/
Текст
SOLENOID MAGNET DESIGN
The Magnetic and Mechanical Aspects
of Resistive
and Superconducting Systems
,'s by
D. BRUCE MONTGOMERY
Francis Bitter National Magnet Laboratory
Massachusetts Institute of Technology
Cambridge, Massachusetts
Wiley-Inter science a Division of John Wiley &. Sons
New York • London • Sydney • Toronto 1969
ПОЛУЧЕНИЕ
Д. МОНТГОМЕРИ
СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
С ПОМОЩЬЮ СОЛЕНОИДОВ
Магнитные и механические свойства
конструкций из обычных
и сверхпроводящих материалов
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Под редакцией
Н. Е. АЛЕКСЕЕВСКОГО
„„ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР^. МОСКВАЛ971
В книге излагаются сведения по конструированию и рас-
чету соленоидов, используемых для создания сильных магнит-
ных полей. При этом рассматриваются медные охлаждаемые
соленоиды для получения стационарных магнитных полей, им-
пульсные соленоиды, а также сверхпроводящие соленоиды.
Излагаются методы расчета полей с заданной однородностью,
обсуждаются условия охлаждения медных соленоидов, создаю-
щих стационарные магнитные поля. Приводятся расчеты
усилий в соленоидах различного типа, а также излагаются мето-
ды определения оптимального количества материала для изго-
товления сверхпроводящих соленоидов. В книге приведено боль-
шое количество таблиц и графиков, облегчающих работу по рас-
чету соленоидов.
Книга написана главным образом для специалистов в обла-
сти конструирования магнитных систем, однако она может быть
полезна также широкому кругу инженеров и физиков-экспери-
ментаторов.
Редакция литературы по физике
Д. Монтгомери
ПОЛУЧЕНИЕ СИЛЬНЫХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
С ПОМОЩЬЮ СОЛЕНОИДОВ
Редактор В. САМСОНОВА
Художник Н. Фильчагина Художественный редактор П. Некунде
Технический редактор Ф. Третьякова Корректор И. Соколова
Сдано в набор 28/1 1971 г. Подписано к печати 9/VII 1971 г. Бумага № 1, 6OX9O1/ie=
--11,25 бум. л. Усл. печ. л. 22,5. Уч.-изд. л. 20,34. Изд. № 2/5893.
Цена 2 р. 28 к. Зак. 726
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография №16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете
Министров СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга Д* Б. Монтгомери посвящена различным
вопросам конструирования соленоидов, используемых
для получения сильных магнитных полей.
Создание сильных магнитных полей в наши дни
является весьма актуальной задачей. Такие магнитные
поля в последнее время используются не только для
научных исследований, но и для решения ряда важных
технических задач; Вопросы рационального констру-
ирования соленоидных магнитных систем, предназна-
ченных для получения сильных магнитных полей,
в литературе до сих пор подробно почти не рассматри-
вались. Обычно этим вопросам посвящались отдельные
научные статьи, число которых к настоящему времени
стало достаточно большим. Поэтому следует привет-
ствовать опубликование монографии, обобщающей опыт
по конструированию соленоидов.
Имя Д. Б. Монтгомери хорошо известно всем, кто
интересуется вопросами создания сильных магнитных
нолей. Работая в течение многих лет в Национальной
магнитной лаборатории имени Ф. Виттера Массачусет-
ского технологического института, автор книги сам
занимался конструированием различных магнитных
систем, он является одним из наиболее крупных спе-
циалистов в этой области.
Национальная магнитная лаборатория, широко
известный мировой центр магнитных исследований,
была организована Френсисом Биттером, основополож-
ником метода получения сильных стационарных маг-
нитных полей. Лаборатория накопила большой опыт как
по конструированию, так и по эксплуатации магнит-
ных систем и особенно систем типа Виттера. По-види-
мому, этот опыт нашел свое отражение в книге автора. ’
Из предисловия автора следует, что в книге в основном
использован материал его докторской диссертации.
Впервые, как известно, сильные магнитные поля
(т. е. поля порядка 100 кэ и более) были получены
импульсным методом в работах П. Л. Капицы еще
в 1925 г. Используя кинетическую энергию, запасенную
в роторе генератора, который замыкался на специаль-
ную катушку, П.г Л. Капица смог получить магнитные
поля выше 300 кэ, длительность которых составляла
около 0,01 сек [11. В то время стационарные магнитные
поля получались с помощью электромагнитов и лишь
в отдельных случаях достигали 70 кэ [2]. В 1939 г.
Ф. Виттер опубликовал работу, в которой описал
конструкцию установки, позволявшей получать в без-
железном соленоиде стационарные магнитные поля
напряженностью порядка 100 кэ в объеме 25 см3 [3].
В течение примерно 15 лет такие установки являлись
уникальными. Они позволяли получать в то время
рекордно большое стационарное магнитное поле. В на-
стоящее время поле 100 кэ является обычным для цело-
го ряда лабораторий и получается оно с помощью сверх-
проводящих соленоидов.
С появлением сверхпроводящих материалов с вы-
сокими критическими параметрами иногда ставится под
сомнение необходимость строить «диссипативные маг-
нитные системы», т. е. охлаждаемые соленоиды из нор-
мального металла. Не вдаваясь в подробное обсуждение
этого вопроса, следует заметить, что, например, для
исследования новых сверхпроводящих материалов
с более высокими критическими параметрами типа
Nb12Al3Ge [4], критическое поле которого при Т — 0
достигает 400 кэ, такие установки абсолютно необхо-
димы. Они не только.помогут изучить новые сверхпро-
водящие материалы, но и будут в значительной мере
содействовать поиску сверхпроводников с новыми свой-
ствами. Следует также иметь в виду, что в ряде случаев
использование сверхпроводящих соленоидов оказы-
вается нерациональным, тогда как имеющиеся источ-
ники энергии позволяют относительно просто построить
диссипативную магнитную систему. Можно поэтому
считать, что все три типа соленоидов, рассматривае-
мых в книге, в настоящее время представляют несомнен-
ный интерес как для физического эксперимента, так
и для ряда практических приложений.
Книга написана автором главным образом для
конструкторов магнитных систем, но она, конечно,
будет представлять интерес и для более широкого круга
инженеров и физиков-экспериментаторов. В книге при-
ведено много полезных графиков и таблиц, что в ряде
случаев позволит значительно сэкономить время, необ-
ходимое для расчета магнитных систем. Весьма инте-
ресным является обсуждение вопроса об оптимизации
количества материала при постройке сверхпроводящих
соленоидов. Это особенно существенно, поскольку из-за
высокой стоимости сверхпроводящих материалов и того
широкого распространения, которое в последнее время
получают сверхпроводящие магнитные системы, расхо-
ды, связанные с их изготовлением, могут быть весьма
большими. К сожалению, общефизическое введение
в раздел, посвященный сверхпроводящим системам,
не дает достаточно правильного представления о физике
сверхпроводящих сплавов; поэтому следует рекомен-
довать читателю обратиться к специальным книгам
и статьям, посвященным этому вопросу [5, 6]. Жаль,
что в книге даже кратко не упоминается о возможности
использования «магнитных концентраторов», позволя-
ющих в ряде случаев весьма просто увеличить магнитное
поле как в диссипативных, так и в сверхпроводящих
магнитных системах [7]. Взрывные методы получе-
ния сверхсильного магнитного поля также практиче-
ски не излагаются. Эти методы изложены в обзоре
[8]. Одной из безусловных заслуг автора является
то, что в книге приведена весьма подробная библио-
графия. Она поможет читателю ознакомиться с вопро-
сами, которые изложены в книге либо слишком кратко,
либо недостаточно ясно. К сожалению, в библиографии *
почти не цитируются работы советских авторов, поэто-
му в некоторых главах книги даются дополнительные
ссылки на советские работы, а также приводятся
обзоры и книги, вышедшие на русском языке.
В целом книга, несомненно, будет интересна для
широкого круга инженеров и физиков-эксперимента-
торов, занимающихся сильными магнитными полями.
Перевод выполнили Тотубалин В. Н. (пре-
дисловие, гл. 1, 7), Кульков В. Д. (гл. 2, 3),
Никитин Л. П. (гл. 4, Обозначения), Нику-
лин Е. И. (гл. 5, 8), Цыпкин С. И. (гл. 6).
Н. Е. Алексеевский
ЛИТЕРАТУРА
1. Капица П. Л., Proc. Roy. Soc., А 115, 625 (1925).
2. Cotton A., Report, of the 6th Solvay Conference, Gautier-Villors» Paris, 1937.
3. Bitter F., Rev. Sci. Instr., 10, 373 (1939).
4. Алексеевский H. Е.ч Агеев H. В., Михайлов H. H., Шамрай В. Ф.ч Письма
ЖЭТФ, 9, 1, 28 (1969).
5. Де Жен П., Сверхпроводимость металлов и сплавов, изд-во «Мир», 1968.
6. Линтон Э. А., Сверхпроводимость, 2-е изд., изд-во «Мир», 1971.
7. Алексеевский Н. Е., Дубровин А. В., Карстенс Г. Э., Михайлов Н. Н.,
ЖЭТФ, 54, 3, 350 (1968).
8. Сахарова А. Д., УФН, 88, 4, 725 (1966).
9. Капица С. П., Электроника больших мощностей, сб. 2, 109 (1963).
10. Грабарь Л. П., Электроника больших мощностей, вып. 5, 195 (1968).
11. Веселого В. Г., Максимов Л. П., Прохоров А. М., ПТЭ, № 4, 192 (1968).
12. Капица П. Л.ч Филимонов С. И., УФН, 95, 35 (1968).
13. Карасик В. Р., Физика и техника сильных магнитных полей, изд-во
«Наука», 1964.
14. Сверхпроводящие соленоиды, сборник статей, изд-во «Мир», 1965.
15. Кадовский Е. Я., Карцев В. П., Шахтарин В. П., Сверхпроводящие
магнитные системы, изд-во «Наука», 1967.
16. Леверик Ч., Сверхпроводящие магниты, изд-во «Мир», 1968.
17. Веселого В. Г., Прохоров А. М., Природа, № 10 (1970).
Памяти профессора Френсиса Биттера,
идеи которого,
мудрость и человеческие качества
играли и продолжают играть важную роль
в формировании взглядов автора,
посвящается эта книга.
П Р ЕД И С Л О В И Е
Эта книга посвящена конструированию соленоидов, и в ней
не рассматриваются электромагниты с сердечниками из ферро-
магнитных материалов.
Мы подразделяем соленоиды на три основных типа: соленоиды,
изготовленные из обычных проводников й работающие в стацио-
нарном режиме; сверхпроводящие соленоиды, работающие в ста-
ционарном режиме, и, наконец, импульсные соленоиды. Рас-
сматривая эти типы соленоидов, мы выводим соотношения между
током, протекающим через соленоид, и полем в его центре для
различных конфигураций обмоток соленоидов при типичных рас-
пределениях тока в них. Мы рассматриваем также соотношения
между током и другими основными параметрами соленоида, таки-
ми, как мощность, энергия, объем катушки, плотность тока, меха-
нические напряжения; сюда относятся также требования охлаж-
дения. Наконец, мы обсуждаем соотношения между полем в цент-
ре соленоида и полями в других его частях и анализируем с этой
точки зрения конструкции соленоидов.
Эта книга задумана как пособие для конструктора. В ней
сделана попытка собрать воедино большинство формул, необ-
ходимых при создании наиболее распространенных типов соле-
ноидов. В дополнение к формулам и схемам конструкций в книге
приведены методы оценки относительной важности различных
параметров соленоидов, как аналитические, так и графические,
а также численные примеры.
Книга является монографией. В ней использован личный опыт
автора, в течение последних десяти лет занимавшегося конструи-
рованием соленоидов, и в значительной степени отражены его
взгляды на расчет соленоидов, которые сводятся в основном
к тому, что не имеет смысла усложнять анализ этой проблемы.
Если какая-либо переменная не играет важной роли, то очевидно,
что точность ее расчета может быть невысокой. По этой причине
многие формулы могут показаться недостаточно точными. Хотя
иногда полезно (и всегда заманчиво) оптимизировать конструк-
цию, чаще более целесообразно знать чувствительность оптими-
зируемых параметров к изменению других переменных, а также
представлять себе последствия оптимизации. Часто оказывается,
что добиваться точного оптимума нецелесообразно. Так, в гл. 4
приведен пример, когда снижение эффективности соленоида всего
на 2,5% позволило избежать недопустимо высоких значений тем-
пературы и плотности тока.
Основное внимание в книге уделено методам расчета различ-
ных параметров, установлению степени их влияния друг на друга
и на конструкцию соленоида, и только в редких случаях указы-
вается, каковы должны быть действительные значения этих пара-
метров. В этом смысле книга должна быть дополнена опытом
читателя и его специальными требованиями, а также свежими
данными о конкретных значениях параметров соленоидов.
Я писал эту книгу несколько лет. Тем, что я смог завершить
эту работу, я целиком обязан вниманию и помощи со стороны
профессора Д. Ривье и Института экспериментальной физики
Лозаннского университета, где я работал в качестве сотрудника
в 1966—1967 годах. Хочу выразить глубокую признательность
швейцарскому Национальному фонду научных исследований
и кабельной фирме Коссоне за поддержку моей работы в течение
этого периода.
Первоначальный вариант книги был представлен на соискание
степени доктора технических наук в Политехнический институт
при Лозаннском университете. Я многим обязан Р. Гольдшмидту,
профессору Политехнического института, тщательно прочитавшему
рукопись и оказавшему мне большую помощь, поделившись своим
опытом преподавателя и инженера-электрика, а также благо-
дарен Лео Риндереру, профессору Института эксперименталь-
ной физики, за помощь и полезные обсуждения. Считаю прият-
ным долгом поблагодарить Э. Гамбургер, профессора Политех-
нического института, за оппонирование диссертации.
Наконец, что самое главное, я должен с благодарностью отме-
тить то сильное влияние, которое оказывали все сотрудники Груп-
пы конструирования магнитов Национальной магнитной лабора-
тории имени Френсиса Виттера на идеи в области конструирова-
ния соленоидов и осуществление этих идей. В частности, я многим
обязан труду и интуиции Р. Веггеля. Я признателен также
Отделу научных исследований ВВС США за поддержку работ
Национальной магнитной лаборатории имени Френсиса Виттера.
Д. Брюс Монтгомери
Лозанна, Швейцария и Кембридж, Массачусетс
февраль 1969 г.
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а см — радиус элементарного витка или одно-
слойного соленоида
а0 см — параметр в уравнении для распределения
отверстий охлаждения аксиально охлаж-
даемого соленоида Виттера с постоянным
тепловым потоком; = г2/(г2 + а2)
а2 см — внутренний и внешний радиусы соленоида
а1п, а2п см — внутренний и внешний радиусы n-й ка-
тушки составного соленоида
а3 см — наружный радиус паза компенсирующей
области, расположенного на внутренней
поверхности катушки, или внутренний
радиус паза на внешней поверхности ка-
тушки
А см2 — площадь осевого сечения обмотки соле-
ноида; А = 2Ь (а2 — а4)
Ас см2 — площадь поперечного сечения проводника
A h см2 — площадь поперечного сечения круглого
канала охлаждения; Ah = raZ2/4
Ап — внутренний радиус п-й катушки состав-
ного соленоида, выраженный через внут-
ренний радиус самой малой катушки;
Ап = ащ/«н
Ар см2 — площадь части диска Виттера, заключен-
ная между двумя соседними кольцевыми
цепочками отверстий охлаждения
Лп, Л8, At см2 — площадь поперечного сечения нормаль-
ного проводника или сверхпроводника,
или полная площадь поперечного сечения
комбинированного проводника, состояще-
го из нормального проводника и сверх-
проводника, находящихся в тесном элек-
трическом и тепловом контакте при па-
раллельном соединении по всей длине
As см2 — площадь внутренней поверхности элемен-
та цилиндрического слоя
Ъ см — полудлина соленоида
с, ct, с2 — в общем случае безразмерная (иногда
имеющая размерность) постоянная, опре-
деляемая в тексте
С ф — емкость в ДЬС-цепи
С\, С2, С3, С4— алгебраические функции параметров а и 0:
G = ; с2 = р2 (1 + р2);
с - ц2 • С = Р2
3 а2_|_р2 > С4 а2 + 02
d, de см — действительный диаметр канала охлаж-
дения и эффективный диаметр, рассчитан-
ный по величине возрастания сопротив-
ления
d.— постоянная затухания LjRC-цепи; d =
= R2C/4L
ds см — элемент токонесущего провода, создаю-
щего поле
D см — полный диаметр комбинированного про-
водника, состоящего из нормального про-
водника и сверхпроводника
DH см — гидравлический диаметр канала охлаж-
дения; DH = 4W/Pw
Dcp см — средний диаметр соленоида; £>ср = 4-
+
Е2, — «коэффициент ошибки» или нормирован-
ное отклонение величины поля, исполь-
зуемое при расчете однородности поля
в центре
Е (ф, к) — неполный или полный эллиптический ин-
теграл второго рода
/ кг — усилие, приложенное к элементу цилин-
дрической оболочки
F, F в, FG, FK — коэффициент поля в соленоидах с одно-
родной плотностью тока типа Биттера
Гома, Кельвина; F =
Fc — то же для компенсирующей катушки
F (ф, к) — неполный интеграл первого рода
g см/сек2 — ускорение силы тяжести; g = 981 см! сек?
G, G в, Gg,"Gk — «геометрический коэффициент», или «ко-
эффициент эффективности» (известен так-
же как коэффициент Фабри для соленои-
дов 'С однородной плотностью тока), для
соленоидов с неоднородной плотностью
тока типов Биттера, Гома, Кельвина;
G = Н
Gg, Gt -— «геометрический коэффициент», или «ко-
эффициент эффективности», части обмотки
соленоида с осевым зазором, удаляемой
при образовании зазора, и коэффициент
эффективности обмотки такого же соле-
ноида с нулевым зазором
G' — «геометрический коэффициент», или «ко-
эффициент эффективности»г длинного со-
леноида; G' = Н V plW"k
G", (?опт — «геометрический коэффициент», или «ко-
эффициент эффективности», -составного со-
леноида. С?опт — оптимальный коэффи-
циент эффективности
Л, hQ вт/см2 *град — коэффициент теплопередачи в уравнении,
определяющем скачок температуры на
границе металл — охладитель; озна-
чает, что коэффициент теплопередачи по-
стоянен и не зависит от величины тепло-
вого потока
h см — высота прямоугольного сечения канала
охлаждения
h э/см — линейная скорость убывания поля с уве-
личением радиуса в соленоидах с одно-
родной плотностью тока
hn см — поле, создаваемое единицей плотности то-
ка в п-й катушке составного соленоида;
__ ^71 ~ Нп/]п
Н э — среднее значение магнитного поля, дей-
ствующего на цилиндрическую оболочку
проводника с током
Но э — значение магнитного поля в начале коор-
динат в центре соленоида
Нс э — значение магнитного поля на оси соле-
ноида, рассчитанное путем экстраполя-
ции линейного возрастания поля от внеш-
него диаметра к внутреннему в соленоидах
с однородной плотностью тока
IIг, Нх, Hyj Hz э — г. х, у и z — компоненты магнитного поля
(в цилиндрической системе координат Нг
и Нг — радиальная и аксиальная компо-
ненты поля)
Нп э — поле, создаваемое в начале координат
n-й обмоткой составной соленоидной си-
стемы
33 Звх, Зву — алгебраические коэффициенты в уравне-
ниях для поля от прямоугольных эле-
ментов
ir, is — токи в сверхпроводящей и нормальной
ветвях комбинированного проводника, от-
несенные к критическому току при
4,2° К
1а — ток в проводнике или одиночном витке
Г а/см — величина тока, приходящегося на едини-
цу длины однослойного или многослойно-
го соленоида; Г == NI/2b
1С а — критический ток в сверхпроводнике при
4,2° К
1т а — минимальный ток распространения в ком-
бинированном проводнике
Zn, /в, Is а — токи в нормальной (резистивной) и сверх-
проводящей ветвях комбинированного
проводника
/ акм? — плотность тока в соленоиде
7\ акм? — плотность тока у внутреннего диаметра
биттеровского соленоида
/п акм? — плотность тока в n-й обмотке составного
соленоида
j в — «коэффициент плотности тока» в биттеров-
ском соленоиде; J в = (4л0 In а)-1/2
/Г — отношение критических плотностей тока
на внешнем и внутреннем диаметрах
сверхпроводящей обмотки
к — коэффициент взаимоиндукции
к, кь впгкм град — теплопроводность проводников и изоля-
торов (тепловых барьеров)
fc — модуль эллиптического интеграла в выра-
жении для поля соленоида Гома: к =
= (1 - 1/а2)1/2
к (d) — «коэффициент ослабления», определяю-
щий пиковый ток в LjRC-цепи
/Г — отношение удельных сопротивлений: К =
= р/р20°Си
Ki, К2 — алгебраические множители, определяю-
щие распределение напряжений сдвига
на внутреннем диаметре соленоида Вит-
тера
Z, Zc см — длина основного соленоида и компенси-
рующей области
^полн см — длина проводника в соленоиде с однород-
ной плотностью тока; /П0Лн = лАТЭср
L гн — полная индуктивность соленоида или со-
леноидной пары
МА1, Л^си — соленоидов, намотанных алюминие-
вым и медным проводниками
п виток/см2 — «коэффициент упаковки», или «плотность
намотки», в соленоидах с однородной
плотностью тока
N — число витков (см. гл. 1) или каналов
охлаждения (см. гл. 3 и 4) в соленоиде
Nr — число Рейнольдса; NR = pvd/p
Р см — поверхность охлаждения, приходящаяся
на единицу длины сверхпроводящего про-
вода
Р см — внутренний (смачиваемый) периметр кана-
ла охлаждения
ДР, t±Pei APf атм — перепады давления в каналах охлажде-
ния: полный, на входе и выходе и за счет
трения соответственно
ДРд атм — потери динамического напора
Р2, Р&, ... — второй, четвертый и т. д. полиномы Ле-
жандра
Р', Р', ... — первые производные второго, четвертого
и т. д. полиномов Лежандра
Pf, Ро атм — давление (магнитное и механическое) на
внутренней и наружной поверхностях со-
леноида
Рт атм — напряжения в толстостенном цилиндре,
наполненном газом под давлением; эта
задача эквивалентна задаче механических
напряжений в соленоиде за счет действия
пондеромоторных сил
Q см*1сек — величина потока охладителя
г см — расстояние от оси цилиндрической систе-
мы координат ,
Дг см — разность радиусов двух смежных коль-
цевых цепочек отверстий охлаждения
R ом — сопротивление соленоида
R ом/см — сопротивление единицы длины комбини-
рованного проводника, состоящего из
сверхпроводящего и нормального про-
водников
R2 — алгебраические величины, используемые
в гл. 4
SG см2 — площадь зоны проводящего диска между
двумя смежными кольцевыми цепочками
отверстий охлаждения (вместе с тло-
щадью, занимаемой отверстиями охлаж-
дения)
Sd см2 — площадь, занимаемая отверстиями охлаж-
дения в пределах зоны, ограниченной дву-
мя смежными кольцевыми цепочками от-
верстий охлаждения
t см — толщина цилиндрического слоя провод-
ника с током
t0 сек — время нарастания тока в Т/ДС-цепи до
первого пикового значения
ti, t2 см — толщина витка в средней плоскости и кон-
цевых секциях в двухсекционном при-
ближении для обмотки Гома
Т сек — полупериод импульса тока в импульсной
катушке
Тъ °C — усредненная температура охладителя
Тс °C — средняя температура проводника
А Ге, Д7\ °C — перепады температуры, возникающие
вследствие градиента температуры в про-
воднике и на слое изоляции
&Тgs, ATS °C — перепады температуры в нормальном про-
воднике, сверхпроводнике и на гелиевом
пограничном слое
акс °C — максимальная температура внутренней об-
ласти сверхпроводника
Т w °C — температура стенок канала охлаждения
U дж — энергия, запасенная в соленоиде
и — аргумент полиномов Лежандра; и == cos &
u, ug, ир см — смещение проводника наружу в радиаль-
ном направлении, обусловленное меха-
ническими напряжениями; и = ug + ир,.
vpp ug и ир — соответственно общее реше-
ние однородного дифференциального
уравнения для специального случая и лю-
бое частное решение неоднородного диф-
ференциального уравнения
v — «коэффициент объема»; и = ТГ/а\
v см/сек — скорость потока охладителя
5^ см3 — объем соленоида: Т" = 2лЬ (а| — а2)
Vo в — начальное напряжение на конденсаторе
w см — ширина витка в аксиальном направлении
w см — ширина канала охлаждения прямоуголь-
ного сечения
wn ом *см^ — потребление мощности на единицу плот-
ности тока в тг-й катушке составного соле-
ноида; wn = Wn/j2n
wn — доля полной мощности, потребляемая тг-й
катушкой соленоидной системы; wn =
= W-JW
ws вт/см2 — тепловой поток через границу металл —
охладитель
W вт — мощность, потребляемая соленоидом или
системой соленоидов
W' вт/сек — мощность, приходящаяся на единицу дли-
ны длинного соленоида
Wt — мощность, выделяемая в части катушки
с осевым зазором, удаляемой при образо-
вании зазора, и полная мощность, выде-
ляемая в той же катушке с нулевым за-
зором
Wn вт — мощность, потребляемая n-й катушкотг
составного соленоида
Wp вт — пиковая мощность криогенной импульс-
ной катушки
Wv вт/см3—удельная мощность в проводнике
х — в общем случае безразмерная, иногда
имеющая размерность, переменная, физи-
ческий смысл которой может быть раз-
личным
х, у, z см — расстояние по осям декартовых коорди-
нат; в цилиндрических координатах z —
расстояние по оси цилиндра
а, ас — отношение внешнего радиуса соленоида
к внутреннему; ас — то же для компен-
сирующей катушки
ас — «параметр стабильности» комбинирован-
ного проводника, состоящего из нормаль-
ного проводника и сверхпроводника, для
случая, когда коэффициент теплопередачи
постоянен
сс20 °C-1 — термический коэффициент сопротивления
меди при 20° С; а20 ~ 0,4%/°С
ап — «параметр стабильности» комбинирован-
ного проводника, состоящего из сверх-
проводника и нормального проводника,
для случая, когда коэффициент теплопе-
редачи непостоянен
Рп — вспомогательный параметр стабильности
для комбинированного проводника, учи-
тывающий существование градиента "тем-
пературы в сверхпроводнике
Р, рс — отношение полудлины соленоида к ра-
диусу рабочей полости; р == Ыа или Ь/а^
Рс — то же для компенсирующей катушки
у — отношение двух параметров, не имеющее
размерности, например у = z/a^ физи-
ческий смысл может быть различным
Ур — доля площади пластины, занимаемая от-
верстиями охлаждения
ух, Yj,, yz — направляющие косинусы элемента тока
или проводника
е см — шероховатость поверхности канала
охлаждения
О — геометрический коэффициент индуктивно-
сти; L =
0, 0ь % Ра& — углы между осевой линией соленоида
и линиями, соединяющими его центр с точ-
ками в «концевой» плоскости; 0 =
= arcctg Ыа. 0f = arcctg Ыаъ 0О =
= arcctg Ыа2
X — «коэффициент заполнения» соленоида, т. е.
отношение площади поперечного сечения
проводника к общей площади осевого
сечения соленоида
XOi, ^02 — коэффициенты заполнения внутренней
и внешней обмоток пары составных кон-
центрических соленоидов
Хп — коэффициент заполнения n-й катушки со-
леноидной системы, нормированный к ко-
эффициенту заполнения внутренней ка-
тушки; х; = xn/Xf
Хр — «радиальный коэффициент заполнения»,
т. е. доля проводящей пластины, остаю-
щаяся после того, как в ней сделаны ка-
налы охлаждения
Хг — «радиальный коэффициент заполнения»;
Хг = Х/Хх
Хх — «осевой коэффициент заполнения»— доля
длины соленоида, занятая проводником
р дина -сек/см2 — вязкость жидкости
pt — коэффициент Пуассона
р см — расстояние от начала координат в сфе-
рической системе координат
р г!см? — плотность охлаждающей жидкости (см.
гл. 3)
р, Р/с» Р20 ом*см — удельное сопротивление произвольного
проводника, меди при рабочей температу-
ре и меди при 20° С соответственно; р2о =
= 1,72 ЛО-6 ом*см
р^ — сопротивление n-й катушки соленоидной
системы, отнесенное к сопротивлению
внутренней катушки: р^ = pn/pi
р01, Рог ом-см — сопротивление внутренней и внешней об-
моток пары составных концентрических
соленоидов в условиях, когда рассеивае-
мая мощность равна нулю
or, os, <jz атм — механические напряжения: радиальное,
сдвига и касательное соответственно
ф — амплитуда эллиптического интеграла в по-
ле соленоида Гома; ф = arclg р
ф — «геометрический коэффициент»; L/R =
= бфс/рф
Ф — коэффициент эффективности катушки с
нулевым затуханием; Ямакс (d = 0) ==
= (U/а^Ф (а, Р)
со рад/сек — частота колебаний АДС-контура
Соленоиды с постоянной
плотностью тока
В этой главе мы дадим соотношения, которыми связаны между
собой магнитное поле, ток, плотность тока и мощность. Вопросы
охлаждения и механической прочности соленоидов рассматри-
ваются в последующих главах. Здесь же мы хотим показать воз-
можные способы преобразования общеизвестных выражений для
поля, тока и мощности с тем, чтобы пояснить основные вопросы,
возникающие при конструировании соленоидов, и выразить пара-
метры соленоидов в виде удобных функций, зависящих от формы
соленоида, которые можно представить графически. В этой главе,
как и во всей книге, мы пользуемся в основном системой единиц
СГС. Все необходимые константы приводятся вместе с каждой
формулой.
$ 1. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОЛЕМ И ТОКОМ
Рассмотрим элементарный виток с током (фиг. 1). Поле на его
осик можно представить в виде
(z,0) = 0,2^ —^, (1.1)
(a2_|_z2) /2
где Н — поле в эрстедах, I — ток в амперах, а — радиус витка
в сантиметрах, z — расстояние от центра витка по оси в санти-
метрах. Поле в центре витка HQ (при z = 0) оказывается равным
Яо=О,2л^. (1.2)
Следовательно, выражение (1.1) можно привести к виду
Hz(z, О) = Но---------.
' ' (а2_|_32)3'2
(1.3)
Выражение для поля витка с током, рассматриваемого как часть
соленоида, может служить основой последующего интегрирования.
Фиг. 1. Определение пара-
метров элементарного витка.
Фиг. 2. Определение параметров
тонкого соленоида.
Интегрируя (1.1) по цилиндрической поверхности (фиг. 2),
мы можем получить выражение для поля в центре тонкого соле-
ноида в различных видах:
ь.
Но = О,2лГ [ ----^—^-dz, (1.4)
Jb(«2+z2)/a
Яо = О,4лГ -- --— ,
1/а2 + &2
Но — 0,4л/' cos 0,
(1-5)
(1.6)
Яо = О,4л<
Р
1/1+Р2
где Г = NI/2b и f = Ыа. Зависимость величины HJT от р при-
ведена на фиг? 3, где виден эффект насыщения поля в центре при
увеличении длины соленоида.
Путем дальнейшего интегрирования можно получить поле
в центре соленоида конечной толщины с постоянной плотностью
тока (фиг. 4). Ток на единицу площади осевого сечения соленоида
можно записать в виде
NI
2Ь (а2 — аг)
ft-
(1-7)
Ф и г. 3. Зависимость поля в центре тонкого соленоида от приведенной длины
Р при «единичном возбуждении» (1 а на 1 см длины соленоида).
2Ь
Ф и г. 4. Определение параметров соленоида конечной толщины с постоянной
плотностью тока.
Определение величин аир относится но всем катушкам с прямоугольным осевым сече-
нием независимо от распределения плотности тока.
Выражение (1.7) определяет усредненную плотность тока /Л.
Если / — плотность тока, а X — коэффициент заполнения, рав-
ный отношению части площади осевого сечения соленоида, заня-
той проводником, ко всей площади осевого сечения, то можно
написать
а2 Ъ
Ho = O,2njK { f dzdr- (I-8)
J Jb (a2 + z2)
Интегрируя, получаем выражение, содержащее натуральный
логарифм или обратные гиперболические функции перемен-
ных а и 0:
Но == • О,4л0 In , (1.9)
Яо = Да1-О,4лр (Arshj —Arshy) , (1.10)
где а=а2/а1 и ^ = Ь/а±. Объединив в правой части выражения
(1.9) или (1.10) сомножители, зависящие только от формы соле-
ноида, мы можем ввести «коэффициент поля» F (а, 0) и опреде-
лить его следующим образом:
F(a, Р) = 0,М1П”1+^2+^2, (1.11а)
или
F (а, р) = 0,4лр (Arshy-Arshy) . (1.116)
Коэффициент F (а, 0) мы будем подробно рассматривать в гл. 6.
'Там же приведена его зависимость от ос и 0.
Выразив соотношение (1.10) через ампервитки, можно привести
его к виду, удобному для расчета поля соленоида с известным
числом витков:
(1-12)
Выражения (1.9) и (1.10) дают точную зависимость поля от
плотности тока. Однако в ряде случаев можно с достаточной
точностью пользоваться приближенными формулами. Например,
когда величина а близка к 1, можно пользоваться формулой (1.6)
для поля тонкого соленоида. Введя в нее плотность тока, получаем
Яо = 7*агО,4л JL_ (а—1). (1.13)
Значения поля, которые дает формула (1.13), можно получить,
умножая данные фиг. 3 на а — 1. Эти значения превышают истин-
ные не более чем на 15% при f и на 4% при 0 2а. Таким
образом, точность этого простого выражения достаточна для
приближенных расчетов.
Если величина 0 близка к нулю, например в случае плоской
катушки, то формула (1.10) принимает вид
Но = jhai • О,4л0 In а.
(1.14а)
При 0 0,5 ошибка не превышает 12%. Если величина а близка
к 1, а 0 < 1, то можно пользоваться формулой для поля элемен-
тарного витка, подставив в нее I = jk [26 (а2 — a^l. Тогда
Яо = ^.0,4x10 (а — 1). (1.146)
§ 2. СООТНОШЕНИЯ для мощности
При расчете соленоида с обычным проводником (в отличие от
сверхпроводящих соленоидов) необходимо знать мощность, кото-
рую требуется подвести к соленоиду, чтобы получить магнитное
иоле заданной величины. Рассматривая катушку, изображенную
на фиг. 4, можно написать выражение для мощности, рассеиваемой
в элементе ее поперечного сечения, и проинтегрировать его по
объему катушки. Считая плотность тока j и удельное сопротивле-
ние р (в ом •см) постоянными во всем объеме, напишем
W= j ШУ=72р j dT
W = (а2—1).
Из (1.16) получим
.Г 1 "|1/2 / W \1/2
1 — L2nP(a2—1)J \pKal)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
Теперь мы можем ввести коэффициент плотности тока J (а, 0)^
объединяя в выражении (1.17) сомножители, зависящие только
от формы соленоида. Этот коэффициент связывает плотность тока
в проводнике соленоида с полной потребляемой мощностью.
Таким образом,
где
J («» ₽) = [2яр (а2_ 1) ] •
(1.18)
(1.19)
Пользуясь формулой (1.10), можно выразить плотность тока.
в проводнике через магнитное поле:
d-20)
Отметим, что с уменьшением внутреннего диаметра соленоида
плотность тока, необходимая для получения данного поля, воз-
растает. Это обстоятельство будет использовано ниже, в кон-
це гл. 2.
Мы получили соотношения, связывающие поле с плотностью
тока — (1.Ю), а также мощность с плотностью тока — (1.16).
Исключая из (1.10) и (1.16) плотность тока, получаем выражение,,
связывающее поле соленоида с рассеиваемой в нем мощностью:
_F(a,P) Z^V2
[2л0(а2—1)]1/2 \р«1 /
(1.21)
Объединяя в (1.21) все сомножители, зависящие только от формы
соленоида, в один, называемый обычно «коэффициентом Фабри» [1]
или «коэффициентом 6’» [2], можно написать
Яо=С(“’0)(Э1/2’ (1-22)
где
G (а, р) = 0,2 (-^т)1/2 Ь а+(а2+р2)11/2 (1.23а)
или
G(a, p) = 0,2(J<-)1/2(ArSh^--Arsh|-). (1.236)
На фиг. 5 приведена зависимость коэффициента G от а и 0.
Исследование коэффициента G для соленоидов с постоянной
плотностью тока обнаруживает максимум G = 0,179 при значе-
нии а, близком к 3, и 0, близком к 2. Катушка с а = 3 и 0 = 2
создает при данной мощности наибольшее возможное поле.
Существование такой оптимальной формы катушки можно пред-
сказать качественно следующим образом: из (1.1) следует, что
при фиксированном числе ампервитков мы получим тем большее
поле на ампервиток в центре соленоида, чем ближе к центру
поместим витки с током. Однако при плотном расположении витков
для поддержания тока в них потребуется слишком большая мощ-
ность (1.16). Для катушки с постоянной плотностью тока опти-
мальный компромисс между этими противоречивыми требованиями
достигается при значениях а = 3 и 0 = 2.
В случае длинного соленоида (когда можно пренебречь кра-
евыми эффектами) полезно преобразовать (1.23), введя мощность
лв единицу длины соленоида, т. е.
Тогда
<Ч(2₽Г
(1.24)
(1-25)
ГД<^
G'(a)-0,4 plgz-l).]172,
(1-26)
и ричем-мощность W выражена в вт/см, ар — в ом-см (Л — коэф-
41 ициент заполнения). Зависимость коэффициента G' длинного
Ф и г. 57 Коэффициент G (а, р) для катушки с постоянной плотностью тока.
Приведено семейство кривых G (а, ₽) = const в координатах а и (к определенных соглас-
но фиг. 4.
соленоида от а приведена на фиг. 6. Чтобы установить, когда
можно пользоваться приближенным коэффициентом G' (из (1.26),
следует сравнить данные фиг. 5 и 6. Мощность на единицу дли-
ны (1.24) равна полной мощности, деленной на длину катушки.
Поэтому можно сравнивать коэффициенты G и G' (а), исследуя
отношение
G'(а)-(1/20)^
G (a, ₽)
(1-27)
При a = 1,5 и p = 2,4 у = 1,1; при a = 1,5 и 0 = 4,5 у = 1,06.
Таким образом, приближенное выражение (1.25) дает’слегка
Фиг. 6. Коэффициент G' (а) для длинного соленоида с постоянной плотно-
стью тока.
Предполагается, что поле в центре соленоида приданной мощности на единицу длины
не зависит от длины соленоида. Величины G' (а) приведены для двух интервалов значе-
ний а.
завышенные значения G с точностью, возрастающей по мере
приближения формы катушки к длинному соленоиду, для кото-
рого оно и было получено.
§ 3. СОГЛАСОВАНИЕ СОЛЕНОИДА С ИСТОЧНИКОМ ТОКА
Из формулы (1.22) следует, что при постоянном отношении р/Х
поле, которое можно получить при заданном внутреннем диаметре
катушки, зависит только от формы катушки и от подводимой
мощности. Эту мощность можно подвести как к катушке с малым
числом витков при большом токе й низком напряжении, так
и к катушке с большим ^числом витков при малом токе и высоком
нппряжонии. Выбор определяется соображениями, связанными
с. источником питания и конструкцией катушки. То же самое
следует из (1.12) — данное поле можно получить при любом токе
при условии соответствующего выбора числа витков катушки.
Число витков, необходимое для получения заданного поля при
определенном верхнем пределе величины тока, можно получить из
(1.12). Необходимое напряжение найдем по формуле V = IR,
где К —сопротивление соленоида с постоянной плотностью тока,.
pZV«2jiZ>Cp
Ак
л Лк— площадь сечения, занятая проводником. Отсюда
я _7V2p л(а+1)
^20(06—1)’
(1.28а)
(1.286)
Вели же требуется получить максимальное поле от источника
питания ограниченной мощности, развиваемой при определенных
значениях тока и напряжения, то необходимо согласовать сопро-
тивление соленоида с источником тока (подобно тому, как мы
выбирали форму соленоида, чтобы получить максимальное значе-
ние коэффициента G). Необходимое число витков получим, пере-
писав формулу (1.286) в виде
7у2 = ДХ'а1.2р (a-l) (i.29}
Сопротивление соленоида с фиксированным числом витков не
зависит от формы поперечного сечения провода, использованного
при намотке, если коэффициент заполнения остается постоянным.
С другой стороны, коэффициент заполнения определяется относи-
тельной толщиной изоляции и редко может быть задан до выбора
провода, поэтому для получения необходимого сечения проводни-
ка из (1.29) требуется обычно несколько итераций. Пусть, напри-
мер, для согласования с источником тока катушки с размерами
аЛ = 10 см, а = 2 и 0 = 1, намотанной проводником, имеющим
р = 1,8-10“6 ом>см, необходимо получить сопротивление катуш-
ки 1,0 ом. Будем исходить из типичного значения к = 0,75. При
этих условиях из (1.29) ч получим 940 витков. Разделим сечение
обмотки на 940 квадратных элементов, каждый из которых имеет
коэффициент заполнения к. Длину стороны элемента х найдем
из соотношения
67 2 26 уу
X X :
(1.30)
гиги
(1.31)
При наших предположениях получим х = 0,46 см. Выбрав про-
вод диаметром 0,44 см с толщиной изоляции 0,02 см, найдем
х=т(ст)2“0’72- <‘-32>
Учитывая неизбежное несовершенство намотки, следует йринять
реальное значение 1 = 0,7, подставить его в (1.29), и получить
вторую итерацию для %. Окончательно получим диаметр прово-
да 0,43 см при толщине изоляции 0,02 см и % = 0,7. В реальной
обмотке необходимо принимать в расчет наличие изолирующих
прокладок между слоями.
Можно применить для намотки и провод некруглого сечения;
тогда при сохранении той же площади сечения, что и у круглого
провода диаметром 0,43 см, потребуется то же число витков, если
значение % останется неизменным. Значение % можно увеличить,
применив провод квадратного сечения; при этом возрастет требу-
емое число витков и повысится эффективность катушки (1.22).
§ 4. ВЕС И ОБЪЕМ КАТУШЕК
Часто требуется оценить вес или объем катушки. Объем катуш-
ки есть
Т-^2лР(а2-1). (1.33)
Вес катушки можно найти, умножив (1.33) либо на среднюю плот-
ность катушки, либо, если основной вклад в вес катушки дает вес
провода, на произведение плотности материала провода на коэф-
фициент заполнения.
Если число витков катушки определено при расчете ее сопро-
тивления, длину провода, необходимую для изготовления катуш-
ки, можно найти, умножая число витков на среднюю длину витка.
Это эквивалентна умножению объема соленоида на число витков,
приходящееся на единицу площади сечения обмотки, что иногда
оказывается более удобным. Таким образом,
/полн - пТ = (а2 -1), (1.34)
где
ZV
п = aj2P(a2-i) виток/см*. (1.35)
Длина провода /Полн и внутренний радиус выражены в сан-
тиметрах.
§ 5. ВЫБОР ПРОВОДНИКА: МЕДЬ ИЛИ АЛЮМИНИЙ
При оценке веса и объема катушек часто обсуждается вопрос
о выборе меди или алюминия в качестве материала обмотки. Плот-
ность меди в 3,2 разд выше плотности алюминия, поэтому при
равных размерах катушка с обмоткой из алюминия оказывается
значительно легче катушки из меди. Однако электропроводность
алюминия составляет только 60% электропроводности меди,
поэтому мощность, потребляемая катушкой из алюминия,
в 1,67 раза превышает мощность, потребляемую катушкой из
Ф и г. 7. Сравнение меди и
алюминия как материалов
для соленоидов.
Представлены отношения неко-
торых величин для соленоидов,
изготовленных из меди и алю-
миния, в зависимости от приве-
денного диаметра катушки из
меди. Для обеих катушек при-
нято значение 0 = 2. Представ-
лены следующие величины:
1) величина Gcu/GMaKC> равная
отношению коэффициента G ка-
тушки из меди к максималь-
ному значению этого коэффици-
ента, которое достигается при
ос = 3; 2) величина WA1/WGu —
отношение мощности, потребляе-
мой катушкой из алюминия, к
мощности катушки из меди, со-
здающей то же поле; 3) величи-
на МА1/1ИСи — отношение масс
катушек из меди и алюминия
при указанных условиях.
меди, создающей то же поле, если размеры катушек одинаковы,
например если обе они имеют максимальный коэффициент G,
т. е. а = 3 и Р = 2. С другой стороны, если у катушки из меди
значение а намного меньше чем 3, то ее можно заменить катуш-
кой из алюминия с большим значением а и с коэффициентом G,
увеличенным настолько, что это увеличение компенсирует худ-
шую проводимость' алюминия. Вес и стоимость такой катушки
из алюминия, несмотря на ее большие размеры, могут оказаться
меньшими, чем вес и стоимость катушки из меди.
Сказанное иллюстрируется кривыми, приведенными на фиг. 7.
Они построены для постоянного значения Р = 2 и переменных
размеров катушек. Для каждого значения аСи катушки из меди
значение а катушки из алюминия выбирается таким, чтобы
получить увеличение коэффициента G, достаточное для компенса-
ции более низкой проводимости алюминия. Коэффициент G катуш-
ки из алюминия не может, однако, превысить 0,179 (при а = 3)>
поэтому компенсация возможна не при всех значениях аСи.
На фиг. 7 приведена также кривая отношения веса катушки из.
алюминия к весу катушки из меди равной эффективности. Когда
3-726
значение а катушки из меди становится равным 1,56, катушка
из алюминия той же эффективности должна иметь а = 3. Очевид-
но, нет смысла увеличивать aAi сверх значения, необходимого
для получения максимального коэффициента G, т. е. сверх а = 3,
и, как только это значение достигнуто, далее оно сохраняется
постоянным.
Мы видим, что любой катушке из меди с а < 1,47 соответ-
ствует катушка из алюминия, имеющая меньший вес при той же
эффективности. Когда осси достигает 1,56, величина aAi катушки
той же эффективности должна стать равной 3, а в интервале зна-
чений аСи от 1,47 до 1,56 катушка из алюминия имеет больший
вес, чем равная по эффективности катушка из меди. При фикси-
рованном теперь значении аАЬ равном 3, дальнейшее увеличение
аси приводит к относительному возрастанию эффективности
катушки из меди по сравнению с эффективностью катушки из
алюминия, которая остается постоянной. Таким образом, мощ-
ность, потребляемая катушкой из алюминия, возрастает. Однако,
поскольку размеры катушки из меди приближаются к фиксиро-
ванным размерам катушки из алюминия, вес катушки из алюми-
ния вновь становится меньше. Это происходит при значениях аСи,
больших 1,88. Наконец, когда катушка из меди также примет
оптимальные размеры, относительный вес катушек будет опреде-
ляться только отношением плотностей материала катушек.
Таким образом, существуют две области, где целесообразно
применять алюминий: во-первых, для создания соленоидов с малой
эффективностью, которые, будучи изготовлены из алюминия,
имеют меньший вес (и меньшую стоимость), чем при равной эффек-
тивности катушки из меди, й, во-вторых, в тех случаях, когда
необходим малый вес соленоида, даже в ущерб эффективности.
К подобным выводам приводит и рассмотрение случая фиксиро-
ванной величины а и переменной 0. Однако при этом более низкую
проводимость алюминия удается компенсировать только в очень
узком интервале размеров катушек.
§ 6. КАТУШКИ НЕКРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Эта книга посвящена главным образом соленоидам, т. е. кату-
шкам с цилиндрической симметрией. Однако на практике часто
применяются и катушки некруглого сечения. Хотя мы не рас-
сматриваем их подробно, некоторые сведения о них приводятся
здесь и в § 7 гл. 8. В большинстве случаев сечение этих катушек
приближается к прямоугольному, хотя иногда встречаются и более
сложные формы, в том числе и такие, когда виток катушки нельзя
считать плоским, например, если он лежит на поверхности
цилиндра.
Для более простого случая катушки прямоугольного сечения
можно получить точное выражение, описывающее полное трех-
мерное распределение поля. Эти результаты можно затем исполь-
зовать для аппроксимации поля катушек более сложной формы.
Таким способом громоздкое машинное суммирование полей бес-
конечно малых элементов тока можно заменить сложением полей
нескольких конечных элементов катушки. Поскольку, вообще
говоря, мы представляем поле катушки некруглого сечения в виде
суммы полей, создаваемых частями катушки, мы не приводим
соответствующих соотношений в этой вводной главе. Формулы
для поля приведены в § 7 гл. 8.
1. Мощность и объем катушек некруглого сечения
Формулы, приведенные в § 7 гл. 8, связывают поле катушки
с плотностью тока. Если катушка изготовлена из несверхпроводя-
щего материала, важно знать соотношение между мощностью
Ф и г. 8. Определение размеров прямоугольных катушек.
и током или гГлотностью тока. Это соотношение легко получить
из рассмотрения геометрии катушки, как показано на фиг. 8.
Мощность можно записать в виде
(1.36)
где I = 2 (а + Ъ — 2d) — средняя длина витка, А = cd — пло-
щадь сечения катушки, р — удельное сопротивление проводника,
X — коэффициент заполнения.
Форма катушек некруглого сечения обычно определяется гео-
метрией тех устройств, в которых они используются, поэтому
соотношение между полем и мощностью, подобное полученному
3*
ранее для катушек с цилиндрической симметрией, представляет
меньший интерне. Тем не менее в случае необходимости его можно
получить.
Для сверхпроводящих катушек важно знать объем проводяще-
го материала, который легко найти, зная форму катушки. Обра-
щаясь к фиг. 8, получаем
Т 1А - 2 (а 4- Ь - 2d) (cd). (1.37)
Для сверхпроводящей катушки важно знать максимальные зна-
чения поля в области, занятой обмоткой. Эти значения можно
получить из формул для поля, приводимых в гл. 8.
2. Силы в катушках некруглого сечения
При конструировании соленоидов некруглого сечения возни-
кает ряд специфических трудностей, которые не имеют столь
существенного значения для катушек с цилиндрической сим-
метрией. К ним относится, например, проблема сил, действующих
на прямые участки катушки. Некоторые авторы рассматривали
эту проблему [3, 4], и в ряде недавних работ можно найти при-
меры практических решений [4, 5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Fabry, Eclairage Electrique, 17, 133 (1898).
2. Cockroft J, D., Phil. Trans. Roy. Soc., 227, 317 (1928).
3. Stekly Z. J. J., Zar J. L., Hopple L., Design of Superconducting Magnet
Systems, Tech. Rept. AF*APL-TR-66-126, Vol. I and II, AF Aero Propul-
sion Laboratory, AF Systems Command, Wright Patterson AFB, Ohio, Feb-
ruary, 1967.
4. Stekly Z. J. J., The Performance of) a Large MHD-Type Stable Supercon-
ducting Magnet, Grenoble High Field Conf., Sept. 1966, Colloques Interna-
tional aux Du C.R.N.S., № 166, Editions Du C.R.N.S., Paris, 1967,
p. 237.
5, .Sampson W. B., Superconducting Magnets for Beam Handling and Accelera-
tors, Proc. Second Intern. Conf. Magnet Technology, Oxford, 1967 (published
by Rutherford Laboratory, December, 1967).
Соленоиды с переменной
плотностью тока
В гл. 1 мы ограничились рассмотрением соленоидов с постоян-
ной плотностью тока. Изменяя плотность тока по сечению обмот-
ки, можно повысить эффективность соленоида, т. е. получить
большее поле при меньшей мощности. Однако повышение эффек-
тивности всегда сопровождается возрастанием локальной плотно-
сти тока или увеличением объема проводника. Для конструкций
с неоднородным распределением тока можно получить соотноше-
ния между полем, током и мощностью примерно так же, как
в гл. 1 для случая однородного распределения тока.
Соленоиды с переменной плотностью тока приходится рассмат-
ривать не только с точки зрения возможности повышения эффек-
тивности. Не менее важно и то, что проводящие элементы, которые
служат для повышения прочности соленоида и улучшения его
охлаждения, приводят к неоднородному распределению тока.
В соленоидах, рассчитанных на большие поля, главными факто-
рами часто оказываются механические напряжения и охлаждение.
Поэтому распределение тока, обеспечивающее максимальную
эффективность, оказывается не самым выгодным, и часто ему
предпочитают другое неоднородное распределение, которое
позволяет удовлетворить требованиям высокой механической проч-
ности и хорошего охлаждения. Эти требования и их следствия мы
рассмотрим в следующих главах, а в настоящей главе приведем
формулы для расчета соленоидов с неоднородным распределением
тока.
§ 1. СЕКЦИОНИРОВАННЫЕ ОБМОТКИ
Один из способов получения неоднородного распределения
тока заключается в разбиении соленоида на несколько отдельных
секций. Сопротивления секций выбирают так, чтобы получить
желаемое распределение тока. Разбиение на секции вдоль оси
соленоида позволяет менять плотность тока в осевом направле-
нии, а концентрическое секционирование — в радиальном.
1. Концентрические катушки
Полное поле системы катушек равно сумме полей всех элемен-
тов. Пользуясь параметрами, введенными на фиг. 9, можно запи-
сать поле в центре соленоида в виде
Суммарное поле удобно выразить через отношения мощностей Wn,
рассеиваемых в отдельных катушках, к полной мощности, а также
отношения внутренних радиусов отдельных катушек к наимень-
шему внутреннему радиусу. Для этого вводим
(2-2)
Лп=-^-. (2.3)
а11
Если ХП = Х и рп=ф, т. е. все катушки имеют одинаковые коэф-
фициенты заполнения и удельные сопротивления, то (2.1) можно
переписать в виде
но=6"(—V'2, (2.4)
° \рли/ v 7
где
(2.5)
Это выражение для G" имеет максимум при следующем распределе-
нии мощности между катушками:
Например,
— N
2 {GifAi)
г=1
eiMi
(2-6)
(2.7)
При таком оптимальном распределении мощности величина G"
равна
N
^пт=2 (^)-. (2.8)
п=1
Из выражения (2.6) следует, что если все катушки имеют
одинаковые а и Р и, следовательно, равные коэффициенты фор-
мы G, то мощность распределяется между ними обратно пропор-
ционально их внутренним радиусам. Наибольшая мощность рас-
сеивается в катушке наименьших размеров.
Ф и г. 9. Определение параметров системы концентрических катушек.
В общем случае условия Xn и рп = р не выполняются. Как
будет показано в гл. 4, оптимальное распределение мощности
в этом случае не соответствует выражению (2.6).
Чтобы ввести Лп и рп в коэффициент G", образуем отношения
(2.9)
и аналогично выражению (2.5) получаем
(2.Н)
Рассмотрим на примере, как повышается эффективность за
счет набора соленоида из отдельных концентрических катушек
и надлежащего распределения мощности между ними. Возьмем
катушку с оптимальными параметрами а = 3 и 0 = 2. Она имеет
G = 0,179 (см. фиг. 5). Если на нее надеть вторую катушку,
также имеющую а = 3 и 0 = 2, то внутренний радиус этой наруж-
ной катушки должен быть по крайней мере в 3 раза больше, чем
у внутренней. Полагая А2 = 3 и используя (2.8), находим
G"nT = 0,1791/1 -J-А = 0,207.
г о
Таким образом, мы получили увеличение коэффициента G на
15% и, следовательно, уменьшение мощности на 33% прй сохране-
нии прежнего поля. Объем проводника в соленоиде резко увели-
чился, поскольку наружная катушка в 27 раз тяжелее вйутренней.
Можно найти оптимальные размеры обеих катушек, которые
дают максимум функции в (2.11), но эти оптимальные значения а
и 0 лишь незначительно меньше оптймальных параметров одно-
элементного соленоида, а изменение коэффициента G еще
меньше [7].
В гл. 4 и 5 мы продолжим рассмотрение соленоидов из кон-
центрических катушек в связи с вопросами охлаждения, эффек-
тивности и механических напряжений в соленоидах.
2. Изменение плотности тока вдоль оси соленоида
В этом случае способ вычислений остается прежним. Един»
ственное дополнительное усложнение заключается в определении
коэффициента формы для элементов, центр которых находится
вне экваториальной плоскости соленоида. Если предположить,
что плотность тока изменяется симметрично относительно эква-
ториальной плоскости, то задача упрощается. Рассмотрим солено-
ид, состоящий из трех катушек (фиг. 10). Поле такого соленоида
представляет собой суперпозицию поля Hi центральной секции
и поля Н2 краевых секций. Для определения коэффициента формы
краевых секций представим поле Н2 в виде разности полей катуш-
ки полной длины и катушки длины 2bg, равной величине зазора
между краевыми секциями. Обозначая мощность, рассеиваемую
и краевых секциях, через W2, можно записать поле Н2 в виде
Я2„й1 (^р_с,(^р (2.12)
или
„ _ /Ж2Ху/2 Gt^-Gg^
2 \ P«i / (₽t-₽g)1/2 ’
(2.13)
где G/ и G&— коэффициенты для катушек с относительными
длинами соответственно |3/ и pg (см. фиг. 10).
Ф и г. 10. Определение параметров групп катушек, имеющих одинаковые
внутренние диаметры и расположенных симметрично относительно эквато-
риальной плоскости.
Предполагается, что в каждой группе катушек плотность тока не изменяется в осевом
направлении, но каждая группа может рассеивать произвольную мощность независимо
от мощности в остальных катушках.
Из (2.13) следует, что коэффициент формы для двух катушек,
расположенных симметрично относительно центра соленоида,
равен
(Ptm Pgm)
Суммарный коэффициент G" для группы таких симметрично
расположенных пар катушек определяется из выражения, ана-
логичного (2.5), если положить Ап=1, т. е.
N
G"=- 2
7П=1
- (2.15)
где величины определяются из (2.14). Коэффициент G” имеет
максимум при оптимальном распределении мощности;
= (2.16)
2
П=1
при этом он равен
(2.17)
Мы продолжим обсуждение этого случая в § 3 при рассмотре-
нии соленоидов из пластин различной толщины.
§ 2. ОПТИМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКА
При расчете соленоида, составленного из отдельных катушек
с различными плотностями тока, возникает вопрос о том, какую
наибольшую эффективность можно получить в подобной кон-
струкции. Для решения этого вопроса следует определить
максимальный коэффициент G для соленоида заданных размеров,
в котором плотность тока изменяется непрерывно в осевом и ради-
альном направлениях. Эта величина G служит эталоном при
оценке реальных конструкций. Оптимальная плотность тока
определяется из простого критерия: каждый элемент соленоида
должен создавать одинаковое поле на 1 вт подводимой мощности.
Возвращаясь к выражениям (2.6) и (2.16), мы видим, что распре-
деление мощности между катушками соленоида, определяемое
этими формулами, действительно удовлетворяет условию равного
поля на 1 вт. Этот критерий применим и к бесконечно малым
элементам соленоида. Он весьма удобен, поскольку позволяет
получить ряд оптимальных распределений, удовлетворяющих тем
или другим требованиям. Приведем краткое доказательство того
положения, что максимальное поле при минимальной подводимой
мощности обеспечивается набором элементов, каждый из которых
создает одно и то же поле на 1 вт подводимой мощности. (Крите-
рий для более общего случая переменного удельного сопротивле-
ния будет рассмотрен в § 1 гл. 4.) Этот критерий станет понятным,
если найти увеличение поля, которое достигается при переносе
.мощности от элемента с меньшей эффективностью к в котором эта мощность даст большее поле. элементу,
Поле элемента катушки равно
dH = ^-jdadz Ю 1 (a2 + z2)®/2 (2.18)
Для элемента с номером п его удобно записать в виде
Hn = jn^Tf (2.19)
Аналогично мощность, рассеиваемая в одном элементе, равна
dW -= 72р2ла da dz, (2.20)
и для элемента с номером п имеем
И п ~ JnWn . (2.21)
Полное поле и мощность равны соответственно
N н — 2^ inhn Ц (2.22)
W^^fnwn. п=1 (2.23)
Мы должны задать jn так, чтобы полное поле было максималь-
ным при условии постоянной полной мощности. Для этого обычно
дифференцируют по переменной сумму величины, максимум кото-
рой требуется найти, и постоянной величины, умноженной на ц.
'Этот способ известен как метод множителей Лагранжа. Таким
образом, при любом п мы имеем
А(Я-рИ’) = ^-^ 0. (2.24)
Здесь р и Z считаются постоянными. Случай переменных р и X
будет рассмотрен в гл. 4. Принимая во внимание, что
с?7У 7 dW q . / о о с \
~dj^~hn’ ~di^21n п'
можно привести условия (2.24) к виду
hn — 2щпып =- 0. (2.26)
После умножения на jn получаем
in/hi = о.
Нп-2^п^0,
> = 2н = 4- (2.27)
Отсюда видно, что поле системы элементов максимально, если
эффективности всех элементов равны между собой и равны эффек-
тивности всей системы в целом.
Исходя из (2.18) и (2.20), определим dH/dW-.
dH 11 а /л dW Юр j (a2 + z2)S/2 •
Это выражение остается постоянным при изменении а и z, если j
равно J- * (2.29) (a2_|_z2)s/2 V
Обозначив плотность тока в центральном витке через ju где
= (2.30)
можно представить плотность тока в любой точке обмотки в виде
• / \ • r/at . sin3 0 /о 7 (r, z) — хг = ]i . . . (2.31) (r/ai)2 ' ’
Соленоид с таким распределением тока имеет наибольшую эффек-
тивность, возможную при данной форме обмотки. Это распределе-
ние называется распределением Кельвина 2).
Для определения эффективности соленоида с указанным рас-
пределением тока следует подставить эту плотность тока в (2.18)
и (2.20) и проинтегрировать по выбранному объему обмотки
соленоида. Интегрирование приводит к весьма сложному выра-
жению зависимости поля от мощности. Для катушки с прямо-
угольным осевым сечением эта зависимость имеет вид [41
Я=Ск(а,Р)(-^-)1/2, (2.32)
где
[4 ₽r.
(2.33)
функции arctg выражены в радианах.
На фиг. 11 приведены кривые GK = const. Коэффициент GK
имеет максимум, равный 0,272 при а = 0 = оо. Необходимо
отметить, что увеличение объема проводника в соленоиде с ука-
занным распределением тока или близким к нему, в отличие от
соленоидов с однородным распределением тока, всегда дает повы-
шение эффективности. Пример этого мы видели раньше, когда
х) Это название обусловлено, по-видимому, тем, что это оптимальное
распределение впервые было рассмотрено Кельвином, однако автор не
смог отыскать какую-нибудь подходящую ссылку.
эффективность системы из двух или более катушек с оптимальны-
ми аир была больше, чем эффективность одной катушки.
Способы приближения к распределению Кельвина и их эффек-
тивность мы рассмотрим после обсуждения некоторых других
типов распределения тока. Будет показано, что это распределение
можно хорошо воспроизвести при помощи разбиения соленоида
Фиг. 11. Коэффициент GK для распределения тока типа Кельвина.
Семейство кривых G& (а, Р) = const построено для катушек с прямоугольным осевым
сечением, относительные размеры которого описываются параметрами а и ₽, введен-
ными на фиг. 4.
па сравнительно небольшое число секций и соответствующего
распределения мощности между ними. Однако мы увидим, что
повышение эффективности сопровождается возрастанием плотно-
сти тока или резким увеличением объема проводника. Мы вернем-
ся к рассмотрению этого вопроса в § 5.
§ 3. СОЛЕНОИДЫ ИЗ дисков
До сих пор мы имели дело с неоднородным распределением
тока, которое достигается путем разбиения соленоида на ряд
отдельных катушек. Соленоид, собранный из дисков (фиг. 12),
также имеет неоднородное распределение тока, так как плотность
тока в диске обратно пропорциональна радиусу диска. Применяя
диски различной толщины, можно получить изменение плотности
тока вдоль оси. Впервые дисковую конструкцию соленоида пред-
ложил Биттер [1, 2]. Такая система обеспечивает высокую меха-
ническую прочность, и ее можно хорошо охлаждать водой, проте-
кающей через аксиальные отверстия в дисках. Распределение тока
в дисках дает большую эффективность, чем однородная намотка.
Недостатком дисковой конструкции соленоида является более
высокая максимальная плотность тока.
1. Биттеровские пластины одинаковой толщины
Ф иг. 12. Определение пара-
метров биттеровских дисков,
часто используемых при со-
здании соленоидов, рассчи-
танных на большие поля.
Если напряжение на краях щели
не изменяется с радиусом, то
плотность тока в диске обратно
пропорциональна величине ра-
диуса.
При выводе соотношений для этого случая мы снова используем
выражения (2.18) и (2.20). Подставляя плотность тока в виде
интегрируем по выбранному объему проводника
J 2л pkrdzdr, (2.34а)
ai — Ъ
«2 Ъ
(2'346).
Отсюда получаем следующее выражение для мощности как функ-
ции максимальной плотности тока /р
W = j?pha8t , (2.35)
1 ‘ Л (а, Р) Л
где
j ( 1-----V'2. (2.36)
-в \ 4лр In а /
Для поля интегрирование дает
Я = Ма1Яв(а, р), (2.37)
где
Г / О\ 4я 1 Р + (1 + ₽2)1/2 /О 0-7 Ч
FB (а, р) = -J7T ш а - — ,, , (2.37a)
v г' 1° р + (а24-р2/./2 v >
или в другой форме
Рв (а, Р) = ( Arsh р- Arsh-2-) • (2-376)
Подставляя (2.37) в (2.35), мы можем исключить плотность тока
и получить зависимость поля от мощности
Я=6в(а,Р)(^)1/2, (2.38)
где
или
G" <» ₽) ~4 (тк-)(Arsh ₽- Arsh А) . (2.396)
Семейство кривых GB-= const для этого случая приведено
на фиг. 13. При а = 6 и |3^2 коэффициент GB максимален
и равен 0,209.
Выражение (2.35) можно преобразовать так, чтобы найти
максимальную плотность тока в обмотке
(2.40)
где /в(а, Р) определяется выражением (2.36). Из (2.37) получаем
7 — (2 41 \
71 ЛДа, ₽) аД GB(a, ₽)’ v 7
Уравнение (2.41) можно использовать для того, чтобы выразить
иоле через число ампер на 1 см длины соленоида и затем опре-
делить постоянную соленоида в э/а. Исходя из выражения
«2
I NI • С ai j 1
— = —= 71 j -^dr=jlal Ina
ai
и подставляя fa в виде (2.41), получаем
NI _ Н 1 ,
2Ь ~ К FB (a, Р) 1П “
иг следовательно,
(2-42)
(2.43)
(2-44)
Следует отметить, что в реальных соленоидах, собранных из
дисков, X и р изменяются с радиусом, и при точных расчетах при
интегрировании (2.18) и (2.20) их следует включать в подынте-
гральное выражение. Если функции Аир можно представить
в аналитической форме, то в некоторых случаях возможно точное
интегрирование. Однако обычно этого не требуется. Хорошие
приближения для случаев, встречающихся на практике, будут
рассмотрены в гл. 4, где приведены выражения для поля, мощ-
ности и сопротивления пластин.
2. Пластины различной толщины
Мы можем создать более эффективную конструкцию, если
введем дополнительную степень свободы с помощью изменения
толщины пластин вдоль оси соленоида (фиг. 14). Оптимальный
закон изменения толщины пластин можно найти, исходя из тре-
бования, чтобы все пластины создавали в центре соленоида одина-
ковое поле на 1 вт мощности. Соленоид такой конструкции имеет
следующее распределение тока, предложенное Гомом [2]:
I <' ’> = А [ (WT)1' - (
Как и в случае пластин одинаковой толщины, мы можем
получить следующие соотношения [4]:
н <2-46’
где
Gg =-^ (т^г)1/2 [arctgP + A-arctgfJ-2/’(Ф, О)] - (2.47)
Ф и г. 14. Определение параметров соленоидов, набранных из биттеровских
пластин с непрерывно изменяющейся толщиной.
/’(ф, 0) — неполный эллиптический интеграл первого рода,
Ф = arctg Р,
7 / а2—1 \х/2 . Q
'(—I =sm0.
Т { W \Ч*
1*— G \ Kpaf ) ’
у а — 1
G ~~ iOGGa In а ’
(2.48)
(2.49)
(2.50)
(2.51)
Н =jiKaiFG(a, р),
^с(а>
На фиг. 15 приведены графики коэффициента Gg для соленоида
с распределением тока типа Гома.. В отличие от фиг. 5 и 13, где
изображены кривые постоянной эффективности, здесь построены
графики зависимости Gg от р при постоянных значениях а. Из
фиг. 15 видно, что при увеличении р коэффициент формы асим-
птотически приближается к своему предельному значению, и по-
этому нет смысла увеличивать длину соленоида свыше некоторой
Фиг. 15. Коэффициент эффективности Gg (а, Р) для соленоидов, набранных
из биттеровских пластин переменной толщины.
Кривые зависимости коэффициента GG от параметра Р при фиксированных значениях а
показывают, что с ростом £ величина Gq асимптотически стремится к своему предельному
значению. Для одного значения Р = 5 построена кривая зависимости Gq от а. Парамет-
ры аир, описывающие форму соленоида, определены на фиг. 4.
определенной величины. При а = 8 и р = оо коэффициент Gg
своего максимального значения, равного 0,232.
На практике неудобно изменять толщину пластин непрерывно
[5], поэтому представляет интерес исследовать возможность при-
ближения к распределению тока типа Гома с помощью соленоида,
состоящего из трех секций (см. фиг. 10). В этом случае мы имеем
две переменные: отношение толщины пластин в краевых и в цен-
тральной секциях и отношение длины центральной секции к общей
длине соленоида. Для определения оптимальных значений этих
переменных мы должны произвольно задать одну из них и рас-
считать вторую из условия равного поля на 1 вт подводимой
мощности. После сравнения величин суммарного поля для ряда
первоначально заданных значений переменной следует отобрать
оптимальный вариант. • Вследствие сложности вычисления коэф-
фициента формы и выражения (2.13) эти операции требуют при-
менения вычислительной машины. Мы рассмотрим один вариант,
представляющий интерес для практического использования..
Зададим относительную толщину пластин так, чтобы пластины
в краевых секциях были в 2 раза толще, чем в центральной.
В этом случае весь соленоид можно собрать из одинаковых пла-
стин, включая в краевых секциях по две пластины параллельно.
Для определения оптимальной длины средней секции следует
Ф и г. 16. Сравнение величины коэффициента G и плотности тока J в соленои-
де* из биттеровских пластин, состоящем из трех секций с толщиной пластин
в средней секциИхВ 2 раза меньшей, чем в крайних (см. фиг. 10), с величинами
С 1{ и J в для соленоида Биттера из пластин одинаковой толщины.. В обоих
случаях а = 0 = 2.
построить график зависимости суммарного коэффициента G от
этой длины, как показано на фиг. 16. Для этого случая фиксиро-
ванной общей длины и наружного диаметра а = 0 = 2, а также
/2 — (что типично для целого ряда секционированных соле-
ноидов) максимум оказывается при длине средней секции, равной
43% от общей длины. Наибольший коэффициент G равен 0,185,
что на 2% меньше величины G для соленоида с плавным изменени-
ем плотности тока типа Гома и на 8,5% больше, чем при исполь-
зовании витков одинаковой толщины. Параметры соленоидов
большего диаметра или длины сильнее отличаются от параметров
идеального соленоида.
На фиг. 16 приведен также график отношения наибольших
плотностей тока в рассматриваемом соленоиде и в соленоиде Вит-
тера, дающем то же самое поле. В точке максимума коэффициен-
та G это отношение равно 1,2. '
Необходимо помнить, что кривые на фиг. 16 построены в пред-
положении, что во всех секциях рассматриваемого соленоида,
а также в соленоиде Виттера коэффициенты заполнения и удель-
ные сопротивления одинаковы. Это верно только для катушек
сравнительно малой мощности. В соленоидах большой мощности
увеличение плотности тока на 20% приводит к повышению тем-
пературы проводника или требует уменьшения коэффициента
заполнения. В обоих случаях выигрыш становится меньше 8,5%.
Этот вопрос мы обсудим в гл. 4 при рассмотрении охлаждения
соленоидов с неоднородным распределением тока.
Этот метод приближения к распределению Гома можно, конеч-
но, продолжить. Если увеличивать число секций, вводя, например,
секции с относительной толщиной пластин 2, 3, 4 и даже 6, то
можно и для длинных соленоидов получить коэффициент G, кото-
рый только на несколько процентов отличается от коэффициента
для соленоидов с идеальным непрерывным изменением плотно-
сти тока.
§ 4. ДРУГИЕ ТИПЫ НЕОДНОРОДНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА
Значения коэффициента G для некоторых других случаев
неоднородного распределения тока можно найти в литературе
[2—4, 6, 7]. Мы не приводим их здесь, поскольку эти распределения
редко используются при проектировании соленоидов.
§ 5. СРАВНЕНИЕ ТИПОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА
1. Относительная эффективность и плотность тока
Каждый из четырех рассмотренных выше типов распределения
тока дает увеличение числа степеней свободы при задании распре-
деления тока. Представляет интерес сравнить эти способы распре-
деления с точки зрения их относительной эффективности и относи-
тельной плотности тока.
На фиг. 17а приведены кривые зависимости коэффициента G
от а, причем в каждой точке параметр р взят такой, чтобы вели-
чина G была максимальна при выбранном значении а. Если
а < 1,5, то коэффициенты G для разных распределений тока
существенно не отличаются друг от друга; наибольшее различие
составляет 4%. Кривые для распределения Гома и для идеального
кельвиновского распределения совпадают до а = 3. Понятно, что
для получения эффективности распределения Кельвина [7] доста-
точно изготовить концентрические катушки типа Гома с а = 3
и распределить между ними мощность согласно (2,7), т. е. на
основе требования одинаковых полей на 1 вт. Если использовать
Ф н г. 17а. Сравнение величин коэффициента G для четырех типов распреде-
ления тока по обмотке соленоида.:
На всех кривых при каждом значении а величина параметра 3 выбрана так, чтобы?в;рас-
сматриваемом случае распределения тока коэффициент G был максимальным.
Фиг. 176. Сравнение величин плотности тока для четырех типов распреде-
ления.
кривые построены здесь тем же способом, что и на фиг. 17а. На кривых указано несколь-
ко точек с определенными значениями коэффициента G.
две катушки, каждая с а = 3 и, следовательно, с G = 0,213,
а также с одинаковыми Л и р, то 75% мощности должно рассеи-
ваться во внутренней катушке, а 25% — во внешней. Суммарный
коэффициент G = 0,246, т, е, лишь на 2% меньше идеального.
Фиг. 18. Обратная величина коэффициента Фабри из формулы (2.41) для
соленоидов из биттеровских пластин одинаковой толщины.
Кривые дают зависимость величин 1/FB от параметра Р при фиксированных значениях а.
Как мы увидим в следующих главах, в которых рассматривают-
ся ограничения, налагаемые охлаждением и механическими напря-
жениями, нельзя выбрать распределение тока без учета макси-
мальной плотности тока. Максимальную плотность тока, которая
возникает при любом данном распределении, можно записать,
подобно выражению (2.41), в виде
. _ Н J (а, р)
71 яА G (а, р) ’
(2.52)
где J и G —соответственно коэффициент плотности тока и коэф-
фициент Фабри ддя рассматриваемого распределения тока. Гра-
фи ни зависящего от формы соленоида отношения J/G для четырех
типов распределения показаны на фиг. 176. Они построены так
же, как и графики на фиг. 17 а, т. е. при каждом значении а
параметр 0 выбран так, чтобы коэффициент G был максимальным.
К’а к и следовало ожидать, наиболее эффективное распределение
приводит к наибольшей максимальной плотности тока, а наименее
эффективное — к самой низкой максимальной плотности тока.
Па кривых фиг. 176 отмечено несколько точек с фиксированными
значениями G, равными 0,179, 0,209 и 0,232 — максимальными
коэффициентами соответственно для соленоидов с однородным рас-
пределением тока и для соленоидов из дисков постоянной и пере-
менной толщины.
Значения коэффициента FB (а, 0) для соленоидов Виттера
.можно получить из фиг. 18.
2. Снижение плотности тока в односекционных соленоида^
Из фиг. 176 следует, что при любом из перечисленных типов
распределения максимальную плотность тока можно уменьшить
( но не ниже определенного предела) за счет увеличения параметра.а.
<1> и г. 19а. Кривые коэффициента плотности тока из формулы (2.52) для соле-
ноидов из биттеровских пластин одинаковой толщины с а = 2 (кривая /)
• и с а = 6 (кривая 2).
В некоторых случаях максимальную плотность тока также мож-
но понизить, выбирая значение Р больше того, при котором
достигается максимум коэффициента G. При этом, конечно,
падает эффективность соленоида. Фиг. 19а и 196 иллюстрируют
это положение на примере двух дисковых соленоидов с = 2
и а = 6. В соленоиде с а = 6 максимальную плотность тока мож-
но понизить на 20% при сохранении прежней величины поля за
счет уменьшения коэффициента
G всего лишь на 5%. Это зна-
чит, что отношение JB/GB падает
от 0,72 до 0,58 (см. фиг. 176), а
коэффициент G уменьшается до
0,198. Поскольку соленоид с
однородным распределением
тока при максимальном значе-
нии G = 0,179 (а = 3 и р = 2)
Фиг. 196. Кривые коэффициента
G (а, Р) для соленоидов из биттеров-
ских пластин одинаковой толщины с
а=2 (кривая 1) и с а=6 (кривая 2).
также имеет J7G = 0,58, то замена его дисковым соленоидом
больших размеров (а = 6 и р = 4,4) дает увеличение коэффици-
ента G на 10% при сохранении максимальной плотности тока.
3. Снижение плотности тока в составных соленоидах
Рассмотрим изменение коэффициента G и плотности тока
в составных соленоидах в зависимости от распределения мощности
между элементами. В качестве примера возьмем две концентриче-
ские катушки одинаковой формы и конструкции, т. е. с одинаковы-
ми геометрическими коэффициентами, причем будем полагать, что
размеры наружной катушки в 3 раза больше, чем внутренней.
Для такой системы зависимость коэффициента G" от распределе-
ния мощности определяется уравнением (2.5). Подобно выраже-
нию (2.52), максимальную плотность тока можно записать следу-
ющим образом:
. _ Hj /д (ад, рд)
1 адХ £д (ад, рд) ’
Яд Gj / Wj \ V2
Н G" \ W ) ’
. _ Я Л / Жд \ V2 Gt _ Я Ji
Jl~ ТГ \ W } G" ~ а,к Gt
(2.53)
(2.54)
(2.55)
На фиг. 20 показана зависимость отношения суммарного коэф-
фициента G" к величине G для любой из двух отдельных катушек
от относительного распределения мощности. Там же приведен
график величины у из формулы (2.55), который характеризует
влияние распределения мощности на плотность тока.
Из фиг.. 20 можно сделать некоторые важные выводы. Во-пер-
вых, при оптимальном распределении мощности плотность тока
составляет 75% от плотности тока в отдельно взятой внутренней
wt/w
Ф и г. 20. Зависимость относительной величины коэффициента G и плотности
т<»ка от отношения мощности Wlf рассеиваемой во внутренней катушке, к об-
щей мощности W для соленоида из двух концентрических катушек одинако-
вой формы и конструкции.
катушке. Следовательно, максимальную плотность тока можно
уменьшить за счет увеличения веса соленоида. Во-вторых, введя
во внутреннюю катушку долю мощности, меньшую, чем опти-
мальная, можно получить дальнейшее снижение плотности тока
за счет уменьшения эффективности. Например, при уменьшении
доли мощности во внутренней катушке от 75 до 46% плотность
тока падает до 80% от ее величины при оптимальном распределе-
нии мощности. При этом величина коэффициента G уменьшается
па 5%. Общая мощность возрастает на 10%, однако максимальное
удельное выделение тепла составляет 64% от его величины при
оптимальном распределении. Мы вернемся к рассмотрению этого
отклонения от оптимального распределения мощности в гл. 4,
где будем обсуждать проблему охлаждения соленоидов с неодно-
родным распределением тока.
Уравнения (2.52) и (2.53) подсказывают также способ дальней-
шего снижения плотности тока за счет увеличения мощности —
путем увеличения внутреннего диаметра Несмотря на то что
при фиксированном поле мощность возрастает при пропорцио-
нальном увеличении всех размеров соленоида, величина ji падает
обратно пропорционально радиусу а±. Следовательно, соленоид
большего диаметра охлаждать легче, чем соленоид меньшего диа-
метра, рассчитанный на то же самое поле.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bitter F., Rev. Sci. Inst., Part I, 1, 479; Part. II, 7, 482; Part III, 8, 318;
Part. IV, 10, 373 (1936—1939).
2. Gaume F., Journ. Rech. Centre Natl. Rech. Sci., 9, № 43, 93; № 44, 247;
№ 45, 287 (1958).
3. Montgomery D. B., Terrel J., Some Useful Information for the Design of
Solenoid Magnets, Natl. Magnet Lab. publication, 1525 (1961).
4. Gaume F., High Magnetic Fimds, MIT Press, Cambridge, Mass., 1962, Ch. 3.
5. Gauster W. F., Comm. Electron. № 52, 822 (1961).
6. Kolm H., Nature, 192, 299 (1961).
7. Bitter F., Brit. Journ. Appl. Phys., 14, 759 (1963).
Общие вопросы охлаждения
и охлаждение соленоидов с постоянной
плотностью тока
В этой главе мы будем рассматривать только водяное охлажде-
ние. В некоторых случаях следует использовать другие охлади-
тели: например, при высоких напряжениях необходимы диэлек-
трические охладители, однако они редко применяются для охла-
ждения соленоидов [1, 2]. При обычных температурах вода
является наиболее эффективным охладителем. У всех масел,
например, существенные для переноса тепла характеристики
примерно в 5 раз хуже, чем у воды [1]. Использование криогенных
жидкостей в импульсных соленоидах будет рассмотрено в гл. 7;
некоторые характерные применения этих жидкостей для охлажде-
ния соленоидов, работающих в стационарном режиме, можно
найти в литературе [1, 3, 4].
Для эффективного охлаждения должны выполняться три
основных условия: 1) поток воды должен быть достаточно велик,
чтобы предотвратить ее чрезмерный нагрев; 2) поверхность тепло-
передачи и скорость потока должны быть достаточно велики,
чтобы не допускать возникновения слишком большой разности
температур между жидкостью и охлаждаемой поверхностью;
3) тепловое сопротивление между проводниками и охлаждаемой
стенкой должно быть достаточно низким. В настоящей главе эти
вопросы будут рассмотрены с различной степенью приближения.
§ 1. ПРОСТЫЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ СООТНОШЕНИЯ
Увеличение средней температуры жидкости после прохожде-
ния через каналы охлаждения соленоида Д7& зависит только от
мощности, рассеиваемой в соленоиде, и от общего потока жидкости
и выражается в градусах Цельсия. Для воды эта зависимость
имеет вид
= 4.186Q ’ ’ (3'0
где W — мощность в вт. Q — поток в см?!сек. Если допустить,
что вода может нагреваться на 24° С, то при мощности 100 кет
требуется поток 1,0 *103 см^сек, т. е. 1,0 л!сек.
Температуру поверхности канала охлаждения можно найти
из рассмотрения коэффициента теплопередачи, который выражается
в вт!см? •град и определяется следующим образом:
где ws — поток тепла в вт/см?, Т w — температура стенки в ° С,
Тъ — температура жидкости в °C. Коэффициент теплопередачи
воды при турбулентном течении [5, 11] можно приближенно опре-
делить из выражения
„0,8
h = 9-10~3 (1 + 1,5.10-2П) ’ (3.3)
где v — скорость жидкости в см!сек, d — диаметр канала охлаж-
дения в см, Ть — средняя температура воды в °C. Отсюда видно,
что коэффициент теплопередачи приблизительно пропорционален
скорости. Во многих соленоидах количество воды, которое необхо-
димо пропустить через каналы охлаждения, определяется
в первую очередь требованием достаточной скорости, а не ограни-
чением нагрева воды. На фиг. 21 и 22 приведены графики скорости
в степени 0,8 и диаметра в степени 0,2. Величины v и d, необходи-
мые для достижения определенных значений h, можно получить
из фиг. 276.
