537
Н. Н. МИРОЛЮБОВ, М. В. КОСТЕНКО,
М. Л. ЛЕВИНШТЕЙН, Н. Н. ТИХ О Д ЕЕВ М «>''
Методы расчета
электростатических
ПОЛЕЙ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебного пособия
для студентов энергетических
и электротехнических вузов и факультетов
Г ~к>лиштг~'
3.
с-
ОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА» и-
Москва— 1963

ПРЕДИСЛОВИЕ
В данной книге рассматриваются методы расчета электро-
электростатических полей применительно к инженерным задачам,
встречающимся при проектировании установок высокого на-
напряжения. Она является развитием учебного пособия, напи-
написанного одним из авторовх) для обеспечения специального
курса электростатики, который читается студентам специаль-
специальности «Техника высоких напряжений» Ленинградского поли-
политехнического института им. М. И. Калинина.
Многолетний опыт чтения лекций по этому курсу, веде-
ведение дипломного проектирования и научно-исследовательской
работы, наконец, расширившиеся к настоящему времени по-
потребности практики привели авторов к выводу о целесооб-
целесообразности выпуска книги подобного направления для более
широкого использования ее. Содержание книги и научно-тех-
научно-технический уровень изложения, естественно, ориентированы, в
основном, соответственно указанному курсу, но помещен-
помещенный в ней материал несколько выходит за его рамки и дол-
должен, по нашему мнению, представить интерес не только для
студентов, слушающих аналогичные курсы, но также для
дипломантов, аспирантов и специалистов, работающих в об-
области техники высоких напряжений.
Курс электростатики читается в VII семестре. Ему предше-
ствует курс «Теоретические основы электротехники», в одном
из разделов которого излагаются физико-математические ос-
основы теории электромагнитного поля. Поэтому в курсе элек-
электростатики изложение собственно теории электростатического
поля ограничено краткой формулировкой главнейших положе-
положений и закономерностей лишь с самыми необходимыми поясне-
пояснениями. Основное внимание уделено математической стороне
вопроса, являющейся базой для построения методов расчета.
Эти общие черты изложения сохранены и в данной книге.
Книга содержит 10 глав.
Первая глава имеет вводный характер. В ней даны ос-
Ч Н. Н. М и р о л ю б о в. Электростатика. Л.. Изд-во ЛПИ им. Калини-
Калинина, 1939. На правах рукописи. 100 экз.

новные понятия и закономерности электростатического поля-
с макроскопической точки зрения; физическое и математи-
математическое определение важнейших величин, характеризующих
это поле; основные уравнения (Лапласа и Пуассона) для по-
потенциала электростатического поля и общее понятие гармо-
гармонических функций. В заключительном § 8 кратко рассмотрены
имеющие наибольшее практическое применение системы ор-
ортогональных криволинейных координат. По ходу изложения
приведены примеры решения ряда простых задач, которые
не только иллюстрируют практическое приложение излага-
излагаемой теории, но отчетливо выявляют некоторые свойства
функций, характеризующих поле, имеющих важное значение
для составления ясного понимания сущности особых точек
и поверхностей в области электростатического поля.
Глава вторая посвящена определению потенциала основ-
основных распределений зарядов. Здесь с достаточной строгостью
установлены важнейшие свойства потенциала электростати-
электростатического поля, характер его поведения на бесконечности и
на границах раздела между различными средами (граничные
условия). При рассмотрении объемно-поляризованной среды
дано краткое пояснение происхождения понятия диэлектриче-
диэлектрической проницаемости, введены поляризационные и фиктивные
заряды, используемые в некоторых методах расчета. В заклю-
заключительном § 13 сформулирована общая постановка электро-
электростатической задачи для системы заряженных проводников и
диэлектриков, приводящая к необходимости решения первой
краевой задачи, или задачи Дирихле.
В главе третьей рассмотрены энергия электростатического
поля и электростатические уравнения Максвелла. Вопрос об
энергии электростатического поля имеет важное общетеоре-
общетеоретическое значение, что иллюстрировано приведенными в конце
§ 14 фундаментальными теоремами (без доказательства).
Полученные выражения для энергии позволили также до-
доказать симметричность потенциальных и емкостных коэффи-
коэффициентов, фигурирующих в электростатических уравнениях
Максвелла (§ 15), которым уделено достаточное внимание
вследствие их широкого использования в практике расчетов
и проектирования.
На основании симметрии потенциальных и емкостных ко-
коэффициентов выведена теорема Грина, практическое прило-
приложение которой иллюстрировано примерами определения ин-
индуктированных зарядов на заземленных проводниках.
В качестве примеров приложения электростатических урав-
уравнений Максвелла приведены (§ 16) типичные случаи расчета
емкостей длинных линий, в которых вычисление потенциаль-
потенциальных коэффициентов может быть выполнено элементарно на ос-
основании результатов, полученных в предыдущем изложении.
4
В заключительном §"Л7 изложен вопрос определения ме-
механических сил, действующих на проводники в электроста-
электростатическом поле и дано несколько примеров их вычисления.
Содержанием перечисленных глав ограничено рассмотре-
рассмотрение электростатического поля, в котором физическое и ма-
математическое описание тесно переплетаются. Иллюстрирую-
Иллюстрирующие теорию примеры относятся к простейшим случаям, когда
распределение зарядов в пространстве задано или структура
поля заранее известна и решение задачи может быть выпол-
выполнено элементарно. Изучение материала этих глав, по мнению
авторов, необходимо для продуктивного (с точки зрения тех-
технических применений) усвоения излагаемых в последующих
главах методов расчета, основное внимание в которых уде-
уделяется математическому аппарату, достаточно сложному и
не лишенному известного формализма.
Рассмотрение аналитических методов начинается с реше-
решения электростатических задач по методу Грина (глава IV).
Здесь выведена известная формула Грина, определяющая
гармоническую функцию в области по значениям этой функ-
функции и ее нормальной производной на границе области. На
простых примерах пояснено ее применение к решению неко-
некоторых задач электростатики. Далее кратко разъяснены основ-
основные свойства гармонических функций в связи с решением
первой краевой задачи Дирихле и доказана единственность
этого решения. После введения функции Грина доказана
единственность решения общей электростатической задачи
по методу Грина. Для иллюстрации метода приведены примеры
решения нескольких электростатических задач, соответствую-
соответствующих задачам Дирихле для полупространства и для сферы.
В заключительном параграфе главы (§ 24) метод Грина
рассмотрен применительно к решению плоских электростати-
электростатических задач, указана связь между аналитическими и гармо-
гармоническими функциями двух переменных, которая в следующей
главе V широко использована при изложении методов теории
функпий комплексного переменного.
Метод Грина имеет универсальный характер, если только
удается найти соответствующую заданной области поля функ-
функцию Грина. Однако не существует общего приема для
этого и приведенные в гл. IV примеры поясняют использо-
использование этого метода для тех типичных случаев, для которых
функция Грина известна.
При изложении в гл. V методов теории функций комплекс-
комплексного переменного применительно к решению плоских электро-
электростатических задач авторы старались по возможности доход-
доходчиво разъяснить их (предполагая знакомство читателя с
основами теории функций комплексного переменного). При-
Приведенные в тексте примеры поясняют практическое исполь-
5

зование этих методов и демонстрируют их эффективность
при расчете довольно разнообразных случаев плоских полей.
В связи с рассматриваемыми в главах IV и V методами
следует отметить вышедшую недавно (после того, как руко-
рукопись данной книги была закончена) в русском переводе с
немецкого монографию Г. Бухгольца Ч В этой превосходной,
но сравнительно большой по объему, книге рассматриваемые
методы значительно развиты и применены к решению широ-
широкого круга практических задач. Авторы полагают, что эта,
написанная на высоком теоретическом уровне, монография
будет вполне доступна читателю, усвоившему предварительно
материал, изложенный в гл. IV и V данного учебного пособия.
Большое значение в практике расчетов электростатиче-
электростатических полей (как и полей другого типа) имеют методы более
частного характера, приспособленные к определенным клас-
классам задач. В данной книге сделана попытка систематическо-
систематического изложения этих методов.
При этом исчерпывающая полнота изложения не могла
являться основной целью авторов, хотя бы в силу ограни-
ограниченности объема книги.
Авторы попытались охватить наиболее известные и широ-
широко "применяемые методы, в достаточной степени подробно
разъяснить их, подчеркнуть их особенности при рассмотре-
рассмотрении соответствующих примеров. Авторы полагают, что изу-
изучение этого материала позволит читателю не только овла-
. деть методами, но и правильно подойти к выбору того или
иного из них при решении конкретной задачи.
Совершенно очевидно, однако, что изучение данного
учебного пособия не может полностью освободить от необ-
необходимости обращаться к специальным источникам. Не пред-
представляется возможным, хотя бы вследствие ограниченности
объема, приводить, например, все промежуточные выкладки.
Далее, авторы считали целесообразным не приводить некоторые
тонкие и требующие большого места математические дока-
доказательства, отсутствие которых не наносит ущерба для по-
понимания сущности метода. В этих случаях указаны соответ-
соответствующие источники.
В главе VI приведены решения электростатических задач,
основанные на методах изображений в плоскости, круге и
сфере. В заключительном § 36 дано подробное вычисление
поля шарового разрядника, являющегося основным измери-
измерительным прибором в технике высоких напряжений.
Глава VII посвящена методу Ламэ, приспособленному к
решению электростатических полей, потенциал которых за-
зависит только от одного параметра.
Г. Бу х г о л ь ц. Расчеты электрических и магнитных полей. ИЛ, 1961.
В числе примеров, иллюстрирующих практическое при-
применение метода, приведен расчет высоковольтного ввода.
В главе VIII рассмотрены решения электростатических за-
задач методом разделения переменных. Изложение ограничено
изучением наиболее употребительных ортогональных систем
координат.
В главе IX изложен метод интегральных уравнений
Г. А. Гринберга, являющийся весьма эффективным при ре-
решении определенного класса электростатических задач.
Классический метод интегральных уравнений для задачи
Дирихле (уравнение Фредгольма), в котором потенциал для
внутренней и внешней задачи представляется в виде потен-
потенциала двойного слоя, не рассмотрен.
Это объясняется несколькими причинами. Интегральные
уравнения не излагаются в курсах математики втузов; их
решение, вообще говоря, более сложно, чем решение диф-
дифференциальных уравнений, вследствие чего изложение этого
метода потребовало бы значительного места.
Последняя глава X посвящена изложению приближенных
и численных методов решения электростатических задач.
Содержание этой главы могло бы быть значительно рас-
расширено. Авторы принуждены были ограничить это содержа-
содержание рассмотрением лишь наиболее интересных и трудно вос-
воспринимаемых методов, которые находят сейчас широкое
применение.
В связи с рассмотрением метода сеток, конечно, было бы
весьма полезно осветить применение цифровых вычислитель-
вычислительных машин для расчета полей вплоть до составления стан-
стандартной программы применительно к одной из ЦВМ. Отсут-
Отсутствие в книге этого материала объясняется только ограни-
ограниченностью ее объема. По-видимому, было бы целесообразно
выпустить отдельное пособие, посвященное приближенным
методам расчета электростатических полей. В него можно
было бы также включить методы расчета, основанные на
аналогии, и моделирование, что не могло вместиться в объ-
объем данной книги.
Несколько затянувшееся предисловие объясняется тем,
что настоящее учебное пособие, насколько известно авторам,
существенно отличается от имеющихся учебных пособий,
книг и монографий, содержащих рассмотрение вопросов рас-
расчета электрических и магнитных полей 1\ Поэтому авторы
1) Особенно следует отметить книги: Г. А. Г р и н б е р г. Избранные
вопросы математической теории электрических и магнитных явлений АН
СССР, 1948; В. С м а й т. Электростатика и электродинамика. ИЛ, 1954;
Дж. А. С трет тон. Теория электромагнетизма. Гостехиздат. 1948; Г. Бух-
гольц. Расчет электрических и магнитных полей. ИЛ, 1961.

считали необходимым достаточно подробно осветить содер-
содержание книги и положенные в его обоснование соображения.
Эта книга является результатом коллективного труда.
В каждый ее параграф каждый авгор внес свой вклад в про-
процессе неоднократных обсуждений рукописи. Однако следует
отметить исключительно большой труд М. Л. Лебинштейна
и Н. Н. Тиходеева.
Главы I, II, III, IV, VIII, IX и X первоначально были напи-
написаны М. Л. Левинштейном; главы V, VI и VII — Н. Н. Тихо-
деевым. Редакция этого варианта рукописи была выполнена
М. В. Костенко. В дальнейшей разработке рукописи главы
I, II, III, IV и VI были существенно переработаны Н. Н. Миро-
любовым.
Авторы выражают признательность рецензентам проф.
А. И. Долгинову и доц. П. В. Борисоглебскому, а также
коллективам кафедр ТВН ВЗЭИ и МЭИ, принявшим участие
в обсуждении рецензий. Критические замечания и пожелания,
имевшиеся в рецензиях по содержанию рукописи, были уч-
учтены авторами и, несомненно, способствовали ее улучшению.
Окончательная общая редакция книги выполнена
Н. Н. Миролюбовым.
Несмотря на определенную направленность содержания
учебного пособия, ограниченного рассмотрением электроста-
электростатического поля с примерами расчетов из области ТВН, оно, по
мнению авторов, должно оказаться полезным также для
специалистов, работающих в области радиоэлектроники.
Несомненно, что данное учебное пособие не свободно от
недостатков, и авторы будут благодарны всем, кто выска-
выскажет свои замечания и пожелания.
Авторы
Глава I
УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
§ 1. Электрические заряды
Электростатическое поле представляет собой частный
случай электромагнитного поля, когда источниками поля
являются неподвижные электрические заряды. В настоящее
время на основании результатов тонких экспериментальных
исследований установлена корпускулярная природа электри-
электричества. Любое материальное тело состоит из громадного
количества элементарных частиц, находящихся в весьма
сложном движении.
Однако большинство способов наблюдения и измерения,
обычно применяемых в практике, настолько грубы, что с их
помощью невозможно обнаружить существование отдельных
элементарных частиц электричества. Наименьшие электри-
электрические заряды, доступные наблюдению с помощью этих
способов, содержат в себе колоссальные количества элемен-
элементарных частиц электричества, отделенных друг от друга
ничтожно малыми расстояниями. Бесконечно малый, с точки
зрения такого способа наблюдения, элемент объема AV ка-
какого-либо физического тела содержит в себе также беско-
бесконечно малый электрический заряд A#, состоящий все же из
столь большого числа элементарных зарядов, что нет необ-
необходимости учитывать их как существующие раздельно. Эта
точка зрения кратко называется макроскопической в отличие
от микроскопической точки зрения, основанной на резуль-
результатах более точных способов наблюдения.
Если элемент объема Д1/ исчезающе мал в масштабах
макроскопической теории, то, не внося существенной ошибки
в результаты рассуждения, можно вовсе не учитывать кор-
корпускулярное строение электричества и пользоваться пред-
представлением о непрерывно распределенных электрических
зарядах, заполняющих сплошь заряженные участки мате-
материальных тел. В соответствии с этим представлением вво-

дится понятие объемной плотности р электрического заряди,
которая определяется как предел отношения:
дк
г, t)
A.1)
и рассматривается как функция координат и времени.
В обыкновенных (не особых) точках поля функция р =
= р (х, у, z, t) непрерывна и обладает непрерывными частными
производными по координатам и времени.
Примером использования понятия объемной плотности
электрического заряда при явно дискретном его характере
является рассмотрение поля в электронной лампе. В вакуум-
вакуумном приборе (лампе) поле определяется не только заданными
потенциалами электродов, но и облаком электронов, эмити-
эмитируемых накаленным катодом. Так как наблюдаемый эффект
зависит от поля всех электронов, вполне достаточно заряд
облака характеризовать усредненной объемной плотностью,
определяемой количеством электронов, отнесенным к единице
объема. Очевидно, эта плотность может меняться от точки
к точке облака и с течением времени. В данном случае
средой, в которой наблюдается поле, является вакуум,
а электроны представляют собой свободные заряды, внесен-
внесенные в эту среду.
Любое материальное тело имеет положительные и отри-
отрицательные заряды, причем в нейтральном состоянии коли-
количество положительных и отрицательных зарядов одинаково,
так что общий заряд тела равен нулю. Благодаря ничтожно
малым расстояниям между зарядами различных знаков и мак-
макроскопически равномерному распределению . их по объему
тела усредненная объемная плотность заряда нейтрального
тела равна нулю. Поэтому непосредственное изучение элек-
электромагнитного поля, обусловленного элементарными заря-
зарядами, входящими в состав самого нейтрального тела, исклю-
исключается из макроскопической теории. Нейтральное в указан-
указанном смысле материальное тело рассматривается в этой
теории как физическая среда, а изучаются «внешние» электро-
электромагнитные поля, возбуждаемые в ней «свободными» (или
«истинными») зарядами, внесенными в нее извне и заполняю-
заполняющими ее участки с той или иной объемной плотностью р.
Однако совершенно ясно, что внешнее поле, воздействуя
на электрические заряды, входящие в состав вещества, будет
в той или иной мере нарушать его нейтральное состояние.
Так, положительные и отрицательные заряды, находясь
в электрическом поле, испытывают действие механической
силы, стремящейся переместить их в противоположных на-
направлениях. Упорядоченное смещение зарядов, составляющих
диэлектрик, называют поляризацией диэлектрика.
10
Результирующее поле в диэлектрике будет определяться
при этом не только внешним полем, но и полем поляриза-
поляризации. Так как поле поляризации зависит от внешнего поля,
представляется возможным исключить его из рассмотрения
путем введения некоторого параметра е, характеризующего»
макроскопически электрические свойства вещества и назы-
называемого диэлектрической проницаемостью. Более подробно
этот вопрос рассмотрен в § 12.
Наряду с объемной плотностью электрического заряда
в макроскопической теории часто применяются понятия
точечного заряда и поверхностной плотности заряда. В соот-
соответствии с этим говорят об объемных, точечных и поверх-
поверхностных зарядах.
Под точечным зарядом следует понимать конечный за-
заряд д, сосредоточенный в пределах элемента объема Д1/г
который в масштабах макроскопической теории бесконечно
мал. С формальной точки зрения математического аппарата,
объемная плотность точечного заряда бесконечно велика.
Следовательно, точка пространства, в которой расположен
точечный заряд, является особой точкой объемной плотности
заряда р, рассматриваемой как функция координат точки.
Понятие поверхностной плотности электрического заряда
возникает тогда, когда заряд сосредоточен в пределах слоя,
толщина которого бесконечно мала с макроскопической
точки зрения. Рассмотрим тонкий слой толщиной h, в кото-
котором содержится некоторый заряд д. Очевидно, средняя
объемная плотность заряда в слое определится выражением
-_*?
Р ~
где AS— малый элемент поверхности слоя и Д^ —заряд в эле-
элементе объема слоя hV=hAS.
При математической формулировке понятия поверхност-
поверхностного слоя как слоя, толщина которого h—>0, представление
об объемной плотности заряда утрачивает свой смысл, так
как lim p = oo. В связи с этим целесообразно ввести поня-
понятие средней поверхностной плотности заряда
° = limoР^ = Ks~' Под КОТОРОИ подразумевается средний
заряд на единицу площади поверхности слоя в окрестности
данной точки, принадлежащей слою. В математических фор-
формулировках фигурирует истинная поверхностная
плотность заряда
o=lim ^. = J^
AS - о ^S dS
A.2)
11

которая соответствует поверхностному заряду, непрерывным
(сплошным) образом заполняющему поверхность 5. Плот-
Плотность о рассматривается как функция координат, которая
в обыкновенных точках поверхности непрерывна и обладает
непрерывными производными вдоль поверхности.
§ 2. Закон Кулона и напряженность
электростатического поля
Электростатическое поле относится к так называемым
стационарным силовым полям, характеризующимся тем, что
они не меняются с течением времени. Таким образом, источ-
источниками электростатического поля являются электрические
заряды, распределение которых в пространстве сохраняется
неизменным. Строго говоря, постоянное распределение элек-
электрического заряда невозможно, так как все вещества в не-
некоторой степени обладают электропроводностью, причем
область наблюдаемых значений электропроводности необы-
необычайно велика. Тем не менее все вещества можно разделить
на две основных категории: диэлектрики и проводники. Элек-
Электропроводность диэлектриков ничтожно мала по сравнению
с электропроводностью проводников. Так, например, электро-
электропроводность обыкновенного стекла в 1019 раз меньше элек-
электропроводности меди. При решении электростатических задач
диэлектрик считается идеальным, т. е. его электропровод-
электропроводность принимается равной нулю. Проводники же являются
телами, внутри которых электростатическое поле существо-
существовать не может, поскольку в них вследствие высокой прово-
проводимости не может существовать постоянного распределения
свободного объемного электрического заряда. Свободный
заряд распределяется только по поверхности проводника,
причем таким образом, что поле в любой внутренней точке
проводника равно нулю. Электростатическое поле заряжен-
заряженного проводника наблюдается в диэлектрической среде, окру-
окружающей проводник. Поскольку внутри проводника электро-
электростатическое поле существовать не может, то поверхность
проводника в любом случае распределения зарядов как на
его поверхности, так и в окружающем проводник диэлек-
диэлектрике, является естественной границей электростатического
поля, наблюдаемого в окружающем проводник диэлектрике.
В основе количественной теории электростатического
поля лежит закон Кулона, установленный опытным путем.
Согласно этому закону, сила взаимодействия между двумя
точечными зарядами q и q', расположенными в однородной
изотропной среде (практически между двумя зарядами, ли-
12
нейные размеры которых весьма малы по сравнению с рас-
расстоянием между ними), выражается формулой
J3
г
г
B.1)
В данном курсе мы будем пользоваться Международной
системой единиц СИ: (метр, килограмм, секунда, ампер).
Поэтому в формуле B.1): г —расстояние между зарядами,
измеряемое в метрах; — — единичный вектор, направленный
по прямой, соединяющей заряды q и q', которые измеряются
в кулонах; е — диэлектрическая проницаемость окружающей
заряды среды измеряется в фарадах на метр, причем в при-
нятой системе единиц для вакуума е = е0 = -^~ =8,85 • 10 пф/м.
Сила F при этом получается в ньютонах.
Наблюдаемое между зарядами взаимодействие может быть
описано с помощью представления о существовании вокруг
каждого заряда некоторого силового поля, которое есте-
естественно назвать электрическим полем.
• Количественно электрическое поле' характеризуется век-
вектором напряженности Е, определяющим (как по величине,
так и по направлению) силу, с которой поле действовало
бы на единичный положительный пробный (точечный) заряд
при нахождении его в данной точке поля. Для одиночного
точечного заряда q на основании закона Кулона B.1) будем
иметь:
4пе/-2
B.2)
где г — радиус-вектор, проведенный от заряда q в точку,
в которой определяется Е.
Приведенное определение вектора Е как силы, которая
действует со стороны поля на единичный точечный заряд
и может быть измерена посредством опыта, устанавливает
физическую природу этого вектора и сохраняется в любых
случаях проявления электрического поля.
Вектор Е, как показывает выражение B.2), зависит от
свойств среды, характеризуемых величиной ее диэлектриче-
диэлектрической проницаемости е.
Если вектор Е определен во всех точках поля, то в этом
поле можно провести семейство линий таким образом, чтобы
13

в каждой точке линии направление касательной к ней сов-
совпадало с направлением вектора Е. Эти линии носят название
силовых линий поля и дают наглядное геометрическое
изображение электростатического поля. Из определения
следует, что вектор элемента дуги силовой линии
где X — скалярный множитель. Прямоугольные составляющие
элемента dl, очевидно, равны
откуда получаем уравнение силовой линии
dx dy _ dz
B.3)
Из B.2) нетрудно видеть, что в случае одиночного то-
точечного заряда силовые линии представляют собой радиаль-
радиальные прямые, выходящие из точки, занимаемой зарядом, если
заряд положительный, и входящие в эту точку, если заряд
отрицательный.
Если в пространстве, заполненном однородной средой
с диэлектрической проницаемостью е, расположена система
точечных зарядов qlf q2,..., qn, то опыт показывает, что
электростатическое поле всей системы в любой точке наблю-
наблюдения М определится геометрическим сложением векторов
напряженности поля, соответствующего каждому заряду,
т. е.
где Ek(M):
k=\
rk — радиус-вектор,
проведенный из
точки расположения заряда qk в точку наблюдения М. Таким
образом, для вычисления поля системы точечных зарядов
применим обычный принцип суперпозиции.
Допустим, что заряд распределен в некоторой области V
с объемной плотностью р. Тогда в элементе объема dV, пред-
представляющем окрестность точки N, будет находиться элемен-
элементарный заряд dqN = p(N)dV, где p(N) — значение объемной
плотности заряда в точке М Этот элементарный заряд обу-
обусловит напряженность поля в точке наблюдения М
dE(M)=*iN)dV .—,
14
где
г =г —г , причем г
Д^Л1 ТА /V
и г — радиусы-векторы то-
чек Ми N, соответственно, относительно некоторого начала
отсчета О, как это показано на n r
рис. 1. j ^М
Результирующее поле в точке
М г"
dV. (•)
Рис. 1
Здесь интегрирование выполняется
по координатам переменной точки N для всего, пространства
V, в котором распределен заряд.
В случае поверхностного заряда, распределенного по
поверхности 5 с плотностью °, аналогично
(**)
(где Л —точка, лежащая на поверхности S) и интегрирова-
интегрирование следует выполнить по всей поверхности Ч
Таким образом, в случае однородной среды принцип на-
наложения позволяет вычислить электростатическое поле си-
системы зарядов, распределение которых в пространстве задано
любым из рассмотренных способов (точечные, объемные и
поверхностные заряды).
§ 3. Простейшие примеры полей
Для иллюстрации практического применения изложенных
в предыдущем параграфе положений рассмотрим несколько
простых примеров.
Пример 1. Поле зарядов, равномерно распределенных вдоль
бесконечной прямой линии.
Введем прямоугольную систему координат х, у, z, напра-
направив ось z вдоль заряженного прямого проводника (рис. 2).
Из условий симметрии ясно, что поле будет одинаковым
в любой плоскости z = const, перпендикулярной оси z. По-
Поэтому будем вычислять поле в плоскости хОу (т. е. г = 0).
Практически результаты этого примера могут быть исполь-
1) Если точка М принадлежит объему V или поверхности S, то при
N—>М г
NM
¦0. Однако, выделив малую окрестность точки М и выпол-
выполнив предельный переход, можно показать, что интегралы (*) и (* *) схо-
лятся абсолютно (см. § 10, 12).
15

Рис. 2
зованы для определения элек-
электрического поля заряженного
прямолинейного проводника,
радиус которого а пренебре-
пренебрежимо мал по сравнению с его
длиной /. Однако ввиду конеч-
конечности длины проводника полу-
полученные в данном примере ре-
результаты будут B достаточной
для практики точностью опре-
определять поле лишь в некоторой
ограниченной области простран-
пространства, окружающего проводник.
Во-первых, расстояние г =
/от оси
Вопе
хЧ/от оси провода до
точки, в которой определяется поле, должно быть мало по
сравнению с длиной провода (г < /). Во-вторых, перпенди-
перпендикулярные плоскости z = zn в которых определяется поле,
должны быть достаточно удалены от концов провода, а
именно г< \zt\. Таким образом, второе ограничение
перекрывает первое. Чем ближе расположена точка к поверх-
поверхности провода, тем на большую длину провода распростра-
распространяются результаты решения, т. е. тем меньшее значение
имеет эффект, вызываемый концами провода.
Положим, что линейная плотность заряда прямой равна ?
и, как отмечалось, постоянна вдоль прямой. В случае про-
проводника линейная плотность заряда представляет собой по-
поверхностный заряд, отнесенный к единице длины провода.
Геометрическая сумма векторов dEx и dE2, обусловленных
зарядами dq = tdz, расположенными в точках zx = z и z2 = — z,
равна
Ъйг cos 8
4пе (г2 + z2)S
г
г
где г — расстояние от точки М плоскости 2 = 0, в которой
определяется напряженность, до оси провода, а 6 — угол,
составленный вектором г с вектором dEx (рис. 2). Суммар-
Суммарная напряженность в рассматриваемой точке поля будет
cos bdz
16
Так как
то
2тсег
C.1)
Поэтому напряженность в любой плоскости, перпендикуляр-
перпендикулярной оси провода, обратно пропорциональна расстоянию до
оси провода. Силовые линии, очевидно, расположены в пло-
плоскостях, нормальных оси провода, и представляют собой
радиальные прямые.
Пример 2. Поле двух точечных зарядов.
Рассмотрим поле двух точечных зарядов q и ± д, рас-
расположенных, как указано на рис. 3. В силу симметрии сило-
о
Рис. 3
вые линии достаточно определить лишь в какой-либо пло-
плоскости, содержащей ось х, например, в плоскости 2 = 0.
Проекции результирующего вектора Е на оси координат,
равные суммам проекций составляющих векторов на эти оси,
будут равны:
F—E4-F ч /cos9' I C0SM
—F
sin 6l
(
1
sin82 \
где знак (-f) относится к случаю одноименных зарядов,
а знак (—) разноименных; 6j и % — углы, составленные век-
векторами ?, и ?2 с осью абсцисс; гх и г2 — расстояния от за-
зарядов до точки М(х, у) плоскости 2 = 0, в которой опреде-
определяется значение напряженности.
Д-452.-2 , *-•'''¦ ¦•ЙОТЕ: J.- , 17

Согласно B.3), составляем уравнение силовых линий
dx dy
cos 6, cos62 sin 8, sin в2
О о о о
Г* Г* Г* f^
'I r2 '1 '2
Принимая во внимание, что — = sm 2 , и переходя к но-
новым переменным:
и = cos 6j =
r2
и ^ =
sine,
-
получаем после преобразований:
sin2
dv
sin 6t — cos Bj —
du
dv sin262 dj;
sin62 —cos62—
= + 1.
Таким образом, имеем следующее семейство уравнений
силовых линий
v = cos 6j ± cos 62 =
= const.
C.2)
Ha рис. 4a, б показаны силовые линии, описываемые уравне-
уравнением C.2), а также сечения эквипотенциальных поверхно-
поверхностей (см. § 6).
Заметим, что при а —»0 уравнение C.2), отвечающее раз-
разноименным зарядам, является уравнением силовых линий так
называемого точечного диполя — системы из двух равных
по величине и разноименных зарядов, расположенных на малом
расстоянии друг от друга.
Пример 3. Система из двух параллельных линейных зарядов.
Уравнение силовых линий системы из двух параллельных
линейных зарядов с плотностями т и + т могут быть полу-
получены аналогично. На рис. 3, где, заряды д и + q следует
теперь считать следами пересечения линейными зарядами
нормальной к ним плоскости, находим:
„ т / COS 6j COS 62"
sin
sin в2
и уравнение силовых линий будет:
dx dy
cos 6, cos62
/* r
sin 8, sin 82
/*2
s
18
2*

или
dx
х — а х -+- а
йу
Введя новые переменные
, ,
у у
приведем это уравнение к виду
du ~ 1 + и2 '
Решение этого уравнения может быть записано так:
arc tg v ± arc tg и = С,
или, взяв тангенсы правой и левой частей,
у ±и
= с.
VU
Возвращаясь к переменным хну, окончательно получим
у[(х-а)±(х+а)] _г
Уравнение C.3) при одноименных зарядах имеет вид
V2 — х2 — —ху + а2 = О,
а при разноименных —
C.3а)
C.36)
Для приведения C.3а) и C.3 б) к каноническому виду до-
достаточно в C.3 а) повернуть оси х и у на угол Ь, определяе-
определяемый равенством
tg2e = -C,
а в уравнении C.3 б) произвести параллельный перенос оси х
на величину ——; уравнения C.3 а) и C.3 б) в новых коор-
динатных осях примут тогда соответственно вид:
Первое из этих уравнений представляет собой уравнение
семейства равнобочных гипербол с осями Е и ц в качестве
асимптот; второе уравнение есть уравнение семейства окруж-
20
ностей с центром в начале координат и радиусом —у 1+ С2.
На рис. 5 приведены в осях х и у семейства соответствую-
соответствующих силовых линий.
§ 4. Вектор электрического смещения.
При расчетах электростатического поля широко исполь-
используется вектор электрического смещения D (называемый так-
также вектором электрической индукции). Общая связь между
вектором D и зарядом устанавливается постулатом Макс-
Максвелла: независимо от свойств среды и характера распределе-
распределения заряда в пространстве поток вектора смещения сквозь
любую замкнутую поверхность равен полному заряду q, на-
находящемуся внутри этой поверхности
)ndS=q, D.1)
где п — внешняя нормаль к элементу dS замкнутой поверх-
поверхности 5; D-п = Dn — нормальная составляющая вектора D
к элементу dS. Кружок на знаке интеграла указывает зам-
замкнутость поверхности интегрирования.
Введение вектора D имело большое значение при по-
построении общей (макроскопической) теории электромагнит-
электромагнитного поля, способствовавшее тому, что основные уравнения
поля приобрели универсальный характер.
Пусть, например, в некоторой области V, ограниченной
поверхностью S, заряд q непрерывно распределен с объемной
плотностью р. Тогда формула D.1) принимает вид
v
D.2)
Если вектор D и его первые производные являются не-
непрерывными функциями координат точек в области V и на
поверхности S, то справедлива формула Остроградского
>ndS^ fdiv/W.
s v
При этом из D.2) получаем
21

Вследствие непрерывности подынтегральной функции и
произвольности объема V из последнего равенства следует
) = P. D.3)
Напомним, что в прямоугольной декартовой системе координат
\х, у, z)
DndS
divD= lim
= dDx Л. дОУ -f dD*
дх ду dz
— дивергенция (расхождение) вектора D. Уравнение D.3)
дает дифференциальную связь между вектором D и плот-
плотностью заряда р в каждой точке области V, заполненной
любой средой лишь при условии, что поведение D и р в ней
соответствует указанным выше предположениям.
Поле вектора D, подобно полю вектора Е, может быть
геометрически интерпретировано системой линий вектора D.
Поток вектора смещения сквозь замкнутую поверхность
представится тогда количеством линий этого вектора, выхо-
выходящих из поверхности (если заряд q положителен) или вхо-
входящих в нее (если заряд q отрицателен). При этом коли-
количество линий вектора D численно равно величине заряда,
находящегося внутри поверхности. Таким образом, положи-
положительный заряд является источником, а отрицательный — сто-
стоком линий вектора D. Если внутри замкнутой поверхности
заряда нет, то поток вектора D сквозь нее равен нулю,
т. е. число входящих и выходящих линий вектора D оди-
одинаково.
Физический смысл происхождения вектора D разъяснится
в § 12 при рассмотрении явления поляризации диэлектрика.
Нас будет интересовать главным образом использование
вектора D для расчета электростатического поля в неодно-
неоднородной среде, поскольку непосредственное вычисление век-
вектора Е в этом случае встречает большие трудности. Совер-
Совершенно очевидно, что для получения окончательного решения
необходимо знать функциональную связь между векторами
D н Е. В рамках макроскопической теории эта связь может
23

быть установлена лишь предположительно и оправдана только
результатами опытных наблюдений.
Прежде всего ясно, что характер этой связи должен за-
зависеть от электрических свойств среды. С формальной точки
зрения естественно стремиться выбрать эту связь в возможно
более простом виде. Если среда изотропная, то следует
полагать, что в любой ее точке векторы D и Е совпадают
по направлению и связь между ними имеет простейший вид.
D = sE, , D.4)
где е — диэлектрическая проницаемость среды — скалярная
величина, которая в общем случае может являться функцией
координат точек пространства, а также и самого вектора Е.
Если s не зависит от величины напряженности поля Е, то
связь между D и Е является линейной. В противном случае
она нелинейная и наблюдается при обычно встречающихся
на практике напряженностях поля (значительно меньших,
чем пробивные) лишь в особого рода диэлектриках (напри-
(например, типа, сегнетовой соли).
В случае анизотропной среды, свойства которой в окрест-
окрестности данной точки зависят от направления (например, кри-
кристаллические диэлектрики), связь между D и Е имеет более
сложный характер, так как эти векторы оказываются не сов-
совпадающими по направлению. Условно связь между D и Е
может быть записана в том же виде D.4), однако, множи-
множитель s должен рассматриваться как тензор второго ранга.
В рамках данной книги рассматриваются лишь простей-
простейшие, но наиболее часто встречающиеся на практике случаи
расчета электростатических полей в однородных или кусоч-
кусочно-однородных изотропных диэлектриках, причем связь между
D и Е является линейной. Таким образом коэффициент е
в формуле D.4) является постоянной скалярной величиной.
Нетрудно убедиться, что зависимость D.4) приводит
к формуле B.2), вытекающей из закона Кулона.
Действительно, рассматривая поле заряда д, расположен-
расположенного в области V безграничного однородного диэлектрика
<е = const), на основании D.4) формулу D.1) можно записать
в виде
dS=
D.5)
24
Отметим, что формула D.5) носит название теоремы
Гаусса, которая, как видно, справедлива только для одно-
однородной среды.
Если заряд q является точечным, то, взяв поверхность S
в виде сферы произвольного радиуса г с центром в заряде д,
получим (Еп = Е на сфере)
откуда
т. е. формула B.2).
В заключение отметим, что уравнение D.3) является
дифференциальной формой постулата Максвелла. Физически
оно вытекает из этого постулата, примененного к беско-
бесконечно малой области AV—>0, поскольку в макроскопической
теории имеет смысл введенное понятие объемной плотности
электрического заряда. Формально после введения объемной
плотности заряда уравнение D.3), как было показано, следует
из постулата Максвелла D.1) путем применения к его левой
части теоремы Остроградского.
Следует иметь в виду важное положение электростатики,
находящееся в соответствии с уравнением D.3). Это урав-
уравнение показывает, что объемная плотность электрического
заряда является источником вектора D. Линии вектора D
не могут ни возникать, ни заканчиваться, ни пересекаться
друг с другом в области, где отсутствуют электрические
заряды. Линии вектора D, исходящие из некоторого заряда,
любым образом распределенного в пространстве, могут кон-
кончаться только на отрицательном заряде такой же величины.
Следовательно, во всей области, занятой электростатическим
полем, общее количество электричества всегда равно нулю.
Это положение находится в согласии с фундаментальным
законом сохранения количества электричества, который в при-
приложении к практическим задачам легче запомнить как утвер-
утверждение, что электростатическое поле может быть получено
только путем разделения положительных и отрицательных
зарядов, но не созданием какого-либо одного из них. Кратко
мы будем называть систему замкнутой, если она ограничена
замкнутой поверхностью, являющейся границей рассматри-
рассматриваемого электростатического поля. Согласно предыдущему,
любой электростатической задаче должна быть найдена
соответствующая замкнутая система, внутри которой общее
количество электричества всегда равно нулю. В тех случаях,
25

когда рассматривается конечная область безграничного про-
пространства, содержащая суммарный заряд q, например, поло-
положительного знака, поле этого заряда занимает все безгранич-
безграничное пространство Система становится замкнутой, если ввести
в рассмотрение сферу с центром в области заданного распре-
распределения зарядов и с радиусом стремящимся к Бесконечности.
По поверхности этой сферы равномерно распределен отри-
отрицательный заряд — q, поверхностная плотность которого,
очевидно, стремится к нулю.
§ 5. Примеры применения теоремы Гаусса и постулата
Максвелла
Теорема Гаусса и постулат Максвелла дают возможность
решить ряд задач об электростатическом поле зарядов в тех
случаях, когда условия симметрии делают очевидным общий
характер поля. Некоторые результаты рассмотренных ниже
примеров имеют практический интерес, но главное их зна-
значение заключается в том, что в процессе их решения отчет-
отчетливо разъясняются некоторые
важные положения электроста-
электростатики.
Пример 1. Сферический кон-
конденсатор или конденсатор, сос-
состоящий из двух проводящих
концентрических шаровых об-
обкладок.
Обозначим внешний радиус
внутренней обкладки через Ru
а внутренний радиус внешней
обкладки через R2; толщину
внутренней и внешней обкладок,
соответственно, через dx и d2.
Пусть Аалее среды внутри и вне
конденсатора являются однород-
однородными диэлектриками с проницаемостями е и е' соответствен-
соответственно (рис. 6).
Внутренней и наружной обкладкам конденсатора сообщены
заряды q1 и q2.
Для потока вектора D сквозь поверхность S сферы про-
произвольного радиуса г относительно центра конденсатора,
согласно постулату Максвелла, будем иметь
Рис. 6
§
DndS=q,
(*)
где q — заряд, находящийся внутри этой сферы.
26
Задача чрезвычайно просто решается, если д1 + q2=0,
т. е. обкладки конденсатора заряжены равными по величине
и противоположными по знаку зарядами. В таких условиях
обычно работает конденсатор. Очевидно, область поля
в этом случае будет ограничена проводящими поверхностями
/?j и R2 обкладок конденсатора, по которым распределяются
заряды qx и q2 = — qx, соответственно. Общий заряд рас-
рассматриваемой системы равен нулю.
Для потока вектора D получим
при R1 < r < R2.
В силу симметрии рассматриваемой системы, вектор D
имеет постоянное значение на любой сфере, концентриче-
концентрической с обкладками конденсатора, и нормален к ней. Поэтому
?> = Я=0 при г</?, ,г>/?2;
q
D — eE= 7—^5- при Rj^.r^.R2i
Поле в диэлектрике между обкладками заряженного сфе-
сферического конденсатора имеет ту же структуру, как и поле
точечного заряда, помещенного в центре конденсатора и
окруженного однородным диэлектриком.
На поверхностях обкладок имеем:
D1 — efj —
•= — о,
2»
где "j и о2 — поверхност-
поверхностная плотность зарядов на
обкладках.
В данном случае тол-
толщина обкладок не имеет
значения, так как Е — 0 во
всех точках областей, для
которых г < /?2 и г > R2.
На рис. 7 показана за-
зависимость напряженности
поля от расстояния г.
Как видно из рис. 7,
при -переходе через заря-
заряженную поверхность про-
R2 r
Рис. 7
27

водника напряженность поля терпит разрыв непрерывности
со скачком от нулевого значения до значения, равкого плот-
плотности поверхностного заряда, деленной на диэлектрическую
проницаемость среды, соприкасающейся с поверхностью про-
проводника. Разрыв непрерывности испытывает и вектор индук-
индукции со скачком, равным просто плотности поверхностного
заряда проводника. В дальнейшем будет показано, что уста-
установленные здесь разрывы непрерывности испытывают только
нормальные к поверхности проводника составляющие векто-
векторов Е и D.
Допустим теперь, что сообщенные обкладкам конденса-
конденсатора заряды д1 и д2 таковы, что д1 + д2 =f= 0. Для простоты
расчета положим, что д2 = 0. Рассматриваемая система про-
проводников перестает быть замкнутой, что видно и из посту-
постулата Максвелла
DndS =
при г > R3,
показывающего, что вектор D должен быть отличен от нуля
и вне наружной обкладки конденсатора. Если положительный
заряд был сообщен извне, то вне конденсатора должен
остаться такой же по величине отрицательный заряд. На-
Наружная обкладка конденсатора в данном случае является
изолированным проводником, находящимся во внешнем поле,
создаваемом зарядами gt и <72=~~<7i- Характер этого поля
будет зависеть от расположения заряда д2 относительно
конденсатора. Будем считать, что заряд д2 настолько удален
от конденсатора, что в интересующей нас достаточно боль-
большой области пространства, окружающего конденсатор, поле
не зависит от местоположения заряда д2. Точно так же мы
должны считать, что и все другие! тела настолько удалены
от конденсатора, что можно пренебречь их влиянием на поле
в рассматриваемой области. Практически поставленную
задачу, очевидно, можно решать в абстрактной постановке,
полагая, что заряд д2 = — дг удален в бесконечность и все
внешнее пространство заполнено однородной средой с
диэлектрической проницаемостью е'.
В соответствии с изложенным в рассматриваемой области
поле будет обладать сферической симметрией и для сфер
радиуса г, концентрических с обкладками конденсатора,
б
будем
иметь:
&DndS =
s
D4vr2= ¦
f°
U
I
при
при
при
Ri<r
r>R2
9
<
+
R2 >
d2 =
Область, занятая проводящим шаровым сдоем толщиной d2,
намеренно пропущена, ибо внутри проводника электроста-
электростатическое поле отсутствует, т. е. ?> = 0 и ?"=0. Для того
чтобы согласовать это положение с постулатом Максвелла
<?
DndS =
= 0 при R2 < г < R2 + d2,
следует принять, что на поверхности обкладки r = R2 возни-
возникает заряд д' = — дх, а на наружной поверхности г = /?2 + d2 той
же обкладки возникает заряд д" = + <7i • Возникновение заряда
д" необходимо, так как вследствие д'+ д" = 0 полученный
выше результат применения постулата Максвелла к сфере
радиуса г > R7 + d2 не нарушится. Заряды д' и д" носят назва-
название индуцированных и соответствуют хорошо известному
из курса физики явлению электростатической индукции.
Наличие индуцированных зарядов в полной мере согла-
согласуется с установленным в предыдущей части данного при-
примера разрывом непрерывности нормальных к поверхности
проводника составляющих векторов D и Е. Имеем:
4**з
?> = 0, Е=0 при r<R^ D = eE=
Z) = s'?' = -5Jr при г>/?з =
На рис. 8 приведены за-
зависимости D и Е, от рас-
расстояния г точки наблюде-
наблюдения до центра конденсато-
конденсатора при условии, что е > е'.
Если, воспользовавшись
формально постулатом Мак-
Максвелла, определить Е в лю-
любом слое, считая, что и про-
проводник обладает некоторой
диэлектрической проницае- о
мостью еп, то в любом
слое получим
Е' =
4w*
при R1<r<R,
2;
Рис. 8
28
29

Этот результат будет совпадать с найденным выше, если
мы положим, что диэлектрическая проницаемость провод-
проводника в электростатическом поле бесконечно велика (еп = оо).
Наконец, рассмотрим случай, когда толщина наружной
обкладки конденсатора d2 —»0 (очевидно, толщина внутрен-
внутренней заряженной обкладки не имеет значения). В этом случае
получается новая система зарядов, представляющая собой
поверхность, противоположные стороны которой заряжены
равными по величине и противоположными по знаку заря-
зарядами. Такая система зарядов носит название двойного элек-
электрического слоя. Из рис. 8 видно, что нормальная состав-
составляющая вектора D при переходе через двойной электриче-
электрический слой остается непрерывной. Нормальная составляющая
вектора Е остается непрерывной только в том случае, если
по обе стороны двойного слоя одна и та же среда (е = е').
Если s Ф е', то легко видеть, что нормальная составляющая
вектора Е терпит разрыв непрерывности со скачком, равным
1 1
Пример 2. Сферический конденсатор со слоистым диэлек-
диэлектриком.
Обкладками конденсатора являются проводящие поверх-
поверхности концентрических сфер, радиусы которых равны соот-
соответственно Ron Rn. Пространство меж-
между обкладками заполнено сферическими
слоями диэлектриков, как это показано
на рис. 9. Пусть обкладкам конденса-
конденсатора сообщены заряды q0 — — qn = q.
Для сферической поверхности, прове-
проведенной внутри &-го слоя, с диэлектри-
диэлектрической проницаемостью ek в силу сим-
симметрии имеем
Рис. 9
Отсюда
Максимальное значение напряженности поля в ft-ом слое,
очевидно, равно
F — — 9
макс
30
Если диэлектрические проницаемости и толщины слоев
подобраны таким образом, что eft/?f_i = const, то Ek = const.
Это условие соответствует конструкции сферического кон-
конденсатора с наилучшим использованием диэлектриков.
Пример 3. Поле объемного заряда, распределенного с по-
постоянной плотностью р между двумя концентрическими про-
проводящими поверхностями радиусов Rt и /?2-
На основании рассуждений, подробно изложенных в при-
примере 1, имеем для концентрических сфер радиуса г:
Е= 0 при г < /?,,
где
при
? = у«Р<«!-/??) при г>/?2.
Таким образом,
~ъ\г~~
при
¦ = _?- •
Зе
Л?-Л?
при
Распределение напряжен-
напряженности поля показано на рис. 10.
Пример 4. Поле цилиндри-
цилиндрического конденсатора беско-
бесконечной длины, заполненного
слоистым диэлектриком.
Поперечное сечение кон-
конденсатора показано на рис. 9.
Читателю предлагается само-
самостоятельно показать, что
^4 =
при /?й_, <r<Rk
Здесь принято обозначение линейного заряда г, хотя
в данном случае это есть поверхностный заряд, приходя-
приходящийся на единицу длины внутреннего цилиндра, т. е.
где о — поверхностная плотность заряда.
Условием наилучшего использования диэлектрика в ци-
цилиндрическом конденсаторе будет e^_i == const.
31.

§ 6. Потенциал электростатического поля
Для электростатического поля выполняется следующее
важное положение: циркуляция вектора Е электростатиче-
электростатического поля равна нулю, т. е.
F.1)
где С—произвольный замкнутый контур. Физически это
означает, что работа электрической силы в электростатиче-
электростатическом поле на замкнутом пути всегда равна нулю. Это поло-
положение вытекает из общею закона сохранения энергии, если
учесть, что все свойства электростатического поля и, в част-
частности, распределение энергии в занятом полем объеме пол-
полностью определяются заданным распределением зарядов.
Положим, что некоторая система зарядов, включающая
точечный заряд д, создает в пространстве поле нгпряжен-
ности Е. На заряд q действует сила F=qE.
Если заряд д, перемещаясь по какому-либо пути, возвра-
возвратится в прежнее положение, т. е. совершит движение по
замкнутому пути, то произведенная при этом работа будет:
Действительно, начальное и конечное состояния системы
при этом оказываются совершенно одинаковыми и, следова-
следовательно, энергия поля остается неизменной.
Пусть А и В — две точки поля
(рис. II); на основании F.1) заклю-
заключаем, что значение интеграла
в k
Iе-
dl=U
АВ
F.2)
не зависит от пути интегрирования.
В самом деле, если разбить замкнутый
контур АА'ВВ'А на участки АА'В и
ВВ'А, то
АА'В ВВ'А АА'В АВ'В
.32
ИЛИ
АА'В
АВ'В
Если в качестве конечной точки В взять фиксированную
точку Р, то
F.3)
т. е. интеграл будет являться функцией только координат
точки А.
Функция U(А) называется потенциальной функцией или
потенциалом электрического поля в точке А относительно
точки Р.
Очевидно, такое определение потенциала не является
однозначным, так как зависит от выбора фиксированной
точки Р. Потендиал фиксированной точки Р, согласно F.3),
будет равен нулю, так как
Обычно принимают равным нулю потенциал в точках
поля, бесконечно удаленных от заряженных тел.
Следовательно, потенциал данной точки поля численно
равен работе, которую необходимо затратить для удаления
единичного точечного отрицательного заряда из этой точки
поля в бесконечность.
В практических случаях нулевое значение потенциала
приписывается поверхности земли.
По определению, потенциал является скалярной функцией
координат точек поля. Разыскание этой скалярной' фунмщи
составляет более легкую задачу, чем непосредственное ра-
разыскание векторной функции—напряженности. Поэтому на-
нахождение потенциала является основной задачей расчета
любого электро татического поля. Если потенциал поля
азвестен, то определение величины напряженности поля труда
рже не представляет.
Вернемся теперь к полученному выше выражению F.3).
Будем отсчитывать расстояние от некоторой начальной
точки О; расстояния от начальной точки до точки А и фик-
;ированной точки Р поля обозначим через / и 1р. Тогда
W52.-3
зз

выражение для потенциала точки А может быть записано
в следующем виде:
1р 1р
E-dl~ I Ecosadl.
Отсюда, дифференцируя по нижнему пределу, получим:
F.4)
3U п.
— = — t cos a.
dl
В частности, выбирая направление перемещения совпадаю-
совпадающим с одной из прямоугольных координатных осей х, у, 'z
и учитывая, что а есть угол между направлением вектора
напряженности Е и направлением перемещения (рис. 11), на-
находим:
dU p dU p, dU р /с к\
дх
dz
где Ех, Еу, Ег — проекции вектора Е на оси х, у, z.
Если в формуле F.4) выбрать ос = —, т. е. положить, что
направление перемещения нормально к силовым линиям поля,
то в этом случае будем иметь:
- = 0и U= const.
dl
Таким образом, при перемещении по поверхностям, к ко-
которым силовые линии поля ортогональны, потенциал на каж-
каждой из этих поверхностей остается величиной постоянной.
Такие поверхности носят название поверхностей равного
потенциала или эквипотенциальных поверхностей. При ос==О,
т. е. при перемещении в направлении, совпадающем с на-
направлением силовых линий, изменение потенциала оказывается
максимальным:
f = -Z?. (*)
Изменение потенциала в направлении силовых линий, т. е.
нормальном к эквипотенциальным поверхностям, характери-
характеризуется вектором grad U, имеющим своими проекциями на
dU dU ди
прямоугольные оси х, у, z величины —, — и —•.
дх ду дг
Таким образом,
~
F.6)
34
Если воспользоваться оператором Гамильтона
сооотношение может быть записано так:
то последнее
grad U = ¦
С другой стороны, из F.5) находим
grad ?/=—?.
F.7)
Модуль вектора grad U на основании (*) определяется как
абсолютная величина производной потенциала по направле-
направлению, нормальному к эквипотенциальной поверхности:
|grad?/|= dU
дп
= Е
F.8)
где п — нормаль к эквипотенциальной поверхности.
Из F.8) и F.4) следует, что изменение потенциала в лю-
любом направлении dl определяется выражением
dU ~д?
При известной напряженности поля определение потен-
потенциала поля может быть произведено посредством форму-
формулы F.3). Выбор пути интегрирования в этой формуле произ-
произволен.
Ввиду того, что электростатическое поле в проводящей
среде существовать не может (? = 0), из F.7) вытекает, что
во всех точках проводника потенциал U= const. Следова-
Следовательно, поверхность проводника в электростатическом поле
всегда является эквипотенциальной поверхностью. Так как
эквипотенциальные поверхности ортогональны силовым ли-
линиям поля, то вектор Е нормален к поверхности проводника.
Иначе говоря, тангенциальная составляющая вектора Е на
поверхности проводника равна нулю.
Приведем несколько простейших примеров определения
потенциала по известной напряженности, воспользовавшись
результатами предыдущего параграфа.
1. Потенциал поля, созданного точечным зарядом q, оче-
очевидно, будет
U
со со
/- —»- n Г йг
Е'*1= &)-? =
F.9)
В этой формуле г —расстояние от заряда q до той точки
поля, в которой определяется потенциал.
35

Эквипотенциальные поверхности в данном случае опреде-
определяются уравнением г = const, т. е. являются сферами с центром
в точке расположения заряда д.
2. Потенциал поля тонкого прямолинейного проводника
неограниченной длины, заряженного с постоянной плотно-
плотностью т, равен
U
I
'м
т dr
F.10)
Здесь г — расстояние от оси провода до точки поля, в ко-
которой определяется потенциал, г —расстояние до некото-
некоторой фиксированной точки пространства Р, в которой потен-
потенциал принимается равным нулю.
Из полученной формулы видно, что ?/—»оо при г —» оо.
В дальнейшем мы рассмотрим поведение на бесконечности
потенциала, созданного произвольной системой зарядов, бо-
более подробно. Заметим, что если система зарядов образована
несколькими бесконечно длинными проводниками с парал-
параллельными осями и с плотностями, удовлетворяющими условию
т. е. если суммарный заря т. системы равен нулю, то потен-
потенциал на бесконечности также равен нулю. Действительно,
в рассматриваемом случае потенциал в некоторой точке Р
пространства может быть записан в следующем виде:
где гиг— расстояния до точек М и Р от k-то провод-
ЛПК ГК
ника. Если точка Р удаляется в бесконечность, а сечения
всех проводников плоскостью г = 0 занимают конечную
область на этой плоскости, то, положив
= г + Аг = г
• р Pk р
получим
1=1
36
(lnrp) JJ
Р
п
¦О при г —»оо.
Поэтому при выполнении условия JJ \ = 0 выражение для
потенциала примет вид
Mk
Если точка М удаляется в бесконечность, то аналогично
предыдущему выводу покажем, что при этом ?/—>0.
3. Рассмотрим поле цилиндрического конденсатора, обра-
образованного двумя концентрическими цилиндрами (с радиусами
rj и г2) бесконечной длины.
Напряженность в этом случае '
Е~-^— при г, < г < г.,,
2пег * г 2
где т — поверхностный заряд, приходящийся на единицу дли-
длины внутренней обкладки конденсатора. Внутри внутренней
обкладки (r<rj) Е — 0 и, следовательно, потенциал является
величиной постоянной.
Ниже мы покажем, что при переходе через заряженную
поверхность потенциал не может претерпевать скачков. По-
Поэтому имеем
U =U1 при г Кгх,
где U1 — потенциал внутренней обкладки конденсатора. При
/•j < г < г2 находим разность потенциалов между точками М
и Л, из которых первая находится на расстоянии г от оси
цилиндров, а вторая — на расстоянии г,, т. е. на внутренней
обкладке конденсатора и имеет потенциал U1:
1 2яе J r 2ле Г
г
Полегая г=г2 и учитывая, что при этом U=U2, гДе
U2 — потенциал наружной обкладки, получим:
г-л
Отсюда
и-л-и,
Гц
37

и
In
^-ln^
F.11)
4. В случае сферического конденсатора, образованного
сферами радиуса гг и г2 > гг, аналогично предыдущему найдем:
f/=f/j при г<г1;
и—и - q Cdr
и — ^_/ ^ ¦ — ————— ¦ — —
1 4тге J г3
q
4тсе
где ^ — заряд внутренней обкладки конденсатора.
Так как
то
/ /
1 1
i-UJ-^—f- (Гг<г<г2). F.12)
§ 7. Уравнения Лапласа и Пуассона.
Гармонические функции
Введение скалярного потенциала позволяет вывести урав-
уравнения, составляющие основу математической теории электро-
электростатического поля. Поскольку напряженность электроста-
электростатического поля Е определяется через потенциал U выра-
выражением
=—gradi/.
G.1)
непосредственное нахождение Е может быть заменено отыс-
отысканием потенциала U. Воспользовавшись уравнением D.3) и
G.1), получаем:
div(sgrad60 = —р. G.2)
38
В. частном случае однородной среды с постоянной диэлек-
диэлектрической проницаемостью уравнение G.2) упрощается и при-
принимает вид:
Д?/=-*-, G.3)
где Д?/ез div grad U.
Оператор Лапласа (лапласиан) в декартовой системе коор-
координат равен:
A = JL + JL + Z_. G.4)
дх* ду» dz* v '
Уравнение G.3) носит название уравнения Пуассона.
Если в рассматриваемой области пространства объемные
заряды отсутствуют (р = 0), то из G.2) получаем
sA(/ + v--V^=0. G.5)
Для однородной среды потенциал удовлетворяет уравнению
Лапласа
Ш = 0. G.6)
Уравнения G.2)—G.6), а также и формула G.1), записан-
записанные с использованием операторов векторного анализа, со-
сохраняют свой вид независимо от применяемой системы коор-
координат. Однако в развернутой форме, к которой неизбежно
приходится обращаться при решении конкретных задач, они
получают различный вид в различных системах координат,
так как только в прямоугольных декартовых координатах
х, у, z операторы v» А и div имеют приведенные ранее вы-
выражения.
Решение уравнения Пуассона относительно потенциала U,
очевидно, может быть получено лишь тогда, когда объем-
объемный заряд р и диэлектрическая постоянная заданы как функ-
функции координат точек во всем пространстве. Однако этого
недостаточно для однозначности решения. В простейшем
случае распределения объемного заряда в безграничной одно-
однородной диэлектрической среде необходимым дополнительным
условием является задание поведения функции U на беско-
бесконечности, которое в данном случае оказывается и достаточ-
достаточным для однозначности решения. Если диэлектрическая среда
кусочно-однородная и в ней присутствуют проводники, то
должны выполняться определенные условия на поверхностях
разделов между соприкасающимися друг с другом диэлек-
диэлектриками и на поверхностях проводников. Так например, на
поверхности проводника значение потенциала принимает по-
постоянное значение, поскольку электростатическое поле внутри
проводника отсутствует. Вообще на границах соприкоснове-
соприкосновения между двумя различными средами потенциал и его про-
производные удовлетворяют определенным условиям, которые
39

в дальнейшем будут сформулированы. Здесь же мы подчер-
подчеркиваем, что исследование электростатического поля в общем
случае сводится к решению неоднородных и однородных
дифференциальных уравнений относительно потенциала U
(уравнения Пуассона и Лапласа) при определенных граничных
условиях, т. е. к классу задач, известных в математике под
названием краевых задач.
Б большинстве практических случаев, как это уже отме-
отмечалось, приходится встречаться с рассмотрением электро-
электростатического поля в кусочно-однородной диэлектрической
среде, т. е. в среде, которую можно разбить на конечные
или бесконечно большие области, заполненные однородными
диэлектриками. Внутри каждой из таких областей потенциал
удовлетворяет уравнению Пуассона G.3), если в ней имеются
объемные заряды, или уравнению Лапласа G.6), если объем-
объемных зарядов нет. Таким образом задача сводится к решению
этих уравнений, которое тесно связано с так называемыми
гармоническими функциями. В дальнейшем нам придется
достаточно подробно остановиться на свойствах этих функ-
функций в связи с рассмотрением электростатических задач,
решаемых по методу Грина. Поэтому здесь мы ограничимся
лишь определением гармонических функций и приведем две
из них, носящие название фундаментальных решений урав-
уравнений Лапласа в пространстве и на плоскости.
Рассмотрим некоторую область 1/, которая может быть
внутренней или внешней по отношению к замкнутой поверх-
поверхности S. Пусть N (?, -ц, С) есть некоторая фиксированная
точка этой области, а М (х, у, z) — переменная точка той
же области.
Функцию U, зависящую от положения обеих точек М и N,
называют правильной или регулярной в области V, если
в каждой точке этой области она непрерывна вместе со
всеми своими производными до второго порядка включи-
включительно. Если, сверх того, эта функпия удовлетворяет урав-
уравнению Лапласа, то она называется гармонической в области V.
Введение в определение гармонической функции (потен-
(потенциала) переменной М и фиксированной N точек области
обусловлено зависимостью потенциала поля, с одной стороны,
от точек области, в которых потенциал вычисляется, с дру-
другой стороны,— от фиксированных в пространстве точек рас-
расположения зарядов.
Найдем частное решение уравнения Лапласа G.6) в том
случае, когда потенциал U есть функция только расстояния
г между точками М и N.
Полагая
U=U(r), r= i/ (x - SJ + (y - # -f- (г - СJ,
40
найдем:
c>x dr дх
d4J {x — z
dr r
dr
ax2 dr2 r2 dr r3 ae2
Аналогично выразятся и остальные производные по коорди-
координатам у и z; поэтому
dr2
r dr
= 0.
G.7)
Если потенциал не зависит от одной из координат, на-
например, от координаты z, то аналогичным способом найдем:
G.8)
d3U
-rf- = о.
dr2 r dr
Решение уравнений G.7) и G.8) дает соответственно
где Си
U=Clnr+Clt
произвольные постоянные.
G.70
G.8')
Из полученных решений видно, что функция — , рассмат-
рассматриваемая в пространстве, есть функция гармоническая во
всей бесконечной области V за исключением точки N, так
как при совпадении М с N (г = 0) она обращается в беско-
бесконечность. Эта функция называется фундаментальным реше-
решением уравнения Лапласа в пространстве. Физический смысл
функции — вполне ясен: она определяет потенциал поля
в точке М, обусловленный точечным зарядом величиной 4яе,
расположенным в точке jV безграничной однородной среды
с диэлектрической проницаемостью е.
Если потенциал поля не зависит от координаты z (случай
плоского поля), то роль фундаментального решения уравнения
Лапласа играет функция In г. Физический смысл ее заклю-
заключается в том, что она определяет поле зарядов, равномерно
расположенных вдоль оси z с линейной плотностью т = 2яе
(§ 3, пример 1).
§ 8. Криволинейные координаты
Успех решения краевых задач обычно зависит от выбора
системы координат. Удовлетворить граничным (или краевым)
условиям тем легче, чем проще описываются граничные по-
поверхности поля в выбранной для решения задачи системе
координат.
41

Так, например, если требуется определить поле вне заря-
заряженной проводящей сферы, потенциал которой является вели-
величиной постоянной, то, очевидно, наиболее рациональной
системой координат является сферическая система; уравнение
граничной поверхности (в нашем случае — сферы) описы-
описывается в этой системе уравнением г=const. Если требуется
определить поле вне заряженного проводящего цилиндра, то
наиболее рациональной системой координат является цилин-
цилиндрическая и т. д.
В этом параграфе мы рассмотрим основные криволинейные
системы координат и приведем выражения для оператора
Лапласа, а также дивергенции и градиента в различных си-
системах координат.
В дальнейшем рассмотрены только ортогональные криво-
криволинейные координаты, имеющие наибольшее практическое
значение. Положим, что в данном пространстве можно про-
провести три семейства взаимно ортогональных поверхностей,
таких, что через данную точку данной области проходит
одна из поверхностей каждого семейства. Пусть любая из
поверхностей первого семейства характеризуется определен-
определенным численным значением величины ^ , а второго и третьего
семейства — численными значениями величин v2 и v3. Тогда
в окрестности любой точки области может быть построен
бесконечно малый прямоугольный параллелепипед, образуемый
шестью поверхностями:
dvx, v.2, v2 + dv2, v3, v3
dv3
Рис. 12
Длины ребер параллелепипеда про-
пропорциональны приращениям dv1, dv2,
dv3, причем коэффициенты пропорцио-
пропорциональности в общем случае являются
функциями vlt v2, v3. Таким образом,
длины ребер параллелепипеда (рис. 12)
с?/д = h1d<v1, dl2 = h2dv2, dl3 = h3dv3,
где hx, h2, h3 носят название метри-
метрических коэффициентов (коэффициентов
Ламе). Если U есть некоторая скаляр-
скалярная функция, то составляющие гради-
градиента этой функции по направлениям 1Х, 12, /3 равны:
3L
dl2
dlz
(8.1)
Для вычисления дивергенции вектора А в этих координа-
42
тах применим теорему Остроградского к бесконечно малому
объему W, показанному на рис. 12,
f 6ivAdV= JA-ndS,
где 85 — поверхность, ограничивающая объем bV и я —век-
—вектор внешней нормали к 85.
Поток вектора А через грани OCQB и ADFE равен:
Axdl2dl3 — А\ dl2dl3,
где Ах — среднее значение проекции вектора А на направле-
направление /j на грани OCGB; л! —среднее значение этой проекции
на грани ADFE. Так как при переходе с грани OCGB на
грань ADFE меняется лишь координата х>, (или /j), то поток
через эти две грани равен
-^ (Л ^4^4) dl
Ol
Потоки вектора А через вторую и третью пары граней соот-
соответственно равны
{A2dlxdl3) dl2 =
Of 2
-^- {A3dlxdl2) dl3 = -^- (h
ol3 ovs
dvxdv2dv3,
где Л2 и Л3 —проекции вектора Л на направления 12 и /3
в окрестности точки О (рис. 12).
11ринимая объемный интеграл для бесконечно малого
объема bV равным
f div AdVss div A j dV = div Adlxdl2dl3,
Si/ . 81/
получим:
<**"¦> + -sr{llM) + ^ ft
(8.2)
Заменяя далее вектор Л на ey(J, т. е. полагая по (8.1)
_ е дЦ_ . е_ dU_ . _ _е_ dU_

