Текст
                    Г.М. СОЛОВЬЁВ
УРАВНЕНИЯ
ДВИЖЕНИЯ
ИСКУССТВЕННЫХ
СПУТНИКОВ
ЗЕМЛИ
04.Xi.W57

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ТОЧНЫХ ПРИБОРОВ Г.М. СОЛОВЬЁВ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ МОСКВА 2007
УДК 629.195+551.5 ББК 39.6 С60 Соловьев Г.М. С60 Уравнения движения искусственных спутников Земли. - М.: НИИ КС, 2007. - 224 с., библ. 98 назв. ISBN 978 - 5 - 902991 - 06 - 9 Широкое применение космических технологий в промышленности, науке, в деятельности человека связано с использованием данных о движе- нии ИСЗ. Эти данные определяют на основе уравнений движения. Рассмот- ренные уравнения описывают изменение оскулирующих орбитальных пара- метров и экваториальных параметров в системе координат, связанной со средним экватором эпохи 2000 года и с истинным экватором. Приведены методы численного интегрирования и результаты аналитических решений дифференциальных уравнений. В книге описаны дифференциальные урав- нения вековых и долгопериодических изменения параметров орбиты. Рас- смотренные в книге уравнения, применяют в контуре управления ИСЗ, в центрах обработки специальной информации, при проектировании космиче- ских систем и специальной аппаратуры. Материалы книги могут быть полезны инженерам и научным сотруд- никам, специализирующимся на применении космических технологий, про- ектировании космических систем и специальной аппаратуры, а также сту- дентам, аспирантам и адъюнктам космических специальностей. Об авторе: СОЛОВЬЁВ Геннадий Михайлович - доктор технических наук, про- фессор, действительный член Академии космонавтики имени К. Э. Циолков- ского, заслуженный деятель науки Российской Федерации, главный научный сотрудник Научно-исследовательского института точных приборов, область научных интересов тесно связана с вопросами навигационно- баллистического обеспечения управления полетом ИСЗ. УДК 629.195+551.5 ББК 39.6 © Г.М. Соловьёв, 2007 © НИИ КС, 2007 ISBN 978 - 5 - 902991 - 06 - 9
SCIENTIFIC RESEARCH INSTITUTE OF THE PRECISION INSTRUMENTS EQUATIONS OF MOTION OF ARTIFICIAL EARTH SATELLITES MOSCOW 2007
4 G.M. SOLOVYEV C60 Equations of motion of Artificial Earth Satellites - M.: SRI SS, 2007. - 224 p., bibl. 98 names. ISBN 978 - 5 - 902991 - 06 - 9 The wide application of space technologies in the industry, the science, in human activity is connected with the use of data about the motion artificial earth satellite. These data are determined on the basis of equations of motion. The equa- tions examined describe a change in the osculating orbital parameters and equato- rial parameters in the coordinate system, connected with the mean equator of ep- och of 2000 and with the true equator. The numerical integration methods and the results of the analytical solutions of differential equations are given. In the book the differential equations of an secular and long-period change in the orbital pa- rameters are described. The examined in the book equations, use in the control loop artificial earth satellite, in the centers of processing special information, with the design of space systems and special equipment. The materials of the book can be useful for engineers and scientific work- ers, who specialize in the application of space technologies, the design of space systems and special equipment, and also to students, to graduate students and to the adjuncts of space specialties On the author: Solovyev Gennadiy Mikhaylovich - doctor of technical sciences, professor, the active member of the academy of cosmonautics of name К. E. Tsiolkovskiy, the Honored Scientist of the Russian Federation, the main scientific worker of the Scientific Research Institute of precision instruments, the region of scientific in- terests is tightly connected with questions of the navigation- ballistic guarantee of flight control artificial earth satellite. © G.M. Solovyev, 2007 © SRI SS, 2007 ISBN 978 - 5 - 902991 - 06 - 9
Содержание 5 СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ......................................... 9 ВВЕДЕНИЕ............................................ 14 Раздел 1 Невозмущенное движение ИСЗ..................... 19 1.1. Движение в орбитальной плоскости............... 19 1.2. Движение в пространстве........................ 22 1.3. Приращения параметров орбиты под действием им- пульсов скорости.................................. 25 Раздел 2 Возмущающие факторы............................ 30 2.1. Возмущающие факторы, учитываемые в уравнениях 32 движения ИСЗ.............................. 2.2. Возмущающие ускорения гравитационного поля Земли........................................... 34 2.2.1. Возмущающие ускорения зональных гармоник. 36 2.2.2. Возмущающие ускорений тессеральных и сектори- альных гармоник................................. 39 2.2.3. Представление геопотенциала в орбитальных пара- метрах.......................................... 41 2.2.3.1. Представление возмущающих ускорений геопотен- циала в орбитальной системе координат............. 42 2.2.3.2. Представление геопотенциала как совокупность гармоник произвольной степени п и порядка т .... 47 2.2.3.3. Представление геопотенциала как совокупность гармоник порядка т.............................. 50 2.3. Возмущающие ускорения, создаваемые влиянием сопротивления атмосферы......................... 58 2.4. Возмущающие ускорения, обусловленные гравита- ционным притяжением Луны и Солнца................. 61 2.5. Возмущающие ускорения, вызываемые приливной деформацией Земли............................... 63
6 Уравнения движения искусственных спутников Земли 2.6. Возмущающие ускорения, вызываемые влиянием сил светового давления...................... 66 2.7. Составляющие возмущений, обусловленные дви- жением экваториальной плоскости Земли............... 67 2.8. Разложение возмущающих ускорений в ряды Фурье 70 2.9 Малые возмущающие эффекты в движении ИСЗ 77 Раздел 3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ... 78 3.1. Дифференциальные уравнения в орбитальных па- раметрах............................................ 78 3.2. Дифференциальные уравнения в неособенных пе- ременных............................................ 82 3.3. Уравнения движения в прямоугольной экватори- альной геоцентрической системе координат............ 85 3.4. Уравнения движения в экваториальной системе ко- ординат, связанной с истинным экватором............. 87 3.5. Уравнения движения в экваториальной гринвичской относительной системе координат............. 88 3.6. Дифференциальные уравнения, описывающие ве- ковые и долгопериодические изменения парамет- ров орбиты.................................. 90 3.6.1. Дифференциальные уравнения................... 90 3.6.2. Скорость изменения параметров орбиты от второй, третьей и четвертой зональных гармоник.............. 92 3.6.3. Скорость изменения параметров орбиты от зональ- ных гармоник........................................ 94 3.6.4. Скорость изменения параметров орбиты от резо- нансных членов тессеральных гармоник................ 99 3.6.5 Вековые и долгопериодические изменения парамет- ров орбиты от сопротивления атмосферы, гравита- ционного притяжения Луны и Солнца, приливных эффектов в земной коре, давления света..... 104 3.6.6. Преобразование дифференциальных уравнений, выделение вековых и долгопериодических состав- ляющих возмущений.......................... 105 3.7. Составляющие возмущений, вызываемые движени- ем экваториальной плоскости Земли.................. 109 Раздел 4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений движения ИСЗ. Вычисление параметров орбиты на заданные моменты времени......... 111 4.1. Численное интегрирование.................... 111
Содержание 7 4.2 Одношаговый итерационный метод численного интегрирования.............................. 115 4.3. Особенности численного интегрирования систем дифференциальных уравнений.................. 119 4.4. Численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих вековые и долгопериоди- ческие возмущения параметров орбиты......... 129 Раздел 5 Аналитические решения дифференциальных урав- нений движения ИСЗ..................................... 131 5.1 . Аналитические решения........................ 131 5.2 . Возмущения параметров орбиты от второй, третьей и четвертой зональных гармоник.............. 133 5.2.1. Возмущения векового характера................ 134 5.2.2. Периодические составляющие возмущений........ 137 5.3 . Возмущения от гармоник геопотенциала произ- вольной степени и порядка........................... 144 5.3.1 Возмущения параметров орбиты от зональных, тес- серальных и секториальных гармоник геопотенциала 144 5.3.2 Возмущения от гармоник геопотенциала порядка т................................................... 149 5.3.3 Возмущения от зональных гармоник геопотенциала 159 5.4 . Короткопериодические возмущения параметров орбиты от сопротивления атмосферы, гравитацион- ного притяжения Луны и Солнца, приливных эф- фектов в земной коре и давления света............... 165 5.5 Возмущения от сопротивления атмосферы........... 167 5.5.1 Аналитические решения, определяющие влияние сопротивления атмосферы на движение ИСЗ..... 167 5.5.2 Скорости изменения параметров орбиты векового характера................................... 169 5.6 Вычисление параметров орбиты на заданные мо- менты времени....................................... 172 5.7 Преобразование оскулирующих параметров в кеп- леровы параметры средней орбиты..................... 176 5.8 Вычисление параметров средней и оскулирующей орбиты на заданные моменты времени при наклоне- нии орбиты, близком к критическим значениям z~63,4°,или 116,6° ........................ Ш 5.9 Вычисление оскулирующих параметров орбиты на заданные моменты времени при интегрировании усредненных дифференциальных уравнений.............. 178
8 Уравнения движения искусственных спутников Земли 5.10 Преобразование параметров оскулирующей орбиты в параметры средней орбиты.................... 188 Раздел 6. Редукционные вычисления, координаты Луны и Солнца........................................ 190 6.1. Соотношения между системами экваториальных координат..................................... 190 6.2. Матрицы прецессии и нутации................... 199 6.3. Звездное время................................ 202 6.4. Формулы вычислений координат Луны и Солнца.... 203 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 209 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ.................................... 213 ЛИТЕРАТУРА.............................................. 217
Предисловие 9 Книга посвящается 50-летию запуска Первого Искусственного Спутника Земли ПРЕДИСЛОВИЕ Пятьдесят лет назад впервые в космическое пространство был запущен Первый Искусственный Спутник Земли. Этот запуск осуще- ствлён в СССР 4 октября 1957 года. Подготовка и осуществление запуска потребовала проведения глубоких научных исследований и проведения расчетов по определе- нию параметров орбиты и прогнозированию движения ИСЗ. Уровень изученности геофизических факторов, оказывающих влияние на дви- жение ИСЗ, был в то время довольно низким [65]. Уравнения, описы- вающие движение спутника, были упрощенными. В лучшем случае учитывали притяжение центрального тела, сжатие Земли и сопротив- ление атмосферы. Электронные машины обладали слабыми вычислительными возможностями, имели низкое быстродействие и обладали малой па- мятью. Для представления мантиссы чисел в лучшем случае исполь- зовалось 32 двоичных разрядов. В этих условиях для решения задач расчета движения ИСЗ и целеуказаний станциям слежения широко использовались графоаналитические методы. Последующие запуски ИСЗ показали необходимость повыше- ния точности определения орбит и прогнозирования движения спут- ников. С этой целью в срочном порядке создавались новые радиотех- нические и оптические средства измерения параметров орбиты, изу- чались возмущающие факторы, оказывающие определяющее влияние на движение ИСЗ. Особое значение придавалось изучению гравита- ционного поля Земли и влияния атмосферы на движение ИСЗ. Были получены первые аналитические решения уравнений движения ИСЗ [25], [71], [85], [97], [98]. По мере совершенствования вычислительной техники, изучения возмущающих факторов, воздействующих на движение ИСЗ, уточня- лись уравнения движения. Развивались методы аналитического и чис-
10___________Уравнения движения искусственных спутников Земли ленного интегрирования дифференциальных уравнений. На этой ос- нове повышалась точность определения параметров орбиты и прогно- зирования движения ИСЗ. Интенсивное развитие космической техники осуществлялось в интересах научно-технического, экономического и оборонного ис- пользования космического пространства [45]. Интенсивно развивались космические технологии. На их основе население земного шара получило реальную возможность в осущест- влении непрерывной и глобальной телефонной, радио и телевизион- ной связи между любыми районами Земного шара. Для всей поверхности Земли и в околоземном космическом про- странстве создано глобальное радионавигационное поле, формируе- мое космическими навигационными системами Глонасс и GPS. Ис- пользование глобального радионавигационного поля позволяет по- требителю в любом районе Земного шара и околоземного космиче- ского пространства до высоты 4000км определять свое местоположе- ние с погрешностью менее 20-30 м., а в районах дополнительно ос- нащенных наземными дифференциальными станциями определять свое местоположение с погрешностью в несколько десятков санти- метров [95]. Космические системы осуществляют непрерывный мониторинг земной поверхности. Использование космических технологий позво- ляет наблюдать за поверхностью Земли в любом районе Земного ша- ра, различать объекты размерами менее одного метра. Широкое применение космических технологий в промышлен- ности, экономике, науке, в обеспечении жизнедеятельности каждого человека связано с использованием высокоточных данных о движе- нии ИСЗ. Для получения этих данных применяют высокоточные ме- тоды определения и прогнозирования орбит. В основу этих методов положены уравнения, описывающие движение ИСЗ, методы их чис- ленного интегрирования и аналитические решения. Ранее область знаний о движении ИСЗ использовалась узким кругом специалистов, занимающихся вопросами проектирования и эксплуатации космических систем. С ростом количества пользовате- лей и разработчиков космических технологий эта область знаний на- ходит все большее количество потребителей. Настоящая книга написана в интересах расширяющегося круга потребителей и разработчиков космических технологий, использую- щих информацию о движении ИСЗ. В книге описаны основные типы дифференциальных уравнений движения, применяемые в контуре управления ИСЗ, в центрах обработки специальной информации, при
Предисловие 11 проектировании космических систем и аппаратурных комплексов, использующих и вырабатывающих информацию о движении ИСЗ. Издаваемая в этой области литература носит в большей степени теоретический характер. В ней основное внимание уделяется теоре- тическим основам определения возмущающих факторов, воздейст- вующих на движение ИСЗ, выводу дифференциальных уравнений возмущенного движения ИСЗ и методам получения аналитических решений. Использование такой литературы потребителями и разра- ботчиками космических технологий требует глубоких теоретических знаний в области небесной механики, астрономии, теории полёта не- бесных тел. Подготовка таких специалистов занимает многие годы, что неприемлемо при подготовке специалистов в области прикладных космических технологий. В книге описаны основные уравнения движения ИСЗ, исполь- зуемые в центрах управления и применения ИСЗ по целевому назна- чению. В книге отсутствуют теоретические обоснования и выводы этих уравнений. Для желающих восполнить уровень знаний в этой области приводятся ссылки на соответствующую литературу. Все со- отношения для дифференциальных уравнений движения ИСЗ, ре- зультаты их решения представлены в форме алгоритмов и могут быть использованы при разработке соответствующих программных ком- плексов. В книге рассмотрены системы дифференциальных уравнений, описывающие движение ИСЗ в кеплеровых параметрах орбиты, в не- особенных переменных и в параметрах земной геоцентрической эква- ториальной системы координат, связанной со средним экватором эпо- хи 2000 года, средним экватором даты и истинным экватором. Приводится система усредненных дифференциальных уравне- ний, описывающая вековые и долгопериодические изменения орби- тальных параметров. Основные материалы, изложенные в книге, позаимствованы из литературы, опубликованной в периодических изданиях. Ряд алго- ритмов и методов, описанных в книге, разработаны автором, прове- рены и включены в состав программных средств контура управления и применения ИСЗ. Книга содержит шесть разделов. В первом разделе описаны уравнения невозмущенного движе- ния ИСЗ. Приводятся основные формулы, которые широко исполь- зуются в небесной механике и при решении многих прикладных за- дач применения ИСЗ. Приводятся уравнения, определяющие измене- ние орбитальных параметров под действием импульсов, составляю-
12___________Уравнения движения искусственных спутников Земли щие которых направлены по осям орбитальной системы координат, по вектору скорости и перпендикулярно к вектору скорости в плоско- сти орбиты. Во втором разделе рассматриваются основные возмущающие факторы, оказывающие влияние на движение ИСЗ. Подробно описа- ны возмущающие факторы, обусловленные несферичностью Земли. Рассмотрены возмущающие ускорения, обусловленные гравитацион- ным притяжением Луны и Солнца, приливной деформацией в теле Земли, световым давлением, движением экваториальной плоскости Земли. Приводится алгоритм расчета коэффициентов разложений возмущающих ускорений в ряды Фурье по эксцентрической анома- лии. В третьем разделе приводятся уравнения возмущенного движе- ния ИСЗ. Рассмотрены дифференциальные уравнения в кеплеровых орбитальных параметрах, в неособенных переменных, в прямоуголь- ной инерциальной экваториальной геоцентрической системе коорди- нат, в прямоугольной экваториальной геоцентрической системе коор- динат, связанной с истинным и средним экватором. Описаны диффе- ренциальные уравнения для вековых и долгопериодических возму- щений орбитальных параметров. В четвертом разделе рассматриваются методы численного ин- тегрирования системы дифференциальных уравнений движения ИСЗ. Для численного интегрирования дифференциальных уравнений пред- ложен и подробно описан одношаговый итерационный метод. Его можно использовать при численном интегрировании систем диффе- ренциальных уравнений, описывающих изменение орбитальных па- раметров оскулирующей орбиты и орбитальных параметров системы усредненных дифференциальных уравнений В пятом разделе приводятся результаты аналитического реше- ния уравнений возмущенного движения ИСЗ. Приводится алгоритм аналитического решения, определяющего возмущения параметров орбиты, обусловленные совместным влиянием несферичности Земли и сопротивления атмосферы. Приводятся соотношения для расчета короткопериодических возмущений параметров орбиты, обусловлен- ных влиянием совокупности возмущающих факторов: сопротивления атмосферы, гравитационного притяжения Луны и Солнца, приливных эффектов в земной коре, давления света В шестом разделе приводятся алгоритмы расчета звездного вре- мени, параметров прецессии и нутации Земли, формулы преобразова- ния систем экваториальных координат от средней эпохи к истинному и среднему экватору. Приводятся аналитические формулы расчета
Предисловие 13 координат Луны и Солнца. Использование этих формул в программ- ных комплексах позволяет на любой момент времени получать ас- трономические данные для решения уравнений движения ИСЗ, не прибегая к данным Астрономического Ежегодника. Автор благодарит Вороного Анатолия Тимофеевича, общение с которым способствовало написанию книги, и выражает признатель- ность Баталову Василию Николаевичу за ценные замечания и пред- ложения по улучшению её содержания.
14 Уравнения движения искусственных спутников Земли ВВЕДЕНИЕ Специалисты, занимающиеся вопросами проектирования кос- мических систем, определения орбит, прогнозирования движения ИСЗ, применения ИСЗ по целевому назначению накопили большой опыт по методам и алгоритмам решения баллистических задач. Этот опыт основывается на теоретических положениях, которые были раз- виты в течение прошедших 50 лет после запуска Первого Искусст- венного Спутника Земли. Основные теоретические положения накоп- ленного опыта представлены в списке использованной литературы. В связи с внедрением высокопроизводительной вычислитель- ной техники, значительно расширилась область применения числен- ных методов интегрирования дифференциальных уравнений. Расши- рился состав учитываемых возмущающих факторов, увеличились ин- тервалы достоверного прогнозирования движения ИСЗ. В силу отно- сительной простоты и высокой точности численных методов они по- лучили наибольшее распространение среди специалистов, занимаю- щихся проблемами высокоточного определения орбит и прогнозиро- вания движения ИСЗ, и среди основной массы потребителей этих данных. В большинстве случаев уравнения движения ИСЗ описывают изменение орбитальных параметров в земной экваториальной систе- ме координат, когда основная плоскость используемой системы коор- динат совпадает с плоскостью экватора. Экваториальными системами координат называют прямоуголь- ные системы координат, с началом в центре масс Земли. Основная плоскость OXY совпадает с плоскостью экватора, ось ОХ направ- лена по линии пересечения плоскости экватора и плоскости эклипти- ки в точку весеннего равноденствия, ось OZ перпендикулярна к плоскости экватора и направлена к северному полюсу, ось OY до- полняет систему экваториальных координат до правой.
Введение 15 Вследствие вращения Земли вокруг центра масс плоскость эк- ватора непрерывно изменяет положение в пространстве. Положение истинного экватора определяется параметрами прецессии и нутации. Движение экваториальной плоскости отслеживается в процессе ин- тегрирования системы дифференциальных уравнений движения ИСЗ. Если движение спутника описывается в экваториальной системе координат, связанной с истинным экватором, то в правых частях сис- темы дифференциальных уравнений учитывают соответствующие поправки. Если движение ИСЗ рассматривается в инерциальной системе координат, связанной с плоскостью фиксированного экватора, то при- нимают во внимание тот факт, что положение истинного экватора Земли и фиксированного экватора инерциальной системы координат не совпадает. Их взаимное положение с течением времени изменяет- ся. Поэтому при расчете возмущающих ускорений и при определении положения спутника относительно Земли учитывают изменение по- ложения истинного экватора в каждый момент времени. В книге рассмотрены дифференциальные уравнения движения ИСЗ, описывающие изменение орбитальных параметров с учетом воз- действия сил гравитационного притяжения Земли, сопротивления ат- мосферы, гравитационного притяжения Луны и Солнца, сил светово- го давления, сил приливной деформации Земли. Рассмотрены варианты уравнений движения ИСЗ, описываю- щих изменение орбитальных параметров в системе координат, свя- занной с истинным экватором, в системе координат, связанной со средним экватором даты и в инерциальной системе координат, отне- сенной к среднему экватору эпохи 2000 года. Системы дифференциальных уравнений интегрируют, как пра- вило, численными методами. Применение численных методов с ис- пользованием современной высокопроизводительной вычислитель- ной техники позволяет получать высокоточные решения дифферен- циальных уравнений на длительных интервалах. При представлении мантиссы чисел 48-64 двоичными разрядами практически снимается проблема накопления вычислительных ошибок при малом шаге чис- ленного интегрирования. При использовании численных методов точность прогнозирования движения ИСЗ определяется уровнем зна- ния возмущающих факторов, воздействующих на движение ИСЗ, и точностными характеристиками измерительных средств, используе- мых при измерении текущих навигационных параметров. Наряду с численными методами интегрирования систем диффе- ренциальных уравнений довольно широко используются и аналити-
16 Уравнения движения искусственных спутников Земли ческие решения. Они имеют определенную специфику и разрабаты- ваются, как правило, применительно к конкретным орбитам и решае- мым задачам. В аналитических решениях при учете долгопериодических воз- мущений от несферичности Земли возникают особенности, связанные с критическим наклонением плоскости орбиты к плоскости экватора Земли (i = 63,4° и i — 116,6 ). Появляются малые делители при уче- те возмущений от тессеральных гармоник, если ИСЗ ежесуточно строго повторяет свою трассу. Малые делители появляются при учете долгопериодических возмущений от гравитационного притяжения Луны и Солнца. В аналитических решениях следует учитывать особенности, обусловленные величиной эллиптичности орбиты. Если значение эксцентриситета средней орбиты стремится к нулю, то периодические возмущения в эксцентриситете, в аргументе перигея и в средней ано- малии принимают большие значения. В этом случае при расчете пе- риодических возмущений орбитальных параметров используют воз- мущения в неособенных переменных, переменных Хилла [48], [51], [93] или используют возмущения в элементах 8е, е8(О, е8М, 8(М + со). С увеличением эллиптичности орбиты возрастает количество членов, определяющих короткопериодические и долгопериодические возмущения параметров орбиты. В рамках аналитических решений проблематично получить ре- зультаты, определяющие положение ИСЗ с методической погрешно- стью менее одного метра. От разработчиков программных комплексов, использующих аналитические решения, требуются широкие знания в области воз- действия возмущающих факторов на движение ИСЗ, и в области ана- литических методов решения систем дифференциальных уравнений. Программные комплексы, реализующие аналитические методы ре- шения систем дифференциальных уравнений получаются более сложными и громоздкими в сравнении с комплексами, использую- щими только численные методы решения. Перечисленные особенности аналитических решений ограничи- вают область их возможных приложений. В книге используются понятия оскулирующей и средней орбиты. Оскулирующая орбита в каждый момент времени пред- ставляется оскулирующими элементами Q(t). которые дают
Введение 17 положение и скорость ИСЗ для этого момента по формулам не- возмущенного движения. Таким образом, оскулирующая орбита в момент t это та кеплерова орбита, которая соответствует по- ложению и скорости ИСЗ в этот момент. Средняя орбита в каждый момент времени представляется средними элементами Q(t). которые связаны с оскулирующи- ми элементами Q(t) следующими соотношениями Q(t) = Q(t) + 8Q(Q(t)). Здесь 8Q(Q(t)) периодические состав- ляющие возмущений параметров орбиты. Они рассчитываются как функции от текущих параметров средней орбиты. В свою очередь параметры средней орбиты содержат постоянную часть и вековую составляющую изменения средних параметров орби- ты. То есть Q(t) = Q(t0) + Qx(t-t0). Параметры средней орбиты не содержат периодических составляющих возмущений, изменяются с течением времени монотонно и характеризуют долгосрочную эволюцию парамет- ров орбиты. С использованием параметров средней орбиты достаточно точ- но можно установить точки орбиты, в которых требуется прилагать импульсы, корректирующие орбиту. Аналитические решения исполь- зуют в задачах контроля космического пространства, когда проводят частые измерения текущих навигационных параметров и определяют движение огромного числа космических объектов, движущихся во- круг Земли. На основе использования параметров средней орбиты, решают задачи идентификации космических объектов и осуществляют оценку продолжительности баллистического существования ИСЗ и элемен- тов космического мусора. Аналитические решения используют при проектировании орби- тальных структур конкретных космических систем. Они используют- ся при решении различных задач применения ИСЗ по целевому на- значению, а также при расчете частных производных в задачах опре- деления параметров орбиты по измерениям текущих навигационных параметров. На движение ИСЗ оказывают влияние многие возмущающие факторы. Основными из них являются несферичность Земли, сопро- тивление атмосферы, притяжение Луны и Солнца и световое давле- ние. Кроме этих факторов на движение ИСЗ оказывают влияние ма-
18 Уравнения движения искусственных спутников Земли лые возмущающие факторы. К ним следует отнести эффекты, вызы- ваемые приливной деформацией Земли, влиянием электромагнитных сил, влиянием притяжения атмосферы и другими факторами. Наибольшие возмущения в движении близких ИСЗ обусловле- ны влиянием второй зональной гармоники потенциала притяжения Земли. Поэтому в аналитических решениях выделяют главную про- блему (задачу). Она заключается в решении дифференциальных уравнений движения с возмущающей функцией, учитывающей влия- ние второй зональной гармоники. Решение главной проблемы состав- ляет первый и основной этап построения аналитического решения. На втором этапе определяется влияние других возмущающих факторов. Большинство теоретических работ в области аналитических решений посвящены изучению влияния отдельных возмущающих факторов, оказывающих влияние на конкретные орбиты[20], [26], [41], [68], [69], [71], [72], [79], [92], [97], [98]. Среди работ, в которых наиболее полно учитывается влияние большого числа возмущающих факторов, являются работы [5], [25], [32], [57], [58], [59]. Среди зару- бежных работ следует отметить совокупность работ [84], [85], [86], [87], [88], [89], [90] и другие. Определенный интерес представляют решения, в которых ком- плексно используются результаты численного интегрирования диф- ференциальных уравнений и аналитических решений. Примером такого комплексного применения численных и ана- литических решений являются системы усредненных дифференци- альных уравнений движения ИСЗ. Эти дифференциальные уравнения описывают только вековые и долгопериодические возмущения орби- тальных параметров. Правые части этих уравнений получают при ис- пользовании методов осреднения. Осреднение осуществляют анали- тически или численно. Системы усредненных дифференциальных уравнений интегрируются численно с большим шагом по времени. Применение численного интегрирования позволяет исключить осо- бенности, связанные с критическим наклонением плоскости орбиты, учесть влияние резонансных составляющих. Возможны и другие варианты комбинированного применения аналитических решений с результатами численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, описывающих изменение ос- кулирующих параметров орбиты. В книге приводятся системы диф- ференциальных уравнений движения ИСЗ для численного интегриро- вания и аналитические решения, использование которых позволяет получить множество различных вариантов комплексных численно- аналитических методов прогнозирования движения ИСЗ
1 Невозмущенное движение ИСЗ 19 Раздел 1 Невозмущенное движение ИСЗ 1.1 Движение в орбитальной плоскости Основные законы движения ИСЗ следуют из задачи двух тел. Спутник по отношению к центральному телу имеет несравненно меньшую массу и не оказывает гравитационное воздействие на цен- тральное тело. Предполагают, что центральное тело имеет форму ша- ра с радиусом примерно равным 6371 км, с симметричным распреде- лением плотности. В этом случае можно считать, что вся масса тела сконцентрирована в центральной точке. Из решения задачи двух тел следуют три закона Кеплера, кото- рые для движения спутника вокруг Земли формулируются следую- щим образом. 1. Орбита спутника - эллипс, в плоскости которого, в одном из его фокусов, находится центр Земли. 2. Радиус-вектор спутника (линия, соединяющая центр Земли и спутник) описывает за равные промежутки времени рав- ные площади. 3. Квадраты периодов обращения двух спутников соотносятся как кубы больших полуосей их орбит. На рисунке 1 обозначены элементы орбиты ИСЗ: а - большая полуось орбиты, b - малая полуось, е - эксцентриситет эллипса, по которому движется ИСЗ, г - радиус-вектор ИСЗ. Положение ИСЗ на эллипсе определяется угловыми параметра- ми: истинной или эксцентрической аномалиями, обозначенными на рисунке, как & и Е соответственно
При заданных значениях истинной или эксцентрической анома- лии радиус вектор, вектор скорости, трансверсальная и радиальная составляющая вектора скорости ИСЗ определяются по формулам г =--------, г — а( 1 -ecos Е), l + ecos& V - [—(1 + е2+2ecos&) , VP (1.1) vT = —(1 + ecos е sin &, где /л гравитационный параметр Земли, равный произведению гра- витационной постоянной на массу Земли, р = а(1 — е2) параметр ор- биты. В точке апогея <9 = 180°, а в точке перигея <9 = 0°. Из (1.1) сле- дует, что в этих точках скорость движения спутника принимает сле- дующие значения v^p(,+e>- <’-2>
1 Невозмущенное движение ИСЗ 21 Угол между вектором скорости и радиус-вектором выражается через истинную аномалию и эксцентриситет орбиты yjl + e2 +2ecos3 Истинная и эксцентрическая аномалии связаны друг с другом соотношениями & 11 + е Е ,gT' J . tg V 1-е 2 (1-4) n cosE-e . п у/1-е2 sinE cosil =--------, sinH-----------, 1-ecosE 1-ecosE q 5) cos& + e . yjl-e2 sin& cos E =--------, sin E =---------. l + ecos& l + ecos& В соответствии co вторым и третьим законами Кеплера период обращения ИСЗ вокруг Земли Т и среднее движение п0 определяют- ся по формулам - [а 1 Пи дпп 3 пп „ Т = 2яа n0=-J-, - = О-6) у /л а у а да 2 а Среднее движение определяет среднюю аномалию М, которая связана с временем t и временем прохождения точки перигея t0 по- средством следующего соотношения М = n0(t-t0) = Е-esinЕ . (1.7) Это соотношение называют уравнением Кеплера. Оно устанав- ливает связь между текущим временем и положением ИСЗ на орбите. В результате решения уравнения Кеплера при заданном значении средней аномалии М определяется эксцентрическая аномалия Е. Уравнение Кеплера решается в итерационной процедуре. Для быстрой сходимости может быть использовано следующее начальное приближение + ([8) l + e2 - 2е2 cos М Последующие приближения выполняются по схеме. р-р , M-E^+esinE^ пк ~ nk-i+ „ 1 + ecos Ek_t (1-9)
22 Уравнения движения искусственных спутников Земли При известных значениях средней и эксцентрической аномалии истинная аномалия рассчитывается по формуле р чтп F & = М+ 2 arctg-----—---------+ е sin Е, 1-е cos Е + rj (1.10) (1.11) где г/ = \1-е . Приведем формулу, связывающую истинную и среднюю анома- лию между собой. Это уравнение называют ещё уравнением центра. п „ ~ esin& ensin& 8-М = 2arctg------------ч- —------- l + ri + ecos8 l + ecos8 Уравнение центра может быть получено в форме ряда по сред- ней аномалии [54] 8-М = Hj sinM + Н2 sin2M + ..., где я =4(1)-2(-)3 +-(-)’ +—(_)7+..., 1 2 2' 3 2' 36 2 Н2 = 5(-)2 / + —(-)6 +.... 2 2 3 2 3 2 Н3 = -(-)3-—(-)5 +-(-)7 3 3 2 2 2 4 2 103 е 4 902 е 6 + - 5 30 2 36 2 Н =1223 е_ 6 _ 6 15 2 7 252 2 Приведенные формулы хорошо известны. Они получены при решении задачи двух тел и определяют текущее положение ИСЗ в орбитальной плоскости, радиус-вектор, вектор скорости и угол между радиус-вектором и вектором скорости. (1.12) 1.2. Движение в пространстве Положение орбитальной плоскости в пространстве относитель- но геоцентрической экваториальной системы координат Oxyz, у ко-
1 Невозмущенное движение ИСЗ 23 торой плоскость Оху совпадает с плоскостью истинного экватора показано на рисунке 2. Угол i определяет наклонение плоскости орбиты к плоскости экватора Земли, долгота восходящего узла орбиты Q, определяет угол в плоскости экватора Земли от точки весеннего равноденствия до линии пересечения плоскости орбиты и истинного экватора Земли, аргумент перигея орбиты о определяет угол в плоскости орбиты от линии пересечения плоскости орбиты и истинного экватора Земли до точки перигея орбиты. При использовании углов z,/2, 69, определяющих ориентацию орбитальной плоскости в пространстве, положение ИСЗ в геоцентри- ческой экваториальной системе координат рассчитывается по форму- лам x = Pxq,+Qxq2, y = Py4i^Qy42’ (1ЛЗ) где qt = г cos & = a(cos Е - е), q2=r sin & = a^J 1-е2 sin Е, Рх = cos со cos £2 - sin со sin £2 cos i, Q=-sinco cos £2 - cos co sin £2 cos i, „ (1-14) Py= cos co sin 12 +sin cocos £2cosi, Q„ = - sin co sin £2 + cos co cos £2 cos i, P2 = sin co sin i, Qz = cos co sin i. Составляющие вектора скорости определяются формулами Vx = (~Рх sin E + Qx si 1-е2 cos E), r Vy = ^(~py sinE + QyJi^cos E), V2 =^(-p sinE + Qvyll-e2 cosE). (1.15) r
24 Уравнения движения искусственных спутников Земли Используются также следующие формулы х = r(cos(9 + a))cos £2-sin(3 + a))sin£2cosi), у = r(cos(& + a>)sin£2 + sin( & + со) cos £2 cos i), (1.16) z = r sin( 3 + co) sin i, x Vx =—vs + vT(-sin(& + co)cos £2-cos( & + co)sin£2cosi), r V =—vs + vT(-sin(3 + a>)sin£2 + cos( <9 + co) cos £2cosi), r 2 Vz =— vs +vr cos(3 + co)sini. r Если известны кинематические параметры орбиты ИСЗ х, у, z , ,Vy,VZ в экваториальной геоцентрической системе координат, то орбитальные параметры можно рассчитать по формулам r = ^x2+y2 + z2, y = )v2 + V2 + V2, с __УУ;-*У; с __^~ХУ2 с _^УУ-УУХ 1 rV ’ 2 rV ’ 3 rV ’
1 Невозмущенное движение ИСЗ 25 xVx+yV+zVz г~2--2--2 г с4 =-------------, с5 = Jcj +с2 +с,, k-V —, rV ц а = е = ф-к(2-к)с25, (1.17) Z К cos i =—, sin i = /7 - (—)2 C5 \ C5 c —c sinQ------—, cos Q ------—, c5 sin i c5 sin i • Q ^5 Q C4C5 sin& =—-----, cos 9 = e e z xcos H + ysinil n sinu =------, cosu =--------------------, G) = U-&. rsini r 1.3 Приращения параметров орбиты под действием импульсов скорости Формулы невозмущенного движения используют при решении задач орбитального маневрирования ИСЗ. При этом используют фор- мулы, отражающие изменение орбитальных параметров под воздей- ствием импульсов скорости. При импульсном маневре вектор скорости полета ИСЗ изменя- ется на величину AV, а его радиус-вектор в точке приложения им- пульса остается неизменным. Характер изменения элементов орбиты определяется величиной, направлением импульса скорости и положе- нием точки приложения импульса. Как известно, любое пространственное изменение вектора ско- рости ИСЗ можно представить как результирующее изменение от- дельных составляющих вектора скорости Ниже представлены уравнения, определяющие изменение орби- тальных параметров под воздействием следующих составляющих импульсов: тангенциального импульса , направленного по векто- ру скорости ИСЗ; нормального импульса AVN, лежащего в плоскости отбиты и направленного по нормали к вектору скорости ИСЗ; боково- го импульса Ду^ , направленного по нормали к плоскости орбиты; радиального импульса Avs, направленного по радиус-вектору ИСЗ;
Уравнения движения искусственных спутников Земли 26 трансверсального импульса AvT, лежащего в плоскости орбиты по нормали к радиус-вектору ИСЗ и направленного в сторону движения ИСЗ. Представленные ниже уравнения рассмотрены в работах [28] и [43]. В уравнениях использованы следующие обозначения: р = а(1-е2) ,Va = vT + ecos esin&. Изменение большой полуоси орбиты За е 2a2V „г За =----AVT, Р s Avw 8а = ——“-г-, a[(vs+Avs)2 ~vs] V2-(vs+Avs)2 +v2s ' a[(vT+Avr)2 ~Vt] V2-(vt+Avt)2 + v2' Изменение эксцентриситета орбиты 8e SeJ(^eoS9) &v V rsin& 3e =------AVn, aV N I /iv2 /iv2 Зе = ^\1-( 1-е2 )(1 + —р)( 1 + -—у 2v Av, + Av2 2 —-—r-------- + e - e, V2 pr 8е = N vt К,
27 1 Невозмущенное движение ИСЗ Изменение наклонения 8i Si = cos u( arctg ; vr S- ( • Г . 1 Г < 7^Wr » > 8i=arccos{cosicos[arctg(——)+sinisin[arctg(——)cosu}. VprP VprP Изменение долготы восходящего узла 8£2 s sinu х Avwsinu 812 =-------Avw ; 812 = arctgf----------------) vT sin i vT sin i - Avw cos i cos и Изменение аргумента перигея 8со 2 sin & 8(0 =-------AVT, eV „ 2ae + rcos9 A,r 8(o =----------AVn , aeV N e sinu л 8(0 = -—-Avw, VTtgi N 9 sinu Avv, . 8a> = arctg [ . Avw . ... Avw . cos и cos( arctg ——) - ctgi sin(arctg ——) vT VT . r esin& arcsin[ .. -.......=] -co, .1 2V'T 2 -(l-e2)(l-^f) \v2+Av^ V2/ (vr + Avr)e sin & 8co = 9-arcsin[---, ------j , Vr ф - (1 - e2 )(2vrAvr + Av2) so < esin& 8co=i9 - arcsin^—r- - ------ (1 c2 2VT&T+AV2T \(vT+AvT)2 v2a
28 Уравнения движения искусственных спутников Земли Изменение средней аномалии 6М 8М = arcsin[ esinE . /°2 2-(l-e2)(l + ^ PV2C E + esinE(l-Jl-^rj, V Vc (vs + Avs)esinE V2 8М = arcsin[ 8М = arcsin[ Vr 1I—,-----------2 -(1-e2 ) \V2 -2vsAvs-Av2 „ . _ r, ,, Avs . 1, 2vsAvs + Avl . E + esin E[1 - (1 + —-) 1-----——2----- ], VS V esinE V2 . 2 2-(1-е2)(1 + ^)2 у V2 - 2vTAvT - Av2T vt „ . „ z, 1, 2vTAvT + Avl E + esinE(l - 11---T—L-,----T- V V Уравнения, связывающие между собой отклонение во времени начала витка или во времени прохождения аргумента перигея At = t -1; отклонение в начальном значении большой полуоси Аа = а - а и отклонение в относительной скорости изменения боль- шой полуоси Аа = а - а, между опорной и прогнозируемой орбита- ми, с интервалом прогнозирования движения ИСЗ 8Т имеют сле- дующий вид л 3 8Т . 3(8Т)2 л. 1ОЧ At =------Zkz—-------— Аа, (1-18) 2 а 4 а или Aa = --—At--8TAa. (1.19) 3 8Т 2 В уравнениях а и а обозначают составляющие средней скоро- сти изменения большой полуоси для опорной и прогнозируемой ор- биты. Эти скорости обусловлены влиянием сопротивления атмосфе-
1 Невозмущенное движение ИСЗ 29 ры или воздействием иных факторов. Изменение большой полуоси осуществляется со средней скоростью в течение всего интервала про- гнозирования ST. Орбитальные параметры, фигурирующие в приведенных урав- нениях, являются кеплеровыми параметрами усредненных орбит. Кеплеровы параметры оскулирующих орбит, которые исполь- зуют при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений движения ИСЗ, можно получить, если к параметрам ус- редненной орбиты добавить периодические возмущения от учиты- ваемых возмущающих факторов. Обычно ограничиваются добавле- нием периодических возмущений от второй зональной гармоники геопотенциала. Формулы, связывающие параметры усредненных и оскулирующих орбит между собой, а также определяющие преобра- зования между ними приводятся в последующих разделах. Использование в приведенных уравнениях параметров оскули- рующей орбиты снижает их точность.
