/
Текст
истодао-
МА1ЬМАГИЧЕСКИВ иёйШйОайй
ИСТОРИКО МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
ВЫПУСК VII
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Г. Ф. РЫВКИНА II Л. 11. ЮШКЕВИЧА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1954
СОДЕРЖАНИЕ
От редакции............................................. 5
MAT ЕМ AT IIЧ ЕС К И Е ТI ’ А КТ AT Т >1 ДЖЕМШИДА ГППСЭДДИПА КУШИ
От переводчика......................................... 11
Ключ к арифметике...................................... 13
Трактат об окружности................................. 327
А. П. Юшкевич (Москва) п Б. А. Розенфельд (Баку). Примечания к математическим трактатам Джсмшпда Гиясэд-днпа Каши.............................................. 380
I. Примечания к трактату «Ключ к арифметике» . . . 380
II. Примечания к «Трактату об окружности»........ 43!)
ЛЕОПАРД ЭЙЛЕР
If. Г. Башмакова (Москва) и А. П. Юшкевич (Москва). . 1еонард Эйлер........................................ 433
7/. II. Симонов (Чернолицы). О научном наследии Леонарда Эйлера в области дифференциальных уравнений............ 513
Ф. If. Фраикль (Фрунзе). Об исследованиях Л. Эйлера в области теории уравнений в частных производных . . . 596
Л. П. Юшкевич (Москва). Последнее письмо Л. Эйлера к X. Гольдбаху......................................... 623
Б. II. Коспгрюков (Москва). Об одной попытке издать труды Леонарда Эйлера................................." . 630
СОДЕРЖАНИЕ
113 Ш ГОГИН МАТКМЛТИКН
Я. Л. Рыбников (Москва). 'О так называемых творческих п’ критических периодах в истории математического анализа ................................................ ,’/ьЗ
Л. Я. Полубаринош-Кочииа (Москва). К биографии С. В. Ковалевской (но материалам ее переписки)............. . (>(>(>
II. Я. Денман (Ленинград). К биографии 0. В. Ковалевской ... ......................................
В. Е. И рудников (Москва). Четыре письма к М. В. Остроградскому ...................................... - 710
ОТ РЕДАКЦИИ
В настоящем выпуске «Историко-математических исследований» редакция продолжает публикацию работ по истории математики пародов Средней Азин. Ji первом отделе выпуска помещены переводы с арабского языка дв) \ классических сочинений Джемшида I иясэддпна Каши, уроженца Ирана, работавшего в Самаркандской обсерватории Улугбека в цервой половине XV столетия. Прежде всего мы даем перевод его «Ключа к арифметике». На это сочинение впервые обратил внимание покойный немецкий историк математики И. .Токей, опубликовавший в Mali). Annalen 120, за J948 г. несколько страниц этого сочинения в немецком переводе и тщательно прокомментировав 1ИНЙ излагаемые Каши методы извлечения корней.
Мы печатаем полный перевод «Ключа к арифметике» с рукописи, хранящейся в Ленин градской публичной библиотеке им. Салтыкова-Щедрина. Некоторые пропуски в этой рукописи восполнены но рукописи, хранящейся в Берлине, фотокопией которой располагала редакция. Этот перевод является перцым переводом данного сочинения Каши с арабского рукописного текста па один из европейских языков и первым его печатным изданием вообще. «Ключ к арифметике» представляет исключительный интерес для истории математики. Здесь впервые—в изученной до сих пор литературе—появляется разложение так называемого бинома Ньютона для любого натурального показателя, впервые же приводится общий прием
(>
ОТ РЕДАКЦИИ
извлечения норией из чисел с любым натуральным показателем корня; здесь, далее, излагается учение об открытых Каши десятичных дробях и т. д.
За этим переводом следует перевод другого сочинения самаркандского математика—«Трактата об окружности», поражающего не только точностью полученных автором результатов (число тс вычислено здесь с 17 верными десятичными знаками), но и превосходной по тонкости техникой приближенных вычислений. «Трактат об окружности» переведен па русский язык ио фотокопии с фотокопии рукописи, хранящейся в Стамбуле; с фотокопии той же рукописи П. Люкен сделал свой перевод на немецкий язык, посмертно опубликованный в издании Академии наук Германской Демократической Республики в 1953 г. Переводы сочинений Каши снабжены, как обычно, примечаниями.
Второй отдел седьмого выпуска посвящен величайшему математику XVI11 столетия, члену Петербургской Академии наук Леопарду Эйлеру. Об Эйлерс написано уже довольно много исследований, однако творчество его до сих пор изучено недостаточно полно. Одни идеи Эйлера проходили мимо внимания его прежних исследователей, другие забывались и смогли получить компетентную опенку лишь после того, как математика по истечении многих десятилетий после кончины Эйлера вновь возвращалась к ним. В цервой статье этого отдела даны краткий очерк жизни Эйлера и общая характеристика ого математических открытий. Следующие две статьи освещают с современной нам точки зрения некоторые его работы по обыкновенным дифференциальным уравнениям и ио уравнениям с частными производными.
Далее впервые публикуется перевод последнего письма Эйлера к Гольдбаху, оставшегося неизвестным изда-
ОТ РЕДАКЦИИ
7
гелю переписки обоих названных ученых академиях JI II. (ругу. В заключение отдела приводятся материалы о пред-принятой в середине прошлого века русской Академией паук попытке приступить к изданию полного собрания сочинений Эндера. 15 этих материалах особый интерес пред ставляет оценка творчества Эйлера, данная академиком М. В. Остро градским.
15 апреля 1957 г. исполнится 250 лет со дня рождения Эйлера. Редакция полагает, что эта знаменательная в истории мировой н отечественной науки дата будет отмечена советской научной общественностью как изданием на русском языке важнейших еще не опубликованных сочинений Эйлера, так и новыми исследованиями его деятельности.
В отделе «Из истории математики»собраны нонрежнему статьи различною содержания. В первой статье отдела подвергнута критике довольно распространенная концепция о регулярной смене в истории математики творческих и критических периодов. За нею идут две статьи, посвященные С. В. Ковалевской. Ковалевская веда переписку с крупневши мн математиками своего времени: К Войер-штрассом, LU. Эрмитом. Г Мит i аг. 1еффлером и многими другими. Эта переписка представляет большой интерес для изучения биографии самой Ковалевской (п ее корреспондентов), а также для характеристики состояния математики второй половины прошлого века.
Если корреспонденция С. В. Ковалевской почти под постыо сохранилась, то от переписки М. В. Остроградского до нашего времени дошло очень немногое. Мы публикуем в заключение сборника перевод нескольких писем французских математиков, в том числе письма О. Коши к М. В. Остро гр адском у.
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ТРАКТАТЫ ДЖЕМШИДА ГН Я СЭДДПНА КАШИ
ОТ ПЕРЕВОДЧИКА
Ниже публикуется перевод с арабского двух математических трактатов кидающегося самаркандского математика Джемшпда Гиясэддпна Каши (ум. в 145G г.) «Ключ к арифметике» («Мифтах ал-хнсаб») и «Трактат об окружности» («Ал-рисала ал-.мухйтййя»), первый из которых был им закончен в марте 1427 г., а второй* несколько рапсе. Трактаты публикуются не в хронологическом порядке ввиду того, что читать второй трактат гораздо легче после прочтения первого.
Перевод «Ключа к арифметике» сделан с рукописи, хранящейся в Ленинградской публичной библиотеке им. Салтыкова-Щедрина (коллекция Дорна, А" 131; в дальнейшем цитируется как «ленинградская рукопись»).
Пробелы ленинградской рукописи восполнялись ио фото Конни с рукописи, хранящейся в Берлинской публичной научной библиотеке (б. Прусская государственная библиотека) (Spr. Д:2 1824 bis). Эта фотокопия была любезно предоставлена в распоряжение редакции «Историко-математических исследований» ироф. Б. В. Гнеденко (в дальнейшем цитируется как «берлинская рукопись»). Кроме того, при восполнении пробелов использовались отрывки из рукописей, находящихся в Берлинском институте истории медицины и естествознания (Аз> 1. 2), в Лейденской университетской библиотеке (коллекция Голиуса, As 185) и в Парижской национальной библиотеке (As 5020). цитировавшиеся Паулем Люкеем (Paul Luckey, ум. в 1949 г.) в его книге «Die Rochonkuristbei GaiusTd b. Mas’ud al-Kasi mil Riickblickeu auf die altere Goschichle des Rechnens», Висбаден, 1950 и статье «Die dvusziehung des n-ten Wurzel und dec binomische Lehrsatz in dor islarnischen Mathenial ik», Malli. Annalen 120 (1948), стр. 217—274.
12
ОТ ПЕРЕВОДЧИК \
Перевод «Трактата об окружности» сделан с рукописи, хранящейся в Стамбульском военном музее (№ 75(5). фотокопия этой рукописи имеется в Берлинской публичной научной библиотеке (Mss.simul. op. 60). В распоряжении редакция находилась копия с этой (ротокопии, предоставленная также ироф. Б. В. Гнеденко. Большая часть этой рукописи была опубликована с немецким переводом Паулем Люксом в его книге «Бег l.ebibriel' uber den К reisumfang von (iamsid b. Masud al-l\asi». Берлин. 1953 (отрывки из этол рукописи цитировались « 1юкеем в указанных выше книге и статье)
На нолях перевода указана пагинация .чей ши раде ко и рукописи «Ключа к арифметике» и стамбульской рукописи «Трактата об окружности». Фотокопии некоторых листов арабского текста воспроизведены ио этим рукописям.
К переводу даны примечания. Числа в квадратных скобках указывают номер соответствующего примечания. В квадратных же скобках помещены вставленные переводчиком для ясности слова.
В настоящем переводе мы пользуемся той же транскрпп цией арабских' букв, что и в нашем переводе Хайяма, напечатанном в VI выпуске «Историко-математических исследовании».
В работе над переводом большую помощь переводчик} оказал аспирант Азербайджанского государственного университета пхг. ('. М. Кирова Гасан Гусейн кули оглы «Зарине-заде. При переводе главы JX книги J V «Ключа к арифметике», посвященной вопросам, связанным с архитектурой. существенную помощь переводчику оказал кандидат архитектуры Л. С. Бреташшкий, который написал также примечание 200. Многими указаниями и поправками переводчик обязан А. П. Юшкевичу.
/>. Розенфхмъд
КЛЮЧ к АРИФМЕТИКЕ [Ч
Но имя аллаха, милостивого, милосердного.
Хвала аллаху, единственному создателю единицы, единственному творцу всех видов чисел, мир лучшему его творению Мухаммеду, лучшему из заступников в день воскресении, мир его потомкам и сыновьям, направляющим па пути спасения я совершенствования.
После [этого]: творение всевышнего аллаха, [надеющееся] па его прощение грехов, Джемшйд нби Мас'уд ибн Махмуд, врач из Катана, по прозванию Гняс, да улучшит аллах его состояние, говорит:
Я усердно изучал действия арифметики и правила геометрии до тех пор, пока не достиг нхг истинной сути, овладел их тонкостями, раскрыл их сложности, разрешил их трудности, открыл многие их законы и правила и смог «делать то, что было трудно для большинства занимавшихся этим.
Я составил «Хаканскнс астрономические таблицы» [«Зйджи Хаканй] [2], являющиеся усовершенствованном «Ядьхапскпхастрономических таблиц»[«3йджп 11лханйХ]|3], в них я собрал все то, что я открыл в астрономии с помощью геометрических доказательств и что не встречается в других таблицах. Я составил также упрощенные астрономические таблицы [«Зйдж ат-тасхйлат» ] и собрал разрозненные таблицы.
Я написал также и другие трактаты: трактат «Лестница небес» [«Суллам ас-сама’»] о разрешении трудностей, с которыми встречались предшественники при определении раехтояний и тел, «Трактат об окружности» [«1’псала ал-Мухйтййя»] [Ч об отношении диаметра к окружности,
14
ДЖЕМШПД ГИЯСЭДДНII КАШИ
. трактат «О хорде и синусе» [«Рисада ад-ватар ва-л-джайб»] об определении их для трети дуги, известной по своей хорде и синусу; это также относится к тому, что представляло трудность для предшественников, так как автор «Алмагеста» говорит, что пет пути для определения этого [’]. Я изобрел инструмент, называемый «крышка поясов» [«табак ал-манатпк»] и написал о его изготовлении н свойствах книгу «Услада садов» [«Нузхат ал-хадайк»],— этим инструментом пользуются при определении шпроты и долготы светил, их расстояний от Земли и их понятного движения, а также затмений Луны и Солнца и всего, что относится к этому.
Я нашел ответы на многие вопросы, которые задали мне опытные вычислители для испытания или изучения. Я решил самыми простыми методами некоторые задачи, ле сводящиеся к шести алгебраическим [6], с помощью важных правил, обоснованных предварительно арифметическими действиями; я упростил методы и уменьшил действия, необходимые для получения этого.
Я решил описать эго и объяснить, чтобы эго было напоминанием для друзей и оселком остроумия для мудрых. Поэтому я написал это сочинение и собрал, в нем все, в чем нуждались вычислителя, остерегаясь как наводящего скуку многословия, так и препятствующих [пониманию] сокращении. Порядок большинства действии я выразил в виде таблиц, стремящихся к упрощению ого запомп - нанпя. | Все таблицы, помещенные в этой книге, со-ставде] ы по моему плану и мне при надлежит все сладкое и горькое в пих за исключением семи таблиц: 1) [таблицы] произведеннй [чисел] до десяти, 2) сотки умножения, 3) [таблицы] элементов показателей степени, 4) примера объединения знаменателей, 5) [таблицы] определения разряда результатов умножения и деления, 6) [табдпцы] синусов, 7) [таблицы] определения рода результата умножен ня и деления.
Я сделал это как подарок библиотеке великого, справедливого, благородного, просвещенного султана, управляющего пародом, господина арабских и аджамских султанов, султана обоих Востоков, хакана Востока и Запада, прибежища самых великих султанов, тени аллаха на зем
КЛЮЧ К АГПФМЕТИКЕ
15
ле, победителя воды и земли, признака аллаха во всех мирах, расстилающего скатерть покоя, распространителя справедливости и благодеяний!, уничтожающего корни зла и возмущения, охранителя городов аллаха па суптс и на море, помощника рабов аллаха на Востоке и на Западе, того, для которого вращается небо и от страха победного меча которого во время войны раскалывается земля, приобретающего благодаря пречистому аллаху, вдохновляемого аллахом, побеждающего врагов согласно милости единого, обладающего чистой душой и человеческими совершенствами, нравом ангелов и характером Мухаммеда, справедливостью и великолепием, смелостью и храбростью, счастливого и дорогого, терпимого, того, которому помогал самый лучший помощник, султана и сына султана, прибежища истины, веры и всего мира Улугбека Гу pma/ia [7], да сделает аллах вечным его халифство н султанство в населенной четверти [мира] и распростри нит во всех мирах его доброту и благодеяния. Коже мой, отведи дурной глаз от его высокого двора и закрой его, удали руку бедствий от пространства его царства и укороти ее. Я прошу его ве.чпчество принять его [ото сочинение], исправить то, что в нем неправильно, простить ошибки и восполнить его недостатки.
Когда я закончил его [ото сочинение], я назвал его «Ключ к арифметике» [«Мифтах ал-хпсаб»]. Я молю аллаха об успехе и правоте и о направлении меня па путь истины. Я умоляю тех, которые читают это сочинение, простить меня, если найдут в .моих выражениях слабость, и не порицать .меня, если найдут здесь ошибки, ибо я признаю мое бессилие и недостаточность, и в моих выражениях п изложении возможны ошибки.
Я сделал его состоящим из введения и пяти книг.
Введен ио: об определении арифметики и числа и о его видах.
П е р в а я к и н г а: об арифметике целых [чисел], состоящая из шести глав. Нерва я г л а в а: об изображении чисел | и их разрядах. В т о р а я г л а в а. об удвоении, раздвоении, сложении и вычитании. Г р е-т ь я глав а: об умножении. Ч с т в е р т а я глава: о делении. Пятая глава: об определении основания
16
ДЖЕМШИД ГНЯСЭДД11Н КАШИ
степени, например корня, [основания] куба я других. *Ш е с т а я г л а в а: о мериле.
13 т о р а я к я и г а: об арифметике дробен, состоящая из двенадцати глав. 11 с р в а я глав а: об определении дробей и их видов. В т о р а я г л а в а: о способе расположения цифр дробен. Т р е т в я г л а в а: об определении кратности, соизмеримости, противоположности и совпадения. г1 е т в е р т а я г л а в а: О раздроблении п выделении целого. II я т а я г л а в а: об обьоднпенйн знаменателен. Ill о с т а я г л. а в а: об упрощении сложной дроби. С е д ь м а я г д а в а: об удвоении и раздвоении, сложении и вычитании. В о с в м а я г л а в а: об умножении. Д с в я т а я г л а в а: о делении. Д е с я т а я г л а в а: об определении основания степени. О д и и и а д ц а т а я г л а в а: о переводе дробен от одного знаменателя к другому. Д в е и а д ц а-т а я г л а в а: об умножении дангов, тасуджен и шайров друг на друга.
Т р о т в я к и и га: о способе исчисления астрономов, состоящая из шести глав. 11 е р в а я гл а в а: об определении цифр джумала, их свойствах и об их изображении. В г о р а я г л а в а: об удвоении и раздвоении, сложении и вычитании. Т р е т в я г л а в а: об умножении. Ч с т в е р т а я г л а в а: о делении. Пятая глава: об определении основания степени. Шестая глава: о переводе нгостидосятеричпых цифр в индийские и обратно как целых, так и дробных.
Ч е т в о р т а я к н и г а: об измерении, состоящая из введения и девяти глав. В в е д с п и е: об определении измерения. П е р в а я г л а в а: об измерении треугольника и об относящемся к этому, состоящая из трех разделов: и е р в ы и —об определении треугольника и его видов; в т о р о ii—об измерении треугольников вообще и опреде.юнии расстоянии в нем; т р е т и и—об измерении равностороннего треугольника в частности и об определении расстояний в нем. В т о р а я г л а в а: об измерении четырехугольника и об относящемся к этому, состоящая из пятя разделов: а) об определениях, б) об измерении квадрата и прямоугольника и определении расстояний в них, в) о ромбе и двуруком, г) о ромбоиде
ключ к арифметике
.17
и трапеции, д) о двуногих и косых. Т р е т ь я глав а: об измерении многоугольника и об относящемся к этому, состоящая из пяти разделов: а) об определениях, б) об их измерении и об определении расстояний, в) о свойствах равносторонних | и равноугольных [многоугольников], г) о свойствах равностороннего и равноугольного шестиугольника, д) о свойствах восьмиугольника. Ч о т в е р-т а я г л а в а: об измерении круга и его частой, т. е. сектора, сегмента, кольца и т. п., и об относящемся к этому, состоящая из пяти разделов: а) иб определении, б) об измерении круга и об определении его окружности но диаметру и обратно, в) об измерении сектора и сегмента и об определении расстояний в них, г) об измерении остальных поверхностен, ограниченных круглыми линиями, д) о таблице синусов и способе ее применения. 1J я т а я гл а в а: об измерении остальных плоских поверхностей, которых мы не указали, как кругообразная, барабанообраз-ная, ступенчатая, зубчатая, с круглыми сторонами и т. д. Шее т а я г л а в а: об измерении кривых поверхностей, как поверхностей цилиндра, конуса, шара, и об относящемся к этому, состоящая из шести разделов: а) об определениях, б) об измерении поверхности цилиндра, в) об измерении поверхности конуса, 1) об измерении поверхности шара и об определении его диаметра, д) об измерении круглой поверхности сегмента шара и об определении расстояний в нем, с) об измерении ребра шара. С е д ь м а я г ц а в а: об измерении тел, содержащая восемь разделов: а) об измерении цилиндра, б) об измерении конуса, в) об измерении усеченного конуса, г) об измерении конического избытка и избытка ромбического тела, д) об измерении шара, е) об измерении сектора шара и его сегмента, ж) об измерении тел с равносторонними гранями, з) об измерении других тел. Восьмая глава: об измерении некоторых тел но их весам. Девятая глав а: об измерении зданий и построек, содержащая три раздела: а) об измерении арок и сводов, б) об измерении полых куполов, в) об измерении поверхности сталактитов .
Пятая к и и га: о нахождении неизвестных с помощью алгебры и алмукабалы, правила двух ошибок
Историко-матем. исследования
J8*
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
и других арифметических правил, содержащая четыре главы. Первая глава: об алгебре и алмукабале, содержащая десять разделов: а) об определениях, б) о сложении таких родов, как число, вещь, квадрат и куб, в) о вычитании этих родов, г) об умножении этих родов, д) о делении этих родов, с) о корне из этих родов, ж) напоминание об алгебраических задачах, з) об определении неизве-з стпых в шести | известных задачах, и) о свойствах опрс-00’ деления неизвестных в том случае, когда задача приводится к уравнению между родами, относящимися как роды в указанных шести задачах, к) о том, что мы обещали изложить о тех задачах, которые мы открыли. Вторая глава: об определении неизвестных по правилу двух ошибок. Третья глава: об изложении некоторых арифметических правил, в которых часто нуждаются при определении неизвестных, содержащая пятьдесят правил. Четвертая глава: о примерах, содержащая сорок примеров.
ВВЕДЕНИЕ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ АРИФМЕТИКИ И ЧИСЛА И О ЕГО ВИДАХ
Объяснение предмета арифметики. [Это] наука о правилах нахождения числовых неизвестных с помощью соответствующих им известных. Предмет арифметики ость число.
Число это то, что происходит при счете единиц. Числа состоят из единиц и следуют за единицей. Число ость существенное количество, оно может не быть отнесенным к чему-нибудь, тогда оно называется целым, как, например, единица, два, десять, пятнадцать, сто; число может быть также количеством, отнесенным к другому количеству, тогда оно называется дробным, а то, к чему оно отнесено, называется знаменателем, таковы, например, единица из двух, называемая половиной, три из пяти, т. е. три пятые единицы. Число бывает простым и составным: простое—то, которое находится в одном разряде, как, например, единица, два, десять, девяносто, тридцать ты
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ 1У
сяч; говорят также о единице в произвольном разряде абстрактно, таковы единица, десять, тысяча; составное число—то, которое находится в двух и больше разрядах, как, например, одиннадцать, сто тридцать три. Число бывает четным, если при делении его на два получается целое, или нечетным, если оно не делится на два. Четное бывает трех видов: четно-четное—то, которое допускает деление пополам до единицы, как, например, восемь и шестнадцать, четно-четное и нечетное вместе—то, которое не допускает этого, но делится ионолам более одного раза, как, например, двенадцать и двадцать, и четно-нечетное— то, которое делится пополам только один раз, как десять, тридцать [8].
ПЕРВАЯ КНИГА
ОБ АРИФМЕТИКЕ ЦЕЛЫХ [ЧИСЕЛ], СОСТОЯЩАЯ ИЗ ШЕСТИ ГЛАВ
И е р ва я глава Об изображении чисел и их разрядах
Знай, что индийские ученые пр имен пли девять цифр для девяти известных выражений в такой форме [!,1*
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Разряды являются местами последовательных цифр, начиная в ряду справа налево.
Первое место называется разрядом единиц, место слева от него—разрядом десятков, слева от него — раз-4 рядом сотен, из трех мест после трех первых единиц первое называется единицами тысяч, | затем [идут] десятки тысяч, затем сотни тысяч, затем единицы тысяч тысяч, затем десятки тысяч тысяч, затем сотни тысяч тысяч и т. д. Слово «тысяч» добавляется по прибавлении периода, т. е. через каждые три следующие места после последнего предыдущего, и т. п. Знай, что каждая из этих девяти цифр, в том случае, когда она 2*
20
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
находится в первом разряде, обозначает одно пз упомянутых выше чисел от единицы до девяти; в том случае, когда она находится во втором разряде, относится к одному из девяти выражении десятков от десяти до девяноста; в том случае, когда она находится в третьем разряде, является знаком одного из девяти выражений сотен it т. д. Разряд отсутствует, т. е. в нем нет числа, если в нем поставлен нуль—цифра, имеющая влд кружочка. Поэтому изображение десяти есть 10. Изображение ста есть 100, изображение трехсот шестидесяти пятя есть 365, изображение сорока трех тысяч тысяч тысяч восьмисот двадцати трех-тысяч тысяч четырех тысяч шестидесяти пяти ость 43 823 004 065.
После того как ты узнал это, знай, что арифметические действия —удвоение, раздвоение [10], сложение, вычитание, умножение, деление и так далее—вычислитель должен знать наизусть от единицы до десяти, тогда он сможет производить эти действия и тогда, когда [числа I больше десяти.
Вторая глава
Об удвоешш', раздвоении, сложении и вычитании
Удвоение есть прибавление числа к числу, равному ем\ . При этом действии цифры числа, которое хотят удвоить, надо тгаиисать в одной строке и, начиная справа, удваивать цифру каждого разряда, начиная с разряда единиц, и записать результат под ним пли над ним, если он меньше десяти; если же это не так [т. е. результат удвоения больше десяти], то следует прибавить десятки един ин [этого результата] к результату удвоения того, что имеется в разряде, находящемся слева от пего; десятки единиц удерживают в уме, пока удваивается то, что находится слева от него, и, если слева имеется число, к результату [его удвоения] прибавляется единица, а если это не так [т. с. слева нет числа], то слева помещается единица. Если же результат [удвоения] равен десяти без излишка и недостатка, то под этим разрядом помещают нуль, а в уме удерживают десять единиц.
КЛЮЧ К ХРИФМЕТИКЕ
21
И р и м е р. Мы хотим удвоить число:
Число 652078
Удвоение 1304156
Начнем с восьми. Удвоим их, | получим шестнадцать. Запишем шесть иод восемью, а десяток единиц удержим в уме для прибавления. Затем удвоим семь, будет четы}) падцать. Возьмем единицу, которая была в уме, будет пятнадцать, запишем пять под семью, а десять единиц под нулем слева от него. Затем удвоим два, будет четыре, запишем их под двумя. Затем удвоим пять, будет десять, запишем пуль под пятью, а десяток единиц запомним для прибавления. Затем удвоим шесть, будет двенадцать, прибавим к ним единицу, которая была в уме, будет тринадцать, запишем три иод шестью, а единицу для десятка слева. Под строкой полу чается искомое число.
Раздвоение есть получение половины числа. При этом действии цифры числа, которое хотят раздвоить, надо написать в одной строке и, начиная слева, раздваивать цифры каждого разряда. Если цифра четная, мы запишем со половину под ней, если же она нечетная, мы запишем целое из ее половины под пой, запомним половину, которая [получается вместе] с целым, и прибавим в уме пять к половине того, что [находится] в разряде, предшествую тем справа. Мы прибавим пять, которые были в уме, к половине [числа], если там есть число, а если там стоп г пуль, то запишем пять иод нулем. 1£сли же [этому числу | не предшествует ничего, то запишем иод этим числом знак .. „ I
половины в такой форме: 2-
П р п м е р. Мы хотим раздвоить число:
Число 4090527
Половина 2045263
22
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИИ КАШИ
Начнем с четырех. Раздвоим его, будет два. Запишем дна под четырьмя. Затем, так как у пуля нет половины, запишем под ним пуль. Затем раздвоим девять, будет четыре с половиной. Запишем четыре под девятью, а [соответствующие] половине пять запишем под нулем, предшествующим девяти. Затем раздвоим пять, будет два с половиной. Запишем два под пятью и запомним [соответствующие] половине пять. Затем возьмем половину двух, т. е. единицу, прибавим к ной пять, которые были в уме, будет шесть, запишем их под двумя. Затем раздвоим семь, будет три с половиной, запишем три под семью, а иод тремя— фигуру для половины. Го, что получилось под числом, и есть искомое.
Сложение есть прибавление одного числа к другому. > При этом действии | записывают числа друг против друга в двух строках, единицы против единиц, десятки против десятков и так же для других разрядов. Затем, начиная справа, прибавляют то, что в каждом разряде, к тому, что [находится] против него, и записывают сумму под ними, а если сумма есть десять или больше, то записывают нуль пли то, что больше, и прибавляют десятки единиц к тому, что [находится] слева, как мы это говорили об удвоении. Если же для одного из двух разрядов нет соответствующего в другом [число], то этот разряд переносят как он есть в строку суммы. Между ними [числами] и суммой проводят разделительную линию.
11 р и м е р. Мы хотим прибавить число 67 024 к числу 5 294 853. Запишем их так, как мы сказали, и после действия запись [результата] будет такой, как мы выразили в таблице:
Два числа, которые, мы хотим сложить
67024
5294853
Сумма
5261877
Если мы хотим сложить три числа или больше, запишем пх друг иод другом, так что все единицы будут др} г против друга, а также другие разряды. Затем начнем
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
23
с [разряда] единиц: сложим то, что есть в пем, запишем единицы суммы под ним и прибавим десятки единиц суммы к тому, что [находится] слева. То же самое проделаем для других разрядов.
Пример.
Числа, которые мы хотим сложить 9845 1423 7906
Сумма 19174
Вычитание есть отнимание числа от другого числа, которое по меньше его. При этом действии мы записываем их [числа] совершенно так же, как было сказано о действии сложения. Начнем справа и будем отнимать цифры каждого разряда вычитаемого из цифр того разряда уменьшаемого, который [находится] против пего, и, если что-нибудь остается, запишем остаток под ним, а если ничего по остается, запишем пуль. Если же вычитание пз того [разряда], который [находится] против пего, невозможно, берем единицу из десятков уменьшаемого, т. е. из того, что находится слева, так как то, что [находится] слева, является десятками для этого разряда; мы вычитаем одно из другого и прибавляем остаток к тому [числу], которое находится против него. Если же в десятках уменьшаемого нет числа, берем его сотню единиц, являющуюся десятком его десятков, и поместим девять в его десятках, письменно пли в уме, так, чтобы осталась единица, а с иен проделаем то, что мы сказали, и так далее.
П р и мер. Мы хотим | вычесть число 7026 из чис-°6' ла 985 792. Запишем их так, как сказано, и, произведя действие, получим:
Вычитаемое число 7026
X мевыиаемоо 1 мело 985792
[Остаток] 978766
24
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИИ КАШИ
Трет ь я г .т а в а Об \ множении
Умножение целых есть взятие одного из двух чисел столько раз, каково число другого; одно из них называется множимым, а другое множителем. Всеобщее определение: [умножение есть] получение числа, отношение которого к одному из сомножителей равно отношению другого сомножителя к единице [и]. Умножение [чисел] до десяти друг па друга мы выразили в таблице, где одни из сомножителей записан по длине таблицы, другое —но ширине таблицы, а произведение — в месте, являющемся пересечением [строк или столбцов, находящихся] против них. Вот эта таблица:
Таблица умножения до десяти.
4 2 3 4 5 6 7 8 9
1 1 з 4. 5 6 7 8 9
2 2 z* в 8 10 12 14 16 18
3 3 6 9 12 15 18 21 24 27
4 4 8 12 16 20 28 32 36
5 5 10 15 20 •>- 30 3.) 40 45
6 6 12 18 24 30 36 42 48 54
7 14 21 28 35 42 49 56 63
8 8 16 24 32 40 48 56 64 72
9 9 18 27 36 45 63 72 81
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
25
Вычислитель должен запомнить эту таблицу, тогда он сможет просто производить это действие в случае, [когда числа будут] больше этого.
При умножении [чисел] больше десяти, когда одни из сомножителей является простым числом, умножим простое число на цифры другого сомножителя и, если в каждом разряде множителя стоит больше единицы, запишем еди-6 иицы произведения | иод соответственным разрядом [множителя] и, проведя между ними разделительную линию, [запишем] десятки левее. Если в произведениях имеются десятки, будем записывать их так, чтобы единицы каждого произведения находились против десятков предыдущего произведения. Поэтому под разделительной линией получатся две строки, которые следует сложить так, как было сказано о действии сложения. Па строку произведения переносятся пули множителя, если они имеются, а справа от этого произведения помешаются нуль или пули по числу нулей простого сомножителя, если они имеются.
П р и мер. Мы хотим умножить четыре на:
Число 547800
Строки действия 1632 2028
! 11ропзведение 2191200
Умножим четыре на восемь, получим 32. Запишем два под восемью и три под семью. Далее умножим их, т. е. четыре на семь, получим 28. Запишем восемь против семи под тремя п два слева от восьми. Далее умножим их [четыре] па четыре, получим 16. Запишем шесть под четырьмя и единицу слева от ппх. Далее умножим их [четыре] на пять, получим 20. Запишем нуль под единицей п два слева от пего. Таким образом, под горизонтальной линией имеются две строки, которые мы сложим так, как было сказано о действии сложения. Затем перенесем в строку
26
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
6 об.
произведения два пуля, находившихся в множителе. Получится число 2 191 200.
Если простой сомножитель не принадлежит к единицам и, [например], есть четыре тысячи, запишем справа от произведения три нуля, находившихся в простом сомножителе, т. е. четырех тысячах, и произведение будет 2 191 200 000.
Если простой сомножитель является единичным, т. е. единицей в каком-нибудь разряде, мы перенесем нули, находящиеся в нем, вправо от множителя. Считай таким образом.
Если ни один из двух сомножителей не является простым, мы начертим четырехугольник, разделим ого длину на число разрядов одного из сомножителей, а ширину—на число разрядов другого сомножителя и проведем вертикальные и горизонтальные линии, подразделяющие фигуру на малые четырехугольники. Каждый из этих четырехугольников подразделяется параллельными косыми линиями па верхний и нижний треугольники, одни из которых—в левом верхнем углу четырехугольника, а другой— в нравом нижнем углу. Эта фигура называется сеткой. Один из сомножителей помещаем над этой фигурой, | так что его разряды находятся над четырехугольниками друг за другом, а другой сомножитель—слева от псе, так что его десятки находятся над единицами, сотни над десятками п т. д. друг над другом. Перемножим простые сомножители, имеющиеся средн цифр [сомножителей], и запишем произведения в четырехугольниках, находящихся против этих сомножителей, единицы—в нижнем треугольнике, а десятки - в верхнем треугольнике. Если имеется нуль, то четырехугольники, находящиеся против него, остаются пустыми или в их пижием треугольнике ставится нуль, так как умножение нуля па любое число дает пуль. Далее под нижним треугольником четырехугольника, находящегося на пересечении первых разрядов сомножителей, запишем точно то, что находится в нем, это и есть начало строки произведения. Далее сложим то, что находится между двумя косыми линиями за ним, и, если сумма меньше десяти, запишем ее слева от того, что мы записали в начале строки произведения, в противном
КЛЮЧ I? АРИФМЕТИКЕ
27
случае запишем единицы суммы, а для каждого десятка прибавим одну единицу к сумме следующей косой строки. Таким же образом сложим то, что находится в каждой косой строке до конца. Если в одной из косых строк ист чисел, запишем в строке произведения пуль.
Пример. Мы хотим умножить число 7806 па число 175. Начертим фигуру так, как сказано, и запишем сомножители над ней и слева от пес. Затем умножим семь, имеющиеся средн цифр в разделе тысяч, па единицу, произведение будет семь. Запишем семь в нижнем треугольнике четырехугольника, находящегося на пересечении их [разрядов 7 и 1]. Далее умножим семь также на семь, получится сорок девять. Запишем сорок девять на пересечении их [разрядов 7 н 7]: единицы—в нижнем треугольнике, а десятки—в верхнем. Далее умножим семь па пять и запишем результат также па пересечении их [разрядов 7 и 5]. Так же поступим с восемью, находящимися в разряде сотен, и с шестью, находящимися в разряде единиц, п оставляем пустой строку, находящуюся против пуля, как мы сказали выше. Под фигурой излучается строка произведения. Вот эта сетка:
Если в разряде единиц одного или обоих сомножите-7 лей имеется нуль или | нули имеются в единицах и десятках вместе или в единицах, десятках и сотнях и т. д. в последовательных разрядах с правой стороны, не нужно чертить сетку со всеми разрядами множимого и множителя, как считали некоторые ученые этого искусства. Мы чертим сетку с разрядами, остающимися мосле отбрасывания последовательных нулей, а получив строку произведения, пишем справа от пес нуль или нули
випожоикЛ «яхоэ ввооу[ £ ч/лцр
i iTl'flrv
r( ? iy,^7y’~Vy'f /?7^(г^(Г(пгг^^
<( rf^i Г^гЛ( ргр-, (p
И H к c<'r~\ ।n*^v [1г/*'м<д c^Ti I ft^rn p’l ГИ <’'Н^ГГс V ® H ?? nr₽rT^ri^^Qn Г4Г*л° 1сл /п f in7i f^vT^fTT ^/7^/ pT
и^/кгт rf??q
innvM iimrr/comki liiiniKa.’Ki
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
29
[в количестве], равном [количеству] всех последовательных пулей, отброшенных вами от сомножителей.
Другой вид. Начертим косую сетку и разделим каждый ее четырехугольник вертикальными линиями на два треугольника в двух противоположных углах четырехугольника, правом п левом. Затем запишем один из сомножителей снаружи - на правой верхней стороне, а другой—на левой верхней стороне, друг за другом, справа налево. Умножим каждый из простых сомножителей па каждый из простых сомножителей и запишем произведения в четырехугольнике, находящемся па пересечении их [разрядов], единицы - в нравом треугольнике, а дссятки-в левом, пока не окончим. Затем проведем под сеткой лишне и запишем иод этой линией точно то, что находится в нравом треугольнике в нравом углу сетки, далее сложим то, что находится между двумя вертикальными линиями слева от этого треугольника, и запишем сумму слева от того, что мы записали сначала, затем [поступим так же с] том, что находится в ряду [еще] левее, и так далее до конца.
Пример. Мы хотим умножить число 358 па число 624. Начертим косую сетку в выполняем действия следующим образом:
Другой вид. В нем по требуется чертить сетку, о которой мы говорили в предыдущих видах. Действия в нем таковы: умножим то, что находится в начале разрядов множимого, т. е. в правой стороне его цифр, на каждую цифру разрядов множителя, справа налево, и запишем первое
30
ДЖВМШПД 1ИЯСЭДДШ1 КАШИ
7 об.
произведение; если в этом произведении пет десятков, запишем на их месте нуль и так же поступим при каждом умножении, когда пропускается [разряд]. Далее запишем единицы второго произведения иод десятками | первого произведения, единицы третьего—под десятками второго и так же будем записывать единицы каждого произведения под десятками произведения предыдущего разряда. Далее умножим второй разряд множимого па каждый разряд множителя и запишем единицы второго произведения над десятками первого и так далее до конца. Далее умножим цифру третьего разряда па цифры каждого разряда множителя так, как сказано, и запишем единицы первого произведения над десятками произведения предыдущего разряда множимого на первый разряд множителя и так далее до конца действия. Таким образом, мы получим числа, одни над другими, [которые следует] взять вместе, как при сложении. То, что получится, и есть искомое.
II р и м е р. хМы хотим перемножить два упомянутых выше числа
358
624
Сначала умножим восемь на четыре, получится 32. Затем умножим восемь на два, получится 16. Запишем пх так, чтобы шесть находились под тремя. Далее умножим восемь иа шесть, получится 48. Запишем пх так, чтобы восемь находились под единицей. Далее умножим пять на четыре, получится 20. Запишем пх так, чтобы нуль находился над тремя. Затем jмножим упомянутые пять на два, получатся 10. Запишем их так, чтобы нуль находился под двумя. Затем умножим пять па шесть, получится 30. Запишем их так, чтобы нуль находился под единицей. Далее умножим три па четыре, получится 12. Запишем их так, чтобы два находились над двумя. Затем умножим три на два, получим шесть. Запишем их под единицей п поместим в произведении левее шести нуль. ЗатехМ умно-Ж1 м три на шесть, получится 18. Запишем их так, чтобы восемь находились под нулем. Таким образом получились числа, одни над.другими. Сложим их так, как было сказа-
Ключ К АРИФМЕТИКЕ
но о действии сложения. Получится так:
12 ' 0620 181632 3016 48 П ропз--------ведение
223392
Другой вид. Умножим каждую цифру множимого послс-8 доватсльио | на множитель таким образом, как в случае, когда первый из сомножителей простой. Каждое умножение в большинстве случаев дает две строки. Проведем под ними горизонтальную лш ню и загп шем каждую пару строк, получающихся прп [дальнейшем] умножении, под последними [двумя строками] одну за другой так, чтобы единицы каждой пары строк стояли против десятков предыдущей! пары строк. Таким образом получатся числа одни над другими, [которые следует] взять вместе, как при сложении.
Пример. Умножение числа 456 на число 2783 таково:
4218
1248
3515
1С40
2812
832
прои.з---------ведение
1269048
Это нс скрыто от того, кто размышляет об этом, и [для него] этот вид проще других видов, но для понимания начинающего проще сетка.
Если у множимого и множителя много разрядов, лучше сначала прибавить один из них к самому себе до восьми или девяти раз и записать все эти суммы друг под другом так, чтобы все их единицы, а также остальные разряды находились друг против друга, а также записать в другом столбце слева от них девять чисел [от 1 до 9], так что каждая сумма соответствует одному из множителей среди этих
32
ДЖНМШИД 1’ИЯСЭДДИН КАШИ
девятп чисел. Эта таблица называется таблицей кратных данного числа. Возьмем теперь сумму, соответствующую единицам другого сомножителя, далее [сумму], соответствующую его десяткам, затем сотням и так далее до конца, и будем записывать вторую сумму под первой так, чтобы ее единицы находились против десятков первой [суммы], третью сумму запишем под второй так, чтобы ее единицы находились против десятков второй [суммы], и так далее. Затем сложим все—сумма и есть искомое [число].
Таблица кратных одного из двух упомянутых сомножителей в предыдущем примере такова:
Действие упомянутого умножения [2783 па 456] таково: мы берем
Соответственно шести . . . Соответственно пяти .... Соответственно четырем . . 16698 13915 11132
Произведение 1269048
Все, что содержится в этой главе, мы открыли сами, за исключением первой таблицы [12].
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
33
8 об.
Четвертая глава О делении
| Деление целых есть равночисленное разложение делимого по единицам делителя, так что каждой единице делителя соответствует часть. Эта часть называется частным по отношению к делителю.
Действие это таково: запишем цифры делимого числа, проведем над ним горизонтальную линию, затем проведем между каждыми двумя разрядами вертикальную линию от горизонтальной линии до некоторого предела. Затем запишем делитель па некотором расстоянии под делимым так, чтобы его последний разряд находился против последнего разряда делимого, если делитель меньше того, что находится против него в делимом, причем не следует обращать внимания на род разрядов, находящихся против делителя; если же это не так, надо записать [делитель] таким образом, чтобы последний разряд делимого был левее последнего разряда делителя и, таким образом, каждый разряд [делителя] находился против предыдущего разряда делимого.
Далее ищем наибольшее число, которое, умноженное па цифры делителя, можно вычесть из того, что находится в делимом против делителя и левее, если имеется что-нибудь левее его. Если такое число найдется, запишем его вне таблицы над горизонтальной линией против первого разряда делителя, и затем, умножив его на все цифры делителя и вычтя в уме или письменно произведение из того, что находится против делителя или левее, поместим остаток, если что-нибудь остается, под делимым. После этого проводим под ними горизонтальную линию в знак отбрасывания того, что [стоит] над ней, и решения того, что [находится] под пей. Остаток от вычитания произведения должен находиться в одной строке, причем здесь уже не должно быть тех чисел, которые отброшены.
Для упрощения обучения вычислителя в противоположность тому, что делали предшественники, следует, чтобы после того, как от части делимого, находившейся против делителя, осталось меньше делителя, делитель 3 Историко-матем. исследования
34
ДЖЕМШИ I ГИЯСЭДДИН КАШИ
переносили вправо на один разряд, а под тем, что было раньше, проводили горизонтальную линию в знак отбрасывания того, что [стоит] над пен, и решения того, что [находится] под пей, так как в [данном] действии делитель записывается под пой, а делимое—над пей, можно также переносить цифры, остающиеся от делимого, налево на одни разряд. Проведя горизонтальную линию под тем, что было сначала, в знак отбрасывания стоящего над пей, мы [снова] ищем наибольшее число с указанным свойством и записываем его справа от того, 9 которое записано | сначала так, чтобы опо находилось против первого разряда [перенесенного] делителя, и поступаем с ним так, как раньше. Если же [такое число] не найдется, поставим в этом месте пуль. Затем [слова] перенесем цифры делителя направо пли цифры, остающиеся от делимого,—палево па один разряд. Так поступаем до тех пор, пока первый разряд делимого по окажется против первого разряда делителя и действие не окончится.
То, что записано в верхней строке, находящейся над горизонтальной линией в называемой внешней строкой, есть частное. Опо является целым числом, в котором следует принимать во внимание все его разряды .
Если же от делимого что-нибудь остается, остаток является дробью, знаменателем которой является делитель.
П р и м е р. Мы хотим разделить число 3 565 908 на число 475.
Начертим таблицу и запишем делимое и делитель так, как было сказано Ищем наибольшее число из [разряда] единиц с указанным свойством и находим, что это семь. Поместим их [семь] над гор ьзоптальпой линией, [проведенной] над делимым против первого разряда делителя. Умножим его сначала на четыре, будет 28. Вычтем это [28] из того, что стоит против четырех п левее, т. е. из 35, либо в ум?, либо записав произведение, т. о- 28, под 35. Остается одна четверть пх [28, т. е. остается 7]. Поместим это [семь] поднятью, проведя между ними [семью] и 35 горизонтальную линию. Далее умножим семь также
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
9 об.
на семь, [стоящие] справа от четырех, получится 49. Вычтем их [49] из того, что [стоит] против семи и левее, т. с. из 76, остается 27. Запишем остаток в таблицу—семь под шестью, а для двадцати—два под семью и проведем над 27 разделительную линию. Далее умножим семь па пять, получится 35. Вычтем это из того, что [стоит] против пяти п левое, т. о. из 275, и поместим остаток так, как было сказано.
Теперь время перепости делитель вправо или остаток делимого влево. В первой фигуре мы проведем горизонтальную линию над делителем и перенесем его па один разряд вправо, а во второй фигуре мы проведем горизонтальную линию под том, что осталось от делимого, и перенесем это на разряд влево.
Затем ищем наибольшее число из [разряда] единиц с указанным свойством и находим, что это пять. Поместим их [пять] правее семи против первого разряда перенесенного делителя и поступим с ним так, как было сказано. Далее переносим делитель направо в первой фигуре и остаток от делимого налево во второй фигуре еще раз. Затем ищем наибольшее число пз [разряда] единиц с указанным свойством. Мы не находим такого числа, так как делитель | больше того, что в делимом стоит против него. Запишем пуль справа от того, что записано во внешней строке, и перенесем делитель направо на один разряд в первой фигуре и остаток делимого палево—во второй. Ищем наибольшее число из [разряда] единиц с указанным свойством и находим, что это семь. Поступаем с ним так, как было сказано. Тем самым действие окончено.
Остаток делимого цод разделительной лилией есть восемьдесят три, что необходимо меньше делителя, а частное от деления есть семь тысяч пятьсот семь целых и восемьдесят три четыреста семьдесят пятых, если предположена единица. Знай, что сказанное нами относится к случаю, когда все произведения вычитаются из делимого в уме. Есть и другой прием для обеих фигур, когда с целью облегчить начинающему понимание все произведения пишутся под делимым. Таким образом:
3*
ДЖЕМ111НД ГПЯСЭДДИН КАШИ
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
37
38
ДЖЕИШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
io Во второй фигуре вертикальные столбцы [по своей длине] должны соответствовать числу разрядов делителя.
Другой вид. Искомое число с указанным свойством, записанное над горизонтальной линией, умножается па делитель, как было указано для случая, когда один из сомножителей по своим ц 1фрам является простым Произведения записываются под делимым таким образом, чтобы его первый разряд приходился против первого разряда делителя, а затем эти произведения вычитаются из делимого для получения искомого.
II ример. Мы хотим разделить число 2 274 126 на 565.
Запишем их и начертим таблицу так, как было сказано. Ищем наибольшее число из [разряда] единиц с указанным свойством и находим, что это четыре. Умножаем пх [четыре] на делитель, получим 2260. Запишем это под делимым так, чтобы единицы приходились против единиц делителя, и вычтем эго из делимого. Запишем остаток под ними [числом 2260], проведем между ними горизонтальную линию.
Затем перенесем делитель направо, как в первой фигуре, или же делимое налево, как во второй фигуре. Далее снова ищем наибольшее число из [разряда] единиц с указанным свойством. Такого числа мы не находим.
Ставим правее четырех нуль и делаем перенос вторично.
Далее снова ищем наибольшее число из [разряда] единиц с указанным свойством и находим, что это два. Записываем их [два] правее нуля и умножаем их на делитель, получим ИЗО.
Запишем это под делимым по правилу, указанному раньше, и вычтем из делимого. Перенесем делитель па один разряд вправо, как в первой фигуре, или же делимое па один разряд влево, как во второй фигуре. Далее снова ищем наибольшее число из [разряда] единиц с указанным свойством и находим, что это пять. Поступаем с ними [пятью] так, как указано, н заканчиваем действие таким образом:
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
39
ю об.
внешней строки на полях против произведений с каждым из них.
Другой вид. Если в делителе много разрядов пли много разрядов в избытке делимого над разрядами делителя, лучше сначала прибавить делитель сам к себе, затем к сумме, затем к новой сумме и так далее восемь раз, так чтобы получилась таблица умножения этого числа, упомянутая нами в предыдущем разделе. Затем ищем в этой таблице наибольшее число, которое можно вычесть из того, что находится против делителя. Если мы найдем такое число, запишем его под делимым, вычтем из него и запишем во внешней строке против первого разряда делителя ту пз девяти цифр, которая находится па полях таблицы [умножения] против этого [наибольшего числа]. Остальное действие производится по правилу, указанному
40’
ДЖЕМПШД ГИЯСЭДДИН КАШИ
lyCKjuS V>»eW*JJai
J*#.}C/^jJ.1 teVAbd>jiI 5jL*i
-j i i V_Xs If^/j»joj
uAS*^Jall <^V*ZLi*
у » r'U^lH У^А-iiu'l’Ajl<Jli Ka-^ Ь з1»у)ст* >XXj<^l
^’‘*‘>(У<°2J£/l>-^, \ о Lju>j <jX*l/ \j_-J I
1^1 о з to-1 <_f 3>l^ «-—<cj^®VjL**3
д^-aLi «/з^ Lal>
JkJ I L^jb^c **vuLj I Слз^' JIj t
(JvJyyaiH t\i>3 otLei^y
\ V >j.412, Ifuu^jd 1a^-*L)
. Liict 10. Деление 2 27 4126 па 56е.
jUl
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
41
в предыдущем виде. Пример этого таков же, как пример предыдущего вида. В этом виде мы не чертим вертикальных столбцов, так как искомое получается так же, [как в предыдущем виде].
Эти два вида раньше ле рассматривались и открыты нами.
Snaii, что если умножить частное на делитель, получится делимое, а если разделить произведение на один из сомножителей, получится другой сомножитель.
Г л а в а п я т а я
Об определении основания степени
Если число умножается на самого себя, затем на произведение, затем на второе произведение, затем на третье произведение и так далее до бесконечности, то первое число называют основанием по отношению к каждому из этих произведений пли корнем по отношению ко второму произведению, а сами произведения носят общее название степеней. Для каждой степей и имеется свое особенное название: первое произведение, т. о. произведение числа с самим собой, называется квадратом. Второе произведение называется кубом основания. Следует сказать, что куб есть название степени данного основания в переносном смысле. Третья произведение—кваорато-квадрат, четвертое — квадрато-куб, пятое кубо-куб, затем квадрато-квадрато-куб, затем квадрато-кубо-куб, затем кубо-кубо-куб', далее [всякий раз] слово «куб» заменяется на «квадрато-квадрат», после чего один пз двух «квадратов» заменяется на «куб», потом второй «квадрат» заменяется на «куб» и так далее до бесконечности. Единица и эти произведения находятся в одном и том же отношении, т. е. единица относится к корню, как корень 11 | к квадрату, как квадрат к кубу, как куб к квадрато-квадрату, и так до бесконечности все [они непрерывно] пропорциональны. Так [обстоит дело] при восхождении и так же при нисхождении, т. е. доля корпя относится к доле квадрата, как доля квадрата к доле куба и как доля куба к доле квадрато-квадрата, и так до бесконечности все [они непрерывно] пропорциональны п каждая из них
42
ДЖЕМШПД ГИЯСЭДДИН КАШИ
относится к единице, как единица к их одноименному при восхождении [13].
Основание есть первая степень, квадрат—вторая, куб— третья и так далее до бесковечгости. Если мы хотим узнать число степов и какой-нибудь степени, мы берем для каждого квадрата два, для каждого куба три и, складывая все это, получаем число степени. Если мы хотим узнать название степени по числу степени, мы смотрим, ость ли у него целая треть, [и если это так, то] берем кубы в числе этой трети и ставим их один за другим,—получится название этой степени. Если же треть числа степени не целая, отнимем от него два и возьмем вместо них квадрат и, если треть остатка целая, берем кубы в числе, равном трети остатка. Если же треть остатка не целая, отнимем от числа степени еще раз два и возьмем вместо этих двух другой квадрат, а вместо трети остатка поставим друг за другом кубы; квадраты поставим перед кубами; это и будет название степени.
} Знай, что степень, у которой имеется основание, порождающее эту степень, называется рациональной, если же у степени нот основания, ее называют иррациональной [14]. Все рациональные степени имеются в разряде единиц, рациональные квадраты не имеются средн десятков, но имеются среди сотен, по имеются среди тысяч, по имеются среди десятков тысяч, рациональные кубы имеются среди тысяч и тысяч тысяч. Способ определения этого таков: начиная с разряда единиц, берем разряды в числе, равном числу степени требуемого основания, и называем это [число разрядов] периодом рациональности и иррациональности, затем берем другой период, равный тому же числу [разрядов], и так далее. Степени являются рациональными в начале каждого периода и иррациональными в остальных разрядах периода. Таким образом узнают, что квадрат имеется в одном разряде и но имеется в другом, куб имеется в одном разряде и ио имеется в двух, квадрато-квадрат имеется в одном разряде и не имеется в трех и так далее по этому правилу.
