Е. Баранова, Н. Васильева, В. Федотов
Практическое пособие по высшей математике
Типовые расчеты 2-е издание
Допущено Научно-методическим советом по математике вузов Северо-Запада в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям 550000 «Технические науки»,
650000 «Техника и технологии»
ПИТЕР
Москва • Санкт-Петербург • Нижний Новгород • Воронеж Ростов-на-Дону • Екатеринбург - Самара - Новосибирск Киев • Харьков - Минск
2013


Баранова Е., Васильева Н., Федотов В.
Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты Учебное пособие. 2-е издание
Заведующий редакцией
Руководитель проекта
Ведущий редактор
Литературный редактор
Художник
Корректор
Верстка
А. Кривцов А. Юрченко Ю. Сергиенко
Н. Рощина Л. Адуевская Д. Абрамова
П. Быстров, Л. Егорова
ББК 22.1я7 УДК 51(075)
Баранова Е., Васильева Н., Федотов В.
Б24 Практическое пособие по высшей математике. Типовые расчеты: Учебное пособие. 2-е изд. — СПб.: Питер, 2013. — 400 с.: ил.
ISBN 978-5-496-00012-3
Учебное пособие по высшей математике для студентов и преподавателей технических и экономических вузов. Содержит справочный материал по разделам высшей математики, методические рекомендации по решению задач, типовые задания с подробными решениями и разбором характерных ошибок, варианты типовых заданий (типовых расчетов) по курсу высшей математики технического университета, выполнение которых является требованием образовательного стандарта. Студентам эта книга вполне заменит репетитора, а преподавателю сэкономит время на подготовку практических и домашних заданий. Второе издание учебного пособия дополнено материалами по числовым рядам, а также кратным, криволинейным и поверхностным интегралам.
Допущено научно-методическим советом по математике вузов Северо-Запада в качестве учебного пособия для студентов вузов, обучающихся по направлениям 550000 «Технические науки», 650000 «Техника и технологии».
Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.
Информация, содержащаяся в данной книге, получена из источников, рассматриваемых издательством как надежные. Тем не менее, имея в виду возможные человеческие или технические ошибки, издательство не может гарантировать абсолютную точность и полноту приводимых сведений и не несет ответственности за возможные ошибки, связанные с использованием книги.
ООО «Питер Пресс», 192102, Санкт-Петербург, ул. Андреевская (д. Волкова), 3, литер А, пом. 7Н. Налоговая льгота — общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, том 2; 95 3005 — литература учебная. Подписано в печать 21.11.12. Формат 70x100/16. Уел. п. л. 32,250. Тираж 2000. Заказ 6822.
Отпечатано по технологии CtP в ИПК ООО «Ленинградское издательство»
194044, Санкт-Петербург, ул.Менделеевская, д. 9 Телефон/факс: (812) 495-56-10.
ISBN 978-5-496-00012-3
© ООО Издательство «Питер», 2013


Оглавление
Предисловие 8
От издательства 8
Глава 1. Матрицы и определители 9
Матрицы. Действия с матрицами 9
Определители 11
Обратная матрица 14
Задачи для типовых расчетов 15
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений 25
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений 25
Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли 30
Однородные системы 32
Задачи для типовых расчетов 34
Глава 3. Элементы линейной алгебры 39
Линейные пространства 39
Базис и размерность линейного пространства 40
Линейные операторы. Матрица линейного оператора 42
Собственные числа и собственные векторы матрицы 45
Евклидово пространство 48
Квадратичные формы 50
Задачи для типовых расчетов 55
Глава 4. Векторная алгебра 63
Геометрическое изображение векторов в линейном пространстве R3 63


4
Оглавление
Линейные операции с направленными отрезками (векторами) 64
Компланарные векторы. Правая и левая тройки векторов 64
Модуль вектора. Направляющие косинусы 65
Коллинеарные векторы 66
Скалярное произведение векторов и его свойства 67
Векторное произведение векторов и его свойства 72
Смешанное произведение векторов и его свойства 76
Задачи для типовых расчетов 79
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости 87
Метод координат на плоскости 87
Линии на плоскости. Прямая на плоскости 87
Кривые второго порядка 93
Кривые в полярной системе координат 101
Кривые на плоскости, заданные в параметрическом виде 104
Задачи для типовых расчетов 106
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве 116
Метод координат в пространстве 116
Поверхности в пространстве. Плоскость 116
Исследование общего уравнения плоскости 121
Линии в пространстве 122
Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве 123
Взаимное расположение прямых. Приведение общего уравнения прямой к параметрическим и каноническим уравнениям 125
Взаимное расположение прямой и плоскости 127
Поверхности второго порядка 130
Задачи для типовых расчетов 133
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной 147
Окрестность точки 147
Определение предела функции 148
Односторонние пределы 150
Теоремы о пределах функции. Неопределенности 151
Вычисление пределов с помощью алгебраических преобразований 153
Два замечательных предела 157
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Главная часть 158
Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций 161


Оглавление
5
Непрерывность и точки разрыва функции 163
Задачи для типовых расчетов 167
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 181
Производная. Геометрический смысл производной 181
Дифференцируемая функция 182
Правила дифференцирования 184
Производные основных элементарных функций 185
Примеры вычисления производных 185
Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми 187
Дифференциал 188
Производные функций, заданных параметрически 191
Дифференцирование функций, заданных неявно 191
Вычисление дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала 192
Производные высших порядков 193
Дифференциалы высших порядков 196
Правило Лопитапя 197
Монотонные функции. Признаки монотонности 198
Исследование функций с помощью первой производной 199
Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба 202
Асимптоты графика функции 204
Построение графиков функций 206
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом
промежутке функции 208
Исследование функций с помощью производных высших порядков 209
Задачи для типовых расчетов 210
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной 230
Первообразная и неопределенный интеграл 230
Интегрирование методом замены переменной 232
Интегрирование по частям 233
Интегрирование простейших рациональных дробей 235
Интегрирование рациональных дробей 239
Интегрирование некоторых иррациональных выражений 241
Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций 243
Определенный интеграл 246
Геометрические приложения определенного интеграла 249


6
Оглавление
Несобственные интегралы 256
Задачи для типовых расчетов 260
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких
переменных 278
Метрическое пространство Rn 278
Окрестности точек в пространстве Rn. Классификация точек.
Открытые и замкнутые множества 279
Функции п переменных. Предел и непрерывность функции п переменных 280
Частные производные функции п переменных 282
Дифференцируемая функция п переменных. Условия
дифференцируемости. Дифференциал 286
Производная сложной функции. Полная производная 288
Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.
Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 290
Приближенные вычисления и оценка погрешностей 291
Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных 293
Дифференцирование неявных функций 297
Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений 299
Экстремум функции двух переменных 301
Экстремум функций п переменных 303
Условный экстремум 304
Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных 305
Задачи для типовых расчетов 309
Глава 11. Ряды 322
Числовой ряд. Сходимость числового ряда 322
Необходимый признак сходимости рядов. Свойства сходящихся рядов 323
Достаточные признаки сходимости положительных рядов 324
Знакопеременный ряд 328
Функциональный ряд и его область сходимости 331
Степенные ряды 332
Ряд Тейлора и ряд Маклорена 338
Задачи для типовых расчетов 341
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы . . . 353
Двойной интеграл в прямоугольных координатах 353
Двойной интеграл в полярных координатах 359


Оглавление
7
Механические приложения двойных интегралов 361
Тройной интеграл в прямоугольных координатах 362
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах 364
Приложения тройных интегралов 367
Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода) 369
Криволинейный интеграл по координатам (II рода) 371
Формула Грина 373
Приложения криволинейных интегралов 375
Поверхностный интеграл по площади поверхности (I рода) 377
Поверхностный интеграл по координатам (II рода) 378
Формула Стокса 383
Формула Остроградского — Гаусса 384
Приложения поверхностных интегралов 385
Задачи для типовых расчетов 387
Список рекомендуемой и использованной литературы 400


Предисловие
Под типовыми расчетами в вузовском курсе высшей математики принято понимать индивидуальные домашние задания большого объема, рассчитанные на выполнение в течение нескольких недель (как правило, на протяжении семестра студент выполняет 2-3 типовых расчета по каждой математической дисциплине). Обычно в них нет случайных задач, и каждое упражнение предназначено для закрепления стандартного вычислительного навыка. Каждый типовой расчет готовится преподавателем примерно в 30 вариантах, из-за чего их составление представляет собой трудоемкую методическую работу. Поэтому в большинстве старых вузов варианты типовых расчетов накапливаются десятилетиями и передаются из поколения в поколение. Массовыми тиражами они публикуются крайне редко.
В начале каждой главы приводятся методические указания по решению задач. Их ни в коем случае не следует воспринимать как учебный материал и использовать вместо лекционного курса. Скорее это справочник, в котором без доказательств даны формулировки изложенных на лекциях теорем и образцы типовых задач, при решении которых эти сведения уместно использовать.
В конце глав приводятся задачи для типовых расчетов по всему курсу высшей математики технического университета. За основу были взяты варианты задач, предлагаемых студентам Санкт-Петербургского государственного морского технического университета (больше известного как «Корабелка»), объем и глубина курса высшей математики в котором соответствуют среднероссийскому уровню технического университета.
Авторы надеются, что наша книга окажется весьма полезной для студента любого технического университета. Найдя нужный образец, по аналогии с ним студент сможет решить и задачу из своего домашнего задания.
Еще более эффективно сможет использовать нашу книгу преподаватель. Так как каждая задача дана в тридцати вариантах, то достаточно закрепить за студентами номера вариантов и перечислить список задач очередного типового расчета.
Чтобы не порождать списывание, мы намеренно не стали помещать в книге ответы к вариантам задач. Однако они у авторов есть. По договоренности с вузами, которые будут использовать нашу книгу, мы сможем передать ответы на соответствующие кафедры.
От издательства
Ваши замечания, предложения и вопросы отправляйте по адресу электронной почты comp@piter.com (издательство «Питер», компьютерная редакция).
Мы будем рады узнать ваше мнение!
Подробную информацию о наших книгах вы найдете на веб-сайте издательства: http://www.piter.com.


ГЛАВА 1 Матрицы и определители
Матрицы. Действия с матрицами
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел. Если она содержит т строк и п столбцов, то таблица называется матрицей размерностью тх п. Матрицы записывают в виде
ап
а\2
••
А =
а2\
а22
•• а2п
к,ат\
ат2 •
•• «mj
обозначая через a{j ее элемент, находящийся в г-й строке и в j-м столбце. Если это важно, то размерность матрицы указывают в ее названии: Атхп. Иногда для матриц используют обозначение А ={Яу}, г = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, rt.
Если число строк матрицы равно числу ее столбцов (т = п), то она называется квадратной матрицей п-го порядка. Элементы квадратной матрицы, для которых i = 7, называются диагональными, а диагональ матрицы, на которой они находятся, — главной диагональю этой матрицы.
Виды квадратных матриц
Приведем примеры квадратных матриц различных видов:
1. Верхняя треугольная 2. Нижняя треугольная
аи
0
а12 а22 *
«1»
• а2п
ап
а2\
0 .
а22
.. 0 " .. 0
S
О •
0 .
^пп у
кап\
ап2 •
• * апп ;
3. Диагональная 4. Единичная
0 .
.. 0 '
"1
0 ..
.. (Г
0
а22 •
.. 0
Е =
0
1
.. 0
0 .
у
0 ..
• 1,


10
Глава 1. Матрицы и определители
Операция транспонирование матриц
Замена каждой строки матрицы А ее столбцом называется транспонированием. Транспонированная по отношению к матрице А матрица обозначается АТ.
Если задана матрица
4i
fl12
А =
Й21
Я22
• а2п
Лш2 •
• * атп у
то ее транспонированная матрица имеет вид
а2\
н
II
fl12
а22 •
•• °т2
^1и
fl2n •
атп ,
Линейные операции над матрицами
Суммой матриц Атхп и Втхп называется матрица Стхп, элементы которой вычисляются по формуле
Су =atj +bijt i = 1, 2, т, j = 1, 2, п.
Для суммы матриц используют обозначение А + В = С.
Произведением матрицы Атхп на число а называется матрица Стхп, элементы которой вычисляются по формуле
Су 1 = 1, 2, ..., т, j = 1, 2, ..., гг.
Для произведения матрицы на число используют обозначение а А = С.
Пример 1.1. Вычислить линейную комбинацию 2А + В матриц
2
3
3"
( 1
-3
(Г
А =
1
0
-4
и В =
-1
2
2
1-з
1
ч1
-1
5J
Решение:
''-г
3
3"
Г 1
-3
0"
Г-4
6
( 1
-3
0"
'-3
3
6"
2Л + 5 = 2 •
1
0
-4
+
-1
2
2
=
2
0
-8
+
-1
2
2
=
1
2
-6
1-3
1
"ij
le
-1
sj
1-6
2
~2J
1б
-1
sj
,0
1
3j
Умножение матриц
Произведением матрицы Атх1 на матрицу В1хп называется матрица Стхп, элементы которой вычисляются по формуле
/
са =ZaiA> * = t 2, т, j = 1, 2 и.
k=\
Для произведения матриц используют обозначение А В = С.


Определители
11
ЗАМЕЧАНИЕ 1.1 Произведение матриц определено только в том случае, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведение матриц содержит столько строк, сколько имеет первая матрица, и столько столбцов, сколько имеет вторая матрица.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.2 Из определения умножения матриц следует, что элемент Су в матрице С является суммой произведений соответствующих элементов г-й строки матрицы А и j-то столбца матрицы В. На рис. 1.1 схематично показано получение элемента сп в произведении матриц.
Пример 1.2. Найти произведение матриц
'2 О Л А= -1 -2 , В =
-2 3
4 -1
в том порядке, в котором оно определено.
Решение: для заданных матриц определено только произведение А • В:
А-В =
г 2 (Р -1 -2 3 -5
г -2 3
;4 -1
2 • (-2) + 0-4 2 - 3+0(-1) ^
-1 • (-2) + (-2)• 4 -1- 3-2 (-1)
3 (-2)-5-4 3- 3-5 (-1)
f -4 6Л : -6 -1 -26 14,
ЗАМЕЧАНИЕ 1.3 В общем случае А В ф В • Л, даже если оба произведения матриц, А • В и В' А, определены. Матрицы, для которых выполняется условие А - В = В- Л, называются коммутативными.
Определители
Каждой квадратной матрице А можно поставить в соответствие число, которое называется ее определителем и обозначается |Л| или det А. Определитель матрицы второго порядка
^ _ «п «12 ^
ч«21 а22 J
(определитель второго порядка) вычисляется по правилу, показанному на рис. 1.2.
I А I = det А
«11«22 ~ 021^12
Рис. 1.2


12
Глава 1. Матрицы и определители
Определитель квадратной матрицы третьего порядка (определитель третьего по- рядка)
fа\\
аУ1
а\з
А =
а2\
а22
а23
^ЗХ
а32
азз )
вычисляется через ее элементы по следующей формуле:
flj ■
а0
|А | = det А =
гп
а\2
со
sT
12\
а22
а23
— ^\\^22а33 + а\2а23а3\ а\3а2\а32
13\
а32
азз
С1оЛ Clno О/* О flqn Clnr> CL\ 1
Схематично правило вычисления определителя третьего порядка показано на рис. 1.3.
А = I Л I =
Рис. 1.3
Определитель квадратной матрицы п-то порядка (п > 4) вычисляется с использованием свойств определителей.
а\\
а12
а\3
Хм 0^0
Кз
а21
а22
а23
=
a2i
^3
а31
а32
а33
Ц&2^
Основные свойства определителей
Определители матриц имеют следующие основные свойства:
1. Определитель не меняется при транспонировании матрицы.
2. Если в определителе поменять местами две строки (или столбца), то определитель поменяет знак.
3. Определитель с двумя пропорциональными (в частности, равными) строками (столбцами) равен нулю.
4. Если в определителе строка (или столбец) состоит из нулей, то определитель равен нулю.
5. Общий множитель у элементов какой-либо строки (или столбца) можно вынести за знак определителя.
6. Определитель не изменится, если ко всем элементам одной строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
7. Определитель диагональной и треугольной (верхней и нижней) матриц равен произведению диагональных элементов.
8. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей.


Определители
13
Минором элемента atJ определителя называется определитель, который получится из данного вычеркиванием г-й строки и 7-го столбца. Для минора используют обозначение Л„.
Алгебраическим дополнением At] элемента atJ в определителе называется число, которое вычисляется по правилу Л,, = (-1)'+; А,;, где Л„ — соответствующий минор.
Например, в определителе
3 -1-1
-3 1 5
2-2 4
минором и алгебраическим дополнением для элемента а,п будут числа
^21 —
-1 -1 -2 4
= -4 -2 = -6 и Л21 =(-1)2+1(-6) = 6.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.4 При выборе знака перед минором в алгебраическом дополнении нужно руководствоваться следующим правилом:
Теорема разложения. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Теорема разложения позволяет вычислять определитель любого порядка. Особенно удобно пользоваться ею, если предварительно преобразовать определитель так, чтобы в каких-то строке или столбце все элементы, кроме одного, равнялись нулю. Такой определитель будет равен ненулевому элементу этих строки или столбца, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Пример 1.3. Вычислить определитель
12-12
2-113 -1 -3-2 4'
3-4-3 6
Решение: прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей — первую, к четвертой — первую, умноженную на (-3). После этого все элементы первого столбца, кроме первого элемента, будут равны нулю. Применяя теорему разложения к этому столбцу, понизим порядок определителя:
1
2
-1
2
(-2Н-3)
1
2 -1
2
2
-1
1
3
J
0
-5 3
-1
-5 3 -1
=
—
-1 -3 6
-1
-3
-2
4
0
-1 -3
6
-10 0 0
3
-4
-3
6
<
0
-10 0
0


14
Глава 1. Матрицы и определители
Применяя теорему разложения к последней строке полученного определителя третьего порядка, получим:
-5
3
-1
3 -1 -3 6
-1
-3
6
= -10-
-10
0
0
= -10 (18-3) = -150.
Обратная матрица
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля.
Пусть А — квадратная невырожденная матрица п-то порядка. Обратной матрицей Л"1 для матрицы А называется матрица, для которой справедливо равенство
Л-Л"1 =Л1 Л = £,
где Е — единичная матрица.
ЗАМЕЧАНИЕ 1.5 Матрицы Л и Л 1 — коммутативные.
Обратная матрица Л"1 определена только для квадратных невырожденных матриц и вычисляется по формуле
л-1=ист>
где | Л| — определитель матрицы Л, а матрица С (союзная матрица) получается из матрицы Л заменой всех ее элементов соответствующими им алгебраическими дополнениями.
Пример 1.4. Найти матрицу, обратную матрице
г-2 2 -3^
Л= 2-12
3-13
Решение: определитель матрицы | Л | = -1*0. Вычислим алгебраические дополнения для ее элементов и составим союзную матрицу:
= 1;
-1
2
2
2
2
-1
—
II
1
>
го
II
1
II
О
>
со
II
-1
3
3
3
3
-1
21
2 -3
2
-3
-2 2
"
-1 3
— 3, ^22
3
3
— 3; Л23 —
3 -1
= 4;
2 -3
со
1
CN
1
1
to
ю
-1 2
— 1; -^32 —
2 2
— 2; Л33 —
2 -1
= -2.


Задачи для типовых расчетов
15
Составим союзную матрицу:
Г-1
0
1'
Г-1
-3
1 '
с =
-3
3
4
; Ст =
0
3
-2
■
И
-2
-2J
И
4
-2J
Обратная матрица будет равна
Проверка: А-А =
А =
' 1 3 -Г|
0-3 2 -1 -4 2
1
to
2
-3"
2
-1
2
СО
-1
N
со
' 1 3-1
0-3 2 -1 -4 2
\
f1
0
0N
=
0
1
0
У
1о
0
V
= Е.
Задачи для типовых расчетов
Задача 1.1. Вычислите определитель.
-1 6 5 1
1.
3.
5.
-2 8 6 2 2 16 7 3
-3 9 3 4
-5 6 10 6 -9 8 8 5 -8 5 9 5
-11 7 7 4
6 8-9 -12
4 6-6-9
-3-4 6 8
-2-3 4 6
-3
-5
4
7
3
-3
-5
8
9 3 6
8 2 7
-5 -3 -2 -8 -4 -5
-5 2 -4
4-5 3
7-7 5
-8 5 -6
2.
4.
6.
8.
10.
5
62
-79 4
0
2
3 0
6
183
201 5
0
3
4 0
9
7
9 7
8
6
8 6
-9
-7
9 7 ‘
-8
-6
8 6
2
-5
1 2
-3
7
-1 4
5
-9
2 7
4
-6
1 2
2
-5
4 3
3
-4
7 5
4
-9
8 5
-3
2
-5 3
7 6 3 7 3 5 7 2 5 4 3 5 5 6 5 4


16
Глава 1. Матрицы и определители
11.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
13.
3
-3 2 -5
-4 3
1 2
-3 -5 8
2 4-6
-7 5
5 -6
-1 1
2-101 -11-2 2
1 4
-1 3
-5 8
1 1 1 2 2 7
3 -2-2 0
10-11
4 3-12 2 12-1 3 1-11 12 12 2 113 12 14 112 5 1116 2-110
2 0 3 -1
3-123
3 16 1
1 22 12 4
-1 4
2
-3
5
-3
2
4
16 9
-9 7
-5 1
-6 1
3 1 7 3 3 4 2 7 -1 4 2 2
0-2-2 1 3 5 7 2
7 6 3 7
5 6 5 4
12.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
14.
16.
3
9
5
6 1 3 2
-5
1
2
3
4 1 2 2 -1 2 4
-3
-5
6
5 5 4 -1
3
4
-3
9
4
9
-8
1
3
-1
1
1
2 2 2 -8 5 10 -8 5 8
-5 4 7 -1 2 4-10 1 3 1
0 1 -2 2 3 4 2 1 4 13 3'
4 3 4
1 3 2 -3 1 2
2 4 4'
1 5 3
2 -3 -3
6 -6 -9
-4 6 8
-7 10 14
6 10 -5 8 8-9
5 9-8
7 7 -11
2 -2
7
-4 -9 8
2 -5
7
3
7
9
4
-9
-6 8 3 0 1
3 1 2
1 -2 2
4 1 1
-1
5
5 3 7 3
-7
6


Задачи для типовых расчетов
17
1
1
2
2
2
3
1
-1
2
-3
1
2
30.
7
8
2
-5
1
1
3
2
0
-2
-2
3
-1
1
5
3
1
0
-1
1
29.
Задача 1.2. Даны матрицы А и В. Найдите матрицу С.
1. А =
5 Г
, в =
'-7
10
4]
-5
, С = В-2АТ
00
СО
1
CN
16 J
2. А =
3. А =
4. Л =
5. А =
6. Л =
'4 1 3"|
0-12
ч2 1 -1у
1 -1 3
2 1 0 1 1 -1
, С = (ЗА)Т-В.
J
5 -2\ 4 3
0 2
, В =
-4 -1 5
v
2 3 5
-1 2 -4
, в =
2 3 -1
'1 -2 -1Л
, С = А + Вт.
4 3
С =2А + ЗВ.
/
3 О' -2 1
1 зу
2 -4Л
3 7 6 -1
, В =
, в =
4 1 -3 1 2 1
, С=АТ -Вт.
4 0 Г 6 1 -3
' 3
1
0"
"0
-1
3"
7. А =
-2
-1
4
, в =
2
-1
4
[7
2
,4
6
У
С = 2А-ВТ.
, С = (2В)Т + А.
8. А =
"3
2"
"-2
4"
6
-4
, 5 =
6
,7
5
1.
\
1-з
*J
'7
-4"
(-1
4)
9. А =
0
-3
, в =
-1
2
I1
2J
У
, С=А-В\
, С = ЗВ-2А.
10. А =
"6 1
-3"
, в =
"7
з г
=
12 -1
oj
,"5
1 4,
, С =АТ +ВТ


18
Глава 1. Матрицы и определители
11. А =
12. А =
13. А =
14. А =
r-2 1 -5 4 3-2
-4 2 -1' -1 0 -2 3 1 О
В =
В =
5 П 3 О -4 -2
, С =2В-Ат.
0-2 Г 5 1 3
2 0-1
, С = (2А)Т-В.
-4 3' 2 1 О 1
, в =
-7 1 -2
1 3 2
{-2
3
4 >
"7 1
0"
—
, В =
,-1
2
"5J
1“3 2
lj
CN
1
1'
(1 1"|
15. Л =
5
-7
, в =
т-Ч
1
CN
1
И
со
О
СО
4
-3
2"
"6
1
-2N
16. А =
1
0
3
, В =
4
СО
2
I9
7
со
1
1-8
со
1
2 J
17. Л =
3 -1 6 8 -2 3
\
"-2
1 0N
, 5 =
У
,-7
1 -2,
"4
1
-зл
f-1
8
Н-ь
0°
II
2
0
5
, В =
0
3
0
1°
-4
3J
1-2
1
lj
, С = ЗД + ВТ.
, С =2А- 3B.
, С=2АТ-ВТ.
, С = АЕ + Вт
, С=А-2В\
, С = ЗА-В.
19. А =
r-2
41
^6
м
l
, в =
-3
2
-3
7
2.
V
/
[о
-у
"9
-10
"6
-2"|
II
о
CN
7
СО
1
, в =
1
СО
1
[о
N
CN
1
00
-1J
21. Л =
2
Г
, 5 =
' 9 -8 7 N
3
1,
1-6 5 -4j
СО
4
1
to
(6
1
2"
22. Л =
1
0
СО
1
, в =
со
1
1
4
,-7
5
0
12
-1
V
, С = 2А + В\
, С = Л-35.
, С = АТ+2ВТ. , С = А-BE.


Задачи для типовых расчетов
19
23. Л =
-4 0 5
-6 -2 1
\
Гб
_11
, В =
3
2
, С = ЗВ-АТ
J
И
-aJ
f 1
-3
п
"6
1
3"
II
CN
0
2
1
, в =
4
-2
1
1-4
5
-aJ
1о
1
У
25. Л =
-6 1Л О -2
В =
6 1-3
-2 0 1
, С = А + (2В)\
С -АА + Вт.
26. А =
27. А =
"-2
О
со
, в =
"7 -3
Г
=
,-4
-2 -lj
1-1 2
V
, С = ЗА + 2В.
"-3
1"
f 3 7 >
5
-7
, 5 =
-1 -2
, C = Ar-2BT
-4J
I4 °J
' 3
-4
°]
r i
2 3")
II
00
CN
-2
0
1
II
oq
-i
CO
1
CN
1
16
7
1
Ol
4
CO
1 0 J
, С = АГ + ВЕ.
29. Л =
"-3 6"
-2 1 4
7 1
, 5 =
-3 2 1
1-2 3j
\ /
, С = АТ-ЗВ.
r-A
0
2>
r6
1
3"
II
о
со
-6
1
0
, B =
-2
1
0
-3
lj
I 1
-4
V
, С = 2А +В.
Задача 1.3. Найдите произведение матриц А В. Существует ли произведение В • Л? Почему?
1. Л =(1 -1 2 3),В =
/1 2л 3 6 5 -1 1 -3
2Л =
l
-1
Г
(
2
1
0
,B =
5
7
1
u
4
3j
V
5 -1 2 1ч 2 2 0 1 1-15 4
3. Л =
"2
0N
Г-1
l
n
ri
i\
'-2 3
0
1Л
1
-1
\>B =
4. Л =
1
0
l
,B =
l
3
, 1 1
2
-lj
-1
2
\
0
1
-i
i
2,
I 1
CO
\
\
У


20
Глава 1. Матрицы и определители
5. А =
1 2 1 1
ч0 1у
,в =
'3 2 О 5 1 1,
6. А =
7. Л =
5 -1 3 1
2 0-14
,5 =
/-1 3 04 -2 1 1
3 0-2
4 1 2
8. Л =
2
0N
1
-1
"-2 3 0 Г
, S =
-1
2
1
CN
т-Н
тН
1
3j
|Т
2
,в =
= (3 2
: 1).
3
9. Л =
(\
5
З''
ri
г\ 2
"3 2
2^
3
4N
,в =
6
8
2
10. Л =
f
,в =
1
1
[2 1
-2
3j
1
1з
2
0
-1
lj
,5 1
lj
1°
lj
И. Л =
3 2 12
4 113
,В =
'3 4' 2 1 1 1 2 3
12. Л =
"3
1
f|
ri
1
-r
2
1
2
,B =
2
-1
1
I1
2
3j
,1
0
13. Л = (5 1 О -3),В =
'2
0"
r3
"2 1
1
-4
Г
14. Л =
,B =
2
1
3
1
,3 0
lj
1
0
lo
~h
V
/
15. Л =
1
2
3]
f 1
1
1
n
"1 1 1
' 1
1N
1'
-3
5
-2
3
1
,B =
2
3
-2
3
. 16. Л =
,B =
k 4
1 2 1
-2,
3
-5
2
4y
-2
-1
5
-2,
/
V
J
\
J
<-1
К
"2
1
1]
'2N
"3
Г
17. Л =
1
2
1
,B =
-1
II
00
2
1
,5
I1
1
2j
J
oj
^2 1 1ч 3 0 1
"2
4
1
to
f)
f1
2
3N
'-1 -2
-4"
19. Л=(1 2 -1),B =
1
2
1
2
20. Л =
2
4
6
,5 =
-1 -2
-4
1з
1
-3
*J
CO
6
9j
,1 2
4J
21. Л =
^ Зл 1 -1
, В = (4 0 -2 3 1).
22. А =
1
CO
1
2"
'2
5
6N
CO
-4
1
,B =
1
2
5
I2
1
cn
3J
,1
3
2j


Задачи для типовых расчетов
21
23. А =
3]
' 6 ^
'2
4 ^
f5
0
2
0 3"
-2
24. Л =
2
,в =
0
1
4
1
5
3
,в =
7
, 1 1
-2 0,
1
-1
3
1
-1
2
V
/
V
У
И,
,1
lj
25. А =
1 2 -3 4 О 1
,В =
27. Л =
-1 2 0 3'
12-11
3 12'
-13 0
,В =
26. А =(1 2 3 4), В =
2
4
1
ч-Ъ
29. Л =
-7 2 3 -1'
3 14 2
4 -2 5-3
1
4
2"
0
-1
1
6
1
-1
2
1
К
( 3
-2
4 ^
>
1
2
-3
1 =
-4
3
2
U
2
1J
28. А =
/3 4Л 2 1 1 1
\2 Зу
,В =
3 2 12'
4 113
30. Л =
"1
2
3"
(2 -5"
2
1
2
,в =
1 2
1
,3 -А)
Задача 1.4. Найдите обратную матрицу для матрицы А. Сделайте проверку. '-2 3 i\
1. А =
3. А =
5. Л =
7. Л =
9. А =
И. А =
3 1
1 -3
-2 7 3
\
2
1
-1
V
'4
V
'1 1
6 2 2 1
/
2
2 -4
2 3^1
-1 0 2 1
/
-8 -54 -4 7 -1 3 5 1
О 2 -3 1
4 1 -5
12 2 2 1 -2 2 -2 1
4. Л
6. Л =
8. Л =
10. Л =
12. Л =
2 2 -1л
2-12 -12 2
r2 1 -1л
3 1 -2 ,10 1,
^1 2 -Зч 0 1 2
1 0 4
✓
1 2 1
4 3-2
v“5 -4 -1,
f 2 -1 0Л
5 3-6
-1-2 3
2 1 1N 0 2 1 3 1 2


22
Глава 1. Матрицы и определители
13. Л =
15. А =
17. А =
19. А =
21. А =
23. Л =
25. Л =
27. А =
29. А =
1 2 0Л 4 5 1
3 1 1
У
4 -8 -5^1
-4 7 -1
ч-3 5 1
^1 2 3~\
2 3 4
1 4 3
У
1 -2 3N
-3 7 2
-1 2 -4 10 П 3 1 -2
2 1 -1
/
1 -Л -1 2 0 1
2 1 Зч 1 0 1 1 2 2
3
9 5
4 3
\
^3
2
1
1 2N -2 2 1 3
14. Л =
16. Л =
18. Л =
20. Л =
22. Л =
24. Л =
26. Л =
28. Л =
30. Л =
/3
2
v3
г2
3
V*
/3
1
ч2
1
2
-3
-4 5N
-3 1
-5 -1 7 3>
9 4 5 3,
2 1N -2 1 2 з
0 Л
1 О
2 4
(5
3
-6"
2
-1
0
1-1
-2
3J
' 4
-4
-3"
-8
7
5
1-5
-1
U
'4
5
Г
1
2
0
1з
1
lj
'1
2
Г
2
3
4
1з
4
3J
' 3
2
3"
-4
-3
-5
,5
1
-1,
Задача 1.5. Найдите ранг матрицы.
1.
3.
1
1
1
Г
'2
-1
3
-2
4
1
2
1
2
2.
4
-2
5
1
7
3
1
3
1
2
-1
1
8
2
0
1
1
о,
V
'1
3
5
-Г
2
1
4
5"
2
-1
-3
4
1
0
1
2
4.
5
1
-1
7
1
2
4
0
/
J
7
9
1,


Задачи для типовых расчетов
23
Г1
3
-1
2"
Г1
1
-1
2N
5.
2
-1
3
5
6.
2
-1
1
5
1*
10
-6
lj
ь
10
-6
1
У
"3
-1
3
2
5 ^
°
-3
со
_31
5
СО
1
2
3
4
8.
1
0
1
3
1
со
1
-5
0
-7
-2
2
-4
-2J
J
1
СЛ
1
4
К
V
У
(\
2
3
4
5 1
41
'2
-1
3
-2
2
3
1
-1
-1
10.
1
4
-2
5
7
1
3
8
13
16
-1
1
8
.2
2,
ь
0
-7
-14
-17;
V
У
ГЗ
"1
со
5
-Г
2
-1
-3'
2
-1
-3
4
2
-1
3
0
12.
5
1
-1
7
4
5
Ю
1
-6
V
У
J
7
9
1,
Г4
3 -5
2
3"
гз
1
1
4"
8
6 -7
4
2
10
1
14.
0
4
4
3 -8
2
7
1
17
7
3
4
3 1
2
-5
,2
2
4
3,
,8
6 -1
4
-6J
\
/
Г2
5]
{2 3
1
4
_11
-4
3
-3
3 1
2
1
-2
1
5
3
16.
1 2
3
-1
1
-2
4
-34
0,
\
/
Л -4
-7
5,
ГЗ
1
1 41
/ л
2
3
Г
2
4
10 1
-3
1
—^
18.
1
7
17 3
1
9
8
г
,2
2
со
V
-12
-7
€
г3
4
-1 5
-2Л
'1
2
-1
Г
1
5
-2 :
3
4
5
1
2
1
2
-1
1 2
3
20.
4
-1
3
0
3
-7
4 1
-7
3
-3
4
-1,
1о
11
-5 -
1
-4;
У


24
Глава 1. Матрицы и определители
21.
29.
1 3 1
2 1 1
3 -11 -1
1 12 2
г\ -2
23.
3
1
25.
27.
-1 -1 -1 3 -10
3 2-4 3 2 1-3-1 13 0-1 10-2-5 0 3 2 4
2 5-1
-3121
4 16- 3 0
2 О 5 2
-Зч 1
19 -16.
-1 -1'
0 -2 -1 1
1 3
ч-2
/-3
-1
6
-3
22.
24.
^4 3 -1 Р 2 1-33 111-1 6 5 1-1,
0 4 10 1Л
4 8 18 7
10 18 40 17
1 7 17 3
"1
-3
5 1
S"
1
-3
1
1
26.
1
-3
13 16
-3
9 11,
У
1 3"
' 1
0
4
-1
) 1
2
1
11
2
1 -1
ZO.
11
4
56
5
^ -9,
,2
-1
5
-(
1 4
\
1
1 f
3 5
1
2
1 1
30.
1
1
00
1
1
3 1
4 15,
,1
2 -
-1 lj


ГЛАВА 2 Системы линейных алгебраических уравнений
Система т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными записывается в виде
апхх
+ а^х2 ■
■+а1пХп
К
а<2^х j
+ «22-^2 * •
•+ а2пХп =
ь2;
.«„л
+ ат2Х2 +•
••+«ил =
=к
где через a{j обозначен коэффициент при неизвестном Xj в г-м уравнении системы (i = l, 2, /и; 7 = 1, 2, ..., ri);xv х2У ..., хп — неизвестные; а числа Ьь Ь2,
Ьт называются свободными членами.
Таблица коэффициентов при неизвестных называется матрицей системы
А =
\ат\ ат2
'х.'
столбец X =
— столбцом неизвестных, а столбец В =
А./
— столбцом сво¬
бодных членов. Если т = гг, то определитель матрицы системы Л обозначается чаще всего через А =| Л | = det Л и называется определителем системы.
Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Основными методами решения систем линейных алгебраических уравнений являются метод Крамера, матричный метод и метод Гаусса. Первые два метода применимы только для решения систем с квадратной невырожденной матрицей. Методом Гаусса можно решать любую систему линейных алгебраических уравнений.


26
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений
Формулы Крамера
Если определитель А системы п линейных алгебраических уравнений с п неизвестными
*
+ а^2х2 +..
•+ а\пХп
II
#21*^ 1
+ а22х2 +•
.. + а2пхп
CN
II
.«.Л
+ а„2Х2 +•
■■+а„пхп
=к
отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам
- V
- _2_-
=-
где
А =
CL\ \ &л <
#21 #22
2п
*О
— определитель системы, а А; — вспомогательные определители, которые получаются из определителя А заменой столбца из коэффициентов при Xj столбцом свободных членов:
д, =
а* * av
ап\ ап2
a\,j-\ a\,j+l
a2,j-\ ^2 a2,j+\
“nj-i
j = 1, 2, ..., n.
Эти формулы называются формулами Крамера.
Пример 2.1. Решить систему линейных алгебраических уравнений
хх +х2 +х3 = 3;
< 2xt ~ х2 +х3 =2;
-Зх{ + 2х2 + х3 = 0,
используя формулы Крамера.
Решение: определитель системы равен
А =
1 1 1
2 -1 1
-3 2 1
(-2) • (3)
1
1
1
0
СО
1
-1
0
5
4
=-7.
Вычислим вспомогательные определители:


Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
27
3
1
1
1
3
1
1
1
3
А, =
2
-1
1
II
1
>
II
2
2
1
II
1
>
со
II
2
-1
2
0
2
1
-3
0
1
-3
2
0
= -7.
-7 -7 -7
По формулам Крамера найдем: xt = — = 1, х2 = — = 1, лг3 = — = 1.
Матричный метод
Систему я линейных алгебраических уравнений с п неизвестными можно записать в виде матричного уравнения:
где
А =
АХ=В,
ап аХ2
«21 ^22
2п
— матрица системы; Х =
М
Г ЬА
ДГ2
— столбец неизвестных; В =
^2
Л;
а,
— столбец свободных членов.
Если матрица А невырожденная, то решение системы линейных алгебраических уравнений определяется по формуле
Х=А{В,
где Л"1 — обратная матрица.
Пример 2.2. Решить матричным методом систему линейных алгебраических урав¬
нении
х{ +х2 +2х3 =2; Зх{ +2х2 +хъ =2; -х{ -х2 + Ах3 = 4.
Решение: матрица системы
А =
1 12 3 2 1
-1 -1 4
м
'2Л
столбец неизвестных X -
х2
и столбец свободных членов В =
2
W


28
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений
Определитель матрицы А равен | А | = -6 ф 0. Обратная матрица
9 -6 -3)
А~'=Л
6
-13 6 5
-1 0 -1
' 9 -6 -3"
'2>
f Ч
-13 6 5
2
1
о
6
=
-1
1
Н-ь-
О
1
К-*-
О
l-ej
и,
Теперь можно получить решение системы в матричном виде:
* = -!
6
Следовательно, хх = 1, х2 = -1, х3 = 1.
Решение матричных уравнений
Иногда требуется решить матричное уравнение вида
Х-А = В.
Если А — квадратная невырожденная матрица, то решение этого уравнения имеет вид
Х = ВА\
где Л"1 — обратная к А матрица.
Пример 2.3. Решить матричное уравнение X • А = Д где А =
f 2 -3N
'1 4n
—
,в =
со
1
Ь -2,
Решение: решением этого матричного уравнения является матрица Х2х2, которая определяется по формуле X = В-А~1.
Поскольку Л "1 =
Проверка:
-3"
, тоХ =
'1
4"
г-4
-3"
Мб -If
=
-2j
,2
-V
,-з
-2J
CN
1
CN
1
(-16 -If]
r 2 -3"
fl 4^1
CN
1
CN
1
,-3 4,
CN
1
CN
Метод Гаусса
Рассмотрим систему т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными
'апхх +а12х2 + ... +аихп =Ь{; а2\Хi а22х2 . . . -I- а2пхп — ^2*


Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
29
Матрица системы, к которой присоединен столбец свободных членов, называется расширенной матрицей системы:
хх х2
В =
Гап ап а2\ а22
Ят\ ат2
а1п
а2п
Элементарными преобразованиями в расширенной матрице называются преобразования, которые не меняют множество решений системы. Для обозначения элементарного преобразования используют знак ~.
Элементарные преобразования в расширенной матрице
Элементарными преобразованиями в расширенной матрице являются:
1) перемена местами строк;
2) перемена местами столбцов с запоминанием, какому неизвестному соответствует каждый столбец;
3) умножение (деление) строки на число, отличное от нуля;
4) прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на одно и то же число;
5) вычеркивание одной из двух пропорциональных (равных) строк;
6) вычеркивание нулевой строки.
Пример 2.4. Решить методом Гаусса систему уравнений
хх +х2 +х3 =6;
< -2хх ~х2 + 4г3 =8;
Ъхх +2х2 -х3 = 4.
Решение:
1-й шаг — формирование первого столбца.
Первую строку расширенной матрицы умножим на 2 и прибавим ко второй строке, также первую строку умножим на (-3) и прибавим к третьей строке расширенной матрицы. После этого все элементы первого столбца матрицы, кроме первого, окажутся равными нулю:
хх х2 х3 х{ х2 х3
г
1
1
1
Л
6
1
От-^
3)
г
1
1
1
Л
6
-2
-1
4
8
~
0
1
6
20
3
V
2
-1
4
У
<
0
V
-1
-4
-14
J


30
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений
2-й шаг — формирование второго столбца.
Вторую строку, умноженную на -1, прибавим к первой строке, вторую строку прибавим к третьей строке расширенной матрицы. После этого все элементы второго столбца матрицы, кроме диагонального, окажутся равными нулю:
Х\ *2 X3
Х\ *2 X.3
Г1
1
1
6]
г
1
0
-5
-14
* 1
0
1
6
20
(1)(-1)~
0
1
6
20
0
V
-1
-4
-14
У
0
V
0
2
6
J
3-й шаг — формирование третьего столбца.
Третью строку разделим на 2, чтобы ее диагональный элемент равнялся единице. После этого третью строку, умноженную на -6, прибавим ко второй и третью строку, умноженную на 5, прибавим к первой строке:
Х\ х2 х3
Х\ Х2 Х3
Х\ Х2 х3
г
1
0
-5
л
-14
г
1
0
-5
л
-14
г
1
0
0
л
1
0
1
6
20
~
0
1
6
20
*1
<-б»<:
~
0
1
0
2
0
V
0
2
6
:(2)
0
V
0
1
3
J
5)
0
ч.
0
1
3
У
Система, которая соответствует полученной расширенной матрице, имеет вид
*i = 1;
х2 =2; ж3 =3,
и решение ее очевидно.
Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
Минором k-то порядка матрицы называется определитель, который состоит из элементов матрицы, расположенных на пересечении k ее строк и k столбцов.
Например, в матрице
1 4 2 0}
-10 3 2
-4 3 2 -2
определитель
1 4 -1 О
является ее минором второго порядка, а определитель


Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли
31
4 2 0 0 3 2 3 2-2
— минором третьего порядка.
Рангом матрицы называется наивысший порядок ее минора, отличного от нуля. Для ранга матрицы А используют обозначение г(Л).
ЗАМЕЧАНИЕ 2.1 Если ранг матрицы равен k, то из этого следует, что среди миноров k-vo порядка хотя бы один отличен от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю.
ЗАМЕЧАНИЕ 2.2 Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы, поэтому их используют при определении ее ранга.
Пример 2.5. Найти ранг матрицы
А =
1
2 -4
СО
CN
1
-1
СО
1
со
CN
1
4
2
-1 2
5
-6
Решение:
г
1 2
-4
3 -2
(-
2)(})
г
1
-1 3
-6
1
to
1
0
2 -1
2
5 -6
V
У
V
-f1
2
-4
3
0
5
1
(—к-
О
1
2 -4
5 -10 -5 10-
3
1
Поскольку в полученной матрице две строки, ее ранг не может быть больше двух.
1 2
Среди миноров второго порядка можно указать минор =5*0. Следова-
0 5
тельно, г(А) = 2.
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными была совместной (имела решения), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы г (А) был равен рангу расширенной матрицы системы г (В).
Если г (А) = г (В) = пу то система имеет единственное решение. Если г (А) = = г (В) < пу то система имеет бесконечно много решений.
Пример 2.6. Решить систему уравнений
-2х2 + х3 -х4 =4;
2xt - Зх2 + 4х3 + х4 =2; хх -Зх2 -х3 -4х4 =10.


32
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений
Решение: для решения системы используем метод Гаусса:
Х\ Х2 Х$ Хд
Х\ Х2 Х$ Хд
Г
1-2 1-1 4^1 (-2)(-1) Г1 -2 -1 4V|
2-3 4 12-^-1 ~ 0 1 2 3 -6 (2)
1 -3 -1 -4 10 И 1 0—-1 -2 -3 I 6
Х\ Х2 Х3 X4
1 0 5 5 -8
0 12 3
-6
У
Ранг матрицы системы г (Л) = 2, ранг расширенной матрицы г (В) = 2, число неизвестных п = 4. Так как г (Л) = г (В) < пу то, согласно теореме Кронекера-Капел- ли, система имеет бесконечно много решений. Найдем все эти решения. Для этого запишем систему линейных алгебраических уравнений, которая соответствует полученной расширенной матрице:
Неизвестные х3 и х4 являются свободными. Их значения задаются произвольно. Пусть х3 =t,x4 = z, где t, z — любые вещественные числа. Число свободных неизвестных k определяется по формуле k = n - г (А). Неизвестные xt и х2 называются базисными. Множество всех решений системы записывается в виде формул, выражающих базисные неизвестные через свободные:
Однородная система т линейных алгебраических уравнений с п неизвестными записывается в виде
Однородная система линейных алгебраических уравнений всегда имеет нулевое (тривиальное) решение:
где t, z е R.
Однородные системы
«11*1 +«12*2 +"-+«1л*я =°;
#i2^i “Ь #22*^2 ^2п =


Однородные системы
33
хх =0, х2 =0, хп =0.
У любой однородной системы г (А) = г (В), так как расширенная матрица В отличается от матрицы А только нулевым столбцом.
Если у однородной системы г (А) = г(В) = п, то она имеет только нулевое решение.
Если у однородной системы г (А) = г (В) < п, то она имеет ненулевые решения.
Если матрица А однородной системы — квадратная, то однородная система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда | А \ = 0.
Пусть однородная система линейных алгебраических уравнений имеет k ненулевых линейно независимых решений (ни одно из них нельзя выразить линейно через остальные) Хх, Х2, ..., Xk. Эти решения образуют фундаментальную систему, если любое решение системы X можно представить в виде X = схХх + с2Х2 +... + спХ ^.
Число решений k в фундаментальной системе равно числу свободных неизвестных и определяется по формуле k = n- г(А)> где п — число неизвестных, а г (А) — ранг матрицы системы.
Пример 2.7. Имеет ли однородная система линейных алгебраических уравнений
хх -Зх2 -х3 +хА =0;
< 2хх -х2 -2х3 + 3х4 = 0; хх +2х2 -х3 + 2х4 =0
ненулевые решения? Если да, то найти их, выписав фундаментальную систему решений.
Решение: выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее по методу Гаусса:
Х\ х2 х3 х4
Хх х2 х3 х4
г
1
-3
-1
1
о |
У
1
/-Ч
CN
vLf~l
1)
г
1
-3
-1
1
Л
0
2
-1
-2
3
0
~
0
5
0
1
0
1
V
2
-1
2
0
J
<——
0
V
5
0
1
0
J
*1
1
1
1
-3
0
0
1
0
5
0
*1 - (-1)
1
0
1
-8
0
0
1
0
5
0
Число неизвестных п = 4, г (А) = г (В) = 2. Поскольку г (А) = г (В) < гг, то однородная система имеет ненулевые решения. Выпишем систему, которая соответствует полученной расширенной матрице:
\хх — х3 -8х2 =0; \хх -8х2 +х3\
х4 +5х2 =0;
2 № 6822


34
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений
Неизвестные х2 и х3 — свободные, их можно задавать произвольно. Обозначим х2 =Ct и х3 = С2, где Cv С2 — любые вещественные числа. Выпишем решение системы X в матричном виде:
f 8Ct+C2
Х =
\
f8]
1
0
= ct
4- С2
0
1
1
/
1-5 J
,oJ
= СхХх + С2Х2.
Решения
00
f1!
1
и X, =
0
0
z
1
1-5 J
Cj + 0 • С2
0*Cj + С2 —5С^ + 0 • С2
х,=
образуют фундаментальную систему решений.
Задачи для типовых расчетов
Задача 2.1. Решите систему линейных уравнений тремя способами: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы; в) методом Гаусса.
1.
3.
5.
7.
9.
11.
2x-y-z = 4;
x + z/ + 2z — — 1;
3x + 4у -2z = 11;
2. <
2x -г/ + 2z = -4;
3x —2 у + 4 z = 11.
4jf + г/ + 4z = -2.
Зх+ 2 у + z = 5;
лет + 2 z/ + 4z = 31;
2x + 3y + z = 1;
4. <
5x + у + 2z = 29;
2x + у + 3z = 11.
3x-y + z = 10.
x + 5г/ - 4z + 5 =0;
* -2 г/ + 4z = 3;
2x — 3 у + z — 2 =0;
6. «
2x -Ay + 3z = 1;
4r + */-3z + 4=0.
Злт — у л- 5z = 2.
2x-y + z =2;
x + Зг/ + 4z = 6;
Здт + 2г/ + 2z — --2;
8. «
2x -y -z = 1;
x-2y + z = 1.
x + 2y + 3z — 5.
X + Z/ + Z — 3 = 0;
2x -Ay + 9z =28;
2x + Зг/ -z =0;
10. «
Ix + 3 у —6 z = -1:
x -г/ + 3z -7 =0.
Ix + 9г/ -9г =5.
x + z/ + z- 3 = 0;
2x + 2г/ + 2z = 6;
2x + у -2z -1 =0;
12. «
x + 2г/ + 3z = 1;
x + */-3z + l=0.
x + 3y + 6z = 2.


Задачи для типовых расчетов
35
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
2х - 4г/ + z = 3; х -5 у + 3 z = -1; х-у + z = 1.
2х + у + z = 6; х-у + z =5; х + г/ + 2z = 4.
х -2z -4 =0;
2г/ + z — 3 = Oj х — z =6.
Зх + у-2z =-2;
.г+ г/ + z =0; х -2у + 3z = -3.
2х - Зу + z = -3; х-Sy -2z =6; -2x- г/ + 3z = -9.
4x - г/ -z + 3 = 0; x + Зг/ + 3z — —4; -x + 2y -z =5.
3x-y + z = 12; x + 2y-z = 12;
2x-y + 3z = 9.
2x 4- г/ + z = 6;
2г/ 4- z = 13;
3x 4- z/ 4- 2z = 8.
x + Зг/ -z = 4;
—x 4- 2y 4- 3z = 12; 2x 4- у — z = 1.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
x-y + z - 6;
2x + у + z = 3; x + у + 2z = 5.
x + z/ + z-l=0; x 4- 2y + 3z —2=0; x + 3y 4- 6z -1 = 0.
2x-y + z = 4;
-x + 3у -2z = -3; 3x + 2y -z = 3.
x + 2y — z = 1; -2*-3z/ + 2z=0; x + 5г/ + z = -5.
Зх + у + z = 4; x 4- 2г/ + 2z = 3; x + Ay - z = -2. 2x -г/ =7; 5x + 3 у — 6z = -5; -x — 2г/ + 3z =7. x + 3y -2z = -4; x — у 4z = 4;
Зх + 2г/ -z = -9.
2x -y + 3z =8; x + г/ -2z =5; Зх — 2г/ +Z =7.
5x-у + z = -17; x — Зг/ +2z = -11; 2x + г/ + z = 0.
Задача 2.2. Решите матричное уравнение.
1.
3.
5.
"1 2"
"3 5Л
/
•X =
2. X■
U 4J
,5 9,
V
f\ 2"
"3 o'
/
•X =
4. X-
,3 4,
7 2
v /
V
(1 3^1
^2 If
\ /
•X =
6. X-
lo 2j
,2 6,
/ V
3 -2N 5 -4,
3 2'
-2 -1
-1 2 3 -5
'-1 v-5 '-1 -1 -1 11
2 6
2"
V 2 > -19/


36
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений
7.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
2 1'
\4 3j
1 -Зл -1 2
Х =
2 5Л 6 9
Ч~ “/ /
•Х =
-3 2 2 -1
2 -1 3 2
7 -4
-6 2
•Х =
V
' з 1-2
-9'
-1 -8' 4 7
2 -5 -1 3
5 -1
-1 1
■Х =
■Х =
(- 3
г
„ 1
г-8
"51
'2
-3\
'7
■Х=\
8.
X-
=
12
-ij
\
к 5
3J
-1
2
J
,"4
"3
-2"
' 4
-5^
г2
3~)
Го 9Л
■ х =
10.
X-
—
1-1
1,
1-2
3>
,1
-3J
3 0,
(-2 2\ v
Г-2 -10^
ГЗ 4"|
' 5 6"
• X =
12. X-
—
l-l 3j
,1 -7
U 2J
,П 16/
Г-i тг /
"-3 2"
"5 4N
г 8 6"
• X =
14. X-
—
2 3j 1
,3 -lj
,3 2У
-1 -2 1 *■)
16. X-
18. X-
20. X-
2 -1 -5 3
6 1
-4 -2
3 2 -3 1
М4
1
-1
-2 -3Л
-28 -6
15 7 6 4
II
И
' 4 2N
22. X •
'-2
Г
" 12 -8N
—
J
1-1 24,
1-6
4J
[-20 13j
24. X •
5 1' 3 1
f7 1
ч 2 0
гз -1^
• х =
"19
26. X-
Г-1 2^1
f 2 2Г
=
СЧ
1
Ю
[32
lj
U 3j
1-2 -lj
"11
8N
r-2
41
(-3
7 >
28.
X-
=
,-6
-4>
,-з
5>
U
-10,
"6
3>|
r-2
1
"i f-з
-Г
30.
X
=
,-2
lj
I-з
-1
J 1-5
-5>
Задача 2.3. Найдите общее решение, построив фундаментальную систему для однородной системы линейных алгебраических уравнений.
1.
3.
*, -2х2 + З*3 -4х4 =0;
2*, - Ах2 + 5*3 + 7*4 =0;
6*, - 12*2 + 17лг3 -9х4 =0;
7*, - 14х2 + 18*3 +17х4 =0.
14т, + 35*2 -7х3 -63*4 =0; -10*, -25х2 + 5*3 + 45*4 =0; 26*, + 65*2 -13*3 -117*4 =0.
2.
4.
2xt +3*2 -х3 -5*4 =0;
4*, +6*2 +2*3 —*4 =0;
2*, +3*2 -5*3 -14*4 =0; 10*, +15*2 +З*3 -7*4 =0.
Зг, +21*2 -15*з +5*4 =0; 12*, +28*2 —20*3 +7*4 =0.


Задачи для типовых расчетов
37
5.
И.
13.
15.
17.
7.
19.
21.
хх + 4х2 +2х3 -Зх5 =0;
2хх +9х2 +5х3 +2х4 + х$ = Oj ху +3х2 +х3 -2х4 - 9х5 =0.
+ Зх2 +2х3 =0;
2хх -х2 + Зх3 =0;
Зхх -5х2 + 4х3 =0; хх + 17х2 + 4х3 =0.
+ х2 -Зх4 -х5 =0;
Xj -х2 +2х3 -х4 =0;
4хх —2х2 + 6х3 + Зх4 - 4х5 = 0; 2хх +4х2 -2х3 +4х4 -7х5 =0.
2хх -4х2 +5х3 +Зх4 =0;
Зхх -6х2 + 4х3 +2х4 =0;
4хх —8х 2 +17х3 +11г4 =0.
2хх -х2 +5х3 +7л:4 =0;
4хх -2х2 + 7х3 +5х4 =0;
2хх -х2 +х3 -5х4 =0.
5хх +6х2 -2х3 + 7х4 +4х5 =0; 2хх +3х2 -х3 +4х4 +2х5 =0; 5хх +9х2 -Зх3 +х4 +6х5 =0.
Зл^ + 4х2 -5х3 +7х4 =0;
2хх -Зх2 +Зх3 -2х4 =0;
4хх + 11г2 - 13х3 4- 16х4 = 0; 7хх -2х2 4~ х3 +Зх4 =0.
2хх +3х2 -х3 +5х4 =0 Зхх -х2 +2х3 -7х4 =0 4хх +х2 -Зх3 4- 6х4 =0: хх -2х2 +4х3 -7х4 =0.
Зхх 4-Злг2 +5х3 +7х4 4- 4^5 — Oj 2хх +2х2 +Зх3 +5х4 + Зх5 =0; 4хх +4х2 +7х3 +9х4 +5х5 =0; 5хх + 5х2 + 9х3 + 1 \х4 + 6х 5 = 0.
6.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
8.
Зхх +4х2 +Зх3 +2х4 =0;
5хх +7х2 + 4х3 4- Зх 4 — Oj 4хх + 5х2 + 5х3 + Зх4 = 0;
5хх +6х2 +7х3 +Ах4 =0.
хх -2х2 + х3 +х4 -х5 =0;
2хх +х2 — х3 -х4 +х5 =0; хх +7х2 -5х3 -5х4 +5х5 =0; Зхх -х2 -2х3 +х4 -х5 =0.
хх +2х2 + 4х3 -Зх4 - 0;
Зхх +5х2 + 6х3 -4г4 =0;
4хх +5х2 -2х3 -\-Зх4 =0;
3*! 4-8г2 +24х3 -19г4 =0.
Зхх +5х2 +2х3 =0;
4хх +7х2 +5х3 =0; хх + х2 -4х3 =0 ;
2хх 4- 9г2 4- 6х3 = 0.
Зхх -\-2х2 +х3 + Зх 4 + 5х$ = 0j 6хх +4х2 -\-Зх3 +5х4 + 7х5 =0; 9хх +6х2 +5х3 + 7х4 4-9г5 =0.
Зхх + 4х2 +х3 + 2х4 +Зх5 =0; 5хх +7х2 + х3 + Зх 4 +4^5 = 0j 4хх 4- 5х 2 +2х3 +х4 +5х5 =0.
хх -2х2 +х3 — х4 + х5 =0;
2хх +х2 -х3 +2х4 -Зх5 =0; Зхх -2х2 -х3 + х4 -2х5 =0;
2хх -5х2 4- х3 — 2х4 4- 2х5 =0.
Зхх +5х2 4-2х3 4- Ах4 =0 5хх + 4х2 +Зх3 4-5х4 =0 9хх +2х2 4-5х3 + 7х4 =0 5хх — 9х2 4-2ж3 =0.
2хх Л' х2 +4х3 +х4 =0;
Зхх 4-2х2 -х3 -6х4 =0;
7хх + Ах2 4-6х3 -5х4 =0; хх -\-8х3 + 7х4 =0.


38
Глава 2. Системы линейных алгебраических уравнений
23.
25.
27.
29.
2xt -2х2 +Зх3 + 6*4 + 5*5 =0; -4rt + 5*2 -7*3 -3*4 +8х5 =0; -6*t + 7х2 -10*3 -9*4 + 3*5 =0; 8^! -9х2 + 13*3 + 15*4 +2х5 =0.
Зхх + 6*2 + 10*3 + 4*4 -2х5 =0; 6^! + 10*2 + 17*3 +7х4 -3*5 =0; 9х{ + З*3 + 2х4 + Зх5 = 0;
12*! -2*2 +*з + 8*4 + 5*5 =0.
*t +2*2 +Зл:3 +2*4 -6*5 =0;
2*! +3*2 +7*3 +6*4 -18*5 =0;
3*! +5*2 +11*3 +9*4 -27*5 =0; *t +4*2 +5*3 +2*4 -6*5 =0. хх +*3 +*5 =0;
*2 *4 +*6 =0;
*! — *2 +*5 -*6 =0;
*2 +*з +*6 =0.
24,
26.
28.
30,
Z*! — *2 — *3 — *4 — *5 =0;
-*! +2*2 — *з — *4 —*5 =0;
< 4*j +*2 -5*3 -5*4 -5*5 =0;
*! +*2 +2*3 +*4 +*5 =0;
*! +*2 +*з +2*4 +*5 =0.
*! +*2 +*з +2*4 +*5 =0;
< *! -2*2 -З*3 +*4 — *5 =0; 2*! — *2 -2*3 +3*4 =0.
2хх -5*2 +4*3 +3*4 =0;
3*! -4*2 +7*3 +5*4 =0;
4хх -9*2 +8*3 +5*4 =0;
-3xt +2*2 -5*3 +3*4 =0.
*! +*2 -2*3 +3*4 -3*5 =0; 2хх +2*2 +З*3 —*4 +4*5 =0;
4*2 +*3 — *4 +2*5 =0;
*t +2*2 -4*з +5*4 +2*5 =0.


ГЛАВА 3 Элементы линейной алгебры
Линейные пространства
Множество X называется линейным (векторным) пространством, если выполняются три условия:
1. Любым двум элементам х и у этого множества ставится в соответствие третий элемент z этого множества, который называется суммой элементов х и у и обозначается z -х + у.
2. Любому элементу х множества X и любому вещественному числу а ставится в соответствие элемент и этого множества, который называется произведением элемента х на число а и обозначается и = ах.
3. Указанные операции сложения и умножения на число подчинены следующим аксиомам:
1) # + г/=г/ + х для любых элементов х и у\
2) (х + у) + z = х + (у + z) для любых элементов х, у и z;
3) существует нулевой элемент 0, такой, что х + 0 = х для любого элемента х;
4) для любого элемента х существует противоположный элемент (~х)у такой, что х + (-х) = 0;
5) 1 • х = х для любого элемента х;
6) афх) = (аР)х для любого элемента х и любых чисел а и р;
7) (а + Р)лс = ах + $х для любого элемента х и любых чисел а и р;
8) а(х + у) = ах + ау для любых элементов х и у и для любого числа а. Элементы линейного пространства называют векторами.
Линейное пространство образует множество вещественных чисел R.
Одним из важных примеров линейного пространства является множество одностолбцовых матриц с п строками. Это пространство обозначают Rn, а его элементы обозначают
и также называют векторами.


40
Глава 3. Элементы линейной алгебры
Базис и размерность линейного пространства
Векторы ev ?2, ..., еп линейного пространства называются линейно независимыми, если а{ех +а2е2 + ... +апеп =0 только при условии оц = а2 = ... =ап =0.
Векторы ev ?2, ..., еп называются линейно зависимыми, если найдутся числа ар а2, ..., а„не равные нулю одновременно и такие, что ахех + а2е2 + ... + апеп =0.
Базисом в линейном пространстве называется набор векторов ev е2, ..., еп, такой, что любой вектор х этого пространства можно представить в виде
х = ххех +х2е2 +... + хпеп,
гдел^, х
»
некоторые числа.
Последняя формула называется разложением вектора х по базису е{, е2, ..., еп,
а числа х
координатами х в этом базисе.
Максимальное число линейно независимых векторов в некотором линейном пространстве называется размерностью этого пространства. Это означает, что если размерность линейного пространства равна п, то в нем можно указать п линейно независимых векторов, а любые п+ 1 векторов этого пространства линейно зависимы.
Например, в пространстве Rn базис образуют п линейно независимых векторов ev е2, ..., еп. Таким образом, пространство Rn является п-мерным.
Координаты xv х2, ..., хп любого вектора
Г X Л
X =
eRn
\xnj
это координаты его в некотором заданной базисе ev е2> ..., еп, то есть х =
Преобразование координат вектора при переходе к новому базису
Пустьxv х2> ..., хп — координаты векторах е Rn в базисе ev е2, ..., еп и пусть векторы е[у ?2, •••» К также образуют базис. Если заданы координаты вёкторов е[, ?2, •••» К в старом базисе ёи ?2, ..., еп> то есть
(е Л
(е Л
12
(е \
^1 п
е2\
е22
*2 п
кеп\;
, е2 -
Кеп2 ;
, еп —
р
\^пп у
и если требуется найти координаты вектора х в этом базисе, то следует:


Базис и размерность линейного пространства
41
1) 	составить матрицу перехода
Н =
... е
2 п
\еп\ вп2 ••• впп ;
столбцами которой являются координаты векторов нового базиса;
2) 	найти координаты х[, х'2, х'п вектора х в новом базисе из матричного уравнения
х = Н • х\
решение которого при невырожденной матрице Н имеет вид
? = Я"1 х.
Тогда в новом базисе е[, е'2, ..., е'п вектор х будет иметь координаты х[,х’2, х'п, и его можно записать в виде
^ Г N Ха
X =
Пример 3.1. Разложить вектор
х =
-2'
1 )
по базису векторов
(П
"-2"
f-1l
2
, е2 —
0
и ё'3 =
1
СО
l-V
Решение', матрица перехода будет иметь вид
f 1 -2 Н= 2 0 1
-1 3 -1
Обратная к ней матрица
Я1 =-
11
-3 -5 -2 1 -2 -3
6-14


42
Глава 3. Элементы линейной алгебры
Тогда вектор в новом базисе имеет вид
х> = Н1 • х = ——- 11
1 -2 -3
6-14
Л
(-2)
'-If
f1!
со
1
-11
_
i
и
У
10
1-11J
W
Это значит, что х = е[ + е'2 + ё'3.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.1 Если матрицей перехода является единичная матрица
Е =
0 ... 0Л
О 1 ... о
О 0 ... 1
то х' = Е • х = х. Это означает, что координаты вектора х е Rn не меняются при переходе к базису
еА =
гг
'0N
"0"
0
-*7
1
0
, e2 =
S’
® :
> •••> en =
Этот базис называют каноническим.
Линейные операторы. Матрица линейного оператора
Линейным оператором (линейным преобразованием) в линейном пространстве называется отображение А этого пространства на себя, при котором для любых элементов (векторов) х, у этого пространства справедливо следующее:
1) А(х + у) = Ах + Ау\
2) А(ах) = аАху
где Ах и А у называются образами элементов (векторов) х и г/, а а — вещественное число.
Если линейный оператор A:Rn -» Rn и если вектор iei?”,a вектор у е Rn есть образ х при заданном отображении, это обозначают так: у = Ах. Если при этом в линейном пространстве Rn задан базис ev е2, ..., еп, то соответствие между векторами х и у можно записать в виде матричного уравнения
х = А у,
где координаты векторов


Линейные операторы. Матрица линейного оператора
43
х =
заданы в базисе ev е2> ..
hi
X 2
и У =
*/2
кУпУ
1атрица
4i
#12
a2i
#22
а2и
К.ап\
ап2 •“
А =
называется матрицей оператора А. Ее элементы вычисляются по формуле atj =Aeijy в которой e{j является г-й координатой базисного вектора 2;.
Пример 3.2. Выписать матрицу оператора подобия Ах = Хх} если х е Rn.
Решение: пусть координаты вектора
fx '
X =
заданы в базисе ev е2, еп. Согласно определению оператора подобия, можно записать:
Ае{ = Хех - Хех + 0?2 + • • • + 0еп;
Л ^2 = =: 0^ + ^^2 + ... + 0еп |
Аеп = Хеп = 0ех +0е2 + ... +
Матрицей оператора подобия будет матрица
ГХ 0 ... 0Ч
, 0 X ... о
А =
0 0 ... X
— матрица коэффициентов при базисных векторах в полученной системе. Действительно,
= Хх.
'А,
0 ..
. ол
hi
(ЬсА
Л f =
0
X ..
. 0
X 2
=
Хх2
= х-
*2
,0
0 ..
. X,
КХп>
Л,


44
Глава 3. Элементы линейной алгебры
Если А — матрица линейного преобразования у=Ах в базисе ev е2, ..., еп, а матрица А' — матрица этого же преобразования у' = А'х' в новом базисе e'v е\, ..., е'п, то справедливо соотношение
А = Н~х АН,
где Н — матрица перехода.
Пример 3.3. Найти матрицу линейного оператора в R3, который производит проецирование в координатную плоскость хОz в базисе
f1!
'o'
"0"
i =
0
. i=
1
II
0
W
а!
w
а также в базисе
rr
fM
II
t*r
2
II
-1
, e3 —
1
CO
CN
w
Решение: рассмотрим вектор х е R3 в каноническом базисе
T
"0N
f°l
i =
0
. j =
1
и k =
0
w
w
W
и определим образы базисных векторов при заданном линейном преобразовании (рис. 3.1):
Ai -i = 1 i + 0j + 0k\
< Aj = 0 = Oi + Oj + Ok;
Ak — k — Oi + 0 j + \k.
Следовательно, матрицей заданного оператора является матрица


Собственные числа и собственные векторы матрицы
45
А =
1 О О4 ООО О 0 1
Перейдем к базису векторов еи ё,, ё3. Матрица перехода имеет вид
"1 0 1ч
Я =
2 -1 1 3 2 4
-6
2
1
-5
1
1
7
-2
-1
Найдем обратную к ней матрицу:
я-1
Применяя формулу А' = Н 'АН, получим:
^-6 2 1") 0 0") (\ 0 1W-6 О 1
А’= -5 1 1 • 0 0 0 • 2 -1 1 = -5 0 1
7 -2 -1 0 0 1 3 2 4 7 0 -1
1
0
11
СО
1
2
1
to
2
-1
1
=
-2
2
-1
со
2
I4
CN
1
СО
Собственные числа и собственные векторы матрицы
Пусть квадратная матрица
А =
ч п\ ^п2 •** ^я;. ,
— матрица линейного оператора А в линейном пространстве Rn. Ненулевой вектор х называется собственным вектором матрицы А и оператора Л, если выполняется одно из равенств:
Ах = Хх; Ах = Хх, (3.1)
где X — некоторое вещественное число, называемое собственным числом матрицы и оператора.
Векторное равенство (3.1) может быть записано в виде
(А-ХЕ)х =0, (3.2)
где Е — единичная матрица той же размерности, что и матрица А. Следовательно, собственный вектор х является ненулевым решением однородной системы (3.2), а собственные числа определяются из условия равенства нулю определителя этой системы: | А - ХЕ\ = 0.


46
Глава 3. Элементы линейной алгебры
Пример 3.4. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
' 1 -12 6>
А= 10 -19 10 ^12 -24 13J
Решение: для собственных чисел справедливо равенство
7-Х -12 6
10 -19-Х 10
12 -24 13-Х
= 0.
Прибавим ко второму столбцу первый, умноженный на 2. Получим:
7-Х 2-2Х 6
10 1-Х 10 =0.
12 0 13-Х
Из второго столбца можно вынести множитель 1 - X
7-Х 2 6
(1-Х).
10
12
1 10
0 13-Х
= 0.
Прибавим к первой строке вторую, умноженную на -2, и используем теорему разложения:
-Х-13 0 -14
(1-Х)
10
12
1 10
0 13-Х
= 0; (1-Х)-
-Х-13 -14
12 13-Х
= 0;
(1 - Х)((13 - Х)(-13 - X) +168) = 0; (1-Х)(Х2 -169+168) = 0.
Следовательно, (1 - Х)(Х2 -1) = 0, то есть собственные числа X, 2 = 1, Х3 = -1. Найдем собственные векторы, соответствующие найденным собственным числам: 1. Х12 =1. Матрица однородной системы
г 6 -12 6N А-ХЕ = 10 -20 10 ч12 -24 12,
Решение однородной системы:
х\ х'2 х'з
6 -12 6 1П — 9П 1П
Л
0
А
xv/ ~'ZlТ 1U 9 А 19
и
Л
IZ —Z4 1Z
V
: 6 *1
-2 1
о).


Собственные числа и собственные векторы матрицы
47
Для координат собственного вектора
(х'А
х =
Х0
\ХЪ J
справедливо уравнениех[ -2х2 +х'3 =0. Еслих'2, х'3 — свободные неизвестные, то собственный вектор
г2х\
"2"
X -
х2
= ct
1
+ С 2
0
^ со *
l°J
1и
где
(2)
Г-Г|
1
и
0
W
1и
— фундаментальная система решений, Cv С2 — любые вещественные числа, не равные нулю одновременно.
2. 	Х3 = -1. Матрица однородной системы
г 8 -12 6>
А-ХЕ - 10 -18 10
^12 -24 14;
Решение однородной системы:
*2
*3
А
*2
*3
г
8
-12
6
л
0
г
4
-6
3
л
0
10
-18
10
0
~
5
-9
5
0
12
V
-24
14
0
J
6
ч
-12
7
0
J
м (-2)~
А
*2
*3
г
-6
12
-7
л
0
5
-9
5
0
6
V
-12
7
0
J
А
*2
*3
1
-2
7
6
\
0
0
V
1
5
6
0
У
*1 *2 *3
6)
Г 7
1 -2 т
0
~
6
,5 -9 5
oj
(2)-
*1
*2
*3
1
0
1
0
0
1
2
_5
0
6


48
Глава 3. Элементы линейной алгебры
Отсюда
Собственный вектор
где С * 0.
Евклидово пространство
Линейное пространство называется евклидовым, если любым двум его элементам х и у ставится в соответствие вещественное число, которое обозначается (х, у) и называется скалярным произведением и которое подчинено следующим аксиомам:
1) (х, у) = (г/, х);
2) (х + z, г/) = (х, z) + (у, z), где z — элемент линейного пространства;
3) (Хх, у) = Х(х, у), где X — вещественное число;
4) (х, х) > 0, при этом (х, х) = 0, если х — нулевой элемент.
Примером евклидова пространства является и-мерное векторное пространство Rn, в котором скалярное произведение двух векторов
м
X 2
Vi
X =
и у =
<*nj
<Уп,
определяется соотношением
п
(х, £) = 2>,*/, =xtyt +х2у2 +... + хпуп.
i=1
Несложно проверить, что введенное таким образом скалярное произведение удовлетворяет всем четырем аксиомам.
Для скалярного произведения элементов х и у любого евклидова пространства выполняется неравенство
(х, у)2 < (х, х)(у, у), которое называется неравенством Когии—Буняковского.
Нормой элемента х в линейном пространстве называется вещественное число || х || которое ставится в соответствие этому элементу и подчинено следующим аксиомам:
Г*Р
"3"
X =
х'2
= С
5
^3,


Евклидово пространство
49
1) || х || > 0, || х || = 0, если х — нулевой элемент;
2) || Хх || = | X | • || х ||, где X — вещественное число;
3) || х + у || < || х || + I у || {неравенство Минковского), где у — элемент линейного пространства.
Если линейное пространство является евклидовым, то определенная равенством iwi=V(*’ х) норма удовлетворяет всем требуемым аксиомам.
В я-мерном векторном пространстве Rn норма вектора
X =
определяется соотношением \\х\\ = д/(х, х) = ^Xх*2 = л1х? +х2 +•••+*«• Пример 3.5. Скалярное произведение векторов
дение векторов
f п
"-2"
X =
-2
UJ
и у =
4
II
1
со
+
CN
1
CN4
1
' 0 "
f2l
X =
3
-4
-V
и г/ =
1
-1
пространства R4 равно (х, у} - 0 • 2 + 3 • 1 - 4 • (-1) -1 • (-2) = 9. Пример 3.6. Норма вектора
Г21 -3
х =
V4/
пространства R3 равна 11 х\ | = 22 +(-3)2 + 42 = л/29.Норма вектора
М'
х -
0
1
V 4 У
пространства R ' равна || х || = 1)2 + 0 + 12 + 42 = 3v2.


50
Глава 3. Элементы линейной алгебры
их скалярное произведение (х, у)равно нулю. Например, векторы i =
О
\
о
II
К
W
ортогональны, так как (i, j ) = 0.
Если норма элемента (вектора) евклидова пространства \\х\\ = 1, то х называется нормированным.
Базис векторов ev е2, ..., еп гг-мерного векторного евклидова пространства Rn называется ортонормированным, если
0, i * ]\
1, i=j.
(ёг> ej) =
Примером ортонормированного базиса является базис векторов
'Г
f0l
"0"
0
1
0
II
II
CN
• О
II
с
Если в евклидовом пространстве задан базис ех, е2, ..., еп, который не является ортогональным, то можно построить ортогональный базис е[, е2, ..., 2' по формулам (процесс ортогонализации Шмидта)
k-i
=et; e'k = ek -£сД'; k =2, 3, п,
1=1
(«*» Ю
(*:. Ю'
Квадратичные формы
Пусть
X
— вектор w-мерного линейного пространства Rn, a xv х2, ..., хп — координаты этого вектора в некотором базисе ev е2, ..., еп. Квадратичной формой в пространстве Rn называется функция f(x) = f(xl,x2,...,xn>) п переменных
^ ' п п
xv х2, ..., хп, которая определяется по правилу /(х) = X 2 ayxixj> где ау = ап*
i=l ;=1
Матрица А={а^}пхп называется матрицей квадратичной формы в базисе ev


Квадратичные формы
51
Квадратичная форма называется невырожденной, если г (А) = п или det (Л) * 0. Рангом квадратичной формы называется ранг матрицы А.
Например, матрица квадратичной формы f(x) = anxl + 2anxtx2 + я22х2 в ПР°“
странстве R имеет вид А =
/ \ «и а12
\а12 а22 J
. Если det (Л) ф 0, то квадратичная форма
невырожденная и ее ранг равен 2.
Вид матрицы квадратичной формы определяется базисом ev е2, ..., еп, в котором задан вектор х, и меняется при переходе к другому базису по формуле А' = Я-1 ЛЯ, где Я — матрица перехода от базиса ev е2, ..., еп к новому базису
-*t -?г -*!
ev е2, еп.
Если в линейном пространстве введено скалярное произведение, квадратичная форма может быть записана в виде скалярного произведения /(х) = (Лх, х), где Л — матрица квадратичной формы.
п
Квадратичная форма вида /(х) = ^ auxf называется канонической. Матрица ка-
i=i
ионической формы является диагональной. Чтобы привести квадратичную форму к каноническому виду, следует перейти к базису собственных векторов матрицы квадратичной формы Л.
Матрица квадратичной формы симметричная (а$ = я;1). Собственные числа такой матрицы вещественные, а собственные векторы, соответствующие различным собственным числам, — ортогональны.
Если собственные числа матрицы Л различные, то соответствующие собственные векторы е[, е'2, ..., е'п образуют ортогональный базис, который можно нормировать. В этом ортонормированном базисе матрица квадратичной формы будет иметь вид
[К
0 .
.. о>
0
.. 0
А =
Z
о .
•• ;
гдеА,!, Х21 ..., Хп — собственные числа.
Линейное преобразование, которое приводит матрицу квадратичной формы к каноническому виду, имеет вид х =Ях', где Я — матрица перехода от базиса ev е2, ..., еп к ортонормированному базису собственных векторов е[у е'2, ..., е'п.
ЗАМЕЧАНИЕ 3.2 Матрица Я, столбцами которой являются координаты векторов орто- нормированного базиса, называется ортогональной, а линейное преобразование с такой матрицей — ортогональным преобразованием. Легко доказывается, что для ортогональной матрицы выполняется соотношение
ЯТЯ=ЯЯТ =Е>
что означает Я"1 = Ят.


52
Глава 3. Элементы линейной алгебры
Пример 3.7. Привести квадратичную форму
х\ +5x1 +xl +2xtx2 +6xtx3 +2х2х3
к каноническому виду.
Решение: матрица квадратичной формы
1 3Л А= 1 5 1
[з 1 1,
Уравнение для нахождения собственных чисел имеет вид \А-ХЕ\=0. Преобразуем определитель
1-Х 1 3
\А-ХЕ\ = 1 5-Х 1
3 1 1-Х
Вычитая из третьего столбца первый, а затем прибавляя к первой строке третью, получим:
1-Х 1 Х + 2
1-Х 1 1
О
CN
1
15-Х 0
= (X + 2)
1 5-Х 0
= (X + 2)
1 5-Х 0
3 1 -2-Х
3 1 -1
3 1 -1
Вычисляя последний определитель, для собственных чисел получим уравнение
-(А, + 2)((4-А,)(5-А)-2)=0
или
(Х + 2)(Х2 -9Х+ 18) = 0.
Здесь собственные числа Xt =-2, Х2 =6, Х3 =3. Теперь вычислим собственные векторы:
1. 	Хх =-2. Матрица однородной системы для первого собственного вектора
г3 1 3^
А-ХЕ =
1 7 1 3 1 3
Линейно зависимы первая и третья строки, поэтому координаты соответствующего собственного вектора
е< =
\еъ\)
определяются из однородной системы линейных алгебраических уравнений


Квадратичные формы
53
3eJi + е21
+ Зе'31 -0; еп + 7 в2\ + е31 =0.
Выпишем ее расширенную матрицу и проведем в ней элементарные преобразования:
еп е'2\ е'31
еа е’2\ е'31
еи e2i е31
3 1 3
0
Ki
\ 7 1
о'
(-3)
1 7 1
0
1 7 1
0
J
>
3 1 3
0
J -
0 -20 0
0
:(-20)
еп е2\ е31
1
7
1
0
0
1
0
0
е11 #21 е31
:(-7)
Тогда J 6j1 и первый собственный вектор
1
0
1
о J
0
1
0
0
—
[е2\ = °>
-1'
2. 	Аналогично определяются собственные векторы для собственных чисел Х2 =6,
Х3 — 3:
(Г
гг
2
и ё’3 =
-1
<1)
к
соответственно. Нормируем собственные векторы:
е< =
11
•Л
0
( 1 ^
г 1 ^
, ёп =
V6 _ 2
, ёо =
л/3
1
1
1 2
S
7з
V2
1
1
V )
V. л/6 ,
,л/3,
В этом базисе квадратичная форма имеет вид -2(х") + б(х2) + 3(х'3) .
Если среди собственных чисел матрицы квадратичной формы есть равные, то среди собственных векторов, соответствующих одному собственному числу, нужно выбрать необходимый набор линейно независимых векторов и провести их ортогонализацию.
Пример 3.8. Привести квадратичную форму


54
Глава 3. Элементы линейной алгебры
17*,2 +14*2 +14*3 -4*)*2 -4*,*3 -8*2*3 к каноническому виду и указать соответствующее ортогональное преобразование. Решение: матрица квадратичной формы
"17 -2 -2Л А= -2 14 -4
1~2 -4 14,
Ее собственные числа Я., = 9, Х2 = Х3 = 18. Собственный вектор, соответствующий собственному числу X, = 9,
( О
е\ = 2
При Х = Х2 =18 матрица однородной системы для собственных векторов имеет вид
"-1 -2 -2^
А= -2 -4 -4
1-2 -4 -4,
Вторая и третья строки линейно зависимы от первой. Следовательно, координаты собственного вектора связаны одним уравнением еп + 2е22 + 2е32 = 0. Фундаментальная система линейно независимых решений:
"-2"
"-2"
II
CN
1
и ё3 =
0
I® J
I 1 J
Проводя ортогонализацию базиса, получим:
в Г) — вп —
во = во — е
(?', 2')
Нормируя базисные векторы и делая ортогональное преобразование
— во во *
/-2Ч
0
81
21
5
5
4
=
4
5
5
1
V /


Задачи для типовых расчетов
55
получим в ортонормированием базисе е”, ё", ё" квадратичную форму следующего вида: 9(ж")2 + + 18(х")2 + 18(хз)2.
Задачи для типовых расчетов
Задача 3.1. Выясните, образуют ли векторы р, q, г базис. Если образуют, то разложите вектор х по этому базису.
f°l
f1!
f1]
f_2l
1. р =
1
II
0
, f =
0
, * =
4
А
w
w
2. р =
3. р =
4. р =
'2}
1
Л
(5Л
Л
чЪ
ч =
а
чЪ
г =
л
X =
А3Л
1
Л
<? =
я =
кЬ г 2Л О ч-Зу
г =
г =
ч‘/
X =
X =
13
2
ч7у
5
ч5/
5. j5 =
v2y
^0Л
1
чЪ
г =
2'
-1
ч4,
Q \
-3
Ч4/
ro>
г г
CN
P
II
1
II
2
, r =
0
3
-1
-1
\ /
^ /
4 J
rr
'-3N
Г
II
tfc,
к
4
II
2
, r =
-1
1.
0
2
V J
j
/
r_f
Г_11
0°
II
1
II
2
II
0
0,
1
2 ,
4 J
4 J
rr
r-o
II
tft,
CT>
0
II
3
, f =
-1
1*J
^4
CN
UJ
X =
X =
X =
X =
ч®/
-8
ч-З, Г з Л
v-V
Г 5 ^ 15
ч°/


56
Глава 3. Элементы линейной алгебры
М
"2"
Г1"
-1"|
II
ta,
о
2
- 4 =
0
, Г =
1
, х -
7
10
uj
ы
1-4)
11. р =
го>
5
II
" 3" 2
II
Г-1"
1
II
'H
"-15"
5
ы
UJ
I 6
"2"
Г1]
"-3"
" 23"
12. p =
1
> Я =
-1
, f =
2
, X =
-14
uj
UJ
UJ
О
CO
"0"
rn
" 2 "|
f_1l
II
ta,
CO
3
. q =
-1
, f =
-1
, x =
7
UJ
UJ
Uj
UJ
rn
"-3"
rn
"-13"
"«I
II
l
II
0
> т -
2
, X =
2
UJ
00
Г0"
f 3^
Г 4"|
f °1
15. p =
-1
II
1
, f =
0
, X =
-8
UJ
UJ
UJ
UJ
00
r n
r-r
(n)
16. p =
2
II
-1
II
1
, if =
-1
uj
CN
UJ
4*J
"2"
"1"
f 4"|
"3"
1
II
tfcl
0
II
tv*
2
II
1H
1
uj
UJ
UJ
UJ
f1]
"0"
rn
"8"
18. p =
0
. q =
-2
, r =
3
, X =
9
UJ
UJ
UJ
UJ
rn
"0"
Г 2 "j
f 6 )
19. p =
1
. q =
-3
, r =
l
II
5
UJ
UJ
UiJ
l-l4J
rn
Г-П
rn
"6"
20. p =
-2
. q =
l
. r =
0
, X =
-1
UJ
CO
UJ
J)


Задачи для типовых расчетов
57
21. р =
Л
я =
оЛ 1
v-2,
г =
х -
-1
vll,
"0"
CO
f4l
r-s>
II
CN
CN
1
II
-1
II
tv*
1
II
9
1
to
loj
1-13J
" г
"3"
M
00
23. p =
2
II
0
, Г =
1
II
1
1-lJ
w
[12J
"2"
(i>
f4]
"8"
24. p =
0
. 5 =
1
, f =
1
, x =
0
llj
w
l2J
IsJ
"O'
"-2"
f3]
"-19"
25. p =
1
. 9 =
0
. т =
1
, X -
-1
w
11J
w
I 7 J
26. р =
27. р =
28. р =
30. р =
Г-2Л
О
Ч1,
Л
я =
г =
Л
ч2,
ч°/
Г 5 ^1 -1 ч-2у
4 =
q =
- q =
v-l,
'О
-2
ч°/
0
чЬ
1
Л1\
чЪ
X =
-5
ч5/
г =
ч‘/
л: =
ч5/
- Я =
ч1/
vOy
г =
Г =
Г =
ч-З/
-1
ч 2 / -2
чЬ
X =
11
ч-Зу
12
ч-1,
4
ч-1.
Задача 3.2. Задана матрица А линейного оператора в некотором базисе elf е2, е3. Найдите матрицу этого оператора в базисе е[, е2, е3.
(Ъ —20 33" =5et + 3^2 +
1. А= 7 -24 38 ; е2 = ех-Зе2 -2е3;
0 0 0 J е3 = + 2е2 + е3.