30 Уравнения движения искусственных спутников Земли Раздел 2 Возмущающие факторы Кроме силы, представляющей гравитационное притяжение цен- трального тела, на ИСЗ действуют гравитационные силы, обуслов- ленные несферичностью Земли и воздействием аномалий силы тяже- сти. К силам гравитационного притяжения Земли добавляются силы сопротивления атмосферы, силы гравитационного притяжения Луны и Солнца, силы, обусловленные приливными эффектами в теле Зем- ли, силы прямого светового давления и силы отраженного светового давления, электромагнитные и многие другие малые силы. Ориенти- ровочные соотношения между основными, действующими на движе- ние ИСЗ силами и создаваемые этими силами возмущающими уско- рениями, показаны в таблице 1. В ней приведены отношения между возмущающими ускорениями и ускорением гравитационного притя- жения центрального тела. Все силы, действующие на ИСЗ, не изучены с абсолютной точ- ностью и не могут быть строго учтены при составлении и решении системы дифференциальных уравнений движения ИСЗ. Поэтому опи- сание движения ИСЗ под действием всех сил представляет трудную и до конца неразрешимую проблему. Можно говорить о степени приближенного описания дейст- вующих на ИСЗ сил и в соответствие с мерой их изученности можно говорить о точности описания движения ИСЗ. Если проследить историю изучения сил, действующих на ИСЗ, то увидим, что степень их изученности повышалась по мере того, как проводились исследования геофизических факторов, влияющих на движение ИСЗ. Основные достижения в области исследования геофи- зических факторов связаны с использованием для этих целей спутни- ков Земли и геофизических ракет. Поэтому можно с уверенностью
Таблица 1 Отношение возмущающего ускорения к ускорению от центрального тела Высота км. Возмущающие факторы Сжатие Земли "’Гравита- ционное поле Земли Атмосфера Зъ=0,01ьЛкг Притяжение Луны Притяжение Солнца Приливные аффекты Давление света F/m^OlM^/Kr Прецессия и нутация Релятивистские эф фосты, эл.магн. силы, и др. факторы 130 1,6*10’3 2,3*10* 6,3*10* 1,2* Ю'7 5,5*10* 1,6*10* 4,9*10* 6,4*10* >1ОЙ 200 1,5*10'3 2,2*10* 1,6*10* 1,3* 10'7 6,1*10* 1,6*10* 5,1*10* 6,5*10* 500 1,4*10'3 2,0*10* 3,6*10* 1,4* 10'7 6,4*10* 1,5*10* 5,6*10* 7,0*10* 1000 1,2*10'3 1,8*10* 2,6*10 10 1,7* 10'7 7,2*10* 1,3*10* 6,3*10* 7,7*10* 2000 9,0*10'* 1,4*10* >10'ю 2,6*10'7 1,2* 10'7 9,8*10* 8,3*10* 9,5*10* 10000 2,4*10* 3,6* 10'7 0 1,9*10* 8,6* 10'7 2,5*10* 3,1*10* 2,5*10* 20000 9,0* 10° 1,4*10'' 0 7,9*10* 3,6*10* 1,0*10* 8,2*10* 5,2*10* 40000 2,8*10'5 4,5*10* 0 4,3*10* 2,0*10* 3,2*10'10 2,3*10'7 1,1*10'7 50000 2,2*10° 3,1*10* 0 7,7*10° 3,5*10* 2,1*10'1и 3,9*10’' 1,7*10'' Отношвше максимальной погрешности знания возмущающего фактора к возмущающему фактору 15*10 | | 5‘Ю2 15-2,5 | | 1‘Ш1 | | 1‘Ш’ зчо1 1‘Ш1 L122! 1 11‘Ш1 *) без учетацентрального полян влияния второй зональной гармоники. 2 Возмущающие факторы
32 Уравнения движения искусственных спутников Земли говорить, что история интенсивного изучения сил, действующих на ИСЗ, составляет к настоящему времени чуть более 50 лет. Результаты изучения геофизических факторов опубликованы во многих статьях [1], [2], [3], [6], [15], [40], [45], [47], [80], [83]. По мере их изучения они учитываются в уравнениях движения ИСЗ. 2.1 Возмущающие факторы, учитываемые в уравнениях движения ИСЗ Силы, действующие на ИСЗ, создают возмущающее ускорение, отклоняющее движение ИСЗ от эллиптической орбиты, описываемой законами Кеплера. Уравнения движения ИСЗ учитывают воздействие этих сил в качестве возмущающих факторов и определяют движение ИСЗ с учетом ускорений, создаваемых этими возмущающими факто- рами. Известны различные методы описания возмущающих ускоре- ний, действующих на движение ИСЗ [4], [5], [13], [19], [23], [33], [34], [37], [38], [42], [44], [55], [56], [57], [62], [63], [84], [92]. Выбор метода зависит от формы представления системы дифференциальных урав- нений движения ИСЗ. Для общности все рассматриваемые возмущающие ускорения будем представлять составляющими по осям орбитальной системы координат S, Т, W - радиус-вектору, перпендикуляру к радиус- вектору в плоскости орбиты в направлении движения и перпендику- ляру к плоскости орбиты соответственно. В зависимости от варианта представления дифференциальных уравнений используются преобра- зования составляющих ускорений S, Т, W в систему координат, при- нятую в конкретной системе дифференциальных уравнений. Совокупность возмущающих ускорений в орбитальной системе координат будем рассматривать как сумму составляющих от воздей- ствия возмущающих факторов S = S ]+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8+S9+S10, T= T2+T3+T4+T5+T6+T7+T8+T9+T10f (2.1) W= Wj + W2+W3+W4+W5+W6+W7+W8+W9+W10, где SJf T]f Wj - составляющие ускорений, обусловленные влиянием со- противления атмосферы; S2, Т2, ffl2 - составляющие ускорений, обусловленные влиянием второй, третьей и четвертой зональных гармоник геопотенциала;
2 Возмущающие факторы 33 S3, Т3, W3 - составляющие ускорений, обусловленные влиянием совокупности зональных гармоник геопотенциала выше четвертой степени; S4,T4,W4, - составляющие ускорений, обусловленные влиянием совокупности тессеральных и секториальных гармоник геопотенциа- ла; S5, Т5, W5 - составляющие ускорений, обусловленные влиянием гра- витационного притяжения Луны; S6, Тб, W6 - составляющие ускорений, обусловленные влиянием гра- витационного притяжения Солнца; S7, Т7, W7 - составляющие ускорений, обусловленные влиянием де- формации Земли под действием гравитационного притяжения Луны; S8, Т8, W8 - составляющие ускорений, обусловленные влиянием де- формации Земли под действием гравитационного притяжения Солн- ца; S9, Т9, W9 - составляющие ускорений, обусловленные влиянием сил светового давления; Slo, Т10, W10 - составляющие ускорений, обусловленные действием активных сил и других возмущающих факторов. Исходными данными для расчета возмущающих ускорений яв- ляются параметры орбиты а, е, i, /2, бУ, t9 и звездное время 5*. Для преобразования геоцентрической экваториальной и геоцентрической гринвичской экваториальной систем координат в орбитальную сис- Коэффициенты матриц преобразований определяются по фор- мулам
34 Уравнения движения искусственных спутников Земли а}} = cos и cos £2 - cos i sin и sin £2, a12 = cos и sin £2 + cos i sin и cos £2, an = sinisinu, 13 (2.4) a2] = - sin и cos £2 - cos i cos и sin £2, a31 = sin i sin £2, a22 = ” 5ZW U sin + cos z cos u cos a32 ~ ~ icos Q a23 = sin i cos u, a33 - cos i, an = cos и cos( £2-S)~ cos i sin и sin( £2-S*), a12 = cos и sin(£2-S*) + cos i sin и cos(S2-S *), a13 = sinisinu, a21 = - sin и cos(£2 - S*)- cos i cos и sin(£2-S*), a22 = - sin и sin(£2-S*) + cos i cos и cos(£2-S*), (2.5) a23 = sin i cos u, a31 - sin i sin(£2-S*), a32 = - sin i cos(£2-S*), a33 = cos i. При использовании соотношений (2,2) для геоцентрической эк- ваториальной и геоцентрической гринвичской экваториальной систем координат полагают, что основная плоскость системы координат сов- падает с плоскостью истинного экватора. 2.2 Возмущающие ускорения гравитационного поля Земли Известные модели представляют гравитационное поле Земли разложениями в ряды по сферическим функциям [3], [80]. Для таких моделей потенциал притяжения в произвольной точке над поверхно- стью Земли представляется следующими разложениями U=^-{l + YCn0(^)"Pn0(Sin<p) + N п "=2 Г (2.6 £ Z (~^П (Sin <Р)[Спт COS mL + Snm Sin mLJ}’ ^2^1 Г
2 Возмущающие факторы 35 .. N П U = — {l~'^Jn(—)n Pn0(sin(p) + n пГ п-2 Г (27) S Z (~^П Рпт (Sin <Р)[Спт COS mL + Snm sin mL]}~ n=2m=l Г Коэффициенты этих разложений Cno,Jn, Cnm,Snm определяют конкретную модель геопотенциала, например [3], [80]. Коэффициен- ты связаны между собой соотношениями Сп0 = — Jn. Параметры г, (р, L соответственно обозначают радиус-вектор спутника, геоцен- трическую широту и долготу подспутниковой точки. Выражение для потенциала состоит из двух частей - силовой функции материальной точки - центрального тела и возмущающей функции. Оно содержит сумму зональных, тессеральных и сектори- альных гармоник. Гармонические составляющие с индексом т = 0 называют зональными гармониками степени п, с индексом т = п на- зывают секториальными гармониками, а все остальные гармоники называют тессеральными. В ряде случаев секториальные гармоники относят к числу тессеральных гармоник. При значениях степени N превышающих 36, в разложениях (2.6) используют нормированные коэффициенты и нормированные полиномы и функции Лежандра. В этом случае разложение (2.6) для геопотенциала записывают в следующем виде и N — R — и = {1 + £ Сп0 (^)п P„0(sin <р) + n пГ R п~-2_ Г _ (2.6а) ^TJ(—)nPnm(sin(p)[Спт cosmL + Snm sinmL]}. п=2 т=1 Г Здесь чертой сверху обозначены нормированные коэффициенты и нормированные полиномы и функции Лежандра. Нормирование полиномов и функций Лежандра осуществляют при использовании нормирующего множителя - \8т(2п + 1)(п-т)! с Г/, при т = 0, 7V = л —------------—, где 8т = \ (п + т)! [2, при т>0. При нормировании сферических функций Лежандра и коэффи- циентов гармоник геопотенциала используются формулы
36 Уравнения движения искусственных спутников Земли P„m(sin(p) = N-Pnm(sin<p), С =2^-, S=^. 2.2.1 Возмущающие ускорения зональных гармоник Зональные гармоники вызывают основные вековые и долгопе- риодические возмущения в движении ИСЗ. В связи с этим, влияние зональных гармоник следует учитывать с наибольшей точностью. Первые три зональные гармоники геопотенциала вызывают наи- большие возмущения в движении КА. Основной вклад в возмущен- ное движение ИСЗ вносит вторая зональная гармоника. Амплитуда этой гармоники на три порядка больше остальных составляющих в возмущающей функции геопотенциала. Следующими по своей значимости является третья и четвертая зональные гармоники. Вместе со второй зональной гармоникой они вызывают основные вековые, долгопериодические и короткоперио- дические возмущения параметров орбиты. Для многих прикладных задач достаточно учитывать влияние первых трех зональных гармо- ник. Ускорения, создаваемые этими гармониками, выделяют из обще- го алгоритма расчета возмущающих ускорений гравитационного поля Земли. Соотношения, определяющие составляющие возмущающих ус- корений S2, Т2, W2 от совокупности первых трех гармоник геопо- тенциала второй, третьей и четвертой степени, представляются в виде суммы трех составляющих $2~~ *^22+ $2з+ $24’ Т2— Т22+ Т23+ Т24, W2~ W22+ W23+ W24, соответственно, где S„ = / ~(3sin2 isin2 u-1), 22 R2 201 r 7 2 T22 = C20 (^)2 sin2 i sin 2u, Ke r 2 W22 -~^C2Q(—)2 —sin 2i sinu, (2.8) r 2 определяют возмущающие ускорения от второй зональной гармони- ки, и R S23 = —сзо(—)52sinisinи(5sin2 isin2 и-3), Re Г
2 Возмущающие факторы 37 Т23 = С30(—)5 — sinicosи(5sin2 isin2 u-1), Ro r 2 (2.9) W23 = C30(—)5 — cosi(5sin2 isin2 u-1), R2 r 2 определяют возмущающие ускорения от третьей зональной гармони- ки, о \6 • 4 • *4 т г • 2 • *2 \ S7d=----тС.п(—) —(—sin isin u-15sin isin u + —), 24 R2 40{ r 4 2 2Z /z R 5 T24 = ^-rC40(—)6 —sin2 isin2u(7sin2 isin2 u-3), (2.10) Л r 4 W24 = C40(—)6 —sin2isinu(7sin2 isin2 u-3), R„ r 4 определяют возмущающие ускорения от четвертой зональной гармо- ники. Решение системы дифференциальных уравнений с возмущаю- щей функцией, содержащей вторую зональную гармонику, выделяют как главную проблему (задачу) аналитической теории движения ИСЗ. Величина амплитуд зональных гармоник с увеличением степени изменяется медленно. Поэтому при проведении высокоточных расче- тов необходимо учитывать влияние зональных гармоник высокой сте- пени. Существующие модели геопотенциала Земли содержат большое число зональных гармоник. Так модель геопотенциала EGM96 [80] содержит до 360 зональных гармоник. Для большого числа гармоник не рационально представлять возмущающие ускорения от каждой гармоники отдельно, как это показано для второй третьей и четвертой зональных гармоник. Алгоритмы учета влияния зональных гармоник высокой степе- ни основываются на использовании рекуррентных формул. В соот- ветствии с этими алгоритмами составляющие возмущающих ускоре- ний от совокупности зональных гармоник, включая гармоники высо- кой степени, определяются по формулам S3=-Agr, T3=Agtcos8, W3=Ag(sin8, (2.11) где
38 Уравнения движения искусственных спутников Земли e sin icos и cos о =---------- coscp sincp = sin i sinu, . е cosi sin о =------, cosg> cos (p - yjl-sin2 g>, • 2 .. N n 4gr = £t/n + V(^)"+2Cn0P/sin<p), (2.12) n=2 Г .. N n i AZ‘=~^1L n(—)n+2 c„0---------(Pn-i(sin<p)~ sin (pPn (sin (p)), R3 S r cos(p Pn(sing>) - полиномы Лежандра степени n, рассчитываются по ре- куррентным соотношениям (213) п + 1 при P0(sing>) = 1, Posing) ) = sin(p, Сп0 - коэффициенты зональных гармоник, N - наибольшая степень зональных гармоник, которые учитываются в задаче расчета движе- ния ИСЗ. Приведенные соотношения учитывают вклад произвольного числа зональных гармоник, включая гармоники второй, третьей и чет- вертой степени. Для нормированных коэффициентов разложения геопотенциала формулы (2.12) и (2.13) будут иметь следующий вид Agr =-^t(n + l)(^r2Cn0P„(sin<p), (2.12а) и=2 Г 4g, =^Цп(—)"+2^по ^^P„-I(sin<p)-sin<pPn(sin(p)) R;^2 г cos<p \(2п-1) где Ро=1, Р, = sin<p>[3 , 4п2 -1-= . —Pn-i(sm(p) Pn(sin<p) = (2n +1 )sin<p.- ____________________У п z , 4 \(п-1)2(2п + 1)- z . 4 ~(п - ОА----------ТТ—Рп-2 (sin <р)- у п (2п-3) (2.13а)
2 Возмущающие факторы 39 2.2.2 Возмущающие ускорения тессеральных и секториальных гармоник Тессеральные гармоники оказывают значительное влияние на изменение параметров орбиты, вызывая главным образом периодиче- ские возмущения. Период возмущений составляет примерно одни су- тки. Существуют периодические возмущения кратные периоду по- вторяемости трассы орбиты. Если повторяемость трассы равняется одним суткам, то основные периодические составляющие возмуще- ний будут иметь период близкий к одним суткам. В силу того, что трасса повторяется, возникают так называемые резонансные или ква- зирезонансные возмущения. Они приводят к значительным долгопе- риодическим возмущениям в большой полуоси орбиты и, следова- тельно, в периоде обращения. В результате резонансных возмущений трасса ИСЗ смещается. Смещение носит колебательный характер. Амплитуда этих колебаний может достигать величины, равной меж- витковому смещению трассы. Резонансные эффекты вызывают также тессеральные и сектори- альные гармоники, имеющие порядок в целое число раз превышаю- щий количество оборотов, совершаемых ИСЗ вокруг Земли за одни сутки полета. Как и в случае с зональными гармониками высокой степени, для определения возмущающих ускорений, обусловленных влиянием тес- серальных гармоник, используют рекуррентные формулы, опреде- ляющие влияние всей совокупности тессеральных и секториальных гармоник s4=-^gr, Т4 = Agt cos 8 + AgL sin 8, W4 = Agt sin 8 - AgL cos 8, (2.14) e sin i cos и . e cosi coso ----------, sin о =-----. cos (p cos (p Составляющие Agr, Agt, AgL определяются по формулам LL Nm R n ASr=-^T/n + cnm cos mL + snm sinmL), n=2 m=l U Nm R n AS,=^'L(—)"+2YlP'„m(sin(P)(c„mcosmL + snmsinmL)' (2-15) S r zi
40 Уравнения движения искусственных спутников Земли и Nm R " 4g£ = -----S(^-Г2 £ тРпт (sin ср)(Snm cos mL - С„т sin mL), R3cos<p^2 r S Pnm(sin(p) - присоединенные функции Лежандра степени п и по- рядка т и их производные P'm(sin(p)рассчитываются по рекуррент- ным формулам 2п-1 . D v (п + т-1) Рпт (Sin ф) =-Sin (pPn_l m (Sin (р)--Рп_2 т (Sin ф), п-т п-т рпт (sin Ч>) = —— [(” + т)рп-1.т (sin <р)~п sin (ррпт (sin <Р>1> (2-16) COS(p р„„ (sin <p) = (2n-l)cos (рр^^ (sin <р), роо=1> pn=cos(p, PI0=sin<p. Гринвичская геоцентрическая долгота L и тригонометрические функции кратные значению долготы определяются по формулам 1 z с. . . Y<r> -Xsin S'+ Yeos S' smL =------(a12cosS -ansinS ) =------=------...... ..............., costp r sjX2+Y2 T 1 z 4 Х(Г) X cos S'+ Y sinS' cosL =-----(ancosS + a12sinS ) =-----=------. -, coscp r yJX2 + Y2 sin mL = 2 cos L sin( m-l)L- sin( m-2)L, cos mL = 2 cos L cos( m-l)L- cos( m-2)L, Cnm f Snm ~ коэффициенты тессеральных и секториальных гармоник геопотенциала, Nm - наибольшая степень, до которой учитываются тессеральные гармоники, Х(Г),Y(r),X,Y - прямоугольны координаты положения спутника в экваториальной гринвичской геоцентрической системе координат и в экваториальной системе координат, связанной с плоскостью истинно- го экватора и истинной точкой весеннего равноденствия. Для нормированных коэффициентов разложения геопотенциала формулы (2.15) и (2.16) будут иметь следующий вид ASr =-^Ц(п + !)(—Г2Р„т(sin(р)(спт cos mL + Sm sinmL), =-^^(—r2^pL(sin<P)(c„mcosmL + S„msinmL), (2.15a) R, r S
2 Возмущающие факторы 41 П N,n R п — — — ASl = ~^----)"+2YmPnm(sin<P)(Snm COSmL-CnmsinmL), R3cos<p~2 r Tj\QPnm(sincp) - нормированные присоединенные функции Лежандра степени п и порядка т и их производные P'm(sinф)рассчитывают- ся по рекуррентным формулам 4п2-1 . ъ .. . — sin<pP„_Im (sincp) т P„m(sin<P) = \~Г~ Уп - [(n-lf-m2^!)- /2 2 \ / о о \ п—2,т\ т /> (п -т )(2п-3) (2.17) pL(sin<P) = —— [ "2-т2 )P„_Ijn(sin<p)-nsin<pPnm(sin<p)], cos(p \(2п-1) pnn(sin(P) = лГ2П, cosipP^^sinq)), V 2п Роо (sin (р) = 7, Рп (sin ср) = cos (р. Истинное звездное время, фигурирующее при расчете гринвич- ской долготы подспутниковой точки, рассчитывают по формуле где So* - истинное звездное время в ноль часов всемирного времени даты, a>z - угловая скорость вращения Земли, t - московское время. 2.2.3 Представление геопотенциала в орбитальных параметрах Выше приведены формулы, определяющие ускорения, созда- ваемые гравитационным полем Земли во внешнем пространстве, в котором осуществляется движение ИСЗ. Эти ускорения выражены через сферические координаты: геоцентрическое расстояние, геоцен- трическую широту и долготу точки. Эти формулы используют в диф- ференциальных уравнениях движения ИСЗ, которые интегрируются численными методами. В аналитических решениях влияние геопотенциала представля- ют разложениями в ряды, параметры которых выражают через эле-
42 Уравнения движения искусственных спутников Земли менты орбиты. Выводу формул, определяющих параметры таких раз- ложений, посвящены работы многих авторов. Основные работы пред- ставлены в списке использованной литературы [4], [5], [7], [11], [12], [21], [23], [31], [32], [44], [54], [57], [58], [59], [66], [67], [71], [75], [76], [77], [78], [84]. В последующих разделах используются формулы для геопотен- циала, которые получены на основе разложений, представленных в работах [7], [11], [76]. Эти разложения могут использоваться в анали- тических решениях и при определении возмущающих ускорений в дифференциальных уравнениях движения ИСЗ, интегрируемых чис- ленными методами. 2.2.3.1 Представление возмущающих ускорений геопотенциала в орбитальной системе координат Возмущающие ускорения, создаваемые геопотенциалом Земли, можно определить в орбитальной системе координат непосредствен- но через параметры орбиты. В качестве исходных выражений исполь- зованы разложения геопотенциала (2.6) по сферическим функциям Лежандра ц и = ^ит, (2.18) г т=о .. N D (—У+1 P™<Sin фМ COS mL + Snm Sin mL) Re^m Г Если в выражении (2.18) функции Лежандра Pnm(sincp) умно- женные на долготные члены выразить через орбитальные параметры, как это выполнено в работе [76], то получим следующую формулу для гармоник геопотенциала Um порядка тп Re™ г 2 +т(£2-& ~~2Л)]+Srmsm[d(3+co--^)+m(Q-^ ~л)]}, (2.19) где d принимает только четные значения при п четном и нечетные значения,если п - нечетное. Функция наклона F n_d (i) определяется по формулам пт,------------------ 2 F „_d(i) = (n + m)!(n + d-l)!!(n-d-l)!!^F n_d(i), (2.20) пт,- пт,——,к
2 Возмущающие факторы 43 (COS t i(sin L i f~^k n+d F nd (i) = (-l)~+ (n + d-k)!k!(n-m-k)!(m + k-d)! max(0,d-m)< к < min(n + d,n-m). Производные от функции наклона № .^(1) пт,---- ---------- определяется di дифференцированием выражения (2.20) & „-d(i) dF пт, __ пт, ,к ----- ------ (п + т)!(п + d- 1)!!(п-d-1)!! V --— di-------ъ di dF -“к пт,-,к _____2 di n-d пт,--- ~^F n-d (i)[-(2n-m + d-2k)tg-i 2 пт—,к 2 (2.20а) (2.21) +(m-d + 2k )ctg — i ]. Если в формуле (2.19) изменить порядок суммирования, то вы- ражение для гармоники порядка т геопотенциала примет следующий вид .. N N П 1 Е ^(iHC^costdO+ad—л) d=-N п=тах(т\с^) пт’ 2 +т(£2-$ ~л)]+Smsin[d(9+(0~n)+Tn(Q-tf ~л)]}* Здесь суммирование ведется по четным значениям п, если d четное и по нечетным значениям п, если d нечетное. Составляющие ускорений в орбитальной системе координат оп- ределяются через частные производные от геопотенциала по орби- тальным параметрам [54] с a dU a dU dr dUm г да г дг да дг -frt, Ё („ + 1)(^ГгР -ЛО* d=-N n=max(m\d\) пт 2 (2.22) {Cnmcos[d(u--7v) + m(Q-S -~л)] + Snm sin[d(u--7r) + m(n-S --л)]},
44 Уравнения движения искусственных спутников Земли (2.22a) {-Cnmsin[d(u--7v) + m(£2-S -~л)] + snm cosld(u-^) + m(Q-S* ~я)]}, rrz l.dUmcosi dUmcosu 8Um . . W = -(— --------cos и--s------+ —-sinu) = r da> sini df2 sini di N N D d=-N n=max(nm 2 . rJcosi m 7 , „ . г j/ 1 i {cos u[d--------] { -Cnm sin[ d(u — я ) + sin i sin i 2 (2.226) m(&-S' ~x)] + Snmcos[d(u-^K) + m(n-S' ~я)]} + N n n 6F » S Z (~^n+ --------T---sinu{Cnmcos[d(u-—x) + d=-N n=max(т,^) К (Jl 2 m(f2-S* ~^л)]+ Snm sin[d(u-^n) + m(r2-S*--^л)]}}, Если выделить амплитуды, выражаемые через большую полу- ось, эксцентриситет и наклонение плоскости орбиты к экватору, тогда получим следующие выражения для возмущающих ускорений тк N тк N тк N s=X£s-7'=ZZ7’-,f=X£»'- <2'23) т=0 d=-N т=0 d=-N т=0 d=-N Составляющие компоненты для возмущающих ускорений запи- сываются в следующем виде smd =S%>cos[d(u-^) + m(/2-S' -у)] +S(^> sin[d(u-—K) + m(f2-S*--я)], 2 2
2 Возмущающие факторы 45 Tmd =T^coS[d(u-^) + m(C!-S' -Ц)] j j (2.23a) +T™Sin[d(u--?r) + m(a-S' --Л)], =(cosuW^> +sinuW™)cos[d(u~7r)+m(Q-^ ~Ю] + (cosuW™ +sinuW%n>2 )sin[d(u~7r)+m(Q-^ ~~^)J- или в виде = AL sin[d(u-~7c) + m(&-S* * -~^)+ <PSmd], Tmd = ATmd sin[d(u-^) + m(Q-St ~^7v) + <prmdJ, (2.236) wmd=Amdsin[d(u-^) + rn(Q-S',-^) + q)^t]. Амплитуды и фазы определяются через орбитальные параметры по формулам ----------------------- r<(cos) о (sin) AL=y[(S^7T(S^7, 8тт^=^-, cosm(psmd=—p-, Amd Amd ________________ rp(cos) rp (sin) AT _ /rr(cos) \2 /rp(sin) \2 _imd T _ 1 md Amd-yl(1md ) +(1md ) > SlYl m<Pmd ~ > COS m(Prnd ~ ’ Amd Amd 1 lfWcos _ Wsin 4- Wcos 4- Wsin ДУ =— rrm,d+l,2 rrm,d+l,l ”m,d-l,2 ”m,d-l,l/ 24) md 2 X -\-fWsin — Wcos 4- Wcos -i- Wsin }2’ ' Z V 4 ”m,d-l,2 rym,d-l,l УУ m,d+l,l УУ m,d+l,2 / IV rr n stnm<pmd=— rCOS —Wsin iTVCOS 4-IVSin m,d+l,2 rr m,d+l,l т ^'m,d-],2 nm,d-l,l Aw Amd wsin rrrn,d-l,2 cosm(pmd=------------------- - К d ! / + K°d+I ! + F"d+1 2 m,a—l,l m,a+l,l m,a+i,z * Amd Из (2.22), (2.22a) и (2.226) получим выражения для коэффици- ентов амплитуд п N R Е (n + l)(^r’F ^(i)C„„. n=max(m,\d\) пт 2
46 Уравнения движения искусственных спутников Земли D (—)n*2F n-d(i)S„m, г пт~т // N rp(cos) _ Ц j 1 md “ n2U n=max(m,\d\) (2.25) N W™ =-^(d^-—.) f (^r2F Re sin i sin i r n-d(i)Snm> пт--- 2 yrr (cos) _ А md2 d2 р2 n=max(m\d\) R № \n+2 n-d пт--- ____2 di N C, nm ’ W^=--^(d^-—J £ (^r2F Re sin i sin i n=max(mi\d\} r n-d(i)Cnm’ пт--- 2 N D SF Re \п+2 Пт^_ di N S' . nm y^(sin) _ JZ_ rymd2 ~ p2 ' *e n=max(m,\d\) ' Известная модель геопотенциала ПЗ 90 содержит все гармони- ки, степень и порядок которых изменяется в пределах 2 < п < 36 и 0 < тп < 36 . Для этой модели при определении возмущающих уско- рений от зональных гармоник можно использовать формулы (2.12) и (2.12а) или формулы (2.22), (2.22а) и (2.226), полагая в них т = 0. При определении возмущающих ускорений от тессеральных и секто- риальных гармоник можно в формулах (2.23), (2.23а) и в (2,236) огра- ничиться гармониками с индексами —4<d <4. В этом случае все составляющие ускорений от гармоник, у которых порядок и степень изменяются в интервале 4 > п, 4>т будут учитываться в полном объеме. Гармоники, степень и порядок которых изменяются в интер- вале 5 < п < 36, 5 <т, будут учитываться составляющими, которые вносят основной вклад в возмущения параметров орбиты. Остаточная погрешность, за счет отброшенных слагаемых не будет превышать одного - двух процентов, что соответствует относительным погреш- ностям коэффициентов гармоник геопотенциала. Можно полагать, что возможная погрешность расчета возму- щений не будет превышать погрешности представления реального
2 Возмущающие факторы , 47 гравитационного поля Земли моделью геопотенциала. Так как в этом случае учитывается вклад каждой гармоники геопотенциала (основ- ных составляющих возмущений от каждой гармоники) то сохраняется баланс возмущающего воздействия геопотенциала в целом на движе- ние ИСЗ. Такой подход более предпочтителен, чем использование усеченных моделей геопотенциала по количеству учитываемых гар- моник степени п и порядку тп . Представление возмущающих ускорений от геопотенциала в виде (2.23), (2.23а) и (2.236) позволяет выделять составляющие, вы- зывающее основное возмущающее воздействие на движение ИСЗ. На основе этих соотношений можно выделить составляющие с индекса- ми m,d, вызывающие возмущения резонансного характера. 2.2.3.2 Представление геопотенциала как совокупность гармоник произвольной степени п и порядка т Выражение для геопотенциала (2.6) в произвольной точке про- странства представляет сумму гармоник степени п и порядка тп U = - + ttunm, (2.26) п=2 т=0 где и R ипт =—(—)" рпт(sin <р)[Спт COS mL + Dnm sin mL] (2.27) r r гармоники степени n и порядка тп Современные модели геопотенциала содержат большое число гармоник, достигающих несколько тысяч. Получить для каждой гар- моники конечные выражения, определяющие возмущение параметров орбиты ИСЗ, не представляется возможным. Поэтому используют общие выражения, свойственные каждой гармонике произвольной степени п и порядка тп . Гармоника Unm геопотенциала произвольной степени п и по- рядка тп может быть выражена через параметры орбиты следующи- ми соотношениями и R п 00 =£(_£./У У GmFm,(i)(Cm cosL +SsinL), (2.28) nm ' / 'P7 nnp\ nm rvrpq nm nmpq/’ \ / p=0 q=—a: где функция наклонаFnmpq(i) и частные производные по наклонению определяется формулами (2.20) и (2.20а)
48 Уравнения движения искусственных спутников Земли к (cos-i )3n^2p~2k(sin-i )^п+2^2к (2-29) F.(i)=(-1)п-р+к--------=2-----------2------------, (2п-2р-к)!к!(п-т-к)!(2р-п+т+к)! тах( 0,п-т-2р)<к< min( 2п-2р,п-т), dFnmp(l)^n + т)!(2п-2р-1)!!(2р-1)!! У , di к Si dFm^ 3n-m-2p-2k)tg-i+(m-n+2p+2k)dg-i]. di 2 2 2 Функция угловых орбитальных параметров Lnmpq записывается в следующем виде Lnmpq =(п-2р)(М+со-1тг)+дМ+т(F2-S' ). (2.30) Функции эксцентриситета G или G (е)и производные от этих функций по эксцентриситету для случая -4 <q< 4 определяют- ся [31] формулами G„Po =1 + Jne2+ J22е4, Genp0 =2eJIl+ 4J22e3, Gnpl = e(JЮ + J21е )> Gnpl ~ J io + 3e J21 + 5 J32e , &nP2 ~ e (J20 + J31е &nP2 ~ 2^20 +4e J31, (2.31) Gnp3=?3J30> Genp3=3e2J30+5e4J33f Gnp4=e4J40f Genp4=4e3J40f где Jn=-(-4k2 + D + D2), 4 J22 = — [~9k2 + 16k4 + 2D-(1 +8k2)D2 -2D3 +D4), 64 JI0=-2(2k-D), J21 = —[-2k-10k2 -8k3 +(3 + 5k + 4k2)D + (1 + 2k)D2 -D3], 16
2 Возмущающие факторы 49 = -(10к- 12к2 + 26 к3 + 80к4 + 32к5 32 384 +(3 -10к-9к2- 24к3 -16к4 )D -(8 + 12к + 36к2 + 16к3 )D2 + (-5 + 2к + 8к2 )D3 + (6 + 2к)D4 - D3 ], J20 =—[5к + 4к2 ~(3 + 4k)D+D2], 8 J30 =—(26k+30k2 + 8k3-(17+33k + 12k2 )D+(9+6 k )D2 - D3], 48 J3I = ^[-22k-64k2-60k3-16k4 +(22 + 47k + 48k2 + 16k3 )D +(-l + 3k)D2 ~(6 + 4k)D3 + D4], J33 =—[-258k-648k2-614k3-240k4-32k5 + 33 384 (231 + 572k + 617 k2 + 296k3 + 48k4 )D - (68 + 76k + 60k2 + 16 k3 )D2 -(41 + 42k + 8k2 )D3 + (14+6 k )D4 - D5 ], J40 =-^[2O6k+283k2 +Ш3 +16k4 -<142+330k+192k? +32X )D+(95+102k+24k2 )ti ~(18+8k)tf +tf ], r» ; / \n~2P’ npuq>0,' D = -n-l, k = < >. [2p-n, npuq<0. При отрицательных значениях индекса q <0, функции эксцен- триситета G и частные производные рассчитывают тоже по форму- лам (2.31), которые записаны для случая q>0. При отрицательных значениях индекса q<0 параметр J рассчитывают при к — 2р — п. Частные производные от геопотенциала (2.29) по элементам ор- биты определяются соответствующим дифференцированием =Р у GFJi X-CxinL +SmcosL)(n-2p+q), z 14)Q nmp' ww nmpq nm nmpq/\ г 4./’ ом a a pz=0q=~4 )пУ У GFJi )(-C sinL + cos L )(n-2p), о ' / npq nmp' / ' nm nmpq nm nmpq / г / ’ O CD Cl Cl р=о q=—4 =P(tL)»yy GFmn(i )(-Cnm sin L + Snm cos L )m, о npq nmp' /' nm nmpq nm nmpq / f OL2 Cl Cl p—Q q——4
50_____________Уравнения движения искусственных спутников Земли dF^i) cosL +s sinL j(2.32) oi a a p=0 q=_4 oi (i)(C cosL +S sinL ), = --(—)" — У У GnmFnmB(i)(Cnm cos L + Sm sinLnmBa) ' z npq nmp' /' nm nmpq nm nmpq / О Cl Cl Cl Cl p—Q q=-4 Если просуммировать частные производные по всем значениям п и тп то полученные выражения будут отображать частные произ- водные от геопотенциала в целом. ^/=уу^ ди ^^дипт дМ „=2т=„ дМ ’ да) да) ’ SU_ = ffdU^ dU^yydU^ dQ hh, дЯ ’ да да ’ ди=уудЦ^ dU^fdUnm де hh де ’ di di ’ 2.2.3.3 Представление геопотенциала как совокупность гармоник порядка т В предыдущем подразделе рассмотрены разложения геопотен- циала, выполняемые для каждой гармоники отдельно. В этом случае возмущения параметров орбиты, порождаемые геопотенциалом в це- лом, определяется как сумма возмущений, создаваемых всеми гармо- никами. Все гармоники геопотенциала четной степени п и одинакового порядка т содержат гармонические составляющие с одинаковым периодом и фазой, при n<N . Между собой они различаются только величиной амплитуды. Аналогично гармоники геопотенциала одина- кового порядка т , имеющие нечетную степень N -1, содержат гар- монические составляющие с одинаковым периодом и фазой, при п < N -1. Здесь N наибольшая степень учитываемых гармоник. Если просуммировать подобные члены всех гармоник четной степени и одинакового порядка т, то можно получить амплитуду возмущений, порождаемую всеми гармониками четной степени п.
2 Возмущающие факторы 51 Точно также можно получить амплитуду возмущений, порождаемую всеми гармониками нечетной степени. Это свойство можно использовать, чтобы разделить возмуще- ния по периоду и величине их воздействия на движение ИСЗ. Воспользуемся соотношением (2.26) и (2.28) и изменим порядок суммирования, тогда получим выражение t (^r’F n-d(i)±G n_d (е) lve d=-N п=тах( m\d\) 2 q=-4 2 4 (2.34) *{Cnm cos[(d + q)M + d(a>-—n) + m(£2-S ~—л)] +Snm sin[( d + q )М + d( а> - — л) + т( Q - S* -—л)]}. В (2.34) суммирование ведется по четным значениям п, если d четное и по нечетным значениям п, если d нечетное. Коэффициенты G n-d (е) ПРИ ~4<q<4n производные по эксцентриситету опре- п — Ч деляются по формулам (2.31). При этом, если q > 0, то коэффициент k-d, если q < 0, то коэффициент к = -d. В формулах (2.34) для совокупности гармоник порядка тп выде- лим амплитуды, зависящие только от позиционных параметров сред- ней орбиты (большой полуоси, эксцентриситета и наклонения) и ко- эффициентов Спт Snm гармоник геопотенциала .. w р _±_ с =— У (— ^mdq J? ( *е п=тах( /и,|б7|) U N У пт— “ F с«d (e)snm> пт,-- п,--,q 2 Ч=~4 2 4 (2.35) R, -maq & у n=max(m\d\) Амплитуды можно принимать в качестве постоянных значений. Их можно рассчитать один раз и использовать в качестве постоянных величин в течение всего интервала прогнозирования. С учетом вве- денных амплитуд выражение для совокупности гармоник порядка т можно записать в следующем виде Ц»= Z ^CndqcosKd+d)M+d(a}~^)+m(Q-^ ~л)]+ d=—N а=-~4 (2.36) sin[( d+q)M+d( ~л)]}-
52__________Уравнения движения искусственных спутников Земли Функции наклона и частные производные от функции наклона определяются по формулам (2.20) и (2.20а) Л,-(I) = (" + т)!(п+d - !)!!(и - d -1)!! X (I). к n+d к (cos-i)* i 2 *”-m+d-2k(sin-i)m-d+2k ГитЛ(*) = (-1) 2 + ----------------------------> (n+d-k)!k!(n-m-k)!(-d+m+k)l dF™d<l) =(n + m)!(n + d-l )!!(п -d-1 )цудр^к(1) di к di di 2 2 2 тах(0,-т + d)< к < min(n + d,n-m). Частные производные от коэффициентов Cmdq Smdq по большой полуоси, эксцентриситету и наклонению определяются при соответ- ствующем дифференцировании dC и N я 4 t (n+l)(-^r2F ^(i)±G(е)Ст, да КеП=п^Гт^) a q^ n—q dS и N R 4 i (n+l)(^r2F nJi)^G (e)Cm, GO /Cn=mnfm,|d|; a d — q " P 4 dG d.21 (e) S "'C Re n=max(m\c^) a nm> 2 q=-4 4 dG^ (e) У 2--—S , о nm> (2.38) Fe п=тах(т\(А) & dm. ? гс N D dF 4 Z <~Г' ~ ’ п=тах(т\(^) а п> 2 ле n р dF 4 _^=F- У ----Vg , (e)S п=тах(т\(^) а & q=-4 п’ 2 В выражениях для коэффициентов суммирование ведется по четным значениям п, если d четное и по нечетным значениям п, если <7 нечетное. пт,----
2 Возмущающие факторы 53 Частные производные от каждой гармоники порядка т с ин- дексом d определяются формулами ^=fjd+q){-C^Sin[(d+q)M+d(a>--2Jv)+m(n-^ -~2^)] + cos[(d+q)M+d(<o-y) + m(i2-^-у)]}, ^L=^(d){-CmllSin[(d+q)M+d(0}--^)+m(Q-^ --я)]+ дсо 2 2 Smjqcos[(d+q)M+d(a>-^n)+n^£2-^ -~я)]}, ^^=Y,(m){-C^lsm[(d+q)M+d(a>~n)+m(Q-^ ~я)]+ Smilcos[(d+q)M+d(a)-^n)+m(£2-^ -~^л)]}, ^sL=^^Lcos[(d+^^M+d(°)~k7l^+m(i2~^ ~^)J + да да 2 2 ——sin[(d+q)M+d(a>-—n)+ni(£2-tf -—я)]}, да 2 2 = £ {^coSf(d + q)M + d(a)-^) + m(n-S* ~л)] + де де 2 2 dS. 1 . 1 ——sin[(d+q)M+d(a>—7v)+m(f2-Sf —л)]}, де 2 2 ^Ld.= y'{^3-cos[(d+q)M+d(cl)--7r)+m(Q-^ -~л)] + di di 2 2 dS. 1 1 ——sin[(d+q)M+d(a>—л) + т(£2-& —tv)]}. di 2 2 Если рассматривать орбиты с малыми эксцентриситетами, то в выражениях для амплитуд и частных производных можно отбросить слагаемые, которые при подстановке в правые части уравнений Ла- гранжа будут содержать сомножителем эксцентриситет. В этом слу- чае используют соответствующие значения для функций эксцентри- ситета и производных С,.,=л G- =e-W п, ,0 п, ,0 2 2 2 с ... = e-(2d+n + l), G- Л(2<1 + г, + 1), п,—,1 2 п>—J 2 2 Л 2 Л (2.40)
54. Уравнения движения искусственных спутников Земли G n_d =0, Gen_d = e—(4d2 + п2 + 4dn< 9d+5n+4), n,——,2 n,——,2 4 2 2 4 Gnd =e-(-2d + n + l), Ge. =-(-2d + n + l), n—a , ’ n—a , -л ' z n,— -1 2 n’—-1 2 2 2 Gnd =0, Gend =e—(4d2 + n2-4dn-9d + 5n + 4). В соответствии с преобразованными функциями эксцентрисите- та введем обозначения для амплитуд Cmd_ltSmd _ltCmdOf SmdO’Cmd,i>Smd,i и частных производных по параметрам орбиты a,e,i 1 П N R 1 -С. ,=2L У (i^^2d+n + l)C , е R. п^т^} а пт— 2 дС^-, D \ / 1 n-d R-e n=max(m\d\) & Пт’ 2 =-e2L d@ Re п=тах(т\с^) N D 1 (n + l)(^r2F^(i)-(-2d+ п + 1)Сгт, n-d а пт — dCmd,-l о — ^md-1’ де е dr N п dF n_-d(i) 1 -^=е-Т S (~Г! т’2 -(^d+n+DC^, Ul n=max(m,\d\) О1 2 (2.41) U N R ^0=-%- Z (^r‘F_n-d(i)Cnm, D ( 7 1 n-d K-e n-max(m,\d\) nm’ 2 да = f (n+l)(^F n_d(i)Cnm, IX I ri S* 1 \ п-тах( пца\ ) n-d a nm~ dCmdO X7 e de Re de LL R nm,—— и^тсЮ _ г1 X 1 /^e \n+l 2 O’ ~ D z O’ ' Ol Ke n=max(m\d\) @1 1 и N R X (—>n+,F ^(i)^(2d + n + l)C„m, Re n=max(m\d\) nm’ 2 riC // N R 1 = £ (п+1)(^Г2Р „.d(i)-(2d+n+l)Cm„, a 2 D ( 7 1 n-d Re n=max(m\d\) nm’ 2 da R2e n=max(m\(^) О ~ ^mdl> de e
2 Возмущающие факторы 55 dF „_d(i) = Пт~——(2d + n + l)C. n=max(m,\d\) & Si 2 Амплитуды Smd _J,SmdOfSmdJ и частные производные от них no параметрам орбиты а, е, i рассчитываются по этим же формулам (2.41) при замене в них коэффициентов геопотенциала Спт на коэф- фициенты геопотенциала Snm соответственно. Частные производные, фигурирующие в правых частях уравне- ний Лагранжа, определяются следующими формулами: ^ = (d){-Cm^_lSin[(d)M+(d+l)(a)--K)+m(F!-X--7r)] + дМ 2 2 Sm^_lcos[(d)M+(d+l)(a)-y)+m(Fl-Sr ~у)]~ C^sinfdM+d(a)-^Tt)+m(F2-tf ~~л)] + Smd0cos[dM+d(a)-^r)+m(F2-f!> Cm.d-,.i sin[dM+(d-l )(<»~ ^)+^~^)] + sm.d-u cosfdM+(d~l)( а)~л:)+т(П-^ —x)]}, ={-C^I,.,(d+l)Sin[(d)M+(d+l)((O--n)+w(Q-^ —л)]+ да) 2 2 С^о(1 sin[dM + d( co— л)+п(£2-$ —л)]+ ^mdodcos[dM+ d(a>-~7c) + m(f2-tf ~^л)]~ Cmjt-u(d-l)sin[dM+(d-l)(a~jr)+m(i2-^ ~^)]+ SmJi-lj(d-l)cos[dM+(d-l)(<D~j[)+m(n~^ ~л)]}. (2.42)
56 Уравнения движения искусственных спутников Земли д£2 2 2 $„шч^№)М+№+1)(в>2я)+п({2-!!> 2^)]- Cmtosin[dM+d(a>-2^r)+n(£2-^ 2л)]+ S^o cos[dM+d(т~л)+т( Cmd_tl sintdM+<d~l)(о»"Я)+т(Q-tf ~n)J+ S^JcosldM+td-Wco—^+nfQ-g -LK)]}> 2LSL = {^i±L±C0S[dM + (d + l)(a}--7t)+m(Q-S' -~я)] + да да 2 2 2n±±zLsin[dM + (d + l)(o)--K) + m(Q-S' -~л)] + да 2 2 ^^cos[dM + d((o--ir) + m(Q-S’ -~я)] + да 2 2 sin[dM+d(eo-—7c)+m(f2-S* ~—л)] + да 2 2 дС^-‘-1 cos[dM+(d-l)(co--n)+m(<l-^ -~л)]+ да 2 2 dSm-d-u sin[dM+(d-l)(a)--jr)+m(Q_g да 2 2 ^. = {дС^'--' cos[dM+(d+r)(a>--n) + m(<l-^ --„)]+ дв дв 2 2 dS„.d+i.-i sin[dM + (d+l)(a>--^) + m(Q-S' -~л)]+ де 2 2 cos[dM+d(co-—n)+m(£2-tf ~—л)] + де 2 2 ^^sin[dM+d(co--7t)+rn(£2-tf -~л)]+ де 2 2 2^11cos[dM+(d-l)(o)--^)+m(n-^ --„)]+ де 2 2 ^=ld.sin[dM+(d-l)(a>--„)+m(Q-^ --л)]}, де 2 2
2 Возмущающие факторы 57 = ^.d+i.-i cos[dM + (d + l)((o--n)+т(Я-S' --л)] + di di 2 2 dSm.d+i.-i sin[dM+(d + l)(<a--7t) + т(Я-S' --л)] + di 2 2 ^^-cos[dM+d((o--^)+m(n-S' -~л)] + di 2 2 sin[dM+d(co——л)+тп(—я)]+ di 2 2 dC 1 1 -^^-cos[dM+(d-l)(a>--jr)+m((2-g -~л)]+ di 2 2 ^dJ.sin[dM+(d-l)(a>--n)+m(f2-^ —л)]}, di 2 2 Полученные формулы (2.39) и (2.42) можно использовать для расчета составляющих возмущающих ускорений в орбитальной сис- теме координат о a dUm, с ___ __та ^md “ ~ г да Т 1 md /-ч > г дй) (2.43) 1 ,dU. cosi dU, cos и dU, . Wmd=-(—----------cos и----------+ ——sinu). г да) sini д£2 sini di В представленных соотношениях при заданном значении d ка- ждое слагаемое содержит вклад от всей совокупности гармоник гео- потенциала порядка т . Значение d связано с величиной амплитуды периодических возмущений. При d = 0 длительность периодических возмущений наибольшая. Большему периоду соответствует большая амплитуда. Для орбит, совершающих в сутки 10 и более оборотов во- круг Земли, амплитуды периодических возмущений при d = 0 при- мерно в 10 раз превосходят амплитуды, соответствующие значениям И = ±Л При dM « т(Q -a)z) наблюдается явление резонанса или близкого к резонансу. Резонансные составляющие имеют большой период и амплитуду. Продолжительность периода может составлять 1000 и более витков. Например, если спутник совершает в сутки ров- но 14 оборотов вокруг Земли, то при т = 14 и d = 1 величина ам- плитуды резонансных возмущений в большой полуоси может дости-
58____________Уравнения движения искусственных спутников Земли гать 1 км. Поэтому ИСЗ, подверженные воздействию резонансных возмущений, испытывают значительные долгопериодические смеще- ния по орбите. Эти смещения вызывают дрейф трассы. Величина это- го дрейфа может быть равной межвитковому расстоянию. 2.3 Возмущающие ускорения, создаваемые влиянием сопротивления атмосферы Составляющие возмущающих ускорений в орбитальной систе- ме координат SJf Tlf W1 определяются формулами Sj=- SbpVvr, = -SbpVvT , W} = -SbpVvw , (2.44) где F Sb = Cx — баллистический коэффициент, Fm - площадь сечения 2m перпендикулярного набегающему потоку атмосферы, т - масса ИСЗ, Сх - коэффициент лобового сопротивления, который принима- ет значения 2..2,5 в зависимости от высоты орбиты и конфигурации ИСЗ, K = +VT+V^> Vr=^esin&, (2.45) vT = i—(l + ecos3)-a)zrcosi, (2.46) УР vw = cozrsinicosu, r = ——-----, p = a(l-e2), (2.47) a>z - угловая скорость вращения атмосферы Земли, р - плотность атмосферы Земли определяемая по формулам исполь- зуемой модели атмосферы. Если ИСЗ имеет сложную конфигурацию и определенным обра- зом изменяет ориентацию в пространстве, то баллистический коэф- фициент будет переменным. Эту особенность учитывают и представ- ляют Sb в виде некоторой переменной величины или в виде некоторо- го усредненного значения. Все модели атмосферы являются приближенными. Они содер- жит параметры, которые известны с большими погрешностями. Кро- ме того функциональные зависимости изменения плотности атмосфе- ры от высоты, времени и других параметров известны лишь прибли- женно.