и приравнивая согласно G.2) div. Л объемному заряду р, взя-
взятому с обратным знаком, получим уравнение Пуассона в коор-
координатах ¦»!, v2, хKпри е = const:
k(j = * Г д / Мз ди\ , _д_ / h,h3 !dU\
hihjia L <М V ^ dvi ) dv2~- \ ft2 [dv2 )
+ -?r(JTL !=-){ = -*- (8-3)
При p = 0 уравнение (8.3) дает уравнение Лапласа для одно-
однородного изотропного диэлектрика.
Величины hj в простейших случаях очевидны из геометрии
системы, но они могут быть подсчитаны и по формуле
где x, у, z— система прямоугольных декартовых координат.
Рассмотрим теперь основные ортогональные системы кри-
криволинейных координат.
1. Цилиндрические координаты. Пусть Р' есть
проекция точки Р (х, у, z) на плоскость 2 = 0 (рис. 13);
тогда г и 9 — полярные координаты точки Р' на этой пло-
плоскости. Переменные
Vl = Г> V2 = <?> ""В = Z
Рис. 13
4А
называются цилиндрическими круговыми координатами. Они
связаны с декартовыми координатами соотношениями:
х = г cos 9, у = г sin 9, z = z.
Координатными поверхностями являются коаксиальные
цилиндры, ортогонально пересекающиеся с плоскостями
Далее имеем:
Поэтому
9 = const и z = const.
dlx = hidvi = dr, h1 = \,
dl2 = h2dv2 = rdy, /z2 = r,
dlz == h3dv3 = dz, hz=\.
cU
dU
Г dlf
lz~oz '
(8.5)
(8.6)
где ij, i2, i3 — единичные векторы, совпадающие с нор-
нормалями к соответствующим координатным поверхностям
•v1== const, "v2 — const, x)g = const и направленные в сторону
увеличения г, <р, z.
Из (8.2) находим:
+ -^-2 + ^-3. (8.7)
Предполагая, что е = const, получим следующее выражение
для лапласиана скалярной функции U:
(8-8)
г дг\ dr
dz*
2. Сферические координаты. Сферические коор-
координаты г, 6 и 9 связаны с декартовыми координатами соот-
соотношениями:
х = г sin Ь cos 9. .У = г sin 6 sin <р, г = г cos в.
Координатные поверхности—концентрические сферы г = const,
пересекаемые меридиональными плоскостями 9 — const и
семейством конусов 6 = const (рис. 14).
Имеем
dlx = h1dvi = dr, hx = 1
dl2 = h2dv2 = rdb, h2 = r
dl3 = h3dv3 = r sin bdf, A8 = rsin
(8.9)
45

Рис. 14
На основании (8.1), (8.2), (8.3) получаем
dU "Г 1 dU -Г 1 дЦ_
L W "*~ 1з/-sine d-f
(8.10)
j
3. Биполярные координаты на плоскости. Пусть
Рг и Р2 две фиксированные точки на плоскости 2 = 0 с коор-
координатами {а, 0) и (—а, 0) соответственно. Произвольная
точка Р(х, у) на плоскости в биполярной системе координат
может быть определена величинами я и р или Е и тд, причем
а = ¦>) и р = тс — ?, где (рис. 15)
Уравнение
a cth aJ + у
2 , 4,2 я-
(8.11)
(8.12)
46
Рис. 15
с параметром о описывает два семейства окружностей с цен-
центрами на оси х, симметричными относительно оси у. Точки
Р] и Р2 соответствуют значениям о = + со; ось у соответ-
соответствует значению а = 0.
Ортогональные к кривым, определяемым (8.12), кривые
также образуют семейство окружностей с центрами на оси_у,
причем каждая из этих окружностей проходит через точки
Р, и Р2. Это семейство определяется уравнением
(8.13)
sin2,
с параметром р, постоянное значение которого соответствует
одной из окружностей. Легко убедиться, что уравнение (8.13)
сохраняет свой вид и по отношению к величине Е = и — р.
47

Для того чтобы однозначно определить координаты про-
произвольной точки Р(а, р) в заданном квадранте, каждую окруж-
окружность C = const) точками Р1 и Р2 разделяют на два сегмента:
верхний — лежащий выше оси х (у>0), и нижний —лежа-
—лежащий ниже оси х (у<0). Дугам верхних сегментов приписы-
приписывают положительные значения р @ < р < я), дугам нижних
сегментов — значения Р' = Р — ^, как это показано на рис. 15.
Положительные направления биполярных координат а, р, z
определяются единичными векторами ix, i2, i3 соответ-
соответственно. Векторы г, и i2 направлены в стороны возрастания
а и Р соответственно, вектор i3 направлен к читателю (рис. 15).
Сгёязь между декартовыми (х, у) и биполярными (а, р)
координатами имеет вид
a sh о a sin {3
ch a -f cos 8
Z = X + /V = Gth
(8.14)
Ch a -f- COS A
a±Jt
2
Подсчет метрических коэффициентов ht по формуле (8.4)
дает
а
1ц = h2
и, следовательно,
ch a + cos
(8.15)
(ch a + cos
~[дх \~
,7)]
.(8.16)
. ch а + cos р / д$\ ch a -f- cos |
В заключение приведем формулу, определяющую расстоя-
расстояние р (Р, Р') между двумя произвольными точками Р и Р'
через их биполярные координаты (а, 8) и (а', р'J)
¦1п2 —
COS Я р - п | а |
COS Яр' -в ! о' j
— Л « — а' |
(8.17)
1) Подробное изложение теории биполярных координат приведено
в книге: Г. Бух го л ьц. Расчет электрических и магнитных полей, ИЛ, 1961,
48
4. Эллиптические координаты на плоскости.
Эллиптические координаты (о, C, z) связаны с декартовыми
координатами равенствами
Z — Z, х + iy = с • ch (a + i|3), 0<a<oo, — тс < P < тс,
? = cha, 7j = cosp. (8.18)
Координатные линии в системе эллиптических координат
представляют собой систему софокусных эллиптических и
гиперболических цилиндров (рис. 16а), определяемых соот-
соответственно уравнениями
Х2
У1
c2sh2a
¦*"
• 1 (а = const),
= 1 (Р = const).
(8.19)
fl'const
Рис. 16 a
Метрические коэффициенты равны
), /z3=l.
(8 20)
Далее получаем
grad U =
с Vch* i - cos3 p V
/Г Й6Г -r.df/
V • da 2 cP
Д-452.-4
49

1
С (Cha a — COS2 P)
["_?. (/Ch2a- cos^-A,) + (8.21)
div A =
Единичные векторы ix и i2 направлены в сторону возрас-
возрастания а и р соответственно.
5. Параболические координаты. Параболические
координаты Е и у связаны с декартовыми координатами соот-
соотношением
х + iy = -| (Е +
или
х =
(8.22)
Координатные линии в системе параболических координат
образуют два семейства ортогональных парабол, соответ-
соответствующих значениям Е = const и t\ = const (рис. 166). Эти
кривые определяются уравнениями
у2 + 2с\2х + с2? = 0, у2 - 2с>з2.х; - сУ = 0.", (8.23)
= const
Рис. 16 б
50
Ф окусы всех парабол находятся в одной точке — начале
декартовых координат х, у. Фокусные расстояния парабол
(• = const и у = const соответственно равны р^== cl2 и р = erf.
Вершины этих парабол лежат на оси х в точках
х = с'а —р* с^ Гг<
i -jf^-J- и \= 2"= Т''
Для однозначного определения произвольной точки Р
в заданном квадранте каждую параболу одного из семейств
следует разделить осью х на две ветви: верхнюю (.у>0),
которой приписывается значение Е (тд) положительное; нижнюю,
которой приписывается значение Е (у) отрицательное. На
рис. 166 такое разделение на ветви сделано для семейства
парабол Е = const. При этом
— ОО<Е<ОО, 0<7J<OO.
Метрические коэффициенты равны
(8.24)
и, следовательно,
div A = —
(8.25)
Единичные векторы ir и i2 направлены в сторону возра-
возрастания Е и тд соответственно (рис. 166) Ч
1 Более подробные сведения о криволинейных координатах имеются,
например, в следующих книгах: Д ж. А. Стрэттон. Теория электромагнетиз-
электромагнетизма. ОГИЗ. 1948, стр. 45—62 и Ф. М. Морен Г. Фешбах. Методы теоре-
теоретической физики, т. 1. ИЛ, 1958, стр. 612—622.
4*

Глава II
ПОТЕНЦИАЛЫ ОСНОВНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
ЗАРЯДОВ И ИХ СВОЙСТВА
§ 9. Потенциал системы точечных зарядов
Выше было показано, что заряд д, расположенный в пус-
пустоте в точке N, обусловливает потенциал поля в точке М,
равный
U-
Потенциал U отличается от фундаментального решения урав-
уравнения Лапласа в пространстве — лишь постоянным множи-
множителем. Поэтому он будет непрерывен со всеми своими про-
производными во всех точках пространства за исключением
точки N. На бесконечности потенциал точечного заряда
1
убывает к нулю как —.
В случае системы точечных зарядов qk, расположенных
в точках Nk, потенциал поля в точке М вследствие линей-
линейности уравнения Лапласа будет
U
4tcs0
4k
Гц
(9.1)
где rk-r-расстояние от заряда qk до точки М. Потенциал U
и его производные, очевидно, непрерывны всюду, за исклю-
исключением точек Nk.
Рассмотрим один частный случай системы точечных заря-
зарядов— диполь, состоящий из двух равных по величине и
52
противоположных по знаку зарядов, расположенных на малом
расстоянии / друг от друга по сравнению с расстоянием этих
зарядов от исследуемых точек поля (см. также § 3, пример
2 при условии, что г, и г2 весьма ве-
велики по сравнению с 2а).
Потенциал диполя в точке М равен
(рис. 17):
Шх,у)
4 те
J 1\ =
Г г' J
V г2 + Р — 2/7 cos <p
\
Введем вектор момента диполя, рав-
равный по модулю р = ql и направленный
по прямой, соединяющей заряды, от
отрицательного заряда к положительному. Выражение для
потенциала диполя запишется тогда в следующем виде:
V
Если расстояние между Нарядами / мало по сравнению с г,
то приближенно выражение для потенциала может быть по-
получено переходом в (9.2) к пределу при / —¦ 0 в предположе-
предположении, что р — момент диполя остается величиной конечной:
4%
lim —
lim
Vr2 + Р — 2л cos ?
!3 — 2/7 cos to — r
4«о /-о irVr*+P-2rlcos 9
Раскрывая неопределенность, после преобразования получим
i
где ^ — угол (р, г), дополнительный до 180° к углу у (рис. 17).
Соответственно, в векторной форме потенциал диполя может
быть записан так:
U = '_
4г. Е0
(9.4)
где Р'Г = prcos (р, г)—скалярноепроизведение векторовр иг.
Из выражения (9.4) следует, что потенциал поля, создан-
созданного диполем, убывает на бесконечности при ф = const как
53

—, в отличие от потенциала точечного заряда, убывающего
1
как —.
г
Особой точкой поля, в которой потенциал обращается
в неопределенность, является точка расположения диполя.
Практически формула (9.4) пригодна для приближенного
вычисления поля диполя конечной длины / на расстояниях
от него г>/. В этом случае интересно обратить внимание
на то, что при удалении от диполя в направлении, перпен-
перпендикулярном моменту диполя, потенциал отличен от нуля, но
убывает как-^-, а именно:
4яе0 Г3
где х — расстояние от диполя до проекции точки М на
направление вектора р.
§10. Потенциал простого заряженного слоя
Положим, что в пустоте задана заряженная поверхность 5
с плотностью заряда о Потенциал, создаваемый элементарным
зарядом dq = adS в точке поля М, находящейся на расстоя-
расстоянии г от элемента поверхности dS, равен
dU=-
Суммарный заряд, создаваемый в точке М всеми элементар-
элементарными зарядами поверхности S, очевидно, равен
U
__ 1 Г a (IS
4rcs0 J Г
A0.1)
где интеграл распространен на всю поверхность S.
Потенциал U, даваемый формулой A0.1), представляет
собой непрерывную функцию координат х, у, z точки М.
Непрерывность потенциала не нарушается и в том случае,
когда точка М расположена на самой поверхности S, но вне
острых вершин на ней, если таковые имеются.
Для доказательства этого положим, что поверхность до-
достаточно гладкая и пересекается любой прямой не более,
чем в двух точках, имея в каждой своей точке касательную
плоскость (так называемая конвексная поверхность). Возьмем
на этой поверхности точку Мо и выберем ее за начало де-
декартовой системы координат (рис. 18). При этом оси х и у
предположим лежащими в касательной плоскости к поверх-
54
м
Рис. 18
ности S, проходящей через точку Мо. Ось z направим по
нормали к поверхности S.
Опишем далее из точки Мо, как из центра, сферу малого
радиуса / и пусть С—кривая, получаемая в пересечении
этой сферы с поверхностью 5 и ограничивающая малую по-
поверхность S'.' Оставшуюся часть поверхности 5 обозначим
через S".
Соответственно разбиению поверхности S на две части,
потенциал точки М также разобьется на два слагаемых:
4та0
С — и U"= -1- Г —
J Г 4яе0 J r
S' S"
Выберем точку Мо таким образом, чтобы отрезок М0М
лежал бы на оси z. Тогда потенциал U" будет непрерывной
функцией координат точки Жив том случае, когда эта
точка, двигаясь по оси г, приближается к точке Мо. Дей-
Действительно, поскольку точка Мо находится вне поверхности
5", потенциал U" не может обратиться в бесконечность.
Для оценки потенциала U' заметим, что если поверхность
S' мала и S — гладкая, то потенциал W с точностью до бес-
бесконечно малых высшего порядка малости можно вычислить
как потенциал плоского круглого диска некоторого малого
радиуса / (рис. 19).
Поэтому можно написать:
4те0 I г 4те0 1 1
•J J J
S' 0 0
о р d pd<(
Так как поверхность 5' мала и по предположению достаточно
гладкая, то плотность зарядов а в любой точке диска мало
55

отличается от некоторой
средней плотности оср . Мола-
гая поэтому о = оср и вынося
оср из-под знака интеграла,
получим:
о о
2е0
A0.2)
Рис. 19
Из последней формулы видно,
что если z—>0, т. е. если
точка М, в которой определяется потенциал, стремится
к заряженной поверхности, то потенциал V стремится к ве-
личине —— I независимо от того, с какой стороны (г>0 или
z<0) точка М приближается к поверхности. Так как потен-
потенциал U", как уже указывалось выше, является непрерывной
функцией и не терпит разрыва при прохождении точки М
через заряженную поверхность, то, очевидно, и полный по-
потенциал U также не терпит при этом разрыва.
Определим теперь напряженность поля в точке М. Нор-
Нормальная составляющая вектора напряженности равна
" дп
или, так как направления нормали и оси z в рассматриваемом
случае совпадают,
Е — ди
11 ~~ дг
Из формулы A0.2) находим, что напряженность поля, обус-
обусловленная зарядами поверхности S', равна
dU>
дг
°СР
2е0
VPT
Отсюда видно, что если точка М стремится к точке Мо на
заряженной поверхности так, что при этом z—>0 и z > 0, то
ср
Если же, напротив, при стремлении точки
М к Мо будет z-+ 0 и г < 0, то
fe)
ср
2е0
Очевидно, что напряженность поля, обуслов-
обусловленная зарядами поверхности S", остается
непрерывной при переходе через заряжен-
заряженную поверхность. Поэтому, приняв неко-
некоторое направление нормали к поверхности,
например, как указано на рис. 20, получаем,
что по одну сторону поверхности в непо-
непосредственной близости к ней нормальная напряженность
может быть записана в виде:
п)
Рис. 20
№) = Е" + —,
" " 2г0'
а по другую сторону — в виде:
i р"
A0.3)
A0.4)
В последних формулах Е"п означает напряженность, обуслов-
обусловленную зарядами поверхности S", а о означает плотность за-
зарядов в точке Мо, от которой средняя плотность оер поверх-
поверхности S' по предположению отличается мало.
Из формул A0.3) и A0.4) следует, что при переходе точ-
точки М, в которой определяется напряженность, через поверх-
поверхность S нормальная составляющая напряженности претер-
претерпевает скачок, равный
A0.5)
Соотношение A0.5) можно записать в следующем виде:
\ дп )(е) ес,
A0.6)
при этом касательная составляющая напряженности остается
непрерывной. Действительно, так как потенциал U не пре-
претерпевает изменения при переходе точки М через поверх-
поверхность, то для двух близких друг к другу точек по одну
и другую сторону поверхности получаем (рис. 21):
Отсюда
(

или
(e)
(
\ dl
A0.7)
Последнее соотношение и означает равенство касательных
составляющих напряженности по обе стороны заряженной
поверхности:
Ер=Ер. A0.8)
В заключение рассмотрим поведение потенциала заряженной
поверхности на бесконечности.
(е)
Рис. 21
Рис. 22
Выберем некоторую систему координат и обозначим
через р расстояние от начала координат до некоторой точки
поверхности N с координатами (Е, ¦/}, С). Расстояния от точ-
точки N и от начала координат до точки М (х, у, z), в кото-
которой определяется потенциал, обозначим, соответственно,
через г и R.
Из рис. 22 следует, что
где —1<6<1.
Поэтому потенциал точки М может быть записан в сле-
следующем виде:
/у—_!_ С adS — х Г adS
S S
или
t/
4яе0 J R L /? + вР J
58
Если поверхность имеет конечные размеры, то |6|<1,
Р<Рмакс. и при /?—> со имеем:
im[l в?_1
1
и, соответственно,
limU= lim
j 4 7te0 /?
: = 0,
где q — суммарный заряд.
Таким образом, потенциал заряженной поверхности убы-
убывает на бесконечности как — .
R
. dU ¦ dU
Аналогично можно показать, что производные , ,
дх ду
dU n
— также стремятся к нулю при R—*со и притом так, что
r>2 dU гл dU r,2 dU
R ——, R ——, R остаются величинами конечными.
дх ду дг
§ 11. Потенциал двойного заряженного слоя
Рассмотрим две поверхности Sx и S2, во всех точках по-
подобные друг другу и расположенные на расстоянии h друг
от друга.
Положим, что поверхности заряжены с поверхностными
плотностями о и —о соответственно.
Если h—>0 и при этом lira ha==-q остается величиной ко-
нечной, то обе поверхности переходят в одну поверхность S,
покрытую слоем диполей, оси которых нормальны к поверх-
поверхности.
Элемент dS поверхности 5 создает момент, равный dp =
= afidS. Заряды поверхности 5 могут быть охарактеризо-
охарактеризованы плотностью распределения моментов диполей, равной
й-»о dS л-»о (IS л—о
Потенциал dUM в точке М (рис. 23), созданный элементом
dS, равен на основании (9.3):
dUM =
dS.
Суммарный потенциал в точке М, созданный всей поверх-
поверхностью S, равен
iS. A1.1)
59
"м =

Будем в дальнейшем рассматривать потенциалы в точках М,
в окрестности которых поверхность S конвексна, а плот-
плотность распределения диполей tj является непрерывной во
всех точках поверхности S.
Если описать из точки М сферу ? радиуса г и построить
из точки М, как из вершины, конус с малым телесным углом
при вершине dm, то этот конус вырежет из описанной сфе-
сферы ? и поверхности 5 элементарные поверхности r2dm и dS
(рис. 24).
Рис. 23
Рис. 24
Так как с точностью до бесконечно малых высшего по-
порядка проекция поверхности dS на сферу Е равна r2dm, то
r2dm = cos &dS,
dm =
COS
r2
db.
Поэтому потенциал UM согласно A1.1) принимает следующий
вид:
UM = — fijrf». A1.2>
"~° s
Потенциал двойного заряженного слоя
может быть представлен и в иной форме.
Будем перемещать точку N (рис. 25)
по нормали к поверхности S. Тогда с
точностью до бесконечно малых выс-
высшего порядка получим
dr= — dn cos <Ь,
дп
cosfr = 1_ дг_ = _д_ / J^\
rs г2 йп дп \ г )'
60
Из A1.1) находим:
Так как функция — представляет собой гармоническую функ-
функцию во всем пространстве, за исключением точек поверх-
поверхности S, то, учитывая, что
T.JLAJL
J дп \ г
S
4те0
приходим к выводу, что потенциал двойного слоя является
гармонической функцией во всех точках пространства, за
исключением точек поверхности S.
Вычисление &U производится по координатам точки М,
от которых ни пределы интегрирования (S), ни величина 7j
не зависят, тогда как г является функцией координат и точ-
точки М, и точки N.
Рассмотрим теперь частный случай, когда плотность рас-
распределения диполей -ц есть величина постоянная, а поверх-
поверхность 5—замкнута.
Тогда из формулы A1.2) находим:
/*"
Если точка М, в которой определяется потенциал, рас-
расположена внутри поверхности S, то телесный угол «в, под
которым усматривается поверхность S, равен 4я. В том
случае, когда точка М расположена вне поверхности S,
этот угол равен нулю.
Поэтому
U _\ ~ч1еа если точка расположена внутри S,
М~\ 0 „ „ вне 5.
Таким образом, при переходе точки М через поверхность
потенциал UM совершает скачок от значения UM = Ut = —
ео
к значению UM = Ue = 0. Величина скачка, следовательно,
равна
Ue-Ut = -^-. A1.4)
Покажем теперь, что формула A1.4) определяет скачок
потенциала при переходе через двойной слой и в том слу-
случае, когда поверхность S не замкнута. Действительно, не-
61

замкнутая поверхность 5 может быть сделана замкнутой
прибавлением произвольной поверхности S'.
Внутри полученной поверхности потенциал вновь будет
равен —, а вне ее — нулю. Но составляющая U' потенциала
U от слоя S очевидно непрерывна при переходе через S' и,
следовательно, весь скачок обусловлен зарядами поверхно-
поверхности 5.
Рассмотрим, наконец, общий случай, когда плотность -ц
является функцией точки на поверхности S. Проведем около
произвольной точки Л^ на поверхности 5 окружность радиуса р,
настолько малого, что на площади круга плотность nj можно
считать постоянной и равной щ. Потенциал U в окрестности
точки N может быть разбит на две части: часть V от ма-
малого круга и часть V" от остальной поверхности. Потенциал
U", очевидно, непрерывен в точке N. Потенциал U' испыты-
испытывает скачок, равный ——. Поэтому и суммарный потенциал
ео
U испытывает тот же скачок——.
Отсюда следует, что формула A1.4) остается в силе и при
переменной плотности tj, если для определения скачка по-
потенциала брать в качестве /j ее значение в точке перехода
через поверхность.
Нетрудно убедиться в том, что нормальная составляю-
составляющая напряженности остается непрерывной при переходе
через двойной слой. Применим для этого теорему Гаусса
к небольшому цилиндру, основания которого расположены
на разных сторонах слоя и параллельны ему, а боковая по-
поверхность нормальна слою.
Так как полный заряд в цилиндре равен нулю, то
где S — поверхность малого цилиндра.
Часть этого интеграла, отвечающая боковой поверхности,
етремится к нулю при стремлении к нулю высоты цилиндра.
Принимая основания цилиндра настолько малыми, что на-
напряженности на них можно считать постоянными, получим:
ЕПв-ЕЯ1=0, A1.5)
т. е. при переходе через двойной слой отсутствует разрыв
у нормальной составляющей напряженности (см. § 5, при-
пример 1).
Касательная составляющая напряженности, напротив, ис-
испытывает скачок при переходе через двойной слой. Действи-
62
тельно, рассмотрим два близких направления по обе сторо-
стороны от поверхности 5 слоя (рис. 26). Скачок потенциала
между точками 1 и 2 равен
Если Д/— длина пути вдоль поверхно-
поверхности, то в точке 3 плотность диполей
будет равна -ц + ~ Д/, и разность потен-
потенциалов между точками 4 и 3
Рис. 26
61 J
На основании тождества
(jU2 _ и,) + (?/3 - Щ + (и4 — ^з) + (^i — ид = О,
получаем
или
Д/
dl
Пределы разности потенциалов равны касательным состав-
составляющим напряженности на внешней и внутренней сторонах
поверхности, соответственно взятым с обратными знаками:
lim
М
дг-о
Д/
Поэтому
Et -Et. =-L
dt
A1.6)
и скачок касательной составляющей напряженности при
переходе через двойной слой определяется скоростью из-
изменения плотности диполей в точке перехода через слой.
Рассмотрим, наконец, поведение потенциала двойного
слоя на бесконечности.
Из представления потенциала в форме A1.1) вытекает,
что
Если р и R означают, соответственно, расстояния от произ-
произвольно выбранного начала координат до точек поверхности 5

и до точки поля, в которой определяется потенциал, то,
очевидно,
где
-1<6<1 и 47teo|L/|<| Ttj
s
Отсюда находим
ds
I/
by<ts
-Pi ' (Я-PiJ '
где Tjj и р, — максимальные значения tj и р.
Из последнего соотношения следует, что
где JV=
— абсолютная величина суммарного мо-
мента всех диполей, распределенных на поверхности S.
Так как, по предположению, геометрические рашеры по-
поверхности и плотность распределения по ней момелтов ди-
диполей ограничены, то величина N является конечной. Отсюда
следует, что
hm\U\ = O,
причем так, что lim/?2|?/| остается величиной конечной.
/?-кх>
Аналогично можно показать, что и первые частные про-
производные потенциала, а следовательно и напряженность поля,
также стремятся на бесконечности к нулю, причем так, что
llm/?3 остается величиной конечной.
Сравнение результатов настоящего и предыдущего пара-
параграфов показывает, что система, имеющая суммарный заряд,
равный нулю, создает потенциал и напряженность поля,
убывающие на бесконечности быстрее, чем потенциал и на-
напряженность, созданные системой неуравновешенных зарндов.
В качестве примера ни идем потенциал двойного слоя, соз-
созданный диполями постоянной плотности, распределенными
64
по круглому диску радиусом R. Определим распределение
потенциала по оси г,-воспользовавшись формулой A1.1):
4ле0 J r2
Из рис. 27 следует, что в данном случае cos <!* = —.
Поэтому, учитывая, что vj=const, получим: '
U _, yt г jts_
4 ™о J гя
Рис. 27 Рис. 28
Введя на плоскости диска полярные координаты р и <р, най-
хем:
2л R
~ ГС
° JJ
о и
2e0J {p2 f
ли
Г 1
I- R* +
2^0
при z > 0.
(И.7)
1з последней формулы, в частности, следует, что
Urn ?/=-
г—0
2е0 '
152.-5
65

т. е. скачок потенциала при пересечении двойного слоя равен
—, как и было получено выше в общем случае. Произ-
?о
водная потенциала по z, т. е. нормальная составляющая на-
напряженности поля, остается, как видно из A1.7), непрерыв-
непрерывной функцией при переходе через слой.
На рис. 28 приведено распределение потенциала поля по
оси z.
§ 12. Потенциалы объемных зарядов
и объемно-поляризованной среды
Как уже отмечалось выше, в ряде случаев, когда в не-
некотором объеме V находится достаточно большое число
элементарных зарядов, так что понятие объемной плотности
зарядов
р == lim -_!_L
имеет смысл, дискретное распределение зарядов может
быть заменено непрерывным распределением. Потенциал
в некоторой точке поля в пустоте будет при этом опреде-
определяться, очевидно, формулой
_4«oJ r
где г — расстояние от точек пространства, занятых объем-
объемными зарядами, до точки поля, в которой определяется по-
потенциал.
Покажем, что потенциал, созданный объемными зарядами,
и его первые частные производные конечны и непрерывны
во всем пространстве, включая и область, занятую зарядами,
если только плотность р и ее производные конечны и не-
непрерывны.
В том случае, когда точка М, в которой определяется
потенциал, находится вне объема V, — это очевидно, так
как при этом г=?0. Если же точка М находится внутри
объема V, то примем ее за начало сферических координат;
тогда
dV=r2;
4яе0 J г 4та0 J
V V
Поэтому при г—>0 потенциал U остается конечным при
условии конечности плотности зарядов р.
Аналогично можно показать непрерывность и конечность
первых производных потенциала, т. е. напряженности поля.
66
Имеем, например (учитывая, что от координат точки М
зависит только г),
dz
= -±- fpAf±W=__L_ C±.*LdV =
4яе0 J dz\r/ 4ъ% J r2 dz
V
= — fJ_Atfy = _L_ С р
4га0 J i* r 4t:s0 J V
V V
6 sin
Очевидно, это выражение остается конечным и непрерывным
при переходе через поверхность, ограничивающую область
распределения объемных зарядов.
Вторые производные потенциала при переходе через эту
поверхность испытывают скачок, подобный скачку плот-
плотности заряда р. Действительно, в области, где объемные
заряды отсутствуют, сумма вторых производных потенциала
(лапласиан) равна нулю, а в области их наличия, согласно
уравнению Пуассона, равна—JL.
Ео
Поэтому сумма вторых производных потенциала при пе-
переходе через поверхность, ограничивающую область распре-
распределения зарядов, испытывает скачок, равный —.
Во всех рассмотренных выше случаях предполагалось,
что заряды не влияют на состояние окружающей их среды.
Последнее, строго говоря, справедливо лишь тогда, когда
средой является пустота. Если же средой, окружающей за-
заряды, является какой-либо диэлектрик, то поле зарядов по-
поляризует его. Эффект поляризации выражается в том, что
в объеме среды возникают диполи с моментами р, различными
в различных точках среды. В результате этого на поле задан-
заданных зарядов накладывается поле поляризационных зарядов.
Рассматриваемый диэлектрик можно заменить пустотой,
присоединив к заданным зарядам поляризационные заряды.
Встречается различная терминология для обозначения
зарядов, внесенных извне в рассматриваемую среду (пока
мы их называли заданными), и для обозначения за-
зарядов, определяющих поле поляризапии диэлектрика (эти
заряды мы назвали поляризационными). В § 1 вно-
вносимые в среду заряды были названы свободными
или истинными. Оба названия имеют известное ос-
основание. Действительно, эти заряды свободны в том
смысле, что они не входят в состав среды (хотя в ди-
диэлектрике они перемещаться не могут), и истинны в том
смысле, что только в присутствии их существует поле, ко-
которое мы изучаем. Поляризационные заряды называют фик-
фиктивными или связанными. Эти названия объясняются
5* 67

тем, что введением векторов Е, D и диэлектрической про-
проницаемости среды существование составляющих среду заря-
зарядов просто исключалось из рассмотрения и в этом смысле они
становятся фиктивными. Название связанный соответствует
тому, что они входят в состав среды и, следовательно, свя-
связаны друг с другом, хотя в пр воднике имеются электроны,
способные, с точки зрения электростатики, свободно переме-
перемещаться по проводнику, и явление электростатической индук-
индукции можно характеризовать как способность проводника пол-
полностью поляризоваться, что обусловливает полное исчезно-
исчезновение поля внутри проводника: это обстоятельство позволяет
трактовать проводник как среду, обладающую бесконечно
большой диэлектрической проницаемостью. Потенциал, обус-
обусловленный фиктивными зарядами, называется потенциалом
объемно-поляризованной среды.
Если число диполей в объеме диэлектрика достаточно
велико, то дискретное их распределение может быть заме-
заменено непрерывным распределением с объемной плотностью
моментов диполей, определяемой выражением
= llm
8 V
Здесь ]? pt—сумма векторов моментов диполей, заключен-
заключенных в объеме 81/. Вектор Р носит название вектора поляри-
поляризации и является функцией точки объема, занятого поляри-
поляризованным диэлектриком.
Потенциал, созданный элементом объема в некоторой
точке М(х, у, г), согласно (9.4), равен
dU=—(~P-—')dV,
4я?0 \ г3 У
а потенциал, созданный всем объемом диэлетрика, равен
1
Рг
4-е„ v г3
dV.
A2.2)
Последнему выражению можно придать несколько иной вид.
Для этого вычислим градиент функции — но координатам
точки NE, v), С), которые определяют распределение фик-
фиктивных зарядов и по которым производится интегрирование
в выражении A2.2). Так как
68
ТО
а-?-
г
1дг х — с
— а —
_?_ у— 1) . Г_ 2— С
hj Г* ' СС Г3
Поэтому
N г г3 г3 г!
=_!_ feiLdV=s-L- fp.v±dV.
4ле0 J ^ 4тао J r
С другой стороны, справедливо следующее соотношение
— = P-grad i_ + — - div P,
r r r
которое становится очевидным, если записать его в виде
Отсюда находим:
Pv— = div
г г г
Подстановка последнего выражения в формулу для потен-
потенциала дает:
f
4та0 J Г
V
Далее, согласно теореме Остроградского, имеем:
Cu
u\y-P7dV=
V S
где Рп — составляющая вектора поляризации, нормальная
к поверхности S, ограничивающей поляризованный диэлек-
диэлектрик.
Поэтому окончательно выражение для потенциала объем-
объемно-поляризованной среды может быть записано в следующем
виде:
U
\ Г* Р 1 /* div /^
dV.
A2.3)
69

Из A2.3) следует, что потенциал объемно-поляризованной
среды представляется в виде суммы потенциалов, из кото-
которых один обусловлен поверхностными зарядами, распреде-
распределенными на поверхности, ограничивающей объем поляризо-
поляризованного диэлектрика, с плотностью зарядов о' = Рп, а дру-
другой обусловлен объемными зарядами, заключенными внутри
объема диэлектрика и имеющими плотность р' = — div Р.
Если в диэлектрике имеются истинные объемные заряды
с плотностью р, а на его поверхности — истинные поверх-
поверхностные заряды с плотностью о, то такой диэлектрик экви-
эквивалентен пустоте, в которой имеются объемные заряды
с плотностью р" = р + р' и поверхностные заряды с плот-
плотностью о' = о + о'.
В рассмотренном выше случае предполагалось, что поля-
поляризованный диэлектрик находится в пустоте. Если же ди-
диэлектрик соприкасается с другим ди-
диэлектриком, то на поверхности их
раздела возникают фиктивные заря-
'п ды, обусловленные поляризацией обо-
обоих диэлектриков. Плотность фиктив-
фиктивных поверхностных зарядов на гра-
Pe^~divPe нице раздела двух диэлектриков при
направлении нормали к границе, ука-
Рис. 29 занном на рис. 29, равна
о' = (РХ — (РХ- A2.4)
Выше мы видели, что заряженные поверхности являются
особенными для напряженности поля в том смысле, что при
переходе через эти поверхности напряженность претерпе-
претерпевает скачок.
Из изложенного в настоящем параграфе следует, что осо-
особенными поверхностями для напряженности будут не только
физически заряженные поверхности, но и границы раздела
диэлектриков с наведенными на них фиктивными зарядами.
Покажем теперь, что путем введения вектора смещения
при исследованиях поля в диэлектрике как фиктивные за-
заряды, так и вектор поляризации исключаются из рассмотре-
рассмотрения. Опыт показывает, что в однородном изотропном диэлек-
диэлектрике вектор поляризации Р колинеарен с вектором напря-
напряженности Е, т. е.
70
где а — коэффициент поляризации или электрическая воспри-
восприимчивость вещества.
Тогда
Б =
Р = (е0 + а)Е= е?,
где е = е0-г а — диэлектрическая проницаемость диэлектрика.
Найдем теперь каким условиям удовлетворяет вектор
смещения D. Имеем
div D = е0 div Е + div Р = р" — р' = р.
Поэтому divD определяется только истинными зарядами.
Скачок вектора смещения на заряженной поверхности ра-
равен (рис. 29)
(РХ - (РХ = ео Шг\ ~ (?„),] + (P,,)i - (РХ = °" - о' = о.
Скачок вектора смещения также определяется только истин-
истинными зарядами. Поэтому на границе раздела диэлектриков,
не содержащей истинных зарядов, будет
Эти поверхности не являются, таким образом, особыми для
вектора смещения, но являются особыми для вектора на-
напряженности. Выше было получено, что в случае однород-
однородного диэлектрика (е = const)
div D = div eE = e div E = p.
Если истинные объемные заряды отсутствуют, то
divD=divf = 0.
Следовательно, и divP = 0.
В этом случае потенциал поля во всем пространстве
удовлетворяет уравнению Лапласа
Двух векторов Е и D вместе с их связью друг с другом
через диатектрическую проницаемость достаточно для пол-
полного макроскопического описания электростатического поля
как в однородном, так и в неоднородном диэлектрике. Этим
обстоятельством мы и пользовались в гл. I, введя вектор D
с помощью постулата Максвелла. Приведенная в данном
параграфе трактовка поведении диэлектрика во внешнем
электрическом поле поясняет физический смысл явления и
71

происхождение вектора D. Кроме того, существуют методы
решения электростатических задач, в которых фиктивные
заряды широко использ\ ются (§ 47).
§ 13. Формулировка электростатической задачи
Приведенные выше результаты позволяют вычислить по-
потенциал в любой точке поля, если задано распределение
зарядов и поляризация диэлектриков.
Однако на практике обычно рассматриваются электро-
электростатические задачи в присутствии проводников, поверхности
которых являются естественными границами электростатиче-
электростатического поля, поскольку внутри проводников оно существо-
существовать не может. Таким образом, поверхность проводника
всегда является эквипотенциальной, т. е. в любой ее точке
потенциал имеет постоянное значение. Соответственно этому
распределяется заряд по поверхности проводника и, следо-
следовательно, этот заряд является также искомой функцией.
Поэтому при постановке электростатической задачи обычно
задаются потенциалы проводников или их полные заряды.
В рассмотренных ра1 ее примерах это обстоятельство и об-
обусловленные им трудности не выявились по той причине,
что рассмотренные системы проводников обладали сим-
симметрией, позволявшей заранее знать характер поля. А именно,
во всех примерах было ясно, что вектор D постоянен на по-
поверхности проводников и нормален к ним, что, очевидно,
соответствует равномерному распределению заряда по по-
поверхности проводника.
Точно так же в общем случае не может быть задана
поляризация диэлектрика, поскольку она является функцией
самого искомого поля. Вектор поляризации Р может быть
вычислен после того, как найдено поле в любой точке ди-
диэлектрика, который в процессе решения задачи трактуется
как среда, обладающая диэлектрической проницаемостью е.
Обязательно должно быть задано распределение истин-
истинных зарядов в диэлектрике, ибо они являются внешними
источниками искомого поли, и их распределение совершенно
не зависит от поля. Эти заряды могут быть представлены
в виде точечных, объемных с плотностью р и поверхност-
поверхностных с плотностями а (простой заряженный слой) или t\ (двой-
(двойной заряженный слой).
Установленные выше свойства потенциала и векторов
поля в обыкновенных и особых точках поля, а также на
бесконечности позволяют дать достаточно общую формули-
формулировку электростатической задачи.
72
При этом будем предполагать, что диэлектрики являются
однородными изотропными и все источники поля располо-
расположены на конечном расстоянии от начала отсчета.
1. Во всех точках поля, не лежащих на граничных по-
поверхностях и не занятых внешними источниками, потенциал
должен удовлетворять уравнению Лапласа Д?/=0.
2. Потенциал U непрерывен всюду, включая границы
диэлектриков и проводников, кроме поверхностей с двой-
двойными заряженными слоями.
3. Потенциал U конечен всюду, за исключением точек
местонахождения точечных зарядов, введенных в задачу
в качестве внешних источников.
4. Нормальная составляющая вектора смещения при пере-
переходе через заряженную поверхность, разделяющую два ди-
диэлектрика, терпит разрыв непрерывности
(Dn)e - (Д,Х- = - ., {—) +
)е ш, (
где ое/ — поверхностная плотность истинного заряда; нор-
нормаль направлена в среду е.
5. Внутри проводника напряженность равна нулю, а по-
поэтому внутри и на поверхности проводника потенциал по-
постоянен.
6. На поверхности раздела между проводником (i) и ди-
диэлектриком (е) нормальная составляющая вектора смещения
равна плотности распределения зарядов о по поверхности
проводника
где « — внешняя нормаль к поверхности проводника.
7. Потенциал поля является функцией, регулярной на
бесконечности.
Математически решение электростатической задачи при
задании потенциалов на проводниках сводится к нахождению
функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона и прини^
мающей на границе области заданное значение. Эта задача
носит название первой краевой задачи, или задачи
Дирихле.
В большинстве случаев решение электростатических за-
задач встречает значительные трудности. В дальнейшем (§ 21)
будет показано, что решение, удовлетворяющее уравнению
Пуассона или Лапласа и сформулированным выше условиям,
есть всегда единственное решение. Однако единого метода
решения электростатических задач, одинаково пригодного
для всех задач, не существует. Поэтому для различных ти-
типов задач применяются специальные методы решения.
73

Глава III
ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
И УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
§ 14. Энергия электростатического поля
Рассмотрим сначала простейший случай электростатиче-
электростатического поля, образованного в пустоте некоторой системой
точечных зарядов. Для того чтобы создать это поле, необ-
необходимо затратить определенную работу. Можно считать,
что работа, необходимая для создания поля, затрачивается
при перенесении каждого из зарядов в место его располо-
расположения из бесконечно удаленной области пространства и
идет на преодоление сил взаимодействия между зарядами.
Эта работа является мерой энергии, запасенной в электро-
электростатическом поле.
Из определения потенциала поля следует, что если поле
содержит (п — 1) зарядов, то для внесения в него п-го заряда
необходимо затратить работу, равную
где ?/„_,—потенциал первых (п — 1) зарядов в той точке
пространства, куда должен быть помещен дополнительный
заряд qn, т. е.
Un_1 — —— 1 Ь ... -1
rn-i.n
Здесь гы — расстояния от зарядов qt (i=l, 2,..., п—1) до
дополнительного вносимого в поле заряда qn.
Суммарная энергия поля, образованного последователь-
последовательным внесением в него а зарядов, будет
W = V
h-\Qk-
74
Поскольку
k—1
1=1
то последнее выражение может быть записано так:
п k-l
w = —!—
4
k=i
1, 3 2. 3
+
Sqflu == * | gi
гш 4га^ I '*,, 2
г г г I
1, 4 2. 4 3, 4 /
.
42
Г2.»
1,2 2, 3
, 1-2 , Ч
2, Я
Г\, З
Г1.я
'2,3 ' 4, 3
. 42 +
Г%п
Гп,3 I
n—1, я
A4.1)
В последнем выражении Ut означает потенциал в точке,
в которой находится заряд qt. Он определяется всеми заря-
зарядами поля за исключением заряда qt.
Вычислим теперь электростатическую энергию через ве-
величины, которые макроскопически характеризуют электри-
электрическое состояние вещества. Такими величинами являются
объемная и поверхностная плотности зарядов, векторы
Е и D. При этом мы сможем найти важное для практиче-
практических приложений выражение электростатической энергии си-
системы заряженных проводников.
Положим, что внутри диэлектриков заряды распределены
с некоторой объемной плотностью р, а на поверхностях
раздела диэлектриков и на поверхностях проводников —
с поверхностной плотностью а. Пусть потенциал, создаваемый
в точке (х, у, z) этой области данным распределением заря-
зарядов, равен U. Работа, которую необходимо совершить для
75

увеличения заряда в этой точке на dq, равна U dq. Если
увеличение заряда обусловлено увеличением объемной плот-
плотности в данной точке на величину dp, то необходимая для
такого увеличения плотности работа равна
UdpdV,
где dV — элемент объема. Увеличение плотности объемных
зарядов в каждой точке области V на величину dp потре-
потребует затраты работы, равной
= Г Ud9dV.
v
С другой стороны, увеличение заряда на величину dq
в точке (х, у, г) увеличит потенциал во всех точках поля
на величину di/, в результате чего энергия зарядов, уже
находящихся внутри V, увеличится на
dW= С pdUdV.
v
Поэтому можно написать
dW = i. С (Udp + pdU) dV = 1 Г d (Up) dV,
v v
что после интегрирования дает
W=-fUpdV.
A4.2)
Аналогично можно показать, что, если бы, кроме объемных
зарядов, были бы и поверхностные заряды, распределенные
с плотностью о на особых поверхностях S, то общее выра-
выражение для затраченной работы или приобретенной энергии
в процессе заряда системы будет
w = -
± f
UodS.
A4.3)
Покажем теперь, что энергия A4.3) может быть выражена
через напряженность поля. Для этого вспомним, что
P = div5, o = (Dne)e + (Dn)it
где, во избежание путаницы в знаках, пе и щ — внутренние
нормали (рис. 30).
76
Поэтому
W=— f(J4lvDdV +
2J
v
Но так как
div (UD) =
то
Рис. 31)
Udiv D = div (LTD) -D^U=uiv (UD) + E-D
W
= | fdiv {UD) dV + ± f (E-D)dV
v
+
Далее, согласно теореме Остроградского, находим:
Где ? _ поверхность, ограничивающая объем V, за исклю-
исключением особой поверхности 5 (рис. 30). Предполагая, что об-
область V простирается до бесконечности, находим:
= - (j) U[(Dn)e + (Dn|\] dS
В последнем соотношении S'i и Si — поверхности, беско-
бесконечно близкие к S; поверхность S2 ~ бесконечно удаленная
поверхность, охватывающая всю область V. Нормали л
в интегралах по поверхностям S'i, ?1 и ?2 должны быть
выбраны внешними по отношению к областям, ограниченным
ими, как это показано ка рис. 30. Интеграл по бесконечной
поверхности ?2 равен нулю в силу принятых условий пове-
77

дения U и D на бесконечности. Подставляя теперь полу-
полученное выражение для
Г div (UD)dV
в выражение энергии (*), найдем:
A4.4)
Если вектор смещения параллелен вектору напряженности,
то
W
= CeE2dV.
A4.5)
Полученные выражения можно трактовать следующим обра-
образом: в каждом элементе объема dV находится количество
энергии, равное
dW= у (E-D) dV = - еЕ2dV,
т. е. считать, что все пространство, занятое полем, запол-
заполнено энергией с некоторой объемной плотностью
A4.6)
W— — ¦ — — Е .
Из выражения A4.3) легко получается выражение для
электростатической энергии системы заряженных проводни-
проводников. Если объемных зарядов нет (р = 0), то, обозначив через
qt полный заряд на /-ом проводнике
и учтя постоянство потенциала U, в любой точке проводника,
из A4.3) получаем
W =?=¦
(Н.7)
В отличие от формулы A4 1), здесь Ul — потенциал г-го
проводника, обусловленный зарядами всех проводников сис-
системы, включая и собственный заряд г-го проводника. Получен-
Полученные выражения позволяют доказать следующие основные
теоремы об энергии электростатического поля.
Теорема (Томсона). Заряды, находящиеся на системе за-
заданных проводников, погруженных в диэлектрик, распреде-
78
лятся по поверхности этих проводников таким образом, что
энергия получившегося в результате электростатического
поля будет минимальной.
Теорема (Ирншоу). Заряженные тела, находящиеся в элек-
электростатическом поле, не могут удерживаться в состоянии
устойчивого равновесия под действием одних только электри-
электрических сил.
Теорема. Введение незаряженного проводника в поле
заданной системы зарядов уменьшает полную энергию поля.
Доказательства этих теорем можно найти в книге:
Дж. А. Стрэттон. Теория электромагнетизма, ОГИЗ, 1948,
стр. 103—112.
§ 15. Потенциальные коэффициенты
Потенциальные коэффициенты дают связь между потен-
потенциалами и зарядами в произвольной системе проводников.
Пусть имеется система ив п проводников, погруженных
в изотропный диэлектрик, и пусть срДл:, у, 2) есть потенциал
системы для случая, когда i-ый проводник имеет потенциал,
равный единице, а все остальные проводники — потенциалы,
равные нулю. При этом
Е, = - у?,,
и, кроме того, вне проводников
А =
div Д = div еД = — div е^ = 0.
Имея решение задачи в случае, когда на поверхности i-ro
проводника потенциал равен единице, а на поверхности осталь-
остальных проводников — нулю, можно вычислить заряд каждого
из проводников. На k-ом проводнике этот заряд равен:
h^fDindS. A5.1)
sk
Заметим, что величины pw зависят исключительно от геомет-
геометрических свойств проводников; п — внешняя нормаль к по-
поверхности проводника.
Решение общей задачи при произвольных потенциалах на
проводниках может быть получено наложением (принцип су-
суперпозиции) найденных выше частных решений. Если потен-
потенциалы проводников равны Uo то поле в этом случае будет
определяться потенциалом
A5.2)
79

Действительно, на поверхности ft-ro проводника потенциал
U обращается в заданный потенциал Uk, так как все потен-
потенциалы <P[(i=f=k) равны нулю, а <рА = 1.
Кроме того,
div D = div гЕ = —
=-div eV ? ?/#?/ =
1=1
= — 2 uidiv evT,- = 2 uidiv Di=o-
Следовательно, потенциал U удовлетворяет уравнениям поля
и краевым условиям задачи. Поэтому U, действительно, яв-
является потенциалом поля и при этом полученное решение,
как будет показано в дальнейшем, является единственным1).
Заряды на каждом проводнике при произвольном задании
потенциалов на всех проводниках определяются следующим
образом:
п
/п ле_ С ди ле— V /; Гс^Р/ .с_
J дп /=, J дп
sk sk sk
п п
= 2t/, CD^dS^^U,. A5.3)
r=l •/ /=1
Величины р№ определяемые выражением A5.1), называются
коэффициентами электростатической индукпии — собственны-
собственными при i = ft и взаимными при I ф ft. По определению, коэф-
коэффициент ря есть количество электричества, которое находится
на i-ou проводнике, если потенциал его равен единице, а все
остальные проводники заземлены.
Коэффициент ри есть заряд на ft-ом проводнике, если по-
потенциал ?-го проводника равен единице, а остальные провод-
проводники (включая и ft-й) заземлены.
Коэффициенты электростатической индукции %ы имеют раз-
размерность емкости.
Полагая в A5.3) ft = l,2,...,«, мы получаем систему из п
уравнений, связывающих заряды и потенциалы проводников;
:=1, 2, 3, .... п.
A5.4)
1) См. § 21.
80
Эта система может быть разрешена относительно потенциа-
потенциалов Ut, что\дает
ft=l
где
,, i=l, 2,... , я,
Pll> Г12> • ¦ • j Pin
A5.5)
a A/ft — алгебраическое дополнение определителя Д, отве-
отвечающее элементу §1к.
При этом очевидно Д ф 0, так как система уравнений A5.4)
не может содержать линейно зависимых уравнений.
Уравнения A5.4) и A5.5) носят название электроста-
электростатических уравнений Максвелла.
Величины alk называются потенциальными коэффи-
коэффициентами — собственными при i = ft и взаимными при i=j= ft.
Покажем теперь, что коэффициенты alk и рй симметричны
относительно индексов, т. е. ай==ак, Рй = Ры- Пусть вначале
все проводники не заряжены и имеют потенциал, равный нулю.
Если на первый проводник внести заряд qx, оставив осталь-
остальные без зарядов, то потенциал первого проводника станет
равным lf\==o.nqi, а потенциалы всех остальных проводников
будут Uk = ак1^1 (^ = 2, 3, ... , п). Необходимая для этого
работа равна энергии W\ полученного распределения зарядов,
которая по A4.7; равна
После этого доведем заряд второго проводника от нуля до q2r
причем на первом проводнике остается заряд ди а на всех
остальных (начиная с третьего) — заряды, равные нулю. После
зарядки второго проводника до значения заряда q <q2 потен-
потенциал его станет равным
Поэтому при сообщении второму проводнику дополнитель-
дополнительного элементарного заряда dq мы совершим работу
Д-452.-6
81

Следовательно, полная работа, необходимая для того, чтобы
зарядить второй проводник до заряда q2, равна
ClAdq =
Таким образом, энергия рассматриваемой системы проводни-
проводников с зарядами ql и q2 будет:
W' = W\
+ a21 qyq2 + ~
Очевидно, что мы могли бы начать зарядку не с первого, а
со второго проводника, и тогда получили бы энергию, равную
W" = W\ + Wl = -j- auq\ + al2Qlq2 + ,-|- a22q\ .
Так как оба значения энергии относятся к одному и тому же
состоянию, то они должны совпадать друг с другом, т. е.
должно быть W = W". В силу произвольности зарядов ql и q2
отсюда вытекает, что я12 = а21- Продолжая эти рассуждения
для любой пары проводников, аналогично убедимся, что и во-
вообще <*ik = aid- Но если определитель, составленный из коэф-
коэффициентов аш, симметричен, то и обратный ему определитель,
составленный из коэффициентов j3№, также симметричен, т. е.
Pi* = hi-
Полученные результаты можно сформулировать следую-
следующим образом (теорема взаимности):
1. Если заряд на i-ом проводнике, равный единице (все
остальные проводники не имеют заряда), вызывает на &-ом
проводнике потенциал <*ik, то заряд, равный единице, на &-ом
проводнике (все остальные проводники не имеют заряда)
вызывает на i-ом проводнике тот же потенциал <*м — <*ы-
2. Если потенциал, равный единице на i-ом проводнике
(все остальные проводники заземлены), индуктирует на &-ом
проводнике заряд рй, то потенциал, равный единице на &-ом
проводнике (все остальные проводники заземлены), индукти-
индуктирует на i-ом проводнике тот же заряд Р№ = ?й.
Для коэффициентов aik и ^ справедливы следующие нера-
неравенства
«/,>«*> 0, Рй>0, ?Л<0, |рй|>|Р«|. A5.6)
Действительно, положим, что в системе п проводников i-ый
проводник имеет заряд qt, а остальные проводники — заряды,
равные нулю. Тогда потенциалы проводников будут
Uk = аыЙ1, k=\, 2, ... , re.
Так как при положительном заряде qt все потенциалы поло-
положительны, то «и = aik > 0.
Очевидно, что в рассматриваемой системе проводников
максимальный потенциал будет иметь заряженный проводник;
следовательно, а„ > alk.
Если положить, что в той же системе п проводников i-ый
проводник имеет потенциал Ut, а остальные проводники за-
заземлены, то заряды проводников будут
% = №. А = 1, 2, .... п.
Так как заряд i-ro проводника должен иметь знак, совпадаю-
совпадающий со знаком потенциала этого проводника, то (Зи > 0. Ин-
Индуктированные же заряды всегда будут иметь противополож-
противоположные знаки; поэтому рй < 0. Наконец, очевидно, что по абсо-
абсолютной величине индуктированный заряд не превышает индук-
индуктирующий заряд и, следовательно, | ри | > | рй |. Знак равенства
относится к тому случаю, когда &-ый проводник целиком
охватывает г-ый.
Из свойств симметричности коэффициентов аш и рй отно-
относительно своих индексов вытекает следующая теорема (Грина):
если проводники при зарядах на них qt имеют потенциалы Uit
а при зарядах q\ — потенциалы U], то справедливо следующее
соотношение:
A5.7)
Действительно,
(=1
Но так как «№ = <»fa-, то отсюда непосредственно следует A5.7).
Равенство A5.7) может быть использовано для определе-
определения индуктированных зарядов на заземленных проводниках.
При помещении точечного зарядаl) q вблизи заземленного
проводника в некоторой точке М на проводнике появится
индуктированный заряд qv Величину заряда q1 можно опре-
определить из формулы A5.7), если известен потенциал U'M точки
М в том случае, когда заряд в ней отсутствует, а потенциал
проводника равен U'. Из A5.7) находим:
») Для применимости уравнений A5.4) и A5.5) и формулы A5.7) под точеч-
точечным зарядом следует понимать заряженную проводящую сферу, радиус ко-
которой пренебрежимо мал по сравнению с расстояниями между зарядом и
проводниками.
6*
83

и, следовательно,
JM
U'
В качестве примера определим заряд, индуктированный на
проводящей сфере радиуса R точечным зарядом q, помещен-
помещенным в точке М на расстоянии h > R от центра сферы. Если
заряд q отсутствует, а потенциал сферы равен U', то потен-
потенциал в произвольной точке г > R будет
где г — расстояние от центра сферы, А — постоянная. Полагая
r = R, найдем А = U'R; поэтому
41 - h ¦
Если положить теперь, что точка М находится между двумя
проводниками, один из которых расположен целиком внутри,
другого, и известен потенциал в этой точке в том случае,
когда потенциалы проводников равны U\ и й, то при зазем-
заземлении проводников заряды q1 и q2, индуктированные на них
точечным зарядом в точке М, определяется согласно A5.7)
из соотношения
qU'ju + qiUi + q2U'2 = 0.
Но при заземленных проводниках по теореме Гаусса находим
Ч + Чх + Ча = 0.
Решение полученных уравнений относительно ql и q2 дает:
q=q4izlk ди'*~ и'м
U[ — U2' 2 U'2 — Ux"
Так, например, если точка М находится между двумя зазем-
заземленными концентрическими сферами радиусов R1 и R2, то
потенциал в этой точке при отсутствии заряда q будет
JM
где г— расстояние точки М от центра сфер, А и В-
ные. Отсюда находим:
постоян-
84
Вернемся теперь к рассмотрению системы A5.4):
k=l,2,..., п.
Прибавив к левой и правой частям этого выражения одну
и
и ту же величину t/ft5I Р/и» получим:
п я
- р«) (им - и,).
Обозначим
Тогда
Чн= I
»=1 (=1
h+t См(ик-Щ. A5.8)
Величины Cfeft и Сы называются частичными емкостями про-
проводников. Ckk есть собственная частичная емкость на землю
проводника в данной системе, когда все проводники находятся
под одним потенциалом. Сы = Сш есть взаимная емкость между
i-ым и k-ъш проводниками данной системы. Все частичные
емкости Сы— существенно положительные величины и зави-
зависят только от геометрических свойств системы.
В соответствии с формулой A5.8) для определения какой-
либо частичной емкости Сы достаточно определить заряд qt
на i-ом проводнике, если все проводники, кроме fc-го зазем-
заземлены, а &-ый проводник имеет некоторый потенциал Uk.
Тогда
г - q'
Так как Сы = Сш очевидно, что
'Ы
и',
где q'k — заряд на &-ом проводнике в том случае, когда все
проводники, кроме i-го, заземлены, а г ый проводник имеет
потенциал ?/,-.
' 85

Уравнения Максвелла A5.4) и A5.5) имеют особенно ши-
широкое практическое применение в расчетах, связанных с проек-
проектированием длинных линий (линии передачи электрической
энергии, линии связи, радиотехнические фидеры), конструктив-
конструктивное оформление которых обычно позволяет легко вычислить
коэффициенты alk.
В § 16 приводятся примеры расчета этих коэффициентов
для длинных линий. Там же через потенциальные коэффици-
коэффициенты находятся некоторые важные в практическом отношении
параметры длинных линий.
§ 16. Емкости простейших систем проводников
В данном параграфе сначала приведены выражения для
емкостей плоского, цилиндрического и сферического конден-
конденсаторов, на которые в дальнейшем придется неоднократно
ссылаться. Для получения этих выражений,^ сущности говоря,
нет необходимости в использовании электростатических урав-
уравнений Максвелла. Применение последних будет иллюстри-
иллюстрировано примером вычисления емкости длинных линий.
]. Плоский конденсатор. Пусть 5 —площадь каж-
каждой пластины конденсатора и d— расстояние между ними.
Если пренебречь краевым эффектом (учет его влияния см. §31),
то для напряженности поля между пластинами будет иметь
г- U-, — и* U
где U— U1 — U2 — разность потенциалов между пластинами.
С другой стороны, при указанном допущении Е= — =-2-
где о — плотность заряда и q — заряд на одной из пластин.
Поэтому — =-3- и, следовательно, емкость конденсатора
равна
U
d
¦2. Цилиндрический конденсатор. Обозначим: а—
наружный радиус внутреннего цилиндра, Ь — внутренний ра-
радиус внешнего цилиндра и / — длина цилиндров; цилиндры
концентрические. Если пренебречь краевым эффектом, то
на основании результатов, полученных в § 6 (пример 3), имеем:
ч и
86
откуда
С =
In
3. Сферический конденсатор. Если а —наружный
радиус внутренней сферической обкладки и b — внутренний
радиус внешней сферической обкладки (сферы концентриче-
концентрические), то на основании результатов, полученных в § 6 (при-
(пример 4), находим
4Ь
Ь-а "
Формулы для емкостей плоского и цилиндрического кон-
конденсаторов, полученные без учета краевого эффекта, прибли-
приблизительно справедливы, если линейные размеры пластин пло-
плоского конденсатора велики по сравнению с расстоянием между
пластинами и если длина цилиндрического конденсатора ве-
велика по сравнению с разностью между радиусами цилиндров.
Эти формулы становятся достаточно точными без указанных
ограничений, если применены защитные кольца.
4. Емкость воздушных длинных линий. В пер-
первом приближении эти линии представляют собой систему па-
параллельных цилиндрических проводников круглого сечения,
диаметр которых мал по сравнению с расстоянием между
проводами, которое в свою очередь весьма мало по сравне-
сравнению с длиной проводов.
В этом случае собственные и взаимные потенциальные
коэффициенты (на единицу длины линии) определяются по
формулам:
1 , _ Ihi
а.. =
A6.1)
где ht — средняя высота /-го провода над землей1}, г, — радиус
i-ro провода2', ^ — расстояние между i-ыи и &-ым провода-
проводами, Dik — расстояние между i-ым проводом и зеркальным
изображением в плоскости земли ?-го провода (очевидно
aik =
ы> Ео = чк— —-диэлектрическая проницаемость воздуха).
ODTC Л1
1) Если приближенно считать поверхность земли плоской, а кривую про-
проема кс ~Ь 2ЛМИН
веса провода — по закону параболы, то Л,- - ——Ц- -— .
о
2) Для многожильного витого провода г,- в» —- , где d — внешний
диаметр провода.