Способ нахождения корпя таков [15]: записываем число, корень которого ищется, проводим над ним горное. зоптальиую липшо | и отделяем каждый разряд верти-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
43
калькой линией, как мы это делали при делении. Над каждым нечетным разрядом ставим знак для различения рациональных разрядов или проводим между периодами двойные линии. Затем ищем наибольшее число пз [разряда] единиц такое, что, если умножить его на самого себя и вычесть произведение пз цифр последнего [рационального] разряда или [также] пз того, что [стоит] слева от него, если слева от пего есть что-нибудь, то ничего не останется или же останется меньше вычитаемого. Найдя такое число, запишем его над последним рациональным разрядом и под ним в том же столбце на таком расстоянии, какого требует действие, как при делении. Теперь перемножим верхнее и нижнее [числа], т. о. [найденное] число на самого себя, и вычтем в уме это произведение из того, что [стоит] против него [найденного числа] и слева от него, пли же запишем это произведение и поставим остаток под ним, проведя между ними линию. Затем прибавим верхнее [число] к нижнему п перенесем сумму вправо па один разряд, проведя под тем, что уже стояло, горизонтальную ливню в знак его отбрасывания; ого единицы придутся против иррационального [разряда], находящегося справа от последнего рационального [разряда]. Далее, ищем наибольшее число из [разряда] единиц [с указанным свойством]. Запишем его над предпоследним рациональным разрядом и под ним, против того, что мы перенесли. Умножим это верхнее простое число на нижний разряд п вычтем произведение из цифр, находящихся против него и слева от этого. Найдя это [число] п проделав сказанное, прибавим верхнее число к нижним и перенесем полученное в пнжней строке па разряд вправо. Если же мы не найдем этого числа, то поставим над знаком и справа от того, что мы перенесли, нуль и перенесем [полученное на разряд вправо]. Так будем поступать, пока не дойдем до первого рационального [разряда], с которым поступим так же, как с другими [разрядами]. Если в ряду под разделительной линией но остается числа, то число, получающееся во внешней строке над таблицей, является корнем данного числа, и тогда мы знаем, что данное число есть рациональное число, если же там остается что-нибудь, то данное число есть иррациональное. В этом
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
[последнем] случае для получения числа, промежуточного между квадратом числа, найденного действием, и квадратом числа, превышающего найденное на единицу, следует прибавить то, что находится над первым рациональным [разрядом], к ппжпому [числу], которое является удвоенпем внешней строки, и прибавить к этой сумме единицу, взять все это знаменателем, а остаток от числа [после действия нахождения его корня] взять числителем; то, что получится вместо с этой дробью, есть приближенно король данного числа [1С].
Пример. Мы хотим найти корень числа 331 781. Напишем число, начертим таблицу и расставим знаки 12 так, как было сказано. | Затем ищем наибольшее число с указанным свойством и находим, что это пять. Запишем их [пять] над последним рациональным [разрядом] и па [некотором] расстоянии под ним. Умножим его на самого себя, получится 25. Вычтем это [25] из цифр, находящихся против пяти и левее их, т. с. из 33. Остается восемь. Поставим их [восемь] под тремя, проведя между восемью и уменьшаемым линию. Прибавим верхнее [число] к нижнему, получится 10. Перенесем их [десять] на один разряд, проведя над нижней пятеркой линию в знак отбрасывания этого. Затем ищем другое наибольшее простое число с указанным свойством и находим, что это семь. Запишем их [семь] над предпоследним рациональным разрядом и под ним справа от перенесенных десяти. Умножим сначала семь па нижнюю единицу, получим снова семь. Вычтем семь из находящихся против них восьми, останется единица, которую мы запишем под восемью ниже [проведенной] линии. Опускаем умножение семи на нуль, так как это произведение также есть нуль. Далее умножим семь на семь, стоящие справа от пуля, получится 49. Вычтем их [49] из того, что находится против них и левее, т. с. из 117. Останется 68. Помещаем 68 под 117. Отделим разделительными линиями разряды, соседние к тому, где находится 117. Затем прибавим верхнее число к нижнему. Получим в нижней строке 114. Перенесем их [114] на один разряд вправо, проведя линию над тем, что было раньше. Затем ищем другое наибольшее число с указанным свойством и находим, что это шесть. Запишем их
Ключ К АРИФМЕТИКЕ
[шесть] над первым рациональным разрядом и под ним справа от перенесенного памп, умножим сначала на последнюю единицу, затем на предыдущую единицу, затем па четыре, затем на шесть и вычтем произведение пз того, что против него и левее их [т. е. пз (5881]. Таким образом, от числа остается пять. Затем прибавим верхнее [число], т. е. шесть, к нижнему, т. с. 1146, и к этому [еще] единицу . Получится 1153. Зто—знаменатель дроби, числителем которой являются оставшиеся пять; целое же получается
над таблицей. Таким образом, мы получим корень 5.
*2 Вот две таблицы действия:]
46
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
*— rj^l V «jL ir_ */ cA •i’j и «^IP tub» 7
tr 1 V Я A / T Iй Л 1 1 V A r* r 1 e У
Vrr Л 1
*i 1 A r f
*1 f л —4— r Г— 1
8
1 я 6 F f 0 V
। 1 aLpiAsj
)£&>1 •’..
-^^^‘Ж^А'йИЗ
?
V
г
£
Л V
Ч
~лП
1
1 л л
1
3
•f
о
i
1 Jj/ dj Ijg^kJ^aL I
&c k<b.Ui ^J*-»
JJ jUl AUkljj
L?Jj оН>.Ь’чА->Ь
fe
Лист 12 об. Извлечение квадратного корня.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
47
Далее мы изложим действие, с помощью которого иррациональный корень определяется с большей точностью.
Если мы хотим, что равносильно разъясненному, умножать каждое пз простых чисел внешней строки на пижнпо строки по способу умножения, в котором один из сомножителей простой, то произведения записываются под [данным] числом и вычитаются из пего таким образом:
Этот способ проще, в особенности в случае, когда [в данном числе] много цифр. Это мы открыли; первый способ мы уточи» ли.
При определении основания других степеней действие таково: запишем данное число, основание которого мы хотим определить, и начертим такие же столоны, как было сказано о действии определения корня. Далее, начиная с единиц, отсчитаем периоды так, что число разрядов каждого периода равно числу показателя данной степени, как это также было сказано. Проведем двойные вертикальные линии между каждыми двумя периодами, чтобы отделить
48
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
их друг от друга. В начало периодов находятся разряды, рациональные в данной степени, остальные [разряды]— иррациональные. Далее разделим столбцы по длине на части, число которых равно числу показателя этой сто-13 пени, | и проведем горизонтальную линию между каждыми двумя частями. Длина каждой части должна быть достаточной для действия, Самая верхняя часть называется рядом числа, самая нижняя часть—рядом основания, та, которая над самой нижней,—рядом квадрата, та, которая над ним,—рядом куба и так далее до ряда числа. То, что находится над рядом числа и, тем самым, над таблицей, называется внешней строкой. Часть, которая находится под рядом числа, есть [ряд] второго числа, то, что иод пой, [ряд] третьего [числа] н так далее до ряда основания.
Начнем с последнего периода и будем пскать наибольшее простое [число] из [разряда] единиц, степень которого, т. с. данную степень, порожденную данным простым [числом], можно вычесть из того, что находится в последнем периоде числа, т. о. слева. Для того чтобы упростить па-хождение указанного простого [числа], запишем восходящие степени от квадрата до квадрато-квадрато-кубо-куба для каждого простого [числа] из [разряда] единиц в таб-блпну [17]. Когда [искомое число] найдется, запишем его над последним рациональным разрядом во внешней строке и под ним внизу ряда основания так, чтобы оно находилось против него. Умножим верхнее простое [число] на нижнее и запишем произведение, т. е. квадрат, внизу ряда квадрата так, чтобы его единицы находились против того, что стоит в ряду основания, т. е. в последнем рациональном столбце, а ого десятки—в другом столбце слева от пего. Затем умножим верхнее простое [число] на то, что записано внизу ряда квадрата, и запишем произведение, т. е. куб, внизу ряда куба при указанном условии и так далее до того ряда, который мы назвали вторым числом. Все полученные таким образом числа в рядах являются последовательными степенями верхнего простого [числа]. Затем умножим верхнее простое [число] на то, что записано в ряду второго числа. То, что получится, ость искомая степейь этого простого [числа]. Вычтем
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
49
эту степень пз того, что находится против нее в ряду числа.
Затем прибавим верхнее простое [число] к нижнему, находящемуся в ряду основания, сначала для ряда второго числа, умножим верхнее [число] на то, что получилось в ряду основания, и прибавим произведение к тому, что находится в ряду квадрата, затем умножим верхнее [число] на то, что получилось в ряду квадрата, и присоединим произведение к тому, что находится в ряду куба, и так будем поступать до тех пор, пока по дойдем до ряда второго числа. Затем прибавим верхнее [простое число] к нижнему, находящемуся в ряду основания, во второй раз для ряда третьего числа, умножим верхнее простое па то, что получается в ряду основания, прибавим к тому, что находится под ним, и так далее до ряда третьего числа. 1 Затем прибавим верхнее к нижнему, находящемуся в ряду основания, в третий раз для ряда четвертого числа и так будем поступать до тех пор, пока подойдем до ряда основания, где мы таким же образом прибавим верхнее [число] к тому, что находится в ряду основания. Далее перенесем то, что находится в ряду второго числа, па один разряд вправо, перенесем то, что находится в ряду третьего числа,-—на два разряда, перенесем то, что находится под ним,—на три разряда и так далее до ряда основания, [для которого то, что находится в нем], мы переносом на [число разрядов], равное числу рядов, находящихся под рядом числа, так что его единицы будут находиться рядом с предпоследним рациональным разрядом.
Знай, что умножение верхнего простого [числа] на то, что находится в каждом ряду, прибавление произведения к тому, что [стоит] под ним, и вычитание суммы пз того,, что находится в ряду числа, производится следующим образом: мы умножаем его [верхнее простое число] на то; что находится в каком-то ряду так, как было сказано для случая, когда один пз двух сомножителей простой, а произведение записываем в ряду, находящемся под этим рядом, так, чтобы его единицы находились против множимого верхнего простого [числа], т. е. в первом столбце периода над тем, что находилось в нем. Затем проводим 4 Историко-матем. исследования
50
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
между ними горизонтальную линию в знак отбрасывания того, что было над пей в этом ряду, т. о. в ряду числа, так как произведение записывается под числом и отнимается от пего в этом ряду. Далее под ним после проведения горизонтальной линии в знак отбрасывания того, что стоит над ней, записывав гея остаток. Таким образом, установленное [нами] в ряду числа находится под разделительной линией, а г. других рядах—над ней, так как действие в ряду числа производится по отношению к тому, что находится под этой линией, а действия в остальных рядах—по отношению к тому, что находится над этой линией.
Затем ищем наибольшее простое [число] из [разряда] единиц, такое, что если мы умножим его на установленное [нами], находящееся в ряду основания, прибавим произведение к тому, что находится в ряду квадрата, затем умножим верхнее простое на установленное [памп], находящееся в ряду квадрата, прибавим произведение к тому, что находится в ряду куба, п гак далее, пока не дойдем до ряда второго числа, то произведение верхнего простого [числа] на находящееся в этом ряду может быть вычтено из того, что находится против него в ряду числа. Это число записывается во внешней строке над предпоследним рациональным столбцом и под ним в ряд)'- основания, справа от того, что записано в нем над разделительной линией.
14 Когда это [число] найдено, | поступаем с этим так же, как мы говорили. После вычитания из числа прибавим верхнее простое [число] к тому, что находится в ряду основания над разделительной линией, и поступаем так, как было сказано, для каждого ряда, а затем перенесем все находящееся в рядах указанным порядком. Если же такого [числа] не найдено, ставим над указанным рациональным столбцом пуль и переносом еще раз все находящееся в рядах тем же порядком. Далее поступаем л с тем рациональным [столбцом], к которому мы приходим, так же, как было сказано, и так далее, пока не дойдем до первого рационального [столбца]. С ним будем поступать так же, как сказано выше, до тех нор, пока мы не вычтем произведение из числа. Если в ряду числа под разделительной линией не остается ничего, данное число является рацио-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
51
пальпым, а то, что получается во внешней строке, это ого основание [18].
Если же что-нибудь остается, то число является иррациональным и остаток есть [числитель] дроби, знаменатель которой приближенно вычисляется как разность между степенью верхней строки и степенью основания, увеличенного па единицу. Для [определения | этого знаменателя поступим с простым числом над первым рациональным разрядом так же, как мы поступали при перенесении, затем сложим все, находящееся во всех рядах иод рядом числа над разделительными линиями, и прибавим к сумме единицу, полученная сумма и есть разность между двумя указанными степенями, т. е. знаменатель дроби, записывающейся так же, как при действии нахождения корня [1У]. Мы сообщили это сначала отдельно с целью облегчить понимание этого для начинающего.
II р и м е р. Мы хотим найти основание числа
44 240 899 506197,
являющегося квадрато-кубом, т. о. показатель степени пятый. Начертим таблицу, как было сказано, и запишем в ней данное число, т. с. сорок четыре тысячи тысяч тысяч тысяч двести сорок тысяч тысяч тысяч восемьсот девяносто девять тысяч тысяч пятьсот шесть тысяч сто девяносто семь. Мы разделим ого двойными линиями па периоды, число разрядов каждого периода равно числу показателя степени квадрато-куба, т. с. пяти. Затем ищем наибольшее простое число, квадрато-куб которого можно вычесть из упомянутого числа, и находим, что это пять. Запишем их [пять] над последним рациональным [разрядом] во внешнем разряде и под ним внизу в ряду основания и поместим его степей и внизу во [всех] его рядах, т. е. его квадрат 25 в ряду квадрата, его куб 125 в ряду куба, его квадрато-квадрат 625 | в ряду квадрато-квадрата и его квадрато-куб 312л в ряду числа под числом таким образом, чтобы единицы всех их находились в столбце послед .его рационального [разряда]. Затем вычтем то, что записано под числом, из пего и запишем остаток под шш, проведя линию между ними в знак отбрасывания
52
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
того, что [находится] над ней. Затем прибавим верхние пять к нижним пяти и запишем сумму, т. с. десять, над ними в ряду основания, проведя линию в знак отбрасывания того, что [находится] под вен. Умножим указанные пять на сумму п запишем произведение над тем, что находится в ряду квадрата, так, чтобы его единицы находились в столбце последнего рационального [разряда], прибавим это к нему и запишем сумму иод ними, проведя разделительную линию. Умножим пять на эту сумму и прибавим произведение к тому, что находится в ряду куба, умножим их [пять] на сумму и прибавим это произведение к тому, что находится в ряду квадрато-квадрата, затем прибавим верхние пять к нижним пяти во второй раз для ряда куба, умножим пять па эту сумму, прибавим произведение к тому, что находится в ряду квадрата, умножим пять на эту сумму и прибавим произведение к тому, что находится в ряду куба. Затем прибавим указанные верхние пять к нпжипм пяти в третий раз для ряда квадрата, умножим пять па эту сумму и прибавим произведение к тому, что находится в ряду квадрата. Затем прибавим верхние пять к пижним пяти в четвертый раз для ряда основания. Таким образом, в рядах над разделительными линиями будет написано: в ряду основания 25, в ряду квадрата 250, в ряду куба 1250 и в ряду квадрато-квадрата 3125.
Теперь настало время для перенесения. Переносом то, что находится в ряду квгдрато-квэдрата, во второй ряд действия на один разряд, перенесем то, что находится в ряду куба,-—на два разряда, перенесем то, что находится в ряду квадрата,—па три разряда и перенесем то, что находится в ряду основания,—на четыре разряда. Таким образом, в ряду основания разряд единицы будет находиться в столбце, следующем за первым столбцом предпоследнего периода.
Затем ищем наибольшее простое [число] с указанным свойством и находим, что это три. Запишем их [три] над п[ едп)сл?д-|им рациональным разрядом и под ним в ряду основания справаот пяти. В ряду основания получится 253. Перемножим их [три и 253] и прибавим произведение к тому, что находится в ряду квадрато-квадрата, и так
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
53
далее, пока но дойдем до ряда квадрато-квадрата. Затем умножим три па то, что получится в этом ряду, запишем произведение иод числом и вычтем это произведение из числа. Затем прибавим верхние три к тому, что находится в ряду основания сначала для квадрато-квадрата, умножим их [три] на сумму, прибавим произведение к тому, что находится над ним, по указанному правилу, и так далее, пока пе дойдем до ряда квадрато-квадрата. Затем прибавим три к тому, что находится в ряду основания во второй раз для ряда куба, и будем поступать так до тех пор, пока по прибавим три к тому, что находится в ряду основания в четвертый раз для ряда основания. Таким образом, в рядах над разделительными линиями получится: в ряду основания 2 656, в ряду квадрата 28 090, в ряду куба 1 488 770, в ряду квадрато-квадрата 39 452 405.
Настало время перенесения. Перенесем по указанному
5 правилу. | Затем будем искать наибольшее число с указанным свойством и найдем, что это шесть. Запишем их [шесть] над первым рациональным разрядом и иод ним в ряду основания справа от пяти. Получится 2656. Перемножим их [6 и 2656] и прибавим произведение к тому, что [находится] над ним, и будем поступать так до тех пор, пока не дойдем до ряда квадрато-квадрата. Затем умножим шесть на то, что находится в этом ряду, и вычтем произведен по пз числа. В ряду числа над разделительной линиoii останется 21.
Если бы ничего по осталось, данное число было бы рациональным квадрато-кубом и ого основание было бы 536, которые получились во внешней строке, и действие окончилось бы. Так как имеется остаток 21, данное число оказывается иррациональным, находящимся между квадрато-кубом 536 и квадрато-кубом 537. Для определения знаменателя остатка, числителем которого является 21, прибавим верхние шесть к тому, что находится в ряду основания, сначала для ряда квадрато-квадрата и поступим по упомянутому правилу, затем прибавим [шесть] во второй раз для ряда куба п поступим по тому же правилу и так далее до тех вор, пока мы но произведем сложение. Действие будет происходить таким образом:
54
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
15 об.
(Таблица определения основания
Внешняя сторона 5 3 С>
Ряд числа, являющегося квад-рато-вубом 3 1 2 4 5 0 8 9 9 5 0 6 1 9 7
1 1 2 0 9 5 9 6 9 5 4 9 3
2 2 4 2 2 1 1 3 3 ? 0 0 2 1) G 1 7 6
2 1
Второе число. 4 I 2 6 9 4 9 5 8 0 8 0
т. е. ряд квад-рато-нвадрата 4 0 9 3 1 5 3 5 6з 3 9 С 0 7 3 G 8 9 G
3 9 9 0 3 4 3 0 1 7 G 9 6
3 9 4 5 2 4 0 5
3 4 5 2 2 3 0 1 8 7 3 1
3 3 1 9 2 8 ;) 1 8 3 1
3 1 2 Г)
2 6 0 0 5
Третье число, т. е, ряд куба 1 5 3 9 9 0 6 5 6 0
1 5 1 7 2 1 6 1 5 4 9 2 5
1 5 1 0 7 5 7 1 9 4 G 4 1
1 4 1 8 6 8 9 7 7 9 9
1 4 8 8 7 7 о
1 4 8 б 1 6 9 8 . 1 5 2 8
1 3 7 2 9 7 5 6 7 7 1 7
1 2 7 5 7 0 2 7 7
1 2 5 0
7 5 5 0 б 0
3 1 7 5
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
00
[II р о д о л ж енпе]
Четвертое число, т. е. ряд квадрата
Ряд основания
2 8 0 G
2 7 7 3 8 0 6 4
2 G 7 2 7 7
2 5 7 7 6 5 8 9
2 5 и г, 9
2 5 0 2 2 8 7 2 9 6 0
1 1 ! = 8 1 G G 0 9 I 4 G
7 7 5 5 2 8 1 4 6 0 0 9 0 0 8 8
5 0 5 2 8 1 5 9 9 7 3 2 6
2 8 1 0 9 9 0 3 6
1 1 0 0 5 2 G G 5 2 6 8 0
2 6 7 4
2 а 9 G 2 6 6 8 8
3 ь 6
56
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
« 2^
' г г 1 Г 1 г * *• 0 —я 8 - 1 >1 8 я Г <j г о 1 * 1 V *1 1
и г «• г 1 1 Г о е о
1
1е 1 г ч я я 4 л 6 о 1
<1 1 • * ч /1 "3~ 1 1 л + 1
г 8 н • __g r f Г 1 £.
' я f S г . f •
г г г / * ±. Г 1__
Г Ч - 1 г 9 1 •**
|T_J Г о г 8
1 с <? а 4 « ч л дз
f 8 г1 'я г 9 о Ч ч t
1 6 1 V о л т 1
1 ¥ 1 *7 Л л с
Л Л v v
। 1 1
1 г {
1 я V
1 __ 8 J’T ; 1 г т. .
г тг т >• 7
г _ *
г
г
г г
и ГТ ц L. г 1 _L 5“ 4
к / Г Ь
Г л • Г 9 г
« fi . Г Л 1 4~ с Г 1
_t_ J г 1 1 L Fl ТП ' 1 г по! L . d _ Г ч Г Ч
Лист 15 об. Пзи.1счсние корня пятой степени.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
01
16 | То, что получается в четырех рядах, запишем в дру-
гой таблице, сложим их и прибавим к сумме единицу. Получится разность между двумя последними рациональными степенями, т. е. между квадрато-кубом 536 л квадра-то-кубом 537. Это есть выражение знаменателя. Эта таблица такова:
Таким образом, результат действия, т. о. основание указанного числа, являющегося квадрато-кубом, приблизительно есть
536
21
414237740281
Для определения основания иррационального числа имеется более точный способ. Мы будем говорить о нем в следующей книге, так как это относится к знанию действий с дробями и к определению основания по этим правилам. Это то, что мы открыли.
Способ, который применяли наши предшественники,— более трудный, в особенности в том случае, когда числа показателя степени и число разрядов—большие числа. Мы открыли и другой способ, о котором мы будем говорить в другом трактате.
Обещанная памп таблица степеней простых [чисел] из [разряда] единиц такова [см. вклейку]:
58
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
17
| Другой метод определения разности между двумя рациональными степенями. В ном мы нуждаемся при опро-долсппп чисел, называемых элементами этих показателей степени [2(’|. Вти цифры появляются в рядах при перенесении, если простое [число] над последним рациональным [разрядом] является единицей.
П р п м е р. Мы хотим узнать элементы показателя степени квадрато-куба. Начертим ряды так же, как раньше, запишем во внешней строке и в ряду основания единицу и поступим с пей так же, как было сказано при определении основания до начала перенесения:
Внешняя строка 1
Ряд квадрато-квадрата 5
4 j 1
Ряд куба 10
(5 4
3 1
Ряд квадрата 10
6 4
3 3
2 1
Ряд основания 5
4
3
2
1
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
59
17 об.
Мы получаем в ряду основания пять, в ряду квадрата десять, в ряду куба десять и в ряду квадрато-квадрата пять.
Эти четыре числа являются элементами показателя степени квадрато-куба, и каждое из этих чисел относится к тому ряду, в котором оно находится.
Числа, получающиеся у нас при определении основания квадрато-куба при перенесении, в точности являются соответственными произведениями этих элементов па то, что находится во внешне]’! строке и его степени.
В примере при перенесении в ряду основания помещено произведение того, что находится во внеш нем строке, на пять, в ряду квадрата—произведение его [квадрата] на десять, в ряду куба — произведение его [куба] на десять, в ряду квадрато-ква (рата произведение его [квадрато-квадрата] па пять, н пх сумма с единицей есть разность квадрато-куба того, что находится во внешней строке, и квадрато-куба того, что получено из пего прибавлением единицы.
Знай, что элемент показателя степени квадрата есть одно число--два, для куба—это два числа—три и три, для каждого следующего показателя степени число н.\ увеличивается на единицу в силу прибавления рядов и со ответственно увеличиваются числа па концах, Если мы сложим любые два соседних элемента показателя степени, мы получим среднее число следующего показателя степени [и].
II р и м е р. Элементы показателя стенени куба суть три и три.
Их сумма есть шесть, это -среднее [число] квадрато-квадрата и числа квадрато-квадрата суть четыре, шесть и четыре.
Четыре и шесть есть одно из средних [чисел] квадрато-куба, это десять, а шесть и четыре ость другое из средних. По этому правилу элементы порождаются до бесконечности, как в этой тао-лпце [-4;
60
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
2/Lpy)C^?<Jy u'
Лист 17 об. Таблица биномиальных коэффициентов. Вычисление (4 + I)5 — 45.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
61
Показатель степени кубо-ку-| бо-к у ба Показатель степени квадрато-кубо-куба Показатель степени нватрато-квадрато-нуба Показатель степени кубо-куба Показатель степени квадрато-к уба Показатель степени квадрато-квадрата Показатель степени куба Показатель степени квадрата
Ряд квадрато-кубо-куба 9
Ряд квадрато-квадрато-куба 36 8
Ряд кубо- куба 84 28 7 I
Ряд квадрато-куба 126 56 21 6
Ряд квадрато-квадрата 126 70 35 15 5
Ряд куба 84 56 35 20 10 4
Ряд квадрата 36 28 21 15 ю 6 3
Ряд основания 9 8 7 6 5 4 3 2
Если мы хотим [найти] разность между двумя последовательными рациональными степенями, мы умножим меньшее основание па элемент ряда основания этой стсиопп, се квадрат—на элемент ряда квадрата, со куб—на элемент ряда куба и будем поступать таким образом до тех пор,
62
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
пока пс умножим нее степени, находящиеся под данной степенью, на их элементы. Далее сложим все и прибавим к этом) единицу Года получится разность между степенями .
Приме р. Мы хотим [найти] разность между ква драто-кубом четырех и квадрато-кубом пяти.
Начертим ряды, находящиеся иод квадрато-кубом, п запишем в пик их элементы, а также запишем меньшее основание, т. о. четыре, в ряду основания, ого квадрат— в ряду квадрата, ого куб —в ряду куба.и его квадрато-квадрат — в следующем ряду и проведем между ними п элементами вертикальную линию.
Затем умножим элементы каждого ряда на стоящую в нем степень и запишем произведения в последнем столбце таким образом:
1 ‘яды Племен ты показателя степени квадрато-куба Ступени мен впито основания, умножаемые! на элемен гы Произведения
I ‘я д квадрате- к на д рата 1 5 256 1280
1 Ряд куба 10 64 640
। Ряд квадрата 10 16 160
1 ! Ряд основания j 5 4 20
18 | Затем сложим произведения, находящиеся в столб-
це, и прибавим к этому единицу. Получится 2101. Это
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
63
и есть разноси, между квадрато-квадратом четырех и ква-драто-квадратом пяти.
Если мы хотим [лапти] разность между рациональными степенями, не являющимися последовательными, например квадрато-кубом четырех и квадрато-кубом семи, присоединим к этому два других столбца, в которых запишем разность между степенями, т. о. три в ряду квадрате квадрата, ее квадрат [в ряду куба, ее куб в ряду квадрата и со квадрато-квадрат в ряду основания, а также произведения] этой разности па то, что находится в ряду квадра то-квадрата, се квадрата [и куба]—на то, что находится пыже ее, [т. е. в ряду куба и квадрата], а со квадрато-квадрат—на то. что находится в ряду основания, таким образом [23]:
Ряды Элементы показателя степени квадра-то-куба Стеноп и меньшего основания, умножаемые на элементы Произведения Стенейи разности, умножаемые па произведения Вторые произведения
Ряд квадрато-квадрата 5 256 1280 3 384о
Ряд куба to 64 640 9 5760
Ряд квадрата 10 16 160 27 4320
Ряд основания 5 4 20 81 '1620
Далее умножшм то, что находптся в каждом ряду столбца произведений, па то, что находится в столбце степеней разности, и запишем последние произведения в другом
64
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
i^ i_, .^jpc.XJbj mu*5j LjSj 1>Zj?
VL*X*i~Uy J I < ,2s J L» \A^* сЛ-4 1 _y~* J 41Jl t^CruL^) 1<Л. J-*LU1 -> Ld^M. ws
lA^U4!^y*№ клл^ 31l) J Ь д <Aia
I *\JA гД-*^Р Г/ьзУ<^1«-Х)Ь
6 j^AUJ^b J v> li*t> Lii<Zj J £0» >LJ S UI
j I «3) t>^>u 5 к«чА> лА
djk—«~®—’ *^мл3^1^йз112^?Ут* e l/Л a^j^b^cJ^uzkL'ul
uCA^-^ **®~J <^»'-’> i ^«' '-5 «л>\} VIJ
Lx-* 1 I ^e/^J^tALrks 5»J
zfU *ъг-*11Is?
<£^U L v-л-г b^k,xj>Jdj c^-1^ О' Ju 141^-^
Лист. 18. Вычисление (4 + 3)5—45.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
65
столбце. Затем сложим все, что находится в последнем столбце, и прибавим к этому квадрато-куб разности, т. е. 243. Получится 15 783. Это и есть разность между указанными степенями.
Шестая глава
О мериле
В арифметике есть проверка: узнают, правилен ли подсчет, с помощью мерила. Это мерило проверяет и отбрасывает неправильное. Этот способ таков: сложим все простые числа [данного числа], не обращая внимания па разряды, и отбросим от этого девять, девять, до тех пор, пока не останется девять пли меньше; то, что останется, и есть мерило этого числа.
П р и мер. Мы хотим определить мерило числа 64 578. Сложим восемь, семь, пять, четыре п шесть и отбросим девять, девять, останется три, это и есть мерило этого числа.
Способ действия морила при умножении таков, что мерило множимого умножается па мерило множителя я от этого отбрасывается девять, девять. Если то, что останется, нс совпадает с полученным мерилом, выявится ошибка в действии. Что касается мерила при делении, то мы умножаем морило частного на мерило делителя и прибавляем к этому мерило остатка, если что-нибудь остается, и отбрасываем от этого девять, девять. 1 огда то. что остается, должно быть равно мерилу делимого. Что касается мерила корня и [оснований] других показателей степени, то мы умножаем | мерило внешней строки на себя для корпя, затем на [получившееся! произведение для [основания] куба, затем на произведение для [основания] квадрато-квадрата и так далее по этому правилу, а если произведение превзойдет девять, отбрасываем это от него. Когда получил! мерило данной степени, прибавляем к нему мерило остатка числа, если остается что-нибудь, и отбрасываем от этого девять, если опо больше девяти. Если то, что останется, не совпадает с мерилом данного числа, выявится ошибка в действии [2Ч-
Па этом кончается первая книга.
5 Историко-матем. исследования
U6
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
ВТОРАЯ К1ШГЛ
ОБ АРИФМЕТИКЕ ДРОБЕЙ, СОСТОЯЩАЯ ИЗ ДВЕНАДЦАТИ ГЛАВ
Нерв а я глава
Об определении дробей п пх впдов
Это количество, отнесенное к целому, принятому за единицу. То, к чему относят, называется знаменателем. Дробь бывает простой и сложной. Простая дробь—такая, в которой целое число относится к целому числу, большему единицы, предполагаемой целой единицей. Она бывает чистой и кратной. Чистая—такая, числитель которой есть единица, как, например, единица из двух, называемая половиной, единица из трех, т. е. треть, единица из четырех, т. е. четверть; если же знаменатель больше десяти, как у одной одиннадцатой или одной двадцатой, для этого пет собственного названия, и мы но можем найти простое название этого [25]. Кратная—такая, числитель которой больше единицы, как два из трех, т. е. две трети, или как пять одиннадцатых.
Знай, что каждое отношение числителя дроби и ее знаменателя в числах выражается бесконечно, но наилуч-iiiiic из них для применения—это наименьшее из двух целых чисел и с тем же отношением, все остальные выражения хуже. Наименьшие из двух чисел, находящихся в каком-то отношении, называются противоположными [26].
Мы рассматриваем противоположность, соизмеримость, кратность, а также сложные сочетания, как соединение, выделение, составление и разделение или то, что состоит из этих четырех пли из нескольких из них. Соединение— [такое сочетание], когда дробь соединяется с другой дробью; это может быть с двумя пли более [дробями], как, например, половина и треть, пли три пятых и четверть и одна седьмая [27]. Выделение дроби—[такое сочетание], когда дробь выделяется из другой дроби; это также может быть с двумя пли более [дробями], как, например, две трети без одной пятой или половина без одной пятой, одной одиннадцатой и одной двадцатой [28]. Составляемая дробь— это такая дробь, знаменатель которой, сначала предполагавшийся, безразлично, единицей или больше, составляет-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
67
19
ся с другим знаменателем, как, например, половина одной шестой пли четверть трех пятых. 13 большинстве случаев составление повторяется два раза, | как, например, половила трех пятых четырех девятых одной десятой, т. о. одна из двух долой, являющихся тремя из пяти долей, являющихся четырьмя из девяти долой, являющихся одной из десяти долей, т. е. мы делим целую единицу на десять долой и берем из них одну долю, делим ее па другие девять и берем из них четыре доли, делим их на пять частей и берем из них [три доли, делим их пополам и берем! из пих одну долю; это и есть составленная дробь [29]. В случае составления и соединения лучше поставить большее перед другими. Разделенная дробь—это такая дробь, в которой одно из двух находящихся в отношении или оба они не являются целыми, как, например, половина единицы от трех или девять от четырех с половиной единиц пли полторы единицы от пяти единиц или четверть от трех пятых [30]. Сложные из этих четырех таковы, как, например, треть единицы от двух с половиной и половина одной шестой без одной десятой [31]- В большинстве случаев и дробь, и знаменатель состоят из этих четырех [сочетаний] или из нескольких из них и содержат и соединяемое, и то, с чем соединяется, и выделяемое и то, из чего выделяется. Есть составление и другого рода, как, па-пример, дробь умноженного на что-то, дробь деленного на что-то, это то же, что разделенная [дробь], дробь корня из чего-то. Знай, что даже то вычислители, которые при своих вычислениях избегают дробей, всюду, где только это можно, применяют простые дроби. Тот, кто хочет пользоваться ими, нуждается в таких сложных сочетаниях, как соединение, составление, выделение [разделение]. Астрономы применяют соединение дробей, последовательными знаменателями которых являются шестьдесят п их последовательные степени до той степени, которая им требуется, и отбрасывают тс степени, которые следуют после этой. Опп называют эти степени минутами, секундами, терциями, квартами и т. д. [32]. Мы ввели, по аналогии с правилом астрономов, дроби, г> которых последовательными знаменателями являются десять и их последовательные степени до той степени, которая нам нужна. Мы называем
5*
68
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Ub jX\ L ja
61 с/-? ®^-аАЬ!^1л*^ (/^Дг-^Ид^-И *-/ LI I
AJ 2«Д1
>5 Ь(_у I»jjl 3 '*-</ ^гг’А-Слэ^ Ь»)U1-* •—1
^лт^ 1/3' й^-з >J-^ ‘->1
(^ь 'J Ь ^jlhsyfJ-5 b>j P л Vj j
bed I '^‘2-71 w>Cd 1 j^y 2 jl/Ldj —j tj ij ^3 1
*'^>‘‘^1*3^ <_2i—I о I <J£‘—'3*-"‘^
Лист 19. Введение десятичных дробей.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
69
эти степени десятыми, десятичными секундами, десятичными терциями, десятичными квартами и т. д. [33]. Продавцы и покупатели и большинство народа применяю г данги, тасуджии шайры, причем целая единица есть шесть и дангов, каждый данг есть четыре тасуджа, | каждый та-судж есть четыре шайра, затем каждый шайр снова делят на данги, тасуджи и шайры и т. д. [34]. Эти дроби соединяются друг с другом, а в большинстве случаев они являются простыми [35].
Вторая глава
О способе расположения цифр дробей
Числитель простой дроби записывается иод целым, а знаменатель—нод ним, если же нет целого, на его месте О помещается нуль, а числитель—нод ним. Это таково: Р Это половина. Соединяемая дробь записывается рядом с тем, с чем соединяется, и между ними проводится линия.
О О
о о
во: 1 | 1. Это треть без четверти. Числитель составляс-
3 4
мой дроби помещается под целым, нод ним—се знаменатель, нод знаменателем—то, с чем составляется, и числитель топ дроби, с которой составляется, а под ним—знаменатель того, с чем составляется; между составляемой п тем, с чем составляется, проводится линия и так же повторяется далее. Это таково:
О
1
4
3
5
Это четверть одной шестой трех пятых. Разделенная дробь помещается целиком, числитель дроби—нод целым, знаменатель разделенной дроби—под пси, а между ними про-
70
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
водится линия. Это таково:
2
1
4 2 5
Это два с половиной от четырех и двух пятых. Лучше вместо линии ставить точку, так как это в некоторых случаях похоже па составление. Между присоединяемым и тем, к чему присоединяют, ставят также букву «вав» [«ва»— союз «и»], а между составляемым и тем, с чем составляют, ставят букву «лам» [«ли»—предлог «к»] [;;6]. Для полноты этой главы приведем сложное сочетание, состоящее пз этих четырех сочетаний, причем отделим каждые два пз них двойной линией, так что эти четыре сочетания вместе
таковы:
0
1
3
от
2
1
2
0
1
2
к 1
6
без
1 to
В >Toii дроби есть выделенное п то, из чего выделяется, соединяемое и то, с чем соединяется, разделенное и соединяемое, составленное. Пример соединения, одна часть которого является сложной, таков:
Соединяемая дробь, одна часть которой является сложной
То сложное, с чем соединяется I Сложное соединяемое
С соста- Половина од- 0 н Четверть и по- и 1
в.че- ПОЙ IIICCTO1I 1 Левина од- 0 2
пнем и одна пят- 2 пой шестой 1 к
надцатая к 1 4 1
1 6 15 6
С раз- Два с чет- 2 и Четыре девя- и 2
деле- вертыо от 1 тых и два с 0 1
пнем восьми в од- 4 1 четвертью от 4 4
hi четырна- ОТ 14 шести 9 от
дцатая о 6
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
71
Если в этих примерах заменить знак соединения «и» 20 знаком выделения «без», эти примеры станут выделенными | дробями, поэтому мы по приводим пх.
Составленная дробь, одна часть которой является сложной
То сложное, с чем состав ляется ('..а ож । юе с оста вляемое
С со-еди-ПСШ1-см Половина н треть [вместе] к четверти, т. е. пять шестых к четверти 0 1 и 1 3 2 к 1 4 Четверть к половине п трети 0 J 4 к 1 1 2 “ 3
С выделением Четыре пятых без одной седьмой [ вместо] к одной пятой 0 4 без 1 5 7 к I 5 Две седьмых к четырем пятым без одной девятой, выделенной из четырех пятых 0 2 7 к 4 , 1 5 003 9
С разделением Два с половиной от пяти с третью [вместе] к четверти га 2 от 5 1 3 1 4 Одна пятая двух и трех четвер-гей от четырех 0 5 ч 3 4 от 4
72
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Разделит я дробь, одна часть которой является сложной
Сложный числитель
Сложный знаменатель
С соединением
Два с половиной и треть вместе от пяти с половиной
2
1 и 1
2 3
от
1
9
Пять с половиной от восьми и двух одиннадцатых и четырех девятых
1
2 от
8
2 11 4
11 9
С выделением
Дна н три четверти без пяти шестых от пяти
2
3 без 5
4 6
от
5
Четверть от двух с половиной без двух пятых, выделенных из двух с половиной
О
1
4
от
2
1 без 2
2 5
С составит е-ппем
Треть одной пятой от полутора
1
от
1
1
2
Одна девятая от четырех пятых к четырем пятым
О
1
9
от
4
5
4
О
1
Сложные долл [также] ле скрыты для проницательного. Что же касается до еще более сложного, то это бесконечно. Так, например, мы можем сделать одно из указанных сложных числителем дроби, а другое, большое ого,—знаменателем этой дроби, затем можем сделать и это числителем и знаменатель тоже числителем, найдя для них какие-нибудь знаменатели, затем можем сделать и их числителями и так далее до бесконечности.
I П р и м с ч а и и с. В дробях со сложными долями следует определить, что соединяется и выделяется из чего-нибудь. Тогда,
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
73
20 об.
если это сумма, проведем линию против суммы слева от разделительной линии и напишем знак соединения пли выд.'лення над этой линией; если же это доля, то знак присоединения пли выделения пишется против [соединяемого или] выделяемого и разделительной линии.
Свойства записи цифр астрономов мы вводом в третьей | книге, [там же мы изложимj и [свойства записи] цифр десятичных дробей.
Третья глава
Об определении кратности, соизмеримости, противоположности и совпадения
Каждые два числа, отличные от единицы, либо равны, либо пет. В нервом случае они называются совпадающими, во втором случае либо меньшее из них измеряет большое, либо пет. В первом случае они называются кратными, как, например, три и девять, во втором случае либо находится такое третье число, отличное от единицы, измеряющее их, либо нет. В нервом случае они называются соизмеримыми, как, например, четыре и десять, так как и четыре, и десять измеряются двумя. Ото измеряющее число называется общим между ними, а для дроби с названными числами это число называется общей мерой; такое число необходимо имеется для каждых двух соизмеримых чисел, каждое из которых является кратным общей меры или общего между этими числами. Во втором случае числа называются противоположными и по измеряются ничем, кроме единицы.
Если мы хотим определить кратность, соизмеримость и противоположность двух чисел, мы делим большее па меньшее и, если ничего но остается, они кратные. Если остается что-нибудь, делим делитель па остаток и так далее до тех нор, пока не останется ничего или единица. Если ничего по остается, эти два числа соизмеримы, а последний делитель есть общее между ними, измеряющее их, если же остается единица, они противоположны [37].
В том случао, когда много чисел, поступают по этому правилу с двумя; если мы пайдем, что это кратпые или соизмеримые числа, применим то же [правило] к измеряющему числу и третьему числу; если мы найдем, что это кратпые или соизмеримые числа, применим то же [правн-
74
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
ло] к этому [измеряющему] числу и четвертому числу п так далее до конца. Если все числа являются соизмеримыми, то последнее общее между ними является измеряющим для всех чисел, а если два из них противоположны, то и все [в совокупности] противоположны.
Если [числитель] дроби противоположен се знаменателю, мы знаем, что в поп—наименьшие из двух чисел с тем же отношением. Если числитель дроби соизмерим с ее знаменателем или кратен ему, мы возьмем их измеряющее число и разделим каждое из этих двух [чисел] на пх измеряющее число; тогда это будут два наименьшие числа с тем же отношением.
Четвертая глава
О раздроблении и выделении целого
Раздробление целого называется также распространением. Это ость превращение целого в определенную дробь. Для этого умножаем целое па знаменатель дроби и прибавляем к этому числитель этой дроби, если он п моете я.
21 П р и мер. Мы хотим перевести четыре и три пятых | в пятые. Умножим четыре на пять, получится двадцать, прибавим это к числителю, т. с. к трем, получится двадцать три [пятых]. Это и есть искомое.
Выделение целого из дроби применяется для такой дроби, число числителя которой больше числа ее знаменателя. Разделим ее числитель на знаменатель, частное отделения будет целым, а остаток числителем дроби.
П р и м е р. Мы хотим выделить целое из семнадцати третей. Делим это на три, являющееся знаменателем трети. Частное есть пять, остается два, т. е. две трети.
Пятая глава
Об объединении знаменателей
Этим действием называют умножение па пометки. Для него требуется наименьшее число, превращающее данные дроби в целые и измеряющееся каждым из данных зпаме-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
75
21 об.
нателей. Это действие таково: мы чертим вертикальные столбцы и записываем все числители дробей, знаменатели которых мы хотим объединить, вверху каждого столбца, а знаменатели—подними, на таком расстоянии, что последовательные знаменатели находятся па линии восхождения пли нисхождения. Затем ищем, какой знаменатель является долой, т. с. измеряющим [другой] 1. Тогда проводим горизонтальную линию над ним и записываем над этой линией пуль. Затем рассматриваем наибольший знаменатель и находим ого отношения с каждым из остальных знаменателей. Те знаменатели, которые противоположны ему, мы оставим, а для каждого знаменателя, соизмеримого с пим, возьмем долю измеряющего их, т. о. разделим на измеряющее их число, и запишем это число над знаменателем, проведя между ними линию, и поступаем таким образом до последнего знаменателя. Затем найдем отношения другого знаменателя с остальными знаменателями, как это уже объяснено, п проделаем то же, что мы указали, и, таким образом, мы найдем отношения всех знаменателей с остальными. Затем умножим друг па друга все то, что осталось над разделительными линиями, последнее произведение и есть общий знаменатель, одни и тот же для всех дробей. Запишем его в каждом столбце, проводя между ним и исходными знаменателями горизонтальную линию, пересекающую все вертикальные. Затем разделим это число па каждый из исходных знаменателей, записанных внизу таблицы, запишем частное от деления в том же столбце иод числителем, умножим частное па числитель дроби и запишем произведение над общим знаменателем.
Это и будет числителем дроби. Запишем над ним нуль вместо целых и, чтобы отделить это, проведем над нулями горизонтальную линию, пересекающую все вертикальные.
При м с р. Мы хотим привести половину, треть, четверть, две пятых, пять шестых, три седьмых, семь восьмых, | две девятых и три десятых к одному знаменателю.
Начертим вертикальные столбцы и запишем в них дроби, как сказано, вот так:
76
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
1260 840 1 620 2 504 420 3 360 7 315 2 280 252 |
0 0 0 0 0 0 о 0 0
1260 840 (530 1008 2100 1080 2205 560 756
2320 2520 2520 2520 2520 2520 2520 2520 2520
0 2 0 3 0 4 0 5 0 т 6 7 4 8 9 10
Рассмотрим знаменатели и найдем, и го два, три, четыре и пять входят в остальные знаменатели друг с другом. Поэтому поставим над каждым пз них пуль, отделив [горизонтальной] линией. Остаются шесть, семь, восемь, девять и десять. Затем находим отношение наибольшего пз знаменателен, т. е. десяти, и девяти; так как они противоположны, оставим их. Произведем то же действие с восемью [и найдем, что] они соизмеримы по половине. Запишем половину их [восьми], т. о. четыре, над ними, отделив пх [горизонтальной] линией. Затем проделаем то же с семью; так как они [десять и семь] противоположны, оставим их. Затем [проделаем то же] с шестью. Опп соизмеримы но половине. Запишем половину их [шести], т. е. три, над ними, отделив их [горизонтальной] линией. Тем самым действие с десятью окончено. Затем находим отношение девяти с четырьмя, стоящими перед ними; так как они противоположны, оставим пх. Затем [проделаем то же] с семью, получим то же самое. Затем [проделаем то же] с тремя, найдем, что они кратные. Запишем над ними нуль, отделив ого [горизонтальной] линией. Тем самым действие с девятью окончено. Затем узнаем отношение четырех к семи, найдем, что они противоположны, и оставим их. Тем самым действие окончено, так как мы нашли отношение каждого знаменателя с другими. Из знаменателей остается семь, четыре, девять и десять. Умножим семь на четыре, будет 28, умножим это на девять, будет 252, умножим это па десять, будет 2520. Это и ость общий знаменатель этих дробей. Проведем над отделительными линиями горизонтальную линию, пересекающую все вертикальные,
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
77
22
и запишем общий знаменатель над ней в каждом столбце. Разделим | его на каждый из исходных знаменателей и поместим частное от деления под дробью. Далее умножим это частное на числитель дроби и запишем произведение над общим знаменателем в том же столбце. Таким образом, мы получим указанные дроби с общим знаменателем [38].
Если мы умножим все остальные знаменатели дробей друг па друга, запишем последнее произведение под числителем этой дроби и перемножим их, мы также полущим данные дроби с общим знаменателем. По мы говорим, что мы по желаем получить ничего, кроме знаменателя, поэтому, если знаменатель искомой дроби целиком содержит-ея в остальных знаменателях, мы во должны умножать па это, а если но находится, то делим па него остальные знаменатели, являющиеся соизмеримыми пли кратными знаменателю искомой дроби, а частное умножим на остальные знаменателп. Так, например, если мы хотим получить пятую дробь с общим знаменателем в данном примере, т. е. пять шестых, заметим, что ее знаменатель, т.е. шесть, не содержится целиком в остальных знаменателях. Поэтому делим на шесть девять, соизмеримые с ними, получается полтора, умножаем это на десять, получается пятнадцать, умножаем это на четыре, получаем 60, умножаем это па семь, получаем 420, помещаем это [420] под числителем данной дроби и умножаем па него, получается 2100. Запишем это над общим знаменателем.
Другой вид. Умножим один из знаменателен на другой, если они противоположны, отбросим те знаменатели, которым кратны другие; если же не так, то умножим один из знаменателе!! па долю числа, измеряющего другой знаменатель, а затем умножим произведение па другой знаменатель, если произведение противоположно ему: если же но так, то [умножим это произведение] на долю числа, измеряющего этот знаменатель, и так же будем поступать с произведениями других знаменателей до тех пор, пока ио дойдем до конца действия.
Пример указанного действия. Умножим шесть па семь, получится 42, умножим это [42] на половину boci.mii, т.е. четыре, получится 168, умножим это [168] на треть девяти,
78
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
т. о. три, получится 504, умножим это [504] на половину десяти, т. о. пять, получится 2520. Это и есть искомое. Остальное—так же, как выше.
Шестая глава
Об упрощении сложной дроби
Упрощение соединенной и выделенной дроби происходит при сложении и вычитании, и мы упомянем об этом [ниже]. Если выделение имеет место больше одного раза, то мы вычтем сумму четных из суммы нечетных.
Упрощен но составленной дроби состоит в том, что числитель умножается на числитель п произведение помещается на место [числителя, а знаменатель умножается на знаменатель и произведение помещается па место] знаменателя, а затем приводим их к наименьшим дв^м числам с тем же отношенном, если они | не таковы.
П р и м е р. Мы хотим упростить три четверти пяти шестых. Запишем их так:
0
3
4
Умножим три на пять,получим пятнадцать, запишем это на мосте дроби, затем умножим четыре на шесть, по-
лучится двадцать четыре, запишем это па месте зпамоиа-0
15. Так как оба эти числа [15 и 24] 24
теля таким образом:
0
соизмеримы по трети, приведем их к пой, получится 5,
т. о. пять восьмых.
Если составляется больше двух, мы умножим числители друг па друга и запишем последнее произведение па место числителя, далее умножим знаменатели друг па друга и запишем производен ю па место знаменателя.
Что касается упрощения разделенной дроби, то прежде всего разделение может быть в одном числителе. Поступим так: произведем раздробление дробей, нуждающихся в пом,
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
79
запишем полученный после раздробления числитель па место числителя дроби, умножим знаменатель на знаменатель и запишем произведение па мосте знаменателя, а затем приводом их к наименьшим двум числам с том же отношенном, если они по таковы.
П р и м о р. Три и одна пятая от шести. Здесь [шесть]— единицы. Запишем это таким образом:
О
3
1
5
6
Произведем раздробление трех и одной пятой, получим шестнадцать. Запишем это на месте числителя дроби, а исходный знаменатель, т. о. шесть, умножим на знаменатель дроби, т. с. пять. Получши тридцать. Запишем это О
на место знаменателя. Получится 16. После приведения
О
к наименьшим двум
числам будет
8. Это и есть искомое.
15
[Может быть разделение] в одном знаменателе. Пост) пнм так: произведем раздробление и запишем [полученный после раздробления] числитель на мосте знаменателя, за
тем умножим числитель числителя па знаменатель знаменателя и запишем произведение на месте числителя, затем приведем их к наименьшим двум числам с том же отношением, если они не таковы.
П р и м е р. Четыре от семи и одной четверги. Здесь [четыре]—единицы. Запишем это таким образом:
О
4
7
1
4
Произведем раздробление семи и четверти, получим двадцать девять. Запишем это на месте знаменателя и умножим четыре, т. е. числитель дроби, на четыре, т. е. знаменатель знаменателя, получим шестнадцать, запишем
80
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДД1Ш КАШИ
0
это на месте дроби таким образом: 16. Это и есть искомое. В этом виде нельзя обойтись без раздробления.
[Может быть разделение] и в числителе и в знаменателе. Произведем раздробление там, где это нужно, умпожпм числитель числителя на знаменатель знаменателя и запишем это на месте числителя, умножим знаменатель числителя на числитель знаменателя и запишем это на место знаменателя.
П р и мер. Три с половиной от четырех и двух третей. Запись этого такова: о
3
1
2
2
3
После раздробления получится:
0
2
14
Умножим числитель числителя, т. о. семь, на знаменатель знаменателя, т. е. три, и запишем прпзведенпе па месте числителя дроби. Умножим знаменатель числителя 2з дроби, т. о. два, на числитель дроби знаменателя, т. о. | четырнадцать, и запишем произведение па место знамспа-0
Получится: 21. Эти числа [2'1 и 28] соизмеримы 28
о
по одной седьмой. Приведем их клей. Получится 3. Это и есть искомое [3!)J.
Д р у г о й и р и м е р. Одна половина от двух с третью. Запишем это так: 0
1
теля.
1
КЛЮЧ К КРИФМЕТИКЕ
81
Произведем раздробление знаменателя. Получится:
О
1
2
7
Затем умножим числитель числителя на знаменатель знаменателя и запишем произведение на месте числителя, умножим знаменатель числителя на числитель знаменателя и запишем произведение на мс-0
сте знаменателя. Получится так: Это и есть ис-
14
к о мое.
Если мы хотим упростить то, что состоит из сложных частей, прежде всего упростим каждую из частей, а затем упростим полученное.
П р и м е р. Мы хотим упростить два с четвертью от пяти и четырех пятых па два с половиной от четырех, при-
чем из всего этого выделены Запись этого такова:
О
2
1
4 от
5
4
единица и две трети от восьми.
без
о
1
2
3
от
8
2
1
2 от
4
Начнем с упрощения того, из чего выделяется. Это составленное, в котором разделены обе части, и то, что составляется, и то, с чем составляется. В первой части разделяем и числитель и знаменатель, во второй части только числитель. Упростим первую часть и запишем составляемое, затем упростим вторую часть и запишем то,
Историко-матем. исследования
82 ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
с чем составляется; Получится:
О
45
11G
к
5
8
О
Затем упростим выделяемое, будет Вычтем это из того, из чего выделяется, произведя объединение знаменателей. После вычитания приведем и числитель, и знаменатель к наименьшим двум числам с тем же отношением.
О
Получится так: 95. Это и есть искомое [40].
2784
С с д ьма я глав а
Об удвоении, раздвоении, сложении и вычитании
При удвоении рассматриваем знаменатель и, если он нечетный, удвоим числитель, и, если результат удвоения будет больше знаменателя, разделим его па знаменатель, затем произведем выделение целого и запишем единицу па месте целых, если их по было, а если они были, удвоим их и прибавим к ним единицу; то, что останется, запишем на месте числителя и отнесем к знаменателю. Если знаменатель четный, разделим его пополам и разделил! числитель на это, как требует арифметика.
11 р и м е р. Мы хотим удвоить пять шестых. Запись О
этого такова: э. Разделил! пополам знаменатель, полу-G
чптся трп. Разделим числитель на это. После выделения 1
целого получится так: 2. Это и есть искомое.
Другой пр и мер. Удвоение восьми и четырех
8
седьмых. Запись этого такова: 4. Удвоим это, полу-7
17 чится так: 1.
7
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
83
При раздвоении рассматриваем числитель и, если он четный, раздваиваем его и записываем над знаменателем. Если [в число] имеется дробь и целое, являющееся четным, делим его пополам и записываем дробь так, как было сказало. Если же | целое нечетно, делим его нинолам и записываем целое на своем месте, а единицу, оставшуюся от целых, прибавляем к дроби и делим пополам сумм\ или удваиваем знаменатель так, как было сказано.
П р и м о р. Мы хотим раздвоить три четверти. Запись о о
этого такова: 3. Удвоим знаменатель, получится: 3.
4 •' 8
9
Другой пр и и с р. Девять и три пятых, т. е. 3.
5 Раздвоим девять, получится из целых четыре, запишем их па место целых и прибавим единицу, оставшуюся от целых в виде величины знаменателя к числителю, получи гея восемь. Разделим это пополам, получится четыре, запишем это на место дроби, а знаменатель [останется] какой был.
4
Получится: 4. Это и ость искомое.
5
Сложение бывает с двумя и более слагаемыми. Объединим знаменатели с помощью умножения па пометки, если они различны, сложим числители дробей с общими знаменателями, разделим сумму на общий знаменатель, запишем частное па месте целых, и, если что-нибудь останется, это будет дробь с общим знаменателем; если числитель и знаменатель не противоположны, приведем их к противоположным с том же отношением.