58
Глава 3. Элементы линейной алгебры
2. А =
3. А =
4. А =
5. А =
6. А =
7. А =
8. А =
9. А =
10. А =
11. А =
1
2
3Л
e\ ~ &1 + e3»
2
4
6
>
6?2 — 2^ ,
3
6
9J
(
ё' = ё, + ё2.
0
2
3'
\
^1 ~ ~ &2 + ^3 >
4
1
0
»
£?2 — —&x +^2 — ^^3 >
2
-1
-2
/
?з = -ёх + 2e2 + e3.
15
11
1
5"i
— 2,ex +3^2 ■+■ б?з j
20
-
15
8
; ?2 = 3?! + 4e2 + e3;
8
-7
i
6j
^з = + 2^2 + 2e3.
1
-1
51
^1 = ^2 >
2
-5
0
t*T
II
- CN
0
1
°J
e3 — e3.
1
0
5'
ex — ex;
0
5
1
>
со
II
■>- CN
5
1
0
V
I
?' =?2*
1
2
3N
e
1 = ^1 >
2
4
6
>
e
2 = ^2 >
3
6
sj
e
3 = ^з “ g •
0
0
1"|
e
x = 2e2 + 3e3 j
0
1
0
>
e
2 ~ +3^2 5в3‘,
1
0
e
3 = 3ex + 5e2 +7e3.
1
1
0^
ex = ;
-1
2
-1
;
?2 = -2?! + ?2 >
0
0
3;
e3 = -?i + 3e3.
1
1
0^
— 2^ + ^2 ~ 63
-1
2
-1
>
CN
T
II
*- CN
0
0
3j
ёз = ё, + ё3.
2
0
0"
СО
1
CN
ТЪ>
II
1
1
1
>
CN
II
— CN
-1
2
CO
t^>
1
toT
II
«» CO
-1
0
1"
ex — et;
2
1
•2
>
67 = + €2\
1
1
e3 = ex + e2 + e3.


Задачи для типовых расчетов
59
13. А =
14. А =
15. А =
16. А =
17. А =
18. А =
19. А =
20. А =
21. А =
22. А =
23. А =
г2 0 Р 1 1 1 0 2-1
^1 — ё2 — ё{;
в3 — в^ -Ь 6?2
'1 -18 15^1
-1 -22 20 1 -25 22
1 О4 -1 1 3 1
/
О Is 2 1 -1 1
е2 — е3 ’
ё'3 =е2-
■+■ в2 —2е3 е2 = —+ 2е2 + е3 j е3 =6] — е2 + е3.
в^ — ^2 *
во = во — в
3>
V /
о о\
во в\ бо
1 2 3
2 4 6
3 6 9
/
1 1 04 -1 2 -1 0 0 3
у
15 -11 5Л 20 -15 8 8-7 6
в< = е* + в
2>
во =2?! - ёп;
0
4
2
2
0
в3 — ех + в3.
в^ — ~~€у + Звд J в^ — —2в^ + в2 > в3 = ёх.
е[ — ву л- 2е2 + 2в3 j ) в2 — Зе{ + 4^2 + в31 в3 = 2в^ +3^2 + в3.
2 3"| ё[=ёх-ё3;
1 0 у е2 — в2 в3 у
—1 -2у в3 = ej + в2.
0 1" в| = —ву + 2е2 + в3;
2 1 ; ^2 = —ву + ^2 —2в3;
— 1 1 во =вч ~ во +во.
0 11^ в[ — —ву + 2в' + в3;
1 1 0
2 1 1
/
1 1 о'
0 2 1
0-10
во вч
в2 + в3 'у
в3 — ~~в\ + вг — 2в3.
в^ — 5 в| + Зв2 + в3;
) в2 — в^ Зв2 2в3, в3 —— в^ -н 2в2 “Ь в3.


60
Глава 3. Элементы линейной алгебры
24. А =
25. А =
26. А =
27. А =
28. А =
29. А =
30. А =
'О 0 Is) -1 1 -1 0 10
2 0 1
О
-2
2
О
-1
2 1 -1 1
-3 О 1 1 2 0
''-l 0 1Л
1 2 1 1 0 -1
\
(2 3 1
1 2 3
1 2 -3
✓
2 1 2 2 2 3
1 -1 -2
/
1 -1 3N
-2 -3 -3 3 2 1
ej = + 2е2 + в3;
^2 = 3^2 2в3,
в3 =5^ + Зв2 + вз-
= е2 ~~ е3 *
e'2 =et +е2; ез = е\ ~ ез •
+ в2 —2e3j #2 = “^ + 2<?2 + e3 J
?3 = ^1 “ ^2 + ^3 •
^1 — ^2 “Ь ^3 >
^2 = ~^2в2 + в3]
е3 =: ^2 ~ 2е3.
'1 ~ ^2 ~~ ^3>
■во
&2 ~ ^2 » в3 = ■
ё[ = g, g' ==?
^3 = в1 ~ с3 ^1 = ^2 >
; ?2 =~^1’ во = “во .
- в3;
во.
Задача 3.3. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы А. 1. А =
3. А =
5. А =
7. А =
'4 -5
2s*
' 3
1
°1
5 -7
3
2.
A =
-4
-1
0
6 -9
4.
u
-8
-2j
' 1 2
•4'
"4
-1 -
-2Л
to
1
to
-2
4.
Л =
2
1 -
-2
CN
1
1
1
>
I1
-1
0
1 -1
г
'0
0 г
CD
1
CN
1
13
6.
Л =
0
1 0
-1 -4
8J
lo
0 lj
1 -3
4N
( 4
1 г
4 -7
8
8.
Л =
2
4 1
6 “7
?J
.0
1 4
У


Задачи для типовых расчетов
61
г7
-12
6"
г 2
-1
2 "
9. А =
10
-19
10
10. А =
5
-3
3
I*2
-24
isj
1-1
0
-V
'2
-5
-3N
(4
-4
2 N
11. А =
-1
-2
-3
12. А =
2
-2
1
1з
15
12J
1-4
4
-V
Г-1
3
-1>
"0
1
0"
13. л =
-3
5
-1
14. Л =
-4
4
0
1-3
3
О
CN
1
1
2J
"0
1
0"
"7
CN
1
0)
15. А =
-4
4
0
16. А =
-2
6
CN
1
1-2
1
2J
1о
-2
5J
"5 6
со
1
"0
0
г
II
-1 0
1
18. А =
0
1
0
1 2
lj
1°
0
V
"0
1
0"
II
о
CN
-4
4
0
,-2
1
2,
"4
-5
21
f1
-3
4"
21. А =
5
-7
3
22. А =
4
-7
8
16
-9
4J
[б
-7
V
Г1
-3
3"
"2
1
0"
23. Л =
-2
-6
13
24. А =
1
2
0
I-1
-4
sj
1
У
"2
1
_11
f 7
-4
-2"
25. Л =
1
2
-1
26. А =
-2
5
-2
1°
0
О
1°
0
9J
"4
-3
3"
Г5
-1 г
II
CN
1
2
1
28. А =
0
2 1
1‘
2
2j
1°
2 -lj
"3
0
0"
1
1
-11
29. А =
-1
-2
1
30. А =
-1
1
1
1
3
4J
1 1
3
-lj


62
Глава 3. Элементы линейной алгебры
Задача 3.4. Приведите квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием, укажите ее тип и линейное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.
1. ххх2 + 2ххх3 +4х2х3.
2. х\ +3*2 + *з + 2*t*2 -&схх3.
3. ххх2 +х2х3.
4. х\ + х\ + х3 + ххх2 + ххх3 +х2х3.
5.' х\ + х\ + 5х3 + 2ххх2 -2*t*3 + 4*2*3.
6. х\ + 4*2 + х\ -4ххх2 +2хххъ.
7. х\ + х\ + х3 -2ххх2 + 2ххх3 -2х2х3.
8. Зхх + 4*2 + 5*з +4xtx2 -4х2х3.
9. х\ +2x1 + 3*з -Аххх2 -4*2*3.
10. х\ + 4*2 + *з -кххх2 + 2*!*3.
И. Зх\ + 4*2 +5x1 +4*1*2 + 4*2*3.
12. х\ + х\ -х\ -4*1*3 +4х2х3.
13. х\ + х\ + 3*з + 2xtx2 + 6xtx3 -6х2х3.
14. х\ + х\ + Зх3 +2ххх2 -6х{х3 + 6*2*3.
15. 4хх + 5*2 + Зх3 -8ххх2 +8х2х3.
16. x\ + х\ + х3 + 4ххх2 + 4ххх3 +4х2х3.
17. х\ + х\ + 5х3 -6ххх2 + 6*!*3 -6х2х3.
18. х\ + х\ + Зх3 -2ххх2 +6ххх3 -6*2*3.
19. 8*!*3 + 2*2*3.
20. х\ + 7х\ +х\ -8*^2 -16*^3 -8*2*з.
21. х\ + 3*з -4*2*3.
22. х\ -7*2 +*з -4*1*2 -2xtx3 -4*2*3.
23. -2х\ +5*2 -2*з +4*!*2 + 4*2*3.
24. х\ +х\ +х\ —2*!*2 -2*^3 -2*2*з.
25. Мх\ +5*2 +2*з +16*!*2 +4*t*3 -20*2*з •
26. 2х\ +2*2 +2*з -8*1*2 + 6*2*3.
27. х\ +х\ +*3 —2*!*2 +4*!*3 -4*2*з.
28. —4*j* 2 +4*!*3 + 4*2*3.
29. 2*t*2 +2*!*3 +2*2*3.
30. *2 +*3 -2*j*2 ”2t*3.


ГЛАВА 4 Векторная алгебра
Геометрическое изображение векторов в линейном пространстве Я3
Векторы линейного пространства R3 изображаются направленными отрезками. Если задать прямоугольную декартову систему координат, то векторы
т
f°]
"0"
I =
0
> ] =
1
и k =
0
W
W
W
образующие в R3 ортонормированный базис, изображаются взаимно перпендикулярными отрезками единичной длины, сонаправленными с координатными осями Ох, 0у и Оz соответственно. Тогда вектор a=xi +yj + zk пространства R3,
разложенный по этому базису, можно изображать отрезком 0%1 с началом в начале координат и с концом в точке М(х; у\ z) (рис. 4.1). Координаты вектора а являются проекциями вектора Oltf или точки М на координатные оси.
ЗАМЕЧАНИЕ 4.1 Для векторов из пространства /г3 часто используют обозначение а ={х; у\ z}, где х, у, z — координаты вектора.


64
Глава 4. Векторная алгебра
Начало направленного отрезка, являющегося изображением вектора Й, может параллельным переносом помещаться в любую точку пространства. Проекции вектора на координатные оси при этом не изменятся. Если началом направленного
отрезка является точка А(хх; ух\ zx), а концом — точка В(х2; у2\ ^2 )> то вектор
—►
а = АВ имеет координаты
а - АВ -
rx2 -ххл
У2 -У X
VZ2 ~ZX J
Линейные операции с направленными отрезками (векторами)
Линейными операциями с направленными отрезками (век- а
торами) являются следующие:
□ Сложение (рис. 4.2):
а + Ъ =
(*Л
гх2'
fxx +х2 л
Ух
+
У 2
=
Ух +У 2
<Z2 >
+Z2 J
□ Вычитание (рис. 4.3):
fx^
M
r xx
~ X 2 '
Sii
1
см
II
Ух
-
У 2
=
Ух
-У 2
^zl>
^Z2 >
vzi
Z2 ,
□ Умножение на число (рис. 4.4):
M
(ь*А
II
2/i
=
ky\
^zi ,
Компланарные векторы. Правая и левая тройки векторов
Векторы
M
rx2"
м
a =
Vi
<2i j
, b =
У 2
\Z2 j
И
С =
Уз
\z3 ,
Рис. 4.3
называются линейно независимыми, если сха + с2Ь + с3с =0 <=> сх =с2 =с3 =0. В противном случае они линейно зависимы.


Модуль вектора. Направляющие косинусы
65
Три линейно зависимых вектора в пространстве R3 называются компланарными. Векторы Й, Вне компланарны тогда и только тогда, когда один из них, например я, можно представить в виде а = ab + рс, где аир— числа.
Геометрически три линейно зависимых вектора Й, 6, с изображаются направленными отрезками, параллельными одной плоскости.
Пример 4.1. Являются ли векторы а, b и а +Ь компланарными?
Решение: из правила сложения направленных отрезков следует, что эти векторы параллельны одной плоскости. Следовательно, они компланарны.
Базис в R3 образуют любые три линейно независимых (некомпланарных) вектора.
Тройка некомпланарных векторов называется правой (базисом с правой ориентацией), если кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, когда смотришь из конца третьего вектора. Если же кратчайший поворот от первого вектора ко второму происходит по часовой стрелке, то тройка некомпланарных векторов называется левой (базисом с левой ориентацией). На рис. 4.5, а тройка векторов Й, Ь, с правая, а на рис. 4.5, б — левая.
Рис. 4.5
Модуль вектора. Направляющие косинусы
Норма вектора
а =
У
\ZJ
которая выражается через координаты вектора по формуле ||Й|| = ^х2 +у равна длине направленного отрезка, являющегося изображением вектора.
2 2 + Z,
ЗАМЕЧАНИЕ 4.2 Норму вектора пространства Я3 чаще называют модулем вектора. Для модуля вектора а используют обозначение | а |.
Ориентация направленного отрезка в пространстве определяется углами а, р и у, которые он образует с координатными осями 0*, 0г/, 0z соответственно (рис. 4.6).
3 № 6822


66
Глава 4. Векторная алгебра
Косинусы этих углов cos a, cos р, cos у называются направляющими. Направляющие косинусы вектора а определяются через его координаты по следующим формулам:
х
cos а =
cosp =
cosy =
г
х2 + у2 +z2
У
х2 +у2 + z2
д/х2 4-у2 +z2
Из формул для направляющих косинусов ясно, что если вектор образует с координатной осью острый угол, то соответствующая его координата положительна, а если этот угол больше 90°, то соответствующая координата отрицательна. Например, вектор
-2,7Л
а =
5,2
1,25
образует с осями 0у и 0z острые углы, а с осью Ох — тупой.
Направляющие косинусы удовлетворяют соотношению
cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1.
Пример 4.2. Может ли вектор образовывать с координатными осями углы 60,
120 и 135°?
Решение: cos2 а + cos2 р + cos2 у = жет.
+ -
1
'к
1 1 1 , „
— —I 1— = 1. Да, мо-
4 4 2
Коллинеарные векторы
Два линейно зависимых вектора в пространстве R3 называются коллинеарными. Если векторы аи Ь коллинеарны, то один из них, например Й, можно представить в виде а = аД где а — число.
Коллинеарные векторы изображаются параллельными направленными отрезками. Для коллинеарных векторов используется такое же обозначение, как и для параллельных отрезков, а \ \ b.
Если заданы координаты векторов
hi
f*0
а -
Vi
Я
II
Уг
\Z2 у
то условие их коллинеарности можно записать в виде


Скалярное произведение векторов и его свойства
67
У 2
Пример 4.3. Выяснить, при каких значениях р и q векторы
{рЛ
f2'
а =
1
и b =
CN
1
I-1.
коллинеарны.
Решение: из условия коллинеарности векторов следует — = — = — = 2, или — = 2,
2 q -1 2
1 о / 1
- = 2, а тогда р = 4, q = -.
q 2
Ортом вектора называется вектор, сонаправленный с данным, модуль которого равен 1. Ортом вектора а будет вектор
_ 1 _ е = гч'а-
а\
Пример 4.4. Найти орт вектора
а =
1
-2
v-2,
Решение: поскольку модуль вектора | а\ = Vl + 4 + 4 = 3, его орт имеет вид
f 1 л
е =
Скалярное произведение векторов и его свойства
Если
М
3 =
Ух
II
t-c>
S
1/2
yzi У
— векторы пространства R3, то их скалярное произведение вычисляется по формуле


68
Глава 4. Векторная алгебра
(a, b) = x1x2 + yty2 +z,z2
и подчиняется следующим законам:
1) (й, Ь) = (Ь, а);
2) (й + fe, с) = (а, с) + (6, с);
3) (аЙ, 6) = (Й, аб) = а(Й, fe), а — число;
4) (й, й) >0;
5) если для ненулевых векторов Й и Ъ скалярное произведение (Й, 6) = 0, то векторы аиЬ — ортогональные.
ЗАМЕЧАНИЕ 4.3 Для скалярного произведения в пространстве Я3 наряду с обозначением (Й, Ь) используется обозначение а • Ь.
Геометрический смысл скалярного произведения
Скалярное произведение векторов Й и Ь можно вычислить по формуле
(Й, Ь) = | Й| *161 - cos а, где а — угол между векторами Й и Ь.
Для скалярного умножения векторов справедливы формулы сокращенного умножения, например:
1. (Й + 6, Й-6) = (Й, Й)-(6, Ь) =|Й|2-|Ь\2.
2. (Й±6, Й±6) = (Й, Й)±2(Й, b) + (b, £)=|Й|2±2(Й, й)+|й|2.
Пример 4.5. Вычислить скалярное произведение векторов q =2Й + 36 и с2 = = -4Й + Ьу если
"2"
' 1,5 >
а =
-3
и b -
-1
UJ
1-2-4J
to
'1,5]
f 8,5 "
f2]
45 ^
"-6,5"
Решение: q = 2
-3
+ 3
-1
=
-9
; c2 = -4
-3
+
-1
=
11
11J
1
to
'bs
1-5.2J
10
I-2.4J
[-6,4 J
(с,, с2) = 8,5 • (-6,5) + (-9) • 11 + (-5,2) • (-6,4) = -120,97.
' 3"
т '
Пример 4.6. При каком значении т векторы а =
-2
И 6 =
4
ортогональны?
10
[o,sJ


Скалярное произведение векторов и его свойства
69
Решение: (Й, Ь) = 3 т+ (-2)- 4 + 10,5=3/72-7,5. Из условия ортогональности векторов (а, Ь) = 0 следует: Зга-7,5 = 0, или га = 2,5.
г 3 >
"0,6"
Пример 4.7. Найти 12а + 361, если а =
-2
, ь =
0,8
{4Л)
со
"0,6>
' 2-3+3 0,6 "
00
Г'-*'
Решение: 2й + 36 =2
-2
+ 3
0,8
=
2 (-2) + 3 0,8
=
-1,6
[o,5j
{ал}
к2-0,5 + 3-4,1;
ll3.3j
|2Й + з5| = д/7,82 + 1,62 + 13,32 = ^240,29.
Пример 4.8. Найти (с,, с2), если с, = 5а + Ь;с2 = 45 - 6; | Й| = 2, | 61 = 3, угол меж- ду векторами а Ь = 120°.
Решение:
(ct, с2) = (5Й + 6, 4Й-6) = 20(Й, Й) +4(6, Й)-5(Й, b)-(b, Ь)- = 20|й|2-(й, 6)-|6|2 = 20| Й|2 —| Й| *| 61 * cos 120° -|6|2 =80 -2 • 3(-0,5)-9 = 74.
Пример 4.9. Вычислить | с\, если с = 5/3 -2q ,\р\ =3, |#| =4, р q = 60°.
Решение:
|с|2 = (с, с) = (5р -2#, 5р-2<7) = 25(р, р)-20(р, ?) + 4(^, <?) =
= 251Р|2 -20| -| • cos(Jj А^) + 4| q\2 = 25 • 9-20-3-4-cos60° +4-16 = 169.
Тогда| с| = Vl69 = 13.
Угол между векторами
Косинус угла а между векторами Й и b вычисляется по формуле
(Й, Ь)
cos а =
\a\-\b\
Пример 4.10. Найти внутренний угол А и внешний угол В в треугольнике ABC, если А(2; -1,4),В(4; 0,2)иС(2; -3,1).
Решение: внутренний угол Л в треугольнике ABC — это угол между векторами Хв и AlC. Внешний угол В в треугольнике ABC — это угол между векторами АВ и вЬ (рис. 4.7).


70
Глава 4. Векторная алгебра
В
Рис. 4.7
Здесь
CN
1
"2"
'2-2'
"0N
Г2_41
f-2\
ЬсГ
II
0 + 1
=
1
CY
II
-3+1
=
-2
CY
II
о
1
со
1
=
-3
1
CN
CN
1
[l-4j
l-3j
N
CN
1
1-lJ
Считается, что угол определен, если найдена любая из тригонометрических функций этого угла, например косинус. Поэтому
cos /.А =
2 • 0 + 1 • (-2) + (-2) • (-3)
cos ZB =
(ЛД, АС) _
\аЬ\.\аЬ\ л/22 +12 +(-2)2 .л/02+(-2)2+(-3)2
0-2+6 4 4
л/4 + 1 + 4-л/0 + 4 + 9 л/9л/13~зЛз’
2 • (-2) + 1 • (-3) + (-2) • (-1)
(АВ, ВС)
|ЛЬ|.|ЯЬ| л/22 +12 +(-2)2 -л/(-2)2 + (-3)2 +(-1)2 ”
-4-3 + 2 _ -5
~ VT+T+4 • V4 + 9+I ” Зл/14 "
Пример 4.11. Найти угол между векторами а+b и а-Ь, если \а\ = 1, | /; =6, a = ab =60°.
Решение:
cos а =
\а\2-\Ь\:
(а + 6, а-b) _
|2 + *|-|а-5| д/|«]2+2(й, Ь)+\Ь\2 -Via|2-2(4 6)+|6|2
I2 -62 -35
VI2 + 2• 1 • 6• cos60° +62 -Vl2 -2-1-6-cos60° +62 V43 л/31
Проекция вектора на направление другого вектора
Проекция Пр - а вектора а на направление вектора Ъ (рис. 4.8) вычисляется по формуле
(а, Ь)
Пр-Й = | й| • cos а =
I Ь\


Скалярное произведение векторов и его свойства
71
Пример 4.12. Найти проекцию вектора а +2Ь на вектор MjV, если
, М(3; -2; -5), ЛГ(3; 4; 3).
м
f 2 '
а =
3
II
-6
1-lJ
,2j
Решение: найдем векторы
(-4)
"2"
'-4 + 4^
f°'
co
1
CO
"0"
a + 26 =
3
+ 2
-6
=
3-12
=
-9
; Л tN =
4 + 2
=
6
1-lJ
UJ
1-1 + 4,
CO
^3+5,
w
Тогдапр ,Д.^-(^^,ДГЛГ)_0.0,(-9).6,3.8_-30_ ,
Л |Л/ЛГ| л/02 + 62 + 82 10
Работа, производимая силой по перемещению материальной точки
Пусть сила / приложена к точке М. Если ввести вектор перемещения s = АЙУ (рис. 4.9), то работа А, производимая силой / по перемещению точки М в положение N, вычисляется по формуле
Пример 4.13. Вычислить работу равнодействующей трех сил fv /2, /3, приложенных к точке М(1; 1; 3), если точка под действием этих сил переходит в положение точки N( 1; 2; -3)и векторы сил равны:
' 0,3"
"0,5"
"0,7"
-2,2
; Л =
4,4
; /з =
0,8
1-1-5 J
1-2,lj


72
Глава 4. Векторная алгебра
Решение: вектор перемещения
f 1-1 N
ГОЛ
s=A?N =
2-1
=
1
со
1
СО
1
1-6)
Равнодействующей трех сил является их сумма:
"0,3+ 0,5+0,7 '
1,5)
7 - 7i + 7г + 7з -
-2,2 + 4,4 + 0,8
=
3
^—1,5 -2,1 + 3,6^
1 0 J
Тогда работа А, производимая силой /, равна
Л=(/, ?) = 1,5 0 + 3* 1 + 0-(-6) = 3.
Векторное произведение векторов и его свойства
Векторным произведением векторов
''х2>
а =
Vi
и
Ь =
Уг
V22 ,
пространства jR3 называется вектор, который обозначается \а> t] и координаты которого можно найти по формуле
[a, b] = (ylz2 -y2zi)i ~(xlz2 -х2гх)] + (xly2 -x2yx)k.
Правило вычисления координат векторного произведения можно записать в виде определителя, который следует вычислять, раскладывая его по элементам первой строки:
[а, Ь] =
Х2 У 2 Z2
Свойства векторного произведения
Векторное произведение подчиняется следующим свойствам:
1) [й, Ь] = -[6, 2];
2) [а + Ь, с] = [а, с] + [Ъ, с];


Векторное произведение векторов и его свойства
73
3) [aa, b] = [a, а6] = а[Й, Ь]\
4) если векторы а, Ъ ненулевые, то [а, Ь] = б о а\ \ Ь.
ЗАМЕЧАНИЕ 4.4 Для векторного произведения наряду с обозначением [а, Ь] используется обозначение а х b.
Пример 4.14. Вычислить [cv с2 ], если сх = а -36, с2 = -2а + 6,
f1!
0
и b =
i
v3j
w
Решение:
M
T
"-4"
M
f1]
' 3"
0
-3
l
=
-3
, c2 — 2
0
+
1
=
1
CO
w
l-3j
UJ
i ] k
f 15 1
II
t3T
CO
1
CO
1
1
= (l2 + 3)T-(16 + 9);+(-4 + 9)£ =
-25
3 1 -4
5 J
Геометрический смысл векторного произведения
Для вектора с = [Й, 6] (рис. 4.10) справедливо следу- ck ющее:
1) с±а; с±Ь;
2) | с\ =| Й| 161 sin а, где а — угол между векторами а и 6;
3) a, by с — правая тройка векторов. а
Пример 4.15. Найти | [си с2 ]|, если Рис. 4.10
сх =45-26, с2 - -ал- 36, | й| =| 6| = 2, а^Ь - 30°.
Решение: в соответствии со свойствами векторного произведения
[clf с2] = [4й-26, -Й + 36] = -4[Й, Й] + 2[6, Й] + 12 [Й, 6]-6[6, 6]. Так как [Й, Й] = 0 , [6, 6] = 0 и [6, Й] = -[Й, 6], получим:
|[с„ с2]| = |-2[а, 6] + 12[й, 6]| = ю|[4 6]| =
= 10|3|- Ь sin(a й) = 10-2-2 sin30° =20.


74
Глава 4. Векторная алгебра
Вычисление площадей параллелограмма и треугольника
Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, равна
b sin а =
[а, Ь}\.
*-р= *
Площадь треугольника, построенного на векторах а и 6, равна
Пример 4.16. Вычислить площадь треугольника ABC, если А (2; -2; 3), В (-3; -6; 0), С (4; -3; -1).
Решение: треугольник ABC образован векторами
{~51
(2Л
II
ч
-4
и Кс =
1
1—^
ы
1-4J
Вычислим их векторное произведение:
t J k
' 13"
А*В, КС
=
-5 -4 -3
= 13г -26j + 13£ =
-26
L J
2 -1 -4
I 13 J
Тогда площадь треугольника вычисляется по формуле
$АВС *
АВ, АС
= — л/132 +262 + 132 = — S. 2 2
Вычисление момента силы
Если вектор силы / приложен к точке А, то момент М этой силы относительно точки О (рис. 4.11)
М =
Пример 4.17. Вычислить момент силы
'-1'
/ =
\1’5у
Рис. 4.11
приложенной к точке А(3; -2; 7) относительно точки О (-1; 2; 1). Решение: определим координаты вектора
О А =
V6,


Векторное произведение векторов и его свойства
75
и вычислим момент силы, используя приведенную формулу:
k
М =
ОАу /
г j 4-4 6
-1 2 1,5
= -18г -12;+ 4^.
са
Нахождение вектора, ортогонального двум данным
Иногда в задачах требуется найти вектор, ортогональный двум данным. Если вектор с ортогонален двум векторам (с _L Й, с _L b), то этот вектор коллинеарен их векторному произведению, то есть с11 [Й, Ь] (рис. 4.12).
Пример 4.18. Найти вектор р, ортогональный векторам
f1]
"-7N
а =
2
X
II
0
UJ
г
to
для которого (р, с) = 3, где
с =
/1N
1
Решение: вектор р коллинеарен векторному произведению [Й, Ь]> следовательно, р = а • [Й, Ь]. Поскольку
[й, 6]=
то
* J
k
Г 4 "j
1 2
3
= 4i -23/ +14£ =
-23
-7 0
2
114 J
f 4 1
' 4a "
p = a •
-23
=
-23 a
I 14 J
I 14a J
Так как (р, с) = 3, то 4а • 1-23а • 1 + 14а • 1 = 3, или -5а = 3, а =— = -0,6. Те-
5
перь можно определить координаты вектора р:
'-2,4) р= 13,8 -8,4


76
Глава 4. Векторная алгебра
Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанным произведением векторов а,Ь и с пространства R3 называется число, которое обозначают a bc и которое вычисляется по формуле
ab с =
Хп
У1 У 2 У 3
где
CN
*
со
а =
Ух
II
to
У 2
, C =
Уз
VZ1 >
KZ4 j
<. Z3 у
Смешанное произведение векторов Й, b и с представляет собой скалярное произведение векторов Й и [J, с] или скалярное произведение векторов [а, Ь] и с, то есть abc - {а, [Ъ, с]) = ([Й, 6], с).
Свойства смешанного произведения
Для смешанного произведения справедливы следующие свойства:
1. Смешанное произведение меняет знак, если меняются местами любые два вектора: ab с = -ас b = -Ь ас = -с b а.
2. Смешанное произведение не меняется при круговой перестановке векторов: а b с = с a b = b с а.
3. Если векторы а,Ь и с ненулевые, то а b с = 0 тогда и только тогда, когда векторы линейно зависимы (компланарны).
4. Если а b с > 0, то тройка векторов Й, Ь, с — правая; если аЪс< 0, то тройка векторов Й,6, с — левая.
Геометрический смысл смешанного произведения
Объем параллелепипеда, построенного на векторах Й,6, с, равен
Пар =\аЬс\.
Объем тетраэдра, построенного на векторах а,Ь, с, равен


Смешанное произведение векторов и его свойства
77
Пример 4.19. Лежат ли точки Л (2; -1; -3), J5(-4; 1; -2), С(0; -6; 3) и £>(-12; -2; 5) в одной плоскости?
Решение: точки Л, В, С и D лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы А*В, А*С, ЛЬ компланарны (рис. 4.13). Поэтому необходимо проверить, равно ли нулю смешанное произведение Хв £с ЛЬ:
АВ =
-6"
"-2"
"-14"
2
ч
CY
II
-5
; ЛЬ =
-1
0
UJ
00
АВ AC AD =
-6 2
1
(-6)(-
8)
-6 2
1
-2 -5
6
=
34 -17
0
-14 -1
8
<
34 -17
0
Следовательно, точки лежат в одной плоскости.
= 0.
Пример 4.20. Какую тройку образуют векторы 2г, j, k? Векторы i, k?
Решение: так как тройка векторов г, £ — правая, то смешанное произведение i j k > 0. Значит, смешанное произведение 2i j k = 2(г j k) > 0, и тройка векторов 2г, & — тоже правая. Тройка векторов j, г, к отличается от правой тройки г, у, & только порядком двух векторов. Следовательно, она левая.
Пример 4.21. Какую тройку образуют векторы Й, Ъ и с, если
(21
м
" 3"
а =
-1
II
to
1
, с =
-4
UJ
CN
1
Решение: вычислим смешанное произведение заданных векторов: й£с = -1 1 2 =-2- : ; =-2 (-5) = 10.
2
-1
0
2 -1
3 -4
-1
1
2
II
1
to
СО
-4
0


78
Глава 4. Векторная алгебра
Смешанное произведение векторов положительно. Следовательно, векторы образуют правую тройку.
Пример 4.22. Найти объем тетраэдра ABCD и высоту, проведенную из вершины В, если Л (1; -3; -5), В(-1; 2; -4),С(0; 0; -2),D(-6; -1; -2).
Решение: тетраэдр ABCD (рис. 4.14) построен на векторах
"-2"
Г-*
'-7N
5
II
ч
3
; ЛЬ =
2
10
UJ
UJ
Вычислим
D
AB AC AD =
-2
5
1
(-■
3)
-2 5
1
-1
3
3
=
5 -12
0
-7
2
3
<—
-1 -13
0
5 -12
-1 -13
V, =
= -65-12 = -77; АВАСЛЬ
77
6 '
Чтобы найти высоту ВК, воспользуемся формулой объема пирамиды
1
3'
где 50 — площадь основания, то есть треугольника ACD, а Н = ВК — высота, проведенная из вершины В на основание ACD.
77 -*• —>
Объем пирамиды вычислен: Vmp = —. Площадь основания 50 = |[аЬ, Л*С]|:
6
AD, АС
г j k -7 2 3 -13 3
= -Зг + 18j -19£. л/694
Поскольку S0 = ~|[АД ЛС]| = ^л/9+ 324 + 361 = —^—, то высота 2ЭДГ равна
я _ 3Нир _ 77 5„ л/694


Задачи для типовых расчетов
79
Задачи для типовых расчетов
Задача 4.1. Найдите координаты, модуль и направляющие косинусы вектора Хв.
1.
Л(1; 1; 3), 5(2; 2;3).
2.
Л(0; 1; 3), 5(1; 2; 3).
3.
Л(0;1;-1),5(1;2;0).
4.
Л(2; 2; 3), 5(3; 2; 4).
5.
Л(2; 1; 2), 5(3; 2; 2).
6.
Л(0; 1; 1), 5(1; 2; 2).
7.
Л(0; 1; 4), 5(1; 2; 4).
8.
Л(1; 1; 1), 5(1; 2; 2).
9.
Л(0;-4;3),5(1;-3; 4).
10.
Л(1; 2; 1), 5(0; 1;2).
11.
Л(2; 1; 3), 5(3; 2; 4).
12.
Л(0;1;1),5(1;2;2).
13.
Л (2; 1; 3), 5(3; 2; 4).
14.
Л(2; 0; 7), 5(0; 2; 4).
15.
Л(8; 2; -5), 5(7; 1; 4).
16.
Л(—2; 1; 3), 5(5; 1; 2).
17.
Л(2; -1; 4), 5(5; 2; 3).
18.
Л(3; 1; 3), 5(2; 2; -1).
19.
Л(2; 2; 3), 5(3; 1; 3).
20.
Л(0; 7; 3), 5(4; 7; -5).
21.
Л(4; -3; 2), 5(1; 2; 3).
22.
Л(5; 1; 1), 5(6; 2; 1).
23.
Л(0; 4; 2), 5(3; 6; -4).
24.
Л(1; 3; 2), 5(4; 6; 5).
25.
Л(0; -2; 1), 5(2; 0;3).
26.
Л(2; -2; 3), 5(2; 1;7).
27.
Л(1; 3; 3), 5(2; 4; 2).
28.
Л(2; 0; -1), 5(4; 2; 0)
29.
Л(1; 3; -2), 5(3; 2;0).
30.
Л(1; 3; -1), 5(3; 1; 0)
Задача 4.2. Вычислите скалярное и векторное произведения векторов ~с\ =2а-Ъ и С2 = -а+ 3$.
1.
а{- 2;
l;l}J{3;-2;4}.
2.
a{0
l;l}J{-l;-3;0}.
3.
а {-2;
1;1},3{0; -2; -5}.
4.
a{0
1;1}J{3;-1;0}.
5.
а{0 ; -
-1; -1}, S{1; -3; 8}.
6.
a{0
-1;-1},?{2;0;2}.
7.
а{0; -
1; -1>, S{1; 2; -1}.
8.
a{ 1
-l;0},S{-2; 1; 0}.
9.
а{~ 2;
1;2}J{1;0; -1}.
10.
a{0
l;l},S{-3;-l;l}.
И.
а{-2;
1; -2}J{-1;0;3}.
12.
a{ 1
-1; -l},S{-2;3; -1}.
13.
а{-1;
0;
14.
a{ 2
-1; 3>, S{0; 1; 1}.
15.
«{2; 1
-2}, S{-1;0; -2}.
16.
a{ 2
0;0}J{-3;1;1}.
17.
а{ 2; 1
0}, S{1; 1; 3}.
18.
a{ 1
-1; 0}, B{0; 3; 2}.
19.
а{2;1
-2}, ?{0; 1; 1}.
20.
a{l
0; -1}, Ъ{0\ 3; -1}.
21.
я{2; -
1; 4}, Ъ{-\\ 0; 0}.
22.
a{-
1; -1; -1}, S{0;0; -1}.


80
Глава 4. Векторная алгебра
23.
=11»
24. а{1;0; -1}, 3{-1;-3; 0}.
25.
27.
29.
а{1; 0; -1},3{-1; - 3; 0}. а{-1; -1; -1},£{0;0; -1}. а{2; -4;1},?{3;1; -2}.
26. а {5; 2; -2}J{3;3;4}.
28. а{2; 2; 1}, ?{-2; - 3; 0>.
30. а{0; 2; 1}, Ъ{2\ 1; -3}.
Задача 4.3. Заданы вершины треугольника ЛВС. Вычислите его площадь и коси¬
нус внутреннего угла 5.
1. 	Л(-1; 3; 3), 5(2; 2; 1), С(0; 3;-2).
Л(2; 3; -1), 5(0; 4; 5), С(-2; -2; 4).
Л(2; 1; 0), 5(3; 0; 3), С(2; -3; 7).
Л(-3; 1; 3), 5(1; 7; 2), С(7; 3; 3).
Л(0; 2; 1), 5(4; 0; 1), С(3; -4; 2).
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. 9.
10.
И.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. 21. 22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Л(0; -2; 1), 5(-2 Л(—1; 2; 1), 5(-4
0; 2), С(0; 1; 0).
2). -4). 1). 2).
-3; 1), С(5; 4;
Л(2; 3; -1), 5(-3; 4; 1), С(-2; 2;
Л(3; -4; 6), 5(1; -2; 6), С(-3; 5;
Л(4; -3; 2), 5(-1; 4; 3), С(6; 3; - Л(0; -3; 4), 5( 1; 1; -2), С(5; 0; 4). Л(2; -1; 0), 5(-2; 1; 1), С(2; 2; -1). Л(—1; 7; 1), 5(3; -1; -2), С(-5; 3; 1). Л(1; 1; 0), В(-2; 1; -3), С(-2; -2; 0). Л(2; 3; 4), В(-4; 3; 0), С(2; 6; 2).
Л(3; -2; 2), В(0; -1; 3), С( 1; 2; 2). Л(3; 4; -2), В(2; 1; 5), С(5; 2; -2). Л(5; 0; 4), В(4; -1; 1), С(7; 0; 2).
Л(2; -2; 2), В(3; 5; -7), С(4; 8; 0). Л(2; 2; 1), В(1; 1; -2), С(4; 0; -1). Л(-1; 2; 7), В(3; 1; 4), С{4; 5; 1).
Л(2; 1; 0), Я(1; 1; -3), С(4; 1; -2).
Л(2; 6; -4), 5(1; 3; -3), С(4; 4; -4). Л(—1; 2; 0), 5(1; 4; 5), С(-4; 6; 3). Л(2; -5; 2), 5(1; -3; 2), С(2; -3; 0). Л(-3; 1; -2), 5(2; 3; 2), С(4; -1; 7). Л(-6; 2; 2), 5(1; 3; -1), С(0; -4; 2).
Л(2; 1; 7), 5(-3; 0; 3), С(2; 4; 2).
Л(1; -1; 4), 5(3; 1; 2), С(3; 2; 1).
Л(2; 1; 5), 5(1; 3; 2), С(4; 5; 3).


Задачи для типовых расчетов
81
Задача 4.4. Выясните, компланарны ли векторы а, Ь, с. Если они не компланарны, то какую тройку (правую или левую) они образуют?
1. а{-2; 1; 1}, Ь{0; -2; -5 }, с{2; -1; -1}.
2. Йф; 1; 1},6{0; 4; -2},с{2; 1; 0}.
3. Й{2; 0; 1}, % 0; -1}, с{-2; -1; 4}.
4. а{1; -1; -1}, Ь{-2; 3; -1}, с{0; 1; 0}.
5. а{1; 1; 1},6{2; 3; 0}, с{3; -1; -1}.
6. а{-1; 0; -2}, Ь{-3; 2; -1}, с{2; 0; -2}.
7. 3{1; 0; 3}, £{0; 1; 1}, с{2; -1; 3}.
8. а{-3; 1; 4}, Ь{2; 0; 0}, с{-3; 1; 1}.
9. 2{1; 0; -1}, %, -1; -1},с{0;0; -2}.
10. 3{-1; 0; -2}, Ь{0; 0; -1}, с{-% 0; 3}.
11. а{-1; 0; -2}, 6{1; 0; -4},с{2;0; -2}.
12. а{1; 0; -2}, Ь{-3; 2; -1}, с{4; 2; -3}.
13. а{1; 2; 4}, 6{-3; 6; 4}, с{3; -6; 4}.
14. а{1; -1; 1}, 6{1; 1; 1}, с{2; 3; 4}.
15. а{5; 3; -1}, Ь{1; -2; 3}, с{2; 0; -4}.
16. а{-3; 3; 3}, fe{2; 1; 1}, с{19; 11; 17}.
17. а{1; 6; 5}, Ь{3; -2; 4}, с{7; -18; 2}.
18. а{7; -3; 2}, Ь{3; -7; 8}, с{1; -1; 1}.
19. S{2; 1; -1}, 5(1;-4; 1}, с{3;-2; 2}.
20. а{3; 1; -1}, Ь{-2; -1; 0}, с$; 2; -1}.
21. й{3; 3; 1}, b{i; -2; 1}, с{1; 1; 1}.
22. а^5; 3; 4}, 6{-1; -2; -1}, с{2; 1; 2}.
23. а{1; -2; 6}, Ь{1; 0; 1}, с{2; -6; 17}.
24. а{1; -1; -3}, Ъ{3; 2; 1}, с{2; 3; 4}.
25. а{1; 5; 2}, &{-1; 1; -1}, с{1; 1; 1}
26. а{4; 3; 1}, % -2; 1}, с{2; 2; 2}.
27. а{7; 3; 4}, b{-1; -2; -1}, с{4;2; 4}.


82
Глава 4. Векторная алгебра
28. 	й{4; 3; 1}, Ц6; 7; 4}, с{2; 0; -1}.
29 й{2; 3; 2}, 6{4; 7; 5}, с{2; 0; -1}.
30 й{-1; 2; 8}, 6{3; 7; -1}, с{2; 1; 1}.
Задача 4.5
1. Вычислите проекцию вектора а ={-3; 1; 3} на направление вектора А*В, где Л (7; 3; -2), 5(8; 2; -2).
2. Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам а-i + j +2k nb=2i+j + k.
3. При каком значении t векторы а = {6; 0; 12} и Ъ - {-8; 13; t) будут взаимно перпендикулярны?
4. Докажите, что точки Л(1; -1; 1), Д (1; 3; 1), С(4; 3; 1), D(4; -1; 1) являются вершинами прямоугольника. Вычислите длину его диагоналей.
5. В прямоугольном треугольнике ABC углы при вершинах А и С равны 60 и 90° соответственно, а длина гипотенузы равна 2. Вычислите скалярное произведение векторов АС и АВ + СВ.
6. Даны точки Л(0; -3; 4), В(2; 5; -1) и С(-4; 2; -2). Вычислите скалярное произведение векторов ЗЛ^ -2В*С и бв + 2Й4.
7. В треугольнике ЛВС заданы координаты вершин Л (-1; -2; 4), В (-4; -2; 0) и С(3; -2; 1). Определите его внешний угол при вершине В.
8. Найдите координаты вектора ру коллинеарного вектору q = {3; -4; 0}, если известно, что вектор р образует с осью Ох тупой угол и | р \ = 10.
9. Даны Л (1; 1; -1), В (2; 4; -1) и С(8; 3; -1) — координаты вершин треугольника ABC. Выясните, каким он является, прямоугольным, остроугольным или тупоугольным.
10. 	Проверьте, будет ли треугольник ABC с вершинами в точках Л (1; 2; 3), В(7; 10; 3) и С(-1; 3; 1) прямоугольным.
И. Найдите работу силы / = {4; -1; 1} на перемещении s = {5; 3; -2}.
12. Вычислите координаты вектора с, ортогонального векторам a = 2j - к и Ъ - -i + 2j - Зк и образующего тупой угол с осью 0г/, если | с| = л/7.
13. Найдите скалярное произведение векторов р = 2а- Ъ и # = 26 + 5, если а = -г + + 3j -Ik и Ь - 2i - j + 5k.
14. Найдите угол между векторами а + b и а - Ь, если а - Зг -7 +2knb = i + j - k.
15. Даны векторы Й = mi + Зг + 4k и 6 = 4г + mj - Ik. При каком значении т векторы Й и Ь перпендикулярны?
16. Найдите скалярное произведение векторов р =а-2Ь и q = 2а + Ь, если Й = 2г - -5j - 7k, b =5i + 2j -5k.


Задачи для типовых расчетов
83
17. Векторы аиЬ образуют угол —. Найдите дайну вектора а-2Ь, если | й| = 2, | Ъ \ - 1.
3
18. При каком значении t векторы р = а + tb и # = ^-tT> будут взаимно перпендикулярны, если а = 6 i + 2j - 3 k, b = 3 i -4k.
19. Заданы точки A(-2; 4; 0), 5(1; 3; -5), C(0; -1; 1) и вектор a - 3i + \0j-5k. Вычислите скалярное произведение векторов 2 AB - ЗАС и а + 2 Л С.
20. Найдите координаты вектора р, если он коллинеарен вектору Й = {1; 2; 1}, составляет острый угол с осью Ох и | й| = 3.
21. Найдите координаты вектора j3, если он коллинеарен вектору Й = {-4; 3; 2} и скалярное произведение его на вектор Ъ = {-2; -3; 3} равно 3.
22. Вычислите проекцию вектора р = {2; -1; 2} на ось, образующую равные острые углы с координатными осями.
23. Векторы Й и Ъ образуют угол 150°, | Й | = 2, | Ь\ = 3. Вычислите |Й + 6|и|Й-6|.
24. Вычислите работу, которую совершает сила / = {2; 1; 4} по перемещению материальной точки А(2; 1; -2) в положение В(-1; -3; 6).
25. Вычислите проекцию вектора Й = {5; 2; 5} на ось вектора Ъ = {2; -1; 2}.
26. Найдите скалярное произведение векторов (ЗЙ -26) и (5Й-6Ь), если | Й| = 4, 161 = 6 и угол между векторами аиЬ равен
27. Вычислите проекцию вектора Й = {-3; 1; 3} на направление вектора £в, где А(7; 3;-2), 5(8; 2;-2).
28. Заданы точки Л (-2; 4; 0), 5(1; 3; -5) и С(0; -1; 1) и вектор Й = Зг + 10./ -5^. Вычислите скалярное произведение векторов (2АВ - ЗСА) и (Й + 2АС).
29. Найти работу силы J на перемещении 5, если | /1 = 2,151 = 5, /А? = —.
6
30. Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах Й + 2Ь и й - ЗЪ, если a =6i + 3j -2k и b = Зг -2j + б£.
Задача 4.6
1. Векторы йи i образуют угол 30°, |Й| = 6, |b\ = 1 Найдите длину вектора р, равного векторному произведению векторов (7Й -26) и (2 а + 3£>).
2. Сила / = {2; - 4; 5} приложена к точке Л (4; -2; 3). Определите момент этой силы относительно точки 5(3; 2; -1).
3. Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах За-Ь и 2b - а, если | Й| = 3, 161 = 4, а угол между векторами Й и Ъ равен 150°.


84
Глава 4. Векторная алгебра
4. Найдите вектор 3, зная, что он перпендикулярен векторам Й = {0; — 1; 2} и % = {1; 3; 3} и его скалярное произведение на вектор р =3i -j+2k равно 8.
5. Найдите длину высоты треугольника ABC, опущенной из вершины С на сторону АВ, если А (2; 3; 4), В(4; 3; 2) и С( 1; 1; 1).
6. Даны векторы Й = {3; 1; -1}, 6 ={-2; 1; 4}. Вычислите векторное произведение векторов 6 и а -2г.
7. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах (Й + 36) и (ЗЙ + 6), если | Й| =| 6| = 1, а угол между векторами Й и 6 равен 30°.
8. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах й = {2; -1; 5}
и 6 = {2; 3; 6} как на сторонах.
9. Найдите вектор с, зная, что он перпендикулярен векторам Й = (2; 3; -1) и 6 = (1; -2; 3) и скалярное произведение его на вектор р - 2i - j + k равно -6.
10. Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах (Й + 36) и (ЗЙ + 6), если | Й| =| 6| = 1, а угол между векторами Й и 6 равен 30°.
11. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах Й = {2; -1; 5}
и 6 = {2; 3; 6} как на сторонах.
12. Найдите орт е, перпендикулярный векторам Й = {1; -1; 0} и 6 = {2; 1; -1}.
13. Вычислите векторное произведение векторов (46-Й) и (26 + ЗЙ), если Й = -i - j + 3k, b =2i -1 j + k.
14. Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам й = {3; -1; -1} и 6 = {0; 2; 1}.
15. Найдите единичный вектор, перпендикулярный векторам Й = {3; -1; -1} и 6 = 2 j + k.
16. Заданы точки А(0; 2; 0), В(3; 0; -4), С(2; 1; 1) и D{-1; -1; -1). Вычислите векторное произведение векторов (АЁ - 3ВС) и (CD + АС).
17. Найдите вектор d, зная, что он перпендикулярен векторам Й ={2; -3; 1} и 6 ={1; -2; 3} и что его скалярное произведение на вектор р -i + 2j + lk равно 10.
18. Заданы точки А( 1; 0; -3), В(-2\ 1; -1), С(2; -1; 0) и D(3; -3; 3). Найдите векторное произведение векторов (АВ + 3ВС) и (DC -АС).
19. Найдите орт е, перпендикулярный векторам Й = {2; 0; - 3} и 6 = {3; -1; -1}.
20. Раскройте скобки и упростите выражение (2 Й + 6)х (с-Й) + (6 + с)х (Й+ 6).
21. Раскройте скобки и упростите выражение(й+6 + с)хс + (й+6 + с)х 6 + + (6 —с)х Й.


Задачи для типовых расчетов
85
22. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах а и 6, если а = р + 4q, 6=2р-#,|р| = 7и|#| = 2,а угол между векторамиpnqравен 30°.
23. Раскройте скобки и упростите выражение i x(j + k)-^x(i + k)+kx (i + j + k).
24. Раскройте скобки и упростите выражение 2 г х (j х k) + 3j х (г х k) + 4&х x(ixj).
25. Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах 23 + 36 и Й -26, если | Й| = 6, 161 = 5, а угол между векторами Й и 6 равен 60°.
26. При каких значениях аир векторы 2i -aj + Akn^i -2j - k коллинеарны?
27. Вычислите площадь треугольника, построенного на векторах 2а-Ь и Й+6, если Й = i -2 j + 3k и 6 = -i - j + 3&.
28. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах Й- 36 и 4Й + 6, если | й| =| 6| = 2, а угол между векторами Й и 6 равен 30°.
29. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах Й + 6 и 2Й-36, если Й = 3i + j -2k и 6 = -2i -j + k.
30. Найдите вектор с, если известно, что он ортогонален векторам a = i + j -k и 6 = 4г - j +2k и что скалярное произведение его на вектор р = -Зг -2j -k равно 3.
Задача 4.7
1. Лежат ли точки Л(5; 7; -2) В(3; 1; -1), С(9; 4; -4) и D( 1; 5; 0) в одной плоскости?
2. При каком значении k точки Л (1; 0; 3), В (-1; 3; 4), С(1; 2; 1) и D(k; 2; 5) лежат в одной плоскости?
3. Вычислите объем треугольной пирамиды с вершинами в точках Л (0; 0; 1), 5(2; 3; 5), С(6; 2; 3),D(3;7; 2).
4. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах a = p-3q + r, b =2p + q-3r, с = р + 2q + г, где р, q иг — взаимно перпендикулярные орты.
5. Вычислите объем треугольной пирамиды с вершинами в точках Л (0; 0; 1), В{2; 3; 5), С(6; 2; 3)и£>(3; 7; 2).
6. Найдите объем параллелепипеда с вершинами в точках Л (2; 2; 2), В (4; 3; 3), С(4; 5; 4) и £>(5; 5; 6).
7. При каком значении m векторы Й = г + j + 6 = j + г + (ттг+ 1)£ и
с = г - j + компланарны?
8. Лежат ли точки Л (1; -2; 2), В (1; 4; 0), С (-4; 1; 1) и D (-5; -5; 3) в одной плоскости?
9. Заданы точки Л (1; 2; -2), В(3; 2; -1), С(0; 1; -2) и D(3; 2; 3). Найдите объем тетраэдра ABCD.


86
Глава 4. Векторная алгебра
10. 	Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах АВ, АС и АД если Л (5; 2; 0),5(2; 5; 0), С(1; 2; 4)иВ(-1; 1; 1).
И. Будут ли компланарны векторы а - {1; -2; -2}, Ъ - {-2; -1; -2}, с = {0; -5; -6}?
12. Проверьте, лежат ли точки А( 2; 3; 1), В (А; 1; -2), С( 6; 3; 7) и D(7; 5; -3) в одной плоскости.
13. Проверьте, лежат ли в одной плоскости точки с координатами А( 1; 1; 1), 5(2; 3; 1), С(3; 2; 1)иО(5; 9; 8).
14. Найдите объем тетраэдра, построенного на векторах а = {1; 2; 2}, Ь - {2; 1; 2}, с ={4; 8; 9}.
15. Найдите объем параллелепипеда, построенного на векторах Й = {6;3;4}, b={-1; -2; -1}, с ={2; 1; 2}.
16. Найдите объем тетраэдра, построенного на векторах а = {-1; —2; — 1}, Ь={ 4; 3; 6} и с ={2; 1; 2}.
17. Какую тройку (левую или правую) образуют векторы ЛД АС и ЛД если
Л (1; 1; -1), 5(2; 3; 1), С(3; 2; 1) и Z)(5; 9; 8)?
18. Вычислите объем тетраэдра с вершинами в точках А(1; 3; 6), 5(2; 2; 1), C(-l;0;l),D(-4;6;-3).
19. Проверьте, лежат ли точки Л (5; 2; 0), 5(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-l; 1; 1) в одной плоскости.
20. Компланарны ли векторы а = {3; 7; 2}, Ь = {-2; 0; -1}, с = {2; 2; 1}?
21. Проверьте, лежат ли точки Л (5; 2; 0), 5(2; 5; 0), С(1; 2; 4) и D(-l; 1; 1) в од¬
ной плоскости.
22. Вычислите объем тетраэдра с вершинами в точках Л (2; -1; -2), 5(1; 2; 1), С (5; 0; -6) и £>(-10; 9; -7).
23. Проверьте, лежат ли точки А(-1; 2; 1), 5(0; 1; 5), С( 1; 2; -1) и D(2; 1; 3) в одной плоскости.
24. Заданы точки Л (1; 0; 1), 5(2; 3; 5), С(6; 2; 3) и D(3; 4; 2). Найдите объем тетраэдра ABCD.
25. Заданы точки Л (1; 4; 0), 5(-4; 1; 1), С(1; -2; -21) и D(-5; -5; 3). Проверьте, лежат ли они в одной плоскости.
26. Заданы точки А(0; 0; 1), 5(2; 3; 5), С(6; 2; 3) и D(3; 7; 2). Найдите объем тетраэдра ABCD.
27. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах £в, АЬ и ЛЪ,
если Л (1; 2; -2), 5(-1; 4; 0), С (4; 1; 1) и D(5; 5; -3).
28. Проверьте, лежат ли точки А(-1; 2; -2), 5(-1; -4; 0), С(4; -1; -1)
и D(2; 5; -3) в одной плоскости.
29. Вычислите объем параллелепипеда, построенного на векторах а = {6; 3; 4}, 6 = {-1; -2; -1} и с = {2; 1; 2}.
30. При каком значении т векторы a = i+ 2 j + mk, b =-j + mi + k и с = 2 г +
+ m2 j + 4k компланарны?


ГЛАВА 5 Аналитическая геометрия на плоскости
Метод координат на плоскости
Если ввести на плоскости прямоугольную декартову систему координат х, у с началом в некоторой точке 0 (рис. 5.1), то точка М в этой системе координат задается ее координатами, то есть М(х; у). Вектор
а =
гхл
У.
на плоскости представляется в виде а = хх + yj, где х, у — его координаты в стандартном орто- нормированном базисе
f1!
'о
i =
j =
UJ
Расстояние г между точками Mt(xt; ух)иМ2(х2; у2)определяется по формуле
м{м0
r = ij(x2 —xt)2 + (у2 -ух)2.
Координаты точки М0(х0; г/0), делящей отрезок МХМ2 в отношении X = можно найти по формулам
М0М2
1 + Х
1 + А,
В частном случае для координат х0 и у0 середины отрезка MtM2 справедливы формулы
Ух +У2
Xл =-
У о ='
Линии на плоскости. Прямая на плоскости
Алгебраическое уравнение /(*, г/) = 0 является уравнением линии Ф на плоскости, если выполнены следующие условия:


88
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
1. Для любой точки М0(х0; у0) е Фсправедливо равенство f(x0, у0) = 0.
2. Для любого решения х0, yQ уравнения f(x, г/) = 0 точка М0(х0; у0)еФ.
ЗАМЕЧАНИЕ 5.1 Из определения следует, что линия на плоскости может быть задана алгебраическим уравнением, связывающим координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой линии.
Уравнения прямой на плоскости
Прямая на плоскости может быть задана следующими уравнениями:
□ Общее уравнение прямой Ах + By + С = 0. Вектор
п =
В
— нормальный вектор прямой (любой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой) (рис. 5.2).
□ Уравнение прямой с угловым коэффициентом у =kx + Ь, где k = tg а, а —
угол между прямой и осью Ox; b — ордината точки пересечения прямой с осью 0у (рис. 5.3).
□ Уравнение прямой с нормальным вектором А(х -х0) + В (у -у0) = 0, где
М0(х0; у о) — точка, принадлежащая прямой,
п =
уВу
— нормальный вектор прямой (рис. 5.4).
□ Каноническое уравнение прямой
х -хп
У-У о
, гдеМ0(х0; у0)— точка, на
т
прямой; s параллельный прямой) (рис. 5.5).
т п
направляющий вектор прямой (любой ненулевой вектор,


Линии на плоскости. Прямая на плоскости
89
□ Уравнение прямой в отрезках — + — = 1, где а — абсцисса точки пересечения
а b
прямой с осью Ох; Ъ — ордината точки пересечения прямой с осью 0у (рис. 5.6).
□ Нормальное уравнение прямой х cos а + у sin а - р =0, где cos а и sin а — координаты нормального вектора прямой, направленного из начала координат в сторону прямой; р — расстояние от начала координат до прямой (рис. 5.7).
Угол между прямыми
Если k{ и k2 — угловые коэффициенты двух прямых, то угол ср между ними определяется по формуле
ky —k2
tg Ф =
1 + k\k2
Если прямые заданы общими уравнениями Ах{ + Вху + Сх = 0 и А2х + В2у + + С2 =0, то угол между ними можно определять как угол между их нормальными векторами
А


90
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
Х-Х{ У-Ух х-х2
Если прямые заданы каноническими уравнениями = -—— и
щ щ т2
У-У 2
_ ^^ то уГОЛ межДу ними можно определять как угол между их направляю-
п2
щими векторами
м
rnui's
II
И 52 =
Точка пересечения прямых
Точку пересечения двух прямых, заданных общими уравнениями А{х + Вху + С = 0 и А2х + В2у + С2 =0, находят, решая систему
Ахх + Вху + = 0;
А2х + В2у + С2 = 0.
Расстояние от точки до прямой
Если прямая задана нормальным уравнением х cos а + г/sin а -р = 0, то расстояние г от точки М0 (х0 ;у0) до этой прямой равно
г =\xQ cos а + у0 sina -р\.
Общее уравнение прямой Ах + By + G = 0 приводится к нормальному виду умножением его на выражение ±—==L==, в котором знак выбирается противопо-
л]А2 л-В2
ложным знаку параметра С в общем уравнении прямой.
Пример 5.1. Написать уравнения высоты, проведенной из вершины Л, и медианы, проведенной из вершины В, треугольника ЛВС, если заданы его вершины А(-1; -5), 5(3; -1)иС(1; -2) (рис. 5.8).
Решение: для высоты АК используем уравнение прямой с нормальным вектором, где в качестве нормального вектора п возьмем вектор вЬ. Для медианы ВМ
используем каноническое уравнение прямой, где в ка-
v Рис. 5.8
честве направляющего вектора s возьмем вектор ВМ.
ТаккакВЪ=^ ^j, а точка Л(-1; -5 ) лежит на высоте АК, то ее уравнение будет
иметь вид -2(х + 1) — (г/ + 5) = 0, или, раскрывая скобки, -2х -у -7 =0, или 2х + у + 7 = 0.
Точка М является серединой отрезка АС. Ее координаты определяются по формуле


Линии на плоскости. Прямая на плоскости
91
_ -1+1 _л.
ХМ — ~
2
-5-2
= -3,5,
то есть М(0; -3,5). Теперь можно вычислить координаты вектора
вк =
0
1
00
СО
1
,-3,5 +1,
1-2,5 J
Подставляя его координаты и координаты точки 5(3; -1)в каноническое урав-
х-х0 г/ — г/о плг у + 1
нение = , получим уравнение медианы ВМ: = , или
т п -3 -2,5
-2,5* + 7,5 = —Зг/ - 3, или -2,5х + Зг/ + 10,5 = 0.
Пример 5.2. Написать уравнение сторон квадрата ABCD (рис. 5.9), если заданы координаты двух его смежных вершин А( 1; -1) и В(-2; 3).
Рис. 5.9
Решение: уравнение стороны АВ запишем, используя каноническое уравнение пря-
w х-х0 у -г/0
мои = —
АВ = получим
т
^-Зл
ч4,
и выбирая в качестве направляющего вектора s =
т)
п )
вектор
. Подставляя в уравнение координаты точки А вместо чисел х0 и г/0,
-—- = ^ + ^, или Ах - 4 = —Зг/ - 3, или Ах + Зу -1 = 0.
-3 4 у ^
Уравнения сторон AD и ВС получим, используя уравнение прямой с нормальным вектором А (х -х0) + В (у - у0) = 0, где нормальным вектором является тот
же вектор Хв.


92
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
Для стороны AD подставляем в это уравнение вместо х0 и у0 координаты точки А: -3(х -1) + А(у + 1) = 0, или Зх - Ay -1 = 0.
Для стороны ВС подставляем координаты точки В: -3(х + 2) + А (у -3) = 0, или Зх -Ау + 18 =0.
'А} (-А)
, ортогонален вектору АВ, что легко проверить,
Каждый из векторов,
-3
вычислив их скалярные произведения. На рис. 5.9 вектор AD =
так как он
составляет с координатными осями острые углы.
Теперь можно найти координаты точки Д прибавляя к координатам точки А координаты вектора ЛЬ: xD =1 + 4=5, yD = -1 + 3 = 2. Следовательно, D(5; 2).
Для стороны CD можно использовать уравнение прямой с нормальным вектором, поскольку известны принадлежащая ей точка D(5; 2) и нормальный вектор
Ab. Подставляя их в это уравнение, получим А(х -5)+ 3(у -2) = 0 и, раскрыв скобки, 4r + 3z/ -26 = 0.
Теперь можно использовать второй, ортогональный к вектору АВ, вектор (-АЛ
Аих = . Прибавляя его координаты к координатам точки А, найдем координа-
\3)
ты точки Ц, симметричной точке D относительно стороны АВ. Легко проверить, что координаты точки Д(-3; - А). Следовательно, условиям задачи удовлетворяет и квадрат ABCXDV симметричный квадрату ABCD относительно стороны АВ. Уравнение стороны СуЦ имеет вид А(х + 3) + 3(у + 4) = 0, или Ах + 3у +2А =0.
Пример 5.3. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку Р(8; 6) и образует с координатными осями треугольник площадью 12 квадратных единиц (рис. 5.10).
Решение: для уравнения искомой прямой следует использовать уравнение пря-
X U
мой в отрезках — + — = 1. Так как точка Р(8; 6) принадлежит этой прямой, то, а b
8 6
подставляя ее координаты, получим — + — = 1, или 8b + 6а = ab.
а b


Кривые второго порядка
93
Из условий задачи площадь треугольника, которая вычисляется по формуле S = -\a\\b\, равна 12. Тогда |я||6| = 24, и необходимо рассмотреть два случая:
ab = 24 и ab = -24.
24 24
1. Если ab = 24, Ь-—, то 8— + 6я=24. Сокращая последнее равенство на 6
а а
и умножая его на а, получим квадратное уравнение а2 -4а + 32 =0, которое не имеет вещественных корней, так как его дискриминант отрицателен.
2. Если ab = -24, b = -—, то 8—^ + 6а = -24, или а2 + Аа - 32 = 0. Решения этого
а а
уравнения ах = -8 и а2 = 4. Поскольку ab = -24, то Ь{ = 3 и Ь2 = -6. Подставляя эти значения а и b в уравнение прямой в отрезках, получим:
— + — = 1; Зх-8и +24 =0;
-8 3
- + -£- = 1, Зх -2у -12 = 0.
4 -6
Пример 5.4. Вычислить расстояние от точки М(5; 4) до прямой, проходящей через точки Л(1; -2) и 5(0; 3).
-> Г-1^
Решение: для прямой Л5 направляющий вектор s = Л5 =
уравнение имеет вид
х-1 у +2
v5,
, и ее каноническое
-1 5
5х w 3
нормальному виду -= + ~^= ——
л/26 Ш V26 определяется из соотношения
Преобразуем его к виду 5х + у - 3 = 0, а затем к
= 0. Тогда расстояние от точки М до прямой
г =
25 4
+
л/26 л/26 V26
26
л/26
= л/26.
Кривые второго порядка
В прямоугольной декартовой системе координат хОу кривая второго порядка задается уравнением второй степени
Ах2 +2Вху + Су2 + 2Dx + 2Еу + F =0, (5.1)
где В, Су DyEyF — заданные действительные числа. При этом числа Л, 5, С одновременно не равны нулю. Уравнение (5.1) называется общим уравнением кривой второго порядка. Если нет точек (х; у) с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (5.1), то говорят, что это уравнение определяет мнимую кривую второго порядка. Уравнение х2 л-у2 = -1 может служить примером уравнения второй степени, определяющего мнимую кривую, в данном случае мнимую окружность.


94
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
Эллипс
Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (рис. 5.11).
Если известны расстояние между фокусами Fx и F2 эллипса, равное 2с, и сумма расстояний от любой точки на эллипсе до фокусов, равная 2а, то в прямоугольной декартовой системе координат, где ось Ох проходит через фокусы fj и F2 (от Ft к F2), а начало координат находится посередине между ними, уравнение эллипса имеет вид, который называется каноническим
где числа а и b называются полуосями эллипса; а, b >О, Ь2 =а2 -с2. Вид кривой показан на рис. 5.12.
При а = Ъ эллипс представляет собой окружность радиусом а с центром в начале координат. Уравнение этой окружности


Кривые второго порядка
95
Эксцентриситетом эллипса называется число 8 = —. Для эксцентриситета эллип-
а
са справедливо неравенство 0 < е < X поскольку из определения эллипса следует, что 0 < с < а. Эксцентриситет окружности 8=0, поскольку для окружности а = b и с = 0.
Учитывая то, что эксцентриситет окружности 8=0, можно сделать вывод, что чем больше эксцентриситет эллипса, тем больше он вытянут относительно одной из осей симметрии.
Г ипербола
Гиперболой называется множество точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Выбирая систему координат так же, как и для эллипса, уравнение гиперболы можно записать в каноническом виде:
х2 у2
= 1,
где число а называется действительной полуосью гиперболы, а число b — мнимой полуосью; а, b > 0, Ь2 =с2 -а2.
Прямые у = ± — х являются асимптотами гиперболы. Вид кривой показан на а
рис. 5.13.
Эксцентриситет гиперболы е = —, где а — действительная полуось. Так как у ги-
а
перболы с > а, то ее эксцентриситет 8 > 1. Величина эксцентриситета гиперболы


96
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
определяет форму ее ветвей. При увеличении эксцентриситета увеличивается размах ветвей гиперболы.
Парабола
Параболой называется множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой.
Пусть точка F — фокус параболы, а прямая I — ее директриса и задано расстояние между ними, равное р. В системе координат хОу, где ось Ох проходит через фокус F перпендикулярно директрисе /, а начало координат выбрано посередине между ними (рис. 5.14), уравнение параболы имеет вид
Парабола не имеет асимптот. Эксцентриситет параболы равен 1 и не влияет на форму кривой. Вид кривой показан на рис. 5.15.
у2 =2рху р >0.
Ук
Ук
I
Р
2
Ох р_ 2
>
х
Рис. 5.14
Рис. 5.15
Частные случаи:
□ Уравнение пары пересекающихся прямых
а2х2 -Ъ2у2 =0 (а,Ь> 0), или у = ±—х.
b
□ Уравнение пары параллельных или совпадающих прямых
х2 -а2 = 0 (а > 0), или х = ±а; у2 -Ь2 — 0 (Ь> 0), или у = ±Ь.
□ Уравнение, определяющее точку


Кривые второго порядка
97
Пример 5.5. Построить кривую, заданную уравнением у2 -х2 =4.
Решение: разделив каждое слагаемое заданного уравнения на 4, запишем его
у2 х2
в виде = 1. Это уравнение задает на плоскости гиперболу с полуосями
4 4
а = b = 2. Гипербола с равными полуосями называется равнобочной, ее асимптотами являются биссектрисы координатных углов у = ±х.
х2
При у = 0 получим уравнение = 1, не
4
имеющее вещественных корней, то есть гипербола не пересекает ось Ох. При х = О
У2 4
получим уравнение = 1, имеющее корни 4
у =±2. Следовательно, вершины гиперболы Bt(0; -2), В2(0; 2) лежат на оси 0у (рис. 5.16).
Фокусы гиперболы расположены на той же оси, на которой находятся ее вершины. Из того, что с2 = а2 + Ъ2 = 8 и с = л/8 = 2л/2, следует, что координаты фокусов ^(0; -2л/2),
F2(0; 2л/2). Эксцентриситет гиперболы
6 = £ = 2^ = 72.
а 2
Преобразование координат на плоскости. Построение кривых, заданных общим уравнением
Если сравнить канонические уравнения эллипса, окружности, гиперболы и параболы с общим уравнением кривой второго порядка (5.1), то видно, что в них коэффициенты В - D = Е = 0. Если в этом уравнении D ф 0, Е ф 0 или В ф 0, то чтобы привести уравнение к каноническому виду, определить тип кривой и построить ее, необходимо сделать преобразование координат.
Если в уравнении (5.1) D ф 0 или Е ф 0, то центр симметрии эллипса или гиперболы, или центр окружности, или вершина параболы находятся не в начале координат, а в некоторой точке 0'(*0> У о)- Строить кривую в данном случае удоб-
IV = х-х0;
но, перенеся начало координат в эту точку, то есть сделав замену <
[У' = У-У0-
При такой замене в новой системе координат с началом в точке 0' и с осями 0'х' и 0'у' уравнение кривой будет иметь канонический вид.
Приведем уравнения различных прямых:
□ Уравнение эллипса с центром симметрии в точке 0'(-г0» У q ):
(лг-Жо)2 (г/ -г/о)2 а2 Ь2
4 № 6822


98
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
Уравнение гиперболы с центром симметрии в точке 0'(х0; у0):
(х-ЛГ0)2 (у-у о)2
а2 Ь2
здесь вершины в точках (а; 0) и (-а; 0);
= 1,
(*~*о)2 (У-Уо)2 1
a b
здесь вершины в точках (0; Ъ) и (0; - Ь).
□ Уравнение параболы с вершиной в точке O'(х0; у0):
(у-у о)2 =±2р(х-х0), ось симметрии параллельна Ох;
(х-х0)2 = ±2р(у -у0), ось симметрии параллельна 0у.
Знак «±» показывает направление ветвей параболы. Если в уравнении знак «+», то направление ветвей совпадает с направлением оси, которой параллельна ось симметрии параболы, а если «-», то направление ветвей противоположно направлению оси, которой параллельна ось симметрии параболы.
Пример 5.6. Построить кривую, заданную уравнением х2 +2х + 6у -2 =0, приведя его к каноническому виду.
Решение: преобразуем уравнение следующим образом:
(х2 + 2х) = —6у + 2; (х2 + 2х +1) = —6z/ 4- 2 4* 1;
(х + I)2 = -6у + 3; (х + I)2 = -6(у -0,5).
Получим уравнение параболы с вершиной в точке O'(-1; 0,5) и осью симметрии, параллельной оси 0у. Перенеся начало координат в точку O', получим в системе координат х'0'у' уравнение
(х')2 =-6 (у'), где параметр р определяется из условия 2/7=6, или р = 3.
Парабола симметрична относительно оси 0гуг или относительно прямой х = -1. Фокус параболы находится на ее оси и отстоит от вершины на Поскольку из
уравнения следует, что у' < 0, то ветви параболы направлены вниз и фокус F лежит на ^ = 1,5 ниже вершины, то есть его координаты jF(—1; -1).
Директрисой параболы является прямая, перпендикулярная ее оси и находящаяся на расстоянии ^ = 1,5 от вершины, причем фокус и директриса расположены
по разные стороны от вершины. Учитывая все это, можно записать уравнение директрисы у =0,5 + 1,5, или у =2. Кривая приведена на рис. 5.17.
Если в уравнении (5.1) В ф 0, то оси симметрии кривой не параллельны координатным осям. Чтобы получить каноническое уравнение кривой, необходимо повернуть систему координат.


Кривые второго порядка
99
Пример 5.7. Определить тип кривой, заданной уравнением 2х2 +2ху +2у2 + ^2х-^2у -5 =0, и построить ее.
Решение: рассмотрим квадратичную форму 2х2 +
+2ху + 2у2 и ее матрицу
2 1 1 2
. Определим соб¬
ственные числа матрицы из характеристического уравнения
2-Х 1
1 2-Х
= 0, (2-Х) -1 = 0, 2-Х = ±1.
Собственные числа Xt = 3, Х2 = 1. Найдем соответствующие собственные векторы из системы
(2 — Т^х + у = 0; лг + (2 - = 0,
подставив в нее собственные числа Х{ иХ2.
Если Х{ = 3, то
|(2-3)ж + г/ =0; Г-х + у=0;
[ж + (2-3)t/ =0; \ж-у=0;
Рис. 5.17
х=у.
Задавая у = 1, получим собственный вектор
Модуль этого вектора равен а/2.
Нормируя его, получим первый собственный вектор
/ 4 \
е< =
Если >*2 = 1 > ТО
V2
J_
V2.
\(2-f)x + y =0; Гж + г/ =0;
х=-у.
[ж + (2 -1)г/ =0; [л: + у=0;
/а
Задавая у = t получим собственный вектор . Модуль этого вектора равен V2.
I и
Нормируя его, получим второй собственный вектор нового базиса
А*


100
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
Перейдем к базису векторов et и ё2. Составим матрицу перехода
' i 1 4
Н =
л/2 л/2
J_ J_
.л/2 л/2 .
Координаты вектора *
ил
в новом базисе определяются из системы 1 4
/V
л/2 л/2
1 1
,л/2 л/2 ,
или
1 1 "1 \ 1,1,
х-Т2х-Т2у;
1,1,
У=Т2Х*Т2У’
где х' и у' — новые координаты вектора в базисе ех и е2.
В этом базисе квадратичная форма 2х2 +2ху+2у2 будет иметь видЯ^х')2 + + Х2 (у’ )2 = 3(х' )2 + (у' )2. Подставив в линейную часть уравнения заданной кривой выражения для х и у из последней системы, получим:
зоо2+(*/')2 +
-J2
\ / -л/2
1,1, -=*'+—у'
л/2 л/2
-5 =0;
3(^ )2 + 0у' )2 -2у' = 5; 3(дг' )2 + (г/'-1)2 = 6; ^ = 1.
1 О
Последнее уравнение является уравнением эллипса с полуосями а = л/2, Ъ = л/б и с центром симметрии в точке 0'(0; 1) в системе координат х'Оу\ определяемой ортонормированным базисом векторов е{ и е2.
Строить эллипс будем следующим образом:
1. 	Зададим произвольно систему координат хОу и построим в ней нормированные собственные векторы ех и е2.
и 0у' через векторы е{ и е2.
3. В системе координат х'Оу' отметим центр симметрии эллипса (У (0; 1) и проведем через него оси симметрии параллельно осям Ох' и 0у\
4. Построим эллипс с центром симметрии в точке 0'(0; 1) и с полуосями а = л/2 И * = л/б (рис. 5.18).


Кривые в полярной системе координат
101
Кривые в полярной системе координат
Полярная система координат задана, если заданы точка 0, называемая полюсом, и исходящий из полюса луч Ох, который называется полярной осью (рис. 5.19).
Положение любой точки М в полярной системе координат однозначно определяется ее полярными координатами: полярным радиусом р — расстоянием от полюса 0 до точки М и полярным углом ф — углом поворота полярной оси до совпадения с вектором ft&f (рис. 5.20).
В полюсе полярный радиус р = 0, а полярный угол не определен. Для всех точек плоскости, не совпадающих с полюсом, р > 0.
Полярный угол измеряется в радианах и считается положительным, если отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Полярный угол определяется с точностью до 2nky где k — целое число. Это означает, что точки с полярными координатами (р; ф) и (р; ф + 2nk) при целом k совпадают.
Если задана полярная система координат, то каждой паре чисел (р; ф^ где р > 0, соответствует точка плоскости, для которой эти числа являются ее полярными координатами. Если р > 0, то эта точка расположена на луче, составляющем угол Ф с полярной осью Ох, и на расстоянии р от полюса. Если р = 0, то эта точка совпадает с полюсом.
Из определения полярных координат следует, что уравнение р = г задает на плоскости окружность с центром в полюсе и радиусом г, а уравнение ф = а задает на плоскости луч, проходящий через полюс и составляющий с полярной осью угол а. В частности, уравнением полярной оси является ф = 0.
Если задать на плоскости прямоугольную декартову систему координат, поместив ее начало в полюс и совместив ось абсцисс с полярной осью, то, как легко видеть из рис. 5.20, декартовы координаты х и у будут выражены через полярные координаты из соотношений
fx =рсозф;
[у =psinq).
Если каждое уравнение системы возвести в квадрат и сложить их, то получим уравнение р2 = х2 + у2, из которого по заданным декартовым координатам можно определить полярный радиус.
Пример 5.8. Построить кривую, заданную в полярных координатах уравнением
р=ф.
Решение: кривая, заданная уравнением р = ф, называется спиралью Архимеда. Для ее построения зададим значения полярного угла и найдем из уравнения соответствующие значения полярного радиуса (табл. 5.1).


102
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
Таблица 5.1
Ф
п
2
Зп
~2
2 к
п
2
Зп
~2~
2п
На лучах ф=0, ф = ^, ф = я,ф = ^иф=2я (последний луч совпадает с полярной
осью) отложим соответствующие значения р. Из уравнения кривой следует, что если мы будем увеличивать ф, то р будет возрастать. Кривая построена на рис. 5.21. Пример 5.9. Построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением р = 1 + cos ф.
Решение: поскольку cos ф — периодическая функция с периодом 2л; то достаточно исследовать функцию при 0 < ф < 2я. Значения полярного угла и соответствующие значения полярного радиуса указаны в табл. 5.2.
Таблица 5.2
п
4
п
2
Зп
Т
5п
т
3 к
~2
7 к
т
2я
2
..л
2
1-
л/2
1 +
л/2
Отметим точки (ф; р) на плоскости в полярной системе координат и построим соответствующую кривую. Поскольку р (0) = р (2к), то кривая является замкнутой. Ее вид показан на рис. 5.22. Построенная кривая называется кардиоидой.
Рис. 5.21
Пример 5.10. Построить кривую, заданную уравнением (х2 +у2)2 =х2 -у2у перейдя к полярным координатам.
Решение: воспользуемся формулами, связывающими декартовы координаты с полярными координатами,
о 9 9 [х = р cos ф;
р =Х +у у <
[у =р81Пф.
Тогда уравнение заданной кривой можно записать в виде
р4 =р2 cos2 ф-р2 sin2 ф, или р4 =p2(cos2 ф-sin2 ф).


Кривые в полярной системе координат
103
Сокращая последнее уравнение на р2 и используя формулу cos 2ср = cos2 ср — sin2 ф, получим:
р2=соз2ф, или р = д/cos2ф.
2 п
Поскольку cos 2ф — периодическая функция с периодом — = к, то достаточно
71 К
исследовать кривую на промежутке -— < ф < —, длина которого равна периоду функции.
7Z
Функция определена при соз2ф > 0, что равносильно неравенству 2nk < 2ф <
< — + 2nk или nk < ф < - + nk, k е Z. Несколько точек на кривой, для которых 2 4 4
П' п
4’ 4.
вая при ф е
у указаны в табл. 5.3. По точкам построим часть данной кривой. Кри- 3п 5п~
получится поворотом построенной кривои на угол к, рав¬
ный периоду функции. Заданная кривая называется лемнискатой Бернуллиу она приведена на рис. 5.23.
Таблица 5.3
ф
п
0
п
~4
4
р
0
1
0
Пример 5.11. Построить кривую в полярной системе координат р = 1 -sin ф
Решение: заменой ф' = ф — приведем уравнение к виду р = 1 -этф'. В новой сис-
4
к
теме координат с полярной осью ф' = 0 или ф = — это уравнение кардиоиды, ана-
4
логичной построенной в примере 5.9. Вид кривой показан на рис. 5.24.


104
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
Кривые на плоскости, заданные в параметрическом виде
Параметрически задаются следующие кривые на плоскости: а Окружность
\х = Rcost;
[у = R sin£,
где R — радиус, х2 +у2 = R2 (рис. 5.25).
□ Эллипс
[х - acost; у = fcsin£,
X2 у2
где а и Ъ — полуоси, — + = 1 (рис. 5.26).
□ Астроида
x=acos t, у = b sin3 t,
где сц Ъ > 0 (рис. 5.27).
□ Циклоида
х - a(£-sin£);
\у = tf(l-cos£),
где а>0,Т = 2па — период (рис. 5.28).
Пример 5.12. Построить кривую, заданную уравнениями
\х = 312;
[у =3t3 -t.


Кривые на плоскости, заданные в параметрическом виде
105
Решение: при всех значениях t х > 0. Следовательно, кривая расположена в правой полуплоскости. Корнями функции являются хх = 0, так как уф) = 0 и х(0) = О,
а также х2 =i так как у ±
V3.
= 0 и х
При t —>±оо х -> +оо, а у ±оо. Значит, кривая не является однозначной и име¬
ет две ветви.
*т
. V3.
1
, то х е (0; 1), а у <0. Если t е| + оо
V3
О
. V3 .
, то х е (0; 1), а у > 0. Если t е
-оо; -
, тодге(1; +оо),ау>0. 1
’ л/3
, ТО X G (1; 4- оо),
Если t е Если t е а у <0.
Вычислим производные х' (t) и у’ (t), х' (£) = б£, у’ (t) = 9t2 -1 Поскольку произ-
1 1 водная у' (t) = 0 при t = ± - и меняет знак в этих точках, то t = ± - — точки экстремума (рис. 5.29). В этих точках
1
х
9
Кривая построена на рис. 5.30.
1 J_
з
max min
Рис. 5.29


106
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
Задачи для типовых расчетов
Прямая на плоскости
Задача 5.1. Напишите уравнение прямых, проходящих через точку М, одна из которых параллельна, а другая — перпендикулярна заданной прямой /.
Задача 5.2. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку М и через точку пересечения прямых /, и /2.
1. M(t -2); /,: 2х-у -\=0,12: х + 3у -4=0.
2. Af(-4;0); /,: х + у -2 =0; /2: х-Зу + 2 =0.
3. М(Х -1); lt: 7х-2у -5 = 0; 12: х-5у + 4 = 0.
4. М(4; 3); 5х-2у -1 = 0; /2:2х-3у + 4 =0.
5. М( 3; 3); /,: д: -2 г/ -1 = 0; /2: д: -7г/ + 4 = 0.
6. Л/(4; 4); 11:2х + 2у -2 =0; 12: х -Зу +5 =0.
7. М(0; - 3); /,: х + 4у - 3 = 0; /2: х + 5у + 4 = 0.
8. Л/(2; -2); /,: Зх + 2t/ -1 = 0; /2: х- 3|г/ - 4 = 0.
9. М(-2; 0); 2х + Зу + 5 = 0; /2: -х + 4у + 3 = 0.
10. 	М(£ -2)i /ji 2х + у + 6 = 0 j /21 3^ + 5г/ -15 = 0. И. М(2; 1); 2х -г/ + 3 = 0; 12: Зх + 5у +11 =0.
12. М(—1; -3); Зг + 2у -5 =0; /2: х — 2г/ + 1 = 0.
13. М(-1; 1); 1Х: 3* + 2у -5 = 0; l2: х-2у +1 = 0.
14. Л/(2; -3); 1Х: х + у-2 = 0; /2: х — 2г/ — 1 = 0.
15. М(4; 0); 1Х: х + 2у -5 =0; /2: х -2у + 2=0.
1. 	М(-2; 1), /: 3* -2г/+'12 =0.
3. 	Л/(3; -3), /: х + 2г/ -4 = 0.
5. 	М(-5; 0), /: -х + 2у+'9 = 0.
7. 	М(1; -1), /: 2х + 2г/+'1 = 0.
9. 	Л/(6; -\),1:2х - Зу + 4=0.
11. 	М(1; 1), /: ж -у+'Ю =0.
2. М(2; -1), /: х -у+'l = 0.
4. М(-1; 4), /: 2х -5г/+'2 =0.
6. М(4;-1),/:х + 4у-3 = 0.
8. М(2;0),/:-4х + 1/+'2=0.
10. Af(l; -3), /: -Зх-у+"2 =0.
12. M(3;-2),l:2x-3y + -2=0.
14. М(2;2),/:Зх + г/+'4=0.
16. M(-2;2),/:4x + i/-3 = 0.
18. М(-2; -2), /: 2х + 5у -2 =0.
20. М(2;-3),/:-2х + 5у-4=0.
22. М(5;1),/:-2х + 5г/-2=0.
24. M(l;6),l:-2x + y =0.
13. 	M(-l; 1), /: х + г/+'2 = 0.
15. 	М(2; 1), /:х + 4г/+'1 = 0.
17. 	М(3; -1), /: Зг - г/+'2 = 0.
19. 	М(1; -5), 1:3х + Зу+"2 =0.
21. 	M(-3\-4),l:x-3y-5=0.
23. 	М(-2; 4), I: 4х + 2у -7 =0.
25. 	М(0; -3), /: 2х-5у + 21=0.
27. 	М(-4; 4), /: х + 5у +13 = 0.
29. 	М(3;3),/:-4х + г/-2=0.
26. М(2; 4), I: -х -5у -2 =0.
28. М(-3; 0), I: 4х -у +13 = 0.
30. М(1; 4), /: -2х + 5у -2 =0.