2 Возмущающие факторы 59 При проектировании космических систем, управлении их дви- жением используют стационарные и динамические модели атмосфе- ры. Стационарные модели атмосферы определяются уравнением состояния идеального газа и уравнением гидростатического равнове- сия. К стационарным моделям плотности атмосферы относятся моде- ли CIRA, 1961, Атмосфера стандартная ГОСТ 4401-81 и др. [2], [16], [63]. Динамические модели атмосферы учитывают изменение плот- ности атмосферы во времени и в пространстве. Изменения, зависящие от широты, вытекают из того, что Земля является эллипсоидом вра- щения, и за счет изменения геоцентрической широты подспутниковой точки изменяется высота ИСЗ над поверхностью Земли. Суточные изменения зависят от изменения теплового воздейст- вия солнечного излучения. Атмосфера в результате воздействия сол- нечного излучения вздувается, образуется атмосферный горб, в на- правлении на Солнце, но отстающий от него на восток. Полусуточные изменения вызываются приливными действиями гравитационного притяжения Луны и Солнца. Годичные изменения обусловлены движением Земли вокруг Солнца при существовании наклонности экватора Земли к плоскости эклиптики. Полугодичные изменения обусловлены потоком заряженных частиц и полугодичными вариациями геомагнитной активности Солнца. Влияние эффекта магнитных бурь проявляется в увеличении плотности атмосферы, коррелирующих с магнитными бурями. Влияние солнечной активности сильно коррелирует с излучени- ем Солнца в дециметровом диапазоне волн. Изменения с периодом 11 лет, связанные с солнечной активностью, обладают периодом, совпа- дающим с 11 летним солнечным циклом. Динамические модели, построенные с учетом перечисленных изменений, предсказывают структуру плотности атмосферы на за- данный момент времени в заданной точке пространства. Однако эти модели дают амплитуды изменения плотности атмосферы только с точностью до коэффициента соответствия равного 2..3. Этот множитель следует уточнять по результатам измерения те- кущих навигационных параметров. Обычно в процессе обработки текущих навигационных пара- метров определяют скорость изменения большой полуоси орбиты обусловленной воздействием сопротивления атмосферы. Для
60 Уравнения движения искусственных спутников Земли этого же мерного интервала рассчитывают моделируемую скорость изменения большой полуосиамод( Sb, рмод), как функцию баллисти- ческого коэффициента и плотность атмосферы, соответствующей принятой модели атмосферы. Тогда коэффициент соответствия будут определяться по формуле £ ___^изм & мод ( f Рмод ) Полученное значение коэффициента соответствия используют при расчете плотности атмосферы. То есть в качестве текущего зна- чения плотности атмосферы р используют величину р — Ксрмод. В ряде случаев этот множитель соответствия относят к балли- стическому коэффициенту, определяя его по формуле Sb=KcCx^. (2.49) 2т Полученное таким образом значение баллистического коэффи- циента или плотности атмосферы используют при расчете возмуще- ний параметров орбиты. Совершенно очевидно, что значение коэффициента соответст- вия с течением времени изменяется и его значение приходиться регу- лярно уточнять в процессе обработки текущих навигационных пара- метров. Периодичность уточнения коэффициента соответствия опре- деляется экспериментально и зависит от требований к точности про- гнозирования параметров движения ИСЗ. Проводимые ранее эксперименты по уточнению коэффициентов соответствия показали, что использование динамических моделей атмосферы не приводит к уменьшению периодичности уточнения ко- эффициента соответствия. Поэтому при расчете составляющих возмущений, обусловлен- ных влиянием сопротивления атмосферы, отдают предпочтение более простым статическим моделям плотности атмосферы. Атмосфера стандартная ГОСТ 4401-81 [2] затабулирована в со- ответствии с формулой р = КсAj ехр(k2J(h-hj)2 -ktJ(h — h^)), (2.50) параметры которой приведены в таблице 2. Эта модель атмосферы представляет изменение плотности с высотой и учитывает широтный эффект. В силу своей простоты она получила широкое распростране- ние при проведении практических расчетов прогнозирования движе- ния ИСЗ с периодическим уточнением коэффициентов соответствия.
2 Возмущающие факторы 61 В формуле (2.50) h обозначает высоту над поверхностью Зем- ли. Она определяется по формуле h = r-Re(l-asin2 isin2 и), (2.51) Re, а - экваториальный радиус и коэффициент сжатия Земли соот- ветственно, hj - фиксированные значения высоты, для которых приводятся значе- ния высоты, плотности атмосферы и коэффициенты . Параметры статической модели атмосферы ___________________________________________________Таблица 2. № слоя Интервал высот, км. A • ,кг/м3 ,1/km. k2j,l/KM2. 1. 0<h<20 0.12280E+01 0.90764E-01 -0.20452E-02 2. 20<h<60 0.90130E-01 0.16739 0.62669E-03 3. 60<h<100 0.31043E-03 0.12378 -0.86999E-03 4. 100<h<150 0.53675E-06 0.17527 0.1287E-02 5. 150<h<300 0.20078E-08 0.45825E-01 0.10167E-03 6. 300<h< 600 0.18651E-10 0.19885E-01 0.97266E-05 7. 600<h<900 0.11273E-12 0.14474E-01 0.15127E-04 8. 900<h< 00 0.56916E-14 0.39247E-02 Для динамической модели плотности атмосферы величина плотности рассчитывается в соответствии с соотношениями, приве- денными в ГОСТ 25645-166-2004 [1]. 2.4 Возмущающие ускорения, обусловленные гравитационным притяжением Луны и Солнца Составляющие возмущающих ускорений S5,T5tW5, обуслов- ленные гравитационным притяжением Луны, в орбитальной системе координат определяются формулами ^5 — f^L * ________$L Г_______________$L______ > (J(SL-r)2+T2 + W2)3 ф1+т2+к2)3/ ?5~ __________т,________________TL (sl(SL-r)2+T2+W2)3 ^S2l+T2+W2)3’ (2.52)
62 Уравнения движения искусственных спутников Земли W5=^L< где " гравитаЦионная. постоянная Луны и координаты цен- тра масс Луны в орбитальной спутниковой системе координат, г - радиус-вектор спутника. Координаты центра масс Луны в орбитальной спутниковой сис- теме координат определяются по формулам TL W, а11 а21 1L Z, (2.53) а13 а23 а33 ; центра масс Луны определяются координата- а12 а22 а32 Положение mhX£,K£,Z£b геоцентрической системе координат. Они выбирается из Астрономического ежегодника или рассчитываются по формулам раздела 6. Составляющие возмущающих ускорений S6fT6fW6, обуслов- ленные гравитационным притяжением Солнца, в орбитальной систе- ме координат определяются по формулам аналогичным (2.52) 5c-r Sc фс-г}+Т2+К2)3 ф2с + Т2+К2)3>’ Тг тг 5'б=Ас< (2.54) Тб~ где /uc,Sc,Tc,Wcгравитационная постоянная Солнца, координаты цен- тра масс Солнца в орбитальной спутниковой системе координат, г - радиус-вектор спутника. Координаты центра масс Солнца в орбитальной спутниковой системе координат определяются по формулам
2 Возмущающие факторы 63 т 1с w Хус J "ач а21 \а31 а12 а22 а32 (2.55) Положение центра масс Солнца определяется координата- ми XC,YC,ZCв геоцентрической системе координат. Они выбирается из Астрономического ежегодника или рассчитываются по формулам раздела 6. 2.5 Возмущающие ускорения, вызываемые приливной деформацией Земли Гравитационное поле Земли вследствие приливной деформа- ции, обусловленной влиянием гравитационного притяжения Луны и Солнца, изменяется со временем. Наиболее значительные возмуще- ния в движении спутника, вызываемые приливной деформацией Зем- ли, являются вековые и долгопериодические возмущения. Аналити- ческие формулы для расчета этих возмущений получены в работах [88], [90]. Упругие свойства Земли принято характеризовать числами Ля- ва. Они учитывают реакцию Земли на деформации, описываемые сферическими гармониками второго порядка. Для реальной Земли значение числа Лява к2 =0,316 ±0,010. Оно полученно из экспе- риментальных гравиметрических данных [47]. В результате притяжения Луны и Солнца на каждый элемент Земли действует сила. Эта сила вызывает приливную деформацию в теле Земли. Вследствие этой деформации притяжение Земли изменя- ется, возникают дополнительные силы, которые характеризуются до- полнительным потенциалом. Во внешнем пространстве этот потенци- ал определяется [4], [88], [90] формулой R = к2^ (^)2 (^)3 [-cos2(HL)^l h h Г 2 2 „ z/ p p э 7 (2.56) +k2^(^)2(^)3 [3-cos2(Hc)--]. rc rc r 2 2 Здесь первое слагаемое представляет потенциал, создаваемый влиянием гравитационного притяжения Луны, а второе слагаемое - влиянием притяжения Солнца, piL,rL,HL - гравитационный параметр Луны, геоцентрический радиус-вектор положения Луны, угол, обра-
64 Уравнения движения искусственных спутников Земли зованны геоцентрическими направлениями на спутник и в вершину приливного горба; /ис,гс,Нс - соответствующие величины, относя- щиеся к Солнцу, г - радиус-вектор спутника, к2 - постоянная Лява, коэффициент, характеризующий упругие свойства земной коры. Он принимает значения 0,3...0,4. Из выражения для потенциала (2.56), определяются возмущаю- щие ускорения, обусловленные приливной деформацией Земли. Составляющие ускорений, обусловленные влиянием лунных приливов в земной коре, в орбитальной системе координат рассчиты- ваются по формулам р? <а!1 “12 (AXl> т 2 7 = а21 а22 а23 X ay.„ Lp (2.57) W \УУ7 ) \а31 а32 ° 33 > nJ Ускорения, создаваемые приливной деформацией от гравитаци- онного притяжения Луны, в экваториальной системе координат опре- деляются по формулам =-3k2nL(^)3(^)2{~(3cos2HL rL г 2 г г rL г Л = -3k2pL(^-)3(^)2{~(3cos2HL-l)-3^^[^--cosHL]}, rL г 2 г г rL г = ~3k2HL(—)3(—)2{~-—j(3cos2 HL-l)-3C-^^[^--cosHL]}, rL г 2 г г rL г где rL=^X2L+Y2+Z2L, XIL = XL cos (p + YL sin (p, YIL=XLsin<p-YLcos(p, % IL = %L > „ XILX + Y1LY + ZILZ cos HL = —-----------lj!—, V X,Y,Z - составляющие радиус-вектора спутника в экваториальной системе координат, XL,YL,ZL - составляющие радиус-вектора цен-
2 Возмущающие факторы 65 тра масс Луны в экваториальной системе координат, ф - угол запаз- дывания вздутия земной коры относительно направления на Луну, равный 5...7 градусов. Составляющие ускорений, обусловленные влиянием солнечных приливов в земной коре, рассчитываются по аналогичным формулам Г с > ^8 а11 а12 а13 Ср т 28 = а21 а22 а23 X ^Сп Ср (2.58) W V? \а31 а32 а33) =-3W— f(~ f{~(3cos2 Нс-1)-3^^[^ --cosHc]}, rr г 2 г г rr г XYc^--3k2/Jc(—f(—f{-^(3cos2Hc-l)-3^-^[—-—cosHc]}, rc г 2 г г гс г ^=-3k2pc(^-f(^-f{~(3cos2Hc-l)-3^^[^--cosHc]}, rc г 2г г гс г где rc=Jx2c + Y2+Z2c, XIC = Хс cos <p + Yc sin (р, Ylc = Хс sin (p-Yc cos (p, ZiC = Zc, „ X1CX + Y1CY + ZICZ cos Hc = —----—----, rcr XC,YC,ZC - составляющие радиус-вектора центра масс Солнца в эк- ваториальной системе координат.
66 Уравнения движения искусственных спутников Земли 2.6 Составляющие возмущающих ускорений, вызываемые влиянием сил светового давления Влияние светового давления достаточно строго учитывается для ИСЗ, у которых поверхность, обращенная к Солнцу, и отражающие свойства этой поверхности не изменяется с течением времени. Этому условию отвечают ИСЗ, имеющие форму шара. Для ИСЗ, имеющих сложную конфигурацию определение площади поверхности ИСЗ, подверженной воздействию светового потока, затруднительно. В свя- зи с этим влияние светового давления достаточно строго учитывается только для ИСЗ, поверхность которых имеет форму шара. Для ИСЗ сложной конфигурации эффективная площадь поверхности или вели- чина, характеризующая воздействие на ИСЗ сил светового давления, уточняется в процессе обработки измерений текущих навигационных параметров. Возмущающие ускорения, обусловленные действием прямого солнечного светового давления, рассчитываются [4], [5] по формулам S9=-^(^)2Ai^, т гс гс (2.59) w гс гс F а . W W9 т гс гс В формулах, эффективная площадь, поверхности ИСЗ пред- ставлена коэффициентом , Fc=4,5*l(r — - сила светового дав- ЛГ ления, приходящаяся на единицу площади, находящейся на среднем расстоянии от Солнца равном большой полуоси орбиты Солнца ас - 149597870км, т - масса ИСЗ, SC,TC,WC - составляющие ра- диус-вектора центра масс Солнца в спутниковой орбитальной систе- ме координат, rc = ^S2C + Т2 + FKJ . В зависимости от положения (ориентации) ИСЗ относительно Солнца и поверхности Земли эффективная площадь At изменяется. В алгоритме целесообразно учитывать изменение эффективной площа- ди в соответствии с изменением ориентации ИСЗ относительно на- правления на Солнце.
2 Возмущающие факторы 67 Световое давление прекращает воздействовать на ИСЗ, если он заходит в тень Земли. Поэтому при пошаговом расчете возмущающих ускорений в каждой точке витка проверяют условие нахождения КА в тени Земли. Это условие определяется неравенством Sc<0 и (ЛЭф-г 1-(^)2 )>0, (2.60) V ГС где a S Z КЭФ = ---------(sinisinu —g-^s~)2 ], (2.61) J ( с^2 r<J rc R3<d - эффективный радиус сечения Земли плоскостью, проходящей через Солнце, ИСЗ и центр Земли, Re - экваториальный радиус Зем- ли. Если условие выполняется,' то возмущающие ускорения S9, Т9, W9 принимаются равными нулю. Использование эффективно- го радиуса КЭФ сечения Земли плоскостью, проходящей через Солн- це, ИСЗ и центр Земли позволяет учесть сжатие фигуры Земли при расчете границ пересечения тени. Эффект от этого бывает заметен на переходных участках от световых орбит к теневым и обратно от тене- вых орбит к световым. После выхода ИСЗ из тени возмущающие ускорения рассчиты- ваются обычным порядком, как описано в алгоритме. 2.7 Составляющие возмущений, обусловленные движением экваториальной плоскости Земли Если учитывать движение экваториальной плоскости вследст- вие прецессии и нутации, то в состав возмущающих ускорений сле- дует ввести дополнительно составляющие, учитывающие движение экваториальной плоскости. Эти составляющие рассчитываются по формулам = ^(УА, - Ул,)-V, + VA, ). = ?£(V,an- V,a„) + У, - П(УАз + УЛз). ot ot ot
68 Уравнения движения искусственных спутников Земли AVZN -^-(Vra23-Vtal3) +—cosi(Vrsinu + VTcosu), (2.62) dt dt PN да) d£2 di . AVx =r(^7a2i—r-a!2+-z-aI3sin&), dt dt dt PN da) d£2 di AVy — f( a22 + я an я ancos&)> dt dt dt ,T.PN ,da) . . di . .. AV7 =r(—cosusini-\—sinucosi), z dt dt где сг - элементы матрицы А (2.3), vr = ^esin &, (1 + ecos&), VX,VY,VZ ~ составляющие вектора скорости в геоцентрической эква- ториальной системе координат, связанной с истинным экватором, di д£2 да) —,----,— - скорости изменения наклонения плоскости орбиты к dt dtdt плоскости истинного экватора, долготы восходящего узла и аргумен- та перигея орбиты, обусловленные прецессионными и нутационными смещениями истинного экватора и точки весеннего равноденствия. Эти скорости определяются [89] по формулам = —^—( A cos £2-В sin £2), dt sin i д£2 .да) 1 dy/ dt dt 2 dt ' — = (Bcos£2-Asin£2), (2.63) dt где A = 0,9175—sin у/+ 0,3979 cos у/, dt dt В = -(0,1583 + 0,8418 cosw)— + 0,3651^-sin w, ’ Y dt dt Y dcosa = 0,3651(1-cosy/)-(e3 -e0), Osina = (0,3979 + e, -e0)siny/, 50", 25641 у/ = л---------------------+ Ау/, 365.25* 864Q0* 3600* 180
2 Возмущающие факторы 69 z 4 0” ,46836738t (£,-£„) = л----------------------+Ле . ' 0 365.25*86400*3600*180 Здесь t - время в секундах от начальной даты. Редукционные dll/ ds величины ----,—,Ai//,As рассчитываются по формулам учета пре- dt dt цессии и нутации, описанным в разделе 6. Если рассматривать движение ИСЗ в системе координат, свя- занной со средним экватором даты, то формулы учета движения эква- тора становятся более простыми и учитывают только влияние прецес- сии. В этом случае скорости изменения аргумента перигея, долготы восходящего узла и наклонения определяются [54] по формулам 1 —— = п-------cos Q, dt р sin i Si2pr cosi ----- = ~ nn,----cos H, dt p p sfni di —- = -nn sin Q, dt pr (2.64) где через mpr=7,080106103xl0'12с'1, и npr = 3,079819204х10~12с'1 обо- значены годичные прецессии по прямому восхождению и склонению. Если в формулы (2.62) подставить значения скорости изменения аргумента перигея, долготы восходящего узла и наклонения, опреде- ляемые соотношениями (2.64), то соотношения будут определять со- ставляющие, учитывающие движение экваториальной плоскости за счет прецессии. Эти составляющие определяются формулами • Р ^пг "~аГа’а"~''•a">~~&TVr + vra»>’ • Р дЮрг dQr ^ПГ (V'an ~V‘a,2)+-^Vx --^cosQ(Vral3 + VTa23), Л&у = ——(Va - V.a,}) Ч——cos i(Vr sin u + VT cos и), z dt 1 2 dt r T p da> dll di„, ЛУ~ = r(——a2i-----~ai2 4—~an sin£2), (2.65) x dt 21 dt 12 dt 13
70____________Уравнения движения искусственных спутников Земли р da> d£2 di AVy = r(—— a22 + —— an-------— a,, cos£2), r dt 22 dt “ dt 13 p da> di AV7 = r(—— cos и sin i + —— sin и cos i). z dt dt Связь между экваториальной системой координат, отнесенной к среднему экватору даты (OXYZ )(Д), и системой экваториальных ко- ординат OXYZ, отнесенных к истинному экватору, осуществляется посредством следующих формул Z Z' r( (2 6 > = Д)' 4) Ц) Nnt< > = Л X Y( Z( f < nt (Д)' Д) Д) Y Z J > < 9 > < 9 Vx Vy kzj Vxc v° yY V(' v z > — Д)' 1) Ц) > = A v. V, Vz rT < nt (ДГ (Д) (Д) Vx VY 1л J (2.66) (2.67) Матрица нутации Nntn её элементы определяются соотноше- ниями, публикуемыми в Астрономических Ежегодниках [64]. Их так- же можно рассчитать по формулам, приведенные в разделе 6. 2.8 Разложение возмущающих ускорений в ряды Фурье Возмущающие ускорения S,T,W можно представить рядами Фурье по эксцентрической аномалии. Коэффициенты этих рядов ис- пользуют в соотношениях, определяющих вековые, долгопериодиче- ские и короткопериодические возмущения параметров орбиты, а так- же при интегрировании дифференциальных уравнений, описываю- щих вековые и долгопериодические возмущения параметров орбиты. Ряды Фурье для возмущающих ускорений имеют следующий вид 1 ^2> S = -Ao+ (AjCosjE + BjSinjE), 2 j=i I I?”'23 Т = — С0+ У, (Сj cos jE + Dj sin jE), (2.68) i=i
2 Возмущающие факторы 71 ^N-2> W = -Fo + L (FjCOs jE + Pj sin jE). Они представляют влияние отдельных возмущающих факторов, например сопротивление атмосферы, или влияние совокупности воз- мущающих ускорений, действующих на ИСЗ. В их состав не вклю- чают возмущающие ускорений от несферичности Земли, так как они имеют относительно сложную форму. Для определения коэффициентов DjfFJfPj исполь- зуют численный или аналитический алгоритмы разложения функции возмущающих ускорений в ряды Фурье. Аналитические алгоритмы разложения функции в ряды Фурье имеют более сложную для реали- зации форму. Численные алгоритмы расчета коэффициентов проще в реализации и позволяют учитывать тонкие эффекты, свойственные функциям, описывающим возмущающие ускорения. Численный алгоритм может быть представлен следующей по- следовательностью операций. Для текущего момента времени рассчитываются параметры средней орбиты a,e,i,£2,co,M. Они являются результатом интегри- рования системы дифференциальных уравнений описывающих веко- вые и долгопериодические изменения параметров орбиты или резуль- татом использования аналитических решений. Для параметров средней орбиты рассчитывают направляющие косинусы осей орбитальной системы координат, зафиксированной в точке перигея орбиты Рх = cos со cos £2 -sin со sin £2 cos i, Py = cos co sin £2 + sin cocos £2 cos i, (2.69) Pz = sin co sini, Qx=- sin co cos £2 - cos co sin £2 cos i, rx = sin £2 sin i, (Э =-sincosin£2 + cos co cos £2 cos i, r = - cos £2 sin i, Q7 = cos co sin i, r = cos i. На текущий момент времени рассчитывают геоцентрические координаты положения центра масс Луны и Солнца XL,YL,ZL, XC,YC,ZC соответственно. Полученные геоцентрические экватори- альные координаты Луны и Солнца преобразуют в орбитальную сис- тему координат, зафиксированную в точке перигея
72 Уравнения движения искусственных спутников Земли S'" =(7^+%+%>• ^”‘(РЛ+Р,Ус + РА). =(e.xL+e,rL+e,zj. ?','=('ал+ел+й^. W[’,=(r,XL+rfYL+r,ZL). W^'=(r,Xc+ryYc+r,ZJ, rc = Jxt + Y'+Zl, rc = J%2+£+Z'. Рассчитывают геоцентрические экваториальные координаты, направлений в центр приливного горба, образуемого в земной коре, вследствие гравитационного притяжения Луны и приливного горба, образуемого вследствие гравитационного притяжения Солнца. XIL = XL cos (p + YL sin (p, Y1L = XLsin(p-YLcos(p, (2.71) 7 =7 X1C = *c cos (p+Yc sin (p, Y1C = Xc sin (p-Yc cos cp, (2.72) Z7C = Zc, Для последовательности значений j — 0,1,2...N и Е. = jAE, 2л где ЛЕ = —,N - количество точек, используемых при расчете ко- N эффициентов рядов Фурье, последовательно рассчитывают истинную аномалию, аргумент широты, направляющие косинусы матрицы А, радиус-вектор и все возмущающие ускорения учитываемых возму- щающих факторов. nsinE. cosE.-e sin 19. =---------—, cos &. =------------, 1-ecosEj 1-ecosEj sin Uj = sin co cos Sh + cos co sin th, cos иj = cos co cos &j - sin co sin i9y. _ ar]2 J (l + ecosfy)’ a(jJj} = cos иj cos £2 - cos i sin sin Q, a\J2} = cos иj sin £2 + cos i sin Uj cos = sinisinu j}
2 Возмущающие факторы 73 ? = - Uj cos a - cos i cos иj sin £2, = sin i sin £2, a<n =~ s*n uj sin Q + cos i cos Uj cos O, = - sin i cos £2, = sin i cos u}, a(3J3} = cos i, (2-73) Составляющие возмущающих ускорений, обусловленные влия- нием сопротивления атмосферы определяют по формулам ^=-s^J^, ^> = —esinfy, Р_ —(l+ecosS^-co^cosi, (2.74) W!J) =-ShipV<1>v^), = co7rsinicosu., 1 uj • J tt W J J vj=^si))* l 2 * * S+(VTi))2+(^))2. Здесь Pj - плотность атмосферы, определяемая по формулам (2.50) на высоте й., или по формулам иной конкретной модели атмосферы. При расчете высоты ИСЗ над поверхностью Земли учитывают корот- копериодические возмущения радиус-вектора, порождаемые влияни- ем второй зональной гармоники hj =rj-Re(l-asin2 isin2 Uj), (2.75) a = 0,00335281 - коэффициент сжатия Земли, an2 1 R , , , ecos&i a ^~J2(^)2ri-2a{(l-3cos2i)[l^-----J- (l + ecos&j) 4 a 7 + 7 -----+ sin2 i{cos2u - e [(1-rj)cos(2u -38 )- l + ecos&j 2(1 + T]) 3(l + T])cos(2uj-8j)]}. (2.76) Координаты Луны и Солнца в орбитальной системе координат и возмущающие ускорения, обусловленные гравитационным притяже- нием Луны, Солнца рассчитывают по формулам S(Lj) = S(I0)cos8J +Т[0) sin8jf S(cj)=S(c0)cos&j^T(c0)sin&j, T[j)=T[0)cos8.-S<L0)sin&jf T<j) = T^0)cos8l. -S<0)sin9p (2.77) J L> J V V J V J W[J)=W[0), W<CJ> =w<c0>,
74_________Уравнения движения искусственных спутников Земли S(i>-г <l(j> I t l l2 ;; t l (J(S^-rj)2+T[J> + W<J>)3 rL (278) t(j) 'r(j) T(J) = и F( L _) - — 1 L (^(S^-^f +Tt^ + W^ )3 r3L W^J)-r W<J> w<J> = ML[(-r=)—=——=—>-^7, (/S^-r^+T^+W^)3 rL Su>-r S(6J> = »C[(—,-=—i (yl(S¥)-rj)2+T<J>+W<.J>)3 rc T(j> T<” = nc[( , lc )--^], (2-79) (^S^-^f+T^ + W^)3 rc W<J)-r. W<J> w<j> =^C[(-T -c2. 3- (-3)-^]- (/s^-r^ + T^ + W^)3 rc Рассчитывают составляющие радиус-вектора спутника в эква- ториальной геоцентрической системе координат и косинусы между направлениями на спутник и в центр приливного горба, образованно- го в результате и гравитационного притяжения Луны, и в центр при- ливного горба, образованного в результате и гравитационного притя- жения Солнца соответственно xj = fjctf. YJ = rjW’ ZJ = Г3а<О ’ Xl.Xi+Y„Yi+ZllZi XirX,. + YrY,.+Z/rZ. cos H(LJ) = cos H(CJ) = — Vj rCrj Составляющие ускорений, обусловленные влиянием лунных приливов в земной коре, рассчитываются в орбитальной системе ко- ординат по формулам (а(з> a(j) a(J)^ U11 U12 и13 Г лх^Л Lp T’fj) 17 = и21 и22 и23 X (2.80) \^и31 и32 изз ) AZ''‘ \ LP ) где cos^]}, Г z Г- ri г
2 Возмущающие факторы 75 =-3k2/jL(—f(—j2{~j(3cos2 Н?-Ц-З^^^-^ахН*!1]}, гь П 2 г* гj rL rj =-Зк2^/(^&(Зоо^ H<LJ> -l)-3^^-[^-^-cos^>]}. rL r} 2 fj r> rL rj Составляющие ускорений, обусловленные влиянием Солнечных приливов в земной коре, рассчитываются в орбитальной системе ко- ординат по формулам (a<J> a(j) a(i)\ U11 U12 и13 т’Г j) 18 = г/i) j) г/ и21 и22 и23 X (2.81) \^и31 и32 и33 ) A7(J> Vй, Ср ) где =~3k2pc(^)3(^)2{-^-(3cOS2Н“> rc г} 2 r} г J гс г2 Mg =-3k2pc(—/(—f{^~(3cos2H(^> rc rj 2rt r, rc rj Mg =-3k2^J^&3cos2 Hg rc fj 2 rj r} rc 5. Возмущающие ускорения, обусловленные действием прямого солнечного светового давления, определяются формулами S<9i> =-^(^)2A(,j>^, m rc rc Т<)>=_^(^)2а<л1с^г (2.82) m rc rc m rc rc В формулах для возмущающих ускорений A^J) обозначает эф- фективную площадь, Fc=4,5*10~7кг-м~2 - силу светового давле- ния, приходящуюся на единицу площади, находящейся на среднем расстоянии от Солнца равном большой полуоси орбиты Солнца ас = 149597870км, т - масса ИСЗ. В зависимости от ориентации ИСЗ относительно Солнца й поверхности Земли эффективная пло- щадь А(/> изменяется. Изменение эффективной площади можно учи- тывать, если каждому значению эксцентрической аномалии
Уравнения движения искусственных спутников Земли 76 Ej = jAE, ставить в соответствие конкретное значение A[j), опре- деляемое как функция углов ориентации ИСЗ относительно направ- ления на Солнце. Световое давление прекращает воздействовать на ИСЗ, если он заходит в тень Земли. Поэтому при каждом значении эксцентриче- ской аномалии Ej = jAE, проверяют условие пересечения орбитой теневой зоны. Это условие определяется неравенствами I S!c'><0 и (R^-r(2.83) V гс где Кэф - эффективный радиус сечения Земли плоскостью, проходя- щей через Солнце, ИСЗ и центр Земли, Лэ. = R [ 1---—(sinisinu. - $с j2 J. (2.84) ЭФ eL v(j) ' J „2 7 J У у rc rc Если выполняется условие для тени, то значения возмущающих ускорений S(9j> ,T9J) ,W9j) принимают равными нулю. Использование радиуса ЕЭф ддя сечения Земли плоскостью, проходящей через Солн- це, ИСЗ и центр Земли позволяет учесть сжатие фигуры Земли при расчете границ пересечения тени Рассчитывают возмущающие ускорения, обусловленные влия- нием других возмущающих факторов, не вошедших в состав рас- смотренных. Компоненты этих ускорений представляют в орбиталь- ной системе координат в соответствии с положениями алгоритма представленного выше. Рассчитывают коэффициенты рядов Фурье, представляющих компоненты суммарного вектора возмущающих ускорений в орби- тальной системе координат j=0 п=1,5,6,7,8,9 j=0 п=1,5,б,7,8,9 J N-] 7 N-1 Д—Z Z (2-85) 2* j=0 п=1,5,6,7,8,9 Л j=0 п=1,5,6,7,8,9 j N-1 ? N-1 Z ^coskEj, Z J=On=lJfi.78.9 Я j=O п=1.5.6,7.8,9 при к = 0,1,2...17
2 Возмущающие факторы 77 Для определенности можно положить N = 36. Для орбит близ- ких к круговым значение N может быть принято равным 24 или 12 Если N = 36, то при j = 35 расчет коэффициентов заканчива- ется. 2.9 Малые возмущающие эффекты в движении ИСЗ Помимо сил гравитационного поля Земли, сопротивления ат- мосферы, гравитационного притяжения Солнца и Луны, сил светово- го давления на движение спутника оказывают влияние возмущающие факторы, которые можно отнести к числу малых возмущающих фак- торов. Это приливные эффекты в теле Земли, электромагнитные си- лы, силы притяжения атмосферы, силы светового давления на пере- ходных участках теневой и световой зоны, силы отраженного свето- вого потока от поверхности Земли, релятивистские эффекты и другие факторы. Малые возмущающие факторы вызывают и малые возмущения. Степень изученности их в силу малости и ряда неопределенностей относительно невысокая. Специфика воздействия малых факторов часто бывает связанной с сезонными явлениями, с особенностями конструкции конкретного ИСЗ, используемой системы ориентации и стабилизации. Поэтому малые факторы учитывают в уравнениях движения только в специальных случаях, связанных, как правило, с изучением самих факторов. В работах [5] и [6] приводятся оценки величины возмущений в движении спутника, обусловленные воздей- ствием малых возмущающих факторов. Их вклад может быть заметен при длительных интервалах прогнозирования. Влияние малых факторов на движение ИСЗ определяют при обработке измерений текущих навигационных параметров. При этом уточняют один или два согласующих коэффициента и используют в качестве постоянных на интервале последующего прогнозирования движения ИСЗ. По этим причинам мы не приводим уравнения, определяющие возмущающие ускорения в движении ИСЗ, порождаемые малыми возмущающими факторами, воздействие которых еще недостаточно изучено.
78 Уравнения движения искусственных спутников Земли Раздел 3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 3.1 Дифференциальные уравнения в орбитальных параметрах Уравнения Эйлера и уравнения Лагранжа [54] описывают изме- нение кеплеровых параметров орбиты под действием возмущающих факторов. В уравнениях Эйлера влияние возмущающих факторов представляют в виде составляющих ускорений, направленных по осям орбитальной системе координат. В уравнениях Лагранжа влия- ние возмущающих факторов представляют через частные производ- ные от возмущающей функции по кеплеровым орбитальным пара- метрам. Обе формы дифференциальных уравнений имеют свои дос- тоинства. Эти достоинства можно использовать одновременно, если правые части каждого уравнения представить как совокупность пра- вых частей двух уравнений - уравнения в форме Эйлера и уравнения в форме Лагранжа. Первые составляющие (слагаемые) каждого дифференциально- го уравнения представляют правую часть соответствующего уравне- ния Эйлера, а вторые Aa,Ae,Ai, AQ A<b, AM - правую часть соот- ветствующего уравнения Лагранжа. Если воздействие конкретных возмущающих факторов представляют в виде возмущающих ускоре- ний, направленных по осям орбитальной системы координат, то ис- пользуют первые составляющие, относящиеся к уравнениям Эйлера. Если влияние возмущающих факторов представляют посредством частных производных от возмущающей функции, то используют вто- рые составляющие, относящиеся к уравнениям Лагранжа. В этом слу- чае одни возмущающие факторы будут учитываться в соответствии с
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 79 уравнениями Эйлера (первые слагаемые), другие будут учитываться в соответствии с уравнениями Лагранжа (вторые слагаемые). Дифференциальные уравнения возмущенного движения ИСЗ, представляющие комбинацию уравнений Эйлера и уравнений Ла- гранжа, записываются в следующем виде. da 2 п г^а( 1-е2) . .. — =---, {SesinS + Т —----- } + Да, dt n04i^ r de ^1-e2 . n „.e + cosS n.. .. — =------{Ssin& + T(--------h cos &)}+Ae, dt noa l + ecos& dt 1 A- — =---. IV—cosu + Ai, dt n0asll-e2 a dQ 1 „rr . =--------- IV—sinu + AQ (3.1) dt--------------------------------------------------noasl 1-e2 sin i-a — = ^1~e {-Scos & + T(-+ l)sin&} dt noae a( 1-e ) noa\ 1-e2 sini a dM 1 2r 1-e2 1-e2 r ---= n0----S(-------cos <9)-----T( 1 +----—) sin & + AM. dt ° noa a e noae a(l-e2) Вторые слагаемые соответствуют правым частям уравнений Ла- гранжа. Они имеют следующий вид ..da 2 dUp Да =— =----------, dt поа дМ л. de 1-е2 dUт у/1-е2 dUP dt поа е дМ поа е да> л-. di 1 z ,dUp dUP Ai = — =------. ---(cos i — ------ dt nga2yjl-e2 sini d® АЛ do 1 dUP dt n0a2si 1-e2 sini (3.1a)
80___________Уравнения движения искусственных спутников Земли л . da> Jl-e2 dUP cos i dUp Да> = — =-----5-------------.-------------, dt поае де noa2yj 1-е2 sini Si . dM 1-е2 dUP 2 dUP dt noa e де noa da В уравнениях S, Tt W - проекции совокупности учитываемых возмущающих ускорений на оси орбитальной системы координат: радиус-вектор, перпендикуляр к радиус-вектору в плоскости орбиты по направлению движения и перпендикуляр к плоскости орбиты со- ответственно. Возмущающие ускорения рассчитываются в соответст- вии с формулами (2.1). Up - возмущающая функция от возмущающих факторов, кото- рые не включают в состав возмущающих ускорений S, Tf W . В каче- стве частных производных от возмущающей функции Up можно ис- пользовать формулы (2.33), (2.39) и (2.42). В правые части дифференциальных уравнений (3.1), опреде- ляющих скорости изменения наклонения, долготы восходящего узла di d£2 dco и аргумента перигея следует добавить составляющие —,---,---, dt dt dt которые дополняют скорости изменения наклонения плоскости орби- ты к плоскости истинного экватора, долготы восходящего узла и ар- гумента перигея орбиты и учитывают прецессионные и нутационные смещения истинного экватора и точки весеннего равноденствия. Эти составляющие определяются по формулам (2.63) и (2.64). Если эти составляющие включены, то система дифференциальных уравнений будет описывать изменение орбитальных параметров, отнесенных к истинному экватору или к среднему экватору даты. Система дифференциальных уравнений, записанная в форме (3.1), интегрируется численно. Она является устойчивой. Её можно интегрировать с малым шагом, чтобы достигнуть наименьшей мето- дической погрешности. Если мантиссы чисел представляются 48 дво- ичными разрядами или более, то наличие эксцентриситета в качестве делителя в уравнениях для аргумента перигея и средней аномалии нельзя рассматривать как причину, ограничивающую область приме- нения этих уравнений. Уравнения (3.1) описывают изменение оску- лирующих кеплеровых параметров возмущенной орбиты. В силу воз- действия возмущений оскулирующая орбита в идеальный круг не об-
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 81 ращается и эксцентриситет не принимает строго нулевое значение [51]. Изменение эксцентриситета оскулирующей орбиты стационарных высот. Аргумент широты, градусы. -------- а =691L i» 97.5 N-16, М»16 Рис. 3. Короткопериодические возмущения эксцентриситета за счет несферичности Земли для круговой солнечно-синхронной орбиты. Изменение аргумента перигея оскулирующей орбиты стационарных высот Рис. 4. Короткопериодические возмущения аргумента перигея за счет несферичности Земли для круговой солнечно-синхронной орбиты. Если в качестве круговой орбиты принять усредненную орбиту с нулевым эксцентриситетом, то изменения эксцентриситета и аргу- мента перигея оскулирующей орбиты на витке будет изменяться в соответствии с графиками, показанными на рисунках З.и 4.Согласно графикам эксцентриситет оскулирующей орбиты в ноль не обращает-
82___________Уравнения движения искусственных спутников Земли ся. Аргумент перигея в течение одного витка изменяется по сложно- му закону и принимает значения, различающиеся на 360 градусов. Поэтому, чтобы получить решение уравнений (3.1) с высокой точно- стью для круговых орбит, шаг численного интегрирования не может быть большим. В разделе 4, посвященном интегрированию системы дифференциальных уравнений, приведены примеры, подтверждаю- щие данное положение. 3.2 Дифференциальные уравнения в неособенных переменных Дифференциальные уравнения (3.1) в кеплеровых параметрах орбиты можно преобразовать в дифференциальные уравнения для других переменных, являющихся функциями от кеплеровых парамет- ров орбиты. В качестве таких переменных используют некоторые функции от кеплеровых параметров, которые изменяются в случае круговых орбит более плавно и правые части дифференциальных уравнений не содержат эксцентриситет в качестве делителя. Приме- ром таких функций являются неособенные 2 - переменные. Они вы- ражаются через кеплеровы параметры посредством следующих фор- мул Л0=а, Л; =ecos(f2 + (o), Л2 = esin(£2 +а>), 1 1 (3.2) Л, = sin—isin £2, Л. = sin—i cos £2, Л=3 + со+£2, 3 2 4 2 5 yj\q a, e, i, £2, о, & традиционные параметры орбиты большая полу- ось орбиты, эксцентриситет, наклонение плоскости орбиты к плоско- сти земного экватора, долгота восходящего узла, аргумент перигея и истинная аномалия соответственно. Обратное преобразование неособенных переменных в орби- тальные параметры осуществляется по формулам Ло = а, е = у] Л2 + Л2, i = 2 arcsin(у]л2 + Л2 ),£2 = Arctg —, Л . Л?Л^ Л,Лд УЛ . z Л] Sin Ле Лу COS Ле . (О = Arctg( -2 3 7 /Л& = Arctg(^---5 / ; --5-) . (3.3) Лу/Ц + А2А4 A} COS А$ + А2 Sin /Ц Для угловых переменных /2, О), & при определении четверти окружности, к которой они относятся, используют знак косинуса Sign(cos &)- sign(cos Л5 + Л2 sin Л5, Sign(cos Q) = SignA3, Signfcos а>) = Sign( А,Л3 + Л2Л4).
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 83 Наклонение плоскости орбиты i изменяется от 0 до 180 граду- сов. Поэтому достаточно получить главное значение аргумента, кото- рое умножается на два. Используют и другие функции для описания движения ИСЗ [55]. Например, в качестве А5 используют аргумент широты, или па- раметр А6 = М + £2 + а>. Основная цель перехода к переменным, от- личным от кеплеровых параметров орбиты, состоит в том, чтобы ис- ключить неопределенности, связанные с вырождением понятия аргу- мента перигея для круговых орбит и долготы восходящего узла для экваториальных орбит. Система дифференциальных уравнений в неособенных 2 - пет ременных, полученная в результате преобразования дифференциаль- ных уравнений (3.1), записывается в следующем виде: dt ПР6 Ps 1 Р Р 2 -L =—{ST1sinX5 + T[XI+(2+PI)cosX5]P5-W-T4=^1, у]1-Л3 -24 = — {Sricos As +Т[Л2+(2 + Р,)sinAJPS + W ; }, dt Р& dX3 =(cos А5 - Р3А3 )W, ^4 (3.4) 5 4, .. Wf —=------------г—------------(sin A - )№, dd5 _ ng dt t]P25 где = 2; cos A5 + A2 sinA5, P3 = A3 cosA3 + A4 sinA5, P2 = Aj sinA5 -A2 cos A5, P4= A3 sinA5 -A4 cosA5,
Уравнения движения искусственных спутников Земли 84 - составляющие совокупности возмущающих ускоре- ний в проекциях на оси орбитальной системы координат. Они рассчи- тываются по формулам, приведенным в разделе 2. При выводе дифференциальных уравнений в Л - переменных в дополнение к уравнениям (3.1) использовалось уравнение, описы- вающее изменение аргумента широты du пда2у]1~е2 .. IJZ г3 cost . , dt г2 п20а4(1-е2) sini что позволило в качестве одной компоненты переменной Я5 использовать истинную аномалию &. Поэтому при счете правых час- тей исключается необходимость решения уравнения Кеплера. Если дифференциальные уравнения (3.4) описывают изменение А - переменных относительно истинного экватора, то в правые части уравнений должны быть добавлены составляющие, учитывающие прецессионные и нутационные движения экватора. Эти составляю- щие в А - переменных записываются в следующем виде дА, . .да> d!2 . —~ = ~^(— +------), dt dt dt dA, . .da> d(2 . —~ = A,(— +----), dt dt dt dA, 1 di 1 . ^5/2.7..^ —- =-----cos—i cos 12---sin—i sin 12, dt 2 dt 2 dt 2 dA. 1 di 1 . . d£2 . 1 . —- =-----cos—isins2-\---sin—i cos 12, dt 2 dt 2 dt 2 dA, da> d£2 ---—-----1---. dt dt dt Правые части дифференциальных уравнений (3.4а), содержат di d£2 dco составляющие-,-^—,-^—, которые определяют скорости измене- ния, долготы восходящего узла, аргумента перигея орбиты и накло- нения плоскости орбиты к плоскости истинного экватора, обуслов- ленные прецессионными и нутационными смещениями истинного экватора и точки весеннего равноденствия. Эти составляющие опре- деляются по формулам (2.63). (3.4а)
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 85 В соотношения (3.4а) можно вместо составляющих di d£2 dot опРеДеляюЩих скорости изменения орбитальных пара- метров, отнесенных к истинному экватору, использовать составляю- di dQ dco щие —определяющие по формулам (2.64) скорости dt dt dt изменения орбитальных параметров отнесенных к плоскости средне- го экватора даты. В этом случае система дифференциальных уравне- ний (3.4) будет описывать изменение орбитальных параметров отно- сительно среднего экватора даты. При расчете возмущающих ускорений, отнесенных к орбиталь- ной системе координат, используют преобразование системы коорди- нат отнесенной к среднему экватору в систему координат, отнесен- ную к истинному экватору. Для этого используют формулы (2.66) и (2.67). Система дифференциальных уравнений в неособенных пере- менных является устойчивой, что позволяет проводить численное ин- тегрирование с большим шагом Важным достоинством системы дифференциальных уравнений в Л - переменных является слабая зависимость погрешности числен- ного интегрирования от изменения шага численного интегрирования. То есть методическая погрешность численного интегрирования изме- няется медленно с увеличением шага интегрирования. Система дифференциальных уравнений в Л - переменных мо- жет быть использована для высокоточного расчета движения ИСЗ на близких к Земле орбитах, высоких эллиптических и геостационарных орбитах. Состав учитываемых возмущающих факторов может изменять- ся в зависимости от решаемой целевой задачи и изученности возму- щающих факторов. 3.3 Уравнения движения в прямоугольной экваториальной геоцентрической системе координат Рассмотрим дифференциальные уравнения, описывающие дви- жение ИСЗ в инерциальной прямоугольной экваториальной системе координат. В этой системе координат плоскость ОХ(Э)У(Э) совпадает с плоскостью среднего экватора Земли, зафиксированного в некоторую эпоху. Ранее плоскость среднего экватора Земли соответствовала эпо-
86 Уравнения движения искусственных спутников Земли хе 1950, затем 1975. В настоящее время используют плоскость сред- него экватора, отнесенную к эпохе 2000 года. Ось ОХ(Э) этой систе- мы координат направлена в среднюю точку весеннего равноденствия эпохи. Ось OZ(3) перпендикулярна плоскости среднего экватора и направлена в сторону северного полюса. Ось OY(3) дополняет сис- тему до правой. Связь между экваториальной системой коорди- нат 0X<3>Y<3>Z(3> , отнесенной к эпохе 2000 года, и экваториальной системой координат OXYZ , отнесенной к истинному экватору, опре- деляется формулами Х1 \х(Э>' 'Y S Z Z(3J (3.5) Матрицы прецессии и нутации NntPpr и элементы этих матриц определяются соотношениями, публикуемыми в Астрономических Ежегодниках [64]. Можно также использовать формулы, которые приводятся в разделе 6 настоящей книги. Уравнения движения в неподвижной экваториальной системе координат, совпадающей со средним равноденствием экватора на- чальной эпохи, записываются в следующем виде Vf — + AV(3>, Г г п У(Э) V^>=--tL-----+ AV^3>, (3.7) г г п 7(Э) г г X(3)=V(3), у<э> = уО) z(3> = v<3), где г=+(Y(3>)2 +(Z(3>)2.