Чтобы оценить максимальную температуру внутри самого про-
водника, нужны дополнительные сведения о нагреве вследствие
градиента температуры в проводнике и на тепловом барьере между
проводником и охлаждающей поверхностью. Точные расчеты
должны учитывать геометрию соленоида [6], однако хорошую
оценку можно сделать, исходя из одномерной модели теплового
потока.
В этом приближении перепад температуры внутри проводника,
выраженный в °C, равен
Л7’с = -^-, (3.4)
(ЦСМ? (а, см/сек)-
Фиг. 22. График диаметра (в см) в степени 0,2.
где I — расстояние от точки наибольшего нагрева до ближайшей
охлаждаемой поверхности в см; Wv — удельное выделение тепла
в вт!см?; к — коэффициент теплопроводности меди, равный
3,86 вт!см -град. Если в рассматриваемом объеме проводника
Фиг. 23. График падения давления жидкости на единице длины трубы
(в атм/см) в степени 0,4.
Wv = const, то от охлаждаемой поверхности до точки макси-
мального нагрева температура проводника изменяется по пара-
болическому закону и среднее локальное увеличение температуры
равно 0,667 АГс-
Если между проводником и охлаждаемой стенкой располо-
жен слой изоляции, то мы должны добавить член
АЛ = -^, (3.5)
где ws — плотность потока тепла через границу в вт/см2, t — тол-
щина изоляции в см. къ — коэффициент теплопроводности изоля-
ции в ,вт!см -град. Теплопроводность всех диэлектриков примерно
в 1000 раз хуже теплопроводности меди [5]. Например, поток тепла
величиной всего 17 вт/см2 на слое слюды толщиной 0,025 см
перепад температуры в 100° С. Поэтому во всех соленоидах боль-
IIюй мощности охладитель должен иметь прямой контакт с про-
водником, чтобы тепловой поток не пересекал слоя изоляции.
Рабочая температура соленоида влияет как на выбор материа-
лов для его конструкции, так и на величину поля на 1 вт мощно-
сти. Чем горячее соленоид, тем выше его сопротивление и тем
больше мощность, которая требуется на 1 а. Для медных провод-
ников при всех температурах выше температуры жидкого азота
выполняется следующее соотношение:
Ртс = Р20 [1 + а2о (?с — 20°)], (3.6)
где р2о = 1,72-10~6 ом •см, а20 = 0,41%/гра5. Например, при
60е С удельное сопротивление меди равно 2«10“6 ом*см.
Температурный коэффициент сопротивления можно использо-
вать для контроля за повышением средней температуры внутри
соленоида, определяя относительное увеличение сопротивления
при включении тока. Например, изменение сопротивления на
4,1% по сравнению с его величиной при 20° С соответствует нагреву
па 10° С. Повышение температуры приблизительно пропорцио-
нально мощности, рассеиваемой в соленоиде. Отклонение от стро-
гой пропорциональности объясняется тем, что теплопередача
обычнЬ улучшается с повышением температуры жидкости.
§ 2. ПРОСТЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ
Чтобы рассчитать повышение температуры проводника в соле-
ноиде, необходимо определить количество охладителя, которое
можно пропустить через соленоид, и скорость его потока. Величи-
на потока воды определяется мощностью насоса и конкретной
конструкцией соленоида. Ниже мы приведем некоторые простые
приближенные формулы для расчета потока воды [5].
Падение давления на трубе складывается из падения давления
вследствие трения в трубе и перепадов на входе и выходе. Если
начало и конец трубы не имеют специальной формы, а просто при-
соединены к трубопроводам, в которых скорость потока мала по
сравнению со скоростью в трубе, то перепад на входе равен поло-
вине потерь динамического напора, а перепад на выходе — полной
величине потерь динамического напора. Эти потери (в атм) опре-
деляются выражением
АРУд = °’9^5рр2-10-3, (3.7)
где v -- скорость потока в см/сек, р — плотность жидкости в г!смР,
ц 981 см1се&. Для воды потери динамического напора (в атм}
равны
АРуд = 0,49 • 10~6i?2. (3.8а)
Суммарный перепад давления воды на входе и на выходе трубы
равен
ДРе —0,74-Ю"6^2. . (3.86)
Таким образом, если вода течет по трубе со скоростью 1000 см!сек,
то суммарный перепад давления равен 0,74 атм.
Фиг. 24. Зависимость безразмерного коэффициента трения от числа Рей-
нольдса (в см21сек) для потока воды в круглой трубе.
Приведены кривые для трубы с гладкими стенками и для труб со стенками, имеющими
различные шероховатости. Размеры шероховатостей определяются как относительная
величина отклонений поперечного размера трубы от проходного диаметра.
Чтобы найти падение давления вследствие трения, необходимо
знать величину коэффициента трения, которая зависит от числа
Рейнольдса и шероховатости поверхности трубы. Кривые зави-
симости коэффициента трения воды от числа Рейнольдса для
труб с гладкими стенками и со стенками, имеющими различные
шероховатости [5], приведены на фиг. 24. Число Рейнольдса
определяется следующим образом:
NR = ^~, (3.9)
И
где р — плотность в г/см3, v — скорость в см/сек, d — диаметр
трубы в см, р, — вязкость в дин -сек/см2. Для воды при 50° С это
число равно
Nr = l,8vd-102.
(3.10)
Степень турбулентности потока также определяется при помо-
щи числа Рейнольдса. Поток будет турбулентным, если NR >
> 4-103, или если произведение vd в выражении (3.10) больше 20.
В некоторых случаях поток становится турбулентным уже при
/Уд > 2,3 -103; однако поскольку при турбулентном течении тепло
значительно лучше отводится от стенок трубы, то мы должны счи-
тать, что минимальное допустимое число Рейнольдса равно 4*103.
Перепад давления (в атм), обусловленный трением, опреде-
ляется выражением
\Pf = 0,985/ (3.11)
где / — коэффициент трения, Z —длина трубы в см, d — диаметр
грубы в см, v — скорость жидкости в см/сек, р — Плотность жидко-
сти в а/сл13, g = 981 см/сек**. Для потока воды этот перепад давле-
ния равен
ДР/= (0,49-10-»)/^ г2. (3.12)
Значение коэффициента трения / можно определить из фиг. 24.
Типичное значение коэффициента трения для труб с гладкими
стенками—около 0,03. Подставляя его в выражение (3.12), полу-
чаем
ДР/ да 1,50-10-8^ Р2. (3.13)
общее падение давления равно
ДР = ДРе+ДР/,
ДР да (0,74 4- 0,015 • Ю^р2. (3.14)
Скорость потока равна
0,74+0,015 103 (3.15)
Если перепады на входе и на выходе малы по сравнению с паде-
нием давления вследствие трения, то при коэффициенте трения,
равном 0,03. выражение (3.15) принимает вид
рдав-Ю3}/ ~^~d, (3.16)
где &P/L — падение давления за счет трения на единице длины
грубы в атм/см, d — диаметр трубы в см. Любые поправки к коэф-
фициенту трения войдут в это выражение в степени V2*
•—726
Умножив скорость потока, определяемую формулой (3.16), на
площадь поперечного сечения трубы, находим величину пото-
ка в см?!секл.
Q = ^&v, (3.17а)
ИЛИ ___
<2»6,4-103)/ (3.176)
Из формул (3.17) видно, что величина потока Q сильно зависит
от диаметра трубы.
Если канал охлаждения не круглый, то обычно вводят приве-
денный гидравлический диаметр, который определяется следую-
щим образом:
= (3.18а)
где А — площадь поперечного сечения канала в см2, Р w —
внутренний периметр канала в см. Нетрудно убедиться, что для
круглого канала приведенный диаметр равен
DH = -^2/4) = d, (3.186)
а для каналов другой формы, например кольцевой или прямо-
угольной, экспериментально показано, что подстановка приведен-
ного диаметра в обычные гидравлические формулы приводит
к правильным результатам. Приведенный диаметр DH можно
непосредственно подставлять вместо d в выражения (3.10)—(3.16),
однако величину полного потока следует записывать в виде
8.10s)/^-DHA. (3.19)-
Здесь, как и раньше, коэффициент трения принят равным 0,03
и не учитываются потери динамического напора.
Для каналов прямоугольного поперечного сечения, ширина
которых значительно больше высоты, приведенный гидравличе-
ский диаметр равен удвоенной высоте.
§ 3. СВЯЗЬ ПАРАМЕТРОВ СОЛЕНОИДОВ
С УСЛОВИЯМИ ОХЛАЖДЕНИЯ
Прежде чем использовать полученные соотношения для расче-
та охлаждения соленоидов, рассмотрим связь условий охлажде-
ния с полем, размерами и конструкцией соленоида.
В первом приближении мы заменим соленоид произвольным
медным блоком, в котором выделяется тепло с удельной мощно-
стью Wv вт на единицу объема [7]. Этот блок охлаждается водой,
протекающей через ряд круглых отверстий (фиг. 25). Мы отвле-
п прямоугольных каналов на ?смг
Ф II г. 25. Определение параметров каналов охлаждения круглого и прямо-
угольного поперечного сечения.
чемся на короткое время от вопросов, связанных с жидким охла-
дителем, и рассмотрим поток тепла в меди, предполагая, что
к ило каким-то образом уносится с поверхности металла со ско-
ростью ws вт/см2. Если на 1 см2 поверхности блока приходится п
отверстий диаметром d, то
ЬнЦл, n = (3.20)
ips = -^ (3.21)
и, следовательно,
^=-.(1-%)А. (3.22)
Wg u>
Графики этой зависимости приведены на фиг. 26.
Фиг. 26. Графики отношения удельного выделения тепла к плотности тепло-
вого потока через поверхность охлаждения для случая каналов круглого
поперечного сечения, расположенных в «квадратном» порядке (см. фиг. 25).
Приведены кривые зависимости этого отношения от результирующего коэффициента
заполнения для нескольких значений диаметра каналов.
Из фиг. 26 следует, что при большом удельном выделении теп-
ла необходимо иметь много узких каналов. Однако для того, чтобы
поток охладителя им'ел скорость, при которой коэффициент
теплопередачи достигает приемлемой величины, требуется насос
большой мощности [см. (3.33)].
Выражение, подобное (3.22), можно получить и для случая
каналов прямоугольного поперечного сечения шириной w и высо-
той h и с плотностью расположения п каналов на 1 см2, т. е.
— whn, (3.23)
W = Wv = п2 (h + w) w8, (3.24)
<3-25>
Если w h, to
^=(1-ч4=(1-Л)А. ,3.26)
Если положить, что 2h = d, то выражение (3.2'6) совпадает с (3,22).
Это значит, что для того, чтобы величины отношения Wv/ws были
одинаковыми, высота сечения прямоугольных щелей должна быть
равна половине диаметра круглых отверстий. Обычно проще сделать
узкие щели, чем отверстия малого диаметра и, следовательно,
использование щелей часто позволяет получить более высокие
значения Wvfws.
Удельное выделение тепла в соленоиде определяется локальной
плотностью тока и удельным сопротивлением:
^(r) = j2(r)p(r)%(r). (3.27)
Если принять, что р и Л постоянны, то, используя формулы для
плотности тока, полученные в гл. 2, можно найти Wv:
Wv^j21PX, (3.28а)
Я-'‘тЦвГ <3-28б>
WV=J^, (3.28в)
а1
W = (3.28г)
(3.29)
Комбинируя выражения, приведенные в этой главе, можно
получить связь между Wv, величинами d и Л (коэффициент
заполнения) и результирующим повышением температуры. Исполь-
зуя (3.2) и введя АГ = (TW — Ть), можно переписать (3.22) в форме
^=Л(1-Х)А. (з.зо)
Если величину h взять в виде (3.3) и вместо скорости подставить
выражение (3.16), то можно получить (в вт/см2*град)
-^ = 12(1 +П-1,5-10-2) [(^_)0,4] [(1 -X) А] [<М. (3.31)
Если для средней температуры воды взять типичное значение Тъ =
= 33° С, то в (3.31) коэффициент 12 (1 + Тъ *1,5 «К)-2) = 18,0, что
упрощает использование этой формулы. Графики величин, стоя-
щих в скобках в выражении (3.31), приведены на фиг. 22, 23 и 26,
поэтому мы можем весьма быстро проанализировать любую связь
между Д71, &P/L, к и d. Некоторые типичные примеры содер-
жатся в табл. 1.
Таблица 1
ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ПО ФОРМУЛЕ (3.31) 1)
X d, см AP/L, атм/см W^, вт/смЗ АТ, °C
0,75 0,25 0,68 Юз 21,4
0,75 0,25 0,068 103 53,7
0,75 0,64 5,9.10-з 36 10,9
0,5 0,2 1,36 11,1.103 75
0,47 0,25 0,68 5-103 50
1) Каждая строка таблицы соответствует одному решению уравне-
ния (3.31). Подчеркнутое число дает результат решения, а остальные
числа в строке — исходные данные для расчетов.
Обозначения: Л — коэффициент заполнения; d — диаметр канала;
AP/L — падение давления на единице длины; Wv — удельное выделение
тепла; АТ — повышение температуры.
Коэффициент трения принят равным 0,03.
Для коэффициента теплопередачи h также можно получить
выражение, аналогичное (3.31). Если формулу (3.30) переписать
в виде
"=>4(га)' (3-32>
то выражение для h можно получить непосредственно из (3.31):
h = 12 (14- гь.1,5-10-2) [(4г)0’4] ld°’2]- (3.33)
Кривые зависимости величины h от отношения &P/L при различ-
ных значениях d и при средней температуре воды Тъ = 33° С
представлены на фиг. 27а. Очевидно, что отвести большое коли-
чество тепла можно только при большом перепаде давления,
особенно если учесть, что соленоиды, рассчитанные на сильные
поля, как указывалось при обсуждении графиков фиг. 26, должны
иметь каналы охлаждения малого диаметра. Напомним, что гра-
фики на фиг. 27а построены для коэффициента трения, равного 0,03.
При другом значении коэффициента трения величину, полученную
из фиг. 27а, следует умножить на отношение этого коэффициента
к указанному выше, взятое в степени 0,4. Такую малую величину
коэффициента трения, как 0,03, в некоторых случаях получить
невозможно; например, в биттеровских соленоидах с аксиальными
каналами охлаждения этот коэффициент обычно равен 0,1 [8, 9].
На фиг. 276 кривые перестроены так, чтобы явно была видна
зависимость коэффициента теплопередачи, определенного выра-
жением (3.3), от скорости потока. Здесь, как и раньше, предпола-
гается, что средняя температура жидкости равна 33° С.
§ 4. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ И ЭФФЕКТИВНОСТЬ
СОЛЕНОИДОВ
После рассмотрения приближенных соотношений между коэф-
фициентом заполнения, гидравлическими параметрами и резуль-
тирующей температурой соленоида мы переходим к анализу связи
зтих параметров с эффективностью соленоида [10], т. е. с величи-
ной поля на 1 вт подводимой мощности.
Во все формулы, выражающие зависимость поля от мощности,
входит отношение Х/р. Очевидно, что величины 1 и р связаны
друг с другом, поскольку доля объема соленоида, занятая охлади-
телем, влияет не только на величину X, но и на температуру про-
водника соленоида и, следовательно, на его сопротивление. Возни-
кает вопрос, как меняется эффективность соленоида при измене-
нии X, т. е. приводит ли увеличение коэффициента заполнения,
сопровождающееся повышением температуры соленоида, к увели-
чению поля на 1 втп, или наоборот.
Вместо того чтобы рассчитывать нагрев соленоида, вернемся
к медному блоку, изображенному на фиг. 25. Если предположить,
что температура блока повышается главным образом вследствие
скачка температуры на граничном слое Д7 = Тw — Тъ и Ть =
20° С, то
кТ = Tw - Тъ « Тс - 20°. (3.34)
Используя формулу (3.6), можно для нашего блока записать
отношение Х/р в виде
| = <335>
Согласно (3.2), скачок температуры на граничном слое ДТ равен
AZ = -^. (3.36)
Ф и г. 27а. Графики зависимости величины коэффициента теплопередачи
от падения давления на единице длины трубы для потока воды в круглой
трубе.
Кривые построены для различных значений диаметра трубы. Коэффициент трения принят
равным 0,03.
Фиг. 276. Графики зависимости величины коэффициента теплопередачи
от скорости потока жидкости.
Кривые построены для потока воды в круглых трубах различных диаметров
Подставив вместо величины ws ее выражение через Wv, получен-
ное из формулы (3.22), окончательно находим
Л/Р20 /q Q7\
р *" 1 + 0,0041 [7/(1 —X)]’ V '
где
7 4h
Мы видим, что мощность и эффективность охлаждения входят в эту
формулу только через параметр у. На фиг. 28а приведены кривые
зависимости отношения Л/р от параметра у при различных значе-
ниях Л, рассчитанные по (3.37). Рассмотрим некоторые особен-
ности этих кривых. Очевидно, что при малом коэффициенте запол-
нения, например Л = 0,5, большая мощность или плохая тепло-
передача не приводят к сильному изменению отношения Л/р,
поскольку соленоид нагревается сравнительно слабо. При большом
коэффициенте заполнения, например Л = 0,9, соленоид нагревает-
ся быстро, и кривая для Л = 0,9 даже пересекает, в частности,
кривую для Л = 0,8. Если рабочая точка на графике лежит справа
от точки пересечения этих кривых, то выгодно перейти к кон-
струкции с Л = 0,8, так как она даст большее поле и будет иметь
более низкую рабочую температуру. Немонотонный характер
этой зависимости более наглядно показан на фиг. 286, где
построены кривые при постоянных значениях параметра нагруз-
ки у. Из графиков ясно, что при увеличении мощности оптималь-
ное значение коэффициента заполнения уменьшается.
На кривых фиг. 28а указаны точки с фиксированными значе-
ниями граничного скачка температуры 50 и 100° С (температура во-
ды принята равной 20° С). Точки пересечения кривых лежат при
сравнительно больших значениях параметра у и температуры.
Первое пересечение происходит между кривыми Л = 0,9 и Л = 0,8
при значениях Д7\ равных соответственно 70 и 35° С. Температура
на кривых Л = 0,8 и Л = 0,7 в точке их пересечения составляет
примерно 120 и 80° С. Приведенные значения скачка температуры
свидетельствуют о том, что при выборе величины Л не следует
исходить только из эффективности соленоида. На практике величи-
ну Л надо брать меньше оптимальной, чтобы понизить температуру
до величины, обеспечивающей более надежную работу соленоида.
Последний вывод, который можно сделать из фиг. 286, заклю-
чается в том, что при увеличении мощности влияние коэффициента
Л на величину отношения Л/р ослабевает. При Wvd/4h = 100
поле практически не зависит от величины Л при изменении ее
от 0,5 до 0,8. Понятно, что в этом случае следует брать Л — 0,5,
так как при этом рабочая температура будет ниже, а соленоид —
более надежным.
Фиг. 28а. Зависимость
ной величине удельного
отношения коэффициента заполнения к относитель-
сопротивления от параметра нагрузки для случая
каналов охлаждения, схема расположения которых показана на фиг. 25.
Кривые построены для различных значений коэффициента заполнения. На кривых ука-
заны точки с фиксированными значениями скачка температуры на пограничном слое
воды 50 и 100° С.
Фиг. 286. Зависимость величины коэффициента заполнения от отношения
коэффициента заполнения к относительному удельному сопротивлению для
случая каналов охлаждения, схема расположения которых показана на фиг. 25.
Кривые построены для различных, значений параметра нагрузки. Величины коэффи-
циента заполнения, которые дают максимум этого отношения, указаны приблизительно.
§ 5. ОХЛАЖДЕНИЕ СОЛЕНОИДОВ С ОДНОРОДНЫМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКА
Охлаждение соленоидов с однородным распределением то-
ка мы рассмотрим на конкретном примере расчета. При
этом будут проиллюстрированы методы решения этой задачи
и некоторые взаимосвязи между
условиями охлаждения и маг-
нитными и электрическими ха-
рактеристиками соленоидов.
Многие сделанные ранее выводы
будут подтверждены конкрет-
ными примерами в § 6. Обще-
принятые способы охлаждения
соленоидов с однородной намот-
кой показаны на фиг. 29.
В нашем примере мы будем
рассматривать соленоид с внут-
ренним диаметром 15 см, рассчи-
танный на поле 50 кэ. Полагаем,
что нет никаких особых требо-
ваний,1 касающихся однородно-
сти поля и размеров соленоида.
Самый простой случай — это
соленоид с постоянной плотно-
стью тока и с максимальной эф-
фективностью, т. е. имеющий
а = 3, Р = 2 и коэффициент
G = 0,179.
В начале расчета неизвестны
некоторые величины: чтобы по
Ф и г. 29. Общепринятые способы ох-
лаждения соленоидов с постоянной
плотностью тока.
i — соленоид намотан проволокой, охлаж-
даемой с поверхности; б — соленоид из
полого проводника, охлаждаемого с внут-
ренней поверхности; в — соленоид намо-
тан лентой, охлаждаемой с широкой сто-
роны (слева) или с кромки (справа).
формуле (1.23) определить мощность, необходимую для создания
поля 50 кэ, надо знать величины коэффициента заполнения X
и удельного сопротивления р. Величина коэффициента заполнения
зависит 1) от отношения объемов изоляции и проводника; 2) от
отношения объема, занятого охладителем, к объему проводника
и 3) от потери объема соленоида вследствие несовершенства намот-
ки. Удельное сопротивление зависит от рабочей температуры
соленоида, которая в начале расчета неизвестна. На него оказы-
вают влияние доля объема соленоида, занятая охладителем, а так-
же такие характеристики, как температура жидкости и зависи-
мость давления от потока в системе охлаждения. Вместо того
чтобы пытаться получить решение в общем виде путем комбиниро-
вания приведенных выше формул, значительно проще сначала
сделать разумные предположения относительно величины коэф-
фициента заполнения и удельного сопротивления, которые дают
приближенное решение задачи, а затем внести в него поправки
методом итераций.
Итак, предположим, что коэффициент заполнения соленоида
равен 0,75, а его рабочая температура составляет 60° С. При этом
удельное сопротивление меди равно 2-10"6 ом •см. Преобразуя
выражение (1.23) и используя сделанные предположения, а также
вспоминая, что = 7,5 см, Н = 50 ко, а = 3 и р = 2, находим
= = 1,56.10» вт.
Из (1.20) или (1.18) получаем, что плотность тока в проводнике
7 = 4,97-103 а!см2, и, согласно формуле (3.27), удельное выделе-
ние тепла Wv=37 вт!см?. В случае соленоида с однородным рас-»
пределением тока величину Wv можно, конечно, найти простым
делением общей мощности W на объем обмотки V.
При столь значительных величинах общей мощности и удель-
ного выделения тепла поток охлаждающей жидкости должен
находиться в прямом контакте с проводником, без всякого слоя
изоляции между ними [см. формулу (3.5) и ее обсуждение]. Мы
рассмотрим две конструкции: соленоид, намотанный полым
проводником, и соленоид, набранный из плоских спираль-
ных секций, каждая из которых намотана ленточным проводни-
ком и охлаждается с боковой поверхности. На данном этапе расче-
та мы полагаем, что способ питания соленоида еще не задан,
так что мы не должны рассчитывать обмотку на определенное
сопротивление.
1. Соленоиды, намотанные полым проводником
Сначала мы рассмотрим конструкцию из полого проводника.
Размеры проводника выберем произвольно: пусть его поперечное
сечение имеет форму квадрата со стороной 1,27 см и с централь-
ным отверстием диаметром 0,635 см. Поскольку площадь попереч-
ного сечения этого проводника составляет 1,30 см2, то плотность
тока 4,97 *103 а!см2 соответствует току 6,45 -103 а. При сделанных
От источника
питания
От источника
питания
Л* источнику
питания
Фиг. 30а. Схемы намотки плоско-спиральной секции полым проводником.
Слева — секция намотана одним проводником; справа — секция намотана двумя про-
водниками, которые изолированы друг от друга и расположены один над другим; они
электрически включаются последовательно, а по потоку охладителя соединяются парал-
лельно.
раньше предположениях относительно величин Аир мощность,
рассеиваемая в соленоиде, равна 1,56 40е вт, и для питания соле-
ноида требуется напряжение 242 в. Теперь мы выясним, можно
ли охладить соленоид, изготовленный из этого проводника.
Соленоиды, намотанные полым проводником, обычно состоят
из нескольких двойных плоско-спиральных секций, причем/ как
показано на фиг. 30а, слева, в одной половине секции намотка
ведется в направлении от наружной части секции к внутренней,
а в другой — в противоположном направлении. В нашем случае
одна секция содержит около 23 витков, что при среднем диаметре
витков 30 см дает длину канала охлаждения 21,7 м. При стандарт-
ной величине падения давления 6,8 атм из формулы (3.17) получа-
ем, что за 1 сек через канал протекает 364 см3 воды. Весь соленоид
состоит из 12 секций, следовательно, в одной секции рассеивается
мощность 130 кет. Из выражения (3.1) находим, что при прохож-
дении через соленоид вода нагревается на 85,4° С. Ясно, что нагрев
воды недопустимо велик. Это значит, что в выбранной конструкции
длина каналов слишком велика для их диаметра.
Улучшить охлаждение соленоида можно за счет использования
проводника большего сечения, однако в целях иллюстрации сде-
ланных ранее выводов мы предположим, что нам необходимо уве-
личить поток воды при сохранении прежнего сопротивления соле-
ноида, который соответствует току 6,45 403 а при напряжений
242 в.
В этом случае мы должны использовать тот же самый провод-
ник, но каждую секцию наматывать двумя проводниками, которые
электрически включены последовательно, а по потоку воды соеди-
нены параллельно, как показано на фиг. 30а, справа. В этой кон- •
струкции число каналов удваивается, а их длина становится в 2 ра-
за меньше. Поток воды через каждую из 12 секций увеличивается
приблизительно в 2|Л2 раз и становится равным 1030 см?I сек.
Повышение температуры воды составляет теперь 30,2° С, что впол-
не допустимо.
Теперь мы рассмотрим остальные два вклада в увеличение тем-
пературы проводника: скачок температуры на границе жидкость —
проводник, который вычисляется с помощью коэффициента тепло-
передачи, и перепад температуры внутри самого проводника.
При потоке 1030 см?!сек через каждую секцию вода течет в канале
со скоростью 1630 см!сек. Подставив в формулу (3.3) это значение
скорости и среднюю температуру воды, равную 20 + 30/2 = 35° С,
находим, что коэффициент теплопередачи в нашем случае равен
5,56 ет!см? *град. Площадь поверхности каналов в каждой секции
составляет 4330 см?, поэтому при мощности в одной секции 130 кет
плотность потока тепла ws равна 30 вт!см?, а граничный скачок
температуры, согласно формуле (3.2), должен составлять 5,4° С.
Из формулы (3.4) находим, что перепад температуры внутри
проводника пренебрежимо мал: он составляет 0,5° С. Внутри соле-
ноида самую высокую температуру имеют те участки проводника,
где поток воды выходит из соленоида, поскольку нагрев воды здесь
максимален. Если температура воды на входе равна 20° С, то тем-
пература этих частей проводника составляет примерно 55° С.
К середине канала вода нагревается на 30/2° С, поэтому проводник
в этой части обмотки имеет температуру
fc=(20 + y + 5,4)«40°C.
Эта величина приблизительно равна средней температуре соле-
ноида. В начале наших вычислений мы полагали, что Тс = 60° С,
поэтому для уточнения расчета следует выполнить следующие
итерации. Первоначальное предположение о величине коэффици-
ента заполнения 0,75 оказывается правильным, так как сам провод-
ник квадратного поперечного сечения со стороной 1,27 см и с цен-
тральным отверстием диаметром 0,635 см имеет коэффициент запол-
нения 0,804, а нанесение на него слоя изоляции толщиной 0,017 см
приводит к тому, что общий коэффициент заполнения становится
равен точно 0,75.
Из4этой части расчета можно сделать некоторые выводы, касаю-
щиеся использования полых проводников в конструкции соленои-
да. Во-первых, чтобы повысить сопротивление соленоида, следует
применить проводник меньшего сечения и с меньшим диаметром
канала охлаждения. Для этого требуется разделить проводник
соленоида на еще большее число отрезков, соединенных параллель-
но по потоку охладителя, что приводит к сильному усложнению
конструкции. Следовательно, полые проводники наиболее пригод-
ны для изготовления соленоидов с низким сопротивлением. Во-вто-
рых, при уменьшении размеров соленоида плотность тока и, сле-
довательно, удельное выделение тепла становятся столь большими,
что невозможно получить площадь поверхности каналов, достаточ-
ную для охлаждения проводника. Отсюда следует, что полые про-
водники наиболее пригодны также для изготовления соленоидов
больших размеров.
2. Ленточные соленоиды
Теперь обратимся к ленточной конструкции соленоида и по-
смотрим, насколько она может удовлетворить нашим требованиям.
Пусть соленоид состоит из шести двойных плоско-спиральных сек-
ций шириной 5 см. Каждая секция намотана лентой шириной 2,5 см,
причем одна половина секции намотана в направлении от внешней
части секции к центру, а вторая — в противоположном напра-
влении. Охладитель соприкасается с наружной кромкой ленты
(фиг. 306). Как будет показано в гл. 5, такой соленоид необходимо
предохранить от осевого сжатия, поэтому между секциями мы
должны ввести распорки. Пусть они закрывают 50% боковой
поверхности секций. В начале расчета нет необходимости задавать
толщину ленты, поскольку она не влияет на величину поверхности
Фиг. 306. Схема конструкции соленоида, набранного из плоско-спиральных
секций, намотанных ленточным проводником.
Проводник охлаждается с поверхности кромки. При работе соленоида на секции
действуют большие механические силы, которые стремятся сжать соленоид в осевом
направлении, поэтому между соседними секциями помещаются распорки. Чтобы дать
охлаждающей жидкости доступ к поверхности проводника, распорки выполнены в виде
секторов.
охлаждения. Толщину ленты можно выбрать, исходя непосредст-
венно из желаемой величины сопротивления соленоида, а ее влия-
ние на величину X можно учесть введением соответствующих
поправок в конце расчета.
Из предыдущего примера мы знаем, что соленоид должен рас-
сеивать мощность около 1,56 «106 вт. Учитывая, что в контакте
с охладителем находится 50% боковой поверхности секций, мы
находим, что общая поверхность охлаждения составляет 8470 см2.
отсюда плотность теплового потока составляет 184 ет/смК Форму
каналов охлаждения выберем такой, как показано на фиг. 306,
их высоту примем равной 0,075 сж, что близко к наименьшему
размеру, который используется на практике.
Чтобы определить скачок температуры на границе металл —
охладитель, нужно знать скорость потока и приведенный диаметр.
Если ширина канала значительно больше его высоты, то приведен-
ный диаметр равен просто удвоенной высоте и его можно считать
постоянным, несмотря на то, что ширина канала изменяется. Одна-^
ко скорость потока в канале не постоянна, она уменьшается обрат-
но пропорционально радиусу. Поскольку в нашем случае а = 3,
то скорость потока на входе канала в 3 раза больше, чем на выходе.
Это изменение скорости вдоль канала приводит к тому, что мы не
можем пользоваться простыми гидравлическими соотношениями
(3.86) и (3.13). Чтобы найти падение давления вследствие трения,
мы должны проинтегрировать дифференциальную форму выраже-
ния (3.13):
«2
J (3.38)
аг
где р0 — скорость потока на входе канала в см/сек. В результате
простого интегрирования получаем падение давления вследствие
трения
Л г> 1,5-10“8 2 2 /Q ОП\
ДР/— з » (3»39)
что составляет 33% от падения давления на канале постоянной
ширины, равной ширине на входе канала охлаждения нашего
соленоида. При D — 0,15 см и = 7,5 см падение давления равно
\Pf = 0,50 «10-6 г*. Перепад давления на входе канала равен
половине, а на выходе — полной величине потерь динамического
напора. Поскольку скорость на входе канала в 3 раза больше, чем
на выходе, то, согласно выражению (3.8а), суммарный перепад
давления равен
\Ре = 0,49 • 10"6 [4 + (^) 2] - 0,3 • (3.40а)
Суммарное падение давления в нашем случае равно
ДР, = \Pf + ДРе = 0,80 • 10"6^. (3.406)
Если на рассматриваемом соленоиде, как и в случае соленоида
из полого проводника, создать перепад давления в 6,8 атм, то вели-
чина vQ будет равна 29,2 м/сек, а общий поток составит 61,8 л!сек.
При таком потоке вода будет нагреваться на 6,0° С. Вследствие
того что при движении воды по каналу охлаждения ее скорость
уменьшается, величина коэффициента теплопередачи также падает.
Из формулы (3.3) находим, что h = 10,1 вт/см2 *град во внутрент
ней части соленоида и h = 4,5 вт!см? >град во внешней. Скачок
температуры составляет соответственно 18 и 40° С. Возникающее
вследствие этого изменение температуры проводника вдоль канала
неизбежно при радиальном потоке охладителя. В ленточных соле-
ноидах эта неоднородность температуры не приводит к перерас-
пределению тока, однако, как мы увидим в гл. 4, она вызывает
изменение распределения тока в некоторых соленоидах с неодно-
родным распределением тока.
Радиальное изменение температуры проводника усложняет
вычисление сопротивления соленоида. Полусумма температур
внутренних и внешних витков дает лишь оценку эффективной
средней температуры соленоида. Для более точного ее определения
необходимо интегрировать функции типа
fe~iA8~r-o,8 (3 4!)
Если отвлечься от несущественного изменения удельного сопро-
тивления, то ws= const и, следовательно,
AT(r) = -^-^r0-8, (3.42)
а
J r^^rdr
bT = T(ai)\-------, (3.43а)
j r dr
1
АГ = Г(а1)(а(^^’8 = 1,85т (t^). (3.436)
АГ = 33°С.
Оставшийся вклад в нагрев проводника можно найти из выра-
жения (3.4). Удельное выделение тепла Wv = 37 вт!с^? вызывает
повышение средней температуры меди на 20,0° С. Если температура
поступающей воды составляет 20° С, то температура проводника
равна
?с = (20 + ^ + 33 + 20) =76°С.
Самую высокую температуру имеет проводник во внешней части
обмотки, где нагрев воды и величина граничного скачка макси-
мальны; эта температура равна 86° С. Полученная величина сред-
ней температуры соленоида 76° С больше той, которую мы приня-
ли в начале вычислений, 60° С, поэтому если требуется более точный
расчет, то следует сделахь вторую итерацию.
Из сравнения двух конструкций соленоидов мы видим, что
по крайней мере с точки зрения охлаждения более предпочтитель-
ным является соленоид, намотанный полым проводником. По срав-
нению с ним у ленточного соленоида повышение температуры при-
мерно в 3 раза больше, для него требуется насос в 5 раз большей
мощности (61,8 л!сек при 6,8 атм против 12,4 л!сек при том же дав-
лении) и имеет в 6 раз большую плотность теплового потока через
границу металл—охладитель.
Это сравнение было бы более благоприятным для ленточного
соленоида, если бы мы разделили его не на 6, а на 12 секций, однако
в этом случае при параллельных каналах охлаждения общий поток
воды стал бы еще больше и потребовался бы насос еще большей
мощности. Расход воды можно уменьшить за счет последователь-
ного соединения каналов охлаждения, но при этом увеличивается
нагрев воды и усложняется система трубопроводов.
Из приведенного примера расчета мы выяснили некоторые
взаимосвязи между сопротивлением, размерами соленоида, мощ-
ностью и возможным типом конструкции. При выбранных парамет-
рах соленоид из полого проводника оказался более подходящим,
однако при других параметрах, например при меньшем диаметре
рабочего объема или большем поле, преимущества могут оказаться
на стороне соленоида из проводника, охлаждаемого, подобно ленте,
с внешней поверхности.
§ 6. КОНСТРУИРОВАНИЕ СОЛЕНОИДОВ С ПОСТОЯННОЙ
ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА
1. Общие замечания
За последние годы было построено большое количество соленои-
дов. Подавляющее большинство из них имеет однородное распреде-
ление тока. По конструкции обмотки эти соленоиды можно разде-
лить на три основные группы, схемы расположения проводника
в которых показаны на фиг. 29. Какой тип конструкции является
наиболее подходящим с точки зрения тех или иных конкретных
требований, можно определить с помощью вычислений, пример
которых приведен в § 5. Выбор конструкции определяется следую-
щими факторами: требованиями охлаждения соленоида, его сопро-
тивлением, величиной поля, размерами рабочего объема, а также
ограничением наружного диаметра и длины. Кроме этого, нужно
учитывать технические возможности лаборатории или промышлен-
ности.
При больших величинах поля, плотности тока и внутреннего
диаметра становится существенным взаимодействие тока с магнит-
ным полем соленоида. В таких соленоидах, как мы увидим в гл. 5,
6*
отводить тепло от проводника труднее, особенно в случае малого
внутреннего диаметра и большого поля, когда плотность тока
велика, а объем ограничен. В соленоидах очень крупных размеров
механические силы часто достигают больших величин, однако
удельное выделение тепла в них обычно сравнительно мало и, сле-
довательно, охлаждать их проще.
При проектировании нового соленоида следует пользоваться
теми формулами, которые обеспечивают нужную точность. Как
правило, уже в начале расчета становится ясно, какие расчеты
требуется производить с высокой точностью, а какие — с низкой.
Например, если ожидаемое повышение температуры составляет
всего несколько градусов, то его можно определить со сравнитель-
но большой относительной ошибкой. Если же ожидается большое
увеличение температуры, которое может существенно повлиять
на сопротивление соленоида, то для хорошего согласования соле-
ноида с источником питания требуется более высокая точность
вычислений. Поскольку большинство источников питания допу-
скает превышение номинального тока, а не напряжения, то расчет
рекомендуется проводить для максимального ожидаемого увели-
чения температуры.
Скорость потока, величину коэффициента теплопередачи и, сле-
довательно, повышение температуры можно точно определить
только для соленоидов, намотанных полым проводником, посколь-
ку они имеют каналы охлаждения с гладкими стенками. В ленточ-
ных соленоидах, очевидно, шероховатые стенки каналов и другие
препятствия на пути потока воды увеличивают падение давления
и коэффициент теплопередачи на величину, которую трудно опре-
делить. К счастью, этот вопрос приходится рассматривать только
в тех случаях, когда ожидается большое повышение температуры.
Поле соленоида с однородным распределением тока линейно
зависит от величины тока, так как путь тока полностью определяет-
ся конструкцией соленоида и не зависит от удельного сопротивле-
ния проводника. Окончательный расчет такого соленоида реко-
мендуется производить по формулам, связывающим поле соленои-
да с током, поскольку они проще и точнее, чем соотношения между
полем и мощностью, и их применение не требует знания рабочей
температуры соленоида.
2. Конкретные примеры
Некоторые положения гл. 1 и 3 можно проиллюстрировать
конкретными примерами соленоидов с однородным распределением
тока, которые находятся в эксплуатации в Национальной магнит-
ной лаборатории имени Френсиса Виттера. Перечислять эти соле-
ноиды мы будем в порядке увеличения их мощности.
В качестве первого примера мы рассмотрим две катушки воз-
буждения электромагнита, изображенные на фиг. 31. Каждая из
из них имеет внутренний диаметр 30 см и при подведении мощности
2,5 кет дает в центре поле 1 кэ. Катушки намотаны ленточным
проводником. С обеих сторон каждой катушки расположены мед-
ные пластины, отделенные от проводников слоем изоляции.
Фиг. 31. Две катушки возбуждения электромагнита.
Каждая из катушек имеет внутренний диаметр 30 см и может рассеивать мощность 2,5 кет.
Они охлаждаются косвенным образом при помощи изолированных медных пластин, рас-
положенных с обеих сторон каждой катушки.
Катушки охлаждаются водой, протекающей по каналам внутри
пластин. Максимальное повышение температуры составляет около
30° С. При таком косвенном охлаждении резко снижается допу-
стимая мощность, однако конструкция катушки получается проч-
ной и сравнительно дешевой. Понятно, что существенно повысить
мощность, рассеиваемую в катушке, можно только за счет прямого
охлаждения проводника. Более поздний вариант электромагнита
большой мощности с прямым охлаждением описан в работе [12].
Этот магнит может рассеивать мощность свыше 100 кет, при охла-
ждении его трихлорбензолом повышение температуры состав-
ляет 40° С.
Второй пример — сравнительно небольшой соленоид, схемати-
чески изображенный на фиг. 32. Он предназначен для компенсации
поля на оси биттеровского соленоида, рассчитанного надполе 150 кэ,
на расстоянии 32 см от его центра и при входной мощности 7,5 кет
дает поле 6,5 кэ. Этот небольшой соленоид вместе с последователь-
ным сопротивлением включен параллельно основному соленоиду.
Если один раз подобрать нужное соотношение токов в этих двух
цепях, то компенсация сохраняется независимо от величины поля*
Ф и г. 32. Небольшой соленоид с внутренним диаметром 5,4 см, который может
рассеивать мощность 7,5 кет.
Соленоид применяется для локальной компенсации рассеянного поля более мощного
соленоида. Поток воды подается в соленоид через патрубок I, протекает по каналам 3,
4, выфрезерованным в краевых пластинах, и между прокладками 5, разделяющими слои
изолированной проволоки прямоугольного поперечного сечения, и выходит через патру-
бок 2. На схеме показан один из токовых вводов (6) на 120 а.
В этом соленоиде удельное выделение тепла довольно велико, поэто-
му косвенного охлаждения недостаточно. Соленоид намотан про-
водником прямоугольного поперечного сечения с площадью
2,5 мм2. Между слоями проводника расположены прокладки
из стеклопластика толщиной 0,4 мм. Охлаждающая вода течет
параллельно оси соленоида, ее поток равен 0,25 л!сек. Соленоид
имеет большую поверхность охлаждения, поэтому плотность теп-
лового потока составляет всего 2,7 вт/см2 и, следовательно, боль-
шая скорость потока не требуется. Несмотря на то что проводник
покрыт слоем формвара — лака, который служит для изоляции
и предохраняет медь от коррозии, при включении полной мощности
Ф и г. 33. Соленоид из восьми катушек, применяемый для исследования
плазмы.
Для визуального наблюдения плазмы между катушками оставлены зазоры шириной
1,25 ел. Поле однородно в объеме диаметром 9 см и длиной более 90 см при условии, что
краевые катушки рассеивают мощность, в 2 раза большую, чем центральные. При общей
мощности 50 кет соленоид создает поле 6,2 кэ. Под соленоидом расположен водяной
насос, который обеспечивает необходимую скорость потока, циркулирующего в замкну-
том контуре, без забора большого количества воды из магистрали.
температура проводника увеличивается всего на 10° С. При необ-
ходимости на этот соленоид можно подать значительно большую
мощность.
Типичная система катушек, применяемых для исследования
плазмы, показана на фиг. 33 х). При подведении мощности 50 кет
2) Этот соленоид спроектирован и изготовлен фирмой Вентрон, Бур-
лингтон, Массачусетс.
она обеспечивает в объеме цилиндра диаметром 9 см и длиной более
90 см однородное поле величиной 6,2 кэ. Для увеличения объема,
в котором поле однородно, катушки выполнены так, что в каждой
из двух краевых катушек рассеивается мощность в 2 раза большая,
чем в любой из центральных. (Некоторые аналитические приемы,
касающиеся расчета коррекции поля, описаны в § 6 гл. 8.) Каждая
катушка состоит из двух плоско-спиральных секций, намотанных
лентой шириной 5 см. Между катушками протекает вода, так что
каждая секция охлаждается только с одной стороны. Во всех сек-
циях промежутки между витками заполнены изолирующим соста-
вом путем вакуумной пропитки, поэтому вода течет только внутри
зазора между соседними катушками. Эта конструкция весьма
проста и надежна, она позволяет уменьшить до предела расстоя-
ние между соседними катушками и обеспечивает свободный доступ
к рабочему объему.
При общей мощности 50 кет плотность теплового потока состав-
ляет 10 вт!см? в центральных катушках и 20 вт/см2 в краевых.
Для достижения соответствующей величины коэффициента тепло-
передачи требуется сравнительно высокая скорость потока воды,
так что даже при минимальном возможном поперечном сечении
каналов охлаждения величина потока должна быть весьма большой.
Вследствие этого из каналов охлаждения соленоида, а также
из насоса и обводной трубы образован замкнутый контур, в кото-
ром циркулирует поток воды величиной 2,5 л!сек. Для ограниче-
ния нагрева воды постоянно производится частичная замена нагре-
той воды на холодную.
На фиг. 34 показан другой комплект катушек для опытов с плаз-
мой. Эти катушки способны выдерживать гораздо большую мощ-
ность. При мощности 1,5 Мет они создают в объеме цилиндра диа-
метром 18 см и длиной более 125 см поле 18 кэ при неоднородности
2%. Для увеличения области однородного поля внутренний диа-
метр краевых катушек уменьшен с 18 до 12,5 см, что вызвано тре-
бованиями охлаждения. Кроме того, для повышения однородности
поля ток в катушках можно изменять в небольших пределах при
помощи переменных сопротивлений, включенных последователь-
но с катушками. Симметрично расположенные катушки включены
последовательно друг с другом. Пять пар таких катушек парал-
лельно подключены к общему источнику питания.
Катушки намотаны полым проводником квадратного сечения
со стороной 0,625 см и центральным отверстием диаметром 0,312 см.
Чтобы получить достаточную величину потока, равную 16 л!сек
при давлении 8,5 атм, применена сложная схема намотки. Каждая
катушка состоит из 10 плоско-спиральных секций, намотанных
тремя параллельными проводниками (см. фиг. 30а, справа).
Таким образом, через одну катушку протекает 60 параллельных
потоков воды, а через все 10 катушек — 600 потоков. Все провод-
ники одной катушки соединены по току последовательно. Этот
пример показывает, какую сложную конструкцию приходится
применять в соленоиде из полого проводника в случае большого
удельного выделения тепла.
Соленоид из полого проводника изображен на фиг. 35. Его
внутренний диаметр равен 35 см и при входной мощности 4 Мет
Фиг. 34. Соленоид из десяти катушек, используемый в опытах с плазмой.
При мощности 1,5 Мет он создаёт в объеме диаметром 18 см и длиной более 125 см поле
18 кэ. Из общего трубопровода вода подается в большое количество параллельных кана-
лов охлаждения. Под соленоидом смонтированы охлаждаемые водой переменные сопро-
тивления, каждое из которых может рассеивать мощность 20 кет. Они служат для регу-
лирования тока в отдельных катушках.
он дает поле 50 кэ. Для удобства обращения, а также для возмож-
ности использования его в виде катушек Гельмгольца соленоид
разделен на две катушки. Обычно он применяется для создания
начального поля в комбинации с одним или более биттеровскими
соленоидами, когда может быть получено общее поле до 225 кэ.
Этот соленоид также состоит из плоско-спиральных секций, пока-
занных на фиг. 30а, справа, причем каждая секция намотана
двумя параллельными проводниками. В соленоиде применен про-
водник прямоугольного поперечного сечения 2,5-2,8 см2 с цен-
тральным отверстием диаметром 1,27 см. При мощности 4 Мет
удельное выделение тепла составляет всего 12 ет1см?, плотность
теплового потока равна 27 вт!см\ а среднее повышение температу-
ры составляет 35° С. Основное повышение температуры обуслов-
лено ограниченной величиной потока, поскольку даже при намот-
ке каждой секции двумя параллельными проводниками и при пере-
паде давления 10 атм общий поток воды составляет всего 25 л!сек.
Фиг. 35. Соленоид, состоящий из двух катушек с внутренним диаметром
35 см.
При мощности 2,0 Мвтп в каждой катушке он создает в центре суммарное поле 50 кэ.
На фотографии видна половина общего числа выводов полых проводников, которыми
намотан этот соленоид, остальные концы выведены на другой стороне соленоида.
Полый проводник является идеальным материалом для этого
соленоида, поскольку достаточно большой внутренний диаметр
приводит к низкому удельному выделению тепла, а необходимая
малая величина сопротивления соленоида позволяет использовать
проводник с большой площадью поперечного сечения. Однако рас-
чет системы катушек такого же размера для получения поля 100 кэ
в отверстии диаметром 35 см заставляет отказаться от полого про-
водника в пользу значительно более тяжелой конструкции ленточ-
ного типа, которая позволяет пропустить более интенсивный поток
воды. «Ленты» для секций такого соленоида изготавливаются
из медных пластин толщиной 2,5 см, в которых сделаны спиральные
разрезы от внутреннего диаметра к наружному. Такой способ
изготовления соленоида существенно снижает стоимость и дает
ряд конструкционных преимуществ.
3. Литература по основным вопросам конструирования соленоидов
Конструкции многих соленоидов, созданных за последнее вре-
мя, не описаны в литературе, однако существует достаточное коли-
чество работ, в которых заинтересованный читатель может позна-
комиться с большинством подробностей конструирования соленои-
дов. Мы обращаем внимание читателя на следующие новые работы:
1) Опыт изготовления и эксплуатации соленоидов, применяе-
мых в ядерной физике, где используются, как правило, соленоиды
некруглой формы, можно найти в [13, 14].
2) Расчеты соленоидов с постоянной плотностью тока, с малыми
внутренними диаметрами, рассчитанными на большие поля(100 кэ),
приведены в книгах Де Клерка [1] и Паркинсона и Малхолла [15].
3) Наконец, в литературе описано множество небольших соле-
ноидов с постоянной плотностью тока, которые используются
в различных криостатах. Они будут рассмотрены в § 9 гл. 7; там
же будет приведен большой список литературы. Соленоиды из
сверхпроводников в большинстве случаев также имеют посто-
янную плотность тока. Ссылки на соответствующую литературу
будут даны при описании конструкции этих соленоидов в § 4 гл. 6.
ЛИТЕРАТУРА
1. De Klerk D., The Construction of High Field Electromagnets, Newport
Instruments Ltd., Newport Pagnall, U.K., 1965.
2. Giauque W. F., Lyon D. N., Rev. Sci. Inst., 31, 374 (1960).
3. Montgomery D. B., Rep. Progr. Phys., 26, 69 (1963).
4. Lontai L. M., Marston P. G., Proc. First Intern. Symp. Magnet Technology,
723—732 (1965) (available from the Clearinghouse for Federal Scientific
and Technical Information, N.B.S., U.S. Department of Commerce, Sprin-
gfield, Virginia).
5. McAdams W. H., Heat Transmission, New York, 1954.
6. Brechna H., Montgomery D. B., A High Performance DC Magnet Utilizing
Axial Cooled Discs, N.M.L. Report NML-62-1 (1962).
7. Bitter F., Rev. Sci. Inst., 33, 342 (1962).
8. Bergles A. E., Heat Transfer and Pessure Drop Tests on Single-Passage Bit-
ter Stack, NML internal report, December 1965.
9. Fournier J., Rapport T. T., № 61, Centre d’Etudes Numeraires de Grenoble,
June, 1966.
10. Kronauer R. E., High Magnetic Fields, Cambridge, Mass., 1962, Ch. II.
И. Кутателадзе С. С., Основы теории теплообмена, Машгиз, 1957.
12. Bitter F., Reed F. E., Rev. Sci. Inst., 22, 171 (1951).
13. Proc. First Intern. Conf. Magnet Technology, 1965.
14. Proc. Second Intern. Conf. Magnet Technology, Oxford, 1967 (published
by Rutherford Laboratory, December 1967).
15. Parkinson D. H., Mulhall В, E., The Generation of High Magnetic Fields,
International Cryogenic Monograph Series, New York, 1967.
Охлаждение соленоидов
с неоднородным распределением тока.
Охлаждение мощных высокоэффективных
соленоидов
В большинстве высокоэффективных соленоидов распределение
токов неоднородно, и потому в данной главе мы рассмотрим эти
вопросы совместно. Не имея возможности рассмотреть обе пробле-
мы подробно, мы сосредоточим внимание на наиболее общих для
них вопросах.
Термин «неоднородное распределение тока» означает, что плот-
ность тока в различных элементах соленоида неодинакова, и, сле-
довательно, требования к их охлаждению различны. В некоторых
случаях введение неоднородного охлаждения в свою очередь
меняет распределение тока, и анализ всей проблемы значительно
усложняется [1, 2]. Такой взаимосвязью между распределением
тока и охлаждением высокоэффективных соленоидов объясняется
то обстоятельство, что при конструировании мы не всегда свободны
в выборе распределения токов; чаще приходится выбирать такое
распределение тока по элементам соленоида, при котором возмож-
но их эффективное охлаждение.Роль этих ограничений тем больше,
чем большее поле мы пытаемся получить в соленоиде. Еще более
строгие ограничения на выбор распределения токов накладывают,
как мы увидим, требования, предъявляемые к прочности соле-
ноидов.
§ 1. СОСТАВНЫЕ ОБМОТКИ И ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
ОПТИМИЗАЦИИ
Как и в гл. 2, мы начнем с рассмотрения составных обмоток,
представляющих собой частный случай неоднородного распределе-
ния. В гл. 2 мы рассмотрели вопрос об оптимальном распределе-
нии мощности по элементам обмотки, и теперь полезно посмотреть,
как изменятся условия оптимума, если учесть температурные
условия работы соленоида.
Начнем с пары концентрических катушек, рассмотренных
в § 1 гл. 2, т. е. с пары идентичных по форме катушек, из которых
у внешней все размеры втрое больше, чем у внутренней. Если X,
р и G одинаковы для обеих катушек, то, согласно (2.7), при опти-
мальном распределении мощности 75% ее должно быть сосредото-
чено во внутренней катушке. Из (2.8) следует, что коэффициент G
всей системы должен быть в 1,15 раза больше коэффициента G
каждой из катушек. Ясно, однако, что в том случае, когда основ-
ная мощность сосредоточена в меньшей катушке, величины X
и р обеих катушек не обязательно должны быть одинаковыми.
Действительно, если отношение мощностей, выделяемых в катуш-
ках, равно 3 : 1, а отношение их объемов — 1 : 27, то удельная
мощность во внутренней катушке в 81 раз больше, чем во внешней.
Поскольку при этом внутренняя катушка будет работать при более
высокой температуре и требовать более интенсивного охлаждения,
резонно полагать, что большее поле можно получить, переключив
часть мощности из внутренней катушки во внешнюю. Если, пере-
ключив часть мощности, мы обнаружим, что суммарное поле увели-
чилось, то необходимо продолжить этот процесс. Суть этого мыс-
ленного эксперимента состоит в определении критерия поиска
оптимального распределения^ который можно сформулировать
гак? если любое бесконечно малое переключение мощности из одной
катушки в другую не приводит к увеличению поля, то распределе-
ние оптимально. В общем случае (число катушек более двух) рас-
пределение считается оптимальным, если бесконечно малое пере-
ключение мощности из любой катушки в любую другую не дает
увеличения поля. Сформулируем точнее: распределение оптималь-
но, если при данной полной потребляемой соленоидом мощности
добавочное поле на 1 вт подводимой мощности во всех катушках
одинаково. В случае если Аир постоянны, этот критерий совпадает
с использованным в гл. 2 критерием «равное поле на 1 вт», если
же X и (или) р различны у двух катушек, эти критерии не совпа-
дают, и должен быть использован критерий, введенный в этой
главе. Назовем его критерием добавочного поля.
Критерий добавочного поля проще ввести, чем применять, но
он служит основой сложной оптимизации конструкций высоко-
эффективных соленоидов. Ввиду того 'что соотношения между
отдельными параметрами весьма сложны, такая оптимизация про-
изводится с помощью вычислительных машин. Мы разберем здесь
простой пример, который может служить иллюстрацией метода.
Если потребовать, чтобы 1) добавочное поле на 1 вт дополни-
тельно подводимой мощности в наших катушках было одинаковым
и 2) сумма мощностей в обеих катушках оставалась постоянной^
то мы должны удовлетворить условиям
dHj _ dH2
dW} “ dW2 ’
(4.1a)
где
1/2, я2=с2(-^)1/2
\ PlaH / \ Рга12 /
И
Tyi + F2 = B7 = const,.
(4.16)
Введя безразмерные переменные
Wt
w2 =
W2
W ’
имеем
U>2 = 1—U>i-
(4.2)
Прежде чем производить дифференцирование в (4.1а), необхо-
димо написать выражение для зависимости р или X от мощности.
Если положить, что температура катушки должна быть линейной
функцией мощности в ней, то, поскольку сопротивление пропор-
ционально температуре, можно написать
Pl = Poi (1 + clwlh
Рг = Р02 (1 + с2^г)»
(4.3>
где cnpQnwn — добавочное сопротивление, возникающее в катушке п
при подводе к ней всей мощности. Используя соотношение между
р и X, найденное в гл. 2, можно записать (4.3) в более общей
форме
^ = р(Ц-с2п;2).
Л2 ^02
Используя (4.4), можно написать выражения для полей в катуш-
ках в форме
Hl = Gl(^L\ll4^i \1/2 (4.5)
\рО1аН/ Xl+^Wi) '
Н2 = С2 Ш02-)1/2 (—)1/2. (4.6)
\ Р02а12 / \ 1 4" C2W2 /
Оптимальному распределению мощности между двумя катуш-
ками (т. е. такому распределению, при котором для данной
общей мощности W индуцируется максимальное поле) соответ-
ствует значение для которого
dHj _ dH2
dwi dw2
Взяв производные от (4.5) и (4.6), имеем
dH± = G ( 117X01 У/2 ( ^~1/2ДГ1/2-ч^/2ДГ3/2
du>i 1 \ Ро1аи / \ 2
^2_ = G / ^02^/2 /^2-1727?2~1/2-g2tp1/2/?r3/2
dw2 2 \ р02а12 J \ 2
где
— 1 4" CjlPi, Т?2 — 1 4“ с2^2 — 1 4“ С2 (1 — ^1)«
Приравнивая (4.7) и (4.8), получаем
G /_101_\V2 1 _.Q /
\ Р01д11 / w[/2R^2 \ РО2«12 / W2 2R% 2 ’
или
Wi I i + CjWj \ 3 __ / \ 2 ^01 Р02 а12
w2 \ 14“ C2W2 / \ @2 ) ^02 Р01 аИ *
где
iv2 = l —
Уравнение (4.10) можно переписать в виде
х Г ^4~(14~gl) ']3 __ / \ 2 ^01 Р02 а12
1- (14“с2)4“а; J \ ^2 / ^02 Poi аи ’
(4.7)
(4.8)
(4.9>
(4.10)
(4.11)
где
lOi
Х = —
w2
Чтобы найти оптимальное распределение, нам необходимо опреде-
лить значение удовлетворяющее уравнению (4.11). Поскольку,
однако, это уравнение невозможно решить аналитически, проще
всего определить х графическим путем. В первом приближении
мы найдем величину х, соответствующую оптимальному распреде-
лению при условии Л/р = const. Она равна
2 А,01 Р02 а12
^02 Р01 аП
(4.12)
Когда х найдено, значения и ш2 определить просто:
^=гЬ- (4лз)
Для иллюстрации применим концепцию добавочного поля к видо-
измененному варианту задачи из § 1 гл. 2. Полагаем, как и раньше.
что имеем дело с двумя концентрическими катушками идентичной
формы и конструкции, причем внутренний диаметр наружной
катушки втрое больше внутреннего диаметра внутренней катушки.
Положим теперь, что зависимость температуры катушек от мощ-
ности в них соответствует графикам фиг. 36, т. е. если вся мощ
ность сосредоточена в малой катушке, то эта катушка будет рабо-
тать при температуре 200° С (AZ = 180° С), а если вся мощность
сосредоточена в большой катушке, то ее рабочая температура
достигнет 80° С (А 7 = 60° С). Коэффициенты cY и с2 из уравнения
Ф и г. 36. Зависимость рабочей температуры двух катушек с параметрами
«2 = «ь ₽2 = «2 ;= Збн от рассеиваемой в них мощности.
Wn/W — доля полной мощности, рассеиваемая в отдельной катушке,
(4.4) будут равны: (\ = 0,0041 -180 = 0,738 и с2 = 0,0041 *60 --
= 0,246 в предположении, что р = р0 (1 + 0,0041 АТ7). Для этих
значений коэффициентов параметр х, удовлетворяющий уравнению
(4.11), равен 1,38, т. е. = 0,58 и w2 = 0,42. Как видим, этот
результат сильно отличается от полученного ранее соотношения
мощностей в катушках (3:1) при условии, что X и р постоянны
в обеих катушках. Рабочая температура большой и малой катушек
будет равна 45 и 125° С соответственно. Если бы соотношение мощ-
ностей в катушках было 3:1, рабочие температуры их составляли
бы 155° С в меньшей и 35° С в большей катушке.
Рабочая температура внутренней катушки, соответствующая
в нашем примере оптимальному распределению мощности, может
оказаться все же слишком высокой для обеспечения надежной
работы соленоида, и поэтому нам следует рассмотреть отклонение
от оптимального распределения, приводящее к уменьшению рабо-
чей температуры внутренней катушки. Интересно при этом выяс-
нить, насколько уменьшится эффективность соленоида при опреде-
ленном понижении его рабочей температуры. Это может быть най-
дено непосредственно из формул (4.5) и (4.6) путем суммирования
полей для различных значений и\ и w2 = 1 — Результаты
показаны на фиг. 37. Например, отклонение от оптимального рас-
пределения мощности, при котором температура внутренней
катушки снижается до 90° С, приводит к уменьшению поля всего
Ф иг. 37. Характеристики составного соленоида, рассмотренного в § 1 гл. 4
в окрестности точки оптимального распределения.
Показаны отношения напряженности поля к максимальной и температуры отдельных
катушек в зависимости от доли общей мощности, рассеиваемой во внутренней катушке.
лишь на 2,5%. Этот пример иллюстрирует очень важную идею
оптимизации конструкции, иногда упускаемую из виду, а именно:
необходимо знать чувствительность оптимизируемой функции
вблизи точки оптимума. Например, риск, связанный с работой
внутренней катушки при температуре 125° С вместо 90° С, будет
оправдан, если выигрыш в величине поля составляет 10%, а не
2,5%.
Общая процедура оптимизации, примененная в этом разделе
для случая двухэлементного соленоида, может быть распростра-
нена на любое число элементов, будь то концентрические или
аксиально распределенные катушки или любая их комбинация.
Однако очевидно, что задачу оптимизации для многоэлементных
соленоидов необходимо решать с помощью вычислительных машин.
7-726
§ 2. ДИСКОВЫЕ ОБМОТКИ
Большинство высокоэффективных соленоидов имеет конструк-
цию дискового типа [1—8]. Как было показано в гл. 2, такие кон-
струкции соленоидов с переменной плотностью тока более эффектив-
ны и обеспечивают большую прочность, чем обычные конструкции
с проволочными обмотками и с постоянной плотностью тока. Одна-
ко в обмотках с переменной плотностью тока локальные плотности
тока больше, чем в обмотках с постоянной плотностью тока
(см. фиг. 17а й 176). Кроме того, переменная плотность тока приво-
дит к неравномерному тепловыделению, и в случае, если мы имеем
дело с дисками, действительное распределение токов зависит от рас-
пределения температуры и от распределения отверстий для охлаж-
дения по площади дисков. При конструировании соответственно
возникают две проблемы: 1) как достаточно хорошо охладить
катушку, 2) как добиться оптимального охлаждения (т. е. охлаж-
дения, обеспечивающего наибольшую эффективность соленоида).
Для решения этих проблем необходимо рассчитать действительное
распределение токов и соответствующую ему напряженность
магнитного поля. Ввиду сложности взаимосвязи между реальным
распределением токов и необходимым (или оптимальным) охлажде-
нием при расчете сложных конструкций необходимо применять
вычислительные машины (см. § 3). Тем не менее мы можем рас-
смотреть в общих чертах проблему необходимого охлаждения,
сделав ряд упрощающих предположений.
Если считать, что р и X постоянны (т. е. не зависят от радиуса),
то для плотности тока можно использовать соотношение из гл. 2:
/(Г) = 70^-. (4.14)
и тогда зависимость удельной мощности от радиуса будет иметь вид
ИМг) = 71(т-)2Р<Ло- (4.15)
Если мы хотим сконструировать соленоид, который будет работать
без локальных перегревов, необходимо распределить охлаждение
таким образом, чтобы обеспечить однородное прохождение тепло-
вого потока и постоянный градиент температуры в меди. Чтобы
уяснить, как можно решить такую задачу, рассмотрим два метода
охлаждения дисков.
Обычно диски охлаждаются с помощью либо аксиальных отвер-
стий (аксиальное охлаждение), либо радиальных щелей (радиаль-
ное охлаждение), как показано на фиг. 38а и 386 [6]. В первом слу-
чае отверстия отдельных дисков нужно располагать на одной линии
так, чтобы поток охладителя был параллелен оси соленоида. При
Ф и г. 38а. Образцы пластин Биттера с аксиальным охлаждением.
Отдельные пластины при сборке располагаются так,' чтобы отверстия охлаждения обра-
зовывали прямые каналы. Показанные две пластины могут быть использованы как части
составной обмотки. Катушки, собранные из таких пластин, имеют характеристики:
at = 2,9; Pi = 2,1; а» = 1,9; а21 = 5,5; Wt = 1,2-106 вт; Ht = 75 кэ; а2 = 3,4; =
= 1,8; а12 = 5,85; а2г = 20; W2 = 3,9*106 вт; Н2 — 100 кэ; %Нп = 175 кэ.
<1> и г. 386. Образец сборки из дисков Биттера с радиальным охлаждением.
Поток воды в каналах охлаждения может быть направлен либо вовнутрь, либо наружу
или может быть комбинированным. Элемент спирали, собранной из таких дисков, вклю-
чает два проводящих диска, включаемых параллельно, и два изолирующих диска. Шаг
винта спирали постоянен; сечение проводника всюду равно удвоенному сечению прово-
дящего диска, за исключением тех мест, где расположены прорези в дисках. Два изоли-
рующих диска применяются для повышения надежности соленоида в работе.
радиальном охлаждении щели прорезаются либо в самих дисках,
либо в изоляторах, разделяющих диски. Поток охладителя, про-
ходящий через кольцевой зазор между стенкой отверстия в диске
и экспериментальным пространством, можно направлять как
от центра к периферии, так и наоборот. Можно пропускать охла-
дитель так, чтобы в половине каналов он имел направление от пе-
риферии к центру, а в остальных — обратное направление; в этом
случае все вводы охлаждения можно расположить на внешней
поверхности катушки.
В соленоидах с аксиальным охлаждением можно избежать
локального перегрева в дисках путем соответствующего изменения
плотности отверстий. Согласно (4.15), удельная мощность в дисках
пропорциональна (а^г)2, и поэтому тепловой поток будет постоян-
ным, если число отверстий одинакового диаметра на единицу пло-
щади тоже будет пропорционально (й^/г)2. Этого можно достичь,
если отверстия расположить так, чтобы расстояние между ними
было пропорционально («i/г)-1. С другой стороны, в этом случае
и температурный градиент будет постоянным, поскольку, согласно
(3.4), локальный градиент пропорционален произведению Wv
на квадрат расстояния между отверстиями. Если расположение
отверстий для охлаждения таково, что они образуют кольцевые
цепочки, расстояние между которыми пропорционально г, а число
отверстий в цепочках одинаково, то рабочая температура в различ-
ных точках соленоида должна быть одинаковой [при условии, что
справедливы соотношения (4.44) и (4.15)].
Такое рассмотрение проблемы весьма приближенно: до сих
пор мы считали, что распределение охлаждения должно основы-
ваться на соотношениях (4.14) и (4.15). Однако очевидно, что в том
случае, когда число отверстий, приходящееся на единицу площади,
меняется пропорционально (^/г)2, коэффициент заполнения дол-
жен зависеть от радиуса и, что более существенно, не должно
выполняться соотношение (4.14). Мы не определили пока, на каком
расстоянии надо располагать отверстия, чтобы температура по
всей площади диска была одинаковой, и не рассматривали слу-
чая оптимального охлаждения. Мы вернемся к этому после того,
как рассмотрим охлаждение дисков с радиальными прорезями.
При радиальном охлаждении меньше возможностей распределе-
ния потока охладителя, и поэтому невозможно обеспечить одина-
ковую температуру по всей площади дисков. Если, например,
ширина прорези пропорциональна радиусу, как на фиг. 38а, то
поверхность охлаждения на единицу объема будет постоянной, но
тепловой поток будет не постоянным, а пропорциональным (^/г)2.
Скачок температуры на поверхности будет зависеть от величины
теплового потока и коэффициента теплопередачи, который в свою
очередь зависит от скорости потока и поэтому является функцией
радиуса. Если считать, что коэффициент теплопередачи пропор-
ционален скорости потока в степени 0,8, а приведенный диаметр
приблизительно постоянен, то скачок температуры должен быть
пропорционален При этом градиент температуры в меди
будет одинаковым при любом значении г. С другой стороны, если
ширина щелей постоянна, то скачок температуры на границе про-
порционален ttj/r, а градиент в меди будет возрастать с увеличени-
ем г. В этом случае температура дисков будет более однородной,
зато перепад давления в щелях будет большим. Таким образом,
мы видим, что и при радиальном охлаждении реальная ситуация
отлична от той, при которой справедливы соотношения (4.14)
и (4.15): во-первых, разогрев дисков неоднороден, во-вторых,
коэффициент заполнения непостоянен (если Прорези имеют посто-
янное сечение).
Задача нахождения реального распределения токов в магните
и соответствующей этому распределению напряженности магнит-
ного поля, а также определения требований к охлаждению может
быть решена с различной степенью приближения. Более точное
решение может быть получено, если отказаться от некоторых (но
не всех) упрощающих предположений; возможно и полное иссле-
дование проблемы с помощью электронных вычислительных машин.
Если бы, например, мы предположили, что наличие отверстий
охлаждения не меняет распределения токов и что температура
диска однородна, если число отверстий на единицу площади про-
порционально («1/г)2, то влияние неоднородности X на поле и мощ-
ность мы могли бы учесть [1], т. е. могли бы найти замкнутые
интегралы для выражения поля и мощности через ток и скомби-
нировать их для определения нового коэффициента G, учитываю-
щего неоднородность 1. Однако предположения о том, что наличие
отверстий в дисках не меняет распределения токов и что при реаль-
ном распределении токов температура дисков будет постоянной,
далеки от истины. Такое распределение охлаждения в соленоидах
с большими плотностями тока [1] приводит к существенно неравно-
мерному разогреву дисков.
Если отказаться от этих предположений и попытаться найти
точное распределение токов, соответствующее либо тому распреде-
лению отверстий охлаждения, которое обеспечивает однородность
температуры дисков, либо реальной температуре дисков при рас-
пределении отверстий охлаждения, пропорциональному (б^/г)2,
то выражения для потребляемой мощности и величины поля полу-
чаются гораздо более сложными.
Определение нужного расположения отверстий охлаждения
и последующее вычисление коэффициентов G сильно упрощаются,
если использовать результаты моделирования процессов с помощью
проводящей бумаги. Ниже об этом и будет идти речь.
1. Расположение отверстий охлаждения, основанное на результатах
исследований моделей из проводящей бумаги
Суть предлагаемого метода нахождения распределения отвер-
стий охлаждения, обеспечивающего однородность температуры
соленоида в рабочем режиме, состоит в определении возрастания
эффективного сопротивления моделей из бумаги, обусловленного
Ф и”|Г. 39. Эквипотенциальные линии
иллинии тока в проводящей пластине
с гексагональным расположением от-
верстий.
Ф и г. 40. Определение параметров
описывающих расположение отвер-
стий охлаждения (см. § 2 гл. 4).
г-я зона пластины Виттера ограничивается
линиями центров отверстий в соседних
к ольцевых цепочках отверстий охлаждения,
каждая из которых состоит из п.отверстий
диаметром, d.
наличием отверстий. Локальные изменения плотности тока, опре-
деляемые наличием отверстий, и, следовательно, локальное возра-
стание сопротивления схематически изображены на фиг. 39 [1].
Если считать, что отверстия охлаждения в диске располагаются
концентрическими кольцевыми цепочками с равным числом отвер-
стий в каждом диске, то можно разбить диск на зоны, ограничен-
ные линиями центров соседних цепочек (фиг. 40). Исследование
на модели можно свести при этом к измерению отношения сопротив-
лений таких зон с отверстиями и без них. Как показали исследова-
ния моделей [9], для весьма широкого диапазона изменений диа-
метров отверстий, их расположения и ширины зон (см. фиг. 40)
отношение сопротивлений оказывается удивительно простым:
Ri о $i л v
“о 1 — 71 j,
Яг0 Лг0
(4.16)
где Si — площадь зоны с отверстиями, Si0 — площадь зоны без
отверстий.
Это отношение легко переписать через площади отверстий:
?<•
к,
l±Ti
(4.17а)
5. а?—1 ’
го г
(4.176)
г 1 —’
$1Л nd2/4a‘l
где 5г0 — площадь зон без отверстий; Sid — площадь, убираемая
из зоны для охлаждения; п — число отверстий в кольцевой цепоч-
ке; d — диаметр отверстий; — диаметр внутреннего кольца
отверстий зоны.
Ф и г. 41. Зависимость коэффициента К [см. уравнение (4.17)] для зоны, пока-
занной на фиг. 40, от доли площади пластины, занимаемой отверстиями
охлаждения.
Зависимость Kt от показана на фиг. 41, а линии постоянного
значения а приведены в зависимости от и ncP/iof на фиг. 42.
Мощность, выделяемая в зоне при данном напряжении, опре-
деляется как V2/Ri. Следовательно, при одинаковой площади
отверстий охлаждения в зоне (число и диаметр их в каждой коль-
цевой цепочке предполагаются постоянными) постоянство тепло-
вого потока достигается таким подбором ширины зоны, при кото-
ром сопротивление всех зон оказывается одним и тем же. При этом
Фиг. 42. Зависимость а от параметров Sa/SQ и z = (n/4) (d/ai)2 уравнения
(4.18).
Здесь а есть ах для зоны диска Биттера (см. фиг. 40).
градиент температуры в материале может быть не постоянным,
однако поскольку определяющим является скачок температуры
на поверхности диска, то условия постоянства теплового потока
соответствуют (приблизительно) постоянству температуры. При
условии приблизительно постоянной температуры (а следователь-
но, и сопротивления) сопротивление зоны равно
о. __ Aj2np
1 ~~ t In (Xj
(Л; .—:
at
(4.18)
где р — сопротивление, t — толщина диска, а величина Kf взята
из (4.17).
Следовательно, для достижения одинакового сопротивления
во всех зонах необходимо выбрать каждую зону так, чтобы выпол-
нялось соотношение
-^3-=const = C. (4.19)
Л i
Если для каждой из зон справедливо условие (4.19) и количест-
во отверстий одного и того же диаметра постоянно в зонах, то
тепловой поток в соленоиде постоянен. Постоянная С определяется
расположением отверстий в первом кольце. Соответственно распо-
ложение каждого последующего кольца отверстий охлаждения
определяется диаметром предыдущего кольца и величиной аь
удовлетворяющей уравнению (4.19). Однако такой последователь-
ный расчет можно исключить, если, пользуясь результатами изме-
рений на моделях из проводящей бумаги, найти аналитическое
выражение расположения отверстий в зависимости от радиуса
кольцевой цепочки.
Если положить, что распрложение отверстий охлаждения, обес-
печивающее постоянство теплового потока, обеспечивает и практи-
ческую однородность рабочей температуры соленоида и что степень
изменения распределения тока в дисках пропорциональна доле
площади диска, занимаемой отверстиями охлаждения, то выраже-
нием для плотности тока в эффективном проводнике будет формула
(4.15), т. е. (^/г). Таким образом, выражение для удельной
мощности, выделяемой в проводнике, будет иметь вид
Ж0(г) = Ж1>(а1)(^-)2. (4.20)
Учитывая, что проводник составляет лишь часть объема диска,
характеризуемую коэффициентом (г), и в свою очередь толщина
всех дисков составляет долю полной длины соленоида, имеем
wv (r) = WD(at) Хр (r)K 0L)2. (4.21)
На основании экспериментов с моделями из проводящей бумаги
[10] выше было показано, что эффективная площадь отверстий
охлаждения вдвое больше их действительной площади, т. е. эффек-
тивный диаметр отверстий равен
de = /2d, (4.22)
где d — истинный диаметр отверстий. Следовательно, выражение
для (г) будет иметь вид
' Кр(г) = 1— , (4.23)
где т (г) — число отверстий, приходящееся на единицу площади
на расстоянии г от оси диска; de — эффективный диаметр, опреде-
ляемый уравнением (4.22). Теперь можно приравнять удельную
мощность Wv (г) и мощность ws, отводимую тепловым потоком через
поверхность, приходящуюся на единицу объема соленоида S*(r):
(г) = Wv (а.) Ар (г) (^-) 2 = wsS (г), (4.24)
где S (г) = (mnd) кх = скх (1 — Хр (г)), т (г) nd __ 4t/ С т (г) ndf/4 d% (4.25) (4.26)
Решая (4«24) относительно (г), имеем
г2 7 (г}--—!. (4.27) (4.28)
где h(r) г2 + а^ п2 (а1) а1
а°' cWs ’
(4.30)
(4.31)
(4.32)
(4.33)
получаем
(4.34)
(4.35)
а с определяется выражением (4.26).
Эффективная доля площади диска, занятая отверстиями охлаж-
дения, равна
л2
ТР(г) = 1-Хр(г)=-^-. (4.29)
Величина Wv(at) и полная мощность W связаны между собой
следующим образом:
W = 2b j Wv(r)2nrdr,
ai
a2
W = 4ji«ijy„ (a,) j (-7-) 2 -2^2 r dr.
ai
»У-2л6МУ„ (a^ln^f.
а1 “Г a()
Итак, имеем
W (aA—_____________—___________
v 2nbKxaf In [(ai+«§)/(«?+ a§)]'
Подставляя выражение для Wv (at) из (4.33) в (4.28),
«2___________________________
" ’ CTFAx2nbln[(ai+a?)/(a?+ag)] ’
или, используя выражение для de [(4.22)],
2_ Wd 1
In |(ai+ai)/(«?+^)l ’
Уравнение (4.35) можно решить относительно а2 методом после-
довательных приближений (фиг. 43) и использовать найденное
зцачение 0% вместе с выражением (4.29) для определения точной
аналитической зависимости эффективной величины площади
охлаждающих отверстий от их расстояния до оси дисков.
Выражение (4.29) при подстановке а2 из (4.35) определяет долю
площади диска, занимаемую отверстиями для охлаждения. Если
считать, что отверстия должны располагаться в виде концентри-
ческих кольцевых цепочек с одинаковым числом отверстий п
в каждой, то можно определить радиусы этих колец.
Истинная часть площади диска у (г), занимаемая отверстиями
охлаждения, связана с ее эффективной величиной (г) как
Т (г) =(-£-) 2 TpW- (4.36)
Если в каждом кольце имеется п отверстий диаметром d,
то расстояние между соседними отверстиями в кольце радиуса г
будет равно
Обозначив расстояние между кольцами отверстий охлаждения
через Аг (г), получаем, что на каждое отверстие охлаждения
приходится площадь диска 4Р, равная
Лр(г) = рДг(г)==^^-, (4.38)
а площадь отверстия Ah определяется просто как
Л nd2
Ah
(4.39)
Таким образом, выражение для доли площади, за имаемой отвер-
стиями, будет иметь вид
,,/г\__ Ah №/Qn id и 4
т 2лгДг(г) \ 4 /
Решая (4.40) относительно Аг (г), имеем
А / ч ndl аЪА-г2 лей / . \
Д'- (0 _ П (rfe/at)2 Г г , (ap/aQ2 п
«1 8 (a0/aj)2 |_ at 1 r/at J ’
Аг (г) _ ncZ| / г а0 \
aj 8а| '1 \ aj ’ at / ’
( г а0 \ = 1 Г— + ^а°/а^2 I
\ я» ’ я( / (яр/ai)2 I. я< ' r/af J ‘
(4.40)
(4.41)
(4.42)
(4.43)
График функции /i (r/a1? приведен на фиг. 43. Нужное нам
значение отношения можно найти, решая уравнение (4.35)
методом последовательных приближений. Для этого удобнее пред-
ставить (4.35) в виде
Wd
/ «о \ 2i <x2+(a0/fli)2 _
\aj 1 + (а0/«1)2
(4Г44)
Определив с помощью (4.44) значение а0/аь находим затем из урав-
нения (4.42) значение Аг (г). График функции/2 (а,во/Л1) приведен
на фиг. 44.
Фиг. 43. Зависимость функции (ao/aj)2 /j (г/аь а0/а^ от г/а^ [уравнение (4.42)]
для такого расположения отверстий охлаждения, при котором тепловой поток
. в диске Биттера постоянен.
Последние три уравнения представляют собой точное аналити-
ческое решение задачи о расположении отверстий охлаждения
в биттеровских пластинах, обеспечивающее постоянство теплового
потока при условии, что рабочая температура пластины в разных
точках сечения соленоида одинакова и что наличие отверстий
изменяет распределение токов в пластине пропорционально доле
площади пластины, занимаемой отверстиями. Это последнее усло-
вие следует из результатов опытов с моделями из проводящей
бумаги [см. (4.22)].
Уравнение (4.42) сйраведливо для всех зон диска, за исключе-
нием крайних зон, внутренней и внешней, поскольку в них отвер-
стия располагаются только на одной из границ, другой же грани-
цей являются соответственно внутренняя и внешняя поверхности
Ф и г. 44. Зависимость функции (ai/a0)2/2 (a, aja^ от а [уравнение (4.44)]
для такого расположения отверстий охлаждения, при котором тепловой
поток в диске Биттера постоянен.
катушки. Компенсировать дефицит охлаждения этих поверхностей
удобнее всего путем изменения конструкции охлаждения самих
поверхностей.
2. Сопротивление пластин с отверстиями охлаждения
Если расположение кольцевых цепочек отверстий охлаждения
удовлетворяет уравнению (4.42) или, что то же, условию (4.19),
то, согласно результатам опытов с моделями из проводящей
бумаги, сопротивление всего биттеровского диска зависит от пло-
щади охлаждающих отверстий в такой же степени, как и сопро-
тивления отдельных зон:
д==К 2лр (4.45)
t In а ’ v 7
*=Т=^ <4-46)
где 50 — площадь диска без отверстий охлаждения; Sd — площадь
отверстий охлаждения; р — удельное сопротивление; t — толщи-
на диска; а =
3. Магнитное поле диска с отверстиями охлаждения
Для получения более точной зависимости напряженности маг-
нитного поля соленоида от потребляемой им мощности можно
Фиг. 45. Зависимость G/Go от -у.
G — коэффициент G для пластин Виттера с отверстиями охлаждения; Go — то же для
пластин без отверстий охлаждения; у — доля площади пластины, занимаемая отверстия-
ми охлаждения.
использовать уравнение (4.45). Для этого мы воспользуемся тем
обстоятельством, что коэффициент пропорциональности между
напряженностью магнитного поля и током в обмотке относительно
нечувствителен к малым изменениям распределения тока в диске.
Таким образом, наличие охлаждающих отверстий сказывается
только на сопротивлении диска.
Отношение сопротивлений дисков с отверстиями охлаждения
и без них, согласно (4.25), равно
где
R
«о
1+т
1-?’
(4.47)
Общая площадь отверстий охлаждения
~ Общая площадь диска
Потребление мощности (I2R) при данном токе I возрастает, сле-
довательно, в том же отношении:
Если перераспределение тока слабо сказывается на величине
поля (поскольку в обмотке течет тот же самый ток), мы можем
приравнять поле Н для диска с охлаждением к полю 770 для диска
без охлаждения, используя (4.48), т. е.
И.=С.(^У'‘=Я=С
\ p«i / L (1—т)р«1 J
где — осевой коэффициент заполнения, обусловленный наличием
изоляции. Чтобы удовлетворить этому тождеству, коэффициенты
G должны быть связаны соотношением
g“g"(1T7),'!' <4-49’
На фиг. 45 приведены зависимости G/Gq от у для общего случая
и для случая малых у, когда
(4.50>
Согласие экспериментальных данных с расчетными в этом случае
исключительно хорошее.
