Последняя теорема Ферма
для любителей
Paulo Ribenboim
Fermat’s Last Theorem
for Amateurs
Springer
П. Рибенбойм
Последняя
теорема
Ферма
ДЛЯ ЛЮБИТЕЛЕЙ
Перевод с английского
А. В. Бегунца, О. В. Попова,
С. Н. Преображенского,
Б. А. Турешбаева
под редакцией
В. Н. Чубарикова
Москва «Мир» 2003
УДК 511
ББК 22.13
Р49
Рибенбойм П.
Р49 Последняя теорема Ферма для любителей: Пер. с англ. —
М.: Мир, 2003. — 429 с., ил.
ISBN 5-03-003400-5
Прекрасное введение в алгебраическую и элементарную теорию
чисел, отличающееся широтой охвата материала. Автору, извес-
тному канадскому математику, удалось органично соединить строгость
математических фактов с увлекательностью изложения более чем
трехвековой истории изобретения искусных подходов к решению
знаменитой последней теоремы Ферма. Приведен исторический очерк с
указанием авторов «решений» проблемы и авторов опровержений.
Для всех интересующихся математикой, включая математиков-про-
фессионалов, преподавателей и учащихся старших классов.
ББК 22.13
УДК 511
рс^и
Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту №00-01-14117
Редакция литературы по математикеским наукам
Translation from the English
language edition: Fermat’s Last
Theorem for Amateurs by Paulo
Ribenboim
Copyright © 1999 Springer-Verlag
New York, Inc. All Rights
Reserved
5-03-003400-5 (русск.)	© перевод на русский язык,
N 0-387-98508-5 (англ.)	издательство «Мир», 2003
От редактора перевода
Книга П.Рибенбойма «Последняя теорема Ферма для любителей»
переведена на русский язык в 2001 г. — в год 400-летия со дня рож-
дения знаменитого французского математика П. Ферма. В книге ор-
ганично сочетаются строгость и доступность доказательств матема-
тических фактов с увлекательностью изложения более чем трехве-
ковой истории изобретения искусных методов и создания прекрас-
ных теорий, основная цель которых — доказать последнюю теорему
Ферма. Указанное сочетание, безусловно, отражает предназначение
книги для любителей. По-видимому, в слово «любитель» не следу-
ет вкладывать значение «непрофессиональный математик», а по-
нимать его нужно как «любитель математики». В их круг включа-
ются профессионалы-математики разных уровней квалификации,
специалисты из других областей науки, а также школьные учите-
ля и даже учащиеся старших классов. Добавим к этому, что автор
книги — известный канадский математик, специалист по алгебраи-
ческой теории чисел. Ранее в издательстве «Шпрингер» вышла его
книга «13 лекций о последней теореме Ферма»1, которая является
более академичной, чем предлагаемая вниманию читателя.
Нам представляется, что с исторической точки зрения, а так-
же для лучшего понимания предмета книги будет уместно про-
цитировать здесь текст письма академика Н. Н. Лузина академику
И. М. Виноградову, написанного более полувека назад.
16 апр. 1946 г.
Глубокоуважаемый Иван Матвеевич,
извините за промедление в пересылке Вам обещанных статей
Hofmann ’а2, касающихся метода Fermat. Причина всегда одна и та
1 Ribenboim Р., 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, Springer-Verlag, New
York, 1979.
2H.H. Лузин приложил к письму оттиски двух статей:
Hofmann J.E. Studien zur Zahlentheorie Fermats (Uber die Gleichung x2 = py2 +
4-1). Abh. der Preufiischen Akademie der Wissenschaften. 1944. K*7. S. 1-19.
Hofmann J.E. Neues uber Fermats zahlentheoretische Herausfor derungen von 1657
(mit zwei bisher unbekannten Originalstucken Fermats). Там же. 1943. X*9. S. 1-52.
6	От редактора перевода
же: болезнь Надежды Михайловны и необходимость находиться
при ней.
Дабы быть вполне ясным, я прошу у Вас позволения сказать
несколько слов о самом предмете статей Hofmann’a, которых я
совсем не читал, но которые меня интересуют в отношении того
пути, по которому направлялась его мысль.
Очарование имени Fermat для меня отнюдь не связано с его
“последним предложением”, но с его многосторонней деятельно-
стью как предшественника Декарта в изобретении аналитиче-
ской геометрии, как предшественника Ньютона и Лейбница в
изобретении анализа бесконечно малых. То, что Fermat не был
профессиональным ученым, как и Эйнштейн, лишь повышает ин-
терес к нему.
Что же касается до его “последнего предложения”, то лич-
но у меня к нему интерес всегда был равен нулю. Тяготение к
нему отрицательно характеризует человека, сразу помещая его
вне круга истинных философов и ученых. Действительно, это в
лучшем случае — только спорт, если не говорить о вещах много
худших.
Был ли у Fermat особый метод в его творческих актах по Тео-
рии Чисел? Метод живой, не исчерпанный личными достижени-
ями самого Fermat, но утраченный уже для его современников, и
тем более для потомков? Я не колеблюсь для самого себя отве-
чать утвердительным “ДА”, хотя вполне понимаю формальную
позицию тех, кто отвечает отрицательным “НЕТ”. Формальная
позиция всегда очень сильна и корректна в глазах публики; но она
стерильна, особенно сейчас. И, прибавлю, просто скучна.
Те казавшиеся раньше невероятными открытия в истории на-
ук, которые делаются сейчас, достаточно поучительны и совер-
шенно наглядно говорят о том, что научные факты не толь-
ко приобретаются, но и утрачиваются. Дабы не быть три-
виальным, я упомяну только об утраченном методе Frenicle\n
распознавания простоты или непростоты числа в 40-50 знаков
в течение 2-х суток. Таково свидетельство современников. И
метод, который суммарно при этом указывался, был методом
НОМОГРА ФИИ, говоря современным языком. Великий Fermat им
не обладал и должен был в состязании отступить.
Метод Frenicle’a утерян по вине автора, утратившего инте-
рес к “числам” и ушедшего в духовное звание.
От редактора перевода
7
Много раз в литературе мелькала тенденция рассматривать
Fermat как авантюриста, интриговавшего тогдашний мгр своими
теоретико-числовыми “фокусами”.
Лично для меня такая точка зрения никогда не казалась до-
стойной истинного ученого и философа.
Для доказательства обычно ссылаются на предложение, будто
бы доказанное, по словам Fermat, им: о простоте чисел 22 4-1.
Я внимательно исследовал в свое время этот пункт и не на-
шел никаких следов обмана или позы в высказываниях Fermat.
Fermat никогда, нигде, ни одним звуком, ни одним жестом не
дает права думать, что он будто бы доказал когда-то и где-то
простоту этих чисел.
Всегда он пишет: “считаю за почти достоверное, что ...” Это
словечко “почти” упускается из вида.
В другом месте он пишет: “Я исключил громадное число про-
стых делителей в выражении 22П 4-1, но окончательный вывод всё
еще манкирует. ”
Под видом вызова на соревнования он предлагает своим корре-
спондентам доказать или опровергнуть простоту чисел 22 4-1.
Это звучит как нота печали и безнадежности.
И, наконец, видимо теряя голову, он просит: то Pascal % то
ЯоЬегьаГя, то Frenicle\n помочь ему в установлении простоты
чисел 22П 4-1.
Обращение к Паскалю я еще понимаю: его великие дарования не
ускользнули от Fermat, к которому Pascal относился всегда как к
отцу, т. е. с величайшим уважением и пиететом.
Но обращение к завистливому ученому средних сил Roberval’H),
обладавшему неприятным характером, — можно понять лишь
как крик отчаяния самого Fermat.
Нет, куда там до позы, до фальшивых заявлений авантюри-
ста: это были жесты утопающего!
Да и потом, в письме к Carcavi, найденном в съестной лавке
в корзине для обертки товара, Fermat совершенно ясно указывает
природу своего метода: descente infinie. Только он, надеясь на воз-
вращение своего “интереса к числам”, его скрыл, на всякий случай,
точнее: не самый метод, а его фактическое применение, видимо,
достаточно гибкое и глубокое.
Простите, что занял Ваше внимание пустяками: я хотел
лишь сказать, что вполне понимаю тех, кто — в анализе истори-
ческой научной обстановки времени Fermat, в анализе его перепис-
8
От редактора перевода
ки с друзьями и с соперниками, в анализе его мемуаров — ищет
следов утраченного метода.
Но Hofmann ’а я еще не успел прочесть и поэтому затрудняюсь
рекомендовать Вам его как достойного внимания автора.
Глубочайше уважающий Вас Н. Лузин
Что можно добавить к этому письму? Здесь и трепет, и жгучий
интерес, и осторожность перед лицом одной из величайших загадок
в истории математики. Читая письмо, нельзя не проникнуться всей
этой гаммой чувств и переживаний. Подобное впечатление произ-
вела на автора этих строк и книга П. Рибенбойма.
Работа по переводу книги на русский язык была выполне-
на сотрудниками механико-математического факультета МГУ им.
М. В. Ломоносова, участниками руководимого мною семинара «Из-
бранные главы анализа и теории чисел».
Предварительные главы, главы I-Ш, V, VI, VHI переведены
А. В. Бегунцем, глава VII — О. В. Поповым, эпилог и приложе-
ния — С. Н. Преображенским, главы IX, X — Б. А. Турешбаевым,
глава IV — В. Н. Чубариковым.
Кроме того, А. В.Бегунц и С. Н. Преображенский подготовили
также и оригинал-макет русского издания.
П.Рибенбойм включил в книгу обстоятельные списки литера-
туры на английском языке. Редактором перевода составлен список
литературы о теореме Ферма на русском языке. Он приведен в кон-
це книги.
Редактор перевода и переводчики считают своим приятным дол-
гом поблагодарить автора, любезно предоставившего электронную
версию английского текста книги и приславшего уточнения и ис-
правления, которые были учтены при подготовке русского издания.
Москва, апрель 2002 г.	В. Н. Чубариков
Предисловие
Хорошо известно, что последняя теорема Ферма доказана. На про-
тяжении трех с половиной веков математики — как ученые с ми-
ровым именем, так и находчивые любители — пытались доказать
знаменитое утверждение Ферма. Изобретались новые подходы, со-
здавались очень сложные теории. Наконец долгожданное доказа-
тельство было найдено. В нем были задействованы арифметическая
теория эллиптических кривых, теория модулярных форм и теория
представлений Галуа и их деформаций, развитые рядом математи-
ков.
С этим величайшим математическим достижением связаны име-
на таких ученых, как танияма, шимура, фрей, серр, рибет,
УАЙЛС, ТЕЙЛОР. Их вклад наряду с набросками доказательства об-
суждается в эпилоге. Настоящая книга не преследует цель изло-
жить доказательство теоремы Ферма. Напротив, она написана для
любителей, учителей и математиков, интересующихся данной про-
блемой. Всюду, кроме эпилога, используются лишь элементарные
методы. Несмотря на то что они не приводят к полному доказатель-
ству теоремы, их значимость распространяется далеко за пределы
теоремы Ферма. Нельзя не восхищаться результатами, полученны-
ми с помощью такого ограниченного набора методов.
Тем не менее, мне хотелось бы предупредить читателей, что,
насколько я понимаю — а понимаю я, возможно, не так уж много, —
представленные здесь методы не могут привести к доказательству
теоремы Ферма для всех показателей.
Изложение является самодостаточным и содержит все детали,
так что чтение должно быть достаточно легким.
В большинстве рассуждений используются только рациональ-
ные числа и лишь изредка некоторые алгебраические (не рацио-
нальные). Поэтому пришлось исключить описание важного вклада
Куммера, о котором подробно говорится в моей книге «Классиче-
ская теория алгебраических чисел»1 и в моих «13 лекциях о послед-
1 Classical Theory of Algebraic Numbers. — Прим, перев.
10
Предисловие
ней теореме Ферма»2 (новое издание этих лекций содержит эпилог,
включающий современные результаты).
Уже издано много — а будет еще больше — книг, монографий и
статей, в которых объясняются идеи и нить доказательства теоремы
Ферма. Читателям, обладающим глубокими знаниями в этой обла-
сти, лучше обратиться к таким изданиям. Остальным я предлагаю
прочесть мою книгу.
В общем, если Вы — любитель или начинающий математик, то
Вам должно понравиться то, о чем Вы прочтете, так как я при-
ложил значительные усилия, чтобы обеспечить доступность и по-
дробность изложения.
С другой стороны, если Вы являетесь профессиональным ма-
тематиком, то Вас может удивить, зачем я предпринял этот шаг
сейчас, когда проблема уже решена. Помните, Вавилонская баш-
ня не достигла небес, но была одним из чудес античности. Вот и
в этой книге собраны замечательные примеры человеческой ода-
ренности, тем более примечательные использованием сугубо эле-
ментарных приемов. Было бы непростительной ошибкой позволить
этим жемчужинам кануть в небытие. Как сказал Якоби, все они
для «I’honneur de 1’esprit humain»3.
Август 1997 г.	Пауло Рибенбойм
213 Lectures on Fermat’s Last Theorem. — Поим, перев.
3 «Торжества человеческого разума» (фр ) — Прим, перев.
К читателю
Возможно, у Вас есть соблазн получить Ваше собственное (более
простое) доказательство последней теоремы Ферма.
На этот счет у меня есть твердое убеждение. В главе «Права
человека» Всеобщей конституции государств и наций должно быть
записано:
Каждый человек имеет неотъемлемое право на свое до-
казательство последней теоремы Ферма.
Однако это торжественное утверждение, касающееся последней
теоремы Ферма (далее именуемой Теоремой), должно быть ограни-
чено следующими статьями.
Статья 1. Никакое новое доказательство Теоремы не
должно быть повторением уже известного.
Статья 2. Представление заведомо неверных доказа-
тельств Теоремы профессорам, которые еле зарабаты-
вают на жизнь, обучал тому, как правильно строить
доказательства, является уголовным преступлением.
За нарушение последней статьи полагается ссылка в ад. Возвра-
щение в рай возможно только после того, как «преступник» поймет
и сможет воспроизвести доказательство Уайлса. (Жестокое наказа-
ние.)
Благодарности
Карл Дильхер руководил набором этой книги, внимательно ее про-
чел и внес ряд ценных предложений. Я очень благодарен ему за
существенную помощь.
Также я признателен моим многочисленным коллегам, внесшим
необходимые поправки на стадии рукописи этой книги. Особенно
хотелось бы выразить благодарность ныне покойному Кустаа Инке-
ри, а также Такаши Аго, Винко Боттери, Хендрику Ленстре, Тауно
Метсянкиле и Гаю Тержаняну.
Герхард Фрей, Фернандо Говеа и Эрнст Кани дали мне ценные
советы по поводу эпилога, за что я выражаю им глубокую благо-
дарность.
Проблема
На полях изданного Баше собрания трудов Диофанта1 Ферма за-
писал:
<Невозможно разложить куб на два куба, биквадрат — на два
биквадрата и, в общем случае, любую степень, большую двух, в сум-
му таких же степеней; я нашел поистине чудесное доказательство,
но эти поля слишком узки, чтобы его вместить».
На современном языке это значит следующее.
Пусть п — произвольное натуральное число, большее 2. Тогда
уравнение
Хп 4- Yn = Zn
не имеет решений в целых числах, каждое из которых отлично от
О (т. е. оно имеет лишь тривиальные решения, где одно из чисел X,
У, Z равно 0).
Это утверждение было названо последней теоремой (гипотезой
или проблемой) Ферма2.
Начнем с некоторых замечаний.
Для того чтобы доказать теорему Ферма для всех показателей,
больших 2, достаточно доказать ее для показателя 4 и всех нечет-
ных простых показателей р. Действительно, если число п состав-
ное, п > 2, то оно имеет делитель т, равный или 4, или нечетному
простому числу р. Если утверждение теоремы не выполняется для
п = mZ, где т — 4 или р, I > 1, и х, у, z — такие отличные от нуля
целые числа, что хп 4- уп = zn, то (х1)т 4- (yl)m ~ (zl)m, а значит,
теорема не выполнена и для т.
К слову сказать, мы также приведем ряд результатов с дока-
зательствами для четных показателей и показателей, являющихся
степенью простого числа.
1Этот экземпляр книги утерян, но упомянутые заметки вновь появились в
1679 г. в тулузском издании работ Ферма, редактором которого был его сын
Самуэль де Ферма.
2 Также широко употребляется термин «великая теорема Ферма». — Прим,
перев.
14
Проблема
Следующие общие замечания вполне очевидны и будут даны без
доказательства.
Если число п нечетно, то уравнение Хп -F Yn — Zn име-
ет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда уравнение
Хп _|_ уп + /п _ q имеет нетривиальное решение.
Пусть отличные от нуля целые числа х, у, z таковы, что хп+уп =
= zn, и Xi = x/d,yi = y/d,zi = z/d^ где d = НОД(х,р,г). Тогда
х” + У1 — zi> где отличные от нуля целые числа Xi,yi,zi попар-
но взаимно просты. Таким образом, если предположить, что суще-
ствует нетривиальное решение уравнения Ферма, то это уравнение
должно иметь еще одно решение в попарно взаимно простых чис-
лах.
Более того, если отличные от нуля попарно взаимно простые
числа x,y,z таковы, что хп 4- уп = zn, то числа х + y,z — x,z — у
также попарно взаимно просты. В самом деле, если простое число
р делит х + у и z — х, то х = z (mod р), откуда хп = zn = хп 4- уп
(mod р), следовательно, уп = 0 (mod р), так что р делит у, а так
как р делит х 4- у, мы получаем, что р делит х, а это противоречит
предположению. Таким образом, НОД (х + у, z — x) = 1. Аналогично
можно показать, что НОД (х 4- у, z — у) = 1 и НОД (z — х, z — у) — 1.
Следуя традиции, будем говорить, что первый случай теоремы
Ферма имеет место для нечетного простого показателя р, если для
любых отличных от нуля целых чисел x,y,z, не кратных р, выпол-
нено соотношение хр 4- ур zp.
Второй случай теоремы Ферма имеет место для нечетного про-
стого показателя р, если для любых отличных от нуля попарно вза-
имно простых целых чисел х, у, z, таких, что р делит xyz, выполня-
ется соотношение хр + ур zp. Как говорилось выше, в этом случае
р делит ровно одно из чисел х, у, z.
Вообще, будем говорить, что первый случай теоремы Ферма
имеет место для произвольного целого показателя п = 2ит, и О,
т нечетно, если для любых отличных от нуля целых чисел x,p,z,
таких, что НОД (m, xyz) = 1, имеет место соотношение яп4-рп zn.
Аналогичным образом второй случай справедлив для показате-
ля п, если для любых отличных от нуля попарно взаимно простых
целых чисел х, y,z, таких, что НОД(т,хрг) 1, выполняется со-
отношение хп 4- уп zn.
Глава I
Частные случаи
Эта глава посвящена доказательству частных случаев теоремы Фер-
ма — случаев, когда показатели равны 4, 3, 5 и 7 соответственно.
Однако мы начнем с рассмотрения исключительного случая, когда
показатель равен 2.
1.1. Уравнение Пифагора
Кратко остановимся на уравнении Пифагора
X24-y2 = Z2.	(1.1)
Тройка положительных целых чисел (х, у, z), таких, что х2+у2 = z2,
называется пифагоровой тройкой. Например, (3,4,5) — пифагорова
тройка, поскольку З2 4- 42 = 52.
Если отличные от нуля целые числа х, у, z таковы, что х2 4- у2 =
= z2, то |ж|, |у|, |z| также удовлетворяют этому уравнению. За-
метим, что х,у не могут оба быть нечетными, так как в против-
ном случае z2 = 1 4- 1 (mod 4), что невозможно. Более того, если
d = НОД (x,y,z), то x/d, у/d, z/d удовлетворяют тому же уравне-
нию. Таким образом, достаточно определить примитивные реше-
ния (х, у, z) уравнения (1.1), а именно такие, что х > 0, у > 0, z > О,
х четно и НОД(я,1/,г) = 1, откуда у и z нечетны.
В книге Диксона <История теории чисел» (1920)1 утверждается,
что Пифагор и Платон предложили методы нахождения решений
уравнения (1.1). В лемме 1 к предложению 29 десятой книги <На-
чал» Евклид привел геометрический метод нахождения решений
этого уравнения.
Диофант указал метод нахождения всех решений, как это сде-
лано в результате (1А).
1 History of the Theory of Numbers, Vo*. II, pp. 165-166. — Прим, nepee.
16
Глава I. Частные случаи
Леонардо Пизанский (Фибоначчи) также привел в 1225 г. инте-
ресный метод нахождения решений.
(1А) Если целые числа a ub таковы, что а > b > 0 и НОД (а, Ь) =
= 1, причем а и Ъ различной четности, то тройка (x,y,z), зада-
ваемая равенствами
х = 2аЬ,
< у = а2-Ь2,
z = а2 + Ъ2,
является примитивным решением уравнения (1.1). Эти соотно-
шения устанавливают взаимно однозначное соответствие меж-
ду множеством пар (а, Ь), удовлетворяющих указанным условиям,
и множеством примитивных решений уравнения (1.1).
Доказательство. Пусть а и b — целые числа, удовлетворяющие
условию утверждения. Определим x,y,z, как указано выше. Тогда
х2 + у2 — 4a2b2 -I- (а2 — Ь2)2 = (а2 -F b2)2 = z2.
Ясно, что х > 0, у > 0, z > 0, х четно и НОД(я,т/,г) = 1, потому
что если d делит х, у и z, то d делит 2а2 и 2Ь2, так что d — 1 или d —
= 2 (поскольку НОД(а,Ь) = 1); но d 2, так как у нечетно (по-
скольку числа а, b имеют разную четность).
Нетрудно видеть, что различным парам (а,Ь) соответствуют
различные тройки (x,y,z).
Обратно, пусть (х, у, z) — примитивное решение уравнения (1.1),
так что х2 4- у2 = z2. Из равенства НОД(х,т/,г) = 1 получаем
НОД(х, z) = 1. Число х четно, значит, z нечетно, а следовательно2,
НОД(г - х, z 4- х) = 1. Поскольку у2 — (z — x)(z 4- х), из разло-
жения на простые множители следует, что z — х и z 4- х являются
квадратами целых чисел, скажем, z 4- х = t2, z — х = и2, причем
t, и должны быть нечетными целыми числами, удовлетворяющи-
ми условию t > и > 0. Пусть а и b — целые числа, такие, что
2а = t 4- и, 2b = t — и, откуда t = а + b, и = а — b и а > Ъ > 0. Тогда
{х = ((а 4- Ь)2 - (а - Ь)2 )/2 = 2аЬ,
у2 = u2t2 — (а - Ь)2(а 4- Ь)2 = {а2 - Ь2)2, так что у — а2 - Ь2,
z = ((а 4- Ъ)2 4- (а - 6)2)/2 = а2 4- Ь2.
2Если d | (z — т) и d | (z 4- z), то d | 2z и d | 2x. Ho d ф 2, a числа x и z
взаимно просты. Значит, d = 1. — Прим, перев.
1.1. Уравнение Пифагора
17
Заметим, что НОД (a, b) = 1, потому что НОД (z — х, z 4- х) — 1, и,
наконец, поскольку t нечетно и а 4- b = t, мы заключаем, что числа
а, Ъ не являются нечетными одновременно. □
Например, наименьшие примитивные решения уравнения (1.1),
упорядоченные по возрастанию значений z, таковы:
(4,3,5),
(20,21,29),
(60,11,61),
(12,5,13),
(12,35,37),
(56,33,65),
(8,15,17),
(40,9,41),
(16,63,65),
(24,7,25),
(28,45,53)
(48,55,73)
Принимая во внимание (1А), найти примитивные решения урав-
нения (1.1) — значит определить, какие нечетные положительные
числа являются суммами двух квадратов целых чисел, и в каждом
случае выписать все такие представления. Ферма доказал, что по-
ложительное число п является суммой двух квадратов целых чисел
тогда и только тогда, когда каждый простой делитель р числа п,
такой, что р =. 3 (mod 4), входит в разложение числа п на простые
множители в четной степени (доказательство см. ниже). Пусть для
каждого целого числа п, которое является суммой двух квадратов
целых чисел, т(п) обозначает число таких упорядоченных пар (а, 6),
что а2 4- Ъ2 = п, причем целые числа а, b не обязательно положи-
тельны. Например, т(1) — 4, г(5) = 8. Якоби и независимо от него
Гаусс доказали, что
т(п) = 4(di(n) - d3(n)),
где di(n) (соответственно с/з(п)) есть количество делителей числа
п, которые сравнимы с 1 по модулю 4 (соответственно сравнимы с 3
по модулю 4) (см. Харди и Райт (1938, с. 241)).
С учетом этого можно в явном виде выписать все примитивные
пифагоровы тройки (я, у, z).
Сейчас мы изложим доказательство Ферма, которое имеет боль-
шое историческое значение. Начнем с очень простого тождества:
(а2 4-Ь2)(с2 4-d2) = (ас 4- bd)2 4- (ad - be)2 (1.2)
— (ас — bd)2 4- (ad 4- be)2.
Теперь докажем такой факт.
(1В) Простое число р является суммой двух квадратов целых
чисел тогда и только тогда, когда р — 2 или р = 1 (mod 4).
Доказательство. Если р 2 и р = а2 4- Ь2, то а и Ь не могут оба
быть четными — в противном случае р делится на 4. Если оба числа
2-27
18
Глава I. Частные случаи
а и b нечетны, то р = 1 -F 1 = 2 (mod 4), поскольку квадрат всякого
нечетного числа сравним с 1 по модулю 4. Таким образом, р = 2.
Если, скажем, а нечетно, а Ъ четно, то р = 1 -I- 0 = 1 (mod 4).
Обратно, 2 = I2 4- I2, поэтому мы можем считать, что р = 1
(mod 4). Из теории квадратичных вычетов известно, что —1 яв-
ляется квадратом по модулю р. Поэтому существует такое число
х, 1 х р — 1, что х2 4-1 = О (mod р), то есть х2 4-1 = гар, где
1 т $ р — 1. Следовательно, множество
{т | 1 т р — 1 и тр = х2 4- у2 для некоторых целых чисел я, у}
непусто. Пусть то — наименьшее целое число в этом множестве,
тогда 1 ttiq р— 1. Мы покажем, что то = 1, а значит, р является
суммой двух квадратов. Предположим противное, т. е. что тпо > 1.
Запишем
х — сто +
у = dmQ +у±,
где —mo/2 < xi,pi то/2 и с,d — целые числа. Заметим, что либо
xi, либо yi отлично от нуля. В противном случае mg делит х2 4-р2 =
= тор, а следовательно, то делит р и, таким образом, то = р, что
невозможно. Но мы имеем 0 < х2 4- у2 гп^/4 + ttiq/4 = тпд/2 < т%
и х2 4- у2 = х2 4- у2 = 0 (mod т0). Поэтому х2 4- у2 = тот1, где
1 тп' < то- Однако тор = х2 4- у2, тот1 = х2 4- у2, а значит,
mgm'p = (х2 4- р2)(х? 4- р?) = (xxt 4- ppi)2 4- (хуг - ухг)2. Также
имеют место равенства
xxi 4- yyi = х(х - ст0) 4- у(у - dmo)
= (х2 4- у2) - mQ(cx 4- yd)
= mot,
xyi ~ yxi = х(у - dm0) - у(х - ст0)
= -mo(xd - ус)
= той
для некоторых целых чисел t,u. Следовательно, т'р = t2 4- и2, где
1 т' < то- Полученное противоречие завершает доказательство.
□
(1С) Натуральное число п является суммой двух квадратов це-
лых чисел тогда и только тогда, когда каждый простой делитель
р числа п, такой, что р = 3 (mod 4), входит в разложение числа
п на простые множители в четной степени.
1.1. Уравнение Пифагора
19
Доказательство. Пусть п = р*1 .. .р^г. Предположим, что kj чет-
но, если pj = 3 (mod 4). Тогда п = п%П1, где «о 1, ni > 1 ИП1
есть произведение различных простых чисел, которые либо равны
2, либо сравнимы с 1 по модулю 4. В силу (1В) каждый множи-
тель числа П1 является суммой двух квадратов. Согласно тожде-
ству (1.2) число П1, а потому и п является суммой двух квадратов.
Обратно, пусть п = х2 4- у2. Если х = 0 или у = 0, то утверж-
дение тривиально. Пусть х,у отличны от нуля, d = НОД(я,р),
тогда d2 делит п. Положим п = d?n', х = dx1, у = dy', откуда
НОД (s', р') = 1 и п1 = х'2 4- у'2. Если р делит п1, то р не делит
х' — в противном случае р также делило бы и у'. Пусть к таково,
что кх' = у1 (mod р)3 *. Тогда х’2 4- у'2 = я'2(1 4- к2) = 0 (mod р).
Таким образом, р делит 1 4- fc2, то есть -1 является квадратом по
модулю р, так что согласно теории квадратичных вычетов р = 2
или р = 1 (mod 4). Получается, что если р7 = 3 (mod 4), то pj не
делит п', а следовательно, р7 делит d, так что показатель kj должен
быть четным. □
Обычно говорят, что прямоугольный треугольник является пи-
фагоровым треугольником, если его стороны измеряются целыми
числами а, Ь, с. Если с — гипотенуза, то с2 = а2 4- Ь2.
По этому вопросу мы рекомендуем книгу Шенкса (1962), кото-
рая содержит интересную главу о пифагореизме и его проявлениях,
а также книгу Серпинского (1962) и статью Мариани (1962).
В 1908 г. Боттари получил другую параметризацию решений
уравнения (1.1). Следующее упрощенное доказательство принадле-
жит Каттанео (1908).
(1D) Пусть а,Ь — взаимно простые нечетные натуральные
числа, и s — некоторое натуральное число. Тогда тройка чисел
задаваемая равенствами
' х = 22в~1а2 4- 2sab,
< у = b2 4- 2sab,
k z = 22s~1a2 4- b2 4- 2sab,
является примитивным решением уравнения (1.1). Эти равен-
ства устанавливают взаимно однозначное соответствие между
множеством троек (a,b,s), удовлетворяющих указанным услови-
ям, и множеством примитивных решений уравнения (1.1).
3Такое число к существует в силу китайской теоремы об остатках, поскольку
Р Л х1. — Прим, перев.
20
Глава I. Частные случаи
Доказательство. Ясно, что если числа х, у, z определены так, как
указано выше, то тройка (x,t/,z) является примитивным решением
уравнения (1.1).
Различные тройки (а, &, з) порождают различные примитивные
решения (x,?/,z), потому что
b2 = z — х,
< 22s-1a2 = z - у,
23аЬ — х + у — z.
Наконец, если (x,t/,z) — примитивное решение, то 0 < х < z, 0 <
< у < z и z < х + у, так как z2 — х2 4- у2 < (х 4- у)2. Отсюда
' х = z — гх,
у — z — V,
z = х 4- у — w,
причем u,v,w > 0. Тогда
г х — v 4- w,
у = u + w,
z — и 4- v 4- w.
Из равенства х2 4- у2 — z2 следует, что w2 = 2uv, а значит, число
w четно. Поскольку НОД (u, v, w) = 1 и х четно, а у нечетно, мы
заключаем, что v четно, а и нечетно. Пусть w = 2awf, v = 2*1/, где
v',w' нечетны, s > l,t 1. Тогда 22sw'2 = 2и-2*и', так что t = 2s —1,
a w'2 = uv', причем НОД(и,и') = 1. Следовательно, числа u,vf
обязательно являются квадратами целых чисел: и = b2, vf = а2, и
потому х = 22з~1а2 4- 23аЬ, у = Ь2 4- 23аЬ, z = 22з~1а2 4- Ь2 4- 23аЪ. □
Также представляет интерес описание решений уравнения
Х24-У2 =1.	(1.3)
Оказывается, решениями в целых числах являются лишь пары
(±1,0),(0,±1).
Мы рассмотрим решения в рациональных числах, а также ре-
шения в поле из р элементов для каждого простого числа р.
Пусть, как обычно, Q — поле рациональных чисел. Для каждо-
го простого числа р обозначим множество {0,1,... ,р — 1} классов
вычетов кольца Z по модулю р через Fp. Так, если a, b 6 Z, то а = b
тогда и только тогда, когда а и b дают один и тот же остаток при
делении на р. Операции сложения и умножения в Fp определяются
следующим образом: х + у = х + у, ху = ху. С этими операциями
1.1. Уравнение Пифагора	21
которые удовлетворяют обычным свойствам, Fp становится полем:
если а € Ер и а ф б, то НОД (а,р) — 1, а значит, существуют г, s € Z,
такие, что ar -F ps — 1. Тогда ar = 1 и класс г является обратным
к а элементом поля Fp. Для простоты можно использовать обозна-
чение х вместо х для элементов поля Fp. Мы докажем результат,
который справедлив для поля Q, а также для каждого поля Fp при
р > 2. Таким образом, пусть F = Q или Fp (при р > 2). (Вооб-
ще говоря, в качестве F можно взять любое поле, характеристика
которого отлична от 2, то есть такое, для которого 14-1^0.)
Пусть оо — символ, оо F. Положим
T = {oo}U{t€F|l + t2^0}.
Определим множество
S = SF = {(х,у) е F х F I X2 + у2 = 1}.
Элементы этого множества являются решениями уравнения (1.3) в
поле F.
Пусть отображение :Т -> F х F определяется равенствами
<р(оо) =(0,-1),
/ 2t l-t2\
:,*(ч = (гг?чт?)-
(1.4)
Заметим, что, поскольку 14-t2 О, элемент 1-Н2 обратим, а значит,
отображение определено корректно.
(1Е) Во введенных обозначениях <р есть взаимно однозначное
отображение изТ в S.
Доказательство. Поскольку
/ 2t \2 /1-*2У ,
U + t2/ + \1 + <2/ ~ ’
p(t) € S для каждого t € F, такого, что 1 + t2 ф 0. Кроме того,
(0,-1) е S, так что <р(Т) С S.
Если t Е F, 14-t2 0, то (1 - t2)/(l 4-t2)	—1, так как 14-1 # 0.
Далее, если ti,	€ F, 1 4-12	0, 1 4-t% # 0, то, как легко видеть,
/ (р(^)- Таким образом, отображение взаимно однозначно
(так как 1 4-1 # 0).
Теперь покажем, что (р(Т) = S. Ясно, что (0, — 1) = ср(оо). Пусть
(ж,р) € S, (х,р)	(0, -1). Если х = 0, то у - 1 и (0,1) ~ <р(0). Если
22
Глава I. Частные случаи
же х 0, то положим t = (1 — р)/т, откуда получим
!-t3=аду-1)
Хл	X*
И	2t	1 -12
1 + t2 ~ x' ГП2 " У'
а следовательно, (x,p) = <p(t), что и завершает доказательство. □
Если F = Q, то 1 4-t2 0 для всех t 6 Q, так что Т = Q U {оо}.
Если F = Fp, где р > 2, то 14-12 = 0 тогда и только тогда, когда —Т
является квадратом по модулю р. Согласно уже упоминавшемуся
результату Ферма число —1 является квадратом по модулю р > 2
тогда и только тогда, когда р = 1 (mod 4).
Пусть Np обозначает число элементов множества S?p.
(IF) Справедливо равенство N2 = 2, и если р > 2, то
N _ f р - 1 при р = 1 (mod 4),
р ~~ | р 4-1 при р = —1 (mod 4).
Доказательство. Так как S?2 = {(0,1), (1,0)}, мы получаем, что
N2 = 2. Пусть р > 2. Если р = 1 (mod 4), то существуют 2 элемента
ti, t2, такие, что t2 4- 1 = t2 4- 1 = 0. Таким образом, выполняется
равенство #(Т) = (р-2)4-1=р — 1, а следовательно, в силу (1Е)
и равенство #(S) = р - 1.
Аналогично, еслир = — 1 (mod 4), то #(Т) = р4-1 и #(S) = р4-1-
□
Список литературы4
Euclid, The Elements, Book X (editor T.L. Heath, 3 volumes),
Cambridge University Press, Cambridge, 1908; reprinted by
Dover, New York, 1956.
1621 Bachet, C. G., Diophanti Alexandrini Arithmeticorum libri sex
et de numeris multangulis liber unus, S.H. Drovart, Paris, 1621,
reprinted by S. de Fermat, with notes by P. de Fermat, 1670.
1676 Frenicle de Bessy, Traite des Triangles Rectangles en Nombres,
Paris, 1676; reprinted in Mem. Acad. Roy. Sci. Paris, 5 (1729),
83-166.
4 Полужирным шрифтом отмечены работы, имеющиеся на русском языке,
список которых приведен на с. 413. — Прим. ред.
1.2. Биквадратное уравнение
23
1863 Gauss, C.F., Zur Theorie der Complexen Zahlen (I), Neue The-
orie der Zerlegung der Cuben, Collected Works, Vol. II, pp. 387-
391, Konigliche Ges. Wiss., Gottingen, 1876.
1908 Bottari, A., Soluzione intere dell’equazione pitagorica e appli-
cazione alle dimostrazione di alcune teoremi della teoria dei nu-
meri, Period. Mat., (3), 23 (1908), 218-220.
1908 Cattaneo, P., Osservazioni sopra due articoli del Signor Amerigo
Bottari, Period. Mat., (3), 23 (1908), 218-220.
1915 Carmichael, R. D., Diophantine Analysis, Wiley, New York, 1915.
1920 Dickson, L. E., History of the Theory of Numbers, Vol. II, Car-
negie Institution, Washington, DC, 1920: reprinted by Chelsea,
New York, 1971.
1938 Hardy, G.H. and Wright, E. M., An Introduction to the Theory
of Numbers, Clarendon Press, Oxford, 1938.
1962 Mariani, J., The group of Pythagorean numbers, Amer. Math.
Monthly, 69 (1962), 125-128; reprinted in Selected Papers in Al-
gebra, Math. Assoc, of America, 1977, pp. 25-28.
1962 Shanks, D., Solved and Unsolved Problems in Number Theory,
Vol. I, Spartan, Washington, DC, 1962; reprinted by Chelsea,
New York, 1978.
1962 Sierpinski, W., Pythagorean Triangles, Yeshiva University, New
York, 1962.
1972 Ribenboim, P., L’Arithmetique des Corps, Hermann, Paris, 1972.
1.2. Биквадратное уравнение
Перейдем теперь к случаю п = 4. Ферма рассматривал вопрос, мо-
жет ли площадь пифагорова треугольника быть квадратом целого
числа (наблюдение к Вопросу 20 Книги VI «Арифметики» Диофан-
та). Это привело его к уравнению
X*-Y* = Z2,	(2.1)
и он доказал (дата неизвестна) следующее утверждение.
(2А) Уравнение (2.1) не имеет решений в целых числах, каждое
из которых отлично от нуля.
Доказательство. Пусть утверждение неверно и (х,у, z) — тройка
натуральных чисел, такая, что х* — у4 — z2, причем х — наимень-
шее возможное число. Тогда НОД(х,т/) = 1, так как если простое
24
Глава I. Частные случаи
число р является общим делителем чисел х и у, то р4 делит z2, сле-
довательно, р2 делит z. Полагая х — рх1, у = ру', z — p2z', получим
х'4 _ у>4 — zf2, Где о < х1 < х, что противоречит выбору тройки
(x,y,z).
Мы можем записать z2 = х4 — у4 = (х2 4- у2)(х2 — у2), причем,
как легко видеть, НОД(х2 + р2,х2 — у2) равен 1 или 2, поскольку
НОД(х,р) = 1. Рассмотрим два случая.
Случай 1: НОД (х2 4- р2,х2 - у2) = 1.
Так как произведение (х2 4- р2)(х2 - у2) является квадратом це-
лого числа, каждое из чисел х2 4- у2 и х2 — у2 есть квадрат целого
числа. Говоря более точно, существуют натуральные числа s и t,
удовлетворяющие условию НОД(з,£) = 1, такие, что
х2 4- у2 = з2,
2	2	^2
* -у -
Отсюда следует, что s и t должны быть нечетны (так как 2х2 =
= s2 4-t2, числа s и t имеют одну и ту же четность, но они не могут
быть оба четными).
Итак, существуют натуральные числа и и и, такие, что
и = (з 4-1)/2,
v = (s - t)/2
и непременно НОД (u, v) = 1, потому что з и t нечетны.
Ясно, что uv = (s2 - t2)/4 = у2/2, откуда у2 = 2uv, Поскольку
НОД (u, v) = 1, существуют натуральные числа I и т, такие, что
и = 2Z2,	( и = I2,
v — тгг	[ v = 2тп.
Рассмотрим лишь первую возможность, так как вторая совершенно
аналогична. Итак, и четно, НОД (и, v, х) = 1 и
Из (1А) следует, что существуют натуральные числа аиЬ, 0<Ь<а,
такие, что НОД(а,Ь) = 1и
' 2l2 =и = 2аЬ,
< тп2 = v = а2 — Ъ2,
L х = а2 4- Ь2.
1.2. Биквадратное уравнение
25
откуда I2 = аЪ. Таким образом, существуют натуральные числа с и
d, такие, что НОД (с, d) = 1 и
( а — с2,
\ b = d2,
а значит, т2 — с4 — d4. Заметим, что 0<с<а<хи тройка
натуральных чисел (с, d, т) является решением рассматриваемого
уравнения, что противоречит выбору числа х как наименьшего из
возможных.
Случай 2: НОД (х2 + у2, х2 - у2) = 2.
Теперь хну нечетны, a z четно. Согласно результату (1А) су-
ществуют такие натуральные числа а, Ь, b < а, что НОД (а, b) = 1 и
( х2 = а2 + Ь2,
< у2 = а2 -Ъ2,
( z — 2аЬ.
Следовательно, х2у2 = а4 - 64, где 0 < а < х, а это противоречит
выбору числа х как наименьшего из возможных. □
Изложенное рассуждение принадлежит Ферма и называется ме-
тодом бесконечного спуска. Этот метод можно сформулировать
так: если бы тройка (xq, j/q, z0) являлась решением уравнения (2.1) в
натуральных числах, то нашлось бы еще одно решение этого урав-
нения в натуральных числах (х1?	2^), где Xi < xq. Повторяя этот
процесс, мы получили бы бесконечную убывающую последователь-
ность натуральных чисел
Xq > Xi > Х2 > • • • ,
что невозможно.
Получим в качестве следствия исходное утверждение Ферма,
предложенное в качестве задачи или упомянутое в письмах Мер-
сенну [для Сен-Круа] (сентябрь 1636 г.), Мерсенну (май 1640 г.),
Сен-Мартену (31 мая 1643 г.), Мерсенну (август 1643 г.), Паскалю
(25 сентября 1654 г.), Дигби [для Валлиса] (7 апреля 1658 г.), Кар-
кави (август 1659г.).
(2В) Площадь пифагорова треугольника не является квадратом
целого числа.
Доказательство. Пусть а, 6, с — стороны пифагорова треуголь-
ника, причем с — его гипотенуза. Тогда с2 = а2 + 62.
26
Глава I. Частные случаи
Предположим, что площадь является квадратом целого числа з:
ab/2 = s2. Тогда	п
( (а + Ь)2 = с2 + 4s2,
[ (а - Ъ)2 = с2 — 4s2.
Следовательно, (а2 —62)2 — с4 — (2s)4, азначит, уравнениеX4 —У4 -
= Z2 имеет нетривиальное решение в целых числах, что противо-
речит утверждению (2А). □
Приведем еще одно утверждение, предложенное в качестве за
дачи или упомянутое в письмах Мерсенну [для Сен-Круа] (сентябрь
1636г.), Мерсенну (1638г.), Мерсенну (май 1640г.).
(2С) Уравнение
X4 + У4 = Z4	(2.2)
не имеет решений в целых числах, каждое из которых отлично
от 0.
Доказательство. Если х,у и z — отличные от нуля целые чис-
ла, такие, что х4 + т/4 = z4, то z4 — т/4 — (т2)2, что противоречит
утверждению (2А). □
Изложенные результаты были заново получены Эйлером (1770)
и Лежандром (1808, 1830).
Сопряженным к (2А) является следующий результат (см. явное
доказательство Эйлера, 1770).
(2D) Уравнение
X4 + У4 = Z2	(2.3)
не имеет решений в целых числах, каждое из которых отлично
от 0.
Доказательство. Пусть утверждение неверно и тройка натураль-
ных чисел (x,y,z) такова, что х4 4- у4 = z2, причем число z -
наименьшее из возможных. Как и при доказательстве утвержде-
ния (2А), можно считать, что НОД (х,у) = 1. Заметим также, что х
и у не могут быть одновременно нечетными, иначе z2 = х4 4- у4 =. 2
(mod 4), а это невозможно. Итак, можно, например, считать число
х четным.
Из равенства (т2)2 4- (у2)2 = z2 следует, что тройка (x2,y2,z)
является примитивным решением уравнения (1.1). Согласно (1А)
1.2. Биквадратное уравнение
27
существуют целые числа а и Ь, такие, что а > b > О, НОД (а, Ь) = 1,
хотя бы одно из чисел а и b четно и
х2 = 2а6,
< у2 = а2 — 62,
z = а2 4- Ь2.
Более того, число Ь должно быть четным. Действительно, если
Ъ нечетно, то а четно и у2 = а2 — b2 = —1 (mod 4), что невозможно.
Теперь рассмотрим соотношение Ь2 4- у2 — а2, где у,Ь,а — на-
туральные числа, Ь четно и НОД (6, у, а) = 1. Согласно (1А) суще-
ствуют целые числа с, d, такие, что с > d > О, НОД (с, d) = 1, числа
end имеют различную четность и
b = 2cd,
< у = с2 — cP,
а = с2 4- d2.
Следовательно, х2 = 2ab = 4cd(c2 4- d2). Но числа c,d, с2 4- d2
попарно взаимно просты. Разлагая х2 в произведение простых мно-
жителей, заключаем, что c,d, с2 4- d2 суть квадраты натуральных
чисел, скажем,
с = р2,
d — q2,
с2+(Р =г2.
Следовательно,
p44-g4=r2,	(2.4)
то есть тройка (р, g,r) является решением уравнения (2.3). Но
z = а2 4- Ь2 = (с2 4- d2)2 4- 4с2сР > г4 > г (так как г > 1). Это
противоречит выбору числа z как наименьшего из возможных и
завершает доказательство. □
Другие доказательства теоремы Ферма для показателя 4 даны
авторами, указанными в табл. 1. Теперь приведем утверждение,
равносильное теореме Ферма для показателя 4 (см. Врэнчеану,
1979).
(2Е) Следующие утверждения равносильны.
(1) Последняя теорема Ферма имеет место для показателя 4.
(2) Для любого отличного от нуля целого числа т уравнение
2Х4 — тУ(т2 4- У2) имеет в отличных от нуля целых чис-
лах лишь решения (m,m) и (—т,т).
28
Глава I. Частные случаи
Таблица 1. ПТФ для показателя 4
Автор	Год
Френикль де Бесси	1676
Эйлер	1738 (опубл, в 1747), 1771
Кауслер	1795/6 (опубл, в 1802)
Барлоу	1811
Лежандр	1823, 1830
Шопи	1825
Теркем	1846
Бертран	1851
Лебег	1853, 1859, 1862
Пепен	1883
Тафельмахер	1893
Бендц	1901
Гамбиоли	1901
Кронекер	1901
Банг	1905
Боттари	1908
Рыхлик	1910
Нутцхорн	1912
Кармайкл	1913
Врэнчеану	1966
Доказательство. (1) => (2) Пусть тп 0. Предположим, что
существуют отличные от нуля целые числа u,t, такие, что 2и4 =
= mt(m2 4- t2). Положим х = 2и, у = t — m, z = t + т. Тогда
z4-?/4 = (z-7/)(z4-t/)(z2 4-t/2) — 2m-2t(2t2 + 2m2) = 8mt(t2 + т2) =
= 16u4 = x*.
По условию xyz = 0. Если x = 0, то у = ±z, откуда т = 0
или t = 0, что противоречит предположению. Если у = 0, то t —
= т, х = ±z, откуда и = ±т. Если же z = 0, то х = 0, что снова
противоречит предположению.
(2) => (1) Если х4 4- у* = z4, то 2х4 = 2(z4 - у4) = 2(z - т/)х
x(z4-t/)(z24-?/2) = (z-t/)(z4-?/) [(z - у)2 4- (z 4- у)2]. Тогда, положив
т = z—у, получим, что t = z+y, и — х удовлетворяют соотношению
2u4 — mt(m2 4-12). Если одно из чисел тп, и или t равно 0, то х = 0.
Если же mtu 0, то по предположению t = т, откуда у = 0, что
невозможно. □
1.2. Биквадратное уравнение
29
В завершение настоящего раздела продемонстрируем, как при-
меняется приведенный выше метод для решения некоторых подоб-
ных диофантовых уравнений.
(2F) Уравнение
X4 - 4У4 = ±Z2
не имеет решений в отличных от нуля целых числах.
Доказательство. Достаточно рассмотреть уравнение X4 — 4Y4 =
= Z2. Действительно, если х, у, z — отличные от нуля целые числа,
такие, что х4 — 4у4 = -z2, то 4х4 - (2т/)4 = —(2z)2, откуда (2т/)4 —
— 4х4 = (2z)2 и тройка (2т/,х, 2z) есть решение первого уравнения.
Далее, если натуральные числа x,?/,z таковы, что х4 — 4у4 — z2
и НОД (ж, т/, z) = 1 (как можно считать без ограничения общности),
то существуют такие целые числа а, Ь, а > b > 0, что
2у2 = 2аЬ,
< z = а2 - Ь2,
х2 = а2 + Ь2.
Из условия НОД (а, Ь) = 1 следует, что а и b являются квадратами
целых чисел, скажем, а = с2, b = d2. Следовательно, х2 = с4 4- d4,
что невозможно согласно (2D). □
Следующее утверждение принадлежит Лежандру.
(2G) Пусть целые числа x,y,z отличны от нуля и
х4 4- у4 = 2z2.
Тогда х2 = у2 и z2 = х4.
Доказательство. Из соотношений
4z4 = (х4 4- т/4)2 = (х4 - у4)2 4- 4х4у4
следует, что
(в частности, х4 — у4 четно). Поскольку x,?/,z отличны от нуля,
согласно (2А) мы имеем х4 = у4, а значит, х2 = у2. Следовательно,
г2 = х4. □
(2Н) Пусть x,y,z — такие отличные от нуля целые числа, что
2х4 4- 2t/4 — z2. Тогда х2 — у2, z2 = 4х4.
30
Глава I. Частные случаи
Доказательство. Умножив имеющееся равенство на 8, получим
(2х)4 -I- (2т/)4 = 2(2z)2. Согласно (2G) справедливы соотношения
(2х)2 = (2т/)2 и (2z)2 = (2х)4, следовательно, х2 = у2, z2 = 4х4. □
Следующий результат принадлежит Люка (1877). Мы предста-
вим более простое доказательство Облафа (1952).
(21) Уравнение
4Х4 - 1 = ЗУ4
имеет в целых числах лишь тривиальные решения (±1,±1).
Доказательство. Пусть целые числа х,у таковы, что Зт/4 = 4х4 -
— 1 = (2х2 4- 1)(2я2 — 1). Так как 2х2 — 1^0 (mod 3), существуют
целые числа а и Ь, такие, что 2х2 4-1 = За4, 2х2 - 1 = Ь4. Согласно
(2G) последнее уравнение имеет лишь решения я = ±1,Ь = ±1,
откуда у = ±1. □
Список литературы
Fermat, Р., Ad problema XX commentarii in ultimam questionem
Arithmeticorum Diophanti. Area trianguli rectanguli in numeris
non potest esse quadratus. Oeuvres, Vol. I, p. 340 (in Latin), Vol.
Ill, pp. 271-272 (in French). Publiees par les soins de MM. Paul
Tannery et Charles Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1891, 1896.
Fermat, P., Commentaire sur la question 24 du Livre VI de Dio-
phante. Oeuvres, Vol. I, pp. 336-338 (in Latin), Vol. Ill, pp.
270-271 (in French). Publiees par les soins de MM. Paul Tannery
et Charles Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1891, 1896.
1636 Fermat, P., Lettre a Mersenne [pour Sainte-Croix] (Sept. 1636).
Oeuvres, Vol. Ill, pp. 286-292. Publiees par les soins de MM.
Paul Tannery et Charles Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1896.
1638 Fermat, P., Lettre de Fermat a Mersenne (debut Juin, 1638).
Correspondence du Pere Marin Mersenne, Vol. 7, pp. 272-283.
Commencee par Mme. Paul Tannery, publiee et annotee par Cor-
nells de Waard. Ed. du C.N.R.S, Paris, 1962.
1640 Fermat, P., Lettre a Mersenne (Mai ?, 1640). Oeuvres, Vol. II,
pp. 194-195. Publiees par les soins de MM. Paul Tannery et
Charles Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1894.
1643 Fermat, P., Lettre a Saint-Martin (31 Mai, 1643). Oeuvres, Vol.
II, pp. 258-260. Publiees par les soins de MM. Paul Tannery et
Charles Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1894.
1.2. Биквадратное уравнение
31
1643 Fermat, Р., Lettre a Mersenne (Aout, 1643). Oeuvres, Vol. II, pp.
260-262. Publiees par les soins de MM. Paul Tannery et Charles
Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1894.
1654 Fermat, P., Lettre a Pascal (25 Septembre, 1654). Oeuvres, Vol.
II, pp. 310-314. Publiees par les soins de MM. Paul Tannery et
Charles Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1894.
1658 Fermat, P., Lettre a Digby [for Wallis] (7 Avril, 1658). Oeuvres,
Vol. II, pp. 374-378. Publiees par les soins de MM. Paul Tannery
et Charles Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1894.
1659 Fermat, P., Lettre a Carcavi (Aout, 1659). Relation des nouvelles
decouvertes en la science des nombres. Oeuvres, Vol. II, pp.
431-436. Publiees par les soins de MM. Paul Tannery et Charles
Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1894.
1676 Frenicle de Bessy, Traite des Triangles Rectangles en Nombres,
Vol. I, Paris, 1676; reprinted in Mem. Acad. Roy. Sci. Paris, 5
(1729), 1666-1699.
1738 Euler, L., Theorematum quorundam arithmeticorum demonstra-
tiones, Comm. Acad. Sci. Petrop., 10 (1738) 1747, 125-146; also
in Opera Omnia, Ser. I, Commentationes Arithmeticae, Vol. I,
pp. 38-58. Teubner, Leipzig, 1915.
1770/1 Euler, L., Vollstdndige Anleitung zur Algebra, 2 volumes. Royal
Acad. Sci., St. Petersburg. French translation with notes of M.
Bernoulli and additions of M. de LaGrange, Kais. Acad. Wiss.,
St. Petersburg, 1770; English translation by Rev. J. Hewlitt,
Longman, Hurst, Rees, Orme, London, 1822. Also in Opera Om-
nia, Ser. I, Vol. I, pp. 437ff. Teubner, Leipzig, 1911.
1777 Lagrange, J.L., Sur quelques problemes de I’analyse de Diophante.
Nouveaux Mem. Acad. Sci. Belles Lettres, Berlin, 1777;
reprinted in Oeuvres, Vol. IV (publiees par les soins de M. J.-
A. Serret), pp. 377-398, Gauthier-Villars, Paris, 1869.
1802 Kausler, C.F., Nova demonstratio theorematis nec summam, nec
differentiam duorum biquadratorum biquadratum esse posse, Novi
Acta Acad. Petrop., 13 (1795/6), 1802, 237-244.
1808 Legendre, A.M., Essai sur la Theorie des Nombres (2е edition),
p. 343, Courcier, Paris, 1808.
1811 Barlow, P., An Elementary Investigation of Theory of Numbers,
pp. 144-145, J. Johnson, St. Paul’s Church-Yard, London, 1811.
1825 Schopis, Einige Satze aus der unbestimmten Analytik, Programm,
Gummbinnen, 1825.
32
Глава I. Частные случаи
1830 Legendre, А.М., Theorie des Nombres (3е edition), Vol. II, p.
5, Firmin Didot Freres, Paris, 1830; reprinted by A. Blanchard,
Paris, 1955.
1846 Terquem, O., Theoremes sur les puissances des nombres, Nouv.
Ann. Math., 5 (1846), 70-87.
1851 Bertrand, J., Traite Elementaire d’Algebre, pp. 217-230 and 395,
Hachette, Paris, 1851.
1853 Lebesgue, V.A., Resolution des equations biquadratiques z2 =
x4 ± 2my*, z2 = 2mx4 - 0, 2mz2 = x4 ± y\ J. Math. Pures
Appl., 18 (1853), 73-86.
1859 Lebesgue, V.A., Exercices d}Analyse Numerique, pp. 83-84 and
89, Leiber et Faraguet, Paris, 1859.
1862 Lebesgue, V.A., Introduction a la Theorie des Nombres, pp. 71 -
73, Mallet-Bachelier, Paris, 1862.
1877 Lucas, E., Sur la resolution du systeme des equations 2v2 — u2 =
w2 et 2v2 + u2 = 3z2, Nouv. Ann. Math., 2e serie, 36 (1877),
409-416.
1883 Pepin, T., Etude sur Гequation indeterminee ax* 4- by* = cz2,
Atti Accad. Naz. Lincei, 36 (1883), 34-70.
1893 Tafelmacher, W.L.A., Sobre la ecuacion x* + t/4 = z*, Ann. Univ.
Chile, 84 (1893), 307-320.
1901 Bendz, T.R., Ofver diophantiska ekvationen xn + yn = zn,
Almqvist & Wiksells Boktrycken, Uppsala, 1901.
1901 Gambioli, D., Memoria bibliografica sulVultimo teorema di Fer-
mat, Period. Mat., 16 (1901), 145-192.
1901 Kronecker, L., Vorlesungen uber Zahlentheorie, Vol. I, pp. 35-
38, Teubner, Leipzig, 1901; reprinted by Springer-Verlag, Berlin,
1978.
1905 Bang, A., Nyt Bevis for at Ligningen x4 — t/4 = z4; ikke kan have
rationale L0singer, Nyt Tidsskrift Mat., 16B (1905), 35-36.
1908 Bottari, A., Soluzione intere delVequazione pitagorica e apph-
cazione alia dimostrazione di alcune teoremi della teoria dei nu-
meri, Period. Mat., 23 (1908), 104-110.
1910 Bachmann, P., Niedere Zahlentheorie, Vol. II, Teubner, Leipzig,
1910; reprinted by Chelsea, New York, 1968.
1910 Rychlik, K., On Fermat's last theorem for n = 4 and n = 3 (in
Bohemian), Casopis Pest. Mat., 39 (1910), 65-86.
1912 Nutzhorn, F., Den ubestemte Ligning x* + y* = z4, Nyt Tidsskrift
Mat., 23B (1912), 33-38.
1.3. Гауссовы числа
33
1913 Carmichael, R.D., On the impossibility of certain Diophantine
equations and systems of equations, Amer. Math. Monthly, 20
(1913), 213-221.
1915 Carmichael, R.D., Diophantine Analysis, Wiley, New York, 1915.
1952 Obl&th, R., Uber einige unmogliche diophantische Gleichungen,
Matem. Tidsskrift Ser. A (1952), 53-62.
1966 Vranceanu, G., Asupra teorema lui Fermat pentru n = 4, Gaz.
Mat. Ser. A, 71 (1966), 334-335; reprinted in Opera Matematica,
Vol. 4, pp. 202-205, Edit. Acad. Rep. Soc. Romana, Bucure§ti,
1977.
1977 Edwards, H.M., Fermat’s Last Theorem, A Genetic Introduction
to Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1977.
1979 Vranceanu, G., Une interpretation geomttrique du theoreme de
Fermat, Rev. Roumaine Math. Pures AppL, 24 (1979), 1137-
1140.
1.3.	Гауссовы числа
В этом разделе мы докажем, что уравнение X4 + Y* = Z2 не
имеет решений в отличных от нуля целых числах из гауссова
поля. В явном виде этот результат содержится в работе Гильберта
<Zahlbericht» (1897, теорема 169) (см. также Зоммер (1907) и Хен-
кок (1931)).
Множество комплексных чисел вида а — а -I- Ы, где г =	1 и
a,b Е Q, составляет гауссово поле К = Q(z). Числа а = а + Ы, где
a,b Е Z, называются целыми гауссовыми числами. Они образуют
кольцо, обозначаемое через А = Z[z].
Пусть а,/3 Е К. Будем говорить, что (3 делит а, если найдется
такое целое гауссово число 7, что а = ^7. В этом случае будем
писать /? | а. Два отличных от нуля целых гауссовых числа а, /3
называются ассоциированными, если а делит /3 и /3 делит а; в таком
случае будем писать а ~ /3. Целые гауссовы числа, ассоциированные
с 1, называются (гауссовыми) единицами. Легко видеть, что они
равны ±1, ±i.
Отличное от нуля целое гауссово число а называется простым,
если оно не является единицей и все целые гауссовы числа, деля-
щие а, суть единицы или ассоциированные с а. В поле гауссовых
чисел каждое отличное от нуля целое гауссово число а является
произведением простых целых гауссовых чисел: а = 7172 • • • 7s- Это
Разложение единственно в следующем смысле: если также суще-
3-27
34
Глава I. Частные случаи
ствует разложение а = <51<?2 ... <5*, где каждое <5< — простое целое
гауссово число, то s = t и можно так изменить порядок в произве-
дении (если требуется), чтобы 7< и <5< были ассоциированными для
всех г = 1,..., s.
Следовательно, можно очевидным способом определить наи-
больший общий делитель отличных от нуля целых гауссовых чи-
сел, который будет единственным с точностью до умножения на
единицу.
Пусть а,/3,7 — гауссовы числа, причем 7	0. Будем писать
а = Р (mod 7), если 7 делит а — /3. Отношение сравнения = удовле-
творяет тем же свойствам, что и для обычных целых чисел. Целое
гауссово число Л = 1 — i простое, причем 2 — гЛ2, откуда Л2 | 2, но
Л3 / 2. Легко видеть, что 1 4- i — i(l — г) = г А.
Существует в точности четыре различных класса чисел, срав-
нимых между собой по модулю 2, а именно классы, содержащие
0, 1, г и Л. В самом деле, эти числа попарно несравнимы по моду-
лю 2. С другой стороны, так как числа а и Ъ четны, число а+bi срав-
нимо с 0, 1, г или Л по модулю 2. В частности, если Л /а = а + Ьг, то
а = 1 (mod 2) или а = i (mod 2). Тогда а2 = ±1 (mod 4) и а4 = 1
(mod 8), то есть а4 = 1 (mod Л6), так как 8 — —г А6.
Теперь мы готовы доказать следующий результат.
(ЗА) Уравнение
X4 + Y4 = Z2
не имеет решений в целых гауссовых числах, каждое из которых
отлично от нуля.
Доказательство. Пусть £,т/,0 € Z[i] отличны от нуля и таковы,
что £4 4- т/4 = 02. Без ограничения общности можно полагать, что
НОД (£,7?) = 1. Действительно, если 6 — НОД(£,т/), то £ = т/ =
— 6rf, где £',т/ 6 Z[i], НОД(£', т/) = 1. Значит, б4 делит 02 и, таким
образом, 62 делит 0, то есть 0 = 620', где О1 Е Z[i]. Следовательно,
f4 + Т)'4 = в'2, где НОД (Г,»?') = 1.
Поскольку НОД (£, т?) = 1, числа £, т/, 0 попарно взаимно просты.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: Л не делит
Согласно сделанному замечанию f4 ~ 1 (mod А6) и т/4 = 1
(mod Л6), поэтому О2 = £4 + т/4 = 2 (mod Л6). Из соотношения
2 = гЛ2 следует, что А2 | 02, а значит, Л | 0. Однако Л2 /0, потому
что Л4 /2. Таким образом, 0 — А01, где А /01. Из этого представле-
1.3. Гауссовы числа
35
ния следует, что А202 = 2 = г A2 (mod Л6), поэтому 02 = г (mod Л4)
и следовательно, (% = — 1 (mod Л6), так как Л4 ~ 4, А6 ~ 8. Однако
А/01, поэтому 0f = 1 (mod А6). Вычитая полученные сравнения,
приходим к выводу, что 2 = 0 (mod А6), а это невозможно.
Случай 2: А делит $.
В этом случае А / т/0. Представим £ в виде $ = Amf', где
m 1,	€ Z[i] и А / $'. Нам достаточно доказать следующее утвер-
ждение.
Пусть п 1 и е — единица в Z [г] (то есть е = ±1 или ±г). Пусть,
далее, существуют попарно взаимно простые числа а,/3,7 6 Z[i], не
кратные А, такие, что еА4па4 4- /З4 = 72. Тогда
(а)	п 2;
(Ь)	существуют единица и такие попарно взаимно простые чис-
ла ai,j8i,7i 6 Z[i], не кратные А, что
£1А4<п-1)^ + ^ = 712.
Предположение имеет место для n = m, е = 1,а = $,,/3 = 77, 7 =
= 0. Несколько раз применив приведенное утверждение, найдем
единицу е1 и попарно взаимно простые числа а',/3',7' Е Z[i], не
кратные А, такие, что
е'А4а'4 + 0'4 = У2.
Это противоречит п. (а) нашего утверждения.
Сначала покажем, что п 2. Действительно, eA4na4 4- /З4 — 1 =
= 72 — 1, и, так как А J/З, мы получаем /З4 = 1 (mod А6), а поэтому
72 = 1 (mod А4). Но А /7, следовательно, 7 = г (mod А2) или 7 = 1
(mod А2). В первом случае 72 = — 1 (mod А4), откуда следует, что
А4 делит 2, что противоречит предположению. Итак, 7 — 1 = А2д,
где д Е Z[i], и, следовательно, 74-1 = А2д 4-2 = А2(д 4- г). Но
Д = i (mod А) вне зависимости от того, является ли А делителем
числа д, потому что 1 = i (mod А); значит, д = — г (mod А). Мы
показали, что в любом случае А | д(д4-г), поэтому А5 делит 72 — 1 =
s А4д(д 4- г), откуда следует, что А5 делит eA4na4 4- (/З4 — 1). Но А6
Делит /З4 — 1, А / а, а поэтому А5 | А4п, следовательно, п 2.
Теперь докажем утверждение п. (Ь). Нетрудно видеть, что
еХ4па4 — 72 — /З4 = (7 - /32)(7 4- /З2). Заметим, что НОД (7 - /З2,
7 + (З2) = А2. Действительно, А должно делить хотя бы один из
множителей в правой части, а значит, оно делит оба сомножителя,
потому что (7 4- /З2) — (7 - /З2) = 202 кратно А2. Так как А4 делит
36
Глава I. Частные случаи
правую часть, Л2 непременно делит оба сомножителя:
( у зр fi2 = X2v,
( 7±/32 = A4n~2i/,
где v,v' € Z[i] и НОД(р,у1) — 1. Следовательно, eA4na4 = X^nvv'
и, так как разложение на множители единственно с точностью до
умножения на единицу, р, у' должны быть четвертыми степенями
с точностью до умножения на единицу: у = у1 = где
к, к' € Z[i], НОД(к, к') = 1, си,о/ — единицы. Таким образом,
( у^/32=шХ2^,
| 7±/32 =оУЛ4п-2к'4.
Вычитая из второй пары равенств первую, получим
±2/32 = а/А4"-2«'4 — о?А2«4.
Следовательно,
зЬ/32 = —ш}'Х*п~4к'* 4- гсик4,
откуда
I \4(n—1) /4 I 4 _ /э2
Л	Kj i Cui К/ — р ,
где единицы имеют вид	cji = геи. Покажем, что cji = 1, из
чего будет следовать утверждение п. (Ь). Из условия п 2 следует,
что Л4 | ((З2 - cjik4). Однако Л //3, поэтому Л / к, а следовательно,
к4 = 1 (mod Л6), так что Л4 | (/З2 — lji). Но Л6 делит /З4 — 1 —
= (/32 - 1)(/32 + 1), поэтому/З2 = 1 или -1 (mod Л4). Это значит, что
gui = ±1. Если cji = — 1, то, умножив на —1, получим соотношение
-ЦА4^-1^'4 +«4 = (i/3)2.
Итак, рассмотрев все случаи, мы установили справедливость утвер-
ждения п. (Ь), что и завершает доказательство. □
Список литературы
1897 Hilbert, D., Die Theorie der algebraischen Zahlkorper, Jahresber.
Deutsch. Math.-Verein., 4 (1897), 175-546; reprinted in Gesam-
melte Abhandlungen, Vol. I, Chelsea, New York, 1965.
1907 Sommer, J., Vorlesungen uber Zahlentheorie, Teubner, Leipzig,
1907.
1931 Hancock, H., Foundations of the Theory of Algebraic Numbers,
Vol. I., Macmillan, New York, 1931.
1.4. Кубическое уравнение
37
1.4. Кубическое уравнение
ферма поставил задачу показать, что куб не может быть равен сум-
ме двух отличных от нуля кубов. См. письма Мерсенну [для Сен-
Круа] (сентябрь 1636 г.), Мерсенну (май 1640 г.), Дигби [для Валли-
са] (7 апреля 1658 г.), Каркави (август 1659 г.), приведенные в списке
литературы к разд. 1-2; см. также письмо к Дигби [для Броункера]
(15 августа 1657г.).
Эйлер нашел доказательство этого утверждения. Оно основы-
валось на методе бесконечного спуска и было представлено в его
книге по алгебре, опубликованной в 1770 г. в Санкт-Петербурге и
переведенной в 1802 г. на немецкий, а в 1822 г. на английский язык.
Однако в результате критического изучения доказательства Эйлера
был обнаружен важный пробел, связанный со свойствами делимо-
сти целых чисел вида а2 4- 362. Заметим, что еще в своей статье от
1760 г. Эйлер строго доказал, что если нечетное простое число р де-
лит а2 4- ЗЬ2 (где а и b — отличные от нуля взаимно простые целые
числа), то существуют целые числа и, v, такие, что р = и2 4-3v2. Тем
не менее, Эйлер не доказал полностью лемму 4.7, необходимую для
доказательства главного утверждения. На страницах своей книги
(1808, 1830) Лежандр приводит доказательство Эйлера без доведе-
ния деталей рассуждения до конца.
В 1875 г. вышла объемная статья Пепена, посвященная числам
вида а 4- byf^c. Автор указал на моменты, которые не были до-
статочно обоснованы Эйлером, когда тот рассматривал числа вида
а2 + сб2, в частности при с — 1,2,3,4,7. Шумахер (1894) в явном
виде отметил недостающее звено в рассуждениях. В 1901 г. Ландау
предложил строгое доказательство; ту же цель преследовала и ста-
тья Холдена (1906), а в 1915 г. подробное доказательство вновь было
представлено в книге Кармайкла5. В 1966г. Бергман опубликовал
статью, в которой подверг доказательство Эйлера историческому
рассмотрению и тщательному анализу. Далее, в 1972 г. Р. Лежандр
указал, что рассуждения Эйлера были несовершенными. Это дока-
зательство также обсуждается в книге Эдвардса (1977).
(4А) Уравнение
№ + У3 + Z3 = 0	(4.1)
имеет лишь тривиальные решения в целых числах.
5 Предложенное Пизой (1955) упрощение доказательства Эйлера содержит
ошибку, как указал Иф (1956).
38
Глава I. Частные случаи
Доказательство. Предположим, что х, у и z — отличные от нуля
попарно взаимно простые целые числа, такие, что х3 4- р3 4- z3 = 0.
Тогда они должны быть различными (потому что 2 не является
кубом) и ровно одно из них четно, скажем, х,у нечетны, a z четно.
Из всех решений с такими свойствами выберем то, для которого
значение |z| минимально.
Наша цель — указать такие отличные от нуля попарно взаимно
простые целые числа Z,m,n, что I3 4-тп3 4-п3 = 0, п четно и |n| < |z|.
Тогда мы получим противоречие. Так как числа х 4- у, х — у четны,
существуют целые числа а и Ь, такие, что 2а = х + у, 2Ь — х — у.
Отсюда х = а + b, у = а — b и, следовательно, а, Ь 0, НОД (а, d) =
= 1, причем а и b имеют различную четность.
Легко видеть, что справедлива цепочка равенств
—z3 = х3 4- р3 = (а 4- Ь)3 4- (а — Ь)3 — 2а(а2 4- 3d2).
Но а2 4- 3d2 нечетно, a z четно, откуда следует, что z3 кратно 8, а
значит, 2а кратно 8 и, следовательно, b нечетно. Нетрудно прове-
рить, что НОД (2а, а2 4- 3d2) равен 1 или 3. В самом деле, если р —
такое простое число, что рк (к 1) делит 2а и а2 4- 3d2, то р 2,
откуда следует, что рк дрлмт а, а значит, и 3d2; но d не кратно р,
поэтому к = 1 и р — 3.
Теперь рассмотрим два случая.
Случай 1: НОД (2а, а2 4- 3d2) = 1.
Тогда а не делится на 3. Из равенства — z3 = 2а(а2 4- 3d2), учи-
тывая единственность разложения целых чисел на простые множи-
тели, получим, что 2а и а2 4- 3d2 являются кубами:
( 2а = г3,
| а2 4-3d2 = s3,
где s нечетно и не кратно 3. Здесь мы воспользуемся утверждени-
ем, которое обоснуем позже: если s нечетно и s3 = а2 4 3d2, где
НОД(а^) = 1, то s также должно иметь вид s = и2 4- 3v2, где
и, v € Z и
( а = и(и2 — 9v2),
[ d = 3v(u2 - v2).
Тогда v нечетно, и четно (потому что d нечетно), и 0, и не кратно 3
(так как а не кратно 3) и НОД(и,г?) = 1. Следовательно, числа
2и, и 4- Зг>, и — Зг попарно взаимно просты и, поскольку г3 — 2а —
1.4. Кубическое уравнение	39
= 2и(и — 3v)(u 4- 3v), мы можем заключить, что 2и, и — Sv, и 4- Зи
являются кубами:
2и = -п3,
< и — Sv = I3,
и 4- Sv = т3,
причем 1,т,п отличны от 0 (так как и не кратно 3) и попарно вза-
имно просты. Отсюда заключаем, что
I3 4- т3 4- п3 = О,
где п четно. Теперь покажем, что |z| > |nl. В самом деле,
|z|3 = |2а(а2 4- 362)| = |n3(u2 — 9v2)(a2 4- 362)|	З|п31 > |п3|,
потому что и2 — 9v2 = 13т3	0 и b О, так как Ъ нечетно. Это
противоречит минимальности |z|.
Случай 2: НОД (2а, а2 4- 362) = 3.
Представим а в виде а = Зс. Таким образом, с четно и, более
того, с кратно 4, в то время как Ъ не кратно 3 (так как а и Ь вза-
имно просты). Итак, —z3 = бс(9с2 4- 362) = 18с(3с2 4- д2), причем
НОД (18с, Зс2 4- b2) = 1. В самом деле, с четно, b нечетно, а следо-
вательно, Зс2 4- Ъ2 нечетно, Зс2 4- Ь2 не кратно 3 и НОД (6, с) = 1.
Принимая во внимание единственность разложения целых чисел на
простые множители, получим, что 18с и Зс2 4- Ь2 являются кубами:
f 18с = г3,
} Зс24-&2 = s3,
где s нечетно и г не кратно 3. Согласно тому же указанному ре-
зультату s — и2 4- 3v2, где и, v Е Z и
f b = и(и2 — 9v2),
I с = 3v(u2 - v2).
Таким образом, и нечетно, v четно (так как Ь нечетно), v О,
НОД(и,г;) = 1. Кроме того, числа 2v, и 4- v, и — v попарно вза-
имно просты. Поскольку г3 = 18с = 54v(u 4- v)(u — v), мы можем
заключить, что (г/З)3 = 2v(u 4- v)(u — v) и 2v, u + v,u — v являются
кубами:
{2v = -n3,
и 4- v = I3,
u — v = —m.
40
Глава I. Частные случаи
Таким образом, Z3 + т3 + п3 = 0, где Z,m,n отличны от 0 и п
четно. Теперь покажем, что |z| > |п|. В самом деле,
|z|3 = 18|с|(3с2 + Ь2)
= 54|v(u2 — t>2)| (Зс2 + 62)
= 27|n|3|u2 - v2|(3c2 + Ь2)
> н3.
Так как и2 — V2 = — 13т3 / 0, мы получаем 13с2 + 62|	1. Это снова
противоречит выбору значения |z| как наименьшего из возможных.
□
Нам осталось обосновать возможность представления s в виде
s = и2 4- 3v2. Для этой цели воспользуемся приемом, который был
известен еще Ферма, когда он изучал целые числа вида и2 4- 3v2.
Пусть S — множество целых чисел вида а2 4- 362 (a, b Е Z). Мно-
жество S замкнуто относительно умножения, так как
(а2 4- ЗЬ2)(с2 4- 3d2) = (ас ± ЗМ)2 4- 3(ad 4= be)2 (4.2)
(равенство имеет место для согласованных знаков).
Лемма 4.1. Пусть простое число р отлично от 2 и 3. Тогда
следующие условия равносильны:
(1)	р = 1 (mod 6);
(2)	—3 есть квадрат по модулю р;
(3)	многочлен X2 4- X 4-1 имеет корень в Fp.
Доказательство. Чтобы доказать эквивалентность высказыва-
ний (1) и (2), вычислим символ Лежандра, используя квадратичный
закон взаимности Гаусса:
(v) = (4) (!)=<-i)^,)/2(-i)(’-,)/2 (2)=(D.
\ Р /	\ Р J \pj	'3/	\3/
Итак, (—3/р) = 4-1 тогда и только тогда, когда р = 1 (mod 3), тс
есть р = 1 (mod 6).
Чтобы доказать равносильность высказываний (2) и (3), преоб-
разуем наш многочлен:
Если существует a € Fp, такое, что a24-a4-l = 0, то —3 = 4 (а 4- |)~-
Обратно, если — 3 = /З2, где /3 € Fp, положим а = — | 4- /?/2, откуда
получим а2 4- а 4- 1 = 0. □
1.4. Кубическое уравнение
41
Лемма 4.2. Пусть целое число к отлично от нуля, а число р
простое, причем р = с2 4- 3d2 € S, рк = а2 4- 362 € S. Тогда р делит
ас ± 3bd и ad be (где знаки согласованы) и
. f ac±3bd\2 f ad^pbc\2 _
к = -------- 4-3 —6 S.
\ Р /	\ Р /
Доказательство. Согласно тождеству (4.2) мы имеем
(a2+3&2)(c2 + 3d2) _ /ас±ЗМ\2 / ad^bc\2
к~ (c2+3d?)2	~ \с2+3^) +3\с2 + 3<Р) ‘
Но (ас4- 3bd)(ac — 3bd) = а2с2 — 9b2d? = а2(с2 4-3d2) — 3(а2 4-362)d2 =
= (а2 -3fccP)(c2 4-3d2). Так как число с2 4-3d2 = р простое, мы можем
считать, что, скажем, р делит ас 4- 36d, то есть (ас 4- 3bd)/p € Z.
Значит, и 3 ((ad - bc)/p)2 € Z, а следовательно, (ad - bc)/p € Z, так
что к € S. □
ЛЕММА 4.3. Простое число р принадлежит множеству S тогда
и только тогда, когда р = 3 или р = 1 (mod 3).
Доказательство. Если р = а2 4- 3d2, р 3, то b 0; таким обра-
зом, р = a2 (mod 3) и 3 / а. Значит, р = а2 = 1 (mod 3).
Ясно, что 3 € S. Пусть р = 1 (mod 3). Так как (—3/р) = 1,
существует число t, такое, что 9 < t < р/2 и —3 = t2 (mod р). Тогда
тр = t2 4- 3 < (р/2)2 4- 3 < р2, следовательно, 0 < т < р. Теперь
заметим, что для любого t 1 существует не более одного простого
числа р 0 2,3, такого, что р | (t2 4- 3), но р / (и2 4- 3) для всякого
и, 1 и < t.
Действительно, предположим, что существуют два различных
таких простых числа р,р', р < р'. Согласно предшествующему за-
мечанию должны выполняться условия 0<£<р/2и£24-3 = рт,
где 0 < т < р. Так как pz | (t2 4- 3), мы заключаем, что р1 | т,
следовательно, р' т < р, а это невозможно.
Теперь мы готовы доказать наше утверждение. Предположим,
что существует такое простое число р, р = 1 (mod 3), что р £ S.
Выберем наименьшее р, удовлетворяющее этому условию. Пусть t —
наименьшее натуральное число, такое, что р | (t2 4-3). Тогда 0 < t <
< р/2, t2 4- 3 = тр, где 0 < т < р. Пусть р' — произвольное простое
число, делящее т, т = р'т'. Тогда р' т < р, а значит, р' € S. Из
соотношения p'(pm') = pm = t2 4- 3 € S и леммы 4.2 следует, что
pm1 € S. Если т' = 1, то р € S, что и требовалось доказать. Если
простое число р" делит т‘, причем т1 — р"тп, то р” тп' < р,
42
Глава I. Частные случаи
следовательно, р" е S, так что p"(pm") = pm' € S и согласно лемме
4.2 мы получаем pm" € S, где т" < т'. Повторяя это рассуждение,
заключаем, что р € S. □
Будет полезно привести еще одно доказательство того факта,
что если р = 1 (mod 3), то р € S, в котором используется «метод
ящиков» Дирихле.
Если р = 1 (mod 3), то существует число Z,	1, такое,
что — 3 = t2 (mod р). Рассмотрим множество всех пар (т, и), таких,
что 0 т, п [-05]. Так как количество этих пар превосходит р,
существуют две различные пары (m,n), (m',n'), такие, что mi
+ nt = т' -Vn't (mod р). Итак, т т1 и п п1, скажем, п > п', сле-
довательно, t = (т1 - т)/(п — n') (mod р). Поскольку 0 < п — п' <
< у/p и 0 < |т' — т\ < у/p, мы заключаем, что t = ±а/Ь (mod р), где
О < а < у/р, 0 < b < у/р. Таким образом, а2 4- 362 = 0 (mod р) и мы
можем записать а2 4- 362 = кр, где 0 < к < 4. Отсюда следует, что
а2 = к (mod 3), а значит, к = 0 или 1 (mod 3), то есть к — 1 или 3.
Если к = 1, то р € S. Если же к = 3, то 3 | а, т. е. а = За', и, разделив
на 3, мы получим р = Ь2 4- За'2 € S.
Лемма 4.4. Пусть т = и2 + 3v2, где u,v О, НОД (tx,v) = 1, и
нечетное простое число р делит т. Тогда р Е S.
Доказательство. Так как 3 € S, можно считать, что р 3. По-
скольку р делит т, мы можем заключить, что р не делит v, иначе
оно также делило бы и и, что противоречит предположению. Пусть
число v' таково, что vv' = 1 (mod р). Тогда (uv')2 = — 3 (mod р) и
(—3/р) = 1, т. е. р = 1 (mod 3). Применив лемму 4.3, заключаем,
что р € S. □
Следующая лемма дополняет предыдущие.
Лемма 4.5. Пусть р — простое число, р € S. Тогда его пред-
ставление в виде р = а2 4- 362 (где а О, b 0) единственно.
Доказательство. Воспользовавшись леммой 4.2 при к = 1, т. е.
полагая, что р = а2 4- ЗЬ2 = с2 4- 3d2 (где а, с 0, b > 0, d > 0), мы
получаем
, fac±3bd\2	f ad^bcX2
1 = -------- 4-3 —-—	,
\ Р J	X Р J
следовательно, р — ас ± ЗЬс?, ad = ±bc. Таким образом, pd — acd±
± ЗЫР — ±Ьс2 ± 3bd? = ±6(с2 4- 3d?) = ±Ьр. Итак, d = ±6, а значит,
b = d, откуда следует, что а = с. □
1.4. Кубическое уравнение
43
ЛЕММА 4.6. Пусть т = 3 илит = и2 4- 3v2, где u,v ф 0 и
НОД(и,г?) = 1. Если т нечетно и тп — П?=1РГ (zde pi,... ,рп —
простые числа и е± 1), то существуют целые числа a^bi (г —
— 1,... ,п), такие, что pi = а2 4- 362 и
и 4-	— JJ(а, 4- Ь^^.
t=i
Доказательство. Доказательство проведем с помощью индукции
по т. При т = 3 утверждение очевидно. Пусть т > 3. Тогда т =
= и2 4-3v2, где и, и О, НОД (и, v) = 1. Пусть простое число р делит
т, т. е. ттг = рк. Согласно лемме 4.4 мы можем записать р = а2 +ЗЬ2
и по лемме 4.2 получаем к = с2 4- 3d2, где
с = (иа ± 3v6) /р, d = (ub =р vo) /р
(знаки согласованы). Также мы видим, что
(о ± ЬлЛЗ)(с d\/—3) = (ас 4- 36d) ± (be - ad)y/^3,
причем
ас 4- 36d = -(на2 ± 3vab 4- Згхб2 =р 3vab) = и,
Р
±(bc — ad) = ± — (uab ± 3v62 — uab ± va2) = v,
Р
то есть
(а ± by/^3)(c =р dv^—3) = и 4- иУ—3.
Если к = 1, то утверждение очевидно. Пусть к 1. Тогда или
к = 3, или к 3. В последнем случае с 0 (если с = 0, то d делит
u,v, следовательно, d = 1 и к = 3, что противоречит предположе-
нию); аналогично d 0 (если d = 0, то с делит и, v, следовательно,
с = 1 и к — 1, что снова противоречит предположению). Более того,
НОД (с, d) = 1, так как НОД(гх,т;) = 1. По предположению индук-
ции утверждение выполнено для к, а значит, число с =F dy/—3 пред-
ставимо в указанном виде. Так как (a±by/^)(c^dy/-3) = u4-f л/—3,
утверждение справедливо и для т. □
Лемма 4.7. Пусть Е — множество всех троек (u,v,s), таких,
что s нечетно, НОД (a, v) — 1 и $3 = и2 4- 3v2, и пусть F — мно-
жество всех пар (t,w), для которых НОД(£,гс) = 1, 3 / и, t w
44
Глава I. Частные случаи
(mod 2). Тогда отображение Ф: F —> Е, определяемое соотноше-
нием	— (u,v,s)j где
и = t(t2 - 9w2),
< v = 3w(t2 — w2),
s = t2 4- 3w2,
является накрытием множества E.
Доказательство. Ясно, что и2 + 3v2 = $3. Так как t и ш имеют
различную четность, s нечетно. Теперь покажем, что НОД (u, v) = 1.
Действительно, заметим сначала, что НОД(£2 — 9w2, t2 — w2) — 1,
потому что если простое число р делит t2 — 9w2 и t2 — w2, то оно
делит 9t2—9ш2, а также 8i2, следовательно, р — 2 (р не может делить
£, поскольку НОД(£,ги) = 1). Но так как t и w имеют различную
четность, это невозможно. Предположим теперь, что р — простое
число, е 1 и ре делит и и v. Тогда р / (t2 — w2), а значит, р | Зш,
так что р | t в обоих случаях. Так как р | v и р / w, мы заключаем,
что р — 3, а это невозможно. Таким образом, w) = (u, v, s) € E.
Проведем обратные рассуждения. Зададим тройку (u,v,s) € Е.
Пусть s3 — ПГ=1 рГ есть Разложение s3 в произведение простых чи-
сел (pi,... ,рп различны, 1). Тогда е^ = Зе' для всех г. Согласно
лемме 4.6 существуют целые числа аг, bi (г = 1,...,п), такие, что
Pi = а2 4- 3d2 и
и 4-	= Д (di 4- bi\/-^3)ei.
i=l
Пусть t, w E Z определяются из соотношения
Д (а< 4-	= t 4- w\/^3,
t=i
так что и 4-	3 = (t + wy/^З)3. Раскрыв скобки в правой ча-
сти, получим и = t(t2 — 9w2), v — 3w(t2 — w2), следовательно, 3/t
Наконец, домножив на сопряженное и — Vy/^3 = (t — wy/^З)3, по-
лучим, что s3 = и2 4- 3v2 = (t2 4- 3w2)3, поэтому s = t2 4- 3w2. От-
сюда следует, что числа t и w имеют различную четность, причем
НОД(^,гг) = 1,	— (u.v.s). □
Итак, мы провели исчерпывающее доказательство утверждения
(4А).
Теперь докажем результат, принадлежащий Кронекеру (1859)
(см. также Врэнчеану (1956, I960)).
1.4. Кубическое уравнение
45
(4В)
(1)	Следующие утверждения равносильны.
(а)	Уравнение х3 4- ?/3 4- z3 =0 имеет лишь тривиальные
решения в целых числах.
(Ь)	Для любого отличного от нуля целого числа т урав-
нение 4Х3 — ЗтУ2 = т3 имеет в целых числах лишь решения
(т,т) и (т, —т).
(2)	Все решения уравнения 4U3 4-27Г2 = — 1 в рациональных чис-
лах суть (—1, |) и (—1, —|).
(3)	Единственные многочлены третьей степени с рациональны-
ми коэффициентами, сумма корней которых равна 0, а дис-
криминант равен 4-1, — это многочлены X3 — X ± |.
(4)	Если дискриминант кубического многочлена с рациональны-
ми коэффициентами является шестой степенью отлично-
го от нуля рационального числа, то его корни имеют вид
г 4- s\/3sin(7r/9), г 4- s\/3sin(27r/9), г — s\/3sin(47r/9).
Доказательство. (1) (а)=>(Ь) Пусть х,у — целые числа и пара
(х,у) удовлетворяет уравнению 4х3 — Зту2 = т3. Положив и =
— — 2х, v = у + т, получим, что и3 4- V3 = —8х3 4- у3 4- 3t/2m4-
4- 3?/m2 4- тп3 = —2m3 - 6m?/2 4- у3 4- Зу2т 4- Зут2 4- у3 — (у - т)3.
Таким образом, или х = 0 (откуда — Зу2 = т2, что невозможно),
или у = ±т; в последнем случае х ~ тп.
(Ь)=>(а) Пусть х, y,z — произвольные целые числа. Положим
п = z — у, т = — (z 4- у). Тогда
/	, \ з /	\ з ,
о о о о / m 4" п \	/ m м \	1 z о я л
х3 4- у3 4- z3 = х3 — ( —-— 1 - ( —-— 1 = ~(4х3 — т3 - Зтп2).
Если х3 4- у3 4- z3 = 0, то 4х3 — Зтп2 = т3. Ясно, что при т = 0 мы
получим х = 0. Если же т ф 0, то по предположению пара (х, п)
должна совпасть с (т, т) или с (т, — т). В случае когда х — т = п,
имеем z = 0, а если х = т — —п, то у = 0.
(2)	Пусть рациональные числа и, t таковы, что 4и3 4- 27t2 — —1.
Положив и = —х/т, t = ?//(3m), получим —4х3 4- Зту2 = —т3.
Согласно (1) имеем х = т, у = ±т, следовательно, и = — 1, t = ±|.
(3)	Пусть многочлен X3 4- аХ 4- b имеет рациональные коэф-
фициенты и его дискриминант <5 = 1. Так как £ = — (4а3 4- 2762),
согласно (2) получаем а = — 1, ft = ±|.
(4)	Пусть многочлен /(X) = X3 4- fliX2 4- агХ 4- аз имеет ра-
циональные коэффициенты. Если g(X) = f (X - ai/З), то д{Х) и
46
Глава I. Частные случаи
/(X) имеют один и тот же дискриминант, причем д(Х) имеет вид
д(Х) — X3 -I- иХ 4-1 и его коэффициенты рациональны.
Если дискриминант является шестой степенью отличного от
нуля рационального числа, скажем, —(4u3±27i2) — г6, то 4 (и/2)3 +
4-27 (t/r3)2 — —1. Следовательно, и — —г2, t = ±т3/3, откуда по-
лучаем
Корнями многочленов
X3 - X ± I
3
являются числа
±(2\/3/3)sin(7r/9), ±(2\/3/3) sin(27r/9), т(2\/3/3) sin(47r/9),
откуда следует, что корни многочлена /(X) имеют указанный вид.
□
В 1944 г. Шмид провел обратные рассуждения, установив экви-
валентность следующих высказываний и получив теорему Ферма
для показателя 3 как следствие утверждения (2); см. также Врэн-
чеану (1956, 1960, 1979), где этот результат содержится в явном
виде.
(4С) Следующие утверждения равносильны.
(1)	Последняя теорема Ферма справедлива для показателя 3.
(2)	Для любого целого числа т 0 уравнение 4Х3 — 3mY2 = т3
имеет в целых числах лишь решения (m,m) и (т, —т).
(3)	Все решения уравнения 4С73 4-27Т2 = — 1 в рациональных чис-
лах суть (—1,|) и (—1,— |).
Доказательство. При доказательстве утверждения (4В) мы по-
казали, что из (1) следует (2) и из (2) следует (3\ Теперь предпо-
ложим, что выполнено утверждение (3), и покажем, что теорема
Ферма справедлива для показателя 3.
Допустим противное. Пусть существуют отличные от нуля по-
парно взаимно простые целые числа т, у, z, такие, что х3 4- у3 = и3,
откуда у z. Положим и = х/(у - z), t — (у 4- z)/(3(y — z)). То-
гда, как легко видеть, 4и3 4- 27t2 = — 1. Значит, по предположению
и — — 1, t = ±1/3, откуда следует, что у — z — ±(у 4- z). Но тогда
у = 0 или z — 0, что противоречит выбору тройки х, у, z. □
1.4. Кубическое уравнение
47
Таблица 2. ПТФ для показателя 3
Автор	Год
Кауслер	1795/6, опубл, в 1802 г.
Лежандр	1823, 1830
Кальцолари	1855
Ламе	1865
Тейт	1872
Г юнтер	1878
Гамбиоли	1901
Крей	1909
Рыхлик	1910
Штокхаус	1910
Кармайкл	1915
ван дер Корпут	1915
Туэ	1917
Дуарте	1944
В 1885 г. Перрен доказал, что если уравнение X3 4- У3 4- Z3 =0
имеет хотя бы одно нетривиальное решение в отличных от нуля вза-
имно простых целых числах, то найдется бесконечно много таких
решений, получаемых из предполагаемого с помощью рациональ-
ных операций. Разумеется, сейчас это утверждение не представляет
никакого интереса, поскольку мы доказали, что такого нетривиаль-
ного решения не существует.
В табл. 2 приведен список авторов, опубликовавших доказатель-
ство теоремы Ферма для показателя 3.
В заключение этого раздела применим метод бесконечного спус-
ка для изучения уравнения, схожего с (4.1) (см. Лежандр, 1808,
1830).
(4D) Если т — натуральное число, то уравнение
X34-y3=2mZ3	(4.3)
имеет нетривиальные примитивные решения в целых числах, для
которых z нечетно, тогда и только тогда, когда т = 3s 4-1, при-
чем решениями являются тройки (±2®, ±2®, ±1).
Доказательство. Предположим, что отличные от нуля целые
числа х, y,z таковы, что НОД(я,з/,г) = 1, z нечетно и х3 4- у3 =
= 2mz3. Заметим сначала, что 3 /гг, иначе мы могли бы записать
48
Глава I. Частные случаи
т = Зт' и тройка (х,у,2т z) являлась бы нетривиальным решени-
ем уравнения Х34-У3 = Z3, что противоречит (4А). Далее отметим,
что числа хну имеют одну и ту же четность, поскольку т 1.
Для начала будем полагать, что оба они нечетны, следовательно,
НОД (я,?/) = 1. Итак, мы имеем
2mz3 = я3 4- у3 = (х 4- у)(х2 - ху 4- у2},
где НОД (х 4-т/, х2 — ху 4- у2) = 1 или 3. Действительно, если число
р простое, е 1 и ре делит х 4- у и х2 — ху 4- у2, то х = — у (mod рс),
а значит, х2 — ху + у2 = Зх2 (mod рс). Таким образом, рс | Зя2, а так
как НОД(я,р) = 1, мы получаем, что р / х, следовательно, рс | 3,
то есть рс = 3, что и доказывает наше утверждение.
Более того, поскольку х2 — ху 4- у2 — (я 4- у)2 — Зяр, условие
3 | (я 4- у) равносильно тому, что 3 | (я2 — ху 4- pz), что, в свою
очередь, эквивалентно условию 3 | z, а это равносильно равенству
НОД (я 4- р, я2 - ху 4- р2) = 3.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: 3/z.
Так как НОД (я 4- у, я2 — ху 4- р2) = 1 и число я2 — яр 4- р2
нечетно, существуют нечетные взаимно простые целые числа а и 6,
такие, что
(	х + у = 2та3,
\ я2 — ху 4- у2 = Ь3,
причем z = ab. Поскольку я4-р, я — у четны, справедливо равенство
+3(4*) •
Из леммы 4.6 следует, что существуют целые числа t, w, такие, что
я 4- р я — у /—- z	/—-ч о
= (t + w7=3)3
И
Г (я 4- р)/2 = t(t2 - 9w2),
t (х ~ р)/2 = 3w(t2 — w2),
b = t2 4- 3w2.
Если t = 0 или t2 — 9w2 = 0, то я = —у, следовательно, z = 0,
что противоречит предположению. Если w = 0 или t2 — w2 = 0, то
я = у и 2я3 = 2mz3, так что т = 1, х = у = z = ±1. Заметим, что
|£2— 9w2|	1, иначе выполнялись бы равенства 14-3w = ±1, t — 3w =
= ±1, что, как легко видеть, невозможно.
1.4. Кубическое уравнение	49
Далее, 3 поскольку в противном случае 3 | 6, следовательно,
3 | г, что противоречит предположению. Так как b нечетно, числа
t 4- 3w и t — 3w также нечетны. Следовательно, £, t 4- 3w, t — 3w —
отличные от нуля попарно взаимно простые целые числа. Посколь-
ку 2m-1a3 = t(t 4- 3w)(t — 3w), существуют отличные от нуля целые
числа с, с/, е, такие, что
'	1=2™-хс\
< t 4- 3w = d3,
t — 3w = e3,
причем c, d, e нечетны, попарно взаимно просты и а = cde. Следо-
вательно, d3 4- е3 = 2тс3, а значит, тройка (d, е, с) является решени-
ем уравнения того же вида, что и рассматриваемое. Но 2т~1 |с|3 =
= |i| < |t| х |i2 — 9w2| = 2m~1 |a|3, а следовательно, |c| < |a|. Далее,
2m|a|3 = |x4-3/| |x4-?/||x2 — xj/4-t/2| = |x3 4-?/31 = 2m|z|3, так что |c| <
< |z|. Так как 3 / с, повторяя это рассуждение для решения (d, е,с),
получим последовательность решений (di,ei,ci), (^2,62,02),..где
|z| > |ci| > |с2| >  •причем все с, — отличные от нуля целые
числа, что невозможно.
Случай 2: 3 | z.
Теперь НОД (х4-т/, х2 — ху+у2) — 3. Заметим, что З2 / (х2 — ху +
+ у2 = (х 4- у)2 — Зхт/) (иначе выполнялось бы условие 3 | ху, зна-
чит, х п у были бы кратны 3, что противоречит предположению).
Таким образом, существуют нечетные взаимно простые целые
числа а и 6, такие, что
х 4- у =2т х З2а3,
х2 — ху 4- у2 = З63,
причем 3 /6 и z — ЗаЬ. Так как х4-т/, х—у четны и 31 (x4-j/), мы полу-
чаем З63 = ((х 4- т/)/2)2 4- 3 ((х — т/)/2)2, поэтому Ь3 = ((х — ?/)/2)2 4-
4- 3 ((х 4- ?/)/6)2. Из леммы 4.6 следует, что существуют целые числа
£,ш, такие, что
х — у х + у /—-	z	/—ч о
= t + илЛз)3
2 о
и
(х — у)/2 = t(t2 — 9w2),
< (х 4- ?/)/6 — 3w(t2 - w2),
b — t2 4- 3w2.
4-27
50
Глава I. Частные случаи
Если t = 0 или t2 — 9w2 = 0, то 2: = у = z = il, причем т ~
— 1. Если w -- 0 или t2 — w2 = 0, то х = — у, так что z = 0. Это
противоречит предположению. Отсюда следует, что |t2 — w2\	1,
так как в противном случае выполнялись бы равенства t 4- w = ±1.
t — w = ±1, что, как легко видеть, невозможно.
Так как b нечетно, числа Z4-3w, t—3w, а значит, и tTw, t—w также
нечетны. Следовательно, w, t— w, t + w — отличные от нуля попарно
взаимно простые целые числа. Поскольку 2т~1а3 = (т + ?/)/18 —
= w(t — w)(t + w), существуют такие отличные от нуля целые числа
с, d, е, что
w = 2™-1,
< t 4- w — d3,
t — w = e3,
причем c, d, e нечетны и попарно взаимно просты и а = cde. Та-
ким образом, d3 — е3 = 2™с3, а значит, тройка (d, — е,с) является
решением уравнения того же вида, что и данное.
Но 2т~1 |с|3 = |w| < |w||£2-w2| = |т 4- ?/|/18 = 2т~1 |а|3, азначит,
|с| < |а|. Далее,
2m32|a|3 = |х 4-yl
< |ar -t- у | |ат2 -ли/ +t/2|
3
= |х3 + 1/3|
3
2m|z|3
“ ~3 ’
следовательно, |с| < |а|	|z|/3.
В зависимости от того, делится с на 3 или нет, мы повторя-
ем эти рассуждения, следуя первому или второму случаю, и по-
лучаем последовательность решений (di,ei,Ci), (d2,е2,с2),..., где
|z| > |ci| > |с2| > ..., причем все с; — отличные от нуля целые
числа, что невозможно.
Пусть теперь числа х, у четны, причем натуральное число s та-
ково, что 2s есть наибольшая степень числа 2, делящая оба эти
числа. Число z нечетно, значит, 3s т, а следовательно, 3s < т.
Положив х = 2sx',y = 2sy', получим т'3 4- у'3 = 2m~3sz3. Хотя
бы одно из чисел х^у1 нечетно, а так как они имеют одинаковую
четность, они оба нечетны. Значит, согласно первой части доказа-
тельства х1 = у1 = z' — ±1, причем т — 3s = 1. Таким образом.
1.4. Кубическое уравнение
51
решениями исходного уравнения являются тройки (±2S, ±2S, ±1),
а т = 3s + 1. □
В дальнейшем теория уравнений вида X3 4- Y3 — AZ3 получи-
ла свое развитие в работах Лежандра (1808, 1830), Пелена (1870,
1875, 1881), Люка (1878, 1880), Сильвестра (1856, 1879) и Гурви-
ца (1917), доказавшего неразрешимость этого уравнения в целых
числах для многих значений величины А, но это выходит за рамки
нашей книги. Еще одна интересная статья о тернарных кубических
диофантовых уравнениях принадлежит Морделлу (1956) (см. так-
же Морделл (1969)).
Список литературы
1657 Fermat, Р., Lettre a Digby (15 Aout, 1657). Oeuvres, Vol. II, pp.
342-346. Publiees par les soins de MM. Paul Tannery et Charles
Henry. Gauthier-Villars, Paris, 1894.
1760 Euler, L., Suppiementum quorundam theorematum arithmeti-
corum quae in non nullis demonstrationibus supponuntur. Novi
Comm. Acad. Sci. Petrop., 8 (1760/1), 1763, 105-128. Also in
Opera Omnia, Ser. I, Vol. II, pp. 556-575. Teubner, Leipzig,
1915.
1770 Euler, L., Vollstdndige Anleitung zur Algebra, 2 volumes. Royal
Acad. Sci., St. Petersburg, 1770. English translation by Rev.
J. Hewlitt, Longman, Hurst, Rees, Orme, London, 1822. Also in
Opera Omnia, Ser. I, Vol. I, pp. 486-490. Teubner, Leipzig,
1911.
1802 Kausler, C.F., Nova demonstratio theorematis nec summam, nec
differentiam duorum cuborum cubum esse posse, Novi Acta Acad.
Petrop., 13 (1795/6), 1802, 245-253.
1808 Legendre, A.M., Essai sur la Theorie des Nombres (2е edition),
Courcier, Paris, 1808.
1823 Legendre, A.M., Recherches sur quelques objets d1 analyse inde-
terminee, et particulierement sur le theoreme de Fermat. Mem.
Acad. Roy. Sci. Institut France, 6 (1823), 1-60. Reprinted as
the “Second Supplement” in 1825, to a printing of Essai sur la
Theorie des Nombres (2е edition), Courcier, Paris; reprinted in
Sphinx-Oedipe, 4 (1909), 97-128.
1830 Legendre, A.M., Theorie des Nombres (3е edition), Vol. II, pp.
357-360, Firmin Didot Freres, Paris, 1830; reprinted by A. Blan-
chard, Paris, 1955.
52
Глава I. Частные случаи
1855 Calzolari, L., Tentativo per dimostrare il teorema di Fermat sull’-
equazione indeterminata xn + yn = zn, Ferrara, 1855.
1856 Sylvester, J.J., Recherches sur les solutions en nombres entiers
positifs ou negatifs de I’equation cubique homogene d trois va-
riables, Ann. Sci. Mat. Fis., B. Tortolini, 7 (1856), 398-400;
reprinted in Collected Math. Papers, Vol. II, pp. 63-64, Cam-
bridge University Press, Cambridge, 1908; reprinted by Chelsea,
New York, 1976.
1859 Kronecker, L., Uber cubische Gleichungen mit rationalen Coef-
ficienten, J. Reine Angew. Math., 56 (1859), 188-189; also in
Werke, Vol. I, pp. 121-122, Teubner, Leipzig, 1895.
1865 Lame, G., Etude des bindmes cubiques x3 ^y3, C. R. Acad. Sci.
Paris, 61 (1865), 921-924 and 961-965.
1870 Pepin, T., Sur la decomposition d’un nombre entier en une somme
de deux cubes rationnels, J. Math. Pures Appl., (2), 15 (1870),
217-236.
1870 Tait, P.G., Mathematical Notes, Proc. Roy. Soc. Edinburgh, 7
(1872), 144.
1875 Pepin, T., Sur certains nombres complexes compris dans la for-
mule a 4- by/—£, J. Math. Pures Appl. (3), 1 (1875), 317-372.
1878 Gunther, S., Uber die unbestimmte Gleichung x3 F y3 = z3, Sit-
zungsber. Bohm Ges. Wiss., 1878, pp. 112-120.
1879 Lucas, E., Sur I’equation indeterminee X3 4- Y3 = AZ3, Nouv.
Ann. Math., (2), 17 (1879), 425-426.
1879 Sylvester, J.J., On certain ternary cubic form equations, Amer.
J. Math., 2 (1879), 280-285 and 357-393; also in Collected Math.
Papers, Vol. Ill, 1909, Art. 39, pp. 312-391, Cambridge Uni-
versity Press, Cambridge, 1909; reprinted by Chelsea, New York,
1976.
1880 Lucas, E., Theoremes generaux sur I’impossibilite des equations
cubiques indeterminees, Bull. Soc. Math. France, 8 (1880), 173-
182.
1880 Sylvester, J.J., Sur les diviseurs des fonctions cyclotomiques, C.
R. Acad. Sci. Paris, 90 (1880), 287-289 and 345-347; also in
Collected Math. Papers, Vol. Ill, 1909, Art. 44, pp. 428-432 and
also p. 437; reprinted by Chelsea, New York, 1976.
1881 Pepin, T., Memoire sur I’equation indeterminee x3 4- y3 — Az3,
Atti Accad. Naz. Lincei, 34 (1881), 78-130.
1885 Perrin, R., Sur I’equation indeterminee x3 4- y3 = z3, Bull. Soc.
Math. France. 13 (1885), 194-197.
1.4. Кубическое уравнение
53
1894
1898
1901
1901
1906
1907
1909
1910
1910
1910
1915
1915
1917
1917
1929
1931
1936
1944
Schumacher, J., Nachtrag zu Nr. 1077, XXIII, 269, Z. Math.
Naturwiss. Unterricht, 25 (1894), 350-351.
Palmstrom, A., Equation т34-г/3 — z3, L’Interm. Math., 5 (1898),
95.
Gambioli, D., Memoria bibliografica sull'ultimo teorema di Fer-
mat, Period. Mat., (2), 16 (1901), 145-192.
Landau, E., Sur une demonstration d'Euler d'un theoreme de Fer-
mat, L’Interm. Mat., 8 (1901), 145-147.
Holden, H., On the complete solution in integers for certain values
of p, of a(a2 4-p&2) = c(c2 4-pd2), Messenger Math., 36 (1906),
189-192.
Sommer, J., Vorlesungen uber Zahlentheorie, Teubner, Leipzig,
1907.
Krey, H., Neuer Beweis eines arithmetischen Satzes, Math.
Naturwiss. Blatter, 6 (1909), 179-180.
Rychlik, K., On Fermat's last theorem for n = 4 and n = 3 (in
Bohemian), Casopis Pest. Mat., 39 (1910), 65-86.
Stockhaus, H., Beitrag zum Beweis des Fermatschen Satzes,
Brandstetter, Leipzig, 1910, 90 pp.
Welsch, Reponse a une question de E. Dubouis, L’Interm. Math.,
17 (1910), 179-180.
Carmichael, R.D., Diophantine Analysis, Wiley, New York, 1915.
van der Corput, J.G., Quelques formes quadratiques et quelques
equations indeterminees, Nieuw Archief Wisk., 11 (1915), 45-47.
Hurwitz, A., Uberterndre diophantische Gleichungen dritten Gra-
des, Vierteljahrschrift Natur. Gesells. Zurich, 62 (1917), 207-
209; reprinted in Math. Werke, Vol. II, pp. 446-468, Birkhauser,
Basel, 1933.
Thue, A., Et bevis for at ligningen A3 4- В3 = C3 er umulig i
hele fra nul forskjellige tai А, В од C, Arch. Mat. Naturv., 34
(1917), no. 15, 5 pp.; reprinted in Selected Mathematical Papers,
pp. 555-559, Universitetsforlaget, Oslo, 1977.
Nagell, T., L'Analyse Indeterminee de Degre Superieur, Memoires
des Sciences Math., Vol. 39, Gauthier-Villars, Paris, 1929.
Hancock, H., Foundations of the Theory of Algebraic Numbers,
Vol. I, Macmillan, New York, 1931.
Nagell, T., Bemerkungen uber die Diophantische Gleichung x3 +
y3 = Az3, Arkiv Mat. Astr. Fysik, 25B (1936), no. 5, 6 pp.
Duarte, F.J., Sobre la ecuacion x3 4- y3 4- z3 = 0, Bol. Acad.
Ciencias Fis. Mat. Naturales. Caracas. 8 (1944), 971-979.
54
Глава I. Частные случаи
1944 Schmid, F., Uber die Gleichung z3 + г/3 + z3 — 0, Sitzungsber.
Akad. Wiss., Wien, Ila, 152 (1944), 7-14.
1955 Piza, P.A., On the case n = 3 of Fermat’s last theorem, Math.
Mag., 28 (1955), 157-158.
1956 Mordell, L.J., The diophantine equation x3 4- y3 4- z3 4- kxyz — 0,
Colloque sur la Theorie des Nombres, Bruxelles, 1955, Centre
Beige Rech. Math., 1956, pp. 67-76.
1956 Vranceanu, G., A supra unei teoreme echivalenti cu teorema lui
Fermat (On a theorem equivalent to Fermat’s theorem), Gaz.
Mat. Fiz. Bucuresti Ser. A, 8 (61) (1956), 23-24; reprinted in
Opera Matematica, Vol. Ill, pp. 97-98, Edit. Acad. Rep. Soc.
Romania, Bucure§ti, 1973.
1956 Yf, P., Comment on Pedro Pizd’s “On the case n = 3 of Fermat’s
last theorem,” Math. Mag., 29 (1956), 205-206.
1960 Vranceanu, G., Observatii asupra unei note precedente (Remarks
on a preceding note), Gaz. Mat. Fiz. (Bucure§ti), Ser. A, 12
(1960), 1-2; reprinted in Opera Matmatica, Vol. Ill, pp. 463-464,
Edit. Acad. Rep. Soc. Romania, Bucure§ti, 1973.
1964 Sierpinski, W., Elementary Theory of Numbers., Monografie Mat-
ematyczne, no. 42, 1964, Polska Akad. Nauk, Warszawa, 1964.
1966 Bergmann, G., Uber Eulers Beweis des groflen Fermatschen
Satzes fur den Exponenten 3, Math. Ann., 164 (1966), 159-175.
1966 Grosswald, E., Topics from the Theory of Numbers, Macmillan,
New York, 1966.
1969 Mordell, L.J., Diophantine Equations. Academic Press, New
York, 1969.
1972 Legendre, R., Sur la resolution par Euler de I’equation de Fermat
pour I’exposant 3, C. R. Acad. Sci. Paris, 275 (1972), 413-414.
1977 Edwards, H.M., “Fermat’s Last Theorem”. A Genetic Intro-
duction to Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, New York,
1977.
1979 Vranceanu, G., Une interpretation geometrique du theoreme de
Fermat, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 24 (1979), 1137-
1140.
1.5. Поле Эйзенштейна
В этом разделе мы введем понятие поля Эйзенштейна и приведем
доказательство Манна и Вебба последней теоремы Ферма для по-
казателя 3, в котором используются лишь очень простые свойства
1.5. Поле Эйзенштейна
55
поля Эйзенштейна. Затем будет приведено доказательство Гаусса
того факта, что кубическое уравнение Ферма имеет лишь триви-
альные решения в поле Эйзенштейна.
Множество комплексных чисел вида а -I- 6^/—3, где а и b — ра-
циональные числа, образует поле, называемое полем Эйзенштей-
на и обозначаемое через К = ^(л/-3). Числа а = (а -I- бУ“3)/2,
где а и b — обычные целые числа одинаковой четности, называ-
ются целыми в К. Они составляют кольцо, обозначаемое через А.
Пусть а,/3 6 К. Будем говорить, что /3 делит а, если найдется та-
кое целое число 7 6 А, что а = /Зу. В таком случае будем писать
/3 | ot. Два отличных от нуля целых числа а, 0 называются ассо-
циированными, если а делит /3 и /3 делит а. В этом случае будем
писать а ~ /3. Целые числа, ассоциированные с 1, называются еди-
ницами в К. Нетрудно показать, что они равны ±1, ±£, ±£2, где
£ = (—1 -I- У^З)/2, £2 = (-1 - У^З)/2. Заметим, что (3 = 1, то
есть £ является примитивным корнем третьей степени из 1, причем
1 + £ + £2 = 0. Отличное от нуля целое число а € А называется про-
стым, если оно не является единицей и все целые числа, делящие а,
суть единицы или ассоциированные с а.
В рассматриваемом поле Q(\/—3) каждое отличное от нуля це-
лое число а можно представить в виде произведения простых целых
чисел: а —	Это разложение единственно в следующем
смысле: если существует еще одно представление а = <5i<52 • • • где
все — простые числа поля К, то s = t и можно так переставить
сомножители (если требуется), чтобы 7, и <5{ были ассоциирован-
ными для всех г — 1,..., s. Следовательно, можно очевидным обра-
зом определить понятие наибольшего общего делителя отличных от
нуля целых чисел из А, который будет единственным с точностью
до умножения на единицу из А.
Доказательство следующих свойств можно найти в любом стан-
дартном курсе, посвященном алгебраическим числам, например в
книге Рибенбойма (1999).
Сопряженным с числом а = (а + Ьт/^3)/2 называется число
а1 = (а — Ьл/^3)/2. Норма числа а есть N(a) = аа' = (а2 -I- 362)/4.