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 87 Составляющие Л¥^Э), ДУуЭ), определяют ускорения, обусловленные воздействием возмущающих факторов. Их рассчиты- вают в соответствии с формулами раздела 2. Первоначально рассчитывают возмущающие ускорения S,T,W в орбитальной системе координат. Для их расчета использу- ются текущие орбитальные параметры и параметры экваториальной геоцентрической системы координат, отнесенные к истинному эква- тору. Они рассчитываются по соотношениям (3.5) и соотношениям >4 \х<э>~ 'гт \ = ANn,Ppr k J <VT \ = ANnlPpr >. К J [vz<3) (3.5а) Полученные текущие параметры движения ИСЗ, отнесенные к истинному экватору, используют при расчете возмущающих ускоре- ний в орбитальной системе координат. Рассчитанные возмущающие ускорения пересчитываются в систему экваториальных координат эпохи 2000года. При пересчете возмущающих ускорений используют формулы < AVY(3) \ = ptntat\t >. 1 pr nt (3-8) Элементы матрицы А рассчитываются по формулам (2.4). 3.4 Уравнения движения в экваториальной системе координат, связанной с истинным экватором Для описания движения ИСЗ в экваториальной прямоугольной системе координат связанной с плоскостью истинного экватора ис- пользуют дифференциальные уравнения Vx = -^— + AVX + AV™, Г г VY=--^- + AVY+AV™, Г г Vz = -4— + AVz + AV™, (3.9) Г г X = Vx+AV™,
88 Уравнения движения искусственных спутников Земли Y = Vy + AVypn, Z = Vz+AVpn , где r = y/(X )2+(Y )2+(Z )2. Составляющие AVX,AVY,AVZ опреде- ляют ускорения, обусловленные воздействием возмущающих факто- ров. Движение экваториальной плоскости, вследствие прецессии и нутации, учитывается составляющими AV™, AV™, AV™, AV™, AV™,, AV™ включаемыми в правые части системы дифференциальных уравнений. Эти составляющие рассчитываются по формулам (2.62). При расчете возмущающих ускорений S,T,IV используются текущие параметры в орбитальной и экваториальной геоцентриче- ской системе координат, отнесенные к истинному экватору. Они оп- ределятся в процессе интегрирования системы дифференциальных уравнений (3.9). Орбитальные параметры рассчитываются по форму- лам (1.17). Текущие орбитальные параметры используют для расчета воз- мущающих ускорений S, Т, W в орбитальной системе координат. Их можно рассчитывать по соотношениям раздела 2. Составляющие ус- корений AVX, AVY , AVZ рассчитываются по формулам > = АТ < S т W 'avx ' avy л. Элементы матрицы А определяются формулами (2.4). (З.Ю) 3.5 Уравнения движения в экваториальной гринвичской относительной системе координат Наряду с рассмотренными уравнениями, описывающими дви- жение ИСЗ в экваториальной прямоугольной системой координат связанной с истинным экватором и с неподвижным средним эквато- ром эпохи используют экваториальную гринвичскую прямоугольную систему координат. В этой системе координат начало находится в центре масс Земли, плоскость OX(r)Y(r) совпадает с плоскостью ис- тинного экватора, ось ОХ(Г) совпадает с линией пересечения плоско- сти экватора и гринвичского меридиана, направлена в сторону нуле- вого меридиана, ось OZ(r) перпендикулярна к плоскости экватора и
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 89 направлена к северному полюсу, ось OY(r) дополняет систему коор- динат до правой. Уравнения движения в экваториальной гринвичской относи- тельной системе координат записываются в следующем виде v<r> = + ду<Г) + 2a>zV<r> + AVPN , г г V<r> =—^^-+АУ^г>-2cozV(xr>+ AV™, r r и 7(Г) . — — + AVzr>+AV™, (3.11) r r X(r> = V(xr>+AVPN, Y(r) =VYr) + AVPN, Z(r) = Yzr) + AVPN, где r = yJ(X(r) )2 + (Y(r) )2 + (Z(r) )2 , a>z " Угл<>вая скорость вращения Земли. Составляющие AVxr) tAVYr) ,AV(zr) определяют ускорения, обусловленные воздействием возмущающих факторов. Составляю- щие Z&P\Z&PN, AVPN, avypn , AVPN учитывают движение эквато- риальной плоскости за счет прецессии и нутации. Они определяются по формулам cos S* sin S* 0 'avpn' avpn > = < -sinS* cosS* 0 > < avpn > avzpn 0 0 1 ^zN 'avpn' cos S* sin S* 0 'avpn' avpn > = < -sinS* cosS* 0 avpn > 0 0 1 ^VPN где 5* текущее истинное звездное время. Для расчета ускорений AVpn , AVPN, AVPN, AVPN, AVPN, AVPN ис- пользуются формулы (2.62). Параметры орбиты X,Y,Z,Vx,VY,Vz в прямоугольной геоцен- трической системе координат, связанной с истинным экватором, рассчитываются по формулам
90 Уравнения движения искусственных спутников Земли Y Z cosS* -sinS* 0 sin S* cos S* 0 0 0 1 cosS* -sinS* 0 sinS* cosS* 0 0 0 1 а орбитальные параметры - по формулам (1.17). Полученные орбитальные параметры и параметры X,Y,Z,Vx,VY,Vz используют для расчета возмущающих ускоре- ний S, Т, W в орбитальной системе координат и составляю- щих ДУ™, ДУ™, ДУ™, ДУ™, ДУ™, ду™, учитывающих движение истинного экватора вследствие прецессии и нутации. Для этого ис- пользуют формулы раздела 2. Составляющие ускорений ДУ<Г),ДУ?Г),ДУ<Г) в гринвичской системе координат рассчитываются по формулам s' т w AVr(r) (3.13) v<r) где элементы матрицы А определяются по формулам (2.5). Текущее истинное звездное время S'* рассчитывается по фор- мулам S' = S'o +G)z(t- Е(-^^)86400 -10800), где Е(—-—) - количество целых суток, содержащихся во времени t, 86400 S*o - звездное время в ноль часов даты. 3.6. Дифференциальные уравнения, описывающие вековые и долгопериодические изменения параметров орбиты 3.6.1 Дифференциальные уравнения Система дифференциальных уравнений, описывающая вековые и долгопериодические изменения параметров орбиты, может быть
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 91 записана в следующем виде da dar da — = —- +—, dt dt dt de de,u deN der de — = —— + —— +—- + , dt dt dt dt dt di = di234 । diN ' dir ' di t diprn dt dt dt dt dt dt dQ _ dQ234 j j dQ j d& j dQprn (3 14) dt dt dt dt dt dt dco _ dco234 da>N da>r dd) да>ргп dt dt dt dt dt dt _ 7 E dM234 dMN dMr dJW dt a N a dt dt dt dt В правые части системы дифференциальных уравнений входят следующие составляющие: ^е234 di234 d Q34 dco234 dM234 _ СКОрОСТИ изменения параметров dt dt dt dt dt орбиты вследствие влияния второй, третьей и четвертой зональных гармоник геопотенциала, de^ di^ d£2^ dcoN dM —-----------------------— - скорости изменения параметров op- dt dt dt dt dt биты вследствие влияния зональных гармоник геопотенциала выше четвертой степени, der di dQ da> dMr ’~~d’ d ~ СКОРОСТИ изменения параметров орбиты вследствие влияния резонансных членов тессеральных гармоник гео- потенциала, da de di df2 dd) dM —,—,—,-------,----,-----скорости изменения параметров орбиты dt dt dt dt dt dt вследствие влияния совокупности возмущающих факторов: сопро- тивления атмосферы, гравитационного притяжения Луны и Солнца, приливных эффектов в теле Земли, светового давления и других фак- торов,
92___________Уравнения движения искусственных спутников Земли dt пт ргп J ,——[’—j---------скорости изменения параметров орбиты вслед- ствие влияния прецессии и нутации Земной оси. Для круговых орбит система дифференциальных уравнений (3.14) может быть записана в следующем виде da dar da — —-------Ь — > dt dt dt d(ecoscD) de dco . ----------= — cos co-e—sin cd, dt--------dt dt d(esinco) de . da> - — sinco + e-cos co, dt-----------------------dt-dt di di234 ! diN ! dir । di ' diprn dt dt dt dt dt dt d£2 _ dQ234 d£2N dQ d/2 <№ргп dt dt dt dt dt dt d(M + a>) _ dM + dot dt dt dt По аналогии с (3.14a) могут быть использованы и другие пере- менные, в частности неособенные Л переменные. В основе этих уравнений будут лежать правые части уравнений (3.14). (3.14а) 3.6.2 Скорости изменения параметров орбиты от второй, третьей и четвертой зональных гармоник Вековые и долгопериодические составляющие скорости изме- нения параметров орбиты, обусловленные влиянием второй, третьей и четвертой зональных гармоник определяются [71], [85], [87] возму- щающей функцией U234 -~{J2(~)2r!~3~j(^c2-l) а а 4 +J22(—)4 rf7 —[т]2(5с4-18с2-5) + 35с4 +10с2-5 а 128 +т](36с4 -24с2 +4) + е2(30с4 -32с2 +2)cos2cd]
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 93 D 2 +J4(^)4Tf7 -?-[(Зе2 +2)(-35с4 +30с2-3) а 128 (70с4 - 80с2 +10)cos 2(о] + J}(^-)3 jf5 ~(5с2 -1 )esinisinсо}, а 8 где с = cosi, т) = 1-е2 . Если продифференцировать эту функцию по орбитальным па- раметрам и подставить частные производные в уравнения Лагранжа (3.1а), то получим выражения, определяющие скорости изменения параметров орбиты от второй, третьей и четвертой зональных гармо- ник “Г’ = “ 4 noJ3(—)30~4(5с2 -1)s cos со+ at 8 а —n0J4(—)4rT6(35c4-40с2 +5)esin2co+ 32 а —n0J2(^ )4rf6(15c4 -16с2 +1 )esin2co, 32 а пд J3 (—)3rj~6 (5с2 -1 )се cos со - —n0J4(^)4 if8(35с4 -40с2 + 5 )е2-sin 2 со- 32 a s —n0J2(^)4tf8(15с4 - 16с2 +1)е2 —sin2co, 32 a s = По {-J^rf4 1с^2.Р(Ь.у^с(12г](1 - Зс2) at а 2 32 а +е2(5с2 -9)-40с2 +4)+—J4(^)4rj-8c(7c2 -3)(Зе2 + 2) 32 а 3 R г +-J3(^)3rT6(5c2-ll)e-sina) 8 а s -—^(^-/^(ISc2-8 )e2ccos 2 со 16 а ~—J4(^)4t]-8(7c2-4)e2ccos2co}, (3.15) 16 а
94 Уравнения движения искусственных спутников Земли = n0{J2 (—)2tf4^-(5c2-1) at а 4 ? R -—J22(—)4r8(ri(-360c4 + 192с2-24) 128 а +е2 (45с4 - 126с2 + 25)-430с4 + 36с2 + 10) ~—J4(^)4т]~8(е2(189с4 - 126с2 + 9 )+196с4 - 144с2 + 12) 128 а -~J3(^- fif6 [(15с2 -11 )е--(5с2 -1)(1 + 4е2)-] sin со 8 а s е +2j22(%L)<f}-s [(15с2-1)(с2-1)(2+5е2)+12с2е2 (15с2-8)] cos2co 64 а +—J4(—)4г}~*[(7с2 -1 )(с2 -1)(2 + 5е2) + 60с2е2(7с2 -4)]cos2co}, 64 а = п0{1 + J2(^)2if3-(Зс2 -1) at а 4 -—J2(^-)4т]~7(-(-144с4 + 96с2 -16) + е2(5с4 - 18с2 + 5) 128 а 5 -26с4 + 12с2 -2) 45 R -—J4(^)40?e2(35c4 -30с2+ 3) 128 а +—J3(^)3tf5 [е2(160с2-32)+8-40с2 )]-sinco 64 а е +—J2 (^-)4Т}-7[е2(75с4 -80с2 +5)-32с4 + 32с2 -2)]cos 2со 64 а +—J4(—)407 [е2(175с4-200с2+25)-70с4+80с2-10)]cos2co}. 64 а 3.6.3 Скорость изменения параметров орбиты от зональных гармоник Составляющие, определяющие вековые и долгопериодические изменения параметров орбиты, обусловленные влиянием совокупно- сти зональных гармоник пятого и более высокого порядка, определя- ются в соответствии с [5], [7], [57], [78] следующей возмущающей функцией L2(N-2) UN= Y, laP.2pCOs2P(0 + CP,2p+lsin(2P + 1)^] (3-16) р=0
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 95 Коэффициенты и частные производные, определяются по фор- мулам N ^2р> ар.2Р=~ £ ^'Ьп-1.2р £ YnF™P’ п=тах( 2 р+2,6 ) т=0 N L2O-2P-D Ср.2 р+1 7 ^п~1,2р+1 YnFnmp’ - п~тах( 2 р+3,5 ) т=0 N ~j(n~2p) а(ре2р=~ Z ^'Ьп-1.2р £ Г„Ктр’ п=тах( 2 р+2,6 ) т=0 N -2С-2р-1) C<P.2P+1=- Z ^-/,2р+/ £ Y„F2p’ п=тах( 2 р+3,5 ) т=0 N -2("-2р) п=тах( 2 р+2,6) т=0 N -(п-2р-1) ,, с(р!2Р+>=- £ 7'Ч-/,2р+/ £ (3-17) п=тах( 2 р+3,5) т=0 N 1(п~2р) аРа,2Р= £ 6«-w4-/.2p L п=тах( 2 р+2,6 ) т=0 N L2(n-2p-l) с(ра2р+1^ £ (п-1)^'Ь„_12р+1 X Y„FZ’ п=тах( 2 р+3,5 ) т=0 (2n-2m-l)!!(sini)n-2m где Г. =2.-%- (—) R3 а F* =S(-l)m+p ---------------.------, р ( 2т )!!(п — 2т-2р)!!( п-2т + 2р)И 2(2n-2m-l)!!(sinir2m F*' =(-1)т+р --________, "тр (2т )!!(2п - 2т + 2 р +1 )!!(п-2т-2р-1)!!
(-V(2n-2t-3)U c, -(2П-2.-П (2t)!!(n-k-2t-l)l 7 96____________Уравнения движения искусственных спутников Земли dF'nmp = ,т+Р (2п-2т-1)!!(п-2m)(sinj)n-2m-1 cosi di ( 2m )!!( n - 2m -2p )!!(n - 2m + 2p)U dF2P = y,+p 2(2n-2m-l)!!(n-2m)(sini)”~2m~I cosi di 7 (2m)!!(2n-2m + 2p + l)!!(n-2m-2p-l)!!’ E[-(n-k-l) 7 bn-i,k — z » j v (n+k-1) to _;A. _ (П-1)! 7 bn-i,k ~ z j 7 xx (n + k-1) ei-(^-d у _2t_3 )!![kek-i +(2n-2t-k-l )eM ] x 2- t=0 (3.18) (2t)!!(n-k-2t-l)! 8= h- пр“р=0’ 2, при ptO. При расчете коэффициентов ap2p a(p2p>°(p2p>a(p2p суммирова- ние ведется по четным индексам п (по гармоникам чётной степени). При расчете коэффициентов ср 2р+1, с(р2р, ср2р, с(р2р суммирование ведется по нечетным индексам п (по гармоникам нечетной степени). Подставив в правые части уравнений Лагранжа (3.1а) функции (3.16) и производные (3.17) получим уравнения, определяющие веко- вые и долгопериодические составляющие возмущений параметров орбиты de 77 = Z {2Pap.2pSin2P°)-(2P + 1)Cp.2p^COS(2P + 1)^}’ at na e “ diN _ ecosi deN dt rf sini dt -(N-2) ^- = _ 7 £ [a<‘>2 cos2pa> + c(‘>2 Isin(2p + l)(o], dt na psini Y, (a(pe2pcos2P(0+c(pe.2p+Isin(2P + 1)^}-cosi^-, dtnae^T0 dt = £ {a(pa2pcos2pa)+c(a> lsin(2p + l)a>}-t]cosi^--t]^^- dt na ^~0 dt dt ~2 (3.19)
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 97 Коэффициенты а , с , ,, а('2 , с(*\, a(L2 , c(L2 тт p,zp, р,2р+1’ p,zp’ p,zp’ p,zp’ p,zp’ p,zp’ P>^P являются функциями параметров средней орбиты a,e,i: Приведенные соотношения замкнуты относительно разложений по эксцентриситету и могут быть применимы для расчета орбит с большими эксцентриситетами. Другой подход к определению скорости изменения параметров орбиты от совокупности зональных гармоник основывается на соот- ношениях (2.36) для геопотенциала, в которых используются разло- жения по степеням эксцентриситета. Согласно этим соотношениям, определяющим возмущения па- раметров орбиты от совокупности гармоник порядка т (для случая зональных гармоник т = 0), выделяют составляющие, вызывающие вековые и долгопериодические возмущения. Для этих составляющих принимают d — 0 и т = 0. В соответствии с (2.36) потенциал гравитационного поля для вековых, долгопериодических и короткопериодических возмущений параметров орбиты от зональных гармоник представляется в сле- дующем виде W 4 1 U0=X ^{CodqcoS[(d + q)M + d((»--n)], d=-N q=-4 где п,----, Я=~4 2 (е)Сп0 (3.20) Здесь суммирование ведется по четным значениям п, если d четное и по нечетным значениям п, если d нечетное. Начальное зна- чение индекса п может увеличиваться на единицу, чтобы выполня- лось условие четности величины n — d. Долгопериодическим и вековым возмущениям параметров ор- биты соответствует следующая часть геопотенциала U0DP = Ц C0d.q=-d cosl, (3-21) d=-N где (i)G n_d (e)Cn0. n,-,q=-d (3.22) Частные производные по элементам орбиты записываются в следующем виде
98_______Уравнения движения искусственных спутников Земли dUnr)n дС„. d 1 ~^= S —(3.23) да d=-N,df0 да 2 дипГ)п А дСпл, d 1 —od^= у _2^d_ (d( де dJ^0 де 2 " dU<)Dp ^0d4=-d 1 1 > = L —т?— cos(d(со - - л)), di dJZw di 2 dU d=N 1 —^ = ~ Z C0eh=_ddcos(d(a>--n)), do d^.M 2 где dCpdq _ da dCpdq de .. D =7Ес..г-г';;,.-/‘Л m. К a n°>— n>—,q=-d lve n=2 u 2 2 (3-24) dCpdq di LL A , nf)>-------------- _ r1 /^e \n+l 2 Re 7^2 a di G n_d n,-,q=-d Подставив в уравнениях Лагранжа (3.1а) частные производные из (3.23) получим соотношения, определяющие вековые и долгопе- риодические составляющие скорости изменения параметров орбиты, обусловленные влиянием совокупности зональных гармоник пятой и более высокой степени ^ = 0, dt deN = \ll-e2 dU0Dp dt поа2е дсо d^N dt 1 п0а2^ 1-е2 sini cosi aujn да> d£2N _ 1 dU0Dp dt n0a2yll-e2 sini di (3.25)
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 99 dcoN _ y/l-e2 dU0Dp________cosi 3U0Dp dt noae de n0a2yll-e2 sini di dMN _ 1-e2 dU0Dp 2 dU0Dp dt n0a2e de noa da 3.6.4 Скорость изменения параметров орбиты от резонансных членов тессеральных гармоник Для резонансных составляющих гармоник геопотенциала долж- но выполняться условие dM ^m(Q — coz). Если это условие выпол- няется, то наблюдается явление резонанса или близкого к резонансу. Значения d, т, при которых достигается примерное равенство Мт —:-----« — = кг, называют параметрами резонанса, а коэффициент £2-a)z d , т , кг =---порядком резонанса. Значении а, т, при которых выполня- d ется условие резонанса, может быть несколько. Например, если ИСЗ совершает в сутки ровно 15 оборотов вокруг Земли, то явление резо- нанса будет наблюдаться при d = 7 и т — 15, а также при d = 2 и т = 30 и так далее. Значения d,m, при которых выполняется усло- вие резонанса будем обозначать dr,mr. Из соотношений (2.39) и (2.42) можно выделить все составляю- щие со значениями dr,mr, при которых выполняется условие резо- нанса. Если подставить частные производные в правые части уравне- ний Лагранжа (3.1а), то получим уравнения, определяющие долгопе- риодические составляющие скорости изменения параметров орбиты, обусловленные влиянием резонансных членов тессеральных гармо- ник. Совокупность уравнений, описывающих долгопериодические возмущения параметров орбиты от резонансных составляющих гар- моник геопотенциала, может быть записана в следующем виде dar _ 2 dUm dr dt noa^r dM
100 Уравнения движения искусственных спутников Земли der _ 1-е2 y-i дит^г _ yjl — e2 ^mrdr dt п0а2е дМ п0а2е дв> di 1 _, dU . dU я -I • X / m,d, tnrd \ —- =-------г -------COS I > (---—------- dt п0а2у] 1-е2 sini mrdr da> д£2 d£2r _7 у mrdr dt nna2dl-e2 sini mr d, di г---------- (3-26) d(Dr _ Jl-e2 у dUmrdF_______COSi у dUm,d, dt n0a2e de n0a2yll-e2 sini^d, di dMr 1-е2 у mrdr 2 ^mrdr dt n0a2e^r де noa da Частные производные, входящие в уравнения (3.26), определя- ются по формулам (2.39) для значений dr,mr формулами dU . Л 7 =Hdr {-Cmrdrq sinl drM + (dr-q)(co--7r) + mr(f2-S -~л)] + Sm,d,q cos[drM + (dr-q)(a-y) + mr(n-S’ ~y)]}. dUm d * 1^.1 -^=Y(dr-q){-CmdgSin[drM + (dr-q)((0--^) + mr(n-^--^)] + da> r r 2 2 snrdrg cosldrM + (dr-q)((0-^я)+тг(Q-S' ~x)]}, dUmJ 1.1 -^T=X(mr){-Cmd4sin[drM + (dr-q)(a--7t) + mr(Q-S -~л)] + oQ 2 2 Smrdr4cos[drM + (dr-q)(a>-^x) + mr(12-S" ~л)]}, (3.27) = ^{^cos[dM+(d_q)( K)+m(Q_s л)]+ да ^4 да 2 2 —’2d^-sin[drM + (dr -q)(a>- — 7t) + mr(f2-S* ~—л)]}, да 2 2
101 3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 5СЛ . dCm da 1 *7 --_ у mrd,4 cos[d M+(d _q)(O)_LK) + mr(Q-s'-~я)] + de de 2 2 ^iS.sin[dM+(dr-q)(a)--n)+mr(Q-^ --Л)]}, de 2 2 dU . 4 dC j 7*7 —^ = l{^coS[drM+(dr-q)(M)^(Q-S —л)] + Ul q=-4 Ul 2 2 dS J 7 —^sin[drM+(dr-q)(<o--7c)+mr(Q-& --я)]}, di 2 2 Коэффициенты cm d q Sm d q и частные производные от коэффици- ентов ст d Sm d по большой полуоси, эксцентриситету и наклонению определяются следующими формулами /. N р 4 Стаа=—УЛ—)п+,Г nd(i)yGnd (е)Спт, rnrarq п ' z n—ar ' z п—аг ' z nntr J К (1 пт.,-- . п,--,q n=mr I* 2 q--4 2 .. N О 4 smda= — Y(—r'F nd(i)yiG„d (e)Snm, т.а q п ' z n—a. \ z /1 n—a. ' z nm. 1 К a nm.,-- n,---,q n=mr w 2 q--4 2 dC H N P 4 = -4 Z + l)(^r’F „_dr (i)^ G n_dr (e)C„mr, 7v CL nm.,-- n,--,q ±x- n=mr w 2 q=-4 > ’ // P 4 = -^(n + DM-r2F „.dr(i)^G К a nmr, r “ n=m. м r •> a=-4 da dS , mrdrq ___ da n-mr 2 (3.28) dC ,/ n p mrdrq _ F x 1 ( )n+i F de ~R„h_a r ' n-dr(i)t nmr,--- . r 2 q=~4 dSm,dr4 _ Ц ,R. de R ' , (e)C , n-d. ’ znm. ’ . ”.—-,q q=-4 2 4 dG (e) —n—^-------C , nmr ’ dG (e) -------S , de 7 nm.,--- . r 2 q=~4 N n dF 2^(i) 4 = ----Z G ’ di Re™, a di d\dr4 = Л pi "m' — di R.h a di a YG nd (e)S , n,—L>q q-~4 2 4
102 __________Уравнения движения искусственных спутников Земли Суммирование ведется по четным значениям п, если dr четное и по нечетным значениям п, если dr нечетное. Здесь функции наклона и эксцентриситета и частные производ- ные по наклонению и эксцентриситету соответственно определяются по формулам (2.20) и (2.20а). Если рассматривать близкие к круговым орбиты, то в правых частях уравнений Лагранжа можно отбросить все члены, содержащие сомножителем эксцентриситет. В этом случае в правые части можно подставить соответствующие значения для функций эксцентриситета и производных, как это выполнено в (2.40) и в (2.41). Тогда частные производные, входящие в правые части дифференциальных уравне- ний Лагранжа и определяющие долгопериодические составляющие скорости изменения параметров орбиты от резонансных членов тес- серальных гармоник, определяются по формулам (2.42) при d = dr и т = тг: = (d){-Стd+L_,sin[(d)M + (d + l)(<»--x) + m(Q-f ~я)] + дМ 2 2 Sm.d+i.-icosl(d)M + (d + l)(a-^) + m(Q-S‘ Cmd0 sin[dM + d(a)-^7r) + m(f2-S* )] + ^mdocos[dM+d(a>-^7t) + m(£2-tf ~~^)]~ sin[dM+(d-l)(0)--^)+m(Q-^ —„)]+ cos[dM+(d-l)(a>-y)+m(n-f -y)]}, ^- = {-Cad+l.l(d + l)Sin[dM + (d+l)(O>--7r) + m(n-^--K)] + oco 2 2 Sn^,.,(d +1) cos [dM + (d + l)((o-y) + rn(n-S’ -Ц)]- Cmdodsin[dM + d(co-^7t) + m(Q-S’ ~~л)] + Smdodcos[dM + d(a)-^7t) + m(n-S‘ ~л)]~ Cmd_u(d-l)sin[dM + (d-l)(a)~n) + m(£l-S’ ~^)J +
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 103 Smd_II(d-l)cos[dMJr(d-l)(a>-^Jt) + m(£2-S' ^- = (m){-Cm^_lSin[dM + (d + l)(a)-^) + m(n-S,-^)] + d£2 2 2 SM_IcoS[dM + (d + l)(a>-y) + m(Q-^--2n)]- CnMsin[dM+d(<o-—27t)+m(f2-tf -~^л)] + Smd0cos[dM+d(a>-^)+m(Q-^ ~л)]~ cm.d-i.isin[dM+(d~l)(б)~л) + т(П-^ ~я)] + sm.d-i.i cosf dM+(d-l)((o-^)+m(Q-^ ~л)]}, ^. = {^^-еоз[(1Мл-(с1+1)((о--л)+т(П-^ -~л)]+ да да 2 2 dS^‘--' sin[dM+(d+l)(<o-—n)+m(f2-S> -~л)] + да 2 2 ^^cos[dM+d(a>--K) + m(f2-S’ --л)]+ да 2 2 ^md0 sin[dM+d(co-—7i)+m(-—л)] + да 2 2 dC”-d-1'' cos[dM+(d-l)(a>-—7t) + m(£2-S' -~л)]+ да 2 2 dSm'd~IJ sin[dM+(d-l)(<o-—n)+m(£2-tf --л)]}, да 2 2 (3.29) cos[dM+(d+1)(0)_L7r)+ де de 2 2 sin[dM+(d + l)(a--^) + m(n-S' ~-л)] + de 2 2 ^md° CQS[dM + d((o_L7l) + m(Q-S* - — 7t)] + de 2 2 sin[dM + d(a>-—7i) + m(f2-S’ ~—л)] + de 2 2
104 Уравнения движения искусственных спутников Земли dCmd~u.cos[dM + (d-l)(a)--a)+т(Я-3*--л)] + де ' 2 2 6Sm^ sin[dM+(d -1 )((о--л)+wf/2-5* -- л)]}, де 2 2 cos[dM+(d+l)(a>-—K)+m(f2-3‘ --л)]+ di di 2 2 д^^-8т[ЗМ+(3+1)(а>--л)+т(О-3‘ --л)] + di 2 2 ^^cosfdM+dfai-^+mfa-tf -~л)] + di 2 2 ^^sin[dM + d(m-^) + m(<3!-S' --л)] + di 2 2 ^^cos[dM+(d-l)(a)-^)+m(Q-g -~л)]+ di 2 2 dSm’d-‘J sin[dM+(d-l)(а>——л)+Hfa-g --л)]}. di 2 2 Коэффициенты амплитуд и производные от этих коэффициентов определяются по формулам (2.41). 3.6.5 Вековые и долгопериодические изменения параметров орбиты от сопротивления атмосферы, гравитационного притяжения Луны и Солнца, приливных эффектов в земной коре, давления света Сопротивление атмосферы, гравитационное притяжение Луны и Солнца, силы светового давления оказывают значительное влияние на движение ИСЗ, вызывая возмущения, содержащие вековые, долго- периодические и короткопериодические составляющие. Определение возмущений, обусловленных влиянием этих факторов, выполняют с учетом особенностей воздействия их на конкретные орбиты, исполь- зуя различные методы усреднения и выполняя аналитические разло- жения и решения. Ниже рассмотрен общий для всех рассматриваемых возму- щающих факторов подход, основанный на усреднении дифференци- альных уравнений и выделении вековых, долгопериодических и ко- роткопериодических возмущений, порождаемых влиянием всех ис- следуемых факторов.
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 105 В качестве исходных дифференциальных уравнений использу- ется система дифференциальных уравнений в форме Эйлера (3.1). Эти уравнения описывают изменение кеплеровых параметров орби- ты. Возмущающие ускорения представляются в проекциях на оси ор- битальной системы координат Для этих уравнений операцию усреднения можно свести к раз- ложению правых частей в ряды Фурье по эксцентрической аномалии, их аналитическому интегрированию, выделению короткопериодиче- ских возмущений и составляющих, вызывающих вековые и долгопе- риодические возмущения. Процесс получения решения можно разде- лить на три этапа. На первом этапе дифференциальные уравнения преобразуются к независимой переменной - эксцентрической аномалии, и правые части уравнений раскладываются в ряды Фурье. Составляющие воз- мущающих ускорений на данном этапе принимаются в качестве по- стоянных величин. На втором этапе определяются ряды Фурье для составляющих вектора возмущающих ускорений в орбитальной системе координат. На третьем этапе полученные ряды Фурье перемножают. После интегрирования полученных уравнений выделяют короткопериоди- ческие составляющие возмущений. Долгопериодические и вековые составляющие возмущений включаются в правые части системы ус- редненных дифференциальных уравнений (3.14), которые интегри- руются численно. 3.6.6 Преобразование дифференциальных уравнений, выделение вековых и долгопериодических составляющих возмущений Дифференциальные уравнения Эйлера (3.1) имеют следующий вид — =-----{Sesin& + T —!------ }, dt noa r de yjl-e2 . e + cos& — =--------{S sin& + T(--------+ cos &)}, dt noa l + ecos& di 1 wz r — =-----у— IV—cos u, dt ngasl 1-e2 a
Уравнения движения искусственных спутников Земли (3.30) 106 Л2 . . . ---=-----,----------------W—sinu, noa\l 1-e2 sini a da> y]l-e2 2 + ecos& . d£2 - {—S cos 9 + T(------------)sin&}-cosi-, dt--------------------------------------------noae-l + ecos&-dt dM 1 2r 1-e2 1-e2 r . — = no-----S(---------cos &)----T(J + —----—J sin dt noa a e noae a(l-e ) Время t, принятое в качестве независимой переменной в систе- ме дифференциальных уравнений связано с эксцентрической анома- лией Е соотношением dt 1 х — = —(1-ecosE), dE п которое можно получить из уравнения Кеплера. Истинная и эксцентрическая аномалии связаны между собой соотношениями cos Е-е cos , 1-ecosE cos & + е cos Е =-------, 1 + ecosS Если в правые части дифференциальных уравнений (3.32) под- ставить выражения (3.31) и (3.32) для истинной аномалии и времени и преобразовать их, то в каждом уравнении системы можно перейти к эксцентрической аномалии в качестве независимой переменной. Пре- образованные уравнения будут иметь следующий вид — = ^-r(SesinE + Tri), dE п0 = Sn sinE + Т(-—е + 2 cos Е -—ecos 2Е )], dE ап20 ’ 2 2 — = {[~—е + (1 + е2)cosE-—ecos2E]cosa> dE ап2м 2 2 (3.31) . „ \/1-е2 sin Е sin £ =---------, 1-ecosE . л/1-е2 sin & sin Е =---------. l + ecos& (3.32) (3.33) -(sin E-—esin2E)r) sin а>},
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 107 d£2 W ,г 3 2. г- 1 • ---- — -----{[—е + (1 + е )cos Е—ecos 2Е1 sin со dE an20sinit] 2 2 -(sin E-^esin2E)rjcos co}, ^- = ^y-{S(e-cosE)Tj + T[(2-e2 )sinE-—esin2E ]}-^P-cosi, dE ange 2 dt = 1 -ecosE —-yS(l + -e2-2ecosE+-e2 cos2E) dE an2 2 2 ,d(o dE2 -(---H----cos i m. dE dt Правая часть каждого уравнения представляется в виде ряда Фурье по эксцентрической аномалии. Возмущающие ускорения в проекциях на оси орбитальной сис- темы координат S,T,W, входящие в уравнения (3.30) и (3.33), можно представить рядами Фурье вида(2.68) 1 s = - Ад + £ (Aj cos jE + sin jE), 2 j=i 1 N' T = -C0+YJ(Cj cos jE + Dj sin jE), 2 i=l (334) ,^+t(Elc0SJE+^nJE, где коэффициенты рядов Фурье. Они выражаются как функции от медленно изменяемых параметров орбиты а, Порядок расчета этих коэффициентов показан в подразделе 2.8. Если подставить в правые части уравнений (3.33) возмущающие ускорения в виде рядов Фурье (3.34) и перемножить ряды, то полу- чим следующую систему дифференциальных уравнений da 2 1 N+1 — ~^ = —[^00 + cosjE + p0 sinjE)], dE n0 2 2 rl _ .„ 77 . ~ + L <au cos JE + Pij Sln JE dE an0 2 м di 2 1 N+2 — — ~a20 + ^(a2-cosjE + p2 sinjE)], dE an0 2 м (3.35)
108 Уравнения движения искусственных спутников Земли "^2 ~2 -Р -5 • -Z7U — = 2 • азо + L (a3j cos JE + A; Sln JE)]> dE an0 sin i 2 j=i do 2 1 N^._ dE> — = —r[—a40 + >,(a4j cos jE + p4.sinjE)]-—cosi, dE anoe 2 “7 dE dM , 2 .1 _ .do d(2 .. — = 7-г [ ~ a so + L (ая cos JE + Psjsin JE)]-V(—+—cos i). dE an0 2 dE dE Правые части каждого уравнения представляется рядами Фурье, коэффициенты которых выражаются через медленно изменяемые ор- битальные параметры и коэффициенты рядов Фурье для возмущаю- щих ускорений. Интегрируя каждое уравнение (3.35) по эксцентрической ано- малии в предположении, что коэффициенты и f3kj не зависят от времени и эксцентрической аномалии и учитывая, что Е = not +esinE, получим соотношения, определяющие скорости ве- ковых и долгопериодических составляющих возмущений da 1 _ dQ 1 — n dt ” aoo> no dt 2n0asini de 1 _ = (^1O> da> 1 _ d£2 — - - - - ZV — Z*Z> C 7 — COS I, dt 2n0a dt 2n0ae dt di 1 _ dM 1 _ dQ —— = «2Л, = a.n ncosi- dt 2n0a dt noa 50 dt da> dt 1 (336) Коэффициенты ак0 являются функциями от постоянных и мед- ленно изменяющихся кеплеровых переменных ( большой полуоси орбиты, эксцентриситета, наклонения, аргумента перигея и долготы восходящего узла) аоо аю а20 азо — еВ] + rjC0, = л( ~ еС0 + — — еС2), 3 1 1 = [~—eF0+(l + e2)F1 ~—eF2)]r/~1 cosco-(PI -—eP2)sina>, 3 1 1 = (-—eF0 +(l + e2)F1 -—eF2)ri~1sina> + (Pl -—eP2)cosa>t
3 Дифференциальные уравнения движения ИСЗ 109 «40 = en^-[AIT]-(2-e2 )Dt]-^eD2, а=(1 + -е2)А0 -2еА, + -е2А2. эи ' 2 " 2 Соотношения (3.36) определяют вековые и долгопериодические возмущения кеплеровых параметров орбиты, обусловленные влияни- ем всех возмущающих факторов, для которых определены ряды Фу- рье (3.34), аппроксимирующие составляющие возмущающих ускоре- ний. Если ряды (3.34) получены для совокупности возмущающих ус- корений (сопротивления атмосферы, гравитационного притяжения Луны, Солнца, приливных эффектов в земной коре, светового давле- ния и других факторов), то выражения (3.36) будут определять воз- мущения, обусловленные влиянием всей совокупности этих факто- ров. 3.7 Составляющие возмущений, вызываемые движением экваториальной плоскости Земли Влияние прецессии и нутации приводит к появлению состав- ляющих скорости изменения аргумента перигея, долготы восходяще- го узла и наклонения плоскости орбиты к плоскости экватора. Эти составляющие определяются формулами (2.63) или (2.64) д(О да> 1 г> d г>\ —— =----=----( A cos 12-В sin 12), dt dt sin i —pr^ _ d£2 __cosj<^+l_( Ав cos a - BO sin a )+^~ cose,, (3.37) dt dt dt 2 'dt' -~£!:!!- = — = (Bcos^2-Asin£2), dt dt где A = 0,9175^-sin w + 0,3979^-cos w, dt dt В = -(0,1583 + 0,8418 cos w )— + 0,3651—sin w, dt dt Ocosa -0,3651(1 -cost//)- (sl -sg), Osina -(0,3979 + s, -s0)sinip,
но Уравнения движения искусственных спутников Земли 50”,2564t ш - л-------------------------l-di/, 565.25* 86400* 3600* 180 z 4 0”,46836738t (е,-еп) = л-------------------------+ Де. 1 0 365.25* 86400* 3600* 180 Здесь t - время в секундах от начальной даты. Редукционные величи- dy de . . , ны ---,—,Ai//,A£ рассчитываются по формулам для прецессии и dt dt нутации. Они приводятся в разделе 6.. Формулы (3.37) определяют скорости изменения параметров орбиты вследствие влияния прецессии и нутации. Если рассматривать движение ИСЗ в системе координат, связанной со средним экватором даты, то формулы учета движения экватора становятся более про- стыми и учитывают только влияние прецессии. В этом случае скоро- сти изменения аргумента перигея, долготы восходящего узла и на- клонения определяются [54] по формулам ЭбУ 1 —— = nDr-------cos Q, dt p sini dS2pr cost ----— = mn,~ nnr -----COS Q dt p p sjnj dipr „ —— = ~nn„ sin 12, dt pr (3.38) где через mpr=7,080106103xl0r,20cI, и npr = 3,079819204x1(У12с' обозначены годичная прецессия по прямому восхождению и склоне- нию.
4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений 111 Раздел 4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений движения ИСЗ. Вычисление параметров орбиты на заданные моменты времени 4.1 Численное интегрирование Решение систем дифференциальных уравнений (3.1), (3.4), (3.7), (3.9), (3.11) и (3.14) в кеплеровых параметрах орбиты, в Л - перемен- ных и в экваториальной прямоугольной системе координат получают численным интегрированием. Результатами численного интегрирова- ния являются орбитальные или параметры орбиты в экваториальной прямоугольной системе координат. Результаты используются при решении задач определения и прогнозирования движения ИСЗ, задач, связанных с управлением ИСЗ, проведением маневров, обработкой специальной информации и применения ИСЗ по целевому назначе- нию. Поэтому при интегрировании дифференциальных уравнений движения ИСЗ используют численные методы, характеристики кото- рых ближе соответствует специфике задач, в интересах которых осу- ществляется численное интегрирование уравнений движения. Например, широко используемые разностные многошаговые методы численного интегрирования типа Адамса [8], [63] требуют знания параметров орбиты и производных в нескольких точках, предшествующих очередному шагу интегрирования. Обычно для ин- тегрирования системы дифференциальных уравнений задают значе- ния параметров орбиты только в одной точке. Поэтому в случае при- менения многошаговых разностных методов вычисление параметров орбиты в начальных (разгонных) точках осуществляют при использо- вании одношаговых методов интегрирования. Чаще всего используют одношаговые методы численного интегрирования типа Рунге-Кутта.