Задачи для типовых расчетов
107
16. М( 3; -2); /,: х-2у + 3 = 0; /2: Зх - у -1 = 0.
17. Af(0; 1); lt:x + 3y-7 =0; /2: -лс + г/-1=0.
18. М(1;0); /,: Ах-у -5 =0; /2: х + 2у -8 =0.
19. А/(-1; -4); 1{.2х - у - 5 =0; 12: х + у -7 =0.
20. М(2
21. М(2
-4); /,: Зж-у +10 = 0; /2: -х-у -2 =0.
-5); /,: Зх - Ау -5 = 0; /2: Ах + Зу -15 = 0.
22. М(2; 1); /t: -2г+ г/ -1 = 0; /2:2у +1 = 0.
23. М(1; -4); /,: -2* + 2у -11 =0; /2: 2х + 3 = 0.
24. М(-2; 4); /,: -*■ + 2у -1 = 0; /2: -7лг - Ay + 11 = 0.
25. М(2; 3); -х + у-А =0; /2: -7х-Ау -6 = 0.
26. Af(l; -4); lt: Зж-2у -8=0; /2: —Зл: + 4г/ + 4 = 0.
27. М(-3; 2); 1г: -Зх + Ay +1 = 0; /2: 7х -9у -3 = 0.
28. М(-3; 3); 1^.-Зх + Ay+ \А =0; 12: 7х-Ау-6=0.
29. М(1; 7); -2ж + 5г/ + 9 = 0; 12: Зх -Ау -3 = 0.
30. М(-1; 5); 5.г + Зу -1 = 0; /2: Ах + 5у + 7 =0.
Задача 5.3. Найдите расстояние от точки Р до прямой /.
их~2 -У+ 1 9 W_->9W-J*=2t_3;
* = t + 2;
2£ + 3.
3. Р(2; 3), /: 4. Р(3;2),/:{* *
у * 3 А У ’ \у = -
5. 6.
7. Р(3; -1), /: ^ 8. Р(1; 1), /: ^ = ~5;
-2 2 v 7 [y=3t + 2.
a 10. ^-з;Ц;:(_-г3;2
!3. ,4.
15. Р{-3; 1), /: 16. Р(-2; 1), /: ^ = _2* “ 3;
-6 8 • v / • ^ =4( + 5
х + 2 у + 2 4в ы 0>лЧ \x = -3t + 2;
у = At -1.
17. Р(3;-2)/:^р = ^р 18. Р(-3;0),/:|


108
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
19.
21.
23.
25.
27.
29.
Р(-2; 1), к Р(0; 2), /:
Р(-2; 0), /: Р( 1; -2), /: Р(-3; 1), /: Р(-2; 1) /:
2
ж + 3 -2
х +1
^2~
ж-1
^Г
х — 1 3
х — 3
-1
у-4
1
.у-3
4
.У- 5 2
.У-3 -1 '
1'
20.
22.
24.
26.
28.
30.
Р(0, -1), /: Р(1;-4>/: Р(1; 2), /: Р(-2; 1), /: Р(2; 3), /: Р(3; 4), /:
х =-At, у =3t-5. лг = 3t — 1; у = -21 + 4
х = t-1; у =2t + 4.
x=2t-3; у =—t + 2. х = —/ + lj У =2t-l. x = 3t-3; у = -4t +1
Задача 5.4. В треугольнике ЛВС составьте уравнения:
1) стороны ВС\
2) высоты, опущенной из вершины А на сторону ВО,
3) медианы, проведенной из вершины С.
1. 	Л(-3; 3), 5(5; 1), С(6; -2).
3. 	Л(2; 0), В(5; 3), С(3; 7).
5. 	А(2; 1), В(-1; -1), С(3; 2).
7. 	Л(-2; -1), 5(1; 1), С(4; 0).
9. 	Л(4; -2), В(1; 6), С(-3; 1).
11. 	Л(0; 4), В(-3; -2), С(0; 1).
13. 	А(-1; 1), 5(1; -2), С(3; 1).
15. 	А(2; 4), 5(1; 1), С(4; 2).
17. 	Л(3; 4), 5(2; 1), С(5; 2).
19. 	Л(2; 2), 5(1; -1), С(4; 0).
21. 	Л(2; 7), 5(1; 4), С(4; 5).
23. 	Л(2; 6), 5(1; 3), С(4; 4).
25. 	Л(2; 5), 5(1; 2), С(4; 3).
27. 	Л(-2; 2), 5(1; -1), С(4; 1).
29. 	Л(1; -4), 5(3; 2), С(-3; 1).
2. 	Л(2; -1), 5(4; 5), С(-3; 2).
4. 	Л(-3; 3), 5(5; 1), С(6; -2).
6. 	Л(0; 1), 5(-2; 2), С(3; -2).
8. 	Л(3; -1), В(-3; 1), 0(1; 4).
10. 	Л(4; 2), 5(-1; 3), С( 1; -2).
12. 	Л(2; 0), В(-2; 1), С( 1; -1).
14. 	Л(1; 1), 5(-2; -3), С(2; 0).
16. 	Л(3; 2), 5(-1; 3), С(1; -2).
1), С(7; 2).
-2), С(4 -3), С(4
18. 	Л(5;4), 5(4
20. 	Л(2; 1), 5(1
22. 	Л(2;0), 5(1
24. 	Л(—1; 0), 5(1; 5), С(4:
26. 	Л(-3; -2), 5(2; 2), С(4;
28. 	Л(2; 7), 5(-3; -3), С(3;
-1). -2). -3). 1). 1).
30. 	Л(2; 5), 5(1; 2), С(4; 3).
Задача 5.5
1. 	0(3; -2) — вершина прямого угла равнобедренного треугольника, 2у - 5х + + 1 = 0 — уравнение его гипотенузы. Напишите уравнения катетов этого треугольника.


Задачи для типовых расчетов
109
2. Найдите уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 6) и составляющей с осью Ох угол, вдвое меньший угла, который составляет с осью Ох прямая а/Зу - Зх + 5 =0.
3. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М( 1; -2) и составляющей с осью Ох угол, вдвое больший угла, который составляет с осью Ох прямая 43х - Зу + 13 = 0.
4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(-3; -3) и составляющей с осью Ох угол, втрое больший угла, который составляет с осью Ох прямая х - у - 17 = 0.
5. Вершины треугольника А(2; -1), В(4; 5), С(-3; 2). Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и центр тяжести треугольника ABC.
6. Вершины треугольника А(2; 0), В(5; 3), С(3; 7). Найдите уравнение прямой, проходящей через вершину В и параллельной медиане AM треугольника.
7. Вершины треугольника А( 1; -2), В(-1; 3), С(3; 2). Напишите уравнение прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.
8. Найдите основание перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую, заданную уравнением х - у - 17 = 0.
9. Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями х - 5у - 2 = 0 и Зх + 2у + 5 = 0.
10. 	При каком значении р прямые Зх-ру-3 = 0и2х + Ау-7 = 0 параллельны?
И. При каком значении I прямые Зх + 4г/-7 = 0и£г-Зг/-1 = 0 перпендикулярны?
12. При каком значении / прямая Ьс - 2у + 5 = 0 параллельна прямой, проходящей через точки Л/(-1; 2) и ЛГ(1; 4)?
13. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 2) и отсекающей на координатных осях отрезки одинаковой длины.
14. Точки А(2; 1), 5(4; 2), С(-3; 3) — последовательные вершины параллелограмма ABCD. Напишите уравнения сторон этого параллелограмма.
15. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку Р(2; -1) и составляющих угол 45° с прямой 2х + 5у + 1 = 0.
16. Найдите расстояние между параллельными прямыми, заданными уравнениями Зх - 4у - 2 = 0 и Зх - Ay + 1 = 0.
17. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку М(-1; 2) под углом 45° к прямой х - 2у + 3 = 0.
18. Из точек А( 1; 2) и В(3; 1) проведены прямые через начало координат. Вы¬
числите угол между этими прямыми.
19. Найдите уравнение прямых, проходящих через точку Л( 1; 1) и отсекающих на оси Ох отрезок вдвое больший, чем на оси 0у.
20. Найти длину высоты, проведенной к стороне АВ, в треугольнике с верши¬
нами в точках А(2; 0), В(А; 2), С(-3; 3).


110
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
21. Прямые 2х-г/ + 2 = 0и2х-г/-6 = 0 являются сторонами прямоугольника, прямая x-z/ + 2 = 0 — одна из его диагоналей. Напишите уравнения двух других сторон прямоугольника.
22. Напишите уравнение средней линии, параллельной стороне АС треугольника ABC, если заданы его вершины А(1; -1), 5(4; 2), С(-3; 3).
23. Напишите уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника ABC, параллельных его сторонам, если заданы координаты вершин треугольника Л(1; -1), J3(-4; 2), С(3; 1).
24. Напишите уравнения прямых, отстоящих на расстояние 3 от начала координат и образующих угол 60° с осью Ох.
25. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку Af( 1; 3) и отсекающих на оси 0у отрезок втрое больший, чем на оси Ох.
26. Прямые х+2у-4=0их-у-1=0— смежные стороны параллелограмма ABCD, а Р(-2; -1) — точка пересечения его диагоналей. Напишите уравнения двух других сторон параллелограмма.
27. В треугольнике ABC найдите точку пересечения высот, если заданы его вершины А( 1; 0), В(-4; 1), С(-2; 2).
28. Даны 7х-2*/-9 = 0и2х+7г/ + 5 = 0 — уравнения двух сторон равнобедренного треугольника. Напишите уравнение третьей стороны треугольника, если точка М(2,8; 0) — ее середина.
29. В треугольнике ABC найдите расстояние от вершины А до медианы, проведенной из вершины С, если заданы координаты вершин А(2; 1), В(-2; 0), С(0; 3).
30. Вершины треугольника А(2; 1), 5(4; -5), С(-3; 3). Напишите уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку пересечения высот треугольника ABC.
Задача 5.6
1. Составьте уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин А(3; -4) и уравнения двух высот: 7х - 2у - 1 = 0 и 2х - Ту - 6 = 0.
2. Вычислите координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон, х + 2у = 4 и х + 2у = 10, и уравнение одной из его диагоналей, у = х + 2.
3. Даны 2х-г/ + 5 = 0их-2г/ + 4 = 0 — уравнения сторон АВ и ВС параллелограмма ABCDy его диагонали пересекаются в точке М( 1; 4). Найдите уравнение сторон CD и AD.
4. Для треугольника ABC даны уравнение стороны АВ Зх + 2у = 12, уравнение высоты ВМх + 2у = 4, уравнение высоты AM 4х + у = 6, где М — точка пересечения высот. Напишите уравнения сторон АС и ВС.
5. Для параллелограмма ABCD даны: уравнения сторон АВ — Зх + 4г/ - 12 = 0, AD — 5х - 12у - 6 = 0 и середина Д-2; 1) стороны ВС. Найдите уравнения двух других сторон параллелограмма.
2 у +1 5
6. Найдите проекцию точки М( 1; 1) на прямую = —.


Задачи для типовых расчетов
111
7. Составьте уравнения сторон треугольника, зная его вершину С(1; 2), а также уравнения высоты х-2*/+1 = 0и медианы Ах + у + 2 = 0, проведенных из одной вершины.
8. Даны уравнения двух сторон треугольника, х - 2г/ - 1 = О, 2х - у - 2 = 0, и середина третьей стороны М( 1; 1). Найдите вершины треугольника.
9. Найдите точку 5, симметричную точке Л(4; -3) относительно прямой, проходящей через точки М( 1; -2) и ЛГ(-3; 2).
10. Даны две смежные вершины А(5; -2) и 5(3; 1) параллелограмма ABCD и точка <2(0; 2) пересечения его диагоналей. Составьте уравнения сторон ВС и CD и прямой, проходящей через точку Q параллельно стороне ВС.
11. Напишите уравнения прямых, проходящих через точку Р( 1; 2) и образующих с координатными осями треугольник, площадь которого равна 4 квадратным единицам.
12. Даны Зх + 5у - 15 = 0, Зх - 5у + 15 = 0 — уравнения двух смежных сторон параллелограмма, Л(10; -3) и В(-5; 0) — координаты двух его вершин. Напишите уравнения диагоналей этого параллелограмма.
13. Для равнобедренного прямоугольного треугольника даны координаты вершины острого угла (1; -2) и уравнение противолежащего катета Зх - Ау + 2 = 0. Составьте уравнения двух других сторон треугольника.
14. Даны вершины треугольника А(0; 4), 5(2; -3), С(-4; 5). Составьте уравнение высоты, опущенной из вершины С на медиану, проведенную из вершины А.
15. Даны А( 1; 1) и С(2; -1) — две вершины квадрата ABCD, лежащие на одной диагонали. Найдите две другие вершины этого квадрата.
16. Найдите уравнения прямых, проходящих на расстоянии 2 от начала координат и составляющих угол 30° с осью Ох.
17. Вершины треугольника А( 1; 4), 5(2; 5), С(5; -2). Найдите точку пересечения стороны АВ с перпендикуляром, восстановленным из середины стороны АС.
18. Даны уравнения двух смежных сторон параллелограмма, х - у - Iе 0 и х - 2у = 0, и точка пересечения его диагоналей М(3; -1). Найдите уравнения двух других сторон параллелограмма.
19. Напишите уравнение прямой, которая проходит через точку М(3; 6) и находится на расстоянии 2V2 от точки АГ(5; 4).
20. Найдите проекцию точки Р(4; 5) на прямую, проходящую через точки А(3; -2) и 5(6; -1).
21. Даны две вершины треугольника, А(5; -2) и 5(-4; 1), его высоты пересекаются в точке N(3; 2). Найдите координаты третьей вершины С.
22. Для треугольника ABC даны: уравнение стороны АВ Зх - Ау + 5 = 0, уравнение высоты AM х + 2у - 10 = 0 и уравнение высоты BN 2х — Зг/ + 4 = 0. Составьте уравнения двух других сторон треугольника.
23. Найдите точку N, симметричную точке М(0; -3) относительно прямой х-1 _ у + 1,5
~Т~~ -1


112
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
24. Напишите уравнение прямой, которая параллельна прямым Зх - 2у + 7 = О иЗх-2г/-4 = 0и проходит посередине между ними.
25. Дано уравнение Зх + Ау - 12 = 0 стороны АВ параллелограмма ABCD, уравнение х + 12у -12 = 0 диагонали АС и середина Е^2; стороны ВС. Найдите уравнения сторон ВС, CD и AD.
26. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку М(-2; 3) на одинаковом расстоянии от точек А(5; -1) и В(3; 7).
27. Найдите вершины прямоугольного равнобедренного треугольника, если даны вершина прямого угла С(3; -1) и уравнение гипотенузы Зх - у + 2 = 0.
28. В ромбе ABCD заданы вершины А(-1; 1) и С(3; -1) и уравнение одной из его сторон х - у + 2 = 0. Найдите координаты остальных вершин ромба.
29. Составьте уравнения сторон треугольника, зная одну его вершину В(2; -7), а также уравнения высоты Зх + у + 11 =0 и медианы х + 2у + 7 =0, проведенных из различных вершин.
30. Вершины треугольника А( 1; 2), 5(2; 7), С(5; 2). Найдите точку пересечения стороны АС с перпендикуляром, восстановленным из середины стороны ВС.
Кривые на плоскости
Задача 5.7. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому
виду и постройте ее. Укажите координаты вершин, фокусов. Напишите уравнение директрисы и асимптот, если они есть. Вычислите эксцентриситет кривой.
1.
Ах2
+у2 -
-8лг + Ау =0.
2.
9йг2
-Ау2 + 5Ах + 8у + 41 = 0.
3.
2х2
+ 3у2
+ 12л: — 6у + 21 0.
4.
4г2
-у2 +8лг -2у + 3 = 0.
5.
9х2
+ 16у
2 + 36л:-6Ау- 44=0.
6.
4л:2
-25у2 + 8х -10у + 4=0.
7.
9х2
+ Ау2
+ 36*-8у + 36 =0.
8.
х2 -
-Ау2 + Юл: + 2Ау -7 = 0.
9.
4л:2
+ 25 у
2 -8х +100у + 4=0.
10.
х2 -
-Ау2 +6г + 8у + 5 =0.
11.
2х2
+ 3у2
+ 8х-6у + 11 = 0.
12.
9х2
-Ау2 + 36л: + 8у + 68 = 0.
13.
Ах2
+ 9у2
- 32х + 36г/ + 64 = 0.
14.
Ах2
-у2 -8х -4г/ -16 =0.
15.
9х2
+ Ау2
+ 18лг — 8г/ + 49 = 0.
16.
Ах2
—у2 + 16лт —2у +15 0.
17.
х2 + 25 у2
+ Ах -150у + 204 - 0.
18.
Ах2
-9у2 + 16л: + 5Ау-101=0.
19.
Зх2
+ 2у2
+ 12л: -16у + 44 = 0.
20.
9х2
-Щ2 -36л:-64г/-172=0.
21.
Ах2
+ 9у2
+ 32г —16^ + 37 =0.
22.
9х2
-Ау2 - 18х -16у -7=0.
23.
Ах2
+у2-
-8х + Ау +24 =0.
24.
Ах2
-у2 -16х-6г/+11 = 0.
25.
х2 + Ау2 + 10х-2Ау +57 =0.
26.
х2 -
- Ау2 + бдг + 8у + 21 = 0.
27.
Ах2
+ 9у2
+ 32л:-18г/ +109 = 0.
28.
5х2
+ 3у2 - Юл: + \2у + 17 =0.
29.
9г2
-16г/:
! -54х-6Ау -127 =0.
30.
Ах2
+ 9у2 - 40х + 36у +100 = 0.


Задачи для типовых расчетов
113
Задача 5.8. Приведите уравнение кривой второго порядка к каноническому виду и постройте ее. Укажите координаты вершин, фокусов. Напишите уравнение директрисы и асимптот, если они есть. Вычислите эксцентриситет кривой.
1. 9г2+12ля/ + 4у2-24л:-16^ + 7 =0.
2. 5 л:2 -бху +5г/2 -24х-32 =0.
3. 7х2 + 60ху + Ъ2у2 - 14л: + 60у + 7=0.
4. 2%х2 -2Аху + 36г/2 +82дг -96г/ -91 =0.
5. 4л:2 + Аху + у2 +16* + 8у +15 =0.
6. Ах2 - Аху + у 2 -Зх + Ау - 7 =0.
7. Аху + Зу2 + 16л: + 12г/ -36 = 0.
8. 11л:2-20ля/-4г/2-20л:-8г/+1 = 0.
9. 4л:2-12лу + 9to/2-20л: + ЗОг/+ 16 =0.
10. 	4х2 -Аху<+ у2 -6л: + Зу -А =0.
И. 9г2 +2Аху + Щ2 -230*+ 1 Юг/-475 =0.
12. 5л:2 + \2ху —22х — \2у —19 = 0.
13. 14л:2 + 24ля/+ 21г/2.-4л: + 18г/-139 = 0.
14. Зх2 +ху-2у2 -5х + 5у-2 =0.
15. Ах2 -\2ху + 9у2 -2х + 34/-2=0.
16. 4л:2 +2Аху + 11г/2 +64г + А2у + 51 = 0.
17. 9г2 - Аху + 6г/2 + 16л:-8у -2 =0.
18. Ах2 + 16ля/ + 15г/2 -8х -22г/ -5 = 0.
19. 5лг2 + 4л^+ 8г/2-32л:-56г/+80 = 0.
20. 8л:2 + 6ля/-26л:-12г/ +11 =0.
21. л:2 -2ху + у2 -Юл:-6г/ +25 =0.
22. 2л:2 -5ху -\2у1 -х + 26г/ -10 = 0.
23. л:2 -12ля/ — 4г/2 + 12л: + 8у + 5 =0.
24. х2 - Аху + Ау2 + Ах -Зу -7 =0.
25. х2 -5ху + Ау2 + х+ 2у-2 =0.
26. 5л:2+6ля/+5г/2-6л:-Юг/-3 = 0.
27. 2л:2 + Аху +5г/2 -6*-8г/-1=0.
28. \2ху + 5у2 -12л:-22г/-19 = 0.
29. 5л:2 + 24ля/-5у2 =0.
30. 41х2 +2Аху + 9^2 +24г + 18г/ -36 =0.
Задача 5.9. Постройте кривую в полярной системе координат.
1. 	р=2ф. 2. р=0,5ф.
3. 	р=-ф. 4. p=2cos9.
5. 	р = 1 + 2ф. 6. p = 4sin<p.


114
Глава 5. Аналитическая геометрия на плоскости
7. р=^. <Р
9. р=-
8. р=±
Ф
2
п
<р + -
3
10. р =
Ф-п
11. 	р = — + 2.
12. р =2ф +
6
13. 	р
15. 	р
17. 	р
19. 	р
l-2sin9. l + sin9. l-2coscp. asтЗф, a> 0.
asinf 2ф -j.
. f яЛ = asm ф— .
Г 6 J
21. 	p
23. 	p
25. 	p = 2 cos | ф -
27. 	p
14. 	p = 3(1 + cos ф).
16. 	р=2со8 2ф.
18. 	р=2созЗф.
20. 	р=2зт2ф.
22. 	р=асоз4ф, a>0.
24. 	р = a cos 2ф +
= С08^2ф-^.
26. 	р =2sin^ + ^j.
28. 	р = 1 + cos I ф - -
29. р = 1 + sin ф +
30. 	р = 1 — cos j ф + — |.
Задача 5.10. Постройте кривую, заданную параметрическими уравнениями. 1.
3.
5.
7.
9.
11.
х = 9cos t; у = 4sin£.
2- \
[x = cos£; [y = 8sin£.
х = 4 cos t; у - 3 sin£.
4 1
\x =2 cos31; [y =sin31.
3 ^
x = cos —; 4
6. <
x = 3cos3
2
г/ =sin3 -. 4
г/ =2sin3 -. 2
x =2(£ + sin£); у = 2(1- cos £).
4
[x = 3(£-sin£); [г/ = 3(1- cos t).
x =e* cos t; у =el sin£.
.a |
\x = e2t cos21; [y = e2t sin2 t.
x = t2 -4; y=4t-t3.
,2. |
' x = t2\


Задачи для типовых расчетов
115
13.
15.
17.
19.
I ж =0,5(2-*2); ly=«ts-3).
[д: = t2 -21,
[у = t2 + 2t.
х = 1 + ;
cos t
у = tg*-l.
\x = cos41;
[y = cos4t.
^ ^ f* = 2(cos t + tsint); [y = 2(sin£ -1 cos t).
23.
25.
27.
29.
\x = 1 + 3cos£; [y = -2 + sint.
\x =2sin21,
[y = sin 2t. fjc =2sin 21;
[y = 4sin2t.
\x = 2 + cos31; [y = 3 sin31.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
\x=2 t-t2; [y =3 t-t3.
'r_(* + l)2.
4 ’
У =
(t-1)2
1Л я
x =-\t + - ;
21 tj
if. 1
= 3(sh£-£); [t/=3(ch*-l).
[ x = -1 + 2 cos £; [г/ = 3+ 4sin&
[лг =2sin2£;
[y = 4sin21. fx =2sin 21,
[y = 4cos21.
\x = l + 2cos3 [г/ = -l + 2sin31. ix =2 cos 21;
[y =2cos21.


ГЛАВА 6 Аналитическая геометрия в пространстве
Метод координат в пространстве
Если в пространстве введена прямоугольная декартова система координат х, у, z с началом в некоторой точке 0, то расстояние г между точками Mt(xt; ух\ zt) и М2(х2; у2; z2) определяется по формуле
Координаты точки М0(х0; у0; z0), делящей отрезок МХМ2 в отношении
В частном случае для координат х0,у0, z0 середины отрезка МХМ2 справедливы
, X1 +1о у1 + Z/o Гч + г9
формулы х0 2 , г/0 = 1 2 0 = 2
Поверхности в пространстве. Плоскость
Если в пространстве задана прямоугольная декартова система координат, то алгебраическое уравнение /(х, г/, z) = 0 называется уравнением поверхности Ф в этой системе координат, если:
1) для любой точки М(х0; yQ; z0) g Ф справедливо равенство /(х0, у0, z0) =0;
2) для любого решения (х0, z/0, z0) уравнения f(x, у, z)=0 точка л^о(^о; */0; 20) еФ.
ЗАМЕЧАНИЕ 6.1 Из определения следует, что поверхность в пространстве может быть задана алгебраическим уравнением, связывающим координаты тех и только тех точек, которые принадлежат этой поверхности.
Существуют следующие уравнения плоскости:
□ Общее уравнение плоскости Ах + By + Cz + D = 0. Вектор
Координат , _ М.Мр
М0М2’
можно найти по формулам


Поверхности в пространстве. Плоскость
117
— нормальный вектор плоскости (любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости) (рис. 6.1).
□ Уравнение плоскости с нормальным вектором А(х -х0) + В{у - у0) +
+ C(z-z0) = 0, где числа А, В, С — координаты нормального вектора п; М0(х0; У о', 20) — точка, принадлежащая плоскости (рис. 6.2).
□ Уравнение плоскости в отрезках — + — + - = \ где числа ау Ь, с — абсцисса,
а Ъ с
ордината и аппликата точек пересечения плоскости с координатными осями (рис. 6.3).
□ Нормальное уравнение плоскости х cos а + у cos р + z cos у - р = 0, где /? > 0 — расстояние от начала координат до плоскости; направляющие косинусы cos a, cosp, cosy — координаты единичного нормального вектора й, направленного из начала координат к плоскости (рис. 6.4).
Рис. 6.3
Пример 6.1. Какие из заданных точек А(2; -2; -1), J3(l; 0; -2), С(-1; -1; 4), D( 4; 5; 0) принадлежат плоскости, заданной уравнением x-y+5z + i=0?
Решение: чтобы выяснить, лежит ли точка в плоскости, надо в уравнение плоскости подставить ее координаты. Поскольку
2 -(-2) + 5 • (-1) + 1=0; 1-0 + 5 (-2) +1*0;
-1-(-1) + 5*4 + 1*0; 4-5+5 0 + 1=0,
то заданной плоскости принадлежат только точки А и D.


118
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
Пример 6.2. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А (1; -1; -2) перпендикулярно вектору А&, если В(-1; 2; 3).
Решение: вектор
'-2Л
АЬ =
является нормальным вектором плоскости. В уравнение А(х -х0) + В(у -у0) + + C(z-z0) = 0 подставим вместо А> В и С координаты вектора А*В, а вместо хо> Уо> zo ~ координаты точки Л. Получим:
-2 • (х -1) + 3- (г/ + 1) + 5 • (z + 2) = 0, или -2х + Зу + 5z + 15 = 0.
Пример 6.3. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-1; 2; -3) параллельно плоскости, заданной уравнением 4х + у -2z + 2 = 0.
Решение: уравнение плоскости будем искать в виде Л(х -х0) + В(у - г/0) + + C(z-z0) =0. Вместо х0, г/0, z0 подставим в это уравнение координаты точки М0. Из уравнения заданной плоскости найдем координаты ее нормального вектора
1
п =
-2
Так как плоскости параллельны, то этот вектор является нормальным и для искомой плоскости. Подставив его координаты в уравнение, получим:
4 • (х + 1) + (у -2) -2 • (z + 3) = 0, или 4х + у -2z -4=0.
Пример 6.4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку Л (1; -1; 3)
и отсекающей на координатных осях отрезки равной длины.
Решение: уравнение плоскости будем искать в виде — + ^ + - = 1. Из условия
a b с
|я| = Щ = |с| возможны следующие случаи:
1. а = Ь = с, тогда х + у + z = а. Подставив в это уравнение координаты точки Л, найдем а:1-1 + 3 = а, или а = 3. Уравнение плоскости будет записано в виде х + у + z = 3.
2. а = b = -с, тогда х + у -z = а, и получим: 1 -1 -3 = а, или а = -3. Уравнение плоскости х + у — z — —3.
3. -а = b = с, -х + у + z - а. Отсюда -1-1 + 3 = я, или а = 1. Уравнение плоскости -Х+у + Z- 1.
4. а =-Ь = с, х — у + z — а. Отсюда 1 + 1 + 3 = а, или а = 5. Уравнение плоскости х + z =5.


Поверхности в пространстве. Плоскость
119
Угол между плоскостями. Угол а между плоскостями определяется как угол между их нормальными векторами. Тогда для косинуса этого угла справедлива формула
('щ, П2 ) А^А.2 “^^1-^2 “*”^1^2
cos а =
|«i|i«2| ,^/л2 + в? + с\ ■ sJa2 + в1 + с\
Условие параллельности плоскостей:
Щ II п2, или
2 ^2 2 Условие перпендикулярности плоскостей:
(й1? й2)=0, илиДА2 +ВХВ2 +С{С2 =0.
Пример 6.5. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями х -у[2у + + z - 1 = 0их + л/2у - z + 3 = 0.
Решение: нормальные векторы заданных плоскостей
Г 1 1
Г11
й, =
-л/2
и п2 =
л/2
1 1 J
Если обозначить а угол между плоскостями, то
_(wt, w2)_ 1-2-1 -2
~~ |й,|-|я2| " V1 + 2 + 1-V1 + 2 + 1 ” 4
cos а =
1
2
Следовательно, угол а = 120°.
Пример 6.6. При каких значениях 1ит заданные плоскости тх + Ъу -2z -1 = 0 и 2х-5у - к -1=0 параллельны?
Решение: нормальные векторы заданных плоскостей
п< =
w \ т ]
CN
со
II
CN
-5
-2J
/72 3
CN
1
2 -5 -/
6
5
10
3 ’
Плоскость, заданная точкой и двумя векторами, коллинеарными плоскости
Если заданы точка М0(х0; у0; z0), принадлежащая плоскости, и два вектора а и Ь, коллинеарные плоскости и не коллинеарные между собой, то для этой плоскости используется уравнение А(х-х0) + В(у-у0) + C(z -z0) = 0, где нормальный вектор равен й = [а, Ь] (рис. 6.5).


120
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
Пример 6.7. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки Aft(l; 2; -3), М2 (4; -1; -4) и М3(-1; -5; 2).
Решение: из рис. 6.6 ясно, что нормальный вектор плоскости — это вектор
/г =
MtM2, МХМ3
Вычислим координаты векторов
ЩМ2 =
а также их векторное произведение
со
f~2l
-3
и M,M3 =
-7
1-iJ
l5J
п =
MtM2, мхм3
г j k 3 -3 -1
-2 -7 5
= -22? - 13У -27А.
Подставив его координаты, а также координаты любой из точек, например Mv в уравнение плоскости с нормальным вектором, получим:
-22(х -1) - 13(г/ -2) -27 (z + 3) = 0, или 22х + \3у + 27z + 33 = 0.


Исследование общего уравнения плоскости
121
Исследование общего уравнения плоскости
Если в общем уравнении плоскости Ах + By + Cz + D = 0:
1) А = 0, то плоскость параллельна оси Ох;
2) В = 0, то плоскость параллельна оси 0у;
3) С = 0, то плоскость параллельна оси 0z;
4) D = 0, то плоскость проходит через начало координат;
5) А = 0 и В = 0, то плоскость параллельна хОу;
6) А = 0 и С = 0, то плоскость параллельна xOz;
7) В = 0 и С = 0, то плоскость параллельна г/Oz;
8) А = 0 и D = 0, то плоскость проходит через ось Ох;
9) В = 0 и D = 0, то плоскость проходит через ось 0г/;
10) С = 0 и D = 0, то плоскость проходит через ось 0z.
Уравнения координатных плоскостей
Уравнение координатной плоскости хОу будет иметь вид z = 0. Уравнение координатной плоскости xOz — у = 0. Уравнение координатной плоскости г/Oz — х = 0.
Пример 6.8. Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и через точку Л/(1; 1; 1).
Решение: так как плоскость проходит через ось Ох, то ее уравнение будет иметь
Q
вид By л-Cz = 0. Разделим это уравнение на В Ф 0 и получим: у + — z = 0. Подста-
В
Q
вив в него координаты точки М( 1; 1; 1), определим — = -1. Теперь можно запи-
В
сать уравнение искомой плоскости: у - z- 0.
Расстояние от точки до плоскости
Если уравнение плоскости записано в нормальном виде, х cos а + у cos р + + z cos у - р - 0, то расстояние г от точки М0 (х0; у 0; z0) до этой плоскости определяется из формулы
г -1 х0 cos а + у0 cos р + z0 cos у-р \.
ЗАМЕЧАНИЕ 6.2 Если общее уравнение плоскости Ах + By + Cz + D = 0 необходимо
1
привести к нормальному виду, то его следует умножить на выражение ± , — —
и2 + в2 + с2
в котором знак выбирается противоположным знаку D.
Пример 6.9. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями 2х-2у + 5z -1 = 0 и 2х-2у + 5z + 2 = 0.


122
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
Решение: выберем на первой плоскости произвольную точку М0 (-2; 0; 1) и вычислим расстояние от точки М0 до второй плоскости:
г =
2-2 2 0 5 1 2
4-5-2
л/зз л/зз л/зз л/зз
3л/33
3
л/зз
Линии в пространстве
Если /,(х, у, г) = 0 и f2(x, у, г) = 0 — уравнения двух поверхностей в прямо-
Гfx(xy у, z) =0;
угольной декартовой системе координат, то система < г \ \ задает в про-
[м*. У’ ч=°
странстве множество точек, принадлежащих как одной поверхности, так и другой, то есть их линии пересечения.
Следовательно, линия в пространстве задается системой двух уравнений с тремя переменными.
* .а ^ \*2 +у2 +-2 =9;
Пример 6.10. Система < задает в пространстве линию Пересе-
[z=0
чения сферы с центром в начале координат и радиусом 3 и координатной плоскости хОу, то есть окружность с радиусом 3, расположенную в плоскости хОу.
Поскольку прямая является линией пересечения двух непараллельных плоскостей, то она задается в пространстве системой двух линейных уравнений с тремя \Axx + Bxy + Cxz + Dx =0;
[А2х + В2у + C2z + D2 =0.
уравнениями прямой.
переменными
Эти уравнения называются общими
ЗАМЕЧАНИЕ 6.3 Следует иметь в виду, что при этом между двумя уравнениями системы не должно быть линейной зависимости, то есть ранг матрицы системы должен быть равен 2.
[х = 3;
Пример 6.11. Система ^ задает
[2=2
линию пересечения плоскости, параллельной координатной плоскости yOz, и плоскости, параллельной координатной плоскости хОу.
Ясно, что это прямая, параллельная координатной оси 0у (рис. 6.7).
Рис. 6.7


Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве
123
Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве
Параметрические уравнения прямой:
' х = х0 + mty у =у0 + ntf Z = z0 + pt,
где
гг
vP/
— направляющий вектор, то есть ненулевой вектор, параллельный этой прямой; М0(х0; г/0; z0) — точка, принадлежащая прямой.
Канонические уравнения прямой:
* -хо У~Уъ z~zo
т
п
где
п
Р)
— направляющий вектор прямой; М0(х0; г/0; z0) — точка, принадлежащая прямой.
Пример 6.12. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точки М(-2; -3; 4) и N(2; -3; -1).
Решение: вектор
л/лг =
о
-5
параллелен прямой, следовательно, может быть направляющим вектором. Подставляя в канонические уравнения прямой координаты любой из заданных точек, например М, получим систему канонических уравнений прямой
х + 2_ у + 3 _ z-4
ЗАМЕЧАНИЕ 6.4 Следует заметить, что канонические и параметрические уравнения прямой выглядят по-разному в зависимости от того, координаты какой точки в них под¬


124
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
ставлены вместо чисел х0, у 0 и z0. Кроме того, в данной задаче одна из координат направляющего вектора равна нулю, а это означает, что один из знаменателей в канонических уравнениях равен нулю. Такая запись для канонических уравнений прямой считается вполне допустимой. Чтобы понять, как в данном случае расположена в пространстве прямая, перейдем к параметрическим уравнениям. Для этого каждое из трех равных отношений обозначим t и получим:
х + 2 = 4 • £ у + 3 = 0 £, или z - 4 = -5 • £,
х = At -2; у =-3; z 51 + 4.
Из последних уравнений ясно, что заданная прямая лежит в плоскости у = -3.
Пример 6.13. Составить параметрические урав- А
нения медианы, проведенной из вершины А в треугольнике ABC, если заданы координаты его вершин Л (1; 4; -1),В(-2; -2; 5)иС(3; 1; -2).
Решение: на медиане AM задана точка Л, а направляющим вектором для нее может являться
вектор АЪ = аЬ+АЬ (рис. 6.8).
Вычислим координаты векторов
'-3'
(2\
II
-6
и АЬ =
-3
l«J
l-lj
а также координаты вектора
AD =
-9
ч5,
Подставим в параметрические уравнения прямой
х =х0 + mt; у =у0 +nt\ z =z0 + pt
вместо m, гг, р координаты вектора s = ЛЬ, а вместо х0, у 0, z0 — координаты точки Л. Получим:
х = \-t;
< у =A-9t; z — —1 + St.


Взаимное расположение прямых
125
Взаимное расположение прямых. Приведение общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям
Угол между прямыми. Пусть
(тЛ
Ч'
А =
«1
и s2 =
п2
см
а,
— направляющие векторы двух прямых. Угол а между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Для косинуса этого угла справедлива формула
(s„ s2)
cos а =
т^щ + щп2 + р{р2
N-N -y/mf+nf +р\ -д/^22 +7*2 +р\ Условие перпендикулярности прямых:
(?i, ?2) =0, или т^щ +щп2 +рхр2 =0. Условие параллельности прямых:
-и- т\ п\ Р\
11 52, ИЛИ —- = —— =
т2 п2 р2
Условия пересечения прямых в пространстве. Если
(«о
Ч N
«1 =
щ
И S, =
см
8
[P2j
— направляющие векторы двух непараллельных прямых, а Мх(хх\ ух\ zt) и М2(х2; у2\ z2) — точки на этих прямых, то прямые пересекаются или скрещиваются в зависимости от того, компланарны или нет векторы sv s2 и МХМ2 (рис. 6.9).
Прямые скрещиваются, если смешанное произведение sxs2 М{М2 ф 0 (рис. 6.9, а).
Прямые пересекаются, если смешанное произведение sts2 М{М2 =0 (рис. 6.9, б).
тт тт / х + 2 У z-1 у-1
Пример 6.14. При каком значении / прямые = — = и = =
2-3 4/4
z -7
пересекаются?
Решение: точка М{ (-2; 0; 1) принадлежит первой прямой, ее направляющий вектор
^2Л
=
-3
V4,


126
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
Точка Л/2(3; 1; 7) принадлежит второй прямой, ее направляющий вектор
So =
V2,
Вычислим координаты вектора
М,М2 =
и смешанное произведение векторов Sj, s2 и МХМ2\
2
-3
4
5,52 М,М2 =
/
4
2
= 48 - 30 + 4/ -80 - 4 +18/ = 22/ -66
5
1
6
Поскольку прямые пересекаются, если смешанное произведение равно нулю, то 221-66 = 0, откуда 1 = 3.
Приведение общих уравнений прямой к каноническому виду
Пусть прямая задана общими уравнениями
Г Ахх + + Cxz + Д = 0;
+ В 2 у + С 2% + D2 = 0.
Если нужно привести ее уравнения к каноническим или параметрическим уравнениям, то следует выбрать на этой прямой какую-либо точку и найти вектор,


Взаимное расположение прямой и плоскости
127
параллельный прямой. Координатами точки, принадлежащей прямой, является любое из решений заданной линейной системы. Направляющим вектором прямой является вектор s =[щ, п2\, где щ и п2 — нормальные векторы плоскостей, задающих прямую (рис. 6.10).
Пример 6.15. Привести уравнения прямой 2х-у -z =0;
к каноническому виду.
х+у+z-3=0
Решение: выберем на прямой точку с аппликатой z = 0. Подставим z = 0 в общие уравнения прямой и найдем остальные координаты точки из системы
2j£ - w =0j
’ Складывая уравнения системы, получим
х + у = 3.
Зх = 3, или х = 1. Подставляя это значение х в любое уравнение системы, найдем у = 2. Итак, точка Л/0( 1; 2; 0) принадлежит прямой. Нормальные векторы плоскостей
пА =
'2Л
(1\
-1
и п2 =
1
1-iJ
Тогда направляющий вектор прямой
s = [nv й2] =
Г j k
2 -1 -1
— —3j + 3k —
-3
1 1 1
UJ
Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид х-1 у—2 z
х -1
у-2 z
■ = - или
-3 3
-1 1
Взаимное расположение прямой и плоскости
Пусть прямая задана параметрическими уравнениями
' х =х0 + mt;
< у = г/0 +nt\
[z=z0 +pt,
а плоскость — общим уравнением Ах + By + Cz + D = 0.


128
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
Угол между прямой и плоскостью. Из рис. 6.11 ясно, что для угла ф между прямой и плоскостью справедлива формула
БШф = cos а =
(п, S)
Ат+ Вп + Ср
т2 +п2 + р2
л1а2 + В2 +С2 Условие параллельности прямой и плоскости:
n±s, или (й, = 0, или Ат+ Вп + Ср = 0.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
ABC n\\s, или — = — = —.
т п р
Пример 6.16. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
X И 4" 2
М0(-1; 2; -3) и перпендикулярной прямой, заданной уравнениями — =- =
5 2
_ z + 2 -3 *
Решение: из рис. 6.12 видно, что направляющий вектор прямой
Г-5Л
s =
перпендикулярен плоскости и его можно принять в качестве ее нормального вектора.
Подставляя в уравнение плоскости с нормальным вектором А (х -*0) + + 5(z/-z/0) + C(z-z0)= 0 координаты точки М0 и координаты вектора ?, получим:
-5 (х + 1) + 2(у -2) -3(z + 3) = 0, или -5х + 2г/ -3z -18 = 0.


Взаимное расположение прямой и плоскости
129
Точка пересечения прямой и плоскости. Точку пересечения прямой и плоскости можно найти из системы
где
х = х0 + mty у=у о + nt, z=z0 +pt
х =х0 + mty У — Уо +nt, z=z0 + pt,
Ax + By + Cz + D = 0,
— параметрические уравнения прямой, Ax + By + Cz + D=0 — уравнение плоскости.
Пример 6.17. Найти точку, симметричную точке М0(-1; -2; 2,5) относительно прямой, заданной
каноническими уравнениями
х-4_у_ z + 2
1 2 -2
Решение: точка М, симметричная точке М0 относительно заданной прямой /, лежит на прямой М0М, перпендикулярной прямой /. При этом точка пересечения прямых О делит отрезок М0М пополам (рис. 6.13).
Если провести через точку М0 плоскость а, перпендикулярную прямой /, то прямая М0М будет лежать в этой плоскости. Для плоскости а нормальным вектором является направляющий вектор прямой /:
1Л
5 =
2
-2
Уравнение плоскости a: l(x + 1) + 2(у + 2) -2(г -2,5) = 0, или х + 2у -2z + 10 = 0. Запишем уравнения прямой / в параметрическом виде:
' х = 4 + t;
< у =2t;
z=-2-2t
Точка О — точка пересечения прямой / и плоскости а. Ее координаты найдем из системы
х = 4 л-t; у =21; z = —2 — 2t\ х + 2 у — 2z + 10=0.
Подставляя х, у и z из первых трех уравнений в четвертое, получим 4 +1 + 4t -2 (-2 -21) + 10 = 0, или 9t + 18 = 0, откуда t = -2.
Теперь можно определить координаты точки 0:0(2; -4 ; 2). Точка О — середина отрезка М0М. Подставляя координаты точек О и М0 в формулы деления отрезка пополам, определим координаты точки М(хм ; yM;zM ):
5 № 6822


130
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
хм — 2дг о хщ\ хм —2-2 + 1— 5;
Ум =2уо~Ум0> <ум =2 *(-4) + 2 = -6;
zm =2^о ~zm0 > zM =2*2—2,5 =1,5.
ZM0 + ZM
Следовательно, M(5; -6; 1,5).
Поверхности второго порядка
Поверхностью второго порядка называется множество точек, которое задается уравнением
где Ау By Су Д Еу Fy Gy Я, Р, Q — заданные числа, причем Ау В и Сне равны нулю одновременно.
В некоторых случаях это уравнение определяет пару различных или совпадающих плоскостей, или одну единственную точку. Такие множества также называются поверхностью. Если это уравнение определяет пустое множество, то есть нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют ему, то говорят, что оно определяет мнимую поверхность.
Основными частными случаями уравнения поверхности второго порядка являются уравнения следующих поверхностей:
□ эллипсоида (рис. 6.14)
Ах2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Ну + Pz + Q — 0,
с
b
>
У
Рис. 6.14
□ однополостного гиперболоида (рис. 6.15)


Поверхности второго порядка
131
□ двуполостного гиперболоида (рис. 6.16)
У2 JJ2 _2
+ = -1, а, 6, с>0;
а2 с2
□ эллиптического параболоида (рис. 6.17) х2 I/2
-Т + ^Г = 2z> Р> <7>0-
При р = q параболоид называется параболоидом вращения;
□ гиперболического параболоида (рис. 6.18)
X2 V2
-Г-^2" = 2Z’ Р» ^>0;
Р 9
□ конуса второго порядка (рис. 6.19)
г2 и2 ~2
+ Ь> с>0’ а 6 с
□ цилиндров второго порядка.
Поверхность, описываемая прямой, параллельной некоторому заданному направлению и пересекающей данную линию I, называется цилиндрической. При этом движущаяся прямая называется образующей, а прямая I — направляющей цилиндра. Если образующая цилиндра параллельна какой-то из ко-


132
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
ординатных осей, то цилиндрическая поверхность задается уравнением второго порядка с двумя переменными:
О F(x, г/) =0, образующая параллельна оси 0z;
О F(x, z) =0, образующая параллельна оси 0у\
О F(y, z) = 0, образующая параллельна оси Ох;
□ эллиптического цилиндра (рис. 6.20)
х2 и2
+ = А, Ъ>0;
а Ь
□ гиперболического (рис. 6.21) и параболического (рис. 6.22) цилиндров
-2--тт = 1. а, Ь>0 иу2 =2рх, р>0. а1 Ьг


Задачи для типовых расчетов
133
Задачи для типовых расчетов Плоскость в пространстве
Задача 6.1. Найдите косинус угла между плоскостями и а2.
1.
ai
—х + 2у — z + 1 — 0; ol2 \ у + 3z — 1 — 0.
2.
ai
х + у -2z + 4 = 0; а2: 2х-у + z -3 = 0.
3.
ai
—х + 2у — z + 1=0; а2:у + 3z — 1=0.
4.
ai
2х + у — 2z + 3 = 0; cl2 \ х + у + 6=0.
5.
ai
-Зх + Ау-7 =0; а2: х+ z-5 = 0.
6.
ai
Зх — 2у — 4z + 5 = 0; а 2: 2у — z — 3 = 0.
7.
ai
х + 2у — 5z + 2 = 0; сх 2: 2х + 4у + 2z — 1=0.
8.
ai
Зх + Ау -7 = 0; а2: 2л: + г/ + 2z — 1=0.
9.
ai
х + 2у — z + 1 = 0; сх, 2 • ~2х — Ay + 2z — 7 =0.
10.
ai
х + 2у + 3z + 2 = 0; сх 2: 2х — у —9 = 0.
11.
ai
2х-у + 2z-7 = 0; а2: Зх + Ay -z -1 = 0.
12.
ai
х + 2у + 3z = 0; а2: 2х - Ay + 2z -5 = 0.
13.
ai
х -2у -z -2 = 0; a2:2x-z/ + 2z-4=0.
14.
ai
x-2z/-2z + 3 = 0; а2: 4x-7z-5 =0.
15.
ai
— 2г/ + z — 2 = 0; а2: х -у -z + 3 = 0.
16.
ai
х-2у + 2z -8 = 0; а2: л: + z -6 = 0.
17.
ai
х + 2г/ — 5z — 3 = 0; <х 2: 2х + 4г/ + 2z = 0.
18.
ai
х-2у -Az-2 =0; а2: 2у -z-3 = 0.
19.
ai
2х + у + 4z —1 = 0; а2- х + у -2 =0.
20.
ai
Зд: + 2г/ -z = 0; а2: -х - 4г/ - Зг - 4 = 0.
21.
ai
2х + + 2z — 5 = 0; сх 2: —2х + 4z/ — z + 1 = 0.
22.
ai
—2х + 4ж/ + 3 = 0; сх 2: —х + 2z —5=0.
23.
ai
2x-z/-3z + 3 = 0; а2:-х + г/-7 =0.
24.
ai
х + 2^ -2z + 4= 0;a2:2x-z/-z + 6=0.
25.
ai
—Зх + 2/ — z + 2 = 0; сх21 —z/ — 4z — 1=0.
26.
ai
x-z/-4z-2=0;a2:-x-z/ + 3z + 2=0.
27.
ai
—х + 2у + 3z — 3 = 0; а2: х — 4г/ + 2z + 3 = 0.
28.
ai
х + у -5z + 1 =0; а2: 2х + 4г/ -3z + 1 =0.
29.
ai
x-5z-3 = 0; а2: Зх-5у -2z-2 =0.
30.
ai
х-2у -5z -4 = 0; а2: 2х-3у -2z + 6 = 0.
Задача 6.2. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку Р и параллельной плоскости а.
1. 	Р(2; 1,1), а: Зх + у-2z-1 = 0. 2. Р(2; 1; 3), а: x-4t/ + 3z-3 = 0.
3. 	Р(1; 3;2), а: х + у-z-3 = 0. 4. Р(1;0; -1), а: 2х +г/-5z-l =0.


134
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
5.
Р(3; — lj l), ос 3v + у — 2z + 1=0.
6.
Р(0;5;7),а:
3x + y-2z-t=0.
7.
Р(2; 1;0> а:
х + у -2z =0.
8.
Р(3; 2; 1), а:
х + у - z-1 = 0.
9.
Р(-3; 4; 1), а: 2х-г/-г-1 =0.
10.
Р(-1; 1; 1), а
I 5у 4г + 2=0.
11.
Р(2;1;2),а:
х + у -2z =0.
12.
Р(3; -4; 1), а: х + у -z-1 = 0.
13.
Р(1; 1; 1), а:
х + у + 2 z — 3 — 0.
14.
Р(-6; 1; 1), а
х + Зу -6 =0.
15.
Р(0;2;1),а:
х + у -2z -5 =0.
16.
Р(5; 2; -1), а: Зх-у + z-4=0.
17.
Р( 1;-2; 1), а: х-Зу-z + 7 =0.
18.
Р(3; 2; 1), а:
х + у -z-1 = 0.
19.
Р(3;2;1),а:
2х —у — z + 2=0.
20.
Р(1\ — 3; 1), <Х1 х + 2у — z + 4 = 0.
21.
Р(0; 1; 1), а:
4х-у -z-6 = 0.
22.
Р(0; 2; 2), а:
х — 5у + z +1 — 0.
23.
Р(3; 0; 2), а:
х + Зу — z + 2 =0.
24.
Р(3;2;-1),а: -х-у + z + 7=0.
25.
Р(2;-2; 1), а: -x-y + 5z=0.
26.
Р(2; 3; 0), а:
х-у + 7z + 4=0.
27.
Р(5; -2; 1), а: х + у + Az + 1 = 0.
28.
Р(3; 4; 1), а:
х — 5у + z +1= 0.
29.
Р(3; — 4j 1^, <х; 2л: +у - z + 3 = 0.
30.
Р(0; 1; -1), а: 4x-y-z-7 =0.
Задача 6.3. Найдите расстояние от точки М
до плоскости
а.
1.
М(1;0; -3),
а: 2х-у -z = 1.
2.
М(1;2;-1),
а: 2х + 3у -6z = 2.
3.
М(1; -3; 1),
а: 2х + у-z = 2.
4.
М(3; -1;0),
а: х + 2у -г = 4.
5.
М(2; 1; -4),
а: 5х + у -lz = 2.
6.
М(0; -2; 1),
а: 2х-у +2z = 1.
7.
М( 1;2; -4),
а: 2х + у + z = 5.
8.
М(4;2;-1), ,
а: 2х-у -z = 1
9.
М(-3; Ь -2),
а: -Зх-у +2z = 1.
10.
М(1; -1; 2),
а: Ах + Ау -2г = 3.
11.
М(2; -2 ; 1),
а: х + у — z = 3.
12.
М( 1; -1; -1),
, а: 6х + 2у - Зг = 2
13.
М(-2; 1; 3),
а: 4х + г/ -2 = 1.
14.
М(1; 1; 1), а:
2х + 2г/ + г = 4.
15.
М(2; -1; -1)
|, а: 2х + у-z =5.
16.
М(2; 3; -3),
а: Зх-2у +6z = 3.
17.
М(4; 0; 1), а
:: 2д; + у-2z = 3.
18.
М(1;3;-4),
а: 3*-5г/ + 4z = 0.
19.
М(0; -3; 4),
а: х + у-z = 4.
20.
М(0; 3; 6), а
: 2х-3у-§z = 2.
21.
М(5;1; -2),
а: Зх — 4г/ -5z = 2.
22.
М(4;0;-4),
а: 2х -2у +2z = 1.
23.
М(3; 1; -3),
а: Зх - Зу - Зг = 7.
24.
М(3; 0; 2), а
: х -2г/ —2z = 4.
25.
М(3; 1; -4),
а: 2x -4у + 5z = 3.
26.
М(1;5; -1),
а: х -2г/ -2z = 2.
27.
М(6; 1; -1),
а: х-у -5z = 3.
28.
М(3;2;-1),
а: х + у + 2 = 7.
29.
М(-1; 4; -1)
, а: 2х-2у + z =5.
30.
М(1; 0; 3), а
: 4х-2г/-6г=5.
Задача 6.4
1. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через ось Ох и точку М(0; -2; 3).
2. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М( 1; 7; -5)
и отсекает от осей координат положительные и равные отрезки.
3. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки М(1; 2; 0) и iV(2; 1; 1) параллельно вектору а = (3; 0; 1).
4. Даны Л(2; 0; 0), 5(5; 3; 0), С(0; 1; 1), £>(-2; -4; 1) — вершины тетраэдра
ABCD. Найдите двугранный угол между гранями ABC и ABD.


Задачи для типовых расчетов
135
5. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(2; -3; 1) параллельно векторам а = {-3; 2; -1} и Ъ = {1; 2; 3}.
6. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки А(2; 3; -1) и 5(1; 5; 3) перпендикулярно плоскости Зх - у + 3z + 15 = 0.
7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -3; 5) перпендикулярно линии пересечения плоскостей 2х + у - 2z + 1 = 0 и х + у + z - -5 = 0.
8. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки Mt( 1; 2; 0), М2(2; 1; 1), М3(3; 0; 1).
9. Плоскость проходит через ось 0z и составляет с плоскостью 2х + у - V5z = 0
угол —. Найдите ее уравнение.
3
10. 	Напишите уравнение плоскости, параллельной оси 0у и проходящей через точки А(-1; 2; 1) и 5(3; 0; 2).
И. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через ось 0у и точку М(2; -1; 3).
12. Из точки Р(2; -1; 3) опущен на плоскость перпендикуляр, его основание — точка Af(l; 2; 4). Найдите уравнение плоскости.
13. Напишите уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения плоскостей Ах - у + 3z - 1 = 0их + 5г/-г + 2 = 0и точку М( 1; 1; 1).
14. Составьте уравнение плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум плоскостям, 2x-*/ + 5z + 3 = 0hx+3*/-z-7 = 0.
15. Через точку М(-5; 16; 12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось Ох, другая — ось 0у. Вычислите угол между этими двумя плоскостями.
16. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через линию пересечения плоскостей Ax-y + 3z-§ = 0nx + 5y-z + 10 = 0и перпендикулярна к плоскости 2х - у + 5z - 5 = 0.
17. Найдите угол между плоскостью, которая проходит через точки 0(0; 0; 0), А(а; -а\ 0) и В(а; а; а), и плоскостью хОу.
18. Напишите уравнение плоскости, параллельной оси 0z и проходящей через точки А(2; 2; 0) и В(А; 0; 0).
19. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(-1; -1; 2) и перпендикулярной к плоскостям x-2y + z- A = 0nx + 2y-2z + A = 0.
20. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через ось 0z и точку М(2; -А; 3).
21. Напишите уравнение плоскости, параллельной оси Ох и проходящей через точки Л(0; 1; 3) и 5(2; 4; 5).
22. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки Л(-1; -2; 0) и 5(1; 1; 2) и перпендикулярной к плоскости х + 2у + 2z - 4 = 0.
23. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точки Mt( 1; —1; 2), М2(2; 1; 2) и М3(1; 1; 4).


136
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
24. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(1; 1; 1):
1) перпендикулярно плоскости 2х + Ay + z - 5 = 0;
2) параллельно этой же плоскости.
25. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку Л/(2; -1; 1) перпендикулярно плоскостям 2х - у + 3z - 1 = 0hx + 22/ + z = 0.
26. Вычислите расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями -Ах -3y-5z + 2 = 0nAx+3y + 5z-5 = 0.
27. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(-3; 1; 0) и перпендикулярна плоскостям 2х -у -z = 0и х ч- Зг/ - 2х -1 =0.
28. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки М(0; 0; 2), N(0; 1; 0) и Р(2; 1; 2).
29. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точки Р(0; 1; 0) и Q(-l; 3; 2) и отсекает на оси абсцисс отрезок длиною вдвое больше, чем на оси ординат.
30. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М( 1; -3; 2) и перпендикулярна линии пересечения плоскостей, 2х + у -2z + i = 0 и х + у + Z-5 =0.
Прямая в пространстве
Задача 6.5. Прямая задана общим уравнением. Напишите ее канонические и параметрические уравнения.
\x-2y + 3z-4 =0, ^ [x + 2/ + z-4=0;
Зх + 2г/ -5z -4 =0. [2х-у - 3z + 1 =0.
fx-г/ + z-3 = 0; ^ [Зх - г/ + z - 4 =0;
х + 2г/ — 2z — 4=0. [ —2х + 2у — 5z — 0.
Г Зх —у + 4z —6=0; _ Г —х — 2z/ + 2z —2=0;
5. 	< 6.
х + у -5z -А =0. [х + 5у + 3z -1 =0.
J2x -у + z -2 = 0; [4х — 2г/ + 3z + 4 = 0;
х — 2г/ + 3z —2=0. ^ х + 2у — 5z + 6 — 0.
fx-4i/ + z + 4 =0; ^ [5х — Зг/ + z-l = 0;
2х + 3у + Az + 1 =0. [х + 3у -2z-5 =0.
Г х - 4г/ + 3z - 4 = 0; 12 Г-х-г/ + 3z-5 =0;
[2х + Ау -5z + 1=0. [Зх + 2г/ -5z + 3 = 0.
f4x + y + z-10=0; 14 fx —2/ + z —1 = 0;
х + Зу —2 z + 3 = 0. [2х + Ay — z + 10 — 0.
Г 6х — Зу + z — 3 = 0; Г 2х + у + 2 z + 4=0;
15. 	\ * 16. '
х + у +5z-5 =0. [-х - Зг/ -z + 3 = 0.
-2x-^ + z-l=a, Гх -г/ -z -2 =0;
х + 4г/ + z + 3 = 0. [х — 2 г/ + z + 4 = 0.


Задачи для типовых расчетов
137
19.
21.
23.
25.
27.
29.
1
f х + 4г/ — 2 + 1 — 0; [2х + y + 4z-3 = 0. (Зх - у - 5 =0;
[2х + у - 3 = 0.
|" 2х + 2у + z — 1 = 0;
X -h Z — 1=0.
х-Зу -2z-8=b, х + у — z + 3 = 0. ГЗг + 2у-Зг-1=0; |х+ // + z 7 =0. J5*-у + £-1 = 0; [5* + 2у —2 + 5 =0.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
{
j" 5j + Зу + z —18 = 0; 2z/ + z — 9 = 0.
Г х + г/ - 35 = 0; jx + 2у -2z-7 =0. j" 2х + 2у + z + 9 = 0; х — у + 3z —1=0.
Гбх + 3у -2z =0;
| j + 2 у + 6z — 12 =0. Г Зг-2у + 2z -2 =0; |5j + 2 у —2 z + 4= 0. Г Зх + 2у — z + 5 =0;
+ z/ + 5z — 1=0.
Задача 6.6. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точки Л и В. Выясните, лежит ли точка Р на этой прямой.
1. Л(1; 2; 2), 5(0; 4; -4), Р(3; 1; 2).
2. Л(-2; 3; 1), 5(1; 6; -1), Р(2; 2; 2).
3. Л(1; 3; -2), 5(5; -1; 2), Р(2; 1; 0).
4. Л(-1; 2; 7), 5(1; 3; -7), Р(3; 4; -7).
5. Л(5; -1; 2) 5(3; 2; 5), Р(7; -4; -1).
6. Л(4; 1; 0), 5(1; 2; 2), Р(4; 1; 4).
7. Л(1; -2; 1), 5(3; 1; -1), Р(5; 4; -3).
8. Л(-3; 3; 4), 5(3; 1; 1), Р(2; 2; -2).
9. Л(3; -1; 0), 5(1; 0; -3), Р(5; -2; 3).
10. Л(5; 0; 2), 5(1; 3; -2), Р(-3; 5; -6).
11. Л(2; -5; 1), 5(4; 3; -1), Р(0; 2; 5).
12. Л(2; -4; 1),5(-1; -3;2),Р(-4; -2; 3).
13. Л(3; -2; -1), 5(4; -4; -3), Р(5; -6; -5).
14. Л(-3; 4; -1), 5(1; 3; -2), Р(4; 7; 2).
15. Л(-2; 2; -2), 5(-1; 5; 1), Р(0; 8; 4).
16. Л(-5; 1; -2), 5(-4; 2; -1), Р(3; 9; 6).
17. Л(3; 1; -4), 5(1; -5; 2), Р(2; -2; 5).
18. Л(3; -4; -1), 5(4; -3; 0), Р(4; -7; -4).
19. Л(0; 2; -4), 5(-1; 3; -2), Р(2; 0; -6).
20. Л(3; 4; 1), 5(4; 3; 7), Р(2; -6; -1).
21. Л(1; 1; 1), 5(-2; 4; -2), Р(0; 1; 0).
22. Л(1; 2; -3), 5(4; 5; 0), Р(2; 3; -2).
23. Л (2; 3; 1), 5 (2; 5; 2), Р(2; 7; 3).
24. Л(-1; -2; 5), 5(1; 0; 7), Р(2; 1; 8).
25. Л(1; -5; -4), 5(4; 6; -1), Р(3; 0; 1).


138
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
26. Л(3; -5; 2), 5(6; -2; 5), Р(2; -6; 1).
27. Л (2; -2; -3), В (4; 1; -3), Р(7; 1; -2).
28. Л(-3; 1; 1), 5(0; -2; 4), Р(3; -5; 7).
29. Л(3; 1; -1), В(-2; 3; 4), Р(1; 6; 2).
30. А(-2; 1; -1), В(1; 2; 6), P(t -4; 1).
Задача 6.7
1. Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку М(1; -2; 3) перпендикулярно вектору а = {9; -3; -1} и пересекает прямую x+t_y-l_z
~3 2~ ~ Т
2. Составьте канонические уравнения прямой, лежащей в плоскости yOz, прохо-
х + 3 и — 1
дящей через начало координат и перпендикулярной прямой —— = =
z +1
= ~Г‘
3. Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку
М(3; -2; 0) перпендикулярно прямой Х- = — = -—- и расположена в пло-
2 ”1 3
скости хОу.
4. При каком значении X прямые
х + 2 у-1 z (x + y-z= 0;
— — и
X -2 1 [х -у -5z-8=0
параллельны?
5. При каком значении D прямая
[ *2х — у + 3z + D = 0]
[х + Зу -z =0
проходит через начало координат?
6. Напишите канонические уравнения прямой, которая проходит через точку М(2; 1; 3) и параллельна прямой х = 3 + t, у = 3ty z = 2 - t.
7. Даны вершины треугольника А(1; 0; -1), В(2; 1; 3), С(0; -1; 1). Составьте параметрические уравнения высоты, опущенной из вершины В на сторону Л С.
8. При каком значении X прямые
х у-1 z [ Зг + г/-5г + 1=0;
— — и
1 X, 3 J^2x + Зу — 8z + 3 = 0 перпендикулярны?
9. 	Напишите параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку М(2; -1; 3) и параллельна прямой
\х-у + 2z — 1 = 0;
[ Злг + 21/ — z + 2 = 0.


Задачи для типовых расчетов
139
10. 	Напишите канонические уравнения перпендикуляра, опущенного из начала
х ■*“ з it 2 z | 1
координат на прямую = = .
4 3 2
И. Напишите параметрические уравнения прямой, которая проходит через точку
л,{\ о * + 1 У-1 £ х У+1 z
А(0; -2; 1) и пересекает две данные прямые, — — = - ^ = — и — = -—— = -.
Г 4х + z-l =0; [Зх + г/-z + 4 =0;
12. Пересекаются или нет прямые и ^
F F [х-2г/ + 3 = 0 [г/ + 2z -8 =0?
тт х-1 г/ -7 z-5 X-6 v + 1 z
13. Проверьте, пересекаются ли прямые = = и = = -.
2143-2 1
14. Даны вершины треугольника Л(1; 0; 2), В(-2; 3; -1), С(3; -2; 4). Составьте канонические уравнения медианы, проведенной из вершины В на сторону АС.
15. Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку А( 1; -5; 3) и образует с осями координат Ох, 0у и 0z углы 60, 45 и 120° соответственно.
16. Напишите параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из точ-
л / л а о\ Х + 1 у -1 Z
ки Л(-1; 0; 3) на прямую = = -.
3 2 1
17. Даны точки пересечения прямой с двумя координатными плоскостями (xt; yt; 0) и (х2; 0; z2). Вычислите координаты точки пересечения этой же прямой с третьей координатной плоскостью.
_ ^ „ [Ъу + 2 =0;
18. Укажите особенность в расположении прямой <
н F [х - Зг/ +2z + 1 = 0.
19. При каких значениях коэффициентов В и D прямая
Jx -2у + z - 9 = 0;
| Зх + By z -\- D = 0
лежит в плоскости хОу?
20. Какому условию должны удовлетворять коэффициенты в уравнении прямой
Г Ах + By + Cz + D = 0j [Aix + B^y + Qz + Dt = 0,
чтобы она пересекала ось 0у?
о. 	л, « Г2х -3 = 0;
21. Укажите особенность в расположении прямой | ^ 59
22. Напишите параметрические уравнения перпендикуляра, опущенного из точки Af(-1; 2; 3) на ось 0z.
23. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(-1; 3; 2) параллельно оси 0z.


140
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
„ fx-t/ + z-4= 0; [x + y + z- 4=0;
24. Наидите угол между прямыми < и<
У У F [2x + y-2z + 5 = 0 [2* + 3*/-z-6=0.
25. Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку
\ж/л о о\ „ X — \ у Z + 2
М(1; 2; -3) параллельно прямой = — = .
2 3 1
26. Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку
1#у , _ ЛЧ м [х-2у + z = 4;
М(-4; 3; 0) параллельно прямой <
[2х + у -z =0.
27. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(2; 3; -1) параллельно вектору Й = {5; -3; 2}.
28. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М( 1; -1; 0) и перпендикулярной к плоскости 2х - Ay + z = 3.
ork тт 0 х-2 у-3 2 х +1 у-2 z + 5
29. Наидите угол между прямыми = = — и = = ——.
1 —1 V 2 1 1 л/2
| ^ J
30. Выясните, будут ли пересекаться прямые —-— = ' = ^ и
х-2у - Зг - 4 =0; х-у -5г -2 =0.
Прямая и плоскость в пространстве
Задача 6.8. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку Л и перпендикулярной плоскости а.
1.Л(1; 2; 3), а: 3x-2y-z-3 = 0. 2. А(2; 2; 2), а: х-у -Зг -4 =0.
3. 	Л(—1; -2; 6), а: х + у - Зг -2 = 0. 4. Л (3; 0; 3), а: 2х + Зу - 4г = 0.
5.Л(-3; 5;-4), а: 4х-у +5г-1 = 0. 6. Л(0;-1;-2), а: 2х + у + г-7 =0.
7.Л(-3; 4; 2), а: 4х + 2г/-г +1 = 0. 8. Л(1;2;3), а: 3х-2г/-г-3 = 0.
9.Л(1;2;7), а: -х + у-4г + 5 =0. 10. Л(1;-2;-3), а:-Ах-у +5г + 3 = 0.
11.Л(-2; -3; 4), а:2дг + 6у-2г + 3 = 0. 12. Л(4; -2; 1), а:6*-Зу +2г-2 =0.
13.Л(0; 1; 1), а:х + г/-г + 4 =0. 14. Л(0; —2; —5), а:дг + Зг/-2г-1=0.
15.Л(1; 4; — 1), а: 7дт + у-Зг + 2 =0. 16. Л(-1;0; -1), а:2г+ 2г/-2г+ 7 =0.
17.Л(-1; -5; 1), а: 2х-у -4г + 5 =0. 18. Л(6; 1; -6), а:-х -Зу + Зг + 5 =0.
19.Л(2; 1; 4), а: Ах + 2у-Зг + 4 =0. 20. Л(3;-3; 1), а: Зх + 2у-г + 4 =0.
21.Л(1; -1; -1), а: Зх -Зу + 5г -4 =0. 22. Л(1;1;-5), а: х-2у + Зг-2 =0.
23.Л(1; -4; -3), а: 6х-г-12 =0. 24. Л(-1;-3;0), а: Ах + Зу +г -4 = 0.
25.Л(4;—4;2), а:-2* + ^+ 1=0. 26. Л(0;-3;-1), а: 6дт-у-6г =0.
27.Л(-2;-3; 4), a:lx-y-z-l =0. 28. Л(-2;6;2), а:х + 4у-5г-1 = 0.
29. 	Л(—1; 2; —6), ос х + 5х/ + г —2 =0. 30. Л(3; —2; —1^, ос х + 2у — Зг + 1=0.


Задачи для типовых расчетов
141
Задача 6.9. Найдите точку пересечения прямой / и плоскости а.
1. 1
CN 1 CN
Я
CN
if
II
z-4 " 3 ’
сх! х + 3у + 5z — 42 — 0.
2. /
f:
-1
y-4
5
z-4 " 2 ’
а: 1х + у + 4z-47 =0.
3. i
!: *_1 2
_У-1. 1
_ z-4 3 ’
а: x-2*/ + z-9 = 0.
4. i
!: — = -2
г/-3_
1
> а: Зх + г/-z + 13 = 0.
5. i
f. ^ 2 -2
_y-i
-4
_z + l 0 ’
он 2.x — 2у + 3z + 21 =0.
6. i
f. * ~ 1 -1
_y+ 2 2
z + 2 " -3’
Р
ОО
*
1
1
n
1
00
II
©
7. i
i. x-3 -2
У г 3
-1
-—. а: -4
х + z/ + z —10 = 0.
8. i
f. +1
-4
_y-i
4
z + 2 " 5 ’
сх! 2х + 3 у — 2z — 11 =0.
9. j
r. * + 3
3
_У + 2 -2
Z-6
-3’
(X! 7х + 2г/ + 2z + 2=0.
10. i
r-
2
_^_1 . 3
z — 1 4 ’
а: 5х + Зг/ + 4z + 23 = 0.
11. i
Г-
1
_2/ _г 0
+ 3 2 ’ "
2х - г/ + 4z =0.
12. i
x _ у 0
' -2 _ Z 1
+ 4
-з’ а:
17х -4г/ -z + 6 = 0.
13. i
H
СЛ |
у+2 -2
z + 4 " 3 ’
(XI Зх — 9г/ + z + 1 = 0.
14. i
r. * - 4 4
у+ 4 -3
II
N ^ 1 СП
oil 2х + 2у — z + 7 =0.
15. i
r. * _5 0
у + 2 -3
Z
= а: 3
2х + г/ + 3z — 20 — 0.
16. i
r. x -3 4
со
II
Z + 1
“ -3’
а: х + г/ + Z-7 =0.
17. i
f. ^ "i" 1 3
if
II
z —6 -2 ’
а: х + у + 13z-26 =0.
18. i
r + 3 7
со
i~
II
z-2 2 ’
cxi 2х +11г/ — 2z + 1=0.
19. i
r. * + 5 4
_У-5 -3
_ Z + 1 2 ’
cti 2х + Зг/ + 2z + 9 = 0.
20. i
r. *~3 -2
со
1
II
II
N ^ 1 - W
ос! 2х + 2у + z —26 = 0.


142
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
21.
/:
х -4 _ у -5 _ г-6 -2 -1 -3 ’
а:
5х + Зх/ + 2г —28 — 0.
22.
/:
X М 2-7
— = — = , а:
-4-3 3
х + 2у + 2 2 —6 = 0.
23.
/:
х-1_у-3_2-8 7 ' -5 -2 ’
а:
х + Зу + 5г — 32 = 0.
24.
/:
х -5 г/ + 6 2-7 1 ‘ 2 3 ’
а:
2х + 5 у + 62 — 22 =0.
25.
/:
х + 3 у + 2 2 + 4 -2 1 -3 ’
а:
4х + 5у + 62 + 4 = 0.
26.
/:
х -3 у -7 2-4 3 7 4 ’
а:
—6х + Зг/ + 352 =0.
27.
/:
х-2 у -2 2-2 5 -5 ~ 5 ’
а:
х + Ау + 2-2 =0.
28.
/:
х-1_г/ + 1_2-1 -2 2 0 ’
а:
5х + 4г/ + 52 - 4 = 0.
29.
/:
х_г/ + 6_г 6 “ -3 -4’ а'
2х + Зу + 22 + 23 = 0.
30.
/:
х-1_г/-4_2 + 1 -6 1 4 ’
а:
Зх + Зу + 5г —15 = 0.
Задача 6.10
1. Найдите уравнение плоскости, проходящей через точки М( 1; 1; 1) и N(-1; 1; -1) параллельно прямой, проходящей через точки А(5; -2; 3) и 5(6; 1; 0).
2. Составьте уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки А (2; 0; 1) на плоскости x-3y + 2z = 0n2x-y + 2z = 0.
3. Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку М(2; -1; 3) пер-
0 л: + 1 у z-1
пендикулярно прямой = — = .
3 2 1
4. Напишите канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2; 3; -1) и перпендикулярной к плоскости 2л: + Ay - 3z = 2.
£ГТТ Х + 1 У + 1 Z -3
5. При каком значении А прямая = = параллельна плоскости
2X3
2лг + у - z = 0?
6. При каком значении коэффициента а плоскость ar + 2t/-z + 3 = 0 парал-
„ х-i у л-2 z-10
лельна прямой = = ?
2 3-2
7. При каких значениях коэффициентов а и Ъ плоскость ах + by -2z + 1 = 0
о х у-1 z + 20 перпендикулярна прямой у = -- - -- = ——?
8. Даны точки Л (1; 3; -2) и 5(7; -4; 4). Напишите уравнение плоскости, проходящей через точку 5 и перпендикулярной к отрезку АВ.


Задачи для типовых расчетов
143
птт l х + о, у — 1 z + 2
9. 	При каких значениях а и b прямая = = лежит в плоскости
3 2 1
bx + 2у — z + 1 = 0.
j 2 w 3
10. 	Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую —— = —- =
= —— и точку М(3; 4; 0).
3
И. Найдите проекцию точки Л(2; 3; 4) на прямую х =у =z.
х —13 у — 1 z — 4
12. Принадлежит ли прямая = = плоскости х + 2г/-4г + 1 = 0?
8 2 3
п тт о о \x + y + z-2=0;
13. Наидите угол между прямой < и плоскостью, проходящей
[2х + г/-2-1=0
через точки Л(2; 3; -1),Д(1; 1; 0)иС(0; -2; 1).
14. Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точки пересечения плоскости x-3*/+2z + l= 0 с прямыми - - *
и
5 -2 -1
х — 3 _ г/ + 4 _ z-5
~4~~ -6
15. Составьте канонические уравнения прямой, которая проходит через точку
л 4ч х-1 у + 3 z-5 х у-2 z +1
Л(4; 0; -1) и пересекает прямые = = и — = = .
2 4 3 5 1 2
16. Найдите точку, симметричную точке Л (3; -1; 4) относительно прямой
[ 2х — 2у + z — 3 = 0;
[2х + у-2z + 3 = 0.
17. Найдите угол между прямой, которая проходит через точки Л(-1; 0; -5) и 5(1; 2; 0), и плоскостью х -Зу + z + 5 =0.
18. Найдите основание перпендикуляра, опущенного из точки Л (—1; 3; 2) на плоскость 2лг-г/ + г + 3 = 0.
л л гт х у —2 z \ х + 3 у —2 z
19. Проверьте, что прямые — = = —— и —— = --- = - пересекаются.
Найдите уравнение плоскости, в которой они лежат.
20. Напишите канонические уравнения прямой, которая проходит через точку М(3; -2; -4) параллельно плоскости Зх - 2у - 3z -1 = 0 и пересекает прямую
х -2 _у + 4 _ z -1
~1Г~ -2 ~ ~~2~
21. При каком значении X плоскость 5x-3^ + Xz + l = 0 будет параллельна пря-
„ Гх-4г-1=0; мои <
[у -3z + 2 =0?
[ 2х —2 у + z + 3 = 0;
22. Найдите расстояние от точки Л (2; 3; -1) до прямой <
I Зх — 2у + 2z + 17 = 0.


144
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
23. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М( 1; -1; 2)
х-1 у z + 3 х+ 2 у -1 z +1
и которая параллельна прямым = — = и = = .
2-11-213
24. Найдите проекцию точки М(3; 1; -1) на плоскость х + 2у + Зг - 30 = 0.
25. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямые = ~~~~ и
х + 1_у-l_z
”Т~””Т~~2‘
26. Найдите точку В, симметричную точке Л(2;0; 1) относительно прямой х + 1_ у _Z- 1
~3~ ~~1~ ~Т~'
27. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую = ~
z + 2
= - - - и перпендикулярной плоскости 2х + Зу - z = 4.
28. Найдите точку В, симметричную точке Л(1; 2; 0) относительно плоскости 2х -Зу +5z =5.
оптт ~ х-1 у z+4
29. Напишите уравнение плоскости, проходящей через прямую ^ = ^ = ——
перпендикулярно плоскости Зх + у -2z + 5 =0.
30. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через прямую х =2t + l, у = -t + 2, z = 3t —2 и параллельна прямой ^ ^
Кривые и поверхности в пространстве
Задача 6.11. Нарисуйте пространственные линии, заданные пересечением двух поверхностей, установив предварительно, какие это поверхности. В тех случаях, когда это необходимо, приведите уравнения поверхностей к каноническому виду.
1.
3.
5. 7.
9.
х2+у2 =5; х + z = 3.
2.
(х2 +z2 -у2 =1; [х = 3.
х2 +у2 =z2; х + у + z = 2.
4.
IV +z2 + t/2 =4; {г = *2 + г/2.
*2 +у2 =t х + у + z — 2.
2 2.2
6.
fx2 + у2 -z2 = 4;
U-3.
Г 2 . 2 2
дГ = Г +гГ; ж =2
8.
I* + у =z ; [х + 1/ + z = 2.
X2 + г/2 =z2; 2х + "$у =§.
10.
Г2г/2 +£2 -2г -4 =0; {г/ -х-2 =0.


Задачи для типовых расчетов
145
и.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
*
II
р» +
N
1
ю
*
1
II
о
12. <
\у2 + 4х2 -Зг-4 =0
[г = 4
х2 +у2 + г2 = 4; х2 +у2 =3.
14. <
[х2 +у2 +z2 =8; [х2 +у2 -г2 =0.
х2 + у2 = 6г; х2 + у2 =6.
16. <
[х2 +у2 +z2 =49; [у = а/13.
у2 +у2 +z2 =36; х2 + у2 = 9.
18. <
\у2 +z2 =х; [х - 4 = 0.
*2 у2 -2  1 1 — 1,
36 36 25
Г„2 „2 -2 х У _^ ^
32~Т8+Т- ’
20. <
z + 3 = 0.
z + 1 = 0.
' 2 -А
X У А
— + — +— = 1;
16 12 4
Гт2 М2 ~2 X У ^ Л
1 1 = 1;
16 9 25
22. <
х + 2 = 0.
г-4=0.
' 2 „2 ~2 X У ^ А
1 — 1;
25 16 9
24. •
•V2 и2 ~2
X У л
+ —+— = 1;
16 49 4
х - 4 = 0.
г/ = л/13.
' 2 „2 ~2 X с/ -С J
Тб”Т + 25" ’ х=л/7.
26. |
\ х2 +у2 =х; [х + 2г/ - г =0.
' 2 „2 ~2 х у с А
— + — +— = 1; 16 12 4
х + 2z = 4.
28. |
[х2 + г/2 -2г + 4=0; [г = 4.
х2 + у2 -z2 = -5;
30. |
[х2 +г2 =6у2;
у =2.
[х + у = 1.
Задача 6.12. Нарисуйте область, \x2+y2+z2 = 4;
I Зг =х2 +у2.
1.
ограниченную заданными поверхностями.
2 Гх2+у2=4;
[г =х2 +у2.
3.
5.
jx2 +у2 = 4х;
[л:2 +у2 +z2 = 16.
г = 4-х + у;
У =х2; у = х, г =0.
4.
6.
~2 _ V2 _i_ 2 •
л -х + г/ , х + у = 3; х = 0, у = 0, г = 0.
х2 + г/2 =4; х2 +г2 =4.


146
Глава 6. Аналитическая геометрия в пространстве
4z=x2 +у2; х + у = 4
х = 0, г/ = 0, z = 0.
9.
11.
13.
15.
17.
19.
21.
23.
25.
27.
29.
[ж2 + г/2 = z2;
[г2 = 2х.
2х + Зг/ = 1;
1 2
г = —у ;
4
х = 0, z = 0. х + z = 3; у =л/дг; у = 2л/ж, z = 0.
= 2г/;
=у\ х =у2, у = 1
[ж2 + г/2 = Зг;
[у2 + 3z -6 = 0. jx2 +z2 =г/2;
[л:2 +z2 +(у -2)2 =4 [*2 +z2 +у2 -2у =0; [x2+z2<(y-l)2.
[г/2 +г2 =4;
U = */2, z =0.
[х2 +у2 +z2 = 16;
[х2 +у2 =4.
[х2 + у2 +z2 = 36;
[л:2 + у2 =9.
[4-*2 -г/2 =z;
[z=Jx*ly.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
\z2+y2 =9;
[.х2 + z2 =9.
Зх =x2 +y2;
6x =x2 +y2; z = x + Зг/, z = 0.
3x + 2y = 6; z = 4-y2; x = 0, у = 0, z = 0.
2 2 z=x + у ;
г/ =x2; у = 3, z = 0.
2 2 x + у = z;
г2 = Ay.
|"x2 + г/2 = 4x;
[z2 = A-x.
jx2 +z2 +y2 -Ax =0; [x2 <z2 +y2.
(2x2 +y2 +8z2 =4; [x2 + y2 = 1
x2 +z2 =4; у = 2x, у = 0, z = 0.
x2 +z2 =4; г/ =2x, у =0, z =0.
x2 +y2 =2 z;


ГЛАВА 7 Предел и непрерывность функций одной переменной
Окрестность точки
Окрестностью радиусом h > О (или hrокрестностью) конечной точки х0 называется множество чисел х, удовлетворяющих неравенству \х -х0\ < к то есть множество (х0 -k, х0 + И) (рис. 7.1). Обозначение окрестности — Uh(x0).
ШжшхА -г
xq - h \ х0 Jxq + h
Рис. 7.1
Проколотой h-окрестностью (h > 0) конечной точки х0 называется множество чисел ху удовлетворяющих неравенству 0 < \х -х0\ < 1% то есть множество (х0 - ky х0) и (х0; х0 + к) (рис. 7.2). Обозначение — Uh (х0).
U///////z /////Л » х
х0 - h \ хо /xq + h
Рис. 7.2
Пусть h > 0, тогда й-окрестностыо точки (+оо) называется множество чисел х, удовлетворяющих неравенству х > /г, то есть множество (к, + оо) (рис. 7.3). Обозначение — Uh(+оо).
и///////////* х
h \ +оо
Рис. 7.3
Пусть h > О, тогда й-окрестностыо точки (-оо) называется множество чисел х> удовлетворяющих неравенству х<-к то есть множество (-оо; -к) (рис. 7.4). Обозначение —Uh (-оо).
-00 J-h
Рис. 7.4


148
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
Точка х0 называется предельной точкой множества X, если в любой проколотой окрестности точки х0 содержится хотя бы одна точка данного множества X.
Определение предела функции
Пусть задана функция f(x),X — ее область определения, х0 — предельная точка множества X.
Число А называется пределом функции f(x) в точке х0 (или при х0), если для любой Uе -окрестности точки А существует [/5-окрестность точки х0, такая, что для всех х из области определения X и проколотой йъ-окрестности точки х0 значения функции f(x) принадлежат Ue-окрестности точки А (определение предела функции по Коши). Обозначение — lim/(x) = А или f(x) -> А
X—>Xq X-+XQ
Запишем это определение в другой форме, используя символы:
□ V — для любого;
□ 3 — существует (найдется);
□ : — такая что;
□ => — следует;
□ <=> — равносильно:
lim/(х) = Л<=> VUe(A)3l/s(x0) : Vx eU5(x0)nX => f(x) eUe(A).
X-^Xq
Если известно, что x 0 и A — конечные числа или равны ±оо, то можно дать определение предела функции, заменив записи х е U5(x0) и f(x) е Ue(A) соответствующими неравенствами.
Рассмотрим некоторые случаи значений х0 и А.
Пусть х0 и А — конечные числа, тогда
lim f(x) = A <=> Vs > О 3 8(s) >0 : Ух е X; 0 < |х-х0\ < 8=>|/(х)-Л| < е-
х-*х0
Иными словами, число А называется пределом функции f(x) в точке х0 (или при х —> х0), если для любого положительного числа е существует число 5 >0, зависящее от в, такое, что для любых х е X и удовлетворяющих неравенству 0 < |х-х0\< 8 выполняется неравенство \f(x)-A\< г (определение предела функции на языке «в -5»).
На рис. 7.5 проиллюстрировано определение предела функции /(х)при х -> х0. Для построения этого рисунка необходимо выполнить следующие действия:
1) построить график функции у = f(x) и отметить точки х0 и А;
2) построить окрестность точки А, выбрав произвольное число е > 0;
3) по точкам А + е, А - е и графику функции построить 5-окрестность точки х0. Расстояния от точки х0 до точек х0 + 8 и х0 - 8 должны быть равными, поэтому из двух полученных отрезков следует взять меньший и отложить его в обе стороны от точки х0;
4) взять произвольную точку х*х0, принадлежащую окрестности точки х0, и по графику функции найти значение /(х), которое должно попасть в построенную окрестность точки А.


Определение предела функции
149
«/=/(*)
х0 - 5 хо х0 + 5 Рис. 7.5
Пусть х0 — конечное число, А = +оо (рис. 7.6), тогда
lim f(x) = +оо <i> Vs >0 3 5(s)>0 :Ух e X; 0 < \x-x0\< 8=> f(x) > e.
д:->дг0
Пример 7.1. Доказать, что lim - =0.
*-*«>{2 J
Решение: областью определения функции является множество R, для которого +оо есть предельная точка. Покажем, что
Ve >0 3 5(e) >0 :Vx>5:
-О
< 8.
На рис. 7.7 изображен график функции
у = I - I и проиллюстрировано определение предела.
Рассмотрим равносильные неравенства
<е«>|^| <e-»x>log1s.