4. Расположение отверстий охлаждения в соленоидах с неоднородным
распределением температуры
До сих пор наше внимание было сосредоточено на определении
расположения отверстий охлаждения, обеспечивающего однород-
ность температуры в соленоиде. Такое распределение является
единственным распределением, обеспечивающим строгую линей-
ность характеристики «поле—ток» для соленоида. Все остальные
распределения приводят к таким изменениям сопротивления дис-
ков, результатом которых является зависимость распределения
тока от потребляемой мощности. Однако соленоиды с однородным
температурным режимом не являются самыми эффективными; ока-
зывается возможным достичь большей эффективности соленоидов
при дополнительном охлаждении наружных поверхностей дисков.
Если, например, расположить отверстия охлаждения так, чтобы
их плотность менялась пропорционально ajr, а не (fl^/r)2, то темпе-
ратура внешних областей дисков будет ниже температуры внут-
ренних областей, и при определенной максимальной температуре
дисков и минимальном значении % можно достичь больших полей
на 1 вт потребляемой мощности, чем при однородной температуре
дисков. Однако, поскольку точное распределение отверстий в дис-
ках, соответствующее максимальной эффективности соленоида,
зависит не только от относительных расстояний между отверстия-
ми, но и от соотношений между X и р в каждой данной точке диска
(см. фиг. 28), оптимизация в этом случае очень сложна. До сих пор
не было попыток целиком решить эту задачу. Однако едва ли
выигрыш в эффективности магнитов сможет компенсировать затра-
ту сил на решение этой задачи.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН
ПРИ КОНСТРУИРОВАНИИ СИСТЕМ ОХЛАЖДЕНИЯ СОЛЕНОИДОВ
С НЕОДНОРОДНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКА
Расчет распределения отверстий охлаждения, обеспечивающего
либо однородность температуры дисков, либо оптимальную эффек-
тивность, проще всего производить с помощью вычислительных
машин. Обсудим сначала вариант охлаждения, обеспечивающий
однородность температуры.
Расчёт начинается с задания максимальной плотности тока,
на которую должен быть рассчитан соленоид, и максимальной
допустимой температуры. Затем машина начинает расчет с внут-
реннёго диаметра диска и, последовательно вводя в рассмотрение
элементы из меди с определенной рассеиваемой с них удельной
мощностью, рассчитывает температуру в предположении, что поток
тепла, выделяемого в проводнике, направляется к внутреннему
диаметру диска и там удаляется. Когда соответствующие формулы
для теплопередачи и градиента температуры в меди [например,
(3.3) и (3.4)] предсказывают, что температура на внешнем крае
последнего добавленного элемента равна заданной максимально
допустимой температуре, направление теплового потока в после-
дующих добавляемых элементах предполагается противополож-
ным, т. е. тепловой поток считается теперь направленным по
радиусу к внешнему краю диска, в сторону предполагаемого распо-
ложения цепочки отверстий охлаждения. Действительное положе-
ние первого кольца отверстий охлаждения определяется методом
проб и ошибок, когда расчет повторяется в обратном порядке,
начиная от кольца отверстий к внутреннему краю диска, и продол-
жается до тех пор, пока температуры обеих границ рассчитывае-
мой зоны не совпадут. Хорошее первое приближение при расчете
положения отверстий охлаждения, обеспечивающего однородность
температуры соленоида, может быть получено с помощью выра-
жения (4.42), поскольку единственная неточность такого прибли-
жения связана с пренебрежением влияния градиента температуры,
которое, как правило, мало. Положение последующих колец отвер-
стий охлаждения рассчитывается точно так же, только расчет
начинается с диаметра первого кольца отверстий. Учет влияния
меди, оставшейся между отверстиями в кольце, производится
так же, как и в § 2 гл. 4.
Как только расположение отверстий охлаждения найдено, поле
определяется либо путем суммирования вкладов от каждого из рас-
сматриваемых элементов, либо (в более высоком приближении)
из выражения (4.49) для эффективного коэффициента G. Пластина,
рассчитанная вычислительной машиной [61, показана на фиг. 38а
(малая пластина). Соленоид длиной 8 см, набранный из таких пла-
стин, работает при температуре 75° С и создает поле 75 кэ при
потребляемой мощности 1,2 Мет,
Применение вычислительных машин может принести большую
пользу при исследовании эффективности соленоидов с неоднород-
ным распределением температуры. Однако самым простым (а часто
и единственно возможным) методом является в этом случае метод
проб и ошибок, а не другие методы оптимизации. Мы должны всего
лишь предложить возможные распределения и проверить соответ-
ствующую им эффективность (которая будет функцией мощности,
поскольку распределение токов будет меняться при возрастании
градиента температуры в дисках). Однако, как мы уже отмечали,
вряд ли следует ожидать увеличения эффективности более чем
на несколько процентов для таких приблизительно оптимальных
вариантов охлаждения соленоидов с неоднородной температурой.
§ 4. КОНСТРУИРОВАНИЕ СОЛЕНОИДОВ С НЕОДНОРОДНЫМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКА
1. Конструирование дисковых соленоидов
Соленоиды с неоднородным распределением тока применяются,
как правило, в тех случаях, когда необходимо получить магнитные
поля свыше 100 кэ. Для генерации таких полей необходимы мощ-
ности от 1 до 10 Мет, и поэтому основными проблемами конструи-
рования соленоидов являются проблемы охлаждения и прочности.
Вследствие, этого в большинстве случаев при конструировании
соленоидов такой мощности за основу берутся диски Биттера,
легко охлаждаемые и обладающие высокой прочностью. Мы оста-
новимся на наиболее характерных особенностях конструкций
такого типа и рассмотрим также конструкции соленоидов биттеров-
ского типа, работающих в Национальной магнитной лаборатории
Френсиса Биттера.
Конструкция дисковых катушек сравнительно проста. Прово-
дящие диски, форма которых показана на фиг. 12, с каналами или
отверстиями охлаждения (см. фиг. 38а), соответствующими ради-
альному или осевому вариантам охлаждения соленоидов, штам-
пуются из меди или медных сплавов. Между проводящими дисками
прокладываются изолирующие диски из пропитанной полиамид-
ной смолой стеклоткани или из полиамидной пленки. Единичный
блок обычно собирается из двух или более проводящих дисков
и из двух изолирующих дисков, причем проводящие диски в сборке
повернуты на определенный угол так, чтобы радиальные прорези
соседних дисков не совпадали. Это показано на фиг. 386. Если,
например, прорези в двух дисках повернуты на угол 90° друг отно-
сительно друга, то полный угол блока составляет 450°, причем
толщина блока равна удвоенной толщине дисков везде, кроме,
естественно, двух концевых 90°-ных секторов. В сборке всего
соленоида граничные секции смежных блоков перекрываются,
благодаря чему вся спираль имеет двойную толщину, за исключе-
нием тех мест, где расположены прорези в дисках.
Поскольку щели прорезаются так, что уменьшения материала
не происходит, то длина участка с уменьшенным сечением будет
исчезающе мала. Таким образом, увеличение сопротивления дис-
ков, обусловленное присутствием прорезей, пренебрежимо мало.
Однако именно в месте расположения щелей концентрируются
механические напряжения в материале дисков.
Сконструированная таким образом спиральная обмотка допу-
скает перекрытие между отдельными витками на угол до 180°,
однако вполне достаточно перекрытия в 90°. Витки изоляции,
также развернутые один относительно другого, обеспечивают тол-
, щину межвитковой изоляции в любой точке по крайней мере в один
слой, что повышает надежность соленоида. При использовании
современной изоляции, такой, как пропитанная полиамидной
смолой стеклоткань, безаварийный период работы соленоида,
потребляющего мощность 5 Мет, составляет 1000 Мет-час; по ис-
течении этого срока рекомендуется производить смену изоляции.
Диски соленоидов с напряженностью магнитного поля до
150 кэ в Национальной магнитной лаборатории изготовляются
из нагартованной холоднокатаной электролитической меди; для
соленоидов с полем 150—225 кэ диски, как правило, изготовляются
из циркониевой меди. Пределы прочности различных медных спла-
вов, которые можно использовать при изготовлении соленоидов,
приведены в табл. 2. В соленоидах, где поле должно превышать
250 кэ, необходимо использовать медно-бериллиевые сплавы.
Таблица 2
ПРЕДЕЛЫ ПРОЧНОСТИ И ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ
НЕКОТОРЫХ ПРОВОДЯЩИХ МАТЕРИАЛОВ
Проводящий материал Предел прочности, 103 кг/смЬ Электропро- водность, % IACS 1)
Медь (нагартованная) 3,5—3,9 100—101
Сплав цирконий—медь 3,8-4,9 90—93
Сплав кадмий—медь 3,8-4,4 85-90
Сплав хром—медь 4,2-5,3 75-85
Сплав бериллий—медь, нагартован- 5,1-5,6 83-85
ный и оксидированный
Сплав бериллий—медь с содержа- 5,6-7,7 60-66
нием бериллия 0,5%, состарен-
ный
Сплав никель—фосфор—медь 6,5—6,9 50—60
Сплав бериллий—медь с содержа- 7,7—9, £ 48—54
нием бериллия 0,5%
Сплав бериллий—медь с содержа- 12—13 ‘ 27—30
нием бериллия 2%, состаренный до 14
Сплав титан—медь —
Сплав бериллий—медь с содержа- 13-15 22—25
нием бериллия 2%
Вольфрам 15,5 31
1) % TAGS — процент Международного стандарта на отожженную медь.
Дисковые обмотки охлаждаются всегда непосредственно; охла-
дителем, как правило, служит вода. При прямом охлаждении
водой электрические поля могут вызывать коррозию материала,
поэтому вода в системе охлаждения подвергается деионизации,
в процессе которой небольшая доля всей циркулирующей воды
проходит через ионообменную колонку. Благодаря этому поддер-
живается высокое удельное сопротивление воды (свыше 1 Мом-см).
При использовании воды такой чистоты и при максимальном
напряжении 230 в коррозия пренебрежимо мала.
Корпус соленоида обычно изготовляется из анодированного
алюминия, различные крепежные детали из нержавеющей
стали. Некоторые лаборатории изготовляют корпуса из стекло-
волокна, что уменьшает опасность короткого замыкания на корпус.
2. Специфика конструкции дисковых соленоидов с аксиальным
охлаждением
В настоящее время в Национальной магнитной лаборатории
Френсиса Виттера имеется 21 соленоид дисковой конструкции.
Основные характеристики некоторых из них приведены в табл. 3<
Как видно из таблицы, мощность, потребляемая различными соле-
ноидами, кратна 2,5 Мет. Дело в том, что источником питания
Фиг. 46. Диск Биттера с аксиальным охлаждением, используемый в различ-
ных соленоидах с большими напряженностями магнитного поля.
Внутренний диаметр диска 6 см, наружный — 40,5 см. Диск имеет 12 кольцевых цепочек
отверстий охлаждения, в двух из которых диаметр отверстий составляет 2,3 мм, в осталь-
ных — 3,05 мм. Отверстия диаметром 12,6 мм, расположенные у внешней кромки пла-
стины, используются для юстировки при сборке соленоида.
соленоида служат четыре одинаковых генератора мощностью
2,5 Мет каждый. Многие из этих соленоидов имеют одинаковые
элементы, благодаря чему упрощается переделка одного соленоида
в другой и сокращается общая номенклатура деталей. Пластины
с аксиальным охлаждением, показанные на фиг. 46, являются
наиболее унифицированными элементами соленоидов. Пластины,
показанные на фиг. 46, используются для сборок соленоидов,
генерирующих поля 100 и 150 кэ, с диаметром рабочей
полости 5,4 см. Количество отверстий охлаждения соответствует
РАБОЧИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ КАТУШЕК БИТТЕРОВСКОГО ТИПА
Таблица 3
2ai, см 202» СМ 2Ь, см Н, кэ W, 1 06 вт j !)- 10^ а/см2 WS 2). вт/см2 d3)f сл1 1)4), см/сек дт, °C Примечания
2,54 20,3 10,3 123 1,83 7,25 950 0,174 1200 90 см. фиг. 49
ф 2 Ф S 6,04 40,6 18,4 150 5,0 3,45 372 0,305 1580 38 см. фиг. 46, 47а
й и Л ф 11,7 40,6 21 114 5,0 2,54 665 0,305 1580 78 см. фиг. 38а
Ч tc g £ 3,8 11,1 10,45 72 1,05 4,2 845 0,178 1370 37 см. фиг. 38а, 47а
g сб 11,7 40,6 19,8 98 3,55 1,92 374 0,305 1580 41 см. фиг. 38а, 476
< о 3,8 11,1 10,5 63,6 0,93 4,62 955 0,178 1260 52 см. фиг. 38а, 50
11,7 33,3 21,6 95,4 5,1 3,46 560 0,305 1580 54 см. фиг. 50
2ai 2аг 2Ъ н W Л) ws (Д1) Ws (G2) х, уЗ), см v (ai) 1) (Д2) дт Примечания
ф Ф 6,35 25,4 14,75 120—80 4,55 6,0 495 31 0,25 0,056 2370 590 56 см. фиг. 52
й ч ф S а ф tt а 11,9 23,8 72,3 100 8,0 0,985 366 91,5 0,584 > 0,127 885 443 75 см. фиг. 53
s еб а Йб ч и о 6,66 14,3 15,25 79,8 2,6 4,07 538 115 0,26 0,025 1280 600 42 см. фиг. 386
16,5 34 30,5 82,2 4,6 1,97 143 34 0,65 0,038 735 357 42 см. фиг. 386
1) Плотность тока в проводнике на «ц.
2) Тепловой поток; постоянен в случае аксиального охлаждения; для случая радиального охлаждения приведены его величи-
ны на <21 И 02.
3) Диаметр канала охлаждения (аксиальное охлаждение); ширина канала х и глубина у (радиальное охлаждение).
4) Скорость охладителя для перепада давлений в системе охлаждения 8,5 атм.
Фиг. 47а. Разрез соленоида, генерирующего в рабочей полости диаметром
5,4 см поле 150 кэ при потреблении мощности 5 Мет.
охлаждению соленоида, достаточному при потреблении им мощ-
ности 5 Мет, поэтому соленоиды с потреблением мощности 2,5 Мет
работают в легком температурном режиме. Потери в коэффициенте
заполнения в последнем случае частично компенсируются сниже-
нием рабочей температуры соленоида. Если перештамповать эти
пластины так, чтобы их внутренний диаметр увеличился, то из них
можно собирать соленоиды с внутренним диаметром 10 и 15 см.
Фиг. 476. Фотография соленоида, подобного изображенному на фиг. 47а.
Соленоид состоит из двух катушек, собранных из пластин, изображенных на фиг. 38а.
При потребляемой мощности 5 Мет соленоид создает в рабочей полости диаметром 3,05 см
поле 175 кэ. Верхняя крышка и мощная пружина, поджимающая внутреннюю катушку,
сняты. Видны токовводы.
Эти соленоиды с большим внутренним отверстием в свою очередь
часто используются как элементы многосекционных соленоидов.
Таким образом, одни и те же пластины используются для создания
соленоидов с различными характеристиками.
Схема типичного однообмоточного соленоида, набранного
из таких пластин., дающего поле в 150 кэ и потребляющего мощность
5 Мет, показана на фиг. 47а. На фиг. 476 приведена фотография
аналогичного соленоида со снятой верхней крышкой корпуса,
благодаря чему видны верхний электрод и другие внутренние
детали. Болты, расположенные вокруг верхнего электрода
(см. фиг. 476), обеспечивают давление поджима стопы пластин
20 атм. Чтобы при медленной усадке изоляторов поддерживать
нужный поджим стопы, используются пружинные шайбы. Внут-
ренняя часть корпуса соленоида изготовлена из литого алюминия
и состоит из двух цилиндров, соединенных между собой наклонной
плоскостью. Наклонная плоскость служит для распределения
воды, поступающей вдоль оси соленоида по отверстиям охлажде-
ния отдельных пластин. Расход воды в системе охлаждения состав-
ляет 100 л!сек.
До недавнего времени отдельные витки спиральной обмотки
этого соленоида состояли из двух медных дисков. Пики механиче-
ских напряжений в местах дисков, расположенных напротив про-
резей, составляли 2200 атм. При таком уровне напряжений в дис-
Ф и г. 48. Осевой профиль поля соленоида, создающего поле 150 кэ в рабочей
полости диаметром 6,0 еле, с коррекцией (2) и без коррекции (7).
Коррекция осуществляется с помощью короткозамкнутого витка длиной 0,85 cjk,
который помещается в центре катушки с 1=17 cat
ках появляются небольшие трещины, которые, постепенно увели-
чиваясь, сокращают срок службы соленоида до 1000 Мет час.
Впоследствии были сконструированы витки, состоящие из трех
более тонких медных дисков, соединенных параллельно. В этих
дисках благодаря уменьшению пиков напряжения трещины не об-
разуются. Кроме того, в последней конструкции соленоида умень-
шен диаметр охлаждающих отверстий внутреннего кольца охлаж-
дения от 3 до 2,3 мм, поскольку температура внутреннего отвер-
стия соленоида ниже средней рабочей температуры. Было найдено,
что возникающие при этом термические напряжения увеличи-
вают пиковые напряжения в дисках.
Однородность поля дисковых соленоидов, создающих поле
150 кэ, может быть при необходимости заметно улучшена путем
введения нескольких короткозамкнутых витков в центре катушки.
Воспользовавшись результатами, полученными в гл. 8, можно
найти такую толщину добавочных витков, при которой вторая
производная поля равна нулю. Профиль поля соленоида до и после
введения короткозамкнутых витков показан на фиг. 48. Сущест-
венное улучшение достигнуто при уменьшении величины поля
в центре всего на несколько процентов.
Ф и г. 49. Фотография пластины, которая использована в обмотке соленоидаг
создающего поле 123 кэ в рабочей полости диаметром 2,54 см при потреблении
мощности 1,88 Мет.
Диаметр отверстий охлаждения 0,174 cjh. Прорезь в пластине сделана так, чтобы не пере-
секать отверстий. Характеристики соленоида приведены в работе [1] и в табл. 3.
До сих пор мы рассматривали соленоиды, внутренний диаметр
которых превышал 5 см. Если объем экспериментального простран-
ства можно уменьшить, то, используя пластины с меньшим внут-
ренним диаметром, можно получать большие величины полей при
той же потребляемой мощности. Плотность энергии вблизи внут-
реннего диаметра диска быстро возрастает при его уменьшении.
Как видно из фиг. 46, возможностей для увеличения числа отвер-
стий охлаждения вблизи внутреннего диаметра диска не имеется.
В этом случае, как обсуждалось в п. 3 § 3, необходимо делать
большое количество отверстий меньшего диаметра. На фиг. 4&
показан диск с внутренним диаметром 3 см, имеющий отверстия
охлаждения диаметром 2 мм. Обмотка, набранная из таких дисков,,
генерирует поле 120 кэ при потреблении мощности 1,7 Мет [1].
Несмотря на то что, как показано в § 2, выбранное в этом случае
расположение отверстий охлаждения не обеспечивает однородно-
сти температуры дисков, соленоид отлично работает. Недавно
во Франции [2] был построен соленоид с малым объемом рабочего
пространства, в конструкции которого на основе результатов
экспериментов на моделях из проводящей бумаги было применено
более удачное расположение отверстий охлаждения. Этот соленоид
при потребляемой мощности 1,13 Мет создает поле 104 кэ в рабочей
полости диаметром 3 см.
Широко используемые в Национальной магнитной лаборатории
соленоиды с малым рабочим пространством изготовляются из пла-
стин, показанных на фиг. 38а (меньшая из двух). Эта пластина,
сконструированная с помощью вычислительных машин, является
компонентой всех многосекционных соленоидов аксиального охла-
ждения, используемых для получения полей 175 кэ и выше. Воз-
можность контроля плотности тока, а также использования раз-
личных конструктивных решений и материалов при изготовлении
отдельных секций является несомненным преимуществом много-
секционных соленоидов. Внутренние секции соленоидов, исполь-
зуемых для получения полей 175 кэ и выше, состоят из трех парал-
лельно включенных дисков из сплава цирконий — медь, одного
слоя полиамидной пленки для изоляции и одного упрочняющего
диска из нержавеющей стали. При сжатии под давлением 20 атм
трение между медными дисками и диском из нержавеющей стали
оказывается достаточным, чтобы напряжения в них выровнялись,
благодаря чему часть нагрузки передается на упрочняющий диск.
Небольшие деформации медного диска допустимы, и поэтому сте-
пень упрочнения конструкции пропорциональна отношению проч-
ностей дисков из нержавеющей стали и меди.
Диски с малым отверстием, показанные на фиг. 38а, использо-
ваны также и в конструкции составной обмотки соленоида на
225 кэ, потребляющего мощность 10 Мет. Этот соленоид пока-
зан на фиг. 50. Его обмотка состоит из трех концентрических
обмоток, причем внутренняя собрана из малых пластин, показан-
ных на фиг. 38а, средняя — из больших пластин, изображенных
там же (их внешний диаметр уменьшен до 33 см), наружная
же обмотка намотана полым проводником. Этот соленоид создает
самое большое поле в мире. На фиг. 51 показан вид этого соленоида
со стороны снятой верхней крышки. Видны болты, обеспечиваю-
щие поджим во внутренней и средней обмотках, и мощные токо-
вводы к внутренней обмотке. Сила, действующая на эти вводы
со стороны поля внешней обмотки, приблизительно равна
50 кг!см.
Фиг. 50. Общий вид соленоида мощностью 10 71/вттг, создающего поле 225 кэ
в рабочей полости диаметром 3,2 см.
Соленоид имеет три концентрические обмотки, наружная из которых намотана полым
проводником, внутренние собраны из дисков Биттера. Вода (100 л/сек) для охлаждения
двух внутренних обмоток поступает через распределители в верхней и нижней крышках.
Охлаждаемые водой токовводы видны вверху слева и внизу справа. Соленоид можно пово-
рачивать вокруг горизонтальной оси.
Фиг. 51. Вид внутренней обмотки соленоида, создающего поле 225 кэ,
со стороны снятой верхней крышки.
По токовводам к двум внутренним обмоткам подводится ток в 30 000 а.
3. Примеры использования дисков с радиальным охлаждением
Соленоид, в котором применены диски с радиальным охлажде-
нием, показан на фиг. 52. Этот соленоид имеет управляемую мощ-
ность до 5 Мет и регулируемый радиальный зазор для доступа
в область большого магнитного поля. В этой конструкции соленои-
да радиальное охлаждение оказывается более выгодным, так как
позволяет сделать минимальный зазор: если поток охладителя
направлен вдоль оси соленоида, то в зазоре необходимо распола-
гать устройство для поворота потока в радиальном направлении.
Правда, соленоиды с нерегулируемым радиальным зазором могут
быть изготовлены из дисков с аксиальным охлаждением, если вве-
сти в центре достаточное количество короткозамкнутых витковг
которые позволят вставить подводящую трубу.
Радиальное охлаждение можно с успехом использовать и во
многих других вариантах конструкции соленоидов. Например,
для обмотки с очень низким сопротивлением, описание которой
дано в [10], требуется такая толщина витков, что оказывается удоб-
нее выточить спираль из цельного стержня, чем набирать ее из от-
дельных дисков. Охлаждать ее лучше радиально, так как при этом
не надо рассверливать отверстия аксиального охлаждения. Очень
длинная катушка соленоида с высокой однородностью поля (дан-
ные о ней приведены в табл. 3) является другим примером эффек-
тивного использования радиального охлаждения. Эта катушка
была разделена на восемь секторов, каждый по 45° (фиг. 53), при-
чем в четырех секторах поток охладителя направлялся внутрь
катушки, а в четырех — наружу. Таким образом, несмотря на боль-
шую длину катушки, длина каналов охлаждения мала. Этот соле-
ноид был предназначен для исследований пр ядерному магнитному
резонансу, которые требуют большой однородности поля. Он
является единственным соленоидом (среди 21), в котором отдель-
ные витки соединяются в спираль с помощью пайки. Применение
паяного соединения позволяет избежать возможных искажений
распределения тока, обусловленных нестабильностью сопротив-
ления прижимных контактов. Этот длинный соленоид имеет также
ряд корректирующих и стабилизирующих катушек, обеспечиваю-
щих высокую стабильность величины поля во времени и однород-
ность в пространстве (в объеме порядка нескольких кубических
сантиметров поле однородно с точностью 10“4%).
Обычно радиальное охлаждение применяется тогда, когда этого
Требует геометрия катушки. Однако важно и то, что при радиаль-
ном охлаждении можно добиться лучшего использования поверх-
ности диска. В проектируемом в настоящее время соленоиде на
300 кэ будет применяться радиальное охлаждение, поскольку
удельные мощности в дисках этого соленоида будут огромными.
Ф и г. 52. Соленоид мощностью 5 Мет, состоящий из двух катушек с регули-
руемым осевым зазором между ними (геометрия Гельмгольца).
При нулевом зазоре между катушками поле в рабочей полости диаметром 5,4 см состав-
ляет 125 кэ; с увеличением зазора поле уменьшается. В каждой катушке поток охлаждаю-
щей воды в двух квадрантах направлен по радиусу вовнутрь, а в двух других квадран-
тах — по радиусу наружу.
Фиг. 53. Вид катушки длиной 72 см с радиальным охлаждением в стадии
сборки.
Катушка потребляет мощность 8 Мет и создает в рабочей полости диаметром 10 см поле
100 кэ, однородность которого в объеме нескольких кубических сантиметров составляет
несколько единиц на 10-"4 %. В четырех 45°-ных секторах поток воды направлен вовнутрь,
в остальных — наружу.
k. Замечания о конструкциях соленоидов небиттеровского типа
Большинство соленоидов с неоднородным распределением токов,
рассчитанных на поля 100 кэ и выше, сконструировано из дисков
Виттера Гем. § 2 гл. 4), однако имеется несколько соленоидов дру-
гих конструкций. Например, неоднородную плотность тока можно
получить, используя в качестве основы конструкции соленоидов
с однородной плотностью тока, но меняя определенным образом
поперечное сечение проводника при намотке. Такой путь необхо-
дим тогда, когда соленоид должен работать от высоковольтного,
источника питания и поэтому сопротивление катушки должно
быть высоким. Катушки, изготовленные из проводника прямо-
угольного сечения разной площади, описаны в работах [11, 12].
Соленоид, описанный в работе [2], создает поле 125 кэ при потреб-
лении мощности 2 Мет.
Высокоэффективная катушка, намотанная из одного куска
ленты, ширина которой плавно меняется от одного конца к друго-
му (благодаря этому катушка имеет трапециевидное сечение),
описана в работе [13]. Отверстия осевого охлаждения были выре-
заны в ленте. Обмотка соленоида расположена в прочном корпусе.
Такой соленоид создает поле 130 кэ при потребляемой мощности
1,9 Мет.
Неоднородное распределение плотности тока в этих конкретных
случаях использовалось для получения более высокой эффектив-
ности, чем это возможно достичь в конструкциях с однородной
плотностью тока. Хотя такие катушки и обнаружили способность
выдерживать нагрузки, связанные с полями 130 кэ. их прочность
в принципе уступает прочности соленоидов из дисков Виттера.
По этой причине чаще используются дисковые конструкции;
исключения составляют те случаи, когда конструкция соленоида
должна быть рассчитана на использование высоковольтных источ-
ников питания.
5. Некоторые соображения относительно расчета характеристик соленоидов
и коэффициента теплопередачи в них
Предсказать характеристики соленоидов с неоднородным рас-
пределением плотности тока гораздо сложнее, чем для соленоидов
с однородной плотностью тока. Сложный характер взаимосвязи
между расположением отверстий охлаждения и распределением
токов, а также большая неопределенность коэффициента теплопе-
редачи вносят ошибки в расчеты. Если, однако, в лаборатории
уже имеется работающий соленоид, то можно с достаточной точ-
ностью предсказать характеристики соленоидов такого же типа,
но с другой потребляемой мощностью.
В соленоидах с аксиальным охлаждением небольшие смещения
проводящих и изолирующих дисков друг относительно друга при-
водят к тому, что поверхность каналов охлаждения оказывается
резко отличной от той, которая имеет место при измерениях коэф-
фициентов трения. Измерения, выполненные в трех лабораториях
[2, 3, 14, 15], показывают, что истинный коэффициент трения
в этом случае в 10—20 раз больше измеренного для труб с гладкой
поверхностью. Обусловленное этим различием увеличение пере-
пада давлений приводит к возрастанию турбулентности потока
в каналах, что в свою очередь увеличивает коэффициент теплопе-
редачи по сравнению с расчетным для труб с гладкой поверх-
ностью. Как правило, коэффициент теплопередачи приблизитель-
но вдвое превышает расчетный. Можно посоветовать конструктору,
не имеющему под руками уже работающего соленоида нужного
типа, по которому можно получить характеристики рассчитыва-
емого соленоида экстраполяцией, конструировать соленоид для
наихудших условий, т. е. считать, что коэффициент трения будет
в 20 раз превышать расчетный для труб с гладкой поверхностью,
а коэффициент теплопередачи будет равен расчетному. Если ока-
жется, что расчетная температура соленоида для таких «пессими-
стических» условий обеспечивает надежность его работы, то можно-
не опасаться его перегревов в рабочем режиме, и в дальнейшем,,
после первых пусков, необходимо лишь подкорректировать сопро-
тивление обмоток так, чтобы рабочая температура совпадала
с расчетной. В дисковых соленоидах такая коррекция может
быть произведена путем изменения числа дисков.
Обычно экспериментатору трудно установить, насколько'
используемое распределение отверстий охлаждения обеспечивает
однородность температуры обмотки. В мощных соленоидах вслед-
ствие плотной упаковки обмоток чрезвычайно трудно располо-
жить датчики температуры в нужных местах. Поэтому необходимо
полагаться на измерение усредненных температур, определяемых
по величине падения напряжения на отдельных участках обмотки
и по известному удельному сопротивлению меди. Если поле в соле-
ноиде изменяется пропорционально изменению тока в обмотке, то
можно считать, что температура обмотки однородна, поскольку
неоднородность температуры обмотки приводит к перераспреде-
лению тока в ней, и при увеличении потребляемой мощности этот
эффект возрастает. Линейность в пределах 0,1 % обычно достижима.
Интересно отметить, что даже для обмоток с простым при-
жимным контактом между пластинами коэффициент пропорцио-
нальности между полем и током при последовательных цусках
воспроизводим в пределах 0,1%. Уменьшение этого коэффициента
на 0,25% в конце срока эксплуатации (1000Мет- час) обычно слу-
жит указанием на необходимость ремонта соленоида-
В случае радиального охлаждения нет резкого расхождения
между реально наблюдаемыми и расчетными величинами перепада
давления и коэффициента теплопередачи. Поверхность каналов
охлаждения не зависит от качества сборки, и поэтому отклонения
от расчетных величин определяются эффектами «входа» охладителя,
т. е. неопределенностью расчета процессов во входной части
системы охлаждения. Для обычно применяемых каналов охлаж-
дения следует ожидать увеличения коэффициента теплопередачи
на 25% по сравнению с расчетным в случае, если поток охладителя
направлен наружу, а сечение канала изменяется пропорционально
радиусу. Если же направление потока противоположно, увеличе-
ния коэффициента теплопередачи по сравнению с расчетным не
наблюдается.
Как видно из табл. 3, тепловые потоки в соленоидах не превы-
шают 1000 ет!см\ а рабочая температура соленоидов ниже точки
кипения охладителя. Теплопередача при этом сопровождается
усиленной конвекцией, но пузырьковое кипение отсутствует.
Несмотря на то что пузырьковое кипение резко увеличивает коэф-
фициент теплопередачи, всегда стараются его не допускать. Это
обусловлено двумя причинами: во-первых, нет необходимости
в повышении температуры поверхности до 100° С, во-вторых,
пузырьковое кипение приводит к большой нестабильности потоков
охладителя, если каналы охлаждения включены параллельно.
Нестабильность обусловлена тем, что при закипании поток охла-
дителя в канале уменьшается и кипение становится еще сильнее.
Пузырьковое кипение можно без опасения допускать в тех случа-
ях, когда обеспечено постоянство потока охладителя в каналах.
6. Организация работы в Национальной лаборатории
Поскольку использование мощных источников питания солено-
идов, создающих магнитные поля порядка 200 кэ, сопряжено
с большими затратами, очень важно, чтобы имелась возможность
применять одни и те же источники питания в большом числе экспе-
риментов. Для этого требуется, чтобы источники питания состояли
из отдельных самостоятельных блоков, различные комбинации
которых позволяют работать с соленоидами, имеющими разные
характеристики, чтобы персонала лаборатории было достаточно
для обслуживания имеющихся установок и, наконец, чтобы име-
лись условия для широкого сотрудничества с другими научными
центрами. Это является основой концепции Национальной магнит-
ной лаборатории Френсиса Биттера. Источники питания, имею-
щиеся в лаборатории, обеспечивают возможность потребления
мощности 10 Мет в стационарном режиме, 16 Мет в течение 1 мин
и допускают 5-секундные перегрузки до 32 Мет. Имеются четыре
отдельных блока питания с раздельным управлением, которые
можно включать параллельно в любой комбинации. Это позволяет
работать одновременно с четырьмя соленоидами на 100 кэ, либо
с двумя соленоидами на 150 кэ, либо с одним Соленоидом на 200 кэ.
Каждый блок имеет максимальное напряжение 230 в и позволяет
в зависимости от требуемой длительности рабочего цикла получать
Ф и г. 54. Общий вид мотор-генераторных установок в Национальной магнит-
ной лаборатории имени Френсиса Виттера.
Каждая установка состоит из синхронного электродвигателя мощностью 6000 л. с.
(360 об/мин), 80-тонного маховика, двух генераторов постоянного тока, мощностью
2,5 Мет при токе 11 000 а каждый, и стартового электродвигателя мощностью 600 л. с.
На переднем плане видны амплидины управления; выключатели тока находятся между
мотор-генераторными установками. Система распределения тока установлена в подвале
здания.
максимальный ток от 11 000 до 40 000 а. Кабели питания, заклю-
ченные в медные экраны, проложены в основании здания к десяти
изолированным помещениям, в каждом из которых находится
один или два соленоида.
Источник питания, показанный на фиг. 54, включает две мотор-
генераторные установки, каждая из которых состоит из синхрон-
ного электродвигателя мощностью 6000 л. с., двух генераторов
и большого маховика для 5-секундных перегрузок [16]. Система
управления источников питания обеспечивает стабильность вели-
чины тока с точностью 0,05% на короткий промежуток времени
(порядка минуты) и 0,1% на длительное время (считая за 100%
силу тока 10 000 а). Переменная составляющая, создаваемая вра-
щающимся генератором, имеет лишь две частоты: 6 и 84 гц, причем
величина этой составляющей между пиками достигает 0,1 % для
гармоники 6 гц и 0,01 % — для 84 гц. В систему контроля входят
быстрая и медленная петли обратной связи (последняя — интегри-
рующая), причем быстродействие системы таково, что можно изме-
нять ток от нуля до величины, соответствующей четырехкратной
перегрузке, за 0,4 сек. Охлаждающая вода подается двумя насо-
сами мощностью по 200 л. с., каждый из которых прокачивает
за 1 сек 120 л воды под давлением 13 атм. Охлаждающая вода цир-
кулирует в замкнутом контуре, теплообменники которого находят-
ся по соседству в реке Чарльз. Сопротивление воды в кон-
туре поддерживается на уровне 1 Мом-см с помощью ионообмен-
ных колонок. Работа в лаборатории организована в три смены
по пять часов. Эту работу выполняют 30 штатных сотрудников
лаборатории и исследователи, прикомандированные из других
лабораторий. Загрузка оборудования составляет около 6000 час
в год.
7. Гибридные системы
Несмотря на то что в Национальной лаборатории Френсиса
Виттера можно экспериментировать в наивысших в мире постоян-
ных магнитных полях, возможностей ее все же не хватает для про-
ведения всех экспериментов, где необходимы большие постоянные
магнитные поля. Одним из наиболее реальных путей расширения
возможностей лаборатории является создание комбинированных
систем из сверхпроводящих и охлаждаемых водой соленоидов.
Хотя сверхпроводящие соленоиды сами по себе и не могут созда-
вать сверхвысоких магнитных полей, тем не менее их можно-
с успехом использовать как наружную обмотку, создающую поле
порядка 100 кэ, внутри которой затем расположить соленоид с во-
дяным охлаждением. Внутренний медный соленоид может созда-
вать добавочное поле, величина которого определяется только
мощностью источников питания. Если использовать такие комби-
нированные соленоиды, то с помощью источников питания, уже
имеющихся в Национальной магнитной лаборатории Френсиса
Виттера, можно одновременно работать на четырех соленоидах
с полем 200 кэ или на одном соленоиде с полем свыше 300 кэ.
Затраты на создание таких комбинированных систем оказываются
([17, 18]) значительно меньше затрат на увеличение источников
питания, необходимых для достижения тех же целей на соленоидах
с водяным охлаждением. В настоящее время одна из таких систем
проектируется [19]. Намечено заменить наружную обмотку суще-
ствующего соленоида, создающего поле 225 кэ, сверхпроводящей.
Такая система позволит получать поле 225 кэ с затратой мощности
5 Мет, т. е. вдвое меньшей, чем в прежнем соленоиде.
Другая гибридная система, представляющая собой комбина-
цию сверхпроводящего и криогенного соленоидов, проектируется
в университете Мак-Хилла [20]. Такая гибридная система требует
значительно меныпих затрат мощности, чем описанная выше гиб-
ридная система, однако для ее работы необходим большой гелие-
вый ожижитель. Кроме того, длительность рабочего цикла такой
системы ограничена.
ЛИТЕРАТУРА
1. Brechna Н., Montgomery D. В., National Magnet Laboratory Report NML-
62-1 (1962).
2. Boissier R., et al., L’Installation a Champs Fort: Etude d’une Bobine, Gre-
noble High Field Conference.
3. Fournier J., Rapport T. T., № 61, Centre d’Etudes Nucleaires de Grenoble
(June 1966).
4. Bitter F., Rev. Sci. Inst., 7, 479, 482; 8, 318; 10, 373 (1936—1939).
5. Bitter F., Rev. Sci. Inst., 33, 342 (1962).
6. Montgomery D. B., High Field Magnets at the National Magnet Laboratory,
Grenoble High Field Conference (1966).
7. Gaume F., High Magnetic Fields, Cambridge, Mass., 1962, Ch. 3.
8. Parkinson D. H., Electronics and Power, 79 (March 1965).
9. Fournier J., Rapport T. T., № 61, Centre d’Etudes Nucleaires de Grenoble
(June 1966).
10. Laurence J. C., Coles W. D., Design, Construction, and Performance of
Cryogenically Cooled and Superconducting Electromagnets, Proc. First
Intern. Conf. Magnet Technology, 574, Stanford, 1965; Available Clearing-
house for Federal Scientific and Technical Information, National Bureau of
Standards, Springfield, Virginia.
11. Gaume F., Journal des Recherches du C.R.N.S., 9, № 43—45 (1958).
12. Wood M., The High-Field Magnets at Oxford, Proc. Intern. Conf. High
Magnetic Fields, 387.
13. Kolm H. H., Nature, 192, 299 (1961).
14. Bergles A. E., Heat Transfer and Pressure Drop Tests on Single-Passage Bit-
ter Stock, NML internal report (December 1965).
15. Harris A.. G., Mulhall В. E., A Solid State Rectifier Supply and High Field
Solenoids at R.R.E., Grenoble High Field Conference, 1966.
16. Bitter F., British Journ. Appl. Phys., 14, 759 (1963).
17. Montgomery D. B., Magnets for Fields above 100 kg, IEEE Trans. Magne-
tics, 2, 3, 154 (September 1966).
18. Wood M. F., Montgomery D. B., Combined Superconducting and Conven-
tional Magnets, Grenoble High Field Conference, 1966.
19. Montgomery D. B., Williams J.E.C., Pierce N. T., Weggel R., Leupold M. J.,
A High Field Magnet Combining Superconductors with Water-Cooled Con-
ductors, Cryogenic Engineering Conference, August 1968; Adv. Cryogenic
Eng., 14 (1969).
20. Stevenson R., Marston P., A Cryogenic Magnet System for Quasi-Continuous
Operation, Grenoble High Field Conference, 1966.
ГЛАВА 5
Механические напряжения
в соленоидах
В соленоидах ток течет под прямым углом к направлению маг-
нитного поля, и лоренцево взаимодействие между током и полем
создает механические напряжения в катушке, которые стремятся
разорвать ее в радиальном направлении и сжать по оси. Вопрос
о напряжениях в соленоидах более или менее подробно рассмотрен
рядом авторов [1—10, 18, 19]. Но анализ во многих случаях слиш-
ком усложнен, причем делается упор на одни стороны и совсем
не учитываются другие, такие, как неопределенность локальных
механических свойств. Очевидно, что если прочность конструкции
известна с точностью 50%, то нет никакого смысла рассчитывать
напряжения с большей точностью.
§’1. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ЭЛЕМЕНТ С ТОКОМ
Силу, действующую на элемент единичной длины, показанный
на фиг. 55, а, где векторы поля и тока направлены под прямым
углом друг к другу, можно представить в виде
Т = я/с’
(5.1)
где Н — поле в эрстедах, I — ток в амперах, F/1 в кг!см (при с =
= 10"6/9,8). Например, на прямой проводник, по которому течет
ток 1000 а в поле 9,8 кэ, действует сила, равная 1 кГ/см.
Если представить наш элемент в виде петли во внешнем поле,
по которой течет ток в направлении, показанном на фиг. 55,6,
то на единицу длины петли будет действовать сила, определяемая
формулой (5.1). Это приводит к появлению в материале растяги-
вающего напряжения
__ Hla^c
Ас
(5-2)
где Ас — поперечное сечение материала в см2, — внутренний
радиус, Н — поле в эрстедах, I — ток в амперах и — в кГ/см2
(при с = 10“6/9,8).
Н
Фиг. 55. Определение параметров для силы лоренцева взаимодействия
между полем и током.
а — проволока с током 1; б — петля с током I в поперечном внешнем магнитном поле;
Ас — площадь поперечного сечения; в — тонкий соленоид, создающий поле Но.
До сих пор мы предполагали, что элемент или петля с током
находятся во внешнем поле, созданном каким-либо другим источ-
ником. Это поле могут создавать просто другие витки катушки или
сама петля с током.
Рассмотрим теперь не петлю, а тонкий соленоид (или тонкий
цилиндр с током), изображенный на фиг. 55, в, и предположим, что
магнитное поле, взаимодействие которого с током приводит к меха-
ническим напряжениям, создается самим соленоидом. В этом слу-
чае напряженность поля падает от значения Н внутри обмотки
до некоторого гораздо меньшего значения вне ее. Сейчас нам
не нужно знать точного изменения поля, но следует отметить, что
если длина катушки гораздо больше ее диаметра, то напряженность
поля снаружи обмотки близка к нулю. Среднее поле, действующее
на обмотку, равно приблизительно Н/2. По аналогии с (5.2) каса-
тельное напряжение можно записать в виде
О/ = я4т-с’ <5-3>
°‘=тттс- <5*4>
где Н — в эрстедах, I — в амперах и — в кГ/см2 (при с ==
= 10“6/9,8). Мы подставили значение тока на единицу длины
и толщины обмотки для простого поперечного сечения, использо-
ванного в (5.2).
Пусть поле Н создается током на единицу длины, и, следова-
тельно, мы можем написать соотношение между этим током и по-
лем, используя выражение (1.5); таким образом,
—=—- -а- ; (5.5)
I 0,4л cos 6 ' 7
здесь 1/1 выражается в а/см, если Н— в эрстедах. Подставляя
в (5.4), получаем
__ 10-в #2 / 1 \ gj .
9,8 2 \ 0,4л cos 0 ) t ’
(5.6)
Gt — в кГ/см\ если Н — в эрстедах. Для соленоида, длина кото-
рого существенно больше его диаметра, cos 6 = 1, и (5.6) при-
нимает вид
о7 = 0,4-10"7Я2-у-» (5.7)
Чтобы оценить порядок величины, представим себе, что если
ajt = 10, то предел текучести мягкой меди (700 кГ/см?) должен
быть превышен при напряженности поля 45 кэ. Предел прочности
ряда проводников приведен в табл. 2.
§ 2. МЕХАНИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В КАТУШКЕ
С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА
1. Касательные напряжения
На практике чаще всего мы рассчитываем не тонкий соленоид,
а катушку, толщина обмотки которой соизмерима с ее внутренним
диаметром. Эту задачу можно решить с различной степенью при-
ближения. Для точного решения необходимо знать, во-первых,
локальные объемные силы в материале, обусловленные локаль-
ным значением поля и тока, и, во-вторых, модули упругости состав-
ного материала, включающего проводник и изоляцию. Мы также
должны иметь возможность оценить влияние щелей и проходов
для охладителя на концентрацию напряжений.
В проволочной или ленточной катушке на каждый виток дейст-
вует сила, равная сумме объемной силы и силы давления других
витков на данный виток. Точное решение в случае многовитковой
катушки особенно усложняется неточным знанием того, как будет
вести себя изоляция (т. е. неточным знанием модуля композиции
проводник — изоляция) [1, 2].
Упрощенный подход к решению этой проблемы состоит в рас-
чете касательного напряжения в любом данном витке в предполо-
жении, что витки не взаимодействуют; мы считаем, что напряже-
ние в одном витке существенно не влияет на любой соседний виток.
Следуя формуле (5.3) и отмечая, что I/lt = /X (Д — средняя плот-
ность тока), можно написать
Ot(r) = H±±c, (5.8)
' Gt(r)=H]Krc, (5.9)
где at (г) — касательное напряжение при радиусе г, выраженное
в кГ!см\ Н — среднее поле в центре витка в эрстедах, Д — сред-
няя плотность тока в alc^, с = 10"6/9,8.
В катушке с постоянной плотностью тока, в которой величина
Д постоянна, локальные напряжения будут зависеть от произве-
дения увеличивающегося радиуса и поля, которое уменьшается
с радиусом. Типичное распределение поля вдоль радиуса в цен-
тральной плоскости представлено на фиг. 56а, и относительные
приведенные касательные напряжения, рассчитанные по формуле
(5.9) на основе этого распределения, показаны на фиг. 566. Можно
видеть, что простые касательные напряжения увеличиваются
с возрастанием радиуса до определенного значения, а затем умень-
шаются.
Чтобы исключить плотность тока, можно подставить в формулу
(5.9) зависимость между плотностью тока и центральном полем
Фиг. 56а. Зависимость осевого поля Hz (0, г) в центральной плоскости двух
катушек с постоянной плотностью тока от приведенного радиуса г/а±.
Фиг. 566. Зависимость приведенного касательного напряжения от приве-
денного радиуса r/«i, рассчитанного по формуле (5.9) для катушек, рассмот-
ренных на фиг. 56а.
0,3 0,4 Ofi 0,6 0,7 0,8 0J3 1,0
Фиг. 57. Максимальные напряжения в катушках с постоянной плотностью*
тока, в которых внешние элементы поддерживают внутренние.
Пересечение at/a2 с рассчитанным значением h контура дает максимальное напряжение
на внутренней поверхности катушки при условии, что пересечение имеет место ниже
контура разрушающего растягивающего напряжения. Если пересечение происходит
вне этой области, то необходимо использовать формулу (5.8). Отметим, что поле Нс —
нецентральное поле, оно просто определяется по схеме, представленной в верхнем левом
углу. Значение k равно (1/9,8) -10®, если Н выражается в эрстедах, j — в а/см2, аг — в см
и ot — в кГ/см2.
катушки, как это было сделано при выводе формулы (5.6). Поль-
зуясь соотношением (2.52), напишем
= ^z(a’ g , (5.10)
J at G (a, P) v '
или в случае постоянной плотности тока, пользуясь более про-
стым выражением (1.9), получим
(5Л1>
Подставляя в (5.9), имеем
а((г) = ЯЯ04-^с, (5.12)
Tjsp Н — среднее поле на витке в эрстедах, Но — центральное поле
в эрстедах, с = 10"6/9,8, (г) — касательное напряжение
в кГ/см2.
Вычисляя по формуле (5.12) напряжение при г = и по фор-
муле (5.36) максимальное напряжение, мы видим, что в катушке
о постоянной плотностью тока при а = 3 и 0 = 2, создающей
в центре поле 100 кэ, касательное напряжение на внутренних
витках должно составлять 565 кПсм?, а максимальное касательное
напряжение при г!ах = 1,4 должно быть равно 620 кПсм?.
В области, где напряжения возрастают, наблюдается интерес-
ное явление, заключающееся в том, что витки стремятся
не сблизиться, а отделиться друг от друга, и наше предположение
о равной нулю радиальной силе оказывается поэтому справедли-
вым по крайней мере в начальной части области, расположенной
внутри зоны максимума касательных напряжений [1]. Виток,
на который, согласно нашим простым предположениям, действует
максимальное касательное напряжение, в действительности может
поддерживаться внешней частью катушки, поскольку в этой обла-
сти касательные напряжения уменьшаются. В таком случае мак-
симальные напряжения должны быть меньше; тогда верхний пре-
дел касательных напряжений определяется приближением, о ко-
тором мы только что говорили.
В случае постоянной плотности тока точное решение можно
получить при допущении, что поле линейно уменьшается с радиу-
сом [4, 19]. Используя решения, полученные в работе [4], можно
построить кривую, представленную на фиг. 57 (см. также § 4).
При определенном сочетании градиента поля и напряженности
поля внешние элементы катушки поддерживают внутренние,
и в этом случае можно найти максимум напряжений по кривой
фиг. 57. Для случаев, лежащих вне этой области, необходимо
использовать метод свободного витка (см. § 4).
2. Осевые напряжения
Прежде чем закончить рассмотрение отдельных витков, необ-
ходимо отметить, что касательные и радиальные напряжения —
не единственные, встречающиеся в соленоиде; радиальная состав-
ляющая поля создает осевое сжимающее напряжение. Осевая сила
на единицу длины окружности витка — это та же сила, которая
выражается формулой (5.1), но сейчас имеется в виду радиальная
составляющая поля. Осевая сила на единицу площади, действую-
щая на виток, как показано на фиг. 58, выражается просто , как
= Hrjlwc = Ра, (5.13)
где А — единица площади, нормальная к силе, в см?; w — осевая
ширина витка в см; Нг — среднее радиальное поле в эрстедах;
/X— средняя плотность тока в а!см?; Ра—давление в кГ/см?;
с = 10”6/9,8.
Радиальная компонента поля имеет наибольшее значение вбли-
зи концов катушки и уменьшается до нуля в средней плоскости,
поэтому сама сила оказывается максимальной на крайних витках.
Ф .и г. 58. Определение параметров для расчета осевой силы, действующей
на элемент катушки.
Эту силу создает радиальная составляющая поля Нт [см. (5.13)].
Но если витки не отделены друг от друга, то сжимающее напряже-
ние накапливается от витка к витку и достигает максимума в сред-
ней плоскости. Величина осевого сжимающего напряжения обыч-
но составляет менее 25% от величины касательного напряжения
II], и поэтому нет особой необходимости рассчитывать максималь-
ные сложные напряжения в проводниках. Однако в катушках, где
витки радиально разделены мягким изолятором или реальным
зазором (как в некоторых сверхпроводящих магнитных конструк-
циях), осевая сила должна быть сравнима с произведением ради-
ального сжатия на коэффициент сцепления между витком и внут-
ренним слоем изоляции при условии, что витки будут оставаться
неподвижными.
§ 3. СИЛЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ КАТУШКАМИ
Часто требуется рассчитать силу взаимодействия между катуш-
ками, например в случае пары катушек Гельмгольца с зазором,
чтобы по крайней мере оценить параметры требуемых крепежных
элементов. Можно, конечно, вести рассмотрение так же, как в слу-
чае отдельных витков, рассчитывая радиальное поле, созданное
одной катушкой в ряде точек другой катушки, и производя соот-
ветствующее сложение сил. В пределе это дает точное решение.
Может оказаться, однако, что легче рассчитать результирующую
силу из энергетических соображений. Изменение энергии системы
при возможном перемещении катушек равно произведению силы,,
действующей между катушками, на виртуальное перемещенйе.
Таким образом,
где F — сила в кГ; AL — изменение индуктивности в генри; I —
ток в амперах; Ах — перемещение катушки в см; с == 102/9,8.
Индуктивность системы складывается из собственных индук-
тивностей катушек и взаимоиндукции, т. е. L = L± + L2 + 2М;
взаимная индукция, или связь, и является той величиной, которая
изменяется при перемещении катушек. Взаимоиндукция между
двумя катушками [11 —13] равна М = k (LiL2)lf29 где коэффици-
ент связи к изменяется от 0 до 1. Большинство катушек с малым
зазором имеет коэффициент связи от 0,2 до 0,4. Если позволяет
конструкция катушек, то изменение индуктивности системы при
малом изменении зазора можно определить при помощи моста
индуктивности. Необходимо тщательно провести измерения индук-
тивности на мосте достаточно низкой частоты, чтобы индуктивная
связь между металлическими катушками и концевыми пластинами
была пренебрежимо мала.
§ 4. НАХОЖДЕНИЕ ТОЧНОГО ЗНАЧЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКИХ
НАПРЯЖЕНИЙ В КАТУШКАХ ПУТЕМ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ОБЪЕМНЫХ СИЛ
1. Диски Биттера
Расчет напряжений в биттеровском диске отличается от расчета
для случая проволочной или ленточной катушки с постоянной плот-
ностью тока в том отношении, что здесь распределения поля и тока
различны и структура более монолитна, поэтому тот подход, кото-
рым мы пользовались в случае свободного витка, здесь неприме-
ним. Напряжения, возникающие во внешних областях катушки,
могут существенно влиять на напряжения во внутренних элемен-
тах. Если же учесть высокий уровень напряжений, при которых
соленоид обычно работает, мы увидим, что теперь уже невозможно
пренебрегать влиянием радиальной составляющей напряжения.
Когда на пластичный материал действует сила в двух или более
направлениях, разрушить его может скорее напряжение сдвига,.
чем растягивающее напряжение. В случае касательных и радиаль-
ных напряжений напряжение сдвига равно половине разности
между ними [14]; таким образом,
= (5.15)
Для технических материалов напряжение сдвига составляет при-
мерно от 0,5 до 0,6 напряжения растяжения, и материал будет
Ф й г. 59. Элемент соленоида, иллюстрирующий равновесие между приложен-
ными к нему силами (объемной и реакцией связи).
Н (г) j (г) — объемная сила на единицу объема.
разрушаться, когда либо растягивающее напряжение, либо напря-
жение сдвига превысят соответствующее предельное напряже-
ние [14].
Точный расчет распределения напряжений в диске Биттера
проводится таким же образом, как и решение любой задачи напря-
жений с учетом распределения объемных сил (таких, как напряже-
ния во вращающемся маховике). Мы подробно обсудим все детали
расчета, так как они присущи любой проблеме магнитных напря-
жений. Во-первых, сумма всех сил в радиальном направлении
{включая реакции связей), действующих на данный малый объем,
равна нулю; во-вторых, требуется, чтобы все функции перемеще-
ния были гладкими (т. е. непрерывными и дифференцируемыми).
Можно составить дифференциальное уравнение и ввести в его
решение произвольные постоянные, чтобы удовлетворить гра-
ничным условиям для радиальных напряжений на внутреннем
и наружном радиусах соленоида. Единственным ограничением
этого подхода является необходимость определения объемных сил
(и отсюда локального значения поля) в аналитической форме, что
дает возможность легко разрешить дифференциальное уравнение.
Как показано на фиг. 59, на любой элемент в соленоиде дейст-
вуют три силы, имеющие компоненты в радиальном направлении:
1) объемная сила, обусловленная лоренцевым взаимодействием
тока и поля и действующая постоянно по всему объему элемента;
2) круговое натяжение, которое действует на каждый конец эле-
мента, и 3) сила, равная разности сил, действующих на внутрен-
нюю и внешнюю поверхности соленоида. Равновесие требует,
чтобы векторная сумма сил была равна нулю. Объемную силу
можно написать в виде
fB = HU = HrkGjkrkz = HjrkrkGkz.
(15.15)
Круговое натяжение равно
/z^o^ArAz, (5.16)
где ct — касательное растягивающее напряжение. Вектор ft имеет
составляющую ДД0/2, направленную внутрь по радиусу на каждом
конце элемента, которая дает вклад в суммарную радиальную силу
/г= — a^ArAGAz.
(5.17)
Третья и последняя составляющая силы, действующей на эле-
мент, обусловлена разностью сил на внутренней и внешней поверх-
ностях и равна разности произведений давления на. площадь
на этих поверхностях; таким образом,
fp = orrAGAz |^+ЛГ = (rar) Ar&GAz, (5.18)
где ог — радиальное растягивающее напряжение, действующее
на элемент. Теперь мы можем написать векторную сумму трех
сил /в, /г и /р и положить эту сумму равной нулю, т. е.
/в + /г + /р = 0, (5.19)
или
^Я/г—ot +-^г (rar)J ArAGAz — О,
откуда получаем дифференциальное уравнение
— + (гаг) = — Hjr. (5.20)
Здесь Н и j считаются известными функциями от г, и можно опре-
делить зависимость ct и ог от г.
Неизвестные переменные о^ (г) и ог (г) в (5.20) можно выразить
через единственную переменную и, радиальное перемещение.
Хорошо известна зависимость между аг и и для элемента
в конструкциях, симметричных относительно оси (таких, как
цилиндр, маховик или солецоид), ее можно определить из со-
отношения Пуассона [14]. Можно написать
(5.21}
где Е — модуль упругости Юнга и р, — отношение Пуассона для
используемого материала. Теперь подставим зависимость (5.21)
в (5.20) и получим дифференциальное уравнение с одной только
неизвестной — перемещением и; таким образом,
^-~ег—г\Н (r)j(r)].
(5.22}
Решение этого дифференциального уравнения и (г) состоит из сум-
мы общего решения ug (г) однородного дифференциального урав-
нения (объемные силы равны нулю) и «частного» решения ир (г}
неоднородного уравнения. Решение однородного уравнения имеет
вид
ug(r)=Cir+^,
и, таким образом, можно написать
и (г) = UP (r) + Cir ч--^-.
(5.23}
(5.24)
Постоянные (\ и С2 должны быть выбраны таким образом, чтобы
удовлетворить граничным условиям
Ог |r=aj = Р i 9
О'г [г=02 = Роч
где РI л Ро — давление соответственно на внутреннюю и внешнюю
поверхности катушки. Для случая изолированной катушки,
не поддержанной снаружи укрепляющими элементами, эти два
давления должны быть равны нулю. Если катушка помещена
в укрепляющий цилиндр, то направленное внутрь давление цилин-
дра на катушку должно быть, конечно, равно направленному нару-
жу давлению катушки на цилиндр. Сравнивая эти два давления
и два равных перемещения на границе, мы можем соединить реше-
ние дифференциального уравнения для катушки с решением, опи-
сывающим перемещение под влиянием давления укрепляющего
цилиндра. Это приводит к двум дополнительным линейным алге-
браическим уравнениям, которые вместе с начальными двумя
уравнениями можно разрешить для дополнительной пары посто-
янных С{ и С'2.
Чтобы найти решение (5.24), необходимо решить частное урав-
нение ир (г). Для этого мы должны определить объемную силу
в аналитической форме, что требует подстановки выражений для
плотности тока и поля как функции радиуса. К тому же мы огра-
ничены частным типом катушки или распределением тока. Мы
выбрали изолированный диск Биттера при условии свободного
определения поля снаружи и внутри (т. е. данная катушка может
быть частью концентрической многокатушечной системы).
В случае биттеровской катушки, в которой распределение тока
с радиусом меняется как бц/r, профиль поля вдоль радиуса в цен-
тральной плоскости для длинной катушки определяется точной
формулой \
Яг(О,г) = Яо[1—(5.25)
Более общая формула, применимая к более коротким катушкам
(которые должны иметь отличное от нуля поле обратного направ-
ления вне катушки) и к концентрическим многокатушечным сек-
ционированным системам без зазора, имеет вид
Hz (0, г) = Н1 - дя ,
' ’ ' 1 In а
где
\Н = 1Ц — н2,
Я1 = Я(0,
Я2=Я(0, а2).
(5.26)
Фиг. 60 иллюстрирует соответствие реальных катушек рас-
считанным по формуле (5.26). Даже в предельном случае короткой
катушки са = 6и|3 = 2 соответствие достаточно хорошее.
Подставляя в формулу (5.22) значение поля из (5.26) и тока
j = можно написать
<5-27*
Решение этого дифференциального уравнения для выбранного поля
и распределения тока было найдено в виде1)
(5.28)
Чтобы определить постоянные и С2, подставим выражение
(5.28) в формулу (5.21) и оценим величины Gt и о> на внутренней
т) R. W е g g el, MIT, частное сообщение.
и внешней поверхностях, где известны граничные условия. Най-
денные таким образом значения С\и С2можно подставить в (5.28),
и полученное при этом выражение для и (г) вновь подставить
в (5.21). Мы теперь имеем полное решение. Если внутреннее
и внешнее давления равны нулю, то радиальное напряжение
Фиг. 60. Значение осевого поля Hz (0, г) в средней плоскости биттеровского
диска при а = 6 и Р = 2, а также величина поля, рассчитанная по прибли-
женной аналитической модели [см. (5.25)].
на внутренней поверхности равно нулю, а напряжение сдвига рав-
но половине касательного напряжения. Используя наше полное
решение, можно написать выражение для напряжения сдвига
= /^о7максЛ1 (К 1^1 (5.29)
где
+(‘-Н) (тт^-^i). (5.30
**=« +И) (^) -« ~Н> (тпк-ет) + (»->*) (5-31)
И
Kq = 0,257 -10“7 для Оз в кГ/см2,
р, = 0,355 для меди.
На фиг. 61 представлены геометрические факторы KY и К2
при р, = 0,355.
В формуле (5.29) используется максимальное значение плотно-
сти тока /макс» существующее во внутренних областях соленоида.
В дисковых катушках, где каждый виток состоит из нескольких
параллельных пластин (см. фиг. 38), плотность тока в каждом
диске непосредственно под прорезью увеличивается. В витке,
состоящем из п дисков, которые чередуются таким образом, что
прорези не совпадают, плотность под любой прорезью увеличена
Фиг. 61. Зависимость Кп от а.
Эта величина использована в формуле (5.29) для расчета напряжения сдвига в битте-
ровском диске.
на п/(п — 1). Этот множитель равен 2 в случае витка, составлен-
ного из двух дисков, но если виток состоит из четырех дисков, то
этот множитель равен только 4/3.
Среднюю плотность тока на внутренней поверхности можно
выразить через величину поля Яо, созданного катушкой, и разме-
ры катушки, например как в формуле (5.10), а затем подставить
в формулу (5.29) и получить выражение для среднего напряжения
сдвига:
а, = (4) +К2Н2), (5.33)
где постоянные 7Г0, и К2 определяются из формулы (5.29).
Например, если катушка с а «== 6 и Р = 2 создает поле 150 кэ
и профиль поля соответствует модельной кривой на фиг. 60, то
среднее напряжение на внутренней поверхности равно 980 кПсм2.
Если каждый виток состоит из двух пластинок и если коэффици-
ент заполнения X, обусловленный присутствием изоляции, равен
0,9, то максимальное напряжение должно быть в 2,22 раза больше,
т. е. 2150 кГ/см2. Очевидно, что напряжения в соленоидах, создаю-
щих большие магнитные поля, могут достигать опасных значений,
особенно если витки не состоят из достаточного числа параллель-
ных дисков. К вопросу об использовании формул (5.29) и (5.33)
мы возвратимся в § 6. Предел прочности ряда проводников пред-
ставлен в табл. 2.
2. Катушки с постоянной плотностью тока
Задачи о напряжениях как в соленоиде с постоянной плотно-
стью тока, так и в биттеровском диске можно решить в равной сте-
пени точно. Мы непосредственно используем метод приближений,
обсужденный в предыдущей части; нам только необходимо найти
другое частное решение дифференциального уравнения (5.22),
чтобы отразить постоянную плотность тока и, вероятно, другое
распределение поля. Такое решение приводится в литературе [4],
и мы уже использовали его при построении кривой на фиг. 57.
Решение уравнения (5.22) можно получить, считая, что поле
линейно уменьшается от значения на внутренней поверхности
катушки до значения Н2 на ее внешней поверхности:
Я(г)=Я1-(Я1-Я2)(^—
\ Я2 — uj /
(5.34)
или
где
Н (г) =-Нс—Сог,
Я^ЯЖМ)^-.
г _ Я1-Я2
On - — •
и a2 — aY
При таком распределении поля частное решение уравнения (5.22)
имеет вид
ир(г) = -фг2_|_^г3? ' (535а)
О О
где Со определяется в (5.34).
Тогда решение имеет вид
u(r) = C1r+-^-^r2+-^r3. (5.356)
/О о
Из граничных условий для радиальных напряжений на внутренней
и внешней поверхностях можно определить постоянные и С2
(как в первой части параграфа). Для дальнейшего обсуждения
можно использовать работы [4, 19]. На основе уравнений, приве-
денных в работе [4], построена кривая на фиг. 57, которая позволя-
ет решить задачу касательных напряжений в катушке с постоян-
ной плотностью тока без внешних крепящих элементов. Если поле
достаточно быстро уменьшается с радиусом, то внешние элементы
соленоида будут поддерживать внутренние витки, уменьшая вели-
чину максимального напряжения. Это справедливо для катушек,
рассмотренных на фиг. 57. Для катушек с другими параметрами
следует использовать метод одиночного витка без поддержки.
Напряжение в витке будет иметь наибольшее значение, когда
произведение Н]г максимально. Дифференцируя уравнение (5.34),
замечаем, что это имеет место при
Г = >. X (5.36)
§ 5. ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА МЕХАНИЧЕСКИХ
НАПРЯЖЕНИЙ
Довольно сложно точно решить задачу о распределении напря-
жений в соленоидах, поэтому очень важно подтвердить получен-
ные решения, используя более простые методы. Например, в ка-
тушке, длина которой существенно меньше ее диаметра (а — 1 <
< 1), любое точное решение должно соответствовать решению
уравнения (5.4) для простого тонкого цилиндра с током.
Чтобы исключить из рассмотрения распределение объемных
сил, предположим, что все поле в действительности создается
токовым слоем на внутренней поверхности, а остальная часть
катушки только поддерживает этот токовый слой [15]. Это экви-
валентно рассмотрению толстостенного цилиндра, наполненного
газом под давлением. Можно показать, что в ограниченном объеме
магнитное поле со своей запасенной энергией (U ~ Н2 X объем)
точно эквивалентно газу под давлением [16]. Доказательство осно-
вано на определении работы, которую необходимо совершить,
для того чтобы сместить границу и таким образом изменить запа-
сенную энергию.
Следуя концепции механических напряжений в соленоиде, мы
используем формулу (5.4) и уравнение напряжений для толсто-
стенной трубы. Формулу для эквивалентного давления можно
представить в виде
Рт = Н±-с, (5.37)
где Рт — эквивалентное давление в кГ/см2, отношение 1/1 выра-
жается в а/см, с = 10“6/9,8. Для катушки величина 1/1 (в а/см)
представляется просто как интеграл от плотности тока вдоль
радиуса, и для случая распределения тока j (г) = jt (ajr) в бит-
теровском диске т=тгт-f V-dr’ (5-38) 1 a^k Сг j г «1 т=т4‘““ <5-39>
и, таким образом, на AZ/Z) имеет вид формула для среднего давления (основанная Рт = -±-1паН2с, (5.40)
где Рт выражается в кГ/см2, Н — в эрстедах, е=10~6/9,8 и отно-
шение J/G определяется по кривой на фиг. 18. Напряжения,
возникающие в толстостенной трубе, наполненной газом под, давле-
нием, можно представить в виде
(5.41)
(5-42)
и при этом
(5.43)
Можно видеть, что напряжение сдвига имеет наибольшее значение
на внутренней поверхности катушки, где отношение ajr макси-
мально.
Теперь мы в состоянии сравнить точное решение задачи о на-
пряжениях [см. формулу (5.29)] с тем решением, которое вытекает
из модели толстостенного цилиндра. Мы ожидаем, что решения
должны совпадать при ос —> 1. Отношение ?тих двух решений пред-
ставлено на фиг. 62 в зависимости от ос. При а = 6 решение экви-
валентной задачи толстостенного цилиндра дает величину напря-
жения сдвига, в 1,56 раза большую, чем точное решение, но при
ос = 1,5 оно уже только в 1,29 раза больше. Решения явно совпа-
дают при уменьшении ос. Не удивительно, конечно, что решение
эквивалентной задачи дает большее напряжение сдвига, поскольку
мы считаем, что в этом случае все силы концентрируются скорее
на внутренней кромке витка, чем по всему витку.
При сравнении точного решения с решением эквивалентной
задачи следует отметить два важных момента. Во-первых, оно
гарантирует нам, что точное решение разумно, поскольку в пре-
деле оно согласуется с основным и более простым методом, и, во-
вторых, оно показывает нам степень чувствительности расчета
напряжения к нашим предположениям. Если, как, например,
в случае катушки с а = 1,5, такие существенно различные пред-
положения о распределении сил дают ответы, совпадающие друг
Фиг. 62. Зависимость отношения напряжения сдвига, рассчитанного по мо-
дели толстостенного цилиндра, к его величине, рассчитанной по модели
объемных сил [см. (5.29)], от геометрического параметра катушки (см. § 5).
с другом в пределах 30 %f то мы имеем меньше оснований беспо-
коиться о точности такой аналитической формы распределения
поля*
§ 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В СОСТАВНЫХ КАТУШКАХ
Многие соленоиды для получения больших магнитных полей
имеют несколько обмоток; типичная конструкция состоит из одной
дисковой биттеровской катушки или же из нескольких, вставлен-
ных друг в друга. Такая конструкция позволяет изменять либо
методы конструирования, либо материалы обмотки. Кроме того,
такая конструкция (см. гл 2 и 4) позволяет получить оптимальное
распределение или ограничить плотность тока в случае соленоидов,
создающих очень большие магнитные поля. Например, чаще необ-
ходимо ограничить плотность тока в соленоиде из-за напряжений,
чем из-за локального нагрева. Но уменьшение плотности тока
и напряжений всегда сопровождается уменьшением эффективности.
Уравнения (5.29) и (5.33) уже имеют вид, пригодный для
использования в случае составных катушек. Используя обозначе-
ния, указанные на фиг. 63, перепишем формулу (5.33) в виде
os (и) = ^оЯпо (4) п + ^2Яп+1)• (5.44)
На фиг. 61 представлены постоянные Kt и К2 в зависимости
от а, а отношение J/G можно найти по кривой на фиг. 18. Напря-
жение, как и в формуле (5.33), есть среднее напряжение, получен-
ное на основе средней плотности тока на внутренней кромке диска.
HnQ— поле от n-й катушки
N
1
N
Н2 — 2 ^по — Ti^io
2
Н3= — ?2#2С
Фиг. 63. Определение параметров для расчета напряжений в составных
катушках (см. § 6).
Предполагается, что величина поля между катушками равна полю, созданному наруж-
ными катушками, минус определенная часть поля, созданного внутренними катушками
(при этом учитывается поле обратного направления снаружи катушки).
Чтобы получить величину максимального напряжения, необхо-
димо среднее напряжение умножить на концентрацию тока, обус-
ловленную прорезями в дисках или изоляцией.
Очевидно, что при заданном суммарном поле чем меньшую его
часть создает внутренняя катушка, тем меньше будут напряже-
ния в ней. С другой стороны (см. гл. 2), имеется оптимальное рас-
пределение мощности (и, следовательно, полей) между катушками,
и любое отклонение от оптимальности будет уменьшать эффек-
тивность. На фиг. 64 представлены напряжения и эффективность
рассмотренной выше пары катушек при различном распределении
поля между ними. Напряжения сдвига рассчитаны здесь в пред-
положении, что поле между катушками равно полю, созданному
внешней катушкой, минус 10% от величины поля, созданного
внутренней катушкой (учитывая малое поле обратного направле-
ния, существующее вне катушки).
Максимальная эффективность (считая, как и в гл. 2, что сопро-
тивления и коэффициенты 1 обеих катушек одинаковы) достигается
при условии, что внутренняя катушка потребляет 75% мощности—
это также означает, что она создает 75% поля. Если предполо-
жить, что внутренняя катушка создает только 50% общего поля,
то (см. фиг. 64) величина напряжения сдвига составляет при этом
только 82% от его значения при оптимальном распределении
Фиг. 64. Зависимость общего коэффициента G и максимального напряжения
сдвига в паре составных катушек (сс2 = «! = 3, 02 = Pi, «2 = ЗаО от доли
полного полят созданного внутренней катушкой Н^ИЦ.
Но такое уменьшение напряжения сопровождается уменьшением
коэффициента G до величины, составляющей 86,5% от его макси-
мального значения, поэтому для создания того же самого полного
поля требуется в 1,33 раза большая полная мощность. Уменьше-
ние напряжения до минимально возможного значения, которое
составляет 53% от его величины при оптимальном распределении,
означало бы, что внутренняя катушка создает только 27 % полного
поля и величина коэффициента G составляет только 66% от мак-
симального значения. В этом случае для создания прежнего зна-
чения полного поля требуется в 2,3 раза большая полная мош-
ность. Очевидно, что можно уменьшить напряжения, перераспре-
деляя мощность между катушками, но при этом мы значительно
прогадываем в мощности. В соленоидах с очень высокими значе-
ниями поля, в которых для ограничения напряжений в медных
проводниках необходимо существенно отклониться от оптималь-
ного распределения, мы пойдем на увеличение полной мощности,
используя скорее более прочные проводники, даже бериллиевую
бронзу с ее низкой электропроводностью, чем уменьшая напря-
жения путем перераспределения мощности. Однако использование
материала с худшей проводимостью и увеличение допустимой
плотности тока приведут к тому, что во внутренних областях обмот-
ки будет выделяться локально большая мощность.
Составные катушки, имеющие увеличенное число элементов,
будут обнаруживать более благоприятные отношения уменьшен-
ных максимальных напряжений к потерям в эффективности. Когда
поля столь велики, что необходимо ограничить напряжения во всех
элементах, кроме первого, то это, конечно, можно рассматривать
как рекомендацию использовать более чем два элемента. Большин-
ство соленоидов, создающих поля свыше 200 кэ, состоят из трех
элементов [6, 17].
ЛИТЕРАТУРА
1. Gersdorf R., Muller F. A., Roeland N., Rev. Sci. Inst., 36, 8, 1100 (1965).
2. Middleton A. J., Trowbridge C. W., Mechanical Stresses in Large High
Field Magnet Coils, Second International Conference on Magnet Technology,
Oxford July 1967.
3. Hord J., Eng. Instr. NBS 69, C. 4, 287—302 (1965).
4. Lontai L. M., Marston P. G., Proc. Intern. Symp. Magnet Technology,
723, Stanford (1965).
5. Leon B., AERE Trans., 1056 (1964).
6. Montgomery D. B., IEEE Spectrum, 3, № 8, 111 (1966).
. 7. Bitter F., Rev. Sci. Inst., 33, 342 (1962).
8. Кузнецов А. А., ЖТФ, 5 555 (1960).
9. Giaugue W. F., LyonD. N., Rev. Sci. Inst., 31 (1960).
10. Cockcroft J. D., Phil. Trans. Roy. Soc., 227, 317 (1928).
11. Terman F. E., Radio Engineers Handbook, New York.
12. Rose E. B., Grover F. U., Report № 169, National Bureau of Standards,
Washington, D. C. (1916).
13. Hak J., Eisenlose Drosselspulen, Leipzig, 1938.
14. Timoshenko S., Strength of Materials, part II, Art. 70, Princeton, N. J.,
1956.
15. Firth H. P., et. al., Rev. Sci. Inst., 28, 949 (1957).
16. Stratton J. A., Electromagnetic Theory, New York, 1941.
17. Montgomery D. B., High Field Magnets at the National Magnet
Laboratory, Grenoble High Field Conference, 1966, op. cit.
18. Carden P. O., Mechanical Stresses in Bonded Plane Helical Solenoids with
Arbitrary External Field, Joum. Sci. Inst., Series 2, I, 437 (April 1968).
19. Westendorp W. F., Kilb R. W., Stresses in Magnetic Field Coils, Proc.
Brookhaven Summer Study Superconducting Devices, Accelerators, June —
July 1968.
Сверхпроводящие соленоиды
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Проектирование сверхпроводящих соленоидов отличается
от проектирования соленоидов с несверхпроводящей обмоткой
в том отношении, что здесь мы уже имеем дело не с мощностью как
параметром, а с соотношениями, связывающими плотность тока
и требуемое количество сверхпроводника. Кроме того, поле и плот-
ность тока не являются более независимыми переменными, величи-
на которых ограничивается только механическими напряжениями
и выделением тепла; теперь они связаны между собой через харак-
теристики сверхпроводника.
Как и в предыдущих главах, мы отложим вопросы конструкции
до конца главы. Сначала установим соотношения между парамет-
рами, чтобы показать, какую роль они играют при проектировании
соленоидов.
Прежде всего напомним об основных свойствах сверхпроводя-
щих материалов, существенных для проектирования и отличающих
эти материалы от несверхпроводящих проводников.
Сверхпроводники можно подразделить на два основных типа:
сверхпроводники I рода и сверхпроводники II рода. Оба типа
имеют совершенно различные свойства [1—3]. Нам нужно отме-
тить только те из них, которые имеют отношение к проектированию
соленоидов.
Примерами сверхпроводников I рода могут служить свинец или
олово. В длинном стержне из такого материала, ориентированном
параллельно магнитному полю, сверхпроводимость обнаруживает-
ся только в поверхностном слое толщиной в несколько сотен анг-
стремов, да и то лишь в полях ниже некоторого критического,
порядка нескольких сотен эрстед. Хотя плотность тока в слое
может быть чрезвычайно велика, поперечное сечение слоя настоль-
ко мало, что максимальный ток, выдерживаемый сверхпроводни-
ком, оказывается слабым. Это обстоятельство наряду с низкой
величиной критического поля исключает использование сверхпро-
водников I рода в качестве материалов для соленоидов.
Такой же длинный стержень, изготовленный из сверхпровод-
ников II рода, к которым относится большинство сверхпроводя-
щих сплавов или соединений, ведет себя иначе. Ниже некоторого
поля сверхпроводимость по-прежнему ограничена поверхностным
слоем, но выше этого поля энергетически выгодно, чтобы стержень
разделился на чередующиеся нормальные и сверхпроводящие
области. В некоторых веществах сверхпроводящие области могут
сохраняться в стержне до очень высоких критических полей. Так,
например, в Nb3Sn и V3Ga критические поля составляют свы-
ше 200 кэ [4, 5]. Поскольку теперь вещество, находящееся в объеме
образца, также вносит вклад в эффективное поперечное сечение,
то можно получить гораздо большие максимальные точки х).
Однако сам по себе сверхпроводник II рода с высоким критиче-
ским полем нельзя рассматривать как хороший материал для соле-
ноидов. Его еще нужно подвергнуть холодной обработке и создать
в нем «дефекты», чтобы обеспечить высокое значение критического
тока. Сверхпроводники II рода, содержащие эти дефекты, принято
называть «жесткими сверхпроводниками». Мы теперь рассмотрим
некоторые из основных свойств этих жестких материалов, делаю-
щих их пригодными для создания соленоидов.
Чтобы сверхпроводник находился в сверхпроводящем состоя-
нии (противоположном «нормальному» состоянию), температура,
поле и ток должны быть меньше некоторых «критических» значе-
ний, связанных между собой. Так, например, при заданных темпе-
ратуре и напряженности поперечного магнитного поля материал
имеет определенный критический ток. Вблизи верхнего критиче-
ского поля этот ток ограничивается числом сверхпроводящих
носителей, а при меньших полях предел обусловлен проявлением
силы Лоренца [6]. Это означает, что, когда произведение поля
на ток достаточно велико, сверхпроводящая структура (т. е. систе-
ма вихрей с ее микроскопическим чередованием сверхпроводящих
х) Автор чрезмерно упрощает описание явлений, происходящих в сверх-
проводниках I и II рода, а в отдельных случаях даже прямо допускает оши-
бочные утверждения. Это относится, в частности, к утверждению, что
«сверхпроводимость обнаруживается только в поверхностном слое».
Более строгое описание свойств сверхпроводников I и II рода в пределах,
необходимых для понимания излагаемого в книге материала, можно найти,
например, в монографиях: Э. Л. Линтон, «Сверхпроводимость», изд-во
«Мир», 1971 и П. Д е Жен, «Срерхпроводимость металлов и сплавов», изд-во
«Мир». 1968. — Прим. ред.
и нормальных свойств) движется относительно физической струк-
туры, создающей препятствия, или «пиннинг», движению. В мате-
риалах с «большой силой пиннинга» это движение обычно приводит
к выделению достаточного тепла, чтобы температура сверхпровод-
ника поднялась выше критической, и он перешел в несверхпроводя-
щее состояние. Ток, при котором этот переход происходит, назы-
вается критическим током.
Критический ток для данного материала с большим критиче-
ским полем сильно зависит от структуры. Металлургические воздей-
ствия, такие, как холодная обработка или отжиг, очень мало вли-
яют на критическую температуру или верхнее критическое поле
любого данного сплава, но весьма значительно влияют на критиче-
ский ток. Типичные кривые для критического тока двух наиболее
распространенных из имеющихся в продаже материалов представ-
лены на фиг. 91.
Вернемся теперь к нашему образцу и посмотрим, что происхо-
дит в нем во внешнем поле, но при отсутствии транспортного тока.
При изменении внешнего поля в образце индуцируются локаль-
ные незатухающие токи, стремящиеся максимально воспрепятст-
вовать проникновению поля в материал. Эти токи, однако, так
же ограничены величиной критической плотности тока, как и транс-
портный ток. Поэтому, если мы будем продолжать повышать
внешнее поле, оно начнет частично проникать в образец, и в конце
концов возникнет ситуация, при которой в каждой точке образца
протекает локальный критический ток, определяемый локальным
полем, складывающимся из внешнего поля и поля внутренних
токов. Это приведет к существованию градиента поля между точ-^
ками, лежащими во внешней и внутренней частях образца. При
этом говорят, что образец находится в «критическом состоянии»
[6, 7].
Предположим теперь, что произошло небольшое локальное
движение потока. Оно будет сопровождаться локальным выде-
лением тепла. При этом повысится локальная температура, вслед-
ствие чего уменьшится допустимая для рассматриваемой области
критическая плотность тока. Если последняя окажется ниже
значения, существующего здесь после первоначального про-
никновения потока, то процесс будет продолжаться, приводя
к дальнейшему проникновению потока в образец и к дальней-
шему ослаблению экранирующих токов [8]. Суммарное повы-
шение температуры, сопровождающее такое резкое изменение
потока в образце, будет определяться отношением рассеянной
энергии к теплоемкости единицы объема. Рассеянная энергия
пропорциональна квадрату произведения критической плотности
тока /с на размер образца D в направлении, перпендикулярном
полю, т. е. Q ~ jcD2 [9]. Если энергия достаточна для того, чтобы
при данной теплоемкости образца процесс не обрывался, то скачко-
образное проникновение потока в образец будет полным; если
энергии не хватает, скачок потока будет лишь частичным.
Введем теперь транспортный ток, меньший критического,
и опять доведем образец до критического состояния, изменяя внеш-
нее поле. Существует определенная величина этого транспортного
тока, так называемый «пороговый ток» [10, 11], представляющий
собой критический ток при максимальной температуре, достигае-
мой при скачке потока [9]. Чем выше поднимется температура, тем
меньше, конечно, будет этот пороговый ток.
Именно это выделение тепла, связанное с внезапными скачками
потока, и делает использование сверхпроводников в соленоидах
более сложным, чем можно себе представить на первый взгляд,
и для эффективного использования материала необходимо заранее
иметь в виду упомянутое различие между критическим и порого-
вым токами.