112 Уравнения движения искусственных спутников Земли Процедура вычисления разгонных точек повторяется при каждом из- менении состава учитываемых возмущающих факторов или при из- менении шага интегрирования. В сравнении с многошаговыми разностными методами одноша- говые методы не требуют наличия разгонных точек и циклически по- вторяют однотипные операции от шага к шагу. Это преимущество одношаговых методов позволяет их эффективно использовать для интегрирования дифференциальных уравнений, когда изменяется со- став учитываемых возмущающих факторов. Например, при прохож- дении границы свет-тень или при включении и выключении двига- тельной установки. По этой причине использование разностных многошаговых ме- тодов не всегда бывает оправдано. Тем не менее, длительная история, связанная с использованием многошаговых разностных методов для интегрирования систем дифференциальных уравнений движения ИСЗ, оставляет их в числе широко используемых методов при реше- нии задач определения параметров орбиты по измерениям текущих навигационных параметров. Последнее время производительность вычислительных машин, используемых в контуре управления и применения ИСЗ по целевому назначению, возросла на несколько порядков. Применение высоко- производительной вычислительной техники в определенной мере сняло остроту проблемы по оптимизации алгоритмов численного ин- тегрирования систем дифференциальных уравнений. Применение вы- сокопроизводительных вычислительных машин позволило перейти к решению проблемы высокоточного расчета движения ИСЗ. Решение её неразрывно связано с применением дифференциальных уравнений, учитывающих влияние всех известных на данный момент возму- щающих факторов. В первую очередь это связано с учетом влияния гравитационного поля Земли, представляемого высокоточными моде- лями геопотенциала, содержащими большое число параметров. В современных моделях геопотенциала используются разложе- ния, содержащие тысячи гармонических высокочастотных состав- ляющих. Отечественная модель геопотенциала ПЗ-90 использует раз- ложения до 36 степени и порядка. Модель геопотенциала EGM86 ис- пользует разложения, которые содержат гармоники 360 степени и по- рядка. Чтобы корректно учесть влияние на движение ИСЗ высокочас- тотных составляющих возмущений, обусловленных воздействием геопотенциала, предпочтительны одношаговые методы. Разностные многошаговые методы численного интегрирования типа Адамса,
4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений 113 предназначенные для численного интегрирования уравнений, у кото- рых переменные интегрирования изменяются плавно, при воздейст- вии высокочастотных составляющих возмущений будут мало эффек- тивными При выборе одношаговых методов численного интегрирования дифференциальных уравнений движения ИСЗ [9], [55], [73.] отдают предпочтение методам, которые позволяют определять параметры орбиты в узловых точках, соответствующих начальной и конечной точке шага интегрирования, и в любой промежуточной точке, не сов- падающей с узловыми точками. Подобным одношаговым методом численного интегрирования является метод, используемый при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений в неособенных 2 - переменных и при численном интегрировании системы усредненных дифференциаль- ных уравнений [14]. Системы дифференциальных уравнений, описанные в разделе 3, используют в качестве независимой переменной время. Это удобно при решении большинства прикладных задач. Если рассматривать все классы круговых и эллиптических орбит, совершающих в сутки во- круг Земли от одного до 16 оборотов, то правомерно встает вопрос о выборе общего подхода к определению шага численного интегриро- вания. Можно исходить из предположения, что количество шагов чис- ленного интегрирования для низких и высоких орбит должно быть одинаковым, и определяться составом учитываемых возмущений. В этом случае величина шага численного интегрирования выбирается так, чтобы каждый шаг по времени соответствовал постоянному при- ращению истинной или эксцентрической аномалии. В этом случае количество шагов, выполняемых при численном интегрировании низких и высоких орбит, будет одинаковым. В случае эллиптических орбит в районе апогея шаг интегрирования будет больше, чем в рай- оне перигея. Шаг численного интегрирования для эллиптических и круговых орбит можно выбирать по следующему правилу. Если на витке со- хранять постоянным приращение эксцентрической аномалии равное 2л ДЕ = —, где N - количество шагов на одном витке, то величину N очередного шага по времени Н рассчитывают по формуле
114__________Уравнения движения искусственных спутников Земли Н = а\—{ ЛЕ-e[sin(Ej + ЛЕ)^-sinE1)}, (4.1) V где значение эксцентрической аномалии в точке начала очередного шага численного интегрирования. Если сохранять постоянным приращение истинной аномалии равное = где N - количество шагов на одном витке, то ве- TV личину очередного шага по времени Н рассчитывают по формуле тт \а , esin&, Н-а —{ A$+2arctg----------L-- VA 1+rj+ecos&! ^42y 2arctg es^n(^i+^) + er/sinfy erisin(&]+Л9) l+Tj+ecos(&1+A&) 1+ecosty l+ecos(ty+A3) где i97 значение истинной аномалии в точке начала очередного шага численного интегрирования. Количество шагов N, выполняемых на одном витке, опреде- ляют исходя из состава и характера воздействия учитываемых воз- мущающих факторов. Воздействие возмущающих факторов вызывает возмущения па- раметров орбиты, имеющие вековой, долгопёриодический и коротко- периодический характер. Эти возмущения связаны между собой. Что- бы корректно учесть воздействие возмущающих факторов на движе- ние ИСЗ, необходимо чтобы на интервале одного цикла периодиче- ских возмущений укладывалось не менее 12 шагов численного ин- тегрирования. Выбору методов численного интегрирования дифференциаль- ных уравнений посвящены многие работы. Согласно этим работам методы численного интегрирования не бывают одинаково эффектив- ными для всех систем дифференциальных уравнений и решаемых за- дач. Поэтому на практике выбирают такие методы, которые при неко- торой потере эффективности (скорости интегрирования) обеспечива- ют устойчивое решение всего круга задач, в целях которого разраба- тывается конкретное математическое обеспечение. Этому условию в большей степени удовлетворяют одношаговые итерационные методы [9], [55], [73]. Они используют два параметра для контроля и умень- шения погрешности методической ошибки. Первый параметр контро- лирует погрешность расчета параметров орбиты в конце шага интег-
4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений 115 рирования. Второй параметр задает количество приближений, выпол- няемых для завершения шага численного интегрирования. В дальнейшем для решения систем дифференциальных уравне- ний движения ИСЗ будем использовать одношаговый итерационный метод численного интегрирования, использующий интерполяцион- ные полиномы Чебышева четвертого порядка. 4.2 Одношаговый итерационный метод численного интегрирования В описании одношагового итерационного метода численного интегрирования приняты следующие обозначения: Н - шаг численного интегрирования, Q - шестимерный вектор переменных интегрирования, Q- шестимерный вектор производных по времени от переменных интегрирования. Они определяются при счете правых частей диффе- ренциальных уравнений. векторы а* и a*-Qi- б2)ё*.а*обозначают с°- вокупность переменных интегрирования и их производных по време- ни в моменты t0, 1п+2~^- Н, tn+-H, /п + 2 + ^ Я, *о + н соот- 0 4 2 4 ветственно. Верхний индекс к - обозначает, что параметры получе- ны в итерационном цикле с номером к. Выбранные моменты време- ни t соответствуют узловым точкам полиномов Чебышева. Номеру узловой точки интерполяционного полинома соответствует нижний индекс.. Интерполяционные полиномы, построенные по этим точкам, имеют наименьшие в сравнении с другими степенными интерполяци- онными полиномами отклонения от нуля (то есть отклонения от функции на интервале интерполяции [ 35]). Для интегрирования каждого шага задают «точные» значения составляющих вектора Qo, на момент tQ, соответствующий началу шага. Этой точке соответствуют производные Qo. Они рассчитыва- ются при счете правых частей дифференциальных уравнений. Если шаг интегрирования не является первым, то используют производ- ные, рассчитанные при завершении предыдущего шага. Перед началом итерационного процесса рассчитывают прибли- женные значения параметров орбиты и их производных
116 Уравнения движения искусственных спутников Земли 2 —л/2 Q1/ >Q°2>Q°3'Q°4 последовательно в моменты времени, tg н--Н, 4 t0 + —H, t0 + 2 + ^ Н, t0 + Н по формулам 2 4 Q° =Q0+ C',HQ0. Q° = Q" + dc^HQ0,, Q° = Q°2 + dcx,HQ°, Q°4 = Q°3 + cx,HQ°3. Здесь c , = 2~^ , dcxl =— 4 xl 4 Производные $ ,Q?2 $з $4 рассчитывают при счете правых частей системы дифференциальных уравнений. Рассчитанные производные используют при уточнении состав- ляющих вектора Q4 в узловых точках, соответствующих концу шага интегрирования Q4 = Qo + )& = Qo+ ^(^4oQo + C41Q1 + C42Q2 + C43Q3 + C44Q4) ’ о Определив значение Q4, рассчитывают значения производных Q4 и по формулам Q}3 = Q0 + H(C30Q0 + C31Q° + C32Q°2 + C33Q°3 + C34Q> уточняют значения параметров gj и рассчитывают соответствующие им производные Q3. Подобным образом последовательно уточняют параметры Q2, Q\ и их производные Q2, Q\. Для расчета параметров Q2 используют формулы q12 = а+H(C20Q0+C21QP+c22q°2 + C23Ql3 + С24&4), а для расчета параметров - формулы 2/ = Qo + H(C10Q0 + C772f + C12Q]2 + C13Q]3 + C14Q]4). После уточнения параметров Q\ и расчета производных Q\ за- канчивается первая итерация. Описанный процесс повторяют до тех пор, пока значения Qk4 и Q4~! в двух последовательных итерациях не будут различаться на величину, меньшую некоторого значения г. После выполнения этого условия, уточненные значения принимают в качестве начальных параметров для следующего шага численного интегрирования.
4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений 117 Условием изменения шага интегрирования является диапазон изменения числа итераций. Если условие выполняется при к = 1, то очередной шаг можно увеличивать. Если условие \0,4 -Qk4 ”71 < £ ПРИ к = 13 не выполняется, то текущий шаг интегри- рования следует уменьшить. При изменении шага численного интег- рирования расчет повторяется с момента первоначального расчета производных в узловых точках. Если орбита ИСЗ эллиптическая и каждый шаг численного интегрирования выбирается в соответствии с формулами (4.1) или (4.2), то уменьшение шага численного интегри- рования соответствует увеличению числа N 9 и увеличение шага со- ответствует уменьшению числа N. После завершения итерационного процесса рассчитываются ко- эффициенты интерполяционных полиномов, как функции от произ- водных Qo ,Q* ,Qk ,Qk ,Qk,, рассчитанных в последнем к -м приближе- нии. При расчете коэффициентов используют формулы Во = AooQo > - AoQo + AnQki + + AisQk + Ai4Qk > B2 = A20Q0 + A2lQk + A22Q2 + A23Q3 + A24Q4, (43) B3 = A30Q0 + A3IQk + A32& + A33Qk + A34Q4, = A4oQO + A41Q] + А42^2 + А4звз А44^4 ‘ Совокупность рассчитанных коэффициентов образует матрицу коэффициентов полиномов прогнозирования В00 В01 В02 В(!3 Во4 в0}] В io в„ В12 В,3 В,4 В15 в = ^20 в2, В22 В23 В24 В25 (4.4) В30 В3, В32 В33 В34 В35 ^40 в4, В42 В43 В44 В45 > Первый нижний индекс у коэффициентов матрицы обозначает номер коэффициента интерполяционного полинома, а второй нижний индекс соответствует переменной интегрирования, к которой отно- сится этот коэффициент. С помощью этой матрицы рассчитываются параметры орби- ты Qt в произвольные моменты времени t t0<t<t0+H,
118 Уравнения движения искусственных спутников Земли шага численного интегрирования, которому соответствует матрица В коэффициентов полиномов прогнозирования. Эти параметры ор- биты рассчитывают по формулам Q,=HtB + Q0,t^(t0,t^t^t40,t50), т0=^. (4.5) н При интегрировании используют следующие коэффициенты Ау Коэффициенты одношагового итерационного метода численного интегрирования ij 4 4 0,0 1,0 1.00000000000000Е+0000; -5.5ОООООООООООООЕ+ОООО; 1,0 5.97017796864425Е-0002; 2,0 1.13333333333333Е+ООО1; 2,0 1.66666666666667Е-0002; 3,0 -1.00000000000000Е+0001; 3,0 3.61315536468909Е-0002; 4,0 3.20000000000000Е+0000; 4,0 З.ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЕ-0002; 0,1 1,1 -0.00000000000000Е+0000; 6.82842712474619Е+0000; 1,1 9.50317160190620Е-0002; 2,1 -1.89901875828257Е+0001; 2,1 3.10110028629970Е-0001; 3,1 1.88284271247462Е+0001; 3,1 2.60023298295923Е-0001; 4,1 -6.40000000000000Е+0000; 4,1 2.66666666666667Е-0001; 0,2 1,2 0.00000000000000Е+0000; -2.00000000000000Е+0000; 1,2 1.21320343559643Е-0002; 2,2 1.20000000000000Е+0001; 2,2 2.00000000000000Е-0001; 3,2 -1.60000000000000Е+0001; 3,2 4.12132034355964Е-0001; 4,2 6.40000000000000Е+0000; 4,2 4.00000000000000Е-0001; 0,3 1,3 -0.00000000000000Е+0000; 1.17157287525381Е+0000; 1,3 6.64336837074357Е-0003; 2,3 -7.67647908384095Е+0000; 2,3 4.34433619633035Е-0002; 3,3 1.31715728752538Е+0001; 3,3 1.71634950647605Е-0001; 4,3 -6.40000000000000Е+0000; 4,3 2.66666666666667Е-0001; 0,4 1,4 0.00000000000000Е+0000; -5.00000000000000Е-0001; 1,4 2.79822031355754Е-0003; 2,4 З.ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЕ+ОООО; 2,4 1.66666666666667Е-0002; 3,4 -6.00000000000000Е+0000; 3,4 2.63684463531091Е-0002; 4,4 3.20000000000000Е+0000; 4,4 З.ЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЗЕ-0002;
4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений 119 4.3 Особенности численного интегрирования систем дифференциальных уравнений Точность численного интегрирования дифференциальных урав- нений движения ИСЗ зависит от состава переменных, используемых для описания движения ИСЗ, учитываемых возмущающих факторов, используемого метода и шага численного интегрирования. Системы дифференциальных уравнений Эйлера (3.1) и диффе- ренциальных уравнений (3.4) записаны в орбитальных параметрах и в неособенных 2 - переменных. Они являются дифференциальными уравнениями первого порядка. Можно полагать, что за счет этого они имеют преимущества перед системами дифференциальных уравнений (3.7), (3.9) и (3.11) второго порядка, записанными в параметрах пря- моугольной геоцентрической экваториальной системы координат. Правые части этих уравнений наряду с возмущающими ускорениями содержат ускорения, создаваемые центральным телом. Эти ускорения по величине на три порядка превышают возмущающие ускорения и определяют характер изменения переменных интегрирования. Уско- рения, создаваемые центральным телом, не фигурируют в правых частях дифференциальных уравнений (3.1) и (3.4). В системе дифференциальных уравнений Эйлера (3.1) уравне- ния для аргумента перигея и средней аномалии содержат делителем эксцентриситет. Если орбита движения ИСЗ близкая к круговой [51], то в результате воздействия возмущающих факторов и прежде всего сжатия Земли эксцентриситет испытывает значительные коротко- периодические возмущения. Относительная величина этих возмуще- ний изменяется в течение одного витка в десятки раз. Характер изме- нения эксцентриситета в течение одного витка для круговой орбиты показан на рисунке 5. В случае круговой орбиты эксцентриситет средней орбиты мо- жет быть равным нулю. В то же время оскулирующее значение экс- центриситета, которое определяется в процессе численного интегри- рования дифференциальных уравнений Эйлера, относится к оскули- рующей орбите. Оно не принимает строго нулевое значение. Если при выполнении вычислений удерживается 40 и более двоичных раз- рядов мантиссы чисел, то система дифференциальных уравнений Эй- лера (3.1) может быть успешно использована при расчете движения ИСЗ по круговым орбитам. Это положение было проверено и под- тверждается результатами соответствующих расчетов. Они приводят- ся ниже.
120__________Уравнения движения искусственных спутников Земли На рисунке 6. показан характер изменения аргумента перигея и средней аномалии на витке. Периодические возмущения аргумента перигея и средней аномалии, соответствующие возмущенному дви- жению ИСЗ, имеют амплитуду до 360 градусов. При таком диапазоне изменения переменной интегрирования корректный учет возмущений возможен только при малом шаге численного интегрирования Из рисунка 6 видно, что периодические возмущения средней аномалии и периодические возмущения для аргумента перигея близ- ки по величине и противоположны по знаку. Сумма этих параметров М + 6? изменяется плавно и имеет ярко выраженную вековую со- ставляющую. На рисунке.5 для круговой орбиты показан график изменения оскулирующих значений параметров е sin со, е cos со. В сравнении с эксцентриситетом и аргументом перигея они изменяются плавно. Это свойство переменных е sin со, е cos со и М + со использованы при выборе неособенных 2 - переменных. Замена в уравнениях Эйлера переменных е,соп М на параметры е sin со, е cos со и М + со или на их аналоги , Х2 и Л5 делает систему дифференциальных уравнений Эйлера устойчивой при описании движения ИСЗ по круговым орби- там и орбитам близким к круговым. Системы дифференциальных уравнений (3.1), (3.4) и (3.9) суще- ственно различаются между собой. Если при численном интегриро- вании этих уравнений использовать общий метод численного интег- рирования, то полученные расхождения в результатах можно будет отнести к особенностям рассматриваемых систем дифференциальных уравнений. Совпадение результатов численного интегрирования уравнений (3.1), (3.4) и (3.9) можно рассматривать, как результат кор- ректного интегрирования систем дифференциальных уравнений. Особенности численного интегрирования систем дифференци- альных уравнений рассмотрены на примере интегрирования уравне- ний при условии, что правые части уравнений содержат высокочас- тотные составляющие возмущений, обусловленные воздействием гар- моник геопотенциала высокой степени и порядка. Предполагается, что вклад высокочастотных составляющих гра- витационного поля Земли на движение ИСЗ учитывается корректно, если шаг численного интегрирования соизмерим с периодом высоко- частотных возмущающих ускорений. Можно говорить об учете влияния гармонических составляю- щих возмущений при численном интегрировании систем дифферен- циальных уравнений движения ИСЗ, если на интервале одного
Изменение в течение одного витка оскулирующих значений эксцентриситета и компонент вектора Лапласса для круговой орбиты 00016|Эксцрн1р^тетт 0.0014 0.0012 0 001 8*107-4) 6*10А(-4) 4*107-4) 2*107-4) -2*107-4) -4*107-4) -6*107-4) -8*107-4) -0.001 ecos (®) Время, мин ~185 ПО Рис. 5. Изменения эксцентриситета и компонент вектора Лапласа на витке под влиянием несферичности Земли для круговой орбиты с наклонением 67,5 градуса ;esm(w) 4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений
Рис. 6. Изменение оскулирующих значений аргумента перигея, средней аномалии и их суммы под влиянием несферичности Земли для круговой орбиты с наклонением 67,5 градуса Уравнения движения искусственных спутников Земли
4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений 123 периода воздействия гармонических составляющих возмущений ук- ладывается не менее 12-24 шагов численного интегрирования. Часто- та воздействия периодических возмущений, создаваемых гармониче- скими составляющими геопотенциала, не зависит от вида перемен- ных интегрирования. Поэтому можно ожидать, что ни одна из рас- сматриваемых систем дифференциальных уравнений, записанных в неособенных переменных, кеплеровых и в кинематических парамет- рах, не будет обладать существенными преимуществами перед дру- гими, в смысле корректного учета высокочастотных возмущающих факторов. Это положение подтверждено расчетами, выполненными с ис- пользованием трех систем дифференциальных уравнений. Системы дифференциальных уравнений (3.4), описывающей изменение орби- тальных параметров в неособенных 2 - переменных, системы диф- ференциальных уравнений (3.1), описывающей изменение кеплеро- вых параметров орбиты и системы дифференциальных уравнений (3.9), описывающей изменение параметров прямоугольной экватори- альной системе координат. При проведении сравнительных расчетов в правых частях каж- дой системы дифференциальных уравнений учитывались возмуще- ния, создаваемые только гравитационным полем Земли, представляе- мым совокупностью зональных, тессеральных и секториальных гар- моник до 36 степени и порядка включительно. В качестве модели геопотенциала была использована модель ПЗ-90 [3]. Другие возму- щающие факторы при проведении расчетов не учитывались. Расчеты проводились для круговых и близким к ним орбитам, с высотой примерно 700 км от поверхности Земли. Эти орбиты наибо- лее чувствительны к высокочастотным воздействиям геопотенциала. На примере этих орбит определены основные особенности использо- вания рассмотренных систем дифференциальных уравнений при рас- чете движения ИСЗ по круговым и близким к ним орбитам с учетом воздействия малых высокочастотных составляющих возмущений геопотенциала. В качестве круговой орбиты принята орбита с параметрами а,км 7297.084263 £,грд 61.160075 е 0.000628475 й>,грд 31.027104 /,грд 67.176555 <9,грд 328.972896 Если по этим параметрам рассчитать параметры средней орби- ты, то получим орбиту, эксцентриситет которой равен нулю.
124_________Уравнения движения искусственных спутников Земли Эталонные данные, относительно которых определялись по- грешности численного интегрирования, рассчитаны на интервале в 30 суток. Шаг численного интегрирования при расчете эталонных дан- ных выбран таким, чтобы результаты численного интегрирования ка- ждой из испытуемых систем дифференциальных уравнений совпада- ли между собой. Кроме того при интегрировании каждой системы дифференциальных уравнений рассчитывался интеграл энергии. и N п М Ch=^-[1+/ '^P.Jsin <р)( С™ cos mL+D™ sin mL)] 2 Pe n=2 Г m=0 (4 6) --y + Данные принимались за эталонные, если изменение интеграла энергии не превышало величину 0,001м2 с’2 на всем 30 суточном ин- тервале. Эта величина изменение интеграла энергии соответствует тому, что 11 знаков интеграла энергии оставались неизменными и сохраняли свое первоначальное значение. При таком подходе для круговой орбиты в качестве эталонных данных приняты результаты, рассчитанные путем численного интег- рирования системы дифференциальных уравнений (3.4) с шагом 0,2 секунды на интервале 30 суток. Результаты численного интегрирова- ния дифференциальных уравнений (3.4) практически совпали с ре- зультатами интегрирования уравнений (3.1) в кеплеровых перемен- ных. Результаты интегрирования системы дифференциальных урав- нений (3.9) в кинематических параметрах с шагом 0,2 секунды также практически совпали с результатами численного интегрирования сис- тем (3.1) и (3.4). Отличие составило всего 2 миллиметра. Результаты численного интегрирования трех систем дифферен- циальных уравнений (СДУ) с шагами 2, 8, 12, 24, 48, 96 и 192 секун- ды представлены в таблице 3. При этих шагах в одном периоде воз- мущений от гармоники 36 степени и порядка укладывалось 86; 22; 14; 7; 3,6; 1,8 и 0,9 шагов интегрирования соответственно. В таблице приводятся наибольшие отклонения AD от эталонных данных полу- ченные на всем 30 суточном интервале интегрирования. Числов по- казывает количество итераций, выполняемых в процессе численного интегрирования. Для уравнений (3.1) в колонке количества выполняемых опера- ций со знаком плюс показаны дополнительные итерации, выполняе- мые на отдельных участках орбиты. Дополнительные итерации вы-
4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений 125 званы тем, что эксцентриситет, аргумент перигея и средняя аномалия изменяются на витке по сложному закону. Чтобы обеспечить высокую точность численного интегрирова- ния системы дифференциальных уравнений (3.1) необходимо в точ- ках перегиба параметров (эксцентриситета) использовать малый шаг, равный примерно двум секундам. Если шаг интегрирования в точках перегиба составляет 8 или 12 секунд, то проводится дополнительно две-три итерации. При большем шаге численного интегрирования увеличение количества итераций не приводит к повышению точности интегрирования. Круговая орбита Таблица 3 Шаг, сек. СДУ (3.1) СДУ (3.4) СДУ (3.9) VD, м к VD, м к VD, м к 0,2 0 3 0 3 0,002 3 2 0 5 0 3 0,003 5 8 0,005 7+1 0.001 4 0,003 7 12 0,03 7+3 0,001 5 0,001 7 24 4 7+12 0,01 5 0,01 8 48 115 9+24 0,007 7 0,007 9 96 24000 9+36 0,008 9 0,1 11 192 30000 9+48 170 11 180 13 Рассмотрен вариант интегрирования системы дифференциаль- ных уравнений (3.1) с переменным шагом. Шаг интегрирования уменьшался, если при заданном значении е < 7 О-75 (разница в значе- ниях возмущающих ускорений в двух последовательных итерациях), число итераций превышало некоторое заданное число, например, 7. Шаг интегрирования увеличивался, если число итераций было мень- ше или равно 3. В условиях этого алгоритма шаг численного интег- рирования на витке изменялся от 3 до 12 секунд. При этом макси- мальная погрешность интегрирования на интервале в 30 суток соста- вила 0,005м. Эта погрешность соответствует погрешности интегриро- вания с постоянным шагом 8 секунд Согласно результатам численного интегрирования все три сис- темы дифференциальных уравнений при малом шаге численного ин- тегрирования 2, 8 и 12 секунд показывают совпадающие между собой решения. Наибольшее расхождение между результатами интегриро-
126__________Уравнения движения искусственных спутников Земли вания систем дифференциальных уравнений составляет 3 см. При увеличении шага численного интегрирования погрешности возраста- ют. Более быстро возрастают погрешности интегрирования уравне- ний Эйлера (3.1). Медленнее возрастают погрешности при интегри- ровании дифференциальных уравнений в Л - переменных. Погреш- ности численного интегрирования дифференциальных уравнений в параметрах экваториальной прямоугольной системы координат зани- мают промежуточное положение. Следует отметить, что для всех трех систем дифференциальных уравнений не отмечено накопление вычислительной погрешности при уменьшении шага численного интегрирования. Чем меньше шаг численного интегрирования, тем большее совпадение результатов численного интегрирования всех трех систем дифференциальных уравнений и меньшая погрешность расчета интеграла энергии (4.6). Наименьший шаг, при котором проводилось интегрирование равен 0,2 секунды. Этот общий результат, полученный для трех систем дифференциальных уравнений, по-видимому, характерен для исполь- зуемого итерационного метода численного интегрирования. Если орбиты не являются круговыми, то аргумент перигея из- меняется более плавно. Характер изменения аргумента перигея для круговой орбиты и орбит с эксцентриситетом 0,001 и 0,01 показан на рисунке 7. Можно было ожидать, что для систем дифференциальных урав- нений (3.4) и (3.9), характер изменения погрешностей интегрирования с увеличением эксцентриситета не изменится. Для системы дифференциальных уравнений Эйлера (3.1) по- грешности интегрирования, обусловленные характером изменения эксцентриситета и аргумента перигея, будут уменьшаться. Результаты численного интегрирования систем дифференци- альных уравнений в случае орбит с эксцентриситетами средних орбит 0,001 и 0,01 приведены в таблицах 4 и 5. Этим эксцентриситетам со- ответствуют орбиты со следующими параметрами Эксцентриситет 0,001 а,км 7297.084152 А,грд 61.160078 е 0.001627002 <У,грд 27.979249 /,грд 67.176555 <9,грд 332.020751 Эксцентриситет 0,01 а,км 7297.083181 £,грд 61.160108 е 0.010626017 <У,грд 26.357396 67.176561 <9,грд 333.642604
Орбита с эксцентриситетом 0,001 Изменение оскулирующего значения аргумента перигея на одном витке для круговой орбиты и орбит с е=0,001 и е=0,.01 Рисунок 7. Изменение аргумента перигея на витке для эллиптических и круговых орбит 4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений
128 Уравнения движения искусственных спутников Земли Таблица^ Шаг, сек. СДУ (3.1) СДУ (3.4) СДУ (3.9) VD, м к VD, м VD, м к 2 0 5 0 3 0,003 5 8 0,001 7 0.001 4 0,003 7 12 0,001 7+1 0,001 5 0,001 7 24 0.001 7+2 0,01 5 0,01 7 48 0,022 9+2 0,007 7 0,007 9 96 2 9+4 0,008 9 0,1 11 192 170 9+8 190 11 200 13 Орбита с эксцентриситетом 0,01 _________________________Таблица 5 Шаг, сек. СДУ (3.1) СДУ (3.4) СДУ (3.9) VD, м к VD, м VD, м к 2 0 3 0 3 0,015 5 8 0 4 0 4 0,001 7 12 0 5 0 5 0,002 7 24 0,001 5 0,001 5 0,001 7 48 0,001 7 0,001 7 0,006 9 96 0,03 9 0,025 9 0,05 11 192 600 11 500 11 600 13 При эксцентриситете 0,001 погрешности численного интегри- рования системы дифференциальных уравнений Эйлера (3.1) и сис- темы дифференциальных уравнений (3.9) в кинематических парамет- рах становятся примерно одинаковыми. При эксцентриситете 0,01 погрешности численного интегриро- вания системы дифференциальных уравнений Эйлера (3.1) становятся меньше, чем погрешности численного интегрирования системы диф- ференциальных уравнений (3.9) в кинематических параметрах. Они становятся примерно одинаковыми с погрешностями интегрирования системы дифференциальных уравнений (3.4) в Л - переменных.
4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений 129 Приведенные результаты численного интегрирования показы- вают, что систему дифференциальных уравнений Эйлера в кеплеро- вых параметрах орбиты можно использовать при интегрировании уравнений движения ИСЗ по круговым орбитам. Шаг численного ин- тегрирования должен составлять 8... 12 секунд (примерно 500 шагов на одном витке), если орбита круговая. При этом будут учитываться особенности изменения на витке аргумента перигея, средней анома- лии и эксцентриситета. Можно использовать алгоритмы автоматиче- ского выбора шага численного интегрирования. Если использовать постоянный шаг численного интегрирования, то его величина не должна превышать минимальное значение, при котором достигается требуемая точность численного интегрирования. При уменьшении шага численного интегрирования не наблюдалось накопление вычислительных погрешностей. Для орбит отличных от круговых использование уравнений (3.1) не приводит к каким-либо особенностям и не накладывает ка- ких-либо отличительных особенностей при выборе шага интегриро- вания. Для корректного учета влияния возмущающих факторов перио- дического характера требуется, чтобы в течение каждого периода воз- действия возмущений выполнялось не менее 12 шагов численного интегрирования. 4.4 Численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих вековые и долгопериодические возмущения параметров орбиты Дифференциальные уравнения (3.14) описывают вековые и дол- гопериодические изменения параметров орбиты. Для интегрирования этих уравнений можно использовать одношаговый итерационный ме- тод численного интегрирования, описанный в подразделе 4.2. Приме- нение этого метода для интегрирования системы дифференциальных уравнений (3.14), не требует каких-либо дополнительных изменений. Период долгопериодических возмущений может составлять десятки суток. Поэтому шаг интегрирования уравнений тоже может измерять- ся в сутках. Для определения параметров орбиты на интервале одного шага используется матрица коэффициентов полиномов прогнозирования.
130 Уравнения движения искусственных спутников Земли Воо Bgl В02 Воз Вд4 В оз В10 в,, В12 в!3 В,4 В,з в = ^20 в2, ^22 в23 В24 в25 (4.7) В3О В3, В32 В33 В34 В35 \J^40 В41 В42 в43 В44 В45) Коэффициенты этих матриц рассчитываются после завершения каждого шага по формулам (4.3). С помощью матицы рассчитывают- ся параметры орбиты в произвольные моменты времени, не совпа- дающие с узловыми точками интегрирования. Первый нижний индекс коэффициентов матрицы обозначает номер интерполяционного ко- эффициента, а второй нижний индекс соответствует переменной ин- тегрирования, к которой относится коэффициент в соответствии со следующим правилом. Q = (q0,q1,q2,q3,q4,q5) = (a,e,i,Q,(O,M). С помощью матрицы рассчитываются параметры орбиты Qt в произвольные моменты времени t t0<t<t0+H, текущего шага Н численного интегрирования. Параметры орбиты определяются по формулам Qi^HtB + Q0,t = (t0,t20,t30,t4,t50), т0 = {—^, (4.8) Г7 t0 - время начала текущего шага численного интегрирования. Рассчитанные таким образом параметры соответствуют средней орбите. Для определения оскулирующих параметров орбиты исполь- зуются аналитические соотношения, определяющие периодические возмущения параметров орбиты, обусловленные влиянием учитывае- мых возмущающих факторов.
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 131 Раздел 5 Аналитические решения дифференциальных уравнений движения ИСЗ 5.1 Аналитические решения Основу аналитических решений составляет главная задача, оп- ределяющая закономерности движения ЙСЗ в гравитационном поле Земли, представляемом совокупностью зональных гармоник геопо- тенциала LL LL N R U P„(sin<p), (5.1) Г Г п=2 г где Pn(sin(р)полиномы Лежандра степени п. Безразмерные коэффи- циенты зональных гармоник Jnпри п = 2,3,4 имеют примерно сле- дующие значения J2-1082,64xl0~6,J3--2,54xl0~6,J4 = -1,62xl(T6 Коэффициент J2 примерно в 1000 раз больше остальных коэф- фициентов. Поэтому вклад в возмущения параметров орбиты от вто- рой зональной гармоники будет определяющим. Коэффициенты J3, J4 примерно в 10 раз больше коэффициентов зональных гармоник более высокой степени. В классической постановке решение главной задачи сводится к интегрированию дифференциальных уравнений, правые части кото- рых составлены с учетом только первых двух (второй и третьей или второй и четвертой) или трех гармоник (второй, третьей и четвертой одновременно).
132___________Уравнения движения искусственных спутников Земли В период подготовки к запуску Первого Искусственного Спут- ника Земли и особенно после его запуска были получены аналитиче- ские решения главной задачи, которые различаются между собой ис- пользуемыми методами решения и точностными характеристиками. Такие решения получены Аксеновым Е.П., Кисликом М.Д., Батрако- вым Ю.В., Фоминовым А.М., Брауэром Д., Козаи И, Гарфинкелем Б., Акснесом К., Винти Д., Депри А. и Ромом А. и другими авторами [5], [6], [7], [20], [25], [40], [50], [57], [58], [59], [68], [69], [71], [79], [85], [87], [92], [97], [98]. В целом известные аналитические решения главной задачи можно разделить на следующие основные группы. • Аналитические решения, основанные на канонических преобразо- ваниях Цейпеля и Ли, разделении периодических возмущений и воз- мущений векового характера. Это замечательные работы Брауэра Д., Козаи И., Батракова Ю.В., Фоминова А.М. и других авторов [7], [57], [58], [71], [84], [87]. • Аналитические решения, использующие в качестве промежуточ- ной специально выбранные орбиты. К ним относятся решения Аксне- са К, Гарфинкеля Б., полученные методами канонических преобразо- ваний Цейпеля и преобразований Ли [68], [75], [76], [77]. • Аналитические решения, основанные на задаче двух неподвижных центров. Таким путем решалась задача Аксеновым Е.П., Кисликом М.Д., Винти Д. [5], [25], [97], [98]. • Аналитические решения, полученные на основе канонических Ли- преобразованиях, выводе рекуррентных соотношений для перехода от одного приближения к другому и выполнении компьютерных ал- гебраических вычислений. Таким путем Депри А. и Ром А. [79] полу- чили решения высокого порядка точности (третьего порядка для пе- риодических возмущений и четвертого порядка - для возмущений векового характера). Алгоритмы расчета движения спутников Земли, построенные на основе аналитических решений, позволяют определить эволюцию параметров средней орбиты. В отличие от аналитических решений, алгоритмы численного интегрирования системы дифференциальных уравнений определяют эволюцию оскулирующих параметров орбиты, которые включают в себя все периодические возмущения и искажают общую картину эволюции параметров орбиты. Примером может слу- жить график изменения аргумента перигея и эксцентриситета, пока- занный на рисунках 3,4,5 и 7. По этой причине аналитические алго- ритмы находят применение при баллистическом проектировании, при определении стратегии проведения маневров и определении момен-
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 133 тов приложения импульсов при проведении коррекции параметров орбиты. Алгоритмы, построенные на основе аналитических решений, используются в специализированных аппаратно-программных ком- плексах, в задачах описания космической обстановки, требующих знания положения тысяч космических объектов и фрагментов косми- ческого мусора. 5.2 Возмущения параметров орбиты от второй, третьей и четвертой зональных гармоник В дальнейшем будем использовать результаты решения главной задачи, определяющие возмущения параметров орбиты от второй третьей и четвертой зональных гармоник при разделении периодиче- ских составляющих возмущений и возмущений векового характера [49], [50]. Оно основывается на известных аналитических решениях Д.Брауэра и И.Козаи [71], [87], использовавших метод канонических преобразований Цейпеля. При выводе выражений для характеристи- ческой функции и «нового» гамильтониана не использовались беско- нечные разложения в ряды по степеням эксцентриситета. Получен- ные соотношения справедливы для всех эксцентриситетов меньших единицы. На основе решения [49], [50] получен относительно компактный алгоритм расчета возмущений параметров орбиты в кеплеровых эле- ментах. В алгоритме учитываются возмущения, обусловленные влия- нием второй, третьей и четвертой зональных гармоник. Вековые воз- мущения первого, второго и третьего порядков, замкнуты относи- тельно разложений по эксцентриситету. Периодические возмущения содержат долгопериодические и короткопериодические составляю- щие первого порядка, замкнутые относительно разложений по экс- центриситету. В выражениях для периодических возмущений второго порядка отброшены все составляющие, содержащие сомножителем эксцентриситет в первой и более высокой степени. При этом оказа- лись отброшены периодические составляющие, с амплитудой менее одного метра. Благодаря большему числу отброшенных слагаемых алгоритм расчета периодических возмущений стал достаточно ком- пактным при сохранении относительно высокой точности. Соотношения второго порядка получены для периодических возмущений в эксцентриситете 8е, в аргументе перигея eSg и в па- раметре 8(М + а>). Они не содержат эксцентриситет в знаменателе..