Пусть а е А. Тогда Аа — {/За | /3 € А} является идеалом,
состоящим из чисел, кратных а. Пусть а,/3,7 € А, а ф 0. Если а
делит /3 — 7, то будем писать
/3 = 7 (mod а)
и говорить, что /3 и 7 сравнимы по модулю а. Это отношение экви-
56
Глава I. Частные случаи
валентности на кольце А. Множество классов эквивалентности обо-
значается через А/Аа; класс эквивалентности, содержащий /?, обо-
значается через 13 и называется классом вычетов для [3. Определим
сложение и умножение классов вычетов: (3 + 7 = (3 + 7,(3-7 = (37.
Тогда А/Аа будет кольцом, называемым кольцом вычетов кольца
А по модулю а. Кольцо вычетов А/Аа конечно, и число его элемен-
тов равно |7V(a)|.
Опишем теперь разложение простых чисел р в произведение
простых элементов кольца А.
(1)	Элемент р — 3 разветвлен, то есть 3 = (—£2)А2, откуда 3 ~
~ Л2, где А = 1 — С = (3 — \/~3)/2 — простой элемент в А. В кольце А
существует три класса вычетов по модулю А; множество {0,1,-1}
является системой представителей поля А/АХ. Норма числа А равна
7V(A) = ДА' =	+ 1 = 3) так 1 + ( + (2 = о
(2)	Элемент р = 2 инертен, то есть число 2 простое в Л. В кольце
А существует четыре класса вычетов по модулю 2, то есть поле
А/А2 состоит из четырех элементов. Норма числа 2 равна N(2) = 4.
(3)	Если р = 1 (mod 3), то р ~ Ai А2, где Ai, А2 — простые элемен-
ты кольца А, не являющиеся ассоциированными (Ai / А2). В таком
случае говорят, что р разлагается (или расщепляется). В этом слу-
чае А/Ар состоит из р2 элементов и является прямым произведени-
ем двух экземпляров поля Fp, состоящего из р элементов, причем
Wi)=7V(A2)=p.
(4)	Если р = — 1 (mod 3), то р — простой элемент, то есть р
инертен. Тогда поле А/Ар состоит из р2 элементов и 2V(p) = р2.
Теперь мы готовы представить доказательство последней теоре-
мы Ферма для показателя 3, принадлежащее Манну и Веббу (1978).
В нем используются такие факты, как единственность разложения
на простые множители, ассоциированность и простота элементов
1 - ( и 1 - (2, равенство (1 - ()(1 - (2) = 3 и тот факт, что едини-
цами в К являются лишь ±1, ±£, ±£2.
Предположим, что существует такая тройка ненулевых целых
чисел (т, г/, z), что т3 + г/3 + z3 = 0. Из всех таких троек выберем ту,
для которой выражение |zpz| минимально. Если d = НОД (я, г/, z).
то тройка чисел (т/d, у/d, z/d) также удовлетворяет рассматрива-
емому уравнению. Но поскольку значение |т?/г| является наимень-
1.5. Поле Эйзенштейна
57
шим из возможных, d — 1. Таким образом, числа x,?/,z попарно
взаимно просты.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: 3 )( xyz.
Заметим, что если 3 / а, то а3 = ±1 (mod 9), так что х3+?/3+z3
0 (mod 9) и выражение х3 4- у3 4- z3 не может быть равно нулю.
Значит, этот случай невозможен.
Случай 2: 3 | xyz.
Пусть, скажем, 3 | z. Тогда 3 %ху. Если х = у (mod 3), то х3 = у3
(mod 3) и х3 4- у3 4- z3 = ±1 (mod 3), что невозможно, поскольку
х34-?/34-г3 = 0. Итак, х у (mod 3) и, скажем, х = 1 (mod 3), у = 2
(mod 3). Следовательно, х2 — ху + у2 = 0 (mod 3), но х2 — ху + у2 0
(mod 9). В силу сказанного выше НОД(х + у ,х2 — ху + у2) = 3, а
поскольку — z3 = х3 4- у3 = (х 4- у)(х? — ху + у2), мы заключаем, что
z3 делится на 27, так что х 4- у кратно 9. Разделив на 27, получим
/ z\3 х + у х2 — ху + у2
\ 3/ = ~9	3	’
Положим х 4- у = 9t2, (х 4- С>у)(х 4- Q2y) = х2 — ху + у2 = Зи3. Тогда
число и не кратно 3. Покажем, что НОД(х 4- Су,х 4- (2у) = 1 — С
В самом деле, если простой элемент 0 делит х 4- (у и х 4- С2у, то он
делит также и (1 - £)х = -£(х 4- (у) 4- (х 4- (2у) и аналогично делит
(1 — £)у. А так как НОД (х, у) = 1, мы заключаем, что 0 делит 1 —
Таким образом, элементы
x + Qy х + С2У
1 - С И 1 - С2
взаимно просты, потому что 1 — £ ~ 1 — £2.
Итак, из равенства
3 _ х + Су х + (?у
1-< ’ 1-С2
следует, что x+Qy = (l — Q(a+bQ3T], где ту — единица в К. Покажем,
что ту — 1. Мы можем записать
,(«+ВД’==и+т~<,!>=
1 С,	о	о	о
Справедливо сравнение ту(а3 4- b3) = d (mod 3). Число 3 не де-
лит а 4- значит, d не кратно 3. Если ту ф ±1, то ту —
или ±(2 = ±(1 4- С), так что d - ту(а3 4- b3) = d 4= (а3 4- b3)Q и со-
ответственно d + (а3 4- Ь3)(1 4- <) = [d ± (а3 4- Ь3)] ± (а3 4- Ъ3)(. Так
58
Глава I. Частные случаи
как 3 | d 4= г](а3 4- 63), во всех случаях 3 | d, что невозможно. Значит.
т] — ±1, следовательно, х 4- Су = ±(1 — С) (а 4- 6£)3. Раскрывая скобки
и учитывая равенство 1 4- £ 4- £2 = 0, получим
х + Су = ±(а3 + За26 - 6ab2 + 63) ± <(-а3 + 6а26 - Заб2 - 63).
Отсюда 9£3 = х 4- у = ±(9а26 — 9а62), так что t3 — ±аЬ(а — 6). Но
НОД (a, b) = 1, поскольку НОД (х, ту) = 1. Значит, и НОД (а-6, а) =
= НОД (а — 6,6) = 1. Таким образом, положив а = —xf, 6 = yf и
а — 6 = z3, получим, что х3 4- yf 4- z3 = 0.
Но, как установлено ранее, |xi?/izi| < |x?/z|. Это противоречит
выбору тройки (x,y,z) и завершает доказательство.
Теперь докажем теорему Гаусса. В доказательстве мы не будем
использовать факты (2), (3) и (4).
Нам потребуется следующее точное сравнение.
Лемма 5.1. Пусть а Е А и X не делит а. Тогда а3 = ±1 (mod Л4).
Доказательство. Так как а 0 (mod Л), можно сделать вывод,
что а = ±1 (mod Л). Сначала предположим, что а = 1 (mod Л),
т. е. а — 1 = (ЗХ, где /3 Е А. Тогда а — С — (а — 1) 4- (1 — С) = /ЗА 4- А =
= А(/3 + 1), а - С2 = (а - С) + (С - (2) = А(/3 + 1) + (А = А(/3 - (2).
Следовательно, а3 - 1 = (а - 1)(а - ()(а - (2) = А3/?(/3 4-1)(/3 - С2).
Но 1 — С2 — (1 + С)А, или (2 е 1 (mod А). Отсюда заключаем, что
элементы /3, (3 4-1, 0 — С2 принадлежат трем различным классам по
модулю А, а значит, один из них кратен А. Таким образом, q3 Е 1
(mod А4). Если а = — 1 (mod А), то —а3 = (—а)3 = 1 (mod А4),
значит, а3 = — 1 (mod А4). □
Следующий результат Гаусса позволяет получить утвержде-
ние (4А).
(5А) Уравнение
Х3 + У3 + 23=0	(5.1)
не имеет решений в алгебраических целых числах, принадлежа-
щих полю Q(\/-3), каждое из которых отлично от 0.
Доказательство. Предположим, что элементы £,ту,0 Е А отлич-
ны от нуля и удовлетворяют уравнению £3 4- ту3 4- 03 = 0. Если
НОД(£, ту, 0) = <5, то С/д, г]/д, 0/д удовлетворяют тому же уравне-
нию, причем НОД {С/д, т]/д, в/д) = 1. Таким образом, можно пола-
гать, что НОД(£,ту,0) = 1, а следовательно, £, ту, 0 попарно взаимно
1.5. Поле Эйзенштейна
59
просты. Значит, А не может делить какие-либо два из элементов
7], 0. Можно считать, например, что А /£, А /т/.
Случай Г. Предположим, что А /0.
Тогда
£3	=	±1	(mod А3),
<	т]3	=	±1	(mod А3),
03	=	±1	(mod А3),
следовательно, 0 = £3 4- т/3 4- 03 = ±1 ± 1 ± 1 (mod А3). Восемь
вариантов расстановки знаков в правой части сравнения приводят
к ±1 или ± 3. Эти числа не сравнимы с 0 по модулю А3, так как
±1 — единицы, а ±3 ассоциированы с А2, поэтому не кратны А3.
Случай 2: Предположим, что А | 0.
Пусть 0 = AmV>, Е A, m 1, причем А не делит В сущности,
нам требуется доказать следующее утверждение.
Пусть п 1 и е — единица в А. Тогда если существуют такие
попарно взаимно простые элементы а,/3,7 € Л, не кратные А, что
а3 4- /З3 4- бА3п73 — 0, то
(а)	п 2;
(Ь)	существуют единица 8i и такие попарно взаимно простые эле-
менты a71 € Л, не кратные А, что а3-+-/?3-+-61А3^п~1^73 = 0.
Действительно, предположение выполняется при п = тп, е = 1,
а = £, /3 = т], у = *ф. Применяя приведенное выше утверждение
повторно, найдем единицу е' и элементы а', /3', 7' 6 Л, не кратные А,
такие, что а'3 4- /З'3 4- s'X3^3 — 0, а это противоречит пункту (а).
Сначала покажем, что п 2. В самом деле, А / а и А //3. Тогда
согласно лемме 5.1 мы имеем а3 = ±1 (mod А4), /З3 = ±1 (mod А4)
и ±1 ± 1 = —еХ3пу3 (mod А4), А / 7. Так как А / ± 2, левая часть
равенства должна быть равна 0. Поскольку А / 7, мы заключаем,
что Зп J* 4, так что п 2.
Теперь докажем (Ь). Справедливо соотношение
-еЛ3п73 = а3 + /З3 = (а + /3)(а + (0)(а + (20).	(5.2)
Так как простой элемент Л делит правую часть, он должен де-
лить хотя бы один из сомножителей в левой части. Но ai 3
= а 4- О? = а 4- Q2(3 (mod А), потому что А = 1 — £, 1 — £2 = — £2А,
а значит, А делит все три множителя. Следовательно, (q4-/3)/A,
(а + С^)/А, (о + С2/3)/Ае А и
-еХ3^-1^3 =
4^) m t
а + £2/3
А
60
Глава I. Частные случаи
Так как п 2, элемент Л делит правую часть, а значит, и хотя
бы один из сомножителей в левой части. Но Л не может делить
два множителя, иначе среди чисел а + /3, а 4- £/3, а + Q2/3 найдутся
два элемента, сравнимые по модулю Л2, а это невозможно. Действи-
тельно, если (а 4- /3) - (а 4- £/3) ~	— С) — /ЗА = 0 (mod Л2), тс?
А | /3, что противоречит предположению; если (а 4- /3) — (а 4- (2/3) =-
— /3(1 — £2) = —/3£2А = 0 (mod А2), то мы снова получаем А | /3:
наконец, из соотношений (а 4- (/3) — (а 4- (?/3) = С/3(1 — С) == С/ЗХ = 0
(mod А2) также следует, что А | /3.
Предположим, что А делит (а4-/3)/А (остальные случаи сводятся
к этому заменой /3 на (/3 или С2/3). Тогда А3(п-1) делит (а 4- /3)/А.
Следовательно,
{а 4- /3 = A3n~2Ki,
a + (J3 = Ак2,	(5.3)
а 4- (2/3 = Ак3,
где «1,к2,кз € А и А не делит /q, к2, «з- Перемножив равенства,
получим
-673 = К1К2к3.	(5.4)
Заметим, что элементы Ki, к2, кз попарно взаимно просты. В са-
мом деле, если, например, 6 6 А делит кц, к2, то <5 делит и
(а 4- /3) — (а 4- £/3) = /3(1 — £) = /ЗА (если 5 делит «1, к3 или к2, «з, то
рассуждения аналогичны). Но А не делит Ki, к2, кз, а значит, эле-
мент 6 не является ассоциированным с А. Следовательно, S делит /3,
а значит, также и а, что невозможно.
Из единственности разложения на множители в кольце А и со-
отношения (5.4) следует, что элементы кц, к2, к3 являются ассоци-
ированными с кубами, т. е. существуют единицы щ € А и элементы
p,i е А, такие, что к, = (г = 1,2,3). Тогда
а 4- /3 = Х3п~2^3шъ
< а 4- Q/3 = А/^2^2,
а + (2/? = A^|w3.
(5.5)
Снова заметим, что /1х, /^2, /13 попарно взаимно просты, причем
А не делит /ii, /12, /13. Таким образом,
0 = (а + /3) + С(а + С£) + <2(а + С2/?)
__ ^3n	"Ь С**
1.5. Поле Эйзенштейна
61
следовательно,
М2 + т/4 + т> А3(п-1) = О,
где т, т' — единицы, элементы pi, р2, Рз 6 А отличны от нуля и
НОД(р2,рз) — 1- Если т — 1, то утверждение (Ь) доказано. Если
т = — 1, то, заменив /13 на — рз, снова получим (Ь). Нам осталось
доказать, что единица т не может быть равна или ±£2. В самом
деле, р3 + тМз — 0 (mod Л2) и, так как ~ ±1 (mod Л4), р3 = ±1
(mod Л4), мы получаем р3 4- тр3 = ±1 ± т = 0 (mod Л2). Однако
±1 ± С 0 (mod А2)и±1±(2^0 (mod А2), следовательно, т
/ ±£, ±£2, что и завершает доказательство утверждения (Ь) и, как
уже отмечалось, всей теоремы. □
Приведем несколько результатов, схожих с (5А), которые можно
доказать теми же методами. Эти утверждения можно приписать
Эйлеру и Лежандру.
(5В) Пусть р — простое число, р = 2 или 5 (mod 9). Пусть,
далее, е — единица в К и существует элемент х 6 А, такой, что
х3 = е (mod р). Тогда е = ±1.
Доказательство. Предположим, что е = или ±£2 и существу-
ет элемент х 6 А, такой, что х3 н е (mod р). Так как р = 2 (mod 3),
мы заключаем, что р есть простой элемент в А, поле А/Ар состоит
из р2 элементов и хр -1 н 1 (mod р). Но р2 — 1 = (р 4- 1)(р — 1) =
= 3(г 4- 1)(3г 4- 1), причем р = Зг 4- 2. Следовательно,
er+1 = £(r+i)(3r+i) н xp2-i н । (mod р).
Если г = 0 или 1 (mod 3), то р делит 1 Т С или 1 =F С2- Так как
1- С2 = (1 4- С)(1 - С) и 1 4-С = -С2, 1 4- С2 =	— единицы, р делит
1 — С- Отсюда следует, что р = 3, а это противоречит предполо-
жению. Следовательно, г = 2 (mod 3) и р =. 8 (mod 9), что снова
невозможно. □
Следуя Морделлу, докажем еще один классический результат.
(5С) Пусть р — простое число, р = 2 или 5 (mod 9) и е — еди-
ница в Q(0- Тогда уравнение
X3 4-У3 + EaZ3 = 0,	(5.6)
где а — р или р2, а 2, имеет лишь тривиальные решения (х,у, z)
в Q(0> именно z = 0, х € { — у, — Qy,-С,2у}- При а — 2 и е = 1
существуют также решения х3 == у3 = — z3 = 1, а при е — — 1 —
решения х3 == у3 — z3 = 4=1.
62
Глава I. Частные случаи
Доказательство. Для начала заметим, что если тройка (x,?/,z)
является решением, причем х = 0 или у — 0, то непременно z — 0.
Действительно, если каждый из элементов х,у равен 0, то и z — 0.
Пусть, например, х — 0, а у 0. Можно считать, что НОД(?/,г) =
— 1. Тогда р делит у, следовательно, р3 | az3, а значит, р | z, что
противоречит предположению.
Пусть теперь элементы x,y,z € А таковы, что х3 4- у3 4- saz3 —
= 0, причем xyz ф 0. Можно также считать, что НОД (ж, у, z) = 1.
откуда следует, что x,y,z попарно взаимно просты.
Из всех возможных решений выберем то, для которого модуль
нормы |7V(rr?/z)| наименьший. Заметим, что х3 4- у3 0, так как
z 0. Отсюда следует, что х не совпадает ни с одним из элементов
-у,-Су,-С2у-
Рассмотрим резольвенты Лагранжа:
а = х 4- у,
* 0 = (х + С2у,
, 7 = (2х + 0л
Нетрудно видеть, что а, /3, у 6 А, а, /3, у = 0 и
а07 = (2(i2 + (у2 + (1 + £)ху)(£х + у)
= (¥3 + Су3 + (1 + С + С2)х2у + (! + < + с2)ху2)
— х3 + у3 = —eaz3.
Пусть 5 = НОД (а, 0,7) € А. Тогда НОД (сг/<5,0/<5,7/<5) = 1и
а /3 у /z\3
У И' 7 ~~£а(б) 
Следовательно, а делит в точности один из множителей в левой
части, скажем, 7/6 (остальные случаи аналогичны). Согласно тео-
реме единственности разложения на множители, справедливой для
кольца А,
a/<5 = £iQ3,
< 0/<5 = e20f,
k 7/^ = £за71,
где £1,£2?£з — единицы в А, причем ai,/?i,7i € A, ai/?i7i 0,
НОД(а1,/?1, 7i) — 1. Следовательно,
+ £201 + £за71 - 0-
Положим е1 —	= Еъ/ел- Тогда
а3 4- е'Р3 4- Ег'ау3 = 0.	(5.7)
1.5. Поле Эйзенштейна
63
Отметим, что р / (3\. В самом деле, если р | то р | сле-
довательно, р3 | Q713, а значит, р | 71, что невозможно, так как
НОД (Q1, £1,71) — 1- Переходя в соотношении (5.7) к классам экви-
валентности по модулю р, получим а3 4- е'/?3 = 0 (mod р), так что
ef есть куб по модулю р. Из утверждения (5В) следует, что е' = ±1,
поэтому
al + (±/?i)3 +е"а7? = О,
а значит, (qi,±£i,7i) — еще одно нетривиальное решение уравне-
ния (5.6), причем НОД(а1, ±£i, 71) — 1. По предположению
ММ3 $ |7V(Q1/?171)|3 =
так что ^(<5хр)| $ 1. Это значит, что х, у, 6 являются единицами.
Следовательно, х3 = ±1, у3 = ±1 и ±1 ± 1 4- eaz3 — 0.
Если а 2, то z — 0, что противоречит предположению.
Если а = 2, то или z = 0, или х3 = у3 0, х3 4- ez3 — 0.
Значит, е есть куб по модулю р, а следовательно, согласно (5В)
мы получаем, что е = ±1. При 6 = 4-1 решением является тройка
х3 = у3 — —z3 = 1, а при е — — 1 — тройка х3 = у3 — z3 = ±1. □
В качестве прямого следствия имеем следующий результат.
(5D) Уравнение
X3 + 4У3 = 1	(5.8)
не имеет решений в отличных от нуля целых числах.
Доказательство. Рассмотрим уравнение
X3 4- Т3 4- 4У3 = 0.	(5.9)
Если (х, у) — нетривиальное решение уравнения (5.8), то (х, — 1, р) —
нетривиальное решение уравнения (5.9), что невозможно согласно
результату (5С). □
Отметим еще несколько следствий.
(5Е) Уравнения
X6 - 27У6	=	2Z3,	(5.10)
X6 - 16 х 27У6	=	Z3,	(5.11)
16.Y6 - 27У6	-	Z3	(5.12)
не имеют решений в отличных от нуля целых числах.
64	Глава I. Частные случаи
Доказательство. Предположим, что х6 - 27г/6 = 2z3, где х, у, z -
отличные от нуля целые числа. Тогда (х2)3 + ( —Зг/2)3 — 2z3 = О,
В силу утверждения (5С) мы получаем х6 = у6 = z6 = ±1 и, следо-
вательно, |х| = \у\ = |z| = 1, что невозможно.
Пусть х6 — 16 х 27г/6 = z3. Тогда, умножив на 23, получим
(2х2)3 4- (-2z)3 - 2(22 х Зг/2)3 = 0. Согласно (5С) мы имеем (2х2)3 =
= (—2z)3 = (22 х Зг/2)3 = ±1, следовательно, 2х2 = ±1, что проти-
воречит предположению.
Наконец, если 16х6-27г/6 = г3,то (Зг/2)34-г3-2(2х2)3 = 0, откуда
в силу утверждения (5С) мы заключаем, что (Зт/2)3 — z3 — (2х2)3 =
— ±1, а значит, 2х2 = ±1, т. е. мы вновь приходим к противоречию.
__	__	□
Далее, Лежандр доказал следующий результат.
(5F) Уравнение
X3 + Y3 = 3Z3
не имеет решений в целых числах, отличных от нуля.
Доказательство. Доказательство повторяет предыдущие рассу-
ждения с соответствующими изменениями. □
В 1856 г. Сильвестр также объявил, что справедливо следующее
утверждение.
(5G) Уравнение
X3 4- У3 4- Z3 4- 6XYZ = 0
не имеет решений в целых числах, отличных от нуля.
Список литературы
1856 Sylvester, J.J., Recherches sur les solutions en nombres entiers
positifs ou negatifs de I’equation cubique homogene a trois vari-
ables, Ann. Sci. Matem. Fis. (Tortolini), 7 (1856), 398-400.
Reprinted in Mathematical Papers, Vol. II, pp. 14-15; Cambridge
University Press, Cambridge, 1908.
1876 Gauss, C.F., Zur Theorie der complexen Zahlen. (I) Neue Theorie
der Zerlegung der Cuben; Werke, Vol. II, pp. 387-391, Konigl.
Ges. Wiss., Gottingen, 1876.
1978 Mann, H.B. and Webb, W.A., A short proof of Fermat’s theorem
for n = 3, Math. Student, 46 (1978), 103-104.
1999 Ribenboim, P., Classical Theory of Algebraic Numbers, Springei-
Verlag, New York, 1999.
1.6. Уравнение пятого порядка	65
1.6. Уравнение пятого порядка
Случай п = 5 был впервые рассмотрен Дирихле. В 1825 г. его ста-
тья была представлена в Парижской академии наук, но доказатель-
ство, опубликованное в 1828 г., не охватывало все возможные слу-
чаи. К тому времени как Лежандр опубликовал полное независимое
доказательство, Дирихле уже обосновал последний остававшийся не
разобранным случай. Мы изложим доказательство Дирихле на со-
временном языке, используя ряд фактов, касающихся арифметики
квадратичного поля К = Q(a/5), доказательства которых можно
найти, например, в книге Рибенбойма (1999).
Пусть А — кольцо целых чисел из Q(\/5). Элементы кольца А
имеют вид (а+6\/5)/2, где а и b — целые числа одинаковой четности.
Обратимые элементы из А, т. е. единицы поля К, образуют группу
по умножению. Элемент (а 4- 6\/5)/2 является единицей тогда и
только тогда, когда его норма
а 4- 6\/5\ f а — 6\/5\ _ а2 — 562
\	2 у =	4
равна ±1 (т. е. а2 — 562 = ±4). Можно показать, что единицы коль-
ца А — это в точности элементы ±((14- х/5)/2)е, где целое число е
произвольно.
При доказательстве нам потребуется следующий важный факт:
каждый элемент из А можно представить в виде произведения сте-
пеней простых элементов единственным способом (с точностью до
единицы), или, что то же самое, каждый идеал в А — главный.
Заметим, что в кольце А элементы 2, \/5 являются простыми.
Начнем с рассмотрения одного свойства, касающегося опреде-
ленных главных идеалов кольца А, являющихся пятыми степенями.
(6А)
(1) Пусть отличные от нуля целые числа а и b таковы, что
НОД (а, 6) = 1, а b (mod 2), 5 / а, 5 | Ь. Пусть, далее,
а2 — 562 является пятой степенью элемента из А. Тогда су-
ществуют отличные от нуля целые числа с, d, такие, что
а = с(с4 + 50с2 г/2 + 125с/4),	, .
b = 5d(c4 + lOc2^2 + 5d4),	( J
причем НОД (с, d) = 1, с d (mod 2), 5 /с.
5-27
66
Глава I. Частные случаи
(2) Пусть нечетные числа а и b таковы, что НОД (а, Ь) = 1,
5 / а, 5 | Ь. Пусть, далее, (а2 — 562)/4 является пятой степе-
нью элемента из А. Тогда существуют (отличные от нуля)
нечетные числа с, d, такие, что
а = с(с4 + 50 с2 d2 4- 125d4) /16,
b = 5d(c4 + 10c2d2 4- 5rf4)/16,
причем НОД(с, d) — 1 и 5 /с.
Доказательство. Пусть отличные от нуля целые числа с и d удо-
влетворяют условиям (6.1) (соответственно условиям (6.2)). Тогда
НОД (с, d) = 1, 5 / с, причем числа с и d не могут иметь одинако-
вую четность, иначе а и b были бы четны (соответственно с и d не
могут иметь различную четность, иначе они оба были бы кратны
16, следовательно, end должны быть нечетными).
Теперь докажем существование чисел с и d в каждом случае.
(1) Сначала заметим, что если а + Ьл/5 — ((h +&\/5)/2)5, где h н
= k (mod 2), то h и к четны. Действительно, 256 = 5fc(h4 + 10Л2А;2 4-
4- 5А;4), значит, 25 делит h4 4- 10/i2fc2 4- 5к4. Если h и к нечетны, то
h = ±1, ±3 (mod 8), следовательно, h2 = 1, 9 (mod 16), h4 = 1,17
(mod 32) и такие же сравнения справедливы для k, fc2, к4. Таким
образом, h4 + 10/i2fc2 + 5fc4 сравнимо по модулю 32 или с
1 + 10fc2 + 5fc4 =
1 + 10 + 5 =16,
1 + 90 + 85 = 16,
или с
17+26fc2 +5fc4 =
17 + 26 + 5 = 16,
17 + 234 + 85 = 16,
что невозможно.
Теперь покажем, что НОД (а 4- Ьу/5, а — 6л/5) = 1. В самом деле,
если простой элемент a G А делит а 4- Ь\/5 и а — b\/b, то а делит
2а и 2&л/5. Если а | \/5, то а = у/Ьсз (и — единица в А). Тогда \/5
делит 2а, 5 делит 4а2 (в Z), а значит, 5 [ а, что противоречит пред-
положению. Таким образом, а делит 2Ь. Так как существуют целые
числа s и t, такие, что 2 4- 2bt = 2, элемент о делит 2. Но элемент
2 прост в А, а потому а = 2сз (сз — единица в А). Итак, 2 дели!
числа а 4- by/И и а — Ьл/5, следовательно, их произведение (а 4- Ь\/5) х
х(а — Ь\/5) — а2 — 562 кратно 4. Но числа а и b имеют различную
четность, а значит, а2 — 562 нечетно. Таким образом, мы пришли к
противоречию.
1.6. Уравнение пятого порядка
67
Так как НОД (а4-5\/5, а —Ьл/5) = 1 и а2 —552 является пятой сте-
пенью элемента из А, учитывая единственность разложения на мно-
жители в А, заключаем, что а + Ь\/5 также является, с точностью до
умножения на единицу, пятой степенью некоторого элемента, ска-
жем, a + b\/5 = ((m + n\/5)/2)5, где тп = п (mod 2). Следовательно,
где t ~ и (mod 2), (t + u\/5)/2 — единица в А, так что t2 — 5и2 = ±4.
Положим ((т + п\/5)/2)5 = (т‘ -I- п' \/5)/2. Тогда 16m'
(mod 5), 16п' = 0 (mod 5), а значит, 5 | п'. Далее, 4а = m't + Бп'и,
4Ь = т'и 4- п7, поэтому 5 / т1 (иначе выполнялось бы условие
5 | а, что противоречит предположению), а следовательно, 5 / т.
Из условий 5 | п1, 5 | b следует, что 5 | m'u, а значит, 5 | и. Если
и = 0, то t = ±2 и а 4- b\/5 = ±((ш + пл/5)/2)5. Согласно сделанному
в начале доказательства замечанию числа тип четны. Положим
с — ±т/2, d — ±п/2. Ясно, что числа с и d удовлетворяют соотно-
шениям (6.1).
Если же и ф 0, то (£4-н\/5)/2	±1, следовательно, (t4-u\/5)/2 =
= ±((1 + х/5)/2)е для некоторого показателя е 0. Заменив при
необходимости число (14- \/5)/2 на обратное число — (1 — %/5)/2,
можно считать, что е > 0 и даже что е > 1 (иначе мы получили
бы, что и — ±1, а это противоречит условию 5 | и). Тогда ±2е-1х
x(t 4- u\/5) = (1 ± х/5)е. Следовательно,
±2е-1г/ =е4-5 (4- 52 f 4- ...,
\3/	\5/
поэтому 2е-1 и = (mod 5) и, так как 5 | и, должно выполняться
условие 5 | е. Таким образом, е = 5/. Пусть
где с' = d! (mod 2). Тогда а 4- Ьу/Ь — ±((с' 4- d'x/5)/2)5. Согласно
сделанному в начале доказательства замечанию числа с' и d! чет-
ны. Положим с = ±с'/2, d — ±d'/2. Тогда end удовлетворяют
соотношениям (6.1).
(2) Доказательство в этом случае очень похоже на приведенное
выше, поэтому мы лишь укажем основные этапы. Сначала докажем,
что НОД ((а 4- 6\/5)/2, (а — 5\/5)/2) = 1, откуда сделаем вывод, что
68
Глава I. Частные случаи
(а + бУ5)/2 = ((m + nv^)/2)5((£ + u<\/5)/2), где т ~ п (mod 2), t = и
(mod 2), t2 — 5u2 = ±4. Тогда 5 | и. Если и — 0, то положим с =
= d — ±п. Для чисел сие/ справедливы соотношения (6.2).
Если же и 0, то (t 4- u\/5)/2 — ±((1 ± х/5)/2)е, где е > 0 (и даже
е > 1). Поэтому е = 5/, и, положив
(т 4- пх/бА /1 ± х/бА _ с 4- dy/b
2 у 2 J “	2 ’
получим, что (а 4- Ьл/5)/2 — ((с 4- dx/5)/2)5, причем снова имеют
место соотношения (6.2). □
(6В) Уравнение
X5 + Г5 + Z5 = О	(6.3)
не имеет решений в целых числах, каждое из которых отлично
от 0.
Доказательство. Предположим, что существуют отличные от
нуля целые числа x,y,z, такие, что х5 4-т/5 4-z5 = 0. Можно считать,
что НОД (я, y,z) = 1, а значит, х, y,z попарно взаимно просты.
Случай 1: xyz не кратно 5.
Тогда x,y,z сравнимы с ±1 или с ±2 по модулю 5. Поскольку
х5 = х (mod 5), у5 = у (mod 5), z5 = z (mod 5), мы заключаем,
что x + y + z = x5+y5 + z5 = 0 (mod 5).
Если числа x,z/,z попарно несравнимы по модулю 5, то х 4- у 4-
+ z 0 (mod 5). Значит, например, х = у (mod 5). Тогда — z =
= х + у = 2х (mod 5). Возводя сравнения в пятую степень:
х5 = у5 (mod 52), —z5 = 25х5 (mod 52),
мы получим —z5 = х5 4-1/5 н 2я5 (mod 52), следовательно, 25я5 =
= 2х5 (mod 52), так что 25 = 2 (mod 52), а это неверно. Тем самым
утверждение в первом случае доказано.
Случай 2: 5 | z (например).
Тогда 5 X ху. Из равенства НОД(х,т/) — 1 следует, что числа х
и у или оба нечетны, или имеют различную четность.
Пусть сначала х, у нечетны. Тогда —z5 = хь 4- у5 четно, следова-
тельно, z кратно 2 и 5. Значит, z = 2m5nzf, где т 1, п 1, z' не
кратно ни 2, ни 5. Переобозначив z' через z, получим отличные от
нуля попарно взаимно простые целые числа х, у, z, такие, что
-25m55nz5 = х5 + ^5	(б.4)
1.6. Уравнение пятого порядка	69
где х, y,z нечетны и не кратны 5, т 1, п 1. Положим 2р =
= х + у, 2q = х — у (р тл q — целые числа, не равные 0). Тогда
х — р + q, у — р — q, причем НОД(р, q) — 1 и р, q не являются
одновременно нечетными. Следовательно,
—25m55"z5 = (р + д)5 + (р - q)5 = 2р(р4 + 10р2д2 + 5g4).
Так как 5 | р или 5 | (р4 + 10p2g2 + 5g4), в любом случае 5 | р.
Положим р = 5г. Итак, 5 / q, НОД (г, q) = 1 и числа q,r имеют
различную четность. Таким образом,
—25m35nz5 = 2 х 32r(q4 4- 30g2r2 4- 125r4).
Пусть t — q* 4- 30q2r2 4- 125r4 = (q2 4- 23r2)2 — 5(10r2)2. Поло-
жим u = q2 4- 23r2, v = 10r2. Тогда u,v не равны 0, u нечет-
но, 10 | v, НОД(и,г?) = 1. Следовательно, число t нечетно, 5 / t,
НОД (t,r) — 1, а значит, 5 | г (так как 5п > 2).
Так как НОД (2 х 32r, t) — 1, элементы 2 х 32г и t являют-
ся пятыми степенями целых чисел. Но t = u2 — 3v2, где и v
(mod 2), НОД(и,г?) = 1, 5 / и, 5 | v. Согласно (6А) существуют от-
личные от нуля целые числа end, такие, что
( u = c(c4 4-30c2d2 4- 125d4),
t v = 5d(c44-10c2d24-5d4),
причем НОД (c,d) = 1, с d (mod 2), 5 / с. Отсюда следует, что
5 | d, так как 5 | г, а значит, 53 | v. Заметим также, что d > 0.
Умножив второе соотношение на 2 х 53, получим, что (2 х 52г)2 =
= 2 х 53 х Юг2 = 2 х 54d(c4 4- 10с2сР 4-Sd4) и это число является пятой
степенью целого числа (так как 2 х 52г является пятой степенью
целого числа).
Но НОД (2 х 54d, с4 4- 10с2 d2 4- 3d4) = 1, потому что число
с4 4- 10с2d2 4- 5d4 нечетно, 5 / с и НОД (с, d) = 1. Следовательно,
2 • 54d и с4 4- 10с2d2 4- 3d4 = (с2 4- 3d2)2 - 5(2d2)2 — пятые степени це-
лых чисел. Так как числа с2 4- 3d2 и 2d2 не являются одновременно
нечетными, НОД(с24-5сР, 2d2) = 1,5 /(с2 4-3d2) и 5 | 2d2, согласно
(6А) мы вновь можем сделать вывод, что существуют отличные от
нуля целые числа с' и d', такие, что
Г с2 + Sd2 = с'(с'4 + 50c,2d'2 + 125d'4),
[	2d2 = 5d'(d4 + 10c'2d'2 + 5d'4)
и НОД(с'^') = 1, с' d' (mod 2), 5 / с'. Отсюда следует, что 5 | d',
потому что 52 | d2. Заметим также, что d! > 0. Умножив второе
70
Глава I. Частные случаи
соотношение на 2 х 58, получим
22 х 58d2 = (2 х 54d)2 = 2 х 59d'(c'4 + 10c'2d'2 + 5d'4),
причем это число является пятой степенью целого числа. Поскольку
элементы 2 х 59d', с'4 4- 10с'2d'2 4- 5d'4 взаимно просты, они также
являются пятыми степенями целых чисел. Это аналогично дока-
занному выше утверждению о том, что 2 х 54d, с4 4- 10с2d2 4- 5d4 —
пятые степени целых чисел. Более того, 0 < d' < d, потому что
25d'5	5d'(c'4 4- 10c'2d'2 4- 5d'4) — 2d2, следовательно,
0 < d4 Ж)/25 < d.
Продолжая этот процесс, получим целое число d", такое, что 0 <
< d" < 1, а это невозможно.
Остается рассмотреть случай, когдахиу имеют различную чет-
ность. Мы опустим часть вычислений.
Пусть х + у = р, х — у — Q, следовательно, р и q нечетны,
НОД(р, q) = 1, 2х = p+q, 2у = p—q. Справедлива цепочка равенств
—25 x55nz5 = (2х)5 4-(2г/)5 = (p4-g)5 4-(p-g)5 = 2р(р4 4-10pV 4-5g4).
Так как 5 | р, положив р = 5т, получим, что 5 / д, НОД(д,г) = 1,
числа q и г оба нечетны и
—25 х 55nz5 = 2 х 52т£,
причем t — q4 4- 50g2r2 4- 125r4 = и2 - 5v2, где и — q2 4- 25r2, v =
= 10r2. Тогда числа и и v не равны 0, четны, и = 2 (mod 4), 5 /1
и НОД(£, г) = 1, а значит, 5 | г (так как 5п > 2). Положим
и — 2uf, v — 2v'. Тогда числа и' и v' нечетны, НОД(и',1/) — 1,
5 / и', 5 | v1. Если t1 = t/4 — и'2 — 5v'2, то t1 = 0 (mod 4), при-
чем -55nz5 = 52т£'/4, где НОД (52r, t'/4) = 1. Таким образом,
52г и t'/4 = (u'2 — 5v'2)/4 являются пятыми степенями целых чи-
сел. Согласно (6А) существуют отличные от нуля целые числа с и
d, такие, что
Г и1 = с(с4 4- 50c2d2 4- 125d4)/16,
| v' = 5d(c4 4- 10c2d2 4- 5d4)/16,
причем НОД (c,d) = 1, оба числа end нечетны и 5 / с. Более того,
5 | г, так что 52 | v', а следовательно, 5 | d. Заметим также, что
d> 0.
Умножив второе соотношение на 53, получим
(52г)2 = 53v' =	_5rf4 ,
1.6. Уравнение пятого порядка	71
где ((с2 Ч- 5cZ2)/2)2 — 5d4 = 0 (mod 4). Так как оба множителя в
правой части взаимно просты и (52т)2 является пятой степенью це-
лого числа, 54d и |[((с2 + 5d2)/2)2 - 5(d2)2] также являются пятыми
степенями целых чисел. В силу (6А) существуют отличные от нуля
целые числа с1 и d!, такие, что
(с2 + 5</2)/2 = с'(с'4 + бОс^'2 + 125d'4)/16,
d2 = 5с/'(с'4 + 10c'2d'2 + 6d'4)/16,
причем НОД(с',с/') — 1, оба числа с' и d! нечетны и 5 / с'. Более
того, 5 | d! и d' > 0. Умножив второе соотношение на 58, получим
б8 d2 = (54d)2 = ^(с'4 + Юс'2 d'2 + 5d'4)
16
Мы вновь заключаем, что 59d' и |[((с'2 Ч- 5rf,2)/2)2 — 5(d'2)2] яв-
ляются пятыми степенями целых чисел. Это аналогично предыду-
щему утверждению. Более того, 0 < d1 < d, так как 25d'5	16с/2.
Продолжение этой процедуры приводит к противоречию. □
В 1912 г. Племель доказал усиленный вариант предыдущей тео-
ремы (см. также Нагель (1958)).
(6С) Уравнение
X5 4- У5 4- Z5 = 0
имеет лишь тривиальные решения в целых числах из поля Q(a/5).
Другие доказательства теоремы Ферма для показателя 5 были
найдены авторами, указанными в табл. 3.
Список литературы
1825 Schopis, Einige Sdtze aus der unbestimmten Analytik, Progr.
Gummbinnen, 1825, pp. 12-15.
1828 Dirichlet, P.G.L., Memoire sur Vimpossibilite de quelques equa-
tions indeterminees du 5е degre, J. Reine Angew. Math., 3
(1828), 354-375; reprinted in Werke, Vol. I, pp. 1-20 and 21-46,
G. Reimer Verlag, Berlin, 1889, and also by Chelsea, New York,
1969.
72
Глава I. Частные случаи
Таблица 3. ПТФ для показателя 5
Автор	Случай	Год
Гаусс	оба	1863 (посмертное издание)
Шопи	первый	1825
Лебег	оба	1843
Ламе	оба	1847
Гамбиоли	оба	1901 и 1903/4
Веребрюсов	оба	1905
Мириманов	первый	1909
Рыхлик	оба	1910
Гайяши6	оба	1911
ван дер Корпут	оба	1915
Тержанян	оба	1987
1830 Legendre, А.М., Theorie des Nombres (3е edition), Vol. II, p.
5, Firmin Didot Freres, Paris, 1830; reprinted by A. Blanchard,
Paris, 1955.
1843 Lebesgue, V.A., Theoremes nouveaux sur I’equation indeterminee
хъ +yb = azb, J. Math. Pures Appl., (1), 8 (1843), 49-70.
1847 Lame, G., Memoire sur la resolution en nombres complexes de
I’equation A5 4- В5 + C5 — 0, J. Math. Pures Appl., (1), 12
(1847), 137-171.
1875 Gauss, C.F., Zur Theorie der complexen Zahlen. (I) Neue Theorie
der Zerlegung der Cuben, Werke, Vol. II, pp. 387-391, Konigl.
Ges. Wiss. Gottingen, 2nd ed., 1875.
1901 Gambioli, D., Memoria bibliografica sull’ultimo teorema di Fer-
mat, Period. Mat., 16 (1901), 145-192.
1903/4 Gambioli, D., Intomo all’ ultimo teorema di Fermat, П Pita-
gora, 10 (1903/4), 11-13 and 41-42.
1905 Werebrusow, A.S., On the equation xb + y5 = Az5 (in Russian),
Moskov. Math. Samml., 25 (1905), 466-473.
1909 Mirimanoff, D., Sur le dernier theoreme de Fermat, Enseign.
Math., 11 (1909), 49-51.
1910 Rychlik, K., On Fermat’s last theorem for n = 5 (in Bohemian),
Casopis Pest. Mat., 39 (1910), 185-195, 305-317.
6Это доказательство может быть неверным, согласно информации из част-
ной беседы.
1.7. Уравнение седьмого порядка
73
1911 Hayashi, Т., On Fermat's last theorem, Indian Math. Club,
Madras, 3 (1911), 111-114; reprinted in Science Reports, Tohoku
Imp. Univ., (1), 1 (1911/12), 51-54.
1912 Plemelj, J., Die Unldsbarkeit von x5 4- y5 4- z5 = 0 im Korper
fc(\/5), Monatsh. Math., 23 (1912), 305-308.
1915 van der Corput, J.G., Quelques formes quadratiques et quelques
equations indeterminees, Nieuw Archief Wisk., 11 (1915), 45-75.
1958 Nagell, T., Sur I’equation хь + уъ — z5, Arkiv. Mat., 3 (1958),
511-514.
1973/4 Terjanian, G., L’equation xn 4- yn — zn pour n = 5 et n — 14,
Sem. Th. des Nombres, Bordeaux, 1973/4, exp. no. 5, 6 pp.
1987 Terjanian, G., Sur une question de V.A. Lebesgue, Ann. Inst.
Fourier, 37 (1987), 19-37.
1999 Ribenboim, P., Classical Theory of Algebraic Numbers, Springer-
Verlag, New York, 1999.
1.7. Уравнение седьмого порядка
В 1839 г. Ламе доказал теорему Ферма для показателя 7. Более про-
стое доказательство в 1840 г. нашел Лебег. Рассуждение Дженокки
(1874г. и 1876г.), основанное на идее Лежандра (1830), было еще
проще. Мы воспроизводим его по книге Нагеля (1951).
(7А)
(1) Пусть корни кубического уравнения с рациональными коэф-
фициентами х, у, z удовлетворяют уравнению x74-t/74-z7 = 0.
Тогда или xyz = 0, или числа х, у, z пропорциональны (в опре-
деленном порядке) корням третьей степени из 1, а именно
1, С = (-1 + лЛЗ)/2, С2 = (-1 - хГЗ)/2.
(2) Уравнение х7 + у7 + z7 = 0 имеет лишь тривиальные решения
в целых числах.
Доказательство. (1) Предположим, что x,y,z — корни много-
члена f(X) = X3 — рХ2 4- qX — г, гдеp,q,rE Q. Тогда
р = х 4- у 4- z,
q = ху 4- xz 4- yz,
г = xyz.
Случай 1: р = 0.
Воспользуемся тождеством (см. разд. II.5)
(X + У)7 - X7 - У7 = 1ХУ{Х + У)(Х2 + XY + У2)2.
74
Глава I. Частные случаи
Если х -I- у -F z = 0 и х7 -I- у1 4- z7 = О, то 7ху(х 4-р)(х2 +ху 4-р2)2 = 0.
Следовательно, или х = 0, или у = 0, или z = — (х 4- у) = 0, или
xyz ф 0, но х2 4- ху 4- у2 = 0. Таким образом, (у/х}2 4- у/х 4-1 = 0, а
значит, у/х является корнем третьей степени из 1, причем у/х ф 1.
Тогда у = xQ (или у = х£2) и z — — (х 4- р) = —х(1 4- С) — х£2, так
что x,p,z пропорциональны числам 1,С,С2 (или 1,£2,£).
Случай 2: р ф 0.
Пусть k 1 и Sk = хк 4- ук 4- zk — сумма fc-x степеней корней
уравнения f(X) = 0. По формулам Ньютона
*1 = Р,
52 = 5!р-2^,
5з = 52р - Siq 4- Зг,
54 = 53р - s2q 4- Sir,
55 = 54р - s3q 4- s2r,
56 = 55р - s4q 4- s3r,
57 — 5бР — s^q 4- s4r.
Сделав подстановку, получим
х7 4- у7 4- z7 — р7 — 7p5q 4- 7р4г 4- 14p3g2 - 21p2qr — 7pq3 4- 7pr2 4- 7q2r.
Положим m = pq — r € Q. Тогда
x7 4- у7 4- z7 - p7 - 7(pq - r)(p4 - p2q 4- q2) 4- 7(pg - r)2p,
то есть
x7 4- у7 4- z7 — p7 - 7m(p4 - p2q 4- g2) 4- 7m2p.
Так как x7 4- у7 4- z7 — 0, мы получаем
p7 - 7m(p4 — p2g 4- q2} 4- 7m2p — 0.
Обозначим q/p2 — Q, m/p3 — M. Тогда
p7 - 7p3M(p4 - p4Q - p4Q2) 4- 7p7M2 = 0,
следовательно,
M2 -M(l -Q + Q2) + | = 0.
Поскольку число M рационально, деленный на 4 дискриминант
((1 — Q 4- Q2)/2)2 — | является квадратом отличного от нуля ра-
ционального числа. Пусть 2Q — 1 — s/t, где целые числа s и t вза-
имно просты, причем t > 0. Тогда Q = (t 4- s)/2£, а следовательно.
1.7. Уравнение седьмого порядка
75
64t4[((3£2 4-32)/8i2)2 - |] = s4 4-б£2з2 -t4/7 = и2, где рациональное
число и отлично от нуля.
Так как число 7и2 целое, и также должно быть целым, а значит,
t кратно 7, и, следовательно, 7 / s. Пусть t — 7ev, где е 1, 7/v.
Тогда
з4 4- б х 72ev2s2 - 74e-1v4 = и2.	(7.1)
Из (7.1) получим, что
(s2+3 х 72ev2)2 - и2 = 64 х 74e~1v4,	(7.2)
следовательно,
(s2 + 3 х 72ev2 + u)(s2 + 3 x 72ev2 - u) = 64 x 74e-1iA	(7.3)
Теперь покажем, что НОД (s2 + 3 х 72ei>2 + и, s2 + 3 х 72ev2 — и)
есть степень числа 2. Действительно, пусть простое число р 2
таково, что р | (s2 4- 3 х 72еи2 4- и) и р | (з2 4- 3 х 72ev2 — и). Тогда
р|2п, а значит, р | и. Кроме того, р | 2(з24-3 х 72ev2), следовательно,
р | (з2 4- 3 х 72ev2). Если р = 7, то, так как е > 1, мы заключаем,
что 7 = р | s, а это невозможно. Если же р 7, то в силу (7.3) мы
делаем вывод, что р | 64 х 74e~1v4, следовательно, р | v, а значит,
р | з, и это снова противоречие. Таким образом, наибольший общий
делитель двух сомножителей из (7.3) есть степень числа 2.
Подслучай (a): v нечетно.
Из соотношения (7.3) следует, что
J s2 4- 3 х 72еи2 ± и = 74е“1Ла4,
У s2 4- 3 х 72ev2 4= и = ВЬ4,
где целые числа а и b взаимно просты, ab = v (а значит, а и b
нечетны), А п В четны и АВ = 64.
Из системы (7.4) получим, что
2s2 4- б х 72ev2 = 74е~гАа4 4- ВЬ4.	(7.5)
Заметим, что если х нечетно, то х2 = 1 (mod 8), а так как 7 = — 1
(mod 8), мы получаем
s2 = -3x72ea2b2 + 74e-1^a4 + |b4H-3-^ + | (mod 8).
76
Глава I. Частные случаи
Рассмотрим	все возможные значения А, В:			
А = 32,	В = 2		s2 = —2 (mod 8),	что невозможно.
А = 16,	В = 4		s2 = —1 (mod 8),	что невозможно.
А = 8,	В = 8		s2 = —3 (mod 8),	что невозможно
А = 4,	В = 16		s2 = 3 (mod 8),	что невозможно.
А = 2,	В = 32		s2 = 4 (mod 8).	
В последнем случае соотношение (7.5) можно переписать так:
з2 + 3 х 72ea2b2 =	+ 16ft4.
Умножив это равенство на 64, получим
64s2 + 6 х 72е х 32а2 ft2 - 64 х 16Ь4 = 74е“1 х 64а4,
откуда
64s2 - (32ft2 - 3 х 72еа2)2 = 74е-1 х 64а4 - 74е х 32а4 = 74е~1а4,
а следовательно,
(8s + 32ft2 - 3 х 72ea2)(8s - 32ft2 + 3 х 72еа2) = 74е-1а4.	(7.6)
Заметим, чтоНОД(8з + 32Ь2-Зх72еа2,8з-32Ь2 + Зх72еа2) = 1.
Действительно, так как а нечетно, рассматриваемые числа также
нечетны. Пусть р | (8s 4- 3262 — 3 х 72еа2) и р | (8s — 3262 4- 3 х 72еа2).
Тогда р | 16s, следовательно, р | s, и аналогично р | (3262 — 3 х
х 72еа2). Но р | 74е-1а4 (согласно (7.6)). Если р = 7, то р = 7 | s,
что невозможно. Если же р 7, то р | а, следовательно, р | Ь, т. е.
мы снова получаем противоречие. Это доказывает утверждение, и,
таким образом,
( 8s ± 3262 3 х 72еа2 = с4,	, .
( 8s 32Ь2 ± 3 х 72ea2 = 74e~1d4,	'
где целые числа с и d взаимно просты, причем cd — а. Следователь-
но, с и d нечетны. Из системы (7.7) можно сделать вывод, что
=рЗ = с4 (mod 8),
а этого быть не может. Итак, доказано, что подслучай (а) невозмо-
жен.
Подслучай (b): v четно.
Тогда s нечетно (потому что t четно), а значит, и тоже нечетно.
Перепишем соотношение (7.2) в виде
(s2 4- 3 х 72ev2)2 - и2 = 4 х 74е-1(2и)4
1.7. Уравнение седьмого порядка
77
и, заметив, что оба множителя в левой части равенства (7.3) четны
и их наибольший общий делитель равен 2, получим, что
f s2 + 3 х 72еи2 ± и = 2 х 74е“1 А4,	( .
| s2 + 3 х 72ev2 т и — 2 х В4,	'
где целые числа А, В взаимно просты и АВ = 2и, следовательно,
одно из чисел А или В четно. Таким образом,
Q
з2 = -3x72ev24-74e"1A44-B4 = --х72еА2В24-74е-1А44-В4. (7.9)
Если В четно, то А нечетно и s2 = —3v2 — 1 (mod 8), а значит,
з2 = — 1 (mod 4), что невозможно.
Если А четно, то В нечетно. Положив А = 2А±, из (7.9) получим
з2 = -3 х 72еА^В2 4- 746"1 х 24Af 4- В4,
а следовательно, 1 = s2 = —ЗА2 4- 1 (mod 8). Отсюда ЗА2 = О
(mod 8), так что 4 | Ai. Положим Ai = 4А2. Тогда А — 8А2 и
равенство (7.9) перепишется в виде
s2 = -3 х 16 х 72еА2В2 4- 74е~1 х 84 х А^ 4- В4,
а следовательно,
з2 - (В2 - 3 х 8 х 72еА2)2 = 74е~1 х 84 х А^ - З2 х 82 х 74еА^
= 74е-1 х 82 х А2.	(7.10)
Отсюда получаем
(s - В2 4- 3 х 8 х 72еА2)(з 4- В2 - 3 х 8 х 72еА%)
= 74е"1 х 4 х (2А2)4.	(7.11)
Оба множителя в левой части равенства (7.11) четны, и, как и рань-
ше, легко видеть, что их наибольший общий делитель равен 2. Та-
ким образом,
Г зтВ2±Зх8х72еА2-2с4,
[ 5±В2тЗ х 8 х 72еА2 = 74*-1 х 2d4,	1	}
где взаимно простые целые числа с2 и d2 таковы, что c2d2 — 2А2.
Вычитая из первого соотношения системы (7.12) второе, после
деления на 2 получим =рВ2 ±3 х 8 х 72еА2 — с2 — 74е~М4, следова-
тельно,
±В2 = ±6 х 72ec22d22 - с2 4- 74е~Ч£.	(7.13)
Так как всякий отличный от нуля квадрат по модулю 7 равен
1,2 или 4, мы получаем В2 4-с4	0 (mod 7). Значит, в (7.13) нужно
78
Глава I. Частные случаи
Таблица 4. ПТФ для показателя 7
Автор	Случай	Год
Лежандр (Софи Жермен)	первый	1823 (см. разд. II.3)
Дженокки	оба	1864
Пепен	оба	1876
Мейе	оба	1897
взять отрицательные знаки:
В2 = 4 + 6 X 72e<$d22 -	(7.14)
Это уравнение имеет тот же вид, что и (7.1). Более того,
АВ л . „ Л ,
V = —— = 4АгВ	2С2С^2 > ^2-
Продолжая рассуждения, основанные на методе бесконечного
спуска, заключаем, что подслучай (Ь) также не реализуется. Таким
образом, и второй случай невозможен, что и доказывает часть (1)
нашего утверждения.
(2) Пусть целые числа х, у, z таковы, что х7 4- у7 4- z7 — 0. Рас-
смотрим многочлен f(X) = X3 — рХ2 4- qX — г с корнями x,y,z.
Поскольку числа x,y,z не могут быть пропорциональны 1,£,£2, в
силу доказанного утверждения (1) заключаем, что xyz = 0. □
Другие доказательства теоремы Ферма для показателя 7 были
найдены авторами, указанными в табл. 4.
Список литературы
1823 Legendre, А.М., Recherches sur quelques objets d’analyse in-
determinee, et particulierement sur le theoreme de Fermat, Mem.
Acad. Roy. Sci. Institut France, 6 (1823), 1-60; reprinted as
the “Second Supplement” in 1825, to a printing of Essai sur la
Theorie des Nombres (2е edition), Courcier, Paris; reprinted in
Sphinx Oedipe, 4 (1909), 97-128.
1839 Lame, G., Memoire sur le dernier theoreme de Fermat, C. R
Acad. Sci. Paris, 9 (1839), 45-43.
1839 Cauchy, A. and Lionville, J., Rapport sur un memoire de M. Lame
relatif au dernier theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris.
9 (1839), 359-363; also appeared in J. Math. Pures Appl., 5
1.8. Другие частные случаи
79
(1840), 211-215 and Oeuvres Completes, Ser. 1, Vol. 4, pp. 494-
504, Gauthier-Villars, Paris, 1884.
1840 Lame, G., M emoire d’analyse indeterminee demontrant que I’equ-
ation x7 4- y7 = z7 est impossible en nombres entiers, J. Math.
Pures Appl., 5 (1840), 195-211.
1840 Lebesgue, V.A., Demonstration de I’impossibilite de resoudre Гё-
quation x7 + y7 + z7 — 0 en nombres entiers, J. Math. Pures
Appl., 5 (1840), 276-279.
1840 Lebesgue, V.A., Addition a la note sur I’equation x7 +y7 + z7 — 0,
J. Math. Pures Appl., 5 (1840), 348-349.
1864 Genocchi, A., Intorno all’equazioni x7 +y7 + z7 — 0, Annali Mat.,
6 (1864), 287-288.
1874 Genocchi, A., Sur I’impossiblilite de quelques egalites doubles, C.
R. Acad. Sci. Paris, 78 (1874), 433-436.
1876 Genocchi, A., Generalisation du theoreme de Lame sur I’im-
possibilite de I’equation x7 + y7 + z7 = 0, C. R. Acad. Sci. Paris,
82 (1876), 910-913.
1876 Pepin, T., Impossibilite de I’equation x7 + y7 + z7 = 0, C. R. Acad.
Sci. Paris, 82 (1876), 676-679 and 743-747.
1897 Maillet, E., Sur I’equation indeterminee axx +byx — czx , Assoc.
Franchise Avanc. Sci., St. Etienne, Ser. II, 26 (1897), 156-168.
1951 Nagell, T., Introduction to Number Theory, Wiley, New York,
1951; reprinted by Chelsea, New York, 1962.
1.8. Другие частные случаи
Большое число статей посвящено доказательству теоремы Ферма
для конкретных показателей, отличных от 3, 4, 5, 7. Используемые
методы в большинстве случаев зависели от частных свойств пока-
зателя, а значит, обобщены быть не могут.
Отметим, что согласно устному сообщению Тержаняна доказа-
тельство Гайяши (1911) второго случая для показателя 13 содержит
ошибку.
Брчич-Костич изучал уравнение х4 4-т/2 = z6 и в 1956 г. показал,
что оно не имеет решений во взаимно простых целых числах. Одна-
ко у этого уравнения есть нетривиальные решения в целых числах,
не являющихся попарно взаимно простыми.
Мы приведем элементарные доказательства Бройша (1960) для
показателей 6 и 10. Разумеется, справедливость утверждения теоре-
80	Глава I. Частные случаи
мы для этих показателей следует из соответствующих утверждений
для показателей 3 и 5. Но мы представим доказательства, совершен-
но независимые от этих результатов. Следующие вспомогательные
утверждения, полученные методом бесконечного спуска, также при-
надлежат Бройшу.
(8А) Не существует натуральных чисел x,y,u,v, таких, что
х2 +у2 =и2 + v2,	(8.1)
ху = 2uv.	(8.2)
Доказательство. Предположим противное и из всех возможных
решений выберем то, для которого положительное произведение ху
минимально. Тогда никакие три из четырех целых чисел х,у,и, v
не могут иметь общего делителя, превосходящего единицу. Более
того, НОД(я,1/) = 1, поскольку если простое число р делит х п у,
то р делит и или v, что противоречит предположению. Аналогично
доказывается, что НОД(и,г>) = 1. Следовательно, одно из чисел
х,у четно, а другое нечетно. Пусть, например, 2 | у. Тогда х2 4- у2
нечетно, а значит, одно из чисел и или v четно. Пусть, скажем, и
четно. Тогда с учетом (8.2) получим, что 4 | у\ из сравнения х2 = 1
(mod 8) следует, что х2 4- у2 = 1 (mod 8). Далее, согласно (8.1) мы
получаем и2 = 0 (mod 8), а значит, и = 0 (mod 4) и 8 | у.
Пусть у — 2г^~1у1 (где г 2 и у1 нечетно). Тогда и = 2ги', причем
число и1 нечетно. Таким образом,
ху'=u'v, числа x,y',u',v нечетны,	,	.
НОД (я, т/') = НОД (и» = 1.
Более того, если
а = НОД (х, и1), Ь = НОД (х, v),
с = НОД(2//,и/), d = HOfl(t/',v),
то числа а, 6, с, d попарно взаимно просты, причем b п d нечетны, а
значит, Ь2 = d? = 1 (mod 8). Итак, х = аЬ, у1 — cd, и1 = ас, v = bd.
Следовательно, исходное уравнение принимает вид
а2 Ь2 4- 22r+2c2d2 = 22га2с2 4- b2d2.
Положив t = 2гс, получим
3t2d2 = (а2 — d2)(t2 — 62),	(8.4)
где числа t, a, b, d попарно взаимно просты и 4 | t. Отсюда следует,
что d? делит t2 — b2, a t2 — b2 делит 3d2.
1.8. Другие частные случаи
81
Это возможно тогда и только тогда, когда выполнено одно из
следующих условий:
(I) t2 - Ъ2 = 3d2;
(II) t2 - Ъ2 = (Р-
(Ш) t2 - Ъ2 = —3d2;
(IV) t2 - Ъ2 = -(Р.
Но t2 = 0 (mod 8) и b2 = (Р = 1 (mod 8). Следовательно, случаи I,
П, Ш не реализуются. Если t2 - b2 = -d2, то 3t2 = d2 - а2, а значит,
Ь2 = d2 4-12 = а2 4- 4t2.	(8.5)
В силу утверждения (1А) существуют г, s > 0, что f b = т2 4- п2, [ t — 2тп		такие целые числа тп, п, (8-6)
и	Г 6 = Г2 + S2, I 2t = 2rs.	(8-7)
Отсюда получим соотношения		
	г2 4- s2 = т2 4- п2	(8-8)
и	гз = 2тп.	(8-9)
Итак, мы нашли новое решение исходной системы, для которого
гз = t = 2гс 2гу' < у ху, что противоречит выбору четверки
(x,y,u,v). □
(8В) Не существует натуральных чисел x,y,u,v, таких, что
х2 — у2 — и2 4- v2,	(8.10)
ху = 2uv.	(8.11)
Доказательство. Снова предположим противное и рассмотрим
такие натуральные числа, удовлетворяющие соотношениям (8.10) и
(8.11), что произведение ху минимально.
Рассуждая, как и раньше, заметим, что одно из чисел х, у четно,
а другое нечетно. Таким образом, х2 — у2 = и2 4- v2 = 1 (mod 4),
а значит, х непременно нечетно, а у четно. Как и в предыдущем
доказательстве, получим уравнения (8.3), (8.4), (8.5) и (8.6), где
6-27
82
Глава I. Частные случаи
Таблица 5. ПТФ для различных показателей
Автор	Показатель	Случай	Год
Кауслер	6	оба	1806
Софи Жермен	все простые,	первый	1823
(Лежандр)	меньшие 100		(см. гл. III)
Дирихле	14	оба	1832
Ламе7	11, 17, 23, 29, 41	первый	1847
Мэтьюс	11, 17	первый	1885/6
Тафельмахер8	11, 17, 23, 29	первый	1892
Туэ	6	оба	1896
Тафельмахер	6	оба	1897
Линд	6	оба	1909
Мириманов	11, 17	первый	1909
Капферер	6, 10	оба	1913
Свифт	6	оба	1914
Кокотт	11	первый	1915
Фелл	11, 17, 23	первый	1943
Бройш	6, 10	оба	1960
Тержанян	14	оба	1974
t = 2гс, г 2, и соотношение a2b2 — 22г+2с2сР = 22га2с2 4- Ь2сР.
Следовательно,
5t2d2 = (а2 - d2)(b2 - t2\	(8.12)
поэтому d2 делит b2 — t2, a b2 — t2 делит 5d2. С помощью того же
рассуждения, что и раньше, рассмотрев сравнения по модулю 8, мы
заключаем, что b2 — t2 — (Р. Отсюда следует, что 5t2 = а2 — cP, а
значит,
b2=d2 + t2 и b2 + 4t2=a2.	(8.13)
Согласно утверждению (1А) существуют такие целые числа
7П,П,Г, s > 0, что
b = т2 4- п2,
t = 2тп
И
b — г2 — $2,
2t — 2rs.
(8.14)
(8.15)
7Статья Ламе (1847) не содержит доказательств.
8 Доказательство Тафельмахера (1892) справедливо лишь для первого слу-
чая; см. также Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. II, p. 755.
1.8. Другие частные случаи	83
Итак, справедливы соотношения
г2 - s2 = ш2 4- п2	(8.16)
и
rs = 2тп.	(8.17)
Так как rs < ху, полученные результаты опять противоречат вы-
бору решения {х,у,и,и\ □
С помощью этих фактов Бройш доказал следующий результат.
(8С) Уравнение
6.6	6
х 4- у — z
неразрешимо в натуральных числах.
Доказательство. Предположим противное. Пусть попарно вза-
имно простые натуральные числа х, y,z таковы, что х6 -I- у6 = z6.
Тогда х и у не могут одновременно быть кратными 3, а значит, мож-
но считать, что 3 /х. Воспользуемся разложением на множители
х6 = z6 - у6 = (z + y)(z - y)(z2 + zy + y2)(z2 - zy + y2).
Последние два множителя в этом произведении должны быть
нечетными, так как числа у и z не являются одновременно четными.
Более того, легко видеть, что каждый из множителей z2 4- zy 4- у2 и
z2 — zy 4- у2 взаимно прост с остальными множителями правой части
(так как 3 /х). Следовательно, в силу единственности разложения
целых чисел на простые множители
( z2 4- zy 4- у2 = Ь6,
[ z2 - zy 4- у2 = с6,
где Ъ, с — натуральные числа. Складывая и вычитая эти соотно-
шения, получим 2(z2 4- у2) = Ь6 4- с6 и 2zy = b6 — с6. Но числа
b и с нечетны, следовательно, Ь3 4- с3 = 2т, Ь3 — с3 = 2п (где
т > 0,п > 0). Возводя эти равенства в квадрат и складывая, полу-
чим Ь6 4- с6 = 2(т2 4- п2), а умножая, получим Ь6 — с6 = 4тп. Таким
образом, z2 4- у2 = т2 4- п2, zy = 2тп. Согласно утверждению (8А)
это невозможно. □
(8D) Уравнение
x10 + y10 = z10
неразрешимо в натуральных числах.
Доказательство. Пусть x,y,z — попарно взаимно простые нату-
ральные числа, такие, что х10 4-t/10 = z10. Тогда х иу одновременно
84
Глава I. Частные случаи
не кратны 5, поэтому можно считать, что 5 / х. Разложим х10 на
множители:
= ^0.^10
= (z + y)(z- у)(г* + z3y + z2y2 + zy3 + t/4)
х(г4 - z3y + z2y2 - zy3 + y4).
Последние два множителя в этом произведении должны быть
нечетными, так как числа у и z не являются одновременно чет-
ными. Более того, легко видеть, что каждый из этих множителей
взаимно прост с остальными множителями правой части (так как
5 / х). Следовательно, в силу единственности разложения целых
чисел на простые множители
| ? -Ь z3y 4- z2y2 4- zy3 4- у4 — б10,
[ z4 - z3y 4- z2y2 — zy3 +y* = c10,
где бис — целые числа, b > с > 0. Складывая и вычитая эти
соотношения, получим
2(z4 4- z2y2 4- /) = б10 4- с10, 2(z3?/ 4- zy3) = б10 - с10.
Но числа бис нечетны, поэтому б54-с5 — 2m, б5 — с5 = 2п (где тп > О,
п > 0). Возводя эти равенства в квадрат и складывая, получим
б10 4- с10 = 2(т2 4- п2), а умножая, получим б10 — с10 = 4тп. Таким
образом,
z4 4- z2y2 4- 2/4 = тп2 4- п2,
zy(z2 4- у2) = 2тп.
Теперь положим z2 4- у2 = г, zy = s. Тогда г2 - s2 = т2 4- п2,
rs = 2тп, что невозможно согласно утверждению (8В). □
Дирихле (1832) доказал теорему Ферма для показателя 14 еще
до того, как Ламе нашел доказательство для показателя 7. Также
Дирихле доказал такой результат.
(8Е) Уравнение
^£•14 _ ул14 _
(где тп 0,п	0) не имеет решений в отличных от нуля целых
числах х, ?/, z, где х, у взаимно просты.
Тержанян в 1974 г. доказал следующее утверждение.
1.8. Другие частные случаи
85
(8F) Пусть натуральное число а кратно 7 и не имеет простых
делителей р = 1 (mod 7). Пусть, далее, взаимно простые нату-
ральные числа х,у и целое неотрицательное число z таковы, что
14	14	14
х — у = az .
Тогда х — у = 1 и z = 0.
Отсюда он вывел простое доказательство теоремы Ферма для
показателя 14.
В 1885 г. Мэтьюс получил доказательство первого случая теоре-
мы Ферма для показателей 11 и 17. В 1943 г. Фелл указал другое
доказательство для показателя 11 и заявил, что его методом можно
также разрешить первый случай для показателей 17 и 23.
Список литературы
1806 Kausler, C.F., Nova demonstratio theorematis пес summam, пес
differentiam duorum cubo-cuborum cubu-cubum esse posse, Novi
Acta Acad. Petrop., 15 (1806), 146-155.
1823 Legendre, A.M., Recherches sur quelques objets d’analyse in-
determinee, et particulierement sur le theoreme de Fermat, Mem.
Acad. Roy. Sci. Institut France, 6 (1823), 1-60; reprinted as
the “Second Supplement” in 1825, to a printing of Essai sur la
Theorie des Nombres (2е edition), Courcier, Paris; reprinted in
Sphinx-Oedipe, 4 (1909), 97-128.
1832 Dirichlet, G.L., Demonstration du theoreme de Fermat pour le cas
des 14е puissances, J. Reine Angew. Math., 9 (1832), 390-393;
reprinted in Werke, Vol. I, pp. 189-194, G. Reimer, Berlin, 1889;
reprinted by Chelsea, New York, 1969.
1847 Lame, G., Troisieme memoire sur le dernier theoreme de Fermat,
C. R. Acad. Sci. Paris, 24 (1847), 888.
1885 Matthews, G.B., Note in connection with Fermat’s last theorem,
Messenger Math., 15 (1886), 68-74.
1892 Tafelmacher, W.L.A., Sobre el teorema de Fermat de que la ecua-
cion xn + yn = zn no tiene solution en numeros enteros x,y,z,
i siendo n > 2, Ann. Univ. Chile, Santiago, 82 (1892), 271-300
and 415-437.
1896 Thue, A., Uber die Auflosbarkeit einiger unbestimmter Glei-
chungen, Det Kongel. Norske Videnskabers Selskabs Skrifter,
1896, no. 7, 14 pp.; reprinted in Selected Mathematical Papers,
pp. 19-30, Universitetsforlaget, Oslo, 1977.
86
Глава I. Частные случаи
1897 Tafelmacher, W.L.A., La ecuacidn x3 4- у3 = z2: Una demon-
stration nueva del teorema de Fermat para el caso de las sestas
potencias, Ann. Univ. Chile, Santiago, 97 (1897), 63-80.
1909 Lind, B., Einige zahlentheoretische Sdtze, Arch. Math. Phys.,
(3), 15 (1909), 368-369.
1909 Mirimanoff, D., Sur le dernier theoreme de Fermat, L’Enseign.
Math., 11 (1909), 49-51.
1911 Hayashi, T., On Fermat's last theorem, Indian Math. Club, Mad-
ras, 3 (1911), 111-114. Reprinted in Sci. Rep., Tohoku Imp.
Univ., (1), 1 (1911/2), 51-54.
1913 Kapferer, H., Beweis des Fermatschen Satzes fur die Exponenten
6 und 10, Archiv Math. Phys., (3), 21 (1913), 143-146.
1914 Swift, E., Solution to Problem 206, Amer. Math. Monthly, 21
(1914), 238-239.
1915 Kokott, P., Uber einen Spezialfall des Fermatschen Satzes, Arch.
Math. Phys., (3), 24 (1915), 90-91.
1916 Swift, E., Solution to Problem 209, Amer. Math. Monthly, 23
(1916), 261.
1943 Fell, J., Elementare Вeweise des groflen Fermatschen Satzes fur
einige besondere Faile, Deutsche Math., 7 (1943), 184-186.
1956 Brcic-Kostic, M., Solution of the diophantine equation x4 + y2 =
z6 (in Serbo-Croatian, Esperanto summary), Bull. Soc. Math.
Phys. Serbie, 8 (1956), 125-136.
1960 Breusch, R., A simple proof of Fermat's last theorem for n =
6, n = 10, Math. Mag., 33 (1960), 279-281.
1974 Terjanian, G., L'equation xn + yn — zn pour n — 5 et n = 14,
Sem. Th. des Nombres, Bordeaux, 1973/4, exp. no. 5, 6 pp.
1974 Terjanian, G., L'equation x14 4- t/14 = z14 en nombres entiers,
Bull. Sci. Math., Ser. 2, 98 (1974), 91-95.
1.9.	Приложение
Что скрывалось за «чудесным доказательством» Ферма?9
В работе Эйлера Opera Posthuma Mathematica et Physica, Petro-
poli, 1862, Vol. 1, pp. 231-232, “Fragmenta arithmetica ex adversariis
mathematicis deprompta”, содержится следующее рассуждение, при-
надлежащее Лекселю. Оно представляет собой попытку применить
9Автор выражает признательность Э. Бомбьери, обратившему его внимание
на эту проблему.
1.9. Приложение
87
метод бесконечного спуска к уравнению Ферма, что и мог иметь
в виду сам Ферма.
Но эта попытка не удалась.
Предположим, что последняя теорема Ферма не имеет места для
некоторого показателя п > 2. Можно считать, что п — нечетное
простое число (мы воспользуемся лишь нечетностью п) и что суще-
ствуют отличные от нуля целые числа а, 6, с (не обязательно поло-
жительные), такие, что ап 4- Ьп = сп, причем с четно, а и b нечетны,
а b и НОД (а, 6, с) = 1. Положим
{х = сп/2,
у = (ап — 6п)/2,
z = abcn~2/2.
Тогда — целые числа, причем х четно. Справедливы равен-
ства
( х + у = ап,
[ х — у = Ьп,
следовательно,
х2 — у2 _ /а6\п _ / z \ п
4т2	\ с? )	\ х /
Отсюда получим, что
х(хп — 4zn) = хп~1 [т2 — 4т2	]
= хп~1у2 — (х^п~1^2у)2.
Пусть d — НОД (т, z). Тогда d = сп—2/2, потому что НОД (аб, с) = 1.
Положим х = dx1, z = dz1. Тогда х' кратно 4, НОД(т',/) = 1 и
(Г1+1х,(х,п — 4z'n) есть квадрат целого числа, а значит, и т'(т'п —
— 4z'n) тоже квадрат целого числа, причем НОД (х1, х,п — 4z,n) = 4.
Следовательно, существуют целые числа г, $, такие, что
f	х1 = г2,
\ x'n-4zin =s2.
Таким образом,
г2п - s2 = (тп 4- s)(rn - s) = 4z'n.
Так как г = s (mod 2), мы заключаем, что НОД (тп 4- s, rn — s) = 2,
а значит,
f rn-bs = 2tn,
I rn — s = 2ип.
88
Глава I. Частные случаи
Складывая эти равенства, получим rn = tn4-un. Итак, мы получили
нетривиальное решение уравнения Ферма, причем число г четно.
Если бы выполнялось неравенство г < с, то, применяя метод спуска,
мы пришли бы к противоречию. Однако
поэтому г = с, так что метод спуска не применим.
Глава II
4 эпизода
В этой главе мы обсудим ряд вопросов, которые нам потребуются в
дальнейшем. Разумеется, они представляют значительный интерес
не только в связи с последней теоремой Ферма.
П.1. р-адическое нормирование
Пусть р — простое число, целое число а отлично от нуля и ир(а) —
показатель степени числа р в разложении числа а в произведение
степеней простых чисел:
a=pVp^b, гдер/6.
Величина ир(а) называется р-адическим значением числа а. Будем
считать, что ир(0) = оо.
Легко видеть, что
{vp(ab) = vp(a) 4- vp(d);
vp(a + b) > min{vp(a), up(b)};
если vp(a) < vp(&i), vp(62),..., vp(bk),
to vp(a +	+ d2 + • • • + fyfe) = vp(a)-
Если vp(a) = e 1, то будем говорить, что pe есть точная сте-
пень числа р, делящая а, и писать ре || а.
Вообще, если НОД (a, a') = 1, а1 > 0, положим vp (а/а') =
= vp(a) — vp(a'). Тогда для всех рациональных чисел г, s также вы-
полнены свойства (1.1). Отображение vp: Q —> Z U {оо} называют
р-адическим нормированием поля Q.
Будем говорить, что число г = а/а' является р-целым, если
vp(r) 0- Ясно, что каждое целое число суть р-целое (для вся-
кого простого числа р). Множество Zp всех р-целых рациональ-
ных чисел есть подкольцо в поле рациональных чисел Q. Опишем
это подкольцо в явном виде: г Е Zp тогда и только тогда, когда
т = 0 или г — pka!b, где к О, b > О, НОД (а, Ь) = 1,р/а ир /6.
90
Глава IL 4 эпизода
Если г,s € Q, е 1 и vp(r — $) е, то будем писать г = 5
(mod ре) и говорить, что ре делит г — s (в Zp). Это отношение срав-
нения удовлетворяет обычным свойствам сравнений целых чисел
по модулю натурального числа.
Ясно также, что рациональное число г принадлежит Z тогда и
только тогда, когда г является p-целым для всякого простого чис-
ла р.
Мы приведем два результата, которые имеют множество прило-
жений. Для каждого действительного числа х обозначим через [х]
единственное целое число, такое, что [х] х < [х] 4-1. Величина [х]
называется целой частью от х.
В 1808 г. Лежандр нашел формулу для точной степени рт про-
стого числа р, которая делит а! (тогда pm+1 не делит а!). Суще-
ствует замечательное выражение для т в терминах р-адического
разложения числа а:
а = аьрк 4- ajt-ip*"1 4- ... 4- flip 4- а0,
где рк а < рк+1 и 0 $ а, р — 1 (при г — 0,1,..., к). Целые числа
ад, ai, • • •, o>k являются цифрами числа а по основанию р.
Рассмотрим, например, основание 5. Мы можем записать 328 =
= 2 х 53 4- 3 х 52 4- 3, а значит, цифры числа 328 по основанию 5 суть
2, 3, 0, 3. Используя введенные обозначения, запишем следующий
результат.
(1А) Если а 1, то vp(a!) = т, где
ОО г 1	/	\
Еа а — (ао 4- а^ 4-... 4- a>k)
— -----------------------------.
LP J	р-1
Доказательство. По определению а! = ртЬ, причем р /6. Разде-
лим а на р с остатком: а — qrp 4- и, где 0 qi, 0 тт < р. Это
означает, что qi = [а/p]. Целые числа, кратные р и не превосходя-
щие а, имеют вид р, 2р, ..., qrp а. Следовательно, pqi (qi!) = pmb',
где р / У. Таким образом, qi 4-mi = m, где pmi есть точная степень
числа р, делящая !- Так как qi < а, по индукции получаем
mi =
Qi
LP.
Но несложно проверить, что
Qi
.Р2.
Qi
рЗ
911 = Г[а/Р]
pl	pl
а
pi-ь1
II. 1. р-адическое нормирование
91
Поэтому
тп = -
LPJ
а
-Р2.
а
,р3.
а
Теперь выведем еще одно равенство, связанное с р-адическими
цифрами числа а = akpk + ... + dip + ао- Из соотношений
а
IP]
а
.р2.
— akpk 1 + ... + ai,
— akpk 2 Ч-... Ч- 02?
а
pk
= CLk
следует, что
ОО г 1
= О1
Ч- а2(р Ч-1) Ч-а3(р2 Ч-рЧ-1) Ч- ...
+ ак(рк г+рк 2Ч-...Ч-рЧ-1)
—Ц-{а1(р - 1) + а2(р2 - 1) 4-... + а*(р* - 1)}
р-1
---г{а — (ао + а, + ... + ojt)}. D
р- 1
В 1852 г. Куммер воспользовался результатом Лежандра и опре-
делил точную степень рт числа р, делящую биномиальный коэф-
фициент
а Ч- _ (а + Ь)!
а / а! Ы
где а 1, b 1.
(1В) Точная степень числа р, делящая (а+ь), равна £оЧ-£1Ч-. • «Ч-е*,
то есть числу «переносов» при сложении чисел aub, записанных
по основанию р.
Доказательство. Пусть
а — а0 Ч- flip Ч-... Ч- ад/,
Ъ = Ьо Ч- bip Ч-... Ч- btp1,
где 0 Oj р - 1, 0 bi р - 1, причем или at Ф 0, или bt Ф 0.
Пусть Sa =	Sb — 52i=o — суммы р-адических цифр чисел
92
Глава II. 4 эпизода
а и Ь. Определим последовательно числа сг, 0 ci < р — 1, и ег ~
— О или 1 из следующих соотношений:
п-о 4- &о — СоР 4" О) >
Со 4"	4- Ь\ — 6ip4-Ci,
Ci 4- а>2 4" ^2 — С2Р 4- С2,
Et—i 4- at 4- bt = CtP 4- Ct.
Последовательно умножив эти уравнения на 1, р, р\ ... и сложив,
получим
a + b + eQp + £ip2 4-... 4- Et-iP* = £оР 4- бХр2 4-... 4- EtP**1
4- Co 4- cip 4-... 4- Ctp*.
Таким образом, a 4- b = Cq 4- cip 4- ... 4- ctp* 4- б*р*-1, а это и
есть запись числа а 4-6 по основанию р. Аналогично, складывая эти
уравнения, получим
Sa 4- Sb 4- (б0 4-	4- ... 4- 6t-i) = (б0 4- 6i 4- ... 4- б*)р 4- Sa+b ~ £t-
Согласно результату Лежандра
(р - 1)т — (а + Ь) - Sa+ь - а + Sa-b + Sb
— (р— 1)(со 4- 61 4-... 4- 6t).
Отсюда следует результат Куммера. □
Эта теорема Куммера была заново доказана Люка в 1878 г.
В 1991г. Фресней обобщил результат, заменив целые числа на
р-адические целые числа1.
Приведенные теоремы Лежандра и Куммера нашли множество
приложений в так называемом р-адическом анализе.
Список литературы
1808 Legendre, А.М., Essai sur la Theorie des Nombres (2е edition),
Courcier, Paris, 1808.
1852 Kummer, E.E., Uber die Ergdnzungssdtze zu den allgemeinen
Reziprozitdtsgesetzen, J. Reine Angew. Math., 44 (1852), 93-
146; reprinted in Collected Papers, Vol. I (editor A. Weil), pp-
485-538, Springer-Verlag, New York, 1975.
1 Вероятно, этот результат до сих пор не опубликован; автор использовал
препринт.
IL2. Многочлены деления круга
93
1878 Lucas, Е., Sur les congruences des nombres euleriens et des coef-
ficients differentiels, Bull. Soc. Math. France, 6 (1878), 49-54.
II.	2. Многочлены деления круга
Пусть п 1 и Сп = cos(27r/n) 4- zsin(27r/n). Тогда (i = 1, £2 = -1,
(3 = (-1 + iy/3)/2, <4 = i, <5 = COS 72° + г sin 72°, (6 = (1 + i>/3)/2
и т.д.
Все степени числа (п также являются корнями n-й степени из 1,
а это значит, что они являются корнями многочлена Хп — 1. Пусть
си — произвольный корень n-й степени из 1. Наименьшее натураль-
ное число d, такое, что = 1, называется порядком корня си из
единицы. Тогда непременно d делит п. Будем говорить, что чис-
ло cj является примитивным корнем степени d из 1.
Все степени ££ при j = 1, 2, ..., п различны, причем = 1,
а значит, есть примитивный корень из единицы порядка п. Так
как существует в точности п корней степени п из 1, каждый из
них является степенью Более того, как легко видеть, ££ есть
примитивный корень степени п из 1 тогда и только тогда, когда
НОД(.;’,п) = 1. Таким образом, число примитивных корней степе-
ни п из 1 равно <р(п), где обозначает функцию Эйлера.
Многочленом деления круга степени п называют выражение
вида
*»(*)= П (Х-&)	(2-1)
НОД (j,n)=i
(произведение берется по всем j, 1 у п, НОД(У,п) — 1).
Это многочлен степени р(п) со старшим коэффициентом единица
(в дальнейшем такие многочлены будут называться приведенны-
ми). Так как этот многочлен инвариантен относительно перестано-
вок его корней, согласно теории Галуа его коэффициенты являются
целыми числами.
Сгруппировав корни степени п из 1 согласно их порядку, полу-
чим
X"-l = n$d(X}.	(2.2)
d|n
Отсюда следует (это можно доказать и непосредственно), что
ФР(Х) = Х?-1 + ХР~2 + ... + Х + 1,	(2.3)
94
Глава II. 4 эпизода
Хр' - 1
<М*) = у„—-7	(2.4)
= Хр‘~1(р~х} + хр‘-1(р-2) +... + хр'~' + 1
для всех простых чиселрие 1. Следовательно, для тп | п и тп п
справедливо равенство
(2.5)
d
(произведение берется по всем d, 1 d < п, d | п, d /тп).
Обозначим через /х функцию Мёбиуса
( х _ ( (-1)г, если все простые числа pi различны,
р\Р1   -Рг) — у q	в ПрОТИВНОМ случае.
(2-6)
Тогда
ФП(Х) = ]J(Xn/d - !)“<*).	(2.7)
d|n
Отметим следующее свойство: если простое число р делит т, то
Фрт(А') = Фт(Хр) (при р | тп).	(2.8)
Если же р не делит тп и s 1, то
Ф (ХрЯ)
Фр'т(х) = фтт(хр;^) (при р /т’ °1}-	(29)
Теперь рассмотрим соответствующие однородные многочлены
двух переменных. Пусть
Фп(Х,У) = У*’<п)фп^.	(2.10)
Тогда
Хп - Уп = Цф<,(Х,У).	(2.11)
d|n
Если тп | п и тп п, то
Хп - У" = (Хт - Ут)Фп(Х, У) JJ Ф<,(Х, У) (2.12)
d
(произведение берется по всем d, 1 d < п, d | п, d X тп). Также
справедливо равенство
ФП(Х,У) = n(X”/d -yn/d)M(<i),	(2.13)
d\n
II.3. Делители биномов
95
и, как и выше,
Фрт(Х,У) = Фт(Хр,Ур) (прир|ш), (2.14)
Ф (Хр‘ Yp’]
Фр.т(Х,У) =	?	/	(при p/m, s 1).	(2.15)
П.З. Делители биномов
Пусть а и b — отличные от нуля различные целые числа. В этом
разделе мы рассмотрим биномы ап ± Ьп, а также целые числа вида
(ап — Ьп)/(а — 6) и обсудим вопрос об их делителях.
(ЗА) Пусть а,Ь — отличные от нуля различные целые числа.
Тогда
(1)	если р 2, р )(ab и vp(a — 6) = е 1, то vp (арГ — tP*} = е 4- г
для каждого натурального числа г;
(2)	если 2 / ab и V2(a - Ъ) = е 2, то V2 (а2Г - Ь2') = е + г для
каждого натурального числа г;
(3)	если простое число р делит ар — ЪР, то и р2 | (ар — ЬР).
Доказательство. (1) Достаточно показать, что vp{ap-bP) — е+1,
а затем повторить это рассуждение. Согласно предположению а =
= b 4- кре, где р % к, следовательно,
ар = + Q^-^p' + Qt»”"2fc2p2e + •  • + kpi?e.
Так как р делит (?) при j = 1,..., р — 1, мы получаем

vp
1 4- je.
Поскольку vp(kppPe) = ре, мы заключаем, что vp(ap — ЪР) = е 4-1.
(2) Как и в случае (1), достаточно показать, что V2(a2 — b2) —
= е 4- 1. Согласно предположению а = Ъ 4- 2€к, где е 2 и числа
а, Ъ, к нечетны. Тогда а2 = Ь2 4- 2e+1 kb 4- 22ек2 и, так как е 4-1 < 2е,
мы получаем V2(a2 — b2) = е 4- 1.
(3) Согласно предположению а = ар = ЪР = b (mod р). Возводя
это сравнение в р-ю степень, получим ар = ЪР (mod р2), а значит,
р2 | (ар -ЪР). □
96
Глава IL 4 эпизода
Если п 1 и отличные от нуля целые числа а, b различны, по-
ложим
пП   кп	n~1
Qn(a, b) =----- = £	(3.1)
а~Ь ы
и будем также считать, что Qo(a, Ь) = 0. Представим Qn(a, b) (n 1)
в следующем виде:
0,(.,Ч = [(»->) +»]"-»*	(3.2)
а — о
= (a-b)"-i + Q)(a-6)"-2b+...
+ ( П J (о - Ь)Ьп~2 + пб”-1
\n-2J
= (а — Ь)е 4- п6п-1,
где е Е Z. Далее, если п = р — простое число, то
Qp(a, 6) = (a — &)р-1 +pf,	(3.3)
где /ей.
Укажем теперь ряд свойств целых чисел Qn(a, 6). До 1729 г.
Жакме установил нижеследующее свойство (5) в случае, когда п
равно нечетному простому числу р. Эйлер в 1738 г. показал, что если
р — нечетное простое число и a > 1, то НОД (Qp(a, ±l),a± 1) =
= 1 или р; если р делит а ± 1, то vp(Qp(a, ±1)) = 1; более того, если
р 3, а 2, то Qp(a, ±1) нечетно и больше чем 1.
В 1769 г. Лагранж установил нижеследующее свойство (4), а так-
же (6) в случае, когда п равно простому числу р. В 1837 г. Куммер
доказал (4) в случае, если п = р — простое число. В 1888 г. Силь-
вестр доказал частный случай утверждения (3). В 1897г. Ф. Люка
доказал частные случаи утверждений (5) и (6). Позднее свойства
(4), (5), (6) и (7) были установлены Инкери (1946) и Виванти (1947).
Большинство утверждений в той же самой форме, в которой они
приводятся ниже, можно найти в статье Мёллера (1955).
(ЗВ)	Пусть n > m 1, целые числа а,Ь отличны от нуля и
различны. Тогда
(1)	если п = mq 4- г, где г 0, то
Qn(a,b) = arQ9(am,6m)QTn(a,6) + dm<?Qr(a, 5);
II.3. Делители биномов
97
если п = mq — г, где г 0, то
Qn(a,b) = [am-rQ,_1(am,6m)+6n-m]Qm(a,b)
- am~rbn~mQr(a,6).
Пусть, далее, а,Ь — взаимно простые числа. Тогда
(2)	если d = НОД (п,т), то Qd(a,b) = НОД (Qn(a,b), Qm(a,b));
(з)	ПР|п<Ш&) делит Qn(a,b);
(4)	НОД (Qn(a, 6),a — 6) = НОД (n, a — 6);
(5)	если p | (a — b), p/п, mo p/Qn(a,6);
(6)	если нечетное простое число р делит а — Ь, то vp (Qn(a, &)) =
= Vp(n)\
(7)	если 4 | (a - 6), mo V2 (Qn(o>,b)) = V2(n);
если 2 | (a - Ь), но 4 / (a - 6), mo V2 (Qnfaby) V2(n);
(8)	если n нечетно, mo Qn(a,b) нечетно;
(9)	если n нечетно и e > 0, то НОД (Qn(a, Ь), а2*п -F b2*n} = 1;
(10)	если каждый простой делитель числа п делит а — Ь, то про-
изведение п(а — 6) делит ап — Ъп.
Доказательство. (1) Пусть п = mq + г. Тогда
nmqir _ bmq+r
Qn(a,b) = --------------
a — b
amQ+r _ arbmq + ^mg _ bmq+r
а — b
amq _ bmq
ar x ------—
a — b
——x bmq
a — b
amq _ bmq
ar x ------—
am - bm
х
a - bm ar - br 1Tnn
-------— +------------- x bmq
a — b a — b
= arQq(am, dm)Qm(a,d) + Qr(a,d)dm<?.
7-27
98
Глава IL 4 эпизода
Пусть теперь п = mq — г. Тогда
[a"-rQe_1(a’n,bm) + bn-m] Qm(a, b) - am-rbn-mQr(a, b)
m й1’-')"1 - b^~^m am-bm ______________ am — bm
nm-rhn-mar ~ br
а b -----------—
a — b
(2)	Так как числа а и b взаимно просты, а и b также взаимно
просты и с числами Qk(a,b) = ак~г 4- ак~2Ь 4- ... 4- аЬк~2 4- Ьк~х
для каждого к 1. Из утверждения (1) следует, что Qj(a,d) делит
Qn(a, Ъ) и Qm(a, 6). Пусть натуральные числа г и s таковы, что
d = sm — rn (или d = rn — sm). Тогда sm = rn 4- d и в силу
утверждения (1) мы получаем
Qs(am,bm)Qm(a,b) = Q,m(a,b) = adQr(an,bn)Qn(a,b) + brnQd(a,b).
Если t делит Qm(a,&) и Qn(a,6), то t делит brnQd(a, ft); но Qm(a, b)
и b взаимно просты, следовательно, t | Qd(a,b), что и требовалось
доказать.
(3)	Согласно утверждению (2) целые числа Qp(a,ft) (для всех
простых чисел р, делящих п) попарно взаимно просты. Из утвер-
ждения (1) следует, что если р | п, то Qp(a, b) делит Qn(a, Ъ). Таким
образом, Пр|пОР(а,Ь) делит Qn(a,b).
(4)	Так как НОД (a, b) = 1, из соотношений (3.2) следует, что
НОД (Qn(a,ft), а - Ь) = НОД (п, а - Ь).
(5)	Это очевидное следствие свойства (4).
(6)	Пусть п = ргт,р)[ т,г 0, так что vp(n) = г. Пусть
= ат, bi = bm. Так как р | (а — ft), из утверждения (5) следует,
что р не делит Qm(a,b) = (аш - ftm)/(a - ft) = (ai - &1)/(а - ft), а
значит, vp(di — bi) = vp(a — b) 1. Следовательно, vp^a^ — ft^ ) =
= vp(ai — bi) 4- г. Таким образом,
Vp (Qn(a, &)) = Vp (—-+ Vp ( ——= r = Vp(n).
\ Q>i — Oi J	\ (L — 0 /
IL3. Делители биномов
99
(7)	Пусть п = 2гт, 2 / т, г 0, так что V2(n) = г. Пусть
ai = ат, 61 = Ьт. Как и при доказательстве утверждения (6),
мы получаем ^(щ — bi) = V2(a — b) = e 1. Если e 2, то
V2 (a? -	) = e + r, а значит,
z Л /	1 \\	(	bi \	\	/	\
V2 (<2n(a, b)) = V2 —--r~~ + V2 -------— I = r = v2(n).
\ Q-l — Oi /	\ fl — ” /
Однако если e = 1, то V2 (a^ — b2 ) r + 1 (причем неравен-
ство может быть строгим). Итак, мы можем заключить лишь, что
V2	v2(n).
(8)	Если а b (mod 2), то ап £ bn (mod 2), следовательно,
Qn(a, Ь) нечетно. Если а = b (mod 2), то, поскольку числа а и Ъ
взаимно просты, они нечетны. Отсюда следует, что число Qn(a, Ь) =
= а71"1 + ап~2Ь + ... 4-а6п-2+ 6П-1 является суммой нечетного числа
нечетных слагаемых, а значит, оно нечетно.
(9)	Пусть р — простое число, г 1, причем pr | Qn(a,b),
рг | (а2*71 4- Ь2*п). Из утверждения (7) следует, что р # 2. Так как
рг | (ап — Ьп), справедливо сравнение а2*п = b2*n (mod рг), следо-
вательно, рг | 2а2*п. Таким образом, р делит а, а значит, и Ь, что
невозможно.
(10)	Пусть р — произвольный простой делитель числа п. По
предположению р | (а — Ь), поэтому в соответствии с утверждения-
ми (6) или (7) мы получаем vp(n) vp	а следовательно,
vp(n(a - b)) vp(Qn(a, b)(a — Ь)) = vp(an — bn). Так как р произволь-
но, это значит, что п(а — Ь) делит ап — Ьп. □
Приведем теперь еще один результат, принадлежащий Инкери
(1946).
(ЗС) Пусть простое число р нечетно, п}1и отличные от нуля
взаимно простые целые числа а, b таковы, что а Ь. Тогда
(1)	Qpn(a,6) = П”=1 Qpn(«pm-1n>
(2)	если р не делит ар — № , то целые числа а — b, Qp(a,b),
Qp(ap, Qp(apn , ЪрП ) попарно взаимно просты;
(3)	если р | (ар — 6^ ) и целые числа i,j таковы, что 1 г <
< j п, то
НОД (qp (</’*, г/"1) , Qp (api-1, bpi’1)) = Р,
НОД (a-b, Qp (api~\ Ь”^1)) = Р;
100
Глава II. 4 эпизода
(4)	если vp (арП — ЪРп) = е 1, тпо е п 4- 1 и
vp(a — Ь) = е — п.
Доказательство. (1) Нетрудно видеть, что
71	Dm 1nm	n
ПО? — ir	ТТ ~	-1	.	-1 \
дР"*-1 _ hPm~l ~ П ^P(a ’	) ’
771=1	771=1
(2)	Запишем соотношение ap” — bPn = qoqi • qn, где qo = a —b,
Согласно предположению p / qj (при j = 0,1,..., n). Если I —
простое число, делящее q^qj (где O^i < j C n), то l ф p и
I | (apt — Ьр’ У Но так как
/ {	apj _y>j
Qpi-i \ ap ,№ ) =	= qi+lqi+2    qj,
l делит Qpj-i(ap', ЬР} и из утверждения (ЗВ)(4) следует, что I = р.
Итак, мы получили противоречие.
(3)	Предположим, что I — простое число, е 1, причем Iе
делит qi и qj (0 г < j п). Тогда Iе делит бином ар — ЬР', а
также и бином ар3 — ЬР3 — (ар' — ЬР' ... Qj—r. Так как Iе де-
лит Qp(apJ уЪР3 ) = qj, согласно утверждению (ЗВ)(4) мы можем
заключить, что Iе делит р, а значит, Iе = р.
(4)	Если р делит арП — ЬРп, то р )( а, р )(Ь. Из сравнений
ар = (ар ) =	) = ЬР (mod р)
следует, что р | (арП 1 — ЬРп По утверждению (ЗВ)(6) мы имеем
равенство vp(Qp(ap 1, ЬР )) = 1, а значит, vp(ap —ЬР ) = е —1,
где е — 1	1. Повторяя это рассуждение, получим vp(a — 6) = е — п,
где е п + 1. □
Впоследствии нам потребуется следующая оценка.
(3D) Пусть число п нечетно, п 3 и отличные от нуля различ-
ные целые числа а, b таковы, что a + b 1. Тогда ^) ^ при-
чем равенство достигается лишь при п = 3, а = 2, b = —1 или п —
= 3, а = -1, Ь = 2.
IL3. Делители биномов
101
Доказательство. Так как Qn(a,b) = Qn(b,d) иа^Ь, без ограни-
чения общности можно считать, что а > Ь. Если b 1, то
Qn(a, 6) — ап i 4~ о>п 2b 4- ... 4- abn 4~ bn >14-14_.-.4_1— n.
Если 6	— 1, то a 1 — 6^2, b2 1 и
Qn(a,b) = (a + b)(an-2 + an-4b2 + ... + a&n~3) + bn-1
> 2n"2 + 2n~4 + ... + 2 + 1
= 2 ^4(n-3)/2 -|- 4(n“5)/2 4-1^ 4-1
4(n-i)/2 i	2
= 2'	4 1	H-l=g(2»-1-l)4-l
2n + 1
= —»"
при n 3. Если Qn(a, b) = n, то мы всюду имеем равенство, сле-
довательно, п — 3, а = 2, b — —1. В силу симметрии Qn(<hb) = п
также при п = 3, а = — 1, b = 2. □
Отметим, что если р — нечетное простое число и а > b 1, то
Qp(a,6) > р. Это утверждение является частным случаем доказан-
ного результата, но может быть получено и непосредственно, так
как 0р(а, Ъ) = ар~г 4- ар~2Ь 4-... 4- аЬР~2 4- Ь*’”1 > р.
Перед тем как перейти к дальнейшему изложению, сделаем ряд
замечаний. Если 1 b < а, то из соотношения (2.13) следует, что
Фп{а,Ь) > 0. Если п нечетно, п 3 и числа а и Ь не являются
одновременно четными, то Фп(а, 6) нечетно. Далее, если п нечет-
но, п 3 и числа а и b не являются одновременно четными, то
$2n(^,b) = Фп(—а, Ь) нечетно.
Пусть а и b — различные взаимно простые целые числа, отлич-
ные от нуля, и n 1. Будем говорить, что простое число р является
примитивным делителем бинома ап — Ьп (соответственно ап 4- Ьп),
если р делит ап — Ьп (соответственно ап 4- Ъп), но не делит ат — Ьт
(соответственно ат 4- Ьт) для каждого показателя m, 1 т < п.
Прежде всего отметим, что если 2 является примитивным делите-
лем бинома ап ± Ьп, то п = 1, так как а = b (mod 2).
Далее докажем следующий результат.
(ЗЕ)	Если п 2, то р является примитивным делителем би-
нома ап 4- Ъп тогда и только тогда, когда р есть примитивный
делитель бинома а2п — Ь2п.
102
Глава II. 4 эпизода
Доказательство. Если р — примитивный делитель бинома
a2n _ tfn, т0 р / (ап - 5П), а значит, р | (ап 4- 6П); более того, ес-
ли р | (afc 4- bk), где 1 к п, то р | (a2fc — b2k), следовательно.
2к = 2п, так что р есть примитивный делитель бинома ап 4- Ьп.
Обратно, если р является примитивным делителем бинома ап4-
4-6п (где п 2), то р / 2 и р | (а2п — Ь2п). Если 1 к < 2п и
р | (а* - Ьк) , то положим к = 2ет, где е 1 и т нечетно. Тогда
ак - Ьк = (аг~1т - Ь2е’1т) (аг~1т 4- Ь2*’1"1) .
Так как 2в”1тп < п, согласно предположению р / (а2< 1т 4- b2* 1т),
а значит, р | (a2*	— b2* Повторив это рассуждение, полу-
чим, что р делит ат — Ът, где т нечетно. Таким образом, ат = Ьт
(mod р) и ап = -Ьп (mod р). Тогда атп = bmn (mod р), апт =
= —Ьпт (mod р), следовательно, р | b (потому что р 2), а значит,
р | а, что противоречит предположению. Итак, р является прими-
тивным делителем бинома а2п — Ь2п. □
Теперь мы с легкостью можем доказать следующее утвержде-
ние.
(3F) Пусть а,Ь — (отличные от нуля) взаимно простые целые
числа, п 1 up — простое число. Тогда следующие утверждения
равносильны:
(1)	р является примитивным делителем бинома ап — Ъп;
(2)	р | (ап — Ьп), но если 1 т < п, т | п, то р % (ат — Ът);
(3)	р | Фп(а,Ь), но если 1 т < п, то р /Фш(а, 6);
(4)	р | Фп(а,Ъ), но если 1 т < п, т | п, тор /Фт(а,6);
(5)	р /6, и если число Ь' таково, что bb' = 1 (mod р), то порядок
числа ab' по модулю р равен п.
Доказательство. Импликации (1) => (2) и (3) => (4) тривиальны.
Эквивалентности (1) о (3) и (2) о (4) следуют непосредственно из
соотношения ап — bn = Ild|n ^d(a> &)•
Заметим, что (ab')d = 1 (mod р) тогда и только тогда, когда
р | (ad — bd). Таким образом, очевидно, что (5) равносильно (1)
и (2). □
Пусть простое число р не делит п. Тогда сравнение Хп — 1 =
= 0 (mod р) не имеет кратных корней, так как производная пХп~г
имеет лишь корень 0 по модулю р. Из соотношения (2.5) следует,
IL3. Делители биномов
103
что если а — целое число, а 1, р / а и Фр«1(а) = 0 (mod р), то
Фт(а) 0 (mod р) для каждого целого числа тп, 1 тп < р — 1,
делящего р — 1.
Из этого наблюдения и утверждения (3F) следует, что если а 1
и р не делит а, то а является примитивным корнем по модулю р (т. е.
порядок числа а по модулю р равен р— 1) тогда и только тогда, когда
Фр_ 1(a) = 0 (mod р).
Следующее утверждение появляется в статьях Биркгофа и Ван-
дивера (1904), а затем и в статье Инкери (1946) для случая, когда
П — нечетное простое число. Включение Ei С Е2 впервые было
доказано Лежандром (1830).
(3G) Пусть п 2. Тогда при сделанных выше предположениях
следующие множества простых чисел совпадают:
Ei — множество примитивных делителей бинома ап — Ьп,
Е2 — множество простых чисел р, таких, что р = 1 (mod п) и
р | Фп(а,Ь);
Ез — множество простых чисел р, таких, что р )(п и р | Фп(а, Ь).
Доказательство. Покажем, что С Е2. Согласно предположе-
нию р | (ап — Ьп), но р / (ат — Ьт) при всех т, 1 т < п. Из утвер-
ждения (3F) следует, что если ЬЬ' = 1 (mod р), то порядок числа аЬ'
по модулю р равен п. Следовательно, n | (р — 1). Более того, если
1 т < п, т | п, то Фт(а, 6) делит ат — Ьт. Так как р / (am — 6т),
мы заключаем, что р /Фт(а, b). Нор делит ап — Ьп = Пт|п ^т(а, Ь),
следовательно, р делит Фп(а,6).
Очевидно, что Е2 С Е3. Действительно, если п | (р— 1), то п < р,
а значит, р / п.
Теперь покажем, что Е3 С Е^. Ясно, чтор | (ап — 6П). Предполо-
жим, что р не является примитивным делителем бинома ап—Ьп. То-
гда существует число т, 1 т < п, т | п, такое, что р | (ат — Ът).
Так как
ап - Ьп = Фп(а, Ъ)(ат - bm)	Ма>
djf=n, d|n, d% т
согласно предположению р делит (ап — 6п)/(ат — Ьт). Положим
п = md, ат = Qi, Ът = Ь\. Тогда
ап — bn (rf —	d-i-iu _ j d-i ( j \
------— = —----— — > а. = da, (mod р).
ат _ Ьт а _ ь	1	1	1 v
г=0
104
Глава II. 4 эпизода
Но р | (ai — 61), так что р / ai, следовательно, р | с/, а значит, р | п.
Полученное противоречие завершает доказательство. □
Докажем еще один результат.
(ЗН) Пусть а,Ь — различные взаимно простые целые числа, от-
личные от нуля, ип}1. Пусть, далее, р — примитивный дели-
тель бинома ad — bd, причем vp(ad — bd) = г 1. Предположим,
что г 2 для р = 2. Тогда
(1)	ир(ФДа,6)) = г;
(2)	если t 1, то vp (Ф^р«(а,Ь)) = 1;
(3)	если t 0, к > 1, р )(к, то Vp^kdp'fab)) = 0.
Доказательство. (1) Утверждение (3F) позволяет заключить,
что р / Ф/(а,6) при всех I, 1 I < d. Отсюда следует равенство
ир(ФДа,6)) = vp(ad - bd).
(2) Из соотношения (2.12) следует, что
adp‘ - bdp‘ = *dp<(a,b)  (adp< 1 - bdp'~') Д Фер.(а,Ь).
e|d, l^e<d
Заметим, что р /Фвр« (а, Ь) при е < d, иначе выполнялось бы условие
р | (аер ~Ьер ). Поскольку р — примитивный делитель бинома ad—
— b, из утверждения (3F)(5) следует, что d делит ер1. Но р / d, а
значит, d | е, что противоречит предположению. Далее, согласно
утверждениям (ЗВ) (6) и (ЗВ) (7) мы имеем
vp ^adp —bdp>j = г + t,
vp (adp 1 — bdpi 1) = r 4-1 — 1.
Таким образом, vp($dpt (a, 6)) = 1.
(3) Запишем соотношение
adkp‘ _ bdkp‘ = Qdkpt (a> b)	JI	фе(а, b). (adp< _ bdp‘}
e\dkpl, e % dp1, e<dkp*
Из утверждений (ЗВ) (6) и (ЗВ)(7) следует, что справедливы ра-
венства vp(adkpt — bdkpt) = г + t, vp(adpt — bdpt) = г 4- t, а значит,
^р(Ф^Р<(а,Ь)) = 0. □
Для каждого целого числа п 2 обозначим через Р[п] наиболь-
шее простое число, делящее п.
II.3. Делители биномов
105
(31)	Пусть а > b 1, НОД (а, 6) = 1 и п 2. Пусть, далее, р —
примитивный делитель бинома aS —	, такой, что р | Фп(а, 6).
Тогда
(1)	существует число j 0, такое, что п — fp3, причем р //;
(2)	если j > 0, то р = Р[п];
(3)	если j > 0 и р2 | Фп(а, ty, то п = р = 2;
(4)	НОД (Фп(а,6),п) — 1 или Р[п].
Доказательство. (1) Из соотношения (2.11) следует, что Фп(а, Ь)
делит ап — Ьп, так что р | (ап — 6П), а значит, f | п в силу утвержде-
ния (3F). Так как р | (ар-1 — 5Р“1), мы вновь имеем / | (р — 1), а
значит, f < р. Пусть п = fpJw, где j 0, р / fw. Положим г = fp3.
Согласно (3.2) справедливо сравнение
ап — Ъп
-----— = w6w-1 (mod (аг — 6Г)).
аг — Ьг
Так как р | (аг — Ьг) (потому что f | г),
пп — Ъп
----— = wbw-1 (mod р).
аг — ог
Если п < т, то Фп(а, Ь) делит (ап — Ьп)/(аг — Ьг) в соответствии
с соотношением (2.12). Так как р /Ь (поскольку НОД (а, Ь) = 1), мы
заключаем, что р | ш, а это невозможно. Таким образом, п = /р7.
(2)	Так как f < р, при j > 0 мы имеем р = Р[п].
(3)	Пусть j > 1 и s = fp^1- Тогда п = ps, и мы получаем, что
ап~Ьп _ [(а3 - д3) + Ь8]р - Ь8р
а8 ~ bs	а8 — Ь8
(as - bs)bs<p~V + Q (а* - &*)26*(р~3)
+ ... + (<*’ -Н”"1-
Если р 3, то, так как р \ (а8 — Ь8), получим
ЛП _ Ln
——— = р (mod р2).
а3 — 0s
С другой стороны, из соотношения (2.12) следует, что Фп(а,6) де-
лит (an — 6n)/(a3 — bs), а значит, р2 /Фп(а,6). Таким образом, если
Р2 I Фп(а,Ь), то непременно р = 2. Значит, если f р — 1, то /=1и
п = 2-', следовательно, Фп(а, Ь) 0 (mod г), что невозможно. А это
означает, что j = 1 и п = 2.
= рь-'"-11 + (’)
106
Глава II. 4 эпизода
(4)	Предположим, что существует простое число р, делящее
НОД (Фп(а, 6), п). Из утверждений (1) и (2) следует, что р = Р[п].
Согласно утверждению (3), если р2 | НОД (Фп(а, 5), п), то п = р = 2,
а значит, р2 / п, что и доказывает наше утверждение. □
Частный случай следующей очень интересной теоремы был до-
казан Бангом (1886). В 1892г. Зигмонди получил представленный
здесь усиленный вариант. Эта теорема была заново доказана Бирк-
гофом и Вандивером (1904), а также многими другими математи-
ками, такими, как Диксон (1905), Кармайкл (1913), Канольд (1950),
Артин (1955), Херинг (1974), Люнебург (1981), и, возможно, други-
ми.
(3J) Пусть а > ft > 1, НОД(а,Ь) = 1, п 1. Тогда
(1)	бином ап — Ьп имеет примитивный делитель, за исключени-
ем следующих случаев:
(а)	п = 1, а — b = 1;
(Ь)	п = 2, а + b есть степень числа 2;
(с)	п = 6, а — 2, b — 1;
(2)	бином ап -I- Ьп имеет примитивный делитель, за исключени-
ем случая п = 3, а = 2, 6—1.
Доказательство. (1) Очевидно, что в случаях (а), (Ь), (с) бином
ап — Ьп не имеет примитивных делителей. Если n = 1 и а - 6 не
имеет примитивных делителей, то а — b = 1.
Пусть п = 2. Предположим, что а2 — Ь2 не имеет примитивных
делителей. Так как а2 — Ь2 = (а + Ь) (а - 6) и НОД (а -I- Ъ, а - 6) =
= 1 или 2, если р — нечетное простое число, делящее а -I- 6, то р де-
лит и а2 — Ь2. Но р не является примитивным делителем, а значит,
р | (а — 6), следовательно, р делит а и 6, что невозможно. Это озна-
чает, что a -F b есть степень числа 2.
Пусть теперь п 3. Вновь предположим, что ап — Ьп не имеет
примитивных делителей. Пусть р = Р[п] и vp($n(a,b)) = j 0.
Положим
ж*/ м Фп(а,5)
W) = —j—•
Р3
(1°) Предположим, что Ф*(а,Ь) = 1. Пусть <i, <2, • • •,С^(п) '
примитивные корни степени п из 1. Из неравенства
|а - £{Ь\ - b I £ - I > b - 1) = а — Ь
16 I \ о /
II.3. Делители биномов
107
и предыдущего замечания следует, что
<^(п)
Фп(а,Ь) = |Фп(а,Ь)| = |а -	> (а - b)^ > 1 = Ф;(а,6).
1=1
Значит, j> 1 и р | Фп(а,6), следовательно, р делит ап — Ъп. Та-
ким образом, р является примитивным делителем бинома а/ — 6^,
причем f делит п. Согласно утверждению (31) мы заключаем, что
НОД (п, Фп(а,Ь)) = р, а также р2 /Фп(а,Ь).
Таким образом, Фп(а, b) = Р, потому что Ф* (а, Ь) = 1. Более того,
р - 1 делит <р(п), поскольку р | п. Из этого, в свою очередь, следует,
что р = Фп(а, Ь) > (а - Ъ)^^ (а - Ь)1*"1, а значит, а - b = 1.
Если р2 | п, положим п = pm, так что р — 1	<р(т) и в силу
соотношения (2.14) мы получаем
р = фп(а, Ь) = Фт(ар, ЬР) > (а? - ЬР)^ > (ар - \?)Р~Х,
потому что р | т. Итак, ар — ЬР = 1, что противоречит условию
a-b = 1.
Таким образом, из утверждения (31) следует, что п = р/, р //,
где р — примитивный делитель бинома aS — Ь^. Заметим также, что
f | (р — 1), а значит, f < р. Поскольку <р(п) = (р — 1)<р(/), в силу
равенства (2.12) выполняются соотношения
₽(ар-Ьр) > p(af-bf) > Ф„(а,6)Ф/(а,Ь) = Ф/(ар,&р) > (ар-Ьр)<р(/).
Следовательно, р > (ар — Ьр)*’(^~1) поэтому непременно </>(/) — 1,
так что f = 1 или f = 2, а значит, п = р или п — 2р.
Если п = р, то р = Фр(а, Ь) — ар~г + ap~2b -I-... -I- аЪР~2 4- Ь1^1 =
= (аР — ЬР) / (а — Ь) — ар — ЬР^ а это невозможно, потому что a — b = 1.