Один из успешных методов преодоления указанных затрудне-
ний заключается в том, что создается совершенный электрический
контакт сверхпроводника по всей его длине с несверхпроводящим
материалом высокой проводимости и хороший тепловой контакт
с окружающей средой [12]. Если свойства сверхпроводника не ме-
няются под влиянием контакта с шунтирующим материалом, то
присутствие последнего скажется только тогда, когда транспорт-
ный ток в сверхпроводнике превысит некоторую критическую вели-
чину и на комбинированном проводнике начнет появляться напря-
жение. Тогда ток каким-то образом разделится между сверхпровод-
ником и шунтирующим материалом. В комбинированном провод-
нике будет теперь выделяться энергия, и он примет температуру,
определяемую температурной зависимостью критического тока
сверхпроводника, электрическим сопротивлением шунтирующего
материала, теплопередачей в окружающую среду и температурны-
ми градиентами в самом комбинированном проводнике. Более под-
робно эти, явления рассматриваются в § 3 настоящей главы, а здесь
мы должны упомянуть некоторые возможные режимы работы для
установления ряда основных определений.
Представим себе, что наш комбинированный проводник снабжен
маленьким нагревателем, так что мы можем увеличивать темпера-
туру выше критической температуры сверхпроводника. Если при
неизменном поле увеличить ток до некоторой величины, периоди-
чески включая при этом нагреватель, то можно на очень короткое
время полностью перевести ток из сверхпроводника в шунтирую-
щий проводник. Рабочая температура определится джоулевым
теплом, выделяющимся в шунтирующем проводнике, и термиче-
скими условиями. Если после выключения нагревателя рабочая
температура упадет ниже критической температуры сверхпровод-
ника, соответствующей данному полю, то ток, полностью проте-
кавший в шунтирующем проводнике, начнет переходить обратно
в сверхпроводник. Это приведет к дальнейшему снижению джоуле-
вых потерь и температуры, и такой процесс будет продолжаться
до полного восстановления сверхпроводящего состояния (см.
фиг. 79). Всякий комбинированный проводник, который будет
восстанавливаться подобным образом, называется «полностью
стабилизированным» [13—15]. Если шунтирующий материал может
обеспечить такую полную стабилизацию при критическом токе
сверхпроводника, то говорят, что комбинированный проводник
«полностью стабилизирован при критическом токе». Но для любо-
го комбинированного проводника всегда можно найти некоторую
величину тока, ниже которой в этом проводнике полностью восста-
навливается сверхпроводимость, после того, как он был на корот-
кое время переведен в нормальное состояние. Если комбинирован-
ный проводник рассчитан так, чтобы стабилизация в нем сохраня-
лась до токов, меньших полного критического, то он называется
«стабилизированным при частичном токе». Если в момент включе-
ния нагревателя в комбинированном проводнике протекает ток,
превышающий максимальный ток частичной стабилизации, то
область нормального состояния вблизи нагревателя будет расши-
ряться и «нормальный фронт» будет распространяться вдоль про-
вода. Ток, Цри котором этот процесс начинается, называется
«минимальным током распространения» [16—18].
Перейдем теперь к вопросам проектирования, причем сначала
рассмотрим влияние плотности тока на параметры соленоида,
а затем более детально — соображения о связи между плотностью
тока и стабильностью.
§ 2. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЛОТНОСТЬЮ TOKAt ПОЛЕМ И ОБЪЕМОМ
1. Плотность тока и магнитное поле
Рассмотрим катушку с постоянной плотностью тока. В этом
случае можно применить многие формулы, выведенные в гл. 1 для
поля, выраженного через ток или плотность тока. При данной вели-
чине допустимой плотности тока в сверхпроводящем материале
] и заданном коэффициенте заполнения катушки % можно записать
аналогично (1.9) и (1.10).
Я0 = 7Ха1^(а, р), (6.1)
где
f(«. W=A„“ + <°2+W‘/= , (6.2а)
V ’ г/ 10 1 (1 p2)V2 V
или
F(a, Р) = -^ (Arsh^--Arsh-L) . (6.2б)
Мы могли бы также записать (6.1), используя ток в сверхпрово-
дящем проводе Is и число витков на единицу площади и; заме-
тим, что
j'k = nlsi (6.3)'
тогда H0 — nIsaiF (а, 0). (6.4)
Функция F (а, Р), зависящая только от геометрических факторов,,
изображена на фиг. 65а и 656. Как обсуждалось в гл. 1 в связи
Ф и г. 65а. Зависимость коэффициента F (а, (3), определяемого геометрией
катушки, от нормированных геометрических размеров а и £ (см. фиг. 4).
Линии постоянных значений F (а, |3) построены на основе (6.2). Приведена также кри-
вая, построенная по значениям (а, 3), для которых при заданных F (а, 0) объем катушки,
минимален.
с выражениями (1.13) и (1.14), в предельных случаях, когда вели-
чины а или Р малы, функция F (а, Р) может иметь более про-
стой вид.
Установив связь между Н0 и /X для данного проводника и основ-
ного типа конструкции, мы можем найти значение функции F (а, Р)
для катушки заданного типа из формулы (6.1), т. е.
₽>-Д- <6J5>
Однако из фиг. 656 видно, что можно получить любое требуемое
.значение F (а, Р) с помощью бесконечного семейства пар (а, Р).
Фиг. 656. Зависимость коэф-
фициента F, рассчитанного по
(6.2), от р при постоянном а.
Определение а и 0 см. на фиг. 4.
Иногда выбор диктуется внешними ограничениями, например
условиями, налагаемыми на размеры катушки, или требованиями
к однородности поля; если этих ограничений нет, то значения
(а, Р) могут быть выбраны так, чтобы получить минимальный объем
требуемого материала.
2. Плотность тока и минимальный объем
Как и в гл. 1, объем, занимаемый обмоткой, можно представить
в виде
Г = ф(а, р), (6.6)
где
р(а, Р) = 2лр (а2 —1).
(6.7а)
Объем проводника, образующего обмотку, выражается просто как
Тс = КТ = Ха?2л0 (а2 — !)• (6.76)
Полную длину этого проводника проще всего найти, умножая
объем катушки на число витков тг, приходящееся на единицу
поперечного сечения обмотки; таким образом,
Z = naf2n0(a2—1) = па%и(а9 0), (6в7в)
где п выражается в витках на 1 см2.
Если вычислить значения v (а, 0) вдоль линии любого постоян-
ного значения F (а, 0), то мы найдем, что имеется одна-единствен-
ная точка, соответствующая наименьшему значению v (а, 0), т. е.
Фиг. 66. Минимальные возможные значения коэффициента v при данной
величине F (а, 0), рассчитанные по значениям координат точек минимального
объема фиг. 65 и 66.
существует одна определенная форма катушки с данным значени-
ем F (а, 0), при которой используется минимальное количество
материала [19]. Положение этой точки совпадает с тем, которое
вытекает из (1.21); так как
/’(а, р) =G(a, р) [р(а, Р)]1/2, (6.8)
то значение v (а, 0) будет минимальным, когда величина G (а, 0)
максимальна. Кривая, проведенная через все точки минимального
объема, показана на фиг. 65а. Однозначная связь между а и 0,
11—726
устанавливаемая пересечением линий F (а, Р) и кривой минималь-
ного объема, позволяет начертить график однозначной функции,
связывающей F = HJfkai и наименьший необходимый объем
обмотки; это показано на фиг. 66.
Если необходимо отойти от значений (а, Р), Соответствующих
минимальному объему, то для получения данного поля потребует-
ся больше материала. Насколько больше — видно из графиков
Фиг. 67а. Увеличение объема катушки, вызванное отклонением от значений
(а, Р), соответствующих минимальному объему при данной величине F (а, р)
в интервале 0 < Р < 2.
Значение а для любого заданного Р выбирается так, чтобы получить желаемую величину
F (а, Р) (см. п. 2 § 2 гл. 6).
фиг. 67а и 676, где представлено отношение объемов в зависимости
от р. Видно, что при увеличении длины по сравнению с той, кото-
рая соответствует минимуму, объем катушки возрастает значитель-
но медленнее, чем длина. Например, в катушке с F = 4 при длине,
на 50% большей, чем оптимальная, используется всего лишь
на 12% больше проволоки, и это с избытком компенсируется
уменьшением размера криостата и более высокой однородностью
поля. (К вопросу об однородности поля мы вернемся в следующем
параграфе.)
Имеется еще одно обстоятельство, которое следует иметь в виду
при выборе формы катушки, в частности для катушек с малым
значением F, а именно: максимальным полем, действие которого
Фиг. 676. Увеличение объема катушки, вызванное отклонением от значений
(а, Р), соответствующих минимальному объему при данной величине F (а, Р)
в интервале 0,5 < Р < 5.
Значение а для любого заданного [3 выбирается так, чтобы получить желаемую вели-
чину F (а, Р) (см. п. 2 § 2 гл. 6).
Испытывает сверхпроводник, является не центральное поле, а
поле на внутренних витках обмотки, и напряженность этого
поля выше, чем в центре. Если допустимая плотность тока сверх-
проводника заметно зависит от поля, то объем катушки, форма
которой соответствует минимуму, найденному без учета поля на об-
мотке, будет больше, чем у катушки большей длины, меньшей
толщины и с более слабым полем на обмотке. Это можно показать,
пользуясь фиг. 68, где приведены кривые зависимости отношения
полей максимального и в центре от а при разных р, т. е. для кату-
шек разной формы (см. гл. 8). Наряду с кривыми для Нт/Н^
изображены линии постоянных значений F (а, 0) и линия мини-
мального объема. Взяв, например, случай F = 0,1, мы замечаем,
что если выбрать такие геометрические размеры катушки, при
которых получается минимальный объем (а = 1,2, 0 = 0,5), то
отношение полей будет равно 1,6. Удлиняя катушку, мы можем
уменьшить это отношение, и если в результате плотность тока
Фиг. 68. Отношение максимальной напряженности поля в обмотке Нт к на-
пряженности в центре катушки Hq в зависимости от а при различных значе-
ниях 0.
Приведены также линии постоянного значения F (а, 3), построенные пересечением
линий Р = const при значениях а, требуемых для получения заданной величины
F (а, 3), а также линия минимального объема, построенная пересечением линий
F = const при значениях а, отвечающих минимуму объема при данном F (см. п. 2
§ 2 гл. 6).
может быть увеличена настолько, что это с избытком компенси-
рует отклонение от «оптимальной» геометрии, то потребуется мень-
шее количество сверхпроводника. Если принять, что допустимая
плотность тока обратно пропорциональна отношению полей, то
фактический минимум будет достигнут при значениях 0 = 0,8
и а = 1,14, для которых произведение (Т/Тт) рассчи-
танное вдоль линии F = 0,1, будет минимальным.
Этот учет величины поля на обмотке при выборе минимального
объема имеет значение только для относительно коротких катушек,
т. е. только для малых значений Fo Для катушки с F (а, 0) = 2,0
даже для получения минимального геометрического объема уже
требуется значение р = 2,0. При этом отношение полей уже ста-
новится меньше 1,05. Дальнейшее удлинение катушки может
снизить это отношение не более чем на 5%, а выгода от этого быстро
уничтожается все возрастающим ухудшением формы. Следует
также отметить, что лишь в небольшом числе практических при-
ложений форму катушки можно выбирать, исходя только из тре-
бования минимального объема; обычно преобладающее влияние
на этот выбор оказывают какие-то обстоятельства, связанные
с экспериментальными требованиями или с окружающими усло-
виями. Иллюстрации же, подобные фиг. 67 и 68, показывают,
на какие жертвы приходится идти, чтобы удовлетворить тем или
иным условиям эксперимента. Одним из таких часто встречающих-
ся условий является требование определенной однородности поля,
которое мы сейчас и рассмотрим.
3. Однородность поля и объем катушки
Как будет рассматриваться в гл. 8, выражение для поля в ок-
рестности центральной точки катушки с постоянной плотностью
тока может быть представлено в виде степенного ряда, имеющего
простую форму для точек, расположенных вдоль оси z:
Н = Но [ 1 + Е2 (а, Р) (^-) 2 -ьЕЛ (а, ₽) ) 4 + ... ]. (6.9)
Коэффициенты Еп (а, 0) являются функциями а и р, и поэтому
для любого заданного значения zlaY однородность поля также мож-
но графически представить в зависимости от а и р [20]. Для про-
стого соленоида коэффициент Ег (а, Р) отрицателен, и, следователь-
но, поле убывает по мере удаления от центральной точки вдоль
оси z. Сфера радиусом z/a4 будет ограничивать область, в пределах
которой однородность поля сравнима с описываемой выражением
(6.9), поскольку неоднородность, связанная с каждым отдельным
членом этой формулы, будет наибольшей именно в направлении z.
На фиг. 69а и 696 показано, как меняется в зависимости от а
й р однородность поля в пределах сферы радиусом z/a} = 0,707.
Мерой однородности при этом служит относительное отклонение
поля в пределах указанной области от значения поля в центре,
выраженное в процентах. На этом же графике приведены кривая
минимального объема и несколько кривых F (ос, Р). Из графика
видно, что катушки, форма которых соответствует минимальному
объему, имеют довольно низкую однородность поля при малых
значениях F, однако однородность постепенно улучшается при
переходе к большим F.
Пользуясь фиг. 67, 69а и 696, можно увидеть, как возрастает
объем катушки, необходимый для достижения заданной однород-
изображены линии постоянных значений F (а, Р) и линия мини-
мального объема. Взяв, например, случай F = 0,1, мы замечаем,
что если выбрать такие геометрические размеры катушки, при
которых получается минимальный объем (а = 1,2, р = 0,5), то
отношение полей будет равно 1,6. Удлиняя катушку, мы можем
уменьшить это отношение, и если в результате плотность тока
Фиг. 68. Отношение максимальной напряженности поля в обмотке Нт к на-
пряженности в центре катушки Hq в зависимости от а при различных значе-
ниях р.
Приведены также линии постоянного значения F (а, 3), построенные пересечением
линий 3 = const при значениях а, требуемых для получения заданной величины
F (а, р), а также линия минимального объема, построенная пересечением линий
F = const при значениях а, отвечающих минимуму объема при данном F (см. п. 2
§ 2 гл. 6).
может быть увеличена настолько, что это с избытком компенси-
рует отклонение от «оптимальной» геометрии, то потребуется мень-
шее количество сверхпроводника. Если принять, что допустимая
плотность тока обратно пропорциональна отношению полей, то
фактический минимум будет достигнут при значениях Р = 0,8
и а = 1,14, для которых произведение (T/Tm) рассчи-
танное вдоль линии F = 0,1, будет минимальным.
Этот учет величины поля на обмотке при выборе минимального
объема имеет значение только для относительно коротких катушек,
т. е. только для малых значений Fo Для катушки с F (а, Р) = 2,0
даже для получения минимального геометрического объема уже
требуется значение р = 2,0. При этом отношение полей уже ста-
новится меньше 1,05. Дальнейшее удлинение катушки может
снизить это отношение не более чем на 5%, а выгода от этого быстро
уничтожается все возрастающим ухудшением формы. Следует
также отметить, что лишь в небольшом числе практических при-
ложений форму катушки можно выбирать, исходя только из тре-
бования минимального объема; обычно преобладающее влияние
на этот выбор оказывают какие-то обстоятельства, связанные
с экспериментальными требованиями или с окружающими усло-
виями. Иллюстрации же, подобные фиг. 67 и 68, показывают,
на какие жертвы приходится идти, чтобы удовлетворить тем или
иным условиям эксперимента. Одним из таких часто встречающих-
ся условий является требование определенной однородности поля,
которое мы сейчас и рассмотрим.
3. Однородность поля и объем катушки
Как будет рассматриваться в гл. 8, выражение для поля в ок-
рестности центральной точки катушки с постоянной плотностью
тока может быть представлено в виде степенного ряда, имеющего
простую форму для точек, расположенных вдоль оси z:
Н = Яо [ 1 + Е2 (а, 0) (^-) 2 + Е, (а, 0) (J-)' + ...]. (6.9)
Коэффициенты Еп (а, 0) являются функциями а и р, и поэтому
для любого заданного значения z/a^ однородность поля также мож-
но графически представить в зависимости от а и р [20]. Для про-
стого соленоида коэффициент Е2 (а, Р) отрицателен, и, следователь-
но, поле убывает по мере удаления от центральной точки вдоль
оси z. Сфера радиусом z/a^ будет ограничивать область, в пределах
которой однородность поля сравнима с описываемой выражением
(6.9), поскольку неоднородность, связанная с каждым отдельным
членом этой формулы, будет наибольшей именно в направлении и.
На фиг. 69а и 696 показано, как меняется в зависимости от а
ri р однородность поля в пределах сферы радиусом z/a} = 0,707.
Мерой однородности при этом служит относительное отклонение
поля в пределах указанной области от значения поля в центре,
выраженное в процентах. На этом же графике приведены кривая
минимального объема и несколько кривых F (ос, Р). Из графика
видно, что катушки, форма которых соответствует минимальному
объему, имеют довольно низкую однородность поля при малых
значениях F, однако однородность постепенно улучшается при
переходе к большим F.
Пользуясь фиг. 67, 69а и 696, можно увидеть, как возрастает
объем катушки, необходимый для достижения заданной однород-
ности. Так, например, если катушка должна иметь F = 2, то ми-
нимальный объем получается при р = 2, но отклонение от одно-
родности при этом достигает 5% (в пределах сферы радиусом
ы.
Фиг. 69а. Отклонения поля в пределах сферы радиусом zla^ = 0,707 от цен-
трального поля, выраженные в процентах и рассчитанные по (6.9), в зависимо-
сти от а и р.
Приведены также линии постоянных значений F (а, |3) и кривая минимального объема,
построенные так, как на фиг. 65. Определение аир см. на фиг. 4.
z/a± = 0,707). Его можно уменьшить до 0,5%, если удлинить
катушку, выбрав значение р = 4,4. При этом объем возрастет
на 45%. Для катушки же с F = 4 отклонение от однородности при
минимальном объеме составит уже только около 1 %, и для умень-
шения его до 0,5 % объем должен быть увеличен всего лишь на 12 %.
Из (6.9) видно, что если z/a^ < 1, то члены ряда быстро убыва-
ют. Более того, вследствие убывания коэффициентов Еп с увеличе-
нием п даже при приближении отношения z/at к 1 член с/Достает-
ся преобладающим. Таким образом, если известно точное значение
отношения (Н — Hq)/Hq для какого-то значения z/a^ то величину
этого отношения для любого другого значения z'/a^ можно при-
ближенно найти, умножая известное значение на (z7z)2. Так,
если для сферы радиусом и/ах = 0,707 отклонение от однородности
Фиг. 696. То же, что на фиг. 69а, но для больших значений р.
составляет 1 %, то в пределах сферы с z7ax = 0,5 оно будет состав-
лять 0,5%, а в пределах сферы радиусом zr/а^ = 1 оно приблизит-
ся к 2%. В гл. 8 будет показано, что значение (Н — Hq)/H в любой
точке можно вычислить точно; пользуясь же оценкой с помощью
множителя (z7z)2, можно быстро представить себе, в какой мере
нужно поступиться однородностью или объемом однородной части
поля, чтобы удовлетворить заданным требованиям.
4. Зависимость объема от плотности тока
До сих пор мы обсуждали главным образом то, как влияют
на объем сверхпроводника или катушки выбор формы последней
или определенные требования к однородности поля при условии,
что плотность тока является заданной величиной. Часто, однако,
больший интерес представляет вопрос о том, как должен изменить-
ся объем, если меняется плотность тока. Например, если речь идет
о материале, более дорогостоящем, но имеющем более высокую
критическую плотность тока, то важно знать, превысит ли выгода
от уменьшения количества необходимого материала его повышен-
ную стоимость (на единицу веса). Этот вопрос часто возникает при
сравнительном рассмотрении стабилизированных и нестабилизи-
рованных сверхпроводников.
Для любых конкретных условий ответ на подобные вопросы
можно всегда получить прямым путем: нужно вычислить значения
F, требуемые для двух рассматриваемых плотностей тока, найти
на каждой из кривых F рабочую точку, соответствующую заданным
ограничениям, касающимся объема катушки, однородности поля
или какого-то геометрического размера, а затем определить объемы,
требуемые в обоих случаях. Более трудно, однако, найти общий
подход, который годился бы для любого случая. Мы рассмотрим
несколько различных, хотя и частных, аспектов обсуждаемой про-
блемы.
Так, представляет интерес случай, когда задан один из гео-
метрических размеров, например р = 1. Если значение р задано,
то (6.2а) можно преобразовать так, чтобы выразить а через р и F‘
«= v2^p2 . (6.10а)
где
т = [1Н-(14-р2)1/2]е*7о.4Я0. (6.106)
Если плотность тока / такова, что для создания требуемого поля
необходимо значение F = 1, то для этого ос должно быть равно
2,58 и объем катушки будет соответствовать точке, лежащей
вблизи от линии минимального объема. Уменьшение плотности
тока в 2 раза потребовало бы значений F = 2,0 и соответственно
а = 5,9, что означало бы шестикратное увеличение объема. А если
плотность тока уменьшить еще в 2 раза, то потребуется уже
практически нереальное увеличение ос (а = 29, Т7^10 = 150).
Если ни на какой размер не накладываются ограничения и нет
специальных требований к однородности поля, то ничто не мешает
выбрать вариант, соответствующий минимальному геометрическо-
му объему. Для этого случая можно, воспользовавшись фиг. 66,
построить представленные на фиг. 70 кривые, связывающие отно-
шение плотностей токов с отношением объемов. Например, если
Н = 60 кэ, ai = 4 см, и 70%0 = 1,5 *104 а!см?, то F должно быть
равно 1,0. Если бы нам пришлось уменьшить плотность тока вдвое,
то отношение 7'//0 было бы равно 0,5, а объем У' был бы в 3,75 раза
больше объема катушки с 70Л,0 = 1,5 *104 а!см?.
Если таким образом сравниваются плотности тока в двух сверх-
проводниках различной стоимости, то материал с меньшей крити-
ческой плотностью тока должен быть более чем в 3,75 раза дешевле
материала с большей плотностью тока, чтобы большая катушка
была более дешевой. Строго говоря, стоимость дешевого материала
должна была бы быть еще немного ниже, чтобы это компенсиро-
вало большие размеры и вес изготовленной из него катушки.
Аналогичную связь между отношением объемов и отношением
плотностей тока можно вывести для катушек с объемом, отличным
Фиг. 70. Зависимость объема катушки от плотности тока при различных
значениях коэффициента F (а, 0) для катушек минимального объёма.
7^ и Т0 о — минимальные объемы катушек с плотностями тока j и Зо соответственно
(при том же поле).
от минимального, например для катушек, у которых в пределах
сферы с z/at = 0,707 отклонения от однородности не превосходят
1%, что соответствует значениям 0, близким к 3. Семейство кривых
для этого случая изображено на фиг. 71. Кривые смещены к мень-
шим значениям У7У*0 по сравнению с кривыми на фиг. 70, в ре-
зультате чего для любого заданного изменения плотности тока
объем увеличивается приблизительно на 20% меньше, чем в пре-
дыдущем случае. Наоборот, если сравнивать катушки минималь-
ного объема с более короткими катушками, то объем последних
оказывается более чувствительным к изменениям плотности тока.
Из фиг. 70 и 71 ясно, что изменение плотности тока меньше
влияет на катушки с малыми значениями F, т. е. в случае слабых
полей и (или) больших внутренних диаметров. Такое ослабление
зависимости от плотности тока с ростом диаметра катушки можно
также предвидеть, исходя из чисто геометрических соображений.
Действительно, если Р > а, то толщина катушки определяется
в основном полем и плотностью тока и практически не зависит
от диаметра. Следовательно, если толщина обмотки изменилась
•фиг. 71. Зависимость объема катушки от плотности тока при различных
значениях коэффициента F (а, Р) для катушек, у которых наибольшее откло-
нение от однородности поля в пределах сферы радиусом z/a^ = 0,707 состав-
ляет 1%.
7^ и 7^о — объемы катушек с плотностями тока j и з0 соответственно (при том же поле)
(см. п. 4 § 2 гл. 6 и фиг. 70).
на определенную величину вследствие заданного изменения плот-
ности тока, то относительное изменение среднего диаметра обмот-
ки будет тем меньше, чем больше внутренний диаметр.
При использовании фиг. 70 и 71 следует иметь в виду, что дли-
на проводника (а следовательно, и его объем) не обязательно долж-
на быть пропорциональна объему катушки. Например, при проек-
тировании часто требуется установить, как влияет увеличение
толщины каналов для охлаждения между слоями обмотки на
количество необходимого проводника. Это увеличение приводит
к уменьшению плотности тока, что может довольно сильно увели-
чить объем, занимаемый обмоткой в целом. Однако поскольку
пропорционально большая часть этого объема представляет собой
теперь свободное от витков пространство, то длина проводника
увеличивается не столь существенно. Поэтому нужно рассматри-
вать произведение объема катушки на число витков, приходящееся
на единицу площади, как в (6.7в).
5. Катушки с изменяющейся плотностью тока
Оптимальное распределение токов между отдельными частями
сверхпроводящей катушки радикально отличается от случая,
когда обмотка имеет сопротивление. Наилучший результат может
быть достигнут тогда, когда во всех частях обмотки протекает ток
максимальной плотности, допускаемой зависящими от поля пара-
метрами сверхпроводника, т. е. когда плотность тока возрастает
по мере уменьшения локального поля. Распределяя таким образом
плотность тока в обмотке, можно получить заданное поле с наи-
меньшим количеством требуемого материала (или, наоборот, мак-
симальное поле для данного количества материала).
Одним из простейших случаев, поддающихся аналитическому
расчету, и вместе с тем одним из наиболее важных практически,
является случай, когда средняя плотность тока (плотность тока,
рассчитанная на единицу осевого сечения катушки) постоянна
по всей обмотке, а плотность тока в сверхпроводнике изменяется.
Это означает, что сверхпроводник неравномерно распределен
в обмотке. Как мы увидим в § 3 настоящей главы, плотность тока
во многих стабилизированных проводниках определяется в основ-
ном физическими свойствами нормального материала и его коли-
чеством на единицу длины провода. Сохраняя и то и другое неиз-
менным по всей катушке, можно сделать так, чтобы доля сверхпро-
водящей части проводника постепенно уменьшалась в радиальном
направлении по мере того, как в соответствии с ослаблением поля
возрастает допустимая плотность тока. Пример такой ситуации
рассмотрен на фиг. 72 для катушки с а = 2. При этом предпола-
гается, что поле убывает по линейному закону в радиальном
направлении, а допустимая плотность тока линейно возрастает
по мере убывания поля, т. е. с увеличением радиуса, как показано
на фиг. 72, а и б. Принятый закон убывания поля является очень
типичным, как мы видели в гл. 5; зависимость же, выбранная для
плотности тока, носит произвольный и чисто иллюстративный
характер.
Из фиг. 72, в видно, насколько может быть уменьшена необхо-
димая доля сверхпроводящего материала в осевом сечении катуш-
ки, если исходить из закона изменения плотности тока j (г), пред-
ставленного на фиг. 72, б. На фиг. 72, г показана зависимость
количества сверхпроводника, приходящегося на один слой, от ра-
диуса. Верхняя кривая соответствует случаю, когда доля, зани-
маемая сверхпроводником в сечении провода, остается постоянной
по всей обмотке, нижняя соответствует рассматриваемому нами
случаю постепенного уменьшения этой доли (ординаты этой кривой
Фиг. 72. Графический метод расчета уменьшения необходимого количества
сверхпроводника за счет неравномерного распределения последнего в катуш-
ке (а — 2) в соответствии с изменением локального поля.
Средняя плотность тока одинакова во всей обмотке. При расчете используются: а —
заданная зависимость локального поля от радиуса; б — заданная зависимость плотности
тока от радиуса; в — зависимость коэффициента заполнения от радиуса (следует из б);
г — зависимость количества сверхпроводника, приходящегося на один слой, от радиуса
при равномерном и неравномерном распределениях; д — зависимость уменьшения объема
требуемого количества сверхпроводника от числа секций, на которые разбита обмотка.
получаются перемножением ординат верхней кривой и кривой
на фиг. 72, в). Сравнение площадей, ограниченных этими двумя
кривыми, показывает, что для катушки рассматриваемой формы
(а == 2) во втором случае количество материала составляет всего
лишь 51,7% от того, которое потребовалось бы при равномерном
распределении сверхпроводника по обмотке.
Тем же способом можно также рассмотреть случай, когда доля
сверхпроводящего материала изменяется по радиусу не непрерыв-
но, а дискретно. На фиг. 72, г это показано применительно к деле-
нию обмотки на две и на четыре секции, а общий случай иллюстри-
руется фиг. 72, д. Видно, что при делении обмотки на две секции
количество необходимого материала сокращается на 25%, при де-
делении на 4 секции — на 37 %. Чтобы приблизиться к результа-
ту, достигаемому при непрерывном уменьшении доли, занятой
сверхпроводником в обмотке (сокращение на 48,3%), потребова-
лось бы делить обмотку на большое число секций.
Катушки с другими значениями а не сильно отличаются от рас-
смотренной здесь катушки с а = 2. Если плотность тока и поле
связаны между собой так, как это показано на фиг. 72, а и б,
т. е. если допустимая плотность тока на наружной поверхности
катушки в 3 раза больше, чем на внутренней, то для катушки
с а = 1,5 потребовалось бы 53%, а для катушки с а = 4 потребо-
валось бы 49% от того количества материала, которое было бы
необходимо для такой же катушки с постоянной плотностью тока.
Для более слабой зависимости плотности тока от поля выигрыш
был бы меньше.
Для простого случая постоянной средней плотности тока и ли-
нейных соотношений, представленных на фиг. 72, можно легко
вывести аналитическое выражение, показывающее, во сколько раз
меньше требуется материала в том случае, если доля сверхпровод-
ника в сечении обмотки непрерывно меняется по сравнению с тем,
когда эта доля остается постоянной. Если обозначить через к отно-
шение допустимых плотностей тока в сверхпроводнике на наруж-
ной (г = а2) и на внутренней (г = а4) поверхностях катушки, то
можно выразить сравниваемые количества материала через соот-
ветствующие интегралы и получить для искомого отношения
«2
------------------------------(б.иа)
(r/a^i) dr
ai
аде а2
— г »
«1
В нестабилизированных проводниках средняя плотность тока
часто может зависеть от магнитного поля. Это осложняет анализ,
поскольку величина локального поля на витках, определяющая
Фиг. 73. Графический метод расчета уменьшения необходимого количества
сверхпроводника за счет неравномерного распределения последнего в катуш-
ке в соответствии с изменением локального поля.
Средняя плотность тока в обмотке изменяется. При расчете используются: а — заданная
зависимость средней плотности тока от локального поля; б — зависимость поля, созда-
ваемого тонким цилиндрическим элементом обмотки, от величины локального поля
на этом элементе (выбирается так, чтобы выполнялось условие а); в— зависимость ло-
кального поля от радиуса, следующая из а и б для катушки из 10 секций; е — зависи-
мость локального поля от радиуса в катушке из двух секций для двух разных способов
деления обмотки; д — метод наивыгоднейшего деления катушки на две секции (создание
равного поля в расчете на ток 1а).
плотность тока, сама зависит от распределения плотности тока.
Однако, как видно из фиг. 73, можно и в этом случае использовать
графический метод, подобный рассмотренному на фиг. 72. При
этом, как показано на фиг. 73, а, м;ы исходим из такой же связи
между плотностью тока и полем, какая была принята на фиг. 72.
Но только если раньше имелась в виду плотность тока в сверхпро-
воднике, то теперь мы предполагаем, что речь идет о средней плот-
ности тока в обмотке ;Х. Разделим катушку на элементарные секции
с постоянной плотностью тока в каждой и примем, как в преды-
дущем примере, что при переходе через данный элемент в ра-
диальном направлении локальное поле убывает линейно на вели-
чину, равную полю, создаваемому этим элементом. (Это верно, если
длина катушки велика по сравнению с диаметром.) Если бы
плотность тока оставалась постоянной по всей катушке, то мы
получили бы такую же зависимость поля от радиуса, как и в пре-
дыдущем примере (см. фиг. 72, а). Однако теперь мы предполагаем,
что при переходе от элемента к элементу плотность тока меняется.
Поэтому так как поле А77, создаваемое элементом обмотки тол-
щиной Аг, пропорционально /X, то градиент поля в каждом эле-
менте \Н/\г не будет теперь постоянным, а будет следовать гра-
фику фиг. 73, б.
Теперь можно построить график зависимости поля от радиуса,
изображенный на фиг. 73, в. Для этого разделим катушку на 10’
секций, каждая из которых создает 10% от полного йоля. Для
каждой секции, начиная с первой, выбирается определенная вели-
чина градиента напряженности поля кН/кг, пропорциональная
допустимой плотности тока, которая в свою очередь определяется
значением локального поля. Радиальная протяженность каждой
секции определяется из условия, чтобы ток, протекающий в ее
витках, создавал поле, составляющее 10% от общего поля катуш-
ки. С возрастанием номера секции величина градиента напряжен-
ности постепенно повышается, поскольку локальное поле убывает,
и соответственно допустимая плотность тока возрастает.
Заметим, что в рассмотренном случае требуемое поле может
быть создано при величине а = 1,585. Если количество сверхпро-
водящего материала, приходящееся на единицу поперечного сече-
ния катушки, постоянно, то такое значение а соответствует умень-
шению количества необходимого материала на 50% по сравнению
с тем, которое требовалось бы, если бы плотность тока была выбра-
на на основании максимального поля в обмотке. Разумеется,,
катушка имеет при этом меньшие размеры и вес.
Если мы хотим разделить катушку на меньшее число секций,,
то при этом сталкиваемся с интересной проблемой: какова должна
быть радиальная протяженность отдельных секций, чтобы это при-
водило к минимуму необходимого материала? Из графического
построения, подобного представленному на фиг. 73, г для катушки
из двух секций, видно, что полный объем зависит от того, в каком
месте мы разделим катушку. Можно показать (графически или
аналитически [21]), что для тех довольно специальных условий^
которые здесь рассматриваются, минимум объема достигается
при таком делении, когда каждая секция создает одинаковое поле
в расчете на 1а. Для нашего примера — катушки из двух секций —
это получается, если внутренняя секция создает 36,6% от полного
поля, а внешняя — 63,4%. Для катушки, разделенной таким обра-
зом, мы найдем, как на фиг. 73, а, что а = 1,76, и в этом случае
потребуется только 71% от того количества материала, которое
было бы необходимо для катушки с постоянной плотностью тока
при той же величине центрального поля.
Для деления катушки на две секции, так чтобы каждая из сек-
ций вносила равный вклад в поле в расчете на 1а (условие мини-
мального объема), можно воспользоваться графиком, подобным при-
веденному на фиг. 73, д. На этом графике по оси абсцисс отклады-
вается для различных способов деления процентное отношение
поля, создаваемого одной из секций (например, первой), к пол-
ному полю, а по оси ординат — отношение поля к плотности тока
в каждой секции, соответствующее данному способу.
Если нужно разделить катушку на 4 секции, то сначала можно
рассчитать деление на 2 части, как мы уже это делали, а затем
каждую из частей разделить еще на 2 секции, также создающие
одинаковые поля в расчете на 1 а.
§ 3. ПЛОТНОСТЬ ТОКА И СТАБИЛИЗАЦИЯ
Во многих сверхпроводящих магнитах чрезвычайно выгодным
оказывается параллельное соединение сверхпроводника с мате-
риалом, обладающим большой электропроводностью, для стабили-
зации тока, т. е. для обеспечения автоматического возвращения
сверхпроводника в сверхпроводящее состояние после любого
временного повышения температуры. Такой комбинированный
проводник никогда не может неожиданно перейти в нормальное
состояние, и в нем можно использовать сверхпроводники большого
сечения (которым самим по себе свойственна нестабильность)
и с большой плотностью тока. Однако средняя плотность тока ком-
бинированного проводника в целом будет, вообще говоря, относи-
тельно невысокой. В предыдущих параграфах мы исследовали
влияние величины средней плотности тока на характеристики
соленоида. Теперь мы рассмотрим связь между стабилизацией
и плотностью тока.
1. Характеристики комбинированного проводника в отсутствие
продольного градиента температуры
Чтобы предварительно ознакомиться с проблемой стабилиза-
ции, рассмотрим следующий случай. Пусть имеется длинный сверх-
проводящий провод, соединенный параллельно с нормальным
проводником, который может отдавать тепло ванне, и представим
себе, что контакт по всей длине является термическим, но не обя-
зательно электрическим. Примем, что температура не зависит
от продольной координаты (случай, когда имеется продольный
градиент температуры, и связанная с ним скорость распространения
обсуждается в следующем параграфе). Рассчитаем характеристи-
ки комбинированного проводника, образованного указанными
двумя параллельными проводниками.
Пока весь ток течет по сверхпроводнику, падение напряжения
отсутствует и, следовательно, джоулево тепло не выделяется.
Однако если по какой бы то ни было причине ток должен перехо-
дить из сверхпроводника в параллельный проводник, то возникает
падение напряжения, и начинает выделяться тепло. Повышение
температуры, сопровождающее это рассеяние мощности, будет
в свою очередь влиять на величину максимального тока, который
может выдержать сверхпроводник. Чтобы исследовать вопрос
о разделении тока между сверхпроводником и шунтирующим
нормальным проводником и найти результирующую вольтампер-
ную характеристику, рассмотрим оба проводника раздельно.
Сначала рассмотрим простой случай, когда можно пренебречь
повышением температуры, сопровождающим переход тока. Вольт-
амперные характеристики, относящиеся к этому случаю, представ-
лены на фиг. 74. Сопротивление сверхпроводника равно нулю, пока
ток не достигает «критического значения» 7С, а после этого стано-
вится равным «нормальному сопротивлению» (обычно значительно
большему, чем сопротивление шунтирующего проводника). Паде-
ние напряжения на нормальном проводнике просто пропорциональ-
но току в последнем. На фиг. 74 по оси ординат отложено падение
напряжения на единице длины Е, отнесенное к напряжению En<t
где Еп определяется как
= (6.12)
здесь р — удельное сопротивление нормального проводника;
А — площадь его поперечного сечения.
Когда оба проводника соединены параллельно, падения напря-
жения на них должны совпадать. Для каждого значения нормиро-
ванного напряжения Е/Еп (например, для Е/Еп = 0,4, как пока-
зано на фиг. 74) можно точно определить ток в каждом из провод-
ников, а следовательно, и полный ток. Таким образом, мы можем
построить вольтамперную характеристику такого комбинирован-
ного проводника, как это сделано на фиг. 73, исходя из уже упо-
мянутого простого допущения о возможности пренебречь повы-
шением температуры.
Однако когда ток течет в шунтирующем проводнике, то обычно
при этом выделяется количество тепла, достаточное для того, чтобы
уменьшить критический ток сверхпроводника. Связь между темпе-
ратурой и критическим током показана на фиг. 75; линейный
характер этой связи хорошо установлен на опыте [22, 23] х).
Рассеяние мощности, имеющее место в комбинированном про-
воднике при токах выше критического, частично происходит
Фиг. 74. Вольтамперные характеристики параллельных нормальной и сверх-
проводящей ветвей комбинированного проводника, взятых в отдельности
и образующих единый проводник.
По оси абсцисс отложено отношение тона к критическому току сверхпроводника. По оси
ординат — отношение напряжения на единицу длины к этой же величине при токе, рав-
ном критическому Гем. (6.12)]. Повышение температуры не учитывается.
в шунтирующем проводнике, а частично в сверхпроводнике, кото-
рый при этом находится в резистивном состоянии. Типичное рас-
пределение температуры в поперечном направлении для комби-
нированного проводника, находящегося в диссипативном режиме,
представлено на фиг. 76. Наблюдаются скачок температуры в погра-
ничном слое между ванной и поверхностью проводника А 7^,
повышение температуры, обусловленное градиентом в меди, &Tgc
и, наконец, подъем температуры, связанный с градиентом в сверх-
х) Линейная зависимость между 1сыТ может иметь место лишь при
малых превышениях температуры проводника над температурой ванны.—
Прим. ред.
проводнике, ATgs. Повышение температуры в меди мало вследст-
вие очень высокой теплопроводности последней, однако градиент
в сверхпроводнике, имеющем значительно худшую теплопровод-
ность, часто может быть существенным. Скачок температуры
Фиг. 75. Типичная зависимость критического тока
от температуры Т.
Ть — температура ванны, Тс — критическая температура
сверхпроводника 1С
сверхпроводника.
в пограничном слое сложным образом зависит от геометрии и состо-
яния поверхности и от величины теплового потока. Рассмотрение
всех перечисленных вкладов в повышение температуры и их влия-
ния на поведение комбинированного проводника будет проведено
более полно после предварительного ознакомления с некоторыми
общими особенностями этого поведения.
Рассмотрим сначала комбинированный проводник в условиях,
когда ток только начинает превосходить критическое значение на
малую величину Ai. Рассеяние мощности в шунтирующем про-
воднике и в сверхпроводнике приведет к повышению температуры,
уменьшающему токонесущую способность сверхпроводника. Если
это уменьшение окажется больше, чем Ai (т. е. если каждое превы-
шение тока над критическим приводит к еще большему превыше-
нию), то процесс будет развиваться лавинообразно до тех пор,
пока весь ток не перейдет
в шунтирующий проводник.
С другой стороны, если ре-
зультирующее уменьшение
критического тока сверх-
Ф и г. 76. Распределение темпера-
туры по поперечному сечению ком-
бинированного проводника в режи-
ме разделения тока между нор-
мальным проводником и сверхпро-
водником
Фиг. 77. Кривая 1 — типичная характеристика теплопередачи от горизон-
тальной медной поверхности в жидкий гелий, находящийся при атмосферном
давлении; кривая 2 — аппроксимация начальной области, выражаемая урав-
нением (6.30), при h0 = 4 вт!см2 *град и п = 2.
проводника будет меньше чем Ai, то в конечном счете ток
не полностью вытеснится из сверхпроводника, а лишь снизится
до величины, меньшей чем ic. Рассмотренные два случая известны
как случаи недостабилизации и перестабилизации. В недостаби-
лизированном комбинированном проводнике ток при значениях
выше критического не будет разделяться, тогда как в случае пере-
стабилизации будет происходить разделение тока между сверх-
проводником и шунтирующим проводником, по крайней мере
при небольших превышениях критического тока.
Представляют интерес еще два обстоятельства, касающиеся
стабилизации. Если взять перестабилизированный проводник и по-
степенно переводить его в режим разделения полного тока, то теп-
ловой поток с поверхности будет непрерывно возрастать до тех
пор, пока не перейдет в так называемый «критический тепловой
поток». В этот момент обычное пузырьковое кипение, происходив-
шее на поверхности, сменится пленочным кипением с образованием
теплоизолирующей паровой рубашки на поверхности, и темпера-
тура подскочит до значительно большей величины (фиг. 77). Неиз-
бежным следствием этого большого повышения температуры будет
вытеснение всего тока в шунтирующий проводник.
При достаточном снижении тока как недостабилизированные,
так и перестабилизированные комбинированные проводники будут
восстанавливать свое исходное состояние (полная сверхпроводи-
мость или разделение тока). Мы выясним, какова величина соот-
ветствующих токов восстановления, когда будем исследовать
детальные характеристики комбинированных проводников.
Модели, описывающие в деталях поведение комбинированных
проводников в условиях диссипации, могут оказаться очень замыс-
ловатыми, если мы будем пытаться учесть все эффекты. Так, напри-
мер, зависимость коэффициента теплопередачи от температуры
носит нелинейный характер, а в некотором интервале значений
[24, 25] — и неоднозначный, как это показано на фиг. 77. Кроме
того, точное определение перепада температуры в сверхпровод-
нике оказывается крайне сложным из-за сильной зависимости
локальной плотности тока и теплопроводности от локальной тем-
пературы. (Теплопроводность сплава Nb — Ti в зависимости от
температуры х) приведена на фиг. 78.)
Можно, однако, добиться существенных успехов в изучении
проблемы стабилизации, пользуясь упрощенной моделью, в кото-
рой пренебрегают перепадом температуры в сверхпроводнике
и считают коэффициент теплопередачи не зависящим от темпера-
туры до тех пор, пока тепловой поток не превысил некоторого
критического значения. При этих упрощающих предположениях
рабочую температуру комбинированного проводника Т, устанавли-
вающуюся приданном токе в нормальном проводнике 7П, можно
Эти измерения были выполнены сотрудниками Национальной маг-
нитной лаборатории США.
представить в виде
Т-Ть
Ifo
APhQ '
(6.13)
где Т — температура комбинированного проводника; Ть — тем-
пература ванны; 1п — ток в нормальном проводнике; А — пло-
щадь поперечного сечения
нормального проводника;
р — удельное сопротивле-
ние нормального проводни-
ка; hQ — коэффициент те-
плопередачи, предполага-
ющийся постоянным; Р —
площадь охлаждаемой по-
верхности на единицу
длины.
Проводник с нормаль-
ной проводимостью обычно
характеризуют [13—15] па-
раметром ас, определенным
через критический ток при
4,2° К и критическую тем-
пературу Тс в существую-
щем магнитном поле при
нулевом токе, т. е.
“с = ЛР/г0(Гс —^ь) ‘
Фиг. 78. Зависимость тепло-
проводности сплава
Ti—22 ат.%]ЯЬот температуры.
Из (6.14) видно, что значение ас = 1 соответствует случаю, когда
нормальный проводник имеет температуру, точно равную крити-
ческой, если через него протекает критический ток (для этой моде-
ли коэффициент теплопередачи не зависит от температуры). Любой
комбинированный проводник, у которого ас>1, является недо-
стабилизированным, а при ас < 1 — перестабилизированным.
Принимая простое допущение о линейном характере темпера-
турной зависимости критического тока (фиг. 75) х) и о постоянстве
коэффициента теплопередачи hQ, мы можем вывести следующие
соотношения между током и напряжением. Напряжение на еди-
ницу длины равно произведению тока в нормальном проводнике
х) См. примечание на стр. 478.— Прим. ред.
IR на сопротивление единицы длины р/А. Следовательно,
Я = (6.15)
Мощность, рассеиваемая на единице длины, равна этому напряже-
нию, умноженному на полный ток:
W^EI = IRI-^.
li. А
(6.16)
В нашем предположении о постоянстве коэффициента теплопере-
дачи скачок температуры на границе будет равен
Ток, протекающий в^сверхпроводнике, будет всегда равен крити-
ческому току при существующей температуре (и поле), и в пред-
положении о линейном характере температурной зависимости
критического тока (см. фиг. 75) его можно представить в виде
А = (6-18)
Если разделить (6.17) на Тс — Тън подставить в (6.18), то получим
Гс-Л = IrI APh^^Tb) ’ <6'19>
Ц == 1С [ 1 — IRI ] • (6 -20)
Относя все токи к 1С, находим
is=-~ 1 — iiRac, (6.21)
где
I
1 I ’
2 С
'с APh0(Tc-Tb) •
Полный нормированный ток i является суммой нормированных
токов в сверхпроводнике и в нормальном проводнике, т. е.
г i = iR is — iR (1 — 9 (6.22)
откуда следует, что
<6-23)
1--fcCZc
Величина iR пропорциональна напряжению Е на единицу длины,
равному
(6.24)
Зависимость, выражаемая (6.23), изображена на фиг. 79 для трех
значений ас. Мы видим, что основные особенности полученных
характеристик совпадают с теми, которые можно было ожидать
Фиг. 79. Зависимость нор-
мированного тока в нор-
мальной ветви комбиниро-
ванного проводника iR от
нормированного полного
тока I при условиях, для
которых справедливо выра-
жение (6.23), при трех зна-
чениях параметра стабиль-
ности ас [см. (6.14)].
Пунктиром нанесены линии по-
стоянного нормированного те-
плового потока у [см. (6.27)1.
на основании нашего предыдущего рассмотрения проблемы ста-
бильности в общих чертах. В случае перестабилизации (ас = 0,5)
увеличение тока выше критического будет приводить к частичному
переходу тока в шунтирующий проводник. В случае недостабили-
зации (ссс = 2) ток, если он на мгновение превысил критический^
целиком перейдет в шунтирующий проводник. Для того чтобы
произошло стабильное распределение тока между сверхпроводни-
ком и нормальным проводником, ток должен быть снижен до ве-
личины /с/}Лас = 0,707 /с. При токе ниже этой величины пол-
ностью восстанавливается сверхпроводимость. В индуктивной
цепи постоянного тока, подобной соленоиду, комбинированный
проводник с ссс = 2 при превышении тока над критическим
будет скачком переходить в состояние, при котором весь ток
течет по нормальному проводнику.
Если бы предположение о постоянстве коэффициента теплопере-
дачи было верным при всех значениях температуры и теплового
потока, то для комбинированного проводника с ас = 0,5 мы полу-
чили бы полностью обратимую вольтамперную характеристику.
В случае же комбинированного проводника с ас = 2 для полного'
восстановления сверхпроводимости потребовалось бы снизить
ток до величины 0,707 1С. В общем случае при ас > 1 для полного
восстановления сверхпроводимости необходимо уменьшить Шс.
до значения
Лежащее в основе (6.25) предположение о постоянном коэффи-
циенте теплопередачи, не зависящем от величины теплового пото-
ка, не является справедливым, особенно при значениях теплового
потока, близких к критическому. Как только тепловой поток дости-
гает критической величины, температура сразу же скачком зна-
чительно возрастает. Поэтому следует ожидать, что величина теп-
лового потока будет сказываться на кривых, описывающих рас-
пределение токов, сильнее, чем это предполагалось. Тепловой
поток через единицу поверхности комбинированного проводника
выражается простым соотношением
Удобно нормировать тепловой поток, вводя величину
Т-75ЙР- <6-27>
На фиг. 79 нанесены линии постоянного значения у, представляю-
щие собой гиперболы с постоянным значением iRi. Эти линии
являются линиями постоянного нормированного теплового потока.
Подставляя в (6.27) вместо w величину критического теплового*
потока lpc, мы устанавливаем положение критической линии,,
соответствующей переходу от пузырькового кипения к пленочному.
= (6.28>
Точно так же можно установить положение другой линии, соот-
ветствующей тепловому потоку, при котором восстанавливается
сверхпроводимость, т. е.
= <6’29>
На фиг. 80 приведены вольтамперные характеристики, которые
получились бы в условиях, когда ас-=0,5, ус=:0,5 и =
Пока тепловой поток не превосходит значения ус = 0,5, характе-
ристики имеют обратимый характер, но выше ус = 0,5 возникает
большой гистерезис.
При выводе соотношений, иллюстрируемых фиг. 79 и 80, мы не
учитывали существование градиента температуры в сверхпровод-
нике и предполагали, что коэффициент теплопередачи постоянен,
пока тепловой поток ниже некоторого критического. Эти предпо-
ложения позволили правильно предсказать основные особенности,
характеризующие распределение и стабильность токов, однако
они не дают возможности точно определить действительную форму
вольтамперных характеристик, которая наблюдается на практике.
Фиг. 80. Связь между нормированным током в нормальной ветви комбини-
рованного проводника iR и нормированным полным током i в условиях, для
которых справедливо выражение (6.23).
Параметр стабильности ас = 0,5; нормированный критический тепловой поток Yc = 0,5;
нормированный тепловой поток восстановления yR = 0,3.
Как мы увидим ниже, за счет градиента температуры в сверхпро-
воднике и непостоянства коэффициента теплопередачи могут воз-
никать дополнительные нестабильности.
Как видно из фиг. 77, коэффициент теплопередачи не является
постоянным даже при тепловых потоках, меньших критического.
В области w < wc связь теплового потока с перепадом температур
может быть достаточно хорошо выражена соотношением
гр-Л0(ДГ)п, (6.30)
где тг>1. Поэтому, возвращаясь к (6.17), мы должны были бы
записать
(T-Tbr=iBi^, (6.31)
(6.32)
Это приводит к
is = l-ani^ni1/n, (6.33)
где
_ Г р/? -| 1/п
ап'-[.АРк0(тс-ть)п] ;
величина iR может быть найдена из решения уравнения
tK-aniK/nt1/n+l-i-O. (6.34)
Величина п, найденная из измерений, лежит между 1,4 и 2,5
{24, 27]. Хорошее согласие с данными фиг. 77 при значениях тепло-
вого потока ниже критического может быть получено при h0 = 4
Фиг. 81. Связь между нормированным током в нормальной ветви комбини-
рованного проводника iR и нормированным полным током i в условиях, для
которых справедливо выражение (6.34), при нескольких значениях параметра
ап [см. (6.33)].
Предполагается, что теплопередача соответствует кривой 2 на фиг. 77 (h0 — 4 втп/см2-град,
п = 2).
и-п = 2. Значения iR, удовлетворяющие (6.34) при п = 2 для
нескольких значений ап < 1, представлены на фиг. 81. Эти кривые
отличаются от кривых, полученных для случая перестабилизации
(см. фиг. 79), в том отношении, что имеют вогнутость, обращенную
книзу, а не кверху. Это, действительно, значительно более типично
для кривых распределения тока, измеренных на опыте. Кроме того,
имеется тенденция к появлению небольшого скачка при i = 1 для
более высоких значений ап, и это тоже часто наблюдается на прак-
тике [28].
Более значительные нарушения непрерывности при i = 1
могут иногда возникнуть за счет градиентов температуры в сверх-
проводнике, поэтому необходимо исследовать этот вопрос.
Как уже указывалось ранее, точное определение градиента
температуры в сверхпроводнике является сложной задачей. Этот
градиент изменяет распределение тока, что в свою очередь влияет
на градиент. Кроме того, теплопроводность сильно зависит от тем-
пературы. Однако обычно интерес представляют такие комбини-
рованные проводники, у которых градиент температуры в сверх-
проводнике мал, и поэтому точное его определение требуется редко..
Для упрощения вычислений примем, что как плотность тока
в сверхпроводнике, так и теплопроводность последнего не зависят
от радиуса и определяются средней температурой.
При этих предположениях средний перепад температуры
в сверхпроводнике круглого сечения выражается простым соот-
ношением
(6-35>
где к — коэффициент теплопроводности сверхпроводника. Если
в комбинированном проводнике имеется N сверхпроводящих жил
круглого сечения и Is — суммарный ток, проходящий по всем
жилам, то выражение (6.35) принимает вид
(6-36).
Разделим этот перепад температуры на Тс — Тъ, а токи — на 1С.
Это облегчит сопоставление (6.36) с ранее полученным выраже-
нием для скачка температуры на границе. При этом получим
(6.37)
где
ATgS — 7 7 R
Тс — Ть
о 7С2 (р/Л)
Pn 8xkN(Tc — Tb) ’
Тогда среднее нормированное превышение температуры сверх-
проводника над температурой ванны равно сумме нормированного
скачка температуры на границе и среднего перепада температуры
jb сверхпроводнике
Ts-Tb
Тс-Ть
ЛТа
ТС-ТЪ
△T’gs
(6.38)
Это сразу приводит к следующему выражению для тока в сверх-
проводнике:
is=l-anik/niiln-^niRic, (6.39)
которое совпадает с (6.34), за исключением дополнительного
члена. Замечая снова, что полный ток i складывается из тока
Фиг. 82. Связь между нормированным током в нормальной ветви комбини-
рованного проводника iR и нормированным полным током i в условиях, для
которых справедливо выражение (6.40), при заданном значении параметра
<хп = 0,25 [см. (6.33)] и нескольких значениях параметра рп [см. (6.37)].
в нормальном проводнике iR и тока в сверхпроводящих жилах is,
можно исключить is из (6.39) и получить выражение (6.40), из ко-
торого ток iR может быть найден как функция I, Так,
Pni2B + iB(l-₽ni)-aniB/ni1/n + l-i = 0. (6.40)
Значения iR в зависимости от j, удовлетворяющие уравнению
{6.40), приведены на фиг. 82 для нескольких значений Рп при ап =
— 0,25 и п = 2; эти значения были получены итерационным вычисле-
нием на машине. Из графика видно, что главным результатом уве-
личения перепада температуры в сверхпроводнике является рост
начального скачка на кривой распределения токов. Для больших
значений ап этот скачок при данном (Зп возрастает еще сильнее.
Чтобы избежать этой нежелательной особенности на кривых рас-
пределения тока для перестабилизированного комбинированного
проводника, необходимо сделать (Зп малым. Для данного сверх-
проводящего материала с фиксированным 1С это можно сделать,
увеличивая число сверхпроводящих жил (и соответственно умень-
шая их диаметр для сохранения того же полного тока). Если зна-
чение рп снижено до величины, меньшей 0,25, то дальнейшее уве-
личение числа жил не эффективно.
2. Распространение нормального фронта
Возьмем теперь наш комбинированный сверхпроводник, рас-
смотренный в предыдущем разделе и состоящий из сверхпро-
водника и нормального проводника, соединенных параллельно
электрически и термически по всей их длине, и расположим на нем
нагреватель, с помощью которого можно повысить температуру
в одной точке выше Тс (Н). Поскольку материал по обе стороны
от нагревателя является более холодным, то в проводе появится
продольный градиент температуры. Мы должны теперь решить
дифференциальное уравнение теплопроводности для определения
тепла, передаваемого ванне и отводимого от «нормального» участка
(первоначально образованного нашим нагревателем). Мы находим
при этом некую характеристическую скорость распространения,
которая может быть при данном токе положительной, отрицатель-
ной или равной нулю. Если скорость отрицательна, это означает,
что после выключения нагревателя нормальная область будет
сокращаться в размерах и исчезнет; если скорость положительна,
то нормальная область будет расти, и это заставит ток протекать
по нормальному пути на все возрастающей длине проводника.
Ток, при котором скорость распространения становится положи-
тельной, называется «минимальным током распространения»
Этот ток также связан с ас [определяемым (6.14)], но только более
сложным выражением [17], чем (6.25):
^-=2^[(1 + 8ас)1/2-1]. . <6-41>
Графики выражений (6.25) и (6.41) представлены на фиг. 83, отку-
да видно, что для всех значений ас > 1,0 кривая для лежит
выше кривой для 1Г.
Различие между Im и 1Г существенно при проектировании соле-
ноидов; 1Г — это ток, который может стабильно протекать в усло-
виях, когда вся катушка целиком находится при температуре выше
критической; ток Im соответствует локальным превышениям
температуры над Тс. Поэтому вполне допустимо, что катушка будет
оставаться полностью сверхпроводящей, пока ток не достигнет 1тг
но сверхпроводимость не будет восстанавливаться в ней до тех
пор, пока ток не упадет до 1Г [29]. Следует отметить, что вывод
обоих выражений (для 1т и для 1Г) основан на предположении о по-
стоянстве коэффициента теплопередачи, не зависящего от величи-
ны теплового потока. Практически более правильно определять
Фиг. 83. Зависимость нормированного минимального тока распространении
Zm/Zc и нормированного тока восстановления IT!lc [см. (6.25)] от обратной
величины параметра стабильности 1/ас.
ток восстановления, исходя из величины теплового потока восста-
новления, поскольку устанавливаемые таким путем ограничения
г являются более жесткими, чем условия (6.25) и (6.41).
Во многих соленоидах часто оказывается возможным довести
ток до /с, если даже 1т и 1Г меньше 1С (т. е. ас > 1). Это означает
лишь, что температура в таком случае не поднималась выше кри-
тической. Однако при превышении 1С полное восстановление сверх-
проводимости в соленоиде произойдет не раньше, чем ток будет
уменьшен ниже 1Г (1Г часто имеет очень малую величину для неста-
билизированных проводников), а энергия, выделившаяся в ка-
чушке вследствие резкого ослабления поля, будет передана ванне.
Способность комбинированного проводника восстанавливать
•свое исходное состояние после кратковременного возмущения
исследовалась рядом автором [30—32].
3. Плотность тока в комбинированных проводниках с ас = 1
В этом разделе рассматривается вопрос о максимальной вели-
чине плотности тока, усредненной по сечению комбинированного
проводника, которая может быть достигнута в стабильных провод-
никах; при этом исследуется случай наивысшего допустимого
значения ас, т. е. ас=Л.
Для комбинированного проводника, имеющего заданное зна-
чение параметра стабильности ас, определенного согласно (6.14),
произведение площади поперечного сечения нормального провод-
ника А на величину периметра его поверхности Р, обеспечиваю-
щую надлежащее охлаждение, можно записать в виде
Как уже отмечалось выше, величина h (Тс — Тъ) часто бывает
ограничена в связи с возникновением пленочного кипения, и по-
этому нередко оказывается полезнее выразить РА через критичес-
кий тепловой поток шс, при котором начинается пленочное кипе-
ние. Это дает
= (6.43)
ac^c v 7
Следовательно, чтобы при заданной величине ас и токе 1С тепло-
вой поток не превосходил критического значения, периметр
и поперечное сечение нужно выбрать в соответствии с (6.43).
Плотность тока в комбинированном проводнике равна
> = £• (6.44)
где At — полная площадь поперечного сечения комбинированного
проводника, а поэтому
• ( acwc \1/2 ( РА \1/2 /Д /Л\
) (if) - (6.45)
и при ас = 1
Первый множитель в (6.46) можно определить опытным путем для
различных материалов и различных термических условий, и он,
как оказывается, сложным образом зависит от поля, механиче-
ских напряжений, состояния поверхности и геометрии каналов
Фиг. 84. Геометрические характеристики некоторых распространенных
типов комбинированных проводников.
У проводников прямоугольного сечения охлаждаются либо кромки, либо широкие сто-
роны. Ап, и At — площади поперечного сечения соответственно нормального провод-
ника, сверхпроводника и всего проводника в целом.
для охлаждения [16, 29, 33, 34]. Однако после того, как этот мно-
житель определен, он в значительной мере не зависит от второго
множителя, который в свою очередь зависит от геометрических
характеристик проводника и от относительного вклада в его
сечение сверхпроводящей и нормальной частей. Мы проанали-
зируем этот второй множитель для нескольких типичных'случаев,
иллюстрируемых фиг. 84.
а) Сверхпроводник круглого сечения, протянутый в нормаль-
ной оболочке
Для комбинированного проводника круглого сечения
(фиг. 84, а) имеем
= (6.47)
где
и (6.46) можно переписать в виде
(^)1/2(1_т2)1/2 = 7макс(1_т2/л (6.48)
-О)*'2. (6.49)
Величина 7*макс представляет собой максимальную плотность
тока, которую можно было бы получить, если бы сверхпроводя-
щая жила могла выдержать сколь угодно большую плотность
тока, т. е. могла иметь сколь угодно малый диаметр. Интересно
отметить, что эта максимальная плотность тока зависит от диа-
метра проводника, и поэтому если плотность тока в сверхпровод-
нике может быть сделана достаточно высокой, т. е. если d выби-
рается так, чтобы величина у была пренебрежимо мала, то в комби-
нированном проводнике можно получить сколь угодно большую
плотность тока путем простого уменьшения его диаметра. В то
время как для больших катушек соображения механической проч-
ности и надежности часто препятствуют применению проводников
малого диаметра, в меньших катушках, для которых эти вопросы
менее существенны, требуемые большие плотности тока действи-
тельно могут быть достигнуты указанным путем.
Ниже приводятся соотношения, позволяющие выбрать надле-
жащим образом отношение диаметров сверхпроводника и нор-
мальной оболочки. Если сначала выбирается внешний диаметр,
то можно вычислить отношение пользуясь уравне-
нием (6.49) и зная величину критической плотности тока для
сверхпроводника в желаемом поле. Из геометрических сообра-
жений
{- = т2, (6.50)
1S
откуда с учетом (6.48) получаем
2мак^=(4_\/(_2_\=--------ll—(6.51)
Is ' Js / I ' /макс / (1—-у2)
Это дает для у
(6.53)
(6.54)
(6.55)
Т 1 + [1 +4 ОзЛмакс)2)1'2 '
Зная у, можно теперь найти плотность тока j в комбинирован-
ном проводнике из (6.48) или (6.50). Если же сначала выбирается
диаметр сверхпроводника d, то можно ввести некоторую условную
плотность тока jm, определяемую как
. _(4МС\Ч2
Поскольку из определения у следует, что
]т — Тмакс/у1^2,
то отношение jm/js будет равно
1т = ?3/2
Js (1 —?2)V2 ’
откуда можно найти у для этого случая и, пользуясь (6.50),
вычислить результирующую плотность тока. Графики, выражаю-
щие зависимость jm/js. Умакс/Л И у'/Умакс от у, представлены
на фиг. 85.
Максимальная плотность тока, которую фактически можно
достичь в комбинированных проводниках, отличается от получен-
ной выше, так как величина у не может быть сделана сколь угодно
малой, особенно в проводниках малого диаметра. Кроме того,
максимальная плотность тока, усредненная по обмотке, будет
зависеть от того, сколько места в обмотке теряется на изоляцию
и на прокладки между слоями, т. е. от коэффициента заполнения,
величина которого убывает с уменьшением диаметра комбиниро-
ванного проводника. Действительно, если наш комбинированный
проводник покрыт слоем изоляции толщиной t и слои в катушке
отстоят друг от друга на расстояние 7, то коэффициент запол-
нения X выразится как
= Т [ (Z>4 2t)(P+2t-|-7) J ’ (6.56)
Фиг. 85. Связь между отношением характерных плотностей тока [см. (6.48),
(6.51) и (6.55)] и отношением внешнего диаметра комбинированного провод-
ника к диаметру его сверхпроводящей жилы [см. фиг. 84].
Внешний диаметр, см
Фиг. 86. Максимальные плотности тока, достижимые в комбинированном
проводнике круглого сечения из медненого сплава NbTi в поле Н = 50 кэ
(js = 1,2«105 а/сж2\ р = 3,8 ЛО-8 ом-см; lpc=0,5 вт/см2•град), в зависимости
от внешнего диаметра.
I — плотность тока 5Макс 1см* (6.49)1; 2 — плотность тока в комбинированном провод-
нике з 1см. (6.48)1; з—5 — усредненные по осевому сечению обмотки плотности тока
нри толщине изоляции, равной 0,066 см, и расстояниях между слоями, равных соответ-
ственно 0,006, 0,011 и 0,014 см.
и очевидно, что при заданных значениях t и Т величина 1 убывает
с уменьшением D. Эти соображения, вероятно, лучше проиллю-
стрировать на конкретном примере. Примем, что при данном поле
в сверхпроводнике можно получить плотность тока, равную
1,2-105 а1см\ что р = 3,8 40"8 ом-см и что критический тепловой
поток wc равен 0,5 вт/см2 (эти значения типичны для медненой
сверхпроводящей проволоки из сплава ниобий — титан в поле,
равном 50 кэ). Тогда можно, пользуясь уравнением (6.49), найти
/макс в зависимости от Z), разделить полученное значение на js =
= 1,2-105, чтобы найти у из графика фиг. 85, а затем с помощью
(6.50) или фиг. 85 определить у. Значения плотностей тока умакс
и j применительно к этому примеру приведены на фиг. 86 в зависи-
мости от диаметра D. Там же представлены три кривые для усред-
ненной по осевому сечению обмотки плотности тока при заданной
толщине изоляции 0,06 мм и для трех значений расстояния между
слоями (0,06, 0,12 и 0,24 мм). Видно, что увеличение у и уменьше-
ние коэффициента заполнения, происходящие при переходе к мень-
шим диаметрам, приводят к появлению максимума на кривой
jk (D), т. е. имеется оптимальный диаметр, при котором плотность
тока максимальна.
б) Стабилизированный сверхпроводящий кабель
Комбинированные проводники выполняются иногда в виде
кабеля, состоящего из сверхпроводящих и нормальных жил.
Примером может служить семижильный кабель, изображенный
на фиг. 84, б. Как и раньше, для случая ас = 1 мы можем напи-
сать выражения, идентичные полученным в предыдущем разделе,
за исключением того, что в выражение для умакс следует ввести
два множителя меньше единицы. Первый из них S отражает
то обстоятельство, что фактическая поверхность, по которой про-
исходит охлаждение, имеет меньшую площадь, чем цилиндриче-
ская поверхность диаметром D. Второй множитель 2^ соответ-
ствует неполному использованию пространства внутри самого
комбинированного проводника. Если, кроме того, определить
теперь у из формулы
<6-57’
где As и Ап — площади сечений сверхпроводящих и нормальных
жил, то окончательное выражение для плотности тока примет
вид
7=G^)1/2(1-V2)1/2’
(6.58)
в) Комбинированные проводники прямоугольного сечения
Охлаждение комбинированных проводников прямоугольного
сечения, как показано на фиг. 84, в иг, обычно происходит только
по двум поверхностям: чаще по боковым граням, реже сверху
и снизу. Выражение для плотности тока в случае ас = 1 совпа-
дает с (6.48), если в последнем заменить D на удвоенную ширину
неохлаждаемой стороны х. Обозначая через у2 отношение площади
сечения сверхпроводника к площади полного сечения комбини-
рованного проводника, можно записать
р2а? /
(6.59)
для случая, когда охлаждаются две стороны (или два края), и
(6.60)
при охлаждении одной стороны (или края). Можно видеть, что
плотность тока и здесь связана с размерами комбинированного
проводника, в данном случае — с шириной неохлаждаемой
стороны.
4. Плотность тока для комбинированного проводника с ас > 1
Наибольшие стабилизированные плотности тока достигаются
не обязательно при ас = 1; если при уменьшении сечения нормаль-
ного проводника число витков на квадратный сантиметр увели-
чивается быстрее, чем падает максимальная величина стабилизи-
рованного тока (в этом случае меньшего, чем критический),
то допустимая плотность тока в итоге возрастает [11, 17]. Конечно,
при этом увеличивается доля, приходящаяся на сверхпроводник,
по сравнению с количеством нормального металла (а следова-
тельно, и стоимость на единицу веса составного комбинирован-
ного проводника). Однако, как это подробно обсуждалось в § 2,
повышение плотности тока часто является необходимым или
желательным, а иногда оно может даже в итоге привести к эконо-
мии материала.
Из фиг. 83 видно, как меняются в зависимости от ас отношения
токов /т//с и 1ТИС. Параметр ас в свою очередь может быть
записан в виде
(6.61)
где Рс и Ас — значения периметра охлаждаемой поверхности
и площади поперечного сечения нормального проводника, необ-
ходимые для получения ас = 1. Плотность тока будет меняться
обратно пропорционально отношению полной площади попереч-
кого сечения комбинированного проводника At к значению этой
величины при ас = 1 Afc:
(6.62)
7с Ic At ' 7
Следует ожидать, что как ас, так и отношение AtclAt зависят
от параметра у2 и от отношения площадей поперечных сечений
нормального проводника Ап (изменяющегося) и сверхпроводника
As (заданного). В табл. 4 показано, как зависят ас и AtjAt для
комбинированных проводников круглого и прямоугольного сече-
ний от у и других геометрических характеристик. На фиг. 87—90
представлены кривые изменения плотности тока при некоторых
выбранных условиях.
Таблица 4
СООТНОШЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ РАСЧЕТЕ
ПЛОТНОСТЕЙ ТОКА В КОМБИНИРОВАННЫХ ПРОВОДНИКАХ
В СЛУЧАЕ НЕПОЛНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ (п. 4, § 3)
a/ac
Круглое сечение прово- да х) (фиг. 84, а) Г 1
D>DC \D) Ll-(Dc/D)2Y2j \D )
Прямоугольное сечение (фиг. 84, б) (-Г Г V2c 1
w « const t<tc L 1 (tc/t) \t /
Прямоугольное сечение (фиг. 84, в) ~ 1
t = const W < wc \w ) [ -1 — (wc/w) y* J \w )
Прямоугольное сечение (фиг. 84, г) Г t-vS 1
w = const t<tc V / Li—(zc/«) Yd t
Прямоугольное сечение (фиг. 84, г) Г j /^c\2
t = const W <ZWC \u> 1 L 1 — (a’c/^)Tc -I \w /
соответствует
стабильность
1) Определение параметров дано на фиг. 84; индекс «с»
значениям параметров, при которых достигается полная
(%= 1).
Фиг. 87. Зависимость максимальной плотности тока, достижимой в комби-
нированном проводнике круглого сечения, от параметра стабильности ас > 1
и отношения диаметра сверхпроводящей жилы к полному диаметру у.
Предполагается, что плотность тока ограничивается минимальным током распростра-
нения [см. (6.41)].
Из всех этих графиков видно, что существенный выигрыш
в плотности тока возможен только для относительно малых значе-
ний у2; при больших значениях этой величины плотность тока
Фиг. 88. Зависимость
максимальной плотности
тока, достижимой в ком-
бинированном проводни-
ке круглого сечения
от параметра ста-
бильности ас> 1 и отно -
шения диаметра сверх-
проводящей жилы к пол -
ному диаметру у.
Сплошные кривые — огра-
ничение плотности тока ми-
нимальным током распрост-
ранения Jm/Jc [см. (6.40)];
пунктирные кривые — огра-
ничение плотности тока то-
ком восстановления J r/Jс
[см. (6.25)].
Ф и г. 89. То же, что на
фиг. 87, но по оси абсцисс
отложено отношение
внешнего диаметра про-
водника D к значению D
при ас = 1.
Плотность тока ограничи-
вается минимальным током
распространения [см. (6.41)].
может даже оказаться меньше, чем для случая ас = 1. Как сле-
дует из фиг. 88, возможный выигрыш в плотности тока будет
Ф и г. 90. То же, что на фиг. 87, но для комбинированного проводника пря-
моугольного сечения.
По оси абсцисс отложено отношение ширины одной из сторон прямоугольника х к зна-
чению х при ас = 1. Сплошные кривые: х— размер охлаждаемой стороны; пунктирные
кривые: х— размер неохлаждаемой стороны; определение у2 см. на фиг. 84.
меньшим, если говорить о токе восстановления, чем если рассмат-
ривать минимальный ток распространения. Из фиг. 90 видно,
что уменьшение охлаждаемой стороны ленты значительно менее
эффективно, чем уменьшение неохлаждаемой стороны.
Из всего сказанного следует, что поскольку у2 редко имеет
очень малую величину, то при проектировании комбинированных
проводников нужно, как правило, выбирать значение ас рав-
ным 1 (или меньше). Одновременное уменьшение диаметра сверх-
проводника и внешнего диаметра (см. п. 3 § 3) при сохранении
условия ас = 1 является обычно более эффективным способом
увеличения плотности тока.
Однако если даже при проектировании комбинированного
проводника было принято ас > 1, то всегда имеется возможность
того, что ток достигнет критической величины раньше, чем про-
изойдет срыв поля из-за какого-то локального возмущения (подоб-
ного скачку потока). Чем ближе ас к 1, тем более вероятна такая
возможность. Комбинированные проводники с ас > 1 часто
используются в соленоидах промежуточных размеров, где не тре-
буется полная стабилизация. При этом достигаются плотности
тока, большие, чем при полной стабилизации, однако работа
соленоида будет сопряжена с некоторой долей неопределенности
и будет существовать опасность повреждения соленоида в случае
срыва поля. Обычно принято присоединять параллельно таким
катушкам внешнюю омическую нагрузку, на которую может быть
переведена большая часть энергии поля при условии, если 1)
скорость распространения нормальной зоны достаточно мала
и (или) 2) напряжение, при котором может происходить сброс
энергии, достаточно велико. При этом необходимо, естественно,
чтобы низкоомные цепи питания или любые другие параллельные
цепи отключались сразу, как только начинается сброс энергии.
§ 4. КОНСТРУКЦИЯ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СОЛЕНОИДОВ
Для обсуждения удобно подразделять сверхпроводящие
соленоиды на соленоиды с большим или с малым полем и на
соленоиды малые, средние и большие. В первом случае относить
катушки к одной из двух категорий лучше всего исходя
из характеристик сверхпроводящих материалов. Кривые, свя-
зывающие критический ток и поле для двух наиболее часто
используемых сверхпроводящих материалов, представлены на
фиг. 91. Мы видим, что для обоих материалов критическая плот-
ность тока монотонно убывает с ростом поля, а при полях выше
верхнего критического критический ток равен нулю. Вблизи
критического поля критическая плотность тока очень мала,
и при полях свыше 75 кэ применение сверхпроводящих сплавов,
типичным представителем которых является сплав Nb — Ti,
оказывается не очень экономичным. Для достижения полей выше
указанной величины нужно применять интерметаллическое
соединение Nb3Sn, что связано с определенной спецификой в тех-
нологии и конструкции. (Конечно, если это оказывается выгод-
ным, можно ограничиться использованием соединения Nb3Sn
только в тех частях обмотки, где поле превосходит 75 кэ.) Поэтому
Фиг. 91. Зависимость критического тока от поля для двух широко исполь-
зуемых сверхпроводящих материалов Nb3Sn и Nb — 48% Ti.
Токи отнесены к некоторому значению тока в средней части характеристик.
удобно относить данную катушку к катушкам с большим или
с малым полем в зависимости от того, требуется ли в ней исполь-
зование Nb3Sn.
Классификация катушек на малые, средние и большие не толь-
ко имеет относительный характер, но вдобавок и постоянно изме-
няется. Однако основные признаки, определяющие эту класси-
фикацию, установить нетрудно. К большим катушкам мы относим
такие, диаметр которых достаточно велик, чтобы их стоимость
относительно мало зависела от усредненной плотности тока,
а запасенная в них энергия настолько велика, что это требует
применения полностью стабилизированных проводников. Типич-
ными для этого класса катушек являются катушки, предназна-
ченные для работы с пузырьковыми камерами; их диаметры
составляют от 1 до 5 м. Противоположными характеристиками
обладают малые катушки. Стоимость их зависит от усредненной
плотности тока, а запасаемая энергия достаточно мала, чтобы
не возникала необходимость в стабилизации в стационарном
режиме. Хотя это также весьма произвольно, но можно относить
к разряду малых катушек катушки с внутренним диаметром
до 10 см. Средние катушки занимают, естественно, область, лежа-
щую между двумя ранее рассмотренными категориями, и они
во многих отношениях представляют конструктору наиболее
широкое поле деятельности. Запасаемая в них энергия достаточ-
но велика, чтобы требовалась защита от перегрева и пере-
напряжений, а, с другой стороны, размеры этих катушек доста-
точно малы для того, чтобы было выгодно стремиться к дости-
жению больших плотностей тока. Для создания успешно работаю-
щего соленоида такого промежуточного типа конструктор должен
найти способ совмещения стабилизации с повышенной плот-
ностью тока или суметь обеспечить надежную работу нестабилизи-
рованной катушки с гарантией от нежелательных неожидан-
ностей.
Мы рассмотрим каждый из перечисленных классов по очереди
и вкратце коснемся современного состояния некоторых техноло-
гических вопросов. Как в области материалов, так и в технологии
сооружения соленоидов происходят довольно быстрые изменения,
поэтому такое обсуждение может отражать только положение
дел на данный момент.
1. Большие катушки
В больших катушках всегда применяются полностью стаби-
лизированные проводники, поэтому можно быть уверенным
в безотказной работе катушки, если только проводник, из кото-
рого она намотана, предварительно был надлежащим образом
испытан. Такие испытания широко описаны в литературе [16, 35].
В большинстве случаев их можно проводить на коротких кусках
проводника при условии, что в этих испытаниях правильно
воспроизводятся предполагаемые условия доступа гелия к катуш-
ке и геометрия каналов охлаждения. Обычно снимается вольт-
амперная характеристика для того, чтобы выяснить, как ведет
себя комбинированный проводник при токах выше критического.
Большие сверхпроводящие соленоиды чаще всего изготавли-
ваются из комбинированного проводника, полученного совмест-
ной протяжкой сплава Nb — Ti с медью так, чтобы образовался
единый проводник. Наиболее обычной конструкцией для очень
больших соленоидов является набор дискообразных катушек,
намотанных лентой прямоугольного сечения. Охлаждение осуще-
ствляется либо просто по краям ленты [36], либо производится
дополнительное охлаждение широкой части ее поверхности,
для чего в обмотке предусматриваются специальные каналы
[37, 38]. Усредненные плотности тока обычно составляют от 1000’
до 5000 а! см*.
Для очень больших катушек одной из наиболее серьезных
проблем может оказаться проблема механических напряжений
как магнитного (см. гл. 5), так и термического происхождения.
Таблица 5
НИЗКОТЕМПЕРАТУРНЫЕ МЕХАНИЧЕСКИЙ СВОЙСТВА МЕДИ
И СПЛАВА Nb - Ti
Материал Модуль упру- гости Е, атм Суммарное тепловое расширение 300—4,2° К, Ы/1 Температура, °К
Си 1,15-10® 1,35-106 310-10-5 300 4,2
Nb —Ti 0,83-106 131-10-5 4,2
Пользуясь приведенными в табл. 5 данными о тепловом расшире-
нии и значениями модуля упругости при низких температурах
для сплава Nb — Ti и для меди и предполагая, что при комнатной
температуре термические напряжения отсутствуют, можно полу-
чить выражение для термического напряжения в меди ос (в атм)
при 4,2° К
2430 ,а
°с “ 1 + (1,64Лс/Лв) ’ (6,63)
где А с и — соответственно поперечное сечение меди и сплава
Nb — Ti. На практике обычно отношение Ac/As велико и терми-
ческие напряжения значительно меньше магнитных. Тем не менее
очень большие катушки рекомендуется охлаждать очень медленно
и равномерно [36].
Деформации в проводнике желательно свести к минимуму
как для того, чтобы предотвратить возможность механических
повреждений, так и для того, чтобы избежать ненужного увеличе-
ния электрического сопротивления. Типичная кривая зависимо-
сти сопротивления меди от механического напряжения показана
на фиг. 92. Там же графически представлены данные о магнето-
сопротивлении и о связи между магнетосопротивлением и напря-
жением.
Аналогичные данные для алюминия приведены в работе [39].
Иногда для того, чтобы обмотка надежнее выдерживала действие
магнитных сил, в нее вводит большее количество сверхпровод-
ника, чем требовалось бы на основе всех остальных соображений^
рассмотренных выше. Такой путь может быть более простым,,
чем дополнительное усиление конструкции соленоида.
Ф и г. 92. Влияние магнитного поля и механического напряжения на сопро-
тивление электролитической меди (начальное отношение сопротивлений
равно 250).
1 — магнетосопротивление отожженного образца; 2 — магнетосопротивление отожжен-
ного образца после десятикратного проведения цикла изменения нагрузки от 0 до 1600 стм
при 4,2° К, отогрева до комнатной температуры и повторного охлаждения; 3 — зависи-
мость сопротивления от механического напряжения при 4,2° К (одиночный цикл).-
В комбинированных проводниках принято использовать медь
в качестве стабилизирующего материала в первую очередь потому,
что она легко технологически комбинируется со сплавом ниобий —
титан. Однако использование алюминия имеет ряд потенциальных
преимуществ при условии, что удастся разработать достаточно
экономичный технологический процесс. Алюминий может иметь
меньшее сопротивление в нулевом поле, чем медь, его магнето-
сопротивление имеет насыщение [40, 41]1), и он дешевле и легче
меди. Правда, может быть использован только очень чистый
i) У очень чистого алюминия в результате магнитного пробоя магнето-
сопротивление после насыщения вновь начинает возрастать при увеличении
поля [Е. С. Боровик, В. Т. Волотпцов, ЖЭТФ, .48, 1554 (1965)].— Прим. ред.
алюминий; такой материал обладает очень низкой механиче-
ской прочностью, и сопротивление его сильно зависит от дефор-
мации. Тем не менее можно ожидать, что алюминий будет нахо-
дить все большее применение.