Приближенные формулы A6.1) при указанных выше усло-
условиях и ht > rt могут быть получены из точного решения для
поля между двумя параллельньми цилиндрами, приведенного
в следующем пункте данного параграфа.
Здесь мы приведем очень простой вывод их, правда, не
вполне корректный. По определению, например, коэффициенты
ап находятся при условии, что qx^=0, q2 = q3=...=qn = 0
и все провода изолированы. Тогда
FT 11 * О Q "
cVj = ^2i^7j, ^i ^^ ^/i^7ii ' ^^ ^» ^, • • • , ^«
Присутствие в поле первого провода изолированных *и не-
незаряженных проводов, диаметры которых весьма малы по
сравнению с их взаимными расстояниями и высотами подвеса
над землей, практически не влияет на это поле. Влияние по
верхности земли, которая предполагается плоской, учитывает-
учитывается зеркальным изображением (см. § 33) в ней заданной си-
системы проводов. Таким образом, потенциал поля первого
провода в любой точке над поверхностью земли определяется
как потенциал поля двух проводов, несущих заряды qy и — ql
на единицу длины, причем поверхность земли является пло-
плоскостью симметрии, потенциал которой равен нулю.
Воспользовавшись общей формулой для потенциала систе-
системы параллельных линейных зарядов (§ 6, пример 2), получаем
2та0 'м
где гм и г'м — расстояния до произвольной точки М поля над
поверхностью земли от оси первого провода и от ее зеркаль-
зеркального изображения соответственно.
Действительно, на поверхности земли при гм = г'м имеем
U=0. Кроме того, U согласно § 7 удовлетворяет уравнению
Лапласа и является гармонической функцией для плоского
поля. В силу теоремы единственности (§ 21) это и будет ре-
решением задачи.
Потенциал первого провода U1 приблизительно определим,
положив r'M = 2ht и гЛ1 = г1. Потенциал I-го провода 1]1AфХ)
найдем, положив r'M = Dn и rM = dn. При этом получаем фор-
формулы A6.1), так как <хп = —' и ап = ' .
В качестве простейшего примера рассмотрим двухпровод-
двухпроводную линию, провода которой имеют один и тот же радиус (г),
подвешены на одинаковой высоте от земли (й) и на расстоянии
s друг от друга. Уравнения A5.5) в этом случае имеют вид:
A6.2)
88
Положим, что провода находятся под напряжением, рав-
равным друг другу по величине (U), но противоположным по
знаку. Тогда q2 = — qx и вместо A6.2) имеем
Рабочая емкость такой линии, очевидно, равга
q, 1 1 _
С =
li + Я32 — 2*i2 • («11 — «1!
7С6О
1
A6.3)
г~
X 'Ч:
Г 1-
2ft/
так как
2ft
2ft
Если высота проводов над землей много больше расстоя-
расстояния между проводами, то (-^-Л С 1 и приблизительно1}
A6.4)
Уравнения потенциальных коэффициентов Максвелла хотя
и являются справедливыми лишь для электростатического поля,
однако могут быть использованы и при вычислении емкостей
трехфазной линии в том случае, когда частота напряжения
не слишком велика. При этом под q и U в этих уравнениях
следует понимать комплексные амплитуды зарядов и фазовых
напряжений.
В качестве более сложного примера рассмотрим трехфаз-
трехфазную линию электропередачи. Как и в предыдущей задаче,
будем считать, что три провода линии имеют одинаковые
радиусы (г), подвешены на одной и той же высоте над зем-
землей (й) и расстояние между соседними проводами равно s.
Такое расположение проводов обычно применяется на линиях
высших классов напряжения C30—500 кв).
') Относительная погрешность приближенной формулы A6.4) по сравне-
сравнению с более точной формулой A6.3) при s^ft не превышает 2°/о.
89

Для определения комплексных амплитуд зарядов qu q2 и q3
по заданным напряжениям на проводах Ux, U2 и Ог (рис. 31),
используя уравнения в форме A5.4), имеемх):
f
Рис. 31
A6.5)
где
"И 2 2
021 а22 а23
а31 а32 аЗЗ
а Д/л> — алгебраическое дополнение определителя Д, отвечаю-
отвечающее элементу аш. В нашем случае, кроме того, ап = а22 = о3,,
И ° а
= °21 = а32 = а
а23-
21 32 23
Помимо системы уравнений A6.5), можно записать, оче-
очевидно, и другую в форме A5.8):
д\ = Сп
С12 (О, - О2) + Сп ф, - О3),
q\ = C2l(U2-Ux) + Cn• U2
9з = С31 (Оа - ?/,) + С32 (U3
23
С33
U3),
A6.6)
выраженную через частичные емкости Сш, которые всегда
положительны и обладают свойством Сй = Сы. Последняя
система может быть легко преобразована в следующую, если
в каждом уравнении объединить члены при Uu U2 и О3.
(С
12
Я2
С1а) Ог - C12U2 - С13О3,
С12иг + (С12 + С22 + С23) U2 - С23й3,
С13?/, - С23^2 + (С13 + С23 + С33) Оа. .
A6.7)
Сравнивая между собой системы A6.5) и A6.7), получаем:
^12 ~ ~~ Pl2» Q3 = Pl3> Q3 — ~ РгЗ' Ql = Рп + Рй + Pl3»
Q2 = Pl2 + ?22 + ?23> С33 = Р3, + ^32 + Э33.
В симметричном трехфазном режиме фазовые напряжения
сдвинуты друг относительно друга на 120°. Задаваясь порядком
чередования фаз, при котором напряжение Ul опережает U2,
') Точка над буквой указывает, что рассматривается комплексная ампли-
амплитуда величины, обозначенной данной буквой.
90
а О3 отстает от U2, для средней фазы из A6.7J получаем сле-
следующее значение ее рабочей емкости
.2ч
4з- = С2 = Сп + С22 + С23 — С12-е
¦С23е
A6.8)
Из последнего соотношения видно, что заряд q2 и напряже-
напряжение U2 находятся в фазе из-за равенства частичных емкостей
Наоборот, легко показать, что заряды qx и q3 не совпадают
по фазе с напряжениями Ох и U3.
Обозначив через у —угол сдвига между qx и Vv из пер-
первого уравнения системы A6.7) получим
С,2 + С,з
Г
Вычисление модуля правой части приводит к следующей
приближенной формуле
где
A6.10)
является полной эквивалентной емкостью фазы 1, вычислен-
вычисленной в пренебрежении сдвигом между qx и С/1 (т. е. при
С12==С13). Из формулы A6.9) видно, что при c>2~Cl3 .^0,1,
что обычно имеет место на воздушных высоковольтных ли-
линиях, С, отличается от С\ не более, чем на 0,5%. Следова-
Следовательно, с достаточной для практики точностью полные экви-
эквивалентные емкости проводов в трехфазном режиме можно
вычислять по формулам A6.8) и A6.10). Очевидно, что
С2 > Cj, a Cj = С3.
Для полностью транспонированной линии средняя емкость
провода относительно земли может быть найдена значительно
проще.
С этой целью введем усредненные значения потенциаль-
потенциальных коэффициентов:
собственных
91

взаимных
Gt =
а12
а23
Записывая теперь уравнение Максвелла для любого из
проводов (при таком рассмотрении заряды на всех трех про-
проводах будут, очевидно, равны по модулю) в форме A5.5),
получаем:
U2 = aqx + а0д2 -}- oq3 = (а0 — о) д\,
откуда искомая средняя емкость равна
~ 1
In
/2s3 /
2Л
Для рассматриваемой линии (рис. 31)
¦ DI2 = D23 = W + Bh)\ Dl3 = VW
поэтому
3
A6.11)
В том случае, когда s <Х h, т. е. когда можно пренебречь
влиянием земли, получаем
In
у
3 -
У 2 s
Влияние земли обычно невелико и составляет не более 3%
при s<h.
Легко проверить, что средняя емкость С и емкости С,, С2
и С3, рассчитываемые по формулам A6.8) и A6.10), связаны
между собой следующим приближенным равенством
5. Емкость между двумя неконцентрически-
неконцентрическими цилиндрами. На основании результатов, полеченных
в § 3, пример 3, можно найти потенциал поля между двумя
параллельными линейными зарядами, плотности которых равны
по величине и противоположны по знаку.
92
циал поля будет
Имея в виду, что
н 2те /-1
г, = т'' (x-\-af + y2, r2 = V (x — ay + yr,
нетрудно проверить, что для Ьх = — и ty = ——- по-
получатся выражения, совпадающие с приведенными в § 3,
пример 3.
Поверхности постоянного потенциала определяются урав-
уравнением
— = k == const
ИЛИ
Это есть уравнение окружностей, радиус которых R вы-
вычисляется по формуле
г> 2afe
я центры которых лежат на оси jc в точках
Сечение эквипотенциальных поверхностей показаны на
рис. 5, б пунктирными окружностями. Эти окружности орто-
ортогональны сплошным окружностям, представляющим силовые
линии поля.
Так как поверхность проводника всегда является эквипо-
эквипотенциальной поверхностью, то замена любой эквипотенциаль-
эквипотенциальной поверхности проводящей поверхностью не изменит струк-
структуры поля.
Таким образом, если заданы два неконцентрических ци-
цилиндра радиусов /?, и R2 с расстоянием D между их осями
и несущими заряды + х на единицу длины, то вычисление
поля между ними сводится к вычислению поля между разно-
разноименными линейными зарядами, расположенными соответ-
соответствующим образом относительно осей цилиндров. Поскольку
потенциал найденного таким способом поля удовлетворяет
93

уравнению Лапласа и принимает постоянное значение на
ограничивающих поле поверхностях проводников, это реше-
решение будет единственным.
На рис. 32, а, б показаны два возможных случая распо-
расположения цилиндров.
У
ь »
'2
((
\
/1 1 /<¦
¦—
Рис. 32
Согласно полученным выше формулам, в обоих случаях
расположения проводящих цилиндров имеем
\хс |
С, I
откуда следует
1-*?! |i-*?|
0 1» ^2 ~ .
(а)
и = Я1 — ЛТ = «2 — /?2 , (б)
ИЛИ
(h1-ha)(hl + hJ = Rl-/8. (в)
С другой стороны, при расположении цилиндров согласно
рис. 32, а
и согласно рис. 32, б
94
К + Л2 = ?>,
Л, - Л2 = D.
(г)
(Д)
Совокупное решение уравнений (в) и (г), а также (в) и
(д) приводит к одному результату
(е)
2D
Теперь нетрудно определить а по формуле (б) и, нако-
наконец, kx и &2 через D, R1 и R2, которые обычно задаются.
1) kx > 1 и Л2< 1. В этом случае на основании формул
(а) получаем
2) ftj < 1, ^2 > 1- При этом
Далее
Для емкости на единицу длины в обоих случаях будем
иметь
^ т 2ice
-U.
In —
(и)
В случае 1) при /?1 = /?2 =
и ?, « — ж — , k2 « — « — . Следовательно,
имеем D = h1+h2~2a
В случае 2) и концентрических цилиндрах D = hx — Л2=0,
«j, й2 и а стремятся при этом к бесконечности, т. е. — и
и R
— также стремятся к бесконечности. Поэтому kx ¦-> -1-
k2-^А и
2 2я
/^ __
1п
95

§ 17. Механические силы, действующие на проводники
в электростатическом поле1)
Предположим, что мы имеем систему п изолированных
заряженных проводников. В этом случае заряд каждого из
них не меняется при перемещении проводников. Пусть,
далее, положение всех п проводников определяется т неза-
независимыми обобщенными координатами (/и<я)Аг. Например,
в простейшем случае электроскопа обобщенной координатой,
однозначно определяющей положение проводников, будет
угол между его листочками В случае абсолютного электро-
электрометра Томсона такой координатой является расстояние меж-
между пластинами плоского конденсатора, составляющего его
главную часть.
На каждый из проводников, входящих в систему, будут
действовать некоторые механические силы, подобно тому,
как на точечный заряд действует сила дЕ, где ?—напря-
?—напряженность поля, в которое помещен точечный заряд.
Воспользовавшись этим определением силы, которое соот-
соответствует закону Кулона, можно найти выражение для силы,
действующей на проводник, находящийся в электростати-
электростатическом поле. Если о — плотность поверхностного заряда про-
проводника, то величина edS представляет собой заряд, прихо-
приходящийся на элемент поверхности проводника dS. Так как
поле существует только вне проводника и, следовательно,
действует только на внешнюю сторону элемента dS, для
силы dF получаем выражение
dF = — E<=dS.
Ввиду того, что вектор Е перпендикулярен поверхности
проводника, сила dF всегда направлена по внешней нормали
п к элементу dS от поверхности проводника независимо от
знака заряда о. Сила, отнесенная к единице поверхности
проводника, очевидно, будет
Эта сила совпадает по размерности и величине с плот-
плотностью энергии поля непосредственно у поверхности про-
проводника и в системе единиц СИ выражается в —— •
м3
Полная сила,' действующая на проводник,
м3
?=
f
5
где S — поверхность проводника 1} .
Более универсальные выражения для сил, действующих'
на проводники в электростатическом поле, можно получить,
воспользовавшись (как это делается в механике) определе-
определением силы или момента, стремящихся произвести изменение
какой-либо обобщенной координаты как производной электро-
электростатической (потенциальной) энергии системы по этой коор-
координате.
Предположим, что какой-либо проводник несколько пере-
перемещается в соответствии с существующими в системе свя-
связями. Перемещение заряда, связанного с проводником, вле-
влечет за собой изменение энергии. Если перемещение совер-
совершается против действующих на проводники сил поля, то
энергия системы увеличивается и увеличение ее равно затра-
затраченной при перемещении работе внешних сил. Напротив,
если перемещение совершается под действием сил поля, то
работа их равна соответствующей убыли электростатической
энергии. Если dA — работа сил поля, a dW — соответствую-
соответствующее изменение электростатической энергии, то
Но так как энергия рассматриваемой системы согласно A4.7)
и A5.5) 1
ft, /=i
а заряды qi предполагаются неизменными, то
dS
2s
A7.1)
О^Сила, действующая со стороны поля на проводник, названа «механи-
«механической» в том смысле, что она стремится вызвать перемещение заряжен-
заряженного проводника.
96
1) Механические силы имеют место и на границе раздела между двумя
диэлектриками с различными диэлектрическими проницаемостями. Однако
«с определением мы не будем заниматься. См., например, В. С м а й т
Электростатика и электродинамика, ИЛ, 1954.
W52.-7 97

где индекс q у производных
dW
указывает, что дифферен-
дифференцирование энергии производится при неизменных зарядах.
Величины
(%) A7.2)
носят в механике название обобщенных сил. В примере
с электроскопом обобщенной силой является момент закру-
закручивающей пары; в случае абсолютного электрометра Томсо-
на — сила притяжения между пластинами конденсатора.
Покажем теперь, что
_fdW\ _fdW\
\ dh )g~\ dh /и'
т. е. что вычисление обобщенной силы Ft может быть произ-
произведено либо путем вычисления производной — W по X, при
постоянных зарядах, либо путем вычисления производной W
по X, при постоянных потенциалах проводников.
Энергия системы заряженных проводников может быть
записана в одном из следующих видов:
q),
1=1
=U7(X'Q)t
k=l
A7.3)
A7.4)
A7.5)
В этих выражениях a.ik и р№ являются функциями только
от обобщенных координат 1{.
Вычислим теперь полные дифференциалы W, пользуясь
каждым из написанных выше выражений. Имеем:
1=1
1=1
1=1
98
Но из A7.4) находим:
Из A7.5) аналогично найдем:
1=1
Учитывая последние соотношения и комбинируя выражения
для полных дифференциалов энергия, найдем:
(dWK + (dWJ -
т
или
iZ\ ]Л|==0.
Так как, по предположению, координаты лг представляют
собой независимые друг от друга переменные, то все вели-
величины dkt произвольны, и из полученного выражения следует,
что
F = _ BЖ\ = (dw\
1 \ д\г )а \ дЦ )и '
Заметим, что если, измеряя силы, действующие между про-
проводниками, мы берем не изолированную систему с постоян-
постоянным на каждом проводнике зарядом, а систему, в которой
внешними источниками поддерживаются постоянными потен-
потенциалы проводников, то, очевидно, нельзя уже считать, что
работа сил Ft производится только за счет энергии W.
Вычислим энергию, которая заимствуется от внешних источ-
источников.
Увеличение заряда
7*

на величину^, происходящее при постоянных потенциалах
Ut при перемещениях проводников на d\, будет:
1=1 1=1
Работа, необходимая для увеличения заряда &-ого провод-
проводника на dqk при постоянном значении его потенциала Uk,
равна
п т
Работа, необходимая для поддержания неизменными потен-
потенциалов всех проводников, равна
Сравнивая это выражение с выражением для энергии в виде
A7.5), видим, что
k=i
Эту энергию расходуют внешние источники, и эту энергию,
естественно, приобретает сама система. Однако силы Ft
сами производят работу, равную
7=1
т. е. в два раза меньшую, чем система получает от внешних
источников. Таким образом, при поддержании потенциалов
постоянными система при бесконечно малых перемещениях
d^t приобретает энергию
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Для оценки порядка величины механических
сил определим напряженность поля у поверхности провод-
проводника, при которой сила, отнесенная к единице поверхности
проводника, достигает величины нормального атмосферного
100
давления р = 1,033
= 105 дин).
Имеем
см?
= 1,033 • Ю5~ A н (ньютон) =
откуда, полагая s = е0 = 8,85 -10 12 —, получим
?¦2 =
2 • 1,033 • 106
8,85 ¦ 10
-12
2- 101
1.4.108-?-.
м
Если проводник имеет форму шара радиуса 10 см и рас-
расположен в достаточном удалении от окружающих провод-
проводников, то для получения такого градиента у его поверхности
потенциал шара должен быть равен приблизительно четыр-
четырнадцати миллионам вольт. Отсюда ясно, что при обычно
встречающихся градиентах рассматриваемые механические
силы весьма малы. Заметим, что пробивной градиент воздуха
при нормальных атмосферных условиях Env =3 • 104 в/см, т. е.
примерно в 50 раз меньше полученного.
Пример 2. Определить силу притяжения между обкладка-
обкладками плоского конденсатора, пренебрегая краевым эффектом.
В силу указанного пренебрежения краевым эффектом по-
поле в конденсаторе считаем равномерным. Если площадь каж-
каждой пластины равна 5, то, очевидно, сила притяжения будет
Воспользуемся теперь выражением для силы через энер-
энергию. Энергия, запасенная в поле конденсатора,
W = — CU2,
где С = емкость конденсатора, U—разность потен-
потенциалов между обкладками и d — расстояние между ними,
являющееся единственной обобщенной координатой рассмат-
рассматриваемой системы. Следовательно,
да
Этот результат отличается от полученного ранее только
знаком, указывающим, что имеет место притяжение между
пластинами.
101

Для оценки F положим е = е0 = 8,85 -10 12 ^- (воздушный
конденсатор), 5=10 см2 и Е= 103 в/см. При этом находим
8,85 • 1(Г12 • 10 ¦ 10~~4
106 • 104 = 4,425 • 10~5и = 4,425 дин.
Пример 3. Емкость между подвижной и неподвижной час-
частями электростатического вольтметра зависит от угла а по-
поворота подвижной части, т. е. С = /(а). Найти зависимость
/(а), обеспечивающую равномерность шкалы вольтметра.
Угол « является обобщенной координатой системы, обоб-
обобщенной силой F будет вращающий момент М, действующий
на подвижную пластину, причем
да
да Ju
В состоянии равновесия этот момент уравновешивается
моментом кручения пружины М'', который считаем пропор-
пропорциональным углу поворота а (т. е. Mr = k^).
Следовательно, должно выполняться равенство
2
да
Равномерность шкалы будет обеспечена при выполнении
условия oi = k2U. Учитывая это условие, получаем
откуда
д%
С =
In a + const.
Полученная зависимость практически не может быть вы-
выполнена в начальном участке шкалы, так как С не может
принимать бесконечно больших значений при а = 0.
Нетрудно убедиться, что при С = ?3а шкала будет иметь
квадратичный характер {а.=^Ш2).
Пример 4. Из трех концентрических проводящих сфери-
сферических оболочек радиусов а, Ь, с внутренняя и внешняя за-
заземлены, а средняя разрезана на две половины и заряжена.
Найти, сколь велик должен быть радиус а(а<6<с), чтобы
воспрепятствовать отделению друг от друга этих половин.
(В. С май т. Электростатика и электродинамика, ИЛ, 1954.)
Предполагаем, что на оболочки действуют только силы
электростатического поля. Условие задачи будет выполнено,
если силы равны по величине по обе стороны средней обо-
102
лочки. Это будет иметь место при равенстве зарядов на
обеих сторонах средней оболочки, т. е. при
где U — потенциал средней оболочки, С] и С2 — емкости вну-
внутреннего и наружного конденсаторов. Отсюда (§ 16)
что дает
аЬ
Ъ-~а
а = -
с
ь
be
-ft'
оо) получаем а = — и С1 = С.2 =
2
при
При — <$; 1 (с
с
с—» Ь и а—*Ь.
Этот же результат найдем по формуле для обобщенной
силы. Запасенные в конденсаторах энергии
= ~C,U2.
При заданных о и с равновесие сил, действующих на раз-
разные стороны оболочки Ь, имеет место при условии
db
u
\dbj
u
т. е. при
ас,
дЪ
дь '
откуда следует полученный выше результат.
Пример 5. Вычислить силу притяжения между параллель-
параллельными цилиндрическими проводниками равных радиусов R, с
расстоянием между их осями D > 2R и заряженных равными
по величине и противоположными по знаку зарядами. Рас-
Расстояние D мало по сравнению с д-линой проводников, вслед-
вследствие чего краевым эффектом можно пренебречь.
В данном случае использовать формулу A7.1) затрудни-
затруднительно, тогда как обобщенная сила находится очень просто.
Воспользуемся результатами примера 5 (§16). Если в вы-
выражениях (ж) положить /?j = /?2=/?, а2 = — D2 — R2(так как
h1 = h2 = — J и результат подставить в формулу (и), то по-
после несложных преобразований получим следующее выраже-
103

ние для емкости между цилиндрами, отнесенной к единице
длины
Так как отнесенная к единице длины энергия системы рав-
равна W = ~ CU2 (U — напряжение между проводами), искомая
сила притяжения определится выражением
dD
Ьсли —
2Я
то
F —.
2?>( In —
Глава IV
РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ПО МЕТОДУ ГРИНА
§18. Формулы Грина
Для вывода формул Грина воспользуемся теоремой Остро-
Остроградского, согласно которой для всякого вектора А, проек-
проекции которого на координатные оси имеют непрерывные част-
частные производные первого порядка внутри некоторого объема
V, ограниченного замкнутой поверхностью S, справедливо
равенство:
jAndS = Jdiv ~AdV. A8.1)
5 V
Положим, что вектор А может быть представлен в виде про-
произведения $В, где вектор В также обладает указанными
выше свойствами вектора Д a f — скалярная функция, не-
непрерывная в области V вместе со своими первыми и вторыми
частными производными. Тогда
и A8.1) перепишется в следующем виде:
I tyBndS= (<]>uivB+B-^)dV. A8.2)
s v
Положим, далее, что вектор В может быть представлен в ви-
виде градиента некоторой скалярной функции у: В = у<р.
Так как divB = divy<p = Д<р, предыдущее равенство прини-
принимает вид
V9) dV.
A8.3)
105

Проекция на некоторое направление градиента скалярной
функции равна производной этой функции по этому направ-
направлению:
следовательно, формулу A8.3) можно записать так:
it
it
dS=/(фД<р"v* ¦vtp) dv-
Так как ф и <р — скалярные функции, очевидно, справедливо
и следующее соотношение:
A8.5)
Из A8.4) и A8.5) находим:
Формула A8.6) носит название формулы Грина. Заметим, что
производные —— и —— берутся в поверхностном интеграле
дп дп
по направлению внешней нормали к поверхности 5. Если
объем V ограничен несколькими замкнутыми поверхностями,
то интеграл в левой части формулы A8.6) превращается в
сумму интегралов, распространенных по соответствующим
поверхностям, ограничивающим объем. Нормали к поверх-
поверхностям следует при этом выбирать таким образом, чтобы
они были внешними к объему V.
Положим теперь, что функция ? является гармонической
в некоторой области V, ограниченной замкнутой поверх-
поверхностью S, а функция ф равна —, где г — расстояние между
переменной точкой N(t, у, С), принадлежащей области V, и
фиксированной точкой М(х, у, z), которая может быть рас-
расположена как внутри, так и вне поверхности S.
Очевидно, в произвольной точке N(%, -/j, С) функция
<р = <р(?, i\, С) = «р(Л'); в точке М(х, у, z) она принимает зна-
значение ? (л:, у, z) = у (Щ. Функция <{* = — является функцией
координат как точки N, так и точки М одновременно, т. е.
4 l(NAf)
l()
Рассмотрим сначала тот случай, когда точка М находится
внутри поверхности S. В точке М (т. е. при совпадении точ-
точки N с точкой М) функция Ь и ее производные обращаются
в бесконечность (так как г = 0). Формула Грина A8.6), вообще
106
говоря, справедлива лишь при непрерывности входящих в нее
функций <р и <]i. Поэтому возможность ее применения в дан-
данном случае требует специального анализа.
Для того чтобы выяснить возможность применения фор-
формулы Грина к рассматриваемому случаю, опишем около точ-
точки М, как около центра, сферу SM малого радиуса и приме-^
ним формулу A8.6) к области Vx, ограниченной поверхностью
S и сферой SM (рис. 33,а). В этой области функция ф непре-
непрерывна и, кроме того1* , Ад,ф = Джф = 0. Так как функция <р
по условию гармоническая во всей области V, то в Vx так-
также будет Д<р = О. Обозначая ?=?/, из A8.6) находим:
г дп
дп
Здесь п и v — нормали к поверхностям 5 и SM, внешние к
пространству l/j.
Если теперь устремить радиус р сферы SM к нулю, то
получим, что
Urn C— — dS = O, A8.8)
Р-»о J r dv
sm
так как поверхность SM стремится к нулю, как р2, а — воз-
растает, как —. При этом остается в точке М величи-
р dv
ной ограниченной в силу непрерывности функции U в об-
области V.
Найдем теперь значение предела
lim
'—dS.
Так как направление нормали v обратно направлению ра-
радиуса-вектора соответствующей точки сферы 5^, то
г2 *
!) Индекс N или М при операторе Д обозначает, что дифференцирова-
дифференцирование производится по координатам точки N или М соответственно.
107

Поэтому
C
м
м
При р —* 0 значение функции U на поверхности сферы SM
мало отличается в силу непрерывности этой функции от ее
значения в точке М.
Отсюда следует, что
о —
J dv M J г* '
где UM — значение функции U в точке М.
Далее, на сфере г = р; следовательно
а1
Нш
A8.9)
Выражения A8.8) и A8.9) после подстановки их в A8.7) дают:
J !Z
U
М'
4к
г дп
да
A8.10)
Формула A8.10) дает выражение для гармонической функции
U в любой точке внутри замкнутой поверхности S по значе-
значениям этой функции и ее нормальной производной на границе
области. Эту формулу по аналогии с интегралами Коши для
аналитических функций мы будем называть интегралом
Грина для гармонических функций.
В случае области V с выделенными внутри областями
Vn, ограниченными, соответственно, поверхностями
], О2,
n, р , р
Sn, интеграл Грина A8.10) принимает вид:
r dnk
A8.11)
т. е. разен сумме интегралов Грина для всех поверхностей,
ограничивающих тот объем, в котором нахочится точка М.
Положительными надо считать при этом направления нор-
нормалей, которые идут от границ вне этого объема (рис. 33, б).
108
Рис. 33
Применительно к задачам электростатики формула A8.11)
дает возможность вычислить потенциал в точке М простран-
пространства, внутренней по отношению к поверхности St и внешней
по отношению к поверхностям S2, 53,. .., Sn, если заданы
потенциалы этих поверхностей и известны значения на них
нормальных производных потенциалов, т. е. напряженности
поля. При этом предполагается, что в пространстве, ограни-
ограниченном поверхностями Sk, отсутствуют объемные заряды.
Поле при наличии объемных зарядов может быть найдено
посредством формулы Грина A8.6). Полагая в этой формуле,
как и ранее, <]> = — , ? = U и учитывая, что в области, заня-
занятой объемными зарядами, потенциал должен удовлетворять
уравнению Пуассона Д?/=——, после аналогичных преобра-
преобразований получим:
М
Ansj г 4те LA J \ г дпь дпь
V k=l Sb
A8.12)
Формулу A8.12) можно трактовать следующим образом:
потенциал в любой точке М{х, у, z) пространства, внутрен-
109

ней по отношению к объему V, ограниченному поверхностями
Sk, может быть представлен в виде суммы следующих по-
потенциалов: потенциала объемных зарядов, расположенных
в этом объеме; потенциалов простых заряженных слоев, сов-
совпадающих с поверхностями Sk и имеющих поверхностные
плотности распределения зарядов ofe = e( — ) ; потенциалов
\ дп У k
двойных заряженных слоев, совпадающих с поверхностями
Sk и имеющими плотности распределения диполей щ = eUk.
Поскольку все члены в формуле A8.12), за исключением по-
потенциала объемных зарядов, обязаны зарядам, лежащим вне
поверхности Sv ограничивающей поле, то, следовательно,
без изменения поля внутри (и только внутри) этой поверх-
поверхности все внешние заряды могут быть заменены эквивалент-
эквивалентными простыми и двойными заряженными слоями с соответ-
соответствующими плотностями распределения зарядов и моментов
диполей.
Рассмотрим теперь случай, когда точка М лежит вне зам-
замкнутой поверхности S. Для этого применим формулу Грина
A8.6) к пространству Vv ограниченному поверхностью сферы
Е радиуса R —* оо, сферы SM радиуса р-+0 с центром в точке
М и заданной поверхностью S (рис. 33,в). Положим в форму-
формуле Грина ?= U, где U— гармоническая вне S функция, а за
функцию ф примем, как и в предыдущем случае, функцию
—; тогда, предполагая, что вне S отсутствуют объемные за-
заряды, получим:
г дп
дп
м
A8.13)
Здесь «, v и 7V— нормали к поверхностям S, SM и Е, соответ-
соответственно, внешние по отношению к объему Vt.
Рассмотрим последний из входящих в A8.13) интегралов.
Так как для сферы Е направление внешней нормали N сов-
совпадает с направлением радиус-вектора соответствующей точ-
точки сферы, то
_a i_
dN r
д 1
dR R
R2
ПО
Кроме того, dE = R~d&, где du> — элемент телесного угла, под
которым элемент с?Е виден из точки М\ поэтому
J\rdN d.\'J J
Ж.
dN
- Cud(o.
s
Если
\щ<
R
dU
dN
где A — некоторое конечное число, т. е. если гармоническая
функция U является регулярной на бесконечности, то каж-
л
дый из последних интегралов будет меньше 4тг — и, следо-
R
вательно, будет исчезать при R—> оо.
Второй интеграл в выражении A8.13) после преобразова-
преобразований, аналогичных случаю внутренней задачи, очевидно, при-
приведется при р —> 0 к выражению ^UM.
Отсюда следует, что интеграл Грина A8.10) остается
справедливым и для случая, когда точка М лежит вне поверх-
поверхности S, если только функция U регулярна на бесконечности.
Однако необходимо иметь в виду, что в случае внутренней
задачи в интеграле Грина A8.10) производные берутся по
внешней к поверхности нормали (рис. 33,а), а в случае внеш-
внешней задачи — по внутренней нормали (рис. 33,в).
Если же определять положительное направление нормали
по отношению к рассматриваемому пространству, то во всех
случаях следует брать внешнюю к пространству нормаль.
В том случае, когда поверхности Sk являются эквипотен-
эквипотенциальными поверхностями, например, поверхностями провод-
проводников, ограничивающих поле, общее выражение A8.12) не-
несколько упрощается.
Так, в случае внутренней задачи потенциал в точке М мо-
может быть представлен в следующем виде:
I f 1 ди .„
fe JT дпь~
_iiJL* f°-!-dSk,
LA ^ J dnk k'
*i s
где Uk— потенциал на поверхностях Su S2,..., Sn.
ill

Но
по доказанному выше интеграл
д —
r dS
f
дп
равен нулю, если точка М лежит вне поверхности, и равен
— 4тс, если она лежит внутри поверхности. Поэтому в послед-
последней сумме написанного выше выражения для UM сохранится
только одно слагаемое, отвечающее поверхности Sly для
которой точка М является внутренней (рис. 33,6). Отсюда
находим:
л
~ ' :^-dSk. A8.14)
В случае внешней задачи, учитывая, что точка М является
внешней ко всем поверхностям Sk (рис. 33,в), аналогично по-
получим:
м
4tm
A8.15)
При подобном задании поверхностей Sk в выражении для
потенциала отпадает необходимость во введении эквивалент-
эквивалентных двойных слоев.
Обычно пользование интегралом Грина в форме A8.14)
или A8.15) затрудняется тем обстоятельством, что распреде-
распределение напряженности на поверхностях, ограничивающих поле,
не может быть наперед задано.
В качестве примера приложения интегралов A8.14) и
A8.15) рассмотрим разобранный уже ранее случай, когда поле
образовано концентрическими сферическими проводниками.
В этом случае указанная трудность не возникает, так как в
силу симметрии известен общий характер электростатиче-
электростатического поля. Предполагая отсутствие объемных зарядов (р = СИ,
из формулы A8.14) непосредственно находим, что в случае
единственной сферы S1 с потенциалом JJ1 потенциал в любой
точке внутри сферы равен Ult а напряженность Е внутри
сферы равна нулю.
Из формулы A8.15) получаем, что потенциал внешнего
поля в этом случае выражается следующим образом:
U
м
=+f*. Г—>
4тг J r
Si
где ?j=f+——) —напряженность на сфере со стороны
внешнего пространства, постоянная, в силу симметрии зада-
112
чи, в любой точке сферы (положительный знак подчеркивает
то обстоятельство, что для внешнего пространства нормаль
и, должна быть направлена внутрь сферы). Для вычисления
интеграла Г— введем сферические координаты (рис. 34);
тогда 5i
r = J/7?2 + p2-2#pcos6, ,
и, учитывая, что р > R, получим:
J~r J J
S, 0 0
Отсюда
/?2
p
Так как UM=U1 при p =
то
= R2 sin ЫЩ
2 f
Sin 6rf6
—2/?pcos6
Рис. 34
Рис. 35
Напряженность поля во внешнем пространстве
р WM_E_W_
dp P
В случае поля шарового конденсатора, образованного сфе-
сферами радиусов /?] и R2 (рис. 35) с потенциалами ?/j и U2
для поля между обкладками (при отсутствии объемных за-
зарядов, согласно A8.14), получим:
5,
Д-452.-8
113

где Е1 и Е2 — напряженности на внутренней и внешней сфе-
сферах, соответственно. Введя сферические координаты, анало-
аналогично предыдущему случаю получим:
Поэтому
Так как
то
s,
г р J г
s
Ei = (-
р2
Е — Е —
?2 — С1 _о •
Этот результат легко получается и из выражения для UM
при p = R2. Полагая в выражении для потенциала UMp = R1,
получим:
D Г Г Г Г О /Г Г Г
ж-> i*^2 *^1 — Uо r-> ¦•Vi (-'I ~°~ iV1»
Выражение для потенциала принимает вид:
М R1 — R2 ? ' Ri — Ra '
совпадающий с полученным ранее в § 6, пример 4.
§ 19. Основные свойства гармонических функций
Рассмотрим теперь ряд частных случаев общей формулы
Грина A8.6):
дп
A9.1)
s v
Положим, что <р и <1> —гармонические-функции в некоторой
области V; тогда из формулы Грина следует, что
A9.2)
В частности, если область V является внутренней относи"
тельно некоторой поверхности S, то положив *=1, <? = U>
получим:
j _ ^5 = 0. A9.3)
s
114
Если область V ограничена несколькими поверхностями Sk'
то A9.3), очевидно, обобщается к следующему виду:
A9.4)
LA J дпк
Таким образом, интеграл, взятый по всей границе области от
нормальной производной гармонической функции, в частности
от нормальной производной потенциала поля, равен нулю.
Это положение относится только к случаю внутренней
.задачи, поскольку в случае внешней задачи функция ty = 1
не является регулярной на бесконечности. Поэтому в случае
внешней задачи справедливо лишь соотношение A9.2), в ко-
котором функции (риф предполагаются регулярными на бес-
бесконечности.
Второе следствие из формулы Грина A9.1) мы получим,
полагая в этой формуле ф=1 и ? = i/2, где U—гармониче-
U—гармоническая функция в области V, например, потенциал поля в этой
области. Из A9.1) тогда получим:
i
Так как
2U 2(\ 2U
дх дх ' дх2 \ дх ) ' дх2
ш аналогично для остальных частных производных, то
2UAU.
f)+ (f )
дх J \ду J
или, поскольку U — гармоническая функция,
ду
Таким образом, находим:
C\U-\UdV= Cu — dS.
J J дп
v s
A9.5)
Интеграл левой части A9.5) носит название интеграла
Дирихле для интеграла энергии1).
Формула A9.5) справедлива как в случае, если область V
-является внутренней по отношению к некоторой поверхности
S, так и в случае, когда эта область является внешней к
ней. Во внешней задаче необходимо при этом наложить до-
1) Связь энергии электростатического поля с интегралом A9.5) дается
¦формулой A4.5 .
** 115

полнительное требование о регулярности функции U на бес-
бесконечности.
Направление нормали в правом интеграле формулы A9.5)
в обоих случаях выбирается внешним по отношению к про-
пространству V.
Полученные соотношения позволяют установить основные
свойства гармонических функций.
Теорема (Гаусса). Среднее значение гармонической функ-
функции на поверхности сферы равно ее значению в центре
сферы.
Для доказательства применим интеграл Грина.A8.10) к сфе-
сферической поверхности, описанной около точки М(х, у, z) ра-
радиусом R:
г дп
дп
Если поверхность 5 есть сфера с центром в точке М, то на
сфере r = R и
Поэтому
о— д —
\~dn)r=R ~~ \d7/r=« ~ Я2'
и„ =
JM
= —Г
4kRJ
dU ,с. 1
дп
'UdS.
s s
Первый из этих интегралов равен нулю согласно A9.3). От-
Отсюда
1 г
4nR2J
UdS =
I
UdS
A9.6)
что и доказывает теорему Гаусса.
Из теоремы Гаусса следует, что значение гармонической
функции в центре некоторой сферы Wo удовлетворяет нера-
неравенству
где UMKa и Uuukc — наименьшее и наибольшее значения гар-
гармонической функции на поверхности сферы.
Далее из теоремы Гаусса вытекает теорема об экстрему-
экстремумах гармонической функции.
Теорема. Гармоническая в области V функция не может
иметь экстремальных значений внутри этой области и дости-
достигает их лишь на ее границе.
116
Для доказательства допустим, что в точке М (х, у, z), ле-
лежащей внутри области, гармоническая функция U достигает
своего максимума Uo Опишем около этой точки сферу 5 ра-
радиуса р так, чтобы эта сфера целиком лежала внутри области
V. Так как по предположению в точке М функция U дости-
достигает максимума, то радиус сферы можно выбрать настолько
малым, чтобы во всех точках сферы было U < Uo. Тогда
fUdS< fuodS = UoW.
s s
Последнее неравенство находится в противоречии с теоре-
теоремой Гаусса о среднем значении гармонической функции, что
и доказывает невозможность достижения гармонической
функцией максимума внутри области. Аналогично доказыва-
доказывается и невозможность достижения минимума внутри области.
Следовательно, гармоническая функция может достигать
своего экстремального значения только на границе области,
т. е. на поверхности S.
Применительно к потенциалу электростатического поля,
образованного п заряженными проводниками с потенциалами
Ult U2,.. ., Um из теоремы об экстремумах гармонической
функции следует, что ни в одной точке поля потенциал не
может быть больше максимального и меньше минимального из
потенциалов проводников.
Далее имеет место весьма существенная теорема един-
единственности.
Теорема. Если две гармонические функции имеют одина-
одинаковые значения на границе некоторой области, то они тож-
тождественно равны друг другу во всех точках этой области.
Положим, что гармонические функции U1 и U2 принимают
равные значения на границе области; тогда их разность w =
— U1 — U2 будет гармонической функцией внутри области V,
принимающей нулевое значение на границе области S. При-
Применяя к функции ю формулу A9.5), получим:
Последнее равенство может иметь место лишь в том случае,
если
дш
и, следовательно,
_ ""*, _ ""* =Q
ал: ду дг
ш= const.
Но так как на границе области ад = 0, то в любой точке
внутри области ш = 0 или U1 = U2. Таким образом, если уда-
117

ется тем или иным путем определить гармоническую функ-
функцию, принимающую заданное значение на границе, то эта
функция будет единственно возможной. Иначе можно ска-
сказать, что функция, гармоническая в некоторой области, одно-
однозначно определяется заданием ее значения на поверхности
границы области.
Следовательно, можно считать доказанным, что первая
краевая задача, или задача Дирихле, имеет единственное ре-
решение.
Решение задачи Дирихле, строго говоря, заключает в се-
себе и вопрос о существовании такого решения.
Дирихле, а вслед за ним Риман, приходили к утверди-
утвердительному ответу на вопрос о существовании, исходя из сле-
следующего положения, считавшегося ими очевидным и не тре-
требующим доказательства: среди функций U{x, у, z), конечных
и непрерывных в некоторой области вместе с их первыми
производными и принимающих заданное значение на границе
области, существует такая единственная функция, которая
обращает интеграл Дирихле
в минимум. Это положение носит название принципа Дирихле.
Иначе говоря, Дирихле и Риман считали очевидным, что
задача вариационного исчисления: найти такую функцию, ко-
которая, имея на границе области заданное значение, обращает
в минимум интеграл Дирихле, взятый по этой области,—
всегда имеет решение.
Если принять это положение, то можно доказать '), что
минимизирующая интеграл Дирихле функция обязательно бу-
будет гармонической в области V, что и будет служить «дока-
«доказательством» существования решения задачи Дирихле. Вейер-
штрасс показал, однако, что изложенная вариационная задача
может и не иметь решения и поэтому приведенные выше
соображения не являются доказательством существования
решения задачи Дирихле.
Теорема существования была доказана К. Нейманом для
ограниченного класса поверхностей. Расширением класса по-
поверхностей, для которых справедлив принцип Дирихле, затем
занимались Ляпунов, Стеклов, Шварц, Пуанкаре, Робен и др.
Наконец, в 1901 г. Гильберт непосредственно доказал спра-
справедливость принципа Дирихле в весьма общих предположе-
предположениях и показал, что решение упомянутой выше вариационной
У См. главу X.
118
задачи, а следовательно, и соответствующей задачи Дирихле,
может быть во многих случаях построено в форме, пригод-
пригодной для практического применения.
§ 20. Функция Грина
Решение задачи Дирихле (найти гармоническую в области
V функцию, принимающую заданное значение на границе
области) не может быть в общем случае получено с по-
помощью интеграла Грина A8.10), поскольку в этот интеграл
входит значение неизвестной нормальной производной на гра-
границе области.
Для решения внутренней задачи Дирихле по методу Гри-
Грина обозначим, как и ранее, через N(%, -ц, С) и М(х, у, z) две
точки области V. Допустим, далее, что для области V суще-
существует функция G, обладающая следующими свойствами:
1) во всякой точке N, лежащей внутри области V, эта
Функция может быть представлена в виде суммы
0 = h
С; х, у, z),
B0.1)
где г — расстояние между точками N и М, а ш — гармониче-
гармоническая функция во всей области V;
2) когда точка N переходит на поверхность 5 границы
области, функция О обращается в нуль.
Введенная функция G называется функцией Грина для дан-
данной области.
Заметим, что нахождение функции Грина эквивалентно
решению задачи Дирихле в такой форме: найти гармониче-
гармоническую во всей области V функцию со, принимающую на гра-
границе области значение , где г — расстояние от точек
границы до точки М (х, у, z), лежащей внутри области.
Допустим, что тем или иным путем функция Грина найдена.
Воспользуемся формулой Грина A8.6):
и положим
где U— искомая гармоническая во всей области функция.
119

Так как <]> = ш — гармоническая функция в области V, из
формулы Грина следует:
С другой стороны, из интеграла Грина имеем:
, 1
4тг
г дп
дп
Суммируя последние равенства, находим:
4it
дп
или, учитывая, что на границе области 5 функция О равна нулю,
UM = -±fu-?-dS = T- fU^ dS' B0-2)
т 4.-J дп 4л J дп
s s
где ft —внешняя, а Л—внутренняя нормаль к поверхности 5.
В случае, если область V ограничена несколькими поверх-
поверхностями, формула B0.2) принимает вид:
м
dG
B0.3)
В B0.3) nk — нормали к поверхностям Sk, внешние по отно-
отношению к пространству V, a hk — внутренние по отношению
к этому пространству.
Формула B0.3) решает задачу Дирихле для любых гра-
граничных значений функции U, если только функция Грина О
определена для данной области. По доказанному выше, полу-
полученное решение является единственным.
Аналогично решается и внешняя задача Дирихле: найти
гармоническую вне замкнутой поверхности 5 функцию, при-
принимающую заданное значение на 5 и' регулярную на беско-
бесконечности. В этом случае, как было показано выше, остается
справедливым интеграл Грина A8.10) с заменой внешней к 5
нормали на внутреннюю. Поэтому, потребовав, чтобы функ-
функция ш в B0.1) была бы регулярной на бесконечности, мы
сразу же получим формулу B0.2) или B0.3) с тем лишь отли-
отличием, что в формуле B0.2) внутренняя к S нормаль должна
быть заменена на внешнюю и наоборот; в формуле B0.3) под
нормалями nk должны пониматься внешние нормали по отно-
отношению к пространству V, в котором разыскивается гармони-
120
ческая функция, а под нормалями hk — внутренние к этому
пространству нормали.
Выясним теперь физический смысл функции Грина. Поло-
Положим для этого, что внутри заземленной проводящей поверх-
поверхности S в точке М(х, у, z) расположен заряд, равный по ве-
величине 4те (рис. 36). Наличие этого заряда вызовет появле-
появление на внутренней поверхности проводника зарядов с плот-
плотностью а, причем
"sdS=-
а потенциал в точке N внутри проводящей поверхности, выз-
вызванный этими зарядами, будет
4-.J R
ЩШ)
Рис. 36
Рис. 37
где Я —расстояние от Л/ до точек .поверхности 5. Общий
потенциал в точке /V
где г—расстояние между точками М и N.
На поверхности S эта величина обращается в нуль, так-
как по условию проводник заземлен. Во всех точках внутри
поверхности, кроме точки М, она удовлетворяет уравнению
Лапласа, так как ему удовлетворяют оба слагаемых. В окрест-
окрестности, особой точки М функция UN имеет вид
где о) — потенциал поверхностных зарядов, являющийся гар-
гармонической функцией во всей области V.
121

Таким образом, потенциал UN обладает всеми свойствами
функции Грина. Поэтому функция Грина в случае внутренней
задачи Дирихле может быть определена как потенциал поля
в области, внутренней по отношению к некоторой поверх-
поверхности S, если поверхность 5 является поверхностью нуле-
нулевого потенциала и содержит внутри себя точечный заряд,
равный по величине 4яе.
Аналогично определяется и функция Грина в случае внеш-
внешней задачи Дирихле. В этом случае функция Грина есть по-
потенциал точки N, лежащей вне S, когда в точке М, также
лежащей вне 5, расположен заряд 4яе, а поверхность 5 име-
имеет нулевой потенциал (рис. 37).
Изложенное показывает, что определение функции Грина
для данной области требует, вообще говоря, решения допол-
дополнительной электростатической задачи. Следует отметить, что
решение этой дополнительной задачи удается найти только
для некоторых частных случаев.
Если функция Грина определена, то решение более слож-
сложной электростатической задачи, соответствующей тому же
виду граничной поверхности области, сводится к выполнению
лишь ряда квадратур.
В более общем случае наличия в области V, ограниченной
поверхностью S, объемных зарядов плотности р из формулы
Грина
ЛЙ4 , д<( \ ,с
полагая в ней
ф = U, ty = G = ш
г
и учитывая, что в рассматриваемой области
получим:
С другой стороны, A8.12) дает:
дп
122
Складывая последние равенства, найдем:
-uf-)as.
дп J
дп
v s
Так как на границе области функция Грина обращается в
нуль, то окончательно получаем:
U ±
м 4
4tcJ дп 4r.s
B0.4)
Если границей области V является поверхность 5, состо-
состоящая из п замкнутых поверхностей Sk, то аналогично преды-
предыдущему найдем:
B0.5)
*=i
так как, по определению, функция Грина обращается в нуль
на всех поверхностях Sk, составляющих общую граничную
поверхность S.
Итак, формула Грина B0.5) дает решение уравнения Пу-
Пуассона в области V, удовлетворяющее краевым условиям
(т. е. заданным значениям U) на поверхности, ограничиваю-
ограничивающей эту область. Для практического использования формулы
B0.5) при любом заданном в этой области распределении за-
заряда р необходимо, однако, найти функцию Грина О, соот-
соответствующую заданной конфигурации ограничивающих область
поверхностей, на которых значения потенциала известны.
Из формулы Грина B0.4) вытекает также решение уравне-
уравнения Пуассона в том случае, когда распределение заряда р
задано во всей безграничной однородной области V. Однако
необходимо, чтобы потенциал О являлся регулярной функцией
на бесконечности. Для этого заряд или должен быть распре-
распределен в конечной области Vv расположенной на конечном
расстоянии от начала отсчета, или, при неограниченной обла-
области распределения заряда, плотность его р(?, kj, С) должна
убывать достаточно быстро с увеличением расстояния от на-
начала отсчета. В любом случае должно быть обеспечено вы-
выполнение условия: потенциал U стремится к нулю не мед-
медленнее, чем— при R~*oo. Поместим начало отсчета в обла-
R
сти распределения заряда V1 и опишем из него, как центра,
сферу радиусом R, содержащую внутри как область Vlt так
и точку наблюдения М{х, у, z). При бесконечно большом
123

радиусе R поверхность сферы 5 будет охватывать всю без-
безграничную область V и область распределения заряда Vx при
любой ее величине. Согласно указанному условию, в точках
поверхности 5 потенциал будет стремиться к нулю не мед-
А
леннее, чем величина— при R—* оо, где А — имеет конечное
значение. При конечном расстоянии до точки наблюдения
М(х, у, z) от начала отсчета функция ф = — обращается в
нуль на поверхности сферы. Следовательно, гармоническая
внутри сферы функция ш = 0, и функция Грина О = ф = — .
Отсюда вытекает, что на поверхности сферы при #—>оо под-
подынтегральная функция в поверхностном интеграле формулы
B0.4) будет ?/—— = — . Так как поверхность сферы S = kR2,
то поверхностный интеграл обращается в нуль при /?—»оо
(см. § 18). В результате формула B0.4) принимает вид A2.1)
U
м
~~ 4м J г
§ 21. Единственность решения электростатической задачи
Приведенные в предыдущих параграфах результаты позво-
позволяют доказать необходимость и достаточность перечислен-
перечисленных в формулировке электростатической задачи условий (§ 13)
для обеспечения единственности ее решения.
В том случае, когда поле определяется в однородной ди-
диэлектрической среде с расположенными в ней проводниками,
потенциалы которых заданы, мы имеем в чистом виде задачу
Дирихле. Единственность решения этой задачи была доказа-
доказана в § 19. Здесь следует лишь добавить, что иногда значе-
значения потенциалов проводников неизвестны, а заданы полные
заряды проводников.
Доказательство основывалось на том, что для гармони-
гармонической в области V функции со выполняется равенство A9.5):
~dS, B1.1)
on
где 5 —замкнутая поверхность, ограничивающая область V;
л—внешняя нормаль к этой поверхности.
Полагая о> = Ux — U2, где U1 и U2 — два решения одной и
той же электростатической задачи, очевидно, что правый
интеграл обращается в нуль, если U1 и U2 принимают оди-
одинаковое заданное значение на поверхности.
124
Если граничное значение потенциала не задано, то все
же. на поверхности каждого проводника оно должно быть
постоянным и, следовательно, со = const — на граничной по-
поверхности. Тогда правая сторона равенства B1.1) принимает
вид:
дп дп J
где <? =
дЦ
дп
dS — заряд провода, который по условию задан,
т. е. дг = д3.
В более общем случае рассматриваемая область V поля
может быть заполнена неоднородной диэлектрической сре-
средой. Так, например, часто встре-
встречаются случаи кусочно-однород-
кусочно-однородной среды, простейший пример ко-
которой показан на рис. 38.
Здесь 5, — поверхность провод-
проводника и ? — поверхность раздела
между двумя однородными диэ-
диэлектрическими средами с различ-
различными диэлектрическими проницае-
мостями е(. и sft; S2 — замкнутая
поверхность, внутри которой на-
находится и поверхность 5, и по-
поверхность 2. Если поверхность S2
проводящая, то область поля V РпС- 38
будет ограничена этой поверх-
поверхностью и поверхностью Su Если такой, ограничивающей поле
извне, проводящей поверхности нет, то под S2 следует пони-
понимать сферическую поверхность бесконечного радиуса. Задача
усложняется тем, что присутствует особая поверхность
раздела ?, на которой, однако, выполняются определенные
граничные условия.
Прежде чем перейти к доказательству единственности
решения, необходимо несколько видоизменить интеграл
Дирихле, входящий в B1.1) путем введения в него диэлек-
диэлектрической проницаемости. Воспользуемся для этого формулой
A8.2)
(\BndS = Г-} div BdV + Св-^dV. B1.2)
S V V
Ограничимся рассмотрением наиболее часто встречаю-
встречающегося на практике случая, когда объемных зарядов нет и
125

поверхность раздела между диэлектриками не заряжена
Допустим, что их и U2 — электростатические потенциалы
двух возможных решений. Так как, по условию, объемных
зарядов в рассматриваемой области интегрирования нет, то
во всей области, за исключением точек, лежащих на особых
поверхностях,
div e grad U1 == 0 и div e grad U2 = 0.
Полагая ы = Ut — U2, очевидно, будем иметь
div e grad со = 0. (*)
Воспользовавшись теоремой Грина B1.2), в которой поло-
положим
4» = о> и В = е grad
получим:
Г cos —dS= J со div s grad a>dV + Г e j уш j2 d V.
S V
Согласно (*), окончательно находим:
fs I
J
Го
J
= Го»
J
—
dn
B1.3)
Очевидно, в случае однородной среды е = const во всей
области интегрирования, и B1.3) переходит в B1.1).
Следует иметь в виду, что равенство B1.3) относится
к области, не содержащей особых поверхностей. Такую
область V мы получим, если ограничим ее поверхностью
S', состоящей из поверхностей S\, S'2, Ц и Ей, которые на
рис. 38 отмечены штриховыми линиями. При этом равенство
B1.3) будет являться пределом равенства
да
— dS, + fos ^L-
/
dcu
B1.4)
Ч
когда 5j-*5j, S'2—*S2, а поверхности ^ и Sft стремятся
к поверхности раздела S с разных ее сторон.
Если потенциалы проводящих поверхностей 5, и 52 заданы,
то, очевидно, (ю)^ = (^ - UJSi = 0 и («в)^ = (i/, - (jj^ = 0,
вследствие чего первый и второй интегралы в правой части
равенства B1.4) будут равны нулю при предельном переходе
126
Sj—>5lt 5д—»52г). Если поверхность S2 удаляется в беско-
бесконечность, то интеграл по S2 будет также равен нулю, вслед-
вследствие того, что со является регулярной функцией в беско-
бесконечности.
Рассмотрим теперь сумму интегралов по поверхностям ?(-
и Ей, для чего выпишем более подробно подынтегральные
функции, обозначив сумму этих интегралов через /. Имеем:
так как по определению
db
дп
U(l) и D(l) — значения потенциала и вектора смещения в i-ом
диэлектрике. Направления нормалей щ и nk показаны на рис. 38.
Согласно,граничному условию для нормальных состав-
составляющих вектора D, имеем
Dfni + п?Ял = /?« + D®k = а, = 0. (•)
Далее, поскольку решения иг и U2 соответствуют одной
и той же задаче, на границе раздела скачок потенциала
должен оставаться одинаковым в обоих решениях, т. е.
= 0.
f т _ цр или
Имея в виду (*) и (**), находим:
»™ f = Пи? -
Итак, в результате получаем:
/¦
Отсюда следует, что
е |Vu)j2 = O,
так как е и |у«|2 —величины положительные. Ввиду того,
что е =f= 0, должно быть.
ш = const.
Ч Нетрудно убедиться, что эти интегралы обращаются в нуль, если
заданы полные заряаы проводящих поверхностей S, и 52.
127

Но на ограничивающих поле поверхностях (проводники и
бесконечно удаленная поверхность) а> = 0. Следовательно,
и во всей области а>=?/] — ?/2 = о, т. е. оба решения сов-
совпадают друг с другом в любой точке области, что и дока-
доказывает единственность решения.
Нетрудно видеть, что полученный результат не зависит
от числа особых поверхностей в рассматриваемой области
поля.
§ 22. Решение задачи Дирихле для полупространства
Рассмотрим случай, когда область представляет собой
полупространство С> 0 и имеет своей границей плоскость
С = 0. Для построения функции Грина найдем потенциал
в верхнем полупространстве, если в
точке M{x,y,z) помещен точечный
заряд, равный 4тсе, а плоскость С = 0
заземлена. Потенциал в любой точке
N(t, vj, С) может быть найден как
сумма потенциалов, обусловленных
зарядами 4тс в точке Ми — 4яе в
точке М (рис. 39), симметрич-
симметричной относительно плоскости С = 0,
т. е. имеющей координаты (х,у, — z).
Действительно, определенный таким
образом потенциал равен в точке N
Рис. 39
B2.1)
где г — расстояние между точками М и Л', г' — расстояние
между точками М' и N. Этот потенциал удовлетворяет
поставленному краевому условию плоскости С = 0, так как
для точек этой плоскости г = г' и 0 = 0. С другой стороны,
потенциал О удовлетворяет и второму условию, наклады-
накладываемому на функцию Грина, — он представляется в виде
суммы функции — и гармонической во воем верхнем полу-
полупространстве функции -. Поэтому функция О, определя-
определяемая формулой B2.1), является функцией Грина для полу-
полупространства С > 0.
При произвольном распределении потенциала на плоско-
плоскости С = 0 потенциал при О 0 найдется из выражения:
гт 1 C,TdG .c
UM = — I U — dS.
м W ди.
128
Для вычисления производной — на плоскости С = 0 заметим,
oft
что дифференцирование по внутренней нормали эквивалентно
дифференцированию по С. Поэтому
dh час г да г'Л=о~ \гз за г'2 ас Л=о"
do так как на плоскости С = 0 г = г', то
dh
t=o
/читывая, далее, что
Г' = У(Х - ?J + ( У - г;J +(Z + СJ,
1аходим:
Поэтому
or
да
г-а
дг'
да
г
2-1-
а
dh
t=o r3
[ потенциал Uм в какой-либо точке верхнего полупростран-
тва определяется выражением
" /^ . B2.2)
М(х,у,г)
I последней формуле расстоя-
ие г есть расстояние от точки
4 поля, в которой определяется
отенциал, до точек плоскости
Пример 1. Определить поле
верхнем полупространстве,
бразованное пластиной на плос-
ости С = 0 шириной 2а и дли-
ой 2Ь, заряженной до потен-
иала Uo и помещенной в бес-
онечный Заземленный экран
)ис. 40).
Потенциал в какой-либо точке M(x,y,z) определяется
рассматриваемом случае выражением:
Рис. 40
_ Uoz fdS
~ 2t, J г" '
452.-9
129

причем интеграл распространяется на поверхность пластины.
Так как
находим:
и -
Л*
b a
(V -
т)=-й i=-a "
Обозначая х — ? = ф, у — ч = $, получим:
у+Ь х+а
Z2]3'2
/г — iief
у'—Ь х -а
Внутренний интеграл равен:
х+а
t/f
ж—а
= I Г _ * + «
V + 22 L У(х i аГ + W
х — а 1
Поэтому выражение для потенциала U4 принимает вид:
у+ь
v-b
+ z
+ вJ +• 'P + г3
v+6
(х-а) С~
J (Т
+ z2) V+» + (x - af + г*
J
Выполняя интегрирование, найдем окончательно:
у + Ь
— arctg
+ arctg
— arctg
х + а
y-b
x — a
У + b
z V(x - ay -t- (>- + fcJ -f z2
л: — a
.^-;_ц.+„]
B2.3)
Последнее выражение принимает особенно простой вид в том
случае, когда заряженная пластина в одном направлении
бесконечна. Полагая Ь—юо, из B2.3) находим:
B2.4)
UM =
= ^ [arctg ?±2- - arctg ^] .
130
Очевидно, что в этом случае картины полей в любых пло-
плоскостях 7j — const подобны друг другу. Поэтому ограничимся
рассмотрением распределения потенциала на плоскости г\ = 0.
Из рис. 41 видно, что выражение
в квадратных скобках B2.4) представ-
представляет собой не что иное, как угол
видимости следа пересечения заря-
заряженной полосы на плоскости С = 0
с плоскостью '1 = 0 из точки М, в
которой определяется потенциал.
Следовательно, потенциал в точке М
может быть записан так:
Т "
м
/
: 2а
B2.5)
Рис. 41
где у — указанный выше угол видимости.
Нетрудно видеть, что формула B2.5) удовлетворяет крае-
краевым условиям задачи.
Действительно, если точка М переходит на плоскость
С = 0, попадая внутрь полосы, то угол видимости становится
равным тс, а потенциал — Uo; если же точка М попадает вне
полосы, то угол видимости и потенциал обращаются в нуль.
Распределение напряженности на плоскости С = 0 может
быть получено из выражения
цУо_ 2а
' тс а» — х?
?= —
дг
2=0
Минимальная напряженность достигается при л = 0 и равна
F 2U
На краях пластины напряженность претерпевает разрыв,
обращаясь в бесконечность.
В более общем случае, когда на плоскости С = 0 имеется
ряд заряженных полос, параллельных друг другу и имеющих
потенциалы Uv U2,..., Un, распределение потенциала в какой-
либо плоскости 7j = const может быть определено по формуле
B2.6)
где 4>ft —угол видимости полосы с потенциалом Uk из -точки
М, в которой определяется потенциал.
На рис. 42 приведено рассчитанное по формуле B2.6) поле
двух параллельных полос, заряженных до потенциала ?/=1,0
и помещенных в бесконечный заземленный экран.
9*
131

u--o
Пример 2. Определить потенциал в пространстве над плос-
плоскостью z = 0, если круглый диск радиуса R этой плоскости
заряжен до потенциала Uo,
а остальная часть плоскости
имеет нулевой потенциал.
Выбрав в качестве оси z
ось диска (рис. 43) и обозначив
через р и 9 полярные коорди-
координаты точки на диске, а через z
q и р0 — координаты точки М,
в которой определяется потен-
потенциал (третья координата этой
точки а>0 может быть положе-
положена равной нулю, так как в
силу симметрии потенциал не
зависит от <Ро)> найдем:
Рис. 43
2* R
_2i/0 Г Г
о о
Интегрирование по р дает:
/;
prfp
_ 2pPo cos <pK'2
22+ Po—
Ро5
_2po R cos ,
132
Выполнив интегрирование по у, после преобразований полу-
получим:
и
м
иа
__ 1
Po
1.. п
2
Л
J
где
B2.7)
2
Через П (—,пх, k\ и П(— «2, k\ обозначены полные эллип-
эллиптические интегралы третьего* рода, определяемые выраже-
выражением:
d<t
Последние интегралы сравнительно просто вычисляются через
тэта-функции Ч
Весьма простой вид принимает формула B2.7) в частном
случае расположения точки М на оси диска. Полагая ро = О
и учитывая, что при этом k — nl = ^ =
найдем:
~, 0, 0j = ^- ,
и
м
= 1
ь'о уz* + /?3
Распределение напряженности по оси диска определяется
выражением:
§ 23. Решение задачи Дирихле для сферы
Рассмотрим решение внутренней задачи Дирихле для
сферы. Функция Грина для сферы может быть найдена сле-
следующим образом. Обозначим через р и р, расстояния точек
М и N от центра сферы (рис. 44). Возьмем, далее, точку М'
вне сферы такую, что ОМОМ' = R2, где /? —радиус сферы.
Точки М и М', удовлетворяющие последнему условию,
носят название симметричных относительно сферы точек.
1) Ю. С. С н коре кий. Элементы теории эллиптических функций.
НТИ, 1936.
133

Из условия OM-OM' — R2 находим, что
ОМ,_ R .
R "~ ОМ' ¦"
Отсюда следует, что в том случае, когда точка Л распола-
располагается на поверхности сферы, занимая положение N', обра-
образующиеся при этом треугольники OM'N' и OMN' оказываются
подобными друг другу.
Кроме того,
ОМ __#_ __ MN' R Г _ 1
R ~ ОМ' ~ M'N' ОМ ' M'N' MN' '
Поэтому
_1 Я L_ = o
MN' ОМ " M'N',
Следовательно, функция
q = _[_ _ JR_ 1 _ 'J R_ \_
MN ОМ * M'N г р """'-"/ч '
где r = MN, p=OM, r1 = M'N, на поверхности сферы обра-
обращается в нуль.
Очевидно, что эта функция является гармонической во всей
области внутри сферы за исключением точки М, разность же
G является гармонической функцией во всей без исклю-
исключения области внутри сферы.
Отсюда следует, что функция О удовлетворяет всем свой-
свойствам функции Грина для области внутри сферы.
Формула B3.1 > дает, таким об-
образом, потенциал внутри заземлен-
заземленной сферы, если внутри ее, в точ-
точке М, помещен заряд 4тсе. В слу-
случае произвольного заряда этот
потенциал будет равен
B3.2)
B3.1)
Рис 44
Из формулы B3.2) следует, что
потенциал внутри заземленной сферы от заряда q в точке М
может быть формально найден как потенциал, созданный
двумя зарядами: заданным зарядом q и зарядом q' = — q — ,
р
расположенным в точке М', симметричной с точкой М отно-
относительно сферы.
Потенциал в некоторой точке внутри сферы складывается .
из потенциала, обусловленного заданным в точке М зарядом
q, и потенциала, обусловленного индуктированными на сфере
134
зарядами и распределенными по ней с некоторой (в общем
случае переменной) плотностью о. Поэтому можно сказать,
что эффект распределенных по сфере зарядов эквивалентен
эффекту отображенного в сфере точечного заряда q', распо-
расположенного в точке М1'.
Решение внутренней задачи Дирихле дается формулой
где h — внутренняя нормаль к сфере. Для того чтобы найти
производную — заметим, что, как следует из рис. 44,
2
_2 «iCOST = l
р р
На поверхности сферы
dG _
Дифференцируя выражение
^ 1
dG
R
+ Pj — 2ppt cos т
по Pi, подставляя в результат Pi=/? и производя необходи-
необходимые преобразования, получим:
dG _ J R2— f Л3 ~jl_ -
^h"~~R (fia — 2pR cos t + ff R r3
Поэтому
Uu = ^^-C^rdS.- B3.3)
Полученный интеграл носит название интеграла Пуас-
Пуассона для сферы и дает возможность вычислить потен-
потенциал в любой точке внутри сферы по заданному распределе-
распределению потенциала на сфере (в случае отсутствия объемных
зарядов).
В более общем случае наличия внутри сферы объемных
зарядов плотности р0 решение соответствующего уравнения
Пуассона дается формулой B0.5):
Атя
4гг.
dh
135

ИЛИ
Рис. 45
Заметим, что формула B3.3) в частном случае, когда точка
М лежит в центре сферы (р = 0, R = r), сразу же дает тео-
теорему Гаусса о среднем.
Аналогично может быть построено и решение внешней
задачи Дирихле для сферы. Если точка М, в которой разыски-
разыскивается потенциал, расположена вне сферы, то, взяв точку М',
симметричную в сфере относительно точки М (т. е. удовлет-
удовлетворяющую условию ОМ-ОМ' = R2),
получим функцию Грина того же ви-
вида, что и в случае внутренней зада-
задачи Дирихле.
Соответствующее построение при-
приведено на рис. 45. Формула B3.3)
остается поэтому в силе и для слу-
случая внешней задачи Дирихле, если
под нормалью h понимать внутрен-
внутреннюю нормаль к внешнему относи-
относительно сферы пространству или, иначе, — внешнюю нормаль
к сфере.
Пример 1. Определить распределение потенциала внутри
сферы, если на поверхности сферы распределение потенциала
задано следующим образом: при 0 < 6 < — (верхняя полусфе-
полусфера) U= Uu при — < 6 < тс (нижняя полусфера) U= U2.
Предположим, что внутри сферы нет объемных зарядов.
Введем сферические координаты R, 6, 9 для точки N' поверх-
поверхности сферы и р, 60и <р0 — для точки М внутри сферы, в ко-
которой определяется потенциал.
Тогда квадрат расстояния от точки М до некоторой точки
N' на сфере может быть получен в следующем виде:
г2 = (р sin 60 cos <?0 — R sin Go cos <j>0J +
+ (p sin 60 sin>0 — R sin б sin ?J + (p cos 60 — R cos 6J =
= p2 + R2 — 2?R [cos 6 cos 60 + sin 6 sin 60 cos (9 — %)] =
2 2
где cos у определяется по известной формуле:
cos у = cos 6 cos 60 -f- sin 6 sin 60 cos (9 — 90). (*)
Так как в силу симметрии задачи потенциал Uм не зависит
от координаты 9о точки М, без ограничения общности можно
136
положить 9о = 0- Поэтому выражение для потенциала UM
принимает вид
2 2т.
м
e=o ?= 0
1С Г
J J [ра + R2— 2р/? (cos 6 cos 60 -f sin б sin б0 cos <p)]3'2
R* sin 6tf6rfy
R2 — 2pR (cos 6 cos 60+ sin 6 sin 60 cos <p)]3/2
4rc/?
Ограничимся случаем распределения потенциала в точках
на оси симметрии. В этом случае 60=0для верхней полусферы
и 60 = тс — для нижней полусферы. Потенциал UM при этом
запишется так:
M
R (R2 - ра) Г
J (f
sin Ш
2 J (f -f. ^2 _ 2pR cos 60 cos 6):
0
A'2
-iR (R3 - f)
it
/
sin 6d6
причем
2 J^ (p2 + ft _ 2p/?a Cos 60 cos вK'2
2
cos e0 = + l.
Выполняя интегрирование, найдем:
(/?»-p)cosCo Г U,-U,
2P
W
R*-
R*+ 2pM cos 60
j-
Распределение потенциала на оси симметрии в верхней полу-
полусфере (б0 = 0) принимает вид:
"==-], B3.5)
а в нижней полусфере F0 = л)
При р—»0 ( в центре сферы) оба выражения B3.5) и B3.6)
дают одинаковое значение, равное полусумме потенциалов
137