Если же п — 2р, то из неравенства 3 $ р и соотношения (2.12)
следует, что
Учитывая утверждение (3D), заключаем, что а = 2, Ь=1ир = 3,
следовательно, п = 6.
(2°) Предположим, что ап—Ьп не имеет примитивных делителей.
Достаточно показать, что Ф*(а,6) = 1, и тогда утверждение будет
Следовать из (1°). Пусть простое число р делит Фп(а,6), а значит,
Р I (ап — Ьп). Тогда существует число /, делящее n, 1 f < п,
"*акое, что р — примитивный делитель бинома aS — Ь?. Согласно
Утверждению (31) мы получаем р = Р[п] и Фп(а,6) = р>, где j 1.
Следовательно, Ф*(а,6) = 1.
108
Глава IL 4 эпизода
(2) Если п = 3, а = 2, b = 1, то бином ап -F bn = 23 -F 1 не
имеет примитивных делителей. Обратно, если п = 1 и а 4- 6	2, то
найдется примитивный делитель.
Если п = 2 и а24-62 не имеет примитивных делителей, то а2+Ь2 =
= 2k (где к 2). В самом деле, если нечетное простое число р дели:
а2 4- 62, то р | (а 4- 6), а значит, р | (а2 - 62), и поэтому р | 2а2.
Отсюда следует, что р | а, а также р | 6, что невозможно. Поскольку
а2 4- b2 = 2k (к 2) и НОД (a, b) = 1, числа а и Ъ нечетны, а значит,
а2 4- Ь2 =2 (mod 4), что невозможно. Итак, бином а2 4- Ь2 имеет
примитивный делитель.
Если п 3, то из утверждения (1) следует, что бином а2п — Ь2п
имеет примитивный делитель р, за исключением случая, когда
п — 3, а = 2, 6=1. Если р = 2, то числа а и Ъ нечетны, значит,
2 | (а 4- 6), а это противоречит утверждению о том, что 2 — прими-
тивный делитель бинома ап — Ьп.
Согласно утверждению (ЗЕ) мы заключаем, что ап 4- Ьп имеет
примитивный делитель во всех случаях, кроме указанного исклю-
чения. □
Из этой теоремы и утверждения (3F) следует, что если а 2, то
каждое число последовательности
Ф3(а), Ф4(а), Фб(а), Фб(а), Ф?(о),---
(при а = 2 исключается элемент Фе (а)) имеет простой делитель,
который не делит ни одно из предыдущих чисел.
Представляют интерес и следующие результаты.
(ЗК) Пусть 1 <п иа> b} 1, причем НОД (a, b) = 1. Если
Фп(а,^))#1, то Р[п] = НОД (Фт(а, 6), Фп(а,6)).
Доказательство. Если п = 2, то т — 1. Если НОД (а—6, а 4-6)	1,
то НОД (а — 6, а 4- Ь) = 2.
Пусть теперь п 3, и пусть простое число р и е 1 таковы,
что р€ | Фт(а, 6), ре | Фп(а, 6). Тогда р | (ат — Ьт), р | (ап — 6П), а
значит, р не является примитивным делителем бинома ап —Ьп. Из
утверждения (3G) следует, что р | п, и в силу (31) мы получаем
р — Р[п], Фп(а, 6) = рс, р / с, так что е = 1. Так как число р выбра-
но как произвольный общий делитель чисел Фш(а,6), Фп(а, 6), мы
доказали, что Р[п] = НОД (Фш(а, 6), Фп(а, 6)). □
IL3. Делители биномов
109
(3L) Пусть р — простое число, 0^.i<jua^b>l, НОД (а, 6) =
= 1. Тогда
НОД(Фр<(а,Ь), Фр,(а,Ь)) = ( 11 еслиРХ(а-Ь),
v р v 7 р v 11	( р, если р I (а - о).
Доказательство. Из утверждения (ЗК) следует, что если d =
= НОД (Фр. (а, 6), Фр, (а, Ь)) / 1, то d = р.
Пусть сначала р 2. Если р | (а — Ь), то справедливы сравне-
ния ар3 = а = b = Б?3 (mod р), а значит, согласно утверждению
(ЗВ) число р делит Фр, (а, 6) = (ар3 — W3}/(ар3 —Ьр3 ). Аналогично
р делит Фрг(а,6). Наконец, если р / (а — 6), то ар3 = а b = №
(mod р), следовательно, р/ (ар3 — IP3^ и тем более р/ФрДа,6).
Итак, НОД(Фрг(а,Ь), ФрДа,Ь)) = 1.
Если р = 2, то Ф1(а,6) — а — Ь и Ф2Да,&) = а2 4- &2
(при к 1). Таким образом, если а = b (mod 2), то 2 делит
НОД (Ф2»(а, Ъ), Ф2;f(a, Ь)), и наоборот. □
Приведем полезное следствие из утверждения (3L).
(ЗМ) Если a,b, а > b 1, — целые числа ип^2, то Р[ап—Ьп] > п
и Р[ап 4- Ъп] > 2п.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
НОД (a, b) = 1. Действительно, если d = НОД (а, 6), то, положив
а = dai, b = dbi, получим > b^ 1 и НОД (ai, &i) = 1. Более того,
an±bn = dn(a”±bi), так что Р[а”±6”] < Р[ап±Ъп]. Следовательно,
достаточно показать, что п < Р[а™ - Ь™] и 2п < Р[а” 4- t"]. Итак,
будем полагать, что НОД (a, b) — 1.
(1) Если а — 2, b = 1, п = 6, то ап — Ьп = 26 — 1 = 63 =
= З2 х 7 и Р[26 - 1] = 7 > 6. В прочих случаях в силу утверждения
(3L) можем выбрать примитивный делитель р бинома ап — Ьп. Из
утверждения (3G) следует, что р = 1 (mod п), а значит, р — 1 4- кп,
и поэтому Р[ап — Ьп] р > п.
(2) Согласно (3L) можем выбрать примитивный делитель р
бинома а2п — Ь2п. Из утверждения (3G) следует, что р = 1 (mod 2п),
а значит, р = 14-2fcn > 2п. Согласно сделанному замечанию р также
является примитивным делителем бинома ап 4- Ьп. Следовательно,
^[ап 4- Ьп] р > 2п. □
110
Глава IL 4 эпизода
Список литературы
1729 (или ранее) Jacquemet, С., Manuscript in the Bibliotheque Na-
tionale de Paris (see Dickson, History of the Theory of Numbers.
Vol. II, p. 731).
1738 Euler, L., Theorematum quorundam arithmeticorum demonstra-
tiones, Comm. Acad. Sci. Petrop., 10, 1738 (1747), 125-146;
reprinted in Opera Omnia, Vol. II, Comm. Arithmeticae, Vol. I,
pp. 38-58.
1769 Lagrange, J.L., Resolution des equations numeriques, Mem.
Acad. Roy. Sci. Belles-Lettres Berlin, 23 (1769); reprinted in
Oeuvres, Vol. II, pp. 527-532 and 539-578, Gauthier-Villars,
Paris, 1868.
1830 Legendre, A.M., Theorie des Nombres (3е edition), Vol. I, pp.
226-229, Firmin Didot Preres, Paris, 1830; reprinted by A. Blan-
chard, Paris, 1955.
1837 Kummer, E.E., De aequatione x2X 4- y2X = z2X per numeros in-
tegros resolvenda, J. Reine Angew. Math., 17 (1837), 203-209;
reprinted in Collected Papers, Vol. I, pp. 135-141, Springer-
Verlag, New York, 1975.
1886 Bang, A.S., Taltheoretiske Unders0gelser, Tidskrift Mat., Kpben-
havn, Ser. 5, 4 (1886), 70-80 and 130-137.
1888 Sylvester, J.J., On the divisors of the sum of a geometrical se-
ries whose first term is unity and common ratio any positive or
negative integer, Nature, 37 (1888), 417-418; reprinted in Math-
ematical Papers, Vol. IV, pp. 625-629, Cambridge University
Press, Cambridge, 1912.
1892 Zsigmondy, K., Zur Theorie der Potenzreste, Monatsh. Math., 3
(1892), 265-284.
1897 Lucas, F., Note relative a la theorie des nombres, Bull. Soc.
Math. France, 25 (1897), 33-35.
1904 Birkhoff, G.D. and Vandiver, H.S., On the integral divisors of
an - bn, Ann. of Math., (2), 5 (1904), 173-180.
1905 Dickson, L.E., On the cyclotomic function, Amer. Math. Month-
ly, 12 (1905), 86-89; reprinted in Collected Mathematical Papers
(editor A.A. Albert), Vol. 3, pp. 136-139, Chelsea, New York,
1975.
1913 Carmichael, R.D., On the numerical factors of arithmetical forms
an±0n, Ann. of Math., (2), 15 (1913), 30-70.
IL4. Результант и дискриминант многочленов
111
1946 Inkeri, К., Untersuchungen fiber die Fermatsche Vermutung, Ann.
Acad. Sci. Fenn., Ser. Al, Nr. 33, 1946, 60 pp.
1947 Vivanti, G., Un teorema di aritmetica e la sua relazione colla
ipotesi di Fermat, Rend. Istit. Lombardo, Milano, Cl. Sci. Mat.,
11 (80) (1947), 239-246.
1950 Kanold, H.J., Satze uber Kreisteilungspolynome und ihre An-
wendungen auf einige zahlentheoretische Probleme, II, J. Reine
Angew. Math., 187 (1950), 169-182.
1955 Artin, E., The orders of linear groups, Comm. Pure Appl. Math.,
8 (1955), 355-366.
1955 Moller, K., Untere Schranke fur die Anzahl der Primzahlen, aus
denen x,y,z der Fermatschen Gleichung xn 4- yn = zn bestehen
muss, Math. Nachr., 14 (1955), 25-28.
1962 Schinzel, A., On primitive prime factors of an — bn, Proc. Cam-
bridge Philos. Soc., 58 (1962), 555-562.
1964 Kapferer, H., Verifizierung des symmetrisches Teils der Fermat-
schen Vermutung fur unendlich viele paarweise teilerfremde Ex-
ponenten E, J. Reine Angew. Math., 214/5 (1964), 360-372.
1966 Leopoldt, H.-W., Losung einer Aufgabe von Kostrikhin, J. Reine
Angew. Math., 221 (1966), 160-161.
1974 Hering, C., Transitive linear groups and linear groups which con-
tain irreducible subgroups of prime order, Geom. Dedicata, 2
(1974), 425-460.
1981 Luneburg, H., Ein einfacher Beweis fur den Satz von Zsigmondy
uber primitive Primteiler von An — 1. In Geometries and Groups
(editors M. Aigner and D. Jungnickel), Lecture Notes in Math.,
803, pp. 219-222, Springer-Verlag, New York, 1981.
П.4. Результант и дискриминант многочленов
Пусть
F(X,Y) = a0Xn 4-aiXn~1y 4-...-F апУп (где ao 0),
G(X,Y) = 60Xm + b\Xm~lY + ... + ЬшУт (где 60 / 0)
суть бинарные формы с коэффициентами аг, bj из области целост-
ности2 А.
2Областью целостности называется коммутативное кольцо с единицей, не
равной нулю, и без делителей нуля, например кольцо целых чисел. Кольцо
классов вычетов по составному модулю не является областью целостности (на-
пример, 2 х 2 = 0 в Z4). — Прим. ред.
112
Глава II. 4 эпизода
Дадим определение результанта форм F и G, обозначаемого че-
рез R(F, G) или Res(F, G). Прежде всего положим R(F, b0) — Ьд,
если т = 0, и R(ao,G) = а™, если п = 0. В частности, R(ao,bo) = 1.
Далее, если т ф 0 и п 0, будем считать, что R(F, G) равен опре-
делителю следующей матрицы порядка т 4- п:
( Q>q Q>\	..... Qn 0	0
0 do а1 ........... ап	О
О	...	О	а0	аг	...	ап
Ьо	Ьг	...	Ьт	0	...	О
О	Ьо	Ьг	...	Ьт	...	О
<0	...	О	Ьо	Ьг	...	Ьт ;
Заметим, что первые т строк содержат а0,... ,ап, а оставшиеся п
строк содержат Ьо,..., Ьт.
Выражение R(F, G) называется результантом бинарных форм
F(X, У) и G(X, У) и является многочленом с целыми коэффициен-
тами, причем его степень равна т по коэффициентам щ и равна п
по коэффициентам bj.
Результант формы dF(X, Y)/dX, dF(X,Y) /BY называется дис-
криминантом для F(X, У):
Diset(F) = R (g.	.
Сформулируем несколько широко известных свойств (см. Боше
(1907) или Кон (1974)).
(4А) Пусть F(X, У), G(X, У) — бинарные формы степеней п 1,
т 1 соответственно. Тогда справедливы следующие утвержде-
ния.
(1)	Форма F(X, Y) имеет (отличный от константы) делитель,
пропорциональный некоторому делителю формы G(X,Y),
тогда и только тогда, когда R(F,G) = 0.
(2)	Если п 2, то F(X, У) имеет кратный линейный делитель
тогда и только тогда, когда Discr(F) — 0.
(3)	Если F(X,Y) =	- а*У) и G(X,Y) = Т[™М'Х-
— (ijY) (где аг. oti , (ij, /3jf — элементы поля, содержащего ко-
эффициенты многочленов F и G, причем а/ 0 для всякого
II.4. Результант и дискриминант многочленов
113
г и /3j'	0 при каждом j), то
R(F,G) = ПС(а<,а/) = (-1Г”ПШ-,^')
г=1	3=1
=	= (-1)”*" Ц(О<%- - а^/).
<3	ij
В частности, R(G,F) = (—l)mnF(F, G).
(4)	Если H(X,Y) также является бинарной формой (некоторой
степени I), то R(FG,H) = R(F, H)R(G, Я) и R(H,FG) =
= Я(Я, F)R(H,G).
(5)	Если п т и Н(Х, У) — форма степени deg(H) = п — т, то
R{F — HG,G) = R{F,G). Аналогичным образом, если m п и
K(X,Y) — форма степени deg(F) = т—п, то R(F,G-KF) =
= R(F,G).
Пусть теперь /(X) и д(Х) — произвольные отличные от нуля
многочлены степени пит соответственно. Пусть, далее, F(X, У) =
= Ynf (X/Y), G(X, У) = Ymg (Х/Y), так что F(X, У) и G(X, У) -
бинарные формы степеней пит соответственно.
Результант многочленов f и д по определению равен Я(/, д) =
= F(F, G). Дискриминант Discr(/) многочлена f по определению
равен R(f,f').
Если n 1, т > 1 и Я(Х,У) = JlILi № ~ G(X,Y) =
= П7=1 (fy'X - PjY} (как в утверждении (4А)), где а/ 0, /3/ О,
то оч/аг — корни многочлена /(X), fdjlfdj — корни многочле-
на ^(Х).
Если /(X) — авХп 4- а^Х^1 4- ... 4- ап (где n 1, а0 / 0),
положим F(X, У) = Ynf (Х/Y) = П?=х (Qi'X - а{У).
Между дискриминантами многочлена /(X) и бинарной формы
F(X, У) существует следующая связь:
пп~2
Discr(F) =------Discr(/).	(4.1)
а0
Действительно, производная функции /(X) равна
f'(X) = па0Хп-1 + (п - 1)а1Хп-2 + ... + ап_ъ
и соответствующая ей бинарная форма есть G(X, У) = Уп-1х
х/'(Х/У). С другой стороны, dF/dX = Y^f'^X/Y) = G(X,Y)
и dF/dY = nY^fCX/Y) - XYn~2f'(X/Y) = (1/У)[пГ(Х,У)-
-XG(X,Y)].
8-27
114
Глава II. 4 эпизода
Значит, с одной стороны, мы имеем
f dF dF\ (dF \ (dF dF\
R \dX’ YdYJ = R	R\9X’ dYJ = na°Dlscr(F^
а с другой стороны,
f dF dF\
= R(G,nF - XG) = R(G,nF)
\ О А	01 )
= H(G,n) • R(G, F) = nn-1(-l)n("-1)E(F,G)
= пп-1(-1)п(п~1)Я(/,/') = n”~1Discr(/).
Для удобства читателя укажем явно свойства результанта и дис-
криминанта многочленов одной переменной.
(4В)	Пусть f.g.h.k — многочлены, причем deg(/) = n, deg(^) -
= т. Тогда
(1)	я(?>/) = нгвд;
(2)	если п^т и deg(/i) т — п, то R(f, g) = R(J, g + /Л);
(3)	R(hk,g) = R(h,g)  R(k,g),
R(g,hk) = R(g,h)  R(g,k)-,
(4)	R(Ja,g) =	для каждого натурального числа s;
(5)	Л((Х — a)s,g) = [p(a)]s, где a G A, s 1;
(6)	если f = a0 n?=iU “ ai) и g = bo (X - 0j), mo
R(f,9) =
1=1j=l
=
i=l
= (-1)гачпП/№);
J=1
(7)	если f = aQ П?=1С^ “ а*)> mo
Discr(/) =	Д(а£ - a,)2;
i<j
(8)	если f = hk, deg(/i) — г и deg(fc) = s, mo
Discr(/) — (-l)rsDiscr(h)Discr(fc)[H(/i, k)]2.
II.4. Результант и дискриминант многочленов
115
(4С)
(1) Если многочлены f,g Е А[Х] отличны от константы и
R(f, д) / 0, то fug взаимно просты.
(2) Если А = К — поле и многочлены f,g € А"[Х] взаимно про-
сты, то R(f,g) ф 0.
Доказательство. (1) Предположим, что многочлены f и д
имеют общий делитель h Е А[Х], отличный от константы. Тогда
f = hfi и д = hgi. Согласно (4В)(3) мы получаем
R(f,g) = R(h,h)- H(Mi) • RiA,h) • R(fi,<7i) = 0.
(2)	Предположим, что многочлены f,gE взаимно просты.
По теореме Безу существуют многочлены fi,gi Е K'fX], такие, что
gif 4- fig = 1; в частности, deg(<?i/) = deg(A<?)- Согласно (4В)(3)
мы имеем
R(9if, Ар) = R(91, А) • R^i.g) • Ш А) • Шд).
Если R(J,g) — 0, то R(gif, fig) = 0. Однако в силу (4В)(2) должны
выполняться соотношения
R(9i f, fi9) = Я(Р1/, 1 " 91 f) = R(9if, 1) = 1,
что невозможно. □
Список литературы
1907 Bocher, М., Introduction to Higher Algebra, Macmillan, New
York, 1907; reprinted in 1947.
1974 Cohn, P.M., Algebra, Vol. I, Wiley, New York, 1974.
Глава III
Алгебраические ограничения
на гипотетические решения
Пусть п>3их,у,г - отличные от нуля попарно взаимно простые
целые числа, такие, что
хп + уп — zn.
В этой главе мы выведем алгебраические соотношения, которым
должны подчиняться числа x,T/,z,n. В ряде случаев это приведет
к противоречию, означающему, что для рассматриваемого показа-
теля уравнение Ферма имеет лишь тривиальные решения.
III. 1. Соотношения Барлоу
Пусть р — нечетное простое число. Предположим, что существуют
отличные от нуля попарно взаимно простые целые числа т, у, z, та-
кие, что хр -I- ур -I- zp = 0. Для начала заметим, что х -I- у -I- z 0.
В самом деле, x.y.z не могут быть одновременно положитель-
ны (или отрицательны). Значит, можно считать, что, например,
т > 0, у > 0 и z < 0. Тогда (х -I- у)р > хр -I- ур — —zp, так что
х -I- у > — z и, таким образом, х -I- у -I- z 0.
Укажем соотношения, которым должны удовлетворять целые
числа т, у, z.
Первый из таких результатов был получен Барлоу (1810, 1811).
В 1823 г. Абель независимо получил то же утверждение и изложил
его без доказательства в письме к Гольмбо. Доказательство при-
водимых нами результатов принадлежит Лежандру (1823) и было
известно Софи Жермен. Позднее эти утверждения были заново по-
лучены Линдеманом (1901,1907) и содержались в статьях Каталана
(1886), Тафельмахера (1892), Флека (1909), Линда (1910), Бахмана
(1919), Джеймса (1938), Раклиша (1944) и др.
III.1. Соотношения Барлоу
117
(1А) Если существуют отличные от нуля целые числа x,y,z,
такие, что хр + ур + zp = 0, НОД(т,?/,г) = 1, причем р не де-
лит z, то существуют такие взаимно простые целые числа t,t\,
не кратные р, что
ТР А- ИР
ху — tp,	-У = z = -ttx.
X-Vy
Более того, t\ нечетно ut\ >1.
Доказательство. По предположению числа х, у, z попарно взаим-
но просты. Рассмотрим целое число
хр -4- нр
Qp(x, -у) = ------= хр~г - хр~2у 4-... — хур~2 4- 2/р-1.	(1.1)
£ 4- у
Так как x + y + z = xp + yp + zp = 0 (mod р) и р X z, мы также имеем
р X (х 4- у). Из утверждения (ЗВ) гл. II следует, что НОД(т 4- у,
Qpfa-уУ) = 1-
Поскольку (—z)p = хр 4- ур = (х 4- y)Qp(x, —у), числа х 4- у и
Qp(x, — у) являются р-ми степенями, т. е. существуют целые числа
t, ti, такие, что х 4- у — tp, Qp(x, —у) = t\, следовательно, — z — tt\
и НОД (t,h) = 1.
Покажем, что число t± нечетно. Из соотношения (1.1) видно,
что Qp(x, — у) есть сумма нечетного числа слагаемых, среди кото-
рых хр~г или ур~г нечетно (потому что числа х и у не являются
одновременно четными). Таким образом, Qp(x, — у) должно быть
нечетным, а значит, ti также нечетно. Наконец, так как х > у (или
у > ж), в силу (1Е) мы можем заключить, что х — у 1 (или
у — х 1), следовательно, = Qp(x, —у) = Qp(y, -т) р, так что
ti > 0, а на самом деле даже ti > 1. □
Если числа х, у, z удовлетворяют уравнению xp+yp+zp = 0, при-
чем р не делит х, у, z и НОД {х, у, z) = 1, то согласно предыдущему
результату существуют целые числа г,	не кратные р,
такие, что
'	x + y =	tp,	(хр + ур)/(х + у) = t\,	Z = -ttl,
y + z =	rp,	(ур + zp)/(y + z) = r[,	X = -rr1;
z + x =	sp,	(zp + Xp)/(z + x) = S%,	у = -SSi.
(1-2)
Более того, r, s, t, ri, si, ti попарно взаимно просты, п, Si, h нечетны
и превосходят 1. Заметим, что rp + sp + tp = 2(х + у + z) 0.
118
Глава III. Алгебраические ограничения
Складывая и вычитая равенства, получим, что
г	х = —гр + (тр 4- sp	4- tp)/2 = (-rp + sp + £р)/2,
<	y==-sp^ (гр + sp	+ tp)/2 = (rp -sp + tp)/2,	(1.3)
z = -tp + (rp + sp	+ tp)/2 = (rp + sp - tp)/2.
Следующее дополнение	к (1A) было известно Софи Жермен	и
приводится Лежандром (1823). Позднее его доказали Флек (1909),
Линд (1910), Поме (1923), а также Шпунар (1928), Джеймс (1938),
Перес-Качо (1958) и Дрегер (1959) (в иной форме).
(1В) Если нечетное простое число р не делит z, то каждый про-
стой делитель q числа сравним с 1 по модулю 2р. В частности,
t\ = 1 (mod 2р). Если, кроме того, р не делит xyz, то каждый
простой делитель числа riS^ti сравним с 1 по модулю 2р2. В ча-
стности, и ~ 1 (mod 2р2), $1 = 1 (mod 2р2) и t\ = 1 (mod 2р2).
Доказательство. Пусть простое число q делит tx. Тогда q делит
хр -I- уР, но q не делит х -I- у = tp, потому что НОД (Mi) — 1- Из
утверждения (3G) гл. II следует, что q = 1 (mod р). Так как число
q — 1 четно, q = 1 (mod 2р).
Предположим теперь, что р % xyz и что простое число q делит г\.
Тогда q делит х. Следовательно, q не делит yz. Заметим также, что
НОД (г, п) = 1, так что q не делит у 4- z.
Таким образом, у = tp (mod q), z = sp (mod q), следовательно,
£p4-$p = p4-z^0 (mod q) и tp2 4- sp2 = yp 4- zp н —xp = 0 (mod q).
Итак, q является примитивным делителем бинома tp 4- sp . Из
утверждения (ЗЕ) гл. II следует, что q есть примитивный делитель
бинома t2p — $2р , а значит, согласно утверждению (3G) гл. II мы
получаем q = 1 (mod 2р2). В частности, т\ = 1 (mod 2р2).
Для простых делителей чисел $i и t± доказательство аналогич-
но. □
Теперь приведем соотношения, которым должны удовлетворять
предполагаемые решения во втором случае. Эти факты (включая
утверждение о том, что п 2) были известны Софи Жермен и
приводятся Лежандром (1823).
(1С) Пусть отличные от нуля целые числа x,y,z таковы, что
р делит z, хр 4- ур 4- zp = 0 и НОД(гг,р,г) = 1. Тогда существу-
ют целое число п 2 и попарно взаимно простые целые числа
r,s,t,ri, Si,ti, не кратные р, такие, что i\, $i,ii нечетны, превос-
III.1. Соотношения Барлоу
119
ходят 1 и удовлетворяют соотношениям
х + у = р?п 1 tp,
< У + z — гр,
z + х = sp,
(хр + ур) /\х + у) = ptp,
(ур + zp)/(y + z) =r{,
(zp + Z₽)/(z + x) = Sj,
z — -pntti,
x = —rri,	(1-4)
у = -s$i.
Более того, если q — произвольное простое число, делящее t\, то
q = 1 (mod р2); в частности, t\ = 1 (mod 2р2).
Доказательство. Числа x,y,z попарно взаимно просты. Если р
делит z, то р не делит ни х, ни у, и, поскольку z4-p4-z = xp+yp+zp =
= 0 (mod р), х 4- у = —z = 0 (mod р).
Пусть т 2 таково, что х 4- у = prn~xt', причем р не делит t'.
Пусть Qp(x, —у) = (хр 4-рр)/(х4-р). Так как р делит х4-р, согласно
утверждению (ЗВ)(6) гл. II мы получаем vp (Qp(x, —у)) = vp(p) =
= 1, так что Qp(x, -у) = pt\ , р Xti . Из утверждения (ЗВ)(4) гл. II
следует, что НОД(х 4- у, Qp(x, -р)) = р, а значит, НОД (f ,$/) = 1.
Так как — zp — хр 4- ур =	в силу единственности раз-
ложения на простые множители р делит т и t', t\ являются р-ми
степенями целых чисел. Положим тп = рп. Тогда
х 4- у — р?п xtp,
хр 4- ур
x-Vy
=
z = —pntt\,
где n 1, t,t\ € Z, Н0Д(М1) = 1, p не делит ни t, ни t\.
Так как р / х и р / р, согласно утверждению (1А) существуют
целые числа г, и, s, $1, не кратные р, такие, что
у н- z - гр, (ур 4- zp)/(y 4- z) =	, х = -rrr,
z-\-x — sp, (zp + xp)/(z + x) = sp, у = -ssi,
причем
НОД(*,г,$) = Н0Д(«1,Г!,51) = 1, НОД(г,п) = НОД($,$1) = 1.
Доказательство того факта, что числа	нечетны, причем
И > 1, $i > 1, проводится так же, как и для утверждения (1А).
Покажем теперь, что ii > 1. Согласно утверждению (3D) гл. II
мы имеем pt% = (хр 4- ур)/{х 4- р) = Qp(x, -у) = QP(y, -х) р, сле-
довательно, ti 1, и достаточно показать, что ti ф 1. Если = 1,
то мы можем применить то же утверждение, положив, например,
120
Глава III. Алгебраические ограничения
х > у, и получим р = 3, х = 2, р = 1,а значит, 23 + I3 + z3 = 0, что
невозможно.
Теперь покажем, что если q — произвольный простой делитель
числа ii, то q = 1 (mod р2). Из сравнения z = 0 (mod q) следует,
что у = rp (mod q), х = sp (mod q) и 0 = xp 4- yp 4- zp = rp 4- sp
(mod q). С другой стороны, q не делит rp 4- sp (иначе q делило бы
x 4- у, а значит, и i, что противоречит условию НОД (i, t\) = 1). Из
утверждения (3D) гл. II следует, что q = 1 (mod р2). А это, в свою
очередь, означает, что ti = 1 (mod 2р2).
Остается лишь показать, что п 2. В самом деле, гр 4- sp =
= 2z 4- (х 4- у) = -2pntt1 4- рРп~Чр = 0 (mod р). Из утверждения
(ЗН) гл. II получаем гр 4- sp = 0 (mod р2). Так как р / tii, отсюда
можем заключить, что 2z ~ (гр 4- sp) — ppn~1tp = 0 (mod р2), так
что п $> 2. □
Из равенств (1.4) следует, что rp + sp +ppn~1tp = 2(z4-t/4-2)	0.
Утверждение о том, что точная степень числа р, которая де-
лит х 4- у, равна рР””1, было доказано многими авторами (и даже
в 1955г. Стоуном), которым было неизвестно, что этот результат
давно получен.
Запишем соотношения, аналогичные (1.3), для случая, когда
Р I г:
{х = -rP + (rp + sp + ррп“Чр)/2 = (—гр + sp + рРп-Чр)/2,
у = -sP + (гр + sp +ppn"1tp)/2 = (гр - зр + рРп~ЧР)/2,
z = -ppn-iti, + (гр + 8р +ррп-1^)/2 = (гр + зр - рРп~ЧР)/2.
(1-5)
В случае бесквадратного показателя также найдены соотноше-
ния, аналогичные соотношениям Барлоу (см. Стюарт (1977)).
(1D) Пусть п > 2 — бесквадратное целое число и отличные
от нуля попарно взаимно простые целые числа x,y,z таковы, что
хп уп — zn ^соответствеНно п нечетно и хп — уп = zn\ Тогда
z — у — 2udn~1an {соответственно z 4- у — 2udn~1an), где a,d —
натуральные числа, число и равно 0 или 1, причем 2й и d делят п.
Доказательство. Сначала рассмотрим случай, когда хп+уп = zn.
Положим z — у = а'ап, где а,а' 1 и р-адическое значение числа а1
равно Vp(a') < п для каждого простого числа р.
Если простое число р делит а1, то р делит и п. Действитель-
но, если р/ п, то согласно утверждению (ЗВ)(5) гл. II мы мо-
III.1. Соотношения Барлоу
121
жем заключить, что р/ Qn(z,y) = (zn — yn)/(z — у), и тогда
Vp(a') 4- nvp(a) = vp(z - у) = vp(zn - уп) = vp(xn) = nvp(x). Сле-
довательно, n делит Vp(a') и n vp(a'), что противоречит предпо-
ложению. Это означает, что р | п, а значит, vp(n) = 1, поскольку п
бесквадратно.
Определим теперь vp(a') для случая, когда р делит а'. Пусть
сначала простое число р нечетно. В силу утверждения (ЗВ) (6) гл. II
мы имеем vp (Qn(z,y)) = vp(n) — 1. Таким образом, vp(a') + nvp(a)+
+ 1 = vp(z - у) + vp(Qn(z,y)) - vp(zn - yn) = vp(xn) = nvp(x).
Поэтому Vp(a') = —1 (mod n), а следовательно, vp(a') = n — 1.
Пусть теперь p = 2. Если 4 | (z — p), то согласно утверждению
(ЗВ)(7) гл. II имеем V2(Qn(z,y)) — i>2(n) = 1, откуда, как и выше,
заключаем, что ^(а') = п — 1. Если же 2 | (z — у), но 4 / (z — у),
то V2(a') 4- nv2(a) = V2(z — у) — 1, так что ^(а') — 1. Итак, мы
приходим к выводу, что 2 не делит z — у.
Суммируя вышесказанное, получим, что z — у = 2udn~1an, где
и = 0 или 1, причем 2й и d делят п. Пусть, далее, п нечетно и
хп — уп = zn. Тогда хп 4- (—у)п = zn, и согласно первой части
доказательства z 4- у имеет требуемый вид. □
В частности, если целое число п > 2 свободно от квадратов и
отличные от нуля попарно взаимно простые целые числа x,y,z та-
ковы, что хп 4- уп = zn, то
J z — х = 2U1 d1^1 а™,
| z-y = 2U2d^-1a^,
и, более того, если число п нечетно, то
х + у = 2из(%~1а%,
где ai,a2,a3,di,d2,d3 — натуральные числа, показатели гц, 112,113
равны 0 или 1, причем 2U1, 2П2, 2Пз, ^3 делят п.
Список литературы
1810 Barlow, Р., Demonstration of a curious numerical proposition, J.
Nat. Phil. Chem. Arts, 27 (1810), 193-205 (this paper is referred
to in Dickson’s History of the Theory of Numbers, Vol. II, p. 733).
1811 Barlow, P., An Elementary Investigation of Theory of Numbers
(pp. 153-169), J. Johnson, St. Paul’s Church-yard, London, 1811.
1823 Abel, N., Extraits de quelques lettres a Holmboe, Copenhague,
Гап v^6064321219 (en comptant la fraction decimale), Oeuvres
122
1823
1886
1892
1901
1907
1909
1910
1910
1919
1923
1928
1938
1944
1955
Глава III. Алгебраические ограничения
Completes, Vol. II, 2nd ed., pp. 254-255, Grondahl, Christiania,
1881.
Legendre, A.M., Recherches sur quelques objets d’analyse in-
determinee, et particulierement sur le theoreme de Fermat, Mem.
Acad. Sci., Institut France, 6 (1823), 1-60; appeared as “Sec-
ond Supplement” in 1825, to a printing of Essai sur la Theorie
des Nombres (2е edition), Courcier, Paris; reprinted in Sphinx-
Oedipe, 4 (1909), 97-128.
Catalan, E., Sur le dernier theoreme de Fermat (Melanges Math-
ematiques, CCXV), Mem. Soc. Roy. Sci. Liege Ser. 2, 13 (1886),
387-397.
Tafelmacher, W.L.A., Sobre el teorema de Fermat de que la ecua-
cion xn + yn — zn no tiene solution en numeros enteros x,y,z
i siendo n > 2, Ann. Univ. Chile, Santiago, 82 (1892), 271-300
and 415-437.
Lindemann, F., Uber den Fermatschen Satz betreffend die Unmog-
lichkeit der Gleichung xn = yn + zn, Sitzungsber. Akad. Wiss.
Munchen, Math., 31 (1901), 185-202; corrigenda p. 495.
Lindemann, F., Uber das sogenannte letzte Fermatsche Theorem,
Sitzungsber. Akad. Wiss. Munchen, Math., 37 (1907), 287-352.
Fleck, A., Miszellen zum grofien Fermatschen Problem, Sit-
zungsber. Berliner Math. Ges., 8 (1909), 133-148.
Bachmann, P., Niedere Zahlentheorie, Teubner, Leipzig, 1910;
reprinted by Chelsea, New York, 1966.
Lind, B., Uber das letzte Fermatsche Theorem, Abhandl. zur
Geschichte d. Math. Wiss., no. 26, 1910, 23-65.
Bachmann, P., Das Fermatproblem in seiner bisherigen Ent-
wicklung, W. de Gruyter, Berlin, 1919; reprinted by Springer-
Verlag, Berlin, 1976.
Pomey, L., Sur le dernier theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci.
Paris, 177 (1923), 1187-1190.
Spunar, V.M., On Fermat’s last theorem, J. Washington Acad.
Sci., 18 (1928), 385-395.
James, G., A higher upper limit to the parameters in Fermat’s
equation, Amer. Math. Monthly, 45 (1938), 439-445.
Racli§, N., Demonstration du grand theoreme de Fermat pour
des grandes valeurs de I’exposant, Bull. Ecole Polytechnique Bu-
carest, 15 (1944), 3-19.
Stone, D.E., On Fermat’s last theorem, Math. Mag., 28 (1955),
295-296.
III.2. Дополнительные соотношения
123
1958 Perez-Cacho, L., Sobre algunas cuestiones de la teoria de nume-
ros, Rev. Mat. Hisp.-Amer., (4), 18 (1958), 10-27 and 113-124.
1958/9 Draeger, M., Das Fermat-Problem, Wiss. Z. Techn. Hochschule
Dresden, 8 (1958/9), 941-946.
1977 Stewart, C.L., A note on the Fermat equation, Mathematika, 24
(1977), 130-132.
Ш.2. Дополнительные соотношения
для гипотетических решений
В разделе 1 мы показали, что если отличные от нуля целые числа
x,y,z попарно взаимно просты и р — нечетное простое число, при-
чем хр -F ур -F zp = 0, то должны выполняться соотношения Барлоу,
в частности, существуют целые числа r,s,t,r\,s\,t\, удовлетворя-
ющие определенным свойствам. В настоящем разделе мы изучим
некоторые другие свойства этих целых чисел.
Пусть целые числа тип отличны от нуля, НОД (m, п) = 1 и п
нечетно. Обозначим через (m/n) символ Якоби.
Приведенное ниже следствие соотношений Барлоу было впервые
получено Пьером в 1943 г.
(2А) Пусть отличные от нуля взаимно простые целые числа
х,у, z таковы, что хр +ур + zp = 0. Тогда
(1) еслир )(xyz, то
= +1;
(2) если р | z, то
ri
psiti
S1
>1Г1
= +i.
Г151/
Доказательство. (1) Для начала заметим, что многочлен
pXY{X 4- У) делит (X 4- У)р - (Хр 4- Ур) (в Z[X,Y]) (см. также
разд. VII.2).
Согласно утверждению (1А) мы имеем (х 4- т/)р-1 ~ е 0
(mod рху). Следовательно, ip = (х 4- y)p~l (mod tt$i), а значит,
T1S1
124
Глава III. Алгебраические ограничения
В силу симметрии
(2)	Если р | z, то согласно утверждению (1С) мы имеем
(х 4- 7/)р-1 - pt? = 0 (mod рху). Следовательно, pt\ = (х + з/)р-1
(mod Г1«1). Таким образом,
Как и при доказательстве первой части, мы получаем сравнение
1- z)p~1 — г? = 0 (mod pyz). Значит,
ri = (у + z)p-1 (mod psiti),
следовательно,
Аналогично
) =4-1. □
РП*1/
Список литературы
1943 Pierre, С., Sur le theoreme de Fermat an + bn — cn, C. R. Acad.
Sci. Paris, 217 (1943), 37-39.
Глава IV
Теорема Софи Жермен
В этой главе излагается замечательная теорема Софи Жермен для
первого случая теоремы Ферма.
IV. 1. Теорема Софи Жермен
Софи Жермен, французский математик, современница Коши и Ле-
жандра, доказала теорему существенно нового вида, которая уста-
навливала “d’un trait de plume”1 (по выражению Лежандра) первый
случай теоремы Ферма для каждого простого числа р < 100. Ее ме-
тод до сих пор совершенствуется другими математиками. Лежандр
развил идеи С. Жермен в своей работе 1823 г.
Начнем с простого наблюдения (утверждение (3) было также
доказано Бангом (1935)).
(1А) Пусть q — простое число и п 3 — нечетное целое число.
Тогда следующие утверждения равносильны.
(1)	Существуют целые числа а, Ь, с, не кратные д, такие, что
ап 4- Ьп 4- сп = 0 (mod q).
(2)	Существуют целые числа d,e, не кратные q, такие, что
(Г1 = еп 4-1 (mod q).
Более того, если q — 1 = 2kn, то эти утверждения эквивалентны
следующему.
(3)	Существуют корни и, и1 сравнения Х2к — 1 = 0 (mod q), та-
кие, что и1 = и 4-1 (mod q).
Доказательство. (1) => (2) Так как q X с, существуют числа
d,e 6 Z, такие, что
{de = — a (mod g),
ec = b (mod q).
1<Росчерком пера» (фр.). — Прим, перев.
126	Глава IV. Теорема Софи Жермен
Тогда q /de, (dc)n ~ (ес)п 4- сп (mod q), следовательно, dn = еп 4- 1
(mod q).
(2) => (1) Это очевидно.
Теперь предположим, что q — 1 = 2кп.
(2) => (3) Пусть и — еп, и' — dn. Тогда и2к = еч~1 = 1 (mod q)
и, аналогично, (и')2к = d4^1 = 1 (mod q), где и1 = и 4- 1 (mod q).
(3) => (2) Пусть h — первообразный корень по модулю q. По-
ложим и — hm. Тогда h2km = и2к = 1 (mod g), а следовательно,
q — 1 = 2кп делит 2кт, так что п делит т. Таким образом, ине71
(mod q). Аналогично и1 = dn (mod q), и по условию dn = еп 4- 1
(mod q). □
Теперь приведем вариант Лежандра теоремы Софи Жермен2.
(1В) Пусть p,q — различные нечетные простые числа. Предпо-
ложим, что выполнены следующие условия.
(1) Если целые числа а, Ь, с таковы, что ар 4-	4- ср = 0 (mod q),
то q | abc.
(2) Число p несравнимо no модулю q ср-й степенью целого числа.
Тогда для показателя р имеет место первый случай теоремы Фер-
ма.
Доказательство. Пусть х,у, z — попарно взаимно простые целые
числа, не кратные р, такие, что хр 4- ур 4- zp — 0. Тогда хр 4- ур 4- zp =
= 0 (mod q) и по предположению (1) мы имеем q | xyz. Можно
считать, что, например, q | х и, следовательно, q )(yz.
Так как р / xyz, существуют целые числа r,s,t,ri,si,ti, удо-
влетворяющие соотношениям (1.2) и (1.3) гл. III. Так как q | г,
справедливо сравнение — гр 4- sp 4- tp = 0 (mod g). По предположе-
нию (1) число q делит одно из целых чисел г, s,t. Так как s де-
лит у, t делит z, a q не делит ни yz, ни st, q должно делить г. Но
tp = (хр 4- Ур}/(х 4- у) = ур~х (mod q), поскольку q | х.
2См. сноску на с. 13 статьи Лежандра 1823 г., где он писал: <Следует согла-
ситься, что это доказательство, принадлежащее госпоже Софи Жермен, весьма
изобретательно. Госпожа Жермен успешнс работает в физических и математи-
ческих науках, свидетельством тому награда, которой она удостоена Академией
за работу по вибрации упругих пластин. Она также является автором предло-
жения параграфа 13, а кроме того, утверждения, касающегося специального
вида простых делителей числа а, приведенного в параграфе 11.» [Здесь они
соответствуют утверждениям ((2В), (2С)).]
IV. 1. Теорема Софи Жермен
127
Так как q делит г, мы получаем, что у ~ — z (mod q). Таким
образом,
7/Р _1_ уР
rf -	= 7/-1 + у”-2(-2) + . . . + (-Z)”-1
у + z
= рур~х =ptp (mod q).
Поскольку ti 0 (mod q), существует целое число tl, такое, что
t't\ = 1 (mod q), а значит, р = (t'ri)p (mod q), что противоречит
второму предположению. □
Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, прокомменти-
руем условия, указанные выше.
В следующем разделе вводится определитель Вендта, с помо-
щью которого можно проверить, существуют ли целые числа х, у, z,
не кратные q, такие, что хр -F ур -F zp = 0 (mod q).
(1C) Если нечетные простые числа р и q таковы, что q— 1 = 2pk
для некоторого натурального числа к, то условие (2) утвержде-
ния (1В) эквивалентно каждому из следующих условий-.
(2') (2k,yk 1 (mod q);
(2") p2k 1 (mod q).
Доказательство. Прежде всего покажем, что из условия (2) сле-
дует (2'). Пусть h — первообразный корень по модулю q, и пусть
р = hs (mod q). Если (2k}2k = 1 (mod q), то h2ks = p2k =
= (2k)2kp2k = (2kp)2k = (q — 1)2A: = 1 (mod q). Следовательно,
q — 1 = 2kp делит 2ks, так что p | s и p = ap (mod q), где a = hs!p
(mod q).
Теперь докажем, что из условия (2') следует (2"). Если p2k = 1
(mod q), то (2fc)2* = (2k)2kp2k = (q — l)2fc = 1 (mod q).
Наконец, покажем, что из условия (2") следует (2). Если суще-
ствует такое число а, что р = ар (mod q), то р2к = а2кр = ая~г = 1
(mod q). □
В табл. 6 (см. Лежандр, 1823) для каждого нечетного просто-
го числа р < 100 выбрано простое число q и указаны первообраз-
ный корень h по модулю q и множество R вычетов р-х степеней
по модулю q. Вычисления, которые достаточно длинны, проведены
с использованием первообразного корня по модулю q. Они устанав-
ливают справедливость условия (2).
Для ббльших значений р вычисления становятся затруднитель-
ными. Однако беглый взгляд на таблицу показывает, что в каждом
128
Глава IV. Теорема Софи Жермен
Таблица 6.
I р I я I ft I	Д
3	7 = 2 х 3 + 1	3	±1
5	11 = 2 х 5 + 1	2	±1
7	29 = 4 х 7 + 1	2	±1, ±12
11	23 = 2 х 11 + 1	5	±1
13	53 = 4 х 13 4- 1	2	±1, ±23
17	137 = 8 х 17 + 1	3	±1, ±10, ±37, ±41
19	191 = 10 х 19 + 1	19	±1, ±7, ±39, ±49, ±82
23	47 = 2 х 23 + 1	5	±1
29	59 = 2 х 29 + 1	2	±1
31	311 = 10 х 31 + 1	17	±1, ±6, ±36, ±52, ±95
37	149 = 4 х 37 + 1	2	±1, ±44
41	83 = 2 х 41 + 1	2	±1
43	173 = 4 х 43 + 1	2	±1, ±80
47	659 = 14 х 47 + 1	2	±1, ±12, ±55, ±144, ±249 ±270, ±307
53	107 = 2 х 53 + 1	2	±1
59	827 = 14 х 59 + 1	2	±1, ±20, ±124, ±270, ±337 ±389, ±400
61	977 = 16 х 61 + 1	3	±1, ±52, ±80, ±227, ±252 ±357, ±403, ±439
67	269 = 4 х 67 + 1	2	±1, ±82
71	569 = 8 х 71 + 1	3	±1, ±76, ±86, ±277
73	293 = 4 х 73 + 1	2	±1, ±138
79	317 = 4 х 79 + 1	2	±1, ±114
83	167 = 2 х 83 + 1	5	±1
89	179 = 2 х 89 + 1	2	±1
97	389 = 4 х 97 + 1	2	±1, ±115
IV. 1. Теорема Софи Жермен
129
случае q выбрано равным 2р4- 1, или 4р4- 1, или 8р4- 1, или 10р4- 1,
или 14р4- 1, или 16р4- 1. В самом деле, справедливо такое следствие
теоремы Софи Жермен (Лежандр, 1823).
(1D) Если р — нечетное простое число и число q = 2р4-1 также
простое, то первый случай теоремы Ферма справедлив для пока-
зателя р.
Доказательство. Покажем, что число q удовлетворяет условиям
утверждения (1В).
Если целые числа х, у, z не кратны q и хр 4- ур 4- zp = 0 (mod g),
то хр = ±1 (mod q), ур = ±1 (mod q),zp = ±1 (mod g), поскольку
p = (q — l)/2. Следовательно, 0 = xp + yp + zp = ±1 ±1 ±1^0
(mod q), а это противоречит предположению.
Аналогично, если р = ар (mod q), то условие (2х) не выполнено,
так что 2р 4-1 = q делит 22 — 1 = 3, чего быть не может. □
Лежандр (1823) обобщил этот критерий следующим образом.
(1Е) Если р — простое число, р > 3 и число q = 4р 4- 1, или q —
= 8р 4-1, или q = Юр 4-1, или q = 14р 4-1, или q = 16р 4-1 также
простое, то первый случай теоремы Ферма справедлив для пока-
зателя р.
Доказательство. Покажем, что в каждом случае q удовлетворяет
условиям утверждения (1В).
Случай 1. Пусть q — 4р 4- 1.
Если р = ар (mod q), то по условию (2') имеем 44 = 1 (mod q),
так что 4р 4-1 = q делит 255 = 3 x 5 x 17, чего быть не может.
Проверим справедливость первого условия. Для этого обозна-
чим через w первообразный корень четвертой степени из 1 по мо-
дулю q. Тогда {1, w, w2, w3} — корни сравнения X4 — 1 = 0 (mod q),
причем w2 = — 1 (mod q), w3 = — w (mod q). Если первое условие
не выполняется, то согласно утверждению (1А) существуют пока-
затели i j, 0 г, j 3, такие, что и? = шг 4- 1 (mod q\ Кроме
тривиальных случаев, это приводит к одной из следующих возмож-
ностей: w = ±2 (mod q) или 2w = ±1 (mod q). После возведения
в квадрат получим, что q — 5, а это неверно.
Случай 2. Пусть q = 8р 4-1.
Если р = ар (mod q), то, проведя такие же рассуждения, как и
выше, получим, что число 8р 4- 1 = q делит 88 — 1, а значит, оно
9-27
— 1 Е w2 ±2w + l Е
130	Глава IV. Теорема Софи Жермен
делит и 84 - 1 = 4095 = З2 х 5 х 7 х 13 или 84 + 1 = 4097 = 17 х 241
чего быть не может.
Если первое условие не выполняется и w — первообразный ю i
рень восьмой степени из 1 по модулю q, то найдутся такие показа
тели г ф j, 0 г, j 7, что =. wl 4- 1 (mod q). Так как w4 ее
(mod g), можно рассматривать сравнения = ±wl±l (mod q},
0 i $ 3. Поскольку первообразные корни восьмой степени из 1 ч.»
модулю q равны ±w, ±w3, причем w3 = — w~* (mod q), изучен и <
сводится к следующим возможностям:
(i)	= ±2 (mod q) (j = 1,2);
(ii)	w2 = w ± 1 (mod q)\
(iii)	2w = ±1 (mod q).
Обсудим эти случаи.
(i)	Возведение в четвертую степень приводит к тому, что q | ГЗ
или q = 17, а это противоречит предположению.
(ii)	Возведем сравнение в квадрат:
w 4- 1 4- 2w 4- 1 = 3w 4- 2 (mod q),
w — 1 — 2w + 1 = —w (mod q).
Следовательно, w = ±1 (mod q), что также противоречит пред-
положению.
(iii)	Возводя сравнение в четвертую степень, получим q = 37,
что вновь означает противоречие.
Случай 3. Пусть q = 16р 4- 1.
Если р = ар (mod q), то, используя тот же самый метод, полу
чим, что 16р4-1 = q делит 1616 —1 — (1684-1)(1644-1)(1б24-1) х 17х 15.
Ясно, что 1бр 4- 1 не делит 15, 17, 257. Если 16р 4- 1 делит число
1б4 4- 1 = 65537, которое является простым (кстати, простым Фер
ма, 216 4- 1), то р = 163, чего быть не может. Если 16р 4- 1 делит
168 4-1 = 232 4-1 = 641 х 6700417 (разложение на простые множите-
ли найдено Эйлером), то р = 40 или 418776, т. е. мы снова приходим
к противоречию.
Если первое условие не выполняется и w — первообразный ко-
рень шестнадцатой степени из 1 по модулю д, то, так как ±w, ±гг3.
±w5, ±w7 являются первообразными корнями шестнадцатой сте-
пени из 1 по модулю q и поскольку w8 = — 1 (mod g), существуют
числа i,j, 0 i j 7, такие, что = 4=wl ± 1 (mod g). Эю
приводит к одному из следующих сравнений со всеми возможными
вариантами расстановки знаков:
IV. 1. Теорема Софи Жермен
131
(i)	wJ = ±2 (mod q) (j — 1, 2,..., 7);
(ii)	w2 = w ± 1 (mod g);
(iii)	w3 = ±w 4- 1 (mod g);
(iv)	w4 = w ± 1 (mod g);
(v)	w4 = ±w2 ± 1 (mod g).
Обсудим все эти возможности.
(i)	Возведение в восьмую степень приводит к тому, что q | 257
или g | 255 = 3 х 5 х 17, что противоречит предположению.
(ii)	Возведение в квадрат приводит к сравнению w4 = — w
(mod g), что невозможно, или w4 = 3w 4- 2 (mod g). Во втором
случае после повторного возведения в квадрат получаем сравнение
—1 = 9w2 4- 12w 4- 4 (mod g), а подставляя w2 = w 4- 1 (mod g), по-
лучим 3w E -2 (mod g). Следовательно, w4 = 3w 4- 2 = 0 (mod g),
что невозможно.
(iii)	Возведем сравнение в куб:
—w = ±w3 4- 3w2 ± 3w 4- 1 (mod g)
и, сделав замену, получим
—w = w ± 1 4- 3w2 ± 3w 4- 1 (mod g).
В зависимости от выбора знака имеем Зш2 4- 5w 4- 2 = 0 (mod g) или
3w2 - w е 0 (mod g).
В первом случае, умножая на w и делая замену, получим 5w24-
4-5w 4- 3 Е 0 (mod g). Вычитая, приходим к сравнению 2w2 = — 1
(mod g) и, следовательно, —24 = 1 (mod g), так что q | 17, но это
невозможно. Если Зш = 1 (mod g), то Зш3 = — 3w 4- 3 = 2 (mod g),
так что, возводя в куб, получаем —З3ш = 8 (mod g), а значит, q
делит 17, что противоречит предположению.
(iv)	Возведем сравнение в квадрат: — 1 = w2 ± 2w 4- 1 (mod g),
а значит, w2 = =p2w — 2 (mod g) и, следовательно, w ± 1 = w4 =
= 4w2 ± 8w 4- 4 (mod g). В зависимости от выбора знака получим
4w2 = ( 7w 3 (mod q)
( 9w — 5
и, вычитая, придем к сравнениям
0={w + 3	(mod<7)-
Так что w4 = w ± 1 = — 4 (mod g), и, возводя в квадрат, получим
—1 = 16 (mod g), а значит, g | 17, что невозможно.
132	Глава IV. Теорема Софи Жермен
(v)	Возводя сравнение в квадрат, получим — 1 = w4 ± 2w2 4- 1
(mod q). Подставляя w4 = ±w2 ± 1 (mod q), во всех случаях придем
к сравнениям w2 = ±1 (mod q), что невозможно.
Случай 4. Пусть q = Юр 4-1.
Если р = ар (mod g), то, проведя аналогичные рассуждения,
получим, что Юр 4- 1 = q делит (105 4- 1)(105 — 1). Если q делит
Ю5 4- 1 = 100001 = 11 х 9091 (а число 9091 простое), то р = 909,
что невозможно. Если q делит Ю5 — 1 = 99 999 = З2 х 41 х 271, то
р = 4 или 27, что также невозможно.
Если первое условие не выполняется и w — первообразный ко-
рень десятой степени из 1 по модулю д, то найдутся такие показа-
тели г, j, 0 г j < 4, что u? = ±гтг ± 1 (mod q). Указанные выше
условия приводят к одному из следующих сравнений:
(i)	w-7 = ±2 (mod q) (j = 1,2,3,4);
(ii)	w2 = w ± 1 (mod q);
(iii)	w4 = w ± 1 (mod q).
Обсудим различные возможности.
(i)	Возведение в пятую степень приводит к тому, что q | 31 или
q \ 33 = 3x11, а это невозможно.
(ii)	Запишем сравнения
w4=w2±2w4-1 = w±1±2w4-1 = {	(mod g).
Второй случай невозможен. В первом случае, умножая на w и под-
ставляя — 1 = Зш2 4- 2w = Зш 4- 3 4- 2w (mod g), получим 5w = —4
(mod g). Умножая на предыдущее сравнение, имеем —5 = —12w —8
(mod g), так что 12w = —3 (mod g) и 4w = — 1 (mod g), а следова-
тельно, вычитая, получим w = — 3 (mod g) и, таким образом, g | 11,
что противоречит предположению.
(iii)	Умножив наги, получим —1 = w2±w (mod g), следователь-
но, w2 =	— 1 (mod g), а это сравнение рассмотрено в случае (ii).
Случай 5. Пусть g = 14р 4-1.
Если р = ар (mod g), то мы аналогичным образом получим, что
g делит 147 4-1 или 147 -1. Но 147 +1 = 105 413 505 = 3 х 5 х 7 027 567
(число 7 027 567 простое). Тогда р = 501969, что противоречит
предположению, так как это число кратно 3. Далее, 147 — 1 =
= 105413 503 = 13 х 8108 731 (это последнее число простое). То-
гда р = 579 195, чего быть не может.
IV. 1. Теорема Софи Жермен
133
Если первое условие не выполняется и w — первообразный ко-
рень четырнадцатой степени из 1 по модулю q, то существуют по-
казатели i / j, 0 г, j 13, такие, что = wl + 1 (mod q). Так
как w7 = — 1 (mod q), указанные выше условия приводят к одному
из следующих сравнений:
(i)	wJ = ±2 (mod q) {j — 1,2,..., 6);
(ii)	w2 = w ± 1 (mod
(iii)	w3 = ±w 4-1 (mod q).
Обсудим различные случаи.
(i)	Если -1 = ±27 (mod g), to q | 127 или 129 = 3 x 43, поэтому
p = 3, а это противоречит условию.
(ii)	Если w2 = w ± 1 (mod q), to
w4 = w2 ± 2w 4- 1 = w ± 1 ± 2w 4-1 =
3w + 2	(	.
_w (mod ?)•
Второй из этих случаев невозможен. В первом случае возведем
сравнение в квадрат:
-w = 9w2 4- 12w 4- 4 = 9w 4- 9 4- 12w 4- 4 (mod g),
следовательно, 22 w = -13 (mod q). Тогда 22w2 — 22 = -13 (mod q),
так что 22w2 = 9 (mod qj. Значит, — 13w = 9 (mod q], и потому
9w = — 4 (mod q}, —4w = 5 (mod g), 5w = 1 (mod q). Таким обра-
зом, 25 = —20w = -4 (mod g), а следовательно, q | 29, что невоз-
можно.
(iii)	Возводя сравнение w3 = ±w 4-1 (mod q) в куб, получим
—w2 = ±w3 4- 3w2 ± 3w 4-1
= ±w 4-14- 3w2 ± 3w 4- 1 = 3w2 ± 4w 4- 2 (mod q),
следовательно, 2w2 ± 2w 4-1 = 0 (mod g), так что 2(±w 4-1) ± 2w24-
4-w = 0 (mod q) и
f 2w2 4- 3w 4- 2 =0 (mod q),
[ — 2w2 — w 4- 2 =0 (mod g),
а значит,
{w 4-1 = 0 (mod g),
-3w 4-3=0 (mod g),
поэтому w = 4=1 (mod g), что невозможно. □
С помощью этого критерия Лежандр фактически доказал спра-
ведливость первого случая теоремы Ферма для каждого просто-
134	Глава IV. Теорема Софи Жермен
го показателя р < 197. Действительно, для каждого такого про-
стого числа р существует простое число q — 2кр -F 1, где 2к е
€ {2,4,8,10,14,16}. С другой стороны, число 38 х 197 -F 1 = 7487
простое, но 2к х 197 -F 1 не является простым, если 2к < 38, 6 /2/с.
Результаты Лежандра носят ограниченный характер из-за зна-
чительного роста величин рассматриваемых чисел. Например, про-
верка того, не будет ли р — 197 р-й степенью по модулю q — 7487,
приводит к исследованию вопроса, будет ли 7487 делить 3819 ± 1.
Мейе в 1897 г. обобщил результат Лежандра, подняв границу до
р = 211.
Мириманов использовал метод, основанный на числах Бернул-
ли, и в 1905 г. распространил результаты до р = 257.
В 1908 г. Диксон опубликовал две статьи, в которых он развил
идеи Лежандра и, проводя более тщательный анализ, включающий
в себя сравнения, показал, что первый случай теоремы Ферма спра-
ведлив для каждого простого показателя р < 7000 (за исключени-
ем р = 6857, хлопоты по проверке которого он на себя не взял).
См. также комментарии Мейе (1908).
Большего успеха в этом направлении добились Краснер (1940),
Дене (1951) и Ривуар (1968).
Для простых чисел р, таких, что число 6р -F 1 или 12р -F 1 также
простое, этот метод доказательства не применим и не приводит к
какому-либо заключению. Заметим, что в 1974 г. Ганди объявил без
доказательства, что если числа р и 6р -F 1 — простые, то первый
случай имеет место для показателя р. Поскольку доказательство не
было опубликовано, есть основания сомневаться в достоверности
этого утверждения (см. работу Грэнвилля и Пауэлла (1988)).
Вот интересный, но очень трудный вопрос: существует ли беско-
нечно много простых чисел р, таких, что число 2р+1 (или 4р+1, или
8р -+- 1 и т. д.) также является простым. Эта проблема обсуждается
в приложении к настоящей главе.
Отметим также следующий результат Вандивера (1926).
(1F) Пусть р uq = 2кр+1 — нечетные простые числа (где к 1).
Если 2к = 2vph, где up не делит и, а число 2 не является
р-й степенью по модулю q, то выполнено условие (2), приведенное
выше.
Доказательство. Покажем справедливость условия (2'). Если
(2k)2k = 1 (mod g), или, что эквивалентно, р2к = 1 (mod g), то
22kv — 22kvp2kh = (2vph)2k = (2k)2k = 1 (mod g). Так как p не
IV. 1. Теорема Софи Жермен
135
делит v, существуют такие целые числа а и 6, что av = 14- bp. Тогда
1 н 22kva = 2(1+6p)2fc = 22fc(22*P)6 = 22fc(29-1)6 = 22k (mod q).
Если g — первообразный корень по модулю q и 2 = gs (mod g), то
1 = 22fc = g2ks (mod q). Таким образом, q — 1 = 2kp делит 2ks,
а следовательно, s = ps' и 2 = (gs )p (mod q\ что противоречит
предположению. □
Используя утверждение (1В), Вандивер в 1926г. получил сле-
дующий результат, который, впрочем, уже был доказан Вендтом
в 1894 г. с использованием его формы теоремы Софи Жермен.
(1G) Если нечетные простые числа р и q = 2кр -F 1 таковы, что
2к = 2vph, 0, где v не делится нар, и сравнение Хр + YP + Zp =
= 0 (mod q) имеет лишь тривиальные решения, то первый случай
теоремы Ферма справедлив для показателя р.
Доказательство. В силу результатов (1В) и (1F) достаточно по-
казать, что 2 не является р-й степенью по модулю q. Если 2 = ар
(mod g), то ар 4- (—1)р 4- (—1)р = 2 4- (-1) 4- (—1) = 0 (mod g), что
противоречит предположению. □
Теорема Софи Жермен, ее следствия и разновидности были по-
лучены заново рядом авторов. В 1953 г. Тэбо доказал следующее
утверждение.
(1Н) Если целое число т 2 таково, что 2т 4- 1 — простое
число, и существуют попарно взаимно простые ненулевые целые
числа х, у, z, такие, что хт 4- ут = zm, то 2т 4- 1 делит xyz.
Доказательство. Если 2m 4- 1 не делит х, то по малой теоре-
ме Ферма х2т = 1 (mod 2m 4-1), откуда следует, что хт = ±1
(mod 2m 4-1).
Аналогичным образом,
ут = ±1 (mod 2m 4- 1),
= ±1 (mod 2m 4-1),
следовательно, 0 — xm + ym - zm = (±1) 4-(±1) - (±1) (mod 2m4-1),
что невозможно. □
Этот же самый результат (даже с еще более сильным предпо-
ложением, что т — простое число) был заново доказан Стоуном в
1963г. и Ганди в 1966г. в том же самом журнале3!
3Amer. Math. Monthly. — Прим, перев.
136	Глава IV. Теорема Софи Жермен
В 1965 г. Ганди доказал такой факт, подобный результату Тэбо.
(II) Если целое число т 2 таково, что 4m 4- 1 — простое
число, ux,y,z — ненулевые попарно взаимно простые целые числа,
такие, что хт +ут = zm, то 4m 4-1 делит xyz.
Доказательство. Если т — 3, то утверждение тривиально (см.
разд. 1.4).
Пусть т > 3. Предположим, что 4m4-1 не делит xyz. Поскольку
хт 4- ут = zm, мы можем записать х2тп 4- у2т 4- 2хтут = z2m.
Так как 4m 4- 1 — простое число, не делящее х, по малой теореме
Ферма х*т = 1 (mod 4m 4- 1), а значит, х2тп = ±1 (mod 4m 4-1).
Аналогичным образом,
p2w = _|_| (mod 4m 4- 1)
и
z2rn — _j_| (mod 4m 4- 1).
Следовательно, ±l±14-2xmpm = ±1 (mod 4m4-1), так что 2xTnyTn =
= ±1 или ±3 (mod 4m4-1) и ±4 = 4х2тпу2тп = 1 или 9 (mod 4m4-1).
Из этого следует, что 4m 4-1 = 3,5 или 13, а значит, т = 3, что
противоречит исходному предположению. □
Этот же самый результат (с еще более сильным предположени-
ем, что т — простое число) был доказан заново Ганди в 1966 и
1970 гг., а также Кристиллем в 1967 г.
Перисастри (1969) доказал следующие утверждения.
(1J) Если простое число р >51 таково, что число 8р4-1 также
является простым, и х, у, z — ненулевые попарно взаимно простые
целые числа, такие, что хр 4- ур = zp, то 8р4-1 делит xyz.
(1К) Если целое число m 3 таково, что 3m 4-1 — простое чис-
ло, и х, у, z — ненулевые попарно взаимно простые числа, такие,
что хт 4- ут = zm, то 3m 4-1 делит xyz.
Кришнасастри и Перисастри в 1965 г. доказали следующий ре-
зультат.
(1L) Если р — нечетное простое число и целые числа x,y,z та-
ковы, что хр 4- ур = zp, причем р не делит xz, то существует
целое число k 1, такое, что 1 4- кр делит z.
Объединяя результат (1С) с теоремой Софи Жермен, получим
такое утверждение (см. Стоун (1963), Перисастри (1968)).
IV. 1. Теорема Софи Жермен
137
(1М) Пусть р и 2р -F 1 — нечетные простые числа. Если нену-
левые попарно взаимно простые целые числа x,y,z таковы, что
хр + ур + zp = 0, то р2 делит одно (и только одно) из целых чисел
x,y,z.
Доказательство. В силу теоремы Софи Жермен можно пола-
гать, что р делит, например, z. Из утверждения (1С) следует, что
р2 делит z. □
В 1923 и 1925 гг. Поме получил несколько достаточных усло-
вий для первого случая теоремы Ферма для простого показателя р,
используя при этом подобные методы.
(1N) Пусть р — нечетное простое число. Предположим, что
имеет место какое-либо одно из следующих условий:
(а)	р = 1 (mod 4) и 2р 4- 1 делит 2Р + 1;
(Ь)	р = 3 (mod 4) и 2р + 1 делит 2Р - 1;
(с)	4р + 1 делит 22р 4-1;
(d)	4р 4-1 = 5 (mod 12) и 4р 4-1 делит З3р 4-1;
(е)	8р 4-1 делит 24р — 1;
(f)	Юр 4-1 делит 55р — 1.
Тогда для показателя р справедлив первый случай теоремы Ферма.
Все приведенные выше результаты не являются достаточными
для того, чтобы утверждать существование бесконечного числа про-
стых показателей р, для которых справедлив первый случай теоре-
мы Ферма. Лишь в 1985 г. этот факт был впервые доказан Адлема-
ном и Хиз-Брауном, а также Фуври с использованием аналитиче-
ских методов.
Ранее, в 1897 г., изучая группу классов кругового поля, Мейе
показал, что для каждого нечетного простого числа р существует
число е (зависящее от р), такое, что первый случай теоремы Фер-
ма справедлив для показателя ре. В частности, это влечет за собой
существование бесконечного множества попарно взаимно простых
показателей, для которых первый случай имеет место. Это послед-
нее утверждение было доказано заново Капферером в 1964 г. Его
Доказательство не элементарно, так как оно использует теоремы
Фуртвенглера, обобщенные Морией (использующие теорию полей
классов). В 1978 г. Пауэлл независимо нашел следующее очень про-
стое доказательство.
138
Глава IV. Теорема Софи Жермен
(Ю)
(1) Пусть р — произвольное нечетное простое число, п = р*
х(р — 1)/2 — 2ит, где и О, число т нечетно и ненуле
вые целые числа x,y,z таковы, что хп + уп + zn — 0. Тогда
Н0Д(т, xyz} 1.
(2) Существует бесконечное множество попарно взаимно про-
стых показателей, для которых справедлив первый случай
теоремы Ферма.
Доказательство. (1) Если р = 3, то п = 3 и условие не вы-
полняется. Пусть р > 3. Предположим, что Н0Д(т, xyz) = 1. То-
гда р X xyz, так что	= ±1 (mod р) и хп = ±1 (modp).
Аналогично, уп = ±1 (mod р), zn = ±1 (mod р), а следовательно,
хп -F уп -F zn 0 (mod р) и тем более хп 4- уп -F zn 0.
(2) Предположим, что п\,...,	— попарно взаимно простые
показатели, для которых справедлив первый случай теоремы Фер-
ма. Рассмотрим арифметическую прогрессию { — 1 4- &П\П2 ... n^t |
t = 0,1,2,...}. По теореме Дирихле о простых числах в арифме-
тических прогрессиях существует нечетное простое число р, такое,
что р = — 1 (mod 4п1П2 .. • njt). Пусть пь+i = р(р — 1)/2, так что
нечетно. Поскольку НОД (р(р - 1)/2, (р 4- 1)/2) = 1, мы полу-
чаем, что НОД (njb+i, П1... njt) = 1. В силу утверждения (1) первый
случай справедлив для показателя пь+\, а этого достаточно, чтобы
завершить доказательство. □
Список литературы
1823 Legendre, А.М., Recherches sur quelques objets d’analyse in-
determinee, et particulierement sur le theoreme de Fermat, Mem.
Acad. Roy. Sci. Institut France, 6 (1823), 1-60; reprinted
as “Second Supplement” in 1825, to a printing of Essai sur la
Theorie des Nombres (2е edition), Courcier, Paris; reprinted in
Sphinx-Oedipe, 4 (1909), 97-128.
1879 Germain, S., Oeuvres Philosophiques (editor H. Stupuy), pp.
298-302 and 363-364, P. Ritti, Paris, 1879.
1894 Wendt, E., Arithmetische Studien iiber den letzten Fermatschen
Satz, welcher aussagt dafi die Gleichung an = bn +cn furn > 2 in
ganzen Zahlen nicht auflosbar ist, J. Reine Angew. Math., 113
(1894), 335-346.
1897 Maillet, E., Sur I’equation indeterminee axx + byx = czx, Assoc.
Franchise Avanc. Sci., St. Etienne, 26 (1897), 156-168.
IV. 1. Теорема Софи Жермен
139
1905
1908
1908
1908
1910
1923
1925
1926
1935
1940
1951
1953
1963
1964
1965
1965
1966
1966
Mirimanoff, D., L’equation indeterminee xl + у1 + zl = 0 et le
criterium de Kummer, J. Reine Angew. Math., 128 (1905), 45-
68.
Dickson, L.E., On the last theorem of Fermat, Messenger Math.,
38 (1908), 14-32.
Dickson, L.E., On the last theorem of Fermat (second paper),
Quart. J. Pure Appl. Math., 40 (1908), 27-45.
Maillet, E., Question 612 de Worms de Romilly, L’Interm. Math.,
15 (1908), 247-248.
Bachmann, P., Niedere Zahlentheorie, Teubner, Leipzig, 1910;
reprinted by Chelsea, New York, 1966.
Pomey, L., Sur le dernier theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci.
Paris, 177 (1923), 1187-1190.
Pomey, L., Sur le dernier theoreme de Fermat, J. Math. Pures
Appl., (9), 4 (1925), 1-22.
Vandiver, H.S., Note on trinomial congruences and the first case
of Fermat’s last theorem, Ann. of Math., 27 (1926), 54-56.
Bang, A.S., От tai af Formen am + bm — cm, Mat. Tidsskrift, В
(1935), 49-59.
Krasner, M., A propos du critere de Sophie Germain-Furtwdngler
pour le premier cas du theoreme de Fermat, Mathematica (Cluj),
16 (1940), 109-114.
Denes, P., An extension of Legendre’s criterion in connection with
the first case of Fermat’s last theorem, Publ. Math. Debrecen, 2
(1951), 115-120.
Thebault, V., A note on number theory, Amer. Math. Monthly,
60 (1953), 322-323.
Stone, D.E., On Fermat’s last theorem, Amer. Math. Monthly,
70 (1963), 976-977.
Kapferer, H., Verifizierung des symmetrischen Teils der Fer-
matschen Vermutung fur unendlich viele paarweise teilerfremde
Exponenten E, J. Reine Angew. Math., 214/5 (1964), 360-372.
Gandhi, J.M., A note on Fermat’s last theorem, Math. Notae, 20
(1965), 107-108.
Krishnasastri, M.S.R. and Perisastri, M., On some diophantine
equations, Math. Student, 33 (1965), 73-76.
Grosswald, E., Topics from the Theory of Numbers, Macmillan,
New York, 1966.
Gandhi, J.M., A note on Fermat’s last theorem, Amer. Math.
Monthly, 73 (1966), 1106-1107.
140
Глава IV. Теорема Софи Жермен
1967 Christilles, W.E., A note concerning Fermat’s conjecture, Amer.
Math. Monthly, 74 (1967), 292-294.
1968 Perisastri, M., A note on Fermat’s last theorem, Amer. Math.
Monthly, 75 (1968), 170.
1968 Rivoire, P., Dernier Theoreme de Fermat et Groupe de Classes
dans Certains Corps Quadratiques Imaginaires, These, Uni versite
Clermont-Ferrand, 1968, 59 pp.; reprinted in Ann. Sci. Univ.
Clermont-Ferrand II, 68 (1979), 1-35.
1969 Perisastri, M., On Fermat’s last theorem, Amer. Math. Monthly,
76 (1969), 671-675.
1970 Gandhi, J.M., On Fermat’s last theorem, An. §tiinV Univ. “Al.
I. Cuza” Ia§i, Segt. I (N.S), 16 (1970), 241-248.
1974 Gandhi, J.M., On Fermat’s last theorem, Notices Amer. Math.
Soc., 21 (1974), A-53.
1978 Powell, B., Proof of a special case of Fermat’s last theorem, Amer.
Math. Monthly, 85 (1978), 750-751.
1985 Adleman, L.M. and Heath-Brown, D.R., The first case of Fer-
mat’s last theorem, Invent. Math., 79 (1985), 409-416.
1985 Fouvry, E., Theoreme de Brun-Titchmarsh. Application au theo-
reme de Fermat, Invent. Math., 79 (1985), 383-407.
1988 Granville, A. and Powell, B., On Sophie Germain’s type criteria
for Fermat’s last theorem, Acta Arith., 50 (1988), 265-277.
IV.2. Теорема Вендта
В 1894 г. Вендт указал детерминантный критерий существования
нетривиального решения сравнения Ферма
Хр + Ур + 7р = 0 (mod g),	(2.1)
где p,q — различные нечетные простые числа.
Сначала исключим из нашего обсуждения следующий триви-
альный случай (он также справедлив без предположения простоты
показателя в сравнении (2.1)).
(2А) Если простое число q нечетно и натуральное число п та-
ково, что НОД(п, q — 1) = 1, то существуют целые числа x,y,z,
не кратные q, такие, что хп + уп + zn (mod g).
Доказательство. По предположению НОД (n, q — 1) = 1, а значит,
существуют такие целые числа а и Ъ, что ап + b(q — 1) = 1. Пусть
хо,Уо,2о ~ целые числа, не кратные q, такие, что xq + Уо + zq = 0
IV.2. Теорема Вендта
141
(mod q). Тогда
= xq (mod g),
Уоп = У0 (mod 9),
zgn = z0 (mod q),
следовательно, (a:g)n + ($})” + (zg)" = 0 (mod q). □
В частности, если n = p — простое число, не делящее q — 1, то
сравнение (2.1) имеет нетривиальное решение.
Критерий Вендта выражается в терминах циркулянты биноми-
альных коэффициентов. В общем случае, пусть п 1, и пусть
= cos 2т/п 4- sin 2т/п (для i — 0,1,..., п - 1) — все п кор-
ней степени п из 1. Заметим, что £0 = 1- Циркулянтой п-набора
(o0,ai,...,an_i) комплексных чисел а» называется определитель
матрицы
/ о0
ап— 1
О1 • • • ап—1
ПО • • • Яп-2
(2.2)
\	^2	Од /
Обозначим его через Circ(ao, oi,..., on_i). Циркулянта выража-
ется через корни степени п из 1, а также результант двух много-
членов (см. разд. II.4). Споттисвуд (1853), а также Штерн (1871) и
Муир (1920) доказали такой факт.
Лемма 2.1. Пусть ао, oi,..., on_i Е К, C7(JV) — а$ 4- сцX 4" • • • 4"
4-an-iXn~1 и £0 = 1,£i,... ,£n-i — корни степени п из 1. Цирку-
лянта набора ао, oi,..., on_i равна
п—1
Circ(a0,ai,-.-,an-i) = П = Res(G(X),Xn - 1)
i=0
(где Res обозначает результант).
Доказательство. Пусть
/0 10 ... 0\
О 0 1 ... О
О 0 0 ... 1
\ 1 0 0 ... О /
142
Глава IV. Теорема Софи Жермен
(матрица пхп), так что матрицы /, А, А2,..., Ап 1 различны, при-
чем Ап — I. Как легко видеть,
С — а01 4- агА 4- (22А2 4- • • • 4~ ап—1Ап
Характеристический многочлен матрицы А есть det (ХА — /) —
= ±(ХП — 1). Так как он имеет различные корни £0 — 1, ,..., fn-i,
матрица А диагонализируема, т. е. существует обратимая матри-
ца U (с комплексными элементами), такая, что
/Со 0 ... О \
\ 0 0 ...	/
Следовательно,
/	G(Co)	0	...	О	\
.	о	G(6)	...	О
иси-1 =	.	,
\	о	О	...
где G(X) = а0 4- агХ 4- ... 4- йп-Д”"1. Значит, Circ(a0,си,...
...,an_i) = det(C) = det(£7C£7-1) — Г1?=о &(&)• Из утвержде-
ния (4В) гл. II также следует, что Circ(ao,flij • • •,	= Res(G(X),
Хп-1). □
Следующий результат Вендта связан с циркулянтой биномиаль-
ных коэффициентов. Так, для всех натуральных чисел п положим
определитель Вендта равным
№'" = Cire(l,Q),Q.......(Д)).	(2.3)
Если G(X) = 1 + (”)Х + (”)Х2 + ... +	= (1 + Х)п - Хп,
то согласно лемме мы имеем
ж, = Res(G(X), Хп - 1) = П 1(1 + СО” - 1] •
1=0
Теперь приведем критерий Вендта (1о94) (см. также Мэтьюс (1895).
Банг (1935) и пояснительное изложение, данное Ривуаром (1968)).
(2В) Если простое числор нечетно и число q = 2Агр4-1 (где к 1)
также нечетно, то целые числа х, у, z, не кратные q и такие, что
IV.2. Теорема Вендта
143
хр -F ур 4- Zp = 0 (mod q), существуют в точности тогда, когда q
делит VYzk-
Доказательство. В силу утверждения (1А) сравнение Ферма
Хр + Yp + Zp = 0 (mod q) имеет нетривиальное решение тогда и
только тогда, когда система сравнений
Х2к = 1 (mod q),
(X 4- l)2fc = 1 (mod q)
имеет нетривиальное решение, или, что равносильно, система срав-
нений
Х2к — 1 = 0 (mod q),
(X 4-1)2* - Х2к = 0 (mod q)
имеет нетривиальное решение, что будет выполнено в точности то-
гда, когда результант многочленов Х2к — 1 и
G(X) = (X+l)2*-*2* = 1+(21fc)x+(22fc)x2+ - +(2fc2- j)*2*-1
сравним с 0 по модулю q. По лемме 2.1 это означает, что = О
(mod g). □
Теперь обратимся к результатам, связанным с вычислением
определителя Вендта
Wn= П[(1 + ^)п-1].	(2.4)
j=0
Следующее утверждение было предъявлено Вендтом (1894) без до-
казательства и впоследствии доказано Мэтьюсом (1895), Бангом
(1935), Э. Лемером (1935) и Фреймом (1980).
(2С) Равенство Wn = 0 справедливо тогда и только тогда, когда
п делится на 6.
Доказательство. Предположим, что п кратно шести, и пусть
£ —	= cos27r/n 4- \/^lsin27r/n.
Положим I = n/З, так что ш — первообразный кубический
корень из 1. Тогда 1 4- ы 4- ш2 =0, следовательно, 14-^ — “С2/ и
(1 4- £*)п — 1. Таким образом, Wn = 0.
Обратно, если РГП = 0, то найдется такой индекс j, что
(1 + G-r =1,
144	Глава IV. Теорема Софи Жермен
а значит, и 14-fj — корни степени п из 1, и, поскольку треугольник
с вершинами в точках 0, 1, 1 -4-
является равносторонним, 0 = 2тг/б (или 0 = —2тг/6) и 1 +	-
первообразный корень шестой степени из 1. Но (1 4- £j)n — 1? так
что б делит п. □
Как следствие получаем такой результат.
(2D) Если р и (утр 4- 1 = q — простые числа, то сравнение
Хр 4- Yp 4- Zp = 0 (mod q) имеет нетривиальное решение.
Доказательство. Утверждение следует непосредственно из ре-
зультатов (2В) и (2С). □
Если п делится на б, то, ввиду результата (2С), выражение для
определителя Вендта обычно записывают в несколько измененном
виде:
п-1
Wn = П G^>’
i=0
где
G(x) - х! + х+Т 	(2'5)
В 1935 г. Э.Лемер сформулировал без доказательства следую-
щее утверждение.
(2Е) Если d делит п, то Wd делит Wn.
Доказательство. Можно полагать, что Wd 0, т. е. что б / d.
Заметим, что, поскольку d | п, каждый корень из 1 степени d од-
новременно является и корнем из 1 степени п. Так как Wd 0 0, мы
получаем
П К1+5.)--ц.
^=1 v £”=1,^1
IV.2. Теорема Вендта
145
Если п — de, то
= (1 + е>)</<е-1) + • • •+ (1 + V>d + L
Таким образом, отношение Wn/Wd является целым алгебраическим
числом, а так как оно еще и рационально, это число есть рациональ-
ное целое. □
Следующее свойство было также указано Э. Лемером без дока-
зательства. Последнее появилось лишь в статье Фрейма (1980) (но
не такое, как приведенное ниже). Более слабое утверждение, что
2П — 1 делит Wn, было доказано Бангом (1935).
(2F) Еслип 1, то Wn = (-l)n~1(2n - 1)гх2, где и — целое число.
Доказательство. Запишем выражение для определителя Вендта
Wn =
j=0
где £ = cos27r/n + v^*-Tsin27r/n. Значит, в состав произведения для
Wn входит множитель вида 2П — 1 (при j = 0), а если число п четно,
то и множитель —1 (при j = п/2). Итак,
Wn = (-l)n-1(2n-l) [J [(1 + ^)«-1].
j#0,n/2
Положим и — По<у<п/2К1 + fJ)n ~ !]• Заметим, что для каждого
j 0 0, п/2 выполнены равенства
(1 + Г7)п _ ! =	+	_ 1 = (1 + e)n _ 1,
поэтому и Е R, Wn — (—l)n“1(2n — l)u2 и остается лишь по-
казать, что и Е Z. Пусть а — произвольный автоморфизм поля
Q(£), так что сг(£) = , где 1 I < п и НОД(/,п) = 1. Значит,
а [(1 4- fJ)n — 1] = (1 4-^)n — 1, где 0 < к < п/2 и jl = ±к (mod п),
поскольку (1 4- £~к)п — 1 — (1 4- f*)n - 1. Если 0 < J, / < п/2,
то выберем числа к, к1 такими, что 0 < к, к1 < п/2 и jl = ±к
(mod n), j'l = ±к' (mod п). Ясно, что если j 0 /, то к 0 к', по-
скольку если jl = ±j'l (mod п), то j = ±j' (mod n), откуда следует
равенство j = j1. Итак, образы различных делителей числа и при
отображении а не совпадают, а значит, ст (и) — и, поэтому и Е Q и
и неподвижно при автоморфизмах поля Q(£). Но число и является
также и алгебраическим целым, а следовательно, и Е Z. □
10-77
146	Глава IV. Теорема Софи Жермен
Для случая четного номера п Фрейм (1980) получил такой ре-
зультат.
(2G) Если четное число п не кратно 3, то
Wn = —3((2П - 1)/3)3и6,
где и — целое число. В частности, если число р простое, р = 5
(mod 6), то Wp-i = -3((2Р~1 — 1)/3)3и6, где и — целое число.
Доказательство. Положим п = 2т. Поскольку 3 /п, число р =
= £3 также является первообразным корнем степени п из 1. Так как
рт = —1, по формуле (2.4) получим4 *
2m —1 2m —1
wn= п п (i+pm+*+Pm+*).
j=0 k—0
Если j = m, то Г&\2 + pm+k) = 22m — 1, и аналогично, если
к = m, то rijS)"1 + pm4j) = 22m — 1, а при j = k имеем
“ 2/P) = 1 — 22тп. He принимая в расчет повторение мно-
жителей с одинаковыми слагаемыми и замечая, что при j = к =
= т соответствующий множитель равен 3, получим, что Wn =
= —3((2n - l)/3)3v, где
v = ГТ1+pm+j+рт+ку>
(символ ЭД' обозначает произведение по всем парам (j, к), для ко-
торых 0 j, к 2т -1, j ^т, к / т и j / к).
Среднее геометрическое чисел 1, рт+к равно £>+к (по-
скольку р = £3). Разделив каждый множитель рассматриваемого
произведения на среднее геометрическое его слагаемых, получим
v — JJ (f J	* 4- (™+2к~зу
Первое произведение равно
П П = П ?(2га~2) п
j^m k^m.k^j	j&n	k^m,k^j
2m —1
= П (_i)e(2—3) n e
j^m	j=0
4 Чтобы доказать следующую формулу, достаточно раскрыть внутреннее
произведение, воспользоваться тем, что j постоянно, и применить теорему Ви-
ета. — Прим, перев.
IV.2. Теорема Вендта
147
—	£j(2m-3)
j^rn
2m-l
— (_ ]j2m-3 Ц £j(2m-3)
J=O
_ __^(2m-3)(2m-l)2m/2
—	(_l)(2m-3)(2m-l) + l _ ।
Второе произведение равно П	+ Ср), гДе П" обозначает
произведение по всем тройкам (е,/,д), для которых 0	$
2т — 1, причем числа е, /, д различны ne + f + g = 0 (mod 2т).
В самом деле, поскольку j fc, j m, fc m и 3 /т, выбрав числа
е, /, д такими, что 0 е, /, д 2т — 1 и
е = — j — к (mod 2m),
f = т + 2 j — к (mod 2m),
g = m + 2k — j (mod 2m),
получим, что e, /, g различны ne + f + g = 0 (mod 2m).
Обратно, для каждой рассматриваемой тройки (е,/, д) опреде-
лим числа j, к так, что 0 j, к 2m — 1 и
j = f — е — т (mod 2m),
к = д — е — т (mod 2m),
откуда следует, что j / т, к ^ти j k.
Положим и = П"(£е + +£9}, где П" обозначает произведение
по всем тройкам (е,/,<;), для которых O^e<f<g^ 2т — 1 и
е 4- / 4- д = 0 (mod 2m). Покажем, что число и неподвижно отно-
сительно любого автоморфизма а поля Q(f). Если а(£) = £1, где
НОД (Z,n) = 1, 1 I < п, то а(£е 4-	4- £9) равно 4-	4- £al
и является делителем числа и. Если (е',/',<;')	(e,f,g), то чис-
ла el, fl, gl не могут быть сравнимы по модулю 2m с e'l, fl, g'l
соответственно, а также с этими числами в любом порядке. Итак,
различные делители числа и при отображении а не склеиваются, а
значит, а (и) = и, т. е. целое алгебраическое число и является раци-
ональным, поэтому и 6 Z. Но v = и6, поскольку каждый делитель
С 4-	4- числа v равен делителю 4-	4- числа и, где тройка
(е',/',^') получается перестановкой элементов тройки (е,/, д).
Следовательно, Wn = —3((2П — 1)/3)3и6. □
148	Глава IV. Теорема Софи Жермен
Для доказательства следующего результата потребуется такая
лемма.
ЛЕММА 2.2. Пусть число п таково, что 2п 4- 1 — р — простое
число, £ = cos27r/n 4-	1 sin27r/n и Р — любой примерный идеал
кругового поля Q(f), который делит р, т. е. Р О Z = TLp. Тогда
существует такой первообразный корень s по модулю р, что £ =
= s2 (mod Р).
Доказательство. Действительно, пусть g — произвольный перво-
образный корень по модулю р, т. е. g имеет порядок р — 1 = 2п по
модулю р, так что д* имеет порядок п по модулю р и множество
элементов порядка п по модулю р есть {д2^ (mod р) | 1 j < п,
НОДС/,n) = 1}. Если 1 < j, к < п, Н0Д(.7,п) = НОД(/с,п) = 1
и j' к, то g2i д2к (mod р). Согласно утверждению (3F) гл. II
для всех таких показателей j справедливо сравнение Фп(<?2,7) = О
(mod р). С другой стороны, ФП(О — 0, так что Фп(О = 0 (mod Р)
для всех j, 1 j < п, НОД(}, п) — 1. Следовательно, существует
такой показатель j, что £ = g2j (mod Р), и нам остается лишь вы-
брать 5 таким, что 5 = ±gi (mod р), 1 s < р. □
Фрейм доказал также следующее утверждение (а Банг в 1935 г.
заметил, что р | Wn).
(2Н) Если 2п 4-1 = р — простое число, то р^п делит Wn.
Доказательство. Сначала положим £ = cos27r/n 4- sin27r/n.
Выберем числа u,v, 1 и, v < п, НОД(и,п) = НОД(^,п) = 1,
и для каждого индекса j, 1 j < п, такого, что НОД(}, n) = 1,
определим fj — 1 — £]и —	.
Положим dUfV = ПнОД (j n)=i fj' Покажем, что dUyV Е Z. В са-
мом деле, пусть о — произвольный автоморфизм поля Q(£), так что
<т(£) = где НОД (l,n) = 1. Тогда сг(1 -	= 1 - £ки -
где l$k<nnk=jl (mod п), т. е. = fk- Поскольку таким
образом можно получить каждый делитель Д числа dUyV, отобра-
жение ст задает перестановку на множестве делителей fj чисел dUyV.
Следовательно,
tf(dn,v) —	fj — du,v
НОД (j,n)=i	НОД (j,n)=i
Тем самым показано, что dUyV 6 Q, а так как dUyV — алгебраическое
целое число, dUyV Е Z. Если Р — произвольный примарный идеал
IV.2. Теорема Вендта
149
поля Q(C), для которого Р П Z — Zp, и s — такой первообразный
корень по модулю р, что $ = s2 (mod Р), то
dUtV = П (1 - s2ju - s2ju) (mod Р),
Н0Д(>,п)=1
следовательно,
dUyV = Ц (1 - s2ju - s2jv) (modp).
НОД (j,n)=i
Для каждого числа h, 2 h р—2, такого, что h2 —1 (mod р)
при р = 1 (mod 4), определим числа а^,Ь^,0 ah,bh $ р — 1, из
системы сравнений
f ah = 2h/(h2 4-1) (mod p),
| bh = -(h2 - l)/(h2 + 1) (modp).
Тогда аь 0,1 (mod p) и bh 0,1 (mod p). Следовательно, суще-
ствуют такие числа и = Uh, v = Vh, что 1 u, v $p - 1 и
J ah = su (mod p),
[ bh = sv (mod p).
Справедливо сравнение а%+Ь2к = 1 (mod p), следовательно, 1 — s2u —
- s2v = 0 (mod p), а значит, p делит du,v.
Если числа h, h!, 2 h, h1 p - 2, таковы, что h2 —1
(modp), h'2	— 1 (modp) при p = 1 (mod 4), причем hf = ±h
или ±h (modp), где hh = 1 (modp), то, как легко проверить,
ah> = ±ah (mod p) или a^ = ±bh (mod p), в то время как b^ = ±bh
(mod p) или b^ = ±ah (mod p) соответственно. Тогда, используя
очевидные обозначения, мы можем записать 1 — s2u — s2v = 1 — s2u —
— s2v . Обратно, если числа h, h! таковы, что 1 - s2u — s2v = 1 — s2u —
— s2v , то или ah = (mod p), bh =. ±bh/ (mod p), или ah = ±bh'
(mod p), bh = ±ah> (mod p). Во всех возможных случаях это при-
водит к сравнению h‘ = ±h или ±h (mod р).
Если р 1 (mod 4), то количество возможных значений числа h
равно р — 3 = 2п - 2, а значит, существует [(2п - 2)/4] = [(п - 1)/2]
делителей 1 — s2u — s2v, кратных р.
Если р = 1 (mod 4), то количество возможных значений числа h
равно р — 5 = 2п — 4, а значит, существует [(2п - 4)/4] = [(п — 1)/2]
(потому что п четно) делителей 1 — s2u — s2v, кратных р.
Итак, во всех случаях рК”-1)/2] делит v ^,v- Так как Wn =
= v dUjVt, где t 6 Z (поскольку t — алгебраическое целое число
и t 6 Q), pKn-1)/2J делит Wn. □
150	Глава IV. Теорема Софи Жермен
Например, 4711 делит РИ23 и 10124 делит И50.
Следующий результат связан с делимостью на числа Люка. Для
удобства читателя напомним ряд необходимых фактов, касающихся
чисел Фибоначчи и Люка (см. также разд. V.3).
Числа Фибоначчи Fn (п 0) определяются следующим образом:
Fo-0, Fi=l,
а если п 2, то
Fn — Fn-i 4- Fn_2.
Аналогичным образом, числа Люка Ln (п 0) определяются так:
Lq — 2, L\ — 1,
а если п 2, то
Ln — ^п-1 “Ь ^п-2-
Пусть а,/3 — корни многочлена X2 — X — 1, т.е.
а = 1+У^ = 1-6180...,
2
0 = 1 ~2^ = -0.6180...
И
а 4- /3 — 1, а - /3 = у/б, а(3 = —1.
Как известно, а называется золотым числом (или золотым сече-
нием).
Следующая лемма принадлежит Бине (1843).
Лемма 2.3. Для всех п 0 выполнены равенства
ап - вп
Fn =------Ln = an + /3n.
а- p
Доказательство. Поскольку а2 = а 4-1, (З2 = /34-1, мы получаем,
что ап = ап~1 4- ап~2, а также /Зп = /Зп-1 4- /Зп~2 (при п 2).
Положим Тп = (ап — (Зп)!(а — /3). Тогда То = 0,	= 1 и
(при п 2). Таким образом, последовательность чисел {Тп | п 0}
совпадает с последовательностью Фибоначчи. Аналогично положим
Un = ап 4- /Зп, тогда Uo = 2,	= 1 и Un-X 4- Fn_2 =
4-	4-Qn“2 4-^n“2 = ап + /Зп = Un (при п 2). Это означает, что
IV.2. Теорема Вендта
151
последовательность {Un | п 0} совпадает с последовательностью
чисел Люка. □
Дальнейшие результаты, касающиеся чисел Фибоначчи и Люка,
можно найти, например, в книгах Воробьева (1961), Хоггатта (1969)
или Рибенбойма (1995).
Фрейм доказал следующее утверждение.
(21) Если число п нечетно, то L\ делит Wn.
Доказательство. В силу утверждения (2С) можно считать, что
3 /п. Используя предыдущую лемму, получаем
п —1	п—1
П (1 - е - = - П (1 - е«)(1 - en
j=0	j=0
= _(i
= —1 + (а" +/3") — ( —1)”
= Ln,
поскольку п нечетно. Аналогично П*=1(1 “ £2к ~	~ Ln- Теперь
заметим, что если 1 $ j, к $ п — 1, то пары (j mod n, 2j mod n) и
(2k mod n, к mod n) различны. В самом деле, в противном случае
выполнялись бы сравнения j = 2к (mod п) и 2j = k (mod п), а
следовательно, и сравнения 3j = Зк (mod п) и j = — к (mod п).
Таким образом, мы заключаем, что j = к и j = п — к, так что число
п = 2k четно, а это противоречит предположению.
Тем самым доказано, что Wn = L„v, где v Е Q, причем v —
алгебраическое целое число, а значит, v Е Z. □
К примеру, квадраты чисел Люка
L47 = 6643 838 879
и
Ь5з = 119 218 851371
(которые, как известно, являются простыми) делят W47 и W53 со-
ответственно.
Улучшая результат Любельского (1935), Э. Лемер независимо от
Банга (1935) в том же 1935 г. доказал следующее свойство опреде-
лителя Вендта.
(2J) Если р — нечетное простое число, то рР 2(2Р 1 — 1)/р де-
лит Wp-i.
152	Глава IV. Теорема Софи Жермен
Доказательство. Рассмотрим матрицу С, определитель которой
равен Wp-i'.
( 1 /"р_л	(Р~1У\ \
\ 1 7	\ 2 J ’ \p-2j
/р — 1\ /р-1\ /р-1А	1
Ц 1 Ц 2 Д 3 J "	/
Прибавив все столбцы матрицы С к ее последнему столбцу, получим
матрицу С1, все элементы последнего столбца которой равны
Прибавляя к каждому столбцу матрицы С (вплоть до столбца с но-
мером р—3) следующий столбец, получим матрицу С", все элементы
первых р — 3 столбцов которой имеют вид
(р-Л (р-Л = ( Р
\ к ) \к + \) Vfc + l
к = 0,1,...,р - 2. Все эти элементы кратны р. Таким образом,
РГр-i = det С” делится нарр'3(2р"1 - 1) = рр~2(2Р-1 - 1)/р. □
Новый результат в этой области получен Алу (1997).
Фрейм установил, что если п 50 и б /п, то
|log10 l^nl - n2log10c| < 0.33,
где
2 /*7Г/3
log с = — / Iog(2cos0)d0,
Jo
так что log10c — 0.140305... Таким образом, число Wn содержит
примерно 0.1403 п2 разрядов. Знание величины числа Wn, а так-
же некоторых его простых делителей может свидетельствовать, что
разложение числа Wn на простые множители уже закончено.
В 1982 г. Бойд показал, что последовательность {Дп}, где
Ап = logio |Wn| - П2 log10 С,
IV.2. Теорема Вендта
153
является ограниченной и имеет ровно три предельные точки О,
| log10 3, | log10 2, отвечающих соответственно номерам п = ±1, ±2
или 3 (mod 6).
Приведенные ниже значения определителя Вендта Wn для п =
= 2k 20 были любезно предоставлены Дж. С. Фреймом.
W1 =	1,
w2 =	-3,
Ws =	28 = 22 x 7,
W4 =	-375 = -3 x 53,
W5 =	3751 = ll2 x 31,
We =	0,
W7 =	2® x 292 x 127,
w8 =	-37 x 53 x 173,
w9 =	22 x 7 x 194 x 372 x 73,
Wio =	-3 x ll9 x 313,
Wn =	235 x 672 x 89 x 1992,
W12 =	0,
W13 =	36 x 532 x 792 x 1312 x 5212 x 8191,
w14 =	—224 x 3 x 29е x 433 x 1273,
W15 =	214 x 7 x ll2 x 317 x 614 x 151 x 2712,
Wie =	-37 x 53 x 76 x 1715 x 2573,
W2O =	-3 x 524 x ll9 x 313 x 419 x 616,
w22 =	-3 x 2321 x 67е x 893 x 1996 x 6833,
W2e =	-325 x 5312 x 79® x 1316 x 521е x 27313 x 819131,
W28 =	-2®° x 3 x 53 x 136 x 2927 x 433 x ИЗ9 x 1273 x 19761,
w32 =	-37 x 53 x 76 x 1715 x 47® x 9712 x 1936 x 2579 x 353® x 4496 x 6553731,
w34 =	-3 x 10312 x 13712 x 239® x 307® x 409® x 613® x 3571® x 436913 x 1310713,
W38 =	-3 x 7® x 19112 x 22912 x 419® x 4576 x 647® x 7616 x 14836 x 9349® x 1747633 x 5242873,
w40 =	-319 x 524 x ll15 x 173 x 319 x 4139 x 61® x 241® x 28112 x 6416 x 881® x 6168131,
W44 =	-3 x 53 x 2321 x 67® x 8921 x 199® x 353® x 3979 x 617® x 6833 x 1013® x 21139 x 23336 x 3257® x 435761,
W46 =	-3 x 4745 x 13912 x 461® x 59912 x 69112 x 829® x 1151® x 23476 x 33136 x 1784813 x 27962033,
154	Глава IV. Теорема Софи Жермен
TV50 = -3 х II9 х З13 х 10124 х 15118 х 2519 х 4016 х 6013 х 115Г '
х 13016 х 16016 х 18013 х 19516 х 38516 х 40513 х 46516
х 58016 х 61016,
И-52 = -З25 х 53 х 5351 х 79е х 131е х 15715 х 2336 х 31312
х 521е х 677е х 1301е х 16139 х 27313 х 67096 х 81913
х 13417е х 20593е.
В 1991 г. Фи и Грэнвилль нашли делители (измененного) опре-
делителя Вендта Wn для всех четных номеров п 200 (включая
номера, кратные 6). Их результаты позволяют сформулировать сле-
дующее утверждение.
(2К) Если к 100 и числа р, 2А:р+1 являются простыми, то для
показателя р справедлив первый случай последней теоремы Ферма.
Доказательство. Справедливость утверждения устанавливается
с помощью явной записи разложения W2k на множители (при 2к $
200) и проверки выполнения условий утверждения (2В). □
Значения W2k (для 2к — 2,4,8,16) позволяют утверждать, что
сравнение Ферма Хр + YP + Zp = 0 (mod g), где p и q — 2kp + +1 —
нечетные простые числа, имеет лишь тривиальные решения. Од-
нако сравнения X3 + У3 + Z3 =0 (mod 31) и X3 -F У3 + Z3 = 0
(mod 43) имеют нетривиальные решения, поскольку 31 | ГГю и
43 | W14.
Согласно результату Диксона (1909) (см. утверждение (2С)
гл. X), если р и q — простые числа, причем q (р-1)2(р-2)2+6р-2,
то сравнение (2.1) имеет нетривиальное решение. Таким образом,
если q = 2кр -F 1 и 6 /2/с, то q | W2k в силу утверждения (2В).
В завершение этого раздела сошлемся на результаты Ганди
(1975, 1976), полученные в предположении, что первый случай
теоремы Ферма не имеет места для показателя р. Эти утверждения
сформулированы в терминах подходящих циклических определи-
телей, однако доказательствам было не суждено увидеть свет из-за
безвременной кончины Ганди.
Список литературы
1843 Binet, J., Memoire sur ^integration des equations lineaires aux
differences finies d’un ordre quelconque a coefficients variables.
C. R. Acad. Sci. Paris, 17 (1843), 559-567.
IV.2. Теорема Вендта
155
1853
1871
1894
1895
1909
1909
1910
1920
1935
1935
1935
1961
1968
1969
1975
1975
Spottiswoode, W., Elementary theorems relating to determinants
(rewritten and much enlarged by the author), J. Reine Angew.
Math., 51 (1853), 209-271 and 328-381.
Stern, M.A., Einige Bemerkungen uber eine Determinante, J.
Reine Angew. Math., 73 (1871), 374-380.
Wendt, E., Arithmetische Studien uber den letzten Fermatschen
Satz, welcher aussagt, daft die Gleichung an = bn + cn fur n > 2
in ganzen Zahlen nicht auflosbar ist, J. Reine Angew. Math., 113
(1894), 335-346.
Matthews, G.B., A note in connexion with Fermat's last theorem,
Messenger Math., 24 (1895), 97-99.
Dickson, L.E., On the congruence xn + yn + zn = 0 (mod p), J.
Reine Angew. Math., 135 (1909), 134-141.
Dickson, L.E., Lower limit for the number of sets of solutions of
xe + y€ + ze = 0 (mod p), J. Reine Angew. Math., 135 (1909),
181-188.
Bachmann, P., Niedere Zahlentheorie, Teubner, Leipzig, 1910;
reprinted by Chelsea, New York, 1966.
Muir, T., The Theory of Determinants in the Historical Order of
Development, Vol. Ill, Macmillan, London, 1920.
Bang, A.S., От tai af Formen am + bm — cm, Mat. Tidsskrift, В
(1935), 49-59.
Lehmer, E., On a resultant connected with Fermat's last theorem,
Bull. Amer. Math. Soc., 41 (1935), 864-867.
Lubelski, S., Studien uber den groflen Fermat'schen Satz, Prace
Matematyczne Fyz., 42 (1935), 11-44.
Vorob’ev, N.N., Fibonacci Numbers, Blaisdell, New York, 1961.
Rivoire, P., Dernier Theoreme de Fermat et Groupe de Classes
dans Certains Corps Quadratiques Imaginaires, These, Universite
Clermont-Ferrand, 1968, 59 pp.; reprinted in Ann. Sci. Univ.
Clermont-Ferrand II, 68 (1979), 1-35.
Hoggatt, V.E., Fibonacci and Lucas Numbers, Houghton-Mifflin,
Boston, 1969.
Gandhi, J.M., Fermat's last theorem, II: A new circulant condi-
tion for the first case, Notices Amer. Math. Soc., 22 (1975),
A-450.
Gandhi, J.M., Fermat's last theorem, III: A new circulant con-
dition for the first case, for primes of the form Gm — 1, Notices
Amer. Math. Soc., 22 (1975), A-502.
156	Глава IV. Теорема Софи Жермен
1975 Gandhi, J.M., Fermat’s last theorem, IV: A new circulant con-
dition for the first case, for primes of the form 6m 4- 1, Notices
Amer. Math. Soc., 22 (1975), A-541.
1976 Gandhi, J.M., Fermat’s last theorem, V, Notices Amer. Math.
Soc., 23 (1976), A-56.
1980 Frame, J.S., Factors of the binomial circulant determinant, Fi-
bonacci Quart., 18 (1980), 9-23.
1982 Boyd, D.W., The asymptotic behaviour of the binomial circulant
determinant, J. Math. Anal. Appl., 86 (1982), 30-32.
1991 Fee, G. and Granville, A., The prime factors of Wendt’s binomial
circulant determinant, Math. Comp., 57 (1991), 839-848.
1995 Ribenboim, P., The New Book of Prime Number Records, Sprin-
ger-Verlag, New York, 1995.
1997 Helou, C., On Wendt’s determinant, Math. Comp., 66 (1997),
1341-1346.
IV.3. Приложение: простые числа Жермен
Как уже отмечалось, проблема существования бесконечного коли-
чества таких простых чисел р, для которых число 2р 4-1 (или 4р 4-1,
или 8р4-1, и т. д.) также является простым, очень сложна. Мы при-
ведем эвристическое рассуждение, которое указывает на справед-
ливость гораздо более общего утверждения.
Для каждого положительного числа х обозначим через 7г(т) ко-
личество простых чисел, не превосходящих х. Знаменитая теорема
о простых числах Адамара и Валле Пуссена (1899) утверждает, что
то есть 7г(т) ~ x/logx.
Согласно теореме Дирихле, если натуральные числа а и т вза-
имно просты, то в арифметической прогрессии {а 4- кт | к 0}
содержится бесконечно много простых чисел. Пусть 7rajm(x) обо-
значает количество простых чисел в этой прогрессии, не превосхо-
дящих х. Тогда
j. ^a,m(^)  	1
т-чоо 7г(т)	<р(т) ’
то есть
1 X
^a,rn\Xj ~	•
ip(m) logs
IV.3. Приложение: простые числа Жермен	157
Рассмотрим многочлен f(X) = тХ -I- а. Заметим, что значение
1Га,т(х) равно количеству чисел n, 1 п (х — а)/т, для которых
/(п) — простое число.
Можно рассмотреть следующую более общую ситуацию. Пусть
А(Х),	• • •,	— многочлены с целыми коэффициентами
и положительным коэффициентом при старшем члене. Обозначим
через dj 1 степень многочлена f3(X). Потребуем также, чтобы
эти многочлены были неприводимы над Q и чтобы ни один из них
не был постоянным делителем другого. Для всякого натурального
числа N обозначим через Q(N) =	количество целых
чисел п, 1 п N, для которых /1(п), /2 (тг), • • •	~ простые
числа.
В силу теоремы о простых числах вероятность того, что большое
натуральное число т окажется простым, равна ir(m)/m ~ 1/logm.
Несмотря на то, что нас будут интересовать значения многочле-
нов /1 (X), А(Х), • • •, мы не должны брать в расчет тот факт,
что наборы этих значений не являются распределенными случай-
ным образом.
Для каждого простого числа р обозначим через sp вероятность
того события, что ни одно из к чисел такого случайного набора не
кратно р. Тогда
Аналогично, пусть гр — вероятность того, что для случайного числа
п ни одно из чисел /1(п), Л^), • • •, А(п) не кратно р. Если w(p)
обозначает число решений сравнения
Л(Х)/2(Х)...Л(Х) = 0 (mod р),
то rp = (р—w(p))/p = 1 —w(p)/p. Можно показать, что произведение
ПрГр/sp сходится. Обозначим его предел через С = C(/i, • • •, А)-
Если считать, что этим числом измеряется степень того, насколь-
ко значения набора /1 (X),..., Д(Х) не случайны, то вероятность
того, что все числа /i(n), /Ди), • • •, /Дп) являются простыми (для
больших п), равна
С(/1 > • • • , /п) log д	log Д
С(/1 ,  •  ,/п) д	(logn)J;’
158
Глава IV. Теорема Софи Жермен
поскольку log/j(n) ~ di log п. Тогда
1 N 1
«1 • • -dk “ (logn)*
В частности,	Q(N) = оо. Таким образом, мы попытались
эвристически объяснить, что при С 0 должно существовать бес-
конечно много простых чисел р с заданными свойствами.
Теперь рассмотрим следующие частные случаи:
(1) /1(Х) = Х,/2(Х) = 2Х + 1;
(2) fi(X) = X, /2(Х) = Х + 2.
Случай (1) соответствует простым числам Жермен, в то время
как случай (2) относится к простым близнецам. В обоих случаях
w(2) = 1 и н'(р) = 2 при р > 2. Таким образом, константа равна
так что
N 1
QW ~ 1.3203236... • V -------
(1о6п)
В 1923 г. это предположение было высказано Харди и Литтлву-
дом для количества простых близнецов, не превосходящих N. Оно
достаточно точно соответствует реальному числу простых близне-
цов (см. Секстон (1954), Ренч (1961), Шенке (1962) и Брент (1975)).
Список литературы
1923 Hardy, G.H. and Littlewood, J.E., Some problems of “partitio
numerorum”) III. On the expression of a number as a sum of
primes, Acta. Math., 44 (1923), 1-70.
1954 Sexton, C.R., Counts of twin primes less than 100000, Math. Ta-
bles and Aids to Comp., 8 (1954), 47-49.
1961 Wrench, J.W., Evaluation of Artin’s constant and the twin prime
constant, Math. Comp., 15 (19ol), 396-398.
1962 Bateman, P.T. and Horn, R.A., A heuristic asymptotic formula
concerning the distribution of prime numbers, Math. Comp., 16
(1962), 363-367.
IV.3. Приложение: простые числа Жермен	159
1962 Shanks, D., Solved and Unsolved Problems in Number Theory,
Vol. I, Spartan, Washington, DC, 1962; reprinted by Chelsea,
New York, 1979.
1963 Schinzel, A., A remark on a paper by Bateman and Horn, Math.
Comp., 17 (1963), 445-447.
1965 Bateman, P.T. and Horn, R.A., Primes represented by irreducible
polynomials in one variable, Proc. Symposia in Pure Mathemat-
ics, Theory of Numbers, Amer. Math. Soc, Vol. 8, 1965, pp.
119-132.
1975 Brent, R.P., Irregularities in the distribution of primes and twin
primes, Math. Comp., 29 (1975), 43-56.
Глава V
Эпизоды 5 и 6
В этой главе мы продолжаем изложение вспомогательного матери-
ала.
V.I. р-адические числа
Для изучения свойств делимости на простое число р удобно рас-
сматривать разложение целого числа по основанию р:
а — clq 4- Q-ip 4-... 4- о>тРт>
где 0 ai р - 1, рт а < pm+1.
Гензель ввел также бесконечные р-адические разложения, назы-
ваемые р-адическими целыми числами. Он описал операции сло-
жения и умножения р-адических целых чисел и доказал очень
важную теорему о существовании р-адических целых чисел, яв-
ляющихся корнями некоторого многочлена. Можно рассматривать
р-адическое число как предел последовательности целых чисел по
р-адической метрике. Это позволяет применить методы анализа для
изучения свойств делимости.
А. Поле р-адических чисел
Здесь мы кратко опишем свойства р-адических чисел и результаты,
необходимые для изучения уравнения Ферма.
В разделе П.1 мы для каждого простого числа р определили
р-адическое нормирование vp поля Q. Напомним определение мно-
жества p-целых рациональных чисел:
Zp= I a,be z,b? О, рКЬ, НОД(а,Ь) = 1} .
Это подкольцо в Q, содержащее Z. Более того, неравенство
vp(r) 0 выполняется для рационального числа г тогда и только
тогда, когда г € Zp.
V.l. р-адические числа
161
Множество Zp называется кольцом нормирования для ир. Един-
ственный максимальный идеал в Zp совпадает с Zpp = {а/Ь € Zp |
а кратно р}. Поле %PITLpp, изоморфное полю Fp (состоящему из р
элементов), называется полем вычетов для vp.
По нормированию vp построим функцию двух рациональных ар-
гументов dp. Если a, b € Q, то
f dp(a, b) = p~vp(a~b) при a 6,
[ dp(a, а) — 0.
Легко убедиться в справедливости следующих свойств:
dp (а, 6)	0,
dp (а, b) = dp (6, а),
dp(a,b) — dp(a — b,ty,
dp(a + c,b + с) = dp(a,b),
dp(a,b) max{dp(a,c), dp(b, c)}
$ dp(a,c) 4- dp(b,c).
Итак, dp — метрика, согласованная с операцией сложения. Она
называется р-адической метрикой в Q.
Пополнение поля Q по р-адической метрике есть снова поле, обо-
значаемое через Qp и называемое полем р-адических чисел. Каж-
дый отличный от нуля элемент а из Qp представляется в виде
р-адического разложения
оо
« = 52 а<Р’’
i=m
где 0 ai р - 1, т е Z и ат 0. Если ап =	(где
п т), то а — Ншп-^оо ап (предел понимается в смысле сходимости
по р-адической метрике).
Можно продолжить по непрерывности р-адическое нормирова-
ние на поле Qp, положив
(оо	\
52	I	= т (ПРИ ат / 0).
i=m	/
Тогда множество значений функции vp есть снова целые числа и
бесконечность.
Топологическое замыкание кольца Zp в поле Qp есть кольцо,
обозначаемое через Zp. Его элементы называются р-адическими це-
П.27
162
Глава V. Эпизоды 5 и 6
лыми числами. Таким образом, а € Цр является р-адическим це-
лым числом в точности тогда, когда vp(a) 0. Ясно также, что
Zp П Ц = Zp. Единственным ненулевым простым идеалом в Zp яв-
ляется идеал Zpp, состоящий из чисел, кратных р. Поле вычетов
нормирования vp совпадает с полем Zp/Zpp, изоморфным полю Fp.