2. Малые катушки
В случае малых катушек соображения надежности не тре-
буют применения стабилизированных проводников, и его
следует избегать. История малых катушек отличается тем, что
долгое время трудно было заранее предсказать их характеристи-
ки. Когда в начале 60-х годов впервые появились материалы
с большим критическим полем, малые катушки изготовляли
просто, наматывая длинные куски изолированной, но не медне-
ной сверхпроводящей проволоки. Скоро выяснилось, что рабочий
ток этих катушек меньше того значения, которое следовало
из испытаний коротких образцов. Оказалось, что чем лучше
вела себя проволока в виде коротких образцов, тем хуже, как
правило, она работала в катушке. Эти самые первые катушки
не только очень плохо действовали, но они обычно разрушались
от возникновения дуги при первом же переходе в нормальное
состояние под током. Уже на ранней стадии стали применять элек-
тролитическое меднение сверхпроводника, чтобы ограничить на-
пряжение, возникающее при переходе, и тем самым обеспечить для
катушки возможность многократных переходов без саморазруше-
ния. Однако те минимальные количества меди, которые при этом
использовались, мало способствовали увеличению токонесущей
способности материала. Типичные катушки, намотанные из про-
волоки с диаметром сверхпроводника 0,25 мм при внешнем диа-
метре 0,33 мм. выдерживали ток не более 20 а. хотя критический
ток должен был бы быть в несколько раз больше. С течением
времени стали постепенно понимать, что критический ток в сверх-
проводнике может быть достигнут, если использовать большее
количество меди (к тому же находящейся в более совершенном
контакте со сверхпроводником), пусть даже это количество недо-
статочно для полной стабилизации [42, 43]1). Это привело к тому,
что в настоящее время сооружение лабораторных соленоидов
стало значительно более экономичным, и их работа в меньшей
мере подвержена воздействию непредвиденных случайностей.
Соленоид, описанный в работе [43], был плотно намотан с исполь-
зованием в качестве прокладок комбинации майлар — медь —
майлар. Майлар предохранял от возникновения дуги между
слоями, а медь улучшала начальное охлаждение внутренних
частей катушки. Другие весьма успешно действующие лабора-
!) См. также [75]. — Прим. ред.
торные соленоиды были построены с использованием прокладок
из рыхлых волокон [33, 16]. В некоторых случаях проволока изо-
лировалась не пластмассовой изоляцией, а слоем окиси меди [42].
Типичные значения плотности тока для современных лабора-
торных соленоидов лежат в интервале от 2 до 3 -104 а/см2. Для
создания полей до 75 кэ обычно используют одножильный провод
из сплава ниобий — титан, протянутого в меди. Диаметр сверхпро-
водящей жилы составляет обычно от 0,25 до 0,30 мм, а отношение
сечений меди и сверхпроводника находится в пределах от 2 до 3.
Если требуется получить поле свыше 75 кэ, то следует исполь-
зовать Nb3Sn. Технология производства проводников из Nb3Sn
обычно не имеет ничего общего с изготовлением проводников
из сверхпроводящих сплавов. Эта технология основана или на
диффузии олова в ниобиевую ленту [44, 45], или на осаждении
Nb3Sn из паров на подложку из нержавеющей стали [46, 47].
Полученные таким образом проводники плакируются медью или
серебром при помощи электролиза или пайки. Соединение Nb3Sn
является хрупким материалом, и поэтому его можно использо-
вать только в виде очень тонких слоев, нанесенных на подложку
из более упругого материала. Вследствие этого применение
Nb3Sn возможно только в виде ленты, что вносит свою специфику
в технологию изготовления соленоидов из этого материала 1).
Если имеется возможность работать с большими токами,
то ленту можно сделать достаточно широкой, чтобы наматывать
из нее дисковые катушки стандартной формы. Катушки в этом
случае можно изолировать таким образом, что охлаждение будет
осуществляться по краям ленты. Если же ток не может превос-
ходить 100 а, то большие плотности тока можно получить, только
применяя очень узкую ленту, и обмотка должна наматываться
слоями. В наиболее распространенной конструкции лента наматы-
вается с шагом, достаточным для предотвращения межвитковых
залмыканий, а слои разделяются прокладками майлар — медь —
майлар. В такой конструкции оказывается также необходимым
вводить в каждый слой некоторое количество закорачивающих
медных полосок [48]. Необходимость эта вызвана двумя причи-
нами. Во-первых, в узких лентах обычно очень мало нормального
шунтирующего материала, и поэтому если не вводить полосок,
то при переходе обмотки в нормальное состояние в ней будут
возникать слишком большие напряжения. Во-вторых, так как
л ента имеет большие по сравнению с проволокой размеры в направ-
лении, перпендикулярном полю, то в ней в большей мере про-
является нестабильность по отношению к скачкам потока (см. § 1).
Следует заметить, что Nb3Sn может быть также использован в виде
тонкой проволоки [74].— Прим. ред.
Стабилизирующее действие полосок в известной мере ослабляет
эту нестабильность. Если, однако, в ленте содержится достаточ-
ное количество шунтирующего материала, то вполне можно обой-
тись без ленточек. Можно рассчитывать, что в будущем надлежа-
щую стабилизацию и хорошую изоляцию лабораторных соленои-
дов с ленточной обмоткой удастся обеспечить и другими методами,
такими, как введение прокладок между слоями из материалов
с высокой удельной теплоемкостью [30, 31] или применение
специальных покрытий [32], а также использование неорганиче-
ской изоляции. Соленоиды с обмоткой из более широкой ленты,,
выполненные в виде набора дисковых катушек, можно изолиро-
вать как целое и охлаждать по краям ленты; в этом случае воз-
никают свои проблемы, связанные со стабильностью [49].
Как уже указывалось, для получения полей, превосходящих
75 кэ, обычно используют Nb3Sn. Представляет интерес оценить
максимальное поле, практически достижимое в соленоидах
из Nb3Sn. Наивысшее поле, полученное в соленоиде из этого
материала при диаметре отверстия 15 см, составило 140 кэ [50].
Верхнее критическое поле Nb3Sn при 4,2° К равно 220 кэ [4],
но в области высоких полей токонесущая способность относи-
тельно мала. Представляется, что для применяемых в настоя-
щее время материалов (даже если работать при температурах
ниже 4,2° К) стоимость соленоида, создающего поле 175 кэв отвер-
стии диаметром 3 см, может составить 100 000 долларов [51, 52].
Возможно, что эту цифру удалось бы снизить, используя другие
материалы, такие, как V3Ga [53] или, может быть, сплав ниобий —
алюминий — германий [54]х), однако в настоящее время пред-
ставляется маловероятным, чтобы соленоиды с полями, дости-
гающими 175 кэ, получили широкое распространение.
3. Средние катушки
По мере увеличения размеров катушек технология, исполь-
зуемая при изготовлении малых катушек, делается непригодной.
Это обусловлено рядом причин, и самая важная из них заклю-
чается в том, что запасаемая в соленоиде энергия возрастает
настолько, что резкий переход в нормальное состояние может
сопровождаться не только очень бурным выделением газообраз-
ного гелия, но и повреждениями обмотки за счет локального
нагрева и перенапряжений. Вторая и не очень понятная причина
связана с тем, что по мере увеличения размеров катушки стано-
вится все труднее достигнуть в ней критического тока без надле-
жащей стабилизации. Возможно, что это вызвано увеличением
отношения запасенной энергии к объему проводника.
х) См. также [73].—Прим. jped.
В большинстве современных соленоидов промежуточных раз-
меров используются проводники, полностью стабилизированные,
но имеющие относительно малое сечение, а каналы для прохожде-
ния охлаждающего гелия делаются очень узкими. Как показано
на фиг. 86, применение проводников малого диаметра повышает
усредненную плотность тока. Использование гелиевых каналов
малого сечения приводит к тому же результату, но вместе с тем
сильно ограничивает величину мощности, которая может стацио-
нарно рассеиваться в катушке без нарушения стабильности.
Однако если выбрать рабочий ток так, чтобы он составлял около
80% критического, то катушка с гарантией не перейдет в режим
стационарного рассеяния мощности, и полная сверхпроводимость
в ней будет восстанавливаться после обычных кратковременных
повышений температуры, сопровождающих скачки потока.
Обычно количества шунтирующего материала достаточно для
предохранения катушки от перегрева в случае резкого перехода
в нормальное состояние. Однако в катушках с размерами, про-
межуточными между малыми и средними,' шунтирующего мате-
риала может оказаться недостаточно для того, чтобы при воз-
никновении участка нормальной зоны не происходило его пере-
грева, вызывающего локальный переход к пленочному кипению.
Если нормальная зона имеет возможность быстро распростра-
няться, захватывая другие части обмотки, то энергия, запасенная
в поле, может быть быстро и равномерно рассеяна по всему объему
соленоида. При этом быстро спадает ток и восстанавливается
исходная температура. Такая возможность достигается, если
изоляция сверхпроводящей проволоки термически не изолирует
соседние витки друг от друга или если в обмотку введены индук-
тивно связанные с ней шунты, роль которых заключается в равно-
мерном распределении энергии, выделяющейся при срыве поля,
по всему объему соленоида [42, 48]. Если появление нормальной
зоны может быть обнаружено либо измерением напряжений в раз-
личных частях обмотки, либо с помощью датчиков, чувствитель-
ных к изменениям поля, то для того, чтобы быстро снизить ток,
можно также использовать переключение обмотки на внешнее
сопротивление. В большинстве случаев это сопротивление может
быть постоянно соединено параллельно с обмоткой, а когда воз-
никает необходимость снизить ток, низкоомную цепь питания
можно отключить с помощью контактора. Внешнее сопротивле-
ние должно быть выбрано так, чтобы максимальное напряжение
на обмотке не превосходило нескольких сотен вольт. Если это
сопротивление велико по сравнению с сопротивлением нормаль-
ной зоны в катушке, то очевидно, что основная часть энергии
поля будет выделяться вне соленоида.
В заключение следует указать на некоторые возможности,
которые необходимо иметь в виду, если речь идет о повышении
плотности тока в соленоидах промежуточных размеров. Одна
из этих возможностей заключается в применении алюминия,
электропроводность которого может быть выше, чем у меди. Дру-
гой возможностью является использование жидкого гелия ниже
Х-точки (2,2° К), что, как было показано, улучшает работу соле-
ноида [55—57]. Еще одна часто обсуждаемая возможность свя-
зана с принудительным пропусканием через соленоид потока
гелия, находящегося выше критической точки [58—60]. Можно
также упомянуть и об энтальпийной стабилизации [30—32].
Некоторые типичные примеры недавно изготовленных средних
соленоидов с относительно высокой плотностью тока описаны
в работах [37, 38, 61—63].
4. Криостаты
Разумеется, сверхпроводящие соленоиды должны работать
при температурах ниже температуры перехода. Обычно они
работают при 4,2° К (температура жидкого гелия при атмосфер-
ном давлении). Соленоиды из Nb3Sn, имеющего температуру
перехода 18° К, могут вполне успешно работать при 14° К (мини-
мальная температура, которую можно получить откачкой паров
водорода), но вполне очевидно, что токонесущая способность
материала при этом сильно уменьшается [64]. Если важно полу-
чить возможно более высокие значения коэффициента теплопере-
дачи, то можно сделать так, чтобы сверхпроводящий соленоид
работал при температуре ниже %-точки гелия (2,2° К). В этих
случаях обычно используется криостат такой конструкции,
в которой тепло, выделяющееся в токовводах, и потери на излуче-
ние может в основном брать на себя гелиевая ванна, находящаяся
при 4,2° К. Существуют соленоиды, работающие с охлаждением
за счет теплопроводности [65] и с газовым охлаждением в парах
гелия [66]. Имеется также ряд проектов, в которых охлажде-
ние сверхпроводящих соленоидов осуществляется циркуляцией
потока гелия, находящегося выше критической точки, через
полые проводники [58—60], и известна по крайней мере одна
уже действующая установка такого типа [59]. Такая система
охлаждения дает возможность легко получить более высокие
стабилизированные плотности тока, так как для теплоотдачи
в гелий, находящийся выше критической точки, не существует
критической величины теплового потока, превышение которой
приводило бы к нарушению стабильности. Благодаря этому
можно упростить конструкцию криостата, хотя, с другой сторо-
ны, возникает необходимость в циркуляционном насосе и тре-
буются низкотемпературные уплотнения, рассчитанные на повы-
шенные давления.
Хотя криостаты легко можно изготовить из стекла или из пла-
стиков, чаще всего материалом для них служит нержавеющая
сталь. Теплоподвод происходит за счет излучения, за счет тепло-
проводности труб, на которых крепятся криостат и катушка,
и за счет токовводов. В табл. 6 собраны некоторые данные, исполь-
зуемые при криогенных расчетах и полезные для оценки тепло-
Таблица 6
ПОТЕРИ В КРИОСТАТАХ С ЖИДКИМ ГЕЛИЕМ
1. Излучение (на 1 м2 поверхности криостата)
Коэффициент испускания Потери на излу- чение, л/час Крайние тем- пературы, ° К
0,06 (нержавеющая сталь) 91-Ю-з (Не) 4,2-77
0,025 (золоченая нержаве- ющая сталь) 38-Ю-з (Не) 4,2—77
0,06 330-Ю-з (N2) 77—300
Ваку умно-слоистая изоля- ция толщиной 6 мм 32-Ю-з (N2) 77—300
2. Теплопроводность (77—4,2° К, нержавеющая сталь)
Потери гелия равны 4,8 л/час х A/L
(А—поперечное сечение, cat2; L—длина пути, см)
3. Потери за счет токовводов (оптимизированные токовводы с использова-
нием испаряющегося гелия)
Потери гелия на 1 ввод = 1,38*10-3 70ПТ л/час
(/опт—ток, на который рассчитывались токовводы)
Потери гелия на 1 ввод = 0,91*103 л/час при I = 0
4. Потери на охлаждение до 4,2° К (в литрах гелия на 1 кг меди при
идеальных условиях теплообмена)
Потери, 10-з л/кг Начальная температура, °К
155 77
128 70
5 20
5. Потери гелия на единицу подводимой энергии 400*10-3 л/кдж
6. Потери гелия на 1 вт подводимой мощности 1,4 л/час
7. Потери азота на 1 вт подводимой мощности 22-10-3 л/час
подвода в типичных криостатах. Эти данные показывают, что
если ток, питающий соленоид, превосходит 100 а, то следует
ожидать, что преобладающими будут потери за счет токовводов.
Токовводы являются одним из основных путей, по которым
тепло поступает в криостат со сверхпроводящим соленоидом,
и вопросу об оптимальной конструкции токовводов уделено много
внимания в литературе [67—69]. Такая оптимальная конструкция
предполагает как необходимое условие, что испаряющийся гелий
принудительным путем обтекает токовводы и эффективно обме-
нивается с ними теплом. При токе, для которого токоподвод
является оптимальным, отходящий газообразный гелий должен
иметь температуру, равную комнатной. Теоретически токоввод
можно оптимизировать простым способом, выбирая надлежащую
величину отношения его длины к поперечному сечению, но на
практике оказывается, что для того, чтобы теплообмен был эффек-
тивен, он должен происходить на поверхности длиной от 50 до
100 см [69]. В правильно оптимизированных токовводах из элек-
тролитической меди должно выделяться тепло 0,9 мвт/а (на один
ввод) при токе, на который они рассчитывались, и 0,6 мет в
отсутствие тока [69]. При достаточном старании нетрудно добить-
ся, чтобы тепловыделение лишь очень ненамного превышало эти
минимальные значения.
Если предполагается, что соленоид, находясь в гелии, факти-
чески будет выключаться на длительное время, то целесообразно
сконструировать вводы так, чтобы можно было прерывать прямой
доступ тепла к гелию от комнатных условий.
Многие лабораторные криостаты имеют простейшую форму
с поперечным сечением, постоянным по всей длине и достаточно
большим для того, чтобы соленоид легко извлекался из криостата.
Такая конструкция удобна для лабораторных соленоидов, особен-
но если длина криостата достаточно велика (не менее 1 м), но она
делается все менее эффективной по мере увеличения размера соле-
ноида и является просто неприемлемой для очень коротких крио-
статов. В этих случаях оказывается выгоднее стационарно рас-
полагать соленоид в криостате, используя либо сварку (для
больших катушек), либо индиевые уплотнения (в меньших систе-
мах). Верхняя часть криостата представляет собой при этом узкую
горловину, ширина которой должна лишь обеспечить доступ
в криостат, отвечающий требованиям эксперимента. В одной
очень удачной конструкции внутренний гелиевый криостат под-
вешен на спицах, подобных велосипедным [63, 70]. Такой тип
конструкции является обязательным в случае, если на катушку
действуют внешние силы со стороны больших масс железа, рас-
положенных поблизости, или — в смешанных системах — со сто-
роны несверхпроводящих катушек [63].
Не всегда можно обойтись без широкой горловины, и, в част-
ности, в коротких криостатах расход гелия бывает очень значи-
тельным, если только в конструкции не приняты какие-то спе-
циальные меры предосторожности. В одном недавно описанном
криостате применена оригинальная конструкция горловины,
имеющая целью наиболее полно использовать испаряющийся
гелий и за счет этого свести к минимуму перепады температур [71].
Во многих приложениях сверхпроводящий соленоид не дол-
жен работать непрерывно. Если поддерживать его все время при
4,2° К, то требуется добавлять много гелия, чтобы восполнять
выкипание. С другой стороны, если дать возможность гелию
полностью выкипеть, то соленоид отогреется, и потребуется гелий
для повторного охлаждения соленоида при его очередном запуске.
Поддерживать ли соленоид при низкой температуре или предоста-
вить ему отогреваться — это определяется, естественно, рабочим
циклом системы. Промежуточное решение [72] заключается в том,
что соленоиду дается возможность отогрева только до 20° К,
после чего он поддерживается при этой температуре с помощью
маленького ожижителя рефрижераторного типа. Так как для
повторного охлаждения от 20 до 4,2° К требуется только 3% от
того количества жидкого гелия, которое было бы израсходовано
при охлаждении от температуры жидкого азота, то применение
такого рефрижератора для больших систем может дать значи-
тельную экономию гелия.
При охлаждении сверхпроводящего соленоида важно пол-
ностью использовать испаряющийся гелий. В полностью стаби-
лизированных катушках, где имеется большое число внутренних
каналов для охлаждения, этого легко достичь, если заставить
пары протекать через внутреннюю часть катушки. В таких катуш-
ках удается приблизиться к почти идеальным условиям тепло-
обмена. В идеальных условиях для охлаждения от 77 до 4,2° К
требуется только 0,155 л жидкого гелия на 1 кг веса соленоида
[72]. С другой стороны, для охлаждения соленоидов с плотной
намоткой, в конструкции которых не приняты специальные меры
для охлаждения внутренней части катушки, нередко требуются
количества гелия, в 10—20 раз превышающие названную мини-
мальную цифру. Если в плотно намотанном соленоиде применяют-
ся прокладки типа сандвича: майлар — медь — майлар и если
концы этих прокладок принудительно обтекаются парами гелия
[44], то на охлаждение может потребоваться количество гелия,
в 4 раза превышающее расчетный минимум.
Сооружение отдельной магнитной системы — достаточно доро-
гостоящее предприятие, и часто наиболее экономичной является
ее комбинация с непрерывно действующим гелиевым ожижителем
рефрижераторного типа как для охлаждения соленоида, так
и для поддержания его в условиях низкой температуры. Посколь-
ку, однако, ожижитель стоит от 50 000 до 100 000 долларов, ясно,
что стоимость всей системы в целом должна быть достаточно высо-
ка для того, чтобы ожижитель не являлся в ней самым дорогим
элементом. Принято противопоставлять автоматизированные
ожижительные системы рефрижераторного типа типичным для
лабораторных условий неавтоматизированным системам, в которых
подача гелия в криостаты осуществляется отдельными порциями.
Такое противопоставление не совсем правильно, так как системы
«дозированной» подачи можно значительно усовершенствовать
в сторону их автоматизации. Это усовершенствование может
включать в себя установку постоянного трубопровода для
жидкого гелия и использование автоматических указателей
уровня. В такой системе мог бы быть использован относительно
дешевый жидкий гелий от мощных ожижителей, имеющихся
во многих местах, и поэтому она могла бы в ряде приложений
конкурировать с системами рефрижераторного типа.
ЛИТЕРАТУРА
1. Lynton Е. А., в книге Superconductivity, ed. В. L. Worsnop, London,
1962 (см. перевод: Э. А. Линтон, Сверхпроводимость, изд-во «Мир»,
1964).
2. London F., Superfluids, Macroscopic Theory of Superconductivity, Vol. I,
New York, 1960.
3. Parkinson D. H., Mulhall В. E., The Generation of High Magnetic Fields,
New York, 1967, Ch. 6.
4. Montgomery D. B., Sampson W., Appl. Phys. Letters (March 15, 1964).
5. Montgomery D. B., Wizgall H., Phys. Letters, 22 (July 1, 1966).
6. Anderson P. W., Phys. Rev. Letters, 9, 309 (1963).
7. Anderson P. W., Kim У. B., Rev. Mod. Phys., 36, 39 (1964).
8. Hancox R., Phys. Letters, 16, 208 (1965).
9. Hancox R., Stability of Flux in Superconducting Cylinders and Coils, Low
Temperature Conference 10, Moscow, 1966.
10. Iwasa У., Montgomery D. B., Appl. Phys. Letters, 7, 231 (1965).
11. Williams J. E. &., High Current Density Superconducting Coils, Grenoble
High Field Conference, September 1966.
12. Kantrowitz A. R., Stekly Z. J. J., Appl. Phys. Letters, 6, 56 (1965).
13. Stekly Z. J. J., IEEE Trans. Magnets, 2, № 3, 319 (1966).
14. Stekly Z. J. J., Zar. J. L., IEEE Trans. Nucl. Sci., 12, 367 (1965).
15. Stekly Z. J. J., Journ. Appl. Phys., 37, 324 (1966).
16. Cornish D. N., Journ. Sci. Instr., 3, 16 (1966).
17. Williams J. E. C., Phys. Letters, 19, 96 (1965).
18. Кейлин В. E. и dp., Stability Criteria for Current in Combined (normal +
+superconducting) Conductors, Grenoble High Field Conference, September
1966.
19. Gauster W. F., Parker С. E., High Magnetic Fields, Cambridge, Mass.,
1962, Ch. 1.
20. Thompson P. A., Magnet Design Coil, Publication NO-ST-3100 1-66, RCA
Corporation, Harrison, N. J. /1966).
21. Williams J. Е. С.. Rev. Sci. Inst., 37, 8, 1030 (1966).
22. Cummings R. D., Latham W. N., Avco Everett Research Laboratory Report
AMP-141, May 1964.
23. Aron P. R., Ahlgren G. W., Critical Surfaces for Commercial Nb3Sn Ribbon
and Nb 25% Zr Wire, Adv. Cryogenic Eng., 13 (1968).
24. Cummings R. D., Smith J. L., Jr., Boiling Heat Transfer to Liquid Helium,
Proc. HR, Commission I, Boulder, Colorado (1966).
25. Hancox R., Minimum Propagating Current of a Superconducting Wire in
Liquid Helium, Cryogenics (August 1967).
26. Lyon D, N., Adv. Cryogenic Eng., 10 (section M-U), 371 (1965).
27. BrentariE.G., Smith R. V., Adv. Cryogenic Eng., 10 (sectionM-U), 325 (1965).
28. Gauster W. F., Hendricks, Performance of Stabilized Superconducting
Cables Under Controlled Heat Transfer Conditions, IEEE Intermag Confe-
rence, Washington, 1968.
29. Stekly Z. J. J., Proc. Inter. Symp. Magnet Technology, 550, Stanford, 1965.
30. Williams J. E. C., High Current Density Superconducting Coils, Grenoble
High Field Conference, September 1966; Colloques International aux Du
C.R.N.S., № 166, 281, Ed. Du C.R.N.S., Paris, 1967.
31. Hale J. R., Williams J. E. C., Journ. Appl. Phys., 39, 6, 2634 (1968).
32. Hancox R., Enthalpy Stabilized Superconducting Magnets, IEEE Inter-
mag Conference, Washington, 1968.
33. Cornish D. N., The Effect of Mechanical Loading on Composite Conductors,
Proc. Second Intern. Conf. Magnet Technology, 507, Oxford, 1967; published
by Rutherford Laboratory, December 1967.
34. Wilson M. N., The Performance of Stabilized Conductors, Proc. Second
Intern. Conf. Magnet Technology, 482.
35. Whetstone C. N., Chase C. G., Raymond J. W., Vetrano J. B., Boom R. W.r
Prodell A. G., Worwetz H. A., IEEE Trans. Magnetics, 2, 3, 307 (1966).
36. Purcell J. R., Report on the Argonne National Laboratory 12-ft. Hydrogen
Bubble Chamber Magnet System, Proc. Second Intern. Conf. Magnet Tech-
nology, 560.
37. Maddock B. J., Carter C. N,, Barratt P. B., Proc. Second Intern. Conf.
Magnet Technology, 533.
38. Prodell A. G., The Brookhaven 7-ft. Chamber Magnet, Brookhaven Summer
Study (July 1968).
39. Brookes J. M., Purcell J. R., Stress Versus Resistivity at Liquid Helium
Temperature, Proc. HR.
40. Laurence J. C., Coles W. D., Proc. First Intern. Conf. Magnet Technology,
574, Stanford, 1965; available at Clearinghouse for Federal Scientific and
Technical Information, National Bureau of Standards, Springfield, Virginia.
41. Stevenson R., Marston P., Grenoble High Field Conference, 169.
42. Hintz R. E., Adv. Cryogenic Eng., 13 (1968).
43. Montgomery D. B., Rinderer L., Cryogenics, 8, 4 (1968).
44. Benz M. G., Grenoble High Field Conference, 203.
45. Smulkowski O., Grenoble High Field Conference, 215.
46. Schindler H. C., Joum. Appl. Phys., 39, 6, 2528 (1968).
47. Schindler H. C., RCA Review, Vol. XXV, September 1964.
48. Schrader E. R., Thompson P. A., Coles W., Journ. Appl. Phys., 39, 6, 2652
(1968).
49. Graham C. D., Jr., Hart H. R., Jr., Mains E. F., Journ. Appl. Phys., 39,
' 6, 2622 (1968).
50. Schrader E. R., Thompson P. A., IEEE Trans. Magnetics, 2, 3, 311 (1966).
51. Montgomery D. B., IEEE Trans. Magnetics, 2, 3 (1966).
52. Montgomery D. B., The Technology of Superconducting Magnets, Proc.
First Intern. Cryogenic Eng. Conf., Kyoto, Japan, April 1967; published
by Heywood-Temple Industrial Publications, London, 1968.
53. Tachikawa К., Fukuda S., Tanaka Y., Proc. First Intern. Cryogenic Eng.
Conf., 154, op. sit.
54. Matthias В. T., et al., Science, 156, 645 (1967).
55. Sampson W. B., et al., Appl. Phys. Letters, 8, 161 (1966).
56. Hancox R., Minimum Propagating Current of a Superconducting Wire in
Liquid Helium, Cryogenics (August 1967).
57. Laverick C., Grenoble High Field Conference, 189.
58. Kolm H. H., Leupold M. J., Hay R. D., Adv. Cryog. Eng., 11, 530 (1966).
59. Morpurgo M., Superconducting Coils Cooled by Helium Forced Circulation,
NP Internal Report 67—15, Ос1оЬёг 1967, CERN (Geneva).
60. Green M. A., Proc. Second Intern. Conf. Magnet Technology, 487.
61. Stekly Z. J. J., Journ. Appl. Phys., 39, 6, 2641 (1968).
62. Gauster W. F., Coffey D. L., Journ. Appl. Phys., 39, 6, 2647 (1968).
63. Montgomery D. B., Williams J. E. C., Pierce N. T., Weggel R., Leu-
pold M. J., A High Field Magnet Combining Superconductors with Water-
Cooled Conductors, Adv. Cryogen. Eng., 14 (1969).
64. Rosner С. H., Benz M. G., Proc. First Intern. Conf. Magnet Technology, 597.
65. McEvoy J. P., Jr., Morris L. C., Panas J. F., Adv. Cryogenic Eng., 10
(section A-L), 486 (1965).
66. Cornish D. N., Journ. Sci. Inst., 42, 913 (1965).
67. Deiness S., Cryogenics, 269 (October 1965).
68. Кейлин В. E., Клименко В. Ю., Cryogenics, 222 (August 1966).
69. Efferson К. R., Rev. Sci. Instr., 38, 1776 (1967).
70. Cornish D. N., Hoare F. J., Kubale J. C. R., Whittle H. R., Proc. Second
Intern. Conf. Magnet Technology, 537.
71. Кейлин В. E., Cryogenics, 2, 3 (February 1967).
72. Montgomery D. B., Iwasa Y., Cryogenics, 8, 4 (1968).
73*.Алексеевский H. Б., Агеев H. В., Михайлов H. H., Шамрай В. Ф.,
Письма ЖЭТФ, 9, 1, 28 (1969).
74*. Алексеевский Н- Е., Гласник И., Дубровин А. В., Кружляк Я., Михай-
лов Н. Н., Соколов В. И., Смирнова М. Н., Федотов Л. Н., Изв.
АН СССР, Металлы, 5, 215 (1969).
7 Ь*. Кейлин В. Е., Клименко Е. Ю., Самойлов Б. И., ПТЭ, № 1, 216, 1971.
Импульсные соленоиды
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе мы рассматриваем нестационарные магнитные
поля, создаваемые либо при быстром разряде через катушку энер-
гии, накопленной в течение некоторого времени, либо при под-
ключении катушки к источнику питания лишь на короткий интер-
вал времени. При расчете источника питания необходимо в отли-
чие от стационарного случая принимать в расчет не только энер-
гию, рассеиваемую в соленоиде, но и энергию, запасаемую в поле
соленоида.
Обычно импульсные соленоиды не охлаждают, температура
соленоида ограничивается только его теплоемкостью. За время
импульса сопротивление соленоида может значительно измениться,
особенно в том случае, когда применяется предварительное глу-
бокое охлаждение. Зависимость сопротивления и других па-
раметров соленоида от времени необходимо учитывать при
расчете.
Если длительность импульса поля мала, то процесс разряда
определяется в основном реактивными элементами цепи (индук-
тивностью и емкостью), тогда как при увеличении длительности
импульса возрастает роль активных элементов цепи. Мы рас-
смотрим здесь оба эти случая. Начнем с рассмотрения наиболее
обычной импульсной системы, а именно с разряда конденса-
тора через катушку, обладающую индуктивностью и сопротив-
лением.
§ 2. РАЗРЯДНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ BLC-ЦЕПИ [1, 2]
Если зарядить конденсатор до напряжения Vo, т0 в нем будет
запасена энергия
(7.1)
При разряде конденсатора через цепь, состоящую из последова-
тельно включенных индуктивности и сопротивления, ток в цепи
представляет собой затухающую синусоиду, если энергия, запа-
саемая при разряде в реактивных элементах, превосходит энер-
гию, рассеиваемую на активных элементах. Характер тока в цепи
зависит от величины d, называемой постоянной затухания,
Если 0 < d < 1, то разряд носит колебательный характер, а при
d > 1 — апериодический, т. е. ток при разряде не меняет направ-
ления. При d = 1 говорят, что цепь имеет критическое затухание.
Разряд при критическом затухании также апериодичен. Чем
меньше затухание цепи, тем больше максимальная амплитуда
поля, которую можно получить при данной энергии, запасенной
в конденсаторе.
Ток в разрядной цепи можно выразить через постоянную
затухания и другие параметры цепи следующим образом:
' ' L со
(7.3)
где
(7.4)
(7-5)
Типичная кривая зависимости тока в разрядной цепи от времени
(d = 0,025) приведена на фиг. 93. Через время tQ с начала раз-
ряда ток в цепи достигает максимального значения: j
(7.6)
В частном случае пренебрежимо малого затухания (когда
отношение энергии, рассеиваемой при разряде, к энергии, запа-
Фиг. 93. Типичная зависимость тока от времени при колебательном разряде
конденсатора через 2?£-цепь.
t0 — время достижения первого максимума тока; Т — полупериод колебаний. Постоян
ная затухания d равна 0,025.
саемой в реактивных элементах, мало), полагая d = 0, получим
,t0 = ^VLC (7.8)
и, подставляя эти значения в (7.6), найдем
/макс =F0 }/-£-, d = 0. (7.9)
В случае критического затухания
со — 0 (7.10а)
и, следовательно,
И
JU
(7.10в)
Ток в этом случае достигает максимума в момент времени
io =4 = ^ = ^- (7.11)
Отсюда
/макс = 2с-1 = jZ , (7.12а)
Iмакс — 1) = Iмакс = 0) в 1. (7.126)
Для более общего случая затухающего колебательного разряда
<0=j/^ (7.13)
(7.14)
С1
При малом затухании значения частоты со и времени Го близки
к тем, которые эти величины имеют при d = 0. Это можно видеть
и из данных фиг. 94.
Ф и г. 94. Отношения частоты со (d) и времени достижения первого максимума
тока t0(d) при затухающем разряде к соответствующим величинам со (0)
и £о(О) Для разряда при отсутствии затухания в зависимости от постоянной
затухания d.
Максимальный [ток при затухающем колебательном разряде
равен /
/макс(Й)=^Л(й)^, /7.15)
ГДе /
к (d) = exp [ — (1/2 arct£ (Цп)1/2 ] Д / (7-16)
График функции к (d) приведен на фиг. 95а. Подставляя выраже-
ния (7.13) и (7.14) для (о и /0 в (7.15), можно заметить, что вели-
чина sin <jl>Zo/co всегда равна LC независимо от затухания.
Следовательно, выражение (7.15) для максимального тока можно
представить в виде
/с
(7.17)
Отсюда
7макс (d) -- Iмакс — 0) к (d).
(7.18)
При колебательном разряде за каждым пиком тока в поло-
жительном направлении и пиком положительного напряжения
на конденсаторе следует пик тока обратного направления и напря-
жения обратной полярности. Отношение амплитуд двух после-
довательных пиков, возникающих в моменты времени tn и Jn+1,
равно
(7.19)
Это отношение постоянно в течение разряда и зависит только
от постоянной затухания d (фиг. 956). Выражением (7.19) можно
пользоваться как для оценки величины максимального обрат-
ного напряжения на конденсаторе, так и для измерения постоян-
ной затухания имеющейся катушки.
Наконец, рассмотрим случай цепи с затуханием выше крити-
ческого. В этом случае величина ш не определена, но выражения
для t0 и 7Макс имеют тот же вид, что и соответствующие выраже-
ния для колебательного разряда, отличаясь от них только заме-
ной величины 1 — d на d — 1. Таким образом,
t0 = VLC
arctg [(d—l)/^]1^2
Тмакс — V qJc
(7.20)
(7-21)
-7макс (^) — /макс — 0) к (d).
Фиг. 95а. Зависимость коэффициента ослабления к (d), определяющего
величину максимального тока при затухающем разряде, от постоянной зату-
хания d.
Фиг. 956. Зависимость отношения амплитуд двух последовательных мак
симумов тока или напряжения от постоянной затухания.
§ 3. ПОСТОЯННАЯ ЗАТУХАНИЯ
Мы видели, что постоянная затухания определяет характер
разряда и максимальную амплитуду импульса тока. Поэтому
имеет смысл детально исследовать влияние этой величины на дру-
гие характеристики разрядной цепи.
Пользуясь выражением (7.13), определяющим частоту колеба-
ний при разряде, найдем полупериод колебаний
1 2л /~ LC
~~ 2 со
(7.22)
Из формулы (7.2) следует, что
-VLC=--^-Vd, (7.23)
/I
поэтому (7.22) можно представить в виде
г = Т^з- <7М>
Выражение (7.24) интересно тем, что величины L и R нельзя
считать полностью независимыми. Решая (7.24) относительно d,
получаем
d- 1
(2л£/77?)24-Г
(7-25)
При фиксированных размерах катушки как индуктивность,
так и сопротивление ее пропорциональны квадрату числа витков,
следовательно, отношение L/R не зависит от числа витков катуш-
ки. Для частот, не настолько высоких, чтобы нужно было учиты-
вать скин-эффект, это отношение можно представить в виде
4 = й1| <₽(«>₽), (7-26)
где ср (а, Р) — коэффициент, зависящий только от формы катуш-
ки [1, 2]. Значения ср (а, Р) для катушек с однородным распреде-
лением тока приведены на фиг. 96. (Катушки с неоднородным
распределением тока мы будем рассматривать в § 6 настоящей
главы, а влияние скин-эффекта — в § 10.)
Подставляя выражение (7.26) для L/R в (7.25), получаем
d = г9^.2 , ------------------------• (7.27)
[-у3 — ф(а, P)J +1
Мы видим, что при данной форме катушки затухание тем больше,
чем длиннее импульс, меньше размеры катушки и чем выше уд ель-
Фиг. 96. Коэффициент <р (а, Р), определяющий отношение L/R для катушек
с однородным распределением тока [см. (7.26)].
Приведены кривые <р (а, 0) = const в координатах а, 3, определенных согласно фиг. 4.
ное сопротивление материала катушки. Из данных фиг. 96 можно
видеть, что с ростом аир величина <р (а, Р) растет и соответствен-
но затухание уменьшается. Уменьшение затухания сопровож-
* Таблица 7
ТИПИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ ЗАТУХАНИЯ
ДЛЯ КАТУШЕК С ОДНОРОДНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКА,
ПОЛУЧЕННЫЕ ПО ФОРМУЛЕ (7.27) ПРИ (рА)Си = 2-10-6 ом-см
ai, см Полупериод 7, сек а 3 d Материал
0,5 Ю-з 3 1 0,0247 Медь
1 Ю-з 3 1 0,0016 »
1 10-з 1,5 1 0,0247 »
1 5-10-з 1,5 1 0,388 »
1 5-Ю-з 3 1 0,0382 »
1 10-2 3 1 0,137 »
1 10-2 1,5 1 0,717 »
2 10-2 3 1 0,0098 »
2 Ю-з 1,5 1 0,137 »
1 Ю-з 3 1 0,0382 Be—Си (2%)
1 5-10-3 3 1 0,498 Be—Си (2%)
дается, однако, снижением эффективности катушки (т. е. падением
величины поля, создаваемого катушкой при данном токе), поэтому
обсуждение зависимости затухания от формы катушки мы продол-
жим, когда получим формулы для поля. Постоянные затухания
для некоторых типичных катушек приведены в табл. 7.
Исследование выражения (7.27) приводит к важному выводу:
если длительность импульса достаточно мала или размеры катушки
достаточно велики, то затухание остается малым, даже если
катушка имеет большое сопротивление. Отсюда следует, что
катушки для очень коротких импульсов можно изготовлять
из прочных материалов типа бериллиевой бронзы, несмотря
на низкую проводимость этих материалов, тогда как катушки для
получения длительных импульсов должны быть изготовлены
из материала с лучшей проводимостью, хотя и менее прочного.
Для соленоидов, рассчитанных на получение длительных импуль-
сов поля, для увеличения проводимости иногда применяют пред-
варительное глубокое охлаждение.
§ 4. СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ПОЛЯ
Аналогично тому, как это делалось в предыдущих главах,
мы можем связать амплитуду поля в импульсе с максимальным
током соленоида:
Ямакс (а. ₽). (7.28)
Для катушек с однородным распределением тока выражение (7.28)
можно представить в виде
тт ___п^макс Г (а, Р) П
•^макс- ai L2p(a —1)J*
Поскольку поле_тем больше, чем ближе к оси катушки протекает
ток, то при любом р величина у (a, р) максимальна, когда а==1.
Эти максимальные значения величины у (а, Р) можно найти
по формуле
График функции у(а = 1,р) представлен на фиг. 97, а значения
функции у (а, Р), отнесенные к у(а = 1, Р), приведены на фиг. 98.
Подставим теперь в полученную формулу для поля выраже-
ние (7.17) для /макс:
Ямакс(й=0)=-^}/^Т(а,р), (7.31)
Ямакс (d) = )/-£- к (d) у (а, Р). (7.32)
Подставив в эти формулы
Го = ]/1г’ (7-33)
можно выразить максимальный ток через энергию, запасенную
Фиг. 97. Зависимость коэффициента у (а = 1, Р), определенного согласно
(7.30) и связывающего максимальный ток и магнитное поле соленоида с одно-
родным распределением тока, от р.
в конденсаторе, по формуле Индуктивность катушки [1, 2] можно найти Z = ajn2e (а, Р). (7.34)
Отсюда Ямакс (d = 0) = |/ Ф (а, ₽), (7.35) Ямакс (d) = к (d) Ф (а, ₽), (7.36)
где
Ф(а, Р)
1/0 (а, 0)
(7.37)
Графики коэффициента Ф (а, Р) для катушки с однородным рас-
пределением тока приведены на фиг. 99а и 996, а график коэффи-
циента индуктивности 0 (а, Р) — на фиг. 100. Как видно из
Ф и г. 98. Уменьшение величины коэффициента у (а, Р) с ростом а.
Сплошные кривые относятся к катушкам с однородным распределением тока, пунктир-
ные — к катушкам с распределением тока вида at/r.
фиг. 99а и 996, в окрестности р = 1 величина Ф (ос, р) имеет
максимум, положение которого почти не зависит от величины а.
Очевидно, что возрастание поля при уменьшении а связано
с уменьшением объема, занятого полем.
Выражение для поля (7.36) при наличии затухания в цепи
разряда интересно тем, что оно содержит не только Ф (а, р),
но и к (d). Величина к (d), как следует из (7.26), также зависит
от формы катушки. Насколько сильно эта добавочная зависимость
от формы катушки влияет на амплитуду поля, определяется вели-
чиной затухания. Если постоянная затухания мала (менее 0,01),
то ее изменение мало влияет на величину к (d), но при больших
значениях постоянной затухания это влияние может быть значи-
тельным. В качестве примера рассмотрим катушку с относи-
тельными размерами а = 3 и f =1, имеющую постоянную зату-
Фиг. 99а. Зависимость от р коэффициента Ф (а, Р), связывающего максималь-
ное поле катушки с энергией, запасенной в конденсаторе [см. (7.37)].
Приведено семейство кривых Ф (а = const, ₽) при нескольких значениях параметра а.
Фиг. 996. Семейство кривых Ф (а, р/= const).
Фиг. 100. Зависимость коэффициента 0 (а, Р), входящего в формулу (7.33)
для индуктивности катушки с однородным распределением тока, от а.
Приведены семейства кривых 0 (а = const, Р) и 6 (а, = const).
Фиг. 101. Зависимость произведения Ф (а, Р) к (d) от а для катушки с одно-
родным распределением тока с Р = 1, рассчитанная в предположении, что
при а = 3 постоянная затухания катушки равна 10~2.
хания d = 10"2 (см. табл. 7). Если при фиксированном значении
Р = 1 представить величину к (d) Ф (а, Р) как функцию а, то мы
увидим (фиг. 101), что при а = 2 эта функция имеет довольно
острый максимум. Таким образом, при не слишком малых значе-
ниях постоянной затухания необходимо учитывать влияние фор-
мы катушки не только на величину Ф (а, Р), но и на к (d).
§ 5. КОНСТРУИРОВАНИЕ ИМПУЛЬСНЫХ СОЛЕНОИДОВ
С ОДНОРОДНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКА
Обычно, конструируя импульсный соленоид с однородным
распределением тока, мы исходим из заданных величин внутрен-
него диаметра соленоида и полупериода Т, затем выбираем мате-
риал обмотки. После этого мы можем исследовать зависимость
произведения к (d) Ф (а, Р) от а и р, чтобы найти оптимальную
форму катушки. При этом, возможно, придется учитывать добавоч-
ные ограничения, например связанные с однородностью поля.
Теперь можно определить число витков, необходимое для полу-
чения заданного полупериода Т при использовании имеющегося
конденсатора. Если затухание окажется слишком большим, мож-
но уменьшить его величину с помощью предварительного глубо-
кого охлаждения (см. § 8 настоящей главы). Предварительное
охлаждение может, однако, привести к значительному изменению
сопротивления соленоида во время импульса (см. § 8). Поэтому
иногда выгодно просто увеличить размеры соленоида, чтобы повы-
сить его теплоемкость, которая и ограничит рост температуры.
Параметры некоторых типичных катушек (не обязательно опти-
мизированных) приведены в табл. 8.
При выборе батареи конденсаторов часто возникает вопрос
об оптимальной величине рабочего напряжения. Одна и та же
энергия может быть запасена в конденсаторе малой емкости при
высоком напряжении или, наоборот, в конденсаторе большой
емкости при низком напряжении. Для получения импульсных
полей малой длительности предпочтительно использовать конден-
сатор малой емкости при высоком напряжении. Из теоретических
соображений это не следует, поскольку время разряда определяет-
ся в основном величиной LC, и можно, казалось бы, получить
малую длительность импульса, выбрав достаточно малую вели-
чину индуктивности при большой емкости. Однако во избежание
добавочных потерь индуктивность катушки должна быть больше
индуктивности соединительных проводов (и конденсаторов). При
больших длительностях импульсов, когда полезно иметь большую
емкость, можно применять электролитические конденсаторы,
обладающие меньшим весом и габаритами. Наличие внутренних
потерь (утечки) в электролитических конденсаторах требует,
Таблица 8
ДАННЫЕ, ИЛЛЮСТРИРУЮЩИЕ СВЯЗЬ МЕЖДУ МАКСИМАЛЬНЫМ ПОЛЕМ
И ЭНЕРГИЕЙ ДЛЯ КАТУШЕК С ОДНОРОДНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКА,
ПОЛУЧЕННЫЕ ПО ФОРМУЛЕ (7.36) ПРИ МАКСИМАЛЬНОМ ПОЛЕ 200 кэ
сц, см Полу- период Т, - сек а 3 d Ф (а, 3) [по (7.37)] 17, дж Материал
0,5 1-10-3 3 1 0,0247 2,7-103 1,07-103 Медь
1,0 1-10-3 3 1 0,0016 2,7-Юз 6,2-103 »
1,0 1-Ю-з 1,5 1 0,0256 4,6-Юз 3,0-Юз »
1,0 5-Ю-з 3 1 0,0382 2,7-103 9,5-103 »
1,0 5-Ю-з 1,5 1 0,388 4,6-Юз 7,9-103 »
1,0 10-2 3 1 0,137 2,7-Юз 14-103 »
1,0 10-2 1,5 1 0,717 4,6-Юз 11-Юз »
2,0 10-2 3,0 1 0,01 2,7-Юз 59-103 »
2,0 10-2 1,5 1 0,137 4,6-Юз 39-Юз »
1,0 1-Ю-з 3 1 0,0382 2,7-103 9,5-Юз Be—Си (2 %)
1,0 5-Ю-з 3 1 0,498 2,7-Юз 26-103 Be—Си (2 %)
однако, некоторой добавочной энергии. Чтобы увеличить дли-
тельность импульса, лучше повысить величину индуктивности,
а не емкости, если только увеличение индуктивности не потребует
столь сильного уменьшения сечения провода, что оно окажется
несовместимым с требованиями механической прочности. Кон-
струкцию импульсных соленоидов с однородным распределением
тока мы обсудим в п. 2 § 10 настоящей главы.
§ 6. ИМПУЛЬСНЫЕ СОЛЕНОИДЫ С НЕОДНОРОДНЫМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКА
Из всех соленоидов с неоднородным распределением тока
наибольшее распространение получили соленоиды биттеровского
типа. Обычно эти соленоиды изготовляют путем токарной обра-
ботки толстого цилиндра, получая плоскую спираль, напоминаю-
щую спиральную пружину, с последующим сжатием спирали
вместе с изоляцией, разделяющей витки [1, 5, 6]. Распределение
тока в такой катушке уже не описывается выражением / =
— jQa-Jr, справедливым для стационарного случая, а представляет
собой значительно более сложную функцию не только радиуса,
но и времени. При малом затухании в цепи разряда распределение
тока после нескольких циклов, близких к синусоидальным, ста-
новится обычным «скиновым» экспоненциальным распределением.
В более распространенном случае затухающего синусоидального
разряда необходимо учитывать не одну, а много частот, и распре-
деление тока должно быть более сложным [7]. К счастью, в боль-
шинстве случаев, представляющих практический интерес, поле
и другие характеристики системы не сильно зависят от распреде-
ления тока, благодаря чему возможно упрощенное рассмотрение
этой проблемы.
Проникновение синусоидального поля внутрь проводника
описывается экспоненциальной функцией, содержащей характер-
ную длину, называемую глубиной скин-слоя, т. е. глубину,
на которой поле внутри проводника уменьшается в е раз по срав-
нению с его значением на поверхности проводника. Глубина скин-
слоя $ зависит от удельного сопротивления проводника р, его
магнитной проницаемости р и частоты со (в рад!сек). Таким обра-
зом [8],
’=/£• Р-38)
Для меди и сплавов на ее основе проницаемость р == 1. Если
в выражение (7.38) вместо частоты со ввести полупериод Г, а вместо
удельного сопротивления — отношение К удельного сопротивле-
ния материала катушки к удельному сопротивлению меди при
20° С, то выражение (7.38) примет вид
s = CVl£T, (7.39)
где 5 — глубина скин-слоя в см, К = р/рго° Си, Т — полупериод
разряда, С = 9,35, если величина Т выражена в сек, и С = 0,296
при Т — в мсек. Типичные значения К приведены в табл. 9.
Зависимость глубины скин-слоя от величины КТ представлена
на фиг. 102. Даже при столь большой длительности импульса, как
10 мсек, глубина скин-слоя для меди составляет всего лишь
0,935 см. Эта величина мала по сравнению с размерами болыпин-
Таблица 9
ОТНОШЕНИЕ УДЕЛЬНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ РЯДА МАТЕРИАЛОВ
К УДЕЛЬНОМУ СОПРОТИВЛЕНИЮ МЕДИ ПРИ 20° С
Материал 20° С -196° С (77° К)
Медь (электролитическая, холодно- 1,0 0,125
катаная)
Бериллий—медь (0,5%) 1,8 0,79
Бериллий—медь (2%) 4,8 3,6
Хром—медь (0,5—1%) 1,17—1,35 0,48—0,56
Цирконий—медь (0,15%) 1,1 0,33
КТ, мсек
Фиг. 102. Зависимость глубины скин-слоя 5, определенной согласно (7.38),
от произведения К Т.
Т — полупериод колебаний в мсек; К — отношение удельного сопротивления материала
катушки к удельному сопротивлению меди при 20° С.
Фиг. 103. Зависимость плотности тока в диске Биттера от радиуса, рассчи-
танная для экспоненциального «скинового» распределения тока при несколь-
ких значениях отношения ajs.
ства импульсных соленоидов, поэтому следует ожидать значи-
тельных отклонений от распределения тока вида ajr. Как видно
из фиг. 103, распределение тока в соленоиде становится близким
мсек
Фиг. 104. Зависимость отношения а4/$ (внутреннего радиуса диска Биттера
к глубине скин-слоя) от произведения КТ.
Т — полупериод колебаний; К — отношение удельного сопротивления материала "диска
к удельному сопротивлению меди при 20° С. Приведено семейство кривых, соответствую-
щих нескольким постоянным значениям а,.
случае, когда глубина скин-слоя превосходит внутренний радиус
катушки. На фиг. 104 представлено отношение a-Js в зависимости
от произведения КТ для нескольких значений внутреннего радиу-
са аг. Очевидно, что только для катушек с малым внутренним
диаметром при больших длительностях импульса величина s
сравнима с
Чтобы получить точные выражения для поля, создаваемого
катушкой, а также для ее индуктивности и сопротивления, необ-
ходимо, разумеется, знать точное распределение тока в катушке.
Однако, как отмечалось выше (см., например, фиг. 98), поле
катушки не сильно зависит от распределения тока в ней, особенно
Фиг. 105. Зависимость величины а* (эффективной величины а, рассчитанной
в предположении о равномерном распределении тока внутри скин-слоя)
от произведения КТ.
Приведено семейство кривых, соответствующих нескольким^постоянным значениям at.
при малых значениях а. В качестве удобного приближения можно
принять, что весь ток протекает в слое толщиной s и что его рас-
пределение в этом слое однородно х).хВ этом приближении мы
можем пользоваться соотношениями, уже полученными для
катушек с однородным распределением тока. Если длительность
импульса мала или внутренний диаметр катушки велик, то вели-
*) Это эквивалентно замене плавного распределения тока вида / =
ступенчатым распределением вида j = const при х < s. и j = 0 при х > s,
где координата х отсчитывается от поверхности проводника.— Прим. ред.
чина а мала, и приближение оказывается очень хорошим (см. п. 3
§ 10). На фиг. 105 приведена зависимость величины а* (эффек-
тивной величины а, рассчитанной в принятом выше приближе-
нии) от длительности импульса при нескольких значениях вну-
треннего радиуса катушки. Типичными являются значения а*,
меньшие 1,5, причем обычно они ближе к 1,0 (п. 3 § 10).
Малые величины а* для биттеровских катушек приводят
к их низкой эффективности с точки зрения затухания. Как сле-
дует из (7.25), затухание пропорционально отношению R/L, а это
отношение при малых значениях а велико. Затухание в соленои-
дах Биттера не только выше, чем в соленоидах с однородным
распределением тока, но еще и зависит от распределения тока,
которое меняется во время импульса. Ряд типичных значений
постоянной затухания, полученных по формуле (7.27) в пред-
положении, что ток течет только в области, ограниченной глу-
биной скин-слоя (и в этой области распределен равномерно), при-
веден в табл. 10. Там же указаны типичные значения полей
и энергий, полученные по формуле (7.36).
Конструкция спиральных импульсных катушек рассматри-
вается в п. 3 § 10 настоящей главы.
§ 7. НАГРЕВ НЕОХЛАЖДАЕМЫХ ИМПУЛЬСНЫХ СОЛЕНОИДОВ
Многие импульсные соленоиды не имеют специальной системы
охлаждения, и их температура ограничивается только тепловой
инерцией соленоида. Однако нагрев должен быть ограничен во
избежание повреждения соленоида (отжиг или плавление провода,
обугливание изоляции). Соленоиды, работающие с предваритель-
ным глубоким охлаждением, также требуют ограничения нагрева,
если необходимо сохранить высокую проводимость материала
катушки вплоть до достижения максимального значения тока.
Этот случай мы рассмотрим в § 8 настоящей главы.
Теплоемкость проводников при температурах, близких к ком-
натной, можно считать не зависящей от температуры, поэтому
нагрев зависит только от энергии U, плотности материала катуш-
ки, его удельной теплоемкости и объема катушки Таким
образом,
U _ и с
Ср^ °’
△Т7 Макс
(7.40)
где ДГмакс — повышение температурь^ катушки в град. U —
рассеиваемая в катушке энергия в дж. — объем катушки в сж3,
0,292 для меди и ее сплавов. У катушек с однородным рас-
пределением тока тепло выделяется во всем объеме катушки
и повышение температуры, как правило, невелико. Например,
Таблица 10
НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОЛЕМ И ЭНЕРГИЕЙ
ДЛЯ ИМПУЛЬСНЫХ СОЛЕНОИДОВ СПИРАЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ
P=l; a* = (ai + S)/ai
ai, см Полупериод Т, сек КТ, 10-3 сек а * Ф (а, 3) [см. 7.37] Ф (а, 3) (см. фиг. 96) d Н, кэ U, дж Материал
1 10-3 1 1,30 5-Юз 1,2-10-9 0,066 300 7,2-103 Медь (рД = 2-10-6)
1 0,55-10-3 1 1,30 5-103 1,2-10-9 0,066 300 7,2-103 Be —Си (0,5 %)
1 Ю-з 1,82 1,4 4,8-103 1,6-10-9 0,114 300 9,4-Юз Be-Си (0,5 %)
1 IO"3 1,82 1,4 4,8-103 1,6-10-9 0,114 500 26-103 Be-Си (0,5 %)
1 2*10-3 3,6 1,56 4,6-103 2,3-10-9 0,20 500 36-103 Be-Си (0,5 %)
температура катушки, имеющей размеры аг = 1 см, а = 2 и |3 =
= 1, повышается на 15,5° С на 1 кдж рассеянной в ней энергии.
Энергию, рассеянную в катушке за первый полупериод колебаний,
можно представить в виде разности первоначально запасенной
энергии и энергии, возвращаемой в конденсатор при первом отри-
цательном пике напряжения:
E = ±C(V*0-V*). (7.41)
Для соленоидов Биттера вычисления усложняются. Хотя
повышение температуры катушки, измеренное через некоторое
время после прохождения импульса, и в этом случае опреде-
ляется отношением запасенной в конденсаторе энергии к тепло-
емкости всей катушки, максимальная температура во время
импульса будет зависеть от распределения тока, которое само
зависит от локальных значений температуры и удельного сопро-
тивления. Однако, поскольку время установления теплового
равновесия, как правило, велико по сравнению с длительностью
импульса [11], количество тепла, отводимое от токонесущих обла-
стей, оказывается малым. Следовательно, мы можем оценить
максимальный нагрев катушки, исходя из предположения о рав-
номерном рассеянии энергии внутри скин-слоя, причем глубину
скин-слоя можно определить при исходной температуре или
после ряда итераций — при конечной. Мгновенное повышение тем-
пературы может быть весьма значительным. Например, рассчи-
танное в указанном приближении повышение температуры в изго-
товленной из меди катушке Биттера с размерами = 1 см
и р = 1 при длительности импульса 1 мсек равно 67° С на 1 кдж
рассеянной в ней энергии.
§ 8. СОЛЕНОИДЫ ДЛЯ ИМПУЛЬСОВ ПОЛЯ БОЛЬШОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ
Как отмечалось во введении к этой главе, с ростом длитель-
ности импульса возрастает влияние активного сопротивления
цепи на процесс разряда. Поэтому оказывается выгодным умень-
шать сопротивление соленоида, применяя глубокое предваритель-
ное охлаждение [2, 3, 12—14]. Сопротивление меди в жидком
азоте падает в 8 раз, а в водороде и гелии — в 50—100 раз. Эти
данные относятся к техническим материалам холодной обработки,
которые обычно применяются при изготовлении соленоидов.
Ниже 20° К сопротивление металла определяется в основном
остаточным сопротивлением, зависящим от примесей и напряже-
ний при механической обработке. Сплавы повышенной прочности
на основе меди даже с малым содержанием серебра, циркония
или кадмия имеют при низких температурах более высокое сопро-
тивление. Для них типично падение сопротивления в 3 раза
при температуре жидкого азота и в 5 раз — в жидком водороде.
Соленоиды с криогенным охлаждением, работающие в стационар-
ном режиме, будут рассмотрены в § 9 настоящей главы.
К сожалению, при понижении температуры падает не только
удельное сопротивление, но и удельная теплоемкость меди, поэто-
му во время импульса могут значительно возрасти температура
и сопротивление соленоида. Это уменьшает возможную выгоду
от применения предварительного охлаждения, так как макси-
мальное поле определяется главным образом удельным сопротив-
лением катушки в момент времени, соответствующий максималь-
ному току. По той же причине усложняется и расчет соленоида.
Мы приводим здесь методику расчета, применимую для предвари-
тельно охлажденной катушки с однородным распределением тока,
к которой приложено напряжение, зависящее от времени произ-
вольным образом. Чтобы избежать решения дифференциальных
уравнений, мы приводим и расчетные кривые для частного слу-
чая катушки, охлаждаемой жидким азотом, к которой приложено
постоянное напряжение.
Ток в импульсном соленоиде с однородным распределением
тока и температура соленоида описываются уравнениями:
V(0 = L^ + i(0[2?c + ^(0] (7.42)
и
dT (О Z2 (;) R (0
dt у^ср (£) ’
(7.43)
где V (0 — напряжение источника питания, L — индуктивность
цепи, i .(f) — ток в цепи, 7?с — сопротивление внешней цепи,
R (t) — сопротивление соленоида, Т (t) — температура соленои-
да, у — плотность материала обмотки в г/сж3, — объем соленои-
да в еж3, ср (t) — теплоемкость материала обмотки в дж!г -град.
Если соленоид питается от батареи конденсаторов, то ток
и напряжение связаны соотношением
F = F0—J-j г(О<Й,
О
(7.44)
где Fo — напряжение на конденсаторе в момент времени t =. О,
а С — емкость конденсатора.
Решение уравнения (7.42) для простейшего случая постоян-
ного сопротивления катушки R пренебрежимо малого внешнего
сопротивления Rc и постоянного приложенного напряжения V
можно записать в виде
i(t)=~(l — e~(RlL)t). (7.45)
В начальный момент времени ток нарастает со скоростью VIL
и достигает 63,2% своего конечного значения через интервал
времени LIR, называемый постоянной времени.
Сопротивление соленоида, рассчитанного на получение боль-
ших полей и предварительно охлаждаемого с помощью криоген-
ной техники, сильно возрастает во времени, причем закон этого
возрастания не может быть просто определен. Метод решения,
пригодный для машинного или графического расчета, состоит
в численном решении дифференциального уравнения путем нахож-
дения значений dtldt для конечных интервалов времени с последую-
щим суммированием [13]. Другие методы используют те или
иные приближения, например предположение о том, что нагре-
вание происходит так, как если бы сопротивление катушки
не менялось. Мы будем искать решение уравнения (7.42), пред-
ставляя t (t) и Т (t) в виде степенных рядов и находя последова-
тельно коэффициенты этих рядов так, чтобы удовлетворить урав-
нениям (7.42) и (7.43) с учетом зависимости сопротивления и теп-
лоемкости от температуры. Таким образом,
i (t) = У; dnin — 4" a it 4“ 4“ • • • (7.46)
п=0
и
ОО
T(t) = 2 М" = Ьо + М + Мi 2+... • (7.47)
п—0
Зависимость величин R и R/cp от времени неизвестна, однако
для многих проводников, включая медь, их можно представить
в виде функции температуры
Я = Я0[1 + а(Т-Т0)] (7.48)
и
Д- = Со[1+Р(7’-7’о)Ь (7.49)
Для меди при начальной температуре Z0 = 77°K а = 0,031
и р =0,14 [13].
Дифференцируя почленно выражение (7.46), получаем
ОО
>=3^-4 (7.50)
п=1
Интегрируя то же выражение почленно, найдем
t ОО
[ idt= У -^тГ+1.
J п + 1
О п=0
(7.51)
Подставив выражение (7.47) для Т (t) в формулы (7.48) и (7.49),
получим
2?(0=2?eU+a(S V-To)Mo(l + a 2 Mn), (7.52)
n=0 n=l
oo oo
-|_ = Co[l + p(2 6„tn-7o)]=Co(l+^+. (7.53)
P n=0 n=l
Почленное дифференцирование выражения (7.47) дает
(7.54)
Подставляя выражения (7.44), (7.46) и (7.50) —(7.54) в уравне-
ния (7.42) и (7.43) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях t, получаем соотношения для коэффициентов разложе-
ний i (t) и Т (t):
ai=+^o-«o(tfc + #o)] (7.55)
И для
an+i= £ |”+ (7?с + Hq) О'п 4 осЯ0 2 ап-тпЬтп j 1 (7.56)
Ь1 = Со^ (7.57)
п п п
Ьп^ = ( 2 4"Р 2 2 an-mO'm-lbl'j • (7.58)
m=0 l=lrn=l
Уравнения (7.56) и (7.58) следует решать попеременно,
поскольку одно из них дает значение соответствующего коэффи-
циента, используемое в другом уравнении на следующей ступени.
В случае, когда приложенное напряжение постоянно, емкость
конденсатора С можно считать бесконечно большой, и первый
член в уравнении (7.56) обращается в нуль.
Разложения (7.46) и (7.47) при достаточно большом числе
членов (около 10) позволяют определить ток в катушке и ее тем-
16*
пературу через интервал времени, необходимый для достижения
максимального тока. Более точный результат при меньшем числе
членов ряда можно получить, если проводить расчет для интер-
вала времени, меньшего, чем время достижения максимального
Фиг. 106. Зависимость тока через соленоид от времени при постоянном
напряжении питания V.
По оси ординат отложена величина г (t/T0)/I0, по оси абсцисс — t/T0, где Io = V/Ro
и г© = L/Rq. Параметром семейства кривых является величина х, определенная соглас-
но (7.59).
тока, а затем искать новые значения коэффициентов ряда для
следующего интервала времени. В качестве начальных коэффи-
циентов а0 и Ьо каждого нового разложения следует брать конеч-
ные значения тока и температуры, полученные для предыдущего
интервала времени.
Описанным методом было получено приведенное на фиг. 106
семейство кривых тока в охлаждаемой жидким азотом катушке,
подключенной к источнику постоянного напряжения с пренебре-
жимо малым внутренним сопротивлением. Масштабы по осям
координат выбраны так, чтобы одним семейством кривых можно
было пользоваться при различных соотношениях сопротивления,
индуктивности катушки и питающего напряжения: по оси времени
отложена величина £/т0, где т0 — постоянная времени L!Rq,
а по оси тока i где Io = V/Ro. Каждой кривой семейства
соответствует свое значение параметра %, определенного следую-
щим образом:
Величина % зависит от объема катушки, плотности и начальной
теплоемкости с* ее материала, от сопротивления катушки и отно-
шения LIRq. Величина LIRq зависит от начального удельного
сопротивления материала катушки, но не от сопротивления катуш-
ки или числа ее витков. Как следует из (7.26) и фиг. 96, отноше-
ние LIRq зависит только от формы катушки.
В качестве примера использования кривых фиг. 106 рассмот-
рим случай, когда требуется определить максимальное поле, созда-
ваемое данной катушкой при известной величине максимальной
мощности Wp. Эта мощность равна
^=гмакс(х)7 = -Ця^-^-. (7.60)
7 0 -“0
Подставляя в (7.60) значение V2//?0, полученное из выраже-
ния (7.59), найдем •
(7.в1)
Члены уравнения (7.61), заключенные в скобки, зависят только
от формы катушки и начального удельного сопротивления ее мате-
риала. Теперь остается только определить значение %, удовлетво-
ряющее уравнению (7.61) при заданном * значении максимальной
мощности. Проще всего это сделать, выбирая требуемое значение
% из нескольких значений, для которых известна величина
^макс (хУ1о- На фиг. 107 изображена кривая зависимости величи-
ны гМакс (хУД от X? построенная по максимумам кривых семей-
ства, приведенного на фиг. 106. Здесь же указаны значения
относительного сопротивления р/р0 и относительного времени
достижения максимума поля tplxQ.
Предположим, что максимальная мощность источника питания
равна 2 Мет, а необходимый внутренний диаметр катушки 2а± =
= 4 см. Будем считать, что коэффициент заполнения X = 1,
а начальное удельное сопротивление проводника (меди) примем
равным 0,21 -10“6 .ом -см. Положим вначале а = 3 и 0 = 2, что
соответствует коэффициенту G, равному 0,179, объему катушки
805 см3 и постоянной времени LIRq, равной 0,218 сек. Подставив
эти данные и значения у = 8,9 г! см3 и ср = 0,2 дж/г -град в (7.61),
получим
ГГр = 6,5-103-^^-Х- (7.62)
70
Фиг. 107. Зависимость величины гмакс/^о (см. фиг. Юб), времени достижения
максимального тока tplxQ и относительного сопротивления р/р0 в момент вре-
мени tp от величины %, определенной согласно (7.59).
Ф и г. 108. Графическое решение уравнения (7.62) для нахождения значения
%, соответствующего максимальной мощности источника питания 2 Мет.
Внутренний диаметр катушки 2at принят равным 4 см, р = 2. Решение проведено для
а.= 3 и а = 4.
Пользуясь данными фиг. 107 для /макс (хУ-Ль построим кривую
зависимости величины Wp от % (фиг. 108). Мы видим, что мощ-
ности Wp = 2 Мет соответствует % =700. Пользуясь этим значе-
нием и кривыми фиг. 107, найдем, что при максимальном поле
р/р0 =2,55. Отсюда по формуле
(7-63)
найдем максимальную величину поля, которая равна 245 кэ.
Поле достигает максимального значения через интервал времени
tp = QJLIRq = 0,153 сек, и кривая зависимости тока от времени
лежит на фиг. 106 между кривыми, соответствующими значениям
X = 500 и % = 1000.
Величина отношения £маКс (хУЛ) при X = 700 равна 0,39,
следовательно, согласно (7.60), V1 2/R0 =5,13-106 вт. Мы можем
выбрать любые значения V и 7?0, удовлетворяющие этому усло-
вию. Так, при напряжении источника питания 200 в сопротивле-
ние соленоида должно быть равно 0,442-10“3 * ом.
В приведенном примере мы произвольно приняли а = 3
и Р = 2. Посмотрим, к чему приведет изменение формы катушки,
например изменение величины а с 3 до 4. Объем соленоида уве-
личится при этом в 1,87 раза, постоянная времени ЫВ.$ возрастет
в 1,57 раза, а коэффициент G останется практически неизменным.
Подставляя эти новые значения в (7.61), найдем значение %,
удовлетворяющее условию Wp = 2 Мет. Графическое построе-
ние, подобное сделанному ранее (см. фиг. 108), дает X = 520.
По данным фиг. 107 для % = 520 находим р/р0 = 2,4 и tpl%Q =
= 0,72. Отсюда следует, что при прочих равных условиях увели-
чение параметра а соленоида с 3 до 4 приводит к увеличению мак-
симального поля Нр до 252 кэ и к значительному возрастанию
длительности импульса (tp = 0,294 сек). Дальнейшее увеличе-
ние а будет приводить к росту длительности импульса и некото-
рому возрастанию максимального поля до тех пор, пока умень-
шение коэффициента G не станет столь значительным, что сведет
на нет выигрыш за счет меньшего сопротивления соленоида при
максимальном поле.
В литературе описаны различные методы выбора величин а
и р для достижения при заданной энергии максимальной ампли-
туды поля [3, 35].
1. Соленоиды с коррекцией формы импульса
Если во время импульса изменять определенным образом
напряжение источника питания, то можно получить импульс
поля с плоской вершиной [3]. Например, если поддерживать
напряжение источника питания постоянным до момента времени,
когда ток достигнет некоторого значения, меньшего максимального^
а затем изменять напряжение так, чтобы ток оставался неизмен-
ным, то можно поддерживать постоянную величину тока в соле-
ноиде вплоть до того момента, когда падение напряжения iR
на соленоиде достигнет максимального напряжения источника
питания.
Для расчета соленоида, работающего в таком режиме, в интер-
вале времени, предшествующем моменту ограничения тока, мож-
но пользоваться данными фиг. 106. Далее следует провести срав-
нительно несложный расчет роста температуры соленоида при
постоянной величине протекающего через него тока. Можно
ожидать, что длительность плоской вершины импульса поля ока-
жется по крайней мере в 2 раза больше интервала времени между
моментом ограничения тока и моментом достижения максималь-
ного тока при отсутствии ограничения.
§ 9. СОЛЕНОИДЫ С НИЗКОЙ РАБОЧЕЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ
Применение криогенной техники не ограничивается предвари-
тельным охлаждением импульсных соленоидов. Уменьшение
сопротивления соленоида при охлаждении, приводящее к увели-
чению амплитуды поля импульсного соленоида, увеличивает
и эффективность соленоидов, работающих в стационарном режи-
ме, так как снижается мощность, подводимая к соленоиду для
получения данной величины поля. В этом случае, однако, следует
принимать во внимание капитальные затраты и мощность, необ-
ходимые для производства требуемого количества криогенной
жидкости. При неудачном выборе материала соленоида и рабо-
чей температуры может оказаться, что общая мощность, потреб-
ляемая соленоидом и ожижительной установкой, превзойдет
мощность соленоида, работающего при комнатной температуре.
Например, соленоид, изготовленный из меди и охлаждаемый
жидким азотом, потребует, вместе с ожижителем, примерно
в 4 раза больше мощности, чем необходимо только для соленоида
при комнатной температуре. С другой стороны, используя соле-
ноид, изготовленный из алюминия и охлаждаемый жидким
водородом, можно достичь десятикратного уменьшения мощ-
ности.
Большинство криогенных соленоидов для снижения стоимо-
сти ожижения работает в периодическом режиме, потребляя при
работе запас криогенной жидкости, накопленный в течение неко-
торого периода времени. В литературе описаны системы, которые
в течение 24-часового периода могут работать как одну минуту
[14], так и несколько часов-[15, 16]. Экономические соображения,
связанные с криогенными соленоидами, обсуждаются в работах
[2, 17, 18].
Хотя во многих областях, где ранее применялись криогенные
магниты, теперь пользуются сверхпроводящими магнитами,
существуют системы, в которых применение криогенных маг-
нитов целесообразно. Во-первых, это индуктивные накопители
энергии, для которых сверхпроводящие соленоиды оказались
неоправданно дорогими [19]. Во-вторых, помещая изготовлен-
ный из отожженного алюминия высокой чистоты соленоид типа
Биттера, охлаждаемый до 12° К интенсивным потоком паров
гелия, внутрь сверхпроводящего соленоида, оказалось возможным
получить более высокие поля, чем достижимые с помощью только
сверхпроводящих соленоидов [20]. Алюминий — превосходный
материал для криогенных соленоидов: он доступен, легко отжи-
гается при умеренной температуре, и его магнетосопротивление
насыщается. Однако проводимость алюминия при низкой тем-
пературе сильно зависит от давления, поэтому при создании
конструкций требуется соблюдать предосторожность [14, 20—22].
Обширные данные о теплопередаче и критическом потоке
тепла в криогенных жидкостях приведены в работе [23].
§ 10. КОНСТРУКЦИИ ИМПУЛЬСНЫХ СОЛЕНОИДОВ
I
1. Типы конструкций '
До недавнего времени поля свыше 100 кэ можно было полу-
чить только с помощью импульсных соленоидов, поэтому импульс-
ные соленоиды имеют обширную историю развития и примене-
ния1). Библиография основной литературы по импульсным соле-
ноидам приведена в работах [1,2]. I
По типу конструкции импульсные соленоиды отличаются
от работающих в стационарном режиме отсутствием внутри
обмотки каналов для охлаждения. Обычно катушки наматываются
медным проводником прямоугольного сечения. Употребляются
и спиральные катушки типа Биттера. Хотя делались попытки
изготовить соленоид Биттера из отдельных пластин [18], лучшие
результаты получены при использовании цельной спиральной
обмотки, напоминающей спиральную пружину и изготовленной
из толстостенной цилиндрической заготовки. Между витками
1) Идею получения импульсных магнитных полей впервые выдвинул
и осуществил П. Л. Капица в 1923 г. Он получил импульсное поле 500 кэ
и провел обширные исследования ряда явлений в полях до 320 кэ [36—39].—
Прим. ред.
«спирали закладывается изоляция, после чего спираль подвергают
сжатию [5, 6]. Выбор конструкции определяется в основном
необходимой амплитудой поля и длительностью импульса. Соле-
ноиды Виттера допускают большие механические напряжения,
катушки же с однородным распределением тока, имея лучшее
отношение индуктивности к сопротивлению (см. § 4 настоящей
главы), более удобны для получения длительных импульсов поля.
Мы рассмотрим некоторые конструктивные особенности этих
двух типов соленоидов, а также соответствие их действительных
и расчетных параметров.
2. Соленоиды с однородным распределением тока
Обычно обмотка импульсных соленоидов с однородным распре-
делением тока представляет собой медный проводник прямоуголь-
ного сечения с изоляцией из стекловолокна, которая подвергается
Фиг. 109. Соленоид с однородным распределением тока, создающий импульс
поля с амплитудой 234 кэ и полупериодом 11,7 мсек при подводимой энергии
55 кдж.
Обмотка 2 соленоида содержит 256 витков медного провода-прямоугольного сечения
толщиной 2,6 мм и состоит из восьми слоев, разделенных стеклотканью. Катушка про-
питана в вакууме эпоксидной смолой 4 и заключена в прочную трубу 5, изготовленную
из стеклопластика й имеющую толщину стенок 2,5 см. Поле в объеме свыше 7 см3 одно-
родно с точностью ДН/Н = 10-8, что достигается благодаря компенсирующему выступу
1 на каркасе катушки, имеющему высоту 2,6 мм и длину 31 мм. Параметры соленоида
приведены в табл. 11.
вакуумной пропитке эпоксидной смолой и закрепляется в проч-
ном наружном кожухе. Такие конструкции описаны в литературе
[3, 4, 25], а один из соленоидов подобного типа изображен на
фиг. 109. Такие соленоиды, изготовленные из нагартованной меди,
позволяют уверенно получать импульсные поля с амплитудой
300 кэ и выше, однако, если требуемое число циклов превосходит
несколько сотен, амплитуда поля ограничивается величиной
около 250 кэ.
Чтобы уменьшить постоянную затухания, соленоиды этого типа
часто предварительно охлаждают жидким азотом. При этом
начальное удельное сопротивление меди падает в 8 раз. Соответст-
вие расчетных и действительных параметров импульсных соле-
ноидов с однородным распределением тока обычно достаточно
хорошее, так как распределение тока известно, и расчет сопро-
тивления и индуктивности проводится стандартным способом.
Обычно соленоиды этого типа используют для получения
относительно длинных импульсов поля (порядка 10 мсек и более),
поэтому учитывать зависимость сопротивления и индуктивности
от частоты приходится редко. Так, для соленоида, изображен-
ного на фиг. 109, величины индуктивности и сопротивления,
измеренные на частотах ниже 100 гц, не зависят от частоты
Таблица 11а
ЗНАЧЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ И ИНДУКТИВНОСТИ
КАТУШКИ (ИЗОБРАЖЕННОЙ НА ФИГ. 109),
ИЗМЕРЕННЫЕ НА РАЗНЫХ ЧАСТОТАХ
Частота, гц H, ом. L, м,гн L/jR, сек
50 0,12 1,2 10-2
70 0,12 1,2 10-2
100 0,12 1,2 10-2
500 0,24 1,2 5-10-3
1000 0,64 1,19 1,9-Ю-з
1600 1,40 1,16 1,2-Ю-з
(табл. 11а). Как видно из табл. 116, измеренные значения пара-
метров этого соленоида совпадают с расчетными с точностью,
превышающей 5%. Такую точность, вполне достаточную для
большинства практических применений, следует считать удовле-
творительной, если принять во внимание, что многие параметры
разрядной цепи (батареи конденсаторов и цепей коммутации)
не известны точно.
Таблица 116
СРАВНЕНИЕ ИЗМЕРЕННЫХ И РАСЧЕТНЫХ ПАРАМЕТРОВ СОЛЕНОИДА,
ИЗОБРАЖЕННОГО НА ФИГ. 109
Параметр Измеренное значение Расчетное значение Отношение измерен- ного значения к расчетному
L/R 1,2-Ю-з (4) 1,2.10-з (5) 1,0
HJHi (1) 0,695 0,7 (6) ~ 1,0
Т (2) 11,6 мсек 11,7 мсек (7) ~1,0
#макс (3) 234 кэ 242 кэ (8) ~ 0,965
Примечания:
(1) Отношение амплитуд первых двух последовательных максимумов поля прямого
и обратного направлений.
(2) Полупериод разряда.
(3) Максимальное поле при энергии 55 кдж.
(4) Значение взято из табл. 11а и соответствует температуре 300° К.
(5) Значение получено по данным фиг. 96.
(6) Значение получено в предположении, что ко времени «отрицательного» максимума
температура соленоида повысилась от 77 до 187° К, как следует из формулы (7.40),
если рассеянную за это время энергию принять равной 17нач [1—(Н2/Н1)2].
(7) Значение получено по формуле (7.14) при Т — 2 С = 1,25-10-2 дб, L = 4,2 мгн,
d = 1,3-10-2.
(8) Приведено значение максимального поля, полученное по формуле (7.35) и умень-
шенное на 5 %, чтобы учесть потери, вызванные затуханием и наличием компенси-
рующей полости, d= 1,3-10-3.
3. Соленоиды с неоднородным распределением тока
Чаще всего эти соленоиды представляют собой спираль, сде-
ланную из одной заготовки. Они используются обычно для полу-
чения полей свыше 250 кэ и изготовляются из прочных сплавов
на основе меди, таких, как бериллиевая бронза. Одна из основных
трудностей при конструировании соленоидов этого типа состоит
в выборе достаточно прочного материала для изолирующих дисков,
которые должны выдерживать высокие максимальные температу-
ры и ударные нагрузки. Традиционным материалом для дисков
является слюда [5], но недавно были получены хорошие резуль-
таты при использовании более мягких изоляторов, которые, одна-
ко, требуют периодического подтягивания болтов, сжимающих
спираль [6, 26].
Другая трудность, которая возникает при самых высоких
амплитудах поля,— это конструкция контактов к спирали. Если
конец спирали просто припаивается серебром к массивному
электроду, то в нем возникают вихревые токи противоположного
направления. Поэтому конец спирали следует приварить ( в атмо-
сфере гелия) к контактной плате со щелью [6]. Можно также при-
дать концам спирали форму, позволяющую осуществить контакты
Фиг. 110. Спиральный импульсный соленоид, изготовленный из бериллие-
вой бронзы.
Внутренний диаметр соленоида 1,26 cat, амплитуда импульса 520 кэ, длительность полу-
периода 400 мксек. Соленоид соединен с батареей конденсаторов, в которой запасается
энергия 100 кдж. По внутреннему диаметру соленоид охлаждается маслом, что предотв-
ращает постепенный нагрев соленоида при повторяющихся импульсах. Параметры соле-
ноида приведены в табл. 12.
Таблица 12
СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ И ИЗМЕРЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ
ТИПИЧНОГО ИМПУЛЬСНОГО СОЛЕНОИДА СПИРАЛЬНОЙ КОНСТРУКЦИИ,
ИЗГОТОВЛЕННОГО ИЗ БЕРИЛЛИЕВОЙ БРОНЗЫ
Параметр Измеренное значе- ние Расчетное значение Отношение измерен- ного значения к расчетному
Внутренний диа- 1,59 см
метр
Наружный диа- 7,62 см
метр
Длина 5,5 см
N 15
Т (1) 400 мксек 400 мксек (5) -1,0
а* (2) 1,5
d (3) 0,12 (6) 0,13 (7) 0,925
#макс (4) 520 кэ 575 кэ (8) 0,905
Примечания:
(1) Полупериод разряда.
(2) Эффективная величина а, определенная согласно фиг. 105, для Т== 400 мксек.
(3) Постоянная затухания, определенная по формуле (7.2).
(4) Максимальное поле при энергии 55 кдж.
(5) Значение получено по формуле (7.14) (Г = 2?о> а* =1,5» С'=1|25*10~2 Ф,
d = 0,12).
(6) Нг/Н1= 0,313; значение d получено на фиг. 95.
(7) Получено по формуле (7.27).
(8) Получено по формуле (7.36) при d= 0,12.
на значительном расстоянии от оси спирали [27—30]. На фиг. 110
приведена фотография спирального импульсного соленоида,
создающего поле с амплитудой свыше 500 кэ. Его параметры, как
измеренные, так и рассчитанные при упрощающих предположе-
ниях, введенных в § 6 настоящей главы, приведены в табл. 12.
4. Концентраторы потока
Так называемые «концентраторы потока» [31—33] представляют
собой разновидность импульсных соленоидов, которая совме-
щает в себе ряд особенностей соленоидов с однородным распре-
делением тока и соленоидов типа Биттера. Концентратор потока —
это, по существу, трансформатор тока, в котором разряд осуще-
ствляется через многовитковую первичную обмотку с однородным
распределением тока, связанную индуктивно со вторичной обмот-
кой, состоящей из одного витка, охватывающего рабочий объем.
Это устройство удобно тем, что низковольтной одновитковой
вторичной обмотке можно легко придать требуемую форму.
Первичная обмотка, в которой механические напряжения могут
быть сделаны малыми, рассчитывается обычно на высокое напря-
жение. Сильная связь между обмотками достигается глубокой
заделкой первичной обмотки в наружную поверхность витка,
образующего вторичную обмотку.
5. Взрывная техника
Сверхсильные магнитные поля могут быть получены при
быстром сближении проводящих стенок, ограничивающих объем,
в котором было предварительно создано поле. С помощью управ-
ляемых взрывов оказывается возможным получать импульсные
поля с амплитудой порядка многих миллионов эрстед и длитель-
ностью несколько микросекунд. Описания подобных устройств
можно найти в литературе [34, 35] -1).
ЛИТЕРАТУРА 2)
1. Montgomery D. В., Rept. Progr. Phys., 26, 69 (1963).
2. deKlerk D., The Construction of High Field Electromagnets, Newport
Pagnell, U.K. (1965).
3. Gersdorf R., Muller F. A., Roeland L., Rev. Sci. Instr., 36, 8, 1100 (1965).
4. deKlerk D., Proc. Intern. Symp. Magnet Technology, Stanford, 1965^
p. 745.
x) См. также [40].— Прим. ped.
2) Литература, отмеченная звездочкой, добавлена редактором перевода.