П р и м е р. Мы хотим сложить три четверти и шесть О О
седьмых. Запись их такова: 3, G. После объединения 4 7
О °
знаменателей получится так: 21 24. Затем сложим
28 28
числители и разделим сумму па общий знаменатель. Нолу-1
чится И. Это и есть искомое.
28
6 *
«4
ДЖЕМШИД ГНЯСЭДДИН КАШИ
Другой и р и м е р. Мы хотим сложить четыре 2 0 3 5
числа: 1, 3 5 0. После умножения па пометки
2 4 6 0
2 0 3 5
для объединения знаменателей получится: Ю ().
12 12 12 о
Затем сложим полые, получится десять, сложим три числителя, получится двадцать пять, Разделим это па общий знаменатель, частное будет два, прибавим это к десяти, получится двенадцать целых. Оставшуюся единицу отпс-12
сем к общему знаменателю. Ьудет 1. v " 12
При вычитании мы объединяем два знаменателя, если они различны, и затем вычитаем числитель из числителя, которые взяты с общим знаменателем. Если что-нибудь останется, это есть дробь с общим знаменателем.
П р и м с р. Мы хотим вычесть три четверти из пяти
О 0
шестых. Запишем их так: 3, 5. Объединим их, умно-\ 6
0 0
жая па пометки, это будет: •*, Й). Затем вычтем девять 12 12
0 из десяти. Останется: '. Это и ость искомое.
12
Если в уменьшаемом имеется целое и [дробь] пли и в вычитаемом, ив уменьшаемом имеются целые и [дроби], и после объединения знаменателей числитель вычитаемого оказывается больше числителя уменьшаемого, мы отнимем у целого умепыпаемого единицу, превратим ее в дробь и поместим се вместе с дробью, т. с. прибавим знаменатель к числителю. Затем вычтем числитель из этого числителя.
Пример. Мы хотим вычесть шести и трех восьмых. Запись
После объединения знаменателен
I три с половиной из
3 6
их такова: 1, 3.
2 8
3 6
будет: 4, 3. Ока-
8 .8
зывается, что числитель вычитаемого больше числителя
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
85
уменьшаемого. Вычтем из целого уменьшаемого единицу, там останется пять. Сделаем ее дробью, получится [дробь с числителем] восемь. Прибавим восемь к трем, будет одиннадцать. Вычтем пз этого числитель вычитаемого, т. е. четыре. Останется семь. Запишем это на месте числителя, 2
вот так: 7. Это и есть искомое [4JJ.
8
В о с ь м а я г .1 а в а
Об умножении
[При умножении] дроби на дробь умножаем числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и приведем произведения к наименьшим двум числам, если они не таковы.
П р и м с р. Мы котим умножить две трети на три ()“ о
пятых. Запишем их так: -> У Умножим числитель па 3 5
числитель и знаменатель па знаменатель, получится О
так- Приведем это к наименьшим двум числам с пх 15
о отношением, получится: Это и есть искомое.
.)
[При умножении] целого на дробь умножим целое на числитель и разделим произведение па знаменатель.
11 р и м о р. Мы хотим умножить десять на три седь-
10 * и
мых. Запишем это так: 0, 3. Умножим десять на три.
0 7
получится тридцать. Разделим это на семь, получается 4
так: Это и есть искомое.
7
Теперь, когда мы знаем эти два рода, если мы хотим умножить целое с дробью на дробь, умножим сначала целое на дробь, а затем дробь на дробь, сложим это и получится искомое. Если мы хотим умножить целое на целое с дробью, умножим сначала целое па целое, а затем целое на дробь, сложим это и получится искомое. Если мы хотим умножить целое с дробью на целое с дробью, умножим
86
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
целое па целое, затем дробь на дробь, затем целое множимого па дробь множителя, затем целое множителя на дробь множимого, сложим все четыре произведения и получится искомое.
11 р и мер. Мы хотим умножить три и две трети на
3 10
десять и четыре пятых. Запишем это так: 2, 4. Произ-
3 5
ведем четыре умножения и запишем произведения в ряд таким образом:
30 0 2 6
0 8 2 2
0 15 5 3
Затем перейдем к дробям с общим знаменателем. Получится так:
। ; 20 0 2 6
1 0 8 6 10
0 15 15 15
Сложим целые, получится 38, затем сложим числители, получится 24. Разделим это на общин знаменатель, в частном будет единица и останется девять. Прибавим частное от деления к целым, чтобы выделить целое, а остаток отнесем к общему знаменателю. Затем приведем | числитель и знаменатель к наименьшим двум числам с тем же отноше-39
ином. Получится так: 3, т. е. тридцать девять и три пятых. Это и есть искомое.
Если мы произведем раздробление целых, [находящихся] с дробями, как при сложении дробей, а затем умножим числитель па числитель и знаменатель на знаменатель н разделим произведение числителей па произведение знаменателей так, как было сказано, мы также получим искомое.
Если каждый из знаменателей сомножителей является круглым числом, как, например, десять, сто и тысяча, будет проще, если мы поместим оба целых слова от дробей в одной стороне, чтобы дроби стали десятичными дробями
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
87
и суммы их [целых и дробей] были бы как целые числа. Тогда умножим одно из них на другое по способу умножения целых. В том, что получится, мы отмстим, если хотим, цифры справа в числе суммы [чисел] нулей, находящихся со знаменателями. Это будет дробь, являющаяся произведением знаменателей, она является круглым числом, пули которого в числе суммы [чисел] указанных нулей. Остальные цифры произведения являются полученными целыми. Если мы хотим, мы можем считать эту дробь десятыми, десятичными секундами, десятичными терциями и так далее аналогично правилу исчисления астрономов.
П р и м о р. Мы хотим умножить четырнадцать и три десятых на двадцать пять п семь сотых. Запишем это в сетке и отделим целые от дроби цветом г). Таким образом:
Так как пулен в знаменателях три. возьмем справа у произведения три цифры, а остальные цифры составляют целое. Запишем это с круглым знаменателем с тремя нулями таким образом:
| 358
531
। io:n
Если мы хотим, мы можем записать это и так, как это записано под сеткой,т. е. в одной строке. Это есть 358 целых и 501 десятичная терция [42].
х) В рукописи цифры, показанные здесь жирным шрифтом, написаны красными чернилами.
88
ДЖЕМШИ I ГИЯСЭДДИН КАШИ
) Г J J: _>ij *
Lr^J J .j' Lpl J >
j^o )j
i^ji Je-кь^ ь i~ bji
3^luL j-<»^lz^^r,,Jl/»cyJkj
У^*3 >*ЬЛ ) (у/л jL-^'4^: &l»j о La-^I
J c^j I.. ..=^ c 11 ъ | J L^SL^S ck <31J j Ux /
- гс //^7
kb'l/opi’-AJJg^tr^J ^lo
Лист 24 об. Умножение десятичных дробей 25,07x14,3 = 358,501.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
89
Девятая глава
О делении
Объединим знаменатели, если они различны, и произведем раздробление целых, [находящихся] с дробями, если они имеются. Действие будет производиться также, если делимое или делитель будет целым. Затем разделим числитель делимого на числитель делителя п отбросим знаменатели.
II рн м е р. Мы хотим разделить два и нить шестых 2 °
на три четверти Завись этого такова: 5, 3. После 6 4
раздробления и объединения знаменателен получится:
о 34 12
О
9. Затем разделим числитель делимого, т. е. три
дцать четыре, на числитель делителя, т. е. девять, и
3
отбросим знаменатели. Получится: 7. ;)Т() н есть пс
комое.
Д р \ г о й н р п м е р. Мы хотим разделить восемнадцать целых на три и три четверти. Запись этого такова:
18 3
О 3
О 4
Раздробим делитель п приведем делимое к роду делителя, т. о. умножим восемнадцать на четыре. Получится:
I О О
1 72 15 ; 4 4
Затем разделим числитель числителя, т. е. семьдесят два, па числитель знаменателя, т. с. пятнадцать, и отбросим 4
знаменатели. Получится: 12.
15
90
ДЖЕМПП1Д ГИЯСЭДДИН КАШИ
Дробь и знаменатель соизмеримы по трети. Приведем их 4
к ней. Получится: 4. Это и есть искомое [43].
Десятая глава
Об определении основания степени
Если и числитель и знаменатель рациональны, то относят основание числителя к основанию знаменателя.
0 0 о
Пример. Корень 4 есть 2. Основание 16, явля-
г 9 3 81
0 ющихся квадрато-квадратом, есть 2 [*4].
Если же не каждый из них является рациональным, то умножим числитель на знаменатель один раз для корня, два раза для [основания] куба, три раза для [основания] квадрато-квадрата, четыре раза для [основания] квадрато-куба и так далее, поднимаясь к другим степеням по единице па единицу; возьмем основание последнего произведения приближенно, как это было показано выше, и разделим это основание па знаменатель дроби, основание которой ищется. Частное и есть искомое [4Ч.
П р и м е р. Мы хотим [найти] корень из пяти шестых, 0
т. е. 5. Умножим числитель па знаменатель, получится
тридцать. Возьмем корень из этого, это ^5. Разделим это 0
на знаменатель, т. е. шесть. Частное ость 60. Приведем
66
это к двум наименьшим числам с тем же отношением, по-0
лучится: 10. Это и ость искомое.
И
Другой при м о р. Мы хотим [найти] основание четверти, являющейся квадрато-квадратом. Запись этого
такова: 1- Умножим числитель на знаменатель, получится
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
91
четыре. Затем умножим произведение па знаменатель, получится шестнадцать. Умножим дробь на знаменатель в третий раз, получится шестьдесят четыре. Найдем оспо-2 ванне этого квадрато-квадрата приближенно. Это будет 48.
65
О Разделим это на знаменатель, т. о. четыре. Частное есть 89-130 Это и есть искомое [4С>].
Если [в числе] имеется дробь и целое, то определим основание целого так, как сказано в предыдущей книге. То, что останется из целого, и дробь —это числитель, который следует разделить на знаменатель выражс-25 ния. | Приведем это так, как было сказано I47].
Пример. Мы хотим [найти] корень семи и одной шестой. Получится два целых и останется три и одна шестая. Это—числитель, который следует разделить. Если отнести ого к знаменателю выражения, т. е. к пяти, то это запишется так’
2
3
1 6 от
2
Упростим дробь. Получится: 19. Это и есть искомое I48].
Д р у г о й пример. Мы хотим [найти] то, куб чего есть тридцать с половиной. Найдем это из целого. Будет три. Останется три с половиной. Это—числитель, который следует разделить, отнесенный к знаменателю выражения, т. с. тридцати семи. Это есть
3
1
2
ОТ
37
92
джиышид гиясэддин клпги
После упрощения числителя, который следует разделить, будет так: 7. Это и есть искомое.
Если произвести раздробление целых и дробей, а за тем найти основание так, как было сказано о нахождении основания дроби, то будет точнее.
При м е р. Король из указанных семи и одной шестой 2
есть 67 [49J. а основание куба из указанных тридцати 99 ... 1
с половиной есть Ет [5и].
•127
Знай, ч го если мы умножим каждое число на рациональ ную степень, найдем основание степени произведения и разделим па основание этой степени, частное будет основанием этого числа более точно, чем тогда, когда мы находили основание, как раньше. Чем больше степень с омножителя, тем основание получится более точно. Если степень сомножителя является одним выражением, а именно круглым числом, как, например, сто, рациональное для корня, как, например, тысяча, рациональная для основания куба, как, например, десять тысяч, рациональные для корня и осно вания квадраго-квадрата, и так далее, будет лучше и проще, так как цифры числа нс изменяются и от новапие [находится! так же, как для целого с теми же цифрами. Для [обозначения! умножения достаточно поместить справа от единиц числа несколько нулей, [число которых I имеет половину, если ищется корень, треть, если ищется куб, и четверть, если ищется квадрато-квадрат. Нужно, чтобы число прибавляемых нулей, ставящихся справа от дан кого числа, было кратно числу показателя степени, и чем их больше, тем результат точнее. Затем мы определим основание числа с этими нулями по указанным правилам и разделим его на основание этой степени. При этом долепим достаточно взять то, что находится во внешней строке над основным, числом, и поместить это на мосте целых, а то, что находится над прибавленными пулями, умножим па знаменатель выражения и прибавим к нему остаток’ от действия. То, что получится, запишем под полым числом па место числителя и прибавим к знаменателю выражения
ключ к арифметике
93
26 нули в числе того, что находится во внешней | строке пад прибавленными нулями. Часть прибавленных нулей, определяемая числом показателя степени, т. е. половина прибавленных корпев для корпя, треть их для куба, четверть их для квадрато-квадрата, поместим на место знаменателя и приведем числи гель и знаменатель к наименьшим дв\м числам, если они не таковы.
II р и м о р. Найдем корень ста сорока пяти. Начертим столбцы н поступим так, как было сказано раньше. Во внешней строке получится двенадцать и останется число единица. Знай, что это иррациональное [число]. Если мы хотим большей точности, напишем справа от числа такое число нулей, которое имеет половину. Пусть это будет четыре нуля. Начертим четыре других столбца для этих нулей, выделим эти столоны [цветом!. Выполним действие так:
Возьмем пз внешней строки то, что находится над данным числом, это будет двенадцать. Запишем это на месте целых. Умножим то, что находится над четырьмя пулями, т. е. четыре, на знаменатель выражения, т. е. 2409. Получится 9636. Прибавим это к остатку от действия, т. е. 384. Получится 10 020. Запишем это па месте числителя. Затем прибавим справа от знаменателя выражения два нуля, получится 240 900, и запишем это на мосте знаменателя. Получится вот так: 10020. Так как п числитель 240900
94
ДЖ!' ШПиД ГИЯСЭДДИН НАШИ
и знаменатель соизмеримы по одной шестидесятой, при 12
ведем их к ной. Получится так: 167. Все это аналогично 4015
правилу вычислителей [51].
Если угодно, то для получения искомого можно взять то, что получилось над добавленными пулями, в виде числителя дроби, знаменатель которой есть основание степени, являющейся множителем, т. о. едини па, справа от которой стоят пули в числе разрядов, находящихся над добавленными нулями во внешней строке. Но это ио будет так точно.
П р и м о р. При указанной записи числитель есть четыре, а знаменатель—сто. Если угодно, можно считать эти четыре десятичными секундами аналогично правилу арифметики астрономов.
О д и и п а д ца тая г ла в а
О переводе дробей от одного знаменателя к другому
об. | Этому надо предпослать введение оо определении неизвестного с помощью четырех пропорциональных чисел. Это такие четыре числа, первое из которых относится ко второму, как третье к четвертому. Если одно пз них неизвестно, а остальные три известны, начертим две линии, пересекающиеся под прядгым углом, и запишем каждое из этих чисел в одном углу, так чтобы два известных пропорциональных находились с одной стороны в одном направлении, а то из двух остальных пропорциона тьиых, которое известно, находилось в углу в направлении подобного ему. Угол неизвестного останется пустым. Затем умножим одно из накрест лежащих известных па другое и разделим на оставшееся известное, частное и будет неизвестным. Два накрест лежащих известных необходимо будут или двумя крайними пз четырех пропорциональных или двумя средними из них.
II р и м е р. Мы хотим определить такое число, что пять относится к девяти, как четыре к этому числу. Начертим две пересекающиеся линии и запишем три пзве-
1<ЛЮЧ к арифметике
95
стных числа таким образом:
5 | 9
4 I
Умножим одно из накроет лежащих известных па другое, т. е. четыре па девять. Получится тридцать пгесть. Разделим это на пять. Частное есть семь и одна пятая. Это и ость искомое неизвестное.
Если сказано, что пять относится к девяти, как некоторое число к четырем, запппюм четыре против девяти, так как подобное ему в отношении есть девять, таким образом:
5 | 9
I i
Накрест лежащие неизвестные это пять и четыре. Умножим одно из них на другое. Получится двадцать. Разделим это па девять. Частное есть два и дге донятых. Это и есть искомое неизвестное. Правило таково:
Если ты знаешь это, то знай, что известный числитель относится к известному знаменателю, как искомый числитель к искомому знаменателю, и эти четыре числа пропорциональны. Поэтому, если мы хотим перевести дробь от одного знаменателя к другому, начертим двз пересекающиеся линии и поместим известные числитель и знаменатель па одной стороне, а знаменатель, к которому мы хотим переводить, со стороны первого знаменателя, так как он подобен ому. Умножим одно из накрест лежащих па другое, т. о. известный числитель на знаменатель, к которому мы хотим переводить, и разделим произведение на знаменатель известной дроби. Частное будет искомым числителем со знаменателем, к которому мы переводили.
27 Пример. Мы хотим перевести | пять седьмых в девятые. Начертим две пересекающиеся линии и запишем числа так:
5 I___
7 | 9 так как пять относится к семи, как неизвестное к девяти. Умножим пять на девять, получится сорок пять. Разделим это на семь. Частное есть шесть и три седьмых. Это шесть девятых п три седьмых девятой.
96
ДЖ ИМШИД ги ЯСЭДДИП чКАШИ
Если мы хотим определить пять седьмых в даигах, та-суджах и шайрах, то прежде всего следует знать, что знаменатель дангов по отношению к динару ость шесть, знаменатель тасуджа по отношению к динару ость двадцать четыре, а но отношению к дангу ость четыре, а знаменатель шайра но отношению к динару ость девяносто шесть, но отношению к дангу ость шестнадцать. а по отношению к тасуджу есть четыре. Зная это, л множим пять па шесть, т. е. ла знаменатель дапгов, и разделим произведение на семь. Частное есть четыре, а остаток два; четыре это данги. Оставшиеся два умножим на четыре, т. е. на знаменатель тасуджей, и разделим произведение на семь. Частное есть един и па, это тасудж, и остаток единица. Умножим ее па четыре,, т. е. па знаменатель шайров, получится четыре, разделим это на семь. Частное ость четыре седьмых шайра. Знай, что пять седьмых есть четыре дапга один тасудж и четыре седьмых шайра. Это и есть искомое.
Если мы хотим [перевести] обратно, то умножим произвольные данги на четыре, прибавим к этол утасуджи, умножим сумму на четыре, то, что получится, ость числитель со знаменателем девяносто шесть. Если имеются дробные жанры, то умножим и числитель и знаменатель ла знаменатель дроби шайра. Произведение числителей будет числителем, а произведение знаменателен—знаменателем. Приведем их к наименьшим двум числам с тем же отношением, если они ле таковы. Таково правило для дробей с дробными жанрами.
О переводе дапгов, тасуджей и шайров и тому подобного в шести десятеричные и десятичные дроби мы, если пожелает аллах, будем говорить в третьей книге.
Д в е п а д ц а т а я г л а в а
Об умножении дапгов, тасуджей
и шайров Друг на друга
27 об.
Большинство людей базара, продавцы и покупатели и весь парод обычно пользуются этими дробями. Поэтому мы приведем здесь таблицу, содержащую произведения этих дробей друг па друга для упрощения произведений при умножении и частных при делении. Эта таблица па обороте этого листа [см. ниже]: |.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
97
Дангп Тасуджн Шапры
1 2 3 5 6 1 2 3 1 2 3
S G Динары 0 1 0
,1 (апгп 1 2 3 4 5 0 0 0
Тасуджн Шапры 0 0 1 2 3 0 0
0 0 1 2 3
5 Дангп 0 1 2 3 4 5 0
Тасуджн 3 2 2 1 0 0 0 1 2 0
Шайры 1 2 0 1 2 0 3 2 2 0 1 4 2
Данги шайров 2 4 0 2 4 0 2 4 0 3 3
4 Данги 0 2 1 2 2 3 4 0
Тасуджн 1 и 2 1 0 1 2 0
Шайры 2 1 0 9 1 0 2 1 0 0 1 2
Дангп шайров 4 2 0 4 2 0 4 2 0 4 2 0
3 Данги 0 1 1 2 2 3 0
Тасуджн 2 0 2 0 2 0 0 1 1 0
Шапры 0 2 0 2 0 1 1 3
Данги шайров 0 3 0
2 Данги 0 1 1 1 2 0
Тасуджн 1 2 0 1 2 0 0 1 0
Шапры 1 2 0 1 2 0 1 2 0 0 1
Дангп шайров 2 4 0 2 4 0 2 4 0 2 4 0
1 Дангп o’ 0 1 0
Тасуджн 1 2 2 3 0 0
Шайры 2 1 0 2 1 0 0 1 2 0
Данги шайров 4 2 0 4 2 0 4 2 0 1 2 3
I Исторпко-матем. исследования
98
ДЖЕМДШД ГИЯСЭДДИН КАШИ
[II родолжс н и е]
Тасуджи 0 1 1 2 2 2 0
Ч Шапры 2 0 2 0 2 0 0 I 1 0
Данги шанров 0 0 •J 0 3 0 1 2
Тасуджи шанрсв 0 3 2 1 1
Тасуджи о 4 1 1 2 0
ч 2 Шапры 1 2 0 1 2 0 0 1 0
2 Данги шан ров 2 И 0 2 4 0 2 4 0 0 1 1
Тасуджи ш in ров 1 0 0 2 0 /
Тае у жди 0 1 0
Шн;ры 0 1 2 2 3 0 0
Данги шан ров 4 2 0 4 2 0 1 2 3 0 0
Тасуджи шанрсв 0 0 1 2 3
Шапры 0 1 1 2 2 3 0 0 0
2 Данги шанров 3 0 3 0 3 0 0 1 2 0
Тасуджи шанрсв 0 0 3 2 1 0 1 2
Шайры шанров 0 0 о * 1
Шапры 1 0 1 1 1 2 0
3 ? Данги шанров 2 4 0 2 4 0 1 0 1 1 0
S Тасуджи шанров 1 0 0 2 0 2 0 1 1
Шапры шанров 0 1 0 2 2
Шапры 0 1 0
Данги шайров 11 2 3 4 5 0 0 0
Тасуджи шанров 0 0 1 2 3 0 0
। Шапры шайров 0 0 1 2 3
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКИ
9У
Пример па умножение. Мы хотим умножить пять дангов, три тасуджа и три шанра на четыре данга, одни тасудж и два шайра. Начертим столбцы по такой
Запишем каждый из сомножителей слева [Б21 от столбцов так, чтобы каждый из сомножителей был таков, что одни сомножитель охватывает все разряды другого сомножителя. Затем входим в таблицы и борем произведение пяти дапгов на четыре дапга, тасудж и два шанра, записанные справа от множимого, и укажем это в клетках столбцов, каждое отдельно в своем столбце. Так же поступим и с тремя тасуджами и так же с тремя шапрамп. Когда это будет выполнено, сложим их и отбросим от знаменателя каждый разряд, превосходящий знаменатель,
loo
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
и прибавим равное отбрасываемому к числу слева от пего. Получится четыре дапга одни тасудж один шайр и один данг два тасуджа два шапра шайров.
П р и мер деления. Мы хотим разделить это произведение на один из сомножителей, а именно на четыре дапга, один тасудж и два шайра. Начертим таблицы и запишем делимое над столбцами, а делитель слева от столбцов так, чтобы дангп были над тасуджами, а они над шайрами, таким образом:
Частное от деления Дапги юн -ЕЛ.И?! Шапры Данги шаиров Тасуд-жи шаиров Шапры шаиров
число на четыре дапга 4 3 1 1 1 1 1 2 2 2
Пять 1 дангов остаток числа на тасудж 0 3 3 3 5 2 2 2
остаток числа на два шайра 3 0 1 3 4 2 2
остаток числа на четыре цанга 2 2 2 5 2 2
Три тасуджа остаток числа па тасудж 0 2 5 3 2 2
остаток числа на два шайра 2 1 2 2 2
остаток числа ва четыре дапга 2 2 1 0 о
Три шапра остаток числа па тасудж 0 1 0 2
остаток . числа на два шапра 0 1 2
пет остатка 0 0
Ищем наибольшее простое [число], такое, что если умножить его на наибольший разряд делителя, можно
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
101
вычесть его пз делителя, и найдем, что эго пять дангов. Заппшем его слева от делителя так, чтобы оно охватывало все разряды делителя. Затем умножим его сначала на 28 четыре дапга, запишем произведение под числом, | вычтем об’ произведение пз числа и запишем остаток под ним. Затем умножим их, т. е. пять дангов, на тасудж, запишем произведение под остатком, вычтем это произведение пз остатка п запишем остаток иод ним. Затем умножим их [пять дангов] на два шайра, запишем произведение под остатком, вычтем это произведение пз остатка и заппшем остаток иод ним. После трех умножений имеется остаток. Запишем теперь простые [числа] делителя во второй раз справа от столбцов под тем, что мы писали сначала, и снова ищем наибольшее простое [число] с указанным свойством. Найдем, что это три тасуджа. Запишем эго справа от делителя. Умножим три тасуджа на каждое из простых чисел делителя и вычтем произведение пз оставшегося числа. Опять имеется остаток. Заппшем делитель в третий раз и снова ищем наибольшее простое [число] с указанным свойством. Найдем, что это три шайра. Поступаем с ними так же, как раньше. Теперь остатка пет. Таким образом, написанное слева от делителя есть частное от деления. Это удобно для того, кто не может действовать так, как мы указали в предыдущих главах.
ТРЕТЬЯ КНИГ \
О СПОСОБЕ ИСЧИСЛЕНИЯ АСТРОНОМОВ, СОСТОЯЩАЯ ПЗ ШЕСТИ ГЛАВ
- Первая г л а в а
Об определении цифр [джумала], их свойствах и их изображении
Цифры для обозначения чисел в порядке букв суть: 1 2 3 4 [алиф, ба, джйм, дал-«абджад»], 5 6 7 [ха, вав, за-«хавваз»], 8 9 10 [ха, та, йа-«хуттй»], 20 30 40 50 [каф, лам, мим, пуи-«калпмап»], 60 70 80 90 [сип, ‘айп,
102
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
фа, сад-«са‘фас»], 100 200 300 400 [каф, ра, шйп,та-«карашат»], 500 600 700 [да, ха, за-«саххиз»], 800 900 1000 [сад за, гапн-«дазиг»] [53]. Двадцать восемь букв обозначают девять единиц, девять десятков, девять сотен и одну тысячу. Остальные числа составляются из этих букв, причем большие предшествуют меньшим. Если в число повторяются тысячи, в начало ставится буква ванн. Это исчисление джумала применяется астрономами в их таблицах и прочем. Ими записываются и [арифметические] действия. При этом не ставится точка у ба, джима, за и иа и не закапчивается оборот у джима для его отличения от ха.
Знай, что окружность круга подразделяется на триста шестьдесят частей, каждая из которых называется градусом, а каждые тридцать градусов круга составляют созвездие. Название «созвездие» применяется для всех кругов, образованных движением, а но только для [небесного] экватора. Каждые двенадцать созвездий составляют один круг Каждый градус подразделяется на шестьдесят частей, называемых минутами, каждая минута -на шестьдесят секунд, каждая секунда—па шестьдесят терций, каждая терция—па шестьдесят кварт и так далее до бесконечности. Градусы обозначаются 29 в порядке букв, как мы указали. Еслп они превзойдут тридцать, из них вычитается тридцать и записи вастся то, что меньше созвездия, а созвездия заиисыва ются слева [54] от градусов, а еслп созвездия превзойдут двенадцать, в большинство случаев из них вычитается двенадцать. Минуты записывают справа от градусов, секунды справа от минут и так далее в нисходящем иа правлении.
Точно так же в исчислении астрономов в восходящем направлении каждые шестьдесят градусов или других целых чисел поднимают в виде одной единицы, называемой «поднятое один раз», каждые шестьдесят поднятых один раз поднимают в виде «дважды поднятого», после этого следует «трижды поднятое», за-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
103
29 об.
том четырежды и так далее. Их называют также поднятым, двойным, тройным, четверным и так далее до бесконечности. Их место при написании слова от градусов друг за другом. Точно так же, как в арифметике индийских цифр, каждые десять поднимают влево, здесь таким же образом каждые шестьдесят поднимают влево. Подобно тому как там первый целый из разрядов называется единицами, здесь он называется градусами, что определяет места разрядов. В то время как там была одна цепь разрядов, здесь имеется две цепи, одна—в восходящем, а другая в нисходящем направлении, а градусы находятся между этими двумя цепями. Мы определили и там две цепи,так что каждые два последовательных разряда этих цепей находятся в одном и том же отношении. В каждом разряде, в котором нот чисел, помещают пуль [55], чтобы указать расстояние. Если записывают цифры в таблице, название каждого разряда надписывают над таблицей для этого разряда. Пли иначе: назначают первый из разрядов или последний пз них и том самым назначают и все остальные разряды, так как имеется индукция, определяющая их. То, что находится водном разряде, независимо от того, в какой цени, называется простым или чистыми выражается единицами, то же, что находится в двух или более разрядах, [называется] сложным.
Вторая глава
Об удвоении, раздвоении, сложении и вычитании
При удвоении записываем цифры, начиная справа, и будем удваивать то, что находится в каждом разряде. Будем записывать результат под этим, если он меньше шестидесяти, если же больше, то поднимем шестьдесят в виде единицы к результату удвоения того, что находится слева от него. Поднятие градусов к созвездиям происходит для каждых | тридцати градусов.
При м е р. Мы хотим удвоить семь созвездий восемнадцать градусов двадцать две минуты девять секунд пятьдесят три терции. Запишем все это в таблице, причем будет лучше, если провести между каждыми двумя разрядами линии [5С].
104
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДНН КАШИ
под 53 п удержим единицу в уме для поднятия. Затем удвоим 9, получится J8, прибавим к этому единицу, удержанную в уме, получится 19, запишем это под 9. Затем удвоим 22, будет 44, запишем это под 22. Затем удвоим 18, т. о. градусы, и поднимем созвездие, останется 6, запишем это под 18 Затем удвоим 7 созвездий и отбросим от результата [полный] круг, останется 2. Прибавим к ним единицу, полученную при поднятии, получим 3. Поместим это под 7. То, что получилось, и есть искомое [57 ].
При раздвоении начнем с левой стороны. Разделим пополам то, что находится в каждом разряде, и запишем половину этого под пим, если оно четное, а если почетное, то целое из половины, и удержим в уме дробь половины, находящуюся с целым, т. е если это созвездие—пятнадцать, а если не созвездие, то удержим в уме тридцать до тех пор, пока не разделим то, что находится справа. Тогда прибавим то, что запомнили, к его половине, если справа имеется какое-нибудь число. Если такого числа по имеется, заппшем то, что запомнили, под том, что находится справа от него.
Пример таков:
- Созвездия Г] tall усы Минуты Секунды Тер- ции Кварты
Число 7 18 22 9 53
Половина . . . 3 24 И 4 56 30
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
105
При сложении, если слагаемые по совпадают ни в одном разряде, запишем то, разряд которого выше, слова от другого и свяжем пх друг с другом пулями, если это нужно. Если же они совпадают во всех или в нескольких разрядах, запишем их таким образом, что созвездия находятся против созвездий, градусы против градусов и так в каждом разряде каждое против своего рода. Затем начнем с правой стороны и будем прибавлять то, что находится в каждом разделе, к тому, что находится против пего, и будем записывать сумму под ним, если опа меньше шестидесяти, если же по так, т. е. опа больше шестидесяти, поднимем шестьдесят в виде единицы влево, как мы указывали для зо удвоения. | Проведем между ними и суммой разделительную линию.
II р и м с [) в это й т а б л и ц с: Д р У со й при м е р:
Разряды Созвездия Градусы Минуты Секунды ~ Разряды Дважды поднятые Поднятые Градусы
Числа, которые мы хотим ело- 4 25 40 18 Числа, которые мы хотим ело- 18 41 30
жить 9 13 22 3 жить . 20 13 40
Су мма 2 11 2 1 Су мма 38 55 10
Другой пример сложения большого числа [слагаемых] таков:
Разряды Дважды поднятые Поднятые Гра- ДУ сы Минуты Се- | купцы
Числа, которые 20 18 40 51
мы хотим 42 50 48 36
сложить 30 17 16 10
Сумма 1 33 26 45 37
106
ДЖЕМШИД гиясэддин КАШИ
При вычитании записываем два числа так, как было сказано для сложения, начнем с правой стороны, вычтем то, что находится в каждом разряде вычитаемого, из того, что находится против него в уменьшаемом, а если вычитание какого-нибудь разряда из того, что находится против пего, невозможно, возьмем единицу из того, что справа в уменьшаемом, для этого разряда это будет шестьдесят, вычтем вычитаемое из шестидесяти и прибавим остаток к тому, что находится против него в уменьшаемом.
П р и м е р. Мы хотим вычесть число 4 22 11 48 секунд из числа 8 9 3 50 секунд. Запишем их так, как было сказано. Начнем с правой стороны. Вычтем 48 из 50, останется 2, запишем это под ними. Вычесть 11 из 3 невозможно, поэтому вычтем из 9 единицу для разряда, в котором находится 3, будет шестьдесят, вычтем 11 из этого, остаток прибавим к 3, будет 52, запишем это под 3. Вычесть 22 из оставшихся 8 невозможно, поэтому возьмем единицу из созвездш , это есть тридцать градусов, вычтем 22 из этого и остаток прибавим к 8 оставшимся от 9, получится 16, запишем это под 9. Далее вычтем 4 из 7, оставшихся от 8, останется 3. об. Запишем это иод 8, вот так: |
Созвездия Градусы Минуты Секунды
Вычитаемое 4 22 11 48
Уменьшаемое 8 9 3 50
Остаток 3 16 52 2
Еслп вычитаемое и уменьшаемое не соответствуют друг другу по своим разрядам во всех или в нескольких разрядах, вычтем из последнего разряда уменьшаемого единицу п запишем справа от пего 59 друг за другом до тех пор, пока не дойдем до последнего разряда вычитаемого, а там запишем 60. Затем будем вычитать вычитаемое из уменьшаемого.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
107
П р и м е р. Мы хотим вычесть 14 25 50 из 20 48 39 секунд. Поступим так:
Вычитаемое Уменьшаемое 20 48 38 59 14 59 25 59 50 СО секст секст
Остаток 20 48 38 59 45 34 10 секст
Кто умоет производить такие действия, пе нуждается в записывании чисел и в записывании результатов над ними: он посмотрит в таблицу, в которой находятся числа, и сразу запишет результаты в другой таблице. По для начинающих и учеников проще поступать так, поэтому мы продолжим речь об этом.
Третья глава
Об умножении
Это сводится к знанию шестидесятсрнчной таблицы и знанию рода разрядов произведении. Эта таблица разделена по длине и ширине па шестьдесят частей, над пей и слева от нее записаны шестилесятсрпчиые цифры, каждая цифра против одного деления, а произведения одних па другие записаны в клетке, в которой встречаются сомножители, в виде двух разрядов: справа опущенный, слева поднятый, даже если это пуль. Вертикальные столбцы называются но названию цифр, находящихся лад ними, [цифры в них] записаны одна над другой, шестьдесят [цифр] записывается на одной странице для уменьшения ошибок.
1то касается определения рода разрядов, то так как единица относится к одному пз сомножителей, как другой из сомножителей к произведению, разряд градусов относится к разряду одного пз сомножителей, как разряд другого мз сомножителей к разряду произведения, и все они находятся в непрерывной пропорции. Поэтому расстояние разряда одного пз сомножителей от разряда градусов
108
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН клинт
таково же, как расстояние разряда произведения от разряда другого сомножителя. Еслп мы примем градусы за нуль, а поднятые и минуты за единицу, двойные и се-купцы за два, тройные и терпин за три и далее но | этомл правилу, эти расстояния разрядов от градусов называются числами разрядов.
Еслп мы умножим простое [число] на простое, то ело жим числа разрядов сомножителей, еслп они находятся по одну сторону от градусов, и сумма будет числом разряда произведения и будет по ту же сторону, а если [стороны] разные, возьмем разность между ними, и это б\ дет числом его разряда и будет но ту сторону, в которой имеется превосходство. Это записано в таблице для определения разряда результата умножения, которую мы при-ведем ниже I58].
П р и м е р. \1ы хотим найти произведение 24 минут на 52 кварты, т. е. цифры и разряды [этого произведения!. Входим в шостпдесятерпчпую таблицу и па пересечении находим 20 48, поднятое и опущенное. Гак как минута и кварта находятся по одну сторону от градусов, сложим числа их [разрядов], это будет пять, это число разряда квинт, и мы узнаем, что 48, т. е. опущенное, находится в разряде квинт и поэтому необходимо 20, т. е. поднятое, находится в разряде кварт.
Если 'стороны сомножителей различны, как, например, при умножении 24 минут на 52 тройных, возьмем разность между единицей и тремя, т. с. два, причем превосходство будет в восходящую сторону, так что 48, т. е. опущенное, будут двойными, а 20, т. е. поднятое, тройными.
Если теперь после этого введения мы хотим умножить простое [число] па сложное, войдем в шестидесятиричную таблицу и умножим это простое последовательно па каждое из дру! пх простых и запишем произведения таким образом, что поднятое каждого из них находится против опущенного того, которое находится справа от пего. Таким образом, в большинстве случаев получится две строки. Мы сложим пх так же, как при сложении, и определим род последнего разряда так, как было сказано, а тем самым определим и [род| остальных [разрядов].
КЛЮЧ к АРИФМЕТИКЕ
109
П р в м е р. Мы хотим гмножптт. 36 минут па 21 180 56 секунд. Войдем н шести десятеричную таблицу и возьмем из этой таблицы 36 па 21, будет 12 36, запишем это. Возьмем произведение на 18, будет 10 48, запишем 10 иод 36, а 48 справа. Затем запишем два пуля, соответствующих пулю, один под 48, а другой справа. Далее возьмем произведение па 56, будет 33 36, запишем 33 под нулем, а 36 справа. Получатся две строки. Сложим их таким образом:
12 36 10 0 48 0 33 36
12 46 48 33 36 терций
Так как простой множитель есть минуты, а последний разряд другого сомножителя секунды, то последний разряд об. произведения | 36 терций.
Если угодно, мы можем записать поднятое и опущенное при каждом умножении по диагонали, причем будем записывать опущенное ниже справа от поднятого и выполним действие так:
12 36 10 48 0 0 36
12 46 48 33 36 терций
110
Д/КЕМШНД ГШН’ЭДДИН КАШИ
Искомое получится также и в том случае, если мы умножим указанное простое [число] на последний разряд множителя и запишем [только] опущенное полученного произведения, а поднятое удержим в уме, затем умножим указанное простое на предпоследний разряд множителя, сложим полученное опущенное с записанным поднятым и запишем его справа от записанного сначала, затем сложим поднятое этого произведения с опущенным произведения этого простого на то, что предшествует последнему и предпоследнему разрядам множителя, и будСлМ поступать так до окончания.
П р и м о р. Мы хотим умножить 24 градуса па 18 42 36 46 терций. Войдем в таблицу. Тогда для 46 поднятое и опущенное будут 18 24. Запишем опущенное 24 и прибавим поднятое 18 к опущенному для 36, т. е. 24, получится 42, запишем это слева от 24. Сложим поднятое, т. о. 14, с опущенным для 42, т. е. 48, получится 1 2, запишем 2 слева от 42, сложим поднятую единицу с поднятым, т. е. 16, получится 17, и прибавим это к опущенному для 18, т. е. 12, получится 29. Запишем это слова от 2 и запишем поднятое 7 слева от 29. Таким образом, получится 7 29 2 42 24 секунды. Это несть искомое. Этот способ легче для того, кто обладает знанием действия.
Если мы хотим умножить сложное па сложное, начертим сетку, как было сказано. Следует помнить, что здесь мы чертим косые линии так, чтобы каждый четырехугольник разделился па верхний левый и нижний правый углы, запишем один пз сомножителей последовательно над сеткой, а другой слева от ное так, чтобы высший разряд находился над низшими. Произведения простых [чисел] мы заппшем в четырехугольниках один над другим таким образом, чтобы поднятые находились в верхних треугольниках, а опущенные—в нижних. Затем запишем то, что 32 находится в нижнем треугольнике | в нижнем правом углу сетки под пей точно,—эго есть опущенное произведения последнего разряда множимого на последний разряд множите, гя,—и напишем справа от пего название его разряда. Затем сложим то, что находится .между двумя косыми линиями рядом с ним, п запишем результат слева от того, что мы записали в строке произведения сначала, если
J | (У**С <1J Ltek ) J J uJ-
^.Ojfy'Lic/4 y^OjLkl^D кД-Lj
„ lUz
к^-6^-J I л -~>\>lA । ^*.
-*''' К- I I. <<.« I I J i:.
Лист 32. Умножение шестидссятсричпых чисел
24 15 40 38 х 13 9 51 20 = 5 19 22 54 44 27 50 40.
112
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
это меньше шестидесяти, а еслп оолыпо, поднимем каждые шестьдесят в виде одной единицы к сумме следующей за нон косой строки, и точно так же будем и далее складывать то, что находится в каждой строке. То, что получится под сеткой, и ость искомое.
П р и м е р. Мы хотим умножить 24 15 40 38 терций на 13 9 51 20 минут. Поступаем, как было сказано, таким образом:
<24 15 40 38
^^,3 5 12 3 12 8 40 8 ^4
^^8 3 36 2 12 6 0 /42
51 20 24 12 42 34 0
20 8 0 2 0 18 20 12 40
Б 19 22 54 44 27 50 40
Искомое получится под сеткой по тому же правилу сетки, что и для индийских цифр. Так как последний разряд одного из сомножителей ость терции, а последний [разряд] другого есть минуты и они находятся по одну сторону [от градусов], а сумма их чисел есть четыре, последний разряд произведения есть кварты, а первый [разряд]—тройные, так как таково поднятое произведение двойных на градусы.
Что касается умножения с косой сеткой, мы чертим ее в точности так же, как было сказано в третьей главе первой книги.
Запишем множимое и множитель на верхних сторонах слова направо, заполним четырехугольники произведениями и сложим все то, что находится в вертикальных строках, так же, как при действии сложения. Для примера возвратимся к двум указанным сомножителям, чтобы было проще понять начинающему, таким образом:
КЛЮЧ К-АРИФМЕТИКЕ
ИЗ
Другой вид, получающийся из предыдущего, без черчения сетки. Начинаем с умножения того, что находится 32 в первом разряде множимого, | на каждое из простых °6, [чисел] множителя последовательно слева направо, и записываем поднятое второго произведения над опущенным первого, поднятое третьего произведения над опущенным первого и т. д. Затем начинаем умножать то, что находится во втором разряде множимого последовательно на каждый из разрядов множителя и записываем первое произведение таким образом, что его поднятое находится иод опущенным произведения первых простых, а поднятое второго произведения—под опущенным первого, и поступаем по этому правилу до окончания. Приводом пример двух упомянутых выше данных чисел таким образом:
814
8 40 5 45
315 6 03218 512 215 34 012 40
3 3612451320
20 24 5 0
8 0
про И 3------------------
519 22 54 44 27 50 40
ведение
Если мы начертим вертикальные и горизонтальные столбцы и будем записывать цифры в этих столбцах, будет лучше. Необязательно, чтобы каждая цифра находилась 8 Историно-матем. исследования
114
ДЖЕМШИД ТИЯСЭДДЦН КАШИ
в одной клетке, можно, чтобы цифры находились в одном клетке по четыре.
Другой вид. В нем каждый из разрядов множимого последовательно умножается на весь множитель по способу умножения на простой сомножитель. Таким образом, при каждом умножении в большинстве случаев получается две строки. Следует поместить цифры в каждых двух строках, полученных при умножении, друг за другом так, чтобы их первый разряд находился против второго разряда предыдущей строки. Таким образом, получаются числа одни над другими. Сложим их так, как было сказано.
II р и м е р. Мы хотим умножить 20 15 35 секунд па 55 2(5 43 40 минут. Поступим так, как было сказано.
18 84613
2040 0 20
3818 33 28
3012 36 0
32 15 28 23
510 0 20
19 81720 22320 терций
Если мы хотим умножить много чисел па сложное число, составим таблицу кратных этого числа в шестидссято-ричиых цифрах, т. с. умножим каждое из чисел па него по правилу, указанному вами раньше.
Если в одном из сомножителей имеются созвездия и круги, все превращается в градусы и поднимается к поднятым, двойным и так далее до окончания. Затем производится умножение, как мы указали [5Ч.
зз Проверка действий с этими цифрами | производится последовательным вычитанием 59 до остатка так же, как раньше [°°].
Четвертая глава
О делеппп
Делимое относится к делителю, как частное от деления к единице. Поэтому разряд делимого относится к разряду делителя, как разряд частного от деления к разряду градуса, и расстояние между разрядом делимого и разрядом
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
115
Ч>Ш j U1 i
^^vP*-^ *u-*^***^^ _>—*1^ vL-—о/»
, j\a*j *г -^еУ*
У>>| I > \ <*^Ь»оА/\*-лЗ IGT^ J li'
-J’JУ° L Vo lo'“j-^a^'gs^j**-^> jc£ fj<> J *< d I ’o^’j ы I aJ.y> li\i k*li*l и I bv^}>? </*/>1'
О ‘^u V'<J 1 £* * «*) ’ иУ—
V^r—5 ^^-tbI lT*^ v3^>
”eJ иУ> *J^'J* (У bU 1 hu-’j^ bj 4r^ b
^ЙЬ-«ХЬ *bSlyc4*lLj
*z*LV(A^L’ сЛ .’'✓•У'V^b- c^i\L^b
b-L ^*«>5 **^ >>IJ
Лист 33. Таблица умножения разрядов.
8*
116
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
делителя такое же, как расстояние между разрядом частного от деления и разрядом градуса. Поэтому если мы возьмем разность между числами разрядов делимого и делителя, если они по одну сторону градусов, и пх сумму, если опп по разные стороны, то полученное число будет разрядом частного от деления в восходящей пени, если разряд делимого выше разряда делителя, а если не так, то в нисходящей цепи [6lJ. Например, при делении шестерных на двойные получатся чств рные, а наоборот—кварты; при делении минут па тернии нс лучатся секунды, а наоборот—двойные; при делении двойных на минуты—тройные, а наоборот—терпни. Мы приводим здесь обещанную таблицу. Из нее узнают результат умножения, находящийся против разрядов множимого и множителя или [разряд] делимого и делителя, таким образом:
МноЯси/лель
Кварты Терции Секунды Мину-ты Градусы Поднятые Двойные Тройные Четверные
Четверные Д дОД / / X X Четверные
Тройные X Ху / ф Тройные
Двойные X / а/ / <^е> Двойные
Поднятые yv 4 "%, 4 X Поднятые
Градусы X Ху / / /ра-дусы
Минуты X %. X уХ X X. X / Минуть/
Секунды / X X. X X X Ху X Секунды
Терции X "Ху X XX X X. ф‘ Терции
Кварты X, ✓ Ху X X гх о X х Кварты
Четверные Тройные Двойные Поднятые Градусы Минуты Секунды Терции Кварты
Делитель
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
117
33 об-
| Если мы хотим разделить число па число, начертим горизонтальные столбцы, как мы указали для индийских цифр, [но числу] равные наибольшему числу разрядов делимого и делителя. Будет лучше, если прибавить к числу разрядов делителя единицу, даже если у делимого будет меньше разрядов, чтобы не прерывать нескольких столбцов действия. Запишем делимое вверху столбцов, а делитель—внизу их так, чтобы первый разряд одного находился против первого разряда другого, если делитель меньше того, что находится против него в делимом, или равен этому. Если же не так, то запишем его так, чтобы первый разряд делителя находился против второго разряда делимого. Далее ищем наибольшее простое [число], т. о. шести-десятсричпую цифру, такую, что если умножить ее на каждый из разрядов делителя, то произведение можно вычесть из того, что находится против этого разряда делителя. Способ этого таков: мы входим с первым разрядом делителя в шести десятеричную таблицу и ищем в ней наибольшее число, которое можно вычесть из того, что находится в делимом против первого разряда делителя, и из того, что слева от пего, если есть что-нибудь слева. Когда мы найдем его, взяв за это то, что находится на полях [таблицы],— это и будет искомое простое, если во втором разряде делителя нет числа. Еслп же в нем имеется число,проверяем это тем, что находится па нолях [таблицы], если оно подходит; если же но подходит, то вычтем из него единицу или больше, пока по найдем подходящего. Это не выходит из того, что находится па указанных полях. То число, которое мы найдем при указанных условиях на полях таблицы, превзойдет число, находящееся над первым разрядом делителя, на единицу. Когда мы найдем ого, запишем его во внешней строке произвольным образом, войдем с ним в шестидесятиричную таблицу, умножим его на каждое из простых [чисел] делителя, вычтем произведения пз того, что находится против пего и слова, и запишем остаток иод ним, проведя разделительную линию, пли умножим его па все разряды делителя тем способом, как в случае, когда один из сомножителей является простым, и запишем произведение под делимым так, чтобы последний его разряд находился против последнего из разрядов
118
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
делителя, вычтем это из делимого и запишем остаток под 34 пим, проведя разделительную линию. | Затем переносом остаток делимого направо на разряд. Далее ищем наибольшее простое [число] с указанным свойством и запитом ого справа от того, что мы записали сначала во внешней строке. Будем поступать таким образом до тех пор, пока этого требует деление пли пока по захотим окончить действие.
П р и м е р. Мы хотим разделить 18 4 19 36 секунд па 25 36 55 минут. Начертим столбцы и запишем делимое и делитель так, как было сказано. Затем ищем наибольшее простое [число] с указанным свойством для того, чтобы ввести его с первым разрядом делителя, т. е. 25, в шестидесятеричную таблицу и ищем в пей наибольшее число, которое можно вычесть из 18 4. Находим в пей па полях 43. Ищем также в таблице [произведение] для 26 и находим 4I. Проверяем оба эти числа и то, что между ними, и находим, что наибольшее простое [число] с указанным свойством ость 42. Запишем 42 над этим столбцом в строке частного и войдем с этим в тпестидесятерпчную таблицу, т. о. [рассмотрим] столбец 42 [этой таблицы]. Так же, как при первом способе, возьмем в нем то, что находится против 25, это будет 17 30. Вычтем это из 18 4, останется 34, запишем это под 4, проведя разделительную линию, указывающую, что цифры 18 4 отбрасываются и полагаются 34. Так как опущенное 18 4 является градусами, при делении пх на 25, являющиеся поднятым один раз, мы получаем в частном 42 минуты. Затем возьмем [произведение] для 36, будет 25 12, вычтем это из 34 19, останется 9 7, запишем 9 под 34, а 7 под 19 в одной строке, проведя разделительную линию. Возьмем [произволение] для 80, будет 35 0, вычтем это из 9 7 36, останется 8 32 36, так как, если вычтем нуль из 36, останутся они же. Затем вычтем 35 из 7, возьмем из 9 единицу, прибавим это в виде шестидесяти к 7 и вычтем 35 из суммы, останется 32. Слева останется 8. Перенесем остаток от делимого, т. е. 8 32 36, влево на разряд. Затем снова будем искать наибольшее простое число с указанным свойством. Найдем, что это 20. Будем поступать так же до тех пор, пока от делимого не останется 19 20. Перенесем это влево и будем искать
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
119
наибольшее простое число с указанными свойствами. Затем запишем пуль справа от 20:
34 об.
| Перенесем делимое во второй раз и будем искать наибольшее простое [число] с указанным ранее свойством. Найдем, что это 45, запишем его справа от пуля и окончим действие по произволу, а не по необходимости.
Если кто-нибудь захочет переносить делитель, а не делимое, как мы указывали в арифметике индийских цифр, это также возможно. Пример второго способа таков:
120
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Это лучше и проще. Объяснение действий с таблицей кратных делителя не скрыто от проницательного.
П я т а я г л а в а
Об определении основания степени
Если умножить каждое простое число па самого себя, затем на произведение, затем на второе произведение и так до бесконечности, то число разрядов этого простого прибавляется к себе, затем к сумме, затем ко второй сумме и так до бесконечности, и эти последовательные числа являются числами разрядов этих произведений, каждый для своего соответственного, подобно тому, что было раньше. Так как число разрядов произведения равно сумме двух чисел разрядов сомножителей, если они находятся по одну сторону от градусов, то числа разрядов [степени простого числа] необходимо получаются умножением числа разрядов этого простого [числа] на число показателя степени каждой степени. Из этого видно, что каждая степень находится в таком разряде, число которого делится па число показателя степени без остатка, т. е. число показателя степени измеряет это число или равно ему. Если число [разряда] таково, он является рациональным данной степени, если же оно нс делится, он является иррациональным, а частное от деления является числом разрядов основания этой степени. Поэтому разряд градусов являет-ся рациональным во всех степенях. Поднятые и минуты не бывают рациональными никогда, двойные и секунды являются рациональными только для корпя, тройные и терцин -для куба, четверные и кварты—для квадрато-квадрата и квадрата, пятерные и квинты—для квадрато-куба, шестерные и сексты—для кубо-куба, а также корпя и куба и так далее но этому правилу.
Если мы хотим определить основание числа, предполагаемого степенью, заппшем эго число, проведем над ним горизонтальную линию, а между каждыми двумя его разрядами вертикальную линию и определим рациональные разряды данной степени, сколько бы их пи было. Проведем 35 | двойные линии справа от каждого рационального разряда для отделения периодов друг от друга и дополним
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
121
правый период таблицы, если он неполный. Если хотим, мы можем прибавить к пому другие периоды. Последний разряд каждого периода будет рациональным в данной стспошг, а все остальные—иррациональными. Разделим таблицу по длине на ряды, [числом] равные числу показателя степени данной степени, и напишем их названия справа от них, как раньше, в первой книге. Затем будем искать такое наибольшее простое [число], что данную степень его можно вычесть из чисел, находящихся в первом периоде числа, т. е. в самом левом периоде. Найдя это, запишем это во внешней строке над первым рациональным [разрядом], т. о. над последним столбцом первого периода, а также под ним внизу. [Затем прибавим верхнее к нижнему п перенесем сумму вправо на один разряд. Далее будем искать наибольшее простое число [с указанным свойством], запишем его над рациональным второго периода п под ним справа от того, что мы перенесли. Умножим верхнее па нижнее и вычтем это произведение из чисел, находящихся во втором периоде числа и слева от них. Найдя это и проделав то, что мы сказали, прибавим верхнее число к нпжпим и перенесем сумму вправо па один разряд. Так поступаем, пока не прервем действие.
Прим е р. Мы хотим определить корень числа 109 49 20 градусов. Дополним последний период, начертим таблицу и запишем число так, как было сказано. Затем ищем наибольшее простое число с указанным свойством и находим, что это 24. Запишем это над рациональным первого периода и под ним. Умножим верхнее па нижнее, будет 9 36, и вычтем произведение из того, что находится против пего, останется 33. Затем прибавим верхнее к нижнему, будет 48. Псреиссед! это па разряд и] [G2] ищем наибольшее простое [число] с указанным свойством. Находим, что эго 41. Запишем это над рациональным второго периода и под ним справа от 48. Умножим это па то, что находится внизу столбца, или на каждое из ого простых, п вычтем произведение из того, что находится справа от пего, как и в первой фигуре, или [умножим], как если бы один из сомножителей был простым, и вычтем произведение из того, что находится против него, как раньше во второй фигуре. Затем прибавим верхние 41 к тому, что находится
122
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
внизу столбца, получится 49 22. Переносом это на разряд и будем искать наибольшее простое [число] с указанным свойством. Находим, что это 40. Запишем это над рациональным третьего периода и под ним справа от 22. На этом прервем действие. Остается от числа 23 53 20 секунд, как в фигурах. То, что находится над градусами, является градусами, это 4'1 [сз].