Пусть а, [3 € Qp . Тогда мы будем говорить, что а делит (3,
если найдется такой элемент 7 € Zp, что а/3 — 7. Это означает,
что vp(a) vp(/3). Назовем элемент а € Zp единицей в Zp, если о
делит 1, т. е. vp(a) — 0. Множество всех единиц Up С Zp является
группой по умножению.
Пусть а, /3, 7 € Цр, 7	0. Тогда мы будем говорить, что а ее fl
(mod 7), если 7 делит а — 0. Аналогичным образом, если 7 € Ц>,
7 ф 0, и F(X), G(X) 6 ЦДХ], то мы будем писать F(X) = G(Ar)
(mod 7), если 7 делит каждый коэффициент разности F(X) — G(X).
Для этих сравнений остаются в силе свойства сравнений целых
чисел.
В. Многочлены с р-адическими коэффициентами
Здесь мы кратко коснемся теории многочленов с коэффициентами
из Ц>.
Пусть /(X) = аоХп -F QiX”-1 4- ... + ап € ЦДХ]. Положим
vp(/) = min0^i^n{vp(ai)}- Для всех многочленов f,g G QP[X], g ± 0,
определим функцию
(?) = ~ ip^'
Легко видеть, что данное определение корректно. Тогда vp суть
нормирование кольца Qp[X], сужение которого на Ц> есть vp. Для
простоты обозначений будем писать ир вместо vp.
Пусть /, g € ЦДХ]. Тогда мы будем писать f = g (mod рп), если
vp(f — g) n, или, что то же самое, рп делит каждый коэффициент
разности f — g. Для каждого многочлена f =	€ Zp[Ar]
обозначим через f — f (mod р) многочлен f = Й»Х* € Fp [X].
Напомним несколько известных фактов, касающихся многочле-
нов из ЦДХ]. Многочлен f € ZP[X] называется примитивным, если
vp(f) = 0. Каждый многочлен f € ZP[X] может быть представлен
в виде f = afi, где а € Z, fi € %>Р[Х] и многочлен fi примитивен.
V.l. р-адические числа
163
(1 А) Лемма Гаусса. Произведение f • g примитивных многочле-
нов f,g€ ZP[X] есть снова примитивный многочлен.
(1В) Пусть примитивный многочлен f € ZP[X] представля-
ется в виде f — g • h, где g, h e Qp[X]. Тогда существуют при-
митивные многочлены gly hi € ZP[X], такие, что f = gi • hi и
deg pi = degp, deg hi = degh.
Отличный от константы многочлен f € ZP[X] (соответственно
f 6 Q,[X]) называется неприводимым над ZP[X] (QP[X]), если он
не представим в виде f = g • h, где g и f — многочлены из %Р[Х]
(Qp[X])? отличные от константы.
(1С) Многочлен f 6 %Р[Х] неприводим над ZP[X] тогда и только
тогда, когда он неприводим
Многочлены f,gE %р[Х] называются взаимно простыми, если
все их общие делители из ZP[X] суть постоянные, т. е. степень этих
делителей равна нулю.
(1D) Если отличный от константы неприводимый многочлен
f € %р[Х] не делит многочлен g € ZP[X], также отличный от
константы, то fug взаимно просты.
(1Е) Пусть многочлены f,g € ZP[X] взаимно просты. Тогда
найдутся такие многочлены s, t 6 ZP[X], что s • f + t • g есть
отличный от нуля элемент кольца Zp.
(IF) Пусть f,g,h € ZP[X], многочлен f неприводим и делит
произведение gh. Тогда хотя бы один из многочленов g uh делится
на f.
(1G) Пусть многочлены g, h € ZP[X] отличны от константы и
взаимно просты. Тогда если хотя бы один из них примитивен и
каждый их них делит f, то произведение g • h делит f.
(1Н) Каждый ненулевой многочлен f € ^Р[Х] можно пред-
ставить в виде f = agi .. .gn, где а € Zp, pi, ..., gn € %P[X] —
примитивные неприводимые многочлены и п } 0. Более того, а
и 911 • • •, 9п определены единственным образом с точностью до
умножения на единицу в Хр.
164
Глава V. Эпизоды 5 и 6
Теперь рассмотрим результант и дискриминант многочленов из
ZP[X],
(II)	Пусть fug— многочлены из ZP[X], отличные от констан-
ты. Тогда следующие утверждения эквивалентны.
(а)	Существует отличный от константы многочлен h 6 ZP[X],
делящий fug.
(b)	Существуют ненулевые многочлены fi,gi € %Р[Х], такие,
что deg/i < deg/, degpi < degp и
91 ’ f + fi ’ 9 = 0-
Доказательство, (a) => (b) По определению делимости найдутся
многочлены fi,gi € %Р[Х], такие, что / = h • /1 и g — —h • дг.
Очевидно, что Д и gi отличны от нуля, deg/i < deg/, degpi <
< degp и pi /4-/1 - p = 0.
(b) => (а) Обратно, предположим, что существуют многочле-
ны /i,pi € %Р[Х], такие, что deg/i < deg/, degpi < degp и
gif 4- fig = 0. Если бы / и д были взаимно просты, то по утвер-
ждению (1Е) нашлись бы многочлены s,t € ZP[X], такие, что
s • / 4- t • д = с € Zp, с / 0. Исключая д из двух полученных
соотношений, придем к равенству /(s/i — tgi) = cfi. Так как сте-
пень левой части больше степени правой, получаем противоречие.
Следовательно, многочлены / и д не являются взаимно простыми.
□
(1J) Для того чтобы многочлены
т	п
г=0	г=0
(где т,п > 0 и f,g Е ZP[X]) имели общий делитель, отличный от
константы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось усло-
вие R(f, g) — 0.
Доказательство. Как следует из утверждения (4В) гл. II, если /
и g имеют общий делитель, отличный от константы, то R(f,g) = 0.
Покажем, что условие R(f,g) = 0 является достаточным. Со-
гласно утверждению (II) достаточно доказать существование таких
ненулевых многочленов Д,р1 € %Р[Х], Д = 52™q1 сгХт~1~г, gi =
=	что pi • / 4- fi • g = 0 (случай co = do = 0 не ис-
ключается). Это соотношение равносильно следующей системе из
V.l. р-адические числа
165
т 4- п уравнений с неизвестными со,... ,cm-i,do, • • • ,dn-i (полу-
ченной приравниванием к нулю коэффициентов при степенях пере-
менной X):
4- Со^о	— О?
do^i 4- Доо + С061 4- С1&о	— О,
<^0^2	d\(L\ 4" С^2&0 4“ Со^2 4“	4- С2&0 — О?
Эта линейная однородная система имеет в Qp ненулевое решение
тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, или, что
то же самое, определитель транспонированной системы равен нулю.
Этот определитель есть не что иное, как R(J,g)- Для завершения
доказательства заметим, что из существования ненулевого реше-
ния системы в Qp следует существование ненулевого решения в Zp,
получаемого домножением на общий знаменатель. □
(1К) Пусть взаимно простые отличные от константы мно-
гочлены f,g € %р[Х] таковы, что vp(R(f, д)) = р. Тогда любой
ненулевой многочлен h € ZP[X], такой, что vp(h) р и degh <
< deg / 4- degp, можно единственным способом представить в
виде h = gi-f + fi • д, где fi,gi Е ZP[X], vp(/i) > vp(h) - p, vp(gi)
vp(/i) - p, deg fi < deg/ и deggi < degg.
Доказательство. Пусть
m
f = х,а'хт~'’
i=0
g =
i=0
m+n—1
h = 52 е1Хт+п~*.
i=0
Наша цель — найти такие многочлены Д = С{ХТп~1~г, pi =
= djXn~1~:i из ZP[X], что h = gi • f 4- Д • g. Приравняв ко-
эффициенты при соответствующих степенях переменной X в обеих
частях этого соотношения, получим линейную систему из т 4- п
уравнений с т 4- п неизвестными Ci,dj, определитель которой есть
в точности R(J,g).
166
Глава V. Эпизоды 5 и 6
Так как f и д взаимно просты, согласно утверждению (1J) мы
заключаем, что R(J,g) ф 0. Следовательно, рассматриваемая си-
стема имеет единственное решение.
Коэффициенты Ci,dj можно найти по правилу Крамера. Их
числители суть линейные формы от ег с коэффициентами из
(так как f,g € Zp[X]), а знаменатели равны R(f,g). Поскольку
Vp(ej) vp(h) р = 1?р(Н(/,0)), мы получаем vp(cj) O,vp(dj) 0,
так что /1,рх € ZP[X] и vp(fi) vp(h) - р, Vp(px) vp(h) - р. □
(1L) Пусть f 6 %Р[Х] — многочлен, отличный от константы.
Тогда для того, чтобы существовал многочлен g € ZP[X], отлич-
ный от константы, квадрат которого делит f, необходимо и до-
статочно, чтобы выполнялось условие Discr(/) = 0.
Доказательство. Если д2 делит /, то д делит / и а значит,
Discr(/) = R(f,f') = 0. Обратно, если Discr(/) = 0, то согласно
утверждению (1J) существует отличный от константы многочлен
д € Ё>Р[Х], делящий f и Учитывая утверждение (1Н), можно
считать, что многочлен д неприводим. Мы можем записать f = gh,
откуда получим, что f = g'-h+g-h'. Поскольку многочлен д делит
f, он должен делить и д'-h. Но из неравенства deg д' < deg д следует,
что д не делит д', а значит, д делит h. Таким образом, д2 делит f.
□
Исследуем теперь поведение результанта R(f,g) при замене f и
д на многочлены, достаточно близкие им по метрике, определенной
нормированием vp на QP[X].
(1М) Пусть f,g, fi,gi €	— многочлены, отличные от
константы, vp(fi — /) а и vp(gi — д) /3. Тогда yp(R(fi,gi) -
> min{a, 0}.
Доказательство. Пусть элемент а € Zp таков, что vp(a) =
= min{vp(/i - /),vp(pi - д)}. Тогда /х = f + ah, gr = д 4- ak для
некоторых h,k € ZP[X]. Ясно, что Н(/х,рх) = R(f + ah,g + ak).
Записав исключающую матрицу для f + ah, д 4- ak и вычислив ее
определитель, получим R(f, д) 4- as, где s € Zp — некоторая сумма
произведений множителей, равных а или коэффициентам много-
членов f,h,g,k. Следовательно,
Vp(R(fi,gi) - R(f,g)) > Vp(a) min{a,£}. □
V.l. р-адические числа
167
(IN) Пусть f,fi € ZP[X] — многочлены, отличные от констан-
ты, причем vp(Ji - /) а. Тогда vp(Discr(/) - Discr(/i)) а.
Доказательство. Так как Discr(/) = /?(/, /'), Discr(/i) = K(/i,/{),
остается лишь заметить, что из неравенства vp(/i — /) ^ а следует,
что vp(fi — f1) а. Действительно, если т = max{deg/, deg/i},
f = YZ0 ^т~г И /1 = Е" О ЬгХт~\ ТО
тп —1	т—1
/' = £ (тп - г) <ц хт~1~\ fl'bi Х^1^.
г=0	г=0
Поэтому vp((m - i)(bi - а,)) vp(bi - aj для всех г — 0,..., т - 1, a
значит, vp(f{ -f) min{vp(6i - а,) | г = 0,..., т - 1} vp(/x -/)
> а. □
Отсюда немедленно следует такое утверждение.
(Ю) Пусть f,g €	причем f = f mod p, g = g mod p.
Тогда результант R(f, g) многочленов fug (вычисленный в Fp [X])
равен R(f, g), а дискриминант Discr(/) многочлена f (вычисленный
в FP[X]) равен Discr(/).
Будем говорить, что многочлены f,g € %Р[Х] взаимно просты
по модулю р, если f и g взаимно просты в Fp [X]. Аналогично мно-
гочлен f называется неприводимым по модулю р, если f € Fp [X]
неприводим. Каждый многочлен f € ZP[X] сравним по модулю р
с произведением неприводимых по модулю р многочленов из ZP[X],
причем последние определены единственным образом по модулю р.
С учетом данных определений сформулируем следующий ре-
зультат.
(1Р) Многочлены f,gE ZP[X] взаимно просты по модулю р тогда
и только тогда, когда их результант является единицей в Zp,
т. е. vp(R(f,g)) = 0.
Доказательство. По определению взаимной простоты fug вза-
имно просты в FP[X]. По утверждению (4В) гл. II это означает, что
R(f,g) ф 0. Согласно утверждению (10) это условие равносиль-
но неравенству R(f,g) ф 0, т. е. р не делит R(f>g), или, что то же
самое, vp(R(f, g)) = 0. □
(1Q) Пусть многочлены f,g € ZP[X] неприводимы по модулю
простого числа р. Тогда р делит R(f,g) в том и только в том
случае, когда f = eg (mod р), где е — единица кольца Zp.
168
Глава V. Эпизоды 5 и 6
Доказательство. Действительно, р делит R(J,g) в точности то-
гда, когда f и дне взаимно просты по модулю р. Но тогда существу-
ет такой отличный от константы многочлен h € %Р[Х], что f = h-fa
(mod р) и д = h gi (mod р). По предположению f = h (mod р) и
д = h (mod р), следовательно, f | д и д | А, так что f = eg (mod р),
где е — единица кольца Zp. Обратное утверждение очевидно. □
Заметим, что если f =	%р[Х] и Д делится на р, то
f = apiXpt (mod p). В самом деле, коэффициенты многочлена
Д равны jaj. Поэтому если р делит Д, но не делит Д то р делит aj.
Следовательно,
(\ р
j (mod р).
г^О	/
В частности, если многочлен f неприводим по модулю р, то Д О,
так что мы можем рассматривать дискриминант многочлена f по
модулю р.
(1R) Пусть многочлен f € ZP[X] неприводим по модулю р. Тогда
р не делит Discr(/).
Доказательство. Представим / в виде f = Д ч-рД, где ни один из
коэффициентов многочлена Д не делится на р. Тогда Д = Д Ч- рД
и согласно утверждению (1N) мы получаем Discr(/) = Discr(/i)
(mod р). Поэтому если р делит Discr(/), то и Discr(/i) = Я(Д, Д)
делится нар. В силу утверждения (1Р) существует такой многочлен
h Е ZP[X], что многочлен h отличен от константы и является общим
делителем многочленов Д и Д . Отсюда Д = h • р, Д = h • fc, где
р, к € %Р[Х]. Так как многочлен Д = f неприводим, мы заключаем,
что g = с для некоторого с € Zp. Тогда с - Д = Д Следовательно,
deg(7/) deg(/i') < deg(/i) = deg(7i) deg(7x к') = deg(7/),
чего быть не может. □
(1S) Пусть дан многочлен f 6 ZP[X], такой, что многочлен f
отличен от константы. Тогда все неприводимые делители мно-
гочлена f сравнимы между собой по модулю р в том и только в
том случае, когда р делит Discr(/).
Доказательство. Справедливо сравнение f = gxg2...gn (mod p),
где Pi,P2,- -,Pn неприводимы по модулю р. Следовательно, по
V.l. р-адические числа
169
утверждениям (1М) настоящей главы и (4D) гл. II мы получаем
Discr(/) = Discr(p!p2 - • • 9п)
п
= ±ПDiscr(5i) •	,9j)]2 (mod р).
i=l	i<j
Согласно утверждению (1R) число р не делит Discr(^) при 1
<С i п. Поэтому р делит Discr(/) тогда и только тогда, когда су-
ществуют индексы i < j, для которых р делит R(gi,gj). Но согласно
утверждению (1Q) это означает, что = gj (mod р). □
С. Лемма К. Гензеля
Этот важнейший результат, полученный Гензелем в 1908 г., без-
условно является raison d’etre1 р-адических чисел. Он утвержда-
ет существование, при определенных условиях, р-адических корней
многочленов. Мы докажем лемму Гензеля в сильной формулировке.
(1Т) Пусть многочлены F,g,he ZP[X] таковы, что
(i)	deg = т > 0, degh — п > 0, degF — т 4- п, многочлен д
приведен (т. е. старший коэффициент многочлена д равен 1)
и deg(F - gh) < deg F;
(ii)	vp(F(^,h)) = p 0 и
(iii)	vp(F - gh) = a > 2p.
Тогда существуют многочлены G,H 6 %P[X], такие, что vp(G -
— g) ot - p, vp(H — h) a — p, deg 6? = deg</, deg Я = deg h,
многочлен G приведен, многочлены Huh имеют одинаковые ко-
эффициенты при старшем члене и, наконец, F = G • Н.
Доказательство. Мы докажем следующее утверждение. Зафик-
сируем произвольное j 0.
(*) Пусть g,h Е ZP[X], degg = т, deg Л = п, многочлен g приве-
ден, deg(F - gh) < deg F, vp(F - gh) a + jn vp(R(g, h)) = p.
Тогда существуют многочлены g*,h* € ZP[X], такие, что
degp* < m, degh* < n, vp(p*) a + j - p, vp(h*) a + j - p
и vp(F - (g 4- g*)(h - h*)) > a 4- j 4-1.
Действительно, R(g, h) 0, так как vp(R(g,h)) = p. Согласно
утверждению (1J) многочлены g и h взаимно просты.
1 Смыслом появления (фр). — Прим, перев.
170
Глава V. Эпизоды 5 и 6
Заметим, что vp(F — gh) а 4- j р и deg(F — gh) < degF ~
— deg / 4- degh, а из утверждения (IK) следует, что существую:
определенные единственным образом многочлены g*,h* е ZP[X].
такие, что
F - gh = h*g 4- g*h,
vP(g*) > vP(F - gh) - a + j - p,
vp(h*) vp(F - gh) - p^ a+j - p,
deg(sT) < deg(^),
deg(h*) < deg(h).
Следовательно,
vp(F - (p + g*)(h + h*)) = vp((F - gh) - (h*g + g*h) - g*h*)
= Vp(g*h*)
> 2(a 4- j - p)
= (a- 2p) + (a + 2j)
> a + j + 1.
Перейдем к доказательству основного утверждения. Сначала при-
меним доказанные соотношения утверждения (*) к д = до, h = ho,
j = 0, полагая gi = до 4- д^, hi = ho 4- hj. Затем применим этот
результат к gi,hi,j = 1, обозначая д2 = gi 4-pJ, h>2 = hi 4- h* и т. д.
Необходимо заметить, что
vP(R(.9j+i, hj+i)) = Vp(R(gj,hj)) = р
при всех j 0, поскольку, как видно из утверждения (1М) и усло-
вия (iii),
Мй(9.7+1, hj+i) -R(gj,hj)] mm{vp(g*), Vp(h*)}
a 4- j - p > p.
Итак, имеются такие последовательности многочленов (pj)j^o и
(hj)j^o? что degpj — тп, deghj = п, каждый многочлен gj имеет
старший коэффициент 1, hj и h имеют одинаковые коэффициенты
при старшем члене и, наконец,
Vp(gj+1 - gj) а + j - р, Vp(hj+1 - hj) а + j - р.
V.l. р-адические числа
171
Следовательно, (gj)j^o и	суть последовательности Коши2
многочленов степени тип соответственно. Это означает, что если
т	п
i=0	i=0
то последовательности (bij)j^o и (cjj)j^o являются последователь-
ностями Коши в Qp для каждого г. В силу полноты3 пространства
Qp можем определить bi — limdij, сг = и G — УУ^0Ь{Хг,
Н = ^=ос{Х\
Тогда vp(G - gj) а + j — р, потому что4 *
(8	\
i=0	/
И
(в	\
Y^9j+i) ^a+j-p
i=0	/
для всех s 1. Аналогичным образом, vp(H — hj) а 4- j — р для
всех j 0. Наконец,
vp(F - GH) = vp[(F - gjhj) + (9j - G)H + g^hj - Я)]
>	min{vp(F - gjhj^Vptgj - G) + vp(H),
Vp(9j) + vp(hj - Я)}
>	a + j - p
для всех j 0. Отсюда следует, что F = GH и многочлен G приве-
ден, причем многочлены Н и h имеют одинаковые коэффициенты
при старшем члене. □
3 Последовательностью Коши или фундаментальной последовательно-
стью (в пространстве с метрикой d) называется такая последовательность
чт0 для любого е > 0 существует номер N € N (зависящий от е, т. е.
N = для которого при любых п > N{e) и q > 0 (n,q € N) выполнено
неравенство d(7n+Q, 7n) < е. Метрика в кольце многочленов Qp[X] строит-
ся по нормированию vp этого кольца аналогично метрике в поле Qp (см. п. А
настоящего раздела и начало п. В). — Прим, перев.
3Полным называется пространство с метрикой, в котором любая последова-
тельность Коши имеет предел.
См. также книгу Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков, Лекции
по математическому анализу, 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — Прим,
перев.
4 Следующее равенство справедливо в силу соотношений дз = дъ 4- д? —
= 91 4- д* 4- pj и т. д. — Прим, перев.
172
Глава V. Эпизоды 5 и 6
Приведем теперь более традиционную формулировку леммы
Гензеля.
(1U) Пусть многочлены F,g,h € %>Р[Х] таковы, что
(i)	deg# = т > 0, degh = п > 0, degF = т -I- п, многочлен д
приведен и deg(F - gh) < degF;
(ii)	g и h взаимно просты no модулю p\
(iii)	F = g • h (mod p).
Тогда существуют многочлены G,H € Zp[X], такие, что G ~ g
(mod p), H = h (mod p), degG = deg#, degH = degh, многочлен G
приведен, многочлены Huh имеют одинаковые коэффициенты при
старшем члене и F = G • Н.
Доказательство. Утверждение немедленно вытекает из преды-
дущего. В самом деле, согласно результату (1Р) справедливо ра-
венство vp(R(g,h)) — 0, а так как vp(F — gh) 1, применимо утвер-
ждение (1Т). □
Еще одна часто встречающаяся формулировка леммы Гензеля
связана с поднятием корней по модулю р.
(IV)	Пусть F € ZP[X], degF 1. Пусть, далее, а € Zp —
простой корень сравнения F(X) = 0 (modp). Тогда существует
число b Е Zp, такое, что b = а и F(b) = 0.
Доказательство. По условию F = (X — a)h (mod р), причем
h(a) £ 0 (mod р). Следовательно, многочлены X — а и h вза-
имно просты по модулю р. Тогда по предыдущему утверждению
F = G Н, где многочлен G приведен, deg G — 1, G — X ~ а, следо-
вательно, G = X — b, b 6 Zp, b — а, а значит, F(b) = 0. □
Применим лемму Гензеля к многочлену Хр~г — 1.
(1W) Для каждого простого числа р кольцо Zp содержит (р — 1)
корень из единицы степени (р — 1). Более точно, для каждого j =
= 1,... ,р — 1 существует единственный элемент Wj 6 Zp, такой,
что = 1 и Wj = j (mod р).
Доказательство. Для всех j = 1,... ,р-1 справедливо сравнение
jp-1 = j (mod р). Поэтому Хр-1 - 1 = flj”J(X - j) (mod р). Таким
образом, все корни сравнения суть 1,2,... ,р — 1, причем все они
просты. Воспользовавшись предыдущим утверждением, получим,
что для каждого j найдется элемент Wj € Zp, такой, что wj-1 = 1
и Wj = j (mod р).
V.l. р-адические числа
173
Для доказательства единственности заметим, что если w € Zp,
wp~x — 1 и w = к (mod р), то w должно совпадать с одним из
корней многочлена Хр~г — 1, скажем, w = Wj. Но тогда j = Wj =
= w = k (mod p), и поэтому j = к, т.е. w = Wk- □
Для простого числа р обозначим через (Z/p)x мультиплика-
тивную группу ненулевых классов вычетов по модулю р. Пусть Q
обозначает мультипликативную группу корней из единицы степени
(р- 1) в Zp.
Как следствие получаем такой результат.
(IX) Отображение, ставящее в соответствие каждому нену-
левому классу вычетов j по модулю р корень степени (р — 1) из
единицы ujj в Zp, такой, что u)j = j (mod р), устанавливает изо-
морфизм между мультипликативными группами (Z/p)x и Q. Бо-
лее того, элемент порождает Q тогда и только тогда, когда
g является первообразным корнем по модулю р.
Доказательство. Действительно, если 1 j, k, h р — 1 и jk = h
(mod р), то по утверждению (1W) отсюда следует, что
(mod р). Так как = j (mod р), отображение (j mod р) есть
изоморфизм. Последнее утверждение тривиально. □
(1Y) Во введенных обозначениях справедливы следующие утвер-
ждения:
(1) если (р- 1) К г, то	= °5
(2) если (р- 1) | г, то wT = р-1.
Доказательство. (1) Пусть g является первообразным корнем
по модулю р. Тогда порождает Q. Следовательно, если (р — 1) /г,
то
р-2
1—--------= 0.
1 — (л)г
cuEQ j=0	9
(2) Если (р- 1) | г, то шг = 1 для любого и) € Q, следовательно,
Еш€П^г = р-1. □
Список литературы
1908 Hensel, К., Theorie der algebraischen Zahlen, Teubner, Leipzig,
1908.
1999 Ribenboim, P., The Theory of Classical Valuations, Springer-
Verlag, New York, 1999.
174	Глава V. Эпизоды 5 и 6
V.2. Линейные рекуррентные
последовательности второго порядка
Пусть А и В — отличные от нуля целые числа, такие, что D =.
= А2 — 4В ф 0. Для данных целых чисел Rq и Ri и каждого к 2
положим Rk = ARk-i — BRk-2-
Если А = 1, В = — 1 и 7?о = 0,	= 1, то Rk есть к-е число Фи-
боначчи. Если А = 1, В — — 1 и Rq = 2, Ri — 1, то Rk есть к-е число
Люка. Об этих числовых последовательностях кратко говорилось в
разд. IV.2.
Рассмотрим некоторые элементарные свойства числовых после-
довательностей	Для удобства будем полагать, что Rq = 0 и
Ri = 1. Аналогичные результаты справедливы и при Rq = 2, R\ —
= А.
Утверждение (1) следующей леммы доказал Г. Зибек (1846). Оно
является обобщением результата Ж. Бине для чисел Фибоначчи
(гл. IV, лемма 2.3). В 1878г. Люка опубликовал классическую ра-
боту по этой тематике (см. также Д. Г. Лемер (1930)). Дальнейшие
результаты теории рекурентных последовательностей можно найти
в книге Л. Е. Диксона (1920, т. I, с. 393-411).
Лемма 2.1. Во введенных обозначениях и при сделанных допу-
щениях справедливы следующие утверждения:
(1)	если а и /3 — корни уравнения X2 — АХ -I- В — 0, т. е.
А 4- VA2 - 4В п A- VA2 - 4В
а --------------,	/? =------------,
2	2
то для всех к 0 выполнено равенство
_ак -0к
Rk	Q у
а — р
(2)	если k,h~£ 1, то Яь+к = RkRh+i - BRk-iRh',
(3)	(aft +	= DR?h + 4Bft;
(4)	если к | h, mo Rk | Я/,;
(5)	ARh + (ah + 0h) = 2Rh+1 при h^O,
ARh — (ah + /?л) = 2BRh-i при h 1;
(6)	если fc 1 нечетно, mo
V.2. Линейные рекуррентные последовательности 175
(*-1)/2
2к-\ак+рк>)= £
h=0
Ak~2hjjh
(7)	если к 1 нечетно ип^1, то
(*-1)/2
Яи*. = Г)(*-1)/2дк + у _Р Л k\BnhD(k-2h-l')/2Rk-2h
ы h~i /
Доказательство. (1) Из соотношения а2 3 4 — Аа 4- В = 0 следует,
что ак+2 = Аак+г — Вак и аналогично Рк+2 = Арк^х — ВРк. За-
мечая, что а ф [}, так как Л2 — 4В 0, вычитая и деля на а — /3,
получим
ак+2 — рк+2	ак+г — Рк+1	ак — Рк
а - Р	а — Р	а - Р ’
Положим Rk = (ак - Рк)/{а — Р) для каждого к 0. Тогда
Я'к+2 —	“ BR'k ПРИ &	0. Так как последовательности
(R'k)k^o удовлетворяют одному и тому же рекуррентно-
му соотношению, причем R^ = Ro = 0,	= Bi =1, мы можем
заключить, что Rk — R'k — (&к — рк)/(а — к) для всех к 0.
(2) Утверждение следует из соотношений
RkRh+i — BRk-iRh
(ак - Pk)(ah+l - Ph^) - аР(ак-г - Pk~ly)(ah - ph)
(a-/?)2
_ /jfc+h
= ----Z—A-----= Rk+h-
a — p
(3) Так как (a - P)2 = D, aP = В, мы получаем
/ лЛ — flh\ 2
(ah 4- Ph)2 - DR2h = a2h 4- 2ahph 4- P2h - D I -)
\ a — P J
= a2h 4- 2ahph 4- P2h - (a2h - 2ahph 4- P2h}
= 4ahph = 4Bh.
(4) Пусть h — nk. Для n — 1 утверждение очевидно, а далее по
индукции заключаем, что
R(n+l)k ~ RnkRk+l BRnk-lRk
делится на Rk -
176
Глава V. Эпизоды 5 и 6
(5) Так как А = a + /?, согласно (1) получаем
ARh + (ah + 0h)
_ flh
= (Q + /?)^_e- + (a'*+^)
a — p
аЛ+1 — a^h 4- oth0 —	4- аЛ+1 4- ct^h — othP — /З^^1
a — (3
л/i-bl _ z?/i-bl
= 2------= 2Яь+1.
а — р
Аналогичным образом,
ARh-(ah + 0h)
= (а + ^)^—4--(аЛ + ^Л)
а — р
ah+1 — a(3h 4- ahP —	— ah+1 — a/3h 4- ah^ 4-
а — /3
ah 1 — 6^ 1
= 2a/3------£---= 2BRh-r.
a - p
(6) Пусть к 1 нечетно. Возводя соотношения
в степень к и вычитая, получим
Л
дк-2h—1 £j(2/i+l)/2
/1=0
Разделив на 2(а - /3) = 2\/D, получаем
дк — 2Ь—1^)К
/1=0 х	* * * * 6 7
Аналогично, возводя выражения для 2а и 2/3 в степень к, скла-
дывая и деля на 2, получим
2к~г
Ak~2hDh.
h=0
V.2. Линейные рекуррентные последовательности 177
(7) Согласно утверждению (1D) гл. VII справедливо равенство
(*“1)/2 к fk — h — А\
Xk+Yk = (X + Y)k+ (-1> д( h-i ]XhYh{X + Y)k-2h
h=l	'	'
Положим X = an, Y = —(Зп. Тогда, так как число к нечетно,
Разделив на а — /?, учитывая, что а/3 = В и а — (5 = yD, и используя
(1), получим
Rnk =	+ 52 т( )BnhD{k-2h~V)/2R^-2h. □
/1=1	' п	'
Исследуем теперь свойства делимости членов рекуррентной по-
следовательности
Пусть тп 1 и найдется такой индекс /с, что тп делит Rk. Наи-
меньшее из таких к называется рангом вхождения числа тп в по-
следовательность (Rk)k^o и обозначается через r(m).
Лемма 2.2.
(1)	Пусть т 1 и ИОД,(тп,В) — 1. Тогда существует ранг
вхождения числа т.
(2)	Если т 1 и НОД(т,В) = 1, то т делит Rk тогда и
только тогда, когда г(т) делит к.
(3)	Пусть т,п^1, НОД (тп,В) — НОД (п,В) — НОД (тп,п) = 1.
Тогда r(mn) = НОК (r(m),r(n)).
(4)	Пусть р — нечетное простое число, р X В. Тогда Rp = (D/r)
(mod р) (где через (D/p) обозначен символ Якоби).
(5)	Пусть р — нечетное простое число, р / В. Тогда г(р) делит
(р- (D/p)).
(6)	Пусть р — нечетное простое число, р / В, к = vp(Rr(py) и
е к. Тогда г(ре) = р€~кг(р).
(7)	Пусть к 1, h 1. Тогда Rkh+i = (m°d В£).
(8)	Пусть к 1, h 1. Тогда Rkh = kRhRk^{ (m°d В£).
Доказательство. (1) Рассмотрим множество пар
{(Rk mod т, Rk-i mod т) | к = 1, 2, ...}.
12-27
178
Глава V. Эпизоды 5 и 6
Так как существует лишь конечное число пар классов вычетов
модулю т, найдутся такие целые числа к и I, к < /, что
( Rk = Ri (mod m),
[ Rk-i =Ri-i (mod/??).
Так как BRk-2 — ARk-i — Rk, мы заключаем, что BRk- 2 ~
= BR1-2 (mod 77i), откуда, поскольку НОД(т.В) — 1, следуй
сравнение Rk-z = R1-2 (mod zr?). Повторение этого рассуждения
приводит к тому, что 0 -- Ro ее Ri-k (mod m), т. е. существует та-
кое натуральное число I - к, что т | Ri-k- Отсюда заключаем, что
найдется наименьший номер r(m), для которого т | Rr(m)-
(2)	Заметим сначала, что если т делит Rk. то НОД (m, Rk--\^ =
= 1 для каждого к 2. Действительно, иначе нашлось бы простое
число р, делящее m,Rk и Rk-i- Из соотношений Rk = ARk-i~
-BRk_2 и НОД(т,В) = 1 следует, что р | Rk-2- Повторение этого
рассуждения приводит к тому, что р | R^ = 1, а это противоречит
предположению.
Пусть теперь S — множество всех чисел к, для которых т де
лит Rk- Согласно (1) мы имеем S 0. Более того, если к, h € S. го
к 4- h € S. Действительно, из утверждения (2) леммы 2.1 следует,
что т | (к 4- h).
Аналогично, если к. h € S, к < h, то h — к € S. В самом
деле, Rh = Rk+(h-k) = RkRh-k+i - BRk-iRh-k, следователь-
но, m I BRk-iRh-k- Но НОД(т,В) — 1 и, как показано выше,
НОД (?77, Rk-i) = 1, а значит, т | Rh-k-
Этого достаточно, чтобы показать, что S есть множество чисел,
кратных наименьшему его элементу, а именно т(ттг).
(3)	Из условий т | тп и тп | Нг(тп) следует, что т | Rr(mn^
поэтому r(m) | г(тп). Аналогично г(п) | г(ттгп), а значит, I -~
= HOK(r(m),r(n)) делит r(mn).
С другой стороны, т | Hr(m) и r(m) | /, следовательно, т | Ri-
Аналогично доказывается, что п | Ri. Тогда с учетом равенства
НОД(т,п) = 1 получаем тп | В/, т.е. r(mn) | I.
(4)	Согласно утверждению (3.3) гл. II мы имеем
? = (Q - ^₽_1 +pf = D{p-"/2 +pf-
Так как	= (D/p) (mod p), мы заключаем, что Rp =
(mod p).
V.2. Линейные рекуррентные последовательности
179
(5)	Если р | D, то (D/p} -	(mod р}. Пусть (D/p} — 1.
Покажем, что тогда Rp-i = 0 (mod р), откуда согласно (2) можно
заключить, что r(p) | (р — 1). Действительно, согласно лемме 2.1 (5)
и доказанному выше утверждению (4) мы имеем
2ВЯР_1 = ARP - (ар 4- /?р) н А- (ар + ар) (mod р).
По лемме 2.1 (6) получаем 2р~г(ар 4- (Зр) = Ар (mod р). Следова-
тельно,
2BRP^ = 2PBRP_1 = 2Р-1 А - Ар = А - Ар = 0 (mod р).
Так как р /В, р ф 2, справедливо сравнение Rp_\ = 0 (mod р).
Пусть теперь (Р/р) = — 1. Покажем, что RP+i = 0 (mod р), от-
куда согласно (2) можно заключить, что г(р) | (р 4- 1). Действи-
тельно, по лемме 2.1 (5) и доказанному выше утверждению (4) мы
имеем
2Rp+l = ARP + (ар + Рр} = - А + (ар + /?р) (mod р).
По лемме 2.1 (6) получаем 2р-1(ар 4- /Зр) = Ар (mod р), так что
2Hp+i = 2pRp^ = —2Р-1 А 4- Ар = -А 4- Ар = 0 (mod р).
Поскольку р ф 2, должно выполняться сравнение RP+i = 0 (mod р).
(6)	Пусть Лг(р) = pkt, где р / f, к 1. По лемме 2.1(7) для
т 1 имеем
«к,»- = р'’"
(Рт-!)/2 т / т , 1Ч
+	— г ~h~ 1jBr(p)'*z>(pm-2ft-1)/2flp"-2/i.
h=i h \ h 1 J
Для h = (pm — l)/2 слагаемое с номером h равно ртВг(р)(рГП-1)/2 x
хйг(р), причем его р-адическое значение есть т 4- к, поскольку
Р/В.
Если 0 < h < (pm — 1)/2, то
Vp	1)вг<₽’лг)(₽т-2/-1’/2^(тр-2^
Vp ^r2h) = т + (рт - 2^к - vpW-
Однако если m 1 и 0 < h < (pm - 1)/2, то рт > 2h 4- vp(h) 4- 1.
Действительно, 2h — рт — psr, где p/r, 0^s<m, и если s — О,
180
Глава V. Эпизоды 5 и 6
то г > 1. Тогда 2h 4- vp(h) 4- 1 = рт - psr 4- s 4- 1 < pm, потому что
s 4-1 < psr (так как р # 2). Следовательно,
тп + (pm ~ 2h)k — vp(h) > т 4- vp(h)(k - 1) 4- к т 4- к.
При т 1 справедливы неравенства
vP(D^m-^2R^p}) >ртк>т + к
(так как р ф 2). Таким образом, для т 1 имеем vp (Rr(p)pm) =
= т + к, что справедливо и при т = 0.
Положим т — е — к 0. Тогда vp (7?г(р)ре-ь) = е, так что
ре | Hr(p)pe-fe и, следовательно, согласно (2) мы получаем, что
г(ре) | г(р)ре-*. Так как ре | Нг(ре), мы заключаем, что г(р) | г(ре).
Отсюда следует, что г(ре) = г(р)рт при 0 тп е — к. Если
тп < е - к, то vp(Rr(p)p™) = тп + к < е, так что ре / Rr(p)p™, следова-
тельно, г(ре) ф r(p)pm. Отсюда видно, что г(рс) = г(р)ре~к.
(7)	Доказательство проведем методом математической индук-
ции. Для к — 1 утверждение очевидно. Далее, по лемме 2.1 (2) и
индуктивному предположению
й(*+1)*+1 — R(kh+l)+h
= Rkh+lRh+1 — BRkhRh
= Rkh+lRh+1
= Rk+i (mod R2),
так как Rh делит Rkh (по лемме 2.1 (4)).
(8)	Также воспользуемся методом математической индукции.
Для к — 1 утверждение очевидно. Далее, принимая во внимание
утверждение (7), лемму 2.1 (2) и (4), получим
^(Jt+i)h = Rkh+h — RhRkh+l - BRh-lRkh
= RhRh+i ~ ВRh-ikRhR^\
= RhR^^Rh-^-i ~~ BkRh-i]
= RhRkh^ + l)Rh^ = (k + l)RhRkh^ (mod R2h),
поскольку
R/i+i = RhR2 ~ BRh-i = —BRh-i (mod Rh)> О
V.2. Линейные рекуррентные последовательности 181
Список литературы
1843 Binet, J., Memoire sur ['integration des equations lineaires aux
differences finies d'un ordre quelconque a coefficients variables,
C. R. Acad. Sci. Paris, 17 (1843), 559-567.
1846 Siebeck, H., Die recurrenten Reihen vom Standpunkt der Zah-
lentheorie aus betrachtet, J. Reine Angew. Math., 33 (1846), 71-
77.
1878 Lucas, E., Theorie des fonctions numeriques simplement peri-
odiques, Amer. J. Math., 1 (1878), 184-239 and 289-321.
1920 Dickson, L.E., History of the Theory of Numbers, Vol. I. Carnegie
Institution, Washington, DC, 1920; reprinted by Chelsea, New
York, 1952.
1930 Lehmer, D.H., An extended theory of Lucas' functions, Ann. of
Math., 31 (1930), 419-448.
1995 Ribenboim, P., The Fibonacci numbers and the Arctic Ocean,
Sympos. Gaussiana, Conf. A (editors M. Behara, R. Fritsch,
and R.G. Lintz), W. de Gruyter, Berlin, 1995, pp. 41-83.
Глава VI
Арифметические ограничения
на гипотетические решения
и показатель степени
Пусть р — нечетное простое число и х,у, z — отличные от нуля по-
парно взаимно простые целые числа, удовлетворяющие уравнению
хр -F ур -F zp = 0.
В этой главе мы рассмотрим сравнения и свойства делимости,
присущие некоторым выражениям, содержащим числа x,y,z и р.
В ряде случаев будут получены противоречия, показывающие спра-
ведливость теоремы Ферма (или ее первого случая) для определен-
ных показателей р. В разделе 3 мы остановимся на гипотезе Абеля,
полное прямое доказательство которой до сих пор неизвестно.
VI. 1. Сравнения
Итак, пусть р — нечетное простое число, и пусть числа х, у, z —
отличные от нуля попарно взаимно простые решения уравнения
хр +ур 4- zp = 0. Для удобства ссылок приведем необходимые утвер-
ждения из разд. III. 1.
Пусть р Кxyz. Тогда существуют отличные от нуля целые числа
г, s,Z,ri,Si и fi, такие, что
x	+ y = tp,	(хр	+ ?/р)/(х	+ т/)	= £i,	z	=	— fti,
<	у	4- z — тр,	(ур	4- zp}/(y	4- z)	= rf,	x	=	— rri,	(1.1)
z	4- x = sp,	(zp	4- xp)/(z	4- x)	— sp,	у	=	— ssi,
причем p /rstri si ti и r, s, i, ri, $i, ti попарно взаимно просты. Более
того, гр 4- sp 4- tp 0.
VI. 1. Сравнения
183
Если р )( ху, но р | z, то найдутся такие отличные от нуля целые
числа г,si,ti и п 2, что
х	4-	у	— ppn~1tp,	(хр	+ ур)/(х + у)	=	ptp,	z — —pntti,
<	у	z	— гр,	(?/р	4-гр)/(х 4-?/)	=	гр,	х = —rri,	(1.2)
x	+	y	= sp,	(zp	4- хр)/(х 4- у)	=	sp,	у = -ssi,
р )( rstrisiti и г, s, t, Ti, Si, ti попарно взаимно просты, причем гр4-
4-sp4-ppn"1tp^0.
Более того, если р / xyz, то =. 1 (mod 2р2), si = 1 (mod 2р2)
и ti = 1 (mod 2р2). Если р | z, р/ ху, то тх = 1 (mod 2р), Si = 1
(mod 2р) и ti = 1 (mod 2р2). Если р )(xyz, то
х = —гр 4- к,
< у = —sp 4- к,	(1.3)
z = -tp 4- к,
где к — (тр 4- sp 4- Если р | z, р )(ху, то
х = — гр 4- к,
< у = -sp 4- к,	(1.4)
z = -рРп~Чр + к,
где к = (гр 4- sp 4-ррп“Чр)/2.
Начнем с простого сравнения, а затем рассмотрим его более
сильную форму. Из сравнений хр = х (mod р), ур = у (mod р),
zp = z (mod р) следует, что —z = —zp — хр 4- ур = х + у (mod р),
а значит, хр 4- ур = — zp = (х 4- z/)p (mod р2).
Первый результат принадлежит Флеку (1909). В более слабой
форме он был получен Линдом в 1910 г. Впоследствии утверждение
было заново доказано Фробениусом в 1914 г., Вандивером (1914),
Поме (1923) и Перес-Качо (1958).
(1А) Пусть р — нечетное простое число и х, у, z — отличные от
нуля взаимно простые решения уравнения хр 4- ур 4- zp = 0. Тогда
(1) если р не делит х, то xp~r =. 1 (mod р3);
(2) если р /xyz, то (х 4- у)р = хр + ур (mod р4).
Доказательство. (1) Случай 1: р не делит yz. Как указано выше,
тогда Ti = 1 (mod р2). Следовательно, х = — rri = —г (mod р2) и
= — rp (mod р3).
В силу симметрии имеем также ур = — sp (mod р3) и zp = — tp
(mod р3). Так как хр + ур 4- zp — 0, мы заключаем, что гр 4- sp + tp = 0
184
Глава VI. Арифметические ограничения
(mod р3). Из соотношений (1.3) вытекает, что х = — rp (modp3).
Следовательно, хр = х (mod р3) и хр~х = 1 (mod р3).
Случай 2: z кратно р. В этом случае р не делит у. Как отмеча-
лось выше, тогда h = 1 (mod р2), а значит, tp = 1 (mod р3).
С другой стороны, рп — 1	4, поэтому х = —у (mod р4) и ptp =
= (хр 4- ур)/(х 4- у) = хр~г — хр~2у 4- ... — хур~2 4- yp~l = pxp~Y
(mod р4), а следовательно, хр~х = tp = 1 (mod р3).
(2) Из соотношений 0 = хр 4- ур 4- zp = х 4- у 4- z (mod р3)
следует, что х 4- у = —z (mod р3), а значит, (х 4- р)р = —zp = хр 4- ур
(mod р4). □
Воспользовавшись теорией полей классов, Вандивер вывел при-
веденное ниже следствие из теорем Фуртвенглера (1914, 1919).
(1В) Во введенных обозначениях справедливы сравнения хр = х
(mod р3), ур = у (mod р3), zp = z (mod р3) и т4-р4-г = 0 (mod р3).
Следующий результат также принадлежит Флеку (1909). Его
частные случаи были получены заново Поме (1923), Вандивером
(1925), Джеймсом (1934), Невядомским (1938) и Инкери (1946).
(1С) Пусть отличные от нуля взаимно простые целые числа
x,y,z таковы, что хр 4- ур 4- zp = 0. Тогда
(1) если р %xyz, то х + у + z делится на 6 и на rstp3, а г 4- s 4-1
9
кратно р\
(2) еслир | z, mox+y+z делится наб и на rstp2, ar+s кратно р,
в то время как г 4- s 4-1 не делится на р.
Доказательство. Из соотношений (1.1) (соответственно (1.2))
следует, что в обоих случаях числа г, s, t делят х 4- у 4- z. Но число
х 4- у 4- z четно и хр = х (mod 3), ур = у (mod 3), zp = z (mod 3),
следовательно, x + y + z^xp + yp + zp-=^ (mod 3).
В первом случае согласно утверждению (1А) получим хр = х
(mod р3), ур = у (mod р3), zp = z (mod р3), а значит, х 4- у 4- z = 0
(mod р3). Так как р % г st, мы заключаем, что rstp3 делит х 4- у + z.
Как указывалось выше, п = 1 (mod р2), $1 = 1 (mod р2), ti = 1
(mod р2). Из соотношений (1.1) следует, что х = —г (mod р2), у =
= —s (mod р2), z = —t (mod р2), а значит, г 4- s 4-1 = 0 (mod р2)-
Пусть теперь р | z. Тогда р / ху, откуда, учитывая (1.2), полу-
чим, что рп делит z и х 4- у (при п 2), а значит, р2 делит х 4- у + z.
Так как р % г st, число х 4- у 4- z кратно p2rst.
VI. 1. Сравнения
185
Как указывалось выше, и е 1 (mod р), si = 1 (mod р), отку-
да, учитывая (1.2), получим, что х = — г (mod р), у = — s (mod р).
Следовательно, г + s = -(х + у) = z = О (mod р). Таким образом,
r4-s4-i = i^0 (mod р). □
Первая часть следующего предложения была доказана Шпуна-
ром (1929) и Джеймсом (1934). Более простое доказательство нашел
Сегал (1938).
(1D) Пусть отличные от нуля взаимно простые целые числа
x,y,z таковы, что хр +ур + zp = 0. Тогда
(1) если р Xxyz, то г i s i t
(2) если р | z, то г 4- s -F pnt 0 ur+s+t^0 (где показатель п
определен в (1.2)).
Доказательство. (1) Предположим, что р / xyz и г + $ 4-1 = 0.
Так как (г, s,t) = 1, без ограничения общности можно считать, что
г и s нечетны, a t четно. Тогда rp + sp = (у 4- z) 4- (z 4- х) = х 4- у 4- 2z =
= tp — 2tti (согласно (1.1)). Отсюда
ГР + sp rP + SP _	i
— ZC1 — I
г 4- s	t
Левая часть этого соотношения равна rp~1 — rp~2s 4-... — rsp~2 4-
4-	. Она нечетна как сумма р нечетных чисел. С другой стороны,
2ti — tP”1 четно, что невозможно. Следовательно, в первом случае
г 4- 8 4-1 ± 0.
(2) Если р | z, то р )(ху и с учетом равенств (1.2) мы получаем,
что гр 4- sp = (y + z) + (z + x) = z4-t/4-2z = рРп~Чр - 2pntt\. Значит,
если г 4- s 4- pnt - 0, то
Г1+^ = _Г1±^ = 2(1
г 4- s	pnt
Поскольку p/ti ип > 2, число р не делит (гр 4- $р)/(г 4- s).
С другой стороны, согласно утверждению (3R)(4) гл. II справед-
ливо соотношение НОД(р,г 4- $) = НОД (г 4- з,(гр 4- sp)/(r 4- $)).
В силу утверждения (1С) сумма (г 4- $) кратна р, а значит, р делит
(гр 4- sp)/(r 4- $). Итак, мы получили противоречие. Наконец, так
как Р / (г 4- s 4- £), из утверждения (1С) следует, что г 4- s 4-1	0. □
В связи с этим результатом Раклиш в 1944 г. рассмотрел следую-
щее предположение относительно нечетного простого показателя р.
186
Глава VI. Арифметические ограничения
(Яр) Пусть а,Ь,с — ненулевые целые числа и pabc делит ар + bp-t-
+ср. Тогда а + b + с — 0 или ар 4- Ър + ср — 0.
Раклиш доказал такой результат.
(1Е) Если условие (R'p) справедливо для некоторого нечетного
простого числа р, то для показателя р справедливо утверждение
первого случая теоремы Ферма.
Доказательство. Предположим, что не кратные р взаимно про-
стые целые числа x,y,z таковы, что хр -I- ур 4- zp — 0. Определим
ненулевые целые числа r,s,t из соотношений (1.1). Согласно заме-
чанию после формулы (1.1) мы получаем, что rp -F sp 4- tp 0, а
как следует из утверждения (1D), г 4- s 4- t 0. По утверждению
(1С) мы получаем, что р делит г 4- s 4-1. Согласно (1.1) и (1.3) числа
г, s, t делят гр 4- sp 4- tp, а так как числа р, г, s и t попарно взаимно
просты, prst делит гр 4- sp 4- tp, из чего следует, что условие (Яр) не
выполняется. □
Однако, вообще говоря, утверждение (Яр) неверно. Для (Я3) и
(Я5) найдены контрпримеры: р = 3, а = 6 = с = 1 и р = 5, а = 33.
b = — 2, с — —1 соответственно.
Аналогичным образом рассмотрим следующее утверждение.
(Яр) Пусть отличные от нуля целые числа а,Ь,с таковы, что
pabc делит ар + № +ррп~1ср {для некоторого п 2). Тогда а 4- Ъ 4-
4-рпс = 0 или ар + № 4- ррп~1ср — 0.
Справедлива следующая импликация.
(1F) Если утверждение (Я") выполнено для некоторого нечетно-
го простого числа р, то выполнено и утверждение второго случая
теоремы Ферма для показателя р.
Доказательство. Предположим, что x,y,z — такие взаимно про-
стые целые числа, что р | z и хр + ур 4- zp = 0. Определим ненулевые
целые числа г, s, t, п из соотношений (1.2), п 2. Тогда, как следует
из утверждения (1D), г 4- s 4- pnt 0, и с учетом замечания после
(1.2) мы получаем, что гр 4- sp +pPn~ltp ф 0.
Однако, как мы видели в утверждении (1С), г 4- s = 0 (mod р).
так что р делит rp4-sp + pPn~xtp. Согласно соотношениям (1.4) числа
г, s, t делят rp + sp 4-ргш-1^р, а так как р, г, s и t взаимно просты, prst
делит гр 4- sp + ppn~1tp. Это противоречит предположению (Я"). □
VI. 1. Сравнения
187
В 1946г. Инкери обобщил утверждение (1А). Он также полу-
чил соответствующий результат для второго случая, применив бо-
лее сильный метод из теории полей классов.
(1G) Пусть р — нечетное простое число, п 1, ненулевые целые
числа х, у, z взаимно просты, причем хр + ур + zp — 0 и х не
кратно р. Тогда хр~г = 1 (mod p2n+1).
Доказательство. В силу того что числа x,y,z попарно взаимно
просты, можно без ограничения общности полагать, что р XУ- Тогда
п
«п	.	ч 1 г „ /	— 1	итп —1\
-хр = ур + zp - (у + z) JJ Qp (ур , -zp j .
т=1
Согласно утверждению (ЗС)(2) гл. II множители в правой части
этого равенства попарно взаимно просты, следовательно, у -F z ~
= ар , где а | х и р / а. Аналогично х -F z = ЬР", где b | у и р / Ь.
Если р X z, то, используя такие же рассуждения, получим х+у —
= ср , где с | z,p X с, и (хр 4- ур}/(х -I- у) = d?", где d | z, р / d и
НОД (с, d) = 1. Однако если р | z, то исходя из утверждения (ЗС)(3)
гл. П мы можем записать х -I- у = phcpn и (хр -I- ур}/(х + у) — pdp7\
где с | z, d | z, р/с, р Xd, НОД (с, d) = 1 и h 1.
Покажем, что если q — любое простое число, делящее d (и при
р | z, и при р X z), то q = 1 (mod pn+1). Действительно, так как q | d,
мы заключаем, что q | (хр -F ур), q | z, q р и q / с, следовательно,
4- у). Тогда
{у = арП (mod q),
х = ЬРп (mod q),
а значит, q / (ар” + б**"). Но ap”+1 4- Ь?”*' = хр 4- ур = 0 (mod q).
Следовательно, q является примитивным делителем бинома арП+1-|-
+ 6** .Из утверждения (3G) гл. II следует, что q = 1 (mod pn+1),
поэтому d = 1 (mod pn+1), а значит, dp” = 1 (mod p2n+1).
Для завершения доказательства изучим два случая.
Если р /х, то (хр4-рр)/(х-|-р) = 1 (mod p2n+1), поэтому хр4-т/р =
= х+у (mod p2n+1). В силу симметрии yp + zp = y + z (mod p2n+1) и
xp + zp = x + z (mod p2n+1). Сложив эти сравнения, разделив на 2 и
вычитая из полученного сравнения второе из исходных сравнений,
получим хр = х (mod p2n+1), следовательно, хр-1 = 1 (mod p2n+1).
Еслир | z, положим vp(z) = k 1, так что vp (zpn) = рпк п4-1.
Согласно утверждению (ЗС)(4) гл. II мы имеем vp(x 4-у) = рпк — п,
188	Глава VI. Арифметические ограничения
так что х = — у (mod ркрП~п). Следовательно,
pd? = Х  +У.. — хр~г — хр~2у 4- ... - хур~2 4- ур~г
х + у
= рхр~г (mod ркр ~п).
Но крп — п 2п 4- 2, потому что р > 3 (иначе предположение не
выполнено). Итак, хр-1 = dp" = 1 (mod p2n+1). □
Дальнейшие результаты связаны со сравнениями вида
(1 4- х)рк = 1 4- хрк (mod p*+1).
Прежде чем перейти к их изучению, докажем следующую лемму,
которую явно сформулировала Ферентину-Николакопулу (1965).
ЛЕММА 1.1. Пусть нечетное простое число р не делит а. Тогда
(1)	если п > т 0, то арП = арП m (mod pn“m+1);
(2)	если к 1, то арк — арк 1 = арк~1(ар~1 - 1) (mod p*+1).
Пусть р также не делит (а 4- 1). Тогда
(3)	если к 1, то [(а 4- 1)рй — ар* - 1] - [(а 4- 1)рй 1 — ар* 1 — 1] =
= Рк~г [(а + 1)р — ар — 1] (mod p*+1);
(4)	если к 2, то (а 4- 1)р = ар 4-1 (mod p*+1) тогда и только
тогда, когда (а 4- 1)р	= ар 4-1 (mod p*+1);
(5)	если к 1 и (а 4- l)pfc = арк 4- 1 (mod рк+2), то (а 4- 1)рй 1 =
= арк 1 4-1 (mod p*+1).
Доказательство. (1) Возведем сравнения ар™ = ... = ар = а
(mod р) в степень рп~т:
ар = ар (mod рп-тп+1).
(2)	Запишем соотношение арк — арк 1 = арк 1[арй - 1].
Если ар-1 = 1 4- Ьр, то
(ар-1)р	~ 1 4- Ърк (modp*+1),
следовательно,
(ар-1)р	- 1 = Ьрк ~ [ар~1 - 1)р*-1 (mod pfc+1).
Так как арк 1 = a (mod р), мы заключаем, что
ар — ар = а(ар-1 — 1)рл-1 (mod p*+1).
VI. 1. Сравнения
189
(3)	Применив утверждение (2) и учитывая то обстоятельство,
что по предположению р не делит а 4- 1, получим
(а + 1/ - (а + I)”*"* = (а + l)//"1 ((а + I)”"1 - 1) (mod p*+1)
и аналогично
арк — ар 1 = арк~1(ар~1 - 1) (mod p*+1).
Вычитая эти сравнения, получим
[(а + 1)р" - арк - 1] - [(а + 1/’1 - t/’1 - 1]
= рк~г [(а 4- 1)р - ар — 1] (mod pfc+1).
(4)	Прежде всего заметим, что если к 2, то арк = арк 1 ~
= ... = ар (mod р2) и
(а + 1/ = (а + l)pfc-1 = (а + 1)р (mod р2).
Таким образом,
(а + 1)р" - арк - 1 = (а + 1)р‘-1 - арк~' - 1
= (а 4- 1)р — ар — 1 (modp2).
Если
(а 4- l)pfc - арк — 1 = 0 (mod p*+1),
то, очевидно,
(а 4- l)pfc — арк — 1 = 0 (mod р2),
так что (а 4- 1)р — ар — 1 = 0 (mod р2). Исходя из утверждения (3)
получаем
(а4-1)р	— ар — 1=0 (modp*+1).
Обратное утверждение доказывается аналогично.
(5)	Из предположения следует, что (а 4- 1)р	= ар 4- 1
(mod p*+1), а значит, (а 4- 1)р*	= арк 1 4-1 (mod pfc+1). □
В частности, как было отмечено Биркгофом и как показал Кар-
майкл в своей статье «Вторая заметка по последней теореме Ферма»
(1913), если простое число р не делит ни а, ни (а 4-1), то (14- а)р =
= 1 + ар (mod р3) тогда и только тогда, когда (1 4- а)р = 1 4- ар
(mod р3).
Следующий результат получен Клёсгеном в 1970 г.
(Ш) Пусть р — нечетное простое число и т 1. Тогда следу-
ющие утверждения равносильны.
190	Глава VI. Арифметические ограничения
(1) Существуют целые числа х,у, z, не кратные р, удовлетворя-
ющие сравнению
тр 4- ур + zp е0 (mod р7714-1).
(2) Существует целое число а, 1 а (р — 3)/2, такое, что
1 4- ар = (14-а)р (mod рт+1).
Более того, если какие-либо два из чисел x,y,z сравнимы по моду-
лю р, то 2Р™~1 = 1 (mod prn+1).
Доказательство. Достаточно доказать, что из (1) следует (2), по-
скольку обратное утверждение очевидно. Пусть z' — такое целое
число, что z'z = 1 (mod р). Пусть, далее, а = z'x (mod р), —Ь = z'y
(mod р), где 1 а р — 1, 1	6 р — 1. Тогда
apmEZZ (modp7714-1),	=zfprnypm (modp™+1),
так что ар™ 4-1 = ЬР™ (mod pm+1). Если b = а 4-1 (mod р), то ар™ 4-
4-1 ~ IP™ = (а 4- t)p™ = а 4- t (mod р), поэтому t = 1 (mod р) и
ар™ 4- 1 = (а 4- l)pm (mod pm+1), где 1^а<а4-1^р — 1.
Если а = (р — 1)/2, то а 4- 1 = (р 4-1)/2 = —(р — 1)/2 (mod р),
поэтому
(р—1)р 4-2Р = —(р—1)р	(mod р +1),
следовательно, 2Р™ = 2 (mod pm+1) и можно положить а = 1, так
как 1рТП 4-1 = (1 4- l)pm (mod pm+1). Если (р — 1)/2 < а р — 2, то,
полагая ai = р — 1 — а, получим 1 ai (р-3)/2 и
1 4- ар =(14-ai)pm (mod рт+1).
Чтобы доказать заключительное утверждение, предположим,
что, например, х = у (mod р). В ходе доказательства мы получили
сравнения а = z'x = z'y = —b (mod p), b = a 4- 1 (mod p), из кото-
рых следует, что 2а = —1 (mod р), а значит, а = (р — 1)/2. Таким
образом, 2Р™~1 = 1 (mod р™4-1). □
Получим прямое следствие из этого результата.
Если для некоторого показателя р не выполнен первый случай
теоремы Ферма, то есть если найдутся целые числа х,у, z, не крат-
ные р, такие, что хр 4- ур 4- zp = 0, то непременно хр 4- ур 4- zp = 0
(mod р2). Следовательно, мы получаем, что существует такое чис-
ло а, 1 а (р — 3)/2, что 1 4- ар = (1 4- а)р (mod р2). Кармайкл
(1913) и Мейснер (1914) получили более сильные результаты (пер-
вое утверждение доказал также Ганди (1975)).
VI. 1. Сравнения
191
(II) Пусть отличные от нуля взаимно простые целые числа
x,y,z таковы, что хр + ур + zp = 0. Тогда
(1) если р / xyz, то существует такое целое число а, 1 а
(р — 3)/2, что
(1 4- а)р = 1 4- ар (mod р3),
или, что равносильно, (1 4- а)р = 1 4 ар (mod р3);
(2) если р | xyz, то существует такое целое число а. 1 а
(р — 3)/2, что (1 4 а)р = 1 4 ар (mod р2).
Доказательство. (1) Из утверждения (1А) следует, что хр =
= х (mod р3), поэтому хр = хр = х (mod р3). Аналогично ур = у
(mod р3) и zp ~ z (mod р3). Следовательно, принимая во внимание
утверждение (1С), мы получаем хр + ур + zp =x+y+z=0
(mod р3).
В силу утверждения (1Н) существует такое число а, 1 а
(р — 3)/2, что (1 -F а)р = 1 4- ар (mod р3), и с учетом замечания
Биркгофа после леммы 1.1 мы можем заключить, что (1 + а)р =
= 1 4- ар (mod р3).
(2) Если р | xyz, то можно считать, например, что р Кху, р | z.
Согласно утверждению (1С) справедливо сравнение х 4- у 4- z н О
(mod р2), следовательно, (х4-р)р = — zp = хр + ур (mod р3). Так как
х £ 0 (mod р), у 0 (mod р), найдется такое целое число b, 1 b
р — 1, что у = bx (mod р). Тогда ур = Ърхр (mod р2) и (х 4- р)р =
= яр(1 4- b)p (mod р2). Таким образом, хр(1 4- Ь)р = хр(1 4- 6Р)
(mod р2). Поскольку р /х, должно выполняться сравнение (14-6)р =
= 14-^ (mod р2).
Как и при доказательстве утверждения (1Н), если 1^6^
(р — 3)/2, положим а = Ь, в случае когда (р — 1)/2 < b р — 1,
возьмем а = р — 1— Ь, а если 5 = (р — 1)/2, то положим а — 1. □
Заметим, что, как отметил Биркгоф (см. упоминавшуюся статью
Кармайкла (1913)), утверждение (II) не применимо для первого
случая при р = 1 (mod 6). Убедимся в этом, рассмотрев следующую
несложную лемму.
Лемма 1.2. Нечетное простое число р сравнимо с 1 (mod 6)
тогда и только тогда, когда р 3 и существует такое целое
число t, 1 t р — 1, что t2 4-1 4 1 = 0 (mod р).
Доказательство. Пустьр = 6k41 и р — первообразный корень по
модулю р. Пусть, далее, число t таково, что 1 $ t - 1 и t = g2k
192
Глава VI. Арифметические ограничения
(modp). Тогда t 1 (modp), но t3 = 1 (modp). Следовательно,
t2 4-1 4- 1 = (t3 — l)/(£ — 1) = 0 (mod p).
Обратно, если t2 4-1 4-1 = 0 (mod p), to (2t 4-1)2 = 4t2 4- 42 4- 1 =
= 4(t2 4-H 1) - 3 = —3 (mod p). Таким образом, —3 есть квадра-
тичный вычет по модулю р ф 3. Отсюда следует, что 1 — (—3/р) =
= (р/3), так что р = 1 (mod 3), а значит, р = 1 (mod 6). □
Применим теперь следующее утверждение, доказанное Коши
(1841): если р = 1 (mod 6), то многочлен рХ(Х 4- 1)(Х2 4- X 4- I)2
делит (X 4- 1)р - Хр — 1 (см. утверждение (2А), гл. VII).
Итак, если р = 1 (mod 6), то по лемме 1.2 найдется такое чис-
ло t, 1 t р - 1, что t2 4- t 4- 1 = 0 (mod р). Отсюда следу-
ет, что (1 4- t)p = 1 4- tp (mod р3) и согласно замечанию Биркгофа
(1 4- t)p н14-£р (mod р3). Продолжая рассуждения, аналогичные
доказательству утверждения (1Н), мы придем к выводу, что суще-
ствует такое а, 1 а (р — 3)/2, что (1 4- а)р = 1 4- ар (mod р3).
Отсюда видно, что предложение (II) не применимо для первого
случая при р = 1 (mod 6).
В 1975 г. Вагштаф установил, что для всех простых показателей
р, р < 100000, р = — 1 (mod 6), сравнение (14-т)р = 1 + хр (modp3)
не разрешимо в целых числах а, 1 а (р — 3)/2. Таким обра-
зом, первый случай для этих показателей был доказан (см. также
Джонсон (1977)).
В том же 1975 г. Ганди независимо провел эти вычисления.
Утверждение (II) можно переформулировать так.
(1J) Пусть д — первообразный корень по модулю р. Тогда
(1) если \ + gip2 + gkp2 0 (mod р3) для всех j, k = 1,... ,р — 1, то
для показателя р справедлив первый случай теоремы Ферма]
(2) если 1 4- gJP 4- gkp 0 (mod р2) для всех j, k = 1,... ,р — 1, то
теорема Ферма справедлива для показателя р.
Доказательство. (1) Если для показателя р не выполнен пер-
вый случай теоремы Ферма, то должно существовать такое це-
лое число а, 1 а (р — 3)/2, что (1 4- а)р е 1 + ар (mod р3).
Заметим, что а 0,-1 (modp). Пусть числа j,к таковы, что
а = gi (mod р), —(1 4- а) = gk (mod р). Тогда ар = gip (mod р3),
(1 4- а)р = —дкр (mod р3) и, следовательно, 1 4- gip 4- дкр = 0
(mod р3).
(2) Если для показателя р не выполнена теорема Ферма, то
должно существовать такое число а, 1 $ а (р — 3)/2, что (14-а)р =
VI. 1. Сравнения
193
= 14-ар (mod р2). Тогда аналогичным образом заключаем, что най-
дутся такие числа j, к, что 1 -F gJP -F gkp = 0 (mod р2). □
В 1950г. Трипанис предположил (без доказательства), что спра-
ведливо следующее усиление результата Кармайкла, которое было
заново найдено Ферентину-Николакопулу в 1965 г. (мы приводим ее
доказательство), а в 1970г. обобщено Клёсгеном (см. (1J)).
(1К) Если первый случай теоремы Ферма не выполнен для по-
казателя р > 5, то существует целое число а, 1 а (р — 5)/2,
такое, что
(1 4- а)р2 = 1 4- ар2 (mod р4),
или, что равносильно,
(14-а)р = 1 4- ар (mod р4).
Доказательство. Предположим, что положительные целые числа
x,y,z, не кратные р, таковы, что
хр + ур = zp.
Пусть t обозначает порядок числа р по модулю z, то есть такое
наименьшее натуральное число, что
р* = 1 (mod z).
Тогда р* — 1 — dz для некоторого натурального числа d. Ясно, что
р не делит d. Положим т = dx,n = dy. Тогда р не делит тип,
причем
тр 4- пр = (р* - 1)р.
Таким образом, числа т,п и — (р* — 1) удовлетворяют уравнению
Ферма. По утверждению (1С) мы имеем т 4- п = р1 — 1 (mod р3).
Заметим, что числа тип меньше чем р1 — 1, а так как (т+п)р >
> тр4-пр, мы получаем, что m+n > р* — 1, поэтому р* < т4-п4-1 <
< 2р*. Отсюда следует, что 2^4, потому что если t 3, то
т 4- п = р* - 1 (mod р*),
т.е. m4-n + l е0 (mod pf), что невозможно.
Так как m + n = —1 (mod р3), выполняется сравнение (п4- 1)р =
= ~тр (mod р4). Из соотношения тр 4- пр — (р* — 1)р следует, что
пр 4-1 = —тпр (mod pt+1),
13-27
194	Глава VI. Арифметические ограничения
а значит, пр+1 = —тр (mod р5), и с учетом предыдущего сравнения
мы получаем
(п 4- 1)р = пр 4- 1 (mod р4).
Согласно утверждению (1А) мы имеем тр~х = пр-1 н (р* — 1)р-1 г
= 1 (mod р3), и, поскольку п 4- 1 = — т (mod р3),
(п 4- 1)р~1 = тр~1 = np~l = 1 (mod р3).
Как известно, существует в точности <р(р3) — р2(р - 1) обра-
тимых классов вычетов по модулю р3, образующих циклическую
мультипликативную группу. Пусть класс вычетов w по модулю р3
порождает эту группу. Тогда из сравнений
пр-1 = । (mod р3) и (п4- 1)р-1 = 1 (mod р3)
следует, что порядки классов вычетов п (mod р3) и (n4-l) (mod р3)
делят р — 1. Поэтому существуют такие целые числа h,k, 0 h,
к р — 2, что
п = whp (mod р3)
и
п 4-1 = wkp2 (mod р3).
Пусть b = wh (mod р). Тогда
2
п = If = b (mod р)
и
п 4-1 = wkp = wk (mod р),
следовательно, wk = b 4-1 (mod p), так что
np = If (mod p4)
(n + 1)” = (6 + 1/ (modp4).
Поскольку (n 4- l)p = np 4-1 (mod p4), мы получаем, что
(6 4- 1)р3 = If 4- 1 (mod p4).
Заметим, что p не делит ни 6, ни b 4- 1. Если 1 b (р — 5)/2,
положим а — Ь. При b = (р — 3)/2 из сравнения
3	3
+1 (mod р4)
следует, что
-1 = -Зр3 4- 2Р (mod р4),
VI. 1. Сравнения
195
а значит, можно взять а = 2. Если b = (р — 1)/2, то
= (^”2^) + 1 (mod р4)’
откуда следует, что
1 = -1 + 2р3 (mod р4),
поэтому можно положить а = 1. Если (р 4- 1)/2 b < р — 1, то,
полагая а = р — 1 — 6, получим 1 а $ (р — 3)/2 и
(а -|- 1)р3 = -If3 е 1 - (Н 1)р3 н 1 + ар3 (mod р4).
По лемме 1-1(4) мы получаем
(a -F 1)р2 = ар2 -F 1 (mod р4). □
Заметим, что ввиду леммы 1-1(5) утверждение (1К) и в самом
деле является усилением (II).
Получим прямое следствие из приведенных результатов, указан-
ное Ганди (1976).
(1L) Пусть утверждение первого случая теоремы Ферма не вы-
полнено для некоторого показателя р. Тогда существует такое
целое число Ь, не кратное р, что (1 -F b}p = 1 4- If (mod р4).
Доказательство. Согласно утверждению (1J) найдется такое це-
лое число а, не кратное р, что
(14-а)р = 1 4- ар (modp4).
По лемме 1.1 мы имеем
(1 4- а)р = 1 4- ар (mod р3).
Возводя это сравнение в степень р, получим
(1 4- а)р2 = (14- ар)р (mod р4),
следовательно,
(1 4- ар)р = 1 4- ар (mod р4).
Положив b — ар, получим (1 4- b)p = 1 4- If (mod р4). □
Брчич-Костич в 1952 г. получил подобный результат при неко-
торых дополнительных ограничениях на простой показатель р.
В 1970 г. Клёсген доказал следующее обобщение утверждения (1К).
196	Глава VI. Арифметические ограничения
(1М) Пусть п 1 и целые числа x,y,z, не кратные данному
простому нечетному числу р, таковы, что хр + ур + zp — 0.
Тогда
хр3п + Z" + zp3n = 0 (mod p3n+1),
или, что равносильно, существует такое целое число а, 1 а
(р — 3)/2, что
(1 -F а)р3п = 1 + ар3 (mod p3n+1).
Доказательство. Согласно утверждению (1G) мы имеем хр = х
(mod p2n+1). Возводя это сравнение в степень рп, получим трП+1 =
= хрП (modp3n+1). Еще одно возведение в степень рп приведет
к сравнениям хрП*2 = хрП+1 = хрП (mod p3n+1). Повторяя эту опе-
рацию, мы получим хр п = хрП (mod p3n+1). Аналогично ур ” = урП
(mod p3n+1) и zp п = zpn (mod p3n+1). Следовательно,
хр +ур -V zp = хр +ур + zp =0 (mod р3 +1).
Последнее утверждение следует из (1Н). □
При п = 1 получим утверждение (1J).
Джонсон (1977) исследовал возможность дальнейшего усиления
сравнений Кармайкла и Трипаниса по модулю каждой степени рп+2
(n 1). В подобных ситуациях обычно применяют р-адические ме-
тоды.
Обозначим через 6 Zp единственное р-адическое целое число,
являющееся корнем степени (р — 1) из единицы, такое, что = j
(mod р) для всех j = 1,2,... ,р - 1 (см. (1W), гл. V).
(1N) Пусть р — простое число, р > 3, и целое число а та-
ково, что р не делит ни а, ни a -F 1. Тогда следующие условия
равносильны:
(1)	для всех n 1 справедливо сравнение (1 -I- а)рП Е 1 + арП
(mod рп+2);
(2)	1 4~ аа —
(3)	а2 4- а 4- 1 = 0 (mod р).
Доказательство. Заметим, что р-адическое разложение числа &а
имеет вид аа = а 4- рар, где ра Е Zp, причем ра определяется по &а
единственным образом. Покажем, что для всех п 0 выполнено
сравнение
аа = арП 4- PaPn+1 (mod pn+2).
(1-5)
VI. 1. Сравнения
197
Для п = 0 это очевидно. Пусть сравнение (1.5) выполнено для неко-
торого п. Тогда из равенства ар-1 — 1 следует, что
аа = (аау = (арП 4-рарп+1)₽
=	+ рарп+2а^-^
= ар	+ рарп+2 (mod рп+3),
поскольку арП(р-1) = 1 (mod р).
Теперь мы готовы доказать равносильность утверждений (1), (2)
и (3).
(1) => (2) Пусть для всех п 1 выполнено условие 1 4- ар =
= (14- а)р (mod рп+2). Следовательно, с учетом (1.5) можно запи-
сать сравнения
1 4- аа = 1 4- арП 4- papn+1 =(14- а)р” 4- papn+1 (mod pn+2).
С другой стороны, Qi+a = (1 4- a)p” 4- pi4_apn+1 (mod рп+2), поэто-
му 1 4- аа = Qi+a (mod pn+1) для всех п 1. Из единственности
р-адического разложения следует, что 1 4- аа = Qi+a-
(2) => (1) Воспользуемся сравнениями
cti+a = (1 + а)р" + p1+apn+1 (mod рп+2)
в
1 + аа = 1 + ар" + papn+1 (mod рп+2).
Согласно предположению ai+a = 1 4- aa, так что (1 4- а) 4- Pi+aP =
= 1 4- (а 4- рар). Из единственности р-адического разложения за-
ключаем, что pi+a = ра, а значит, (1 4- а)рП = 14- арП (mod рп+2).
(2) => (3) Заметим, что р-адические корни из единицы степени
(р — 1) образуют циклическую мультипликативную группу. Пусть
Qj — ее порождающий элемент. Рассмотрим подполе Q(aj) С Qp,
являющееся расширением Галуа поля Q. Пусть а — такой авто-
морфизм, что сг(а7) = а”1. Так как аа = (&j)k (для некоторо-
го fc), справедливы равенства cr(aa) = (<*j)~k = ааГ- Аналогично
ст(«1+а) = «Г+а-
По предположению 1 4-аа = «i+а- Применив автоморфизм а,
получим 1 4-	= аГ+а- Следовательно,
«attl+a + «1+а = «а,
+ а2 4- 1 4- С^а —
так что
198
Глава VI. Арифметические ограничения
и
+ Qa + 1 = 0.
Так как аа н a (mod р), мы можем заключить, что а2 4- а 4- 1 = 0
(mod р).
(3) => (2) Поскольку р^Зиа2+а + 1нО (mod р), мы по-
лучаем, что а 1 (mod р). Умножив на (а — 1), получим а3 = 1
(mod р). Следовательно, (аа)3 = 1 (mod р). Но (а3)р-1 = 1, поэто-
му а3 — 1, а это единственный корень из единицы степени (р — 1)
в Zp, сравнимый с 1 по модулю р. Так как аа / 1, число аа суть
первообразный кубический корень из 1, а значит,
«а + «а + 1 = 0.
Таким образом, аа 4- 1 = -а2 = —а2 = а 4- 1 (mod р), а сле-
довательно, аа 4- 1 = «ач-1 есть единственный корень из единицы
степени (р- 1) в Zp, сравнимый с а 4-1 по модулю р. □
Заметим, что ввиду леммы 1.1 вышеуказанное условие (1) рав-
носильно следующему:
(!') для всех п 1 справедливо сравнение (1 4- а)р”+1 =14- арП+1
(mod рп+2).
Из леммы 1.2 следует, что при р > 3 целое число а, 1 а р — 1,
удовлетворяющее эквивалентным условиям из утверждения (1N),
существует тогда и только тогда, когда р = 1 (mod 6).
Как следствие получаем такой результат.
(1О) Пусть р — простое число, р = 5 (mod 6). Тогда существует
такое целое число по > 0, что при п по и а = 1,2, ...,р — 2
выполнено условие
(14-а)р	1 4- ар (mod рп+2).
Доказательство. Из леммы 1.2 следует, что если а = 1,2,... ,р-2,
то а2 4- а 4- 1	0 (mod р). Согласно утверждению (1N) для всех а
существует такое число п(а), что
(1 4- а)р <а)	1 4- ар ( } (mod рп(а)+2).
В силу леммы 1-1(5) мы заключаем, что если п по = max{n(a) |
а — 1, 2,... ,р - 2}, то
(1 4- а)р 1 4- ар (mod рп+2)
для всех а = 1, 2,... ,р — 1. □
VI. 1. Сравнения
199
Было бы интересно установить справедливость следующего ут-
верждения.
(I) Пусть для всех а = 1,2, . ..,р — 2 выполняется сравнение
(1 -F d)p = 1 + ар (mod р3). Тогда а2 4- а 4-1 н О (mod р).
Дело в том, что если утверждение (I) справедливо, то и пер-
вый случай теоремы Ферма справедлив для всех показателей р = 5
(mod 6). Действительно, иначе согласно утверждению (II) нашлось
бы такое число а, 1 а р - 2, что (1 4- а)р = 1 4- ар (mod р3).
Но тогда ввиду утверждения (I) должно выполняться сравнение
а2 4- а 4- 1 = 0 (mod р), а значит, р = 1 (mod 6), что противоречит
предположению.
Арвин в 1920 г. показал, что существуют такие целые числа а и
простые числа р, что (1 4- а)р = 1 4- ар (mod р2), но в то же время
а2 4- а 4- 1	0 (mod р). Так что кажущееся естественным усиление
утверждения (I) неверно.
Список литературы
1841 Cauchy, A., Exercices (Гanalyse et de physique mathematique, 2
(1841), 137-144 (Notes sur quelques theoremes d’algebre); Oeu-
vres Completes, (2), Vol. XII, pp. 157-166, Gauthier-Villars,
Paris, 1916.
1909 Fleck, A., Miszellen zum groflen Fermatschen Problem, Sit-
zungsber. Berliner Math. Ges., 8 (1909), 133-148.
1910 Lind, B., Uber das letzte Fermatsche Theorem, Abh. Geschichte
Math. Wiss, 26 (1910), 23-65.
1913 Carmichael, R.D., Note on Fermat's last theorem, Bull. Amer.
Math. Soc., 19 (1913), 233-236.
1913 Carmichael, R.D., Second note on Fermat's last theorem, Bull.
Amer. Math. Soc., 19 (1913), 402-403.
1914 Frobenius, G., Uber den Fermatschen Satz, III, Sitzungsber. Kd-
nigl. Preussischen Akad. Wiss., Berlin, 22 (1914), 653-681;
reprinted in Collected Works, Vol. 3, pp. 648-676, Springer-
Verlag, Berlin, 1968.
1914 Vandiver, H.S., A note on Fermat's last theorem, Trans. Amer.
Math. Soc., 15 (1914), 202-204.
1914 Meissner, W., Uber die Losungen der Kongruenz xp~l = 1
(mod pm) und ihre Verwertung zur Periodenbestimmung mod pk,
Sitzungsber. Berliner Math. Ges.. 13 (1914), 96-107.
200	Глава VI. Арифметические ограничения
1917 Pollaczek, F., Uber den groflen Fermat'schen Satz, Sitzungsber.
Akad. Wiss., Wien, Abt. Ila, 126 (1917), 45-59.
1919 Vandiver, H.S., A property of cyclotomic numbers and its relation
to Fermat's last theorem, Ann. of Math., 21 (1919), 73-80.
1920 Arwin, A., Uber die Losung der Kongruenz (A 4- l)p - Ap - 1 = 0
(mod p2), Acta Math., 42 (1920), 173-190.
1923 Pomey, L., Sur le dernier theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci.
Paris, 177 (1923), 1187-1190.
1925 Vandiver, H.S., A property of cyclotomic integers and its relation
to Fermat's last theorem, Ann. of Math., 26 (1925), 217-232.
1929 Spunar, V.A., On Fermat's last theorem, II, J. Washington Acad.
Sci., 19 (1929), 395-401.
1934 James, G., On Fermat's last theorem, Amer. Math. Monthly, 41
(1934), 419-424.
1938 Segal, D., A note on Fermat's last theorem, Amer. Math. Month-
ly, 45 (1938), 438-439.
1938 Niewiadomski, R., Sur la grandeur absolue et relation mutuelle
des nombres entiers qui peuvent resoudre I'equation xp + yp = zp
(in Polish), Wiadom. Mat., 44 (1938), 113-127.
1944 Racli§, N., Demonstration du grand thior^me de Fermat pour
des grandes valeurs de I'exposant, Bull. Ecole Polytechnique Bu-
carest, 15 (1944), 45-61.
1946 Inkeri, K., Untersuchungen uber die Fermatsche Vermutung, Ann.
Acad. Sci. Fenn., Ser. AI, 33 (1946), 1-60.
1950 Trypanis, A.A., On Fermat's last theorem, Proc. Intern. Congress
Math., Cambridge, 1950, Vol. 1, 301-302.
1952 Brcic-Kostic, M., L'extension de la congruence (a+b)n-an — bn =
0 (mod n) (n un nombre premier) (in Croatian, French sum-
mary), Hrvatsko Prirodoslovno Drustvo, Gias. Mat. Ser. II,
7 (1952), 7-11.
1958 Perez-Cacho, L., Sobre algunas cuestiones de la teoria de nume-
ros, Rev. Mat. Hisp.-Amer., (4), 18 (1958), 10-27 and 113-124.
1965 Ferentinou-Nicolacopoulou, J., A new necessary condition for the
existence of a solution to the equation xp + yp — zp of Fermat
(Greek, French summary), Bull. Soc. Math. Grece (N.S.), 6
(1965), 222-236.
1965 Ferentinou-Nicolacopoulou, J., Remarks on the preceding article
(Greek, French summary), Bull. Soc. Math. Grece (N.S.), 6
(1965), 356-357.
VI.2. Условия делимости
201
1970 Klosgen, W., Untersuchungen uber Fermatsche Kongruenzen, Ge-
sellschaft Math. Datenverarbeitung, Bonn, No. 37, 1970, 124 pp.
1975 Everett, C.J. and Metropolis, N., On the roots of xm ± 1 in the
p-adic field Qp, Notices Amer. Math. Soc., 22 (1975), A-619;
preprint, Los Alamos Sci. Lab., LA-UR-74-1835.
1975 Gandhi, J.M., Fermat’s last theorem, I, Notices Amer. Math.
Soc., 22 (1975), A-486.
1975 Wagstaff, S., Fermat’s last theorem is true for any exponent less
than 100000, Notices Amer. Math. Soc., 23 (1975), A-53, Ab-
stract 731-10-35.
1976 Gandhi, J.M., On the first case of Fermat’s last theorem, preprint.
1977 Johnson, W., On the congruences related to the first case of Fer-
mat’s last theorem, Math. Comp., 31 (1977), 519-526.
VI.2. Условия делимости
Пусть p — нечетное простое число и отличные от нуля взаимно
Простые целые числа x,y,z таковы, что хр 4- ур 4- zp = 0. В этом
разделе мы выведем некоторые условия делимости для чисел х, у, z
В выражений, содержащих эти числа.
Следующее предложение было сформулировано Перес-Качо в
1958 г., однако утверждение (2) было ранее доказано Массутье в
1931 г. Более простое доказательство дано Поме в том же 1931 г.
(ЗА) Пусть р — нечетное простое число и ненулевые попарно
взаимно простые целые числа x,y,z таковы, что хр + ур + zp = 0.
Тогда
(1) если xyz не кратно 3, то х = у = z =£ 0 (mod 3), целые числа
х2 — yz, у2 — xz, z2 — ху кратны 3, но не делятся на 9, и для
всякого простого числа q 3, делящего ровно одно из чисел
х2 — yz, у2 — xz, z2 — ху, справедливо сравнение q = 1 (mod 6);
(2) если р = — 1 (mod 6), то xyz кратно 3.
Доказательство. (1) Поскольку 3 Х xyz, числа x,y,z сравнимы
С 1 или с -1 по модулю 3. Из сравнения (±1)р 4- (±1)р 4- (±1)р = 0
(mod 3) следует, что непременно х = у = z 0 (mod 3). Поэтому
& = yz (mod 3), так что х2 — yz кратно 3, и аналогично числа
V2 — xz и z2 — ху кратны 3.
Заметим, что ровно одно из чисел х, у, z четно. Поэтому х2 ф yz,
У2 7^ XZ, Z2 Ф ху.
202
Глава VI. Арифметические ограничения
Покажем, что 9 / (z2 — ху). Из соотношений x2p+xpyp+xpzp = о
и ху = {ху — z2) + z2 следует, что — {х2р -F xpzp) = хрур —
— [{ху - z2) -F z2]p = р{ху - z2)z2(p-1) 4- z2p (mod (z2 - ху)2). За-
метив, что числа x,y,z различны (так как 2 не есть p-я степень),
получим
Q3(xp,zp) = х2р 4- xpzp 4- z2p — p{z2 — xy)z2(p~1} (mod (z2 - xy)2).
Так как 3 | {xp — zp), в силу утверждения (ЗВ)(6) гл. II мы имеем
v3(Q3(xp,zp)) — v3(3) = 1. Таким образом, 9 / (z2 - ху).
Из последнего сравнения следует также, что х2р 4- xpzp 4- z2p
кратно z2 — ху. Пусть теперь простое число q, q 3, делит х2р 4-
4-xpzp 4- z2p. Тогда q / х или q % z, поскольку НОД (x,z) = 1. Без
ограничения общности можно считать, что q X z. Пусть число z'
таково, что zz' = 1 (mod q}. Умножив на z'2p, получим {xpz,p)2 4-
4- {xpz'p) 4-1 = 0 (mod q). По лемме 1.2 мы имеем q = 1 (mod 6).
В частности, каждый простой делитель q 3 числа z2 — ху удо-
влетворяет сравнению q = 1 (mod 6). Доказательство для простых
делителей чисел х — yz и у* — xz совершенно аналогично.
(2) Пусть 3 ХхУг и Р Xz (случаи р Xх и Р Ху рассматриваются
аналогично).
Поскольку числа х2р + xpzp + z2p и z2 — ху положительны и крат-
ны 3, но не делятся на 9, из первой части доказательства следует,
что
х2р + xpzp + z2p л .
---------------= 1 (mod 3).
z2 - ху
С другой стороны, сравнение из первой части доказательства поз-
воляет заключить, что
х2р 4- xpzp 4- z2p
= pz2(p {modz2-xy).
zl — ху
Следовательно, так как 3 | (z2 — ху), справедливо сравнение р = 1
(mod 3). □
Поме в 1931 г. заявил, что для каждого показателя р он доказал,
что если x,y,z отличны от нуля и хр 4- ур 4- zp = 0, то xyz крат-
но 3. В 1934г. он добавил, что к тому же xyz кратно 5. Однако эти
доказательства содержали ошибку (см. Брауэр, 1934).
В 1946 г. Инкери доказал следующее утверждение.
VI.2. Условия делимости	203
(2В) Пусть р — нечетное простое число, р 1,9 (mod 20), целые
числа x,y,z отличны от нуля и хр -F ур -F zp = 0. Тогда 5 делит
xyz.
Доказательство. Из утверждения (6В) гл. I следует, что р 5.
Можно полагать, что числа x,y,z взаимно просты.
Если 5 %xyz, то xp,yp,zp сравнимы с ±1, ±2 по модулю 5. При
необходимости изменив обозначения и знаки, будем считать, что
хр = ур = 2 (mod 5).
Пусть целое число h таково, что ph = 1 (mod 4). Если р = 3
(mod 4), положим h = 3. Возводя сравнение хр = ур (mod 5) в
степень Л, получим, что х = у (mod 5). Так как zp = —хр — ур =
= — 2ур (mod 5), мы вновь можем записать z2p = 4у2р = —хрур =
= (—ху) (mod 5), а следовательно, возводя в степень Л, получим
z2 = —ху (mod 5). В частности, так как х = у = ±1 или ±2 (mod 5),
z2 = ±1 (mod 5).
Рассмотрим теперь число z2p + хрур. Оно нечетно, так как ровно
одно из чисел х, у, z четно.
Покажем, что если простое число g 5 делит z2p + хрур, то q =
= ±1 (mod 5). В самом деле, верны соотношения (2хр 4- Зрр)2 —
-5у2р = 4(х2р 4- Зхрур 4- у2р) = 4(z2p 4- хрур). Поэтому для про-
стого числа q ф 5 мы имеем (2хр 4-Зт/р)2 = 5у2р (mod g), а значит, 5
является квадратичным вычетом по модулю q. По квадратичному
закону взаимности
1 = ( - ] = (?) , следовательно, q = ±1 (mod 5).
\д/	'5/
Из сказанного следует, что любой делитель к числа z2p 4- хрур, не
кратный 5, должен быть сравним с ±1 (mod 5). Возьмем
к =	= 22(р-1) _ z2(P-2)a.y + z2(P-3)(a;J/)2 _	+
^р 4~ ху
Так как z2 = —ху (mod 5), мы получаем к — pz2^p~^ = р (mod 5),
потому что z2 = ±1 (mod 5). Таким образом, к 0 (mod 5) и, сле-
довательно, к = ±1 (mod 5).
Итак, р = ±1 (mod 5).
Осталось показать, что р = 1 (mod 4). Если предположить, что
Р = 3 (mod 4), то Зр = 1 (mod 4), а значит, z = z3p = (—2)3у3р = 2у
(mod 5). Рассматривая соотношение
(2zp 4- Зт/Р)2 - 5у2р = 4(z2p + 3ypzp + у2р) = 4(х2р 4- ypzp),
204
Глава VI. Арифметические ограничения
как и раньше, можем показать, что каждый простой делитель q 5
числа x2p+ypzp должен быть сравним с ±1 (mod 5). Следовательно,
каждый делитель к числа х2р + ypzp, к 0 (mod 5), также должен
быть сравним с ±1 (mod 5).
В частности, положив к = х2 -F yz, если р = 3 (mod 4), мы по-
лучим у = —2г (mod 5), а значит, х2 = у2 = —2yz (mod 5), так что
к = x2+yz = -yz о (mod 5). Следовательно, к = ±1 (mod 5). Од-
нако, с другой стороны, к = х2 -F yz н у2 + 2у2 — Зр2 = ±2 (mod 5),
чего быть не может. Тем самым доказано, что р = 1 (mod 4).
Таким образом, мы получили, что р = 1 или 9 (mod 20). Это
противоречит предположению, а значит, 5 | xyz. □
Перес-Качо в 1958 г. доказал такое предложение.
(2С) Пусть р — нечетное простое число и ненулевые взаимно
простые целые числа x,y,z таковы, что хр + ур + zp — 0. Тогда
(1) если q 5 — простой делитель числа (х2 — yz)(y2 — zx)x
x(z2 — ху), то q = ±1 (mod 10);
(2) ни одно из чисел х2 — yz, у2 — zx, z2 — ху не кратно 25.
В 1946 г. Инкери получил также следующий результат.
(2D) Пусть р — нечетное простое число и ненулевые взаимно
простые целые числа x,y,z таковы, что хр + ур + zp =0 (где
п 1). Тогда
(1)	xyz(x — у)(х — z)(y — z) кратно 5;
(2)	xyz(x — у)(х — z)(y — z)(x2 — yz)(y2 — xz)(z2 — ху) кратно 7
(при p > 3);
(3)	xyz(x — y)(x — z)(y — z)(x2 4- yz)(y2 4- xz)(z2 4- ху) кратно 11
(при p > 5).
Доказательство. Прежде всего заметим, что если I — простое
число, р X (1 — 1) и ненулевые числа а, b взаимно просты, то I | (а 4- Ь)
тогда и только тогда, когда I | (ар 4- If). Действительно, если а или
b кратно I, то это очевидно.
Пусть I X ab. Ясно, что если I | (а 4- Ь), то I | (ар 4- If). Обратно,
если I | (ар 4- If), но I / (а 4- b), то I является примитивным делите-
лем бинома ар 4- If, а тогда согласно утверждению (3G) гл. II мы
получаем 1 = 1 (mod р), чего быть не может.
Пусть и = хрП, v = урП, w — zpn. Тогда u4-v4-w = 0h нам надо
показать (ввиду сделанного выше замечания и так как р > 2, р > 3
и р > 5 соответственно), что
VL2. Условия делимости
205
(1)	uvw(u — v)(u — w)(y — w) кратно 5;
(2)	uvw(u - v)(u — w)(v — w)(u2 — vw)(v2 — uw)(w2 — uv) кратно 7;
(3)	uvw(u — v)(u — w)(v — w)(u2 4- vw)(v2 4- uw)(w2 4-uv) кратно 11.
Пусть I = 5, 7 или 11.
Так как (u, v, w) = 1, можно полагать, что, например, I / v. Пусть
число v' таково, что v'v = 1 (mod I). Следовательно, умножив на
t/, получим, что t 4-11 = 1 (mod I), где t = —v'u (mod I), t* = —v'w
(mod Z). Пусть
Ti = t,
T2 = t - 1,
T3 = t + 1,
T4 = 2t - 1,
T5 = t - 2,
Te = t2 — t 4~ 1,
T7 = t2 4-Z — 1,
Ts = t2 - Z - 1,
T9 = t2 - 3t 4- 1.
Тогда
v7\ = —u (mod Z),
vT2 = — и — v = w (mod Z),
vT3 = — и 4- v (mod/),
vl\ = —2u — v=l—u + w (mod Z),
vT3 = —u — 2v = w — v (mod Z),
v I e = u 4- vu 4- v = u — vw
= v2 — uw = w2 — vu (mod Z),
v2T7 = u2 — vu — v2 = u2 4- vw (mod Z),
v2T% = u2 4- vu — v2 = —v2 — uw (mod Z),
v2T9 = u2 4- 3vu 4- v2 н w2 4- uv (mod Z).
(1)	Пусть Z = 5. Тогда легко проверить следующие импликации:
t = 0 (mod 5)	=>	5	121,
t = 1 (mod 5)		5	1 T2,
t = 2 (mod 5)		5	|T5)
t = — 1 (mod 5)		5	1 23,
t = —2 (mod 5)		5	|T4.
Таким образом, uvw(u — v)(u — w)(v	— w	’) кратно 5	
206	Глава VI. Арифметические ограничения
(2)	Пусть I — 7. Тогда легко проверить, что если t = —3, —2, -1,
0, 1, 2, 3 (mod 7), то 7 делит Т4, Те, Тз, Т2, Т5, Т6 соответствен-
но. Таким образом, uvw(u—v)(u —w)(v—w)(u2 — vw)(v2-uw){w2-vu)
кратно 7.
(3)	Пусть I — 11. Тогда если t = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,
4, 5 (mod 11), то 11 делит T4, T7, T8, T9, T3, Ti, T2, T5, T7, T8, T9
соответственно. Значит, число uvw(u — v)(u — w)(v — w)(u2 4- vw)x
x(v2 4- uw)(w2 4- uv) кратно 11. □
Заметим, что это рассуждение нельзя обобщить на случай
I > 11. Действительно, если t = — 2 (mod I) для I > 11, то зна-
чения Ti (1 г 9) по модулю I отличны от 0 и по абсолютному
значению не превосходят 11.
Приведем результат Пьера (1943), касающийся делимости на 4,
предварительно доказав лемму о символе Якоби.
Лемма 2.1. Пусть попарно взаимно простые нечетные целые
числа а, Ь, с таковы, что
Тогда не более одного из чисел а, Ь,с сравнимо с 3 по модулю 4.
Доказательство. Предположим, что а = b = 3 (mod 4). Тогда по
квадратичному закону взаимности
Следовательно, (а/b) — (а/с) = (6/с) — (Ь/а). Однако
Полученное противоречие завершает доказательство. □
(2Е) Пусть р — нечетное простое число и ненулевые взаимно
простые целые числа x,y,z таковы, что хр 4- ур 4- zp — 0. Тогда
ровно одно из чисел x,y,z кратно 4.
VI.2. Условия делимости	207
Доказательство. Будем считать, что число z четно, а х,у нечет-
ны. Предположим, что z = 2 (mod 4), и придем к противоречию.
Случай 1: р X xyz.
Согласно соотношениям (1.2) мы получаем
р	zp + хр
= -------
1	Z -I- X
= Zp~x - zp~2x 4- ... 4- z2xp~3 - zxp~2 4- xp-1
= — 2xp~2 4- xp~x (mod 4).
Так как число x нечетно, xp~r = 1 (mod 4). Следовательно, sp =
= — 2xp~2 4- 1 н — 2(4fc ± l)p“2 4- 1 = 4=2 4- 1 = 3 (mod 4), а значит,
Si = 3 (mod 4). Аналогично rp — (zp 4- yp)l(z 4- y) = 3 (mod 4),
поэтому Fi = 3 (mod 4).
Как следует из утверждения (ЗА) гл. II, (ri/siii) = (si/riii) =
= (ti/siri) = 1, так что в силу леммы 2.1 не более чем одно из чисел
сравнимо с 3 по модулю 4. Противоречие получено.
Случай 2: р | xyz.
Сначала рассмотрим случай р | z. Как и в предыдущем случае,
Si = 3 (mod 4), Fi = 3 (mod 4).
По утверждению (2А) гл. III нечетные числа ri,si,pti удовле-
творяют соотношениям (ri/pfiSi) = (si/p^iri) = (p^i/riSi) = 1, что
противоречит лемме 2.2.
Предположим теперь, что р / z и, например, р | х. Продол-
жая аналогичные рассуждения, из соотношений (1.2) получим, что
prf = 3 (mod 4), а так как и нечетно, = 1 (mod 4), так что
pri = 3 (mod 4). Более того, $1 = 3 (mod 4), и согласно утвержде-
нию (2А) гл. III нечетные целые числа рт± удовлетворяют со-
отношениям (pri/si^i) = (si/priti) — (ti/priSi) = 4-1, что проти-
воречит лемме 2.1. □
В 1910 г. Линд заявил, что 9 делит х 4- у 4- г, но предъявленное
Доказательство было неполным, и поэтому ряд уравнений и нера-
венств в его работе вызывают сомнение (см. Диксон (1920, с. 769)).
После рассмотрения свойств делимости на небольшие числа
обратимся к результатам, которые связаны с выражениями, содер-
жащими гипотетические решения уравнения Ферма х, у, z.
В 1913 г. Невядомский доказал такой факт.
(2F) Пусть р — нечетное простое число и ненулевые взаимно
простые числа x,y,z таковы, что хр 4- ур 4- zp = 0. Тогда х2р+1 4-
4-^2p+i _|_ z2p+i делится на (х 4- у^(у 4- z)(z 4- х).
208	Глава VI. Арифметические ограничения
Доказательство. Как легко проверить,
2Р+1 + 2р+1 + 2р+1 = (± + У_	У + * Z + Z \
у	\хр + ур y? + zP	zP + xP)	У
Следовательно,
х2р+1 + р2р+1 + z2p+1 _ (ур + zp)(zp + хр) _ (хР + yP)(zp + хр)
(х + у)(у + z)(z + х)	(y + z)(z + x) (x + y)(z + x)
(хр+ур)(ур+ z^)
(x + y)(y + z)
и это число является целым. □
Следующий результат Рамесвара Рао (1969) также достаточно
прост.
(2G) Пусть р — нечетное простое число и ненулевые попарно
взаимно простые числа х,у, z таковы, что хр -F ур -F zp — 0. Тогда
х -I- у делит dp, где d = НОД(х + p,z) (в силу симметрии анало-
гичные утверждения имеют место для х + z, у -F z).
Доказательство. Поскольку х + у + z = 0 (mod р), существует
такое число к ф 0, что x+y + z = кр. Так какр нечетно, х+у = kp—z
делит числа хр -F ур = — zp и (fcp)p — zp, а значит, kp — z делит (кр)р.
Поскольку d — НОД(&р, z), положим кр = ud, z = vd, где числа
и и v взаимно просты. Но и — v делит оба числа	vpdp~Y.
Следовательно, (u — v)d = х + у делит dp. □
Следующий результат, появившийся в работе Симмонса (1966),
был приписан Г. Рейсу; утверждение (1) заново доказал Роллеро
(1981).
(2Н) Пусть р — нечетное простое число и попарно взаимно про-
стые положительные числа x,y,z таковы, что хр -F ур — zp. То-
гда существуют определенные единственным образом натураль-
ные числа к, а, Ь, такие, что х = к + а, у = к + Ь, z = к + а + Ь.
Более того, при этом
(1)	pab делит кр;
(2)	НОД (a, b) = 1;
(3)	если а 1, то НОД (к, а) # 1; если р / а, то НОД (к, а) а:
(4)	если b	1, то НОД (к, &) # 1; если р / Ъ, то НОД (А:, Ь)	Ь.
Доказательство. Можно полагать, что 0 < х < у < z. Так как
z < х + у, определим к из равенства х + у = z + к. Из неравенства
VI.2. Условия делимости
209
у < z следует, что к < х < у. Пусть числа а и b находятся из
соотношений х = к + а, у = к + Ъ. Тогда z = к -I- а 4- Ь.
Ясно, что числа А:, а, b определены единственным образом: если
х — к' i а\у = к' 4- Ь1 и z — к1 4- а' 4- Ь1, то 0 = (к — А:')4-
4-(а - а') = (к - к') 4- (ft - ft') = (к — к') 4- (а - а') 4- (ft - Ь'), а значит,
к = к1, а = а', b = Ь’. Перепишем соотношение хр 4- ур = zp в виде
(к + а)р + (к + Ь)р = (к + а + Ь)р.	(2.1)
Легко видеть, что НОД (А: 4- а, к 4- Ь, к 4- а 4- b) = 1, потому что
НОД(х,2/,^) = 1. Таким образом, числа А: 4- a, kib и к 4- а 4- Ъ
попарно взаимно просты.
Из соотношения (А: 4- а 4- Ь)р = (к 4- а)р 4- р(к 4- a)p-1ft 4-... 4- ftp
следует, что (к 4- Ь)р = р(к 4- а)р~гЬ 4-... 4- ftp. Таким образом, кр 4-
4-pA:p“1ft 4-	4-... 4- ftp = р(к 4- a)p-1ft 4-... 4- ftP, так что
fcP = рь[(к + а)”"1 - fc”-1] + Q) [(fc + а)р~2 - kp~2]b2
+ (2-2)
Каждое выражение в квадратных скобках кратно а, а значит, и
кр кратно pab. Если а / 1, то НОД (А:, а) ф 1, а если ft / 1, то
НОД (A:, ft) 1. Итак, НОД (а, ft) — 1, так как если простое число q
делит а и ft, то оно также делит и А:, а значит, и к 4- а, и к 4- ft.
Если р )(а, то НОД (А:, а) а, так как в противном случае к = al,
Где I — целое число, и, разделив (2.2) на а, мы получим, что
а”-1/” = pbap~2[(l + I)*"1 - I”"1] + Qa-3 [(/ + 1)р~2 - 1Р~2] Ь2
+ ... + Рър-1.
Таким образом, а делит последнее слагаемое pbp~1. Но р / а, и, сле-
довательно, а делит ftP"1, чего быть не может. Аналогично, если
p/ft, то НОД (A:, ft) 7^ ft. □
Пусть р — нечетное простое число и ненулевые попарно взаимно
простые целые числа х, у, z таковы, что хр 4- ур 4- zp — 0.
Флек (1909, 1910) начал более систематическое изучение свойств
Делимости следующих чисел, построенных на основе гипотетическо-
14-27
210	Глава VI. Арифметические ограничения
го решения (х, y,z):
А = у2 + yz + z2,
В = z2 4- zx 4- х2,
С = х2 + Х7/ + 7/2,
Л1 = х2 - yz,	А2 =	х2 4- yz,
Bi = у2 - zx,	в2 =	у2 4- zx,
Ci = z2 - ху,	с2 =	z2 4- ху,
S = х + у + z,	Т =	— (ху 4- yz 4- zx),
U = xyz,	2V =	х2 4- у2 4- z2.
Пусть числа г, s и t определены		из соотношений Барлоу (см
разд. III. 1).
(21) Во введенных обозначениях и при сделанных допущениях су-
ществуют такие ненулевые числа G, М, J, К, L, J\,K\,L\, что
(1)
g _ Г —rstp3GM (в первом случае),
~ [ —rstp2GM (во втором случае)',
(2)	A = GJ,B = GK,C = GL,A1 =С^,Вг = GKi,Ci =GL1-
(3)	G есть наибольший общий делитель числа S и этих шести
чисел',
(4)	числа J, К, L, J\, Ki, Li попарно взаимно просты',
(5)	простые делители чисел J, К, L имеют вид 6hp + 1;
(6)	простые делители чисел J\, К\, L± имеют вид Ghp2 4- 1;
(7)	х3р = у3р = z3p (mod GJKLJXKXLX).
В 1979 г. Инкери внес ряд поправок в доказательства Флека и
получил дальнейшие результаты в этом направлении.
В заключение этого раздела приведем результат Поллачека, по-
лученный в 1917 г., элементарное доказательство которого неизвест-
но. Оригинальное доказательство опиралось на сравнения, получен-
ные Куммером в 1857г., которые справедливы в предположении,
что первый случай теоремы Ферма не выполнен для показателя р.
При доказательстве этих сравнений Куммер подробно рассмотрел
арифметические свойства кругового поля Q(£p), где Ср — примитив-
ный корень из 1 степени р. Таким образом, это выходит за рамки
нашей книги.
Вот результат Поллачека.
VI.2. Условия делимости
211
(2J) Пусть р — нечетное простое число, и пусть существуют
такие попарно взаимно простые ненулевые целые числа х, у, z, что
хр 4- Ур 4- zp = 0. Тогда числа А = у2 4- yz 4- z2, В = z2 4- zx 4- х2 и
С = х2 + ху + у2 не делятся на р.
Список литературы
1857 Kummer, Е.Е., Einige Satze uber die aus den Wurzeln der Glei-
chung ax — 1 gebildeten complexen Zahlen, fiir den Fall dafl die
Klassenzahl durch X theilbar ist, nebst Anwendungen derselben auf
einen weiteren Beweis des letztes Fermat ’schen Lehrsatzes, Math.
Abh. Konigl. Akad. Wiss. zu Berlin, 1857, pp. 41-74.
1909 Fleck, A., Miszellen zum groflen Fermatschen Problem, Sit-
zungsber. Berliner Math. Ges., 8 (1909), 133-148.
1910 Fleck, A., Bemerkung zum groflen Fermatschen Problem, Sit-
zungsber. Berliner Math. Ges., 9 (1910), 50-53.
1910 Lind, B., Uber das letzte Fermatsche Theorem, Abh. Geschichte
Math. Wiss., no. 26, 1910, pp. 23-65.
1913 Niewiadomski, R., Question 4194, L’Interm. Math., 20 (1913),
76.
1917 Pollaczek, F., Uber den groflen Fermat’schen Satz, Sitzungsber.
Akad. Wiss., Wien, Abt. Ila, 126 (1917), 45-59.
1920 Dickson, L.E., History of the Theory of Numbers, Vol. II, Car-
negie Institution, Washington, DC, 1920; reprinted by Chelsea,
New York, 1971.
1931 Massoutie, L., Sur le dernier theoreme de Fermat, C. R. Acad.
Sci. Paris, 193 (1931), 502-504.
1931 Pomey, L., Nouvelles remarques relatives au dernier theoreme de
Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris, 193 (1931), 563-564.
1934 Pomey, L., Sur le dernier theoreme de Fermat (divisibilite par 3
et party, C. R. Acad. Sci. Paris, 199 (1934), 1562-1564.
1934 Brauer, A., Review of the above paper by L. Pomey, Jahrbuch
Fortschritte Math., 60, II (1934), 928.
1943 Pierre C., Sur le theoreme de Fermat an 4- bn = cn, C. R. Acad.
Sci. Paris, 217 (1943), 37-39.
1946 Inkeri, K., Untersuchungen uber die Fermatsche Vermutung, Ann.
Acad. Sci. Fenn., Ser. Al, 33 (1946), 60 pp.
1958 Perez-Cacho, L., Sobre alcunas cuestiones de la teoria de nume-
ros, Rev. Mat. Hisp.-Amer., (4), 18 (1958), 10-27 and 113-124.
212	Глава VI. Арифметические ограничения
1966 Simmons, G.J., Some results pertaining to Fermat’s conjecture.
Math. Mag., 39 (1966), 18-21.
1969 Rameswar Rao, D., Some theorems on Fermat’s last theorem,
Math. Student, 37 (1969), 208-210.
1981 Rollero, A., Un’osservazione sull’ultimo teorema di Fermat, Atti
Accad. Ligure Sci. Lett., 38 (1981), 3-9.
1979 Inkeri, K., On some expressions associated with Fermat’s last the-
orem, J. Reine Angew. Math., 311/312 (1979), 178-190.
VI.3. Гипотеза Абеля
В 1823 г. Абель высказал предположение, что если отличные от нуля
взаимно простые целые числа x,y,z таковы, что 0<x<y<z и
хп+уп — zn (п > 2), то ни одно из чисел х, у, z не является степенью
простого числа. Прямое доказательство этого утверждения до сих
пор не найдено, однако известно, что оно выполнено, если число
п либо не является простым, либо, будучи простым, не делит xyz.
Доказательство последнего утверждения мы не приводим, так как
оно требует привлечения аналитических методов.
Множество частичных результатов, полученных различными
авторами, объединены в табл. 7.
В 1887 г. Мансьон заявил, что им получен следующий резуль-
тат: если показатель является нечетным простым числом, то х -
составное число. Доказательство содержало ошибку. В 1891 г. Люка
опубликовал доказательство того факта, что для произвольного п
число х не может быть степенью простого числа; но доказатель-
ство было неполным, как указал в 1895 г. Марков. В 1955 г. Мёллер
сформулировал теорему, включавшую все приведенные результаты.
Однако доказательство на с. 27 его статьи нельзя считать удовле-
творительным. Мы приведем более простое и корректное доказа-
тельство.
(ЗА) Пусть нечетное число п 3 имеет в точности г различ-
ных простых делителей. Тогда если целые числа х,у, 1 х < у.
взаимно просты и а = уп + хп, b = уп — хп, то
(1)	числа а,Ь имеют не менее г различных простых делителей;
(2)	если а имеет ровно г различных простых делителей, то а =
= 23 -F I3 (так что п = 3, г = 1);
(3)	если b имеет ровно г различных простых делителей, то у —
= х 4-1, Ъ = (х 4- 1)п - хп.
VL3. Гипотеза Абеля
213
Таблица 7.
Год	Автор	Показатель п > 2	Результат
1857	Тэлбот	произвольный	(I) у, z — составные числа (II) если х — простое число, то z — у — 1
1884	Жонкюре	произвольный	(I) и (II)
1887	Борлетти	нечетный простой четный	z — составное число x,p,z — составные числа
1901	Гамбиоли	произвольный, не степень 2	(II), z не есть степень простого числа
1905	Зауэр	произвольный	у, z — не степени простого числа
1932	Нетаньяху- Милей-	произвольный	2/, z — не степени простого числа
	ковский	не простой	(III) х не степень простого числа
1949	Извеков	произвольный	(I)
1952	Бини	нечетный нечетный простой	z не является степе- нью простого числа и z nq, где q — простое число, не равное п z не кратно п и не равно	• • Qr> где числа <?г, q\ < Я2 < • • • < Qr> простые и 9? > 2gig2-. gr-
Доказательство. (1) Пусть pi,...,pr “ различные простые
делители числа п. Так как у ± х 0, согласно утверждению
(ЗВ)(3) гл. II число уп ± хп = (у ± х) • Qn(y, кратно (у ± х)х
х Ш=1 QpXy, Ts)- Как следует из части (2) того же утверждения,
Целые числа QPi {у, ^х) (при i = 1,..., г) попарно взаимно просты.
Заметим, что xPi + yPi > х 4- у и (xPi — yPi)/(x — у) = хр,-14-
+ xPi~2y 4-... 4- yPi~r > 1. Поэтому каждое число QPi(y, ^х) имеет
по крайней мере один простой делитель. Следовательно, числа а и
Ь имеют не менее г различных простых делителей.
214
Глава VI. Арифметические ограничения
(2) Пусть тп есть произведение г различных простых делителей
числа п, так что тп | п. Покажем сначала, что п — тп. Воспользуемся
равенством а = (ут + хт)(уп 4- хп)/(ут 4- хт). Согласно части (1)
и по предположению число ут 4- хт имеет ровно г различных про-
стых делителей, в точности совпадающих с простыми делителями
числа а. Если п > тп, то а не имеет примитивных делителей. Как
следует из утверждения (3J) гл. II, а = 23 4- 13, а значит, п = 3 — тп,
что противоречит предположению. Таким образом, п — тп, т. е. п
есть произведение г различных простых чисел.
Пусть г = 1, п = р. Тогда а = {у 4- x}Qp{y, —х). По предпо-
ложению а есть степень некоторого простого числа q. Так как q
делит у 4- х и Qp(y, — х) > 1, согласно утверждению (ЗВ)(4) гл. II
мы заключаем, что q = р, а в соответствии с частью (6) того же
утверждения Qp(y, —х) — р. Из утверждения (3D) гл. II следует,
что р = 3, у — 2, х = 1.