5. Foner S., Kolm H. H., Rev. Sci. Instr., 28, 799 (1957).
6. Foner 5., Fischer W. G., Rev. Sci. Instr., 38, 440 (1967).
7. Cros. Y., Guillot M., Panthenet R., Calcul et Realisation des Bobines de
Champ Pulse, Grenoble High Field Conference, September 1966.
8. van Bladel J., Electromagnetic Fields, New York, 1964.
9. Firth H. P., et al., Rev. Sci. Instr., 28, 949 (1957).
10. Firth H. P., High Magnetic Fields, Cambridge, Mass., 1962, Ch. 22.
11. McAdams W. H., Heat Transmission, New York, 1954.
12. Zijlstra H., High Magnetic Fields, 1962, Ch. 27.
13. Skellett S., High Magnetic Fields, 1962, Ch. 31.
14. Laurence J. C., Coles W. D., Proc. Intern. Symp. Magnet Technology,
Stanford, 1965, p. 574.
15. Purcell J. R., An Aluminum Magnet Cooled with Liquid Hydrogen, High
Magnetic Fields, 1962, p. 166.
16. Laquer H. L., The Cryogenic Magnet Program at Los Alamos, High Magnetic
Fields, 1962, p. 156.
17. Taylor С. E., Post R. F., Cryogenic Coils, High Magnetic Fields, 1962,
p. 101.
18. Parkinson D. H., Mulhall В. E., The Generation of High Magnetic Fields,
International Cryogenic Monograph Series, New York, 1967.
19. Arp V., Cryogenic Coil for Megajoule Energy Storage, Proc. First Intern.
Conf. Magnet Technology, 625.
20. Stevenson R., Marston P., A Cryogenic Magnet System for Quasi-Continuous
Operation, 169, Grenoble High Field Conference, 1966.
21. Lontai L. M., Marston P. G., Proc. Intern. Symp. Magnet Technology,
Stanford, 1965, p. 723.
22. Brooks J. M., Purcell J. R., Stress Versus Resistivity at Liquid Helium
Temperature, Proc. HR, Commission I, Boulder, Colorado, 1966.
23. Lyon D. N., Boiling Heat Transfer and Peak Nucleate Boiling Fluxes in
Saturated Liquid Helium, Adv. Cryogenic Eng., 10 (section M-U), 371
(1965).
24. Hoare F. J., Whittle H. R., A 300 Turn Pulsed Magnet — Edgewound from
Continuous Strip, Proc. Second Intern. Conf. Magnet Technology, 165.
25. Foner S., Large Volume Pulsed Field Coils: Applications to Synchronous
Pulse Operation from 250 to 500 kGs, 385, Grenoble High Field Conference,
1966.
26. Kuskowski R. L., et al., Design and Construction of a System of Pulsed Mag-
nets, Rev. Sci. Instr., 32, 6, 674 (1961).
27. Milne J. D., et al., Insulation for 11-kV 280 kG Pulse Magnet, Rev. Sci.
Instr., 35, 9, 1229 (1964).
28. Allain Y., et al., Pulsed-Field Magnetization Measurements up to 500 kG\
Rev. Sci. Instr., 39, 9, 1360 (1968).
29. Барков Л. M., Хакимов С. X., В огурцов В., I. Production of the Strong
Pulsed Magnetic Fields for the Experiments on High Energy Particles Acce-
lerators; II. Heat Release and Mechanical Stresses in the Pulsed Magnetic
Field Coils, 409, Grenoble High Field Conference, 1966.
30. Howland B., Foner S., Flux Concentration by Stationary Conductors, High
Magnetic Fields, 1962, p. 249.
31. Wilson M. N., Srivastava K. D., Design of Efficient Flux Concentrators for
Pulsed High Magnetic Fields, Rev. Sci. Instr., 36, 11, 1096 (1965).
32. Brechna H., Hill D. A., Bailey В. M., 150 kOe Liquid Nitrogen Cooled Pul-
sed Flux-Concentration Magnet, Rev. Sci. Instr., 36, 11, 1529 (1965).
33. Bitter F., Ultrastrong Magnetic Fields, Sci. Am., 213, 1, 64 (1965). См. пере-
вод: Ф. Виттер, УФН, 88, 735 (1966).
34. Articles in Les Champs Magnetiques Intense Pour Plasmas et Les Champs
Imploses, 317—361; Grenoble High Field Conference, 1966.
35*.Капица П., Proc. Cambr. Phil. Soc., 21, 511 (1923).
36*.Катшгр Я., Proc. Roy. Soc., A105, 191 (1924).
37*.Капица П., Proc. Roy. Soc., A109, 224 (1925).
38*.Капица П., Proc. Roy. Soc., A115, 658 (1927).
3$*.Kolm H., Freeman A., Sci. Am., 212, 4, 66 (1965). См. перевод: Г. Колъм,
А. Фриман, УФН, 88, 703 (1966).
40*. Сахаров А. Д., УФН, 88, 725 (1966).
Анализ распределения
поля
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
В этой главе рассмотрены различные методы расчета магнит-
ного поля в нецентральных точках соленоида и описаны некото-
рые способы создания нужной геометрии поля при помощи соот-
ветствующего выбора распределения тока.
Каждая методика имеет свою область наибольшего примене-
ния. Способ, рассмотренный в § 2 настоящей главы (см. также
фиг. 65), можно использовать для расчета поля на оси соленоида,
в то время как в точках, удаленных от оси, но расположенных
в центральной зоне соленоида внутри сферы, не достигающей
ближайшего «магнитного угла», поле лучше рассчитывать, исполь-
зуя разложение в степенной ряд (см. § 3) 1). Для расчета поля вне
сферы, содержащей дальний «магнитный угол», можно использо-
вать аналогичный степенной ряд (по обратным степеням) 2).
В пространстве между этими сферами сходимость вышеупомяну-
тых рядов ухудшается, и мы должны либо суммировать поля
от отдельных петель или токовых слоев, либо обращаться к помощи
рассчитанных заранее диаграмм или таблиц (см. § 4). Вдали
от катушки расчет опять упрощается, так как в этом случае
можно полагать, что поле создается точечным магнитным дипо-
лем (см. § 2 и 4).
В § 6 рассмотрены некоторые методы создания нужного рас-
пределения поля; в основном речь идет об однородном распреде-
х) Имеется в виду пространство внутри сферы, центр которой совпадает
с центральной точкой соленоида, т. е. лежит на оси соленоида и равноудален
от его концов, а ближайший к центру виток с током лежит на поверхности
сферы. Внутри сферы никаких витков нет.— Прим, пер ев.
2) Имеется в виду пространство вне сферы, центр которой совпадает
с центральной точкой соленоида, а самый дальний от центра виток также
лежит на поверхности сферы. Вне сферы никаких витков нет.— Прим, перев.
17—726
лении в центральной зоне соленоида или о характерных чертах
распределения поля вдоль оси ряда коаксиальных катушек.
Наконец, в § 7 кратко анализируется распределение поля,
созданного прямыми проводниками и некоторыми простыми
некруглыми катушками.
§ 2. ПОЛЕ НА ОСИ СОЛЕНОИДА
Величину поля Hz (z, 0) вдоль оси соленоида с постоянной
плотностью тока можно рассчитать, преобразуя данную катушку
в две фиктивные и складывая величины полей на концах этих
вспомогательных катушек; одна катушка имеет нормированную
длину (р + z/ai) и расположена слева от точки, в которой опре-
деляется величина поля, другая имеет длину (р — г/а±) и рас-
положена справа от нее. В силу симметрии поле на конце каждой
катушки равно половине поля катушки в точке, относительно
которой катушка расположена симметрично, т. е. поле на конце
любой катушки равно половине центрального поля катушки
удвоенной длины. Таким образом, для расчета поля в любой точке
на оси соленоида требуются только формулы для определения
величины центрального поля, приводимые в гл. 1, 2, 4 и 6 [см. фор-
мулу (6.2) и фиг. 65].
Например, чтобы определить поле в точке z/a± на оси катушки
длиной 2atp, необходимо только рассчитать центральное поле
двух совмещенных катушек (фиг. 111) и взять половину их сум-
мы. Представим это суммирование в виде
н- Ш=^‘ !? (“ P+v)+F (“• ]• <8Л>
Нг (^-) = Нг (0) Р+г/2а/(^7)а’ Р~г/а1)]. (8.2)
причем когда точка находится снаружи катушки, то z!a^ > р,
и мы должны использовать зависимость
f <8-3>
Распределение поля вдоль оси катушек с постоянной плотностью
тока при а = ЗиР = 1и2 приведено на фиг. 112.
Часто представляет интерес рассмотреть распределение поля
вблизи конца длинного соленоида. В этом случае удобнее поме-
стить начало координат в конце соленоида. Мы следуем тому
же принципу суперпозиции, но теперь (в другой системе коорди-
нат) уравнения имеют вид
tj / z \ тт Г Р (a, 2P4"z/^i)-[-^ (ex, z/fli) "1 /о z\
°L----------2/'* (a, 2Р) Г
Точка внутри
а
Точка снаружи Полу бесконечный
соленоид
б
Катушка с зазором
г
Ф иг. 111. Определение параметров для расчета поля Hz (z, 0) в точках вдоль оси катушки путем наложения соответ-
ствующих фиктивных катушек.
п — метоп расчета поля в точке, лежащей внутри катушки; б — метод расчета поля во внешней точке; в — полубесконечный соленоид,
распространяющийся влево от точки z = 0; а — положение катушек, необходимое для расчета двух катушек,<разделенных зазором.
*
Для полубесконечного соленоида, изображенного на фиг. 111, в,
можно оценить F (а, оо), используя уравнение (1.13):
тт I z \ тг I 0,4л (а 1) F (а, и/а^) "1 ~
L-----0,8л (а-1)-----J • <8-5)
Распределение поля по оси представлено на фиг. 113.
Можно считать, что вдали от катушки поле создается магнит-
ным диполем (§ 4) и изменяется обратно пропорционально кубу
Фиг. 112. Зависимость распределения поля по оси катушек с постоянной
плотностью тока от нормированного расстояния z!a±.
Распределение рассчитано по методу, представленному на фиг. 111 [см. также формулу
(8.3)]. Отмечены концы катушек.
расстояния (при удвоении расстояния поле уменьшается в 8 раз).
Если, например, рассмотреть распределения полей двух катушек
с а = 3, Р = 1и0 = 2, представленные на фиг. 112 в логарифми-
ческом масштабе, то величина поля явно изменяется обратно
пропорционально кубу расстояния при 2 > (фиг. 114). Исполь-
зуя эту зависимость, можно путем экстраполяции определить
поле в любой точке по оси катушки вне области явного совпаде-
ния рассчитанного распределения поля с изменением его по обрат-
ному кубическому закону. Но чем больше катушка, тем при боль-
шем значении z/a± имеет место это совпадение.
Фиг. ИЗ. Распределение осевого поля вблизи конца полубесконечного
соленоида с а = 3, рассчитанное по формуле (8.5).
Начало координат выбрано в конце катушки.
Фиг. 114. Распределение поля по оси двух катушек с а = 3, представленных
на фиг. 112.
Видно, что вдали от центра поле уменьшается обратно пропорционально кубу расстоя-
ния.
1. Поле на оси составных катушек
Метод суперпозиции с одинаковым успехом можно применить
к любому числу соосных соленоидов при условии, что для каждой
катушки выбирается соответствующий набор координат. На
фиг. 111, г представлен один типичный случай — пара катушек,
разделенных зазором. Формула для поля имеет вид
Ш - W (»• 2₽+^+^)(“• 4+i) +
(»• <8-6>
Поле в центре зазора равно
Яг(2,О)=Да1/’о(а,Р,₽«), (8.7)
^о(а, ₽, ₽g) = ^(a, Р0-^(а, (8-8)
₽-=2₽+т57=21!+^
Можно видеть, что формула (8.7) описывает поле эквивалентной
катушки длиной 4(3^ + g, из которого вычтено поле, созданное
катушкой длиной g.
Если рассматриваются несверхпроводящие катушки с зазором,
то можно определить величину полной потребляемой мощности.
Для этого следует либо воспользоваться формулой (2.13), либо
подставить величину FQ из формулы (8.8) в формулу (1.16) для
катушки с постоянной плотностью тока или в формулу (2.35)
для случая распределения тока j = /о^/г в биттеровском диске;
таким образом, для катушки с постоянной плотностью тока
PFn0CT = 2 {(^)2-f а1[21ф(«г-1)]} (8.9)
и в случае биттеровского диска
И^Биттер = 2 [ (^Д-)2 -у- «1 (4лр In 00 J .
(8.10)
Заметим, что Р в этих формулах относится к отдельным катушкам
и что F во в формуле (8.10) — это величина Fo, рассчитанная
по формуле (8.7) для радиальной плотности тока F в (а, Р)
[см. (2.37)1.
Выражение (8.6) для распределения поля по оси или его общая
форма для любого числа катушек очень удобны для машинного
счета. Может пригодиться и графическое сложение распределе-
ния полей отдельных катушек. Например, на фиг. 115 представ-
лены распределения полей двух отдельных катушек с а = 3
и Р = 1, разделенных зазором pg = 0; 0,25 и 0,5. Распределение
полей комбинированных катушек, состоящих из двух одинаковых
катушек с зазором между ними, представлено на фиг. 116. Распре-
деление поля катушки с нулевым зазором соответствует распреде-
лению для катушки с а = 3, р = 2, и его можно непосредственно
рассчитать (см. фиг. 112). Заметим, что, когда расстояние между
катушками превышает определенное значение, поле в центре
Фиг. 115. Графическое сложение распределений полей от двух катушек
при а = 3, р = 1 для получения распределения поля составной катушки
с зазором между катушками pg, равным 0; 0,25 и 0,5.
Начало координат выбрано в центре левой катушки, для которой распределение начи-
нается при z/ai=0, Н/Но=1. Другие три кривые представляют распределение поля
второй катушки, когда она постепенно сдвигается вправо.
монотонно уменьшается и становится меньше максимального
поля. На фиг. 117 представлена зависимость отношения цен-
трального поля к максимальному от величины зазора, а также
отношение центрального поля к его величине при нулевом зазоре.
Видно, что максимальное поле может существенно превышать
центральное. В случае сверхпроводящих катушек это обстоятель-
ство может повлечь за собой требование, чтобы были использованы
материалы с высокими критическими параметрами или чтобы
применялись пониженные плотности тока даже в случае умерен-
Фиг. 116. Графическое сложение кривых, представленных на фиг. 115,
показывающее распределение поля составной катушки с зазором между
катушками равным соответственно 0; 0,25 и 0,5.
Фиг. 117. Зависимость отношения максимального поля к центральному
от нормированного зазора для пары катушек с а = 3 и (3 = 1.
Показано также отношение центрального поля к его величине при нулевом зазоре,
^о/^макс*
ных центральных полей. В действительности сверхпроводники
находятся в таком максимальном поле, которое даже превышает
максимальные поля вдоль оси.
Рассматривая фиг. 116, отметим, что при зазоре немного мень-
шем, чем = 0,25, поле в центральной области, по-видимому,
должно быть максимально однородным. Мы отдельно обсудим
эту «максимальную однородность» в § 5.
§ 3. ПОЛЕ В ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗОНЕ
Выражение для магнитного поля в центральной зоне цилин-
дрически симметричного соленоида можно представить в виде
степенного ряда, включающего полиномы Лежандра, который
сходится всюду внутри сферы, не содержащей ближайший маг-
нитный угол [1, 2]. Если начало координат лежит в центральной
плоскости симметрии катушки, то ряд будет содержать только
четные члены. Осевую и радиальную составляющие поля можно
представить в виде
Я2 (р, 0) = Но Г1 + Е2 ( ) 2 Р2 (и) + Et ) 4 Л (и) + ... ], (8.11а>
Нг (р, 0) = Но [0 + Е2 (-^)2 Р'2 (и) Ч-£4 (-£-)4 Р; (и) + ... ], (8.116)
где р и 0 — общепринятые сферические координаты — радиус
и полярный угол соответственно, Рп (и) и Р„ (и) — полиномы
Лежандра и их производные, представленные в табл. 13. Коэф-
фициенты Еп можно найти по обычной формуле для коэффициен-
тов ряда Тейлора
F 1 1 б/2пяг(и,о)| д,2
Е*п = ТЦ ”(2п)!--|2=0 ’ 12)
Следовательно, чтобы определить эти коэффициенты, необ-
ходимо только взять производные от поля по z (т. е. вдоль оси)
и оценить их при z = 0. Первые несколько коэффициентов Еп
для катушек с постоянной плотностью тока [3] приведены
в табл. 14, а для случая распределения тока j = приведены
в табл. 15. Можно видеть, что они зависят только от а и р.
Первые три четных коэффициента Еп для случая катушки
с постоянной плотностью тока для широкой области значений а
и р, полученные с помощью вычислительной машины, приведены
в виде F (а, Р) Еп в таблицах (23.1—23.25) в конце главы. Это
наиболее употребляемая форма записи для конструирования
скомпенсированных однородных систем, которые мы обсуждаем
в § 5, однако сами коэффициенты Еп легко найти делением на соот-
ветствующее значение F (а, р). Взятые в табулированной форме
Таблица 13
ТАБЛИЦА ЧЕТНЫХ ПОЛИНОМОВ ЛЕЖАНДРА
И ИХ ПЕРВЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
Pq(u) = U u = cos0; uz = sin0
1
w=4-(3“2-1)
^г(“)=-|-(6“) и'
1
Pt (и) =-о- (35u4—30и2+3)
О
P't («) =4“ (140u3—60u) и'
О
Р6 (и) =-^г (231we—315u44-105u2—5)
Pi (м) =-£g (1386ue—1260u34-210u) и'
Pg(u) =4g (6435u8 —12 0i2w«4-6930w4—1260u24-35)
P'8 (M)=755 <51 480u7—72 072u6-|-27 720и«—2520u) u'
IZo
Таблица 14
ТАБЛИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ОШИБКИ ДЛЯ КАТУШЕК
С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА
г=_____L_. с Р2 • Г ”2 • Г Р2
1 1 + ₽2 ’ 2 1+Р2 ’ 3— а2+Р2 ’ 4“ а2+₽2
F=^P (arshT-arshT)
/Е2(а,₽)=^-А-(С3/2-^/2)
IV
р)= -^-2^- К?/2(2+ЗС2+15^)-С^2 (2+ЗС44-15С2)]
^6(«, ₽)[С’/2 (8+12С2+15С2-7ОС1+315<^)-
— С|/2 (8+12С4+15С1—70С1+315П)]
FE6(а, ₽) = -g^-[С2/2 (16+24С2+30^+35^+315^-2079С| +
+3OO3CJS)-Cf/2 (16+24С’4+30С?4-35С?+315С1—2079Ci+3003C^J
Таблица 15
ТАБЛИЦА КОЭФФИЦИЕНТОВ ОШИБКИ ДЛЯ КАТУШЕК
С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ТОКА j == faijr
Ci, Cz, и 674, как в табл. 14
(arsh 0“arsh“|’)
''ЕвЕ2(а, p)=^^L-(C^-C^)
FBEi (a, p) (3-5C2)-Cst'* (3-5C4)J
FbE6 (a, P) = ^- -A. [<7’/2 (15- 7OC4+63C1) - (%* (15- 70C2+63^)J
ЗД(а, [C’/2 (35-315C2+693C§-429Cg)-
— (35—315C4 + 69361—42961)1
F (a, P) En коэффициенты записываются, как в формулах (8.13)
и (8.14); таким образом,
я2(р, 0) = /ka1 [F(a, р)4-Я(а, ₽)Я2 (-£-)2Р2(«)+••], (8-13)
Яг(р,0) = Да1[/’(а,р)^2 (-£-)2р;(«) + ...]. (8.14)
Метод разложения в ряд оказывается очень привлекательным,
так как он позволяет прямо рассчитывать однородность поля х).
Более общепринятые методы имеют меньшую точность, так как
в этом случае значение поля рассчитывается в двух точках и откло-
нение определяется вычитанием двух примерно равных чисел.
Уравнения (8.11) и (8.12) для аксиального поля вдоль оси z
или в центральной плоскости можно записать в сокращенном
виде:
Я,(г, 0),Я.[1 + £1 (~^Y + E‘ (i-)‘+ . ..J, (8.15)
+4М^)'-АМЯ+-]- <8-16>
Член Е2 явно доминирует вблизи центра, где отношение г!а^ мало,
и мы видим, что отклонение осевого поля в радиальном направле-
нии составляет только половину (и противоположного знака)
х) См. также работы [15, 16].— Прим, ред.
величины отклонения в осевом направлении. Так как величина
Е2 для простого соленоида всегда отрицательна, то поле убывает
вдоль оси z и возрастает в радиальном направлении, имея обычно
форму седла. При r/a± > 1 к степенному ряду необходимо приба-
вить дополнительный член, учитывающий граничные условия,
и поле вдоль направления радиуса также начинает уменьшаться.
Уравнения (8.15) и (8.16) были использованы в гл. 6; урав-
нение (8.15) — для нанесения контуров постоянного отклонения
(см. фиг. 71) при r/ttj = 0,707 и уравнение (8.16) — для нахожде-
ния отношения величины поля в витке к его значению в центре
(см. фиг. 70). Чтобы построить кривую на фиг. 70 с требуемой
точностью, было достаточно использовать только три первых
члена степенного ряда.
С помощью уравнения (8.15) было рассчитано также распреде-
ление поля (см. фиг. 112) на оси соленоида внутри центральной
зоны (зоны, не включающей какой-либо угол катушки), т. е.
= 21/2 для катушки с р = 1 и rla^ — 51/2 для катушки с Р = 2.
Если мы используем три члена ряда (Z?2, Е± и Е^, то метод разло-
жения в степенной ряд в пределе сходимости предсказывает такую
величину поля на оси, которая на 6,56% превышает поле катуш-
ки с Р = 1 и на 9,14% меньше поля катушки с р = 2. Если вклю-
чить член Е8, то согласие будет достигнуто в пределах 2,26% для
катушки с Р = 1 и 0,66% — для катушки с р = 2.
§ 4. ПОЛЕ ВНЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ЗОНЫ
В этом параграфе мы рассмотрим поля в большинстве общих
точек: нецентральных, неосевых и в точках, находящихся вне
зоны сходимости разложения поля в ряд. Так как мы имеем
дело с общими методами, поэтому их с одинаковым успехом можно
применить также внутри центральной зоны, но обычно это не
делают из-за сложности их использования.
В связи с тем, что нет точной формулы для поля, созданного
катушкой в произвольной точке пространства, величину поля необ-
ходимо определять, складывая поля от элементов катушки, для
которых формулы существуют. Мы рассмотрим два таких сумми-
рования, во-первых, для витков и, во-вторых, для полубесконеч-
ных токовых слоев, предварительно сложенных таким образом,
что они составляют данные полу бесконечные соленоиды.
1. Сложение полей от элементарных витков
Поле, созданное в любой точке пространства идеальным вит-
ком (с нулевым поперечным сечением), можно выразить через
эллиптические интегралы первого и второго рода. Мы можем
рассматривать катушку как совокупность элементарных витков
и суммировать вклады от каждого в произвольных точках про-
странства. Чтобы имитировать любое распределение тока, можно
даже взять витки с различными токами, I = /ЛЛгДя. На практике
это в основном необходимо только для получения достаточной
точности при суммировании по элементам, поперечные размеры
которых малы по сравнению с их диаметрами. При этом счетная
машина оказывает неоценимую помощь, так как сложность даже
уравнения витка делает ручные расчеты непрактичными.
В точке с координатами (z, г) элементарный виток радиусом а
создает поле, осевую и радиальную компоненты которого можно
представить в виде [4]
г)- 10я [ ц1+г/л)2_|.(2уЛэд1/г ] Х
x{kw+,1zX+X-£4- <8Л7)
Яг (г, Т) — 10а (-7) [ [(1 г г;)2 I (г/а)2]122 -l *
x{--kw+ (8.i8)
где
<p = arsin/£ (8.19)
и
к = Г ,, , т^-i ,\-2-Т/2 - Sin ф. (8.20)
L (l+r/a)2-J-(z/a)2 J Y v f
Полные эллиптические интегралы первого и второго рода
К (<р) и Е (<р) широко табулированы [14]. Для машинного счета
целесообразнее пересчитать их, чем вводить в табличном виде.
Для большинства задач машинного счета в высшей степени
удобно использовать уравнения для элементарных витков, кото-
рые позволяют определять плотность тока в любом витке; для
того числа элементов и точек, которые обычно необходимы для
расчета данной конструкции, время машинного счета редко оказы-
вается слишком большим. В табл. 16 приведены величины полей
в некоторых точках катушки с однородным распределением
тока при а = 3 и р = 2, а также для катушки с радиальным рас-
пределением тока при а = 6, 0 = 2, рассчитанные на машине
методом сложения вкладов отдельных витков.
Интегральные выражения для полей в удаленных от центра
точках катушки конечного поперечного сечения можно предста-
вить также в виде численного интегрирования вкладов токовых
слоев соленоида, которые имеют форму эллиптического интеграла.
Таким образом можно избежать полного суммирования вкладов
отдельных витков [5].
Таблица 16
КОМПОНЕНТЫ ПОЛЯ В ТОЧКАХ, УДАЛЕННЫХ ОТ ОСИ ТИПИЧНЫХ
КАТУШЕК, РАССЧИТАННЫЕ НА МАШИНЕ МЕТОДОМ
СУММИРОВАНИЯ ПЕТЕЛЬ 1)
r/ai z/ai Однородное распределение Радиальное распределение
Нг Нг Нг нг
0 0 100 0 100 0
0 1 91,0 0 91,9 0
0 2 62,4 0 65,8 0
1 0 101,2 0 100,4 0 .
1 1 100,7 8,7 101,7 7,8
1 2 61,4 23,5 64,7 22,1
2 0 43,8 0 50,9 0
2 1 39,9 12,8 46,3 11,8
2 2 28,8 37,7 36,6 30,2
3 0 —12,8 0 25,9 0
3 1 —18,1 9,7 24,0 11,8
3 2 —3,4 24,0 20,4 26,6
5 0 -4,6 0 -0,3 0
5 1 —4,0 2,4 0,19 7,9
5 2 -2,4 4,0 1,6 17,5
6 0 —2,7 0 -9,8 0
6 1 —2,5 1,2 -8,6 5,2
6 2 -1,7 2,1 -4,6 10,6
7 0 —1,7 0 -6,1 0
7 1 -1,6 0,7 -5,5 2,8
7 2 —1,2 1,2 —3,5 4,8
1) Однородное распределение тока: а= 3, 3=2. Радиальное распределение тока:
а = 6, 0=2.
2. Суперпозиция полубесконечных соленоидов
Если конструктор вынужден работать без помощи вычисли-
тельной машины или если он имеет дело с относительно простой
катушкой и рассчитывает поле в нескольких точках, то он может
пользоваться готовыми таблицами или графиками. В одном из
методов используется диаграмма поля вокруг конца полубеско-
нечного соленоида с нулевым внутренним радиусом; поле от
полного соленоида находится суперпозицией (фиг. 118).
На фиг. 119 и 120 представлены осевая и радиальная компо-
ненты поля вокруг конца полубесконечного соленоида с нулевым
Фиг. 118. Образование соленои-
да конечной длины путем нало-
жения четырех полубесконечных
соленоидов (см. § 4).
Знак плюс или минус обозначает на-
правление тока и, таким образом,
сложение или вычитание полей. По-
ложение точки, в которой опреде-
ляется величина поля, показано отно-
сительно конечного соленоида и отно-
сительно каждого полубесконечного
соленоида. Отметим, что поскольку
необходимо использовать безразмер-
ные графики (см. фиг. 119 и 120), то
каждый полубесконечный соленоид
измеряется в единицах его собствен-
ного радиуса.
(2/5-z/ayl
Полубесконечная цилиндрическая
система координат
внутренним радиусом [6]. Лучше всего на примере проиллюстри-
ровать использование этих графиков. В табл. 17 представлены
соответствующие координаты и точки с фиг. 119 и 120 для катушки
са = 3и0 = 2в точке с координатами z/a4 = 1, zlc^ = 2. Нор-
мированное поле, являющееся суммой полей четырех полубеско-
нечных соленоидов, можно представить в виде
= 4F[а/г*1) — ай(r2> z2) +h(r3, z3)- h(r4, z4)J, (8.21)
где член h (rn, zn) взят с фиг. 118 или 119, a система единиц —
Фиг. 120. Безразмерное радиальное поле по-
лубесконечного соленоида.
Значения для z < 0 не показаны, так как hr(r,—z) =
= Ьг(г, z).
Фиг. 119. Безразмерное поле по оси полубесконечного соленоида.
Для отрицательных значений z и г 1 кривые не показаны; для таких зна-
чений используется равенство hz (г, —z) = — hz (г, z) для т 1.
Таблица 17
ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГРАФИКОВ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ
НА ФИГ. 119 И 120
Катушка с постоянной плотностью тока, а= 3, 3=2; поле определяется
в точке z/ai = 1, r/ai = 2 относительно центра катушки.
Я = Zi) — ah(r2, z2)-}-h(r3, z3)—h(rif z4)],
где координаты измеряются так же, как на фиг. 118, и величина hz взята
с графика на фиг. 119, а 1гг—с фиг. 120.
п гп zn h zn hrn
1 2/3 -1/3 0,23 0,089
2 2/3 3/3 0,042 0,022
3 2/1 —1/1 —0,0037 0,0205
4 2/1 3/1 0,0047 0,0035
Н 4л
= 4- [3 • 0,23—3 • 0,042—0,0037—0,0047] = 0,726
/Ай! 10
~ [3.0,089—3 • 0,022+0,0205—0,0035] = 0,234
]Ка^ 10
и если Fo = 1,793 для а = 3, р = 2 составляет 100%, то
ф- = 41,5% и -^ = 13%.
-“0
Табл. 16 дает Яг/Я0=39,9% и Яг/Я0 = 12,8%, т. е. приемлемое согласие,
обычно используемая в этой книге система СГС; величина /X берет-
ся в clIcm*, — в см, тогда поле Н должно выражаться в эрстедах.
3. Поле диполя
Можно обобщить вопрос о дипольном поле, изложенный в § 2.
Если мы нормируем выражение для дипольного поля к его зна-
чению Hz (zd, 0) в такой точке zd на оси соленоида, где поле можно
считать дипольным, то тогда поле во всех точках вне сферы радиу-
сом zd приблизительно будет равно [7]
гг /гч (zdt 0) 3COS2 0 1 q 99\
ЯИР’0)="О7^-------------2----’ <8*22>
Hr (p, 6) = -g^g’T0)- 3 cos 0 sin e, (8.23)
где 0 измеряется от оси z. Таким образом, обрамляющее соленоид
поле можно определить, измеряя поле только в одной точке
на соответствующем расстоянии zd вдоль оси, а поля в других
удаленных точках можно тогда оценить, используя форму-
лы (8.22) и (8.23).
18—726
§ 5. КОНСТРУИРОВАНИЕ СКОМПЕНСИРОВАННЫХ КАТУШЕК
ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ высокой ОДНОРОДНОСТИ ПОЛЯ
В этом параграфе мы используем метод суперпозиции и метод
разложения поля в ряд для конструирования соленоидов с улуч-
4-й порядок
(Гельмгольц)
Фиг. 121. Определение параметров системы катушек, скомпенсирован-
ных для увеличения однородности поля.
шенной однородностью поля. Мы делаем это, «вычитая» из боль-
шей катушки меньшую, выбранную таким образом, чтобы сокра-
тить один или более членов ряда, на который разложено поле
первоначальной катушки. Например, когда эта вторая катушка
имеет плотность тока, равную плотности тока основной катушки,
и накладывается на большую катушку, то это проявится в виде
«зазора», «паза» или «пустоты» в основной катушке.
Мы имеем большую степень свободы в выборе параметров этой
малой катушки, таких, как ее расположение, внутренний и наруж-
ный радиусы и относительная плотность тока. Число свободных
переменных величин компенсирующей катушки определяет
в основном число членов ряда, которые можно сократить. Имея
одну свободную переменную, мы можем сократить первый член
ряда Е2, а имея две — члены Е2 и Е± и т. д. На фиг. 121 показаны
три наиболее общих типа скомпенсированных катушек. В первом
типе наложенная отрицательная катушка создает зазор, и поэтому
основная катушка и зазор имеют одинаковое значение а и только
одну независимую переменную Pg. В остальных двух случаях
мы поместили паз на внутреннюю или на наружную поверхность
катушки, и поэтому можем свободно выбрать в качестве пере-
менных значения ас и рс паза и сократить два члена ряда.
Такое сокращение имеет определенные недостатки, поскольку
мы вычитаем поле катушки с обратным направлением тока
из основного поля и это обычно увеличивает первый несокращае-
мый член разложения. Мы сначала проиллюстрируем использова-
ние этого метода графическим путем, а затем обсудим машинное
решение для скомпенсированных систем.
1. Графические решения
Компенсирующие катушки для гельмгольцевской конструк-
ции и катушки с внутренним пазом имеют тот же внутренний
диаметр, что и основная катушка, и в этом случае мы можем
представить поле на оси в виде ряда
Hz\z) = Да! |/’о (а, Р) — Fc (ас, рс) 4-
+ Р)— FcE2(ac, pc)j (—j +
+ [^о^\(а?Р)— FCE^ (ас, Рс)] + •••j’- (8-24)
Например, когда FCE2 (ас, рс) = FQE2 (а, Р), то первый член
с Е2 сокращается, таким образом компенсируя катушку «до чет-
вертого порядка».
На фиг. 122 представлена зависимость произведения F (а, Р) X
X Е2 (а, Р) от Р при постоянном а. Например, основная катушка
са = 3ир = 2 имеет FE2 (3, 2) = —0,153. Конструкция Гельм-
гольца, основанная на этой основной катушке, тоже требует
FE2 (а', Р') = —0,153 при Р' = Pg =^= 2. По графику на фиг. 122
находим Pg 0,2, или, более точно, Р = 0,192 (фиг. 123). В цен-
тре этого зазора поле будет максимально однородным.
Если нас интересует не максимальная однородность поля
в центре, а скорее уменьшение среднеквадратичного отклонения
18*
от однородности в пределах некоторой области вдоль оси, то необ-
ходимо слегка увеличить параметр зазора. При этом распределе-
ние поля падает в центре (см. фиг. 116), но размер области, где
Фиг. 122. Произведение коэффициента F (а, р) для катушки с постоянной
плотностью тока [см. формулу (6.2)] и коэффициента ошибки второго поряд-
ка [см. (8.13)].
На графике представлены кривые постоянного значения а в зависимости от 3 при нор-
мированных геометрических параметрах а и р, определенных на фиг. 4.
поле однородно, увеличивается. Это явление можно исследовать
с помощью формулы (8.24) со значением (z/ai)MaKC, соответствую-
щим концу зоны однородного поля.
Если нашей катушке не требуется иметь зазор для доступа,
то ас не должно быть равным а, и мы можем выбирать из беско-
нечного ряда комбинации такие ас и рс, которые будут иметь
то же самое значение FE2, что и у нашей основной катушки.
На фиг. 126 показано расположение (ас, рс)-точек, которые удов-
летворяют условию FE2 = —0,153 и используются для нахожде-
ния параметров компенсирующей катушки, сокращающей два
члена разложения.
Мы задаем сейчас две переменные. Если опять выбрать паз
на внутренней поверхности катушки, то эти две катушки имеют
одинаковый внутренний диаметр и мы вновь можем использовать
уравнение (8.24). На фиг. 124 представлена зависимость члена
Фиг. 123. Часть графика, представленного на фиг. 122, в увеличенном мас-
штабе для малых р.
Нанесены кривые с постоянным значением а в зависимости от р.
FE^ (а, 0) от р в общей форме, а на фиг. 125 — наиболее употреб-
ляемая часть графика в увеличенном масштабе.
Чтобы найти компенсирующую катушку, которая сократит
член ряда для нашей катушки с а = 3 и Р = 2, мы вторично
нанесли (фиг. 126) положение (ас, рс)-точек одновременно с FE^
где FE^ (ас, рс) = —0,819 -10“2, т. е. тому же значению, что и для
Несколько кривых с постоянным значением а представлено в зависимости от 0,чтобы
показать характерные особенности функции. Заметим, что вблизи 0 = 1 кривые пере-
секают ось, обозначая простую катушку с отсутствующим члейом Е&.
основной катушки. Пересечение этих двух кривых определяет
параметры компенсирующей катушки, которая сократит как член
Е2, так и Е± основной катушки; ас — 1,87 и рс = 1,33. Централь-
ное поле скомпенсированной катушки будет равно
Яо = (/’o-Z’c) - 7^1 (1,045), (8.25)
или на 38% ниже значения для нескомпенсированной катушки.
Разложение поля в ряд имеет вид
Нг (р, 6) = Но {1 (а, ₽) -FCE6 (ас, ₽с)] (-£-)* Р6 («)+...},
(8.26)
Яг(р,0) = Яо[1-О,43.1О-2 (^-)®/>6(ы)+...] . (8.27)
Поле уменьшается весьма существенно, поскольку первона-
чальная катушка очень коротка и поэтому создает неоднородное
поле. Более эффективные катушки мы рассмотрим ниже.
Из фиг. 124, где приведен график зависимости FE^ (а, 0)
от 0, можно видеть, что для основной катушки FE^ (а, 0) < О
при 0 > 1,0. Для компенсирующей катушки также 0 > 1,0,
Фиг. 125. Часть графика, представленного на фиг. 124, в увеличенном мас-
штабе при 0,9 <С 0 < 1,6.
В этой области обычно выбирают внутренний компенсирующий паз. Кривые постоян-
ного а представлены в зависимости от ($.
так как она должна иметь тот же знак. Поэтому на фиг. 125 изо-
бражена эта особенная область в увеличенном масштабе.
Сокращение обоих первых членов ряда опять повысит одно-
родность поля в центре. Вновь, как и в случае катушек Гельм-
гольца, слабое расширение компенсирующей катушки, а также
нейтрализация членов разложения высшего порядка несокра-
щенными членами низшего обеспечит меньшее среднеквадра-
тичное отклонение в пределах заданного осевого интервала.
Точное решение очень чувствительно к ошибкам в выборе
или конструировании ас или 0С. Например, вблизи точки ас =
= 1,87 и 0С = 1,33 (см. фиг. 123) FE2 изменяется на 5% при
изменении 0 на 1%. Таким образом, чтобы скомпенсировать FE%
с точностью до 1%, нам необходимо определить 0С с точностью
0,2%. Наклон кривой FE^ (см.фиг. 125) слегка меньше, но и в этом
случае изменение 0С на 1% приводит к изменению FE± на 3%.
Таким образом, остаточные члены, не полностью сокращенные
вследствие ошибок конструирования, легко могут превысить
первый член разложения.
При расчете скомпенсированных катушек с пазом на наруж-
ной поверхности обычно записывают формулу (8.24) в другом
Фиг. 126. Пример графического решения.
С помощью этого метода находим соответствующий паз на внутренней поверхности катуш-
ки с а = 3, Р = 2, чтобы сократить коэффициенты ошибки второго и четвертого порядка.
Показаны кривые при постоянном значении FE& и FE2, которые пересекаются при а = 3,
3 = 2, а их второе пересечение дает параметры соответствующей компенсирующей
катушки с ас = 1,87 и Рс = 1,33.
виде, чтобы нормировать эти две катушки к их общему размеру—
наружному радиусу [8]. Поле на оси записывают в виде
Hz (г) = j^a2 (а, Р) —(«с, Рс)] +
+ [/’о(а, Р)£2(а, Р)а —Fc(ac, рс)Я2(ас, |3С) ас] +
<- [Fo (а, ₽) Е, (а, р)3^- Fc (ас, рс) Et (act рс) a?] (-J-) ‘ + ...} .
(8.28)
По этой причине рассчитанные таблицы также представляют в виде
F (а, Р) Еп (а, Р) ап-1. Используя эти члены вместо F (а, Р) X
X Еп (а, Р), можно затем точно таким же путем конструировать
скомпенсированные катушки. Вообще катушки с наружным
пазом легче конструировать, они дают более однородное поле
(т. е. член £6 имеет меньшее значение), но эти катушки менее
эффективны, если брать отношение величины поля к потребляе-
мой мощности или к объему проводника.
2. Машинный расчет скомпенсированных катушек
Графическая методика предыдущей части пригодна для демон-
страции концепции скомпенсированных катушек и для нахожде-
ния в отдельных случаях приближенных решений. Но любое
исчерпывающее решение лучше проводить с помощью машины.
Для любой основной катушки (а, Р) решение в случае ком-
пенсирующей катушки (ас, Рс) с внутренним пазом должно одно-
временно удовлетворять двум уравнениям:
Fq (а, Р) Е2 (а, Р) — Fc (ас, рс) Е2 (ас, рс) = 0 (8.29)
И Fq (а,Р) Е^(а> Р)—Fc (ас, рс) Е± (ас, рс) = 0. (8.30)
В поисках их решения удобно использовать метод Ньютона,
в котором значение искомой функции в следующей точке (если
считать функцию локально линейной) представляется в виде
значения функции и ее производной в данной точке. Например,
чтобы найти значение х, удовлетворяющее уравнению / fa) = 0,
значение xn+i = хп + \х определяется следующим образом:
f (хп+1) = f (хп +Ахп) (8.31)
ОХ \Хп
Считая выражение (8.31) точным, а не приближенным равенством,
для &хп имеем
С двумя переменными выражение (8.31) принимает вид
/ (#п+ь Уп+1) = / fan “Ь Уп &Уп) ~
«/ fe, у.)+41 | , - »• <мз>
Ji Ilf Гь 9 у
g (хп+1, yn+i) = g (хп-\- Ьхп, уп 4-Ьуп} «
» «+< L(8'34>
Эти уравнения можно написать для любого числа переменных.
В нашем случае х = ас, у = рс, / = FQE2 (а, Р) — FCE2 (ас, рс)
и g = FqE± (а, Р) — FCE^ (ас, рс). Следующие значения ас и рс>
согласно (8.31), можно написать в виде
«ел+1 = «сп + Дасп, (8.35)
₽сп+1 = Реп4Д₽сп-- (8.36)
Производные от FcFn (ас, 0С) по ас и рс представлены в табл. 18
и 19.
Таблица 18
ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ПРОИЗВЕДЕНИЯ FEn (а, ₽) ДЛЯ КАТУШЕК
С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА
Ci, G» Сз и ^4, как в табл. 14
9F _ 4jl Гх/2
да 10 4
Г с V2 _ ci/2 . 1П «+(«2+Р2)1/2 I
<?Р " 10 L 1 8 +1 l + (l + p2)V2 J
dFE2 _ 4 л 3(5 „5/2
да ~ 10 2а« 3
"Г = Ж 1Сз/2 (* + Зб?4> - С1/2 + ЗС^
dFE^ __4л 5р гр7/г /о
~fa—10 Ж(С?3 <3~7С4>]
Ж= (2+3C4+35C’)-Ci/2 (2+ЗС2+35СЭ]
В случае паза на внешней поверхности катушки используем выражения
-4- (ап-1^п) = (n-l) an~2FEn + а"-1 * (FEn)
(an-iFEn) = a«-i (FEn)
Таблица 19
ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ F'En (a, ₽) ДЛЯ КАТУШЕК БИТТЕРОВСКОГО ТИПА
£1» С2, С3 и С4, как в табл. 14
dFn _ 4л 1 1/2
да 10 a 4
“10 р 14 С4 ’
dFgE2 __ 4л Зр ^5/2
да _ 10 2a4 3
[С’/2 (i-3^)-^2 (1-ЗС2)]
C/Uv lv
=4л-Д- lc^2 (3~7C4)1
da 10 8a6 1 d v
=15~Ж[С*72 <3—30С2—35<7§>—(3-30С4+35С?)]
Полезно ввести следующие сокращенные обозначения для напи-
сания этих выражений:
Fo (а, р) Еп (а, Р) = Мп (а, Р),
Ес Рс) Еп (otc, Рс) МСп ((Хс5 Рс)>
дМ (ас,Рс) дМ (ас, Рс)
- X = М'сп (ас, рс), Сп;РеС = М"п (ас, Рс). (8.37)
Перестраивая формулы (8.33) и (8.34) для одновременного реше-
ния [8], имеем
Аас = [М2 (а, Р) — МС2 (ас, рс)] М'^ (ас, рс) —
[М4 (а, ₽) -МС4 (ас, ₽с)] М"2 (ас, рс)
М'С2 (ас, Рс) М"4 (ас, рс) -М'^ (ас, рс) М'4 (ас, Рс) ’ ( }
ЛРС = [М4 (а, Р)-МС4(ас, Рс)]^2(ас, Рс)~
[М2 (а, р)—МС2 (ас, рс)] М'4 (ас, рс)
М'С2 (ас, Рс) (ас, рс) - М;2 (ас, рс) ^'4 (ас, рс) * ( '
Когда Дас и Дрс достигают нуля, уравнения (8.29) и (8.30) удов-
летворяются.
В табл. 20 представлены некоторые избранные машинные
решения для катушек Гельмгольца и в табл. 21а и 216 — для неко-
торых катушек шестого порядка с внутренним пазом. Если графи-
Таблица 20
КАТУШКИ С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА
а 3 % Зе е4 F G
2,00 2,00 2,0000 0,12004 -0,0789 0,9016 35,44 0,15145
2,00 3,00 2,0000 0,04131 -0,0233 1,0863 55,77 0,14546
2,00 4,00 2,0000 0,1671 —0,0088 1,1604 75,08 0,13391
2,00 5,00 2,0000 0,00776 —0,0039 1,1955 94,10 0,12324
2,00 6,00 2,0000 0,00402 —0,0020* 1,2145 113,02 0,11424
3,00 2,00 3,0000 0,19187 —0,0686 1,5304 90,89 0,16053
3,00 3,00 3,0000 0,0§122 —0,0253 1,9763 146,71 0,16316
3,00 4,00 3,0000 0,03790 —0,0107 2,1879 199,16 0,15504
3,00 5,00 3,0000 0,01931 —0,0052 2,2990 250,36 0,14530
3,00 6,00 3,0000 0,01063 —0,0028 2,3627 301,06 0,13617
4,00 2,00 4,0000 0,23976 —0,0597 2,0051 165,90 0,15568
4,00 3,00 4,0000 0,11590 —0,0235 2,7058 271,82 0,16412
4,00 4,00 4,0000 0,06061 -0,0120 3,0808 371,28 0,15989
Продолжение табл. 20
а В % ₽с Е4 F V?Ja3 G
4,00 5,00 4,0000 0,03365 —0,0062 3,2965 468,07 0,15237
4,00 6,00 4,0000 0,01971 —0,0035 3,4283 563,63 0,14440
5,00 2,00 5,0000 0,27058 —0,0530 2,3891 260,79 0,14794
5,00 3,00 5,0000 0,14229 —0,0244 3,3184 430,93 0,15986
5,00 4,00 5,0000 0,08087 -0,0125 3,8585 590,99 0,15872
5,00 5,00 5,0000 0,04820 -0,0069 4,1920 746,71 0,15341
5,00 6,00 5,0000 0,02989 -0,0041 4,4075 900,27 0,14690
чески представить общую зависимость значения F этих катушек
от количества использованного материала, то можно заметить,
что некоторые катушки более эффективны, т. е. они имеют боль-
шее отношение поля к весу материала. В таком случае имеется
оптимальная форма, которая требует минимального объема
Таблица 21а
КАТУШКИ С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА ШЕСТОГО ПОРЯДКА
(ВНУТРЕННИЙ ПАЗ)
а В ас Eq F уъ/аЗ G
2,00 2,00 1,3920 1,2639 —0,00613 0,6476 30,26 0,11774
2,00 3,00 1,0951 1,0414 —0,00315 1,0380 55,24 0,13965
2,00 4,00 1,0341 0,9674 —0,00143 1,1454 74,98 0,13228
2,00 5,00 1,0150 0,9323 —0,00070 1,1895 94,07 0,12264
2,00 6,00 1,0076 0,9128 —0,00037 1,2116 113,01 0,11398
3,00 2,00 1,8713 1,3327 —0,00434 1,0448 79,58 0,11712
3,00 3,00 1,2332 1,0547 —0,00341 1,8869 147,35 0 Л5545
3,00 4,00 1,0938 0,9708 —0,00189 2,1601 199,86 0,15279
3,00 5,00 1,0447 0,9332 —0,00103 2,2878 250,79 0,14446
3,00 6,00 1,0238 0,9130 —0,00058 2,3574 301,32 0,13580
4,00 2,00 2,3857 1,4177 —0,00282 1,2876 146,71 0,10630
4,00 3,00 1,3761 1,0813 —0,00309 2,5886 276,67 0,15563V
4,00 4,00 1,1642 0,9830 —0,00204 3,0476 374,80 0,15742*4
4,00 5,00 1,0840 0,9394 —0,00124 3,2844 470,21 0,15147
4,00 6,00 1,0471 0,9164 —0,00076 3,4231 564,93 0,14402
5,00 2,00 2,9094 1,4958 —0,00189 1,4417 231,44 0,09477
5,00 3,00 1,5048 1,1089 —0,00267 3,1837 443,58 0,15116
5,00 4г00 1,2337 0,9986 —0,00200 3,8260 599,91 0,15621
5,00 5,00 1,1265 0,9488 —0,00134 4,1836 752,38 0,15252
5,00 6,00 1,0744 0,9222 —0,00088 4,4058 903,88. 0,14655
Таблица 216
КАТУШКА С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА ШЕСТОГО ПОРЯДКА
(ВНУТРЕННИЙ ПАЗ)
а е ас ₽с Еб F G
1,50 2,00 1,1809 1,2584 —0,00624 0,3608 12,59 0,10169
1,50 2,50 1,0780 1,1203 —0,00414 0,4898 18,49 0,11389
1,50 3,00 1,0393 1,0459 —0,00263 0,5443 23,04 0,11341
1,50 3,50 1,0219 1,0003 -0,00168 0,5721 27,21 0,10967
1,50 4,00 1,0131 0,9702 —0,00111 0,5880 31,26 0,10518
2,00 2,00 1,3920 1,2639 —0,00613 0,6476 30,25 0,11774
2,00 2,50 1,1794 1,1167 —0,00461 0,9150 44,38 0,13735
2,00 3,00 1,0951 1,0414 —0,00315 1,0380 55,24 0,13965
2,00 <3,50 1,0552 0,9966 —0,00211 1,1050 65,26 0,13678
2,00 . 4,00 1,0341 0,9674 —0,00143 1,1454 74,98 0,13228
2,50 2,00 1,6274 1,2932 —0,00529 0,8712 52,65 0,12006
2,50 2,50 1,2936 1,1269 -0,00457 1,2848 77,70 0,14576
2,50 ’3,00 1,1616 1,0452 —0,00399 1,4838 96,67 0,15091
2,50 3,50 1,0969 0,9979 —0,00241 1,5978 114,18 0,14953
2,50 4,00 1,0616 0,9676 —0,00170 1,6695 131,17 0,14577
3,00 2,00 1,8713 1,3327 —0,00434 1,0448 79,58 0,11712
3,00 2,50 1,4124 1,1447 —0,00424 1,6091 118,51 0,14782
3,00 3,00 1,2332 1,0547 —0,00341 1,8869 147,35 0,15545
3,00 3,50 1,1438 1,0033 —0,00257 2,0523 173,99 0,15559
3,00 4,00 1,0938 0,9708 —0,00189 2,1601 199,86 0,15279
материала (или обеспечивает максимальный коэффициент G в слу-
чае несверхпроводящих катушек). Для катушек Гельмгольца
с постоянной плотностью тока это показано на фиг. 127, а для
катушек шестого порядка с внутренним пазом — на фиг. 128.
За исключением малых значений F здесь наблюдается более
низкая чувствительность к выбору наружных размеров, чем
в случае простых соленоидов.
Решения для катушек четвертого и шестого порядка, допол-
няющие решения, представленные в табл. 20 и 21, можно найти
интерполяцией. Функции вполне линейны. Нанесем на график
при постоянном значении Р следующие величины: 1) F (а, Р),
2) ас, 3) рс, 4) £4 или EQ в зависимости от а для решений, приво-
димых в таблицах. Требуемое значение F (а, Р) определяет
величину а при данном р (или наоборот) с помощью графика (1).
ас и рс определяются из графиков (2) и (3) и Е± или Е6 — из гра-
фика (4). Эта процедура всегда будет достаточно точной, но
в большинстве случаев применение ее утомительно.
Фиг. 127. Объем катушки, необходимый для получения нужного значения
функции F (а, Р) в катушке Гельмгольца.
Fo (а, р, Рс) — значение F (а, Р) для катушки с зазором. Показаны кривые при постоян-
ном р, где а и Рс выбраны таким образом, чтобы получить данное значение Fe и сокра-
тить коэффициент ошибки второго порядка.
Фиг. 128. Объем катушки, необходимый для получения нужного значения
F (а, Р) в скомпенсированной катушке шестого порядка с внутренним пазом.
Fo (а, Р, ас, Рс) — значение F (а, Р) для катушки с пазом. Показаны линии при постоян-
ном Р, где а, ас и Рс в каждом случае выбраны таким образом, чтобы получить это
значение Fo и сократить первые два коэффициента ошибки.
Можно непосредственно решить задачу о катушке минималь-
ного объема [8]. Например, можно сконструировать катушки
Гельмгольца с тремя заданными параметрами — полем и коэф-
фициентами его однородности Е2 = 0 и Ек (рЛч)4 = кН/H и с
четырьмя переменными: внутренним и наружным радиусами,
зазором и полной длиной, которые удовлетворяют заданным
параметрам катушки с минимальным объемом материала [10].
Таким образом, сочетание разложения поля в ряд и машинной
обработки оказывается очень мощным методом.
Но если не оценивать численно вторую производную от объема
катушки по а, то эта методика минимального объема не покажет,
в какой степени функция нечувствительна к форме катушки.
Часто поэтому полезнее привести ряд решений в таблицах
(см. табл. 20 и 21) и нанести на графике зависимость этой функции
от объема (см. фиг. 127 и 128). В любом случае, когда катушку
нельзя выбрать просто на основе минимального объема, такие
таблицы будут необходимы.
Чтобы уменьшить величину членов ряда, которые должны
быть сокращены, часто |3 выбирают большим, чем значение его
Таблица 22
КАТУШКИ МИНИМАЛЬНОГО ОБЪЕМА ШЕСТОГО ПОРЯДКА
С НАРУЖНЫМ ПАЗОМ
а .6 ас Рс Ев F0 Z
1,5209 3,0 1,1254 1,5649 0,3280-10-2 0,4275 235,0
1,6043 3,2 1,1286 1,5629 0,3045 0,515 177,2
1,6888 3,4 1,1308 1,5610 0,2921 0,601 140,0
1,7743 3,6 1,1325 1,5591 0,2781 0,690 114,7
1,8605 3,8 1,1336 1,5572 0,2665 0,785 96,6
1,9479 4,0 1,1347 1,5561 0,2560 0,875 83,19
2,0353 4,2 1,1352 1,5543 0,2465 0,970 72,91
2,1233 4,4 1,1356 1,5526 0,2382 1,065 64,89
2,2119 4,6 1,1359 1,5514 0,2315 1,161 58,49
2,3009 4,8 1,1361 1,5501 0,2245 1,260 53,25
2,3902 5,0 1,1362 1,5489 0,2185 1,360 48,98
2,4800 5,2 1,1364 1,5481 0,2135 1,465 45,36
2,5693 5,4 1,1362 1,5463 0,2080 1,555 42,29
2,6596 5,6 1,1362 1,5456 0,2040 1,650 39,66
2,7501 5,8 1,1362 1,5449 0,2005 1,750 37,39 V
2,8398 6,0 1,1359 1,5430 0,1970 1,850 35,40
Hz (0, 0) = ДаЛ; Нг (р, 0) = Но [1 + £в (“) + •.- ]
Объем = Z (Я0/А)3 см3-
для катушки с минимальным объемом; таким образом умень-
шается чувствительность однородности к возможным ошибкам
в конструкции компенсирующего паза или зазора. Сверхпроводя-
щие катушки можно сделать относительно длинными (0 >4),
чтобы уменьшить остаточное поле и диамагнитные возмущения
поля за счет сверхпроводящего материала [8, 9]. Такие катушки
могут иметь достаточную длину, чтобы была применима конструк-
ция с внешним пазом. В табл. 22 приведены параметры ряда
катушек этого типа с минимальным объемом, взятые из работы [8].
§ 6. КОНТРОЛЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛЯ ПО ОСИ ДЛИННЫХ
СОЛЕНОИДОВ, СОСТОЯЩИХ ИЗ МНОГИХ ЭЛЕМЕНТОВ
В этом параграфе будет рассмотрен контроль распределения
поля по оси вдали от центральной зоны, где метод разложения
поля по полиномам в данной форме больше неприменим. Мы про-
иллюстрируем, во-первых, графический метод в применении
к длинному соленоиду и, во-вторых, более общий метод машин-
ного расчета.
1. Графический метод для формирования профиля поля
Чтобы получить определенный профиль поля по оси, мы можем
построить катушку, состоящую из ряда коротких катушек, и уста-
новить плотность тока (или уровень мощности) в каждой. Чем
больше элементов, тем точнее можно создать поле нужного про-
, филя, так как мы можем вообще определить поле при Таком числе
осевых точек, которое равно числу переменных. Эту методику
можно подтвердить графически, хотя ясно, что это затруднитель-
но при большом числе элементов.
Можно продемонстрировать графический метод в случае
длинного соленоида с постоянной плотностью тока, в котором
желательно расширить однородную область с помощью концевой
коррекции. Начнем с длинного полубесконечного соленоида
с а = 3 и предположим, что мы можем регулировать ток в самой
дальней области 0=1 (—1 < zla^ 0). Теперь мы можем взять
аксиальное распределение поля полубесконечного соленоида
(см. § 2) и сложить его с профилем поля, созданным избыточным
током в концевой области. Это показано на фиг. 129.
Если нам необходимо распределение поля более однородное
или более подробно контролируемое по сравнению с тем, что
мы можем получить коррекцией ток^. на одном конце катушки
или коррекцией тока на одном конце плюс зазор (задавая две
переменные), то мы должны переходить к большему числу эле-
ментов, и графический метод вскоре становится очень трудоем-
ким.
Ф и г. 129. Профиль поля на оси полубесконечного соленоида с а = 3,
ограниченного при z/a4 = 0, на конце которого находится корректирующая
катушка с а = 3, Р = 1 с относительной плотностью тока jclj.
1 — зс/з = 0; 2 —зс/з = 1,0; 3 — зс/з = 1,58. Обозначены границы зоны, где откло-
нение поля от его величины в центре не превышает ±6%.
2. Машинный расчет контроля аксиального профиля для соленоидов,
состоящих из многих элементов
В случае машинного расчета мы не просто формально исполь-
зуем рассмотрение, введенное графической методикой, как мы это
делаем для машинно-графического решения скомпенсированных
систем, используя разложение в ряд по полиномам, а существенно
расширим это рассмотрение. Вместо точного определения поля
в точках, число которых равно числу катушек (вследствие чего
мы рискуем получить чрезмерно высокое потребление мощности
или большое отклонение поля между нашими выбранными катуш-
ками), мы будем минимизировать статистический вес потребляемой
мощности и квадратичного отклонения поля.
Пусть мы имеем N катушек и М точек. В дальнейшем катушки
обозначаются индексом п, а точки, в которых определяется нуж-
ное значение поля,— индексом т. Из суммы полей, созданных
каждым элементом, находим отклонение поля dm от желаемого
значения его Нт в точке т:
n
&т = Нт (8.40)
n
где in — относительная плотность тока в n-м элементе, a hnin —
геометрическая зависимость, дающая поле в точке т, созданное
единичным током в катушке п. В катушке потребляется мощность
(8.41}
Решим задачу для ряда значений 1п, которые будут давать
минимальное значение статистического веса Q квадратичных
отклонений и потребляемой мощности:
Kd, rf23 +... л-кР1р^кР2р2+ ...). (8.42)
Выбирая все значения Кр равными, мы будем минимизировать
потребление мощности для данной однородности поля, причем
малые статистические веса для потребления мощности дают луч-
шее соответствие желаемому распределению поля за счет увели-
ченной мощности. Чтобы найти минимальное значение Q, возьмем
производные от (5 по току в каждом элементе и приравняем их
нулю; таким образом,
= A (Kdld\ +Kd& ч- • • • -h КР1Р1% -j- KP2p2% + ...) = 0; (8.43)
«-2 ... (8.44)
* = 0.
dii
Аналогично
Итак, мы имеем систему уравнений, причем число уравнений
равно числу элементов; для решения систем уравнений этого
типа удобно применить счетную машину.
На фиг. 130 показаны токи в катушке с р = 4, состоящей
из десяти одинаковых элементов — токовых слоев (по пяти по обе
стороны от средней плоскости); находим минимальное среднеквад-
ратичное отклонение поля в точках по всей длине катушки,
не пытаясь ограничить потребляемую мощность. Колебания вели-
чины тока очень значительны и приводят к большой величине
потребляемой мощности. Именно по этой причине важно включить
рассмотрение потребляемой мощности или, в случае сверхпрово-
дящих катушек, объем материала. Используя рассмотренную
выше методику, можно так определить потребляемую мощность,
чтобы сконструировать сверхэффективные катушки типа Гома
или Кельвина.
Этот метод минимизации сочетания отклонения поля и мощ-
ности является наиболее мощным при конструировании систем
соленоидов. Имеется несколько случаев, когда нельзя применить
ни этот метод, ни метод разложения по полиномам, рассмотрен-
z/a7/3
Ф и г. 130. Плотность тока в пяти одинаковых элементах — токовых слоях
равной длины, которые минимизируют квадратичное отклонение аксиального
поля по всей длине катушки с р = 4.
Величина тона на единицу длины создает центральное поле в 1 э.
ный в предшествующем параграфе. В обоих случаях .мы видим
те огромные преимущества, которые имеет счетная машина при
конструировании сложных магнитных систем.
§ 7. КАТУШКИ НЕКРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ
Как отмечалось ранее (§6 гл. 1), наиболее удобно выразить
поле для некруговой катушки с помощью полей, созданных раз-
личными ее элементами. В этом параграфе получены выражения
для полей, созданных такими элементами, а также путем сложе-
ния и наложения этих элементов моделированы некоторые общие
типы некруговых катушек.
Бесконечно малый элемент тока (фиг. 131а) создает в про-
странстве поле
,н / т dsxr 1/1° 1
Ю 1 I Г I3 " (;z24-J/24-z2)3/2 Ух
— X
dH = dHxt -Н dHyj -г dHzk,
dHx=—yyz + yzy, dHy = yxz—yzx, dHz= —yxy+yyx, (8.47)
где Yx, уу И yz — направляющие косинусы для элемента тока:
Фиг. 131а. Определение размерных параметров для поля, создаваемого
в пространстве бесконечно малым элементом тока [см. формулу (8.46)].
Фиг. 1316. Определение размерных параметров для поля, создаваемого
в пространстве бесконечно длинным токонесущим элементом, ориентирован-
ным параллельно оси z.
Если оси координат выбраны таким образом, что ось z парал-
лельна направлению тока (фиг. 1316), то имеем
dzdz — k, yz — 1, ух = уу = О, I = Iz = jz.dx dy.
Теперь мы можем представить формулу (8.47) в упрощенном виде
dH = ' jz . (8.48)
10 JZ (x2.±y2_]_z2)3/2
Если положить, что направление тока параллельно оси х или у,
то множитель yi — xj должен быть заменен соответственно либо
на zj — ук, либо на хк — zi.
Если не все токи в системе параллельны, то необходимо
в каждой части ее сделать упрощающий выбор координатных
осей, а рассчитанный вектор магнитного поля подвергнуть опе-
рации перестановки координат, чтобы выразить его в оконча-
тельной системе координат.
Мы можем проинтегрировать выражение (8.48) и получить
ряд удобных элементов, из которых можно составить большинство
катушек, встречающихся в практике.
1. Прямоугольные катушки бесконечной длины
Часто длина прямоугольных катушек существенно превышает
другие ее размеры, и вблизи центральной линии катушки можно
пренебречь концевыми эффектами. В этом случае мы можем счи-
тать катушку бесконечно длинной и рассматривать двумерную
задачу. Если не нужно знать величину поля с большой точностью,
то мы можем сделать дальнейшее упрощение, полагая, что два
бесконечно длинных прямоугольных бруска приближенно можно
считать эквивалентными бесконечно длинным проволокам, поме-
щенным в центре брусков (фиг. 132). Если требуется более высо-
кая точность, то мы можем считать, что брусок эквивалентен
набору бесконечно длинных проволок, каждая из которых поме-
щена в центре элементарного бруска, на которые подразделяется
первоначальный брусок. Для жаждого элемента имеем
и Iz f х г j Iz yi -—
10 J |г|3 “ , 10 х2 + у2 '
— оо
= То" ®2+у2 ’ (8.49)
гг _ т х
Hz = 0.
К, счастью, для получения большей точности мы не ограни-
чены только представлением бруска увеличенным числом эле-
ментов. Мы можем преобразовать интеграл по поперечному
Фиг. 133. Сложение четырех бесконечно длинных прямоугольных брусков
с общим ребром при а: — у = 0 для имитации бесконечно длинного прямо-
угольного бруска jR57W [см. (8.50)].
сечению. Результат упрощается путем применения принципа
суперпозиции (фиг. 133). Интегрирование по малому прямоуголь-
нику RSTW эквивалентно интегрированию по четырем прямо-
угольникам {OQSU — ОРТ U — OQRV + OPWV), в каждом
из которых нижний предед интегрирования равен нулю. Таким
образом,
j j/(x, y}dxdy = 2 (-l)m+n J y)dxdy = (8.50)
xi yi mt n=l 0 0
= 2 (-l)m+nF(xm,yn),
m, n=l
xm Уп
где F (xm, yn) = j j f(x, y) dxdy. (8.51)
0 0
Преобразование этого интеграла приводит к выражениям:
a>=w[fc1”I-TJ-2^aretg^] =
“Tirfv 1“^г^ + 2»г«ет]=-пг1^Ж(?),
+ <8-52)
" ТТГ [111 (* + v!) + 2Т «г»18 у] “ 75 (т),
где у = #2^2 и arctg у выражены в радианах.
Чтобы найти поле от прямоугольника RSTW, необходимо
только рассчитать выражение (8.52) для каждого из четырех
прямоугольников, имеющих общий угол в начале координат,
т. е. OQSU, OQRV, OPTU, OPWV, и сложить их. Это рассмотре-
ние с общим началом координат позволяет рассчитать все беско-
нечно длинные прямоугольные бруски любого поперечного сече-
ния и расстояния от той точки, где определяется величина поля,
оценивая относительно простую функцию четвертого порядка.
Для такого расчета необходимо протабулировать только одну
функцию для каждого элемента. Эти универсальные функции
(т) и а$у (?) представлены на фиг. 134.
Для особого случая поля на центральной линии двух брусков
(фиг. 135) можно представить поле в виде
Ях = 0,
— 0,4/Д [(а2 2fearctg —
~ (ailn-A^— г- 2&arctg -у-)] (—) —
(8.53)
Чтобы определить поле в этой средней точке, необходимо опреде-
лить два значения универсальной функции из графика на фиг. 134.
Фиг. 134. Функции поля, используемые в формуле (8.52) для нахождения
поля в пространстве от бесконечно длинного прямоугольного бруска с ребром
при х = у = 0.
Фиг. 135. Определение для двух бесконечно длинных прямоугольных брусков
размерных параметров, используемых совместно с уравнением (8.53) для
определения величины поля в средней точке.
2. Прямоугольные седлообразные и квадрупольные катушки
бесконечной длины
Катушки часто наматываются на поверхность цилиндров
(фиг. 136). Пара катушек относится к седлообразным катуш-
кам, или диполям, а система из четырех катушек — к квадруполь-
ным. Можно создать магнитное поле, имеющее идеальные харак-
Ф и г. 136. Седлообразные катушки, намотанные на поверхность цилиндра.
а — катушки, создающие однородное поперечное поле, относятся в основном к диполь-
ным катушкам; б — четыре катушки, создающие квадрупольное поле.
теристики — однородность в случае диполей или постоянный
градиент в случае квадрупольных катушек, если плотность тока
непрерывно меняется должным образом с круговым углом [11, 12].
3. Прямоугольные катушки конечной длины
Когда длина катушки сравнима с ее шириной или когда рас-
считываются поля около концов катушки, то необходимо исполь-
зовать формулы для катушки конечной длины.
Если мы ограничим проволоку, изображенную на фиг. 131а,
значениями z± = 0 и z2 = z (полагаем, что поле определяется
в точке z = 0) и изменим соответственно предел интегрирования
в формуле (8.49), то найдем, что проволока конечной длины создает
в начале координат (х = у = z = 0) поле
JJ ____ Iz X Г_________Z2____________________'Z1________"1
Х ЧГ *24-3,2 L (*24_у24-г|)1/2 (i;24-jZ24_z2)1/2 J>
н„ =- — Jz_ У Г_________________________________h----------
у 10 *24-1,2 L («2_|_Sf2_|_za)1/2 (a;24-y24-Z2)1/2
В особом случае полей, направленных вдоль оси прямоуголь-
ной проволочной петли (фиг. 137), мы можем комбинировать
выражения для отдельных сторон прямоугольника, чтобы обра-
зовать относительно простое выражение:
1 тт I_тт _ л Lт Г 2____________________I z___________У______1
1 ’ I */2-Н2 (х2^у2Цгг2)1/2 ”Га;2_|_22 ^x2Jry2J^z2)1/2 J •
(8.55)
Можно написать также выражение для прямоугольного бру-
ска конечной длины. Компоненты поля для такого бруска, огра-
ниченного значениями zt — 0 и z2 = z, представлены тройными
Фиг. 137. Определение
размерных параметров,
использованных вместе
с уравнением (8.54) для
нахождения поля на оси
прямоугольной петли с
током.
интегралами (8.56). Как и в формуле (8.50), мы используем супер-
позицию брусков конечной длины, имеющих общий угол в начале
координат; это позволяет избежать ненулевых нижних пределов
интегрирования. Таким образом,
Я2-0,
ООО
_______У_____
^ + y^ + z^)3/2
dx dy dz,
(8.56)
Нх
----------------dx-dy dz.
(a;2_|_^2 + z2)3/2
Для упрощения указанного интегрирования существенна его
последовательность:
{г [arsh i - arsh +
+ X [arshi-arsh^A^] +i,aretg , J (8-57)
Ну — — -Г z Гarsh — — arsh------ 1 +
У Ю I L Z (x2_L22)1/2j
4-У [arsharsh - z-^-1 + хarctg 1/2} .
I У (х2‘-\-У2‘) х (x2-\-y2-\-z2)
Можно получить эквивалентные формы, включающие натураль-
Ф и г. 138а. Функция поля, использованная в уравнении (8.60) для опреде-
ления компоненты поля по оси х, созданного прямоугольным бруском (коор-
дината z изменяется от 0 до z и одно ребро бруска соответствует х = у = 0).
Высота бруска у, а ширина нормирована к единице.
ные логарифмы вместо обратных гиперболических синусов,
используя равенство
arsh± = ln *+(*2+*2)1/2 . (8.58)
Выражения в формулах (8.57) можно написать, используя нор-
мированные расстояния; таким образом,
хп = Уп = — ч zn = — , (8.59)
где с —любая удобная характеристическая длина. Тогда мы
имеем просто
Нх = ^Ж(хп, уп, zn),
. (8-60)
Ну— Jq- oliyi&m Уп, ^п)ч
Ф и г. 1386. Функция поля, использованная в уравнении (8.60) для опреде-
ления компоненты поля по оси у, созданного прямоугольным бруском (коорди-
ната z изменяется от 0 до z, а одно ребро бруска соответствует х = у = 0).
Высота бруска у, а ширина нормирована к единице.
Фиг. 139. Приближенное представлениё^прямоугольной катушки суперпо-
зицией четырех конечных прямоугольных брусков.
где о№* и S£y определяются из формул (8.57) путем замены я на хп,
у на уп и z на zn. На фиг. 138а и 1386 представлены функции
и 3£у с нормированным параметром с = х, так что хп = 1,
и поэтому функция зависит только от двух (но не трех) параметров.
Выражения (8.60) очень полезны при нахождении распределе-
ния поля катушек различных конструкций. Например, достаточ-
но точный расчет поля от прямоугольной катушки, изображенной
на фиг. 139, можно произвести в предположении, что эквивалент-
ное поле создается четырьмя брусками конечных размеров, сов-
мещенными, как показано на этой схеме. Если можно восполь-
зоваться счетной машиной и если рассматривать катушку не-
прямоугольного сечения, то ее можно представить как совокуп-
ность конечного числа катушек прямоугольного сечения мень-
ших размеров, ориентированных в любом направлении. Выбран-
ные элементы не следует, конечно, путать с элементами, из кото-
рых катушка построена; они выбираются исключительно для
удобства, чтобы суперпозиция полей этих элементов дала наилуч-
шее приближение к полю данной катушки.
Таблица 23
РАССЧИТАННЫЕ ТАБЛИЦЫ
ДЛЯ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ И КОНСТРУИРОВАНИЯ СКОМПЕНСИРОВАННЫХ
СИСТЕМ КАТУШЕК С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ ТОКА
Определения:
(-) 0,357153 (—) 0,2 = (—) 0,357153-10-2
альфа — ос — а2/а
бета= р = 6/а1
F = F(a, Р) = уравнение (1.11)
F*E2 = F (а, Р)Я2 (а, Р)
F*E4 = F (а, Р)Я4(а, Р)
^6 = F (а, Р)Я6(а, Р)
F*E2A = F (а, Р) Е2 (а, Р) а
F*E4*A**3 = F (а, Р) Е4 (а, Р) а3
F*E6*A**5 = F (а, Р) Eq (а, Р) «5
[табл. 14]
[табл. 14]
[табл. 14]
[уравнение (8.28)]
[уравнение (8.28)]
[уравнение (8.28)]
ALPHA BETA F F * E2 F * E4
1,02000 ,10000 ,002476 -,357153-02 ,423817-02
1,02000 ,20000 ,004882 -,664832-02 ,715055-02
1,02000 ,30000 ,007156 -,888690-02 ,811519-02
1,02000 ,40000 ,009254 -,101691-01 ,736428-02
1,02000 ,50000 ,011151 -,105774-01 ,562865-02
1,02000 ,60000 ,012836 -,103126-01 ,365471-02
1,02000 ,70000 ,014317 -,960650-02 ,193056-02
1,02000 ,80000 ,015605 -,866417-02 ,654692-03
1,02000 ,90000 ,016720 -,763874-02 -,171270-03
1,02000 1,00000 ,017683 -,663025-02 -,636498-03
1,02000 1,10000 ,018513 -,569561-02 -,849450-03
1,02000 1,20000 ,019228 -,486134-02 -,903681-03
1,02000 1,30000 ,019847 -,413463-02 -,867865-03
1,02000 1,40000 ,020382 -,351162-02 -,787500-03
1,02000 1,50000 ,020847 -,298295-02 -,690369-03
1,02000 1,60000 ,021253 -,253711-02 -,592164-03
1,02000 1,70000 ,021607 -,216241-02 -,500895-03
1,02000 1,80000 ,021918 -,184792-02 -,419994-03
1,02000 1,90000 ,022192 -,158394-02 -,350319-03
1,02000 2,00000 ,022434 -,136211-02 -,291397-03
1,02000 2,10000 ,022649 -,117534-02 -,242142-03
1,02000 2,20000 ,022841 -,101771-02 -,201265-03
1,02000 2,30000 ,023012 -,884306-03 -,167484-03
1,02000 2,40000 ,023165 -,771059-03 ,-,139630-03
1,02000 2,50000 ,023303 -,674616-03 -,116675-03
1,02000 2,60000 ,023427 -,592215-03 -,977521-04
1,02000 2,70000 ,023540 -,521576-03 -,821324-04
1,02000 2,80000 ,023642 -,460821-03 -,692166-04
l,02Q00 2,90000 ,023734 -,408394-03 -,585133-04
1,02000 3,00000 ,023819 -,363006-03 -,496209-04
1,02000 3,20000 ,023967 -,289247-03 -,360243-04
1,02000 3,40000 ,024092 -,232940-03 -,264809-04
1,02000 3,60000 ,024198 -,189454-03 -,197015-04
1,02000 3,80000 ,024289 -,155500-03 -,148275-04
1,02000 4,00000 ,024368 -,128716-03 -,112821-04
1,02000 4,20000 ,024436 -,107385-03 -,867355-05
1,02000 4,40000 ,024496 -,902436-04 -,673347-05
1,02000 4,60000 ,024548 -,763536-04 -,527553-05
1,02000 4,80000 ,024594 -,650098-04 -,416910-05
1,02000 5,00000 ,024635 -,556774-04 -,332158-05
1,02000 5,20000 ,024672 -,479471-04 -,266666-05
1,02000 5,40000 ,024704 -,415026-04 -,215634-05
1,02000 5,60000 ,024734 -,360973-04 -,175554-05
1,02000 5,80000 ,024760 -,315382-04 -,143842-05
1,02000 6,00000 ,024784 -,276720-04 -,118572-05
F ♦ Еб
F*E2*A F»E4* A**3 F*E6* A**5
-,455650-02
-,675966-02
-,585854-02
-,327736-02
-,712672-03
,917569-03
,154895-02
,152336-02
,120637-02
,835872-03
,521763т03
,293587—03
,143610-03
,525659-04
,149992-05
-,243551-04
-,352430-04
-,377750-04
-,359973-04
-,322743-04
-,279212-04
-,236246-04
-,197080-04
-,162931-04
-,133950-04
-,109775-04
-,898302-05
-,734910-05
-,601633-05
-,493171-05
-,333299-05
-,227422-05
-,156873-05
-,109450-05
-,772476-06
-,551422-06
-,398000-06
-,290341-06
-,213977-06
-,159243-06
-,119615-06
-,906457-07
-,692715-07
-,533612-07
-,414177-07
-,364296-02
-,678129-02
-,906463-02
-,103725-01
-,107890-01
-,105188-01
-,979863-02
-,883745-02
-,779151-02
-,676285-02
-,580953-02
-,495857-02
-,421732-02
-,358185-02
-,304260-02
-,258786-02
-,220566-02
-.188488-02
-,161562-02
-,1^8935-02
-,119885-02
-,103807-02
-,901993-03
-,786481-03
-,688108-03
-,604059-03
-,532008-03
-,470037-03
-,416562-03
-,370266-03
-,295032-03
-,237599-03
-,193243-03
-,158610-03
-,131290-03
-,109533-03
-,920485-04
-,778807-04
-,663100-04
-,567910-04
-,489060-04
-,423326-04
-,368193-04
-,321689-04
-,282255-04
,449758-02
,758822-02
,861190-02
,781503-02
,597317-02
,387841-02
,204872-02
,694765-03
-,181753-03
-,675457-03
-,901443-03
-,958993-03
-,920985-03
-,835702-03
-,732625-03
-,628409-03
-,531554-03
-,445701-03
-,371762-03
-,309232-03
-,256963-03
-,213584-03
-,177736-03
-,148176-03
-,123817-03
-,103735-03
-,871596-04
-,734532-04
-,620948-04
-,526580-04
-,382293-04
-,281017-04
-,209074-04
-,157351-04
-,119726-04
-,920444-05
-,714561-05
-,559843-05
-,442428-05
-,352489-05
-,282988-05
-,228832-05
-,186300-05
-,152646-05
-,125830-05
-,503075-02
-,746321-02
-,646831-02
-,361847-02
-,786847-03
,101307-02
,171017-02
,168191-02
,133193-02
,922870-03
,576069-03
,324144-03
,158557-03
,580370-04
,165603-05
-,268900-04
-,389111-04
-,417066-04
-,397439-04
-,356334-04
-,308272-04
-,260835-04
-,217592-04
-,179889-04
-,147892-04
-,121201-04
-,991798-05
-,811400-05
-,664251-05
-,544501-05
-,367989-05
-,251092-05
-,173201-05
-,120842-05
-,852875-06
-,608815-06
-,439424-06
-,320559-06
-,236248-06
-,175817-06
-,132064-06
-,100080-06
-,764813-07
-,589151-07
-,457285-07
ALPHA BETA
F
F * E2
F * ЕЧ-
1,04000 ,10000 ,004905 -,694224-02 ,808467-02
1,04000 ,20000 ,009673 -,129395-01 ,136898-01
1,04000 ,30000 ,014185 -,173318-01 ,156147-01
1,04000 ,40000 ,018353 -,198834-01 ,142693-01
1,04000 ,50000 ,022126 -,207419-01 ,110078-01
1,04000 ,60000 ,025487 -,202842-01 ,724048-02
1,04000 ,70000 ,028444 -,189531-01 ,390955-02
1,04000 ,80000 ,031022 -,171442-01 ,141450-02
1,04000 ,90000 ,033258 -,151570-01 -,223022-03
1,04000 1,00000 ,035190 -,131895-01 -,116273-02
1,04000 1,10000 ,036858 -,113566-01 -,160768-02
1,04000 1,20000 ,038299 -,971345-02 -,173689-02
1,04000 1,30000 ,039546 -,827696-02 -,168384-02
1,04000 1,40000 ,040626 -,704163-02 -,153816-02
1,04000 1,50000 ,041566 -,599051-02 -,135540-02
1,04000 1,60000 ,042385 -,510200-02 -,116742-02
1,04000 1,70000 ,043102 -,435370-02 -,990893-03
1,04000 1,80000 ,043732 -,372449-02 -,633274-03
1,04000 1,90000 ,044287 -,319549-02 -,696781-03
1,04000 2,00000 ,044778 -,275031-02 -,580845-03
1,04000 2,10000 ,045214 -,237502-02 -,483583-03
1,04000 2,20000 ,045602 -,205793-02 -,402622-03
1,04000 2,30000 ,045949 -,178928-02 -,335544-03
1,04000 2,40000 ,046261 -,156102-02 -,280110-03
1,04000 2,50000 ,046541 -,136647-02 -,234340-03
1,04000 2,60000 ,046793 -,120011-02 -,196542-03
1,04000 2,70000 ,047022 -,105741-02 -,165296-03
1,04000 2,80000 ,047229 -,934600-03 -,139424-03
1,04000 2,90000 ,047418 -,828562-03 -,117957-03
1,04000 3,00000 ,047590 -,736714-03 -,100103-03
1,04000 3,20000 ,047891 -,587354-03 -,727655-04
1,04000 3,40000 ,048145 -,473243-03 -,535455-04
1,04000 3,60000 ,048362 -,385054-03 -,398733-04
1,04000 3,80000 ,048547 -,316157-03 -,300322-04
1,04000 4,00000 ,048707 -,261781-03 -,228663-04
1,04000 4,20000 ,048845 -,218457-03 -,175896-04
1,04000 4,40000 ,048967 -,183628-03 -,136621-04
1,04000 4,60000 ,049073. -,155397-03 -,107087-04
1,04000 4,80000 ,049167 -,132334-03 -,846609-05
1,04000 5,00000 ,049251 -,113355-03 -,674741-05
1,04000 5,20000 ,049325 -,976310-04 -,541869-05
1,04000 5,40000 ,049392 -,845194-04 -,438292-05
1,04000 5,60000 ,049452 -,735204-04 -,356917-05
1,04000 5,80000 ,049505 -,642414-04 -,292508-05
1,04000 6,00000 ,049554 -,563716-04 -t,241170-05
F » Е6
F»E2*A
F»E4* A**3 F*E6« A*»5
-,864487-02
-,127469-01
-,111705-01
-,636518-02
-,153757-02
,161394-02
,289198-02
,290527-02
,233582-02
,164077-02
,103903-02
,595115-03
,299277-03
,117134-03
,132422-04
-,406431-04
-,644327-04
-,711511-04
-,688702-04
-,623669-04
-,543405-04
-,462288-04
-,387320-04
-,321348-04
-,264980-04
-,217712-04
-,178551-04
-,146358-04
-,120021-04
-,985337-05
-,667645-05
-,456526-05
-,315460-05
-,220423-05
-,155765-05
-,111311-05
-,804164-06
-,587115-06
-,433005-06
-,322447-06
-,242341-06
-,183741-06
-,140478-06
-,108256-06
-,840561-07
-,721993-02
-,134571-01
-,180250-01
-,206787-01
-,215716-01
-,210956-01
-,197112-01
-,178300-01
-,157632-01
-,137170-01
-,118108-01
-,101020-01
-,860804-02
-,732329-02
-,623013-02
-,530608-02
-,452784-02
-,387347-02
-,332331-02
-,286033-02
-,247002-02
-,214024-02
-,186085-02
-,162346-02
-,142113-02
-,124812-02
-,109971-02
-,971983-03
-,861704-03
-,766183-03
-,610848-03
-,492173-03
-,400456-03
-,328803-03
-,272253-03
-,227195-03
-,190974-03
-,161613-03
-,137627-03
-,117890-03
-,101536-03
-,879002-04
-,764612-04
-,668110-04
-,566265-04
,909415-02
,153992-01
,175644-01
,160510-01
,123823-01
,814455-02
,439771-02
,159123-02
-,250869-03
-,130791-02
-,180842-02
-,195377-02
-,189409-02
-,173022-02
-,152464-02
-,131319-02
-,111462-02
-,937320-03
-,783784-03
-,653372-03
-,543965-03
-,452895-03
-,377442-03
-,315086-03
-,263601-03
-,221083-03
-,185935-03
-,156833-03
-,132686-03
-,112602-03
-,818513-04
-,602314-04
-,448520-04
-,337821-04
-,257215-04
-,197859-04
-,153680-04
-,120458-04
-,952320-05
-,758992-05
-,609529-05
-,493019-05
-,401483-05
-,329032-05
-,271284-05
-,105178-01
-,155085-01
-,135906-01
-,776855-02
-,187068-02
,196360-02
,351854-02
,353471-02
,284189-02
,199624-02
,126414-02
,724048-03
,364116-03
,142512-03
,161111-04
-,494486-04
-,783922-04
-,865662-04
-,837911-04
-,758789-04
-,661136-04
-,562444-04
-,471234-04
-,390968-04
-,322388-04
-,264880-04
-,217235-04
-,178067-04
-,146024-04
-,119881-04
-,812293-05
-,555433-05
-,383806-05
-,268178-05
-,189512-05
-,135427-05
-,978388-06
-,714315-06.