Распределение напряженности на оси симметрии опреде-
определяется, как нетрудно проверить, выражением
П
3?) I
')т J
B3.7)
Пример 2. Определить поле внутри сферы, поверхность
которой находится под нулевым потенциалом, если внутри
сферы имеется объемный заряд ро(?, -ц, С). Примем, что плот-
плотность объемного заряда в некоторой точке N определяется
только расстоянием этой точки до центра сферы pj:
Согласно B0.5) потенциал в точке М поля определяется
выражением:
Поскольку в рассматриваемом случае потенциал зависит
только от расстояния точки М до центра сферы р, то без
ограничения общности координаты <р0 и 60 точки М могут
быть приняты равными нулю. В этом случае функция Грина
принимает вид:
Поэтому потенциал в некоторой точке М поля запишется
так:
2тс тс R о
\ Г Г Г ' (Pi) Pisin Щ-idbdvi
¦ = -Lf f Г
4та J J J / Г
?=.o e=o p,=o у ра + pj — 2pp, cos в
2« и /? 2
R Г Г Г / (Pi)!5! sin 6dpjd
4те?=о 5=o ^=ol/"^* + P2i Pa — 2PlPJ
- 2ptp/?2 cos 6
или
sin I
138
Выполняя необходимые интегрирования, получим:
- (Pi < Р).
sin 6rf6
Pi
(P, > P).
71
Г
j
sin 6rf6
i + p2 p2 _ 2PlPfl2 cos e K
Поэтому выражение для потенциала UM принимает вид:
или, окончательно,
- $) rfPi -//(Pi) Pi 0 - 7)
0
U 0
Напряженность поля определяется выражением:
?•=-•
dU.
м
B3-9)
Этот пример имеет чисто методическое значение, так как
вследствие сферической симметрии поля результат B3.8)
можно найти совершенно элементарным путем с помощью
постулата Максвелла. Поэтому в заключение рассмотрим еще
один пример, в котором поле такой симметрией не обладает.
Пример 3. Пусть внутри заземленной сферы радиусом/? заряд
q расположен равномерно вдоль окружности радиуса р1 с цен-
центром, совпадающим с центром сферы. Поместим начало прямо-
прямоугольной системы координат в центре сферы и направим ось z
перпендикулярно плоскости окружности, на которой располо-
расположен заряд д. Тогда точка N расположения элементарного заря-
заряда dq = -3— p,d<p = — dy будет определяться координатами pj,.
е = — и <р. Точка наблюдения М имеет координаты р, 60, <j>0.
Очевидно, поле не будет зависеть от угла <р0 и, полагая
<ро = 0, получим:
г = j/V + р2 — 2ррх cos у =yV + р? — 2рр, sin 60 cos
+ Р2Р? - 2/?2рр, sin 60 cos ?.
139

В соответствии с этим находим:
2it
,"/ |/Ap3+pf-2PPlsine0cos?
ч Г
пЧ J
]/~
Я* + ffi —
Pi sin 60 cos ф
Если pj —»0, т. е. окружность с распределенным по ней заря-
зарядом сжимается, превращаясь в точечный заряд в центре
сферы, то
it — Ч
Интегралы легко берутся при вычислении потенциала
в точках, лежащих на оси симметрии z, т. е. при 0О = О и
fl0 = я. А именно,
*
4пе
Если заземленная сфера отсутствует, то в этом выражении
нужно положить /? = оо, что дает результат, который легко
проверить непосредственным расчетом.
§ 24. Решение плоских электростатических задач"
по методу Грина
В ряде случаев можно считать, что потенциал поля не
зависит от одной из координат, например от координаты z.
При этом
0, = 0/
dz dz*
и уравнения Лапласа и Пуассона принимают вид:
дх2
= 0 и дЮ 1 ди —
ду2 ' .дх2 dy2
Для того чтобы получить формулу Грина для случая плоской
задачи, применим формулу A9.1):
/ B4.1)
к объему У, ограниченному отрезком некоторой цилиндри-
цилиндрической поверхности с образующими, параллельными оси z,
плоскостью г = 0и параллельной ей плоскостью, располо-
расположенной от нее на расстоянии dz (рис. 46).
140
Примем далее, что функции <р
и <!> в B4.1) не зависят от z. Тогда
части поверхностного интеграла в
левой части B4.1), относящиеся к
плоскостям, пропадают в силу того,
что на этих плоскостях
dn
dz
dn"
dz
Элемент боковой поверхности мо-
может быть представлен в следующем
виде: dS= dl-dz, где dl — элемент Рис. 46
длины кривой, образованной в пе-
пересечении боковой поверхности с плоскостью z = 0. В объем-
объемном интеграле в формуле B4.1) производные по z обращаются
в нуль, а элемент объема может быть представлен в виде:
dV = d^dz, где d<s г- элемент плоскости, ограниченной кон-
контуром /.
Поэтому формулу B4.1) в рассматриваемом случае можно
записать, сокращая обе части на dz, в следующем виде:
B4.2)
*L-? ^)]dl = Г(фД<р -
on dn J J
дающем формулу Грина в случае плоской задачи.
Интеграл Грина в рассматриваемом случае может быть
получен способом, аналогичным примененному в случае про-
пространственной задачи.
Выше (§ 7) было показано, что фундаментальным реше-
решением уравнения Лапласа на плоскости является функция In г.
Положим в формуле B4.2) <р = Л/, <J> = — In r = In — . Функция
<!> является гармонической во всей области, ограниченной
контуром /, за исключением точки М (рис. 47), в которой
она принимает неограниченное значение. Поэтому при таком
Рис. 47
Рис. 48
141

выборе функции <J> формула B4.2) непосредственно не при-
применима; применим ее к области, ограниченной контуром / и
окружностью малого радиуса р, описанной из точки М, как
из центра. Переходя к пределу при р—»0, получим интеграл
Грина в плоском случае, аналогичный A8.10):
дп
г дп ¦
B4.3)
где производные берутся по направлению внешней нормали
к контуру /.
Формула B4.3) дает значение гармонической функции
в произвольной точке М внутри контура / через значение
функции и ее нормальной производной на самом контуре.
Аналогично пространственному случаю решение уравне-
уравнения Пуассона Д?/= — в случае внутренней задачи дается
Е
формулой:
M
J- Гр щ 1 da + 1
27reJ r r 2*
B4.4)
Различие в интеграле Грина для пространства и плоскости
при внешнем расположении точки М заключается в том, что
в первом случае мы налагали на гармоническую функцию U
условие регулярности на бесконечности; в плоском случае
достаточно потребовать, чтобы функция U стремилась на
бесконечности к постоянной величине и притом так, что
величины
дх
ду
были ограниченными. Действительно, применим формулу
Грина B4.2) к области, ограниченной контуром / и двумя
окружностями Л и X — малого радиуса р и большого радиуса
R, описанными из точки М, как из центра (рис. 48). Положив
Ф = In — , <р = U, найдем:
a in —
In
dU
din —
ди_
г о\
1
U - )dk = O.
oN dN
142
Переходя к пределу при
ах
получим, что при условии
~dy~ 2'
или, что то же самое, при условии
интеграл
Г] dU ,-.
In dl
г dN
при R—>cxj обращается в нуль.
Так как на контуре
.1 !
ды— a in —
г R
dN
ТО
lim
din
дЯ
1
R
dN
где U^ - предельное значение функции U на бесконечности.
Для интеграла по малой окружности А при р —¦ 0 находим:
Таким образом, формула Грина в рассматриваемом случае
дает:
B4.5)
Производные в последнем интеграле берутся по направлению
внутренней нормали к контуру /.
Функция Грина в случае плоской внутренней задачи есть
гармоническая функция в замкнутой области о, за исключе-
исключением точки М, в окрестности которой она равна
G = ln- + a>(jc, у, Е, ч),
где <о — гармоническая во всей области о функция.
143

На границе области о функция Грина обращается в нуль.
Повторяя вывод, проведенный при решении пространственной
внутренней задачи Дирихле, в рассматриваемом случае плос-
плоской задачи придем к следующей формуле:
Аналогично выглядит и решение внешней задачи Дирихле.
Необходимо лишь иметь в виду, что в силу логарифмической
зависимости функции Грина от расстояния г первый инте-
интеграл в последней формуле, вообще говоря, может быть не-
неограниченным. Нетрудно видеть, что. функция Грина для
внутренней части круга имеет вид:
О = In -
г
R
In-
B4.7)
где г — расстояние- между точками М и N, р - - расстояние
между началом координат и точкой Ж и г, — расстояние
между точками Л/ и М', где М — точка, симметричная в круге
относительно точки М (ОМ- ОМ' = JR2). Соответствующее
построение совпадает с приведенным на рис. 44.
Функция In— является
гармонической во всей области
внутри круга. Поскольку на контуре круга
R
функция Грина G обращается на контуре в нуль, т. е. удов-
удовлетворяет всем поставленным для функции Грина условиям.
Аналогично строится функция Грина и для внешней части
круга.
Физический смысл функции Грина в случае плоского поля
заключается в следующем: функция Грина представляет собой
потенциал поля (в точке Л^), созданного линейным зарядом
постоянной плотности 1 = 2тсе, расположенным (в точке М)
внутри (для внутренней задачи) или вне (для внешней задачи)
заземленного проводника, ось которого параллельна линей-
линейному заряду.
Поэтому формула B4.7) дает потенциал поля, созданного
линейным зарядом плотности г = 2тог, расположенным внутри
или вне бесконечного круглого цилиндра, поверхность кото-
которого находится под нулевым потенциалом. В случае произ-
произвольной плотности зарядов потенциал поля, очевидно, будет
определяться формулой
N
2тие
2яе
р Г\
144
Формула B4.6) позволяет построить решение задачи Дирихле
для круга в явном виде. Приведем, однако, иное решение
задачи, используя связь между аналитическими и гармониче-
гармоническими функциями двух переменныхJ).
Известно, что любая аналитическая функция комплексного
переменного z = х + iy
Р(г) = Цх, у) + щ(х, у)
имеет вещественную и мнимую части, удовлетворяющие усло-
условиям Коши — Римана
дх ду
Отсюда следует, что
ду
дх
дх2
ду*
т. е. вещественная и мнимая части любой аналитической
функции комплексного переменного являются гармоническими
функциями.
Поэтому решение задачи Дирихле для какого-либо кон-
контура / может быть сведено к нахождению аналитической
функции, вещественная или мнимая часть которой принимает
на контуре заданное значение.
Внутренняя задача Дирихле для круга может быть сфор-
сформулирована следующим образом: найти аналитическую функ-
функцию F(z) (\z\ </?) такую, чтобы ее вещественная или мнимая
часть при \z\ = R обращалась в заданную функцию /F), где
в — угловая координата точки на контуре.
Будем искать функцию F{z) в виде ряда
F(z) = а0
Положим
тогда
z =¦¦
ап = ап +
При p = R
Ir
следовательно,
oo
/(e) = H#"(an sin nb + ft» cos пЩ.
!) Подробнее см. главу V.
Д-452.-Ю

Задача свелась к определению коэффициентов в разложении
заданной функции /F) с периодом 2тс в ряд Фурье. Эти
коэффициенты равны
2it
2в
/?"«„=— Г /F) sin nbdb (n > 0).
0
Следовательно,
oo
/7 = Im F(z) = S P" (a« sin/t6 + Pn cos Л e) =
л=0
0 I" n=l
После преобразований получим окончательно!)
f
(to) d<
! — 2/?p cos F - o>) + p2
B4.9)
Формула B4.9), дающая решение внутренней задачи Дирихле
для круга, носит название интеграла Пуассона для
круга. Единственное требование, которое предъявляется
к функции /F) — возможность разложения ее в ряд Фурье.
Нетрудно видеть, что решение внешней задачи Дирихле
для круга отличается от решения B4.9) лишь переменой
знака перед интегралом.
Пример. Применить интеграл Пуассона для определения
потенциала поля внутри бесконечного круглого цилиндра,
часть которого, отвечающая 0 < 6 < я, заряжена до потен-
диала Ult а часть, отвечающая к < 6<2тс,— до потенциала
О2. В точках 6 = 0 и 6 = ж на цилиндре примем потенциалы
равными — 2 .
Потенциал в любой точке внутри цилиндра с координа-
координатами р и Ь определяется в рассматриваемом случае выра-
выражением:
и_
Lf.
d<o
/?2 — 2/?p cos F — m) + P'
У И. М. Рыжик и И. С. Градштейн. Таблицы интегралов, сумм, рядов
и произведений, стр. 45.
146
2«
L/
da>
JP — 2/?p cos F — <o) + f
Выполняя необходимые интегрирования, получим:
2р/? sin 6
U= и* + и* + ЛтЛ*- агс tg
где в качестве arctg берется его глав-
главное значение, лежащее между — у и — .
Из рис. 49 видно, что угол видимости
диаметра АВ из точки М, в которой В
определяется потенциал, равен
Поэтому окончательно получаем
ц= и* + и* ± и*
Рис. 49
B4.10)
где знак плюс относится к 0 < 6 < к, а знак минус — к
* < е < 2к.

Глава V
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО ПРИ РАСЧЕТЕ ПЛОСКИХ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
§ 25. Некоторые элементы теории функций комплексного
переменного
Под функцией w (z) от комплексной переменной z = x + iy
в области Dz понимают зависимость
w (z) = и(х, у) + iv (х, у).
Область Dz с присоединенной к ней границей называют
замкнутой областью, а кривую, ограничивающую зам-
замкнутую область,—границей области.
В случае замкнутой области число замкнутых контуров,
на которые распадается ее граница, называется порядком
связности этой области. Порядок связности всегда на еди-
единицу больше числа дополнительных разрезов, которые не-
необходимо выполнить для того, чтобы сделать область одно-
связной.
Для однозначного определения областей пользуются
понятием о положительном направлении обхода
границы. Положительным направлением обхода границы
всегда считается такое направление, при котором исследуе-
исследуемая область остается все время слева от воображаемого
наблюдателя, двигающегося вдоль границы.
В теории функций комплексного переменного используется
наглядное геометрическое толкование функции w (z) комплекс-
комплексного переменного z, основанное на введении в рассмотрение
двух плоскостей z и w. Говорят, что в области Dz плоскости
z задана функция w (z), если задан закон, по которому каж-
каждой точке z в области Dz ставится в соответствие опреде-
определенная (не обязательно единственная) точка w в области bw
в плоскости w. Следовательно, функцию комплексного пере-
переменного можно геометрически представить как отображение
148
области, лежащей в плоскости г, на область, лежащую в пло-
плоскости w. Если функция w(z) такова, что двум различным
точкам на плоскости z соответствуют две (и только две)
различные точки в плоскости w, то отображение называется
однозначным (однолистным).
Функция w (z) называется дифференцируемой в точке z,
если:
1) существует предел
w' (z) = lim ——- ,
|Д*|-о hz
где &w = w (z + Дг) — w (z), kz = &x
2) этот предел не зависит от направления на плоскости z.
по которому вычисляется производная.
Как известно!), для дифференцируемости функции ком-
комплексного переменного w (z) — и {х, у) -(- iv (x, у) в точке z не-
необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись
условия Коши — Римана
\ди_
ox
— ,
ду
ди
——
ду
dv
—
дх
/О1- 1Ч
(zo.Jj
а сама функция w (z) была однозначно определена в окрест-
окрестности точки z.
Принимая во внимание равенства B5.1), имеем:
bc+y + i
дх ду \дх
где е — величина более высокого порядка, чем
последней формулы при As—»0 получаем:
/ , \ ди . dv dv ¦ ди *
дх дх ду ду
где
И Ду. Из
B5.2)
dv_
дх
ди
дх
а = arc tg -^— = arg w' (z).
i) См: М. А. Лаврентьев и Б. В. Шаба т. Методы теории функций
комплексного переменного. Гостехиздат, 1951, стр 20.
149

Функция w (z), дифференцируемая в каждой точке некото-
некоторой области Dz, носит название аналитической в этой
области.
Выясним теперь некоторые важные свойства отображений,
совершающихся с помощью аналитических функций. Пред-
Предположим, что функцией w (z) = и (х, у) + iv (х, у) задано
взаимно однозначное отображение области Dz в плоскости
z на область Dw в плоскости w. В частности, произвольная
фиксированная точка zo = xo + iy0 переходит в точку wo= u0 +
+ iv0. Рассмотрим геометрические свойства отображения
в бесконечно малой окрестности точек z0 и w0. Если произ-
произвольная точка z принадлежит к окрестности точки zo(\z —
— zo|<e), то положение точки w — образа точки z—с точ-
точностью до величин порядка е определяется равенствами
-. ди ,
— 4= гд~ (* —
4
ди .
-^{У-Уо)>
V
'dv
of аи i/т
' COS а и = = V Д Sin a,
дх \ ду
-xJ + ^U-yJ. B5.3)
С учетом связей, вытекающих из B5.2),
ди "edv <л/~Х dv ди
дх Ц)у '
вместо B5.3) получаем после простых преобразований:
И = X К Д COS a — У V^Sin a 4- Си,
v]=xV"Ksina + у У"Д cos а + Cv,
где через Си и Cv обозначены следующие постоянные:
си = ио — хо^ Л cos а + УоУ~Ьsin a,
Cv = vj— Xo V Д Sin а — у0 V Д cos a.
Отсюда окончательно имеем:
о/"= и + га = Az + fi,
где
B5.4)
, B=CuYiCv. ;B5.5)
Следовательно, любая аналитическая функция вблизи
точки w0 может быть представлена линейной функцией от z.
Поэтому всякое отображение w (z) вблизи точки w0 сводится
к сдвигу плоскости z на постоянный вектор (комплекс) В,
повороту на угла а = arg А и пропорциональному растяжению
(сжатию) с коэффициентом |Л| = КД-
Из равенств B5.2) и B5.5) следует, что модуль'"и аргумент
производной w' (z) означают коэффициент растяжения и угол
поворота отображения w(z) в точке z. Так как любая анали-
150
тическая функция вблизи некоторой фиксированной точки
может быть представлена линейной функцией B5.4), то совер-
совершенно ясно, что любая малая фигура на плоскости z и соот-
соответствующая ей фигура на плоскости w при бесконечном
уменьшении их размеров стремятся к подобию. В свете этого
свойства становится понятным и свойство конформности,
т. е. сохранения углов между пересекающимися кривыми,
которое послужило основанием назвать такие отображения
конформными.
Необходимыми и достаточными условиями конформности
отображения являются следующие три: а) отображающая
функция w(z) должна быть аналитической; б) функция w (z)
должна быть однозначной и е) производная wr (z) отображаю-
отображающей функции не должна обращаться в нуль внутри области.
Различают конформные преобразования двух родов: кон-
конформное преобразование I рода, сводящееся к линейному
преобразованию B5.4) и сохраняющее не только величину
углов у пересекающихся линий, но и направление их отсчета,
и конформное преобразование II рода, сводящееся к линей-
линейному преобразованию вида
4 w == Az + В
(здесь черта над z означает знак сопряжения: z= х — iy),
сохраняющему углы, но меняющему направление отсчета
последних *>.
§ 26. Аналитические и гармонические функции.
Инвариантность уравнения Лапласа при конформных
преобразованиях
Важную связь, существующую между гармоническими и
аналитическими функциями, дающую возможность использо-
использовать методы теории функций комплексного переменного при
расчете плоских электростатических полей, устанавливает
следующая теорема.
Теорема. Действительная и мнимая части произвольной
функции w(z) = и(х,у) + iv(x, у), однозначной и аналитической
в некоторой области D, являются в этой области гармониче-
гармоническими функциями.
Доказательство теоремы непосредственно вытекает из
условий Коши — Римана B5.1). Так как аналитические функ-
функции обладают производными всех порядков, то равенства
B5.1) можно дифференцировать по х и у. Дифференцируя,
1) См. М. А. Лаврентьев и Б. В. Ш а б а т. Методы теории функ-
функций комплексного переменного. Гостехиздат, 1951, стр. 98.
151

в частности, первое из них по х, и второе — по у и поль-
пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных, находим:
д2и d*v д'а
дх2 дхду
dy2
откуда
&*и д'и „
Ли = = 0.
дх2 ду*
Совершенно аналогично дифференцируя первое из равенств,
B5.1) по у, а второе по х, получаем:
д2и _ дЧ>_ _ _ cPv_
дхду ~~ дх2 ~ ду* '
откуда
dh) , d2v „
Av = = 0.
дх* ду2
Теорема доказана.
Из этой теоремы можно сделать важный для приложения
вывод о том, что любую гармоническую функцию можно
рассматривать как действительную или мнимую часть неко-
некоторой аналитической функции w (z).
Две гармонические функции и и v, связанные между собой
условиями B5.1), носят название сопряженных. Зная, например,
лишь функцию и, можно найти (с точностью до постоянной)
и сопряженную с ней функцию v, интегрируя любое из двух
соотношений B5.1).
Рассмотрим еще одно свойство аналитической функции
~w(z). Как и раньше, будем считать, что эта функция отобра-
отображает некоторую область Dz в плоскости z на область Dw
в плоскости w. Пусть, кроме того, <р {х,у) — некоторая гармо-
гармоническая функция, определенная внутри области Uz, т. е.
дх! ду*
Выясним, как изменяется оператор Лапласа функции
<? = <?[х(и, v), y(u, v)] = ?! (и, v) при отображении области Ц,
на область Dw, совершенном аналитической функцией w{z).
Вычислим производные сложной функции <р.
dv
да
дх*
ди* \дх ) dv*
д^ /dv\
dv* \ дх)
'
да
dv
dv
&JC da dx dt> dx ' dy du dy dv dy '
du dt>
cbdt> dx dx
152
ду* си* \ду) dv1 \ду)
' д ' д
dudv ' ду ду
du dy% dt> dv2
Так как функция <р гармоническая, должно выполняться
равенство
du2
I о ^8lP« Л!^ -^? 4- ^- **V \ 4- ^?1 f^lL 4- ^2ц^ 4-
^ dv \дх* ду*)~~
Но в силу условий B5.1) и соотношения B5.2)
B6.1)
ди dv . ди dv ^
dx dx dy dy
Кроме того,
д*и ,&и_ _ &v (Pv_ _ „
д~х? ду* ~~ dx* ду* ~~
В результате формула B6.1) примет вид
= 0. B6.2)
Таким образом, в результате преобразования w (z) гармони-
гармоническая в области Dz функция <?(х, у) переходит в функцию
<Pi (и, v), гармоническую в области Dw (если только | w' (z) | Ф 0),
а само уравнение Лапласа остается инвариантным при любых
конформных отображениях.
Наоборот, если попытаться установить свойства преобра-
преобразования при введении новых переменных и(х, у) и v(x, у),
относительно которого само уравнение Лапласа остается
инвариантным, то можно показать, что необходимые и доста-
достаточные условия инвариантности заключаются в выполнении
условий B5.1) и, следовательно, искомые функции и появля-
появляются вещественной и мнимой частями аналитической функции.
§ 27. Комплексный потенциал плоского
электростатического поля
Расчет всякого плоского электростатического поля сво-
сводится к решению двухмерного уравнения Лапласа при задан-
заданных краевых условиях, т. е. нахождению потенциала U(x, у).
153

Из уравнения Лапласа
i?^ + ^jl_,
дх
ду
вытекает, что всегда можно найти функцию V(x, у), тожде-
тождественно удовлетворяющую этому уравнению и связанную
с проекциями вектора напряженности Е следующими равен-
равенствами:
р —
ду
ду
дУ
дх
B7.1)
Функция V (х, у) имеет простой физический смысл. Если рас-
рассмотреть элемент силовой линии dl с проекциями на оси dx
и dy, то из условия параллельности Е и dl в любой точке
силовой линии будем иметь:
ИЛИ
дх
dx
dV
ду
ду
dV
dx
Из последнего равенства следует, что функция V сохраняет
постоянное значение вдоль силовой линии; иными словами,
семейство линий
V{x,y)=C
представляет собой совокупности силовых линий. Функция
V(x, у) в связи с этим называется функцией потока. Усло-
Условимся в дальнейшем совершенно произвольно одну какую-
нибудь силовую линию рассматривать как нулевую, полагая
V(x, y) = 0, что можно всегда слелать, так как согласно
системе равенств B7.1) функция V определяется с точностью
до произвольной постоянной.
Сопоставив обычные выражения для проекций вектора
напряженности через потенциал
Е = — — Е = — —
дх ' у ду
с выражением B7.1), получим следующую систему соотно-
соотношений:
дх
ди ду
ду ' ду
дЦ
дх
B7.2)
154
Функции U и V, следовательно, не являются независимыми
друг от друга функциями. Они связаны дифференциальными
соотношениями B7.2), которые уже встречались нам при
рассмотрении свойств аналитических функций комплексного
переменного.
При выполнении условий B7.2) или, что то же самое,
условий B5.1), положим, что u=V и v = U, тогда ком-
комплексная величина
w = V(Xt у) + iu (Xt у) B7.3)
будет не просто функцией двух переменных х, у, а функцией
одной комплексной переменной z = x + iy. To обстоятель-
обстоятельство, что W есть функция только положения точки с коор-
координатой z, вытекает также из того, что производная от нее
в этой точке, в свою очередь, должна быть функцией только
положения точки, т. е. координаты z, и не зависит от направ-
направления дифференцирования в плоскости Z. Как уже отмечалось
в § 25, выполнение условий B7.2) или B5.1) необходимо и
достаточно для того, чтобы производная W {z) не зависела
от направления дифференцирования.
Функция W носит название комплексного потенциала
плоского электростатического поля и из нее можно получить
все величины, характеризующие электростатическое поле.
Так как обе функции U(x, у) и V (х, у), входящие в B7.3),
удовлетворяют уравнению Лапласа, то безразлично, какую из
них считать потенциалом.
Обычно принято потенциалом считать мнимую часть ком-
комплексного потенциала, т. е.
U (jc, у) = Ы W.
B7.4)
Приравнивая функцию U (х, у) различным постоянным значе-
значениям
получим семейство линий равного потенциала.
Отделяя в комплексном потенциале W вещественную
часть, получим семейство силовых линий
V(x,y) =
B7.5)
Легко непосредственно убедиться в том, что линии рав-
равного потенциала и силовые линии взаимно ортогональны, т. е.
пересекаются в любой точке плоскости под прямыми углами.
Для этого достаточно вычислить скалярное произведение
155

между ортами nv и nv нормалей к рассматриваемым линиям
в любой точке поля:
Вычисляя скалярное произведение градиентов и воспользо-
воспользовавшись B7.2), получим:
+ -0,
дх дх ду ду '
что и доказывает взаимную ортогональность линий равного
потенциала и силовых линий.
Найдем выражение для вектора напряженности электро-
электростатического поля через комплексный потенциал B7.3).
С одной стороны, в комплексном обозначении можем
записать
•дх
ду
B7.6)
С другой стороны, имеем следующие'выражения для произ-
производной комплексного потенциала:
ХГB)-± + iL=L
' дх -дх ду
Переходя к сопряженной величине
дх
ду дх
и умножая ее на —i, имеем:
дх ду '
Сравнивая между собой правые части в равенствах B7.6)
и B7.7), получаем:
B7.7)
B7.8)
Модуль вектора напряженности в соответствии с B7.7) равен
E=\W\. B7.9)
Так как плотность поверхностного заряда на проводящей
поверхности (электроде) о связана с напряженностью поля
в рассматриваемой точке электрода равенством
то
156
B7.10)
Энергия аде(на единицу длины вдоль оси системы электродов),
запасенная полем, равна
= jf | W\2dD, B7.11)
Е
е 2
D D
где D — область между электродами, dD — ее элемент.
Определим суммарный заряд q на
единицу длины электрода, контур по- у i
перечного сечения которого L изо-
изображен на рис. 50. Воспользуемся тео-
теоремой Гаусса, принимая во внимание,
что в случае плоской задачи поверх-
поверхность dS=l-dz и, следовательно,
nflfe,
B7.12)
Рис. 50
где iV0 — орт нормали к линии L.
Так как
dU
-дУ
7, _ _dU_ -^_^V _ -дУ
дх ду ду дх '
а в соответствии с рис. 50
yodz = — idz = — i (dx + idy) = dy — idx,
TO
E- Nodz = — dy + ~dx = dV.
д д
ду
дх
При этом из формулы B7.12) получим:
Я=* <? dV.
Но так как
V=ReW,
а
dV=Re (dW) = Re [ W (z) dz],
то получаем теорему Гаусса в комплексной форме:
W (z) dz.
27.13)
В частном случае, когда внутри L расположено конечное
число линейных зарядов, положение которых характеризуется
157

на плоскости z точками av a2, ..., ап, формула B7.13) сущест-
существенно упрощается, так как, в соответствии с теоремой о вы-
вычетах J) , имеет место следующее соотношение:
if
W (z) dz = 2т У res W (ak).
С учетом B7.14) вместо B7.13) получим
B7.14)
= — 2га Im ? res W (ak)« .
Таким образом, зная комплексный потенциал плоского
электростатического поля W, можно найти все величины,
которые могут представить интерес при расчете поля.
§ 28. Связь между комплексными потенциалами
конформно-отображенных полей. Основная задача
В приложениях важную роль играет формула, связываю-
связывающая комплексные потенциалы конформно-отображенных полей.
Пусть в плоскости z имеется некоторое поле, образован-
образованное, например, двумя электродами Аг и Вг, поперечное сече-
сечение которых показано на рис. 51. Разность потенциалов
между электродами задана и равна Uo.
В плоскости w имеем конформно-отображенное поле с тем
же числом электродов и разностью потенциалов между элек-
электродами Aw и Bw, равной Uo (рис. 52). Будем предполагать, что
комплексный потенциал поля в плоскости w известен и равен
Рис. о!
Рис. 52
1) См. М. А. Лаврентьев и Б. В. Шаба т. Методы теории функций
комплексного переменного. Гостехиздат. 1951, стр. 77.
158
Требуется найти комплексный потенциал поля Wz в плос-
плоскости z.
Для разыскания комплексного потенциала поля в плоскости Z
отобразим поле в плоскости Z на поле в плоскости w, ком-
комплексный потенциал которого известен. Предположим, что
нам удалось реализовать это отображение функцией
w = w(z).
В результате этого контур электрода Аг должен перейти
в контур электрода Aw, а контур электрода Вг ~ в контур
электрода Bw.
В силу инвариантности оператора Лапласа можно утвер-
утверждать, что сложная функция \^[и)(г)] будет искомым ком-
комплексным потенциалом в плоскости z, т. е.
Wz=W[(w:(z)]=Wz(z). B8.1)
Нетрудно также установить связь между напряженностями
двух полей при их конформном отображении.
Дифференцируя B8.1) по z, получим:
dWz
dz
dWw dw
dw dz
B8.2)
Переходя к сопряженным значениям производных и умножая
обе части равенства B8.2) на (— I), имеем:
Ч dz ) l\dwJ\dz
и, следовательно,
B8.3)
так как, в соответствии с формулой B7.8),
_ (ЩЛ р ; fdWw\ ¦
С*- Ч dz J* C™~- l\dwJ'
Из равенства B8.3) вытекает одно важное свойство кон-
конформного отображения полей. Рассмотрим бесконечно малый
элемент / поверхности электрода Аг с координатой z0 в плос-
плоскости z и соответствующий ему элемент L поверхности
электрода Aw с координатой w0 в плоскости w. Так как оба
элемента связаны конформным отображением w(z), то
L = l\w'(zo)\. B8.4)
Плотность^поверхностных зарядов на поверхности электродов
соответственно в точках z0 и w0равна:
ого = в | Ez (z0) |, <ч = в | Ею («д |. B8.5)
Поверхностный заряд, сосредоточенный на элементе /'
равен
159

а соответствующий ему заряд, сосредоточенный на элементе L
dqL~ <Ч Z.P= eZ. j Ew (wQ) |.
С учетом соотношений B8.3) и B8.4) имеем:^
(z0)
B8.6)
так как
Из равенства B8.6) следует, что заряд, сосредоточенный
на элементе /, в точности равен заряду, сосредоточенному на
элементе L. Представив поверхности электродов Аг и Aw
разбитыми на бесконечно малые элементы, можно сделать
важный вывод о том, что при любых конформных преобразо-
преобразованиях полей суммарные заряды, сосредоточенные на элек-
электродах, остаются ,неизменными по величине. Так как при
конформных преобразованиях, кроме того, сохраняются и
потенциалы электродов, то остаются неизменными как собст-
собственные и взаимные емкости электродов, так и общая запа-
запасенная в поле потенциальная энергия.
Суммируя все сказанное выше, можно отметить, что при
конформных преобразованиях полей меняются: конфигурация
и линейные размеры электродов, напряженность поля и плот-
плотность зарядов на электродах; остаются неизменными: потен-
потенциал электродов, суммарные заряды, сосредоточенные на
электродах (или на соответственных их участках), собствен-
собственные и взаимные емкости электродов, общая потенциальная
энергия, запасенная в поле.
Установленная выше связь между комплексными потен-
потенциалами полей., при их конформном преобразовании позволяет
сформулировать основную задачу при расчете плоских элек-
электростатических полей методами теории функций комплексного
переменного.
Основная задача сводится к тому, чтобы построить функ-
функцию, осуществляющую конформное отображение области Dz,
комплексный потенциал в которой разыскивается, на область
Dw одинаковой связности с Dz, комплексный потенциал в ко-
которой известен.
В качестве областей Dw, на которые стремятся отобразить
заданную область, обычно используются:
а) для односвязных областей — бесконечная полоса (поле
плоского конденсатора), внешность или внутренность круга
(поле кругового цилиндра), верхняя полуплоскость;
б) для двухсвязных областей — концентрическое кольцо
(поле кругового цилиндрического конденсатора);
160
е) для многосвязных областей — области в виде плоскости
параллельными друг другу разрезами или разрезами, лежа-
лежащий на лучах, исходящих из одной точки.
Перечисленные выше области носят название к а н о н и-
е с к и х.
В последующих параграфах будут изложены некоторые
з наиболее часто встречающихся методов построения функ-
ий "w(z), реализующих конформное отображение заданной
бласти на одну из канонических.
Следует заметить, что общих методов построения подоб-
ой отображающей функции для любых областей еще не
айдено. Однако имеется большое число областей, отображе-
ия которых на канонические можно осуществить при помощи
омбинации элементарных функций. Разработаны также эф-
'ективные приближенные методы конформных отображений,
[ля некоторых областей . комплексный потенциал можно
тыскать с помощью прямых методов (интеграл Кристоф-
1еля — Шварца и др.).
§ 29. Метод заданного комплексного потенциала
Метод заданного комплексного потенциала заключается
следующем: задаваясь видом комплексного потенциала
W= V+iU=f(z),
уясняют, какому полю соответствует исследуемый комплекс-
ый потенциал. Анализ поля проводят, отделяя в Wмнимую
аи вещественную часть и используя принцип отвердения,
эторый состоит в том, что картина поля не изменяется, если
юбую поверхность равного потенциала заменить идеально
зоводящей поверхностью. Так как и функция U, и функция
' удовлетворяют уравнению Лапласа, то принцип отверде-
ля можно применять и к силовым линиям.
Ценность метода не велика, так как лишь в случае про-
гейших полей удается угадать комплексный потенциал.
Проиллюстрируем метод на ряде примеров.
1. Линейная функция
W(z) = V+iU =
B9.1)
ie а и b— вещественные постоянные (постоянная b может
быть опущена).
Выясним, какому полю соответствует комплексный потен-
1ал в виде линейной функции от z.
Отделяя вещественную и мнимую части W, получим:
ay, V = ax.
161

Уравнение линий равного потенциала имеет, следовательно,
вид
или
Силовые линии.Ъ свою очередь, характеризуются уравнением
х=с!.
Такой простой структурой характеризуется, очевидно,
однородное поле. Действительно, вычисляя напряженность
поля по формуле B7.8), получаем, что в этом случае напря-
напряженность не зависит от координаты z и равна
У
Рис. 53
E=—ia.
B9.2)
Рассматриваемое поле мо-
может быть создано лишь плос-
плоским конденсатором с беско-
бесконечными и параллельными
друг другу пластинами (рис.
53.) Если на пластинах такого
конденсатора заданы потен-
циалы U, и U2, то постоян-
постоянная а легко находится из крае-
краевых условий: при у = ух
при у = у2
Следовательно,
:Ui — U*
Уi—Ун
где Uo — разность потенциалов между электродами, d — рас-
расстояние между ними.
Множитель (—/) в формуле B9.2) означает, что вектор
Е направлен параллельно оси мнимых в направлении убыва-
убывания потенциала.
2. Логарифмическая функция
B9.3).
где А — вещественная постоянная.
Отделение вещественной и мнимой частей в комплексном
потенциале дает:
и= — А1п\г\, V=A F + 2for), k = 0, 1, 2,..., B9.4)
162
где 6= argz. Из последней формулы следует, что линиями
равного потенциала являются окружности
я силовыми линиями служат лучи
6 = С.
Нетрудно догадатся, что источником такого поля является
линейный заряд, расположенный в точке z = 0, где функция
B9.3) имеет полюс.
Вычисление напряженности поля по формуле B7.8) дает
е'9
Из последней формулы видно, что вектор напряженности
направлен по лучу Ь =const, а его модуль равен
1*1
Воспользовавшись, например, формулой B7.13), получим
где <7о — заряд (на единицу длины) нити.
Если теперь воспользоваться
принципом отвердения и совмес-
совместить две окружности радиуса Rt
и R2 (рис. 54) с поверхностями
проводящих цилиндров, то ком-
комплексный потенциал в форме B9.3)
будет описывать также поле вну-
внутри концентрических цилиндров.
Постоянная А определится из ус-
условия на границах: U—U, при
\z\ = R1 и U=U2 при \z\ = R2.
Так как, в соответствии с форму-
формулой B9.4), U=-A\n\z\, то
Рис. 54
и, следовательно, комплексный потенциал в этом случае
имеет вид:
W =
In —
Ri
11*
B9.5)
163

Концентрическое кольцо представляет собой простейшую
двухсвязную область с комплексным потенциалом B9.5) и по-
поэтому на него обычно стремятся отобразить двухсвязную
область более сложного вида.
Если линейный заряд расположен в произвольной точке z0,
то можно подстановкой zt—z— z0 перевести точку z0 плос-
плоскости z в точку 0,= 0 плоскости zlt а затем воспользоваться
формулой B9.3л Очевидно, что комплексным потенциалом
для этого случая будет функция
W=
/ In (——
+ С.
B9.6)
Совершенно аналогично, используя принцип наложения,
можно найти комплексный потенциал для системы линейных
зарядов qu qv ..., qn, расположенных соответственно в точ-
точках z , z9
2-
2ne0
С
B9.7)
3. Фу н к ц и я
W= A arccos - + B,
или, что то же самое,
+ Я, + iB2, B9.8)
где А, с, Bt и В2 — вещественные постоянные.
Выясним, какому полю соответствует комплексный потен-
потенциал B9,8), для чего выразим z через W:
Z = С COS
где W,=
W — B
А
х + iy
и, следовательно,
х = с cos V, ch
Определив из первого уравнения cos Vv а из второго sin Vx
и складывая их квадраты, приходим к уравнению
Отсюда
= с (cos Vj ch Ut — i sin Vx sh
/j, у — — с sin Vx sh L
B9.9)
V2
c2 ch2 иг с2 sh2 Ut
__ 1
B9.10)
Для того чтобы разыскать уравнение линий равного потен-
потенциала, достаточно положить в последнем соотношении U1 =
164
= const. При этом получается, что линиями равного потен-
потенциала служат эллипсы с полуосями a = cchf/i и b = cshU1.
Все эллипсы, определяемые уравнением B9.10), софокусны,
так как расстояние между фокусами Z7, и F2 (рис. 55j
/7/7= ol/ л2 Л2 == 2c
остается постоянным при любых ?/, = const.
Рис. 55
Аналогично, исключая параметр ?/: из соотношений B9.9),
получаем, что силовые линии V1 = const описываются урав-
уравнением
х-1
У2
1
и являются семейством софокусных гипербол, ортогональ-
ортогональных эллипсам и имеющих тоже расстояние между фокусами.
В соответствии с принципом отвердения, можно считать,
что поле, которое описывается комплексным потенциалом
B9.8), создается, например, эллиптическим конденсатором
с обкладками 1 и 2 (рис. 55). Определим для этого случая
все параметры, входящие в выражение комплексного потен-
потенциала, считая, что геометрические размеры конденсатора
и разность потенциалов между его обкладками известны.
Постоянная с, как уже отмечалось выше, равна половине
расстояния между фокусами и вычисляется через большую
и малую полуоси одного из эллипсов.
Постоянные А и В2 определим из граничных условий на
электродах. Так как в соответствии с соотношением B9.8)
=\m W=Aln
¦/(f)'-
165

то, например, для точек М1 и М2 должны быть справедливы
равенства
( f(J } B2=A arch -^- + В2 ,
U, = A In (^-
U2=A In t-SL +|/^У - 1 j + Я2 = A arch -^ + B2.
?
Отсюда
U,-
arch — — arch —
с с
arch— — arch —
с с
B9.11)
B9Л2)
Так как отсчет силовых линий произволен, можно поло-
положить
В1=0.
Найдем теперь выражение для напряженности электрического
поля в любой точке z между электродами.
Из формулы B9.8) имеем:
IV7/ Я • 1
или, так как (рис. 55) z — с =
', z+c =
, °| — "а
Следовательно,
¦г в. + в,
А е 2
B9.13)
где А определяется из соотношения B9.11).
Максимальная напряженность, очевидно, имеет место в точке
Mt на поверхности внутреннего эллиптического электрода
и равна
Ем= А
На рис. 56 в качестве примера приведено поле внутри
цилиндрического конденсатора с эллиптическими электродами
=0, U.2= 1,-^ = 2,5; -^ = 2,5 ).
«! fcl /
166
Рис. 56
Частным случаем рассмотренного поля может быть поле,
созданное бесконечно тонкой пластиной, помещенной внутри
эллиптического цилиндра. Если уменьшать до нуля величину
малой полуоси bv то в пределе большая полуось совпадает
по величине с половиной междуфокусного расстояния (о, = с).
В этом случае
arch
«а
—-
С1
а напряженность Ej?— oo, что вполне понятно, так как плас-
пластинка была принята бесконечно тонкой.
Двумя paccMofpeHHHMH задачами не исчерпываются все
поля, которые характеризуются комплексным потенциалом
в форме B9.8). Как уже отмечалось выше, принцип отвер-
отвердения можно применять и к силовым линиям. Заменяя две
произвольные поверхности Vt = const и V2 = const (рис. 57)
электродами с потенпиалами Ux и U2, можно получить поле
между двумя гиперболическими софокусными цилиндрами.
Так как в рассматриваемом случае линиями равного потен-
потенциала являются гиперболы, а силовыми линиями — эллип-
эллипсы, то необходимо в комплексном потенциале B9.8) поменять
местами функции V и V. Для этого достаточно умножить W
на (— i), т. е. новый комплексный потенциал W1 будет равен
W
x = iW= — i (
Л arc cos —Ь В) =
с
= Во — i(A arc cos
B9.14)
Отделяя мнимую часть в комплексном потенциале B9.14),
находим А и Bv Удовлетворяя граничные условия в точках
167

М1 и М2 (рис. 57), имеем следующую систему уравнений для
определения постоянных А и Вг
Отсюда
Рис. 57
A =
2 г
arc cos — — arc cos —
с с
l — Ui) arc cos —
с
2 1
arc cos — — arc cos —
с с
Постоянная В2 может быть положена равной нулю.
Напряженность поля в любой точке z между электродами
может быть выражена формулой, аналогичной формуле B9.13):
,-U г
1 9~
а2 а\
arc cos — — arc cos —
с с
B9.15)
168
Уз
Рис. 58
Рис. 58 иллюстрирует поле между двумя симметричными
гиперболическими софокусными цилиндрами / и 2 (?/, = — 1,
U2 — 1, —*- = 3, ах = — а2). Частным случаем последней задачи
является пбле, образованное бесконечными электродами в виде
тонких пластин, разделенных изолирующим промежутком
(рис. 59). В этом случае вертикальная полуось электродов
стремится к нулю (at —»с) и, следовательно,
S + в.
F— /
B9.16)
Пример такого поля дан на рис. 60.
Рис. 59
U=U,
169

Рис. 60
§ 30. Отображение заданной области на каноническую
с помощью комбинаций элементарных функций
Как отмечалось в § 28, отыскание комплексного потен-
потенциала поля сводится к построению аналитической функции,
выполняющей отображение заданной области на канониче-
каноническую.
В ряде случаев такое отображение удается выполнить
с помощью различных комбинаций элементарных функций
комплексного переменного, свойства которых достаточно
хорошо изучены.
Сущность метода можно пояснить на следующих задачах.
Пример I. Поле, созданное заряженной нитью, находя-
находящейся между двумя параллельными заземленными плоско-
плоскостями (рис. 61, а). Эта задача возникает, например, при ра-
расчете электрофильтров.
Отобразим полосу между плоскостями на одну из канони-
канонических областей, например, на верхнюю полуплоскость.
С этой целью воспользуемся функцией
w = e*. C0.1)
Функция C0.1) обладает свойством периодичности с перио-
периодом 2яг; для любого целого k имеем
170
В силу свойства периодичности изу-
чение функции е? на всей плоскости
г сводится к изучению ее в полосе
0 < у < 2я. В указанной полосе функ-
функция C0.1) однозначна. Если ввести
на плоскости w полярные координа-
координаты да = ре'9, то из формулы C0.1)
получаем
Из этих равенств видно, что функция
C0.1) преобразует прямые у = const
в лучи 6 = const, а прямые х — const
в окружности р = const. Бесконечная
полоса 0<>'О преобразуется в
верхнюю полуплоскость на плоское-
ти w, причем границы полосы пере-
ходят в ось абсцисс на плоскости чю.
При линейном преобразовании
z. = — заданная полоса высотой d перейдет в полосу высо
d t
той п (рис. 61, б).
Используя теперь преобразование
Рис 61
w==^ = ea , C0.2)
отобразим заданную полосу на верхнюю полуплоскость
(рис. 61, в). При этом заряженная нить в точке @, Ь) перей-
перейдет в точку
Комплексный потенциал поля, образованного заряженной
нитью над проводящей плоскостью у = 0, находится с по-
помощью формулы B9.7). При этом нужно ввести зеркальное
изображение заряда q относительно плоскости (т. е. по-
поместить заряд (— q) в точке w0 = e d . Получаем
или, в развернутом виде,
W =
щ
In
w — w0
~z -
а
е — е
d a
е — е
С.
C0.3)
171

Определим постоянную С из условия, что при чю — \ имеем
W== V+ Ш==0 (пластины по условию имеют нулевой потен-
потенциал, отсчет силовых линий произволен). Это дает
Отсюда вместо C0.3) имеем
= -^-1п
sh ^ (*+'*)
2ltE0
In
¦aZ тгЬ
1 ~ith й ¦ctg ы
T.Z Tib
l+ith-.ctg-
или, так как
1 —iz
W = -Z-i
C0.4)
U=0
Это и есть комплексный потенциал задачи.
Пример 2. Поле между ано-
анодом и катодом лампы с сеткой
(рис. 62, а). Для простоты бу-
и=0 дем считать, что расстояние
,q.q\q д д. ,~. между анодом и катодом значи-
foTo| тельно меньше их ширины, а
i проволочки, из которых состоит
сетка, заменим линейными за-
зарядами.
Для решения задачи восполь-
воспользуемся принципом наложения,
считая, что на поле линейных
—*-v зарядов, помещенных между
и'° заземленными бесконечными
щ пластинами, накладывается од-
"' _Х нородное поле, создаваемое раз-
" V4« ностью потенциалов между ано-
анодом и катодом Uo.
Рис. 62 Используя то же преобразо-
преобразование, что и в предыдущей
задаче C0.2), отобразим бесконечную полосу в плоскости z
на верхнюю полуплоскость. При этом заряженная нить с ко-
координатой zn = na + ib (n = — оо,..., — 2, —1,0, 1, 2,..., оо)
иёрейдет на плоскость w в точку
ПК . К
C0.5)
172
Из последнего выражения видно, что все линейные заряды q
в плоскости w расположены на луче, повернутом по отно-
отношению к оси вещественных на положительный угол 0 = ~&.
d
Положение каждого заряда на луче характеризуется радиу-
сом-вектором pn=ed (рис. 62,6). Так как величина суммар-
суммарного заряда нити при конформных преобразованиях не изме-
изменяется, то так же, как и в плоскости z, все заряды q будут
равны по величине друг другу. Введя изображенные заряды
в плоскости, легко составить комплексный потенциал йоля
в плоскости w, как для системы линейных зарядов по фор-
формуле B9.7).
! 2ТОо U
w,=
In
W — Wn
c.
Определим постоянную С из условия, что при w = 1 имеем
W1 = 0. Это дает
С=—
откуда
jq
2ice0
(w — wn)(\ —wn)
(w — wn) A — wn)
Комплексный потенциал с учетом разности потенциалов между
анодом и катодом равен
, «ft
~ T
JSL
ln
d
—e -e
rz пка
d ' d . .. d
—e -e ) A — e -e
~l d.
На рис. 63 приведено в качестве примера поле между ано-
анодом и катодом электронной лампы с сеткой при Uo = 0
d 2 ' b 3 ' "'
Пример З. Поле двух заряженных цилиндров. Рассмотрим
случай, когда цилиндры не охватывают друг друга (рис. 64, а).
При решении этой задачи воспользуемся дробно-линейной
функцией. Так как последняя очень часто используется в
практике расчетов, то остановимся кратко на ее свойствах.:
173

0=0
Рис. 64
Дробно-линейной называют функцию
где а, Ъ, с, d — постоянные, причем ad — bc=?Ox\ Решая
соотношение C0.7) относительно г, получаем также дробно-
линейное преобразование:
— dw -J- Ь
г= ¦ . C0.8)
cw — а
Дробно-линейное преобразование обладает тем замеча-
замечательным свойством, что любая окружность в плоскости z
Ч Если бы ad — be = 0. то правая часть C0.7) была бы постоянной, не
зависящей от г.
174
пеоеходит в окружность на плоскости w и обратно; при этом
прямая может рассматриваться как окружность с бесконечно
большим радиусом. Проще всего доказать отмеченное свой-
свойство следующим образом. Уравнение окружности имеет в об-
общем случае следующий вид:
где А, В, С, D — действительные постоянные.
Замечая, что
х
z+z j.i==.
х2 + у2 = zz,
можно уравнение окружности записать так*:
Azz + Mz + Mz + D = О,
где „ . .„ „ 1П
Чтобы теперь получить уравнение линии в плоскости w, со-
соответствующей на плоскости г окружности, необходимо вы-
выразить z и г через да с помощью формулы C0.8). После пре-
преобразования снова получаем уравнение окружности
где A0,M0 и Do — некоторые новые постоянные, выражаемые
через А М, D, а также а, Ь, с и d.
Дробно-линейное преобразование обладает также важным
свойством сохранения симметричных точек1': оно преобра-
преобразует любую пару точек г, и z2, симметричных относительно
произвольной окружности Сг в плоскости z, в пару точек
да, и w2, симметричных относительно Cw — образа окруж-
окружности С, на плоскости чю2).
Используем свойство дробно-линейного преобразования
сохранять окружности и отобразим область между электро-
электродами (рис. 64, а) на концентрическое кольцо, которое пред-
представляет собой простейшую двухсвязную область, комплекс-
комплексный потенциал которой известен.
Если разыскать положение точек г, и z2, одновременно
симметричных относительно обеих данных окружностей Ct
1) Напомним, что симметричными относительно произвольной °«ФУ?
ности Г„ точками называют точки, расположенные на луче, проходящем
"eS ЙнТоВДжиос™ с* причем Произведение их расстояний до центра
окружности Со равно квадрату радиуса окружности Со. .
2) Доказательство этого свойства можно найти, например, в кн..
М. А Лаврентьев и Б. В. Шаба т. Методы теории функций ком-
плексиого переменного, Гостехиздат, 1951.
175

и С2, которые совпадают с поверхностями заряженных цилин-
цилиндров, то при отображении
-=:-5t C0.9)
окружности С, и С2 перейдут в окружности С/и С2, для
которых точки w1 = 0 и w2 = оо также будут симметричными.
Отсюда следует, что окружности С/ и С2 — концентрические,
и их центр совпадает с началом координат в плоскости w
(рис. 64, б).
Найдем теперь симметричные точки относительно окруж-
окружностей С, и С2. Из рис. 64, а имеем:
Решая эту систему относительно at и а2, получим
я, = /г2 ± V h\ — RJ,
a2 = h2
где введены обозначения
C0.10)
В выражениях C0.10) перед корнями, очевидно, необходимо
взять знак минус, так как ai<Rl и а2 < R2.
Поместив начало координат в симметричной точке zv
расположенной внутри окружности Cv получим
-Rl = 2/h
R\,
так как легко убедиться, что
Следовательно, функция
w = •
C0.11)
выполняет нужное отображение.
Комплексный потенциал поля найдем, воспользовавшись
формулой B9.5),
w
In h.
i in
, C0.12)
176
где ?/ги ^ — потенциалы цилиндров, а р, и р2 —радиусы
окружностей С[ и С2 в плоскости w.
Вычислим радиусы р1 и р2. Радиус внутренней окружности
С,' определим, например, по положению точки М'х, соответ-
соответствующей точке M1(z = R1 — tfj) окружности С2. Получаем
h\-R\
h\-
^-/^-l/ftZ^ 2/?! (Й! — /?l)
Аналогично определим радиус окружности С2 по точке
M2(z = D + R2 — аг) окружности С2 (рис. 64, а):
Если необходимо определить емкость цилиндров, то, прини-
принимая во внимание отмеченное выше свойство сохранения не-
неизменной величины емкости при конформных преобразованиях,
найдем последнюю в плоскости w для двух концентрических
цилиндров:
С==
mJi
In
hi - R\
Rt)
Oh
#2) (У h\ ~ Rj + Rt- hi
;C0.13)
Комплексный потенциал поля вне цилиндров окончательно
может быть записан следующим образом:
НЩ-Щ
h1 Л2
arch +arch—¦
Rt R2
In
г —2 -\/h\-R\
C0.14)
В частном случае, когда Rt=R2 = R имеем:
¦^1 -R2
2 arch ^
C0.15)
Д-452.-12
177

Наконец, в том случае, когда
W =
C0.16)
так как
, D , D
arch — = In
2R R
'¦»(?)'
По комплексному потенциалу C0.14) на рис. 65 построено
поле между цилиндрами с неравными радиусами (в расчетах
U 1U \R 2R D 32/?)
принималось: Ul — 1,
/
р ру
= — \,Rl = 2R2, D = 3,
Рис. 65
Тем же методом находится комплексный потенциал поля
между цилиндрами, один из которых расположен внутри дру-
другого. Это решение рекомендуется проделать читателю и
сравнить полученные здесь результаты с результатами реше-
решения той же задачи (§ 16, пример 5) более элементарным ме-
методом на основании рассмотрения поля двух параллельных
линейных зарядов.
§ 31. Интеграл Кристоффеля — Шварца
Для одного частного случая областей, ограниченных от-
отрезками прямых (многоугольников), можно указать единый
метод нахождения отображающей функции. Этот метод ба-
178
зируется на использовании интеграла Кристоффеля — Шварца4;
W
=C С {¦w — alfl-l{w — a2)a'-x... (w — «„)""" * dw + С, =
z=
= C
C1.1)
k=\
реализующего конформное отображение верхней полуплос-
полуплоскости Im та> > 0 на внутренность многоугольника в плоскости z
(рис. 66, а) с внутренними углами aftit при вершинах. При этом
предполагается, что известны точки ak действительной оси
Рис. 66
1) Вывод формулы C1.1) имеется в кн.: В. И. Смирнов. Курс высшей
математики, т. III, ч. 2. Гостехиздат, 1949, стр. 142.
12* 179

плоскости w (рис. 66, б), соответствующие вершинам много-
многоугольника Ак.
Целесообразно ввести в рассмотрение углы \t.kit (рис. 66, а),
дополняющие внутренние углы а^тс многоугольника до л. Оче-
Очевидно, что на угол [АЛтг должна быть повернута сторона мно-
многоугольника Ak_1Ak при переходе с нее через вершину Ak
на сторону AkAk+i (положительное направление обхода об-
области, заключенной внутри многоугольника).
Так как ak + v-k = 1, интеграл Кристоффеля — Шварца часто
используется в следующей форме:
w
Г
dw
Cv C1.2)
Щ, k—l
Входящий в выражение C1.2) угол }*й считается положитель-
положительным, если поворот стороны Ak_1Ak до совпадения ее продол-
продолжения с направлением стороны AkAk+1 происходит против
часовой стрелки; в противном случае углу приписывается
отрицательный знак.
Для суммы всех внутренних углов ft-угольника выполняется
равенство
2 o.k = п - 2
и, кроме того,
следовательно,
k=i
= 2.
Убедимся, что интегралы C1.1) и C1.2) действительно
отображают верхнюю полуплоскость на внутренность много-
многоугольника. В самом деле, аргумент производной функции C1.1)
п
?=arg с+2
сохраняет постоянное значение на любом отрезке akak+1 дей-
действительной оси в плоскости w, а сама производная внутри
такого отрезка не обращается в нуль. Следовательно, функ-
функция в форме C1.1) однозначно переводит отрезок
180
в прямолинейный отрезок AkAk+1. При обходе каждой точки ak
(где конформность нарушается, так как —=0) по беско-
\ dw у
нечно малой окружности слева направо arg— получает при-
dw
ращение
(«*-!)(-*) = (-**)(-*) = №
и, следовательно, движение в плоскости w продолжается по
отрезку, повернутому на угол \>-k^ в положительном направ-
направлении, т. е. по отрезку AkAk+l. В силу принципа соответствия
границ, интеграл Кристоффеля — Шварца действительно реа-
реализует конформное отображение полуплоскости Im w > 0 на
внутренность многоугольника А1,...,Ап.
Интеграл C1.1) записан в предположении, что точки ak,
соответствующие вершинам многоугольника, известны. Од-
Однако обычно задается лишь геометрия многоугольника в пло-
плоскости z, т. е. положение вершин многоугольника Ak и углы ak,
а положение точек ak подлежит определению. Должны быть
определены также постоянные С и Cj. Комплекс Ct смещает
многоугольник в плоскости z. Комплекс С = \ С \ el arg c , в свою
очередь, растягивает (сжимает) все стороны заданного много-
многоугольника в \С\ раз и поворачивает многоугольник на угол
6 = arg С. При различных С многоугольники в плоскости z по-
подобны.
Подсчитаем число параметров, входящих в интеграл
Кристоффеля — Шварца. Для составления отображающей
функции необходимо знать следующие параметры: alt а2,..., ап,
аи д2,..., ап, С и Ct.
Из условий задачи нам известны углы ak (в долях тг) и отно-
отношение второй, третьей,..., (« — 2) стороны к первой стороне
2»-
*в-2-
C1.3)
Отношение последних двух сторон к первой, очевидно, пол-
полностью определяется на основании этих данных.
Если подобрать в функции
.«•. — 1
dw
параметры аи а2,...,а„ так, чтобы удовлетворялись соотно-
соотношения C1.3), то эта функция будет совершать конформное
отображение верхней полуплоскости на многоугольник
А\,..., А„, подобный заданному. Для того чтобы перейти
181

от многоугольника А\,...,А*п к многоугольнику Л,...Л„,
воспользуемся линейным преобразованием
z = Cz* + С„
в котором постоянные С и С] легко найти, сопоставляя по-
положения и линейные размеры подобных многоугольников в
плоскостях z и z*.
Таким образом, для определения параметров аи...,ап,
входящих в интеграл Кристоффеля— Шварца, можно соста-
составить лишь (« — 3) соотношений C1.3). Тот факт, что их число
на три меньше числа подлежащих определению параметров ak,
дает право произвольно задавать соответствие 3-х точек
zu z2, гг и wv w2, w3, для которых можно составить три
дополнительных уравнения
z«=C
ws "
f П (<» — а*
С,.
Обычно число неизвестных av..., an снижают на три, прини-
принимая за дополнительные точки wlt щ, да3 сами точки ak, т. е.
lt щ, 3
образы вершин многоугольника. Например, можно
и
принять
1 l, 2 2 л а3.
Следует отметить, что параметры ак входят в уравне-
уравнения C1.3) нелинейно. Поэтому их отыскание представляет
главную трудность при построении отображающей функции.
Рассмотрим некоторые особые случаи преобразований, свя-
связанных с интегралом Кристоффеля — Шварца.
1. Одна из вершин многоугольника соответ-
соответствует бесконечно удаленной точке' вещест-
вещественной оси на плоскости да. Пусть, например, ап= оо.
Чтобы привести этот случай к рассмотренному, в котором
все ak конечны, совершим дробно-линейное преобразование
w
полуплоскости Im w > 0 на полуплоскость Im С> 0, перево-
переводящее точки аи а2,...,ап в конечные точки а\, а'2,...,а'п.
Тогда функция, преобразующая полуплоскость Im Cj > 0 на
внутренность многоугольника, будет иметь вид:
С п
z==cf
w n—1
w,
182
Приведем теперь все скобки к общему знаменателю и выне-
вынесем из каждой скобки множитель (a'n — a'k). В результате
получим
W Я—1
Wo
где
W '
1
Так как сумма внутренних углов «-угольника
п
J] ak = п — 2,
то окончательно получаем
w я—I
z = C С Y](w-a>fk dw + Cv
Таким образом, если одной из вершин многоугольника соот-
соответствует бесконечно удаленная точка, то относящийся к
этой вершине множитель в интеграле Кристоффеля — Шварца
выпадает. Это обстоятельство
широко используется при рас-
расчете полей для упрощения ин-
интеграла C1.1).
2. Одна или несколько
вершин многоугольника
лежит в бесконечно уда-
удаленной точке. Пусть верши-
вершина At (рис. 67) «-угольника лежит
в бесконечности. Возьмем на лу-
лучах А-_Иг и А-,А1+1 по произволь-
произвольно выбранной точке At и Л/ и
соединим их отрезком прямой.
Рассмотрим далее полученный
(п + 1)-угольник. Функция, ото-
отображающая верхнюю полуплос-
полуплоскость на внутренность последнего, очевидно, имеет вид:
W П I "
C1.4)
за исключе-
183
Рис. 67
где П означает знак произведения по всем k
нием k = i.