35 об.
| В пашем трактате, озаглавленном «Трактат об окруж-
ности», мы определяли корпи многих чисел со многими цифрами и применили это при важных обстоятельствах. Кто хочет [знать] это, может обратиться к ному.
Далее мы приводим здесь пример определения [основания] куба и другой пример определения основания кубо-куба, по, чтобы избежать многословия книги, мы не касаемся здесь объяснения действия. Это просто для того, кто зпает действия с индийскими цифрами в указанных выше примерах. Помни об этом.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
123
При м е р. Мы хотим определить основание числа 18 52 59 43 51 24 кварт, являющегося кубом [<!4].
Внешняя строка Г раду сы .10 Минуты 25 Секунды 30
Ряд числа, являющегося кубом 18 52 59 51 24 0 0
16 2 40 12
2 10 2 16 42 50 53 52 26
2 42 53 26 22 30
Второе число, т. е. ряд квадрата 5 25 46 52 45
5 25 15 31 15 37 15 45 ’ 1
25 31
5 12 12 50 40 50 25
5 12 0 40 25
5 0
3 1 20 40
Ряд основания 1
30 31 15
20 30 50
10 30 26 31 15 30
36 1 (Другой пр и мо р. Мы хотим определить
основание числа 34 59 17 14 54 23 347 36 40 минут, являющегося кубо-кубом] [65].
124
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Внешняя строка Поднятые 7 J Г радусът 4 Минуты 48
Ряд числа, являющегося кубо-кубом 34 32 59 40 17 49 114 54 23 3 47 36 40 0 0 0 ( С
2 1 18 54 28 44 |54 49 47 57 56 16
23 23 43 36 120 29 5 35 1 5 14 56 8 20 28 12 40 55 3 50 24
<5 50 59 33 51 47 52 127119 4 5б| 9|36
Второе число, т. о. ряд квадрато-куба 291 30 36 21 16 32 40 |33 10 4,48
29 8 22 20 16 0 20 45 30 34 | 58 57 ! 42 И 24 15 51 10 4 48
29 22 16 20 30 57 42 24
28 41 41 1 2 13 38 42 3 26 58 59 13 29 20 4
28 40 0 31 42 42 26 59 29 4
28 0 42
23 4 20 40 35 7
Гретне число, 10 25 0 56 58 42 56 34 48 57 36
т. е ряд квадрато-квадрата 10 1 23 34 26 13 43 29 29 38 56 4| 0 34 48 57 36
10 23 26 43 29 4 0
10 7 15 47 39 12 30 29 59 30 33 40 20
10 7 7 43 55 54 36 14 44 52 4 16
• 10 7 0 40 15 36 44 52 16
10 0 15
6 3 40 20 10 5
2 40 40 1 4
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
125
[П р о до лжс и л с]
126
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
36 Шестая гла ва
об.
Перевод шестидесятерпчиых цифр в индийские и обратно как целых, так и дробей
Мы переводили дроби к другому знаменателю и определили дроби, записываемые по правилу шестпдссятермч-ных дробей, перед этим в нашем «Трактате об окружности», при определении отношения окружности к диаметру. Иры этом мы довели дроби до поп и поревели их в индийские цифры, чтобы ими владел вычислитель, не знающий исчисления астрономов, для чего мы взяли доли окружности со знаменателем, равным круглому числу— десяти тысячам, повторенным пять раз [CG]. Далее мы разделили целую единицу па десять частей, разделили каждую десятую па десять частей, затем каждую из них па другие десять частей и так далее, разделили первые деления па десятые, таким же образом вторые—на десятичные секунды, третьи—па десятичные терции п так далее, так что разряды десятичных дробен и целых находятся в одном и том же отношении, так же как по правилу исчисления астрономов.
Мы назвали это десятичными дробями. Следует писать десятичные минуты справа от единицы, десятичные секунды справа от десятичных минут, десятичные терцин справа от десятичных секунд и т. д. Таким образом, целые и дроби будут в одной строке и действия с ними—умножение, деление, определение основания степени—таковы же, как по правилам исчисления астрономов; о некоторых из них мы говорили раньше. Определение рода разрядов такое же, как по правилу определения рода разрядов их исчисления, т. е. число разряда для единиц есть нуль, для десятков и десятых—единица, для сотен и десятичных секунд—два, для тысяч и десятичных терций—три, для десятков тысяч и десятичных кварт—четыре и т. д. Сумма чисел двух разрядов простых сомножителей, если они но одну сторону от единиц, и разность между ними, если они по разные, есть число разряда произведения со стороны суммы или со стороны превосходства, а разность чисел двух разрядов простых сомножителей, если они ио "одну сторону от единицы, и сумма их, если, они
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
127
по разные, есть число разряда частного от деления в восходящей цепи, если разряд делимого находится 37 вад разрядом делителя, | и в нисходящей цепи, если не так.
Перевод целых шсстидосяторичных цифр в индийские таков: умножим то, что в высшем разряде, на шестьдесят в индийских цифрах, прибавим к этому произведению то, что в смежном разряде, и так далее, пока не дойдем до разряда градусов. Тогда получим искомое [67].
[Пример перевода числа 2 4G 40 в шсстпдосятсрич-пых цифрах в десятичные] [68]
2 46 4Ю_
120
46
166
9960
40
10000
Другой способ. Возьмем единицы, находящиеся в разряде градусов, это и есть искомые единицы, если же в этом разряде пет единиц, запишем на месте единиц нуль. Затем разделим остальное па десять но шестидесято ричноп таблице, пз того, что получится, возьмем единицы градусов и запишем па место десятков. Затем разделим остаток на десять по шестидосятеричноп таблице, из того, что получится, возьмем единицы градусов и заппшем вх па месте сотен и так далее.
[П р и мер]
2 46 40 10000
16 40
1 40
10
1
Перевод целых индийских цифр в шсстидссяторпчные таков: делим их на шестьдесят, то, что остается,—это
128
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН каши
градусы, частное от деления делим на шестьдесят второй раз, то, что остается,—это поднятые, частное от деления делим па шестьдесят, то, что остается,—это дважды поднятые и так далее.
Другой способ. Умножим то, что в высшем разряде, па десять по шестидесяторичной таблице, чтобы получить шестидесятеричпые цифры, прибавим к произведению то, что в смежном разряде, умножим сумму па десять по шестидесятеричпой таблице, прибавим к этому произведению то, что в смежном разряде, и так далее, пока пе дойдем до единиц. Тогда получим искомое.
[П р и м е р перевода числа 10000 из индийских цифр в шестидесятеричпые] [су|
10000
0 10
0 40 1
0 40 16
40 46 2
Мы привели таблицу, дающую перевод целых индийских цифр в шестидесятеричпые и обратно. Вот эта таблица. Способ се применения ясен.
37 об.
| Таблица п о р е л о д а и и д и й с к и х [ ц и ф р] в шестидесятеричпые [70]
iTT । Чис- | да Десятки Сотни Тысячи Десятки тысяч Сотни тысяч Тысячи тысяч
: 1 10 1 40 16 40 2 46 40 27 46 40 4 37 46 40
! 2 20 3 20 33 20 5 33 20 55 33 20 9 15 33 20
i з 30 5 0 50 0 8 20 0 1 23 20 0 13 53 20 0
4 40 6 40 1 6 40 11 6 40 151 6 40 18 31 6 40
5 50 8 20 1 23 20 13 53 20 2 18 53 20 23 8 53 20
6 1 0 10 0 140 0 16 40 0 2 46 40 0 27 46 40 0
7 1 10 11 40 1 56 40 19 26 40 3 14 26 40 32 24 26 40
8 1 20 13 20 2 13 20 22 13 20 3 42 13 20 37 2 13 20
9 ! 1 30 15 0 2 30 0 25 0 0 4 10 0 0 41 40 0 0
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
129
[Продол ж е п п е]
Десятки тысяч тысяч Сотни тысяч тысяч Тысячи тысяч тысяч Десятки тысяч тысяч тысяч
46 17 46 40 1 32 35 33 20 2 18 53 20 0 3 5 11 6 40 3 51 28 53 20 4 37 46 40 0 5 24 4 26 40 6 10 2213 20 '6 56 40 0 0 1 7 42 57 46 40 15 25 55 33 20 23 8 53 20 0 30 51. 51 6 40 38 34 48 53 20 46 17 46 40 0 54 0 44 26 40 1 143 42 13 20 1 9 26 40 0 0 1 17 9 37 46 40 2 34 19 15 33 20 3 51 28 53 20 0 5 8 3831 640 6 25 48 8 53 20 7 42 57 46 40 0 9 0 7 24 26 40 10 17 17 2 1.3 20 11 34 26 40 0 0 12 51 36 17 46 40 25 43 12 35 33 20 38 34 48 53 20 0 51 26 25 1.1 6 40 1 4 18 1 28 53 20 1 17 9 37 46 40 0 1 30 1.14 4 26 40 142525022 13 20 1. 55 44 26 40 0 0
38
| Перевод данных дробей друг в друга бывает двенадцати [видов], так как данные, т. с. применяемые дроби, бывают четырех родов: простые, шестидссятсричпыо, десятичные и данги с их дробями, и перевод каждой из них в остальные три даст двенадцать. хМы указали в одиннадцатой главе второй книги два из них—перевод простой дроби в данги и тасуджи и обратно. Здесь мы укажем остальные десять.
П с р в ы й. Если мы хотим перевести дробь в шести -десятеричных цифрах в десятичную, т. е. если мы хотим перевести се в индийские цифры и их десятичные дроби, то умножим дробь вшестидссятеричпых цифрах на десять; еслп первый разряд произведения будет частями, т. о. градусами, то они являются десятыми, если же частей нет, запишем на место десятых пуль. Затем умножим полученную дробь без частой па десять. Тогда, если первый разряд произведения является частями, запишем их в тот разряд, который мы называем десятичными секундами, если же нет частей произведения, запишем иа место десятичных секунд нуль. Затем умножим произведение без частей па десять и запишем части произведения па месте десятичных терций, если части имеются, и так далее.
П р и м е р. Мы хотим перевести <8 29 44 терций в десятичную дробь. Запишем подробности действия в 9 Историко-матем. исследования
13U
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
таблице, выражая это таким образом [71]:
Так как минуты произведения 35 33 20 больше половины [градуса], мы поднимем их в виде единицы и части будут равны трем,—это десятичные сексты. Затем напишем цифры, находящиеся в столбце частей, индийскими [цифрами] друг за другом, получится 1 4 1 5 9 3. Это и есть искомое, и самый nj авый из его разрядов есть десятичные сексты [72].
Второй. Если мы хотим перевести десятичную дробь в шсстидосятеричную, умножим ее на шестьдесят, выделенное целое из произведения будет мни ;тамп, если же нет целого выделенного, запишем па месте минут нуль. Затем умножим полученную дробь па шестьдесят, выделенное целое пз этого будет секундами. Если же пот целого 38 выделенного, помещаем на мосте | секунд нуль, и так ои' далее остальные. Приведем запись этого действия, подобную той, которая была раньше. Она какова I73]:
Умножим дробь па шестьдесят и запишем произведение под этим, затем [умножим] дробь произведения на
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
131
шестьдесят и запишем произведение под ним и так далее до тех пор, пока нам нужно. Проводом линии между полученными целыми и дробями.
При м с р. Мы хотим перевести 376 десятичных терций в шестидесятеричпые цифры. Поступаем так: пишем целые числа, находя! инее я в столбце, шестпдесяторичпы-мп цифрами,—это последовательно 22 33 36 терцин. Это и есть искомое I74].
Мы привели таблицу, дающую перевод шестидесятиричных дробей в десятичные и обратно. Вот эта таблица:
Таблица [перевода дробей] [75]
Числа Десятые Десятичные секунды Десятичные терции Десятичные кварты Деся -тнчиые квинты Десятичные сексты
1 6 36 3 26 21 36 2 9 36 12 57 36
2 12 1 12 7 12 43 12 4 19 12 25 55 12
3 18 1 48 1148 1 5 48 6 29 48 38 52 48
4 24 2 24 14 24 1 26 24 8 38 24 51 50 24
5 30 3 0 18 0 148 0 10 48 0 1 4 48 0
6 36 3 26 2136 2 9 36 12 57 36 1 17 45 36
7 42 4 12 25 12 2 31 12 15 7 12 1 30 43 12
8 48 4 48 29 48 2 5348 1717 48 1 43 40 48
9 54 5 24 32 24 3 14 24 19 26 24 1 56 38 24
минут секунд терций кварт квинт секст
[II р о д о л ж е и в е|
Десятичные септимы десятичные октавы Десятичные ИОВЫ Десятичные децимы
1 17 45 36 7 46 33 36 47 39 21 36 4 27 56 9 36
2 35 31 12 15 33 7 12 1 29 18 43 12 8 55 52 19 12
3 53 17 48 23 19 40 48 2 13 58 4 48 13 23 48 28 48
5 11 2 24 31 6 14 24 2 58 37 26 24 17 41 44 38 24
6 28 48 0 38 52 48 0 3 43 1648 0 22 19 40 18 0
7 45 33 36 46 39 21 36 4 27 56 9 36 26 17 36 57 36
9 4 19 12 54 25 55 12 5 12 3531 12 3115 33 7 12
10 22 5 48 1 2 12 28 48 5 57 14 52 48 35 43 29 16 48
И 39 50 24 1 9 59 2 24 6 41 54 1.4 24 40 11 25 26 24
септим октав поп дицим
9*
132
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
39 | Действия с этой таблицей не скрыты от проница-
тельного.
Г р с т и й. Мы хотим упростить шестндссятеричную дробь, т. с. представить со с одним знаменателем. Умножим минуты на шестьдесят и прибавим к произведению секунды, умножим сумму па шестьдесят и прибавим к произведению терции и так далее до такого разряда, до какого хотим.
Гаким образом, последнее произведение будет дробью, а знаменатель этого разряда будет ее знаменателем.
Затем перейдем к наименьшим из чисел с тем же отношением, если они по таковы. Знаменатели разрядов это шестьдесят и их последовательные степени. Поместим их в этой таблице:
[Таблица з н а ме и а т е л е й разрядов] [7С]
60 знаменатель минут
3600 знаменатель секунд
2160О0 знаменатель терций
12960000 1 знамепатель кварт
777600000 знаменатель КВН н г
46656000000 знаменатель секст
2799360000000 знаменатель септ нм
167961600000000 знаменатель октав
10077696000000000 знаменатель нон
604661760000000000 знаменатель децим
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
133
Четвертый. Мы хотим [получить] обратное, т. е. хотим перевести простую дробь в шестидесятиричную. Переведем и числитель дроби, и ее знаменатель в шестиде-сятерНчные цифры, как если бы они оба были целыми, как мы указали. Затем разделим цифры числителя на цифры знаменателя по шсстидссятернчиой таблице. Частное и есть искомое.
П р и м е р. Мы хотим перевести дробь в шестидесятиричную дробь. Переведем каждое из этих чисел [125 и 1236] в шестидесятеричпые цифры. Получатся числитель 2 5 и знаменатель 20 36. Разделим первое па второе. Частное от деления ость 6 4 4 39 36 квинт, причем мы отбросили остаток [77].
П я т ы й. Мы хотим упростить десятичную дробь. Запишем ее па мосте числителя течь в точь [а знаменатель последнего разряда—на место знаменателя]. Затем перейдем к наименьшим пз чисел, с том же отношением, если они по таковы.
Знаменатели разрядов это десять и их последовательные степени.
Ill е с г о и. Мы хотим [получить] обратное, т. е. хотим перевести простую дробь в десятичную. Разделим цифры числителя на цифры знаменателя, частное и есть искомое [78].
за П р и мер. Мы хотим норе вести дробь 22 в дсся-об. 85
тнчную дробь. Делим се числитель, [т. о. 22], на знаменатель, т. о. 85, как мы указали в четвертой главе первой книги. Частное от долепим есть 2588 десятичных кварт, последующее мы отбросили.
Мы определяем разряды так, как сказано в начале этой главы [79].
Седьмой и восьмо и. Мы хотим перевести шсстидосятеричплго или десятичную дробь в данги, тасуджи и шапры. Умножим их на шесть, т. е. па знаменатель дангов: выделенное целым—это число дангов. Затем умножим остаток на четыре; выделенное целым- эго число тасуд-жей. Затем умножим остаток на четыре; выделенное целым—это число шайров.
134
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
П р и мер. Мы хотим перевести 20 58 44 терции в данги, тасуджи, шайры и их доли. Поступаем так [80]:
То, что находится в столбце целых,—это последовательно числа дапгов, тасуджей и их долей. Это приблизительно два данга, один шайр; три дата, одни тасудж п два шанра шапрсв.
Пример перевода .десятичной дроби в данги и тасуджи. Мы хотим шзревостп 8495 десятичных кварт в данги и их доли. Поступаем так:
КЛЮЧ к АРИФМЕТИКЕ
135
«о | Д с вятый ц де с яты й. Мы хотим перевести дангп, тасуджн п шапры в одно из этих двух [шестидесятеричные или десятичные дроби). Упростим пх так, как мы указали в одиннадцатой главе второй книги, а затем переведем эту простую [дробь] в эти две, как выше в четвертом и шестом [случаях].
ЧЕТВЕРТАЯ КНИГА
ОБ ИЗМЕРЕНИИ, СОСТОЯЩАЯ ПЗ ВВЕДЕНИЯ II ДЕВЯТИ ГЛАВ, СОСТОЯЩИХ ПЗ РАЗДЕЛОВ
Введение
Определение измерения и применяемых в нем терминов
Измерение—получение величины, указывающей, сколько содержится в измеряемом равных измеряющему или ого частям или п того, и другого.
Мера—для липин —данная линия, например локоть, сустав камыша, стежок, ступня пли палец I81] и так далее, для поверхности—квадрат данной липни, для тела—со куб. Иногда поверхности измеряют не квадратом меры, а тела— по кубом меры, как, например, при измерении ткани и платья—прямоугольником, одна пз сторон которого есть локоть; при измерении зданий, колонн и сводов в постройках—с помощью сырого п обожженного кирпича, представляющего собой тело, ограниченное шестью поверхностями, две пз которых—квадраты, а четыре—прямоугольники, в которых длинные стороны равны сторонам квадрата, а углы, под которыми пересекаются поверхности,— прямые; при измерении небесных тол—с помощью земного шара.
Точка—это то, что не имеет частой.
Линия—то, что имеет только длину.
Посерзсностъ—то, что имеет только длину и ширину. Тело—то, что имеет длину, ширину и глубину.
Прямая линия—кратчайшая линия между двумя точками [82].
136
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Круглая линия —такая, которая проводится циркулем. Кроме того, имеются кругообразные кривые, приближающиеся к круглым, с первого взгляда кажется, что они круглые.
Плоская поверхность—такая, которую можно продолжать во всяком направлении но прямой линии.
Круглая поверхность—такая, что если ее пересекать плоскими поверхностями, получится круг.
Параллельные прямые линии—такие, которые никогда по пересекутся, как бы пи продолжали их в обоих направлениях до бесконечности. Такие же плоские поверхности [никогда не пересекутся], как бы ни продолжали их во о всех направлениях. Прямые. | и плоские поверхности параллельны, если расстояния между ними нс отличаются друг от друга.
Плоский угол—то, что ограничивается двумя прямыми линиями, пересекающимися в одной точке и не сливающимися в одну.
Если продолжить одну из этих линий, образуется другой угол. Еслп он равен первому углу, это прямой угол;
Прямой
Прямой
если отличается и уже прямого, это острый угол; а если шире его, это тупой.
Тупой
Острь/й
Если пересечение двух линий предполагается центром и из него описывается круг, то дуга круга, находящаяся между линиями, является мерой этого угла.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
137
То, что ограничивается двумя непрямыми линиями, тоже называется углом.
Телесный угол—то, что ограничивается гремя пли более плоскими поверхностями при одной точке, а также то, что ограничивается [плоскими поверхностями и] круглой поверхностью или несколькими [такими поверхностями].
П ер л а я I’ л а в а
Об измсреямп треугольников и об относящемся к этому, состоящая из трех разделов
Первый раздел
Об определении треугольника и его видах
Треугольник—это поверхность, ограниченная тремя прямыми линиями, называемыми сторонами треугольника.
Высота треугольника—это прямая линия, проведенная из одного из ого углов перпендикулярно к стягивающей его стороне, как внутри, так и вне треугольника. Эта сторона н азы ваетс я основа наем.
Ц-чппр треугольника—это точка его поверхности, расстояния которой до всех сторон равны, т. е. если провести пз нее круг, он будет касаться всех сторон. Поэтому он называется серединой диаметра внутреннего круга.
Кроме центра треугольника имеется и центр внешнего круга, касающегося его углов, по при измерении мы нуждаемся только в центре внутреннего круга. Он называется центром треугольника аллегорически.
Виды треугольника таковы: равносторонние, равнобедренные, прямоугольные, тупоугольные и остроугольные. Вот они:
Остроугольный Тупоугольный Прямоугольный Равнобедренный равносторонний
138
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Второй раздел
Об из м е р е и ин т р е у г о л ь и и к о в в о о б щ е и о б о п р е д слеп и и расет о я и и й в п и х
Д ру г чсрез д р у г а
Способ пх измерения таков: умножаем их высоту иа половину их основания, т. с. измеряем высоту и основание и вместе локтем или другой мерой, и умножаем | одно из полученных [чисел] па воловину другого.
Другой вид. Умпожн.п высоту, опущенную из центра треугольника па стороны, па половину суммы сторон. Получится его площадь.
Другой способ, при котором не нуждаются в высоте. Возьмем разность половины суммы сторон треугольника с каждой стороной и умножим одну из разностей па одну из двух других разностей, произведение—па последнюю разность, а это произведение—на половину суммы сторон п возьмем корень последнего произведения. Это и есть площадь треугольника.
П р п м е р [83]. Пусть одна из сторон треугольника есть десять, другая —семнадцать, а последняя—двадцать один. Тогда половина суммы сторон есть 24, ос разность с десятью есть 14, с семнадцатью—7, а с двадцатью одним— 3. Умножим 14 па 7, получится 98, умножим это на 3. получится 294, умножим это на 24, т. е. половину суммы сторон, получится 7056. Возьмем корень из этого, будет 84. Это и ость искомое.
Что касается определения одних расстояний через другие, то к этому относится прежде всего определение места падения высоты. Здесь действуют руками [S4J; считают длинную сторону основанием—не по необходимости, а но первенству—и описывают из стягиваемого сю угла
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
139
круг на расстоянии мспыпсп стороны. Середина того, что попадет в этот круг из основания, стягивающего этот угол, как внутри треугольника, так и вне его, если продолжить основание в его направлении, и есть место падения высоты.
П р и м о р. Мы хотим найти место падения высоты, опущенной из угла А треугольника АВС на сторону ВС. Считая точку Л центром, опишем из нее на расстоянии АВ круг FBG и разделим пополам [линию I ВС, попадающую в круг, в точке Е. Это и будет место падения высоты. Соединим ЛЕ.
Эго будет высота, которая будет внутри треугольника па нервом чертеже и вне треугольника па втором чертеже [85].
41
Об-
| Либо [здесь действуют] вычислением: если мы хотим опустить из одного пз углов треугольника высоту на его сторону, умножим сумму двух сторон, ограничивающих этот угол, на разность между ними и разделим произведение на оставшуюся сторону, [т. о. па ту], па которую падает высота. Еслп то, что получилось, равно оставшейся стороне, то меньшая пз этих сторон перпендикулярна к основанию, если [то, что получилось], меньше ее [оставшейся стороны], то место падения высоты находится внутри треугольника, а если [то, что получилось], больше ее [оставшейся стороны], то место падения находится вне его. Расстояние места падения от пересечения оставшейся стороны, т. е. основания, с более короткой из двух остальных сторон равно половине разности между основанием и частным [8С>].
II р и м о р. Пусть в треугольнике АВС сторона АВ есть десять, АС—семнадцать, а ВС—двадцать один. Мы
140
ДЖЕМШПД ГПЯСЭДД.ПН КАШИ
хотим определить расстояние места падения высоты, опущенной из топки А на сторону ВС от одного пз ее концов. Сумма АВ, АС ость 27, разность их есть семь, произведение -189. Разделим это па сторону ВС, являющуюся оспо-ванном, т. е. 21. Частное от деления есть девять. Так как это меньше основания, находим, что высота упадет внутри треугольника. Сторона ВС—самая длинная из сторон, возьмем ее снова и вычтем частное о г деления из основания, т. е. [21]. Половина остатка есть шесть. Это и есть расстояние места падения высоты от точки [ТУ].
Знай, что произведение суммы каждых двух чисел на их разность равно разности их квадратов. Начертим это таким образом I87]:
2 6 4
Другой пример. Мы хотим найти место падения высоты, опущенной пз точки С. Сложим стороны АС, ВС, получится 38. Умножим это па их разность, т. с. четыре, получится 152. Разделим это на сторону АВ, т. с. десять. Частное 15 < о
от деления есть -1. Так как это больше.* основания АВ, 5
находим, что эта высота упадет вне треугольника. Отпи-5
мем [от частного] сторону АВ, останется 1, половина 5
2
этого есть 6. Это п есть рас стояние моста падения высо-10
ты от точки [/1]. Это и ость искомое.
42 Другой пример, в котором | частное является целым. Пусть в треугольнике одна из сторон АВ есть десять, ВС—девять, а АС—семнадцать. Мы хотим определить высоту, опущенную пз точки Л. Сложим стороны АВ,
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
141
АС, получится 27. Умножим это па их разность, т. о. семь, получится 189. Разделим это па сторону ВС, т. е. па девять. Частное от деления есть 21. Так как это больше стороны ВС, находим, что высота упадет вис треугольника. Половина разности между этим частным и основанием ость шесть. Это и есть расстояние места падения высоты, опущенной на пес, от точки В.
Другой способ. Возьмем разность между квадратом одной из сторон и суммой квадратов двух остальных сторон, причем предположим, что одна из этих двух сторон есть основание. Разделим половину разности между ними на основание. Получится расстояние моста падения высоты от угла, стягиваемого первой стороной. Если превосходство имеется на стороне квадрата первой стороны, место падения высоты находится вне треугольника со стороны этого угла. Если разности нет. этот угол будет прямым. Если превосходство имеется на стороне суммы двух квадратов п половина разности [между квадратом первой стороны и суммой квадратов двух остальных сторон] меньше квадрата основания, то высота находится внутри треугольника; если они равны, то угол, ограниченный первой стороной и основанием, является прямым, и если половина разности больше квадрата основания, то высота находится вне -лого угла, причем [в этом случае] частное от деления, т. е. расстояние места падения высоты от угла, стягиваемого первой стороной, больше основания [8В].
11 р и м е р. В предыдущем треугольнике квадрат стороны АС есть 289. Вычтем из этого сумму двух остальных квадратов, т. о. 181. Останется 108. Здесь превосходство имеется па стороне квадрата первого основания, откуда находим, что высота упадет вне [треугольника] со стороны угла В. Разделим половину этого, т. е. 54, па сторону ВС, т. е. девять. Частное от деления есть шесть. Это и есть расстояние места падения высоты от точки В.
Д р у г о й и р п м о р. Вычтем квадрат \В, т. е. 100, из суммы двух других квадратов, т. о. 370. Останется| 270. Разделим половину этого, т. о. 135, на основание, т. с. девять. Частное от деления есть 15. Это и есть расстояние места падения высоты от точки С в направлении В, выходящем вовне, так как половина разности суммы квадратов
142
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
больше [половины] квадрата основания. Если мы вычтем основание, останется расстояние от точки В равное шести. Это и есть искомое.
Болес кратко: вычтем квадрат одной пз двух коротких [сторон] из суммы квадратов двух других и разделим половину остатка ла длинную [сторону]. Частное есть расстояние места падения высоты на длинную [сторону] со стороны другой короткой; в этом случае место падения находится внутри треугольника.
Или: умножим сумму коротких сторон на их разность, разделим произведение на длинную [сторону], вычтем частное от деления из длинной [стороны] и разделим остаток пополам. Частное есть расстояние места падения высоты на длинную сторону со стороны другой короткой; в этом случае место падения находится внутри треугольника.
Среди задач: определение величины высоты. Умножим расстояние мосла падения высоты от одного из концов основания па себя, вычтем произведение из квадрата стороны, смежной с этой стороной, и возьмем корень остатка. Это и есть высота.
Пример определения высоты п измерения. Линия BE есть расстояние места падения высоты, полученное при первом действии, т. о. шесть. Ес квадрат есть 36. Вычтем это пз квадрата АВ, т. е. 100. Останется 64. Корень пз этого есть восемь. Это и есть величина высоты. Умножим 10
это на 1, т. е. половину основания первого треугольника, получится 84. Это и есть его площадь; это соответствует тому, что было раньше [8У].
Другой метод. Если один из углов треугольника известен, умножим его синус на одну из двух ограничивающих его сторон и для того, чтобы определить высоту, падающую на другую сторону, разделим произведение иа шестьдесят. Если мы проделаем то же с косинусом, мы получим расстояние места падеьия высоты, падающей из этого угла р’°]. Значение синуса и ого таблицы мы разъясним далее.
II р и м е р. Угол АВС упомянутого треугольника таков, что ого синус, согласно тому, что будет разъяснено
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
143
далее, есть 48 0 0. Умножим это на сторону АВ, т. е. десять, и разделим произведение на шестьдесят. Частное от деления есть восемь. Это и ость высота [падаюш,ая] на сторону ВС.
Среди задач: определение углов треугольника, если известны стороны. Получим высоту так, как было сказано, затем определим синусы углов, ограничиваемых основани-43 ом, умножив | высоту на шестьдесят н разделив это произведение па каждую из сторон, прилегающих к вершине высоты. Далее будем искать частное or деления па стороны в таблицах синусов для того, чтобы получить величину каждого пз углов. Если высота упадет внутри треугольника, вычтем сумму этих углов пз ста восьмидесяти, получим оставшийся угол. Если же она [упадет] вне его, мы возьмем разность между ними, это также будет оставшийся угол Р1].
П р и м е р. Умножим полученную высоту, т. е. 8, на шестьдесят. Получится 480. Разделим это па каждую из сторон АВ, АС рассматривавшихся нами двух треугольников. Для первой [стороны] получится 48 0 0, для второй- 28 14 7. Ищем их в таблицах, иаходшм для первой 53 7 49,- это величина угла В в нервом треугольнике и его дополнение до двух прямых во втором треугольнике, для второй [стороны] получаем 28 4 22,—это величина угла С в обоих треугольниках.
Среди задач: известна сторона и два угла треугольника, остальное неизвестно. Вычтем сумму двух углов из ела восьмидесяти, получится оставшийся [угол]. Далее умножим известную сторону па синус каждого из углов, примыкающих к ее концам, и разделим произведение на синус угла, стягивающего известную сторону. Частное есть сторона, стягивающая угол, на синус которого мы множили известную сторону [У2].
. Среди задач: известны две стороны и угол между ними, остальное неизвестно. Умножим одну из двух сторон сначала па синус угла, а во второй раз на его косинус и вычтем второе произведение из другой стороны, если угол острый, или прибавим к ной, если угол тупой. То, что получится, возведем в квадрат, прибавим к этому квадрат первого произведения и возьмем корень из этой суммы.
144
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
43 об.
Это п будет оставшаяся сторона. Еслп же угол прямой, сумма квадратов двух сторон равна квадрату оставшейся стороны,—мы называем этот случай сокращенным [93]. Еслп в счете участвуют части, минуты, секунды и так далее, в случае необходимости применяется деление произведения на шестьдесят.
П р и м е р. Пусть в нервом треугольнике известны [стороны] АВ, ВС п угол В, остальное неизвестно. Умножим сторону АВ, т. с. десять, | па синус угла В, т. о. сокращенно 48 [94], получится 8. Умножим это другой раз на косинус этого угла, т. о. сокращенно 3(5, получится 6. Так как известный угол острый, вычтем это из стороны ВС, т. е. 21, останется 15. Квадрат этого есть 225, а квадрат первого произведения 64, сумма обоих квадратов есть 289, а кореш, из псе 17. Это и ость оставшаяся сторона.
Средн задач: известны две стороны и угол, по находящийся между ними, остальное неизвестно. Xмножим синус известного угла па сторону, которая вместе с неизвестной стороной ограничивает этот угол, и разделим произведение на сторону, стягивающую этот угол. Час гное есть синус уг.ла, стягиваемого другой стороной, т. е. гой стороной, на которую множили. Его дугу прибавим к известному углу п вычтем сумму из ста восьмидесяти, останется угол, ограничиваемый известными сторонами. Умножим его синус на одну из сторон и разделим произведение на синус угла, стягиваемого этой стороной. Частное есть оставшаяся сторона |95].
11 р и м о р. Умножим синус угла В, т. о. 48, на сторону АВ, т. е. 10. Произведение есть 8 О. Разделим это па сторону . 1С, т. е. 17. Частное от делен ня есть синус угла ('. Это 28 14 7 Его дуга есть 28 4 22. Прибавим это к углу В первого треугольника, т. е. 53 7 49, и вычтем сумму пз 180, останется 98 47 49. Это угол Л, его синус 59 17 39. Умножим его на сторону АВ, т. о. 10, получится 9 52 56 30. Разделим это иа синус угла С. Частное от деления есть 21. Это п есть сторона ВС, которая была искомой.
Среди задач: известны углы, а стороны неизвестны. Здесь имеется единственный способ: надо предположить величину одной из сторон. Пусть это будет единица. Разделим синусы каждого из остальных углов па синус
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
145
угла, стягиваемого стороной, по предположению равной единице. Тогда частное от деления ость величина той стороны, которая стягивает угол, синус которого был делимым.
З^Среди задач: [определение] высоты, опущенной из центра треугольника. [Она решается] либо действием рук: разделим ионолам два его угла двумя линиями. Пересечение этих линий является центром треугольника. Опустим из этого центра высоту на одну из сторон. Это и есть искомое.
Либо [здесь действуют] вычислением: умножим одну из двух сторон па другую и разделим произведение на сумму трех сторон. Умножим частное на синус угла, ограничиваемого сомножителями, и разделим произведение на шестьдесят. | Частное есть высота, опущенная из центра треугольника на каждую из сторон [06].
II р и м ер. В предыдущем треугольнике умножим десять на 21, получится 210. Разделим это па сумму сторон, т. е. 48. Частное от деления ость 4 22 30. У множим это па синус угла Л НС, г. е. 48 0 0. Получится 210. Разделим это па шестьдесят. Частное от деления есть три с половиной. Это п есть высота, опущенная пз центра треугольника на сторону. Умножим это на половину суммы сторон, т. о. 48. Получится 84. Это есть его площадь, в точности такая же, как показано раньше. Определение высоты этим способом открыто нами.
Третий раздел
О б и з м е р е н и и р а в н о с т о р о п п и х треугольников в частности и об о и р е д е л о н и и р а с с т о я и и й в в и х д р у I ч о р е з д р у г а
Для измерения равносторонних треугольников имеются другие способы помимо тех, о которых мы говорили.
П е р в ы й: возьмем квадрато-квадрат [половины] одной пз сторон, умножим его на три и возьмем корень из произведения; то, что получается, и есть площадь [97].
Второй: возьмем корень из трети квадрато-квадрата высоты. Получится площадь [98].
10 Исторпко-матем. исследования
146
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДПН КАШИ
Трети й: умножим квадрат одной из сторон на 25 58 50 44 37 квинт. Получится площадь ["].
Четвертый: умножим половину одной восьмой суммы сторон на куб одной стороны пли разделим одну сторону на пять с третью и умножим частное на куб одной стороны и возьмем корень пз произведения. Получится площадь [10°].
Определение расстояний друг через друга. Возьмем король из трех четвертей квадрата одной стороны, это есть высота.
Треть высоты это высота, опущенная пз центра треугольника, т. о. половина диаметра круга, касающегося середины всех его сторон [101].
Прибавим к квадрату высоты, опущенной пз угла на основание, треть квадрата и возьмем корень пз суммы. Получится величина одной стороны.
Умножим сторону па 51 57 41 29 14 квинт. Получится высота [102].
Возьмем треть квадрата стороны, а затем возьмем корень из этого. Получится половина диаметра круга, окружающего треугольник и касающегося ого углов [103].
Возьмем половину одной шестой квадрата стороны, а затем возьмем корень из этого. Получится высота, опущенная из центра па середину стороны В04].
В этом треугольнике центр внутреннего круга, касаю-об. щегося сторон, и внешнего круга, касающегося углов, один и тот же в отличие от [треугольников] с различными сторонами.
Вторая гл а ва
Об измерении четырехугольников и об относящемся к этому, состоящая пз пяти разделов
Первый раздел
Об определениях
Четырехугольник—это такая поверхность, которая ограничена четырьмя прямыми линиями. Сюда входят [поверхности] с равными сторонами и с разными, а также
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
147
с равными углами и с разными, так что имеется четыре вида:
П е р в ы и: с равными сторонами и углами, [такие четырехугольники] называются квадратами.
Второ й: с равными углами и разными сторонами, [такие четырехугольники] называются прямоугольниками. У этих двух родов общее то, что их диагонали, т. с. линии, соединяющие противоположные углы, равны.
Т р о т и й: с равными сторонами и разными углами, [такие четырехугольники] называются ромбами. У этого с первым общее то, что диагонали пересекаются под прямым углом, у всех трех общее—параллельность [противоположных] сторон.
Четверты й: с разными сторонами и углами. У этого вида либо каждые две противоположные стороны параллельны и равны, а остальные не равны, [такие четырехугольники] называются ромбоидами [105], у них общее с первыми тремя—параллельность [противоположных] сторон.
Либо [у этого вида] две стороны параллельны, а остальные по параллельны, [такие четырехугольники] называются трапециями', их три вида:
Первый: однокрылые—у которых одна из двух непараллельных сторон перпендикулярна к параллельным.
Второй: равнокрылые —у которых две непараллельные стороны равны.
Третий: равнокрылые—у которых непараллельные стороны не равны и ни одна из них не перпендикулярна к параллельным сторонам. Это различие может быть также в различных направлениях.
Либо [у этого вида! две смежные стороны равны и также две другие, и две первые [стороны] противоположны двум другим, а пересечение диагоналей находится внутри, это называется двуруким', у этого [четырехугольника] два противоположных угла необходимо равны: если это прямые углы, зодчие называют это «миндалем», если это тупые углы, столяры называют это «ячменным зорном», если же это острые углы, мы будем 10*
I'i8
ЛЖЕМШ1И ГИЯСЭДДИН КАШИ
называть это «чашей»; во всех трех случаях диагонали пе-'*•’ ресекаются иод прямым углом, так же | как у квадрата и ромба; дополнение двурукого до ромба называется двуногим.
То. что по является этими фигурами, называется косым. Одни из углов этого может быть прямым, это называется косым с прямым углом: если же не так, это будет [косое] без прямого угла.
Вот их изображение [106]:
Второй раздел
О б и з м е р с н и и к в а д р а т а и п р я м о у г о л ь-н и к а я об о и р с д е ле и и и р а с с т о я н и п в и и х д р у г ч е р е з друга
Площадь его [квадрата пли прямоугольника] получается умножением длины на ширину, т. е. одной из сторон па со смежную.
Другой способ. Умножим одну из диагоналей па перпендикуляр, восставленный из одного из остальных углов. В случае квадрата он равен половине диагонали .
Определение расстояний друг через друга. Возьмем корень пз суммы квадратов двух смежных сторон. Это будет диагональ. Поэтому квадрат диагонали квадрата равен двум квадратам ого сторон. Если мы умножим сторону квадрата па I 24 51 10 7 46 квинт, получится его диагональ, а если мы разделим диагональ на это пли умножим се па половину этого, т. о. 42 25 35 3 58 квинт, получится его сторона [10?].
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
149
Определение высоты, опущенной из угла прямоугольника па диагональ, таково же, как определение высоты треугольника.
Третий раздел
Об п з м е р е н и и
о п р с д е л е п и и
р о м б а п д в у р у кого и о б р а с с т о я в и й в п и х д р у г
ч е р е з д р у г а
Площадь его [ромба н.ш двурукого] получается умноженном одной пз диагоналей па половину другой, это у них общее с квадратом.
Специально для площади ромба: вычтем квадрат раз-45 пости I двух половин диагоналей из квадрата одной пз 1 ’ riosi
сторон, остаток есть площадь ромоа | |.
[П р и м о р]. Каждая пз сторон ромба—десять, длинная диагональ —шестнадцать, короткая—двенадцать. Если мы умножим шесть па шестнадцать, получим площадь, это будет девяносто шесть. Еслп мы возьмем остаток от вычитания половины диагоналей, т. е. два, возведем его в квадрат, т. о. получим [четыре], и вычтем это из квадрата одной стороны, т. е. ста, остаток также будет девяносто шесть.
Специально для площади двурукого: вычтем сумму квадратов разностей между половиной его диагонали, делящейся другот'| пополам, и каждым пз отрезков, па кото рыо другая диагональ делится первой, из суммы квадратов двух разных сторон н разделим помолам остаток. Это есть его площадь [109].
Пример с двуруким. Одна из его коротких сторон —десять, [одна I из длинных—семнадцать, короткая диагональ -шестнадцать, длинная—двадцать один. Если мы умножим восемь па 21, получится его площадь 168. Еслп мы возьмем разности между половиной короткой диагонали и каждым из отрезков длинной, то одна пз них есть два, а другая семь, как это ясно пз первого треугольника второго раздела первой главы [110] и будет ясно здесь при определении расстояний. Сумма пх квадратов есть 53. Вычтем это из суммы квадратов разных сторон, т. е. 389. останется 336.
150
ДЖВМШИД ГИЯСЭДДИП НАШИ
Разделим это пополам, будет 168, что согласуется с первым вычислением.
Если два из ого углов прямые, то ого площадь получается умножением одной из его сторон на другую.
Определение расстояний друг через друга. Умножим синус половины одного из углов ромба на одну из ограничивающих его сторон и разделим произведение па шестьдесят. Частное ость половина диагонали, стягивающей этот угол.
Так же обстоит дело и с двуруким, если мы действуем с одним из его разных, а не равных углов. Если мы поступим так же и удвоим частное от деления, это будет диагональ, стягивающая эти углы, т. е. соединяющая два равных угла.
Если мы хотим определить диагональ, соединяющую два разных угла, возьмем половину дополнения каждого из разных углов, умножим ого синус на сторо-6 ну, ограничивающую этот | угол, и разделим произведение па шестьдесят. Получим каждый из отрезков указанной диагонали, тем самым мы получим эту диагональ [1П].
Если известна одна нз двух диагоналей ромба, то вычтем квадрат ос половины пз квадрата одной стороны, останется квадрат половины другой диагонали.
Если известна диагональ, соединяющая два равных угла, когда речь идет о двуруком, вычтем квадрат ее половины из квадрата каждой из двух разных сторон,
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
151
останется квадрат каждого из отрезков его другой диагонали.
Пример с указанным двуруким. Половина малой диагонали—восемь, ее квадрат—64. Вычтем это сначала пз квадрата меньшой стороны, т. е. 100, останется 36. Корень из этого есть шесть, это меньший пз отрезков длинной диагонали. Вычтем это в другой раз из квадрата длинной стороны, т. о. 289, останется 225. Корень из этого ость 15, это более длинный отрезок. Диагональ, соединяющая два разных угла, есть сумма этого. Эта диагональ образует два треугольника и половина другой диагонали получается как высота этого треугольника.
Четвертый раздел
Об измерении ромбоида и трапеций и о б о п р е д е л е н и и расстояний в них друг через друга
Площадь его [ромбоида или трапеции ] получается умножением высоты, опущенной из одного из ого углов на одну пз двух параллельных [сторон], па половину суммы двух параллельных [сторон], па которые падает высота. Это у них общее с ромбом.
Определение высоты—либо действием рук по тому же правилу, что и раньше для треугольников, либо вычислением.
Для равнокрылых возьмем корень из разности между квадратом половины разности двух параллелен и квадратом одной из остальных.
Когда речь идет об однокрылых, это более короткая пз непараллельных сторон, опа равна корню из разности между квадратом большой из указанных двух сторон п квадратом разности двух параллелей.
Когда [речь идет] о разнокрылых, в том случае, когда угол, ограничиваемый более длинной пз двух параллелей и более короткой из двух остальных [сторон], острый, оба крыла [направлены не в одну сторону, а если этот угол тупой, эти крылья направлены] в одну сторону.
152
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
46 об.
В этом случае высота получается так же, как опа получалась в треугольнике: отбросим более короткую из двух параллелей и равное ей пз более длинной, и будет как в треугольнике, т. е. остаток будет основанием треугольника, и высота получится способом, указанным для треугольника. Этот способ охватывает все виды трапеций, у которых [крылья направлены] нс в одну [и в одну] | стороны I112].
Если известен один из углов ромбоида, то умножим его синус на более короткую из ограничивающих его сторон. То, что получится, есть высота, как было сказано для треугольника.
Если мы умножим синус известного угла ромбоида па одну пз ограничивающих его сторон, мы получим высоту, падающую на другую сторону. Если же он [угол] неизвестен, нет другого способа, кроме действия рук.
Пятый раздел
О б и з м е р е и и и д в у и о г и х и к о с ы х
Соединим противоположные углы его [косого] прямой линией, получатся два треугольника, затем измерим пх и сложим то, что получится. Это и есть искомое. Это общее для всех четырехугольников [113].
У двуногих соединим углы его пог прямой линией и площадь меньшего из полученных треугольников вычтем из площади большего. Остаток есть искомое. Или умножим половину этой липин па линию, соединяющую два остальных у’пза.
Измерение фигуры, называемой «картина», таково же, как и косого. Это неправильное название, и мы не приводим этого [1и].
Определение расстояний в том случае, когда некоторые пз углов [четырехугольника] известны, производится по правилам треугольников после разделения четырехугольника на два треугольника.
Если же нс так, получаем высоты действием рук, как раньше.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
133
Третья глава
Об пзмеренпп многоугольников и об относящемся к этому, состоящая из пяти разделов
Первый раздел
Об определениях
Многоугольник—это такая поверхность, которая ограничена более чем четырьмя прямыми линиями, как, например, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник, восьмиугольник и так далее. Они бывают с равными сторонами и углами или с разными, или одни пз них равны, а другие разные. В первых можно начертить круг, касающийся всех их сторон, это возможно и для некоторых из вторых.
Второй раздел
О б и х и з м е р е в и и в о о б щ е и о б определении р а с с т о я и и й в них друг через друга
Их измерение, общее для всех, таково:1 мы разделяем их на треугольники, измеряем их и складываем их все.
Другой вид, если можно начертить такой круг, который касается всех его сторон. Это имеет место для равностороннего, когда круг касается середин всех ого сторон.
Умножим половину диаметра этого круга на половину | суммы сторон, получим площадь. Половина диаметра этого круга определяется либо действием рук, состоящим в том, что мы делим пополам два его угла двумя пересекающимися линиями, место пересечения этих лишит является центром этого круга, из этого центра мы опускаем пср-пендикуляр на одну из сторон и измеряем его. Либо [это определяется] вычислением: умножаем синус половины одного из его углов па косинус половины другого угла, смежного с первым, делим произведение на синус половины второгогугла,j прибавляем частное от деления
154
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
к косинусу половины первого угла, делим на эту сумму синус половины первого угла и умножаем частное на величину стороны, находящейся между этими углами. То, что получится, есть величина половины диаметра этого круга в тех частях, в которых заданы стороны [п5].
Третий раздел
О ранее по указанных свойствах равносторонних и равноугольных [многоугольников] и об определении расстояний в них друг через друга
Что касается площади, то умножим квадрат одной стороны пятиугольника на 1 43 13 43 7 8 квинт, шестиугольника—на 2 35 53 44 27 52 квинты, семиугольника—на 3 38 2 5 18 40квинт, восьмиугольника—па 4 49 42 20 15 32 квинты, десятиугольника—па 7 41 39 9 21 36 квинт, двенадцатиугольника—на 11 11 39 39 6 35 квинт, пятнадцатиугольника- на 17 38 32 30 23 19 квинт, шестпадцати-угольника—на 20 6 33 41 19 16 квинт. Получится площадь того, что имеет данную сторону.
Эти числа—коэффициенты для квадрата одной стороны, пх части соответс'1 вуют [частям] того, что имеет данную сторону. Мы записали их в таблице цифрами вместе с результатами их удвоения для того, чтобы, если при переписке копии произошла бы ошибка, было легче исправить ее путем сопоставления. Мы перевели также все эти количества в индийские цифры, не являющиеся такими точными, и взяли все дроби с одним и тем же знаменателем, равным тысяче тысяч [11е], чтобы было аналогично правилу исчисления астрономов, так как здесь у целого имеются десятые, у десятых—также десятые, которые мы назвали десятичными секундами, у этих десятых—десятые, называемые десятичными терциями, и так далее до десятичных секст.
Мы поместили в таблицах эти цифры и написали их таким образом:
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
155
| [Т аб ли ца от и о ш ен и й м п о г о у г о л ь и и к а к квадрату стороны в шестидесятиричных цифрах] [11;]
Мпогоугольпнк Число Результат удвоения
Пятиугольник . . Шестиугольник .... Семиугольник ... Восьмиугольник Десятиугольник .... Двенадцатиугольник . Пятнадцатиугольник . . . Шестпадцатпугольппк . . . 14313 43 7 8 2 35 53 44 27 52 3 38 2 5 18 40 4 49 42 20 15 32 7 41 39 9 21 36 11 11 39 39 6 35 17 38 32 30 23 19 20 6 3341 19 16 3 26 27 26 14 16 5 11 47 28 55 44 7 16 4 10 37 20 9 39 24 40 31 4 15 22 18 18 43 12 22 23 1918 13 10 3517 5 0 46 38 4013 7 22 38 32
квинт квинт
I [Т а б л и ц а о т и о in с и и й м и о г о у г о л ь и и к а к квадрату сторон в индийских цифрах]
I118]
Многоугольник Число Результат удвоения
Пятиугольник 1720181 3440962
Шестиугольник 2598076 5196152
Семиугольник 3638665 7277330
Восьмиугольник 4828428 9656856
Десятиугольник 7694210 15388120
Двенадцатиугольник . . . 11196152 22392304
Пятнадцатиугольник . . . 17642363 35284726
Шестнадцатлуголыгик . . 20109356 40218712
десятичных десятичных
секст секст
156
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
48 об.
При м с р. Мы хотим [найти] площадь шестиугольника, каждая сторона которого—двадцать с половиной локтей. Запишем это так: 20 30. Возведем в квадрат, получится 7 0 15. Умножим это па 2 35 53 44 27 52 квинты.
Площадь в индийских цифрах: возьмем сторону в двадцать с половиной локтей [и запишем это] со знаменателем десять. Справа от двух чисел будет находиться пять:
ЦСЛОС дробь
2о о
Возведем это в квад par. Получится так:
целое дробь
420 25
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
157
[Умножим на это число
полос
дробь
598076
Получится:
целое дробь
1091 841439
[Это и есть площадь]. А если мы предположим, что каждая сторона есть двести пять локтей, то получатся течь в точь тс же цифры, пзних цифры целого 109 184, а остальные цифры—дробь.
Знай, что каждый [многоугольник] с равными сторонами и углами, за исключенном квадрата, в случае если сто сторона рациональна, не рационален ио своей площади.
Что касается определения расстояний в них, то определение половины диаметра упомянутого круга, т. о. круга, находящегося внутри многоугольника и касающегося середин его сторон, либо [производится] действием рук: в том случае, когда число сторон четное, соединим середины двух противоположных сторон прямой линией, раз-'ы делим эту линию пополам, | эта линия п ость половина диаметра искомого круга; если же число сторон почетно, соединим середину одной из сторон с противоположным ей углом, затем соединим середину другой стороны с углом, противоположным этой стороне. [Линия] от пересечения двух этих линий до середины стороны и есть половина диаметра указанного круга, а пересечение [двух таких линий] есть ого центр.
Либо [это] производится вычисленном: разделим сто восемьдесят на число сторон, возьмем синус и косинус частного, затем [разделим! половину локтей [одной] стороны на его синус и сначала [умножим] на шестьдесят. в другой раз -на его косинус. Второе частное есть
15«
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
величина половины диаметра внутреннего круга, а первое—величина половины диаметра внешнего круга, касающегося углов фигуры [121J. Эти два диаметра называются длинным и коротким.
Другой вид. Разделим площадь многоугольника па половину суммы его сторон. Частное есть половина короткого диаметра.
Среди задач: определение стороны. Если известна половина длинного или короткого диаметра, а сторона неизвестна, умножим известное на упомянутый синус и разделим произведение па косинус, если известное есть половина короткого диаметра, или [разделим] па шестьдесят, если это половина длинного диаметра, затем удвоим частное и получим сторону.
Другой вид: если известна площадь, разделим ее па цифры этого многоугольника и возьмем корень из частного. Это и есть искомое [122].
Четвертый раздел
О ранее не указанных свойствах равностороннего и равноугольного ш с с т и у г о л ь и и к а
Что касается площади, то умножим квадрато-квадрат одной его стороны па двадцать семь и разделим пополам корень из произведения. Это и есть площадь [12Ч-
Другой вид: умножим квадрато-квадрат половины диаметра внутреннего круга па двенадцать и возьмем корень произведения. Это и есть требуемое [121].
Другой способ: умножим куб одной стороны на сумму сторон и прибавим к этому одну восьмую произведения. Получится квадрат площади.
Этот шестиугольник равен шести равносторонним треугольникам, стороны которых равны его сторонам.
Что касается определения расстояний в нем, то возьмем корень пз трех квадратов его сторон, это ого корот-кий диаметр [12>]. Он есть удвоенная [ высота равносторонних треугольников, являющихся его шестыми долями.
Его длинный диаметр есть удвоенная его сторона.
ключ: К АРИФМЕТИКЕ
15У
Пятый раздел
О рапсе пе указанных свойствах равностороннего п равноугольного восьмиугольника п об о ир ед слепни р а с с т о я н и. й в н с м
Что касается площади, то вычтем квадрат его стороны пз квадрата его короткого диаметра, это и есть его площадь [12е].
Другой способ. Удвоим квадрат его одной стороны и прибавим к нему произведение корня пз этого па его удвоенную сторону. Это и есть искомое.
Что касается определения расстояний в пом, то удвоим квадрат одной его стороны и прибавим корень из этого к одной стороне. Получится короткий диаметр.
Если его короткий диаметр известен, а сторона неизвестна, то удвоим квадрат его короткого диаметра, возьмем корень произведения и вычтем из него короткий диаметр. Остаток и есть сторона I1-7].
Четвертая глава
Об измерении круга и его частей сектора, сегмента, кольца п других и об относящемся к этому, состоящая из пяти разделов
Первый раздел
Об определениях
Круг—это плоская поверхность, ограниченная круглой линией, внутри которой имеется одна такая точка, что все прямые лишит, выходящие из пос к [круглей линии], равны.
Эта линия является ого окруюностью, а эта точка—центром. Линии, проведенные из центра,- половины его диаметра. Каждая прямая линия разделяет круг на две части, та часть [линии], которая находится в нем, называется хордой, а то, что при этом отделяется от окружности,—дугой.
160
Д Ж Е М ШИ Д ГИ Я СУД Д И И К 1 ШИ
Сектор круга—такая поверхность, которая ограничена дугой окружности круга и двумя равными линиями, являющимися половинами диаметра этого круга, пересекающимися в его центре.
Сегмент круга—такая поверхность, которая ограничена дугой меньше или больше половины окружности и одной прямой линией, соединяющей концы дуги, т. е. хордой этой дуги, называемой основанием сегмента.
