность дру-
другого геометра Московской школы, Б. К. Млодзеевского A858 —
1923).
Великая Октябрьская социалистическая революция дала мощ-
мощный толчок развитию дифференциальной геометрии, как и всех,
других отраслей науки в нашей стране. Дифференциальная гео-
геометрия перестает быть достоянием одиночек; образуются значи-
значительные научные школы, втягивающие в свои орбиты многих
участников.
К старым московским традициям в области дифференциальной
геометрии наиболее близко примыкает направление, возглав-
возглавляемое С. П. Финиковым. Эта школа в основном попрежнему
изучает специальные конструкции в трехмерном пространстве,/
хотя методы исследования сильно модернизированы (метод внеш-
внешних форм Картана*)). В этом направлении получено большое числО'
ценных результатов, прежде всего, самим руководителем школы,,
которому принадлежит также ряд учебников и монографий.
Примерно в середине двадцатых годов в Советском Союзе
появилось и быстро развилось другое дифференциально-геометри-
дифференциально-геометрическое направление—тензорная дифференциальная геометрия»
в основном многомерная. Ее отличительной особенностью является
тензорный аппарат, позволяющий закономерно изучать геометри-
геометрические свойства пространства, независимо от выбора криволиней-
криволинейных координат в нем "). Наибольшее значение этот аппарат имеет
в случае многомерных пространств, к которым большей частью
и применяется. Широкое развитие тензорных методов было вызвано
потребностями физики, в первую очередь теории относительности.
*) См. С. П. Фиников, Метод внешних форм Картана, Гостех-
издат, 1948.
г) См. В. Ф. Каган, Основы теории поверхностей в тензорном изло-
изложении, Гостехиздат, ч. I, 1947, ч. II, 1948. П. К. Рашевский, Введе-
Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, ОНТИ, 1936.
КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
425
Основателем и руководителем тензорной дифференциально-
геометрической школы в СССР является В. Ф. Каган. Возглавляе-
Возглавляемый им научно-исследовательский семинар регулярно выпускает
«свои.труды, в которых публикуются работы советских дифферен-
дифференциальных геометров данного направления. Многие из этих работ
представляют собой крупные научные достижения. Труды семи-
семинара являются единственным в мире изданием с такого рода тема-
тематикой, -я
Наконец, в последние годы оформляется новая, совершенно
своеобразная дифференциально-геометрическая школа, возглав-
возглавляемая А. Д. Александровым. Работы этой школы посвящены
дифференциальной геометрии «в целом», т. е., например, изу-
изучению свойств поверхности не только в достаточно малых ее
кусках, но и всей в целом. В частности, А. Д. Александрову
я его ученикам принадлежат крупнейшие результаты по теории
выпуклых поверхностей1).
Советская дифференциальная геометрия интенсивно и разно-
разносторонне развивается и во многих отношениях играет в настоя-
настоящее время ведущую роль в мире.
г) См. А. Д. Александров, Внутренняя геометрия выпуклых по-
поверхностей, Гостехиздат, 1948.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Александров А. Д. 425
Архимедова спираль 31
Асимптота кривой 64, 67
, необходимый и достаточный при-
признак 65
, правило отыскания 66
Асимптотическая линия на поверхности
277, 282, 325
— — — —, необходимый и достаточный
приаЕшк 2 77
279
, характеристическо!
>e свойство
— сеть на поверхности 278, 279
Асимптотическое направление в точке
поверхности 241, 265, 2 76, 340
Асимптоты алгебраических кривых 69
Астроида 51
Бинормаль 166, 194
Вектор геодезической кривизны кривой на
поверхности 374, 376, 377
— кривизны нормального сечения 374
— — пространственной кривой 177, 374
— на поверхности 361, 366
— — -—, геометрическое определение 364
— нормальной кривизны кривой на по-
поверхности 374
Векторное поле на поверхности 363
Вектор-функция 73, 74
, геометрическое истолкование 77, /8
основная 252
— —, правила перехода к пределу 75
, разложение в ряд Тейлора 89,
, техника дифференцирования 77
Внутренняя геометрия на сфере 406
на эллиптической плоскости 406
плоскости Лобачевского 407
поверхности 233, 342, 355
Гаусс 423
Геодезическая линия на поверхности 379,
381
— , необходимые и достаточные
признаки 383, 391
—- — — —, экстремальное свойство 387,
390
Геодезические параллели 385, 387
Геометрия Лобачевского 407
Геометрическое место касательных к кри-
кривой 305
Гипоциклоида 50, 102, 138, 148
Главная нормаль 166, 194
Главные направления в точке поверхности
253, 257, 259, 260
— сечения в точке поверхности 256
Градиентное векторное поле на поверхно-
поверхности 363, 3S5
Градиент функции 151
Деривационные формулы второй группы
349, 350
первой группы 345, 346, 349
, условия интегрируемости 355, 3tO
Дифференциал вектора абсолютный 367,
368, 372
— вектор-функции 86, 87
— длины дуги 100
Дифференциальная геометрия «в целом»
425
Дифференциальный параметр первый 366
Дифференцирование вектор-функции, гео-
геометрический смысл 82
Дифференцируемость вектор-функции 7!»