Пусть отрезок AiAi удаляется на бесконечность, оставаясь
параллельным самому себе. В этом случае точки а] и а] сли-
сливаются в одну точку аь а два последних множителя пере-
а. + а", — 2
ходят в один (w — at) . Если обозначить через ар
взятый со знаком минус угол пересечения лучей Ai_1Ai и
AjAi+i в конечной точке Ai, то из треугольника Д-Д-Д-
имеем а\ -f о.". — at = 1, т. е. а. + aj — 2 = a,- — 1.
Следовательно, формула C1.4) принимает обычный вид
= C f
Таким образом, формула Кристоффеля — Шварца остается в
силе и для многоугольников, у которых одна или несколько
вершин лежат в бесконечности, если при этом угол между
двумя прямыми с вершиной в бесконечности определяется
как угол в конечной точке их пересечения, но взятый со
знаком минус.
3. Отображение внутренности единичного
круга на внутренность многоугольника (рис. 68).
Найдем сначала функцию, отображающую внутренность еди-
Рис 68
ничного круга на верхнюю полуплоскость вспомогательной
плоскости т. Если выбрать в плоскости т две симметричные
относительно вещественной оси точки, например + i и — i,
то дробно-линейная функция вида C0.9)
184
переводит верхнюю полуплоскость 1тт>0 в круг |ffi»j<l,
а выбранные симметричные в плоскости т точки перейдут
в точки ?2»=0 и w = oo, симметричные относительно окруж-
окружности единичного радиуса в плоскости w.
Обратное преобразование
i w — 1
отображает внутренность единичного круга на верхнюю по-
полуплоскость.
Подставляя т в C1.2), приходим к формуле вида:
т в
w п
C1.5)
где точки ak лежат на единичной окружности и определяются
по точкам ak:
аи
(\ak\ = \,
Так как углы \ik и ak (рис. 68 а) связаны очевидным ра-
равенством:
то вместо C1.5) можно также написать
w п
= С С П (w - a'k)k ~1dw+Cl.
z =
C1.6)
Преобразования C1.5) и C1.6) по своему внешнему виду
не отличаются от C1.1) и C1.2).
4. Отображение внутренности единичного
круга на внешность многоугольника (рис. 69, а)
выполняется с помощью следующего интеграла Кристоф-
Кристоффеля — Шварца1}
C1.7)
отличающегося от интеграла C1.1) дополнительным множи-
I) Строгий вывод формулы C1.7) приведен в кн.: В. И. Смирнов.
Курс высшей математики, т. Ш, ч. 2. Гостехиздат, 1949, стр. 152.
185

Рис. 69
телем w~2. В последнем интеграле через фк обозначены внеш-
внешние углы многоугольника.
Появление дополнительного множителя w~2 обусловлено
тем, что внешняя область многоугольника включает в себя
и бесконечно далекую точку z—>oo в то время, как у внут-
внутренности круга все точки расположены на конечном расстоя-
расстоянии от его центра.
Примем для простоты, что центр круга w=0 соответ-
соответствует z—-> оо. Это условие будет выполнено, если отобра-
отображающая функция z = z(w) будет иметь в точке to = 0 простой
полюс, а ее производная вблизи той же точки будет иметь
разложение вида:
—
dw
M.w
Если под цй понимать те же углы, что и ранее (при опреде-
определении знака углов jift следует, однако, учитывать, что для
внешности многоугольника положительным направлением об-
обхода границы области является обход по часовой стрелке),
то углы рл и [ifc связаны между собой очевидным равенством
откуда вместо C1.6) имеем
C1.8)
We
С одной стороны, сумма всех внешних углов /г-угольника
составляет (п + 2) я, откуда
186
с другой стороны,
п
Л=1 й=1
поэтому сохраняется равенство
ft—1
5. Отображение внешности единичного кру-
круга на внешность многоугольника (рис. 69). Пре-
Преобразование w = — переводит внутреннюю область единич-
единичного круга во внешнюю область единичного круга. Совер-
Совершая необходимые преобразования в формуле C1.8), имеем:
x-a'/^+c; (Kl=l). C1.9)
Подынтегральную функцию в C1.9) можно преобразовать:
г = С f f] A - 4"У* d% + Ci • CU0>
f
to k=l
Так как |а^| = 1 и |т|>1, то, разлагая подынтегральную
функцию в ряд в окрестности бесконечно удаленной точки
(т. е. при М>1) и интегрируя ее, получим
Для того чтобы отображающая функция была однозначной
при больших т, в ней не должен присутствовать логарифми-
логарифмический член. Поэтому необходимым и достаточным условием
однозначного отображения служит следующее равенство:
/.., =п C1-11)
которое, например, выполняется, для всех правильных много-
многоугольников.
187

Поясним метод на следующих примерах.
Пример 1. Поле у края плоского конденсатора.
Как известно, на краях конденсатора конечной длины
имеет место так называемый краевой эффект, т. е. значи-
значительное увеличение напряженности поля по сравнению с
однородным, получающимся при бесконечных электродах.
Рассчитаем поле на краю конденсатора (рис. 70 а) в пред-
предположении, что конденсатор имеет бесконечную длину в
направлении, перпендикулярном рисунку, и что влиянием
краевого эффекта на противоположном конце конденсатора
можно пренеберечь.
У
ч о
ь
73-
V
и
и
0=0
D
I v.
Рис. 70
Обозначим разность потенциалов между пластинами через
Uo, а расстояние между ними — через d. В силу симметрии
достаточно рассмотреть лишь верхнюю половину поля, где
часть полуплоскости, ограниченная электродами, представляет
собой вырожденный треугольник А1, А2, А3 с вершинами At
и А2 в бесконечности. Так как в данной задаче многоуголь-
многоугольник имеет всего три вершины, то положение точек av а2. а3
в плоскости w может быть задано произвольно. Для облег-
облегчения задачи построения комплексного потенциала поля в
плоскости w выберем соответствие точек таким образом,
чтобы сторона AtA2 перешла в полуось (—со, 0), сторона
А2А3 — в отрезок @,1) и сторона А3А1~в отрезок A, со).
Определим углы pk и ak при вершинах. Так как рассматри-
рассматривается внутренняя область треугольника, то положительным
направлением обхода границы области является направление,
противоположное вращению часовой стрелки. Для того что-
чтобы сторона А2А3 оказалась продолжением стороны AtA2,
последнюю необходимо повернуть против часовой стрелки
на угол те, поэтому р2 = 1 (а2=1—1*2 = 0)- Сторона A3At бу-
будет продолжением стороны А2А3, если последнюю повернуть
также на угол it, но по ходу часовой стрелки. Следователь-
Следовательно, [Х3= — 1 (<*3=1 — Из = 2). Наконец, сторону A3At необхо-
необходимо повернуть на угол 2я против часовой стрелки, чтобы
188
ее продолжением оказалась сторона АХА2. Отсюда ^, =
= 2@4 = 1-^ = -1).
Перед составлением искомого интеграла полезно прове-
проверить правильность определения углов ak и ]ik. Как указыва-
указывалось выше, сумма всех внутренних углов /г-угольника должна
равняться (п —2), а сумма всех углов цл = 2. В нашем
случае (ft=3) имеем
о, + а2 + «з = - 1 + 0 + 2 = 1,
= 2 + 1 - 1 = 2.
Оба результата правильны.
Таким образом, получается следующая таблица парамет-
параметров, входящих в интеграл Кристоффеля — Шварца:
2
3
оо
. оо
2
оо
0
1
aft
—1
0
2
+2
+1
—1
Так как одна из точек (Gj) преднамеренно совмещена с бес-
бесконечно удаленной точкой, то в интеграле C1.1) или C1.2)
выпадает одна из скобок. Поэтому функция, отображающая
верхнюю полуплоскость Imto>0 на внутренность треуголь-
треугольника А1А2АЯ, имеет вид:
2 = С | а; (да — 1) cto H- С,.
Нижний предел интеграла произволен и оказывает влияние
лишь на величину Сг Результат интегрирования содержит
логарифмическую функцию, поэтому удобно положить дао=1
и тогда получаем
z (w) = С {w — In да) +
C1.12)
Определим постоянные С и С,. При обходе точки w = 0
по окружности бесконечно малого радиуса р функция z (w)
получает приращение
Аг @) = lim [С (w - In w) + С, ]* = Р еЫ = СЫ. C1.13)
С другой стороны, переходу с левой полосы на правую в
плоскости w соответствует переход с нижнего электрода
189

AtA2 на верхний электрод A2AS, т. е. функция z получает
приращение
Az@) = i-|-. C1.14)
Сравнивая выражения C1.13) и C1.14), получаем:
d
С =
2тс
Постоянную С, определим по положению соответствующих
друг другу точек A3fz=b + i—j и да = 1. При да = 1 из
формулы C1.12) имеем
и, следовательно, можно положить
1 2 2тс
В результате C1.12) принимает вид
z(w) = — (w-lnw) + i— .
C1.15)
Теперь нужно найти комплексный потенциал W(w) =
= V+iU, соответствующий полю в плоскости w, для кото-
которого U = 0 при — со < да < О и U = — при 0 < да < со.
Этот комплексный потенциал имеет вид
iB. C1.16)
Действительно,~выражение C1.16) отличается от логарифми-
логарифмического комплексного потенциала B9.3) только отсутствием
множителя i перед знаком логарифма. Поэтому комплексно-
комплексному потенциалу C1.16) отвечает поле, эквипотенциальные ли-
линии которого в плоскости w образуют лучи, а именно:
U=lmW=A6 + iB, C1.17)
где 6 = argto. Согласно краевым условиям,
Следовательно,
U=^- при 6 = 0,
U = 0 при 6 = л.
190
= — -^- (In W
Z1C
C1.18)
Решив C1.18) относительно w и подставив результат в
C1.15), находим следующее выражение, связывающее ком-
комплексный потенциал и координату zполя:
2
d
JF
— е и° .
Последнее равенство трансцендентно; его не удается разре-
разрешить явно относительно W.
Напряженность поля в плоскости z, согласно B8.3), равна
Е, = Eww' (z),
где
w
d да— 1
Следовательно,
C1.19)
Из равенства C1.19) видно, что внутри конденсатора вда-
вдали от его края (при приближении к точке А2, т. е. при
да—»0) поле стремится к однородному (Ео= ?—\
\ d )'
В точке w = 1 напряженность неограниченно возрастает.
Физически это вполне понятно, так как точка w= 1 соот-
соответствует точке А3 в плоскости z, т. е. краю палстины, при-
принятой в расчете бесконечно тонкой. Но и в том случае,
когда пластина имеет конечный радиус закругления, макси-
максимальная напряженность имеет место в точке Л3. Это обстоя-
обстоятельство следует учитывать при использовании плоского
конденсатора в исследованиях таких явлений, как электри-
электрический пробой газа, масла и т. п.
В. Роговский показал, что при определенном выборе очер-
очертания электродов можно добиться того, чтобы напряженность
на краю конденсатора была не больше, чем в средней части
конденсатора. Для того чтобы найти нужную конфигурацию
электродов, проанализируем подробнее комплексный потен-
потенциал поля W. Параметрические уравнения линий равного
191

потенциала (U= cons.t) и силовой линии (V= const) легко
найти по формуле C1.15), полагая в ней <w = $e®, а именно:
z = — (w — In w) + i — = — (p cos б + i p sin 6 —
2ъ 2 2тс
где р изменяется от 0 до оо, а 6 — от 0 до 2я. Отделяя ве-
вещественную и мнимую части, приходим к системе парамет-
параметрических уравнений:
х = — (Pcos6-inp),
Z7C
= -^ (Р sin
6),
C1.20)
которая представляет собой линии равного потенциала при
6 = const и силовые линии при р = const.
Вычислим напряженность поля вдоль некоторой силовой
линии р = const. Дифференциал дуги силовой линии равен
/
Ш т - f/?=
А
так как
При движении вдоль силовой линии, как это вытекает из
формулы C1.17), приращение потенциала равно
Следовательно, напряженность поля вдоль рассматриваемой
силовой линии найдется так:
аи
V f — 2p cos 6 + 1
й у р2 — 2р cos 6 + 1
где Ео — средняя напряженность поля между обкладками.
Минимальное значение знаменателя будет соответствовать
максимуму Е вдоль силовой линии. Условия минимума зна-
знаменателя сводятся к выполнению соотношения
Р = cos 6.
Так как р > 0, то максимум напряженности вдоль силовой
линии может иметь место лишь в том случае, когда
192
т. е. в диапазоне линий равного потенциала, характеризуе-
характеризуемых углами 6 от 0 до — (эти линии прилегают к верхнему
электроду, рис. 71).
На участке силовой линии, соответствующем линиям рав-
равного потенциала, характеризуемым углом б в диапазоне от
я/2 до it (эти линии прилегают к оси симметрии конденсато-
конденсатора) напряженность не имеет максимума. На линии 6 = —
распределение напряженности вдоль силовой линии опреде-
определяется следующим законом
d
+1
и, следовательно, напряженность поля на любой силовой ли-
линии меньше, чем в глубине конденсатора (р = 0). Роговским
было предложено в связи с этим изготовлять электроды с
такой конфигурацией края, чтобы последний получался на
основании принципа отвердения из линии равного потенциала,
харяктеризуемой углом 6 >
Для такой конфигурации
электродов, очевидно, максимальная напряженность поля
равна напряженности однородного поля Ео = -—-.
Очертания электрода Роговского при 6 = — показано на
рис. 71 сплошной линией ?/= —•
Пример 2. Поле бесконечной шины поперечное сечение
которой является прямоугольником, либо правильным много-
многоугольником.
Рис. 71
Д-452.-13
193

а) Поле шины прямоугольного сечения (рис.
72). Пусть отношение сторон прямоугольника равно AtA4 :
'.А1А2 = \. Поместим начало координат в пентре прямоуголь-
прямоугольника. Точки а1, а2, as, a4 на е шничной окружности в плос-
плоскости да (рис. 72), соответствующие вершинам прямоугольника,
нужно выбрать так, чтобы было сохранено заданное соотно-
соотношение между сторонами прямоугольника. Три точки ах, а2
Рис. 72
и а3 можно выбрать произвольно, но так, чтобы они~были
симметрично расположены относительно осей координат
(совершенно так же, как соответствующие им точки At, A2,
А3 в плоскости z). Далее, в силу принципа симметрии, за-
заключаем, что точка аА должна быть симметрична точке а3
относительно оси вещественных и точке ах относительно оси
мнимых.
Обозначим через k величину, характеризующую отноше-
отношение сторон заданного прямоугольника А1А2А3А4, т. е. будем
считать k = k(ty. Тогда можно положить:
ах = е
ш
0 ft === О
-IM
Внешние углы прямоугольника соответственно равны:
: = Рз = Р4 = -ТГ, V-1
= 1*3 = ?4 =
Подставляя значения ак и pk в C1.9), получаем функцию
z(w), отображающую внешность единичного круга на внеш-
внешность прямоугольника:
w 4
C1-21)
Г /г=1
Для вычисления последнего интеграла требуется привлече"
ние аппарата эллиптических функций. Более простые и удоб-
удобные для практических расчетов отображающие функции
194
можно получить из формулы C1.21), если воспользоваться
разложением подынтегральной функции в степенной ряд.
Вместо C1.21) с учетом формулы C1.10) имеем:
е-ш >.
)dw+
w /
W2
Принимая во внимание, что |e±ftri|=l, а
подынтегральное выражение в ряд.
Имеем:
разложим
е±2Ш
W2
1
16
1 (а
Л
в±
м
+
1
2
Ш:
а)
1
2
28
W2
-82
8
И.'*
1 (а2-а2) (а—а)
16 о^
_1_ 5 (а* + а4) — 4 (а2 + а2) — 2 >
128 да8
где введены обозначения
Следовательно,
а = е
(а-аJ
_i_ (а2 —а2) (а —а)
80 да5
C1.22)
Если в последней формуле удержать конечное число чле-
членов бесконечного ряда, то при |да| = 1 в плоскости z не
получается точный контур заданного прямоугольника, но
получится достаточно близкий к прямоугольнику контур с
криволинейными сторонами и с закругленными углами. По-
Поскольку полученный ряд довольно быстро сходится, то всег-
всегда можно выбрата, такое число членов этого ряда, чтобы
удовлетворить либо требуемой точности отклонения контура
от заданного прямоугольника, либо заданному радиусу (Ro)
закругления углов прямоугольника. Последнее обстоятель-
обстоятельство особенно важно в том случае, когда расчеты поля про-
13* 195

водятся с целью оценить наибольшую напряженность на
поверхности прямоугольной шины. Использование точного
решения в виде интеграла Кристоффеля — Шварца C1.21) не
позволяет сделать такую оценку, так как в вершинах много-
многоугольника конформность отображения нарушается; в резуль-
результате напряженность поля оказывается равной либо бесконеч-
бесконечности, либо нулю.
Сказанное можно проиллюстрировать на примере шины с
поперечным сечением в виде квадрата. Полагая k = —.
= *» 2
1-7Г —
а — е
, из формулы C1.22) получаем:
п\ 11,11 11,
= Clw — ¦—• Ь • •
I 6 да3 56 да' 176 w11
С, C1.23)
Возьмем сначала в качестве отображающей функцию вида
<31-24>
Уравнения контура шины в параметрической форме полу-
получаются из C1.24), если положить «; = е'в(р=1) и отделить
вещественные и мнимые части:
х = С (cos 6 cos Зб\
in6 + -|-sin36 \
Постоянную С можно выразить че-
через длину стороны криволинейной
квадратной шины (Ь) измеренной по
оси х или у (рис. 73). При 6 = 0 имеем:
б)'
откуда
Рис 73
Радиус закругления углов криволи-
нейного квадрата при отображении
C1.24), в свою очередь, равен:
е
з
50 "
е=Т х'У'—у'х"
Если в качестве отображающей взять функцию вида
6 isfi 56 vP )
C1.25)
196
то отклонение сторон криволинейного квадрата от сторон
прямоугольного квадрата существенно уменьшится; умень-
уменьшится также и радиус закругления углов до г' = 0,0245?.
При удержании в ряде C1.23) четырех членов, т. е. при
отображающей функции
LJ_+— - - Х—\
6 да3 56 да? 176 w11)'
C1.26)
радиус закругления углов уменьшается уже до г" = 0,014й, а
стороны прямоугольного и криволинейного квадратов совпа-
совпадают с очень большой точностью.
Степень приближения, достигаемая отображающими функ-
функциями с различным числом членов усеченного ряда, показана
на рис. 73 и 74: рис. 73 соответствует отображающей функ-
функции C1.24), рис. 74, а-C1.25), рис. 74, б-C1.2о).
У
0
к
У,
0
(Z)
б
Рис. 74
При кф— из формулы C1.22) можно получить функции,
отображающие внешнюю область единичного круга на внеш-
внешнюю область прямоугольника с произвольным соотношением
сторон; причем при k < — большие стороны прямоугольника
будут параллельны оси вещественных, а при k > — боль-
большие стороны будут параллельны оси мнимых.
Комплексный потенциал поля в плоскости w для внеш-
внешности кр>га, по аналогии с BУ.З), равен
C1.27)
197
а напряженность поля в плоскости z равна:
1
—F -^L —
dz_
dw

Постоянные А и В необходимо определить из краевых
условий. В связи с последним замечанием отметим следую-
следующее. Комплексный потенциал в форме C1.27), строго го оря,
относится лишь к случаю уединенной шины, т. е. к такому
случаю, когда второй электрод бесконечно удален. Однако
его можно использовать для приближенного расчета поля
прямоугольной шины, находящейся внутри кругового цилиндра
достаточно большого диаметра. Действительно, при |to|>l
из C1.22) приближенно получаем:
z« Cw,
и, следовательно, кругу в плоскости w будет соответство-
соответствовать также круг в плоскости z.
Задаваясь потенциалами на шине и круговом цилиндре с
некоторым радиусом /?>1, можно определить постоянные
А и В, а затем рассчитать напряженность поля в любой
точке поля. В чаоности, на поверхности шины в соответ-
соответствии с C1.27) имеем:
м
j dw
так как на поверхности единичного круга напряженность
постоянна(\EW< = М). Положим, что шина имеет малый радиус
закругления углов, близкий к радиусу, который получается
при использовании отображающей функции в форме C1.24),
т. е. г «0,06 Ь. Из C1.24) имеем
dz 3
dw
и, следовательно,
= 5 ЪУ 4 +COs4e> 1^I =
- + cos 46
Наибольшая напряженность соответствует углам шины
ЮМ
198
наименьшая — середине сторон F = 0, ± ~-
ЮМ
9ft
1
Применив дополнительное преобразование w1 = —, можно
w
найти с учетом вышесказанного поле линейного заряда1},
помещенного внутри цилиндрической коробки, сечение кото-
которой представляет собой прямоугольник. Отображающая
функция будет иметь структуру формулы C1.22), однако
в последней необходимо заменить w на .
б Поле шины, сечение которой представ-
представляет собой правильный многоугольник. Рас-
Рассуждения, аналогичные приведенным выше для случая пря-
прямоугольной шины, показывают, что точки av д2,..., ап еди-
единичной окружности в плоскости w, соответствующие вер-
вершинам равностороннего многоугольника Аи А2 Ап, будут
делить окружность на равные части.
Задаваясь произвольно положением точки av получим
= 1, а2 = е
ок= е
где п — число сторон многоугольника.
Кроме того,
Подставляя последние величины в C1.9), получаем функцию,
отображающую внешность единичного круга на внешность
правильного многоугольника
2 (k—1)
Разлагая подынтегральную функцию в ряд точно так же,
как это было сделано в предыдущем примере, и интегрируя,
находим искомую функцию
z=C\w- " ж " " " 1
«2 Bя - 1)
2П-1
W
О Или заряженного цилиндра малого радиуса по сравнению с линей-
линейными размерами прямоугольника.
1?9

(n-2)Bn-2i
C1.28)
В частности, полагая п = 3, получим отображающую функ-
функцию в следующем виде
1 1
1 1
I 1
При п = 4 имеем
+ + + +
6 да3 56 да7 176 да11
Последняя формула полностью совпадает с C1.23), если
учесть, что при выводе C1.28) все вершины квадрата были
повернуты по сравнению с ранее рассмотренным случаем
на угол —.
Комплексный потенциал поля найдется по формуле C1.28).
Его можно использовать также для приближенного расчета
поля между шиной, сечение которой представляет собой
правильный многоугольник, и круговым цилиндром боль-
большого диаметра, а также поля цилиндра малого радиуса,
расположенного внутри проводящей коробки, сечение кото-
которой представляет собой правильный многоугольник.
§ 32. Интегралы Шварца и Пуассона для некоторых
канонических областей
В § 31 настоящей главы был изложен весьма эффектив-
эффективный метод построения отображающей функции для частного
класса областей, представляющих собой внутренность или
внешность многоугольника.
В результате преобразования поле существенно упроща-
упрощалось и приводилось всегда к следующим двум возможным
случаям:
а) верхняя полуплоскость отображалась на внутренность
(внешность) многоугольника, при этом контур многоуголь-
многоугольника переходил в ось вещественных. По оси вещественных
задавалось распределение потенциала, непрерывное всюду,
кроме конечного числа точек разрыва первого рода;
б) внутренность (внешность) единичного круга отобра-
отображалась на внутренность (внешность) замкнутого многоуголь-
многоугольника. Контур круга переходил в контур многоугольника.,
По окружности задавалось распределение потенциала, не-
непрерывное всюду, кроме конечного числа точек разрыва
первого рода.
200
Нахождение комплексного потенциала для канонических
областей с произвольным распределением потенциала по
контуру области представляет собой также достаточно
сложную математическую задачу, без решения которой
нельзя довести до конца практически интересные задачи.
Нам удалось ранее найти комплексный потенциал для неко-
некоторых частных случаев (см. примеры § 31) лишь потому,
что граничные условия на контуре были чрезвычайно про-
простыми.
Эффективные методы решения задач типа а) и б) осно-
основаны на применении интегрального представления функции
комплексного переменного (интеграла Ко-
Коши), дающего возможность построить функ-
функцию по ее значению на контуре области.
Покажем, что функция f{z), аналитиче-
аналитическая в некоторой я-связной области D (рис.
75), включая ее границу С, может быть опре-
определена по ее значениям на замкнутой гра-
границе /(С) (где С — точка на границе) с по-
помощью формулы Коши в любой точке z,
принадлежащей D: рис. 75
C2.1)
Для доказательства формулы C2.1) окружим некоторую
точку z внутри области кругом Со бесконечно малого ра-
радиуса г с центром в точке z. В полученной (п + 1) — связ-
связной области D* числитель и знаменатель подынтегральной
функции в C2.1) аналитичны, а
С - z ф 0.
По теореме Коши, для аналитической функции имеем:
Z-z
= 0
С+Со
ИЛИ
Г
J
C2.2)
Здесь Со означает, что обход по контуру Со совершается
в противоположном по отношению к С направлении (в по-
положительном направлении обхода границы). Из C2.2) имеем:
201
Г /(C)riC _ Г /(QrfC
J С —z J C-z '
с с„

На окружности Со: С — z=rei<f; поэтому при г—>0
1 Г /(ОД = /(?)_ Г riel4<? = f,^
С о
Следовательно,
В случае, если 2 не принадлежит Д интеграл Коши равен
нулю.
Можно показать, что производные всех порядков от
функции f(z) также могут быть выражены через значения
функции на границе:
C2.4)
рывной функции
У
В приложениях часто используются интегралы типа Коши,
совпадающие по своему виду с интегралом Коши. Важное
отличие интеграла типа Коши от обычного интеграла Коши
заключается в следующем: функция f(z), о которой известно,
что она аналитическая как внутри области, так и на ее
замкнутой границе, может быть представлена интегралом
Коши через ее граничные значения всюду внутри области,
включая ее границу; интеграл типа Коши служит для пред-
представления некоторой аналитической функции f(z) внутри
области (за исключением самой границы области) по непре-
заданной лишь на границе области.
Выведем частные случаи интегра-
интегралов типа Коши для наиболее важных
канонических областей: верхней полу-
полуплоскости и круга.
Пусть, например, на веществен-
вещественной оси задана функция /(С) (рис. 7b).
Построим интеграл типа Коши, вос-
восстанавливающий аналитическую функ-
функцию в любой точке верхней полу-
полуплоскости, за исключением оси ве-
вещественных, по заданной функции на вещественной оси.
Образуем с этой целью контур, состоящий из отрезка
действительной^:, оси (— R, + R) и полуокружности С ра-
радиуса R, проходимой в положительном направлении.
202
Пусть R стремится к бесконечности; при этом на функ-
функцию f(z) наложим следующее дополнительное условие
C2.5)
откуда
lim/(*)=/„.
Интеграл типа Коши в нашем случае может быть записан
в виде суммы двух интегралов
C2.6)
*-c.L2irf J C-z 2toJ t-z J'
-R С
где т — текущая точка полуокружности. Второй из интегра-
интегралов в форме C2.6) можно преобразовать следующим обра-
образом. При т —> оо имеем
и, следовательно,
/fWdr . rfocfr , ,, Г A dr
" — Z R—co J т — z /?—oo J TP т — Z '
С С С
В свою очередь,
Ml = am Г —foRie d<f
=
Iim Г
" Re*
ARe id<f q
Следовательно,
— Г /(C)^ i f?..
C2.7)
Для любой точки вне контура, в частности, и для z
получим:
2та J C-z 2 '
203

Заменив в последнем равенстве все члены на сопряженныеХ),
имеем:
оо
" " " Л.
¦г 2
0==_J- f-Ziili
2м J C-s
C2.8)
Вычитая из C2.7) выражение C2.8), находим
—оо
Полагая
f(z)=W(z)=V + iU, fo=Vo + iUo,
f=V-iU, J0=V0-iU0,
выражение C2.9) можно записать в следующей форме:
C2.9)
Складывая C2.7) и C2.8), получим
C2.10)
C2.11)
Особую ценность имеет формула C2.11), позволяющая найти
комплексный потенциал поля по заданному распределению
U(Q потенциала вдоль оси вещественных.
Интегралы C2.10) и C2.11) носят название интегралов
Шварца для полуплоскости.
Из формулы C2.11) можно получить интеграл Пуассона
для верхней полуплоскости, позволяющий найти потенциал
(т. е. мнимую часть комплексного потенциала W) в любой
точке верхней полуплоскости по его значению на оси веще-
вещественных:
* J
Ч При этом необходимо учитывать изменение направления положи-
положительного обхода границы области на оси вещественных.
204
Отсюда
оо
= l- С
7С J
C2.12)
Выведем теперь интеграл типа Ко-
ши и Пуассона для внутренности
круга. Определим значение функции
f(z) в какой-либо точке внутри круга
\z\<R (рис. 77). Так как Z. = Re1*,
то
-!^ J -Т^гг—
с
2гс
= _L Г
2т. J
и.
Re —re
: = «*). C2.13)
Рис. 77
пи
Для любой внешней точки, в частности, и для 2*= — ин-
г
теграл Коши равен нулю:
2я
0==_1_ Г f(i>
2я J л.**
/л,
f(i>)Re4i> __ 1
2гс
C2.14)
Вычитая теперь из C2.13) выражение C2.14), получаем:
Ws=m=± Г ПУН*-*** , C2.15)
о
Отделив мнимые части в левой и правой частях последнего
равенстба, имеем:
Из C2.16), в частности, вытекает интересное свойство гар-
гармонической функции в центре круга при г = 0:
Интегралы типа Коши, Шварца и Пуассона построены
для- большинства канонических областей, в том числе длч
внешности круга, кругового кольца, полосы. Именно по-
205

этому любую сложную задачу расчета поля стремятся
свести к расчету поля одной из канонических областей.
Приведем несколько примеров, в которых комплексный
потенциал поля наиболее просто находится с помощью ин-
интегралов типа Коши.
Пример 1. Определить комплексный потенциал поля в
верхней полуплоскости, созданный системой многих элек-
электродов с постоянным потенциалом на каждом электроде.
Если в плоскости z задана система электродов, образую-
образующая «-угольник, причем каждый электрод имеет постоянный
потенциал Ut (i — 1, 2,..., п), то с помощью интеграла Кри-
Кристоффеля — Шварца всегда удается построить функцию, ото-
отображающую верхнюю полуплоскость w на заданный много-
многоугольник. При этом, очевидно, вещественная ось в плос-
плоскости w делится некоторыми точками ak, являющимися ото-
отображением вершин многоугольника Ак, на п отрезков, на
каждом из которых задан потенциал ик (рис. 78). Примем
для упрощения интеграла Кристоффеля— Шварца, что точка
flj = оо. Для обеспечения сходимости комплексного потен-
потенциала W(w) при w—>оо целесообразно так разместить
точки ак на оси вещественных, чтобы электроды, потенциал
которых принят равным нулю, размещались по краям оси
(включая бесконечно удаленную точку), а другие электроды
с i/4^0 размещались в средней части оси между точками
аг и ап (как это показано на рис. 78, б).
ц-о иг
щ
UK Vn.f Un-0
On-,
Рис. 78
Комплексный потенциал в плоскости z будет найден, если
удается найти комплексный потенциал в плоскости w. Для
решения последней задачи воспользуемся формулой C2.11)
= -L С
С —z
206
— г
откуда
z — л,.
z-ak
, In
z — i
c.
C2.16)
Пример 2. Поле внутри трансформатора между магнито-
проводом и обмотками.
Рассмотрим поле в изоляцион- 0
ном зазоре трансформатора (рис. у( у =0
79а), образованном магнитопрово-
дом (.Aj.A6 с потенциалом Л/, = 0), a,t?j
обмоткой низшего напряжения
(Л^зЛз, потенциал которой U2) и
обмоткой высшего напряжения
(АгА4А5А6). Будем считать, что
между выделенными на рисунке
точками А5 и АА потенциал изме-
изменяется по линейному закону от
наивысшего значения U& до нуля.
Так как обычно U2 < ?/3» то при-
примем U2 — 0.
На заданный пятиугольник
АгА2А3А5А6 в плоскости z отобра-
отобразим верхнюю полуплоскость w
так, чтобы вершина А3 перешла
©
Рис. 79 а
°6
Рис. 79 б
в точку а3 = — со, А4 — в точку а4 = — I, А5 — в точку
аъ = 0. В результате получается следующая таблица параме-
параметров, входящих в интеграл Кристоффеля — Шварца:
207

к
1
2
3
4
5
6
Ox
a%
00
0
«6
"к
0
3^
2
0
—
3
Y
0
и»
1
1
~~ 2
1
—
1
2
1
Проверка правильности определения углов ай и {*й дает:
5 5
Л ак = 3, S ^А == 2*
Отображающая функция найдется по формуле C1.2), как
для внутренности многоугольника:
•w
1ко + С}. C2.17)
==c Г
J
{W — flj) (W —
В интеграле C2.17) пять постоянных, подлежащих опре-
определению. Для отыскания четырех из них можно составить
следующие уравнения приращений.
При переходе с положительной части оси вещественных
на ее отрицательную часть, совершаемом по окружности
бесконечно большого радиуса, опирающейся на всю ось
вещественных, как на диаметр, т. е. при ¦аУ'=ре'?, должно
выполняться равенство
dx = Агг = Urn С Г
= Ю«. C2.18)
При обходе точки а6 по бесконечно малой окружности,
т. е. при w = a6-{: ре'*, получаем
Шо = Дгк = lim С
/
у (
й6 + ре9 — аа) (а6
<?9)
(<7в + ре 9 — «,) ре'9
_ _ Ст. У (о2 — дв) д6
C2.19)
208
При обходе точки ах по бесконечно малой окружности
имеем
— id3 = Azj =
3
Р-о
и
- а2)
)ipe9
i
ре
—ав)
«6
C2.20)
Четвертое уравнение получается в результате вычисле-
вычисления приращения Az45, соответствующего изменению w в ин-
интервале от а4 до а5:
о
•z/_(? ГУ (w — a?) wd
.
п Г У{ур— аа) "W dw r
— о I * ^-^~- х—
J (да — п\) (w — йе)
„ г УAю — a2)wdw /qo oi\
= С I — • \o?.?i/
J (w — at) (w — ав)
Пятым уравнением должна быть определена постоян-
постоянная Си величина которой зависит от положения начала ко-
координат в плоскости z. Например, для точки А5 имеем:
J (w — at) (w —
Wo
a0)
Принимая wo = O, получаем
C^dj + iitb-dJ. C2.22)
Система уравнений C2. 18—22) позволяет отыскать все пять
постоянных.
Найдем теперь комплексный потенциал поля в плоскости
w по распределению потенциала U на оси вещественных
(рис. 80). С этой целью воспользуемся интегралом Шварца
в форме .C2.11), полагая V0 = 0,
Щ
In
w
Д-452.-14
. C2.23)
209

аэ
as=0 ae
Рис. 80
Напряженность поля в плоскости z найдем через отобра-
отображающую функцию C2.17):
dW(w)
dw
1
dz(w)
dw
w(w — o6)
+1п
Л
\w +
_\|
1 / I
(w — a2) w
(w — at) (w —
Глава VI
РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ ИЗОБРАЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ,
КРУГЕ И СФЕРЕ
§ 33. Метод изображения в плоскости
Рассмотрим простейшую задачу расчета поля, созданного
точечным зарядом q, расположенным на высоте h (точка TV
с координатами О, О, И) над проводящей плоскостью нуле-
нулевого потенциала (рис. 81).
Функция Грина для верхнего г
полупространства была выше полу-
получена в виде:
^ 1 1
где г —расстояние от точки А до
точки М, в которой определяется
потенциал, а г'— расстояние до
той же точки от точки Л/7, симме-
симметричной относительно TV в плоско-
плоскости (рис. 81). Поэтому искомый
потенциал в рассматриваемом слу-
случае определится выражением
U
м
4ъе\г Г1 )'
C3.1)
Рис. 81
Потенциал Um может быть, следовательно, рассчитан как
потенциал, создаваемый зарядом д, расположенным в точке
./V@, О, К), и зарядом q'' = — q, расположенным в точке
№ @, 0, — h), симметричной относительно TV в плоскости.
Поскольку расстояния от зарядов q и q' до любой точки
плоскости одинаковы, то суммарный потенциал на плоскости
равен нулю; краевое условие задачи выполнено и в силу
теоремы единственности полученное решение единственно.
14* 211

Следует иметь в виду, что при вычислении потенциала,
создаваемого фиктивным зарядом q', -расположенным в ниж-
нижнем полупространстве, необходимо все пространство счи-
считать однородным с диэлектрической постоянной е.
Найдем плотность индуктированных на проводящей плос-
плоскости зарядов. В силу симметрии задачи распределение за-
зарядов на плоскости по любой прямой, проходящей через
начало координат, будет, очевидно, одинаковым. Найдем
поэтому распределение плотности зарядов по оси л:. Имеем
а = шЕп=шЕг = ->
[_ дг ух* +{z — hf
дг Л=о
а 1
z — h
'x2 + (z
z + h
+ h>2 ]г=о
[*»+(*-
12 )г=0
C3.2)
Максимальная плотность зарядов достигается в начале коор-
координат и равна
C3.3)
Определим суммарный заряд на плоскости z = 0. Учитывая
симметрию распределения плотности о на плоскости, нахо-
находим
xdx
(х» + Л2J
з_
• + лгJ
Интегрирование дает
На рис. 82 приведено рассчитанное по формуле C3.1) поле
точечного заряда q = 4те над заземленной проводящей
плоскостью.
-* Рассмотрим теперь случай, когда полупространство z < О
представляет собой однородный диэлектрик с диэлектриче-
диэлектрической проницаемостью е2, отличной от диэлектрической про-
проницаемости полупространства z > 0, равной Sj (рис. 83).
Покажем, что в рассматриваемом случае поле в верхнем
полупространстве может быть найдено как поле от задан-
заданного заряда q, расположенного в точке N, и фиктивного
заряда qr, расположенного в точке Л/7, симметричной в плос-
212
V-0,025
Рис. 82
кости раздела диэлектриков относительно точки N. Поле
в нижнем полупространстве может быть найдено как поле
от заряда q", расположенного веточке Л.
Задача будет решена, если
нам удастся найти заряды q' и
q" так, чтобы на границе раз-
раздела диэлектриков соблюда-
соблюдалось условие непрерывности
касательной составляющей век-
вектора напряженности поля и
нормальной составляющей век-
вектора смещения. Приписав верх-
верхнему полупространству индекс
A), а нижнему — индекс B), запи-
запишем эти условия при z=0 в виде
Для любой точки Р на границе раздела, согласно обозначе-
обозначениям на рве. 83, имеем:
q" OP
(NP?

Отметим, что при определении поля в верхнем полупро-
полупространстве мы считаем все пространство однородным и имею-
имеющим диэлектрическую проницаемость Sj. При определении
поля в нижнем полупространстве все пространство предпо-
предполагается имеющим диэлектрическую проницаемость е2.
Из полученных выражений для касательных составляю-
составляющих напряженности на границе раздела следует, что
д + я' _я\
ч ч
С)
Для нормальных составляющих вектора смещения аналогично
найдем следующие выражения:
д — д' Ш/
4п
где направление нормали принято внутрь нижнего полупро-
полупространства. Отсюда
Совместное решение уравнений (*) и (**) дает
— - q»=-^q.
ч+ч
Потенциалы в верхнем и нижнем полупространствах запи-
запишутся в следующем виде:
Л1Щ \г е2+е, г')'
An e
2 J_
+ е, Г'
C3.4)
Очевидно, что потенциал U, определяемый формулами C3.4),
обладает свойством непрерывности на границе раздела ди-
диэлектриков; в частном случае е2 = оо (нижнее полупростран-
полупространство — проводник) получаем предыдущее решение:
Плотность поляризационных зарядов определится по формуле
= . Г
Учитывая, что
r= \/~x2
214
заряда q до
где л:, v, z — координаты точки М, в которой определяется
потенциал, и произведя необходимые выкладки, получим:
o' = _2L.-!°-.?i=i2.. C3.5)
гиг» ч ч + н
В последней формуле г ееть расстояние от
точки плоскости, в которой вычисляется о'.
Рассмотрим теперь задачу о
расчете поля точечного заряда,
расположенного внутри проводя-
проводящего двугранного угла с заземлен-
заземленными гранями. Положим, что угол,
ограниченный гранями ОА и ОА1
(рис. 84), равен <р = —, где п — це-
п
лое число.
Проведем через точку располо-
расположения заряда q окружность с цен-
центром в точке О и разобьем ее
на 2п углов; величина каждого из
углов, очевидно, будет равна —•
п
Будем последовательно отражать заряд q в гранях каж-
каждого из углов (#] = ?, q2 = — qu q3 = — q2> #4 = — 4з и т. Д.).
В результате мы получим систему из 2« — 1 отраженных за-
зарядов и заданного заряда — всего из 2п зарядов. При этом
в силу симметрии расположения зарядов потенциал на гра-
гранях заданного угла равен нулю, так как для любой точки
какой-либо грани всегда найдется п пар зарядов противопо-
противоположного знака с равными расстояниями до рассматриваемой,
точки. На рис. 84 показано распределение отраженных заря-
зарядов в случае п = 6.
.Потенциал в некоторой точке М внутри двугранного угла
равен
2л «. , 2л
Рис. 84
ь ,
)
ь ,
(-1) _ 1
Як
C3.6)
*=1
где rk — расстояние от &-го заряда до точки М, причем за-
заданному заряду приписан индекс 1 (q = q^ и qk = (— l)ft~x<7-
На рис. 85 в качестве примера приведено поле точечного
заряда, расположенного внутри проводящего прямого угла
с заземленными гранями (п = 2, <? = 4тге0).
Более сложная картина имеет место тогда, когда /.АОВ=
где тип-— целые несократимые числа. В этом.
= <р = — тс
' П
215

Рис. 85
случае будем поступать следующим образом. Отразим заряд
q = <7j в какой-либо грани угла (например ОА); результат
даст нам заряд q2 = — q. Пристроим к заданному двугран-
двугранному углу новый угол, по величине также равный <р; заряд
<72 отразим в той грани этого нового угла OAV которая не-
несмежна с основным углом; результат дает заряд q3 = q.
Продолжая последовательные отражения, получим систему
2п ^зарядов, причем при ее построении нам придется совер-
совершить т полных оборотов.
На рис. 86 показано соответствующее построение для
случая <р = — тс. Заряды, обозначенные на рисунке через qk,
8
при нечетных индексах k равны q, а при четных — q.
Аналогично случаю расчета поля точечного заряда в дву-
двугранном угле решается задача расчета поля линейного за-
заряда плотностью т. При этом построение системы линейных
зарядов, удовлетворяющей краевым условиям задачи остает-
остается, очевидно, тем же, что и в случае точечного заряда.
Выражение для потенциала в какой-либо точке внутри
двугранного угла принимает вид:
—
2га
1)*-Чп~ =
Гц
C3.7)
где принята прежняя нумерация зарядов.
Приведем теперь пример расчета поля, в котором система
зарядов, удовлетворяющая краевым условиям задачи, оказы-
216
вается уже бесконечной. Определим поле точечного заряда q,
находящегося между двумя заземленными параллельными
плоскостями (рис. 87).
Для построения системы зарядов, удовлетворяющей'крае-
удовлетворяющей'краевым условиям задачи, отобразим заданный заряд q в верхней
плоскости. Система зарядов qo = q и q^ = — q, координаты
которых (по оси z) равны Л0 = Л и hl=2H—h, дадут на
Рис. 87
плоскости z = И нулевой потенциал; потенциал же от этих
зарядов на плоскости 2 = 0, очевидно, отличен от нуля. Для
того чтобы восстановить краевое условие на плоскости
2 = 0, отобразим заряды q0 и q1 в этой плоскости. Система
зарядов q0, qu q'1 = — <?, q2 — Q с координатами ho — h, hl =
= 2И—h, hi = — h, /z2 = — BH—h) даст на плоскости z = 0
нулевой потенциал, но при этом нарушится краевое условие
на плоскости 2 =//(за счет введения зарядов q\ и q2). По-
Последовательно отображая пары зарядов в плоскостях z =[O
и z = Н, мы получим две бесконечные системы зарядов qm
и q'm с координатами по оси z, равными hm и h'm. Нетрудно
видеть, что
-h2m, h'2m = 2mH +
, h\ = — h.
217

Потенциал в любой точке М внутри конденсатора с коорди"
натами х, у, z определится выражением:
со
m=l
V
_, - *?
]1
где обозначено р2 = л2 + у2. Подставляя в последнее выра-
выражение значения hm и h'm и вводя обозначения
z — h
2я '
2Я '
л .
получим
I V~J~-
оо
/и=1
с2
с2
V(m — аJ+ с2 V(m + bJ+ с2
C3.8)
Определим распределение потенциала по оси г. Полагая
х=у = 0(с = О), найдем:
m=0
U q { 1 1 I
Ж 8itetfl|«! Ь
/_j ^-Л + f1 (— —М.
Чяг -(- a m + bj ?jt\m—a m — bj)'
Входящие сюда ряды выражаются через логарифмические
производные гамма-функций 4'(х)"> имеет место соотношение1
где
1 См. И. М. Рыжик и И. С. Г рад штейн. Таблицы интегралов,
сумм, рядов и произведений. ГИТТЛ, 1951, Cip. 335—337.
218
Поэтому
Из функциональных соотношений для «^функций
заменяя в первом из них а: на — х, находим:
ф (— х) = ф (л) Н h « ctg it л:.
Поэтому
+ ф (— 6) — — = 2ф (Ь) + и ctg it Ь
b
= 2*1» ([а|) + -ти ctg -тс | а |.
Окончательно находим:
-*(N) + 7(cig«*-ctgTC|a|)]. C3.9)
Подставив вместо а и 6 их выражения, придадим C3.9) сле-
следующий вид: при z > h
При 2 <
sin —
я
2Я
2Я
_п Я^
2 т. (ft — z) it (z + i
sir sin
2Я 2Я
Продифференцировав первую из этих формул по z и положив
z — H, найдем максимальную напряженность на верхней
219

плоскости; аналогично из второй формулы при z = 0 найдем
максимальную напряженность на нижней плоскости.
-Соответствующие выкладки дают:
с- q_
*-*макс. — ~
{г=Н) 8пе/:
2 sin2
-]•
C3.10)
Расчет по полученным формулам может быть произведен
с помощью имеющихся таблиц ^функции и ее производной1.
Рис. 88 дает представление о распределении потенциала
и-0
Рис. 83
в плоскости, перпендикулярной заземленным плоскостям
и проходящей через заряд (q = 4те, — = —\ .
§ 34. Метод изображения в круге
Отображение в круге представляет собой геометрическое
преобразование, с помощью которого некоторым геометри-
геометрическим фигурам на плоскости ставятся в соответствие их
«отображения» в круге, находимые по следующему правилу.
1 См. Е. Янке и Ф. Эмде. Таблицы функций с формулами и кри-
кривыми. ОГИЗ ГИТТЛ, 1948. стр. 118—119.
220
На плоскости около произвольно выбранной точки О, как
центра (центр инверсии), описываем произвольным радиусом
R окружность (круг инверсии). Изображением или отобра-
отображением в этом круге какой-либо точки А (рис. 89) называют
точку А', лежащую на прямой ОА, при-
причем выполняется равенство
TJA-OA' = R2. C4.1)
Это правило применимо к точкам, ле-
лежащим как вне, так и внутри круга
и версии. Нетрудно видеть, что от-
отображение точки, лежащей вне круга,
попадает внутрь его и наоборот.
Отображения точек и фигур мы бу-
будем также называть инвертированными
точками и фигурами.
Следует заметить, что инверсия со-
соответствует конформному преобразова- Рис- 89
нию специального вида ZZ' = R2, где
Z — комплексно сопряженная величина с переменной Z, опре-
определяющей положение точек на исходной плоскости. Поэтому
при инверсии выполняются все свойства конформного преоб-
преобразования (гл. V).
Важное свойство инверсии заключается в том, что при
инверсии всякий круг (и как предельный случай — прямая)
переходит в круг. Из рис. 90 видно, что уравнение окруж-
окружности относительно начала отсчета О имеет вид
где Р! и 6а -г полярные координаты центра окружности Ор
./?]—радиус окружности.
Примем начало отсчета О за центр круга инверсии радиу-
радиуса R. Положив в уравнении C4.2) р = —j-, после несложных
преобразований получим
C4.3)
U-*?)
Сравнивая уравнения C4.2) и C4.3\ видим, что последнее
также является уравнением окружности радиуса
C4.4)
221

\
Рис. 90
с центром на прямой ОО1 в точке О2 на расстоянии от
центра инверсии, равном
Pi/?2
C4.5)
На рис. 90 исходный круг R} лежит вне круга инверсии
(Pi > R + Rx), поэтому его отображение (круг /?2) находится
внутри круга инверсии. Изображение центра исходного круга
находится в точке О\ на расстоянии р' = -2— < р2, т. е. не
Pi
совпадает с центром О2 инвертированного круга.
Очевидно, что изображения точек, лежащих внутри ис-
исходного круга /?], попадают внутрь инвертированного круга R2.
Результат преобразования уравнения C4.2) в C4.3) не из-
изменится, если радиус круга инверсии будет /?>Р! + Rlt т. е.
если исходный круг будет лежать внутри круга инверсии.
Это вполне понятно, так как, выбрав за исходный круг R2,
полученный в рассмотренном случае (R > р2 + R2), мы в ре-
результате инверсии, очевидно, получим круг /?,. При этом
в формулах C4.2) — C4.5) следует лишь поменять местами ра
и р2, /?] и R2.
Знак модуля в формулах C4.4) и C4.5) поставлен с той
целью, чтобы эти формулы остались справедливыми и в
том случае, когда ра < Ru т. е. когда центр инверсии выбран
внутри исходного круга.
222
Допустим теперь, что радиус окружности /?] возрастает
при одновременном удалении его центра. О1 от центра ин-
инверсии таким образом, чтобы выполнялось условие Pj — Rl =
= h = const. При этом точка А (рис. 90) пересечения окруж-
окружности R, с осью Оь>, и ее изображение А' остаются непо-
движными и О А' = . Тогда формулы C4.4) и C4.5) можно
h
переписать в виде
1 +
h
C4.6)
Как показывают формулы C4.6), R2 возрастает, а р2 убывает
с увеличением Rt (что ясно и из рис. 90). При /?j —»oo круг
/?! переходит в бесконечную прямую ВАС, показанную пунк-
пунктиром на рис. 90, а ее изображением будет круг радиуса
Rz= P2 = > проходящий через центр инверсии О. Этот
2Л
круг обозначен также пунктиром на рис. 90. Изображения
всех точек плоскости, лежащих справа от прямой ВАС, ока-
оказываются внутри пунктирного круга, причем изображения
бесконечно удаленных от центра инверсии точек сосредото-
сосредоточиваются в этом центре. Последнее обстоятельств имеет
существенное значение при применении метода инверсии
к электростатическому полю системы зарядов qt, суммарная
величина которых Е^ не равна нулю. В этом случае в исход-
исходной системе считается, что заряд — ? qt удален в бесконеч-
бесконечность. При инверсии он, следовательно, должен быть поме-
помещен в центре инверсии.
Для пояснения сказанного рассмотрим простой пример
плоского электростатического поля, созданного одиночным
проводящим цилиндром с зарядом q1 на единицу длины. Из-
Известно, что поле одиночного заряженного цилиндра эквива-
эквивалентно полю линейного заряда, расположенного вдоль оси
цилиндра. Воспользуемся опять рис. 90, приняв круг Rl за
сечение цилиндра. Тогда подлежащее инвертированию поле
будет являться полем заряда qlt расположенного в точке Ои
причем окружность радиуса Rt будет эквипотенциальной.
При инверсии мы получаем инвертированный круг радиуса
/?2, причем инвертированный заряд q\ окажется в точке О\ ,
тогда как центр инвертированного круга находится в точке О2.
Таким образом, в поле инвертированного заряда инвертиро-
инвертированный круг не является экрипотенциальным. Это несоответ-
несоответствие немедленно устраняется, если в центре инверсии О
поместить заряд — q\, являющийся результатом инверсии
223

бесконечно удаленного заряда — q1 исходного поля. Таким
образом, по известному полю одиночного заряженного ци-
цилиндра мы получили новое поле, создаваемое линейным за-
зарядом в присутствии проводящего кругового цилиндра
Убедимся непосредственно в справедливости изложенного
и установим правило определения величины инвертирован-
инвертированного .заряда q\.
Для этого выпишем выражения потенциала поля в произ-
произвольной точке М (р, 6) исходной системы и потенциала поля
в точке М (р', 6), инвертированной системы, показанных на
рис. 90.
Очевидно,
U*, = — In — + С, C4.7)
C4.8)
где
= О[М', р'=ОЛГ';
С и С — произвольные постоянные.
Прежде всего установим, что точка О\ является изобра-
изображением точки О в круге /?2, т. е. инвертированный круг /?2
является кругом инверсии для точки О. Действительно
согласно C4.5)
р,/?а
где pi
ь . Следовательно, согласно C4.4)
я?/?2
Р»(Рх
OO2O\O2 = R\.
Как установлено выше, заряды в точках О и О\ равны, но
противоположны по знаку. С другой стороны, точка О\ яв-
является изображением точки О1 в круге инверсии /?. Следо-
Следовательно, соотношение между зарядом и его изображением
будет всегда выполняться, если заряд и его изображение
брать одинаковыми по величине и противоположными по
знаку, т. е. q\ = — qv
Далее, имеем
224
Умножив и разделив подкоренное выражение на p2pj и учи-
учитывая, что рр' = /?2 и PiP'^/?2, находим
При этом получаем
PPl
Pi
2 ЖЕ.
Pi
' м.
С",
где С" = С" — In P] = const. Так как потенциал UM при-
нимает постоянное значение на поверхности проводника ис-
исходной системы, потенциал U'M, принимает постоянное значе-
значение на отображении проводника инвертированной системы.
После того как с помощью метода инверсии определено
расположение отображенных зарядов и проводников (на ко-
которых потенциал принимает постоянное значение), поле сис-
системы отображений становится соответствующим той или иной
самостоятельной задаче. Так, например, выражение C4.8)
определяет с точностью до произвольной постоянной потен-
потенциал поля равномерно заряженной нити в присутствии па-
параллельного eft проводящего кругового цилиндра. Если по-
потенциал поля отсчитывать от поверхности проводника, при-
приписав потенциалу проводника нулевое значение (цилиндр за-
заземлен), то произвольная постоянная будет определена.
Для точек М', лежащих на поверхности цилиндра (на
круге R2), ^
о'.М' R2 — O2O', п
ОМ' О2О — /?2
При этом выражение C4.8) примет вид:
2
ОМ
~OO2
где положено q[ = q — произвольной величины заряд на еди-
единицу длины нити.
Если добавить на оси цилиндра R2 линейный заряд qo+q,
то поверхность цилиндра останется эквипотенциальной.
Поле будет соответствовать полю системы линейных заря-
зарядов: q (в точке О), — q (в точке О[) и qo+q (в точке О2),
причем общий заряд цилиндра будет — q + q0 + q = q0. Вы-
Выражение для потенциала примет вид
^ =
2 я;
In
ОМ'
Яо х Ч
О\М'
In
*¦ те Л»А
С.
Д-452.-15
225

Полученная формула дает потенциал поля, создаваемого
линейным зарядом q в присутствии проводящего цилиндра
с зарядом q0 на единицу длины цилиндра.
В частном случае, когда цилиндр изолирован, ?„ = 0и
поле такой системы определяется наложением полей трех
зарядов: заряда q (в точке О), заряда — q (в точке О\) и за-
заряда q (в точке О2).
На основании изложенного можно сформулировать общее
правило применения метода инверсии к решению плоских
электростатических задач.
Если в поле зарядов (линейных) qt, расположенных в точ-
точках А{ с полярными координатами р(., 6(. относительно центра
инверсии, поверхность S является эквипотенциальной, то
поверхность изображения 5' будет эквипотенциальной в поле
изображений зарядов —qt, находящихся в точках Л^.(р]., 6(.),
и суммарного заряда 2^., сосредоточенного в центре инвер-
инверсии О.
Для иллюстрации приведем несколько примеров приме-
применения метода инверсии в круге.
Пример 1. На рис. 91 в качестве исходного выбрано поле
линейного заряда q, находящегося в точке А1 пространства,
ограниченного двумя заземленными плоскостями, пересекаю-
Рис 91
226
щимися под прямым углом. Это поле определяется по методу
зеркальных отображений (§ 33) и соответствует полю заря-
зарядов q, — q, q и — q, расположенных в точках Аи А2, А3 и А4
соответственно. На рис. 91 показаны два случая выбора
центра инверсии О и радиуса круга инверсии R. Путем ин-
инверсии получаем картины распределения отображений заря-
зарядов и проводников.
В случае верхнего круга инверсии отображенная картина
соответствует полю линейного заряда, находящегося в точке
А\ вне проводника, поверхность которого образована двумя
цилиндрами, пересекающимися вдоль образующих под пря-
прямым углом.
В случае нижнего круга инверсии отображенное поле со-
соответствует полю линейного заряда, находящегося в точке .A'j
внутри проводящей поверхности, образованной также , двумя
цилиндрическими поверхностями, пересекающимися вдоль
образующих под прямым углом.
В обоих случаях инвертированные заряды, расположенные
в точках А\, А'2, А'3 и А\, связаны друг с другом правилом
инверсии относительно как большого (ОД так и малого (О2)
кругов, чем обеспечивается постоянство потенциала на про-
проводящей поверхности. В обоих случаях заряд в центре ин-
инверсии (точки О) равен нулю, так как сумма всех зарядов
исходной системы равна нулю.
Поскольку взаимное расположение зарядов в отображен-
отображенной системе известно, потенциал поля определяется без
труда в любой точке М', а именно:
где
2=А'2М', г3=А'3М', г4=А'лМ'.
Совершенно ясно, что в зависимости от выбора центра
и радиуса круга инверсии можно получить довольно разно-
разнообразные картины отображений, которые, однако, все будут
соответствовать круговым цилиндрическим поверхностям,
пересекающимся вдоль образующих под прямым углом,
что находится в соответствии с отмеченной ранее конформ-
конформностью отображений.
Пример 2. Отображения в случаях двух плоскостей, пере-
пересекающихся под произвольным углом а.
На рис. 92 приведен случай линейного заряда q и беско-
бесконечного проводящего угла с вершиной в точке В. Выбрав
круг инверсии с центром О, не находящимся на продолже-
продолжении какой-либо стороны угла, и отображая проводящий угол
15*
22?

в круге, получим в отображенной картине проводящую «лу-
«луночку» с углом у вершин, равным углу а исходного прово-
проводящего угла. Решение задачи об определении потенциала
поля линейного заряда в присутствии проводящего угла было
дано в § 33 для случая <х = — тс, где т и и —целые числа.
п
Решение общей задачи при произвольном значении а при-
приведено в гл. IX.
На рис. 93 и 94 показаны некоторые картины отображе-
отображений. Так, в случае расположения центра инверсии на про-
продолжении одной из сторон угла, отображенная картина имеет
Рис. 93
228
вид плосковыпуклой «чечевицы» одного из видов, приведен-
приведенных на рис. 93. Если же центр инверсии лежит на одной из
сторон угла, то отображенная картина имеет вид одной из
фигур, показанных на рис. 94.
Рис. 94
Пример 3. Поле расщепленных проводов линии передачи.
Начнем с поля провода с двойным расщеплением (рис. 95).
Поместим на оси каждого провода заряд д0 (рис. 95, а), ве-
величину которого мы определим ниже. Если пренебречь влия-
влиянием проводов друг на друга1, то заряды д0 на оси каждого
цилиндра создадут на их поверхности постоянные потенциалы;
чтобы учесть взаимное влияние между проводами и удов-
удовлетворить при этом условию постоянства потенциалов на
поверхности проводов, отобразим заряд д0 левого провода
в окружности правого, поместив его на расстоянии dl от оси
правого провода, причем
</,=
D
Кроме того, на оси правого провода поместим дополнительно
заряд д0.
229

Рис. 95
Будем обозначать заряд, расположенный на расстоянии х
от средней линии проводов, через q(*); тогда мы приходим
/ D \ / D . \ / D \
к выводу, что заряды 2#0^—J, — qo{— «ij и ?0^ ^)
создадут на поверхности правого провода постоянный потен-
потенциал. Поступив аналогично с левым проводом, получим рас-
распределение зарядов в первом приближении, приведенное на
рис. 956.
При введении зарядов 0О("~'~?~) и ~#о(—<f + *V НЭ"
рушается условие постоянства потенциала на поверхности
230
правого провода. Для того чтобы восстановить нарушенное
условие постоянства потенциала, отразим заряды gQf \
и — qof ~ + dA (т. е. те заряды левого провода, кото-
которые вызывают непостоянство потенциала на поверхности
правого провода) в окружности правого провода. Аналогично
поступим и с зарядами ?0(~) и %(~~^i) пРавого про-
провода, вызывающими непостоянство потенциала на поверхности
левого провода, отразив их в окружности левого провода.
В результате получим распределение зарядов во втором при-
приближении, приведенное на рис. 95, в, при этом
D — d,
D —
D
Продолжая последовательные отображения, получим, что
в п-оы приближении система зарядов в правом проводе будет
Аналогичная система зарядов будет и в левом проводе. Рас-
Расстояния dn определяются здесь из рекурентного соотноше-
ния
или
D — d
п-\
D-.
D —
D —
Очевидно, что при п —> оо построенная система зарядов будет
удовлетворять условию постоянства потенциала на обоих
проводах.
В практических случаях нет необходимости брать боль-
большое число последовательных отображений. Действительно,
231

расстояние между осями проводов обычно более чем в 10 раз
превышает радиус провода. Поэтому разность
== (
D \
D —
D
Го
т. е. при —— = — составляет 0,1% от радиуса провода. По-
Поэтому уже при втором отображении поле этого отобра-
отображения практически совпадает (при указанном соотношении
между радиусами проводов и расстоянием между их осями)
с полем первого отображения. Поэтому для расчета поля
расщепленного провода можно ограничиться лишь первым
приближением.
Рассмотрим теперь случай, когда два провода подвешены
на высоте И над поверхностью земли (рис 96;, причем примем,
как это обычно имеет место, что И^г0 и //>?). Тогда
условие равенства нулю потенциала на поверхности земли
будет удовлетворено с достаточной точностью, если отобра-
отобразить в плоскости земли суммарный заряд проводов, поместив
его на оси симметрии системы. При /7>г0 нарушения по-
232
стоянства потенциала на поверхности каждого из проводов
от введения отраженного в плоскости земли заряда —2q0 не
произойдет. Действительно, при /7>г0 отображение заряда
— 2q0 в точке @, — И) в каком-либо из проводов дает заряд,
практически попадающий в центр этого провода и имеющий
величину + 2qQ. Кроме того, согласно общему правилу ото-
отображения в центр провода необходимо поместить еще за-
заряд — 2д0.
В соответствии с рис. 96, потенциал в любой точке вне
проводов равен
с.
г, г.
В частности, на поверхности проводов потенциал должен
быть равен заданному потенциалу Uo. Воспользовавшись
любой точкой поверхности одного из проводов, например,
точкой VV (рис: 96), получим, полагая С = 0 (см. § 6):
Последнее выражение можно значительно упростить, если
пренебречь величинами второго порядка малости по отноше-
отношению к -^-. В этом случае
D у
In
r0D
Очевидно, что максимальная напряженность поля имеет место
во внешней точке расщепленного провода А (рис. 956).
г2
Пренебрегая членами —— и более высокими степенями
—-, после необходимых выкладок придем к следующему
приближенному выражению для максимальной напряженности
поля:
Аналогичным образом может быть рассчитано поле рас-
расщепленных проводов с тремя и четырьмя составляющими
проводами. Соответствующие системы зарядов первого при-
приближения, отвечающие постоянству потенциалов на провод-
проводниках, приведены на рис. 97 и 93.
233

Рис. 97
В частности, максимальная напряженность поля (в точке А)
для расщепленного провода с тремя составляющими, распо-
расположенными по углам равностороннего треугольника, равна
_ Яо
D
На рис. 99 показано поле расщепленного провода с тремя
Рис. 99
составляющими. Для расщепленного провода с четырьмя
составляющими, расположенными по углам равностороннего
четырехугольника, напряженность ЕА равна
Рнс. 98
2 пе0 г0
где <70 — суммарный заряд на каждом из проводов,
§ 35. Метод изображения в сфере
Поясним применение метода изображений в сфере для ре-
решения электростатических задач на ряде примеров.
Пример 1. А. Начнем с простейшего случая поля точеч-
точечного заряда в присутствии проводящей сферы нулевого потен-
потенциала.
235

Если заряд q равен 4яе, то потенциал поля дает соответ-
соответствующую функцию Грина. Для случая внешнего расположе-
расположения заряда эта функция была получена в § 23 в виде:
h
r'
где все обозначения приведены на рис. 100.
В случае произвольного
заряда потенциал поля дается
выражением
U
4те V. г h г' )
Рис. 100
и может трактоваться как по-
потенциал от заданного заряда
и отображенного в сфере за-
заряда.
Ввиду существенности по-
понятия отображенного в
сфере заряда, получим
выражение для потенциала
рассматриваемого поля непо-
непосредственно.
Постараемся подобрать систему точечных зарядов q и q'
таким образом, чтобы создаваемый ими потенциал обращался
в нуль на сфере. Потенциал, создаваемый этими зарядами
в некоторой точке пространства М, равен
причем
г = V х' + у2 + (z - hf, г' == Vx2 + у2 + (z—h'f.
Эквипотенциальная поверхность нулевого потенциала системы
зарядов q и q' определяется уравнением:
или
q2 [x2 + y2 + (z- h'f] = q'2 [x2 Л-f + iz- hf].
После преобразований получим:
(х2 + у2 + z2) (q2 - q'2) - 2z(q2h' - q'2h) + q2h'2 — q'2h2 = 0.
Для того чтобы эта поверхность совпадала с поверхностью
заданной сферы, необходимо выполнение следующих равенств:
h'q2 = hq'2, h'2q2 - h2q'2 + R2 (q2 — q'2) = 0.
236
Решая последнюю систему уравнений относительно q' и h',
найдем
~~ h h
Так как нулевой потенциал может, очевидно, создаваться
только разноименными зарядами, то имеем окончательно:
R ,.r R".
«т- Л'=т
C6.1)
Это и есть полученные ранее формулы преобразования в сфере.
Найдем плотность индуктированных на поверхности сферы
зарядов с. Эта плотность равна
ди
. с = —е-—
дп
Поскольку в рассматриваемом случае
где G — функция Грина при внешнем расположении заряда, то
0 = _ХЁ?
'4я дп '
Поэтому плотность индуктированных на сфере зарядов отли-
отличается лишь постоянным множителем —— от ядра интегра-
интеграла Пуассона для сферы в случае внешней задачи Дирихле.
Воспользовавшись приведенной в § 23 формулой, получим:
0 = _ л Ч-_^ C5 2)
4*Я (#a + fta 2JRhcosbf>2
— 2JRhcosbf>2
Максимальная плотность зарядов достигается в точке на сфе-
сфере, ближайшей к заряду q, и равна (при 6 = 0)
Минимальная плотность, достигаемая в наиболее удаленной
точке, равна (при 6 = я)
Суммарный заряд, индуктированный на сфере, может быть
получен по формуле:
Q= CcdS,
237

где интеграл распространяется по всей поверхности сферы.
Полагая dS = /?2 sin bcffldy, получим
sin 6d6
— 2ДЛ cos 6K'2 '
} _ q (fea-/?;) R
4n
что после выполнения интегрирования дает:
Таким образом, суммарный индуктированный на сфере заряд
равен отображенному в сфере заряду q'.
Поле точечного заряда q = 4те0 около заземленной сферы
(— = 2\ приведено на рис. 101.
Рис. 101
Б. Рассмотрим теперь случай, когда сфера изолирована.
В этом случае потенциал ее равен постоянной (и отличной
от нуля) величине, а суммарный заряд равен нулю. Система
зарядов, определяющих поле точечного заряда в присутствии
изолированной проводящей сферы, будет состоять из трех
зарядов; заданного заряда q, отображенного в сфере заряда
q' и заряда —q', помещенного в центре сферы. Действительно,
первые два заряда создадут на сфере нулевой потенциал,
последний заряд создаст на сфере постоянный потенциал,
равный
4- ^- C5.3)
U —
238
В то же время суммарный индуктированный на сфере заряд
равен нулю, поскольку симметричные в сфере заряды q и q'
индуктируют на ней заряд q', а заряд, индуктированный на
сфере от заряда — q', помещенного в центре, будет ему же
и равен.
Потенциал в любой точке М пространства в рассматри-
рассматриваемом случае определится выражением:
U =JLf±.-
*
C5.4)
где р — расстояние от центра сферы до точки М.
В. В более общем случае нескольких зарядов, находя-
находящихся вне сферы, имеющей нулевой потенциал, необходимо
каждый из зарядов отобразить в сфере, и так как каждая
пара таких зарядов дает на сфере потенциал, равный нулю,
то суммарный потенциал поля вне сферы равен
JL
hk r'
C5.5)
где rk и r'k — расстояния от &-ого физического и от А-ого ото-
отображенного в сфере зарядов до точки М поля, hk— расстояния
физических зарядов до центра сферы.
В случае изолированной сферы, учитывая, что суммарный
индуктированный на поверхности сферы заряд в предыдущем
получим, что в центре сферы дол-
случае равен—У]^—
У]
жен быть помещен заряд 4
усматриваемом случае будет:
Г J R_ J_ , Ji_ J_\
<rk hk r'k """ hk p У '
потенциал поля в рас-
C5.6)
Пример 2. Рассмотрим поле, образованное проводящей сфе-
сферой нулевого потенциала и линейным зарядом постоянной
плотности г длиною 2/ (рис. 102). Положим, что нить нахо-
находится на расстоянии а от центра сферы и расположена в пло-
плоскости 2 = 0. Отобразим каждый элементарный заряд dq = tdl
нити в сфере; тогда суммарная система зарядов — заданной
нити и отраженной в сфере кривой — даст на сфере потенциал,
равный нулю.
239

Отображая нить в сфере, мы получим дугу окружности
радиуса —, проходящую через центр сферы и с углом
раствора относительно центра сферы, равным 2 arctg— . Дей-
а
ствительно, отображая точку Л в окружности z = 0 (рис. 103),
получим точку А', причем О А' = -= = — . Радиус-вектор
ОА а '
любой отображенной точки С равен р' = — cos <?, а это
а
и есть уравнение окружности диаметра —-, проходящей че-
а
рез начало координат.
Рис. 102
Рис. 103
Найдем плотность отображенных зарядов. Элементарный
физический заряд, расположенный на элементе dl между
углами <р и <р + а??, равен
dq = xdl = za — (tg ?) d-i = -^- fa.
а<{ cos2 9
Соответствующий отображенный заряд равен
W =~dq-§;? = - -*-dq=--Z-cos*dq.
Элемент дуги отображенной окр>жности, отвечающий эле-
элементу dl заданной нити, равен
Плотность отображенных зарядов оказывается равной
dq_ cosy т а
d<? R ~ ' R cos 7 '
г __ dq^
dl'
240
поскольку
dq тд.
d'f cos2 9
Задача свелась к нахождению
потенциала, обусловленного
линейным зарядом постоянной
плотности х и заряженной ду-
дугой окружности с переменной
плотностью х'.
Найдем потенциал U1 ото-
отображенных зарядов. Перене-
Перенесем начало координат в центр
окружности /', как показано
на рис. 104; тогда
U
• - 1 Г
1 ~Ar, J
где
2cos-2-
db,
причем <J* — полярная координата на плоскости (?,
Поскольку
па
= — cos <
2а
у — — sin ф,
2а
выражение для потенциала Ut принимает вид:
и <J* =
где
Полагая ш = tg -=-, получим:
i
Д-Ш.-16
=TJL С . d<0
4r,s J уа + Эш + 70)» '
241