134 Уравнения движения искусственных спутников Земли 5.2.1 Возмущения векового характера Соотношения, определяющие скорость изменения средней ано- малии, долготы восходящего узла и аргумента перигея с точностью до соотношений третьего порядка записываются как сумма состав- ляющих, учитывающих возмущения первого и второго порядка мало- сти, и составляющих, учитывающих возмущения третьего порядка малости. Составляющие возмущений первого и второго порядка малости совпадают с результатами, полученными в работе Д.Брауэра [71] и представляются следующими формулами D 2 М234 = п0{ 1+J2(—)2 if3 —(Зс2 -1) а 4 -—J2(^)4Tf7[(-(-144с4 + 96с2 -16) + е2(5с4 -18с2 + 5) 128 а 5 45 R -26 с4 + 12 с2 -2]--J4(^ )4if7e2 (35с4 -30с2 +3)}, 128 а R 3 3 R n234 =n0{-J2(^)2r1-4-c +—J22(^)4r1-8c[12r1(l-3c2) (5.2) а 2 32 а +е2(5 с2 -9)-40с2 + 4] +—J4(^)4Tfsc(7c2 -3)(Зе2 +2)}, 32 а R 3 (b234 =n0{J2(^)2J1-4-(5c2-l) а 4 ——J22(—)4if8[T](-360cl + 192c2 -24) + е2(45с4 -126с2 +25) 128 а -430с4 + 36с2 + 10] -—J4(^-)4 if8 (е2( 189с4 - 126с2 + 9) + 196с4 - 144с2 + 12)}. 128 а Вековые возмущения третьего порядка Д(3)М234, Д(3)£2234, А<3)^234 получены в работе [50]. Они содержат значительно большее количество слагаемых Д<3>М234 = по {~J3 —(—)4rf"(e2(100c4 - 90с2 + 10)- 25с4 + 18с2 -1)
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 135 +----гз/— )6гГ11 [------—J32(((45000с10 - 195000с8 (~1 + 5с2)2 а ' 2048 2 +171600с6 - 61680с4 + 9960с2 - 600)е2 -171ОООс10 + 251400с8 - 149040с6 + 43920с4 - 6360с2 + 360)т] +(47250с10 - 95025с8 + 60200с6 -13370с4 + 966с2 - 21 )е4 +(-361ОООс10 + 603025с8 - 350420с6 + 62130с4 + 892с2 - 707)е2 -96500с10 -4300с8 + 58920с6 -22120с4 + 2636с2 -76) —1^J4J2(((189000с10-300600с8 + 167760с6 -42480с4 + 4968с2 -216 )е2 -63000с10 + 100200с8 - 55920с6 + 14160с4 -1656с2 + 72)т] +(18375с10 - 15575с8 + 1134с6 + 1890с4 -469с2 + 21 )е4 +(81375с10 + 30025с8 -96082с6 + 33330с4 -3373с2 +37)е2 +882ООс10 -176840с8 + 117040с6 - 31920с4 + 3656с2 -136) 75 I ~1048J4 ~f<c2 ~1 ^7°2 ~1 ^1470с6 ~14б3с* + 350с2 ~ 21 +(-490с6 + 366с4 - 70с2 +2)е2- 140с6 + 188с4 - 52с2 + 4)]}, Л<3>^2}4 = п0{~ J3 Ь-(^п-8(е2(20с2-9) + 5с2-3) О J2 +----1-т-т(—frf12~^—c[J3,((101250с'0 - 169500с8 (-1 + 5с2)3 а 1 1024 2 +97300с6 - 25800с4 + 3130с2 -108)е4 +((112500с'0 -362500с8 + 273000с6 -85800с4 + 12260с2 -660)г] -1062750с10 + 1533150с8 - 813380с6 + 205092с4 - 25118с2 +1214)е2 +(-585000с10 + 661000с8 - 301200с6 + 68880с4 - 7880с2 + 360)rj -1191000с'0 + 1168600с8 - 438320с6 + 77808с4-6392с2 +184) +J4J2((196875с'0 -176875с8 + 48550с6 - 2430с4 - 1025с2 +185)е4 +((2362500с'0 - 3292500с8 +1701000с6 - 419400с4 + 50100с2 - 2340 +1260000с‘° - 142000с8 -590800с6 + 287760с4 -50000с2 + 3040)е2 +3045000с'° - 3 777000с8 +1760400с6 - 393360с4 + 42600с2 -1800)
136 Уравнения движения искусственных спутников Земли +J4 —50((11025с‘° - 19390с8 + 11866с6 - 3348с4 + 445с2 - 22)е4 +(3675с‘° - 7315с8 + 4946с6 - 1506с4 + 211с2 -11 )е2 )]}, Д(3)0)234 = n0{—J3—(—)4rf8(e2(180c4-126с2 +10) 32 J2 а +95с4 -90с2 +11) +-----)6гГ'2[-----------—J2(((525000с'2 -2085000с'° (~1 + 5с2)3 а ' 2048 2 +1950000с8-811600с6 + 173160с4-18600с2 +800)е2 -3045000с'2 + 3702000с10 - 1865400с8 + 499360с6 -75000с4 + 6000с2 - 200>7 +(438750с'2 - 861375с'° + 590625с8 -178650с6 +24460с4 -1287с2 +21 )е4 +(-5178750с'2 + 8710500с'0 - 5537850с8 + 1494840с6 -138962с4 - 6428с2 +1290)е2 ' } -7457500с'2 + 8775000с'6 -4071300с8 + 734160с6 + 13852с4 -19240с2 +1604) ~^^J4J2(((2205000с'2-3573000с'6 + 2199600с8 - 674640с6 +109800с4 - 9000с2 + 288)е2 + 315000с'2 - 564000с'° + 379800с8 -126720с6 + 22440с4 - 2016с2 + 72)tj + (170625с'2 - 167000с'6 +40665с8 + 7344с6 - 4645с4 + 648с2 - 21 )е4 + (1312500с'2 - 12800с'° -1137500с8 + 594912с6-113860с4 + 8096с2-84 )е2 + 3619000с'2 -4973600с'6 + 2551160с8-679040с6 + 106280с4-9824с2 +424) 75 / ——J. -4-((95550с'2 - 197855с'0 + 147585с8 - 51066с6 2048 4 J2 +8780с4-711с2 +21)е4 +(66150с'2-157220с'0 + 133138с8 -50808с6 + 9578с4 - 868с2 + 30)е2 +4900с'2-13160с'0 + 12476с8 - 5168с6 + 1052с4 -104с2+ 4)]}. Формулы, учитывающие вековые возмущения третьего порядка Л(3)М234,Л(3)Г2234,Л(3)О)234 9 получены с использованием пакета про- грамм Мар1е-5. Использование вековых возмущений третьего поряд-
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 137 ка повышает точность аналитического решений при длительных ин- тервалах прогнозирования. 5.2.2 Периодические составляющие возмущений Периодические возмущения, порождаемые влиянием зональных гармоник второй, третьей и четвертой степени содержат долгоперио- дические и короткопериодические составляющие первого и второго порядка. Соотношения первого порядка, замкнуты относительно раз- ложений по эксцентриситету. Из соотношений для возмущений вто- рого порядка исключены составляющие, содержащие сомножителем эксцентриситет в первой и более высокой степени. Полученные таким образом соотношения для периодических составляющих относительно компактны и имеют следующий вид [50] 3 5 Sa234 = Г2а{Z a0j C0S + Z a2j C0S(2(0 + j=0 j=-l +a44 cos(4& + 43) + а33 sin(3cD + 3&)-\-all sin(a> + 3)}> 3 5 Se234 = cos j9 + e2j cos(2co + j9) + e43 cos(4<o + 39) j=0 j=-l +e4S cos(4a>+59) + e10sin(O + el2sin((O+29) +e32 sin(3co + 29) + e34 sin(3co + 49)}, з Si234 =У2{100+^4hj COS(2(0 + + '44 C0S(4(0 + 4&) J=0 +il0 sin<o + in sin(co+9)+i33 sin(3co + 39)}, 3 5Q234 =r2{h00(&-M) + h01sin&JrHl h2j Sin(2(0 + j=0 +h44 sin(4co + 49) + hI0 cos co + hn cos(co + 9) (5.4) +h33 sin(3(0 + 39)}, 3 s e8(o234 =y2{goo(&-M) + ^goj sin j9 + g2J sin( 2(0 + j9) j=i j=-i +g/0 cos (o+gl2 cos(co + 29) + g32 cos(3co +29) +g34 cos(3(0 + 49) + g43 sin(4(0 + 39) + g45 sin(4(0 + 59)},
138 Уравнения движения искусственных спутников Земли 3 5 8(а> + М)234 -у2{т00(3-М ) + mOj sin J3 + £ т2. sin(2a>+j3) м j=-i +m44 sin(4a> + 39) + тпп cos(a> + 9) + m10 cos co + m33 cos(3a> + 39)}. Амплитуды периодических составляющих возмущений опреде- ляются в функции от большой полуоси, эксцентриситета и наклоне- ния средней орбиты ам = г)"6 В0е2 (2к, + 3) + 3>(7_ 20с2 + 25с4), 10 5 @01 ВдС(6 + — С )’ а02=тГ6ЗВ0е2, аоз =^~6В0е3, а2-1 =~1Г! ^1е ' 4 а20 ~~2^ В>е ’ а21=^-6В1е(4 + е2), 4 а 22 =гГ6В,( 2 +Зе2 )+1 у2В, [-24 + 36с2 + у4( 5- 35 с2)], 6 а23 =^П~6В1е(4 + е2), 4 а24 =^~6В,е2, а25 =~г1 В/е , 4 а44=3-у2В2(24-35у4), 1о ап =-Y2Y3sini(5c2 -1). а33 =~—Y2Y3Bisini’ О
139 5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 3 еоо = Л Вое(к1 + —/ е01=^4В0(4 + е2) 4 +-у2]-20с2+116с4 + у4(-15 + 150с2-175с4)], 64 3 —4 ео2=~^Г вое, &03 ~ О Вое , 4 е2_, =^-4В,е2, О е„ =^В, +-!~еП-,В![3 + 7г,+2-^-]. 4 12 5с -1 е2,=-п-4В1(4 + 11е2) О +—у2[~45 + 198с2 - 117 с4 + у4 sin2 i(-10 + 70с2)], 64 е22 ~~2^ е23=^-?1-4В,(28 + 17е2) 24 +-у2[-83 + 258с2-211с4+у4В,(40-280с2)], 64 е24 =^~4В1е’ 4 е25 ^^В1е2’ 643 =1^8Г2^ 9 + 36с2 ~27с4 ~35/4 Sin4 е45 =-у2(9- 60с2 + 51с4 - 91у4 sin4 i),
140 Уравнения движения искусственных спутников Земли 1 . . e,n = sinii 10 320 240y4-144 + 5c2-/ 3 e!2=—Y2Y3- 10 (-160у3 + у2у3 [(690 -1050у4)с2 +(-174 + 590у4) ]}, sini(-3 + 8c2), 3 sin i( 1 + 2с2), 13 е-=~Тб727 3 sin3 i, ioo =—у2(~П4 + 91с2 )sin2i, i20=-^e2[3 + 774+2-^]sin2i, 32 5c -1 . 3 _4 . i2i-~~r! esin2i, 8 j 1 i22 =~^T1 4 sin7i +—y2[~^я™2 i + Y/3-35 c2)7sin2i, • 1 -4 . i23=—t] esin2i, 8 =^28^2^~^^^c2 ~35?48™2 i] sin2i, . 1 -2 lio=~n Y3ec> 3 in=-Y2Y3c(-l + 3c2 )> 4 i33 =^Y2Y3c(-1 + c2 ). 4 . 3 -< hoo=--n hoi=-^ ce>
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 141 h20 =---е2г)~4с[3 + 7у4 + 8- 20 16 ' 1 4 (5с2-I)2 и 3 -< h2i=~0 се> 3 1 h22 =—+—y2c[9sin2 i + y4(20-35с2)], , 1 -< h23=~ri се, 4 h44 -—у2с[-24 + 6c2 - 35y4 sin2 i], 64 1 1 -2 C h!0=--n Г3с—, 2 sin i hn =-^^r3(19csini + -^-(5-21c2)), 32 sin i h33 =-Y2r3sm2i, Soo =-П4с(5с2 -1), 4 soi =^V4[16B0+(-3 + 17c2)e2] 10 +y2— [-20c2 + 116c4 +y4(-15 + 150c2 -175c4)], 64 So2 =^O~4eBo, S03 =krl~4e2Bo’ 4 1 4 2n S2-!=--0 e B„ О =^Г4е{-В,(4 + 2е2 )[3 + 7у4+2^-] 48 5c -1 +3c’e1[3 + 7r, ^8 ‘У‘ ]-36В:), (5c -1)
142 Уравнения движения искусственных спутников Земли §2, =j-ri-4[-16B1 + (21-45с2 )е2 ] (5 +—/г/-45 - 198с2 + 117 с4 + у4(10-80с2 + 70с4)], 64 3 4 7 ё22=~П е(3-5с ), О §23 =12Т] 4l28sin2 i + )е2] + -у-у2[-83 + 258с2-211с4 +у4(30-240с2 + 210с4)], 64 §24 ^^4В!е> 4 §25 =^г!~4е2В„ О §43 ~ ~утуУ2Вi(9~27с2 + 35у4 sin2 i), уо g45 =4уУ2В1(9-51с2-91у4 sin2 i), УО 1 -2 , 2 С2 §10=^9 Уз(е --sini) 2 sini sini[(690-1050y4)c2 + (-174 + 590y4) + 24°r< ~144], MV 5c -1 3 . §12 =~77Y2Y3sin i(3-8c ), 10 §32 = —ТТЪУзsin i( 3 + 2 c2), 10 13 §34=-77У2Уз51п l> 10 moo =^-i]~4(5c2-1), 4 3 d то1 =7бТ] et~3 + 17c +В0(-12т]+16к1)],
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 143 т02 2 В°е тоз =-Л4в0е3----, 4 1 + т] 1 3 1 т2 , =—7 В,е ------, 2~‘ 8' 1 + 7] т„=^1~*е‘1[3 + 7г.+8 7? 10 (эс —1) . 2 •/, Лг, ч 1 + У4 7 9sin2i . 1 2-2. -sin i(kl+—)[3 + 7y4 + 2 /4 J—----}~~Y2Y3sin 2 5c -1 1 + t] 8 m2I --j^r]~4e[sm2 i(9r]-4kI) + 7- 15c2], т22=^т]-4(3-5с2) О +-^y2[-21~ 78c2 + 99 c4 + y4(35-360c2 + 385c4)], tn23 =j-27]~4e[Sin2 i(-27r] + 28kl) + ll-19c2], m24=^04Ble2 4 1 + t] 1 -4D 3 1 m25 = ~Г1 В I6 -> 25 8 1 1 1 + n m44 =--Y2[-M + 324c2 - 156c4 + y4(-245 + 630c2 -385c4)], 256 mio=~Y311 e(—-k1sim), 2 sin i mn=4^ Y2Y3 lsin i(13~ 84c2) ~5—. + 21 —J, 52 sin 1 sin 1 = 77 ^Y3si" i(47~ 71c2 ) УО В формулах (5.5) для амплитуд периодических возмущений ис- пользованы следующие обозначения
144 Уравнения движения искусственных спутников Земли =T) + (l + ri) 1, r]-yjl-e2, Гр по = \I .Г ~ сРеднее движение спутника, V а т J, а Y2=J2(—) > Гз=-^—> c = cost, а J 2 Г4=^,В0=-(Зс2~1), В,Л(1-с2). J2 4 4 Соотношения (5.4) и (5.5) для периодических возмущений па- раметров орбиты совместно с соотношениями (5.2) и (5.3) составляют решение главной задачи. Они положены в основу последующих ана- литических решений и алгоритмов. 5.3 Возмущения от гармоник геопотенциала произвольной степени и порядка 5.3.1. Возмущения параметров орбиты от зональных, тессеральных и секториальных гармоник геопотенциала В разделе 2, формулы (2.26)-(2.31) определяют геопотенциал, выраженный через элементы орбиты. На основе этих формул получе- ны выражения, определяющие возмущения параметров орбиты от зональных, тессеральных и секториальных гармоник геопотенциала. Уравнения возмущенного движения ИСЗ в форме Лагранжа для потенциала возмущающих сил Unm имеют следующий вид [54] da 2 dU ___________________пт dt поа дМ de 1-е2 dU Jl-e2 dU ______________пт____ пт dt п0а2е дМ п0а2е да> di 1________________, .dUnm dUnm v dt n0a2dl-e2 sini da> dll 1 dUnm ---=--------r=----------(5-6) dt n0a2\ll-e2 sini di
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 145 dco J 1-е2 dll cos i SUnm ______ __пт_____________________пт dt п0а2е де поа2^1-е2 sini Si dM 1-е2 dU 2 dU ______ ______ пт________пт dt ° п0а2е де поа да Здесь Uпт - гармоники геопотенциала степени п и порядка т . Если проинтегрировать уравнения Лагранжа, считая параметры орбиты af ej постоянными, а угловые параметры изменяющимися линейно по времени, в соответствии с формулами М = п[\ + - J2(^-)2/]~3(3cos2 i-\)], (5.7) 4 а Q - -—J2n(—)2 Tf4 cos i, ci) = — J2n(—)2 r/~4( 5 cos2 i — 1)], 2 a 4 a то получим выражения, определяющие периодические возмущения параметров орбиты от гармоник геопотенциала произвольной степени и порядка 2 SU„m nga dM 1-e2 SUnm J 1-e2 dUnm __________nm ___________nm За пт Se - n0a2e dM 3i пт n0a2sll-e2 sini 312 пт nga2e dco z dU dU (cosi——------— dco d£2 su„m noa2yj 1-e2 sini Si у/1-e2 dUnm ._________nm е8а> пт (5.8) п0а2 S(M + co)nm cost ecosi dU„m Se noa2yjl~e2 sini Si 3 edU , en dU 2 dU a2 dM n0a2(l + r)) de nga da su„m _______nm п0а2 d1-е2 sin i Si Частные производные, входящие в уравнения (5.8) имеют сле- дующий вид
146 Уравнения движения искусственных спутников Земли dll п 00 —^ = УУС F (i)K (С cosL +S sinL )(n-2p+q)t npq nmp\ / nrrpq^ nm nnpq nm nmpq/\ г ^1/’ p=Qq=-^ n oo = У У GJ/ i )K/ Cnm cosLnmna +5_ sinLrmna)(n-2p), npq nmp' / nmpq' nm nmpq nm nmpq /' г /1 dM dUnm da> dUnm dQ dU nm di dUnm de dU„m da где LmV4=(n-2p)(M+a>-^)+qM+m(Q-S‘ p=0 q=- п = УУ<7 F (i)K (С cosL +S sinL )m, npq nmp\ / nmpq\ nm nmpq nm nmpq / ’ p=0 q=Jc> -z-dF-Ji) ► G К (C sinL -S cos L ), (5.9) "° 5G ~ _ У—”S3-F (i)K (C sinL -S cosL ), de nmP\ nmpq\ nm nmpq nm nmpq/’ ----У У G„„.Fmn (i )K„mM (C„m sin L„mM — S„m cos ), npq nmp' / nmpq \ nm nmpq nm nmpq / ’ Cl n=0 a—-co nmpq = ' (n-2p)(M + d>) + qM + m(F2-a>3) О, при q = m = n-2p-0 Интеграл в последнем уравнении (5.8) определяется по формуле р=0д=>-<ю (5.10) Если просуммировать возмущения от всех гармоник геопотен- циала, ограничиваясь в разложениях по эксцентриситету членами, содержащими е4, то можно определить общие выражение для перио- дических возмущений параметров орбиты от геопотенциала 2 1 8а^ =------Uaf 8Г2^ =-------------Un, (5.11) 2>™ поа а 2^nmpq n0a2 *T]sini Зе^ =-1—и, еЗсо^ =-!-—Ua, ^птрч п0а2 е Z>mp4 n0a2q а
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 147 =---;-----8(а> + М)^ =------II. n0a2qsini ^>трч п0а2 а Значения Ua,Ue,Ui,UQ,UOJ,Um+Q)рассчитываются по формулам n=2 m=0 p=0 q=-4 N n n 4 V. = EEE E Gv,F^(i)K„n(^-m-(n-2p)^-) n=2 m=0 p=0 q=-4 e 1 + T] Q. 1Z.) xf C„m cos Lnn + S„m sin Lm ), ' nm nmpq nm nmpq /J N n n 4 dFnmn(i) -J!f-!-Km4>q(Cnm sinL„mpq-S„m cosLnmpq), , cosi dFnmp(i) 2 dGnpq "рч sin i di de N n n 4 ^=EEEEg„ n=2 m=0 p=0 q=-4 Ua=±tt±Knmpq(-eG, n=2 m=0 p=0 q=-4 x(C„m sin Lnn - S„m cos L„m„n ' nm nmpq nm nmpq > ' cosi dF (i) en dG u^=yyyy.K^(-Gm ' ^F^a) Wni di 1+7] de +2(n+l)G^(i)-3n^G^ Функции наклона, эксцентриситета и долготы Lnmpq, входящие в выражения (5.12) рассчитываются по формулам (2.29), (2.30) и (2.31). Из состава возмущений следует исключить зональные гармони- ки второй, третьей и четвертой степени, если их влияние учитывается соотношениями (5.4) и (5.5). При малых эксцентриситетах орбиты из состава периодических возмущений параметров орбиты можно исключить составляющие с малыми амплитудами, содержащими сомножителем эксцентриситет в первой степени. В этом случае выражения Ua,Ue,Uit UatUafUm^ при- мут более простой вид и будут определяться по формулам, в которых исключено суммирование по индексу q N п п Ga = У У У FG IKfn -2р )(С„т cos L + S„m sinL ), a nmp' * nmp' x z \ nm nmp nm nmp ' * n=2 m=0 p=0
148____________Уравнения движения искусственных спутников Земли Л " " dF (i) U„ =УУУ Кпто(Спт sinL„mo ~Snm COsLnmJ’ (5.13) s2 o • nmp' nm nmp nm nmp ' v 7 n=2 m=0 p=0 U.=t,i.t1F„r(i)[(-,(3n-4p + l)K_r,(C_coSL_p, n=2 m-0 p-0 +SsinL,)-—(-n + 4p + l)Kn'm ,](C„mcosLn ,+S„msinLnim .), Ui = y\y\y\Fnm„(i)K ((n-2p)cosi-m)(C cosL + 5 sinL ), i nmp' z nmp'' x z z \ nm nmp nm nmp z’ n=2 m=0 p=0 иш = ШFuji)((-(3n-4p + 1 )Knmo.(C„m sinL. -S„m cosL ,) ш nmp \ \ \ \ г / nmp!' nm nmpI nm nmpI z n=2 m=0 p=0 +(— (~n + 4p + 1 )KnmD .)(Cnm sin Lnnm , - Snm cos Lntnn .), Um+a=tttK„m/-^^^ + 2(n + l)F„mp(i) n=2m=0p=0 Sin I dl -3(n- 2 p)Fnmn (i)nnKmn)(Cnm sin Ln - S„m cos Ln), ' л z nmp' z и nmp z \ nm nmp nm nmp z ’ где Lnmp =(n-2p)(M + 0)--7t) + m(F2-S* ~~я), Lnmpi =(п-2р)(М + (О-1л:) + М + т(П-8*-1л), LnmP,-i =(п-2р)(М + а)-1л)-М + т(О-8*-1л), nmp = \(n-2p)(M + cb) + m(P-co3) k О, при m~0 и n-2p-0 nmpl (n-2p)(M + d}) + M + m(P-a>3)’ nmp' 1 (n-2p)(M + d>)~ M + m(P-a>3)’ C =^-(l^-)nC , S =—(—)nS . nm ’ z ^nm> nm ' z ^nm a a a a Функции наклона и производные по наклонению рассчитыва- ются по формулам (2.29).
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 149 5.3.2 Возмущения от гармоник геопотенциала порядка т В предыдущем подразделе представлены соотношения, опреде- ляющие возмущения параметров орбиты от каждой гармоники геопо- тенциала степени п и порядка т . Если определяют возмущения от геопотенциала в целом, то суммируются все возмущения от каждой гармоники. Гармоники одинакового порядка т содержат подобные члены. Просуммировав подобные члены, можно получить составляющие возмущений с одинаковыми периодами и фазами и определить об- щую амплитуду этих периодических возмущений. Чтобы выделить возмущения с одинаковыми периодами и фазами воспользуемся представлением геопотенциала как совокупности гармоник порядка т (2.36)-(2.39). ^я= Z ^{Cmdqcos[(d + q)M + d(od-^-7r) + m(Q-S’-^)] + d=-N q=-4 Smdqsin[(d + q)M+ d(co-^7i:) + m(Q-S* (5.14) .. N p 4 G (e)C,„, К z ijh a nm>— . n,—>q n=max(w 2 q=-4 2 .. N p 4 t (-^r'F n-d(i)YG n_d (e)Snm. R ijh CL nm,-- n,--,q n=max(m\d\) w 2 q=-4 2 Частные производные от коэффициентов Cmdq Smdq по большой полуоси, эксцентриситету и наклонению определяются по формулам (2.38) dCmdq __ Ц да R2 (5.15) 5Cmdq = Ц де R di R„ £ (n + l)(—)n+2F n_d(i)£ G n_d (e)Cnm, ijb a nm>— n>—>q n=max( m,^) 2 q=-4 2 4 8G n_d (e) . n,--------,q _ -----i-------c- n=max(,n,\d\) a q=_4 de N n dF n-d R , nm,--------------- E Д/"— n=max( m,\dl) Д Л У С nd (е)С . п>—>Я q=-4 2 (5.16)
150 __________Уравнения движения искусственных спутников Земли При расчете коэффициентов суммирование ведется по четным значениям п; если d четное и по нечетным значениям п, если d нечетное. Частные производные от коэффициентов Smdq по большой по- луоси, эксцентриситету и наклонению определяются по формулам (5.16) также как и частные производные от коэффициентов Cmdq. Раз- личие состоит в том, что в формулах вместо коэффициентов Спт гео- потенциала используют соответствующие значения коэффициентов Snm. Интеграл от геопотенциала (5.14) записывается в следующем виде ит = \Umdt = £ £ fQ, sin[(d+q)M+d(a)-l-n)+m(i2-S> --л)] d=—N q=^-4 -Smd4 coslfd + q)M + d(ct)-^x) + m('&-S’ ~л)]}. Чтобы получить коэффициенты Cmdq,Smdq и частные производ- дСт. dS, dCmda dSmd. dCmda dSmda maq maq maq maq maq maq ные (5.17) ----,-----,-----,-----, -----,-----следует коэффициен- те de da da di di dC , dS , mdq mdq частные производные ---->---- де де ™ Cmdq>Smdq И дС . dS й ''^mdq mdq да ’ да дс „ dS „ mdq mdq di ’ di умножить соответственно на коэффициенты К , =-----------::, тогда 4 (d + q)M + da> + m(&-a>z) .. N p 4 Z <-r‘F ^(i)T n=max(nm’ 2 Я= £ „-d I jl 1 a nm,- n=max( zn,|<7p w 2 ' „-d (5.18) (O^G „_d (e)KmdqCm, Я=~4 П — ‘> SG n_d (е) п,-----,q -------2-----К. с, maq пт dCmdq = Ц da R2 ^mdq _ de ~R i=max(Пт’ 2 q=-4
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 151 N D dF azdO) 4 _JH± = JL у ----у G (е)К,С . sy • т-j П~а ’ Z тай ПТП Ul Re п=тах( m,\d\) & q=-4 2 Коэффициенты Smdq и частные производные по большой полу- оси, эксцентриситету и наклонению определяются по формулам (5.18) также как и коэффициенты Cmdq и частные производные. Раз- личие состоит лишь в том, что в формулах (5.18) вместо коэффициен- тов Спт геопотенциала используют соответствующие значения ко- эффициентов Snm. В случае зональных гармоник (т = 0) в соотношениях (5.17) исключаются составляющие, которые вызывают возмущения веково- го характера. Для возмущений векового характера (d + q) = d = 0 и коэффициент Kmdq не рассчитывается. Для периодических составляющих возмущений в (5.17) опреде- лены следующие частные производные по параметрам орбиты = X (d + q){Cmdq cos[(d + q)M +d(a>~^)+ m(Q - S'--л)] uM q-~4 2 2 +5'mdq sin[(d + q)M + d(<o-^t) + m(£2-S' -^л)]}, cos[(d+ q)M+ d((o-^-7r)Jrm(Q-S' -^-л)] 012 q=___2 2 +Smtqsin[(d+q)M + d(a)~n)+m(n-S' ~^л)]}, cos[(d + q)M + d(co-l-K) + m(Q-S' —л)] 012 q —__2 2 sin[(d + q)M + d(<o-^) + m(Q-S' ~^)]}> ^ad.= У {^Lsin[(d + q)M + d((O--^) + m(n-S'--л)] да £?4 да 2 2 SSmda 1 , 1 -----—cos[(d + q)M + d( a>—n) + m(f2-S —л)]}, да 2 2
152________Уравнения движения искусственных спутников Земли d^d_=^i^^_sin[(d + q)M + d(a)-^) + m(Q-S'' -^-л)] de de 2 2 dS j 1 . 1 ---^-cos[(d + q)M + d((O--jt) + m(Q-S --л)]}, de 2 2 ^^-=^{^3-sin[(d+q)M+d(a)-^7t:)+m(Q-^ ~л)] dl_ dl 2 2 (519) dS. 1 . 1 ---^cos[(d+q)M+d((O--n:)+m(f2-Sr --я)]}. di 2 2 В соответствии с дифференциальными уравнениями Лагранжа получим следующие выражения, определяющие возмущения пара- метров орбиты от совокупности гармоник геопотенциала поряд- ка т при заданном индексе d е 2 9Umd 5а. =------—, поа dM md п0а2е dM п0а2е да> z . dUmd dUmd ------(cos I ——--— sin i-dco ^^md ~ 7 I--- ’ noa y/l-e sini 01 yjl-e2 dU d 8(0 d =---;---------------------------, noa e de n0a2Jl-e2 sini di 3 (dU. J 1-e2 dUmd 2 dU. a2 J dM n0a2e de noa da Интеграл в выражении для 5Mmd, определяется формулой [W- л = у (d + Я) •* dM ~i(d + q)M + da> + m(f2-(oz) *{Cmdqsin[(d + q)M + d((o~x) + m(C2-S' ~л)] 51^ =— поа дЯ cosi dumd ___та (5.20) 5M.= та
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 153 -Smdq cos[(d + q )М + d( а>-^я ) + т( Q-S' ~^л)]} • Если рассматривать орбиты близкие к круговым, то в правых частях полученных уравнений можно отбросить все члены, содержа- щие сомножителем эксцентриситет. В этом случае используют сле- дующие выражения для гармоник порядка т U^ = ^{C^qcos[(d + q)M+d(co-^K)+m(C2-g -^-я)] 2 2 (5.21) 1 , 1 +Smdqsin[(d+q)M+d(a>-—7t)+m(£2-S -—я)]}. и = ^dt=Y{C^Sin[(d+q)M+d(6)--K)+m(Q-^ --я)] q=-l * -Sn^cos[(d+q)M+d(a>-^n)+m(£'2-tf -~^я)]}. (5.22) Частные производные, входящие в правые части уравнений Ла- гранжа, определяют путем дифференцирования выражения (5.22) = (d){Cm,d+I.., cos[(d)M + + дМ 2 2 +Sm^+I,-I sin[(d)M+(d+l)(a>-^t)+m(Q-tf ~я)] +Cmd0 cos[dM + d(co-^n) + m(Q-S* ~~л)] +Smd0 sin[dM + d(co-^7c) + m(f2-S* ~~л)] +Cmd_ll cos[dM + (d-l)(a>-^7c) + m(f2-S* ~~^)J +Smd_llsin[dM +(d-l)(a>~x)+ m(Q-S’ -^я)]}, = {CmjM..,(d+l)cos[(d)M+(d+l)(a>--K) + m(Q-^ --я)] о со 2 2
154 Уравнения движения искусственных спутников Земли +Sm,d+i.-i(d + l)sin[(d)M + (d + l)(co- — K) + m(£2-S* --я)] +Cmd0dcos[dM + d(a>-^7c) + m(f2-S'-~7r)] +^mdodsin[dM + d(<D-~K) + m(&-S’ +СтМ_ц(d-1)cos[dM +(d-l)(a>~x)+ m(Q-S' л)] +Sm,d-i.i(d-l)sin[dM+(d-l)(a>~n)+m(Q-tf ^- = (m){Cm^,cOS[(d)M+(d + l)(a>-^)+m(Q-^-^)] dQ 2 2 sin[(d)M + (d + l)(<o-y) + m(n-S- -y)] +Cmd0cos[dM + d(co-^n ) + m( Q-S* ~~л)] +Smdosin[dM + d(a>-^7r) + rn(£2-S'f-^л)] +C„,.d-i.i cosl dM + (d-l)(co~7t) + m(Q-S‘ —л:)] +Sm,d-i,i sintdM + (d-l)((O-^x) + m(f2-S' ~^)]}> ^^ = {^di^Lsin[dM + (d + l)(o)--7r) + m(f2-S' --л)] да da 2 2 - dSm'd+I'-' Cos[dM + (d + l)(<o--n) + m(Q-S* --л)] да 2 2 +^do.sin[dM + d((i)--^) + m(n-S* --л)] да 2 2 _^McosfdM + d(a)--^) + m(f2-S'‘ --л)] да 2 2 (5 23) + dcm.d-i,i sin[dM + (d-l)(6)--^) + m(Q-S' --Я)] da 2 2 _dSm.d-i.i cos[dM + (d-l)(cD--n) + m(£2-S' --л)]}, da 2 2
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 155 ^mL = {^^L±sin[dM + (d + l)(<o--7r) + m(Q-^ --л)] де де 2 2 —^^Lcos[dM+(d+i)(co--Tr)+m(n-S’--к)] де 2'2 г^С1 1 1 +——sin[ dM + d( to—Tt) + m(£2-S’ —тг)] де 2 2 _^^cos[dM + d(a)--Ti:) + m(n-S‘ --л)] де 2 2 1 1 + m'“-u sin[dM + (d-l)(<o--Tt) + m(£2-S'--тг)] де 2 2 ---m±±Lcos[dM + (d_1)(a)_L„) + m(Q_^ _Ln)]]t де 2 2 = {6C^i,i sin[dM + (d + l)(a)--7r) + т(П--я)] di di 2 2 О О 1 1 ----4ldiL±cos[dM + (d + l)(a)--n) + m(Q-S' л)] di 2 2 / / н---—sin[dM + d(co—Tt) + m(Q-S‘ —тг)] di 2 2 _E^cos[dM + d((o--Tr)+m(a-S' —тг)] di 2 2 + dCmd-1'1 sin[dM + (d-1)(cd-—7t) + m(Q-S" --тг)] di 2 2 лл 7 7 ----m±±Lcos[dM+(d-l)((o--7t)+m(Q-^ --я)]}, di 2 2 Амплитуды Cmd+lq,Smd+Iq,C^q,Smdq,Cmd_Iq,Smd_l)q и частные производные, фигурирующие в соотношениях(5.23) dCmd,. dSmd.,a дС. dS, dCmd la dS. . m,a+l,q m.a+l.q maq maq m,a—l,q m,a—i,q da ’ da da ’ da da ’ da dCmd+io dSmd+i, dCmd„ dCmd dSmd m,a+i,q m,a + l,q maq maq m,a—J,q m,a—i,q de ’ de ’ de ’ de ’ de ’ de ^Cmd.,„ dS,. dCmda dSmda dCmd dS d . di ’ di ’ di ’ di ’ di ’ di
156 Уравнения движения искусственных спутников Земли можно получить, если исходные амплитуды Cmd+lq, Smd+Iqt Cmdq, Smdq* d-iq> частные производные, определяемые выраже- ниями (2.41) дСd,Ja dSmd.,a дС, dSmda dCmd ]o dS. ,a m,a+I,q m,a+i,q maq mdq m,a—i,q m,a—I,q да ’ da da ’ da da ’ da dC A i dS A., dC j cS j dC A , dS A , m,d+l,q m,d+l ,q mdq mdq m,d-l,q m,d-l,q de ' de de ’ de de ' de dC j , dS j , dC A dS A dC A , dS A , m,d+l,q m,d+l ,q mdq mdq m,d-l ,q m,d-l ,q di ’ di ’ di ’ di ’ di ’ di умножить соответственно на коэффициенты dM + (d-q)d> + m(f2-a>z) (5-24) В этом случае амплитуды периодических составляющих возму- щений будут определяться по формулам -С^ ,=— У (—r‘F „ d(i)-(-2d + n + l)K . ,С , та,-1 ' n—d' ' / та,—1 пт' € Re n-maxtmM) ^т,— 2 ^±=-ея- (n+1)(^F оа ii.g п=т£а(т,|<ур а п дСтА , 1 ~ та,—1 ___ ~ ~~ ^md-l» де е 'md,-l nm,— 2 dCmd,-l _ g A pl di Rg n=max(m,\d\) & di dF „^(i) l^d+n+l)^^, n-d nm,--- 2 N D '^0=^- Z (-r'F п / л \ z - n-d(I)K~md()Cnm Re n=max(m,\d\) Пт’ 2 ^2- = -Л У (n+l)(^)n+2F ,d(i)KMCm, da Re a £ (~r‘F ^(i)K^Cm-(4d2 +n2+n), e de Re ^(m,^) a 2 (5.25) dCmdO = A (Re pl di Re n=max(m,\d\) di ^mdO^nm > R
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 157 t (^F'f & п=тах(т,^) & П ^=~е1ё £ 1 "е п=тах( m,\d\) sc„d, г де ’ п d(i)—(2d+ п +1)КmdICnm, п—а \ \ / та 1 пт’ пт,- 2 2 Л R 7 (п+1)(-^Г2Р „^(O-^+n+VK^, , а пт~ 2 Cmdi> е 3F n.d(i) , , пт,--- / ' -------------(2d + n + l)K dIC a ci 2 dCmdl // N =е~ Z R-e n=max(m\d\) Амплитуды Smd_lfSmd0>Smdl и частные производные от них по параметрам орбиты a,e,i рассчитываются по тем же формулам (5.25) при замене в них коэффициентов геопотенциала Спт на соответст- вующие коэффициенты Snm. При этих преобразованиях получены следующие выражения, определяющие возмущения параметров орбиты е 2 dUmd да, =-------- поа дМ 1~е2 dUmd у/1-е2 dU, поа2е дМ поа2е да> 1 z -дй. дй. , =-----. ----(cos I ——------), п0а2\11-е2 sini 1 n0a2^J 1-е2 sini Jl-e2 dU, cos i dU, ___2________ma___________________ma n0a2e de n0a2^l-e2 sini di = _A \d0^dt 2 ~dU^ d a2 •* dM n0a2e de noa da (5.26) где 1^,.-, sin[(d)M+(d+l)(<»--n)+m(<2-g--л)] J dM 2 2 -S„^+I,.Icost(d)M + (d + l)((o~n) + m(n-S' ~л)]
158 Уравнения движения искусственных спутников Земли +Cm</0 sin[dM + d(a>-—n) + m(£2-S* ~—л)] -Smd0 cos[dM + d(a>-^7t) + m(П-S' ~~n)] +Cmd_II sin[dM+(d-l)(<o--n)+m(Q-S' --л)] -k,d.ucoS[dM + (d-l)(a>-^) + m(n-S,-y)]}. Амплитуды можно получить, если умножить ранее полученные в (5.25) амплиту- на множители Kmdg из (5.24) соответственно. -С^ ,=— У (^-)n+,F nd(i)-(-2d+n+l)K2 ,Спт, е Ren=m^(m\d\) а 2 cmdo=-£ Z п=тах( 1 ~ и " -С-, =£ У Cz J ’ п d(i)KL0Cnm, пт,- 2 д ^е п=тах(m,\d\) & Амплитуды Smd )n+,F „ d(i)-(2d + n + l)K2.,C, <^mdO’^mdi рассчитываются по тем же фор- мулам при замене в них коэффициентов геопотенциала Спт на соот- ветствующие коэффициенты Snm. В приведенных соотношениях при заданном значении d каж- дое слагаемое содержит вклад от всей совокупности гармоник геопо- тенциала порядка т . Коэффициент d фигурирует в явном виде. От его значения зависит длительность периодических возмущений. При d = 0 длительность периодических возмущений наибольшая. Чем больше период, тем больше амплитуда периодических возмущений. Для орбит, совершающих в сутки 10 и более оборотов вокруг Земли, амплитуды периодических возмущений при d = 0 примерно в 10 раз превосходит амплитуду при d = +1. Если dM » т(£2 ~coz), то наблюдается явление резонанса или близкое к резонансу. Аналитические решения, которые здесь рас- сматриваются, не дают в случае резонанса корректного результата. Резонансные составляющие учитываются при численном интегриро-
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 159 вании систем дифференциальных уравнений движения ИСЗ или сис- тем дифференциальных уравнений, описывающих вековые и долго- периодические составляющие возмущений. 5.3.3 Возмущения от зональных гармоник геопотенциала Соотношения, определяющие возмущения параметров орбиты от совокупности гармоник порядка т, позволяют выделить состав- ляющие, вызывающие вековые и долгопериодические возмущения, порождаемые зональными гармониками геопотенциала. Возмущени- ям векового и долгопериодического характера соответствуют состав- ляющие, у которых d = 0 и т = 0. Зональные гармоники четной степени вызывают короткопериодические возмущения, долгоперио- дические возмущения и возмущения векового характера. Зональные гармоники нечетной степени вызывают короткопериодические и дол- гопериодические возмущения. В соответствии с полученными ранее соотношениями потенци- ал гравитационного поля, порождающий вековые, долгопериодиче- ские и короткопериодические возмущения параметров орбиты от зо- нальных гармоник выражается следующими формулами и0= f £ {C0dqcos[(d + q)M + d(a>--n)], (5.27) d=-N q=-4 * где .. 2V D 4 е п=2 и 2 Ч=~4 2 Здесь суммирование ведется по четным значениям п, если d четное и по нечетным значениям п, если d нечетное. Начальное значение индекса п может увеличиваться на единицу, чтобы выпол- нялось условие четности величины n-d. Из (5.27) следует, что при d = q = 0 составляющие потенциала зональных гармоник порождают возмущения векового характера и N R С„ - ^-£(^r'C,eF (i)G (е). (5.28) к а п°- п~’° п=2 и 2 2 Здесь суммирование ведется только по четным значениям ин- декса п. Для этого потенциала частные производные по элементам орби- ты имеют вид
160 Уравнения движения искусственных спутников Земли dUpWec _ dC000 да да dUpWec _ dCggg де де dUpWec _ dCggg di di (5.29) .. N р = -^Т.См('’+1)(-Г2Г (i)G (е), R п по,- п,—,о п=2 и 2 2 .. N р ^v'Lcj^r'F м. R а п°- п~’° 1Хе п=2 u 2 2 R = —У\с„о(—) -----2-—G „ (е), Re~2 a di "У а вековые возмущения от зональных гармоник определяются по фор- аг//> , пО,— \п+1 2 мулам 0 Wee dt noa2yj 1-е2 sini di d&n _ ~ е dUpwec_________COS t____ЗУ о wee dt поае де n0a2yjl-e2 sini di dMn 1-e2 dU0Wec 2 dU0Wec . dt n0a2e де noa da При d + q = 0 и d ФО составляющие потенциала (5.27) U0DP= Z (5.31) d=-N,d*0 вызывают долгопериодические возмущения параметров орбиты. iU0Dpdt = U0Dp= £ -^COdq=_dsin[d(a)-^)] (5.31а) d=-N,d*oua> где C^=^(-)"'F^(DG ... МС„. к а — п>—,q=-d lve п=2 w ’2 2 ? R aj = —J2n(—)2ri~4(5cos2 i — 1)] . 4 a Частные производные от Codq по элементам орбиты определя- ются формулами дС и к Р -^± = -4Ес./" + /Х—F+1F d(i)G (е). да R^t2 я п0>^~ n—,q=-d
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 161 АС и N /? = Т X CJ-Г' F (е). ое К а п°’— п>—,q=-d 1Хе П=2 w 2 2 ас * ₽ dF 0^(i) О^ч _ Р X-1 (-° /^е \п+1 " ' 2_(-• / „ 1 О- “ D ~n—d (е) • Si Re^r2 Я Si * — q=-d Частные производные от потенциала (5.31) и потенциала (5.31а) по элементам орбиты имеют следующий вид su0Dp да N = X d=-N,d*0 scnja. 1 cos(d(0) ^л)), де N - X d=-N,d*0 cos(dfa) 2^)), dU0Dp di N = X d=-N,d*0 [ cos( d(0) л)), di 2 dU0Dp да> n dC 1 = - z d-^dSin(d(a>-^))t d=-N,d*0 Ol dU0Dp да N = X d=-N,d*0 d 1 1 sin( d(a) — л)), да dd) ' 2 W0Dp де N = X d=-N,d*0 4 . sin(d(О) л)), de ao) 2 dU0Dp di N = X d=-N ,d*0 —Odq=~d" sin(d(а)-—л)), di dd) 2 77 dU0Dp да) d=N = X d=-N ,d*0 C0dq^-d -T COS(d((O~^)). CD 2 (5.32) (5.32а) После подстановки (5.32) в правые части уравнений Лагранжа получим следующие дифференциальные уравнения, определяющие скорости изменения параметров орбиты, обусловленные влиянием долгопериодических составляющих геопотенциала (5.31)
162 Уравнения движения искусственных спутников Земли dann —^ = 0, dt deDp _ yjl — e2 SUgDp dt nga2e da> dipp dt 1 -----------------cost n0a2\ll — e2 sini dU0Dp da> (5.33) d^Dp _ 1 dU0Dp dt nga2sj 1-e2 sini Si d(ODp _ -J 1 — e2 SUgDp cos i SUgDp dt nga2e de nga2y/l-e2 sini Si dMDp _ 1-e2 SUgDp 2 SU0Dp dt nga2e de nga da Из (5.33) следует, что долгопериодические составляющие воз- мущений параметров орбиты определяются формулами Л 1^айЮг Dp пда2е da> 1 sunn„ Oln =--------. ---cos i------, nga2\j 1-е2 sini So Sa„r =-------=L=------ n0a2\l 1-e2 sini Si y]l-e2 dU0Dp cosi SU0D ocoD =---------------------f. - ----------, (5.33a) ^oa e de noa41-e2 sini Si sK/f 1 — e2 SU0D 2 SU0D p n0a2e de noa da Короткопериодические возмущения параметров орбиты, обу- словлены влиянием следующих составляющих геопотенциала и0Кр= Z ^C0dgcos[(d + q)M + d(d)-^)J, d=-N q=-4
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 163 f ~ N <*> ~ 1 ]иокрЖ=йокр= Z Z C0<tqsin[(d+q)M+d(a>--n)], (5.34) d=-N q=-cx> где Re Z2 a n0’~T <^4 n,~2~,q (d + q)M + da> <0^=0, npu(d + q) = 0 и d = 0, (5.35) COdq = 0> nPu (d + q) = 0 и d^O. Суммирование ведется по четным значениям п, если d четное и по нечетным значениям п, если d нечетное Для потенциала (5.34) частные производные по элементам ор- биты определяются дифференцированием АГ и N Р 4 1 —^ = ~У\Сп0(п + 1)(^Г2Р „d(i)t\G „d (е)--, да R2^ "° а '(d + q)M + dd) -^- = -^ЦСпо(-Г'Рon-d(i)Y G<en-d M + d-’ де Re~2 а "в— “4 «-—ч (d + q)M + dco дС и N R 4 / А у с Г1 2_________Ус (е)__________-____ di Reii "° a di ^ч( (d + q)M + da дй N 4 дС 1 -^-= z (5.36) да да 2 дй N 4 дС 1 ~^= Z Y4-^Sin[(d + q)M + d((O-^)], де j~^N^4 де 2 дйпКп " ' dCnda 1 ~^= X X-Г±51"^</+^Л/+</<<й>_7я’^’ di d^N^4 di 2 -7^= Z lLG0d4<d + q)sin[(d + q)M + d(m~^n)]’ dM d^N^4 2 £ ^Coddsin[(d+q)M + d(a>-^-n:)]. dco d~^N^4 2
164 Уравнения движения искусственных спутников Земли 0Кр п0а2е дМ Siokp ~ 2 г—у . . поа sjl-e sini При использовании частных производных (5.36) короткоперио- дические составляющие возмущений параметров орбиты будут опре- деляться по формулам 2 dU0Kn Заок=—----- р поа дМ 1-е’ай^ 4Г^аи,Кр п0а2е да) su0Kp cost---------------- ! да) dU„Kn 8Я0Кп =-------------- п0а2\/1-е2 sini di Sol _ au„r___________ cosi dU0Kp a°Kp n0a2e de n0a2y/l-e2 sini di SM =^(^Ldt.1~e2 dUo*p p a2 dM n0a2e de noa da -±\^*dt = a2 J dM ~2 Z HC0^(d + q)cos[(d + q)M + d(a)-^)]— a 2 (d + q)M + da> (5.37) 1 Коэффициенты G n_d (e) при -4<q<4n производные no эксцентриситету определяются по формулам (2.31). При этом, если q > 0, то коэффициент k — d, если q < 0, то коэффициент k = —d. То есть вместо величины п-2р используется переменная d, а вме- сто 2р-п переменная (—d). Функции наклона и производные по наклонению определяются по формулам (2.20) и (2.20а).