150
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
Если взять 0 < е < i то log х е > 0, и при 8(e) = log г е будет выполнено:
Ve > 0 3 5(e) = log t s>0 : \/х > 5:
<8,
то есть для любого 8 >0 существует такое 5(e) = log t 8>0, что при х > log j 8 = 5 выполняется неравенство 2 2
И-»
<8,
а это и доказывает, что lim - | =0.
*-*42,
Односторонние пределы
Правосторонней h-окрестностью точки х0 называется множество точек х, таких, что х е (х0; х0 + А), где h > 0 (рис. 7.8). Обозначение — Ul(x0) .
х
х0 + h
Рис. 7.8
Левосторонней h-окрестностью точки х0 называется множество точек х, таких, что х е (х0 -h\ х0), где h > 0 (рис. 7.9). Обозначение — и^(х0)
(штшх) >х
-h\ /х0
Рис. 7.9
Сформулируем определения правостороннего и левостороннего пределов в терминах окрестностей.
Число А называется правосторонним пределом функции f(x) при х х0 + О (х стремится кх0 справа), если для любой Ue -окрестности точки А существует Ub-окрестность точки х0, такая, что для любых х из области определения X и правосторонней U8-окрестности точки х0 соответствующие значения функции f(x) принадлежат Ue-окрестности точки А:
А= limа/(х)о VU,(A) 3Us(x0) :Vx eU+s(x0)nX => f(x) eUe(A).
x->x0+0
Число А называется левосторонним пределом функции f(x) при х х0-О (.х стремится к х0 слева), если для любой Ue -окрестности точки А существует Ub-окрестность точки х0> такая, что для любых х из области определения X и левосторонней Uъ-окрестности точки х0 соответствующие значения функции f(x) принадлежат Ue -окрестности точки А:


Теоремы о пределах функции. Неопределенности
151
Если число А конечное, то можно дать равносильные определения односторонних пределов на языке «8 -8»:
А= lim /(*)<=> Ve>0 38(е)>0 :Vx е(х0;х0 + h)nX =>\f(x)-Al< е;
X->Xq+0
А = lim f(x) <=> Ve >0 3 8(e) >0 :Vie (x0 -h; xQ )nX =>\f(x)-A\ < 8.
X-+XQ -0
Пример 7.2. Доказать, что lim log 2 x = -oo.
x->0+0
Решение: областью определения функции является множество (0 + оо), для которого 0 есть предельная точка. Покажем, что
Ve>0 3 8(е)>0 :V0<x<8=>log2x<-8.
На рис. 7.10 изображен график функции у = log2x и проиллюстрировано определение предела.
Рассмотрим равносильные неравенства log2 х < -8 <=> 0 < х <2'Е.
Если принять 8(e) = 2-е, то будет выполнено:
Ve >0 3 8(e) = 2_Е : V0 <х < 8 = 2~£ log2 х < -8, а это и доказывает, что lim log 9 х = -оо.
х->№ 02
Теоремы о пределах функции. Неопределенности
При вычислении пределов функций необходимо знать следующие теоремы:
где С = const; где С = const.
lim = С = С,
lim Cf(x) = С lim f(x),
•Г-КГо *->*о
(7.1)
(7.2)
Если существуют конечные пределы lim f(x) -А и limg(jif) = Д то
Х->-Г0
Шп(/(х) + *(*)) = Л + Д
*-►*0
lim(/(x)g(x)) = ^B;
ДГ-^ДГО
15т /<*) _ А
где Вф 0;
lim:
g(x) В
, v lim g(X)
\im(f(x))g(x> =(lim /(*))MJr° .
X-*Xq X-*Xq
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
Если f(x) — элементарная функция, то в любой точке ее области определения имеет место равенство
lim f(x ) = /(lim х). (7.7)
.r-WfO х-^о
Рассмотрим все возможные случаи, которые могут встретиться при вычислении пределов. Пусть lim f(x) = А и limg(x) = В.
ДГ—«Го X-+Xq


152
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
Вычисление предела суммы f(x) + g(x).
1. Л, В — конечные числа =>lim(/(x) + g(x)) = А + В.
X^Xq
2. А = +оо, В = +оо и> lim(/(x) + g(x)) = [+оо + оо] = +оо.
*-мг0
3. А = -оо, В = -оо => lim(/(x) + g(x)) = [-оо - оо] = -оо.
4. А = со, В — конечное число => lim(/(x) + g(x)) = [оо + В] = оо.
*->*0
5. Л =+00, 5 = -00 =>Нт(/(лг) + £(*)) = [+00 -оо].
Последнее выражение не определено, его принято называть неопределенностью вида [оо - оо J
Пример 7.3. Вычислить предел lim(3x2 + 5-1).
Решение: из формул (7.1)-(7.4) следует, что
lim(3x2 + 5 -1) = 3(limx)2 + 5 limx - liml = 312 + 51-1 = 7.
x—>1 x->l x—>1 x->\
Вычисление предела произведения f(x)g(x).
1. А, В — конечные числа => lim(/(x) • g(x)) = Л • A
X-+XQ
2. Л*0, В = oo=> lim(f(x) g(x)) = [A• oo] = oo.
3. A = О, В = oo => lim(/(x) • g(x)) = [0 • oo] — неопределенность вида [0 • oo].
4. A = oo, В = 00 :
*->*0
lim(/(x) • g(x)) = [oo • oo] = oo.
Пример 7.4. Вычислить предел lim^e1 xtg^~
Решение: из формул (7.1)-(7.4) и (7.7) следует, что
Hm(>tgу] = = е'~' '^ = t1'(+00)] = +00-
f(x)
Вычисление предела отношения
ё(х)
f(x) А
1. Ау В — конечные числа, В ф 0 => lim —= —.
g(x) В
2. Л ф О, В = 0 => lim
f(x)
*->*0 g(x)
3. А — конечное число, В = оо
lim
/(*>
4. А = о0у В — конечное число => lim
*-►*0 g(x) 1_оо
f(x)
*-«о g(x)
= 0.
= оо.
5. А= О, В =0 =
6. Л = 00, В = оо :
lim
/О)
/(*) *-+х» g(x)
lim
— неопределенность вида — неопределенность вида


Вычисление пределов с помощью алгебраических преобразований
153
2 + Зх +1
Пример 7.5. Вычислить предел lim
2л:2 -х
Решение: из формул (7.1)—(7.5) следует, что
г2+Зж + 1 1™*2 + 31™* + 1 0 + 30 + 1
lim:
*->° 2х1 -х
2limx2- Итх
лг—>0 *->0
2-0-0
= 00.
Вычисление предела функции (f(x))g(x\
1. Л, В — конечные числа => lim(/(x))g(*} =АВ.
X-+XQ
2. 0<Л<1,В = +оо=> Шп(/(лг))в(д:) = [Aw] = 0.
3. А > 1, В = +оо => lim(/(x))e<jr> = [Aw ] = +оо.
4. О < Л < 1, В = -со=> lim(/(*))g<x> = [А* ] = +оо.
*-**0
5. А > 1, В = -оо => lim(/(x))e<jr> = [Л"" ] = 0.
6. Л = 1, 5 = оо => Нш(/(х))^(д0 = [I00] — неопределенность вида [I00].
X-+XQ
7. А = О, В = 0 => Нш(/(х))^ = [0° ] — неопределенность вида [0° ].
X~>Xq
8. А = оо, В = 0 => Иш(/(х))ё(х) = [оо° ] — неопределенность вида [оо° ].
9. А — конечное число, В = ±оо=> Иш(/(х))5(дг) = [Л±0°] — не существует.
ЗАМЕЧАНИЕ 7.1 Из приведенных решений примеров 7.3-7.5 видно, что на практике в простейших случаях вычисление предела сводится к подстановке в данное выражение значения х = х0. Результат подстановки записывают в квадратных скобках.
Пример 7.6. Вычислить предел
lim (-
х +1
х->\+о^2х2 +х,
Решение: из теорем о пределе функции следует, что
'2^]
lim
х-+м\2х2 +х
1
дг-1
1 + 1 2-12 +1
= 0.
Вычисление пределов с помощью алгебраических преобразований
Часто, прежде чем перейти к пределу, приходится проводить алгебраические преобразования данного выражения. В последующих примерах покажем, какими приемами следует пользоваться для раскрытия неопределенностей.
Пример 7.7. Вычислить предел limf — \.
*^\х-1 х-1)
Решение: подстановка в данное выражение предельного значения аргумента х-1 приводит к неопределенности вида [оо - оо]:


154
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
lim , ,
MlU“l х —1
2 _ 1 О О
= [оо — оо].
Следовательно, прежде чем перейти к пределу, необходимо данное выражение преобразовать. Приведем дроби к общему знаменателю и найдем разность дробей:
-1 х — lj «
lim
х^Лх-
х-1
Подставив в полученное выражение х = 1, получаем:
liml
= lim
2х +1
Пример 7.8. Вычислить предел lim
x~+l{x-i х2-lj х2 -1 л/А-х -V4 + х
= оо.
2х
Решение: после подстановки в данное выражение х = 1 имеем неопределенность
Г(Г
, то есть
вида
О
4а-х-4а + х
lim
х-*0 2х
Чтобы раскрыть неопределенность, умножаем числитель и знаменатель дроби на выражение л/4-х + л/4 + х, сопряженное числителю, и сокращаем дробь:
limV4-x -л/4 + х _ (V4 — jc -V4 + х)(л/4-х + V4 + х) _
х->0 2х х—
2х(л/4 -х + л/4 + х ) 2х 1
2х(л/4-х + л/4 + х ) 4
= lim
^ ^ у J
Пример 7.9. Вычислить предел lim .
*-*о х
Решение: Способ 1. Под знаком предела опять имеем неопределенность вида
Умножаем числитель на выражение, с помощью которого можно получить разность кубов. Таким множителем является неполный квадрат суммы, то есть (л/1 + 2х )2 + л/1 + 2х +1. На этот множитель надо умножить и знаменатель:
Vl + 2x-l
lim
*-»° х
= lim(Vl + 2x - 1)((л/1 + 2х)2 + л/1 + 2х +1)
= lim
х((%/1 + 2х)2 +Vl + 2x + l) 1 + 2х — I 1. 2х
= lim-
«° х(( VT+2X )2 + л/ГТ2х + 1) х((^1 + 2х )2 + л/Г+2х +1)
= lim
х_>0 (л/ТТ2х )2 + л/Г+2х + 1 1 + 1 + 1 3'


Вычисление пределов с помощью алгебраических преобразований
155
Способ 2 (метод подстановки). Примем 1 + 2лг = t3. Тогда х = х —> 0. Удобно использовать следующую форму записи:
1 + 2х = t3
t3 -1
lim
х-»0
%!\ + 2х -1
t3 -1
х =
= lim
£-1
и t —► 1 при
2(^ — 1) ,.2 2
= lim —- = lim— = -.
^(t-i)(t2+t + \) ^t2+t + 1 3
Отдельно рассмотрим предел отношения двух многочленов при х -» оо:
lim = lim ^ + + - + а'х + а°
^Qm(*) + Ъп_Ххтл + ... + Ъ<х + Ь0'
Покажем, что многочлены Рп(х) и Qm(x) стремятся к оо при х -> оо. Для этого вынесем в числителе и в знаменателе за скобку старшие степени х.
Итрп(*) = Нш а*х" + an-ix"^ + ••• + °i* + ао =
Qm(*) + ЬтЛХт-' + ... + Ь{Х + Ь0
= lim-
ЛГ-ЮО
Так как все слагаемые вида
, +*^+...+а+а'
„т-1
V
<*k
.n-k
(0 < k < п -1) и
хт X Ъ
n-k
(0 < k < т-1) стремятся
к нулю при х -> оо, то
lim—-—- = lim-
лг“ко:
1
8
а
а
1
00
■к
1
8
|
_°0_
Таким образом, отношение двух многочленов при х -» оо представляет собой не-
00
определенность вида — , и предел этого отношения равен пределу отношения
слагаемых со старшими степенями:
limAW
= lim-^
'Ьтх*
ЗАМЕЧАНИЕ 7.2 При т = п предел отношения двух многочленов при х -> оо равен —
Ът
отношению коэффициентов слагаемых со старшими степенями, при т > п предел равен нулю, при т <п предел равен бесконечности.


156
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
Пример 7.10. Вычислить предел lim
•4-х3
Решение: lim-
х2 -4х3
х-*»х + Зх-х
—4х3 = lim——= -4.
*->°°х3 + Зх-х2 L°°J *“*Х) х" Рассмотрим раскрытие неопределенности вида многочленов:
РпЮ
в случае отношения двух
lim ^°° Qm(x)
Числитель и знаменатель данной дроби при х = а обращаются в нуль, поэтому многочлены Рп(х)и Qm(х) делятся без остатка на двучлен (х -а). Следовательно, надо числитель и знаменатель дроби разложить на множители и сократить дробь.
Зх 4* 2
Пример 7.11. Вычислить предел lim —г .
х6 -4х + Зх
Решение: в данном случае имеем неопределенность вида
lim
х2 - Зх + 2
*-* х -4х + Зх
= lim (Х 1)(* Л = lim х 2 =
х(х - 1)(х - 3) х(х - 3) 2
Пример 7.12. Вычислить предел lim
Х-»1
2х
х — 1 х2 -1
Решение:
limf— р—
«‘U-1 X2 -1
= Гоо - ool = lim
L J V_w1
= lim
1 —x
xX2 -1
= lim
1-x
x + l-2x x2 -1 -1
= lim
(x - l)(x + 1) x +1 2
Пример 7.13. Вычислить предел lim(Vx2 + x -л/х2 -x).
X—>—oo
Решение: умножая числитель и знаменатель на сопряженное выражение и учитывая, что = -х для х < 0, получим:
lim (л/х2 + х - л/х2 -х ) = [оо - оо] =
*->-00
- lim ^Х<2 +Х ~~_х)(Vx2 + х + л/х2 -х) _
X + х +
л/х2 -х)
= lim
*->-00
X2 + х -х2 + х
х2[ 1 + —1 + Jx2fl- 1
X


Два замечательных предела
157
= lim ^ 2х—, = lim —— = -1.
-xJI l + -)-x.[l^ —2Х
X ,
Два замечательных предела
В дальнейшем будем пользоваться формулами первого и второго замечательных пределов:
lim——— = 1; (7.8)
*->о х
lim(l + а)“ = limf 1 + —1 = е. (7.9)
а->04 у х)
Пример 7.14. Вычислить предел lim(x • ctgx).
Решение: Ит(х • ctg х) = [0 • оо] = liml —— • cos х) = lim cosx =1 = 1. x-rt *->°lsinx J x^° sinx 1
Пример 7.15. Вычислить предел lim(l + ctgx)tgx.
7t
x->—
2 1
Решение: воспользуемся формулой tg x = , тогда
ctg*
l
lim(l + ctg x)tgr = [l00 ] = lim(l + ctg x)ctgx = e,
71 П
x->— x—>—
2 2
71
согласно формуле (7.9), так как а = ctg х —> 0 при х —> —.
Пример 7.16. Вычислить предел lim
j\2x
X -1
= lim— = 1, а показатель степени
*->00
х^\х + 1
Решение: предел основания lim ——- = —
х + 1 [_оо
2х -> оо. Значит, имеем неопределенность вида [I00 ]. Для того чтобы раскрыть эту неопределенность, представляем основание в виде 1 + а, а в показателе выделяем 1
множитель —:


158
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
ЛГ+1
-2 ( -2 V2
Заметим, что а = > 0 при х -> оо, и по формуле (7.9) lim 1 + = е.
х + 1 X + 1J
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Главная часть
Функция а (х) называется бесконечно малой при х -» х0, если lim а(х) = 0.
X->Xq
Бесконечно малые функции а (х) и Р(х) называются эквивалентными при х -> х0,
1- «(*) ,
если lim —^ = 1.
Р(*)
Обозначение эквивалентных бесконечно малых функций — а(х) - PC*). Примеры бесконечно малых функций:
. 1. sinx .
□ smx ~ xf так как lim = 1.
лг-^0 х—>0 %
п ^ 1- tgx f sinx 1 ^ 4
□ tgx ~ Ху так как lim—— = lim = 1.
*->° X х~*0 у X COS X)
х->х0
□ 1 - cos х ~ —, так как
х->о 2
Т 1-COSX lim — = lim-
2 sin"
21 X sin —
= lim-
x
= lim
*->o
sml-
x
2
= 1.
□ arcsinx - x, так как
x->0
arcsinx
lim
*-+0 X
arcsinx = t x =sin£ x —^ 0 t —^ 0
= lim = 1.
sin£
Таблица эквивалентных бесконечно малых функций (а(х) -> 0 при х -» х0):
sina(x)~ а(х); arcsina(x)- а(х);
tg а(х) ~ а(х); arctg а (х) ~ а(х);
(сх (х ))2 l-cosa(x)~ ;
logfl(l + а(х))~ °^х). 1п(1 + а(х))~ а(х); In а
а<х) а(х)1пя; еа(х) -1~ а(х);
(1 + а(х))т -1~ т а(х).


Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Главная часть
159
Функция U(x) называется бесконечно большой при х —> ,г0, если lim U(x) = оо.
X-+XQ
Бесконечно большие функции U(x) и V(x) называются эквивалентными при
х -» , если lim = 1.
V(x)
Обозначение эквивалентных бесконечно больших функций — U(x) ~ V(x).
X->Xq
Пример бесконечно большой функции:
Рп(х) = апхп + ап_ххпЛ + ... + atx + а0 ~ япх”.
Если а (х) и Р(х) — бесконечно малые функции при х ->х0 и Р(х)^о С (а (х))*, где С, k — постоянные числа, С ф 0, то бесконечно малую функцию С(a(x))k называют главной частью Р(х). Число k называют порядком функции ^(х) относительно а(х):
□ Если х0 — конечное число, то главная часть функции Р(х) имеет вид
С(х- x0)k.
fVk
□ Если х0 = оо, то главная часть функции Р(х) имеет вид С
и,
Если U(x) и V(x) — бесконечно большие функции при х -» х0 и V(x)x~Xq C(U(x))k, где Cf k — постоянные числа, С ф 0, то бесконечно большую функцию C(U(x))k называют главной частью V(x). Число k называют порядком функции V(x) относительно U(x):
□ Если х0 — конечное число, то главная часть функции V(x) имеет вид
( \ 4k
С
уХ~Х0;
□ Если х0 = оо, то главная часть функции V(x) имеет вид Cxk.
Для выделения главной части бесконечно малой или бесконечно большой функций пользуются следующими теоремами.
Теорема 7.1. Если lim f(x) = С, где 0 < | С\ < оо, то
f(x)a(x) ~ С а(х).
X-+XQ
Теорема 7.2. Если а(х) ~ а^я^ир^) ~ pt(x),TO
х—кто х—kxq
а(х)р(*) - а1(х)р1 (*) и
*->*0 Р(дг) х~>х<> Р,(х)
Теорема 7.3. Если а (ж) - р(х) и Р(х) - у(ж),то
ДГ—>ЛГо X—
а(х) ~ у(х).
X^Xq
Теорема 7.4. Сумма бесконечно малых функций разного порядка эквивалентна бесконечно малой функции меньшего порядка.
Теорема 7.5. Сумма бесконечно больших функций разного порядка эквивалентна бесконечно большой функции большего порядка.


160
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
2 х + 2
Пример 7.17. Выделить главную часть функции /(х) - —- при х -» 1.
Зх + 4х -7
п т 2х2 -х + 2
Решение: иш-
x->1 Зг + 4х -7
CN
+
1
CN
'3'
.3+4-7.
.0.
= оо.
Функция /(х) является бесконечно большой, и ее главная часть при х -» 1 имеет
вид С|—— | . Для выделения главной части разложим знаменатель дроби на \x-lj
множители:
2х2-х + 2 2х2-х + 2
f(x) =
Зх2 + 4х-7 (х-1)(Зх + 7)
Так как 2х2 -х + 2 -» 3и Зх + 7 -»10, то имеем
дс—>1 х->1
<• 2 , О 0^2
v 2х2 — х 4- 2 2j2 — х + 2 3 _ 3 1 ^
" Зх2 + 4х -7 ” (х -1)(3х + 7)^о (х -1)10 ” 10 [x^AJ
и, по определению, — •( —— ] есть главная часть функции /(х).
10 \x-ij
Пример 7.18. Выделить главную часть функции f(x) = cosx -е3х при л:->0и установить ее порядок относительно х.
Решение: lim(cosx -е3х) = 0. Следовательно, функция /(х) является бесконечно малой, и ёе°главная часть при х -> 0 имеет вид С(х -0)* -Схк, где k — порядок функции /(х) относительно х Воспользуемся соотношениями эквивалентностей
1 (а(х))2
l-cosa(x) ~ -—
а(* )->0 2
и еа(х) - 1 ~ а(х), для этого приведем f(x) к виду
а(х)->0
f (х) = cosх — е3х = cosх -е3х + 1-1 = -(1-cosx)-(е3* -1) -^-^х2 -Зх.
Меньший порядок имеет слагаемое (-Зх), поэтому
fix) = cosx-е3х -х2-Зх Зх.
х->о 2 х~+°
Главная часть функции /(х) имеет вид -Зх1, где k = 1 — ее порядок относительно х.
ЗАМЕЧАНИЕ 7.3 Если в задаче требуется сравнить бесконечно малые или бесконечно большие функции, это значит, что следует найти порядки функций и сравнить их.
Пример 7.19. Сравнить функции fx(x) = ln(x +1) - 1п(х + 3) и
arctg у=
/2(Ж) = -
*Jx5 -Зх3 +х2 +8 при X 00.


Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций 161
Решение:
fx(x) = ln(x + l)-ln(x + 3) = ln* + 1 = lnfl + • ^
x + 3 ^ x + 3
_2
Заметим, что > 0, и по соотношению эквивалентностей
х + 3*->°°
lnll + .-2^ -2
x + 3Jx^™x + 3
тогда
/,(*) = Inf 1 + -=L~ — = -2 ^1 1
^ х + 3)х~>™х + З*-*30 х
Главная часть функции имеет вид -2 • j , и ее порядок ^ = 1.
Теперь выделим главную часть функции /2(х). Для этого заметим, что
1 1
arctg
у/х -3 •г^°° л/х - 3
1 л
при —» 0:
\ л:—>оо
Л(1), _ Jhl Л . 1 _ГГ’
д/л:5 -Зж3 + х2 + 8х^ссл]х5 -Зх3 +х2 + 83M“Jx* *3 W.
Главная часть функции /2(х) имеет вид j , и ее порядок k2 =3.
Поскольку при х —> оо функции fi(x)u f 2 (x) стремятся к нулю, то они являются бесконечно малыми, причем порядок малости функции /2(х) больше, чем порядок малости функции ft(x).
Вычисление пределов с помощью эквивалентных функций
Теорема 7.6. Если а(х) ~ а{(х)и Р(х) ~ Pi(*)> то
X—»Х() X—>Х()
lima(x)P(x)= lim а1(х)Р1(х) = lim a1(x)p(x) = lim a(x)P1(x);
X-»Xq X^Xq X-+Xq X—»Xq
lim 2M „ lim 5l<i> . ton , Um £<£>.
x->x0 Их) X->Xq Pl(*) X^Xq Hx) X^Xq Pl<*>
Эквивалентные бесконечно малые или бесконечно большие функции применяются к вычислению следующих пределов:
6 № 6822


162
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
if
/—S * s-/
II
'0"
II
*
e
oo
g(x)
„0.
*-«0 g(x)
oo
; lim(/(*)g(*)) = [() oo];
lim(/(*))gw =[1"]; lim(/(*))g<1) = [0°]; lim(/(*))g<*> = [оо°].
*->*0 X->Xq
х2 2х в — б
Пример 7.20. Вычислить предел lim .
х~>° cos Ах - cos 2х
Решение:
е -е
2х
lim-
cos4x -cos2x
= lim
Jlx / x ~2x
e (e
-i)
= lime <'
2x/xz-2x
-1)
*->o Ax + 2x . Ax -2x x-+o -2sin3xsinx -2 sin sin
Поскольку ex
-1 ~ x -2x ~-2x, asin3xsinx ~ Зх х = 3x 2 to
x-*0 дг->0 x->0
lim-
e -e
2x
= lim
™ «2дг(<2'2 -1) = limf2*(_2^)
*->° cos Ax - cos 2x x-*° -2 sin 3x sinx *->° -2 • 3x2
Л2дг
= lim
*-+° 3x
= OO.
cos 3x
Пример 7.21. Вычислить предел lim .
cosx
2
Решение:
I. cos3r
lim
cosx
2
* K t = X
2
n *
x = — £
2
x —^ £ —> 0
2
= lim
?->o
cos 3 -1
cos^~ -t
COS
f 3rc
3t
= lim-
t—>0
12 J -sin3£ -3£
cos
(H
= lim
= lim—— = -3. *-»° sin£ t
\j\X 1
Пример 7.22. Вычислить предел lim .
x-e
Решение:
I. lnx-1
lim
x-e
ln-
lnx-lne e
= lim = lim——
x-e
■x-e
t = x-e x = e + t —^ t —^ 0


Непрерывность и точки разрыва функции
163
In— Inf 1 +
= lim = lim— ^ = lim-^ = -.
o £ £->o ^ f e
Пример 7.23. Вычислить предел limx2 f cos — -1
I x
Решение:
limx2f cos — -1] = [oo • 0] = -limx2f 1 - cos — I.
v x ) x^°° V x
. 2
1
1 11 X j
При x -» оо дробь > О, значит, 1 - cos — ~ -——. Тогда
х х *-**> 2
г2
limx2| cos— -11 = -limx2 = -lim-^— =
2 *-*»2x 2
При вычислении пределов lim(/(o:))g(x) удобно пользоваться формулой
х->*0
lim g(x)\nf(x)
lim(/(x»e) = емг°
*->*о
Пример 7.24. Вычислить предел Нтл/l - Ах.
лг—>0
Решение:
, — lim — 1п(1—4лг) lim—(-4х) .
Нтл/1-4г = lim(l - 4х)х = [I00 ] = ех^0х = ех^0х = е~ .
х->0 х->0 4
Здесь воспользовались тем, что 1п(1-4г) 4г.
х->0 ^
2
Пример 7.25. Вычислить предел lim(cosx)arctg х.
х->0
Решение:
limbos*)31"*8* =[!“] = е
lim ln(cosx)
оо -j _ *->0arctg х
х->0
lim Ц- ln(1+(cos х-1» iim £Osxl Um
_ ex^°arctg2x _ gX->0 x2 _ ex^0 x2 _ e~0,5
Непрерывность и точки разрыва функции
Функция /(х) называется непрерывной в точке х0 в следующих случаях: □ /(х)определена в некоторой окрестности точки х0;


164
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
□ существуют конечные односторонние пределы lim f(pc) = f(xQ -0) и lim f(x) = f(x0 +0); д~*°~°
□ эти пределы равны значению функции в точке х0:
lim f(x) = lim f(x) = f(x0).
>0—0 ДГ—>Q+0
Если в точке x0 хотя бы одно из условий непрерывности нарушается, точка х0 называется точкой разрыва данной функции.
Пусть существуют конечные односторонние пределы lim f(x) = f(x0 -0) и lim f(x) = /(*„+ 0).
1. 	Если f(x0 -0) Ф /(x0 + 0), то точка x0 называется точкой разрыва первого рода (рис. 7.11). Величина 8 = |/(х0 +0)- f(x0 -0)| называется скачком функции f(x) в точке х0.
2. 	Если f(x0 -0) = /(х0 + 0) Ф f(x0) или функция f(x) не определена в точке х0 и f(x0 -0) = f(x0 +0), то точка х0 называется точкой разрыва первого рода, или точкой устранимого разрыва (рис. 7.12).
Для того чтобы устранить разрыв, нужно доопределить (или переопределить) функцию в самой точке х0, то есть ввести новую функцию
\f(x)> еслихФх0;
У А
[А если х=х0.
3. 	Если в точке х0 хотя бы один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности, то точка х0 называется точкой разрыва второго рода (рис. 7.13).


Непрерывность и точки разрыва функции 165
Точки разрыва второго рода подразделяются на точки бесконечного разрыва (хотя бы один из пределов f(x0 -0)и f(x0 +0) равен бесконечности) и точки неопределенности (по крайней мере один из пределов f(x0 -0) или f(x0 + 0) не существует).
Пример 7.26. Исследовать функцию
ч (х-l, если 0<х<3;
I 3-х, если 3 < х < 4
на непрерывность.
Решение: изобразим график данной функции (рис. 7.14).
Для функции f(x) точка х = 3 является точкой разрыва первого рода, так как
lim f(x)= lim (х -1) = 21
*->3-0 ' v 7 *->3-0 I
lim f(x) = lim(3-x) = 0 f
*->3+0J *->3+0 J
разрыв первого рода, скачок 8 = 2.
Следует отметить, что в точке х = 0 функция непрерывна справа, так как
lim /(*) = lim (ж -1) = -1 = /(0).
*->0+0 *->0+0
А в точке х = 4 функция непрерывна слева, так как
Шп/(ж)= lim(3-x) = -1 = /(4).
*->4-0 *->4-0
Пример 7.27. Исследовать функцию у = на непрерывность.
Решение: функция f(x) не определена в точке х =0. Эта точка является точкой
устранимого разрыва, так как
sinx sinx .
lim = lim = 1.
*->0-0
X
sin X
График функции у = изображен на рис. 7.15.
Доопределить функцию по непрерывности — это значит задать /(0) = 1, то есть получить функцию


166
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
smx
, х Ф 0;
, х
у =< X
1, х = 0,
которая непрерывна в точке х = 0.
Пример 7.28. Исследовать функцию у =sin— на непрерывность.
х
Решение: точка х = 0 является точкой разрыва второго рода, так как пределы
lim sin— не существуют.
*->0±0 х
1
График функции у =sin— (рис. 7.16) колеблется между числами -1 и 1, не при-
х
ближаясь ни к какому значению.
Пример 7.29. Исследовать функцию у = ехЛ на непрерывность.
Решение: данная функция имеет разрыв в точке х = 1 Найдем в этой точке односторонние пределы
Ук
Рис. 7.16
lim вс = e[-a>l =0;
*-►1-0
Ук
Рис. 7.17
Следовательно, х = 1 является точкой разрыва второго рода, так как предел справа бесконечный (рис. 7.17).


Задачи для типовых расчетов
167
Задачи для типовых расчетов
Задача 7.1. Сформулируйте определение предела или одностороннего предела
функции по Коши и на языке «е -8». ческим рисунком.
Проиллюстрируйте определение схемати-
со
1
II
/*■4
*
•Щ
т-Н
2.
lim/(x) = -oo.
x->0
3. lim f(x) = -оо.
Х-Н-ОО
4.
lim f(x) = +oo.
x—>4+0
5. lim f(x) = -10.
Х-> -00
6.
lim f(x) = 0.
x->0
7. lim /(х) = -оо.
х-> -3-0
8.
lim/(x) = -oo.
x—>4+0
9. lim f(x) = 2.
Х—Н-оо
10.
lim f(x) = -5.
X—> -00
11. lim/(x) = +оо.
х-»4
12.
lim f(x) = -oo.
X—> -00
13. lim/(x) = 0.
Х—Н-оо
14.
lim f(x) = -3.
X—>+oo
15. lim f(x) = 1.
x-»10
16.
lim f(x) = 4
X—> -oo
17. lim f(x) = 3.
X—> -oo
18.
lim fix) = +oo.
x-> -2+0
19. \imf(x) = +oo.
x->2
20.
lim fix) = -oo.
x->3+0
21. lim/(x) =+oo.
x->0
22.
lim /(x) = +oo.
X—> -00
23. lim /(ж) = 2.
X—> -oo
24.
lim /(x) = 4
x—> -2
25. lim f(x) = 1.
x—> -1
26.
lim /(x) = 4.
X—> 1-1
27. lim /(*) = 0.
X—>+oo
28.
lim f(x) = 0.
X—> -00
29. lim /(x) = +oo.
*->3-0
30.
lim fix) = -oo.
x->0+0
Задача 7.2. Докажите предел функции. Найдите 5(e). Сделайте рисунок.
1
1. lim 3х =+оо.
X—>+00
1
= —оо.
3. lim
-з-о х + 3
5. limcosx=0.
Зп
Х~*~2 J
7. lim = +оо.
*-*-5+0 X + 5
9. lim cosx = -1
Х->7С
11. lim tgx = +oo.
x->--0
2
13. limcosx=0.
2.
4.
— —oo.
lim
*-+-5-0 X + 5
lim tgx = -oo.
x->^+0
2
6. limx2 =4.
x->2
8. lim ctg x = +oo.
*->0+0
10. Iim4~* =0.
X—H-OO
12. lim log 2 x = +oo.
X—>+<X)
14. lim л/х = -1.
x—> —1
15. lim
x->l+0 / v _
(x-ty
= +00.
16. 	lim log 2 (x -1) = -oo.
x->l+0


168
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
17. 	Iim-V=0.
х—►—GO
19. 	lim — =0.
*-►*»
21. 	limsin* = l.
я
*-►—
2
23. 	lim log2 х = -оо. *->0+0 02
25. 	lim log о. х = +оо.
х->0+0
1
27. lim = +оо.
*-► -4-fO х + 4
29. lim log 4 (x -2) = -oo.
*-►240
18. 	lim log t x = -oo.
20. 	lim arcsinx = —
*->i~o 2
22. 	limtgx=0.
*->o
24. 	lim arcsinx = -—.
x—► -l+o 2
26. 	lim ex =1
x->0-0
28. 	lim —- = +oo.
(x -1)2
30. 	lim — = 0.
Задача 7.3. Вычислите предел функции.
. ,. х3 + 2х2 - Ах -8
1. lim
3. lim 5. lim
х~*~2 ж3 +8 2x2 +x-1
^-1дг3 -Зг-2
л:3 + 2л:2 -х -2
х +х
7. Ь.У-Г1)1.
*-*1 х + 2х -х-2
_ ,. х3 -Зх + 2
9. lim— ; .
*->1 л: -х -х + 1
11. lim (*2 +2ж"3)2
13. lim
*-> -
15. lim
3 х3 + 4х2 + Зх ж3-Зх-2
«-‘х3 +2х2 -х-2 х4 -1
X -х —лг + 1
,. (х3-2х-1)2
17. hm^— —.
*->-1 (х + 2х + 1)
.. х3 -Зх2 +4
19. lim -—.
*-*2 х -Ах
х3 -Зх-2
21. lim
-‘х3 +2х -х-2 23. lim Х* +2л;3 +*2
*->-1 х4+2х + 1
п х2 -8х + 12
2. lim-
х^6 х -7х +6х 4 lim(l + x)3-(l + 3x)
х~>° х + х
6. lim +2х ~3)2.
х-*~3 х + 4г + Зг
0 х4 -х3 +x-t 8. lim-
10. lim
*->
12. lim
2x2 -х-1 x2 +2x -3
«-Зх3 +4x2 +3x x4 -1
2x -x -1
, . ,. x3 + 4x2 + 3x
14. lim .
«-3 X +x -6
16. lim-
x3 -8
*-*2 x +2x -4x -8
,Q ,. x4 +2x + 1 18. lim — .
x^~l x -x-2
Зх3 -4x2
20. lim
*—>0
22. lim
x->2
24. lim
5x3 +8x2 4r2-5x -6 x^2 Зх3 -Ix2 + 2x л:3 -8
x^2 x' -Зх-2


Задачи для типовых расчетов
169
х2 +х5
26. lim
Зх3 -1х2 +2х
27. lim
х3 -Зх-2
х + хг
,3
х~*2 4х2 -5х -6
28. lim Х1~2Х~\. *^-'(х2 -х-2)2
29. lim
х -Зх-2
■>~1 х -х-2
30. lim
х3-Зх-2
х~*2 х2 -5х + 6
Задача 7.4. Вычислите предел функции.
1. lim (л1х2 +2х -\-4х2 -5.Г + 3). 2. lim
3. lim^i-Л
*_>16 4х -4
с I. л!х 4-13 — 2л/х +1
5. 	lim г .
х2-9
7. 	lim
jr->0
л/8 + Зх-х2 -2
9
Vx
11. 	lim^Zi±2.
*"►-2 x+2
13. 	lim(2/(x + l)2 — л/(х — l)2 ).
ДГ—>00
15.
2 + Vx
17. нтЛ±5^<1±£),
*->0 л/х
,. V 9+2x — 5
19. 	lim — .
^ ^ -2
21. 	lim(x + Vl-x3).
X->oo
3
23. 	lim x2 (л/х3 + 2-л/х3 -2).
I-Hoo
25. 	4 3 2 |
^U-Vx 1-3/xJ
27 ИтУ27Т7-^
«о ЗПТ_5^
x->52-Jx-i
4. 	lim(x + Vl -x3 ).
.*->00
6. 	lim(Vx2 + 4 - л/х + 3).
,r->oo
8. 	Iin^1.' -* * ' -(1-±£>.
*-+0 r
10. 	lim
л/х -1
^ л/l + x-л/2х"
12. 	lim^25~2*~-.
^8 3^_2
14. 	lim(^/(x + 2)2 -з/(х-2)2).
•ЯГ—>00
16. 	lim(J(x + 3)(x -2) -x).
*-)±oo
18. 	lim^Ei±2
^-2 x3 +8
20. 	Ит(л/х2 +5х + 4-л/х2 +x).
*-H-oo
„„ .. л/1 + x — 1
22. 	lim —.
*_>0 Vl + x -1
24. 	lim(Vx2 -5x + 6-x).
26. 	Ит^-Д
Jr->1 л/х -1
28. limx(Vx2 +2 -x).


170
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
29. lim
л/9 + 2х —5
zjx2 -4
30. -2.
Задача 7.5. Вычислите предел функции. 2sinx-l
1. lim-
sin6x
з. lim ln<‘-7*> ,
x-*° sin(it(x + 7))
5 lim sin(a + x) ~sin(a -x)
x~>° x
_ cos 2x - cos x
7. lim .
1 - COS X
9. lim
i 5я\ cos| x + — | • tg x
x_>0 arcsin2x2
11. lim
x2 -2x
x~>° tg [2л(х + 0,5)]
13. limSa^H.
tg 8nx
4- 1 + xsinx-cos2x
15. lim - .
*->0 sin x
17. lim-1-7^
*->0
xsm
in2 4x
i. l-cos2r + tg2x 19. lim -—2—.
x~*° xsin 3x
|. l-2cosx 21. lim-
x-£ sin(rc - 3x)
23. lim-i^lL.
1 _sm7Lr -sm37tr
x->— c? ~ о
2
|. sin4r-2sin2x
25. 	lim .
i-lncos6i
27. lim
sin2x -2sin*
xln(l“xsiiui:)
, . x
1 -sin—
2. lim-
71—X
4. lim
x~*° ln(l + x4\ + xe2x )
~ sin3.r -sin2x
6. lim- .
*-+° ln(l + 2tg3x)
^sin2* _ ^sin*
8. lim
*->° tg 3x
10. lim-
12. lim
l-cos2x cos 7 x - cos 3x lncos2x
3
COS
x~*° sin2 3x
лл 2sinx-V3
14. lim .
3x
Y
1 + COS 7ZX tg27lX
,0 1-Vcosx 18. lim —.
x~*° 1 - cos vx
20.
x—>— 7C 3x
16. lim
x—>1
22. lim^^zi.
x~*° sin 8x
acos^ x 4
24. lim-
lnsinx
tg
26. lim-
3* -3
3* cos—
3 2 -1
28. lim
X-*n
cos 5x - cos 3x
sin x


Задачи для типовых расчетов
171
29. lim
30. 	lim
1-cos3 x
x~>° x2 + sin3 x
Задача 7.6. Вычислите предел функции.
Urn jEfcS-
*-►- л/l — COS ПХ - 1
2
2 lim 2 + 2 + 3)
■У
nX^-l
tg
3. lim-
3" -3
3*
3 2 -1
5. Ц<* + ‘>
X->_l e^x3~Ax2-^ _ ^
7 liml°»! -0-1Ч» + 1) ~2 ilTl-l
9. h<5-^)
*_>2 tJ10-3x -2
ln2x - In 71
11. lim
_ . 5x
2 Sin COSX
2
13. lim
2 2 e‘- -1
x
15. lim
*->i
tgln a
*Jx2 -x +1 -1 lnx
17, lim*’ -* + 1-‘
*-*1
19. lim
tg 71X
lgx-l
*-*i0yfx^9-1
21. lim
^sin2*
2
ln-
4. lim
10
. x sm-— n
Х-+П oVsin*+l
-2
~ л/х -Зх + 3-1 6. lim .
ЛГ-+1
Sin7tX
8 lim ln(x + 2) - ln(2x -1) *->3 sinrcx
Um h£-23_
~2 д/Ю-Зх -2
12. lim
З5дг-3 _32д:2
ln(5x2 -Ax)
x + 2 arcsin
14. lim
x->-2 2+Г+ДГ2 _ g
16. lim
sin2 6* £S*n2 3*
log3cos6x
О cos2 X _ 4
18. lim .
*-►- In sinx 2
20.
22. lim
x~*~2 ln(3x + 7)
2 sin nx ^
*-+2 ln(x2 -2x +1)
23. 	НтМ^Ш'Ц
x^° л/cosx-1
лр- л/2х - JЗх2 -5x + 2
25. 	lim .
*->2 X-2
arctg
n/ Vcos x -л/cosx
24. 	lim-
*-►0
sin2 x
26. lim
s^/2 + Зх —л/2х *-+2 ln(x + 2) •— 2 lnx


172
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
27. lirn^—5* + 5—1
tg ПХ
28. lim
h\2x - In я
п ^g2x -sin2х *
*->- О — 6
2
29. lim
In
cosx
30. 1ш/8|п<3*:5>
х—>2 лт+3 +1
*->2* tg (cos * -1) ~ е~- _ е~
Задача 7.7. Вычислите предел функции.
1. lim 6-
[•-—т
COS X)
2. lim(2-cos3jif) 1
x->0
ctg2*
3. lim(cosx)sin3*.
л:—>2я
4. lim(2-x)
2
ln(2-*)
5. limf—
*->4 *
6. lim(2e"-2 -1У'2.
x-*2
7. lim (cos -Jx ) '.
*-><W)
8. lim[l - ln(l + # )]
X->0
3 \i* arcsin*
9. lim(cos)*.
x->0
10. lim(2 - 3arcts2^ )япдг
x^O
11. lim 6-
x-+° V COS X
13. lim*^2 -cosx.
12. limf 5 !>"23*
x-+° I cos x .
14. lim(2 - ex .
лг->0
15. Нт[1-1п(1 + л/ж)]*
16. lim(3-2cosjr)
x-iO
17. limf!Hl£y-3.
д-->:|1 sin3 J
19. lim^e*-1-!)*-1.
*->1
18. limf^1^'
Х-+Л X
1
20. lim[l-:rsin2x]
x->0
2 V1 ln(l+7UT )
21. lim
r X2 +5 x2 + 3
22. lim(cos x + sin x)x.
x—>0
23. lim (cos x)
x-+4 n
tg 5*- sin 2x 2
25. lim(2-3arctg v*)sin
24. lim(cos 3nx)xsin2,lx.
ctg2x
26. lim(cos.r)sin3*.
27. lim(2-earcsin27*)*.
x->0
28. lim 4
*->° I COS X
tg 2x


Задачи для типовых расчетов
173
29. lim(cos пх)х sin
х-+0
30. lim tg
хЛх-
;2 J
я/2
Задача 7.8. Установите, являются ли функции fx(х)и f2(x)бесконечно малыми или бесконечно большими при х -> х0. Выделите главные части функций fx(x) и f2(x). Определите порядок функций относительно х. Сравните функции.
1. Мх
2. Мх
3. Мх
4. /,(*
5. Мх 6- Мх
7. Мх
8. Мх
9. Мх Ю. Мх
11. Мх
12. Мх
13. Мх
14. Мх
15. Мх
16. Мх
17. Мх
18. Мх
19. Мх
20. Мх
21. Мх
22. Мх
23. Мх
24. Мх
= 3arcsin(2x2 + xi ), f2(x) = tg2Vx(l-cos2Vx), x0 =0. = sinrc(x + 5), f2(x) = (e3x -l)2, x0 =0.
= sin(x4x + e2x -1), /2 (x) = -Jx tg ifx, x0 = 0.
= 5x3 + 3x2arctg, f2(x) = (x3 -l)2 +2x6,x0 = 00.
= ln(l + x2 + дг5), f2(x) = 3x + x4x, xQ =0.
= {3x + l)arctg 4x2, f2(x) = хл1х2 +1, x0 = 0.
= ln(i + ^sinx), f2(x) = e2x -%x0 =0.
= x2 + 3\[x + 4x3, f2(x) = x2 -2x + 3, x0 = oo.
= 'Jx2 + 3>Jx + 1, f2(x) = x2 +5x + t,x0 =00.
= x2 +6, f2(x) = ln(l + 2tgx), x0 =0.
= 6x3 + л1 x^ +1, f2 (x) = л!X^ + 1 + X2, ЛТф = oo.
= (e2x -l)2, f2(x) = 1-cosx3,x0 =0.
= sinл[х (l-cos-Ух) f2(x) = tg(n(x-5)), x0 =0.
- 4~3*2 - 1, /2 (*) = sin5x - 3sin2x, x0 = 0.
= arctg(x2 + 3x), /2 (x) = 1 -i/3x + 1, дг0 = 0.
1 , , , 1
:>f2(x) = -
-,x0 =0.
i-j3x + iJi'"' 3x2+2x = 1 - cos Юд:2, /2 (x) = Vl + x -1, x0 =0.
= x%l5x3 +Vx12 +1, f2(x) = (x2 -l)2 -X4, x0 =00. = arcsin(3x + 5x3), f2(лг) = 2*2 - 1, x0 =0.
= x2 +6x + Зл/х, f2(x) =
(2x + 1) • sin2 —
, *0 = 00.
x
= (5 * - l)x, /2 (x) = (1 - cos 6x) • tg 2, x0 = 0.
= (1 -e~6x )• cos2x, f2(x) = ln(l + 2sinVx + x), x0 = 0.
= (2-x)4 -(3 + x)4,/2(*) =
(x3 + 3*2)
. 1
sin—
X
, = OO.
= (x2 -3x + 2)(x2 -2), f2(x) = 3x3 -l + (*-2)3, x0 =oo.


174
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
25. fi(x) =sinlOx-4sinx2, f2(x) = e6x - 1, x0 =0.
26. /,(*) = 1 —,/2 (*) = *• sin x + i , x0 =oo.
+ 2дг • arctg x 5x +3лг
27. /,(ж) = Jl + Зх2 -1, /2(*) = *• tg ^2я^х + , х0 =0.
28. /t(х) = sin—/2(х)= 2XJ~1 , = оо.
х + х Зле vx+5x
29. /!(*) = * + у[х(\ + 5х2), f2(x) = (х2-I)2, х0 =оо.
30. /t(jir) = 1 - д/l + Зх2, /2 (х) = х • tg Зх, х0 =0.
Задача 7.9. Установите, является ли функция /(х) бесконечно малой или бесконечно большой при х —> х0. Выделите ее главную часть.
. ч 3cos4x ~
L f^=e sin2,_gsin,’*0 =0-
2. /(*) = г—Х0 = 1.
л! х — х -ь 1 — 1
3. /(х) = 1п(13-3х2), х0 =-2.
4. f(x) = tg2x-sin2x,x0 =0.
5. f(x) = 1-cos3 ху х0 =0.
6. f(x) = sm4x(e2^ - 1), Xq =0.
7. f(x) = e2x +e~x -2yX0 =0.
8. f(x) = ln(l + 2sinVx + tg2x), x0 =0.
9. f(x) = tgx -2sinyfxy х0 =0.
10. /(*) = arcsin3x -sin4r, x0 = 0.
11. f(x) = (ex2 -l)sin2x,*0 =0.
12. f(x) = %Jt + %fx—i,x0 = 0.
13- /M=-pz$x’=3
14. /(.v) = . аг0 = it.
xsm3x
15. f(x) = tJi + x2 +3x -i,x0 =0.
16. f(x) = %fx + 2 -2, x0 = 6.
17. /(ж) = ln(l + 2гл/ж + Ъх2), x0 =0.
18. f(x) = . 1 ,s0 =1. SinTCC 19. fix') = e3x-cos6r, x0 =0.


Задачи для типовых расчетов
175
20. f(x) = 2х + 3arcsin2x - 3arctg Ах, х0 = 0.
21. f(x) = Чх2 -2%/х + % х0 = 1.
22. /(*)= 23xCQs2x ,*0 =0.
в — COS X
23. f(x) = ijx4 +х2 +X3,Xq =00.
24. /(ж) = 2* -2"* + Злг, х0 = 0.
25. f(x) = (x2 + 2#)(l-Vcos*)t ж0 =0.
26. f(x) = (x + 2)(e*2-5-е-'),х0 =-2.
27. /(х) = 1п(лг2+4)-1п(х + Ю),ж0 =3.
28. f(x) = 24x (l-cos32.r),ж0 =0.
29. /(*) = tgrt;r-sm5rc.r, дг0 =1.
30. /(ж) = sin2 ж (tg Зх-2tg5x), ж0 =0.
Задача 7.10. Установите, является ли функция /(дг) бесконечно малой или бесконечно большой при лг —> лг0. Выделите ее главную часть.
1- /(*) = (3*2 + l)tg-^-,*0 =оо.
ЭХ
2. /(х) = (2х+ 3)(х+ %/х), х0 =ао.
3. f(x) = (x2 -3x)tg2x2,хй =0.
4- 	f(x) = , ж0 = 1.
(1-х )Sin7l ЛГ
5' Г--3-
6' /w*5^*"=1'
7. /(JT) = ^f2-,i0-2.
sin nx
8. f(x) = tg^y,x0 =5.
Q \ 2x + 3
9. f(x) = -—-,x0=n.
smox
io-
“■ /w-i^hr«--3'
12. /,(*). .Jr.—1.
лг +2r +ЛС
13. /(ж) = x_1(ln(x + 1)-1пж), ж0 = oo.


176
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
.. ,. . (2х + 3)3(3* -2)3
14. /(*) = - Ч*0=оо.
х +1
15. /(х) = 2“а*-‘ -2-5х,х0 = |.
16. /(*) = 3C°S2*2,X0 =0.
^ _ ^-sm2*
17. /(*) = ——,х0 =3.
2х -8
18. /(.х) = хл[х(х + л1х2 + 1),*0 =00.
19. /(x) = ^±J_ *0 =1.
х -4х + 3
20. /(лг) = , х0 = 1.
simtx • tg Злх 21. f(x) = (x2 +5*)2 tg——, д:0 =оо. х +1 22. f(x) = jx2 +3r-9-t^0 =2-
23. /(*) = ln(l + 2 sin 2л: + tg24x), x0 =0.
24. /(*) = ctg87t,x0 =2.
25. f(x) = l-sin™,x0 =1.
26. f(x) = ex + cosx-2, лг0 =0. x2 +5 x3 -4r
28. /(*) = —— J———r,x0=0.
2sin3x -x + 5 tgx
29. /(*)= * x0=2.
mx -In 4
30. f(x) = ctg2nx, x0 =1.
Задача 7.11. Установите, является ли функция /(х) бесконечно малой или бесконечно большой при х —>х0. Выделите ее главную часть.
1. 	f (X) = tg ЗТС у Xq = 2.
2* /(х) = cos х - л/cos х, х0 =0.
3. f(x) = xy[x(x + ^x2 +1),х0 =оо.
4. /(*) = 1п(х + 2)-1пх, х0 =оо.
5. f(x) = $JxA +Х2 +JC3,X0 =оо.
1 2д:
6. /(*) =sin^=arcsin;r-^—-, х0 =оо.
X 5х2+3


Задачи для типовых расчетов
177
7. 	f(x) = (2x + 3r)arctg3x ,х0 = оо.
х 2
8■ /(*) = -!—-sin—=,ж0 =оо. х +5 хых
9. /(д:) = 1п(ж2 +ж)-1п(лг2 +1),х0 =<х>.
_ /•/ \ 2х2 — Зх3 + А**!х + 5
о. /(*) = 5: ,лг0=о0-
х +4х
1- /(*) = “2^ tg-jL,X0=OO.
X +Х Л/Х
2- /3(x) = arctg4x (е2* -1),х0 =оо.
3. f(x) = x2 +2х + 3sin2 х -4tgx, х0 =0.
4. /(x) = arctg(V4 + x2 -2),х0 =0.
5- f(x) = х2 + Vxsin—, х0 =оо.
6. f(x) = 2х2 -Зл/х8 -5х2 + 1, х0 =оо.
1
7. /(лг) = arctg Зг • sin х0 = оо.
х + 2л:
8. /(x) = sin2 4х (tg3x-2tg5x), х0 =0.
9. f(x) = (x2 + 4)2 Vl6*4 + 1, ж0 =оо.
20. /(х) = 4х(^х + 2 + л/х - 3), х0 = оо.
21. f(x) = e*2 + е"3*^+2sin2 х-2, х0 =0.
22. f(x) = ^Jx(x3 +2) + 2лг2,лг0 =оо.
23. /(*) = (*3 -1)2 • Vx^l, *о = !•
3 1
24. f(x) = — -2arcsin—, х0 =оо.
25. f(x) = 2х2 -4-л/х12 -5х3 + 1, х0 =оо.
26. /(x) = V9г8 + 1 + Зг2,х0 =оо.
27. f(x) = (2x3 +4x) tg—^=,x0 =оо.
Зл/Х
28. f(x) = \--^ + tg\,x0 =оо.
29. /(х) = 2x2arctgx + Зх2 sin—, х0 =оо.
х
30. /(ж) = Vx^tg 1 , х0 = 00.
ж5 +2дг


178
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
Задача 7.12. Исследуйте функцию /(х)на непрерывность. Установите тип точек разрыва и изобразите график функции в окрестности точек разрыва.
4-х2, х <0;
1. /(*>=
3. /(*) =
sinx, х < 0;
х3, 0<х<2; л
, х >2.
, х < -3;
5. /(*) =
2-х 1
лг + 3' ж + 3, - 3 < х < 0;
х2, х>0.
ех, х <0; х + 1, 0 < х <2;
1 , х >2.
7. /(*) =
9. /(*) =
.х-2
3, х < -3;
| х\, - 3 < х < 3; 6-х, х > 3.
sinx, х < 0; cosх, 0<х<тс; 1
X > 71
X-К
11. /(*) =
13. /(*) =
-х, х < -1;
—, -1<х<0; х
-2х2 +х, х>0.
-х , х<0; tgx, 0<х<|;
. 71
X, X > —.
2. /(х) =
4. /(*) =
6. /(*) =
8. /(*) =
4е*, 0<лг<4;
1 .
, х > 4.
х-4
х2 + 2ж, х <0; -х3, 0 < л: < 2; х + 3, х>2.
0, х < -1;
Ы> Ы^1;
ln(x-l), х>1. х2, х<0;
1 1
—, 0 <х <-;
, 1
4, х > -.
2
Ю. /(*) =
'x + i, х <2; х2 -6х + 11, 2 < х <4; 2ж-5, х > 4.
1
12. /(*) =
14. /(*) =
-, лг<-2; х -2
0, -2<дг<0; sinx, 0 < х < оо.
Зг +1, х < 1;
2х + 2, 1<х<3; lg(x - 3), х > 3.


Задачи для типовых расчетов
179
15. /(*) =
17. /(*) =
3, х<-3;
|х|, — 3 < ж < 3; 16. f(x) =
1п(х-3), х > 3.
х3, -оо<х<0;
х2+1, 0<х<4; 18. f(x) =
lg(x-4), х>4.
1, х <0; cosx, 0<x<7t;
2, х < -2; \х\, |х|<2; 1
х-2
, х >2.
19. /(*) =
1
*<-1;
х + 1 | лг|, -1 < х < 1;
1—лг2, ж > 1. 4х, х<1;
20. /(*) =
|ж|, х <2; lg(*-2), ж >2.
е*, ж<0; 1
21. /(ж) = ^5-ж , 1<ж<4; 22. f(x) = \ —, 0<х<5;
х
23. /(*) =
lg(.r-4), ж >4.
-1, х <—;
2
Зг + 4, х >5.
tg х, - ^ < х < 0; 24. /(*) -
ж, х > 0.
25. f(x) = iX~X ’ 26. /(х)Н
llg(x-l), х>1. 1
-J , ж<0;
х + 1, 0 <х < 3; lg(x-3), ж>3. 2~х, х<0;
cosx, 0<д:<—;
2
1 п
, х>—.
Я 2
1
27. /(*) = <
л: + 2
kl, к|<2;
ху х >2.
х —
2
х2 -Ху х < 1;
28. 	f(x) = \ 2-Ху \<х<А'у 1
х -4
, х > 4.


180
Глава 7. Предел и непрерывность функций одной переменной
29. /(х) =
3-х, х < 3;
8х-х2 -15, 3<х<5;30. /(х) =
2х -12, х > 5.
—, х<0; х
Зг + 1, 0<х<2; 4-х2, х>2.
Задача 7.13. Исследуйте функцию /(х) на непрерывность. Установите тип точек разрыва и изобразите график функции в окрестности точек разрыва.
2. /(д:) = х + 2^-Х~2'[
1. /(х) = ^ + 2^ + х.
3. /(х) =
х + 2 х
X2 -9' cos ж -1
5- /(*) = 2
X 1
7. /(*) =
9. /(х) =
5 + 3V
х2 -х3 |х -1|
11. /(х) = е
eix -1 13. /(х) = *
X
15. /(х) = arctg 17. /(х) = х +
1
х + 3 х + 2
х + 21
19. f{x) = е *2.
21. fix) = arctg
х + 2
23. Дх) =
sin4x
25. /(х) = х + '
27. /(*) = 29. /(х) =
sinx
|х|
X
lnx
4. /(х) =
6. /(х)=
х-2
1
(х-2)(х + 1) 1
5+2v*
8. /(х) = arctg
X
10. fix) = 2*4
_1_
12. f(x) = ex+i. 14. f(x) = 2X~~x.
16. /(X): 1
1
x2 -1
2 4’
x
18. /(x) = —.
sinx
20. /(x) =
1
(1-x)2
22. fix) = ” ^^ + arctg ^
24. /(x) = 26. /(x) =
28. /(x) =
30. /(x) =
2 | x —1| 1
1 + 6V*'
1
2 + 3"Vx' tg3r x
e3j -1
X
x -1


ГЛАВА 8 Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Производная. Геометрический смысл производной
Пусть функция f(x) задана на промежутке (а; Ь) и пусть точка х0 е(а; Ь), а число Ах такое, что х0 + Ах е (а; Ь). Число Ах называется приращением аргумента в точке х0.
Приращением Ау функции f(x) в точке х0, соответствующим приращению аргумента Ах, называется разность значений функции в точках х0 + Ах и х0, иначе говоря
АУ = /(* о + А*)-/(*<>)•
Если функция f(x)задана на промежутке (а; Ь) и если точка х0 е(а; 6), а число Ах такое, что точка х0 + Ах е (а; 6), то производной функции f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует и конечен.
Для производной используются обозначения f'(x 0) или просто у'. Итак,
у' = f'(x0)= lim —
* J 0/ д*->о дл¬
или
у. /'(*,)- lim
V J v 07 д*->о Ar
Геометрический смысл производной. Производная функции f(x) в точке л'() равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 (рис. 8.1):
f(x o) = tga.


182
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Дифференцируемая функция
Функция f(x)y заданная на промежутке (а; b), называется дифференцируемой в точке х0 е (а; Ь), если ее приращение Ау в этой точке можно представить в виде
Лу = А • Ах + Э(Ах),
где А = /' (х0) — конечное число, а символом в (Ах) обозначена функция, являющаяся бесконечно малой более высокого порядка, чем бесконечно малая Ах.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.1 В определении дифференцируемой функции приращение Ау представлено в виде двух слагаемых, которые являются бесконечно малыми при Ах —> 0. При этом первое слагаемое — бесконечно малая функция одного порядка с Ах, а второе слагаемое — бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Ах.
Из определения ясно, что функция /(х), заданная на промежутке (я; b), является дифференцируемой в точке х0 е(а; b) тогда и только тогда, когда в этой точке существует конечная производная /'(*о )•
ЗАМЕЧАНИЕ 8.2 Так как дифференцируемость функции в некоторой точке равносильна существованию у нее конечной производной в этой точке, то операцию вычисления производной называют дифференцированием.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.3 Если функция не имеет конечной производной в некоторой точке, то она называется не дифференцируемой в этой точке
Функция f(x) называется дифференцируемой на промежутке (я; 6), если она является дифференцируемой в каждой точке х0 е(а; Ь).
Можно доказать, что, если функция f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.


Дифференцируемая функция
183
ЗАМЕЧАНИЕ 8-4 Обратное утверждение неверно. Непрерывная в точке х0 функция может не быть в этой точке дифференцируемой. Это можно показать на следующих примерах.
Пример 8.1. Функция у = Чх (рис. 8.2) определена и непрерывна на всей числовой оси. Однако в точке х0 = 0 она не является дифференцируемой, так как касательной к графику функции в точке х0 =0 является ось 0у и, следовательно,
Пример 8.2. Функция у = | х\ (рис. 8.3) определена и непрерывна на всей числовой оси, а в точке х0 = 0 она не является дифференцируемой, так как ее произ-
Гх, х > 0;
водная у* в этой точке не существует. Действительно, поскольку у = то
-Ху х < 0,
у’ = lim
Дг-»0
f(x0 + Ax)-f(x0) Ах
lim — = 1, х >0;
Д*->(Ы) Дх
lim —— = -1, х <0,
Лг->0-0 Л у
то есть в точке х0 = 0 существуют только односторонние пределы, не равные между собой.
Если у функции у = f(x) существует конечный предел
lim ^ = lim /(*о + А*)~/(*о)
Лг-н-0 Дд; Дг-н-0 Д г
то он называется производной в точке х0 = 0 справа.
Если у функции у =f(x) существует конечный предел
Um ^ » lim /(*.+**>-/(*.>
д*-»-о Ах &х-*~о Дх
то он называется производной в точке х0 = 0 слева.
Производные справа и слева называются односторонними производными.


184
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
ЗАМЕЧАНИЕ 8.5 Функция у = \х\ дифференцируема справа и слева, так как существуют и конечны односторонние производные. При этом производная справа равна 1, а производная слева равна -1. Функция у =л[х не является дифференцируемой ни справа, ни слева.
Правила дифференцирования
1. Если f(x) = с, где с — постоянная, то f'(x) = 0.
2. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, то функция /(х) + g(x) также дифференцируема в этой точке и ее производная вычисляется по правилу
(/(*)±£(*)У = г (x)±g'(x).
3. Если функции /(х) и g(x) дифференцируемы в точке х, то функция /(х)-g(x) также дифференцируема в этой точке и ее производная вычисляется по правилу
(/(*) = fix)-g(x) + /(х) g'(x).
4. Если функция f(x) дифференцируема в точке х, то функция cf(x), где с — постоянная, также дифференцируема в этой точке и ее производная вычисляется по правилу
(,cf(x))f=cf(x).
5. Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х и g' (х) ф 0, то функция 1^1 также дифференцируема в этой точке и ее производная вычисляет-
g(x)
с я по правилу
g\x)
6. Если функция у(х) монотонна на промежутке (а; Ь) и дифференцируема в точке х g (а; Ь), то существует обратная функция х =х(у), которая дифференцируема в точке у у и ее производная определяется из соотношения
X' =—.
' У’х
7. Если функция и(х) дифференцируема в точке х и функция у = f(u) дифференцируема в точке и =и(х), то суперпозиция функций (сложная функция) у = f(u(x)) дифференцируема в точке х и ее производная по переменной х вычисляется по правилу
у'х = ft, -К-
ЗАМЕЧАНИЕ 8.6 Правило дифференцирования суперпозиции функций (сложной функции) следует понимать так, что если требуется вычислить производную от функции у =sin2 х, то вычисляется производная суперпозиции функций у = и2 и w =sinx. При этом следует вычислить производную у'и = (и )'и =2и и производную


Примеры вычисления производных
185
и'х =(sinx)^ = cosx.
Производная у' вычисляется по правилу дифференцирования сложной функции г/' = 2г/ * cosx =2 sin* • cosx.
Производные основных элементарных функций
При вычислении производных наряду с правилами дифференцирования следует использовать формулы для производных основных элементарных функций, которые даны в табл. 8.1.
Таблица 8.1. Производные основных элементарных функций
(х"У = ах”'1
(tg x)' =
COS X
(*)' = !
(ctg xy =
sin X
(4х)' =
(arcsinx)' = . ^
л/l -x2
(arccosx)' - *
V 1-x2
(ех)' = е*
(arctg x)' =
1 + xz
&
Я
II
&
Н
ЁГ
&
(arcctg x)' =
1 + xz
(In лгу = —
X
(shx)' = chx
(log а х)' =
х та
(chx)' = shx
(sinx)' = cosx
Я
^j CN
M
о
II
P-s
*
-l-J
W'
(cosx)' = -sinx
_i CM
rd
сл
1
II
*
о
Примеры вычисления производных
2
Пример 8.3. Вычислить производную функции у = е~х .
Решение: по правилу дифференцирования сложной функции следует сначала вычислить производную экспоненты по ее аргументу -х2. Это означает, что в табличной производной (ех )' = ех переменную х нужно заменить переменной -х2. Эту производную необходимо умножить на производную от аргумента -х2 по переменной х. Правило дифференцирования заданной функции можно записать в следующем виде:


186
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
у' = {е-х2)'_хЛ-х2У =е~*\-2х).
Пример 8.4. Вычислить производную функции у = д/сos(3x -2). Решение: заданная функция является суперпозицией трех функций у = (cos (Зх -2))2:
У -
1 \
(cos(3fr -2))2
cos(3*-2)
(cos (Зх-2))'2)(3x -2)'.
При этом следует понимать, что, дифференцируя внешнюю функцию (степенную или косинус), нельзя менять ее сложный аргумент. Поэтому
1 -1 у’ = ±(cos(3x-2)) 2(-sin(3x-2))-3.
Упростив полученное выражение, получим:
3sin(3x-2)
^ 2a/cos(3x^2)
Пример 8.5. Вычислить производную функции у = arctg Чх • \пх.
Решение: по правилу дифференцирования произведения функций, у’ = (arctg $fx )' х х lnx + arctg Ifx •(lnx)'. Так как производная (lnx)' = —, а производная сложной
X
функции
(arctg Vx )' = (arctg %fx )'^ (Vx )' =
1
1 + Vx
то производная заданной функции равна
l + (Vx)2 1 1
3/„2 03/^2
Г -Y
X3
V У
l + (Vx)2 з
-х
3 _
и' = • lnx + arctg %/х —.
1 + ^3^ *
Пример 8.6. Вычислить производную функции у =
tg-
х
^sin* *
Решение: по правилу дифференцирования частного двух функций, производную от заданной функции можно записать в виде


Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми
187
Функции tg — и 3$тх — сложные, поэтому производные от этих функций по пе-
X
ременной х будут равны
IV 1 г 1
tg
cos2 — х ' COS2 — -X2 X X
(3sinxy =3sin"ln3cosx.
Подставим вычисленные производные в формулу для производной частного и запишем производную от заданной функции в виде
1 • 3sin* - tg — • 3sin* • 1пЗ- cos х
cos2— -x2 x
/ \Ctg*
V
Пример 8.7. Вычислить производную функции у =
Решение: заданная функция называется показательно-степенной. Прежде чем вычислять ее производную, запишем эту функцию, используя основное логарифмическое тождество у = е]пу. Получим:
I arcsin х
у =е
Используя свойства логарифма, получим: у = ectg*<ln*-lnarcsin*\ Дифференцируя полученное выражение по правилу дифференцирования сложной функции, получим:
у' = ^ctg*-(Inлг-lnarcsin*) . (d_g % ^ _ Ь arcsine»' = в*** (ln-lnarcsin^ =
= [(ctgx)'(Ьх -lnarcsinx)+ ctgx(lnx -lnarcsinx)'] = ectg*<ln*-,narcsm*>;
M
* (Inx - lnarcsinx) + ctg x
sin2 x
1
x arcsinx yji-x
2
У
Уравнение касательной к кривой. Угол между кривыми
Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то уравнение касательной к графику этой функции в точке с абсциссой х0 имеет вид
У =/'(*о )(*-*<> ) + /(*<>)•
Пример 8.8. Написать уравнение касательной к графику функции у = ех в точке с абсциссой х0 = 0.


188
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Решение: уравнение касательной запишем в виде
У = f'(x0)(x-x0) + f(x0).
Поскольку /' (ж) = (ех )' = ех, /' (х0) = еп = 1, /(л:0) = е° = 1, то касательная к гра- фику заданной функции в точке х0 = 0 задается уравнением у = х + 1.
Пример 8.9. Найти угол между кривыми г/ = х2 и г/ = л/х в точке их пересечения.
Решение: углом между кривыми, пересекающимися в точке с абсциссой х0, называется угол между их касательными, проведенными к графикам функций в этой точке. Поскольку уравнение х2 = л/х имеет корни хх = 1 и х2 = 0, то кривые пересекаются в точках с абсциссами хх = 1 и х2 =0.
Напомним, что угол между прямыми, заданными уравнениями у = k{x + bx и у = k2x + Ь2, определяется по формуле
k2 - k{
tg ф =
1 + k\k2
Так как (х2 У =2х, то угловой коэффициент kx касательной к графику функции у = х2 в точке с абсциссой хх = 1 равен kx = 2.
Так как (л/х)' = —^=г, то угловой коэффициент k2 касательной к графику функ- 2ых
ции у = 4х в точке с абсциссой .г, = 1 равен k2 = Следовательно,
2_ А з
hn 2 2 3
tg<Pi= 2 , I = ^Г = 4 = 7.
1 + 2
*2
, 3
откуда следует, что cpt = arctg —.
4
В точке х2 = 0 функция у = Vx не дифференцируема, так как ее производная в этой точке бесконечна. В этом случае угол, под которым пересекаются кривые, определим из следующих соображений: касательная к графику функции у = х2 в точке х2 =0 параллельна оси Ох, а касательная к графику функции у - л/х в точке х2 = 0 перпендикулярна оси Ох, значит, кривые пересекаются в этой точке под прямым углом.
Дифференциал
Пусть функция /(х) дифференцируема в точке х0, принадлежащей ее области определения, и пусть Ау = /(х0 + Ах) -/(х0) — приращение функции в точке х0. Линейная относительно приращения аргумента Ах часть приращения функции в этой точке называется ее дифференциалом и обозначается dy.
Из определения следует формула дифференциала:
dy =f'(x „)Дг.


Дифференциал
189
В произвольной точке х формула дифференциала имеет вид
dy = Г (х)Дх.
Поскольку для функции у=х в любой точке производная f'(x) = 1, то dy = = dx = Ах. Учитывая это, формулу для дифференциала записывают в виде
dy = /' (x)dx.
Из определения и формулы дифференциала следует, что при вычислении дифференциала справедливы правила, аналогичные правилам дифференцирования.
Правила дифференцирования:
1. d(c) = 0, если с = const.
2. d(c • /(х)) = с • d(f(x)), если с = const.
3. d(f(x)±g(x)) = d(f(x))±d(g(x)).
4. d(f(x)g(x)) = d(f(x))g(x) + f(x)d(g(x)).
5. d
/(*>
.g(*\
d(f(x))g(x)-f(x)d(g(x))
, если g(x) Ф 0.
g2(x)
Пример 8.10. Вычислить дифференциал функции у = cos2 х• VI-.г2 в произ- вольной точке х.
Решение: по правилу вычисления дифференциала произведения двух функций, запишем:
dy =d(cos2 x)Vl-x2 + cos2 x • 6?(Vl-x2 ).
Учитывая, что
rf(cos2 x) = (cos2 x)'xdx = 2 cos x(-sinx)dx;
л _i
d(Vl-x2 ) = (V1 — x2 Ухdx = — *(1 — x2) 2{-2x)dx,
2
полним:
di/ =2cosx(-sinx)Vl -x2 fife + cos2 x—■——— (~2x)dx =
2л/Г-
X2
2cosx(-sinx)Vl-x2 + cos2 x— ^ (~2x)
2л/Ь-
X2
dx.
Геометрически дифференциал равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в точке дифференцируемости (рис. 8.4).
ЗАМЕЧАНИЕ 8.7 Формула для дифференциала dy = f'(x)dx обладает свойством инвариантности, то есть сохраняет свой вид и в том случае, если х — не независимая переменная, а некоторая функция. Из этого следует, что производную у' функции у = f(x) можно
dy „
записывать в виде у' = -f- независимо от того, является ли х независимой переменной или dx
функцией.


190
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Иногда удобно вычислять дифференциал, не раскрывая до конца производные сложных функций, а пользуясь инвариантностью его формулы.
о
arctg х
Пример 8.11. Вычислить дифференциал функции у = - в произвольной
V 3-5*
точке х.
Решение: согласно правилу вычисления дифференциала частного двух функций, запишем:
dy =d
^arctg3*^ _ d (arctg3 x)^j3-5x - arctg3x d(V3-5x)
л/3-5х
(л/3~5х)2
Раскрывая дифференциалы rf(arctg3x) и d(%j3-5x), получим выражение для дифференциала dy в следующем виде:
dy =
1
3arctg2x d(arctgx)^j3-5x - arctgЗх-(3-5х) 3 <з?(3-5х)
(л/3-5х)2
3arctg2Ar—А—-л/3-5х-arctg3^ - (3-5^r) 3 (-5)dx  1 + ж 3
(л/3—5лг )2
1
или окончательно:
4/ =
3arctg2x—т- $/3^5х + arctg3x--(3-5*)  i + x 3
(%j3-5x )2
-ate.


Дифференцирование функций, заданных неявно
191
Производные функций, заданных параметрически
Если функция у = у(х) задана параметрическими уравнениями \ Х ’
[У =Ф(0.
где t — параметр, и если функции ср(£) и ф(£) дифференцируемы в точке t, то функция у = у(х) также дифференцируема в точке x(t) и ее производная вычисляется по правилу
Ух =
Ht)
ф'(0
X = -
Пример 8.12. Вычислить производную у'х функции у(х)> заданной параметрическими уравнениями
_1_
VT
y=4t.
Решение: согласно теореме о производной функции, заданной параметрически, можно записать:
Ух =
(Уо;
м.
2 -
= --t6
1-| 3 '
2
Дифференцирование функций, заданных неявно
Если дифференцируемая в точке х функция у=у(х) задана соотношением F(x> у) = 0 и если при этом функция F(x, у(х)) дифференцируема в точке х, то производную у' (х) можно определить из равенства
(F(x, у(х))Ух =0.
Пример 8.13. Вычислить производную у’х, если дифференцируемая функция у = у(х) задана неявно равенством
х3у+ху3 - Зх2 - Зу2 л-е** =0.
Решение: производную у'х следует определять из равенства
(х3у+ху3 - Зх2 - Зу2 +ещУх =0.
Вычислим все производные в левой части этого соотношения, используя правила дифференцирования:
3Х2у + Хъу'х +у3 +Х-Зу2у'х -6х-6уу'х + еху(у + хух) = 0.


192
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Из полученного равенства определим производную у’х\
(х3 +3ху2 — 6г/ + ехух)у,х = 6х-3х2у-у3 -е^у;
, _6х-3х2у-у3-ехуу ^х х3 + 3ху2 -6у + е^х
ЗАМЕЧАНИЕ 8.8 Аналогично вычисляется дифференциал функции, заданной неявно.
Пример 8.14. Найти дифференциал функции у = у(х), заданной неявно равенством х2 + у2 + ^ху =0.
Решение: функция х2 + у2 + ^Jxy является функцией х, а так как она тождественно равна нулю, то и ее дифференциал тождественно равен нулю, то есть
d(x2 +у2 + фсу) = 0.
Тогда d(x2) + d(y2 ) + d(Jxy) = 0, или 2х dx + 2у dy + Х + У =q
2 'sjxy
Из полученного равенства определим дифференциал dy:
2у + - \^~ dy = -2х dx -- dx, или dy = 2][х_^
+ \ ][у
ЗАМЕЧАНИЕ 8.9 Обращаем ваше внимание на то, что в примерах 8.13 и 8.14 производная и дифференциал неявных функций также являются неявными функциями. В выражения для них входит функция г/, явный вид которой неизвестен.
Вычисление дифференциала. Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Дифференциал является функцией двух переменных, х и Ах. Чтобы вычислить его значение в некоторой точке х 0, следует задать не только значение х0, но и величину приращения аргумента Ах.
Пример 8.15. Найти значение дифференциала функции у = л/2х -1 в точке х0 = 5 при приращении аргумента Ах = 0,03.
1 --
Решение: так как дифференциал dy = /' (х0 )Ах, производная /' (х) = -1) 2 х
х 2 = - , а значение производной в заданной точке хп =5
л/2^1
/'(*„)=- 1 1 1
V2-5-1 л/9 3’
то dy = - • 0,03 = 0,01. 3


Производные высших порядков
193
Пусть требуется вычислить значение функции f(x) в точке х0 + Ах и число Ах довольно мало. Тогда
f(x0 + Ах) * /(х0) + /' (дг0 )Ах.
Пример 8.16. Вычислить приближенно arctg 1,02.
Решение: требуется вычислить значение функции у = arctg х в точке х = 1,02. Представим х = х0 + Ах так, чтобы значение функции в точке х0 легко вычислялось , а Ах было бы достаточно (с учетом точности вычислений) малым.
Ясно, что в предложенной задаче удобно взять х0 = 1 и Ах = 0,02. Теперь обозначим у 0 = f(x0), а значение функции в точке х представим в виде у - у 0 + Ау, где Ау — приращение функции, соответствующее приращению аргумента Ах.
Учитывая замечание, приращение функции Ау приближенно заменим дифференциалом в точке х0 при приращении аргумента Ах = 0,02. Получим:
у0 = arctg 1 = у ® 0,7852; y' = f'(x) = ——f: f'(xo) = i
4 1 + X 1Ч”1^
Поскольку Ау « <iy = ^ • 0,02 = 0,01, то
у = arctg 1,02 * 0,7852 + 0,01 = 0,7952.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.10 Следует заметить, что, поскольку приращение функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую функцию более высокого порядка, чем А х, то вычисления сделаны с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,02.
Производные высших порядков
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точках х0 и х0 + Ах. Если сущест-
f (х +Ax)—ff(x ) вует конечный предел lim —, то он называется второй произ-
Дх-»0 Дх
водной функции у = f(x) в точке х0 и обозначается у", или/"(х0). При этом функция у = /(х) называется дважды дифференцируемой в точке х0. Аналогично определяются производные более высокого порядка/'"(^о)> fW(хо)> •••> /(п\хо)-
ЗАМЕЧАНИЕ 8.11 Из определения производных высших порядков следует, что вторая производная — это производная от первой производной, третья производная — это производная от второй производной и т. д.
X
Пример 8.17. Вычислить третью производную у'" функции у = — в произволь-
е*
ной точке х.
Решение: сначала вычислим первую производную, используя правило дифференцирования частного двух функций:
, fxS 1ех-х-ех
У=Ь)
7 № 6822


194
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Упростим это выражение:
, ех(1-х) 1-х
у——
е е
и вычислим вторую производную:
„ ,'1-xY (1-х)'ех -(\-х)(ех)' -ех -(1-х)ех
У =
ех ) (ех)2 е2х
Полученное выражение можно упростить:
„ _-ex(t + l-x) _-(2-х) _х-2 У е2х ех ех
— и вычислить третью производную:
' х -2V (х-2)'ех -(х-2)(еху ех-(х-2)ех
У
(ех )2 е2х
которая после всех возможных упрощении примет вид
_ ех(\-х + 2) _ 3-х
У 2х х
е е
Пример 8.18. Получить выражение производной п-то порядка у(п) для функции у = 1п(х + 1).
Решение: получим выражения для производных первого, второго, третьего и четвертого порядков, выполняя последовательное дифференцирование заданной функции:
1 _ 1 . л.т _ 1*2 . _1У 1-2-3
У =~777^ У У =7 У =“
х + 1 (х + 1)2 (х + 1)3 (х +1)4
Из выражений для этих производных ясно, что каждое последующее дифференцирование увеличивает на единицу показатель степени выражения (х + 1) в знаменателе и добавляет в числитель натуральный сомножитель, на единицу больший предыдущего.
Знаки в производных чередуются, причем производные четного порядка имеют знак «минус». Учитывая это, запишем выражение для производной произвольного (гг-го) порядка:
yW — ( I)”-1 ^• 2♦ 3■ • • (n — 1)
(х + 1 У
Произведение всех натуральных чисел от 1 до п называется п-факториалом и обозначается п! = 1-2*3- -и. Учитывая это обозначение, выражение для и-й производной функции у = ln(x + 1) можно переписать в виде


Производные высших порядков
195
Пример 8.19. Получить выражение производной n-го порядка у{п) для функции у = cos х.
Решение: вычислим последовательно производные
у' = -sinx = соs^x + ^J; у" =-cosx = cos(x + п) = cos^x +
у"' =sinx = cosf x + 3 —
I 2
И т. д.
По методу математической индукции получим искомую формулу
у{п) = cosfx + —
I 2
Пример 8.20. Вычислить производную второго порядка от функции у = у(х), заданной параметрическими уравнениями
fx — t3 + 3t2 + 4;
[у = sin2 t
Решение: вычислим первую производную у'х по правилу дифференцирования функции, заданной параметрически:
, _ (sin2 f)' _ 2sin£ • cos t _ sin21
Vx ~ (t3 + 3t2 + 4>; _ 3t2+6t ~ 3t2 +6t
Чтобы вычислить вторую производную, зачтем, что производная у1 х также является параметрически заданной функцией, то есть первая производная у' х задана параметрическими уравнениями
х — £3 + 3£2 + 4; sin 21
\Ух =
3t2 + 61
Для вычисления второй производной можно использовать то же правило дифференцирования, что и для вычисления первой:
( • о.*. \
sin 21
У, 2 =
^ 3 t2 + 61
2cos2£*(3£2 + 6£)-sin2£ (6t + 6) (3*2 + 6t)2
(jt3 + з*2 +4>; з*2 +6*
_6(cos2£(£2 + 2£)-sin2£(£ +1)) (312 +6t)3 ’


196
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Дифференциалы высших порядков
Пусть функция у = /(х) дважды дифференцируема в точке х. Дифференциалом второго порядка от функции /(х), или вторым дифференциалом, в точке х называется дифференциал от ее первого дифференциала d(dy). Второй дифференциал обозначается d2y. Аналогично определяется дифференциал третьего порядка d3y, четвертого порядка d*y и т. д.
Если функция у = /(х) дважды дифференцируема их— независимая переменная, то формула для второго дифференциала имеет вид
d2y =f"(x)(dx)2.
Если х — независимая переменная, то формула для дифференциала п-го порядка имеет вид
dny=f(n\x)(dxy.
Пример 8.21. Найти дифференциал второго порядка для функции у = esmx. Решение: формула для второго дифференциала имеет вид
d2y =y”(dxf.
Вычислим первую производную: у’ = esmx • cosx. Затем вычислим вторую производную:
у” = esin* • cosx• cosx + es[nx(-sinx).
Проведем в полученном выражении все упрощения и получим:
у" = esin*(cos2 х -sinx).
Подставив найденную формулу для второй производной в формулу дифференциала, запишем второй дифференциал в виде
d2y = esmx(cos2 х - sinx)(dx)2.
Пример 8.22. Найти формулу для дифференциала п-то порядка dny функции у = sinx.
Решение: при решении используем формулу для дифференциала п-то порядка
dny=f("\x)(dx)”.
Вычислим производные у' = cosx, у” = -sinx, у'" =- cosx, ylv =sinx, -у и т. д. Заметим, что „» -*{«♦=) ири . - 1, 2, 3, 4,
тогда
dny =sin^x + ^j(<ix)”.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.12 Дифференциалы второго и более высоких порядков не обладают свойством инвариантности, то есть их формула меняется, если х не является независимой переменной.


Правило Лопиталя
197
Для независимой переменной х формула второго дифференциала имеет вид d2y = f"(x)(dx)2. Если х не является независимой переменной, то d(dx) ф 0. Тогда d2y = d(dy) = d(f'(x) dx) = = f"(x)(dx)2 + f'(x)d2x.
Правило Лопиталя
Если функции /(х) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0 и если выполняется условие /(х0) = g(x0) = 0, причем g' (х0) ф 0, то существует ./'(* о)
1- f(x)
предел hm
g(x)
g'(x о)
ЗАМЕЧАНИЕ 8.13 Можно доказать правило Лопиталя в общем виде
lim
f(x)
*->*0 g (х)
= lim
/'(*)
x-+*og'(x)
Это замечание позволяет применять правило Лопиталя несколько раз, то есть для дважды дифференцируемых в некоторой окрестности трчки х0 функций /(х) и g (х) предел их отношения равен
Пх о)
lim /(Х) =
“O'
= lim
'O'
*-«0 g(x)
_0_
*-«о g'(x)
.0.
g'(x0)
в том случае, когда g "(х0) * 0*
Если же /"(*о) = g "(*о) = а функции /(х) и g(x) трижды дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0, то правило применяется еще раз, и так продолжается до тех пор, пока не будет устранена неопределенность.
Пример 8.23. Вычислить предел lim
х->0
sinx + е
-1
, используя правило Лопиталя.
Решение:
lim
*->о
sinx + е
'O'
cosx -e *
= lim =
'O'
.0,
x->° 2x
.0.
= lim
-sinx + е
1
2
ЗАМЕЧАНИЕ 8.14 Правило Лопиталя справедливо и в том случае, когда lim /(х) = = lim g(x) = оо. х~*х°
X-+XQ
Пример 8.24. Вычислить предел lim lnx
lnx lnsinx
1
, используя правило Лопиталя.
Решение: lim-
lnsinx
1. г 1* sin* 1- X 4
= lim—-— = lim = lim = 1.
*-»о 1
sinx
• cosx
X COS X X • 1
Пример 8.25. Вычислить предел lim(sinx)tg х, используя правило Лопиталя.
х->0


198
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Решение: lim(sinx)tg3* = [0°]. Такой вид неопределенности раскрывается с помощью основного логарифмического тождества. Представим показательно-степен- ную функцию под знаком предела в виде
\tg3* _ ln((sin^)tg3j:) _ tg3* ln(sin*)
(sinx)8 = ещкятх) > =ец
x) Г 00
то, применяя прави-
Поскольку lim(tg Зх • ln(sinx)) = [0 • оо] = lim^S^— =
х^° ctg Зх
ло Лопиталя, получим:
1
Пт ln(sinx) Г col = limsinxCQSX = _ 1 limsin2 3rcosx
х—►О
ctg3x
00
3 3*->° sinx
sin2 Зг
Так как cosx —> 1, a sin Зх ~ 9х и sinx ~ х, то
*-►0 *->0 jr—>0
limln(sin3:> - lim^ 1 = - ‘ lim^ = -A lim(9r) = 0.
*-*° ctg3x 3*-*° x 3*->° x 3*-+°
Тогда lim(sinx)tg3* = limetg3jrlnsin* =e° =L
*-►0 x->0
Монотонные функции. Признаки монотонности
Напомним определения монотонных функций.
Функция /(х) называется возрастающей на промежутке [а; 6], если для любых xv х2 е[я; Ь], удовлетворяющих условию х{ >х2, справедливо неравенство /(*,)>/(*2 )•
Функция /(х) называется убывающей на промежутке [а; b], если для любых xv х2 е[а; Ъ], удовлетворяющих условию хх >х2, справедливо неравенство
/(*l)</(*2>-
ЗАМЕЧАНИЕ 8.15 Если функция убывает или возрастает на всем промежутке [а\ Ь], то она называется монотонной (строго монотонной) на промежутке [а; Ь].
ЗАМЕЧАНИЕ 8-16 В определении возрастающей и убывающей функций знаки неравенства между значениями функции могут быть нестрогими. При этом:
1) если при хх > х2 справедливо f(xt) > /(х2), то функция /(х) называется неубывающей;
2) если при хх >х2 справедливо /(xt) < /(х2), то функция /(х) называется невозрастающей.
Пусть функция /(х) дифференцируема на промежутке [а; Ъ]. В этом случае:
1) если производная /'(х)>0 для всех значений х е[а; b], то функция /(х) возрастает на промежутке [а; Ь];
2) если производная f'(x)<0 для всех значений х е[а; 6], то функция /(х) убывает на промежутке [а; Ь].