причем
Ча
— &
После преобразований находим
1
V In
?-2т--
(а—? -
Я
Аналогично найдется и вторая составляющая потенциала по-
поля в точке Ж —потенциал U2, обусловленный линейным заря-
зарядом постоянной плотности т.
Из рис. 105 следует
= — Г-
di
4лЕ
х- / + У (х- оа + Су - «K + z2
Аналогично решается задача о поле нитевидного кольца
<: постоянной плотностью заряда в присутствии проводящей
сферы. Особенно просто решается задача, если линия, соеди-
соединяющая центры сферы и кольца, перпендикулярна плоскости
кольца. Плотность отображенных зарядов будет при этом
лостоянна.
Дадим теперь несколько иную трактовку метода изобра-
изображений в сфере. Положим, что в пространстве задана какая-
либо система зарядов (сосредоточенных и распределенных),
потенциал которой известен.
Выберем произвольную точку О, которую назовем центром
инверсии, и опишем около нее сферу некоторого радиуса R
(рис. 106). В этой сфере отобразим все заданные заряды по
описанному выше правилу отображения в сфере.
Потенциал, создаваемый заданными зарядами qt в какой-
либо точке пространства М, равен (предполагая пока, что все
заряды сосредоточенные):
U - Х
242
Wx.y.z)
\
Рис. 105
Рис. 106
где rt — расстояние от r-го заряда до точки М. Потенциал,
создаваемый зарядами q'.t (отображенными в сфере) в точке М'
(являющейся отображением точки М), равен
/;' --Y1L
где п — расстояние от заряда q'i до точки М'.
Обозначим расстояния от зарядов qt и q\ до центра инверсии
О через hi и hi, а углы между радиусами-векторами Oqt
и ОМ — через 6(., тогда
rt = Vr2
2rht cos 6г ,
r't=
где через гиг' обозначены расстояния от центра инверсии
до точек М и М, причем
rr' = R\
Отсюда находим:
LJЛ/ff :
Поэтому
16*
-- —V
47l?Zj
(=1 /
=
¦¦¦/
г
1
4тге
г
R
R* ,
QiR
EL- 2*?*' cose,
Щ г hi l
1 41
J n •
rl M
C5.7)
243

Очевидно, что последнее соотношение остается справедли-
справедливым и в том случае, когда часть зарядов qt являются со-
сосредоточенными, а часть распределены по некоторой поверх-
поверхности. Положим, что эта поверхность является поверхностью
проводника. Если точка М попадает в какую-либо точку этой
поверхности, то потенциал UM должен быть величиной по-
постоянной независимо от расстояния г точки поверхности про-
проводника до центра инверсии. Поскольку при этом, точка М'
попадает на отображенную поверхность, то из формулы C5.7)
можно заключить, что, вообще говоря, потенциал отображен-
отображенных зарядов на отображенной поверхности не остается по-
постоянным, а меняется пропорционально расстоянию от центра
инверсии до соответствующей точки физической поверхности.
Исключение составляет случай, когда заданный проводник на-
находится под нулевым потенциалом. При этом поверхность
отображенного проводника также будет поверхностью нуле-
нулевого потенциала.
Формула C5.7) показывает, что при известном потенциале
UM поля, образованного системой точечных зарядов и зазем-
заземленных проводников, может быть найден потенциал Uw по-
поля, образованного отображением в сфере заданной системы.
В качестве примера определим потенциал поля, образован-
образованного отображением в сфере бесконечного двугранного угла
А,АА2, равного -^-(или —¦), с точечным зарядом внутри
п \ п J
него. Примем некоторую точку О за центр инверсии и по-
построим около этой точки сферу с таким радиусом R, чтобы
она касалась вершины угла А (рис. 107).
Отобразим грани угла и заряд q в сфере. Результат даст
нам область ОА'2АА\О и заряд q'', расположенный внутри
нее. Покажем, что отображенная область составлена из дуг
окружностей. Рассматривая картину в плоскости, перпенди-
перпендикулярной граням и проходящей через заряды q и q', из рис. 108
находим:
-R\ ОС= Я + 1Ъ
Отсюда получаем
COS<p
CD . C~D
= — , tga= .
R -f AD AD
tga-tgo
Обозначив ОЕ=р, находим
P = -^-sin (a-?) = -?-
sin a sin a
cos
— — «Л
2 /
244
Полученное уравнение есть уравнение окружности, диаметр
которой составляет с прямой ОА угол ~а, а радиус равен
. В этом легко убедиться, если учесть, что ОЕ=р —
2 sin a
= OF cos (<? 4- — — aV a OF = —— . Расстояние от центра
\ 2 / sin a
Рис. 107
Рис. 108
окружности ОЕА до прямой О А равно yctga. Аналогично
найдем, что отображение грани АА2 в рассматриваемой пло-
плоскости дает дугу окружности радиуса ^у с центром, от-
отОтображение
стоящим от линии ОА на расстоянии -^
плоскостей ААХ и АА2 в сфере даст сегменты сфер, получае-
получаемых вращением дуг ОА'гА и ОА\ А относительно прямой О2Т
(рис. 107). Иначе, отображение двугранного угла А2ААХ в сфе-
сфере дает поверхность, образующуюся вращением луночки
ОАчАА'хО относительно прямой О2Т.
Потенциал внутри этой поверхности, потенциал которой
равен нулю, а поле обусловлено зарядом q', может быть под-
подсчитан по формуле C5.7)
г, м R .m
Потенциал UM в точке М внутри двугранного угла опреде-
определяется формулой C3.6), если угол равен ~, где т и п - це-
целые числа.
245

§ 36. Поле шарового разрядника
Шаровой разрядник является одним из основных устройств,
используемых для измерения высоких напряжений. С учетом
этого обстоятельства ниже подробно рассмотрено поле между
двумя сферами.
Рассмотрим поле двух уединенных сфер радиусов Rt и R2
с расстоянием между центрами h0 (рис. 109). Будем считать, что
одна из сфер, например сфера 1, заряжена до потенциала Uu a
вторая сфера заземлена. Потенциал Ux на сфере 1 создается за-
Рис 109
рядом qo = 4veR1U1, помещенным в центре сферы 1. При таком
выборе производящей системы зарядов удовлетворяется крае-
краевое условие на сфере 1, но очевидно, не удовлетворяется крае-
краевое условие на сфере 2. Для того чтобы удовлетворить этому
последнему условию, отобразим зарядов сфере 2. Заряду
и отображенный в сфере 2 заряд q'0= — д0 > расположен-
h0
R
ный на расстоянии /to = — от центра сферы 2 (рис. 109),
h0
создадут поле, удовлетворяющее краевому условию на сфере 2,
но уже не удовлетворяющее краевому условию на сфере 1.
Для того чтобы восстановить нарушенное краевое условие
на сфере 1, отобразим в ней заряд q'o; в результате получим
заряд qx = — q'o Ц—, расстояние которого hx от 'центра
"о — ^о
сферы 2 определится из уравнения
(Ао — Л^ ) (Л„ — Л,) = /??.
Продолжая процесс далее, мы почучим системы зарядов qt
и q'i(i = 0, 1, 2,...), расположенных, соответственно, в утри
246
сфер 1 и 2 на прямой, соединяющей^ центры сфер и с рас-
расстояниями до центра сферы 2 ht и h,-.
Если при i —> оо заряды qx и q\ стремятся к нулю, а рас-
расстояния ht и h'i — к некоторым конечным значениям, то по-
построенная система зарядов определит поле, удовлетворяющее
краевому условию как на сфере 1, так и на сфере 2.
Заряды qt и д\ и расстояния А,- и h\ связаны между собой
следующими соотношениями:
i= — Яо'
Яг~~
\ = -Ял
ho — ho
Rt
h0 — h\
1
\ C6. I
ho-К
C6.2)
Найдем явные выражения для зарядов qn и ^ и расстояний
их от центра сферы 2 hn и h'n. Из C6.1) находим:
Q — Q
л„ (Ло — лп
C6.3>
r - >
Положим
K+l .
Чп ЬП
Тогда C6.3) дают:
R1R2
247

или, воспользовавшись C6.2),
Далее из C6.2) находим:
R2 R2
(K K)h ' 2
\R
Отсюда
R1R2
hn (ho — Л„)
Составим теперь следующие суммы:
R1R2
1
(h0 - hn+l) h'n+l
R1R2
Используя соотношения C6.2), получаем:
C6.4)
Введем далее новые параметры рп и р'п, определив их соот-
соотношениями:
Рп = 8О8182 • • • 8и-1> Рп = 80 81 ^2 • • • 8п-1.
Очевидно, что параметры р я р'п представляют собой отноше-
отношения зарядов q0 и q'o соответственно к зарядам qn и q'n. Дей-
Действительно,
"'-г— = — • C6.5)
& 8 8
га-1 и-2 и-1
t I
= ,- .* ш. .,— = —. (Зо.б)
Поскольку
то, подставляя в C6.4)
1
248
¦ , вл+1
"n+1
гя+1
Pn+l
получим:
где обозначено
"п+1
Рп+2+Рп
Рп+1
= 2х.
Таким образом, параметры />„ и /?^, определяются из следую-
следующих уравнений второго порядка в конечных разностях:
.! + />„ = О, C6.7)
, + />'= 0. C6.8)
-1 ' -*^л ^ /
Начальные условия при решении этих уравнений должны быть
выбраны следующими
Ро = If Л = 8о =
Решение уравнений C6.7) и C6.8) имеет вид
где X, и Х2 — корни характеристического уравнения
X2 — 2*Х +1=0.
Полагая в этих решениях ге = 0 и ге = 1 и учитывая началь-
начальные условия, получим следующие выражения для постоянных:
, p + *i д=_Р±к.
где обозначено
х,-х2'
р =
Выражения для параметров рп и /?^ принимают вид
>и+1
Л. —~~ Лл Л^ Ag
Введем для корней Xj и Х2 характеристического уравнения
следующие обозначения:
= <Tv; chv = z.
249

Тогда окончательно получим:
"psh
Р"
_ sh(n
shv
Из C6.5) и C6.6) находим заряды qn и q'n
shv
psh nv + sh (n + l)v
' sh (л + 1) v
shv
u Ло sh(n+l)v"
Параметры 8П и 8^ определятся теперь так:
R ^_ psh(n+l.)v + sh(n + 2)v _ R' _ sh (п + 2) v
C6.9)
psh v + sh (n + 1) v
sh(n + l)v '
Далее находим:
g ] 1 _A+P2)sh(n + l)v-
" р р [р sh nv + sh (к + 1) у]
что после преобразований дает:
Л„ _ sh (я + 1) v
Ло р sh nv + sh (п + 1) v
Учитывая, что h'n hn = Rl, получаем:
Л„ р sh nv + sh (n + 1) v
C6.10)
C6.11)
h0 (l + p2 + 2pchv)sh(n-t-l)v
В частном случае сфер равных радиусов R1 = R2
полученные формулы упрощаются; полагая v = 2(x, после
элементарных преобразований получим:
sh2(n+i)(i
C6.12)
Индуктированные на сферах 1 и 2 заряды Q, и Q2 равны по
доказанному выше суммарным зарядам, расположенным внутри
каждой из сфер, т. е. по C6.9)
Qi =
1
п=0
п=0
psh nv + sh(n
C6.13)
250
C6.14)
n=0
n=0
Учитывая, что д0
записать так:
последние выражения можно
где положено:
n=0
psh nv -f- sh(n -t- l)v
P21 = ~~
47te/?t/?2 sh v
00
V 1 .
Lk shvn + l)v
В общем случае, когда потенциалы сфер равны соответственно
Ux и U2, поле может быть получено наложением двух полей:
поля, созданного сферой 1 с потенциалом Ul и заземленной
сферой 2, и поля, созданного сферой 2 с потенциалом U2
и заземленной сферой /.
Заряды qn и q'n, определяющие первое поле, были опре-
определены выше. Заряды qn и q'n, определяющие второе поле,
могут быть найдены из выражений для qn и q'n, для чего
нужно лишь поменять местами Rt и R2 и заменить Ut на U2.
Поэтому заряды, расположенные внутри сферы 2,
qn =
а заряды, расположенные внутри сферы 1,
sh v
h0 sh (n -f l)v
Следовательно, в случае, когда потенциалы сфер произволь-
произвольны, суммарные их заряды определяются выражениями:
= J (in
л=0
C6.15)
л=0
где
n=0
р sh nv + sh (п + 1) v
251

psh(n -J-
Л=0
Sh(rt
C6.16)
В частном случае сфер равных радиусов (р=1) потенциаль-
потенциальные коэффициенты рй запишутся так:
8 = R =
11 22
п=0
л=0
sh2(n
C6.17)
Полученные формулы позволяют получить, в частности, ем-
емкость сферических проводников в различных случаях.
1. Уединенная сфера.
Полагая /г0—>оо, найдем: х—»оо и v—*оо; при этом Р,2 =
= P2i—0; й.-^/^С,.
2. Две сферы, из которых одна заземлена
(i/ )
С, = ^- = Р„ = 4nefl. sh v
1 гд 1] м
л=0
3. Две сферы с потенциалами U1 и U2 = — U1.
С, = -Ql- = Р" ~ Р" = 2re/?, sh v
1 2f/j 2 ]
п=0
R,
Sill
В случае сфер равных радиусов последнее выражение может
быть приведено к виду:
1
л=0
Sh (П + 1)
252
4. Сфера на высоте —- над проводящей пло-
плоскостью нулевого потенциала.
Полагая /?2 == /?а = R, получим, что при U2=~ Ult сред-
средняя плоскость является эквипотенциальной поверхностью
нулевого потенциала. Поэтому
оо
1
л=0
5. Сфера в присутствии второй изолирован-
изолированной сферы.
В этом случае заряд изолированной сферы равен нулю;
поэтому
Отсюда
г> Q\ о Р'2
— ~и в *
Напомним, что частичные емкости равны:
С22 = р22+Р12.'
== P
l2-
6. Две сферы при одинаковом потенциале
имеют емкость по отношению к бесконечности
В частности, при Rj = R2 = R
Если, кроме того, сферы соприкасаются, то ho = 2R, x = l,
jj, = О и, учитывая, что
lim
sh
lim
sh [д.
и.-о sh 2 (л -f-1) f* 2(П+1)' И.-0
найдем
С = 2 (?п + р|2) =
2п + 1'
2.
я=0
Перейдем к определению напряженности поля. Ограничимся
определением лишь максимальной напряженности поля. По-
253

лагая, что сферы имеют одинаковый радиус и одна из сфер
(например, сфера 2) заземлена, а вторая имеет потенциал^,
найдем напряженность в точке Л поля (рис. 110). Эта напря-
напряженность равна
и=0
^ гп — расстояние от «-го заряда в сфере 1 до точки А,
а г'п — расстояние «-го заряда в сфере 2 до той^же^точки.
Из рис. 110 следует, что
Рис. ПО
Подставляя сюда значения hn и h'n из C6.12), после преобра-
преобразований получим
r „sh(
r, _ R sh Bn + 3> V- — sn 2 (n + 1) V-
" sh2(n-f 1)^
Воспользовавшись общими выражениями C6.12) для зарядов
<7„ и д'п, найдем
Ф„ = 1 + sh р.
п=0
C6.18)
Аналогичные выкладки дают следующее выражение для на-
напряженности в точке А' (рис. ПО):
л=0
sh 2 (п + 1) fji + sh n + 1) (<¦
[sh 2(n + 1) [a — sh Bп + 1) [t]
C6.19)
254
В том случае, когда потенциал сферы 2 равен U2, а сферы
/—нулю, напряженности в точках А к А' равны, очевидно,
Отсюда следует, что в общем случае дв^х сфер (равных ра-
радиусов) с заданными потенциалами ?/, и U2 напряженности
ЕА и ЕА, равны
(^Фи - ^i2). ^л- = -^(^г - ^п)- C6.20)
а
В табл. 1 даны значения максимальных напряженностей!*
поля в различных случаях:
Таблица 1
№ п/п
1
2
3
4
5
6
цо
"'с
Ъ
"о
Схема
о4
О**
•§•
о*"
Mi
R
и,
R
*А
и
Ф»1 + 4"|2)
—
R Vl2
—
Введем далее следующий безразмерный параметр:
fto-2# =_d_
л /г '
1) Напряженность в точке О иа плоскости (случай 4) должна быть опре-
определена особо.
255-

где d = AA' — ближайшее расстояние между сферами. Не-
Нетрудно видеть, что функции
fi =
и /= s-
являются функциями только параметра s. Действительно,
в рассматриваемом случае сфер равных радиусов
R2
Отсюда
Напряженности ЕА и ЕА, выражаются через функции /, и /
следующим образом:
C6.21,
Отметим, что функции / и f} характеризуют возрастание
напряженности в рассматриваемом поле по сравнению с рав-
равномерным полем и называются поэтому коэффициентами нерав-
неравномерности. Так, в случае двух сфер, из которых одна имеет
потенциал ?/,, а другая заземлена, максимальная напряжен-
напряженность поля равна ЕА = —Lfu тогда как в равномерном поле
при расстоянии между электродами d и разности потенциа-
потенциалов ?/,, она была бы равна —-.
d
Зависимость функций / и /, от параметра s = — приве
дена на рис. 111.
Остановимся в заключение на вопросе сходимости рядов
для емкостных коэффициентов и коэффициентов неравномер-
неравномерности. Из полученных для них выражений видно, что при
малых расстояниях между сферами соответствующие ряды
сходятся весьма медленно. Улучшить их сходимость можно
посредством следующего преобразования, принадлежащего
Кирхгофу.
Ограничиваясь случаем сфер равных радиусов, обозначим
х = е~*; тогда из C6.17) получаем:
bi_ —3' — V
sh
и=0
п=0
1 — X2
1-Х
256
или
2,2
2,0
W
1,6
%2
1ft
05 1,0
Рис. Ill
Прибавляя'и вычитая к стоящему в скобках ряду ряд
1 + x2 + x4 + x6+ ... =
получим:
= 1 + JC2 + JC8 A — JC2)
1
1
^ h ...1.
1-х1* J
l-x">
Преобразуем ряд в скобках подобным же образом, прибав-
прибавляя и вычитая ряд
1
Т X + X + X +••.=
1-х6'
Результат будет:
К, - 1 + ** + A - х')х" L
Повторяя подобные преобразования, найдем:
= 1 + х2
- х2)
n=l
Д-452.-17
C6.22)
257

Аналогично получим и выражение для р',2:
A-JC2
2/1 BЛ+3).
¦]¦
C6.23)
2
л=0
Для коэффициентов неравномерности нетрудно получить,
используя обозначения х = е~*, следующие выражения:
, A-лМ1+х) V *» I-
1 2* Z
Z
л=0
оо
ъ
п=0
4п+1
о
Если воспользоваться способом улучшения сходимости, из-
изложенным выше, то ряды для / и /j можно привести к виду:
. _ A - х?) A + х) Г 1 3 Ъх
п [хA+х) 1—х*\—х*>
2
-Л'
7 +5л;'
п=0
A +х
x2n+1 1
2n+K2j'
C6.24)
Ряды C6.22), C6.23) и C6.24) сходятся весьма быстро, даже при
значениях х = е~*, мало отличающихся от единицы.
Глава VII
РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В СЛУЧАЕ
ЗАВИСИМОСТИ ПОТЕНЦИАЛА ОТ ОДНОГО ПАРАМЕТРА
(МЕТОД ЛАМЕ)
§ 37. Условия применимости метода
Рассмотрим семейство эквипотенциальных поверхностей
пространственного электростатического поля, предполагая,
что уравнение этого семейства
F(x, у, z, X) = 0 C7.1)
содержит только один параметр К При этом на каждой фик-
фиксированной эквипотенциальной поверхности, в том числе и на
проводниках, параметр X сохраняет постоянное значение.
Различным эквипотенциальным поверхностям отвечают, оче-
очевидно, различные значения параметра X. Поэтому потенциал
поля f/должен являться функцией параметра X, т. e.U = L/(k).
Выясним, какому условию должно удовлетворять уравне-
уравнение C7.1), чтобы потенциал U был бы функцией только одного
параметра X. Для этого положим, что уравнение C7.1) может
быть разрешено относительно X
* = ?(•*, З'» z).
Имеем:
дх
dl дх
дх3
V дх)
dk
дх1
и аналогичные равенства для производных по координатам у
и z. Суммируя вторые производные потенциала U, найдем:
где
17*
- д\ - ах
/ ах \2
Ы •
259

Отсюда
йЧ]_
d\*_
~dU
d\
d
ДХ
J
C7.2)
Потенциал U будет являться функцией только одного пара-
параметра К если ^(Х) не зависит от координат х, у, г.
Из C7.2) в этом случае находим:
du ft та /#о)л
~=Ае , U^Aje dk + B, C7.3)
где А и В — постоянные интегрирования, определяемые, на-
например, по потенциалам на двух эквипотенциальных поверх-
поверхностях.
Рассмотрим теперь более общий случай, имеющий к тому же
и большее практическое значение, а именно: случай, когда
уравнение C7.1) не удается явно разрешить относительно X.
В этом случае, дифференцируя C7.1) по х, найдем:
dx дх
dX дх
и, следовательно,
дх
где обозначено
Далее имеем:
дх
dF
'' дХ'
дх д\
где обозначено
дх*'
ах*'
Последнее выражение может быть переписано в следующем
виде:
дх2
260
Аналогичные соотношения будут иметь место и для произ-
d'X daX ^ А
водных и —. Суммируя их, найдем
ду' дх2
ДХ
L f'x f? ax
/I2 J
ax
Из полученного выражения для - и аналогичных выраже-
ах ах
ний для — и — находим:
ду дг
Поэтому получаем
ИЛИ
_а_
ах
C7.4)
где /V= .
Задача упрощается, если параметр X явно выражается
через координаты х, у, z. Рассмотрим, например, поле между
двумя бесконечно длинными параллельными круговыми цилин-
цилиндрами радиусов а и Ь и с расстоянием между их осями
s > а + Ь. Уравнение эквипотенциальных поверхностей можно
записать в виде
Fix, у, X) = (*2 + /-a2)(l-X)+[(x-s
Из этого уравнения следует, что поверхности одного
цилиндра (радиуса а) отвечает значение X = 0, а поверхности
второго (радиуса Ь) — значение Х=1. Определяя из уравне-
уравнения F(x, у, Х) = 0 параметр X, получим
Отсюда
s Bх — s) f 52 p
dl _ 2 (хр — sq) dl _ 2у
дх р* ду р
^1 = ±[х2
S2X2 - 2*sX].
Учитывая, что
x2 + у2 = a2 + X [sBx - s) + 82],
261

найдем
VX- VX = -±- [a2 + s\ (X - 1) + X82].
Соответствующие выкладки далее дают также
Поэтому
В данном случае
J> (X) dl = - In [s2X (X - 1) + X82 + a2],
и, следовательно,
где
причем
I —
Если задана разность потенциалов между цилиндрами Uo —
= U@) — t/(l), то с точностью до постоянной В будем иметь:
X —xt
In
X—
In
Ml-X2)
Ml-A,)
Задаваясь какими-либо значениями x и у, по формуле X = —
можно найти соответствующее значение Ь, а следовательно,
и значение потенциала в рассматриваемой точке (х, у).
В общем случае выражение функции ^(Х) C7.4) позволяет
подойти к определению тех классов семейств эквипотенциаль-
эквипотенциальных поверхностей, для которых расчет поля может быть вы-
выполнен изложенным в настоящем параграфе методом.
В частности, достаточным условием независимости $(Х)
от координат х, у, z является выполнение следующих соотно-
соотношений:
C7.5)
2G2
где/i,/2,/з, 'f — некоторые функции, зависящие только от
параметра X.
Интегрирование первых трех из написанных соотношений
дает:
F= -^
Pi (У, Z, X);
х* z> Х)
Отсюда вытекает, что в качестве функции F может быть
выбрана следующая
F=~fi W + ^-Л W + ^/з(х) + Кх).
Вид функций /j. /2, /3, I определяется с помощью последнего
из соотношений C7.5). Подставляя в него полученное выра-
выражение для F, найдем
Отсюда
2
Интегрируя полученные уравнения для fv /2 и /3, получаем:
/э =
J 9^ 2
9 С1
с2
где а, Ь, и с — произвольные постоянные.
Таким образом, искомая функция F(x, у, z, X) в рассмат-
рассматриваемом частном случае может быть представлена в сле-
следующем виде:
F{x, у, z, X) = ~т
:—-1 + л=о.
9 • 2
Без ограничения общности можно считать постоянную а = О,
а постоянную Л = — 1.
263

Положив, в частности,
*!&—*¦¦'¦*¦'<»—г-
получим
Fix, у, z,l) = —
-1 = 0,
C7.6)
т. е. уравнение семейства софокусных поверхностей второго
порядка.
§ 38. Поле, образованное заряженными
софокусными эллипсоидами
Положим, что постоянные Ъ, с и параметр X удовлетво-
удовлетворяют следующему условию:
0<6<с<Х<оо.
В этом случае семейство эквипотенциальных поверхностей,
определяемое уравнением C7.6)
¦ *+_2_+ _-?_ = !. C8.1)
12 13 «.8 ' 19 -9 V '
представляет собой семейство софокусных эллипсоидов с по-
полуосями X, Кх2 — Ь2, КХ2 — с'2. При Х = оо уравнение C8.1)
дает сферу бесконечного радиуса; при X = с эллипсоид сплю-
сплющивается в эллиптический диск, лежащий в плоскости z = 0.
При Ъ = с мы получаем эллипсоиды вращения относительно
оси х, а при Ь — 0— относительно оси z.
В рассматриваемом случае
N=
AF = / (X) +/2 (X) +/3 (X) = 2 Г—+ —
Подставив в C7.2), получим
ax
dX
Отсюда находим
dU
==_c
1
264
и (x) = - cl
г—b') (Х2-с2) 2
Сделаем в последнем интеграле замену переменной, положив
с „ edt
Находим
где
dt
+с
2l
Введя, наконец, переменную t = sin 6, окончательно получим:
arcstn X
иа)=
1 - кЧт 6
~=- + ь2-
C8.2)
Полученный интеграл есть эллиптический интеграл первого
рода с модулем k = —. Вводя для него обычное обозначе-
с
ние, запишем полученное решение в следующем виде:
t/(X) = C1/r('arcsin-^-, k\ + C2. C8.3)
Постоянные интегрирования С1 и С2 могут быть найдены, если
известно значение потенциала в двух точках поля. В част-
частности, если поле неограниченно, то учитывая, что на беско-
бесконечности потенциал U должен быть равен нулю, т. е.
lim ?/(Х) = 0, получим, что С2 = 0. Найдем теперь напряжен-
ность поля. Имеем^
~ dU Гди , ч , ди , ч . ди ,
?=- — =-[-cos (/г, x)+-cos(n, jO +-cos (/г,;
где cos (n, x), cos (/г, у), cos (л, z) — косинусы углов, состав-
составленных осями координат с нормалью к эквипотенциальной
поверхности в точке поля, в которой определяется напряжен-
напряженность. Так как
дх dl дх ' ду
TO
^ju. dU_
d\ ду ' <)z
д\
dU dl
dl дг '
dl
265

,, dX dX дк
Учитывая, далее, что частные производные— —- —опре-
дх ду дг
деляются из уравнения семейства эквипотенциальных поверх-
поверхностей F(x, у, z, X) = 0 в виде
J0L
дх
Fx" ду
Fy дк
F' ' ~дг~
получим:
Если учесть, что косинусы углов, составленных нормалью
с координатными осями, выражаются через производные функ-
функции F в виде
cos (п, х) =
то напряженность поля может быть записана так:
dk F;
В рассматриваемом случае
Отсюда
2г
У \2 U2 * z
+
(X
C8.4)
Yi-
JL.
или, учитывая выражение для
dU_
dk '
— с2)8
—С2)Г—
C8.5)
С другой стороны, известно, что расстояние от начала коор-
координат до касательной плоскости к поверхности/г= 0 (касаю-
(касающейся этой поверхности в точке х, у, z) равно (рис. 112)
zF'z
266
Подставляя в это выражение значения
производных F'x,F'y,F'z, после пре-
преобразований, с учетом C8.1) получим:
1
d-
X*
Поэтому C8.5) может быть перепи-
переписана так:
р _ cQd du d
C8.6)
X V(X2 — 62) (X2 — C*)
Рис. 112
На фиксированной эквипотенциаль-
эквипотенциальной поверхности величина, стоящая
множителем при d, является величиной постоянной, и, следо-
следовательно, при перемещении точки М по эквипотенциальной
поверхности напряженность пропорциональна d, т. е. рассто-
расстоянию от начала координат до касательной плоскости к этой
эквипотенциальной поверхности, касающейся ее в той точке,
в которой определяется напряженность.
Максимальная напряженность будет на концах самой длин-
длинной оси эллипсоида. Полагая d = X, получим:
Е =
маьс
сСл
C8.7)
Если X = Xj определяет поверхность проводящего эллип-
эллипсоида, то плотность зарядов на нем будет равна
Вычислим теперь поток вектора напряженности через
любую эквипотенциальную поверхность, определяемую неко-
некоторым значением параметра X:
Так как
,dS.
dxdy _V\F-\F
cos(n, z)
dxdy,
то
i
S'
dxdy
267

В последнем выражении учтено то обстоятельство, что
интегрирование необходимо производить дважды по площади
S' проекции 5 на плоскость ху, поскольку обе части эллип-
эллипсоида (z > О и z < 0) проектируются на одну и ту же пло-
площадь S'.
Учитывая, далее, что
получим:
2сС,
dxdy
Для вычисления последнего интеграла введем обобщенные
полярные координаты
Тогда
2л
¦ = - АъсС^ V1 — р2
Отсюда следует, что поток вектора напряженности будет
одинаковым для всех эквипотенциальных поверхностей.
Суммарный заряд, расположенный внутри какой-либо экви-
эквипотенциальной поверхности, т. е. суммарный заряд проводя-
проводящего эллипсоида с потенциалом Uo, согласно теореме Гаусса,
равен
arcsin
При этом, если проводящему эллипсоиду отвечает параметр
Х = Х0, то согласно C8.3)
f—, k) + С2.
Предполагая, что поле неограниченно, т. е. С2 = 0, получим
F( aicsin
•О
И
Q
/ с \
F[ arcsin -г— , k I
\ л0 /
268
Отсюда емкость уединенного эллипсоида равна
F ( arcsin
ini' *)
C8.8)
В том случае, когда поле ограничено двумя софокусными
эллипсоидами, которым отвечают некоторые значения пара-
параметра X = Xj и X = Х2, найдем, полагая, что потенциалы эллип-
эллипсоидов равны ?/j и О2:
U, = Сх
у-, * ) + С2, i = 1, 2
и,-и,
F (arcsin — , А ) — F (arcsin — , k J
\ а, / \ л2 /
Поэтому емкость эллиптического конденсатора, образованно-
образованного эллипсоидами с полуосями
х2,
равна
J F ( arcsin ——, fc) — F ( arcsin ——, k )
C8.9)
Полученные формулы значительно упрощаются в том случае,
когда эллипсоиды, образующие поле, являются эллипсоидами
вращения. Полагая Ь = с (вращение вокруг оси х), получим,
что при этом & = 1 и эллиптический интеграл F(arcsin—, l\
вырождается в логарифм. Действительно,
arcsin
F(arcsin -f-, l)= Г
0
Положим / = sin6, dt = cos 6d6; тогда
db
cos 6
F(arcsinx, g=
Х-с
Поэтому в рассматриваемом частном случае потенциал поля
принимает вид:
= -^ In —-J— + C2. C8.10)
2 X —с
269

Емкость уединенного эллипсоида вращения равна
р 8яес
In
C8.11)
Хо—с
Емкость эллиптического конденсатора, образованного эллип-
эллипсоидами вращения с наибольшими полуосями \ и Х2, будет
~ 8пес
In
(*2-С)
C8.12)
Рассмотрим теперь один предельный случай. Будем считать,
что поверхности проводника отвечает значение параметра X,
равное Хо = с. Как указывалось выше, этому случаю отвечает
поле эллиптического диска, расположенного в плоскости ху
и имеющего своими полуосями с и V с2 — Ь'г. В случае уеди-
уединенного эллиптического диска потенциал поля равен
Поскольку при X = Хо = с неполный эллиптический интеграл
превращается в полный, то
C8.13)
(
-^, k),
где LL — потенциал диска.
Емкость уединенного эллиптического диска в соответствии
с формулой C8.8) принимает вид
С=Л2?_. Г C8.14)
Если, наконец, диск круглый, т. е. Ъ = 0, то модуль k эллип-
эллиптического интеграла обращается в нуль и
К=-^-, /Yarcsin—, O) = arcsin — .
2
Поэтому в случае круглого диска
?/ = ^arcsin-^,
я X
С = 8ес. C8.15)
Полученные здесь формулы для потенциала поля и емкости
диска могут быть использованы при расчете сопротивления
растеканию тока г с дискового заземлителя, расположенного
у поверхности земли, для чего может быть использован ме-
метод электростатической аналогии. В частности, для сплю-
сплющенного дискового заземлителя, расположенного на поверх-
270
ности земли и имеющего радиус Ro, сопротивление г найдется
из соотношения rg = e/C, где g — удельная проводимость
почвы; откуда
г =
При выводе последней формулы учтено, что у дискового
заземлителя ток стекает лишь с нижней поверхности диска.
§ 39. Поле, образованное заряженными
софокусными гиперболоидами
Уравнение семейства однополостных гиперболоидов полу-
получается из общего уравнения софокусных поверхностей вто-
второго порядка C7.6) при 0<6<Х<с и имеет вид (рис. 113):
Х2
С2 —Х2
Рис. 113
Как и в примере § 38,
dU
dk
X2 —с2
откуда:
где р —произвольная постоянная.
271

Отсюда
Полагая
dU
dX
2-b2)
V
p
(X2 — b*)
dX
(x2-fcs:
rfX =
(c2-
) (c2-
X2)
X2)
— ft2) Mf
V c2 — (c
получим:
где
U
=_^.r.
dt
Если ввести новую переменную 6 из соотношения sin 6
то потенциал ?/ примет следующий вид:
U
а.
=4
о = arcsin
с*-Ь> '
ИЛИ
,)
ft,) +
C9.1)
где Л и Б — произвольные постоянные, определяемые зада-
заданием потенциала в двух точках поля. При этом Л = —.
с
В частном случае однополостных гиперболоидов враще-
вращения, полагая 6 = 0 (вращение вокруг оси z), получим kx = I и
--^-, 1J+B.
Но так как
272
in
2 1 -^
ТО
C9.2)
Расчет поля однополостных гиперболоидов вращения позво-
позволяет приближенно рассчитать поле цилиндрического высоко-
высоковольтного ввода (рис. 113). Будем приближенно считать, что
отверстие ввода образовано вращением вокруг оси z гипер-
гиперболы
= 1.
J>2 Z
X2 c2-
Если выбрать с близким к X, то. при у, соизмеримых с Х2, z
будет мало, и вращение этой гиперболы относительно оси z
даст тонкую стенку. Стержень же ввода положим образован-
образованным гиперболой
2
Если положить с ^> Х2, то вращение этой гиперболы относи-
относительно оси z даст гиперболоид, мало уклоняющийся (при
сравнительно малых z) о г цилиндра радиуса Х2, ось которого
совпадает с осью z.
Положим, что внешний электрод (стенка) заземлен, а
внутренний (стержень) имеет потенциал Uo. Тогда из C9.2)
находим:
Л1п
Отсюда
Л1п
с + V с2 — X2,
1п-
Л
1п-
In
и
Д-452.-18
In
ln-
(c +
X?, i=l, 2,
- X2) X,
C9.3)
27Э

Напряженность поля найдется по формуле
Е= —
dU d
cAd
rfX X
X» у с' — Ха
C9.4)
Напряженности на стенке (X = Xj) и на стержне (Х = Х2) в
плоскости 2 = 0 из формулы C9.4) определяются при d=\
и d = \2. Поэтому
р Ас
Ас
i . •»
. \V c* — l\
Наилучшее использование изоляции ввода мы будем иметь
в том случае, когда Е1=Е2. При этом
На рис. 114 построено поле ввода для случая:
^о=1. "Г" = 20, -f- = 1,00125.
А2 Л,
V;0,3
Рис. 114
274
Уравнение двухполостных гиперболоидов получается из
общего уравнения софокусных поверхностей второго порядка
при 0<Х<6<с и имеет вид (рис. 115):
*?
С3—
Рис. 115
Из основного уравнения
X
— с2
находим:
In ?Л' = In (X2 - b2) (X2 - с2) + In p
V (fca-X'') (C2-X!)
' —X2) (CS — i
Производя в последнем интеграле подстановку X = Ы, най-
найдем
( ) #> C9.5)
причем k — — и .А = — ¦ Напряженность поля определит-
с с
ся формулой
cAd
— X»)
18*
C9.6)
275

В частном случае двухполостных гиперболоидов вращения,
полагая Ь = с, k = \ (вращение относительно оси х), найдем:
X , \ 1 , 2> + Х ч
arcsin —, 1 ) = — In -
с ) 2 Ъ—X
и
b — X
C9.7)
В качестве примера рассмотрим поле между иглой и зазем-
заземленной проводящей плоскостью. Этот случай можно тракто-
трактовать как случай поля между очень узким гиперболоидом
вращения и вторым гиперболоидом, выродившимся в пло-
плоскость. Поверхности иглы будет отвечать параметр X, близ-
близкий к Ъ. При этом уравнение
1
Ха 2,2 _ X2
будет отвечать гиперболоиду вращения относительно оси х,
образованному вращением около этой оси каждой из ветвей
гиперболы
Х2 2,2 _ X2
Плоскости х = 0 отвечает значение параметра X = 0. Поэтому
полагая в C9.7) X = 0, найдем, что В = 0 (поскольку пло-
плоскость заземлена). Если игла заряжена до потенциала Uo,
то
и=и0
In
ь-х,
Напряженность поля равна
C9.7)
X B>2 — Х=) In
b —
Максимальная напряженность очевидно имеет место на кон-
конце иглы (rf=Xj) и равна
¦Смаке ===
Последнему выражению можно придать несколько иной вид,
если ввести в рассмотрение асимптотический конус к гипер-
276
болоиду X = Xj с углом конусности а (рис. 116). Так как
уравнение асимптоты к гиперболе
# У2 - !
Ai «- — 
имеет вид x — ky, то подстановка его в это уравнение дает
_#! 1 ==_1_
Х2 fc3_Xf "" V3 '
что при у—>оо определяет
V Ь2-Х?
Поэтому
¦Смаке =
COS a
cos2 a
cos a • Xj • sin2 a . In
1 + cos a
1 — sin a
cos a
Xj sin2 a In ( ct%~2~)
C9.8)
u=05
Полученный результат может быть 'использован и для при-
приближенного расчета двух
игл, близких по форме к
конусам при условии, что
потенциал одной из них
равен Uo, а второй — Uo.
Рис. 117 дает представле-
представление о поле иглы, помещен-
помещенной над плоскостью.
о
Рис. 116
Рис. 117

Глава VIII
РЕШЕНИЕ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 40. Метод разделения переменных
Ограничимся изложением метода разделения переменных
для решения задач, приводящих к интегрированию дифферен-
дифференциального уравнения вида:
а™+1М. + 1и-Ц& -/(*, у), D0.1)
ду2 ду р (х)
где а, р, у — постоянные, L(U) — линейный дифференциальный
оператор вида
-q(x)U, D0.2)
причем будем полагать, что р(х) и р(х) — непрерывные поло-
положительные функции, первая из которых имеет непрерывную
производную, # (л) — непрерывная функция, f(x, у) — задан-
заданная функция. Уравнение D0.1) не является наиболее общим
дифференциальным уравнением второго порядка, допускаю-
допускающим разделение переменных, однако оно включает в себя
как частные случаи уравнения, наиболее часто встречающие-
встречающиеся при решении практических электростатических задач.
Решение уравнения D0.1) будем искать при неоднородных
краевых условиях, которые для общности запишем в следу-
следующем виде:
.дх
dU
дх
dU
где аа, ра и т. д.
ные функции.
278
D0.4)
постоянные, <?а(у), ?6(j>) и т. д.— задан-
заданДля решения поставленной задачи рассмотрим прежде
всего ^однородное уравнение, отвечающее уравнению D0.1):
[Га— + Р — +tU\— ^-^ = 0, D0.5)
,[_ ду* ду J р (х)
и будем искать его решение при [однородных краевых усло-
условиях, относящихся к переменной х, т. е. при
= 0. D0.6)
Для этого предварительно найдем частные решения урав-
уравнения D0.5) вида
U
= Х(х) и Y=Y(y)—искомые функции независимых
переменных соответственно только х и у.
После' подстановки последнего выражения в рассматри-
рассматриваемое уравнение получим:
Полученное уравнение можно переписать в виде:
D0.7)
Поскольку правая часть D0.7) зависит лишь от переменной
х, а левая часть—лишь от переменной у, то их равенство
может иметь место тогда и только тогда, когда обе части
не зависят от своих переменных и являются постоянными;
приравнивая обе части в D0.7) — X, получим:
L(X) + \? (x)\X= 0. D0.8)
o.Y" +рГ + (т + X) Г = 0. D0.9)
Требование, чтобы построенное частное решение удовлетво-
удовлетворяло однородным краевым условиям
dU , D ,т п .. ди , а г, =() D0.10)
приводит к следующим условиям для функции X:
%Х' (а) + §аХ'1а) = 0, о.ьХ' (Ь) + §„Х{.Ь) = 0. D0.11)
Задача нахождения решения уравнения D0.8) при усло-
условиях D0.11) носит название краевой задачи Штурма—Лиу-
вилля. При произвольном X эта задача имеет только тривиаль-
тривиальное решение Х= 0. Те значения X, при которых существуют
ненулевые решения уравнения D0.8), удовлетворяющие усло-
условиям D0.11), носят название собственных значений
279

или собственных чисел оператора L; соответству-
соответствующие решения X называются собственными функция-
функциями оператора L. Совокупность собственных значений X
носит название спектра данной задачи.
Непосредственное определение собственных значений и
собственных функций обычно не представляет труда, если
можно найти общий интеграл уравнения D0.8). Пусть Х1 и
Х2— линейно независимые решения этого уравнения; учиты-
учитывая, что эти решения зависят от I, общий интеграл D0.8)
запишем в виде:
Х(х, X) = С,^ (л;, X) + С2Х2 (х, X), D0.12)
где Сг и С2 — постоянные интегрирования.
Если ввести обозначения
?i (а. *) = *Л (а. *)
<Р2 (а, X) = о.аХ2 (а, X) + %аХ2 (а, X),
Ъ(Ь,Ь) = а1Х3(Ь,1.) + $ьХа(Ь, X),
то условия D0.11) запишутся в виде:
Ctf^b, Х) + С2<р2F, Х) = 0. Г
Однородная система (*) может иметь отличное от нуля
решение лишь при условии:
?1 (а, X) ?2 (Ь, X) - ъ (Ь, X) ?2 (а, X) = 0. D0.13)
Уравнение D0.13) и определяет собственные значения Хя.
При этом С2 выражается через Сг в виде:
(*)
Собственная функция Хп(х) = Х{х, Хп), отвечающая не-
некоторому собственному значению Хп, находится из D0.12) и
( ** ) с точностью до произвольного множителя (который мо-
может быть включен в решение уравнения D0.9) для Y) в виде:
Хп (л:) = <Р, (а, Х„) Х2 (х, Х„) - <р2 (а, К) *i (*, К), D0.14)
или
Хп И = Ti (b> К) *2 <х, К) ~ ?2 {Ь, К) X, (х, Х„). D0.15)
После определения спектра собственных значений Хп можно
найти соответствующие им функции Yn(y), являющиеся об-
общими интегралами уравнения D0.9J при X = Хп.
Функция Yn(y) может быть записана в виде:
Yn (У) = СРГ,(у, К) + C%>Y2(y, Х„),
280
где Г, (у, Хп) и Y2(y, Xn) —частные линейно независимые ре-
решения уравнения D0.9); С1Р и Cf — подлежащие определе-
определению постоянные интегрирования.
Поэтому частное решение уравнения D0.5) при выполнен-
выполненных однородных краевых условиях D0.6) будет:
n) [1y K) 2(y „)]
Решение поставленной задачи строится в виде ряда:
у, К)]Хп(х),
"=» »=» D0.16)
в котором постоянные С%} и с?2) должны определяться, ис-
исходя из краевых условий D0.4) по переменной у. Обычно
эти постоянные находятся без особых затруднений, если
учесть, что собственные функции оказываются ортогональ-
ортогональными в промежутке (а, Ь) с весом р(л;), т. е. если учесть
равенство:
ь
>{x)Xn(x)Xm(x)dx = Q (n^m). D0.17)
Доказательство D0.17) дано ниже. Покажем теперь порядок
определения Сп1) и С{,2). Подстановка D0.16) в краевые усло-
условия D0.4) приводит к равенствам:
2] [С?\.я (с) + с?\ „ (с)] Хп (х) = % (х), \
ilCn\,n(d) + Cf\n(d)]Xn(x) = b(xh ' D°Л8>
п=1
где обозначено:
D0.19)
42, п W = № id, Х„) + 8dF2 (d, Х„).
Умножая правые и левые части D0.18) на р(х)Хт(х), интег-
интегрируя результаты по х от а до b и учитывая D0.17), полу-
получим:
~г ^чп TJ2, шгЛ''т — IP \Х) ЛтЧс \Х) ОХ,
а
281

m = jp{x)Xm{x)*,d{x)dx,
a
где Nm — норма системы собственных функций
ь
Nm= fp(x)X3m(x)dx.
a
Выражения
представляют собой коэффициенты разложения afJm и adim
функции tyc{x) и «^(л) в ряды по собственным функциям
(л:), ^ (х)
(x).
m=l
Таким образом, мы приходим к следующей системе уравнений
относительно коэффициентов С(т и Cm'
т{с)-ас_т \ D0_20)
Решение полученной системы полностью решает постав-
поставленную задачу в рассматриваемом частном случае: однород-
однородного уравнения при однородных краевых условиях по пере-
переменной х и неоднородных по переменной у.
Перейдем теперь к рассмотрению уравнения D0.1) общего
вида при неоднородных краевых условиях как по х D0.3),
так и по у D0.4).
Решение задачи в рассматриваемом случае будем искать
в форме разложения по собственным функциям Хп(х) соот-
соответствующей однородной задачи
D0.21)
л=1
с неизвестными функциями vn(y).
Для того чтобы выразить функции ^„(.у) через искомую
функцию U(x, у), умножим D0.21) на р(х)Хт(х) и проинтег-
проинтегрируем по л: в пределах от а до Ь; учитывая D0.17), будем
иметь:
ъ
vm (У) = ^" ГР (x)U(x, y)Xm (х) dx. D0.22)
282
Для непосредственного нахождения vn(y) умножим урав-
уравнение D0.1) на Х„(х)р{х) и проинтегрируем результат по х
в пределах от а до Ь; получим:
ь
a fp(x)
b ft
+ yJp(x)UXn(x)dx- fxn(x)L(U)dx =
b
=fp(x)f(x, y)Xn(x)dx.
D0.23)
Сумма первых трех членов в левой части уравнения
D0.23) на основании D0.22) равна
Правая часть D0.23) представляет собой произведение нормы
jVn на коэффициент при Хп{х) в разложении функции f(x, у)
по собственным функциям:
fix, у)=
л=1
п(х), ап(у) = -L.jp(х)/(х, у)Хп(х) dx.
Таким образом, остается рассмотреть выражение вида
ь ъ
jXn(x)L(U)dx =
а а
Интегрирование правой части (*) по частям дает:
ь ь
dx дх
b
-j(Jq{x)xjx)dx.
После повторного интегрирования по частям получим:
283

= P(jc) [>„(*) -^-?/-^^-1 * + fuL(Xn)dx. D0.24)
Учитывая краевые условия D0.3) для функции U и D0.11)
для Хп, будем иметь:
ь ь
fxn(x)L(U)dx = C
D0.25)
Если учесть, что собственная функция Хп(х) удовлетво-
удовлетворяет уравнению D0.8) и, следовательно,
то окончательно получим
ь
J Xn{K)L{JU)dx = -ln fP(x)UXn(x)dx
+ ЕШХп (b)9b(y) - iL12Lxa(a)va(y) = -Wavn(y)
ab aa
+ РЖХП (b) <?b (y) -p-^-Xn (a) 9a (y),
°b aa
причем использовано также выражение D0.22).
Таким образом, уравнение D0.23) принимает вид:
+ -pJb)- Xn (b) 9b (у)
Я (а) 9а (у).
D0.26)
Уравнение D0.26) справедливо при аа^0 и аь =?0.
В частном случае, когда аа = аь == 0, краевые условия
D0.3) имеют вид:
Ux-a == 9а (У)> V*=b = 9b ( У).
а собственные функции Хп удовлетворяют, согласно D0.11),
условиям:
Хн{а) = Хп(Ь) = 0. D0.27)
284
При этом вместо D0.25) получим:
ь ь
Jxn(x)L(U)dx= f UL(Xn)dx-p{b)X'n(b)<Pb(y) +
+ р(а)Х'„(а)?а{у),
а D0.26) заменяется следующим уравнением:
Nn
X'n(a)9a(y).
D0.28)
Поскольку правые части в D0.26) или D0.28) являются из-
известными функциями у, задача сводится к решению обыкно-
обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго
лорядка с постоянными коэффициентами.
Постоянные интегрирования, получившиеся при решении
этих уравнений, находятся способом, изложенным выше при
рассмотрении однородного уравнения с однородными крае-
краевыми условиями.
Положим, что общий интеграл уравнения D0.26) или D0.28)
имеет вид:
тогда функция U(x, у) согласно D0.21) равна:
U(X, у) = ? [Ci4 п (У) + С«Ч. „ 'У) + Рп(У)\ Хп(х). D0.29)
л=1
Подстановка D0.29) в краевые условия D0.4) дает:
со \
I \Сп\, п (С) + С?lj2> „ (С) + \ (С)] Х„ {X) = t (X),
/1=1
D0.30)
п (d) + \ {d)\ Хп (х)
где i\Un и 7Jin даны в D0.19), а
\ (с) = 1Л (с) + bJFn (с); \ {d) = ydF'n (d) + bdFn (d).
Умножая D0.30) на р(*)Хп(х) и интегрируя результат по х
в пределах от а до Ь, получим систему уравнений для опре-
определения постоянных Ci4 и С),2):
285
(п\ п(с)+ С<\ „ (с) = асп - Х„ (с),
„ (ф+СРъ „{d) = adn - \(d),

где асп и adn — коэффициенты разложения функций %(х) и
tyd(x) в ряды по собственным функциям Х„ (х). Определением
С™ и С)»2) заканчивается решение задачи.
Заметим, что использованное выше свойство ортогональ-
ортогональности собственных функций непосредственно вытекает из
D0.24) при подстановке туда вместо U(x, у) собственной
функции Хт(х) и учете D0.11). Равенство D0.24) принимает
при этом вид:
ь ь
ь ь
Jxn (х) L (Xm) dx -jXm (x) L (Xn) dx = 0.
Так как
L (Xn) = - Х„Р (x) Xn (x), L (Xm) = - XmP (x) Xm (x),
находим:
(K -
p (*
(x) dx = o.
Последнее соотношение при Х„ф\т(тфп) и дает свойство
ортогональности собственных функций D0.17).
В заключение необходимо отметить, что при сделанных
выше предположениях относительно коэффициентов р(х) и
q{x) оператора L и вида функции р(х) всегда существует
замкнутая система ортогональных собственных функций, по
которым может быть разложена любая произвольная функ-
ь
ция f(x) (для которой сходится интеграл | pf2dx). Поэто-
а
му поставленная задача всегда имеет решение.
В случае неоднородных граничных условий равномерная
сходимость рядов на границе интервала нарушается.^Это
видно на примере краевого условия типа ъа==аь==®'\
= ?а ( У), их=Ь =?Ь(У).
В этом случае все собственные функции, а следовательно,
и все члены ряда для U равны нулю на контуре, в то время
как функция U нч контуре отлична от нуля. Можно показать,
что в точках границы области сумма ряда для U равна нулю,
но в любой внутренней точке, сколь угодно близкой к ка-
какой-либо точке границы, сумма ряда для U сколь угодно
мало отличается от заданного краевого условия для U в этой
точке границы.
286
§ 41. Решение электростатических задач методом
разделения переменных в декартовых координатах
Применение метода разделения переменных рассмотрим!
на конкретных примерах.
Пример 1. Рассчитать плос-
плоское поле для конструкции элек-
электродов, приведенной на рис. 118а.
З
р р
Задача сводится к решению
Л
и=-и,
уравнения Лапласа
ду*
D1Л)
при краевых условиях:
х = а,и= Uo; х= —a, U — —Uo;
л:>|
х>0 )* х<0
В данном случае
и=ив
ъ
Рис. 118 а
и дифференциальное уравнение собственных функций будет:
X" + \Х^0.
Поэтому
Ха (х) = С, sin УТ„х + С2 cos V\x.
Так как U{x, у)— нечетная функция от х, то С2 = 0 и
Поскольку в рассматриваемом случае собственные функ-
функции должны удовлетворять краевым условиям вида D0.27),
то собственные значения \ найдутся из условия:
отсюда
Х„(а) = С, sin УТа = 0,
а1
Таким образом, в качестве собственных функций может быть
принята система функций
287

Решение задачи ищем в виде ряда:
U (*> у) = JJ vn (у) sin — х.
л=1
Коэффициенты vn(y) ряда для U выражаются через U сле-
следующим образом:
-
х, у) sin — xdx.
Для явного определения vn(у) умножим исходное уравнение
D1.1) на sin П7С л: и проинтегрируем пол: от — а до а; резуль-
а
тат будет:
sin — xdx + | sin — xdx = 0.
дуг a J ex? a
—a —a
Первый из написанных интегралов равен а "—; интегри-
интегрируя второй интеграл два раза по частям, получим:
. ия ди
sin — х —-
а ох
а
IITZ till . ,,й
cos — xU —
—аи а
\—а
- п-п2 С U sin— xdx=0,
a2 J a
ИЛИ
•о'п(У) -—vn (У) = I cos я« [U{a,у)- U{-а,у)],
а' о.'
Используя краевые условия по переменной х, найдем:
2J:zP!Lu» DL2)
Решение уравнения D1.2) имеет вид:
Поэтому
lf(x, у) =У, (C\n sh ^у + C'2nch ^
288
Так как U(x, у) четная функция относительно у, то С\Л = 0 и
п=1
Используя краевое условие для функции U по переменной у,
получим:
со
Г Г VI f Г* V. ПП . 2(— 1)" ,, \ . ПП
Uo = У ( С2„ ch — b Ь '— Uo ) sin — x.
LJ\ a tin " J a
л=1
Постоянные С'2„ найдутся умножением полученного равен-
равенства на sin —л и интегрированием по л: от 0 до а. Послед-
Последняя операция дает:
2(-1)" /м_
= Г Uo sin ~xdx= - —[(- 1)" - l]U0.
Отсюда
2U0
tin ch -— Ъ
а
Таким образом, решение задачи принимает вид:
n=l
. Пк
ch — у
a
, /w .
ch -— b
a
— (-1)"
tin
sin — x
Ряд
sin — х
а
n=l
может быть просуммирован следующим образом:
in _
sin
in
* л; = Im у tJTLJL =
п=1
Д-452.-19
289

где обозначено vj = — е °;
оо
Так как / (tj) == V] ч" = —!—,
—
л=1
п=0
ТО
Постоянная интегрирования С равна нулю, поскольку /@) = 0.
Отсюда
Дч)=-1пA-ч)=-1пA + е'Т) =
где tgv = .
sin
шх
1 + cos —
а
и, следовательно,
v =
Поэтому
2а
DO
7 i ^~"~—~ sin — х =—-
J n a
л=1
2а
Выражение потенциала U принимает вид:
— j' sin — x
a a
L
ch — b
D1.3)
На рис. 118 6 приведено поле, рассчитанное по формуле
D1.3) для случая С/о = 1, — = 1.
ь
Пример 2. Найти распределение потенциала внутри цилиндра
прямоугольного сечения @ < х < а; 0 < у < Ь) с заземленными
стенками, созданное заряженной нитью с плотностью заря-
зарядов т, расположенной по прямой л:=л:0; у=у0 (рис. 119 а),
При решении задачи будем предполагать заряд равномерно
распределенным по площади прямоугольника
*о — е < х < Хо + е; Vo — 8 < У
290
Рис. 118,6
с плотностью р, тогда т = 4е8р и за-
задача сводится к решению уравнения
Пуассона
94/ . 94/ _ 9{х,у) f D14)
dy»
Ло + е > X > Хо — е;
где
Р {х, У) =
Оуо"+Ъ<у, Уо-*>У
при краевых условиях
Рис. 119 а
х 0 , y ,
х = а ?/ = 0, у=Ь U=0.
В полученном решении необходимо перейти к пределу,
полагая
е _ 0, 8 — 0 и lim 4 ре8 = т.
о
«—о
г-о
Будем искать собственные функции как функции переменной;;;
дифференциальное уравнение собственных функций, как
и в предыдущем примере имеет вид:
К" + ХГ 0
19*
291

а его общий интеграл будет
Yn(y) = C1 sinVTny + C2cos \rTny.
Собственные функции Yn(y) должны удовлетворять условиям
вида D0.27), т. е.
Первое из этих условий дает С2 = 0; из второго условия
находим:
и поэтому в качестве собственных функций может быть
принята следующая система функций:
Ya{y) = sin-f у.
Решение задачи будем искать в виде ряда
оо
{x)sln y
п=1
Умножая последнее равенство на sin '^-у и интегрируя по у
ъ
в пределах от 0 до Ь, найдем:
= ^f U(x, у) sin ^-
Для определения v (x) умножим D1.4) на sin — у и проин-
b
тегрируем по у от 0 до Ь; в результате получаем:
6
/d2U ил
— slnT
ь
= ( Р(х, у) sin —- ydy.
о
Первый интеграл в левой части этого равенства представ-
Л . b d°-vn(x)
ляет собой — ^~ ; пределы интегрирования в интеграле
правой части могут быть приняты в силу задания р(х, у)
равными (уо — Щ и(_уо+8); наконец, интегрируя второй
интеграл левой части два раза по частям, найдем:
ь d2vn (х)
2 dx2
ш. dU
+ sin -— у
ду
— - - cos — yU —
292
- Zlfu sin f ydy=-~ /
о yBs
или, учитывая краевые условия для функции U:
, y) sin f ydy
У е- г
Р "^0 + е > X > Хо - 6,
0 х0 + е < х, х0 — е > х.
Уравнение для vn(x) примет тогда вид:
•-^М*)= ibices
— COS
Представляя разность косинусов в правой части в виде произ-
произведения синусов и заменяя синус малого аргумента самим
аргументом, получим окончательно:
48 ,
Решение полученного уравнения будем искать в виде:
vn(x) = C1(x)ch -^х + С2(х) sh ~х.
о о
Согласно методу вариации постоянных, для С1 (х) и С2(х)
получаем уравнения
C[(x)ch~x+ C2(jc)sh — jc = O,
b b
пя ~
b
Отсюда
C;()
С2 (х) = sin -—°
Пке0 О
. пк
ch — х
О
293

ита0 b J b
о
Следовательно,
b
x
Постоянные интегрирования С1 и C2 найдутся из краевых
условий для U по переменной х.
Эти условия дают: vn @) = vn (a) = 0. Из первого условия
находим Cj = 0; второе условие дает
пт.а 48
J т(ч)8Ьт(Ч-в)л,-о
о
или, учитывая выражение для у (у),
2^
Ь лтсео
Выполняя интегрирование и учитывая, что е — малая вели-
величина, найдем:
Со =
8peJ sin —- josh —-
о о
/iTOOsh — а
о
Таким образом,
flTZ tlTZ
2т sin — у0 sh — (й — х0)
Ь b
пп
nraosh — а
b
п . nit mt nit
2.x sin —Уо sh —- (а — Хп) sh х
b b b
ЯП
При л<л:0 входящий сюда интеграл обращается в нуль и
выражение для vn (x) принимает вид:
294
2т sin
Птс пп
Т" (й ~~ -^о) sh —— х
b b
(X < Хо).
При л: > х0 находим:
mceosh — а
b
nit nn Vn
2т sin — y0 sh — (a — x0) sh — x
b b b
пк
nne0 sh — a
b
i^sin^ Г sh««(
пша Ь J b
или, после взятия интеграла и преобразований:
nit Ятг Пп
2т sin — у0 sh -— л;0 sh — (а —
1
Окончательно, распределение потенциала дается выраже-
выражениями: при х < х0
ПП ПК
с -^ sin —- Уо sh — (а — х0)
... . 2т X' о о . пк , tin . —.
U.(x, у)= ~\ sh — jcsin— у; D1.5)
пе0 / | Ия 0 0
1Н n sh — й
при л: > х0
sin
, пп
sh "T"
/. D1.6)
H-i
На рис. 119 6 приведено рассчитанное по формулам D1.5)
и D1.6) поле для случая т = тсг0, ^- = 3, ^ = —, — =1.
Ь Ь 2. у0
295

§ 42. Решение электростатических заяач методом
разделения переменных в цилиндрических координатах
Пример 1. Рассчитать поле внутри заземленной цилиндри-
цилиндрической коробки высотой / и радиусом а, создаваемое точеч-
точечным зарядом q, помещенным на оси коробки на высоте с от
основания (рис. 120 а).
Рис. 120 а
Примем, что заряд q распределен в малом объеме, запол-
заполняя цилиндр
г<8, с — e<z< с + е
зарядами постоянной объемной плотности р, так что
q = p2it82e.
Тогда задача сводится к решению уравнения Пуассона, кото-
которое удобно записать в цилиндрических координатах:
при краевых условиях:
r = a U = 0; г = 0 ?/=0; z = / ?/=0.
Здесь
(Лг)=/Р при
при г > 8, с — е > г, с + е < г.
Так как в силу симметрии задачи потенциал U не зависит
от координаты <р, то -—• = 0 и подлежащее решению уравне-
уравнение упрощается и принимает вид:
г дг \ дг
Р (г, z)
D2.1)
296
Определим систему собственных функций по переменной г.
Так как в рассматриваемом случае оператор L (U) имеет вид
—- (г — j, а весовая функция равна г, то система собствен-
дг \ дг/
ных функций /?„ (г) определяется уравнением
ИЛИ
Полученное уравнение подстановкой 7 = К^„г приводится к
уравнению Бесселя для функций Бесселя нулевого порядка.
Отсюда
Я» = СЛ (Т) + C2N0 (т) = CXJO (УГпг) + С^о (|/Г„г),
где Jo и No — бесселевы функции нулевого порядка первого
и второго рода соответственно.
Поскольку потенциал U при г = 0 должен быть ограни-
ограничен, постоянная С2 равна нулю, так как jV0 @) —* <х>. Поэтому
Собственные значения Хп найдутся из условия равенства
нулю собственной функции Rn при г = а:
Обозначим через -\п корни уравнения Jo(t) = O; тогда
Решение задачи будем искать в виде ряда
п=0
Для того чтобы выразить vn (z) через U(r, z), умножим обе
части этого равенства на rJofym—\ и проинтегрируем по г
от 0 до а; результат будет
а со а
JV U (r, z) J0(jm -?-) dr = ^vn (z)frJ0 (Tn -^-) Jo (Tm -^ dr.
n=0
297

Подстановка — = t\ дает:
а
а оо 1
JrU (r, z) Jo (Ти f-) rfr = J] г>„ (г) a2 J Vo (Vl) Л (т«
О 0 О
л=0 О
Воспользуемся для упрощения полученного результата свой-
свойством ортогональности функций Бесселя, согларно которому
I Vo(TB
Поэтому
0 при п=±=т.
JrU (r, z) Jo (Tm -^) dr = ^m (г) -|- /о2 (Tm).
о
Так как /о (тт) = — Л (тт)> то окончательно находим:
Для определения функций ^„(г) умножим уравнение D2.1)
на rJ0 G„ — j и проинтегрируем по г от 0 до а; это дает:
В
Интегрируя второй интеграл два раза по частям и учитывая
значения р (г, z), будем иметь:
fJ! Ш «I W + [г f Л(т.^) - ^ №Л(,. f )]>
D2 3)
Так как
298
поскольку функция Jof in — J удовлетворяет уравнению
то, учитывая краевые условия для U , получим:
о
(с — е < z < с + е)
Стоящий в правой части интеграл может быть вычислен,
если использовать формулу понижения на единицу индекса
бесселевых функций:
d
—х Л )— о\ )•
Откуда
| xJ0 (x) dx = xJt (x).
Поэтому
°0«т)dr= $ f ^'(
Учитывая, что при малых х
T'
в первом приближении получим:
Таким образом, мы приходим к уравнению
где
• — при с — е < г < с + е,
гфЩ (f „)
О при с — е > z, c + s<?-
2S9

Решение последнего уравнения будем искать в виде
««(z) = С,(z)ch^z +С2(z) sh^z.
a a
•Функции Cj (z) и С2 (z) при использовании метода вариации
постоянных должны определяться из уравнений:
Отсюда
а а
Ь. \с\ (г) sh ^-z + С\(z)ch -la- z\ = ?(z).
л i_ « « j
т»
а
In.
а
C, (z) = - — fsh ^ z? (z) dz + Cv
In J a
О
г
C2 (z) = — fch -Is- z<p (z) ?te + C2.
Таким образом,
Постоянные С1 и "С2 найдутся из краевых условий для функ-
функции U: при z = 0 и z = I U = 0, отсюда следует, что rvn @) =
<оп (/) = 0. Первое условие дает Сг = 0, второе условие при-
приводит к равенству:
или
Так как
— f?(V*h-^(Z-4)d4 = 0,
tn J a
J а
I sh-^l
J a
300
получаем:
sh—(/-с)
Поэтому выражение для vn(z) принимает вид:
~ z z
'¦ 1 I ? fa) sh-15- (z — >j)
U J a
Учитывая значения функции <p(tj), получим, что при z
eh¦**-(*-«) eh —
7120
а при z > с
Тя J
что после преобразований дает J):
Распределение потенциала дается, таким образом, формулами:
при z< с
sh -— (/ — с) sh —— zJo ( Тя — )
1 ? ч a-J-% D2.4)
7/2 - -9 .
п=0
1) Окончательные формулы получены предельным переходом прн г -$ 0
иЦО.
301

при z > с
Рис. 120 б
где
P(r,
п=0
D2.4a)
На рис. 120 б приведено поле,
построенное по формулам D2.4) и
D2.4а) для случая 0 = 4тео,— = 6,
а
с
Пример 2. Определить распреде-
распределение потенциала внутри заземлен-
заземленной металлической коробки нео-
неограниченной длины, сечение кото-
которой представляет собой криволи-
криволинейный прямоугольник а К г < Ь,
0 < <р < а. Поле обусловлено заря-
заряженной нитью с плотностью заря-
зарядов т, помещенной в точке (г0, <р0)
(рис. 121).
Как и в предыдущем примере,
будем предполагать заряд распре-
распределенным в прямоугольнике
Го — 8 < г < Го + 8, <р0— е <<р < <ро+е
с плотностью р. Кроме того, уч-
тем, что — = U.
dz
Тогда задача сведется к инте-
интегрированию уравнения Пуассона
дг
e0 '
D2.5)
р при г0 — 8 < г < Го + 8, 90 ~ е < ? < 90 +
О при г0 — [8 > г, г0 + 8 < г, 9о — е > "
е
<р0 + в <
при краевых условиях:
9=40 ?/ = 0, <р = « U = 0, r=a U = O'r=]b U==0. D2.6)
Будем искать систему собственных функций по переменной
9. Эта система определяется уравнением
302
а г гп ъ
Рис. 121
Учитывая, что Ф@) = Ф(а) = 0, получим:
Поэтому решение задачи ищем в виде ряда
U (г, 9) = J] ?,„ (г) sin
п=1
причем
а
an(r) = — ff7(r,
а J
sin
Умножая уравнение D2.5) на sin <;> и интегрируя по <р от
а
0 до а, будем иметь:
I ( г ) sn 9 НIsin
~ I ~ ( г —") sin — 9"Т Н I
о
а
= — — Гр(г» <р) sin
или
1 д Г ,, , пп
— ¦—- t/sin
г дг J a
о
д2
I U sin
дг2 J a
303