Половина хорды дуги называется синусом половины этой дуги. Перпендикуляр, опущенный из середины дуги па середину хорды, называется стрелой этой дуги у некоторых и [стрелой] половины этой дуги у большинства [г28].
Ухлилиджн—поверхность, ограниченная двумя рав-пыми дугами равных кругов, | каждая из которых меньше половины окружности, если же [дуги] больше [половины окружности], эта [поверхность] называется гиалджа-ми. Вот их изображения [129].
Плоское кольцо—поверхность, ограниченная двумя окружностями кругов с одним и тем же центром. Если пересечь его двумя .пиниями, выходящими пз центра, мы называем каждую из полученных частей сектором кольца.
ключ к арифметике
161
Луночка—плоская поверхность, ограниченная двумя дугами, не большими, чем половины окружностей двух кругов, равных пли разных, выпуклости которых [направлены] в одну сторону. Еслп же каждая из двух дуг больше [половины окружностей], это называется подковой. Вот пх изображения [13°].
Луночка
Второй раздел
Об измерении круга и определении окружности через диаметр п обратно
Прежде чем начать [говорить] об измерении, предпошлем этому разделу следующее: знай, что окружность больше диаметра в три раза с дробью, которая меньше одной седьмой. Люди для упрощения вычисления принимают эту дробь за одну седьмую. Архимед говорит, что эта дробь меньше одной седьмой и больше десяти семьдесят первых. То, что мы получили и указали в нашем «Трактате об окружности», после отбрасывания кварт и того, что после них, в том случае, когда диаметр является единицей, таково: 3 8 29 44 терций. Это намного точнее исчисления Архимеда, как мы доказали в указанном трактате, и ближе к истине, но всей истины этого не знает никто, кроме аллаха [131].
Если диаметр круга известен, а окружность неизвестна, мы умножим его на это число и получим окружность. 11 Историко-матем. исследования
162
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАНИ)
Если наоборот, то разделим окружность на это число и получим диаметр. Если они оба неизвестны, мы поместим па окружности две произвольные точки, опишем из них два равных круга, пересекающихся между собой, соединим точки пересечения одной прямой линией и продолжим ее в обо стороны до окружности. Это также ость диаметр р::2].
э5б° Если площадь известна, умножим се на | lzi, разделим произведение па Г1 и возьмем корень пз частного. Это есть диаметр. Или умножим на семь, разделим па двадцать два и возьмем корень из частного. Это есть половина диаметра. Эгп два [вида]—но известному исчислению. Что касается нашего исчисления, то мы делим площадь па 3 8 29 44 терции п берем корень из частного, это ость половина диаметра. Или делим площадь па 0 48 7 26 терций и берем корень из частного, это диаметр [133J.
У пас есть также способ получения [числа] локтей [в] окружности. Он таков: мы накладываем на нее пить, а затем измеряем пить пли помещаем один пз концов локтя в одной точке окружности и движем локоть так, чтобы каждая его часть все время касалась некоторой части окружности, пока не измерим всю.
При измерении площади умножаем половину диаметра иа половину окружности, получим площадь.
Другой вид: по известному исчислению умножим квадрат половины диаметра па отношение окружности к диаметру, т. с. на три и одну седьмую, [т. е.] умножим на 22 и разделим произведение на семь, или по нашему исчисле-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
163
нию [умножим] на 3 8 29 44 терций; то, что получится, есть площадь.
Другой способ, умножим квадрат диаметра па одиннадцать и разделим произведение на четырнадцать, частное есть площадь по известному исчислению, а но нашему исчислению умножим это на 0 47 7 26 терций, это отпошс ине площади к квадрату диаметра. Получится искомое. Это число есть четверть первого числа, так как площадь круга относится к половине диаметра, как первое число, т. с. 3 8 29 44, к единице, а отношение квадрата половины диаметра к квадрату диаметра есть четвертное отношение.
Мы записали произведения этих двух чисел па шестн-десятерпчпые цифры в таблице для упрощения действия. Затем мы поревели их в индийские цифры и перевели их в десятичные дроби. Эти таблицы таковы:
51 | Таблица кратных отношения окружности
к диаметру [в in естидссятсричных цифрах] [13!]
Числа Кратные Числа ' Кратные
0 3 8 29 44 12 0 3/ 41 56 48
2 0 6 16 59 28 13 40 йо 26 32
3 0 9 25 29 12 14 0 43 58 56 16
4 0 12 33 58 56 15 0 47 7 26 0
5 0 15 42 28 40 16 0 50 15 55 44
6 0 18 50 58 24 17 0 53 24 25 28
7 0 21 59 28 8 18 0 56 32 55 12
8 0 25 7 57 52 19 0 59 41 24 56
1 9 0 28 16 27 36 20 1 2 49 54 40
10 0 31 24 57 20 21 1 5 58 21 24
И 0 34 33 27 4 22 1 « « 51 8
И*
164
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
[ П р о д о л ж е и и с]
23 1 12 15 23 52 42 2 И 56 48 48
24 1 15 23 53 36 43 2 15 5 18 32
25 1 18 32 23 20 44 2 18 13 48 16
26 1 21 40 53 4 45 2 21 22 18 0
27 24 49 22 48 46 2 24 30 47 44
28 1 27 57 52 32 47 2 27 39 17 28
29 1 31 5 22 16 48 2 30 47 47 12
30 1 34 14 52 ° 49 2 33 56 16 56
31 1 37 23 21 44 50 2 37 4 46 40
32 1 40 31 51 28 51 2 40 13 16 24
33 1 43 40 21 12 52 2 43 21 46 8
34 1 46 48 50 56 53 2 46 30 15 52
35 4 49 57 20 40 54 2 49 38 45 36
36 1 53 5 50 24 55 2 52 47 15 20
37 1 56 14 20 8 56 2 55 55 45 4
38 1 59 22 49 52 57 2 59 4 14 48
39 2 2 31 19 36 58 3 2 12 44 32
40 2 5 39 49 20 59 3 5 21 14 16
41 2 8 48 19 4 60 3 8 29 44
51 | [Таблица кратных отношения круга к квадрату °6, диаметр а в ш е с т и д е с я т е р и ч и ы х ц и ф р а х] [135]
Числа Кратные । Числа Кратные
1 ° 47 2 26 4 3 8 29 44
2 1 34 14 52 5 3 55 37 10
3 2 21 22 18 6 4 42 44 36
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
165
[П р О Д О Л Ж С II и с|
7 5 29 52 | 2 34 26 42 12 44
8 6 16 | 59 28 35 27 29 20 10
9 7 4 7 54 36 28 16 27 36
10 7 51 14 20 37 29 3 35 2
11 8 38 1 21 46 38 29 50 42 28
12 9 25 29 12 39 30 37 49 54
13 10 12 36 38 40 31 24 57 20
14 10 59 ! 44 4 41 32 12 4 46
15 11 46 51 30 42 32 59 12 12
16 12 33 58 56 43 33 46 19 38
17 13 21 « 22 44 34 33 27 4
18 14 8 13 48 45 35 26 34 30
19 14 55 21 14 46 36 7 41 | 56
20 15 42 28 40 47 36 54 49 22
21 16 29 36 6 48 37 41 56 48
22 17 16 43 32 49 38 29 4 14
23 18 3 зо 58 50 39 16 11 | 40
24 18 50 58 24 51 40 3 19 1 6
25 19 38 5 50 52 40 50 | 26 | 32
26 20 25 1 13 16 53 41 | 37 | 33 | 58
27 21 12 20 1 42 54 42 | 24 1 41 1 24
28 21 59 28 1 8 55 43 11 48 50
29 22 46 35 1 34 56 43 I 58 | 56 | 16
30 23 33 1 43 0 57 44 ; 46 1 3 1 42
31 24 20- 1 50 26 58 45 | 33 1 и 1 8
32 25 7 1 57 52 59 46 | 20 | 18 34
33 25 | 55 1 6 18 60 47 1 7 | 26 0
166
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
52 | [Таблица кратных отношения окружности
к диаметру в индийских цифрах] [13в]
Целые Дроби
Числа десятки единицы десятые десятичные секунды десятичные терции десятичные кварты десятичные КВИНТЫ десятичные сексты
1 0 3 * ' 1 3 » 3
2 0 ° 2 8 3 1 8 6
3 1 0 9 '< 2 4 7 7 9
4 1 ‘ 2 5 в 6 3 7 2
1 5 1 ' ’ 7 ° 7 9 6 5
i 6 1 ' 8 8 '< 9 5 5 8
1 7 1 2 1 1 9 9 < J 3 1
1 8 II 2 1 1 3 2 7 4 4
9 II 2 1 8 1 2 1 7 4 9 3 7
, 10 '1 3 1 1 4 1 1 ' 5 9 3 0
|Т а б л и ц а к р а г и ы х о т и о ш е н и я к р у г а к к в а д р а т у диаметра и индийских цифрах] [137]
Числа Целые Дроби
десятые десятичные секунды десятичные терции десятичные кварты десятичные квинты десятичные сексты
1 ;! о 7 S з 9 8
1 । 3 7 0 7 9 В
3 1 2 3 5 6 1 9
4 1 з 1 4 1 3 Я 1 2
5 1 3 9 2 6 9 9 1 0
6 1 4 7 1 2 3 .8 8
7 1 5 4 9 7 7 в 6
8 1 с 2 8 з 1 8 1 4
9 1 7 1 0 9 1 8 I 5 1 8 1 2
10 1 7 1 8 1 5 ’з Я 1 8 1 0
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
167
52 об.
Пример измерения круга. Пусть половина его диаметра—семьдесят семь локтей, как говорит народ-
Умножим это на 1. Для этого умножим это [диаметр] 7
па числитель раздробленного, т. о. 22, получится '1694, и разделим эго на знаменатель, т. е. семь, частное от деления ость 242. Это есть приблизительно половина окружности.
Если мы умножим только на три, будет 23'1, а если на одну седьмую, будет 11, вместе это и есть 242, т. е. половина окружности.
Если имеется окружность | и мы хотим определить половину диаметра, умножим половину окружности, пусть
О
это будет 242, на 7 , для чего умножим это на числитель, т. е. семь, и разделим произведение па знаменатель, т. с. 22. Частное от деления есть 77, это и есть половина диаметра.
Умножим половину диаметра на половину окружности, получится 18 634. Это площадь круга.
Другой способ. Возведем в квадрат диаметр, т. о. 154. Получится 23 7 16. Умножим это на 11, получится 260 876. Разделим это на 14. Частное от деления есть 18 634, что согласуется с первым.
Проделаем то же в цифрах астрономов. Умножим половину диаметра, т. е. 1 17 локтя, па 22, получится 28 14. Разделим это па 7, так как по известному исчислению диаметр относится к окружности, как семь к двадцати двум. Частное от деления есть 4 2 локтя. Это половина окружности.
Умножим это па половину диаметра, получится 5 10 34 локтя. Эго дважды поднятые. Площадь согласуется с первой.
Что касается того, что мы открыли, то умножим 1 17, т. е. половину диаметра, на отношение окружности к диаметру, введенное нами [138].
1(58
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
[ В этом столбце возьмем [то, что мы открыли] один раз, это будет 3 8 29 । 44
Затем возьмем это 17 раз и запишем под ним. сдвинув на разряд 53 24 25 28
Сложим это, полу-| . чптся половина ! окружности 4 1 54 । 9 28
; Умножим это на то I же, что раньше, по- лучится площадь 5 дважды поднятые 10 поднятые 26 градусы 30 ми нуты 8 секунды 56 терцин
локти дроби
Эта площадь точнее того, что производилось по известному исчислению, и меньше его приблизительно на семь с половиной .локтей.
Другой способ. Возведем диаметр в квадрат, получится 6 35 16. Умножим это на отношение круга к квадрату диаметра. Получится [139].
6 4 42 44 36
35 27 29 20 10
1 16 - 12 33 58 56
5 10 26 30 8 56 терций
локти дроби
Если известна площадь и мы хотим определить диаметр, разделим то, что было раньше, на 0 47 7 26 терций.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
169
Произведем это в следующей таблице [110]:
6 5 10 26 30 8 56
4 42 44 36
35 27 41 54 8 56
27 29 20 10
16 12 33 53 56
12 33 58 56
0
Частное от деления ость 6 35 16. Возьмем корень из этого. Это 2 34, т. е. сто пятьдесят четыре.
Действие с индийскими цифрами но таблице таково [14Ч:
170
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
Другой способ: квадрат диаметра ость 23 716. Возьмем то, что находится против каждого пз его простых [чисел] в таблице кратных отношения круга к квадрату диаметра, и запишем это так [1Г2]:
Более подробно с этими таблицами
мы говорили о свойствах действий в нашем «Трактате об окружности».
Третий раздел
Об изморе и и и сегмента и об
II И И В II и х
сектора круга и его о п р о д слеп п и р а с с т о я-д руг через друга
53 сб.
Что касается площади, то умножим локти половины диаметра на локти половины дуги [113].
Другой вид получения площади сектора: | умножим величину дуги сектора в триста шестидесятых долях окружности, называемых частями окружности, на одну шестую площади этого круга [1и].
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
171
Другой способ. Умножим половину диаметра на величину половины дуги в тех частях, в которых половина диаметра шестьдесят, а окружность приближенно равна тремстам семидесяти семи [145].
Если мы отбросим треугольник сектора, меньшего половины круга, останется малый сегмент, а если мы прибавим треугольник сектора к тому, что больше половины [круга], получится большой сегмент.
Что касается определения расстояний друг через друга, то если половина диаметра и хорда даны в одном масштабе и мы хотим узнать дугу хорды, разделим половину хорды па половину диаметра и найдем дугу для полученного синуса. То, что получится, есть половина дуги в триста шестидесятых долях окружности.
Если мы прибавим к пей [половине дуги] треть одной седьмой по известному исчислению или умножим ее треть па отношение окружности к диаметру, приведенное нами в таблице, то то, что получится, есть величина половины дуги в шестидесятых долях половины диаметра [14С]. Если же затем мы умножим это па локти половины диаметра, мы получим локти половины дуги.
Если мы умножим локти половины диаметра на отношение окружности к диаметру, т. е. по нашему исчислению на 3 8 29 44, а по известному исчислению на три и одну седьмую, умножим произведение па величину половины дуги в триста шестидесятых долях окружности и разделим произведение па сто восемьдесят, частное есть локти половины дуги.
Если известны половина диаметра и стрела, а остальное неизвестно, вычтем стрелу от половины диаметра, то, что останется, является высотой, опушенной пз угла сектора на середину хорды. Прибавим это к половине диаметра, умножим сумму па стрелу и возьмем корень произведения. Это будет половина хорды [147]. Остальное—как раньше.
Пример, включающий в себя все. В секторе половина диаметра двенадцать, а стрела—два. Вычтем два из 12, останется десять. Прибавим это к 12, получится 22. Умножим эт опа 2, получится 44. Возьмем кореш, из этого, это 6 38. Разделим это на половину диаметра окружности.
172
ДЖВМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
54 Частное есть 33 10, это синус половины | дугп. Перейдем к дуге, получится 33 22, это половила дуги в триста шестидесятых частях окружности. Возьмем треть седьмой по< известному исчислению, т. е. разделим это на 21, будет 1 34 22. Прибавим это частное к 33 22, получится 34 56 22 секунды, это половина дуги в шестидесятых долях половины диаметра. По нашему исчислению, умножая треть 33 22, т. е. 11 7 20, па 3 8 29 44, получим 34 56 29 22 терции, это есть половина дуги в шестидесятых долях половины диаметра.
Умножим это на половину диаметра, г. е. 12, получится по известному исчислению 6 59 28 секунд, это локти половины дуги, а по нашему исчислению 6 59 57 52 терции.
Другой способ. Умножим половину диаметра, т. о. 12, на три и одну седьмую по известному исчислению, полу-37
чится 5, т. е. в цифрах астрономов 37 42 51. Умножим 7
это на половину дуги в долях окружности, т. е. 33 22, получится 20 58 24 секунд. Разделим это на сто восемьдесят. Частное ость 6 59 28, это локти половины духи по известному исчислению. Это соответствует тому, что было раньше. По нашему исчислению умножим 12 па 3 8 29 44, получится 37 41 59 48 секунд. Умножим это на 33 22, получится 20 57 33 37. Разделим это на сто восемьдесят. Частное от деления есть 6 59 27 52 секунды, как раньше.
Если известны хорда и стрела, а остальное неизвестно, разделим квадрат половины хорды на стрелу, прибавим к частному стрелу и возьмем половину суммы, это будет половина диаметра.
Если известны локти хорды, а также известна дуга в частях окружности, разделим половину хорды па синус половины соответственной дугп, частное ость локти половины диаметра.
Если известны локтп дуги и хорды и мы хотим определить половину диаметра, это также возможно. Это производится либо действием рук, либо мы ищем, как раньше, синус по таблице синусов. Этот синус относится к соответствующей ему дуге, как величина известной хорды к известной дуге, а дуга, соответствующая синусу, есть поло
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
173
54
оО.
вина дуги сектора в триста шестидесятых долях окружности.
Если известны локти дуги и половина диаметра, а мы хотим определить хорду для того, чтобы определить площадь сегмента, то умножим половину диаметра па отношение окружности | к диаметру и разделим и а это произведение половины дуги па сто восемьдесят. То, что получится, есть половина дуги в триста шестидесятых долях окружности. Умножим ее синус на локти половины диаметра. То, что получится, есть локти половины хорды.
Знай, что если сектор, дуга которого есть четверть круга, находится в таком круге, что оба конца дуги касаются окружности круга, а центр его [находится па хорде], сектор является половиной этого круга.
Четвертый раздел
Об измерении других п о в е р х и о с т е й, ограниченных круглыми линиям и, котор ы е м ы указал и
Площадь ухлилиджи п шалджами есть сумма площадей двух сегментов, получающихся по обо стороны от пх наибольшего диаметра.
Площадь луночки и подковы есть разность площадей двух сегментов, [получающихся] если вообразить линию, соединяющую их концы.
Что касается поверхности, ограниченной дугами двух разных кругов, выпуклости которых направлены в разные стороны, как затемненная поверхность светила при частичном затмении луны плп солнца, или в одну сторону, как оставшаяся часть пх, то способ ее измерения, если известны половины диаметров [кругов] и малый диаметр поверхности, мы указали в наших астрономических таблицах, озаглавленных «Хаканские астрономические таблицы»; кому требуется это, должен обратиться туда.
Площадь плоского кольца является разностью поверхностей большого и малого кругов или произведением
174
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
расстояния между кругами па половину суммы окружностей этих кругов [148]. Площадь сектора кольца является произведением половины суммы дуг, ограничивающих его, па расстояние между дугами [149J.
Пятый раздел
О таблицах синусов и способе действ и й с и и м и
Возьмем то, ч го [находится] против градусов дуги в таблице синусов, а если с ними имеются минуты, то умножим их па разность того, что [находится] в строках, п поместим произведение под синусом градуса в том же 55 разряде; если же с ними имеются и секунды, мы тоже | умножим их па указанною разность и запишем произведение под произведением минут в другом разряде, затем сложим все и получим синус этой дуги. Запишем произведение разности между тем, что [находится] в строках для каждого синуса против пего и в другом столбце [15°].
Приме]). Мы хотим [найти] синус 15 21 48 [151].
Возьмем [по таблице синус] дуги в 15 [градусов]. Это будет
15 31 45
Разность [того, что в строках] есть 60 32 Умножим ее на 21 [минуту]. Получится 21 12
Умножим ту же разность на 48 [секунд]- Получится 48
Сложим все, получится искомый синус 15 53 45
Если имеется значение синуса и мы хотим [найти] его дугу, то будем искать в таблице наибольший сипус, который можно вычесть пз отмеченного синуса. Возьмем этот наибольший сипус и вычтем ого пз отмеченного синуса и пайдем его дугу, т. е. число, находящееся против него в сотке таблицы, это будут градусы. То, что останется от
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
175
синуса, разделим на разность того, что [находится] в строках. Частное—это минуты дуги и ее секунды.
П р и м е р. Имеется значение синуса, это 15 53 45, и мы хотим [найти] его дугу. Ищем в таблице наибольший синус, который можно вычесть пз него. Паходим, что это [находится] против 15 градусов, этот синус есть 15 31 45. Вычтем ого из данного синуса, т. е. 15 53 45. Останется 22 0. Разделим это на разность того, что [находится] в строках, т. о. 60 32. Частное от деления—это минуты и секунды 21 48. Сложим это с градусами, получится 15 21 48. Это и ость искомая дуга.
Кто хочет это уточнить, должен обратиться к таблицам «Эльханскпх астрономических таблиц» или наших астрономических таблиц, озаглавленных «Хакапскио астрономические таблицы». Для настоящей книги достаточно п этого. Эта таблица такова:
55 I [Таблица синусов] [152]
Дуга Синус Дуга Синус Дуга Синус
1 0 1 2 50 16 0 16 32 17 31 0 30 54 8
2 0 2 5 38 17 0 17 32 32 32 0 31 47 42
3 0 3 8 22 18 0 18 32 28 33 0 32 40 42
4 0 4 11 7 19 0 19 32 3 34 0 33 33 6
5 0 5 13 45 20 0 20 31 16 :>.) О 34 24 52
6 0 6 16 18 1 21 0 21 30 7 36 0 35 16 1
7 0 7 18 44 22 0 22 28 35 37 0 36 6 32
8 0 8 21 23 23 0 23 26 38 38 0 36 56 23
9 0 9 23 10 24 0 24 24 15 39 0 37 45 33
10 0 10 25 8 25 0 25 21 25 40 0 38 34 2
11 0 11 26 55 26 0 26 18 8 41 0 39 21 49
12 0 12 28 29 27 0 27 14 22 42 0 40 8 52
13 0 13 29 49 28 0 28 10 6 43 0 40 55 И
14 0 14 30 55 29 0 29 5 19 44 0 41 40 46
15 0 15 31 45 30 0 30 0 0 45 0 42 25 30
176
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
[Продолжение]
I 46 0 43 9 37 61 0 52 28 38 76 0 58 13 4
47 0 43 52 52 62 0 52 58 37 77 0 58 27 44
48 0 44 35 19 63 0 53 27 37 78 0 58 41
49 0 45 16 57 64 0 53 55 40 79 0 58 53 51
50 0 /|;) 57 45 65 0 54 22 42 80 0 59 5 18
51 0 46 37 43 66 0 54 48 46 81 0 59 15 41
□2 0 47 16 50 67 0 55 13 49 82 0 59 24 58
53 0 47 55 5 68 0 55 37 52 83 0 59 33 10
54 0 48 32 28 69 0 56 0 53 84 0 59 40 17
55 0 49 8 57 70 0 56 22 53 85 0 59 46 18
56 0 49 44 32 71 0 56 43 52 86 0 59 51 14
57 0 50 19 13 72 0 57 3 48 87 О 59 55 4
58 0 50 52 58 73 0 57 22 42 88 0 59 57 48
59 0 51 25 48 74 0 57 40 32 89 0 59 59 27
60 0 51 57 41 75 0 57 57 20 90 1 0 0 0
56 | П я т а я глава
Об измерении других плоских поверхностен, которых мы нс указали
Что касается площади поверхности, ограниченной кругообразной линией, то поместим в ней такой многоугольник, чтобы разность между поверхностью, ограниченной круглой липпей и многоугольником, состояла бы из таких сегментов, что каждый пз этих сегментов, ограниченных одной пз построенных сторон и отрезком кругообразной линии, приближенно будет сегментом истинного круга и между ними не будет ничего. Тогда сумма площадей сегментов с площадью многоугольника прибли-
женно есть площадь этой [фигуры] [153].
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
177
Что касается других поверхностей, как барабапообраз--пая, ступенчатая, зубчатая, многоугольники с округлыми сторонами,—все это просто для того, кто знает то, что мы сообщили, так как он может разбить пх на указанные фигуры или прибавить к ним что-нибудь, чтобы получить указанную фигуру, а после измерения вычесть из этого площадь излишка. Вот изображения указанных фигур I1’4]. [
барабанообразная Ступенчатая
С округлыми сторонами
III е с т а я г л а в а
Об измерении круглых поверхностей, как поверхностей цилиндров, конусов, шара, п об относящемся к этому, содержащая шесть разделов
Первый раздел
Об определен]! я х
Круглый цилиндр—это тело, ограниченное двумя равными параллельными кругами, являющимися его основанием, и круглой поверхностью, соединяющей его основания таким образом, что если вращать прямую, соединяющую окружности оснований, параллельно прямой, соединяющей центры основании, опа касается поверхности. Линия, соединяющая центры, называется стрелой цилиндра, а также ос?ю. Если она перпендикулярна к кругам, цилиндр является прямым, если же [эго] не так,—наклонным. Другое определение прямого цилиндра: если вращают прямоугольный четырехугольник около одной из ого сторон, то получается фигура, называемая прямым круглым цилиндром.
Круглый конус—это тело, ограниченное кругом, являющимся его основанием и круглой поверхностью, подпп-
12 Историко-матем. исследования
178
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
мающейся от его окружности, сужаясь до точки, являющейся его вершиной, таким образом, что если вращать прямую, соединяющую его вершину с окружностью его основания, она касается поверхности. Линия, соединяющая его вершину и центр его основания, называется стрелой
57 конуса. | Если опа перпендикулярна к основанию, копус является прямым, если же не так,—наклонным. Если пересечь его [плоской] поверхностью, такой, что его стрела находится на этой поверхности и перпендикулярна к ее основанию, безразлично, является ли копус прямым или наклонным, треугольник, получающийся при этом, называется треугольником конуса. Еслп конус разделен поверхностью, параллельной основанию, то это сечение есть круг и стрела проходит через его центр. Тем самым копус разделен на меньший, чем он, п подобный ему конус и па тело, называемое усеченным конусом. Если вращать прямоугольный треугольник около одной пз его перпендикулярных сторон, фигура, получающаяся при этом, является прямым круглым конусом. Если вращать однокрылую трапецию около ее стороны, перпендикулярной к двум параллельным, фигура, получающаяся при этом, является усеченным конусом, а эта линия является его стрелой и в то же время осью и высотой.
Тело, составленное пз двух прямых конусов, основания которых представляют собой одни круг, называется ромбическим телом. Еслп отпять от прямого конуса ромбическое тело таким образом, что одна из его вершин является центром основания конуса, то оставшееся тело я называю коническим избытком, это то же, что усеченный копус, от которого отнят конус, вершина которого есть центр нижнего основания первого конуса, а основание является верхней поверхностью первого конуса. Если выделить пз одного ромбического тела другое ромбическое тело, обе вершины одного из которых являются верши памп другого, [а одна пз круглых поверхностей одного из которых является частью одной из круглых поверхностей другого тела], то оставшееся тело я называю ромбическим избытком., это то же, что составленное пз двух конусов с одним основанием, один пз которых целый, а другой усеченный, от которых отнят конус, вершина которого есть вершина у
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
179
целого конуса, а основание является верхней поверхностью усеченного конуса [155].
Прямой Наклонный
круглый круглый
цилиндр цилиндр
Прямой наклонный круглый круглый
конус конус
Усеченней Ромбическое конус тело
Конические к, ыбичр.скш
избыток избыток
Знай, что цилиндр и конус могут быть многоугольными, тогда их основания являются многоугольниками, поверхности же, ограничивающие цилиндр, являются прямоугольниками, а в конусе -треугольниками.
П ризма—таков цилиндр, оба основания которого являются равными треугольниками, стороны одного из которых параллельны сторонам другого [15G].
треугольные конусы Четырехугольные конусы шестиугольные конусы
Шар—это "ограниченное круглой поверхностью тело, внутри которого имеется такая точка, что все лишни, выходящие из нее, равны. Эта точка является его центром, эти линии являются его диаметрами, эта поверхность является его окружающей [поверхностью ]. Наибольший круг, находящийся в нем, таков, что он проходит через его центр и необходимо делит его пополам.
12»
180
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Если разделить шар плоской поверхностью на две ,^7 части, то каждая | из них называется сегментом шара. Круг, получающийся в нем, называется основанием сегмента. Вершина сегмента—это точка его круглой поверхности, такая, что все липин, проведенные от нее к окружности основания, равны; опа называется также полюсом сегмента. Линия, соединяющая центр основания с вершиной сегмента, называется высотой сегмента, а также его ст релой.
Сектор шара—это сумма сегмента шара и прямого круглого конуса, основание которого есть основание сегмента, а верш и па—центр шара.
Гебро шара—это тело, ограниченное двумя половинами наибольших кругов и шаровой поверхностью, половина диаметра которой равна половине диаметра кругов. Опо похоже на долю арбуза [157].
Фалака--это такой полый цилиндр с равной толщиной, высота которого не больше половины [диаметра] его основания, а диаметр основания полости меньше половины диаметра или равен ему, безразлично, будет ли его толщина меньше высоты или больше. Если же диаметр основания полости больше половины диаметра основания, а толщина меньше высоты, это называется барабаном. Если высота больше половины диаметра основания, это называется трубкой. Другими словами, если вращать поверхность прямоугольника вокруг линии, проведенной около нее, параллельно его короткой стороне, причем расстояние этой линии от прямоугольника пе больше длинной стороны, или параллельно его длинной стороне, причем короткая сторона не меньше расстояния ее от него, а сумма их не меньше длинной стороны, полученная фигура есть то, что
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
181
мы назвали фалакой. Если же эта линия параллельна длинной стороне прямоугольника и его короткая сторона меньше расстояния липни от прямоугольника и их сумма больше длинной стороны, полученная фигура есть то, что мы назвали барабаном. Если же их сумма меньше ее, безразлично, меньше ли расстояние линий, чем его короткая сторона, или больше, это трубка.
Если поверхность прямоугольника вращается вокруг прямой, проведенной около нее, параллельно пли по параллельно ого длинной стороне, параллельно пли не параллельно его короткой стороне, и то же но отношению к стороне квадрата, и если расстояние от прямой [до прямоугольника пли квадрата] больше наибольшей пз его сторон, полученная фигура называется коленом. Мы различаем их в зависимости от поверхности, получающейся 58 при сечении их | плоскостью, в которой находится ось, так что кваи ратное колено это то, в котором полученная [указанным образом] поверхность ость квадрат, круглое— если она круг и так далее по этому правилу. У квадратного кольца одна из сторон может быть параллельна его осн, это первый [случай], во втором [случае] оно называется косым квадратным..
Некоторые определяют барабан как полый шар с равной толщиной, от которого отделены два сегмента, основания которых равны и параллельны. Мы называем это бара.баноподобным [ 158 J.
Фалака
квадратные кольца
барабан Трубка
Круглое кольцо Барабаноподобное
182
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Второй раздел
О б и з м о р е н и л поверх и о с т и ц и л и л д р а
Что касается прямого [цилиндра], то мы умножим окружность основания на линию, соединяющую окружности основания параллельно стреле цилиндра. Это есть площадь двух поверхностен, внутренней и внешней, для фалаки, барабана, трубки и квадратного и прямоугольного колец, у которых две стороны квадрата пли прямоугольника параллельны пх оси.
Другой вид, свойственный круглым. Умножим диаметр основания иа эту [указанную] линию, а затем умножим произведение ла отношение окружности к диаметру.
Что касается наклонного [цилиндра], то мы умножим указанную линию иа окружность сечения, перпендикулярного к стреле цилиндра.
Третий раздел
Об и з м е р е и ни поверхности к о и у с а
Что касается прямого круглого [конуса], то мы умножим половину окружности основания па линию, соединяющую его вершину с окружностью основания. Получится площадь. Пли умножим половину диаметра основания на эту линию и па отношение окружности к диаметру.
В случае усеченного прямого круглого конуса умножим иолов шу суммы окружностей кругов па наиболее короткую линию, соединяющую эти окружности, находящуюся па одной [плоской] поверхности со стрелой, получится площадь [1о9]. Пли умножим сумму половины диаметров на эту линию, а затем произведение—па указанное отношение. Если же указанная линия неизвестна, а высота известна, мы возьмем половину разности диаметров оснований, сложим ее квадрат с квадратом высоты и возьмем
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
183
58 об.
корень произведения. Это будет величина указанной линии.
Что касается наклонного круглого [конуса], то площадь его поверхности не указывалась предшественниками, так как они не нашли способа ее получения. Мы нашли | способ его приближенного определения, недалекого от истины. Опо таково: найдем наибольшую из линий, проведенных от вершины конуса к окружности его основания и самую короткую из них, а также окружность основания, в одном масштабе, затем разделим окружность основания па части, отличие которых от хорд этих частей мало по отношению к масштабу, а также найдем величины линий, проведенных от вершины конуса к окружности его основания, расстояния между каждыми двумя пз которых на окружности равны одной пз частей окружности. Далее сложим все величины этих линий п умножим на величину половины одной из этих частей. Получится площадь. Определение величин этих линий таково, что для каждой пз этих липин мы определяем расстояние от конца линии до частей окружности основания, так как для каждой пз трехсот шестидесяти [частей] окружности основания мы знаем синус п стрелу. Разделим половину этой окружности на отношение окружности к диаметру, получится половина [диаметра] основания. Умножим ее на каждый из указанных синусов и стрел и будем называть результат умножения на синус первым отмеченным, а результат умножения на стрелу—вторым отмеченным. Затем умножим сумму самого короткого и самого длинного из ребер на пх разность п разделим произведение на диаметр основания, затем возьмем разность между тем, что получится, и диаметром основания и разделим се пополам. Это есть расстояние моста падения высоты, опущенной пз вершины конуса па поверхность ого основания от конца самого короткого из его ребер. Назовем это третьим отмеченным. Вычтем ого квадрат из квадрата самого короткою ребра, останется квадрат высоты. Затем сложим второе отмеченное п третье и назовем это четвертым отмоченным. Сложим его квадрат с ква фатами высоты и первого отмеченного и возьмем корень пз суммы. Это и есть искомая линия [1С0].
184
ДЖЕМШПД ГИЯСЭДДИП КАШИ
Что касается площади поверхности многоугольного конуса, то это сумма площадей треугольников, которыми оп ограничен.
Четвертый раздел
О б и з м о р е и и и н о в е р х и о с т it in ара и об о и р од о л сипи е г о диаметра
59 | Что касается площади, то умножим диаметр на
окружность наибольшего круга, находящегося в шаре, получим площадь.
Другой вид. У mi гожим квадрат диаметра па отношение окружности к диаметру, получится площадь. Это равно учетверенному наибольшему кругу в шаре, а также поверхности прямого круглого цилиндра без его оснований, если его высота и диаметр основания равны диаметру шара, а также поверхности цилиндра вместе с обоими основаниями, если высота цилиндра равна половине диаметра шара и диаметр основания равен диаметру тара [1(51].
Что касается определения его диаметра, то, считая одну точку на ого поверхности полюсом, поместим в нос одну ножку циркуля, проведем другой ножкой окружность круга па поверхности шара, поместим раствор на прямую линию и измерим расстояние между ножками циркуля; будем называть это первой величиной. Далее с помощью циркуля разделим окружность этого круга на шесть равных частой и найдем величину этого раствора в тех же частях. Вычтем ее квадрат пз квадрата первой величины и возьмем корень остатка. Это есть высота сегмента, основанием которого является проведенный круг. Раздолии квадрат первой величины па него. То, что получится, есть диаметр шара [1С21.
Другой вид. Проведем на шаре произвольный круг, отметим раствор циркуля и назовем его первым раствором. Затем разделим этот круг па шесть частей и возьмем три из них или же разделим этот круг на четыре [части! и возьмем две из них другим раствором циркуля, будем называть его вторым раствором Затем проведем на плоской поверхности прямую линию, отметим на пен вторым раствором две
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
183
точки, проведем около каждой из них первым раствором круг. Эти два круга необходимо пересекутся. Проведем около одного пз нерссочспий круг также первым раствором. Он пересечется с каждым пз двух первых [кругов] в двух точках. Соединим их попарно линиями. Эти две липни необходимо пересекутся. От этого пересечения до каждой из построенных ранее точек—также половина диаметра шара [1б3|.
59 ] Пятый раздел
об.
Об о и р е д е л е и и и к р у г л о й се гм е нт а шара и о б о расе т о я и ий в ием д р у г
ново р х и о с т и про д е .а о и и и чсрез др у г а
Измерение. Умножим линию, соединяющую вершину сегмента с окружностью его основания [па себя н] па отношение окружности к диаметру, получится площадь [поверхности I сегмента. Опа равна кругу, половина диаметра которого равна указанной линии [1(Н].
Другой вид. Умножим высоту сегмента на высоту наибольшего круга, находящегося в этом шаре, получится площадь.
Что касается расстояний в нем, то если половина диаметра его основания и его высота известны, сложим пх квадраты п возьмем корень пз суммы, это есть линия, соединяющая вершину сегмента и окружность его основания. Разделим квадрат половины диаметра его основания на высоту и прибавим частное к высоте, сумма есть диаметр шара. Умножим его па отношение окружности к диаметру
186
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
[т. е. на 3 8 29 44], получится окружность наибольшего круга, находящегося в нем [165].
Шестой раздел
Об и з ме р ен пи круглой поверх и о с т и ребра шара
Умножим диаметр шара па наибольшую дугу между ограничивающими кругами [1G6J.
С е д ь м а я г л а и а
Об измерении тел, содержащая восемь разделов
Первый раздел
Об измерена и ц и л и и д р а
Умножим площадь одного из его основан им ла высоту, опушенную на их поверхности, внутри цилиндра пли вне его. 13 прямом цилиндре эта высота является его стрелой.
Что касается высоты в наклонном [цилиндре], то опа такова, что если мы умножим синус угла между ней и линией, соединяющей окружности параллельных оснований, на [величину], равную его стреле, получим эту высоту.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
187
Второй раздел
О б и з м с р о н и и к о и у с а и об определении его высоты
Для измерения умножим одну треть его основания на высоту, опущенную из вершины конуса па поверхность ого основания, внутри конуса или вне его.
60 Другой вид. | Вто свойственно для прямого круглого конуса. Умножим его круглую поверхность па одну треть высоты, опущенной из центра его основания па одно из его ребер, т. е. линию, соединяющую его вершину и окружность его основания. Получится объем.
При определении его высоты, опущенной пз вершины конуса па поверхность его основания, если известны диаметр его основания и линия, соединяющая вершину конуса с окружностью его основания, в случае прямого круглого [конуса], и наиболее короткая п длинная липин, в случае косого круглого [конуса], то эти две [линии] вместо с диаметром основания являются сторонами треугольника, и высота определится по его сторонам, как [мы это делали] раньше, [в разделе] об измерении треугольника [1С7].
В случае прямого многоугольного конуса, если стороны его основания таковы, что можно окружить их кругом, касающимся всех его углов, то вычтем квадрат половины диаметра этого круга пз квадрата линии, соединяющей вершину конуса с одним из углов основания. Если же можно провести круг, касающийся всех сторон [основания], то вычтем квадрат половины ого диаметра из квадрата липин, соединяющей вершину конуса с одной из точек касания. То, чго остается, это квадрат [искомого, т. е. высоты].
В случае наклонного многоугольного конуса с равными сторонами [и углами] основания, если воображаемая поверхность, проходящая через его стрелу, перпендикулярна к его основанию, проходит через один из углов основания и середину одной из сторон при нечетном числе сторон или через два противоположных угла или середины противоположных сторон прп четном числе сторон, то
188
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
60 об.
в случае, когда число сторон ого основания почетно, в нем из этой поверхности получается треугольник, основанне которого равно сумме половин диаметров внутреннего и внешнего кругов, одна нз боковых сторон равна линии, соединяющей его вершину с углом, а другая — равна липни соединяющей его вершину с серединой стороны, и из этого мы получаем высоту как раньше, при измерении треугольника. В случае же, когда число сторон его основания четно, если поверхность | проходит через два угла, основание треугольника конуса является диаметром круга, касающегося углов основания, и его боковые стороны соединяют вершину [конуса] и окружность основания и в одном случае могут быть более длинными, в другом -более короткими; если же опа проходят через середины двух сторон, то основание есть диаметр внутреннего круга, а две остальные являются линиями, соединяющими его вершину с серединами сторон основания, и могут быть более длинными и более короткими [сторонами]. Отсюда определяем высоту. Если же она пересекает стороны [основания] в точках, но являющихся серединами сторон, мы прибавим квадрат расстояния пересечения от середины стороны к квадрату половины диаметра внутреннего круга, возьмем корень суммы и удвоим его. Это будет основание треугольника конуса, а две линии, соединяющие вершину конуса с концами основания, являются его боковыми сторонами. Отсюда [находится! высота.
Другой вид, более общий, чем предыдущий. Если известна его стрела и угол ее I наклона] к перпендикуляру, то умножим ого стрелу на косинус угла наклона; то, что получится, есть высота. То же получится и для каждой линии, соединяющей вершину конуса н окружность его основания. если известен угол со наклона. Это охватывает все конусы.
Что касается перпендикуляра, опущенного нз центра основания па линию, соединяющую вершину конуса и окружность его основания, то умножил! сумму стрелы конуса и половины диаметра основания па их разность, разделим произведение на указанную линию; то, что получится, вычтем из этой линии, затем вычтем ква
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
189
драт половины остатка из квадрата половины диаметра основания. Возьмем корень из того, что останется, это и есть искомое [168|.
Трети ii раздел
Об п з м е р опии усеченного конуса
Что касается круглого [усеченного конуса], то мы умножим половину диаметра его основания на перпендикуляр, находящийся между двумя поверхностями, разделим произведение па разность [половин] диаметров основания в. верхней поверхности, параллельной ему. То, что получится, это высота иля перпендикуляр полного 61 конуса. Вычтем пз пего первый перпендикуляр, то, что | останется, есть высота малого конуса. Затем измерим оба конуса и вычтем [объем] малого пз большого. Получится объем усеченного конуса [169].
Что касается многоугольного [усеченного конуса], то если стороны ого основания таковы, что можно их окружить кругом, касающимся всех его углов, пли провести круг, касающийся всех середин его сторон, то действие определения внутреннего или внешнего диаметра для них такое же, как при определении диаметров оснований круглого [усеченного конуса].
Если неизвестна высота, а конус является прямым и известна наибольшая пз линий, соединяющих периметры его оснований. т. е. соединяющая два пх угла, мы возьмем разность диаметров внешних кругов для основания и верхней поверхности и вычтем квадрат половины пх разности пз квадрата известной указанной липни; то, что останется, это квадрат высоты. Если же известна наименьшая из лпппн, соединяющих периметры, т. е. соединяющая пх стороны п перпендикулярная к ним, мы поступаем с диаметрами внутренних кругов так же, как мы поступали с внешними.
Другой вид. Если известен угол наклона стрелы конуса к перпендикуляру, умножим величину стрелы на косинус этого угла, получится величина высоты. Это охватывает также наклонный конус.
190
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП 1<ЛШИ
61 об.
Четвертый раздел
Об измерения конического изб ы т к а и и з б ы т к а ромбического тела
При измерении конического избытка мы умножаем одну треть перпендикуляра, опушенного из центра основания на одну из сторон, па круглую поверхность усеченного конуса, получится объем [17°].
При измерен ни избытка ромбического тола умножим одну треть перпендикуляра, опушенного из вершины полного конуса на одну из сторон усеченного конуса, безразлично, внешнего иля внутреннего, па круглую поверхность ромбического тола, находящегося между общим основанием и верхней поверхностью усеченного конуса, получится объем [171].
Пятый раздел
Об и з м е р с н и и ш ара
Умножим половину его диаметра па треть площади | его окружающей поверхности, получится объем.
Другой вид. Умножим две трети его диаметра па наибольший круг, находящийся в пом.
Другой вид. Возведем в куб диаметр и возьмем от него одиннадцать двадцать первых по известному исчислению иля по нашему исчислению умножим куб диаметра на О 31 24 57 20 кварт, т.е. одну шестую отношения окружности к диаметру. Получится объем [172].
Другой вид. Умножим одну шестую куба дпаметра па отношение окружности к диаметру.
Другой вид. Умножим две трети куба дпаметра на отношение площади круга к квадрату диаметра, равное 047 7 26, как [мы видели] раньше, в четвертой главе.
Знай, что шар равен цилиндру, основание которого равно наибольшему кругу, находящемуся в нем, а высота равна двум третям диаметра шара, а также четырем конусам, основания которых равны наибольшему кругу, находящемуся в этом шаре, а высоты равны половине диаметра этого шара [173].
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
191
Шестой раздел
Об измерении сектора шара и его сегмента
Умножим половину диаметра шара па треть его шаровой поверхности, получится объем сектора. Затем вычтем высоту сегмента из половины диаметра шара и умножим треть остатка па поверхность основания сегмента. Получится объем конуса сектора. Вычтем ого из объема сектора, если он меньше половины шара, пли прибавим к нему, если он больше [половины шара]; тогда остаток или результат [сложения] есть объем сегмента [1?4].
Седьмой раздел
Об измерении тел с р а в и о с т о р о п-пи м и гранями
Можно окружить ого [такое тело] окружностью шара, касающегося ого углов, и. можно окружить им шар, касающийся центров его граней, или два параллельных шара, один из которых касается некоторых граней тела, а другой касается остальных. Каждое из них [измеряется] как сумма многоугольных конусов с равными основаниями и высотами пли с разными основаниями и высотами, вершины 62 которых соединены в центре | тола.
Это семь тел [175].
Первое обладает четырьмя гранями, являющимися равносторонними треугольниками в шаре, т. е. является телом, ограниченным четырьмя равными равносторонними
192
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
треугольниками. Опо является конусом с треугольным основанием и составлено из четырех конусов, основаниями которых являются его грани, а вершинами—его центр. Действия с ним таковы: возведем в квадрат диаметр окружающего его шара и возьмем корень из двух третей его, а также корень из половины квадрата диаметра, первый является стороной основания, а в юрой—высотой треугольника грани. Умножим одну из них на половину другой, получится площадь поверхности о/щой грани. Умножим ее на две девятых диаметра этого шара, получится объем [17е].
Другой вид. Умножим диаметр шара один раз па 0 4859231541 квинту, получится ого ребро, и другой раз на 0 42 25 35 3 53 квинты, получится высота треугольника. Остальное как раньше [177].
Другой вид. Возьмем корень из двух девятых квадрата диаметра н умножим его на корень из одной шестой квадрата диаметра; то, что получится, умножим па треть диаметра, получится объем.
Если известно ребро, а диаметр шара и высота тола неизвестны, то возведем в квадрат ребро и возьмем король из двух тречей этого; это есть высота тела, равная двум третям диаметра шара. Прибавим к поп ее половину, получим диаметр шара.
Другой вид. Умножим ребро на 048 59 23 15 41 квинту, получится высота тела. Это две трети диаметра шара.
Второе обладает восемью гранями, являющимися равносторонними треугольниками в шаре. Действия с ним таковы: умножим диаметр окружающего его шара на половину диаметра, затем произведение—на треть диаметра или умножим квадрат диаметра на одну шестую его. То, что получится, это объем [i7SJ.
Другой вид. Умножим диаметр шара па 0 42 25 35 3 53 квинт, получится ребро.
Другой вид. Если известна сторона основания, а диаметр окружающего его шара неизвестен, удвоим квадрат стороны и возьмем его корень, это диаметр шара.
Другой вид. Умножим ребро на I 24 51 10 7 43 квинт, получится диаметр, затем умножим квадрат ребра на треть диаметра, получится объем [179].
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
193
62 об.
\Третъе—это куб в шаре. Действия с ним таковы: возьмем треть квадрата его диаметра и найдем корень из этого. Это есть ребро куба. Получаем пз этого его объем следующим образом: умножаем ребро па себя, а затем умножаем его на произведение Р80].
Другой вид. Умножим диаметр шара на 0 34 33 27 39 29 квинт, получим его ребро. Если мы разделим ребро па это, получим диаметр Р81]. Очевидно, что диаметр внутреннего шара равен его ребру.
Куб это цилиндре квадратным основанием, высота которого равна стороне его основания.
Четвертое обладает двадцатью гранями, являющимися равносторонними треугольниками в шаре. Действия с ним таковы: возведем в квадрат диаметр этого шара и возьмем половину одной десято]’! и вычтем корень из этого пз половины диаметра шара. То, что останется, запомним Прибавим квадрат этого к одной пятой квадрата диаметра п возьмем корень из суммы. То, что получится, ость сторона грани тела Р82].
Другой вид. Возьмем одну пятую квадрата диаметра шара и умножим корень из этого па 1 1032 3 13 54 квинты, получится сторона грапи тела [183].
Другой способ. Умножим диаметр па 0 31 32 37 54 13 квинт, т. е. хорду половины дуги, стрела которой есть четыре пятых, при условии, что диаметр есть единица. Получится сторона грапи [184]. Отсюда мы найдем площадь поверхности грани. Умножим это на двадцать, получим площадь поверхности всего тела. Затем вычтем треть квадрата стороны из четверти квадрата дпаметра и возьмем корень пз этого. Это половина диаметра шара, окружаемого фигурой, т. с. перпендикуляр, опущенный из центра тола па поверхность грани [185].
Другой вид. Умножим диаметр шара па 23 50 22 41 26 квшгг, получится половина диаметра внутреннего шара, умножим одну треть этой высоты на площадь всех граней тела, получится объем тела Р86].
Если известна сторона треугольной грапи, а диаметр шара неизвестен, разделим величину стороны на хорду одной пятой части круга, т. с. 1 1032 3 13 54 22 сексты, при условии, что половина диаметра есть единица, умножим 13 Историко-матем. исследования
194
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
квадрат частного па пять, произведение есть квадрат дпа-бз метра внешнего | шара, окружающего тело.
Другой вид. Разделим ребро па 0 31 32 37 54 13 квинт. Пслучится диаметр.
Пятое обладает двенадцатью гранями, являющимися пятиугольниками с равными сторонами и углами.Действия с ним таковы: возьмем половину одной шестой квадрата диаметра и найдем его корень, затем умножим это, т. с. половину одной шестой указанного, па пять, возьмем корень из произведения и вычтем из этого предыдущий корень. Остаток является стороной пятиугольной грани [187].
Другой вид. Умножим диаметр па 0 21 24 33 34 17 квинт, получится сторона пятиугольной грани. Из этого получится площадь поверхности грани, как [указано] раньше. Умножим это па двенадцать, получится площадь всей поверхности с двенадцатью гранями [188].
Затем получим половину диаметра внутреннего шара в точности так же, как раньше для [тела], обладающего двадцатью гранями, т. о. вычтем треть квадрата стороны треугольника [тела], обладающего двадцатью гранями, н четверть квадрата диаметра окружающего его шара и возьмем корень остатка или умножим диаметр на 23 50 22 41 26 квинт; то, что получится, это высота, опущенная нз центра тела на центр грани. Умножим треть этого па площадь всех граней тела, получится объем тела. Это и есть искомое.
Если известно его ребро, а неизвестен диаметр окружающего шара, возведем в квадрат ребро, прибавим к этому квадрат его четверти, возьмем корень пз суммы и вычтем из него половину ребра. Остаток прибавим к известному ребру и умножим квадрат того, что получилось, па три. Тогда произведение является квадратом диаметра шара, окружающего тело [18у].
Другом способ. Разделим ребро на 0 21 24 53 34 17 квинт, получится диаметр окружающего шара.
Так как число граней этого тела двенадцать, и число углов [тела], обладающего двадцатью гранями,—двенадцать, а число угловатого [тела] и число граней того [тела]— двадцать, то можно построить одно из них на другом, так об. что углы внутреннего тела касаются центров граней [
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
195
внешнего. Тогда окружающий шар внутреннего тела, касающийся его углов, является внутренним шаром для внешнего тола, касающегося центров его гранен. То же относится п к кубу и к [телу], обладающему восемью гранями. Ты узнал определение диаметра внутреннего шара из того, что было раньше, этот же шар есть внешний шар внутреннего тола. Поэтому определение ребра внутреннего тела и его объема [производится] как мы указали.
Шестое обладает четырнадцатью гранями, восемь из которых—равносторонние треугольники, а шесть остальных—квадраты, стороны которых' являются сторонами треугольников. Каждая пз этих сторон равна половине диаметра окружающего шара. Действия с ним таковы: умножим корень из половины квадрата диаметра на четверть квадрата диаметра, т. с. квадратную грань, и запомним произведение. Затем возьмем треть квадрата диаметра, а также одпу шестую его и найдем корень каждой из них. Тогда первое равно учетверенному перпендикуляру, опущенному из центра треугольной грани па середину се стороны, а второе—перпендикуляру, опущенному из центра тела па центр треугольника. Затем умножим половину диаметра шара, т. е. сторону треугольника па одно из' этих двух, а затем то же для другого. То, что получится, прибавим к запомненному. То, что получилось, это объем тела.
Другой способ. Умножим диаметр на 0 10 33 23 45 58 квинт, а произведение—на квадрат диаметра. То, что получится, запомним. Затем умножим диаметр па 0 1(5 19 47 45 13 квинт, а квадрат диаметра — на 0 25 55 50 44 37 квинт, затем умножим первое произведение па второе произведение, к тому, что получится, прибавим запомненное. Получится объем [19°].
Седьмое обладает тридцатью двумя гранями, двадцать из которых — равносторонние треугольники, а остальные двенадцать—пятиугольники, стороны которых являются сторонами этих треугольников, каждая из них равна стороне десятиугольника, находящегося в наибольшем круге, находящемся в шаре. Действия с ним таковы: разделим 64 квадрат диаметра шара на шестнадцать, возьмем | корень 13*
196
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
частного от деления, затем умножим частное от деления на пять, возьмем корень из произведения и вычтем из пего прежний корень, остаток является стороной грани тела I191]. Из этого получим площадь двух его гранен, т. е. пятиугольника и треугольника, как [указано] раньше при измерении поверхностей. Умножим площадь его пятиугольной грани па двенадцать для получения площади всех пятиугольных поверхностей и умножим площадь ого треугольной грани на двадцать для получения площади всех треугольных поверхностей. Затем вычтем треть квадрата ребра от четверти дпаметра, возьмем корень пз остатка, умножим треть его на площадь всех треугольных поверхностей и .запомним произведение. Затем разделим сторону на 1 10 32 3 33 44 квинты, вычтем квадрат частного из четвер ги квадрата диаметра и возьмем корень из остатка. Умножим его треть па площадь всех пятиугольных поверхностей. То, что получится, прибавим к запомненному. Получится объем тела.
Другой вид. У множим диаметр шара на 0 18 32 27 40 15 квинт, получится ребро. Из этого получится площадь его пятиугольной и треугольной поверхностей. Сложим сначала его пятиугольники, а затем сложим треугольники, затем умножим сначала диаметр на 8 30 23 21 50 квинт, а произведение—на все его пятиугольники и запомним произведение и во второй раз—на 0 9 10 20 12 18 квинт, а произведение—па все его треугольники и прибавим произведение к запомненному. Получится объем [192].
Если известно ребро, а диаметр неизвестен, возьмем четверть квадрата ребра, возьмем корень из этого, прибавим указанную четверть к квадрату ребра, возьмем корень из суммы, вычтем из этого прежний корень, прибавим остаток к стороне. Удвоенная эта сумма есть диаметр окружающего шара [193].
Другой вид. Разделим ребро на 18 32 27 40 15 квинт. Получится диаметр.
Измерение этих тел с равносторонними гранями пе помещалось владеющими этой наукой в книгах об измерении, они определяли их по «Началам». Я поместил применяемые здесь цифры в таблицы и написал эти числа. Эта таблица такова [194]:
64 об.