Исследование функций с помощью первой производной
199
ЗАМЕЧАНИЕ 8.17 Если /' (х) > 0 для всех х е [а; Ь\, то f(pc) — неубывающая функция на промежутке [а; Ь]. Если f'(x) < 0 для всех х е [а; Ь], то f(x) — невозрастающая функция на промежутке [а; Ъ].
Исследование функций с помощью первой производной
Функция /(*), определенная на промежутке \а; Ь\ имеет в точке х0 е (а; Ь)локальный максимум, если существует окрестность Ub(x0), такая, что f(x0) > f(x) для всех х е U8(x0).
Функция /(*), определенная на промежутке [я; fc], имеет в точке х0 е(а; Ь)локальный минимум, если существует окрестность Ud(x0), такая, что /(х0) < f(x) для всех х е U5(x0).
ЗАМЕЧАНИЕ 8.18 Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума. Если дифференцируемая в окрестности точки х0 функция f(x) имеет в этой точке экстремум, то ее производная в точке х0 равна нулю.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.19 Условие равенства нулю производной является необходимым, но не достаточным. Примером этому может служить функция у =х3. Ее производная у' = Зх2 равна нулю в точке х0 =0. Однако функция всюду возрастает (рис. 8.5) и не имеет экстремумов.
Для исследования функции на экстремум более важным является следствие из необходимого условия, а именно: если производная дифференцируемой в точке х0 функции отлична от нуля, то в точке х0 у этой функции нет экстремума.
Точки, в которых производная заданной функции равна рИс. 8.5
нулю, называются стационарными.
Достаточное условие экстремума. Если функция f(x) дифференцируема в окрестности U8(x0) точки х0, /' (Xq ) = 0 и производная /' (х) меняет знак при переходе через точку х0, то функция f(x) имеет в точке х0 экстремум. При этом:
□ если при переходе через точку х0 производная f'(x) меняет знак с «плюса» на «минус», то этот экстремум — максимум (рис. 8.6);
х0 х0
Рис. 8.6
□ если при переходе через точку х0 производная /' (х) меняет знак с «минуса» на «плюс», то этот экстремум — минимум (рис. 8.7).
-.+> У-
Xq Xq
Рис. 8.7


200
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Пример 8.26. Исследовать функцию f(x) = — на экстремум.
х
Решение: заданная функция определена при всех значениях х ф 0. Вычислим ее производную
ех(х-\)
/ч*)=
е х-е
х х
Следовательно, функция дифференцируема на всей области определения. Так как /' (х) = 0 при х = 1, то экстремум может быть только в точке х = 1. Чтобы выяснить, есть ли в этой точке экстремум, надо исследовать, меняет ли знак производная при переходе через эту точку. Отметим на числовой оси точку х = 1. Она разобьет числовую ось на два интервала. Выясним знак производной у’ на каждом из полученных интервалов и по знаку производной определим характер монотонности функции.
Поскольку производная меняет знак в точке 1 = 1 с «минуса» на «плюс» (рис. 8.8), то в этой точке заданная функция имеет минимум.
1 х
min Рис. 8.8
ЗАМЕЧАНИЕ 8.20 Учитывая теорему о достаточном условии экстремума, можно определить точки экстремума как точки, в которых меняется характер монотонности функции.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.21 Производная может менять знак и в точках, в которых f'(x) = оо или не существует. Если эти точки входят в область определения функции, то они также являются точками ее экстремума, поскольку в них меняется характер монотонности. Точки экстремума, в которых производная /'(*) = 00 или не существует, называются точками острого экстремума — острого минимума (рис. 8.9, а) и острого максимума (рис. 8.9, 6).
ЗАМЕЧАНИЕ 8.22 Стационарные точки функции f(x), а также точки, в которых производная f’(x) = оо или не существует, называются критическими. Только в этих точках следует искать экстремум функции. К критическим точкам относят также точки разрыва функции, так как в этих точках может меняться характер ее монотонности.


Исследование функций с помощью первой производной
201
Пример 8.27. Исследовать функцию у = х %J(x -2)2 на экстремум.
п - ч17 2 . 3 (л:-2) + 2д: 5х-6
Решение: у= щ(х-2) +д: — (х-2) 3 =—-—, —= —
* ^ 3 ъЧх^-2. ъЧэс-2.
0
Производная г/' = 0 при = — и г/' = оо при х 2 = 2 . Поскольку функция определе¬
на на всей числовой оси, то других критических точек нет. Из рис. 8.10, а ясно,
что заданная функция имеет максимум в точке хх = — и острый минимум в точке
5
х2 =2. На рис. 8.10, б показан график функции.
Чтобы исследовать функцию на экстремум, необходимо:
□ вычислить производную заданной функции;
□ найти все критические точки функции, включая точки разрыва функции;
□ нанести эти точки на числовую ось;
□ определить знак производной на каждом из полученных интервалов;
□ по знаку производной определить характер монотонности функции;
□ определить наличие экстремума и его характер в каждой критической точке, исключая точки разрыва функции.
х2 + 3
Пример 8.28. Исследовать функцию у =
х-1
на экстремум.
п , 2х(х-1)-(х2 + 3) х2-2х-3 (х-3)(х + 1)
Решение: у = — — = — =
(х-1)2 (х-1)2 (х-1)2
Критическими точками функции являются стационарные точки xt =3их2 = -1, а также точка разрыва х3 = 1. Отметим их на числовой оси и определим знак производной на каждом из полученных интервалов (рис. 8.11).
У'
-1 1 3
шах Разрыв min
Рис. 8.11


202
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Из рис. 8.11 ясно, что функция имеет максимум в точке хх = -1 и минимум в точке х2 = 3. В точке разрыва характер монотонности не меняется.
Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
Функция /(х) называется выпуклой вниз (выпуклой) на промежутке (а; Ъ), если ее график лежит выше касательной к ней, проведенной в любой точке с абсциссой х0 е (а; b) (рис. 8.12, а).
а б
Рис. 8.12
Функция f(x) называется выпуклой вверх (вогнутой) на промежутке (а; b), если ее график лежит ниже касательной к ней, проведенной в любой точке с абсциссой х0 е (а; Ь) (рис. 8.12, б).
Если функция f(x) дважды дифференцируема на промежутке (а; b) и вторая производная /"(*)> 0 для всех значений х е(а; Ь), то f(x) выпукла вниз на промежутке (а; b).
Если функция fix) дважды дифференцируема на промежутке (а; b) и вторая производная f (х) < 0 для всех х е (а; b), то f(x) на промежутке (а; b) выпукла вверх.
Точки, в которых меняется характер выпуклости функции, называются точками перегиба. Если /"(*о) = 0 и /Ч*) меняет знак при переходе через точку х0, то функция fix') имеет в точке х0 перегиб.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.23 Вторая производная может менять знак и в точке своего разрыва. Поэтому точками перегиба являются и точки, в которых вторая производная бесконечна (а функция определена) и меняет знак при переходе через эту точку.
Чтобы найти точки перегиба графика функции, нужно:
□ вычислить вторую производную заданной функции;
□ найти все точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует;
□ нанести эти точки, а также точки разрыва функции на числовую ось;
□ определить знак второй производной на каждом из полученных интервалов;
□ по знаку второй производной определить характер выпуклости функции.
Точками перегиба будут те точки, в которых меняется характер выпуклости функции, исключая точки разрыва.


Исследование функций с помощью второй производной. Точки перегиба
203
Пример 8.29. Определить точки перегиба графика функции /(х) = ln(x2 + 1).
I
Решение: первая производная заданной функции равна ff(x) = — 2х. Иссле-
х2 + 1
дуя первую производную (рис. 8.13, а), легко убедиться в том, что функция имеет минимум в точке (0; 0).
Теперь вычислим вторую производную:
У” =2
х2 + 1-х*2х (.х2 + I)2
= 2-
1-х2 _2(1-х)(1 + х)
(х2 +1)2
(х2 + 1)2
и исследуем ее. Вторая производная меняет знак в точках х = ±1 По знаку второй производной у" можно выяснить характер выпуклости функции (рис. 8.13, б). Здесь видно, что функция имеет две точки перегиба:
х = ±1; у = 1п2.
На рис. 8.13, в показан график заданной функции.
+
о
min
у" -1 1 х
Перегиб Перегиб
Пример 8.30. Исследовать характер выпуклости графика функции у = л/х^ и найти точки перегиба.
Решение: поскольку первая производная функции
у =(^гу =
5Y с 1 е .
х3 = —X3 = — %[х^
3 3
V У
всюду положительна, то функция возрастает при всех значениях х. Вычислим вторую производную:
У =
^5 Р' —х
10
9
10
9 Чх‘


204
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Вторая производная не существует при х = 0 и меняет знак в этой точке (рис. 8.14, а). Поскольку функция определена на всей числовой оси, то х = 0 — точка перегиба. График функции показан на рис. 8.14, б.
У" о * Перегиб
Асимптоты графика функции
Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции /(ж), если lim f(x) = оо.
х->а
ЗАМЕЧАНИЕ 8.24 Из определения вертикальной асимптоты следует, что вертикальные асимптоты следует искать в точках бесконечного разрыва функции.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.25 Если lim f(x) = оо или lim f(x) = оо, то прямая х = а является вер-
x->a+Q х^>а- О
тикальной асимптотой справа или слева.
Пример 8.31. Найти вертикальные асимптоты графика функции
1
У =
Решение: поскольку lim =
1
(х - \)(х - 2)(х - 3) lim =
(х -i)(x -2)(х -3)
= оо; lim = -
1
х~*2 (х - t)(x - 2)(х - 3)
1
(*-1)(х-2)(*-3)
то прямые 1 = 1, 1=2 и 1 = 3 являются вертикальными асимптотами графика функции. Чтобы выяснить поведение функции вблизи вертикальных асимптот, исследуем заданную функцию на знак.
Из рис. 8.15 можно определить знаки бесконечных пределов:
lim f(x) = +оо; Hm f(x) = -oo;
x—►l+O *->1-0
Um f(x) = -oo; lim f(x) = +00;
x—>2+0 x—>2—0
lim f(x) = +00; lim f(x) = -oo.
x—>3+0 x—>3—0


Асимптоты графика функции 205
у
1 2 Рис. 8.15
х
Легко выяснить, что lim f(x) = 0. Эскиз графика функции показан на рис. 8.16.
г—И-оо
График функции у = f(x) имеет наклонную асимптоту вида у =kx + Ъ при х —► ±оо, если lim(/(x) - kx - b) = 0.
-Г—>±00
Прямая у =kx + b является наклонной асимптотой графика функции у = f(x) тогда и только тогда, когда существуют и конечны пределы
lim М = к
ДГ—*too X
lim(/(х) - kx) = b.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.26 Если lim
*-*too
/(*)
X
= k = 0,ro уравнение наклонной асимптоты принима¬
ет вид у = Ь. Такая асимптота называется горизонтальной.
ЗАМЕЧАНИЕ 8.27 Функция может вести себя по-разному вблизи наклонной асимптоты:
• она может иметь одну и ту же наклонную асимптоту при х -» ±оо (рис. 8.17, а);
• она может иметь разные наклонные асимптоты при х —> +оо и х -> -оо (рис. 8.17, б)\
• она может иметь наклонную асимптоту только при х -> +оо или при х -» оо (рис. 8.17, в).
Рис. 8.17


206
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
ех +1
Пример 8.32. Найти асимптоты графика функции f(x) = .
ех +4
Решение: заданная функция определена и непрерывна на всей числовой оси, следовательно, ее график не имеет вертикальных асимптот.
Выясним, имеет ли график функции наклонные асимптоты вида у -кх + Ь:
*=ВтЛ£)=Шп. о'-1
х-***3 (ех + 4)х
Поскольку lim ех = \ % + ’ то асимптоты разные при х -» -юо и х -> -оо.
х-*Ь° [О, X -> -00,
Поэтому
k{ = lim ——= lim = lim — = 0;
^^0° ^ех + Х^Х} ехх х-^оо х
b{ = lim(f(x) - k{x) = lim 6 + * = lim — = 1.
X—H-oO *->+00 gX ^ *->+00 gX
При x -> +oo график функции имеет горизонтальную асимптоту у = 1:
k2 = lim —g + * = lim — = 0;
^в* + 4)х *->-«> 4^
в* +1 1
62 = Нт(/(х)-^2д:) = lim
*->-°° ех + 4 4
При х -> -оо график функции имеет горизонтальную асимптоту у = —. График
4
функции показан на рис. 8.18.
Построение графиков функций
Если требуется построить график функции, то следует провести полное ее исследование по следующей схеме:


Построение графиков функций
207
1. Область определения функции (ООФ) и вертикальные асимптоты.
2. Четность функции, периодичность функции.
3. Корни и знаки функции.
4. Монотонность функции. Экстремумы.
5. Выпуклость функции. Точки перегиба.
6. Наклонные (горизонтальные) асимптоты.
Для того чтобы построить график исследованной функции, нужно:
1) ввести прямоугольную декартову систему координат;
2) провести вертикальные и наклонные асимптоты;
3) отметить все характерные точки (корни, точки экстремума, точки перегиба);
4) соединить характерные точки кривыми в соответствии с исследованием функции на выпуклость.
( х-lV
Пример 8.33. Провести полное исследование функции /(х) = и построить ее график. ^х
Решение: ООФ х *2. Поскольку lim/(x) = oo, то прямая х-2 — вертикальная
х—>2
асимптота. Функция общего вида и непериодическая. Корень функции х = 1 Функция неотрицательна при всех значениях х.
Вычислим первую производную функции:
г,г ч о (х -\Лх -2-х + \ -2 (х-1)
/'(*) = 2' 1 -
х-2) (х-2 У (х-2 у
Отметим на числовой оси стационарную точку, х = 1 и точку разрыва функции х-2. Определим знак первой производной на каждом из полученных интервалов и отметим стрелками характер монотонности функции (рис. 8.19).
*/' 1 2 х
min Разрыв
Рис. 8.19
Из рис. 8.19 ясно, что х - 1 — точка минимума. Для построения графика требуется найти значение функции в точке минимума /(1) = 0. В точке разрыва меняется характер монотонности функции.
Вычислим вторую производную заданной функции:
Г(х)~ 2 ~(*-1)'3 (*~2)2 _ 2 х~2~3х + 3 _2 2х~1
(х-2)в (х-2)4 (х-2)4
Вторая производная обращается в ноль в точке х = ^ и меняет знак при переходе
1
через эту точку. Точка перегиба — х = -. В точке разрыва х-2 вторая произвол-


208
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
ная знак не меняет. Определим знак второй производной на всей числовой оси и отметим на ней характер выпуклости функции (рис. 8.20).
Выясним, имеет ли функция наклонную асимптоту вида у =kx + Ь. Для этого вычислим пределы:
Следовательно, график функции имеет горизонтальную асимптоту у = 1 График заданной функции построен на рис. 8.21.
Наибольшее и наименьшее значения непрерывной на замкнутом промежутке функции
Функция, непрерывная на замкнутом промежутке, принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Эти значения могут достигаться в точках экстремума и острого экстремума, а также на концах промежутка. Функция, график кото-
+
+
у" 05 2 *
Перегиб Разрыв Рис. 8.20
>
X
0,5 1
2
Рис. 8.21


Исследование функций с помощью производных высших порядков
209
рой показан на рис. 8.22, достигает наибольшего значения на левом конце промежутка в точке х = а и наименьшего — в точке минимума х3.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции fix), непрерывной на промежутке [а, Ь], нужно:
1) найти все ее критические точки;
2) вычислить значения функции во всех критических точках;
3) вычислить значения /(я) и fib);
4) среди полученных чисел найти самое большое и самое маленькое.
Пример 8.34. Найти наибольшее и наименьшее значения функции fix) = -х2 -Чх2 на промежутке [-8; 8].
Решение: заданная функция непрерывна на всей числовой оси. Производная функции
rt / \ 2 2-^2
т (х) = -х —х 3 =- 3 3 3
х--
1
JX
2 х Чх -1
3
Производная f'ix) = О при x=±i и f'ix) = оо при х =0. Вычислим значения
2
функции в этих точках: /(±1) = —, /(0) = 0. Значения функции на концах задан-
3
ного промежутка равны /(±8) = 17 ^. Следовательно, наибольшее значение функ-
1 2
ции равно 17 - при х = ±8, наименьшее значение функции равно — при х = ±1. 3 3
Исследование функций с помощью производных высших порядков
Если функция fix)n-\-1 раз дифференцируема в окрестности точки х0 и все ее производные до производной п-го порядка в этой точке равны нулю, то есть /'(*о) = /Ч*о)=-" = /(л)(*о) = °- а/<и+1)(*о)*0, то:
□ если п + 1 — нечетное число, то в точке х0 перегиб;
□ если п + 1 — четное число, то в точке х0 экстремум.


210
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
Если при четном п+ к
□ f(n+i)(xо) < 0 => х0 — точка максимума;
□ /(п+1) (х0) > 0 => х0 — точка минимума.
Пример 8.35. Исследовать поведение функции f(x) = xex -sin(x2)-^x3 -х
в точке х0 =0.
Решение:
/' (х) = ех + хех - cos(x2 )2х --х2 -1 => /' (0) = 0;
Л \г* 3 2
f'\x)-ex + ех +хех +sin(ji;2)4x2 -2cos(x2 )-^2х => /"(0) = 0; f"’(x) = 2ex +ех +хех + cos(x2 )8х3 +sin(x2 )8х+ 2sin(x2 )2х-3=> /"'(0) = 0. Упростим третью производную и продифференцируем функцию еще раз: f"'(x) = Зех +хех + cos(x2)8r3 + 12xsin(x2 )-3; fw(x) = 3ex +ех +хех -sin(x2)16x4 + cos(x2)24х2 +
+12sin(x2) + 12х cos(x2 )2х.
Поскольку /1У(0) = 4 > 0, то функция имеет в точке х = 0 минимум.
Задачи для типовых расчетов Дифференцирование функций
Задача 8.1. Вычислите производную.
2(3*3 +4*2 -х-2) 0 *4-8*2
1* У- , • 2. у =
15л/Г+х 2{х -4)
3. 	у = 3 ^/(х + 1)/(х -1)2. 4. г/ = 3^Z±£±i.
х + 1
- 2х2 -х -1 „ д/Зл:5 -2л:
5. 	у = —, 6. у = .
Зл/2 + 4^ *.+ 7
(х2 -6)V(4 + x2)3 4 + Зх3
'• У = • 8- ^ =
120х5 х^/(2 + х3)2
9. 	у = *2 - 10. у Ах2-lylA + x2
2-^1-Зх4 24х3
(l + x8)Vl + x8 х6+х3-2
11- У=- • 12. у=— .
12х л/1-х3


Задачи для типовых расчетов
211
13. у =
15. у = 17. у =
1 + х 2 V1 ч- 2л: 2
(х3-Зх)л/х2 -2х4 Ах + 5 х6 + 8х3 -128 л/в-х3"
19. у =2. 21. у = 23. у =
\-4х
VlWT
л/л^Т(Зл: + 2)
4л:2
х-1
(х2 + 5)л/х2 +5 л/2-х5
25. 	у= ,
5х -2х
27. у=:
29. у =
■ л/2х2 + х5 х3 -5х
х4 -Зх + 5
14.
У =
16.
У =
18.
г/ =
20.
У =
22.
У =
24.
У =
26.
У =
28.
2/ =
30.
У =
(2х + 1)л/х2 -х х2
(2х2 +3)Ух2 -3
9Ьс3
1
(х + 2yjx2 + Ах + 5 л/2х + 3(х-2)
-у/(1 + х2) 3
Зх3
(1-Х2 )5|х3+1.
(х2 -8)Ух2 -8 6х3 д/х3 - Зх
X + х
(1+*3/4)2
3/2
л/х -4
Задача 8.2. Вычислите производную.
* х (
1. у -х- 1п(1 + е* ) -2е 2 arctg е2 - arctg в2
V
2. у = tg 1пд: -2е_* + —-—.
cos2x
3. у =ЪеГх(Чх2 -2Чх +2).
6Х
4. г/ = — [(х2 — 1)cosх + (х — I)2 sinx].
- 1 e2w*
5- У = “7= •
4т sin2x - cos 2х
6. у = 4х 1п(л/х + у/х + а)-л!х + а.
7. у=^arctg(eW*).
* V
8. 	г/ = In
л/l + e* +е2х -ех -1
Vl + + е2* - е* +1
9. 	у = 1п(е* + yle2x -1) + arcsine"


212
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
10. 	у = х2 - Зх +
11. 	у=Х +
1 + ех
г
8tg3x
X
1 + е*
-1п(1 + е* )
12. 	у = х- 3 1п
1 + е6
О
-3arctge6
13. у = еа
1 acosx + 26sin6x 2а+ 2(а2 + 4b2)
14. у = ln(ex +1) +
18е2* +27ех +11 6(е* +1)3
15. у = —j— In*+ ^ + ctg(l-x4).
In 4 1-2*
16. у = ^ 1п(е2д: +1) -2arctg ех.
17. x(cos In.г + sinlnx) / 2.
18. у = 2л/е* +1 +ln^-.t1~l
л/е* +1 + 1
,л/2* -l-arctgV2* -1
19. 	у =2-
1п2
20. г/=2(x-2)Vl + e*-21п^^- *.
V 1 + е*+1
21. у = ешф sin Рх + acospx)/ (a2 + р2 ).
22. г/ = л/1 — 1п3 лг (asin(3x -pcospx).
23. у = х- 1п{2 + е* + 2Ve2x + e*+1).
24. i/ = У (arctg е* )3.
25. у = х -е_лгarcsine* - 1п(1 + л/1 - е2* ).
л/l -X2 -X
26. 	у = л/sinx + cosx +
л/l-x2 + X
27. у — л! 1 — л/Т + 1п(х + л/l + х ).
28. у = УТТtgx + arcsin2(е_2д;).
29. у = arccos (2“х2 ) + 1п(х2 - 3).
30. у = ^/1 + Зх In2 (1 — cos х) - 3“ arctg Зл/х.


Задачи для типовых расчетов
213
Задача 8.3. Вычислите производную. л/5+tg^
1. у = In
л/5-tg-
3. у = arcsin(sinа + 2х).
5. у = log з log 6 arctg
1
7. у = arctg J^sin a tg —
9. у = log 16 log 5 tgx.
44 x ^ ex - 3
11. */ = — arctg —-—.
V
13. у = In
15. у = arcsin
17. y = ln
arccos
л/х . x-2
(x-ty/2'
1
Vl-x4 l + 2x
21. у =lntg(^ + fj.
23. у = In2 (x + cos x)
25. г/ = In
27. г/ = In
Vx +1
Л[x + Vx + 1
vr:
ах
2. у =
4. г/
6. у
8. у Ю. у 12. у
14. г/
arcsin
in2 л/х
лк •
; arctg 3(1 + л/х). arctg 3(1 - 3cos ах).
= lnarcsiiWl - е2х.
= log 4 log 2 arcctgVx. 2х + 3
In COS
In
2x +1 bx
= In
16. у 18. у
20. у = x + In 22. у
л1\ + Ь2х2 л/х2 + 1 +Хл/2
л/х2 + 1 -Хл/2
I . 2,х + 4
In sin .
х + 1
х-л/2
X +
л/2'
= In
24. у 26. у
1-х2 cos2 х • arcctgVl + х.
= In
а2 +х2
2 2 <2 -X
28. 	г/ = arcsin
1-х
1 + х
29. 	у = 2л/х -41п(2 + л/х). 30. у =ln(ex Wl + e* ).
Задача 8.4. Вычислите производную.
1. у = (2х2 + 6х + 5)arctg —■- -х.
х-1
2. у = 2л/х - 41п(2 + л/х )
3. у = ln(V2tgх + -y/l + 2tg2x).


214
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
. , 5, х2+1
4. у = arctg х + - In-— .
6 х + 4
- (1 + х) arctgyfx - 4х
5. у = ^ .
х
0 0 . л[х 6 + Х Г~7~/ 7
6. у = 6 arcsin— —^х(А-х).
7. у = arcsin J х- + arctg Vx.
Vx + 1
0 1 т х-1 1
8. у = —In arctg х.
4 х + 1 2
п 2х-1 rz Y 9 . 2х-1
9. у = л/2 + х-х +-arcsin .
4 8 3
-«л 1 1 + х /—
10. v = —— + arctgvx.
* гЛ 2х
.. 4 + х4 х2 4
11. у = — arctg — + -•
х 2 х
|2 , Злг-1 1
12. г/ =. - arctg
л/бХ л/х
. „ 2л/1-х arcsin Ух 2
13. г/ = + -=.
х Vx
14. у = ectg2* + 2sin2 х.
3
15. г/ = Зс“2 2х arcsinVx + tg3x.
16. у = Vx• sm(T■ е'“*)-
17. j,»e«--H£5j2^ + cosi.
Ух *
18. у = 1п(Ух -2ctg3* ) - 3• х.
,n . Ух-2 1 . 2fя
19. v = arcsin—т= —sin —х
■J5x ■Jx \5
20. г/ = V 1-х2 -х arcsinV 1 -х2.
2х-5 о " г" 9 . /х-1
21. г/= л/5х-4-х + —arcsin J .
4 4 V 3
22 ^ _ 2х Ctg Зх ^ ^-arccosV*
Ух


Задачи для типовых расчетов
215
11. 	arccosx 1
24'
25. 	у = ^(х-4)-\/8х-х2 -7 -9arccos
х-1
„„ .Vl + x2 -1 . 1-х3
26. 	у = arctg 1п-
л/2х + 1
27. г/ = е tg3x • arccos
х -4 Vx4 +1б'
(1 + х) arctg Vx 1
У о
29. у =
3+х
Зхл/х
-у/х(2 -х) + 3 arccos^-.
tg х - ctg х
30. 	у = arctg — log з (x +1).
Задача 8.5. Вычислите производную.
- In arctg x
1. 	y= (arctg x)2
3. 	у = (sinx)5e*.
5. 	у = (lnx)3*.
7. 	у = (ctg Зх)2*1.
9. 	у = (tgx)4e*.
11. 	t/=(xsinx)81n(*si,u;).
13. 	y=xsinx\
I
15. 	i/=(sinVx)e*.
4 *7 esin *
17. 	у = x .
19. 	y=(x2+l)cmx.
21. 	у=(х*+ 5)ctg\
23. 	у =xe
25. y=xe .
2
4
6
8
10
12
14
16.
18.
20.
22.
24.
26.
у =x“
у = (sinx)* у = (cos 5x)^. г/ =(x3 + 4)tg*. у =x3* 2X. у =x2* 5X.
cos X
У =xe .
у = 19*Wx19. у = (sinx)5*/2.
arcctgx
У =xe У =
4*.
у
f sin2 x^
X+l
л/х , t/=(tgx)c^.


216
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
27. t/=sin3rln<1-2*2). 28. у =( tgx)"*4.
29. у =
'"cos2 ж , ОЛ . ч<г
30. 	у = (arcsinx) .
1 + 2х
Задача 8.6. Вычислите производную.
. 4х +1 1 . 4х +1
1. у = + — arctg——.
16х2+8х + 3 V2 л/2
„ 2х-1 1 2х -1
2. у = — + — arctg ——.
4х -4х + 3 л/2 л/2
„ , 1 + л/-3-4х -х2 2 r~z :
3. у =т л/-3- 4х -х
-x -2
X 4* 2
1 + л/-3-4х -x2
2
-x -2
x + 2
1 + л/-3-4х -x2
2
-х-2
x •+• 2
У
7. у =л/9г2 +5 arctg(3x-2)-ln(3x + VSbtr2 — 12дг + 5).
8. у= —л/2х-х2 +1п*^2*~*2.
х-1 х -1
9. г/ = 1п(х-1 + л/Ах2 -8х + 2)-л/4х2 -8х + 2arctg(x-1).
10. г/ = (2х + З)4 arcsin—-— + (4х2 + 12х + 1 )Jx2 + Зх + 2.
2х + 3 У
11. у = — arcsin— + —(х2 + 18)л/х2 -4.
16 х 24
12. у = —^— л/2х -х2 + In arctg -—
cos2 x
In arcsinл/Т-х ^ 1
13. у = s + ctg-.
x-e x
11, 1-л/Зг
14. t/ = cos— + — log4——=.
x cos а l + v2x
15 In arctg(e2*+1) | l + V(x-2)2
л/4 -x2 4x -3
ч/- 3i 1-2 sinx 2 n
16. 	г/ = x3 In —— — VI — .
1 + v cos x 3^x
17. 	у = ln(e5* + л/е10лг -1)+ arcsin(e-5* ).


Задачи для типовых расчетов
217
18. у = — arcsin— + — (х2 +18)л/х2 -9. 81 х 81
х + 2 1 j + 2
19. г/ =— + — arctg——.
х + 4х + 6 л/2 л/2
on | 1 + 2л/-х - х2 4 / т
20. и = In н ы-х-х .
2х +1 2х +1 21. г/ = 2х — ln(l + Vl-e4jr )-e'2;tarcsin(e2Ar).
„„ 1 . Зх-1 1 Зх-1
22. г/ = -рarctg—=^ + --
л/2 л/2 3 Зх2 -2х +1
23. у =5х- ln(l + V1 - е10х ) - e~5rarcsin(e5x ).
п, | 1 + v —3 + 4х + х2 2 / « 2
24. г/ = In + л/-3+4х + х2
2-х 2-х
1 , х-1 х-1
25. у = — arctg —■=- +
л/2 л/2 х2 -2х + 3
26. у = 1п(3 + л/2х2 -2х + 1) - л/2х2 -2х + 1 arctg (Зх).
27. у=-(4х2 -4х + 3)л/х2 -х + (2х-1)4- ' 1
arcsm-
3 2х-1
28. 	у = arcsine"4* + 1п(е4дг + л/е8х -1).
2 / о ~ , 1 + д/—3 + 12х — 9х ^
29. 	у= д/-3+12х-9х +1п-
Зх—2 Зх—2
30. 	у = ln(x + Vx2 —х +1) — Vx2 —х + 1-«Н Задача 8.7. Вычислите производную.
. xarcsinx , п т
1. 	у = - + 1пл/1 — х
1 ГГ
л/Гх
2. у = х(2х2 +5)л/х2 +1 + 3 1п(х + л/х2 +1).
3. у = 3arcsin—-—ь2л/4х2 +2х -2.
4х +1
4. м = arcsin—-— + л/9х2 +24х + 12.
Зх + 4
V!
+ х
5. у = 1п(х + л/l + х2 ) -
х
6. у = л/(4ТхХ1-|Тх) 3 1п(л/4 + х + л/l + х ).
, /х-1 1(1 1 ^
7. 	у=1пЗ
Vx + 1 2\2 х2 — 1/
arctg х.


218
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
8. у = х(arcsinx)2 + 2Vl-x2arcsinx -2х.
9. у = (2 + 3xyjx -1 + - arctg Vx -1.
10. у = 4 arcsin к \ 4х+ 12х - 7.
2л:+ 3
11. у = х ln(V 1 — + л/1 + х) + -(arcsinx-х).
12. у = х(2х2 + 1)л/х2 + 1 -1п(х + л/х2 + 1).
13. у = ~ е 1п(1 + У* + 1) + —-—.
In tg х cos 2х
5~C0SX-Jl-x4 j-2
14. у = e*+2.
ctg x
e~cos2 x ^Ji^3x 1
15- 2/=——ь— +
ctg 2x In x
16. 	г/=x3arccosx~* + 2 V1—7x2.
3
17. w = 2 arcsin—-— + л/ 9tr2 + 5x -3. Злг +1
2
18. у = -(ж-2)л/х +1 + 1п(л/х + 1 + 1).
3
19. у - arctg л/ж2 -1 + 1п1 + ^ж-ж
ж -1
20. у = л/(3-х)(2 + ж) + 5 arcsin д/(х + 2)/5.
21. у = л/у 2 +1 -iln^2 +1^ 2 V7TT + 1
22. у = in—-~ДГ— + л/3 е~х arctg
х V3
23. г/ = л/1 — ЗЬг — 2л:2 + —arcsin
2л/2 л/17
о/ Л 4. 1^ / 2—7 arccos3x
24. у = 1 — tg — л/лг -1
л: у %j3x + 2
25. у = л/ 1 + х2 arctg ж - 1п(х + л/l + x2 ).
26. г/ = x3arcsinVx + ——— л/l—лт2.
3
л/l-x2 „Зг . 1
27. у= 1-2 arcsinx
tg2x


Задачи для типовых расчетов
219
28. у-\ъ\Гх+
1 + х
29. у =(l-ctg2xyjx2 + 4 -
arccos 2х л/х2 + 4 arcsin
30. у = л/2 -2х -х2 + —arcsin
л/5 л/5
Задача 8.8. Вычислите производную.
2. г/ = arctg
, 0 cos х 0 cos х
1- 2/=2 -1— + 3-^-
2 sinx
3. у =
5. у =
7. у =
9. у =
11. г/= arctg 13. у =
sin х sin X
2* (sinx + cosxln2)
1 + (1п2)2 ’
5*(sin3r 1п5 -3cos3r) 9+ In2 5 4*(sin4x -4cos4x)
16 +In2 4 *
5*(sin2x + ln5 cos2x)
4 + In2 x V2tgx 1-tgx’
7*(sin3x + ln7 cos 3x) 9+In2 7 ’
. - Sin X X
15. y= + -
XCOSX COS X
о . a . 2xsin—
21. 	у = — arctg - ^
2 sin—
2
1-x2
23. у = arcsin
\
sinx
4. у 6. у
V9cos2 x-4 6*(4r-4tg4x)
= In
16 +In2 6 sinx
8. у = arctg 10. у
cos x + V cos2x cosx
Vcos2x
1 1! 1 + sinx
+ -ln-
12. у
14. у 16. y =
3sin3 x 2 1-sinx
ctg x + x 1-xctgx
1
sin a 1
sin a
ln(tgx + ctga). ln(tg x + ctg a).
17. 	у =(sinlnx-coslnx)x^2. 18. у
19. 	y=(l + x2)earctg*. 20. у
sin2 x
X COS X cos X
sin a
= ln
x + jl + cos^bc
22. y =
24. у =
2х (sinx + In cos ax) 1 + sin2 a
cos x 0 , I
—- 2cosxlntg—.
sin x 2
3*(4sin4* + ln3cos4*) „„ ... -f ^ f
25. 	у —— r -. 26. w = ln(l + e*)-e 2 arctg e2.
* 16 + In 3 s \ > ъ


220
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1-Х3 г-
27. 	y=J -arctgvx. 28. у =xcosa-lnsin(x-a).
V 1 + х6
оо 2 л ( 1-х ) ол 1 ^ x3cosa
29. 	у = In arcctg . 30. у = arctg
& i, 6l + sin*J * cosa
Задача 8.9. Вычислите производную.
1. у =хл]а2 -х2 + a2arcsin— -5.
2
2. у = х arctg х - In Vl + x2.
3. у=хarcsin*+ Vl-ж2 -3.
4. У — л/l + 2х — 1п(ж + л/1 + 2лг ).
5. у = arccos * - 3C0S *.
Vl + 2*2
6. у = arctg - Jl + Злг.
l-tgx
_ In* 1, ж2
7. In
8. 	у = arctg
1 + ж2 2 1 + ж2
ж2 -1 1
9. г/ =( Vx-1 — |е
ж arctg 2л:
2,
10. y=Jctgx ~ytg3x.
11. г/ = ln(e* + л!е2х -1)+arcsine'*.
.„ , f х Л Ы1-cos2 ж
12. у = In cos — +1 .
V 2 J arctg 3*
13. у = *2arctgV*2 — 1 —ч/лг2 -1.
14. у = log2(2sin2jf + cos2r).
i5- y=i )i2x ■,42x+^l
log3(1 cosx) i, X2 J
r*
16. 	у = ln(l-tg3x)e to2.
17- У = 1 /1 *ч . log 2+
ln(l-sin л:) V x)
18. у = esin*(3sin2x + 2sin2r).
19. y=4x-( 1 + x) arctg л/х.


Задачи для типовых расчетов
221
20. у = x'ji-x2 + 4arcsin—.
9 2
21. у = ln* W* -arccos2х.
2*
22. у = e*(cos2r + 2sin2:t)-ln
1
\ + х
23. г/ = x(sinlnx - cos lnx) + arctg
0, ' Jx + 2 . jl + tgx
24. у = зI - arcsin-
4 + 4x
' x -2 l-2tg2x
25. у = ln(x + Vl + x2 )- V 1 + x2 arctgx.
jc2-1 l + ln2cosx
26. v = arccos — — .
x242 jhc
27. г/ = e2xyjcos2 x-x -x e~Ax.
28. г/ = xarcsin— + ln(x + Vx2 -1).
x
д/arccos x
29. г/ = х1п(1 + лг)-лг-
arccos
л/*
30. 	*/= cosx lntgx ln^l + tg^Vxj.
Задача 8.10. Вычислите вторую производную заданной функции.
1.
У = \п(х + + х2 ).
2.
* \рН
+ 1
"н *
II
3.
х2
у~ (х-2)2'
4.
, 1
у = arctg -.
X
5.
у = arcsin л/ж.
6.
у = 1п(лг2 + x + t).
7.
х + 2
У = 2 •
ДГ -X
8.
2-х2
У= 2 л
х1 + 1
9.
*
II
10.
у = х arctg х.
11.
у =Хл]\-Х2 .
12.
у = л1х2 + 2х + 3.
13.
л/лг + 1
У = 2
X
14.
"Ii
II
15.
у = arctg х2.
16.
у = е2х sin3x.
17.
у = е~х cos 2х.
18.
у =xln(x2 +1).
19.
и
*
ГО
20.
у = (l + x2 ) arctg*.


222
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
21. у =
2х х2 +4
23. у = хе~х .
25. у =
х-2 х + 1
х1 + 1 22. y=^JLl,
х + 3 24. у = In2 (х + 1).
х2
27. у = sin3 х.
29. у = 1^. х
dy d2y
Задача 8.11. Вычислите — и
dx
х = cos ln£ у - sin2 t.
x = л/2t-t2; у = arcsin(£ -1).
1
3.
7.
9.
11.
13.
15.
17.
dx‘
26. y =
x -1
28. у = arctg2 x.
30. г/=*ln(l + *2).
, если функция г/(х) задана параметрически.
х =
In t ’
У = In
1 + л/Гч
я: = Vl-£2; t
У =
л/l-j
х = t4t2 +1;
У =ln
i+л/Т+Т2
х = arccos -
г/ = л/t2 -1 + arcsin^.
x = lntg £
1
y =—тт-
sin t
x = t2 +2t; у = lnsinf.
I * = Vf + i;
[г/ = ln(l + ef).
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
x = arcsin(sinf); у = arccos (cos t). x = cos Ini; у =sin2 t.
1 -t
x = In..
1 + t У = Vl — t2.
x = arctg t;
у = In
VI
+ Г
t +1
x =(1 + cos2 £)2; cos t
y=-r—
sin t
x = arctg
t + 1
у = arcsinVl-^2.
x = ctg tg t;
1
П-
cos t
\x = лIt2 + 1;
[y = In (t + ^t2 + 1).
\x = arcsin2 [г/ = £ln£.


Задачи для типовых расчетов
223
19.
21.
23.
25.
* = *j2t-t2;
y=WW'
х = arcsin Vl -£2; у = (arccos t)2.
x = arctg el;
у =Ve£ +1.
312 +1 x= „ . ;
3t3
.ft:3 .
у = sm — + t
20.
22.
24.
26.
x = (arcsin i)2;
t
У =
■n^t2 x = arcsin Vi;
[г/ = Vl + Vt- [" лг = ln(l-£2);
[y = arcsinV 1 -12. 1
ж = In
г/ = arcsin
i4
1 -t2
4\-
x = ctg(2e();
У = lntg e(.
x = cos3 £
[y =sin3 t.
Задача 8.12. Вычислите у' и у"
27.
29.
+1
х = ln (t + Jt2 +1); у = tyjt2 +1.
* = arccos t; у = 1п(1 + £2).
для функции г/(х), заданной неявно.
28.
30.
1.
х2 +У2 ~4х2 +У2 =0.
2.
4 4
*4 +у ■-
= 4ху.
3.
In* + In у = ху.
4.
*3 -2х2у2 +5* + у -5 =0.
5.
х - у = arcsin* - arcsin у.
6.
sin(xy ) + cos(jху ) = 0.
7.
*4 + г/4 =*У.
8.
ех siny -
еу cos * = 0.
9.
—+ ^- = 1. я2 Ь2
10.
** =
ух-
И.
х3 + In у -х2еу =0.
12.
£ + U.
У х
- = ех.
13.
+еу -2х» -1=0.
14.
еу +ху =
: е.
15.
х2 siny + у3 cos* =2*.
16.
sin (у
-х-
2) — 1п(у -*2) = 2
17.
* sin у + у sin* =0.
18.
х4 -6х2у2 + 9^4 =0.
19.
О
II
*
со
1
ОО
+
оо
*
20.
ау =
X
<У,
21.
4. X
ху = arctg —.
У
22.
2у In у = *.
23.
24.
2х + 2У =
■■2х*.


224
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
25.
arctg — = lntJx2 +у2.
Z
26.
л!х + -yjy = 4а.
27.
Ах2 + 2Вху + Су2 + 2 Dy = 0.
28.
cos (х + у) = ху.
29.
In (х + у) = х-у.
30.
х4 + у4 = 4ху.
Приближенные вычисления
. Правило Лопиталя
Задача 8.13. Вычислите приближенное значение функции в заданной
1.
у = -Ц * = 1,03. Vx
2.
у = tfx2, х = 1,03.
3.
у =х5, х = 1,02
4.
у = %[х, х = 1,21.
5.
У =-j=,x = 4,16. Ых
6.
х + л15-х2 098 * 2
7.
у = л!х2 +7, х =0,97.
8.
у = у[х, х = 24,46.
9.
у = х7, х = 1,996.
10.
у = х6, х =2,01.
И.
у = —.— , х = 1,016.
->]2х2 +лс +1
12.
у = 4х*, х = 0,98.
13.
у =л[х2',х = 1,03.
У = ■_!—=, X = 1,58.
л/2* + 1
14.
у = л/Зх + 1, х =0,01.
15.
16.
у = л1х3 + 7х, х = 1,012.
17.
у = Vl + sinx, х =0,01.
18.
у =х5у х =2,997.
19.
у = л/1 + 13г, х =2,01.
20.
г/ = л/4х -1, х =2,56.
21.
у = л/лг, х = 8,24.
22.
г/ = л1х2 + х + 3, х = 1,97.
23.
у = у[х, х = 27,54.
24.
г/ = arcsim:, х = 0,08.
25.
у=хи,хг = 1,021.
г/ = -L, х = 1,02. ых
26.
у = л/х2”, х = 1,03.
27.
28.
г/ = л/Зг2 + 1, х =0,02.
29.
у =х5, х = 1,02.
30.
г/ = —L,x = 1,03.
Задача 8.14. Вычислите предел функции.
1.
,. е2х -е 2х -4х
lim
2.
r е2х -2х -1
lim
1Ш1"'
x-sinx
iiiii
1 - cos Зг
3.
ex-cosx-x
lim
4.
,. е*-е~х-2х
ИГЛ
X-*0 1п(1 + ж)-ж
11111 • sinx-x
5.
ton'*8*"1
х-£ sin4r
4
6.
lim Ых‘
1п(Зх -3)


Задачи для типовых расчетов
225
юс
lnsin lim ^
9. lim
*-rf-o Jn(2 - x) lntg3r
lnsin2x
11. 	lim
ex -cosx -\,5x2
x~>° sinx-x
13. 	lim-
xz 4 2
e -1-x
x->° ln(l + * ) —*
15. 	lim-
x
arccos — 2
*->2 о • *
2 arcsin—л 2
tg^ + ln(l-*)
17. 	lim £ .
Ctg KX
19.
x In*
21. lim In* • ln(* -1)
*-»W>
23. lim(;t-2*)2cos*.
n
25. lim(ctg *),t_JC.
X—>7t
27. lim(l-tg *)'"*.
*->0
3
29. lim(* + 2')'.
„ Insin2;i*
8. lim .
x^M lntgjt*
lnsin*
10. lim- .
x-4.1 ln(l+ COS*)
lnsin—
12. 	lim-
1 + cos 3x
X
4 arctg к
14. 	lim — .
2 arcsin— - n
2
,. cos*ln(*-3)
16. 	lim —г—ч
*-*340 ln(e* - e )
18.
*-*“ln(* +*)
20. 1ш.М£1±£±1).
дг-^ш 1П(Х2 +2)
22. lim
1
arctg x x
24. Iim(arctg2x)
*->0 ^
26. lim (ctgx)ln*.
*->o
28. lim(2sinx)ln*.
*->o
30. lim(x + ex )x.
x-+0
2 sin*
Исследование функций
Задача 8.15. Проведите полное исследование заданной функции и постройте ее график.
17-*2 _ *2 -2*+ 2
1 у=~а Т' 2‘ у = 7q—•
4* -5 * + 3
„ *3 . 4*2 + 9
3. 	у = г- 4- У = •
2(* -1) 4* + 8
8 № 6822


226
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
5. у = 7. У = 9. у =
Н. У = 13. у =
15. у =
17. у = 19. у =
21. у = 23. у = 25. у =
2х -6
х-2
х3 -5х 5 - Зх2 2-х2
л1$х2 -4 Зх2 -1 2х + 1 '
2х2 -9
4^-i
Зх2 -10
л14х2 -1 21-х2 7х + 9 х2 +16
л/9*2 -8
х3 -2х2 -Зх + 2 1-л:2 '
2х3 +2х2 — Зх — 1
2-4х2
х2 -1 х2 + 1
27. у=4х(х-1). 29. у =
х2 -1
6. у = 8. у = Ю. г/ = 12. z/ = 14. у =
16. у =
18. у = 20. г/ =
22. у = 24. у = 26. у =
х2 -3 ^Зх2 -2
X
л!х2 + 1 х2 -6х + 4 Зх + 2 4х2 -Зх 4х2 -1 ’ х2 -11
4г - 9
х3 +х2 -Зх-1 2х2 -2 ’
х2 + 2х -1 2х +1 2х2 -1
4^2
х3 + Зх2 -2х-2 2 -Зх2 ' 2х3 +2х2 -9г -3
2х -3
х
л/х4 + 1 28. у=х3е~х.
х
30. у =
х2 -4
Задача 8.16. Проведите полное исследование заданной функции и постройте ее график.
1. У =
3. у =
5- У -
7' У= 2 ,
х -4
х-2
х2 + Зх +1 х2 +1 2
(3-х)2(5 -х2) 2х2 + 4
2. у =
1-х2
2
X
4 У = 4 .•
X -1
6. у =
8. */ =
Г.
fx-3 l^x + 3,/ х2 -6х +13
9- у =
16-х2
10. г/ = 1-
х -3 2х х2 +1


Задачи для типовых расчетов
227
11. у = хе 2 .
Зх2
13. у = 15. у =
17. у =
х2 + 9 х + 1 х(х + 2)
2х -1 (х-1)2'
~2 1
19. у = у
2 х
х3
21. у=--х.
3
12. у =
14. у =
16. у =
18. у =
20. у =
3*
1 + х2 х3 +4 2л:2 х
л/х2 -4
3-х2
х
х2 -4
22. у = Зх +1 +
12 х -5
23. 	у =
25. у =
х3 +2х2 +7х -3
2х2
24. у =
х2 +4
Зх-1
27. у = х arctg х.
29. у =
х3 -1
26. у = — + arctg х. 28. у = —+ 4х2.
30. у = х +
Задача 8.17. Исследуйте поведение функции в точке х0, используя производные высших порядков.
1. у=х4+ 4х3 +12х2 +24(х + 1-ех),х0 =0.
2. у = cos2(х — 1) + х2 -2х, х0 = 1.
3. г/ = (х-1) sin(x-1) + 2х-х2, х0 =1.
4. у =х2 -2х-2ех~2, х0 =2.
5. у - Ах-х2 + (х -2) sin (х -2), х0 =2.
6. у = х2 + Ах + cos2(x + 2), х0 = -2.
7. г/ = 2х + х2 -(х + 1)1п(2 + х), х0 =-1.
8. у = 21пх + х2 -4х + 3,х0 =1.
9. у =6хх~2 -х3 + Зх2 -6х, х0 =2.
10. 	у =4х + х2 -2ех+\х0 =-1.
И. у =6е*-1 - Зх -х3, х0 = -1.
12. у = cos2(x + 1) + х2 + 2х, х0 = -1.
13. г/ = 6е* -х3 -Зх2 — 6х -5, х0 =0.
14. у = 2ехЛ - 2 cos(x -1) - 2х(х -1) - - (х -1)3, х0 =1.
15. 	у = 4(х -1)-(х -I)2 -2cos(x -3), х0 =3.


228
Глава 8. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
1 ч
16. у = 2ех -2cosx-2х(х+ \)--^х ,ж0 =0.
17. у = 2\пх+ (х-2)2 ,хй =1.
18. у =2ех +2sinx-х2 -4х, ж0 =0.
19. у =х2-4х-(х-2)1п(х-1), х0 =2.
20. у =(x + l)sin(x + l)-2x-x2,x0 =-1.
21. у=х2+ 6х + 8-2ех+2,х0 =-2.
22. у =2х-х2 -2cos(# -1), дг0 = 1.
23. у =21п(ж + 1)-2* + х2 + 1, х0 =0.
24. у = 1-2*-х2 +2cos(x + 1), дг0 = -1.
25. г/ = sin2(л: +1)-2*-х2, ж0 = -1.
26. у =х2 + 21п(.г+ 2), ж0 =-1.
27. у =6ex+i -(лг + 1)3 -3(лг +1)2 -6* + 1,х0 =-1.
28. у =sin2(^r + 2)-х2 - Ах -4, хй = -2.
29. у = х2-2х-(х-\)\пх, хй =\.
30. у = 4х-х2 -2cos(*-2),х0 =2.
Задача 8.18. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.
1. у = %/2(х + 2)2(\-х) при * е [-3; 4].
2(х2 +3) j , „
2. у = —— при х е [-3; 3].
х -2х + 5
3. у = 1 + ^2(ж-1)2(лг-7)прил: е[-1; 5].
4■ у = л/х +1 - %/х -1 при ж е [0; 1].
1 пя
5. г/=2х2 + 59при хе [2; 4].
х
6. у = ^2х2(х -3) при х е [-1; 6].
1. 	у - ^2х2(х -6) при х е [-2; 1].
8. у =х2 -2х + —^—13при х е[2; 5].
х-1
9. у = %]2(х -1)2(х -4) при х е [0; 4].
10. г/ = -— + — + 8 при х е [-4; -1].
2 х
11. г/ = д/2(х -2)2(5 -х) при х е [1; 5].
12. г/ = ^- + 2х + — + 5 при х е [-2; 1].
13. г/ = ^2х2(х -3) при х е [-1; 3].


Задачи для типовых расчетов
229
14. у = ——- при х е [0; 4].
х + 1
15. у = х + 2л/х при х е [0; 4].
16. у = х4 -2х2 +5 при х е [-2; 2].
17. у = V100-х2 при х е [-6; 8].
10*
1 + х2 2(х2 +3) х2 +2х + 5 4х 4 + х2
21. 	у = х -4-Jx + 2+8 при х е [-1; 7].
18. у = 7—у при * е [0; 3].
19. у = - TV . при * е [-5; 1].
20. у = - - при * е [-4; 2].
22. 	г/ = 2-v/x -1 -х + 2 при * е [1; 5]. -2* (2* + 3)
*2 + 4х + 5 2(-х2 + 7х-7) х2 -2х + 2
23 у= ^^^ч/прид. €[_2; ц
24. у = —L.—при х € [1; 4].
25. у = 3-х —-прихе[-1; 21.
(х + 2)
26. у = ф(х + 1)2(5 -х) -2 при х е [-3; 3].
27. г/=х-4л/х+5 при х е [1; 9].
28. у =2л/х -х при х е [0; 4].
29. г/ = ^2(х -2)2(8 -х) -1 при ж е [0; 6].
30. у =х2 + — -16 при х е[1; 4].
х


ГЛАВА 9 Интегральное исчисление функций одной переменной
Первообразная и неопределенный интеграл
Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некотором множестве Ху если для всех значений х из этого множества выполняется равенство
F <*) = /(*).
Примеры первообразных:
1. 	Функция F(x) = 4x есть первообразная функции /(*) = —на интервале
2ых
(0; оо), так как (л[х)' = —-= для любого х е (0; оо).
2л/х
2. 	Для функции f(x) = х2 первообразной будет функция F(x) = на всей чи-
3
еловой оси, так как
(X3 |
— I = х2 для любого х е (-оо; оо).
Если F(x) — первообразная функции f(x) на множестве Ху то функция F(x) + С, где С — произвольная постоянная, также первообразная функции f(x).
Совокупность всех первообразных функции f(x), то есть выражение F(x)+ С, где F(x) — одна из первообразных функции f(x), а С — произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначают символом
\f(x)dx =F(x) + C.
Свойства неопределенного интеграла:
1. (jf(x)dxy =/(*).
2. d(jf(x)dx) = f(x)dx.
3. J df(x) = f(x) + C.
4. | Af(x)dx = Ajf(x)dx, где А Ф 0.
5- 	|(A (*) ± /2 (*)) dx = J fi(x)dx ± J f2 (x)dx.
Таблица основных неопределенных интегралов:


Первообразная и неопределенный интеграл
231
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
И.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
dx ill,-,
— = 1п|л:|+ С.
х
axdx=-?— + C.
In a
exdx = ex + C. sin xdx = - cos x + C. cos xdx = sinx + C. dx
= tg x + С. cos" x
dx ^ ^
—— =-ctg x + C. sin x
tg xdx = -ln|cosx| + C. ctg xdx = ln|sinx| + C. dx
л/Tv
dx
= arcsinx + С = -arccos x + C.
i + x2 dx
= arctg x + C = -arcctg x + C.
. = arcsin— + C.
4a2 -x2 a
dx
a2+x2
dx
1 . x „
= — arctg — + C.
2 2 x —a
dx
ix2
= —In 2 a
:=b
a
x-a
x + a
+ C.
x + J.
x + a
x + a sh xdx = chx + C. ch xdx = sh x + C.
+ C.
19. f —dx = thx + C.
ch x
20. f -Ar- dx = -cthx + C.
sh x
Используя таблицу основных интегралов и свойства неопределенных интегралов, решим следующие примеры.
Пример 9.1. Найти интеграл f x4dx = — + С.
J 5
2х
Пример 9.2. Найти интеграл J 2х dx = у-^ + С. Пример 9.3. Найти интеграл J (2х3 - 4х + 3)dx.


232
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Решение: воспользуемся свойствами 4 и 5 неопределенного интеграла и разобьем интеграл на сумму трех интегралов, каждый из которых является табличным:
J( 2х3 -у/х + 3 )dx -2 jx3dx -j Jxdx + 3jdx =
3 3
x * x2 x ^ 2.x2
= 2 — + Q ~-r- + C2 +3x + C3 = —— —— + Зх + C,
4 i 3 2 3 2
где С = Ct +C2 +C3.
Интегрирование методом замены переменной
Пусть требуется найти интеграл J /(x)dx, причем непосредственно подобрать первообразную /(лг)мы не можем, но нам известно, что она существует.
Сделаем замену переменной: х =u(t), где и(t) — непрерывная функция с непрерывной производной, имеющая обратную функцию.
По определению дифференциала dx =u'(t)dt. Тогда имеет место равенство
J f(x)dx = J f(u(t))ur (t)dt.
ЗАМЕЧАНИЕ 9-1 Иногда удобно сделать подстановку в виде t = <р(х), тогда
j /(<Р(*)) • Ф' <хуЬс = J f(t)dt.
Пример 9.4. Найти интеграл J sinx • cos xdx.
Решение: сделаем подстановку t = sinx, тогда dt = cos xdx. Следовательно,
f sinx • cos xdx = \tdt = — + С = ----- - + С.
J J 2 2
Удобно использовать следующую форму записи:
Пример 9.5. Найти интеграл JxVx -5dx.
Решение: воспользуемся предложенной формой записи:
JХл/х -5dx =
Vx -5 = t х = t2 4-5 dx = 2 tdt
= J(£2 +5)t-2tdt =
215 m3 n 2(Vx^5)5 10(л/х^5)3 _
= 1 hC = н 1- c.
5 3 5 3
Используя известное равенство cp'(x)dx = <i(<p(x)), отметим ряд преобразований дифференциала, полезных для дальнейшего:


Интегрирование по частям
233
1) dx - d(x + b), где b = const;
2) dx = — d(ax + b), где a* 0;
a
3) xdx =^d(x2);
4) sinxdx = -d(cosx);
5) — dx = <i(lnx);
6) exdx = d(ex ) и т. д.
О преобразованиях 3-6 говорят, что функция, стоящая перед дифференциалом dx, внесена под знак дифференциала. Пользуясь этими преобразованиями дифференциала, найдем следующие неопределенные интегралы.
Пример 9.6. Найти интеграл J
Решение: дифференциал dx можно представить в виде dx = - d(2x + 3), тогда
. 1 d(2x + 3) .
= f-2 =-1п|2лг + 3| + С.
J 9 ^ ^ 9 1 1
2* + 3 J 2x + 3 2
Пример 9.7. Найти интеграл J xex2 dx.
Решение: внесем дг под знак дифференциала, то есть xdx = - d(x2). Тогда
J хех2 dx = в""2 d(x2) = ^ ех* + С.
Пример 9.8. Найти интеграл J cos(ex +
Решение: так как exdx = d(ex + 1), то
| cos(e* + 1 )exdx = J cos(ex + l)d(ex +1) = sin(e* + 1) + C.
Интегрирование по частям
Пусть и ия — непрерывно дифференцируемые функции от х. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям:
judv = uv - jv du.
Формула показывает, что нахождение интеграла J и dv приводит к нахождению интеграла J v du, который может оказаться более простым, чем исходный.
Интегралы, берущиеся по частям
По частям берутся интегралы вида
J Рп (х) • sin kx dx,^Pn(x)' cos kx dx;


234
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
\Pn(x)ekxdx\ \Pn(x) akxdx1 где Рп(х) — многочлен п-й степени; k — число.
В качестве функции и(х) следует взять многочлен Р„(х) и применить к интегра- лу формулу интегрирования по частям п раз.
Пример 9.9. Найти интеграл Jxcos xdx.
Решение: пусть
и = х => du = dx dv = cos xdx => a = sinx
Тогда по формуле интегрирования по частям
и = х du = dx
J x cos xdx =
dv = cos xdx v = sinx = xsinx + cosx + C.
- x sinx - J sin xdx =
Пример 9.10. Найти интеграл Jx2exdx.
„ с о xi и = x2 du=2xdx
Решение: I x e dx =
и -x dv - exdx
v = e
= x2ex -2jxexdx.
Для полученного интеграла снова применим формулу интегрирования по частям:
jxexdx =
и =х du = dx dv = exdx v = ex
-xe
-jexdx.
Следовательно, как нетрудно понять:
jx2exdx -х2ех -2(хех -ех) + С.
Интегралы вида
Jx” • In* х dxy
где п Ф -1, берутся, если за функцию и(х) принять In* х и применить к интегралу k раз формулу интегрирования по частям.
Пример 9.11. Найти интеграл J In2 xdx.
Решение: по формуле интегрирования по частям
J In2 xdx =
и = In2 х du = 2 lnx • — dx
V =x
= x In2 x -2 J In xdx =
1
и = lnx du= — dx x
dv - dx v = x
dv = dx
= xln2 x-2(xlnx-Jd!r) = xIn2 x-2(xlnx-x) + C.
Интегралы вида


Интегрирование простейших рациональных дробей
235
jxn • arcsin*ах dx; jxn • arccos*ax dx; |xn -arctg*ar dx; Jxn arcctg*ax dx
также берутся по частям, если принять dv = xndx, а другие сомножители обозначить и(х).
В некоторых случаях, применяя формулу интегрирования по частям, опять получаем данный интеграл (возвратный). Тогда интеграл определяется из получившегося алгебраического уравнения. К таким интегралам относятся
|cosfix dx; Jе°* sinp* dx; Jл1х2 ± a dx. Пример 9.12. Найти интеграл J Лjx2 + a dx.
Решение:
|л/х2 + a dx =
= Vx2 + a du - dv = dx
л[х2
dx
Jx + a v = x
= x^x2 + a - f x ■ ■ dx = Wx2 + a - f t ~dx =
J Г~ J
= Wx2 + a - f -r + a- dx + a\ 1 dx =
J /..2 . _ J I..2 . _
x2 + a
л/х* + a
= x^x2 + a - J Vx2 + a dx + a ln| x + д/x2 + a | + C.
Сравнивая начало и конец равенства, получим уравнение
2|л/х2 +adx =х^х2 + а + aln\x + ^х2 + я| + 2С,
откуда
Jл/х2 + a dx =
х2 + а + я In
х +
yjx2 + a j + C.
Интегрирование простейших рациональных дробей
Дробно-рациональная функция, или рациональная дробь, — это дробь вида
Рт(х) _ВрХт +Bixm~l +... + Д,
Qn(x) А0хл +Alxn~i +... + А„ '
Не ограничивая общность рассуждения, будем предполагать, что многочлены Рт(х)и (2п(х)не имеют общих корней, то есть дробь сокращена.
Если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть т<п, то дробь называют правильной, в противном случае (т > п) дробь называют неправильной.


236
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Правильные рациональные дроби вида А В
х-a (x-b)k
(6=2, 3...);
Мх + N х2 + рх + q
_ р .
где дискриминант и = q < О,
4
Мх + N
(х +px + q)n
где D < 0 и т — целое положительное число, называются простейшими дробями
1-, 2-, 3" и 4-го типов соответственно.
Найдем интегралы от этих дробей:
а J
х-а В
dx = А • 1п| х - а\ + С.
а J; Вил dx=A\(x-byk dx =А ~~~ + С (6*1).
J(x-by J -k + 1
ТТ f Mx + N J
□ Чтобы вычислить интеграл I — dx, в числителе подынтегральной
J х + рх л- q
дроби прибавим и отнимем или> что то же самое, выделим 2х +р — производную знаменателя:
~(2x + p) + (n-^-)
Г ™X + N dx = [* 2M.
"лг 1 nv _J_ (J
x + px + q
x + px + q
Разобьем подынтегральную функцию на сумму двух функций и представим интеграл в виде суммы двух интегралов:
М г 2х + р
2 J х + рх + q
,
dx
х + рх + q
Преобразуем знаменатель второй дроби, выделив полный квадрат:
х2 + рх + q = х2 +2—Х +
р2 р2
--— + q=\ х + —
Р
\2
2 4 4 I 2
Учитывая, что (2х -hp)dx = d(x2 + px + q)f получим:
f Mx + N dx-M(d(x2 +px + ^ I (xt MP]( x2 + px + q 2 J x2 + px + q I 2 P
2
dx
»fiV
q-
Оба интеграла табличные, значит,


Интегрирование простейших рациональных дробей
237
г Mx + N , ivi | I 2 I I i, mv
J — dx= — ln\x +px + q\ + \N—f-
J x + px + q 2 V 2
Пример 9.13. Найти интеграл J
M,
Mp
1
р
х + —
“Л
: arctg
+ С.
'Л
-dx.
х + 7х + 13
7
Решение: в числителе подынтегральной дроби прибавим и отнимем — и разобьем интеграл на сумму двух интегралов: 2
j
х +1 х + 13
dx =|
7) 7 х + - -- 2) 2
х2 +7х + 13~ 2J лг2 +7лг +13 2}х2+7х + 13
х =-Г о J
*-5/:
В первом интеграле внесем 2х + 7 под знак дифференциала и прибавим 13. В знаменателе второго интеграла выделим полный квадрат и прибавим — под знаком
дифференциала. Получим:
dx=Ud{?c* +7х +13)
х +7х +13 2} х +7х +13 21
1, 'М)
7 у 3 * + - +- 2 J 4
= - 1п| х2 + 7х + 13| - arctg + с.
2 v3 л/3
Более сложных вычислений требует интегрирование простейших дробей типа 4:
с Мх + N
(х2 + рх + д)п
dx.
Повторим преобразования, выполненные ранее, и получим:
М
f Mx + N
(х2 + рх + д)п
(2x + P) + (n-^-)
dx = J -dx =
(.x + рх + д)"
_M rd(x2+px + q) f N М/Л <• 2 J(x2 + px + q)m I *>
d
x + P
2 )Чг ' j
x+—I + g-
.2 Л
V
После подстановки


238
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
имеем:
j Мх + N ^ _ М
1
(х2 + px + q)m 2 (х2 + рх + q)m \т-1) Рассмотрим интеграл
Мр V dt
2 )} (t2 + а2 )т
'-"J
dt
(t2 + а2 )т
и получим для него рекуррентную формулу, то есть формулу, позволяющую вычислить интеграл 1т, если мы знаем интеграл 1т_{. Для этого применим к интегралу
/ -f- dt
1 т-\ ~ J
' (t2 + а2 )и-‘
формулу интегрирования по частям:
1
dt
(it2 + а2 )т~х
и =— - du = -(m-l)(t2 + а2) m2tdt
/4.1 , \т—± '
(,t2 + а2 )т dv = dt
V = t
(t2 +a2y~1 +2(m ^(f2 +a2)m
t „ . r(t2 + a2)-a2 ,
\t2 +a2y-1 + (m ^ (t2+a2)m
(t2 + a2) В итоге мы получили:
im-1 =
и, следовательно, если
— + 2(/и-1)
Г a2 Г
>(t2+a2)m-1 J
dt
/ + 2 . _2 (r + a )
——-j—- + 2(m-l)/ra_1 -2(m-V)a2Im, (t +a )m
Im= J
(£2 + a2)
TO
=
, 2(m-l)-l,
- 1m-1-
2(m-l)a2(f2+a2)ml 2(m-l)a
(9.1)


Интегрирование рациональных дробей
239
Пример 9.14. Найти интеграл J ^
(t2 +1)2
Решение: согласно формуле (9.1),
1 _ г dt t | 2-1-1 j
2 (t2 +1)2 _ 2 • 1 • 1(£2 +1) + 2 11 1_
t if dt t 1
1 с dt t 1 , , „
- —~—— = —^ + - arctg t + C.
9 J /V2 j. 1V 9/>2_i_1\ 9
2(Г+1) 2J (t +1)' 2(Г+1) 2
Интегрирование рациональных дробей
Теорема 9.1. Если многочлен Q(x) раскладывается на множители вида Q(x) = (x-a)... (x-b)k ...(х2 + рхх + <?,)... (х2 +p2x + q2)m, где (х2 + рхх + qx) и (х2 + р2х + q2)ne имеют вещественных корней, то правильная дробь может быть представлена в виде
Q(x)
Р(х) А Вх В2 Bk
= + ...+ + —Г-+...+
Q(x) х-а (х-b) (х-b) (х-Ь)
Cx + D Мхх + N. Мтх + Nm
■+...+ —-— - + ... + - т т
(х + рхх + qx) (х + р2х + q2 ) (х + + Ч2 Y
то есть правильная рациональная дробь представляется в виде суммы простейших дробей.
Р (х^
Схема вычисления интегралов вида f dx:
J Qn(x)
1. Если подынтегральная дробь неправильная, то, следует разделить Рт(х) на Qn(x) (по правилу деления многочленов), тогда
a.w й„(*>
Р (х)
где М(х) — многочлен; - — правильная дробь (k < п).
QnW
Р (х)
2. Правильную дробь разложить на сумму простейших дробей.
Qn(x)
3. Проинтегрировать многочлен М(х) и простейшие дроби.
с х2 +2
Пример 9.15. Найти интеграл Г г-dx.
>(х-2)(х + \)2
дг2 +2
Решение: разложим правильную дробь на сумму простейших дро-
(х + \)(х-2)
бей:


240
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
х + 2
В0
(х-2)(х + 1)2 х-2 х + 1 (х + 1)2
Отсюда, приведя дроби в правой части равенства к общему знаменателю и приравнивая числители левой и правой частей, получим:
х2 +2 = Л(х2 +2х + Х) + Вх{х2 -х-2) + В2(х -2). (9.2)
Рассмотрим несколько способов нахождения коэффициентов Ау Bv В2.
Способ 1. Из тождественного равенства многочленов приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях правой и левой частей равенства (9.2). Получим:
х
1 =А + В{
О — 2А — + В2 2 = А-2ВХ -2В2
в'4
в2 = -1.
Способ 2. Подставляя значения х в правую и левую части равенства (9.2), получим:
В2 = -1;
х = -1 х =2 х =0
3 = -3 В2 6 = 9А 2 = Л-25, -2В2
-I
в' -3'
Способ 3. В данном примере можно скомбинировать оба способа, а именно:
В2 =-1;
х = —1 х =2
Из сказанного следует, что
х2 +2
з = -з в2
6 = 9А 1 = А + Bt
2
3
Ч’
в' -3'
1
з
1
(х-2)(х +1)2 х-2 х + 1 (х +1)2
Представим данный интеграл в виде суммы интегралов: г х2 +2
(х -2)(х +1)2
, 2 г dx 1 г dx t dx
dx=-\ + - r-
3Jx-2 3Jx + l J(x-i-l)
= -\n\x-2\ + -\n\x + \\ + -^— + C. 3 3 x + 1


Интегрирование некоторых иррациональных выражений
241
Интегрирование некоторых иррациональных выражений
Предварительно введем обозначение рациональной функции двух переменных и=и(х) и v = а(х), которая представляет собой отношение двух многочленов относительно этих переменных: R(u, v). Например, функция
I 2—7ч Зх2 + 2л/х2 -4
R(x, л/х -4) =
4х3 -л/х2 -4+5 является рациональной функцией х и л/х2 -4.
Рассмотрим теперь способы интегрирования рациональных функций относительно некоторых иррациональностей.
□ В интегралах, содержащих лишь линейную иррациональность л/ях + й, где а ф 0} п — натуральное число, то есть в интегралах вида
|Д(х, л/ях + b)dxf
полезно сделать подстановку t = л/ах + Ь.
г xfifcc
Пример 9.16. Найти интеграл J:
Решение:
* xd!x л/х +1
л/х + 1
£ = а/х + 1 х = t3 -1 йЬ = 3£2fife
J5 nt2
.31
(t3 -1 )t2dt
= 3j(*4 -0* = 3y-3y + C = |(x + 1)3 -|(* + 1)3 +C.
□ В интегралах вида
j£(x, л/ях + b, ktjax + b, ..., Ыах + fe)d!x
надо сделать подстановку ax + ft = tn> где и — наименьшее общее кратное натуральных чисел ^•••> кт-
□ Интегралы вида
J*
х,
ах + Ь , ах + 6
ах + Ь
рационализуются подстановкой
сх + a
ное натуральных чисел k2, ..., km.
сх + d’ \cx + d’ ’ \cx + d ax + b
dx
= tn, где я — наименьшее общее крат-
Пример 9.17. Найти интеграл Г-Д- J——-dx.
J X2 V х -1


242
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Решение:
f-y J——dx =
* х \ х — 1
Х = t2
х-1
X =
Г -1
dx = —
2 tdt
.2 i\2
= -f^—
J i4
(t2 - i)2 ( 2tdt
(fl-\f
= -2\\dt = - + C =
J +2 4.
t =
x -1
= 2J——- + C.
□ Интеграл от простейшей квадратичной иррациональности
dx
4ах2 +Ъх + с
с помощью выделения полного квадрата в трехчлене ах2 +Ъх + с сводится
Г dx .
к одному из двух интегралов J . . t , которые являются табличными.
4а±х2
Пример 9.18. Найти интеграл f ^ ==г.
4х2 -6х +13
Решение:
/
dx
-j
dx
d(x - 3)
л!х2 -6x + 13 л1(х-3)2 + 4 J(x-3)2 +4
= ln|.r - 3 = ?| = J ^ =|t + ^jt2 + 4| + С = 1п|лг-3+ л1х2 -6ж + 13| + С.
*Jt2 + 4
□ Интегралы вида
jR(x2n, 4а2 -х2 )dx\ fR(x2n, 4а2 +х2 )dx; jR(x2n, 4х2 -a2 )dx
интегрируются с помощью следующих тригонометрических подстановок:
x = acost (a sin£)
Ji?(x2”, 4а2 -х2 )dx =
№ ~2
/а -х
= 4а2 -a2 cos2 t = asint dx = -asintdt
Ji?(x2”, 4a2 +x2 )dx =
x = atgt (actgt)
4
1
cos£
fife =
cos2 t
dt


Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
243
Ji?(x2”, л/х2 -я2 )dx =
x=acht (flsh£) или х = а V cos t
л/х2 -a2 = ял/ch^T-l = ash£
Л = ashtdt
Пример 9.19. Найти интеграл J
dx
V(«2-*2)3
Решение:
j
_ \ r dt
~ J
x = acost л/я2 -x2 = asini: dx = -flsinfafr
-f
-asintdt a3 sin31
a J sin £ a
= ctg г + с =
t = arccos
1
X , X „ 1
= — ctg arccos — + С = — я я я
cos arccos —
+ C = -
x
a
sin arccos
я~ • x
sin arccos —
■ + C.
я
я
Принимая во внимание, что sin2 а + cos2 а = 1, упростим полученный ответ:
X
J
1
V(«2-*2)3 °2 hZ
■ + С =
1
2 X
- cos arccos —
Я2 л/я2 -х"
■ + С.
ЗАМЕЧАНИЕ 9.2 Для интегралов вида |/?(х2й+1, л/я2 -x2)dx, |i?(x2n+1, л/я2 + x2)dx, j R(x2n+\ л/х2 - a2)dx также можно использовать тригонометрические подстановки. Однако проще их вычислять, делая замену а2 ± х2 =t? или х2 - a2 =f.
Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
□ Интеграл вида
J/?(sinx, cos x)dx,
где i?(sinx, cosx) — рациональная функция своих аргументов sinx и cosx, всегда можно проинтегрировать с помощью универсальной тригонометриче-
X
ской подстановки tg — -t.
^ х п ^ ^ , lat
tg — = t=> х = 2 arctg t=> dx =
2 1 + t2


244
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
2tg-
sinx =
2t
2* 1 +t2'
COS X =
1-tg2 1+tg
1 -t2
2 X 1 + t2
Таким образом, в результате сделанной подстановки исходный интеграл от тригонометрических функций стал интегралом от рациональной функции
переменной t, то есть J R
21 1 -t
2 Л
1 + г 1 + Г
2 dt
1 + г
- dx
Пример 9.20. Найти интеграл .
J sinx
Решение:
I
dx
sinx
tg —=t x = 2 arctg t
21 , 2 dt
sinx = dx =
1 + Г
= ln| 11+C = In
1 + t2
4. X
2dt
1 + t2 21
i + t2
+ C.
Рассмотренная подстановка дает возможность проинтегрировать любую функцию вида i?(sinx, cosx). Однако на практике она часто приводит к получению сложных интегралов от рациональных функций. Поэтому полезно знать и другие подстановки.
□ В интеграле вида J R(sinx)cosxdx рационально сделать подстановку
J i?(sinx)cosx<ix =
cos xdx = dt
я
г Sin X
Пример 9.21. Найти интеграл \ dx.
J 1 + COS X
Решение:
г sin3 х ^ _ г (1 - cos2 x)sinx dx _ M + cosx ^ 1 + cosx
cos x = t sinx dx = -dt
cos2 x
t/м 4\ 1 u. ^ COS X ^
= j (t - \)dt =--t + C = — cosx + C.
□ Интегралы вида J R(tgx)dx берутся с помощью подстановки
J R(tgx)dx =
tgx = t
x = arctg t
j dt dx =
1 + t2


Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
245
□ В интегралах вида J R(sin2m х, cos2" x)dx, где sinx и cosx содержатся в четных степенях, делается подстановка
| i?(sinx, cos x)dx =
tgx=t, x= arctgt
2 1 1
cos x = -
1 + tg x 1 + t
• 2 tg X
sin X = *
l + tg2x 1 + t2
j dt
ax —
1 + t2
□ В интегралах вида J sin7” x • cos n xdx, где хотя бы один из показателей степеней нечетный, например я, а т — любое число, следует применить формулу 1 - sin2 а = cos2 а. В частности, если п - 2р + 1 — нечетное число, то
Jsinmx • cos2рА xdx = Jsin^x • cos2p xcosxdx =
= Jsinmx(l-sin2 x)p cos xdx = J #(sinx)cosx<ir.
□ В интегралах вида j sin™ x • cos" xdx, где тип — четные неотрицательные, используются формулы понижения степени
1 1
sin2 х = - (1 - cos 2х); cos2 х = - (1 + cos 2х).
Пример 9.22. Найти интеграл J sin2 xdx.
1 j/ j \
Решение: J sin2 xdx = - J (1 - cos 2x)dx =-\x - - sin2x I + C.
□ Интегралы вида
J cos ax • cos px dx; Jsinax sinfixdx; Jsinax • cospxdk, где a ф p, берутся при помощи следующих формул:
sin ax • cos Px = - (sin(a + p)x + sin(a - P)x);
x
cos ax • cos Px = - (cos(a + P)x + cos (a - p)x);
sin ax • sinpx = ^ (cos(a - p)x - cos (a + p)x).
□ Интегралы вида
J tg mxdx; J ctg m xdx,
где m > 2 — целое число, берутся, если к подынтегральной функции прибавить и отнять tgm~2x (или ctgw_2x) и применить формулу l + tg2x =-
1
COS X
(или 1 + ctg2x =
1
sin2 х
■).


246
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Пример 9.23. Найти интеграл Jtg4x dx.
Решение:
J tg Ах dx = J((tg4x + tg2x)-tg 2x)dx =
= J tg2x(l + tg2x)dx - J((tg2x + 1)-1 )dx =
= ftg2x—^r f—+ \dx =[tg2xdtgx-tgx + x =
J cos i J cos x J J
tg3* * ^
= — tg x + x + C.
3
□ Иногда полезно использовать тригонометрическое тождество sin2 х + cos2 х = 1.
1 1
Это удобно, если под знаком интеграла стоят выражения и , где
sin” х cos”x
п — четное неотрицательное число.
с dx Пример 9.24. Найти интеграл I
sin2 х cos4 х
Решение:
>2 _ 2
г dx с sin х + cos х,г1,г 1 ,
J—1 Г" =J—1 4 —dX + \— =
* sm x cos x J sin x cos x J cos x J sin x cos x
= J—d(tg*) + 4j—-J—dx = j(i + tg2x)d(tgx) + 2j—J—=
cos x J sin 2x J J sin 2x
= tgx + X -2ctg2x + C.
Определенный интеграл
Пусть на отрезке [я; b] задана функция г/ = /(х). Разделим отрезок [а; b] на части произвольными точками а = х0 <хх <х2 <... <хп =Ь. Обозначим через Ах( = хм -х{ длины частичных отрезков. На каждом частичном отрезке [хг; хм ] разбиения выберем произвольную точку е[х{; xi+i ]. Составим сумму
п-1
Sn которую будем называть интегральной суммой функции /(х),
i=0
соответствующей этому разбиению. Обозначим через X максимальную длину частичных отрезков [х-; хг+1 ], то есть X = шах Ах-.
0<г<п-1
Пусть функция /(х) задана на отрезке [а; 6]. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм Sn при ^->0(ип-> оо), который не зависит ни от способа разбиения отрезка [а; b], ни от выбора точек в них, то этот
предел называется определенным интегралом от функции /(х) на отрезке [а; Ь] и
ь
обозначается символом j f(x)dx. При этом функция /(х) называется интегри-
а
руемой на отрезке [я; Ь].


Определенный интеграл
247
Таким образом, по определению,
\f(x)dx = \\mSn = lim Д]/(^)Л*,,
J А,->0 шах Ах{ —►О ТТ.
а 1=0
где а — нижний предел интегрирования; b — верхний предел интегрирования.
Основные свойства определенного интеграла:
ъ ь
1. 	^Af(x)cbc = A^f(x)cbc, А = const.
а а
2- /(/!(*) +Л (*))<& =|/1(лг)йЬ: + |/1(х)dx.
а а а
3. J f(x)dx = 0.
а
4. jf(x)dx =-jf(x)dx.
а b
Ь с Ь
5. J/(x)<ir = ^f(x)dx +
а а с
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 9.2. Если F(x)eсть какая-либо первообразная функции f(x), непрерывной на отрезке [а; Ь]у то справедлива формула
]f(x)dx=F(b)-F(a) = F(x) \ьв.
а
Последний символ в формуле называется двойной подстановкой.
I* xdx
Пример 9.25. Вычислить интеграл I
о л/l + x2
Решение: f= f = л/1 + г2 1 =л/1+12 -VI+0 = л/2 -1.
Ьл/1 + лг2 Ь2^1 + х2 °
Замена переменной в определенном интеграле
b
Пусть дан интеграл J f(x)dx, где f(x) — непрерывная функция на отрезке [а; Ь].
а
Введем новую переменную t по формуле х = ф(£)• Если выполняются следующие условия:
1) ф(а) = а; ф(Р) = 6;
2) ф(t)и ф'(t) — непрерывные функции на отрезке [а; р];
множеством значений функции х = ф(£) при t е [а; Р] является отрезок [а; Ь], то


248
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Пример 9.26. Вычислить интеграл J х4х + 1 dx.
Решение: обозначим vx + 1 = t. Следовательно, если х = 0, то t = % если х = 3, то t= 2.
Запишем решение в форме записи, введенной при нахождении неопределенных интегралов:
Vх + 1 — t
JWx + 1 dx =
х = t2 -1 dx = 2 tdt x =0 => t = 1 x = 3 t = 2
= j(£2 -t)t2tdt =2 j(£4 -t2 )dt =
= 2
5 3
= 2|^-IU7M.
5 3j 15
ЗАМЕЧАНИЕ 9.3 1. Если /(x) — четная функция, то есть /(—лг) = /(х), то
| f(x)dx = 2j f(x)dx.
-а 0
2. 	Если /(*) — нечетная функция, то есть f(-x) = -f(x), то
J f(x)dx = 0.
Интегрирование по частям в определенном интеграле
Если функции и(х) uv(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; Ь], то
ь ъ
judv =uv\ba -jvdu.
а а
2к
Пример 9.27. Вычислить интеграл Jхcosx dx.
Решение:
2л
J х cos х dx =
и = х du = dx dv - cos xdx v = sinx
2 n
= х8тх|оЯ-|зтх dx =0 + cosxIq* =
= cos 2n - cos 0 = 1 -1 = 0.


Геометрические приложения определенного интеграла
249
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей в декартовых координатах
Если функция f(x) > 0 и непрерывна на отрезке [а; Ь]> то площадь криволинейной трапеции аЛВЬ, ограниченной графиком функции у = f(x), осью Ох и прямыми х = а и х = Ъ (рис. 9.1), равна
S = ]f(x)dx.
(9.3)
Пример 9.28. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у-ус2 + 1 у- 0, х - 1 и х = 4 (рис. 9.2).
Решение: площадь заданной фигуры определяется по формуле
4
S = J(x2 + l)d!r =
/ 3 \
х
— + х
4
{ /3 Л
- + 4
(Л - + 1
со
1
1з J
V. 3 >
= 24.
Если функция f(x) < 0 и непрерывна на отрезке [а; Ь]> то
ъ
определенный интеграл j f(x)dx < 0 и по абсолютной Befit
личине равен площади S соответствующей криволинейной трапеции аАВЬ (рис. 9.3), то есть ь ь
5=J f(x)dx = -J f(x)dx.


250
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Если непрерывная функция /(х) конечное число раз меняет свой знак на отрезке [а; Ь] (рис. 9.4), то интеграл по всему отрезку [<а; b] разбиваем на сумму интегралов по отрезкам [а; с], [с; d] и [d; Ь]. Тогда площадь S криволинейной трапеции можно найти по формулам
с d Ъ Ъ
S = J/(x)<ix - J/(x)<ix + J/(x)d!x; S = J|/(x)|<ix.
a с d a
Пример 9.29. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = sinx, х е [0; 2я], и осью Ох (рис. 9.5).
Решение:
5 = Jsinx<ix+ J sin xdx
= -cos x| 0+1 (-cosx)!2*! =2+1 —2| = 4,
или, учитывая симметричность фигуры, S = 2j sinx dx = 4.
I
Если фигура ограничена снизу и сверху графиками функций у = /i(x) и у = /2(х)
(рис. 9.6), причем /t(x)</2(x) для всех х е [а; Ь]> то площадь S данной фигуры определяется формулой
S = \ f2(.x)dx fi(.x)cbc,
а а
Ь
или, что то же самое, S = J (/2(x)-/1(x))<ix.


Геометрические приложения определенного интеграла
251
Пример 9.30. Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = 2х и у = 3-х2 (рис. 9.7).
Рис. 9.7
Решение: найдем абсциссы точек пересечения прямой у = 2х и параболы у = 3-х2. Решая систему уравнений
\у =2х;
[у =3-х2,
получим xt = -3, х2 = 1. Искомая площадь равна
j(3-x2 -2x)dx =
f я
xs
Зх-- х2
3
1 2
= 10-.
-з 3
Вычисление площадей, если линии заданы в параметрическом виде
Если верхняя граница АВ криволинейной трапеции (рис. 9.8) задана параметрическими уравнениями х = ср(£) и y=\\f(t), где а<£<Р и ф(а) = а у ф(Р) = 6, то в формуле (9.3) надо сделать замену переменной, приняв х = ф (£),
у = \|/(£)> dx - q>'{t)dt
В этом случае площадь криволинейной трапеции будет определяться как
а = ф(а) Ь = ф(р) * Рис. 9.8


252
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
S = J f(x)dx = |ydx -
У = v(0 х = ф(£) dx = tf(t)dt х = а=> t = а х = b=> t = p
В итоге мы получаем:
Площадь сектора в полярных координатах
а < ф < р, функция р (ф) непрерывна и неотрицательна на промежутке [а; Р] (рис. 9.9).
Тогда площадь криволинейного сектора ОАВ, ограниченного линией р = р (ф) и лучами ф = а, ф = р, определяется формулой
1р
Sqab =-fp2(<pM<P-
Пример 9.31. Найти площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли р = aJcos2ф (рис. 9.10).
Решение:
л л/4 я/4 • q
S - 4S' = 4 - j a2 cos 2q>d(p -2а2 J cos 2ф<Жр =2а2 -1П-У
71/4
= а2 (1-0) = а2.
Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений
Пусть Т — некоторое тело, заключенное между плоскостями х =аи х = Ь. Предположим, что для любого х е [а; b] известна 5(х) — площадь сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох (рис. 9.11).


Геометрические приложения определенного интеграла
253
Тогда объем тела Т равен
ь
V = J S(x)dx.
Объем тела вращения
Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = /(*), непрерывной на отрезке [а; 6], прямыми х = а у х = b и осью Ох (рис. 9.12).
Тогда объем тела вращения равен
V =n\(f(x)fdx.
а
ЗАМЕЧАНИЕ 9.4 1. Объем тела, образованного вращением вокруг оси 0у криволинейной трапеции, построенной на отрезке [с; d] оси ординат и ограниченной кривой х = f(y), вычисляется по формуле
V = i!\(f(y)fdy.
с
2. 	Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями


254
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
х = ср(£);
у = v(0>
где а < t < р и ф(а) = а, ф(р) = b, то объем тела вращения вокруг оси Ох определяется формулой
V = (v(0)2 <p't dt.
а
Пример 9.32. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси 0у криволинейной трапеции, ограниченной дугой параболы у=х2 - 4, заключенной между точкой (0; - 4) и осью Ох.
Решение: изобразим тело вращения (рис. 9.13).
Из уравнения у=х2 -4 найдем х2 =у + 4, то есть if {у))2 - У + 4. Вычислим объем:
V =nj (f(y))2 dy = nj(y + 4>&/ = 8я.
Рис. 9.13
Длина дуги в декартовых координатах
Длина дуги АВ (рис. 9.14) графика непрерывно дифференцируемой функции у= f(x), х е [а, Ь], вычисляется по формуле
I = | д/l + (/'(*))2 dx.
У
У = fix) ,в
а b х
Рис. 9.14
Длина дуги кривой, заданной параметрически
Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме
\х = ф(0;
[у = v(0.
где а ^ t < р и ф(а) = а, ф (р) = Ь, то длина дуги А В находится следующим обра- зом:
I = j л/(Фг)2 +(v' fdL


Геометрические приложения определенного интеграла
255
Длина дуги кривой в полярных координатах
Если уравнение непрерывной кривой АВ задано в полярных координатах р = р (ф), где а < ф < р, то длина дуги будет равна
I = J л/(Р'(ф»2 + (Р(ф))2
Пример 9.33. Найти длину кардиоиды р = а( 1 + cos ф) а > 0 (рис. 9.15). Решение:
/ = 2/' = 2 j ^/(-tfsin(p)2 + а2 (1 + cos ср)2 г/ф =
= 2J д/2 а2 + 2а2 cos ф б?ф = 2л/2 <2 J J2 cos2 — dq> =
= 2 • 2я| cos — fifcp = 4я • 2 sin—
= 8а.
Площадь поверхности тела вращения
Пусть функции /(х) и /'(*) непрерывные на отрезке [я; 6], кривая Л5 является графиком функции У - f(x)>0. Тогда площадь Р поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох (рис. 9.16), равна
Р = 2я| f(x^l + (f'(x))2dx.
а
Пример 9.34. Вычислить площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением дуги полуокружности y=4R2 -х2, где -R<a<x<b<R, вокруг оси Ох.
Решение: учитывая, что производная ff(x) =у’ =
-2х
2-JR2 -х
=, найдем
Следовательно,
Р = 2nj Vi?2 -х2 R dx = 2я| = 2яД(6 - а).
а V А — X а
ЗАМЕЧАНИЕ 9.5 1. Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями
\х = ф(£);
a <t <Р,


256
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
то площадь поверхности вращения определяется формулой
Р = 2nj у (Ол/(ф'(0)2 +(V(t))2dt.
а
2. 	Если кривая А В задана уравнением в полярных координатах
Р =Р(ф)> а <ф<р, то площадь поверхности вращения определяется формулой
P = 2nfp (ф)л/р2(ф) + (р'(ф))2^ф •
а
Несобственные интегралы
ъ
В определении интеграла J f(x)cbc предполагалось следующее:
а
1) промежуток интегрирования [а, Ь] конечен;
2) функция f(x) ограничена на отрезке [а, Ь].
Если нарушается хотя бы одно из этих условий, то интеграл называется несобственным.
Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
ь
Если функция f(x) непрерывна на промежутке [а, + оо), то предел lim f f(x)dx
b-H-ao J a
называется несобственным интегралом первого рода и обозначается
+00 b
J f(x)cbc = lim J /(x)dx.
a a
Если предел в правой части равенства существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.
Если F(x) — первообразная для подынтегральной функции f(x\ то
-ЮО
f f(x)dx = lim[F(b)-F(a)] = F(+<x>)-F(a),
J 6-)+oo
a
где F(+oo) = lim F(b).
b-*+00
ЗАМЕЧАНИЕ 9.6 Если функция f(x)> 0 непрерывна на промежутке [а; + оо) и инте-
+00
грал J f(x)cbc сходится, то этот несобственный интеграл равен площади криволинейной
а
трапеции, которая бесконечно простирается влево вдоль оси Ох (рис. 9.17).