Пусть г > 1, п — ph, р — простое число, р / h. Тогда h
есть произведение г — 1 различных простых чисел. Так как а =
= (yh 4- xh)Qp(yh, —xh), в силу утверждения (1) и по предположе-
нию число yh 4- xh имеет г — 1 или г различных простых делителей.
Проведем индукцию по г. Если yh + xh имеет ровно г — 1 различных
простых делителей, то h = 3, у = 2, х = 1. Тогда п = Зр (где р > 3),
г = 2 и 23р 4- 1 = (2Р 4- 1)<?з(2р, -1).
Если существует такое простое число q 3, что q | (2Р 4-1),
то, как следует из утверждения (ЗВ)(6) гл. II, и9(фз(2р, —1)) =
= v9(3) = 0, а значит, q / Q3(2Р, —1). Так как г — 2 и 3 | (2Р 4- 1),
число <2з(2р, — 1) есть степень числа 3. Тогда, применяя то же утвер-
ждение (ЗВ)(6) гл. II, мы получаем Q3(2P,—1) — 3, значит, в соот-
ветствии с утверждением (3D) гл. II, 2Р = 2, что невозможно.
Если 2Р 4- 1 — 3s, то 3s = 1 (mod 8), потому что р > 3. Таким
образом, s — 2s'. Тогда 2Р = 3s - 1 — (З3* 4- 1)(3S' — 1), а следователь-
но, 3s 4-1 = 2Р~С, 3s — 1 = 2е, где р — с > с 0. Вычитая, получим
2 = 2Р~С — 2е = 2с(2р~2с — 1), а значит, с — 1, р — 2с = 1, т. е. р = 3,
что невозможно.
Если yh 4- xh имеет ровно г различных простых делителей, то
каждый простой делитель q числа Qp(yh,—xh) делит yh 4- xh. Из
утверждения (ЗВ)(4) гл. II следует, что q = р. Но Qp(yh,—xh) > 1,
а значит, Qp(ph, — xh) есть степень числа р, причем согласно части
(6) того же утверждения Qp(yh, —xh) = р, и по утверждению (3D)
гл. II мы получаем р = 3, yh = 2, xh = 1, следовательно, h — 1 и
п — 3, что и завершает доказательство.
VI.3. Гипотеза Абеля
215
(3) Если число Ь = уп — хп имеет ровно г различных простых
делителей, то по утверждениям (ЗВ)(2), (3) гл. II мы заключаем, что
уп—хп кратно (у — х) П[=1 Qp* (У,х)> пРичем целые числа QPi (у, х) >
> 1 попарно взаимно просты. Следовательно, по предположению
они являются степенями простых чисел. Если у — х > 1 и простое
число q делит у — х, то существует такое число г, что q | Qp. (?/,х).
Согласно части (4) того же утверждения q = и согласно части (6)
мы получаем, что QPi (р, х) — рг- Из утверждения (3D) гл. II следует,
что р< = 3,у = 2,х = —1. Полученное противоречие означает, что
у = х 4- 1. □
Как следствие получаем такой результат.
(ЗВ) Пусть натуральное число п 3 имеет в точности г раз-
личных нечетных простых делителей. Если взаимно простые на-
туральные числа x,y,z, х < у < z, таковы, что хп + уп — zn, то z
и у имеют не менее г 4-1 различных простых делителей, а х име-
ет не менее г различных простых делителей. Более того, если х
имеет ровно г таких делителей, то п нечетно и z — у = 1.
Доказательство. Согласно результатам гл. I число п не крат-
но 3 и не является степенью числа 2, следовательно, г 1. Пусть
п = 2ит, где О 0 и нечетное число т имеет ровно г различных
простых делителей. Положим Xi = х2\ у^ = у2" и z\ = z2\ Так
как zn = z™ — х™ 4- у™, уп — у™ = zf1 — х™, т 3 и zi — хг > 1,
из утверждения (ЗА) следует, что числа zn и уп, а значит, z и у
имеют не менее г 4- 1 различных простых делителей.
Аналогично xn = х™ = z™ — у™, так что хп, а следовательно,
и х имеют не менее г различных простых делителей. Если х имеет
ровно г таких делителей, то согласно утверждению (ЗА) мы полу-
чаем zi — у1 4- 1, т. е. z2* = у2* 4- 1. Отсюда и = 0, z = y+ ln
п нечетно. □
Докажем еще одно предложение.
(ЗС) Пусть п > 2 и взаимно простые натуральные числа х, у, z,
х < у < z, таковы, что хп 4- уп — zn. Тогда
(1) числа y,z не являются степенями простых чисел]
(2) если х — степень простого числа, то z — у 4- 1, причем п —
нечетное простое число.
Доказательство. (1) Если z или у является степенью простого
числа, то таково и zn — хп 4-рп или уп = zn — хп соответственно. То-
216
Глава VI. Арифметические ограничения
гда согласно утверждению (ЗВ) число п есть степень числа 2 и п
4, а это противоречит предположению о том, что теорема Ферма
справедлива для таких показателей.
(2) Если х есть степень простого числа д, то, как следует из
утверждения (ЗВ), z = yil и п = ре. где е 1, р — нечетное
простое число. Покажем, что е = 1.
Если е > 1, то, так как zp — ур > 1 и Qpe-i (zp,yp) — (zp* — уре)/
/(zp — ур) > 1 и поскольку хр* = zp* — ур* = (zp — ур)х
xQpc-i(zp,ур), оба множителя в правой части суть степени чис-
ла д, большие чем 1, а следовательно, кратные q. По утверждению
(ЗВ)(4) гл. II число q делит (zp — ур, Qp*-i (zp, ур\) = (j)e~1,zp — рр),
а значит, q = р.
С другой стороны, z — у 4- 1, следовательно, zp — ур = рур ~х +
4- ^}УР~2 + • • • + Z/ 4- 1, а значит, р = q не делит zp — ур, что
противоречит предположению. □
Мёллер получил следующее дополнение к (ЗА).
(3D) Если нечетное число т > 3 имеет ровно г различных про-
стых делителей, а натуральные числа х,у, х < у, взаимно про-
сты, то число b = у2т — х2т имеет не менее 2г 4- 1 различных
простых делителей.
Доказательство. Из разложения Ь = (ут — хт)(ут 4- хт) и усло-
вия НОД (х,р) = 1 следует, что d = НОД(рт — хт,ут 4- хт) = 1
или 2. Согласно утверждению (ЗА) числа ут — хт пут 4- хт имеют
не менее г различных простых делителей. Так как т > 3, в силу
утверждения (ЗА) число ут 4- хт имеет не менее г 4- 1 различных
простых делителей.
Если ут — хт имеет ровно г различных простых делителей, то
из утверждения (ЗА) следует, что у = х 4- 1, а значит, ут — хт
нечетно. Таким образом, d = 1 и b имеет не менее 2т 4-1 различных
простых делителей. Если ут — хт имеет не менее г 4-1 различных
простых делителей, то, поскольку d = 1 или 2, число b имеет не
менее 2(т 4-1) — 1 = 2г 4- 1 различных простых делителей. □
В частности, если нечетное число т > 3 имеет ровно г различ-
ных простых делителей и натуральные числа x,y,z, х < у < z,
взаимно просты, причем х2т 4- у2тп = z2m, то х,у имеют не менее
2т 4-1 различных простых делителей. Это было показано Мёллером
в 1955 г. Отсюда с учетом утверждения (ЗВ) получим, что для та-
кого показателя 2m числа х, у, z не могут быть степенями простого.
VL3. Гипотеза Абеля
217
Инкери в 1946 г. показал, что если 0 < х < у < z, число р про-
стое, р X хУг и хр + ур = zp, то z — у > 1. Следовательно, согласно
утверждению (ЗС) число х не является степенью простого числа.
Итак, мы получили прямое доказательство гипотезы Абеля в слу-
чае, когда р X хУг' При р | xyz прямое доказательство того факта,
что х не является степенью простого числа, а значит, и неравенства
X > У + 1? остается неизвестным.
В 1886 г. Каталан изучил следствия из этого допущения.
(>Е) Пусть р — нечетное простое число и натуральные числа
х <у, таковы, что хр + ур — {у 4- 1)р. Тогда
(1)	РМ^У + 1) делит хР — 1;
(2)	р| (*-1);
(3)	если простое число q делит у + 1 — х, то q делит и х — 1;
(4)	НОД(я + у, у + 1 — х) = 1;
(5)	Н0Д(2х-1, 2у + 1) = 1;
(6)	х — единственное такое целое число, что
^~1у/”<х< (p(y + l)p-1)1/p.
Доказательство. (1) Многочлен (У 4- 1)р — Yp — 1 делится на р, У
 У 4-1. Следовательно, хр — 1 = (у 4- 1)р - ур — 1 = ру(у 4- 1)А, где
ft€Z.
(2)	Так как р | (хр — 1), мы получаем, что р X х- Из сравнения
Я* 5 х (mod р) следует, что р | (х — 1).
(3)	Из соотношений ур = (у 4- 1)р - хр = (у 4-1 — х)к, где к Е Z,
следует, что если q | (у 4- 1 — х), то q | у, так что q | (х — 1).
(4)	Если простое число q делит х + упу+1 — х, то g | (х — 1), а
значит, q | у. Следовательно, q | х, но, поскольку хр 4- ур = (у 4- 1)р,
мы получаем, что НОД(х,т/) = 1, а это противоречит предположе-
нию.
(5)	Если простое число q делит 2х — 1 и 2у 4-1, то оно делит и
X сумму 2(х 4- р), и их разность 2(у — х 4-1), но q нечетно, так что
?| (у — х 4- 1), q | (х 4- 1). Итак, мы пришли к противоречию.
(6)	Воспользовавшись соотношениями
хР = (у + 1)р - Ур
(j/ 4~ 1)Р ~ 7/Р
(?/ 4- 1) - 7/
= (у + I)”-1 + (у + 1)Р-2У + • • • + (у + 1)ур“2 + УРЛ
218
Глава VI. Арифметические ограничения
получим
РУр 1 <хр < р(у + 1)р \
откуда следуют доказываемые неравенства.
Наконец, заметим, что если целые числа xi,Z2 таковы, что
(Р2/р-1)1/р <	< х2 < (р(у + 1)₽-1)1/р ,
ТО
(хЛ1'^
У < Х1 ---	И х2 — I < у + 1,
\р J	\р J
а значит,
/Т1 \ V(p-i)	/_ \ i/(p-i)	/Т1 \ 1/(р~1)
/	\	I Х1 \	I Х2 \	I X1 \	- i
\Х2 - Х1)	—	< х2 ( —	“	( —	< 1-
\р J	\р/	\р J
Но 1 х2 — х\ и р = (рр)1^р < (р2/р~1)1/р < Xi, так как согласно
п. (2) справедливы неравенства р х — 1 < х < у. Следовательно,
1 < (х1/р)1Кр-1'), а значит, 1 < (х2 — x\)(xi/p)1^p Полученное
противоречие завершает доказательство. □
Воспользуемся теперь соотношениями Барлоу из разд. Ш.1 с
очевидной сменой обозначений, так как мы рассматриваем уравне-
ние хр + ур = zp (где 0 < х < у < z) вместо хр -F ур -F zp — 0.
В частности, рассмотрим целые числа г, s,t, определенные в этих
формулах. Следующие факты были доказаны Дитманом в 1964 г.
(3F) Пусть р — нечетное простое число и натуральные числа
х,у, х < у, таковы, что хр + ур = (у + 1)р {следовательно, х,у
взаимно просты). Тогда
(1) если р | {у 4-1), то vp{-s 4-1) = vp(y 4-1) - 1;
(2) если р | у, то vp{t — 1) — ир{у) — 1.
Доказательство. (1) Пусть z = т/4-1 и z —х = —sp. Тогда s -1.
По утверждению (1С) гл. III выполнено неравенство п — vp{y +1)
2 и рп делит z и х 4- р, поэтому рп делит 2z — {х + у) — z — х 4-1 =
— —sp 4-1- Так как sp = s (mod р), мы получаем р | (—s 4-1). Пусть
vp(—s4-l) = I 1. По утверждению (ЗВ)(6) гл. II имеем неравенство
п vp{—sp 4-1) — I 4-1, откуда следует, что I п — 1.
Если vp(—s + 1) п, то в соответствии с тем же утверждением
(ЗВ)(6) гл. II мы получаем vp{—$р 4- 1) п 4- 1, а следовательно,
pn+1 делит — sp 4-1 — 2z — (х 4- у). Согласно соотношениям (1.2)
число рР71-1 делит х 4- у, а значит, pn+1 делит 2z, откуда следует,
VL3. Гипотеза Абеля
219
что pn+1 [ z — у 4- 1, а это противоречит предположению. Таким
образом, vp(-s 4-1) = п - 1.
(2) Пусть vp(y) = п. Тогда по утверждению (ЗВ) гл. II мы
имеем п 2 и, как следует из соотношений (1.2), рп делит числа у
и р 4- 1 — х = 2у — (х 4- р — 1). Значит, рп делит х + у — 1 = tp — 1.
Так как tp = t (mod р), р делит t — 1. Пусть vp(t — 1) = I 1;
тогда по утверждению (ЗВ)(6) гл. II справедливо неравенство п
— 1) = t + 1, а следовательно, I п — 1.
Если vp(t — 1) п, то vp(tp — 1) > n + 1, так что pn+1 делит
р — 1 = 2у — (у 4-1 — х). Но р*”1-1 делит z — х = р 4- 1 — х, поэтому
делит 2р, откуда следует, что pn+1 | р, а это противоречит
предположению. □
Вопрос, затронутый в предыдущем утверждении, пока не уда-
лось разрешить с помощью прямого доказательства. Используя
другие методы, можно показать, что при предположениях из утвер-
ждения (ЗЕ) р непременно делит у или у 4- 1.
Дитман также изучил возможность существования такого реше-
ния уравнения Ферма, для которого у = х 4-1, получив следующий
результат.
(3G) Пусть р — нечетное простое число и натуральные числа
x,z таковы, что хр 4- (х 4- 1)р = zp. Тогда
(1)	р| ф4-1);
(2)	если р | (х 4- 1), то —г = [—рп-1/р$] и г = 1 (mod р);
(3)	если р | х, то —s = [—рп-1/рг] 4-1 и — s = 1 (mod р).
Доказательство. (1) Если р /х(х 4-1), то по утверждению (1С)
гл. Ш мы имеем z — х = — sp и z — (х 4- 1) = —гр, откуда следует,
что 1 = rp — sp, а это невозможно, так как г и s отличны от нуля.
(2)	Еслир | (х4-1), тор/xz, откуда по утверждению (1С) гл. III
следует, что z — х — —ppn~1sp и z — (х 4- 1) — —гр. Таким образом,
1 = rp —ppn~1sp, а значит, г = 1 (mod р) и —rp < —ppn~1sp, так что
-Г < ^p^/Ps.
Если —г < —pn~1/ps — 1, то г > pn-1/ps 4- 1. Следовательно,
> pPn~xs 4- 1, что противоречит предположению. Значит, —г =
(3)	Еслир | х, тор/(х4-1)г, откуда по утверждению (1С) гл. III
Мы получаем, что z—х = —sp, z—(х4-1) — —ррп~1гр. Следовательно,
1 = р₽п~1гр _ sp, поэтому —s = l (mod р) и — sp > — ppn-1rp, а
значит, — s > —pn~^fpr.
220
Глава VI. Арифметические ограничения
Если -s > —рп ^pr + 1, то s 4- 1 < рп г^рг, так что sp + 1 <
< рРп-1тр, что противоречит предположению. Таким образом, — $ -
= [-рп-^рг] + 1. □
Список литературы
1881 Abel, N.H., Extraits de quelques lettres a Holmboe, Oeuvres Com-
pletes, Vol. II, 2nd ed., pp. 254-255, Grondahl, Christiania, 1881.
1857 Talbot, W.H.F., On Fermat’s theorem, Trans. Roy. Soc. Edin-
burgh, 21 (1857), 403-406.
1884 Jonquieres, E. de, Sur le dernier theoreme de Fermat, Atti Accad.
Pont. Nuovi Lincei, 37 (1883/4), 146-149; reprinted in Sphinx-
Oedipe, 5 (1910), 29-32.
1884 Jonquieres, E. de, Sur le dernier theoreme de Fermat, C. R. Acad.
Sci. Paris, 98 (1884), 863-864.
1886 Catalan, E., Sur le dernier theoreme de Fermat, Bull. Acad. Roy.
Sci. Lett. Beaux-Arts Belgique, (3), 12 (1886), 498-500.
1886 Catalan, E., Sur le dernier theoreme de Fermat (Melanges Math-
ematiques, CCXV), Mem. Soc. Roy. Sci. Liege Ser. 2,13 (1886),
387-397.
1887 Borletti, F., Sopra il teorema di Fermat relativo all’equazione +
yn = zn, Rend. Istit. Lombardo, (2), 20 (1887), 222-224.
1887 Mansion, P., Sur le dernier theoreme de Fermat, Bull. Acad. Roy.
Sci. Lett. Beaux-Arts Belgique, (3), 13 (1887), 16-17 and 225.
1891 Lucas, E., Theorie des Nombres, reprinted by A. Blanchard, Paris,
1961.
1895 Markoff, V., Question J^Tl, L’lnterm. Math. Ser. I, 2 (1895), 23.
1901 Gambioli, D., Memoria bibliografica sull'ultimo teorema di Fer-
mat, Period. Mat., 16 (1901), 145-192.
1905 Sauer, R., Eine polynomische Verallgemeinerung des Fermatschen
Satzes, Dissertation, Giessen, 1905.
1932 Netanjahu-Mileikowsky, E.M., Elementarer Beitrag zur Fermat-
schen Vermutung, J. Reine Angew. Math., 166 (1932), 116-117.
1946 Inkeri, K., Untersuchungen uber die Fermatsche Vermutung, Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A, 33 (1946), 1-60.
1949 Izvekoff, J., Sur une propriete des nombres premiers, Bull. Soc.
Math. Phys. Serbie, 1 (1949), 41-43.
1952 Bini, U., La risoluzione delle equazioni xn ± yn = M e Vultimo
teorema di Fermat, Archimede, 4 (1952), 50-57.
VI.4. Первый случай для четных показателей 221
1955 Moller, К., Untere Schranke fur die Anzahl der Primzahlen, aus
denen x,y,z der Fermatschen Gleichung xn + yn = zn bestehen
muss, Math. Nachr., 14 (1955), 25-28.
1964 Dittmann, G., Untersuchungen uber hohere Potenzen natiirlicher
Zahlen, Thesis, Potsdam, 1964, 56 pp.
VI.4. Первый случай для четных показателей
В этом разделе мы приводим доказательство первого случая тео-
ремы Ферма для четных показателей, принадлежащее Тержаняну
(1977, см. также 1978). Достаточно рассмотреть показатели вида 2р,
Где р — нечетное простое число. Доказательство потребует лишь
элементарных соображений, так что остается только удивляться,
почему оно не было найдено ранее.
Различные авторы изучали уравнение Ферма с четными пока-
зателями, однако рассуждение Тержаняна включило в себя все их
Ирямые доказательства. Тем не менее мы приведем, а в некоторых
Случаях и докажем эти утверждения.
Начнем с письма Софи Жермен Гауссу (1804), в котором утвер-
ждалось без доказательства, что если р — простое число, р = 7
(mod 8), то уравнение Хр~г + Ур-1 = Zp-1 не имеет решений в от-
личных от нуля целых числах.
В первой из длинного ряда статей по теореме Ферма Куммер
(1837) доказал следующий факт, который был заново получен Ни-
дермайером в 1943г., а затем Гризелем (1953) и Эконому (1956).
Мы приведем доказательство Гризеля.
(4А) Пусть п — целое число, п 2. Если существуют такие
ненулевые целые числа х, у, z, что х2п + у2п = z2n и НОД (n, xyz) =
== 1, то п ~ 1 (mod 8).
Доказательство. Так как теорема Ферма справедлива для пока-
зателя 4, будем считать число п нечетным, п 3. Согласно заме-
чанию в начале разд. 1.1 можно также полагать, что числа x,y,z
попарно взаимно просты и положительны, причем х четно, а у, z
Нечетны. Тогда, используя обозначения из разд. 1, получим
д.2” _ 22п _ у2п
= (г2 - 2/2)(z2'"-1’ + уМ”-2’ + ... + y2<n~2’z2 + у2*"-1’)
= (z2-y2)Qn(z2,y2).
222	Глава VI. Арифметические ограничения
По утверждению (ЗВ)(4) гл. II мы имеем НОД (z2 — у2, Qn(z2, У2)) =
= НОД(г2 — у2, п). Если простое число р делит числа п и z2 ~ у2,
то оно тем более делит х, что противоречит предположению. Таким
образом, числа z2 — у2 и Qn(z2,y2) взаимно просты.
Итак, z2 — у2 и Qn(z2,y2) суть степени целых чисел, и показа-
тель степени равен 2п. Более того, число z2 — у2 четно, a Qn(z2,y2)
нечетно. Поэтому существует такое нечетное число к, что
z2(n-l)	z2(n-2)y2	^(п-З)^	^(п-1) = к2п
Каждое слагаемое этого равенства является квадратом нечетного
числа, т. е. имеет вид (2а 4-1)2 = 4а(а 4-1) 4- 1 ~ 1 (mod 8). Таким
образом, справедливо сравнение п = 1 (mod 8). □
Отсюда получаем такое следствие.
(4В) Множество простых чисел р, таких, что первый случай
теоремы Ферма справедлив для показателя 2р, бесконечно.
Доказательство. Согласно теореме Дирихле о простых чис-
лах в арифметической прогрессии каждому из сравнений р = 3
(mod 8), р ~ 5 (mod 8), р ~ 7 (mod 8) удовлетворяет бесконечно
много простых чисел. Но если для числа р выполнены эти сравне-
ния, то в силу утверждения (4А) первый случай теоремы Ферма
справедлив для показателя 2р. □
Отметим следующее усиление утверждения (4А). Часть (1) при-
надлежит Нидермайеру (1944), а утверждение (2) — Грею (1954).
(4С) Пусть р — нечетное простое число и ненулевые взаимно
простые целые числа x,y,z таковы, что х2р 4- у2р = z2p. Тогда
(1) если Зр не делит x,y,z, то р = 1 (mod 3);
(2) если 2р не делит x,y,z, то р = 24а4-1 (для некоторого целого
числа а), причем число 12а 4- 1 не имеет делителей, сравни-
мых с 3 по модулю 4.
Приведем еще одно усиление результата (4А) (утверждение (1)
доказано Нидермайером в 1944 г., а (2) — Лонгом в 1960г.).
(4D) Пусть т — целое число, т 3, и ненулевые целые числа
х, у, z таковы, что х2т 4- у2т => z2rn Тогда
(1) если т = р — простое число, причем Ьр не делит x,y,z. то
р = ±1 (mod 5);
(2) если (m,xyz) = 1, то т = \ или 49 (mod 120).
VL4. Первый случай для четных показателей
223
Как следствие получаем такой результат.
(4Е)	Если число п = 2т оканчивается на 4 или 6 (в десятичной
записи), то не существует таких отличных от нуля целых чисел
X,y,z, что (m,xyz) = 1 и хп 4- уп = zn.
Доказательство. Поскольку т = ±2 (mod 5), мы получаем, что
Я1 1 или 49 (mod 120), и утверждение следует из (4D). □
Лонг (1961) расширил свой метод и доказал такой результат.
(4F) Пусть р — простое число, р = — 1 (mod 10), и взаимно
простые целые числа x,y,z, не кратные р, таковы, что х2р + у2р =
s= z2p- Тогда р есть квадрат по модулю 11, а следовательно, р =
5 49, 169, 289, 529 или 889 (mod 1320).
Следующие результаты, связанные с символом Лежандра, были
получены Эконому в 1956 г.
(4G) Пусть нечетное целое число п, п > 1, и нечетное простое
Число q таковы, что
(a)	(g — l,n) = 1;
(Ь)	(n/g) = -1;
(с)	если 0 < т < (д — 1)/2, где п = т (mod (g - 1)/2), и це-
лые числа а, Ь, с удовлетворяют сравнению а2т 4- Ъ2гп = с2т
(mod g), причем
а2 4- b2 \ _ j, / с2 - а2 \ _	/ с2 - Ь2 \ _ *
Q )	’	\ Q /	\ Q /
то abc = 0 (mod g).
Toeda не существует таких взаимно простых отличных от нуля
Целых чисел х, у, z, что НОД (n, xyz) = 1 и х2п 4- у2п = z2n.
Существует много способов выбора чисел q,m, удовлетворяю-
щих этим условиям. Так, в каждом из следующих примеров первый
Случай теоремы Ферма справедлив для показателя 2п:
(а)	п = -1 (mod 3);
(b)	п = ±2 (mod 5);
(с)	(п/11) = — 1 и	п = 4 (mod 5);
W)	(n/19) = — 1 и	п = 4 или 7 (mod 9);
(е)	(n/23) = -1 и	п = 2, или 3, или 4, или	10	(mod	11);
(Л	(п/29) — — 1 и	п = 3, или 5, или 9, или	11	(mod	14) и т. д.
224	Глава VI. Арифметические ограничения
Подобным образом Эконому доказал справедливость первого
случая теоремы Ферма для всех четных показателей, меньщцх
200 000 (с возможными исключениями 108 722 и 188 018).
Ганди в 1966 г. доказал такое утверждение.
(4Н) Пусть простое число р, р 5, и попарно взаимно про-
стые целые числа x,y,z таковы, что хр~г 4- yp~r — zp~r. Тогда z
нечетно, up делит ровно одно из чисел х, у (то, которое является
четным), а следовательно, р не делит z.
Доказательство. Так как число р — 1 четно, согласно замечанию в
начале разд. 1.1 число z нечетно, ахи?/ имеют различную четность,
например, х нечетно, а у четно.
Если р /ху, то хр~х = ур~г = 1 (mod р), в то время как zp-1 = О
(mod р) или zp~r = 1 (mod р). Тогда 2 = хр~г 4- рр-1 = 0 или 1
(mod р), что невозможно. Предположим, что р | х, р Х у, и придем
к противоречию. Положив т = (р — 1)/2, получим
хр-г = zp~r - ур~г = (zm - ym)(zm 4- ут).
Оба множителя в правой части этого равенства взаимно просты, по-
скольку они нечетны. Следовательно, каждый их них есть степень
целого числа, показатель которой равен (р — 1):
— ут — ар-1,
zm 4- Ут — Ър~1,
а значит, х = ab и 2zm — ар~г 4- Ьр~1. Но р | х и НОД (a, b) = 1,
так что р делит ровно одно из чисел а, Ь. Следовательно, 2zm = 1
(mod р). Возводя это сравнение в квадрат, получим 4 = 1 (mod р),
что невозможно.
Таким образом, р делит у. Следовательно, р не делит z. □
В 1969 г. Раина получил следующий результат.
(41) Пусть простое число р, р 5, и натуральные попарно вза-
имно простые числа x,y,z таковы, что хр~х 4- ур~* = zp~r. Тогда
z является квадратичным вычетом по модулю р.
Доказательство. Одно из чисел х,у четно, другое нечетно. Пусть
у четно. Согласно утверждению (4Н) число z нечетно и р делит у-
Положим т — (р — 1)/2. Поскольку (хт)2 4- (р771)2 = (zm)2, при-
нимая во внимание утверждение (1А) гл. I, получим, что суще-
ствуют такие натуральные числа а и b различной четности, что
VL4. Первый случай для четных показателей
225
НОД(а,Ь) = 1 и
хт = а2 — Ь2,
< ут = 2аЬ,
zm = а2 + Ь2.
Пусть сначала b нечетно, тогда а четно. Так как НОД (2а, 6) = 1,
найдутся такие целые числа h и /с, что
f 2а = hm,
{ b = km.
Таким образом, 4zm = Т?*”1 -I- 4/ср“1. Если р | k, то р / h, поэтому
4zm = 1 (mod р). Следовательно, возведя это сравнение в квад-
рат, получим 16 = 1 (mod р), а значит, р = 5, что невозможно, так
как уравнение X4 + У4 = Z4 неразрешимо в натуральных числах
(утверждение (2С), гл. I).
Итак, р /к, и, поскольку р | р, мы получаем р | h. Таким образом,
ДР-1 = 4а2 = 0 (mod 16р) и z<p-1)/2 = кр~г = 1 (mod р).
Пусть теперь b четно, в то время как а нечетно. Проводя ана-
логичные рассуждения, получим, что z(p-1)/2 = 1 (mod р). Итак, z
является квадратичным вычетом по модулю р. □
Дальнейший результат в статье Раины не находит применения,
так как его посылка никогда не выполняется (а именно, z не может
быть простым числом в силу утверждения (ЗС)).
В 1955 г. Беккер опубликовал статью, в которой утверждалась
Справедливость теоремы Ферма для всех четных показателей, боль-
ших двух. Однако можно с уверенностью сказать, что приведенное
доказательство неверно.
Приведем теперь доказательство теоремы Тержаняна, из кото-
рой следуют все вышеприведенные результаты. Мы снова будем
рассматривать частное	= (zn — yn)l(z — у), где п — нечет-
ное натуральное число, a z, у — различные ненулевые целые числа
(не обязательно положительные).
Для удобства читателя напомним, что если тип — отличные
от нуля нечетные целые числа, п > 0, НОД(т,п) — 1, то опре-
делен символ Якоби (т/ri). Если т > 0, то символ (n/m) также
определен, причем справедлив так называемый квадратичный за-
кон взаимности:
f—'j = (-1)(”»-1)/2х(п-1)/2 /ЦА	(4.1)
15-27
226
Глава VI. Арифметические ограничения
Более того,
- (_i)(n—!)/2
(4.2)
(4J) Пусть различные нечетные числа y,z таковы, что у ~ z
(mod 4) и НОД (у. z') — 1. Пусть, далее, т и п нечетны, причем
т 1, п 1 и НОД (т,п) = 1. Тогда
(1) Qm(z,y) = т (mod 4) и, в частности, Qm(z,y) нечетно;
(2) символы Якоби (Qm(z,y)/Qn{z,y)) и (т/п) определены и рав-
ны.
Доказательство. (1) Пусть z = у + 4t. Тогда
\ 1 /	\ J
= тут~г = т (mod 4),
поскольку число (т — 1) четно и у нечетно, а значит, у™-1 = 1
(mod 4).
(2) Заметим сначала, что, так как НОД(т,п) = 1, символ
Якоби (т/n) определен. Аналогично, поскольку НОД(?/,г) — 1, из
утверждения (ЗВ) (2) гл. II следует, что
НОД(<Эт(г,7/),<Эп(г,7/)) = 1.
Так как Qn(z, у) > 0, символ Якоби (Qm(z, y)IQn(z, у)) также имеет
смысл.
Равенство символов Якоби докажем индукцией по k = minpft,
п}. При k — 1 утверждение очевидно. Пусть k > 1. Тогда т п,
поскольку НОД(т,п) — 1.
Если т > п, то существуют такие нечетные целые числа г, 0 <
< г < п = k, и q, что т — qn + г или т — qn — г. Если т = qn + г,
то число т — г четно, откуда по утверждению (ЗВ)(1) гл. II следует,
что
fQm(z,y)\ _ /ym~rQr(z,y)\ _ ( Qr(z,y)\ _ /г \ _ /т\
\Qn(z,y) J \ Qn(z,y) J \Qn(z,y)J \п' \nJ
Если m = qn — г, то числа m — n,n — г четны, откуда, используя
утверждение (ЗВ)(1) гл. II и свойства символа Якоби, по индукции
VL4. Первый случай для четных показателей
227
получим
/<?т(г,у)А _ /-ym~nzn-rQT(z,y)\
\Qn(z,y) J \ Qn(z,y) J
_ /-Qr(s,y)\ _ / -1	\ /Qr(z,y)\
\ Qn(z,y} )	\Qn(^7y)/ \Qn(z,y)/
(—1	\ / r \
Qn(z,y)J \n) '
Так как Qn(z,y) = n (mod 4) согласно части (1),
(Qn(z,y) - l)/2 = (n - l)/2 (mod 2),
следовательно, в соответствии с соотношениями (4.2) мы получаем
(—l/<2n(z, ?/)) = (-1/п). Таким образом,
Если тп < п, то по закону взаимности (4.1) для символа Якоби,
используя проведенное выше доказательство, получаем
(Qm(z,y)\ _ /_1UQTyi(Zj2/)-i)/2x(Qn(z,2/)-l)/2 ( Qn(z,y) \
\Qn(z,y) )	\Qm(z,y))
Теперь мы с легкостью можем получить результат Тержаняна.
(4К) Пусть р — нечетное простое число. Если отличные от
нуля целые числа x,y,z таковы, что х2р 4- у2р = z2p, то 2р делит
х или у.
Доказательство. Без ограничения общности будем полагать, что
числа x,y,z попарно взаимно просты. Далее, числа х,у не могут
быть оба нечетны, так как показатель 2р четен (см. замечание в
Начале разд. 1.1). Пусть число х четно, a y,z нечетны. Тогда
2р 2р 2р / 2	2\z2p ~ у2р
xp = zp-yp = (z -у
Z у
По утверждению (ЗВ)(4) гл. II мы имеем
/	z2p 11^Р \
НОД ( Z2 - у2, —---— ) = р или 1.
\	zz - у2 /
Если этот наибольший общий делитель равен р, то р делит х2р,
в значит, 2р делит х.
228
Глава VI. Арифметические ограничения
Покажем теперь, что числа z2 — у2 и (z2p — у2р)/(z2 — у2) не могут
быть взаимно простыми. Действительно, если эти числа взаимно
просты, то они должны быть квадратами целых чисел. Но
z2p — у2р
Z2 - у2
уР %Р уР
— х —-— = <Эр(^,у) X Qp(z, -у),
У Z + у
причем два множителя в правой части взаимно просты, посколь-
ку НОД(р^) — 1, а числа y,z нечетны. Таким образом, Qp(z,y) и
Qp(z,— у) также являются квадратами целых чисел. Так как р не
является квадратом целого числа, существует такое нечетное про-
стое число q, что р не является квадратом по модулю q.
Предположим сначала, что z = у (mod 4). Согласно (4.1) мы
имеем
_i = /	= < Qp(z,p)A
\<и \Qq(z,y))'
что невозможно, потому что Qp(z,y) — квадрат целого числа. Если
z £ у (mod 4), то z = —у (mod 4) и, следовательно, мы вновь по-
лучаем
_! _ (р\ = (Qp(z,-y)\
)	\Qq^,-y)/
что также невозможно. Полученное противоречие завершает дока-
зательство. □
В 1981 г. Роткевич получил следующее усиление результата Тер-
жаняна.
(4L) Пусть р — нечетное простое число. Если натуральные
числа x,y,z таковы, что х2р -F у2р ~ z2p, то 8р3 делит х или у.
Доказательство. Можно считать, что числа x,y,z попарно вза-
имно просты, причем х четно, a y,z нечетны. Тогда по теореме
Тержаняна 2р делит х.
Покажем, что 8 делит х. Нетрудно видеть, что НОД (zp — хр,
zp + хр) — 1, так как НОД(х,г) — 1, х четно и z нечетно. Так
как у2р — z2p — х2р — (zp — xp)(zp + хр), мы получаем, что
zp - хр = [(zp - xp}/(z — x)](z - х) = а2р, где а — нечетное на-
туральное число. Поскольку р | х, можно заключить, что р / z,
а значит, р/ (z — х). По утверждению (ЗВ)(5) гл. II мы име-
ем НОД ((zp — xp)/(z — х), z — х) = 1, а следовательно, (zp - хр)/
/(z — х) = 62, где Ь — нечетное натуральное число (так как z нечет-
но). Таким образом, Ь2 — (2bi + I)2 + 1 — 4bi(6i 4- 1) = 1 (mod 8)
VI.4. Первый случай для четных показателей 229
И zp'r + zp~2x 4- zp~3x2 = 1 (mod 8), потому что х четно. Но z
нечетно, и мы снова имеем zp-1 = 1 (mod 8), откуда следует, что
zP~3x(z 4- х) ~ 0 (mod 8). Таким образом, х = 0 (mod 8), так как
числа z, z 4- х нечетны.
Тот факт, что р3 делит х, следует из результата Вандивера (1В).
Мы также можем записать гр4-хр = с2р, где с — нечетное натураль-
ное число. Согласно теореме Вандивера хр = х (mod р3). Посколь-
ку р | х и р 3, мы заключаем, что р3 делит х, а значит, х делится
и на 8р3. □
В 1950 г. Гут воспользовался соображениями Куммера и Мири-
манова и, применив методы теории полей классов, получил крите-
рий справедливости первого случая теоремы Ферма с показателем
2р, использующий числа Эйлера. Конечно, теперь этот результат не
актуален.
В заключение укажем один простой факт, которым воспользу-
емся позже.
(4М) Пусть x,y,z — ненулевые взаимно простые целые числа,
П 3 и х2п 4- у2п = z2n. Тогда 2 | ху и 3 | ху.
Доказательство. Если числа х,р нечетны, то х2п 4- у2п = 2
(mod 4), но тогда число z четно, причем z2n = 0 (mod 4), что невоз-
можно. Если 3 / хр, то х2п = у2п = 1 (mod 3), но z2n = 0 или 1
(mod 3), так что соотношение х2п 4- у2п = z2n не может быть спра-
ведливым. □
Список литературы
1804 Germain, S., Letter to Gauss, Nov. 21, 1804', reprinted in Oeuvres
Philosophiques, p. 298 (editees par H. Stupuy), Ritti, Paris, 1879.
1837 Kummer, E.E., De aequatione x2X 4- y2X = z2X per numeros in-
tegros resolvenda, J. Reine Angew. Math., 17 (1837), 203-209;
reprinted in Collected Papers, Vol. I, pp. 135-141.
1943 Niedermeier, F., Ein elementarer Beitrag zur Fermatschen Ver-
mutung, J. Reine Angew. Math., 185 (1943), 111-112.
1944 Niedermeier, F., Zwei Erweiterungen eines Kummerschen Kri-
teriums fur die Fermatsche Gleichung, Deutsche Math., 7 (1944),
518-519.
1950 Gut, M., Eulersche Zahlen und grofler Fermatscher Satz, Com-
ment. Math. Helv., 24 (1950), 73-99.
230
1953
1954
1955
1956
1960
1961
1966
1969
1977
1978
1981
Глава VI. Арифметические ограничения
Griselle, Т., Proof of Fermat's last theorem for n = 2 (8a -Fl),
Math. Mag., 26 (1953), 263.
Grey, L.D., A note on Fermat’s last theorem, Math. Mag., 27
(1954), 274-277.
Becker, H.W., Proof of F.L.T. for all even powers, Math. Mag.,
28 (1955), 297-298; and 29 (1956), 125.
Oeconomou, G., Sur le premier cas du theoreme de Fermat pour
les exposants pairs, C. R. Acad. Sci. Paris, 243 (1956), 1588-
1591.
Long, L., A note on Fermat’s theorem, Math. Gaz., 44 (1960),
261-262.
Long, L., On Fermat’s last theorem, Math. Gaz., 45 (1961), 319-
321.
Gandhi, J.M., On Fermat’s last theorem, Math. Gaz., 50 (1966),
36-37.
Raina, B.L., On Fermat’s last theorem, Amer. Math. Monthly,
76 (1969), 49-51.
Terjanian, G., Sur I’equation x2p 4- y2p = z2p, C. R. Acad. Sci.
Paris, 285 (1977), 973-975.
Terjanian, G., L’equation xp — yp — az2 et le theoreme de Fermat,
Sem. Th. des Nombres, Bordeaux, expose no. 29, 1978, 7 pp.
Rotkiewicz, A., On Fermat’s equation with exponent 2p, Colloq.
Math., 45 (1981), 101-102.
Глава VII
Эпизоды 7 и 8
В этой главе рассматриваются многочлены, имеющие прямое отно-
шение к уравнению Ферма.
УП.1. Некоторые важные полиномиальные
тождества
Здесь мы приводим некоторые алгебраические тождества, которые
используются в исследованиях уравнения Ферма. Многие преды-
дущие попытки доказать теорему Ферма опирались на известные
полиноминальные тождества.
Вначале укажем следующие тождества, которые были использо-
ваны Ламе в 1840г. (см. также В. А. Лебег (1847), Меншен (1847),
Каталан (1885)). К. Ф. Гаусс (1863) рассмотрел частные случаи, ко-
гда п = 3,5,7 (см. также Ребу (1877) и Брокар (1878)).
(1А) Если X,Y,Z — переменные и число п нечетно, то
(X+Y+Z)n - (X+Y-Z)n - (X - Y+Z')n - (~X+Y+Z)n
Доказательство. Выписывая явно степени с показателем п в ле-
вой части равенства, получим
(Х + У + Z)71 - (X + Y — Z)n - (X — Y + Z)n - (~X + Y+Z)n
al bl c!
a4-b-f-c = n
a,b,c^0
Так как n нечетно na + b + c = n, ровно одно или же все три це-
лых числа а, 6, с тоже нечетны. Если только одно из них нечетно, то
232
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
1 — (—1)а — ( —1)ь — (-1)с = 0- Таким образом, мы можем рассмат-
ривать только слагаемые, для которых а = 2г -F 1, b = 2j 4- 1, с ~
= 2А:+1, а значит, i+j + k = (п — 3)/2 и 1 —(—1)а —(—I)6 — (—1)с = 4.
Отсюда вытекает справедливость нашего утверждения. □
Как следствие имеем такой результат (см. А. С. Веребрюсов,
1908).
(1В) Если X,Y,Z — переменные и число п нечетно, то
(X + Y + Z)n - Хп - Yn - Zn = ~(X+Y}(Y+Z)(Z+X)
у. (n- l)!(X + V)2i(y + Z)2i(Z + X)2k
(2г + 1)! (2J + 1)! (2fc + 1)!
t,5,fc>0
Доказательство. В тождестве (1A) заменим X, У, Z на U, V, W,
где U = (X + У)/2, V = (У + Z)/2, W = (Z + X)/2. Тогда
U + V + W = X + Y + Z,
U + V-W = Y,
U-V + W = X,
-U + V + W = Z,
и (1A) превращается в равенство
(X + Y + Z)n - Xn - Yn - Zn
= g(X + y)(y + Z)(Z + X)
v	(n-l)!(X+y)2i(y + Z)2>(Z+X)2fc
*h+^-3)/2	(2г + 1)! (2j + 1)! (2fc + 1)!	•
Рассмотрим следующий частный случай.
(1C) Если X,Y — переменные и число п нечетно, то
(X + У)п - Хп - У”
4 л
= -(X + Y)XY
(n-1)!
X
(2г + 1)! (2> + 1)! (2k + 1)!(% + Г^Х2к-
VII. 1. Некоторые важные полиномиальные тождества 233
Доказательство. Доказываемое равенство получается, если заме-
нить Z на 0 в тождестве (1В). □
Уже в 1837 г. Куммер использовал следующее тождество для
многочлена (X -I- У)п — (Хп + Yn) (см. также Меншен (1847), Ва-
шет (1861), Баризьен (1906), Бутен и Гонсалес Кихано (1907), Бини
(1907), Роуз (1907) и Бахман (1910)).
(1D) Если X,Y — переменные ип}1, то
(X + Y)n - (Xn + Yn) =	(П?2 7 1)*Ti(X + r)n-:“
(будем считать, что при 2г > п члены в этой сумме равны нулю).
Доказательство. Докажем тождество
хп + У” = (X + У)п + £(-!)* j (П 7 О Х’У<(Х + y)n-2i
г=1	'	'
по индукции. Для п = 1,2 оно очевидно. Далее,
п—1 । yn—1)
= (X + У)п+1
+7	+Y)n+i~2i
-ХУ(Х + У)"-1
i=l	г
= (X + y)n+1 +	1)’с<Х*У*(Х + У)п+1“2\
г=1
где Ci = п 4-1 и если г 2, то
п — г — 1\	— 1/п — г — 1\ _ n + 1/n — г
г — 1 /	г — 1 \ г — 2 / г \г — 1
В 1885 г. (а затем и в 1886 г.) Каталан привел другую форму
тождества (1В).
Хп+1 + у п+1 = ^Хп + ynwX + у) _ Ху^Х
Ci = -Г
г \
234
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
рп — 3
(IE) Если X.Y.Z — переменные и число n нечетно, то
(X + У + Z)n - Хп -Yn-Zn
(Х + У)(У+ Z)(Z + X)
+... + нп_3 + 2Я((2)_3)/2,
где Р = X 4- У + Z — и при i 1 многочлен Hi является сум-
мой всех одночленов степени i с коэффициентом 1 от перемен-
ных X, Y, Z, а Н^_3у2 является суммой всех одночленов степени
(п — 3)/2 с коэффициентом 1 от переменных X2,Y2,Z2 (таким
образом, степень самого этого многочлена равна п — 3), т.е.
С-3)/2=Я(п-3)/2^2,У2,г2).
Доказательство. Нетрудно видеть, что справедливы соотноше-
ния
Qi =
Рп -Zn хп + Yn
P-Z X+Y
_ (pn-1 + Zpn-2 + Z2pn~3 +	+ Zn-lj
- (Xn-1 - YXn~2 + Y2xn~3 - ... + У”"1).
Но согласно алгоритму Евклида, так как Y 4- Z = Р — X, мы
получаем
ри-1 + zpn-2 + /2рп-3 +	+ /п-1
Y + Z
,п~2 + Я, (X, Z)Pn~3 + Я2(Х, Z)Pn~4 + ... + ЯП_2(Х, Z)
хп~г + zxn~2 + ... + гп~г
где Hi\X, Z) является суммой всех одночленов степени i с коэффи-
циентом 1 от переменных X, Z. Следовательно,
Y + Z
= (Рп~2 + Я, (X, Z)Pn~3 + Я2(Х, Z)Pn~4 +... + Яп_2(Х, Z))
+ —[(У + Z)Xn~2 - (У2 - Z2)Xn-3 + (У3 + Z3)Xn~4
- (У”-1 - Zn-1)]
= (Р”-2 + Я! (X, Z)Pn~3 + Я2(Х, Z)Pn~4 + ... + Нп^2(Х, Z))
+ (Хп~2 - (У - Z)Xn~3 + (У2 - ZY + Z2)Xn“4 - ...
- (Yn-2 - ZYn~3 + z2Yn~4 - ... - Zn“2)).
VII. 1. Некоторые важные полиномиальные тождества 235
Снова применив алгоритм Евклида, получим
Рп~2 + Нх(Х,г)Рп-3 + Н2(Х, Z)Pn~4 + ... + Яп 2(Х, Z)
Z + X
= Рп~3 + Я^”"4 + Н2Рп~5 + ... + Яп_3
Уп~2 + Hl (X, Z)Yn~3 + Н2(Х, 7)УП"4 + ... + ЯП_2(Х, Z)
+	Z + X
где Hi имеет такой вид, как указано в формулировке. Далее,
43 Z + X
= Рп~3 + HiP11-4 + Н2Рп~5 + ... + Яп_3
+ -^Гх [У-2 + Я1(Х, Z)Yn~3 + Я2(Х, Z)Yn~4
+ ...+ Я„_2(Х, Z) + Хп~2 - (У - Z)Xn~3
+ (У2 - ZY + Z2}Xn~4
- (у«-2 _ zYn~3 + z2Yn~4 - ... - Zn~2)}.
Но
= 1,
= X2 + z2 =h[2\x,Z),
= x4 + x2z2 + Z4 = Я^2) (X, Z)
Q3 = P"-3 + Pjpn-4 + H2Pn~5 + ... + Яп_3 + Yn~3
+Я!(2)(Х, Z)Yn~5 + Я2(2)(Х, Z)yn“7 + ... + Я((2)_3)/2(х, Z)
+z7x^n-2 + H^x’ z^Yn~4 + Я4(х’ z)yn~6 +
... + ЯП_3(Х, Z)Y + Xn~2 - (У - Z)Xn~3
+ (У2 -YZ + Z2)Xn~4
H1(X, Z)
z + x
H3(X, Z)
z + x
H5(X,Z)
z + x
и т.д. Следовательно,
236	Глава VII. Эпизоды 7 и 8
Выражение в квадратных скобках равно
YXn~3 + YZXn~4 + (YZ2 + Y3)Xn~5
+{YZ3 + Y3Z)Xn~6 + (У74 + Y3Z2 + У5)ХП~7 + ...
+(YZn~3 + Y3Zn~5 + ... + Yn~4Z2 + Yn~2)
+Xn~2 - (У - Z)Xn~3 + (У2 -YZ + Z2)Xn~4
_(yn-2 _ zyn-3 + z2yn-4 _	_ Zn-2)
= Xn"2 + ZXn~3 + (У2 + Z2)Xn~4 + (Y2Z + Z3)Xn~5
+(У4 4- Y2Z2 + Z4)Xn~6 + (Y4Z + Y2Z3 + Z5)X”~7
+ ... + (Yn~3Z + Yn~5Z3 + ... + Zn~2)
= xn~2 + zxn~3 + H(2} (У, Z)Xn~4 + Hj(2) (У, Z)ZXn~5
+H(2}(Y, Z)Xn~6 + H?\y, Z)ZXn~7 + ... + H$_3}/2(Y, Z)Z.
Таким образом,
Q3 = Pn~3 + HiPn~4 + H2Pn~3 + ... + Hn-3 + Yn~3 +
Я1(2)(Х, Z)Yn~5 + H^(X, Z)Yn~7 + ... + Я((2)_3)/2(х, Z)
+Xn'3 + H(2\Y, Z)Xn~5 + ... + Н((2)_3)/2(У, Z)
= Pn~3 + HrFn-4 + H2Pn~3 + ... + Hn_3 + 2Я<2) 3V2,
так как каждая из двух последних строк равна Я^_3^2. □
Список литературы
1782 Waring, Е., Meditationes Algebraicae (3rd ed.), Cambridge Uni-
viversity Press, Cambridge, 1782.
1837 Kummer, E.E., De aequatione x2X 4- y2X = z2X per numeros in-
tegros resolvenda, J. Reine Angew. Math., 17 (1837), 203-209;
reprinted in Collected Papers, Vol. I, pp. 135-141, Springer-
Verlag, Berlin, 1975.
1840 Lame, G., Memoire d’analyse indeterminee demontrant que I’equ-
ation x7 + y7 = z7 est impossible en nombres entiers, J. Math.
Pures Appl., 5 (1840), 195-211.
1847 Lame, G., Memoire sur la resolution en nombres complexes de
I’equation An 4- Bn 4- Cn = 0, J. Math. Pures Appl., 12 (1847),
172-184.
VII. 1. Некоторые важные полиномиальные тождества 237
1847 Lebesgue, V.A., Sur la question 70е, Nouv. Ann. Math., 6 (1847),
427-431.
1847 Mention, J., Solution de la question 70, Nouv. Ann. Math., 6
(1847), 399-400.
1861 Vachette, A., Note sur certains developpements et solution des qu-
estions 4^1,468, et 479, Nouv. Ann. Math., 20 (1861), 155-174.
1863 Gauss, C.F., Zur Theorie der complexen Zahlen. (I) Neue Theorie
der Zerlegung der Cuben, Werke, Vol. II, pp. 387-391.
1877 Rebout, E., Formation d’un cube entier qui soit eg al a la somme
de quatre cubes entiers, Nouv. Ann. Math., (2), 16 (1877), 272-
273.
1878 Brocard, H., Sur divers articles de la Nouvelle Correspondance
(Question 286), Nouv. Corr. Math., 4 (1878), 136-138.
1885 Serret, J.A., Algebre Superieure, Vol. I, p. 449 (5е edition),
Gauthier-Villars, Paris, 1885.
1885 Catalan, E., Sur le theoreme de Fermat (1861), Melanges Mathe-
matiques XLVII, Mem. Soc. Roy. Sci. Liege, (2), 12 (1885),
179-187.
1886 Catalan, E., Sur le dernier theoreme de Fermat, Mem. Soc. Roy.
Sci. Liege, (2), 13 (1886), 387-397.
1906 Barisien, E.N., Questions 3076 et 3077, L’Interm. Math., 13
(1906), 142.
1907 Bini, U., Sopra alcune congruenze, Period. Mat., (3), 22 (1907),
180-183.
1907 Boutin, A. and Gonzalez Quijano, P.M., Sur la question 3076 (de
Barisien), L’Interm. Math., 14 (1907), 22-23. - -
1907 Rose, J., Sur la question 3076 (de Barisien), L’Interm. Math.,
14 (1907), 92-93.
1908 Werebrusow, A. S., Question 3406, L’Interm. Math., 15 (1908), 12.
1909 Dubouis, E., Sur la question 3406 (de Werebrusow), L’Interm.
Math., 16 (1909), 79-80.
1910 Bachmann, P., Niedere Zahlentheorie, Teubner, Leipzig, 1910; re-
printed by Chelsea, New York, 1966.
1951 Perron, O., Algebra, Vol. I, W. de Gruyter, Berlin, 1951.
1959 Redei, L., Algebra, Vol. I, Akademie Verlag, Geest & Portig,
Leipzig, 1959.
238
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
VII.2. Многочлены Коши
В своем доказательстве теоремы Ферма для показателя 7 Ламе
(1839, 1840) использовал полиномиальное тождество седьмой сте-
пени. Изучая работы Ламе, Коши и Лиувилль привели более общее
полиномиальное тождество (1839), из которого получены следую-
щие частные случаи (Коши, 1841):
(X + У)5 - X5 - У5 = 5XY(X + У)(Х2 + XY + У2),
(X + У)7 - X7 - У7 = 7XY[X + У)(Х2 + XY + У2)2.
Так началось изучение многочлена (X + У)п — Хп — Уп.
Если показатель п 3 нечетен, то этот многочлен делится на
X, У, X + Y. Кроме того, если показатель равен нечетному простому
числу р, то наш многочлен также кратен и р.
(2А) Пусть п = ±1 (mod 6). Тогда многочлен (X -I- У)п-
_(ХП + уп) делится на (Х2 + ХУ + У2)е, но не делится на
(X2 +XY + У2)е+1, где
_ J 1, если п = — 1 (mod 6),
[ 2, если п = 1 (mod 6).
Доказательство. Покажем, что
(X 4- 1)п - (Хп + 1) = (X2 + Х + 1)еЯп(Х),
где показатель е определен выше, Нп(Х) 6 Z[X] и X2 4- X 4- 1 не
делит -Нп(Х). Отсюда, приведя многочлен к однородному виду, по-
лучим справедливость утверждения (2А).
Пусть Gn(X) = (X 4- 1)п — (Хп 4- 1), и пусть w — первооб-
разный корень из 1 третьей степени, w = (-14- \/~3)/2- Тогда
си24-си4-1:=0и мы можем записать Gn(co) = (си 4- l)n — (соп 4-1) =
= -(cj2n 4- con 4- 1) = -(w3n - l)/(wn - 1) = 0.
Таким образом, Gn(X) делится на минимальный многочлен
X2 4- X 4- 1 для со. Разделив Gn(X) с остатком, получим, что
Gn(X) = F(X)(X2 4- X 4-1) 4- (аХ 4- 6), где F(X) € Z[X] и a, b € Z.
Значит, 0 = Gn(w) = F(co)(co2 4- со 4- 1) 4- aw 4- b = aw 4- d, откуда
следует, что a = 0 (иначе выполнялось бы условие w = —Ь/а € Q
что неверно) и b = 0.
Далее, (X2 4- X 4- I)2 делит Gn(X) тогда и только тогда, ко-
гда со является корнем многочлена Gn(X) кратности 2, а значит,
со — корень его производной Gn'(X) = п((Х 4- 1)пЧ — Хп-1), т. е.
VII.2. Многочлены Коши
239
п [(gj 4- l)n-1 — cjn-1] = 0. Поскольку cj + 1 = — cj2, это условие эк-
вивалентно равенству (cjn-1 — 1)cju-1 = 0, т. e. lj71-1 = 1. А это
равенство верно тогда и только тогда, когда п — 1 кратно 3, т. е.
fl = 1 (mod 6).
Покажем, что (X2 -F X -F I)3 не делит Gn(X). Действительно,
Предположим, что Gn(X) делится на (X2 + X -F I)3. Тогда должно
выполняться сравнение п = 1 (mod 6) и, более того, многочлен А'24-
4-Х -F 1 должен делить Gn"(X) = п(п - 1)((Х 4- 1)п-2 - Аггг“2).
Значит, Gn”(cv) — 0, и потому (си4-1)п“2 = шп~~2 и —cj2^n-2^ — соп~2.
Следовательно, шп~2 = -1 и cj2(n-2) = 1. Это означает, что 3 делит
2(п — 2), т. е. п = 2 (mod 3), откуда следует, что п = — 1 (mod 6),
так что мы пришли к противоречию. □
Из сказанного выше следует такое утверждение: если п = ±1
(mod 6), то
(Х4-У)П-(ХП4-УП) = XY(X4-У)(Х2 +XY 4-У2)еEn(X,Y\ (2.1)
и если п = р > 3 — простое число, то
(Х4-У)р —(Хр4-Ур) = рХУ(Х + У)(Х24-ХУ4-У2)еСр(Х,У), (2.2)
где ЕР(Х,У) = рСр(Х,У) и е = 1 или 2, в зависимости от того,
сравнимо ли п с —1 или с 1 (mod 6).
В математической литературе встречаются многочисленные до-
казательства этого утверждения (или его вариантов) (см., напри-
мер, Кэли (1878), Глейшер (1878,1879), Муир (1878), Каталан (1884,
1885, 1886), Люка (1888, 1891), Баризьен (1906), Топен и Реталь
(1907), Урсус и Григорьев (1907), Кандидо (1907) и Брчич-Костич
(1952)).
В 1878 г. Глейшер сформулировал это утверждение так.
(2В) Если число п нечетно, то (X — У)п 4- (У — Z)n 4- (Z — Х)п
делится на
i[(X - У)3 + (У - Z)3 + (Z - X)3].
Ясли п = -1 (mod 6), то (X - У)" + (У - Z)n + (Z - Х)п делится
па
i[(X - У)2 + (У - Z)2 + (Z - X)2].
Еслижеп = 1 (mod 6), то (Х-У)п +(У-Z)n + (Z-X)n делится
не
|[(Х - У)4 + (У - Z)4 + (Z — X)4].
240
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
Доказательство. Пусть А,В — переменные и число п 3 нечет-
но. Тогда АВ(А -I- В) делит (А -I- В)п — Ап — Вп.
Положим А = Z—Y, В = X — Z. Тогда А+В = X—Y и многочлен
АВ(А+В) - (Z-Y)(X-Z)(X-Y) = |[(y-Z)3+(Z-X)3+(X~y)3]
делит {X - У)” + (У - Z)n + (Z - Х)п. Далее,
А2 + АВ + В2 = (Z - У)2 + (Z - У)(Х - Z) + (X - Z)2
= i[(y-Z)2 + (Z-X)2 + (X-y)2]
И
(А2 + АВ + В2)2 = |[(У - Z)2 + (Z - X)2 + (X - У)2]2
= ^[(Г - Z)4 + (Z - X)4 + (X - У)4].
Таким образом, из утверждения (2А) следует, что если п = -1
(mod 6), то многочлен (X — Y)n 4- (У — Z)n 4- (Z - Х)п делится
на |[(Х - У)2 4- (У - Z)2 4- (Z - X)2], а если п = 1 (mod 6), то
(X - У)п 4- (У - Z)n 4- (Z - Х)п делится на |[(X - У)4 4- (У - Z)4 4-
+ (Z-X)4]. □
Следующее важное утверждение было в явном виде получено
Каталаном (1884,1885), Джероно (1885), Нестером (1907), Бельшем
(1909) и Брокаром (1910).
(2С) Пусть р — простое число. Тогда
(1) если (X 4- У)р - Хр - Yp = pXY(X 4- Y)P2, где Р € Й[Х,У],
то р = 3, Р = 1 или р = 7, Р = X2 4- XY 4- У2;
(2) если 2Р-1 — 1 = pN2, где число N целое, то р = 3, N = 1 или
p = 7,N = S.
Доказательство. Докажем эти два утверждения одновременно.
Во-первых, заметим, что р 2. Полагая X = Y = 1, получим 2Р -
- 2 = 2pN2, где N = Р(1,1) € Z.
Если р = 3, то N — 1. Предположим теперь, что р 0 3. Запишем
соотношение (2<р i)/2	^/2 — 1) = pN2. Оба множителя в
левой части нечетны, а следовательно, они взаимно просты. Значит,
один из множителей является квадратом целого числа, а другой
есть произведение простого числа р на квадрат целого числа.
Но 2(р~1)/2 — 1 = 3 (mod 4), поскольку (р — 1)/2 3> 2, и, таким
образом, 2^р~1^/2 — 1 не является квадратом целого числа. Отсюда
следует, что 2(р~1)/24-1 = М2, где число М целое. Так как 2^р-1^2
VII.2. Многочлены Коши
241
= М2 — 1 = (М — 1)(М 4-1), числа М — 1, М +1 являются степенями
числа 2. Но (М 4-1) — (М - 1) = 2, а значит, М — 1 = 2, М = 3 и при
этом р = 7, N = 3. Следовательно,
Мы будем обозначать многочлен СР(Х, 1) через СР(Х) и на-
зывать его многочленом Коши ддя простого числа р 5. Если
р = 6к ± 1, то СР(Х) имеет степень 6(к — 1). Обратим внимание на
следующие частные случаи:
Сб(Х,У) = 1,
С7(Х,У) = 1,
Сп(х, У) = Xе + ЗХ5У + 7Х4У2 + 9Х3У3 + 7Х2У4 4- ЗХУ5 4- У6
= (X2 4- XY 4- У2)3 4- [XY(X 4- У)]2,
С18(Х,У) = ХЧЗХ5У4-8Х4У2+11Х3У3+8Х2У44-ЗХУ5+Уб
= (X2 4- ХУ 4- У2)3 4- 2[ХУ(Х 4- У)]2.
Эти выражения от ХУ(Х 4- У) и X2 4- ХУ 4- У2 будут вскоре
обобщены для произвольных значений р.
Многочлены Коши удовлетворяют следующим свойствам при
p=6k± 1 (см. Мириманов (1903), Клёсген (1970)).
(2D) Пусть СР(Х) — многочлен Коши. Тогда
(1)	СР(Х) = Хв<к-^СР(1/Х),
Ср(Х) = Ср(-1-Х);
(2)	Ср(0) = Ср(-1) = 1;
(3)	СР(Х) не имеет действительных корней',
(4)	все (мнимые) корни многочлена СР(Х) просты и принадле-
жат непересекающимся множествам в количестве к — 1,
каждое из которых состоит из шести различных корней
f 1 ч 1 z 1 + z )
< •г>	“(1 + z),	>-----г •
( z	1 + z 1 + z zj
Доказательство. (1) Так как
г (х\ = (Х + 1Г-ХР-1
7 рХ(Х + 1)(Х2 + X + 1)е
(гдее = 1 или 2), мы получаем
Ср(1/Х) = Х~р+2е+3Ср(Х).
16-27
242
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
Поскольку
е
1, если р = 6/с - 1,
2, если р = 6/с + 1,
справедливо равенство СР(Х) = Х6(Л-1)С'Р(1/Х). Точно так же по-
лучим, что СР(Х) = Ср(—1 —X).
(2)	Так как СР(Х) — симметричный многочлен со старшим
коэффициентом 1, Ср(0) = 1. К тому же из утверждения п. (1)
имеем Ср(—1) = С*р(0) — 1.
(3)	Если z > 0 — действительный корень многочлена СР(Х), то
(z4-l)p = zp 4-1, что невозможно. Если z < — 1 — действительный ко-
рень многочлена СР(Х), то число -(14-z) > 0 должно быть положи-
тельным действительным корнем многочлена Ср(—1 — X) = СР(Х),
что противоречит предположению. И наконец, если z, — 1 < z < О,
есть действительный корень многочлена СР(Х), то число 1/z < -1
тоже должно быть действительным корнем многочлена СР(Х), что
невозможно.
(4)	Пусть z — произвольный корень многочлена СР(Х). Из п. (1)
следует, что числа \!zn -(14-z) тоже являются корнями многочле-
наСр(Х), азначит, -(14- 1/z) = -(z4-l)/z, -1/(14-z) и -z/(z4-l)
также являются корнями этого многочлена. Множества корней,
приведенные выше, либо совпадают, либо не пересекаются. В са-
мом деле, если
teMz =
1	ч 1 z 14-z)
z’	14-z’ 14-z’ z J’
то, как легко проверить, — Mz.
Пусть z — мнимый корень многочлена СР(Х). Предположим,
что он является корнем кратности два. Это возможно только тогда,
когда z — корень многочлена Ср. Так как
ср(х) = 6(t -(-Г) -	(Г)
и С"(Х) — —С"(—1 —X), числа 1/z и — 1 —z тоже являются двукрат-
ными корнями, откуда следует, что каждый элемент множества Мг
является корнем кратности два.
Дифференцируя тождество (X 4- 1)р - Хр - 1 — рХ(Х 4- 1)(Х2 +
4-Х 4- 1)еСр(Х), получим
(X 4-1)р-1 — Хр-1 = (Х(Х4-1)(Х2 + Х + 1)е)'Ср(Х)
+ Х(Х + 1)(Х2 + X + V)eCp’(X).
VII.2. Многочлены Коши
243
Отсюда следует, что (z 4- 1)р 1 = zp \ а значит, (1 4- l/z}p 1 = 1,
т.е. 14-1/г является корнем из 1 кратности (р— 1) и, таким образом,
|1 + 1Л1 = 1-
Рассматривая сначала двукратный корень —z/(14-z) (вместо z),
получим, что 1 4- (—(1 4- z)/z) — —\/z также является корнем из 1
кратности (р — 1) и |l/z| = 1. Таким образом, все стороны тре-
угольника с вершинами в точках 0,1,£ = ~^lz имеют длину 1,
т,е. он равносторонний, поэтому £ является первообразным кор-
нем из 1 степени 6. Значит, £2 -- £ 4- 1 = 0 и £3 = —1. Тогда число
—(z 4-1)/z = -1 — 1/z — — 1 4- С удовлетворяет равенству
(-1 4- £)3 = -1 4- 3£ - 3£2 4- £3 = -1 + 3£ - 3£ + 3 “ 1 = 1,
поэтому многочлен X2 4- X 4-1 является для этого числа минималь-
ным. Так как -(z 4- l)/z тоже является корнем многочлена СР(Х),
многочлен X2 4- X 4- 1 делит СР(Х), что противоречит утвержде-
нию (2А). □
В 1903г. Мириманов предположил, что многочлен СР(Х) явля-
ется неприводимым. В 1970 г. Клёсген проверил, используя ЭВМ,
ЧТО для всех р 31 многочлен Коши СР(Х) неприводим над Z[X].
Так как максимальное значение коэффициентов СР(Х) с ростом р
растет очень быстро, дальнейшие проверки не проводились.
Мы приведем без доказательства следующие результаты, полу-
ченные в 1997 г. Алу.
Если п 3 — нечетное число, то для любого простого числа р
Многочлен Сп по модулю р приводим над полем из р элементов.
Кроме того, если п — нечетное простое число и существует простое
число р, такое, что Сп по модулю р имеет не менее трех делите-
лей, то Сп неприводим. Алу приписывал Филасете доказательство
ТОГО факта, что многочлен С2Р неприводим для любого нечетного
Простого числа р. Это доказательство представлено Алу в его рабо-
те 1997 г. Многочисленные результаты исследования многочленов
Коши можно найти в работе Тержаняна (1989).
В дальнейшем нам потребуется другое выражение для много-
членов Коши. Обобщая предыдущие рассуждения, мы будем рас-
сматривать 5П(Х,У) = (X 4- Y)n 4- (~l)n(Xn 4- Yn) как многочлен
ОТ переменных U = X2 4- XY 4- Y2 и V = XY(X 4- У).
Привести Sn(X, У) к такому виду можно двумя способами.
Можно рассмотреть многочлен третьей степени от перемен-
ной Т, коэффициенты которого принадлежат Z[X, У], а корнями
244
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
являются X + Y,—X,—Y:
F(D = (Т 4- Х)(Т 4-У)(Т - X -У)
_ тз	_р q^T -|- Q-з,
где
r ar = X 4- У - (X 4- У) = О,
< а2 = XY - Х(Х 4- У) - У(Х 4- У) = -(X2 4-ХУ 4- У2),
к a3 = -XY(X + Y).
Тогда Sn(X, У) = (X 4- У)п 4- (-1)П(ХП 4- Уп) является суммой п-х
степеней корней многочлена F(T). Мы будем использовать следу-
ющее классическое выражение для суммы
рп = х” 4-... 4- х% (п = 0,1,...)
корней многочлена
к
Тк + а^Т*-1 +... + ак = Д(Г - Ii),
г=1
принадлежащее Варингу (1782) (см. лемму 2.1).
Частные случаи для п = 1,2,3,4 были рассмотрены Жераром
(1629) (см. также Залыпутц (1906)). Доказательство можно найти
у Серре (1885), Люка (1891) и Перрона (1951). Современное алге-
браическое доказательство было дано Редеем (1952, 1959). Другое
доказательство, использующее степенные ряды, получили Чезаро и
Ковалевская (1904).
Лемма 2.1. Во введенных обозначениях
п (—iy
Рп = п ГТ —rH(ai 4- ... 4- а*)г}п,
Z
где {(си 4- ... 4- а*)г}п — сумма всех одночленов (г!/(г'1!...г\!))х
х aj1 ... (с показателями й 4- ... 4- ik = г, 0 й,..., г\), имею-
щая вес, равный п, то есть ii 4- 2i2 4-... 4- fcifc — п.
Следующее утверждение было доказано для четных степеней
Феррерсом и Джексоном (1852, см. ссылку в книге Диксона «Исто-
рия теории чисел», т. П, с. 747). Доказательство для произвольной
степени появилось в книге Тодхантера (1861). Это утверждение за-
ново доказал Муир (1879), используя сформулированную выше лем-
му. Капферер (1949) вновь получил такое же доказательство для
случая, когда п — простое число. В 1969 г. Карлиц и Хантер полу-
чили доказательство с использованием метода степенных рядов.
VII.2. Многочлены Коши
245
(2Е)	Пусть п > 2, U = X2 + XY + У2 и V = XY(X + У). Тогда
(X + У)п+(-Х)п+(-У)п
___ \	Г	| ^уЗг—п+Зуп—2г—2
“ п — 2 — 2г — 3 — 2г)
[суммирование производится по всем индексам г, для которых
тах{0, (п - 3)/3} г (п — 2)/2, причем если число п четно
иг = (п — 2)/2, то коэффициент при слагаемом равен 2).
Доказательство. Первое доказательство (Муир). По преды-
дущей лемме
(Х + У)п + (-Х)п + (-У)п
- zJ —;—{(а2 + аз) }п
i=i г
г . г2!г3! 2 3
1=1	•2+*3=*
2*2+3«з=п
= "Ё(-о‘ Е
1=1	.2+.>—	2* 3*
2<2+3«з«п
22'^3-’
(суммирование ведется по всем г2,гз, таким, что 0	<2Лз; 1	*2 4-
+ <з*, 212 4" Згз = п). Но —а2 — U, —аз = V и
(i2 + гз — 1)! __ 1 /г2 4- гз — 1\
1’2! «з! г’з \ 1*з ~ 1 /
(это верно при i2 0 или гз 0). Пусть г*2 4- гз — 1 — г. Тогда
п — 2 — 2г = (2г2 4- Зг3) - 2(г2 4- гз — 1) — 2 = гз. Следовательно,
<2 = Зг — п 4- 3 и
(Х + У)п+(-Х)п+(-У)п
__ \ 4 п_______( г । £уЗг—п+Зргп-гг-г
п — 2 — 2г \п — 3 — 2г)	’
Г	X	Z
причем суммирование ведется по всем индексам г, для которых
““«{о, (п - 3)/3} < г (п - 2)/2. Кроме того, если число п четно и
Т = (п ~~ 2)/2, то соответствующее слагаемое имеет коэффициент 2
VbKKaKi2 = п/2^ г3 = 0). □
246
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
Второе доказательство (Карлиц и Хантер). В этом дока-
зательстве не используется лемма Варинга. Рассмотрим тождество
Z X Y
1 - ZW + 1 - XW + 1 - YW
(X + Y + Z) — 2(XY + YZ + ZX)W + 3XYZW2
1 - (X+ Y + Z)W + (XY+ YZ + ZX)W2 — XYZW3'
Пусть Z — —(X + У); обозначим также XY + YZ + ZX = — U,
XYZ = — V и подставим новые обозначения в тождество, меняя
знаки:
(Х + У) X У -2UW + 3VW2
1 + (X + Y)W 1 - XW 1 - YW ~ 1 - UW2 + VW3 ’ ( '
Формальный степенной ряд для 1/(1 — UW2 + VW3) имеет вид
1 1
1-UW + VW3 ~ 1-W2(17- VW)
= Y^W2t{U -VW)r
r=0
oo
= Yw"
r=0
(последняя сумма имеет смысл только при n/З г п/2, так что
договоримся считать остальные слагаемые равными нулю). Левая
часть соотношения (2.3) равна
а правая часть равна
VII. 2. Многочлены Коши
247
оо	ОО z
= £(-1)-и—£2 п'2г
п=0
оо
п—2г
оо
+ У (-1)”+1W'”+1 У 3|	Г	) U3r+1~пуп-2г
\n-l-2rj
п=1	г=0	4	7
= -2UW + 3VW2 - 2U2IV3
ОО	ОО	-	/	\
Г
п — 1 — 2г
п=3	г=0
= -2UW + 3VIV2 - 2U2W3
4- У>(-1)пИ/ГП Vs —  ( Г	\уЗг+2 — пуп—1—2г
п — 1 — 2r \п — 2 — 2г/
п=4	г=0	х	7
поскольку
г \	/ г \	п4-2 ( г \
2	) 4- 31	| =-------I
\п — 2т)	\п—\ — 2т) п - 2г \п — 1 — 2r J
(при п > 3). С другой стороны, левая часть соотношения (2.3) равна
£[(-1)"(Х + У)П+! - Xn+1 - yn+ljjyn
п=0
=	[(X + У)” + (-Х)П + (-у)п](-1)п-1 jyn-1.
п=2
Сравнив две части равенства (2.3), приведенные выше, получаем
каше утверждение. □
Отметим следующие особые случаи. Если показатель степени
нечетен, то равенство примет вид
(% + у)2*+1 _ %2fc+l _ у2fc+l	(2 4)
=	+ 1	/ Г \ уЗг-2кЛ-2у2к-2г-1
2k-l-2r\2k-2-2rJ
Каждое простое число р 2,3 можно представить в виде р =
«6fc +1 или р = 6fc — 1. Если р = 1 (mod 6), мы имеем (см. Люка
(1897) и Карферер (1949))
(X + У)Р - X” - У” = рХУ(Х + У)(Х2+ХУ + У2)2	(2.5)
(Р-П/6 /р—з А л
х У ( 2 ~ )	t7(p-7)/2-3iyZ2«)
у 2i j 2i> 4“ 1
248
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
а если р = — 1 (mod 6), то
(X + Y')p - Хр -Yp = pXY(X + Y)(X2 + XY + У2)	(2.6)
(р-5)/6 /Е-з _ Л .
х V" I 2	*1 1	^/(р~5)/2 —Згт/2г
V 2г J 2i 4-1
1=0 х	7
Если показатель степени — четное число, мы получаем
(X + У)2* + Х2к + У2*	(2.7)
у-Зг—2fc+3pr2fc—2г — 2
В 1879 г., изучая и развивая идеи предшествовавших работ Глей-
шера (1878, 1879), Муир нашел следующее рекуррентное соотноше-
ние и изучил свойства делимости многочленов Sn(X, У).
г
к — 1 — г \ 2к — 3 — 2г
к
(2F)
(1)	При п О справедливо соотношение
VSn{X,Y) + USn+^Y) = 5п+з(Х,У).
(2)	При п^>3 справедливо соотношение
QSn(X, У) = 3S2(X, У)5п_2(Х, У) + 2S3 (X, У)5„-з(Х, У).
(3)	Если п = 0 (mod 6), то U, V J(Sn(X, У).
Если п = 1 (mod 6), то U2V | Sn(X,Y).
Если п = 2 (mod 6), то U | Sn(X, У).
Если п = 3 (mod 6), то V | 5П(Х,У).
Если п = 4 (mod 6), то U2 | 5П(Х,У).
Если п = 5 (mod 6), то UV | Sn(X, У).
Доказательство. (1) Пусть п = 2т. Заметив, что
2т / г — 1	\ 2т 4-1	/ г — 1 \
2т — 2r \2m — 1 — 2г) 2т 4-1 — 2т \2т — 2г)
_ 2т 4- 3	/ г \
2т 4-1 — 2т \2т -2г)"
и используя равенства (2.4) и (2.7), получим
VS2m(X,y) + C/S2m+1(X,y) = 52т+з(Х,У).
Аналогичные рассуждения для п = 2m 4-1 позволяют показать, что
VS2m+1(X,y) + l/S2m+2(X,y) = S2m+4(X,y),
и убедиться в справедливости утверждения (1).
VII. 2. Многочлены Коши
249
(2) Делая замену 52(Х, У) = 2U и 5з(Х, У) = 3V и используя
(1), получим
3S2(X, У)$П_2(Х, У) + 2S3 (X, У)5„_з(Х, У)
= 6[У5П_3(Х,У) + t/S„_2(5,y)] = 6Sn(X, У).
(3) Утверждение немедленно следует из соотношений (2.4)
«(2.7). □
Используя обобщение формулы Варинга, МакМагон в 1884 г. по-
дучил несколько новых алгебраических тождеств такого же вида.
фужсок литературы
1629 Girard, A., Invention nouvelle en I’algibre, Amsterdam, 1629; re-
printed by B. de Haan, Leyden, 1884.
1782 Waring, E., Meditationes Algebraicae (3rd ed.), Cambridge Uni-
versity Press, Cambridge, 1782.
1839 Lame, G., M&moire sur le dernier theorime de Fermat, C. R.
Acad. Sci. Paris, 9 (1839), 45-46.
1839 Cauchy, A. and Liouville, J., Rapport sur un m&noire de M. Ьатё
relatif au dernier theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris,
9 (1839), 359-363; reprinted in J. Math. Pures Appl., S (1840),
211-215; also in Oeuvres Completes, (1), Vol. TV, pp. 499-504,
Gauthier-Villars, Paris, 1911.
1840 Ьатё, G., Мётогге d’analyse indtterminte d&nontrant que I’equ-
ation x7 4- y7 = z7 est impossible en nombres entiers, J. Math.
Pures Appl., 5 (1840), 195-211.
1841 Cauchy, A., Exercices d’analyse et de physique mathematique,
2 (1841), 137-144 (Notes sur quelques theoremes d’algfcbre);
Oeuvres Completes, (2), Vol. XII, pp. 157-166, Gauthier-Villars,
Paris, 1916.
1848 Ferrers, N.M. and Jackson, J.S., Solutions of the Cambridge
Senate-House Problems for 1848-1851, pp. 83-85.
1861 Todhunter, I., Theory of Equations, Macmillan, London, 1861,
pp. 173-176.
1878 Cayley, A., An algebraic identity, Messenger Math., (2), 8 (1878),
45-46.
1878 Glaisher, J.W.L., Note on the above paper of Cayley, Messenger
Math., (2), 8 (1878), 46-47.
1878 Glaisher, J.W.L., On a class of algebraic identities, Messenger
Math., (2), 8 (1878), 53-56.
250
Глава VII. Эпизоды 7 и 8
1878 Glaisher, J.W.L., Note on Cayley’s theorem. Messenger Math.,
(2), 8 (1878), 121.
1878 Glaisher, J.W.L., Note on Cauchy’s theorem relating to the factors
of (x 4- y)n — xn — yn, Quart. J. Pure Appl. Math., 15 (1878),
365-366.
1878 Muir, T., Cauchy’s theorem regarding the divisibility of(x + y)n +
(~x)n + (-s/)n, Messenger Math., (2), 8 (1878), 119-120.
1879 Glaisher, J.W.L., On Cauchy’s theorem relating to the factors of
(x+y)n— xn — yn, Quart. J. Pure Appl. Math., 16 (1879), 89-98.
1879 Muir, T., On an expansion of (x 4- y)n 4- (~x)n 4- (—t/)n, Quart.
J. Pure Appl. Math., 16 (1879), 9-14.
1884 Catalan, E., Question 1J89, Nouv. Ann. Math., (3), 3 (1884),
351.
1884 MacMahon, P.A., Algebraic identities arising out of an extension
of Waring’s formula, Messenger Math., 14 (1884), 8-11.
1885 Catalan, E., Solution de la question Ц89, Nouv. Ann. Math.,
(3), 4 (1885), 520-521.
1885 Gerono, G.C., Note du redacteur sur Particle de Catalan, Nouv.
Ann. Math., (3), 4 (1885), 523-524.
1885 Serret, J.A., Algebre Superieure, Vol. I, p. 449 (5C edition),
Gauthier-Villars, Paris, 1885.
1886 Catalan, E., Sur le dernier theoreme de Fermat, Мёш. Soc. Roy.
Sci. Liege, (2), 13 (1886), 387-397.
1886 Matthews, G.B., A note in connexion with Fermat’s last theorem,
Messenger Math., 15 (1886), 68-74.
1888 Lucas, E., Sur un theoreme de Cauchy, Assoc. Eran^aise Avanc.
Sci., Oran, 1888, pp. 29-31.
1891 Lucas, E., Theorie des Nombres, reprinted by A. Blanchard, Paris,
1961.
1897 Lucas, F., Note relative a la theorie des nombres, Bull. Soc.
Math. France, 25 (1897), 33-35.
1903 Mirimanoff, D., Sur I’equation (z 4- l)z — xl — 1 = 0, Nouv. Ann.
Math., (4), 3 (1903), 385-397.
1904 Cesaro, E. and Kowalewski, S., Elementares Lehrbuch der al-
gebraischen Analysis und der Infinitesimalrechnung, Teubner,
Leipzig, 1904.
1906 Barisien, E.N., Questions 3076 et 3077, L’Interm. Math., 13
(1906), 142.
1906 Saalschiitz, L., Albert Girard und die Waringsche Formel, Arch.
Math. Phys., (3), 12 (1906), 205-207.
VII.2. Многочлены Коши
251
1907 Nester, Question 3230, L’Interm. Math., 14 (1907), 126.
1907 Candido, G., Sur la question 3230 (de Nester), L’Interm. Math.,
14 (1907), 2.
1907 Taupin and Retail, V., Sur la question 3077 (de Barisien), L’Int-
erm. Math., 14 (1907), 36-39.
1907 Ursus and Grigorieff, E., Sur la question 3077 (de Barisien),
L’Interm. Math., 14 (1907), 93-95.
1909 Welsch, Solution de la question 3230 (de Nester), L’Interm.
Math., 16 (1909), 14-15.
1910 Brocard, H., Sur la question 3230 (de Nester), L’Interm. Math.,
17 (1910), 278-279.
1949 Kapferer, H., Uber ein Kriterium zur Fermatschen Vermutung,
Comment. Math. Helv., 23 (1949), 64-75.
1981 Perron, O., Algebra, Vol. I, W. de Gruyter, Berlin, 1951.
1962 BrCic-Kostic, M., L’extension de la congruence (a+b)n—an—bn =
0 (mod n) (n un nombre premier) (in Croatian, French sum-
mary), Hrvatsko Prirodoslovno Drustvo, Gias. Mat. Ser. II,
7 (1952), 7-11.
1962 R6dei, L., Kurzer Beweis der Waringschen Formel, Acta Math.
Acad. Sci. Hungar., 3 (1952), 151-153.
1969 R6dei, L., Algebra, Vol. I, Akademie Verlag, Geest & Portig,
Leipzig, 1959.
1969 Carlitz, L. and Hunter, J.A.H., Sums of powers of Fibonacci and
Lucas numbers, Fibonacci Quart., 7 (1969), 467-473.
19TO Klosgen, W., Untersuchungen uber Fermatsche Kongruenzen, Ge-
sellschaft Math. Datenverarbeitung, Bonn, Nr. 36, 1970, 124 pp.
1969 Terjanian, G., Sur le loi de reciprocite des puissances I-ernes, Acta
Arith., 54 (1989), 87-125.
1997 Helou, C., Cauchy-Mirimanoff polynomials, C. R. Math. Rep.
Acad. Sci. Canada, 19 (1997), 51-57.
Глава VIII
Переформулировки,
следствия и критерии
В этой главе мы приводим ряд результатов, показывающих, на-
сколько многочисленными были попытки решения проблемы Фер-
ма. Это и эквивалентные формулировки теоремы Ферма, и след-
ствия из нее, а также утверждения, выведенные из предположения,
что теорема Ферма не выполнена для некоторого показателя.
¥Ш.1. Переформулировки и следствия из
последней теоремы Ферма
В этом разделе содержатся утверждения, которые можно доказать
исходя из справедливости последней теоремы Ферма. И наоборот,
из некоторых из них следует последняя теорема Ферма.
А. Диофантовы уравнения, связанные с уравнением
Ферма
Многие математики пытались связать уравнение Ферма с некото-
рым диофантовым уравнением. Мы последовательно опишем ре-
зультаты, полученные В. А. Лебегом, Кристиллем, Перреном, Гур-
вицем и Капферером. Также мы кратко обсудим уравнения Фрея,
сыгравшие центральную роль в недавнем подходе Уайлса к реше-
нию проблемы Ферма.
А1. Лебег
Первый результат из этой серии, описанный в литературе, при-
надлежит В. А. Лебегу (1840). Заново он был получен Теркемом в
1846 г. и еще раз Поклингтоном в 1913 г.
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ
253
(1А) Если последняя теорема Ферма справедлива для показателя
л 3, то уравнение Х2п 4- Y2n = Z2 имеет лишь тривиальные
решения.
Доказательство. Предположим, что отличные от нуля натураль-
ные числа x,y,z таковы, что х2п 4- у2п = z2. Легко видеть, что
цы без ограничения общности можем считать числа х, у, z попарно
взаимно простыми. Более того, числа х,у не могут быть одновре-
менно нечетными, так как иначе выполнялось бы сравнение z2 = 2
(mod 4), а это неверно. Поэтому мы можем считать, например, что
j четно, а у нечетно, и тогда z нечетно.
Пусть х = 2ах', причем а 1, х' нечетно, х' > 0. Тогда (z4-t/n)x
x(z — уп} — z2 — у2п = х2п = 22апх,2п. Заметим, что НОД (z 4- уп,
Х — уп) = 2, следовательно,
( z ±уп = 2г2п,
( z 4= уп = 22ап-1$2п,
причем числа г, s нечетны и положительны, НОД (г, s) = 1.
Складывая и вычитая эти соотношения, получим
( Z - г2п 4- 22an-2s2n,
| ±уп = г2п - 22an~2s2n = (гп - 2an-1sn)(rn 4-
ТЬк как НОД (rn — 2an~1sn,rn 4- 2an-1sn) = 1, мы получаем
( rn _|_2an-1sn = tn,	t > 0,
( rn - 2an~1sn = ±un, О 0.
Таким образом,
tn^un = 2ansn = (2as)n.
По предположению должно выполняться равенство и = 0, а зна-
чит, число rn = 2an~1sn нечетно, так что ап = 1, чего быть не
может. □
Как следствие Лиувилль в 1840 г. (см. также Теркем (1846))
Доказал такой результат.
(1В) Если последняя теорема Ферма справедлива для показателя
п 3, то уравнение Х2п — У2п = 2Zn имеет лишь тривиальные
Решения.
Доказательство. Предположим, что x,y,z — отличные от нуля
числа, такие, что х2п — у2п = 2zn. Пусть t = у2п 4- zn. Тогда
*п = у2п и t 4- zn — х2п. Следовательно, t2 — z2n = (ху)2п, так
*2п 4- (ху)2п = t2.
254 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
Согласно (1А) должно выполняться равенство t — 0, а тогда
непременно z = 0, чего быть не может. □
А2. Кристилль
Следующий результат был доказан Кристиллем в 1967 г. Предвари-
тельно докажем такую лемму.
ЛЕММА 1.1. Уравнение X3 4- У3 4- Z3 = 3XYZ имеет решение в
целых числах x,y,z тогда и только тогда, когда х 4- у 4- z — 0 или
х = у = z.
Доказательство. Легко проверить, что справедливо тождество
X3 4- У3 4- Z3 - ЗХУZ	(1.1)
= (X 4- У 4- Z)(X2 4- У2 4- Z2 - ХУ - YZ - ZX).
Таким образом, х3 4- у3 4- z3 = 3xyz тогда и только тогда, когда
х 4- у 4- z = 0 или х2 4- у2 4- z2 = ху 4- yz 4- zx.
Однако для любых целых чисел х,у уравнение Z2 — (х + v)Z +
4-(х24-р2 — ху) = 0 имеет лишь решениям = ((х4-р)±(х —р)\/ДЗ)/2,
которые являются целыми в точности тогда, когда х = у, а в этом
случае х — у — z. □
(1С) Пусть п 3. Тогда следующие утверждения равносильны:
(1) последняя теорема Ферма справедлива для показателя п\
(2) все отличные от нуля целочисленные решения (x,y,z) урав-
нения Х3п 4- У3п 4- Z3n = 3XnYnZn задаются соотношением
х — у = z.
Доказательство. (1) => (2) Предположим, что х, у, z — отличные
от нуля целые числа, не все равные друг другу, такие, что х3п4-р3п4-
4- z3n — 3xnynzn. По лемме имеем хп 4- уп 4- zn = 0.
(2) => (1) Предположим, что отличные от нуля целые числа
x,y,z таковы, что хп 4- уп 4- zn — 0. Тогда равенство х = у = z
невозможно, и по лемме мы получаем х3п 4-т/3п 4- z3n — 3xnynzn. □
В той же статье Кристилль указал следующее достаточное усло-
вие для теоремы Ферма.
(1D) Пусть п 3. Тогда если уравнение Х5п 4- У5п 4- Z5n ~
= 5XnYnZn(Z2n — XnYn) не имеет решений в отличных от нуля
целых числах, то последняя теорема Ферма справедлива для пока-
зателя п.
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ 255
Доказательство. Предположим, что отличные от нуля целые
числа х,у, z таковы, что хп -F уп + zn — 0. Тогда
= (xn + i/n)5 = x5n4-?/5n4-5xn7/n(x3n4-?/3n)4-10x2Vn(xn-F?/n).
Отсюда
х5п + уЪп + г5п = _$хпупух1п + у3п _ 3xnynzn хпуп^
Согласно тождеству (1.1) и предположению мы получаем
_.3п I „ Зп , ~3п _
х -ту Т Z = ОХ у Z ,
следовательно,
_.5п , _,5п । ~5п   к_,пя ,ппг 2п ^плп1
X -ту 4" Z — ОХ у Z [Z — X у J,
причем x,y,z 0, что и доказывает наше утверждение. □
АЗ. Перрен
В 1885 г. Перрен доказал такой факт, связанный с кубическим урав-
нением Ферма.
(1Е) Следующие утверждения справедливы и равносильны:
(1) последняя теорема Ферма выполнена для показателя 3;
(2) для всех натуральных чисел п уравнение
X3 4- У3 4- З3”"1^3 = 2 х 3nXYZ	(1.2)
не имеет решений в отличных от нуля целых числах x,y,z, не
кратных трем.
Доказательство. (1) => (2) Предположим, что существуют на-
туральное число п и отличные от нуля целые числа x,t/,z, 3 / xyz,
удовлетворяющие уравнению (1.2). Пусть
а = x(3nyz — х2),
< b = y(3nxz — у2),
с = 3nz(xy — 32n-1z2).
Из условий x,y,z 0 и 3 / xyz следует, что abc 0. Возведя обе
Части уравнения (1.2) в квадрат и в куб, получим
«•+Ув+36п-226+2г3у3+2х33п^1х3г3+2х33п~1у323 = 4x32nz2y2z2
I
х9 + у9 + 39n~3z9 + 3rr6t/3 + Зя3/ + 33”x6z3
+2 x i3nx3y3z3 + 33"y6z3 + 36n-1x3z6 + 36n-1j/3z6
= 8 x S3nx3y3z3.
256 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
Далее, мы имеем
а3 = x3(Z3ny3z3 — 32n+1x2?/2z2 4- 3n+1x4t/z - х6),
b3 = ?/3(33nx3z3 — 32n^1x2y2z2 4- 3n+1x?/4z — ?/6),
c3 = 33nz3(x3y3 — 32nx2y2z2 4- 34n~1xyz4 — 36n~3z6).
Сложив эти равенства, с учетом уравнения (1.2) и предыдущих со-
отношений получим
а3 4- Ь3 4- с3 = 0.
(2) => (1) Предположим, что существуют отличные от нуля
целые числа а, 6, с, такие, что а3 4- Ь3 4- с3 = 0. Можно считать, что
числа а, 5, с попарно взаимно просты. Из тождества
(X 4- Y 4- Z)3 = X3 4- Y3 4- Z3 4- 3(Х 4- У)(У 4- Z)(Z 4- X)
следует, что
(о 4" Ъ 4" с)3 — 3(а 4" Ь)(Ь 4" с)(с 4" о).
Но числа a+ b, b + с, с 4- а также попарно взаимно просты: на-
пример, если простое число р делит а 4- b и b 4- с, то, так как р делит
а 4- b 4- с, оно делит и с, и а, что противоречит предположению.
Следовательно, ровно один из множителей, скажем, а 4- 6, делит-
ся на 3 и непременно существуют целые числа п 1, x,?/,z, такие,
что
Г а 4-5 = 33n“1z3,
| Ъ 4- с = х3
и 3nxyz = а 4- Ъ 4- с. Таким образом,
х3 4- у3 4- 33n-43 = 2(а 4- b 4- с) = 2 х 3nxyz.
Наконец, x,y,z 0 (если, например, z = 0, то а = —Ь, откуда
следует, что с = 0) и 3 / xyz, поскольку числа о 4- 6, 54-с, с 4- а
попарно взаимно просты. □
А4. Гурвиц
В 1908 г. Гурвиц занимался изучением диофантова уравнения
ХтУп + YmZn + ZmXn = 0,	(1.3)
где т > п > 0 и НОД(тп,п) = 1, что не ограничивает общности.
Он доказал следующий результат.
(1F) Уравнение (1.3) имеет лишь тривиальные решения тогда и
только тогда, когда теорема Ферма справедлива для показателя
т2 — тп 4- п2.
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ
257
Доказательство. Пусть x,y,z — отличные от нуля целые чис-
ла такие, что хтуп -F ymzn + zmxn = 0. Можно считать, что
НОД (*,!/,*) = 1-
Пусть и = НОД(у,г), v = НОД(г)а:)) w — НОД(х,у). Тогда
числа u,v,w попарно взаимно просты. Следовательно, произведе-
ние vw делит х, так что х = xivw, где хг — целое число. Анало-
гично у = yiwu, z = Zinn, причем 2/i > ^1 — целые числа. Более того,
числа xi, 2/i, z\ попарно взаимно просты. Подставив эти выражения
в уравнение и разделив на unvnwn, получим
x^y^vm~nwm 4- y?z?wm-num 4- z?x?um-nvm = 0.
Таким образом, ит~п делит x™yiVm~nwrn. Но НОД(u,v) = 1,
НОД(и,ги) = 1 и НОД(и,х) = 1, следовательно, НОД(и,Х1) = 1.
Значит, ит~п делит у™. С другой стороны, у™ делит z™XiUm~nvTn.
Число 2/1 взаимно просто с xi,zi и и, поэтому у™ делит ит~п. Сле-
довательно, 2/” = ±ит~п.
Аналогичным образом, х” = ±wm~n, z” = ±vm~n. Из условия
НОД (m, n) = 1 следует, что НОД(п,т — n) = 1, а значит, Xi =
для некоторых целых чисел
v = ±v”, w — ±w”. Отсюда мы
= Wj , 2/1 =	, Zl = V}
Ui,vi,wi, таких, что и = lu",
получаем
л (т—п)т (тп—п)п (тп—n)n тп ।
Wj	j	j w” ±
(т-п)тп (тп-п)п (тп-п)п mn
(m-n)n (m-n)n mn _ n
u/|	C/i — U.
wi
ui
9
число тп —
= 0.
Умножив на u^2~mnv^2~mnw^2~mn и заметив, что
— тп 4- п2 нечетно, получим уравнение
wm2-mn+n2 + ^±ujm2-mn+n2 + (±у jm2-mn+n2
Обратно, если отличные от нуля целые числа и, v, w удовлетво-
ряют соотношению
тп2 —mn+n2 । m2 —mn-Ьп2 <	m2—mn-bn2   q
Ct	i“ v	i“ Uu	— U,
то, умножив на umnvmnwmn, получим
um2+n2vmnwmn +	+ ^тЧп^тп^тп = q
Положив
X = vnwm,
у = wnum,
z = unvm,
получим xmyn 4- ymzn 4- xrnxn = 0. □
17-27
258 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
В частности, при тп = 3, п = 1 отсюда следует, что уравнение
X3Y + Y3Z + Z3Y = 0
имеет лишь тривиальные решения.
А5. Капферер
В 1933 г. Капферер опубликовал доказательство того факта, что
последняя теорема Ферма справедлива для показателя п 3 тогда
и только тогда, когда уравнение
Z3 - У2 = з3 х 22п~2Х2п	(1.4)
не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых
целых числах x,y,z.
Доказательство Капферера содержало ошибку, частично ис-
правленную Рибенбоймом (о чем он сообщил Инкери). Инкери
сформулировал и доказал (без ошибок) нижеследующие результа-
ты. Комментарии на эту тему, сделанные Ганди и Стаффом (1975),
были не точны.
Начнем с частного случая п — 3, рассмотренного Фюетером
(1930).
(1G) Уравнение
Z3 - У2 = З3 х 24Х6	(1.5)
не имеет решений в отличных от нуля целых числах x,y,z, для
которых НОД (?/, z) = 1.
Доказательство. Предположим, что x,y,z — отличные от нуля
целые числа, такие, что НОД(?/,г) = 1и
?-у2 = 33х24?.
Пусть
и = б2х3 4- у,
v = 62х3 — у,
w = 6xz.
Тогда u, v, w 6 Z, w 0. Покажем, что и 0, v 0. Если и = 0, то
б2х3 = —у, следовательно, у ±1. Если простое число р делит у,
то р | 6х, а значит, р | z, что противоречит предположению о том,
что НОД(?/,г) = 1. Аналогично v 0.
Наконец, u3 + v3 = (62х3 4- у)3 4- (62х3 - у)3 = 2 х б6х9 4- 63х3у2 -
= б3х3(2 х б3х6 4-т/2) — 63x3z3 — w3, а это невозможно. Полученное
противоречие завершает доказательство. □
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ
259
Аналогичным образом можно показать, что не существует це-
лых чисел x,y,z 0, таких, что НОД (г/, z) = 1 и z3 - Зу2 = 24х6.
Приведем теперь критерий Инкери, являющийся исправлением
опубликованного ранее утверждения Капферера (1933). Он также
основан на родственном уравнении
Z3 — ЗУ2 = 22п~2Х2п.	(1.6)
(1Н) Пусть п 3 — нечетное целое число. Тогда следующие
утверждения равносильны:
(1) последняя теорема Ферма справедлива для показателя п\
(2) уравнения (1.4) и (1.6) не имеют решений в отличных от
нуля целых числах x,y,z, для которых НОД (y,z) = 1.
Доказательство. (1) => (2) Предположим, что существуют от-
данные от нуля целые числа такие, что НОД(?/,г) — 1 и
Ж3 — у2 = З3 х 22п~2х2п. Пусть
а = у,
< 6 = 3х2п~1хп,
C—Z.
Тогда а24-ЗЬ2 = с3. Следовательно, число с нечетно и НОД (а, 0 = 1,
потому что НОД (а, с) = НОД(у^) = 1.
В силу леммы 4.7 гл. I существуют целые числа г, s 0, такие,
что НОД (г, 3s) = l,r jts (mod 2) и выполняются соотношения
а = т(т2 — 9s2),
< b = 3s(r2 — s2),
с = г2 4- 3s2.
Тогда
2n-1zn = ^ = s(r2 — s2) = s(r — s)(r + s).
О
Так как х 0, числа s, г — s, г 4- s отличны от нуля. Более того,
в четно, потому что г s (mod 2). Поскольку НОД (г, s) = 1,
Числа s, г — s, г 4- s попарно взаимно просты. Поэтому существу-
ют отличные от нуля целые числа u,v,w, такие, что 2s — wn,
r — s = un, —г — s = vn. Тогда un 4- vn 4- wn = 0. Заметим, что
М>м/0и НОД(юл’) = 1.
260 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
Теперь предположим, что существуют отличные от нуля цельте
числа x,?/,z, такие, что НОД(?/,г) = 1и? — Зт/2 = 22п-2х2п. Пусть
а = 2п-1хп,
Ъ = У,
С — Z.
Тогда а2 4- 362 = с3, причем число с снова нечетно и НОД (а, 6) = 1.
В силу леммы 4.7 гл. I существуют отличные от нуля целые
числа г, s, такие, что НОД (г, 3s) = 1, г s (mod 2) и выполняются
соотношения
а = r(r2 — 9s2),
< b = 3s(r2 - s2),
с = г2 4- 3s2.
Тогда
2п~1хп = а = т(т — 3s)(r 4- 3s).
Заметим, что число г непременно четно, так как г — 3s, г 4-3s нечет-
ны. Отсюда следует, что числа г, г — 3s, г 4- 3s попарно взаимно
просты. Таким образом, существуют отличные от нуля целые числа
такие, что 2r = wn, — г 4- 3s = ип, —г — 3s — vn и, следова-
тельно, ип 4- vn 4- wn = 0, причем u, v, w 0, НОД (и, v, w) = 1.
(2) => (1) Предположим, что отличные от нуля целые чис-
ла u,v,w таковы, что ип 4- vn 4- wn = 0. Можно без ограничения
общности предполагать, что u,v,w попарно взаимно просты, чис-
ло w четно, а и и v нечетны. Пусть s — wn/2 и г — ип 4- s. Тогда
2s = wn, г — s = un, —г — s — vn. Положим
а = r(r2 — 9s2),
< b = 3s(r2 — s2),
с = т2 4- 3s2.
Тогда а2 4- 362 = с3 и b — 3s(r2 — s2) = —3 х 2п~1 ^uvw)n. Положив
х ~ ^uvw,
< у = а,
Z = с,
получим z3 — у2 = З3 х 22п~2х2п. Из условия НОД(и,г>) = 1 по
предположению мы получаем НОД (г, s) = 1 и х ф 0. Итак, чисто w
четно, откуда следует, что s четно, поэтому у нечетно, а значит, у
Ф 0. Далее, 3 )(uvw тогда и только тогда, когда 3 | г. Действительно,
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ 261
если 3 )(uvw, то 3 /s(r2 —s2), откуда следует, что непременно 3 | г, и
наоборот, если 3 | г, учитывая то обстоятельство, что НОД (г, s) = 1,
получим 3 /s(r2 - s2), а значит, 3 )(uvw.
Теперь покажем, что НОД(т/,г) — 1. Проведем доказательство
в несколько этапов.
(а)	Число s четно и НОД (г, s) = 1, значит, число г нечетно.
Тогда НОД (г2 - s2, г2 - 9s2) = 1. В самом деле, если р | (г2 - $2)
и₽| (г2-9з2) , то р / 2 и р | 8г2, р | 8s2, откуда следует, что
р|НОД(г, s) = 1, а это невозможно.
(Ь)	Справедливы равенства НОД (г, г2 - s2) = НОД($, т2-
— 9s2) = 1, потому что НОД (г, s) = 1.
(с)	Таким образом, НОД (а,6/3) = 1. Из условий х | 6/3 и
у = а следует, что НОД(я,т/) = 1. Число у нечетно, значит, и
НОД(2я,т/) = 1. Далее, НОД (а, 6) = 1 или 3. Говоря более точно,
НОД (а, 6) = 1 при 3 /г и НОД (а, 6) = 3 при 3 | г. Заметим, что 3 | г
тогда и только тогда, когда 3 | г (г2 — 9s2) = а, а это равносильно
условию 3 )(uvw.
Аналогично НОД(р,г) = НОД (а, с) = 1 или 3 в зависимости от
того, делится ли число г на 3. Действительно, если р — простое
число, е 1 и ре | НОД (а, с), то, учитывая равенство а2 4- 362 = с3,
получим, что р2 | 362, откуда следует, что р | 6, поэтому р = 3,
НОД (а, 6) = 3 и 32/с, а это значит, что если НОД (а, с) 1, то
НОД (а, с) = 3 и 3 | г. Обратно, если 3 | г, то НОД (а, 6) = 3, откуда
следует, что З2 / с, а кроме того, как и выше, НОД (а, с) = 3.
Если НОД(т/,г) = 3, то у делится на 9. Положим xi = х,
1/1 = 3//9, z\ = z/З. Тогда zf — Зу2 = 22п~2х2п, причем	0,
НОД (т/i, zi) = 1. Это завершает доказательство. □
Далее нам потребуется то обстоятельство, что (во введенных
обозначениях) НОД(2я,т/) = 1.
Приведем еще один подобный результат.
(II) Пусть п 3. Тогда следующие утверждения равносильны:
(1)	последняя теорема Ферма справедлива для показателя п;
(2)	уравнение (1.4) не имеет решений в отличных от нуля целых
числах x,y,z, таких, что НОД(2х,?/) = 1.
Доказательство. (1) => (2) Предположим, что x,y,z Ф 0,
НОД (2* , у) = 1 и z3 - у2 = З3 х 22п 2х2п. Если р — простое
число и р | НОД(т/,г), тор / 2х, следовательно, р = 3, так что
З3 | у2, а значит, 9 | у. Пусть хг = х, yi = у/9,	= z/З. Тогда
262 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
zf ~ %У1 - 22п-2х2п, причем	ф 0, Н0Д(р1,21) = 1. Как
следует из доказательства импликации (1) => (2) утверждения (1Н),
существуют числа u, v, w ф 0, такие, что ип -F vn 4- wn = 0.
(2) => (1) Предположим, что u,v,w 0, НОД(и,г?,ги) = 1
и ип -F vn 4- wn = 0. Как следует из доказательства имплика-
ции (2) => (1) утверждения (1Н) и сделанного после него заме-
чания, найдутся такие числа x,y,z 0, что НОД(2х,р) = 1 и
z3 — у2 = З3 х 22п“2х2п. □
Изучим связь между уравнением (1.4) и уравнением Ферма бо-
лее подробно.
(1J) Предположим, что уравнение (1.4) не имеет решений в от-
личных от нуля взаимно простых целых числах. Если u,v,w 0,
НОД (u, v, w) = 1 и ип 4- vn = шп, то
(1) показатель п нечетен, и = v = —w (mod 3), 3 %uvw\
(2) если простое число р делит п, то р = 1 (mod 6).
Доказательство. (1) Как следует из доказательства импликации
(2) => (1) утверждения (1Н), существуют отличные от нуля целые
числа х, у, z, такие, что z3 — у2 = З3 х 22п~2х2п, причем НОД (у, z) =
— 3 и 3 )(uvw.
В силу утверждения (4L) гл. VI число п нечетно, а значит, ип 4-
4-vn 4- (—ш)п = 0. Пусть г = ип, s = —vn. Тогда г, s 0, г s
(так как w / 0). Поскольку 3 / ш, мы получаем г s (mod 3).
Следовательно, u = un = r^s = —vn = —v (mod 3). Так как
3 / uv, должно выполняться сравнение и = v (mod 3). С учетом
симметрии получаем и = v = — w (mod 3).
(2) Пусть простое число р делит показатель n, n = pt, щ =
— и1, Vi = vl, wi — w*. Тогда и? 4-	4- (—wi)p = 0, причем
НОД(и1,vi,wi) = 1, щ = Vi = —Wi (mod 3). В силу утверждения
(2А) гл. VI имеем р = 1 (mod 6). □
Инкери с помощью неэлементарных методов (а именно мето-
дов теории полей классов) показал, что при сделанных допущениях
справедливо сравнение Зр = 3 (mod р2), которому простые числа
удовлетворяют довольно редко.
Теперь уместно указать ряд фактов, касающихся уравнения
Z3 -Y2 =с.	(1.7)
(Подробности можно найти в книге Рибенбойма, 1994.) Эйлер
в 1738 г. доказал, что если с = ±1, то единственным решением урав-
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ 263
нения (1.7) в целых числах, больших 1, является у = 3, z = 2.
В 1929 г. Зигель, используя глубокие аналитические методы, дока-
зал, что для каждого числа с существует не более чем конечное
число решений уравнения (1.7).
Следующий результат будет доказан с помощью утвержде-
ния (1Н).
(1К) Если с = З3 х 22п-2х2п, где п 3, т = 1, р или pq (простые
числа p^q различны), то уравнение (1.7) не имеет решений в от-
личных от нуля взаимно простых целых числах y,z.
Доказательство. Предположим, что y,z — отличные от нуля вза-
имно простые целые числа, такие, что z3 — у2 = З3 х 22п~2х2п. Как
следует из доказательства импликации (1) => (2) утверждения (1Н),
справедливо соотношение 2n”1xn = s(r2 — s2), причем г, з 0, г £ s
(mod 2), НОД (г, s) = 1. Но тогда НОД (г, г2 — s2) = 1 и, очевидно,
г2 - з2 1.
Если х = 1, то т = ±1, г2 — s2 = ±2П”1, откуда следует, что
э2 = 2*1”1 4-1, а это невозможно.
Если х = р, то 2п“1рп = г (г2 — s2). При р = 2 мы приходим к
противоречию с помощью изложенного выше рассуждения. Если же
р / 2, то или г = 2П-1, г2 — з2 = рп, или наоборот, рп = 2П~1, г2 —
— в2 = г. В первом случае г — s = ±1, г 4- з = ±рп (или г — з —
» ±рп, г 4- з = ±1); в обоих случаях мы получим противоречивое
равенство вида 2П = ±(рп 4- 1) или аналогичное противоречивое
равенство.
Если х = pq, причем одно из чисел р или q равно 2, то восполь-
зуемся предыдущим рассуждением. Если оба числа р, q нечетны, то
2n~1pngn — r(r—s)(r4-s). Если г = ±рп, то г —з = ±2П~1, г4-$ = ±qn
(или =F9n) или наоборот, г 4- s = ±2n~1, г — s = ±qn (или ^FQ71), и
2рп — ±(2П“1 ±<?п), что невозможно. Аналогично г ±qn. Остается
случай г = ±2n~1, г — s = ±рп, г 4- s = ±qn (с подходящими зна-
ками), следовательно, 2n = ±pn ± qn. Но в силу утверждения (ЗВ)
гл. VI это невозможно. □
Статья Яхьи (1973), в которой он опубликовал доказательство
последней теоремы Ферма, содержала ряд изъянов, одним из ко-
торых было использование неверного результата Капферера. Яхья
также связал уравнение Ферма с другим диофантовым уравнением.
Инкери изучил эту взаимосвязь и корректно доказал такое утвер-
ждение.
264 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
(1L) Пусть 3. Тогда следующие утверждения равносильны-.
(1) последняя теорема Ферма справедлива для показателя п\
(2) уравнение
22п-2Хз _ у2Х _ zn = о	(1.8)
не имеет решений в отличных от нуля целых числах x,y,z, та-
ких, что НОД(г,т/) = НОД(т/,2г) — 1.
А6. Фрей
Эльгуарш (1972) связал гипотетическое решение уравнения Ферма
с показателем 2рп (где п 1 и р — простое число) с эллиптической
кривой. Целью было показать отсутствие на эллиптической кривой
точек определенного порядка.
В 1986 г. Фрей независимо высказал ту же идею, состоящую
в том, чтобы сопоставить каждому решению уравнения Ферма эл-
липтическую кривую. Если а, b — отличные от нуля взаимно про-
стые целые числа, п > 3 и а четно, то кривая Фрея задается урав-
нением
У2 = Х(Х - ап)(Х + Ьп).	(1.9)
Фрей изучил свойства этой эллиптической кривой. Рибет и
Уайлс рассматривали эту кривую исходя из предположения, что су-
ществует отличное от нуля целое число с, такое, что ап+Ъп = сп. Ис-
пользование неэлементарных методов теории эллиптических кри-
вых, модулярных форм и представлений Галуа привело к проти-
воречию, означающему, таким образом, справедливость последней
теоремы Ферма. Мы вернемся к этому разговору в эпилоге.
В.	Переформулировки последней теоремы Ферма
Следующие утверждения, которые равносильны теореме Ферма,
были сформулированы Пересом-Качо в 1946 г. Равносильность ут-
верждений (1), (2), (3) и (4) была впервые доказана Бендцем
в 1901 г. Впоследствии этот результат независимо доказали Крас-
нер, опубликовавший свою статью в 1939 г. (см. также Ривуар
(1968)), и Човла в 1978г. (см. также Инкери (1984)). В 1909г. Линд
указал некоторые частные случаи.
(1М) Пусть т 2, п — 2т — 1. Тогда следующие утверждения
равносильны.
(1)	Уравнение Хп + Yn = Zn имеет лишь тривиальные решения
в целых числах.
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ 265
(2)	Уравнение Х(14-Х) = Тп имеет лишь тривиальные решения
в Q.
(3)	Уравнение X2 = 4Yn 4- 1 имеет лишь тривиальные решения
в Q.
(4)	Уравнение X2 = Yn+1 — 4Y имеет лишь тривиальные реше-
ния в Q.
(5)	Для любого отличного от нуля рационального числа а мно-
гочлен Z2 — amZ + а неприводим над Q.
(6)	Уравнение (XY)m — X 4- Y имеет лишь тривиальные реше-
ния в Q.
(7)	Уравнение Хт — X/ Y4- Y имеет лишь тривиальные решения
в Q.
(8)	Если рациональные числа щ,г отличны от нуля и числа
образуют геометрическую прогрессию со знамена-
телем г, то и2т — iti 4- г 0.
(9)	Если в треугольнике АВС угол А прямой, длина стороны
АВ равна 2 и сумма длин сторон АВ 4- ВС является п-й
степенью рационального числа, то длина стороны АС ирра-
циональна.
Бмее того, из этих условий следует, что
(10)	касательные к параболе Y2 = 4Х в каждой рациональной
точке, отличной от вершины, пересекают кривую Y = Хт
в иррациональных точках.
Доказательство. (1) => (2) Пусть отличные от нуля целые числа
a,b,c,d таковы, что Ь > 0, d > 0, НОД (а, 5) = НОД(с, d) = 1 и
(а/Ь) (1 4- a/b) = (c/d)n. Тогда а(а 4- Ь)/Ь2 = cn/dn. Следовательно,
о(а 4- Ь) = гп, Ь2 = dn. Так как показатель п нечетен, Ь = уп для
некоторого целого числа у. Так как НОД (а, а 4-6) = 1, найдутся
такие ненулевые целые числа y,z, что а = хп, а 4- b = zn. Таким
образом, хп 4- уп = zn.
(2)	=> (3) Пусть х, у — отличные от нуля рациональные числа,
такие, что х2 — 4т/п4-1. Тогдах ^±1 и ((х—1)/2)((х—1)/24-1) = уп-
(3)	=> (4) Если х,у — отличные от нуля рациональные числа,
такие, что х2 = уп+* — 4у, то, разделив на t/n+1 = у2т, получим
Равенство
X \2	(-}
—— ) — 1 4- 4 I —
У J	\ У
(4)	=> (5) Дискриминант трехчлена Z2 — amZ 4- а равен an+1 —
**4а zfz о (так как п нечетно). По предположению число an+1 — 4а
266 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
не является квадратом, следовательно, многочлен Z2 — атZ -I- а не
имеет корней в Q.