-,526816-06
-,392307-06
-,294845-06
-,223549-06
-,170912-06
-,131710-06
-,102267-06
ALPHA BETA
F
F • E2 F • E4
1,06000 ,10000 ,007268 -,101267-01 ,11589*-01
1,06000 ,20000 ,01*376 -,188985-01 ,196778-01
1,06000 ,30000 ,021069 -,253622-01 ,225511-01
1,06000 ,40000 ,027300 -,29167*-01 ,207*37-01
1,06000 ,50000 ,032932 -,305113-01 ,161*25-01
1,06000 ,60000 ,037957 -,299257-01 ,107*75-01
1,06000 ,70000 ,0*2385 -,280**2-01 •59216*-02
1,06000 ,80000 ,0*625* -,25**02-01 ,226502-02
1,06000 ,90000 ,0*961* -,225521-01 -,166606-03
1,06000 1,00000 ,052523 -,196737-01 -,158630-02
1,06000 1,10000 ,055036 -,169785-01 -,227918-02
1,06000 1,20000 ,05721* -,1*5521-01 -,250191-02
1,06000 1,30000 ,059098 -,12*232-01 -,2**878-02
1,06000 1,40000 ,060733 -,105867-01 -,22520*-02
1,06000 1,50000 ,062155 -,901995-02 -,199*73-02
1,06000 1,60000 ,063397 -,7692*2-02 -,17252*-02
1,06000 1,70000 ,06**65 -,657205-02 -,1*69*3-02
1,06000 1,80000 ,065**1 -,562828-02 -,123931-02
1,06000 1,90000 ,06626* -,*83352-02 -,103891-02
1,06000 2,00000 •067030 -,*16373-02 -,8679*2-03
1,06000 2,10000 ,067693 -,359836-02 -,723989-03
1,06000 2,20000 ,06828* -,312011-02 -,603799-03
1,06000 2,30000 ,068812 -,271*52-02 -,503961-03
1,06000 2,40000 •069286 -,236957-02 -,*21266-03
1,06000 2,50000 ,069712 -,207532-02 -,35285*-03
1,06000 2,60000 ,070097 -,182353-02 -,296260-03
1,06000 2,70000 ,070**5 -,160738-02 -,2*9*03-03
1^06000 2,80000 ,070762 -,1*2125-02 -,210552-03
1,06000 ' 2,90000 ,0710*9 -,1260*5-02 -,178277-03
1,06000 3,00000 ,071311 -,112109-02 -,151*0*-03
1,06000 3,20000 ,071771 -,89*317-03 -,110197-03
1,06000 3,40000 ,072159 -,720923-03 -,811777-0*
1,06000 3,60000 ,072*69 -,586825-03 -,60505*-0*
1,06000 3,80000 ,072772 -,*81999-03 -,*56079-0*
1,06000 4,00000 ,073016 -,399225-03 -,3*7*91-0*
1,06000 4,20000 ,073228 —,3332**-03 -,267*60-0*
1,06000 4,40000 ^073*13 -,280183-03 -,2078*7-0*
1,06000 4,60000 ,073576 -,237156-03 -,162990-0*
1,06000 4,80000 ,073720 -,201997-03 -,128906-0*
1,06000 5,00000 ,0738*7 -,173056-03 -,102775-0*
1,06000 5,20000 ,073961 -,1*9072-03 -,825628-05
1,06000 5,40000 ,07*062 -,129070-03 -,668001-05
1,06000 5,60000 ,07*15* •,112286-03 -,5**115-05
1,06000 5,80000 ,07*236 -,981252-0* -,**6027-05
1,06000 6,00000 ,07*311 -,861130-0* -,367822-05
F • E6
F*E2*A F*E4* A»*3
F*E6» A**5
-,122027-01
-,180651-01
-,159878-01
-,932062-02
-,244335-02
,212137-02
,404967-02
,415433-02
,338936-02
,241232-02
,154868-02
,901870-03
,465027-03
,192405-03
,344390-04
-,493053-04
-,877945-04
-,100227-03
-,986455-04
-,902691-04
-,792331-04
-,677824-04
-,570421-04
-,474980-04
-,392857-04
-,323618-04
-,266005-04
-,218474-04
-,179471-04
-,147569-04
-,100254-04
-,686998-05
-,475569-05
-,332797-05
-,235478-05
-,168460-05
-,121819-05
-,890134-06
-,656964-06
-,489539-06
-,368132-06
-,279257-06
-,213601-06
-,164674-06
-,127909-06
-,107343-01
-,200324-01
-,268840-01
-,309175-01
-,323420-01
-,317212-01
-,297269-01
-,269666-01
-,239052-01
-,208541-01
-,179972-01
-,154252-01
-,131686-01
-,112220-01
-,956115-02
-,815397-02
-,696638-02
-,596598-02
-,512354-02
-,441356-02
-,381426-02
-,330732-02
-,287739-02
-,251175-02
-,219984-02
-,193294-02
-,170383-02
-,150652-02
-,133607-02
-,118836-02
-,947977-03
-,764178-03
-,622034-03
-,510919-03
-,423178-03
-,353239-03
-,296994-03
-,251386-03
-,214116-05
-,183440-03
-,158017-03
-,136814-03
-,119024-03
-,104013-03
-,912798-04
,138032-01
,234366-01
,266587-01
,247060-01
,192259-01
,128004-01
,705277-02
,269768-02
-,198430-03
-,188931-02
-,271454-02
-,297982-02
-,291654-02
-,268222-02
-,237575-02
-,205479-02
-,175011-02
-,147603-02
-,123736-02
-,103373-02
-,862283-03
-,719134-03
-,600225-03
-,501734-03
-,420254-03
-,352850-03
-,297044-03
-,250771-03
-,212331-03
-,180324-03
-,131247-03
-,966839-04
-,720628-04
-,543197-04
-,413867-04
-,318550-04
—,247550—04
-,194124-04
-,153532-04
-,122407-04
-,983336-05
-,795599-05
-,648049-05
-,531225-05
-,438081-05
-,163299-01
-,241752-01
-,213953-01
-,124731-01
-,326976-02
,283887-02
,541937-02
,555943-02
,453572-02
,322823-02
,207248-02
,120691-02
,622312-03
,257481-03
,460872-04
-,659816-04
-,117489-03
-,134126-03
-,132010-03r \
-,120800-03 >
-,106032-03
-,907082-04
-,763352-04
-,635630-04
-,525731-04
-,433074-04
-,355975-04
-,292367-04
-,240173-04
-,197481-04
-,134162-04
-,919359-05
-,636418-05
-,445357-05
-,315123-05
-,225438-05
-,163022-05
-,119120-05
-,879165-06
-,655114-06
-,492644-06
-,373708-06
-,285846-06
-,220371-06
-,171172-06
ALPHA BETA
F * E2
F » E4
1,08000 ,10000 ,009627 -,131384-01 ,147852-01
1,06000 ,20000 ,018994 -,245477-01 _ ,251696-01
.1,08000 ,30000 ,027874 -,330041-01 ,289719-01
1,08000 ,40000 9036101 -,380443-01 ,268147-01
1,08000 ,50000 ,043572 -,399030-01 ,210390-01
1,08000 ,60000 ,050249 -,392475-01 ,141681-01
1,08000 ,70000 ,056144 -,368848-01 ,795341-02
1,08000 ,80000 ,061303 -,335528-01 ,319257-02
1,08000 ,90000 ,065792 -,298219-01 -,126998-04
1,08000 1,00000 ,069684 -,260795-01 -,191456-02
1,08000 1,10000 ,073054 -,225574-01 -,286845-02
1,08000 1,20000 ,075972 -,193733-01 -,320113-02
1,08000 1,30000 ,078503 -,165697-01 -,316373-02
1,06000 1,40000 ,060701 -,141438-01 -,292935-02
1,08000 1,50000 ,082616 -,120686-01 -,260813-02
1,06000 1,60000 ,084289 -,103062-01 -,226519-02
1,08000 1,70000 - ,085755 -,881568-02_ -,193599-02
1,08000 1,80000 ,087045 -,755784-02 -,163760-02
1,06000 1,90000 ,088183 -,649688-02 -,137626-02
1,08000 2,00000 ,089191 -,560145-02 -,115230-02
1,08000 2,10000 ,090087 -,484465-02 -,963040-03
1,06000 2,20000 ,090885 -,420371-02 -,804531-03
1,08000 2,30000 ,091600 -,365959-02 -,672518-03
1,08000 2,40000 ,092241 -,319639-02 -,562924-03
1,08000 2,50000 ,092818 -,280093-02 -,472079-03
1,08000 2,60000 ,093339 -,246227-02 -,396795-03
1,08000 2,70000 ,093810 -,217136-02 -,334367-03
1,08000 2,80000 ,094238 -,192067-02 -,282533-03
1,08000 2,90000 ,094628 -,170398-02 -,239418-03
1,08000 3,00000 ,094984 -,151609-02 -,203479-03
1,08000 3,20000 ,095607 -,121013-02 -,148292-03
1,08000 3,40000 ,096133 -,975987-03 -,109360-03
1,08000 3,60000 ,096580 -,794784-03 -,815872-04
1,08000 3,80000 ,096964 -,653049-03 -,615482-04
1,08000 4,00000 "Т~097295 -,541073-03 -,469266-04
1,08000 4,20000 ,097583 -,451774-03 -,361406-04
1,08000 4,40000 ,097834 -,379932-03 -,281002-04
1,08000 4,60000 ,098055 -,321657-03 -,220458-04
1,08000 4,80000 ,098250 -,274022-03 -,174431-04
1,08,000 5,00000 ,098423 -,234802-03 -,139120-04
1,08000 5,20000 ,098578 -,202291-03 -,111795-04
1,08000 5,40000 ,098716 -,175171-03 -,904778-05
1,08000 5,60000 ,098840 -,152412-03 -,737172-05
1,08000 5,60000 ,098952 -,133205-03 -,604424-05
1,06000 6,00000 ,099053 -,116910-03 -,4985S1m*5.
F ♦ Е6
F*E2*A
F*E4* A**3
F*E6* A**5
-,1535U8-01 -,227874-0i -,203573-01 -,120843-01 -,340432-02 ,246829-02 ,504117-02 ,527927-02 ,436866-02 -,141894-01 -,265115-01 -,356444-01 -,410879-01 -,430952-01 -,423873-01 -,398356-01 -,362370-01 -,322077-01 ,186251-01 ,317064-01 ,364963-01 ,337788-01 ,265031-01 ,178477-01 ,100190-01 ,402172-02 -,159980-04 -,225612-01 -,334821-01 -,299116-01 -,177558-01 -,500206-02 ,362673-02 ,740713-02 ,775698-02 ,641899-02
,314884-02 -,281659-01 -,241180-02 ,462669-02
,204807-02 -,243620-01 -,361342-02 ,300929-02
,121142-02 -,209232-01 -,403251-02 ,177997-02
,639005-03 -,178953-01 -,398538-02 ,938908-03
,277124-03 -,152753-01 -,369014-02 ,407186-03
,643070-04 -,130341-01 -,328549-02 ,944880-04
-,507970-04 -,111307-01 -,285348-02 -,746375-04
-,105571-03 -,952094-02 -,243879-02 -,155119-03
-,125115-03 -,816247-02 -,206290-02 -,183836-03
-,125364-03 -,701663-02 -,173369-02 -,184202-03
-,115982-03 -,604957-02 -,145157-02 -,170416-03
-,102582-03 -,523222-02 -,121315-02 -,150726-03
-,882606-04 -,454001-02 -,101348-02 -,129684-03 2
-,746122-04 -,395235-02 -,847179-03 -,109630-03
-,623583-04 -,345210-02 -,709122-03 -,916248-04
-,517367-04 -,302500-02 -,594683-03 -,760182-04
-,427311-04 -,265925-02 -,499847-03 -,627860-04
-,352042-04 -,234506-02 -,421206-03 -,517265-04
-,289716-04 -,207433-02 -,355910-03 -,425688-04
-,238416-04 -,184030-02 -,301598-03 -,350312-04
-,196345-04 -,163738-02 -,256325-03 -,288495-04
-,133748-04 -,130694-02 -,186805-03 -,196519-04
-,918527-05 -,105407-02 -,137762-03 -,134962-04
-,637001-05 -,858366-03 -,102776-03 -,935963-05
-,446449-05 -,705293-03 -,'775330-04 -,655979-05
-,316308-05 -,584359-03 -,591140-04 -,464759-05
-,226539-05 -,487916-03 -,455268-04 -,332861-05
-,163978-05 -,410327-03 -,353981-04 -,240937-05
-,119920-05 -,347390-03 -,277713-04 -,176202-05
-,885728-06 -,295944-03 -,219732-04 -,130142-05
-,660437-06 -,253586-03 -,175251-04 -,970398-06
-,496936-06 -,218475-03 -,140830-04 -,730163-06
-,377160-06 -,189185-03 -,113976-04 -,554172-06
-,288620-06 -,164605-03 -,928624-05 -,424078-06
-,222603-06 -,143861-03 -,761400-05 -,327076-06
-,172970-08 -,126263-03 -,628031-05 -,254150-06
ОНМООО'ЮШ^
Г* N (МЛ Г* S (МО ©
Г* О4<М<ЛГ"*0Ч*4СМ
Ю К» 1*5 СМ -* 0» 4 СМ
<MCMCMCMCM<MCM<MCMCM
оооооооооо
I I I I I I I t I I
1ЛФГ»Ю(МФО4О1П
Ф0'ОФ440'^Г^4
40'Ь*-О'О1ПФОЬ»Ф
юг*юсмг*0'Ф01смо
НЮФФЩНМООЬ
СМХЭЮЮЮЮ<МСМСМ»4
СМСМСМИЮЮЮЮЮЮ
оооооооооо
I I I I I I I I I I
ЬЮФЬ4Р*ЬО\Ф1Л
(Л41ЛОНМО(ЛФЛ1
К)О4О0'ФООСМЮ
ЮОО^4«^ФО<Л«Ч
4СМО4ОО101СМЮО
НННС0МЛ4 4ЮЮ
I I I I I
Ю ю Ю ЮО
о о о о о
I I I I I
in см ф ф ю
со см Ь- О Ю
СМ О О «М 4
Ф Ь СО Ю СО
in ф го о
ем -« *4 г*
о о о о о
В В I в в
1Л со О' Ю 4
4 О Ф со см
01 О 4 СМ
Ю Ь* Ф О' «Г«
011Л 1Л ь см
1Л 4 Ю см см
В В В 8 В
1Л Ф со
1Л
8
ооооооооо
8 8 1 8 8 8 8 8 8
1Л НО©(Л Ю©©(^
oi ф^1лгоо01<м4
фо© юю'ф ф ю
О» 01 (МАЛ 01 см 4 4 Ch
Щ 01 О&0 со СО 1Л •-• Ф
(М 4!;Ь 4- О’ о- 4 Ю
в Г । ГГ Г*Г*1 ।
•^^^^^^е4«-1СМСМ
оооооооооо
I I I I I I I I I I
Г* Ф 4 о со СО О СО ю см
И01ююс1ю-кмг*4
□ ФЬ «ц О Ю 4 Ф —4 4
4 О —4»Ь* Г4 Н О) О Н <О
СМ СО 4-\р Г* in СМ -* 1Л
Ю CM CMJCM -• -4 -i 01 со
। । । । Г* Г Г* I**
(мсмсмсмсмсмсмсмсмсм
оооооооооо
I I I I I I I I I I
Ф1ЛФ1ЛЮГ)4ФФ01
1ЛННОНОннР-О
(МЮФ4*4ПФО1<М01
Ф-МОСМ44-44 го 1Л
От-1П\001Лг-»Г*4 г*
Г^ЧОЮ4*4*»ОЮСМСМСМ
I • I I I В I I I I
см см см го
о о о о
Bill
Ф 4 1Л О
Ь 4 01 Ю
4 со со Ю
см го Ю О 01
01 ю см о см
нннн©
в в в I в
июю ю ю
О О о о о
в в в в в
Н К) Ю Ю М
1Л Г* О СМ го
1О О 01 01 4
4 СМ Ф СО
СО ь» со О 4
Ф 1Л 4 4 ВО
I 8 В I В
4 СО СМ 4 МЭ
VH 04 w 01
М) и Ф 014
ао см ю а»
01 1Л СМ 01 Ф
СМ СМ СМ »4
। । в е в
10014 О 01 1Л 4 4
СМСМ4Ю(Л'ОСМГ^01
011Л1ЛГ-ОЮГ-ТЧГ-
*м Ю 4 44 СМ 01 to -•
«НСМЮ4(Л'ОФГ^СО
ООООООООО
4 Ь Ф СМ СМ
Г- О Г* Ф ю
Ф 01 1Л Р* 1Л
Ф О 4 Г» О
СО О' 01 01 о
О О о О
г* о см го ю
4 Ф -< 4 Ф
01 О О1 1Л 01
СМ Ю Ф СО 01
о о о о о
01 4 Ф Н4Ф Ь«Ф 01 4 Ю Г* Ф 4 СМ 10 0101-4 01 01 Ф <М О (М
Ю 01 О-4 СМ Ю «м-е ю Ю О 01 Ф Ю СМ 4 о см ** in г* Г* 1Л «“« Ш ф
СиЮчР (ОнФШ н фн ф И О ф -I Ф 01 см 1Л ь* О1Я-4ГО1ЛФ
-♦ СМ Ю 4 Ю 1Л Ф Г* Г* СО Ф 01 О О »Н w см см см смвоющю ю
см CM CM СМ СМ СМ СМ см <MCM<MCM<M см
ОООООООООО
ОООООООООО
ОООООООООО
ОООООООООО
О^СМЮ41ЛФГ*Ф01
смсГсмсмсмсмсмсмсмсм
О О О О О ООООО о о о о о о
ооооо ООООО, ООООО о
ооооо ооооо ооооо о
ооооо ооооо ооооо о
О СМ 4 Ф СО ОСМ4ФФ ОСМ4ФФ О
44*4*44 1Л*1П1ЛЮ1Л* Ф
F * Е6
F»E2*A F*E9* A**3 F*E6* A* *5
-,180075-01
-,269986-01
-,2*3229-01
-,l*679*-01
-,939958-02
,267952-02
,588920-02
,628877-02
,527595-02
,389929-02
,253*98-02
,152156-02
,819*88-03
,370083-03
,102070-03
-,*55828-09
-,118020-03
-,195997-03
-,199080-03
-,139518-03
-,12*376-03
-,1076*9-03
-,91*199-09
-,766990-09
-,638313-0*
-,528622-0*
-,936520-0*
-,359968-09
-,296760-09
-,299789-0*
-,167197-0*
-,115080-0*
-,799561-05
-,561259-05
-,398175-05
-,285*99-05
-,206859-05
-,151*10-05
-,111916-05
-,835056-06
-,628699-06
-,977*17-06
-,365515-06
-,282029-06
-,219231-06
-,175885-01
-,328989-01
-,**3091-01
-,511893-01
-,538269-01
-,530863-01
-i500278-01
-,*56311-01
-,*06619-01
-,356*91-01
-,308985-01
-,265907-01
-,227893-01
-,19*808-01
-,166972-01
-,1*2351-01
-,121911-01
-,10*629-01
-,900286-02
-,776882-02
-,672*96-02
-,583898-02
-,5086*5-02
-,999529-02
-,389733-02
-,3*2776-02
-,302*10-02
—,26760*-02
-,237500-02
-,211383-02
-,168829-02
-,136228-02
-,110989-02
-,912262-03
-,756086-03
-,631980-03
-,531193-03
-,**9816-03
-,383275-03
-,328*75-03
-,283038-03
-,295127-03
-,213305-03
-,186995-03
-,163659-03
,235630-01
,902116-01
,969791-01
,932685-01
,3*2126-01
,232877-01
,133010-01
,557032-02
,309363-03
-,286789-02
-,**9875-02
-,510719-02
-,509750-02
-,*75222-02
-,*25316-02
-,370936-02
-,318128-02
-,269886-02
-,227391-02
-,190808-02
-,159777-02
-,133707-02
-,111938-02
-,9382*1-03
-,787788-03
-,662887-03
-,559152-03
-,972898-03
-,901063-03
-,391115-03
-,2*8926-03
-,183779-03
-,137236-03
-,103613-03
-,7905*1-0*
-,609210-0*
-,973928-0*
-,371992-0*
-,299*50-09
-,239930-0*
-,188850-0*
-,152889-0*
-,12*596-09
-,102189-0*
-,8*3030-05
-,290013-01
-,*3*816-01
-,391723-01
-,236913-01
-,708557-02
,931590-02
,997657-02
,101281-01
,899697-02
,619929-02
,908261-02
,2950*9-02
,131979-02
,596023-03
,16*389-03
-,739115-09
-,190073-03
-,235099-03
-,290095-03
-,22*696-03
-,200309-03
-,173361-03
-,197233-03
-,123517-03
-,102801-03
-,851351-09
-,703020-0*
-,579732-0*
-,*77936-0*
-,399227-0*
-,269273-0*
-,185338-0*
-,128770-0*
-,903905-05
-,6*1265-05
-,*59799-05
-,3331*8-05
-,2*38*8-05
-,1802*2-05
-,139987-05
-,101253-05
-,768885-06
-,588665-06
-,*59211-06
-,353079-06
ALPHA BETA
F
F ♦ E2
F ♦ E*f
1,20000 ,10000 ,022816 -,281971-01 ,290139-01
1,20000 ,20000 ,045073 -,529993-01 ,500336-01
1,20000 ,30000 ,066281 -,719123-01 ,588360-01
1,20000 ,90000 ,086062 -,838868-01 ,561205-01
1,20000 ,50000 ,10*177 -,892028-01 ,958986-01-
1,20000 ,60000 $120516 -,890955-01 ,326958-01
1,20000 ,70000 ,135082 -,899693-01 ,200069-01
1,20000 ,60000 ,1*7952 -,789576-01 ,977150-02
1,20000 ,90000 ,159254 -,707988-01 ,299153-02
1,20000 1,00000 ,169143 -.627207-01 -,226173-02
1,20000 1,10000 ,177776 -,599936-01 -,992969-02
1,20000 1,20000 » ,185310 -,977932-01 -,615913-02 \
1,20000 1,30000 ,191887 -,912727-01 -,697561-02.
1,20000 1,40000 ,197638 -,355791-01 -,625196-02
1,20000 1,50000 ,202676 -,306228-01 -,579392-02
1,20000 1,60000 ,207101 -,263595-01 -,511992-02
1,20000 1,70000 ,210997 -,227098-01 -,996392-02
1,20000 1,80000 ,214438 -,195961-01 -,389270-02
1,20000 1,90000 ,217487 -,169990-01 -,327903-02
1,20000 2,00000 ,220196 -,196861-01 -,278217-02
1,20000 2,10000 ,222610 -,127627-01 -,235258-02
1,20000 2,20000 ,224769 -,111223-01 -,198588-02
1,20000 2,30000 ,226705 -,972078-02 -,167596-02
1,20000 2,40000 ,228447 -,852077-02 -,191911-02
1,20000 2,50000 ,230017 -,799088-02 -,119979-02
1,20000 2,60000 ,231438 -,660972-02 -,101105-02
1,20000 2,70000 ,232726 -,589018-02 -,857209-03
1,20000 2,80000 ,233897 -,517876-02 -,728361-03
1,20000 2,90000 ,234965 -,960995-02 -,620398-03
1,20000 3,00000 ,235940 ' -,910575-02 -,529679-03
1,20000 3,20000 ,237653 -,328930-02 -,389179-03
1,20000 3,40000 ,239102 -,266125-02 -,288988-03
1,20000 3,60000 ,240336 -,217309-02 -,216870-03
1,20000 3,80000 ,241396 -,178970-02 -,169935-03
1,20000 4,00000 ,242313 -,198589-02 -,125922-03
1,20000 9,20000 ,243110 -,129283-02 -,973506-09•
1,20000 4,90000 ,243807 -,109682-02 -,759962-09
1,20000 4,60000 ,244420 -,887979-03 -,597590-09
1,20000 4,80000 ,244963 -,756973-03 -,979061-09
1,20000 5,00000 ,245444 -,699335-03 -,378973-09
1,20000 5,20000 ,245873 -,559973-03 -,305171-09
1,20000 5,40000 ,246258 -,985329-03 -,297939-09
1,20000 5,60000 ,246603 -,922600-03 -,201939-09
1,20000 5,80000 ,246915 -,369606-03 -,165629-09
1,20000 6,00000 ,247197 -,329601-03 -,136965-09(
F • E6
F»E2*A
F»E*« A**3 F»E6* A**5
-,277759-01 -,338365-01 ,501351-01 -,691159-01
-,*22071-01 -,635931-01 ,869580-01 -,105025+00
-,393306-01 -,862997-01 ,101669+00 -,978670-01
-,253339-01 -,100669+00 ,969762-01 -,630375-01
-,•990279-02 -,107093+00 ,792269-01 -,233970-01
,236830-02 -,106855+00 ,569120-01 ,589308-02
,839519-02 -,101957+00 ,395710-01 ,208898-01
,989921-02 -,991991-01 ,168852-01 ,296200-01
,883371-02 -,898986-01 ,921896-02 ,219811-01
,680219-02 -,752698-01 -,390827-02 ,169259-01
,973019-02 -,659323-01 -,850986-02 ,117702-01
,302135-02 -,572918-01 -,106930-01 ,751808-02
,176816-02 -,995273-01 -,111899-01 ,939976-02
,920901-03 -,926889-01 -,108025-01 ,229025-02
,383965-03 -,367973-01 -,992963-02 ,959183-03
,697295-09 -,316319-01 -,883858-02 ,161068-03
-,110048-03 -,272518-01 -,771279-02 -,273839-03
-,199565-03 -,235153-01 -,669019-02 -,989190-03
-,225219-03 -,203328-01 -,566616-02 -,560917-03
-,225590-03 -,176233-01 -,980758-02 -,561215-03
-,210150-03 , -,153153-01 -,906526-02 -,522922-03
-,187798-03 -,133968-01 -,393159-02 -,967301-03
-,163987-03 -,116699-01 -,289520-02 -,906808-03
-,139919-03 -,102299-01 -,299359-02 -,398151-03
-,118392-03 -,898906-02 -,206960-02 -,299598-03
-,999390-04 -,792566-02 -,179710-02 -,297929-03
-,831109-09 -,700822-02 -,198126-02 -,206805-03
-,692698-09 -,621951-02 -,125861-02 -,172353-03
-,576382-09 -,552599-02 -,107196-02 -,193922-03
-,979398-09 -,992690-02 -,915277-03 -,119290-03
-,332116-09 -,399716-02 -,672992-03 -,826910-09
-,231258-09 -,319350-02 -,999372-03 -,575999-09
-,162235-09 -,260769-02 -,379752-03 -,903692-09
-,119819-09 -,219769-02 -,289193-03 -,285693-09
-.820219-05 -,178301-02 -,217593-03 -,209097-09
-,591695-05 -,199139-02 -,168222-03 -,197220-09
-,930911-05 -,125619-02 -,131235-03 -,107225-09
--,316892-05 -,106997-02 -,103269-03 -,788909-05
-,235133-05 -,908368-03 -,819178-09 -,585087-05
-,176063-05 -,779203-03 -,659865-09 -,938102-05
-,132972-05 -,671968-03 -,527336-09 -,330876-05
-,101258-05 -,582388-03 -,927579-09 -,251962-05
-,777188-06 -,507120-03 -,398951-09 -,193389-05
-,601030-06 -,993527-03 -,286599-09 -,199555-05
-,968156-06 -,389521-03 -,236675-09 -,116992-05
ALPHA BETA
F
F * E2
F * E4
1,30000 1,30000 1,30000 ,10000 ,20000 ,30000 ,032642 ,064937 ,095621 -,377250-01 -,711670-01 -,971475-01 ,365098-01 ,634378-01 ,755534-01
1,30000 ,<10000 ,124377 -,114206*00 ,733923-01
1,30000 ,50000 ,150664 -,122556+00 ,614629-01
1,30000 ,60000 ,174912 -,123573+00 ,452803-01
1,30000 ,70000 ,196497 -,119153+00 ,292095-01
1,30000 ,60000 ,215706 -,111202+00 ,157292-01
1,30000 ,90000 ,232693 -,101328+00 ,569206-02
1,30000 1,00000 ,247655 -,907385-01 -,106225-02
1,30000 1,10000 ,260602 -,802495-01 -,515202-02
1,30000 1,20000 ,272343 -,703592-01 -,729369-02
1,30000 1,30000 ,282475 -,613312-01 -,812243-02
1,30000 1,40000 ,291379 -,532697-01 -,813105-02
1,30000 1,50000 ,299216 -,461793-01 -,767052-02
1,30000 1,60000 ,306128 -,400071-01 -,697509-02
1,30000 1,70000 ,312239 -,346710-01 -,619235-02
1,30000 1,80000 ,317654 -,300780-01 -,540973-02
1,30000 1,90000 ,322467 -,261347-01 -,467501-02
1,30000 2,00000 ,326757 -,227531-01 -,401091-02
1,30000 2,10000 ,330591 -,198537-01 -,342511-02
1,30000 2,20000 ,334026 -,173659-01 -,291669-02
1,30000 2,30000 ,337114 -,152290-01 -,248020-02
1,30000 2,40000 ,339897 -,133902-01 -,210821-02
1,30000 2,50000 ,342412 -,118051-01 -,179269-02
1,30000 2,60000 ,344690 -,104355-01 -,152586-02
1,30000 2,70000 ,346759 -,924950-02 -,130056-02
1,30000 2,60000 ,348643 -,821988-02 -,111043-02
1,30000 2,90000 ,350363 ‘ -,732381-02 -,949950-03
1,30000 3,00000 ,351935 -,654198-02 -,814402-03
1,30000 3,20000 ,354701 -,525834-02 -.602684-03
1,30000 3,40000 ,357045 -,426636-02 -,450279-03
1,30000 3,60000 ' « ,359045 -,349216-02 -,339689-03
1,30000 3,80000 i360765 -,288220-02 -,258729-03
1,30000 4,00000 ,362254 -,239727-02 -,198914-03
1,30000 4,20000 ,363550 -,200842-02 -,154312-03
1,30000 4,40000 ,364686 -,169408-02 -,120749-03
1,30000 4,60000 ,365685 -,143802-02 -,952668-04
1,30000 4,80000 ,366569 -,122793-02 -,757536-04
1,30000 5,00000 ,367354 -,105437-02 -,606870-04
1,30000 5,20000 ,368055 -,910080-03 -,489613-04
1,30000 5,40000 ,368683 -,789390-03 -,397663-04
1,30000 5,60000 ,369247 -,687865-03 -,325036-04
1,30000 5,80000 ,369757 -,602001-03 -,267277-04
1,ЗОДРО 6,00000 ,370218 -,529012-03 -,221038-04
Г ♦ Е6
F+E2+A F*E4* A*»3 F*E6* A«*5
-,332687-01
.-,511105-01
—,487323-01
-,328009-01
-,137983-01
,934245-03
,909763-02
,117549-01
,110618-01
,890217-02
,646680-02
,433473-02
,269352-02
,153129-02
,759089-03
,274572-03
-,112084-04
-,166404-03
-,239502-03
-,263294-03
-,259104-03
-,240333-03
-,215108-03
-,188162-03
-,162095-03
-,138204-03
-,117018-03
-,986267-04
-,828889-04
-,695519-04
-,489126-04
-,344809-04
-,244396-04
-,174472-04
-,125573-04
-,911630-05
-,667689-05
-,493350-05
-,367706-05
-,276385-05
-,209450-05
-,159982-05
-,123127-05
-,954535-06
-,745164-06
-,490425-01
-,925170-01
-,126292-00
-,148468-00
-,159323-00
-,160645-00
-,154899-00
-,144563-00
-,131727-00
-,117960+00
-,104324+00
-,914670-01
-,797305-01
-,692506-01
-,600331-01
-,520092-01
-,450723-01
-,391015-01
-,339752-01
-,295791-01
-,258097-01
-,225757-01
197977-01
-,174073-01
-,153466-01
-,135662-01
-,120243-01
-,106858-01
-,952095-02
-,850457-02
-,683585-02
-,554626-02
-,453981-02
-,374686-02
-,311645-02
-,261095-02
-,220230-02
-,186943-02
-,159630-02
-,137068-02
-,118310-02
-,102621-02
-,894224-03
-,782601-03
-,687716-03
,802119-01
,139373-00
,165991-00
,161243-00
,135034-00
,994808-01
,641733-01
,345570-01
,125055-01
-,233376-02
-,113190-01
-,160242-01
-,178450-01
-,178639-01
-,168521-01
-,153243-01
-,136046-01
-,118852-01
-,102710-01
-,881197-02
-,752497-02
-,640796-02
-,544901-02
-,463174-02
-,393855-02
-,335232-02
-,285732-02
-,243960-02
-,208704-02
-,178924-02
-,132410-02
-,989264-03
-,746296-03
-,5^427-03
-,437014-03
-,339023-03
-,265285-03
-,209301-03
-,166431-03
-,133329-03
-,107568-03
-,873666-04
-,714105-04
-,587207-04
-,485621-04
-,123524+00
-,189770-00
-,180940-00
-,121788+00
-,512320-01
,346879-02
,337789-01
,436449-01
,410718-01
,330531-01
,240108-01
,160945-01
,100008-01
,568557-02
,281844-02
,101947-02
-,416161-04
-,617848-03
-,889255-03
-,977592-03
-,962037-03
-,892338-03
-,798680-03
-,698632-03
-,601846-03
-,513141-03
-,434478-03
-,366194-03
-,307761-03
-,258241-03
-,181609-03
-,128025-03
-,907425-04
-,647801-04
-,466243-04
-,338482-04
-,247908-04
-,183177-04
-,136527-04
-,102620-04
-,777674-05
-,594003-05
-,457162-05
-,354412-05
-,276674-05
ALPHA BETA
F *
F * E2
F
1,40000 ,10000 ,042129 -,453026-01 - ,416311-01
1,40000 ,20000 ,083361 -,857167-01 ,727470-01
1,40000 ,30000 ,122893 -,117568+00 ,874704-01
1,40000 ,40000 ,160090 -,139086-00 ,861532-01
1,40000 ,50000 ,194523 -,150380-00 ,735356-01
1,40000 ,60000 ,225963 -,152901-00 ,556142-01
1,40000 ,70000 ,254357 -,148751-00 ,372897-01
1,40000 ,80000 ,279782 -,140101-00 ,214881-01
1,40000 ,90000 ,302410 -,128835-00 ,935923-02
1,40000 1,00000 ,322464 -,116409+00 ,891984-03
1,40000 1,10000 ,340189 -,103845+00 -,449503-02
1,40000 1,20000 ,355836 -,917965-01 -,755025-02
1,40000 1,30000 ,369646 -,806383-01 -,897357-02
1,40000 1,40000 ,381842 -,705463-01 -,933079-02
1,40000 1,50000 ,392625 -,615676-01- -,904033-02
1,40000 1,60000 ,402174 -,536702-01 -,839245-02
1,40000 1,70000 ,410649 -,467783-01 -,757802-02 '
1,40000 1,80000 ,418186 -,407953-01 -,671618-02
1,40000 1,90000 ,424906 -,356185-01 -,587687-02
1,40000 2,00000 ,430913 -,311475-01 -,509772-02
1,40000 2,10000 ,436295 -,272890-01 У -,439592-02
1,40000 2,20000 ,441131 -,239589-01 -,377629-02
1,40000 2,30000 J445487 -,210827-01 -,323660-02
1,40000 2,40000 ,449421 -,185956-01 -,277088-02
1,40000 2,50000 ,452982 -,164417-01 -,237153-02
1,40000 2,60000 ,456214 -,145730-01 -,203053-02
1,40000 2,70000 ,459154 -,129485-01 -,174009-02
1,40000 2,80000 ,461835 -,115331-01 -,149310-02
1,40000 2,90000 ,464285 -,102974-01 -,128315-02
1,40000 3,00000 ,466528 -,921591-02 -,110468-02
1,40000 3,20000 ,470481 -,743319-02 -,823614-03
1,40000 3,40000 ,473836 -,604886-02 -,619281-03
1,40000 3,60000 ,476706 -,496396-02 -,469762-03
1,40000 3,80000 ,479176 -,410611-02 -,359514-03
1,40000 4,00000 ,481317 -,342195-02 -,277554-03
1,40000 4,20000 ,483184 -,287183-02 -,216107-03
1,40000 4,40000 ,484820 -,242604-02 -,169649-03
1,40000 4,60000 ,486261 -,206212-02 -,134230-03
1,40000 4,80000 ,487537 -,176296-02 -,107008-03
1,40000 5,00000 ,488672 -,151541-02 -,859195-04
1,40000 5,20000 ,489685 -,130928-02 -,694593-04
1,40000 5,40000 ,490593 -,113663-02 -,565179-04
1,40000 5,60000 ,491410 -,991224-03 -,462720-04
1,40000 5,80000 ,492148 -,868106-03 -,381062-04
1,40000 6,00000 ,492816 -,763344-03 -,315566-04
F ♦ Е6
F»E2*A F+E4* A**3 F»E6* A»*5
-,365456-01 -,634236-01 ,114236+00 -,196551-00
-,564990-01 -,120003+00 ,199618-00 -,303870-00
-,547335-01 -,164596-00 ,240019-00 -,294370-00
-,379783-01 -,19*721-00 ,236404-00 -,204256-00
-,173128-01 -,210531-00 ,201782-00 -,931124-01
-,754641-03 -,214061-00 ,152605-00 -,405864-02
,891664-02 -,208252-00 ,102323+00 ,479558-01
,125625-01 -,196142-00 ,589632-01 ,675643-01
,123557-01 -,180369-00 ,256817-01 ,664521-01
,103066-01 -,162972-00 ,244760-02 ,554316-01
•775439-02 -,145382-00 -,123344-01 ,417050-01
,539981-02 -,128515-00 -,207179-01 ,290415-01
,351170-02 -, 112894+00 -,246235-01 ,188868-01
,212302-02 -,987648-01 -,256037-01 ,114181-01
,116386-02 -,861947-01 -,248067-01 ,625950-02
,535433-03 -,751383-01 -,230289-01 ,287969-02
,144610-03 -,654896-01 -,207941-01 ,777746-03
-,839055-04 -,571134-01 -,184292-01 -,451264-03
-,206048-03 -,498659-01 -,161261-01 -,110818-02
-,261160-03 -,436065-01 -,139881-01 -,140458-02
-,275827-03 -,382046-01 -,120624-01 -,148346-02
-,267433-03 -,335424-01 -,103621-01 -,143832-02
-,247007-03 -,295157-01 -,888123-02 -,132847-02
-,221323-03 -,260339-01 -,760330-02 -,119033-02
-•194381-03 -,230184-01 -,650749-02 -,104543-02
-,168414-03 -,204022-01 -,557176-02 -,905772-03
-,144560-03 -,181278-01 -,477482-02 -,777476-03
-,123292-03 -,161464-01 -,409705-02 -,663096-03
-,104703-03 -,144163-01 -,352097-02 -,563119-03
-,886724-04 -,129023-01 -,303125-02 -,476901-03
-,633487-04 -,104065-01 -,226000-02 -,340705-03
-,452393-04 -,846840-02 -,169931-02 -,243308-03
-,324141-04 -,694954-02 -,128903-02 -,174331-03
-,233536-04 -,574855-02 -,986506-03 -,125601-03
-,169413-04 -,479073-02 -,761607-03 -,911143-04
-,123831-04 -,402056-02 -,592997-03 -,665995-04
-,912364-05 -,339646-02 -,465517-03 -,490691-04
-,677666-05 -,288697-02 -,368328-03 -,364465-04
-,507413-05 -,246815-02 -,293629-03 -,272899-04
-,382958-05 -,212157-02 -,235763-03 -,205964-04
-,291273-05 -,183299-02 -,190596-03 -,156654-04
-,223208-05 -,159129-02 *-,155085-03 -,120046-04
-,172292-05 -,138771-02 -,126970-03 -,926628-05
-,133922-05 -,121535-02 -,104563-03 -,720266-05
-,104798-05 -,106868-02 -,865912-04 -,563630-05
alpha beta
F * E2
F * E4
1,50000 >10000 ,050779 -,514269-01 .452295-01
1,50000 ,20000 ,100538 975397-01 ,793655-01
1,50000 ,30000 ,148362 -.134306-00 ,961221-01
1,50000 ,40000 ,193519 -.159712-00 ,956880-01
1,50000 ,50000 ,235501 -.173759-00 ,828907-01
1,50000 ,60000 ,274024 -.177920-00 ,639867-01
1,50000 ,70000 ,309001 -.174411-00 ,442027-01
1,50000 ,80000 ,340500 -.165573-00 ,267683-01
1,50000 ,90000 ,368692 -.153484-00 ,130630-01
1,50000 1,00000 ,393817 -.139789-00 ,321649-02
1,50000 1,10000 ,416147 -.125675-00 -.328869-02
1,50000 1,20000 ,435963 -.111929+00 -.719300-02
1,50000 1,30000 ,453539 -.990279-01 -.922168-02
1,50000 1,40000 ,469132 -.872206-01 -,998133-02
1,50000 1,50000 ,482979 -.766031-01 -.993470-02
1,50000 1,60000 ,495292 -.671731-01 -,941302-02
1,50000 1,70000 ,506260 -.588701-01 -,864166-02
1,50000 1,80000 ,516048 -.516032-01 -,776703-02
1,50000 1,90000 ,524803 -.452682-01 -.687965-02
1,50000 2,00000 ,532652 -.397591-01 -,603203-02;
1,50000 2,10000 ,53(9703 -.349746-01 -,525176-02
1,50000 2,20000 ,546055 -.308211-01 -.455064-02
1,50000 2,30000 ,551789 -.272145-01 -.393092-02
1,50000 2,40000 ,556977 -.240804-01 -,338934-02
1,50000 2,50000 ,561684 -,213537-01 -,291977-02
1,50000 2,60000 ,565963 -.189781-01 -,251486-02
1,50000 2,70000 ,569862 -♦169048-01 -,216696-02
1,50000 2,80000 ,573422 -.150920-01 -,186875-02
1,50000 2,90000 ,576680 -.135039-01 -,161345-02
1,50000 3,00000 ,579668 -.121098-01 -.139501-02
1,50000 3,20000 ' ,584940 -.980223-02 -.104805-02
1,50000 3,40000 ,589425 -.800141-02 -,793246-03
1,50000 З96ОООО ,593268 -.658400-02 -.605172-03
1,50000 3,80000 ,596581 -.545901-02 -.465457-03
1,50000 4,00000 ,599457 -.455883-02 -.360915-03
1,50000 4,20000 ,601966 -.383291-02 -.282094-03
1,50000 4,40000 ,604168 —,324315-02 T,222204-03
1,50000 4,60000 ,606110 -.276061-02 -,176343-03
1,50000 4,80000 ,607831 -.236313-02 -,140958-03
1,50000 5,00000 ,609362 -.203362-02 -,113452-03
1,50000 5,20000 ,610730 -.175881-02 -,919150-04
1,50000 5,40000 ,611956 -.152830-02 -,749353-04
1,50000 5,60000 ,613061 -.133390-02 -,614586-04
1,50000 5,80000 ,614058 -.116910-02 -.506933-04
1.50000 6,00000 ,614962 —,102872-02 -.420411-04
F • E6
F*E2*A
F*E4* A**3 F»E6* A**5
-,384494-01 -,771403-01 ,152650-00 -,291975-00
“,598694-01 -,146310-00 ,267858*00 -,454633-00
-,586410-01 -,201459-00 ,32^412-00 -,445305-00
-,415693-01 -,239566-00 ,322947-00 -,315667-00
-,200072-01 -,260639-00 ,279756-00 -,151930-00
-,233606-02 -,266681-00 ,215955-00 -,177395-01
,836122-02 -,261616-00 ,149184-00 ,634930-01
,127752-01 -,248359-00 ,903431-01 ,970116-01
,130353-01 -,230226-00 ,440875-01 ,989872-01
,111923-01 -,209684-00 ,108556-01 ,849915-01
,866038-02 -,188512-00 -,110993-01 ,657648-01
,621634*02 -,167894-00 -,242764-01 ,472054-01
,418885-02 -,148542-00 -,311232-01 ,318091-01 ’
,265063-02 -,130831-00 -,336870-01 ,201282-01
,155412-02 -,114905+00 -,335296-01 ,118016-01
,810507-03 -,100760+00 -,317690-01 ,615479-02
,328892-03 -,883052-01 -,291656-01 ,249752-02
,321268*04 -,774048+01 -,262137-01 ,243963-03
-,139322-03 -,679023-01 -,232188-01 . -,105798-02
-,228766-03 -,596387-01 -,203581-01 -,173719-02
-,266438*03 -,524619-01 -,177247-01 -,202327-02
-,272779-03 -,462317-01 -,153584-01 -,207142-02
-,261225-03 -,408218-01 -,132669-01 -,198368-02
-,240374-03 -,361206-01 -,114390-01 -,182534-02
-,215563-03 -,320306-01 -,985423-02 -,163693-02
-,189982-03 -,284671-01 -,848764-02 -,144268-02
-,165437-03 -,253571-01 -,731350-02 -,125628-02
-,142858-03 -,226380-01 -,630703-02 -,108483-02
-,122643-03 -,202558-01 -,544540-02 -,931320-03
-,104869-03 -,161647-01 -,470816-02 -,796350-03
-,761558-04 -,147033-01 -,353717-02 -,578308-03
-,551219-04 -,120021-01 -,267721-02 -,418582-03
-,399431-04 -,987601-02 -,204246-02 -,303318-03
-,290556-04 -,818651-02 -,157092-02 -,220641-03
-,212523-04 -,663624-02 -,121809-02 -,161385-03
-,156459-04 -,574936-02 -,952068-03 -,118811-03
-,115999-04 -,486473-02 -,749937-03 -,880870-04
-,866351-05 -,414091-02 -,595159-03 -,657885-04
-,651862-05 -,354469-02 -,475734-03 -,495008-04
-,494113-05 -,305043-02 -,382899-03 -,375217-04
-,377273-05 -,263821-02 -,310213-03 -,286492-04
C-,290116-05 -,229245-02 -,252907-03 -,220307-04
-,224639-05 -,200084-02 -,207423-03 -.170585-04
-,175105*05 -,175365-02 -,171090-03 -,132970-04
—,137376*05 -,154309-02 -,141889-03 -,104320-04
F * E2
F ♦ E4
ALPHA BETA
1,60000 ,10000 ,058872 -,564467-01 ,4-78136-01
1,60000 ,20000 ,116624 -,107273+00 ,841697-01
1,60000 ,30000 ,172248 -,146182-00 ,1025114-00
1,60000 ,40000 ,224929 -,176973-00 ,1028964-00
1,60000 ,50000 ,274090 -,193547-00 ,901754-01
1,60000 ,60000 ,319399 -,199367-00 ,707454-01
1,60000 ,70000 ,360734 7,196710-00 ,500303-01
1,60000 ,60000 ,398145 -,188026-00 ,314618-01
1,60000 ,90000 ,431802 -,175529-00 ,165882-01
1,60000 1,00000 ,461952 -,161002-00 ,565817-02
1,60000 1,10000 ,486863 -,145761-00 -,177760-02
1,60000 1^20000 ,512898 -,130706-00 -,643262-02
1,60000 1,30000 ,534298 -,116401+00 -,903393-02
1,60000 1,40000 ,553368 -,103167+00 -,102068-01
1,60000 1,50000 ,570373 -,911483-01 -,104402-01
1,60000 1,60000 ,585552 -,803766-01 -,100932-01
1,60000 1,70000 ,599123 -,708128-01 -,941684-02
1,60000 1,80000 ,611274 -,623774-01 -,857952-02
1,60000 1,90000 ,622177 -,549710-01 -,768942-02
1,60000 2,00000 ,631979 -,484876-01 -,681270-02
1,60000 2,10000 ,640809 -,428221-01 -,598712-02
1,60000 2,20000 ,648782 -,378759-01 -,523185-02
1,60000 2,*30000 ,655997 -,335582-01 -,455422-02
1,60000 • 2,40000 ,662539 -,297879-01 -,395444-02
1,60000 2,50000 ,668485 -,264928-01 -,342861-02
1,60000 2,60000 ,673900 -,236096-01 -,297068-02
1,60000 2,70000 ,676643 -,210839-01 -,257376-02
1,60000 2,60000 ,663363 -,188674-01 -,223081-02
1,60000 2,90000 ,687505 -,169190-01 -,193508-02
1,60000 3,00000 ,691309 -,152033-01 -,168036-02
1,60000 3,20000 ' •696034 -,123515-01 -,127228-02
1,60000 3,40000 ,703766 -,101146-01 -,969468-03
1,60000 3,60000 ,708686 -,834611-02 -,743968-03
1,60000 3,80000 ,712936 -,693698-02 -,575159-03
1,60000 4,00000 ,716629 -,580558-02 -,448000-03
1,60000 4,20000 ,719856 -,489045-02 -,351562-03
1,60000 4,4-0000 ,722691 -,414497-02 -,277906-03
1,60000 4,60000 ,725194 -,353356-02 -,221247-03
1,60000 4,60000 ,727413 -,302886-02 -,177350-03
1,60000 5,00000 ,729389 -,260968-02 -,143103-03
1,60000 5,20000 ,731156 -,225947-02 -,116202-03
1,60000 5,40000 ,732742 -,196527-02 -,949303-04
1,60000 5,60000 ,734170 -,171680-02 -,780024-04
1,60000 5,80000 ,735460 -,150592-02 -,644479-04
.1,60000 6,00000 ,736630 -,132607-02 -,535302-04
F • E6
F*E2*A
F*E4* A«*3
F*E6« A««5
-,396665-01
-,620365-01
-,612352-01
-,440753-01
-,220335-01
-,368730-02
,769446-02
,126762-01
,133321-01
,117137-01
,926789-02
,681456-02
,472236-02
,309476-02
,190464-02
,107491-02
,520092-03
,164454-03
-,523667-04
-,175551-03
-,237512-03
-,260776-03
-,260591-03
-,247034-03
-,226603-03
-,203368-03
-,179788-03
-,157268-03
-,136540-03
-,117917-03
-,870879-04-
-,639151-04
-,468578-04
-,344258-04
-,253969-04
-,188370-04
-,140573-04
-,105595-04
-,798588-05
-,608093-05
-,466196-05
-,359811-05
-,279525-05
-,218540-05
-,171918-05
-,903147-01
-,171637-00
-,237092-00
-,283156-00
-,309676-00
-,318988-00
-,314736-00
-,300842-00
-,280847-00
-,257604-00
-,233218-00
-,209129-00
-,186242-00
-,165067-00
-,145837-00
-,128603-00
-,113300+00
-,998038-01
-,879536-01
-,775801-01
-,685154-01
-,606014-01
-,536932-01
-,476606-01
-,423884-01
-,377756-01
-,337342-01
-,301878-01
-,270705-01
-,243253-01
-,197624-01
-,161834-01
-,133538-01
-,110992-01
-,928893-02
-,782472-02
-,663195-02
-,565370-02
-,484618-02
-,417548-02
-,361516-02
-,314443-02
-,274689-02
240947-02
♦,212171-02
,195845-00
,344759-00
,419884-00
,421461-00
,369358-00
,289773-00
,204924-00
,128867-00
,679452-01
,231759-01
-,728104-02
-,263480-01
-,370030-01
-,418069-01
-,427629-01
-,413416-01
-,385714-01
-,351417-01
-,314958-01
-,279048-01
-,245233-01
-,214296-01
-,186541-01
-,161974-01
-,140436-01
-,121679-01
-,105421-01
-,913738-02
-,792607-02
-,688275-02
-,521125-02
-,397094-02
-,304729-02
-,235585-02
-,183501-02
-,144000-02
-,113830-02
-,906226-03
-,726426-03
-,586151-03
-,475963-03
-,388835-03
-,319498-03
-,263979-03
-,219260-03
-,415934-00
-,650500-00
-,642098-00
-,462163-00
-,231038-00
-,386641-01
,806822-01
,132919-00
,139797-00
,122827+00
,971809-01
,714558-01
,495175-01
,324509-01
,199716-01 *
,112713-01
,545356-02
,172442-02
-,549104-03
-,184079-02
-,249050-02
-,273444-02
-,273249-02
-,259034-02
-,237610-02
-,213247-02
-,188522-02
-,164907-02
-,143172-02
-,123645-02
-,913182-03
-,670199-03
-,491339-03
-,360981-03
-,266306-03
-,197520-03
-,147402-03
-,110724-03
-,837380-04
-,637632-04
-,488842-04
-,377289-04
-,293103-04
-,229156-04
-,180269-04
ALPHA BETA
F
F * E2
F * EQ
1,70000 ,10000 f066Q76 -,606121-01 ,497080-01
1,70000 ,20000 ,131750 -,115379+00 ,677228-01
1,70000 ,30000 ,19U73Q -,159807-00 ,107302+00
1,70000 ,<«0000 ,25Q5Q3 -,191546-00 ,108407+00
1,70000 ,50000 «3105Q3 -,210413-00 ,958839-01
1,70000 ,60000 ,362353 -,217845-00 ,762013-01
1,70000 ,70000 ,Q09822 -,216148-00 ,549034-01
1,70000 ,80000 ,452979 -,207842-00 ,355554-01
1,70000 ,90000 ,491986 -,195233-00 ,198266-01
1,70000 1,00000 ,527092 -,180204-00 ,805984-02
1,70000 1,10000 ,558596 -,164173-00 -,131949-03
1,70000 1,20000 ,586817 -,148128-00 -,542884-02
1,70000 1,30000 ,612674 -,132713-00 -,654704-02
1,70000 1,40000 ,634675 -,118308+00 -,101163-01
1,70000 1,50000 ,654908 -,105107+00 -,106391-01
1,70000 1,60000 ,673036 -,931758-01 -,104917-01
1,70000 1,70000 ,689299 -,824997-01 -,994315-02
1,70000 1,80000 ,703910 -,730146-01 -,917839-02
1,70000 1,90000 ,717059 -,646301-01 -,831994-02
1,70000 2,00000 ,728914 -,572437-01 -,744572-02
1,70000 2,10000 ,739622 -,507512-01 -,660275-02
1,70000 2,20000 ,749314 -,450516-01 -,581726-02
1,70000 2,30000 ,758104 -,400507-01 -,510186-02
1,70000 2,40000 ,766091 -,356629-01 -,446050-02
1,70000 2,50000 ,773365 -,318110-01 -,389194-02
1,70000 2,60000 ,780001 -,284268-01 -,339193-02
1,70000 2,70000 ,786068 -,254503-01 -,295469-02
1,70000 2,80000 ,791626 -,228290-01 -,257389-02
1,70000 2,90000 ,796727 -,205170-01 -,224313-02
1,70000 3,00000 ,801417 -,184746-01 -,195635-02
1,70000 3,20000 ,809723 -,150654-01 -,149289-02
1,70000 3,40000 ,816819 -,123774-01 -,114538-02
1,70000 3,60000 ,822921 -,102426-01 -,884238-03
1,70000 3,80000 ,828201 -,853481-02 -,687212-03
1,70000 4,00000 ,832796 -,715878-02 -,537775-03
1,70000 4,20000 ,836817 -,604229-02 -,423757-03
1,70000 4,40000 ,840353 -,513026-02 -,336207-03
1,70000 4,60000 ,843477 -,438040-02 -,268540-03
1,70000 4,80000 ,846250 -,376004-02 -,215893-03
1,70000 5,00000 ,848722 -,324377-02 -,174664-03
1,70000 5,20000 ,850933 -,281168-02 -,142167-03
1,70000 5,40000 ,852919 -,244809-02 -,116393-03
1,70000 5,60000 ,854709 -,214059-02 -,958243-04
1,70000 5,80000 ,856327 -,187924-02 -,79313.4-04
1,70000 6,00000 ,857795 -,165609-02 -,659840-04
F ♦ Е6
F*E2*A F*E4* A*«3 *F*E6* A*»5
-,404780-01 -.634575-01 -,629903-01 -,458402-01 -,235458-01 -,479120-02 ,704234-02 ,124319-01 -,1030*1+00 -.1961*4-00 -,271671-00 -,325628-00 -,357702-00 -,370336-00 -,367*51-00 -,353331-00 ,2**215-00 ,*30982-00 ,527175-00 ,532603-00 ,*71077-00 ,37*377-00 ,2697*1-00 ,17*68*-00 -,57*729-00 -,901006-00 -,89*372-00 -,650865-00 -,33*316-00 -,680282-01 ,999911-01 ,176516-00
,134025-01 -,331096-00 ,97*082-01 ,190296-00
,119911-01 -,3063*7-00 ,395980-01 ,170256-00
,965472-02 -.279093-00 -,6*8263-03 ,137083-00
,723533-02 -,251817-00 -,266719-01 ,102731+00
,512626-02 -,225612-00 -,*19916-01 ,727856-01
,345271-02 -,201124-00 -,*97015-01 ,*90235-01
,220397-02 -,178682-00 -,522699-01 ,312933-01
,131393-02 -,158399-00 -,515*57-01 ,186560-01
,703513-03 -,1*02*9-00 -,*88507-01 ,998888-02
,300063-03 -,12*125+00 -,*50934-01 ,*260*7-02
,441219-04 -,109871+00 -,*08759-01 ,626*68-03
-,109860-03 -,9731*3-01 -,365808-01 -,155986-02
-,195297-03 -,862770-01 -,32*393-01 -,277293-02
-,235941-03 -,765877-01 -,285802-01 -,335003-02
-,248264-03 -,680863-01 -,250654-01 -,352*99-02
-,243438-03 -.606269-01 -,2191*5-01 -,3*56*6-02
-,228884-03 -,5*0787-01 -,191211-01 -,32*983-02
-,209422-03 -,*83256-01 -,1666*5-01 -,2973*9-02
-,188092-03 -,*32656-01 -,145164-01 -,267064-02
-,166748-03 -,388092-01 -,126*55-01 -,236759-02
-,146457-03 -,3*8788-01 -,110205-01 -,2079*8-02
-,127778-03 -,31*068-01 -,961157-02 -,181*27-02
-,960145-04 -,256111-01 -,733*58-02 -,136327-02
-,714740-04 -,210*15-01 -,562723-02 -,101*83-02
-,530288-04 -,17*12*-01 -,*3**26-02 -,752933-03
-,393592-04 -,1*5092-01 -,337627-02 -,5588*5-03
-,292937-04 -,121699-01 -,26*209-02 -,*15929-03
-,218951-04 -,102719-01 -,208192-02 -,310879-03
-,164504-04 -,8721*5-02 -,165179-02 -,233572-03
-,124312-04 -,7**669-02 -,13193*-02 -,176505-03
-,945151-05 -,639207-02 -,106068-02 -,13*198-03
-,723119-05 -,551**0-02 -,858123-03 -,102672-03
-,556745-05 -,*77985-02 -,698*68-03 -,790*98-0*
-,431346-05 -,*16176-02 -,571837-03 -,612**9-0*
-,336260-05 -,363900-02 -,*70785-03 -,*77**1-0*
-,263723-05 -,319*71-02 -,389667-03 -,37*4*9-0*
-,208054-05 -,281535-02 -,32*180-03 -,295407-0*
ALPHA
BETA
F ♦ Efc
F ♦ E4
1,80000 ,10000 ,07364-7 -,641062-01 ,511218-01
1,80000 ,20000 ,146023 -,122199+00 ,903939-01
1,80000 ,30000 ,215972 -,169635-00 ,110947+00
1,80000 ,40000 ,282551 -,203949-00 ,112668+00
1,80000 ,50000 ,345073 -,224883-00 ,100389+00
1,80000 ,60000 ,403117 -,233845-00 ,606150-01
1,80000 ,70000 ,456501 -,233151-00 ,589626-01
1,80000 ,80000 ,505233 -,225362-00 ,390846-01
1,80000 ,90000 ,549466 -,212848-00 ,227358-01
1,80000 1,00000 ,589447 -,197565-00 ,103307-01
1,80000 1,10000 ,625479 -,181007-00 ,153519-02
1,80000 1,20000 ,657890 -,164234-00 -,429774-02
1,80000 1,30000 ,687016 -,147955-00 -,786785-02
1,80000 1,40000 ,713182 -,132603-00 -,980117-02
1,80000 1,50000 ,736693 -,118417+00 -,106048-01
1,80000 1,60000 ,757834 -,105496+00 -,106647-01
1,80000 1,70000 ,776863 -,938494-01 -,102615-01
1,80000 1,80000 ,794013 -,834320-01 -,959195-02
1,80000 1,90000 ,809493 -,741643-01 -,878961-02
1,80000 2,00000 ,823487 -,659509-01 -,794197-02
1,80000 2,10000 ,836161 -,586907-01 '-,710404-02
1,80000 2,20000 ,847659 -,522834-01 -,630846-02
1,80000 2,30000 ,858111 -,466337-01 -,557281-02
1.80000 2,40000 ,867629 -,416534-01 -,490487-02*
1,80000 2,50000 ,876312 -,372624-01 -,430618-02
1,80000 2,60000 ,88^250 -,333888-01 -,377452-02
1,80000 2,70000 ,891519 -,299688-01 -,330554-02
1,80000 2,80000 ,898188 -,269460-01 -,289385-02
1,‘80000 2,90000 ,904318 -,242710-01 -,253370-02
1,80000 3,00000 ,909961 -,219005-01 -,221936-02
1,80000 3,20000 ,919975 -,179268-01 -,170691-02
1,80000 3,40000 ,928550 -,147773-01 -,131862-02
1,80000 _ 3,60000 ,935938 -,122645-01 -,102417-02
1,80000 3,80000 ,942341 -,102461-01 -,800238-03
1,80000 4,00000 ,947922 -,861398-02 -,629207-03
1,80000 4^20000 ,952813 -,728541-02 -,497905-03
1,80000 4,40000 ,957118 -,619704-02 -,396530-03
1,80000 4,60000 ,960927 -,529991-02 -,317794-03
1,80000 4,80000 ,964311 -,455599-02 -,256269-03
1,80000 5,00000 ,967329 -,393562-02 -,207897-03
1,80000 5,20000 ,970032 -,341543-02 -,169637-03
1,80000 5,40000 ,972461 -,297699-02 -,139193-03
1,80000 5,60000 ,974651 -,260560-02 -,114829-03
1,80000 5,80000 ,976633 -,228951-02 -,952198-04
1,80000 6,00000 ,978431 -,201929-02 -,793513-04
F * Е6
,v
F*E2*A
1 F»E4« A**3
F«E6* A«*5
-,410085-01
-,644211-01
-,641989-01
-,470962-01
-,246732-01
-,567216-02
,645799-02
,121358-01
,133472-01
,121117-01
,988517-02
,751929-02
,542145-02
,373116-02
,244987-02
,152057-02
,870283-03
,430000-03
,142064-03
-,384899-04
-,145233-03
-,202467-03
-,227371-03
-,231850-03
-,224000-03
-,209227-03
-,191058-03
-,171739-03
-,152644-03
-,134570-03
-,102910-03
-,777203-04
-,583680-04
-,437753-04
-,328757-04
-,247672-04
-,187381-04
-,142476-04
-,108922-04
-,837447-05
-,647624-05
-,503759-05
-,394129-05
-,310122-05
-,245389-05
-,115391+00
-,219958-00
-,305344-00
-,367108-00
-,404789-00
-,420921-00
-,419671-00
-,405652-00
-,385126-00
-,355617-00
-,325812-00
-,295621-00
-,266319-00
-,238686-00
-,213150-00
-,189892-00
-,168929-00
-,150178-00
-,133496-00
-,118712+00
-,105643+00
-,941100-01
-,839406-01
-,749761-01
-,670723-01
-,600999-01
-,539438-01
-,485028-01
-,436878-01
-,394209-01
-,322682-01
-,265992-01
-,220761-01
-,184430-01
-,155052-01
-,131137-01
-,111547-01
-,953983-02
-,820079-02
-,708411-02
-,614778-02
-,535858-02
-,469008-02
-,412113-02
-,363471-02
,296142-00 -,774884-00
,527177-00 -,121728+01
,647043-00 -,121308+01
,657081-00 -,889914-00
,585468-00 -,466217-00
,470146-00 -,107179+00
,343870-00 ,122028+00
,227941-00 ,229314-00
9132595-00 ,252205-00
,602488-01 ,228858-00
,895321-02 ,186787-00
-,250644-01 ,142082-00
-,458853-01 ,102442+00
-,571604-01 ,705028-01
-,618475-01 ,462920-01
-,621968-01 ,287322-01
-,598451-01 ,164446-01
-,559403-01 ,812514-02 *
-,512610-01 ,268440-02
-,463175-01 -,727293-03
-,414308-01 -,274428-02
-,367909-01 -,382575-02
-,325006-01 -,429634-02
-,286052-01 -,438096-02
-,251136-01 -,423264-02
-,220130-01 -,395348-02
-,192779-01 -,361018-02
>168770-01 -,324513-02
-,147765-01 -,288432-02
-,129433-01 -,254279-02
-,995472-02 -,194456-02
-,769017-02 -,146858-02
-,597295-02 -,110290-02
-,466699-02 -,827164-03
-,366953-02 -,621210-03
-,290378-02 -,467993-03
-,231256-02 -,354070-03
-,185338-02 -,269217-03
-,149456-02 -,205815-03
-9121246-02 -,158241-03
-,989320-03 -,122373-03
-,811775-03 -,951886-04
-,669683-03 -,744733-04
-,555322-03 -,585996-04
-,462777-03 -,463678-04
ALPHA BETA
F ♦ E2 F * E4
1,90000 ,10000 ,080432 “,670660“01 ,521938-01
1,90000 ,20000 •159532 -,127991-00 ,929329-01
1,90000 ,30000 •236092 -,178016-00 ,113757+00
1,90000 ,40000 •309113 -,214585-00 ,115998+00
1,90000 ,50000 ,377866 -,237377-00 ,103971+00
1,90000 ,40000 ,309113 -,214585-00 ,115998+00
1,90000 ,50000 ,377866 -,237377-00 ,103971+00
1,90000 ,60000 ,441892 -,247769-00 ,891981-01
1,90000 ,70000 ,500980 -,248078-00 ,623900-01
1,90000 ,60000 ,555118 “,240888-00 ,921063-01
1,90000 ,90000 ,604448 “,228611-00 ,253116-01
1,90000 1,00000 ,649210 “,213257-00 ,129292-01
1,90000 1,10000 ' ,689709 -,196375-00 ,315252-02
1,90000 1,20000 ,726282 -,179086-00 -,312052-02
1,90000 1,30000 ,759272 -,162147-00 -,707681-02
1,90000 1,40000 ,789018 -,146041-00 -,933939-02
1,90000 1,50000 ,815841 -,131043-00 -,103997-01
1,90000 1,60000 ,840042 -,117286+00 -,106628-01
1,90000 1,70000 ,861894 -,104802+00 -,109110-01
1,90000 1,80000 ,881648 -,935650-01 -,989927-02
1,90000 1,90000 ,899530 -,835081-01 -,911903-02
1,90000 2,00000 ,915739 -,745448-01 -,831528-02
1,90000 2,10000 ,930455 -,665792-01 -,799959-02
1,90000 2,20000 ,943839 «,595138-01 -,671011-02
1,90000 2,-30000 ,956031 -,532541-01 -,596893-02
1,90000 2,40000 ,967156 -,477113-01 -,528792-02
1,90000 2,50000 ,977326 . -,428036-01 -,966988-02)
1,90000 2,60000 ,986640 -,384570-01 -,911620-02
1,90000 2,70000 ,995183 -,346049-01 -,362360-02
1,90000 2,60000 1,003033 -,311882-01 -,318779-02
1,90000 2,90000 1,010259 -,281546-01 -,280382-02
1,90000 '3,00000 1,016922 -,254579-01 -,296650-02
1,90000 3,20000 1,028766 -,209181-01 -,191182-02
1,90000 3,40000 1,038930 -,173012-01 -,198710-02
1,90000 3,60000 1,047706 -,144020-01 -,116209-02
1,90000 3,80000 1,055325 -,120637-01 -,912939-03
1,90000 4,00000 1,061,977 -,101659-01 -,721288-03
1,90000 4,20000 1,06’7813 -,861605-02 -,573235-03
1,90000 4,40000 1,072958 -,734267-02 -,958289-03
1,90000 » 4,60000 1,077514 -,629027-02 -,368567-03
1,90000 4,60000 1,081566 -,541555-02 -,298191-03
1,90000 5,00000 1,085183 -,468453-02 -,292550-03
1,90000 5,20000 1,088425 -,407039-02 -,198918-03
1,90000 5,40000 1,091341 -,355185-02 -,163187-03
1,90000 5,60000 1,093972 -,311192-02 -,139908-03
1,90000 5,80000 1,096353 -,273695-02 -,112085-03
1,90000 6,00000 1,098515 -,241597-02 -,935708-09
F » E6
F*E2*A
F»E** A**3 F*E6* A**5
-,*l**5*-01
-,650803-01
-,650*52-01
-,*79999-01
-,255158-01
-,*79999-01
-,255158-01
-,636666-02
,595762-02
,118371-01
,132289-01
,121358-01
,100087-01
,77018*-02
,562988-02
,39*115-02
,26*557-02
,169310-02
,101599-02
,5*87*9-03
,2358*8-03
,33*159-0*
-,917361-0*
-,163969-03
-,200769-03
-,21**60-03
-,21358*-03
-,203971-03
-,189526-03
-,172816-03
-,155*80-03
-,138528-03
-,107837-03
-,826366-0*
-,628271-0*
-,*76191-0*
-,360918-0*
-,27*095-0*
-,208852-0*
-,159807-0*
-,122863-0*
-,9*9*29-05
-,737579-05
-,576099-05
-,*52*13-05
-,35719*-05
-,283512-05
-,127*25-00
-,2*3183-00
-,338231-00
-,*07711-00
-,*51016-00
-,*07711-00
-,*51016-00
-,*70762-00
-,*713*8-00
-,*57688-00
-,*3*361-00
-,*05188-00
-,373113-00
-,3*0263-00
-,308080-00
-,277*78-00
-,2*8982-00
-,2228*2-00
-,19912*-00
-,177773-00
-,158665-00
-,1*1635-00
-,126500-00
-,113076+00
-,101183+00
-,906515-01
-,813269-01
-,730683-01
-,657*93-01
592576-01
-,53*937-01
-,*63699-01
-,397***-01
-,328722-01
-,273638-01
-,229211-01
-,193152-01
-,163705-01
-,139511-01
-,119515-01
-,102895-01
-,890061-02
-,773375-02
-,67*852-02
-,59126*-02
-,520021-02
-9*59033-02
,357997-00
•63399*-00
,780256-00
,795629-00
,713135-00
,795629-00
,713135-00
,577515-00
,*27590-00
,288807-00
,173612-00
,852178-01
,216231-01
-,21*037-01
-9*85398-01
-96*02*6-01
-,713317-01
-,731361-01
-,71*093-01
-,675561-01
-,625*7*-01
-,5703*5-01
-,51*397-01
-,*602*6-01
-9*09*09-01
-,36266*-01
-,320307-01
-,282330-01
-,2*85*2-01
-,218651-01
-,19231*-01
-,169177-01
-,131132-01
-,102000-01
-,797078-02
-,626182-02
-9*9*731-02
-,393182-02
-,31*3*1-02
-,252800-02
•j,20**95-02
-,166365-02
-,136095-02
-,111930-02
-,925333-03
-,76879*-03
-,6*1802-03
-,102623+01
-,1611*5+01
-,161058+01
-,118853+01
-,631797-00
-,118853+01
-,631797-00
-,1576*5-00
,1*7517-00
,293098-00
,327560-00
,300*95-00
,2*7826-00
,190705-00
,139*01-00
,975868-01
,655070-01
9*19228-01
,251570-01
,135876-01
,58398*-02
*827*10-03
-,2271*8-02
-9*0600*-02
-,*97125-02
-,53102*-02
-,528856-02
-,505052-02
-9*69286-02
-9*27910-02
-,38*985-02
-,3*3009-02
-,267016-02
-,20*616-02
-,155566-02
-,117910-02
-,893668-03
-,678687-03
-,517137-03
-,395698-03
-,30*220-03
-,235088-03
-,182632-03
-,1*26*8-03
-,112022-03
-,88***8-0*
-,702003-0*
ALPHA BETA
F * E2
F ♦ E4-
2,00000 ,10000 9086869 -,695967-01 ,530208-01
2,00000 920000 ,172356 -,132950-00 ,940097-01
2,00000 ,30000 ,255204 -,165216-00 ,115948+00
2,00000 ,40000 ,334370 -,223768-00 ,118626+00
2,00000 ,50000 ,409084 -,208228-00 ,106840+00
2,00000 ,60000 ,478855 -,259906-00 ,871197-01
2,00000 ,70000 9543444 -,261231-00 ,651520-01
2,00000 ,60000 ,602822 -,250682-00 ,446837-01
2,00000 ,90000 ,657115 -,202737-00 ,275711-01
2,00000 1,00000 ,706559 -,227000-00 ,143219-01
2,00000 1,10000 ,751457 -,210396-00 ,467818-02
2,00000 1,20000 ,792148 -,192757-00 -,195171-02
2,00000 1,30000 ,828984 -,175329-00 -,623253-02
2,00000 1,40000 ,862311 -,158631-00 -,877264-02
2,00000 1,50000 ,692465 -,102973-00 -,100747-01
2,00000 1,60000 ,919756 -,128516-00 -,105293-01
2,00000 1,70000 ,944476 -,1153174-00 -,104273-01
2,00000 1,80000 ,966887 -,1033664-00 -,997818-02
2,00000 1,90000 ,987229 -,926101-01 -,932922-02
2,00000 2,00000 1,005716 -,829728-01 -,858089-02
2,00000 2,10000 1,022543 -,703650-01 -,779992-02
2,00000 2,20000 1,037880 -,666932-01 -,702902-02
2,00000 2,30000 1,051883 -,598653-01 -,629420-02
2,00000 2,40000 1,064686 -,537932-01 -,561002-02
2,00000 2,50000 >1,076413 -,083909-01 -,498340-02
2,00000 2,60000 1,087171 -,035952-01 -,441629-02
2,00000 2,70000 1,097056 -,393260-01 -,390748-02
2,00000 2,80000 1,106154 -,355263-01 -,345390-02
2,00000 2,90000 1,114540 -,321015-01 -,305147-02
2,00000 3,00000 1,122284 -,291230-01 -,269566-02
2,00000 3,20000 1,136075 -,200212-01 -9210558-02
2,00000 3,40000 1,147937 -,199350-01 -,164905-02
2,00000 3,60000 1,158200 -,166005-01 -,129652-02
2,00000 3,80000 1,167127 -,139796-01 -,102410-02
2,00000 4,00000 1,174932 -,118086-01 -,813064-03
2,00000 4,20000 1,181790 -,100298-01 -,649001-03
2,00000 4,40000 1,187844 -,856392-02 -,520903-03
2,00000 4,60000 1,193210 -,730918-02 -,420407-03
2,00000 4,80000 1,197988 -,633709-02 -,341165-03
2,00000 5,00000 1,202257 -,508901-02 -,278355-03
2,00000 5,20000 1,206087 -,077586-02 -,228308-03
2,00000 5,40000 1,209533 -,017228-02 -9188219-03
2,00000 5,60000 1,212645 -,365937-02 -,155941-03
2,00000 5,80000 1,215464 -,322155-02 -,129819-03
2,00000 6,00000 1,218025 -,280620-02 -,108572-03
НИИнооооо
ооооооооо
ШЮ^|П1лДЛз>О
от г* о ш до о «м
rt^ObbHW^b
Ф Ф
го©н|люсмкфн
•иСМСМ-сФСМ-мЮ^
в а в в в а
ОООООННННН
оооооооооо
веввававве
т^мэ^^нщфю
смг^г^фгзфффосм
юфффоошю^о
Го^ФЗхн'ПОЗ’ФЮ
Ф^^ФШ^ФФОО
нн ф^печн
<MCM<MCMCMCMCM<MCM<U
см ф «н го т ю ф со о ф
ОФФФФФ^НОЮ
ЬМ^ФЙЬЮОФЬ
смсм ф з> нюсмФ4> Ф
Шнют ФФФШ1Л^
ю см Ф
см см см см см
ООООО
|ЛФЮНН
о «о см ф «П
см и to Ю ю
ооооо
В В В 8 В
еН СМ «О Ю Ф
О^ ОНф
ю см о & Ф
# fO 1М «о 1Л
см Ю «О ф to
<н ф гч ф 4*
to to to tOtO tO
ФМЛнф IO
н to ф to о
3* -4 -4 Ю О
ф^.ыоф. to
Ю ф О ф см о
to CM CM -4*1 *1
CM CM CM CM CM
ооооооооо
в । I I в а о в в
Ь Ь 1Л 'fi Ф \С ОФ
ФЬФОНЩН^Ф
чнофор^фсм^ш
Nb Ф & Ф «и о
СМЮ(М^*(ПФСМ1ЛСМ
£?Г>ФФФФ1Г)ЮСМ
©ННННННЙНН
оооооооооо
ф В В В 8 В В в В С
ЮЬ(ПнФЬО$Ф
МЛЮОН^^ФЮЮ
1ПСМНФФФЮНСМ1П
^^ФФнШСМ^ФФ
НМЛ0'©О^Щ0'^
нюн^ ь. ® Ф со г* ь
into
ю & югаюсм см
в в В 9
см см см см см
ООООО
to ф & см ©
1Л 3* см см ь»
ф «> ф ь» см
8 В В В В
о ф © ф см
тн -4Ю г*
ФШ cfr to см
ФЮ -4 W
СМ О Ф СМ Ф
о в в в в
ННЮФСМ
ю о см см «о
& СМ Ь* Ю Ф
СМФЮ CMO
CM *4 -4 *1 -4
В 8
ооооооооо
ооооооооо
В 8 В 8 I В В В I
Фофффсмсм^^*
ФОЛ^ШФФФЬ
нФ4>1Па*ФЗ>СП4*
ФЮО^ФФСМФЮ
(ПФ^^ФНСМОФ
нАкпй’^втлйй'
•» » в» —.