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 165 5.4 Короткопериодические возмущения параметров орбиты от сопротивления атмосферы, гравитационного притяжения Луны и Солнца, приливных эффектов в земной коре и давления света Короткопериодические возмущения параметров орбиты от со- вокупности возмущающих факторов можно получить из уравнений (3.35). Проинтегрируем уравнения (3.35) по эксцентрической анома- лии. Из полученных интегралов выделим короткопериодические со- ставляющие возмущений. Полагая Е = not + esinE, получим соот- короткопериодические возмущения пара- ношения, определяющие метров орбиты Kcitin Katm ? • • п0 ап0 sin i -3Q}, 8с, =-----> 3(0, t_ =----------7~ ^04 • Katm 2 Katm 2 1 an0 anoe Sikalm=—SQ2> ап0 SMkatm =-2~SQs---3—[^61 + ^(^6jSinjE + p6jCOSjE)] ап0 ап0 2 jTi -tj( 8£2 cos i + 8(0), (5.38) где — 1—1 N+11 — 8Qk = —epkl +-akOesinE+^-(av sinjE-0* cosjE). 2 2 £{j Коэффициенты 0^,0^ соотношений (5.39) определяются по формулам. aOj POj=^e(Aj-I-Aj+I) + 'tlDj, aij =rl[~^rt(Ej+i ~Ej-i)~~^eEj +Cj+I + Cj_j ——e(Cj+2 + C._2)], ~e(DJ+2 + D^)],
166 Уравнения движения искусственных спутников Земли a2j =[~еР} +1(1 + е2)(Р)+1+Рм)-Ц(Г}+2+Р2_2)]Л-! cos оз ~[Pj+l-Р2-, ~^(pj+2-Pj-2)]^, P2j = [--eP^-Jl + ^XP^ + P^h-eiP^ + P^)]^1 cos co 2 2 4 --2[Phl ~FM-~e(FjJr2-Fj_2)] sinco, a3j= [-^eFj+^l + e2 )(F^t + Fj_l)-^e(Fj+2 + Fj^2)]r1~‘ sinco +hpj+l-Pj_,-~e(PJ+2- Р^2)] cos a>, 2 2 P3j=[-~eP.^-(l^e2 )(Р.^р._1)-1-е(Р.^р.2)]г1-1 sin о ~[Fj+i ~Fj-i ~^«(Fj+2-Fj-2)]c°s G)> а43=епА3-ул(А3_, + А3+1)-(2-е2)(В3+1-Ом)]~е(В3+2-О3_2)], Р43=епВ3-L[tl(B^ + Bj_,) + (2-e2)(Cj+l-CJ_,)] + ^e(C^-Cj_2)], a3j=(l + -^e2)А3. -e(AM + Aj+I) + ^e2(AJ+2 + Aj_2), Р5з.=(1 + ^е2)В2-е(В3_1 + В}+1)Ле2(В2+2+В2_2). a6l ~ Poi( 1+ ,ePo2> 2 4 о 1_ _ 1 _ Рб1 ~ a00e a01 + A ea02 > 2 4 a62 ~ . ePoi A Po2 » э ePo3 ’ 4 4 12 ъ 1 _ 2 1 _ 1 _ 1 _ Рб2 ~ n a00e + . a0ie A a02 + j a03e> 8 4 4 12 ^6j = 1 Q . ePo,j+l ePo,j-l j2Poi 2j(j + l) 2j(j-l)’
А 5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 167 , ^->е j2 0}_ 2j(j + l)_ 2j(j-l)’ _ e0ON+l । ePnN (N + l)2 2N(N+1)’ _ a0,N+l | a0,Ne (N + l)2 2N(N + 1)’ ______ePo,N+l____ ______a0,N+ie___ ' ~ 2(N + l)(N + 2)’ P6N+2 ~ 2(N + l)(N + 2) Здесь коэффициенты рядов Фурье воз- мущающих ускорений определяются в соответствии с алгоритмом, изложенным в подразделе 2.8. Коэффициенты, имеющие отрицатель- ные нижние индексы, связаны с коэффициентами, имеющими поло- жительные индексы, соотношениями A-J 4’ с-у = С,. F} = Fjt = -5,, Dj = -Dj, Р} = -Pj 5.5. Возмущения от сопротивления атмосферы 5.5.1 Аналитические решения, определяющие влияние сопротивления атмосферы на движение ИСЗ ИСЗ на близких к Земле орбитах испытывает воздействие гра- витационного притяжения Земли и сопротивление атмосферы. Эти факторы оказывают определяющее влияние на изменение параметров орбиты. Они испытывают значительные периодические и вековые изменения. Эти изменения наиболее точно определяются при числен- ном интегрировании дифференциальных уравнений, в правых частях которых учитываются совместно возмущающие силы, обусловленные сжатием Земли и сопротивлением атмосферы. При раздельном учете действия возмущающих сил и после- дующем сложении возмущений снижается точность. Возникающие погрешности обусловлены двумя факторами. Во-первых, за счёт влияния сжатия Земли (второй зональной гармоники) появляются значительные короткопериодические возмущения в радиус-векторе ИСЗ. Они составляют 10-15км. Примерно такие же отклонения появ- ляются в высоте ИСЗ над поверхностью Земли. С изменением высоты плотность атмосферы изменяется, изменяется соответственно и воз- действие атмосферы на движение ИСЗ. Поэтому интегральное воз-
168___________Уравнения движения искусственных спутников Земли действие атмосферы на ИСЗ, движущийся по невозмущенной орбите, и на ИСЗ, движущийся по возмущенной орбите, будет различным. На высотах 170-500км изменение высоты на 10 км вызывает изменение плотности атмосферы примерно на 10-40%. На такую же величину, соответственно, изменяется величина торможения ИСЗ, если рас- сматривать движения спутника по возмущенной, или по невозмущен- ной орбите. Во вторых с течением времени под влиянием сопротивления атмосферы уменьшается большая полуось и эксцентриситет орбиты. За счет этого уменьшается средняя высота орбиты над поверхностью Земли и увеличивается интегральное воздействие сопротивления ат- мосферы. Исследования эффектов взаимного влияния гравитационного поля Земли и сопротивления атмосферы проводились Брауэром Д. и Хори Д., Лейном М. и Кранфордом К., Зее Ц., Фоминовым А.М., Носковым Б.Н. и другими авторами [14], [26], [30], [37], [41], [57], [58], [72], [81], [91], [94]. Результаты аналитических решений под- твердили существование и значимость эффектов взаимного влияния сил сжатия Земли и сил сопротивления атмосферы. Сами решения оказались весьма сложными, несмотря на то, что модель атмосферы принималась упрощенной, и имели относительно низкую точность. В работах ряда авторов показано [30], [37], что эффекты взаим- ного влияния сопротивления атмосферы и гравитационного притяже- ния Земли учитываются с достаточной степенью точности, если при расчете возмущающих ускорений, обусловленных сопротивлением атмосферы, рассматривать распределение плотности атмосферы от- носительно возмущенной орбиты и учитывать изменение воздействия атмосферы, обусловленное снижением средней высоты орбиты на интервале прогнозирования. С учётом сказанного в аналитическом алгоритме прогнозирова- ния движения ИСЗ можно отдельно учитывать влияние гравитацион- ного поля Земли, и воздействие атмосферы. Этот принцип раздельно- го учета возмущающих сил использован при выводе соотношений, определяющих вековые и периодические изменения элементов орби- ты, вызываемые торможением ИСЗ в атмосфере. При выводе соотношений были приняты следующие допуще- ния: Модель атмосферы может быть динамической или статической. Периодические возмущения радиус-вектора от несферичности Земли определялись по формулам, полученным в работе [69]. Они содержат короткопериодические и долгопериодические возмущения, обуслов-
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 169 ленные влиянием второй, третьей и четвертой зональных гармоник геопотенциала. Сопротивление атмосферы вызывает возмущения параметров орбиты векового и периодического характера. Основной вклад в из- менение параметров орбиты вносят возмущения векового характера. Возмущения периодического характера для орбит с высотами более 400 км не превышают, как правило, одного метра. По этой причине с целью упрощения алгоритма вклад периодических составляющих возмущений [81] за счет воздействия атмосферы здесь не приводится 5.5.2 Скорости изменения параметров орбиты векового характера Из (3.36) следуют уравнения, определяющие скорость измене- ния параметров орбиты, обусловленная влиянием сопротивления ат- мосферы daa,m _ 1 „ 7, “ и°’ dt п0 ditm 1 atm _______ dt 2п0а 2’ dco. 1 —— =---------а4 dt 2п0ае (ЯМ 3 Вп. 1 . UW . 3 = ~~no 4 а Параметры ак, и (301 входящие в приведенные соотношения, определяются по формулам dea,m 1 a ' dt 2n0a dQ 1 ___atm _________& dt 2n0asini 30 ’ dQ -----cost, dt d£2 da> (5.39) dt Malm a an0 a dt dt a0=eBI+tiC0, p0I^-e(A0-A2) + qDi — т](tjBj 2 eCg + 3C2 eC2), 3 7 _ 7 a2 =(-—eFg +(l + e2)Ft-—eF2)rf~l cosco-(PI -—eP2)sina>, 3 7 7 a3 =(-—eF0 + (l + e2)Ft -—eF2)if‘ sinco+(PI ~—eP2)cosa>,
170 Уравнения движения искусственных спутников Земли а4 -eriAn -т]А1 + (2-е2)D, -AeD2, as=(l + ^e2 )А0- 2еА, +^e2D2, А0,А1,А2, BltB2, C0,ClfC2, D]fD2, F0,F1,F2, PltP2 - являются коэффициентами рядов Фурье (3.34), аппроксимирующих возму- щающие ускорения, создаваемые влиянием сопротивления атмосфе- ры. Исходными данными для расчета коэффициентов являются па- раметры средней орбиты a,e,i,F2,co,M на момент То. С использованием параметров средней орбиты по формулам (2.69) рассчитываются направляющие косинусы осей орбитальной системы координат, зафиксированной для перигея орбиты Для значений j = 0,1,2...N и Ej = jAE последовательно рассчиты- ваются истинная аномалия, аргумент широты, радиус-вектор и все возмущающие ускорения от сопротивления атмосферы, nsinE. cosE.-e sin 19. =-------—, cos 19. =--------, 1-ecosE. 1-ecosE. sin иj = sin co cos + cos co sin i9y, cos иj = cos co cos i9y - sin co sin i9y, (5.40) где ДЕ = —, N - количество точек, используемых при расчете ко- N эффициентов рядов Фурье. Для определенности можно принять N = 36. Для орбит близ- ких к круговым значение N может быть меньшим, например 24 или 12. Возмущающие ускорения S(jJ), , WjJ) обусловленные влиянием сопротивления атмосферы, для значений эксцентрической Z7 • 71 аномалии Е, = 1 — J J18 при j = 0,1,2,...35 рассчитываются по форму- лам S(2> =-SbjPjV<jysJ), (5.41)
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 171 T(J> =-SbJPjV(j)VTJ>, = ^—(1+ecos &j)-a)zrj cos i, W,J> - -ShjPjV0^^, = a)zrj sinicosUj, yj=^sJ>)2+(<J))2+(^>)2- Если используется статическая модель атмосферы [2], то Pj = kOj ехР[кп(hj ~ \ )2 - к2i(hj - /г,)], hj =rj-Re(l-a sin2 isin2 гл), an2 1 R , , > ecos&. rJ = ,Г a ^-J2(-^)2^2ei{(^-3cos2i)[n---------^ + (l + ecosd/) 4 a 7 + 7 -—2f? + sin2 i{cos 2и2 - e [(l-i)) c°s(2uj -3&j)~ l + ecos&j 2(1+1)) 3(1 + 1]) cos(2uj -&j)] + 2y3 sin i sin Uj }, y2=J2(—)2, У3=^—, ij-^Jl-e2, a = 0,00335281 - коэф- a J2 Re В. = — YS(li>sinkEf, 1 ’ j=0 2 N~! D, = — yT(,j>sinkEi, k N 1 JV j=o 2 N~‘ Pk = — yT[J)sinkE., V “J J j=0 фициент сжатия Земли, k0i,kli,k2i,hi - коэффициенты модели плот- ности атмосферы и граничные высоты, аппроксимирующие значение плотности стандартной модели атмосферы ГОСТ 4401-81 в функции от высоты [2]. Значения коэффициентов приводится в таблице 2 под- раздела 2.3. Рассчитывают коэффициенты рядов Фурье, представляющих компоненты вектора возмущающих ускорений в орбитальной системе координат A. = — yS(.j>coskEit N. J j=0 Ck = — y\T(,j>coskEi, N~o 2 N~1 F. = — Yw<j)coskE., J j=0 при к = 0,1,2. Если N = 36, то при j = 35 заканчивается расчёт коэффициен- (5.42) TOB.
172__________Уравнения движения искусственных спутников Земли Полученные коэффициенты используются в формулах (5.38) и . da (5,39) при расчете скорости изменения большой полуоси а = — и dt • их с эксцентриситета е = —. Эти параметры в первом приближении по- dt казывают скорость уменьшения большой полуоси и эксцентриситета за счет воздействия сопротивления атмосферы В результате уменьшения большой полуоси и эксцентриситета орбиты изменяется высота полета ИСЗ. Плотность атмосферы с изме- нением высоты изменяется. Поэтому с течением времени изменяется ее воздействие на орбиту. Чтобы учесть эти изменения повторно рас- считываются параметры средней орбиты на момент t = То + формулам . ЛТ at =а + а--, 1 2,73 . ЛТ СО, = со + со-, 1 2,73 . ЛТ е, = е + е-, 1 2,73 лгр Я=£2 + О—, ' 2,73 ЛТ 2,73 по (5.43) где £2 = -—J2n(—)2 if4 cos i, (b = — J2n(—)2 if4 (5 cos2 i — 1)], 2 a 4 С использованием параметров a средней орбиты at,et,i, ЛТ £2t,cot,M, рассчитанных на момент t = То + уту, рассчитывают уточненные коэффициенты рядов Фурье А0,А1,А2, BltB2, C0,ClfC2, DlfD2, F0,Fj,F2, P]fP2. Эти уточненные коэффициенты используются при расчете по формулам (5.38) и (5.39) средней скорости изменения параметров орбиты на интервале прогнозирования. Полученные уточ- ненные значения скорости изменения параметров орбиты используют при расчете данных прогнозирования на момент То + ЛТ. 5.6 Вычисление параметров орбиты на заданные моменты времени Приведём алгоритм расчета прогнозируемых параметров орби- ты на заданные моменты времени с учетом сопротивления атмосферы
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 173 и сил от несферичности Земли. В алгоритме используются формуль- ные соотношения, описанные ранее. Исходными данными для расчета являются параметры средней орбиты To,ao,eotio, £20,а>0,М0> Sb,AT - время, большая полуось ор- биты, эксцентриситет, наклонение плоскости орбиты к плоскости ис- тинного экватора Земли, долгота восходящего узла, средняя анома- лия, баллистический коэффициент, и интервал прогноза соответст- венно. Прогнозируемые параметры рассчитываются на момент време- ни Т — То 4- ДТ . Вычисление параметров орбиты на заданное время осуществля- ется в следующей последовательности: 1. Рассчитываются по формулам (5.2) и (5.3) M234,f2234,d)234 и Д(3)М234,Д(3) Т2234,Д(3)а>234 - скорости изменения параметров сред- ней орбиты, обусловленные влиянием зональных гармоник второй, третьей и четвертой степени. 2. Рассчитываются по формулам (5.29) и (5.30), скорости изменения d£2 da> dM параметров орбиты ----------------- обусловленные влиянием зо- dt dt dt нальных гармоник выше 4 степени. 3. По формулам (5.39) с учетом (5.43) рассчитываются скорости из- менения параметров орбиты, обусловленные влиянием сопротивле- . dantm dentm dintm dflnttrl da)tnt dM. •• ния атмосферы —M.. dt dt dt dt dt dt 4. Если интервал прогноза не превышает 5-10 суток, то в случае необ- ходимости, можно по формулам (3.36) рассчитать скорости измене- ния параметров орбиты, обусловленные влиянием гравитационного притяжения Луны и Солнца, приливных эффектов в теле Земли, сил светового давления. При расчете составляющих dd de di d£2 da> dM „ —, —, —,--------,---, ---- положение центра масс Луны и Солнца dt dt dt dt dt dt ДТ определяют на момент t = To 4- 5. На момент T = To 4- ДТ рассчитывают параметры средней орбиты
174 Уравнения движения искусственных спутников Земли ,datm da . лгг, а = ап+(—^ +—)ДТ, ° dt dt ,de„,„ de . e-en+(—— + —)AT, ° dt dt Q = Q0+ (Й234 + A<3>Q234 + ^222. + — )AT, dt dt (5.44) , . t • dco t dco . CD = CO0+( e>234 + Д( >(O234 + —f2- + — )ЛТ, dt dt M = M0+(M234 +Д(3>М2}4 +^ + ^)ДТ + МатДТ2, at at 6. Решают уравнение Кеплера £ — M + esin Ей рассчитывают истин- ную аномалию z? v/и Е & = М + 2 arctg-------------+ е sin Е 1-ecos Е + т) и аргумент широты и = <9 + со. 7. По формулам (5.4) и (5.5) рассчитываются периодические возму- щения параметров орби- ты За234, 8ё234, 8i234, 8Е2234, eScb234, 8(cb + M )234 , обусловленные влиянием второй, третьей и четвертой зональных гармоник. 8. По формулам (5.11) рассчитывают периодические возмущения па- раметров орбиты, обусловленные влиянием совокупности всех гар- моник геопотенциала 8а^ , 8е^ , 8i^ 842^ , 2^nmpq 2^nmpq Z^nmpq’ 2^nmpq edco^nm^, S(M + co)^nrnpq. По формулам (5.20) рассчитывают пе- риодические возмущения 8amd, 8emd>8imd> 6Qmd> e8comdt 8(M + co)md для выбранных значений m и d. 9.По формулам (5.38) рассчитывают короткопериодические воз- мущения£аЫи, Зе^, 80^, ебю^, 8(М + ю)ка,т, обуслов- ленные влиянием сопротивления атмосферы, гравитационного при- тяжения Луны и Солнца, приливов в земной коре и световым давле- нием. 10. Рассчитывают кеплеровы параметры оскулирующей орбиты d = a + 8a, i =i + 8i, £2 = £2 + 8£2,
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 175 ё cos cd = е cos со + (Зе) cos со - (еЗсо) sin со, __ _ (5.45) е sin со = e sin со л-(Зе)sin со + (e8co)cos со, е = yj(e cos to)2 +(ё sin io)2, _ ё sin со - ez - co = arctg —--— , М = М + со + 5(со + М)-со. е cosco Здесь чертой сверху обозначены параметры, относящиеся к ос- кулирующей орбите, За, Зе, 5i, 5Q, еЗсо, 8( М + со) - периодиче- ские возмущения параметров орбиты, которые представляют сумму всех составляющих, полученных согласно пунктам 7, 8 и 9. 11. Решают уравнение Кеплера Е = М + ё sin Е и рассчитывают истинную аномалию, аргумент широты, радиус век- тор и гринвичскую долготу восходящего узла 77 - esinE _ . - г/ = М + 2arctg ——---=—— + е sin Е, 1-е cosЕ + г/ и + cd,r =а(l-ecosЕ),rj = \/1-ё2, L=£2-S*0-toz(T0+AT-10800). 12. Рассчитывают направляющие косинусы и параметры орбиты в гринвичской экваториальной системе координат Yx = cos cocos L - sin cd sin L cos i, Yy = cos cdsinL + sin co cos L cos i, Yz = sin cd sini, Px=- sin cd cos L - cos cd sin L cos i, /3y = cos cd cos L cos i - sin cd sin L, (5.46) Pz - cos cd sini, x = ~F(yxcos& + 0xsin&), vx f3x(e+cos9)~Yxsin&] + cozy, y = r(Yycosd + py sin 9), vy = rj~s fty (e + cos 9) - yy sin 9] - cdzx, z = r(yz cos9+ sin9),vz = fj~‘+ cos 9)-yz sin9] .
176 Уравнения движения искусственных спутников Земли На этом заканчивается расчет параметров орбиты на заданный момент времени 5.7 Преобразование оскулирующих параметров в кеплеровы па- раметры средней орбиты. Преобразование оскулирующих кеплеровых параметров орби- ты в кеплеровы параметры средней орбиты является обратным по от- ношению к процедуре расчета оскулирующих параметров, описанной в предыдущем подразделе. Исходными данными для расчета параметров средней орбиты являются параметры оскулирующей орбиты a,e,i ,Qcd9M. Так как периодические возмущения рассчитываются как функции пара- метров средней орбиты, которые в этом случае требуется определить, то параметры средней орбиты определяются методом последователь- ных приближений. 1. Рассчитываются периодические составляющие возмущений параметров орбиты За, Зе, 8i, 5Q, еЗсо, 8(М + со), которые пред- ставляют сумму всех составляющих возмущений, полученных со- гласно пунктам 7,8 и 9 предыдущего подраздела. При расчете перио- дических составляющих возмущений при первом приближении ис- пользуются в качестве параметров средней орбиты параметры оску- лирующей орбиты. 2. Рассчитываются кеплеровы параметры средней орбиты по форму- лам а = а-5а, i = i-8i, Q-Q-5Q, ecos а) = ё cos со-(Зе) cos со + (e8co)sin со, esinco = e sin со-(Зе)sin со-(еЗсо)cos со, Г ~2 ~( ; 77 е sin со e = J(ecosco) +lesinco] , co-arctg------, (5.47) v ecosco M = M + <o-8(co + M)-co. Истинная аномалия и аргумент широты рассчитываются после решения уравнения Кеплера Е = М + esinE, n esinE 19 = М + 2arctg----------и = 9 +со. l-ecosE + \]l-e2 3. Используя полученные средние параметры, повторно рассчитыва- ются периодические возмущения За, Зе, 3i, 8Q, еЗсо, 8(М + со) как
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 177 функции уточненных параметров средней орбиты. Расчеты повторя- ются до тех пор, пока разница между средними значениями средней аномалии, рассчитанными в двух последовательных приближениях, не станет меньше КГ11. Полученные после выполнения последнего приближения параметры a,e,z, Г2,а>,М принимаются в качестве параметров средней орбиты, которые используются при проведении последующих расчетов. 5.8 Вычисление параметров средней и оскулирующей орбиты на заданные моменты времени при наклонении орбиты, близком к критическим значениям i » 63,4°, или i » 116,6° В теории движения ИСЗ принято считать наклонения плоскости орбиты равные 63,4 и 116,6 градусов критическими. При этих накло- нениях скорость изменения аргумента перигея, обусловленная влия- нием несферичности Земли, обращается в ноль. В силу данного об- стоятельства долгопериодические составляющие возмущений пара- метров орбиты от зональных гармоник геопотенциала, не могут быть определены соотношениями, полученными ранее. При численном интегрировании системы дифференциальных уравнений проблема критических наклонений не возникает. Эта про- блема свойственная свойственна только аналитическому решению. Общий подход, который использован при получении аналитических решений, приводит к появлению в знаменателе соотношений для дол- гопериодических возмущений (5.32а) и (5.33а) сомножителя 1 2 D — = {d--J2n0(—)2T1~4(5cos2 i-1)]}-1. (5.48) da> 4 а Этот сомножитель при критическом наклонении орбиты при- нимает бесконечно большое значение, так как его знаменатель при- нимает значение близкое к нулю. Аналитическое решение в этом слу- чае может быть получено методами, развитыми в теории резонанса [12], [70]. Если ограничиться интервалами прогнозирования, в течение ко- торых аргумент перигея изменяется не более, чем на 1-2 градуса, то на этом интервале можно с определенной степенью точности считать аргумент перигея постоянным. Для этого интервала долгопериодиче- ские возмущения принимают форму квазивековых возмущений. По- этому решение системы дифференциальных уравнений (5.33) позво-
178 Уравнения движения искусственных спутников Земли ляет определить изменение долгопериодических возмущений пара- метров орбиты за время Л Т 3aDp=0, я Dp п0а2е дй) ДТ, 1 6Unr.n SiDn ------.--------cos i----- A T, n0a2\ll-e2 sini M2Dp =-----jJ—------ nga2-Jl-e2 sini di -------------------7Si SV‘D' 1ЛТ, (5.49) noa e de n0a41-e2 sini di 3MD dU<>Dp———^-]AT. п0а2е де noa da Допустимая продолжительность интервала прогнозирования с использованием соотношений (5.49) определяется по формуле АТ<0,02— = {— J2п0(—)2 rf4 ( 5 cos2 i-1)]f1. (5.50) со 2 a При расчёте периодических возмущений параметров орбиты следует исключить из их состава составляющие долгопериодических возмущений. Эти формулы приводятся в следующем подразделе. 5.9 Вычисление оскулирующих параметров орбиты на заданные моменты времени при интегрировании усредненных дифференциальных уравнений Исходными данными являются параметры средней орбиты Г, a, е, i, £2,6), М, получаемые в при численном интегрировании сис- темы усредненных дифференциальных уравнений (3.14). Путем решения уравнения Кеплера Е = М + esin Е в итераци- онном цикле определяются эксцентрическая аномалия М-Е^Е,,, (55|) 1 + е2 - 2е2 cos М 1 + ecos Ек_, истинная аномалия
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 179 р sin Е 9 = М + 2arctg--------------+ е sin Е 1-ecos Е + т) и аргумент широты и = <9 + О). Долгопериодические составляющие возмущений от зональных гармоник геопотенциала включены в уравнения (3.14) и учитываются в процессе численного интегрирования. Поэтому соотношения для периодических возмущений параметров орбиты не должны содер- жать долгопериодических составляющих. Соотношения (5.4) и (5.5) определяют периодические возмущения параметров орбиты от вто- рой, третьей и четвертой зональных гармоник и содержат долгопе- риодические и короткопериодические составляющие возмущений. Чтобы определить короткопериодические возмущения параметров орбиты из соотношений (5.4) и (5.5) исключим долгопериодические составляющие и получим соотношения, содержащие только коротко- периодические составляющие возмущений. Они в основном повто- ряют формулы (5.4) и (5.5) и имеют следующий вид 3 5 ^234 = Г2°{Ц a»j COS + X a2j COS(2(4+.)$) + j=0 j=-l a44 cos(4a> + 49) + a33 sin(3co + 39) + an sin(co+9)}, 3 5 S^234 = Г2{£ e«j COS + X e2j COS(2(& + + J=0 j=-l e43 cos(4a>+33) + e4S cos(4co + 53) + eI0sina>+ el2 sin((t> + 23) + e32 sin(3<n +23) + e34 sin(3a> + 43)}, з ^2з4 =У2{Чо + ^4hj cos(2(0 + + i44cos(4(o + 43) j=o (J.JZ) +iI0 sin a>+in sin(a> + 3) + i33 sin(3(0+33)}, 3 3£2234 =y2{hM(3-M) + h0Isin3 + ^ h2j sin( 2a>+j3) J=o +h44 sin(4a> + 43) + h10 cos co + hn cos(a> + 3) +h33 sin(За) + 3&)},
180 Уравнения движения искусственных спутников Земли 3 5 е85)234 =r2{g00(d-M) + Yl80J Sin Jd + Z S2j Sin(2(0 + J&) + pl J=~l g10 cos co + gI2 cos(a> + 29) + g32 cos(3a> + 29) + g34 cos(3a> + 49) +g43 sin(4 co+ 39) + g45 sin(4a> +59)}, з 8( a>+ M)234 = y2{ mm( &-M) + ^mOj sinj&+ pi 5 m2j sin(2 co 4- j9) +m44 sin(4 co+39) j=-i +m11 cos( co+9) + m10 cos co+m33 cos( 3co+39)}. Амплитуды периодических составляющих возмущений соот- ношений (5.52), определяются как функции от большой полуоси, экс- центриситета и наклонения по следующим формулам а00 = 71~6В0е2(2к1+3) + }-у2(7-20с2 +25с4), 10 aoi ~ Л В0е(6 + — в ), а02=гГ6ЗВ0е2, аоз ~~2^ В°е f —6 п 3 a2-i =~}Г1 Bfi , 4 _ 3 _6 2 а20 ~ 'J7? fye , a2i ^^Tj~6B!e(4 + e2), 4 а22 = Tf6B,(2 + Зе2 ) + 1у2В,[~24 + 36с2 + у4(5- 35с2)], 6 а23 ^^П'6В1е(4 + е2), 4 а24 Bie > =j^6BIe3, 4
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений ‘•,.=-^Г1В](24-35Г,)1 1о з аи =-^7273sini(5c2 -О, 11 п . азз = “у 7з7зВ1 smi, eoo~rl4Boe(kI+—), е01=^Г4В0(4 + е2) 4 +—у2[-20с2 + 116с4 + //-15 +150с2-175с4)], 64 3 4 г, е02=^П В0е> еоз = вое , 4 ез-1 =^0~4В1е2, О e20=~jetl В], 4 е21=^-11-4В1(4 + 11е2) О +—Г2[-45 +198с2-117с4 +у4 sin2 i(-10 + 70c2)], 64 е22 =^04В,е, е23=^-г1-4В1(28 + 17е2) 24 +—у2 [-83 + 258с2 -211с4 + у.В, (40 - 280с2)], 64 е24 =^04В1е, 4 181
182 Уравнения движения искусственных спутников Земли e2s — Л , О e43 = -—y2(-9 + 36c2 -27c4 -35y4 sin4 i), 128 e45 = ——y2(9 - 60c2 + 51c4 - 91y4 sin4 i), 128 eio = 5 e/2 =~^У2Узsin i(~3 + 8c2), e32=~^Y2Y3sini(l + 2c2)> 13 . 3. e34=—77/2/3^ b 10 iOo = У2 (~Н4 + 91с2) sin 2i, ho = • 3 _4 . .. i2i-~rl esin2i, 8 3 _ 1 i22 =~^П 4 s^n3i + ~^Уз[~95™2 * + /Л3-35с2)]sin2i, • 1 -4 • i23= — ri esin2i, 8 i44 = —— y2 [-24 + 15c2 - 35y4 sin2 i] sin 2i, 128 ho = j in =-Г2Гзс(-1 + Зс2), 4 i33 =^Г2/зс(-1 + с2), 4 , 3 hM=-~n с,
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 183 hoi=-^ се> h20 = О, ^,=-7 се> 3 _ 1 h22-—r)~4c +—у2с[9sin2 i + y4( 20-35с2)], U 1 -4 h23=~0 h44 - —у2с[-24 + 6с2 - 35у4 sin2 i], 64 fyo = 3 с hu = — Y2Y3(19csini +—(5-21c2))> 32 sin i h33=-Y2Y^m2i, О Soo =^0~4е(5с2-1), 4 g01=2-04[16B0+(-3 + 17c2)e2] 10 +Y2~.[~20с2 + 116с4 +у4(-15 + 150с2-175с4 )], 64 S02 =^О~4еВ0, 8оз ^^~4е2В0, 4 S2-i=~04e2B„ О S2o=~04eB„ 4
184 Уравнения движения искусственных спутников Земли g2I =^~4[~16В> +(21~45с2)е2] +-у2[45-198с2 + 117с4 +у4(10-80с2 + 70с4)], 64 g22 =^тГ4е(3-5с2), О 823 "12^ 4[28sin2 i + (11~19c2)е'] +-у2[-83 +258с2-211с4 + у4(30-240с2 + 210с4)], 64 g24 =^4Б1е, 4 S25 =^О4е2В„ g43 9 ~27С2 + 55^ Sin2 g43 = r>B>( 9~51с2~ 91Y4si”2 i)> VO g10=°> gi2 = 77 Y2Y3sin i(3 ~ 8c2 )• 10 g32=-l- y2y3 sin i( 1 + 2c2), 10 13 . 3. g34=-r7Y2Y3sin h 16 moo=^f4(5c2 -1)> 4 m0‘ =^T4e[-3 + 17c2 +B0(-12?i + 16k!)], 10 3 2 1 m02^^0 B0? -Г—’ 2 1 + T]
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 185 тоз=^П~4Вое3-^—, 4 7 + 7 т2 j = -—rf4В,е3 — 24 8 7 + 7 3 -4ji е т2<>^-~г1 В1-Г~~’ 4 7 + 7 т2/ = —Tf4e[sin2 i(9ri~4kI) + 7 - 15с2], т22 =^т]~4(3-5с2 ) О +5_у2 [-21 - 78с2 + 99 с4 + у4 (35 - 360с2 + 385с4)], т23 =-^rf4e[sin2 i(-27T] + 28k.I) + ll-19c2], т24 =^~4Bie2T—' 4 1 + Т] 1 -4п з 1 т2. = —Г! В.е ---, 25 8 1 1 1 + 7J т44 =—у2[-96 +324с2-156с4 +у4(-245 + 630с2-385с4)], 256 т,о=О, ти=^^/з lsin 413- 84 с2 )-5— + 21—], 52 sin i sin i m33=-^Y2Y3sini(47-71c2), (5.53) где к, = Т] + (1+ ri)~3, 7 = л/7-е2, п0 = А — - среднее движение спутника, V а
186 Уравнения движения искусственных спутников Земли Y4=^,B0=-(3c2-l), В,=-(1-с2), J2 4 4 с =cosi. По этим формулам рассчитываются периодические возмущения За234, 8ё234,6i234 , 8П234 , e8cb234 , 8(cb+M )234 , обусловленные влия- нием второй, третьей и четвертой зональных гармоник. По формулам (5.11) рассчитывают периодические возмущения параметров орбиты, обусловленные влиянием совокупности всех гармоник геопотенциала 8а^ , 8е^ , 8i^ , еЗсо^ , 8(М + со)^ } nmpq 2 ,птРЧ / nmpq, / .птРЧ / ,птРЧ / nmpq По формулам (5.20) рассчитывают периодические возмущения За^, 8emd, 8imd, 8f2md, e8comd, 8( M + co)md для выбранных значений m и d. В формулах не учитываются долгопериодические составляю- щие возмущений от зональных гармоник геопотенциала и возмуще- ния от резонансных гармоник, влияние которых учитывается в диф- ференциальных уравнениях (3.14). По формулам (5.38) рассчитывают короткопериодические воз- мущения^а^, eSa)^, dfM + co)^, обуслов- ленные влиянием сопротивления атмосферы, гравитационного при- тяжения Луны и Солнца, Лунно-Солнечных приливов в земной коре и световым давлением. С учетом полученных короткопериодических составляющих возмущений рассчитываются кеплеровы параметры оскулирующей орбиты а=а + 3а, i =i + 8i, Q = Q + 8£2, ё cos со = е cos со + ( Зе) cos со-(е8со) sin со, ёsinco = esinco + (8e)sinсо + (еЗсо)cos co, ё = yfacosa)2 4- (ё sin со)2, (5.54) _ ё sin со со - arctg —--—, _ е cos со М = М + со+8(со+ М)-со. Здесь чертой сверху обозначены параметры, относящиеся к ос- кулирующей орбите, За, Зе, 8i, 8f2, еЗсо, 8(М + со) — короткопе- риодические возмущения параметров орбиты, которые представляют
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 187 сумму всех ранее рассчитанных периодических составляющих воз- мущений. Решается уравнение Кеплера Е = М + ё sin Е в итерационной процедуре - М + ёsinМ г М-Ek_1+esinEk_1 l + e2-2e2cosM 1+ecosE^, и определяются истинная аномалия, аргумент широты, радиус вектор и гринвичская долгота восходящего узла, относящиеся к оскулирую- щей орбите - — . ё sin Е _ . — 9 = м + 2arctg ——----=—— + е sin Е, 1-е cosE + tj и =9 + 00,7 = а( 1 - ё cos Е),rj = Jl-ё2, L=f2-S*0-eoz(T0+AT-10800). Рассчитываются направляющие косинусы и параметры орбиты в гринвичской экваториальной системе координат /х - cos cocos L-sin eosin L cosi, /}х= -sin cocos L-cos eosin L cosi, Yy = cos 0)sinL +sin cocos L cos i, /3y = cos cocos L cosi - sin co sin L, Yz = sin eosin i, (3Z = cos eosin i (5.55) х = Г(ул cos9 + sin9), vx flx(e+cos9) — Y„sin9] + <ozy, y = r(Yycos9+ Py sin 9), vy = fty (e+cos9)- Yy sin 9] - a>zx, z = 7(yz cos 9 + Pz sin 9),vz = rj~‘+ cos9)~YZ sin&] На этом заканчивается расчет параметров орбиты на заданный момент времени. Заметим, что в большинстве случаев при расчете оскулирующих параметров орбиты достаточно учитывать периодиче- ские возмущения от геопотенциала или только от зональных гармо- ник второй, третьей и четвертой степени. В этом случае при расчете Sa, Зе, Si, 8Е2, eSco, S(M + co) используют только соотношения (5.52) и (5.53).
188__________Уравнения движения искусственных спутников Земли 5.10 Преобразование параметров оскулирующей орбиты в пара- метры средней орбиты Преобразование оскулирующих кеплеровых параметров орби- ты в кеплеровы параметры средней орбиты является обратным по от- ношению к расчету оскулирующих параметров. Это преобразование выполняют в тех случаях, когда требуется узнать параметры средней орбиты или определить начальные условия для интегрирования сис- темы усредненных дифференциальных уравнений. Исходными данными для расчета параметров средней орбиты являются параметры оскулирующей орбиты a,e,i,Q со,М. Преоб- разование этих параметров в параметры средней орбиты осуществля- ется методом последовательных приближений в следующей последо- вательности: Рассчитываются короткопериодические составляющие возму- щений За, Зе, 8i, 8Q, еЗсо, 8(М + со) параметров орбиты, которые представляют сумму всех составляющих учитываемых возмущающих факторов. При расчете короткопериодических составляющих возму- щений используются формулы, в которых исключены долгопериоди- ческие возмущения. В качестве исходных данных - средних парамет- ров орбиты используются параметры оскулирующей орбиты. В по- следующих приближениях в качестве исходных данных используют- ся параметры средней орбиты, полученные в предыдущем приближе- нии. После расчета периодических составляющих возмущений опре- деляют кеплеровы параметры средней орбиты. а = а-8а, i = i -8i, Q-C2-8Q, ecos <о = ё cos сд-( Зе)cos о + ( e8co)sin со, esin со = ё sincd-(Зе) sin со-( e8co)cos со, Г ~2 ' ; 7? еsin со сгч e = J(ecosco) +(esin<o} , co = arctg---, (5.56) v ecosco M = M + co-5(co + M)-co. Истинная аномалия и аргумент широты средней орбиты рассчи- тываются после решения уравнения Кеплера Е = М + esinE. Полученные параметры средней орбиты уточняются в после- дующих итерациях. Уточненные периодические составляющие воз- мущений За, Зе, 8i, 8Q, еЗсо, 8(М + со) рассчитывают как функ- ции уточненных параметров средней орбиты. Сближения повторяют-
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 189 ся. Расчет параметров средней орбиты заканчивается, если в двух по- следовательных итерациях разница между средними значениями средней аномалии не превысит 1011. Полученные в последней итера- ции параметры a,e,i,Q,co,M принимают в качестве параметров средней орбиты.
190 Уравнения движения искусственных спутников Земли Раздел 6 Редукционные вычисления, координаты Луны и Солнца 6.1. Соотношения между системами экваториальных координат Экваториальными системами координат называют прямоуголь- ные системы координат, с началом в центре масс Земли. Основная плоскость OXY совпадает с плоскостью экватора а, ось OZ перпен- дикулярна к плоскости экватора и направлена к северному полюсу. Уравнения движения ИСЗ описывают изменение орбитальных параметров в экваториальной системе координат. Вследствие враще- ния Земли вокруг центра масс плоскость экватора непрерывно изме- няет положение в пространстве. Положение экваториальной плоско- сти определяется угловыми параметрами прецессии и нутации. В ка- ждый момент времени они определяют текущее истинное положение экватора. На рис. 8. показаны отклонения в положении ИСЗ, обусловлен- ные движением истинного экватора Земли в пространстве на интер- вале в 30 суток. Результаты приведены для двух спутников. Один спутник находится на близкой к поверхности Земли орбите, другой спутник находится на геостационарной орбите. Для спутника на низкой орбите наибольшие отклонения в конце 30 суток полета составляют около 300м. Для спутника, находящегося на геостационарной орбите наибольшие отклонения в конце 30 суток полёта составляют примерно 700м. Эти отклонения обусловлены из- менением положения плоскости экватора в пространстве за время по- лета спутника. Отклонения по величине сопоставимы с отклонения- ми, обусловленными погрешностями определения орбиты, и с откло-
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 191 нениями, обусловленными неопределенностью в знании возмущаю- щих факторов, действующих на движение реальных ИСЗ. Параметры низкой орбиты 20.06.2006 а ,км 6854.6619 /2,грд 52.24916 е 0.01731653 й?,грд 122.46706 69.9500312 <9,грд 237,53294 Параметры геостационарной орбиты 01.10.2005 67,км 42164.379 /2,грд 166.61746 е 0.00030183 (У,грд 60.27593 0.7802185 <9,грд 299,72407 Такие погрешности в ряде случаев могут исказить результаты анализа воздействия отдельных возмущающих факторов на движение ИСЗ, привести к недопустимым ошибкам в привязке наземных изме- рительных средств и иных объектов. Поэтому в уравнениях движения ИСЗ учитывают движение экваториальной плоскости в пространстве. Наиболее строго учитывается движение плоскости экватора, если рас- сматривать движение ИСЗ в инерциальной системе координат. В этой системе координат экваториальная плоскость фиксируется в некото- рый, заранее определенный момент времени. Обычно в качестве не- подвижного экватора используют средний экватор эпохи 2000 года. Плоскости истинного экватора Земли и фиксированного эква- тора инерциальной системы координат не совпадают между собой. С течением времени плоскость истинного экватора изменяет свое по- ложение в пространстве, поэтому взаимное положение плоскостей непрерывно изменяется. Это изменение взаимного положения плоскостей учитывают при расчете геоцентрических координат ИСЗ отнесённых к истинно- му экватору.
Рис. 8 Отклонения в положении спутника, вызванные движением плоскости экватора Земли Уравнения движения искусственных спутников Земли
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 193 Связь между экваториальной системой координат, отнесенной к эпохе 2000 года (OXYZ )(Э), и системой экваториальных координат OXYZ, отнесенных к истинному экватору, определяется следующи- ми формулами х 'х(Э>' Vx у У X < Y > = N Р < 1 ’ nt рг у(Э) > < 9 VY > = N Р < и/ рг у(э) yY (6.1) Z z<3> ы у О) у Z Обратное преобразование выполняется по формулам (6.2) Здесь Ррг и Nnt - матрицы прецессии и нутации. Элементы этих матриц определяются соотношениями, публикуемыми в Астрономи- ческих ежегодниках [4], [64]. В подразделе 6.2 приводятся полные формулы расчета элементов матрицы прецессии и усеченные форму- лы расчета параметров матрицы нутации. В формулах для параметров нутации отброшены гармонические слагаемые, амплитуда которых не превышает 0,005 секунды дуги. Исключение этих слагаемых не при- водит к погрешностям расчета координат спутника, превышающим одного метра при прогнозе на шесть месяцев. В случае необходимо- сти более строгого учета параметров нутации можно воспользоваться таблицами, публикуемыми в Астрономическом ежегоднике. В силу малости отклонений, обусловленных движением плос- кости экватора Земли, часто движение ИСЗ описывают в системе ко- ординат связанной с истинным экватором, положение которого фик- сируют в начальную дату. В дальнейшем считают, что плоскость эк- ватора остается неподвижной в течение интервала прогнозирования. Погрешности, которые появляются в этом случае, показаны на рис. 8. Чтобы уменьшить эти погрешности в уравнениях, описывающих дви- жение спутника в экваториальной системе координат, вводят допол- нительные слагаемые, посредством которых учитывают соответст- вующие изменения орбитальных параметров. Эти дополнительные слагаемые учитывают изменение наклонения плоскости орбиты, из- менение долготы восходящего узла и аргумента перигея. В работах [88], [89] получены выражения, определяющие ско- рости изменения наклонения плоскости орбиты к плоскости истинно- го экватора, долготы восходящего узла и аргумента перигея орби-
194 Уравнения движения искусственных спутников Земли di d£2 da) ты —,----,--, обусловленные прецессионными и нутационными dt dt dt смещениями истинного экватора и точки весеннего равноденствия. Эти скорости определяются по формулам ^- = -^—( Acos £2- В sin£2), dt sin i d£2 .do 1 / . dy/ = -cosi — +—( Avcosa-Bvsina) + —!—cos£J, (6.3) dt----------------------------------------------------dt 2 dt di — -(В cos £2- A sin £2), dt где A = 0,9175siny/ + 0,3979cos у/, dt dt В = -(0,1583 + 0,8418cosp)^ + 0,3651^ sin ecosa-0,3651(l-cosy/)-(£I-E0), Osina = (0,3979 + ei -s0)sin\p, 50”,2564t____ 365.25* 86400* 3600* 180 z ,__________________________0", 468367381 (£!-£п) = 7Г-----------------------+ Ле. 1 0 365.25*86400*3600*180 Здесь t - время в секундах от начальной даты. Редукционные dy/ de величины ---,—,Лу/,Ле рассчитываются по формулам для пре- dt dt цессии и нутации. Они приводятся в подразделе 6.2. Формулы (6.3) несколько отличаются от формул, представлен- ных в работе [88]. В формулу скорости изменения долготы восходя- dy/ „ щего узла введено дополнительное слагаемое -cose^ С учетом dt этого слагаемого текущая долгота восходящего узла, получаемая при интегрировании системы дифференциальных уравнений, будет от- считываться от точки весеннего равноденствия, вдоль истинного эк- ватора. Такой подход ближе соответствует алгоритмам, принятым при расчете текущего положения ИСЗ.. Если для описания движения ИСЗ используется система диффе- ренциальных уравнений (3.1) и (3.14) в кеплеровых параметрах орби- ты, то составляющие (6.3) для скорости изменения наклонения плос-
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 195 кости орбиты, долготы восходящего узла и аргумента перигея допол- няют соответствующие уравнения системы. Если для описания движения ИСЗ используется система диффе- ренциальных уравнений в неособенных переменных (3.4), то состав- ляющие (6.3) используются посредством формул (3.4а), определяю- щих поправки к соответствующим дифференциальным уравнениям в неособенных орбитальных параметрах. Если для описания движения ИСЗ используется система диффе- ренциальных уравнений в параметрах геоцентрической экваториаль- ной системы координат (3.9) и (3.11), то составляющие (6.3) исполь- зуются посредством формул (2.62), определяющих поправки к каж- дому уравнению системы. Использование соотношений (6.3) в уравнениях движения по- зволяет в каждый момент времени определять текущее положение ИСЗ в системе экваториальных координат, связанных с истинным экватором. На рис. 9 показаны отклонения в движении ИСЗ получаемые при использовании соотношений (6.3) для учета влияния прецессии и нутации Земли. Результаты приведены для тех же двух спутников. Для спутника на низкой к Земле орбите наибольшие отклонения в конце 30 суток полета составили менее 30 см. Для спутника, находящегося на геостационарной орбите наи- большие отклонения в конце 30 суток полёта составляют около 80см. Отклонения примерно на два-три порядка меньше, отклонений, пока- занных на рис. 8 для случая, когда положение экватора фиксируют в начальную дату, полагая, что с течением времени плоскость экватора остается неподвижной В уравнениях движения используют иногда системы экватори- альных координат, связанные со средним экватором даты. Средний экватор даты изменяет с течением времени своё поло- жение в пространстве вследствие прецессионного движения. Текущее положение среднего экватора определяется углами прецессии [54]. Если дифференциальные уравнения описывают движение ИСЗ в системе экваториальных координат, связанных со средним эквато- ром даты, то формулы учета движения экватора становятся более простыми и учитывают только влияние прецессии. В этом случае скорости изменения аргумента перигея, долготы восходящего узла и наклонения определяются по формулам, полученным из соотношений (6.9) работы [54]
Рис. 9. Отклонения в положении спутника относительно истинного экватора при учете прецессии и нутации Земли в уравнениях движения ИСЗ. Уравнения движения искусственных спутников Земли
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 197 <3<УПГ 7 —— = пт--------cos £2, dt р sin i cosi _ ----— = m„,~ n„„------cos 12, dt p p sjni dzn, —— = -n„rsin£2, dt pr (6.4) где через mpr = 7,080106103* IO42c~', и npr = 3,079819204* 10~12c' обозначены годичные прецессии по прямому восхождению и склоне- нию. Связь между экваториальной системой координат, отнесенной к среднему экватору даты (OXYZ )(Д), и системой экваториальных ко- ординат OXYZ, отнесенных к истинному экватору, осуществляется посредством формул Ш [х<д>~ у(Д> 7(Д> Vx Уу Ы \ = N»A \v У X у(Д) yY у(Д) У Z (6.5) Z Обратное преобразование выполняется по формулам у(Д) г(Д) v у х у(Д) У(Д) у z I (6.6) На рисунке 10. показаны отклонения, обусловленные использо- ванием дифференциальных уравнений, описывающих движение ИСЗ в системе экваториальных координат, связанных со средним эквато- ром даты. Результаты приведены для тех же двух спутников. Для спутника на низкой орбите наибольшие отклонения в кон- це 30-х суток полета составляют 8м. Для спутника, находящегося на геостационарной орбите, наибольшие отклонения в конце 30-х суток полёта составляют около 10м. Отклонения примерно на два порядка меньше, чем отклонения, показанные на рис. 8, когда положение эк- ватора фиксируется в начальную дату и остаётся неподвижным с те- чением всего времени прогнозирования.
Рис. 10 Отклонения в положении спутника относительно истинного экватора при учете прецессии Земли в уравнениях движения ИСЗ. Уравнения движения искусственных спутников Земли
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 199 6.2. Матрицы прецессии и нутации Матрица прецессии определяет преобразование системы коор- динат, связанной со средним экватором в эпоху 7}, к системе коор- динат, связанной со средним экватором в эпоху Т2. Матрица прецес- сии Ррг9 записывается в следующем виде ^-sin^sinz+oas^GOSZoosO -oos^sinz-sm^ooszoosd -ooszsinf? sin^ocsz+ocs^sinzocsO ^cos^smO ais^oosz-sin^sinzoosO -sinzsind -sm^sinO asO (6.7) Если в качестве фундаментальной эпохи То принять эпоху 2000 года, то угловые параметры, являющиеся аргументами тригономет- рических функций и составляющие элементы матрицы прецессии, определяются формулами < = (2306”, 2181 + 1”, 39656Т - 0”, 000139Т2 )t + (0я ,30188-0” .00344Т )12 +0”,01799813, z = (2306”, 2181 +1”, 39656Т - 0”, 000139Т2 )t + (Г,09468 + 0”,000066Т )t2+ 0”,018203t3, ( ’ } в = (2004”, 3109 - 0”,85330Т - 0”,0002177Т2 )t - (0”, 42665 + 0”, 0002177Т)t2 - 0”, 041833t3, где Т - т,-т0 36525 ’ 36525 То = J2000 = JD2451545,0 - в юлианских столетиях. Если осуществляется преобразование системы экваториальных координат фундаментальной эпохи 2000 года, к системе координат среднего экватора даты Т2, то в этом случае 7\ = То, а Т2 соответст- вует среднему равноденствию и экватору даты. Матрица нутации Nnt определяет преобразование системы ко- ординат, связанной со средним экватором даты к системе координат, связанной с истинным экватором даты. Матрицы нутации имеют сле- дующий вид N,2 Nn,= n2I к» n23 N33) (6.9)
200___________Уравнения движения искусственных спутников Земли Элементы матрицы нутации определяются формулами Nn = cos Л у/, NI2 = - sin А у/ cos £, NI3 = - sin А у/ sin £, N21 - sin А у/ COS £, N22 = cos А у/ COS £ cos(£ + Ac) + sin £ sin(£ + Ac), N23 = cos А у/ COS £ cos(£ + A£)~ sin £ sin(£ + A£), (6.10) N3l = sin А у/ sin £, N32 = cos А у/ sin £ cos(£ + Ac)- cos £ sin(£ + As), N33 = cos А у/ sin £ sin(£ + A£) + COS £ cos(£ + A£). В силу малости угловых параметров А у/, Ас можно принять sin Ду/ - Ду/, cos Ду/ = 7, и sin Дс = Дс, cos Дс = 1 .В этом случае матрицу нутации можно записать в следующем виде Nn, Q -Al//COSE Al//COSE 1 ^Ai/zsins As -Ai// sin e' -Ae 1 (6.П) Параметры нутации Ai//,e,Ae рассчитываются по следующим формулам As" = [9,2100 cos OL + 0,5522 cos(2QL +2F-2D) -0,0904 cos(2Ql )+0,0884cos(20L + 2F) +0,0216 cos(2F2l + l + 2F-2D)+0,0183 cos(QL +2F) (6.12) +0,0113cos(2F2L + M + 2F)-0,0093cos(2Ql-1 + 2F-2D) -0,0066cos(F2L + 2F-2D)-0,005cos(2QL -M+2F)], Ai//" = -17,322 7 sin £2L + 0,2088 sin 2OL -1,2729 sin(2F2L+2F-2D) + 0,1261sinl -0,0497 sin( 20L +1+2F-2D) +0,0214 sin(2OL -1 + 2F-2D) -0,2037 sin(2OL+2F ) + 0,0675 sinM (6.13) -0,0342 sin(OL +2F)-0,0261 sin( 2 OL +M + 2F) -0,0149 sin(M - 2D)+ 0,0114 sin(2OL- M + 2F) +0,0124 sin( ОL + 2F-2D) + 0,006 sin( 2D ) +0,0058 sin( OL + M ) — 0,0057 sinf OL-M ). В формулах (6.12) и (6.13) параметры нутации Ai//,Ae изме- ряются в секундах дуги. Угол наклона среднего экватора к плоскости эклиптики определяется в градусах по формуле е0 = {23, 452294-0, OO35626(t-to)-O, 000000123( IO 4(t-t0))2}. Угол£ = £0 + Д£ определяет наклон плоскости истинного экватора к плоскости эклиптики t-t0 - время в сутках от 0,5 января 1900 года.