(5)	=> (6) Пусть отличные от нуля рациональные числа х,у
таковы, что (ху)т = х + у. Положим ху = а. Тогда трехчлен Z2 -
— amZ + а имеет рациональный корень.
(6)	=> (7) Пусть х,у — отличные от нуля рациональные числа,
такие, что хт = х/у -I- у. Положим t = х/у. Тогда t 4- у = (ty)m.
(7)	=> (1) Пусть отличные от нуля целые числа а, 6, с таковы,
что ап 4- Ьп — сп. Положим х = с2/аЪ и у = cbm~1 /ат. Тогда
х cam~l cbm~1 c(an + bn) (с2\т m
у	bm ат ambm \ab J
(3) => (8) Предположим, что = и\ — г. Из равенства
ит = щг"1”1 следует, что уравнение r2^m~^Z2 — Z + г имеет раци-
ональный корень ui и, таким образом, его дискриминант является
квадратом, т.е. 1 — 4r2m~1 = s2. Следовательно, пара (а,— г) удо-
влетворяет уравнению X2 = 4Уп 4-1.
(8) => (3) Доказательство обратного утверждения аналогич-
но. В самом деле, если отличные от нуля рациональные числа х,у
таковы, что 4уп 4- 1 = х2, то уравнение у2(т-1)И2 — Z — у = О
имеет рациональный корень Пусть щ = ui(—у)'"1. Тогда и2т =
=	= Ui + (-у).
(5) О (9) Условие (5) равносильно тому, что а2гп — 4а не яв-
ляется квадратом в Q, т. е. а2п — 4ап не является квадратом в Q,
или, иначе говоря, уравнение (aTn~1Z)2 = а2п — 4ап не имеет раци-
ональных решений для всех рациональных чисел а 0. Прибавив
к левой и правой частям равенства 4, получим, что это условие эк-
вивалентно отсутствию рациональных решений уравнения
4 + (am-1Z)2 = (an — 2)2,
что, в свою очередь, равносильно утверждению (9).
(7) => (10) Пусть (ят1, ух) # (0,0) — рациональная точка па-
раболы У2 = 4Х. Касательная к параболе в этой точке задается
уравнением
yiY = 2(X + xi),
то есть
У1У = 2(х + ^) ,
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ
267
следовательно,
Y = —Х + —.
У1 2
Эта касательная пересекается с кривой Y = Хт в точках (х,?/),
таких, что у = (2/у1)х+у1/2, у = хт. Таким образом, (х, у^/2) явля-
ется решением уравнения Хт = Х/Y 4- У. В силу утверждения (7)
число х должно быть иррациональным. □
В 1958 г. Перес-Качо доказал такой факт.
(XN) Пусть п 2. Тогда между множествами F и F1 существу-
ет биекция, где
(F) — множество таких решений (x,y,z) уравнения Хп + Yn =
= Zn, что отличные от нуля натуральные числа x,y,z по-
парно взаимно просты;
(F) — множество таких решений (u,v,w,t) уравнения Un +
4- V2n = Wn 4- Т2п, что u,v,w,t — отличные от нуля на-
туральные числа, НОД (и, и) = НОД(и>,£) = НОД(г?,£) = 1,
причем w = v • НОД (и, w), u — t' НОД (и, w), t v.
Доказательство. Пусть (х, у, z) Е F. Положим и = xz, v = у, w =
= VM = х. Тогда v ф t, так как х у, потому что 2хп не является
П-Й степенью. Далее, ип 4- v2n = xnzn 4- у2п = xn(xn 4- уп) 4- у2п =
= (хп 4- уп)уп 4- х2п = ynzn 4- x2n = шп 4- t2n.
Итак, u,v,w,t £ О, НОД (u, и) = НОД(и>, t) = НОД(г>, t) = 1,
х = НОД (и, ш) и и = t • НОД (и, w), w = v - НОД (и, w). Следова-
тельно, (u,v,w,t) Е F1.
Обратно, пусть (u,v,w,t) Е F1. Положим х = t, у — v, z —
==• НОД(и,ш). Тогда w = vz = yz, и = tz = xz и x2n — у2п —
= ^п - v2n — ип — wn = (xn — yn)zn. Из условия t ф v следует, что
t*4-j/n = zn.
Ясно, что установленное соответствие между множествами (F)
1 (F') является взаимно однозначным. □
В 1979 г. Врэнчеану указал чуть менее интересное утверждение,
Равносильное последней теореме Ферма для показателя п.
Приведем теперь эквивалентную комбинаторную (!) формули-
ровку последней теоремы Ферма, появившуюся в короткой заметке
Квайна (1989).
Рассмотрим множество, состоящее из п 3 шаров, которые тре-
распределить по z корзинам, окрашенным в белый, синий
красный цвет.
268 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
Пусть
W = числу белых корзин,
В = числу синих корзин,
R — числу красных корзин.
Тогда z — W -I- В -F R. Пусть, далее,
(т'&) — числу таких размещений п шаров по корзинам, что красные
корзины остаются пустыми, но не все синие корзины пусты;
(rb') — числу таких размещений п шаров по корзинам, что синие
корзины пусты, а хотя бы в одной красной что-то есть;
(гЬ) = числу таких размещений п шаров по корзинам, что не все
синие и красные корзины пусты;
(w) — числу таких размещений п шаров по корзинам, что все шары
сосредоточены в белых корзинах.
Докажем следующий критерий.
(Ю) Последняя теорема Ферма справедлива для показателя п
тогда и только тогда, когда (w) ф (rb) для всех множеств из z
корзин.
Доказательство. Так как число всех размещений из п шаров по
z корзинам равно zn, мы получаем
Zn — (w) 4- (г'Ь) 4- (гб') 4- (гб).
Пусть х = R + W и у = В + W. Тогда число всех размещений из п
шаров по корзинам, окрашенным в красный или белый цвет, равно
хп = (w) 4- (гб').
Аналогично число размещений из п шаров по синим и белым кор-
зинам равно
уп = (w) 4- (т'Ь).
Если последняя теорема Ферма справедлива для показателя п 3,
то zn ф хп 4- уп, а значит, (rd) (w).
С другой стороны, если последняя теорема Ферма не справедли-
ва для показателя п 3, обозначим через х, у, z такие натуральные
числа, что хп 4- уп = zn. Пусть числа W,B,R определяются из ра-
венств
В = z — х,
< R = z-y,
W = х 4- у — z.
Согласно изложенному рассуждению (w) — (rb). □
VIII. 1. Переформулировки и следствия из ПТФ 269
Список литературы
1738 Euler, L., Theorematum quorundam arithmeticorum demonstra-
tiones, Comm. Acad. Sci. Petrop., 10 (1738), 125-146; reprinted
in Opera Omnia, Commentationes Arithmeticae, Vol. I, pp. 38-
58, Teubner, Leipzig, 1915.
1840 Lebesgue, V.A., Sur un theoreme de Fermat, J. Math. Pures
Appl., 5 (1840), 184-185.
1840 Liouville, J., Sur I’equation Z2n — Y2n = 2Xn, J. Math. Pures
Appl., 5 (1840), 360.
1846 Terquem, O., Theoremes sur les puissances des nombres, Nouv.
Ann. Math., 5 (1846), 70-78.
1885 Perrin, R., Sur I’equation indeterminee x3 + y3 = z3, Bull. Soc.
Math. France, 13 (1885), 194-197.
1901 Bendz, T.R., Ofver Diophantiska Ekvationen xn +yn — zn, Alm-
qvist & Wiksells Boktryckeri, Uppsala, 1901, 35 pp.
1908 Hurwitz, A., Uber die diophantische Gleichung x3y + y3z + z3x —
0, Math. Ann., 65 (1908), 428-430; reprinted in Math. Werke,
Vol. II, pp. 427-429, Birkhauser, Basel, 1963.
1909 Lind, B., Einige zahlentheoretische Satze, Arch. Math. Phys.,
(3), 15 (1909), 368-369.
1913 Pocklington, H.C., Some diophantine impossibilities, Proc. Cam-
bridge Philos. Soc., 17 (1913), 108-121.
1929 Siegel, C.L., Uber einige Anwendungen diophantischer Approxi-
mationen, Abh. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, Phys. Math. KI., 1
(1929), 57 pp.
1930 Fueter, R., Uber kubische diophantische Gleichungen, Comment.
Math. Helv., 2 (1930), 69-89.
1933 Kapferer, H., Uber die diophantischen Gleichungen Z3 — Y2 =
33 • 2Л • Xx+2 und deren Abhdngigkeit von der Fermatschen Ver-
mutung, Heidelberger Akad., Math. Naturwiss. Klasse, Abh., 2
(1933), 32-37.
1939 Krasner, M., Sur le theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris,
208 (1939), 1468-1471.
1946 Perez-Cacho, L., El ultimo teorema de Fermat у los numeros de
Mersenne, Rev. Real Acad. Cienc. Exact. Fiis. у Natur.,
Madrid, 40 (1946), 39-57.
1958 Perez-Cacho, L., Sobre algunas cuestiones de la teoria de nume-
ros, Rev. Mat. Hisp.-Amer., (4), 18 (1958), 10-27 and 113-124.
270 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
1967 Christilles, W.E., A note concerning Fermat’s conjecture, Amer.
Math. Monthly, 74 (1967), 292-294.
1968 Rivoire, P., Dernier Theoreme de Fermat et Groupes de Classes
dans Certains Corps Quadratiques Imaginaires, These, Universite
Clermont-Ferrand, 1968, 59 pp.; reprinted in Ann. Sci. Univ.
Clermont-Ferrand II, 68 (1979), 1-35.
1972 Hellegouarch, Y., Courbes Elliptiques et Equation de Fermat,
Thesis, Univiversite Besangon, 1972.
1973 Yahya, Q.A.M.M., On general proof of Fermat’s last theorem, Por-
tugal. Math., 32 (1973), 157-170.
1975 Gandhi, J.M. and Stuff, M., Comments on certain results about
Fermat’s last theorem, Notices Amer. Math. Soc., 22 (1975),
A-502.
1978 Chowla, S., L-series and elliptic curves, Part 4, On Fermat’s last
theorem. Number Theory Day, Springer Lecture Notes, No. 626,
pp. 19-24, Springer-Verlag, New York, 1978.
1979 Vranceanu, G., Une interpretation geometrique du theoreme de
Fermat, Rev. Roumaine Math. Pures Appl., 24 (1979), 1137-1140.
1984 Inkeri, K., On certain equivalent statements for Fermat’s last the-
orem - with requisite corrections, Ann. Univ. Turkuenis, Ser.
Al, 186 (1984) 12-22; reprinted in Collected Papers of Kustaa
Inkeri (editor P. Ribenboim), Queen’s Papers in Pure and Ap-
plied Mathematics, Vol. 91, Kingston, Ontario, 1992.
1986 Frey, G., Elliptic curves and solutions of A — В — C, in: Sem.
Th. Nombres, Paris, 1985-1986 (editor C. Goldstein), Progress
in Math., Birkhauser, Boston, 1986, pp. 39-51.
1987 Frey, G., Links between elliptic curves and solutions of А—В = C,
J. Indian Math. Soc., 51 (1987), 117-145.
1989 Quine, W.V., Fermat’s last theorem in combinatorial form, Amer.
Math. Monthly, 95 (1989), 626.
1994 Ribenboim, P., Catalan’s Conjecture, Academic Press, Boston,
1994.
VIII.2. Различные утверждения,
связанные с последней теоремой Ферма
В этом разделе собран ряд разнообразных результатов, доказанных
элементарными методами. Для удобства читателя мы разбили из-
лагаемый материал на подразделы.
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ 271
А.	Связь с функцией Эйлера.
В.	Связь с функцией Мёбиуса.
С.	Отсутствие нетривиальных решений в арифметической про-
грессии.
D.	Связь с символом Лежандра.
Е.	Связь с дискриминантом.
F.	Связь с кубическим сравнением.
G.	Связь с определителем.
Н.	Связь с бинарной квадратичной формой.
I.	Отсутствие алгебраических соотношений между решениями
уравнения Ферма.
J.	Связь с линейными рекуррентными последовательностями
второго порядка.
К.	Возмущение показателя.
L.	Условие делимости для пифагоровых троек.
А. Связь с функцией Эйлера
Первый результат в несколько более слабой форме был доказан
Пересом-Качо в 1928 г.
(2А) Пусть х,у — отличные от нуля взаимно простые целые
числа, число п 2 целое и простое число р делит п,п — рт.
Пусть, далее, целое число z 3 таково, что z делит хп ±уп, но
z Не делит хт ±ут. Тогда р делит ip(z).
Доказательство. Если р = 2, то утверждение справедливо, так
как z 3, а значит, ip(z) четно.
Пусть теперь простое число р нечетно, п = рт и р /<p(z). Тогда
существуют целые числа г, $, такие, что гр — sip(z) = 1. Число ip(z)
четно, значит, г нечетно.
Если предположить, что хрт = —урт (mod z), но хт —ут
(mod z), то xrpm = —yrpm (mod z), следовательно,	=
» _^(л<^(г)+1)т (mod z). Справедливы соотношения НОД^,х) =
® HOfl(z,y) = 1. Действительно, если простое число q делит, на-
пример, х и z, то оно делит и хп 4- уп, а значит, и у, что противоре-
чит предположению. По теореме Эйлера х^^ =	= 1 (mod z),
следовательно, хт = —ут (mod z), что также противоречит пред-
положению.
Для случая z | (хп — уп), z / (хт — ут) доказательство анало-
гично. □
272 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
В частности, если НОД (ж, у) = 1 и р | п, то, положив z = хп + у11
получим, чтор | <p(zn±pn). Более того, как показал Перес-Качо, это
утверждение справедливо и при НОД (х, у) = d 1. Действительно,
пусть х = dxi, у = dyr. Тогда НОД (xi,t/i) = 1 и р | <р(х\ ± 2/Г), но
хп ± уп = d+^x™ ± pj1), так что р | р(хп ± уп).
Как следствие имеем результат Свистака (1969).
(2В)	Если простое число р нечетно и натуральные числа x,y,z,
х < у < z, таковы, что хр + ур — zp, то р делит <р(х), <р(р) и <p(z).
Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что
числа х, у, z попарно взаимно просты, потому что если, например,
х = dx\ и р | <p(xi), то р | <р(х).
Справедливы условия 3 z, z | (хр + ур) и z % (х + у). В самом
деле, zp = хр+ур < (х+р)р, следовательно, z < х+у < 2z. Согласно
утверждению (2А) мы получаем р | <p(z).
Аналогично х | (zp — ур), х / (z — у), поскольку z — у < х. Далее,
хр = (z - у) ^zp-1 + pzp~2y + Q) zp~ Зу2 + ... + yp~^
> 2p~'p > 2P,
следовательно, x 3. В соответствии с утверждением (2А) мы
вновь заключаем, что р | <р(х).
Наконец, у | (zp — хр), у / (z — х), так как z— х <у иЗ^х <у,
откуда также следует, что р | <р(у). □
Бусси в 1943 г. отметил такое следствие.
(2С) Пусть x,y,z — попарно взаимно простые натуральные чис-
ла и простое число р таково, что р / xyz и хр + ур — zp. То-
гда существуют простые числа q, г, s, такие, что q = г = s = 1
(mod р) и q | х, г | у, s | z.
Доказательство. Согласно утверждению (2В) число р делит
<р(х), <р(у), <p(z). Из условия р X xyz следует, что существуют про-
стые числа q,r,s, такие, что р | (g — 1), р | (г — 1), р | ($ — 1) и
q | х, г | у, s | z. □
Этот результат также является и следствием утверждения (1В)
гл. III. В 1932 г. Бусси отметил еще одно утверждение.
(2D) Пусть п > 2 и попарно взаимно простые натуральные
числа х, у, z таковы, что хп + уп — zn. Если целое число к таково,
что <р(к) = п, то НОД (к, xyz) > 1.
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ 273
Доказательство. Если НОД (&, xyz) = 1, то x^V = у^^ =
= z^k>* = 1 (mod к). Но (р(к) — п, а, значит, 1 = zn = хп -I- уп = 2
(mod fc), чего быть не может. □
В.	Связь с функцией Мёбиуса
В 1969 г. Рамесвар Рао доказал следующее утверждение.
(2Е)	Если число п 3 нечетно и натуральные числа x,y,z тако-
вы, что хп +уп = zn, то значение функции Мёбиуса р* 1 от суммы
X + у равно нулю.
Доказательство. Число п нечетно, поэтому сумма х 4- у делит
хп + Уп = zn. Всякое простое число р, делящее х + у, делит и zn, а
значит, и z.
Если р,(х + у) 0, то х 4- у не делится на квадрат простого числа,
так что х+у делит z, в частности, х+у z. Это противоречит тому,
что Z < X 4- у. □
С.	Отсутствие нетривиальных решений
в арифметической прогрессии
Следующий результат принадлежит Боттари (1907). Позднее он
был доказан Гольдзихером (1913), Михальинечем (1952) и Раме-
сваром Рао (1969). В 1908 г. Каттанео получил следующее изящное
доказательство, которое в точности и повторил Рамесвар Рао.
(2F) Если п > 2 и натуральные числа x,y,z таковы, что хп +
+ |Г = гп, то x,y,z не могут быть последовательными членами
арифметической прогрессии.
Доказательство. Предположим противное. Пусть существует на-
туральное число а, такое, что х — у — a, z = у + а. Тогда
(у — а)п + уп = (у + а)п.
(2-1)
При необходимости разделив на наибольший общий делитель чисел
и у, будем считать, что НОД (а, у) = 1. Ясно также, что у не
Может быть нечетным. Из соотношения (2.1) следует, что уп = ат,
1 Функция натурального аргумента д(п), определяемая равенствами
1, если п = 1,
д(п) = < 0, если р2 | п,
( —1)г, если п есть произведение г различных простых чисел,
Вызывается функцией Мёбиуса (см. разд. II.2). — Прим. ред.
11-27
274 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
где т — некоторое целое число. Из условия НОД (а, у) — 1 следует
что а = 1, а значит, (у — l)n + t/n = (t/ + l)n-
Заметим, что число п не может быть нечетным, иначе выполня-
лось бы равенство
и, так как у четно, мы получили бы, что нечетное число в квадрат-
ных скобках делится на 2П“1.
Так как п четно, разделив на у, получим2
2	+
т. е. уп~х — 21, где I — целое число. Следовательно, у/2 делит I.
Поскольку у/2 делит все слагаемые в скобках, кроме последнего,
отсюда следует также, что у/2 делит и (n2i) = п, а значит, у 2п.
Таким образом, уп~г > 2(”)?/п“2 уп~г. Полученное противо-
речие завершает доказательство. □
D.	Связь с символом Лежандра
В 1958 г. Перес-Качо доказал следующий признак.
(2G) Пусть р — нечетное простое число. Пусть, далее, для
всяких отличных от нуля взаимно простых целых чисел x,y,z
существует такое простое число q, что q р, g | (z2 — рху) и
/рР+1 __ 4р\
\ Q /
Тогда последняя теорема Ферма справедлива для показателя р.
Доказательство. Предположим, что существуют отличные от
нуля взаимно простые целые числа х,у, z, такие, что хр 4- ур — zp.
По условию существует простое число q, q р, такое, что q делит
z2 - рху и ((p’’+1 - 4p)/g) = -1.
Из равенства z2p = х2р + 2хрур + у2р следует, что
г2(р+1) _	= г2(а.2р _ 2хрур + у2р) = ^р _ уР)]2
2 При четном п в предыдущем равенстве последний член в квадратных скоб-
ках имеет вид (n2i)l/- “ Прим. ред.
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ 275
Пусть число к определяется из равенства z2 — рху -F kq. Тогда
(pp+1 - 4p)Cn/)p+1 = (z2 - kq)p+1 - 4(xy)p(z2 - kq)
= Z2(p+1) - 4z2xpyp
= [z(xp - yp)]2 (mod q).
Число p+1 четно, значит, p1^1 —4p является квадратом по модулю q,
дао быть не может. □
£. Связь с дискриминантом
В 1949 г. Капферер указал признак, связанный с дискриминантом
некоторого многочлена. Для доказательства этого результата нам
потребуется ряд фактов, касающихся результанта и дискриминанта
бинарных форм, которые приведены в разд. II.4.
Капферер воспользовался следующей леммой, которая содер-
жится в его статье вместе с доказательством.
ЛЕММА 2.1. Пусть F(X,Y), G(X,Y) — бинарные формы степе-
ней п,т соответственно, а формы L(X,Y), M(X,Y) имеют сте-
пень к, и пусть
Ф(Х,У) = F(L(X,Y),M(X,Y))
(форма степени кп),
Г(Х, У) = G(L(X, У), М(X, У))
(форма степени кт). Тогда
Я(Ф, Г) = [7?(F, (?)]* [Л(£, M)]mn.
Доказательство. Если п = 0 или т — 0, то утверждение очевид-
ВО, поэтому будем считать, что п 1, т 1.
Пусть F(X,Y) = П?=1(«^ — «{У), где коэффициенты
Не равны одновременно нулю для всех i — 1,...,п. Таким обра-
зом, Ф(Х, У) = F(L,M) = FItn=i(a'L — a,Af). Аналогично, если
G(X,r) = П7=1(0И - то Г(Х,У) = П7=да - ^М).
Тогда в силу утверждения (4А) гл. II мы получаем
Я(Ф, г) = П П F(a'L - оцМ, - 0jM).
i=l j=\
276 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
Пусть, например, /3j	0. Тогда
- -^kR(0iaiL ~ PiaiM, 0jL ~0jM)
Pj
- ((fa - a^<)L, 0'L - 0jM)
Pj
(Bia'- - aiB'-)k
= pk R^^L-PiM)
(-\}k(B(ai - Pia'tf
Следовательно,
Я(Ф,Г) = ПП(^;-^а9‘Я(£Л)
i=l j=l
Теперь мы приведем признак Капферера.
(2Н) Пусть р > 7 — простое число. Если существуют отличные
от нуля целые числа x,y,z, такие, что
p%xyz(x - у)(у - z)(z - х)(х2 + у2 + z2)
и хр + ур + zp = 0 (mod р2), то р делит дискриминант однородного
многочлена
(р-7)/6 >р_з _ .v
KP(X,Y) = У| 2 .	|-----x(p-7)/6-iyi
pv '	\ 2i J 2г +1
г=0
при p = 1 (mod 6) или
(р-5)/6 /£_з _ .
KP(X,Y)= У ( 2	) ——X^-^/^Y1
\ 2i J 2г+1
при p = — 1 (mod 6).
Доказательство. Действительно,
xp = x (modp), Ур = у (modp), zp = z (modp),
VIIL2. Различные утверждения, связанные с ПТФ 277
следовательно, х 4- у -F z ~ 0 (mod р), а значит, zp = — (х 4- у)р
(mod р2)- Таким образом, (х 4- у)р — хр — ур = 0 (mod р2).
Заметим, что у — z н х 4- 2у (mod р), z — х н — (2х 4- у) (mod р),
X2 4- у2 4- z2 = 2(х2 4- ху 4- у2) (mod р), следовательно, выполнено
условие р /ху(х + у)(х - у)(2х + у)(2у + х)(х2 + ху + у2).
Как следует из соотношения (2.2) гл. VII,
(X 4- У)р — Хр — Ур = рХУ(Х 4- У)(Х2 4- ХУ 4- У2)еСр(Х, У),
где СР(Х,У) 6 2[Х,У] — однородный многочлен Коши, причем
е = 1 или 2 в зависимости от того, сравнимо ли число р с — 1 или
С 1 (mod 6). Таким образом, р делит Ср(х,у).
Покажем, что р делит дискриминант многочлена СР(Х, У). Дей-
ствительно, пусть Q(X, У) = ХУ(Х 4- У)(Х2 4- ХУ 4- У2)е. Тогда
| [(X + У)” - Хр - Ур] = Q(X, Y)CP(X, У).
Выпишем частные производные:
(Х + Уу-'-Х”-1 = Q(X,Y)^(X,Y) + ^(X,Y)CP(X,Y),
(X + y)p-i_yp-i = q{X,Y)^(X,Y) + ^(X,Y)Cp(X,Y).
Из условия р /xp(x4-j/) следует, что хр-1 = ур~1 = (х4-у)р“1 = 1
(mod р); с другой стороны, р / Q(x,y). Таким образом, поскольку
р делит Ср(х,р), мы заключаем также, что р | (дСр/дХ)(х, у) и
р | (ЗСр/ЭУ)(х,р). Отсюда получим
(др	др \
д^(^у), ^(Х,У)	=0 (mod р).
ОЛ	U1	J
Теперь воспользуемся записью СР(Х, У) в виде однородного мно-
гочлена от выражений
L(X, У) = (X2 4- ХУ 4- У2)3 = U3,
М(Х,У) = Х2У2(Х 4- У)2 = V2,
которая была получена в гл. VII (см. соотношения (2.5) и (2.6)):
CP(X,Y)=KP(L,M), где
(р—7)/6 /g-З _ \	.
KP(L,M)= У ( 2	)-----
\ и /2г + 1
1=0 х	7
278 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
при р = 1 (mod 6) и
КР(Т,М)
(р-5)/6 /р-з
i=0
--1---L(p-5)/6-iMi
2г + 1
при р = — 1 (mod 6). По формулам вычисления частных производ-
ных сложной функции имеем
дср _ дкр дь дкр дм
дх ~ dL ' дх+ дм ' дх’
дСр _ дКр дБ дкр дм
dY ~ дь ' дУ + дм ' ду’
где
= 3(Х2 + ХУ + У2)2(2Х + У),
иЛ.
= 2ХУ\Х + У)(2Х + У),
= 3(Х2 + ХУ + У2)2(Х + 2У),
~ = 2Х2У(Х + У)(Х + 2У).
Положив Б(х,у) — г, M(r,s) = s, получим, что р J(rs, и, поскольку
дСр, ч дСр, х Л , J ч
~дх (Х,У^= ~ду(х,у^ = ° (modp)’
можно заключить, что либо
	дКГ1 -аГ(г'’> =		(mod р),
либо			
	/ дБ, ч	дМ, ч \	
det	ах'1’’’ дБ, ч	дМ, ,	~ 0 (mod р)
	1	ЗУ (z’y) /	
Вычислив этот определитель, получим сравнение
б(х2 4- ху 4- у2)2(2х 4- у)(х 4- 2у)ху(х 4- у)(х - у) = 0 (mod р).
Однако по предположению этот определитель не делится на р. Та-
ким образом,
дКР/ х дКр, х	л х
~дБМ= дММ = ° (modp)’
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ
279
т.е. Р делит результант бинарных форм (дКр/дЕ)(Х,У) и
(0KP/9M)(X, У) степени т - 1, где
при р = 1 (mod 6),
при р = — 1 (mod 6).
Так как бинарные формы L(X, У), М(Х, У) имеют степень 6, из
утверждения (1А) гл. V следует, что
я(^<х'у>’^<х’у0
/ Л If	Л If	\ 1 ®
Я —^(L, М),	М)) R(L(X, Y), М(Х,
\ OLt	O1V1	/
Но
R(L(X,Y), M(X,Y)) = R((X2 + XY + Y2)3, X2Y2(X + Y)2)
= [fl(X2 + XY + Y2, XY(X + У))]6 = 1.
Следовательно, p делит результант
= Discr(Kp(L,M)). □
\ (J Li	U1V1	J
Заметим, что мы на самом деле показали, что если г = (х2 4-
+	4-р2)3	0 (mod р) и s = х2у2(х 4- у)2	0 (mod р), то пара
(г,з) является кратным корнем сравнения KP(L,M) = 0 (mod р).
Из утверждения (2G) получим такой признак.
(21) Пусть р — простое число. Если существуют такие отлич-
ные от нуля взаимно простые целые числа х, у, z, что хр+ур+zp —
= 0, то или
р I xyz(x - у)(у - z)(z - х)(х2 +у2 + Z2),
или р делит дискриминант многочлена
F„(T) = Г(Г) =
где т = (р — 3)/2 и суммирование ведется от i — 0 до
f	пРи Р = 1 (mod 6),
I	пРи Р = ~ 1 (mod 6).
280 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
Доказательство. Предположим, что отличные от нуля взаимно
простые целые числа х, у, z таковы, что р /xyz(x — у)(у — z)(z — т) \
х (х2 4- у2 4- z2) и хр 4- ур 4- zp — 0, так что р > 7.
Тогда хр 4- ур 4- zp = 0 (mod р2), следовательно, согласно утвер-
ждению (2G) число р делит дискриминант формы Кр(Х, У), точнее
говоря, пара (г, s), где
г — (х2 4- ху 4- р2)3	0 (mod р),
s = х2р2(х 4- у)2	0 (mod р),
является кратным корнем сравнения КР(Х, У) = 0 (mod р).
Положим Т — Y/Х. Тогда
Кр(1, Y/X) = F(T),
KP(X,Y) =XmF(T),
где
V" ПРИ
при
т =
р = 1 (mod 6),
р = — 1 (mod 6).
Но
= тХт~^(Т) - Xm~2YF'(T),
uX
= Xm~'F\T),
и, так как (г, $) — простой корень сравнений
(modp),
= 0 (modp),
выбрав такое число t 6 Z, что tr = s (mod р), мы получим
Г 0 = mrm^Fft) — rm~2sF'(t) (modp),
t 0 = rm~1F'(t) (mod p),
следовательно, F(t) = F'(t) = 0 (mod p). Это означает, что p делит
дискриминант формы F(T). □
F. Связь с кубическим сравнением
В 1944 г. Пьер свел уравнение Ферма к двум системам сравнений,
воспользовавшись методом, подобным методу Капферера.
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ 281
Для начала нам потребуется одна лемма. Часть утверждений
этой леммы была доказана Миримановым в 1907 г. и Сколемом в
1937г. (см. также Сколем (1941)).
ЛЕММА 2.2. Пусть р — простое число, р — 6к ± 1, целые числа
а b таковы, что р % Ъ, и число £ € Z таково, что tb2 = a3 (mod р).
Положим
»Tf ___rpk — 1 q (Р ^)(Р	rpk — 2 j
Фр(Г)-2	- 3	22 х 3! I +...
+ ( '	1	'	22<S-I)(2s — 1)!
+ • • •
[p-(2fc + l)][p-(2fc + 3)]...[p-(4fc-l)]
22<fc-1)(2fc — 1)!
Рассмотрим сравнение
X3 + аХ + b = 0 (modp).
Тогда
(1)	если — (4t 4- 27) не является квадратичным вычетом по мо-
дулю р, то это сравнение имеет единственное решение х,
0 < х < р;
(2)	если 4t 4- 27 = 0 (mod р), то это сравнение имеет два раз-
личных решения xi,X2, 0 < xi,X2 < р;
(3)	если — (4t4-27) является квадратичным вычетом по модулю р
и = 0 (mod р), то это сравнение имеет три различных
решения Xi, Х2, хз, 0 < xi, Х2, %з < р;
(4)	если — (4t 4- 27) является квадратичным вычетом по моду-
лю р, но £ 0 (mod р), то это сравнение не имеет
решений;
(5)	существует в точности к значений числа t, для которых
это сравнение имеет несколько различных решений, и ровно
2к значений числа t, для которых это сравнение не имеет
решений.
В связи с этим Келле (1908) указал связь между разрешимостью
сравнения третьей степени и линейными рекуррентными последо-
вательностями второго порядка (см. также Мириманов (1909)).
Пусть FP(T) — многочлен, определенный в утверждении (2Н).
Применив лемму 2.2, Пьер доказал такой факт.
-4t - 27
P
282 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
(2J) Пусть взаимно простые целые числа x,y,z таковы, что
р )(xyz(x - у)(у - z)(z - х)(х2 +у2 + z2) и хр + ур + zp = 0. Пусть,
далее, г = (х2 + ху + р2)3, s = х2у2(х 4- у)2. Тогда
(1) если число t удовлетворяет сравнению rt = s (mod р3), то
Fp(t) = 0 (mod р3);
(2) если число t удовлетворяет сравнению r + ts = O (mod р), то
= 1,	Фр(£) = 0 (mod р).
Доказательство. (1) Согласно результату (1С) гл. VI справед-
ливо сравнение х 4- у 4- z = 0 (mod р3). Следовательно, хр 4- ур =
= -zp = (х 4- у)р (mod р4). Таким образом, р4 делит (х 4- у)р — хр -
-ур = рху(х 4- у}(х2 4- ху 4- у2)еСр(х,у), причем е = 2 при р = I
(mod 6) и е = 1 при р = — 1 (mod 6). Поскольку р % z, мы также
делаем вывод, что р / (х 4- у).
Аналогично из условия р / (х2 4- у2 4- z2) следует, что р / (х2 4-
4-хр 4- у2\ Таким образом, р3 делит Ср(х,у). Во введенных обо-
значениях Ср(х,р) = Kp(r,s) = rmFp(t) (mod р3), причем т =
= (р — 7)/6 при р = 1 (mod 6) и т = (р - 5)/6 при р = -1 (mod 6).
Поскольку р / г, мы получаем, что Fp(t) = 0 (mod р3).
(2) Заметим, что сравнение
(х2 4- ху 4- р2)3 4- Тх2у2(х 4- у)2 = 0 (mod р)
имеет решение t тогда и только тогда, когда
d3x3 4- tdx 4-1 = 0 (mod р),
d3y3 4- tdy 4-1 = 0 (mod p)
для некоторого числа d, не кратного р.
Действительно, если числа dx,dy являются решениями сравне-
ния X34-tX4-t = 0 (mod р), то другое решение сравнимо с — d(x+y)
по модулю р. Следовательно,
d?[xy - х(х 4- р) - р(х 4- р)] Hi (mod р),
-d3xy(x 4- у) = -t (mod р).
Таким образом,
{сР(х2 4- ху 4- у2) =-t (modp),
d3xp(x 4- у) = t (mod p),
а значит, (x2 4- xy 4- p2)3 4- ix2p2(x 4- p)2 = 0 (mod p).
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ 283
Обратно, пусть число d таково, что dxy(x 4- у) = — (х2 4- ху 4- у2)
(mod р). Рассмотрим сравнение X3 4- аХ 4- Ь = 0 (mod р) с корнями
dx,dy, —d(x 4- у). Тогда
{dP[xy - х(х 4- у) - у(х 4- р)] = a (mod р),
—d3xy(x 4- р) = — b (mod р).
Таким образом,
{d?(x2 4- ху 4- у2) = —a (modp),
d3xy(x + у) =b (mod р).
Отсюда b = а = t (mod р), так что
{d3x3 4- tdx 4-1 = 0 (mod р),
d3y3 4- tdy 4-1 = 0 (mod p).
Из проведенных рассуждений следует, что сравнение X3 4- tX 4-
4-t = 0 (mod р) имеет три попарно несравнимых решения dx,dy и
—d(x + y). Действительно, если, например, dx = — d(x 4-р) (mod р),
ТО х = — х(х + у) = z (mod р), что противоречит предположению.
Согласно предыдущей лемме — (4t 4- 27) является квадратичным
вычетом по модулю р и Фр(£) = 0 (mod р).
Это завершает доказательство. □
Будет уместным напомнить, что если р = —1 (mod 6), то
р I (ж2 4- ху 4- у2), а значит, р / (х2 4- у2 4- z2) (см. лемму 1.2 гл. VI).
Но Поллачек в 1917 г. также показал (см. утверждение (2J)
гл. VI), что даже если р = 1 (mod 6), то из условий хр 4- ур 4- zp —
= 0, р Ixyz следует, что р / (х2 4- ху 4- р2), или, что равносильно,
р/(*2 + у2 + *2)-
Аналогично, если х = у (mod р), то хр = ур (mod р2), z = —2х
(inodp),zp = —2рхр (modp2), а значит, 2хр = 2рхр (modp2). Та-
ким образом, если р /х, то 2Р = 2 (mod р2). На самом деле в своей
статье 1946г. Инкери показал, что 2Р = 2 (mod р4). Следовательно,
если простое число р таково, что 2Р 2 (mod р4), то непременно
- р)(р - z)(z - х).
Виферих в 1909 г. доказал, что из предположения о том, что
первый случай последней теоремы Ферма не выполнен для пока-
зателя р, следует сравнение 2Р = 2 (mod р2). Это был первый из
серии подобных результатов, полученных Миримановым, Вандиве-
ром, Поллачеком, Россером и Грэнвиллем. Их доказательства до-
284 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
статочно объемны и неэлементарны. Более полное изложение можно
найти в моей книге «13 лекций о последней теореме Ферма»3.
G. Связь с определителем
В 1907 г. Бини воспользовался классическим рекуррентным соотно-
шением и получил выражение суммы хп -I- уп 4- zn через определи-
тель.
(2К) Пусть x,y,z — произвольные целые числа. Положим
а = х + у + z,
< Ь — ху 4- yz 4- zx,
с = xyz
и длл всех п 1 обозначим
Sn = хп + уп + zn.
Тогда
(1) Sn — aSn-i 4- bSn-2 4- cSn_3 = 0;
(2)
	(	0	—a	b	—c	0
		0	1	—a	b	—c
		0	0	1	—a	b
		0	0	0	1	—a
Sn = det						
		0	0	0	0	0
		3c	0	0	0	0
		-26	0	0	0	0
		a	0	0	0	0
0
0
о
о
ь
—а
1
0
—с
b
-а
1 /
0
0
0
Доказательство. (1) Числах,у,z удовлетворяют уравнению
X3 - аХ2 + ЬХ - с - 0.
Умножив на Хп~3, получим
Хп - аХп~г + ЬХп~2 - сХп~3 = 0.
Заменяя X последовательно на х, у, z и складывая получающиеся
соотношения, приходим к уравнению
Sn aSn~i + bSn—2 cSn-3 — 0-
З13 Lectures on Fermat's Last Theorem. — Прим, nepee.
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ
285
(2) Выпишем полученные соотношения для к = 1,2,..., п. Итак,
числа Si, S2, • • •, Sn удовлетворяют системе п линейных уравнений
Sn dSn—i 4- bSn—2 cSn—2 = 0?
S4 — aS^ 4- bS2 — cSi = 0,
<	S3 — aS2 4- bSi = 3c,
S2 — aSi — — 2b,
k	Si = a.
Определитель, составленный из коэффициентов этой системы,
равен 1. Поэтому согласно правилу Крамера Sn равняется опреде-
лителю, указанному в условии утверждения. □
Отметим, что Бини вывел отсюда такое следствие: если р —
нечетное простое число их4-з/4-и = О, то xyz делит хр 4- ур 4- zp. Но,
кстати говоря, это утверждение непосредственно следует из замеча-
ния перед утверждением (2А) гл. VII, если заметить, что — z = х+у.
Н. Связь с бинарной квадратичной формой
В 1963 г. Пиньятаро связал уравнение Ферма с представлением р-й
степени в виде бинарной квадратичной формы.
Сначала напомним следующий широко известный факт. Ферма
в 1657г. рассмотрел уравнение X2 — dY2 = 1, где натуральное число
d не является квадратом (это уравнение ошибочно носит имя Пел-
ля). Ферма заявил, что он методом спуска доказал существование
бесконечного числа решений в целых числах. Однако первое опуб-
ликованное доказательство принадлежит Лагранжу (около 1766 г.).
Вот этот результат.
Лемма 2.3. Пусть натуральное число d не является квадра-
том. Тогда существует решение уравнения X2 — dY2 — 1 в нату-
ральных числах (xi,yi), обладающее следующим свойством: пара
(*>!/) также является решением в натуральных числах тогда
и только тогда, когда существует целое число т, такое, что
X + yy/d= (ц + yiy/d)m. В частности, различным значениям т
соответствуют различные решения, и, таким образом, уравнение
X2-dY2 = 1 имеет бесконечно много решений в натуральных чис-
лах.
Доказательство Лагранжа опиралось на непрерывные дроби.
Другое доказательство можно найти, например, в книге Рибенбой-
ха (1999).
286 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
Введем следующее обозначение. Если 6, с — отличные от нуля
целые числа, положим (6, с) — ЬХ2 4- cY2.
(2L) Пусть р — нечетное простое число и тройка натураль-
ных чисел (x,y,z) удовлетворяет уравнению хр + ур = zp, причем
число х нечетно и является наименьшим из возможных. Тогда
(1) yz является квадратичным вычетом по модулю х;
(2) существует бесконечно много способов представления хр
в виде квадратичной формы (z, —у).
Доказательство. (1) Сначала заметим, что, так как хр + ур = zp
и х минимально, числа x^y^z попарно взаимно просты. Справедли-
вы равенства
хр — zp - ур — Z
т. е. хр представимо в виде (z, —у). Далее, поскольку z (z^p 1^/2)2 =
= У (l/^-1^2)2 (mod х), мы заключаем, что yz (z^-1^2)2 = yp+1
(mod x), а значит, yz является квадратичным вычетом по модулю х.
(2) Теперь покажем, что числа у, z не могут быть квадратами
одновременно. Действительно, предположим, что у = у2, z = z2,
причем у\, zi > 0. Тогда
Хр = Z? - У1Р = (zf - yf) (zf + У, ) .
Число x нечетно и НОД (?/,z) = 1, значит, НОД (zf — у?, zp 4- у?) =
= 1 и, очевидно, 4-J/1 > 1. Следовательно, zf — у? есть p-я степень
нечетного натурального числа х', 0 < х' < х, что противоречит
минимальности х.
Как мы видели, хр = za2 — уЬ\ где а = z^-1)/2, Ь = у^р~г^2.
Рассмотрим уравнение X2 — yzY2 = 1. Так как НОД(?/,г) = 1 и
числа у, z не являются квадратами одновременно, мы делаем вывод,
что yz не является квадратом.
Согласно лемме 2.3 существуют натуральные числа и\, v\, такие,
что 1 = и2 — yzv2 и, более того, для всех целых чисел т из соотно-
шения ит 4- v^y/yz = (ui 4- viy/yz)™ следует, что 1 = и- yzv^.
Заметим, что если 1 т, то ит < um+i и vm < vm+i. Тогда
хр = (za2 -yb^u^-yzv^)
2 У 2 2 \
«т “ ~Z Vm)
z
Z (а -	(а + (Um + VmZ
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ
287
= z (аит + bvmy) - (avmz + bum)
 (аит + bvmy) + (avmz + bum)^
= z(aum + bvmy)2 - y(avmz + bum)2.
Это означает, что существует бесконечно много способов представ-
ления хр в виде квадратичной формы (z, — у). □
I. Отсутствие алгебраических соотношений между
решениями уравнения Ферма
В1895 г. Жонкюре изучил возможность существования алгебраиче-
ских соотношений между гипотетическими решениями уравнения
ферма.
Для п = 2 существует алгебраическое соотношение
(X2 4- У2)2 - (X2 - У2)2 = (2ХУ)2,
которому, как было показано в утверждении (1А) гл. I, удовлетво-
ряют все примитивные решения уравнения Пифагора.
Оказывается, при п > 2 ничего подобного быть не может.
ЛЕММА 2.4. Пусть F = Fo + Fi +F2 + ... € Z[X, У], где Fi — одно-
родные части степени i многочлена F. Если n 1, то существу-
ют однородные многочлены Е Z[X0,Xi], Р3 6 Z[Xo,Xi,Х2],...
степени п {зависящие только от п), такие, что однородными ча-
стями многочлена Fn являются
(F")o = (Fo)",
(F")i = n(F0)n“1F1>
(Fn)2 = п(^)п-^2 + Р2(^,^),
(Fn)3 = n(Fo)n-1F3+P3(Fo,F1,F2)>
(F")fc =
Доказательство. Возводя F в степень п, заметим, что однород-
ная часть многочлена {Fn)k состоит из члена n(F0)n“1 Fk и слагае-
мых, получаемых за счет вклада однородных частей, степени кото-
рых меньше чем к. Это выражение является многочленом с муль-
тиномиальными коэффициентами, зависящими не от F, а только
ОТ п. □
288 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
(2М) При п > 2 не существует многочленов F,G € Z[X,Y]f
таких, что XnYn = Fn — Gn.
Доказательство. Пусть F = Fo + Fi + F2 + ..., G = Go 4- G\ +
4-G2 4- • • где Fk,Gk — однородные части степени k многочленов
F, G соответственно. Если Fn — Gn = XnYn, to (Fn)* = (Gn)k
для k = 0,1,..., 2n - 1, (Fn)2n - (Gn)2n = XnYn. Как следует из
леммы 2.4, Fo = Go, •.., F2n_i = G2n-i, а значит,
= (Fn)2n-P2n(F0,F1,...,F2n_1)
= (Gn)2n + XnYn - P2n(Go, Gx,..., G2n_x)
= ntGoy-'G^ + X^”,
и потому n(Fo)n-1(F2n — G2n) = XnYn. Это означает, что n = 1,
чего быть не может. □
Напомним, что в силу утверждения (ЗС) гл. VI, если п > 2 и
натуральные числа x,y,z, х < у < z, таковы, что хп 4-уп = zn, то у
не является степенью простого числа. Отсюда следует, что у = ab,
причем a, b > 1, НОД (a, b) = 1. Приведенный результат означает,
что невозможно найти многочлены F, G Е Z[X, У], такие, чтобы для
всех a,b Е Z выполнялось равенство anbn = [F(a,6)]n — [G(a, 6)]n.
J. Связь с линейными рекуррентными
последовательностями второго порядка
Переформулируем результаты (1А), (IB), (1С) гл. III в терминах ли-
нейных рекуррентных последовательностей (см. Кисс (1980)). На-
помним, что если т > 1 и (Rk)k^n ~ целочисленная последователь-
ность, то r(m) обозначает наименьший индекс г, для которого т
делит Rr.
(2N) Пусть нечетное простое число р и взаимно простые целые
числа x,y,z таковы, что хр + ур 4- zp — 0. Пусть, далее, А — х — у,
В = —ху, Rq = 0, R\ — 1. Для всех k 2 положим Rk = ARk-i~
- BRk-2 и D = А2 - 4В — (х 4- у)2 • Тогда
(1)	если р )( z, то Rp = dp, где число d целое, Rp =	= 1
(mod р2) и d = 1 (mod р), r(d) = r(d?) — ... = r(dp) = p
(в обозначениях, введенных перед леммой 2.2 гл. V);
(2)	если р | z, то Rp/p = dp, где число d целое, Rp = р
(mod р4), D = 0 (mod р4р-2) и r(d) = ДсР) = ... = r(dp) = р,
r(dp+1) р.
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ	289
Доказательство. (1) Корнями трехчлена X2 — АХ + В являются
числа х, —у. Как следует из леммы 2.1 гл. V и утверждений (1А) и
(1В) гл. Ill, Rp = (хр4-рр)/(х4-р) = dp (причем d > 1), х + у = ср, где
с d = ti = 1 (mod р) (мы используем те же обозначения, что и
выше). Тогда Rp = dp = 1 (mod р2). Поскольку р)(гих + у + г =
5 0 (mod р), мы можем заключить, что р / (х 4- р), а значит, р / с.
Следовательно, £)(р-1)/2 = (х 4-р)р-1 — срСр-1) =. 1 (mod р2).
Наконец, так как dp | Rp, по лемме 2.2 гл.У числа r(d),r(d2),...,
r(d₽) делят р. Поскольку d > 1, мы получаем, что r(dl) 1, а
значит, r(d) = r(d2) = ... = r(dp) — р.
(2) Предположив, что р | z, из утверждений (1В) и (2С)
гл. Ш получим, что Rp = (хр -I- ур)1(х 4- р) = pdp, где d = ti = 1
(mod р2), х 4- у = рпр-1ср, где п 2, с — t. Тогда Rp/p = dp = 1
(modp3), так что Rp = р (mod р4). Далее, D = (х 4- у)2 = О
(mod р4р"2).
Наконец, так как dp | Rp, но /Rp, мы получаем, что r(d) =
= ... = r(dp) = р, r(dp+1) р. □
Теперь пришло время указать результат Кисса и Фонга (1979),
содержащий интерпретацию сравнения qp~x = 1 (mod р2) в терми-
нах соответствующей рекуррентной последовательности.
(20)	Пусть различные простые числа р, q таковы, что р 2 и
рХ (q — 1). Положим А — q 4- 1, В — q, Ro — О, R\ = 1 и Rk =
= ARk-i - BRk-2 для всех k 2. Пусть, далее, D = А2 - 4В =
= (q — I)2. Тогда следующие условия равносильны:
(a)	qp-1 = 1 (mod р2);
(Ь)	P2|«p-i;
(с)	г(р) = г(р2).
Доказательство, (а) о (6) Трехчлен X2 - АХ + В = X2-
~(д + 1)Х + q имеет корни а = q, /3 — 1. Как следует из леммы
2.1(1) гл.У, Hp-i = {qp~r — l)/(q - 1)- Так как р / (q - 1), условие
Р2 | Rp-i выполнено тогда и только тогда, когда р2 | (qp-1 — 1).
(Ь) & (с) По лемме 2.2(5) гл. V число т(р) делитр—(D/p) — р— 1,
поскольку D является квадратом целого числа. Пусть р — 1 — sr(p).
В силу леммы 2.2(8) гл.У имеем Rp-i = Rsr(p) = sRr(p)Rsr(pj+i
(®Odfi2(p)).
Из условия р | Rr(p) следует, что р2 | ^2(р), и, вновь используя
лемму 2.2(2) гл.У, мы получаем, что р | Rsr(p), Р / Hr(p)+i и р/ s
19-27
290 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
(поскольку s р — 1). Следовательно, р2 | Rp_i тогда и только
тогда, когда р2 | Rr(p)- Пусть ир(Кг(р)) = к 2.
Согласно части (6) леммы 2.2 гл. V мы имеем т(р*) = т(р). Но
т(р) | т(р2), поскольку р | Hr(p2). С другой стороны, 2 к, так что
р2 | Hr(pfe) = Нг(р), а значит, т(р2) | т(р), что доказывает равен-
ство (с). И наоборот, если т(р) = т(р2), то р2 | Нг(р). □
К. Возмущение показателя
Следующий результат (см. Шаумбергер (1973), Кламкин (1974)) до-
статочно любопытен: оказывается, если хотя бы немного <пошеве-
лить» один из показателей в уравнении Ферма, то новое уравнение
будет иметь бесконечно много решений в целых числах.
Сначала докажем такой факт.
(2Р) Если натуральные числа а, Ь, с таковы, что НОД (aft, с) = 1,
то уравнение Ха -F Yb — Zc имеет бесконечно много решений в
целых числах.
Доказательство. Для с = 1 утверждение очевидно. Пусть с ф 1.
Заметим, что существуют целые числа d, е, такие, что abd 4-1 = се.
Тогда d 0, так как в противном случае се = 1, с 1, а значит,
с = 1, что противоречит предположению. Далее, существует целое
число t, такое, что d 4- tc 1 и ab(d 4- tc) 4- 1 = с(е 4- abt), причем
е 4- abt 1, так как с 1. Таким образом, можно без ограничения
общности считать, что d 1, е 1 и abd 4-1 = се.
Пусть число и 1 произвольно. Положим
r x = 2bdubc,
< у = 2aduac,
z = 2euab.
Тогда ха 4- yb = 2abduabc 4- 2abduabc = 2abd+1uabc = 2ceuabc = zc.
Ввиду произвольности выбора параметра и данное уравнение имеет
бесконечно много решений в целых числах. □
Отсюда получаем такое следствие.
(2Q) Уравнение Хп 4- Yn = zn+i/k имеет бесконечно много ре-
шений в целых числах при любых натуральных числах п,к.
Доказательство. Сначала заметим, что тройка (х,у, z) является
решением уравнения Хп 4- Yn = 2кп+г тогда и только тогда, ко-
гда (x,y,zk) есть решение уравнения Хп 4- Yn — Zn+^k. Положив
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ 291
в условии утверждения (2Р) а = п, b — п, с — kn -F 1, получим, что
данное уравнение действительно имеет бесконечно много решений
в целых числах. □
L. Условие делимости для пифагоровых троек
В 1913 г. Невядомский рассматривал многочлены от трех перемен-
ных
DQ = DQ(X,Y,Z) = -1
и
Dn = Dn(X,Y,Z) = Zn-Xn-Yn, 1.
Для n 1 он вывел тождество
Dn+1 - (X + Y)Dn + XYDn-i = Zn~\Z - X)(Z - Y),	(2.2)
справедливость которого легко проверяется.
С помощью этого тождества Невядомский и Метро доказали
(1913) такой факт.
(2R) Пусть натуральные числах, у, z таковы, что х2 4- у2 = z2 и
Лп = Dn(x, у, z) для всех п 1. Тогда 2dn делится на d% при п 2.
Доказательство. Без ограничения общности можно считать чис-
лах, у, z взаимно простыми. Действительно, пусть е = НОД (х, у, z),
= х/е, у1 = у/е, z* — z/e. Тогда х'2 4- у’2 = z,2>, и мы можем пола-
ять, что число х' четно, а у1, z1 нечетны. Пусть d!n — Dn(x',у', z').
Тогда dn = end!n, в частности d\ = ed^. Заметим, что di 0. Сле-
довательно, 2dn/di = en~22d,n/d,12. Поскольку п 2, достаточно
показать, что число 2d!n/d!2 целое.
Из предположения, что е = 1, и результата (1А) гл. I следует, что
существуют такие натуральные числа a,b, b < а, что НОД (а, Ь) =
= 1 и
х = 2аЬ,
у = а2 - Ь2,
z — а2 4- Ъ2.
Если п = 2, то d2 = 0 делится на df. Аналогично согласно соот-
ношению (2.2) мы получаем
d3 = (я + y)d2 ~ xydi 4- z(z - x)(z - у).
Следовательно, заметив, что di = 2b(b — а), имеем
2d3 = — 4а6(а2 - 62)di 4- (а2 4- Ь2)(а — 6)2462
— [2а(а 4- &) 4- а2 4- b2]d2 — [(а 4- д)2 4- 2a2]d2.
292 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
Предположив, что 2dn_i и 2dn кратны d2, с учетом (2.2) полу-
чим, что число
2dn+1 = (х + y)2dn - ху  2dn-i + 2zn-1(z - x)(z - у)
также делится на d2, поскольку
2zn-1(z - x)(z — у) = (а2 + Ь2)п~1(а — Ь)2452 = (а2 + b2)n~id2. □
Список литературы
1657 Fermat, Р. de, Lettre a Frenicle (Fevrier 1657) et Second Defi aux
Mathematiciens, Oeuvres, Vol. II, pp. 333-335, Gauthier-Villars,
Paris, 1894.
1766 Lagrange, J.L., Solution d’un probleme d’arithmetique, Miscel-
lanea Taurinensia, 4 (1766-1769); reprinted in Oeuvres, Vol. I,
pp. 671-731, Gauthier-Villars, Paris, 1867.
1895 Jonquieres, E. de, Sur une question d’algebre qui a des liens avec
le dernier theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris, 120
(1895), 1139-1143.
1907 Bini, U., Sopra alcune congruenze, Period. Mat., (3), 22 (1907),
180-183.
1907 Bocher, M., Introduction to Higher Algebra, Macmillan, New
York, 1907.
1907 Bottari, A., Soluzioni intere in progressione aritmetica apparti-
nenti a equazione indeterminate del tipo я” — ^r-м > Period.
Mat., (3), 22 (1907), 156-158.
1907 Mirimanoff, D., Sur les congruences du troisieme degre, Enseign.
Math., 9 (1907), 381-384.
1908 Cailler, R., Sur les congruences du troisieme degre, Enseign.
Math., 10 (1908), 474-487.
1908 Cattaneo, P., Osservazioni sopra due articoli del Signor Amerigo
Bottari, Period. Mat., (3), 23 (1908), 218-220.
1909 Mirimanoff, D., Sur le dernier theoreme de Fermat, Enseign.
Math., 11 (1909), 49-51.
1913 Goldziher, H., Hatvdnyszamok Telbontdsa hatvdnyszamok ds-
szegere, Kozepiskolai Math. Lapok, 21 (1913), 177-184.
1913 Niewiadomski, R., Question J205, L’Interm. Math., 20 (1913),
98-100.
1913 M etrod, G., Sur la question 4^05 de Niewiadomski, L’Interm.
Math., 20 (1913), 215-216.
VIII.2. Различные утверждения, связанные с ПТФ
293
1917 Pollaczek, F., Uber den groflen Fermat’schen Satz, Sitzungsber.
Akad. Wiss., Wien, Abt. Ila, 126 (1917), 45-59.
1928 Perez-Cacho, L., Una proposition sobre el indicador, Rev. Mat.
Hisp.-Amer., (2), 3 (1928), 273-275
1932 Bussi, C., Sull’ultimo teorema di Fermat, Boll. Un. Mat. Ital.,
11 (1932), 267-269.
1937 Skolem, T., Zwei Sdtze uber kubische Kongruenzen, Det Kongel.
Norske Vidensk. Selskab Forhandlinger, Trondheim, 10 (1937),
no. 24, 89-92.
1941 Skolem, T., Die Anzahl der Wurzeln der Kongruenz x3+ax+b = 0
(mod p) fiir die verschiedenen Paare a, b, Det Kongel. Norske
Vidensk. Selskab Forhandlinger, Trondheim, 14 (1941), no. 43,
161-164.
1943 Bussi, C., Osservazione sull’ultimo teorema di Fermat, Boll. Un.
Mat. Ital., (2), 5 (1943), 42-43.
1944 Pierre, C., Remarques arithmetiques en connexion avec le dernier
theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris, 218 (1944), 23-25.
1946 Inkeri, K., Untersuchungen uber die Fermatsche Vermutung, Ann.
Acad. Sci. Fenn., Ser. Al, Nr. 33, 1946, 60 pp.
1949 Kapferer, H., Uber ein Kriterium zur Fermatschen Vermutung,
Comment. Math. Helv., 23 (1949), 64-75.
1952 Mihaljinec, M., Prilog Fermatovu problemu (Une contribution
au probleme de Fermat), Hrvatsko Prirodoslovno Drustvo, Gias.
Mat. Fiz. Astr. Ser. II, 7 (1952), 12-18.
1958 P6rez-Cacho, L., Sobre algunas cuestiones de la teoria de nume-
ros, Rev. Mat. Hisp.-Amer., (4), 18 (1958), 10-27 and 113-124.
1963 Pignataro, S., Una osservazione sull’ultimo teorema di Fermat,
Rend. Accad. Sci. Fis. Mat. Napoli, (4), 30 (1963), 281-286.
1969 Rameswar Rao, D., Some theorems on Fermat’s last theorem,
Math. Student, 37 (1969), 208-210.
1969 Swistak, J.M., A note on Fermat’s last theorem, Amer. Math.
Monthly, 76 (1969), 173-174.
1972 Ribenboim, P., Algebraic Numbers, Wiley-Interscience, New York,
1972.
1973 Schaumberger, N., Question 572, Math. Mag., 46 (1973), 168.
1974 Klamkin, M.S., Solution of the question 572, Math. Mag., 47
(1974), 177-178.
1979 Kiss, P. and Phong, Bui Minh, Divisibility properties in second
order recurrences, Publ. Math. Debrecen, 26 (1979), 187-197.
294 Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии
1979 Ribenboim, Р., 13 Lectures on Fermat’s Last Theorem, Springer-
Verlag, New York, 1979.
1980 Kiss, P., Connection between second-order recurrences and Fer-
mat’s last theorem, Period. Math. Hungar., 11 (1980), 151-157.
1999 Ribenboim, P., The Classical Theory of Algebraic Numbers,
Springer-Verlag, New York, 1999.
Глава IX
Эпизоды 9 и 10
Для изучения сравнения Ферма нам понадобятся периоды Гаусса и
резольвенты Лагранжа.
IX. 1. Периоды Гаусса
Пусть q — нечетное простое число, р — первообразный корень
степени q из единицы, h — первообразный корень по модулю д,
L = Q(p), В = Z[p], и пусть т — образующая группы Галуа расши-
рения L | Q, определяемая равенством т(р) = ph.
Каждый элемент а Е L может быть единственным образом
представлен в виде
9-2	9-2
а — У2 агР1	или а — У2 а3 Ph3 ’
i=0	j=0
где aj Е Q. Более того, а Е В тогда и только тогда, когда а,, oj —
целые числа.
Сравнив эти два представления, с учетом равенства
Z,-1)/2=p’“1 = -(1 + р+...+р’~2)
получим, ЧТО а0 = ~а(д-1)/2 И аг — а3 “ а(д-1)/2» гДе * — & (m°d о}
(дляг = 1,...,д —2).
Если q — 1 = /г, то определим г периодов из f членов (относи-
тельно р и т или К) следующим образом:
{До = Р + Ph" 4- Ph2r 4-... 4- рй(,-1)г,
Mi = Ph + phr+1 + Mh2r+1 + ... +
= Л'* + ph2^ + p^-1 +... + p^-2.
296	Глава IX. Эпизоды 9 и 10
Нетрудно видеть, что Mj — ~ 1- Для каждого числа j по-
ложим = pjQ при 0 jo г ~ 1 и j = j0 (mod г). Периоды р
сопряжены друг с другом, т. е. т*(м>) — p^j (при г = 0,1,...,д—2 и
для любого числа j). В частности, тг (рд) = pj при j = 0,1,..., г - 1.
Обозначим через L' подполе поля L, состоящее из элементов,
неподвижных относительно автоморфизма тг. Тогда [L : L'] =
[L' : Q] = г. Группа Галуа расширения L | L' порождается элемен-
том тг, а группа Галуа расширения L' | Q порождается элементом
т', являющимся ограничением автоморфизма т на подполе L'. Че-
рез В' обозначим кольцо целых в L'.
(1А)
(1)	Элементы {мо, Mi, • • •, Mr-i} образуют базис ^-модуля В'.
(2)	Справедливы равенства
L' = Q(Mo, • • •, Mr—1), В1 — Z[po, • • -, Mr—i]-
(3)	Элементы {1,р, р2,... ,р^-1} образуют базис В'-модуля В.
(4)	Многочлен периодов
г —1
ГД0(Х) = П(^-М<)	(1-2)
i=0
есть многочлен с целыми коэффициентами и является неприво-
димым.
Доказательство. (1) Элементы мо, Mi, • • •, Mr-i линейно незави-
симы над Z. Действительно, если а»м» — 0 (гДе ai Е 2),то, под-
ставляя вместо каждого элемента pi его выражение из (1.1), полу-
чим, что линейная комбинация элементов р, р2,..., ря равна нулю,
а значит, имеет нулевые коэффициенты. Следовательно, все ai — 0.
С другой стороны, если а € В1 С В, то мы можем записать а —
— 12i=o aiPh') гДе ai € Так как тг(а) = а, справедливо соотно-
шение
q-2	q-2
52 aiPh+r = 52 aiPh' ’
i=0	1=0
и из единственности разложения мы получаем
oq = аг —	. — Q-(/—i)r,
ai = ar+i — ... = a(/-i)r+i,
<
ar-i — о,2г-1 —
= а9-2-
IX. 1. Периоды Гаусса
297
Поэтому
г —1
а = £ед.
j=o
(2)	Легко видеть, что
L' D	и В' D Е[до,---,Мг-1]-
А обратное утверждение следует из системы (1.1).
(3)	Пусть G(X) = П{=о {^~~Ph'r) ~ многочлен, корни которого
являются слагаемыми периода д0. Тогда все коэффициенты много-
члена <7(Х) неподвижны относительно автоморфизма тг, а значит,
лежат в В A L' = В’.
Таким образом, G(X) = X^4-aiX^-1 4-. . .4-а/, и, поскольку р —
корень многочлена G(X), pf = -(Qip-f-1 4-.. .4-q/). Значит, pf есть
линейная комбинация элементов 1,р, ...,р^-1 с коэффициентами
из В1. Умножая приведенное выше соотношение последовательно
на р,р2,..., мы получим, что р^+1,р^+2,... ,р7-1 также являются
линейными комбинациями элементов 1, р, р2,..., р*^-1 с коэффици-
ентами из В’. Следовательно, каждый элемент из В = Z[p] есть
линейная комбинация элементов 1,р,... с коэффициентами из В'.
Итак, {1,р,... ,р/”1} есть система образующих Ь'-векторного
пространства L. Поскольку [L : L'] = /, система {1,р,..., р^”1}
линейно независима над L', а значит, и над В'.
(4)	Коэффициенты многочлена FMo(X) принадлежат Q, по-
скольку они неподвижны относительно автоморфизма т. Значит,
они принадлежат В' A Q = Z.
Так как FMo (до) = 0, минимальный многочлен для до делит мно-
гочлен FMo(X) и его корни сопряжены с д0- Отсюда следует, что он
совпадает с многочленом FMo(X), который, таким образом, являет-
ся неприводимым. □
Вообще говоря, неверно, что
Z[go, ...,Дг-1] = Z[po] = ... = й[дг-1].
Например, при д = 13, / = 3, г = 4и/с = 2 периоды выражаются
формулами
Мо =р + р3 + р“4,
Mi = р2 4- р6 4- р5,
М2 = Р4 + р-1 +Р“3,
Мз = р“5 4-р“2 4-р“6.
298
Глава IX. Эпизоды 9 и 10
Покажем, что из единственности представлений Д1, дг, Мз в виде
многочленов от до с рациональными коэффициентами следует, что
некоторые из этих коэффициентов не будут целыми числами. В са-
мом деле,
Мо = Mi +
MoMi — Мо 4- Mi + Мз>
MoM2 — 3 + Mi + Мз
и
Мо — MoMi + 2доМ2 — 6 4- до 4- 3д1 4- Здз
= 6 4- До 4- 3(—1 — p>Q — Д2),
так что
М2 = z(~"Mo “ 2До + 3).
о
Отсюда имеем
Mi — Мо “ 2М2 = z(2mo + Змо + 4д0 - 6),
о
Мз = -1 - Мо ~ Mi ~ М2 = |(-Мо “ 3Мо “ 5Мо)-
О
Из утверждения (1А) следует, что для заданных номеров i,j, 0
<С М С г ~ существуют, причем единственные, целые числа
riijk € Z (0 к г — 1), такие, что д;д7 = Y7k~onijkPk- Точнее,
справедливо следующее утверждение.
(1В) Если 0 к г — 1, то
г-1
M«Mi+* = nkq ~ f,
i=0
где
1,
Пк =	1,
. 0
если f четно и к = 0,
если f нечетно и к = 0 или г/2,
в противном случае.
Доказательство. Вначале вычислим произведение
IX. 1. Периоды Гаусса
299
Записав j = i + I (mod q — 1), получим
1=0 i=0
Положим
1=0
Если 14-/ifc+,r £ 0 (mod g), то существует единственное целое число
t, 0 t $ q - 2, такое, что 1 4- hk+tr = h* (mod g), поэтому равно
периоду fit- А если l + hk+ir = 0 (mod g), то = /. Таким образом,
МЫ можем записать
ДоМ* = ™kf + ТПк,О^О + ТПкДР'! + • • • + ™k,r-l Vn-l,	(1-3)
где пк 0, тк,о 0,... ,77ц>г_1	0 — целые числа. Определим
теперь nk.
(I) Если число f четно и к = 0, положим f = 2f. Тогда 1 4-
+ г = 0 (mod g), так как fr = q - 1. Значит, Ду/2 = f. С другой
стороны, если 0 г < / и д/ = /, то 1 4- Лгг = О (mod g), поэтому
Str = 0 (mod q — 1), т. е. 2ir = mrf, но mf = 2i < 2f, а значит,
m = 0 или 1. При m = 0 получим, что i = 0, а это противоречит
предположению о том, что q нечетно. Следовательно, тп = 1 и i =
ss //2. Таким образом, в этом случае Пк = 1.
(П) Если число f нечетно (значит, г четно) и к = г/2, поло-
жим i = (J - 1)/2. Тогда 1 4- /гг/2+((^-1)/2)г = 0 (mod g), поэтому
ДГ(/«1)/2 = /• С другой стороны, если 0 i < / и д/ = f, то
l+ftr/2+ir = 0 (mod
так что г 4- 2гг = mrf, и, таким образом,
m/ = 1 4- 2г < 14-2/. Отсюда следует, что тп — нечетное число, а
Значит, тп = 1 и i = (f — 1)/2.
(Ш) Рассмотрим оставшиеся случаи. Если 14-hfc-Hr = 0 (mod g),
30 2fc 4- 2ir = mrf и 0 r(mf — 2г) = 2k < 2r, а следовательно,
Ш/ — 2г = 0 или 1.
Если mf — 2i< 2f, to m — 0 или 1 и к — 0. Если m — 0, то г = 0
И fc = 0, что противоречит предположению о том, что g — нечетное
Число. Поэтому m = 1 и / четно.
Если mf = 2г 4- 1 < 2/ 4- 1, то число тп нечетно, m 2, а
Следовательно, тп = 1, число / нечетно, г = (f — 1)/2 и к = г/2, т. е.
пришли к случаю (II), рассмотренному выше. Таким образом,
• случае (III) мы получаем Пк = 0.
300
Глава IX. Эпизоды 9 и 10
Так как /дц/д ~ сумма /2 членов вида рг и каждый период со-
держит f таких членов с разными показателями г, 0	- 1
справедливо соотношение
пк + W,o +	+ •.. +	= /•
Применяя автоморфизмы тг, из равенства (1.3) получим
— Tlkf + rrik^Pi + TTCfcj/1г4д + . . . + ТП^п-Хр'г- 1 •
Следовательно, поскольку pi = —1, мы заключаем, что
Уд—n pipi+k — ^A:(q I) (^fc,0 4"	4“ • • . 4“ mkr — 1) — TlkQ f. Q
IX.2. Резольвенты Лагранжа
Мы будем использовать следующие обозначения:
•	p,q — простые числа, такие, что q — 1 = 2/ср;
•	С -- первообразный корень степени к из единицы;
•	д - первообразный корень но модулю р;
•	h — первообразный корень по модулю q\
•	* = Q(C);
•	А = Zfc];
•	а — образующая группы Галуа расширения К | Q, определя-
емая равенством сг(£) =
•	р — первообразный корень степени q из единицы;
•	£ = 0(р), В = Z[p];
•	т — образующая группы Галуа расширения L | Q, определяе-
мая равенством г(р) = ph;
•	ро,... ,Рр-\ — р периодов из 2к членов (относительно р и т):
•	L1 = О(до,- • • ,мР-1) = Q(Mo) = • • • = Q(/*p-i);
•	В' - Z[po,... ,M₽-i];
•	т' — ограничение автоморфизма т на L'.
W = L

- А'
IX.2. Резольвенты Лагранжа
301
Заметим, что LC\K — Q. Действительно, простое число q полно-
стью разветвляется в L и не разветвляется в К, следовательно, оно
одновременно разветвляется и не разветвляется в L П К, значит,
lok = Q.
Таким образом, Q(p, £) — расширение Галуа поля К с группой
ffcjiya, изоморфной группе Галуа расширения L | Q и порожденной
автоморфизмом г, который определяется равенствами
т(р) = Ph,
= С-
Аналогично получаем, что Q(p, Q — расширение Галуа поля L
С группой Галуа, изоморфной группе Галуа расширения К | Q и по-
рожденной автоморфизмом ст, который определяется равенствами
= Р,
Для удобства введем следующие обозначения.
Если t — целое число, не делящееся на д, то существует един-
ственное целое число s, 0 s <С q — 2, такое, что t = hs (mod q).
Число s называется индексом числа t (относительно h и q) и обо-
значается s = ind/i(Z) или просто s = ind(7), если первообразный
корень h выбран однозначно.
Например, ind(l) = 0 и ind( —1) = (q - 1)/2. Если t = t' (mod g),
то ind(Z) = irid(i'), и если числа t и t' не делятся на д, то ind(ft') =
= ind(f) + ind(f') (mod q - 1). Также ясно, что каждое целое число
s,	— 2, является индексом, а именно s = ind(//s).
Определим резольвенты Лагранжа	где3 а £ К, (3 Е L и
т — автоморфизм, определенный выше:
(a,fi}T = fi + ar(fi) + a2r\fi) + ... + (^ ^ (fi).	(2.1)
Будем вместо {a.fi)T писать просто (ci,fi). Элемент (a,fi) принад-
лежит полю Q(Cp)- Справедливо следующее утверждение.
(2А) Для любого целого числа п и любого элемента /3 Е Q(p)
резольвенты Лагранжа удовлетворяют условиям
= и OW).
Доказательство. Так как С₽ = 1, мы имеем
с*(М = счи+Cr^fi) + с2л2(/з) +... +	л))
= (Г Л).
302
Глава IX. Эпизоды 9 и 10
Значит, т((Сп,/?)р) = (т(Сп,/?))р = Спр  ((п,/?)р = (СП,Ж По-
скольку элемент (£п,/3)р неподвижен относительно автоморфиз-
ма т, мы получаем, что (£n,/?)p € 0(C)- О
Рассмотрим резольвенты (Cn,pm). Используя индексы, введен-
ные выше, мы можем записать
q-2	q-1
(с, рт}т = 52 сп“ртЛ“ = 52 cnindhW pmt.	(2.2)
и=0	t=l
Комплексное число, сопряженное с (Сп,рт)г, есть (Сп,рт)т —
— (С~п>Р~тп')т- Отметим следующий результат.
(2В) Во введенных выше обозначениях при п = 1,2, ...,р — 1
справедливо неравенство
(Г,р)г = (Сп,до)г-Ио
u(Cn,p)TeL'.
Доказательство. Используя соотношение (2.2), получим
(С",р)г = р + c,nph +	+ • • • + с*’-2)"/’-2	(2-3)
= P+Qnph +... + c(₽-1)n/’”1
+ Phr + c Phr+1 +... + c(₽-1)n/2”1
+	+ Cn	+	+
= мо + Cnpi +... + C(p-1)nMP-i
= (С,до)г<еГ.
Кроме того, (Сп,До)т' / 0- Действительно, периоды До?Д1>---5
Др-i, являющиеся базисом в L' | Q, будут базисом и в £'(£) | Q,
поскольку это расширение имеет степень р. □
Теории периодов Гаусса, резольвент Лагранжа и более общих
сумм корней из единицы очень богаты и имеют важное значение.
Отметим результаты, которые понадобятся нам в дальнейшем.
(2С) Если р / п uq)(m, то {Сп,рт} = (£n, p)£“nind(m). В част-
ности, (Сп,рп) — (Сп,р)С~пг-
Доказательство. Воспользуемся соотношением
9-1
(СП,РШ) = Qnind(t)pmt
IX.2. Резольвенты Лагранжа
303
Поскольку ind(tm) = ind(t) 4- ind(m) (mod q — 1), мы получаем
9-i
(C”	nind(m) Qnind(tm)ptm
t=l
9-1
__ q—n ind(m)	ind(s)^s
s=l
= rnind(m)(C,p). □
(2D) Еслир %п, то (Cn,p)(( п,р) = q.
Доказательство. Нетрудно видеть, что
/9-1	\ /9-1
^-nind(e)^
.s=l
(с,р)(гп,р> =
\t=l
д-1 д-1
Пусть г определяется из сравнения t = rs (mod q) для каждого s.
Так как p | (g — 1), мы получаем, что С7-1 = 1, а следовательно,
приведенная выше сумма равна
д-1 д-1
Используя равенство q — 1 = 2кр, получим
д-1	д-1	р
£	= £ Г = 2к £ Г = о,
г=1	т=1	т=1
таким образом, добавив сумму J2JL1 £nind(r) = 0, мы можем запи-
сать
д-1 д-1
(сп,р)(гп,р) = ££eind(n)/>(r+1)
д-1	/д-1
= ^nind(r) I р(г+1).
r=l	\s=0
Ho
Jr+1)« = f 9, еслиг = д —1,
?	10,	если 1 < г < q
s=0	k
304
Глава IX. Эпизоды 9 и 10
а следовательно,
(СП,р)(СП,р) = ^nind(g-l) = g^nind(-l) = g^n(g-l)/2 = ^пкр = q
□
(2Е) Если р )(т, то |(£m,р)\ = y/q.
Доказательство. Как следует из результатов (2D) и (2С), квад-
рат абсолютного значения величины Хт = (Сш,р) есть
|Ат|2 = АтА^=(Г,р)(Гт,Р'1)
= (Cm,P)(Cm,P)C7nind(-1) =g(m(’-1)/2
= qQmkp = q. □
Выразим периоды Гаусса через резольвенты Лагранжа.
(2F) Если р / п, то
1 Р-1
Mn	=	-£rjn(C,p).
Доказательство. Вычислим	правую	часть этого равенства:
р—1	р—1	/9—2	\
j=0	j=0	\u=0	/
p-1 q-2
phu
j=0 и=0
р—1q—2—n
j=0 t=-n
q—2—п
. Р-1
A*+n I
t=—n	\j=0 j
Ho C* ~ P ПРИ P И и Sj=o — 0 в противном случае. Таким
образом, приведенная выше сумма равна
(q—2—п	\
ph‘+n j = wn- °
i= — n,p|t	)
Глава X
Локальная и модулярная
проблемы Ферма
В этой главе рассматриваются некоторые естественные видоизме-
нения проблемы Ферма. В первом разделе изучаются решения в це-
лых g-адических числах, а далее рассматривается сравнение Ферма.
Х.1. Локальная проблема Ферма
Наша цель — показать, что для каждого простого числа q уравнение
Ферма имеет ненулевые решения в целых д-адических числах. Для
этого мы воспользуемся леммой Гензеля.
(1А) Для любых простых чисел q и р уравнение Хр 4- Yp = Zp
имеет нетривиальное решение в целых q-адических числах.
Доказательство. При р = 2 утверждение тривиально (см.гл.1,
утверждение (1А)). Будем считать, что р 2, и для удобства рас-
смотрим уравнение Хр + YP + ZP = O.
Случай 1: q р.
Пусть F(X) = Хр 4- qp - 1. Тогда Хр 4- qp - 1 = Хр - 1 =
= (Х-1)(Хр-14-Хр“24-. . .4-Х4-1) (mod q). Поскольку 1 (mod q) не
является корнем многочлена Хр~г 4- Хр~2 4-... 4- X 4-1 по модулю q,
по лемме Гензеля (см. гл.У, утверждения (1Т) и (1U)) существует
целое д-адическое число а, такое, что а = 1 (mod q) и aq 4- qp 4-
4-(—1)р —0.
Случай 2: q = р.
Пусть F(X) = Хр 4- рР - 1 и G0(X) = X - 1, Н0(Х) = Хр~г 4-
4- Хр~2 4-... 4-X 4-1. Из утверждения (4В) гл. II следует, что резуль-
тант многочленов Go и Яо равен R — Но(1) — р, т. е. vp(R) — 1. Так
как Go(X)Ho(X) = Хр - 1, мы получаем, что F(X) = G0(X)H0(X)
(mod рР). Но р 3 > 2vp(F), поэтому мы можем применить лем-
20-27
306 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
му Гензеля (см. гл. V, утверждения (1Т) и (1U)). Следовательно,
существуют приведенные многочлены G(X) и Н(Х) из ZP[X], та
кие, что G(X) = G0(X) (mod рР"1), Я(Х) = Н0(Х) (modpP-1)
и F(X) = G(X) • Н(Х). Поэтому G(X) = X - а, где а - це-
лое р-адическое число, а = 1 (modpp~1), а ф 0 и F(a) — 0, т. е.
ар+рр + (-1)р = 0. □
В процессе доказательства мы получили решения, одно из ко-
торых не является единицей в поле g-адических чисел. Поэтому
возникает естественный вопрос: всегда ли существуют решения
в g-адических единицах? В дальнейшем мы получим результаты,
которые можно найти в работе Клёсгена 1970 г.
(1В)	Пусть п 1, и пусть р — нечетное простое число. Тогда
следующие условия равносильны.
(а)	Существуют целые числа x,y,z, не делящиеся на р, такие,
что хрП 4- урП 4- грП = 0 (mod pn+1).
(b)	Для каждого т 0 существуют целые числа xm,ym,zm, не
делящиеся нар, такие, что х^ 4-р*£ +	= 0 (mod
и	(mod pm+1),	(mod pm+1),	= zm
(mod pm+1).
Доказательство. Достаточно показать, что из условия (а) следу-
ет условие (Ь). Воспользуемся индукцией по т. Если справедливо
сравнение х£ + у£ + z£ = 0 (mod pn+1+m), где х^Ут^т — Це-
лые числа, не кратные р, мы можем записать, что х£ 4-р}£	=
— г/рп+1-ьт^ где г' 2. Так как р / zm, существует целое чис-
ло г, удовлетворяющее условию rzpl~1 = rf (modp). Положим
^тп-Ь1 “ Ут+l ~ Утп И Zm+i — Zm Грт~^^. Тогда
Zpn . = Zpn - Zpn~ 1rDn+1+m 4- ГрП^2рП"2Г2Ю2(1+гП)
zm+l zm zm 'P	' \ 2 7	' P
- (РП\ 2Pn-3r3„3(l+m) ,
\3jm P
= z£ - z£-1rpn+1+m (mod pn+2+m),
и, поскольку m 0, p 2, число pn+2+m делит все слагаемые, за
исключением двух первых. Итак, мы получаем
ХРП уРП + zPn + 1 = ТРП уРП 1 zPn _ zPn-lrnn+l+m
Утп+1	— хтп Утп + zm zm rP
Х.1. Локальная проблема Ферма
307
= (г1 -
= 0 (mod рп+2+тп). □
Заметим, что фактически мы можем положить хт = х0, ут = у0
для каждого т 0. В дополнение получим аналогичный результат
при р — 2.
(1С) Пусть п 1. Тогда следующие условия равносильны.
(а)	Существуют нечетные числа x,y,z, такие, что
(mod 2п4*2).
(b)	Для каждого целого числа т 1 существуют нечетные чис-
ла Xm'ym'Zm, такие, что х^ 4- у% + z% = 0 (mod 2n+2+m)
Xm+i — хт (mod 2 + ), ут_|_i = ут (mod 2т+ ), Zm+i — %т
(mod 2m+1).
Доказательство совершенно аналогично. Достаточно заметить,
что если Zm+x = zm — r2m+1, то
< -4‘-‘--2"+I+”+ (2”)4"-V2!<»-"»
/оп\
"( 3 )4П"3г323(1+ш) + ...
= 4” - z^~1r2n^Tn (mod 2n+2+m),
так как 2n-1+2(1+m) делит все слагаемые, кроме двух первых, и
n4-24-m<Jn—14- 2(1 4- m), поскольку т 1. □
Для решений уравнения Ферма в р-адических единицах спра-
ведлив такой результат.
(1D) Пусть р — нечетное простое число. Тогда следующие усло-
вия равносильны.
(а)	Существуют единицы а, /3, у € %р, такие, что ар+/3Р+ур = 0.
(Ь)	Существуют целые числа x^,y^,z^, не делящиеся на р, та-
кие, что Xq 4- pj 4- Zq = 0 (mod р2).
(с)	Для каждого п 0 существуют целые числа xn,yn,zn, не
делящиеся на р, такие, что 4- ур 4- zp = 0 (mod рп4-2)
и zn+1 = хп (mod pn+1), pn+1 = уп (mod pn+1), zn+i = zn
(mod pn+1).
Доказательство, (a) => (b) Представим числа a, (3, 7 в виде о —
= Xq 4- a'p, /3 = y0 4- /З'р, 7 = ZO 4- 7zp, где x0, y0, z0 — целые числа,
308 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
0 $ xo,yo,zo р — 1, и а'./З'.у' € Zp. Так как ot, fl, у являются
единицами, р / xoyoZQ. Из равенства ар 4- /Зр 4- 7Р — 0 следует, что
Хо+Уо +2о =° (mod Р2)-
(Ь) => (с) Это было доказано в утверждении (1В).
(с) => (а) Последовательности целых чисел (zn)n^o, (Рп)п^о,
(^п)п^о р-адически сходятся, поскольку zn+i = хп (modpn+1),
Уп+1 = уп (mod pn+1),zn+i = zn (modpn+1) для каждого п 0.
Пусть а = limxn, fl — lim рп, 7 = limzn. Так как хр 4- ур 4- zp = 0
(mod рп+2), в пределе получим ар 4- flp 4- 7Р = 0. □
Из доказанного следует, что условия утверждения (1D) эквива-
лентны следующему.
(а7) Существуют целые числа х,р, не делящиеся на р, и единица
7 6 Zp, такие, что хр 4- ур 4- 7Р = 0.
Аналогичным образом доказывается и такой факт.
(1Е)	Пусть q,p — различные простые числа. Тогда следующие
условия равносильны.
(а)	Существуют единицы a,fl,y£ Z9, такие, что ap+flp+yp — 0.
(Ь)	Существуют целые числа xo,yo,zo, не делящиеся на q, та-
кие, что Xq 4- рор 4- Zq = 0 (mod q).
(с)	Для любого п 0 существуют целые числа xn,yn,zn, не
делящиеся на q, такие, что Хп + Уп + 2п — 0 (mod qn+1)
и xn+i = хп (mod gn+1), pn+i = уп (mod gn+1), zn+1 = zn
(mod (7n+1).
Доказательство, (a) => (b) Представим числа a,/3,7 в виде a =
= Xq 4- a'q, fl = y0 4- fl'q, 7 = zq 4-j'g, где xQ,yo,zo — целые числа,
o XQ,y0,ZQ q - 1 n a', fl', 7' € Z9. Поскольку a, fl, у — единицы,
q X ^oPo^o• Из равенства ap 4- flp 4- 7P = 0 следует, что x% 4- pj 4- z% = 0
(mod q).
(b)	=> (с) Докажем это утверждение индукцией по п. Для п = 0
утверждение верно. Предположим, что оно справедливо для неко-
торого тп 0. Пусть xm,ym,zm — целые числа, не делящиеся на q.
такие, что хрт + у^ +	= 0 (mod qm+1). Тогда хрт + У^ +	=
— г/дТп+1, где г/ _ целое число. Так как q X zm, существует целое
число г, удовлетворяющее сравнению rpz^1 = г' (mod q). Поло-
жим xm+i = хт, pm4_i = ут и = zm - rqm+1. Следователь-
н°, Zm+1 = (tm - rqm+1)P = z₽ - pzP^rq™-1-1 (mod qm+2) и xpt+1 +
+ Ут+1+гт+1 =Xm+y?n + zm-Pzmlrqm+1 = (r1 - pZ^^q^1 =0
(mod Qm+2).
Х.2. Сравнение Ферма
309
(с)	=> (а) Последовательности целых чисел (xn)n^0, (?/п)п>0
(Zn)n^o <?-адически сходятся, поскольку xn+i = хп (mod Qn+1),
yn+i = Уп (mod Qn+1),zn+i = zn (mod gn+1) при всех n 0. Пусть
a = limxn, 0 - limyni у = limzn. Так как xpn 4- yp 4- zp = 0
(mod <7n+1), в пределе получим ap 4- 0P 4- 7P = 0. □
Так же как и для утверждении (1D), условия утверждения (1Е)
эквивалентны следующему.
(а") Существуют целые числа х, t/? не делящиеся на q, и единица
7 € такие, что хр 4- ур 4- 7Р = 0.
Отметим, что уравнение Ферма (при п 3) представляет собой
интересный пример уравнения, у которого существуют нетривиаль-
ные решения в любом g-адическом поле (см. утверждение (1А)) и
лишь тривиальные решения в целых числах, что было доказано
Уайлсом.
Список литературы
1970 Klosgen, W., Untersuchungen uber Fermatsche Kongruenzen,
Gesellschaft Math. Datenverarbeitung, No. 36, 1970, 124 pp.,
Bonn.
X.2. Сравнение Ферма
Мы будем изучать следующие сравнения:
Хп 4- Yn 4- Zn = 0 (mod q\	(2.1)
Хп4-Уп = Zn (mod g),	(2.2)
где q — нечетное простое число, n 0 и q не делит n.
Пусть
N(n, q) — #{(x, 7/, z) | 1 x, y, z < g, xn 4- yn 4- zn = 0 (mod q)}
и
^'(n,^) ~ #{(я,3/, г) \ 1 Х)У, z < q, xn + yn = zn (mod g)}.
Ясно, что если n — нечетное число, то Ntn^q) = N^n^q). В этой
связи рассмотрим следующие задачи.
(1)	Определить, когда величины N(n,q) и N'(n,q) больше нуля.
(2)	Найти верхние и нижние границы для N(n,q) и N'(n,q).
(3)	Вычислить, если это возможно, значения N(n,q) и N’(ji,q).
310 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Напомним (см. гл. IV, утверждение (2А)), что если НОД(п,д -
— 1) = 1 (значит, п — нечетное число), то 7V(n,g) — N'(n,q) > 0.
В утверждении (2D) гл. IV мы также показали, что если числа р и
q — бкр 4- 1 простые, то N(p, q) > 0.
Следующее утверждение доказано Либри (1832, с. 275), Пепеном
(1880), Пелле (1887) и Мэтьюсом (1895).
(2А) Пусть р — простое число. Если существует бесконечное
количество простых чисел q, таких, что N(p,q) = 0, то послед-
няя теорема Ферма верна для показателя р.
Доказательство. Предположим, что существуют ненулевые це-
лые числа х, у, z, такие, что хр 4- ур 4- zp — 0. Пусть q — любое про-
стое число, удовлетворяющее условию q > max{|x|, \у\, |z|}. Тогда
хр 4- ур 4- zp = 0 (mod q) и N(p,q) > 0. Таким образом, N(p, q) = 0
только для конечного количества простых чисел q, что и доказыва-
ет утверждение. □
Этот результат позволяет свести доказательство последней тео-
ремы Ферма к доказательству того, что N(p,q) = 0 для бесконеч-
ного количества чисел q. На самом деле мы докажем обратное, а
именно, что для каждого р существует простое число Qo(p)? такое,
что если q Qo(p), то N(p, q) > 0.
Прежде чем приступить к доказательству этого утверждения,
приведем некоторые из многочисленных результатов, связанных со
сравнениями (2.1), (2.2).
Лежандр (1830) показал, что V(3, 7) = V(3,13) = 0 и V(5,g) =
= 0 для q = 11,41,71,101.
Либри написал ряд статей (1824, 1832), в которых был при-
веден метод вычисления количества решений для весьма общего
вида сравнений. Либри вычислил 7V(3,g) для многих простых чи-
сел q = 1 (mod 3) и показал, что существует число <7о(3), такое, что
если q Qo(3), то 7V(3,g) > 0. Стоит отметить, что некоторые из
вычисленных им значений оказались неверными. Такие же резуль-
таты были опубликованы Пепеном в 1880 г. (см. также его статью
1876 г.).
Так как q = 1 (mod 3), число —3 является квадратом по моду-
лю q и существуют целые числа 1,т одинаковой четности, такие,
что 4g = Z2 4- 3m2. Это следует из разложения числа q на множи-
тели в поле Q(\/—3). Поскольку число —3 является квадратом по
модулю q, мы можем записать q = аа', где а — (I 4- т\/—3)/2, а' =
Х.2. Сравнение Ферма
311
2= (/ — m-/^3)/2 и I ,т — целые числа одинаковой четности. Таким
образом, 4g = I2 + 3m2. Выберем представление с минимальным
значением |f|. Заметим, что число I не делится на 3 и мы можем
предполагать, что I = 1 (mod 3) (если это не так, то сделаем заме-
ну I на —/), следовательно, I однозначно определяется из введенных
выше условий. Пепен показал, что
7V(3,g) = (g-l)(g-8 + 0.	(2.3)
Приведем несколько примеров:
28
52
76
124
= 1 + 3 х З2
= 52 + 3 х З2
= I2 + 3 х 52
= 42 + 3 х 62
7V(3,7)
N(3,13)
N(3,19)
N(3,31)
I > -2^q, то N(3, g) > Jq(Jq - 2) - 8.
= 6(7-8+1) = 0;
= 12(13 - 8 - 5) = 0;
= 18(19-8 + 1) = 216;
= 30(31 — 8 + 4) = 810.
доказал, что если
Пепен
Отсюда следует, что если q 19, то N(3,g) > 0.
Либри установил, что для любого простого числа р существует
число <7о(р), такое, что если q до(р), то N(p,q) > 0, однако он
не нашел границы для N(p,q) и способа вычисления до(р). Пелле
в 1887 г. использовал другой метод для получения такого же резуль-
тата, и позднее (в 1911 г.) он установил границы для N(p, g), но они
оказались ошибочными.
В 1837 г. Лебег рассмотрел произвольные сравнения для много-
членов
F(Xi,...,Xs) = 0 (mod g),	(2.4)
где s 2, g — нечетное простое число, F € Z[Xi,..., Xs]. Пусть
N — #{(zi,..., xs) | 1 Xi g — 1 для всех i — 1,..., s,
таких, что F(xi,..., xs) = 0 (mod g)},
-/Vq = #{(x],... , xs) | 0 Xi q — 1 для всех i = 1,..., s,
таких, что F(j?i ,..., xs) =0 (mod g)}.
В многочлене Fq~1 через А обозначим сумму коэффициентов
всех одночленов еХ[' ... Xes3, таких, что g — 1 делит все е^, а через
А) — такую же сумму, но с дополнительным условием, что все е?
больше нуля.
Лебег показал, что N и No удовлетворяют условиям
No = (~l)s+1A0 (mod g),
N = (-l)s(l - A) (modg)
312 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Он применял свой метод к сравнениям вида
А1ХГ + ... + ASX? = 0 (mod g),	(2.5)
где п 2, s 2, каждое Ai — ненулевое целое число, q — нечетное
простое число, q = 1 (mod п). Лебег выразил количество решений
N в терминах периодов кругового уравнения. Он подробно изучил
следующие частные случаи сравнения (2.5): s = 2, п = 2; s = 3,
п = 3; s = 3, п = 4. Для сравнения (2.1) при п = 3 Лебег повторил
некоторые из результатов Либри.
Дальнейшие результаты, посвященные числу решений сравне-
ния (2.5), опубликованы в работе Лебега 1838 г. В 1909 г. были опуб-
ликованы две статьи Диксона, а также статьи Корнаккьи и Гурви-
ца, в которых они рассматривали это сравнение.
Корнаккья тщательно исследовал различные частные случаи
сравнений (2.1) и (2.5) и получил много точных результатов, неко-
торые из которых были прежде указаны Лебегом, Пепеном и Пелле.
(а)	Корнаккья доказал, что при п = 2 и q = 1 (mod 4) справед-
ливо равенство
N'(2,q) = <
g-9
8 ’
g- 5
8
если 2 есть квадрат по модулю q,
в противном случае,
а при п = 2 и q = —1 (mod 4) имеет место равенство
8 ’
?-з
8
N\2,q) = <
если 2 есть квадрат по модулю д,
в противном случае.
(Ь)	При п = 3 и q = 1 (mod 3) Корнаккья заново получил резуль-
тат Пепена и показал, что если 7V(3, д) = 0, то q = 7 или 13.
(с)	При п = 4 и q = 1 (mod 4) Корнаккья вычислил 2V(4, д). Кро-
ме того, он показал, что АГ'(4, д) = 0 в точности тогда, когда
q = 11,17,29,41.
(d)	Значение 2V'(6,g) при п = 6 и q = 1 (mod 6) также было
определено в статье Корнаккьи. Кроме того, он доказал, что
АГ (6, д) = 0 только при д = 7,13,19,43,61,97,157,277 и, с дру-
гой стороны, для сравнения X6 + У6 + Z6 = 0 (mod g) равен-
ство АГ (6, g) — 0 выполняется лишь при g = 7,13,31,61,67, 79,
97,139,157,223,277.
Х.2. Сравнение Ферма
313
(е)	При п = 8 и q = 1 (mod 8) Корнаккья получил верхнюю и
нижнюю оценки для N'^q). Кроме того, он доказал, что
Х'(8,^) = 0 лишь при q = 17,41,113, и для сравнения
X8 4- У8 + Z8 н О (mod q) установил, что 7V(8,(?) = 0 толь-
ко в случае q — 17,41,113,137,233,761.
Диксон в своих статьях (1909) рассмотрел сравнение (2.1). Его
метод, использующий периоды круговых уравнений, позволил най-
ти верхнюю и нижнюю границы для N(p, q), а также верхнюю гра-
ницу для ^о(р), а именно
<7о(р) < (Р - 1)2(р - 2)2 + бр - 2.
В частности, Диксон показал, что Х(5,д) = 0 в точности тогда,
когда q — 11,41,71,101, a N(7, q) = 0 лишь при q = 29,71,113,491.
Используя вычисления Кэри (1893) для квадратов и произведений
периодов, Диксон применил свой метод к сравнению X4 4- У4 = Z4
(mod д').
В работе Гурвица (1909) изучается сравнение более общего
вида (2.5) при п = р, где р — простое число. Он рассмотрел семей-
ство таких сравнений для всевозможных значений коэффициентов
и указал соотношения, которым должны удовлетворять количества
решений разнообразных сравнений из этого семейства. С помощью
этих соотношений Гурвиц нашел верхнюю и нижнюю границы для
числа решений сравнения
АХР 4- BYP 4- CZP = 0 (mod q),	(2.6)
где А, В, С — ненулевые целые числа. Он также определил положи-
тельное число 9о(р) (зависящее от уравнения (2.6)), такое, что если
q <7о(р), то уравнение (2.6) имеет решение (x,t/,z), удовлетворяю-
щее условию 1 х, у, z q — 1.
В 1917 г. Шур доказал, что для любого п 2 при q (п!)е 4- 1
сравнение Хп -I- Yn 4- Zn = 0 (mod q) имеет такое решение (z,?/,z),
что 1 т, т/, z q— 1. Доказательство Шура основано на следующей
интересной комбинаторной лемме.
Лемма 2.1. Пусть п}1 и N} (п!)е 4-1. Пусть, далее, множе-
ство чисел {1,2,... ,ЛГ} разбито на п непересекающихся подмно-
жеств Li,... ,Ln. Тогда существует по крайней мере одно подмно-
жество Li, такое, что если т и т' € Li, т < т‘, то т! — тЕ Li.
В дальнейшем уравнения
АХе + BYf + CZ9 = 0
314 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
и
+ А2Х”2 + ... + А3Х”' = О,
с коэффициентами из конечного поля с qd элементами (d 1) и.
возможно, различными показателями были объектом многочислен-
ных исследований (см. работы Митчелла (1917), Вандивера (1944,
1945, 1946, 1947, 1948, 1949, 1954, 1955, 1956, 1959), Хуа и Вандиве-
ра (1948, 1949), Э. Лемера и Вандивера (1957)). Полный список ли-
тературы, включающий сравнительно недавние работы, читатель
может найти в соответствующем разделе журнала «Mathematical
Reviews».
В своей работе 1949 г. А. Вейль развернул историческую па-
нораму развития первоначального метода Гаусса для сравнения
АХ3 — BY3 = 1 (mod q), где q — простое число, q = 1 (mod 3),
основанного на суммах Гаусса. Эти идеи впоследствии были при-
менены к широкому классу сравнений. Они использовались Харди
и Литлвудом в связи с проблемой Варинга, Хассе выразил связь
между гипотезой Римана для полей функций и различными ти-
пами тригонометрических сумм, А. Вейль опубликовал блестящие
окончательные результаты по этому вопросу (1928).
Здесь мы отметим следующий результат (см. Вандивер (1946,
с. 47-52); Хуа и Вандивер (1948, с. 258-263)), который непосред-
ственно связан с предметом нашего исследования.
Пусть s 1, Ai,..., А3 — ненулевые целые числа, ni,...,ns —
целые числа, q — нечетное простое число, и пусть di = НОД (g — 1,
|п,|) > 1 для i = l,...,s. Обозначим через N количество решений
сравнения
AiX?1 + ... + ASX?‘ = 0 (mod q)	(2.7)
в целых числах (zi,..., zs), 1 q — 1 (при г = 1,..., з). Тогда
~	- di ... d3qs/2 <N < (g~1)a + di ... d3qs/2.
Q	4
В частности, существует положительное число go, такое, что при
q д0 справедливо неравенство N > 0. Другое доказательство этой
теоремы с использованием теории групповых характеров дано Фей-
том (1967).
Теперь, после этого обзора результатов, которые связаны со
сравнением Ферма, мы докажем теорему Диксона. Для этой цели
напомним следующие обозначения и факты из гл. IX.
Предположим, что р 3 и g = 2кр 4- 1 — простые числа.
Х.2. Сравнение Ферма
315
Пусть
д — первообразный корень по модулю р,
£ — первообразный корень степени р из единицы,
h — первообразный корень по модулю q,
р — первообразный корень степени q из единицы.
Запишем р периодов, состоящих из 2к членов в поле Q(p):
/	I hP I h2P .	.	b(2fc-1)p
Mo = P 4- P 4- P 4- ... 4- p ,
h ।	/ip+1	।	/i2p+1	।	।	/l(2fc-1)₽+1
Pl	- p	+ pn	+ pn	+... + pn	,
*	ft- , hr+i , ft2p+< ,	, Л(2<—!)»+•	(2-8)
Pi	= p	+ p	+p	+ •.. + p	,
hp~1 । ft2P-1 । ft3P-1 ।	।	ft’-2
I, Pp-l = pn + pn + pn + ... + pn
В гл. IX мы для каждого номера j = 0,1,..., р — 1 определили
резольвенты Лагранжа:
д-1
A, = (C<p) = ^Cind’'WPt,	(2-9)
t-1
где indh(t) = s, O^s^g — 2, определяется из соотношения t = hs
(mod q). В частности, Ло = (1,р) = Р* = “1-
Для удобства напомним также следующие результаты (см. ут-
верждения (2D), (2Е), (2F) гл. IX).
При j = 1,..., р — 1 мы имеем
= Чч	(2.10)
__	|А,|2 = ЛД7 = ?	(2.11)
(Aj — комплексное число, сопряженное с А,),
1 Р-1
Pi = -£<Tj%.	(2-12)
Дадим упрощенное доказательство теоремы Диксона, предложен-
ное Клёсгеном (1970). Во-первых, выразим величину N(p,q) через
периоды pi.
(2В) Справедливо равенство
N(p, q) =
(?-1)3 + (q- i)p252^
i=0
316 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Доказательство. Для начала заметим, что для целых чисел
x,y,z, удовлетворяющих условию 1	q — 1, выполняет-
ся равенство
( 0, если хр 4- ур -F zp 0 (mod q),
[ q, если хр 4- ур 4- zp = 0 (mod q).
Таким образом,
q-1	/q-l	\
qN(p,q) = £
x,y,z=l \t=0	/
Q-l /	Q-l	\
= El	E ptxPptyPptzP]
t=0 \x,2/,z=l	/
9-l /q-l	\ 3
t=0 \x=l	/
q-l	/q-l	\3
t=l	\x=l	/
Если t = h' (mod q) и x = № (mod q} (где 0 i, j q — 2), to
EXi PtXP = E’=0 Ph +p’ = PP*' TaK Pj = Pi nPH j =1 (mod p)>
a q = 2kp 4-1, мы получаем
p-i
q^(p,q) = (q-1)3 + 2fc52p3M3>
i=0
Поэтому
А теперь докажем теорему Диксона.
(2С) Справедливы следующие утверждения:
(1)	(q - l)[g + 1 - Зр - {р - 1)(р - 2)y/q} < N(j>, q) <
<(q~ 1)[9 + 1 - 3p + (p - l)(p - 2)y/q\;
(2)	при q^ (p — l)2(p — 2)2 + 6p — 2 сравнение (2.1) имеет нетри-
виальное решение.
Х.2. Сравнение Ферма
317
Доказательство. (1) Из утверждения (2В) и равенства (2.11)
следует, что
(9_l)3 + ^jg g
«=о ji ,ji ,js =0
„ _ !	p-1	/р-1
(9—1)3 + ^—— £ А,ЛЛ-, (E<"<U,+'3+j,)
Ho
g(._i(jl+j2+js) = ( 0, если Д + j2 + J3 o (mod p),
Ip, если ji + j2 + j3 = 0 (mod p).
t=0	4
Поэтому
N(p,q) = -
Q
p-i
(Q ~ I)3 + (Q - 1)	52	^>2^3
Jl .J2.J3=°
J1+J2+J3=° (mod ₽)
Так как Ao = — 1, из соотношения (2.9) следует, что последняя сумма
произведений AnAj2Aj3 равна
p-i
Aq 4- ЗА0 5 2	S = — 1 — 3^(р — 1) 4- S,
гДе S = Ед~/2„;3=1 Ад Aj2Aj3. Следовательно,
N(p, 9) = ^g[(9 - I)2 - 1 - 39(р - 1) + S],
а значит,
= 1(92 _3qp+q + S) =q-3p+l + -S
9-19	9
И
^^-(9 + 1-Зр) =i|S|.
9-1	9
318 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Из равенства (2.10) имеем |Aj | = y/q. Заметим также, что для
каждого Ji,l $ 7i р — 1, существуют в точности р — 2 пары
(72,7з), 1 $ 7*2,7з $ Р~ 1, такие, что 7'1 4-72 -+-7'3 = р или 2р, а именно
(1,P-J1-1),	(p-ji-1,1) и (p-l,p-ji + l), (р-2,
р—j’i+2),..., (р—ji + l,p—1). Следовательно, |S|	(р—1)(р—2)<73/2,
поэтому
^^-(9 + 1-Зр)к(р-1)(р-2)^,
и мы можем заключить, что
(<? - 1)[<7 + 1 — Зр - (р - 1)(р — 2)y/q] < N(p,q)
< (? - 1)[9 + 1 - Зр + (р - 1)(р - 2)^/9]-
(2) Докажем следующее более общее утверждение, которое
понадобится нам в дальнейшем: если г/ — целое число, 0 и
q (р - 1)2(р - 2)2 4- 2(ру - 1), то q 4-1 - (р - 1)(р - 2)^ - ру 0.
Если в этом утверждении положить у = 3 и воспользоваться нера-
венством (1), мы получим справедливость утверждения (2).
Как легко проверить, из неравенства
а2 + 2/3 ау/а2 4- 4/3
(а и Р — вещественные числа, такие, что а2 4- 2/3	0) следует, что
при а = (р — 1)(р — 2), Р = ру — 1 справедливо неравенство
(р - 1)2(р - 2)2 + 2(рр - 1)______________________
(р - 1)(р - 2)\/(р - 1)2(р - 2)2 + 4(рр - 1).
Положим <5 = (р—1)2(р—2)24-4(рр—1) > 0 и рассмотрим многочлены
/(Т) = Т2 — (р — 1)(р — 2)Т — (рр — 1)
с дискриминантом 6.
Достаточно показать, что
(р — 1)(р — 2) 4-л/б
х-	2
Действительно, из этого неравенства следует, что f(y/q) 0, т. е.
<?4-1 — (р — 1)(р — 2)y/q — ру 0. Но, как легко видеть,
4?	4[(р - 1)2(р - 2)2 + 2(рр - 1)]
2[(р - 1)2(р - 2)2 + 2(рр - 1) + (р - 1)(р - 2)л/б]
= (р — 1)2(р — 2)2 + <5 + 2(р — 1)(р — 2)\/й
= [(р-1)(р-2) + ч/й]2,
Х.2. Сравнение Ферма
319
а значит, выполняется неравенство y/q ((р — 1)(р — 2) 4- \/j)/2, что
и требовалось доказать.
Из утверждения (1), подставляя v — 3, найдем
N(p, q)> (q- l)[(g + 1) - Зр - (р - 1)(р - 2)y/q]	0. □
Верхние границы для числа (р), предложенные Диксоном, не
являются точными, как это видно из следующих вычислений:
оценка Диксона
до(3) 20
<7о (5)	172
9о(7)	940
фактическое значение
д0(3) = 13
до (5) = 101
до (7) = 491
Добавим, что в 1916 г. Мантель показал, что если N(p, q) — 0, то
число q должно иметь вид q = 6тр/(р — 3) — 1 (где т — некоторое
целое число).
Принимая во внимание утверждение (2С) и результат (2В)
гл. IV, получим, что если к 1, q = 2кр 4- 1 — простое число
и О (р — 1)2(р ~ 2)2 4- 6р — 2, то q дртлт определитель Вендта
W2k. Таким образом, для любого простого числа р существует не
более чем конечное количество натуральных чисел к, таких, что
число q = 2кр 4- 1 является простым и не делит W2k. Неизвест-
но, существует ли в действительности ровно одно простое число q
с вышеуказанным свойством для любого простого числа р (см. Фли
Сен-Мари (1890) и Ландау (1913)).
Список литературы
1824 Libri, G., Memoires sur divers points d’analyse (art. cinquieme),
Mem. Acad. Roy. Turin, 28 (1824), 152-280.
1830 Legendre, A.M., Theorie des Nombres (3е edition), Firmin Didot
Freres, Paris, 1830; reprinted by A. Blanchard, Paris, 1955.
1832 Libri, G., Memoires sur la theorie des nombres, J. Reine Angew.
Math., 9 (1832), 54-80, 169-188, 261-276.
1832 Libri, G., Memoire sur la resolution de quelques equations indet-
erminees, J. Reine Angew. Math., 9 (1832), 277-294.
1837 Lebesgue, V.A., Recherches sur les nombres, J. Math. Pures
Appl., 2 (1837), 255-292; 3 (1838), 113-144.
1876 Pepin, T., Etude sur la theorie des residues cubiques, J. Math.
Pures Appl., (3), 2 (1876), 313-324.
320 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
1880 Pepin, Т., Sur diverses tentatives de demonstration du theoreme
de Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris, 91 (1880), 366-367.
1887 Pellet, A.E., M emoire sur la theorie algebrique des equations.
Bull. Soc. Math. France, 15 (1887), 61-102.
1890 Flye Sainte-Marie, C., Question 1339, L’Interm. Math., 5 (1890),
195.
1893 Carey, F.S., Notes on the division of the circle, Quart. J. Pure
Appl. Math., 26 (1893), 322-371.
1895 Matthews, G.B., Note in connexion with Fermat's last theorem,
Messenger Math., 24 (1895), 97-99.
1909 Cornacchia, G., Sulla congruenza xn 4- yn = zn (mod p), Giorn.
Mat., 47 (1909), 219-268.
1909 Dickson, L.E., On the congruence xn + yn + zn = 0 (mod p), J.
Reine Angew. Math., 135 (1909), 134-141.
1909 Dickson, L.E., Lower limit for the number of sets of solutions of
xe 4- ye 4- ze = 0 (mod p), J. Reine Angew. Math., 135 (1909),
181-188.
1909 Hurwitz, A., Uber die Kongruenz axe + by€ + cz€ = 0 (mod p), J.
Reine Angew. Math., 136 (1909), 272-292.
1910 Dubouis, E., Reponse a la question 1339 de C. Flye Sainte-Marie,
L’Interm. Math., 17 (1910), 103-104.
1910 Dubouis, E., Probleme 5771, L’Interm. Math., 17 (1910),241-242.
1911 Pellet, A.E., Reponse a une question de M.E. Dubouis, L’Interm.
Math., 18 (1911), 81-82.
1913 Landau, E., Reponse a la question 1339 de C. Flye Sainte-Marie,
L’Interm. Math., 20 (1913), 154.
1916 Mantel, W., Vraagstuk XCI {Problem 91), Wiskundige Opgaven,
12 (1916), 213-214.
1917 Schur, I., Uber die Kongruenz xm +ym = zm (mod p), Jahresber.
Deutsch. Math.-Verein., 25 (1917), 114-117; reprinted in Gesam-
melte Abhandlungen, Vol. II, Springer-Ver lag, Berlin, 1973.
1917 Mitchell, H.H., On the congruence cxx 4-1 = dyx in a Galois field,
Ann. of Math., (2), 18 (1917), 120-131.
1919 Bachmann, P., Das Fermatproblem in seiner bisherigen Entwick-
lung, W. de Gruyter, Berlin, 1919; reprinted by Springer-Verlag.
Berlin, 1976.
1928 Weil, A., L’arithmetique sur les courbes algebriques, Acta Math.,
52 (1928), 281-315; reprinted in Oeuvres Scientifiques, Vol. I, pp.
11-35, Springer-Verlag, New York, 1980.
1944
1944
1945
1946
1946
1946
1947
1948
1948
1948
1949
1949
1949
1949
Х.2. Сравнение Ферма	321
Vandiver, H.S., Some theorems in finite fields with applications to
Fermat’s last theorem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 30 (1944),
362-367.
Vandiver, H.S., On trinomial congruences and Fermat’s last the-
orem, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 30 (1944), 368-370.
Vandiver, H.S., On the number of solutions of certain non-homo-
geneous trinomial equations in a finite field, Proc. Nat. Acad.
Sci. U.S.A., 31 (1945), 170-175.
Vandiver, H.S., On the number of solutions of some general types
of equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 32
(1946), 47-52.
Vandiver, H.S., Cyclotomy and trinomial equations in a finite
field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 32 (1946), 317-319.
Vandiver, H.S., On some special trinomial equations in a finite
field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 32 (1946), 320-326.
Vandiver, H.S., Limits for the number of solutions of certain gen-
eral types of equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 33 (1947), 236-242.
Hua, L.K. and Vandiver, H.S., On the existence of solutions of
certain equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
34 (1948), 258-263.
Vandiver, H.S., Applications of cyclotomy to the theory of non-
homogeneous equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 34 (1948), 62-66.
Vandiver, H.S., Cyclotomic power characters and trinomial equa-
tions in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34 (1948),
196-203.
Hua, L.K. and Vandiver, H.S., Characters over certain types of
rings with applications to the theory of equations in a finite field,
Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 35 (1949), 89-95.
Hua, L.K. and Vandiver, H.S., On the nature of the solutions of
certain equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.,
35 (1949), 481-487.
Hua, L.K. and Vandiver, H.S., On the number of solutions of
some trinomial equations in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci.
U.S.A., 35 (1949), 477-481.
Vandiver, H.S., Quadratic relations involving the number of so-
lutions of certain types of equations in a finite field, Proc. Nat.
Acad. Sci. U.S.A., 35 (1949), 681-685.
21-27
322 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
1949 Weil, A., Numbers of solutions of equations in finite fields, Bull.
Amer. Math. Soc., 55 (1949), 497-508; reprinted in Oeuvres
Scientifiques, Vol. I, pp. 399-410, Springer-Verlag, New York,
1980.
1954 Vandiver, H.S., On trinomial equations in a finite field, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 40 (1954), 1008-1010.
1955 Vandiver, H.S., On the properties of certain trinomial equations in
a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 41 (1955), 651-653.
1955 Vandiver, H.S., On cyclotomic relations and trinomial equations
in a finite field, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 41 (1955), 775
780.
1956 Leveque, W.J., Topics in Number Theory, Vol. 2, Addison-
Wesley, Reading, MA, 1956.
1956 Vandiver, H.S., Diophantine equations in certain rings, Proc.
Nat. Acad. Sci. U.S.A., 42 (1956), 656-665.
1957 Lehmer, E. and Vandiver, H.S., On the computation of the number
of solutions of certain trinomial congruences, J. Assoc. Comput.
Mach., 4 (1957), 505-510.
1959 Vandiver, H.S., On distribution problems involving the numbers
of solutions of certain trinomial congruences, Proc. Nat. Acad.
Sci. U.S.A., 45 (1959), 1635-1641.
1967 Feit, W., Characters of Finite Groups, Benjamin, New York, 1967.
1970 Klosgen, W., Untersuchungen uber Fermatsche Kongruenzen,
Gesellschaft Math. Datenverarbeitung, No. 36, 1970, 124 pp.,
Bonn.