I Т а б п I
Градусы
Ребро [тела], обладающего четырьмя треугольными гранями, еслп диаметр шара— единица, и его высота, если его ребро-единица 0
нуль
Высота треугольника [тела], обладающего четырьмя гранями, и ребро [тела], обладающего восемью гранями, если диаметр [шара]-единица 0
нуль
Диаметр шара [тела], обладающего восемью гранями, если его ребро—единица 1
один
Ребро куба, если диаметр шара—единица 0
нуль
Отношение стороны пятиугольника к стороне шестиугольника 1
один
Ребро [тела], обладающего двадцатью гранями, если диаметр [шара]-единица 0
нуль
Высота, опушенная из центра [тела], обладающего двадцатью гранями, или [тела], обладающего двенадцатью гранями, на поверхность грани, если диаметр [шара]— единица 0
нуль
i ц a
Мил у ты Секунды Терции Кварт ы Квинты
48 59 23 15 41
сорок восемь пятьдесят девять двадцать три пятнадцать сорок одна
42 25 35 * 53
сорок две двадцать пять тридцать пять три ПЯТЬДС-сят три
24 51 10 7 46
двадцать четыре пятьдесят одна десять семь сорок шесть
34 38 27 39 29
тридцать четыре 1ридцать восемь двадцать семь тридцать девять двадцать девять
10 32 3 13 54
десять тридцать две три тринадцать пятьдесят четыре
31 за 3 9 54 13
тридцать одна тридцать две тридцать девять. пятьдесят четыре тринадцать
23 50 22 41 26
двадцать три пятьдесят двадцать две сорок одна двадцать шесть
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
[ 1J р о д о л ж е н и о]
Ребро [тела], обладающего двенадцатью гранями, если диаметр [шара]-единица 0 21 24 3 3 3 4 17
нуль двадцать одна двадцать четыре тридцать три тридцать четыре семнадцать
Половина высоты, опущенной пз центра [тела] обладающего четырнадцатью гранями, на поверхность квадрата, если диаметр [ша-ра]-сдшшца 0 10 33 23 45 58
нуль десять тридцать три двадцать три сорок пять пятьдесят восемь
Две трети высоты, опушенной из центра [тела], обладающего четырнадцатью гранями, на поверхность треугольника, если диаметр [шара]—единица 0 16 19 4 7 45 13
нуль шестнадцать девятнадцать сорок семь сорок пять тринадцать
Отношение площади треугольника к квадрату его стороны 0 25 5 5 50 4 4 37
нуль двадцать пять пятьдесят пять ИЯ гь-дссят сорок чет ыре тридцать семь
Ребро [тела], обладающего тридцатью двумя гранями [если диаметр шара—единица] 0 18 32 29 40 15
нуль восемнадцать тридцать Две двадцать девять сорок пятнадцать
Треть высоты, опущенной из центра [тела], обладающего тридцатью двумя гранями, па поверхность пятиугольника, если диаметр [шара]—единица 0 8 30 23 21 50
нуль восемь тридцать двадцать три двадцать одна пятьдесят
Треть высоты, опущенной из центра [тела], обладающего тридцатью двумя гранями, на поверхность треугольника, если диаметр [шара]—единица 0 9 20 30 12 18
нуль девять двадцать тридцать двенадцать восемнадцать
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
199
65 [ Восьмой раздел
Об и з м е р е я и и других те л, состоящих из указа и и ы х н а м и
Таковы цилиндр, к которому прибавлен или от которого отнят конус и подобные этому. В таком случае измеряем каждое из лих и складываем или вычитаем, как требуется.
Что же касается других, то если можно поместить их в какой-нибудь сосуд или бассейн, возможно их измерение таким образом: помещаем тело в сосуд, наливаем воды, пока опа не превзойдет вершину тела, обозначаем общую границу между поверхностью воды и поверхностью сосуда пли бассейна знаком, затем вынимаем тело из воды и измеряем пустое место, на которое вода опустилась от пего. Это и есть искомое.
В ос ь м а я г л а в а
Об определении объема некоторых тел по пх весам и обратно
Это требует знания следующей предпосылки: если мы имеем два тола, равных по объему и разных по весу, то вес первого относится к весу второго при равенстве их объемов, как объем второго к объему первого при равенстве их весов. Например, вес железа относится к весу дерева при равенстве их объемов, как объем дерева к объему железа при равенстве пх весов.
Способ определения отношения как между однородными, так и между неоднородными телами таков: возьмем бутыль и кривую трубку, вершина которой наклонена вниз, и наполним ее чистой водой. Поместим. чашу весов под ной. Если мы бросим в псе металл пли драгоценный камень или что-нибудь другое, что мы не можем размолоть, из трубки выйдет вода, равная объему этого тела, а если мы бросим в нее другое тело, вес которого равен весу первого тела, выйдет другое количество воды; тогда вес первой воды относится к весу второй воды, как объем первой воды, т. е. объем первого тела, к объему второй
200
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
воды, т. е. объему второго тела, и как вес второго тела 65 | к весу первого тола при равенство их объемов. Если °6’ мы бросим в бутыль, например, сто мискалсй каждого пз тел, помещенных памп в таблице, и взвесим воду для каждого, мы действительно получим отношен по объема одного к другому при равенство пх весов и отношение веса одного к другому при равенство пх объемов [1ВЗ].
Для определения отношения жидкостей следует взять сосуд, узнать, сколько он содержит воды и каждой жидкости, отсюда определим отношение веса воды к весу каждой пз ппх при равенство объема. Если ты знаешь отношение веса воды к весу одного из металлов при равенстве объемов, тем самым ты узнаешь отношение веса этого металла к весу каждой из жидкостей при равенство объемов.
Еслп мы хотим узнать вес куба локтя каждого из ппх, потребуем водоем с плоскими пли круглыми стопками, перпендикулярными к поверхности горизонта, каждое пз трех расстоянии в котором больше локтя; чем водоем будет больше, тем действие будет правильное. Затем наполним его водой и обозначим общую границу между поверхностью воды и степами водоема. Затем выльем некоторое количество воды, при котором поверхность воды опускается па знак одного локтя. Взвесим то, что выходит пз пего, и разделим вес вылитой воды па площадь поверхности воды для того, чтобы определить вес куба локтя воды. Так определим вес куба каждого вида.
66 Добавим отношения | пх весов при равенстве пх объемов. Это выразил ученый исследователь ’Имададдйн Хаввам Багдадй, да наполнит всевышний аллах его своим прощением, в своем «Блестящем трактате» [196 ] в двух таблицах отношений металлов, драгоценных камней н некоторых жидкостей, извлеченных из «Босов мудрости» (.«Мизап ал-хикма») [1!,71. В большинстве экземпляров, которые я рассмотрел, они неправильны по причине ошибок переписчиков, па которые никто из комментаторов не обращал внимания. Досточтимый исследователь Камал-аддйп Хасан Фарси [1J8] в своих комментариях сказал, что мы не располагаем способом исправить эти таблицы. По мы исправишь пх по книге «Весы мудрости»
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
201
п указали свойства пх определения. Кто хочет, может проверить это.
Мы составили таблицы весов тел равного обкома, считая вес самого тяжелого пз них, т. е. золота, за сто, безразлично, мпскалей, укийе, ратлей пли других, и также считая вое золота за две тысячи четыреста, чтобы тасуджи сотни были целыми. Мы поместили вместо веса каждого тела и для ста и для двух тысяч четырехсот и поревели их также в цифры астрономов для того, чтобы, если при переписке произойдет ошибка, тот, кто захочет, легко исправил одно с помощью другого. Мы прибавили также веса куба локтя руки в мискалях и ратлях, все это в среднем. Эта таблица такова [199]:
66 | об. |
Тела 1 Все куба локтя в мискалях минуты Цифрами да; у мала
сотни тысяч десятки ТЫСЯЧ ] тысячи О о десятки единицы три.кды подпитые 2 е о п к поднятые 5 I минуты МИСКаЛСИ
1 Дерево пвы . 1 1 1 5 2 54 — 3 12 54
i Сандал 2 1 3 3 9 10 5 Г г □5 :>9 10
Воск - 9 7 о 2 39 7 33 22 39
' Вода 2 8 <> 0 Э 10 7 36 о5 40
Вино . ... 1 2 9 3 4 8 55 — S 7 28 5 а
Винныц уксус . • 1- 2 9 7 0 0 — 8 9 30 0
Коровье молоко 3 1 9 1 0 30 — 8 11 36 301
'Мед 1- 3 9 6 1 6 35 11 ° 10 35
Олово 1 2 0 9 О о 0 8 29 — 58 8 28 29 1
| Железо ...... II 2 2 1 4 0 3 6 1 1 30 1 6
Латунь , 2 \ 5 1 9 1 27 1 8 6 31 27
Медь 1 2 4 7 8 4 6 40 . 1 8 50 1 46 40
Желтая медь . . 2 2 4 0 3 23 1 9 6 43 23
Свинец 13 2 о 8 о 8 0 1 21 27’ 18 1 0
202
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
67 |
Цифрами дгкумала
Вес куба локтя в ратлях
Дерево ивы . .
Сандал ....
Воск.........
Вода.........
Вино.........
Винный уксус .
Коровье молоко Мед . . . . . Олово ....
Железо ....
Латунь ....
Медь.........
Желтая медь .
Свинец ....
1 2 8 1 а4 2
9 2 59 10 4
— 3 0 22 39 5
— о 1 7 75 40 5
— з 2 4 88 55 5
— 3 2 6 30 0 5
— 3 5 4 54 30 5
— 4 4 0 16 35 7
2 3 2 а 58 29 38
2 4 6 0 3 6 41
2 7 2 4 31 27 45
2 7 5 з 8G 40 4а
2 8 0 4 23 23 40
3 5 9 8 18 0 59
i
I
о6б7 | Если вес тела известен и мы хотим его измерить, мы разделим его вес на вес ого куба локтя, получится объем. Если же известен объем, и мы хотим [найти] ого вес, умножим его па вес куба локтя, получим ого вес.
Девятая глава
Об измерении зданий и построек [2СЮ]
Об этом, за исключением арок и сводов, ио упоминали владеющие этой наукой. Это но считалось необходимым, но я включил это в число необходимого вместо с подобным этому, так как необходимость в измерении зданий больше другого. Я составил это в трех разделах.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
203
Первый раздел
Об из м ерей и и а р ок и с в о д о в, к р оме тог о, ч т о у к а з а п о п р е д ш е с г в о и и и к а м и
[Арок и сводов], являющихся половинами круглого полого цилиндра, мы не видели ни в древних, ни в новых зданиях. J> большинстве случаев, мы видели [арки и своды], выпуклые в середине, а в меньшинстве они меньше половины круглого полого цилиндра. Знай, что арка, которую нам следует называть настоящей аркой, имеет покрытие, опирающееся на два основания, [находящихся] па одной: поверхности между двумя параллельными линиями. Она как бы состоит из пяти секций. Две пз них являются частями одной фалаки, кольца пли барабана, диаметр полости которого меньше пролета арки, т. о. расстояния между основаниями арки, одно из которых справа, а другое слова. Они опираются на основания [арки]. Две другие секции являются частями фалаки, кольца или барабана, диаметр полости которых больше диаметра полости первой фалаки, а толщина которых в точности такая же, как толщина двух первых секций. Они строятся над первыми двумя секциями и объединяются с ними линией, являющейся линией выпуклости арки. Оси двух правых секций находятся на одной поверхности, а осп 68 Двух левых секций также находятся] па одной, [уже] другой поверхности. Последняя секция- одна и ограничена двумя равными и параллельными [поверхностями], похожими на миндаль, и четырьмя плоскими поверхностями. Совокупность всех секций есть тело, ограниченное двумя плоскими параллельными поверхностями, являющимися его фасадами, и двумя круглыми поверхностями, одна из которых выпуклая, а другая вогнутая. Расстояние между фасадами называется глубиной арки. Разница между аркой и сводом такова, что глубина арки не больше ее ширины, а глубина свода больше его ширины. То, что называется глубиной арки, у свода называется длиной. Имеется пять способов черчения фасада арки.
204
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
68 об.
Первый [фасад}. Чертим круг ABCD, диаметр которого имеет величину пролета арки. Точка Е—его центр. Делим его на шесть равных частей точками Л, В, С, О, G, [1. Проводим диаметры AD, BG, СН и продолжаем их в концах Л, В, С, D в их направлениях до точек I, К, L, М па расстоянии толщины арки, которые выбираем произвольно. Затем описываем пз центра Е дуги IK, LM, описываем пз точки П на расстоянии НС дугу СЕ и из точки G на расстоянии GB дугу ЕЕ. Соединяем НЕ, СЕ и продолжаем их до А, О на величину толщины арки. Описываем пз точки И лугу LO и из точки С дугу К А. Восставим перпендикуляр ХА7 к FX и перпендикуляр NO к FO. Получилось пять секции, это секции АК, KF, FN, FL, LD. Все это фасад арки. Мы сделали XN, ON прямыми, а не круглыми. Применение этого мы укажем. Изображение таково—па обороте этого I201]: |
Можно опис/лвать дуги BF, FC, КО, XL из других двух точек па линиях ЕС, ЕН как внутри нижнего полукруга, так и вис ого, но лучше то, что раньше. Мы называем поверхность ABFCD отверстием арки, а зодчие называют со проемом. Если мы восставим в точке Аг по обе [ее] стороны перпендикуляры NP, AQ к NF, равные АЕ, и соединим АР, DQ, они пересекут линию выпуклости арки в двух точках 8, Т. Тогда поверхности SPN uNQT— это плечи арки, A8I и DTAI—те части арки, которые
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
20а
входят в стелу, линия FE—нижняя высота выпуклости арки, EN—верхняя высота выпуклости арки. Этот фасад особенно удобен, когда пролет арки равен пяти локтям. В некоторых зданиях мы видели, что BE, FC— прямые линии, так же как KN, NL.
69 Второй фасад. Опишем полукруг ЛВС!) на| линии AD как на диаметре. Это ширина арки. Продолжим ее [линию Л/)] в обе стороны до точек 1, М па расстоянии толщины арки, которое выбираем произвольно. Точка Д— ого центр. Разделим его па четыре равные части в точках А, В, Z, С, D. Проведем половины диаметров BE, СЕ, продолжим пх и отложим на них EG, Ell, равные величине А'А и CL, ВК, равные величине толщины арки DM. Опишем из центра Е дуги ]К, ME, опишем из центра Н па расстоянии НС дугу СЕ и из точки G па расстоянии СВ дугу BF, соединим I1F, GE и продолжим их до точек С), X па расстояние толщины арки. Опишем из точки llt дугу L0, а пз точки G дугу КХ и восставим перпендикуляры АДУ, ОХ к линиям FX, F0. Секции АК, KE, EN, FL, LD образуют арку. Построим поверхность APQD с параллельными сторонами [п прямыми углами]. Мы сделали A.V, ON прямыми, а не круглыми для красоты. Этот фасад удобен, когда пролет арки от пяти до десяти или до пятнадцати локтей. Это таково:
Н
206
джэмшид ГИЯСЭДДИП НАШИ
69 об.
Третий фасад.Восставим в середине AD, т. е. пролета арки, перпендикуляр к вей EN и отложим па пом EZ, равную АЕ, отложим на АЕ величину ее одной восьмой ЕВ. Опишем из точки В па расстоянии BD дугу DC, равную одной восьмой окружности, и также дугу МL и соединим BCL, продолжим ее в направлении В до точки/Z на расстоянии AZ и опишем пз точки 11 на расстоянии 1JC дугу СЕ до встречи с перпендикуляром ЕЕ в точке Е. Соединим //F, продолжим ее до О на расстояние толщины арки и опишем снова из центра 11 ругу LO. Восставим в точке | О перпендикуляр NO к ЕО и построим поверхность ENQD с параллельными сторонами и прямыми углами. Этим изображение половины арки закопчено. Оно таково:
Изображение второй половины арки такое же. Этот фасад удобен для больших арок, пролет которых больше десяти локтей.
Четвертый фасад. Делим AD, т. е. пролет арки, на три части точками В, G. Опишем из точки В на расстоянии BD дугу DE и из точки G на расстоянии AG дугу АЕ, соединим BE, GF и продолжим их до точек 11, 1 на величину толщины арки и также AD в обе стороны до точек К, L. Опишем из В па расстоянии BL дугу ЕН и из точки G па расстоянии GK дугу К1. Восставим в точках 11, I перпендикуляры HN, IN к Ell, EI.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
207
Совокупность трех секций FK, FN, FL образует арку
Пятый фасад. Восставим в точках А, 1), т. с. двух концах пролета арки, перпендикуляры AC, DGn примем величину каждого из них равной AD, [считая] от A, D. Будем считать точки С, G центрами и опишем из каждой из них на расстоянии диагонали, т. с. AG, дуги AF, Db и также ЕН, IE, продолжив линию А1) в обе стороны на одно и то же расстояние. Изображение AB1IIDF фасада арки таково:
Окончив определение арки и свода, приступим к свойствам измерения отношений некоторых из величин к пролету, а некоторых к толщине и запишем это в таблице 70 с объяснением способа действия. | Мы добавим свойства определения этих величин, а также переведем их в индийские цифры и также запишем это в таблице. Эта [таблица] такова [202]:
208
ЛЖЁМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Еслп умпожпм пролет арки на это, получим линию вогнутости арки Еслп умножим толщину арки на это, прибавим произведение к липни вогнутости арки н умножим сумму иа толщину арки, получим площадь фасада
Градусы .Минуты Секунды Терции Градусы 1 Минуты 1 Секунды Терции
Первый фасад . . 1 36 26 6 1 35 37 28
Второй фасад , . 1 39 2 39 1 35 17 12
Третий фасад . . 1 42 44 8 1 36 21 47
Четвертый фасад . . 1 47 26 17 1 1 37 37 47
Тс я: с вс л и ч и п ы и л д и и
О О О
g о 3 14 Г ЧН11И ичиг п S с ИЧН1: ды пчнь II
с к сят ;ун 11111 1BJ к 11 А? .1. К Л П1Ц 1В.1
г—J й —г 8 I’ll •111 И 8
Первый фасад . . 1 6 2 4 1 5 9 4
Второй фасад . . 1 6 5 1 1 5 9 6
Третий фасад . . 1 7 1 2 1 6 0 6
Четвертый фасад . . 1 7 5 7 1 5 7 6
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
209
Умножим пролет арии на это, получим нижнюю высоту выпуклости Умножим толщину арки на это, получится толщина се выпуклости. Если прибавим сс к нижней высоте выпуклости, получим верхнюю высоту выпуклости Ь множим квадрат пролета арки на это, получится площадь поверхности отверстия, называемого зодчими проемом
градусы Минуты Секунды Терции Градусы Минуты Секунды Терции Градусы Минуты Секунды Терцин
0 0 0 0 34 39 38 38 28 55 17 43 1 16 30 47 1 1 1 1 1 5 10 5 18 15 55 15 12 18 12 0 0 0 0 26 25 27 28 28 9 2 41 12 37 41
с к п м и п. и ф рами
Единицы Десятые Десятичные секунды Десяти ч пые терции Единицы Десятые Десяти чпые секунды Десятичные терции Единицы Десятые Десятичные секунды Десятичные терции
— 5 6 9 1 0 3 3 — 4 О 8
— 5 9 8 1 0 9 9 — 4 1 9
— 6 3 8 1 1 1 5 — 4 5 1
6 4 5 1 0 9 8 — 4 7 8
14 Историко-матем. исследования
21U ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
° | Получив площадь фасада арки из второго столбца,
умножим со на се глубину, получим объем ее тела. Так как большей частью арки строятся со вторым фасадом, будет лучше, если пролет арки будет равен двадцати, тогда линия вогнутости ее фасада будет равна тридцати трем, нижняя высота выпуклости будет равна двенадцати. Если ее толщина ость пять, то толщина ее выпуклости есть пять с половиной и половина разности между ее линиями выпуклости и вогнутости ость восемь. Если мы прибавим половину этой разности к линии вогнутости ее фасада и умножим сумму па ее толщину, получим площадь се фасада. Если мы умножим квадрат ее пролета на пять и разделим произведение па двенадцать, получится площадь ее отверстия, называемая проемом.
При измерении тех частей арки, которые входят в степу, построенную па пей, и при измерении плеч разделим [203] половину диаметра линии вогнутости первой секции, являющуюся половиной ее пролета в случае первых двух фасадов, половиной с ее одной восьмой в случае третьего фасада и двумя третями ее в случае четвертого фасада, па половину диаметра ее линии выпуклости, т. е. сумму ее толщины с половиной диаметра сс липни вогнутости, перейдем к дуге от частного, являющегося ее косинусом; это дуга линии выпуклости арки, входящая в стену с одной пз сторон, в тристашестидесятых частях окружности. Затем умножим отношение окружности к диаметру па сумму пролета арки с удвоенной ее толщиной в случае первых двух фасадов, прибавим одну восьмую пролета в случае т ретьего [фасада] п прибавим его треть в случае четвертого [фасада], то, что получится, умножим на указанную дугу и разделим на триста шестьдесят. Это величина указанной дуги, измеренная так же как пролет арки. Умножим ее па половину диаметра линии выпуклости первой секции и то, что получится, запомним. Затем возьмем сипус этой дуги, умножим его на половину указанного диаметра, то, что получится, умножим па половину диаметра линии вогнутости первой секции. Вычтем то, что получилось, пз | запомненного. То, что останется, и это сумма поверхностей частой, входящих в степу.
Вычтем это из площади фасада арки, то, что останется, прибавим к площади ее отверстия и вычтем сумму из
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
211
произведения пролета арки па верхнюю высоту се выпуклости, остаток есть площадь поверхности ее двух плеч. Далее умножим поверхность каждой из частей арки, входящих в стону, и поверхность ос плеч па глубину арки, получится объем ее тола. При измерении построек лучше сначала измерить степу до пяты арки, затем измерить арку и се отверстие, а затем умножить сумму пролета арки и со удвоенную толщину на верхнюю высоту ее выпуклости, вычесть из произведения сумму площадей фасада арки и ос отверстия; то, что останется, есть площадь поверхности се плеч вместе с том, что находится над основаниями арки. При этом мы по нуждаемся в измерении частей арки, входящих в стенку.
Что касается того, что мы обещалп о свойствах определения величин отношений, помещенных в таблице, то мы для трех первых фасадов предполагаем пролет арки равным двум. Умножим это на отношение окружности к диаметру, получим 6 16 59 28. Далее берем Г204]:
,71
об.
В первом фасаде одну шестую 1 249 54 Это линия вогну гости одной из первых секций, т. е. отна ИЗ дуг АВ, CD. FEH 150 [его синус] 30 0 0 0
Во втором фасаде одну восьмую 0 47 7 26 FEH 135 42 25 304
3 третьем фасаде одну восьмую и одну восьмую одной восьмой 0 50012 FXH 135 42 25 30 4
У МНОЖИМ это на ЛИЕП И НЕ т. е. 1000 разделим это произведение на линию HF— половину диаметра •[линии вогнутости] второй секции 2000 частное от деления есть синус угла HFE 1500 дуга этого угла 14 18 39
НЕ 124 61 10 2 24 51 10 24 51 10 24 2811
HF 1 25 37 33 1 31 10 36 34 29 26 17 55
[вычтс из допе иервогс остш м его 153131 если половина диаметра 2000 34 36 12 прибавим к дуге CD, получится дуга FD 1 36 26 1
лпения угла) РТС я 103149 2 2451 10 ЭТО будет 51 1513 1 39 2 ?9
угол FHE 18425 4 34 21 10 49 4341 142 44 8
Это для одной половины пролета арки. Запишем это в первом столбце. Если умножим на это половину пролета арки, получится половина ее линии вогнутости, если умножим па это пролет арки, получится вся линия вогнутости.
Здесь имелась разница между двумя измерениями окружностей, которая в том случае, когда половгна диаметра есть единица, дается отношением 6 1659 28 к тремстам шестидесяти.
14*
212
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП НАШИ
72
В первом фасаде примем тол-тину ла единицу и возьмем одну шестую 1 2 49 54 дуга и горой ГСК-цпп 0 17 48 5 угол мин- даля 14 18 39 его сторона 0 14 29 7
Во втором фасаде одну восьмую 0 47 7 26 021 39 17 0 28 11 9 0 28 И 9
В |ретьем фасаде одну восьмую 0 47 7 26 0 19 16 3 ) 27 29 39 0 27 29 39
сложим им ОС го * ;iyi в, йоду-чится 1 35 37 28 Если умножим толщину арки па это, получится раз-ность половины линии выпуклости и половины линии вогнутости, а если удвоим это, получим разность всея линии выпуклости и всей линии вогнутости. Запишем это во ито-ром столбце.
135 17 12
1 36 2147
Затем умножим линию II г 2000 на синус угла EHF и разделим произведение па синус угла FEH 30000 частное от деления есть линия ЕЕ 1 8 4 36 это нижняя высота выпуклости в двух первых фасадах, а в TpeibCM фасаде это та же высота иеп линии ХЕ. Получится
2 24 51 10 42 25 30 4 ЕЕ 1 11 50 32
2 30 21 10 42 25 30 4 ЕХ 195 1
0 34 28 1 заии-тем ЭТО в третьем столбце затем разде-лим единицу па косинус угла миндаля, 58 5 41 частное от де-лепил есть толщина выну клостп арки 1 1 18 4 это находится в четвертом столбце.
039 55 16 54 36 39 15 1512
0 38 17 30 53 46 28 1 10 55 18
Затем умножим половину диаметра пер-во 11 секции па дугу CD, получится удвоенная площадь сектора CED 1 2 49 54 затем умножим поло-вину дна-метра второй секции на дугу FC\ которая есть 34 36 12 получится удвоен мая пло- щадь сектора FIIC 1 4 12 22 затем умножим высоту, опущенную из вершины Н треугольника Н ЕЕ
CED 0 47 7 26 51 15 13 2 6 19 19
CBD 038 29 49 43 41 2 6 1736 на линию FE
30000 на осно-вапне треугольника 1 8 55 36 пол\чится 32 28 1 вычтем это из удвоенной площади сектора FHC, останется удвоенная площадь EEC 32 44 23
1000 I 11 50 32 удвоенная площадь грсу голь-вика 1 11 50 32 EEC 4329 26
1 7 300 I 9 5 1 1 17 48 9 EXC 48 31 17
ИрНОаИИИ ЭТО к удвоенному _ жсектору CED ! 1 о. 1 у чмтс и п.тощ ад ь от в е рстпя а р к и 1 37 54 49 Если возьмем 26 2812
СЕВ в третьем фасаде— с удвоенной пл о- 14036 32 " квадрат пролета арки за единицу, _ получится такая площадь 25 9 33
CBD щадыо треугольника £ЛХ] 1 49 27 4 27 2 37
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
213
Эти числа запишем в пятом столбце.
После того как ты узнал определение этих отношений в случае первых трех фасадов, от тебя по скрыт и случай четвертого фасада вследствие его простоты, так как половина диаметра дуги его линии вогнутости равна двум третям его пролета, а половина его линии вогнутости является дугой, косинус которой есть одна восьмая ее диаметра.
Что касается измерения арки с пятым фасадом, то нам достаточно умножить квадрат ее пролета на 5 43 27 терций или па 933 десятичные кварты [205], получится площадь ее отверстия. Умножим это па глубину арки и вычтем произведение вместо с той полостью, которая находится под ним, пз объема степы и тогда оставшийся сплошной объем не нуждается в измерении.
Тот, кто хочет, может сделать но следующему изображению Вое]. Соединим CD и продолжим до К и также [соеди-
72 сб.
ним] GF и продолжим до L. Соединим/7!/, получится высота арки, которая при единичной ширине равна 0 19 22 21 [терций]. Опустил! из D перпендикуляр DN на CI. Возьмем корень из удвоенного квадрата пролета арки, это линия [СП]. Возьмем половину синуса одной восьмой круга. Это | синус угла CFM. Вычтем ого дугу из одной восьмой круга, останется угол FCD. Затем умножим CD па отношение окружности к диаметру и умножим произведение па угол FCD. Возьмем треть произведения. Это величина/7!), измеренная так же, как AD. Далее прибавим DK, т. е. толщину арки, к CD, получится СК—половина диаметра линии выпуклости арки. Умножим DK на отношение окружности к диаметру, умножим произведение
214
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
на величину угла FCD и возьмем треть произведения, это разность дуг KLwFD, измеренная также, как AD. Прибавим половину этого к половине F.L), получится половина суммы FD и KL. Умножим это па DК, получится площадь кольцевого сектора FDKL, затем раздел им АС или AD, т. е. пролет аркп, па СТ, т. е. СК. По частному найдем Д\гу как по [ко [синусу.
Затем разделим пролет аркп па CD и по частному найдем дугу как по синусу. Возьмем разность между этими двумя дугами, это дуга IK в трпсташестп десятых частях окружности, т. о. угол ICK. Отсюда получим эту величину в тол! же масштабе, что и AD, умножим CD па ее половину, получится площадь сектора KCI, затем умножим синус угла ICK па линию CD, получится перпендикуляр DK. Умножим его па линию CI, получится площадь треугольника DCI. Вычтем это из сектора КС1, останется поверхность KDI. По этому же правилу получится поверхность I1FL. Сумма их с кольцевым сектором FLKD есть поверхность FJITD, т. е. поверхность половиш,г фасада арки. Умножим удвоенную эту поверхность па глубину арки, получится объем тела аркп.
Так как .линия выпуклости этой аркп тге пропорциональна прибавлению се толщины, как мы это видели в таблице, можно сделать две верхние стороны «миндаля», так же как в предыдущих способах, прямыми линиями, чтобы они были пропорциональны. Это то, что мы обещали.
Что касается внутренней if внешней поверхности аркп, т. е. крив],IX [поверхностей], то умножим глубину арки па линию вогнутости ее фасада, получится площадь ее внутренней поверхности, [умножим ее] на линию ее выпуклости, получится площадь ее внешней поверхности.
Мы много говорили об этом в силу того, что этот раз-73 дел очень нужен, а предшественники | не излагали это как следует.
Второй раздел
О б и з ме р о и п и куполов
Это [встречается] либо в форме половины полого шара, либо в форме сегмента полого шара, либо в форме многоугольного конуса, либо в такой форме, которая получает
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
215
ся, если представить себе вращение фасада арки одного из упомянутых видов, около линпи ее высоты, т. е. линии, соединяющей се выпуклость с серединой [линии] между се основаниями. Что касается измерения двух первых видов, то мы указали его свойства при измерении шара и его сегмента. Что касается третьего вида, то мы указали его при измерении конуса.
Что же касается измерения последнего вида и измерения его поверхности, то примем его полюс за центр и опишем па ого поверхности [нз этого центраj окружности многих кругов таким образом, чтобы не было разницы между кривыми линиями, находящимися между каждыми двумя из них, и прямыми, являющимися хордами этих кривых. Я думаю, что достаточно семи или восьми таких окружностей!. Затем измерим [расстояние] от вершины купола до ближайшей к нему окружности н умножим это на половину этой окружности, затем измерим каждую из окружностей и половину суммы каждых двух соседних нз них [н расстояния между ними] и сложим полученные произведения; получится площадь поверхности купола. Что же касается объема его тела, то .представим себе между вершиной купола и поверхностью ближайшего пз проведенных па пом кругов целый конус, а между каждыми двумя нз этих кругов—усеченные конусы, затем измерим их, как мы указали, и сложим их, затем измерим полые воздушные конусы, т. е. полость купола, и вычтем полость купола пз первого объема. Остаток есть объем тела купола [2t)7J.
Мы сделали это для купола, получающегося при черчении вогнутой арки но четвертой фигуре. Мы определим отношение площади ого [поверхности] к квадрату диаметра основания для упрощения действия. Способ этого таков: умножим квадрат диаметра вогнутости основания купола на 1 46 32 секунды или 1 7 7 5, где первый [справа] пз разрядов—десятичные терцин, получится площадь вогнутой поверхности купола. Еслп мы умножим квадрат диаметра выпуклости его основания па то же, получится площадь ого выпуклой поверхности, так как они параллельны. Если мы умножим куб диаметра вогнутости его основания и куб диаметра выпуклости
216
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
73 об.
его основания на 0 18 231 секунды или на 3 0 6, где первый [справа] пз разрядов—десятичные терции, и возьмем разность произведении, это будет объем полого купола.
Третий раздел
Об измерении поверх ност и сталактитов
Это такое покрытие, которое имеет ступенчатые грани. Поверхность каждой его грани пересекается с соседней под прямым углом, под половиной прямого угла, под полутора прямыми углами или под другими [углами!. Эти углы прямые иа поверхности, параллельной горизонту, па лих опирается плоская поверхность, не параллельная горизонту, пли две плоские, пли две кривые поверхности. Будем называть грани вместе с их покрытием одной ячейкой. Будем называть соседние ячейки, основания которых находятся па одной [плоской] поверхности, одним ярусом. Будем называть наибольшую величину основания грани модулем сталактитов. Мы видели четыре вида сталактитов: простые, которые зодчие называют «кафедрой», глиняные, дуговые и ширазские. Что касается простых сталактитов, то поверхность граней их ячеек только ромбы, ромбоиды и прямоугольники. Поверхности ее верхней части, т. е. крыши,—квадраты, ромбы, «мин-дали», половины квадратов, ромбов и «мипдалей», двуногие, являющиеся дополнениями «мипдалей», и, в малом числе, «ячменные зерна» [208]. Стороны квадратов и ромбов, длинные стороны «мипдалей» и двуногих, боковые
Прямоугольник Квадрат Ромб Миндаль Ячмси- Двуногий ное зерно
стороны половин ромбов и квадратов, короткие стороны «ячменных зерен» равны между собой и равны модулю. «Ячменных зерен» нет па верхнем ярусе. Способ измерения [таков]: измеряем сначала их модулем, а потом, если угодно, переводим это в другую меру, как локоть и другие, затем считаем грани каждого яруса, сколько бы их ни было,
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
217
опирающиеся на сторону квадрата пли па сторону, равную стороне квадрата, или на одну пз коротких сторон «миндаля» или его дополнения, т. о. двуногого, или на основание воловины ромба, Возьмем для того, что находится ла стороне квадрата пли ромба, Ъдиницу; для того, что находятся на одной из коротких сторон «миндаля» или его дополнения, 0 24 51 10 8 кварт или 4 14 2 14 десятичных секст, а для того, что находится на основа-74 нии половины ромба, 0 45 55 59 55 | кварт или 7 6 5 3 6 7 десятичных секст, сложим их и умножим пх па высоту этого яруса, т. е. на высоту граней, это в большинстве случаев равно модулю, получится площадь стенок этого яруса, измеренная модулем сталактитов. Затем возьмем для квадрата, находящегося на покрытии, единицу, для ромба 0 42 25 35 4 кварты или 7 0 7 1 0 7 десятичных секст, для «миндаля» 0 2 4 51 10 8 кварт или 4 14 2 14 десятичных секст, для половины ромба 0 21 12 47 32 кварты или 3 5 3 5 5 3 десятичные сексты, для дополнения «миндаля» 0 17 34 24 36 кварт пли 2 9 2 0 9 3 десятичные сексты, а для половины квадрата—половину, сложим все; тогда сумма есть площадь поверхности покрытия этого яруса, измеренная модулем сталактитов. Затем сложим все площади для всех ярусов, получится площадь поверхности сталактитов. Если мы измерим ту поверхность, па которой находятся сталактиты, мы получим площадь всего покрытия сталактитов. Если же мы хотим перевести это в локти, разделим это на одни квадрат локтя, как в примере о мере и ее части, частное есть искомое.
Что касается глиняных сталактитов, которые мы видели на древпих зданиях в Исфахане, то большинство пз них— в виде простых сталактитов, только высота их ярусов не одинакова и иногда в них имеется два или три [яруса] с покрытиями без граней. Их измерение—но правилу измерения простых сталактитов.
Что касается дуговых сталактитов, то они как простые сталактиты, но покрытия их ячеек кривые и между каждыми двумя покрытиями двух соседних ячеек имеется кривая поверхность в виде треугольника или двух треугольников, как в фигуре двуногого. Иногда некоторые пх покрытия являются кривыми треугольниками, подоб-
218
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
ними указанным треугольникам, или кривыми «миндаля-мп» и «ячменными зернами». Грапи их ячеек являются только квадратами пли прямоугольниками. Основания этих поверхностей либо равны модулю этих сталактитов, либо равны половине диагонали его квадрата, либо разности диагонали и стороны, либо равны стороне восьмиугольника, половина длинной диагонали которого равна модулю; к этим четырем мы ничего не прибавим. ™ Способ измерения пх таков: считаем | грани, сколько бы пх пл было, опирающиеся на основания, равные модулю или половине диагонали его квадрата, пли разности диагонали и стороны, или стороне восьмиугольника, половина длинной диагонали которого равна модулю. Возьмем для каждого пз первых единицу. для каждого пз вторых 0 42 25 35 4 кварты пли 7 0 7 1 0 7 десятичных секст, для третьих 0 24 51 10 8 кварт пли 4 1 4 2 14 десятичных секст, для четвертых 0 4э 55 59 55 кварт пли 7 6 5 3 6 7 десятичных секст, сложим это и умножим сумму па 1 43 33 45 4 I кварту или еди ницу и 7 2 6 0 4 о десятичных секст. I Голучптся площадь поверхности всех ячеек, измеренная модулем сталактитов. Мы назвали это число уравнивающим. Затем мы считаем, сколько имеется кривых треугольников и двуногих между крышами, причем возьмем для каждого треугольника 0 24 1 38 55 кварт пли 5 6 7 1 2 9 десятичных секст, для каждого малого двуногого 0 36 37 10 56 кварт пли 6 1 0 3 2 8 десятичных секст, для каждого большого двуногого 1 0 52 0 О 9 кварт или единицу и 14473 десятичных секст, для каждого кривого «миндаля» 0 38 1 21 3 кварты или 6 3 3 7 0 9 десятичных секст. Если на верху его находятся «ячменные зерна», умножим пх длинную диагональ, измеренную модулем, на половину короткой диагонали и умножим произведение па пх число, каково бы оно ни было. Затем сложим поверхности ячеек -треугольники, двуногие и «миндаля», находящиеся между крышами домиков, а также «ячменные зерна». Получится площадь поверхности сталактитов.
Что касается ширазских сталактитов, то они, как простые сталактиты, но основания граней ячеек являются дугами. Мы ничего не добавим к четырем величинам, которые мы указали раньше,—для ширазских сталактитов
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
219
их величины бесчисленны. Их покрытия, кроме кривых покрытий ячеек, являющихся кривыми треугольниками и двуногими, бывают треугольниками, четырехугольниками, пятиугольниками, шестиугольниками, зубчатыми и другими поверхностями, [плоскими] и кривыми. Иногда 75 в них имеются также стенки без крыши в этом ярусе, | на них строится михраб. Способ их измерения таков: мы делаем линейку, равную море, и делим ее на меньшие части, лучше всего разделить на шестьдесят л считать в индийских цифрах. Затем измеряем этой линейкой основания граней всех ячеек всех ярусов, кроме тех, у которых нет покрытии, и умножаем их на уравнивающее, т. с. 1 48 33 45 4 I кварту или 1 7 2 6 0 4 5 десятичных секст. То, что получается, это площадь всех поверхностей ячеек. Затем измерим каждый из перпендикуляров, опушенных из внешних углов двуногих на одну из длинных сторон, сложим их и умножим сумму на 0 45 55 2 27 кварт или 7 6 5 2 90 десятичных секст, получится площадь всех двуногих. Затем измерим все поверхности в них, за исключением поверхностей ячеек и двуногих, т. о. треугольники, четырехугольники, пятиугольники, шестиугольники и трапп, не имеющие покрытий, и другие, этой линейкой таким образом, как мы говорили о способе их измерения, и сложим их с площадью поверхности ячеек и двуногих. Получится площадь поверхности этих сталактитов, измеренная их модулем.
I о с т р о о и и с. Знай, что зодчие чертят прямоугольник с шириной, равной модулю сталактитов, и длиной, равной удвоенной ширине, например прямоугольник ABCD [209 ]. Проводят из одного его угла, например из угла _1, .линию АЕ так, что опа вместе с АВ ограничивает угол, являющийся третью прямого угла. Делят АЕ па пять частей и берут, считая от точки А линию EG, равную двум ее частям, и ЕН, также равную EG. Описывают из каждой из точек G, Н на расстоянии GII две дуги, они пересекутся внутри, прямоугольника в точке F. Опишем из точки F дугу GEL, опа обязательно будет одной шестой окружности. Продолжим линии DA, DC в их направлении 07б° на небольшую | величину до точек I, L. Проведем LK параллельно ВС и IK параллельно АВ. Далее изготовляют
220
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Д'
пз гипса мтюго пластинок, каждая из которых совпадает с поверхностью K1AGI1CL, где GH—дуга, каждые две пз них будут ограничивать ячейку, причем сторона СИ ставится отвесно.
Величины AG, G11,11С определяют по АВ. Возьмем прямую линию АС равной 0 41 34 9 11, дугу Gif равной 0 50 15 55 44, линию СИ равной 0 57 38 43 14. Слима AGHC равна 2 20 28 48 9, сумма AGII равна 1 31 50 4 55, ее половина равна 045 56 2 27, сумма СИ с половиной AGH равна 143 33 4541. Это и есть то, что мы называем уравнивающим, оно применяется при измерении. Иногда ножка пластинки,
т. е. линия СП, укорачивается или удлиняется, если опа помещается позади арки, для того, чтобы опа была целой. В этом случае при измерении следует вычесть пли прибавить к уравнивающему то, что вычтено или прибавлено к ножке пластинки, и то, что получится
при этом, применяется вместо уравнивающего.
Запишем величины, используемые в этом разделе, в таблице для сопоставления. Эта таблица такова [210]:
Если модуль единица, то (для «миндаля»].........
[для прямоугол! пика] . . Гдля ромба] .........
(для полк кипы ромба] . [для двуногого] ........
[уравнивающее]..........
[для кривого двуногого] . [для кривого треугольника] .....................
[для малого кривого двуногого] ................
[для большого кривого двуногого] .............
[для кривого «миндаля»]
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
221
76
| ПЯТАЯ КНИГА
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ НЕИЗВЕСТНЫХ С ПОМОЩЬЮ АЛГЕБРЫ II АЛМУКАБАЛЫ, СПОСОБА ДВУХ ОШИБОК II ДРУГИХ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ПРАВИЛ II ПХ ПРИМЕРАХ, СОДЕРЖАЩАЯ ЧЕТЫРЕ ГЛАВЫ
Первая глава
Об алгебре и алмукабалс, содержащая десять разделов
Первый раздел
Об определениях и и а и о м и н а и и и терминов
Наука алгебры и алмукабалы [2П] это паука о правилах, по которым узнают многие числовые неизвестные по соответствующим им известным. Эти известные бывают известны или объективно, как числа, или условно, как корень чего-то, основание чего-то, отношение чего-то к чему-то и другое из арифметики и геометрии, что видно из речи спрашивающего.
Неизвестное следует называть вещью, динаром, дирхемом, долей, частью и так далее. Обычно в большинстве случаев мы называем неизвестное вещью, если же известное, называемое вещью, умножается па себя, произведение называется квадратом и вещь здесь является корнем; [если умножить вещь I на квадрат, [получится! куб, [если умножить] па куб,—квадрато-квадрат и так далее, как мы говорили в пятой главе первой книги. Эти степени называются степенями неизвестного и являются неизвестными родами, потому что их основание есть неизвестная вещь.
Если спрашивают: неизвестная [величина] принята за вещь, а квадрат, построенный на ней, за квадрат и с ними сделано то, что ясно из речи спрашивающего, [какова эта величина], тогда с помощью того,
222
ДЖЕЫШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
76 об.
что требуется арифметикой для определения этой величины, это приводится к условию, называемому уравнением.
II р и м с р. Мы хотим найти такое число, что сумма его удвоенного и его половины равна двум третям. Примем это число за вещь. Тогда сумма его удвоения и его половины, т. е. две вещи с половиной, равна двум третям. Это одна н та же величина; так как мы знаем две трети, мы знаем и две вещи с половиной.
Д р у г о й и р и м е р. Ищем число, корень которого равен его трети. Примем его корень за вещь. Тогда это число есть квадрат, а ого треть есть треть квадрата. Это равно вещи. Таким образом, ты знаешь, что одна и та же величина такова, что, с одной стороны, опа есть вещь, а с другой она—треть квадрата.
Если действие приводит к уравнению, говорят, что это алгебраическая задача.
Если в одной из частой уравнения или в обеих частях его имеется вычитаемое, то отбросим вычитаемое, чтобы осталось одно уменьшаемое, а затем | прибавим равное отброшенному вычитаемому к другой [части], получится уравнение между остатком и суммой. В этом смысл восполнения [т. е. «алгебры»].
11 р и м е р. Квадрат без двух вещей равен пятнадцати. После восполнения станет: квадрат равен пятнадцати н двум истцам.
Ес нт в каждой из частей уравнения имеется одни и тот же род, отбросим общее из каждой из пих, получится уравнений между остатками.
11 р п м е р. Вещь и десять равны сорока. Отбросим [десять] нз каждой из частей уравнения. Останется: вещь равна тридцати. В этом смысл противопоставления [т. е. «алмукабалы»].
Если в одной нз частей уравнения больше одного квадрата, мы приведем их к одному, а если меньше, мы дополним их it вожмем другие роды, находящиеся с ними, в том же отношении, т. е. разделим число каждого рода на число квадратов. Поэтому из квадратов получится один квадрат, а другие [роды изменятся] в том же отношении.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
223
Пример. Пять квадратов и десять вещей равны [тридцати. Разделим каждое кратное на пять и тридцать па то же, на что и кратное. Получится: один квадрат и две вощи равны шести. Это действие называется приведением.
Если же половина квадрата и пять вещей равны] [212] семи, разделим пять и семь на половину. Получится: один квадрат и десять вещей равны четырнадцати. Это действие называется дополнением.
Второй раздел
О ело ж е и и и р о д о в
Это [о сложении] чисел, вещей, квадратов, кубов и других. [Если в слагаемых имеется вычитание, то] уменьшаемые роды называются прибавляемыми, а вычитаемые— отнимаемыми. Будем записывать прибавляемые роды одного слагаемого в одном столбце, а отнимаемые [роды] этого же слагаемого в другом столбце с одной стороны, далее заппшем второе слагаемое против него, прибавляемые—к прибавляемым, отнимаемые—к отнимаемым. Затем сложим прибавляемые роды одного слагаемого с при бавляемыми родами другого слагаемого, а также сложим отнимаемые роды одного слагаемого с отнимаемыми рода ми другого слагаемого, так что у однородных родов складываются числа, а разнородные соединяются союзом «и». Записываем [слагаемые] одно под другим, проведя между ними две линии. Роды слагаемых записываются таким образом, что однородные роды записываются друг против друга, а если нет однородных, то отдельно, а в пустых столбцах лучше всего записать пули. Затем из уменьшаемых и вычитаемых отбрасываются общие части, и то, что остается от уменьшаемых и вычитаемых, это искомое.
П р и м е р. Мы хотим сложить пять квадратов и число сто без десяти вещей и куба с кубом, тремя квадратами 77 и шестью вещами без доли | квадрата п числа пять. Запишем это так [213]:
Прибавляемые роды Отнимаемые роды
Первое слагаемое 0 пять квадратов 0 п впело сто 0 0 без десяти вещей и куба
Второе слагаемое один куб три квадрата и шесть вещей 0 без доли квадрата и числа пять 0 0
Сумма одни куб восемь квадратов шесть вещей и число сто без доли квадрата и числа пять и десяти вещей и куба
Сумма после отбрасывания общего 0 восемь квадратов 0 и число девяносто пять без доли квадрата 0 и четырех вещей 0
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
225
Сумма ость восемь квадратов и число девяносто пять без доли квадрата и четырех вещей.
Третий раздел О вычитан и п
Если в вычитаемом и уменьшаемом пет вычитания, то роды уменьшаемого записываются в столбце, а [роды] вычитаемого над ним или под ним, лучше будет, если поместить каждый род под однородным родом Затем спрашиваем о каждом роде вычитаемого, имеется ли в уменьшаемом такой род или нет. Если имеется и их числа равны, отбрасываем их, проведя под каждым нз них линию, а если их числа различны, то отбросим то, которое меньше другого, совсем, а из большего [отбросим] равное меньшему и запишем остаток под ним, проведя разделительную линию. Затем вычтем то, что остается в столбце вычитаемого, из того, что остается в столбце уменьшаемого с помощью [слова] «без».
П р и м с р. Мы хотим вычесть пять квадратов, шесть вещей и число двадцать из куба, шести квадратов, ста и доли вещи. Поступаем так [214]:
Еычп-та< мэе 0 пять квадратов шесть вещей и число двадцать 0
Уменьшаемое куб шесть квадратов 0 число сто и доля вещи
один квадрат число восемьдесят
77 | Останется куб, квадрат, число восемьдесят и доля
°0’ вощи без шести вещей.
Если вычитание имеется только в уменьшаемом, запишем отнимаемые роды справа [215] от прибавляемых 15 Историко-матем. исследования
22(5
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
в столбце так, чтобы отнимаемые и прибавляемые роды находились в одном ряду, роды вычитаемого запишем под ними или над ними, как раньше, далее сложим отнимаемые роды уменьшаемого и остаток в ряду вычитаемого и вычтем эту сумму из прибавляемых родов уменьшаемого.
Пример. Мы хотим вычесть квадрат, две вещи и число пять пз двух кубов трех вещей, двух и доли квадрата без квадрата.
Запишем это так [216]:
Вычитаемое 0 квадрат две вещи ЧП с л о пять
число три
Умопь-! шаемое i два куба 0 три вещи два доля квадрата без квадрата
одна вещь
В ряду вычитаемого остается квадрат и число три, а в ряду уменьшаемого—два куба, вещь и доля квадрата без квадрата.
Сложим то, что осталось в ряду вычитаемого, с вычитаемым в ряду уменьшаемого, т. о. квадратом. Получится два квадрата и число три, это отнимаемые, остальные члены в ряду уменьшаемого—прибавляемые. Получится два куба, вещь и доля квадрата без двух квадратов и числа три. Это и есть искомое.
Если и в вычитаемом, и в уменьшаемом имеется вычитание, сложим отнимаемые роды вычитаемого с прибавляемыми родами уменьшаемого, т. о. восполним вычитаемое пли прибавим к уменьшаемому ту же величину, что и к вычитаемому, a после восполнения вычитаемого вычтем прибавляемые роды вычитаемого из прибавляемых родов результата вычитания в уменьшаемом, как раньше.
МноеДситель
Доля квадра-то-куба Доля квадрата-квадрата. Доля куба Доля квадрата Доля вещи единица Вещь квадрат Вуд квадрата-квадрат квадратокуб
квад-рато-tyd <£> / МД лЛ № W < ъ квадрато-куб
Квадра-то-ввад-рат & $ 4' Л л < у квадра-то-квад-рат
Вуд JsL / у д ИМ
квадрат 4* ф *2? Z лУ и я квадрат
Вещь & / Вещь
единица. 4" *% " \У .4 Единица
Доля вещи X ЛЛДЛ 4* <% / Доля вещи
Доля квадрата л? .<0 W Аь /< 4f> Доля квадрата
Доля нуда W х А£ ж лдлб? л Чч Доля нуда
.Доля квадрато-квадрата 4 4 ®ЙЛ' w 4 А 4$ Доля квадрато-квадрата
Доля квадрата-куба ДММл 4 ° ’W л/ <5^. х /w w $?> ф "к? Доля квадра-то-куда
квадрата-куб квадра-то-квад-рат квадрат Вещь Единица Доля вещи Доля квадрата Доля куда Доля квадрата-квад рата Доля квадрата-куба
Мл озимое
Делитель
Зак. 493
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
227
Четвертый раздел
О б у м н о ж е п и и этих родов друг н а друга
Здесь требуется звание величины произведения и его рода. Что касается первого, то оно [достигается] так же, как раньше. Что касается второго, то в пятой главе первой книги мы указали, что эти роды составляют две цепи в восходящем и нисходящем направлениях, пачнпающпх-78 ся | от единицы. Все они непрерывно пропорциональны. Число показателя степени единицы ость пуль, вещи и доли вещи—единица, квадрата и доли квадрата—два, куба и доли куба—три, квадрато-квадрата и доли квадрато-квадрата—четыре и так далее. Здесь число—то же, что единица, несмотря па то, что оно больше пли меньше, так как произвольное число есть величина рода единицы, так же как пять вещей—величина [рода] вещи. Если мы умножим одни из этих родов на другой, то произведение будет того рода, у которого число показателя степени равно сумме показателей степени сомножителей, если они в одной, восходящей или нисходящей, части цепи, а если не так, то равно разности и [находится] в стороне суммы или превосходства. Приведем таблицу рода результата умножения родов друг па друга, по ней же узнают род частного от деления [родов] друг па друга. Она такова [217] [см. вклейку].
? | Если в одном из сомножителей одни род, а в дру-
гом— больше [одного рода], умножим ого величину, т. о. его число, на величину каждого из родов другого сомножителя, тогда каждое из произведений будет величиной рода произведения, находящегося в [месте] встречи [линий] сомножителей в таблице или получающегося так, как мы указали.
Если в каждом из сомножителей больше одного рода, чертим четырехугольник и делим его по длине линиями на [некоторое число частей], равное числу родов одного нз сомножителей, а по ширине—па [некоторое число частей], равное числу родов другого сомножителя, так что фигура разделится па [малые] четырехугольники, и записываем 15*
228
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
один из. сомножителей сверху фигуры, каждый род против [некоторого] столбца, а другой—слова [218] от фигуры. Первой записывается наибольшая степень, затем наибольшая из оставшихся и так далее до конца, или наоборот; затем каждый пз родов множимого умножается на каждый пз родов множителя и определяется род произведения но величине, который записывается в [месте] встречи [линий] сомножителей. [Поступаем так до тех пор], пока не окончим, затем сложим все величины одного рода, а затем сложим [величины] различных [родов] с помощью союза [«и»].
Пример. Мы хотим умножить две вещи и пять квадратов па две вещи а пять квадратов. Поступаем так [219]:
две вещи пять квадратов
дне вещи четыре квадрата десять кубов
пять квадратов десять кубов двадцать пять квадрато-квадратов
Получается четыре квадрата, двадцать кубов и двадцать пять квадрато-квадратов.
Д р у г о й н р и м о р. Произведение—пятнадцать вещей, двадцать шесть квадратов, двадцать три куба п шесть квадрато-квадратов [22°].
число три четыре вещи три квадрата
пять вещей пятнадцать вещей двадцать квадратов пятнадцать кубов
два квадрата шесть квадратов восемь кубов шесть квадрато-квадратов
Если в одном из сомножителей имеется вычитание, мы отделим среди четырехугольников сетки [четырехугольни
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
229
кн] прибавляемых и отнимаемых родов двойной линией, затем сложим произведения прибавляемых родов па прибавляемые и отнимаемых родов на отнимаемые вместе, отдельно от них складываем произведения прибавляемых родов па отнимаемые [и обратно] и вычтем их из первой 79 [суммы], так как произведение прибавляемого на | прибавляемое и произведение отнимаемого на отнимаемое являются прибавляемыми, а произведение прибавляемого па отнимаемое [и обратно] является отнимаемым. Затем отбросим то, что является общим в вычитаемом и уменьшаемом.