1 rat/ , me
— —-sin— ф —
tl it I r r . me # Pi. me
I ?/sin — фиф = I sin —•
rW J a eoj a
О 9„-8
Отсюда
(ro-8<r<ro
= j?_ Г
/ra*o L
cos
To + e) _ cos-^ (?0 -
(ro-8<r<ro + 8).
Так как е мало, то приходим к следующему уравнению
для vn{r)
К (г) + j v'n (г) —%¦ vn (r) = 9 (г), D2.7)
где
при r0 — 8<r<r0 — 8
при r0 — 8 > r, r0 + 8 < r.
0
Решение уравнения D2.7) будем искать в виде
•°п (г) = Ct (r) Bg) (г) + !С2 (г) «W (г),
где ч$(г) и ^ (г) — линейно независимые решения однород-
однородного уравнения, соответствующего D2.7). Эти решения
имеют вид г6; подстановка его в однородное уравнение,
отвечающее D2.7), дает:
и, следовательно,
Функции Cj(r) и С2(г) определяются уравнениями
Отсюда находим
• чм—
304
1
г 1+ я*
Таким образом,
a
2nic
D2.8)
Постоянные Сд и С2 определяются из краевых условий для
функции U: при r = a ?/=0, r=6 f/=0 или <&„(а) =
— •vn(b) — O. Поэтому, учитывая значения ?(ч), найдем:
ПК ПК
ia +С2а ~ = 0.
Пп лл
СХЪ
/•„-«
Соответствующие выкладки Дают (при 8—>0):
пп пп
Д-452.-20
305

Выражение D2.8) для ^„(г) принимает вид:
при г<г0
причем положено * = 4ргое8.
В зависимости от величины г находим:
при г < г0
при г > г0
4G)" "(I)"]
что после соответствующих выкладок дает:
ПК Пп
Таким образом, окончательно находим:
306
и{г. ?)= — >] —±Ы ^-z-
X
п=1
X
при г> г0
U (г, 9) =
КГ \
а)
D2.9)
. tin ( a \ " / r0 \
sin % ( ) — ( — )
a \ r0 J \ a J
X (-) -(-
§ 43. Решение электростатических задач методом
разделения переменных в сферических координатах
Пример 1. Найти распределение потенциала в простран-
пространстве между двумя металлическими полушариями радиуса а,
разделенными тонкой изолирую-
изолирующей прокладкой, если на полуша-
полушариях заданы потенциалы Ux и
О, (рис. 122).
В данном случае задача сво- «
дится к решению уравнения Лап-
Лапласа в сферических координатах
г2 дг\ дг ) /*sin 6
¦и=и»
при краевых условиях
Рис. 122
U1 при 0 < 6 < — ,
U2 при — < 6 < тт.
20*
307

Введем для удобства выкладок новую неизвестную функ-
функцию U*, определив ее равенством
U=
+U*.
Краевые условия для U* запишутся так:
при о<е<-|
при -|<в<«.
Так как в силу симметрии задачи потенциал не зависит от
координаты 9, исходное уравнение упрощается и принимает
вид:
— ( sin 6 1 = 0. D3.1)
об Ч об J к '
Будем искать систему собственных функций по. перемен-
переменной 6. Эта система определяется уравнением:
или
sin №"п F) + cos 6Ф; F, + К sin 6Ф„ F) = 0.
Подстановкой х= cos 6 последнее уравнение приводится
к виду:
A - х2) Ф„ (х) -2л:Ф'я (х) + Х„Ф„ (х) = 0.
Полученное уравнение является уравнением Лежандра и
имеет, как известно, ограниченное и непрерывное решение
при —1<х<1 @<6<1г) лишь в том случае, когда
Хя = п(й+ 1). При этом ограниченным и непрерывным реше-
решением является полином Лежандра Рп(х). Таким образом, си-
система собственных функпий в рассматриваемом случае будет
ф„ (¦*) = *>« (¦*) = *>« (cos 8), Х„ = я(«+1).
Решение задачи будем искать в виде ряда
U* (г, 6) = ? vn (г)Рп (cos в) = ? г»„ (г) Рп (х). D3.2)
я=0 п=0
Для определения функций vn{r) воспользуемся свойством
ортогональности полиномов Лежандра, которое формули-
формулируется следующим образом:
1 f 0 при n=f=m,
2
308
Умножая D3.2) на Рп (х) и интегрируя в пределах от — 1
до 1, получим:
D3.3)
it
= 2l±i r?/*sin6Pn(cose)d6.
Для определения функции vn(r) умножим уравнение D3.1)
на sin6Pn(cos6) и проинтегрируем по 6 от 0 до я:
С ±(,*™L\ sin ЬРп (cos 6) S
J дг \ or J
о
или
2п + 1
д_ / 2 dvn (г)
d Ч ^
\
+ [sin e SML Pn (cos e) +u* sin2ep; (cos e>] Izl -
L ^ -*
-Cu*~\p'n (cos 6) sin2eldb = 0. (*)
0
Так как
— [P'n (cos 6) sin2 6] = - sin3 BP'n (cos 6) + 2 sin 6 cos 6p; (cos 6) =
= — sin 6 [ A - x2) P"n (x) - 2xP'n (x)],
а полиномы Лежандра Рп(х) удовлетворяют уравнению
A-х2)P°n (x) — 2xP'n(x) + n(n+l)Pn(x) = 0,
то предыдущее равенство принимает вид:
-j [Рп (cos 6) sin2 6] == n (n +1) sin 6Pn (cos 6).
Уравнение (*) перепишется теперь так:
о
или, учитывая D3.3),
гЧ (г) + 2rz4 (г) - я (л + 1) vn (г) = 0.
309
+ 2га'„ (г)] — п (п + 1) Си* sin врп (cos 6) db = 0

Частные решения этого уравнения будем искать в виде
vn(f) = rk, тогда
k{k+ 1) — п(п+ 1) = 0 kj^n, k2= — (n+l)
„) 12
Так как потенциал в точке г = 0 должен быть ограничен,
то С2 = 0. Таким образом,
оо
,6)=? С„г"Р„ (cos 6),
п=0
где Сп — неопределенные пока постоянные.
Для их определения заметим, что если ввести новую
переменную 0' = -^- — 6, то функция U*(r, 6') должна быть
нечетна относительно 0', т. е.
U*{r, — 6') =-?/*(/-, 0').
Отсюда следует, что поскольку полином Лежандра
Р„ (cos 6) = Р„ (sin Ь') содержит степени sin 6' той же четности,
что и п, то С2п = 0 и
D3.4)
U* (г, 6) = ? C2n+1r
2"+1
(cos 6).
я=0
Из краевого условия для функции U* теперь находим
п=0
Умножая последнее равенство на sin6P2m+](cos6) и ин-
интегрируя по 6 от 0 до —, получим:
¦ Г P2m+i(cos0)sin0d6 =
= J] C2n+1 a2"*1 f Р2п+] (cos 6)Р2ш+1 (cos 6) sin Ш;
п=0
310
или
Так как
1
0
-1 [ 2 Bm + 1) + 1 4m + 3
а также учитывая, что
О -1
при пф т
при п = т,
о
2П+1
поскольку функция P2n+i(x)P2m+1 (л) —четная функция от х,
получаем:
1
J
¦- 1 С
В силу основного выражения для полиномов Лежандра
_L
"v 7 2«n!
находим
1 т-Ь
0
Значение
1
22тт1 Bт
1
22т+1 Bт
производной
J
Bт + 1)
+ 1)!
+ 1)!
dx>m
1
Г
rf2m+1(jc2_
. J dx2n
и
2ш dx2m 9m+1
(
^2т
_)Jт+1
+1
1
0
311

определится как произведение Bт)! на коэффициент при х2т
в разложении (х2 — iJm+1 по степеням х. Поэтому
.2/71, „ ,.2/71 + 1
" (•* — U t_ t jV7i+i Bт)\ Bm +1) Bт) Bт — 1)...(от + 2) _
*=0 т!
и
1
f
(т + 1)! /га!
(— 1)т Bт)! Bт + 1I
22т+1B/п + 1)!т!(т + 1I
= (— 1)т Bт)! _ (--
— 1)Bт — 3) ...
2м+1
т\{т+\)\
+ 2)Bт)Bт-2).„2
Но так как
(-DmBm-l)Bm-3).,.l
Bт) Bт — 2) ... 2
окончательно находим:
1
2m+ 2
Отсюда
и D3.4) дает:
2n+l
*Vi(cosfl).
п=0
Следовательно,
^У(Г> 6)= Ц
(i)
•,в)=-
2п+1
<cos e)-
D3-5>
Пример 2. Определить электростатическое поле точеч-
точечного заряда q, помещенного на расстоянии b от центра ди-
диэлектрического шара радиуса а(Ь> а) с проницаемостью е
(рис. 123).
Будем искать потенциал поля в виде суммы потенциала
Uo внешнего поля, вызванного зарядом q и потенциала U*,
обусловленного поляризационными зарядами сферы.
312
Рис. 123
Потенциал внешнего поля в некоторой точке простран-
пространства (г, 6, <р)
г г 1 О
у
cos 6
и не зависит от координаты <р-
Потенциал поляризационных зарядов также не зависит
от <р и определяется уравнением Лапласа
± (,**?) +Л. ± (
дг\ Or ) sin в об V
sin о
03.6)
Система собственных функций, определяемых по переменной
6, как и в предыдущем примере, представляет собой систему
полиномов Лежандра Pn(cosb). Потенциал U* представляется
в виде ряда
п=0
Повторяя выкладки предыдущего примера, найдем, что
Так как потенциал внешнего поля и суммарный потен-
потенциал ограничены при г = 0и при г=оо, то и потенциал U*
должен быть ограниченным при г=0иг = оэ. Отсюда сле-
следует, что при г У а (вне сферы):
(г, 6) =f Cf
п=0
n (cos 6),
313

а при г <Са (внутри сферы):
U* (г, 6) JZ($i*Pn (cos 6).
Полный потенциал поля будет определяться выражениями
U'(r,0) =
1
— 2br cos в
4*в0 уы + г* — 2br cos в
n=0
Постоянные С$ и С$ определяются из условия непрерыв-
непрерывности потенциала и непрерывности нормальной составляющей
вектора смещения на поверхности сферы, т. е.
U' (а, 6) = U" (а, 6); е0 - U' (г, 6) I __ = е - V" (г, 6)
дг |г=а or
Первое из этих условий дает
г—а
Если положить d?=Cnan, то Ci1
получим выражения
а
— '2br cos 6
и для потенциала
(r>a)
. > + /¦*_ 2b/-cos 6 ^ а
Потенциал внешнего поля при г < b может быть разложен
в ряд по полиномам Лежандра посредством известной фор-
формулы
=\ypn(cos6).
У\+Р— 2* cos 6
Поэтому можно написать
со
314
«(cos е) (г
п=0
Отсюда условие непрерывности нормальной составляющей
вектора смещения на поверхности сферы запишется так:
П=0
п=0
Поэтому
,п+\
и
па+1 (ео-Е)
вид
Выражения для потенциалов U'{r,b) и U" (г, 6) принимают
V (г, 6) =-5- Г— г
4teo L Vb>+ r*—
2br cos 8
+
U''(r, 6) = -i-Г
4^0 i
b2 + /-2 — 2br_cos 6
+
D3.8)
Полагая в последнем выражении е = оо, получим поле
в случае проводящей сферы:
00 2п+1
- т ^^ ~ I (г > а).
/ J ,n+l n+l 1 V' ^ "/>
D3.9)
;o L У b2 + r* — 2br cos 6
D3.10)
315

Нетрудно убедиться в том, что эти выражения совпадают
с полученным методом изображений (§ 35). Действительно,
2п+1
n=\
п=1
Ъ г
где
— расстояние от заряда <?', отображенного в сфере, до точки
(г; 6), в которой определяется потенциал. Если обозначить
через г' расстояние от заряда q до этой же точки, то полу-
получим:
4та0
/•' Ь Г 6 р J
ИЛИ
где q'= — q отображенный в сфере заря я. Потенциал
ft
U"(r,b) легко приводится к постоянной'
Полученные формулы в точности совпадают с найденными
в § 35.
§ 44. Решение плоских электростатических задач
методом разделения переменных в биполярных
координатах
Пример 1. На проводящей плоскости имеется выступ
в форме полуцилиндра радиуса а и неограниченной длины.
Параллельно оси цилиндрического выступа на расстоянии
Ну а от нее расположена нить с зарядом т на единицу длины
(рис. 124а). Определить поле и распределение заряда, индук-
индуктированного на проводящей плоскости и выступе.
Для решения задачи введем биполярные координаты на
плоскости (а, р) (см. § 8). Нитевидный заряд заменим распре-
распределенным зарядом с плотностью р = , где А5 — элемент
До
316
//////////////////////////У//////////////////////////'
Рис. 124а
поверхности, ограниченный координатными линиями а = —- ;
а=—; Р = Р*Н—; ? = 3* , причем р* — биполярная коор-
? /, /,
дината, определяющая положение заряда т(а* = 0).
Из уравнения (8.13) координатных линий при р = const
находим: при х = 0 и у =
Далее, имеем
sin
Н
, р* а
tgT = F-
аЧЬ
5
(ch а + cos рK (ch а + cos
так как коэффициенты Ламе равны
h1 h2 h.
ch a -t- cos p
Задача сводится, таким образом, к интегрированию урав-
уравнения Пуассона в биполярных координатах
\ + I ~ ' где Р"~
/ia
ар2
_
' где Р"~
или
0 при прочих значениях а и р. D4.1)
Будем искать систему собственных функций по переменной р.
Эта система удовлетворяет уравнению
Поэтому
Ф„ (?) = С, sin
+ С2 cos
317

причем Ф„Л^Л = Фя(л) = О, поскольку цилиндрическому вы-,
ступу и плоскости отвечают, соответственно, значения коор-
координаты р, равные — и я.
Учитывая эти условия, найдем:
Решение задачи будем искать в виде ряда
1С
где vn(a) = 2-fU{a, P)sin
«/2
Умножая D4.1) на sin2«p и интегрируя по р от и/2 до
получим:
^ sin 2ftprfp = J? (a,
n/2
где
О при прочих значениях аир.
Далее находим
— v"n (а) + Г— sin 2ftP — 2nU cos 2«рТ— 4ft2 fu sin 2ft?rfp =
I 3*-т
i 0 при прочих значениях а.
, Учитывая граничные значения для U, будем иметь:
v"n (a) -4ft4 («) = /(«)-
где
— — sin 2ftP* при — -^ < a < -i-
/(«) =
О при о < - у , о > -1- .
318
Это выражение для /(а) получено при условии, что 8—*0.
Решение последнего уравнения будем искать в виде
vn (a) = Cj (a) sh 2«a + C2 (a) ch 2/fcx.
Используя метод вариации постоянных, получим:
С\ (a) sh 2ft* + C2 (a) ch 2ft* = 0,
2ft [Ci (a) ch 2«a + C2(a) sh 2fta] = /(a).
Отсюда
-i (a) = Цр- ch 2na; C2 (a) = — i-Q sh 2«a
C, (a) = 1 J/(yj) ch 2ftYj<frj + С„
2 () ^ J/D) ii C2.
Таким образом,
vn (a) = C, sh 2fta + C2 ch 2fta + — ff(yi) sh 2ft (a — yj) dx\.
Учитывая значения функции /(yj) и имея в виду, что е—*0,
найдем:
•/'2
/
vn (a)=Cj sh 2«a+C2 ch 2fta— ^-— s in 2ft?* Г sh 2ft (a — yj) cfyj =
2
sin
sh
2fta.
Так как потенциал U является четной функцией переменной
и должен быть ограничен (равен нулю) при a —¦ + оо, то
Поэтому
Птге0
г,п (a) = -I_ sin 2ftP*e~2"' °'
Птге0
^(«.Р)=У1—
-e-2n|<I1sin2ftP.
D4.2)
n=l
Картина поля, рассчитанного по формуле D4.2) для случая
т = то20,— = 2, приведена на рис. 1246. Плотность индуци-
индуцированных на поверхности проводника зарядов равна
dU
о== — е„
319

где v — внешняя к поверхности проводника нормаль. Диффе-
Дифференцированию по нормали к поверхности в рассматриваемом
случае отвечает дифференцирование по переменной р, причем
Ch а — 1 dU\
dU\ _ , cha dU\ dU
Отсюда находим:
плотность зарядов на плоскости (^ = тс)
о (л: =•
sln2и?*
П=1
(x = acth-j
плотность зарядов на выступе ( Р =
( Р = — )
п=1
Ch a
Полученные ряды- могут быть просуммированы следующим
образом:
sin
°= Im
ln = Im
п==1
n=l
1—4
= Im
sin
,-4a
sin2p*
2 (ch 2a — cos 2р*) 4(sh-a-f-sin p")
320
Аналогично находим:
2 (-l)nsln2«i
— e~
^ Г =
= Im
sin
2 (ch 2=t + cos 2p*)
4 (ch2 о - sin2 fi*)
Поэтому плотность зарядов на плоскости равна
, ч х Sin2g*(cha - 1) / a \
о (х) = L-J — ( л: = a cth —)
v ' 2яа sh2a + sin'2p* \ 2 J
Плотность зарядов на выступе
sin 2?* ch a
о (ф) =
1* a — sin2
Cha
D4.3)
D4.4)
На рис. 124в и 124г приведены кривые распределения
плотности зарядов на плоскости и выступе, рассчитанные по
формулам D4.3) и D4.4), причем — = 2.
а
1
да
0.8}
Щ
пА
I 2 3 Ч 5 I ?
Рис 124 в
-f Ж
Рис. 124 г
Так как ?* > — , то sin 2?* < 0 и индуктированный заряд
имеет знак, противоположный знаку заряда нити *.
Привеченное решение имеет методическое значение, так
как рассмотренный пример даже в более общем случае проще
решается методом изображений (§ 34). Действительно, пусть
ось нити с зарядом х находится не на оси у, но проходит
через произвольную точку Р1 (х, у), как это показано на
рис. 124 д.
ДЧ52.-21 321

Для того чтобы на плоскости и выступе потенциал имел
нулевое значение, в точках Р2, Р3 и Р4 располагаем линей-
линейные заряды т2 = — х, х3 = т и т4 = — т. Точка Р2 является
изображением точки Р} в круге обточка Р3 — изображением
точки Р4 в том же круге, т. е. ОР2-ОР1 = а2 и ОР3-ОР4=а2.
В то же время точка Р4 является изображением точки Р1
в плоскости у = 0, а точка Р3 — изображением точки Р2 в той
же плоскости. При этом потенциал в произвольной точке Р
над плоскостью с выступом будет
?/= -l-fln — - In— + In — - In —1 = -^— ln7^-4, D4.5)
где гг — расстояние между i-ои точкой Снитью) и точкой Р
(рис. 1240). Таким образом, потенциал определился совершен-
совершенно элементарно.
Рис. 124 д
Если точка Рх находится на оси у (как в рассмотренном
примере), то будем иметь Pfo, р), Я, @, ?,), Р2@, р2), Р3 @, р.)
и Р4 @, pj. При этом р, = р* = — р4, р2 = — Рв. Кроме того,
АУ2 = а2> — = tg~-. — = tg-^, откуда р2 = к —pl5 наконец
У1 *¦ Уъ *¦
у1 = Н. Приняв во внимание эти соотношения и воспользо-
воспользовавшись формулой (8.17) для определения rt, получим для
U(a, jj) выражение D4.2).
Максимальная напряженность имеет место в'точке выступа,
ближайшей к заряду, и определяется из D4.4) при о = О
Гт sin 2p*
COS2 P*
Е =
макс
4яяе0
Подставляя в последнее выражение p* = 2arctg —
н
преобразований найдем:
322
после
D4.6)
§ 45. Решение плоских электростатических задач методом
разделения переменных в эллиптических координатах
Пример. Внутри полого проводящего эллиптического
цилиндра помещена нить с зарядом х на единицу длины;
направление нити параллель-
параллельно образующей цилиндра
(рис. 125). Найти распределе-
распределение потенциала в цилиндре.
Введем эллиптические ко-
координаты (§ 8) о и р, положив
х = с ch a cos Р, у = с sh a. sin p,
oL=d-
где с — половина расстояния
между фокусами данного эл-
эллипса. Если а та b полуоси
эллипса, то уравнение его в
эллиптических координатах
будет
fi=-P
Рис 125
а = а0, где th а0 = — .
а
Координаты точки размещения нити равны
а = 0, р = Р*, где cosp*=— .
с
Считая заряд х распределенным по площади криволиней-
криволинейного прямоугольника, ограниченного эллипсом о = е и гипер-
гиперболами |Р| = Р* »!Р1 = Р* + —, придем к необходимости
интегрировать уравнение Пуассона в эллиптических коорди-
координатах
Л2
Р («, Р)
D5.1)
где
приО<а<е; р
*_ |.
О при прочих значениях а и Р;
h = cVch2a — cos2p — коэффициент Ламе. Система собствен-
собственных функций, удовлетворяющая условию четности относи-
относительно переменной р, очевидно, будет
(р) = СО S VK Р.п
21*
S23

Учитывая, далее, что напряженность поля на оси л;(р = о и
P = ic) направлена по этой оси и не имеет составляющей по
оси у, найдем:
= 0
и, следовательно,
Решение задачи ищем в виде ряда
(°; Р) = !>„(«) cos яр,
и=0
причем
Умножая уравнение D5.1) на cos яр и интегрируя по р от О
до я, получим:
7 vn (а) +/^Г cos np rf? = - -1 Jp (а, р) Л2 cos n
°
(й > 0).
или
р=я
Р=о
i Г
= — ~7Q^j cosя'ад?' (а<?' п
w
р=о
324.
Учитывая краевые условия для —¦ (см. ниже), будем
иметь:
где при 8—»О
— -—^-cosn^* при а<е,
в «
О
приа>е;
I— — при а<е,
в0 2*в
О при а > е.
Решение полученного уравнения найдем методом вариации
постоянных в следующем виде:
а
¦я,, 0х) = сы ch т + С2п sh па Л ( <р„(т)) sh л (а —
о
Составляющие напряженности поля в некоторой точке плос-
плоскости (а, Р) определяются выражениями
г, 1 ди
с \ ch2 о — cos2 p
Условие ограниченности составляющих напряженности поля
Я* и Ер в фокусах эллипса (а = 0; Р = 0; р = к) приводит
к равенствам
дЩ ди\ п
\
Оа р=о ор |р=0;
Второе из этих равенств выполняется в силу соответствую-
соответствующего выбора системы собственных функций; первое равенство
дает
откуда следует С2п = 0 и
"°п (а) = Сы ch па + —
я (а — yj) rfrj.
325

Учитывая, что на эллипсе (а = о0) потенциал U обращается
в нуль, окончательно находим (после интегрирования по i\
и перехода к пределу при е—*0):
р т COS П Р* Sh fta0
пе0 п ch я я0
/-> ~ „ (
1>1л ^П I
(я > 0),
т COS П |
яе0
Sh П (а — я0)
п
Ch na0
(я > 0),
Решение задачи получаем в виде:
2пе0
л=1
nchna0
D5.2)
§ 46. Решение плоских электростатических задач
методом разделения переменных в параболических
координатах
Пример. Внутри заземленного проводящего экрана, имею-
имеющего форму параболического цилиндра, помещена в его
фокусе заряженная нить с плотностью зарядов t (рис. 126).
Найти распределение потенциала.
Для решения задачи введем
параболические координаты а,
[3, положив (см. § 8):
0 ¦< а ¦< со, — сю < р < + °°.
В этих координатах уравнение
заданной параболы будет р = р0,
где %= 1/ —, причем/? — фо-
Рис. 126
кусное расстояние параболы.
Будем считать заряд т распределенным по малой площади,
ограниченной координатными линиями а = е, р = 8; задача
сведется к интегрированию уравнения Пуассона
р (°, Р)
D6.1)
326
•де
при а < в; | Р | < 8
0 при прочих значениях а и р,
h = с|/"а2 + р2 — коэффициент Ламе.
Система собственных функций, четных относительно пере-
переменной р и обращающихся в нуль при Р = Р0> очевидно,
будет
Решение задачи будем искать в виде ряда
со
. Bя + 1) тгЗ
где
Ро
г,я(в)
Ро
Умножая исходное уравнение на cos (~" tR — и интегрируя
по р от — ро до + Ро, найдем:
Bя + 1)
или
^% (e)= L_ r
Так как U(a, p) = 0 при p= + p0 и ^ ограничено, получаем
327

где
а <; е,
0 а > е.
Решение полученного уравнения имеет вид:
vn О») = С, ch -v—^_ — + С2 sh
2Ро
+
Поскольку составляющая напряженности поля по направле-
направлению а равна
Е = —
1 ди
то, пока е конечно, условие ограниченности напряженности
в точке а = 0, р = 0 дает: С2 = 0. Поэтому
= c,ch?i±^
2т
sh
Bп + 1)
где после интегрирования сделан переход к пределу е —> О.
Так как потенциал должен быть ограниченным при а —» ос, то
Г - 2t
2t
Таким образом,
2я-
COS
2Э.
Bп + 1) я?
* -г '
п=о
Полученный ряд можно просуммировать следующим образом:
яЗ иос "V2/14-1)
о о J
¦COS
п=0
2я
n=0
328
где
Далее находим
1—1
я=0
Так как /@) =0, то С = 0и
Отсюда
яр яЭ \
-r + isin-51 »
Л»
A — е "cos—
яг
\2 ~ТГ
¦1 j-* P°sin2-
та 7iS
ch эд~ + cos "од"
|2р
1 эд
J_ jn__f|o
4 ТОТ
2р0
7ГВ
—
и, окончательно,
яВ
—-
яз
ch — cos •
D6.2)

Глава IX
ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
§ 47. Распределение зарядов на поверхностях раздела
различных сред (метод Г. А. Гринберга)
Рассматривая в § 12 поле, образованное в диэлектрике
некоторыми объемными и поверхностными зарядами с плот-
плотностями р и о, мы установили, что это поле может рас-
рассматриваться как поле в пустоте, образованное расчетными
объемными зарядами плотностью р" = р + р' и расчетными
поверхностными зарядами плотностью о" = о + о'1). При этом
р' есть объемная плотность поляризационных зарядов, рав-
равная — divP, где Р — вектор поляризации; о'—поверхностная
плотность поляризационных зарядов, равная (Pn)t—(Рп)е,
где п — нормаль к поверхности 5 раздела двух диэлектри-
диэлектриков, направленная внутрь области е (рис. 29).
Заметим, что объемная плотность расчетных зарядов р"
может считаться заданной, если задана объемная плотность
физических зарядов р.
Действительно, так как
то
Р = div D = е div Е,
р' = _ div Р = - о div Е = - (е - е0
f = в div Е — (в — е0) div E= e0 div E,
У Ввиду условности приведенных в § 12 названий зарядов мы примем
здесь универсальный термин «расчетные» заряды.
330
и, следовательно,
D7.1)
Поэтому задача сводится к определению плотности расчет-
расчетных поверхностных зарядов о". Если бы последняя была из-
известна, то потенциал в любой точке пространства опреде-
определялся бы из выражения:
где первый интеграл распространяется на все пространство,
занятое физическими объемными зарядами, а второй — на
все поверхности раздела.
Для определения плотности расчетных зарядов о" рас-
рассмотрим поле вблизи некоторой точки М, находящейся на
поверхности S раздела двух диэлектри-
диэлектриков (рис. 127). Это поле можно рассма-
рассматривать как наложение поля Е°м от ма-
малого диска Sавз описанного из М малым
радиусом МА и поля ?, образованного ос-
остальными зарядами.
На основании результатов § 10, в ко-
котором рассматривалось поле заряженной рис \%j
поверхности, мы получаем, что первое из
о „
этих полей равно (поскольку, заменяя плотность поверх-
поверхностных зарядов нао^, мы рассматриваем поле в пустоте)
и направлено в двух бесконечно близких к поверхности 5
точках Р и Q соответственно по нормалям щ и nk. Поле Е
меняется непрерывно при переходе через поверхность. Поэ-
Поэтому
так как {Е„к)м = — (?"„.)м, где (ЕП{ )м означает составляю-
составляющую по n-i поля от зарядов о" и р", расположенных вне
диска SAB.
Учитывая далее, что скачок нормальной составляющей
вектора смещения при переходе через границу раздела двух
331

диэлектриков равен плотности физических зарядов ам на по-
поверхности SAB в точке перехода, получим:
Отсюда
м
"*
' ni
1
D7.2)
В частном случае, когда физических зарядов на поверх-
поверхS G2)
ности S
AB
принимает
нет,
вид
ф р р
уравнение D7.2) несколько упрощается и
м'
D7.3)
Величина (?„ )м представляет собой нормальную составляю-
составляющую поля в точке М, обусловленную как внешним полем,
так и расчетными зарядами о" и р". Поэтому уравнения D7.2)
или D7.3), вообще говоря, приводятся к системе совокупных
интегральных уравнений, из которых и могут быть найдены
плотности зарядов на отдельных поверхностях.
Для удобства дальнейших выкладок разобьем поле
(?¦„. )м на два слагаемых: слагаемое (Е„.)м, обусловленное
внешним полем, и слагаемое (ESn)M, обусловленное расчет-
расчетными зарядами o"s той поверхности, на которой расположена
точкч М,
Потенциал, создаваемый зарядами а'$ в точке Р, располо-
расположенной вблизи поверхности 5 (рис. 127), равен
U
= — Г
e'sdS
где г — расстояние от" переменной точки N поверхности 5
до точки Р. Поэтому
Из рис. 128 а находим для точки Р:
\
—) =
dtii /p
= ilm
= cos<}' = cos. (NP, п,).
332
(к)
Рис. 128
Поэтому, устремляя точку Р к точке М (рис. 128 б), полу-
получаем:
——^ = cos (NM, п.).
ащ /м
Таким образом, производная (——] представляет собой
\6nt Ум
косинус угла, образованного нормалью nt, восстановленной
к поверхности 5 в точке М, с прямой NM.
Следовательно,
о^ cos (NM, щ)
п. )м — — I
4ТСЕО J
rNM
dS,
где o"N — плотность расчетных зарядов в текущей точке
поверхности S.
Уравнение D7.2) принимает вид:
М'
-Г
2* J
o^cos (NM, я/)
dS
'NM
D7.4)
Положим теперь, что имеется т диэлектриков с диэлек-
диэлектрическими постоянными ej (У=1, 2,..., т), погруженными
в диэлектрик с диэлектрической постоянной е и не сопри-
соприкасающихся друг с другом. Если обозначить через Mj про-
произвольную точку на поверхности 5^ у-го диэлектрика, а че-
через ./V,- — переменную точку поверхности этого диэлектрика,
то уравнение D7.4) в рассматриваемом случае может быть
переписано так:
1
)
гзз

772
2nh J
a"Nk cos (NkMj, nj)
dSb
D7.5)
G=1, 2,..., m).
В последнем уравнении °м — плотность физических зарядов
в точке Mj; (?"". )ж. — нормальная составляющая напряжен-
напряженности в точке Mj, обусловленная заданным внешним полем;
tij внешняя нормаль к поверхности Sj в точке Mj. Полагая
7'=1, 2,..., т, получим систему интегральных уравнений
относительно неизвестных о"м.
Аналогично может быть рассмотрен случай плоского
поля. При этом потенциал, создаваемый расчетными заря-
зарядами о", должен быть взят в виде
и, следовательно,
= 1 Г
2пе0 J
<s°N cos (NM. щ)A1
rNM
Из уравнения D7.2) находим:
'м = -
4-
1 Г
cos (NM, щ) dl
rNM
D7.6)
В случае m диэлектриков, не соприкасающихся друг
€ другом, вместо D7.6) будем иметь:
т
vE/
°Nk cos (NkMf, nj)dl
D7.7)
(y=l, 2,..., ire).
334
В частном случае, когда на поверхностях раздела нет
истинных (физических) зарядов (°ж = 0), уравнения D7.4) —
D7.7) соответственно упрощаются.
Рассмотрим несколько простейших примеров.
Пример 1. Положим, что единствен- _
ной границей раздела двух диэлектри- /-f()
ков с диэлектрическими постоянными
Sj и е2 является неограниченная плос-
плоскость (рис. 129). Тогда, полагая, что .
физических зарядов на границе раздела
нет, принимая во внимание, что для п i
плоскости cos (NM, nt) — 0, и восполь-
воспользовавшись уравнением D7.4), найдем:
2ео(е2-е,) /г0, _ ^?^
м
Рис. 129
Если, в частности, е2=оо, т. еГ нижнее полупространство
представляет собой проводник, то
°"M = 2e0(El)M; H47.9)
Положим теперь, что внешнее поле создается точечным
зарядом q, расположенным в точке Р (рис. 129); в этом
случае
/со ^ q h
rPM
и из D7.9) находим:
м'
D7.10)
Для частного случая Sj = e0 формула D7.10) была получена
в § 33 при рассмотрении метода отображения в плоскости.
Формула D7.10) показывает, что в случае верхнего полупро-
полупространства, заполненного диэлектриком с диэлектрической
постоянной Ej, правило отображения в плоскости остается
в силе, если истинный заряд q заменить на расчетный заряд
В случае, когда е- ф
находим:
оо для точечного заряда из D7.8)
E2 +
ГРМ
335

Этот результат также был получен в § 33 более длинным
путем. (Поскольку физических зарядов на границе раздела
нет, расчетные заряды а"м совпадают с поляризационными за-
зарядами о', определяемыми формулой C3.5)).
Пример 2. Диэлектрический (е2) незаряженный цилиндр
'°ж = 0) находится в произвольном плоском (т. е. на завися-
щем от координаты z) внешнем поле Е°.
Диэлектрическая проницаемость
среды, окружающей цилиндр, рав-
J на Ej.
Из рис. 130 находим
cos {NM, n) = cos ty =
cos (NM, и) _ 1
' NM
2R
Рис. 130
м~
rNM
Поэтому по D7.6):
D7.11)
Для решения интегрального уравнения D7.11) заметим, что
входящий в правую часть этого уравнения интеграл пред-
представляет собой некоторую постоянную величину; обозначив
ее буквой С, получим
м
С\.
D7.11')
Пусть положение точки М определяется полярной коорди-
координатой а (рис. 130), тогда, умножая последнее уравнение на
~ и интегрируя по а в пределах от 0 до 2к, найдем:
2*
if °» * - с - ^[->
2ти
].
Решая правое равенство относительно С, получим
, __ -(ea— e,)e0
±f EUa)da.
336
Подстановка полученного значения С в D7.110 дает:
2я
(*2 — Ч) ,
D7.12)
Рассмотрим частный случай, когда внешнее поле соз-
создается расположенной вне цилиндра заряженной нитью, па-
параллельной образующей ци-
цилиндра; плотность зарядов
на единицу длины нити т
(рис. 131).
В этом случае
г-0 т 1
Еп = - cos<p =
2 Г
т R — ft cos a
R — ft cos a
f ft2 — 2Rh cos a ' рис i3i
1 Го,
Для вычисления интеграла — Enda заметим, что ве-
2л J
о
личина Е°п может быть представлена в виде:
с-о *_ Г
С п I -
Поэтому
2n 2n
— Г E° da ^-Г— Г е fl
о о
2т: _.
2^ J ft - i?e~fa J
Полагая e'a = z; ielada =
= ^-, получим:
1%
2tu
i r po. !_[J_ Г ^? L г dg 1
2j: »/ " 4tisj |_ 2m ^/ ft - Rz 2rcj J z (hz — R) J
где в каждом из интегралов интегрирование производится
по окружности единичного радиуса с центром в начале
координат. Первый интеграл равен нулю, так как полюс
подынтегральной функции лежит вне контура интегрирова-
интегрирования, поскольку — >1.
R
Д-452.-22
337

Подынтегральная функция второго интеграла имеет два
простых полюса в точках
R
j = 0; z2 =
Л
Поэтому
2nJ ^
Res
- т Г Ь 4- J-1 — О
4да, L « /? J
Следовательно,
0' _ 2eo(e2
) ?-0 _
- ft cos a
D7 13)
) "/?2+/t2-2/?/tCOSa"
В частном случае проводящего цилиндра (е2 = °°) будем
иметь:
м'
еот R — h COS ч
ft2 — 2Rh cos a
D7.14)
Пример 3. Проводящая сфера в
однородной среде (рис. 132). Пола-
Полагая в D7.4) е, = е1, eft=oo, найдем:
JL r
V
Рис. 132
Из рис. 132 следует, что
cos (NM, ti) = cos ф = cos (y"~6)
= sin 6 =
-1Ш
2R '
я)
1
rNM
IRr,
Поэтому
NM
rNM
D7.16)
Интеграл в правой части полученного равенства с точ-
точностью до постоянного множителя представляет собой по-
338
тенциал в точке М на поверхности сферы, создаваемый за-
зарядами, лежащими на самой сфере. С другой стороны, сум-
суммарный потенциал, созданный как этими зарядами, так и
внешним полем, должен быть на сфере постоянным. По-
Поэтому, обозначая через Uo суммарный (постоянный) потен-
потенциал сферы, а через U0 — потенциал, созданный внешним
полем, получим
м+^°^-. D7.17)
Если, например, внешнее поле однородное (Е°= const), то
(El)M = E\cos$, if = -E°R cos*,
и при Uo=[0
0 Я cos ф. D7.18)
Если задан полный заряд сферы, то задача решается сле-
следующим обраэом. На границе раздела проводника и диэлек-
диэлектрика плотность поляризационных зарядов равна нормальной
составляющей вектора поляризации диэлектрика на границе
раздела. Поэтому
Тогда плотность расчетных зарядов равна
но так как <^=e, (En)M, то
Е1 Е0
Отсюда
J °м % J M
S S
Подставляя значение <*"м из D7.17), получим:
^[u04KR2- f
Но
f(E°n)MdS = Q,
так как поле Ео создается зарядами, лежащими вне поверх-
поверхности S.
22*
339

Поэтому, обозначив через
?7°=— С U°dS
среднее значение потенциала на поверхности сферы, обус-
обусловленного внешним полем, найдем.
Подстановка последнего значения С10 в D7.17) дает:
D7.19)
В частности, если внешнего поля нет, то
?0 = 0, Ц0=О°=0
и
а" =
М
D7.20)
Аналогично могут быть решены и некоторые более труд-
трудные задачи, когда поверхности проводников или диэлектри-
диэлектриков имеют более сложную форму.
Пример 4. Диэлектрический незаряженный полуцилиндр
с диэлектрической проницаемостью е2, лежаший на неогра-
неограниченной проводящей плоскости и окруженный диэлектриком
с проницаемостью е: (рис. 133а), находится в произвольном
внешнем поле.
W
03
С/1
у
7
Рис. 133
Дополним полуцилиндр до полного цилиндра, отобразив
заряды а"м на поверхности полуцилиндра в плоскости со-
согласно методу изображений (§ 33).
340
Предполагая, что внешнее поле плоское, отобразим
также и его в проводящей плоскости.
Тогда, учитывая, что суммарный заряд полного цилиндра
должен равняться нулю, из формулы D7.11) получим-.
;?>) (Е°п + Е°п), D7.21)
где Еп — заданное внешнее поле, а Е„ —отображенное
внешнее поле. Если, например, внешнее поле Е° представляет
собой однородное поле, направленное перпендикулярно про-
проводящей плоскости, то
и
м
f «1
D7.22)
В случае проводящего цилиндра е2 = оо будем иметь:
o^ = 4e0?0sin6. D7.23)
Из D7.23) следует, что максимальная напряженность на
поверхности цилиндра имеет место при 6 = — и равна
Пример 5. Проводящая полусфера на проводящей плос-
плоскости.
Отображая полусферу и внешнее поле в плоскости, по
формуле D7.17) при U0 = 0 найдем:
о" -
° 4-
D7.24)
где U0' — потенциал в точке М полусферы, обусловленный
отображенным полем. На рис. 1336 приведено распределение
плотности зарядов, подсчитанное по формуле D7.24) для
сл\чая, когда внешнее поле созхается точечным зарядом
q = 4ius0, расположенным на расстоянии 2^ от плоскости на
оси у.
§ 48. Решение плоских электростатических зааач
в случае слоистого расположения сред
В качестве примера использования метода Г. А Грин-
Гринберга, изложение о в предыдущем параграфе, рассмотрим
следующую плоску^о электростатическую задачу: имеется
три диэлектрические среды slt e2, е3 плоскости раздела ко-
которых АгА2 и ВгВ2 (рис. 134) параллельны; внешнее элек-
341

трическое поле Е° создается про-
произвольной системой зарядов; на
поверхностях раздела диэлектри-
диэлектриков физические заряды отсутству-
ют.
Рис. 134
Ч+Ч
,
Используя'^уравнение D7.7) и
опуская штрихи при о, имеем:
+ ОО
о2 F) cos
+ 00
А Г °зE)
2* J {x-Zf
(NM7ni)dZl
Гнм J
D8.1)
° У 27C J
J
_2(е2-е3)|
L °ty + 2, J (x-W + » J'
D8.2)
где ?^ и f°' — значения нормальной составляющей внешнего
поля ?° на соответствующих поверхностях раздела диэлек-
диэлектриков.
Система уравнений D8.1) и D8.2) может быть решена
следующим приемом. Умножим каждое из уравнений на
etxu (где и _ вещественное число) и проинтегрируем по х
в пределах от — со до + оо. В правых частях уравнений
получатся интегралы вида
/ft= С dx С _j*!i)?^_tf= Г о,®* Г
к J J (x-S)*+h» J kKI J (л~
OO OO OO J»
если изменить порядок интегрирования. Воспользовавшись
подстановкой л; — %=t, находим1*
ОС
/
е1а
Ц См., например, И. М. Рыжнк и И. С. Градштейн. Таблицы
интегралов, сумм, рядов и произведений, ГИТТЛ, 1951, стр. 191.
342
= 2*** С
J
ft»
dt=—
h
D8.3)
Следовательно,
— OO
Введем обозначение
OO
F(u)= С F(x)eluxdx
D8.4)
При известных ограничениях, налагаемых на функции
F(x) и F(u), которые мы будем считать выполненными,
функция F(u) является «преобразованной по Фурье», причем
имеет место обратное преобразование Фурье1
F(x) = — Г F{u) e-lux du.
2ге J
D8.5)
После указанных преобразований уравнения D8.1) и D8.2)
принимают вид:
Oo(tt) =
;,(«)].
D8.6)
Из этих уравнений легко находятся О](и) и o2(«)i после
чего °1(х) и о2(л) определяются по формуле D8.5).
В частном случае (рис. 135л), когда внешнее поле созаано
заряженной нитью параллельной оси z с зарядом (на единицу
Рис. 135 а
См., например, Г. П. Т о л с т о в. Ряды Фурье, Физматгиз/1960. стр.[240.
343

длины нити) qo= qo— и координатами х = а, у==Ь, имеем:
?0'
/
Пользуясь формулой D8.3), находим:
eiuxdx ?g_ _
ь_
eiuxdx
Г —-
J {x-a)
I
ЬЛ-h
D8.7)
Решая теперь систему D8.6) относительно о: (и) с учетом
D8.7), получим:
а1 (и) =
— $е~ 2Л'"'
D8.8)
где
Аналогичное выражение имеет место и для о2 (и) Под-
Подставив D8.8) в интеграл D8.5), приходим к искомому резуль-
результату:
Oj (х) = 9о01 Г ^^^ __ ~Ты cos (fl ~ х)и du- D8.9)
я о
Последнее соотношение может быть записано и в другой
форме, если разложить знаменатель подынтегральной функ-
функции в ряд по степеням $е~2Ни. Так как
к=0
344
/
е-ти COS
т
то получаем
Bkh + A,)
ft=0
D8.10)
На рис. 135 б приведено распределение плотностей заря-
зарядов на пластинах бесконечного конденсатора, если внутри
его расположен линейный заряд плотности 2^е0. Распределе-
Распределение плотностей зарядов подсчитано по формуле D8.10)_для
час1ного случая
е, =е3=оо(сс, = сс2 = — 1; р= 1, у, = —1, Т2=1)-
!
!
У
/
юв
/0,6
! о,ч
0,2
\
j
1
\
h
W 15 W 0,5 0 0.5 1.0 1,5 2ft
Рис 135 б
В другом случае, когда плас-
пластина является проводящей
(е2 = оо) и заряд д0 лежит над
пластиной (Ь > 0, рис. 136),
a, ==a2=l; p = l, Tl = Ta=l.
В этом случае подынтегряль-
ная функция в D8.9) принимает
вид:
о
У
M(ajb)
, — 2hu
Рис 136
cos (a — x)u =
— е
bu
1-е
,- 2А«
cos (a — х) и = — е- 6" cos (a — а-) и
345

и, следовательно,
о, О) = — -^ \ е-Ьи • cos (а — х) udu
Правильность полученного результата легко проверить,
так как данная задача просто решается методом изображе-
изображения в плоскости (§ 33).
Метод Г. А. Гринберга удобен также тем, что позволяет
по значениям преобразованных плотностей зарядов найти
преобразованные составляющие вектора напряженности. В об-
общем случае п параллельных границ раздела диэлектриков
с плотностями ак для составляющих Ех и Еу в произвольной
точке М(х,у) получаем следующие соотношения (рис. 137).
= j-Y г °k (-) i
k=n
D8.12)
где ak — расстояние ?-ой поверхности раздела ' диэлектриков
от оси х. Составим теперь выражения для «преобразованных
по Фурье» составляющих поля Ех и Еу.
Если учесть, что
/
Jut
tdt _
o-h |и | . у =_
' — — А
0
Ч В чем легко убедиться, дифференцируя средний интеграл в формуле
<48.3) по и, как по параметру.
346
то нетрудно получить следующие выражения
k=l —00
_ '1и
(«),
E
(и).
к=1
Составляющие поля Ех и Zfy находим по формуле D8.5),
если известны преобразованные по Фурье заряды ак.
§ 49. Решение плоских электростатических задач
для секторального расположения сред
Положим, что имеется такое распределение диэлектри-
диэлектриков, при котором каждая среда занимает сектор, а границами
между отдельными средами служат неограниченные полу-
полуплоскости OAk (k = 1, 2,..., п),
исходящие из общей оси О
(рис. 138). Положение про-
произвольной границы раздела
ОАк будем характеризовать
полярным углом 6ft @ <6ft <2тс),
отсчитываемым в положитель-
положительном направлении отсчета уг-
углов. Углы 6и@ < Ьы < 2-) меж-,
ду г-ой поверхностью раздела
OAt и ?-ой поверхностью раз-
раздела OAk также будем отсчи-
отсчитывать против часовой стрел-
стрелки от OAf до встречи с OAk. При 6ft > 6, 6&. = вк — 6, (рис.
139,о), при eft<ef Ьы^Ьк — Ь, + 2к (рис. 139,6). Для удобства
поверхности раздела пронумеруем так, чтобы 6: < 62 < ... < Ьк,
и будем считать, что сектор, ограниченный полупрямыми ОАк
и OAk+v имеет диэлектрическую проницаемость &к. Если ука-
указанная система диэлектриков внесена во внешнее плоское поле
Е°, то на каждой поверхности раздела OAt выделяются заряды
a'i, причемo't является лишь функцией расстояния st от 0 до
элемента dst (рис. 139, в).
347
Рис. 138

Применяя к точке Mk поверхности OAk, разделяющей
среды с диэлектрическими проницаемостями ek_1 и eft форму-
формулу D7.7) (?¦„ = ?¦„), найдем:
Рис. 139
где ?е° — угловая составляющая напряженности поля от по-
поверхностных зарядов ог, расположенных на позерхности раз-
раздела ОА{. Суммирование .в формуле D9.1) распространяется
на все поверхности раздела кроме рассматриваемой,так как
заряды °k не создают нормальной к поверхности раздела
составляющей напряженности поля. Разбив произвольную
поверхность раздела ОА{ v.a бесконечно малые по ширине
полосы, перпендикулярные плоскости, найдем потенциал в
в точке М от выделенной полоски как от линейного заряда
(рис. 139, в)
l in [r2 + s2t — 2rs,¦ cos F - 6Л].
D9.2)
Отсюда элементарная составляющая напряженности поля
от рассматриваемой полоски равна
г дЬ
s,) srsin@ —
0 [г2 + sf - 2rsi cos F - 6,)]
и, следовательно, угловая составляющая напряженности поля
от всей рассматриваемой плоскости раздела найдется инте-
интегрированием по всей плоскости раздела:
6
sin F - в,)
г of(s)srfs
J r2 + s? — 2rs-cos(b~
О,)
D9.3)
348
Подставив полученное соотношение D9.3) в равенство
<49.1), найдем:
_ —M]sin6, Г
* /=и=? о
О;
где введено обозначение
D9.4)
Полагая в формуле D9.4) k = l, %..., п, приходим к сис-
системе интегральных уравнений для определения искомых
плотностей поверхностных зарядов ok.
Для решения полученной системы уравнений умножим
все члены D9.4) на s''ds (где р — комплексное число, вещест-
вещественная часть которою удовлетворяет условию — 1 < Re/> < 1)
и проинтегрируем по s от нуля до бесконечности.
Назовем величину f{p), определяемую равенством
f(j>)=ff(s)s»ds,
D9.5)
преобразованной по Меллину функцией от функции f(s).
Тогда из DУ.4) получаем:
(Р)= f
ob(n) =
i+k
= °*[ 2е
о/ E) Ш
о
r2—25scos6ft/
CO
(J°i(E)^X
Р + s2 - 21s cos 6
D9.6)
Полагая в последнем интеграле s = l/ и пользуясь извест-
известным значением интеграла1)
tpdt
— 2t cos 6fa- +
sin яр sin Ьы
D9.7)
!) См. И. М. Рыжик и И. С. Градштейн. Таблицы интегралов
сумм, рядов и произведений, Гостехиздат, 1951, стр. 158, формула 3.153.
349

найдем
» — 2Sscos6w + s2
x
r
Vdt
2t cos 6W +
sin up¦ tin
°i (/>)•
Следовательно, вместо D9.6) можно записать
D9.8)
= \, 2,..., й.
Таким образом, система D9.4) интегральных уравнений
для плотностей °ft с помощью преобразования Меллина све-
свелась к системе линейных алгебраических уравнений дляой.
Решая систему D9.8) относительно °ft, найдем из нее все
ok как функции от р, т. е. °k=f(p)- Для решения задачи
останется лишь восстановить no°ft(p) сами плотности °ft(s).
По «преобразованной по Меллину» функции f(p) можно
найти функцию f(s) следующим образом. Преобразование
Меллина D9.5) тесно связано с двухсторонним преобразо-
преобразованием Лапласа. Действительно, полагая в D9.5) s = e~', по-
получаем:
fiP) =
-t-
= Г
где jF(^) — лапласово изображение функции f{e~t),q=p-\-\.
Используя теперь преобразование Рима на— Меллина для
отыскания функции f(s) по ее лапласову изображению
F(q), получаем:
= ± С
Z7ZI щ/
С + too
к
С — too
С — /оо
350
т. е. произвольная функция f(s) может быть найдена по ее
изображению /(р) из следующего соотношения:
С +
D9.9)
где с должно лежать в пределах
(—1,0) для обеспечения сходимо-
сходимости интеграла. При этом путь ин-
интегрирования может быть любым,
лишь бы он проходил левее точки
р = 0. В частности, он может быть
и таким, как это показано на рис.
140, т. е. за путь интегрирования
может быть принята мнимая ось
с обходом точки р = 0 малым по-
полукругом произвольного радиуса
(контур /.). Составим теперь выра-
выражения для составляющих ?W и Щ1)
поля, создаваемого в любой точке
М(г, 6) зарядами % расположенными на поверхности раздела
диэлектриков OAt. Для Ёъ* это выражение было найдено ра-
ранее в виде D9.3):
|-/оо
Рис. 140
sin @ — 6г)
/г»
О; (S)
+ s2 — 2s cos (в — в,)
Дифференцируя выражение D9.2) для dUi по г и интегри-
интегрируя результат по всей поверхности раздела ОА1г получим
выражение для радиальной составляющей вектора
оо
c-w 1__ Г °i(s)
Г 2ot0J r2 —
scos(8 — 6t)\ds
2rs cos F — 6,) + s2
Выполнив суммирование по всем плоскостям раздела,
находим:
Е, =Ег(г,В) =
E. = ?o (r, 6) = -
I
k=/l оо
F -
°ft (s) \r — s cos F — 6fe)] ds
r3 — 2rs cos F — 6ft) + s3
gft (s) sds
! — 2rs cos F — I
D9.10)
351

Введем теперь в рассмотрение преобразованные по Мел-
лину составляющие напряженности поля:
(Р) = {Еь rpdr,
или в развернутом виде, принимая во внимание полученные
выше соотношения D9.10) и меняя порядок интегрирования:
к~ Я оо
- cos
CO
) J o
! — 2rs cos (в — 6ft]
rpdr
о о
Заменяя в интегралах г через st и вводя в рассмотре-
рассмотрение углы V отсчитываемые как и углы Ьм, против часовой
сделки от'плоскости OAk до первой встречи с^ Р^™'
проведенным к точке Ж из начала координат @ <<!»*
получаем, используя соотношение D9.7):
f^dt
¦СО8(в-в*)/ —
1 — 2t cos F — I
tPdt
2* cos (в — в*) +
D9.11)
1
2е0 sin jcp
ft=i
cos
Для ?е совершенно аналогично получаем
r = L_ у smF - eft) Г Oft(s)srfs x
1
r2 _ 2rs cos F — (
Sin (it -
D9.12)
fr и Еь находятся с помощью формулы обращения Рима-
Римана — Меллина.
Решение задачи еще более облегчается, если воспользо-
воспользоваться понятием комплексного потенциала поля W(z), где
Так как условия Коши — Римана в полярной системе коор-
координат имеют следующий вид:
dV_ _ _1_ _ди_ дЦ_
дг ~~ г дЬ ' дг
и выполняются соотношения
1_ dV_
г дЬ '
± W =
= W • е« =
то на основании D9.9)
W\z)= i {Er - IE,) • е~№ = l— f Г" [Ё, (p)-iE, (p) ] dp.
D9.13)
U)
В соответствии с формулами D9.11) и D9.12)
k=n
E,-iK=.
[cos (* -
2e0sin яр
tt=\
_ ! ^ yi r-. е-«Ф^
2=-0 sin кр LJ
sin (jt -
Вводя.вспомогательный угол
находим
при б = arg z > 6ft ,
при 6 = arg z < 6ft,
(L)
D9.14)
Если теперь проинтегрировать последнее соотношение по
z под знаком интеграла, то окончательно получим
*=I
n яр
¦dp.
D9.15)
352
Д-152.-23
353

В том случае, когда внешнее поле создается заряженной
нитью в точке г —a, 6 = f (в более сложном случае внеш-
внешнее поле- можно рассматривать как наложение полей от лю-
любого числа нитей)
рО _±_ <?о в sin (8 — у)
пользуясь соотношением D9.7), находим
2яе„
О
'-г)
в2 — 2as cos (в — 1
sin [я — (8 -
Т t в - т
sin яр sin (в — f)
Введем угол 4>т , определяемый соотношениями
в — т при 6 > у,
+ 2ic при 6 < if.
Так как теперь 16 — f | = фг при 6 > ?, а |в — т J == — (© — y) =
= 2я — 4»т при 6 < у, то в первом случае
sin(8-Y)-sin(n-|8--Tl)p ,
1 ' ' "" . ol.ll I " I w
sin 16 — т J v '
а во втором
sin (в — т) sin (те — | 8 — f\)p sin (^ — 2те) sin (— я + ф- ) р
sin | в — f | sin Bjc — фт )
= sin(ic-<J»T)p,
и в обоих случаях
ро Чо р sin (те — фт ) р
2ео sin np
Совершенно аналогично
р°—+ — р cos (те — фт )р
2ео sin np
Подставив в формулу D9.13) вместо Ег и Е% последние
соотношения, получим:
J
z"-sin яр
где
354
+ те при 6 = arge> т,
— it при 6 = arg z < у.
Следовательно,
I
dp.
4пе0 J zJ'psinjcp
(i)
Полный комплексный потенциал найдем наложением:
k—n
1
= — С
4яео J
(?)
- goap
В заключение рассмотрим
пример расчета поля, образо-
образованного заряженной нитью в
случае двух сред, одна из ко-
которых с диэлектрической прони-
проницаемостью е, заполняет сектор
с углом р (рис. 141), а вторая с
диэлектрической проницаемо-
проницаемостью е2 — все остальное про-
пространство (т. е. угол 2« — р).
Положение заряженной нити
характеризуется координатами
а и у. Введя обозначение
ft=l
Рис. 141
D9.16)
находим из D9.8) с учетом ранее полученной формулы для
sinnp
sinnp
откуда следует, что
о2 (р) sin (*
^0 аР sin (« - 62т)р + о, (р) sin (« -
sin яр + о s
+ sin (и:
sin (it— (S)p J
1
sin rcp +
[sin (it —
— a sin (я — P) p
i)p \ l +
L sin ftp — a sin (я — p) p
-]), D9Л7)
sinjcp —asin(sc —§)p
23*
355.

sin кр +
.!.ln(,_wJ
+
+ sin (u —
I
sin np — a sin (я — p) p
¦1), D9.18)
sin jy; + a sin (re—P)/; J)
где в соответствии с введенными ранее обозначениями поло-
положено:
е = | Р — Т при р > ?,
21 ~ 1 Р - Г + 2тс при р < т.
Подставляя D9.17) и D9.18) в соотношение D9.14), нахо-
находим, принимая во внимание, что р: = тс + 6: '= it, Р2 = Р — и,
следующее выражение для №'(z), справедливое для среды
1
(I)
sin -up
X
Х<
[sin (я - y) P + sin (^ - 62 ) p ] (№ + el <p
sin Tip — a sin (ir —
[sin (*
-]ф. D9.19)
sin яр + a sin (я — |
Вычислим последний интеграл через сумму вычетов в пра-
правой полуплоскости, дополняя контур L окружностью беско-
бесконечного радиуса.
Исследование особых точек подынтегральной функции,
т; е. корней уравнений
simtp — a sin (it — p)p = O, D9.20)
sinitp + a sin (тс — P)p = O D9.21)
показывает1', что они являются вещественными и не крат-
кратными. Вычисление соответствующих им вычетов дает при
а
0
X
-а/*)
sin ( к -
cos я— —
¦X
sin (я - 62т
я COS itpft — а (я — Р) COS (я —
1) Сн. Г. А. Гринберг. Избранные вопросы математический теории
электрических и магнитных явлений, изд. АН СССР, 1948, стр. 295-297.
3S6
X
Е Г-
sin (я — ¦
-о-. {л\ sin ( я —
sinpf
•X
B)
и при
я - COS я рР + а (я — Р) COS (я —
> 1, соответственно,
D9.22)
2е02
2яе0 B - аеп)
^A) COS f Я - — 1
X
sin ярУ'
X
sin (it -
sln(it-62T)/fc'
я cos яр^' — а (я — р) cos (я — Р)
-' 1 ("Г) * х
sin
X
(т. - -|-) ^g) . [sin (it - T) pf - sin (R - 6^) ^
sin
[ я COS яр^ + а (я — Р) COS (Л — Р) ,
10Л0ЖИ
нений D9.20) и D9.21).
D9.23)
где /?a и p?—положительные корни трансцендентных урав-
урав492) D921
§ 50. Распределение электричества на тонких
незамкнутых проводящих поверхностях
Рассмотрим произвольную проводящую
поверхность S, толщина которой 8 мала по
сравнению с остальными ее размерами и ко-
которая находится в произвольном внешнем
поле Е°. Поперечное сечение этой поверх-
поверхности показано на рис. 142. Обозначим че-
через «1 и °2 плотности поверхностных заря-
зарядов, расположенных на противоположных
сторонах Л^! и А2В2 элемента dS провод-
проводника в смежности с некоторой точкой М. Полное поле Е в
357

любой точке пространства слагается из внешнего поля Е° и
из полей fj и Е2, обусловленных плотностями °г и °2:
Внутри самого проводящего слоя поле Е равно нулю, так
что равна нулю и его нормальная к поверхности проводни-
проводника составляющая. Поэтому для любой точки внутри провод-
проводника
+ Е2п = 0. E0.1)
•' . р °2 I р' ,en п\
In > С2л — ~^ Г С2п , (OU.Z;-
¦"о
Кроме того,
Сл„ ^~^~"
— части нормального к поверхности поля,
обусловленные зарядами, непосредственно прилегающими к
точке Р элементов поверхности А^
и А2В2 (рис. 143), a ?j'n и f^n — части
поля, обусловленные зарядами, рас-
расположенными на более удаленных
частях поверхности.
Из E0.1) и E0.2) находим:
о, — о2 = 2е0 [Е°„ + Е ;„ + Е2„ ]. E0.3)
Предполагая, что проводник находится в пустоте, будем
Рис. 143
иметь
Е\„
причем Oj и о2 — плотности заряда на обеих сторонах эле-
элемента dS; г—радиус-вектор, проведенный из точки dS в
точку Р, в которой вычисляется искомая нормальная состав-
составляющая поля; п — орт нормали в точке Р. Таким образом,
(а, + °г) соз (п, г)
¦dS.
E0.4)
Если потенциал поверхности равен Uo, то, обозна-
обозначая через U0 потенциал в точках поверхности, обуслов-
обусловленный внешним полем, будем иметь:
(о, + o2)dS .,
— Г
4т№о J
E0.5)
358
Из E0.4) и E0.5) видно, что для определения плотностей о,
и о2 достаточно разрешить уравнение E0.5) относительно
суммы плотностей; после этого разность плотностей найдет-
найдется из E0.4) путем выполнения соответствующих квадратур.
Однако в некоторых случаях из уравнения E0.4) может быть
непосредственно определена разность «i — o2 без предвари-
предварительного определения суммы °i + °2 •
Например, в случае пластинки с произвольной краевой
линией cos (n, г) = 0 и
о, — о2 = 2е0Е„ .
E0.6)
Поэтому разность плотностей поверхностного заряда,
расположенного на обеих сторонах какого-либо элемента
поверхности плоской проводящей пластинки, внесенной в
заданное внешнее поле, не зависит от формы краевой линии
этой пластинки и равна 2ео?'". Очевидно, что этот результат
остается справедливым и в том случае, когда имеется не-
несколько пластинок, расположенных в одной плоскости, и
когда в пластинках проделаны отверстия произвольной
формы.
Для пластинки конечного размера из E0.6) сразу же нахо-
находится разность зарядов на обеих сторонах пластинки:
.-*=/(«,-
= 2е0 J E°n dS.
E0.7)
Если, кроме того, известен полный заряд пластинки
q = qx + q2, то с помощью E0.7) получаем:
•/1 2 т-
В частности, для незаряженной пластинки будет (q = 0)
E0.8)
Рассмотрим теперь распределение зарядов по поверхности
проводника, имеющего форму части тонкого сферического
слоя радиуса R, причем эта поверхность может иметь крае-
краевую линию произвольной формы и содержать ряд вырезов
любого вида.
359

Из рис. 132 следует, что
cos (n, r) sin 6 __ 1
r2 ~~ r2 ~ 7Rr '
поэтому
1 Г (°l + °i) -.о
';R J Г
ио-и°
2R '
или на основании E0.5):
Е'ы + E-L = ¦
Формула E0.3) теперь дает:
^1 ^о :== ^qE* г 1 • (оО.У)
R
Полученная формула показывает, что разность плотностей
зарядов, находящихся на обеих сторонах рассматриваемого
проводника, зависит только от потенциала проводника и
внешнего поля, но не зависит ни от формы его краевой ли-
линии, ни от числа и формы вырезов.
В том частном случае, когда проводник имеет потенциал
Uo, а внешнее поле отсутствует, эта разность равна
Ol-o2=i^. E0.10)
R
В некоторых простейших случаях оказывается возможным
непосредственно определить сами плотности о, и о2 путем
решения интегрального уравнения E0.5). Покажем это на
примерах тонкого кругового диска, тон-
тонкого сферического сегмента и плоскости
с круговым вырезом Ч Во всех указанных
случаях задача приводится к однотипным
интегральным уравнениям. Для их полу-
получения обозначим через о сумму (^ + о2);
тогда решению будет подлежать уравне-
уравнение E0.5):
Рис. 144
— С —dS=U0~
4яе0 J f
U°. E0.11)
В случае плоского круглого диска из рис. 144 имеем:
г = у р2 + pi — 2ррх cos ю, dS =
1) См. Н. Н. Лебедев. О применении сингулярных интегральных
уравнений к задаче о распределении электричества на тонких незамкнутых
поверхностях, ЖТФ, 1948, т. 18, вып. 6.
360
Будем предполагать, что внешнее поле обладает симметрией
вращения относительно оси симметрии диска. Тогда
U° = U°(p1), о==о(р), где р —расстояние переменной точки ./V
на диске от оси диска, ар, — расстояние фиксированной точки
М, в которой определен внешний потенциал, также до оси
диска. Тогда
2it R
1_ Г Г _ o(p)lrfprf«
4 да0
р2 + р? — 2ppi cos со
= U0-U°(9l)
или
j~ f «tort f
41160 J oJ
¦ + pj — i!ppi COS ш
Вычислим внутренний интеграл. Имеем
f
0 V Р2 + Pi — i?PPl COS ш
ИЛИ, ПОЛОЖИВ @ = 1^ — 2т),
= 2
v Р2 + Pi - 2PPicos ш
f
У
i cos ш
: = 4 Г
о
dr,
P + l
¦ sin2 7j
P + Pi
2 Kpp, \
P + Pi J '
где K[ ^*— ) — полный эллиптический интеграл первого
4 р + Pi ' .
рода с модулем —•_??-!_. Уравнение E0.12) принимает вид:
Eo.l3)
Аналогичное уравнение будет иметь место и в случае плос-
плоскости с круговым вырезом (рис. 145). Единственное отличие
будет, очевидно, заключаться в пределах интегрирования,
ксторые должны быть теперь приняты равными /? и со, так
что
J
E0.14)
361