Несобственные интегралы
257
межутке (-со; Ь]:
(f(x)dx - lim f f(x)dx.
» a—>-oo J
делами интегрирования разделяется на сумму двух интегралов:
+00 с +00
J f(x)dx = | f(x)dx + J f(x)dx,
где с — произвольное число, причем интеграл в левой части равенства сходится при условии, что оба интеграла в правой части сходятся.
7 dx
Пример 9.35. Вычислить интеграл —, где a — некоторое число.
J /V a
i X
Решение:
1. 	Если a * 1, то
1-а
+00 1 +00
\^L= \xadx=-— \ха \ 1-а
dx
= lim
х
1
*->+оо 1_а 1-а
1
1-а а -1 оо, если а < 1.
, если а > 1;
2. Если а = i то J — = 1п|х\ |^°° = оо.
dx
Таким образом, интеграл J —
сходится, если a > 1; расходится, если a < 1.
Признаки сходимости несобственных интегралов первого рода
Теорема 9.3 (признак сравнения). Если для всех х > а непрерывные функции
+00
f(x) и g(x) удовлетворяют неравенству 0 < f(x) < g(x) и интеграл jg(x)dx схо-
а
+00
дится, то интеграл J f(x)dx тоже сходится, причем
а
+00 +00
\f(x)dx < jg(x)dx.
а а
+00 +00
Если же интеграл jf(x)dx расходится, то интеграл Jg(x)dx тоже расходится.
а а
7 dx
Пример 9.36. Исследовать, сходится ли интеграл — .
\ ЛГ(1 + 0


258
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Решение: так как при х > 1 выполняется неравенство —— < Д- и f -4- dx
x2(i + ex) х2 ! х
сходится (а = 2 > 1; см. пример 9.35), то данный интеграл сходится.
+00
Теорема 9.4. Если интеграл ^\f(x)\dx сходится, то сходится и интеграл
а
+00
J f(x)dx. В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходящимся.
а
+00sinx
Пример 9.37. Исследовать сходимость интеграла f —— dx.
i *
+00 J
и интеграл J — dx сходится, то данный интеграл
1 X
cin -v 1 ^ 1
Решение: так как
sinx
<
1
„ з
3
X
X
. х
сходится абсолютно.
Теорема 9.5 (предельный признак сравнения). Если для всех х > а функции
+00 +00
f{x) > 0 и gix) > 0, причем fix) ~ gix), то интегралы f fix)dx и f gix)dx одно-
X—Н"00 J J
а а
временно оба сходятся или одновременно оба расходятся (то есть ведут себя
одинаково в смысле сходимости).
*?x-t
Пример 9.38. Исследовать сходимость интеграла [ е х dx.
1 х
Решение: интеграл f——-e~xdx сходится, так как ——-е~х - е~х и интеграл
\ X X х-*00
+00 j
f е~хdx = -е~х\^ = -(0 - е~х) = - < оо сходится.
1 1 «
Пример 9.39. Исследовать сходимость интеграла [ exdx.
•J х
Ух-i х — 1
Решение: интеграл | exdx расходится, так как ех ~ ех и интеграл
\ X X х^°
+00
J exdx = ех\\со = оо расходится.
Несобственные интегралы от разрывных функций
Если функция fix) непрерывна при а <х <с и имеет бесконечный разрыв в точ-
ь
ке х = cf то предел lim f fix)dx называется несобственным интегралом второго
b-+c-0 J а
рода и обозначается
J f(x)dx = Jimj f(x)dx.


Несобственные интегралы
259
несобственный интеграл называется сходящимся. Если же предел не существует или равен бесконечности, то несобственный интеграл называется расходящимся.
ЗАМЕЧАНИЕ 9-7 Если функция f(x) > 0 и имеет бесконеч-
с
ный разрыв в точке х = с и интеграл j f(x)dx сходится, то этот
а
несобственный интеграл равен площади криволинейной трапеции, которая бесконечно простирается вверх вдоль прямой х = с (рис. 9.18).
Аналогично определяются интегралы в следующих случаях:
1. Если функция f(x) непрерывна при с < х < b и терпит разрыв в точке с, то
ъ ь
Jf(x)dx = limj f(x)dx.
с а
2. Если функция f(x) непрерывна при х е [а; х0)и(х0; b] и терпит бесконечный разрыв в точке х0, то
Ъ Xq Ь
J f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx.
a a Xq
В этом случае интеграл слева называется сходящимся, если оба несобственных интеграла, стоящих справа, сходятся.
dx
Пример 9.40. Вычислить интеграл J
Сх-ау
Решение:
1. 	Если т ф 1, то
dx
Ъ(х-а) = lim
= j(x-a)md(x-a) = ^--
n 1
(-a)im
-, где m — некоторое число.
Сх-а)1
т
(х-ау-т (-аУт
1 — /72
1-т
1 - т оо, если т> 1.
, если т< 1;
« Их ,
2. 	Еслит = 1,то[ = 1п| лт JJ = оо.
\х-а 1
Таким образом, интеграл J
dx
Сх-аУ
сходится, если т < 1; расходится, если т> 1.
Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода
Теорема 9.6 (признак сравнения). Если непрерывные на отрезке [о; с) функции f(x) и g(x) в точке с терпят бесконечный разрыв, причем g(x) > f(x) > 0, то:


260
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
1) если интеграл Jg(x)dx сходится, то интеграл J f(x)dx тоже сходится;
а а
с с
2) если же интеграл J f(x)dx расходится, то интеграл jg(x)dx тоже расходится.
а а
Теорема 9.7. Если функция f(x), непрерывная на промежутке [а; с), имеет бес-
с с
конечный разрыв в точке с и интеграл J| f(x)\ dx сходится, то интеграл J f{x)dx
а а
тоже сходится, причем абсолютно.
Теорема 9.8 (предельный признак сравнения). Если на промежутке [а; с) функции f(x) и g(x) непрерывные и имеют бесконечный разрыв в точке с, причем
с с
f(x) > 0, g(x) > 0 и f(x) ~ g(x), то интегралы J f(x)dx и Jg(x)dx одновременно
а а
сходятся.
1 1
Пример 9.41. Исследовать сходимость интеграла [-= -dx.
о ых + Ах
Решение: функция f(x) = имеет на отрезке [0; 1] единственный беско-
ых + 4г2
1 1
нечный разрыв в точке х = 0. Интеграл Г — dx сходится, так как:
о у/х + Ах
1)
у/х л-Ах2 *-*°
х2
2) 	интеграл J сходится (т = - < X см. пример 9.40).
Задачи для типовых расчетов
Задача 9.1. Найдите неопределенные интегралы.
1. 	J %j(x + 4)5 dx. 2.
Q I• dx a i' dx
5. 	f f . в. Г<2£Ёй1дг.
3 7x2 +7 3 i + x2


Задачи для типовых расчетов
261
dx 4х2 -4
и. I
13. Jsin(2 -Ax)dx.
15. f ***
V(5*-l)2 +1
17. 14 19. J
2~3дг <ir. dx
sin (2-3x)
dx
sin (l-2x)
dx
V 4r2 + з' dx
cos2(l-3r)
dx
cos 4x
<ix
cos (l-3x)
21. J
23. f 25. f
27- 1 /
J V3-2*
29. Jcos(3-5:r)d!r.
Задача 9.2. Найдите неопределенные интегралы.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
dx
^ л/8 + 4ж2 J cos(l-2r)dk.
\2'~ixdx.
<• dx ^ 5 + 3x
jl^dx. dx
|y/3-5x dx.
J 4 l-3xdx. JV2x + 7 dx.
1. Jx-л/б -x2 dx.
3. J(sin2r + cos2x)2dx. ■ cosx dx
5- J’
sinx
7. Jtg|ek.
9. J cos2 2x dx.
11. J
2-3ctg2*
cos x
dx.
13. Jtgxdx.
15. J sin2* • cos 2x dx. ^ <■ sin2* dx
* 1 + cos2x ^ г cos3xdx ^ 5 + 3sin3*
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
I
X8 +5 dx
sin2 x • cos2 x
| ctg2x dx.
J tg2x dx.
J ctg | dx.
Jsin3xcosx<ix. г sinx-4 j
J — dx-
J COS X
| sin2x dx.
J ctg x dx. с cos x + 1 ,
J—i—
J sm x


262
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
23. J
27. J
.X X ,
sm— cos — ax. 2 2
22.
sin2x <ix 3 sin2 x + 4
24.
. 3x 3x j sin— cos — dx. 2 2
26.
„ctg* dx • ?
28.
sin X
x • 34"*2 dk.
30.
Задача 9.3. Найдите неопределенные
2.
ин
I sin2 — dx.
2~~х dx.
х е
1. j.
3. J;
5 Л + Х%х ^
J COS X
7. J х • е*1 dx.
9. j-gXdx
,2x + 4
dx
11. Je*sin(ex)dx. 13. j(ex +e~x)2dx. !5. J I7. J 19. J 21. J
1J(i-x2)arcsinx x3dx
^9-xs 3x dx
л/91 +1 x dx
л!х4 +5
1
cos —
23. J—Л dx.
25. f
x
3x dx
л/лг4 +7’
6.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
smi
(l-3cosx)3 sinx dx
dx.
л/ cos2 x + 2
eA x x dx. 1 x
yfl-x
2
dx
dx.
л/З-х2 -2x тегралы.
cosx dx.
cos x tit.
X + X
x4 +1 sinVx
Vx
б/х.
fiJx.
-tgx
dx.
cosz x
1-Vx
Vx(l + x) dx.
dx.
л/4 -X8
л/е2" -2 X
x2dx
b+x6'
x5 +x2
л/5 + x6
x5dx
dx.
x12 -1* dx
л/Ах-л


Задачи для типовых расчетов
263
27. 	|л/3-лс3 x2dx.
lnx х +
29. 	f dx.
28. 	f —sin2x— ^
J '
3 + sin x
30. 	J-
dx
x2 + In2 x J хл/ln2 x + 4lnx + 5
Задача 9.4. Найдите неопределенные интегралы.
.(arctg*!
J i + x1
3. J tg x • (In cos x) dx.
- r 1-cosx ,
5. I dx.
J (x - sinx)
^ л 2arctg x + x ^
J 1 + x2
<ix
cos2 Хд/4-tg2 1
X + -
<ir.
9. J *
15 j2*2 -xj_ ^
17. J 19. J
1 + л:6 dx
xV3+ In2 x dx
x(ln2 x + 4)
21- f- I—
arccos5 Wl-x2 23. J *~2* dr.
25. J 27. f
V l-4x2 dx
arcsin4 xVl-x2 ex dx
^2 + 2ex + e2x'
29. ( ■<-
„ r arccos3* -1 , 2. , — or.
J VT?
4. [_Й|£±1)_Л.
J cos (x + 1)
e. j ,fa.
1 + cos2 X X - COS X
x2 -2sinx
8- J
r 2x - Jarcsinx ,
10. J —dk.
12. j
14. J
VT-*2
1
<ir
cos2(1 + lnx) X
<ix
x(lnx + 5)
16. fln3 * + 2 dx. J xmx
о arctg 2*
18. f-
J '
20. J
22. J-
1 + 4л:2 dx
W1 - In2 лг
. 1 sin—
dx.
24. [-,l'lrA.
J X
26. гг!±2гЛ
J X4 -4 dx
лгл/4 — In2 x 2xdx
4X + 2X+1 +1
28. J
30. J


264
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Задача 9.5. Найдите неопределенные интегралы.
I
1 + lnx ^
2.
С dx
X
л/3-.r2 -Ax
e2xdx ex -1*
4.
|cos3 x sin2x: dx.
e2*
r._ //r
6.
Г dx
л/е* +1
*j4x-3-x2
sin5 x ,
8.
г ln2x dx
COS X
3 ln4r x
1+ *
2^x J,
10.
г dx
МЛ.
(л/* + дг)
3 3ex +1
dx
12.
[ dx
л/б-4х-2x2
л/ж2 -6jc + 3
14.
f X~4 dx
л/З+ж4
4x +2 '
‘'“‘л.
3e* +1
16.
I x dx л/х — 1
e3xdx
18.
С dx
e2x -i
Kx +1
x dx
20.
I x dx
Ux-i
* V2x -1
e2x -2ex .
22.
г P2*
f
О МЛ.
e +1
1 иЛ •
V + 1
e2x
dx
24.
г
ил.
e* -1
■* e* -1
e2* -3ex ,
fix
26.
<• 1 d!x
e2x+i '
x +1 Vx
dx
28.
[ dx
x In* • In In#
** cos2 x(4 + tg2x)
dx
30.
[X + arctg 2x
л/5 -4x + x2
1 + 4x2
3- f 5- J
7- \
9- 1 н. j
13. J
15. J
17. J 19. J
2!. J 23. J 25. J 27. j 29. J
Задача 9.6. Найдите неопределенные интегралы.
1. J(6 -5x)e~3xdx. 2. | arctgV8x -1 dx.
3. J (6x - 3) cos 2x dx. 4. J ln(x2 + 9)dx.


Задачи для типовых расчетов
265
5.
jxln2 xdx.
6.
У x dx ^ sin2 #
7.
J#cos2 х dx.
8.
J#2 In# dx.
9.
fin# ,
J— dx.
10.
| # arctg # dx.
J X
11.
J x arcsinx dx.
X
12.
(ln<ln*>&.
J X
13.
Jx • ¥dx.
14.
jx tg2x dx.
15.
г xdx sin2 x
16.
J Vx lnx dx.
17.
Jln(xWl + x2 )dx.
18.
с arcsinVx , —7=—dx.
J л/1-Х . X
arcsin—
19.
J arccos 2x dx.
20.
f —=3-dx.
J л/2-х
21.
J arcsinx dx.
22.
fxln-—— dx. J 1 + x
23.
fXCOSX j
J dx.
J sin X
24.
J arctg — dk.
25.
J arccos x dx.
26.
Jx3 ln(x + 1 )dx.
27.
J(x3 - Ax + 5)cos3x dx.
28.
Je2x cosx dx.
29.
J ln(x + 2)x2dx.
30.
J arccos x x dx.
Задача 9.7. Найдите неопределенные интегралы.
1.
jx2 cos3x dx.
2.
J In2 2x dx.
3.
J(x2 -2x + 5)e~x dx.
4.
J (x + l)2 cos x dx.
5.
[x3 sin— dx. J 3
6.
J %Jx In2 x <ix.
7.
X
\x2e 2dx.
8.
IX\+2dx.
J
J g3*
9.
J(#2 -2)cosx dx.
10.
r In2 X J
J 2 d3C-
J x2
И.
J(#2 +3x-7 )e~2xdx.
12.
J (arcsinx)2 dx.
13.
J* arctg2# dx.
14.
jx2exdx.
15.
J^l—yjln2(*2 +1 )dx.
16.
Jx2 cos2x dx.
17.
f#2 sin# dx.
18.
f x2 sin2x dx.


266
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
19. J л: In2 х dx.
20.
J(x2 +1 )e~2xdx.
21. \(x2+\) 3xdx.
22.
J arcsin2* dx.
23. J x In2 x dx.
24.
r In2 x ,
2 dx-
J X
25. J(x2+15)-5*<ir.
26.
|(x3 + 3r + 2) sin2x dx.
27. J arccos2*-л: dx.
28.
J(4-3*2 + 2x3) sin2x dx.
29. J(x3 -3x2 )e~3xdx.
30.
С lnx dx
J x2 ‘
Задача 9.8. Найдите неопределенные интегралы.
j j 2х2 -Зх + 3 ^
3- f
5- !
7- I
х3 -2х2 +х x2dx (* + 2)(х -1)2' dx
х3 -2х2 +х 2х-5 (х ~2)2(х +1)
2
dx.
2- f
4- f
6- J 8- /
9
н. j
dx
х4 -X2
х3 + 6х2 + 11х + 7
(х2 + Зх + 2)(х + 2)
х4 -Зх3 + 9г -8
х3 -4х2 + Ах
4- гх3 + х2 -х + 2 j 17. J — dx.
13. J 15. J
dx.
dx.
19. J
x2(x -1)
2x4 +8x3 +x2 +X-20
x3(x + 5)
rx3-2x2-12x-7 ,
21. ; dx.
x -3x-2 x4 + 2x3 + 9fc2 + 5x + 2 x2(x + l)
23. J
(X3 -Зх2 + 7x -1 ,
25. r - dk.
J 2x3-x2+3
x3 +1 *
г dx.
x(x -1)
x2dx (x + 2)2(x +1) dx x(x +1)2 dx
Я 2 *
X +x
10.
x3 -X2
12. J
x2 -3x + 2 x(x2 + 2x +1)
dx.
4 , f x5 -x4 + 3x -2 ,
14. J ; dx.
x -x
г x4 - Зх2 + Зх -1 ,
16. J : - dx.
x -3x-2
18. J
x3 -4x +1 x3 -2x2 + x
dx.
j rx4 +2x3 -2x + x2 + 1 ,
dx. 20. — dx.
J (x + l)2(x-l)
22 j2x3 -Ix2 -16ЛГ + 32 ^
dx. 24. J
26. J
(x-2)(x2 -4) x3 + Зх2 + 8л: + 12 (л:2 + 4л: + 4)(x -1) х3 +х2 +2
dx.
(х + 1)(х2 + 1)
dx.


Задачи для типовых расчетов
267
ЛГ ч-1
28. J
29. J
дг4 +1
(ж2 + 1)(ж2 -1)
dx.
(х +1 )dx
х3 -6х2 + 9х
зо. п £±11
,Х-1) X
Задача 9.9. Найдите неопределенные интегралы.
•• j
з- j
5' \ 7- I
dx
х(х2 +1) х dx
х3 -1
7л: —15
х3 -2х2 +5х х-А (х -2)(х2 +1)
<ir.
<ir.
9 rfl + x + 1^
J x(x + 1)
*3 +3 (д: + 1)(дг2 +1) 2л: -1
11. J
13. f 15. J 17. J 19. f
21. J 23. J 25. | 27. J 29. f
dx.
X
dx. -1
x + 2
x3 -2x2 +2x x-2
dx.
x3 + 4x
dx.
dx
x3 + x2 + 2x + 2 dx
x3 -8 dx
xA -1 dx
x3 -64
3r +1
(x + l)2(*2 +4) dx
dx.
x(x + 2)
2 *
2- f
4‘ J 6- f
20.
dx.
x3 +1
(x +1)3
*3-l '
x3 +ДГ-1
(x2 + 2)(x -1)
„ г ж3 +дг2 -5 , 8. I dx.
dx.
10. J
x -8 dx
12.
(*2 + 1)(*2 +4)
2
- <ir.
ii f i6. j
18. J
3x dx
x3 + x2 + 2x + 2 7*-15
dx.
dx.
dx.
x3 -2x2 +5*
2x2 +x + 4 x3 + ж2 + Ax + 4 3r2 + 1 Ix' + 8 (x + 2)(x2 + 2j + 2)
22. J
24. J
x3 -2x + 5
ж4 -1 dx
dx.
x3 +8
28. J 30. J
(x2 + 4)(x2 +9) xAdx xA -2x2 +1 dx
x2(x2 -x + l)
Задача 9.10. Найдите неопределенные интегралы.
2. | х • л/л + 4
1.
J /у


268
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
п с dx . г х dx
3- J-7T77 4‘ J
Vx + 1 V X + 3
dx
5. J х • Vx -2 6. |
Vx + Vx
7 гх + Л+х ^ 8
9. f ^ ^=. 10.
J }ъ4х + \
11. f JLdx. 12. г^Вл.
J х + 2 J х
13- 1 2 ^ — 14 I—I ^
J cin2 V _1_ А ^о2 -V J oi«4
sin2 х + 4cos2 х J sin4 xcos2 x
fifx r cos 2x <ix
15. f “ . 16. f-
J 3 + 5 cosx J
sin4 x
<Zx ас с dx
17* f 2 2 18‘ f- 2 •
J sin x + tg x J 1 + sin x
4 ~ e sin2 x dx n/ч г 1 + cos x j
19- h—— 20- J—i—
M + COS X J sin X
21 f —dx 22
J 9 Qin Г — Яглв У" J ci«^
2sinx - 3cos x J sin3 x
dx с dx
+ 3sin x
23. f — . 24. f-
J 4sinx + 3cos x + 1 J 1
25. f — . 26. f tg 4x dx.
•'sinx-Scosx J
27. Jtg5x<ir. 28. J sin4 2x dx.
29. f^EL^. 30.
Vx-1 J x
Задача 9.11. Вычислите определенные интегралы.
я
j г sin2 х d!x 2 f *
*cos2 x-3 sin2 x о l-2cosx + 3sinx
~4
я я
3. } 4. }—2!!£_*.
J 3cos x-5sin x ^(1 + sinx)
fifr.
0
- г sinx , ^ r cos x <ix ,
5. dx. 6. dx.
i 1 + cosx + sinx i 1 + sinx -<
-cosx


Задачи для типовых расчетов
269
? J dx
I 4 + 7 cos х
9. } Sm* dx. i 2 + sinx
8- J
10.
dx sin4 2x
6
arctg2
dx
2 cos x + 3
, 4 \ sin x dx
11. ^ .
о (1 + tg x)sin2x
is. J
4 + 5 sin2x
12‘ J
J (1 + si
dx
2 *
14.
о (1 + sinx + cosx)
aT2 (3tgx-fkfo n 4cos2 *+ sin2 *
4
15. J
tg4#
0 cos4 *
2 arctg 2
17- J -
» Cl
1 sin x(l-cosx)
2
2 arctg 2
19. f -
* ci
dx
{ sin x(l +cosx)
2
dx
21. J
23. J
25. J
cos 3x dx
2 + 3cos2 x dx
я COS X (1 + COS X )
Jg r 1 + COSX
It-й
cosx + sinx
18. )1±2Е£д.
,2 - cos x
20. J-
J oi
dx
о sin x + 9cos x
22. | —. о 1-sin x
24. J
cosx dx
26.
о (1 + cosx + sinx) arctfg2 dx
{ sin2 2x (2 + cos 2x)
27. J
о
29. }
cosx
(1 + cosx + sinx)
dx.
1
cos x + 2sin x
dx.
28. f —
5 +
30. J
sinx
dx.
3sinx sinx dx
я(1 + cosx -sinx)
Задача 9.12. Вычислите определенные интегралы.
V5 1
1. Jx5vx2 + 4 d!x. 2. Jx4'vl~x2 dx.


270
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
3. Ъ dx. 4. j
4з х о(9+х ) 7
5. f-r^— 6
о д/(5 -х2 )3 jix^x2 -1
7 jS/*2 +1 dx ^ ^ dx
д/(4-д:2)3
g |V*^-4d!r | x2d!r
2 * ’ О V16-ДГ2
_1
11. f 12. f*2Vl-x2
о (81+ x2 )V81 +ж2 о
4V3
13. fл/16-ЛГ2 dx. 14. f ,
J0 о д/(64-х2)3
,K ^ dx 2~f x2dx
i5. f 16. f . .
0л/(1 + *2)3 0 (16—лг2 )Vl6—л:2
,7. f_* .8.
J-W2^
42ХЫ1 + Х 45 x
2 пл ^ dx
19. [ , . 20. f ,
о y](8-x2)3 о(А-х2)л]А-х2
_i
21. J 22. f ^
J ✓ * „2 \ Ь ~2 J
0 (l-x2 )Vl-X2 1 Х2л1А-Х2
2 . 4
23. f dr 24. fx2Vl6-*2 dx.
hx*4^i u
25. T 26.
{ (1-X2)VT^ 2
3 V2
2 2 4
27. fW9-*2 «fr. 28. f - dx..
I о л/d-*2)3
1 . 1,5
29. jxA^A-x2 <ir. 30. jv9-x2 <ir.
о 0
Задача 9.13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными уравнениями в декартовых или полярных координатах.
1. 	у =2х-х2, у = -2х2 + Ах. 2. р = 4cos2(p, р =2, р >2.


Задачи для типовых расчетов
271
3. у = sin2 х, у =0, х = —. 4. p2=3cos3(p.
5. у = е1~х, у =0, х =0, х = 1. 6. p=2sin22<p.
7. у = х2, х = у2. 8. p=sin<p-coscp.
Q
9. у =sin2 х • cosx, у =0, х = -. 10. р = 4sin-^-, р = 2, р >2.
И. у = х2л1а~х2 , у =0У х = 1. 12. р =2cos9, р = COS9.
13. г/ = 4ех -1, у =0, х = 1п5. 14. р = 2 - cos <р.
15. 	у =—-!=, у =0, х = е, х = е4. 16. p=2sin39.
xvlnx
17. г/ = lnx, у = In2 х. 18. р =sin(p, р = cos ф, ф е
19. у = ех9 у = е~х, х = 1. 20. р=3-8Шф.
0;
21. у =2х -х +3, у = х -4х + 3. 22. р = 3cos|^- — |.
23. у =xtg2 х, у =0, х = —. 24. р=1 + 8т2ф.
4
25. у =2Х -1, у = — х(4-х). 26. р=3-8Шф.
4
27. г/=sin^, г/= cos^, х =0. 28. р=4со82^2ф-^
29. у=х2>х + у= 2, х=0. 30. р=38т4ф.
Задача 9.14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: [х = cos£;
1. 	,
[у = 3 + sin£.
fx=6cos£; г- г-
2. < х = Зл/З при х > Зл/З.
[г/ = л/3 sin£,
fx =2(£-sin£); . . _
3. < у = 1 при г/ > 1, 0 < х < Ап.
[г/ =2(1-cos О,
(х =2 + 16cos31;
А. < х = 4 при х > 4.
[г/ =2sin31,
„ fx = 2л/2 cos31;
5. j г . У = 2 при г/ > 2.
[у = 4л/2 sin £,
fx = 3(£-sin£);
6. < г/=3приг/>3, 0<х<6тс.
[у =3(1-cos t),
Г X = 6 COS t'y /— /—
7. ] ^ = л/з при у < л/з.
[у =2sin£,
К |CN


272
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
g fx = 16cos3£;
[у =sin3t.
_ fx =2(£-sin£); o Л Л
9. 	\ у = Зпри у < 3,0 <х < Ап.
[у = 2(1- cos t),
|x=8V2cos3£
10. 	< х = 4прих>4.
[у = V2sin31,
f х = 2 cos £
И. < у =6 при у >6.
[у = 3 + 6sin£,
f х = 2л/2 cos t,
12. < у = Зпри у >3.
[у = 2v2sin£,
fx = 6(£-sin£); „
13. < у =0при0 <х < 12тг.
[у =6(1 -cos t),
ix — 8 COS t! j— I—
x = Зл/З при x > зД
г/ = 4 sin31,
15 jx 6cos£, _5^з ПрИ ^ >5^3.
[y = 10sin£, y P *
fx = £; fx = £;
16‘ {y = £2 +4; [y=7-t2.
fx = 16cos3
17. < х=2прих>2.
[у =2sin31,
[x = 3cos£; 3 3
18. < x = —= при x > —=.
[у = 2sin£, v2 v2
fx =8cos3£;
19. < x = 1 при x > 1 [у = 6sin3 £,
fx = 4(£-sin£);
20. \ У - А при у > 4, 0 < x < 871.
[у =4(1-cos О,
fx = A cost]
21. \ у = Зпри у >3.
[у = 9sin£,
х =5 cos31;
у =5 sin31.
22.
23.
24.
fx = 3cos t\ , r- r~
< у = 4л/3 при у > 4V3.
[у = 8sin£,
fx =2л/2 cos£;
[у = 3\/2sin£,


Задачи для типовых расчетов
273
f*=2cos£;
25. \ у =3приг/ >3.
уу = 6sin£,
fx = 3cos£;
26. \ у = 1 при у >1.
[г/ = 2sin£,
27.
х = £; jx = t; y=t\ \y=3-t2.
fx=2cos£;
28. I x = 1 при x > 1.
[у =6sin£, (#=^cos3t;
29. j 1/ = 1приг/>1.
[i/ =2v2sin £,
fx = 2(£-sin£); ^ Л
30. \ у = 1 при г/>1,0<х<4я.
[у =2(1-cos t)y
Задача 9.15. Вычислите длину дуги кривой.
1. у2 = 4х от ее вершины до точки М( 1; 2).
2. у = 2л/х при 0 < х < 1.
fx =2(£ sin£ + cost); л к
3. \ v при 0 < £ < —.
[у = 2(sin£-£cos£) 2
# ^ ТС 7Г
4. р = 1 + sin(p при — < ф < —.
3 2
2 -
5. х =-г/2 при 0 < у < 3.
3
6. у = 4-х2 между точками ее пересечения с осью Ох.
7. у = 1п(х -1) при 2 < х < 3.
8. у =ех при ^ 1пЗ < х < ^ In 8.
9. р = 3(1 — 8Шф)при0<Ф<|.
10. 	у - 2 + g — при 0 < х < 2.
I 8
11. у =41-х2 + arccosх при0 <х <-.
12. у =ех +3 при In л/8 < х < In л/15.
fx = е' cost; л к
13. < при 0 < t < —.
[у=е* sin£ 2
14. у = lnsinx при — < х < —.
* 6 2


274
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
I ^
15. у = arcsin*-VI-*2 приО <х <—. 9 16 16. р = 2sin3 — при 0 < ф < —.
3 2
fx = 3cos3£; _ к
17. < при 0 < t < —.
| у = 3 sin31 2
тс
18. у- In cos х при 0 < х < -.
19. р = л/3 еф при 0 < ср < —.
6
1 1
20. у - — х2 — \пх при 1 < х < 2.
4 2
fjt = e2fsin£ Л я
21. ^ приО<^<—.
[у = e2t cos t 4
2tz
22. p = 3(1 - cos ф) при — < ф < 2я. 3 23. у = е2х при 0 < х < 1.
24. у = lnx при 4Ъ<х< л/8.
25. у = 3- lnsin* при -<*<-.
3 2
[х =6 cos3 £; тс я
26. ^ при - < t < -.
[г/ =6 sin31 4 2
27. г/2 =(х-1)3 от точки М(1; 0) до точки АГ(2; -1).
28. у -ех при 0 < л: < 1.
29. р =6cos3 — при 0 < ф < —.
3 2
| х =2 cos2 t; Л я
30. ^ при 0 < t < —.
[ г/ = 2 sin2 t 4
Задача 9.16. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг указанной оси координат фигуры, ограниченной заданными линиями.
1. у = 2sinx, у = 0 при 0 < х < тс, вокруг оси Ох.
2. г/3=4х2,г/=2, вокруг оси 0г/.
3. 2у2 = х3, х = 4, вокруг оси Ох.
4. у =х2,у = 4, вокруг оси0г/.
fx = 3cos t;
5. < вокруг оси Ох.
[г/ =5sin^,
6. г/=х2,х = г/2, вокруг оси 0г/.


Задачи для типовых расчетов
275
к
7. у = 1 - cos 2х, у = 0, х = -, вокруг оси Ох.
х2
8. у = 1 - —, х + у = 1, вокруг оси 0у.
9. у = х2 + 1, х = ±2, у = 0, вокруг оси Ох.
10. ху = 4, у = 1, у = 2, х = 0, вокруг оси Оу.
5 + Зх
11. у = 2*, у = , вокруг оси Ох.
4
х2 у2
12  . — = I у = ±6, вокруг оси 0у.
4 9
(х = 3cos31,
13. < вокруг оси Ох.
{у = 3sin31,
14. у2 = 4 - х, х = 0, вокруг оси Оу.
15. у =ех, х = 0, х = 1п2, вокруг оси Ох.
16. у= х3, х = 0, у = 8, вокруг оси Оу.
17. (у -1)2 = х, х = 1, вокруг оси Ох.
18. \Х C°S ^ вокруг оси 0у.
[у = 3sin£,
19. у = х2, х = у2, вокруг оси Ох.
20. у2 = (х + 5 )3, х = 0, вокруг оси 0у.
[х = 3(£-sin£);
21. < у = 0, 0 < х < 6л, вокруг оси Ох.
[у =3(1-cos t),
22 cos ^>в(ЖруГ оси
[у =sin3 и
23. ху = 4, у = 0, х = 1, х = 4, вокруг оси Ох.
24. Vx + Jy = 4, у = 0, х = 0, вокруг оси 0г/.
25. у = е*, у = 1, х = 1, вокруг оси Ох.
х2 у2
26. — + — = 1, вокруг оси Оу.
4 16
2
27. у = sinx, х = 0, у = - х, вокруг оси Ох.
к
{X —t\
^ 2 у = 4, вокруг оси Оу.
29. х2 -у2 = 9i х = ±6, вокруг оси Ох.
[л: =2cos3 £;
30. < вокруг оси Оу. f
[t/ =2sin3 t,


276
Глава 9. Интегральное исчисление функций одной переменной
Задача 9.17. Вычислите несобственные интегралы или исследуйте их на сходимость.
lnx
А г COS Зг J
1. dx.
, х + 2х-1
о • 1
„2 + arcsin—
3. 	Г рД dx.
2 3+хУх
5 f arctg* dx
] (9 +ж2 )3/2
7. 	j—Z—dx. i 9r4 +1
00
9. 	Jxe~x dx.
U. J
x
x -4x + 7
dx.
13. 	J
sinx
15. f
0 X + 1
dx
dx.
J0 V(3+x2)5
dx.
17. 	f-^-sin— dx.
2 X X
1
19. 	f-
\ x(3 + lnx)
00
21. J e"*2* dfc.
<ix.
23. J
i x -3x + 7
dx.
25. 	j
1
xi/lnx-l
dx.
27. 	f —dx. i x
29. J
Mx + i
0 4x* +-\/x2 +2x + t
dx.
2.
4.
6.
8.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
26.
28.
30.
Ux3 -3x + 7
dx.
x
x2 -1
sin*
dx.
хл/х2 -1 1
dx.
(3 + x)ln2(3+#)
4x
dx.
-Jx3 +л1х +x dx.
dx.
X
л/ 8 + лг 1
dx.
хЩпх x cos 2x dx.
arctg*x_dx.
16x2 +1
1
x -Ax + 5
x2 +1
dx.
x2VT+”
dx.
dx.
^(8 + x2)3
. 1 arctg —
* <ix.
x2 Vx + 7 cosx
5 + 3sinx
x3e x dk.


Задачи для типовых расчетов
277
Задача 9.18. Вычислите несобственные интегралы или исследуйте их на сходимость.
1. \4^<ь.
Ux* -1
1
3. }— ,
1,5(2-*)In (2-#)
}(1 + х4)3/2-1
dx.
2. J lnx dx.
о
г arcsin Vx , 4. I -^=— dx.
«• J
i
(x-l)Vl-x2
<ir.
7- J
,81х4 -18л:2 +1
а!1г.
9. j — <&.
11. }
X
13. J
■Л
15. f
д/х(2х3 + л/х2 +х) 1
<ix.
V arctg х
I- cos 2x ,
17. I —-=- dx.
о vx
8. )^=dx.
10. J
о Vcosx 1
jr -4x + 4
dx.
12. J
arcsinx о x2 +x4x
14. J —— <&. •J x lnx
dx.
16- \-t— ix3 -l
<ix.
,8.
J
arcsinx
!9. J
4ftg3r
x4x
dx.
21. J
1,5
,5(3-x)^/ln2(3-*)
23. f
1 X VlnX
25. } 2x + 3 dx.
2 X +X-12
27. j
i л/lOx -25 -x2
<ix.
29. J
arccos x x2 л/2х + 7
dx.
20. f
x + 5
22. J
24. }
2 Vx2-x -2 X
<ix.
3 ~2 x + 1
1x2Vx4-1
3
26. J
Гз4(3-х2)5 1 Vx + 1
г <ix.
д/х4 + л/х2 + 2x
<ir.
28,
30. J
я Vcos3 2x 1
dk.
1


ГЛАВА 10 Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Метрическое пространство R"
Пусть заданы два множества, X и Y. Прямым произведением XxY этих множеств называется множество всех упорядоченных пар (х, у), где х е X и у е Y.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.1 Упорядоченность пары (х, у) следует понимать в том смысле, что (х, У)*(У> х).
Если R — множество всех вещественных чисел, то прямое произведение R х R х • • • х R, то есть множество всех упорядоченных наборов (х{, х2, ..., х„) из п вещественных чисел, называется п-мерным пространством и обозначается Rn. Элементы (xv х2, ..., хп) е Rn называются точками пространства Rn и обозначаются M(xv х2У ..., хп). Вещественные числах^ х2, ..., хп называются координатами точки М.
Пример 10.1. Rx R, или пространство R2 — это множество всех упорядоченных пар вещественных чисел. Если использовать метод координат, то можно установить взаимно однозначное соответствие между элементами (х, у) е R2 и точками М(х; у) плоскости с выбранной на ней системой координат.
Расстоянием между точками М{(х\, х\, ..., х1п)и М2(х2 у х2, ..., х2) пространства Rn называется число p(Mv М2), которое определяется по формуле
р(М,, М2) = ^(х\ -ж,2)2 +(*2 ~А)г +-.- + (х\ -х2„)2.
Расстояние р(М,, М2 ) между точками М, и М2 из пространства R" удовлетворяет следующим соотношениям:
1) р(М1; М2)>0.
2) р(М„ M2) = 0oM, = М2.
3) р(М1; М2) = р(М2, М,).
4) р(М1; М2)<р(М1, М3) + р(М3, М2 ).
Пространство i?”, в котором определено расстояние между двумя точками (метрика), называется метрическим.


Окрестности точек в пространстве Я ". Классификация точек
279
Окрестности точек в пространстве R". Классификация точек. Открытые и замкнутые множества
Пусть М0(х,°, х%, x'l) е R" и 5 > 0 — вещественное число. Ь-окрестностъю точ-
ки М0 называется множество точек M(xv х2, xn)eRn, для которых справедливо р(М0, М) < 6. 5-окрестность точки М0 обозначается U5(M0).
Пример 10.2. Если точка М0 е R2, то 5-окрестность этой точки Ud(MQ) — открытый круг (граница не входит в это множество) с центром в точке М0 и радиусом 5 (рис. 10.1).
Пусть М0(х®, х\, ..., x^)eRn и 5>0. Проколотой 5-окрестностью точки М0 называется множество Ub(M0 )\ {М0}, то есть множество точек M(xv х21 ..., хп) е Rn у для которых справедливо 0 < р (М0, М) < 5. Проколотая 5-окрестность точки М0 обозначается Ub(M0).
Точка М0 е D с Л” называется внутренней точкой множества Д если 3U8(M0)aD.
Точка М0 называется граничной точкой множества D cz Rn, если любая ее окрестность содержит как точки множества Д так и точки, не принадлежащие D.
Совокупность всех граничных точек множества называется его границей.
Точка М0 называется предельной точкой множества D a Rn, если любая ее проколотая окрестность содержит хотя бы одну точку множества D.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.2 Граничные и предельные точки множества могут и не принадлежать этому множеству.
Пример 10.3. Пусть множество D a R2 является объединением множества пар чисел (х; у), для которых х2 +у2 < 1, и точки М(2; 0). Все точки этого множества, кроме точки Му — внутренние и предельные. Точки (х, у), для которых ж2 + у2 = 1 — граничные и предельные (рис. 10.2). Точка М не является ни внутренней, ни предельной, ни граничной — точка М называется изолированной.
Рис. 10.1
Рис. 10.2


280
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Множество D a Rn называется открытым, если все его точки — внутренние. Множество D с= Rn называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Пример 10.4. Множество Е с= R2, Е = {(х, у) :х2 л-у2 < 1}, является открытым. Множество D с= R2, D = {(х> у) :х2 + у2 < 1}, является замкнутым.
Множество называется связным, если любые две его точки можно соединить линией, целиком принадлежащей этому множеству.
Множество D в примере 10.3 не является связным. Оба множества, Е и Д в примере 10.4 — связные.
Открытое связное множество пространства Rn называется областью. Множество D a Rn называется ограниченным, если все его точки принадлежат некоторому кругу с центром в начале координат и с радиусом г. Иначе говоря, можно указать такое число г > 0, что D а Е = {(х, у) :х2 + у2 <г2}.
Функции п переменных. Предел и непрерывность функции п переменных
Числовой функцией п переменных называется отображение некоторого множества D с Rn на множество вещественных чисел R, то есть функция /: Rn -> R.
То, что функция / ставит в соответствие V M(xv х2, хп) eD a Rn вещественное число wy обозначают w - f(xv х2, хп), илиш = /(М).
Множество D называется областью определения функции, а множество Е = {w е R: w = /(М) М eD} — областью значений функции/.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.3 Если Dc R2, то / - функция двух переменных. Обычно для функции двух переменных используют обозначение z = f(x, у).
В трехмерном евклидовом пространстве с введенной декартовой системой координат функция двух переменных z = f(x, у) задает некоторую поверхность. Например, функция z=x2+y2 задает параболоид вращения (рис. 10.3).
Пример 10.5. Найти область определения и область значений функции двух переменных z =J4-x2 -у2.
Рис. 10.3
Решение: область определения заданной функции находится из условия 4-х2 — у2 >0, или х2 + у2 <4 Из последнего неравенства следует, что область определения D <= R2 — это круг, ограниченный окружностью х2 + у2 =4.
Область значений функции найдем, записывая ее аналитическое выражение в виде
z2 =4-х2 -у2; \х2 +у2 + z2 =4;
* или *
z >0 [г >0.


Функции п переменных. Предел и непрерывность функции п переменных
281
Следовательно, функция задает верхнюю половину сферы с центром в начале координат и радиусом 2 (рис. 10.4). Из этого рисунка видно, что 0 < z < 2, то есть областью значений функции является множество Е = [0, 2].
Пусть на множестве D cz Rn задана функция w =
= /(*,, X *„ ) И пусть М0 (*,°, х2,
предельная точка множества D. Число А называют пределом функции w = f(xv х2, ..., хп) в точке М0 и записывают
lim f(xv х2, хп) = Л или lim f(M) = A,
—*х9 М->М0
если для любой е-окрестности точки A—Ue (А) найдется 8-окрестность точки М0 — U(M0), для которой справедливо следующее: если точкаM(xv х2, ..., хп)е eDnU(M0), то значение функции в этой точке f(xv х2, ..., хп) е Ue(A).
ЗАМЕЧАНИЕ 10.4 Учитывая определение окрестностей в пространстве /У1, определение предела для функции нескольких переменных можно записать в следующем виде: пусть функция /(М) задана на множестве Dc Rn и М0 eD— предельная точка D. Тогда lim f(Af) = А, если Ve>038>0:VMeZ):0< р(М0, М) < 5 => | f(M) - А\<г.
M-+Mq
Пример 10.6. Задана функция двух переменных /(ж, у) -х2 sin— + у2 cos — при
У х
х Ф 0 и у * 0. Показать, пользуясь определением, что limf(x, у) = 0.
х->0 у^> 0
Решение: в самом деле, поскольку 1/С*, у)\ <\х2
. 1
1 21
1
sin—
+\у \
cos —
У
X
<х2 +у2,
то для произвольного числа 8 > 0 можно выбрать 8 = Vs. Тогда для любой точки М(х> у) ef/6 (О) выполняется 0 < х2 +у2 < 82 = г, откуда следует, что | f(x, у) |<е.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.5 Все теоремы о пределах для функции одной переменной справедливы и для функций многих переменных.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.6 Для того чтобы функция f(M) имела предел в точке М0, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности точек Mv М2> ..., Мп, имеющей пределом точку Af0, существовал предел lim f(Mn) и был одинаковым для всех последовательностей Mv м2, ..., мп.
х2 у
Пример 10.7. Функция /(х, у) = ——- не имеет предела в точке 0(0; 0) — на-
х +У
чале координат. Если задать последовательности точек, стремящихся к началу координат по прямым х = т£, у =nt, то
m2nt3
lim- *->° тЧА +nztz
= lim
т2 nt
m4t2 +п2
: 0.


282
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Если же рассмотреть последовательность точек, сходящуюся к началу координат Г % = t\ по параболе < ’ то
[у = *
tA 1
lim— = -
tA + tA 2
Пример 10.8. Пусть задана функция f(xy у) = C°-S—. Предел этой функции
3 ху
в начале координат равен -. Это следует из того, что можно сделать замену пере-
3
менных ху - t и перейти к пределу функции одной переменной t, то есть
t + -12
v — cos ху v е*-cost v (У-l) + (l-cos£) 2 1
lim — = lim = lim = lim — = -.
x~*° 3 xu 31 3£ 31 3
y->o
Функция /(i1( x2, ..., x„), определенная на множестве Dcz Rn, называется не- прерывной в точке МДп^0, х2, ..., 1„°)еД если в этой точке существует конечный предел, равный значению функции в этой точке, то есть lim /(М) = /(М0).
М->М о
Функция f(xv х2, хп), заданная на множестве D cz Л” и непрерывная в каж¬
дой точке М0 е Д называется непрерывной на множестве D.
Точка, в которой не выполнено условие непрерывности, называется точкой разрыва функции.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.7 Множества точек разрыва функции нескольких переменных могут иметь самую разнообразную структуру. В частности, они могут образовывать линии разрыва и поверхности разрыва.
х + и
Пример 10.9. Прямая у = х является линией разрыва для функции w = —.
х-у
Коническая поверхность z2 =х2 л-у2 является поверхностью разрыва для функ- ции w =
2 2 2 х +у -z
Для непрерывных функций п переменных справедлива следующая теорема.
Теорема 10.1. Функция w = /(М), непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве D a Rn, ограничена на этом множестве и достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.
Частные производные функции п переменных
Пусть функция w = f(xv х2, . xit хи) определена на множестве D cz Rn. Пусть точки М0(хf, х2, ..., х?, ..., х^иМДхр х2, ..., xf +Axif ..., х%) принадлежат этому множеству. Частным приращением функции f(xv х2, ..., xif ..., хп )по переменной х{ называется число, равное разности значений функции в этих точках, то есть


Частные производные функции п переменных
283
= х°2, ..., х* + AXj, ..., x°n)-f(xf, х°2, ..., xf, ..., xl).
Частное приращение обозначается Ах f или Ax w. В частности, для функции двух переменных z = /(х, у) частные приращения в точке М0(х0, г/0) по переменным х и у равны
А*2=/(* о +Длг. У о) ~f(xo> У о)’
Ayz=f(x о> y0+ty)-f(x0’ У о)- Пусть функция w = f{xv х2, xf, ..., х„) определена на множестве D с= Rn
и пусть Af^xf, х°, х?, ..., х\ ) е Д Если существует и конечен lim —-—, то
Аг-
он называется частной производной функции/по переменной xf и обозначается
д{ дw
—— или .
3xf 3xf
В частности, для функции двух переменных z = /(х, г/) частные производные по х и у определяются как пределы:
df_ = &_ = lim f(xо + Ау, г/0)-/(х0, г/0)
Эх Зх Д*-»0 Ах
У- = ?L = lim /(ж°’ У о + А^)~/(х0' У о) ду ду Л^° Аг/
если они существуют и конечны.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.8 Ясно, что частные производные функции п переменных, в свою очередь, являются функциями этих же переменных.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.9 Из определения частных производных следует, что при вычислении частной производной функции w = /(xt, х2, ..., xit ..., х„) по переменной xf следует рассматривать ее как функцию одной переменной xif а все остальные переменные считать постоянными.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.10 При частном дифференцировании функции п переменных справедливы все правила дифференцирования, а также таблица производных, полученные для функции одной переменной.
Пример 10.10. Вычислить частные производные функции двух переменных

I. — X .
Решение: заданная функция является степенной относительно переменной х и показательной относительно переменной г/, поэтому
— = уху~{; — = ху lnx. дх ду
Пример 10.11. Вычислить частные производные функции трех переменных £ + 1 У z
х У 2 W = — + — +х yz.


284
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
~ dw 1 n dw х 1 2 dw У 2
Решение: — = — + Ixuz, — = —- + - + х г, — = —^ + х у. дх у ду у2 z dz z2
Пример 10.12. Вычислить частные производные для функции двух переменных _\-ху_
4х2 +У2
Решение:
dz_
дх
-yjx2 +у2 -(1 -ху)-(х2 +у2) 2 2х х2 +у2
-у4х2 +у2 -(1 -ху)
2 2 * +у
„ & * + # или после упрощении — = —
5* V(*2 + у2)3
Поскольку переменные х и у входят в аналитическое выражение функции симметрично, то частную производную по переменной у можно получить, заменяя
о dz
в частной производной — х на у, а у — на х, то есть
дх
dz
у + х'
дУ sl(x2 + у2)3
Пример 10.13. Вычислить частные производные по переменным х и у функции
z = (sinjrc/)tg* - ^ arccos (1 - ^Jxy).
Решение: перепишем аналитическое выражение заданной функции, используя
tg^ In sin ху \ ,
основное логарифмическое тождество, в виде z = е х - - arccos (1 - ^ху ) и вы¬
числим обе частные производные:
fa tg-lnsinx
— = е х дх
1 -у 1 • ^ У 1
у lnsinjn/ + tg — —— cos ху • у
cos2*'*
X
X sin^
~4у.
2 д/l-(1 -л/^)2 2J*’
tg- In sin^y
ду
= e
1 11 ± У 1
— lnsinjn/ + tg — — cos xy • x
2 У X cos —
X
X sin xy
—yfx
2 Vi-(i-4*y?


Частные производные функции п переменных
285
Геометрический смысл частных производных функций двух переменных
Теорема 10.2. Путь функция двух переменных z = /(г, у) определена на множестве Dei?2 и точка М0(х0; у Л е D. Частная производная — (М0) равна tg а,
ду
где а — угол между касательной, проведенной к пространственной кривой, за-
„ [г =/(*,*/); г, ч
данной системой < в точке с координатами х0, yQ1 j[x0, у0) и по-
|х=*о>
ложительным направлением оси 0у (рис. 10.5).
Теорема 10.3. Пусть функция двух переменных z = /(х, у) определена на множестве D cz R2 и точка М0(х0; у А е D. Частная производная — (М0) = tg а, где
дх
а — угол между касательной, проведенной к пространственной кривой, заданной
системой ^ в точке с координатами х0, у0, f(x0, г/0) и положитель-
[У=У о>
ным направлением оси Ох (рис. 10.6).
Пример 10.14. Какой угол составляет касательная к кривой в точкеМ0(1; 1) с осью 0*/?
[г = 4х2 +у2;
| ДГ = 1


286
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
д~
Решение: если а — искомый угол, то tg а = — (1; 1). Определим частную произ-
ду
водную — =-(х2 л-у2) 2 2у = —=М= и вычислим ее в точке М0. Получим
ЗУ 2 4х2+у2
tg а = -^=. Следовательно, искомый угол а = arctg -^=.
л! 2 л/2
Дифференцируемая функция п переменных. Условия дифференцируемости. Дифференциал
Пусть на множестве D с= Rn задана функция f(xv х2, ..., хп) и пусть МДл^0, лг®, • ••> x^)gD. Пусть числа Axv Ах2, Лх„ таковы, что точка М^0 + Axv х2 +Дх2, ..., + Ахп) е D. Полным приращением функциит = f(xv х2, ...,хп)
в точке М0 называется число
A w=f(M)-f(M0).
Функция w = f{xv х2, ..., хп) называется дифференцируемой в точке М0(хх, х2У ..., где D — область определения функции, если ее
полное приращение Aw в этой точке можно представить в виде
д w = £-^-(м0)дх, + е(р),
i=1 ох{
где 0(р) есть бесконечно малая при р = -> 0.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.11 Если функция п переменных дифференцируема в некоторой точке, то она имеет в этой точке конечные частные производные по всем переменным, причем частные производные непрерывны в некоторой окрестности этой точки.
Пример 10.15. Функция двух переменных z =х3 Jy определена на полуплоско-
д~
сти: -оо<х<+оо и 0<г/<+оо. Ее частные производные равны — = 3г2 д/у,
дх
— = Х Так как — не существует при у - 0, то заданная функция не является
ду 2 ^у ду
дифференцируемой на луче у = 0, входящем в область определения.
Если функция w= f(xv х2, хп ..., хп) дифференцируема в точке М0(х®, х2, ...,xf, ..., .г°)из ее области определения D cz /?”, то линейная относительно приращений Ахи Ах2, ..., Ахп часть полного приращения функции, то есть величина У\—~(МЛАх11 называется дифференциалом функции
г=\ дХ{
f(xv х2, ..., х{, ..., ) в точке М0 и обозначается dw.
Формула для дифференциала в точке М0 имеет вид
<Ь = ±^Чм„)Ах,.
i=i дх{


Дифференцируемая функция п переменных. Условия дифференцируемости 287
Поскольку для независимых переменных Ах{ =dxiy i = 1, 2, я, то последнюю формулу для дифференциала в произвольной точке можно записать как
dw = YJ^-(xv х2, ..., хп)сbct. м dxt
В частности, формула дифференциала дифференцируемой функции двух переменных z = f(x, у) в каждой точке дифференцируемости имеет вид
dz = (.х, у)Ах + (ж, у)Ау, или dz=^-(x, y)dx + ~~ (х, y)dy.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.12 Следует понимать, что дифференциал функции п переменных является функцией 2п переменных. Чтобы вычислить его значение в некоторой точке, мало задать координаты этой точки — следует еще задать значения приращений независимых переменных.
х
Пример 10.16. Найти значение дифференциала функции z = arctg— в точке
У
Af0( 1; 1), если приращения Ах = 0,02, Ау = -0,03.
Решение: согласно формуле полного дифференциала,
dz=TL(xo< Уо)Ах + ^г(хО’ Уо)АУ- дх ду
Частные производные равны
dz 11 dz 1 х
дх У ду у2
1 +
1 +
X
\Уу
Значения частных производных в точке М0: 1) = 0 = Подстав¬
ляя эти значения, а также значения Ах и Ау в формулу дифференциала, получим:
dz = -- 0,02 - - • 0,03 = -0,005. 2 2
Еслиu=f(xv х2, ..., х„)иw=g(xv х2, ..., х{, ..., х„) — функции п пе¬
ременных, то при вычислении дифференциалов справедливы следующие правила:
1. d(cu) = cdu> где с = const.
2. d(u±zv) = du± dw.
3. d(u 7&)=u dw + w du.
. j (u\ duw-udw
4. a
\W J w2
5. df(w) = f'w • dw.


288
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Пример 10.17. Найти дифференциал функции трех переменных w = 3^\ Решение: dw = (3^z )^. d(xyz) = З^2 • In3 * (г/г dx + xz dy + ху dz).
Производная сложной функции. Полная производная
Теорема 10.4. Пусть на множестве D с Rn задана дифференцируемая по переменным xv х2, функция W=f(xv х2, ..., Л^, лгп) и функции
=Xi(vv v2, om), ж2 = x2(vv v2, vm), xn =xn(vu v2 vm), в свою
очередь, являются дифференцируемыми функциями т независимых переменных vv v2> ..., vm. Тогда функция w является сложной дифференцируемой функцией независимых переменных vv v2J ..., vm, и частные производные от функции w по этим переменным равны
dw A dw дх: .
—- = ^ ——Цгде; = 1, 2, т.
dv ^ ,=i dx i dv j
В частном случае для сложной функции двух переменных z = f(x, г/), где х = х(и, а) и г/ = г/(гг, v)y частные производные по независимым переменным и и v вычисляются по формулам
dz _ dz dx dz dy dz _ dz dx dz dy
du dx du dy du dv dx dv dy dv
xy
Пример 10.18. Задана сложная функция w = 2 z , где x =—, у = л/м, z-v2 + Зя.
v
^ dw dw
Вычислить частные производные — и —.
du dv
n „ о , dw dw dx
Решение: используя формулу производной сложной функции — = +
du dx du
dw dy dw dz dw
+ — + и вычислив частные производные по переменной х =
dy du dz du dx
Jt i 0 у о dw 0— , 0 x dw
= 2 ‘ • m2 • —, по переменной у — — = 2 • m2 • — и по переменной z =
dy z dz
O TOT/M/D TII^TULTD ТТТЧ/
~2 ’
= -2 z • ln2 • Щг, а также частные производные от переменных х, у, z по независи-
dx 1 dy 1 dz Л
мои переменной и — — = — = ——, — =0, получим выражение для частной
ди v du 2ыи du
производной функции w по переменной и:
dw 1 о У 1 орт 1 о х 1
= 2 ‘ • 1п2 • — - + 2 ‘ • 1п2 •
du z v z 2 4й
Аналогично, выражение для частной производной функции w по независимой переменной v получим, используя формулу производной сложной функции


Производная сложной функции. Полная производная
289
dw dw дх dw ду dw dz
— = + — + и вычислив все входящие в нее частные производ-
dv dx dv dy dv dz dv
Следствие. Если на множестве D a Rn задана дифференцируемая по переменным xv х2, хп функция w- f(xv х2, xif ..., хп) и если функции х{ =xx(t),x2 = х2(£), ..., хп =xn(t) — дифференцируемые функции независимой переменной t, то функция w является сложной дифференцируемой функцией одной переменной t и ее полная производная по независимой переменной t равна
dw _ ^ dw dx{ dt~h dxt dt '
Пример 10.19. Найти полную производную по переменной t от функции
ЗАМЕЧАНИЕ 10.13 Иногда функция w явно зависит от переменной t, то есть
dx __ и
dv v21 dv ' dv
dw
~dv
xy xy
= -2T • ln2\-2T • 1п2 Щ-■ (2o + 3).
z V z
Решение: согласно формуле полной производной,
dz _ dz dx + dz dy dt dx dt dy dt
Так как
то, подставляя вычисленные производные в формулу, получим:
w=f(t, x^t), x2(t), xn(t)).
10 №6822


290
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
В этом случае формула для полной производной имеет вид
dw _dw + ^ dw dx{ dt dt i=i дхг dt
гл dw
Здесь следует различать частную производную —, которая вычисляется в предположе-
dt
dw
нии, что xlf х2, хп не зависят от переменной t} и полную производную —которая учи-
at
тывает и зависимость от t функций xv х2, х„.
1
Пример 10.20. Дано z - t • cos (t + x2 + 2г/3), где x-e 1, у = Вычислить пол- dz
ную производную —.
dt
~ , о „ dz dz dz dx dz dy _
Решение: согласно формуле полной производной, — = — + + —. Вы-
dt dt dx dt dy dt
числим:
— - cos(t + x2 + 2y3)-tsin(t + x2 -h 2г/3); — = -2x tsin(t + x2 + 2уъ); dt dx
dz n 2 •/ ± 2 o3\ dx _t dy 2
— = -6y tsm(t + x +2у ); -r=-e ; dy dt dt t
и подставим вычисленные производные в формулу полной производной. Получим:
^ =cos(t-\-x2 +2y3)-tsin(t + x2 + 2у3 ) + (-2jc £sin(£ + х2 +2у3 ))(-е~1 ) +
+ (^-§y2tsm(t +х2 ч- 2г/3 )^Г—y
Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности
Теорема 10.5. Если функция z = f(xy у) дифференцируема в точке (г0; г/0), то существует не параллельная оси 0z касательная к поверхности z = f(x, г/) в точке А^о(хо> У о у f(x oi УоУ) плоскость, уравнение которой имеет вид
г=*о + |^(*о» Уо)(х~х0) + ^(х0, у0)(у-Уо)> гдег0 = /(*0> у о).


Приближенные вычисления и оценка погрешностей
291
Следствие1. Если поверхность задана уравнением z=f(x,y) и функция f(x, у) дифференцируема в точке (х0; у0), то уравнение нормали к этой поверхности в точке М0(х0, у0, z0), где z0 = f(x0, г/0), имеет вид
_ у-у о ^
Следствие 2. Принимая в уравнении касательной плоскости
z = z0+|^(x0) y0)(*-*o) + J^(*o. У«){У-У0)’Х-Х0 = Ах и г/-г/0 = Дг/,
можно установить, что dz = — (xQf у0)Ах + — (х0, у0) Ay -z -z0, то есть диф-
дх ду
ференциал функции двух переменных равен приращению аппликаты касательной плоскости.
Пример 10.21. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности, заданной уравнением z = \п(х + у2), в точке (1; 0).
Решение: частные производные заданной функции равны
dz _ 1 dz _ 2у
дх х + у2’ ду х + у2
Вычислим значения частных производных в точке (1; 0): — (1; 0) = 1, — (1; 0) = 0.
дх ду
Значение функции в точке (1; 0) равно z0 = lnl = 0. Тогда уравнение касательной плоскости имеет вид z =0 + 1{х -1) + 0*(у -0), или z=x-l. Уравнение
х-1 у z
нормали = — = —.
10-1
Приближенные вычисления и оценка погрешностей
Пусть требуется вычислить значение дифференцируемой функции w = f(xv х2, ...,xir ..., хп) в некоторой точке
М(х{ + Axv х2 +Ах2, ..., хп + Ахи)
и известно значение этой функции в точке M0(xv х2> ..., х„). В тех случаях, когда модули приращений \Axt | довольно малы, приближенное значение функции в точке М можно найти, заменяя приращение функции ее дифференциалом, то есть
/(М) =/(Af0) +Ада «/(*,, х2, ..., х(, ..., xn) + dw,
где dw = ^——(М0')Ахг Погрешность, появляющаяся при такой замене, не пре-
i=i дх,
I 2
ВОСХОДИТ р = д / X (А* t) •


292
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Пример 10.22. Вычислить приближенно д/3012 + Д982.
Решение: рассмотрим функцию z = yjx2 л-у2. Необходимо вычислить ее значение
в точке М(3,01; 3,98). Представим z = z0 + Az, где z0 = f(x0l yQ), лг0 = 3, г/0 =4. Тогда z0 = 5. Теперь представим х = 3,01 = х0 + Ах и г/ = 3,98 = у0 + Ау. Так как х0 = 3 и г/0 = 4, то Аг = 0,01, а Ау = -0,02. Поскольку Ах и Ау довольно малы, то
д~
заменим приращение функции Az ее дифференциалом dz = —(х0, у0)Ах +
Эх
+ Уо)^у- Для этого вычислим частные производные = *
у]х2 -\-у2
dz
dz
dz,
— - в точке (3; 4). Получим — (3; 4) = 0,6 и —(3; 4) = 0,8. Тогда диф-
ду уjx2 +у2 дх ду
ференциал в точке (3S 4) при Ах = 0,01 и Ау = -0,02 равен
dz = 0,6 • 0,01 + 0,8 • (-0,02) = 0,006-0,016 = -0,01.
Следовательно, приближенное значение функции равно z0 + dz =5 -0,01 = 4,99. При этом верхняя граница абсолютной погрешности А определяется из равенства
А =
oz , ч т-(*о> У о) дх
Ах +
dz ( ч — (*о> Уо)
ду
|Аг/|.
В рассмотренном примере А = 0,6 • 0,01 + 0,8 • 0,02 = 0,006 + 0,016 = 0,022.
Пример 10.23. Оцените абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции z = J— в точке (х; у \ если х = 1±0Ду = 1± 0,05.
V х
Решение: абсолютная погрешность
А <
dz_
дх
(*о> У о)
Ах +
dz
dy
(*о> У о)
|Аг/|.
Так как *0 = у0 = 11 Ах | = 0,2, | Ау | = 0,05, то, вычислив
Гу
2WT дхК ’ } 2’
Й2 _ _1 11. jfe, 1
ду 4х 2Jy 2у[ху’ ду 2 ’
получим А <
•0,2 +
•0,05 =0,1 + 0,025 =0,125.


Частные производные и дифференциалы высших порядков функций.
293
Частные производные и дифференциалы высших порядков функций нескольких переменных
Пусть функция f(xv х2, ..., xit ..., хп) имеет частные производные в точке М0(х°, х%, ..., лс,0, ..., х°)из ее области определения Dc Rn. Будем называть их частными производными первого порядка. Так как они являются функциями тех же переменных, что и данная функция, то у каждой из них могут существовать частные производные по любому из этих аргументов. Полученные таким образом частные производные называются частными производными второго порядка.
В частности, для функции двух переменных z = fipc, у) можно составить четыре частных производных второго порядка, которые обозначаются следующим образом:
d_(dz\=d^z_ = . д_
дх\дх) дх2 х2’ ду
/ dz
ду) ду
r-V’
д_
дх
гд^
РУ.
_ d2z „ д (дгЛ_ d2z „
~ а- л.. ~^хУ1 лГГ яГ “яГ7*Z~^yx'
дх ду ду V дх) ду дх
Частные производные /^(лс, у) и f”x(х, у) называются смешанными. Значения смешанных производных равны в точках, в которых эти производные непрерывны.
2 2
Пример 10.24. Найти частные производные второго порядка функции z-exy . Вначале найдем частные производные первого порядка:
дх ду
Продифференцировав их еще раз, получим:
^ = exViх2у4 +exV2y2; Щ-= exV 4х* у2 +exV2x2; дх2 ду2
^ ^ = е*2у2 4х3у3 + ех2у2 4ху, ^ ^ = е*2у2 Ах3у3 + ех2у2 Аху.
дх ду дх ду
д2 z д2 z
Сравнивая последние два выражения, видим, что — = —.
дх ду ду дх
Вообще для каждой из частных производных второго порядка можно дать и строгое определение.
Если существует и конечен предел
!^(х0 +Д*, Уо)-1г(*о» у о)
lim— ^ ,
Д*-»0


294
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
то он называется частной производной второго порядка в точке (х0; у0) и обо-
d2z
значается —- или z 2 •
дх2
Аналогично даются строгие определения для остальных частных производных второго порядка. Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.
Для функции w = f(xit х2, xit ..., хп) частная производная пятого порядка
д w ,
— , если она существует, определяется как функция, полученная из
д х{ д Xj дхп
данной путем двукратного дифференцирования по переменным х{ и Xj и однократного дифференцирования по хп. Если все возникающиеся при этом частные производные непрерывны, то порядок дифференцирования не имеет значения.
Пример 10.25. Вычислить все частные производные второго порядка для функции W = X • Z1 + cos —.
У
Решение: можно установить, что существует шесть различных частных производных второго порядка для данной функции.
Частные производные первого порядка:
dw 2 . х 1 dw .хх dw n
— =z -sm ; —- sin —= zxz.
dx У У dy у у1 dz
Частные производные второго порядка:
d2w х 1 d2w хх2 . х 2х d2w 0
—— = — cos —— — — cos sm —- = 2x;
dx2 У У dy у у у у dz
d2w хх . х 1 d2w n d2w л
= cos — + sin =2z; =0.
dx dy У у У У dx dz dy dz
Пусть функциям =f(xt, x2, ..., x-, ..., xn) дифференцируема и имеет дифференцируемые частные производные по всем переменным в каждой точке некоторой об-
п ^ dxs)
ласти DczRn. Тогда существует дифференциал dw = V (xv х2, ..., xn)dxi,
i=l dx{
который также является дифференцируемой функцией переменныхxv х2, ..., хп. Будем в дальнейшем называть его дифференциалом первого порядка, или первым дифференциалом.
Рассматривая первый дифференциал как функцию переменных xv х2, ..., хп при фиксированных dxv dx2, ..., dxn, определяют дифференциал второго порядка, или второй дифференциал, как дифференциал от ее первого дифференциала. Второй дифференциал обозначают d2w.
Теорема 10.6. Если функция w = f(xv х2, ..., xif ..., хп) дифференцируема вместе со всеми частными производными по независимым переменным xv х2У ..., хп, то для второго дифференциала справедлива формула


Частные производные и дифференциалы высших порядков функций..
295
d2w = X (хк х2> •••- xn)dxi dxj.
i,j=i oxidxj
В частности, для функции двух переменных z = /(х, у), зачитывая независимость частных производных от порядка дифференцирования, справедливо:
Щ-idx)2 + 2--^-dxdy + ^\^ дх2 дхду 9 ду2
ЗАМЕЧАНИЕ 10.14 Аналогично определяются дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал третьего порядка, или третий дифференциал — это дифференциал от второго дифференциала, и т. д.
При этом важно понимать, что для существования дифференциала п-то порядка функция должна иметь дифференцируемые частные производные по всем переменным до производных я-го порядка. Такие функции называются п раз дифференцируемыми.
Легко показать, что для функции двух переменных z - f(x, у) формула для третьего дифференциала имеет вид
dx)3 +3 5(dx)2 dy + 3 д * dx(dy)2 дх3 дх2ду дхду2 ду3
Формулы для второго дифференциала функции двух переменных z = f(x, у) удобно записывать в символическом виде:
d2z =
/ д J д А I
— ах + — dy z,
дх ду 1
s д „о
где под обозначением — понимается операция взятия частной производной по дх
переменной z, а под обозначением — понимается операция взятия частной про-
ду
изводной по переменной у.
В общем случае для дифференциала п-го порядка функции двух переменных z = /(х, у) справедлива формула
dnz =
Г д 1 д , — dx + — ау дх ду
ЗАМЕЧАНИЕ 10.15 Следует помнить, что эти формулы записаны в предположении, что х и у — независимые переменные. Если же z = f(x, у) является сложной функцией, в которой х и у, в свою очередь, являются функциями двух переменных, то


296
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Пример 10.26. Найти d3z, если z =(х + y)cos(x-2у). Решение: используем формулу третьего дифференциала
+ 3 д-£- (dx)2dy + 3 д^ dx(dyf +^' дх3 дх2ду дхду2 ду3
Производные первого порядка:
— = cos(x-2у)-(х + i/)sin(x-2у)\ — = cos(x -2у) + 2(х + y)sin(x -2у). дх ду
Производные второго порядка:
д2 z
—j = -2sm(x-2y)-(x + y)cos(x-2y)\ дх
д2 ~
= 4sin(x-2у)-4(х + y)cos(x-2у).
ду2
Производные третьего порядка:
d3z
дх3
= -3cos (х -2у) + (х + t/)sin(x -2у);
д3~
—^ = -12cos(*-2у)-8(х + t/)sin(x-2у)\
бу
д3 z
— - 3cos(x-2у)-2(х + z/)sin(x — 2г/);
дх1ду
d3z
= 4(х + z/)sin(;t — 2г/).
ду2дх
Подставляя вычисленные производные в формулу дифференциала, получим: d3z =(-3cos(x -2у) + (х + y)sin(x-2y))(dx)3 +
+ 3(3cos(x -2у)-2(х + y)sin(x -2y))(dx)2 dy +
+ 3(4(x + */)sin(.r - 2y))dx(dy)2 +
+ (-12 cos (x - 2y ) - 8 (x + у )sin(x - 2у ))(dy )3.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.16 При вычислении дифференциалов высших порядков иногда удобно не пользоваться полученными формулами, а вычислять дифференциалы, проводя непосредственное дифференцирование, учитывая, что dnw = d(dn~{w) и <Гх{ - 0 при условии п > 2, если х{ — независимая переменная.
Пример 10.27. Вычислить d3z, если z - cos(x -5у).
Решение: по формуле для дифференциала суперпозиции двух функций первый дифференциал можно записать в виде dz = -sin(x-5y)(dx -5dy). Поскольку вы¬


Дифференцирование неявных функций
297
ражение dx -5 dy не зависит от переменных х и у, то второй дифференциал имеет вид d2z = - cos(х-5y){dx-5dy)2.
Аналогично вычисляется третий дифференциал:
d3z =sin(x-5y){dx-5dy)3,
или
d3z = sin(x-5y){{dx)3 -\5{dx)2 dy + 75dx{dy)2 -125(dy)3).
Пример 10.28. Вычислить d2w, если w = 3*3*.
Решение:
dw = 3*^ • ln3{yz dx + xzdy +xy dz); d2w = ln3(d(3^ ){yz dx + xz dy + xy dz) + 3^r d{yz dx + xzdy + xy dz)); d2w = 34* In2 3 {yz dx + xzdy +xy dz)2 +
+ 3ln3{{dy z + y dz)dx + {dx z + x dz)dy + {dx у + x dy)dz)).
Упрощая полученное выражение, запишем:
d2w = 3xyzln2 3{y2z2{dx)2 +x2z2{dy)2 +x2y2{dz)2) +
+ 3*^2In3(1 + xyz ln3)(z dx dy + x dy dz + y dx dz).
Дифференцирование неявных функций
Уравнение F{x, у, z) = 0 в окрестностях тех точек (х0, у0, z0), для которых уравнение F{x0, yot z) = 0 имеет хотя бы один корень z0, задает неявную функцию z=/(x, у), значения которой равны корням этого уравнения. При этом уравнение F{x, у, z) = 0 иногда может быть разрешено относительно z, а иногда — нет.
Теорема 10.7. Пусть уравнение F{x, у, z) = 0 задает в окрестности точки {х0, у0, z0) однозначную дифференцируемую функцию z = f{x, у), для которой справедливо z0 = /(х0, г/0), и в некоторой окрестности точки (х0, yQ, z0^yHK-
dF
ция F(x, у, z) и все ее частные производные непрерывны, причем — * 0. Тогда
dz
функция z = /(х, у) дифференцируема, и ее частные производные — и — вы-
дх ду
числяются по формулам


298
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Теорема 10.8. Если уравнение F(x, у) = 0 задает неявную функцию одной переменной у = f(x) то в окрестности точки (х0, у0), в которой функция F(x, у) и
обе ее частные производные непрерывны, а _ ф о и У о = f(x о )> функция у = /(.г)
ду
однозначная и дифференцируемая, а ее производная вычисляется по формуле
, др
%
Пример 10.29. Выяснить, в каких точках дифференцируема функция у = f(x),
X
заданная неявно, и вычислите ее производную, если — + еху =0.
У
X
Решение: F(x, у) = — + еху, поэтому функция дифференцируема во всех точках, У
за исключением тех, где — = 0. Поскольку — = —+ е1у х, то функция диффе-
ду ду у2
ренцируема везде, где выполняется условие —- + е^х ф 0. Так как
У
dF 1 ™
— =- + ехуу, дх у
то
/ . \ // \
У+У е
Ух = ~
f \ Л /( -у „J.,,3*1*
- + е^у
У
~ + ещх
У у
х-ху2
Пример 10.30. Выяснить, в каких точках дифференцируема функция z = f(x, у),
заданная неявно, и вычислить ее частные производные, если — + z • cos(jo/) = 0.
z
X
Решение: так как F(x, у, z) = - + z- cos (ху), то функция дифференцируема во всех
dF Л dF х . ч точках, за исключением тех, в которых — = 0. — = —- + cos (ху), следователь-
dz dz z
но, функция дифференцируема везде, где выполняется условие —- + cos {ху) ф 0.
Учитывая, что — = - -sin(xy)zy и — = -sin(xy)zx, можно записать: дх z ду
j-sinoty)zy az_ _s{<xy)sx
дх x / \ ду x . ч
+ COS {ху) У —- + cos (jсу)


Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений
299
Дифференцирование неявных функций, заданных системой уравнений
Ft(x, у, u,w)=0,
Если неявные функции и (ос, у) и да(х, у) заданы системой
F2 (х, у, и, да) = О,
то определитель
I =
dF; dF,
ди dw dF0 dF,
du dw
называется определителем Якоби.
Имеет место следующая теорема, которая легко обобщается на случай большего числа переменных.
Теорема 10.9. Если задана система
\ Ft(x, у, и, ж) =0, [f2(x, у, и, w) =0,
где Ft(x, у, и, w)
и F2(x> у, и, w)— непрерывные и дифференцируемые по всем переменным в окрестности точки М0(х0, у0, и0, да0), являющейся решением системы, функции и если в точке М0 определитель Якоби
I =
щ
L
du
dF2
du
ф 0,
то система определяет функции и(х, у) и да(х, у), которые являются дифференцируемыми в точке М0.
\ху+и =-у; [uw + y2 =0.
Пример 10.31. Функции м(х, y)nw(x, у)заданы системой
~ ди ди dw dw
Вычислить частные производные —, —, — и —.
дх ду дх ду
Решение: продифференцируем оба уравнения системы по переменной х, получим:
о ди Л у +2и— =0;
дх
ди dw ~
—w + и— =0, .Эх Эх
или
о du
2и- = -у;
dx
du dw Л —да + w— =0. Эх Эх
^ du dw
Решая эту систему относительно неизвестных — и —, получим:
Эх Эх
Эг/
Эх
-у о
0 и
2и 0
W и
_ -уи _ у .
2г/2 2г/ ’
Эда
Эх
2м -у да 0
2гг 0
да г/
yw Л
= - при и ф 0.
2и


300
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Теперь продифференцируем оба уравнения системы по переменной у, получим:
ди
х+ 2и— = -1; ду
ди dw п Л —w + и— + 2у = О, ду ду
или
2и — - -х -1; ду
ди dw 0 — w + и— = -2 у. ду ду
„ ди dw ,
Если решить эту систему относительно производных — и —, то формулы для
ду ду
них будут иметь вид
-4yu + xw + w Ъ? ’
—x ~ 1 0
2г/ -х-1
du
-2 у и
x +1 5г0
ж —2г/
ду
2гг
0
2и '
ду
2 и
0
ж;
W
и
т, , ди ди dw dw
Из полученных формул для частных производных —, —, — и — видно, что
дх dy dx dy
неявные функции и(х, y)uw(x, у) не являются дифференцируемыми в точках,
_ . 2и О
в которых определитель Якоби = 0, или и = 0.
w и
Пример 10.32. Определить, при каком условии система уравнений
|и2 -w2 +х2 +у2 =0;
[uw + ху = О
задает дифференцируемые функции и(х} y)uw(x, у), и вычислить du и dw. Решение: вычислим определитель Якоби
2и -2w w и
/ =
= 2и2 +2w2.
Поскольку 1=0 только при и = w = 0, то во всех точках, кроме начала координат, заданная система определяет две неявные дифференцируемые функции, и (х, у) и w(x, у).
Теперь вычислим du и dw, дифференцируя оба уравнения системы:
Гd(x2 +u2 +и2 -w2) = 0; {2xdx + 2ydy +2udu-2wdw =0;
i или it
[ d(uw + xy) = 0, \u dw + w du + dx у + dy x = 0;
J 2tt<iw - 2wdw = -2xdx - 2ydy \
\w du+u dw =-y dx-x dy.
Решая последнюю систему относительно du и dw, получим:
, оси л-uw . uu + xw * . -yu +xw * -xu + yw j
du =—-—^—dx-^~ -dy; dw = -rfr + — dy.
2 2
2 2 u +w
2 2 u +w
2 2


Экстремум функции двух переменных
301
Экстремум функции двух переменных
Пусть функция f(x, у) определена в области D cz R2, а М0(х0, у0) — внутрен- няя точка этой области. Точка М0 называется точкой минимума функции /(ж, у), если
3t/5(M0) :VM(*, у) eU5(M0)=> f(x> y)>f(x0, y0).
Пусть функция /(x, у) определена в области D с R2, а М0(х0, у0)— внутренняя точка этой области. Точка М0 называется точкой максимума функции f{x, у), если
3t/5(M0) : VM(i, y)eU8(M0)=> f(x, y)<f(x0, у0).
Необходимое условие экстремума. Если функция /(х, у) дифференцируема в окрестности точки М0(х0, у0)и имеет в этой точке экстремум (максимум или минимум), то
^f(xo< 2/о)=0;
дх
ir(*o- 2/о) = {>.
.ду
ЗАМЕЧАНИЕ 10.17 Условие равенства нулю частных производных в некоторой точке не является достаточным условием существования экстремума в этой точке.
Если хотя бы одна из частных производных — (х0, у0) ф О или —(х0, у0)*0,
дх ду
то в точке М0(х0; у0) нет экстремума. Значит, экстремум следует искать в тех точках, в которых обе частные производные равны нулю. Такие точки называются стационарными. Так же, как и для функции одной переменной, экстремум может быть и в точках, где функция не является дифференцируемой. Такие точки, а также стационарные точки в дальнейшем будем называть подозрительными на экстремум, или критическими.
Достаточные условия экстремума. Если М0 (х0; у 0) — стационарная точка дважды дифференцируемой функции /(*, у) и если в некоторой окрестности этой точки второй дифференциал
d2f(M0) = |^(М0 )(dxf + 2 • )dx dy + |^(М0 )(dy)2
дх1 дхду ду1
сохраняет знак при любых значениях dx и dy, не равных нулю одновременно, то функция в точке М0 имеет экстремум. При этом если d2f{x0, у0)>0, то этот экстремум — минимум, если d2 f(xQ, yQ) <0 — максимум.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.18 Если d2f(x0, у0) меняет знак в окрестности точки ЛГ0, то это еще не означает, что в этой точке нет экстремума.


302
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Пример 10.33. Функция z =х4 +г/2 - Ах имеет в точке (1; 0) минимум. Это следует из того, что частные производные
— = 4х3 -4; дх
dz_
ду
= 2 у
определены и конечны на всей плоскости и обращаются в ноль
4г3 -4=0;
1у=0
ные второго порядка -
в единственной стационарной точке (1; 0). Если вычислить частные производит 2 д2z 0 d2z Л
—- = \2х , —- = 2, = 0, а также их значения в стацио-
дх2 ду2 дхду
д 2 ^ д2 z д2 ~
нарной точке —^(1; 0) = 12, —^(1; 0) = 2, ——(1; 0) = 0, то второй дифферен-
дх1 ду1 дхду
циал d2z( 1; 0) = 12 • (dx)2 + 2 • (dy)2 > 0.
Теорема 10.10. Если М0(х0; у0)— стационарная точка дважды дифференцируемой функции z = f(x, у) и если
л д2z / \ п д2z , \ о д2z / ч
А = -—(х0, у о), С = — (х0, у о), В = —у(х0, у о),
дх ду ду
то функция имеет экстремум, если определитель А =
А В В С
> 0, и не имеет экс¬
тремума, если А < 0. При А > 0 экстремум является максимумом, если А < 0, и минимумом, если А > 0.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.19 Если А = 0, экстремум может быть, а может и не быть. Этот случай требует дополнительных исследований.
Пример 10.34. Исследовать на экстремум функцию z = х3 л-у3 -9ху +27. Решение:
a*"3* [Зж2-9г/=0; U2 =3 у,
- = 3у2-9х; [Зг/2 -9* =0; [9г/2-27*=0;
ду
{х2 =3у\ (х2 =3у;
|х4-27*=0; [х(х3 -27) = 0.
Системе удовлетворяют две стационарные точки, (0; 0)и (3; 3).