Пример умножения, в котором имеется вычитание [221]:
число пять две вещи куб без квадрата и доли вещи
два квадрата десять квадратов четыре куба два квадрато-куба два квадрато-квадрата две вещи
и куб пять кубов два квадрато-квадрата кубо-куб квадрате-куб квадрат
без четырех число двадцать восемь вещей четыре куи<1 четыре квадрата четыре доли вещи
и вещи пять вещей два квадрата квадрато-квадрат куб единица
Произведение есть кубо-куб, два квадрато-куба, два квадрато-квадрата, десять кубов, четырнадцать квадратов, единица и четыре доли вещи без квадрато-куба, трех ква-драто-квадратов, четырех кубов, трех квадратов, пятнадцати вещей и числа двадцать, или, после отбрасывании общего, произведение есть кубо-куб, квадрато-куб, шесть кубов, одиннадцать квадратов и четыре доли вещи без квадрато-квадрата, пятнадцати вещей и числа девятнадцать. Это и есть искомое.
230
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН ИАШИ
7 у об.
Некоторые владеющие этой наукой добавили свойства умножения таких [выражений], в которых имеется деление, как, например, умножение вещи, деленной па другую вещь, на некоторые вещи. Примером этого служит умножение ста, деленных напять, па шестьдесят, т. е. умножение частного от деления ста па пять, т. е. двадцати, па шестьдесят. Так как в этом пет ничего скрытого, мы это отбросим.
Пятый раздел
О делении этих родов друг н а друга
Если мы хотим разделить один род па один род, делим величину рода делимого на величину рода делителя, частное является числом рода частного отделения, а число показателя степени его равно разности чисел показателя степени делимого и целителя, если они по одну сторону, и равно их сумме, | если они различны; с восходящей стороны, если разряд делимого над разрядом делителя, и с нисходящей стороны, [если не так]. Это находится в [месте] встречи [линий] делимого и делителя в указанной раньше таблице. Род частного получается пз этой таблицы и другим способом таким образом: ищем [род] делимого по д in нс столбца, па вершине которого—род делителя, тогда искомое есть род, находящийся против делителя па полях.
П р и м е р. Разделим три вещи па шесть кубов. Частное от деления есть половина доли квадрата.
Д р у г о н и р и м е р. Разделим десять кубов иа два квадрата. Частное есть пять вещей.
Еслп мы хотим разделить много родов па один род, то разделим каждый род делимого на делитель и сложим результаты с помощью союза «и». Если в делимом имеется вычитание, делим сначала уменьшаемое, а пз того, что получится, вычтем частное от деления вычитаемого на делитель.
Если мы хотим разделить один род или несколько на два рода или несколько: это возможно, если мы найдем то, что при умножении па делитель равно [делимому],—это искомое; иначе невозможно.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
231
Шестой раздел
Об о п р е д с л е п и к корня э т их р о д о в и о с п о в а и п я д р у г и х с тоне н е й
Еслп мы хотим [найти] корень нз одного рода, посмотрим, является ли число его показателя степени четным, как квадрат, квадрато-квадрат, кубо-куб, квадрато-кубокуб. Возьмем корень из числа рода и разделим пополам число его показателя степени.
При м е р. Корень пз девяти квадратов—три вещи. Корень из четырех квадрато-кубо-кубов —два квадрато-квадрата.
Если /ко число показателя степени этого рода почетно, тогда он нс имеет корпя в родах, и если даже он ио сути дола является подкоренным, он равносилен тому, что не имеет корня. Также не имеется корня [суммы] двух или четырех родов. Что касается трех родов, то если для высшего п низшего но порядку пз родов имеются корпи по числу и роду, а средний род есть произведение одного пз этих двух корней па удвоенное второе, то сумма этих корней есть корень [суммы] этих родов, как [в случае] четырех квадратов, двадцать кубов и двадцать пять квадрато-квадратов. Корнем этого являются две вшцп и пять квадратов. Проверка этого п облегчение его понимания производятся с помощью сетки [222]:
две пещи пять квадратов
дне вещи четы ре квадрата десять бов
пять квадратов десять кубов двадцать пять квадрато-квадратов
80
Что касается пяти родов, | то если для высшего и для низшего из родов существуют корпя по числу и роду, из среднего рода выделяется произведение корпя Из одного из крайних па у [воовио корня второго из них, имеется род между низшим и средним, равный произведению корня из низшего на удвоение корпя из указанного нами
232
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАПТИ
остатка среднего, и имеется род между средним и выспшм, равный произведению корня из высшего на удвоение корпя из указанного вами остатка среднего, то сумма этих трех корней есть корень из суммы этих пяти родов. Понимание этого облегчается с помощью такой сетки [223]:
две вещи пять квадратов четыре куба
две вещи четыре квадрата десять кубов восемь квадрато-квадратов
пять квадратов десять кубов 25 квадрато-квадратов 20 квадрато-кубов
четыре куба восемь квадра-то-квадратов 20 квадрато-кубов 16 кубо-кубов
Произведение есть четыре квадрата, двадцать кубов, сорок один к вад рато-квадрат, сорок квадрато-кубов и шестнадцать кубо-кубов.
Что касается шести родов, то если имеется такое соотношение между родами, что у высшего, низшего и одного из средних родов имеются корни по числу и роду, другой средний равен произведению корпя одного из крайних на удвоенный корень другого, а каждый нз оставшихся родов равен произведению корня одного из соседних ira удвоенный корень другого рода, то сумма этих трех корней есть король из суммы этих шести родов Понимание этого облегчается с номошыо такой сетки [224]:
число два три вещи пять кубов
число два число четыре шесть вещей десять кубов
три вещи шесть вещей девять квадратов 15 квадрато-квадратов
пять кубов десять кубов 15 квадрато-квадратов 25 кубо-кубов
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
233
Произведение есть число четыре, двенадцать вещей, девять квадратов, двадцать кубов, тридцать квадрато-ква-дратов и двадцать пять кубо-кубов.
80 | Что касается семи родов, это представляется с по-
мощью такой сетки [225]:
две вещи пять квадратов четыре куба три квадрато-квадрата
две вещи четыре квадрата десять кубов восемь квадрато-квадратов шесть квадрато-кубон
пять квадратов десять кубов 25 квадра-то-ква ма- тов 20 квадра-то-кубов 15 кубо-кубов
четыре .куба восемь квадрато-квадратов 20 квадрате-кубов 16 кубо-кубов 12 квадра-то-квадрато-кубов
три ква;ц ато-квад]ата шесть квадрато-кубов 15 кубо-кубов 12 квадра-то-квадра-| о- кубов девять квадратс-кубо-кубон
Произведение:
'четыре квадрата 20 кубов 41 ква-драто-квадрат 52 квадрато-куб а 46 кубо-кубов 24 ква-драто-квадра-то-куба девять ква- драто-кубо-кубов
корень из этого: две вещи корень из ча- сти этого: пять ква- дратов корень пз части этого: ч !тыре куба кореш, из этого: три квадрато-квадрата
2 ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
Что касается восьми родов, это представляется с помощью такой сетки [226]:
число два и ять квадратов три куба четыре квадрато-квадрата
ЧИСЛО два число четыре 10 квадратов шесть кубов восемь квадрато-квадратов
пять квадратов 10 квадратов 25 квад-рато-квад-ратов 15 квадрато-кубов 20 кубо-кубов
три куба шесть кубов 15 квадрато-кубов девять кубо-кубов 12 квадрато-квадрато-кубов
четыре квадрато-квадрата восемь квадрато квадра-тов 20 кубо-кубов 12 квадрато-кубо-кубов 16 квадрато-кубо-кубов
Произведение:
число четыре 20 квадратов L2 кубов 41 квадрате-квадрат 30 квадрато-кубов 49 кубо-кубов 24 квадра- то-квадра-то-куба 16 квад-рато-кубо-кубов
корень из этого: [число] два корень нз части этого: пять квадратов кореш, из части этого: три куба корень из этого: четыре квадра-то-квад- рата
| Если мы по находим этих условий, мы не найдем и корня в родах. Что касается основания других степеней, то
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
235
если эта степень представляет собой один род и у числа показателя степени этого рода имеется дробь, одноименная с числом показателя этой степени, то мы возьмем такой род с числом показателя степени, равным этой дроби.
Пример. Мы хотим [найти] основание квадрато-квадрата для куба, повторенного четыре раза. Число показателя степени этого рода—двенадцать, а число показателя степени данной степени, т. е. квадрато-квадрата,— четыре. Одноименная с ним [дробь] есть четверть. Четверть двенадцати есть три, это число показателя степени куба. Это и есть основание квадрато-квадрата для куба, повторенного четыре раза.
Если у числа показателя степени не находится дробь, одноименная с числом показателя степени данной степени, то не находится первого основания.
Что касается родов больше одного, так как нужда в этом мала, а обсуждсппо этого велико, описание этого удобно в другой книге.
Седьмой раздел
Об у к а з а н и и [видов] алгебраических задач
Если действие приводит к уравнению, то необходимо один род или больше равны одному роду или больше.Так как роды бесконечны, задачи также бесконечны, бесконечны и виды задач, а в каждом виде тоже бесконечное количество задач, как, например, один род равен другому или двум родам, или трем, или четырем и так до бесконечности, или два рода, или три, пли четыре и так до бесконечности равны двум родам пли трем, или четырем и так до бесконечности.
Предшественники не объяснили способа определения неизвестного в случае, когда уравнение имеется между другими родами, кроме числа, вещи и квадрата, они объясняли только это, их действия ограничивались только шестью задачами. Опп таковы: пли один из трех родов равен одному пз них, это простые. Их три задачи, первая: число равно вещам, вторая: вещи равны квадратам, третья: число равно квадратам. Или один пз трех родов равен
236
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
81 об.
двум остальным родам, это сложные. Их также три задачи: первая: число равно вещам я квадратам, вторая: вещи равны числу и квадратам, третья: квадраты равны числу и вещам.
Если имеется уравнение между другими родами, относящимися, как роды указанных шести задач, т. с. имеется уравнение между двумя или тремя последовательными родами, то если заменить их родами | указанных шести задач, каждый своим соответственным, это [уравнение] сведется к шести указанным.
Еслп имеется уравнение между четырьмя последовательными родами, как число, вещь, квадрат и куб, т. о. если один из них равен другому роду пли двум родам, или трем, или два рода равны двум другим родам, это охватывает двадцать пять задач, о шести из которых мы говорили раньше. Остальные девятнадцать задач были изложены комментатором «Блестящего [трактата]»; он говорит, что имам Шарафаддйн Мае4 удй определил девятнадцать задач, кроме известных шести, л доказал свойства определения их неизвестных в тех случаях, когда это возможно [2‘27].
Еслп же приравнивающихся друг другу родов пять, т. е. от числа до квадрато-квадрата, то это охватывает девяносто пять [видов] задач, двадцать пять из которых указаны раньше, остается семьдесят [228]. Предшественники не установили способы определения неизвестных из них.
Для случая, когда родов пять, мы открыли способ определения неизвестных в этих семидесяти задачах, которых не касался никто ли нз древних, ни из современников. О тех девятнадцати, о которых говорилось, что пх определил имам Шарафаддйн Мас4 удй, я также по знаю, шире ли то, что он определил, или эго. Кроме этого мы решили много задач, где одна из частей уравнения является родом, а другая —другим пли двумя, или тремя, если они удаляются по порядку. В этой краткой [книге] нам неудобно [изложить это], так как [в этих задачах] много действии и обсуждения. Еслп пожелает аллах, мы изложим это в отдельной книге, а в этой книге мы изложим только то, что проще йо действиям.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
237
Восьмой раздел
О способах определения неизвестных в шест и у к а за п н ых язве с т и ы х з а да ч а х
Первая задача, из простых такова: число равно вещам. Разделим число на число вещей, получится величина неизвестной вещи, т. е. неизвестного, принятого за вещь.
82 П р и м е р. Число десять равно двум вещам. ] Разделим десять па два, получится пять. Поэтому неизвестная вещь есть пять.
Вторая задача пз них такова: вещи равны квадратам. Разделим число вещей па число квадратов, получится величина неизвестной вещи. Это действие подобно приведению и дополнению. Отсюда получается величина одного квадрата в вещах и величина одной вещи в числах.
Пример. Двадцать вещей равны пяти квадратам. Разделим двадцать па пять, получится четыре. Это величина неизвестной вещи.
Третья задача пз них такова: число равно квадратам. Разделим число на число квадратов, получится неизвестный квадрат. Возьмем его корень, это есть неизвестная вещь. Это также подобно приведению и дополнению, отсюда получается величина квадрата в числах.
П р и м е р. Число двадцать равно пяти квадратам. Разделим двадцать на число квадратов, т. с. пять, частное от деления есть четыре, это величина квадрата неизвестной. Возьмем корень, это два, это величина, которая неизвестна.
Первая задача из сложных такова: число равно вещам и квадратам. После приведения пли дополнения будет: число равно вещам и одному квадрату. Возведем в квадрат половину числа вещей, прибавим это к числу, возьмем корень из суммы, вычтем пз этого половину числа вещей, то, что останется, это величина неизвестной вещи.,
При м с р. Число двадцать один равно четырем вещам и одному квадрату. Получим квадрат половины числа вещей, будет четыре. Прибавим это к числу, получится двадцать пять. Возьмем корень из этого, будет пять. Вычтем из этого половину числа вещей, т. е. два, это три.
238
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
82 об.
Это и ость неизвестное. Запишем это действие в таблице для упрощения его понимания и запоминания. Это таково [2291:
| Вторая задача нз сложных такова: вещп равны числу и квадратам. После приведения или дополнения будет: вещп равны числу и одному квадрату. Возведем в квадрат число вещей п вычтем нз этого число. Возьмем корень нз того, что останется, и прибавим к половине числа корней или вычтем из псе, как угодно. То, что получится, это неизвестная вэщь. Если число больше квадрата половины числа вещей, задача невозможна, а если равно ему, то неизвестная вещь есть половина числа вещей.
П р и м е р. Десять вещей равны одному квадрату и числу двадцать одни. Получим квадрат половины числа вещей, будет двадцать пять, вычтем из этого число, т. е. двадцать один, останется четыре. Возьмем корень из этого, будет два. Прибавим это к половине числа вещей, получится семь- это неизвестная вещь, а в другой раз вычтем это из [половины * пела вещей], останется три. Это тоже неизвестная вещь. Возьмем из них ту, какую захотим, каждая из них правильна в качестве искомой. Запишем это действие в таблице таким образом [230]:
Число вещей Половина его Квадрат ее Число Вычтем число из квадрата половины числа вещей, останется Корень из остатка Прибавим корень к половине числа вен,ей, получим неизвестную вещь Вычтем корень из этого, в остатке получим неизвестную вещь
10 5 25 21 4 2 7 3
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
239
7ретъя задача пз сложных такова: квадраты равны вещам и числу. После приведения и дополнения будет: один квадрат равен вещам и числу. Возведем в квадрат половину числа вещей, прибавим это к числу, возьмем корень пз суммы и прибавим это к половине числа вещей. То, что получится, это неизвестная вещь.
Пример. Один квадрат равен шести вещам и числу сорок. Получим квадрат половины числа вещей, это девять. Прибавим это к числу, т. е. сорока, получится сорок девять. Возьмем корень из этого. Это семь. Прибавим это к половине числа вещей, т. е. трем, получится десять. | Это неизвестная вещь. Запишэм это действие в таблице Р31]:
Девятый раздел
О способах определения неизвестных в случае, когда действие приводится к уравнен и ю м е ж д у р о д а м и, относящимися, как роды в указанных задачах
Возьмем число наименьшего показателя степени равным числу, следующее число возьмем равным числу, при котором вещи, а следующее число возьмем равным тому числу, при котором квадраты, и задача сведется к задаче из шести указанных задач. Затем определим ее неизвестные так, как было сказано р32].
П р п м е р. Если шесть кубов равны восьми квадра-то-квадратам и. квадрато-кубу, возьмем вместо шести
240
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
кубов число шесть, вместо восьми квадрато-квадратов восемь вещей и вместо квадрато-куба квадрат. Будет: число шесть равно восьми вещам и квадрату, это первая задача из сложных.
Десятый раздел
Ото м, что мы обе щ а л и изложить и з т е х задач, которые мы открыли
83 об.
Если действие сводится к уравнению между одним п одним родом и они удалены, то имеется бесконечное количество задач такого рода, не упомянутых предшественниками. Я вывел правила, с помощью которых определяются все они. Это таково: разделим число степени, показатель которой меньше, на число степени, показатель которой больше. Го, что получится, мы запомним. Возьмем разность показателей степеней двух приравниваемых родов и основание запомненного, являющегося степенью, число показателя которой по величине равно разности показателей степени приравниваемых родов. Это и есть неизвестная вещь [£33].
При м о р. Шестьдесят четыре квадрата равны четырем кубо-кубам. Разделим число квадратов, т. о. шестьдесят четыре, на число кубо-кубов, т. с. четыре. Частное от деления—шестнадцать. Возьмем основание | квадрато-квадрата, так как разность между числом показателя степени квадрата и числом показателя степени кубо-куба есть четыре, а это число показатели степени квадрато-квадрата. Будет два, это и есть неизвестная вещь.
Д р у г о й пр и м е р. Число сорок равно пяти кубам. Разделим сорок па пять, получится восемь. Возьмем [основание] ого куба, так как разность между числами показателей степени числа и куба есть три, т. е. число показателя степени куба. Будет два, это и ость неизвестная вещь.
Д РУ го пример. Если число двести сорок три равно трем квадрато-квадратам, разделим число на число квадрато-квадратов. Частное от долепил есть восемьдесят одни. Возьмем основание квадрато-квадрата, будет три, это и есть неизвестная вещь.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
241
То, что мы обещали изложить в этой книге, включает в себя три простых вида. Другое открытое нами мы изложим не в этой книге, а в отдельной книге. Мы изложим примеры определения неизвестных с помощью алгебры и алмукабалы в четвертой главе, если этого пожелает единый и дорогой всевышний аллах.
Вторая глава
Об определении неизвестных по способу двух сшибок [234]
Этот [способ] применим, когда спрашивают о неизвестном, действие с которым таково, что [вместо него] подставляют определенное число, например при делении ионолам, удвоении, прибавлении к нему или вычитании пз пего его половины или удвоенного, умножении па некоторое число, не являющееся неизвестным. Еслп же в задаче имеется умножение на другое неизвестное пли деление неизвестного на другое неизвестное илн в пен нуждаются в определении корпя пли [основания] куба и тому подобном, этот [способ] неприменим [235]. Если мы предположим неизвестное некоторым числом, каким угодно, и поступям с ним так, как ясно пз речи спрашивающего, и полученный результат будет равен известному числу, это будет искомое. Еслп же ио так, то возьмем разность между тем, что получилось, и известным числом, это называется первой ошибкой. Затем предположим неизвестное другим числом и поступаем с ним так же, как мы поступали, пока нс получим результат. Еслп он равен известному [ телу], это искомое. Если же не так, возьмем разность между ним и известным [числом], это называется второй ошибкой. Затем определим с помощью этих двух ош i6ok правильное так: умножим первое предположенное па вторую ошибку, 84 а | второе предположенное па первую ош ;бку, если обе ошибки вместе прибавляются к известному [числу] или отнимаются от него, и разделим разность между произведениями на разность между ошибками, то, что получится, это искомое неизвестное. Если же они разные, т. е. одна прибавляется, а другая отнимается, то разделим сумму 16 Историко-матем. исследования
242
ДЖЕМПШД ГИЯСЭДДИП КАШИ
8 4 об.
произведений на сумму ошибок, и то, что получится,—это искомое.
П р и мс р. Мы хотим [найти такое] число, что если умножить его на три и прибавить к произведению десять, затем удвоить сумму и прибавить к этому десять, получится девяносто. Предположим пять. Умножим это на три, будет пятнадцать, прибавим к этому десять, будет двадцать пять, удвоим это, будет пятьдесят, прибавим к этому десять, получится шестьдесят. Ото меньше известных девяноста, и первая ошибка есть тридцать. Затем предположим семь и поступим с ним, как раньше. Получим вторую ошибку— восемнадцать, опа тоже отнимаемая. Умножим первое предположенное, т. с. пять, па вторую ошибку, т. е. восемнадцать, получится девяносто, затем умножим второе предположенное, т. о. семь, на первую ошибку, т. о. тридцать, получится двести десять. Так как обо ошибки отнимаемые, возьмем разность между произведениями, это сто двадцать. Разделим это на разность между ошибками, т. е. двенадцать. Частное есть десять. Это и ость искомое число.
Т р с т ь я г л а в а
Об изложении некоторых арифметических правил, в которых сильно нуждаются при определении неизвестных, содержащая пятьдесят правил
Первое правило. Если мы хотим умножить корень из числа па корень из другого числа пли корень нз рода на корень из другого рода и мы не знаем этого корня в силу невозможности этого, умножим одно из чисел или родов на другое и возьмем корень из произведения. Это и есть искомое.
II р и м е р. Мы хотим умножить корень из девяти па корень из двадцати пяти. Умножим девять па двадцать пять, получится двести двадцать пять. Возьмем корень из этого, будет пятнадцать. Это и есть искомое. Точно так же произведение корпя из девяти квадратов на корень нз двадцати пяти квадрате | -квадратов есть пятнадцать кубов.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
243
Другой пример. Мы хотим умножить корень из двух на корень пз восьми. Умножим два па восемь, получится шестнадцать. Возьмем корень из этого, будет четыре. Это и есть искомое. Точно так же произведение корня из двух кубов на корень из восьми квадрато-кубов. Умножим одно из подкоренных на другое, получится шестнадцать квадрато-кубо-кубов. Возьмем корень из этого, будет четыре квадрато-квадрата.
И точно такое же правило для умножения основания каждой степени па основание той же степени двух одинаковых или различных родов, как, например, [основания] куба рода па [основание] куба другого или того же рода или основания квадрато-квадрата рода па основание квадрато-квадрата другого или того же рода р36].
П р it м с р. Мы хотим умножить [основание] куба числа три па [основание] куба девяти кубов. Умножим число три па девять кубов, получится двадцать семь кубов. Возьмем его [основание] куба, будет три велцп. Это и есть искомое.
Если мы хотим умножить основание степени рода па основание этого или другого рода в эти степени различны, как, например, корсньпа [основание] куба пли корень на [основание] квадрато-квадрата, то мы возьмем один из двух родов пли оба, умножим каждый из родов на себя, затем па произведение, затем на первое или второе произведение и так поступаем до тех пор, пока по получатся одинаковые степени. Тогда умножим одну из них па другую п берем основание произведения топ же степени. Это и есть искомое [237].
Пример. Мы хотим умножить корень из девяти на [основание] куба восьми. Умножим девять на себя, получится восемьдесят один, указанный корень есть основание пх квадрато-квадрата. Затем умножим девять на это, получится семьсот двадцать девять, указанный корень есть основание их кубо-куба. Затем умножим указанные восемь на себя, получится шестьдесят четыре, указанное [основание] куба есть [основание] их кубо-куба. Получилось, что оба—одинаковые степени, а именно кубо-кубы. Умножим одно из них па другое, т. е. шестьдесят четыре
16*
244
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
на семьсот двадцать девять, получится 46 656. Возьмем 80 основание | их кубо-куба, будет шесть. Это и есть искомое. Если мы хотим умножить корень нз девяти квадрато-квадратов па [основание] куба числа восемь, то умножим девять квадрато-квадратов па себя, получится восемьдесят один квадрато-кубо-куб; указанный корень есть основание их квадрато-квадрата, поскольку род этого—квадрато-кубо куб. Затем умножим указанные девять квадрато-квадратов па произведение, получится семьсот двадцать девять кубо-кубо-кубо-кубов. Указанный корень есть основание кубо-куба этого [числа], род которого есть куб, повторенный четыре раза. Затем умиожплг указанное число восемь на себя, получится число шестьдесят четыре. Указанное Гос 11 oiraii I ю ] куба есть основание их кубо-куба. Умножим это па куб указанных девяти квадрато-квадратов, т.е. семьсот двадцать девять кубов, повторенных четыре раза. Получится 46 656 кубов, повторенных четыре раза. Возьмем основание кубо-куба этого. Будет шесть квадратов. Зто п есть искомое.
Точно такое же правило для деления, т. е. если мы хотим разделит!, корень из числа или рода на корень из другого числа пли рода, разделим подкоренное делимого па подкоренное делителя и возьмем корень из частного от деления. Это и будет искомое И38].
Второе правило. Если мы хотим определить корень из [суммы] неизвестных родов путем усгановлепия, а нс по тому способу, как раньше, и если корень здесь также неизвестен, способ таков: требуем, чтобы квадрат этого противопоставлялся искомому роду и.иг искомым родам. Тогда действие сводится к уравнению между родом и смежным родом, как, например, число и вошь, вещь и квадрат, квадрат и куб, доля квадрата и доля вещи. Затем разделим число низшего рода на число высшего рода, получится величина одной вещи, через которую выражаются роды, корень из которых есть искомое. За квадрат мы возьмем квадрат величины этой вещп, т. с. квадрат частного от деления, за куб—куб этого, за квадрато-квадрат— квадрато-квадрат этого и т. д. Затем умножим число каждого из родов, корень которых ищется, па величину этого рода, сложим произведения, а также число, если оно
ключ К АРИФМЕТИКЕ
245
85 имеется с ролами, корень которых ищется. Возьмем °0’ корень, суммы. Это и сеть искомое [-39].
Пример. Мы хотим [найти] корень пз трех кубсв, причем им противопоставлен квадрат трех вещей, т. с. девять квадратов. Это противопоставление и есть указанное условно. Разделим число низшего рода, т. о. девять, па число высшего рода, т. е. три. Это три. Частное от деления есть валпчпна одной вощи. Ее квадрат—девять, куб— двадцать семь, три куба—восемьдесят один. Возьмем корень пз этого, это девять. Это и есть корень пз трех кубов.
Другой пример. Мы хотим [найти] корень пз шести вен-ой и шести квадратов, причем им противопоставлен квадрат трех вешен, г. е. девять квадратов. [После отбрасывания общего, т. с. шести квадратов, получим] уравнение: три квадрата [равны шести вещам |/Раздел нм шесть на три, частное от деления есть два, это величина одной веши родов, корень которых требуется, т. е. [корень] шести вощен и шести квадратов. Возьмем шесть раз два. т. о. шесть вещей, получится двенадцать, и шесть раз квадрат двух, т. о. шесть квадратов, получится двадцать четыре, ('умма этого есть тридцать шесть, это величина шести вещей и шести квадратов, если одна вещь есть два. Возьмем корень. будет шесть. Эго и ость корень пз шести вещей п шести квадратов.
Д р у г о и п р и м е р. Мы хотим [нантп] корень нз числа шестнадцать, двадцати вешен и трех квадратов, причем им противопоставлен квадрат четырех и двух вещей, т. о. число шестнадцать, шестнадцать вещей и четыре квадрата. После отбрасывания общего, т. о. числа шестнадцати, шестнадцати вещей и трех квадратов, [получаем] уравнение между четырьмя вещами и одним квадратом. Разделим четыре па единицу, частное от деления есть четыре, это величина вощи. Двадцать равных ей есть восемьдесят, три квадрата —сорок восемь, это вместе с числом шестнадцать есть число сто сорок четыре, это величина числа шестнадцати, двадцати вещей п трех квадратов, пз которых мы хотим взять корень. Возьмем корень, это двенадцать. Это и есть искомый квадрат, а одна вошь есть четыре. Корень из полученных родов не является одпи-86 ствспным, | имеется бесконечное количество корней.
246
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП НАШИ
Пример. Противопоставим указанным родам, т. е. шестнадцати, двадцати вещам и трем квадратам, квадрат двух вешен без четырех, т. е. четыре квадрата и число шестнадцать без шестнадцати вещей. После восполнения и противопоставления получаем: тридцать шесть вощен равны одному квадрату. Разделим число вещей па число квадратов, частное от деления есть тридцать шесть, так как делитель есть единица. Это величина вещи. Двадцать вещей есть семьсот двадцать, три квадрата—3888. Это вместо с шестнадцатью есть 4624. Возьмем корень из этого, это шестьдесят восемь, это корень из указанных родов, а одна вещь есть тридцать шесть.
Знав, что определение корпя этим способом нуждается в последовательном подборе, т. е. в предположении величины вещи. С помощью этого вычисляем величину родов, корень пз которых требуется, т. о. [величину] подкоренного. Часто этот способ проще первого.
Третье правило. Если мы хотим сложить последовательные числа от единицы до некоторого числа в пх естественном порядке, прибавим единицу к последнему числу и умножим сумму па половину последнего числа пли умпожпм последнее число па половину этой суммы |240].
При м с р. Мы хотим сложить [числа] от единицы до десяти. Прибавим единицу к десяти, получится одиннадцать, умножим это на половину десяти, получится пятьдесят пять.
Если мы хотим сложить [числа] по от единицы до какого-нибудь числа, возьмем крайние числа, т. о. меньшее из них и большое пз них, и умножим пх сумму на половину числа этих чисел.
П р и мс р. Мы хотим сложить [числа] от трех до десяти. Сложим три и десять, получится тринадцать. Умпожпм это на половину числа этих чисел, т. е. четыре, получится пятьдесят два. Это и есть требуемое.
Четвертое правило. Если мы хотим сложить последовательные нечетные [числа] без четных, прибавим к последнему нечетному единицу и умпожпм половину суммы, являющуюся числом этих нечетных, на себя. Получится требуемое [241].
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
247
86 об.
Пример. Мы хотим сложить последовательные полетные [числа] от единицы до девяти. Прибавим | к этому единицу, получится десять. Получим квадрат их половины, это двадцать пять. Это и есть искомое.
Пятое правило. Если мы хотим сложить последовательные четные [числа] без нечетных, умножим половину последнего четного, являющуюся числом этих четных, на его соседнее, превосходящее его на единицу. Получится искомое [242].
Пример. Мы хотим сложить последовательные четные от двух до десяти. Умножим пять на шесть, получится тридцать. Это и есть искомое.
Шестое правило. Если мы хотим сложить последовательные четно-нечетные числа, умножим их число на себя и удвоим произведение. Это и есть искомое [213].
II ример. Мы хотим сложить десять последовательных челно-нечетных чисел, наименьшее из которых—два. Возведем в квадрат десять, получится сто. Удвоим это, получите я искомое.
Если же кто-нибудь не считает два четно-почетным, а считает первым четно-нечетным шесть, прибавим к их числу единицу и поступим так, как мы указали, а затем вычтем из результата два. Это и есть искомое [2и].
Сложение четно-четных [чисел] мы укажем в девятом правя ie.
Сеиъмое правило. Мы хотим сложить увеличивающиеся числа от единицы пли другого с равными разностями,— это правило из тех, которые мы открыли. Вычтем из их числа единицу, то, что останется, умножим па величину, прибавляющуюся к ним, и прибавим к произведению наименьшее число из этих чисел, безразлично, это единица или больше. То, что получится, есть последнее число. Прибавим к пому наименьшее число второй раз. Умножим то, что получится, па половину числа этих чисел [215]. Это правило содержит также третье правило.
11 р и м е р. Мы хотим сложить шесть чисел, увеличивающихся на три, три от единицы—это единица, четыре, семь, десять, тринадцать, шестнадцать. Вычтем из шести, т. е. их числа, единицу, останется пять. Умножим это на три, на которые они увеличиваются, получится
248
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
пятнадцать Прибавим к этому единицу, т. с. наименьшее пз них, получится шестнадцать, это шестое число. Прибавим к этому единицу второй раз, получится семнадцать. 87 Умножим это | па половину шести, т. с. пх числа, получится пятьдесят один. Это и есть сумма этих чисел.
Д Р У г 0 JI 11 Р 11 м ° Р- Мы хотим сложить четыре числа от семи, увеличивающихся на три, три. Это семь, десять, тринадцать, шестнадцать. Вычтем единицу пз четырех, т. о. пз пх числа, останется три. Умножим это на три, на которые они увеличиваются, получится девять. Прибавим к этому семь, т. е. наименьшее из чисел, получится шестнадцать, это наибольшее из этих чисел. Прибавим к этому наймет nice число еще раз, получится двадцать три. Умножим это иа два, т.е. па по.човпну пх числа, получится сорок шесть. Это и есть искомое.
Носимое правило. Мы хотим сложить увеличивающиеся числа от едим ины, причем их последовательные разности увеличиваются па единицу, единицу или па два, два пли па три, три и тому подобное, так что если их разности увеличиваются па едиш цу, единицу, то это единица, три, шесть, деся ть, пятнадцать: если пх разности увеличиваются нт два, два, то это последовательные квадраты, т. о. с щипца, четыре, девять, шестнадцать; еслп их разности увеличиваются натри, три, то это единица, пять, двенадцать, двадцать два, тридцать пять и тому подобное. Поступком во всех этих случаях следующим образом: вычтем пз их числа единицу, умножим остаток’ на величину, на которую увеличиваются разности, возьмем треть пропзведэвия, нр тбавим к ней единицу, а то, что получим, умножим на сумму стольких же чисел в естественном порядке. То, что получи гея. есть искомое [2,fi]
II р и м о р Мы хотим сложить десять чисел [сразностями], увеличивающимися иа три, три, первое из которых является едитт цен. Вычтем пз десяти единицу, останется девять. Умножим это па три, иа которые увелпч: -ваются разности, получится двадцать семь. Возт м м треть этого, будет девять. Прибавим к этому единицу, получится десять. Умножим это па пятьлссят пять, т. о. сумму чисел от единицы до десяти в естественном порядке, получится пятьсот пятьдесят. Это и есть искомое
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
249
Девятое правило. ] Мы хотим сложить числа, получающиеся удвоением единицы или другого; это также открыто нами. Способ этого таков: если последнее число известно, вычтем пз удвоенного этого числа единицу, остаток есть сумма этих чисел. Если последнее число неизвестно, то рассмотрим число раз удвоения и это число есть показатель этой степени и находится та степень, для которой основанием является два. Способ получения этого таков: рассмотрим, сколько раз допускается раздвоение до единицы. Если мы знаем, что показатель степени есть какая-нибудь степень двух, то для определения показателя этой степени возведем два в квадрат несколько раз, пока не получим это число, т. е. умпожпм два па себя, затем произведение па себя, затем второе произведение па себя, пока по получим число, равное этому числу. Получив последнее число, мы удвоим его и вычтем из него единицу, получится сумма этих чисел. Если же мы сначала прибавим единицу к числу раз удвоения, то результат [возведения в степень] допускает раздвоение до единицы и в соответствии с тем, что мы делали раньше, является числом суммы, увеличенным на единицу [21"J.
11 р и м о р. ХГы хотим удвоить единицу восемь раз. Это допускает раздвоение до единицы три раза, т. е. является кубом двойки, так как показатель степени куба есть три. Возведем два в квадрат три раза, первый квадрат— четыре, второй —шестнадцать, третий—двести пятьдесят шесть, это последнее число. Удвоим его, получится 512, вычтем пз пего единицу, будетй! 1, Это и ес ть искомое. Если же вычесть пз этого единицу, останется 510, это сумма восьми последовательных чстиО-четпых, это то, что мы обещали [248].
Д р у г о и п р п м е р. Если мы хотим поместить единицу па одну клетку шахматной доски, два—па другую. четыре—па третью и такие же удвоения на остальные клетки до окончания всех клеток, то число удвоений шестьдесят три. Для получения последнего уд ?ое-88 пая удвоим | все помещенные числа шестьдесят четыре [раза], так как это допускает раздвсеняе до единицы шесть раз, т. е. возведем двойку в квадрат шесть 'раз, таким образом [24и]:
250
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
Первый инадрат Второй квадрат Третий квадрат Четвертый квадрат
4 16 256 65536
11с гыре Шестнадцать Двести пятьдесят шесть Шестьдесят пять тысяч пятьсот тридцать шесть
Это второе удвоение, т. е. то, что находится на третьей клетке; это квадрат двойки Это четвертое удвоение, т. с. го, что находится на пятой клетке; это квадрато-ква-драт двойки Это восьмое удвоение, т. е. то, что находится на девятой клетке; это квадрато-кубокуб двойки Это шести а-д натос уд вос1 ги г, т. е, то, что находится на семнадцатой клетке; это квадра-то-квадрато-ку-бо-кубо-кубокуб двойки
[Про д о л ж е п л е]
Пятый квадрат Шестой квадрат
4 294 967 296 18 4 46 744 073 709 551 616
Четыре тысячи тысяч тысяч Двести девяносто четыре тысячи тысяч Девят) ест шеет! дееят семь тысяч Двести девяносто шесть j ; ^семнадцать тысяч шесть раз Четыреста сорок шесть тысяч пять раз Семьсот сорок четыре тысячи i четыре раза Семьдесят три тысячи тысяч тысяч Семьсот девять тысяч тысяч Пятьсот пятьдесят одна тысяча Шестьсот шестнадцать
Это тридцать второе удвоение, т. с. то, что находится на тридцать третьей клетке; это квадрато-десятикратный куб двойки Это шестьдесят четвертое удвоение, т. с. то, что находилось бы на той клетке, которая была бы, если бы ко всем клеткам прибавили еще одну; это квадрато-квадрато-двадцатпкра'т-ный куб двойки
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
251
Затем разделим пополам шестой квадрат. Получится: 9 223 372 036 854 775 808
88 об.
Это и есть число, помещенное па последней клетке шахматной доски [2’°].
Если же число раз удвоения не равно удвоению единицы, то возьмем наибольшее число, допускающее раздвоение до единицы, затем то же в остатке и так до тех пор, пока не останется ничего или останется единица, и разделим это па эти числа, например, в случае десяти разделим пх па восемь и два. Каждое из них допускает раздвоенно до единицы. В случае ста разделим их на три части — шестьдесят четыре, тридцать два и четыре.
Затем рассмотрим, сколько раз каждая из них допускает раздвоение до единицы, и заппшем эти числа в таблицу, причем протгтв каждой части числа запишем число раз удвоения в другом столбце; будем называть пх числами раз.
Если среди частей числа имеется единица, запишем против нее в таблице [чисел] раз нуль.
| Затем возведем двойку в квадрат столько раз, каково наибольшее число в таблице, и заппшем последний квадрат против наибольшего числа в таблице и точно так же запишем против каждого пз чисел раз квадраты, повторенные это число раз. Тогда против каждого числа находится квадрат, образованный возведением двойки в квадрат столько раз, каково это число.
Если же в таблице [чисел] раз имеется нуль, запишем противного двойку без возведения в квадрат. Затем перемножим квадраты, помешенные в таблице против чисел раз, друг на друга. Последнее произведение есть последнее- число. Удвоим его и вычтем из пего единицу. Это и есть искомое.
II р и м с р. Мы хотим сложить удвоения единицы одиннадцать раз. Это вместе с единицей есть число двенадцать.
Возьмем наибольшее число из одиннадцати, допускающее раздвоение до единицы, это восемь, затем два и останется единица. Восемь допускает раздвоен ire три
252 '
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
раза, а два допускает—одни раз, а третья часть, т. е. единица, не допускает деления пополам и поэтому для нее пет чисел раз. Поэтому в таблице чисел раз будут три, единица и нуль. Возведем два в квадрат три раза. Третий квадрат есть 256. [Возведем два в квадрат] один раз, будет четыре. Возьмем самое двойку против третьего, указанного в таблице, т. е. пуля [£51].
Числа раз Квадраты
три 256
одни 4
нуль 2
89
Затем умножим 256 иа четыре, получится 1024, умножим это на два, получится 2048, это последнее удвоение. Удвоим его и вычтем нз этого единицу, получится 4095. Ото и есть ИСКОМО!' [2'i2J.
Если мы хотим удвоить некоторое число раз числа, отличные от единицы, то получим сначала удвоение единицы то же число раз, как раньше, а затем умножим последнее число или число суммы, что угодно, па то число, которое мы хотим удвоить. Получится последнее число или число суммы, соответствующее этому числу.
И р и м е р. \1ы хотим удвоить пять одиннадцать раз. | J огда отношение последнего числа к первому числу есть 2048, как раньше. Умножим это па пять. Получится 10 240, это последнее число, если первое число есть -пять. Сумма, если первое есть пять, есть 20 475. Это и есть искомое.
Десятое правило. Если мы хотим сложить произведения каждого из последовательных чисел от единицы на его соседнее, т. с. произведения единицы на два, двух па три. трех на четыре и так далее до какого угодно, то способ этого таков: вычтем пз последнего числа единицу, возьмем две трети остатка и умножим на сумму этих чисел в естественном порядке [2o3J.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
253
89 об.
Пример. Мы хотим сложить произведения каждого из последовательных висел от единицы до шести па его соседнее. Отнимем ог шести единицу и возьмем две трети остатка, будет три с третью. Умножим это па сумму этих чисел, т. е. двадцать одни, получится семьдесят. Это и есть искомое.
ООиниадиапюе правило. Если мы хотим сложить произведения каждого из последовательных чисел от единицы па ого соседнее и еще па одно соседнее, мы отбросим последнее [последовательное] число и сложим остальные, а затем умножим [получившуюся] сумму па то, что получается из нее при вычитании единицы. Получится искомое [254 ].
Пример. Мы хотим сложить произведения каждого из чисел от единицы до шести на его соседнее и еще на одно соседнее. Сумма [чисел] от единицы до нити есть пятнадцать. Умножим ре на четырнадцать. Получится двести десять. Это и есть искомое.
Двшаицатое правило. Если мы хотим сложить квадраты последовательных чисел от единицы до какого угодно, прибавим единицу к удвоению последнего числа и умножим треть суммы на сумму этих чисел [2j5].
Пример. Мы хотим сложить квадраты последовательных чисел от единицы до шести. Прибавим к их удвоению единицу, будет тринадцать. Треть этого есть четыре с третью. Умножим это на сумму этих чисел, т. е. двадцать один, получится девяносто одни. Это и есть искомое.
Трииаицатое правило. Если мы хотим сложить кубы последовательных чисел от единицы до какого угодно, умножим сумму | этих чисел па себя. Получится искомое [25С ].
П рп аг е р. Мы хотим сложить кубы последовательных ч шел от единицы до шести. Сложим эти числа, будет двадцать одни. Умножим это па себя, получится четыреста сорок один. Это и есть искомое.
Четырнаицатое правило. Если мы хотим сложить ква-драто-квадраты последовательных чисел от единицы, вычтем единицу из суммы этих чисел, возьмем одну пятую остатка и прибавим со к сумме этих чисел,
254
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
а то, что получится, умножим на сумму квадратов этих чисел [257 ].
П р и м с р. Мы хотим сложить квадрато-квадраты последовательных чисел от единицы до шести. Возьмем сумму этих чисел, т. с. двадцать один, вычтем пз них единицу, получится двадцать, возьмем одну пятую этого, будет четыре. Прибавим это к двадцати одному, будет двадцать мять. Умножим это на девяносто один, т. о. на сумму квадратов этих чисел. Получится две тысячи двести семьдесят пять.
Пятнаоцатое правило. Если мы хотим сложить последовательные степени какого-нибудь числа от основания до какой угодно, то это мы открыли. Умножим основание па последнюю степень, вычтем из произведения основание, разделим остаток на число, полученное вычитанием единицы пз основания. То, что получится, это искомое.
Другой вид. Вычтем из последней степени всегда единицу, умножим остаток зга основание и разделим произведение па число, полученное вычитанием единицы из основания. То, что получится, это искомое.
Другой вид. Вычтем из последней степени основание, разделим остаток па число, полученное вычитанием единицы из основания, а к тому, что получится, прибавим последнюю степень. Получится искомое [2,’>8].
Приме]) первого вида. Мы хотим сложить последовательные степени четырех до квадрато-куба. Умножим первое основание, т. е. четыре, па последнюю степень — квадрато-куб, т. е. 1024. Получится 4096. Вычтем из этого основание, т. с. четыре, останется 4092. Разделим это па три, т. е. разность между основанием но и единицей, час гное | от деления есть 1364. Это п есть искомое.
Пример в т о р о г о в и д а. Вычтем из последней степени, т. е. 1024, единицу, останется 1023. Умножим это па основание, т. е. четыре, получится 4092. Разделим это на три, частное есть 1364. Это и есть искомое.
Пример третье го вида. Вычтем основание, т. с. четыре, из последней степени, т. е. 1024. Останется тыся
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
255
90 об.
ча двадцать. Разделим это на три, т. е. разность между основанием и единицей. Частное от деления есть триста сорок. Прибавим это к последней степени, т. е. тысяче двадцати четырем. Получится 1364.
Еслп основание есть дробь, вычтем числитель последней степени пз ее знаменателя и умножим остаток па числитель основания. То, что получится, разделим па разность знаменателя основания и его числителя. Частное от деления разделим па знаменатель последней степени, если оно больше его, а если пот, отнесем к нему [25у].
П р п м е р. Мы хотим сложить степени трех четвер-
0
тей до квадрато-квадрата. Квадрато-квадрат есть 81. Вы-256
чтем ого числитель пз его знаменателя, останется 175. Умножим это на числитель основания, т. о. три, получится 525. Разделим это на знаменатель последней степени.
2
Частное от деления есть 13. Это и есть искомое.
256
Д р у г о й пример. Мы хотим сложить последо-
0 вательныс степени трех седьмых до куба. Куб есть 27.
34.3 Возьмем разность между его знаменателем и числителем, будет 316. Умножим это па три, т. с. числитель первого основания, получится 948. Разделим это па разность знаменателя первого основания и ого числителя, т. е. четыре. Частное от деления 237. Отнесем это к знаменателю noil
следпей степени, т. о. 343. Получится 237. Это п ость
343 требуемое.
Правило, охватывающее и целые и дроби, таково: берем разности между единицей и основанием и между единицей и последней степенью, умножаем основание на вторую разность и делим произведение на первую разность пли делим вторую разность па первую разность и умножаем частное от деления на основание. Получится искомое.
Пример. Мы хотим сложить последовательные степени трех седьмых до куба. | Первая разность ость
256
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
О
четыре седьмых, а вторая—316. Умножим основание, г. е.
343
О
три седьмых, па вторую разность, получится 948. Раздс-2401
лим это на первую разность, т. е. четыре седьмых. Частное О
от деления есть 237. Пли по второму способу: разделим
1 вторую [разность) па первую, частное от деления есть 30.
49
Умножим это на основание, т. с. три седьмых, получится о
237. Это и есть искомое.
343
Шестнадцатое правило. Если мы хотим получить степень числа, число показателя степени которой велико, без необходимости получать все последовательные степени между ними, то это также* мы открыли. Мы знаем число показателя степени этой степени и, если опа допускает деление пополам до единицы, знаем число раз его раздвоения до единицы. Тогда возводим в квадрат первое основание столько раз, каково это число. Последний квадрат ость искомое [-6"].
11 ри ме р. Мы хотим [получить] квадрато-кубо куб пяти. Число его показателя степени есть восемь, что составляет три удвоения единицы. Возведем в квадрат пять три раза, получится: первый квадрат 25, второй (525, третий 390(525. Это и есть квадрато-кубо-куб пяти.
Если число показателя степени этой степени не допускает раздвоения до единицы, возьмем [содержащееся в нем| наибольшее число, дон/скающее раздвоение до единицы, затем [такое же число] в остатке и так далее до тех пор, пока не останется н [чего плп останется единица, Получатся числа, сумма которых по величине есть число показателя степени этой степени и каждое пз которых допускает раздвоение до едгппцы пли одно из которых является единицей, а остальные допускают раздвоение до едп и и цы. Запишем эти числа в таблице, как раньше, в девятом правиле, т. е. найдем число раз раздвоения
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
каждог о из пих до единицы, и запишем пх в таблице, а против единицы запишем нуль и будем называть их числами раз. Затем возведем основание в квадрат столько раз, каково наибольшее число, и запишем последний квадрат против пего и точно так же запишем против каждого из этих чисел квадрат, полученный возведением в квадрат основания соответственное число раз, а против нуля занп-19 тем само основание. Затем умножим | эти степени, записанные в таблице, друг па друга. Последнее произведение есть искомое [2(51].
П р и м е р. Мы хотим получить квадрато-кубо-кубо-кубо-куб трех. Число показателя степени—четырнадцать. Разделим это па восемь, четыре п два, запишем пх в таблице и выполним действие таким образом [2G2J:
Числа раз ‘ Квадраты
восемь 6561
четыре 81
два 9
Затем умножим 6561 на 81, получится 531 441, умножим это па девять, получится 4 782 969. Ото и есть квадрато-кубо-кубо-кубо-куб трех.
Мы указали это правило в девятом правиле для того случая, когда основание есть два. Здесь мы привели его в виде обобщения, чтобы было видно, чем оно отличается при изменении основания.
Семнадцатое правило. Если четыре числа пропорциональны, т. с. если первое из ппх относится ко второму, как третье к четвертому, то произведение первого па четвертое равно произведению второго на третье [2ВЗ].
То, что относится, и то, к чему относится, называются предшествующим и последующим.
Восемнадцатое правило. Отношение большей нз двух величии к третьей больше отношения меньшей пз пих к ней п отношение третьей к меньшей из пих больше отношения ее к большей.
17 Историно-матем. исследования
258
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
91 об.
Девятнадцатое правило. Если первая величина относится ко второй, как третья к четвертой, и пятая величина относится ко второй, как третья к шестой, то первая относится к шестой, как пятая к четвертой.
Двадцатое правило. Если первая величина относится ко второй, как третья к четвертой, н первая величина относится к пятой, как шестая к четвертой, то | вторая величина относится к шестой, как пятая к третьей.
Двадцать первое правило. Если первая величина относится ко второй, как третья к четвертой, и если пятая величина относится ко второй, как шестая к четвертой, то сумма первой и пятой величин относится ко второй,как сумма третьей и шестой величии к четвертой.
Двадцать второе правило. Если первая величина относится ко второй, как третья к четвертой, и первая относится к пятой, как третья к шестой, то первая величина относится к сумме второй и пятой, как третья к сумме четвертой п шестой.
Двадцать третье правило. Если четыре числа пропорциональны, т. с. если первое относится ко второму, как третье к четвертому, то и, наоборот, они тоже пропорциональны, т. с. второе относится к первому, как четвертое к третьему, или четвертое относится к третьему, как второе к первому. Это называется провертыванием отношения.
Двадцать чеп.вртое правило. Если четыре числа пропорциональны, то предшествующее относится к предшествующему, как последующее к последующему. Это называется пореставлением отношения.
Двадцать пятое правило. Если четыре числа пропорциональны, то первое относится к сумме первого и второго, как третье к сумме третьего и четвертого. Это называется присоединением отношения.
Двадцать шестое правило. Если четыре числа пропорциональны и предшествующие больше последующих, то первое относится к его превышению над вторым, как третье к его превышению над четвертым. Это называется выделением отношения.
Двадцать седьмое правило. Если два класса величин, равные числом, таковы, что каждые две величины одного класса относятся, как две величины другого класса, и но-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКИ
259
92
рядок отношений один и тот же, например первая относится ко второй из первого класса, как первая ко второй из второго класса, и вторая относится к третьей пз первого класса, как вторая к третьей | пз второго класса и тому подобно, то первая величина относится к последней из первого класса, как первая к последней из второго класса [2С14] Это называется упорядоченным равенством.
Двадцать восьмое правило. Если два класса величин, равные числом, таковы, что каждые две величины одного класса относятся, как две величины другого класса, но порядок [отношений] не один и тот же, например первая относится ко второй из первого класса, как вторая к третьей из второго класса, и вторая относится к третьей пз первого класса, как первая ко второй нз второго класса, то первая величина относится к последней пз первого класса, как первая к последней пз второго класса [265]. Это называется переметанным равенством.
Двадцать девятое правило. Если четыре числа непрерывно пропорциональны, т. е. первое относится ко второму, как второе к третьему и как третье к четвертому, то произведение квадрата первого па четвертое равно кубу второго и произведение квадрата четвертого па первое равно кубу третьего I266].
Тридцатое правило. Если непрерывно пропорциональные числа начинаются с единицы, то третье о г единицы есть квадрат и также пятое, седьмое и так далее, через одно; четвертое от единицы есть куб и также седьмое, десятое и так далее, через два; пятое есть квадрато-квадрат п также девятое и так далее, через три; [шестое есть] квадрато-куб [п так далее, через четыре]; седьмое есть [кубо-куб] и так далее, через пять, а основания этих степеней—пропорциональные числа, являющиеся последующими [2С7].
Тридцать первое правило. Еслп четыре числа непрерывно пропорциональны и если мы умножим первое на третье и также второе па четвертое, то первое произведение равно квадрату второго числа, второе произведеннс равно квадрату третьего числа, а корень пз произведения этого равен произведению первого числа па четвертое, а также произ-ве депию второго на третье [2С8].
17*
260
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
92 об.
Тридцать второе правило. Если вычесть из двух чисел | или прибавить к ним два числа, пропорциональных им, то остатки пли суммы также будут пропорциональны им.
Тридцать третье правило. Если умножить всякое число па два числа, то произведения будут относиться, как эти два числа.
Тридцать четвертое правило. Если умножить всякое число па другое число, то одни из сомножителей относится к своему квадрату, как другой сомножитель к произведению, и, перевертывая, произведение относится к квадрату одного из них, как другой сомножитель к корню этого квадрата, а квадрат относится к некоторому числу своих корней, как корень к этому числу [2691
И р и м е р. Шестнадцать относится к трем своим корням, т. о. двенадцати, как корень, т. е. четыре, к числу корней, т. е. трем, так как произведение четырех на три есть двенадцать, и [двенадцать] относится к квадрату четырех, т. е. шестнадцати, как [три] к четырем.
Тридцать пятое правило. Если число умножено па число и разделено на пего, то произведение этого произведения и этого частного от деления равно квадрату этого числа.
Тридцать шестое правило. Если каждое пз двух чисел разделено на другое и сумма частных от деления умножена на произведение одного из чисел па другое, то это произведение равно сумме квадратов этих двух чисел.
Тридцать седьмое правило. Если разделить одно пз двух чисел на другое, а второе па первое, то [отношение] одного из частных к другому есть двойное отношение. Если разделить единицу на одно из полученных частных, получится другое. Если умножить сумму одного из частных с единицей па его делитель, получится сумма этих чисел [271'].
Тридцать восьмое правило. Если разделить всякое число на некоторое число, то частное от деления относится к его квадрату, как делитель к делимому. Если мы хотим получить подкоренное, то оно относится к корню, как такие два числа, что если разделить одно из них на другое, частное от деления есть искомый корень числа.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
261
Тридцать девятое правило. Цена относится к цепе при равенстве мер, как количество, стоящее вторую цепу, 93 к количеству, стоящему первую | цепу, при равенство сумм и обратно [271]-
П р и м с р. Если один мпскаль жемчуга стоит десять динаров и один, мискаль золота—пять динаров, то двадцать мискалей золота стоят сто динаров и десять мискалей жемчуга также стоят сто динаров.
Таковы же отношения двух весов и того, что взвешивается, и двух локтей, употребляемых в разных городах или разными племенами, и того, что измеряется или мсрнтся. Например, известно, что локоть руки есть три четверти хашимитского локтя, поэтому число локтей ткани, измеренной хашимитским локтем, равно трем четвертям числа локтей той же ткани, измеренной локтем руки, п обратно. Что касается отношения квадрата локтя руки к квадрату хашимитского локтя, то они относятся, как девять к шестнадцати, и площадь поверхности, измеренная хашимитским локтем, относится к площади той же поверхности, измеренной локтем руки, так же, как девять к шестнадцати. Что касается отношения куба локтя руки к кубу хашимитского локтя, то они относятся, как 27 к 64, и объем тела, измеренный хашимитским локтем, относится к объему того же тела, измеренного локтем руки, так же, как 27 к 64.