Длина дуги 96, 98
в полярных координатах 101
— касательной 22
— нормали 22
Егоров Д. Ф. 424
Изгибаемость поверхности, необходимый
и достаточный признак 396, 397
Изгибание поверхности 341, 342, 391, 401
непостоянной кривизны 391
постоянной полной кривизны 403
Изометрическое соответствие 341
Инвариант изгибания 366
Индексные обозначения 343
Кардиоида 51
Касание кривой с поверхностью n-го по-
порядка 158, 162
— 1-го порядка 159
— — — — точно /t-ro порядка 158, 162
— кривых 102, 104
n-го порядка 106
— — 1-го порядка 106
точно л-го порядка 106
Касательная к кривой 16, 84, 93
— к пространственной кривой 153, 194
— плоскость к кривой 163
к поверхности 150, 152, 224, 225 ,
Катеноид 268, 283
Координатная сеть кривых на поверхности
222, 223, 273, 279
Координатные линии на поверхности 222
Координаты вектора S0
— криволинейные на плоскости 221
на поверхности 219, 2 20
— полугеодезические на поверхности 387
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
427
Кривая 12
— Бертрана 215
¦— дискриминантная 56, 57
— параметрически заданная, строение в
окрестности произвольной точки 92
-— пересечения двух поверхностей 153
— плоская в параметрическом предста-
представлении 25
— —, необходимый и достаточный при-
признак 183
-— пространственная в параметрическом
представлении 79
в векторном параметрическом пред-
представлении 79
— Рибокура 122
— сферическая, необходимый и достаточ-
достаточный признак 202, 203
Кривизна в точке плоской кривой 125,
127, 128, 378
— — пространственной кривой 174,
1 76
— геодезическая кривой на поверхности
374, 375, 377, 381
— кривой на поверхности 239, 240
— нормальная кривой на поверхности 374,
375
— нормального сечения в точке поверх-
поверхности 241, 242, 253, 254, 256, 258
— полная линейчатой поверхности 323
поверхности 262, 355, 356, 394
— — поверхности, геометрическое
истолкование 289, 292
— средняя дуги 125, 126
поверхности 262
Кривизны главные в точке поверхности
256, 257, 261
Кручение асимптотических линий 280, 281
—, геометрический смысл 181, 182
— кривой в точке 177,181,189
¦Лемниската 35
Линейная вектор-функция 245, 246
симметрическая 246, 247
¦—, собственное значение 247
, — направление 247, 249, 250
—, собственный вектор 242
Линия винтовая 190
— горловая 301
— —, геометрический смысл 301, 302
, параметрическое уравнение 301
— кривизны на поверхности 333
, геометрическое свойство 332
— —¦ — —, необходимые и достаточные
признаки 271, 332
на сфере 334
— — на нейтральных поверхностях вто-
второго порядка 275
— откоса 213, 214
— тени 338
Лобачевского геометрия 407
Миндинг Ф. 423
Минимальный геликоид 297
Млодзеевский Б. К. 424
Мошн Г. 422
Направляющая 294
Натуральное уравнение плоской кривой
141,143, 144, 145
Натуральные уравнения зеркально-сим-
зеркально-симметрических кривых 213
плоской кривой 213
пространственной кривой 204, 209
, геометрическая роль 206, 207
— , основная теорема 207
Непрерывность вектор-функции 74, 83
Нормаль к кривой 20
— к поверхности 152, 225
— к пространственной кривой 150
Нормальная плоскость к пространственной
кривой 150, 153, 166
Нормальное сечение поверхности 241, 244
Обнесение вектора по замкнутому кон.