Экстремум функций п переменных
зоз
3 3 z 3 z
Вычислим частные производные второго порядка —\ = 6х, —^ = 6у, —— = -9
дх ду дхду
и найдем их значения в стационарных точках.
Для первой стационарной точки (0; 0): А = С = О, В = -9, А = АС -В2 = -81 < 0. Значит, в этой точке нет экстремума.
Для второй стационарной точки (3; 3): А = С = 18, В = -9, А = АС - В2 = 324 -81 > 0, а так как А > 0, то это точка минимума.
Экстремум функций п переменных
Пусть функция f(xv х2, ..., хп) определена в области D cz Rn, aMQ(xx, х2> •••> хп ) ~ внутренняя точка этой области. Точка М0 называется точкой минимума функции f(xv х2, ..., хп), если
3[/б(М0) : V M(xv х2, хп) ей§(М0) => /(М) >/(М0).
Пусть функция f(xv х2, ..., хп) определена в области DaRny а М0(хх> х2, ..., х\ ) — внутренняя точка этой области. Точка М0 называется точкой минимума функции f(xv х2, ..., хп),если
3U5(M0) лг2> хп) е[/5(М0)=> /(М) </(М0).
Необходимое условие экстремума. Если функция f(xv х2, ..., х„) дифференцируема в окрестности точки М0 (xj*, х\, ..., ) и имеет в этой точке экстремум
(максимум или минимум), то —£-(М0) = 0 при всех i = 1, 2, ..., я.
дх{
Достаточные условия экстремума. Если М0(хf*, x2f ..., х°) — стационарная точка дважды дифференцируемой функции f(xv х2, ..., хп )и если в некоторой окрестности этой точки второй дифференциал
d2f(M0) = £ f-(M0 )dxt dXj
ij=i uX i OX j
сохраняет знак при любых значениях dxt и dxj, не равных нулю одновременно, то функция в точке М0 имеет экстремум. При этом если d2f(M0)>0, то этот экстремум — минимум, если d2f(M0) < 0 — максимум.
Пример 10.35. Исследовать на экстремум функцию =х4 л-у2 +z2 -2z.
Решение: функция дифференцируема на всей плоскости. Стационарные точки определяются из системы


304
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
из которой видно, что единственная стационарная точка М0(0; 0; 1). Вычислим
д w 4П 2 d2w 0 д w п d2w
все частные производные второго порядка: —- = \1х , —- = 2, —— = 2, =
дх ду dz дхду
d2w d2w Л _
= = = 0. Тогда второй дифференциал в стационарной точке равен
dxdz dydz
d2w = 12 x2(dx)2 +2 (dy)2 +2 (dz)2 + 20dxdy+20dxdz + 20dydz =
= 2 ((dz)2 +(dy)2) >0, следовательно, точка M0 — точка минимума.
Условный экстремум
Пусть функция f(xv х2, ..., хп) определена в области DczRn, а М0(х х2, ..., х°п)— внутренняя точка этой области. Точка М0 называется точкой условного минимума (максимума) функции f(xv х2, ..., хп), если существует окрестность этой точки U8(M0), такая, что для всех точек M(xv х2, ..., хп) eU8(M0) и удовлетворяющих условиям q>k(xv х2, хп) = 0 при всех k = 1, 2, ..., твыполняется f(M) > /(М0) или, соответственно, f(M) < f(M0).
Если ставится задача исследовать на экстремум функцию f(xv х2У ..., хп)щ>и условиях q>k(xv х2, ..., xn) = Q, k-\, 2, ..., т, то составляют так называемую
т
функцию Лагранжа L=f(xv х2, ..., *„)+^х2, хп), в которой
k=i
числа А,*, & = 1, 2, ..., т, называются множителями Лагранжа.
Функцию Лагранжа рассматривают как функцию п + т переменных L(xv х2, ...,хп, Х2, А,ш). Необходимые и достаточные условия условного экс¬
тремума функции f(xv х2, хп) совпадают с соответствующими условиями безусловного экстремума функции Лагранжа.
Необходимое условие экстремума. Если функция
L(x,f х2, ..., хп, Х2, ..., Хт )
дифференцируема в окрестности точки М0 (х®, х2, ..., д:®, X®, А°2, ..., А°т )и имеет в этой точке экстремум (максимум или минимум), то
!^(Мо) = 0;
дх i
<р*(М0) = 0 при всех г = 1, 2, ..., пиА = 1, 2, ..., т.
Достаточные условия экстремума. Если М0 (х,°, дг°, ..., х°, А,®, А.®, ..., Х°т) —
стационарная точка дважды дифференцируемой функции
L(x,f x2l ..., Хп, Л<|, А-2> •••> )


Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
305
и если в некоторой окрестности этой точки второй дифференциал d2f(M0) >0, то функция Лагранжа имеет в этой точке минимум, а функция f(xv х2, хп) в точке(xf, х2, ..., х®)—условный минимум.
Если в некоторой окрестности точки М0 второй дифференциал d2f(M0) <0, то функция Лагранжа имеет в этой точке максимум, а функция f(xv х2, хп) в точке (г®, х2> xl) — условный максимум.
ЗАМЕЧАНИЕ 10.20 Если функция Лагранжа не имеет в точке М0 экстремума, то это еще не означает, что у функции f(xv х2, хп) в точке (xt°, х2, ..., х°) при условиях q>k(xv х2, хп) = 0, k = l, 2, ..., т, нет экстремума.
Условный экстремум функции двух переменных. Для функции двух переменных f(x, у) при условии ф(х, у) = 0 функция Лагранжа имеет вид L(xt */, X) = f(x, y)+Xq>(x, у).
Стационарные точки определяются из системы
{ — =0; ду
ф(х, у) = 0.
Если М0(х0; г/0) — стационарная точка, соответствующая множителю Лагранжа А,0, то функция f(x, у) имеет в точке М0 условный экстремум, если определитель
А =
0
<?'ЛМо)
фЦА^о) Тт(*о> Уо. *<>) -j-jrix0’ Уо> К) дх
Ф;(М0) ~~~~(-^0, Уо, А,0) ^-(х0, Уо- *ч>)
дхду
ду*
* 0.
Функция /(х, г/) имеет в точке М0 условный минимум, если А <0, и условный максимум, если А > 0.
ЗАМ ЕЧ АН И Е 10.21 Если определитель А = 0, то экстремум может быть, а может и не быть.
Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
Теорема 10.11. Непрерывная функция w =f(xv х2, ..., хп), заданная на ограниченном и замкнутом множестве, принимает на этом множестве наибольшее и наименьшее значения.
Наибольшее и наименьшее значения могут достигаться в точках экстремума и на границе области, поэтому для их отыскания поступают следующим образом:


306
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
□ определяют стационарные точки функции и вычисляют значения функции в тех стационарных точках, которые содержатся внутри заданного множества;
□ вычисленные значения функции сравнивают между собой и со значениями функции на границе области. Среди них находят наибольшее и наименьшее.
Пример 10.36. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 + у2 - -ху -х -у в области, ограниченной координатными осями и прямой х + у = 3.
Решение: стационарные точки функции определяются из системы dz
дх
= 2х -у -1=0;
— = 2у-*-1=0.
ду
Решение системы
х = 1; у = 1
Стационарная точка
Мх( 1; 1) находится внутри заданной области (рис. 10.7). Значение функции в этой точке равно z(M{) = -1.
Граница области задается следующими уравнениями:
1. 	х =0, 0 < г/ < 3. На этой части границы z~y2 ~У — функция одной переменной.
Так как z' = 2z/-l=0 при у =0,5, то наименьшее и наибольшее значения функции могут быть в точке М5(0; 0,5), а также в граничных точках М3(0; 0) и М4 (0; 3). Вычислим значения во всех этих точках: z(M 5) = -0,25, z(M3) = 0, z(M4) = 6.
у = 0, 0<x<3i На этой части границы z = х2 -х. Так как z' = 2х -1 = 0 при х = 0,5, то наименьшее и наибольшее значения функции могут быть в точке М2(0,5; 0) а также в граничных точках М3(0; 0)и М6(3; 0). Вычислим значения во всех этих точках: z(M2) = -0,25, z(M6) = 6.
3. 	у = З-Ху 0 < х < 3. На этой части границы z - 2х2 + (3-х)2 - Зх -3. Так как z' = 4х -2(3-х)-3 = 6х -9 = 0 при х = 1,5, то наибольшее и наименьшее значения могут быть в точках Л/7( 1,5; 1,5) и в граничных точках М4(0; 3) и М6(3; 0). Вычислим z(M7) = -0,75.
Следовательно, наибольшее значение функции zHail6 =6 в точках М4(0; 3) и М6(3; 0), а наименьшее zHaHM = -1 — в стационарной точке М{( 1; 1).
Пример 10.37. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z =ху в об-
2.
ласти х2 л-у2 <1.
Решение: вычислим частные производные
дх
dz
ду
= У =0;
= х =0.


Наименьшее и наибольшее значения функции нескольких переменных
307
Стационарная точка М{(0; 0) принадлежит области х2 л-у2 <1 (рис. 10.8). Значение функции в этой точке z(M{) = 0.
Исследование функции на границе области — задача условного экстремума функции z =ху при условии х2 л-у2 =1 Функция Лагранжа имеет вид 1(х, у, X) = = ху + Х(х2 +у2 -1). Стационарные точки определяются из системы
3L дх dL ду
х2 + у2 = 1.
= у + 2Хх =0; = х + Тку = 0;
Вычитая из первого уравнения второе, получим: {у -х)-2Х(у -х) = 0,
{у -х)(1-2Х) = 0. Подставляя у=х в третье уравнение, получим точки
М,
л/2’ л/2
И М,
^ _ j_
л/2 ’ л/2
1
. Не выясняя, будет ли в этих точках экстремум,
вычислим z(M2) = z(M3) = -.
1
При X = - у = -х. Подставляя это значение в третье уравнение, получим точки
1
- — 1
и Мс
f_J_. ±)
1л/2’
л/2,
XX лглg
К л/2* л/2,
м,
Значения функции в этих точках z (М4) =
Следовательно, наибольшее значение функции гнаиб =- в точках M2\—j=,
W2 v2.
1
2
1 1
и М,
"л/2 ’ л/2,
, а наименьшее zHaHM =-- — в стационарных точках
1
И Af е
/ ч ^ \ 1 1
U’
л/2,
5
Г л* V2,
Пример 10.38. На эллипсе х2 +9у2 = 9 найти точки, наиболее и наименее удаленные от прямой Ах + 9у = 16.
Решение: расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле
г =
4 9 16
МХ + МУ л/97
Все точки эллипса и начало координат находятся по одну сторону от прямой (рис. 10.9), значит, под знаком модуля положительное число.


308
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Исследуем на условный экстремум функцию z(x, у) =—т=*—У+ ^
л/97 V97 V97
при условии х2 + 9у2 =9. Функция Лагранжа имеет вид
L(x, у, А,) =—у + + Х(х2 + 9у2 -9).
л/97 л/97 л/97
Для стационарных точек справедлива система
+ 2Ах = 0; + 1&Ху = 0;
ai
Й*
51
л/97
9
ду л/97 х2 + %2 = 9.
2 1
Из первых двух уравнений системы найдем х = , г/ = —^=-. Подставив эти
л/97 А.’ 2л/97А.
выражения в третье уравнение, найдем множители Лагранжа А, = ±
6л/97
и опре-
12 3 fl2 3^\ 5
делим х = ±— и у=±—. Стационарные точки Мл—; — I при А = —;= и
с 5 V 5 5 )
М-
-l4-, -I)
6л/97
5)
при X = -
6л/97
Используем достаточные условия условного экстремума. Поскольку <p'v = 2х,
dlL
8 L
0 2х 18у
А = 2х 2 А. 0
18у 0 18 А.
= 0, то определитель
дх ду
= -648Ад/2 -72Хх2 = -72Х(9у2 +х2).


Задачи для типовых расчетов
309
Следовательно, функция имеет условный максимум при X = < 0 и условный минимум при Я = j-— > 0. Следовательно, точка ^наименее удалена от данной прямой, а точка j — наиболее удалена.
Задачи для типовых расчетов
Задача 10.1. Вычислите частные производные — и —.
дх ду
1. z =
sin
У_
я.
X
ч COS- /
у 1 Л/2/
— arccos-
4
2у-х
sin- 1 7/
3. z = (1п(у -2х)) * + - arctg - - ■ 2 х + 2г/
tg- ,
5. z = (sinjt^/) у + arcsin д/1- ху.
-\1п(*-У> г—
vx
7. z =
tg
+ arcsin-
9. z = [1пд/у - arctg
2x + у л/уЗ
11. z = (tg xy )
ctg—
■ arccos
13. z =
15. z =
. 2x sin—
, У
\ln-
2x
Jy + 3r 2г/-х
-arctg (x-Jy).
Г r—\tgxy
Vx
cos V у
--arctg ^ . 2 -fy +x
ln-
17. z = (tg-Jxy) * -arctg
,4x~4y
x-y2
19. z=[tg(l-^)] 1 -arcsin
2. z = (1п(дт - у ))tg* - ^ arctg y.
2 Vy
i-V^
12.
14.
18.
4.
\sin(j^)
^ X Ctg ~f=
4у
j
/ ч cos xy
4. X
tg- v У у
. fx + V -arcsin —=?-
V Vx
+ 12aTCt4rl
8.
:=(sin 4xyt(xW) 10. z = (cosxy)
+ arcsin I—. У
\
* * ctg —
У У
1п(^2+г/) ln(*3-i/3)
+ arcco sjxy- - arccosjxy-
tg
5)
cos(^y)
-—arcctg *
4 / ж
16. z = (1п(д:2 -у2 )у,пху + arctg
= [cos(xy)f^-tg
20. z = ctg
ln(*2-i/3)
+ arctg
yjx-y 4x -Jy
xy
Хл1у Х + У
21. 	z = [tg(x-Jxy)] x - arctg X . 22. z=(tgxy) v + arcsin (x*Jy -3x).
Зых


310
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
23. z =| sin—
cos(xy )
+ arctg
25. z =
27. z —
tg
x
4y.
sin(xy)
- arccos
■Jx -Jy 2 фсу
x + y
24. z=(ln(x + ?/)) y + arctg(x^jy - x ).
ctg^
2x
2%fy
Ki) . S-'lx
26.
,y'1
cos(x+y)
ctg — + arctg
xj
ln^ -
- arcsin
29. z - (cos (xy))
tg (xy)
- arctg
2x
Jxy
fl +
arccos
. 28. z = (cos yx)
30. z = (ln(x -y)) y + arctg
( \ X
yjx + y 2x + y
4x
2х-Ъу
Задача 10.2. Оцените абсолютную и относительную погрешности при вычислении значения функции z(x, у) в точке (х; у).
1. z = arctg —, х = 1 ± 0,2, у = 1 ± 0,03.
У
2 _ _ Чх +1 ^ ±0д у = Э + 0Д.
Ь
3. z = ху, х = 2 ±0,1, г/ = 3±0,3.
4. z = д/х2 + г/2, х = 3±0,1, у =4±0,2.
5. z = sinx • cos у, х = 30°±2°, у = 60°±1°.
6. z=tfxTTy,x = 4 + 0,01, у = 11 ±0,02.
7. z = In—, х = е±0,1, у = 1±0,01.
У
8. z = д/2х2 + у, х =2±0,02, ^ = 1±0,03.
9. г = -
X
4у + 1
, х =2±0,01, г/ = 3±0,05.
10. z =sin2 х-Х%у,х = — ±0,02, у = — ±0,03.
11. z = д/х2 + г/2, х = 4±0,05, г/ = 3±0,07.
12. z = (х + у)е^, х = 1 ± 0,2, г/ = 1 ± 0,01.
13. z =xln—, х = 1 ±0,2, у-е±0,1.
х
14. z = еу • sinx, х = ^ ± 0,01, г/ = 1 ± 0,02.
15. z = д/х2 +2ху, х = 2 ±0,01, г/=15 ±0,2.
16. z=^--, х = 3±0,3, г/ = 4±0,4.
х у
17. z = l]y2 -х3, х = 2±0,05, г/ =4±0,08.


Задачи для типовых расчетов
311
18. z - sin2 (х-у\ х =60°±1°, у =30°±2°.
19. z = sinx cos 2г/, х = ~ ± 0,05, у = ^±0,1.
20. z=yx, х = 2±0,01, у =5 ±0,02.
21. z = tgx cos у у х = 45°±1°, #=60°±0,5°.
22. z = д/2х л-у2 х =2 ±0,01, у— 4 ±0,02.
23. z = е**, х =5 ±0,1, г/ = 0±0,05.
24. z = д/х2 -у2, х=5±0,1, у = 4 ±0,05.
25. z=y In—, х = 1±0,05, у-е±0,1.
У
26. z = excosy, х = 1±0,05, у = — ±0,01.
4
27. z = д/2х2 — Зг/2 + 3, х = 3±0,1, г/ = 2±0,2.
28. z — ху, х = 3 ± 0,1, у = 2 ± 0,4.
29. z = ctgx-tg*/, х=-±0,01, г/=-±0,1.
4 4
30. z = sinx + cos */, х = — ± 0,1, г/= — ±0,2.
6 3
Задача 10.3. Напишите формулы для производных — и — для функции и (t, 5)
1. 	и — е z + arctgх3г/2z, если х =х(£, s), у =y(t), z=z(t).
2. 	w =sin(x-у + z) + 2*-——, если x = x(£), y=y(t), z = z(£, 5).
У
2, если x =x(s), y=y(t,s), z=z(t).
,еслих=х(£), y=y(t,s), z=z(s).
6. w = + ln(z-x), еслиx =x(£, 5), y=y(s), z=z(t).
7. гг = arctg — + sin(x + г/), если x = x(£, 5), y-y(s), z=z(t, 5).
2x
9. u=e^z + tg—, еслиx =x(s), y=y(t), z = z(s).
x


312
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
10. и
11. и
12. и
13. и
14. и
15. и
16. и
17. и
18. и
19. и
= sin
х + у
1
--Лп(х + у-z), если х = x(t), y=y(s), z=z(s,t).
= 1п(л/л--Jy +z)-sin(x-z + y), если x = x(t), y=y(s), z=z(t,s).
x+27
■ e " + cos
у-x
, если x = x(t, s'), у = y(t) z = z(t, s).
= ф^ + \ъ(х + у-z),ecnvix =x(t, s), y=y(t,s), z = z(t,s). = tgf^—если x =x(t\ y=y(t,s), z=z(s).
■- ln(2x -л/г) + — arctg —, если x = x(s), y=y(t), z=z(t,s). 5 x
-- yez~x + arccos —-—, если x = x(s), у = y(t, s), z = z(t, s). x-y
1 X
- — In(y - 3z) + arcsin—, если x = x(s), у = y(t), z = z(t, s). 5 2z
„ 3 2
= — arctg ——, если x = x(£, s), у = y(s), z = z(£).
z 3 x + z
= ex~y+z - - arcsin—-—, если x = x(s), у = y(t) z = z(£, 5).
2 х-г/
20. и
21. гг
22. г/ = cos
+ cos
гУ+х' 2 2
, если х = x(s), г/ = г/(£, s), z = z(£, 5).
= ln(x2 -г/2 + z)-sin(x + г/ -z2 ), если x = x(s) у = y(t, s), z = z(t, s).
/ \ xz
y-xt
-e y , если x = x(s), y=y(t), z=z(£, s).
23. гг
24. гг
1 .
—sin
4
^ + * I + z ln(Vx - Jy), если x = x(s) у = y(t, 5), z = z(£).
V *
= x cos (г/z) — arctg 5
x -г/"
, если x = x(£), г/ = y{t, s), z = 2(5).
25. гг
26. гг
27. гг
28. гг
У '&СЛУ1Х=Х^’ s^ y=y(t’ 2=z(0-
+ COS
/ \ z -x
V У У
Зг
, если х = x{t, 5), г/ = г/(£) z = z(s).
_sin(2x—У) _2У *, если x =x(£, s), y=y(t> s), z=z(t).
cos {xy)
- ez x+y, если x = x(s), у = y(t), z = z(t, s).


Задачи для типовых расчетов
313
29. и = - 1п(лг - у + z2 ) + s*n(x + если х - x(t\ y=y(t,s) z = z(t,s).
2 2 z
30. и = -ex~y+z2 + cos -——, если x = x(t, s) у = y(s) z = z(t).
4 2 у
Задача 10.4. Вычислите все частные производные второго порядка для функции и(х, у, z).
1. и = x3y2z + z4y3x + yAx2z.
1
X
5
5. и=ху' +x6y7z
3. u=ex2y~z3 +-x5y6z7.
5 9
7. и — (cos ух)г —
х-у
2. и = 1п(х + г/2 + z) + z4x5z/3.
4. и = z • sin(xz/) н—
1-z
6. и = - cos(x + у - z).
о / • ч*2 'lУ ~Х
8. и = (sinyz) - .
1-z
9. и =ln(xy-z2 ) + l-Jx-y/y-4z.
■ л]х2 -yz.
11. и = -
ху
-sin(xy-z ).
У ~2z
13. u=xyz +yxy +zxy.
15. и = sin2 (xy - z) + * ^
2/ ч 1 z
17. и = 2xyz -sin
2 У л1*-уЛ
10. и = tg
\У + z
12. и = cos2 (xyz)
5 x-y
14. и = sin2 (x + yz) + 2X ■ 3y ■ 4Z.
16. и = cos2 (zxy) + z^.
18. и = cos2(~Jx -yz)-xyz.
19. и = -sin2(l-xyz) +—-—. 2 г/-3г
21. u=jx2 -y3z4 -44*.
oo / \xu 1 -Iх-y 23. и = (cos z r* — .
2 z
20. u=zxV + tJx-^Jy~-^fz.
4~z
22. и = 3cos (xyz) -
х-2 у
25. и =
tg (xy) 2 z-y
24. и =zyX - д/sin(y-Ix -z).
yfy -yfx
1-x Jx 27. и = x cos (yz2) —
26. и =2x
3г
2 Jx-ly
29. u = cos (дя/ — z2) —
л/х
28. u-z2 sinf — -%Ji-xyz.
KXJ
30. и ———p—sin2(x?/z). Зл/I
Задача 10.5. Вычислите дифференциал третьего порядка d3u для функции и(х, у).
1. 	и =(х + у)ехлу. 2. и=(х + 2у)ех-у.
3. и=х4у5+—. 4. u=ysin(2x-y).
У


314
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
5. 	и =х2еху.
7. 	и =(х-2y)sin(xy).
9. 	u = cos(x-y)x.
11. 	и =
IL-
Зх
2 2
13. 	и = ех +у .
15. 	и = ех~у(х -2 у2).
17. 	и =ху6 - cos(х4г/3).
X
19. 	и =(х + у)еу.
X
21. 	гг =(х -у)еу.
6. и =ех ух.
8. г/ = sin2 (д: — 2г/).
Ю. гг = —.
У
12. 	гг = ———.
х-у
14. 	и = (х - у)ех2+у.
16. 	гг = cos2(x-2у).
18. 	гг = sin2(3x + г/).
20. 	гг = (х + г/)е* . 2х
22. 	гг = -
23. гг = sin
/ \ X
(х2 +у2) 24. и = cos^—j(x2 -у2).
25. гг =(2х + y)cos(xy). 27. гг =г/1п(х + г/).
29. гг = ^sin2(xr/).
26. 	гг = 3xz/sin(x-г/).
28. 	и=е2х3у(х-Ау).
30. гг = — + х4д/г/.
х
Задача 10.6. Вычислите у' и у" для функции у(х), заданной неявной зависимостью.
г/
1. 	г/=2* arctg—.
х
3. 	у = д/г/ -xsin(xz/).
5. J,=M£V.
1-х
7. 	у =е^ д/х2 +2 у2
9. 	у = Зг2 sin (г/х).
/ /— \
11. 	у =| arctg
13. 	y=x2tg^-.
-Jx
у /
1 г/
15. 	г/ = -х2 arctg —.
х
17. 	г/ = д/х2 -у2 cos г/.
19. г/ = tg
J/-1
* I 2 + Х
2.
у = Зх2 д/l -sin(^).
4.
г/ = sm(:n/)
1
1
л/
IX-у
6.
sin(x-y)
х-у
8.
у =2^т]х2 -
-г/2.
10.
у = - • 2 arctg —.
1
X
12.
2
у = — arcctg
X
U-yJ
14.
S)f
II
л:
16.
у =еху +х2.
18.
II
*
кэ
1
х2.
20.
г/ = cos ( — 1 + д/х + г/


Задачи для типовых расчетов
315
21. 	у =ху у]х2 -у2.
23. 	у =х-21п(х-у).
У
25. 	у = %Jx-у • ех.
27. 	у=
1 -
29. у--х2ех.
22. г/ = х2 1п(х -г/)
24. у =4х arcsin д/х - г/.
26. г/ = — arctg д/г/ -х.
х
Гу
28. 	у = — arctg ых
1-х
30. у =
4х-у
sin(l-xy).
Задача 10.7. Найти частные производные — и — для функции z(x, г/), задан-
Эх ду
ной неявно.
1. ln(x + y + z) = x + 2/ + z.
3. sin(x + у + z) = х2 + z.
5. ex+y+z=z-y.
7. ln(x — 2г/ + z) = x -z.
9. x-y + 3z = exyz.
11. ln(x -y -z) = 2x-y + z. 13. cos(z-x) = y 4- 3z -x.
15. cos (x-y2 +z) = (-
17.
2. x + z/ + z = e".
4. sin(x -г/ + z) = x2 + г/ + 3г. 6. 2 x~y+2z =z-y + x.
8. sin(x + z) = 3z + x - г/.
= 2z + x2 + y2.
12. sin(x - y + z) = z + 2y -x. 14. sin(2x -y+z) = x + y-z.
10.
=x + у - z.
1 2
= x -y-z.
1
16
18. In {y-z2x) =
z-y + 4x
20. 4^"Г =x2 + г/2 +z2.
22. z-2y -x + sin(4x -г/2 + z). 24. еЛ*+2г =z2 +y-x.
26. cos(г/2 + z) + x2 -z3 +y =0. 28. 1п(г/ -x + z) = 5x + у -2z.
30. cos(z/+ 2x-3z) = x2 + г/2 + z2. da
5^
19. 3*"** = г/-2х + 3г.
21. ln(z + x-y) = z2 + г/2 -x2.
23. Зх-у + z = 4х+у2~2\
25. ln(x + 2г/ -z) = x + % -2z2.
27. ln(i/-z-2x) = x-z/2 +3z.
29. z = г/ -2x + sin(zx).
Задача 10.8. Вычислите —, —, — и — для функций гг(х, у) nv(x, у), задан-
дх ду дх ду
ных системой уравнений.
[гг + v =х;
[гг -yv =0.
[гг - v =2х;
I ггх + ш - 0.
1.
3.
2.
4.
XV-и -у\ и -yv =0. хи -yv =0; yu + xv = 1.


5.
7.
9.
11
13
15
17.
19
21.
23.
25
27,
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
V-и =у; их + yv = 0.
U
уе~х = 1;
V
хеу = 2.
6.
8.
их + vy = 2; и -vx =у.
и
хеу = 1;
V
уех =2.
еху = х;
V
еу х = 1. sin (их) = у\ cos (vy) = х. их-vy =0;
2х = 3-.
У
xu + yv = 1;
“-4=о.
У X
ех -vy =1;
U
еу -vx =2. иу -vx =2; cos(ux) = s\n(vy).
2хи -v = г/; yv-х = 1.
sin(xw) - Зу;
V
ey =x.
10.
12.
14.
16.
18.
20.
22.
24.
[sin(wx) = y\
\ cos(vy ) - 2x.
[ cos(x-u) = yv; [sin(o-|/) = m
vx + uy =2; Х—У- = Ъ.
,U V [2"-' =%;
0'
их + vy =0;
и v л
— + — = 1.
У
[w -jto =2;
[a + г/w = 3.
Г г/г/ - vx = 1;
cos (xu) = vy; sin (г/-») = -.
е*г/ =x;
= 1.
26.
=y;
ey =x + 2.
=y + V\
e2x =2x-u.
28.
J cos(w -x) = 2y; [sin(itf/) = x.


Задачи для типовых расчетов
317
29 jsin(xp) = 1 + у, 30 |2-*=0;
|cos(My) = r>-x. ' [2^ =х-и.
Задача 10.9. Напишите уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке М0.
1. z-|arctg|=0,M0(\; 1; 0
о i х (ка ^
2. z=y tg- М0 —; а, а .
а У 4 )
3. sinx• cosy =z, АГ0|^;
4. z = ех cosy, М0(1; я; -e).
5. z3-4*z + y2 -4=0,M0(1; -2; 2).
6. z=y + ln-,M0(l; 1; 1).
У
7. z = arctg±, M0fl; 1;
x \ i)
8. z = ln(x2 +y2>M0(l; 0; 0).
9. x(y + z)(xy -z) = -8, M0(2; 1; 3).
10. z=x2 +г/2,М0(1; 2; 5).
11. ^ + V*/+^) = i.A/0(i; 1; I)-
О
£ I
12. 2г + 2г = 8, Л/0 (2; 2; 1).
13. z -2x + In—+1 =0, Af0(l; 1; 1).
X
2 2 2
14. — + — + — = 1, A/0 (0; 0; 4).
4 9 16 0
15. z = l + x2 + y2,M0(l; 1; 3).
- £
16. z = ey+e:-y,M0(0; 1; 1).
17. x2 +t/2 -z2 =-l,M0(2; 2; 3>
18. z = arctg—, M0^l; 1; ^j.
19. z2+4z + x2 =0,A/0(0; 1; -4).
20. x2 +y2 +z2 =3,M0(1; 1; 1).
21. x2 + y2 +z2 =169,M0(3; 4; 12).
22. z=xtg|,M0^l; lj.


318
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
23. z = х2 -2ху + у2 -х + 2у> М0(1; 1; 1).
24. х2 +2у2 -3z2 +ху + yz-2xz + 16 =0, М0( 1; 2; 3).
25. 2х2 + г/2 -z2 + ху -yz + 2xz =2, M0(l; 0; 0).
26. х(х-у) +у(х-z) +z(x + у)-2 =0, М0(1; 0; 1).
27. х2 + у2 + ху -yz + z2 + xz = 3, M0(l; 1; 0).
28. х2 ч-2г/2 + 3z2 +2ху +2xz + Ayz =6, М0( 1; 0; 1).
29. х2 +у2 +z2 -яу М0(1; 1; 0).
30. х2 +у2 -z2 + 3ху + Зг/z -2xz = 4, М0(1; 1; 3).
Задача 10.10. Исследуйте заданную функцию на экстремум.
1.
z = ех2~у(5 -2х + у), у >0, х >0.
2.
z =ху2(\-х-у).
3.
z = Зл:2 -х3 + Зу2 + 4у.
4.
z = х3 +3ху2 -15х-12у.
5.
z= 2х3 -ху2 +5х2 +у2.
6.
z =(2х2 +y2)e<xW).
7.
z = x2 +{у -1)2.
8.
z=(x-y +1)2.
9.
z=xy\n(x2 +у2).
10.
z =х2 -(у -2)2.
11.
z=(x2+t/2>e-("V).
12.
z=(x2 +y2)e-(xW\
13.
z = (х2 +у2 )е~(х2+у2).
14.
z = 1-tJx2 +y2.
15.
z = 3y2 + (2х -1)2.
16.
z = ex+2y(x2 -xy + 2y2).
17.
z = х3 +у3 -6ху.
18.
z =y2x3(A-y-x).
19.
z = у2 +х2 -ху +2х -у.
20.
z = ex'2y (2x + y).
21.
z =у2 + Ъх2 +у -X.
22.
z = (x2 + y2 )e~<-x2'*y2).
23.
z = 2х2 — х + (у + I)2.
24.
z =x2y(2-x + y).
25.
z=2x4 +у4 -х2 -2у2.
26.
N
II
Я
ib.
+
1
k
1
<55
27.
z =х2 + ху + у2 -Зх-6у.
28.
z = e2x+3y(8x2 -6xy + 3y2).
29.
z =х2 +у2 + (х + у -2)2.
30.
z =(5x + 7y -25)e~(x2+xy+y2)
Задача 10.11. Найдите значения функции z(x, у), заданной неявной зависимостью, в стационарных точках.
1. 2х2 + 2 у2 + z2 + 8xz — z + 8 — 0.
2. х2 +у2 +z2 -2х + 2у -4z -10 =0.
3. х2 + у2 + z2 — 2х + 2 у — 4z — 10 =0.
4. х2 -h Зг/2 +4z2 -х + у-ху +xz -1 = 0.
5. 2х2 + у2 +2z2 + х — у + 2z — Gxy — 3 = 0.
6. х2 +2у2 +2z2 + г/ -х + 6x1/ - yz -А =0.
7. х2 + г/2 + 4z2 +х + 2г/ + 3z + ху -2 =0.
8. Зх2 л-у2 + 3z2 + z — у + хт/ — 4 = 0.
9. 4х2 +2г/ + z2 + г/ + 2z -ху -xz-yz =0.
10. х2 +у2 +2z2 — у — х — z + xz + 8 = 0.


Задачи для типовых расчетов
319
11. х2 +10у — z + xz + Ayz + 4=0.
12. х2 + 4z — х + осу + 6yz + 2=0.
13. х2 +2у2 + z2 + х-у -z + 2yz =0.
14. 2х2 л-у2 +3у + z2 -x-z + 3yz =0.
15. х2 + Ay2 + z2 -2х + Зу-z + yz-yx =0.
16. Ах2 + у2 + z2 -х-у-ху-А =0.
17. х2 +у2 + z2 -у - z-2yz -1 = 0.
18. Ах + у2 + 2z2 + х + z/ + z + 2=0.
19. х2 +г/2 + 4z2 -x-y + z + yz =0.
20. х2 + 2у2 + z2 + х + г/ + z + xz = 0.
21. х2 + Ay2 + 2z2 + x — у + 2z/z + 1 = 0.
22. x2 + 2г/2 + z2 —x + г/ + i/z + 2=0.
23. x2 + y2 + 3z2 + x + у-xz + 4 =0.
24. Зх2 + 2г/2 + z2 + z + xz/+ z/z + 3 = 0.
25. x2 + 4г/2 + 2z2 + x — x/ + z + 2=0.
26. 2x2 + у2 + 3z2 + г/ -xz + yz-A =0.
27. x2 +г/2 +z2 + 8xz -z + 4 =0.
28. 2x2 + 2z/2 + z2 + бг/z — z + 6 = 0.
29. x2 + у2 + 4z2 + 4xz — 2z + 2=0.
30. 2x2 + 2y2 + z2 + 4xz + z — 2 =0.
Задача 10.12. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z(x, у) в заданной области.
1. z = х3 + г/3 - 9хт/ +27, 0 <х < 4, 0 < г/ <4.
2. z =х-2у-3, 0 <х < 1, 0<г/<1, 0<х + г/<1.
3. z =х2 + у2 -12х + 16г/, х2 + у2 <25.
4. z=x2 +у2 +ху,\х\+\у\ <\.
5. z = 4х2 +у2 -2у, -1<х<%0<у-х<%0<х + у <1.
6. z = х + 2у, 0 <х <2, 0 <у <2, 0 <х + у <2.
7. z = Здт + Ау-2, -1 <х < 1, 0 < г/ -х < 1, 0<х + у<1.
8. г =2х2 -у2, х2 +у2 < 16.
9. 2 = у2 -х2, х2 + у2 < 9.
10. z =х2 +у2 -2ху,\х\+\у\ <\.
11. 2 =у-х, -1 <х <0, 0 <г/ < 1.
12. z=x2 -у2,\х\+\у\<2.
13. 2 =х2 +у2 +2ху, 0 <х < 3, 0<у<3, 0<х + у<3.
14. z =2у + х,у >х2, у-2х <3.
15. z=y2 -2х2,х2 +у2 >1, х2+г/2<100.
16. 2 = х2 +г/2 -ху + % у >х2-1, у< 4.


320
Глава 10. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
17. z = 1-х -у, х2 + у2 <4.
18. z=x-x2 +у2,х2 +у2 <9.
19. z = 5х - Зу> у > xt у > -х, у < 4.
20. z=2x2 л-у2 -4х + у,х2 +4у2 <4.
21. z = ^х2 -у2 +5х-у, 0 <х < 1, 0 < г/ < 1.
22. z = 4-Зх + 2у> х2 +у2 <9.
23. z =2х2 + Ау2 -ху, 0 <х < 1, — 1 < г/ <0.
24. z = 10 —х-у, х2 л-у2 <64.
25. z + 2 =х2 —5г/2, 0 <х <2, у-х< 0.
26. z -4 =5х + 4#, х2 + у2 < 4.
27. z + 1 = х2 +х + г/2 — 4г/, -1 < х <0, у-х< 1.
28. z-x2 +у2,х2 +у2 <100.
29. z =х2 + 2г/2 -ху х2 + у2 < 100, у> 0.
30. 1-z = Ъу2 + х2 у 0 <х < 1, -1<у<0у 0 <х-у < 1.
Задача 10.13
1. Данное положительное число А разложите на N положительных сомножителей так, чтобы сумма обратных их величин была наименьшей.
2. При каких размерах открытая прямоугольная ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверхность?
3. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с полукруглым поперечным сечением, площадь поверхности которой равна 5, имеет наибольшую вместимость?
4. На сфере х2 +у2 +z2 =1 найдите точку, сумма квадратов расстояний до
которой от п данных точек М{(х{; у{\ zx )у i = 1, ..., w, будет минимальной.
5. Тело состоит из прямого кругового цилиндра, завершенного прямым конусом. При данной полной поверхности тела, равной Q, определите его измерения так, чтобы объем тела был наибольшим.
6. Найдите прямоугольник данного периметра 2ру который вращением вокруг одной из сторон образует тело наибольшего объема.
7. При каких размерах открытая цилиндрическая ванна с круглым поперечным сечением, поверхность которой равна Q, имеет наибольшую вместимость?
8. В полушар радиуса R впишите прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
9. В данный прямой круговой конус с радиусом основания R и высотой Я впишите прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
10. Данное положительное число а разложите на три слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
11. На плоскости даны три материальные точки, Рх (х{; yt), Р2 (х2; у 2), Р3(х3у Уз)у с массами, равными ЩуЩуШ3 соответственно. При каком поло-


Задачи для типовых расчетов
321
жении точки Р(х; у) момент инерции системы относительно этой точки будет наименьшим?
х2 у2 Z2
12. В эллипсоид — + = 1 впишите прямоугольный параллелепипед
наибольшего объема.
13. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данную сумму длины ребер 12я, найдите параллелепипед наибольшего объема.
14. Внутри четырехугольника найдите точку, сумма квадратов расстояний до которой от вершин была бы наименьшей.
15. Из всех треугольников с основанием а и углом а при вершине найдите треугольник наибольшей площади.
16. Определите наружные размеры закрытого ящика с заданной толщиной стенок 6 и внутренней емкостью V, на изготовление которого было затрачено наименьшее количество материала.
17. Найдите прямоугольный параллелепипед с длиной диагонали d> имеющий наибольший объем.
18. Из всех треугольников, вписанных в круг, найдите тот, площадь которого наибольшая.
19. Из всех прямоугольников с заданной площадью S найдите такой, периметр которого имеет наименьшее значение.
20. Из всех треугольников, имеющих данный периметр Р, найдите наибольший по площади.
21. На гиперболех2 -у2 =4 найти точку, наименее удаленную от точки Р(0; 2).
22. В эллипс х2 + 3у2 =12 впишите равнобедренный треугольник с основанием, параллельным большой оси эллипса, так, чтобы площадь треугольника была наибольшей.
23. На параболе у2 = Ах найдите точку, наименее удаленную от прямой х -у + А = 0.
24. Какой сектор следует вырезать из круга радиуса R, чтобы из оставшейся части можно было свернуть воронку наибольшей вместимости?
25. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен V?
26. На параболе у =2х2 +1 найдите точку, наименее удаленную от точки Р(10; 0).
27. Найдите прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма его катета и гипотенузы постоянна.
28. В шар радиуса R впишите цилиндр наибольшего объема.
29. В прямой круговой конус с углом 2а в осевом сечении и радиусом основания R впишите цилиндр с наибольшей полной поверхностью.
30. Найдите наименьшее значение суммы т-й и п-й степеней (т> 0, п > 0) двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно а.
11 № 6822


ГЛАВА 11 Ряды
Числовой ряд. Сходимость числового ряда
Пусть задана числовая последовательность {«„}“ . Построим новую последовательность чисел {5„ }“ по следующему правилу:
iSj CL^y S2 — CLj "f" @2 у S3 —— CLj “b a2 -Ь CL3, ..., — CL^ Ч" a2 ^3 +•••+’ CL^.
Пара последовательностей, заданная и построенная {5Я}*=1, называется
со
числовым рядом и обозначается При этом члены последовательности
п=1
{я„}*=1 av а2, ..., ап называются членами ряда. Последовательность {5Я}*=1 на-
зывается последовательностью частичных сумм ряда, а ее члены: S{, S2, •••, —
частичными суммами ряда.
00
Числовой ряд называется сходящимся, если сходится последовательность
п=1
его частичных сумм, то есть существует конечный предел lim5„ = S. В противном случае ряд называется расходящимся. Конечное число S называется суммой сходящегося ряда.
00^ 1
Пример 11.1. Исследовать на сходимость ряд У7 — и в случае его
tt(2w-l)(2w + l)
сходимости вычислить сумму ряда.
Решение: если представить члены ряда в виде суммы двух слагаемых:
11 11 11
~ 2 (2п -1) 2 (2п + 1)’ ~ 2 (2п - 3) 2 (2п -1)’ ^ ~ 10 14’
11 11
Йо — ) ^1 — >
2 6 10 1 2 6
то w-я частичная сумма ряда может быть записана в виде
1 1
S„ =at + а2 + а3 +. .. + а„_1 +
2 2(2и +1)
Тогда lim5n = lim
2 2(2w +1)
1 о 1
= -. Ряд сходится, и его сумма равна -.


Необходимый признак сходимости рядов. Свойства сходящихся рядов
323
Необходимый признак сходимости рядов. Свойства сходящихся рядов
00
Необходимый признак сходимости рядов. Если числовой ряд ]Г ап сходится,
п=1
то lim ап =0.
П->00
ЗАМЕЧАНИЕ 11.1 Данный признак не является достаточным, то есть из условия lim ап = 0 не следует сходимость ряда. Примером этого является обобщенный гармониче-
Л-»00 00 1 1
ский ряд V —. lim — =0 при всех р> 0, однако сходится этот ряд только при р > 1.
ПР П->0о ПР
Следствие. Если lim ап ф 0, то ряд Уап расходится.
И=1
00 2п + 3
Пример 11.2. Числовой ряд У расходится, поскольку
пЙ 5я-1
v 2п + 3 v 2п 2 Л 1шшп = lim = lim— = — ф 0.
оо п->оо 5 гг — 1 п->°° 5 п 5
00 00
Пусть задан числовой ряд . Ряд , который получен из заданного отбра-
п=1 n=k+1
сыванием k первых членов, называется k-м остатком ряда.
Свойства сходящихся рядов:
1. Числовой ряд и любой из его остатков сходятся или расходятся одновременно.
00 00
2. Если числовой ряд ]Г ап сходится и его сумма равна S> то ряд ^ с ап, где с ф О,
п=1 Я=1
тоже сходится, и его сумма равна cS.
00 00
3. Если числовые ряды ^ ап и ^Ьп сходятся и их суммы равны St и 52 соответ-
п=1 Л=1
00
ственно, то ряд ]Г(яп + йп) также сходится, и его сумма равна St + 52.
п=\
00 00 00
4. Если числовой ряд сходится, а ряд ^Ьп расходится, то ряд ^(ап + 6П)
П=1 П=1 Я=1
расходится.
00 00 00 ЗАМЕЧАНИЕ 11.2 Если числовые ряды ^апи^Ьп расходятся, то ряд ^ (ап + мо-
п=1 п=1 л=1
00 00
жет расходиться, а может оказаться сходящимся. Например, ряд ^ ап 1, составленный
п=1 П=1
00 00
из единиц, и ряд ^ =Х(“0’ все члены которого равны -1, являются расходящимися.
П—1 п= 1
00 00 00
Но ряд £(а„ + Ьп) = £(1 -1) = О сходится, и его сумма 5 = 0.
п=1 W=1


324
Глава 11. Ряды
Достаточные признаки сходимости положительных рядов
00
Числовой ряд члены которого ап> 0 при всех п, называется положительных
ным.
Признак сравнения положительных рядов: если для членов положительных ря-
00 00
дов ^ ап и ^ Ьп справедливо неравенство ап > Ьп при всех п, больших некоторо-
п=1 п=1
го номера N0, то:
00 00
□ из сходимости ряда ^ ап следует сходимость ряда ^ Ьп;
П= 1 77=1
00 00
□ из расходимости ряда Ьп следует расходимость ряда ап.
п=1 п=1
При использовании признака сравнения в качестве эталонных рядов, с которыми проводится сравнение исследуемых рядов, рассматривают геометрический рад
п=1
сходится при 0 < q < 1; расходится при q > 1
и обобщенный гармонический ряд
00 Л
У —
я=1 ПР
сходится при р > 1; расходится при р < 1.
00 • 2
Пример 11.3. Исследовать на сходимость ряд У——
и=1 П
sin2 ^ 1 ю |
Решение: так как —г— < — при всех я и обобщенный гармонический ряд У — /г3 п гг
sin2 п
сходится, то ряд с меньшими членами > —-— является сходящимся.
п=1 гг
Пример 11.4. Исследовать на сходимость ряд 1 +Inn
п=1 л/п
Решение: так как Inn > О при n > 1, то - +^п > —L при n > 1 Обобщенный гармо-
л/П л/П
Ю 1
нический ряд расходится, следовательно, ряд с большими членами
п=1 Л/П
1 + In п
2, —р— также расходится.
я=1 Л/П
Предельный признак сравнения положительных рядов: если для положитель-
00^ 00 Q
ных рядов У ап и У Ъп существует lim— = q, то:
„ 1 «1 n_>0° h
п=1 77=1


Достаточные признаки сходимости положительных рядов
325
□ при q = 0 из сходимости ряда Ьп следует сходимость ряда ап ;
п=1 «=1
ОО 00
□ при q = оо из сходимости ряда я„ следует сходимость ряда ;
п=\ п-\
оо оо
□ при q ф 0 и q ф оо ряды ^ап и^Ьп сходятся или расходятся одновременно.
п=1 П=1
Ю 2п + 71
Пример 11.5. Исследовать на сходимость ряд У .
n=i5” +3и
„ 2п+п 2п (2Лп
Решение: поскольку а„ = - — = — , то заданный ряд и ряд
5”+3пп^х5” v5y
00 00 (2 а
V b„ =V — ведут себя одинаково, так как lim—= 1 Геометрический ряд
£i J
2V А 2” +п
> — сходится, следовательно, ряд > также сходится.
n=iV5y „=i5"+3«
оо
Следствие. Если для /г-го члена числового положительного ряда ап можно при
П—1
п —> оо выделить главную часть, то есть ап ~ , то при р > 1 ряд сходится, а при
я-юо пР
р < 1 — расходится.
/г + 3
Пример 11.6. Исследовать на сходимость ряд j]-
w=1 д/w5 + 3w + 4п
Решение: можно выделить главную часть я-го члена заданного ряда:
п + 3 и 1
V/г5 +3и +л/й я| и|
Порядок р = ^ < X поэтому ряд расходится.
, 1
1 - cos
Jn
Пример 11.7. Исследовать на сходимость ряд V
«-1 3+2 Уп*
Решение: выделим главную часть n-го члена ряда:
А 1 1
1 - COS — _
sn 2п _ 1
=
5/ 4 я-юо £ 9
3 + 2 л1п 2п5 4и5
Порядок р = — > 1, ряд СХОДИТСЯ.
5


326
Глава 11. Ряды
« 1 + 3 п
Пример 11.8. Исследовать на сходимость ряд
П=\п + 2 In п
п 1 + 3п 3« Зп 4
Решение: ап = — ~ — = —. Порядок р = I ряд расходится.
п +2 In пп^п п
Интегральный признак Коши
Пусть функция f(x) непрерывная, положительная и монотонно убывающая при х > 1 и пусть /(/г) = ап при всех п е N. Тогда ряд ]Г ап и несобственный интеграл
я=1
+00
| f(x)cbc, с > \ сходятся или расходятся одновременно.
с
00 jj
Пример 11.9. Исследовать на сходимость ряд ^ —-, где а — положитель-
п=1 п\пр{ап)
ное число, ап ф 1 и р > 0.
Решение: функция /(х) = —- удовлетворяет условиям интегрального при-
х\пр (а х)
знака Коши. Рассмотрим несобственный интеграл
-dx
х\пр(ах)
j
и сделаем в нем замену ln(ax) = t,—dx = dt. Получим интеграл
х
+00 А
— dt,
J +Р
In а ^
который сходится при р > 1 и расходится при р < 1 Следовательно, по интегральному признаку Коши, ряд
00 \
±—-— п=1 wlnp(an)
сходится при р > 1 и расходится при р < 1
00 ^
РЯД У! ;—г» где a — положительное число, ап Ф 1 и р > 0, также можно ис-
£Ыпр(шг)
пользовать как эталонный в признаках сравнения.
00^ 1
Пример 11.10. Исследовать на сходимость ряд ]Г
tt(2w + 3)ln2(3n+l)
1 1
Решение: так как а„ = —— ~ ——-, то существует конечный
" (2п + 3) In (3w +1) n^°° 2п In (Зи) У У
d 1 1
предел lim—^- =-, где Ьп — п-й член сходящегося ряда Т ——- (см. при-
п^Ьп 2 7~\ 2nlir (Зи)


Достаточные признаки сходимости положительных рядов
327
00 |
мер 11.9). Значит, ряд У- —— сходится по предельному признаку
n=i(2w + 3)hr(3w+l)
сравнения.
Радикальный признак Коши
00
Пусть для положительного числового ряда У ап существует предел limща = q.
»=1
Тогда при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 (в частности, при q = 00) ряд расходится. При <7 = 1 ряд может и сходиться, и расходиться.
00
Пример 11.11. Исследовать на сходимость ряд ^ — arctg Пп
п=\ ПП
Решение: рассмотрим
limzTal = lim J— arctgnn = limf — arctg w | = — — = - < 1.
" п^лп Ця J 712 2
Ряд сходится по радикальному признаку Коши.
оо / 2п + 1V
Пример 11.12. Исследовать на сходимость ряд ]Г
я=1 \5 w + 2 Решение: рассмотрим
lim = lim Jf = lim^ = 1 < 1
„_>«> n->°° yv5w + 2y п->°°5гг + 2 «->°°5w 5
Ряд сходится по радикальному признаку Коши.
Признак Даламбера
00
Если члены положительного числового ряда £ ап таковы, что существует пре-
п=1
дел lim^- = q> то при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 (в частности, при # = оо) — я^°° ап
расходится. При <7 = 1 ряд может и сходиться, и расходиться.
00^ 5^/2^
Пример 11.13. Исследовать на сходимость ряд V —.
п=1 (и + 1)"
5"и! S^n + l)!
Решение: так как а„ = , я , = то
(п+1)" (п + 2)
а 5т1(и +1) ! (п +1)" (ra + lYw + l)"
lim^- = lim >- J v—J— = 5 lim^ ^=
an «-» 5”n !(ra + 2) ^"°(n + 2)"(w + 2)
= 5 lin/l LT =51im/'n(1"^ =-,
”-►4 n + 2 у n->°° e


328
Глава 11. Ряды
так как
lim
/ / л \\ / / ^ \\
lim—=-1.
nlnl 1- ^
/2 + 2
= lim
п\ - 1
п л- 2
Поскольку lim^^- = — > 1, то, согласно признаку Даламбера, ряд расходится. ап е
ЗАМЕЧАНИЕ 11.3 Учитывая свойства сходящихся рядов, все теоремы для положительных рядов справедливы и для рядов, все члены которых ап < 0, а также для рядов, для которых неравенство ап> О выполняется, начиная с некоторого номера N.
Знакопеременный ряд
Если ряд содержит бесконечное число положительных и бесконечное число отрицательных членов, то ряд называется знакопеременным. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды. В знакочередующемся ряду любые два соседних члена имеют разные знаки.
00
При исследовании сходимости знакопеременного ряда ]|Г ап обязательно иссле-
п=\
дуют сходимость ряда, составленного из абсолютных величин его членов, то есть
00
ряда | ап |, который является положительным. В зависимости от того, как ведет
п=1
оо ■ 00
себя ряд \ап |, различают два типа сходимости знакопеременного ряда ^ ап: аб-
п=1 гг=1
солютную и условную.
00
Знакопеременный ряд ^ ап называется абсолютно сходящимся, если сходится
П-1
00
рядЕ1аЛ
п=1
00
Знакопеременный ряд ап называется условно сходящимся, если он сходится,
п=1
00
а ряд XI I расходится.
п=1
Признак абсолютной сходимости
00 00 Если сходится ряд | ап |, то знакопеременный ряд ап сходится абсолютно.
cos п
00
Пример 11.14. Исследовать на сходимость знакопеременный ряд
я=1 п + Зп + 2
и указать тип сходимости.
Решение: составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда:
“ I COS п I
п=1 п + Зп + 2


Знакопеременный ряд
329
Этот ряд сходится по признаку сравнения, поскольку
Icos п\ 1
1 1 <4,я = 1,2,3...,
п + 3/2 + 2 п
оо ^
а обобщенный гармонический ряд ^ -у сходится. По признаку абсолютной схо-
и=1 П
^ COS П ,
димости знакопеременный ряд > — сходится абсолютно.
п—1 71 +3/2 + 2
Пример 11.15. Исследовать на сходимость знакочередующийся ряд
tg-
п=1 /г + о
и указать тип сходимости.
Решение: ряд
^ я
со «-
Е—-
ttn + 3
сходится по следствию из предельного признака сравнения, поскольку
71
По признаку абсолютной сходимости знакочередующийся ряд
, 71
сходится абсолютно.
Признак Лейбница
00
Если для членов знакочередующегося ряда где ап - выполнены два
п=1
условия:
□ lim ап =0,
Я-> 00
□ , начиная с некоторого номера n> N0,
то ряд сходится и его сумма удовлетворяет неравенству S <ах.
ЗАМЕЧАНИЕ 11.4 Признак Лейбница не дает ответа на вопрос о типе сходимости знакочередующегося ряда. Но поскольку его используют, только если абсолютной сходимости нет, то признак Лейбница иногда называют признаком условной сходимости.


330
Глава 11. Ряды
(-1)"
Пример 11.16. Исследуйте на сходимость ряд ^ — Если ряд сходится,
л» 1 п у\п(п + 2)
то укажите тип сходимости.
00 ^
Решение: рад ^ — расходится, согласно предельному признаку сравне-
я-1 п з/ln (гг + 2)
ния, так как —- - —-—, а ряд У —-— расходится. Следовательно,
п 2/1п(гг + 2) я_>00 , \ п=1 1 {
v V / wind /г win3 гг
абсолютно ряд сходиться не будет.
Поскольку ряд знакочередующийся, используем признак Лейбница:
1 1
□ lim<2n = lim—===== = — = 0;
”~*в п фп(п + 2)
а = /, ? оЧ> = 7 , оч> значит> ап+1 < Ая, = t 2, 3..
гг ^/1п(гг + 2) (гг + 1) ^/1п(гг + 3)
По признаку Лейбница ряд сходится, и сходимость эта условная.
^ п In(гг + 1)
Пример 11.17. Исследуйте на сходимость ряд 2Л“1) — • Если ряд сходит-
я=1 W
ся, то укажите тип сходимости.
1п(гг +1)
Решение: ряд > — расходится по признаку сравнения, так как
»-1 п
и п
f 1 А 1п2
а ряд > — и, следовательно, ряд > расходятся.
п=\ п n=i гг
По признаку Лейбница:
1
оо"1
1п(га+1)
□ птйи = ит— -
00
= lim— = lim— = 0;
П—>00 ^ Я—>00 12
1п(гг + 1) 1п(гг + 2)
□ «я = — = V /■
гг гг+ 1
ч 1п(х + 1)
Докажем, что ап+1 < ап. Рассмотрим функцию f(x) = — -. Поскольку ее про¬
изводная


Функциональный ряд и его область сходимости
331
при х > X то функция f{x) убывает при х > 1 Члены ряда ап и ап+1 являются значениями этой функции при хх =п и х2 =п + 1 Так как х2 >xv то ап > ап+{. По признаку Лейбница ряд сходится, и сходимость эта условная.
Признак Лейбница можно использовать и при приближенном вычислении суммы ряда.
0° (_1)”
Пример 11.18. Вычислите сумму ряда У -—— с точностью в = 10 3.
п=\ 3 пп
00 (~1)” 1111 1
Решение: У -—— = — + + + R*, где R,- — сумма остатка ряда
£l 3Пп 3 18 81 324 1215 5 5
после пятого члена. Модуль пятого члена | а51 = —-— < е, а так как члены ряда
1215
убывают по модулю, то и все последующие члены меньше е. Тогда по признаку Лейбница сумма остатка ряда R5 <а5 < г. Следовательно, сумма ряда
^(-1)п ^1,1 1 1 1 _ 31
h 3Пп * 3+ 18 81+ 324 " 108'
Функциональный ряд и его область сходимости
Пусть задана последовательность функций и все ее члены определены
на одном и том же промежутке [а; Ь\ Заданная функциональная последовательность и новая последовательность функций построенная по правилу
St(x) =щ(х);
/5*2 ([х) = их (х) + и2 (х);
Sn (х) =щ(х) + и2(х)+... + ип(х), называются функциональным рядом и обозначаются
(п.1)
п=1
Для любого значения х = х0, где х0 е \а\ 6] функциональный ряд является числовым рядом ^ип(хо). Если этот ряд сходится, то говорят, что функциональ-
п=1
ный ряд (11.1) сходится в точке х0.
Множество значений х, при которых функциональный ряд (11.1) сходится, называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости функционального ряда обычно удается найти с помощью известных признаков сходимости.
00 ^
Пример 11.19. Найти область сходимости функционального ряда ^—.
п=0ХП
Решение: все члены ряда определены при х ф 0. Если принять х равным какому- нибудь числу, то полученный числовой ряд в общем случае является знакопере-


332
Глава 11. Ряды
менным. Рассмотрим ряд
, который является положительным, и исследу¬
ем его сходимость с помощью признака Даламбера:
|Х"| 1
hm- -1 = lim-1 = -—-.
”->°° \ ип(х)\ п~*«> \xn+i\ \х\
При т^т < X то есть в области \х\ > X ряд сходится абсолютно, при [r| < 1 и х * 0 ряд
М
расходится.
При х = 1 и х = -1 числовые ряды
£1 = 1 + 1+1 + ...и Х(-1) = -1 + 1-1 + 1-...
п=1 п= 1
расходятся, так как для них не выполняется необходимый признак сходимости.
00^ 1
Следовательно, областью сходимости (абсолютной) ряда ^ — является множе-
n=0l”
ство значений х е (-оо; -1) u (1; + оо).
00 J
Пример 11.20. Найти область сходимости ряда ^—.
п=\ ПХ
Решение: область определения всех членов ряда есть множество (-оо; + оо). Данный ряд представляет собой обобщенный гармонический ряд, который сходится при х > t Следовательно, луч (1; + оо) является областью сходимости данного ряда.
Как и в случае числовых рядов, сумма 5(х) функционального ряда определяется через предел последовательности {^n(x)}n_t его частичных сумм:
5(х) = Нт5„(х),
где Sn(x) = их(х) + и2(х) + ... + w„(r). Таким образом, сумма S(x)функционального ряда является функцией от х, причем областью определения этой функции является область сходимости ряда.
00
Пример 11.21. Найти область сходимости ряда £хп = 1 + х + х2 +....
п=О
Решение: все члены ряда определены на всей числовой оси. Это геометрический ряд со знаменателем q = х. Если |х| < X то ряд сходится. Следовательно, интервал (-1; 1)
есть область сходимости данного ряда, и его сумма равна 5(х) = . Областью ее
1-х
определения является область сходимости ряда, то есть интервал (-1; 1).
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд, определенный на последовательности степенных функций вида ^ап(х-х> гДе х0 е R, а {яя}*=1 —
последовательность вещественных чисел.


Степенные ряды
333
Степенной ряд обозначают ]Г ап(х -хоу. В частности, при х0 = 0 степенной ряд
п=1
00
имеет вид ^ я„лг ”.
п= 1
оо
Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в точке х =хх ф О,
п=1
то он сходится абсолютно при всех х таких, что |х -х0 \ < [rj. Если же этот степенной ряд расходится в точке х =xlf то он расходится при всех х таких, что
00
Следствие. Для степенного ряда ^ап(х -х0)w существует такое положительное
п=1
число Л, которое называется радиусом сходимости и для которого справедливо следующее:
□ при ху удовлетворяющих неравенству \х -х01 < Д ряд сходится абсолютно;
□ при xf удовлетворяющих неравенству \х - х01 > Д ряд расходится.
Радиус сходимости R степенного ряда определяется по формуле R =
Я-> 00 /7
Un+\
00
Область сходимости степенного ряда имеет вид (х0 -R, х0 + 7?),
п=1
00
где R — радиус сходимости. В частности, для степенного ряда ]Г апхп область
п=1
сходимости (-Д /?).
Если = 0, то степенной ряд сходится только в точке х0. Если R = оо, то степенной ряд сходится абсолютно на всей числовой оси.
ЗАМЕЧАНИЕ 11.5 В точках х = х0 ± R ряд может сходиться, а может расходиться. Эти точки следует исследовать отдельно.
00 ^ ^ ^
Пример 11.22. Найти область сходимости степенного ряда V- —.
„=1 (п +1) !
Решение: радиус сходимости
п3
, а , (я+ТЙ , я3 (и+ 2)!
Д = lim-5- = lim- = lim i
an+1 (n +1) (и + 1) ! (n + 1)
(n + 2)\
Проводя сокращение под знаком предела и выделяя главные части бесконечно больших, получаем:
п3(п + 2)
R = lim——- = lin/и + 2) = оо.
П-> оо у1 П—
Следовательно, ряд сходится абсолютно на всей числовой оси.


334
Глава 11. Ряды
При определении области сходимости степенного ряда можно не искать радиус сходимости, а определять интервал сходимости, используя признак Даламбера.
« я!(х + 1)”
Пример 11.23. Найти область сходимости степенного ряда 2,-
3”
Решение: по признаку Даламбера
lim
п—>00
(и+ 1) !(х +1)”+1
З^1
и!(х +
1)"
3"
к+1!н»+0-
2 П—>00
00, X Ф -t 0,х = -1
V» (*-2)"
Значит, ряд сходится абсолютно только в точке х = -1 Пример 11.24. Найти область сходимости степенного ряда У (-1)”
5”л/2ЙГ+Т
Решение:
' (х-2)п+]
lim
Я-> 00
(х-2У
= lim
П—>00
(x-2)n+15nj2n +1
(х-2)"5"+1л/2и + 3
k ~21 lim'^w _ Iх ~2|
" л/2п
5"л/2и +1 По признаку Даламбера ряд
I
п=1
(х -2)"
5"л/2и +1
х-2
сходится, если < I или | х-21 < 5, или -5 < х -2 < 5, или -3 < х < 7. Зна-
5
чит, заданный ряд в интервале -3 < х < 7 сходится абсолютно. Исследуем концы интервала сходимости.
При х - -3 получим степенной ряд
£(-1)" (jL=,
£i ' 5пл/2п + 1
который после упрощении можно записать в виде
v 2п
1
Поскольку ап =
л/2я +1'
- MV
У или У — .
«=1 ыЪьлЛ п=1 v2/z + l
1 1 1
= - < 1, то ряд расходится.
2


Степенные ряды
335
(5)"
При х =7 получим степенной ряд Х(-0" " Т’ который после упрощении
5"л/2п+Т
(-1)"
можно записать в виде ^ -... Положительный ряд
п=1 л/ 2/2 + 1
(-1)"
расходится. Поскольку ряд
л/ 2 n + 1
(-оп
п=1 л/ 2 п + 1
1
и=1 л/272 + 1
знакочередующийся, то можно использо¬
вать признак Лейбница.
11 1
По признаку Лейбница, так как 1шш„ = lim . =— =0, я =—==,
— п — л/^Гй оо я V2^TT
'
1
> ап < а^, п = Х 2, 3..., ряд сходится и сходимость условная. Сле-
довательно, область сходимости степенного ряда(-^ 7] (рис. 11.1).
Расходится
Сходится
условно
/^Сходится4^
РасходитсяЧ
г абсолютно >
^Расходится
Пример 11.25. Найти область сходимости степенного ряда ]Г
(x + l)V
п!
Решение:
lim
00
(л: + 1)да’ (n + 1)
п+1
(и +1)!
(дг +1)"яЛ
я!
= lim
(ж + 1)" ‘(я + 1)"+1 п !
пп(х + 1)”(и+ 1) !
I 11 (п + О = к + 1 lim
я->сои',(я +1)
= |* +1|lim-—- (n;1}Hx + l|limf 1 + -Т =|г + 1|в.
г и" (и + 1) n->“V nj
Поэтому по признаку Даламбера ряд сходится абсолютно при \х + lje < 1 или при
—— — 1 <лг < —— 1 е е
1 * Пп
При х = — 1 числовой ряд V расходится, так как
е „_1 е”я!


336
Глава 11. Ряды
пп пп 1
а„ =
е”п!
П-> 00
1
еп\ — j л/2тш л/2я и2
И ряд
00 Л
14-
п=\
nz
расходится. Здесь использована формула Стирлинга:
я! ~ Г—1 л/2тш.
е
При лг = 1 знакочередующийся числовой ряд V (-1)" может сходиться
е „-1 е"и!
оо
только условно, так как ряд Y расходится. Поскольку ряд знакочередую-
«=1 епя!
щийся, то можно использовать признак Лейбница:
□ lim ап = lim—— = lim - = lim ^ = 0;
П^епп\ ^°°л/2 пп
п+\
П ~ п ^я+1 ~~ n+\s .4 ,
еп\ е (п+1)!
Рассмотрим
0+1)
я+1
*п+1
_ e^w + l)! _ l(n + l)"(n + l) _ \Г | iy
ап пп е пп(п +1) еу п)
Vn\
Известно, что последовательность (1 + — | монотонно возрастает и limf 1 + —] = е.
V п) п^\ п)
Следовательно, ^1 + — j < е при всех п Тогда
^-=-fl + -T <-е = 1
ап е\
и ап+1 < ah при всех п.
Значит, по признаку Лейбница ряд сходится, и сходимость эта условная. Обла-
Г 1 я
стью сходимости является промежуток -1 —; -1 + - (рис. 11.2).
е е)


Степенные ряды
337
Сходится
условно
Расходится
/^Сходится4^
РасходитсяЧ
г абсолютно >
f Расходится w
-1
А ~1 -|Л
Рис. 11.2
Пример 11.26. Найти область сходимости степенного ряда
S \Я2
П=1 V w + 1у
Решение: найдем интервал сходимости степенного ряда, используя радикальный признак Коши:
limn
1
/2+1
lim 1 + -
w->°° V fi
По радикальному признаку Коши ряд сходится абсолютно при Ы - < 1 или при
е
-е < х < е. Исследуем сходимость на концах промежутка.
При х = ±е числовые ряды
в"и2:(-оч=2(-01-77
п=1 п=\ \п+ 1) п=\ п=1 \/2+ 1/
расходятся, так как для них не выполняется необходимый признак сходимости
/ У) \п п2\п{— 1 П-Ip’ lnfl+—1
lim ап = lim — в” = limene = lime 1 j '
п + 1
поскольку предел показателя
= в,
lim
«-* 00
и - и2 In 1 +
V
1
/г
= lim
П—►оо
1 -я In 1 +
= lim
' \ S' 1
i-я Т+е —
Я И Wsjj;
=lim
/г
V V
1-1 + -+0
п V/г
= 1
Следовательно, интервалом сходимости является промежуток (-е, е) (рис. 11.3). Расходится Расходится
/^Сходится\
Расходится^
( абсолютно >
( Расходится
12 №6822


338
Глава 11. Ряды
Ряд Тейлора и ряд Маклорена
00
Рядом Тейлора для функции f(x) называется степенной ряд ^сп(х -лг0)”, где
л=0
коэффициенты сп определяются по формулам
,, Ч /'М /"(*.) /"(*.)
С, -/(*„); С, - ; С, ——;с, -———.
При х0 =0 степенной ряд ^спхп> где коэффициенты сп определяются по фор-
п=О
мулам
/’(°) /"(«) /(,)(0)
С. = /(0> С, = —; с, = 2! :с, = —р,
называется рядом Маклорена.
Запись
\ ft \ , Ч , /"(*»), Ч2 , , /(П)(Х0)
/(*)=/(* о)+ ■> <(*-*„) + ■■ -> (*-*0) +... + —-лс0) +•••
называется разложением функции /(х) в ряд Тейлора.
Запись
и \ /МЛ /'(°) /"(°) 2 /W(°) ,
/(*) = /(0) + ——х + —х + ...+ —х + ...
1! 2! и!
называется разложением функции f(x) в ряд Маклорена.
ЗАМЕЧАНИЕ 11.6 Как всякий степенной ряд, ряд Тейлора сходится равномерно на любом промежутке, лежащем внутри интервала сходимости.
Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена
Рассмотрим способы разложения основных элементарных функций в ряд Маклорена:
□ ех = V— = 1 н н +...Н +..., интервал сходимости (-оо; + оо).
п ! 1! 2 ! и !
оо у. 2 ^ 4 у.2п
□ COSДГ = У" (“О” 7—= 1 + +... + (-1)” 7—Г— +..., интервал сходимости
£SV ’ (2п)! 2! 4! V ' (2п)!
(—оо; + оо).


Ряд Тейлора и ряд Маклорена
339
оо /у. 2и+1 3 „ 2п+\
_ . v-l / Дй Я Л л /АП л
□ sinx = > (-1) — = +... + (-1) т г-+..., интервал сходимо-
tr } (2п +1) ! 1! 3! v } (2п +1) !
сти (-оо; + оо).
_ 1 /А \ ТГ/ 4\n+l Хп X2 X3 , Ай+1 хп
□ 1п(1 + х) = 2Д v —=х +— +... + (-1) —+..., интервал сходимо-
п=1 п 2 3 п
сти (-1; 1]
□ Ц1-х) = -±^-=-х
х2 х3
^ п 2 3
2п+1
интервал сходимости [-1; 1).
п
„ 2м+1
□ arctg х = У(-1)” =х +— +... + (-1)” + ..., интервал сходи-
6 } 2и+1 3 5 V ' 2я + 1
мости [-1; 1]
, ча ® а(а-1) -(а-гг +1) а(а-1) 0
□ (1 + х) =1 + ]Г—- -—- -х = 1+ах + —- -х +
„=1 п! 2!
а(а -1)-(а -гг+ 1)
+ — — -х” +... (биномиальный ряд), интервал сходимости
п!
(-1; 1), а е Д а &N.
При а = nsN функция /(х)=(1 + х)” раскладывается по биному Ньютона в многочлен, и разложение является верным на всей числовой оси.
-1 1 00 п
При а = -1 (частный случай биномиального ряда) (1 + х) = =
1 + Х „=о
Пример 11.27. Найти область сходимости степенного ряда и его сумму
f(*-r
h п+1 '
00 II ^
Решение: сделаем замену х - 3 = у и запишем ряд в виде У* ——• Область сходи-
п=0«+1
мости данного ряда определяется по признаку Даламбера:
lim
Я-» 00
У
п + 2
У
п+ 1
= lim
П—►оо
г/(п + 1)
я + 2
= |*/1 lim— = |t/|.
я-»00 Т1
00^ |
Ряд сходится абсолютно при \у \ < 1 При у = 1 ряд ^ расходится, а при
п=0 Я + 1
00 (-1)”
г/ = —1 ряд У -—— сходится условно, следовательно, область сходимости Г—1; 1).
n=0 W + 1
На любом промежутке (а; р) с: [-1; 1) ряд сходится равномерно.
Чтобы найти сумму ряда, сделаем следующие преобразования:


340
Глава 11. Ряды
у У" _у Уп~Х _ 1 у Уп - 1п(1-у)_ Ц^-х)
л=0 И + 1 П у „.I П У Х-3
при л: ^ 3. При х = 3 сумма ряда равна нулю.
Пример 11.28. Разложить функцию f(x) = л/27 -х в ряд Маклорена. Используя
полученное разложение, вычислить приближенно ^28, взяв три члена разложения. Оценить полученную погрешность.
t
Решение: представим функцию в виде /(х) = ЗИ-^у Г и используем биноми-
альныи ряд:
311-§13=3
1+1
31 3
W + 1 I / \п
п!
27”
Проделав все упрощения, получим:
1 £jv ’ Зпп! З3” J
gl-2.5-(»-Q^
Si 3 и!
я!
3 1!
372!
3 3!
Приняв в полученном разложении х = -1 и взяв три члена в этом разложении, получим:
з/оя -
= 3+
З31! 372 !
1-2 1 1
+ ЯЧ =3 +А-^-тз + Д3 *3,037.
27 2187
Абсолютная погрешность А < |i?31 < 0,00046.
Пример 11.29. Вычислить приближенно Ve с точностью в =0,001
Решение: требуется вычислить приближенно с заданной точностью е значение
функции f(x) = ех в точке х = i Представим функцию ех рядом Маклорена.
У у. 2 3 4 5 6
v i И/ Л •Д' Д' Л
в =1 + — +— + — + — +— + — +...
1! 2! 3! 4! 5! 6!
и примем .г = —. Получим:


Задачи для типовых расчетов
341
где
D 1 1 1 1 14
Лл =—. + - +— 1 +
4 44 • 4 ! 45 -5 ! 46 -6 ! 44 -4!^ 4
1 Л 1 1 'jll 1 20
<—: 1 1 + —— + — -+... =
1 1 "1 •5 + 425 -6 + J
44 -4 !Г 4-5 42 -52
256-24 i__l_ 256-24 19 256-6-19
20
< £
11 1
Тогда с точностью в получим: Ve « 1 + — + — + « 1284.
4 32 384
°r8 sinx
Пример 11.30. Вычислить приближенно Г dx с точностью е =0,0001
о *
Решение:
х3 х5 sinx 4 х2 х4
sinx = х + .. = 1 + ..
3! 5! х 3! 5!
0,8 • „ 0,8 • ^ 0,8 |sinx^=|smx^=|
/ 2 4 Л
' X X
1 + ...
3! 4!
dx =
/ 3 5 \
X X
X + .
3 3! 5-5!
= 03--М1 + ^-... = 03-^2 + ^ + ^
3-3! 5-5! 18 600
где
И,|<К1-^Т<«.
°л8 sinx
Тогда с точностью е получим: [ dx « 0,8 -0,0287 + 0,00055 « 0,7718.
i х
Задачи для типовых расчетов
Задача 11.1. Исследуйте ряд на сходимость.
1- 	I
cos п
п=1 I 4 ,1
'п +narctg - п
з- I
arctgn
n=1 -у/и3 + П 4п+ 1 5. £ л/й • arctg
п-1
2- I
sin2 гг
arcsin
4- I
4n2 + 4
',_1 ^n + 4n + 4n
6- I
1
i
3V4n+3
n=i Vw +1


342
Глава 11. Ряды
7. JVn+3ln
я=1
Я2 +1 Я2 +72 + 2
9. 	Ja/п + л/^Т1Ь4^- я + 4
Я=1
и А ("2 + З)2 sin2 (3») ^ и6 +1
Я=1
13. 	]F]Vn4 +и3 +lsin^i
я=1 4
1
V
arcsin
15- I
л/и2 + 4
"_1 ^п + л[п + л/Й
А л/га2 + И + 1 . И + 1
17. 2^ -sin-
я=1 ijn4 +и3 +2 я Vn + 5
19. £VT
2 . Я + 2 + я sin-
П=1
я3 +1
Я+1 Я + 1
21. 	X, г_—-arctg
«=1 л/я2 +2 п2 +2 1
sin
л/я2 + 1
23- Z- 2 , •
и=1 Я + 1П Я ОСТ V1 ^Я + 1 2
25. — cos я
«=1д/я5 - я+1
27. 	X
72+4
я=2 л/т22 + Я-2 Я + 3
:1П
29. X
я
«=1 д/я2 + arctg я
8. Z
tg-
И=1 л/я2 + л/я+ 1 4п
10. 	2
rsm-
12. 	X
*=1 4п + л[п + 2 я + 3 л/я2 + 1 cos2 я
я=1 Я +
л/ я + 2
4 / ^ . 72
!4. arctg -
я=1 \J п + 1 Я +1
1 £ V’ л/я + 1
I6- 2, , , .г
п=1 Я + In 72
18. £
Я=1
'
в”3"1 -1
20. £
tg^T‘
л/я
1 V2
1 - cos — |я я
”=1 л/я + л/тГИ
22. 	X
Sin2 72
”=1 ^Я4 + ял/я+ 1
24. 	X
1 - COS -рг л/я
„=1 я+1пя
ос V1 ^ VЯ + 1 . 1
26. 	2^— sin
i 4
28. 	X
я=1 i/n5 + з Vn2 +1
л/я+ 1
n=l И + 1пя
30. X
arctg и
д/га** + л/га+Х
Задача И.2. Исследуйте ряд на сходимость.
f,2”(ra2+l)
' h (я + 1)! ‘
га !2"
2- 	I
я!
3. I
п-1 (2и) ! л/га
£?(я+1)-2и
. -А га + 2
4. > .
^2ли!


Задачи для типовых расчетов
343
5- I
(и + 2)! S(w + 5)-3"
, 2
arctg - я
7. У
71(п +1)!
оо
9. У — •
£(/1 + 1)!
я! Vn+1 Л=1 (2я)!
(я +1)! „-i 4я
и- I
Я=1
00
и. I
15.
^ о п
П=1 ^
17- I
n3arctg(n2 + я + 4)
(и+ 2)!
19. £
(2я)!
«=i л/2” + 5’
21. ^
4я(я +1)!
„=1 (2и)!
22 ^л/я4 + я2 +1
£ (я + 1)!
25. X
2"Vn2 +1
27. X
И=1
00
29. X
~ (я+1)!
3”^
И=1 (гг +1)!
з"(У +i)
и!
л А (гг+ 2) . 1
6. > - -sin .
Zl(n +1)! 2”
4^
n=i (гг ч-1)! л/гг
гг!
8- I
ю. X
П= 1
00
12. X
ti(3n)l'
(и + 1)2 6” гг!
14. У’ггЫп—.
Г) П
П—\ £
arcsin-
и + 1 и2 + 1
16. 	У —
h (И+1)!
18. £
2” (и3 +1)
гг!
00 9”
20. У .
£?5”(я + 1)!
22. J—.
^ А п п—\ 4
24. £-^Ltg—.
Я(2и)! 6 3й
ос гг! 1
26. > sm——.
*=2(2 гг)! ^
гг +1
arcsin-
28. X
Н=1
00
30. £
и2 +1
Я=1 (и +1)! (и + 1)!
Я=1
я4”
Задача 11.3. Исследуйте ряд на сходимость. и2 +1
1- I
3- I
П=з(п3 + 4)1п(и-1) л/и2 + 1
2- I
я=2 (2и + 3) In2 (и + 1)
л=2 (и2 + 2) In2 (Зя +1)
4- I
п=г(и+ 3)1п2(2я+ 1)


344
Глава 11. Ряды
5- 	Z
п + 3
7- 	I
t[(2n2 + 3)ln2(2n+1) л/я2 +2
п=2(п2 + 5) In2 (я+1)
9- Z
л/я2-!
П=$(п2 -2^/1п(и-3)
. 1 arcsin- я
11. 	У
£Лп2(я + 1)
13. £■
sin-
ln2 я
15- 	Z
1
яЙ (га + 3)1п (2га -1) 1
sin
17 у л/я2 +1
£ In2 (я+ 2)'
19. X
“‘{‘V
я=3 д/1п(я -1) 1
1 - cos
21. X
л/я + 2
„=1 In (и + 2)
23. 	X
_
1
25. 	X
n=i л/я + 2 In2 (я + 2)
1
~(я + 4)1п2(2га+1)
27. X
29. X
я=2 1П Я
Я3 + 1
n=i (я4 + 1)1п(я + 2)
6- 	I
л/я + 4
8- 	I
«=1 л/9я3 + 4 In2 (5 я + 2)
л/ я +1
«=2 ^(га3 +2)1п(Зи-1)
„ 1 оо arctg-
Ю. £
12. 	2
я=4л/1п(и-2) е*-1
я=2 In (и+ 7)
1+1-1
п
14' § lnra
00 -l)
16- 	lb—-
я=2 ln2(3w+ 1) /2 -h 1
оо In
18. 	Z
Я=1 ^/ln(ra + 2)
20. £
arctg
n=i л/я + 2 ln(w + 1) 1
sin
22. X
я=1 л/п + 3 In2 (w + 3)
24. 	X
sin2 w
n=i 4n2 + 1 In2 (w + 4)
26. 	X
cos w
28. X
^Ti(n + 2)ln2(w + 3)
/л _tJ
n=2 1П2(ЗЯ+ 1)
30. £
1
n=i (я + 4)ln (га+ 2)


Задачи для типовых расчетов
345
Задача 11.4. Исследуйте ряд на абсолютную и условную сходимость.
1- I
п 2
„=1 п -п + 1
2- I
(-1)” In (п + 1)
3- I
(-1)” sin-jL ып
п=1 л/Зп + 1
5- I
(-1)"
„=1 и1п(и+1)
7. £(-1Г«
Я=1 «
9- I
я-1 о2я
n=i(rc + l)-3
и.
я=1 ~j5n -1 4л/й
13. X
(-1)”
Я=1 я1п«(1п1пи) 2я +1
15. К-1)
я(и +1)
1
17. X(-i)"wsin-V-
Я=1
19. ± (-1)П
Я=1 я2 + sin2 п
21. К-1)
„ П 4- 1
П=1 Л/Я
23. £- ^
„=з«1п(и + 1)
25. I
(-1)”
£з п У2п + 3
00 Qin2 Чи
27- Z(-Dn!H^-
29- Ш-
4. Z(-D
6. I
n=l я (n + l)
sinw
8- I
n-1 и!
(-1)” 1
10. X
S(n+l)-22" (-!)"(« + 3)
n=1 ln(n+ 4)
sin
(n-Jn)
12. 2(-l>"
«=i nv n
16. 	£(_i)-f_»_y.
h lan+ij
i8-
20. X
(-1)"
22. X
n=o (2n +1) • 2 cos n
2 n+l'
«=i w
24. £(-l)"cos^-.
6 n
n=t
26. X
(-1)” t?2(n+ 1)1ПП
28. 	£(-W-JL_Y
h l3ri + lj.
30. £
(-1)”
n=l ln(n2 +l)


346
Глава 11. Ряды
Задача 11.5. Вычислите приближенно сумму ряда с заданной точностью е. Укажите N — наименьшее число членов ряда, которое обеспечивает заданную точность суммы ряда.
i. 	£ (~1)Я ,8 = ю-3.
Пп!(2и + 1)
3 £ (-1)” е = 10-з
Я(2я+1)!
5- I^s = 10-
п=1
3я
7. £-Lf4T,e-io-»
я-1 и
-21 5.
9 £(-1Г з
£ Зв!
2. £4^,е = 1«гз.
Я=1 п (я + 3)
°° ( 1 Ч”+1
4. yizlL_(£ = io-3. й и!
6. £ (~1)И ,8 = 10-3. й(2п+1)!
8. £1Г-!Т’е=ю_з-
Я=1 п\ 3)
10 £(-1)-(2п+1) 0-3
Z! (2п)! п!
11. У(-1)" ——,8 = 10- 7* 3”п\
13. е = ю-3.
^(и + 1)"
оо / 1 \»+1
15. е = Ю-3.
12 у COS7tw ,£ = Ю-3.
ПП ✓ . А Ч7
л=1 П\
1
17. 	У(-1)"——, 8 = 10" £Г 2 пп\
19. е = ю-3.
tl(2n)\2n
21- 1(-1)л Ае = Ю-3.
П=1 7
23. X
S3"(w+1)
'я ^ - + лн
sin
14- I
—, е = 10'3.
1
16. 	Х(“1)" * ТТ’ 8 = 1° 3‘
я=1 Зя
18. 	£±1)1_)е = 10-з.
^п!(2и>!
20. 	£<=*>!, е = юЛ
£!(2я)!
22 £(zl>lie = io-3. S(2n)!!
(2га -1) (2и +1)
25. £(-1)"+1_1гт,е = 10-3.
2 , е = 10~3. 24. £Li^,e = io-3.
п—\
(2 пУ
27. X
(-1)” "я2(й + 3)
, 8 = 10-3.
£5 2"
26. £(-1)и f*+1 , е = 10~3.
я«1 И (n+1)
28. £(-1Г -L, 8 = 10-3.
n=i 3/г
29. 	£ (~1)П е = 10~3. ^/г!(и + 2)
30. X
(-1)"
S п3(п + 3)
, 8 = 10-3.


Задачи для типовых расчетов
347
Задача 11.6. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте поведение ряда на границах интервала.
оо оо луп
>• I ' ,• 2. V
пх"'
п=1
»=i3"(w + l/2’ ' «-in-2"’
00 у п 00
3- Z; * , w 4. £
п=1 (и + 1)1п(Я + 1) „=1 (я+1)1п(я+1)
5 . 6. у ± .
£?2Я~'-3Я n=i я In2 (я +1)
00 у п 00 /у. Я
7. У— . 8. У — .
Г?2яГ2я-П г; . 1
Я2"(2п-1)
4п
OP 00 /у
9. У—- . 10. У .
£{п( 5я+1) £}(я+1)(Зя+1)
00 у п 00 /у Я
И. У . 12. У—^—.
+3 ЙЛ-З*
00 «1 ■у* ^ 00 -у ^
13. У . 14. У .
^Vi^Tl Й2"(и+1)Ь(я+1)
00 00
15. V — . 16. У —
' О” 1 “ /И
п=2П ЗП \ПП п=2 4” Win W
00 -j оо -j
17. 2>”tg4- 18. Z^ntg2-.
я-1 Я n=l Я
19. f>nsini 20. f>*sin2±
n=l W n=l Я
91 V шП 99 V ~ 1)*”
. 1\2 o«‘ " ~2 оя+1 '
n=l \Tl +1) *2. n=1 Я * Z
00 -J 00 у
23. 2>Ч8-. 24- Z-T7
/г n=iwln(w+l)
25. 	У *" ... ■ . 26. f^(fl + 1)^,
«=i3nV(«+l)3 ”=2 n+i
27. 28. £ — *"
„=1 Я n=2 4” Я In Я
oo <y2n oo ^n
29' Siw' 30-


348
Глава 11. Ряды
Задача 11.7. Найдите интервал сходимости степенного ряда. Исследуйте поведение ряда на границах интервала.
п\(х + 3)”
1.
у (х + 1)"
£1 (я+1) In2 (я + 1)'
2.
00
I
п=1
3.
» (х + 5) а 4"-2я
4.
00
I
п=2
5.
£ (*-2)"
Я=1 nln(n+ 1)
6.
00
X
п=1
7.
£ (х + 3)"
я=1 я л/я2 +4
8.
00
X
п=1
9.
» я(х-3)” ^(я + 1)2 -2"'
10.
00
I
Я=1
11.
£1п(и+1)(х + 1)я.
я=1 Я+1
12.
00
II
И=1
13.
А(х-1)" ^2 2"я1пя
14.
00
I
п=1
15.
А(х-1)" h л/я -5”'
16.
00
I
Я=1
17.
£ я(х + 2)”
я=1 л/я4 + 1
18.
00
I
П=1
19.
ул (X + 1)"
я=2 2”я1пя
20.
00
I
п=1
21.
А (х + 2)” п=2 2” (я + 1)1пя
22.
00
I
Я=1
23.
А (х - 3)” „=2 2” я In2 я
24.
00
I
П=1
25.
^ (х + 3)”
я=2 ЯлЛпЯ
26.
00
I
П=1
27.
£ (х + 1)"
я=12"л/я2 + я + 2
28.
00
I
я=1
29.
(х + 2)" я-i (я + 3)1п(я + 3)
30.
00
I
И=1
п
л-1
(*-0
3" я1пя
(х + 1)”
г(х + 2)"
я=1 л/я3 + Я + 1
я2
-(х + 2)\
)3
. 2л-1
„=1 \2п +1 (х-2)"
(х-1)”.
-ГГ=(Х + 2)П-
л/я + 1 (2я-1)(х-3)" я2 •2n+1
(х +1)”
3" (я+1) In2 (я + 1 (х-4)"
(я + 3)1п(я + 3)
(Зя + 2)(х - 3)"
(n + \f-2м1
(.х + 2)" и-2" я(х + 2)" л/ я4 +1
(я + 1)!(х + 3)"
(я + 1)"
Задача 11.8. Разложите функцию /(х) в ряд Тейлора в окрестности точки х0. Найдите интервал сходимости разложения. С помощью полученного разложе-


Задачи для типовых расчетов
349
ния вычислите приближенно значение функции f(x) в точке xv оставляя в разложении только п членов. Оцените погрешность, допускаемую при этом вычислении.
1
1. f(x
2. f(x
3. /(х
4. /(х
5. f(x
6. fix
7. fix
8. fix
9. fix
10./(ж
11./(x
12. fix
13 .fix
14 .fix 15. fix
16 .fix
17 .fix
18 .fix
19 .fix 20. fix 21 .fix 22. fix
Vx2
, x0 = -1, x, = -1Д n = 3.
, x0 = 1, = 1,3, n= 5.
л/х
■,x0 = 1, x, = 1Д w = 4.
= lnx, x0 = 1, x, = 1Д n = 4
я я ,
= cosx, xn = —, x. = —, n = 4 0 2 1 4
= e“4*, x0 =0, xr = 1, и = 4.
= л/27 -x3, x0 = 0, x, = 1, и = 3.
= ^8 -x3, x0 = 0, Xj = 03, и = 4
я я „
= sinx, xft = —, x, = —, n = 3.
0 2 4
= sin2 x, x0 = 0, Xj = X n = 4
= cos2 x, x0 = 0, x, = t я = 4.
= 3/8 +x, x0 = 0, x, = -t w = 4
2
= e * ,x0 =0, x, = 2, и = 4.
1
, .r0 = 1, jq = 1Д n = 4.
= л/125 + x, x0 = 0, Xj = -2, и = 4. = л/9-х2, x0 = 0, Xj = -1, я = 4 = Vl6 + x2, x0 =0, xt = -1, w = 4
1-e"
1
—, x0 = 0, Xj = 1, n = 4.
< 1 /
, r, xn = I x1 = - n = 4
л/^Т2 ° ‘ 2
= lnx, x0 =1, xt =-, n = 4.