I в в а в I я r а
to to см
СМ <М Н И Н
ф ф
w CM CM CM CM CM
т ю шт
|Л
Ю СМ Ю ОФ
ООООООООО
^HHHHCMCMHH
а в а в а а в a a
ФЮ CM ®h
ННЬЬФН Оф
od* Ф -4 ОФФ
Ф tn ф ф *4 -4 4* tn О
*4Ш1ПФФФ1П*4Ю
d- фф & СМФШ -4 -4
HH<M<M<MCMCMCMCOIO
оооооооооо
а а а в а в а в e в
ФР» CM 6*»НФ Ob St
еОнфЩфО-4вОФ1П
ОФ-4Н^^ЮФ4*Ф
НОНГ*ФФЮЮЮН
СМОФ8*»ОЬ»ФН1ЛСМ
ННМЛ^ смн н ФЮ
lOct’tOtntOtOlOlOfOtO
оооооооооо
8 В В 8 В В В В 8 В
НФСМНФЮ^Н|П1Л
1П4ПГ*ОСОФЮФСМСМ
СМ1ПСПФ€М-4ФШФ^
смнвоосоФ^^от
ОФСМГ*ФФФФГ*>Ю
-4ШННННН-1НН
tn
ю см см н
см
см
т
Alpha beta
F ♦ E2
F * E*
2,20000 ,10000 ,098832 -,736608-01 ,541724-01
2,20000 ,20000 ,196202 -,140945-00 ,962226-01
2,20000 ,30000 ,290772 -,196878-00 ,119054+00
2,20000 ,40000 ,381429 -,238722-00 ,122402+00
2,20000 ,50000 ,467335 -,266026-00 ,111036+00
2,20000 ,60000 ,547942 -,280087-00 ,914848-01
2,20000 ,70000 ,622967 -,283193-00 ,694595-01
2,20000 ,80000 ,692341 -,277950-00 ,487472-01
2,20000 ,90000 ,756166 -,266825-00 ,312531-01
2,20000 1,00000 ,814661 -,251911-00 ,175350-01
2,20000 1,10000 ,868122 -,234857-00 ,738029-02
2,20000 1,20000 ,916886 -,216887-00 ,235337-03
2,20000 1,30000 ,961313 -,198866-00 -,453622-02
2,20000 1,40000 1,001762 -,181371-00 -,7523*9-02
2,20000 1,50000 1,038582 -,164765-00 -,921813-02
2,20000 1,60000 1,072104 -,149257-00 -,100062-01
2,20000 1,70000 1,102640 -,134944-00 -,101789-01
2,20000 1,80000 1,130475 -,121848+00 -,994960-02
2,20000 1,90000 1,155870 -,109944+00 -,947102-02
2,20000 2,00000 1,179065 -,991747-01 -,885023-02
2,20000 2,10000 1,200275 -,894668-01 -,816067-02
2,20000 2,20000 1,219693 -,807380-01 -,745152-02
2,20000 2,30000 1,237496 -,729035-01 -,675461-02
2,20000 2,40000 1,253839 -,658799-01 -,608965-02
2,20000 2,50000 1,268863 -,595875-01 -,546793-02
2,20000 2,60000 1,282694 -,539517-01 -,489502-02
2,20000 2,70000 1,295446 -,489038-01 -,437267-02
2,20000 2,80000 1,307218 -,443812-01 -,390020-02
2,20000 2,90000 1,318102 -,403270-01 -,347537-02
2,20000 3,00000 1,328179 -,366904-01 -,309509-02
2,20000 3,20000 1,346194 -,304918-01 -,245394-02
2,20000 3,40000 1,361762 -,254764-01 -,194782-02
2,20000 3,60000 1,375286 -,214004-01 -,154998-02
2,20000 3,80000 1,387093 -,180718-01 -,123765-02
2,20000 4,00000 1,397451 -,153399-01 -,992260-03
2,20000 4,20000 1,406578 -,130864-01 -,799054-03
2,20000 4,40000 ( 1,41’4655 -,112180-01 -,646474-03
2,20000 4,60000 1,421833 -,966121-02 -,525533-03
2,20000 4,80000 1,428236 -,835765-02 -,429279-03
2,20000 5,00000 1,433970 -,726'093-02 -,352340-03
2,20000 5,20000 1,439121 -,633393-02 -,290562-03
2,20000 5,40000 1,443764 -,554687-02 -,240732-03
2,20000 5,60000 1,447964 -,487575-02 -,200353-03
2,20000 5,80000 1,451772 -,430109-02 -,167484-03
2,20000 6,00000 1,455236 -,380707-02 s -,140608-03
F ♦ Е6
F+E2+A
F*E4+ A**3 F*E6» A**5
-,419136-01 -,162054-00 ,576828-00 -,216007+01
-,661044-01 -,310079-00 ,102458+01 -,340678+01
-,663988-01 -,433131-00 ,126769+01 -,342195+01
-,495014-01 -,525188-00 ,130334+01 -,255112+01
-,269901-01 -,585257-00 ,118231+01 -,139097+01
-,767125-02 -,616190-00 ,974130-00 -,395348-00
,491656-02 -,623024-00 ,739605-00 ,253382-00
,111011-01 -,611490-00 ,519061-00 ,572108-00
,127942-01 -,587014-00 ,332783-00 ,659364-00
,119664-01 -,554204-00 ,186712-00 ,616705-00
,100505-01 -,516685-00 ,785854-01 ,517968-00
,789536-02 -,477152-00 ,250586-02 ,406898-00
,591907-02 -,437504-00 -,483016-01 ,305047-00
,427879-02 -,399015-00 -,801101-01 ,220513-00
,299537-02 -,362484-00 -,981547-01 ,154370-00
,202962-02 -,328366-00 -,106546+00 ,104599+00
,132327-02 -,296877-00 -,108385+00 ,681964-01
,818337-03 -,268066-00 -,105943+00 ,421741-01
,464812-03 -,241877-00 -,100847+00 ,239547-01
,222539-03 -,218184-00 -,942372-01 ,114689-01
,606073-04 -,196827-00 -,868948-01 ,312347-02
-,441542-04 -,177624-00 -.793437-01 -,227555-02
-,108794-03 -,160388-00 -,719231-01 -,560687-02
-,145690-03 -,144936-00 -,648426-01 -,750835-02
-,163729-03 -,131092-00 -,582225-01 -,843797-02
-,169228-03 -,118694+00 -,521222-01 -,872140-02
-,166639-03 -,107588+00 -,465602-01 -,858794-02
-,159060-03 -,976386-01 -,415293-01 -,819736-02
-,148626-03 -,887195-01 -,370057-01 -,765962-02
-,136780-03 -,807188-01 -,329565-01 -,704916-02
-,112352-03 -,670819-01 -,261295-01 -,579020-02
-,899454-04 -,560482-01 -,207404-01 -,463546-02
-,709550-04 -,470809-01 -,165042-01 -,365676-02
-,555186-04 -,397579-01 -,131785-01 -,286122-02
-,432664-04 -,337477-01 -,105656-01 -,222979-02
-,336756-04 -,287900-01 -,850833-02 -,173552-02
-,262265-04 -,246796-01 -,688365-02 -,135161-02
-,204636-04 -,212547-01 -,559588-02 -,105462-02
-,160113-04 -,183868-01 -,457097-02 -,825166-03
-,125702-04 -,159740-01 -,375172-02 -,647823-03
-,990622-05 -,139346-01 -,309391-02 -,510530-03
-,783866-05 -,122031-01 -,256331-02 -,403976-03
-,622899-05 -,107266-01 -,213336-02 -,321019-03
-,497137-05 -,946241-02 -,178337-02 -,256206-03
-,398504-05 -,837555-02 -,149720-02 -,205374-03
ALPHA BETA
F
F ♦ E2
F * E*
2,40000 ,10000 ,109756 -,767562-01 ,549043-01
2,40000 ,20000 ,217908 -,1*70*9-00 ,976363-01
2,40000 ,30000 ,323298 -,205821-00 ,121061+00
2,40000 ,40000 ,*2*516 -,250265-00 ,124680+00
2,40000 ,50000 ,52075* -,279873-00 ,113843+00
2,40000 ,60000 ,611*17 -,295902-00 ,944742-01
2,40000 ,70000 ,696181 -,300620-00 ,724915-01
2,40000 ,60000 ,77*9*6 -,296626-00 ,516988-01
2,40000 ,90000 ,8*7790 -,286396-00 ,340246-01
2,40000 1,00000 ,91*913 -,2720*5-00 ,200530-01
2,40000 1,10000 ,976598 -,255253-00 ,959779-02
2,40000 1,20000 1,033181 -,237280-00 ,212902-02
2,40000 1,30000 1,085018 -,219027-00 -,296966-02
2,40000 1,40000 1,132*7* -,201113-00 -,627185-02
2,40000 1,50000 1,175907 -,183938-00 -,825821-02
2,40000 1,60000 1,215660 -,1677*5-00 -,930790-02
2,40000 1,70000 1,252055 -,152662-00 -,970664-02
2,40000 1,80000 1,285396 -,1387*0-00 -,967299-02
2,40000 1,90000 1,315959 -,125976-00 -,935482-02
2,40000 2,00000 1,3**002 -,11*333+00 -,866361-02
2,40000 2,10000 1,369756 -,103753+00 -,827598-02
2,40000 2,20000 1,393*33 -,9*1650-01 -,764461-02
2,-40000 2,30000 1,*15225 -,85*9*5-01 -,700488-02
2,40000 2,40000 1,*35306 -,7766*8-01 -,637991-02
2,40000 2,50000 1,*53833 -,706009-01 -,578408-02
2,40000 2,60000 1,*709*6 -,6*2316-01 -,522574-02
2,40000 2,70000 1,*86773 -,58*897-01 -,470904-02
2,40000 2,60000 1,501*30 -,533133-01 -,423533-02
2,40000 2,90000 1,515020 -,*86*56-01 -,380408-02
2,40000 3,00000 1,527636 -,***3*8-01 -,341359-02
2,40000 3,20000 1,550276 -,372010-01 -,274494-02
2,40000 3,40000 1,569932 -,312900-01 -,220698-02
2,40000 3,60000 1,587077 -,26**26-01 -,177686-02
2,40000 3,80000 1,602100 -,22*516-01 -,143398-02
2,40000 4,00000 1,61532* -,191517-01 -,116083-02
2,40000 4,20000 1,627011 -,16*112-01 -,943074-03
2,40000 4,40000 1,637382 -,1*1251-01 -,769138-03
2,40000 4,60000 1,6*6621 -,122096-01 -,629840-03
2,40000 4,60000 X, 65*881 -,105975-01 -,517929-03
2,40000 5,00000 1,662292 -,923*85-02 -,427704-03
2,40000 5,20000 1,668962 -,807822-02 -,354689-03
2,40000 5,40000 1,67*986 -,709237-02 -,295370-03
2,40000 5,60000 1,680**0 -,62*875-02 -,246986-03
2,40000 5,80000 1,685395 -,552*02-02 -,207362-03
2,40000 6,00000 1,689906 -,*89911-02 -,174782-03
F ♦ Е6
F*E2*A
F*E4* A»*3 F*E6* A**5
-,^20384-01 -,164215-00 ,758997-00 -,334736+01
-,664097-01 -,352916-00 ,134972+01 -,528795+01
-,668102-01 -,493971-00 ,167355+01 -,531985+01
-,499767-01 -,600636-00 ,172634+01 -,397945+01
-,274833-01 -,671695-00 ,157376+01 -,218839+01
-,814023-02 -,710165-00 ,130601+01 -,648176-00
,450483-02 -,721488-00 ,100212+01 ,358703-00
,107681-01 -,711901-00 ,714684-00 ,857426-00
,125498-01 -,687350-00 ,470356-00 ,999292-00
,118101-01 -,652909-00 ,277213.-00 ,940391-00
4997401-02 -,612608-00 ,132680-00 ,794193-00
,788563-02 -,569472-00 ,294315-01 ,627903-00
,596101-02 -,525665-00 -,410525-01 ,474653-00
,435726-02 -,482671-00 -,867020-01 ,346952-00
,309666-02 -,441451-00 -,114161+00 ,246576-00
,214229-02 -,402588-00 -,128672-00 ,170583-00
,143841-02 -,366389-00 -,134212-00 ,114535+00
,929517-03 -,332977-00 -,133719-00 ,740139-01
,567775-03 -,302343-00 -,129321-00 ,452098-01
,314818-03 -,274400-00 -,122531+00 ,250677-01
,141102-03 -,249007-00 -,114407+00 ,112354-01
,244461-04 -,225996-00 -,105679+00 ,194655-02
-,515372-04 -,205187-00 -,968355-01 -,410372-02
-,988220-04 -,186395-00 -,881958-01 -,786883-02
-,126087-03 -,169442-00 -,799592-01 -,100398-01
-,139582-03 -,154156-00 -,722406-01 -,111144-01
-,143780-03 -,140375-00 -,650978-01 -,114487-01
-,141862-03 -,127952-00 -,585492-01 -,112960-01
-,136075-03 -,116749+00 -,525875-01 -,108351-01
-,127987-03 -,106644+00 -,471894-01 -,101911-01
' -,108905-03 -,892824-01 -,379460-01 -,867167-02
-,896963-04 -,750959-01 -,305093-01 -,714218-02
»,724744-04 -,634622-01 -,245633-01 -,577086-02
-,578979-04 -,538838-01 -,198233-01 -,461019-02
-,459546-04 -,459640-01 -,160474-01 -,365919-02
-,363560-04 -,393868-01 130371-01 -,289489-02
-,287313-04 -,339002-01 -,106326-01 -,228776-02
-,227157-04 -,293030-01 -,870690-02 -,180877-02
-,179870-04 -,254339-01 -,715985-02 -,143224-02
-,142753-04 -,221637-01 -,591258-02 -,113668-02
-,113616-04 -,193877-01 -,490322-02 -,904681-03
-,907173-05 -,170217-01 -,408320-02 -,722348-03
-,726861-05 -,149970-01 -,341434-02 -,578772-03
-,584519-05 -,132577-01 -,286657-02 -,465430-03
-,471821-05 -,117579-01 -,24’1618-02 -,375693-03
ALPHA BETA
f ♦ £2
F * E*
2,60000 ,10000 ,119807 -,791670-01 ,5530*9-01
2,60000 ,20000 ,238041 -,151813-00 ,98573*-0L
2,60000 ,30000 ,353258 -,212826-00 ,122*03+00
2,60000 *40000 ,464244 -,259351-00 ,126556-00
2,60000 ,50000 ,570067 -,2908*0-00 ,115770+00
2,60000 56OOOO ,670097 -,308520-00 ,965639-01
2,60000 ,70000 ,763976 -,31*638-00 ,7*6562-01
2,60000 ,80000 ,851577 -,311785-00 ,538578-01
2,60000 ,90000 ,932953 -,302*39-00 ,361080-01
2,60000 1,00000 1,008287 -,288722-00 ,2200*8-01
2,60000 1,10000 1,077852 -,272330-00 ,113767-01
2,60000 1,20000 1,141972 -,25*5*3-00 ,370832-02
2,60000 1,30000 1,201002 -,236288-00 -,160357-02
2,60000 1,40000 1,255306 -,218207-00 -,5121*5-02
2,60000 1,50000 1,305245 -,200728-00 -,731711-02
2,60000 l,bOOOO 1,351168 -,18*117-00 -,856319-02
2,60000 1,70000 1,393406 -,168527-00 -,91*302-02
2,60000 1,80000 1,432273 -,15*030-00 -,926667-02
2,60000 1,90000 1,468057 -,1*06*2-00 -,908701-02
2,60000 2,00000 1,501026 -,1283*2-00 -,871367-02
2,60000 2,10000 1,531427 -,117087+00 -,822*28-02
2,60000 2,20000 1,559484 -,106818+00 -,767302-02
2,60000 2,30000 1,585403 -,97*695-01 -,709715-02
2,60000 2,40000 1,609372 -,889728-01 -,652173-02
2,60000 2,50000 1,631560 -,812589-01 -,596313-02
2,60000 2.60000 1,652121 -,7*2608-01 -,5*3159-02
2,60000 2,70000 1,671196 -,6791*8-01 -,*93300-02
2,60000 2,80000 1,688912 -,621611-01 -,**7026-02
2,60000 2,90000 1,705384 -,569**3-01 -,*0**27-02
2,60000 3,00000 1,720716 -,522131-01 -,365**7-02
2,60000 3,20000 1,748331 -,**02*8-01 -,2977*6-02
2,60000 3,40000 1,772415 -,372706-01 -,2*2310-02
2,60000 3,60000 1,793509 -,316836-01 -,19727*-02
2,60000 3,80000 1,812062 -,270*69-01 -,1608*7-02
2,60000 4,00000 1,828446 -,231852-01 -,131**3-02
2,60000 4,20000 1,842972 -,199566-01 -,10771*-02
2,60000 4,40000 1,855897 -,172*69-01 -,885*89-03
2,60000 4,60000 1,867439 -,1*9637-01 -,730*33-03
2,60000 4,80000 1,877783 -,130322-01 -,60*692-03
2,60000 5,00000 1,887081 -,113920-01 -,502**2-03
2,60000 5,20000 1,895467 -,999362-02 -,*190*0-03
2,60000 5,40000 1,903052 -,879703-02 -,350789-03
2,60000 5,60000 1,909932 -,776931-02 -,29*7**-03
2,60000 5,80000 1,916189 -,6883*5-02 -,2*8562-03
2,60000 6,00000 1,921896 -,611723-02 -,210373-03
F * Е6
F*E2*A F*E4» A**3 F*E6* A**S
-,*22257-01 -,205834-00 ,973445-00 -,501699+01
-,665813-01 -,394713-00 ,173253+01 -,791077+01
-,670*52-01 -,553349-00 ,215135+01 -,796590+01
-,5025*9-01 -,674314-00 ,222434+01 -,597097+01
-,277807-01 -,756184-00 ,203477+01 -,330072+01
-,8*3*0*-02 -,802151-00 ,169721+01 -,100208+01
,*23*02-02 -,818059-00 ,131216+01 ,503060-00
,1053*8-01 -,810642-00 ,946604-00 ,125168+01
,123627-01 -,786341-00 ,634633-00 ,146886+01
,116727-01 -,750678-00 ,386756-00 ,138688+01
,988521-02 -,708059-00 ,199957-00 ,117450+01
,78*082-02 -,661813-00 ,651775-01 ,931597-00
,5953*5-02 -,614349-00 -,281844-01 ,707352-00
,*37921-02 -,567339-00 -,900146-01 ,520311-00
,31*032-02 -,521893-00 -,128606-00 ,373113-00
,2200**-02 -,478704-00 -,150507-00 ,261442-00
,150*82-02 -,438171-00 -,160698-00 ,178793-00
,9991*6-03 -,400478-00 -,162871-00 ,118712+00
,636775-03 -,365669-00 -,159713-00 ,756576-01
,380**3-03 -,333689-00 -,153152-00 ,452019-01
,201560-03 -,304426-00 -,144550-00 ,239481-01
,787153-0* -,277727-00 -,134861-00 ,935246-02
-,388*16-05 -,253421-00 -,124739+00 -,461492-03
-,577789-0* -,231329-00 -,114626+00 -,686493-02
-,913513-0* -,211273-00 -,104808+00 -,108538-01
-,110665-03 -,193078-00 -,954657-01 -,131485-01
-,120091-03 -,176578-00 -,867025-01 -,142685-01
-,122772-03 -,161619-00 -,785696-01 -,145870-01
-,120957-03 -,148055-00 -,710821-01 -,143714-01 X
-,1162*9-03 -,135754-00 -,642310-01 -,138119-01
-,1023*7-03 -,114464+00 -,523319-01 -,121602-01
-4866076-0* -,969034-01 -,425883-01 -,102902-01
-,7159*3-0* -,823773-01 -,346728-01 -,850639-02
-,583**3-0* -,703220-01 -,282705-01 -,693210-02
-,*713**-0* -,602815-01 -,231024-01 -,560022-02
-,378858-0* -,518872-01 -,189318-01 -,450136-02
-,303730-0* -,448419-01 -,155634-01 -,360873-02
-,2*3289-0* -,389055-01 -,128381-01 -,289060-02
-,19*9*7-0* -,338838-01 -,106281-01 -,231624-02
-,156*10-0* -,296191-01 -,883092-02 -,185836-02
-,125732-0* -,259834-01 -,736505-02 -,149386-02
-,101313-0* -,228723-01 -,616546-02 -,120374-02
-,818617-05 -,202002-01 -,518043-02 -,972630-03
-,663*27-05 -,178970-01 -,436873-02 -,788243-03
-,539359-05 -,159048-01 -,369751-02 -,640832-03
ALPHA beta
F * E2
F ♦ E*
2,80000 ,10000 ,129113 -,810810-01 ,557126-01
2,80000 ,20000 ,256615 -,155601-00 ,992135-01
2,80000 ,30000 ,381025 -,218413-00 ,123326+00
2,80000 ,40000 ,501091 -,266626-00 ,127719-00
2,80000 ,50000 ,615851 -,299664-00 ,117124+00
2,80000 ,60000 ,724640 -,318730-00 ,990535-01
2,80000 ,70000 ,827074 -,326057-00 ,762254-01
2,80000 ,80000 ,923002 -,324225-00 ,554529-01
2,80000 ,90000 1,012457 -,315709-00 ,376807-01
2,80000 1,00000 1,095606 -,302634-00 ,235139-01
2,80000 1,10000 1,172706 -,286703-00 ,127893-01
2,80000 1,20000 1,244075 -,269207-00 ,500007-02
2,80000 1,30000 1,310061 -,251089-00 -,448538-03
2,80000 1,40000 1,371025 -,233006-00 -,411143-02
2,80000 1,50000 1,427328 -,215404-00 -,645391-02
2,80000 1,60000 1,479321 -,198567-00 -,784333-02
2,80000 1,70000 1,527342 -,182664-00 -,855904-02
2,80000 1,80000 1,571708 -,167783-00 -,880828-02
2,80000 1,90000 1,612716 -,153957-00 -,874214-02
2,80000 2,00000 1,650644 -,141177-00 -,846940-02
2,80000 2,10000 1,685746 -,129413-00 -,806747-02
2,80000 2,20000 1,718258 —,118615*00 -,759090-02
2,80000 2,30000 1,748397 -,108729+00 -,707766-02
2,80000 2,40000 1,776359 -,996915-01 -,655380-02
2,80000 2,50000 1,802327 -,914406-01 -,603678-02
2,80000 2,60000 1,826464 -,839143-01 -,553799-02
2,80000 2,70000 1,848922 -,770529-01 -,506447-02
2,80000 2,80000 1,869838 -,707994-01 -,462024-02
2,80000 2,90000 1,889337 -,651008-01 -,420718-02
2,86000 3,00000 1,907533 -,599073-01 -,382570-02
2,80000 3,20600 1,940423 -,508564-01 -,315463-02
2,80000 3,40000 1,969235 -,433242-01 -,259630-02
2,80000 3,60000 1,994572 -,370422-01 -,213604-02
2,80000 3,80000 2,016939 -,317888-01 -,175871-02
2,80000 4,00000 2,036758 -,273824-01 -,145028-02
2,80000 4,20000 2,054381 -,236743-01 -,119849-02
2,80000 4,40000 2,070106 -,205434-01 -,992940-03
2,80000 4,60000 2,084185 -,178905-01 -,824982-03
2,80000 4,80000 2,096830 -,156349-01 -,687525-03
2,80000 5,00000 2,108222 -,137103-01 -,574797-03
2,80000 5,20000 2,118515 -,120624-01 -,482123-03
2,80000 5,40000 2,127842 -,106465-01 -,405731-03
2,80000 5,60000 2,136315 -,942594-02 -,342578-03
2,80000 5,80000 2,144034 -,837024-02 -,290213-03
2,80000 6,000.00 2,151082 -,745419-02 -,246658-03
F * £6
F*E2*A F*EU* A**3 F*E6* A**5
-,<♦22881-01 666837-01 -,67185*-01 -,227027-00 -,435684-00 -,611558-00 ,122300*01 ,217794*01 ,270724*01 -,727793*01 -,114765*02 -,115628*02
504233-01 -,746554-00 ,280369*01 -,867804*01
-,279650-01 -,839058-00 ,257110*01 -,481288*01
«,862158-02 -,892445-00 ,215247*01 -,148380*01
,405472*02 -,912960-00 ,167330*01 ,697832-00
,103730-01 -,907831-00 ,121730*01 ,178523*01
•122250-01 -,883984-00 ,827166-00 ,210397*01
,115629-01 -,847375-00 ,516176-00 ,199001*01
,980442-02 -,802768-00 ,280750*00 ,168738*01
,778804-02 -,753781-00 ,109761*00 ,134035*01
,592606-02 -,703049-00 -,984630-02 ,101990*01
,437356-02 -,652418-00 -,902541-01 ,752705-00
,315223-02 -,603131-00 -,141676-00 ,542510-00
,222568-02 -,555986-00 -,172177-00 ,383047-00
,153941-02 -,511458-00 -,187888-00 ,264939-00
,103958-02 -,469793-00 -,193359-00 ,178916-00
,680107-03 -,431079-00 -,191908-00 ,117049*00
,424333-03 -,395296-00 -,185920-00 ,730293-01
,244246-03 -,362355-00 -,177097-00 ,420356-01
,118952—03 -,332123-00 -,166635-00 ,204722-01
,331004-04 -,304441-00 -,155369-00 ,569669-02
-,244951-04 -,279136-00 -,143869-00 -,421569-02
-,619406-04 -,256034-00 -,132519-00 -,106602-01
-,850966-04 -,234960-00 -,121570*00 -,146454-01
-,981931-04 -,215748-00 -,111175*00 -,168994-01
-,104281-03 -,198238-00 -,101424*00 -,179471-01
-,105556-03 -,182282-00 -,923560-01 -,181666-01
-,103600-03 -,167740-00 -,839818-01 -,178299-01
-,941951-04 -,142398-00 -,692505-01 -,162113-01 X
-,817383-04 -,121308*00 -,569941-01 -,140675-01
-,690162-04 -,103718+00 -,468904-01 -,118779-01
-,572988-04 -,890087-01 -,386071-01 -,986134-02
-,470677-04 -,766706-01 -,318365-01 -,810053-02
-,384084-04 -,662880-01 -,263093-01 -,661023-02
-,312199-04 -,575214-01 -,217970-01 -,537306-02
-,253257-04 -,500935-01 -,181100-01 -,435865-02
-,205310-04 -,437777-01 -,150926-01 -,353346-02
-,166499-04 -,383888-01 -,126179-01 -,286551-02
-,135172-04 -,337746-01 -,105836-01 -,232636-02
-,109920-04 -,298102-01 -,890661-02 -,189177-02
-,895698-05 -,263926-01 -,752027-02 -,154153-02
-,731597-05 -,234367-01 -,637075-02 -,125911-02
-,599110-05 -,208717-01 -,541464*02 -,103109-02 )
x/2 22-726
ALFA BETA
F » E2
F ♦ E4
3,00000 ,10000 ,137778 -,826258-01 ,559435-01
3,00000 ,20000 ,273914 -,158663-00 ,996633-01
3,00000 ,30000 ,406896 -,222939-00 ,123977*00
3,00000 ,40000 ,535445 -,272538-00 ,128546-00
3,00000 ,50000' ,658569 -,306862-00 ,116096*00
3,00000 ,60000 ,775578 -,327099-00 ,991350-01
3,00000 ,70000 ,886066 -,335467-00 ,773800-01
3,00000 ,60000 ,989860 -,334538-00 ,566447-01
3,00000 ,90000 1,086974 -,326781-00 ,388762-01
3,00000 1,00000 1,177560 -,314324-00 ,296833-01
3,00000 1,10000 1,261865 -,298869-00 ,139073-01
3,00000 1,20000 1,340196 -,281717-00 ,604662-02
3,00000 1,30000 1,412893 -,263816-00 ,511713-03
3,00000 1,40000 1,480314 -,245836-00 -,324731-02
3,00000 1,50000 1,542818 -,228232-00 -,569117-02
3,00000 1,60000 1,600756 -,211302-00 -,718330-02
3,00000 1,70000 1,654466 -,195227-00 -,799977-02
3,00000 1,80000 1,704271 -,180108-00 -,834531-02
3,00000 1,90000 1,750471 165987-00 -,836916-02
3,00000 2,00000 1,793350 -,152867-00 -,817883-02
3,00000 2,10000 1,833170 —,140728—00' -,785106-02
3,00000 2,20000 1,870174 -,129531-00 -,744011-02
3,00000 2,30000 1,904586 -,119225*00 -,698401-02
3,00000 2,40000 1,936612 -,109758*00 -,650914-02
3,00000 2,50000 1,966442 -,101071*00 -,603347-02
3,00000 2,60000 1,994248 -,931091-01 -,556900-02
3,00000 2,70000 2,020192 -,858153-01 -,512346-02
3,00000 2,80000 2,044418 -,791366-01 -,470156-02
3,00000 2,90000 2,067061 -,730223-01 -,430588-02
3,00000 3,00000 2,088242 -,674250-01 -,393750-02
3,00000 3,20000 2,126659 -,576078-01 -,328220-02
3,00000 3,40000 2,160457 -,493701-01 -,272926-02
3,00000 3,60000 2,190297 -,424461-01 -,226740-02 )
3,00000 3,80000 2,216734. -,366137-01 -,188405-02 1
3,00000 4,00000 2,240236 -,316882-01 -,156707-02
3,00000 4,20000 2,261197 -,275171-01 -,130547-02
3,00000 4,40000 2,279953 -,239745-01 -,108973-02
3,00000 4,60000 2,296788 -,209564-01 -,911772-03
3,00000 4,80000 2,311943 ^,183773-01 -,764832-03
3,00000 5,00000 2,325625 -,161663-01 -,643327-03
3,00000 5,20000 2,338012 -,142649-01 -,542665-03
3,00000 5,40000 2,349257 -,126247-01 -,459090-03
3,00000 5,60000 2,359490 -,112054-01 -,389535-03
3,00000 5,80000 2,368824 -,997349-02 -,331500-03
3,00000 6,00000 2,377361 -,890113-02 -,282949-03
F ♦ Е6
F*E2*A
F*EU* A**3 F*E6* A**5
-,*22257-01 -,2*7877-00 ,151048*01 -,102608*02
-,667*32-01 -,*75990-00 ,269091*01 -,162186*02
-,672716-01 -,668817-00 ,334738*01 -,163470*02
-,505286-01 -,817613-00 ,347075*01 —,122785*02
-,280823-04. -,920585-00 ,318658*01 -,682401*01
-,87*369-02 -,981297-00 ,267665*01 -,212472*01
,393*62-02 -,1006*0*01 ,208926*01 ,956112-00
,102608-01 -,100361*01 ,152941*01 ,249336*01
,121252-01 -,9803*4-00 ,104966*01 ,294643*01
,11*787-01 -,942971-00 ,666448-00 ,278932*01
,973744-02 -,896608-00 ,375496-00 ,236620*01
,773862-02 -,845152-00 ,163.259-00 ,188049*01
,5893*5-02 -,791449-00 ,138163-01 ,1*3211*01
,*35620-02 -,737508-00 -,876773-01 ,105856*01
,31*805-02 -,684697-00 -,153662-00 ,76*975-00
,223232-02 -,633907-00 -,193949-00 ,542*54-00
,155*50-02 -,585682-00 -,215994-00 ,377743-00
,106082-02 -,540324-00 -,225323-00 ,257779-00
,705**7-03 -,497960-00 -,225967-00 ,171424-00
,*52010-03 -,458602-00 -,220828-00 ,109838*00
,272809-03 -,422185-00 -,211979-00 ,662927-01
,1*7265-03 -,388592-00 -,200883-00 ,357853-01
,603120-0* -,357676-00 -,188568-00 ,146558-01
,102160-05 -,329273-00 -,175747-00 ,248248-03
-,38*987-0* -,303214-00 -,162904-00 -,935519-02
-,639356-0* -,279327-00 -,150363-00 -,155364-01
-,793838-0* -,257446-00 -,138333-00 -,192903-01
-,877930-0* -,237410-00 -,126942-00 -,213337-01
-,912889-0* -,219067-00 -,116259*00 -,221832-01
-,91*0*0-0* -,202275-00 -,106312*00 -,222112-01
-,855991-0* -,172823-00 -,886195-01 -,208006-01
-, 75979*-04- -,148110-00 -,736900-01 -,184630-01 у
-,653902-0* -,127338-00 -,612198-01 -,158898-01
-,552136-0* —,109841*00 -,508694-01 -,134169-01
-,*6055*-0* -,950645-01 -,423108-01 -,111915-01
-,381150-0* -,825513-01 -,352477-01 -,926195-02
-,313869-0* -,719234-01 -,294228-01 -,762702-02
-,257700-0* -,628693-01 -,246179-01 -,626211-02
-,211263-0* -,551319-01 -,206505-01 -,513370-02
-,173118-0* -,484988-01 -,173698-01 -,420678-02
-,1*1912-0* -,427947-01 -,146520-01 -,344847-02
-,116444-0* -,378740-01 -,123954-01 -,282960-02
-,9568*1-05 -,336161-01 -,105174-01 -,232512-02
-,787658-05 -,299205-01 -,895051-02 -,191401-02
-,6*9725-05 -,267034-01 -,763962-02 -,157883-02
ALPHA BETA
F * E2
F ♦ EU
3,50000 ,10000 ,157139 -,853979-01 ,562759-01
3,50000 ,•20000 ,312582 -,169167-00 ,100318+00
3,50000 ,30000 ,464761 -,231096-00 ,129931+00
3,50000 ,40000 ,612344 -,283239-00 ,129770-00
3,50000 ,50000 ,754287 -,319951-00 ,119599+00
3,50000 ,60000 ,889855 -,392907-00 ,100775+00
3,50000 ,70000 1,018596 -,352797-00 ,791609-01
3,50000 ,80000 1,140296 -,353678-00 ,585176-01
3,50000 ,90000 1,254934 -,397506-00 ,907953-01
3,50000 1,00000 1,362630 -,336903-00 ,266053-01
3,50000 1,10000 1,463604 -,322079-00 ,157936-01
3,50000 1,20000 1,558139 -,305821-00 ,786380-02
3,50000 1,30000 1,646560 -,288601-00 ,223239-02
3,50000 1,40000 1,729209 -,271096-00 -,169937-02
3,50000 1,50000 1,806436 -,253775-00 -,922120-02
3,50000 1,60000 1,878586 -,236951-00 -,585592-02
3,50000 1,70000 1,945996 -,220823-00 -,681965-02
3,50000 1,80000 2,008989 -,205509-00 -,731277-02
3,50000 1,90000 2,067869 -,191069-00 -,798098-02
3,50000 2,00000 2,122927 -,177525-00 -,792897-02
3,50000 2,10000 2,179933 -,169871-00 -,723138-02
3,50000 2,20000 2,222690 -,153083-00 -,699099-02
3,50000 2,30000 2,267789 -,192128-00 -,659996-02
3,50000 2,40000 2,310089 -,131969-00 -,621919-02
3,50000 2,50000 2,399799 -,122597+00 -,583163-02
3,50000 2,60000 2,386951 -,113829+00 -,599953-02
3,50000 2,70000 2,921881 -,105769+00 -,506608-02
3,5000# 2,80000 2,959695 -,983077-01 -,970163-02
3,50000 2,90000 2,985591 -,919157-01 -,935999-02
3,50000 3,00000 2,519558 -,850963-01 -,902653-02
3,50000 3,20000 2,567605 -,737209-01 -,393096-02
3,50000 3,40000 2,619799 —,690955—01 -,291978-02
3,50000 3,60000 2,656799 —,557722—01 -,297233-02
3,50000 3,80000 2,699285 -,986882-01 -,209580-02
3,50000 4,00000_ 2,727919 -,926125-01 -,177683-02»
3,50000 9,20000 2,758138 -,373916-01 -,150790-02
3,50000 9,90000 2,785361 -,328960-01 -,128020-02
3,50000 9,60000 2,809999 -,290169-01 -,108876-02
3,50000 9,80000 2,832211 -,256605-01 -,927972-03
3,50000 5,00000 2,852918 -,227508-01 -,791522-03
3,50000 5,20000 2,870802 -,202219-01 -,676837-03
3,50000 5,90000 2,887566 -,180187-01 -,579979-03
3,50000 5,60000 2,902887 -,160999-01 -,998062-03
3,50000 5,80000 2,916919 -,199096-01 -,928670-03
3,50000 6,00000 2,929797 -,129311-01 -,369782-03
F ♦ Е6
F*E2*A F*E<*« A**3 F*E6* A**5
-9^22вв1»01 -,298891-00 ,2*1283+01 -,222105*02
-?668134»01 -,579589-00 ,930113+01 -,350917+02
-,673757-01 ->,808836-00 ,5356*3+01 -,353870+02
~,506573-01 -,991319-00 ,556387+01 -,266062+02
-,282287-01 -,111983+01 ,512567+01 -,1*8262+02
-,890019-02 -,119892+01 ,932075+01 •*,*67955+01
,377553-02 -,123*79+01 ,339900+01 ,198298+01
9101060-01 -,123787+01 ,250899+01 ,530788+01
♦119808-01 -,121627+01 ,179910+01 ,629255+01
♦113492-01 -,1177*1+01 ,11*070+01 ,596081+01
,962613-02 -,112726+01 ,677150-00 ,505583+01
,76*733-02 -,107037+01 ,337160-00 ,401652+01
♦582274-02 -,101010*01 ,957135-01 ,305821+01
,930559-02 -,948834-00 -,705022-01 ,226135+01
,311607-02 -,888211-00 -,180989-00 ,163662+01
,221705-02 -,829328-00 -,251073-00 ,116*99+01
,155359-02 -.772880-00 •,292393-00 ,815979-00
♦107177-02 -,719281-00 -,313535-00 ,562916-00
♦725768-03 -,6687*2-00 ,3207*7-00 ,381187-00
,979339-03 -,621337-00 -,318517-00 ,251755-00
,30*999-03 -,5770*7-00 -,3100*5-00 ,160189-00
,182**2-03 -,535791-00 -,297595-00 ,958221-01
,969096-0* -,*97**9-00 -,282759-00 ,508987-01
,377621-0* -,*61875-00 -,2666*8-00 ,198339-01
-,261269-05 -,*28913-00 -,250031-00 -,137221-02
-,296*81-0* -,398*00-00 -,233*39-00 -,155717-01
-,*72183-0* -,370179-00 -,217208-00 -,297999-01
-,580869-0* -,3**077-00 -,201582-00 -,305081-01
-,6*2259-0* -,319955-00 -,186699-00 -,337327-01
-,670*85-0* -,297662-00 -,172637-00 -,352152-01
—,66505*-0* -,258023-00 -,1*7103-00 -,399299-01
-,615903-0* -,22*159-00 -,12*971+00 -,323*89-01
-,5*9518-0* -,195203-00 -,106001+00 -,288617-01
-,979*37-0* -,170*09-00 -,898579-01 -,251809-01
-,*1235*-0* 1*919*^0^] LlJfelBl 5-01) -,216576-01
-,351308-0* -,130871-00 -,6*6299-01 -,189519-01
-,297389-0* -,115136+00 -,5*8887-01 -,156199-01
-,250661-0* -,101557+00 -,*66808-01 -,131652-01
-,210678-0* -,898117-01 -,397659-01 -,110652-01
-,176766-0* -,796279-01 -,339365-01 -,928*08-02
-,1*8178-0* -,707768-0.1 -,290199-01 -,778258-02
-.12*180-0* -,630653-01 -,2*8666-01 -,652219-02
-,10*095-0* -,563302-01 -,2135*9-01 -,5*672*-02
-,873137-05 -,50*337-01 -,183792-01 -,958588-02
-,733088-05 -,952587-01 -,158599-01 -,385032-02
ALPHA BETA
F • E2 F * EU-
4,00000 ,10000 ,17391* -,871973-01 ,564382-01
4,00000 ,20000 ,3*609* -,167747-00 ,100637+00
4,00000 ,30000 ,51*9*0 -,236419-00 ,125*00-00
4,00000 ,40000 ,679063 —,290243—00 ,130377-00
4,00000 ,50000 ,837**6 -,328573-00 ,120280+00
4,00000 ,60000 ,969262 -,352555-00 ,101613+00
4,00000 ,70000 1,13*0*7 -,364371-00 ,800863-01
4,00000 ,60000 1,271561 -,366566-00 ,595119-01
4,00000 ,90000 1,*01756 -,361590-00 ,418380-01
4,00000 1,00000 1,52*727 -,351558-00 ,276769-01
4,00000 1,10000 1,6*0672 -,338171-00 ,168752-01
4,00000 1,20000 1,7*9857 -,322730-00 ,893826-02
4,00000 1,30000 1,852590 -,306194-00 ,328420-02
4,00000 1,40000 1,9*9199 -,289246-00 -,628637-03
4,00000 1,50000 2,0*002* -,272361-00 -,325280-02
4,00000 1,60000 2,125*00 -,255857-00 -,494387-02
4,00000 1,70000 2,205659 -,2399*0-00 -,597077-02
4,00000 1,60000 2,281117 -,22*734-00 -,653180-02
4,00000 1,90000 2,352079 -,210309-00 -,677076-02.
4,00000 2,00000 2,*1883* -,196695-00 -,679065-02
4,00000 2,10000 2,*8165* -,183894-00 -,666463-02
4,00000 2,20000 2,5*079* -,171891-00 -,6*4425-02
4,00000 2,30000 2,596*96 -,160662-00 -,616565-02
4,00000 г,4oooo 2,6*8982 ”,150172-00 -,585398-02
4,00000 2,50000 2,698*65 -,140384-00 -,552660-02
4,00000 2,60000 2,7*5138 -,131259-00 -,519536-02
4,00000 2,70000 2,789185 -,122758+00 -,486823-02
4,00000 2,60000 2,830776 -,11*842+00 -,455048-02
4,00000 2,90000 2,870070 -,107471+00 -,424540-02
4,00000 3,00000 2,907213 -,100610+00 -,395500-02
4,00000 3,20000 2,975588 -,882793-01 -,342174-02
4,00000 3,40000 3,036889 -,775936-01 -,295246-02
4,00000 3,60000 3,09197* -,683275-01 -,254379-02
4,00000 3,80000 3,1*158* -,6028*6-01 -,219025-02
4,00000 4,00000 3,186365 -,532950-01 -,188568-02
4,00000 4,20000 3,226876 -,*72123-01 -,162399-02
4,00000 4,40000 3,26360* -,419105-01 -,139953-02
4,00000 4,60000 3,296976 -,372818-01 -,120718-02
4,00000 4,80000 3,327361 -,332337-01 -,104242-02
4,00000 5,00000 3,355083 -,296869-01 -,901281-03
4,00000 5,20000 3,380*29 -,265734-01 -,780344-03
4,00000 5,40000 3,*036*5 -,238353-01 -,676654-03
4,00000 5,60000 3,*2*953 -,21*225-01 -,587678-03
4,00000 5,80000 3,*4*5*5 -,192923-01 -,511252-03
4,00000 6,00000 3,462592 -,174080-01 -,*45530-03
F • €6
F*E2*A
F*E** A«*3
F*E6* A*«5
-,*23193-01
-,668*17-01
-,67*137-01
-,507059-01
—,28285*-01
-,896263-02
,370973-02
,100392-01
,119152-01
мм
,112868-01
,9568*6-02
,759565-02
,577791-02
,*2680*-02
,30860*-02
-,219*3*-02
,153781-02
,106236-02
,722025-03
,*80*97-03
,310273-03
,191055-03
,10611*-03
,5087*1-0*
,117957-0*
,1**756-0*
,317325-0*
,*26591-0*
,*915*1-0*
-,525616-0*
-,536*31-0*
-,506521-0*
-,*59735-0*
-,*07988-0*
-,357112-0*
-,309812-0*
-,267180-0*
—,229*7*-0*
—,19653*-0*
-,168000-0*
->1*3*29-0*
-,12236*-0*
-,10*361-0*
^,890102-05
-,759*16-05
-,3*8789-00
-,670990-00
-,9*5676-00
-,116097*01
—,131*29*01
-,1*1022*01
-,1*57*8*01
-,1*6626*01
-,1**636*01
-,1*0623*01
-,135268*01
-,129092*01
-,122*78*01
-,115698*01
-,1089***01
-,1023*3*01
-,959759-00
-,898937-00
-,8*1238-00
-,786779-00
-,735575-00
-,687565-00
-,6*26*7-00
-,600687-00
-,561536-00
-,525038-00
—,*9103*-00
-,*59366-00
—,*2988*-00
-,*02**0-00
-,353117-00
—,31037*-00
-,273310-00
-,2*1138-00
-,213180-00
-,1888*9-00
-,1676*2-00
-,1*9127-00
-,132935-00
-,1187*7*00
-,10629**00
-,953*11-01
-,856900-01
—,771693-01
-,696318-01
,361205*01
,6**078*01
,802562*01
,83**13*01
,76979**01
,650325*01
,512552*01
,380876*01
,267763*01
,177132*01
,108001*01
,5720*9-00
,210189-00
-,*02328-01
-,208179-00
-,316*08-00
-,382129-00
-,*18035-00
-,*33329-00
-,*3*602-00
-,*26536-00
-,*12*32-00
-,39*602-00
-,37*655-00
-,353702-00
-,332503-00
-,311567-00
-,291230-00
-,271706-00
-,253120-00
-,218991-00
-,188957-00
-,162803-00
-,1*0176-00
-,120683*00
-,103935*00
-,895700-01
-,772596-01
-,6671*7-01
-,576820-01
-9*99*20-01
-,*33058-01
-,37611*-01
-,327201-01
-,285139-01
-,*33350*02
-,68**59*02
-,690316*02
-,519228*02
-,2896*2*02
-,917773*01
,379877*01
,102802*02
,122012*02
,115576*02
,979810*01
,777795*01
,591658*01
9*370*7*01
,316010*01
,22*701*01
,157*72*01
,108786*01
,739353-00
,*92029-00
,317720-00
,1956*0-00
,110709*00
,520951-01
,120788-01
-,1*8230-01
-,32*9*1-01
-,*36829-01
-,503338-01
-,538230-01
-,5*9306-01
-,518677-01
-,*70768-01
-,*17779-01
-,365682-01
-,3172*7-01
-,273592-01
-,23*981-01
-,201251-01
-,172032-01
-,1*6872-01
-,125301-01
-,106866-01
—,911*6*-02
-,7776*2-02
ALPHA BETA
F * €2
F * E4
4*50000 910000 ,188710 -,884319-01 *565240-01
4,50000 920000 ,375663 -,170206-00 *100608*00
4,50000 ,30000 ,559232 -,240081-00 *125652-00
4,50000 ,40000 ,738025 -,295079-00 *130705-00
4,50000 950000 ,910942 -,334544-00 ,120679*00
4,50000 960000 1,077191 -,359612-00 ,102074*00
4,50000 970000 1,236270 -,372459-00 ,606022-01
4,50000 960000 1,387915 -,375624-00 ,600736-01
4,50000 990000 1,532059 -,371550-00 ,424363-01
4,50000 1,00000 1,668781 -,362348-00 ,283023-01
4,5,0000 191000G 1,798262 -,349717-00 ,175186-01
4,50000 1,20000 1,920752 -,334954-00 ,959062-02
4,50000 1,30000 2,036545 -,319018-00 ,393714-02
4,50000 1,40000 2,145958 -,302593-00 ,171393-04
4,50000 1,50000 2,249320 -,286152-00 -,262115-02
4,50000 1,60000 2,346958 -,270017-00 -,433244-02
4,50000 1,70000 2,439195 -,254395-00 -,538474-02
4,50000 1,80000 2,526342 -,239415-00 -,597544-02
4,50000 1,90000 2,608700 -,225148-00 -*624741-02
4,50000 2,00000 2,686555 -,211629-00 -,630279-02
4,50000 2,10000 2,760175 -,198865-00 -,621392-02
4,50000 2^20000 2,829816 -,186846-00 -,603162-02
4,50000 2,30000 2,895720 -,175550-00 -,579137-02
4,50000 2,40000 2,958111 -,164949-00 -,551772-02
4,50000 2,50000 3,017202 -,155009-00 -,522755-02
4,50000 2,60000 3,073193 -,145697-00 -,493231-02
4,50000 2,70000 3,126268 -,136977-00 -*463965-02
4,50000 2,00000 3,176602 -,128813-00 -,435455-02
4,50000 2,90000 3,224360 -,121172*00 -,408017-02
4,50000 3,00000 3,269693 -,114021*00 -,381837-02
4,50000 3,20000 3,353650 -,101065*00 -,333580-02
4,50000 3,40000 3,429511 -,897111-01 -,290857-02
4,50000 3,60000 3,498186 -,797558-01 -,253361-02
4,50000 3,80000 3,560472 -,710187-01 -,220677-02
4,50000 4,00000 3,617070 -,633426-01 -,192226-02
4,50000 4,20000 3,668594 -,565906-f01 -,167515-02
4,50000 4,40000 3,715585 -,506440-01 -,146073-02
4,50000 4,60000 3,758520 -,453997-01 -,127476-02
4,50000 4,80000 3,797820 -,407683-01 -,111346-02
1 4,50000 5,00000 3,833854 -,366722-01 -,973554-03
4,50000 5,20000 3,866951 -,330441-01 -,852152-03
4,50000 5,40000 3,897402 -,298257-01 -,746757-03
4,50000 5,60000 3,925465 -,269663-01 -,655201-03
4,50000 '5,80000 3,951368 -,244219-01 -,575608-03
4,50000 6,00000 3,975316 -,221542-01 -,506357-03
F ♦ Е6
F*E2«A F*E4* A**3 F*E6* A**5
-,422569-01 -,668554-01 -,674300-01 -,507265-01 -,283098-01 -,899006-02 ,368013—02 -,397943-00 -,765920-00 -,108037*01 -,132706*01 -,150545*01 -,161025*01 -,167607*01 ,515075*01 ,918610*01 ,114501*02 ,119105*02 ,109968*02 ,930154*01 ,734488*01 -,779758*02 -,123367*03 -,124427*03 -,936046*02 -,522396*02 -,165892*02 ,679088*01
,100084-01 -,169031*01 ,547421*01 ,184682*02
,118839-01 -,167190*01 ,386701*01 ,219292*02
,112558-01 -,163057*01 ,257905*01 ,207701*02
,953863-02 -,157373*01 ,159638*01 ,176015*02
,756756-02 -,150730*01 ,873945-00 ,139643*02
,575205-02 -,143550*01 ,358772-00 ,106142*02
,424481-02 -,136167*01 ,156182-02 ,783288*01
,306571-02 -,128768*01 -,236852-00 ,565710*01
,217706-02 -,121500*01 -,394794-00 ,401729*01
,152362-02 -,114470*01 -,490684-00 ,281151*01
,105120-02 -,107737*01 -,544512-00 ,193977*01
,713776-03 -,101317*01 -,569295-00 ,131712*01
,474964-03 -,952332-00 -,574342-00 ,876442-00
,307218-03 -,094094-00 -,566244-00 ,566903-00
,190210-03 -,040007-00 -,549632-00 ,350992-00
,109196-03 -,709975-00 -,527738-00 ,201497-00
,535944-04 -,742269-00 -,502802-00 ,988968-01
,158708-04 -,697541-00 -,476361-00 ,292861-01
-,931612-05 -,655636-00 -,449457-00 -,171909-01
-,257404-04 -,616395-00 -,422788-00 -,474983-01
-,360635-04 -,579660-00 -,396809-00 -,665472-01
-,421591-04 -,545276-00 -,371806-00 -,777954-01
-,453451-04 -,513096-00 -,347949*00 -,836745-01
-,464153-04 -,454790-00 -,303975-00 -,856492-01
-,438291-04 -,403700-00 -,265044-00 -,808771-01
-,398086-04 -,356901-00 -,230893-00 -,734580-01
-,354177-04 -,319584-00 -,201092-00 -,653557-01
-,311476-04 -,285042-00 -,175166-00 -,574761-01
-,272071-04 -,254658-00 -,152646-00 -,502047-01
-,236679-04 -,227898-00 -,133109-00 -,436739-01
-,205367-04 —,204299—00 -,116162*00 -,378959-01
-,177909-04 -,183457-00 -,101464*00 -,328293-01
-,153965-04 -,165025-00 -,887151-01 -,284108-01
-,133158-04 -,148699-00 -,776524-01 -,245714-01
—,115122—04 -,134216-00 -,680483-01 -,212433-01
-,995162-05 -,121348*00 -,597052-01 -,183635-01
-,860300-05 -,109899*00 -,524523-01 -,158750-01
-,743867-05 -,996938-01 -,461418-01 -,137264-01
ALPHA
BETA
F * E2
F * E*
SyOOOOO ,10000 ,201948 -,893152-01 ,565724-01
5,00000 ,20000 ,402120 -,171967-00 ,100906*00
5,00000 ,30000 ,598873 -,242708-00 ,125797-00
5,00000 ,40000 ,790797 —,298554—00 ,130895-00
5,00000 ,50000 ,976776 -,338844-00 ,120910*00
5,OOOQO ,60000 1,156002 -,364710-00 ,102344*00
5,00000 ,70000 1,327955 -,378323’00 ,809066-01
5,00000 ,80000 1,492357 -,382217-00 ,604083-01
5,00000 ,90000 1,649127 -,378832-00 ,427966-01
5^00000 1,00000 1,798329 -,370276-00 ,286836-01
5,00000. 1,10000 1,940131 -,358245’00 ,179160-01
5,00000 1,20000 2,074772 -,344035-00 ,999950-02
5,00000 1,30000 2,202534 -,328602-00 ,435281-02
5,00000 1,40000 . 2,323725 -,312630-00 ,435196-03
5,00000 , 1,50000 2,438664 -,296593-00 -,220484-02
5,00000 1,60000 2,547670 -,280811-00 -,392169-02
5,00000 1,70000 2,651059 -,265493-00 -,498297-02
5,00000 1,80000 2,749138 ‘ -,250769-00 -,558567-02
5,00000 1,90000 2,842200 -,236712-00 -,587226-02
5,00000 2,00000 2,930526 -,223357-00 -,594445-02
5,00000 2,10000 3,014384 -,210715-00 -,587415-02
5,00000 2,20000 3,094027 -,198776’00 -,571180-02
5,00000 2,30000 3,169693 -,187522-00 -,549248-02
5,00000 2,40000 3,241607. -,176927*00 -,524040-02
5,00000 2,50000 3,309982 -,166961-00 -,497212-02
5,00000 2,60000 3,375017 -,157591-00 -,469879-02
5,00000. , 2,70000 3,436899 -,148785-00 -,442781-02
5,00000 2,80000 3,495804 -,140511-00 -,416395-02
5,00000 2,90000 3,551899 -,132736-00 -,391019-02
5,00000 3,00000 3,605338 -,125431-00 -,366822-02
5,00000 3,20000 3,704824 —,112113*00 -,322255-02
5,00000 3,40000 3,795332 -,100345*00 -,262805-02
5,00000 З96ОООО 3,877803 -,899359-01 -,248157-02
5,00000 3,80000 3,953071 -,807197-01 -,217841-02
5,00000 4,00000 4,021874 -,725508-01 -,191359-02
5,00000 4,20000 4,084868 -,653017-01 -,168234-02
5,00000 4,40000 4,142632 -,588613-01 -,148037-02
5,00000 4,60000 4,195682 -,531325-01 -,130387-02
5,00000 4,80000 4,244477 -,480305-01 -,114952-02
5,00000 5,00000 4,289427 -,434810-01 -,101445-02
5,00000: 5,20000 4,330894 -,394190-01 -,896144-03
5,00000 5,40000 4,369205 -,357879-01 -,792452-03
5,00000 5,60000 4,404651 -,325376-01 -,701495-03
5,00000 5,80000 4,437491 -,296244’01 —,621644-03
'5,00000 6,00000 4,467960 -,270101-01 -,551487-03
F ♦ Е6
F*E2*A F*E4* A**S? F*E6**W«US
-,423505-01 -,446576-00 ,707155+01'°; 132345+03 e
-,668583-01 -,859834-00 ,126132+02, -,208932+03 ‘
-,674372-01 -,121354*01 ,157246+02 'J' -,210741+03
-,507360-01 -,149277*01 ,163618+02" *,158550+03 ;
-,283213-01 -,169422*01 ,151138+02 / —,885040+02' '
-,900314-02 -,182355*01 ,127930+02 °’ *,281348+02
,366581-02 -,189162*01 ,101133+02 ,114557+02
,999312-02 -,191108*01 ,755103+01' ,,,! 312285+02 :
,118681-01 -,189416*01 ,534958+01 ,370879+02 :-
,112398-01 -,185138*01 ,358545+01 ° ° ,351245+02 '
,952277-02 -,179122*01 ,223950+01 ,297567+02
,755213-02 -,172017*01 ,124994+01 ,236004+02
,573733-02 -,164301*01 ,544102-00';;" ,179291+02
,423102-02 -,156315*Q1 ,543995-01° °- 4132219+02
,305303-02 —,148296*01 -,275605-00" ° ° ' ,954070+01 '
,216562-02 -,140405*01 -,490211-00 °° ,676758+01
,151353-02 -,132747*01 -,622871-00 " ,472977+01
,104251-02 -,125384*01 -,698209-00 ,325783+01
,706488-03 -,118356*01 -,734033-00 ,220776+01
,469066-03
,302660-03
,186921-03
,107084-03
,525549*04
,157912-04
-,855292*05
—^242521—04
-,339653-04
-,395614-04
—,423516*04
-,429075-04
-,401153-04
-,361219-04
-,319220-04
-,279473-04
-,243591-04
-,211933-04
-,184311-04
-,160332-04
-,139553-04
-,121550*04
-,105945-04
-,924065-05
-,806500-05
-,704330-05
-,111679+01 *,743056-00 1,1 ,146563+01
-,105357+01 -,734269-00 ' ,945814-00
-,993680-00 713975-00 " ,584129-00
-,937610-00 -,666560-00 ' " ,334637-00
-,684635-00 -,655050-00 ' ,164234-00
-,634603-00 -,621515-00 ,493475-01
-.787955-00 -,587346-00 —,267279-01
-,743925-00 -,553476-00 -,757878-01
-,702553-00 -,520494-00 *,106141+00
-,663679-00 -,468774—00 -,123629+00
-,627153-00 -,456528-00 -,13234’9-00
-,560566-00 -,402819-00 . —,134006-00
-,501724-00 -,353506-00 -,310196-00 -,125360-00
-.449679-00 —,112861+00
-,403599-00 -,272302-00 1 ! 997564-01
-,362754-00 -,239199-00 673354-01
-,326509-00 -,210293-00 -,761223-01
-,294307-00 -,185046-00 ' -,662291-01
-,265663-00 -,162984-00 -,575972-01
-,240152-00 -,143690-00 ' -,501037-01
-,217405-00 -,126806-00 -,436102-01
-,197095-00 -,112016+00 —,379645—01
-,178939-00 -,990565-0’1 ->331079-01
-,162688-00 -,876669-01 *,26877'0-01
-,148122-00 -,777055-01 -,252031-01
-,135050-00 -,689358-01 ' ,220103-01
ALPHA. ВЕТЛ F F ♦ E2 F * E4
5,50000 ,10000 ,213922 -,899689-01 ,566036-01
5,50000 ,20000 ,426057 -,173271-00 ,100965*00
5,50000 ,30000 ,634745 -,244655-00 ,125885-00
5,50000 ,<10000 ,636566 -,301133-00 ,131010-00
5,50000 ,50000 1,036390 -,342042-00 ,121052*00
5,50000 ,60000 1,227396 -,368510-00 ,102510*00
5,50000 ,70000 1,411056 -,382705-00 ,810950-01
5,50000 ,80000 1,567076 -,387157-00 ,606169-01
5,50000 ,90000 1,755365 -,384307-00 ,430230-01
5,50000 1,00000 1,915976 -,376258-00 ,289253-01
5,50000 1,10000 2,069068 -,364704-00 ,181704-01
5,50000 1,20000 2,214670 -,350942-00 ,102640-01
5,50000 1,30000 2,353655 -,335925-00 ,462478-02
5,50000 1,40000 2,485722 -,320336-00 ,712087-03
5,50000 1,50000 2,611383 -,304649-00 -,192548-02
5,50000 1,60000 2,730951 -,289184-00 -,364216-02
5,50000 1,70000 2,844734 -,274149-00 -,470550-02
5,50000 1,80000 2,953033 -,259674-00 -,531226-02
5,50000 1,90000 3,056137 -,245834-00 -,560471-02
5,50000 2,00000 3,154324 -,232664-00 -,568439-02
5,50000 2,10000 3,247856 -,220175-00 -,562298-02
5,50000 2,20000 3,336984 -,208360-00 -,547072-02
5,50000 2,30000 3,421944 -,197201-00 -,526248-02
5,50000 2,40000 3,502958 -,186673-00 -,502228-02
5,50000 2,50000 3,560238 -,176747-00 -,476648-02
5,50000 2,60000 3,653982 -,167394-00 -,450606-02
5,50000 2,70000 3,724377 -,158581-00 -,424824-02
5,50000 2,80000 3,791600 -,150278-00 -,399766-02
5,50000 2,90000 3,855816 -,142455-00 -,375713-02
5,50000 3,00000 3,917183 -,135083-00. -,352825-02
5,50000 3,20000 4,031948 —,121583*00 -,310790-02
5,50000 3,40000 4,136976 —,109577*00 -,273704-02
5,50000 3,60000 4,233230 -,988863-01 -,241211-02
5,50000 3,80000 4,321565 -,893554-01 -,212816-02
5,50000 4,00000 4,402745 -,808474-01 -,188011-02
5,50000 4,20000 4,477450 -,732431-01 -,166322-02
5,50000 4,40000 4,546291 -,664382-01 -,147332-02
5,50000 4,60000 4,609813 -,603414-01 -,130676-02
5,50000 4,80000 4,668503 -,548727-01 -,116043-02
5,50000 5,00000 4,722799 -,499617-01 -,103168-02
5,50000 5,20000 4,773095 -,455465-01 -,918227-03
5,50000 5,40000 4,819744 -,415726-01 -,818115-03
5,50000 5,60000 4,863065 -,379919-01 -,729669-03
5,50000 5,80000 5 - 4,903345 -,347618-01 -,651443-03
50000 6,00000 < 4,940841 -,318448-01 -,582183-03
F * Е6
F+E2+A
F+E9+ A**3 F+E6* Ai»*5
-,923193-01 -,999829-00 ,941743+01 -,212986+03
-,668602-01 -,952989-00 ,167980+02 -,336997+03
-,679911-01 -,139560+01 ,209441+02 -,339920+03
-,507909-01 -,165623+01 ,217968+02 -,255371+03
-,283270-01 -,188123+01 ,201400+02 -,192566+03
-,900980-02 —,202681+01 ,170552+02 -,953999+02
,365892-02 —,210987+01 ,134922+02 ,189122+02
,998516-02 -j212937+01 ,100851+02 ,502537+02
,118597-01 -,211369+01 ,715796+01 ,596882+02
,112312-01 -,206992+01 ,481244+01 ,565298+02
,951903-02 -,200587+01 ,302311+01 .,978626+02
,759393-02 -,193018+01 ,170767+01 ,379699+02
,572882-02 -,189759+01 ,769447-00 ,288323+02
,922282-02 -,176185+01 ,118473+00 ,212528+02
,309529-02 -,167557+01 -,320351-00 ,153262+02
,215835-02 -,159051+01 -,605968-00 ,108626+02
,150683-02 —,150782+01 -,782878-00 ,758365+01
,103695-02 -,192821+01 -,883827-00 ,521627+01
,701099-03 -,135209+01 -,932484-00 ,352852+01
,469368-03 -,127965+01 -,945740-00 ,233709+01
,298660-03 -,121096+01 -,935523-00 ,150311+01
,183609-03 -,119598+01 -,910191-00 ,929076-00
.,109939-03 -,108961+01 -,875545-00 ,525627-00
,505981-09 -,102670+01 -,835582-00 ,259900-00
,193833-09 -,972111-00 -,793023-00 ,723890-01
-,990630-05 -,920666-00 -,749695-00 —,973909—01
-,295998-09 -,872195-00 -,706801-00 -,123607+00
-,338587-09 -,826529-00 -,665110-00 -,170905-00
-,390531-09 -,783501-00 -,625093-00 -,196598-00
-,919991-09 -,792959-00 -,587013-00 -,208833-00
-,915037-09 -,668705-00 -,517077-00 -,208882-00
-,383511-09 -,602672-00 -,455376-00 -,193015-00
-,391563-09 -,593875-00 -,401315-00 -,171903-00
-,298837-09 -,991955-00 -,354073-00 -,150900-00
-,259399-09 -,999661-00 -,312803-00 -,130526-00
-,229936-09 -,902837-00 -,276719-00 -,112955+00
-,199217-09 -,365910-00 -,245123-00 -,977963-01
—,168309—09 -,331878-00 -,217412-00 -,847079-01
-,196167-09 -,301800-00 -,193067-00 -,735636-01
-,127235-09 -,279789-00 -,171646-00 -,690355-01
-,111010-09 -,250506-00 -,152770-00 -,558697—01
-,970610-05 -,228699-00 -,136114-00 —,988993—01
-,850266-05 -,208955-00 -,121399+00 -,927926-01
-,796093-05 -,191190-00 -,108384+00 -,375997-01
-,655690-05 -,175196-00 -,968607-01 -,329973-01
ALPHA •> BETA F
F ♦ E2 F ♦ E9
6,00000 ’ ,10000 ,229855 -,909662-01 ,566208-01
6,00000 ,20000 ;i ,997912 -,179263-00 ,101003+00
6,00000 ,30000 ,667503 -,296137-00 ,125991-00
6,00000 ,U0000 ,862197 -,303100-00 ,131089-00
6,00000 ,50000 1,090855 -,399989-00 ,121192+00
6,00000 ,60000 1,292698 -,371916-00 ,102617+00
6,00000 ,70000 ' 1,987032 -,386062-00 ,812165-01
4,00000 ,80000 •, 1,673712 -,390951-00 ,607520-01
6,00000 ,90000 1,852585 -,388521-80 ,931706-01
6,00000 1,00000 2,023696 -,380875-00 ,290839-01
6,00000 1,10000 2,187196 -,369705-00 ,183386-01
6,00000 1,20000 2,393305 -,356307-00 ,109902-01
6,00000 1,30000 2,992290 -,391632-00 ,980751-02
6,00000 1,^0000 2,639993 -,326369-00 ,899858-03
6,00000 1,50000 2,770069 -,310975-00 <-,173915-02
6,00000 1,60000 2,899976 -,295785-00 -,399875-02
6,00000 1,70000 3,022966 —,281002—00 -,951133-02
6,00000 1,80000 3,190835 -,266757-00 -,511865-02
6,00000 1,90000 3,253368 ; -,253122-00 -,591290-02
6,00000 2,00000 3,360837 -,290135-00 -,599599-02
6,00000 2,10000 3,963503 -,227805-00 -,593802-02
6,00000 2,20000 3,561611 -,216128-00 -,529061-02
6,00000 2,30000 3,655396 -,205085-00 -,508803-02
6,00000 2,<40000 3,795078 -,199652-00 -,985919-02
6,00000 2,50000 3,830866 1 -,189801-00 -,960533-02
6,00000 2,60000 3,912957 -,175503-00 —,935233*702
6,0000ft 2,70000 3,991537 -,166728-00 -,910231-02
6,00000 2,80000 9,066782 -,158999-00 -,385981-02
6,00000 2,90000 9,138857 -,150629-00 -,362756-02
6,00000 3,00000 9,207919 -,193290-00 -,390706-02
6,00000 3,20000 9,337586 -,129672-00 -,300399-02
6,00000 3,<40000 9,956870 -,117599*00 -,269902-02
6,00000 3,60000 9,566791 -,106698+00 -,233968-02
6,00000 3,80000 9,668069 -,969728-01 -,207029-02
6,00000 <4,00000 9,761633 -,882923-01 “,183592-02
6,00000 <4,20000 9,8981.31 -,803990-01 -,163038-02
6,00000 <4,<40000 9,928192 -,733292-01 -,195092-02
6,00000 U,60000 5,002383 -,669616-01 -,129391-02
6,00000 <4>8ft000 5,071212 -,612160-01 -,115981-02
6,00000 5,00000 5,135191 -,560251-01 -,103259-02
6,00000 5,20000 5,199589 -,513309-01 -,929933-03
6,00000 5, <40000 5,299917 -,970799-01 -,828652-03
6,00000 5,60000 5,301982 -,932277-01 -,793636-03
6,00000 5,60000 5,349586 -,397327-01 -,668053-03
6,00000 { b^OftOOO “ ''5,39950*9 -,365587-01 -,500760-03
F » Е6
F*E2*A
F*E9* A»»3 F»E6* A»*5
-,923193-01
-,666612-01
-,679932-01
-,507939-01
-,283302-01
—,901390-02
,365939-02
,998078-02
018551-01
,112263-01
,950903-02
,753838-02
,572379-02
,921787-02
,309099-02
,215375-02
,150298-02
,103238-02
,697398-03
,960959-03
,295608-03
,180923-03
,102121-03
,985928-09
,127823-09
-,106669-09
-,255379-09
-,399938-09
-,399089-09
-,915937-09
-,911679-09
-,376793-09
-,332936-09
-,288196-09
-,297812-09
—,212635-09
-,182606-09
-,157220-09
-,135827-09
-,117786-09
-,102523-09
-,895528-05
-,789762-05
-,689677-05
-,607697-05
-,592797-00
—,109558*01
-,197682*01
-,181860*01
-,206690*01
-,222899*01
-,231637*01
-,239571*01
-,233113*01
-,228525*01
-,221823*01
-,213789*01
-,209979*01
-.195818*01
-,186585*01
-,177971*01
-,168601*01
-,160059*01
-,151873*01
-,199081*01
-,136683*01
-,129677*01
-,123051*01
-,116791*01
—,110881*01
—,105302*01
-,100037*01
-,950666-00
-,903796-00
-,859938-00
-,778039-00
-,705293-00
-,690191-00
-,581837-00
-,529959-00
-,982369-00
-,939975-00
-,901771-00
-,367296-00
-,336151-00
-,307982-00
-,282980-00
-,259366-00
-,238396-00
-,219352-00
,122301*02
,218166*02
,272032+02
,283191*02
,261667*02
,221652*02
,175928*02
,131229*02
,932985*01
,628211*01
,396113*01
,225508*01
,103892*01
,199369-00
-,379577-00
-,799929-00
-,979997-00
-,110563*01
-,116919*01
-,118703*01
-,117961*01
-,119277*01
-,109901*01
-,109850*01
-,999751-00
-,990102-00
-,886099-00
-,833719-00
-,783552-00
-,735929-00
-,698753-00
-,572189-00
-,505372-00
-,997172-00
-,396950-00
-,352163-00
-,313398-00
-,279376-00
-,299938-00
-,223028-00
-,199677-00
-,178989-00
-,160625-00
-,199300-00
-,129769-00
-,329075*03
-,519913*03
-,529939*03
-,399581*03
-,220295*03
-,700882*02
,289165*02
,776105*02
,921851*02
,872959*02
,739922*02
,586185*02
,995082*02
,327981*02
,236925*02
,167975*02
,116833*02
,802777*01
,592258*01
,358992*01
,229865*01
,190685*01
,799090-00
,377857-00
,993953-01
-,829956-01
-,198579-00
-,268229-00
-,306990-00
-,323933-00
-,320117-00
-,292999-00
-,258502-00
”,229062-00
-,192698-00
-,165395-00
-,191999-00
-,122259*00
-,105619*00
-,915903-01
-,797216-01
-,696363-01
-,610231-01
-,536293-01
-,972506-01
ЛИТЕРАТУРА
1. Carrett М. W., Journ. Appl. Phys., 22, 1091 (1951).
2. Garrett M. W., High Magnetic Fields, Cambridge, Mass., 1962, Ch. 2.
3. Montgomery D. В., Terrel J., Some Useful Information for the Design of
Solenoid Magnets, National Magnet Laboratory Report 1525 (1961).
4. Smythe W. R., Static and Dynamic Electricity, New York, 1950.
5. Garrett M. W., Journ. Appl. Phys., 34, 2567 (1963).
6. Brown G. V., Flax L., Journ. Appl. Phys., 35, 1764 (1964).
7. Van Bladel J., Electromagnetic Fields, New York, 1964.
8. Girard B., Sauzade M., Nuclear Inst. Methods, 25, 269 (1964).
9. Grivet P., Sauzade M., Proc. Intern. Symp. Magnet Technology, 517 (1965).
10. Hitchcock H. C., Proc. Intern. Symp. Magnet Technology, III (1965).
11. Sampson W. B., Superconducting Magnets for Beam Handling and Accelera-
tors, Proc. Second Intern. Conf. Magnet Technology, 574.
12. Stekly Z. T. J., Zar J. L., Hoppie L., Design of Superconducting Magnet
Systems.
13. Hart P. J., Universal Tables for Magnetic Fields of Filamentary and Dis-
tributed Circular Currents, New York, 1967.
14. Jahnke E., Emde F., Tables of Functions, New York, 1945 (см. перевод:
E. Янке Ф. Эмде, Таблицы функций, М., 1951).
15. *Капица С. П., Расчет однородных соленоидов, в сб. «Электроника боль-
ших мощностей», вып. 2, 100 (1963).
16. * Грабарь Л. П., Расчет соленоидов с однородным магнитным полем, веб.
«Электроника больших мощностей», вып. 5, 195 (1968).
Алюминий 32, 119, 207, 212, 248
Виттера диски 45, 113
— соленоиды, Гома приближение 50,
290
— — импульсные 233, 252
— — конструирование 113
— — коэффициент G 44, 47, 101, 111
— — коэффициенты ошибки 165, 265
— — мощность 46, 117
— — — удельная 98, 105
— — оптимальная форма 48
— — поле вне центральной зоны 268
— — — на оси 258, 267
— — — центральное 47, 135, 264,
265
— — расчет характеристик 126
— — с аксиальным охлаждением 45,
71, 114, 126
— — — радиальным охлаждением
125
— — температура 117
— — тепловой поток 106, 117
— — тока плотность 47, 52, 117
— — — распределение 45, 98, 101,
105
Вес катушек 32
Взрывная техника 254
Виток с током, поле вне центральной
зоны 268
— — — — на оси 23, 43
— — — — центральное 23, 27
— — — напряжения 132, 133
— — — рассеиваемая мощность 43
Вода 59, 60, 78, 86, 88, 90
Выбор проводника, нормальные про-
водники 32, 153, 226
— — сверхпроводники 167
Гелий 212
Гельмгольца катушки 89, 120, 125,
275, 283
Гибридные системы 130
Гидравлический диаметр 66, 81
Гома соленоид 48, 50, 52, 290
Давление поджима 119, 123, 139, 252
Изоляционные материалы 62, 88 г
114, 210
Импульсные соленоиды биттеровско-
го типа 233, 238, 249
— — длительность импульса 225
— — индуктивность 219, 220, 225
— — конструкция 249, 254
— — нагрев 238
— — оптимизация 227
— — постоянная затухания 225, 238
— — разряд 1?£С-цепи 220
— — распределение тока 232
— — с большой длительностью им-
пульса 240
— — — постоянной плотностью то-
ка 229, 232, 238, 250
— — — предварительным глубоким
охлаждением 238, 248
— — сверхпроводящие 248, 249
— — центральное поле 227, 239, 247
Индуктивность катушки 140, 228
Каналы охлаждения круглого сече-
ния 60, 67
— — прямоугольного сечения 66, 67
Катушки некруглого сечения 35, 291
Кельвина соленоид 44, 290
Конструирование соленоидов Витте-
ра 113
— — импульсных 249
— — ленточных 79, 90
— — намотанных полым проводни-
ком 76, 88
— — — проводником прямоуголь-
ного сечения 86
— — сверхпроводящих 203
— — с однородной плотностью тока
(небиттеровского типа) 126
— — — постоянной плотностью то-
ка 83
Концентраторы потока 254
Концентрация механических напря-
жений 114, 135, 146
Коррозия 87, 115
Коэффициент заполнения в дисках
Виттера 98, 100, 105
Коэффициент заполнения — влияние
на удельное сопротивление 71,
73, 94
— — определение 26, 31, 35
— — оптимальный 73, 195
— — типичное значение 32, 79
Коэффициент G системы коаксиаль-
ных соленоидов 41
— — — концентрических соленои-
дов 40, 41, 52, 56
— — соленоида Виттера 47, 56, 101,
110
---— Гома 49, 53
— — — длинного 29
— — — Кельвина 44
— — — оптимальной формы 28, 44,
47, 49, 54
— — — с постоянной плотностью
тока 28
Коэффициент теплопередачи воды 60,
78
— — гелия 181, 182, 186
— — определение 60
— — связь с размерами каналов
охлаждения 70, 78, 128
Коэффициент трения 64, 65, 70, 127
Коэффициенты ошибки 165, 265, 280
Криостаты 212
Критическая плотность тока 155, 203
— температура 156
Критический тепловой поток 181,
185, 192
Критическое поле 155, 203, 210
— состояние 156
Лежандра полиномы 266
Лоренца сила 132, 155
Магнетосопротивление 206, 249
Медь и медные сплавы, физические
свойства 62, 63, 115, 206
— — — — электрические свойства
115, 141, 206, 234
Метод множителей Лагранжа 43
Механические напряжения в дисках
Виттера 140
— — — катушках составных 150
— — — — с постоянной плотно-
стью тока 135
— — — тонком соленоиде 134
— — — элементе с током 132, 133,
135
— — касательные 135, 145
— — осевые 138
— — сдвига 141,’ 145
Механические напряжения термиче-
ские 120, 206
Минимальный ток распространения
158, 190, 200
Мощность, подводимая к витку с то-
ком 43
---— соленоиду Виттера 46, 262
— — — — некруглого сечения 35
— — — — с постоянной плотно-
стью тока 27, 76, 80, 262
Нормальное состояние сверхпровод-
ника 155
Ньютона метод 281
Оптимизация системы коаксиальных
катушек 38, 39, 42
— — концентрических катушек 38,
39, 51, 95, 97
— соленоидов Виттера 47, 48
— — Гома 48, 49
— — импульсных 230, 232
— — Кельвина 42
— — сверхпроводящих 160, 168, 285
— — с постоянной плотностью тока
28, 75, 284
— токовводов 214
Охладители иные, чем вода 59, 85
Охлаждение соленоидов биттеров-
ского типа 45, 98
— — машинный расчет 112
— — пленочное кипение 181, 185
— — поток жидкости 66, 78, 79
— — — — повышение температуры
59, 60, 79
— — — скорость 65, 78
— — пузырьковое кипение 128, 181,
185
— — размер канала 79, 117
— — распределение отверстий 98,
102
— —<. сверхпроводящих 203
— — с однородным распределением
плотности тока 75
— — трудности 57, 75
Падение давления за счет трения 65
Перепад давления на входе и на
выходе 63, 64
Переход катушки в нормальное сос-
тояние 208, 212
Пиннинг 156
Пленочное кипение 181, 185
Плоская катушка 27, 78
Плотность тока, влияние на объем
соленоида 167
— —- в проводнике 24, 76, 158, 192
— — — сверхпроводящем соленои-
де 176
— — зависимость от параметров со-
леноида 27, 55
— — коэффициент для соленоида
Биттера 46, 98
— — — — — Гома 49, 50
— — — — — с однородной плот-
ностью тока 27
— — критическая 156, 203
— — понижение в одно секционных
соленоидах 55
— — — — составных соленоидах
40, 56
— — усредненная 26
Поле бесконечно длинного провод-
ника 292, 293
— вне центральной зоны витка с то-
ком 268
—• — — — диполя 273
— — — — полубесконечного соле-
ноида 270
— — — — разложение в степенной
ряд 266
— в центральной зоне витка с током
23
— — — — диполя 258, 273
— — — — профиль 122, 258, 262,
278
— — — — разложение в степенной
ряд 165, 261, 266, 268
— — — — системы коаксиальных
соленоидов 262
— — — — соленоидов Биттера 116,
258
— — — — тонкого соленоида 24
Поля коэффициент для соленоида
Биттера 47
— — — — Гома 50
— — — — с однородной плотно-
стью тока 26, 158, 159
— однородность 120, 125, 165, 274
— осевая составляющая 266
— отклонение в осевом направлении
267, 268
— профиль вдоль оси 122, 258, 262,
278
— — — радиуса 135, 139
— — соленоидов, состоящих из мно-
гих элементов 289
Поля разложение в степенной ряд
165, 266, 268
Постоянная затухания 220, 225, 229
Потери в криостатах 213
— динамического напора 63, 66
Прорези в дисках Биттера 114
Пузырьковое кипение 128,: 181, 185
Разрядные характеристики RLC-це-
пи 220
Распределение мощности для опти-
мальной эффективности в коак-
сиальных системах 42, 50
— — — — — — концентрических
системах 40, 52, 94, 151
— — — — — влияние на плот-
ность тока 53, 54, 56
— — — — — внутри соленоида 42,
43
— — — — — температуры в соле-
ноиде 82, 98
Рейнольдса число 64, 65
Сверхпроводящие материалы 154, 209
— соленоиды больших размеров 205
-----выбор проводника 168, 169
— — высокие поля 203
— — конструкция 203
— — малых размеров 208
— — объем 160, 167, 168
— — однородность поля 165
— — средних размеров 210
— — стабилизация 156, 158, 171,
197, 203
— — центральное поле 158, 159
Силы взаимодействия между катуш-
ками 139
Скачок потока 157, 211
Скин-слоя глубина 234, 235
Скомпенсированные катушки Гельм-
гольца 119, 125, 274, 283, 287
— — машинный расчет 281, 283
— — минимальный объем 285, 288
— — с внутренним пазом 275, 276,
285, 288
— — системы коаксиальных солено-
идов 288
— — с пазом на наружной поверх-
ности 280
Скорость потока охладителя 64, 65,
70, 71, 78
Согласование соленоида с источни-
ком тока 30
Соленоиды для импульсов поля
большой длительности 240, 250
Соленоиды намотанные полым про-
водником 76, 84, 212
Сплав ниобий — олово 155, 204
— — титан 181, 197, 205
Стабилизация сверхпроводящих со-
леноидов 156, 176, 204, 210
Стекловолокно 115, 250
Тока распределение (неоднородное)
в коаксиальных катушках 40, 41
— — — — концентрических кату-
шках 38
— — — сравнение эффективностей
50
— — — типа Биттера 45, 98
— — — — Гома 48
— — — — Кельвина (оптимальное)
44
Ток восстановления 181, 201
Тонкий соленоид 26
— — напряжения 134
Требования к мощности насоса 69,
78, 83, 129
Увеличение температуры охлажда-
ющей жидкости 60, 78, 79
Удельное сопротивление, зависи-
мость от коэффициента заполнения
71
— — — — механических напряже-
ний 206
— — — — подводимой мощности 94
— — — — температуры 63, 71, 96,
206, 234
— — магнетосопротивление 207, 249
— — различных материалов 234
Центральное поле витка с током 23
— — плоской катушки 27
— — системы концентрических ка-
тушек 38
— — соленоида Биттера 47
— — — Гома 48, 50
— — — длинного с постоянной
плотностью тока 28, 29
— — — импульсного 227, 239, 247
— — — Кельвина 44
— — — конечной толщины с по-
стоянной плотностью тока 24, 76,.
158
Число витков соленоида 31
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода................ 5
Предисловие .................................. 11
Обозначения . . ............................... 13
Глава 7.
Соленоиды с постоянной плотностью тока ............................................... 23
§ 1. Соотношения между полем и током...... 23
§ 2. Соотношения для мощности ...... 27
§ 3. Согласование соленоида с источником тока. 30
§ 4. Вес и объем катушек .. . .............................. 32
§ 5. Выбор проводника: медь или алюминий .... 32
§ 6. Катушки некруглого сечения ................. . . 34
Литература ...................................................................... 36
Глава 2.
Соленоиды с переменной плотностью тока..................... 37
§ 1. Секционированные обмотки ........................ 38
§ 2. Оптимальное распределение тока .................. 42
§ 3. Соленоиды из дисков . . ;........................ 45
§ 4. Другие типы неоднородного распределения тока ..... 52
§ 5. Сравнение типов распределения тока .............. 52
Литература ................................... , . . ♦ 58
Глава 3.
Общие вопросы охлаждения и охлаждение соленоидов с постоянной
плотностью тока....................................... 59
§ 1. Простые температурные соотношения.................... . 60
§ 2. Простые гидравлические расчеты.............. 63
§ 3. Связь параметров соленоидов с условиями охлаждения . . 66
§ 4. Гидравлические параметры и эффективность соленоидов . 71
§ 5. Охлаждение соленоидов с однородным распределением
тока................................................. 75
§ 6. Конструирование соленоидов с постоянной плотностью тока 83
Литература................................................... 91
Глава 4.
Охлаждение соленоидов с неоднородным распределением тока.
Охлаждение мощных высокоэффективных соленоидов . . . . 92
§ 1. Составные обмотки и общий случай оптимизации .... 92
§ 2. Дисковые обмотки.................................. 98
§ 3. Применение вычислительных машин при конструировании
систем охлаждения соленоидов с неоднородным распределе-
лением тока................................... 112
§ 4. Конструирование соленоидов с неоднородным распределе-
нием тока ........................................ 113
Литература....................................... 131
Глава 5,
Механические напряжения в соленоидах...................... 132.
§ 1. Сила, действующая на элемент с током........... 132
§ 2. Механические напряжения в катушке с постоянной Плот-
ностью тока......................................... 135
§ 3. Силы взаимодействия между катушками............. 139
§ 4. Нахождение точного значения Механических напряжений
в катушках путем интегрирования объемных сил......... 140
§ 5. Приближенный метод расчета механических напряжений 148
V § 6. Механические напряжения в составных катушках .... 150
Литература................'. . . .................. 153
Г л а в а 6. - д:
Сверхпроводящие соленоиды...........; . . . ............... 154
§ 1. Введение......................................... 154
§ 2. Связь между плотностью тока, полем и объемом .... 158-
§ 3. Плотность тока и стабилизация.................. 178
§ 4. Конструкция сверхпроводящих соленоидов .......... 203
Литература 218
Глава 7.
Импульсные ^соленоиды........................................... 219
§ 1. Введение............................................ 219
§2. Разрядные характеристики 7?£С-цепи [1, 2J ........... 220
§ 3. Постоянная затухания................................ 225
§ 4. Соотношения для поля ...................,,........... 227
§ 5. Конструирование импульсных соленоидов с однородным
распределением тока ..................................... 232.
§ 6. Импульсные соленоиды с неоднородным распределением
тока.................*.................................... 233
§ 7. Нагрев неохлаждаемых импульсных соленоидов .... 238
§ '8 . Соленоиды для импульсов поля большой длительности . . 240
§ ,9 . Соленоиды с низкой рабочей температурой........... 2481
§10. Конструкции импульсных соленоидов ..... 249
Литература.................................. 254
Глава 8,
Анализ распределения поля ................................... 257
§ 1. Введение......................................... 257
§ 2. Поле на оси соленоида . . . ; .................. 258
§ 3. Поле в центральной зоне..................... . . 265
§ 4. Поле вне, центральной зоны....................... 268
§ 5. .Конструирование скомпенсированных катушек, для полу-
чения высокой однородности поля........................ 274
§ 6. Контроль распределения поля по оси Длинных соленоидов,
состоящих из многих элементов.......................... 288
§ 7. Катушки некруглого сечения ....................... 291
Литература.............................................. 352
Предметный указатель........................................ 353
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ'.
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении,
качестве перевода и другие, просим прислать по адресу:
Москва, 129820, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2.
Издательство «Мир».