Положим в этом уравнении р = — ; р. =—и, приняв, что
р Pi
плоскость заземлена, получим:
P2(p'+Pi) X P' + Pi
E0.15,
Pi
Наконец, в случае сферического сегмента (рис. 146), введя
сферические координаты и обозначив координаты перемен-
переменной точки N через
, yrf = Rsin 6sin<p, zN = Rf
а координаты фиксированной точки М — через
найдем
г2 = /?2[(sin 6 cos <p — sin Ь1 cos ?iJ + (sin 6 sin <p — sin 6, sin <
+ (cos 6 — cos b{f\ =
= 2/?2 [1 — cos 6 cos b1 — sin G sin 6, cos (<p — <Pi)].
z
Рис. 145
Рис. 146
Без ограничения общности в последнем выражении можно
положить <Pi =0; уравнение E0.11) примет вид:
0F)flSin6rf6rf9 .., тр,ьЛ
1 Г Г
яе0 J J
6=0 9=0
у 2 A — sin 6 sin 6, cos 9 — cos 6 cos 6^
E0.16)
где а — значение координаты 6, отвечающее границе сегмен-
сегмента. Введем вместо <р новую переменную ф = л Y; тогда
У 2 A — sin 6 sin 6t cos 9 — cos 6 cos 8,)
362
dtp
я/2
2 A — sin 6 sin 6t cos 9 — cos 6 cos 6t)
^j
1/ sin2 ——- — sin 6 sin 6t sin2.
_ 2 „ ( У sin 6 sin 6j \
sin—-— I sin——
Уравнение E0.16) переписывается так:
sine sine,
^. E0Л7)
sin-
sm
Положив, наконец, x = tg —, j/ = tg——, приведем E0.17) к
следующему виду:
tg a/2
2^ Г
п=о J A
c(x)dx
E0.18)
Все полученные уравнения E0.13), E0.15) и E0.18) могут
быть приведены к рассмотрению единственного интегрально-
интегрального уравнения вида
Функции f{x) и g(y) в рассмотренных выше случаях имеют
следующие значения:
для случая диска
для случая заземленной плоскости с круговым отверстием
, ч о Ос)
¦* = -, У=—, «=~
р ? R
X* '
363

для случая сферического сегмента
Для решения уравнения E0.19) запишем его в следующем
виде:
у
Vw-4-4
¦у?
1 +
1 +
-2-
y \ ' у
У
К
Ф
¦— \ i + —
X \ X
= g(y). E0.20)
Для дальнейшего воспользуемся так называемым преобразо-
преобразованием Ландена У:
Тогда вместо E0.20) получим:
у а
- fAx)-K(-)dx = g(y). E0.21)
о у
Положив, далее, в формуле
K{k)= С—
J V \
dt
V \-&sin31
— u, получим:
= f da
Поэтому
du
i) См. Ю С. Сикорский. Элементы теории эллиптических функций.
ОНТИ, 1936, стр. 37.
364
или, делая подстановку xu = s, найдем:
х
у
ds
0
Аналогично получим:
ds
Подставляя полученные выражения в E0.21), находим:
а у
- [fix) dx [ ds — = g(y).
E0.22)
Изменив в полученных интегралах порядок интегрирования:
ds (—*—
[f(x)dx [
У{х'-*н?
ds
о о
приведем E0.22) к виду:
Если положить
а
f ™?L=*{8) @<s<a),
S
E0.23)
E0.24)
то уравнение E0.23) переходит в так называемое уравнение
Шлемильха:
У
@<y<a).
E0.25)
365

Решение уравнения Шлемильха имеет вид У
dsj Vs' — t*
' О '
Можно показать, что решение уравнения E0.24) будет:
m = -±l-f-mi=r-d8. E0.26)
и ах J
Таким образом, решение рассматриваемого интегрального
уравнения E0.19) может быть записано в виде:
-^ ± С —?^i- dt. E0.27)
S2 — X2 dsj ys2 _ 12
Поэтому выражение для суммы плотности Oj + o2 в случае
плоского диска может быть записано так:
sds
. fu-wmt dt. E028)
p • ¦ о
в случае заземленной плоскости с круглым отверстием
= 4%_d_ Г ptfa d Г st/Q(Q d^ .
ъ dp J jApTZ^ dsj |/-р _ sa ^
E0.29)
в случае сферического*сегмента
о(в)=-
ч/
E0.30)
Разность плотностей <Jj — a2 в случае лиска и плоскости с
отверстием выражается формулой E0.6), а в случае сфери-
сферического сегмента — формулой E0.9).
Ц См., например, Р. О. Кузьмин. Бесселевы функции. ОНТИ, 1935,
стр. 121 R. Т. Уиттекер и Г. Н. В а т с о н. Курс современного ана-
анализа. ГТТИ, 1933, стр. 314.
366
Рассмотрим теперь несколько простейших частных слу-
случаев.
1. Свободное распределение электричества на диске.
В этом случае U°(t) = 0, и выполнение интегрирований в
E0.28) дает:
<5031)
Полный заряд диска
2я Я
J J
0 0
VR2-?2
Емкость диска
E0.32)
2. Распределение электричества на заземленном диске,
помещенном в поле точечного заряда, находящегося на оси
диска на расстоянии h от его плоскости.
В этом случае
Применяя формулы E0.5) и (,50.28) после простых вычисле-
вычислений находим (при UQ = 0):
qh
i, 2
2и2(Л2+РТ
A2 + p2 |._ * 1
7?2-P2 =*= 2j'
E0.33)
где знак (+) относится к стороне поверхности диска, обра-
обращенной к заряду, а знак (—)—к противоположной стороне.
3. Распределение электричества на плоскости с круговым
отверстием, находящейся в поле точечного заряда д, распо-
расположенного на оси симметрии на расстоянии h от плоскости
Соответствующие выкладки дают
1,2'
(А2
/г|/ р2 + л2
¦ +
/г -./" p2 + fe2 f «I
E0.34)
4. Свободное распределение электричества на сфериче-
сферическом сегменте.
367

Полагая в E0.9) и E0.30) U° = 0, ?° = 0, находим:
arc tg
У sin3y~s т
COS
cos-
+ ¦
Суммарный заряд сегмента равен
Я = ?i + 92
Емкость сегмента равна
E0.35)
0 (« + Sin a).
sine) @<a<it). E0.36)
Глава X
ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
§ 51. Вариационные методы
Ограничимся в дальнейшем рассмотрением лишь плоских
электростатических задач поставим следующую вариацион-
вариационную задачу: найти функцию U(x, у), непрерывную в некото-
некоторой области вместе со своими частными производными пер-
первого и второго порядка, принимающую заданное значение
на контуре С, ограничивающем область S, и обращающую в
минимум интеграл
где f(x, y)~- заданная функция.
Значение интеграла (ol.l) зависит от функции U и носит
поэтому название функционала.
Для выяснения физического смысла поставленной задачи по
ложим, что некоторая функция U доставляет минимум функ-
функционалу E1.1) и рассмотрим функцию
U{х, у) + щ(х, у\
где а —достаточно малая величина, a tjC*. У)~ непрерывная
в S вместе со своими первыми двумя производными функ-
функция, обращающаяся в нуль на контуре С. Тогда при ^О
Отсюда следует, что функционал E1.1), рассматриваемый
как функция а, должен иметь' минимум при а = 0, т. е.
= 0.
da
Д-452.— 24
369

Вычислим указанную производную; она равна
d/(U+ау]) _ _d_ /Т/ dU а _*5_\2 , / dU , Q
da d» J I V dx dx J V dy
dx
Полагая теперь « = 0, найдем
dx dy dy
dy
E1.2)
Полученный интеграл может быть преобразован к следую-
следующему виду:
d f 6U\.d/ ди\Л.я Г Г &U , d»U
или
Г
div
J*4 (At/ -f)dS= 0. E1.3)
s
Из теоремы Остроградского далее находим:
Jdiv ftvLO dS = J 7j -^- rf/,
s с
где л —внешняя нормаль к контуру С. Но так как по пред-
предположению i\ на конгуре С обращается в нуль, то
dS=0
и E1.3) дает:
Полученное равенство должно выполняться независимо от
вида функции 7j, что, очевидно, возможно лишь тогда, когда
= f{x,y). E1.4)
Таким образом, мы приходим к.выводу, что решение постав-
поставленной вариационной задачи о минимуме итеграла E1.1)
эквивалентно решению уравнения Пуассона E1.4).
Полученное условие о том, что функция, обращающая в
минимум интеграл E1.1), есть решение уравнения E1.4), яв-
370
ляется, вообще говоря, лишь необходимым условием. Можно
однако, показать, что это условие будет не только необхо-
необходимым, но и достаточным условием; на этом вопросе мы
останавливаться не будем.
В частном случае, когда f(x, y) = 0, интеграл E1.1) обра-
обращается в интеграл Дирихле и поэтому решение уравнения
Лапласа эквивалентно нахождению функции, обращающей в
минимум соответствующий интеграл Дирихле.
Вообще, решение любого уравнения эллиптического типа
эквивалентно нахождению функции, обращающей в минимум
соответствующий функционал типа E1.1).
Во многих случаях может оказаться, что приближенное
нахождение функции, обращающей в минимум некоторый ин-
интеграл, является более легкой задачей, чем приближенное
решение соответствующего уравнения.
Практические способы нахождения функций, минимизиру-
минимизирующих интегралы типа E1.1), основаны на применении мето-
методов В. Ритца и Б. Г. Галеркина. Перейдем к изложению этих
методов.
Пусть U {х, у) есть точное решение сформулированной
выше вариационной задачи и I(U) = m — значение минимума
соответствующего функционала, налример функционала E1.1).
Если нам удастся построить такую функцию U{x, у), кото-
которая удовлетворяет краевым условиям для функции U и дает
значение функционала /(?/),_близкое к т, то следует ожидать,
что построенная функция U является достаточно хорошим
приближением к истинному решению О. Если же удастся
найти последовательность функций Un, удовлетворяющих кра-
краевым условиям для U и таких, что I{Un)n_^oo-^m, то можно
ожидать, что такая последовательность будет сходиться к
решению U.
По Ритцу минимизирующая последовательность Un ищет-
ищется в виде функции, зависящей от л параметров
&п = /?(л> -V. °i. fl2. • • • ап)-
Если в функционал E1.1) подставить вместо U функцию
Un и выполнить интегрирование, то результат будет являться
функцией параметров ak[k = 1, 2,. .., п):
Так как задачей является получение минимума /, то пара-
параметры ak должны удовлетворять системе уравнений:
д!
~ = 0 (?=1,2 п).
24*
371

Не останавливаясь на доказательстве, заметим, что после-
последовательность функций
Un = F(x, У, «1, а2. • • •. aJ
будет тогда минимизирующей, т. е. тогда будет выполняться
условие
llm/(??„) = /(?0 = 1И.
Я—>со
когда система функций Un является полной. Иначе говоря,
необходимо, чтобы системой функций Un имелась возмож-
возможность апроксимировать всевозможные функции, непрерывные
вместе со своими частными производными.
Практически минимизирующая последовательность по ме-
методу Ритца ищется в виде линейной функции от парамет-
параметров ak
! У)
E1.6)
к=\
при условии, что Un удовлетворяют краевым услоЕиям не
зависимо от значений ak.
Заметим, что без ограничения общности можно предпола-
предполагать, что потенциал U удовлетворяет однородным краевым
условиям на контуре С. В противном случае достаточно
найти какую-либо функцию U* (х, у), удовлетворяющую ус-
условию
U*(x,y)=U(x,y).
на С на С
Тогда, вводя новую функцию V(x, у) из условия
получим для функции V уравнение того же вида, что и для
U, но при измененной функции / и однородных краевых ус-
условиях на С для V, а именно,
Поэтому можно предполагать, что функции yk(x, у), образу-
образующие минимизирующую последовательность, также удовлет-
удовлетворяют однородным краевым условиям на С. Если ы(х,у) — О
на С, то в качестве полной системы функций <рй может быть
выбрана, например, следующая система функций
Если уравнение контура Сесть F(x, y)=0, то функция
ш(л:, у) может быть выбрана в виде
<*(x,y)=±F(x,y).
372
Решение уравнения Пуассона E1.4) при выборе Un в ви-
виде E1.6) приводит к вычислению интеграла
S ~ й=1 й=1 й=1
п п п
5=1 ft=l
E1.7)
где
'¦ "А J \дх дх + ду ду )
dS,
E1.8)
Система уравнений, определяющих параметры ak, может быть
записана поэтому в виде:
Ш OftA + $k = о (Л « 1, 2,.... п), E1.9)
или, иначе:
fx дх ду ду
E1.10)
Обозначим решения систем E1.9) или E1.10) через аР.
Тогда /г-ое приближение по методу Ритца будет:
Т)п (х, j/)= ? а^\к {х, у). E1.11)
По методу Б. Г. Галеркина решение задачи ищется также
в виде линейной функции от ak, но уравнения для их опре-
определения составляются несколько иначе. Применим к равен-
равенству E1.10) то же преобразование, которое было использо-
использовано для нахождения уравнения для минимизирующей функ-
функции. Имеем:
Л
dUn
дх дх
ду ду
.573

где v — внешняя нормаль к контуру С.
Если искомое решение удовлетворяет однородным крае-
краевым условиям, то на контуре С функции <pk равны нулю, и
мы получаем:
/С
дх2
п ¦
2
ду2
= O (* = 1, 2,.".., и).
E1.12)
Вообще, если рассматриваемое уравнение имеет вид L (U) = О,
то по методу Галеркина коэффициенты ak в п-оы прибли-
приближении
находятся из системы уравнений
E1.13)
В качестве примера рассмотрим поле конденсатора, одна
обкладка которого образована круговым цилиндром радиуса
/? и имеет потенциал Uo, а вторая обкладка нулевого потен-
потенциала имеет в сечении квадрат со стороной 2а (рис. 147).
Задача заключается в интегрировании уравнения Лапласа
Д?/=0 при указанных краевых условиях.
Прежде всего приведем краевые условия к однородным.
Для этого положим
и функцию U* выберем таким образом, чтобы она обраща-
обращалась в UQ на круге и в нуль — на квадрате.
Для выбора функции U* остается достаточно большой
произвол и, по-видимому, успех и простота решения зависит
от того, насколько удачно этот выбор сделан. К сожалению,
заранее трудно осуществить наиболее подходящий выбор.
В данном случае естественно ввести полярные координаты
(р, <р) и в качестве функции U* принять
374
где
при —— < ^ < —-,
cos^ 4 4
3ir 5ir
при -^<<р<^1
cos 9
а
sin 9
при — < 9 *С — .
sin (p 4 4
При этом мы приходим к необходимости решить уравне-
уравнение Пуассона
Д1/= — W*
при однородных краевых условиях для функции V.
Полагая
решение в п-ом приближении будет иметь вид
u=u*+va.
375

Согласно E1.12), для определения коэффициентов ак имеем
S = O (m= 1,2,...,«),
или
я/4 cos f
fe=l 0
rc/4 cos <(
f
В качестве функций <pft, обращающихся в нуль на границе
данной области, могут быть приняты, например, следующие
функции, удовлетворяющие условию симметрии поля:
E1.14)
?2 (Р. ?) = "Pi (Р. ?) Р2 cos2 ?.
Тз(Р. ?) = ?i(p. ?)p2sin2<p,
?4 (Р. ?) = ?i (Р. ?) Р4 cos2 ? sin2 9.
Дальнейшие вычисления оказываются весьма громоздкими.
Если ограничиться решением в первом приближении, т. е.
использовать только одну функцию <Ри то для вычисления
коэффициента Gj получим
я/4 cos ч
<h § dtf J
0 R
<4 cos f
= 0.
O
R
Учитывая, что лапласиан в полярных координатах имеет
вид
в результате вычислений находим
а
где
а =
1.42г> + 0,524 р2)
0,518 — 3,73р т 6,36у>2 — 3,11 р3 — 0,
0,734/>s
376
Выражение для потенциала в первом приближении будет
_р 1_
Vi = _ги( п ^ \—ъ,*+*ч><ь.
1
р —¦
cos 9
На рис. 147 пунктирная кривая в квадрате 0 < <р <: те/2
соответствует части эквипотенциальной линии. Расчет про-
произведен при /7= — = 0,5. Ясно видно, что первое приближе-
а
ние непригодно для использования, так как эквипотенциаль-
эквипотенциальная линия вблизи угла внешней границы оказалась вогнутой
в противоположную сторону по сравнению с ожидаемой из
физических соображений.
В качестве следующего приближения было взято сле-
следующее:
где 9i сохранена прежней, а <р2 = <р, cos 2<p.
Такой выбор решения сделан с целью упрощения расче-
расчетов и сводится к тому, что в нем объединены функции <р2 и
При
д у, фуц
из системы E1.14), в которых отброшен множитель р2
2 б 1
р р р
сохранении сомножителя р2 пришлось бы вычислить 12 инте-
интегралов, не очень сложных, но требующих громоздких вы-
выкладок.
Для определения коэффициентов аг и а2 получается [сле-
[следующая система уравнений
a
ai f<P2A<PirfS + a2 C<p2b<p2dS = — Cy
s s s
После вычисления интегралов, аналогично тому, как это
было сделано выше, получим
«1*11 (Р) + «2+12 (Р) = Фп (Р)>
«I'bl (Р) + «2^22 (Р) = 4*21 (Р),
где р = — и
а
Фи (Р) = «2 №,52 - 3,73/7 + 6.36/72 - 3,11р3 - 0,51/ + 0,73/j5),
ф18 (р) = - а2 B,93 — 9,52/7 + 12,08/ - 9,39/?3 + 5,08/ — р5),
Ьз (Р) = -ЛпЛ 1 - 1.43/7 + 0,52/),
Фи (Р) = «2@,08 - 1,17/7 + 1,43/ - 1,27/ - 1,32/ + 0,47/),
Ы/>) = - «2 A.09 - 3.94р + 5,07/ - 5,26/ + 1,89/ - 0,78/),
Фаз (Р) =~Р (°.51 ~ 0,51р + 0,43/).
377

Приняв р = 0,5, получаем
фи = -0,15о2, ф]2 = - 0,31а2, ф13 = -0,26,
Ф21 = -0,38а2, ф22 = 0,17а2, фи = -0,18.
0,708
0.508
Решение имеет вид
->= f
@,708 + 0,508 cos
(p ~ f)Jp ~ Я)
Эквипотенциальные линии поля, рассчитанные по этой фор-
формуле, показаны на рис. 147 сплошными кривыми.
§ 52. Метод Л. В. Канторовича
Метод Л. В. Канторовича состоит в приведении задачи к
решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Положим, что требуется решить уравнение:
при условии
-/С*. JO = 0, E2.1)
ил- иу-
U(x,y) = 0 на С.
Для определенности будем счи-
, . тать, что область 5 ограничена
прямыми х — а и х=Ь и кривыми
y = g(x) и y = h{x) (рис. 148). Бу-
Будем искать решение задачи в виде
Рис. 148 ft=1
где шй (л:, ^ — произвольно выбранные функции, обращаю-
обращающиеся в нуль на краях y = g(x) и y = h(x), а %(х) — неиз-
неизвестные функции.
Потребуем, чтобы Un минимизировала соответствующий
¦функционал /; тогда
fW ft=i
я
А=1
п
E2.2)
378
Если выполнить интегрирование по у (учитывая, что функ-
функции Фй от у не зависят), то функционал E2.2) приведется
к виду:
ь
I (Un) = JФ (х, фй, ф^) dx. E2.3)
а
Таким образом, функции фй должны находиться из условия
обращения в минимум однократного интеграла E2.3). Для
нахождения условий, которым должны удовлетворять фй
применим те же рассуждения, которыми мы пользовались
выше.
Положим, что некоторая система функции ф3, У2'-'-Лп
обращает в минимум интеграл E2.3). Выберем, далее, после-
последовательность функций Tjj, тJ,... ,•»]„, обращающихся в нуль
при х= а и х= b и составим интеграл
ь
I = | Ф (л:, фА + a-qk, ф^, + ati'k) dx.
Последний интеграл представляет собой функцию от а, при-
причем /@) = /. Если система функций_ фй является минимизи-
минимизирующей, то очевидно, что /(а) > 7@) = /и, следовательно,
/(а) должен иметь минимум при а = 0, т. е.
da
С)
Далее находим
дФ
6 ft 6
/d аФ , Л d дФ ,
i\k ах = — y^ dx,
dx д*ь J dx *ш
поскольку щ (а) = тдй(^) = О. Предыдущее равенство (^при-
(^принимает вид:
ГYVJ— - — -^-1 dx = 0. E2.4)
Равенство E2.4) должно быть справедливо при любом
выборе последовательности функций щ, в частности, при
0.
379

В этом случае
ь
/Г дФ d дФ "I ,
4«ь-гг;ИЛ-
Так как функция i\k произвольна, то мы приходим к системе
уравнений:
= 0 (к = 1, 2,... , ri), /ко к\
di>k dx ц' ч ' '' ^oz.o;
из которой и определяются неизвестные функции %. Если
воспользоваться E2.2), то в явном виде система уравнений
E2.5) может быть записана так:
g (х) m=\
g(x)
ИЛИ
h(x)
dx
h(x)
Six)
-°-E26)
В первом слагаемом произведем дифференцирование инте-
интеграла по параметру; имеем
g(x)
y=h(x)
y=g(x)
Учитывая, что vk'(x, у) равна нулю на линиях y = h(x) и
y=g(x), получим:
Второе слагаемое во втором интеграле E2.6) преобразуем
интегрированием по частям:
S(x)
dy 3y L 3y *J J dy*
h(x)
g{x) g(x)
)
J dy, * У
g(x)
380
Подстановка полученных результатов в E2.6) дает:
ft (v) ft (х)
g(x)
g(x)
(b — 19 rf\ (?,o 7\
Эта форма уравнений аналогична уравнениям метода Галер-
кина и значительно сокращает их составление по сравнению
с E2.5). Полученную систему уравнений относительно функ-
функций Фй следует решать при граничных условиях вида ^д,(а) =
= %{Ь) = 0. Гогда для функции Un будет удовлетворено
краевое условие, заключающееся в
обращении в нуль на всем контуре У
С области.
В случае, если область имеет бо-
более сложный вид, чем изображенный
на рис. 148, уравнения E2./) прини- т (хд,ус)
мают вид:
¦*- А
Рис. 149 а
E2.8)
где 1Х — сечение области 5 прямой
х = const. В качестве примера при-
применения изложенного метода рассчи-
рассчитаем поле в области, ограниченной кривыми у = + <р (х) и пря-
прямыми х = а и х = Ь. Предположим, что поле создается ли-
линейным зарядом плотности т, помещенном в точке (х0, у0)
(рис, ,149а). Заменим, как это мы делали выше, линейный за-
заряд распределенным по прямоугольнику л:0 — е<л:<л:0 + е,
у0 — 8 <^ < уо+ б и будем интегрировать уравнение Пуассона
при нулевом значении потенциала на границе области. Огра-
Ограничимся в дальнейшем только первым приближением и будем
искать решение задачи в виде
и =
*%*))№,
где f(x) — неизвестная функция. Уравнение E2.7) запишется
в рассматриваемом случае так:
381
-?(¦*)

f
-9 (ж)
или, после выполнения интегрирования,
|?2Г+2??'/'+(?<?"+ ?'2- 1)/= - -~ f
Учитывая, что
найдем:
при прочих значениях х и у,
j-?) при ло-е<д:<Ло + в
I 0 при Х<Х0 — е, JC>xo + e.
Поэтому уравнение для /принимает вид:
|?2/" + 2??У + (??" + Т'2 _ !)/== /7(jc) E2 9)
где
3 Р8 (Уа —
О при X < л:0 — е, х > х0 + е.
Рассмотрим частный случай: ?(x) = Ax, тогда E2.9) примет
вид
E2.10)
Решение однородного уравнения будем искать в виде
Подстановка х" в однородное уравнение, соответствующее
E2.10), дает:
Отсюда находим
382
где C,(jc) и С2(л;) находятся из системы уравнений
Отсюда
(х)х"'-1+м2С9(х)х1>1-1 =
F(x)
¦ хг
k!
Учитывая, что va + v2 = — 4, получим: при л; > х0 — е
3. ро_
4 е0
_i. p!
4 е
я при
Поэтому при
а при
< л:0 — е
х>хо—г
f(x) = С,^1
рЕ
*,+•
Так как х' и л:4' могут быть представлены в виде
1 -., 1
383

последнее равенство перепишется так:
4 e0
4 е0
Л>+е
1 г
,+s
или, выполняя интегрирование,
= О,
c,6v' + cjf*=JL?l Уо ~ **¦*<> r/^o Y-+2 / * Y-+
2 c0 ft»(^_Vl)*»Lv bJ ~W
Принимая далее во внимание, что 4Р8е = т, найдем:
/ ль у'+2 / ъ \v,
8 t0 fts (V _ v ч
,+2
8 e0 A' (va — Vj) / a \v,+2 / ^ Vl
\t) -(t;
Таким образом, при л < л0 находим:
/(Х)==7Т-
При х > jc0 получим
•X
/ д^ y>+2 / ь y-+2
2
384
м,+2
X
4 со
r/JLV'+2 _ (JLV+2  ^ =
з_ 2_ -Уо~
8 ч,,'*»^,-
v,+2
b V'+2
—Y'+21
= 8 e0 A8 (va — vi) ^2 f a_V-+2 _ /AY'+2
Окончательно находим решение задачи в следующем виде:
3 т J'g-
U ~ ? "^
/ «V. + 2 _ /i.
ч.
E2.11)
при х > х0:
,, 3 т
8
x
E2.12)
На рис. 1496 приведена картина поля, рассчитанная по
формулам E2.11) и E2.12) для случая
= 1; 6 = 2; jc0 = 1,5; ^0 = 0; т =
Д-452.-25
385

Рис. 149 б
§ 53. Метод Треффтца
Метод Треффтца в известном смысле противоположен
методам Ритца и Галеркина. Если в последних методах ре-
решение задачи ищется в виде линейной комбинации функций,
удовлетворяющей краевому условию, но не удовлетворяю-
удовлетворяющей дифференциальному уравнению, то в методе Треффтца
решение ищется в виде линейной комбинации функций, удов-
удовлетворяющей дифференциальному уравнению, но не удовлет-
удовлетворяющей краевому условию.
Входящие в решение задачи неопределенные коэффициенты
по методу Треффтца определяются таким образом, чтобы
возможно более точно выполнялось краевое условие; в ме-
методах же Ритца и Галеркина неопределенные коэффициенты
определяются из условия возможно более точного удовлет-
удовлетворения дифференциального уравнения задачи.
386
Переходя к изложению метода Треффтца, рассмотрим
уравнение
W = f(x, у) E3.1)
при краевом условии: U—y на контуре С области.
Положим, что V есть какое-либо частное решение не-
неоднородного уравнения E3.1), a Vk\k = \,2,..., n) — частные
решения соответствующего однородного уравнения
Тогда
E3.2)
также будетрешением неоднородного уравнения E3.1). По-
Постоянные ак в приближенном решении U необходимо подо-
подобрать таким образом, чтобы возможно точно выполнялось
краевое условие, которому должно удовлетворять точное
решение задачи.
Для определения коэффициентов ак естественно потребо-
потребовать, чтобы интеграл
- U? dl= f(U- ?J dl
с с
был бы минимальным. Это требование приводит к условиям
д1 = 2 С ф - <р) Vmdl = 0 (т_= 1, 2,.... п), E3.2)
с
дат
или после подстановки выражения U
*•=!
(m=l,
E3.3)
Система уравнений E3.3) и определяет коэффициенты ак.
По Треффтцу, однако, коэффициенты ак определяются не-
несколько иным способом. Обозначим через F разность
F=U-V.
Так как обе функции U и U удовлетворяют уравнениям
Ш=/ и Д?/ = /,
то функция F удовлетворяет уравнению
25*

Выше мы видели, что определение функции, удовлетворяю-
удовлетворяющей уравнению AF=O, эквивалентно определению функции,
обращающей в минимум интеграл
или
Условия обращения в минимум последнего интеграла при-
принимают вид
д/
dVk
б у ду) ду
Более коротко последние равенства могут быть записаны так:
S = O (да=1, 2.....Л). E3.4)
Для дальнейших преобразований воспользуемся формулой
Грина D.3), переписанной для плоского случая:
Полагая в этой формуле
найдем ¦
s
388
Первый из интегралов в левой части полученного равенства
пропадает в силу того, что Д1/т = 0; второй интеграл этой
части исчезает по E3.4). Таким образом, находим
или
S*/
-tf)^-0 ("•=1.2,.-.»).
(т=1, 2,...,п).
й=1 С
Так как на границе области функция U известна и равна <р,
то мы получаем следующие уравнения Треффтца для опре-
определения коэффициентов ah:
E3.5)
1у
и=о
*=i с с
В ряде случаев применение метода Треффтца приводит к бо-
более простым выкладкам по сравнению с применением методов
Ритца и Галеркина, пос-
поскольку в методе Треффтца
вычислению подлежат лишь
интегралы по границе обла-
области, а не по самой области.
В качестве примера при-
применения метода Треффтца
определим поле в конструк-
конструкции, сечение которой пред-
представляет собой два концен- —
трических квадгата со сто-
сторонами 2а и 2Ь соответ-
соответственно (рис. 150). Будем
полагать, что контур внеш-
внешнего квадрата Сг имеет по-
контур
С2
Рис. 150
тенциал нуль, а
внутреннего квадрата
имеет потенциал Uo.
Поскольку в данном слу-
случае потенциал поля определяется однородным уравнением
Д?/=0, то необходимо положить V=0. Частные решения
уравнения Д?/ = 0 должны быть выбраны таким образом, что-
чтобы они удовлетворяли условиям симметрии задачи, т. е. были
бы четными функциями относительно х и у и, кроме того, не
изменялись бы от замены х на у и наоборот; иначе — частные
389

решения однородного уравнения должны быть симметричны-
симметричными функциями относительно х и у.
Этим условиям удовлетворяют следующие функции:
у\
V2 = Re (х + iyf = x4- QxY у
V3 = Re (х + iyf = xs - 28х6у2 + 70х4у4 -
и т. д.
Будем искать решение задачи в виде
и для определения коэффициентов ak воспользуемся первым
способом, для чего составим уравнения типа E3.3).
В этих уравнениях под контуром С следует понимать пол-
полный контур области, образованный контурами С1 и С2 и об-
обходимый в таком направлении, что заключенная между ними
область остается слева от наблюдателя, движущегося по
контуру.
Учитывая, что в рассматриваемом случае V=0, и пони-
понимая под С1 внешний контур области, на котором U (или <р)
равна нулю, получаем:
*=i с
с,
В развер.нутом виде полученная система уравнений может
быть записана так:
V2dl + а3
nf Vndl =V0 jdl,
С Ся
;+ a3 J V2V3dl + ...+ anjV2Vndl =
С
V2dl,
а, J Vbdl + a2j V2V3dl + а
¦/
= Un УЖ
390
Ограничимся в дальнейшем только тремя функциями Vk.
Вычисление соответствующих интегралов дает:
ап(Ь + а) а, + ом (Ь5 + а5) а2 + ом (Ь9 + 0^^= bUoan,
а12 (Ь5 + а5) а, + <х22 (Ь9 + а9) а2 + а23 (Ьхг + а13) а3 = b5U0an,
«13 (*9 + «9) ai + «23 У™ + «13) а2 + азз (*П + я17) аз = *9^o«i3.
где «й — числовые коэффициенты, равные:
4 . 28 , 70 28 , 1
722
" 5' 13 3 ' 5 7 '
= 1_1? + ?_1? + 1^2,997,
9
1,778,
13 " 5 7 ' 9
34 , 239 476 .239 34 1 _ к ЙЛЛ
1 35 79 1113
_ 56 924 _ 3976 , 6470 _ 3976 924 _ 56 J_ ^ ^ 2„
3 5 7 7 "ll 13 15 17
Вводя обозначения
получим следующие выражения для коэффициентов ай:
где
Д =
2 «'А ' 3
Ч\К «12А5 «13A9
А,-
ai2
ai3
= апа22а33А9А]7
~ аПа23 Л?3 -
а]2А5 а12 а23А13
,Л]7 — А5А17) + GtjjCij
— А,А13)
391

ап/г, a12hs а„
а12^б а22^9 а12
13
Решение задачи дается в виде:
Ц=ио[\ + *L_ *L **
°1 А А
я*
А3 хв — 28хвУ + 70х*у1 — 28хУ 4- ув
А в8
а11а12а23Л13 (Й5 ~ *l)-
E3.6)
§ 54. Приближенное определение емкостей
по методу Хоу
Сущность метода Хоу заключается в следующем. На пер-
первой стадии расчета предполагается, что поверхностная плот-
плотность зарядов на рассматриваемом проводнике постоянна.
В этом предположении вычисляется потенциал во всех точ-
точках проводника. Этот потенциал, очевидно, не будет сохра-
сохранять постоянного значения в различных точках проводника.
Истинный потенциал проводника при заданном его суммар-
суммарном заряде предполагается равным среднему значению потен-
потенциала, вычисленного на первом этапе.
Емкость проводника будет равна отношению заданного
суммарного заряда к полученному таким путем среднему
значению потенциала.
Описанный метод не получил еще теоретического обосно-
обоснования, но результаты его применения весьма хорошо согла-
согласуются с результатами измерений, поэтому метод Хоу и нашел
широкое распространение при расчетах радиосетей, заземли-
телей, волновых сопротивлений сложных конструкций и т. д.
Поясним применение метода Хоу на нескольких примерах.
Пример 1. Определить емкость проводящей сферы, центр
которой находится на расстоянии h от бесконечной зазем-
заземленной плоскости (рис. 151). Пусть суммарный заряд сферы
равен Q. Примем плотность зарядов на сфере постоянной и
равной о = —~. Систему сфера — плоскость заменим систе-
системой из заданной сферы с плотностью зарядов о и отображен-
отображенной сферы с плотностью зарядов — о. Определим теперь
потенциал в некоторой точке пространства М, обусловлен-
обусловленный зарядами истинной и отображенной сфер. Этот потен-
потенциал равен
392
где гиг' — расстояния от соответственных переменных то-
точек сфер 5 и S' до точки М (рис. 151).
Для нахождения входящих в выражение потенциала инте-
интегралов введем сферические координаш с началом в центре
физической сферы О. Из рис. 152 находим:
<м
Рис. 151
Рис. 152
? = Я2 sin 6<Шср, г = /" /?2 + р2—2pR COS 6;
Г dS Г , Г Я2 sin ЫЬ
J—J d
S О
— 2R\/ cos О
4л/?2
Р ' ЮР
Для второго интеграла аналогично найдем:
1
где р'-^-расстояние центра отображенной сферы до точки М.
Отсюда
Если точка М находится на поверхности физической сферы,
то р = R и
y*~?G~y)
393

Средний потенциал поверхности этой сферы определится из
выражения
и
s
Но по предыдущему, входящий сюда интеграл равен
/dS _ 4д/?2
р' ~ 2Л '
s
Поэтому
Емкость сферы равна
R
ycp
E4.1)
2Л
В § 36 емкость сферы, находящейся над плоскостью нуле-
нулевого потенциала, была определена методом изображений в
сфере. Выражение для емкости при этом имело вид:
оо
sh у.
sh
где •
в=1
= arch — .
Отношение емкостей, полученных приближенным и точным
методами, равно
h
^прибл
R
и представляет, следовательно, функцию только параметра — .
Для оценки точности приближенной формулы E4.1) заметим,
что при — = 1,5 расчеты дают /A,5) =0,98, т. е. погрешность
метода Хоу составляет 2%. При увеличении —погрешность
394
при
— —>оо (так как
фор-
форуменьшается и стремится к нулю
/(<*>)= 1).
Рассмотренный пример показывает, что точность
мулы E4.1) при крайней ее простоте весьма велика.
Пример 2. Вычислить емкость цилиндрического провода
длиной /, радиуса г0, протянутого над землей на высоте h
(рис. 153). Положим, что суммарный заряд Q равномерно
распределен по поверхности провода с поверхностной плот-
плотностью t на единицу длины. Введем отображение провода
Рис. 153
в плоскости земли и при вычислении потенциала провода,
примем заряды отображенного провода сосредоточенными
на его оси, учитывая, что расстояние его до земли гораздо
больше радиуса г0. Потенциал в точке х оси провода от
слоя d\ провода будет
Потенциал в той же точке провода от заряда на элементе
оси d& зеркального отображения равен
Поэтому полный элементарный потенциал в рассматриваемой
точке оси провода равен:
причем
395

Отсюда
Далее находим
I;
о
х-1
аУ
Положив j> = roshig, получим:
г
J:
V
= arsh— + arsh
i-
— = arsh - + arsh-—- .
•«.--г 1Л —lip" 2Л 2Л
Отсюда
U(x) = —[arsh - + arsh^^— arsh- — arsh —1.
4та0 L r0 r0 2Л 2Л J
Среднее значение потенциала определяется по формуле:
Ucp=^=— С U{x)dx.
о
Как известноЧ
/arsh a-zdz = 2 arsh az /1 + o?z2 + const.
о r
Воспользовавшись этой формулой, после приведения подоб-
подобных членов найдем
fF1 ™hL~
Im- 11 -
г? J
2Л
l]U— Г arsh i-- arsh-^-
Jj 2[ г0 2Л
i) И. M. Рыжик и И. С. Г р а д ш т е й н. Таблицы интегралов,
сумм рядов и произведений. ОГИЗ, 1951.
396
E4.2)
Если — > 1 и — > 1, что обычно имеет место, то
2/t
Го
Но
Поэтому
2/t
t/Cp = — Г arsh — - arsh ^-1.
2та0 L r0 2/tJ
arsh a = In [a + -jA*2 + 1 J .
,=* In—.
1h
Отсюда
Емкость на единицу длины провода определится по формуле
E4.3)
ср
In
2Л_
''о
Емкость уединенного провода длины / (без учета земли)
может быть найдена из E4.2;. Полагая h —* оо, будем иметь:
''о J 2пе01_ г0
Отсюда емкость на единицу длины равна
In — + In 2—1 in—— 0,309
E4.4)
Пример 3. В заключение рассмотрим применение метода
Хоу для расчета электростатических мешающих влияний,
возникающих на линиях связи при пересечении их с высоко-
высоковольтными линиями электропередач 2).
1) См. Н. Н. Миро любо в. Помехи, возникающие в линиях связи при
их пересечении с линиями высокого напряжения, ЖТФ, 1936. т. VI, вып. 6.
397

Положим, что имеется две группы проводов, пересекаю-
пересекающихся под некоторым углом, причем внутри каждой группы
провода параллельны друг другу. К одной группе проводов
относятся провода линии передачи, к другой — провода линии
связи. Если пренебречь влиянием проводов линии связи на
провода линии передачи, то для участка пересечения урав-
уравнения Максвелла могут быть написаны следующим образом:
E4.5)
E4.6)
т=Д, В, С,...
где U; — потенциал i-го провода линии передачи, UА — по-
потенциал провода А связи, т — число проводов линии пере-
передачи, qs и qz—соответственно заряды проводов линии пере-
передачи и линии связи на единицу длины. Величины, относящиеся
к проводам линии передачи, снабжены цифровыми индексами,
а величины, относящиеся к проводам линии связи,— буквен-
буквенными.
Заряды на проводах линии передачи определяются обыч-
обычным способом. Именно, предполагая, что искажением поля
провода вследствие наличия других проводов можно прене-
пренебречь ввиду малости их сечений, из E4.3) находим:
г0
2яе0 dls '
E4.7)
Обозначения hs, Dis и du пояснены на рис. 154. Таким же обра-
образом учитывается и взаимное влияние между проводами линии
связи.
Для вычисления коэффициентов PAs положим, что мы
имеем два провода (s и А), пересекающиеся друг с другом
под углом ? и расположенные над поверхностью земли в двух
горизонтальных плоскостях, причем высоты их подвеса над
землей соответственно равны Hs и hA (рис. 155). Вследствие
малости поперечных размеров проводов в сравнении с их
длиной и взаимным расстоянием в месте пересечения, можно
считать, что заряд s-ro провода распределен по его оси
с равномерной линейной плотностью gs. Тогда потенциал
398
Рис. 154
Рис. 155
в точке хА на оси провода А, обусловленный полем зарядов
s-ro провода и его зеркального изображения, будет
^ ч* С (
1 4itefl J I
' -i" ч
dxr
хА cos <p)s
+ (Hs+ hA
где Ls и Z.5—длина провода s в одну и другую сторону от
места пересечения.
Средний потенциал на оси провода А равен
Поэтому
= -^L- f
X
is
К
y/(xs - xA cos <f)* + xI sin* 7 + (Я, - hAy
1 ) -
cos чУ + xA sin2 т + (Hs +
E4.8)
399

Практически длина линии передачи весьма велика; поэтому
положим L°s = Ls= oo. При выполнении интегрирования E4.8)
приводится к виду:
I',
1 , ,_ ~л-~ . . V-* . -А, ^ ^^
As'
А 2
Г ln±J
%) Xji
-L.
Положим для упрощения выкладок La = La и обозначим
2(Hs-hA)
sin?
2 /. sin <
E4.10)
U ими у ж^ .-¦¦¦ —
Л Л
тогда результат второго интегрирования может быть записан
в следующем виде:
4те0
E4.11)
где
ф (х) = In A + х2) + 2х arctg-.
Нетрудно убедиться, что в частном случае <р = 0 формула
E4.11) дает обычное выражение для потенциального коэф-
коэффициента:
As
*As
§ 55. Метод сеток
Метод сеток широко используется при численных расче-
расчетах электростатических полей. Он применяется в тех часто
встречающихся в инженерной практике случаях, когда в силу
тех или других причин не удается отыскать точное или при-
приближенное аналитическое решение задачи.
Метод сеток основан на замене частных производных,
входящих в уравнение Лапласа, соответствующими им отно-
отношениями конечных разностей.
Рассмотрим метод применительно к плоскому полю
U=U(x, у), не зависящему от координаты z. Однако метод
применим также для пространственных полей.
Придавая поочередно аргументам х, у некоторой непре-
непрерывной функции U (х, у) малое приращение h, можно при-
приближенно (с точностью до величины второго порядка малости
относительно h2) заменить частные производные функции
отношениями разностей:
dU_ _, Ц(х. y) — U(x — h. у) .
дх ~~ h
400
дЦ _ Ц(х,у) — U (х, y-h)
ду ~ h
E5.1)
Такие же приближенные выражения можно написать* и для
частных производных второго порядка, входящих в уравне-
уравнение Лапласа:
1 Г U(x + h, у)- Ц(х, у) U{x,y)~ U{x~h.y)
h L h
h \~
U{x-h, y)\ E5.2)
и, совершенно аналогично,
^-^±[U(x, у + h)-2U(x, у) + U(x,y-h)]. E5.3)
Уравнение Лапласа
дх' ду*
приближенно (с точностью до членов порядка Л2) заменяется
следующим разностным уравнением:
U(x + h, y) + U(x-h, y) + Ux, (y + h) +
+ U (х, у - h) — AU (х, у) = 0. E5.4)
Полагая х = х0, у = у0, получим разностное уравнение, свя-
связывающее между собой значения искомой гармонической
функции в пяти соседних точках;
положение четырех из них отли-
отличается по одной из координат на
величину /г, называемую шагом
сетки, от средней (узловой) точки
с координатами х0, у0 (рис. 156). 0
Для того чтобы численно pa- (x«~h>yo)
зыскахь потенциал в любой точке
поля, разбивают заданную область
на квадраты сеткой с достаточно
малым шагом h таким образом,
чтобы граница сеточной области
лучше всего совпадала с границей заданной области.
Значения потенциала на границе заданы. По известному
распределению потенциала на границе области необходимо
отыскать значения искомого потенциала во всех внутренних
узлах сетки. Принципиально это может быть сделано сле-
следующим образом.
Для каждого узла сетки можно составить уравнение вида
E5.4). Для узлов, расположенных вблизи от границы области,
некоторые из функций, входящих в E5.4), будут известны.
Д-452.-26 401
Рис.. 156

Очевидно, что уравнений вида E5.4) можно составить столько,
сколько имеется узловых точек. Решив эту систему линейных
уравнений, получим искомые значения потенциала во всех
узловых точках. Л. А. Люстерник показал, что при h—»0
распределение потенциала, найденное из системы уравнений,
тсремится к тому, которое дает гармоническая функция, и,
следовательно, найденное распределение является прибли-
приближенным решением конкретной электростатической задачи.
Так как число уравнений типа E5.4) при малых h весьма
велико, то решение задачи обычным путем можно провести
лишь с помощью специальных счетно-решающих машин.
В практических расчетах решение удобнее всего находить
методом итерации v>.
Воспользуемся исходным уравнением E5.4), которое пере-
перепишем следующим образом:
ч Ц(х0 + h.$0) + U(xo-fi,yQ)
=
\- U(Xo.yo-h)
E5.5)
Из последнего соотношения вытекает, что значение искомой
функции U в узле сетки (х0, у0) равно среднеарифметиче-
среднеарифметическому значению U в четьГрех соседних точках.
Соотношение E5.5) используется далее для нахождения
решения задачи Дирихле.
Прежде всего задаются произвольной начальной системой
значений искомого потенциала U во всех внутренних узлах
сетки (нулевая система), затем, используя метод итериро-
итерирования, находят средние арифметические значения исходной
системы. При этом для узлов, расположенных непосред-
непосредственно у границы области при вычислении средних, арифме-
арифметических, используются заданные краевые условия в гранич-
граничных узлах.
Полученные таким образом значения U будут первым
приближением (I система). Значения функции U первой си-
системы вместе с граничными значениями совершенно анало-
аналогично используются для нахождения функции второго при-
приближения (II система) и т. д.
Итерирование продолжается до тех пор, пока (tt + 1)-ое
приближение не дает значений потенциала V во всех узлах,
совпадающих (в пределах необходимой для расчета конкрет-
конкретной технической задачи точности) с /г-ым приближением.
Д. Ю. Пановым было показано, что итерационный процесс
сходится независимо от того, какая система искомого потен-
потенциала U принята за исходную. Не останавливаясь на дока-
ЧП. М. Г е р с е в а н о в. Итерационное исчисление и его приложения,
Машстройиздат, 1950.
402
зательстве этого важного положения, отметим, что сходи-
сходимость процесса связана с тем, что при итерациях всякий
раз используются точные значения функции на границе
области. При большом числе итераций произвольно заданная
нулевая система значений U во внутренних точках области
все более уточняется за счет «продвижения* исправленных
по краевым условиям значений функций внутрь области.
Точность приближения, достигнутая при решении электро-
электростатической задачи методом сеток, может быть оценена сле-
следующим образом.
Погрешности решения уравнения Лапласа методом сеток
с шагом сетки h имеют порядок Л2, т. е. погрешность
8 Uh (x, у) в какой-либо внутренней точке области может быть
представлена в виде:
UJh(x, у)^К(х, y)-h\
где функция К(х, у) не зависит от ft.
Предположим, что известны приближенные численные
решения конкретной электростатической задачи, полученные
методом сеток с шагом 2/г и ft.
Тогда, обозначив точное решение через Uo (x, у) имеем:
Uо(*, у) = U2h(x, у) + 8 U2h(x, у);
Отсюда, вычитая, получаем:
Так как
то
, y)-U2h(x, y) = U/2h(x, y)-bUh(x, y).
bU2h(x, y)^4bUh(x, y),
Uh (x, y) - U2h {x, y)« 3W/A (jc, y),
и, следовательно,
bUh(x, y)
E5.6)
Из формулы E5.6) вытекает, что погрешность решения будет
приблизительно равна одной трети разности решений в инте-
интересующей нас точке М(х, у), полученных при шаге h и при
удвоенном шаге.
Рассмотрим теперь некоторые практические вопросы при-
применения метода сеток.
Выбор сетки и ее построение. Величина шага
сетки h теоретически определяется требованием малости
26* 403

i
Рис. 157
остаточного члена в формулах, заменяющих уравнение Лап
ласа (или Пуассона) разностным уравнением E5.4). Однако
практически такой подход нецелесообразен из-за невозмож-
невозможности точно вычислить заранее остаточный член. Далее,
чем мельче шаг сетки, тем более трудоемким становится
решение. Практикой вычислений установлено, что наиболее
рациональным (в смысле затрат времени) путем решения
задачи является следующий: сначала решение разыскивается
при малом числе клеток, размер
которых определяется на глаз с
таким расчетом, чтобы в каждой
части области имелось не менее
двух рядов клеток.
После того, как задача ре-
решена при крупном шаге сетки,
решение уточняют путем умень-
уменьшения шага сетки сначала вдвое,
затем вчетверо и т. д. по всей
области или в той ее части, где
желательно иметь более точное
решение. На рис. 157 приведен
пример построения сеточной области с последовательным
уменьшением шага. Вблизи точки А сетка нанесена наиболее
часто с целью определения напряженности поля в точке А,
где следует ожидать ее максимального значения.
При построении сеточной области необходимо выбирать
ее контур так, чтобы он наилучшим образом аппроксимиро-
аппроксимировал контур заданной области. С этой целью граница сеточ-
сеточной области должна быть построена таким образом, чтобы
граница заданной области пересекала границу сеточной
области всегда между граничной и внутренней точками,
а не между двумя внутренними точками.
В ряде случаев для лучшего совпадения границ заданной
и сеточной областей и повышения точности расчетов целе-
целесообразно использовать специальные виды сеток: треуголь-
треугольную, параллелограммную и др.1*
После выбора сетки и ее построения в тех случаях, когда
контур сеточной области хотя бы частично не совпадает
с контуром заданной области, для которой разыскивается
решение электростатической задачи, необходимо перенести
значения потенциала, заданного на границе области, на гра-
границу сеточной области. Для вычисления промежуточных
значений функции в тех случаях, когда известны ее значения
в отдельных соседних точках используются различные интер-
1) См. подробнее Д. Б. Панов. Справочник по численному решению
дифференциальных уравнений в частных производных. Гостехиздат, 1949.
404
поляционные формулы (Ньютона, Стерлинга, Бесселя, Лаг-
ранжа), основанные на формуле Ньютона
U{Xo + t.h) = U (х0) + tU'(x0) + 1~j1L U" (*о) + - > <55J>
где U(x0), V (л:0) — значения функции и ее производной
в фиксированной точке л:0,
% ' •
h
При ht-* 0 (т. е. вблизи точки х0) можно ограничиться
лишь двумя членами ряда E5.7):
U(x0 + t-h) = U(x0) + UT (x0). E5.8)
Непосредственное использование формулы E5.8) для пере-
переноса краевых значений потенциала на границу сеточной
области затруднено тем обстоятельством, что для нахожде-
нахождения искомого значения функции необходимо знать производ-
производную U'(xn), т. е., в конечном счете, значения функции не
только на границе заданной области, но и внутри ее. А так
как отыскание функции внутри области
является конечной целью решения задачи,
то выполнение граничных условий на гра-
границе заданной области может быть дос-
достигнуто лишь при помощи последователь-
последовательных приближений.
Для исправления граничных значений
используется следующий прием (Л. Кол-
латц), который мы проиллюстрируем на
примере рис. 158. Пусть граничные узло-
узловые точки 1 vi 2 находятся на линии у ==
const по разные стороны от границы об- ]gg
ласти. В соответствии с формулой E5.8)
имеем:
U (xi) ~ U (х0) — bU' (x0), \ E5.9)
U(x2)» U(x0) - (Л - 8) W (х0), )
где U(x0) — заданное граничное значение функции U в точке х0.
Из E5.9) следует, что
у <х ) =
Исключая U' (х0) из системы E5.9), получаем:
} =
= hU(xo)-bU(x2)
h —
E5Л0)
Таким образом, исправленное краевое значение потен-
потенциала U оказалось выраженным не только через известное
405

значение ее на границе U(x0), но и через искомое значение
ее в соседнем к границе узле U(x2). В процессе итериро-
итерирования будут последовательно уточняться как U(x2), так и
U(xt). Порядок погрешности при исправлении граничных
условий равен Л2.
Итерирование. Как уже отмечалось выше, вначале
необходимо задаться произвольной начальной системой зна-
значений искомого потенциала U во всех внутренних узлах
системы.
Хотя с принципиальной точки зрения итерационный про-
процесс сходится при любой начальной системе значений U,
однако скорость его сходимости в сильной степени зависит
от того, насколько начальная система близка к гармониче-
гармонической функции. Для отыскания начальной системы можно
использовать следующий графический прием. Заданная гра-
граница области изображается в аксонометрической проекции
в плоскости хОу; по оси z (вверх), на границе, наносится
заданное распределение потенциала.
Проводя на глаз поверхность, опирающуюся на заданные
значения потенциала на границе области, снимают с чертежа
ординаты этой поверхности над узлами сетки — потенциалы
начальной системы значений U.
Для облегчения вычислений из кальки изготовляются спе-
специальные шаблоны. Нулевой и последующие шаблоны состоят
из сетки, подобной той, которой покрыта заданная область.
Линии сетки у шаблонов наносятся посредине между линиями
основной сетки. При этом узлы основной сетки лежат в центре
квадратов сетки шаблонов (рис. 159).
Порядок вычисления:
1) внутренние клетки нулевого шаблона заполняются зна-
значениями U начальной системы;
\/
/
/
f
/
Шаблон
-**
Рис. 159
406
2) по нулевому шаблону исправляются краевые условия
на границе сеточной области в тех точках, где последняя
не совпадает с границей заданной области;
3) на нулевой шаблон накладывается первый так, чтобы
соответствующие клетки накладывались друг на друга;
в граничные клетки шаблона вносятся исправленные краевые
значения V, а все другие внутренние клетки заполняются
среднеарифметическими значениями нулевой системы;
4) вновь исправляются краевые условия на границе сеточ-
сеточной области и т. д.;
5) итерирование ведется указанным способом до тех
пор, пока следующий шаблон не совпадает (в пределах не-
необходимой для решаемой задачи точности) с предыдущим;
6) зная распределение потенциала в узлах точки, легко
рассчитать и составляющие вектора напряженности поля Е,
например,
Е _. U(x«,yn)-U(x0-h, y0)
* h
Рассмотренный выше метод сеток непосредственно при-
применим для плоских полей, описываемых двухмерным уравне-
уравнением Лапласа вида:
* w r d2U d2U ~ /ее 11 \
Д?/=——-\ = 0. E5.11)
dxi dUa
Для пространственных полей, когда потенциал зависит от
трех координат
U=U(x, у, z),
также имеется принципиальная возможность воспользоваться
методом сеток, переходя от трехмерного уравнения Лапласа
Air d"*U ш cPU . d^U г\ (Е\К 19\
~~ дх2 ду* dz2
к соответствующему уравнению в конечных разностях:
6U(x, у, z) = U(x + h, у, г) + U{x - h, у, z) +
+ U(x, y + h, z) + U(x, y-h, z) + U(x, y, z + h) +
+ U(x,y,z-h). E5.13)
Однако практический расчет пространственных полей по
системе уравнений E5.13) оказывается весьма трудоемким.
В ряде случаев искомое пространственное поле оказы-
оказывается близким к полю вращения, особенно в области, наи-
наиболее важной для практики — области высоких напряжен-
ностей, вблизи токоведущих проводников. Таковы поля про-
проходных изоляторов, опорных изоляционных конструкций
и другие. При этом заземленные металлические конструкции
407

опор, баков аппаратов и других предметов, расположенные
несимметрично в области слабого поля, заметно искажают
поле в этой области, но, как показывают расчеты, не оказы-
оказывают сколько-нибудь существенного влияния на область
сильного поля, имеющую наибольшее практическое значение.
Поэтому во многих случаях удается с достаточной для
практики точностью рассчитать электрическое поле, применив
цилиндрическую систему координат г, <р и выбрав положе-
положение оси х так, чтобы потенциалы искомого поля в первом
приближении не зависели от переменной у
U=U(x, г).
Уравнение Лапласа в цилиндрической системе координат
имеет вид:
дх2
дг3
г дг
г3
E5.14)
Полагая здесь -
= 0, имеем для поля вращения:
дх? дг* г дг
Принимая во внимание, что
d*U _ U(x + hx, г) — 1Ц(х, r) + U(x — hr, r)
а* 4
U(x, r + hr)~ 2U(x, r) + U(x, r-hr)
dU ^ U(x, r + hr) — U(x, r — hr)
и подставляя эти выражения при hx = hr = h в уравнение
E5.14), получаем следующее уравнение в конечных раз-
разностях:
AU(x, r)=(i + JL
(x — h, r).
h) +
E5.15)
Очевидно, это уравнение отличается от E5.4) только попра-
поправочными членами —, которые желательно иметь достаточно
малыми, выбирая соответственно малые значения шага
сетки h.
В ряде случаев может оказаться целесообразным выбрать
разный шаг сетки по х и г. Так, например, вблизи оси вра-
вращения при малом г желательно иметь hr<.hx.
408
При этом уравнение E5.15) принимает вид:
(х-Г+К)+
X [U(x + hx, r) + U{x - hx, r)].
E5.16)
u=o
Дальнейший ход расчета аналогичен расчету плоского
поля методом сеток.
В качестве примера при-
применения метода сеток рассмо-
рассмотрим задачу расчета электро-
электростатического поля для кон-
конструкции, приведенной на
рис. 160. Цилиндрический
стержень с плоским торцом
радиуса rt и высотой ht пос-
поставлен в цилиндрический кол-
колпак радиуса г2 и высотой h2.
Оба цилиндра имеют общее
основание. Внешний цилиндр
и основание заземлены. Верх-
Верхняя часть внутреннего ци-
цилиндра высотой h\ заряжена
до потенциала U—1. Потенциал вдоль нижней части этого
цилиндра распределен по линейному закону от 1 до 0.
Подобная конструкция встречается в электростатических
генераторах Ван-Граффа.
Приведенный ниже численный расчет1'относится к случаю
г2 = 2г„ Л, = Зг„ Л; = г„ Ла = 4г,.
Для решения задачи воспользуемся формулой E5.15) в ко-
которой положим x = ih, r = kh; формула E5.15) перепишется
в виде:
II
<ъ
U=1
2г,
О)
I'll
-——— >.
1
Рис. 160
0 - i
где индекс L означает номер приближения.
Выберем шаг сетки Л равным Л = —-. Пе]
О
в распределении потенциала выберем следующим образом.
Выберем шаг сетки Л равным h — —. Первое приближение
О
1) Выполнен ииж. А. С. Кучеровым
409

Положим, что в торцовой части (между крышкой внешнего
цилиндра и торцем внутреннего цилиндра) поле равномерно.
В цилиндрический части примем распределение потенциала,
отвечающее случаю цилиндрического конденсатора
U
In
/
Значениями потенциала в области перехода цилиндриче-
цилиндрической части и торцовой зададимся произвольно. Полученная
картина распределения потенциала в первом приближении
приведена на рис. 161а.
Ч? / 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ft 15 16 17 18 19 20
О 0.20 0,40 0,60 OJSO WO
о о——-о -о о
О] 0.20 0,40 Off! 0,80
С О О О О
, 0] 0.20 0.40 0,60 0.80
020 0.40 0.60 0.80
О О О О
0\ 020 0.40 0.60 0S0
А О О О О
0.20 ($Q O.60 0,80
о о о о
0.18 0.30?4Со0.60
0,14 0,20 0,30 0,40
о о о о
о0,С7 оС,15 оС20о0,25
0,05 от ojo о,1з
0 0 0
№
ею
№
[да
0.74
0,51
ом
0J5
0
С
W
-О- 1
0,74
0.51
О
ом
0.15
О
Л/
0.74
0,51
ом
0.15
1.00 1.00
0,74 0.74
051 051
О О
к
р
051
О
ОМ 0.32 ОМ
j О О
Щ5 0.15
о* о
0.15
О
0.90
056
О
0.29
0.13
о
059
0.41
0.26
0.12
Ш-
0J0_
0.52 0.44
056
0,22
р
о0-'5
0,09
050_
ом
0,26
О
ре
0,07
D
0,40
С —
0,30
0X1
D
0,06
о
ш.
022
0,15
О
0,10
о
ой
о
ML
0.15
0.10
о
0,06
олз
о
е
ojo р
-0—6
0,07 W
0 О
0.05W
о у
олз h
о о
о о
Рис. 161а
Поскольку наименее точная картина распределения по-
потенциала имеет место в области перехода, прежде всего
уточним картину поля на этом участке. Для этого из всей
области вырезаем интересующий нас участок и последова-
последовательными приближениями по формуле E5.17) уточняем кар-
картину поля. Значения потенциала во втором, третьем и чет-
четвертом приближениях приведены на рис. 1616, в, г.
Следующие приближения вычисляем уже для всей обла-
области. Пятое и шестое приближения приведены на рис. 1б1д, е.
Поскольку шестое приближение практически не отличается
от пятого, расчет можно закончить на шестом приближении.
На рис. 161е приведена полученная картина эквипотенциаль-
эквипотенциальных линий.
410
wo
I
I
i
0620
0\
°\
о\
о\
о\
А
о о о
1 0,60 OJBO
э о
0J9 0.39 0,58 0.78 hoO
?18 ?35 0.52 0,72 [WO 1.00 уH
§,15 0,29 о0ЛЗ о0,56 о0.68 0,73 0,74
fill оп22 о0,31 рО о0,47 0.50 JS.51
0.07 0,14 020 0.26 0.29 ОМ 0.32
0D4 0.07 оО,Ю ОД 0,14 0,15 0.15
Рис. 161 б, в, г

0.15 0.28 o.V 055 0.68 0.72 m 0П 0.7 07? §SS J5S J.52 p5 037 030
?21 0$ 039 gfS 0.50 g5t 051 051 0.50 Ш C.U W 031 0.76 Oil 0.15
F &* P <F5 F F
0f7 от g# 0Л 0J5 0.15 015 0M Ш5 W Ш2 0I
0.15 0.28 o0.V 055 0.68 0.72 m 0П
Рис. 161 д
л 0 0 ? С й ? ^ 0 0 0
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Глава I
Уравнения электростатического поля
§ 1. Электрические заряды 9
§ 2. Закон Кулона и напряженность электростатического поля ... 12
§ 3. Простейшие примеры полей 15
§'4. Вектор электрического смещения. . 21
§ 5. Примеры применения теоремы Гаусса и постулата Максвелла . . 26
§ 6. Потенциал электростатического поля 32
§ 7. Уравнения Лапласа и Пуассона. Гармонические функции .... 38
§ 8. Криволинейные координаты 41
Глава II
Потенциалы основных распределений зарядов и их свойства
§ 9. Потенциал системы точечных зарядов 52
§ 10. Потенциал простого заряженного слоя 54
§ 11. Потенциал двойного заряженного слоя 59
§ 12. Потенциалы объемных зарядов и объемио-поляризованиой среды 66
§ 13. Формулировка электростатической задачи 72
Глава III
Энергия электростатического поля и уравнения Максвелла
§ 14. Энергия электростатического поля 74
§ 15. Потенциальные коэффициенты 79
§ 16. Емкости простейших систем проводников 86
§ 17. Механические силы, действующие на проводники в электро-
электростатическом поле 96
Глава IV
Решение электростатических задач по методу Грина
§ 18. Формулы Грина 105
§ 19. Основные свойства гармонических функций 114
§ 20. Функция Грииа . • 119
§ 21. Единственность решения электростатической задачи 124
§ 22. Решение задачи Дирихле для полупространства 128
§ 23. Решение задачи Дирихле для сферы 133
§ 24. Решение плоских электростатических задач по методу Грина . 140
413

Глава V
Использование методов теории функций комплексного
переменного при расчете плоских электростатическихдполей
§ 25. Некоторые элементы теории функций комплексного перемен-
переменного 148
§ 26. Аналитические и гармонические функции. Инвариантность урав-
уравнения Лапласа при конформных преобразованиях 151
§ 27. Комплексный потенциал плоского электростатического поля . . 153
§ 28. Связь между комплексными потенциалами конформио-отобра-
женных полей. Основная задача 158
§ 29. Метод заданного комплексного потенциала 161
§ 30. Отображение заданной области иа каноническую с помощью
комбинаций элементарных функций 170
§ 31. Интеграл Кристоффеля — Шварца 178
§ 32. Интегралы Шварца и Пуассона для некоторых канонических
областей 200
Глава Vi
Решение электростатических задач методом изображения
в плоскости, круге и сфере
§ 33. Метод изображения в плоскости 211
§ 34. Метод изображения в круге 220
§ 35. Метод изображения в сфере 235
§ 36. Поле шарого разрядника 246
Глава VII
Решение электростатических задач в случае зависимости
потенциала от одного параметра (метод Ламе)
§ 37. Условия применимости метода 259
§ 38. Поле, образованное заряженными софокусиыми эллипсоидами . 264
§ 39. Поле, образованное заряженными софокусиыми гиперболоидами 271
Глава VIII
Решение электростатических задач методом
разделения переменных
J 40. Метод разделения переменных 278
$ 41. Решение электростатических задач методом разделения пере-
переменных в декартовых координатах 287
> 42. Решение электростатических задач методом разделения пере-
переменных в цилиндрических координатах 296
> 43. Решение электростатических задач методом разделения пере-
переменных в сферических координатах 307
} 44. Решение плоских электростатических задач методом разделе-
разделения переменных в биполяриых координатах 316
( 45. Решение плоских электростатических задач методом разделе-
разделения переменных в эллиптических координатах 323
i 46. Решение плоских электростатических задач методом разделе-
разделения переменных в параболических координатах 326
«4
Глава IX
Применение интегральных уравнений для решения
электростатических задач
§ 47. Распределение зарядов на поверхностях раздела различных
сред (метод Г. А. Гринберга) 330
§ 48. Решение плоских электростатических задач в случае слоцстого
расположения сред 341
§ 49. Решение плоских электростатических задач для секторального
расположения сред 347
§ 50. Распределение электричества на тонких незамкнутых проводя-
проводящих поверхностях 357
Глава X
Приближенные и численные методы решения
электростатических задач
§ 51. Вариационные методы 3S9
§ 52. Метод Л. В. Канторовича 378
§ 53. Метод Треффтца • 386
§ 54. Приближенное определение емкостей по методу Хоу 6УУ
« 55. Метод сеток 400

Николай Николаевич Миролюбов,
Михаил Владимирович Костенко,
Михаил Львович Левинштейн
Николай Николаевич Тиходеев
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ
ПОЛЕЙ
Редактор Г. Е. Перковская
Художественный редактор И. Ф. Муликова
Технический редактор С. С. Горохова
Корректор Г. И. Кострикоеа
Сдано в набор 24/XI-62 г. Подписано к печати 27/IV-63 г.
Бумага 60х90'/1в 26 печ. л. 22,77 уч.-изд. л. Тираж 15000
Заказ Д-452 Т-04471 Изд. J4 ФМХ/28 Цена 78 коп.
Переплет № 5
Государственное издательство «Высшая школа»,
Москва, К-62, Подсосенский пер., 20
Типография «Татполиграф» Министерства культуры
ТАССР. Казань, Миславского, д. J* 9.