X.3. Сравнение Гурвица
Здесь мы докажем теорему Гурвица для сравнения
AiXf + ... + АаХ* = 0 (mod q),	(3.1)
где р 3 и q — 2кр 4- 1 — простые числа и Ai,..., Аа — ненулевые
целые числа. Пусть N = N(Ai,... ,A8,p,q) обозначает количество
нетривиальных решений сравнения (3.1), т. е. количество наборов
(zi,... ,х8), 1 $ Xi q — 1, таких, что AiX? = 0 (mod q).
Пусть h — первообразный корень по модулю q, о^ — ind/^Aj) (где
0 q — 2). Тогда Ai = hai (mod q) при i = 1,..., s.
Таким образом, число N равно количеству наборов (ti,... ,t8),
0 ti q - 2, таких, что hpti+ai = 0 (mod q).
X(z) = |
Х.З. Сравнение Гурвица	323
Рассмотрим функцию %: Z -> {0,1}, определенную соотношени-
1, если q | z,
0, если q / z.
Тогда
q—2	/ 8	\
N= Е X	•	(3.2)
*1,...Л=0 \»=1	/
Заметив, что hpti+ai = hpt'i+ai (mod g) при t» = t\ (mod 2k), мы
можем переписать равенство (3.2) в виде
2fc —1	/8	X
N=p' Е х ЕЛР‘‘+О‘ •	(з-з)
«1,...Л=0 \i=l	/
Для удобства введем следующий символ:
[ai, a2] =
который является неотрицательным рациональным числом. Тогда
равенство (3.3) принимает вид
N = 2кр3[аг,... ,ая] = (q - l)ps-1[ai,... ,ая],	(3.5)
поэтому, чтобы определить 2V, нам необходимо изучить свойства
символа [ai,... ,ая].
Во-первых, заметим, что [ai] = 0, так как q / hptl+ai для любого
*1, 0 q - 2.
Лемма 3.1. Справедливы равенства
1,	если ai = а2 (mod р),
0, если ai =£ а2 (mod р).
Доказательство. Число q делит hptl+ai 4- hpt2+a2 тогда и только
тогда, когда hptl+ai = -hpt2+a2 = h^~x^2+pt2^a2 (mod q), что эк-
вивалентно сравнению pt\ 4- а\ = (g — 1)/2 4- pt2 4- а2 (mod (q - 1))-
Пусть ai = a2 (mod p), t. e. a2 = mp 4- ai для некоторого цело-
го числа т. Для каждого t2, 0 t2 2к — 1, обозначим через t\,
0 2к — 1, единственное такое целое число, что t± =k + m + t2
(mod 2к). Тогда (q — 1)/2 4- pt2 4- а2 = p(fc 4-12 4- т) 4- ai =	+ ai
324 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
(mod 2кр). Следовательно,
2к — 1
[°ьа2] = Л X х(Лр<1+о1 +/ipt2+O2) = l.
11 ,<2—0
Обратно, если для некоторого числа i2, О ^2 2fc — 1, су-
ществует единственное число ti, такое, что 0 ii 2к — 1 и
pti + ai = pt2 + а2 + кр (mod q — 1), то p(ti - t2 — к) = a2 — аг
(mod 2/ср), поэтому p | (a2 - ai)- Если же ai a2 (modp), to
y(hp*1+ai 4- hpt2+a2) = 0 при любых tr, t2, значит, [ai,a2] = 0. □
Приведем некоторые простые свойства символа [ai, ..., ая].
Лемма 3.2.
(1)	Значение величины [ai,..., ая] не меняется при любых пере-
становках чисел ai,..., ав ;
(2)	[ai,...,as] = [^,..., a's] при = а{ (modp),..., а8 = а'3
(mod р);
(3)	[ai + и,..., а, + и] = [ai,..., ая] при любом целом и.
Доказательство. (1) Это следует непосредственно из определе-
ния символа [ai,..., ая].
(2) Действительно, пусть а» = prt 4- а- и t, 4- г» = % (mod 2fc),
где 0 2к - 1. Тогда Лр(*<+г<) = hpt>i (mod q) и
n 2fc —1	/ s	\
!»....“J = « Y x Ь>’“'+'“
'41,...,t,=0 \i=l	/
1
2k
2k —1
Y x
n 2k-1	/ s	\
= n Y x 2X'+-;
^,••^^=0 \1=1	/
(3) Так как hu 0 (mod g), для каждого ti = 0,1,..., q — 2
справедливо равенство
поэтому [ai 4-u,..., a8 4-u] = [ai,..., ая] для любого целого числа и.
Х.З. Сравнение Гурвица
325
ЛЕММА 3.3. Символ [ai,..., as] есть неотрицательное целое чис-
ло, и оно представляется в виде
2k —1
=	52 X(^pt'1+ai + ... + Лр‘'-1+о-1 +Л“*)
2k —1
=	52 x(^pt'i+o1+	-л0*).
‘i.‘1-1=0
Доказательство. При заданных Ji,..., ts-i, 0 tx 2k — 1, для
каждого t8 определим fs_x из условий 0	2к - 1 и
% = ti — t8 (mod 2fc). Заметив, что hpta £ 0 (mod q), получим
[ai,..., a,]
.	2k —1	2fc —1 / «	\
= s E
ti,...,t.-i=Ot,=O \i=l	/
1	2k —1	2к —1
= 5?	52	52 x(hft‘(h^+ai +...4-/l₽‘'.-i+a-1 +ha-Y)
ik ‘1...t;_i=o ‘.=o
,	2k—1
= rr2fc 52 X(Apti+“* + hpt'3+aa +  + W<-‘+e‘-‘ 4- /»“•).
Следовательно, [сц,..., ae] — неотрицательное целое число. Для до-
казательства второго равенства заметим, что а8 = а8 + (q - 1)/2
(mod р) и	= -1 (mod g), и, используя лемму 3.2, найдем
[ai,...,as] =
di,...,	1, а8 -f-
9-1
2
2k-1
Е
X(hpt'^+ai + ... +	- ha‘).
□


Лемма 3.4. При г, s 1 выполнено равенство
[<1-1,..., а8,	, 6Г]
р-1
= 2fc[alt..., ae][6i,..., 6Г] + 52[ai>..., a„c][6i,.. -,br,c].
c=0
326 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Доказательство. Пусть Ai = hai (mod g) и Bj = hbj (mod q).
Тогда
2fcp*+r[ai,..., a8, b^..., br] = N,
где N — количество решений (zi,..., х8,у±,..., yr) сравнения
У2*=1	+ 52j=i	0 (mod g), удовлетворяющих условию
1 Xi, уj q — 1. Пусть N1 обозначает число решений (zj,..., x8)
сравнения AiX? = 0 (mod g), таких, что	l,a
N" — число решений сравнения BjY? = 0 (mod q).
Для каждого d = 0,1,..., g - 2 через Nd обозначим число реше-
ний (zi,..., x8) сравнения
^AiX? + hd = 0 (mod 9)
i=l
при 1 Xi q — 1, а через Nd — число решений (pi,..., yr) срав-
нения
У2 BjYfp — hd = 0 (mod g)
j=i
при 1 yj	q — 1. Тогда N' — 2fcps[ai,..., as], N" = 2kpr[bi,..., br]
и из леммы 3.3 мы получим
2к—1	/ s	\
N'd = p’ £ X l£^+a-+/id )=p'[ai,...,a„d|,
t\,...,t'e=O \i=l	/
2k — 1	/г	\
Nd=pr X * r£hPt'i+bi ~hd =Pr[bi,...,br,4
ti,...,t;=o \j=i	/
Справедливо соотношение N = N'N" + Z^d=o N'dNd. Ho
[ai,..., as,d] = [ai,... ,as,c], [6i,..., 6r,d] = [6Ъ..., 6r>c]>
если d = c (mod p). Таким образом,
2fcps+r[ai,..., a8, bi, ...,br]
= 4кгр,+г[а!,..., a,][6i,..., br]
P-1
+2kps+r ]T[ai> • • • > a«, СП&1, • --Л, c],
c=0
и, разделив на 2kps+r, мы получим необходимое равенство. □
Х.З. Сравнение Гурвица
327
JlEMMA 3.5. Для любых целых чисел ai,a2,c справедливо равен-
ство
р-1
У^[о1,о2,с4- d\ = 2k — [oi,o2].
d=0
В частности, эта сумма не зависит от выбора числа с.
Доказательство. По лемме 3.3 мы имеем
р-i	р-i
У2[а1>а2»с + d\ — У^[с 4- d,Qi,Q2]
d=0	d=0
р-1 /2fc—1	\
= Е Е x(hpt+d+c + /i₽u+a‘ + Лоа) j .
d=0 \t,u=O	/
Обозначим через U\ множество всех целых чисел и, 0 и 2к — 1,
таких, что hpu+ai 4- ha2 = 0 (mod q). Тогда по лемме 3.3 количе-
ство элементов множества Ui есть #L7i = Suit)1 X (hpu+ai 4- ha2) =
= [oi,o2]. Пусть U2 обозначает множество всех целых чисел и,
О и 2к — 1, не лежащих в U\. Тогда #172 = 2к — [01,02]. Спра-
ведливо соотношение
Р-1	р—1 2fc —1
Да1,а2,с + </] = 12 52 52 X{hpt+d+c + /ip“+o1 + h°2)
d=0	u€t/i d=0 t=0
p-1 2k—1
+1212 52 x(hpt+d+c + hpu+ai + /102).
11GC/2 d=0 t=0
Если и e Ux, to X{hpt+d+c 4- hpu+a' 4- h°2) = x(hpt+d+c) = 0. А если
u E U2, то существует ровно одна пара (d, i), такая, что hpt+d+c 4-
4-hpu+ai 4- ha2 =0 (mod q). Поэтому I2d=o[ai’ a2>c 4- d\ = #^2 =
= 2fc — [о^ог]. □
Лемма 3.6. Для любых целых чисел 01,02)^3^4 справедливо ра-
венство
р-1
;[О1 4~ d, о2 4~ d, Оз, 04]
d=0
= (q - l)[oi,a2][a3,a4] 4- (2к - [аьa2])(2fc - [а3,а4]).
328 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Доказательство. Из лемм 3.4 и 3.2 получим
'р-i
р-1
d=0
\d=0	/
р-1
+ У? [а1 + а2 + d, c][a3,(14,c]
d,c=O
= 2fcp[ai, а2][аз^
/р-i	\ /р-i
d'=0
с=0
(где d' = с — d (mod p), 0 d! p — 1). Применение леммы 3.5
завершает доказательство. □
Для всех целых чисел п и т положим
р-1
ап,т = ^[d.m + nd.O].
d=o
(3.6)
Лемма 3.7. Справедливы следующие свойства чисел ап,т:
(1)	a0,m = 2k - [тп,0], ai,m = 2k - [т, 0];
(2)	если п = п' (mod р) и т = т1 (mod р), то ап,т =
(3)	52m=o ап,тп — Q ~ 2.
Доказательство. (1) По леммам 3.2 и 3.5 мы получаем
р-i	р-i
а0 m = ^[d, тп,0] = ^2[zn,0,d] = 2k - [m,0].
d=o	d=0
Аналогично
р-i	р-i	p-i
aliTn = ^P[d,m + d, 0] = ^P[0,m,d'] = ^2[m,0,d'] = 2k - [m,0],
d=0	d'=0	d'-O
где d' = —d (mod p), 0 d' p — 1.
(2) Из леммы 3.2 следует, что an,m зависят только от классов
вычетов п и т по модулю р.
Х.З. Сравнение Гурвица
329
(3) Наконец, в силу леммы 3.5 мы имеем
р—1	р—1 р—1
52 a«.m = 52 52[rf’т+nd' °1
m=0	т=0 d=0
р-1 р-1
— У2 ^2	0? т + ПСЧ
d=O т=0
р-1
= 52(2к - [d,o])
d=O
= 2kp — 1 — q — 2. □
Для всех целых чисел пит положим
p-i	р-1
ffn.m = 52 an,dan,d+m = 52 d + ПС> °Ие, d + т + пе> °]- (3-7)
d=0	d,c,e=O
ЛЕММА 3.8. При всех т,п справедливо соотношение
р-1
<Гп,т = 52^ "	~	+ т’ °HnJ + т> °]
j=0
4- (2k - [(n - 1)j 4- тп, 0])(2k - [nj 4- zn, 0])} - 2k,
а при n 0,1 (mod p) выполняются равенства
{2k(g — 4) 4- g, если m = 0 (mod p),
2fc(g-4), если m 0 (mod p).
Доказательство. Преобразуем выражение для ап,т следующим
образом:
p-i /р-1
ап т = ^2 I 52[с> + пс> 0][е> + т + пе> 0]
с,е=О \d=0
с — пс, —пс, d\[e — пе — т, —пе — m,d\
330 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Из леммы 3.4 следует, что эта сумма равна
р-1
У^ ([с — пс, —пс, е — пе — тп, —пе — тп]
с,е=0
—2к[с — пс, —пс][е — пе — тп, —пе — тп])
р-1
= ^2 ([с “ псу ~пс^ е — пе — тп, —пе — тп] — 2к[с, 0][е, 0]).
с,е=О
По леммам 3.1 и 3.2 последняя сумма равна
р-1 /р-i	\
ЕЯ с — пс 4- пе 4- т, — пс 4- пе 4- тп, е, 0] I — 2к.
е=0 \с=0	/
Пусть j — е — с (для любого фиксированного е). Тогда с — пс 4- пе -
-I- тп = (п — 1)j 4- тп 4- е и —пс 4- пе 4- тп = nj 4- тп. Поэтому рассмат
риваемая сумма равна
р-1
— 2к
р-1
У^ < У^[(п “ l)j 4- пг 4- е, е, nj 4- тп, 0]
е=0
3=0	J
р-1 Тр-1
= Г \ У^[(п “ l)j 4- пг 4- е, е, nj 4- пг, 0] ► - 2к,
j=0 Iе=0	„
что согласно лемме 3.6 равняется
р-1
У2 № “ 1)[(п “ W + 0][nJ + 0]
з=о
4-	(2к — [(n - l)j 4- тп, 0])(2/с — [nj 4- тп, 0])} — 2к.
Если п 0,1 (mod р) и тп = 0 (mod р), то
р-1
CTn.rn =	- 1)[(« -
J=0
+ (2fc - [(n - l)j, 0])(2fc - [nj, 0])} - 2fc
= (q - 1) + 4pfc2 - 2fc - 2fc + 1 - 2fc
= q + 2k(q — 1) — 6fc
= q + 2k(q - 4).
Х.З. Сравнение Гурвица
331
А если п 0,1 (mod р) и m 0 (mod р), то, используя анало-
гичные выкладки, мы получим, что
ап т = 4(р - 2) 4- 4fc(2fc - 1) - 2k = 2k(q - 4). □
ЛЕММА 3.9. При п 0,1 (mod р) для каждого целого числа тп
справедливы неравенства
q — 2 — (p — \)y/q < рап<т < q - 2 + (р - l)y/q.
Доказательство. Мы показали, что
ffn,o = «п,о + <1 + • • • + ап,р-1 = 2fc(9 - 4) + 9,
а если г 0 (mod р), то
0п,г = ап,Оап,г 4" an,l^n,r-f-l 4" ••• 4- СХп,р—1О1п,Г+р—1 — 2fc(g — 4).
Таким образом,
(^п,0 С*П,г)2 4- (<2п,1 ^п,г-Ь1)2 4- ... 4- (ttnjp—1	С*П,Г-Ьр—1)^
/р-1	\	/р-1	\
= 2 I Qn,c ) “ 2 I Ofn,cO!n,r-bc I
\с=0	/	\с=0	/
= 2[2Ar(g - 4) 4- q] - 4k(q - 4) = 2q.
Следовательно,
2q (c*n,m €*п,т+г} 4” (с*п,т—г &п,т)
/	-L	\ 2	/	_	\ 2"
п (	^п,тп-Ьг 4” С*п,т—г \	. / &п,т+г &п,т — г \
= 2 ^an,m----------------------J + --------------------J
/ 1 \2
п /	лп,т+г 4” С1п,т—г \
Qn,m — —————-	I .
Поскольку число у/g иррационально, справедливы строгие неравен-
ства
/— _	^n,m-kr 4“ &п,т — г _	/—
VQ > ап,т-------------2----- > -y/Q-
Эти неравенства выполнены при каждом г = 1,2,...,р — 1. Скла-
дывая их и учитывая, что
р—1	р—1	,
Otn m-Ьг 4“ Q-n,m—r	.	,m4-r 4“ Otn,m—r
Ъ-----------2--------= ~°n’r +	------2---------
r=l	r=0
332 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
и согласно лемме 3.7
р—1	р—1	р—1
Qn,m+r —	^п,тп — г ~ °tn,j — Q ~ 2,
r=0	r=0	j=0
получим, ЧТО
(р - 1)х/9 > (Р - 1)<*п,т - (-«п.т + Ч “ 2) > -(р - 1)\/д,
поэтому
q - 2 - (р - 1)У9 < рап,т < q ~ 2 + (р - 1)^- □
Доказав эти леммы, перейдем к исследованию сравнения
АХР 4- BYP 4- CZP = 0 (mod q),	(3.8)
где А, В и С — ненулевые целые числа. Пусть А = ha (mod q), В =
= hb (mod q) и С = hc (mod g), где 0 a, d, c q — 2.
(ЗА) Во введенных выше обозначениях
p-i
p[a,b,c] = 6к + 2 - q - и +	an,(,-c-n(a-c),
п=2
где
у = [а, Ъ] 4- [6, с] 4- [с, а]
О, если а, Ь, с попарно несравнимы по модулю р,
3, если а, Ь, с сравнимы друг с другом,
1, если ровно два из чисел а,Ь,с сравнимы друг с другом.
Доказательство. Вычислим сумму S = $2п=о ам-пе, где d и е —
целые числа. По определению
p-i р-1
s = 52	d~ne+nJ’ °]-
n=0 j=0
Если j = е (mod р), то при любом п справедливо сравнение d -
— ne + nj = d (mod p). А если j e (mod p), to {d — ne 4- nj | n =
= 0,1,... ,p— 1} есть множество целых чисел, попарно несравнимых
Х.З. Сравнение Гурвица
333
по модулю р. Таким образом, по лемме 3.5 мы получаем
р-i р-1
S = p[e,d,O] + 52 52
t=0	5=0
(mod р)
Р-1
= р[е, d, 0] + 52 (2fc “ Ь’ °D-
j=0
(mod p)
Значит,
р-i
S = p[e, d,0] 4- 2fc(p -1)4- [e,0] -	0]
J=o
= p[e, d, 0] 4- 2kp — 2k 4- [e, 0] - 1
— p[e, d, 0] 4- [e, 0] 4- q - 2 - 2k.
Ho ao,d — 2k- [d,0] и ai,d-e = 2k - [d - e,Q] = 2k - [d, e], поэтому
р-i
p[e,d, 0] = ^2an,d-ne 4-6fc - (g - 2) - {[d, 0] 4- [d,e] 4- [e,0]}.
n=2
Пусть e = a — c, d = b—c. Тогда p[a, 6, c] = p[a —c, 6—c,0] = p[e,d,0] =
= En=2 an,6-c-n(a-c) + 6fc - (? - 2) - I/. □
Теперь мы можем доказать теорему Гурвица (1909).
(ЗВ) Число N решений (x,y,z) сравнения (3.8), таких, что 1
С x,y,z q — 1, удовлетворяет неравенствам
(я - 1)[(9 + 1) - (р - 1)(р - 2)х/<7 - pp] < N
< (Я~ 1)[(? + 1) + (р - 1)(р - 2)7g - pi/].
Доказательство. По лемме 3.9 имеем
р-1
(p-2)[g-2-(p-l)7g] < Р52 Qn,b-c-n(a-c) < (р-2)[д-2+(р-1)79].
п=2
Поэтому, учитывая результат (ЗА), получим
p(6fc + 2-q-i>) + (p- 2)[(g - 2) - (р - 1)</?]
< р2[а,6,с] < p(6fc + 2- q-i>) + (p- 2)[(g - 2) + (р - 1)Ут],
334 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
то есть
q + 1 - up-(р-2)(jp - l)y/q < p2[a,b, с]
< q+l-vp+(p- 2)(р - 1)7?.
Но N = (? — 1)р2[а,6,с] (по формуле (3.5)), поэтому
(<7 - 1)[(? + 1) - (р - 1)(р - 2)7? - ри]
< N < (? - 1)[(? + 1) + (р - 1)(р - 2)7? - рр]. □
Для доказательства существования решения сравнения (3.8) до-
статочно убедиться, что при некоторых условиях выражение #4-1—
— (р — 1)(р — 2)y/q — ри неотрицательно.
(ЗС) Если q (р — 1)2(р — 2)2 4- 2(ру — 1), то N > 0.
Доказательство. В части (2) результата (2С) было показано, что
если q (р - 1)2(р- 2)2 4- 2(ру - 1), то q (р - 1)(р - 2)^4- ру — 1.
Тогда из утверждения (ЗВ) следует, что N > 0. □
Список литературы
1909 Hurwitz, A., Uber die Kongruenz ахе + bye +cze = 0 (mod p), J.
Reine Angew. Math., 136 (1909), 272-292.
X.4. Сравнение Ферма по модулю, равному
степени простого числа
Здесь мы рассмотрим сравнение
ХРт + У₽т 4- Z₽m = 0 (mod рп),
гдер — нечетное простое число и п > т 1. Согласно утверждению
(1В) достаточно ограничиться рассмотрением сравнения
Хрт + y₽m +Zpm = О (mod Pm+1).	(4.1)
Мы уже приступали к изучению этого сравнения в разд. VI. 1.
Напомним (см. утверждение (1Н) гл. VI), что целые числа х,у
и z, не делящиеся на р и удовлетворяющие сравнению (4.1), су-
ществуют тогда и только тогда, когда найдется такое число а,
1 а (р — 3)/2, что 1 4- арт = (14- -)рТ” (mod pm+1).
Теперь рассмотрим общий случай. Пусть fc^3, т^1ир-
нечетное простое число. Мы будем изучать сравнение
Xf 4- Xf 4-... 4- Xf = 0 (mod pm+1).	(4.2)
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
335
решением (нетривиальным) назовем такой набор (xi, х2,..., Хк) це-
лых чисел, что 1 < Xi < pm+1 - 15 р )( Xi (для всех г =
+х% 4-... 4- хрк = 0 (mod pm+1). Два решения (xi,x2,...,xk)
и • • • > 1/Jt) называются эквивалентными, если существуют це-
лое число а\ не делящееся на р, 1 < а < pm+1 - 1, и перестановка
множества {1,2,... , fc}, такие, что yi = ax^i) (modpm+1) при
is 1,...,к. Ясно, что это есть отношение эквивалентности на мно-
жестве решений.
Для каждого целого числа а положим а = a (mod pm+1) и обо-
значим через (Z/pm+1) приведенную систему вычетов по модулю
Пусть
U = I7(pm+1) = {Б | существует число а,
взаимно простое с р, такое, что Ъ = ар }
и
V = У(рт^) = {b I b = 1 (mod р)}.
Хорошо известно, что U и V являются подгруппами группы
(Z/pm+1)e, причем U содержит р — 1 элемент, а V состоит из рт
элементов, и
(Z/pm+1)e ~ U х V	(4.3)
(см. литературу по элементарной теории чисел или книгу Рибен-
бойма по алгебраическим числам (1999)).
Положим hU = {52^=1 ^7 | о? Е L7 при i = 1,..., h} для каждого
натурального числа h. Сравнение (4.2) разрешимо тогда и только
тогда, когда б Е kU.
Пусть, например, т = 1. Если р = 3, то U — {1,8} и легко
проверить, что 0 £ 317, 517,717 и О Е hU для всех h 1,3,5,7.
Покажем, что куб не может быть суммой двух, четырех или
шести кубов, если они не делятся на 3. Допустим противное: если,
к примеру, у3 = £®=1 х3, то (-у)3 4- J2i=i ~ О И} следовательно,
(—J/)3 4- $2i=i — 0 (где —1/, xi принадлежат 17), а это невозможно.
Аналогично, если р = 5, то U = {1,7,18,24}. Легко убедиться,
пто 0 £ 17,317,517 и О Е hU для всех h ф 1,3,5. Таким образом, пя-
тая степень целого числа не может быть суммой двух или четырех
пятых степеней целых чисел, если эти числа не делятся на 5.
Пусть g — первообразный корень по модулю р, 1 < g < р, и пусть
г = gpTn (mod pm+1), 1 < г < pm+1. Тогда числа 1, г, г2, г3,..., тр“2
попарно несравнимы по модулю р771*1 и U — {1,т, г2,г3,... ,тр“2}-
Другими словами, при заданном <, каждый элемент хр Е U ра-
336 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
вен некоторой степени г\ 0 г р — 2. Таким образом, каждому
решению сравнения (4.2) соответствует представление нуля в виде
суммы степеней элемента г в (Z/pm+1)*, т. е. сравнение
г*1 -р г12	. -F rtfc = 0 (mod р™44),
где 0 it р — 2 (при t = 1,..., fc), причем это соответствие есть
биекция.
Два представления нуля (г*1,..., rtfc) и (г71,..., г7*) называ-
ются эквивалентными, если соответствующие решения сравнения
(4.2) эквивалентны, т. е. существуют перестановка тг множества
{1,2,..., к} и целое число h, 0 h р - 2, такие, что it = jT(t) + h
(mod (p - 1)) при t = 1,..., к.
Представление нуля (г*1,..., rlfc) называется нормированным,
если й = 0	й р — 2. Легко видеть, что каждое пред-
ставление эквивалентно некоторому нормированному. Однако, как
мы увидим ниже, класс эквивалентных представлений нуля может
содержать и более одного нормированного представления нуля.
Циклическим решением сравнения (4.2) назовем такое решение
(xi,x2,.. .,£*), что £1 = 1 (mod pm+1) и Xj = a?"'1 (mod pm+1) для
j = 2,..., к, где а — некоторое целое число, не делящееся на р. Соот-
ветствующее циклическому решению представление нуля назовем
циклическим. Оно имеет вид (относительно заданного первообраз-
ного корня по модулю р)
1 4- г* 4- г2г 4-... 4-	= 0 (mod pm+1)	(4.4)
(при некотором г, 0 г р — 2).
(4А) Еслир = 1 (mod fc), то существует циклическое представ-
ление нуля. А именно, можно положить i = (р — l)/fc.
Доказательство. Справедлива цепочка сравнений
(1 + ? + ... + г(к-1);)(1 - ?) = 1 - rki = 1 - г”-1 = О (mod pm+1).
Но г = gfm (modpm+1), поэтому г = g (modp), а значит, г есть
первообразный корень по модулю р. Если г1 Е 1 (mod р), то р — 1
делит число г — (р — 1)/к, следовательно, к = 1, что противоре-
чит определению циклического представления. Таким образом, эле-
мент (1 - г*) (mod р™4) обратим, так что 1 4- г* 4-... 4- Ак~^г = О
(mod pm+1). □
В частном случае, когда к — 3 и т = 1, мы получаем цикличе-
ское представление 14-тг4-г2г = 0 (mod р2), где i = (р—l)/3,r = др
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп	337
(mod р2). Тогда гг = (^(р-1)/3)р (mod р2) и (г1)3 н </р-1)р = 1
(mod р2), поэтому г* есть кубический корень из единицы по мо-
дулю р2.
Следующий признак для теоремы Ферма основывается на суще-
ствовании нециклического представления (см. Клёсген, 1970).
(4В) Пусть т 1, р — нечетное простое число, и пусть су-
ществуют такие целые числа х,у и z, не делящиеся на р, что
х?т + ур -F zp =0. Тогда существует нециклическое представ-
ление нуля по модулю p3m+1.
Доказательство. По предположению
_  tT> “ 1 .  	.  tT> •• 1 .  	.	"* 1 .  
(хр )р4-(1/р Y + (zp )₽ = 0,
поэтому в соответствии с результатом Поллачека, который был
сформулирован в утверждении (2S) гл. VI, мы получаем
т2₽т 1 4- (ху)рт 1 4- у2р~ 1	0 (mod р)
и, следовательно,
х2 4- ху 4- у2 £ 0 (mod р).
Пусть w — целое число, такое, что wx = у (mod р). Тогда
1 4- w 4- w2 0 (mod р).
Из равенства хр™ 4- урт 4- zpm = 0 следует, что хр3т 4- ур3™ 4- zp3m = 0
(mod p3m+1) (см. утверждение (1М) гл. VI). Также справедливо
сравнение х 4- у 4- z = 0 (mod р). Поэтому z = — (т 4- у) = —т(1 4- w)
(mod р) и, следовательно,
Z^ = _ХР3- (1 +	(mod рЗш+1)
Таким образом,
хр3 (1 4- wp3 — (14-w)p )=0 (mod p3rn+1),
а значит,
1 4- wp3m - (1 4- w)p3m = 0 (mod p3m+1).
Если — (1 4- w)pSm = w2p3m (mod р3ш+1), то —(1 4- w) = w2 (mod p).
Тогда 1 4- w 4- w2 = 0 (mod p), и мы получаем противоречие.
Если wp3m =(14- w)2p3m (mod p3m+1), то w = (1 4- w)2 (mod p),
& значит, 1 4- w 4- w2 = 0 (mod p), и мы снова приходим к проти-
воречию. Следовательно, мы нашли нециклическое представление
нуля по модулю p3m+1. □
22-27
338 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Пусть, например, р = 1 (mod 3), и пусть единственное представ-
ление нуля по модулю р4 является циклическим и имеет вид
1 4- гг 4- г2г = О (mod р4),
где д — первообразный корень по модулю р, г = др3 (mod р4). Тогда
первый случай теоремы Ферма выполняется для показателя р.
Следуя Клёсгену и сохраняя введенные обозначения, докажем
такой факт.
(4С) (1) Пусть l+r*+rJ =. 0 (mod pm+1), где 1 i < j р-2,
нормированное представление. Тогда всякое эквивалентное ему
нормированное представление совпадает с одним из трех следу-
ющих представлений:
(Ri) 1 4- гг 4-	= О (mod pm+1);
(R2) 1 4-	4- г*"1-* = 0 (mod pm+1);
(R3) 1 4-	4-	= 0 (mod pm+1).
При j = 2i представления (Ri), (R2), (R3) совпадают. При j 2г
эти представления различны.
(2)	Если 1 4- 1 4- г7 =0 (modpm+1) — нормированное пред-
ставление, то j 1 и всякое нормированное представление,
эквивалентное данному, совпадает с одним из двух следующих
представлений:
(Ri) 1 4- 1 4-	= 0 (mod р™44);
(R4) 1 4- гр-1-7 4- гР"1"^ = 0 (mod pm+1).
В этом случае представления (R^) и различны и 2Р =2
(mod pm+1).
Доказательство. (1) Представление (R2) получается из пред-
ставления (Ri) умножением на гр~1~г:
rP-l-i + гР-1 .j. rP-l~i+j = о (mod pm+1)
Тогда 1 4-	4- гр-1~г = 0 (mod pm+1), и это нормированное пред-
ставление (так как 1 j — i < р - 1 — г р — 2), эквивалентное
представлению (Ri).
Так же доказывается, что представление (R3) эквивалентно
представлению (R2). Пусть rh 4- rh+' 4-	= 0 (mod pm+1) — эк-
вивалентное данному нормированное представление. Тогда выпол-
няется один из трех следующих случаев:
(a)	h = 0 (mod (р — 1)), это есть представление (Ri);
(b)	h 4- г = 0 (mod (р — 1)), это есть представление (R2);
(с)	h 4- j = 0 (mod (р - 1)), это есть представление (R3).
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп	339
Если j = 2i, то 1 4- гг 4- г2г = 0 (mod 1 4- гг 4- rp-1-i = О
(modpm+1) и 1 4- гр-1-2г 4- тр-1-г = 0 (modpm+1). Тогда г2г =
S rp-1-« (mod pm+1). Следовательно, 2i = p—l — i (mod p- 1). Ho
1 2г и p - 1 — г^р — 2, поэтому 2г = р — 1 — г, значит, г = (р —
—1)/3- Отсюда мы заключаем, что представления (Ri), (R2) и (R3)
совпадают с циклическим представлением 14-Ир“^/3 4-т2(р_^/3 = О
(mod pm+1).
Теперь докажем, что в противном случае эти представления бу-
дут различными.
Если представления (Rx) и (R2) совпадают, то г = j - г, значит,
j = 2г, а это противоречит предположению. Аналогично, если пред-
ставления (Ri) и (R3) совпадают, то г = р — 1 — j, j = р — 1 — j + i,
И мы вновь получим, что г = (р — 1)/3 и j = 2(р - 1)/3 = 2i.
Наконец, если представления (R2) и (R3) совпадают, то j — г =
= р — 1 — j, р — 1 — i = р — 1— j'4-ги опять 2г = j.
(2) Если 1 4- 1 4- гэ =0 (mod pm+1), то нормированное пред-
ставление (R4), эквивалентное данному, получается умножением на
Отметим также, что j 0, так как pm+1 > 3. Поэтому пред-
ставление (R2) не совпадает с представлением (R^). В этом случае
2 4-rJ =0 (mod pm+1). Используя сравнение г = др™ (mod pm+1) и
заметив, что дрт = д (mod р), мы получим, что 24-#J = 0 (mod р), а
значит, gi = —2 (mod р). Следовательно, д™"* = —2рт (mod pm+1),
и, таким образом, 2₽т = 2 (mod pm+1). □
Приведем другую формулировку этого результата.
(4D) Классы эквивалентных решений сравнения
1 4- Х*т + Xf = 0 (mod pw+1)
состоят из шести различных решений, за исключением следую-
щих случаев:
(а)	р = 1 (mod 6), а 1 (mod р2) и а3 = 1 (mod р2); в этом слу-
чае существует класс эквивалентных решений, состоящий
из решений вида (1,а,а2) и (1,а2,а);
(Ь)	2Р =2 (mod pm+1); в этом случае существует класс экви-
валентных решений, состоящий из решений вида (1,1,—2),
(Т,=2,Т) и (Т,(-2)рТП(р-2),(-2)рт(р-2)).
Доказательство. Согласно утверждению (4С) при р = 1 (mod 6)
данное сравнение имеет циклическое решение и его класс эквива-
лентности состоит ровно из двух решений (одно из которых норми-
340 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
ровано). Если р 1 (mod 6), то не существует циклического реше
ния. Если 1 1 -4- гJ = 0 (mod pm+1), то существует в точности тр»
решения в этом классе эквивалентности (два из которых нормиро-
ваны), причем в этом случае 2₽т = 2 (mod pm+1). В остальных слу-
чаях каждый класс эквивалентности состоит ровно из шести раз-
личных решений. □
Покажем, что в некоторых случаях можно получить новое ре-
шение сравнения (4.1) из данного (см. Пешль, 1965).
(4Е) Пусть 1 + rl + rJ = 0 (mod pm+1), где j = Зг 4- (р - 1)/2
(mod (р — 1)). Тогда 1 + т4* + гСр-1)/2^5» = о (modpm+1), и это
представление не эквивалентно данному.
Доказательство. Так как Ир-1)/2 = —1 (modp™4), справедли-
во сравнение 14- г* — т3г = 0 (mod pm+1). Поэтому —г1 — г2ъ 4- г4* = 0
(mod pm+1) и г2г 4- г3г — г5* = 0 (mod pm+1). Складывая эти срав-
нения, получим, что 1 4- г4* — г5* = 0 (mod pm+1), т. е. 14- т4г 4-
4-	= 0 (mod pm+1).
Если это нормированное представление эквивалентно данному,
то из утверждения (4С) получим один из трех следующих случаев:
(а)	4г = i (mod р — 1) и 5г = Зг (mod р — 1); тогда имеем г = 0
(mod р — 1), следовательно, г = 0и14-1 — 1 = 0 (mod pm+1).
а это невозможно;
(Ь)	4г = 2г 4- (р — 1)/2 (mod р — 1) и (р — 1)/2 4- 5г = р — 1 — г
(mod р — 1); мы, как и выше, приходим к противоречию;
(с)	4г = (р — 1)/2 - Зг (mod р — 1) и (р — 1)/2 4- 5г = (р — 1)/2 — 2г
(mod р — 1); это также невозможно. □
Аналогичным образом можно получить следующий результат.
(4F) Пусть рЕ 1 (mod 4) и
1 ± г(р-1)/4 4-	= о (mod pm+1).
Тогда
1 4-1 ± г2^^"1)/4 = 0 (mod pm+1),
и это представление не эквивалентно данному.
Доказательство. Из сравнения
1 ± г(р-1)/4 4- гJ = 0 (mod pm+1)
следует, что
тг(р-1)/4 + ! rJ + (p-l)/4 = Q (mod
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
341
±rJ + (p-l)/4 _ rj ± r2j+(p-l)/4 = 0 (mod pm+l)
Складывая эти сравнения, получим
1 + 1 ± г2>+(р"1)/4 = 0 (mod pm+1).
Заметим, что Ир-1)/4	±2 (mod pm+1), так как в противном слу-
чае выполнялось бы сравнение -1 = Ир-1)/2 = 4 (mod pm+1), что
невозможно. Поэтому j 0 (mod р — 1) и j	(mod р — 1),
а следовательно, полученное представление не эквивалентно данно-
му. □
Перейдем теперь к изучению числа решений сравнения (4.2).
При этом используем такой же метод, как и при доказательстве
теоремы Диксона из разд. 2.
Введем обозначения. Пусть р > 2 — простое число, тп 0, к 3.
Обозначим через F(p, тп, к) количество наборов (^i,..., Хк), таких,
что 1 хг р — 1 (при i = 1,..., к) и
хр + хр 4-... 4- хрк =0 (mod pm+1).
Пусть а — целое число, 1 а р — 1. Обозначим через F(p, тп, к\ а)
число наборов (xi,..., я*), таких, что 1 Xi р— 1 (при i = 1,..., к)
и
хр 4-xJ 4-...4-xJ = apm (modpm+1).
Через 7V(p,m,A:) обозначим число наборов (хг,... , х&), таких, что
1 Xi р — 1 (при i = 2,..., к) и
1 4- хр2 4-... 4-х}’ =0 (modpm+1).
При к = 3 и тп = 1 мы будем просто записывать F(p) = F(p, 1,3),
F(p;а) = F(p, 1,3; а), N(p) = N(p, 1,3).
Сначала отметим некоторые соотношения между введенными
величинами. Затем получим индуктивные формулы, в которых эти
величины выражаются через периоды круговых полей и через кру-
говые суммы Якоби.
Для тп = 0 выполняется следующее утверждение.
(4G) Справедливы равенства
р
N(pM =
р
342 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
В частности,
F{pM = (р—1)(р —2),
АГ(р, 0,3) = р-2.
Доказательство. Пусть 1 <	< р - 1 при i = l,...,fc - 2 и
zi 4- ... 4- Хк-2 £ 0 (mod р). Тогда мы можем выбрать р — 2 чисел
таких, что 1 Xfc-i р — 1, х± 4- ... 4- х*_2 4- Xjt-i О
(mod р). Существует единственное число Хк, 1 Хк р — 1, такое,
что Xi 4-. •. 4- Xk-i + Xk =0 (mod p). Таким образом, мы получили
уже [(р — 1)*“2 — F(p,0, к — 2)](р - 2) решений.
Пусть теперь 1 Х{ р— 1 при г = 1,..., к—2 и Ж14-.. .4-я*-2 = 0
(mod р). Тогда можно выбрать р - 1 чисел Xk-i (которые опреде-
ляют число х^. Следовательно, мы получили F(p,0, к — 2)(р - 1)
решений. Таким образом, если к 3, то
F(p, 0,&)
= [(р - 1)*“2 - F(p, 0, к - 2)](р - 2) + F(p, 0, к - 2)(р - 1)
= (р - 1)*-2(р - 2) + F(p, 0, к — 2).
В частности, F(p,0,3) = (р— 1)(р —2), F(p,0,4) = (р — 1)2(р — 2) +
4- (р - 1). Из полученных соотношений найдем
F(p,0,2k + l) = (p-l)2fc-1(p-2) + F(p,0,2k-l),
F(p,0,2k —1) = (р - 1)2*~3(р - 2) + F(p, 0,2к —3),
F(p, 0,3) = (р—1)(р —2).
Тогда
к-1
F(p, 0,2к + 1) = (р-1)(р-2)£(р-1)2>
7=0
~к-1	i
к-1
j=0	j=0
=	” (р-1)+1 =(р -11—-р—
Аналогично
к-1
F(p,0,2fc) = (p-2)£(p-l)2> + l
7=0
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
343
52(р -1)2>+1 - 52(р - i)2j +1
j=0	j~0
к-1	к-1
52 (p - i)2j - 52 (p- 1)2jl
j=0	j=l
(p-i)2* * + i 14(p-i)2fc T + i
(p-d+i = (p -11—;—
Таким образом, вне зависимости от четности числа к мы имеем
р
Точно так же можно убедиться, что
ЛГ(р, О, fc) = (р - 1)*"3(р - 2) + N(p, 0, к - 2).
Поэтому
ЛГ(р,0,2к + 1) = (р - 1)2*~2(р - 2) + ЛГ(р, 0,2к - 1)
в
к—1	z T\2fc -I
W(p,0,2к + 1) = (р- 2)£(р- 1)2> = J - ..
j=0	р
Аналогично N(p, 0,2fc) = ((р — I)2*-1 4- 1)/р, а следовательно, для
любого к мы получаем
W,0,t) = fcLl)!2±(21)l. □
р
Приведем более общее утверждение.
(4Н) Во введенных выше обозначениях справедливы следующие
равенства.
(1)	F(p,m, к) = (р — 1)ЛГ(р, т, к).
(2)	F(p, т, к] 1) = F(p, т,к\2) — ... — F(p, т, к;р — 1). Эту вели-
чину будем обозначать через F*(p,m,k).
(3)	N(p, т, к) = N(p,m — l,fc) — F*(p,m,k) для 1. В частно-
сти, N(pf 1, к) = ((р — I)*-1 4- (—l)fc)/p — F*(p, 1, к).
Доказательство. (1) Рассмотрим множества F — {(xi,... I
1 Xi р - 1 при i = 1,..., к и Х1 4- ... 4- хрк = 0 (mod Рт^}
и = {(х2,..., xjt) | 1 Xi р — 1 при г = 2,. • • ,к и 1 + х2 4-
344 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
4- ... -I- хрк = 0 (mod pm+1)}. Пусть у — целое число, 1 у р - - »
(х2,..., Xk) Е АЛ, и пусть у\ — у, yi = yxi (mod р) при г = 2,..., к.
Тогда (pi, у2,..., у к) € Т7. Различным значениям у соответству-
ют различные решения сравнения ХР 4- ХР 4- ... 4- ХР = О
(mod pm+1).
Пусть (х2,... ,Хк) € Af, (х'2,... ,х'к) EF, (х2,. • • ,Хк) ± (я2, • • •,
х'к), у и у1 — целые числа, 1^р,р'^р—1. Тогда указанный выше
способ позволяет получить различные решения (j/i, 3/2, - • •, 2/л)
7^ (у У• • • >?4)- Действительно, если у у1, то yi у{, а если
У = У1 и, например, Xi х\, то yi у-.
Также ясно, что каждое решение (pi, р2, • • •, У к) € kF может быть
получено таким способом, а именно, мы можем выбрать те зна-
чения Xi, 1 Х{ р — 1, для которых yi = yiXi (mod р) при
i — 2,..., к. Поэтому F(p, т, к) = (р — l)2V(p, т, к).
(2)	Пусть 1 a, b $ р — 1, и пусть число с удовлетворяет
условиям b = са (mod р), 1 с р — 1. Пусть, далее, 1 Xi р — 1
и
хр 4-Z2 +--- + хк = аРт (modpm+1).
Тогда если 1 р< р — 1, р< = ся, (mod р), то ур = сртхр
(mod pm+1). Из сравнения cP™ = с (mod р) следует, что
У1 + У2* + •••★Ук" =(^таРт = Ьрт (mod pm+1).
Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие
между множеством решений сравнения
Xfm + Xf 4-... 4- Xf = арт (mod pw+1)
и множеством решений сравнения
Xf + ХГ + ... + Xf = bpm (mod pm+1).
Следовательно, F(p, m, k; a) — F(p,m,k,b).
(3)	Пусть xp 4-... 4- xp =0 (mod pm), где 1 Xi p — 1
(при i = 1,..., к). Тогда xp 4- ... 4- xpk = 0 (mod pm), так как
xp = xp (mod pm). Поэтому существует число a, 0 a p — 1.
такое, что
x% 4-... 4- xp = apm (modpm+1).
Следовательно, (xi,..., Xk) — решение сравнения
ХрГП + ... + Xpm = 0 (mod pm+1)
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
345
дли сравнения
Xf + ... + Xf = арт (mod pm+1)
при некотором а, 1 а р — 1. Верно и обратное утверждение.
Поэтому, как следует из из части (2),
F(p,m - l,fc) = F(p,m,fc) 4- (р - l)F*(p,m,fc),
а из части (1) мы получаем
2V(p, т - 1, к) = N(p, т, к) 4- F*(p, тп, к).
В случае когда т = 1, из утверждения (4F) следует, что
(п — I)*”1 4- (-1?
W(p,l,fc) =	□
Р
При р > 3 положим
г/ ч _ Г 0, если р = —1 (mod 6),
[ 1, если р = 1 (mod 6),
И
z ч Г 1, если 2Р = 2 (modpm+1),
?(р,пг) — | q, если 2₽m	2 (mod pm+1).
(41) Справедливы следующие сравнения:
F*(p,m,3) = 37(p,m) 4- 3y(p,m - 1) (mod 6),
N(p, m,3) = 37(p,m) 4- 2<S(p) (mod 6).
Доказательство. Разобьем решения сравнения 14-Х£ +Х% = О
(modpm+1) на классы эквивалентности. Согласно утверждению
(4D) эти классы состоят из шести элементов, за исключением слу-
чая, когда р = 1 (mod 6) и существует класс из двух элементов,
и случая, когда 2₽т = 2 (modpm+1) и существует класс из трех
элементов. Поэтому
N(p,m,3) = 37(р, 771) 4- 2<5(р) (mod 6).
Из утверждения (4Н) получим
F*(p,77i, 3) = N(p, т — 1,3) — N(p, тп,3)
= 37(р, т — 1) — 37(р, т)
= 37(р, 771 — 1) 4-37(р, тп) (mod 6). □
346 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
В случае когда т = 1 и k = 3, справедливы сравнения
F*(p) = F*(p, 1,3) = 37(р,1) +3 (mod 6),
N(p) = Зу(р, 1) 4- 2<5(p) (mod 6).
Чтобы указать верхнюю границу для N(p) (при р > 3), нам
необходимо более подробно изучить многочлены Коши по модулю р.
Напомним, что, как было показано в разд. VIL2,
(X + 1)р - Хр - 1 = рХ(Х + 1)(Х2 + X + 1)еСр(Х),
где СР(Х) е Z[X],
_ ( 1, если р = -1 (mod 6),
| 2, если р = 1 (mod 6).
Многочлен СР(Х) не делится на X2 4-Х4-1 и является приведенным
симметрическим многочленом. Кроме того, Ср(—1 — X) = СР(Х),
поэтому Ср(0) — Ср{—1) = 1. Пусть
д(Х) =	+ 1)Р~. ХР ~1 е Z[X]
р
и q(X) = q(X) (mod р), СР(Х) = С„(Х) (mod р).
(4J) Если р > 3, то справедливы следующие утверждения.
(1)	Все корни многочлена д(Х) (отличные от 0 u -1) в Fp и все
корни многочлена СР(Х) в Fp имеют кратность 2.
(2)	Если а — корень многочлена СР(Х), то каждый элемент
множества
есть также корень многочлена СР(Х). Если множество
Ма состоит менее чем из шести различных элементов,
то Ма — {1, —2, (р — 1)/2 (mod р)} (в этом случае 2Р = 2
(mod р2)) или р = — 1 (mod 6) и а2 4- а 4- 1 = 0, а 0 Fp.
(3)	Многочлен X2 4- X 4-1 € FP[X] не делит СР(Х).
Доказательство. (1) Пусть а е Fp и д(а) = 0. Нетрудно видеть,
что д'(Х) = (X 4- 1)р-1 — Хр-1. Если а ф 0, —1, то (а 4- 1)р-1 =-
= ар-1 = 1, и тогда д'(а) = б. Так как д"(Х) — (р — 1)[(Х 4- 1)р-2-
— Хр-2], мы получаем
Г(а) - -[(« + Т)₽-2 - а”"2] =	= —Дтп б.
а 4-1 Q а(а 4- 1)
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
347
Следовательно, а 0 0,-1 есть двукратный корень многочлена
цх)-
Из равенства q(X) = Х(Х_+ 1)(Х2 + X +	получаем,
«о если Ср(а) = 0, то д(а) = 0. Вычисляя производную, убедимся,
0 = (а2 + а + Т)еС'р(а). Заметим, что а2 + а + Т 0, поскольку
Л противном случае выполнялось бы сравнение р = 1 (mod 6), так
дес а 6 Fp (см. лемму 4.1 гл. I). Поэтому £ = 2 и Ср(а) 0, по-
скольку а — корень кратности 2 многочлена д(Х). Таким образом,
tf,(a) = O, т.е. а — двукратный корень многочлена СР(Х).
(2) Так как СР(Х) — симметрический многочлен и Ср(—1—X) =
-<7,(Х). Ср(0) = Ср{—1) = 1, при условии Ср(а) = 0 каждый эле-
девт Р 6 Ма также будет корнем многочлена СР(Х). Предположим,
ЯПО множество Ма имеет менее шести элементов. Тогда возможен
ОДИН из следующих случаев:
(i)	а = 1/а, тогда а = ±1;
(ii)	а = -(1 4- а), тогда а = (р — 1)/2 (mod р);
(iii)	а = -1/(1 4- а), тогда а2 4а41 = 0;
(hr) а = — а/(1 4- а), тогда а = 0 или а = —2;
(v) а = —(1 4- ос]/а, тогда а2 4- а 4-1 = 0.
Но 0 и —1 не являются корнями многочлена СР(Х). Если а =
»1,— 2 или (р - 1)/2 (mod р), то Ма = {1, —2, (р - 1)/2 mod р} и из
Соотношения ((1 4- 1)р — 1р — 1)/р = 0 (mod р) следует, что 2Р = 2
(mod р2). Если а2 4- а 4- 1 = 0, где а € Fp, то р = 1 (mod 6), и
Тогда е — 2. Так как а — корень кратности 2 многочлена д(Х), он
КВ может быть корнем многочлена СР(Х). Таким образом, а 0 Fp и
р= — 1 (mod 6).
(3) Пусть р = 1 (mod 6). Тогда е = 2 и многочлен X2 4- X 4- 1
Имеет корень а € Fp, который является двукратным корнем много-
члена д(Х), а значит, не является корнем многочлена СР(Х). Сле-
довательно, X2 4- X 4-1 не делит СР(Х).	__
Пусть р = — 1 (mod 6). Тогда £ = 1. Корни многочлена СР(Х)
Можно разбить на множества из шести различных элементов, за
Исключением следующих случаев:
(i) множество из трех двукратных корней
{1, —2, (р — 1)/2 mod р},
(ii) множество из двух корней многочлена X2 4- X 4- 1 (которые
лежат вне Fp).
348 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Если СР(Х)_= (X2 + X + 1)ГЯ(Х), где г 1 и X2 + X + 1 не делит
многочлен Я(Х) € Fp [X], то
degCp(X) = 2r + degH(X) = 2r (mod 6).
Если р = бп — 1, то degСР(Х) = б(п- 1), значит, 2т = О (mod 6).
поэтому г = 0 (mod 3) и, следовательно, г 3. Таким образом,
если а2 + а + 1 = 0, то а — корень кратности 3 многочлена СР(Х),
а значит, и многочлена д(Х). Следовательно, многочлены
q\X) = (Х+Т)”-1 -Х”-1
И
№) = (p-w+t)₽-2-x₽-2]
обращаются в нуль при X = а, поэтому
(а+Т)р-1 = ар~\ (а + Т)р“2 = ар~2.
Сравнивая эти равенства, получим
ор—1 = (Q + Т)(а + Т)р"2 = (а+Т)ар“2 =	+ ар"2,
следовательно, ар~2 = 0, значит, а = 0. Полученное противоречие
завершает доказательство. □
(4К) Справедливы следующие оценки для величины N(p).
(1) При 2Р 2 (mod р2) выполняется неравенство
		X э 1 to | СП	О	если p = 1 если p = 5	(mod 12), (mod 12),
	n — 3		
	p	 2 ’	если p=7	(mod 12),
	p-11 2 ’	если p = 11	(mod 12)
(2) При 2Р = 2 (mod р2) выполняется неравенство
	r P~3 2 ’ p-11 О	’	если p = 1 если p = 5	(mod 12), (mod 12),
N(p) <	2 T) — Q		
	P	 2 ’	если p = 7	(mod 12),
	p — 5 L 2 ’	если p = 11	(mod 12)
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
349
Доказательство. Напомним, что нетривиальные решения срав-
нения 1 4- Xf 4- Х% = 0 (mod р2) соответствуют нетривиальным
решениям сравнения 1 4- Хр = (1 4- Х)р (mod р2), т. е. корням мно-
гочлена
q(X) =---------------- (mod р) е Fp[X],
лежащим в Fp и отличным от 0 и —1.
(1) Пусть р = 12п 4-1. Тогда
q(X) = Х(Х + 1)(Х2 + X + 1)2СР(Х),
deggpO = р — 1, degСР(Х) = р — 7 = 12 и — 6. Так как каждый ко-
рень многочлена СР(Х) из Fp имеет кратность 2 и все корни можно
разбить на множества из шести элементов,
Х(р) ^24-6
бп - 1
б
= 24-бп — б = бп — 4
= Р~1 —4=р~9
2	2 '
Если р = 12п4-5, то q(X) = Х(Х4-1)(Х24-Х4-1)СР(Х). Точно так
Же (замечая, что многочлен Х24-Х4-1 не имеет корней в Fp) можно
показать, что deg СР(Х) = 12п, Х(р) бп = (р — 5)/2. В случаях
р = 12п 4- 7 и р = 12п 4-11 поступаем аналогично.
(2) _Пусть 2₽ = 2 (mod р2). Тогда д(Х) = Х(Х4-Т)(Х24-Х4-Т)е х
X (X — 1)2(Х4-2)2(Х — (р - 1)/2 mod р)2Л(Х) и все корни многочле-
на А(Х) € Fp [X] можно разбить на множества из шести различных
двукратных корней.
Если р — 12п4-1, то degj4(X) = 12(n—1) и N(p) 24-34-б(п—1) =
= 6п- 1 = (р —3)/2.
Точно так же мы можем получить верхнюю границу и в осталь-
ных случаях. □
Полученные результаты не позволяют еще найти явную форму-
лу для числа решений рассматриваемых сравнений. Ниже мы уви-
ДИМ, как такие формулы могут быть получены с помощью периодов
Гаусса и круговых сумм Якоби, как в разд. 2.
Пусть р — нечетное простое число, т 1, h — первообразный
Корень по модулю pm+1, С — первообразный корень степени рт из
ОДиницы и р — первообразный корень степени рт^г из единицы,
(Р = £. Периоды Гаусса р, = рДр, m,h) задаются следующим обра-
350 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
зом:
%
р+р^ +р^
< T)i = p + p +p	+ ... + p
(4.5)
= p^-1 +p^m-1 + Z₽~“I + ... + />(p-i)p--i.
Для удобства определим pj для любого индекса j, полагая pj =
при j = i (mod pm), 0 i pm — 1.
Если g — другой первообразный корень по модулю pm+1, то д =
= hr (modpm+1) и НОД (г,pm(p — 1)) = 1. Пусть р^ = Pi(p,m,g).
Тогда T)i = T}ri (при i = 0,1,... ,pm — 1). Действительно, {(jrpm + n)
mod pm(p— 1) | j = 0,1,... ,p — 2} = {(tpm +ri) mod pm(p — 1) | t -
= 0,1,... ,p—2} при jr = t (mod (p— 1)), 0 t p—2, так как j jf
(mod pm) тогда и только тогда, когда jr £ j'r (mod pm), поэтому
p—2	p—2	p—2
= ,ri.
J=0	J=o	t=0
Таким образом, меняя нумерацию, мы убедимся, что периоды Гаус-
са не зависят от выбора первообразного корня по модулю pm+1.
Заметим, что каждый период pi — вещественное число. Действи-
тельно, период pi есть сумма (р — 1)/2 пар комплексно сопряжен-
ных чисел, т. е.
ph +ph	= ph +p h = ph +ph3P + € R
Также справедлива грубая оценка
Р-2	.
Ы	J <Р“1	(46)
j=0
(равенство достигается лишь в том случае, когда все числа ph3P
с положительной действительной частью делятся на одно из них).
Для каждого числа t, не делящегося на р, определим indji(f) = s,
где 0 s (р — l)pm — 1 и t = h8 (mod pm+1).
Суммы Якоби Tj = Tj(p, m, h) (для j = 0,1,... ,pm — 1) опреде-
ляются формулой
pm+1-i
Ъ = (С*,р)= £ Cjindh{t)pl-	(4 7)
t=l
p
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
351
В частности,
То - 0.	(4.8)
Действительно,
Pm+1-i
70 = (1,Р)= 52
t=l
р /t
Т.е. то есть сумма первообразных корней степени (pm+1) из едини-
цЫ- Поэтому то совпадает с коэффициентом при степени (р(ртп+1) —1
кругового многочлена
Фрт+1(Х) =	-1 = х(₽-1)рт + х<р-2)рт +... + хрт + 1,
Л ” — 1
Следовательно, то = 0.
Покажем, что т7 0 тогда и только тогда, когда р / j. Для этого
Вам понадобится следующая лемма.
Лемма 4.1.
(1) Пусть п > 1 и £ — первообразный корень степени п из едини-
цы. Тогда для любого целого числа а справедливо соотношение

(2) Пусть р — нечетное простое число, т 0 и р — первооб-
разный корень степени pm+1 из единицы. Тогда для любого
целого числа а справедливо соотношение
(p(pm+1), еслир™*1 | а,
-рш, если рт | а, pm+1 /а,
0,	если рт ](а.
Доказательство. (1) Пусть d = НОД(п,а), п = dn', а = da'.
Тогда НОД (п', а') = 1. Так как £d — первообразный корень степени
Л* из единицы, £da — тоже первообразный корень степени п' из
единицы. Поэтому
Х=1	Х = 1
Сделаем замену переменной суммирования х, 1 х п, вида х =
55 hn' 4- у, 1 у п', 0 h d - 1.
352 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Тогда
v
n'd = п,
О,
если п' = 1, т. е. п | а,
если п' > 1, т. е. п % а.
(2) Если pm+1 | а, то сумма
рт + 1
»=1
р/«
очевидно, равна	Если pm+1 / а и рт | а, то а = Ьрт и р )(Ь.
Тогда ( = рЬрт — первообразный корень степени р из единицы.
Каждое число х, 1 х pm+1, можно представить в виде х = hp+y,
О h рт - 1, l^t/^р. Кроме того, р X х при у р. Поэтому
р	р -1 р-1 р -1
S= £с = £ E(-V = -pm-
«=1	h=o У=1	h=0
р X •
Если рт % а, то из части (1) следует, что
рт + 1
S +	£ рах = £ рах = о,
Pl«	Z = 1
iOOm+1
поскольку pm+1 /а.
Заметим, что ( есть первообразный корень степени рт из
единицы. Каждое число х, 1 х pm+1, делящееся на р, запишем
в виде х = ру, 1 у рт. Тогда из части (1) мы получаем
так как рт /а. Отсюда заключаем, что S. = 0. □
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
353
Последующие леммы связаны со свойствами индексов.
ЛЕММА 4.2. Пусть р — нечетное простое число, т 0, h —
первообразный корень по модулю pm+1, г — целое число, 1 г
р — 1. Тогда
ind/i(1 4- ipm) = iapm~1 (mod pm),
где a — некоторое целое число, не делящееся на р.
Доказательство. Пусть s = indh(l 4- грш). Тогда h8 = 1 4- грт
(mod pm+1). Поэтому
h8p = (14- ipm)p = 1 4- ip”1*1 = 1 (mod pm+1).
Следовательно, sp = 0 (mod pm(p - 1)), t. e. sp = -bpm(p - 1) =
= bpm — bpm+l. Таким образом, s = 6pm-1 - bpm, а значит, s =
= bpm~r (mod pm). Так как p / i, существует число а, такое, что
b = ia (mod p), поэтому s = iapm~1 (mod pm).
Осталось показать, что p / а. В самом деле, если р | а, то s = О
(mod рт), т. е. 1 4- ipm = hpmc (mod pm+1) (для некоторого целого
числа с). Из формулы (4.3) следует, что (14- грш) mod pm+1 = hpmc
mod pm+1 E UR V = {1}, поэтому i = 0 (mod p). Полученное про-
тиворечие завершает доказательство. □
Для каждого j = 0,1,... ,pm(p — 1) — 1 положим
Uj = {а € (Z/pm+1)* I indh(a) = j (mod pm)}.
Поскольку U = {a? | a 6 (Z/pm+1)*}, множество Uj есть смеж-
ный класс группы (Z/pm+1)* по подгруппе U. В дальнейшем для
вычисления сумм квадратов периодов нам потребуются описания
этих смежных классов.
При 1 к т и i — 0,1,... ,pm“* — 1 положим
Si — {Ui) Ui+p™-b , Ui+2pm~k > • • • , ^i+(pfc-l)pm-fc }
и
s' = {(14-гр) • U,[l + (i + pm~k)p\ • U, [1 4- (г + 2p™-*)p] • U,
..., [1 4- (г 4- (pk - l)pm~k)p] • U}.
Во-первых, заметим, что для каждого г смежные классы
^t-b/pm-fc и ^»+rPm-fc (при I 7^ ^) не совпадают. Действительно, в
противном случае выполнялось бы сравнение г 4- lpm~k = i 4- l'pm
(mod pm), поэтому мы получили бы I = I' (mod рк), что противоре-
чит предположению. Итак, #5; = рк.
Й-27
354 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Если г ф i', то	= 0. В самом деле, если это пересечение
непусто, то мы получим г 4- lpm~k = i' 4- lfpm~k (mod pm), поэтому
г = i1 (mod pm-fc), т. e. i = г'.
Таким образом, множество (Jf=o содержит рт смежных
классов, т. е. состоит из всех смежных классов по модулю U. Ана-
логично смежные классы
[1 4- (г 4- 1рт~к)р] U, [1 4- (г 4- Грт~к)р] • U
(при I Г) не совпадают, так как в противном случае должно вы-
полняться условие
1 + (i + lpm~k)p  ([1 + (г +	€ V П U = {Т},
а значит,
1 4- (г 4- lpm~k)p = 1 4- (г 4- /'pm-*)p (mod pm+1),
следовательно, l=lf (mod рк). Таким образом, #5- = рк.
Если г г', то 5/п5г'' = 0, поскольку, предположив противное,
мы получим
[1 4- (г 4- 1рт~к)р] U = [14- (г' 4- l,prn~k)p] • U,
поэтому
1 + (г 4- 1рт~к>)р = (1 + г' 4- Грт~к)р (mod pm+1),
т. е. г = г' (mod pm-fc), а значит, г — i1. Таким образом, множество
Ui=o 1 содержит рт смежных классов, а следовательно, состо-
ит из всех смежных классов по модулю U.
ЛЕММА 4.3. Существует такая перестановка я множества
{0,1,... ,ргп'к - 1}, что S' =
Доказательство. Пусть ind(14-ip) = j, т. е. (14-гр) • U = Uj.
Сначала покажем, что для каждого / = 0,1,...,р* — 1 справедливо
равенство	_______________
ind[l 4- (г 4- 1рт~к)р] = j 4- spm~k,
где число s удовлетворяет условию 0 s рк — 1. Это равносильно
тому, что	_______________
[1 4- (г 4- 1рт~к)р] • U = UHspm-k.
Если мы положим 7г(г) = j, то получим 5' = Пусть число
г' таково, что (1 4- ^p)(l 4- гр) = 1 (modpm+1), и пусть I = Vpr,
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
355
р /Г, 0 г к. Определим число b, 1 < b рк г - 1, из сравнения
l'(l + i'p) = b (mod р*~г). Тогда
[1 + (г + /рт“*)рН1 + г'р] = 1 + /(1 + i'p)pm-k+1
= 1 +/'(1 + i'p)pm~kVr+1
= l + bpm~k+r+1 (modpm+1).
Поскольку
(1 + bpm-k+r+1)p"~r = 1 (mod pm+1),
мы получаем
1 + bpm~k+r+1 =	(mod Pm+1).
Положим s = t(p - l)pr. Тогда
1 + (г + lpm-k>)p = (1 + ip)hspm~k = hj+spm~k (mod pm+1),
что и требовалось доказать.
Покажем, что тг(г) тг(г') при г г'. Допустим противное. Пусть
hJ=14-ip (mod pm+1), hf = 1 + i'p (mod pm^1), j = j1 (mod pm~k),
t.e. j' = j + spm~k. Тогда 1 4- г'р = (14- ip)h8pTn k (mod pm~k),
следовательно, h8pm 6 V. Поэтому число spm~k делится на (p — 1),
а значит, и на (p - 1)рт~к, т. е. spm~k = t(p - 1)рт~к. Пусть hp-1 =
= 1 4- ар (mod pm+1). Тогда h8pm = (1 4- ap)tpm = 1 4- atpTn~k^1
(mod pm"fe+1). Следовательно, 1 4- г'р =(14- гр)(1 4- atprn~k+1>) =
= 1 4- (г 4- atpm~k)p (mod pm~k+2). Отсюда получаем, что г' = г
(mod pm~k}, т. e. г' — i.
Таким образом, я есть искомая перестановка. □
Выведем некоторые формулы для сумм Якоби и периодов Гаус-
са, аналогичные полученным в разд. IX.2.
Лемма 4.4. Суммы Якоби удовлетворяют следующим условиям'.
(1) Tj = Tpm_j при j = 1,... ,pm — 1 (fj обозначает комплексное
число, сопряженное с Tj)\
pm+1, если р X j,
О, если р | j;
(3) Tj 0 тогда и только тогда, когда р не делит j.
Доказательство. (1) Нетрудно видеть, что
Tj = ^-Jindh(x)p-x
Х = 1
р X *
(2) TjTj — {
356 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Так как ind/l(—х) = ind/l(—Ij + ind/^x) (mod рт(р— 1)) и ind^(-l) -
— ^Рт(р — 1), мы получаем, что ^1п<1н(-1) — е Поэтому
рт + 1
= Е Cimdh{-X}p-X =rpm.j.
*=1
Р /•
(2) Преобразуем произведение TjTj следующим образом:
рх v
р / ®
indh(x)-indh(i/))
Для всех х и у определим t, 1 t pm+1 — 1, из сравнения у = xt
(mod pm+1). Тогдар и indh(p) = indh(x)+indh(t) (mod pm(p-l)).
Поэтому
= E E rjindhWPx(1-t}
»=1	t=l
p/ж	p/t
Используя лемму 4.1, получим
р-i
= pm(p -1) + (-Pm) e cj'ind',(1+<pm),
1=1
где первое слагаемое соответствует t = 1, а члены суммы — t —
= 1-1- ipm; при других значениях t сумма равна нулю. Как следует
из леммы 4.2,
indh(l 4- ipm) = iapm~r (mod pm),
где р / а, а значит,	р-1
Tj^ = Pm(p -1) + (-pm) Е r>iopm_1
i=l
_ f pm(p - 1) + pm = Prn^1j еслир/j,
t Pm(p — 1) - Pm(p — 1) = 0, если p | j.
(3) Это утверждение, очевидно, следует из части (2). □
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
357
Отметим важные соотношения между периодами Гаусса и сум-
мами Якоби. Рассмотрим матрицу Z = (С^ )ij=o,i,...,pm-i и векторы
/ Т)о \
т
\ Рр™-1 /
Лемма 4.5. Справедливы следующие равенства:
(1)	ZZ — pmI (I — единичная матрица), т. е.
рт
^CikCkj = Pm6ik
к=1
(при i,j = 0,1,... ,рт - 1);
(2)	Zt = ртг), т. е.
Рт-1
52	= pmTJi
J=o
(при i = 0,1,... ,pm - 1);
(3)	г = Zp, т. е.
Pm-i
52	=Ti
j=o
(при i = 0,1,... ,pm — 1).
Доказательство. (1) По лемме 4.1(1) получим
\^c'kc~kj =Р'У' C(i~j}k = •( рт' если рП* I	J'=i'
10, если j i.
fc=i	fc=i	k
(2) Нетрудно видеть, что
pm-i	Pm-i Pm+1
52	= 12 ^ij 12 cjindh(V
358 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Но из леммы 4.1(1) следует, что
Py-1cj(-i+indh(a:)) _ Г Рт, если indh(x) = г (mod рт),
[ 0 в противном случае,
поэтому оцениваемая сумма, деленная на рт, равна
р-2
Е px = Epha' =*>
indh(x)=i (mod рт) а=0
поскольку сравнение indh(z) = i (mod рт), 1 х рт — 1, эквива-
лентно сравнению х = hapm+x (mod pm+1), где 0 а р - 1.
(3) Умножив соотношение Zr — ртр на Z, получим, что ртг =
= ZZt — pmZp, а значит, т = Zp. □
В качестве следствия предыдущей леммы покажем, что следую-
щая сумма периодов равна нулю.
Лемма 4.6. Пусть р — нечетное простое число, т 1, 1 к
г = 0,1,... ,рт~к — 1. Тогда
Рк-1
^7i-bxpm-fc — О*
х=0
Доказательство. По лемме 4.5(2) мы получаем
(Рк-1	\	pfc-ipm-i
х=0	/	х=0 j=0
где £ — Срт *• Так как £ — первообразный корень степени рк из
единицы, из леммы 4.1(1) следует, что
рк, если рк | j,
О в противном случае.
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
359
Поэтому
в силу леммы 4.4(3). □
Рассмотрим примеры. Если тп = 1, то k = 1 и, как нам уже
известно, rjj = 0. При тп = 2 и к = 1 мы получаем
p-i
У~Л«+л> = 0 для г =0,1,...,р- 1.	(4.9)
j=o
Если тп = 2 и к = 2, то Ъ = 0- При m = и к = 1 мы имеем
p-i
У^Р.+Jp2 - 0 для i = 0,1,...,Р2 - 1.	(4.10)
з=о
Если тп — 3 и к = 2, то
Р2-1
У2 ‘Qi+jp = 0 для г = 0,1,	(4.11)
з=о
и, наконец, при тп = 3 и к = 3 мы получаем уже известное нам
равенство Ъ — 0-
Мы также можем вычислить некоторые суммы квадратов пери-
одов.
ЛЕММА 4.7. Пусть р — нечетное простое число, т 1, 1 к т,
i = 0,1,... ,рт~к — 1. Тогда
рк-1
52 ^i+xp—” =р*(р- 1).
х=0
Доказательство. Пусть Uj = {а € (Z/pm+1)e | indh(a) = j
(mod pm)} при j = 0,1,... ,pm(p - 1). Тогда Uj есть смежный класс
по модулю U. По определению
ъ= 52 рК’-
О^я^(р-1)рт
ки}
360 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Сохраним обозначения, введенные перед леммой 4.3:
5г — {Uh U^pm-k , Ui^2pm~k 5 • ' • J Ui+(pk-ijpm-k },
S' = {(1 4- ip) • [/, [1 4- (г 4- рт~к)р] • С7,
..., [1 4- (г 4- (рк - 1)рт~к)р] • U}.
Пусть тг — перестановка множества {0,1,... ,pm“fc — 1}, такая, что
S- = 5K(i) (см. лемму 4.3). Тогда
Pfc-i
12	= 12 = 12
Таким образом, нам необходимо вычислить суммы
Р*-1 /р-1
si= 12 l£pa+‘p+*pm+1-fc)<-₽
х=0 \а=1
Полагая £ = (Р и £ = к (следовательно, £ph = 1), получим
р -1 р-1 р-i
)(a₽m+b₽m)
х=0 а=1 Ь=1
р-1 р-1
VV, пр 4-Ь₽
14-Ь”'
р-1
1
4-b*	)
а=1Ь=1
z=0
так как ар ' = ар ' 1 (mod pm), арт = aph 1 (mod рк) и аналогич-
ные соотношения выполняются для Ь.
Из леммы 4.1 получим
р-1
8.=Рк^Р'
1} = рк(р-1),
что и завершает доказательство. □
В частности, при к = т имеем
Pm-i
12 =pm(p-1).	(4.12)
>=0
Рассмотрим случай т — 1. Определим число а, 1 а р — 1,
следующим образом. Пусть s = indh(l 4- р). Тогда hs = 1 4- р
(mod р2), следовательно, hsp = (14- р)р = 1 (mod р2). Поэтому
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп	35 х
р(р — 1) делит sp, а значит, р — 1 делит s, и мы можем определить
число а из равенства а(р — 1) = s.
Лемма 4.8. Пусть т = 1 и а(р — 1) = incU(1 4-р). Тогда incU(l +
4-ср) = —са (mod р) для каждого с = 0,1,... ,р — 1.
Доказательство. Из сравнения ha(p~^ = 1 4-р (mod р2) получим
дса(р-1) =	= 1-|-ср (mod р2). Поэтому indh(14-cp) = са(р — 1)
(mod р(р — 1)). В частности, ind/l(l 4- ср) = cap — са = —са (mod р).
□
Лемма 4.9. Для т = 1 суммы Якоби (при i = 0,1,... ,р — 1)
задаются формулой
Ti — РР^Р j
где а(р - 1) = indh(l 4- р).
Доказательство. По определению
p2-i
z=0
Из формулы (4.3) следует, что мы можем единственным образом
записать
х = Лр6(1 4- ср) (mod р2),
где 0 Ь,с р — 1. Согласно лемме 4.8 справедливы сравнения
indh(z) = pd4-indh(l + ср) = —са (mod р). Следовательно, замечая,
что рр = С, получим
р-i	р-1	р-i р-1
с=0	Ъ—0	Ь=0	с=0
Так как га О (mod р), мы заключаем, что (ia)p (mod р2) Е U.
Поэтому существует число Ьо, 1 Ьо р— 1, такое, что (ia)p = hpb°
(mod р2). Как следует из леммы 4.1(1),
р-1	г
^£c(h*b-ia) _ I Р,
с=0	I	О’
если Ъ = Ьо,
если Ъ Ьо-
Отсюда получим
По аналогии с утверждением (2В) найдем индуктивные выраже-
ния для величин N(p, т, k) и F(p, т, k) через периоды (см. Клёсген,
1970).
362 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
(4L) Справедливы следующие равенства:
„ТП 1
1	1 р
(1) F(p,m,k) = -F(p,m-l,fc) + L- £ г,*;
р	р «=о
1 1 рт-1
(2) W(p, т, к) = -N(p, т - 1, к) + —у rf •
Р	Р	i—п
Доказательство. (1) Из леммы 4.1(1) получим
p-i p-i p-i pm+1-i
pm+1 F(p,m,k) = £ 52 - Е Е Ру{хС+-+хС}
11 = 1 Х2 = 1	Zh = l У=0
поскольку р? = £ и хрт = хрт 1 (mod рт). Так как
рт-1 /р-1 т_Дк
PmF(p,m-i,k)^ 52 E<tlP
t=0	\х=1	/
используя такие же вычисления, получим
pm+i~i /р_х	\ к
pm+1F(p,m,k) = pmF(p,m — 1,к) +	\£,Рух] 
v = o \z = l	/
Р / У
Каждое число р, 0 у pm+i _ р может быть един-
ственным образом представлено в виде у = hl (mod pm+1), где
О С i Рт(р “ 1)- Также каждое число хр™ (при 1 х р — 1)
может быть единственным образом представлено в виде хр = hcp
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
363
(mod pm+1), где 0 с р — 2. Следовательно,
Pm(P-i)-i
Pm(p-i)-i
= Е *
i=0
рт-1
= (р-i) 52
i=0
Таким образом,
F(p,m,k) = ^F(p,m-l,k) + ^ X, Vi-
г	г	п
(2) Разделив на р — 1 и принимая во внимание утвержде-
ние (4G), получим рекуррентное соотношение для N(p,m,k). □
Как следствие с учетом утверждения (4G) найдем
F(p) =	(4.13)
1	Р г=0
«Ы = Е-р +	(4.14)
Пусть S(pm,fc) = frfcO*» m)]fc• Из рекуррентных формул
утверждения (4L) получим следующие выражения.
(4М) Справедливы соотношения
(1) F(p,m,fc) = ^[(p-l)* + (-l)* + S(pm,/O+S(P’n-1>fc) +
+... + S(p, к)]-,
(2) N(p,т, к) =	- l)fc-1 + (-l)fc + 5(pm, fc) + S(pm“1, к) +
+ ... + S(p,k)].
364 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Доказательство. (1) Нетрудно видеть, что
1	п - 1
F(p,m,fc) = -F(p,m-l,k) + ~—S(pm,k),
Р
htp.m-l.k-) = ±F(P,m-2,k) + ^S^,k),
= ~F(p,0,k) +
Учитывая утверждение (4G), получим
F(p,m,k) = ^l[(p-^ + (-l^ + S(pm,k) + S(pm-1,k)
+ ... + S(p,k)].
(	2) Эта формула получается из предыдущей делением на р-1.
□
Из доказанной формулы при к = 2 следует, что N(p, т, 2) — 1
(тривиально). Тогда утверждение (4М) позволяет получить резуль-
тат леммы 4.7 при к — т. Действительно, если т = 1, то
1 = N(p, 1,2) = 4[(Р - 1) + 1 + $(р, 2)],
и тогда
Р2-1
5(р,2)= J>,(p,l)]2=p(p-1).
J=o
По предположению индукции при г < т имеем
Рг-1
3(рг,2) = ^Ш]2=РТ(р-1)1
j=0
а значит,
1 = 7V(p,m,2)
= ^й-[(Р - 1) + 1 + S(pm, 2) + р—1 (р - 1) + ... + р(р - 1)].
Поэтому S(pm,2) = рт(р — 1). Таким образом, S(pm,2) есть целое
число, делящееся на рт.
Чтобы получить дальнейшие результаты, связанные с суммами
степеней периодов Гаусса, нам понадобится лемма о д-адических
значениях произведения факториалов.
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
365
JIEMMA 4.10. Пусть q — простое число, s 1, р > 1, и пусть
— такие положительные целые числа, что qs = гi +
4. Г2 + • • • + г д • Тогда
и,(г1!г2!...гд!) qvq(qs Ч)
ti если р = q,r\ = 7*2 = ... — rq — q8 1, то vg(q8 1!... q8~r!) =
ss qv,(g'~4).
Доказательство. Применим метод математической индукции
до з. При s = l утверждение леммы тривиально (так как р > 1).
Нетрудно видеть, что [n/g] + ... + [гд/q] q8~x, поэтому при
некотором г0'	0 получим r'o -I- [тт/g] -I- ... 4- [r^/q] = q8^1. По
предположению индукции
В утверждении (1А) гл. II было показано, что для любого целого
числа t 1 выполняется соотношение
v,(t!) =
tl Г t 1
и для любого вещественного х 0 и целого числа а 1 справедливо
равенство [х/а\ = [[х]/а]. Тогда
v?(ri!) + v,(r2!) + ... + г>д(гд!)
q’-1 + qVq(q‘~2'.)
= q"-1 +q(q‘~3+ ... + q + l)
= q(qa~2 + q"~3 + • • • + q + 1) = w/g*-1!).
Последнее утверждение тривиально. □
366 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
(4N) Справедливы следующие свойства сумм S^p™^):
(1) S(pm, к) = pm[pN(p, т, к) — N(p, т — 1, &)] = Pm[F(p, т, к) ~~
— F*(p, т, fc)];
(2) если q — простое число, к = qs, то S(pm,qs) делится на q.
Доказательство. (1) Из утверждений (3L) и (4Н) найдем
S(pm,A:) = pm[pN(p,m,fc)	l,fc)]
— Pm[(p — l)N(p,m,k) - F*(p,rn,k)\
— pm\F(p9m9k) — F*(p,m,k)\.
(2) Как следует из утверждения (1), мы можем предположить,
что g / р, и нам достаточно показать, что q делит F(p, m^q8) и
F*(p, m,qa) = F(p9m,q8\c), где l^c^p — 1, c = q (mod p) (см. ре-
зультат (4H)). Пусть xi, x2,Xk € Z и x p + xp 4- ... 4- xpk =0
(mod pm+1), соответственно xp + xp 4- ... 4- xp = c (mod pm+1),
где 1 Xi pm+1 — 1 при i — 1,..., к, к = q8. Любая переста-
новка решения (xi,• • •,#fc) остается решением сравнения. Сле-
довательно, множество решений разбивается на непересекающиеся
классы эквивалентных (относительно перестановки) решений. Та-
ким образом, достаточно доказать, что число решений, эквивалент-
ных данному, делится на q.
Пусть набор (xi,Х2,..., xjt) имеет ровно р различных компонент
и и,г2,. • • ,гд — число их повторений (г»	1). Заметим, что р 1,
рт -
так как в противном случае Xi = Х2 = . •. = Xk и мы получим qx± —
= 0, соответственно q (mod р), что невозможно. Отсюда следует,
что ri < к,... ,гм < к.
Число решений, полученных перестановками набора (xi,#2, • • •,
... ,zjt), равно /с!/(г1! г2!... гд!). Поэтому нам необходимо доказать,
что q делит это число. Нетрудно видеть, что
Vg(/c!) — qs 1 4- qs 2 4- ... 4- q 4- 1.
Так как fi4-f24-.. .4-fm = q8 и p > 1, мы получаем Vg(Fi!F2!.. . fm!)
q(q8~2 4" Qs~3 4- ... 4- q 4- 1) = q8~T 4- qs~2 4- ... 4- q2 4- q.
Следовательно, g-адическое значение числа к\/(г\! f2! .. . fm!) по
меньшей мере равно единице, что и требовалось доказать. □
Выразим верхнюю границу величины 7V(p) через периоды. Вви
ду формулы (4.14) нам необходимо найти верхнюю границу для
суммы	• Для этого докажем следующую лемму.
п — 1
Т(п-ту
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп	367
ЛЕММА 4.11. Пусть п 3 и f — функция п действительных
переменных,
= ^У,,
г=1
определенная на множестве D всех таких точек (j/i,..., уп), что
2X1 yt = 0 « 2X1 Vi = п(п - 1).
(1)	Если (?/i,... ,уп) — точка максимума или минимума функ-
ции, то существует такое целое число Т, 1 Т п — 1, что
(с точностью до перестановки множества {1,..., п})
/ тХ I — 1
’‘ = -
УТ+1 = • • - — Уп - -Т
Пусть, далее, ут — точка, координаты которой удовлетворяют
указанным выше равенствам. Тогда
(2)	f(yT) = п(п - 1)(п - 2Т)х/(п-1)/(Т(п-Т)), f(yn~T) =
= ~f(yT), f(yT) > 0 при 1 Т < (п - 1)/2;
(3)	если Т = 1, mo f(yT>) = п(п — 1)(п — 2) есть абсолютный
максимум функции f на множестве D\
(4)	если 1 Т п — 1, то f(yT) есть абсолютный максимум
функции f на множестве точек у — (т/i,...,уп) € D, удовле-
творяющих условию уг (п — Т)у/(п —	— Т)).
Доказательство. (1) Для нахождения точек максимума или
минимума функции f на множестве D применим метод множителей
Лагранжа. Пусть
Г(.У1,---,Уп) = /(1/1, •••,!/«) + а I 52yi) + М	~	’
\i=l /	\г=1	/
где — параметры. Если (j/i,..., уп) — точка экстремума, то
(dF/dyi)(yi,... ,уп) = 0 (при г = 1,...,п), т.е.
3?/? 4- Л 4- 2pyi — 0 (при i = 1,... ,п).	(4.15)
Сложив эти равенства, найдем, что 3n(n — 1) 4- нА = 0, следова-
тельно, Л = — 3(п — 1). Подставляя это значение в формулу (4.15),
Получим 3?/2 4- 2 ру г —3(п—1)=0, поэтому
= Ум2 4-9(n- 1)	(4дб)
368 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Поскольку существует только два возможных значения координат,
найдется такое целое число Т, 0 Т п, что с точностью до пере-
становки множества {1,... ,п} выполняются равенства
—д -I- \/м2 + 9(п - 1)
У1 = - • • — Ут = -------з---------,
-Д - у/fl2 4- 9(п - 1)
Ут+1 = .-- = Уп - ----------5--------•
О
Заметим, что все координаты не могут быть равными, так как
уг = 0. Значит, 1 <J Т п — 1. Кроме того,
о = -%(Т + п - Т) +	+9(п-1)(Т -п + Г),
О	о
следовательно,
n/i = (2Т — п)\/р,2 4- 9(п - 1),
поэтому
п2//2 = (2Т — п)2[//2 4- 9(п — 1)]
и, наконец,
_ 3(2Т - п) / п - 1
М “	2 уТ(п-ТУ
2 л/	9(п - 1)п2
М + («	) - 4Т(п _	•
Подставив полученные выражения в формулу (4.16), найдем
, I П - 1
('п~ ут(п-ту
(4.17)
yi =
п — 1
Т(п-Т)’
(2)	Если координаты точки ут удовлетворяют указанным выше
предположениям, то
^2/i =	(«- ) т^п _т^Т(п _
7	п — 1	/ п — 1
~^П~ Т(п -T)V Т(п - Т)
I п — 1
= n(n - l)(n - 2Т) J ——-
Т(п-Т)'
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
369
Пусть	_______
~	/ 77 _ 1
=	-----г
V ЦП — t)
при 0 < t < п. Тогда f(n - t) =	/(£) > 0 при 0 < t < п/2 и
f(yT) = f(T) при Т = 1,2,..., п — 1. Легко видеть, что t(n — i)
(t 4- l)(n — t — 1) при 0 < £ (п - 1)/2. Таким образом,
п - 2t	п	— 2t — 2
y/t(n - t)	4- l)(n - t - 1)
и, следовательно,	f(yT) >	>	0 при T = 1,2,..., [n/2] —	1.
(3)	При T =	1 имеем /(p1) = n(n — l)(n — 2). Так	как функция f
определена и непрерывна на замкнутом и ограниченном множестве,
она достигает на нем максимального и минимального значения. Из
(1) и (2) следует, что у1 — точка абсолютного максимума функции /.
(4)	Пусть 1 Т п - 1 и Dt — подмножество множества
D, состоящее из точек, координаты которых удовлетворяют нера-
венствам Уг (п — Т)у/(п — 1)/(Т(п — Г)). Если 1 Т' п — 1,
то ут € Dt в точности тогда, когда Т Т'. Следовательно, по-
скольку /(рт-1) > f(yT >) > 0 при 2 Т' [п/2] и /(у1*) < 0 при
Tf > [п/2], мы заключаем, что f(yT) есть абсолютный максимум
функции f на множестве Dt- □
Во введенных выше обозначениях имеем такой результат.
(40) Пусть М — max{?7i | г = О, ...,р — 1} и Т — наибольшее
целое число, удовлетворяющее условию
М (р -
\Т(р-Т)
Тогда	_______
Г V — 1
7V(p)<l + (p-2T)J-f——.
у Т(р-Т)
Доказательство. Так как % = 0, справедливо неравенство
О < М. Из неравенства (4.6) следует, что М < р — 1. Функция
9(t) = (.Р~^
24-27
t(p - t)
370 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
убывает, и #(1) = р — 1, д(р — 1) = 1. Следовательно, существует
максимальное целое число Г,	1, такое, что

Поскольку
р-1
52»?i = o,
1=0
р-1
Х/7’2 = Р(Р~
i=0
мы заключаем, что (т7о5 , • • • , т/р-i) € Вт- По лемме 4.11 значение
f(yT) есть абсолютный максимум функции f на Dt> поэтому
р-1	I _ 1
$2 Pi3 =/(%,- •• Лр-i) /(УТ) =Р(Р~ 1)(Р~2Т)у Т(р_т^.
Из равенства (4.14) найдем
Q 1 Р~1
< р-2	(р-1)(р-2Т) / р-1
Р	Р уТ(р-Т)
+ °
Заметим, что если
'ут(р-ту
то N(p) < 1 4- М. Действительно, при доказательстве утверждения
(40) мы получили оценку
КМ < Р-2 . (Р-1)(Р-2П / р-1
я(р) < 5Г +------i-----V?(F=n
= pz2 + p^1p^Im
р р р — Т
< 1 + М.
Исследуем теперь поведение F(p, m,fc) и N(p, тп,к) при к —> оо.
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
371
(4Р) Справедливо равенство
N(p, т, к)
= 1.
lim ------.----------—
к—too (j) -
Доказательство. Из утверждения (4M)
(-1)* . ,
(p-l)*-l +(p
имеем
2V(p, m, к)
(p — I)*-* 1 /j/n+i
(-1)*
(p-1)*-1
^(р- 1)к
т р3 — 1 х
к
Так как |р;(р, j)\ < р— 1, из неравенства (4.6) следует, что
lim
к—>оо ( (р — 1) J
поэтому lim^oo 7V(p, m, fc)/((p — l)fc-1/pm+1) — 1. □
Рассмотрим вопрос о существовании р-адических решений кон-
кретного сравнения. Пусть Up обозначает мультипликативную
группу корней степени (р — 1) из единицы в кольце Zp целых
р-адических чисел. Справедливо следующее утверждение.
(4Q)
(1) Существует целое число то = mo(fc,p) 1, такое, что
для любого т то выполняется равенство N(p,m,k) =
= N(p, m0, к).
Обозначим для краткости N(p, то, к) через N(p,k), N(p,k) 0.
(2) Величина N(p, к) совпадает с числом решений уравнения
1 -F Х2 -I-... -I- Хк = 0 в элементах из Up.
Доказательство. (1) В утверждении (4Н) было показано, что
0 <J N(p, т,к) 2V(p, т — 1, к). Поэтому существует число то с ука-
занным свойством.
(2) Пусть т то и
к
1 + 52^? е0 (mod pm+1),
i=2
372 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
где р /Xi. Так как х? = х? (mod р7714-1), мы получаем
к
1 4- 57 нО (modp7714-1),
г=2
а значит,
к
1 4- 5П xi	(mod prn4'2),
i=2
где число а удовлетворяет условию 0 а р— 1. Так как m+1 > т0,
из утверждения (4Н) имеем F*(p, m 4- l,fc) = 0, поэтому а = О,
следовательно,
к
1 4- 57	=0 (mod р7714'2).
i=2
Мы установили отображение
(х2 mod р7714"1,..., Xk mod р7714"1)
-> (х2 mod р7714"2,... ,Xk mod р7714"2)
множества Sm решений сравнения
1+X2pm +... + xf =0 (mod р7714"1)
в соответствующее множество Sm+i- Ясно, что это отображение
инъективно.
Таким образом, элементам (х2 mod р77104"1mod pmo+1)
E Smo мы ставим в соответствие последовательности (am,i)m^m0}
am i = х*7 (при i = 2,..., fc). Поскольку х? = х? (mod р7714'1),
мы имеем Qm+i,i = am,i (mod pm), следовательно, последователь-
ность (Qm.Jm является р-адически сходящейся.
Пусть oti = ИгЛт-юо am,i. Тогда 14-Q2 + • • .4-Qjt = 0 в Zp. Так как
arni = 1 (m°d р7714-1) при m то, справедливо равенство а*7-1 =
= 1, следовательно, а, Е Up и (аг, • • • ,&к) G S, где S — множество
решений в Up уравнения 1 4- Аг2 4- ... 4- Xk = 0. Таким образом, мы
построили инъективное отображение а множества Smo в S.
С другой стороны, пусть Qi € Up, ai = (Pm,i)m^o (при i =
= 2,... ,к} и 1 4- а? + • • • + ctfe — 0- Так как а^~1 = 1, выполня-
ется сравнение = 1 (modprn+1) (при г = 2,..., к и для всех
достаточно больших тп). Следовательно, ут ^ = х^ { (mod р7714-1) и
1	+    + Xm.k =° (mod pm+1).
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
373
В частности,
1 + <2°+... + <:= О (modp"),
поэтому (Ттпд,... jXrnjt) € Smo. Таким образом, а отображает мно-
жество Smo на множество S, т. е. а — сюръекция. Отсюда следует,
что количество элементов множества S равно N(p,k) = #Smo. □
Как следствие имеем такой результат.
(4R) Пусть р = 1 (mod к). Тогда существуют корни степени
(р — 1) из единицы «2, • • •, а* 6 Up, такие, что 1 +Q2 + • • • + ajt = 0.
Доказательство. Из утверждения (4А) следует, что для любо-
го т 1 сравнение 1 4- Х% + ... +	= 0 (mod pm+1) имеет
нетривиальное решение. В частности, N(p, k) 1, поэтому из утвер-
ждения (4Q) получим, что существуют «2, • • •G Up, такие, что
1 + а? 4- ... + а* = 0. □
Ниже1 приведены таблицы значений величины N(p, т, к) при ма-
лых значениях аргумента, вычисленных Клёсгеном.
Таблица для N(p, 1, fc):
	3	4	5	6	7
5	0	9	0	100	35
7	2	15	60	340	1680
11	0	31	24	1600	5250
13	2	33	200	2260	21630
17	0	57	140	6220	50120
19	2	51	390	6880	101430
Таблица для 2V(p, 2,fc) (курсивом выделены значения, отличные
от соответствующих значений в предыдущей таблице):
	3	4	5	6	7
5	0	9	0	100	0
7	2	15	60	340	1680
11	0	27	24	1090	2520
13	2	33	180	1930	15540
17	0	45	0	3160	945
19	2	51	300	4600	44520
374 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
В заключение рассмотрим эвристический метод, который поз-
воляет найти вероятность того, что сравнение
1 + Yp + Zp = 0 (mod р2)
имеет заданное число классов эквивалентных нетривиальных реше-
ний. Исключим из рассмотрения также циклические решения.
Пусть 1 $ а р - 2 и
Ма = / а mod р, - mod р, —(1 + а) mod р, ———r-modp,
(	а	(1 -I- а)
(а + 1)	а
	mod р, — --— mod р
а--------------------(а+1)
Множество Ма состоит из шести различных решений (все они от-
личны от 0 и —1), за исключением следующих случаев:
(а)	а = 1, р - 2 или (р — 1)/2; тогда Ма = {1 mod р, (р — 2)
mod р, (р - 1)/2 mod р};
(b)	а 1, а3 = 1 (mod р); тогда Ма = {a mod р, а2 mod р}.
Последний случай возможен тогда и только тогда, когда р = 1
(mod 6).
Таким образом, множество {1,2,... ,р — 2} разбивается на непе-
ресекающиеся классы. Если р = бп ± 1, то число таких классов Ма
(содержащих более двух элементов) равно п. Действительно, если
р = бп + 1, то число классов равно 1 + (р — 2 — 2 — 3)/б = п. Если
р = бп — 1, то это число снова равно 1 + (р—2 — 3)/б = п. В каждом
классе Ма (содержащем более двух элементов) через а обозначим
наименьшее целое число, 1 а р — 2. Ясно, что a (р — 1)/2.
Если 1 + ур + zp = 0 (mod р2), то z = —(1 + р) (mod р). Этому
решению соответствует значение у. Заметим, что (1+р)р — 1— ур = О
(mod р2). Пусть l + p,p + z,p н 0 (mod р2). Это решение эквивалент-
но приведенному выше тогда и только тогда, когда у1 mod р 6 Му,
т. е. у' = у.
По малой теореме Ферма (1 + t)p — 1 — tp = 0 (mod р) при t 1,
следовательно, (1 + £)р — 1 — tp = t(p)p (mod р2), где 0	£(р) р — 1.
Поэтому решения сравнения соответствуют целым числам 2, 1
(р — 1)/2, таким, что £(р) = 0.
Рассмотрим последовательность (£(p))t^(p-i)/2-
(4S) Пусть (i(p))^(p-i)/2 ~ случайная последовательность. То-
гда для всех простых чисел р = бп ± 1 справедливы следующие
утверждения.
Х.4. Сравнение Ферма по модулю рп
375
(1)	Вероятность того, что сравнение 1 + Yp + Zp = 0 (mod р2)
имеет лишь тривиальные или циклические решения, равна
((р- 1)/р)п-
(2)	Вероятность того, что сравнение 1 + Yp 4- Zp = 0 (mod р2)
имеет r (нетривиальных, нециклических) классов эквива-
лентных решений, равна
J_/n\ Zp - 1\n~r
Pr \rj \ P J
(3)	Плотность простых чисел, для которых существует ровно г
(нетривиальных, нециклических) классов эквивалентных ре-
шений, равна
1___1_
г! 6Г
Доказательство. (1) Как уже было отмечено, существует
п классов эквивалентности во множестве {1,2,...,р —2}, состо-
ящих по меньшей мере из трех элементов. Обозначим их через
A/f 1, ,..., Min.
Класс Мх{ состоит из решений сравнения (1 4- t)p = 14-
4- tp (mod р2) в точности тогда, когда Xi(p) — 0. Поскольку
(^<(р))х»^(р-1)/2 случайная последовательность, вероятность это-
го события равна 1/р. Поэтому вероятность того, что ни один из п
классов М*.(р) не состоит из решений, равна (1 — У/р)п>
(2) Точно так же убедимся, что вероятность того события, что
г из п классов состоят из решений, равна
("V
Vjf \ pj
(3) Искомая плотность равна
1(п\(р-1\п~г
D — пт —	------ )
р—>оо рг \г / у Р J
Если р = 6п 4- 1, то
_	1	/ 6п \6п/6	1	1
D = ZT7 11т	Ъ—Г7	-
6гг! п->оо убп 4- 1/ 6гг! у/е
376 Глава X. Локальная и модулярная проблемы Ферма
Аналогично, если р = 6п — 1, то
1	/6п - 2\(6п-2)/6	(	1 \1/3
= —	□
6гт! х/ё
Клёсген вычислил решения сравнения 1 -F Yp 4- Zp = 0 (mod р2)
для всех простых чисел р < 20 000.
Пусть г 0. Обозначим через v+ (соответственно через v~) ко-
личество простых чисел р < 20000, р = 1 (mod 6) (соответствен-
но р = — 1 (mod 6)), для которых сравнение 1 -F Yp 4- Zp н 0
(mod р2) имеет ровно г (нетривиальных, нециклических) классов
эквивалентных решений.
Существует 1124 простых чисел р, таких, что р = 1 (mod 6) и
р< 20000.
Клёсген показал, что
ц}" = 970,	^/1124	=	86.30%,	вероятность 84.35%;
= 144,	/1124	=	12.81%,	вероятность 14.11%;
vf = 9?	/1124	=	0.80%,	вероятность 1.18%;
= 1,	/1124	=	0.09%,	вероятность 0.07%.
А если р = —1 (mod 6), р < 20000, то
v~ = 957,	v^/1136	=	84.24%,	вероятность	84.35%;
vf = 166,	vf/1136 = 14.61%,	вероятность 14.11%;
v2 = 13,	V2 /1136 = 1.15%,	вероятность 1.18%.
Список литературы
1965 Peschl, Е., Remarques sur la resolubilite de la congruence xp +
yp 4- zp = 0 (mod p2), xyz 0 (mod p) pour un nombre premier
impair p, Mem. Acad. Sci. Inscriptions Belles Lettres Toulouse,
14е serie, 6 (1965), 121-127.
1970 Klosgen, W., Untersuchungen uber Fermatsche Kongruenzen.
Gesellschaft Math. Datenverarbeitung, No. 36, 1970, 124 pp.,
Bonn.
1999 Ribenboim, P., Classical Theory of Algebraic Numbers, Springer-
Verlag, New York, 1999.
Глава XI
Эпилог
Эта книга о последней теореме Ферма была написана для того, что-
бы ею наслаждались любители. Почти все доказательства весьма
подробны и используют исключительно элементарные и легко вос-
принимаемые методы. По этой причине мы были вынуждены ис-
ключить результаты, основанные на изучении идеалов числовых
полей или на более замысловатых теориях. Однако в этой заклю-
чительной части мы укажем наиболее важные достижения, о ко-
торых нельзя говорить, оставаясь в рамках элементарных методов.
Мы также вкратце наметим подход к знаменитому доказательству
последней теоремы Ферма. В помощь читателю, желающему рас-
ширить свои познания в указанных вопросах, здесь также имеется
список наиболее важных статей.
XI. 1. Попытки
В этом разделе мы представим краткий обзор различных подходов
к доказательству последней теоремы Ферма. Подходы эти не увен-
чались полным успехом, но пренебрегать ими не следует. В свое
время эти результаты вселяли надежду на то, что последняя теоре-
ма Ферма будет наконец доказана, и приводили к новым задачам,
представляющим самостоятельный интерес.
А.	Теорема Куммера
В 1847 г. Куммер доказал следующую важную теорему.
Если р > 2 — регулярное простое число, то последняя теорема
Ферма справедлива для показателя р.
Понятие регулярного простого числа нуждается в пояснении.
Оно может быть определено в терминах числа классов круговых
полей или с помощью чисел Бернулли.
378
Глава XI. Эпилог
Числа Бернулли Bq, В,, В%,... определяются рекуррентно: Bq —
= 1, и если п 1, то
М 4-1\ „ М + Лп	/n+i\_
(	1	) &п + ( о ) &п~1 + • • • + ( I Bi 4- 1 — 0.
\ 1 /	\ 2 /	\ п /
Таким образом, Bi = — |, В2 = |, Вз — 0,... Легко видеть, что
В2*+1 = 0 Для всех к 1. Простое число р регулярно, если р не
делит числители чисел Бернулли В2, В4,..., Вр~5, Вр«з. Пусть р —
нечетное простое число, и пусть
(р = cos(27r/p) 4- isin(27r/p)
есть первообразный корень степени р из 1. Пусть, далее, Q(£p) —
р-е круговое поле. Оно состоит из всех комплексных чисел вида
Го +Г1Ср + ... + гр_2С%~2,
где то,и,..., тр-2 6 Q. Число классов hp поля Q(£p) есть опреде-
ленное положительное целое число, связанное с Q(£p). Оно пред-
ставляет собой число классов идеалов поля Q(£p), но мы не будем
углубляться в эти понятия (см. любую книгу по теории алгебраи-
ческих чисел, к примеру книгу Боревича и Шафаревича (1966) или
же собственную книгу автора (1999)). Куммер показал, что простое
число р регулярно тогда и только тогда, когда р не делит hp.
Наименьшее иррегулярное простое число — 37. Известно, что
иррегулярных простых чисел бесконечно много. С другой сторо-
ны, высказано предположение, которое до сих пор не доказано, что
существует бесконечно много регулярных простых чисел.
Метод Куммера может быть распространен также и на многие
иррегулярные простые числа. Как бы то ни было, с помощью этих
методов не удавалось установить справедливость последней теоре-
мы Ферма для бесконечного множества простых показателей.
Определить, регулярно простое число р или нет, для больших
значений р не так-то просто, поскольку числители чисел Бернулли
также становятся очень большими. Заметив, что достаточно убе-
диться, что показатель р не делит числители чисел В2,...,Вр_з
(а не требуется вычисление самих этих числителей), Д. Лемер,
Э. Лемер и Вандивер указали критерий, который можно было при-
менить для практических вычислений. Таким способом было пока-
зано (в то время, когда доказательство ПТФ еще не было получено),
что ПТФ верна для всех простых показателей, вплоть до 4х 106 (см.
Булер и др. (1993)).
XI. 1. Попытки
379
Список литературы
1847 Kummer, Е.Е., Extrait (Типе lettre de M. Kummer a M. Liouville,
J. Math. Pures Appl., 12 (1847), 136.
1851 Kummer, E.E., Memoire sur les nombres complexes composes de
racines de Vunite et de nombres entiers, J. Math. Pures Appl.,
16 (1851), 377-498.
(The above papers are reprinted in Collected Papers of E. E.
Kummer, Vol. 1 (editor A. Weil), Springer-Verlag, Berlin, 1975.)
1966 Borevich, Z.I. and Shafarevich, I.R., Number Theory, Academic
Press, New York, 1966.
1993 Buhler, J., Crandall, R.E., Ernvall, R., and Metsankyla, T., Ir-
regular primes and cyclotomic invariants to four million, Math.
Comp., 61 (1993), 151-153.
1999 Ribenboim, P., Classical Theory of Algebraic Numbers, Springer-
Verlag, New York, 1999.
В.	Теорема Вифериха
В 1909 г. Виферих доказал следующее утверждение.
Если первый случай ПТФ не выполнен для показателя р, то
2Р-1 = 1 (modp2).
В это условие1 входит только конкретный показатель р и не вхо-
дят гипотетические ненулевые решения х, у, z уравнения Хр -F Yp =
® Zp. Было сразу же замечено, что ни одно достаточно малое про-
стое число р не удовлетворяет указанному сравнению. Еще до эпохи
Компьютеров, в 1913 г., Мейснер доказал, что р = 1093 — наимень-
шее простое число, обладающее вышеуказанным свойством. Труд-
но представить тот объем вычислений, который для этого потребо-
вался. Еще один пример, р = 3511, был найден Бигером в 1921г.
Последующие вычисления Д. Лемера, Келлера, Кларка и позднее
Крэндалла, Дильхера и Померанса показали, что никакое другое
Простое число р < 4 х 1012 не удовлетворяет этому сравнению.
Дальнейшие условия подобного рода были найдены Миримано-
Вым, Вандивером, Фробениусом, Поллачеком, Россером, а также
Грэнвиллем и Монаганом, которые доказали следующее утвержде-
ние.
1Если простое число р не удовлетворяет данному сравнению, то первый слу-
’Uift ПТФ справедлив для показателя р. — Прим, перев.
380
Глава XI. Эпилог
Если первый случай ПТФ не выполнен для показателя р, то
1рЛ = । (mod р2)
для всех простых чисел I 89.
Остроумная комбинаторная комбинация этих условий, принад-
лежащая Гундерсону и Копперсмиту, и последовавшие за ней тру-
доемкие вычисления (Грэнвилль и Монаган, Таннер и Вагштаф)
позволили показать, что первый случай ПТФ справедлив для каж-
дого показателя р < 6.93 х 1017. Все это было сделано еще до того,
как ПТФ была доказана для всех показателей.
Список литературы
1909 Wieferich, A., Zum letzten Fermat'schen Theorem, J. Reine An-
gew. Math., 136 (1909), 293-302.
1911 Mirimanoff, D., Sur le dernier theoreme de Fermat, J. Reine
Angew. Math., 139 (1911), 309-324.
1917 Pollaczek, F., Uber den grossen Fermat'schen Satz, Sitzungsber.
Akad. Wiss. Wien, Abt. Ila, 126 (1917), 45-59.
1988 Granville, A. and Monagan, M.B., The First Case of Fermat's last
theorem is true for all prime exponents up to 714,591,116,091,389,
Trans. Amer. Math. Soc., 306 (1988), 329-359.
1989 Tanner, J.W. and Wagstaff, S.S., Jr., New bound for the first case
of Fermat's last theorem, Math. Comp., 53 (1989), 743-750.
1990 Coppersmith, D., Fermat's last theorem (case 1) and the Wiefe-
rich criterion, Math. Comp., 54 (1990), 895-902.
С.	Первый случай последней теоремы Ферма
для бесконечно многих простых показателей
Используя методы решета, Адлеман, Хиз-Браун и Фуври в 1985 г.
доказали следующее утверждение.
Существует бесконечное множество S простых чисел, такое,
что первый случай последней теоремы Ферма справедлив для каж-
дого показателя р Е S.
Более сильный результат, справедливый не только для перво-
го случая, нельзя было установить теми же методами. В то время
эта теорема представляла собой важный шаг вперед. Метод дока-
зательства родился из классических идей Софи Жермен и связан
XL1. Попытки
381
С оценкой величины наименьшего простого числа в арифметиче-
ских прогрессиях. При этом была использована усовершенствован-
ная техника решета.
Бесконечное множество S, существование которого гарантиру-
ет эта теорема, определено неэффективно, так что использованный
метод не позволяет доказать, что первый случай ПТФ справедлив
для некоторого наперед заданного показателя р.
Здесь вновь следует отметить, что эта важная теорема устаре-
ла благодаря открытию доказательства ПТФ для всех показателей
П> 2.
Список литературы
1985 Fouvry, Е., Theoreme de Brun-Titchmarsh. Application au theo-
reme de Fermat, Invent. Math., 79 (1985), 383-407.
1985 Adleman, L.M. and Heath-Brown, D.R., The first case of Fer-
mat's last theorem, Invent. Math., 79 (1985), 409-416.
D.	Теорема Фалтингса
Морделл заметил и высказал в качестве гипотезы, что на неприво-
димых кривых, определяемых однородными многочленами высокой
степени от трех переменных с рациональными коэффициентами,
должно существовать лишь конечное число рациональных точек,
при условии, что эти кривые имеют малое число сингулярностей
и все они низкого порядка. Точная формулировка гипотезы выра-
жается в терминах рода кривой, а это понятие выходит за рамки
данной книги. В своей знаменитой статье Фалтингс доказал, среди
множества других теорем, гипотезу Морделла. В частном случае
уравнения Ферма его результат можно сформулировать следующим
Образом.
Для каждого п > 3 существует не более чем конечное число
троек (x,y,z), таких, что x,y,z — целые числа, все не равные 0,
НОД (х, у, z) — 1 ихп Л-уп — zn.
Несмотря на свою важность, этот результат не приводит к до-
казательству ПТФ. Однако он был использован независимо Грэн-
Виллем и Хиз-Брауном для доказательства того факта, что множе-
ство показателей п 3, для которых ПТФ верна, имеет плотность
единица. Метод Грэнвилля—Хиз-Брауна применим также к очень
Широкому классу показательных диофантовых уравнений (см. Ри-
бенбойм (1993)) и приводит к заключению о нулевой плотности по-
382
Глава XL Эпилог
казателей, при которых эти уравнения имеют нетривиальные реше-
ния.
Список литературы
1983 Fallings, G., Endlichkeitssdtze fur Abelsche Varietdten uber Zahl-
korpern, Invent. Math., 73 (1983), 349-366.
1984 Filaseta, M., An application of Faltings’ results to Fermat's last
theorem, C. R. Math. Rep. Acad. Sci. Canada, 6 (1984), 31-32.
1985 Granville, A., The set of exponents for which Fermat's last the-
orem is true, has density one, C. R. Math. Rep. Acad. Sci.
Canada, 7 (1985), 55-60.
1985 Heath-Brown, D.R., Fermat's last theorem is true for almost all
exponents, Bull. London Math. Soc., 17 (1985), 15-16.
1989 Tzermias, P., A short note on Fermat's last theorem, C. R. Math.
Rep. Acad. Sci. Canada, 11 (1989), 259-260.
1990 Brown, T.C. and Friedman, A.R., The uniform density of sets of
integers and Fermat's last theorem, C. R. Math. Rep. Acad. Sci.
Canada, 12 (1990), 1-6.
1993 Ribenboim, P., Density results on families of diophantine equa-
tions with finitely many solutions, Enseign. Math., 39 (1993),
3-23.
E.	(абс)-гипотеза
Авторство (abc)-гипотезы приписывается Массеру и Эстерле. Она
была выдвинута при рассмотрении одного из результатов Мэйсона
о многочленах. Эта гипотеза звучит так.
Для любого £ > 0 существует число С(б) > 0, такое, что если
а,Ь,с — целые числа, l^.a<b<c, c = aibu НОД (а, Ь, с) =
= 1, то с < С(б)т1+е, где г есть произведение различных простых
делителей числа abc.
На интуитивном уровне, если, к примеру, а — 2т, Ь = Зп, где
т, п велики, то с — а-1-6 велико, и гипотеза утверждает, что с долж-
но иметь большой простой делитель либо иметь большое число про-
стых делителей, так что г велико.
Легко показать, что (абс)-гипотеза влечет следующий результат.
ПТФ верна для всех достаточно больших показателей.
В самом деле, пусть п > 3, и пусть x,y,z — положительные
целые числа, такие, что НОД(х,?/,г) = 1 и хп -F уп = zn. Положив
XI.2. Победа, или Вторая смерть Ферма	383
S = по (аЬс)-гипотезе получим, что zn < С(|)т3/2, где
г=	р =	р xyz Z3,
p\xnynzn p\xyz
а значит, zn < С(|)г9/2. Следовательно, существует такое п0, что
п по. Другими словами, ПТФ верна для каждого показателя
п > по, или, короче, ПТФ асимптотически верна.
Известно, что из (abc)-гипотезы следует множество других недо-
казанных утверждений теории чисел, а также гипотеза Морделла,
которая была доказана Фалтингсом. Доказательство (аЬс)-гипотезы
представляется весьма трудным, и в настоящее время она является
объектом интенсивных исследований.
Список литературы
1984 Mason, R.C., Diophantine Equations over Function Fields, Lon-
don Math. Soc. Lecture Notes Ser., No. 96, Cambridge Univer-
sity Press, Cambridge, 1984.
1985 Masser, D.W., Some open problems, Symp. Analytic Number
Theory, Imperial College, London, 1985 (unpublished).
1988 Oesterle, J., Nouvelles approches au theoreme de Fermat, Sem.
Bourbaki, 40eme annee, No. 694, Fevrier 1988, 1987-1988.
1990 Masser, D.W., More on a conjecture of Szpiro, Asterisque, 183
(1990), 19-24.
1991 Elkies, N.D., ABC implies Mordell, Duke Math. J., Intern. Math.
Res. Notes, 7 (1991), 99-109.
XI.2. Победа, или Вторая смерть Ферма
Решать задачи — долг математиков. Когда же столь долгождан-
ное доказательство, такое, как доказательство последней теоремы
Ферма, наконец, найдено, время кричать «ПОБЕДА!».
23 июня 1993 г. на своей третьей лекции в Институте Ньюто-
на в Кембридже, Англия, Уайлс объявил о доказательстве послед-
ней теоремы Ферма. В рукописи Уайлса, тщательно изученной раз-
личными экспертами, обнаружились пробелы, которые требовали
устранения. С помощью Тейлора неутомимый Уайлс преодолел все
трудности и в октябре 1994 г. опубликовал две рукописи, одна из
которых была написана в соавторстве с Тейлором. Они содержа-
ли доказательство гипотезы Шиму ;ы—Таниямы для случая полу-
384
Глава XL Эпилог
устойчивых эллиптических кривых, которая, согласно предшество-
вавшей работе Рибета, влечет за собой справедливость ПТФ. Для
большинства математиков это ознаменовало собой окончание увле-
кательной саги. Своим достижением Уайлс заслужил восхищение
всех математиков. Использованный метод уже применен к другим
диофантовым уравнениям. Работа Уайлса была заключительным
шагом в новой стратегии, на которой мы вскоре остановимся.
Некоторые математики не удовлетворены методом доказатель-
ства, использующим эллиптические кривые и модулярные формы,
которые рассматриваются (вероятно, несправедливо? или справед-
ливо?) как чуждые этой проблеме. Вполне разумна задача попы-
таться найти другое, более простое, доказательство ПТФ. Но то,
что проблема Ферма решена, кроме всего прочего таит в себе и
негативный аспект, и слезы об утраченном неизбежны, потому что
математики и их исследования в своей тяге к нерешенным задачам
подобны ночным мотылькам, которых влекут к себе яркие источни-
ки света. Изучение теоремы Ферма привело к созданию теории алге-
браических чисел, подобно тому как изучение квадратичных полей
было вызвано гауссовой теорией квадратичных форм. Ветвь мате-
матики, лежащая на стыке теории чисел и алгебраической геомет-
рии и называемая «арифметической алгебраической геометрией»,
развивалась не только исходя из своих внутренних потребностей,
но также имея в виду доказательство последней теоремы Ферма. В
попытках доказать теорему Ферма, старых и новых, прославленные
ученые привнесли массу интересных идей в разнообразные направ-
ления теории чисел. Неужели этот стимул исчезнет теперь, когда
ПТФ доказана? Отнюдь нет. Варианты задачи, обобщения на выс-
шие размерности, будут продолжать терзать математиков. Итак,
мы празднуем эту блестящую победу и восхищаемся нашими кол-
легами, которые, благодаря своим усилиям и изобретательности,
преуспели в решении этой задачи.