туру 413, 418
Образующая 294
Огибающая семейства кривых 52, 58, 63
плоскостей 315, 320, 337
— —- поверхностей от одного параметра
310, 312—'314
Огибающий отрезок 53, 56
Окружность косая 216
Ориентация поверхности 293
Ортогональная матрица 211
— траектория развертывающейся поверх-
поверхности 326, 328
Основная квадратичная форма на поверх-
поверхности вторая 238, 284, 288, 351
первая 227, 2281, 229, 233,
284, 288, 343, 394, 397
третья 284, 287, 288
Ось кривизны пространственной кривой
201, 321
Отрезок дискриминантной кривой 56
— особых точек 55, 56
Параллельное перенесение вектора на
поверхность 366, 368—373, 413, 414
Параметр распределения линейчатой по-
поверхности 309, 310
Петерсон К. М. 423
Площадь области на поверхности 229, 231,
Поверхность в параметрическом предста-
представлении 218
Поверхность вращения 234, 244,266, 274,
282, 334, 373, 401, 403, 405
постоянной кривизны 407
— дважды линейчатая 302
— дискриминантная 312, 313
— изгибаемая в поверхвость вращения
397, 399, 401
— каналоваи 314
— —, необходимый и достаточный при-
признак 335
— коническая 304
— линейчатая 294, 309, 329
¦ косая 296, 302, 321, 322
, параметрическое представление 295
— минимальная 267
— постоянной полной кривизны 391, 406
— развертывающаяся 297, 303—306, 316,
326, 328, 330, 370
— — как огибающая семейства плоско-
плоскостей 315, 337
как поверхность нулевой полной кри-
кривизны 324
-, необходимые и достаточные при-
признаки 309, 325, 329, 336, 358
— центров 333
— цилиндрическая 305, 376
Подкасательная 21, 30
Поднормаль 21, 30
Полугеодезическая система координат 385,
394
Полюс 27
Полярная ось 27
— подкаса тельная 30
— поднормаль 30
Полярный радиус 27
— угол 27
Предел вектор-функции 73
Производная вектор-функции 74, 84
428
алфавитный указатель
Простой кусок поверхности 152
— отрезок плоской кривой 11
пространственной кривой 81
Псевдосфера 24, 413
Радиус кривизны главный 333
плоской кривой 118, 127
пространственной кривой 173, 174
— соприкасающейся сферы 201
Ребро возврата 304
огибающей семейства плоскостей 316
развертывающейся поверхности 32в,
328
Семейство геодезических линий на по-
поверхности, дифференциальное уравне-
уравнение 379, 380
— кривых п-параметрическое 113.
однопараметрическое 51
-— нормальных плоскостей 321
— спрямляющих плоскостей 321
— соприкасающихся плоскостей 320
Сет*, линий кривизны на поверхности 272,
873
Си.шолы Христофсля второго рода 349
первого рода 349
Синус-спирали 120, 121
Скорость вращения вектор-функции 88
Соприкасающаяся окружность 114, 116
123, 172, 173
— плоскость 164—166
— сфера 198
Сопровождающий трехгранник кривой 166
Сопряженность, геометрическое истолко-
истолкование 286, 337
— двух направлений 287
— координатной сети 287
Сопряженные направления 285, 286
— сети на поверхности 337, 338
Спираль архимедова 31
— гиперболическая 32, 72
—¦ логарифмическая* 31
Спрямляющая плоскость 166
— поверхность 321
Сферическое отображение поверхности 288
Теорема Бельтрами-Эннепера о кручении
асимптотических линий 280
— Гаусса-Бонпе 420
— Дюпена 274
— Кеннгса 337
— Менье 243, 244, 423
Точка возврата второго рода 36, 95
первого рода 36, 49, 95
— обыкновенная 12, 95
, достаточный признак 12, 79, 80
— гиперболическая 264
— горловая 301, 302
— заведомо обыкновенная 14, 82
Точка закругления (омбилическая точка)
258, 260, 265
— основного типа 95
— особая 12, 26, 54, 95
двойная 32, 33, 40
изолированная 34
, необходимый признак 13
п-кратная 33, 37
—¦ — тройная 32, 37
— параболическая 265
— перегиба 18, 19, 95
— поверхности заведомо обыкновенная
153
обыкновенная 152, 153
— распрямления 17, 114, 160
— самопересечения 35
— самоприкосновения 36
— узловая 35
— характеристическая семейства кривых
61, 63
— эллиптическая 263
Трактриса 24, 137, 413
Триортогональная система 274
Угол между кривыми 20, 228
— поворота 29
Фиников С. П. 424
Формула Гаусса, геометрический смысл
355, 357—360
— геодезической кривизны 377
— Эйлера для кривизны произвольного
сечения 256
Формулы Петерсона-Кодацци 358—360
— Родрига 258, 423
Френе формулы для_плоской кривой 132,
133
для пространственной кривой 176—
178, 423
, кинематический смысл 180
Характеристика 314, 320
Центр кривизны в полярных координатах
120
в точке плоской кривой 118, 129
пространственной кривой 173,
189
— соприкасающейся сферы 201
Цепная линия 16, 147, 268, 413
Циклоида 51, 102, 138, 148
ЭвольвентаТЗЭ—141, 326, 328, 330
Эволюта 138, 136, 137, 141, 326, 328,
330, 331
—, геометрические свойства 134
Энолюты плоской кривой 331
Эпициклоида 50, 102, 138, 148
Эйлер Л. 422