350
Глава 11. Ряды
23. fix) = , xQ =2, х, = % п = 4
V3fr + 4
2A.f(x) - V27 + *2, *0 =0, =2, и = 4
25./(x) = e * , x0 =0, Xj = 2, w = 4.
26./(x) = V 16 + x2, x0 = 0, Xj = -1, w = 4
27./(x) = л/25 + x, x0 = 0, Xj = -2, и = 4
28./(x) = л/125 + x, x0 =0, xt =5, n = 4.
29./(x) = ln(x + 2), x0 = -1, xt = -1Д w = 4.
30./(x) = ln(x -1), x0 = 2, xt = 23, n= 5.
Задача 11.9. Вычислите приближенно с заданной точностью е значение функции, йспользуя соответствующее разложение функции в степенной ряд. Укажите N — наименьшее число членов ряда, обеспечивающее заданную точность:
1.
4е, е = 10"3.
2.
cos 1°, 8 = 10Л
3.
sinlO0, е = 1(Г4.
4.
cos 10°, е = 10-4
5.
41,8 = ю-3.
6.
In 1,003, 8 = 10~3
7.
4е, е = 10"3.
8.
4=, е = Ю'4.
<е
9.
-i, е = Ю'3. 41
10.
11.
Vl7, е = 10~3.
12.
VT5, е = Ю"3.
13.
1п5, е = 10~3.
14.
л/28, е = 10~3.
15.
Vl9, е = 10"3.
16.
1п6,е = 10-3.
17.
sin 36°, е = 10~3.
18.
In 1,002, 8 = 10“4.
19.
л/25, е = 10~3.
20.
л/ё, е = 10~3.
21.
-i, е = Ю-3. 41
22.
4е,г = 10~3.
23.
cos 18°, 8 = 10"4.
24.
sinl8°, е = 10-4.
25.
л/29, 8 = ю~3.
26.
1п7, е = 10~3.
27.
1пЗ, 8 = 10~3.
28.
sin 19°, е = 10“3.
29.
cos 20°, 8 = 10~3.
30.
cos 19°, е = 10-4
Задача 11.10. Вычислите приближенно с точностью в значение интеграла, разлагая подынтегральную функцию в степенной ряд.
1. 	J — dk, е = 1(Г3. 2. °j^—^dx, е = 10Л
0 X о X
3 4. 7 ‘-^A.s-IO-».
о
X


Задачи для типовых расчетов
351
5. J—-j=dx, s = 10_3. 6. je~x*dx, е = 10~3.
0 Vx о
1 1
7. J Vx cosx dx, в = 10~3. 8. J Vxsinx <ir, e = 10~3.
0 0
1 ™ ~ 0,25
9. 8 = 10"3. 10. f Vl + x3 dxj 8 = 10-3.
J vx
0 VA 0
0,5 x2 0,5
11. 	f e~2 dx,e = iQ-4. 12. f ^ ,р- = 1(Г3.
I J VTT^7
13. 	| dx, e = 104. 14. jcos(x2)dfc, e = 10 3.
0 * 0
0,5 A 0,2
15 j COSX dx e = 10_4 16 | e-3x fa £ = 10-3
0 x 0
, lnfl-X2^ , 2
17. 	J ——z-dx,e = 10 . 18. Jx e dx, s = 10 .
0,2 Inf 1 — X 1 1
. “?
li/l + -l
19. 	f —ь —— dx, e = 10-3. 20. [sin— dx, e = 10'3.
J v J 4
0,2 о I 1 . x2
0
1.5 ^ 0,5
21. 	f ^ 4,£ = 10~3. 22. jsin(x2 )dx, e = 10-4.
oVei + x’ 0
0,2
23. 	J <T2* dx, e — 10Л 24. J e~3* dx, e = 10Л
0 0
25. 	T dx,s = 10'3. 26. f , *
Jo 2x {V256 + X4
1)5 °,2
27. 	f , , e = lO-3. 28. f е~Ъх dx, s = 10-3.
JoV274^ Jo
0,1 a*2 — 1 0,1 4д:3 _ 4
29. 	j- -dx, e = 10-3. 30. j—~dx, e = 1Q-3.
Задача 11.11. Найдите сумму ряда.


352
Глава 11. Ряды
7.
оо у 2я п=\ (2п)!
8.
£(-1г
п=1
*2"-' (2 я) Г
9.
оо у4и+1
w=i (2w)!
10.
1(-1)и
п=1
£^_
я
11.
00 у П~\
К-!)”—.
я=1 П
12.
П=1
п
13.
00 у4п-1
Х(-1)"^.
п=1 П
14.
Я=1
х3п
я
15.
оо 2п Д-
h~H\'
16.
i>"+2
п=0
17.
00 ^п X
18.
п= 1
хп~х
п=1 я(я + 1)’
я
19.
00 /у. Я+2
Л
h п\'
20.
00 г4п
У(-Г •
£о (2и)!
21.
оо y2w+l
У (-1)" х
£Г (2я)!
22.
£(-1)"
п=1
х2п+3 (2 я)!'
23.
оо у. 2 я+3
„=1 (2и)!
24.
00 ^П+1 v~i Д-
«=1 п
25.
£я(я + I)*"*2.
я=0
26.
1(-1 г
п=1
я
27.
00 /у Я-1
я=1 я
28.
£ях"+2
П=1
29.
оо /уЗп-1
30.
00 /V Я-2
'цг-л Л-
1
£ и! '
£?(я + 1)Г


ГЛАВА 12 Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Двойной интеграл в прямоугольных координатах
Пусть функция f(M) = f(x,y) задана в некоторой ограниченной замкнутой области D на плоскости 0ху. Разобьем область D произвольным образом на п непе- ресекающихся частей Д, Д, ..., Dn площадями Ast (i = X •••, я). Внутри каждой частичной области Д выберем произвольную точку М{(хр у Л и составим сумму
п п
^df(Mi')Asi = ^f(xit у{У^{7 которая называется интегральной суммой.
*=i 1=1
Расстояние между наиболее удаленными точками области называется ее диаметром. Обозначим через Х( диаметр частичной области Д, через X = max А,, — наибольший из диаметров частичных областей данного разбиения.
Двойным интегралом JJ f(M)ds = JJ f(х,у)cbcdy от функции fix,у) по области D
называется предел последовательности интегральных сумм при X -» 0 и п -> оо, т. е. при неограниченном увеличении частичных областей, когда все частичные области стягиваются в точку:
JJ = Я f(x,y)dxdy = lim £/(*,, г/,) As,.
D D я—>00 г =1
Если функция /(х,у)непрерывна в ограниченной замкнутой области Д то такой предел существует и не зависит от способа разбиения области D на частичные области и от выбора точек М{. Функция f(x,y) называется интегрируемой в области D. В дальнейшем будем рассматривать только непрерывные функции.
Основные свойства двойных интегралов:
□ jj(MM) + f2(M))ds =\\f,(M)ds + \\f2{M)ds.
D D D
□ j С f(M)ds = Cj f(M)ds, где С = const
D D
□ Если область D разбивается на две непересекающиеся области Д и D2 (т. е. D = Д u D2, где Д п Д = 0), то
Я RM)ds = Я f(M)ds + Я f(M)ds.
D D\ Z?2


354
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Геометрический смысл двойного интеграла (вычисление объема тел и площадей плоских фигур)
Пусть на плоскости 0ху задана область D ив каждой точке М(х,у) е D задана функция f(x,y)> 0. Тогда
JJ f(x,y)dxdy = V,
где У — объем цилиндрического тела, ограниченного областью Д поверхностью z = f(x,у) и цилиндрической поверхностью, проходящей через контур области D параллельно оси Oz (рис. 12.1).
Если /(х, у) = % то интеграл по области D равен площади этой области, т. е.
2 =/(*, у)
JJ <2s = JJ dxdy - S,
где 5 — площадь области D.
xi
->У
Рис. 12.1
L
А%
У = У2(х)
«Г
а
х = const Ъ Рис. 12.2
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Изобразим область D на плоскости Оху у а (рис. 12.2). Предположим, что любая прямая х = const пересекает линию границы области D не более чем в двух точках.
Проведем прямые х - аи х = b — касательные к
границе области D. Тогда линия границы будет у ^у,(х)
разбита на части, уравнения которых у =у{(х) —
(нижняя линия АКБ), и у =у2(х) (верхняя ли- 0 ния ALB), причем у{(х)<у2(х) для любых х е [а,Ь\
Для рассматриваемой области двойной интеграл вычисляется по формуле
Ъ У2(х)
Яд» ,y)dxdy =\dx \f(x,y)dy. (12.1)
D a W(x)
Интеграл в правой части этой формулы называется повторным или двукратным.
У2(х)
Интеграл \f(x,y)dy называется внутренним. Он вычисляется в предположе-
У\(х)
нии, что переменная х рассматривается как постоянная и подынтегральная функция f(x,y) является функцией только одной переменной у. В результате вычисления этого интеграла получится функция переменной х. После того как эта функция определена, надо выполнить внешнее интегрирование — проинтегрировать полученную функцию по переменной х.


Двойной интеграл в прямоугольных координатах
355
Таким образом, по формуле (12.1) сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной у, ах считается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл по переменной х.
Пример 12.1. Вычислить интеграл jdx J^ + У2 +
Решение: вычислим внутренний интеграл по у, считая х постоянной:
\dx\{x + y2 +—\ty = \dx ху + — + —1 = (dx х2 + — + — -х3 — .
О *2V О V ^ О I 3 X 3 X J
Далее вычислим внешний интеграл, преобразовав подынтегральное выражение
1
I
2х . хь
+ 1 х
3 3
dx =
/ ч
х6
2х х
+ х
3-4 3-7
13
21'
Пусть теперь всякая прямая у = const пересекает линию границы области D не более чем в двух точках (рис. 12.3) и область D определяется неравенствами хх{у) <х <х2(у), с <у < dy где х =xt(y) и х=х2(у)— уравнения левой (CMD) и правой (САГО) линий границы области соответственно.
Тогда двойной интеграл будет вычисляться по формуле:
*2 (У)
Я /(*> У y&dy = J dy j /(*> У
D с хх(у)
(12.2)
где у = си у = d — прямые, проецирующие область Dна ось Оу.
По формуле (12.2) сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной х, а у считается постоянной. Затем вычисляется внешний интеграл по переменной у.
ЗАМЕЧАНИЕ 12.1 Пределы внешних интегралов в формулах (12.1) и (12.2) — всегда постоянные числа. Пределы же внутренних интегралов постоянны лишь в том случае, когда область интегрирования представляет собой прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям.
ЗАМЕЧАНИЕ 12.2 Значение двойного интеграла не зависит от порядка интегрирования. На практике выбирается такой порядок, который требует минимума вычислительной работы.
ЗАМЕЧАНИЕ 12.3 В общем случае область может не относиться к рассмотренным типам, тогда ее всегда можно разбить прямыми, параллельными координатным осям, на области, для которых следует применить формулы (12.1) и (12.2) повторного интегрирования.


356
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Пример 12.2. Вычислить интеграл \\(ху2 + tydxdyy где область D ограничена линиями у = 2х, у = х2 и х = 1 d
Решение: область интегрирования D изображена на рис. 12.4. Она имеет нижнюю границу у = х2 и верхнюю границу у = 2х, поэтому по формуле (12.1) перейдем к повторному интегралу
УА
2
/
1 2х
jj (ху2 + l^dxdy = jdx J(x*/2 + 1 ^dy.
d o
Пределы интегрирования в повторном интеграле получены так:
О
1
>
х
1. Область D спроецирована на ось Ох, получен отре¬
зок [0; 1] Этим были определены нижний предел 0
Рис. 12.4
и верхний предел 1 изменения переменной х во внешнем интеграле.
2. 	На отрезке [0; 1]оси Ох выбрана произвольная точка, через которую проведен луч, параллельный оси Оу. Луч входит в область Д пересекая ее нижнюю границу у =х2, и выходит из области, пересекая верхнюю границу у =2х. Этим были определены нижний предел х2 и верхний предел 2х изменения переменной у во внутреннем интеграле.
Вычисление повторного интеграла следует начинать с его внутреннего интеграла, в котором величина х рассматривается как постоянная. Затем вычисляется внешний интеграл.
Обычно внутренний интеграл отдельно не вычисляют, а все выкладки записывают в одну строку следующим образом:
Вычислим теперь тот же двойной интеграл, изменив порядок интегрирования: внутреннее интегрирование будем производить по переменной х, а внешнее — по переменной у.
Из рис. 12.5 видно, что левая граница области D — одна линия х = —, а правая
щих область Д должны быть разрешены относительно той переменной, по которой вычисляется внутренний интеграл). В этом случае область D надо разбить на две части: Ц и D2.
8 ( t 1 1 139
15 + 24 3 120'
2
граница состоит из двух линий: х = ^[у и х = 1 (уравнения линий, ограничиваю-


Двойной интеграл в прямоугольных координатах
357
Тогда интеграл представляется как сумма интегралов:
JJ (ху2 + X^dxdy = || (ху2 + i^dxdy +1| (ху2 + i^dxdy =
D 1 Vy А 2 1 d2
= jdyj (ху2 + \yix +1 dyj (xy2 +1 ^dx =
i
= \dy
0
/22 1 X у
+ x
4y 2
+
У l
2
jdy
У
2
/22 { x у
+ x
1 A 3 4 \ 2/2 „4
= f| — + 4y --—— W + f( — + 1--— —
J 2 Л 9 9 Я 9
ov
>\ + 2Jy* У
dy =
8
y_
40 4
2 Л
ry3 у5 У
— + г/ —
6 40 4
= f- + -- —- —1 + Г- + 2- —---1 + — + —1 = .
1,8 3 40 4 J {6 40 4 6 40 4 J 120
Результаты вычислений совпали, но из этого примера видно, что, рационально выбрав порядок интегрирования, можно сократить вычисления.
Пример 12.3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле
2 4-(-02 \dx | f(x, y)dy.
0 lx
2
Решение: прежде всего восстановим по пределам интегрирования вид области Д по которой берется двойной интеграл. Область D находится в полосе между прямыми х=0и1=2и ограничена снизу линией
Зх 2
у = —, а сверху линией у = 4 - (х -1) (рис. 12.6).
Теперь область D проецируем на ось 0у и находим уравнения прямых у = 0 и у = 4, ограничивающих снизу и сверху полосу, в которой расположена область D. Затем находим левую и правую границы области D. Для этого решаем уравнение параболы у = 4 -(х -1) относительно х. Получаем
х = 1 ± ^А-у, причем линия АВ определяется уравнением , а линия ВС — уравнением х = 1 + д/4-у. Уравнение прямой У =~~ также разрешаем относительно
ху получаем х =
2 у


358
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Из рис. 12.7 видно, что левая и правая границы области интегрирования D — это две линии. Следовательно, область D следует разбить на части Ц и D2. Эти области задаются неравенствами:
□ А -
0<у <3;
О <х < —;
3
□ D,
Тогда
[ 3 < х < 4;
[l-д/4-у <х < 1 + д/4-у.
2 4-(дг-1) зз У 4 1+^/4-у
J dx jf(x,y)dy=jdjf(x,y)d + jd jf(x,y)dy.
0 3^ 0 0 3 1-^4^
2
Пример 12.4. Вычислить площадь области, ограниченной линиями у=х2 и г/ = 4х (рис. 12.8).
Решение: вычислим:
1 VI 1 ^
5 = JJ = J dx J dy = J г£п/
= J(Vx -x2^dx =
2-i =! 3 3_3‘


Двойной интеграл в полярных координатах
359
Пример 12.5. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями \
у =0, z =0, у = х (z > 0) (рис. 12.9).
Решение: данное тело сверху ограничено цилиндрической поверхностью
х2 z2 3 /
+ — = 1 ИЛИ Z = - л/4-х2, поэтому
4 9 2
V = JJ zdxdy = - JJ 4 4-х2 dxdy,
где область D есть треугольник, ограниченный в плоскости Оху прямыми у = х, у = 0 и х = 2. Вычислим полученный интеграл:
2 *
V = JJ zdxdy = - JJ л/ 4-х2 dxdy = - J dx J л/4-x2 dy dx л/4-х2 у
' о 0
Двойной интеграл в полярных координатах
Если область интегрирования D такова, что уравнения ограничивающих ее линий проще записываются в полярных координатах, чем в декартовых, то целесообразно применить формулу
JJ f(x> у) dxdy = Я/(р cos Ф, psin(p) pdpdq>,
D D’
где Df — область изменения полярных координат.


360
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
<Р=а Р М??) ф=с
Если область D (рис. 12.10) заключена между лучами ф = аиф = ри любой луч ф = с (а < с < Р) входит в область D через линию р = р^ф) и выходит через линию р =р2(ф)> то по аналогии с двойным интегралом в декартовых координатах можно написать формулу
Р Р2(ф)
JJ/(*> у) dxdy = J б/ф J/(р cos Ф, рsinф) pdp.
D а р] (ф)
Пример 12.6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностями лг2 н- г/2 — 4 г/ = 0 и х2 +
+у2 -2у = 0.
Решение: напомним, что прямоугольные координаты (х, у) лю- у
бой точки плоскости (рис. 12.11) связаны с полярными коорди-
натами (р, ф) следующими формулами:
Рис. 12.10
х = р cos ф; у — р sin ф,
О
Ф
X х Рис. 12.11
где р > 0, 0 < ф < 2к Подставим их в уравнение окружности х2 -+- г/2 — 4г/ = 0, получим:
р2 cos2 ф + р2 sin2 ф-4р8Шф = 0 <=> p2(cos2 ф + sin2 ф) = 4р8Шф| :р.
Следовательно, полярное уравнение первой окружности р = 48Шф. Аналогично получаем полярное уравнение второй окружности р = 2sin(p.
Для вычисления площади фигуры (рис. 12.12) воспользуемся ее симметричностью.
Итак,
z 4sin(p
S = 2JJ dxdy = 2JJ pdpdq> = 2J б/ф J pdp =
0 2 sin ф
4 sin9
2 sin9
JL I
= J(l6sin2 ф - 4sin2 ф^б/ф = 12jsin2 фе/ф =
_ n
= J (1 “ cos 2ф) й?ф =6^ф-^т2ф^ = 6^-0^ = 3я.


Механические приложения двойных интегралов
361
Механические приложения двойных интегралов
Приведем примеры применения двойных интегралов.
□ Если 5(х,у) — поверхностная плотность пластины, занимающей область D на плоскости 0ху, то масса т пластины определяется формулой
171 = Я ^х’
D
□ Статические моменты Мх, Му пластины относительно координатных осей Ох и 0у определяют по формулам
Мх = JJу 8(х, у)dxdy; Му = JJx 8(х, y)dxdy .
D D
□ Координаты центра тяжести хс, ус пластины находят из соотношений:
МУ Мх
хс = — >Ус = —•
т т
□ Моменты инерции 1Х, 1у пластины относительно координатных осей Ох и 0у определяют по формулам
h =Цу2Чх, y)dxdy; Iy =^x2b(x,y)dxdy.
D D
□ Полярный момент инерции 10 пластины относительно начала координат О выражается формулой
h =JJ(^2 + y2)b(x,y)dxdy.
ЗАМЕЧАНИЕ 12.4 Для однородных пластин 6 = const, и для простоты будем считать 6 = 1.
Пример 12.7. Найти статический момент относительно оси Ох однородной пластины, ограниченной линиями у - х л- 2, у =2, у =-2 и х=у2.
Решение: статический момент относительно оси Ох однородной пластины
Мх = JJ у dxdy,
D
где область интегрирования D ограничена слева прямой х = у -2, справа параболой х = у 2, снизу прямой у = -2 и сверху прямой у = 2 (рис. 12.13).


362
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Выбирая внутреннее интегрирование по переменной у, вычислим интеграл
у2 2
Мх=^у cbcdy = \dy |ydx =$y dy x \y(y2 -y + 2) dy =
-2 jf-2
V-2 “2
У^-У^ + 2У.
2
/8,-1
=4--+4=5-. 3 3
Тройной интеграл в прямоугольных координатах
Под областью V, на которую распространен тройной интеграл, понимается замкнутая пространственная область, ограниченная снизу поверхностью z-zx(x,y\ сверху поверхностью z =z2(x,y) (zt < z2), а по бокам — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0z (рис. 12.14). В частном случае образующие цилиндрической поверхности могут быть равны нулю.
z=z2(x,y)
Рис. 12.14
Переменные х и у изменяются в плоской области D• , которая является проекцией области V на координатную плоскость Оху.
Если функция f(x, у> z) непрерывна в области V, то тройной интеграл в декартовых координатах записывается так:
Iff f(x, у, z) dv = Iff f(x, у, z) dxdydz.
V V
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов. Вычисляется тройной интеграл по формуле
-2 (х,у)
Iff /(*. У> 2) dxdydz = ff dxdy J fix, у, z)dz.
V D4 z{(x,y)


Тройной интеграл в прямоугольных координатах
363
Если область D^ ограничена непрерывными кривыми у=у{(х), у=у2(%) (yt(x) < у2 (х)) и прямыми х = а и х = 6, то вычисление тройного интеграла сводится к трем последовательным интегрированиям по формуле
Ь У2 (х) -2 (Х’У)
z)dxdydz=jdx j dy ff(x,y,z)dz. (12.3)
V a yx(x) zx(x,y)
Порядок вычисления тройного интеграла в декартовых координатах:
1. Проецируем область V на плоскость 0ху. Получаем область Ощ.
2. Через произвольную точку, лежащую в области D t проводим прямую, па¬
раллельную оси 0z. Определяем уравнение поверхности z =z{(x,y), через которую прямая входит в область V, и уравнение поверхности z =z2(xty), через которую прямая выходит из области V. Сводим вычисление тройного интеграла к двойному, причем, вычисляя внутренний интеграл, следует считать х и у постоянными:
-2 (х>У)
//J f(x,y,z)dxdydz = JJ dxdy J f(x,y,z)dz.
V D z, (x,y)
3. Записываем двойной интеграл в виде повторного и вычисляем полученный
трехкратный интеграл:
Ь У2(х) z2(x,y)
у у z)dxdydz = J dx jdy J f(x, у, z)dz.
V a yx(x) zx(x,y)
ЗАМЕЧАНИЕ 12.5 Иногда удобнее проецировать область V не на плоскость Оху, а на другие (Олег или Oyz) координатные плоскости.
Пример 12.8. Вычислить интеграл JjJ (х + у + z)dxdydz,
у
где V — область, ограниченная плоскостями х = О, у = 0, z =0, х + у + z = \ (рис. 12.15).
Решение: область V имеет нижнюю границу z = 0 и верхнюю границу х + у + z = 1 или, что то же самое, z = 1 -х — у. Вычислим данный интеграл по формуле (12.3):
1 -х-у
\\\{х + у + z)dxdydz = jjdxdy j(x + у +z)dz.
V О
Область D' проецируется в отрезок [0; 1] на оси Ох и имеет границы у - 0 и
у - 1 -х (получаем из уравнения плоскости х + у + z = 1 при z = 0). Переходя к
повторному интегрированию, получим:
1 1-х 1 -Х-у
\\\(х + у + z)dxdydz =jdx jdy j(x + y + z)dz =
V 0 0 0


364
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
1 1-х
= jdx jdy \(x + y)z + —
OOV ^
1 1-J
~ \dx \
0
= ^dx
( A
-i
1 -x-y
1 W’/ Vrt 4 (1 -х-У)2Л (x + y)(l-x-y) + ± —^
= ^dx |
=
(x + y)-(x + y) +
2 , (1 ——*/)2 Л
dy =
(ж + г/)2 (x + yf (l-дc-y)3
^ 1 X 1 X (1 X) I j Л Л Л Л
— + — + - — \dx = +
2 2 3 3
X x3 X . x* (I-*)4
2 6 3 12
24
= !_!_! J_ 1 _ 12-4-8 + 2 + 1 _ 3 _1 ~ 2 6 3+ 12 + 24 _ 24 24 8-
Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
Тройной интеграл в цилиндрических координатах
Положение точки М в пространстве (рис. 12.16) можно определить цилиндрическими координатами р, <р, г, где р, <р (р > 0, 0 < (р < 2 л) — полярные координаты проекции точки М, на плоскость Оху, а г (-оо <z < +оо) — ее аппликата.
Связь между прямоугольными (х,у, г) и цилиндрическими (р, <р, z) координатами точки выражается формулами:
' х = р cos ф; у = рэтф;


Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах
365
Переход в тройном интеграле от декартовых координат к цилиндрическим осуществляется по формуле
Iff А*' у, z)dxdydz = JJJ /(р cos (p; psincp; z) pdpdydz,
V V'
где Vf — область изменения цилиндрических координат.
Для расстановки пределов интегрирования в повторном интеграле предположим, что поверхность, ограничивающая область V, такова, что прямая, параллельная оси 0z, пересекает ее не более чем в двух точках. Уравнения входа этой прямой в область V и выхода из нее считаем заданными в цилиндрических координатах:
z=z1(p,(p);z=z2(p,cp).
Если область V проецируется на плоскость Оху в плоскую область Д то тройной интеграл
z2 (Р>ф)
JJJ /(р cos ф; р sin ф; z) pdpdydz = JJ р dpdy J /(p cos ф; p sin ф; z)dz.
V D ^(р.ф)
После вычисления внутреннего интеграла по переменной z (р и ф считаем постоянными) вычисляем двойной интеграл по плоской области D в полярных координатах. Окончательно получаем:
Р Р2 (ф) *-2 (р>ф)
JJJ f{x,y,z)dxdydz = J dip J р dp J /(p cos ф; рзтф; z)dz.
V а Р!(ф) -1(р,Ф>
Пример 12.9. Вычислить интеграл JJJ(^2 + y2^dxdydz, где область V ограничена поверхностями х2 + у2 =2znz=t
Решение: построим область V, которая снизу ограничена параболоидом х2 л-у2 =2z, а сверху — плоскостью z = 1 (рис. 12.17). Введем цилиндрические координаты р, ф, z, для которых
г х - р cos ф; у =р8Шф;
Z — Z.
Поскольку х2 л-у2 =р2 cos2 ф + р2 sin2 ф = р2, то уравнение параболоида в ци-
2 Р2
линдрических координатах примет вид р = 2z или z =
2
В области V координата z меняется от параболоида z = ^- до плоскости z = 1
Область V проецируется на плоскость Оху в плоскую область Д ограниченную окружностью х2 +у2 =2. Последнее уравнение получено в результате решения системы уравнений плоскости z = 1 и параболоида х2 л-у2 =2z. Уравнение ок-


366
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
ружности х2 + у2 = 2 в полярных координатах имеет вид р = л/2. В области Dкоордината ф меняется от 0 до 2тс, а р — от 0 до уравнения окружности р = л/2.
Итак,
2п 42
JJJ(х2 + у2) dxdydz = Л|р2рфб/ф& =Jб?ф Jp3rfp §dz =
2к 42
= JJр3 1-^- dp = Jfifcp
2п / 4 6 ^
4 12
л
=2я^1 -
8^| = 2я
12J ~ 3'
Тройной интеграл в сферических координатах
В сферических координатах положение точки М в пространстве определяется числами г, ф и 0, где г > О, О<ф<2тгиО<0<л; (рис. 12.18).
Связь между прямоугольными (х, г/, z) и сферическими (г, ф, 0) координатами точки выражается формулами
х = г cos фэтО;
< у = rsn^sin0;
Z - г COS 0.
Переход в тройном интеграле от декартовых координат к сферическим осуществляется по формуле
JJJ /(*» У» z)dxdydz = JJJ /(г cos ф8Ш0; г sin ф sin 0; г cos в) г2 sin0<^6?0<ir,
V V
где V' — область изменения сферических координат.
Пределы интегрирования в повторном интеграле находят после того, как уравнения границ области V будут записаны в сферических координатах. Тогда
Р 02 (Ф) Г2 (Ф ©)
JJJ / (х, у, z)dxdydz = J б?ф J sin 0 dQ J f(r cos q>sin 0; r sin ф8Ш 0; r cos 0) r2dr.
V a 0i (<p) П(ф>е)


Приложения тройных интегралов
367
Рассмотрим вычисление тройного интеграла в сферических координатах на примере.
Пример 12.10. Вычислить интеграл JJJ(х2 + у2 + z2) dxdydz, где область V ограничена поверхностью (х2 л-у2 + z2)2 =а2(х2 + г/2).
Решение: для того чтобы представить вид поверхности, перейдем к сферическим координатам. При использовании
формул
Рис. 12.19
х =pcoscpsin0; у = psincpsin0; z = р cos 0
и с учетом того, что х2 л-у2 + z2 = г2, уравнение поверхности примет вид г - <zsin0. В плоскости Oz0 уравнение г = asin0 представляет собой границу круга (рис. 12.19).
Поскольку в уравнении поверхности ср отсутствует, то поверхность получена вращением этого круга вокруг оси 0z. Следовательно,
2 п п a sin в
ЯК*2 +У2 + z2>)dxdydz = Я[r2r2 sin0dydQdr = Jй?ф|sin0dQ jr4dr =
v v ooo
2n n
= J rfcpjsin© dQ
о
5 к
= 2л—J a5 sin6 0</0 = ^-J4-(1-cos20)3 dQ =
5 о 5 0 2
= j(l-3cos20 + 3COS2 20 + cos3 0) dd =
1-3cos20 + -(1 + cos40) + cos2 0cos0
20 n v 2
na
0 --sin20 + - 0 + -sin 40 2 2 8 ;
+
о 0
71
J^l-sin2 0) JsinO
na
~20
■Я +
sin0 -
sin3
na5 5n к2а5
20 2
8
Приложения тройных интегралов
Приведем примеры применения тройных интегралов.
□ Объем тела, занимающего область V в пространстве, вычисляется по формулам: О в декартовых координатах:
V = JJJ dxdydz;


368
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
О в цилиндрических координатах:
V = JJJ р dqdpdz;
V'
О в сферических координатах:
V ~\\\r2 sin0 dydQdr.
V'
□ Если 5(x,i/,z) — плотность тела, занимающего область V в пространстве, то масса т тела определяется по формуле
т = JJJ 8 (х, г/, z) dxdydz.
□ Статические моменты М^, Myz и М ^ тела относительно координатных плоскостей 0ху, 0yz и Охг определяют по формулам
мху = III £ 8(х, у, z) dxdydz; Ml/: = jjjх 8(x,y,z)dxdydz„
V V
Mxz = JJJ у 5(x, г/, z) dxdydz.
v
□ Координаты центра тяжести хс1 уc, zc тела находят из соотношений
мг_
=—>Ус =—;-с =—-• т т т
□ Моменты инерции I, 1у. и I^ тела относительно координатных плоскостей Оху> 0yz и Oxz определяют по формулам
Ixy = JJJz28(x, г/,z) dxdydz; I. = JJJх25(x, г/,z) dxdydz;
v к
Ixz = III У2 §(*, y, z) dxdydz.
V
□ Моменты инерции Ix> Iy и I. тела относительно координатных осей Ox, 0у и Oz определяют по формулам
Ix = HI {у2 +-2) §(х, у, z) dxdydz, I у = ||| (ж2 + z2) 5(х, у, z) dxdydz-,
V V
Iz = Я Vх 2 + У2 ) У’^dxdydz.
D
□ Полярный момент инерции /0 тела относительно начала координат 0 определяется по формуле
/0JJ(х2 +у2 + z2)6(x, г/, z)dxdydz.
D
ЗАМЕЧАНИЕ 12.6 Для однородных тел 5 = const, и для простоты мы будем считать 5 = 1


Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода)
369
Пример 12.11. Найти массу шара х2 + у2 + (z -2)2 < 4, если его плотность в каждой точке равна расстоянию от этой точки до начала координат.
Решение: в сферических координатах плотность шара определяется формулой b(x,y,z) = г, а уравнение поверхности шара — г = 4 cos 0.
Масса шара вычисляется с помощью тройного интеграла:
т = JJJ 8(х, y,z) dxdydz, или, переходя к сферическим координатам, по формуле
т ~ Ш ^(Г) ^ г 2 s*n ® dydQdr =
2п 2 4cos0 27t 2
|<icpjsin0 dQ jr3dr - Jsin0 dd
= 2л64 J sin 0 cos4 0 dQ = -128я
cos 0
128я
Криволинейный интеграл по длине дуги (I рода)
Кривая называется гладкой, если в каждой ее точке существует касательная, непрерывно изменяющаяся вдоль кривой.
Пусть функция /(М) = f(x> у, z) непрерывна в каждой точке М(х> у, z) гладкой кривой L Разобьем кривую L произвольным образом на п частей длиной A lv Д/2, ..., А/„. Обозначим max А = X В каждой части возьмем произвольную точку M{{xiy yt> zf), тогда предел последовательности интегральных сумм
п
ур zf)A 1{ при X —» 0 и п -» оо называется криволинейным интегралом по
i=1
длине дуги, или криволинейным интегралом I рода:
jimЕ /(*,•- Уi, гi)А/,. = {/(ж, г/, z)<//.
n->oo I=1 L
Основные свойства криволинейных интегралов I рода:
□ Криволинейный интеграл не зависит от направления пути интегрирования, т. е.
I f(x, у, z)dl =| f(x, у, z)dl.
АВ ВА
□ Если кривая АВ разбита на части АС и СД то
J /(ж, у, z) dl = | /(*, у, z)dl+ | /(г, у, z) dl.
AB AC CB
13 №6822


370
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
□ Если f(x, у у z) и g(xy у у z) — непрерывные функции на L и а, р — постоянные числа, то
J (схf(x, у, z) + (3g(r, у, z))dl =а| f(x, у, z)dl + pjg(x, у, z)dl.
L L L
Вычисление криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода зависит от того, каким образом задана кривая интегрирования.
□ Если пространственная кривая L задана параметрическими уравнениями
х = x(t)y у = y(f)y z = z(f)y tt < t < t2 у то
J f(x, у, z)dl = J f(x(ty,y(ty,z(t))^(x't)2 +(y't)2 +(z't)2dt.
L t\
□ В частности, для плоской кривой L: х = х (£); у = y(t), tt <t<t2,
J f(x,y)dl = J f(x(t)\y{t))^(x' ,)2 +(y\)2dt.
L t\
□ Если плоская кривая L определена уравнением у = у(х)у а < х < 6, то
J f(x,y)dl = J f(x-,y(x))^jl + (у'х)2dx. (12.4)
L а
□ Если кривая L задана полярным уравнением р = p(q>), q>t < ф < ф2, то
7 I 2~
j f(x, y)dl = j /(p cos ф; p sin <p)yp2 (ф) + (p' ф ) dy. (12.5)
L Ф!
Пример 12.12. Вычислить интеграл fx2dl, где L — отрезок прямой AB, A(5 1), 5(2; 3). l
Решение: найдем уравнение прямой АВ:
х-хА _ у-уА х-3 _ у-1 х-3 _у-1 хв ~Ха У в ~У а 2 — 3 3—1 —1 2
Отсюда уравнение прямой АВ будет иметь вид у = -2х + 7, где 2 < х < 3. По формуле (12.4) вычислим интеграл:
jx2dl = jx2 Jl + f(-2x + 7) ^ dx =jx2j5dx =л/5—'
L 2 2 ;
2 - i - - . ^ г3 з J9./5
3
2 3
Пример 12.13. Вычислить интеграл J л]х2 +y2dl, где L— окружность
x2 +y2 =2x.


Криволинейный интеграл по координатам (II рода)
371
Решение: изобразим окружность Z, преобразовав ее уравнение:
х2 л-у2 =2х <^> х2 -2х+ 1-1 л-у2 = 0 (х -I)2 + у2 =1
Это окружность с центром в точке (1; 0) и радиусом 1 (рис. 12.20).
я к
получим: p=2coscp, где <ф<—. Вычислим криволинейный интеграл по формуле (12.5), учитывая равенство 2 2 2 ж2 + у =р :
J jx2 + y2dl = J p-\jp2 + ((2 cos ср) ) d(р =
2 / i—2 -
= J2 cos фд/4 cos2 ф + 4sin2 cpflfy = 2v4 J cos ф«?ф = 4зтф|2 _ = 4(1 +1) = 8.
Криволинейный интеграл по координатам (II рода)
Пусть функция /(М) = f(x,y,z) непрерывна в каждой точке М(х, г/, z) гладкой кривой L. Разбив произвольным образом кривую I на п частей lv 12, ..., 1п и выбрав в каждой из них произвольно точку М{(х{, у(, zf), построим интегральные суммы:
п п п
Е/(*,•> Vf z,)Axi’Hf(xn yi>zi)Ayi’'Lf(xi’ у>’ z,)Az,,
i=1 i=1 1=1
где Дх,-, Ayf, Аг, — длины проекций частичных дуг /., i = 1,..., я, на соответствующие координатные оси. Тогда пределы
п
I™ Ц/(х1’УГ’гдАх1 = jf(x,y,z)dx;
шах Дг ,->0 I =1 L
П
j™ 'Zf(xi;yi;zi)Ayi =) f(x,y,z)dy;
тахДу,->0 I=1 Z,
Я
Ё5 'Lf(xi’yi’zi)Azi =)f(x,y,z)dz
max Ar 2 ->0 Z.
называются криволинейными интегралами no координатам, или криволинейными интегралами II рода.


372
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Сумма интегралов JP(x9y,z)dx + JQ(x,y,z)dy + JR(x>y>z)dz обозначается как
L L L
криволинейный интеграл
J P(x,y,z)(bc + Q(x1y,z)dy + R(x,yyz)dz.
L
Если кривая замкнутая, то обозначают
§P(x,y,z)dx + Q(xfy,z)dy + R(xyyyz)dz.
L
Основные свойства криволинейных интегралов II рода:
При изменении направления интегрирования интеграл меняет свой знак:
J Pdx + Qdy + Rdz = - j Pdx + Qdy + Rdz.
AB BA
Сказанное верно и для замкнутой кривой, при этом выбор точки начала обхода безразличен. Положительным направлением об- L хода считается то, при котором область, ограниченная этой кривой, остается слева (для плоской кривой это движение против часовой стрелки (рис. 12.21)).
Остальные свойства такие же, как и у криволинейного интеграла I рода.
Вычисление криволинейного интеграла II рода
Рассмотрим различные случаи задания кривой интегрирования.
□ Если пространственная кривая L задана параметрическими уравнениями х = x(t), у = y(f), z = z(t)y <t <t2, причем перемещение от точки А к точке В происходит при изменении параметра t от tx до t2, то
ч
\P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz = |[Р(ж(0;г/(0;2(0)*'(0 +
АВ
+Q(x(t);y(t);z(t))y' (t) + R(x(t);y(t);z(t))z' (t)]dt. (12.6)
□ В частном случае для плоской кривой L х = x(t), у = y(f), причем перемеще- ние от точки А к точке В происходит при изменении параметра t от tx до t2. Криволинейный интеграл вычисляется по формуле
JP(x,y)dx + Q(x,y)dy = | [Р(ж(£);y(t))x' (t) + Q(x(t);y(t))y' (£)] dt. (12.7)
AB tx
□ Если плоская кривая L определена уравнением у = у(х)7 причем перемещение от точки А к точке В происходит при изменении х от а до 6, то
ь
J P(x,y)dx + Q(x,y)dy = J [Р(х;у(х)) + Q(x;y(x))y' (f)] dx.
Рис. 12.21


Формула Грина
373
Пример 12.14. Вычислить интеграл j xdx + ydy+ (х + у-X) dz, где L— отрезок
L
прямой АВ, А(1; 1; 1), В (2; 3; 4).
Решение: найдем уравнение прямой АВ в параметрическом виде:
х хА _ у-уА _ z-zA _t ХВ ~ХА у в ~ У A ZB ~ZA
X - t + X
х-1_у_z-\
= t,
у - 2t + X z = 3t + 1
Найдем дифференциалы переменных:
dx = 1 dt, dy = 2 dt, dz = 3dt.
На прямой (AB) x изменяется от 1 до 2, тогда t будет изменяться от 0 до 1. В этом случае по формуле (12.6):
1
J xdx + ydy + (х + у — l) dz =j* + 1) • 1 + (2t + 1) • 2 + (t + 1 + 2t + 1 — 1) • 3j dt —
L 0
1 !
= J (Ш + 6) dt =(712 + &)| = 13.
o 0
Пример 12.15. Вычислить интеграл J(x2 -2xy') dx + (y2 -2xy) dy, где L — дуга параболы у = x2 от точки А(-Х 1) до точки 5(1; 1).
Решение: поскольку у = х2, то у' = 2х. На дуге (АВ) х изменяется от -1 до 1, тогда, используя формулу (12.7), получим:
j(x2 -2 xy^dx + (y2 -2 xy^dy=^\^x2 -2 х(х2^ + ^(х2>)2 -2х(х2 )j2xj dx =
= j(2r>-fa* -2*s +x‘)dx +
14
15
Формула Грина
Интеграл по замкнутому контуру L можно преобразовать в двойной интеграл по области Ц ограниченной этим контуром, и наоборот, используя формулу Грина


374
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
где функции Р(х,у), Q{x\y) и их частные производные первого порядка должны быть непрерывными в области D и на контуре L.
При этом обход контура L выбирается таким образом, что область D остается слева.
Пример 12.16. Вычислить интеграл §2(х2 + у2) dx + (х + у)2 dy, где L — контур
треугольника ABC с вершинами в точках Л( 1; 1), В (2; 2), у. ^ С( 1; 3), пробегаемый против хода часовой стрелки (рис. 12.22).
Решение: здесь Р(х; г/) = 2^х2 + г/2 ), Q(x; г/) = (лг н- г/)2,
^=2х + 2у,^-=Ау. дх ду
= -.г + 4
Подставляя эти значения в формулу Грина, получим:
2 +г/2^йЬ + (ж + г/)2й?г/ = Jj(2х + 2г/ -4y)dxdy = 2jdx j(x-y)dy =
О 1 2 х
Рис. 12.22
2 -*+4
= 2j<&
лу-
У
-х+4 2 /
-х2 + 4х -
(4-ж)2
2 2 (х — 2V
= 2J(—2дг2 + 8*-8)dx = -4j(х -2)2 dx = -4^
i 1 з
dx =
4
3'
Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Для того чтобы криволинейный интеграл ^P(x\y)dx + Q(x;y)dy не зависел от пути интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
dP^dQ ду дх
Если же, кроме того, L есть замкнутая кривая, то
J P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0.
L
Пример 12.17. Вычислить интеграл jx2dx + y2dy, где L — верхняя половина окружности х2 + у2 =4, пробегаемая по ча-
Ч т
гл,,
At
-2 —> 2 * Рис. 12.23
совой стрелке (рис. 12.23).
Решение: здесь Р(х\у) =х2, Q(x;y) =2, — =0 и — =0. Таким v 7 4 ' дх ду
образом, . Следовательно, интеграл не зависит от пути интегрирования
дх ду


Приложения криволинейных интегралов
375
и можно интегрировать по отрезку прямой АД уравнение которого у = О при -2 < х < 2. Учитывая, что dy = 0, получим
jx2dx + y2dy =jx2dx + y2dy- jx2dx =
X"
AB
-2
_ 8 8 _16 3+3 3'
ЗАМЕЧАНИЕ 12.7 Если интеграл зависит не от пути интегри- у
рования, а только от начальной точки М0(х0; у 0) и конечной точки J
М(х\у) (рис. 12.24), то его принято записывать так:
(*»)
|р(х;1/)<& + Q(x;y)dy = jp(x;y0) dx + \Q(x\y) dy,
(*o m)
y«
0
M(x, y)
i i
Уо)
X0 X X
Рис. 12.24
*o У о
т. е. интегрирование ведется по ломаной М0МХМ.
ЗАМЕЧАНИЕ 12.8 Для того чтобы криволинейный интеграл ^P(x\y\z)dx +
L
+ Q(x\y\z) dy + R(x\y;z) dz по пространственной кривой L не зависел от пути интегриро-
* * дР dQ dQ dR
вания, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства — = —= и —= = —.
ду дх dz ду
Аналогично имеет место формула
(x-,y,z) х у
jPdx + Qdy + Rdz = jP(x;y0,z0)dx+ jQ(x;y;z0)dy + jR(x;y;z)dz.
(xo;yQ\z0) x0 y0 z0
Приложения криволинейных интегралов
Приведем примеры применения криволинейных интегралов.
□ Длину дуги / плоской или пространственной линии АВ определяют по формуле
1= \dl.
(12.8)
АВ
□ Если 8(х,y,z) — линейная плотность вещества в точках дуги, то массу 8(x,y,z) дуги тАВ определяют по формуле
т= j 8(x;y;z)dl.
АВ
□ Координаты центра тяжести хс1усУ zc дуги АВ находят из соотношений
JS(x\y\z) dl J8(x;y;z) dl Jz8(x;y;z) dl
xr —
m
->Ус = :
m
m


376
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
□ Статические моменты Мх и Му плоской дуги АВ относительно координатных осей Ох и 0у определяют по формулам
Мх = jy8(x;y) dl, Му = Jx5(x;z/) dl,
АВ АВ
где 8(х,у) — линейная плотность вещества в точках плоской дуги.
□ Моменты инерции 1Х, 1у плоской дуги АВ относительно координатных осей Ох и 0у определяют по формулам
Ix = Jу2 5{х,у) dl, Iy = jx2 5(х,у) dl. (12.9)
АВ АВ
□ Полярный момент инерции /0 плоской дуги АВ относительно начала координат 0 определяют по формуле
/0 = |(х2 +у2}ь(х,у) dl.
АВ
□ Площадь S фигуры, расположенной в плоскости Оху и ограниченной замкнутой линией I, вычисляют по формуле
S = - j> xdy -ydx.
2 L
□ Работу Ey совершаемую силой F = {P(x,y,z); Q(x,yyz)\ R(x,yfz)}, приложенной в точке M(x;y,z) при перемещении ее по дуге АВ, вычисляют по формуле
Е = J P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz.
АВ
ЗАМЕЧАНИЕ 12.9 Для однородных линий 6 = const, и для простоты будем считать 5 = 1.
Пример 12.18. Найти момент инерции относительно оси Ох четверти однородной окружности х2 + у2 =9, расположенной в первом квадранте.
Решение: плотность окружности 8 = X следовательно, по формуле (12.9)
1х = \уг dl.
АВ
Для удобства вычислений перейдем к параметрическим уравнениям окружности х = 3cos tyy = 3sin£. Тогда
я п
2 2
Ix = jy2 dl = J9sin21 V9sin21 + 9cos21 dt = 27jsin2 tdt =
AB 0 0
_27? 1—cos2£ ^ = 27ri_sm2iN| Jo 2 2 I 2 )
2 27 я
" 4 •


Поверхностный интеграл по площади поверхности (I рода)
377
Поверхностный интеграл по площади поверхности (I рода)
Пусть 5 — гладкая поверхность, /(М) = /(х; у; z) — непрерывная функция на по- верхности S. Разобьем произвольным образом поверхность 5 на гг поверхностей, площади которых ASv AS2, ..., ASn. На каждой поверхности S( возьмем произвольную точку М{(х{> у{, zt ).
Обозначим Х{ диаметр поверхности 5г , а X = шахХг — наибольший из диаметров всех поверхностей S{ данного разбиения. Тогда предел последовательности инте-
п
гральных сумм ^/(Мг )А5г при X —» 0 и —► оо, т. е. при неограниченном увеличе-
г=1
нии частичных поверхностей, когда все частичные поверхности стягиваются в точку, называется поверхностным интегралом по площади поверхности или поверхностным интегралом I рода:
lim £/(M,)AS,
(n—>оо) * * S
Основные свойства поверхностных интегралов I рода:
□ Поверхностный интеграл не зависит от выбора стороны поверхности интегрирования, т. е.
\\f(M)ds=\y(M)ds,
s+ s~
где S+ и S~ — стороны поверхности S.
□ Если поверхность S разбита на непересекающиеся части St и52, то
JJ f(M) dS = Я f(M) dS + Я /(М) dS.
S 5, S2
□ Если /(M) и g(M) — непрерывные функции на S и а, р — постоянные числа, то
Я (а/(М) + рg(Mj)dS = «Я f(M)dS + рЯ
5 S S
Вычисление поверхностного интеграла I рода
Если поверхность S задана уравнением z = <р(х; у\ одно- Za
значно проецируется на какую-либо координатную плос- кость, например плоскость Оху, и область D' является /
проекцией поверхности S на плоскость Оху (рис. 12.25), то поверхностный интеграл I рода можно вычислить по формуле х
Я /(*; У’ z)ds =
Рис. 12.25
У


378
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
= ЯЛ*;
\2
+
/
Пример 12.19. Вычислить интеграл JJ-
dS
Js (3-х-z)2 х+ 2у + z = % расположенная в 1-м октанте.
Решение: поверхность интегрирования S есть треугольник ABC (рис. 12.26). Проекцией D^ поверхности S на координатную плоскость 0ху является треугольник ОАВ. Уравнение поверхности однозначно разрешимо относительно г. z = 1-х -2у, отсюда — =-%
дх
dz
— = -2. Пользуясь формулой (12.8), преобразуем дан-
ду
ный поверхностный интеграл в двойной интеграл по области D
dxdy.
, где S — часть плоскости
я
dS
-Я
М-о! +(-2)!
(З-ж-z) Dx!/(3-x-(l-x-2y))
^dxdy =
l-x 1 2
= f^J
■Mdy _
о (2 + 2у)1
\dx-1
Jn 1 + 1
A J
4 J0\3-x
-1 \dx =
= _^(_21п(3-д:)-д:)1 =^(21n2 + l-21n3) = ^2ln| + 1
Поверхностный интеграл по координатам (II рода)
Пусть S — гладкая поверхность, на которой выбрана одна из двух сторон, определяемая направлением нормали w{cosa; cos cos у}, функция f(M)=f(x>y,z) непрерывна в каждой точке М(ху у, z) поверхности S. Разбив произвольным образом поверхность S на п поверхностей Slt S2, ..., Sn и выбрав на каждой из них произвольно точку М{(х{, yif zt), построим интегральные суммы:
Е/(*.^;^ХАстД; ?/(*^>;2*ХАсО,;
1=1
i=i
где (Aay. ),., (Act*. )if (Aa^ ), — площади проекций поверхностей Sit i = t, соответствующие координатные плоскости. Тогда пределы
}mi£/(x.;^;z.XA<v), = Я f(x>y,z)dydz>
п на


Поверхностный интеграл по координатам (II рода)
379
Из? i f(*> ;y‘’z' ХЛст- ), =Я f(x> у> ^dxdz,
П-* оо I=1 S
lil?Z/(x.^.;r.XAa4/ )j = \lf(x;y;z)dxdy
n—►oo S
называются поверхностными интегралами no координатам, или поверхностными интегралами II рода.
Сумма интегралов JJ Р (х, у, z) dz/dz + JJ Q (x, у, z) dlrdz + JJ /? (x, y, z) обозна-
s s s
чается как поверхностный интеграл
JJ Р (х, у, z) dydz + Q (х, у, z) dxdz + i? (х, г/, z) б&бй/.
5
Если поверхность замкнутая, то обозначают
№р(* ,y,z)dydz + Q(x,y,z)dxdz + R(x,y,z)dxdy.
s
Поверхностный интеграл по координатам обладает свойствами, аналогичными свойствам интеграла по площади, за исключением одного: при изменении стороны поверхности поверхностный интеграл II рода меняет свой знак, например:
JJ R (х; у, z)dxdy = -JJ R (х\ у, z) dxdy,
S+ S~
где S+ и S~ — стороны поверхности S.
Вычисление поверхностных интегралов II рода
Пусть z = ср(х\у) — уравнение поверхности S и пусть S однозначно проецируется в область на плоскости 0ху, тогда
Я*(* у; z) dxdy = ±^R(^x\y\^{x\y))dxdyy (12.10)
5
где знак «+» берется в том случае, если на выбранной стороне поверхности
cosy >0, и знак «-» — если cosy <0, у — угол между нормалью к поверхности и
осью Oz.
Аналогично,
\\Q(x\y\z)dxdz = ±^Q(x\\y(x\z)\z^dxdz, (12.11)
s Dи
где у = \|/(лег; z) — уравнение поверхности S; D^ — проекция поверхности на плоскость Oxz; знак «+» берется, если cosp >0, и знак «-» — если cosp < 0, Р — угол между нормалью к поверхности и осью 0у.
Аналогично,
II y;z)dydz = ±ftP(%(y;zJ,y;z)dydz, (12.12)


380
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
где х = %(y,z) — уравнение поверхности S; Dyz — проекция поверхности на плоскость 0yz\ знак «+» берется, если cos а > 0, и знак «-» — если cos а < 0, а — угол между нормалью к поверхности и осью Ох.
Зависимость между поверхностными интегралами I и II рода
Зависимость между поверхностными интегралами I и II рода выражается формулой
JJ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = JJ \P cos a + Q cos p + /? cos y] dS, s+ S
где cos a, cos p, cos у — направляющие косинусы нормали п к выбранной стороне поверхности S. Если поверхность S задана уравнением F(x, у, z) = 0, то
F F'
cos a = ± *- ; cos Р = ± . ■■■■• -
М)!+(Р,)!+(Р-)! 1/(Р-)! +(Л)! +(Г:У
F:
cos у = ±
Ap,)2+(p»)!+(F.)2
где знак перед дробью выбирается в зависимости от стороны поверхности. Пример 12.20. Вычислить интеграл I = ^2zdxdy + уdxdz-xydydz, где поверх-
ность S представляет собой верхнюю сторону треугольника с вершинами в точках Л(1;0;0),
В(0; -1; 0) и С(0; 0; 1) (рис. 12.27).
Решение: уравнение поверхности интегрирования имеет вид х - у + z = 1 Нормаль п {cos a; cos Р; cos у} составляет острый угол с осью 0z (cos у > 0), тупой угол с осью 0у (cos р < 0) и острый угол с осью Ох х (cos a > 0)
Разобьем данный поверхностный интеграл по координатам на три слагаемых интеграла:
I = JJ 2 zdxdy + ydxdz - xydydz = 2 JJ zdxdy + JJ ydxdz - JJ xydydz
s s s s
и вычислим каждый из них.
Для вычисления первого интеграла из уравнения поверхности выразим z = 1-х + у и подставим в интеграл. Учитывая, что cosy >0, выбираем знак «+». Следовательно, по формуле (12.10)
(cos у>0)
I1 = JJ zdxdy = + JJ(1 -x + y)dxdy =
S :ABO


Поверхностный интеграл по координатам (II рода)
381
( У
= \dx\(\-х + y)dy = |dx у(\-х) + ^
О х-1 О V
(x-i)
2 Л
J 9
По формуле (12.11), учитывая, что у =х + z-\vi cos Р < О, получим:
(cos (kO)
1 i-x
12 = JJydxdz = + JJ(x + z-1 )dxdz = -Jdx j(x + z-1 )dz =
-f
лг + ;
2
£>„ :ЛОС
1-дг ,/
-J
0 0
3
е(1-лг) ■
(1--X)2
\
-(i-x)
dx =
*3 (l_xy ^ (!_x)
2 3 6 + 2
V /
=Л_1+1_Г|Л.
v2 3 6 2y 6
По формуле (12.12), учитывая, что х =у -z + in cos а > 0, получим:
(cos а>0)
h = Я xydydz = + Я (У ~z + Vydydz =
О 1+у
= jdyj(y-z + 1 )ydz = jdy \y2z-у + yz
-1 0
1+3/
-J
y(i+y)2
+ y(l + y)
dy =
„3 -.2 „3 4 2 „ЗЛ
у \ у у у у \ у ^ у
Ч 3 4 4 3
Итак, данный интеграл равен
11 1=_J_ 8 2 + 3 " 24 '
I =2/, + /2 -/3 =2f--l + --f——1 = --.
1 2 3 L 6J 6 I 24j 8
ЗАМЕЧАНИЕ 12.10 Если поверхность S нельзя однозначно спроецировать ни на одну из координатных плоскостей, т. е. ее уравнение F(x, у, z) = 0 однозначно неразрешимо относительно любой из переменных, то поверхность S разбивается на части, а интеграл — на сумму интегралов по этим частям.


382
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
Решение: разобьем данный интеграл на сумму интегралов по верхней и нижней полусферам и вычислим их, преобразуя в двойные интегралы. При этом следует учесть, что внешняя нормаль п (рис. 12.28) к верхней полусфере составляет острый угол с осью Оz (cos у > 0), а к нижней полусфере — тупой угол с осью 0z (cos у < 0)
Следовательно, учитывая, что z2 = а2 -х2 -у2, получим:
jjz2dxdy =^z2dxdy + ^z2dxdy =
(cos y>0)
S „
(cos y<0)
= + JJ(a2 ~x2 ~y2^dxdy - jj(a2-x2-y2^dxdy =0.
Пример 12.22. Вычислить интеграл ffzdxdy, где S— внешняя сторона сферы
2 2 2 2 х +у +z =а . s
Решение: из уравнения сферы найдем z = ±^а2 -х2 -у2, причем знак «+» соответствует верхней полусфере (см. рис. 12.28), а знак «-» — нижней. Разобьем интеграл на сумму интегралов по верхней и нижней полусферам:
JJ zdxdy = JJ zdxdy + JJ zdxdy =
(cos у>0)
S* Sn
(cos y<0)
f f I 2 2 2~ J J f f I 2 2 2~ J J
~ + )\ia x -y dxdy - JJ —д/л -x -у dxdy =
Dx,
= 2 JJ^a2 -x2 -y1 dxdy =2Jй?ф|л/а2 -р2рф =
в* <
о о
= 2я|т]а2 -p2dp2 = -2 л-
3
2
4я з \ 4 з = (0-^) =-ка .


Формула Стокса
383
Формула Стокса
Формула Стокса позволяет свести вычисление криволинейного интеграла по контуру L к вычислению поверхностного интеграла по незамкнутой поверхности 5, «натянутой» на контур L.
Теорема Стокса. Если функции P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y;z) и их частные производные первого порядка непрерывны в некоторой области, содержащей 5, то
/ -г,
§Pdx + Qdy + Rdz = JJ
dR_dQ dy dz
V dz dx J у dx dy
dxdy.
Направление обхода контура L и нормали к поверхности S должны быть согласованы по правилу правого винта. Это значит, что если человек, идущий по той стороне поверхности S, по которой выполняется интегрирование, перемещается вдоль кривой L в направлении криволинейного интегрирования, то поверхность S должна быть слева (рис. 12.29).
Пример 12.23. Вычислить криволинейный интеграл
з
§excbc + z(x2 +г/2)2 dy +yz3dz,
где L — линия пересечения поверхностей z - л]х2 + у2, х = О, х =2, у = 0, у = L
Решение: линией пересечения конусаz = Лjx2 +у2 и плоскостейх = 0,х = 2,у = О, у = 1 является замкнутая кривая ОАВСО (рис. 12.30).
Рис. 12.30
В качестве поверхности 5, «натянутой» на заданный контур I, возьмем часть конуса с границей ОАВСО. Тогда по формуле Стокса
о
§exdx + z(x2 +y2y*dy + yz3dz =


384
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
-я
«С»')
а|' z(x2 + г/2)
dz
д(ех) d(yz3) dz дх
dxdz +
a z(x2 + у2у
дх
Ну
dxdy =
О О 1
= \\z3 “(х2 + #2)2 dydz+ 0dxdz + z-(x2 + y2y*2xdxdy. s 2
3
Учитывая, что (x2 + */2 )2 =z3, получим:
3
jexdx + z(x2 + y2>)2 dy + yz3dz =3Jjzxyx2 -by2 dxdy.
L S
Проецируем поверхность S на плоскость Оху. Нормаль п к поверхности составляет тупой угол с осью Оz, поэтому выбираем знак «-». Тогда, подставляя z = д/х2 + у , имеем
§exdx + z(x2 +у2>)2 dy л-yz3 dz = 3JJ zx^x2 л-у2 dxdy =
L S
, 2 1
= -3j\\x2 +y2x^x2 +y2 dxdy =-3^dx^(x3 +xy2^dy =
Dxy
2 Г
- -3j dx д
о V
з xy
* У+ “4
= — 3jf x3 +—\dx--3
^_ + х_2Л
v 4 + 6 y
= -3|4 + ^|=-14.
Формула Остроградского—Гаусса
Теорема Остроградского. Если функции P(x;y;z), Q(x;y;z) и R(x;y;z) непрерывны в пространственной области V вместе со своими частными производными первого порядка, то
JJ Pdydz + Qdxdz + Rdxdy = jjjf— + — + — dxdydz ,
5 v \ dx dy dz
где поверхность S — граница области V и интегрирование по замкнутой поверхности S производится по ее внешней стороне.


Приложения поверхностных интегралов
385
Пример 12.24. Вычислить интеграл: fyx3dydz -y4dxdz + z3dxdy, где S — полная поверхность цилиндра, ограниченного поверхностями: х2 + z2 =16, у = 0, у - 2 (рис. 12.31).
дР
Решение: здесь P(x;y\z) = х3у Q(x;y;z) = -у4 и R(x,y\z) =z3. Отсюда — = Зг2, — = -Ау3 и — = Зг2.
ду &
По формуле Остроградского
Qx3dydz -уАdxdz + z3dxdy = JJJ(3*2 — 4г/3 + 3z2>) dxdydz.
S V
Введем цилиндрические координаты р, ср, у, для которых
х = р cos ф;
у =у;
z =psin9,
тогда
х3 dydz - уА dxdz + z3 dxdy =||J^3r2 — 4 г/3 + 3z2>)dxdydz =
5 у
4 2 2я 4 2
= |б?ф|рг/р|(3р2 cos2 ф-43 + 3р2 sin2 ф^dy = |^ф|рй?р|(Зр2-4г/3)*/=
ООО
= |</ф|р«/р(ф2г/-г/4)|^ =2я|(бр3 -16р)й?р =
2л 4
ООО
=4тс
А Л4 2 Л
3 8—
= 4я(192 -64) = 512л:
Приложения поверхностных интегралов
Приведем примеры применения поверхностных интегралов.
□ Площадь поверхности S определяют по формуле


386
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
□ Если 8(x,y,z) — поверхностная плотность вещества в точках поверхности, то масса т поверхности S определяют по формуле
m-^b{x\y\z)dS.
s
□ Статические моменты Мщ, Му. и М^ поверхности S относительно координатных плоскостей Оху у 0yz и 0xz определяют по формулам
Мщ = JJ zS(x,y,z)dS; Му. = JJ xd(x;y;z)dS; = JJ yd(x\y;z)dS.
S S S
□ Координаты центра тяжести хс, ус, zc поверхности Sнаходят из соотношений
Myz
*с =— т
М_
т
М
ху
т
□ Моменты инерции 1^, 1у и I. поверхности S относительно координатных осей Ох, 0у и 0z определяют по формулам
h ={J(V + z2) 8(x;y;z)dS; Iy = ||(x2 + z2) 8(x;y,z)dS;
S = Я(x2 + У2) 5(b;y;z)dS.
$
□ Моменты инерции Ix, I и I^ поверхности S относительно координатных плоскостей Оху, 0yz и 0xz определяют по формулам
1*и = Яb&y^dS-Jy. = Ях2 S(x;y;z)dS,
Ixz =\\У2 b(x;y;z)dS.
S
□ Полярный момент инерции /0 поверхности S относительно начала координат О определяют по формуле
10 =Я(*2 +у2 + z2) Kx'y’z)ds-
5
ЗАМЕЧАНИЕ 12.11 Для однородных поверхностей 8 = const, и для простоты будем считать 5 = 1.
Пример 12.25. Найти статический момент относительно плоскости Oxz части сферы х2 +у2 +z2 = t у > 0, z > 0 (рис. 12.32), если поверхностная плотность в каждой ее точке равна 5(х, у, z) = z.
Решение: статический момент вычислим по формуле
Mxz =\\y?(x,y,z)ds,
s
где поверхность S определяется уравнением у = 4\-х2 -z2. Тогда
Mv
= ЯyKx>y>z)ds = ЯVl-x2 -z2zj 1 + ^
+1 1 dxdz,
где Dx: — круг х2 +z2 < 1 в плоскости 0xz.


Задачи для типовых расчетов
387
Частные производные найдем из уравнения сферы х2 + у2 + z2 -1=0:
ду _ +У +z “Or _ х _ х
fc~~(x2 +у2 +z2 -1)' ~~л/1-*2
ду _ (х2 +у2 +Z2 -1)' _ г _ z
(х2 +у2 +Z2 -1) У л1\-х2 -z2
Следовательно,
Мю = JJ y?(x,y,z)dS =
= JJ Vl-X2 — z2 z 1 + -— + -—t dxdz =
n V l-x -Z 1-X -z
uxz
= JJл/l-x2 -z2z I 2 —fdxdz = JJz dxdz.
Dxz \\-X -z Dxz
Далее вычислим двойной интеграл, введя полярные координаты по формулам х = р cos ф, z = psincp. Получим:
о 1
я 1
М^ = JJjc dxdz = J<i(pjpsincp pdp = -cos<p|* —
о 0
2
3‘
Задачи для типовых расчетов
Задача 12.1. Измените порядок интегрирования в повторных интегралах. 1- \dx \f(x,y) dy + jd \f(x,y)dy.
0 2 x-A
2. jdx jf(x,y)dy.
1 2
X
0 2-x2
Ъ. jdx jf(x,y)dy.
-1 *2
- V3 yj^—y2 -1 1 0 1
4. J dy jf(x,y)dx + J dy j f(x,y)dx + j dy jf(x,y)dx.
-2 -V5 -i -V3
-2 у1-х2-4х V8 V 8-jf2
5. J dx J f(x,y) dy + Jdx J/(x,z/)fi?y.
- 4 - -2 -
1 * л/2 V 2—лг2
6. J«fr J/(лг,1/)dy+ jdx Jf(x,y)dy.
-1 -h-x2 1 -h-x2


388
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
V3 2-^4-х2 2 V4-х2
7. jdx jf{x,y)dy + jdx jf(x,y)dy.
oo V3 о
4 V4x
8. Jdk |/(ж,г/)ф.
2 hx-x2 2 V 4-x2
9. jf(x,y)dy.
0 4-л:2
~~4
0 4 2 4
10. Jctr jf{x,y)dy + jdxjf(x,y)dx.
-1 2"2дг 0 2х
2 У
1 2 у
11-Jdy jf(x,y)dx + jdy jf(x,y)dx.
0 0,5 у 1 0,5 у
4 2хг
12.jdx jf(x,y)dy.
i *2
4 +4
13. 	J/(*,£/)<&
-2 V
3 3y 4
14. J dy J f(x,y) dx + jdy J f(x,y)dx.
0 0 3 \--j4-y
12 e2 2
15. j dy jf(x,y)dx+jdyjf(x,y)dx.
e~2 -In у 1 In у
2 V2ax-x2
16. j dx J f(x,y) dy.
0
1 e?
Yl.jdxjf(x,y)dy .
18. 	J dx J f(x,y) dy + jdx j f(x,y)dy.
-42
-1 *
0 x 2
1 0
3 2-x
19. 	J dx J f(x,y) dy + jdx j f(x,y)dy.
1 *
20.jdx jf(x,y)dy + jdx jf(x,y)dy.
0 -V* 1 - 42-x


Задачи для типовых расчетов
389
21.Jfihe f(x,y)dy.
0
22. J dy jf(x,y) dx.
1 у2+3
3 4у 9 V*/
23. j dy J f(x,y) dx + j dy J f(x,y)dx.
0 0 3 у-3
2
-Уз o oo
24. J dx jf(x,y)dy + | dx jf(x,y)dy.
-2 _Д^2 -V3 VI^2.2
a a+Ja2+x2
25. jdx jf(x,y)dy.
0
5 9-(*-4)2
26.jdx J f(x,y)dy.
2 x+3
2 a 2 a
27. jdx j f(x,y)dy.
0
7 У-1
28. J dy J" fix, y) dx.
1 j(*-О
3 3-VsV
29. J dy J f(x,y)dx + jdy | f(x,y)dx+jdy J f(x,y)dx.
0 y^ 0 3+V 9-1/2 3 y^
6 6
In 2 ex 12 2 2
30. | dx | f(x,y) dy+ J dxj f(x,y)dy +j dx j f(x,y) dy.
0 1 In 2 1 \ x
Задача 12.2
1. Найдите массу пластины, ограниченной линиями у =0У х2 +у2 =а2, у >0, если 8 (х,у) = е х +у — поверхностная плотность пластины в точке.
2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линией (х2 +у2)2 = а2(х2
3. 	Найдите массу пластины, ограниченной линиями у = 4а2 -х2, у = - -х2,
у = 0, х > 0, если 8(х,у) = — поверхностная плотность пластины
д/й2 -X2 -
в точке.


390
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
4. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z=x + y + iy2 =х, х = 1, у = 0, z = 0.
5. Найдите массу пластины, имеющей форму кольца и ограниченной линиями х2 + у2 =9, х2 +у2 = 25, если 5(х,г/) = д/х2 л-у2 -9— поверхностная плотность пластины в точке.
6. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями х2 л-у2 =2х, у =-j=x и
л/3
7. Найдите массу пластины, ограниченной линиями х2 л-у2 = а2, х2 +у2 =ах, х = 0, у > 0, если 5 (х,у) = t — поверхностная плотность пластины
-у2
7а2 -х2 -г2
в точке.
8. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х=2у2, x + 2y + z = 4, у = 0, z = 0.
9. Найдите массу пластины, ограниченной линиями х2 л-у2 = ах, х2 л-у2 =2ах, у =0, у > 0, если Ь(х,у) = х2 л-у2 — поверхностная плотность пластины в точке.
10. 	Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2+у2=а2, х + у + z = 3а, z = 0.
л/3
И. Найдите массу пластины, ограниченной линиями у = — х, х2 л-у2 = а2, х = 0,
3
х > 0, если 5(х,у) = Х—- — поверхностная плотность пластины в точке.
X2 +у
12. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z =х2 -\-у2, х + у х = 0, у = 0, z = 0.
13. Найдите массу пластины, ограниченной линиями у =х, у = 0, х2 л-у2 =а2,
у2
если Ъ(х,у) = 1 + — поверхностная плотность пластины в точке.
х
14. Найдите объем тела, ограниченного поверхностямиz = 4-х2,2х + у = 4,х =0, у = 0, z=0.
15. Найдите массу пластины, имеющей форму кольца и ограниченной линиями
2 2 Я2 2 2 2 в/ ч ЭШд/х2 + у2
х +у = —, х +у = п , если о(х,у) = —■ поверхностная плот-
9 д/х2 +у2
ность пластины в точке.
16. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z = 4х2+2у2+\ х + у -Ъ = 0, х=0, у = 0, z=0.
17. Найдите массу пластины, ограниченной линиями у =х, х =0, х2 +у2 =ау, если Ь(х,у) = д/х2 +у2 — поверхностная плотность пластины в точке.
18. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями у + z = 2, у = х2, z = 0.


Задачи для типовых расчетов
391
19. Найдите массу пластины, ограниченной линиями у =0, х2 л-у2 =ах> у >0, если Ь(х,у) = у — поверхностная плотность пластины в точке.
20. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z-x2, х + у-2, z-0, у = 0, х > 0.
21. Найдите массу пластины, ограниченной линией (х2 +у2)2 =а2(х2 -у 2 У х >0, если Ь(х>у) = х2 +у2 — поверхностная плотность пластины в точке.
22. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 +у2 = z, у = х2, z =0, У =1
23. Найдите массу пластины, ограниченной линиями х2 + (у -1)2 = i х2 + у2 =4у, х = 0, х > 0, если 5(х,у) = ху2 — поверхностная плотность пластины в точке.
24. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z =х + у, у2 = х, у2 =2-х, z =0.
25. Найдите массу пластины, ограниченной линиями (х2 +y2^f =а2(х2 ~У2у
у =0, х >0, у >0, если 8(х,у) = х2 -у2 — поверхностная плотность пластины в точке.
26. Найдите массу пластины, ограниченной линиями х2 + у2 = Rx, у =0, у >0, если 8(*,г/) = Jr2 -х2 -у2 — поверхностная плотность пластины в точке.
27. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z=6-x2,x + 2*/=6, х =0, у= 0,z=0.
28. Найдите массу пластины, ограниченной линией (х2 +у2У =а2(х2 -у2>)
х > 0, у > 0, если д(х>у) = д/а2 -х2 -у2 — поверхностная плотность пластины в точке.
29. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями у + z = 8, у = 2х2, z = 0.
30. Найдите массу пластины, ограниченной линиями х2 +у2 =4, х2 +у2 =4г/, если 8(х,у) = х2 +у2 — поверхностная плотность пластины в точке.
Задача 12.3
1. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х =0, у-0, z = i z = а2 -х2 +1(а>2),х2 +у2 = а2.
2. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями x2+y2+z2=4, х2 +у2 +z2 = 16, z = 0, если d(x,y,z) = z — плотность тела в точке.
3. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями x2+y2+z2=a2,
х2 + у2 +z2 =Ь2 (0 < а2 < Ь2), х2 + у2 =z2 (z >0).
4. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями x2+y2+z2=R2,
х2 + у2 -a2z2 (внутри конуса).
5. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями z=x2 +у2, z- \ если 8(x,z/,z) = х2 — плотность тела в точке.
6. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 +у2 +z2 =а2,
X2 +у2 =z2, z = 0 (z >0).


392
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
7. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z =х2 + у2, z = 2х2 +2у2, z = 2 (между параболоидами).
8. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями z - ^х2 +у2, 2-z -х2 +у2, если 5(x,y,z) = x2 +у2 — плотность тела в точке.
9. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями 4z=x2+y2, х2 л-у2 + z2 = 12 (внутри параболоида).
10. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 + z2 =а2, х2 л-у2 +z2 = Ь2 (Ь > а >0), х = г/, у =0, х2 +у2 -z2 (вне конуса).
11. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями x2+y2+z2=a2y
^2
х2 +у2 =3z2yx2 +у2 = (z >0) (между конусами).
12. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями х2 + у2+z2 = 9 х2 л-у2 + z2 =25, z = 0, если §(х,г/,z) = Зг — плотность тела в точке.
13. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями у = 6, а2у =х2 + z2.
14. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z = a2-x2f х + у=а, у =2х, у =0, z =0.
15. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями z =х2 + у2, у =х2, у = i z-y =-1
16. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 = z2, х2 л-у2 +z2 = R2у у =0 (у >0).
17. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями у =х2 + z2, у = Х если S(x,2/,z) = х2 — плотность тела в точке.
18. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 +z2 = а2у у = Ху х = 0 (х > 0), Зг2 + 3у2 = z2 (внутри конуса), z > 0.
19. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 +z2 = 16,
х2 + у2 +z2 -8z =0.
20. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 + z2 -2z =0, х2 л-у2 =2 -z (внутри параболоида).
21. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями x2+y2+z2=a2y
х2 л-у2 +z2 = Ь2у х2 л-у2 = 3г2у х2 +у2 = — (0 <а<Ъ).
3
22. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 =3zy х2 + у2 + + z2 =4.
23. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 + z2 = 4, z = l
(z > 1).
24. Найдите массу тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 +z2 = 16,
х2 л-у2 - 4 (внутри цилиндра), если S(x,t/,z)= ^ — плотность
416-х2 у-2
тела в точке.
25. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 + z2 =4z, z = l
(z<l>


Задачи для типовых расчетов
393
26. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 =z, х2 +у2 =2г-4
27. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями x2+y2+z2=R2,
у=—х,у=43х.
28. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями x2+y2+z2=a2>
z = -д/х2 + у2 (вне конуса).
29. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 +z2 =4z, z = 3 (z>3>
30. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х2 +у2 + z2 =2z,
х2 л-у2 = z2 (внутри конуса).
Задача 12.4
1. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 +z2 = 1, х =0, у =0, z =0 (>0, >0, z >0).
2. Найдите момент инерции относительно оси 0х однородного тела, ограниченного поверхностями х = у2 + z2y х = 1
3. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями az = а2 -х2 -у2, z =0.
4. Найдите момент инерции относительно оси 0z однородного тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 = (z -1)2, z = 0.
5. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + 4z2 = 4уу у =2.
6. Найдите момент инерции относительно оси 0z однородного тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 + z2 =lx2 +у2 = -z2 (внутри конуса).
3
7. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями z = д/х2 + у2 у z = 2.
8. Найдите момент инерции относительно оси 0z однородного тела, ограниченного поверхностями х2 +у2 +z2 =я2, х2 +у2 +z2 =b2 (0 <a<b)y z=0 (z>0).
9. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 +у2 +z2 = а2у z =0 (z >0).
10. 	Найдите момент инерции относительно оси 0z однородного тела, ограниченного поверхностями у2 = 2pzf х2 + у2 = а2, z = 0.
И. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 +z2 =а2,х2 +у2 = —z2 (внутри конуса).


394
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
12. Найдите момент инерции относительно оси 0z однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 + z2 = а2, х2 +у2 = -z2, у =0 {у >0).
3
13. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями
х2 +у2 = z, z = 4.
14. Найдите момент инерции относительно оси 0z однородного тела, ограниченного поверхностями х2 +у2 +z2 = 4, z = tJx2 л-у2, х = 0, у = 0, z = 0.
15. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 +z2 = 2z, z = 1 (z > 1).
16. Найдите статический момент относительно плоскости z = 0 однородного тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 + z2 =25, х2 + у2 =16, z = 0 (z > 0).
17. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 +z2 = 4, z = 1 (z > 1).
18. Найдите статический момент относительно плоскости z = 0 однородного тела, ограниченного поверхностями х2 +у2 + z2 = а2, х2 +у2 =z2, z>0 (внутри конуса).
19. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями
2 2 2
^Y + ^-г + ^Y = %х = 0, у = 0, z = 0(х >0, у > 0, z> 0).
а1 Ъ1 с1
20. Найдите статический момент относительно плоскости z = 0 однородного тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 + z2 = «2, 3(х2 + y2) = z2, х2 л-у2 = 3z2, х = 0, г/ = 0 (х > 0, у > 0, z>0).
21. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями
х2 у2 z2
^ + fy + ^ = U=0(z>0).
a b с
22. Найдите статический момент относительно плоскости х = 0 однородного тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 + z2 =25, х2 л-у2 +z2 =16,х=0, у = 0, z = 0.
23. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 +z2 = R2,x2 +у2 = г2 (г < R), z = 0 (z >0).
24. Найдите статический момент относительно плоскости z = 0 однородного тела, ограниченного поверхностью х2 +у2 +z2 =2Rz.
25. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 +у2 +z2 =R2,x2 +у2 = г2 (r<R),x2 +у2 = z2 (z>0).
26. Найдите статический момент относительно плоскости z = 0 однородного тела, ограниченного поверхностями х2 л-у2 =2z, х2 л-у2 = 3-z.
27. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 +z2 = 4, х2 + у2 =1 (внутри цилиндра), z =0 (z >0).
28. Найдите момент инерции относительно оси 0у однородного тела, ограниченного поверхностями у =х2 + z2, у =4.


Задачи для типовых расчетов
395
29. Найдите центр тяжести однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 + z2 = я2, =0 (у >0).
30. Найдите момент инерции относительно оси 0у однородного тела, ограниченного поверхностями х2 + у2 + z2 =9, у = 4х2 + z2, х = 0, у = 0, z = 0.
Задача 12.5
1. Вычислите момент инерции относительно оси Ох однородного участка линии
\х = a(t-sint)-
/л ,ч (первая арка).
[у = a(l-cos£)
2. Вычислите массу отрезка прямой АВ, где Л (0,0; -2) В(4; 0; 0), если линейная
1
плотность в каждой точке равна 5(х, г/, z) = .
х-z
3. Вычислите массу дуги параболы у2 -2рх, отсеченной параболой х2 =2ру, если линейная плотность в каждой точке равна ординате этой точки.
4. Вычислите массу контура прямоугольника ABCD с вершинами в точках Л(0,0; 0), 5(0; 4; 0), С(0; 4; 2), D(0; 0; 2) если линейная плотность в каждой его точке определяется выражением д(х, у, z) = yz.
х = 3t,
у = 3t2; от точки О (0; 0; 0) до точки А (3 3,2).
z=2t3
5. Вычислите длину дуги кривой
„ ^ Iх = ciicost + t-smt); Гл ,
6. Вычислите массу участка линии < ; С t е 0\ если линеиная
[у =a(sint-tcost), 1 J
плотность в каждой точке равна ее расстоянию до начала координат.
7. Вычислите момент инерции относительно начала координат однородного
х = acosty
у = asinty
z = bt.
первого витка винтовои линии
[х — a cos ty
8. Вычислите массу части окружности < в первой четверти, если ли-
[ у = asint
нейная плотность в каждой точке равна 5(хуу) = ху.
9. Вычислите статический момент относительно оси Ох однородного контура
W+Z2 =4у;
х =0.
10. Вычислите массу контура треугольника ABC, где А(-1; 0), В( 1; 0), С(0; 1), если линейная плотность в каждой его точке равна 5(xfy) = ху.
11. Вычислите момент инерции относительно оси 0у однородного участка линии у = lnx от точки A (xt - л/3) до точки В (х2 = Vo).
12. Вычислите массу контура L х2 + у2 =4х, если линейная плотность в каждой его точке равна д(х,у) = х-у.


396
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
13. 	Вычислите статический момент относительно оси Ох однородной части кривой у = 2л/х,0 < х < 1
14. Вычислите массу дуги линии
X = t\
t2 л
у = —=; от точки А
л/2
f \ _L А IV 3,
до точки
z = -
, если линейная плотность в каждой ее точке равна
V 3 ,
К*>у> z) = j-
15. 	Найдите массу контура правого лепестка лемнискаты р2 = a2 cos2cp, если линейная плотность в каждой его точке равна д(х>у) = х + у.
х = t,
St2
16. 	Вычислите длину дуги кривой
У
Z = t
-; (0 < £ < 1).
17. Вычислите массу прямолинейного стержня АВ, где A(-i; 0) В(0; 1), если линейная плотность в каждой его точке равна Ь(хуу) = -Wx + 3Jy.
18. Вычислите момент инерции относительно оси 0у верхней половины однород¬
ной окружности х2 + у2 = а2.
19. 	Вычислите массу первого витка винтовой линии
х = acost,
у = asint, если линейная z = at,
плотность в каждой ее точке равна b(x,yyz) = —
х1 +У
20. Найдите центр тяжести однородной дуги окружности радиуса а при центральном угле, равном 2<р.
21. Вычислите массу прямолинейного стержня АВ, где Л(0; -2), 5(4; 0), если линейная плотность в каждой его точке обратно пропорциональна расстоянию от точки до начала координат.
22. Вычислите длину дуги линии у = 1 - ln(cos х) при 0 < х < ^.
23. Вычислите массу контура треугольника 0АВ, где 0(0; 0), А(-1; 0), 5(0; 1), если линейная плотность в каждой его точке равна Ь(х,у) = х + у.


Задачи для типовых расчетов
397
24. Вычислите момент инерции относительно начала координат участка одно-
\х = 2(cos£ + £sin£)* родной линии < ; 0 < t < 2л
уу = 2(sm£-£cos£),
25. Вычислите массу контура х2 л-у2 =Ах, если линейная плотность в каждой его точке равна расстоянию от точки до начала координат.
х
26. Вычислите длину дуги цепной линии у = a ch — при 0 < х < а.
а
27. Найдите координаты центра тяжести однородной кардиоиды р = a(t + cos ср).
х2 у2
28. Вычислите момент инерции относительно оси 0у части эллипса — + — = \
4 16
лежащей в первой четверти, если линейная плотность в каждой его точке равна 8 (х,у) = у.
29. Вычислите массу дуги окружности х2 + у2 = г2, лежащей в первой четверти, если линейная плотность в каждой ее точке равна Ь(х,у) = х2у.
30. Найдите статический момент относительно оси Ох однородной первой арки
Г х = 3(£-sin£); Л циклоиды < ,> \0 <t <2к.
[у =3(1-cos £),
Задача 12.6
1. Вычислите площадь части поверхности z =х2 + у2, отсеченной плоскостью z = 4.
2. Вычислите статический момент относительно оси 0z однородного участка поверхности z2 = х2 + г/2,0 < z < 4.
3. Вычислите моменты инерции относительно координатных плоскостей однородной треугольной пластинки х + у + z = \, х >0, у > 0, z>0.
4. Найдите координаты центра тяжести части однородной поверхности конуса z = tJx2 + у2, вырезанной цилиндром х2 л-у2 -2х.
5. Вычислите массу участка поверхности z2 =х2 +у2, ограниченного плоскостями z = 1, х = 0, у - 0, если поверхностная плотность к каждой ее точке 8 = ху.
6. Вычислите момент инерции относительно оси 0z однородной сферической оболочких2 +у2 + z2 =а2> z >0.
7. Вычислите массу участка поверхности z2 =х2 +у2, отсеченной плоскостью z = 1 если поверхностная плотность к каждой ее точке 8(х, y,z) = z2.
8. Вычислите статические моменты относительно координатных плоскостей однородной треугольной пластинки х + у + z-a,x> 0, у > 0, z>0.
9. Вычислите массу участка поверхности 9z-х 2+у2,0 <z <% если поверхност-
\ 9z
ная плотность в каждой ее точке 8(х, у> z) =
л/9+4 z
10. 	Вычислите площадь участка поверхности z2 =х2 +у2> вырезанной цилиндром х2 +у2 = 2у, z > 0.


398
Глава 12. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы
11. Вычислите массу полусферы х2 + у2 +z2 =а2, z>0, если поверхностная плотность в каждой ее точке 8(х, у, z) =
а
12. Вычислите момент инерции относительно оси 0z однородного участка поверхности z = *Jx2 + у2,0 < z < 1
13. Найдите массу параболической оболочки z =-(х2 +у2^ 0 <z <% если поверхностная плотность в каждой ее точке равна 8(х, у, z) = z.
14. Найдите площадь участка поверхности х2 л-у2 +z2 =4, вырезанной цилиндром X2 л-у2 =2у.
15. Вычислите момент инерции относительно плоскости 0yz полусферы z = д/j?2 -х2 -у2, если поверхностная плотность в каждой ее точке 8(х, г/, z) = y2.
16. Вычислите массу однородного участка поверхности z2 =х2 +у2, вырезанного цилиндром х2 + у2 =2х.
17. Найдите координаты центра тяжести однородной параболической оболочки 2z =х2 +у2, 0 <Z <а.
18. Найдите массу участка поверхности z2 =х2 + у2, 0 < z < i если поверхностная плотность в каждой ее точке 8(х, г/, z) = z.
19. Вычислите площадь участка поверхности z2 = 2 ху при z >0,0 <х <<2,0 < у <Ь.
20. Вычислите массу части сферы х2 +у2 + z2 =<я2, находящейся в первом октанте (х > 0, у > 0, z > 0), если поверхностная плотность в каждой ее точке равна расстоянию от точки до оси 0z.
21. Вычислите момент инерции относительно оси 0z однородной сферы х2 л-у2 +z2 = а2, расположенной в первом октанте.
22. Найдите координаты центра тяжести однородной части сферической поверхности х2 л-у2 +z2 = а2, лежащей в первом октанте.
23. Найдите момент инерции относительно оси 0z однородной части поверхности конуса z2 = 4 • (х2 + у2) при 0 < z < 2.
24. Найдите площадь участка поверхности х2 =2pz при 0 < х < 2, х < у < 2х.
25. Вычислите момент инерции однородной сферической поверхности радиуса а относительно ее диаметра.
26. Найдите координаты центра тяжести однородного сферического сегмента х2 + у2 +z2 = 16при 3<z < 4.
27. Найдите площадь поверхности сферы х2 + у2 + z2 = а2, заключенной внутри
х2 у2 цилиндра — + =
а1 Ъ1
28. Найдите площадь поверхности цилиндра х2 +у2 =16, заключенной между плоскостями у + z =0и z =0.


Задачи для типовых расчетов
399
29. Найдите массу поверхности цилиндра х2 л-у2 = 25, заключенной между плоскостями z = 0 и z = 5, если поверхностная плотность в каждой ее точке обратно пропорциональна квадрату расстояния от нее до начала координат.
30. Вычислите момент инерции относительно плоскости 0yz поверхности z = д/х2 + у2, отсеченной плоскостью z = 4, если поверхностная плотность в каждой ее точке равна квадрату ее ординаты.


Список рекомендуемой и использованной литературы
1. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука, 1985.
2. Бугров Я. С., Никольский С. М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1987.
3. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1988.
4. Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
5. Запорожец Г. И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высш. нпс., 1966.
6. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. М.: Наука, 1989.
7. Кузнецов Л. А. Сборник заданий по высшей математике. М.: Высш. шк., 1983.
8. Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (функции одной переменной). М.: Наука, 1973.
9. Немыцкий В., Слудская М., Черкасов А. Курс математического анализа. М.: Наука, 1987.
10. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис пресс, 2004.
11. Линейная алгебра и основы математического анализа: Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1981.
12. Специальные разделы математического анализа: Сборник задач по математике для втузов / Под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. М.: Наука, 1981.
13. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике. Ч. 1-3 / Под ред. А. П. Рябушко. Минск: Выш. шк., 1991.
14. Шипачев В. С. Высшая математика. М.: Высш. шк., 2003.