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 201 Угловые параметры, входящие в качестве аргументов в триго- нометрические функции формул (6.12) и (6.13) измеряются в градусах и определяются по формулам М° = {296, 104608 + 13, 0649924465(t-t0)+0, 0006889( 104(t-t0))2}, 1° = {358, 475833+ 0, 985600267(t-t0) - 0, 0000112( 10'4(t-t0))2}, F° = {11, 250889+13, 229350449(t-t0)-0, 0002407( IO'4 (t-t0))2}, D° = {350, 737486+12, 1907491914(t-t0)-0, 0001076( 10'4 (t-t0))2}, Г0 = {281, 220833+0, OOOO47O684(t-to)+O, 000033( 10'4 (t-t0))2}, = {259,183275 - 0,052953922199(t -t0) „ 14) +l,557466264328[(t-t0)10~6 ]2 +O,O456OO896[(t-to)lO-6 ]3}. Скорость изменения параметров нутации определяется по сле- дующим формулам. — =-------------[9,21000, sinO, dt 180^3600 +0, 5522(2OL + 2F-2D )sin(2OL +2F-2D) -0,0904(2OL ) cos(20L )+0, 0884(2Ol +2F) sin(2OL +2F) +0,0216(20L +1+2F-2D )sin(2OL +1+2F-2D) +0,0183(0L + 2F )sin(OL +2F) +0, 0113(2OL+M + 2F) sin(2OL + M + 2F) -0,0093(2OL -1+2F-2D)sin(2OL -I+ 2F-2D) -0,0066(0L +2F- 2D)sin(OL +2F-2D) -0,005(20l -M + 2F)sin(2OL -M + 2F)]. (6.15) dt = 180 3600 ^~17’3227(^L)cosnL +0,2088(2Ol)cos(2Ol) -1,2 729(2Ol +2F-2D) cos(2OL +2F - 2D)+0,1261(1) cos(l) -0,0497(2Ql +1 + 2F- 2D )cos(20L + 1 + 2F-2D) +0,0214(2Ol -1 + 2F-2D)cos(2QL -I+ 2F-2D) -0,203 7(2Ql +2F) cos(2QL +2F) + 0,0675(M ) cos(M ) -0,0342( ОL +2F) cos(Ql +2F) -0,0261(2OL +M + 2F) cos(20L +M + 2F) (6.16) -0,0149(M -2D )cos(M- 2D)
202__________Уравнения движения искусственных спутников Земли +0,0114(2Ql -M + 2F)cos(2£2L -M + 2F) +0,0124(<2L + 2F-2D)cos(Ql +2F-2D) + 0,006(2D)cos(2D) +0,0058( ЯL +M)cos(Ql + M)~ 0,0057(QL -M)cos(QL-M)}. В формулах (6.15) и (6.16) используются следующие значения для скорости изменения угловых параметров: Д = -1,06969918478 х 10~8, F = 2,672368685177 х 10~6, D = 2,462584951557 х 10'6, М = 2,639304608332 х 10~6, 1 = 1,990803450128* 10~\ Формулы для параметров нутации Ду/, Де , содержащие гармо- нические составляющие с амплитудой менее 0,005 секунды дуги, представлены в [64]. 6.3 Звездное время (6.17) Текущее истинное звездное время рассчитывается по формулам S’ = S*o + d)z (t - Е(——)). 86400 Время t - начало отсчета, a>z =7,29211585530657Е-5 - угло- вая скорость вращения Земли. Истинное звездное время S*o в ноль часов всемирного времени даты публикуется в Астрономическом Ежегоднике. Его можно рас- считать по формулам: £=—(100,460618375 + 36000,7700536083Т+0,00387933333ЗТ2 180' (6.18) -0,0000000258333Т3)+ Ду/cos г-^Ду/Де sin е, где Т интервал времени, отсчитываемый от эпохи 1900 года, 0,5 ян- варя и измеряемый в юлианских столетиях, содержащих 36525 эфе- меридных суток. Интервал времени Т можно рассчитывать по следующему ал- горитму JD - 2415020,0 + Е(——) ___________ 86400 36525 JD = Е(365,25 х g)+Е(30,6001 х(т + 1)) + 1720994,5+ G, (6.19)
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 203 g - год текущей даты и тп - месяц текущей даты. Если т > 2 , то g=g-l ит=т+12, Е(—) G = 2-E(^-) + E(— 100 4 Е - обозначает целую часть от числа, заключенного в скобки, JD - число юлианских дней для текущей даты. 6.4 Формулы вычислений координат Луны и Солнца Координаты Луны и Солнца приводятся в Астрономическом ежегоднике. Использование этих данных требует частого обращения к Ежегоднику. Можно непосредственно использовать аналитическую теорию движения Луны Хилла-Брауна и аналитическую теорию дви- жения Солнца Ньюкома, как принято в работе [96] при получении решения, определяющего возмущения в движении ИСЗ, обусловлен- ные гравитационным притяжением Луны и Солнца. Приведем соотношения, определяющие координаты центра масс Луны и Солнца, используемые в [96]. Использование этих соот- ношений позволяет рассчитывать расстояние от центра масс Земли до центра масс Луны и Солнца с максимальной относительной погреш- ностью 0,00006 и направление с погрешностью 0,005 градуса. Такая точность достаточна для расчета возмущений ИСЗ на орбитах с высо- тами до 50000км.. В соответствие с формулами, приведенными в [96] направляю- щие косинусы положения центра масс Луны в геоцентрической сис- теме координат, отнесенные к истинному экватору, рассчитываются по формулам y1L = cos AL cos p, y2L = sin Al cos P cos £ - sin P sin £, (6.20) Y3L - sin P cos £ 4- sin Al cos P sin £, где Al - истинная долгота Луны, измеряемая в плоскости эклиптики, Р - превышение Луны над плоскостью эклиптики. Угловые параметры М, I, F, D, Г рассчитываются по формулам (6.14) предыдущего подраздела:
204__________Уравнения движения искусственных спутников Земли cosAL =cos(l + D + T )cosSA-sin(l + D +F)sinSA, sin AL= sin(l + D +F) cos SA + cos(I+ D + Г) sin SA, sinSA = SA-—(SA)3, I , (6-21) cos SA = 1~(SA )2 +-^(M )4, sinft^p—fl3, cosp = l~p2. Значения SA, P и — рассчитываются по формулам rL 45 SA = 10-s^Aj sin( к” M + kjl + kF F + к13 D), j=‘ P = 10-^Bj sin(k™M + kljl + kFjF + k»D), (6.22) j=i a 37 2l = 10-5^ Rj cos(k™M + k‘jl + kFF + kfD). rL j=l Значения амплитуд Л. и множителей для угловых параметров при расчете ЗЛ Таблица 6 J Амплитуды Множитель углового параметра 4 *7 V 1 -61 0 0 0 1 2 7 0 0 0 4 3 -200 0 0 2 0 4 -80 0 1 0 -2 5 9 0 1 0 1 6 -4 0 2 0 -2 7 1 1 -2 0 -2 8 14 1 -1 0 -2 9 7 1 -1 0 2 10 19 1 0 -2 0 11 -19 1 0 0 -4
5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений 205 Амплитуды Множитель углового параметра 12 -2224 1 0 0 -2 13 10976 1 0 0 0 14 93 1 0 0 2 15 -2 1 1 0 -4 16 -53 1 1 0 0 17 -4 1 2 0 -2 18 5 2 -1 0 0 19 -103 2 0 0 -2 20 7 2 0 0 2 21 -1 2 1 0 -4 22 -4 2 1 0 0 23 17 3 0 0 0 24 1149 0 0 0 2 25 -27 0 0 2 -2 26 -3 0 0 2 2 27 -324 0 1 0 0 28 -12 0 1 0 2 29 -4 0 2 0 0 30 1 1 -2 0 0 31 72 1 -1 0 0 32 4 1 0 -2 -2 33 -3 1 0 -2 2 34 2 1 0 0 -3 35 9 1 0 0 -1 36 -4 1 0 0 1 37 -22 1 0 2 0 38 -100 1 1 0 -2 39 -1 1 1 0 2 40 -1 2 -1 0 -2 41 -15 2 0 0 -4 42 373 2 0 0 0 43 -2 2 0 2 0 44 -4 2 1 0 -2 45 -6 3 0 0 -2
206___________Уравнения движения искусственных спутников Земли Значения амплитуд В}. и множителей угловых параметров в формулах для J3 Таблица 7. J Амплитуды Множитель углового па раметра kJ *; 1 -2 .0 0 1 -4 2 2 0 0 1 -1 3 3 0 0 1 1 4 -1 0 0 3 -2 5 -4 0 1 -1 -2 6 -6 0 1 -1 2 7 -3 0 1 1 0 8 3 1 -1 1 0 9 -1 1 0 -1 -4 10 485 1 0 -1 0 11 -3 1 0 1 -4 12 490 1 0 1 0 13 -4 1 1 -1 -2 14 -4 1 1 1 -2 15 -1 2 0 -1 -4 16 -7 2 0 1 -2 17 2 3 0 1 0 18 -302 0 0 1 -2 19 8950 0 0 1 0 20 57 0 0 1 2 21 -3 0 0 3 0 22 -2 0 1 -1 0 23 -14 0 1 1 -2 24 3 1 -1 -1 0 25 1 1 0 -3 0 26 -97 1 0 -1 -2 27 16 1 0 -1 2 28 -81 1 0 1 -2 29 7 1 0 1 2 30 -2 1 1 -1 0 31 -3 1 1 1 0 32 15 2 0 -1 0 33 30 2 0 1 0
207 5 Аналитическое решение дифференциальных уравнений Значения амплитуд и множителей для угловых aL параметров при расчете —- Таблица 8. J Амплитуды Множитель углового параметра RJ kJ *; 1 100 000 0 0 0 0 2 825 0 0 0 2 3 -3 0 0 2 -2 4 -12 0 1 0 0 5 -9 0 1 0 2 6 -7 1 -1 0 -2 7 7 1 -1 0 2 8 -1 1 0 -2 2 9 -1 1 0 0 -3 10 5450 1 0 0 0 11 90 1 0 0 2 12 -2 1 0 2 -2 13 42 1 1 0 -2 14 -1 1 1 0 2 15 4 2 -1 0 0 16 -9 2 0 0 -2 17 8 2 0 0 2 18 -3 3 0 0 -2 19 1 4 0 0 0 20 -29 0 0 0 1 21 8 0 0 0 4 22 56 0 1 0 -2 ' 23 4 0 1 0 1 24 3 0 2 0 -2 25 34 1 -1 0 0 26 -21 1 0 -2 0 27 18 1 0 0 -4 28 1002 1 0 0 -2 29 -3 1 0 0 1 30 1 1 0 0 4 31 2 1 1 0 -4 32 -28 1 1 0 0 33 1 1 2 0 -2 34 11 2 0 0 -4 35 297 2 0 0 0 36 -3 2 1 0 0 37 18 3 0 0 0
208 Уравнения движения искусственных спутников Земли Положение центра масс Луны определяется по формулам XL =—aL, Yl =—aL, ZL =—aL, aL = 384393 km. (6.23) aL aL aL rL rL rL Положение центра масс Солнца в геоцентрической системе ко- ординат, отнесенное к истинному экватору, рассчитывается по фор- мулам А"с = rc cos Лс, Yc =rc sin Лс cos £, (6.24) Zc = rc sin Лс sin e, где sin Лс = 10-5 {99972 sin(l+I)+ (1674-4,2T) sin(2l+I)+32 sin(3l+I)+ sin(4l+r)+2 sin( l+D+F)+(4,2T-1675)sin(Г)-4 sin (Г-1)- 2 sin(r+l-D)+4sin(F-D)-4sin(2l -F+D+2F)}, cos Лс=10-5{99972 cos (1+Г)+(1674-4,2Т) cos(2l+F)+32 cos(3l+F)+ cos(4l+F)+2 cos(l+D+r)+(4,2T-1675)cos(r)-4 cos (Г-1)- 2 cos(T+l-D)+4cos(F-D)-4cos(2l -F+D+2I)}, (-^)3 = 10-5{100042-0,2T-cos( D )+ (5027-12,5T)cos( I) + rc (126-0,63T)cos(21 )+3cos (31)}, ac ac = 149597870, T = . c 36525
Заключение 209 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Рассмотрены уравнения движения ИСЗ, применяемые в космических технологиях. Особое внимание уделено представ- лению конечных соотношений, необходимых для разработки конкретных программных комплексов, использующих данные о движении ИСЗ. Приведены соотношения, описывающие невозмущенное движение ИСЗ. Эти соотношения достаточно полно представ- ляют рациональные варианты, связанные с расчетом парамет- ров оскулирующей орбиты, положения и скорости движения ИСЗ. Системы дифференциальных уравнений Лагранжа и урав- нений Эйлера описывают возмущённое движение ИСЗ. Уравне- ния для аргумента перигея и средней аномалии в этих системах уравнений содержат в знаменателе эксцентриситет. В силу дан- ного обстоятельства многие авторы заменяют уравнения для этих переменных уравнениям, которые не содержат эксцентри- ситет в качестве делителя. В результате воздействия на движение ИСЗ возмущающих факторов и в первую очередь несферичности Земли, оскули- рующее значение эксцентриситета, заданное как строго нулевое значение, в процессе численного интегрирования строго в ноль не обращается. Поэтому уравнения для средней аномалии и ар- гумента перигея можно использовать непосредственно, не при- бегая к другим переменным. Приведенные в книге расчеты под- тверждают такую возможность.
210_________Уравнения движения искусственных спутников Земли Рассмотрены дифференциальные уравнения в переменных, которые не приводят к особенностям в случае круговых и эква- ториальных орбитах. Уравнения получены из уравнений Эйле- ра. Наряду с уравнениями Эйлера и уравнениями в неособен- ных переменных рассмотрены дифференциальные уравнения в прямоугольной экваториальной системе координат. К этим уравнениям относятся уравнения во вращающейся гринвичской системе координат, и в системе координат, ось ОХ которой на- правлена в точку весеннего равноденствия по линии пересече- ния плоскости истинного экватора Земли и плоскости эклипти- ки. Для этих систем дифференциальных уравнений экватори- альная плоскость связана с плоскостью истинного экватора. Чтобы в процессе численного интегрирования отслеживать движение экваториальной плоскости в правые части уравнений вводят соответствующие возмущающие ускорения, опреде- ляющие изменение наклонения, аргумента перигея и долготы восходящего узла орбиты обусловленные прецессией и нутаци- ей. Эти же составляющие вводятся в дифференциальные урав- нения Эйлера и в уравнения для неособенных переменных. Расчеты показывают, что при прогнозировании на 30 су- ток результаты интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих движение спутника в инерциальной системе ко- ординат, связанной со средним экватором эпохи 2000 года, и дифференциальных уравнений, описывающих движение спут- ника в экваториальной системе координат, связанной с плоско- стью истинного экватора, различаются на 30см для близкого к Земле спутника и на 70см для спутника на геостационарной ор- бите. Если прецессионные и нутационные движения плоскости экватора не учитывать, то погрешности прогнозирования дви- жения спутника на 30 суток составляют примерно 300м для близкого к Земле спутника и 700 м для спутника на геостацио- нарной орбите. Если учитывать только прецессионные движе- ния экваториальной плоскости и не учитывать нутацию, то по- грешности соответственно составят 10 м и 8 м. Этому варианту соответствуют наиболее простые формулы, которые позволяют
Заключение 211 учитывать в дифференциальных уравнениях, влияние прецес- сии. Рассмотрены особенности численного интегрирования диффе- ренциальных уравнений возмущенного движения ИСЗ при учете вы- сокочастотных составляющих возмущений. Эти возмущения являют- ся результатом воздействия гармоник геопотенциала высокого поряд- ка. При учете высокочастотных составляющих уравнения Эйлера, уравнения в неособенных переменных и уравнения в экваториальной прямоугольной системе координат примерно эквивалентны по эф- фективности - (точностным характеристикам и скорости вычисле- ний). Для численного интегрирования дифференциальных уравнений предложен и подробно описан одношаговый итерационный метод. В методе использованы интерполяционные полиномы четвертого по- рядка, узловые точки которого совпадают с узлами полиномов Че- бышева. Расчеты проводились с шагами интегрирования от 0,2с до 192 секунд. Отмечено, что при малых шагах результаты интегрирова- ния рассмотренных систем дифференциальных уравнений совпадают между собой. Расхождение не превышает нескольких миллиметров при прогнозе движения на 30 суток и учете всех гармоник геопотен- циала до 36 степени и порядка. Отмечено, что ни для одной из рас- сматриваемых систем дифференциальных уравнений при уменьше- нии шага численного интегрирования (с ростом числа выполняемых арифметических операций) вычислительные погрешности не возрас- тали. Методические погрешности интегрирования возрастали с уве- личением шага. Меньший рост методических погрешностей отмечен для системы дифференциальных уравнений в неособенных перемен- ных. Предложено несколько вариантов представления гравитацион- ного потенциала Земли в орбитальных параметрах. Использование этих вариантов позволяет воздействие гармоник высокой степени и порядка представлять составляющими, которые вызывают только ве- ковые и долгопериодические составляющие возмущений. Таким пу- тем можно учитывать влияние гармоник высокого порядка и степени без соответствующего уменьшения шага численного интегрирования. Для прогнозирования движения ИСЗ на длительных интервалах и оценки эволюции орбитальных параметров предложено использо- вать систему усредненных дифференциальных уравнений движения ИСЗ, описывающую вековые и долгопериодические изменения орби- тальных параметров. Система усредненных дифференциальных урав-
212 Уравнения движения искусственных спутников Земли нений интегрируется с большим шагом, составляющим примерно од- ни сутки. Для этой системы дифференциальных уравнений представ- лены соотношения, определяющие вековые и долгопериодические составляющие скорости изменения орбитальных параметров, обу- словленные влиянием зональных гармоник геопотенциала и резо- нансных составляющих тессеральных гармоник геопотенциала. В уравнениях учитываются возмущающие воздействия сил со- противления атмосферы, гравитационного притяжения Луны и Солн- ца, светового давления и приливных эффектов в теле Земли. Влияние перечисленных сил определяется единым компактным алгоритмом, применение которого не накладывает ограничений на используемые модели плотности атмосферы и позволяет определять воздействие сил светового давления с учетом прохождения теневых участков. В алгоритме результирующее ускорение, создаваемое воздействием всех перечисленных сил, представляется рядами Фурье в орбитальной системе координат. Эти ряды используются в алгоритме расчета ско- рости изменения орбитальных параметров. Приводятся алгоритмы аналитических решений уравнений воз- мущённого движения ИСЗ. В основу аналитических решений поло- жен алгоритм расчета возмущений от второй, третьей и четвертой зональных гармоник геопотенциала. В алгоритме периодические воз- мущения содержат составляющие первого и второго прядка малости, а вековые возмущения содержат составляющие первого, второго и третьего порядка малости. Приводятся аналитические соотношения, определяющие возмущения параметров орбиты, обусловленные со- вместным влиянием несферичности Земли и сопротивления атмосфе- ры. Приводятся соотношения для расчета короткопериодических возмущений параметров орбиты, обусловленных влиянием совокуп- ности возмущающих факторов: сопротивления атмосферы, гравита- ционного притяжения Луны и Солнца, приливных эффектов в земной коре и давления света. Совокупность приведенных в книге формульных соотношений и алгоритмов позволяет создавать широкое многообразие методов и схем учета возмущающих факторов, действующих на движение ИСЗ, и получать алгоритмы расчета движения ИСЗ различной степени точ- ности и скорости выполнения расчетов.
Принятые обозначения 213 ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ а - большая полуось орбиты, е -эксцентриситет орбиты, i - наклонение плоскости орбиты к земному экватору, £2 - долгота восходящего узла орбиты, отсчитываемая от точки ве- сеннего равноденствия, со - аргумент перигея орбиты, с =cosi, T] = yjl-e2 , 3,Е,М - истинная, эксцентрическая и средняя аномалии спутника, и = со + & -аргумент широты положения спутника, г - радиус-вектор ИСЗ, (p,L - геоцентрические широта и географическая долгота подспут- никовой точки, р = а(1 — е2) - параметр орбиты, V ИСЗ, VT - параметрическая скорость, - скорость в точке апогея орбиты, - скорость в точке перигея орбиты, + ecos&) - трансверсальная составляющая скорости
214 Уравнения движения искусственных спутников Земли Vr = l—esirii9 - радиальная составляющая скорости ИСЗ, - средняя круговая скорость ИСЗ, - круговая скорость ИСЗ, So* - истинное звездное время в ноль часов всемирного времени да- ты, 5* - истинное текущее звездное время, XtYtZtVxtVY,Vz - составляющие радиус- вектора и вектора скоро- сти в экваториальной системе координат, связанной с истинным эква- тором, Х(Г) ,Y(r) ,Z(r) УХГ) ,VYr) ,Vzr) - составляющие радиус- вектора и вектора скорости в гринвичской экваториальной системе координат, связанной с истинным экватором, Х(Э) tY(3) tZ(3) УX3)VY3) Уz3) - составляющие радиус- вектора и вектора скорости в неподвижной экваториальной системе координат, отнесенной к эпохе 2000 года, Х(Д)У(Д)У(Д)УХД)УуД) У(2Д) ~ составляющие радиус- вектора и вектора скорости отнесенные к среднему экватору даты, rs,rT,rw,vs vt>vw ~ составляющие радиус- вектора и вектора скоро- сти в орбитальной системе координат, А - матрица преобразования экваториальных параметров в па- раметры орбитальной системы координат, А - матрица преобразования параметров гринвичской эквато- риальной системы координат в параметры в параметры орби- тальной системы координат, AVXN ,AVYN ,AVZN, AVXN ,AVYN ,AVZN - составляющие ускорений и скорости, обусловленные прецессией и нутацией, в прямоугольной экваториальной системе координат, связанной с истинным экватором. AVX , AVy , AVZ , AVX , AVy , AVZ - составляющие ускорений и скоро- сти, обусловленные прецессией, в прямоугольной экваториальной системе координат, связанной со средним экватором даты,
Принятые обозначения 215 РХ,Р ,PZ,QX,Q ,Qz,rx,r ,rz - направляющие косинусы осей орби- тальной системы координат, зафиксированной в точке перигей, отно- сительно осей экваториальной системы координат, Ло, ,Л2, Л3,Л4,Л5 - неособенные параметры орбиты, S,T,W - проекции совокупности возмущающих ускорений на оси орбитальной системы координат: радиус-вектор, перпендикуляр к радиус-вектору в плоскости орбиты и перпендикуляр к плоскости ор- биты соответственно, Sl,T1,Wl - составляющие, обусловленные влиянием сопротивления атмосферы, S2,T2,W2 - составляющие, обусловленные влиянием второй, третьей и четвертой зональных гармоник геопотенциала, S3,T3,W3 - составляющие, обусловленные влиянием заданной сово- купности зональных гармоник геопотенциала выше четвертой степе- ни, S4,T4,W4 - составляющие, обусловленные влиянием заданной сово- купности тессеральных и секториальных гармоник геопотенциала, S5,T5,W5 - составляющие, обусловленные влиянием гравитационно- го притяжения Луны, S6,T6,W6 - составляющие, обусловленные влиянием гравитационно- го притяжения Солнца, S7,T7,W7 - составляющие, обусловленные влиянием лунных прили- вов в земной коре, S8,T8,W8 - составляющие, обусловленные влиянием солнечных при- ливов в земной коре, S9,T9,W9 - составляющие, обусловленные влиянием сил светового давления, Sj0,TJ0,Wl0 - составляющие, обусловленные действием активных сил, S22,T22,W22,S23,T23,W23,S24,T24,W24 - составляющие возмущающих ускорений от второй, третьей и четвертой зональных гармоник геопо- тенциала соответственно, р - плотность атмосферы, Re=6 3 78 136,6 м - экваториальный радиус Земли,
216___________Уравнения движения искусственных спутников Земли а — 0,00335281 - сжатие Земли, // = 398 600,433км3 -с~2 - гравитационный параметр Земли, Jn,Cn0 - коэффициенты зональных гармоникСп0 = -Jп, Спт,8пт - коэффициенты тессеральных и секториальных гармоник геопотенциала, Pn(sin(p), Pnm(sin(p) - полиномы и присоединенные функции Ле- жандра от синуса широты соответственно, Pn(sin(p), Pnm(sin(p) - нормированные полиномы и присоединенные функции Лежандра от синуса широты соответственно, dF(i) Fnmp(i), —--------функции наклона плоскости орбиты и про- изводные от функции наклона, Ag(,AgL - составляющие возмущающих ускорений по радиусу, по меридиану и по параллели соответственно, Sb - баллистический коэффициент, Hl,Sl,Tl,Wl ~ гравитационная постоянная Луны и координаты цен- тра масс Луны в орбитальной спутниковой системе координат, Xl,Yl,Zl - положение центра масс Луны в геоцентрической эквато- риальной системе координат, /ис, Sc, Тс, Wc гравитационная постоянная Солнца, координаты цен- тра масс Солнца в орбитальной спутниковой системе координат, Хс, YC,ZC - положение центра масс Солнца в геоцентрической эква- ториальной системе координат, Fc =4,5-10~7кг-м~2 - сила светового давления, приходящаяся на единицу площади, находящейся на среднем расстоянии от Солнца, равном большой полуоси орбиты Солнца, к2 - число Лява, коэффициент, характеризующий упругие свойства земной коры, принимает значения 0,3...0,4, дЛ, дЛ2 дЛ3 дЛ4 дЛ5 —-, —-, —-, —-, —-— скорости изменения неособенных пе- dt dt dt dt dt ременных, отнесенных к истинному экватору, в результате прецессии и нутации Земли.
Литература 217 ЛИТЕРАТУРА 1. Атмосфера Земли верхняя. Модель плотности для баллистическо- го обеспечения полетов искусственных спутников Земли. ГОСТ 25645-166-2004, - М. Госстандарт России, 2004, 46с. 2. Атмосфера стандартная. Параметры. ГОСТ 4401-81, ГКС СССР, М., 1981. 3. Параметры общего Земного эллипсоида и гравитационного поля Земли (параметры Земли 1990 года): ВТУ Генерального штаба, 1990г.,68л. 4. Абалкин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астродинамике. (2-ое изд.), - М.:«Наука», 1996, 862с. 5. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников Земли, - М.:«Наука»,1977, 360с. 6. Аксенов Е.П., Вашковьяк С.Н. Современные проблемы в теории движения искусственных спутников Земли. - М. Л.: Астрометрия и небесная механика. 1978. с. 251-270. 7. Батраков Ю.В. Возмущения орбитальных элементов спутника Земли от зональных гармоник произвольного порядка. - Л.: Бюл- летень ИТА АН СССР, 1971, т.12, № 9, с.813-847. 8. Бабушка И., Витасек Э., Прагер М. Численные процессы решения дифференциальных уравнений. - М.: «Мир», 1969, 368с. 9. Бордовицына Т.В. Современные численные методы в задачах не- бесной механики. - М.: «Наука», 1984, 136с. 10. Брауэр Д., Клеменс Дж. Методы небесной механики. - М.: «Мир», 1964,515с. 11. Брумберг В.А. Разложение пертурбационной функции в спутни- ковых задачах.. - Л.: Бюллетень Института теоретической астро- номии АН СССЗ. 1967, т..11, №2, с 79-81. 12. Брумберг В.А. Аналитические алгоритмы небесной механики. - М.: «Наука». 1980. 206с.
218___________Уравнения движения искусственных спутников Земли 13. Вашковьяк М.А. Численно-аналитический метод расчета движе- ния стационарных ИСЗ. 1. Описание алгоритма и оценка методи- ческой точности. 2. Рабочие формулы. - М.: Препринт Института прикладной математики АН СССР. 1971. №34-35, с 3-69. 14. Волков И.И., Кочубей В.Д., Соловьев Г.М.. Ходков Э.М., Янчик А.Г. Усредненные дифференциальные уравнения прогнозирова- ния движения ИСЗ в нецентральном гравитационном поле Земли при наличии сопротивления атмосферы и некоторые особенности определения плотности атмосферы по эволюции орбит.- В сб. На- блюдение искусственных небесных тел. - М.: Астрономический Совет АН. СССР, 1973, №74, с.35-56. 15. Вулард Э. Теория вращения Земли вокруг центра масс. - М.: Г.И. Физматлит, 1963, 143с. 16. Глаголев Ю.А. Справочник по физическим параметрам атмосфе- ры. - Л.: Гидрометеорологическое изд., 1970. 211с. 17. Дубошин Г.Н. Теория притяжения. - М.: Г.И. Физматлит, 1961, 288с. 18. Дубошин Г.н. Небесная механика. Методы теории движения ис- кусственных небесных тел. - М.: «Наука», 1983, 352с. 19. Жданюк Б.Ф. Основы статистической обработки траекторных измерений. - М.: «Советское радио», 1978, 384с 20. Жонголович Г.Н. Возмущения искусственных спутников в грави- тационном поле Земли. - Бюллетень ИТА АН СССР. 1960. т.7, № 10, с. 743-756. 21. Журавлев С.Г. Аналитическая теория движения суточного спут- ника. Часть 1. Промежуточная орбита. Часть 2. Вековые, долгопе- риодические и короткопериодические возмущения. - В сб. Про- блемы управляемого движения. Пермь, 1972, №1, с. 68-99. 22. Касименко Т.В. Использование моделей атмосферы в спутнико- вой геодезии.- В сб. Научные информации. Астрономический Со- вет АН СССР. 1981, №48, с. 3-17. 23. Каула У. Спутниковая геодезия. Теоретические основы. - М.: «Мир», 1970. 24. Кащеев Н.А. Радиотехнические средства управления космическими аппаратами. - М.: Московский государственный институт радиотех- ники, электроники и автоматики. Учебное пособие. 2005,202с. 25. Кислик М.Д. Движение искусственных спутников в нормальном гравитационном поле Земли. - Искусственные спутники Земли, 1960, вып. 4, с. 3-17. 26. Кинг-Хили Д. Теория орбит искусственных спутников в атмосфе- ре. -М.: «Мир», 1966. 190с.
Литература 219 27. Козаи И. Движение близких ИСЗ. - В сб. Проблемы движения искусственных небесных тел. - М.: АН СССР, 1963, с. 87-91. 28. Козлов И.С. Зависимость орбитальных элементов от импульса, расположенного произвольным образом в пространстве. - В сб. Механика космического полета. - М. «Машиностроение», 1969, с. 64-87. 29. Колегов Г.А. Определение периода обращения спутника, движуще- гося в гравитационном поле Земли.- В сб. Исследования по дина- мике полета космических аппаратов. - М.: «Наука», 1973, с. 82-90. 30. Кочубей В.Д., Соловьев Г.М., Ходков Э.М. Некоторые особенно- сти построения математического обеспечения при исследовании вариаций плотности атмосферы по торможению ИСЗ - В сб. На- блюдение искусственных небесных тел. М.; Астрономический со- вет АН СССР, 1983, № 80 с. 39-50. 31. Красинский Г.А. Основные уравнения планетной теории.- В сб. Малые планеты. - М.: «Наука», 1973, с.81-107. 32. Краснорылов И.И., Плахов Ю.В. Основы космической геодезии. - М.: «Недра», 1976. 216с. 33. Кугаенко Б.В., Эльясберг П.Е. Долгосрочный прогноз движения ИСЗ по почти круговым орбитам с учетом произвольного числа зональных гармоник. - В сб. Математические методы моделиро- вания в космических исследованиях. - М.: «Наука», 1971, с. 106- 120. 34. Лидов М.Л. Полуаналитические методы расчета движения спут- ников.- Труды ИТА АН СССР. 1978, вып.17, с. 54-61. 35. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справоч- ное руководство.(Перевод с английского), - М.: Г.И.Физматлит, 1961,524с. 36. Механика космического полета./ Константинов М.С., Каменков Б.П.. Перелыгин Б.П., Безвербый В.К., Под редакцией академика Мишина В.П.. - М.: «Машиностроение», 1989 - 408с. 37. Назаренко А.И., Скребышевский Б.С. Эволюция и устойчивость спутниковых систем. - М.: «Машиностроение», 1981. 285с. 38. Назаренко А.И., О составлении усредненных дифференциальных уравнений искусственных спутников Земли. - В сб. Современные проблемы небесной механики и астродинамики. - М.: «Наука», 1973, с. 148-154. 39. Насибула Я. Л., Соловьев Г.М. Определение параметров движе- ния ИСЗ по траекторным измерениям с использованием систем усредненных дифференциальных уравнений. - Деп. № 25507, ЦИВТИ МО СССР. 1983, 13.с.
220 Уравнения движения искусственных спутников Земли 40. .Новоселов В.С. О методах небесной механики и возможных пер- спективах. - М. Л.: Астрометрия и небесная механика. 1978. с. 241-250. 41. Носков Б. И. Возмущения элементов орбит спутника, вызываемые совместным влиянием сжатия Земли и сопротивления атмосферы. - Астрономический журнал. 1974, т.51, №4, с. 876-889. 42. Основы теории полета и элементы проектирования искусствен- ных спутников Земли./ Тихонравов М.К., Бажинов И.К., Гурко О.В., Максимов Г.Ю., Яцунский И.М. - М.: «Машиностроение», 1974. 332с. 43. Одинцов В.А., Анучин В.М. Маневрирование в космосе. - М. Во- енное издательство Минобороны СССР, 1971, 152с. 44. Плахов Ю.В. Применение теории возмущений в космической гео- дезии. - М.: «Недра», 1983. 200с. 45. Пшеничников В.В., Соловьев Г.М. Оперативное навигационно- баллистическое обеспечение космических программ СССР. - Юбилейный, М.обл., ИП Хоружевский, 2006, 408с. 46. Рудаков С.А. Прогнозирование движения ИСЗ с учетом периоди- ческих изменений индексов солнечной активности - Наблюдения искусственных небесных тел. - М.: Астрономический Совет АН СССР. 1977, №74, с.71-77. 47. Рыхлова Л.В. Использование наблюдений ИСЗ для решения задач геодинамики. - В сб. Наблюдения искусственных спутников Зем- ли. - М. .: Астрономический Совет АН СССР, 1974, № 13, с. 194- 218. 48. Смарт У. Небесная механика. - М.: «Мир», 1965, 503с. 49. Соловьев Г.М. Решение задачи спутника осесимметрического сфероида в полуаналитическом методе расчета эволюции орбит. - В сб. Наблюдение искусственных небесных тел. - М.: Астроно- мический Совет АН СССР, 1983, № 80, с. 75-109. 50. Соловьев Г.М. Решение главной задачи теории движения спутни- ка Земли методом канонических преобразований Цейпеля. /Сборник трудов СИП РИА, выпуск 8, Методические материалы по проблемам баллистики, надежности и экологической безопас- ности космических систем. - М.,2001, с. 10-26. 51. Соловьев Г.М. Теория орбит стационарных высот. /Сборник тру- дов СИП РИА, выпуск 9, Методические материалы по проблемам развития космической отрасли и конверсии оборонного комплек- са.-М.,2002, с. 4-17. 52. Соловьев Г.М., Ёлкин В.М. Уточняемые параметры орбиты и ча- стные производные в задачах определения движения космическо-
Литература 221 го аппарата. В сб. Двойные технологии. Российская инженерная академия. Издательство СИП РИА. 2003, № 1. с.2-8. 53. Соловьев Г.М., Крымова Ю.Г. Оценка перспектив применения Глонасс/GPS технологий для определения движения космических аппаратов на геостационарных и высоких эллиптических орбитах. - М.: Сборник трудов Российской инженерной академии. Изда- тельство СИП РИА, 2006, Вып. 14. с. 157-181. 54. Субботин М.Ф. Введение в теоретическую астрономию. - М.: «Наука», 1968, 800с. 55. Сурнин Ю.В., Кужелев С.В., Фщеулов В.А., Дементьев Ю. В. Программа прогнозирования движения геодезических спутников Земли. - Наблюдения искусственных спутников Земли. София, Болгарская академия наук, № 16, 1977, с. 157-174. 56. Управление и навигация искусственных спутников Земли на око- локруговых орбитах./ Решетнев М.Ф., Лебедев А.А., Бартеньев В.А., Красильщиков М.Н., Малышев В.А., Малышев В.В. - М.: «Машиностроение», 1988.-336с. 57. Фоминов А.М. Движение спутника Земли. 1. Линейные возмуще- ния. - Л.: Бюллетень ИТА АН СССР. 1980, т.14, № 10, с.621-654. 58. Фоминов А.М. Движение спутника Земли. 2. Нелинейные возму- щения. -Л.: Бюллетень ИТА АН СССР. 1981, т. 15, № 1 , с.53-58. 59. Холшевников К.В., Тимошкова Е.И. Построение аналитической теории движения спутника в нецентральном поле тяготения. - Ученые записки ЛГУ. 1971, №359, с.97-118. 60. Штифель Е., Шейфеле Г. Линейная и регулярная небесная меха- ника. - М.: «Наука», 1977. 303с. 61. Эльясберг П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутни- ков Земли. - М.: «Наука», 1965. 540с. 62. Эльясберг П.Е. Определение движения по результатам измере- ний. - М.: Наука, 1976. 416с. 63. Эскобал П. Методы астродинамики. - М.: «Мир», 1971, 342с. 64. Эфемеридная астрономия. - Труды Института Прикладной Ас- трономии РАН, Вып. 10 - С.-П.2004, 487с. 65. Яцунский И. М. О влиянии геодезических факторов на движение спутника. - Успехи физических наук. 1957, т. 13, вып. 1а. с. 59-71. 66. Яшкин С.И. Возмущения в элементах орбиты ИСЗ от тессераль- ных и секториальных гармоник потенциала Земли. - Астрономи- ческий журнал. 1970, т.47, №5, с. 1112-1120. 67. Яшкин С.И. Случаи резонанса в элементах орбиты ИСЗ. - Астро- номический журнал. 1970, т.47, №6, с. 1289-1295.
222_____________Уравнения движения искусственных спутников Земли 68. Aksnes К. A second-order artificial satellite theory based jn an inter- mediate orbit. - Astronomical journal, 1970, 75, № 9, pp. 1066-1076. 69. Aksnes K. On the Use of the Hill Variables in Artificial Satellite The- ory: Brouwer's Theory, - Astronomical and Astrophysical, 1972, № 17, pp. 70-75. 70. Allan R.R. Resonance effects due to the longitude dependence of the gravitational field of a rotating primary/-Planets and Space Science, 1967, 15, №l,pp. 53-76. 71. Brouwer D. Solution of the problem of artificial satellite theory with- out drag. - Astronomical journal, 1959, 64, №. 96, pp. 378-397. 72. Brouwer D. and Hori G. Theoretical evaluation of atmospheric drag effects in the motion of an artificial satellite. - Astronomical journal, 1961, 66, №3, pp. 193-225. 73. Butcher J.C. A Modified Multistep Method for the Numerical Integra- tion of Ordinary Differential Equations. - Journal of the Association for Computing Machinery. 1965, vol. 12, № l,pp. 124-135. 74. Gaposchkin E.M. Smitsonian standard Earth (III). - SAO Special re- port, 1973, 358p. 75. Garfmkel B., Me. Allister G.T. The zonal harmonics perturbations of an artificial satellite. - Astronomical journal, 1964, 69, №.7 pp. 453- 459. 76. Garfmkel B. The disturbing function for artificial satellite. - Astro- nomical journal, 1965, 10, № 9, pp. 699-704. 77. Garfmkel B. Tesseral harmonic perturbation of artificial satellite. - Astronomical journal, 1965, 70, № 10, pp. 784-786. 78. Giocaglia G.E.o. The in fluency of high-order zonal harmonics on the motion of an artificial satellite without drag. - Astronomical journal, 1964,69,№6, pp. 303-308. 79. Deprit A. and Rom A. The Main Problem of Artificial Satellite Theory for Smal and Moderate Eccentricities, - Celestial Mechanics, v.2, 1970, pp. 166-206. 80. EGM96. The NASA GSFC and NIMA Joint Geopotential Model.- NASA Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Maryland, 20771 USA, July 1998. 81. Izsak Imre G. Periodic Drag Perturbations of Artificial Satellites. - The Astronomical Journal. 1960, vol 65, № 6, 355-367p. 82. Izsak Imre G., A Note on Perturbation Theory, Astronomical Journal, 1963, vol. 68, N 8, pp. 559-561. 83. Jacchia L.G. Thermospheric temperature, density and composition: new models. - SAO special report, 1977, 375p.
Литература 223 84. Kaula W.M. Analysis of Gravitational and Geometric Aspects of Geo- detic Utilization of Satellites. - Geophysics Journal of the RAS, 5, 2, pp. 104-133. 85. Kozai Y. The motion of a close Earth satellite. - Astronomical journal, 1959, 64, №9, pp. 367-377. 86. Kozai Y. Mean Values of Cosine Function in Elliptic Motion. . - As- tronomical journal, 1962, 65, №.5, pp.311-312. 87. Kozai Y. Second-order solution of artificial satellite theory without drag. - Astronomical journal, 1962, 67, №.7, pp. 446-461. 88. Kozai Y. Effects of the tidal deformation of the Earth on the motion of close Earth satellites. - Publications of the astronomical society of Ja- pan,1965,17, № 4, pp. 395-401. 89. Kozai Y, and Kinoshita H. Effects of motion of the equatorial plane on the orbital elements of an Earth satellite. - Celestial mechanics, 1973, 7, № 13, pp. 356-366. 90. Kozai Y. A new method compute lunisolar perturbations in satellite motions. - Sao Special Report, № 349, 1973,1, pp. 1-29. 91. Lane M.H. and Cranford K.Y. An improved analytical drag theory for the artificial satellite problem. - AIAA paper, 1969, № 69/925, pp. 1- 11. 92. Lubowe A.G. High Accuracy Orbit Prediction from Node to Node. - Bell Telephone Laboratories, Inc. Whippany, New Jersey, USA, 1964, pp. 253-261. 93. Lyddane R.H. Small Eccentricities or Inclinations in the Brouwer The- ory of the Artificial Satellite. - The Astronomical Journal, v.68, № 8, 1963, pp.555-558. 94. Myint-U.T.Solution of the low-altitude satellite equations. - Annals of the New-York academy of sciences, 1971, 172, № 20, pp. 679-718. 95. Menshikov V.A., Solovyev G.M. - Global Navigation Satellite Sys- tem. Encyclopedia of Space Science and Technology. John Wiley, 2003, 1800p 96. Ronald H. Estes. On the Analytic Lunar and Solar Perturbation of a Near Earth Satellite. - Celestial Mechanics, vol. 10, 1974, pp. 253- 276. 97. Vinti J.P. New method of solution for unretarded satellite orbits. - Journal Res. Nat. Bur. Standards, vol., 63B, 1959, pp. 105-116. 98. . Vinti J.P. Formulae for Accurate Intermediary Orbit of an Artificial Satellite - The Astronomical Journal, v.66 №9, 1961, pp.514-516.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ Подписано в печать 11.07.2007 г. Бумага офсетная 60 г. Формат 62x94 1/16. Издательство НИИ космических систем - филиал ГКНПЦ им. М.В.Хруничева 141090, г.Юбилейный, Московская область, ул.Тихонравова, 27, НИИ КС Тел. (495) 755-58-91 Факс (495) 755-58-91 E-mail: niiks@khrunichev.ru Отпечатано в типографии ООО „Витапресс Графике” 141070, г.Королев Московской области, ул.Пионерская, 2-212 Тел. (495) 516-09-09 E-mail: vpgraf@rambler.ru