Доказательство последней теоремы Ферма должно проводиться
«от противного». Мы предполагаем, что существуют и 3 и нату-
ральные числа а, 6, с, такие, что ап -I- Ьп = сп. Цель состоит в том,
чтобы получить заведомо ложное утверждение. Не были найдены
противоречия ни с утверждениями из элементарной теории чисел,
ни с утверждениями о числовых полях, ни с какими-либо другими
утверждениями, пока ПТФ не была выражена в терминах эллип-
тических кривых. Доказательство ПТФ включает в себя несколько
этапов.
XI.2. Победа, или Вторая смерть Ферма
385
(I) Связать эллиптическую кривую с гипотетическим нетриви-
альным решением уравнения Ферма с произвольным показа-
телем п 5.
(II) Получить противоречие с предположением об истинности
определенной гипотезы об эллиптических кривых и модуляр-
ных формах.
(Ш) Доказать истинность этой гипотезы.
Шаги эти требуют весьма замысловатых понятий и теорий, да-
леко выходящих за рамки этой книги и за рамки знаний, обычно
ожидаемых от любителей и даже от профессиональных математи-
ков, работающих в других областях. Моя задача трудна, если не
сказать безнадежна. Последующее изложение весьма упрощено и
Поверхностно, но все равно оно может оказаться загадочным и, воз-
можно, даже непонятным для того, кто еще не знаком с обсуждае-
мыми понятиями. Необходимые ключевые понятия — это эллипти-
ческие кривые, модулярные формы и представления Галуа.
А.	Кривые Фрея
Для взаимно простых натуральных чисел А, В, где А делится на 16,
Фрей рассмотрел эллиптическую кривую, задаваемую уравнением
У2 = Х(Х~ А)(Х+ В)	(2.1)
(см. п. А6 разд. VIII.1), и изучил ее свойства.
Если последняя теорема Ферма неверна для простого показате-
ля q 5, то пусть а, 6, с — натуральные попарно взаимно простые
числа, такие, что число а четно и aq + bq = cq. Пусть А = aq, В = bq.
Соответствующая кривая Фрея демонстрирует свойства, резко от-
личающиеся от свойств других эллиптических кривых. Фрей при-
шел к убеждению, что такая ситуация невозможна, и наметил идею
метода, позволяющего получить противоречие с тогда уже извест-
ной гипотезой Шимурьг—Таниямы (см. ниже). Однако нужно было
преодолеть серьезные препятствия, что потребовало многих лет ра-
боты (см. ниже).
Вот некоторые свойства указанных кривых Фрея. Минимальный
дискриминант кривой Фрея есть
a2qb2q(aq + b9)2 _ (abc)2q
Л ~	2»	“	’
Поскольку Д ф 0, кривая несингулярна, так что это есть эллипти-
ческая кривая.
€5-97
386
Глава XI. Эпилог
Для каждого простого числа р. не делящего Д, рассмотрим срав-
нение
Y2 - Х(Х - н'')(Х + //') (mod />)	(2.2)
Оно определяет кривую в двумерном пространстве над конечным
нолем Fp. Поскольку р не делит Л. кривая несингулярна, так что
но опять -)ллпитичсская кривая. С др\ i ^й стороны. eoni иы пк.. >
р делило Д. го кривая была бы (шнутрна Гии сит улярное лей
кодируется в инварианте, называемом кониукпюром. Простые чис-
ла р, делящие кондуктор, в точности те же, которые делят дискри-
минант. т.е. это те простые числа р, для которых кривая в произве-
дении Fp х Fp имеет сингулярность. Степень числа р указывает тип
сингулярности. В данном случае, когда сингулярности есть узлы,
кондуктор N свободен от квадратов, так что он равен
А гг
/)|Д
Эллиптические кривые' с кондуктором, свободным от квадратов,
называются пол у устойчивыми. Таким образом, кривые Фрея но-
луустойчивые. Как было известно ранее, если предположить, что
последняя теорема Ферма неверна для простого показателя q, то
число q должно быть очень большим, к тому же. поскольку урав-
нение Форма однородно, дискриминант' есть степень целого числа,
и все это вместе представляется маловероятным.
Далее мы займемся подсчетом числа точек на кривой Фрея по
модулю р (для каждого р, не делящего Д). Мы учитываем так-
же одну дополнительную точку, которая соответствует бесконечно
удаленной точке на соответствующей проективной кривой. Пусть /д
обозначает число точек, и пусть ар = р 4- 1 — vp (числа ар необяза-
тельно положительные). Вспомним, что в разд. 1.1 мы исследовали
уравнение Пифагора А'2 4-1 2 = 1 по модулю всех нечетных простых
чисел и доказали, что введенные там числа Np (которые являют-
ся аналогом чисел ир) легко определяются с помощью несложно-
го сравнения, которому удовлетворяет простое число р. Рассмот-
рения подобного рода используются для изучения всех эллиптиче-
ских кривых (не только кривых Фрея). Их дискриминант, кондук-
тор и целые числа ар (для простых чисел р. не делящих дискрими-
нант) определяются и исследуются аналогичным образом. Эллип-
тические кривые, которые допускают задание с помощью некоторо-
ю уравнения с коэффициентами из Q. называются определенными
XI.2. Победа, или Вторая смерть Ферма
387
над Q. Правило определения целых чисел ор основано на модуляр-
ных формах.
В.	Модулярные формы и гипотеза Шимуры—Таниямы
Пусть TV 1
2x2 матриц
цепое число, и пусть ГО(ЛГ) ость множество всех
( a b \
\ с d /
где a,b,c,d - целые числа, Л' делит с и — be = 1. Множе-
ство Fo(7V) есть мультипликативная группа, которая называемся
конгруэнц-группой ступени N. Пусть Н обозначает верхнюю по-
луплоскость, т. е. Н — {z = х 4- iy е С | у > 0}. Группа Г0(х\т)
действует на Н по формуле
п Ъ \ _ а г: 4- b
с d J cz 4- d
(2.3)
для всех матриц из Го(Лг) и z 6 Н. Существует конечное множе-
ство специальных точек, связанных с группой Г0(Л^), которые на-
зываются точками заострения (мы их здесь не определяем). Это
бесконечно удаленная точка полупрямой {iy | у 0} и некоторые
другие точки из множества Q (в случае 2V > 1).
Модулярная форма ступени N (и веса 2 - только такие мы
будем рассматривать) есть отображение / из Я* = Н U {точки за-
острения Го(Л7')} в С, такое, что
(i) для всех d ) Го(Л0 и z Е Я* выполняется соотношение
/ (= ^cz + (2-4)
\ cz 4- a J
(ii) функция f голоморфна в каждой точке множества Я* (это
требует надлежащего определения в точках заострения).
Модулярная форма, которая обращается в нуль во всех точках
заострения, называется параболической формой.
Теория модулярных форм очень богата. Вот некоторые важные
для нас факты (которые мы приводим бе замека на доказатель-
ство).
(1)	Множество АФ2 (N) модулярных форм ступени N и веса 2
есть конечномерное векторное пространство над С. а подмножество
388
Глава XL Эпилог
S2 (TV) параболических форм есть подпространство. Для ступени
N = 2 это подпространство параболических форм состоит только
из нулевой формы.
(2)	Существует естественное скалярное произведение, опреде-
ленное на S2 (7V), так что можно рассматривать ортогональность
в 52(7V).
(3)	Пусть N 1. Если М делит У, то Л42(М) С jM2(A'r).
Также существует следующее вложение >М2(Л/) в	если
f G M2(N), положим /(z) = f((N/M)z) для каждого z € Я*. Тогда
7еЛ42(лг).
(4)	Форма / 6 >M2(TV) называется старой формой, если f лежит
в подпространстве A42(./V), порожденном образами вложений, рас-
смотренных в (3), для всех чисел М, делящих N и не совпадающих
с N. Форма f € Л42(Я) называется новой формой, если она лежит
в подпространстве, которое ортогонально подпространству старых
форм.
(5)	Поскольку
(J })еГо(лг),
мы получаем, что f(z 4- 1) — f(z) для каждой модулярной формы
и каждого z. Таким образом, / разлагается в ряд Фурье вида
/(г) = £спе2™\	(2.5)
п=0
Для параболических форм Со — 0.
(6)	Гекке определил для каждого п 1, взаимно простого со
ступенью N, линейный оператор Тп в пространстве A42(7V). Опера-
торы Гекке коммутируют: Тт о Тп — Тп о Тт для всех чисел т и п,
взаимно простых со ступенью. Модулярная форма, которая явля-
ется собственным значением всех операторов Гекке Тп, называется
собственной формой.
Также вводятся и другие операторы, связанные с целыми числа-
ми п, не взаимно простыми с N. Вместе с указанными операторами
Гекке Тп они порождают более широкую алгебру Гекке, обладаю-
щую полезными свойствами (см. Уайлс и Тейлор, а также Ленстра).
Новые формы ступени N, которые являются собственными форма-
ми каждого оператора Тп (где п взаимно просто с N), являются
также собственными формами операторов алгебры Гекке.
XI.2. Победа, или Вторая смерть Ферма	389
Сейчас мы обсудим взаимосвязь между эллиптическими кривы-
ми и модулярными формами. Для данной эллиптической кривой
числа ар (для всех простых чисел р, не делящих дискриминант) со-
держат очень важную «локальную» информацию об этой кривой
(для каждого р). Ключевой момент состоит в том, чтобы связать
эти локальные данные с некоторым объектом2 при помощи некото-
рого «глобального» инварианта3.
Эта важная идея есть чудесное преображение того факта, что
каждое натуральное число единственным образом разлагается в
произведение степеней простых чисел. Так, Эйлер уже обнаружил
подобную взаимосвязь между бесконечным произведением, распро-
страненным на все простые числа, и бесконечным рядом Дирихле
по всем натуральным числам:
Во времена Эйлера рассматривали вещественные числа $, большие
единицы. Для таких s обе части равенства сходятся и равны между
собой. Риман выдвинул смелую и глубокую идею, состоящую в том,
что з может быть любым комплексным числом, удовлетворяющим
условию Re(s) > 1. Тогда указанный ряд есть дзета-функция Ри-
мана. Чтобы доказать существование бесконечного множества про-
стых чисел в арифметической прогрессии, Дирихле рассмотрел «за-
крученный» L-ряд, числители членов которого уже не равны 1, а
совпадают со значениями характеров надлежащих конечных абеле-
вых групп. Каждый такой ряд тоже имеет абсциссу сходимости и
допускает эйлерово произведение, отражающее также мультипли-
кативное свойство характеров.
Как и дзета-функция Римана, L-ряды характеров имеют только
полюса и не имеют существенных особенностей на границе области
сходимости. Риман доказал, что определенные выше функции мо-
гут быть продолжены на всю комплексную плоскость посредством
аналитического продолжения и, что еще более удивительно, зна-
чения справа и слева от критической прямой4 связаны функци-
ональным уравнением, содержащим гамма-функцию. Величайшее
2 Аналитической функцией комплексного переменного. — Прим. ред.
3Бесконечною произведения по простым числам. — Прим. ред.
4Критической прямой называется прямая Re(s) — | на комплексной плос-
кости. — Прим. ред.
390
Глава XI. Эпилог
открытие. И «царская дорога» аналитическим методам в теорию
чисел.
В своем поразительном сходстве с числовыми полями эллипти-
ческие кривые также демонстрируют очень важные аналитические
свойства такого же типа. Локальные числа ар, определенные выше
(с учетом конечного числа множителей, связанных с простыми чис-
лами, делящими дискриминант), мультипликативно группируются
и определяют числа ап (для каждого п 1), приводя тем самым
к ряду Дирихле, называемому L-рядом этой эллиптической кривой.
Эти ряды сходятся при Re(s) > |. При изучении численных при-
меров было замечено, что такие L-ряды допускают аналитические
продолжения и функциональные уравнения. Хассе выдвинул гипо-
тезу, что это должно быть верно для каждой эллиптической кривой.
Дойринг доказал ее для тех эллиптических кривых, которые допус-
кают больше «симметрий», а именно для кривых с комплексным
умножением.
В определенный момент в процессе вычислений было обнаруже-
но, что для многих специфических эллиптических кривых числа ар
совпадают с коэффициентами ср ряда Фурье некоторой модулярной
формы. Эллиптические кривые с таким свойством были названы
модулярными эллиптическими кривыми или эллиптическими кри-
выми Вейля.
В 1955 г. во время конференции «Токио—Никко» по теории чи-
сел Танияма выдвинул на обсуждение задачи, две из которых были
связаны (пусть еще не совсем явно) с указанным вопросом. Если бы
гипотеза Хассе была верна, был бы L-ряд связан с некоторой ав-
томорфной функцией или даже с модулярной формой? Эти задачи
обсуждались с Шимурой и Вейлем. Около 1964 г. Шимура обна-
родовал на своих лекциях один весьма точный вариант гипотезы
(который, однако, не был опубликован в печати). Вейль внес важ-
ный вклад в исследование модулярности эллиптических кривых.
В его статье 1967 г. подтверждается предшествовавшее общение с
Шимурой, но не содержится формулировки этой гипотезы, которую
Вейль рассматривал, даже позднее, как сомнительную. В соответ-
ствии с хорошо документированным исследованием Ленга (1995)
мы примем для обозначения этого проницательного утверждения
термин «гипотеза Шимуры—Таниямы».
(7)	Гипотеза Шимуры—Таниямы: Каждая эллиптическая
кривая модулярна.
XI.2. Победа, или Вторая смерть Ферма	391
Это краткое выражение следующего факта.
Если Е — произвольная эллиптическая кривая, определенная
над Q, и если N -- ее кондуктор, то существует новая параболи-
ческая собственная форма f ступени N, коэффициенты Фурье сп
которой — целые числа, такая, что для каждого простого чис-
ла р, не делящего N, выполняется равенство ср = ар (где числа ар
определяются с использованием подсчета числа точек кривой Е в
поле Fp).
Эта гипотеза утверждает, что некоторая модулярная форма по-
зволяет получить правило нахождения целых чисел ар.
(8)	Шимура доказал обращение гипотезы Шимуры—Таниямы.
Пусть форма f € S2 (N) такова, что ее коэффициенты Фурье лежат
в Z. Мы объясним, как можно связать с ней эллиптическую кривую.
Пусть zq Е Н. Для каждого 7 Е Го(ЛГ) рассмотрим интеграл
Г7(*о)
w*o(7) = / f(z)dz.
j Zo
Он не зависит от пути. Множество {wZ0(7) | 7 Е Г0(2У)} не зависит
от zq, так что оно зависит только от f. Используя то обстоятельство,
что коэффициенты Фурье формы / — целые числа, получаем, что
указанное множество есть решетка в Н, т. е. множество всех линей-
ных комбинаций двух чисел из множества Н* (периодов формы /)
с целыми коэффициентами. Эта решетка стандартным образом при-
водит к аналитическому тору, а значит, к эллиптической кривой Е,
имеющей уравнение с коэффициентами из Z (так что Е определе-
на над Q). Пусть = {/ Е Mi(N) | f есть параболическая
собственная форма с целыми коэффициентами Фурье}. Указанная
конструкция связывает с каждой формой f Е С2 (N) эллиптическую
кривую Е, определенную над Q. Кроме того, кондуктор кривой Е
есть ступень N формы /, и для каждого простого числа р, не де-
лящего дискриминант кривой Е, коэффициент Фурье ср формы f
равен числу ар (связанному с Е и р так, как сказано выше).
Аналитические методы, использующие L-ряды эллиптических
кривых, их эйлерово произведение, аналитическое продолжение и
функциональное уравнение, играют фундаментальную роль в до-
казательстве.
392
Глава XI. Эпилог
С. Работы Рибета и Уайлса
Работа Рибета включала условное доказательство ПТФ методом
спуска, связанное с представлениями Галуа и модулярными фор-
мами. Здесь необходимо объяснить, как Серр связал представ ле
ния Галуа с произвольной эллиптической кривой Е, определен-
ной над Q, т. е. допускающей уравнение с целыми коэффициента-
ми. Множество точек кривой с комплексными координатами (к ко-
торым добавлена бесконечно удаленная точка) образует аддитив-
ную абелеву группу, которая полностью определяется соглашени-
ем, что бесконечно удаленная точка должна быть нулем по сло-
жению. Сложение определяется посредством следующего правила:
если PiQiR — точки на этой кривой, то РТQТR — 0, когдаP,Q,R
лежат на одной прямой (необходимы уточнения, когда Р = Q и в
некоторых других особых случаях). Пусть К есть подполе поля С,
и пусть Е(К) — множество пар элементов поля К, которые удовле-
творяют уравнению кривой Е. Тогда Е(К) есть подгруппа группы
ВД-
Для каждого простого числа р также можно определить адди-
тивную группу E(FP). В абелевой группе Е(С) рассмотрим множе-
ство Е(С)[р] всех элементов, порядок которых делит р. Это точка О
и точки Р, такие, что Р 4- Р 4-... + Р (р раз) равно 0. Тогда Е(С)[р]
есть подгруппа порядка р2, которая изоморфна %/р* Цр* Коор-
динаты точек в множестве Е(С)[р] лежат в некотором расширении
Галуа К конечной степени над Q. Элементы группы Галуа поля
AT|Q действуют линейно на Е(АГ) и переставляют между собой эле-
менты группы Е(С)[р]. Ввиду изоморфизма с группой Z/px Z/p это
приводит к линейным преобразованиям Z/px Z/p. Таким образом,
мы имеем представление группы Галуа поля /C|Q, связанное с кри-
вой Е. Далее обычно рассматривается поле Q всех алгебраических
чисел, имеющее бесконечную степень и содержащее К. Группа Га-
луа поля К|Q есть факторгруппа группы Галуа G поля Q|Q. Итак,
мы получили представление ре.р группы G группой 2 х 2-матриц с
элементами в Z/p = Fp (здесь также необходимо обратить внима-
ние на естественную топологию Крулля группы G). Подобные рас-
суждения приводят к представлениям ре,рп группами 2 х 2-матриц
с элементами в TL/p11 (для всех п 1). Все такие представления
РЕ,рп (для п 1) совмещаются и порождают представление ре&р
группы G группой 2 х 2-матриц с элементами в поле Qp р-адических
чисел.
XL3. Руководство к дальнейшему изучению
393
Также можно связать с произвольной собственной формой f с
коэффициентами Фурье из Z представление р/<$р группы G группой
2 х 2-матриц с элементами в Если Е есть эллиптическая кривая
связанная с f таким образом, как показано выше, то представления
Pf&p И PE'Qp ИЗОМОРФНЫ-
Приведем набросок доказательства Рибета. Допустим, что ПТФ
неверна для показателя q, и пусть Е — кривая Фрея, связанная
с гипотетическим решением. Тогда Е — полуустойчивая эллипти-
ческая кривая. Если гипотеза Шимуры—Таниямы справедлива, то
существует новая параболическая собственная форма / веса 2, сту-
пень которой равна кондуктору N кривой Е. Тогда pftQq ~ Pe,q4-
Рибет доказал, что если р — нечетное простое число, делящее
N1 = N/р, то существует новая параболическая собственная фор-
ма /1 веса 2 и ступени М, такая, что р^^р = Pe,qp- Последователь-
но применяя это рассуждение, приходим к ненулевой параболиче-
ской форме веса 2 и ступени 2, что невозможно.
Уайлс доказал, что гипотеза Шимуры—Таниямы справедлива
для полу устойчивых эллиптических кривых, в частности для ука-
занной кривой Фрея. Теория деформации представлений, созданная
Мазуром, играет в доказательстве очень большую роль, равно как
и результат (доказанный совместно с Тейлором, а также позднее
Ленстрой) о структуре коммутативной алгебры, порожденной опе-
раторами Гекке. При доказательстве были существенно развиты и
использованы когомологические результаты. Это в высшей степе-
ни изощренное доказательство, так что невозможно доступно изло-
жить его в этой книге. Среди обзорных статей, указанных в спис-
ке литературы, мы можем порекомендовать статью Говеа, который
приводит схему доказательства, опуская технические подробности,
что делает его изложение доступным для храбреца-любителя.
XI. 3. Руководство к дальнейшему изучению
Для моих храбрых читателей, у которых еще остался энтузиазм,
я включил библиографию, которая содержит не только научные
работы, но и материал справочного и обзорного характера, а также
те статьи, с которыми следует ознакомиться читателям, желающим
глубже проникнуть в существо доказательства Уайлса.
Для удобства читателя ссылки разбиты на группы.
394
Глава XI. Эпилог
А. Эллиптические кривые, модулярные формы:
базовый материал
1962 Gunning, R.C., Lectures on Modular Forms, Princeton University
Press, Princeton, NJ, 1962.
1971 Shimura, G., Introduction to the Theory of Automorphic Func-
tions, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1971.
1972 Ogg, A., Survey of modular functions of one variable, in: Modular
Functions of One Variable (editor W. Kuyk), Springer-Verlag,
New York, 1972.
1974 Tate, J., The arithmetic of elliptic curves, Invent. Math., 23
(1974), 179-206.
1976 Lang, S., Introduction to Modular Forms, Springer-Verlag, New
York, 1976.
1984 Koblitz, N., Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms,
Springer-Verlag, New York, 1984.
1986 Silverman, J.H., The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer-Ver-
lag, New York, 1986.
1986 Cornell, G. and Silverman, J.H. (editors), Arithmetic Geometry,
Springer-Verlag, Berlin, 1986.
1989 Miyake, T., Modular Forms, Springer-Verlag, New York, 1989.
1989 Hida, H., Theory of p-adic Hecke algebras and Galois representa-
tions, Sflgaku Expositions, 2 (1989), 75-102.
1989 Gouv£a, F.Q., Formas Modulares, uma Introdu^ao, Instituto de
Matem^tica Рига e Aplicada, Rio de Janeiro, 1989.
1991 Cassels, J.W.S., Lectures on Elliptic Curves, Cambridge Univer-
sity Press, Cambridge, 1991.
1992 Tate, J. and Silverman, J.H., Rational Points on Elliptic Curves,
Springer-Verlag, New York, 1992.
В. Обзоры
1988 Cipra, B.A., Fermat’s last corollary?, Focus, March-April 1988,
pp. 2 and 6.
1989 Shimura, G., Yataku Taniyama and his time. Very personal
recollections, Bull. London Math. Soc., 21 (1989), 186-196.
1990 Ribet, K.A., From the Taniyama-Shimura conjecture to Fer-
mat’s last theorem, Ann. Fac. Sci. Toulouse Math., (5), 11 (1990),
no. 1, 116-139.
1993 Murty, M. Ram, Fermat’s last theorem, an outline, Gaz. Sc.
Math. Quebec, 16 (1993), No. 1, 4-13.
XI.3. Руководство к дальнейшему изучению
395
1993 Murty, М. Ram, Topics in Number Theory, Mehta Res. Inst.
Leet. Notes, No. 1, Allahabad, 1993.
1993 Frey, G., Uber A. Wiles’ Beweis der Fermatschen Vermutung,
Math. Semesterber., 40 (1993), no. 2, 177-191.
1993 Ribet, K.A., Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem,
Videocassette, 100 min., Amer. Math. Soc., Providence, RI.
1994 GouvSa, F.Q., A marvelous proof, Amer. Math. Monthly, 101
(1994), 203-222. (Updated Portuguese translation: Matem. Univ.,
no. 19, Dec. 1995, pp. 16-43.)
1994 Cox, D.A., Introduction to Fermat’s last theorem, Amer. Math.
Monthly, 101 (1994), 3-14.
1994 Rubin, K. and Silverberg, A., Wiles’ Cambridge lecture, Bull.
Amer. Math. Soc., 11 (1994), 15-38.
1994 Ribet, K.A. and Hayes, B., Fermat’s last theorem and modern
arithmetic, American Scientist, March-April 1994, pp. 146-156.
1993 Ribet, K.A., Wiles proves Taniyama’s conjecture; Fermat’s last
theorem follows, Notices Amer. Math. Soc., 40 (1993), no. 6, 575-
576.
1995 Ribenboim, P., Fermat’s last theorem before June 23, 1993, in:
Proc. Fourth Conference Canad. Number Theory Assoc., Halifax,
July 1994 (editor K. Dilcher), Amer. Math. Soc., Providence, RI,
1995, pp. 279-293.
1995 Schoof, R., Wiles’ proof of Taniyama-Weil conjecture for semi-
stable elliptic curves over Q, Gaz. Math., Soc. Math. France, No.
66 (1995), 7-24.
1995 Edixhoven, B., Le role de la conjecture de Serre dans la demon-
stration du theoreme de Fermat, Gaz. Math., Soc. Math. France,
No. 66 (1995), 25-41. (Erratum and addendum: Gaz. Math., Soc.
Math. France, No. 67 (1996), 19.)
1995 Lang, S., Some history of the Shimura-Taniyama conjecture,
Notices Amer. Math. Soc., 42 (1995), no. 11, 1301-1307.
1995 Faltings, G., The proof of Fermat’s last theorem by R. Taylor and
A. Wiles, Notices Amer. Math. Soc., 42 (1995), no. 7, 743-746.
1995 Serre, J.-P., Travaux de Wiles (et Taylor, ...), Partie I, Semi-
naire Bourbaki, Vol. 1994/95. Asterisque, No. 237 (1996), Exp.
No. 803, 5, 319-332.
1995 Oesterle, J., Travaux de Wiles (et Taylor, ...), Partie II, Semi-
naire Bourbaki, Vol. 1994/95. Asterisque, No. 237 (1996), Exp.
No. 804, 5, 333-355.
396
Глава XL Эпилог
1995 Darmon, Н., Diamond, F., and Taylor, R., Fermat’s last theorem.
In: Current Developments in Mathematics, 1995 (editors R. Bott.
A. Jaffe, and S.T. Yau), pp. 1-154, Internal. Press, Cambridge,
MA, 1995. Also in: Elliptic curves, modular forms & Fermat's
last theorem (Hong Kong, 1993), pp. 2-140, Internal. Press.
Cambridge, MA, 1997.
1995 Gouvea, F.Q., Deforming Galois representations: a survey. In:
Seminar on Fermat’s Last Theorem (Toronto, ON, 1993-1994),
pp. 179-207, CMS Conf. Proc., No. 17, Amer. Math. Soc.,
Providence, RI, 1995.
1995 Mazur, B., Fermat’s last theorem, Videocassette, 60 min., Ame-
rican Math. Soc., Providence, RI.
1996 Darmon, H. and Levesque, C., Somrnes infinies, equations dio-
phantiennes et le dernier theoreme de Fermat, Gaz. Soc. Math.
Quebec, 18 (1996), 3-18.
1996 van der Poorten, A., Notes on Fermat’s Last Theorem, Wiley,
New York, 1996.
1997 Cornell, G., Silverman, J.H., and Stevens, G. (editors), Modular
Forms and Fermat’s Last Theorem, Springer-Verlag, New York,
1997.
1997 Singh, S., Fermat’s Enigma. Viking, London, 1997.
1997 Singh, S. and Ribet, K.A., Fermat’s last theorem, Scientific
American, 277 (1997), no. 5, 36-41.
1997 Kani, E., Fermat’s last theorem, Queen’s Math. Communicator
(Queen’s University at Kingston, Ontario, Canada), Summer
1997, pp. 1-8.
1997 Frey, G., The way to the proof of Fermat’s last theorem, preprint,
20 pp., 1997.
С. Исследования
1958 Shimura, G., Correspondances modulaires et les fonctions zeta de
courbes algebriques, J. Math. Soc. Japan, 10 (1958), 1-28.
1961 Shimura, G., On the zeta-functions of the algebraic curves uni-
formized by certain automorphic functions, J. Math. Soc. Japan,
13 (1961), 275-331.
1967 Shimura, G., Construction of class fields and zeta functions of
algebraic curves, Ann. of Math., (2), 85 (1967), 58-159.
1967 Weil, A., Uber die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch
Funktionalgleichungen. Math. Ann.. 168 (1967), 149-156.
XI.3. Руководство к дальнейшему изучению	397
1975 Hellegouarch, Y., Points d’ordre 2р sur les courbes elliptiques,
Acta Arith., 26 (1975), 253-263.
1977 Mazur, B., Modular curves and the Eisenstein ideal, Inst. Hautes
Etudes Sci. Publ. Math., 47 (1977), 33-186 (1978).
1982 Frey, G., Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten
Modulkurven, J. Reine Angew. Math., 331 (1982), 185-191.
1986 Frey, G., Elliptic curves and solutions of A — В — C, in: Sem.
Th. Nombres, Paris, 1985-1986 (editor C. Goldstein), Progress in
Mathematics, Birkhauser, Boston, 1986, pp. 39-51.
1986 Frey, G., Links between elliptic curves and certain diophantine
equations, Ann. Univ. Sarav. Ser. Math., 1 (1986), No. 1, 1-40.
1987 Frey, G., Links between elliptic curves and solutions of А—В = C,
J. Indian Math. Soc., 51 (1987), 117-145.
1987 Frey, G., Links between solutions of А—В = C and elliptic curves,
in: Number Theory (Ulm, 1987) (editors H.-P. Schlickewei and
E. Wirsing), Springer Leet. Notes in Math., No. 1380, Springer-
Verlag, New York, 1989.
1987 Serre^J.-P., Sur les representations modulaires de degre 2 de
Gal(^|Q), Duke Math. J., 54 (1987), 179-230.	__
1987-1990 Ribet, K.A., On modular representations of Gal(Q|Q), pre-
print, 1987. Invent. Math., 100 (1990), 115-139.
1989 Mazur, B., Deforming Galois representations, in: Galois Groups
over Q (editors Y. Ihara, K.A. Ribet, and J.-P. Serre), Math. Sci.
Res. Inst. Publ., Vol. 16, Springer-Verlag, New York, 1989.
1990 Ribet, K.A., From the Taniyama-Shimura conjecture to Fer-
mat’s last theorem, Ann. Sci. Univ. Toulouse, (5), 11 (1990),
115-139.
1991 Ribet, K.A., Lowering the levels of modular representations
without multiplicity one, Internal. Math. Res. Notices 1991, no.
2, 15-19.
1991 Kolyvagin, V., Euler systems, in: The Grothendieck Festschrift,.
Vol. 2, pp. 435-483, Birkhauser, Boston, 1991.
1992 Flach, M., A finiteness theorem for the symmetric square of an
elliptic curve, Invent. Math., 109 (1992), 307-327.
1993 Lenstra, H.W. Jr., Complete intersections and Gorenstein rings,
preprint (September 27, 1993).
1993 Ramakrishna, R., On a variation of Mazur’s deformation functor,
Compositio Math., 87 (1993), 269-286.
1995 Ribet, K.A., Galois representations and modular forms, Bull.
Amer. Math. Soc., 32 (1995), 375-401.
398
Глава XI. Эпилог
1995 Wiles, A., Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem.
Ann. of Math., (2), 141 (1995), 443-551.
1995 Taylor, R. and Wiles, A., Ring theoretic properties of certain
Песке algebras, Ann. of Math., (2), 141 (1995), 553-572.
XI.4. Электронная почта в действии
В заключение приведем «горячие» сообщения Карла Рубина, кото-
рые получили широкое распространение.
Электронное письмо № 1:
Дата: 23 июня 1993 г., 05:52:30
Тема: большие новости
Эндрю Уайлс только что объявил у нас, в конце своей третьей
лекции, что он доказал последнюю теорему Ферма. Он сделал это,
доказав, что каждая полуустойчивая эллиптическая кривая над Q
(т. е. кондуктор свободен от квадратов) модулярна. Но описанные
Фреем кривые, которые возникают в результате рассмотрения
контрпримеров к теореме Ферма, полуустойчивы, и, согласно ра-
боте Рибета, они не могут быть модулярными, так что все до-
казано.
Проделанная им работа поистине удивительна.
Карл
Электронное письмо №2:
Дата: 25 октября 1994 г., 10:24:46
Тема: новое о последней теореме Ферма
Сегодня утром были обнародованы две рукописи:
Модулярные эллиптические кривые и последняя теоре-
ма Ферма
Эндрю Уайлс
Теоретико-кольцевые свойства определенных алгебр
Гекке
Ричард Тейлор и Эндрю Уайлс.
Первая (длинная) рукопись объявляет, среди прочего, о дока-
зательстве последней теоремы Ферма и ссылается на вторую
(короткую) с целью обоснования одного ключевого шага.
Почти все вы знаете, что в рассуждении, которое было описа-
но Уайлсом на его лекциях в Кембридже, обнаружился серьезный
XI.4. Электронная почта в действии
399
пробел, а именно в построении эйлеровой системы. После тщет-
ных попыток исправить это построение Уайлс вернулся к друго-
му подходу, который он пробовал раньше, но отказался от него
в пользу идеи эйлеровой системы. Ему удалось завершить свое
доказательство в предположении, что определенные алгебры Гек-
ке представляют собой локальные полные пересечения. Подробное
изложение этой идеи наряду с остальными, описанными на лек-
циях Уайлса в Кембридже, составляет предмет первой рукописи.
Во второй статье Тейлор и Уайлс совместными усилиями уста-
новили нужное им свойство алгебр Гекке.
В своих основных чертах это рассуждение сходно с тем, ко-
торое Уайлс описал в Кембридже. Новый подход стал значитель-
но проще и короче, нежели первоначальный, благодаря отказу от
эйлеровой системы. (На самом деле после ознакомления с этими
рукописями Фалтингс, по-видимому, добился дальнейшего суще-
ственного упрощения этой части рассуждения.)
Варианты этих рукописей находились в руках небольшого
количества людей в некоторых случаях до нескольких недель.
И хотя разумно еще некоторое время проявлять осторожность,
причины для оптимизма, несомненно, есть.
Карл Рубин
Волнение, осторожность и изумление перед лицом величайшего
подвига в Математике.
Приложение А
Ссылки на ошибочные
доказательства
Все прекрасно знают, что были предложены буквально тысячи оши-
бочных доказательств последней теоремы Ферма. Это можно объ-
яснить тем, что формулировку данной задачи легко поймет даже
любитель. Кроме того, академии и фонды предлагали значитель-
ные премии, которые стимулировали попытки как дилетантов, так
и профессиональных математиков.
С момента учреждения Премии Вольфскеля в 1908 г. только за
первый год поступило 621 ошибочное решение, а сегодня в Гёт-
тингене хранится почти трехметровый архив переписки и предло-
женных решений задачи Ферма.
Ниже мы приводим список, разумеется, неполный, некоторых
печально известных ошибочных попыток решить эту задачу. В него
угодили даже высокопрофессиональные математики.
Примечательно присутствие в нем Ф. Линдемана, который от-
крыл трансцендентность числа 7г. Но в отношении последней тео-
ремы Ферма все его попытки были неудачны.
Ф. Поле был, кажется, одним из самых упорных: в период с 1841
по 1862 г. он двенадцать раз представлял доказательство Париж-
ской Академии Наук, но за это время не продвинулся в исследова-
нии ни на шаг.
За редким исключением, мы не упоминаем ошибочные реше-
ния, опубликованные авторами в виде отдельных книг или брошюр.
Некоторые из них указаны Флеком и Менхеном (1908-1912), Ми-
римановым (1909), а также Перроном (1916). Вместо этого мы со-
средоточимся на целенаправленных, но неудавшихся попытках ре-
шения, опубликованных в математических журналах или в трудах
конференций.
XII. 1. Публикации списков ошибочных доказательств	401
Вначале мы приводим подборку книг и статей, содержащих
ссылки на неверные доказательства. Затем следует список ошибоч-
ных статей, включающий указание на место обсуждения той или
иной ошибки1.
XII. 1. Статьи и книги, содержащие списки
ошибочных доказательств
1908 Hoffmann, F., Der Satz vom Fermat. Sein seit dem Jahr 1658
gesuchter Beweis, J. Singer, Strasbourg, 1908.
1909 Lampe, E., Jahrbuch Fortschritte Math., 40 (1909), 258-261.
1909/10/11/12/16 Fleck, A. and Maennchen, A., Vermeintliche Bewei-
se des Fermatschen Satzes, Arch. Math. Phys., (3),
14 (1909), 284-286, 370-372;
15 (1909), 108-111;
16 (1910), 105-109 and 372-375;
17 (1911), 108-109 and 370-374;
18 (1912), 105-109 and 204-206;
25 (1916), 267-268.
1910 Lind, B., Uber das letzte Fermatsche Theorem, Abh. Geschichte
Math. Wiss., 26 (1910), 23-65.
1920 Dickson, L.E., History of the Theory of Numbers, Vol. II, Carnegie
Institution, Washington, DC, 1920; reprinted by Chelsea, New
York, 1971.
1973 Besenfelder, H.J2., Das Fermat-Problem, Diplomarbeit, Universi-
tat Karlsruhe, 1973, 61 pp.
XII. 2. Статьи, содержащие ошибочные
доказательства
1810 Barlow, Р., Demonstration of a curious numerical proposition, J.
Nat. Phil. Chem. Arts, 27 (1810), 193-205.
1811 Barlow, P., An Elementary Investigation of Theory of Numbers,
pp. 160-169, J. Johnson, St. Paul’s Church-Yard, London, 1811.
1845 Drach, S.M., Proof of Fermat’s undemonstrated theorem that
xn + yn — zn is only possible in whole numbers when n = 1
or 2, Phil. Mag., 27 (1845), 286-289.
Статья Яхьи использует неверный результат Капферера (1933).
2В августе 1979 г. автор сменил фамилию «Безенфельдер» на «Бентц»
26-27
402 Приложение А. Ссылки на ошибочные доказательства
Таблица 1. Ошибочные доказательства
Год	Автор	Кем указана ошибка	Год
1810,	Барлоу	Смит	1860
1811		Тэлбот	1864 ।
1845	Драх	Диксон, с. 738	1820
1847	Ламе	Лиувилль	1847 1
		Куммер	1847
		Диксон, с. 739/40	1920 1 1
1855	Кальцолари	Линд, с. 48	1910
/57/64		Диксон, с. 743, 744, 746	1920
1864	Годен	Диксон, с. 746	1920
1890	Лефебюр	Пепен	1880
1889	Варис ко	Ландсберг	1890
		Диксон, с. 754	1920
1893	Корнек	Пикар и Пуанкаре	1894
		Диксон, с. 756	1920
1901/	Линдеман	Флек и Менхен	1909
1907/		Фуртвенглер, Флек	1909
1909		Иванов	1910
		Диксон, с. 759, 762	1920
1908	Веребрюсов	Диксон, Вормс де Ромилли,	1908
		Дюран-Лорига, К у рже ль	
		Диксон, с. 762	1920
1910	Линд	Флек	1910
		Диксон, с. 760	1920
1913	Фабри	Мириманов	1913
1955	Беккер	Егган	1981
1956	Фрага Торрехон	Родеха,	1956
1957	Вилласеньор	Math. Rev., 19, №251f	1958
1957	Ногуэра	Math. Rev., 19, № 16e	1958
	Барренече	Math. Rev., 20, №1658	1959
1958/9	Дрегер	Моришима	1960
1958/73	Яхья	Ганди и Стафф	1975
1973/77		Инкери	1984
1966	Сарантопулос	Гаррисон	1967
1978	Зиновьев	Крейзель	1978
1979	Кларк и	Устное сообщение	1983
	Шеннон	Дж. Г. Урселла	
1980	Маггу	Егган	1980
1980	Лаллу-Сингх	Ямагучи	1982
1847
1847
1847
1847
1847
1847
1847
1855
1857
1860
1864
1864
1864
1880
1880
1889
1890
XII.2. Статьи, содержащие ошибочные доказательства 403
Lame, G., Мemoire sur la resolution en nombres complexes de
I’equation An 4- Bn 4- Cn — 0, J. Math. Pures Appl., 12 (1847)
172 184.
Lame, G., Demonstration generale du theoreme de Fermat sur
I’impossibilite en nombres entiers de I’equation xn + yn = zn Q
R. Acad. Sci. Paris, 24 (1847), 310 -314.
Lame, G., Note au sujet de la demonstration du theoreme de
Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris, 24 (1847), 352.
Lame, G., Second memoire sur le dernier theoreme de Fermat,
C. R. Acad. Sci. Paris, 24 (1847), 569 572.
Lame, G., Troisieme memoire sur le dernier theoreme de Fermat,
C. R. Acad. Sci. Paris, 24 (1847), 888.
Kummer, E. E., Extrait d’une lettre de M. Kummer a M.
Liouville, J. Math. Pures Appl., 12 (1847), 136; reprinted in
Collected Papers, Vol. I, p. 298. Springer-Verlag, Berlin, 1975.
Liouville, J., Remarques a I’occasion d’une communication de M.
Lame sur un theoreme de Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris, 24
(1847), 315-316.
Calzolari, L., Tentativo per dimostrare il teorema di Fermat sull’-
equazione indeterminata xn + yn = zn, Ferrara, 1855.
Calzolari, L., Dimostrazione dell’ultimo teorema di Fermat, An-
nali Sci. Mat. B. Tortolini, 8 (1857), 339-349.
Smith, H.J.S., Report on the Theory of Numbers, Part II, Art.
61, ‘Application to the Last Theorem of Fermat”, Collected Math.
Papers, Vol. I, 1894, pp. 131 137 Clarendon Press, Oxford, 1894;
reprinted by Chelsea, New York, 1965.
Calzolari, L., Impossibility. in numeri interi dell’equazione zn =
xn 4- yn quando n > 2, Ann. Mat., 6 (1864), 280-286.
Gaudin, A., Impossibility de I’equation (x 4- A)n - xn = zn, C. R.
Acad. Sci. Paris, 59 (1864), 1036 -1038.
Talbot, W.H.F., On the theory of numbers, Trans. Roy. Soc.
Edinburgh, 23 (1864), 45-52.
Lefebure, A., Sur la resolution de I’equation xn + yn — zn en
nombres entiers, C. R. Acad. Sci. Paris, 90 (1880), 1406-1407.
Pepin, T., Sur diverses tentative^ de demonstration du theoreme
de Fermat, C. R. Acad. Sci. Paris, 91 (1880), 366-367.
Varisco, D., Ricerche aritmetiche contenente la dimostrazione
generale del teorema di Fermat, Giorn. Mat., 27 (1889), 371-380.
Landsberg, O.. Lettera al redattore, Giorn. Mat., 28 (1890), 52.
404 Приложение А. Ссылки на ошибочные доказательства
1893 Korneck, G., Beweis des Fermatschen Satzes von der Unmoghch-
keit der Gleichung xn + yn = zn fur rationale Zahlen und n > ‘2.
Arch. Math. Phys., (2), 13 (1893), 1-9.
1893 Korneck, G., Nachtrag zum Beweis des Fermatschen Satzes, Arch.
Math. Phys., (2), 13 (1893), 263-267.
1894 Picard, E. and Poincare, H., Rapport verbal sur les articles de M.
G. Korneck, C. R. Acad. Sci. Paris, 118 (1894), 841.
1901 Lindemann, F., Uber den Fermatschen Satz betreffend die Un-
moglichkeit der Gleichung xn = yn + zn, Sitzungsber. Akad. Wiss.
Munchen, Math., 31 (1901), 185-202: corrigenda, p. 495.
1907 Lindemann, F., Uber das sogenannte letzte Fermatsche Theorem,
Sitzungsber. Akad. Wiss. Munchen, Math., 37 (1907), 287-352.
1908 Dickson, L. E., Dernier theoreme de Fermat, L’Interm. Math.,
15 (1908), 174.
1908 Curjel, H. W., Dernier theoreme de Fermat (Question 612 de
Worms de Romilly), L’Interm. Math., 15 (1908), 247.
1908 Duran-Loriga, J. J., Sur le dernier theoreme de Fermat (Reponse
de M. Werebrusow), L’Interm. Math., 15 (1908), 177.
1908 Werebrusow, A. S., Impossibilite de I’equation xn = yn 4- zn
(Question 612 de Worms de Romilly), L’Interm. Math., 15
(1908), 79-81.
1908 WTorms de Romilly, A. S., Le dernier theoreme de Fermat,
L’Interm. Math., 15 (1908), 175-177.
1909 Lindemann, F., Uber den sogenannten letzten Fermatschen Satz,
Veit, Leipzig, 1909, 83 pp.
1909 Fleck, A. and Maennchen, A.: See in List I.
1909 Furtwangler, P., Review of Lindemann’s “Uber den sogenannten
letzten Fermatschen Satz,” Jahrbuch Fortschritte Math., 40
(1909), 258.
1910 Ivanov, I.I., Uber den von Prof. F. Lindemann vorgeschlagenen
Beweis des Fermatschen Satzes (Brief an die Redaktion), Jahr-
buch Fortschritte Math., 41 (1910), 238.
1910 Lind, B.: See in List I.
1913 Fabry, E., Un essai de demonstration du theoreme de Fermat, C.
R. Acad. Sci. Paris, 156 (1913), 1814-1816.
1913 Mirimanoff, D., Remarque sur une communication de M. Eugene
Fabry, C. R. Acad. Sci. Paris, 157 (1913), 491-492.
1920 Dickson, L.E., See in List I.
1933 Kapferer, H., Uber die diophantischen Gleichungen z3 — у2 = 33 •
2ЛтЛ+2 und deren Abhdngigkeit von der Fermatschen Vermutung.
XII.2. Статьи, содержащие ошибочные доказательства 405
Heidelberger Akad. Math. Naturwiss. Klasse, Abh. 2 (1933).
32-37.
1956 Fraga Torrejon, E. de, Note on Fermat’s last theorem, Las
Ciencias, 21 (1956), 5-13.
1956 Rodeja, F., E.G., On Fermat’s last theorem, Las Ciencias, 21
(1956), 382-383.
1957 Noguera Barreneche, R., Solution general de la ecuacion alge-
braico-exponential X” 4- Yv = Zv, Studia Rev. Univ. Atlantico,
2 (1957), 119-126.
1957 Noguera Barreneche, R., Historically the first proof incontro-
vertible, complete and universal of the grand theorem of Fermat,
with the Davidic algebra of the “principle of the amateurs”
in mathematical investigation (in Spanish), Studia Rev. Univ.
Atlantico, 2 (1957), 199-209.
1957 Villasenor Z., F., El celebre teorema de Fermat у su demonstra-
tion, Mexico, 1957, 127 pp.
1958 Yahya, Q.A.M.M., Complete proof of Fermat’s last theorem,
Author’s publication, Pakistan Air Force, Kohat, Pakistan, 1958,
14 pp.
1958/9 Draeger, M., Das Fermat-Problem, Wiss. Z. Techn. Hochsch.
Dresden, 8 (1958/9), 941-946.
1960 Morishima, T., Review of the paper by Draeger “Das Fermat-
Problem,” MaXh. Rev., 23 (1960), A2375.
1969 Sarantopoulos, S., Du premier cas du theoreme de Fermat. Bull.
Soc. Math. Grfcce (N.S.), 10 (1969), 76-115.
1971 Garrison, B., Review of the above paper by Sarantopoulos (with
a remark by E.G. Straus), Math. Rev., 42 (1971), No. 4483.
1973 Yahya, Q.A.M.M., On general proof of Fermat’s last theorem,
Portugal. Math., 32 (1973), 157-170.
1975 Gandhi, J.M. and Stuff, M., Comments on certain results about
Fermat’s last theorem, Notices Amer. Math. Soc., 22 (1975), A-
502.
1978 Kreisel, G., Letter to Ribenboim (6 June 1978). Atlantis Hotel,
Zurich.
1979 Clarke, J.H. and Shannon, A.G., Some observations on Fermat’s
last theorem, New Zealand Math. Mag., 16 (1979), 80-83.
1979 Zinoviev, A. A., Complete (rigorous) induction and Fermat s
great theorem (with a report by G. Kreisel), Logique et Anal.,
22 (1979), no. 87, 243-263.
406 Приложение А. Ссылки на ошибочные доказательства
1980 Maggu, P.L., On the proof of Fermat’s last theorem, Pure Appl.
Math. Sci., 12 (1980), 7-9.
1981 Eggan, L.C., Review of the above paper by Maggu, Math. Rev..
81g (1981), No. 10032.
1984 Inkeri, K., On certain equivalent statements for Fermat’s last
theorem — with requisite corrections, Ann. Univ. Turku., Ser. AI,
186 (1984) 12-22; reprinted in Collected Papers of Kustaa Inkeri
(editor P. Ribenboim), Queen’s Papers in Pure and Applied
Mathematics, Vol. 91, Kingston, Ontario, 1992.
ХП.З. Неудовлетворительные попытки
Этот список мы дополним некоторыми публикациями, которые ис-
пользуют методы, явно недостаточные для решения данной задачи.
1951 Natucci, A., Osservazioni sul problema di Fermat, Bull. Un. Mat.
Ital., (3), 6 (1951), 245-248.
1953 Natucci, A., Ricerche sistematiche sull’ultimo teorema di Fermat,
Giorn. Mat., (5), 1(81) (1953), 171-179.
1975 Peiulescu, V., Teorema lui Fermat, Ed. Litera, Bucure§ti, 1975,
86 pp.
1976 Yahya, Q.A.M.M., On general proof of Fermat’s last theorem-
epilogue, Portugal. Math., 35 (1976), 9-15.
1977 Yahya, Q.A.M.M., Fermat’s last theorem—a topological verifica-
tion, Portugal. Math., 36 (1977), 25-31.
1979 De Fermate, J.F. (pseudonym of Guillotte, G.), A Famous
Problem in Number Theory of the First Kind Dating from 1637:
xp -h yp = zp,p > 2, Cowansville Printing, Cowansville, Quebec;
Vol. I, 1979, 22 pp.; Vol. II, 1980, 8 pp.
1980 Singh, L., The general proof of Fermat’s last theorem, J. Indian
Acad. Math., 2 (1980), 43-50.
Также изрядное количество ошибок содержали связанные с по-
следней теоремой Ферма статьи, направленные на получение ча-
стичных результатов, необходимых условий и т. д. Мы указываем
на эти ошибки в соответствующем месте текста книги.
Приложение В
Общая библиография
XII. 1. Труды Ферма
После смерти Ферма его избранные труды были опубликованы под
руководством сына, Самюэля де Ферма.
1679	Varia Opera Mathematica, D. Petri de Fermat,
Senatoris Tolosani. Tolosae, Apud Joannem Pec,
Comitiorum Fuzensium Typographum justa Collegium
P P. Societatis JESU.
Следующие книги представляют собой переиздание в четырех то-
мах с приложением:
1891, 1894, Oeuvres de Pierre de Fermat,
1896, 1912, Publiees par les soins de MM. Paul Tannery et
1922	Charles Henry. Gauthier-Villars, Paris.
Среди писем Ферма следующие имеют отношение к предмету этой
книги:
1636, April 26 Lettre & Mersenne1, Correspondance du Pere Marin
Mersenne, Vol. 6, p. 50. Сошшепсёе par Mme. Paul
Tannery, publi£e et annotee par Cornells de Waard.
Ed. du C.N.R.S, Paris, 1962.
1636, Sept. Lettre & Mersenne [pour Sainte-Croix]. Oeuvres de
Fermat, Vol. Ill, pp. 286-292.
1636, Nov. 4 Lettre a Roberval. Oeuvres de Fermat, Vol. II, p. 83.
1638, beg. June Lettre a Mersenne. Correspondance du Pere Marin
Mersenne, Vol. 7, pp. 272-283. Commencee par Mme.
Paul Tannery, publi£e et annotee par Cornells de
Waard. Ed. du C.N.R.S, Paris, 1962.
1640, May (?) Lettre a Mersenne. Oeuvres de Fermat, Vol. II, pp.
194-195.
1 Согласно Итару (1948), дата написания этого письма — июнь 1638 г. Однако
датой 26 апреля 1636 г. оно сопровождается в издании переписки Мерсенна.
408	Приложение В. Общая библиография
1654, Aug. 29 Lettre a Pascal. Oeuvres de Fermat, Vol. II, pp. 307
310.
1657, Aug. 15 Lettre a Kenelm Digby. Oeuvres de Fermat, Vol. II,
pp. 342-346.
XII.2. Книги, посвященные Ферма
1910 Lind, В., Uber das letzte Fermatsche Theorem, Abh. Geschichte
Math. Wiss., no. 26, 1910, pp. 23-65.
1919 Bachmann, P., Das Fermatproblem in seiner bisherigen Ent-
wicklung, W. de Gruyter, Berlin, 1919; reprinted by Springer-
Verlag, Berlin, 1976.
1927 Khinchin, A.I., Velikai Teorema Ferma (The Great Theorem of
Fermat), Moskau-Leningrad, Staatsverlag, Vol. 76, 1927.
1961 Bell, E.T., The Last Problem, Simon & Schuster, New York, 1961.
1966 Nogufcs, P., Theoreme de Fermat, son Histoire, A. Blanchard,
Paris, 1966.
1972 Mahoney, M.S., The Mathematical Career of Pierre de Fermat,
1601-1665, Princeton University Press, Princeton, NJ, 1973.
1977 Edwards, H.M., Fermat's Last Theorem, A Genetic Introduction
to Algebraic Number Theory, Springer-Verlag, New York, 1977.
1979 Ribenboim, P., IS Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-
Verlag, New York, 1979.
ХП.З. Книги co ссылками на последнюю
теорему Ферма
1859 Smith, H.J.S., Report on the Theory of Numbers, Part II, Art.
61, “Application to the last theorem of Fermat."Report of the
British Association for 1859, pp. 228-267. Reprinted in Collected
Mathematical Works, Vol. I, pp. 131-137, Clarendon Press,
Oxford, 1894; reprinted by Chelsea, New York, 1965.
1897 Hilbert, D., Die Theorie der algebraischen Zahlkorper, Jah-
resber. Deutsch. Math.-Verein., 4 (1897), 175-546; reprinted in
Gesammelte Abhandlungen, Vol. I, Chelsea, New York, 1965.
1910 Bachmann, P., Niedere Zahlentheorie, Vol. II, Teubner, Leipzig,
1910; reprinted by Chelsea, New York, 1968.
1920 Dickson, L.E., History of the Theory of Numbers, Vol. II. Carnegie
Institution, Washington, DC, 1920; reprinted by Chelsea, 1971.
XIL4. Обзорные и исторические статьи
409
1927 Landau, Е., Vorlesungen uber Zahlentheorie, Vol. Ill, Hirzel,
Leipzig, 1927; reprinted by Chelsea, New York, 1947.
1928 Vandiver, H.S. and Wahlin, G.E., Algebraic Numbers, Vol. IL
Bull. Nat. Research Council No. 62, 1928; reprinted-by Chelsea,
New York, 1967.
1937 Bell, E.T., Men of Mathematics, Simon & Schuster, New York,
1937.
1951 Nagell, T., Introduction to Number Theory, Wiley, New York,
1951; reprinted by Chelsea, New York, 1962.
1956 Ostmann, H.H., Additive Zahlentheorie, Vol. II, Springer-Verlag,
Berlin, 1956.
1962 Shanks, D., Solved and Unsolved Problems in Number Theory,
Vol. I, Spartan, Washington, DC, 1962; reprinted by Chelsea,
New York, 1978.
1966 Borevich, Z.I. and Shafarevich, I.R., Number Theory, Academic
Press, New York, 1966.
1969 Mordell, L. J., Diophantine Equations, Academic Press, New York,
1969.
1982 Koblitz, N. (editor), Number Theory Related to Fermat’s Last
Theorem, Birkhauser, Boston, 1982.
1984 Weil, A., Number Theory, An Approach Through History from
Hammurapi to Legendre, Birkhauser, Boston, 1984.
ХП.4. Обзорные, исторические
и библиографические статьи
1807 Gauss, C.F., Letter to Sophie Germain (Braunschweig, 30 April,
1807). Werke, Vol. X, Part I, pp. 70-74. Konigl. Ges. Wiss.,
Gottingen, Teubner, Leipzig, 1917.
1816 Gauss, C.F., Letter to Wilhelm Olbers (March 21, 1816). Werke,
Vol. X, Part I, pp. 75-76. Konigl. Ges. Wiss., Gottingen, Teubner,
Leipzig, 1917.
1841 Terquem, O., Theoreme de Fermat sur un trindme, demon-
stration de M. Lame, projet de souscription, Nouv. Ann. Math.,
6 (1847), 132-134.
1879 Henry, C., Recherches sur les manuscripts de Pierre de Fermat,
Bull. Bibliografia Storia Scienze Matem. Fis., 12 (1879), 477-568
and 619-740.
1879 Mansion, P., Remarques sur les theoremes arithmetiques de
Fermat, Nouv. Corr. Math., 5 (1879), 88-91 and 122-125.
410
Приложение В. Общая библиография
1880 Germain, S., Cinq lettres de S. Germain a C.F. Gauss, pubhees
par B. Boncompagni, Arch. Math. Phys., 63 (1880), 27-31; 66
(1881), 3-10.
1883 Tannery, P., Sur la date des principales decouvertes de Fermat,
Bull. Sci. Math. Ser. 2, 7 (1883), 116-128; reprinted by Sphinx-
Oedipe, 3 (1908), 169ff.
1887 Henry, C., Lettre a M. le Prince de Boncompagni sur divers
points d’histoire des mathematiques, Bull. Bibliografia Storia
Scienze Matem. Fis., 20 (1887), 389-403.
1898 Gram, J.P., От Fermat og haus sidote Saetning, Forhandlingar
Skandinaviska Natursforskare, Gotheborg, 1898, p. 182.
1901 Gambioli D., Memoria bibliografica sull’ultimo teorema di Fer-
mat, Period. Mat., 16 (1901), 145-192.
1902 Gambioli, D., Appendice alia mia memoria bibliografica sull’-
ultimo teorema di Pietro Fermat, Period. Mat., (2), IV, 17 (1902),
48-50.
1908 Hoffmann, F., Der Satz vom Fermat. Sein seit dem Jahr 1658
gesuchter Beweis, J. Singer, Strasbourg, 1908.
1908 Schonbaum, E., Arbeiten von Kummer uber den Fermatschen
Satz, Casopis РёзЬ Mat., 37 (1908), 484-506.
1910 Gerardin, A., Etat actuel de la demonstration du grand theoreme
de Fermat, Assoc. Fran^aise Avanc. Sciences, Toulouse, I, 39
(1910), 55-56.
1912 Wolfskehl Prize. Bekanntmachung, Math. Ann., 72 (1912), 1-2.
1917 Dickson, L.E., Fermat’s last theorem and the origin and nature
of the theory of algebraic numbers, Ann. of Math., 18 (1917),
161-187.
1921 Mordell, L.J., Three Lectures on Fermat’s Last Theorem, Cam-
bridge University Press, Cambridge, 1921; reprinted by Chelsea,
New York, 1962.
1925 Ore, O., Fermat’s theorem (in Norwegian). Norske Mat. Tids-
skrift, 7 (1925), 1-10.
1941 Brdic-Kostic, M., Das Fermatproblem, xn + yn => zn, Zagreb,
1941.
1943 Hofmann, J.E., Neues uber Fermats zahlentheoretische Heraus-
forderungen von 1657 (mit zwei bisherunbekannten Originalstu-
ecken Fermats}, Abh. Preussischen Akad. Wiss., Math.-Naturw.
KI., 1943, No. 9, 52 pp.
1946 Vandiver, H.S., Fermat’s last theorem, Amer. Math. Monthly, 53
(1946), 555-578.
XII.4. Обзорные и исторические статьи
411
1948
1948
1957
1959
1970
1972
1973
1973
1973
1974
1974
1975
1975
1976
1977
1980
Got, Т., Une enigme mathematique: Le dernier theoreme de Fer-
mat (a chapter in Les Grands Courants de la Pensee Mathemat-
ique, edited by F. Le Lionnais), Cahiers de Sud, Marseille, 1948.
Reprinted by A. Blanchard, Paris, 1962. Translated into English
(2 volumes). Dover, New York, 1971.
Itard, J., Sur la date a attribuer a une lettre de Pierre Fermat,
Rev. Historic Sci. Appl., 2 (1948), 95-98.
Un Mathematician de Genie: Pierre de Fermat, 1601-1665, Ьусёе
Pierre de Fermat, Toulouse, 1957.
Schinzel, A., Sur quelques propositions fausses de P. Fermat, C.
R. Acad. Sci. Paris, 249 (1959), 1604-1605.
Smadja, R., Le theoreme de Fermat (thfcse de 3e cycle), Universit6
de Paris VI, 1970.
Mahoney, M.S., Fermat’s Mathematics: Proofs and Conjectures,
Science, 178 (1972), 30-36.
Albis Gonzalez, V., El senor Fermat у sus problemas, Bol. Mat.,
Bogota, 7 (1973), 219-232.
Besenfelder, H.J. (now Bentz, H.J.), Das Fermat-Problem, Dip-
lomarbeit, Univ. Karlsruhe, 1973, 61 pp.
Fournier, J.C., Sur le Dernier Theoreme de Fermat (thfcse de 3e
cycle). Universit£ de Paris VI, 1973.
Ferguson, R.P., On Fermat’s last theorem, I-II, J. Undergrad.
Math., 6 (1974), 1-14 and 85-98.
Weil, A., La cyclotomie jadis et naguere, Enseign. Math., 20
(1974), 247-263. Reprinted in Essais Historiques sur la Theorie
des Nombres. Monographic no. 22 de L’Enseignement Math£ma-
tique, 1975. G£nfcve, 55 pp. Reprinted in Collected Papers, Vol.
Ill, pp. 311-328. Springer-Verlag, New York, 1980.
Edwards, H.M., The background of Kummer’s proof of Fermat’s
last theorem for regular primes, Arch. History Exact Sci., 14
(1975), 219-236.
Ferguson, R.P., On Fermat’s last theorem, III, J. Undergrad.
Math., 7 (1975), 35-45.
Christy, D., Le dernier thereme de Fermat et le theoreme de Roth,
S£m. Alg. Th. Nombres, Caen, 1976/7, 12 pp.
Edwards, H.M., Postscript to: “The background of Kummer s
proof of Fermat’s last theorem for regular primes”, Arch. History
Exact Sci., 17 (1977), 381-394.
de Rham, G., Breve notice sur Dmitri Mirimanoff, Cahiers S£m.
Histoire Math. Paris, 1 (1980), 32-33.
412
Приложение В. Общая библиография
1980 Cassinet, R., La descente infinie de Campanus a Hilbert, 1261)
1897, Sem. Histoire Math. Toulouse, 1980, cahier no. 2, pp. Bl
to B25.
1980 Ribenboim, P., Les idees de Kummer sur le theoreme de Fermat,
Seminaire de Philosophie et Mathematiques, Ecole Normale Sup.
Paris, 1979, 11 pp.
1980 Terjanian, G., Fermat et son arithmetique, Sem. Histoire Math.
Toulouse, 1980, cahier no. 2, pp. Al to A35.
См. также статьи в следующих словарях и энциклопедиях:
1961 Fermat; Fermat’s last theorem. Encyclopedia Americana, Vol. 11,
pp. 125-125, 1961 edition.
1977 Boyer, C.B., Fermat, Pierre de. Encyclopaedia Britannica, Mac-
ropaedia, Vol. 7, pp. 234-236, 1977 edition.
1977 lyanaga, S. and Kawada, Y. (editors), Fermat’s Problem. Encyc-
lopedic Dictionary of Mathematics (by The Mathematical Society
of Japan), pp. 512-513. Translation reviewed by K.O. May, MIT
Press, Cambridge, MA, 1977.
1979 Bouvier, A., George, M., and Le Lionnais, F., Fermat, Pierre
Simon de (1606-1665). Dictionnaire des Mathematiques, p 296.
Presses Universitaires de France, Paris, 1979.
ХП.5. Критические статьи и обзоры
1839 Cauchy, A. and Liouville, J., Rapport sur un memoire de M.
Lamt relatif au dernier thtor&me de Fermat, C. R. Acad. Sci.
Paris, 9 (1839), 359-363; also appeared in J. Math. Pures Appl..
5 (1840), 211-215 and Oeuvres Completes, S£r. 1, Vol. 4, pp.
494-504, Gauthier-Villars, Paris, 1884.
1856 Cauchy, A., Rapport sur le concours relatif au dernier the-
oreme de Fermat {Commissaires MM. Bertrand, Liouville, Lame,
Chasles; Cauchy rapporteur), C. R. Acad. Sci. Paris, 44 (1856),
p. 208.
1881 Catalan, E., Jugement du concours annuel, Bull. Acad. Roy. Sci.
Belgique, (3), 6 (1881), 814-832.
1973 Weil, A., Review of “The Mathematical Career of Pierre de
Fermat” by M. S. Mahoney, Bull. Amer. Math. Soc., 79 (1973).
1138-1149. Reprinted in Oeuvres Scientifiques, Vol. 3, pp. 266-
277, Springer-Verlag, Berlin, 1979.
1977 Mazur, B., Review of Kummer’s “Collected Papers,” Vols. I and
II, Bull. Amer. Math. Soc., 83 (1977), 976-988.
Список литературы о теореме
Ферма на русском языке
В списках литературы работы, имеющиеся на русском языке, вы-
делены полужирным шрифтом. Здесь мы приводим их список (они
также выделены) и некоторую дополнительную литературу, охва-
тывающую период с 1905 г. до настоящего времени. Разумеется, на-
стоящий список литературы, которая может быть использована при
изучении теоремы Ферма, не претендует на полноту, но он будет,
по нашему мнению, полезен русскоязычным читателям.
1905 Веребрюсов А. С. Об уравнении х5 + у5 = Az5. — Московский
Математический Сборник, 1905, т. 25, с. 466-473.
1922 Делоне Б. Н. Решение неопределенного уравнения x3q 4- у3 =
= 1. — Известия Российской АН. Сер. 6, 1922, т. 16, с. 273-280.
1934 Хинчин А. Я. Великая теорема Ферма. — Изд. третье — М.-
Л.: ГТТИ, 1934.
1940 Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел: Пер. с
нем. - М.-Л.: ГТТИ, 1940.
1940 Делоне Б. Н., Фаддеев Д. К. Теория иррациональностей тре-
тьей степени. — Труды Математического института АН
СССР, 1940, т.11, с. 1-340.
1948 Риман Б. Сочинения: Пер. с нем. — М.-Л.: ГТТИ, 1948.
1959 Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел: Пер. с нем. — М.: Изда-
тельство АН СССР, 1959.
1965 Дэвенпорт Г. Высшая арифметика. Введение в теорию чисел:
Пер. с англ. — М.: Наука, 1965.
1969 Касселе Дж., Фрёлих А. Алгебраическая теория чисел: Пер.
с англ. — М.: Мир, 1969.
1970 Кобелев В. В. Доказательство великой теоремы Ферма для
всех простых показателей, меньших 5500. — Доклады АН
СССР, 1970, т. 190, №4, с. 767-768.
1971 Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел: Пер.
с англ. — М.: Наука, 1971.
414	Список литературы на русском языке
1972 Вейль А. Основы теории чисел: Пер. с англ. — М.: Мир, 1972.
1972 Постников М. М. Теорема Ферма. — М.: Наука, 1972.
1972 Серр Ж.-П. Курс арифметики: Пер. с англ. — М.: Мир, 1972.
1974 Диофант. Арифметика и книга о многоугольных числах: Пер.
с древнегреческого — М.: Наука, 1974.
1979 Ленг С. Введение в теорию модулярных форм: Пер. с англ. —
М.: Мир, 1979.
1980 Эдвардс Г. М. Последняя теорема Ферма. Генетическое вве-
дение в алгебраическую теорию чисел: Пер. с англ. — М.: Мир,
1980.
1981 Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.: Наука, 1981.
1982 Касселе Дж. Рациональные квадратичные формы: Пер. с
англ. — М.: Мир, 1982.
1982 Коблиц Н. р-адические числа, р-адический анализ и дзета-
функции: Пер. с англ. — М.: Мир, 1982.
1985 Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — Изд. третье,
дополненное — М.: Наука, — 1985. — 504 с.
1987 Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную
теорию чисел: Пер. с англ. — М.: Мир, 1987. — 416 с.
1988 Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные
формы: Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
1989 Бюлер В. Гаусс: Пер. с англ. — М.: Наука, 1989.
1990 Труды семинара Н. Бурбаки за 1988 г.: Пер. с франц, и англ. —
М.: Мир, 1990.
1992 Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. — Изд. шестое, дополнен-
ное — М.: Наука, 1992.
1997 Прасолов В. В., Соловьев Ю. П. Эллиптические функции и
алгебраические уравнения. — М.: Факториал, 1997.
1998 Гильберт Д. Избранные труды: Пер. с нем., Т. 1. — М.: Фак-
ториал, 1998.
1998 Соловьев Ю. П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема
Ферма. — Соросовский образовательный журнал, 1998, №2,
с. 135-138.
1999 Виноградов И. М. Элементы высшей математики. — М.:
Высшая школа, 1999.
2000 Гашков С. Б., Чубариков В. 1т. Арифметика. Алгоритмы.
Сложность вычислений. — Изд. второе, переработанное — М.:
Высшая школа, 2000. — 320 с.
2000 Сингх С. Великая теорема Ферма: Пер. с англ. — М.: Изда-
тельство МЦНМО, 2000. — 288 с.
Именной указатель
Абель (Abel N.) 116, 121, 182, 212,
220
Аго (Agoh Т.) 12
Адамар (Hadamard J.) 156
Адлеман (Adleman L.M.) 137, 140,
380, 381
Айгнер (Aigner М.) 111
Алу (Helou С.) 152, 156, 243, 251
Альберт (Albert А.А.) ПО
Альбис Гонсалес (Albis Gonzalez
V.) 411
Анри (Henry С.) 407, 409, 410
Арвин (Arwin А.) 199, 200
Артин (Artin Е.) 106, 111
Архипов Г.И. 171
Банг (Bang A.S.) 28, 32, 106, ПО,
125, 139, 142, 143, 145, 148,
151, 155
Баризьен (Barisien E.N.) 233, 237,
239, 250
Барлоу (Barlow Р.) 28, 31, 116,
120, 121, 123, 210, 218, 401, 402
Бахман (Bachmann Р.) 32, 116,
122, 139, 155, 233, 237, 320, 408
Баше (Bachet С. G.) 13, 22
Бегунц А.В. 8
Безенфельдер (Besenfelder Н. J.)
401, 411
Безу (B6zout Ё.) 115
Бейтман (Bateman Р.Т.) 158, 159
Беккер (Becker H.W.) 225, 230, 402
Белл (Bell Е.Т.) 408, 409
Бендц (Bendz T.R.) 28, 32, 264,
269
Бентц (Bentz H.J.) 401, 411
Бергман (Bergmann G.) 37, 54
Бертран (Bertrand J.) 28, 32
Бехара (Behaiа М.) 181
Бигер (Beeger N.G.W.H.) 379
Бине (Binet J.) 150, 154, 174, 181
Бини (Bini U.) 213, 220, 233, 237,
284, 285, 292
Биркгоф (Birkhoff G.D.) 103, 106,
ПО, 189, 191, 192
Бойд (Boyd D.W.) 152, 156
Бойер (Boyer С.В.) 412
Бомбьери (Bombieri Е.) 86
Бонкомпаньи (Boncompagni В.)
410
Боревич З.И. 378, 379, 409, 414
Борлетти (Borletti F.) 213, 220
Ботт (Bott R.) 396
Боттари A. (Bottari А.) 19, 23, 28,
32, 273, 292
Боттери В. (Botteri V.) 12
Боше (Bocher М.) 112, 115, 292
Браун (Brown Т.С.) 382
Брауэр (Brauer А.) 202, 211
Брент (Brent R.P.) 158, 159
Бройш (Breusch R.) 79, 80, 82, 83,
86
Брокар (Brocard Н.) 231, 237, 240,
251
Броункер (Brouncker W.) 37
Брчич-Костич (BrCid-Kostid М.)
79, 86, 195, 200, 239, 251, 410
Бувье (Bouvier А.) 412
Булер (Buhler J.P.) 378, 379
Бурбаки (Bourbaki N.) 414
Бусси (Bussi С.) 272, 293
Бутен (Boutin А.) 233, 237
1 »олер (Buhler W.) 414
Именной указатель
416
Вагштаф (Wagstaff S.) 192, 201
Вагштаф мл. (Wagstaff Jr. S.S.)
380
Валин (Wahlin G.E.) 409
Валле Пуссен (de la Vall£e Poussin
C.J.) 156
Валлис (Wallis J.) 25, 31, 37
Вандивер (Vandiver H.S.) 103, 106,
110, 134, 135, 139, 183, 184,
199, 200, 283, 314, 321, 322,
378, 379, 409, 410
Варинг (Waring E.) 236, 244, 246,
249
Вариско (Varisco D.) 402, 403
Вашет (Vachette A.) 233, 237
Вебб (Webb W.A.) 54, 56, 64
Вейль (Weil A.) 92, 314, 320, 322,
379, 390, 396, 409, 411, 412, 414
Велып (Welsch) 53, 240, 251
Вендт (Wendt E.) 135, 138, 140,
142, 143, 155
Веребрюсов A.C. 72, 232, 237, 402,
404, 413
Виванти (Vivanti G.) 96, 111
Вилласеньор (Villasenor Z.) 402,
405
Виноградов И.М. 5, 414
Вирзинг (Wirsing E.) 397
Виферих (Wieferich A.) 283, 379,
380
Вормс де Ромилли (Worms de
Romilly A.S.) 402, 404
Воробьев H.H. 151, 155, 414
Врэнчеану (Vranceann G.) 27, 28,
33, 44, 46, 54, 267, 270
Гайяши (Hayashi T.) 72, 73, 79, 86
Гамбиоли (Gambioli D.) 28, 32, 47,
53, 72, 213, 220, 410
Ганди (Gandhi J.M.) 134-136, 139,
140, 154-156, 190, 192, 195,
201, 224, 230, 258, 270, 402, 405
Ганнинг (Gunning R.C.) 394
Гаррисон (Garrison B.) 402, 405
Гаусс (Gauss C.F.) 17, 23, 40, 55.
58, 64, 72, 163, 221, 231, 237.
314, 384, 409, 410, 413
Гашков С.Б. 414
Гекке (Hecke E.) 388, 413
Гензель (Hensel K.) 160, 169, 173
Гильберт (Hilbert D.) 33, 36, 408.
414
Гильот (Guillotte G.) 406
Глейшер (Glaisher J.W.L.) 239,
248-250
Говеа (Gouvea F.Q.) 12, 393-396
Годен (Gaudin A.) 402, 403
Гольдзихер (Goldziher H.) 273, 292
Гольдштейн (Goldstein C.) 270,
397
Гольмбо (Holmboe B.M.) 116, 121
Гонсалес Кихано (Gonzalez
Quijano P.M.) 233, 237
Гот (Got T.) 411
Гофман (Hofmann J.E.) 5, 6, 410
Грам (Gram J.P.) 410
Грей (Grey L.D.) 222, 230
Григорьев (Grigorieff E.) 239, 251
Гризелль (Griselle T.) 221, 230
Гроссвальд (Grosswald E.) 54, 139
Грэнвилль (Granville A.) 134, 140.
154, 156, 283, 379 382
Гундерсон (Gunderson N.G.) 380
Гурвиц (Hurwitz A.) 51, 53, 252.
256, 269, 313, 320, 322, 333. 334
Гут (Gut M.) 229
Гюнтер (Gunther S.) 47, 52
Даймонд (Diamond F.) 396
Дармон (Darmon H.) 396
Де Ферма (De Fermate J.F.)
(псевдоним Гильота) 406
Делоне Б.Н. 413
Дене (Denes Р.) 134, 139
Джеймс (James G.) 116, 118, 122.
184, 185, 200
Именной указатель
Джексон (Jackson J.S.) 244, 249
Дженокки (Genocchi А.) 78, 79
Джероно (Gerono G.C.) 240, 250
Джонсон (Johnson W.) 196, 201
Джордж (George М.) 412
Дигби (Digby К.) 25, 31, 37, 51,
408
Диксон (Dickson L.E.) 15, 23, 82,
106, ПО, 134, 139, 154, 155, 174,
181, 207, 211, 244, 312-316, 319,
320, 341, 401, 402, 404, 408, 410
Дильхер (Dilcher К.) 379, 395
Диофант (Diophantus) 13, 15, 23,
414
Дирихле (Dirichlet P.G.L.) 42, 65,
71, 82, 84, 85, 138, 156, 222, 389
Дитман (Dittmann G.) 219, 221
Дойринг (Deuring М.) 390
Драх (Drach S.M.) 401, 402
Дрегер (Draeger М.) 118, 123, 402,
405
Дуарте (Duarte F.J.) 47, 53
Дэвенпорт Г. (Davenport Н.) 413
Дюбуа (Dubouis Е.) 237, 320
Дюран-Лорига (Duran-Loriga J.J.)
402, 404
Евклид (Euclid) 15, 22
Егган (Eggan L.C.) 402, 406
Жакме (Jacquemet С.) 96, ПО
Жерар (Girard А.) 249
Жерарден (Gerardin А.) 410
Жермен (Germain S.) 78, 82, 116,
118, 125, 126, 129, 135, 136,
138, 221, 229, 380, 409, 410
Жонкюре (Jonquieres Е. de) 213,
220, 287, 292
Зальшутц (Saalschiitz L.) 244, 250
Зауэр (Sauer R.) 213, 220
Зибек (Siebeck Н.) 174, 181
7-27
417
Зигель (Siegel C.L.) 263, 269
Зигмонди (Zsigmondy К.) 106, ПО
Зиновьев (Zinoviev А.А.) 402 405
Зоммер (Sommer J.) 33, 36, 53
Иванов (Ivanov I.I.) 402, 404
Извеков (Izvekoff J.) 213, 220
Инкери (Inkeri К.) 12, 96, 99, 103,
111, 184, 187, 200, 202, 204,
210-212, 217, 220, 258, 259,
262-264, 270, 283, 293, 402, 406
Итар (Itard J.) 407, 411
Иф (Yf Р.) 37, 54
Ихара (Ihara Y.) 397
Иянага (lyanaga S.) 412
Кавада (Kawada Y.) 412
Кальцолари (Calzolari L.) 47, 52,
402, 403
Кандидо (Candido G.) 239, 251
Кани (Kani Е.) 12, 396
Канольд (Kanold H.J.) 106, 111
Капферер (Kapferer Н.) 82, 86,
111, 137, 139, 244, 247, 251,
252, 258, 259, 263, 269, 275,
276, 280, 293, 401, 404
Каркави (Carcavi) 7, 25, 31, 37
Карлиц (Carlitz L.) 244, 246, 251
Кармайкл (Carmichael R.D.) 23,
28, 33, 37, 47, 53, 106. 110,
189-191, 193, 196, 199
Касселе (Cassels J.W.S.) 394. 413,
414
Кассине (Cassinet R.) 412
Каталан (Catalan E.) 116, 122, 217,
220, 231, 237, 239, 240, 250, 412
Каттанео (Cattaneo P.) 19, 23,
273, 292
Кауслер (Kausler C.F.) 28, 31, 47,
51, 82, 85
Квайн (Quine W.V.) 267, 270
Келле (Cailler R.) 281. 292
Келлер (Keller W.) 379
418	Именной указатель
Кисс (Kiss Р.) 288, 289, 293, 294
Кламкин (Klamkin M.S.) 290, 293
Кларк Д. (Clark D.) 379
Кларк Дж. (Clarke J.H.) 402, 405
Клёсген (Klosgen W.) 189, 193,
195, 201, 241, 243, 251, 306, 309,
315, 322, 337, 338, 361, 373, 376
Кобелев В.В. 413
Коблиц (Koblitz N.) 394, 409, 414
Ковалевская С.В. 244, 250
Кокотт (Kokott Р.) 82, 86
Кокс (Сох D.A.) 395
Колывагин В. 397
Кон (Cohn Р.М.) 112, 115
Копперсмит (Coppersmith D.) 380
Корнаккья (Cornacchia G.) 312,
313, 320
Корнек (Korneck G.) 402, 404
Корнелл (Cornell G.) 394, 396
ван дер Корпут (van der Corput
J.G.) 47, 53, 72, 73
Коши (Cauchy A.M.) 78, 125, 192,
199, 238, 249, 412
Краснер (Krasner M.) 134, 139,
264, 269
Крей (Krey H.) 47, 53
Крейзель (Kreisel G.) 402, 405
Кристи (Christy D.) 411
Кристилль (Christilles W.E.) 136,
140, 252, 254, 270
Кришнасастри (Krishnasastri
M.S.R.) 136, 139
Кронекер (Kronecker L.) 28, 32,
44, 52
Крэндалл (Crandall R.E.) 379
Куйк (Kuyk W.) 394
Куммер (Kummer E.E.) 91, 92, 96,
110, 210, 211, 221, 229, 233,
236, 377-379, 402, 403, 412
Куржель (Curjel H.W.) 402, 404
Кэли (Cayley A.) 239, 249
Кэри (Carey F.S.) 313, 320
Лагранж (Lagrange J.L.) 31, 96,
110, 285, 292, 367
Ламе (Lame G.) 47, 52, 72, 73, 78,
79, 82, 84, 85, 231, 236, 238,
249, 402, 403
Лампе (Lampe E.) 401
Ландау (Landau E.) 37, 53, 319,
320, 409
Ландсберг (Landsberg O.) 402, 403
Ле Лионне (Le Lionnais F.) 411,
412
Лебег (Lebesgue V.A.) 28, 32, 72,
73, 79, 231, 237, 252, 269, 311,
312, 319
Левек В. (Leveque W.J.) 322
Левек К. (Levesque C.) 396
Лежандр (Legendre A.M.) 26, 28,
29, 31, 32, 37, 40, 47, 51, 61, 64,
65, 72, 73, 78, 82, 85, 90 92,
103, 110, 116, 118, 122, 125-127,
129, 133, 134, 138, 223, 310, 319
Лежандр P. (Legendre R.) 37, 54
Лексель (Lexell A.J.) 86
Лемер Д. (Lehiner D.H.) 174, 181,
378, 379
Лемер Э. (Lehmer E.) 143 145,
151, 155, 314, 322, 378
Ленг (Lang S.) 390, 394, 395, 414
Ленстра (Lenstra H.) 12, 388
Ленстра мл. (Lenstra Jr. H.W.)
393, 397
Леонардо Пизанский (Фибоначчи)
(Leonardo di Pisa) 16
Леопольдт (Leopoldt H.-W.) Ill
Лефебюр (Lefebure A.) 402, 403
Либри (Libri G.) 310-312, 319
Линд (Lind B.) 82, 86, 116, 118,
122, 183, 199, 207, 211, 264,
269, 401, 402, 404, 408
Линдеман (Lindemann F.) 116,
122, 400, 402, 404
Линц (Lintz R.G.) 181
Именной указатель
Литтлвуд (Littlewood J.E.) 158,
314
Лиувилль (Lionville J.) 78, 238,
249, 253, 269, 402, 403, 412
Лонг (Long L.) 222, 223, 230
Лузин Н.Н. 5
Любельский (Lubelski S.) 151, 155
Люка Ф. (Lucas F.) 96, ПО, 247,
250
Люка Э. (Lucas Е.) 30, 32, 51, 52,
92, 93, 174, 181, 212, 220, 239,
244, 250
Люнебург (Luneburg Н.) 106, 111
Marry (Maggu P.L.) 402, 406
Мазур (Mazur В.) 393, 396, 397,
412
Макмагон (MacMahon Р.А.) 250
Манн (Mann Н.В.) 54, 56, 64
Мансьон (Mansion Р.) 212, 220,
409
Мантель (Mantel W.) 319, 320
Мариани (Mariani J.) 19, 23
Марков (Markoff V.) 212, 220
Массер (Masser D.W.) 382, 383
Массутье (Massoutie L.) 201, 211
Махони (Mahoney M.S.) 408, 411,
412
Мейе (Maillet Е.) 78, 79, 134,
137-139
Мейснер (Meissner W.) 190, 199,
379
Менхен (Maennchen А.) 400-402,
404
Меншен (Mention J.) 231, 233, 237
Мерсенн (Mersenne М.) 25, 26, 30,
31, 37, 407
Метро (Metrod G.) 291, 292
Метрополис (Metropolis N.) 201
Метсянкиля (Metsankyla Т.) 12,
379
Мёллер (Moller К.) 96, 111, 212,
216. 221
419
Мийяке (Miyake Т.) 394
Мириманов Д. 72, 82, 86, 134, 139
229, 241, 243, 250, 281, 283,
292, 379, 380, 400, 402, 404?
Митчелл (Mitchell Н.Н.) 314, 320
Михальинеч (Mihaljinec М.) 273
293
Монаган (Monagan М.В.) 379, 380
Морделл (Mordell L.J.) 51, 54, 61,
381, 409, 410
Моришима (Morishima Т.) 402,
405
Мория (Moriya М.) 137
Муир (Muir Т.) 141, 155, 239, 244,
245, 248, 250
Мурти (Murty М. Ram) 394, 395
Мэй (Мау К.О.) 412
Мэйсон (Mason R.C.) 382, 383
Мэтьюс (Matthews G.B.) 82, 85,
142, 143, 155, 250, 310, 320
Нагель (Nagell Т.) 53, 71, 73, 79,
409
Натуччи (Natucci А.) 406
Невядомский (Niewiadomski R.)
184, 200, 207, 211, 291, 292
Нестер (Nester) 240, 251
Нетаньяху-Милейковский
(Netanjahu-Mileikowsky Е.М.)
213, 220
Нидермайер (Niedermeier F.) 221,
222, 229
Ногуэра Барренече (Noguera
Barreneche R.) 402, 405
Ногуэс (Nogues Р.) 408
Нутцхорн (Nutzhorn F.) 28, 32
Облаф (Oblath R.) 30, 33
Огг (Ogg A.) 394
Ольберс (Gibers W.) 409
Ope (Ore O.) 410
Остман (Ostmann H.H.) 409
Именной указатель
420
Пальмстрем (Palmstrom А.) 53
Паскаль (Pascal В.) 7, 25, 31, 408
Пауэлл (Powell В.) 134, 137, 140
Пелле (Pellet А.Е.) 310-312, 320
Пелль (Pell J.) 285
Пепен (Pepin Т.) 28, 32, 37, 51, 52,
78, 79, 310-312, 319, 320, 402,
403
Перес-Качо (Рёгег-СасЬо L.) 118,
123, 183, 200, 201, 204, 211,
264, 267, 269, 271, 272, 274, 293
Перисастри (Perisastri М.) 136,
139, 140
Перрен (Perrin R.) 47, 52, 252,
255, 269
Перрон (Perron О.) 237, 244, 251,
400
Пешль (Peschl Е.) 340, 376
Пеюлеску (Peiulescu V.) 406
Пиза (Piz£ Р.А.) 37, 54
Пикар (Picard Е.) 402, 404
Пиньятаро (Pignataro S.) 285, 293
Пифагор (Pythagoras) 15
Платон (Plato) 15
Племель (Plemelj J.) 71, 73
Поклингтон (Pocklington Н.С.)
252, 269
Поле (Paulet F.) 400
Поллачек (Pollaczek F.) 200, 210,
211, 283, 293, 337, 379, 380
Поме (Pomey L.) 118, 122, 137,
139, 183, 184, 200-202, 211
Померане (Pomerance С.) 379
Попов О-В. 8
ван дер Портен (van der Poorten
А.) 396
Постников М.М. 414
Прасолов В.В. 414
Преображенский С.Н. 8
Пуанкаре (Ротсагё Н.) 402, 404
Пьер (Pierre С.) 123, 124, 206, 211,
280, 281, 293
Раина (Raina B.L.) 224, 225, 230
Райт (Wright Е.М.) 17, 23
Раклиш (Racli§ N.) 116, 122, 185,
200
де Рам (de Rham G.) 411
Рамакришна (Ramakrishna R.) 397
Рамесвар Рао (Rameswar Rao D.)
208, 212, 273, 293
Ребу (Rebout E.) 231, 237
Редей (Rёdei L.) 237, 244, 251
Рейс (Reis G.) 208
Ренч (Wrench J.W.) 158
Реталь (Retail V.) 239, 251
Рибенбойм (Ribenboim P.) 5, 8, 23,
64, 73, 151, 156, 173, 181, 258,
262, 270, 285, 293, 294, 335,
376, 379, 382, 395, 406, 408, 412
Рибет (Ribet K.A.) 264, 392-398
Ривуар (Rivoire P.) 134, 140, 142,
155, 264, 270
Риман (Riemann B.) 389, 413
Роберваль (Roberval) 7, 407
Родеха (Rodeja F.) 402, 405
Роллеро (Rollerо A.) 208, 212
Россер (Rosser J.B.) 283, 379
Роткевич (Rotkiewicz A.) 228, 230
Роуз (Rose J.) 233, 237
Рубин (Rubin K.) 395, 398
Рыхлик (Rychlik K.) 28, 32, 47, 53,
72
Садовничий В.A. 171
Сайпра (Cipra В.A.) 394
Сарантопулос (Sarantopoulos S.)
402, 405
Свистак (Swistak J.M.) 272, 293
Свифт (Swift E.) 82, 86
Сегал (Segal D.) 185, 200
Секстон (Sexton C.R.) 158
Сен-Круа (Sainte-Croix Chevalier
de) 25, 26, 30, 37, 407
Сен-Мартен (Saint-Martin) 25, 30
Серпинский (Sierpiriski W.) 19, 23.
54
Именной указатель
Серр (Serre J.-P.) 392, 395, 397,
414
Серре (Serret J.A.) 237, 244, 250
Сильверберг (Silverberg А.) 395
Сильверман (Silverman J.H.) 394,
396
Сильвестр (Sylvester J.J.) 51, 52,
64, 96, 110
Симмонс (Simmons G.J.) 208, 212
Сингх Л. (Singh L.) 402, 406
Сингх С. (Singh S.) 396, 414
Сколем (Skolem Т.) 281, 293
Смит (Smith H.J.S.) 402, 403, 408
Соловьев Ю.П. 414
Споттисвуд (Spottiswoode W.)
141, 155
Стафф (Stuff М.) 258, 270, 402,
405
Стивенс (Stevens G.) 396
Стоун (Stone D.E.) 120, 122, 135,
136, 139
Стюарт (Stewart C.L.) 120, 123
Стюпу (Stupuy Н.) 138, 229
Танияма (Taniyama Y.) 383, 385,
390
Таннер (Tanner J.W.) 380
Таннери (Tannery Р.) 407, 410
Тафельмахер (Tafelmacher
W.L.A.) 28, 32, 82, 85, 86, 116,
122
Тейлор (Taylor R.) 383, 388, 393,
396, 398
Тейт Дж. (Tate J.) 394
Тейт П. (Tait P.G.) 47, 52
Тержанян (Terjanian G.) 12, 72,
73, 79, 82, 84, 86, 221, 225, 227,
228, 230, 243, 251, 412
Теркем (Terquem О.) 28, 32, 252,
253, 269, 409
Тодхантер (Todhunter I.) 244, 249
Топен (Taupin) 239, 251
Трипанис (Trypanis А.А.) 193,
196, 200
421
Турешбаев Б.А. 8
Туэ (Thue А.) 47, 53, 82, 85
Тэбо (Th£bault V.) 135, 136, 139
Тэлбот (Talbot W.H.F.) 213 220
402, 403
Уайлс (Wiles А.) 11, 252, 264, 309,
383, 384, 388, 392, 393, 398
Урселл (Ursell J.H.) 402
Урсус (Ursus) 239, 251
Фабри (Fabry Е.) 402, 404
Фаддеев Д.К. 413
Фалтингс (Faltings G.) 381-383,
395, 399
Фейт (Feit W.) 314, 322
Фелл (Fell J.) 82, 85, 86
Фергюсон (Ferguson R.P.) 411
Ферентину-Николакопулу
(Ferentinou-Nicolacopoulou J.)
188, 193, 200
Ферма (Fermat Р. de) 5, 6, 7, 13,
17, 22, 23, 25, 30, 37, 40, 51,
285, 292, 407
Ферма Самуэль (Fermat Samuel
de) 13, 407
Феррере (Ferrers N.M.) 244, 249
Фи (Fee G.) 154, 156
Фибоначчи (Fibonacci) 16
Филасета (Filaseta M.) 243, 382
Флах (Flach M.) 397
Флек (Fleck A.) 116, 118, 122, 183,
184, 199, 209-211, 400-402, 404
Фли Сен-Мари (Flye Sainte-Marie
C.) 319, 320
Фонг (Phong Bui Minh) 289, 293
Фрага Торрехон (Fraga Torrejdn
E. de) 402, 405
Фрей (Frey G.) 12, 252, 264, 270,
385, 395-398
Фрейм (Frame J.S.) 143, 145, 146,
148, 151-153, 156
422	Именной указатель
Френикль (Frenicle de Bessy В.) 6,
22, 28, 31, 292
Фресней (Frasnay С.) 92
Фрёлих (Frohlich А.) 413
Фридман (Friedman A.R.) 382
Фритш (Fritsch R.) 181
Фробениус (Frobenius F.G.) 183,
199, 379
Фуври (Fouvry Е.) 137, 140, 380,
381
Фурнье (Fournier J.C.) 411
Фуртвенглер (Furtwangler Р.) 137,
184, 402, 404
Фюетер (Fueter R.) 258, 269
Хантер (Hunter J.A.H.) 244, 246,
251
Харди (Hardy G.H.) 17, 23, 158,
314
Хассе (Hasse Н.) 314, 390
Хейз (Hayes В.) 395
Хенкок (Hancock Н.) 33, 36, 53
Херинг (Hering С.) 106, 111
Хида (Hida Н.) 394
Хиз (Heath Т. L.) 22
Хиз-Браун (Heath-Brown D.R.)
137, 140, 380-382
Хинчин А.Я. 408, 413
Хоггатт (Hoggatt V.E.) 151, 155
Холден (Holden Н.) 37, 53
Хорн (Horn R.A.) 158, 159
Хоффман (Hoffmann F.) 401, 410
Хуа (Hua L.K.) 314, 321
Цермиас (Tzermias Р.) 382
Чезаро (Cesaro Е.) 244, 250
Човла (Chowla S.) 264, 270
Чубариков В.Н. 8, 171, 414
Шаумбергер (Schaumberger N.)
290, 293
Шафаревич И.Р. 378, 379, 409, 414
Шенке (Shanks D.) 19, 23, 158,
159, 409
Шеннон (Shannon A.G.) 402, 405
Шимура (Shimura G.) 383, 385,
390, 391, 394, 396
Шинцель (Schinzel А.) 111, 159,
411
Шликевай (Schlickewei Н.-Р.) 397
Шмадья (Smadja R.) 411
Шмид (Schmid F.) 46, 54
Шопи (Schopis) 28, 31, 71, 72
Шпунар В.A. (Spunar V.A.) 185,
200
Шпунар В.М. (Spunar V.M.) 118,
122
Шрёнбаум (Schonbaum) 410
Штерн (Stern М.А.) 141, 155
Штокхаус (Stockhaus Н.) 47, 53
Шумахер (Schumacher J.) 37, 53
Шур (Schur I.) 313, 320
Шуф (Schoof R.) 395
Эверетт (Everett C.J.) 201
Эдвардс (Edwards Н.М.) 33, 37,
54, 408, 411, 414
Эдиксован (Edixhoven В.) 395
Эйзенштейн (Eisenstein F.G.) 54
Эйлер (Euler L.) 26, 28, 31, 37, 44,
51, 61, 86, 96, 110, 130, 262,
269, 389
Эконому (Oeconomou G.) 221, 223,
224, 230
Элкис (Elkies N.D.) 383
Эльгуарш (Hellegouarch Y.) 264,
270, 397
Эрнваль (Ernvall R.) 379
Эстерле (Oesterl6 J.) 382, 383, 395
Юнгникель (Jungnickel D.) Ill
Якоби, (Jacobi C.G.J.) 10, 17, 123,
225
Яу (Yau S.T.) 396
Яффе (Jaffe A.) 396
Яхья (Yahya Q.A.M.M.) 263, 270,
402, 405, 406
Предметный указатель
(аЬс)-гипотеза (abc conjecture) 382
L-ряд (L-series) 389, 390
— эллиптической кривой (— of
elliptic curve) 390
р-адическая метрика (p-adic
distance) 161
р-адические числа (p-adic
numbers) 160, 392
----целые (p-adic integers) 160,
162
р-адический анализ (p-adic
analisys) 92
р-адическое (p-adic)
— значение (— value) 89
— нормирование (— valuation) 89,
160
p-целое число (p-integral) 89
----рациональное (— rational
number) 160
«Mathematical Reviews», 314
«Zahlbericht», 33
«Арифметика» (Arithmetica
(Diophantus)) 23
«Начала» (Elements, The) 15
«метод ящиков» Дирихле
(Dirichlet’s pigeon-hole
principle) 42
автоморфная функция
(automorphic function) 390
алгебра Гекке (Hecke algebra) 388,
399
арифметическая алгебраическая
геометрия (Arithmetic
Algebraic Geometry) 384
биквадратное уравнение
(biquadratic equation) 23
биномы (binomials) 95
великая теорема Ферма (Fermat’s
last theorem) 13
гамма-функция (gamma function)
389
гауссово поле (Gaussian field) 33
гауссово целое число (Gaussian
integer) 33
------простое (prime------) 33
гауссовы единицы (Gaussian units)
33
гауссовы целые числа (Gaussian
integers) 33
------ассоциированные
(associated---) 33
------наибольший общий
делитель (greatest common
divisor of--------) 34
гауссовы числа (Gaussian
numbers) 33, 34
гипотеза (conjecture)
- Абеля (Abel’s -) 212, 217
— Mop делла (Mordell’s —) 381, 383
—	Римана (Riemann hypothesis)
314
—	Шимуры—Таниямы
(Shimura—Taniyama —) 383,
385, 387, 390, 391, 393
гипотетические решения
(hypothetical solutions) 116
группа (group)
—	Галуа (Galois —) 295, 301
—	классов (class —) 137
424
Предметный указатель
делители биномов (factors of
binomials) 95
дзета-функция Римана (Riemann
zeta function) 389
дискриминант (discriminant) 112,
113, 385, 390
единица (unit) 55, 162
— р-адическая (p-adic —) 307
закон взаимности Гаусса (Gauss’
reciprocity law) 40, 225
золотое сечение (golden ratio) 150
золотое число (golden number) 150
индекс (index) 301
институт Ньютона (Newton
Institute) 383
иррегулярное простое число
(irregular prime) 378
квадратичные вычеты (quadratic
residues) 18, 19
квадратичный закон взаимности
(quadratic law of reciprocity)
40, 225
кольцо нормирования (valuation
ring) 161
конгруэнц-группа (congruence
group) 387
кондуктор (conductor) 386
конференция «Токио—Никко»
(Tokyo-Nikko conference) 390
корни из 1 (roots of unity) 93
кривая (curve)
— Фрея (Frey —) 264, 385, 386
— эллиптическая (elliptic —) 264,
385, 390
----Вейля (Weil-----) 390
----модулярная (modular------)
390
----полуустойчивая (semistable —
-) 384, 386
критерий Вендта (Wendt’s
criterion) 141, 142
круговое поле (cyclotomic field)
137, 378
----число классов (class number
of--------) 377
кубическое уравнение (cubic
equation) 37, 55, 255
лемма (lemma)
— Гаусса (Gauss’ —) 163
— Гензеля (Hensel’s —) 169, 172,
305, 306
линейные рекуррентные
последовательности (linear
recurring sequences) 174
локальная проблема Ферма (local
Fermat problem) 305
малая теорема Ферма (Fermat’s
little theorem) 136
метод (method)
— бесконечного спуска (infinite
descent) 25
— множителей Лагранжа
(Lagrange multipliers) 367
многочлен (polynomial)
— неприводимый (irreducible —)
163
— приведенный (monic —) 93, 169
— примитивный (primitive —) 162
многочлены (polynomials)
— Коши (Cauchy —) 241, 243, 277,
346
— взаимно простые (relatively
prime —) 163
— деления круга (cyclotomic —) 93
модулярная форма (modular form)
385, 387, 390
----собственная (eigenform) 388
модулярная эллиптическая
кривая (modular elliptic curve)
390
новая форма (new form) 388
Предметный указатель
425
оператор Гекке (Hecke operator)
388
определитель Вендта (Wendt’s
determinant) 127, 142-144, 151,
319
параболическая форма (cusp
form) 387
период модулярной формы
(period of a modular form) 391
периоды Гаусса (Gaussian periods)
295, 304, 349
пифагореизм (Pythagoreanism) 19
пифагоров треугольник
(Pythagorean triangle) 19, 23,
25
пифагоровы тройки (Pythagorean
triples) 15, 17, 291
поле (field)
— р-адических чисел (— of p-adic
numbers) 161
— Эйзенштейна (Eisenstein —) 54,
55
— вычетов (residue —) 161
полуустойчивая эллиптическая
кривая (semistable elliptic
curve) 384, 386
пополнение (completion) 161
последняя теорема Ферма
(Fermat’s last theorem) 13
правило Крамера (Cramer’s rule)
166
представление Галуа (Galois
representations) 385, 392
премия Вольфскеля (Wolfskehl
Prize) 400, 410
примитивные решения (primitive
solutions) 15, 17, 19
примитивный (primitive)
— делитель (— factor) 101
— (первообразный) корень (—
root) 103
----степени d (— dth root) 93
проблема Варинга (Waring’s
problem) 314
простое число (prime) 33, 55
----инертное (inert —) 56
----иррегулярное (irregular —)
378
----разветвленное (ramified —) 56
----разложимое (split —) 56
----регулярное (regular —) 377,
378
простые числа (primes)
----Жермен (Sophie Germain	—)
158
----Ферма (Fermat —) 130
----близнецы (twin —) 158
----в арифметической
прогрессии (— in an
arithmetical progression) 389
расширение Галуа (Galois
extension) 301
регулярное простое число (regular
prime) 377, 378
резольвенты Лагранжа (Lagrange
resolvents) 62, 301, 304, 315
результант (resultant) 112, 113,
141
род кривой (genus) 381
ряд (series)
— Дирихле (Dirichlet —) 389, 390
— Фурье (Fourier —) 390
символ (symbol)
— Лежандра (Legendre —) 40, 223
- Якоби (Jacobi -) 123, 206, 225
собственная форма (eigenform)
388
соотношения Барлоу (Barlow’s
relations) 116, 123, 210, 218
сравнение (congruence)
—	Гурвица (Hurwitz ) 322
—	Ферма (Fermat’s —) 140, 309
старая форма (old form) 388
426
Предметный указатель
сумма двух квадратов (sum of two
squares) 17, 18
суммы (sums)
-- Гаусса (Gaussian —) 314
— Якоби (Jacobi —) 350
теорема Ферма (Fermat’s theorem)
13, 15, 46, 254, 413
----второй случай (second case of
--) 14
----для показателя 3 (-----for
the exponent three) 47, 56-58
----для показателя 4 (-----for
the exponent four) 27
----малая (— little —) 136
----первый случай (first case of —
-) 14, 125, 133-135, 137, 380
---------для четных показателей
(----------for even
exponents) 221
теорема (theorem)
— Безу (B6zout’s —) 115
— Вендта (Wendt’s —) 140
— Вифериха (Wieferich’s —) 379
— Дирихле (Dirichlet’s —) 138,
156, 222
— Жермен (Germain’s —) 125, 126,
129, 135, 136
— Куммера (Kummer’s —) 377
— Тержаняна (Terjanian’s —) 225
— Фалтингса (Faltings’ —) 381
теория Галуа (Galois theory) 93
теория полей классов (class field
theory) 137, 184, 187, 229, 262
точка заострения (cusp) 387
уравнение Пифагора (Pythagorean
equation) 15, 287
уравнение Ферма (Fermat’s
equation) 13, 116
----биквадратное (biquadratic —
-) 23
— — десятого порядка (-----of
degree ten) 83
----квадратное (quadratic------)
15
----кубическое (cubic------) 37,
55, 255
----пятого порядка (quintic — )
65
----седьмого порядка (-----of
degree seven) 73
----шестого порядка (------of
degree six) 83
функция (function)
— Мёбиуса (Mobius —) 94, 273
— Эйлера (Euler’s totient —) 93,
271
характеры (characters) 389
целая часть (integral part) 90
целые числа, ассоциированные
(associated integers) 55
циклическое представление (cyclic
representation) 336
циклическое решение (cyclic
solution) 336
циркулянта (circulant) 141, 142
числа (numbers)
— Бернулли (Bernoulli —) 134, 377
— Люка (Lucas —) 150, 151, 174
— Фибоначчи (Fibonacci —) 150,
151, 174
— Эйлера (Euler —) 229
число классов (class number) 377,
378
числовое поле (number field) 390
эйлерова система (Euler system)
399
эйлерово произведение (Euler
product) 389
эллиптическая кривая (elliptic
curve) 264
----Вейля (Weil------) 390
Оглавление
От редактора перевода ................................. 5
Предисловие............................................ 9
К читателю............................................ 11
Благодарности......................................... 12
Проблема.............................................. 13
Глава I. Частные случаи............................... 15
1.1.	Уравнение Пифагора.......................... 15
1.2.	Биквадратное уравнение...................... 23
1.3.	Гауссовы числа.............................. 33
1.4.	Кубическое уравнение ....................... 37
1.5.	Поле Эйзенштейна ........................... 54
1.6.	Уравнение пятого порядка ................... 65
1.7.	Уравнение седьмого порядка ................. 73
1.8.	Другие частные случаи ...................... 79
1.9.	Приложение: что скрывалось за «чудесным доказа-
тельством» Ферма? .............................. 86
Глава II. 4 эпизода .................................. 89
II. 1. р-адическое нормирование.................. 89
II.2.	Многочлены деления круга .................. 93
П.З. Делители биномов............................ 95
II.4.	Результант и дискриминант многочленов .....111
Глава III. Алгебраические ограничения на гипотетические ре-
шения .............................................116
Ш.1. Соотношения Барлоу...........................116
III	.2. Дополнительные соотношения для гипотетических
решений .........................................123
Глава IV. Теорема Софи Жермен.........................125
IV	.1.	Теорема Софи Жермен ......................125
I	V.2.	Теорема Вендта ...........................140
IV	.3.	Приложение: простые числа	Жермен..........156
Глава V.	Эпизоды 5 и 6 ...............................160
V.I	.	р-адические числа......................... 160
А.	Поле р-адических чисел	.............160
В.	Многочлены с р-адическими	коэффициентами 162
С.	Лемма К. Гензеля .......................169
428
Оглавление
V	.2. Линейные рекуррентные последовательности вто-
рого порядка ................................... 174
Глава VI. Арифметические ограничения на гипотетические ре-
шения и показатель степени .......................182
VI	. 1. Сравнения.............................. 182
VI.	2. Условия делимости	..............201
VI.3	. Гипотеза Абеля ...........................212
VI	.4. Первый случай для	четных показателей.....221
Глава VIL Эпизоды 7 и 8 .............................231
V	II. 1. Некоторые важные полиномиальные тождества . . 231
VI	I.2. Многочлены Коши ..........................238
Глава VIII. Переформулировки, следствия и критерии . . . 252
VII	I. 1. Переформулировки и следствия из последней тео-
ремы Ферма........................................252
А.	Диофантовы уравнения, связанные с уравнени-
ем Ферма....................................252
В.	Переформулировки последней теоремы Ферма 264
VIII.2. Различные утверждения,
связанные с последней теоремой Ферма .............270
А.	Связь с функцией Эйлера ................271
В.	Связь с функцией Мёбиуса ...............273
С.	Отсутствие нетривиальных решений в арифме-
тической прогрессии.........................273
D.	Связь с символом Лежандра ..............274
Е.	Связь с дискриминантом..................275
F.	Связь с кубическим сравнением ..........280
G.	Связь с определителем ..................284
Н.	Связь с бинарной квадратичной формой .... 285
I.	Отсутствие алгебраических соотношений меж-
ду решениями уравнения Ферма ..............287
J.	Связь с линейными рекуррентными последова-
тельностями	второго порядка.............288
К.	Возмущение	показателя .................290
L.	Условие делимости для пифагоровых троек . . 291
Глава IX.	Эпизоды 9 и 10	............................295
IX.	1.	Периоды Гаусса	...........................295
IX.	2.	Резольвенты Лагранжа......................300
Оглавление	429
Глава X.	Локальная и модулярная проблемы Ферма	305
Х.	1.	Локальная проблема Ферма ....
Х.2	.	Сравнение Ферма ........................... ^9
Х.З.	Сравнение Гурвица ........................ 322
Х.4.	Сравнение Ферма по модулю, равному степени про-
стого числа ..................................... 334
Глава XL Эпилог ......................................377
XI.	1. Попытки....................................277
А.	Теорема Куммера .........................377
В.	Теорема Вифериха.........................379
С.	Первый случай последней теоремы Ферма для
бесконечно многих простых показателей .... 380
D.	Теорема Фалтингса .......................381
Е.	(абс)-гипотеза...........................382
XL2. Победа, или Вторая смерть Ферма .............383
А.	Кривые Фрея ............................385
В.	Модулярные формы и гипотеза Шимуры—
Таниямы ....................................387
С.	Работы Рибета и Уайлса ..................392
XL3. Руководство к дальнейшему изучению...........393
А.	Эллиптические кривые, модулярные формы:
базовый материал ...........................394
В.	Обзоры...................................394
С.	Исследования.............................396
XI	.4. Электронная почта в	действии..............398
Приложение А. Ссылки на ошибочные доказательства . . . 400
XII	. 1. Статьи и книги, содержащие списки ошибочных до-
казательств ......................................401
XII.	2. Статьи, содержащие ошибочные доказательства . . 401
XII	.3. Неудовлетворительные попытки..............406
Приложение В. Общая библиография .....................407
XII. 1. Труды Ферма...............................407
XII.2. Книги, посвященные Ферма...................408
XII.3. Книги со ссылками на последнюю теорему Ферма . 408
XII.4. Обзорные, исторические и библиографические статьи 409
XII.5. Критические статьи и обзоры................412
Список литературы о теореме Ферма на русском языке .... 413
Именной указатель.....................................415
Предметный указатель ............................. •	423
Учебное издание
Пауло Рибенбойм
Последняя теорема Ферма
ДЛЯ ЛЮБИТЕЛЕЙ
Зав. редакцией академик В. И. Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ведущий редактор О. А. Васильева
Художник В. Р. Орловский
Художественный редактор В. А. Чуракова
Технические редакторы Е. В. Денюкова, О. Г. Лаико
Корректоры Л. В. Ким, Е. В. Кудряшова
Оригинал-макет подготовили А. В. Бегунц и С. Н. Преображенс
в пакете IMpX 2s с использованием
кириллических шрифтов семейства LH
Лицензия ЛР № 010174 от 20.05.97 г.
Подписано к печати 27.12.2002 г. Формат 60 х 90/16.
Гарнитура Computer Modern. Печать офсетная.
Объем 13,5 бум. л. Усл.-печ. л. 27,00. Уч.-изд. л. 23,45.
Изд. № 1/9769. Тираж 3 000 экз. Заказ -27
Издательство «Мир»
Министерства РФ по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций
107996, ГСП-6, Москва, 1-й Рижский пер., 2.
Диапозитивы изготовлены в издательстве «Мир»
Отпечатано с готовых диапозитивов в
ОАО типография № 9
109033, Москва, ул. Волочаевская, 40
Книги издательства «Мир»
можно приобрести по издательским ценам
в рекламно-коммерческом центре издательства по адресу:
Москва, 1-й Рижский пер., д. 2, корп. 1.
Тел.: (095) 286-84-55, 286-84-49
Проезд: метро «Рижская», далее авт. 714 до остановки
«1-й Рижский переулок»
обычной почтой: 107996, ГСП-6, Москва, 1-й Рижский пер., д. 2
факсом: (095)286-84-55
по электронной почте: info@mir-publishers.net (для информации)
com@mir-publishers.net (для заказов)
по сети Internet: http://www.mir-publishers.net
КНИГИ ИЗДАТЕЛЬСТВА «МИР»
также можно приобрести в следующих крупнейших магазинах:
Москва
•	ГУП «Объединенный центр «Московский Дом книги»-ул. Новый Арбат,
д. 8. Тел.: (095) 290-45-07
•	ТД «Библио-глобус» — ул. Мясницкая, д. 6. Тел.: (095) 928-43-51
•	«Дом технической книги» - Ленинский пр., д. 40. Тел.: (095) 137-60-38
•	«Медицинская книга» - Комсомольский пр., д. 25. Тел.: (095) 245-39-33
•	ДК «Молодая гвардия» — ул. Б. Полянка, д. 28. Тел.: (095) 238-50-01
Санкт-Петербург
•	ГУП КТ «Санкт-Петербургский Дом книги» - Невский пр., д. 28.
Тел.: (812)219-49-15
•	ГУП КТ «Техническая книга» - ул. Пушкинская, д. 6.
Тел.. (812) 164-65-65
Новосибирск
•	«Топ-книга» - ул. Арбузова, д. 1/1 Тел.: (3832) 36-10-28
http://www.top-kniga.ru
Екатеринбург
•	«Дом книги» - ул. Валека, д. 12. Тел : (3432) 59-42-00
•	«Книжный магазин Nv 14»-ул.Челкг :нцев, д. 23. Тел.. (3432) 53-24-89
SOriliftt?
www.softllne.ru
119991 г. Москва,
ул. Губкина, д. 8
тел.: (095) 232-0023
e-mail: info@softline.ru
Все дл я
науки
Научное ПО
для исследований и расчетов
Почему студенты, преподаватели и научные работники приоб-
ретают нужные им программы в компании Sof tline?
•	Низкие цены ~ компания работает напрямую с. вендорами и явля-
йся привилегированным партером по образовательным про-
граммам для многих производителей ПО
•	возможность получения демо-версий и обновлений для широкого
спектра программ
•	Возможность удобного выбора программ по каталогу SoftUne-
duect или на сайт? mvwsoftAne го.
•	Поддержка сообщества г\>лыо8а»елей на сайге MW ехропел fa.ru.
Какое научное программное обеспечение поставляется Softline?
•	Языки программирования математик ких задач {MsthWorks)
•	Моделирование злек’рончых схем и устройств (E:ectforncs
Workbench, PCAD)
•	Универсальные математические паке’ы. обмен данными с
AutoCAD (Wolkam Research, Waterloo Maple. MathSoft)
•	ПО для химиков (CambndgeSoft )
•	Gar логические пакеты (MathSoft, StatSoft)
•	Редакторы формул (Design Science, Multi Edit)
•	Пакеты бизнес-анализа (Parade)
•	Математические надстройки к MS Office (Frontline Systems)
Soft Line - это свобода выбора
Обратившись в So*tliue, вы в кратчайшие сроки решипз проблемы
с лрпгозммным обеспечением Получив консультации менеджеров,
вы подберете все необходима инструменты дня работы в вашей об-
ласти Компания Softline поможет вам также а выборе обучающих
курсов и пригласит на регулярно проводимые семинары по математи-
ческим vt статистическим пакетам.
MATH
WORKS
Inc.
Math Soft
г + v - = / + a
WOLFRAM
RESEARCH
Waterloo Maple
Electronics
CambridgeSoft
Internet Chemistry Software Leader