Точно так же плата [одному] работнику относится к плате [другому] работнику за равные дни работы, как дни работы второго к дням работы первого при равной плате.
Л точно так же, если некоторое число родов приравнено некоторому числу других родов, величина высшего рода относится к величине низшего рода, как число низших родов к числу высших родов [272].
Пример. Если десять вещей равны трем квадратам, то одни квадрат относится к одной вещи, как десять к трем, и обратно, так как два приравнивающихся—это одна величина, измеренная двумя мерами. Так как два приравнивающихся—это одна величина, мы находим, что одна вещь [относится к единице], как десять к трем, и обратно.
262
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
93 об.
Сороковое правило. Квадрат всякого числа равен сумме квадратов двух его частей с произведением одного пз них па удвоенное другое. Разность между двумя квадратами равна произведению суммы пх корней тта пх разность I273].
Сорок первое правило. Еслп разделить число пополам | п тта две неравные части, то сумма произведения одной части па другую и квадрата разности между половиной и частью равна квадрату половины, а также сумма квадратов частей равна удвоению квадрата половины и квадрата разности между половиной и частью [274].
Сорок второе правило. Еслп умножить каждое число на одну из его частей и прибавить к произведению квадрат половины другой части, то сумма равна квадрату суммы первой части и половины другой части I275].
Сорок третье правило. Отношение квадрата к квадрату есть [двойное] отношение корня к корню, а это отношение [корня к корню] является половинным отношением квадрата к квадрату, и точно так же для полуноловинного, т. е. четвертного отношения, и так далее. Точно так же отношение круга к кругу есть двойное отношение диаметра к диаметру п таковы же отношения между двумя подобными поверхностями и их сторонами, диаметрами или диагоналями и так далее I 276].
Сорок четвертое правило. Отношение куба к кубу есть тройное отношение основания к основанию и также отношение шара к шару ость тройное отношение диаметра к диаметру и таковы же отношения между двумя подобными телами н их ребрами, диаметрами пли диагоналями и так далее.
Точно так же кратность отношения основания степени к основанию степени увеличивается при увеличении числа показателя степени этих степеней н число кратности [отношения] равно числу показателя степени этих степеней. Например, отношение квадрато-куба к квадрато-кубу есть пятерное отношение основания к основанию [277].
Сорок пятое правило. Мы хотим разделить число в среднем и крайнем отношении, т. е. [так, что] оно относится к большой части, как большая часть к меньшей, и необходимо меньшая часть относится к большой, как большая часть к сумме. Способ этого таков: умножим это число на
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
263
себя, прибавим к произведению четверть этого произведения, возьмем корень нз того, что получилось, и вычтем из этого половину этого числа. То, что останется, и есть большая часть. Если же известна большая часть, а меньшая if их сумма неизвестны, поступаем с ней точно так же, как мы делали, получим меньшую часть, а их сумма 94 есть число, делящееся | в среднем и крайнем отношении.
Если же известна только меньшая из частей, то тоже поступаем с ней точно так же, как мы делали, а к тому, что останется в конце действия, прибавим известную меньшую часть. То, что получится, есть большая часть [278].
Другой вид. Умножим всякое число на 37 4 55 2029 39 секст и вычтем произведение из этого числа. Произведение и остаток—это части этого числа при делении в среднем и крайнем отношении. Если известна большая часть, то разделим ее па 37 4 55 20 29 39 секст. Частное от деления есть [данное число, умножим большую часть на ту же величину, произведение есть] меньшая часть. Если известна меньшая часть, то разделим ее на разность этих цифр с единицей, т.е. 22 55 4 39 30 21 сексту, частное от деления есть большая часть [279]. Знай, что если одна из этих трех величин рациональна, две остальные не являются рациональными. Мы извлекли это правило из « Начал» [280].
Сорок шестое правило. В треугольнике с прямым углом сумма квадратов сторон, ограничивающих этот угол, равна квадрату стороны, стягивающей этот угол [281].
Сорок седьмое правило. Если в каждом треугольнике провести линию из одного из углов к стороне, стягивающей этот угол, так, что получатся два треугольника, один нз этих треугольников относится к другому, как их основания, [отсчитываемые] от их общей стороны [282].
Сорок восьмое правило. Две пересекающиеся хорды круга делят друг друга так, что произведение одной части [одной] хорды на другую часть равно произведению одной части другой хорды па ее другую часть [283]. Если же хорда пересекается с диаметром под прямым углом, то произведение одной из частей диаметра на другую равно квадрату половины хорды.
Сорок девятое правило. Если мы хотим определить совершенное число—такое число, делители которого равны
264
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
ему, т. е. сумма всех чисел, измеряющих ого, равна ому, как, например, шесть, так как единица, два и три измеряют шесть, а их сумма также ость шесть, то способ [нахождения] их таков: сложим последовательные числа от единицы в отношении удвоения, пока сумма ио будет первоначальным числом, т. е. числом, не измеряющимся никаким чис-04 лом, кроме единицы, затем сумма умножается па послед-об. псе | из этих чисел, получается совершенное число [284].
Пример. Сложим единицу, два и четыре, сумма будет семь. Это не измеряется никаким числом, кроме единицы. Умпожпм это па четыре, т. е. последнее пз этих чисел Получится двадцать восемь, это совершенное число, так как оно есть сумма того, что его измеряет, т. о. является суммой единицы, двух, четырех, семи и четырнадцати.
Пятидесятое правило. Если мы хотим определить два дру.тествеиных числа, т. е. таких числа, что сумма делителей каждого из них равна другому, то ищем такое число из результатов [последовательного] удвоения двойки, что если мы умножим его сначала па полтора, а в другой раз па три и вычтем пз каждого произведения единицу, то каждый из остатков но измеряется никаким числом, кроме единицы. Если найдем это, назовем первый остаток первым нечетным, а второй остаток—вторым почетным. Второе нечетное необходимо превосходит результат удвоения первого нечетного на единицу. Затем умножим первое нечетное на второе нечетное и назовем произведение третьим нечетным. Затем умпожпм число, полученное удвоением двух, сначала на третье нечетное, а в другой раз па сумму первого и второго нечетных, тогда первое произведение ость одно из двух дружественных чисел, а если прибавить к нему второе произведение, получится второе из дружественных чисел [2Ь;>]-
П р и м е р. Возьмем удвоенную двойку—четыре. Умножим их па полтора, получится шесть. Вычтем из шести единицу, останется пять. Это по измеряется никаким числом, кроме единицы, это—первое нечетное. Затем умножим четыре также на три, получится двенадцать. Вычтем из двенадцати единицу, останется одиннадцать, это—второе нечетное. Если прибавим к удвоенному первому нечетному единицу, также получится второе нечетное.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
265
95
Умножим одно из почетных на другое, получится пятьдесят пять, это—третье нечетное. Затем умножим четыре на третье нечетное, получится двести двадцать—это одно из дружественных чисел. Умножим также четыре на сумму первого п второго нечетных, получится шестьдесят четыре. Прибавим это к тому, получится двести восемьдесят четыре.
| Это второе нз дружественных чисел. Мы привели этот пример вместе с другим примером в таблице для упрощения ого понимания в виде правила для делающего. Эта [таблица такова]:
Что касается определения делителей каждого из двух дружественных чисел для проверки, то для меньшего числа это единица и результаты ее удвоения до того четного числа, с которым мы действовали, первое и второе нечетные числа и результаты их удвоения в числе результатов удвоения единицы до указанного четного, а также третье нечетное и результаты его удвоения в числе результатов удвоения единицы до половины указанного четного. Тогда сумма всех делителей меньшего из двух дружественных чисел равна большему из них. Для большего из них это единица и результаты ее удвоения до указанного четного, сумма трех нечетных п результаты ее удвоения в числе результатов удвоений единицы до половины указанного четного.
os i'- единица и результаты ее удвоения до восьми Делители меньшего числа 2024, сумма которых есть большее число 2296 Пример суммы делителей двух дружественных чисел, полученных пз восьми:
11 22 44 88 первое нечетное и три результата его удвоения
23 46 92 184 второе нечетное и три результата его удвоения
253 506 1012 третье нечетное и два результат;, его удвоения
00 й< N единица и результаты ее удвоения до восьми Делители бол! шего числа 2296. сумма которых есть меньшее число 2024
287 574 1148 сумма трех Почетных и два резу.’чтата ее удвоения
. rfs i\: единица и результаты ее удвоения до четырех Делители меньшего числа 220, сумма которых есть большее число 284 Пример суммы делителей двух дружественных чисел, полученных из четырех [286]:
5 10 первое нечетное и два результата его удвоения
•Лч ГС Hi- •— второе нечетное и дна результата его удвоения
огт ОС третье нечетное и результат его удвоения
*- К ь- единица и результаты ее удвоения до четырех Делители бо.чшего числа 284, сумма которых есть менi шее число 220
71 142 сумма трех нечетных н результат се удвоения
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
267
95 Четвертая глава
об.
О примерах
Знай, что для определения числовых неизвестных с помощью известных имеются различные способы. При этом либо нужно предположить неизвестное неопределенной вещью, как в науке алгебре и алмукабалс, либо обходятся без этого, как в пауке об известных правилах, являющихся арифметическими предпосылками, о которых говорилось раньше, или же, как при применении некоторых пз этих предпосылок и некоторых правил отношении в способе' двух ошибок, который я выделяю в силу ого особенности, состоящей в том, что неизвестное предполагается некоторым числом, а затем—другим числом. Иногда же задача бывает настолько запутан noli по своему условию, что вначале нельзя попять, в чем состоят соотношения между известными и неизвестными. Поэтому думается, что если ее решение с помощью известных правил пли с помощью алгебры и алмукабалы невозможно, так как [задача] не сводится к уравнению пли невозможна, то для ее решения следует внимательно рассмотреть условие п очистить его и тем самым узнать соотношения между известными и неизвестными. Такое действие называется анализом и синтезом. При этом следует быть искусным, обладать острым умом, сильной интуицией и здравым смыслом. Изложив эти вопросы, мы начинаем изложение определения неизвестных через известные с помощью указанных правил, чтобы направить начинающего по пути применения изложенных правил в виде сорока примеров. Мы привели их в трех разделах. Некоторые из этих примеров имеются в «Блестящем [трактате]», но здесь изложены и действия, которых там пет. Большая польза этого не скроется от того, кто обратит иа это внимание.
Первый раздел, содержа щ и й двадцать пять примеров
Первый пример. Мы хотим [найти] такое число, что если удвоить ого, прибавить к этому единицу, умножить сумму па три, прибавить к произведению два, затем
2G8
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
умножить то, что получится, па четыре п прибавить к произведению три, получится девяносто пять.
Способ определения с помощью алгебры и алмукабалы. Примем это число за вещь. Прибавим к результату ее удвоения единицу, получится две вещи и единица. Умножим это на три, получится шесть вещей и три. Прибавим 9G к этому два, получится шесть вешен и пять. | Умножим это на четыре, получится двадцать четыре вещп и число двадцать. Прибавим к этому три. Получится двадцать четыре вещи и число двадцать три. Это равно девяноста пяти. Отбросим общее у приравниваемых, т. е. число двадцать три. Останется: двадцать четыре вощи равны числу семьдесят два. Задача приведена к первой из простых. Разделим число на число вещей, получится три. Это и есть неизвестное число [287].
Более легко произвести решение этой задачи с помощью анализа. Это [решение] таково: вычтем из известных девяноста пяти три, останется девяносто два. Разделим, это на четыре, частное есть двадцать три. Вычтем нз этого два, останется двадцать один. Разделим это на три, частное есть семь. Отнимем от этого единицу, останется шесть. Возьмем половину этого, это три. Это и есть искомое [288].
Что касается опроделения по способу двух ошибок, то предположим, что это число два, получится семьдесят один, это меньше девяноста пяти па двадцать четыре, это первая ошибка. Затем предположим, что это пять, получится сто сорок три, это больше девяноста пяти на сорок восемь, это вторая ошибка. Умножим первое предположенное, т. с. два, на вторую ошибку, т. е. сорок восемь, получится девяносто шесть. Умножим второе предположенное, т. е. пять, па первую ошибку, т. о. двадцать четыре, получится сто двадцать. Так как одна ошибка отнимаемая, а другая—прибавляемая, разделим сумму произведений, т. е. двести шестнадцать, па сумму ошибок, т. е. семьдесят два. Частное есть три. Это в есть искомое.
Второй пример. Люди вошли в сад и один сорвал один гранат, второй—два, третий—три и подобно этому, увеличивая на единицу для каждого. Затем все, что сорвали, разделили поровну, каждому досталось ио шесть. Каково число людей?
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
269
Самое легкое решение этой задачи—с помощью извест-пых правил, а именно, с помощью третьего | правила. Вычтем единицу из удвоения шести, т. о. доли каждого из ппх, останется одиннадцать. Это и ость число людей.
С помощью алгебры и алмукабалы. Примем неизвестное число за вещь. Прибавим к нему единицу, получится вещь и единица. Умножим это на половину вещи, получится половина квадрата и половина вещи. Это общее число гранатов, как мы это видели раньше, в третьем правиле. Затем умножим шесть, т. о. долю каждого нз ппх, па вещь, т. е. число вещей. Получится шесть вещей. Это также число всех гранатов. Это приравнено первому произведению, т. е. половине квадрата и половине вещи. Отбросим общее, т. е. половину вощи, от приравниваемых. Получится: пять с половиной вещей равны половине квадрата. Задача приведена к третьей из простых. Разделим пять с половиной на половину. Частное есть одиннадцать. Это и есть число людей, как было раньше.
Т р о т и й пример. Однажды встречаются два пешехода па берегу моря. Один из ппх проходит каждый день десять миль, а другой, идя в обратную сторону, навстречу первому, проходит в первый день одну милю, во второй день две мили, в третий день три мили и так далее, увеличивая па единицу, причем оба нс удаляются от берега. Когда они встретились, один прошел одну шестую берега, а другой—пять шестых. Мы хотим узнать величину берега и число дней пути.
Примем число дней пути за вещь. Тогда величина пути первого пешехода есть десять вещей, а величина пути второго пешехода есть половина квадрата и половина вещи, т. о. сумма чисел в естественном порядке, как раньше, в предыдущем примере. Так как (второй пешеход] прошел пять шестых берега, а первый пешеход -одну шестую, умножим величину пути первого пешехода иа пять, получится пятьдесят вещей, это равно половине квадрата и половине вещи и после отбрасывания общего останется: половина квадрата равна сорока девяти с половиной вещи. Разделим это на число квадратов, являющееся половиной, 97 т. е. удвоим это, | получится девяносто девять. Это и есть неизвестное число, т. е. число дней пути. Умножим это
270
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
97 Об.
на величину пути первого пешехода, т. е. десять миль, получится девятьсот девяносто миль, это шестая часть берега. Поэтому берег ость пять тысяч девятьсот сорок миль. Вычтем из этого то, что прошел первый пешеход, останется четыре тысячи девятьсот пятьдесят миль. Это то, что прошел второй пешеход. Проверка этого: число дней—девяносто девять. Прибавим к ним единицу, получится сто. Умножим это па половину этих дней, получится четыре тысячи девятьсот пятьдесят, как раньше.
Что касается [применения] известных правил, то умножим величину пути первого пешехода в один день, т. е. десять, на пять, получится пятьдесят. Удвоим это, будет сто. Вычтем из этого единицу, останется девяносто девять. Это и ость число дней пути.
Четвертый пр и м е р. Стоимость ткани неизвестна; [всего] ее десять локтей. Мы купили такую часть ос, число локтей которой есть одна седьмая стоимости этой ткани, за семнадцать с половиной динаров. Мы хотим узнать стоимость [всей ткани] и то ее количество, которое куплено.
С помощью известных правил: так как число локтей ткани относится к ее стоимости, как число локтей купленной ткани к ее стоимости, то, как мы указали в семнадцатом правиле, умножим число локтей ткани, т. о. десять, на стоимость купленной ткани, т. е. семнадцать с половиной. Получится сто семьдесят пять. По тридцать четвертому правилу возьмем одну седьмую, будет двадцать пять. Извлечем корень из этого, будет пять. Это и ость цепа купленного. Поэтому стоимость ткани—тридцать пять.
С помощью алгебры и алмукабалы: примем число локтей за вещь. Тогда стоимость ткани есть семь вещей и их произведение есть семь квадратов. Это равно произведению локтей ткани па стоимость купленного, т. с. числу сто семьдесят пять, и действие сводится к третьей [задаче] из простых. Поэтому разделим число па число квадратов, частное от деления | —двадцать пять. Возьмем корень нз этого, будет пять. Это цепа купленного. [Возьмем] ее семь раз—получится стоимость ткани, это тридцать пять.
Другой способ. Примем стоимость ткани за вещь и разделим на нее произведение локтей ткани на стоимость того
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
271
ее количества, которое куплено, т. е. число сто семьдесят пять. Частное от деления есть сто семьдесят пять долей вещи. Это равно одной седьмой вещи. Так как доля вещи относится к вещи, как вещь к квадрату, можно заменить долю вощи числом, а вещь—квадратом. Получится: число сто семьдесят пять равно одной седьмой квадрата. Мы получили третью [задачу] из простых. Разделим число иа число квадратов и умножим это па знаменатель, т. е. семь, получится 1225. Это частное от деления. Возьмем корень. Это тридцать пять. Это и ость стоимость ткани. Так как это есть семь па пять, то куплено пять локтей.
Пят ы и п р и м е р. Мы купили некоторый товар по десять п продали его по двенадцать. Паша прибыль равна трем корням из капитала. Каков был капитал?
С помощью известных правил: умножим число корнем, т. о. три, па стоимость товара, получится тридцать. Разделим это на разность между стоимостями, т. с. два. Частное от деления есть пятнадцать. Это корень пз капитала, так как по тридцать четвертому правилу квадрат двух частных от деления относится к числу корней, как корень к этому числу; поэтому капитал есть двести двадцать пять.
Другой способ—с помощью анализа и синтеза. Коротко говоря, этот вопрос таков: если мы хотим [найти] число, являющееся квадратом, три корня нз которого есть одна пятая этого числа, и если мы умножим три па знаменатель одной пятой, получится пятнадцать. Знай, что это есть квадрат пятнадцати, равного ого корню, т. о. это его основание и квадрат такой же, как ратине.
С помощью алгебры и алмукабалы: примем капитал за квадрат, так как мы нуждаемся в его корне. Три его корня равны одной пятой квадрата. Это второй [вид] пз простых. Разделим число корней, т. о. три, па число квадратов, т. е. одну пятую, получим пятнадцать. Это непз-98 вестпая | вещь. Возведем ее в квадрат, получится двести двадцать пять. Это и есть капитал, как раньше.
Ш о с т о й при м е р. Имеется украшение, состоящее пз золота п жемчуга. Его вес—три мискаля, его стоимость—двадцать четыре динара. Цена каждого мпскаля золота—пять динаров, жемчуга—пятнадцать динаров. Мы хотим узнать вес каждого пз них.
272
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
98 об.
С помощью алгебры и алмукабалы: примем вое золота за вещь, тогда его стоимость есть пять вещей. Остается вес жемчуга, это три мискаля без вещи. Умножим это па цену мискаля этого [т. о. жемчуга], т. е. на пятнадцать, получится сорок пять дипаров без пятнадцати вещей; это стоимость жемчуга. Сложим эти две стоимости, получится сорок пять без десяти вещей. Это равно двадцати четырем динарам, т. е. стоимости украшения. После восполнения вычитаемого п противопоставления будет: двадцать один динар равен десяти вешам. Это первый [вид] пз простых. Разделим число па число вещей, частное от деления ость два и одна десятая. Это и ость неизвестная вещь, т. е. вес золота. Остается вес жемчуга, это девять десятых мискаля.
С помощью известных правил: умножим вес украшения, т. е. три, па высшую цену, т. е. пятнадцать, получится сорок пять. Возьмем разность между этим и ценой украшения, это есть двадцать один. Разделим это на разность между ценами, т. е. десять. Частное есть два и одна десятая. Это и есть искомое.
Другой вид. Умпожпм вес украшения, т. о. три, па низшую цепу, т. е. пять, получится пятнадцать. Возьмем разность между этим и стоимостью украшения, это есть девять. Разделим это на разность между ценами, т. е. десять. Частное ость девять десятых. Это и есть вес жемчуга.
Седьмой при м о р. Имеется украшение, состоящее из трех [субстанций]: золота, жемчуга и яхонта. Его вес— гри мискаля, его стоимость—шестьдесят динаров, цепа каждого мискаля золота—четыре динара, жемчуга— двадцать динаров, яхонта—тридцать | динаров. Мы хотим узнать вес каждого пз них.
Для определения этого имеются три способа.
Первый способ. Умпожпм вес украшения па высшую цепу и вычтем из этого стоимость украшения. То, что останется, разделим на разность между высшей и низшей цепами и запомним частное. Затем зададимся весом самого дешевого, по величине меньшим запомненного. Пусть это будет половина мискаля, его стоимость—два динара. Вычтем этот вес пз веса украшения, а стоимость—пз его стоимости. Останется украшение, состоящее из жемчуга
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
273
и яхонта. Его вес—два с половиной мпскаля, а стоимость— пятьдесят восемь динаров. Определим их вес, как раньше, в предыдущем примере. Примем вес жемчуга за вещь, тогда его стоимость будет двадцать вещей. Оставшийся вес яхонта есть два с половиной мпскаля без вещи; [тогда стоимость яхонта будет семьдесят пять динаров без тридцати вещей]. Сложим эти две стоимости, получится: семьдесят пять динаров без десяти вещей равно стоимости украшения, состоящего из жемчуга и яхонта, т. е. пятидесяти восьми динарам. После восполнения и противопоставления будет: семнадцать динаров равны десяти вещам. Частное от деления числа на число вещей ость весжсмчуга, это мискаль и семь десятых. Оставшееся ость вес яхонта, эю четыре пятых мпскаля. Запишем это вместе с весом золота и со стоимостями каждого из них в таблице. Она такова [289]:
Золото Жемчуг Яхонт
Вес половина мискаля мискаль н семь десятых четыре пятых мискаля
Стоимость два динара тридцать четыре динара двадцать четыре динара
Другой способ. Сложим цены двух дешевых и разделим пополам сумму, получится как один род, цена ми скаля которого—половина, т. е. двенадцать динаров, и украшение состоит из двух родов, один из которых состоит из двух родов, цепа мпскаля которого ость двенадцать динаров, а другой из которых—яхонт, цепа мпскаля которого 99 есть тридцать динаров, ) а стоимость украшения—шестьдесят динаров. Определим вес каждого из них, как раньше, в шестом примере. Например, умножим вес украшения, т. е. три, на высшую цену, т. е. тридцать, получится 18 Историко-матем. исследования
274
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
девяносто. Возьмем разность между этим и стоимостью украшения, это есть тридцать. Разделим это на разность между ценами, т. е. между двенадцатью и тридцатью, это восемнадцать. Частное от деления есть вес суммы двух [субстанций], это мискаль и две трети. Это нужно разделить пополам между ними. Остается вес яхопта— мискаль с третью, как в этой таблице [290]:
э Золото Жемчуг Яхонт
Вес пять шестых мискаля пять шестых мискаля мискаль с третью
Стоимость три динара с третью шестнадцать динаров и две трети сорок динаров
Определенно с помощью алгебры и алмукабалы. Примем вес золота за вещь, а вес жемчуга—также за вещь. Оставшийся вес яхонта есть три мискаля без двух вещей. Тогда стоимость золота есть четыре вещи, стоимость жемчуга—двадцать вещей,а стоимость яхонта—девяносто динаров без шестидесяти вещей. Сложим это, [получится] девяносто динаров без тридцати шести вещей. Это равно тридцати динарам. После отбрасывания общего и восполнения получится: тридцать равны тридцати шести вещам. Если разделить число па число вещей, получится вес золота, это пять шестых мискаля и таков же вес жемчуга. Остается вес яхопта, это мискаль с третью, как раньше [291].
Еслп спрашивается о весе одной из трех субстанций, а вес одной пз двух оставшихся—или четверть его или в другом отношении, то предположим эту субстанцию вещью, а другую тремя вещами или четырьмя—в том отношении, в котором спрашивается, п закончим действие.
Еслп украшение состоит пз четырех родов, то по первому способу умножим вес [украшения] на высшую цену и вычтем пз этого стоимость украшения, остаток разде-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
275
ллм на разность между высшей ценой и половиной суммы цеп двух самых дешевых или третью суммы цеп [трех] w дешевых. Примем | первый вес за половину веса вто-J0’ рого и вычтем второй вес пз первого. То, что получится, запомним. Затем будем считать вес каждого пз двух дешевых равными или разными величинами, сумма которых меньше запомненного, и вычтем их вес из веса украшения, а стоимость их—-из его стоимости. То, что останется от первых, есть вес оставшихся двух, а то, что останется от вторых, есть их стоимость; определим пх как раньше, в шестом примере. Получатся два рода, равных по весу, и такие же другие два вида. [Пли] примем три из этих родов за один род, состоянии! из трех, тогда получатся три рода, равных по весу, п так далее.
Если [украшение] состоит пз многих родов, то по третьему способу примем вес каждого из них, кроме высшего по цепе, за вещь и вычтем сумму этих вещей из веса украшения, останется вес высшего рода. Остальное действие— как раньше.
В о с ь м ой пр и м е р. Плата работнику за месяц, т. с. тридцать дней, -десять динаров и платье. Он работал три дня и заработал платье. Какова стоимость платья?
Примем его за вещь. Плата за месяц есть десять динаров и вещь. Возьмем одну десятую этого, так как дни работы это одна десятая дней месяца. Будет: динар и одна десятая вещи, т. о. цены платья, равны вещи. После противопоставления и отбрасывания общей одной десятой будет: динар равен девяти десятым вещи. Разделим динар па число вещей, т. е. девять десятых. Частное от деления есть единица и одна девятая. Это есть искомое.
Если он работал семь дне]'! и заработал платье, какова его стоимость? Примем его за вещь. Плата за месяц есть десять динаров и вещь. Это относится к дням месяца, как вещь к дням работы. По семнадцатому правилу умножим тридцать на вещь, получится тридцать вещей, умножим семь на десять динаров и вещь, получится семьдесят и семь вещей. [После отбрасывания] общего останется: семьдесят динаров равны двадцати трем вещам. Разделим jng число на число вещей. 1астпос от деления есть три и одна двадцать третья. Это неизвестное, т. о. стоимость платья.
18*
276
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
Проверка: сложим это с десятью, получится плата за месяц, это тридцать и одна двадцать третья. Умножим это па семь, т. е. дни работы, получится девяносто один и семь двадцать третьих. Разделим это па дни месяца. Частное от деления есть три и одпа двадцать третья, что равно стоимости платья. С помощью известных правил: если ок работал семь дней, оп заработал платье, а если бы оп работал остаток месяца, оп заработал бы десять динаров. Разделим десять на остаток, т. о. двадцать три. Частное от деления есть десять двадцать третьих, это вознаграждение за один день. Поэтому вознаграждение за семь дней есть три динара и одна двадцать третья.
Д е в я т ы й и р нм с р. Плата за месяц одному из трех работников—пять, второму—четыре, третьему—три. Каждый из них работал неизвестное число дней с дробью, которые вместе составляют тридцать. Плата им за их дни работы одпа it та же. Мы хотим узнать число дней работы каждого нз них.
Плата первому в месяц относится к плато второму в месяц, как пять к четырем, а плата первому в месяц относится к плате третьему в месяц, как пять к трем. Поэтому число дней работы первого относится к числу дней работы второго, как четыре к пяти, а число дней работы первого относится к числу дней работы третьего, как три к пяти, согласно тому, что говорится о плате в тридцать девятом правиле. Поэтому примем число дней работы того, кто получает за месяц пять, за ветць; число дней работы того, кто получает за месяц четыре, за вещь с четвертью, так как пять равно четырем с их четвертью, п число дней работы того, кто получает за месяц три, за вещь с двумя третями. Сложим это, получится три вещи и одиннадцать двенадцатых; это равно тридцати. Разделим тридцать на это. Частное от деления есть семь п тридцать одна сорок седьмая, это п есть неизвестная вещь, т. е. число дней работы того, кто получает за месяц пять. Возьмем четверть этого, будет один и сорок три сорок седьмых. Прибавим это к числу дней ра-1(-о? боты первого, получится девять дней | и двадцать семь сорок седьмых, это число дней работы того, кто получает за месяц три. Затем возьмем две трети числа дней работы первого, это пять и пять сорок седьмых. Прибавим это к числу дней
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
277
работы первого, получится двенадцать п тридцать шесть сорок седьмых, это число двои работы третьего. Если взять треть числа дней работы второго и прибавить это к ней, также получится число дней работы третьего. Мы записали эти величины в таблице вместе с их проверкой ,[2!’2]:
1 Первый работник Второй Третий
Плата за месяц пять динаров четыре динара три динара
Дни работы 7 31 47 9 27 47 12 3G 47
умножим па пять умножим иа четыре умножим на три
11роверка Каждое из этих произведений разделим па тридцать. 1 Каждое пз этих частных от де- 13 ленвя равно динару и тринадцати 47 сорок седьмым.
Д о с я т ы п п р и м с р. Плата за месяц одному из четырех работников—шесть, второму—пять, третьему— четыре, четвертому—три. Каждый пз них работал неизвестное число дней, вместе тридцать дней. [Мы хотим узнать чис.ю дней работы каждого из них.]
Примем число дней работы первого за вещь. Тогда [число дней работы] второго—вещь и одна пятая вещи, подобно тому, что было в предыдущем примере, [число дней работы] третьего—полторы вещи и [число дней работы] четвертого—две вещи. Сложим эго, получится: пять и семь десятых вещи равны тридцати. Разделим тридцать на пять и семь десятых. Частное от деления есть пять и пятнадцать
278
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
пятьдесят седьмых. Это число дней работы первого. [Число дней работы] остальных запишем в таблице. Вот 101 она па обороте этого листа [293]: |
Первый работник Второй Третий Четвертый
11 ла га за месяц шесть динаров пять четыре динаров динара три динара
6 18 57 7 51 57 10 30 57
Дни работы !5 07
1 i Проверка умножим на шесть умножим на пять умножим на четыре умножим на три
1 Каждое из этих произведений разделим на 3 тридцать. 57 Каждое из этих частных от деления равно динару и трем пятьдесят седьмым, а это и есть плата каждому из них за дни его работы.
О д н н и а д ц а т ы й п р и м е р. Мы хотим разделить десять на две части, так что сумма квадрата одной части с другой частью является квадратом. Примем эту часть за вещь, а другую часть—за две вещи с числом единицей, составляющей с квадратом [вещи] квадрат, так как сумма первого квадрата, т. о. квадрата [вещи], со второй частью, т. е. двумя вещами и единицей, есть квадрат, две вещи в единица и имеется корень этого—вещь п единица. Сложим обо принятые нами [части], будет три вещи и единица, это равно десяти. После отбрасывания от них общей единицы будет: три вещи равны девяти. Разделим девять на три, частное, от деления есть три. Это и есть неизвестная вещь. Это первая часть. Остается другая часть—семь. Это вместе с квадратом трех есть шестнадцать, т. с. квадрат.
Если угодно, примем первую часть за две вещи, а вторую—за двенадцать вещей и числю девять. Тогда вместе с первым квадратом, т. е. четырьмя квадратами, будет
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
279
101 об.
квадрат, корень которого есть две вещп п три. Их сумма есть четырнадцать вещей и девять. Это равно десяти. После отбрасывания общих девяти остается: четырнадцать вещей равны единице. Разделим единицу на четырнадцать. Частное от деления есть половина одной седьмой. Это одна неизвестная вещь. Поэтому то, что мы приняли за первую | часть, т. о. две вещи, ость одна седьмая, а другая вещь есть девять и шесть седьмых. Это вместе с квадратом первой [части] есть девять и сорок три сорок девятых, это квадрат, так как его корень ость три п одпа седьмая. Это и есть то, что мы приняли за две вещи и три [2!>4].
Д в е и а д ц а т ы й при м е р. Мы хотим [найти] такое число, что если прибавить к нему три с половиной или отпять от него три с половиной, то после этого вычитания или прибавления оно будет квадратом. Проще говоря, мы хотим [найти] такое число, что если прибавить к его квадрату семь, сумма также будет квадратом, так как если оно найдено и мы прибавим к ого квадрату три с половиной, мы получим такое число, что если прибавить или отпять от пего три с половиной, после этого прибавления и вычитания оно будет квадратом [29а].
С помощью алгебры и алмукабалы: примем его за вещь, тогда его квадрат есть квадрат [вощи]. Прибавим к пому семь, получится квадрат [вещи] и семь. Противопоставим это квадрату, т.е. квадрату [вещи], двум вещам и единице. Условия этого противопоставления мы привели во втором правиле. После отбрасывания общего останется: шесть равно двум вещам. Разделим шесть па два, получится три, это и есть искомое. Если прибавить к их квадрату три с половиной, получится двенадцать с половиной. Это искомое число, т. о. такое, что если прибавить к пому или отнять от него три с половиной, после этого прибавления и вычитания будет квадрат.
Если мы противопоставим [квадрат п семь] квадрату, четырем вещам и четырем, то после отбрасывания общего останется: три равно четырем вещам. Разделим число на число вещей. Частное есть три четверти. Если прибавить к квадрату этого, т. е. девяти шестнадцатым, указанные семь, получится семь и девять шестнадцатых, это квадрат двух и трех четвертей.
280
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
С помощью известных правил: вычтем некоторый квадрат, меньший числа, которое должно находиться между квадратами [пз этого числа], и разделим половину остатка иа корень этого квадрата, частное есть искомое. Корень меньшего квадрата с корнем этого [вычитаемого] квадрата есть корень большего квадрата. Например, в этой задаче вычтем квадрат, т.е. четыре, из семи, которые должны находиться между квадратами. Останется три. Разделим их Ю2 половину, | т. е. полтора, на корень этого квадрата, т. е. два. Частное есть три четверти. Это корень меньшего квадрата, т.е. искомое. Если мы возведем в квадрат половину числа, которое должно находиться между квадратами, и прибавим к нему одну четверть, и, кроме того, прибавим к сумме или вычтем из нее половину числа, которое должно находиться между квадратами, то то, что получится нлп останется, будет квадратом, как раньше.
Т р и и а д ц а т ы й п р и м е р. Мы хотим двадцать разделить па две части, одна из которых равна квадрату другой.
Примем одну из частей за вещь. Тогда другая часть есть двадцать без вещи, опа равна квадрату. После восполнения будет: двадцать равно квадрату и вощи. Выполним действие по первой задаче из сложных: возьмем квадрат половины числа вещей, т.е. половины, это четверть, прибавим к пей число, т. с. двадцать, будет двадцать с четвертью. Возьмем корень из этого, это четыре с половиной. Вычтем из этого половину числа вещей, т. е. половину. Останется четыре. Это искомое. Запишем цифры действия п пх обозначения в таблице для облегчения следования этому [296].
Число вещей Половила его Квадрат половины числа вещей Число Сумма пх Корень из нее Вычтем пз пего половину числа вещей, останется неизвестная вещь
1 0 0 20 20 4 4
1 1 1 1
2 4 4 2
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
281
Ч с ты р п а дп а т ы й п р и м е р. Плата работнику в месяц девяносто динаров. Оп работал неизвестное число дней и заработал столько, что если вычесть из этого два динара, останется квадрат числа дней его работы. Проще говоря, надо поставить вопрос так: мы хотим [найти] такое число, что если из утроенного этого числа вычесть два, останется квадрат этого числа, так как плата относится к числу дней, как три к единице.
Примем число дней работы за вещь. Тогда плата есть три веши. Вычтем из нее два динара, останется: три вощи без двух динаров. Это равно квадрату. После восполнения об2 будет: три | вещи равны квадрату п двум динарам. Выполним это по второму из сложных. Возьмем половину числа вещей, это полтора. Ее квадрат есть два с четвертью. Вычтем из ное число, г. е. два, останется четверть. Возьмем корень из нее, это половина. Сначала прибавим ее к половине числа вещей, получится два, а в другой раз вычтем се нз половины числа вещей, останется единица. Каждое из них есть неизвестная вещь, т. о. число дней работы. Запишем цифры действия в таблицу для облегчения понимания. Эта [таблица] такова [297]:
Проверка: если работа продолжалась два дня, то плата была шесть динаров, и если вычесть из этого два, останется четыре, это квадрат двух. Если работа продолжалась одни день, то плата была три динара, н если вычесть из этого два, останется единица. Это также квадрат единицы.
Пятнадцатый пример. Мы хотим [найти] такое число, что если из удвоенного этого числа вычесть единицу, затем умножить остаток на три, вычесть из
282
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
произведения два, умножить остаток на четыре и вычесть пз произведения три, то корень пз остатка будет равен двум этим числам и его трети.
Примем это число за вещь и вычтем из результата его удвоения единицу, останется две вощи без единицы. Умножим это па три, получится шесть вещейбез трех. Вычтем из этого два, останется шесть вощен без пяти. Умножим это на четыре, получится двадцать четыре вощи без числа двадцать. Вычтем из этого три, останется двадцать четыре вощи без числа двадцать три. Это равно квадрату двух с третью вещей, т.е. пяти я четырем девятым квадрата. [После восполнения будет: двадцать четыре вещи равны пяти и четырем девя-103 тым квадрата] и | числу двадцать три. Приведем квадраты к одному квадрату и возьмем остальные роды в том же отношении, разделив каждый из ппх на число квадратов. После приведения получится: четыре и двадцать сорок девятых вещей равны квадрату и числу четыре и одиннадцать сорок девятых. Выполним это по второй [задаче] из сложных. Определенно неизвестной покажем в таблице В298]:
Ш с с т и а д ц а т ы й и р и м о р. Мы хотим разделить десять на две части так, что если вычесть пз десяти половину одной из этих частей, останется квадрат другой части. Проще говоря, мы хотим найти такое число, разность квадрата которого с ним равна разности десяти с этим квадратом.
Примем это за вещь и вычтем из десяти. Останется десять [без вещи]. Это результат удвоения одной пз разностей. Половина этого есть пять без половины вещи. Вычтем
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
283
1U3 об.
это пз десяти, останется [число] пять п половила вещи. Это равпо одному квадрату. Выполним это по третьей [задаче] из сложных. Найдем квадрат половины числа вещей, эго четверть. [Вс квадрат] есть одна шестнадцатая. Прибавим это к числу, получится пять и одна шестнадцатая. Возьмем корень из этого, это два с четвертью. Прибавим это к половине числа вещей, т. е. четверти. Получится два с половиной. Это и есть неизвестная вещь, разность квадрата которой с ней равна разности десяти с этим квадратом. Она также является одной из частей десяти, а другая | есть семь с половиной. Если вычесть [из десяти] половину семи с половиной, т. с. три и три четверти, останется шесть с четвертью, а это квадрат двух с половиной. Мы запишем цифры действия в таблице. Она такова [299]:
Число лещей
Полови- Квадрат па его ее
Число
Сумма их
Корень пз нее
Неизвестная вещь
।
О
1
16
О 1 4
О 1 2
5
1
1G
2
1
4
2
1
2
С с м п а д ц а т ы й п р п м с р. Десять [штук] одного из двух товаров стоят динар и пятнадцать [штук| другого стоят динар. Мы хотим на один динар [купить] их поровну.
С помощью известных правил: ищем наименьшее кратное двух количеств, найдем, что это тридцать. Разделил! это на десять, получится три, [разделим] на пятнадцать, получится два. Сложим это, будет пять. Сделаем это знаменателем и отнесем к пому каждое пз частных от деления. Первое будет три пятых, второе—две пятых. Эти величины равны, каждая пз них есть шесть.
Другой способ. Сложим количества, будет двадцать пять. Второе количество относится к сумме, как три пятых к единице. По тридцать девятому правилу возьмем на три
284
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
пятых динара первого количества и на две пятых динара второго количества, получится шесть. Если мы хотим [получить] на пять динаров или па одну пятую динара их поровну, получим сначала их па динар поровну, а затем умножим каждую из частей динара на пять или одну пятую и гак далее.
С помощью алгебры и алмукабалы: примем одну из частей за вещь, а другую—за динар без вещи. Умножим первую на первое количество, а вторую па второе количество, получится из первого десять вещей, это равно второму произведению, т. о. [пятнадцати динарам без пятнадцати вещей. После восполнения получим: двадцать пять вещей равны] пятнадцати динарам. Разделим число на число ве-Ю4 щей, | получится три пятых, это неизвестная вещь. Умножим ее па десять, получится шесть. Остается вторая часть, это две пятых. Умножим это па пятнадцать, получится опять шесть. Это и есть искомое.
Если мы хотим купить четырнадцать [штук] из них за дипар, то имеет место равенство между четырнадцатью и суммой произведений, т. о. пятнадцатью дипарами без пяти вещей. После восполнения и отбрасывания общего будет: пять вещей равны одному динару. Разделим динар па пять. Частное от деления есть одпа пятая динара. Это и есть неизвестная вещь. Умножим ее на десять, получится два. Остается другая часть, т. е. четыре пятых. Умножим это па пятнадцать. Получится двенадцать. Их сумма есть четырнадцать. Это и есть искомое.
С помощью известных правил: разделим разность между большим количеством и искомым, т. с. единицу, па разность между количествами, т. е. пять. Получится одпа пятая динара. Возьмем па нос первого количества, будет два, а на остаток—большего количества, будет двенадцать. Их сумма есть искомое.
Если мы хотим [купить] сорок [штук] за три динара, умножим три па большее количество и возьмем разность между этим и сорока, это пять. Разделим это па разность между количествами, это тоже пять. Получится единица. Возьмем на псе первого количества, получится десять, и па остаток—большего, получится тридцать. Их сумма есть сорок. Это п есть искомое.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
285
104 об.
Восемнадцатый пример. Десять [штук] одного из трех товаров стоит динар, пятнадцать [штук] второго—также динар и тридцать [штук] третьего— также динар. Мы хотим [купить] на один динар их поровну.
С помощью известных правил: ищем наименьшее кратное трех количеств. Находим, что это шестьдесят. Разделим его иа каждое из количеств. Частное от первого деления ость шесть, от второго—четыре, от третьего—два. Разделим каждое из них на их сумму, т. е. двенадцать. Частное от первого деления есть половина, от второго— треть, от третьего—одна шестая. Это и есть части динара. Если взять на первую часть динара первого товара, па вторую—второго и на третью—третьего, получим равные величины—половину десяти, треть пятнадцати ] и одну шестую тридцати. Мы записали правило этого действия в таблице для облегчения его понимания [зм)]:
Первого товара Второго товара Третьего товара
десять за динар * пятнадцать за дипар тридцать за дппар
Мы хотим [купить] па одни дппар пх поровну. Ищем наименьшее кратное каждого пз ппх. Находим, что это шестьдесят. Делим это на каждое пз них. Получается:
тесть четыре два
Сумма пх есть двенадцать. Разделим на это каждое пз частных
половина треть одна шестая
Возьмем на каждую пз пих соответственного товара. Получится:
пять пять пять
286
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
По этому же правилу и в том случае, когда товаров много.
[С помощью алгебры п алмукабалы. ] Проще говоря, вопрос таков: мы хотим разделить динар на три части так, что ес.in умножить первую часть на десять, вторую часть на пятнадцать, а третью—на тридцать, произведения будут равны. Примем первую часть за вещь. Тогда вторая часть является двумя третями вещи, так как произведение первой части па десять равно произведению второй части на пятнадцать л ио семнадцатому правилу первая часть относится ко второй, как пятнадцать к десяти. Это вычисление попятно, ио, проще говоря, это вычисление еще понятнее пз того, что первая цена относится ко второй цене, как второе количество к первому количеству, как [мы видели] раньше в тридцать девятом правиле. Остается третья часть, т. е. динар без вещи и двух третей вещи. Умножим первую [часть] па десять, вторую на пятнадцать, [ в обоих случаях] получится десять вещей. Умножим третью часть па тридцать, по.1 учится тридцать динаров без пятидесяти вешен. Это равно одному из двух первых произведений, т. е. десяти вещам. После восполнения будет: тридцать динаров равны шестидесяти вещам. Разделим число на число вощен, частное от деления есть половина. Это первая из частей динаров. Вторая часть ость две трети ее, т. е. треть. Остается третья часть, это одна шестая.
Если кто-нибудь не может решить [задач], подобных этой задаче, по зная свойств отношений между частями, 1о;> он должен принять | первую часть за вошь, вторую часть за фале I301], а третью—за динар без веши и фалса. При первом умножении получается десять вещей, при втором умножении—пятнадцать фалсов, а при третьем—тридцать динаров без тридцати вещей я тридцати фалсов. Пятнадцать фалсов равны десяти вещам, так как произведения по предположению равны; тридцать фалсов равны двадцати вещам и третье произведение есть тридцать динаров без пятидесяти вещен. Остальное—как раньше. Этот способ удобен для начинающих и неудобен для умелых в этом действии, так как тот, кто действует таким образом, узнает отношение между вещью и фалсом только
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
287
в конце дйствия, а умелые определяют это в начале действия.
Если мы хотим [купить] двадцать из них на дипар, то мы должны разделить динар на три части так, что если умножить первую на десять, вторую на пятнадцать, а третью на тридцать, сумма произведений есть двадцать. Для определения этого имеются три способа по правилу, указанному в приведенном выше примере об украшении. Мы только должны иметь в виду, что мера здесь—как цепа там, и наоборот, и также стоимость [здесь]—как сумма [там], дешевое—как дорогое, и наоборот. Мы привели это для облегчения понимания начинающего.
Первый способ. Вычтем искомое количество, т. е. двадцать, из большего количества, т. е. тридцати, и разделим остаток, т. о. десять, на разность между большим и меньшим [количествами], т. о. двадцать. Получится половина, запомним ее. Затем предположим, что первая часть динара является величиной, меньше]'! запохМпепиой, пусть это две пятых. Отнесем их к меньшему количеству, получится четыре. Вычтем эту стоимость, т. е. две пятых, из динара, останется три пятых, вычтем количество, т. о. четыре, из искомого количества, т. е. двадцати. Останется шестнадцать. Получится задача о двух товарах, один из которых стоит пятнадцать за динар, а другой—тридцать за динар, причем мы хотим, [купить] шестнадцать [штук| этих товаров за три пятых динара.
Поступим так, как мы поступали в предыдущем | при-0,‘ мере.
Второй способ. Возьмем половину суммы двух первых количеств—двенадцати с половиной. Назовем это общим количеством и предположим, что это одно количество. Получилась задача о двух товарах, один из которых стоит двенадцать с половиной за динар, а второй тридцать за динар, причем мы хотим [купить] двадцать [штук] этих товаров па динар.
Поступим так, как мы поступали в предыдущем примере. То, что получится из общего количества, есть половина стоимости. Будем считать ее снова вещью, а третье из этих количеств будем считать динаром без двух вещей, умножим каждое из них на соответственное
288
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
количество, сложим произведения и противопоставим сумме двадцать.
Мы записали результаты [подсчетов] по этим трем способам в этой [таблице] [Su2]:
Результат [подсчетов] по первому способу Результат [подсчетов] по второму способу
первого товара второго товара третьего товара первого товара второго товара третьего товара
1 сумма— двад- цать четыре два четырнадцать сумма— двадцать 2 G 7 4 2 7 12 6 7
сумма— динар 0 6 15 0 2 15 0 7 15 сумма— динар 0 2 7 0 2 7 0 3 7
Тем же правилом, что и раньше, пользуемся, если мы хотим [купить] их на пять динаров или если товаров больше чем три.
Д е в я т и а д ц а т ы й пр и м е р. Пз ста птиц-уток, воробьев и кур—каждая утка стоит четыре динара, каждые пять воробьев—одни дппар, каждая курица—один динар. Мы хотим купить сто [птиц] па сто [динаров]. Так как одпа курица стоит один дппар, цена утки больше ее количества, а количество воробья больше его цепы, между памп должно быть равновесие, а остаток будет числом кур.
С помощью известных правил: если цена и количество каждого нз них не являются целыми, приведем пх к целым, как в той задаче, где каждый пз воробьев стоит одну пятую динара и па динар их пять.
Возьмем разность между ценой уток, т. е. четырьмя, Юб и количеством их, | т. е. единицей, это три. Умножим это на количество воробьев, т. е. пять, получится пятнадцать. Это число воробьев. Затем возьмем разность между
к.иич к \t’ji4>\iктнкЕ
йеной воробьев и пх количеством, это четыре, и умно жим это на количество уток, т. е. единицу, оно не изменится. J)to число уток. Сложим сто с числом воробьев, т. е. пятнадцатью, получится девятнадцать па девятнадцать динаров. Остальное возьмем пз кур. Мы можем также удвоТгть их, утроить и так далее, пока не превзойдет сто, а остаток возьмем пз кур. Получается, как это показано в таблице [303J:
Утки Воробьи Куры
Первый вид число 4 15 81
С'П Ч1МОСТВ 16 3
В горой вид число 8 30 62
стоимость 32 6 62
Третий вид число 12 15 43
СТОИМОСТЬ 48 9 43
Четвертый вид число 16 60 24
стоимость 64 12 24
Пятый вид число 20 75 5
стоимость 80 15 5
Если разности являются кратными пли соизмеримыми, возьмем часть, соответствующую каждой пз лих, и посту-J9 Исторпко-матем. исследования
290
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
ппм так же, как мы поступали с разностью. Пусть всякие три утки стоят семь динаров, всякие девять воробьев стоят два динара, а всякая курица—один. Умножим разность цепы утки и ее количества, т. о. четыре, сначала на количество воробьев, т. е. девять, получится тридцать шесть, это число воробьев, а в другой раз на их цену, т. е. два, получится восемь, это стоимость воробьев. Затем умножим разность между количеством воробьев п их ценой, т. е. семь, сначала па количество уток, т. е. три, получится двадцать один, это число уток, а во второй раз иа цепу уток, т. о. семь, получится сорок девять, это стоимость уток. Остается от ста сорок три, это число кур [304]:
Утки Воробьи Куры
Количество . Цепа . . . Разность . . Число . . . Стоимость . . три семь динаров четыре двадцать одна сорок девять динаров девять два динара семь тридцать шесть восемь динаров одна динар пуль сорок три сорок три динара
10G Если в стоимости имеется дробь и | число уток и во-° ' робьев соизмеримы, возьмем часть, соответствующую нм; как, например, в такой задаче возьмем за число уток семь, а за число воробьев двенадцать, пх сумма есть девятнадцать и стоят они девятнадцать динаров. Остальное возьмем пз числа кур. Также и со всеми кратными семи и двенадцати.
Если же сумма ио сто и мы, например, хотим [купить] сто птиц на двести динаров, то возьмем разность между ценой каждой нз лих и удвоенным количеством п умножим на каждое из других количеств—не па удвоенное, а также па другие цены. Если хотим наоборот, то [поступим] наоборот [305]:
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
291
Утки
Воробьи
Количество
Цепа ...............
Разность между ценой и удвоенным количеством ..............
Число всех их ... .
Стоимости, всего двести динаров ............
1
48
112
16
9
1
2
О 43
86
2
Если мы хотим, чтобы каждая курина была по динару, приведем это после [изложения] действия алгебры и алмукабалы .
С помощью алгебры и алмукабалы: примем число уток за вещь, число воробьев—за число их количества, т. с. девять. Сумма их есть вещь и девять. Стоимость уток—две с третью вещи, а стоимость воробьев—два динара, (''умма их, т. е. две с третью вещп и два динара, равна вещи и девяти, если стоимость равна количеству. После отбрасывания общего остается: вещь с третью равна семи. Разделим это па единицу с третью. Частное от деления есть пять с четвертью. Умножим это па знаменатель По. (учится: число уток—двадцать одпа, а число воробьев—тридцать шесть, т. е. произведение девяти па знаменатель дроби, как раньше с помощью открытых.
07 Если мы хотим, чтобы стоимость птиц была удвоенным их числом пли иным, | а их цепы были бы такие, как раньше, причем одпа курина стоит один динар, а не два, мы, считая, прибавляем к числу уток и воробьев, являющемуся одним из приравниваемых, разность суммы стоимостей птиц и их числа и приравниваем эту сумму другой.
Пример. Мы хотим [купить] сто пятьдесят птиц на двести пятьдесят динаров. Примем число уток за вещь, а число воробьев—затридцатьшесть, что равно их учетверенному количеству, если принять это количество за девять для того, чтобы число птиц не оказалось бы дробным, а было бы равно ста пятидесяти. Стоимость уток есть две с третью вещи, а стоимость воробьев—восемь динаров. Сум-19*
2'32
джт-лииид гинсэдлпн каши
ма их [стоимостей], т. е. две с третью вещи и восемь динаров, равна сумме числа уток и воробьев и ста, т. е. разности между стоимостью и количеством,—это есть вони, и сто тридцать шесть. После восполнения и противопоставления будет: вешь с третью равна ста двадцати восьми. Разделим сто двадцать восемь на единицу с третью. Частное от деления есть девяносто шесть, это число уток. Сумма этого с числом воробьев есть сто тридцать два. От ста пятидесяти остается восемнадцать, это число кур. Запишем эти числа птиц вместе с их стоимостями в таблице. Вот опа [31,(i|.
Утки Воробьи Куры
Число птиц, всего сто пятьдесят ев :;() 18
Стоимости, всего двести пятьдесят динаров 224 8 18
107 об.
Вели птиц больше чем три вида, и имеются такие, цена которых больше их количества, п такие, количество которых больше их цены, т. е. и дорогие и дешевые, а некоторые [продаются] один за одни, то образуем разности между каждой ценой и со количеством, подобранные таким образом, чтобы они были целыми, селя мы хотим [получить ответ в] целых. Затем сложим разности дорогих и умножим сумму сначала на каждое пз количеств дешевых, чтобы получилось число каждого вида дешевых птиц, а во вто рой раз—на каждую пз их пен, чтобы получить стоимость каждого из этих видов. Затем сложим разности дешевых и умножим сумму сначала на каждое из количеств дорогих. [птиц], чтобы получилось число каждого вида дорогих птиц, и во второй раз -на каждую | пз их цеп, чтобы получить пх стоимости, и дополним эти числа числом тех, которые [продаются] один за один, если мы хотим определить число птиц.
П р и м е р. х\1ы хотим [купить] десять видов птиц общим числом триста за триста динаров. Поступим так, как было указано. Мы записали это в таблице с объяснением действия [3,)7|:
КЛЮЧ j, МЧ1<|»МЕ ГН KE
293
Дорогие Дешевые
Объяснение действия
Сумму этих разностей, пять, умножаем па каждое из количеств доpornх птиц н также па цепы
Сумму этих разностей, шестнадцать, умножаем на каждое из количеств дешевых птиц, получатся числа всех их, а затем па каждую из цен, получатся стоимости
Числа, всего триста 16 48 32 89 1 13 10 13 20 2f> зо
Стоимости. всего триста 48 80 48 89 10 э 5 5 5 5
Сложим число птиц, кроме куропаток, будет двести одиннадцать. Вычтем это из трехсот. Останется восемьдесят девять. Это число куропаток. Такова же пх стоимость. Общее число птиц есть триста, и нх общая стоимость тоже триста, это и есть искомое.
Д в а д ц а т ы ii и р и м е р. Из пяти чисел первое вместе со вторым—десять, второе вместе с третьим—пятнадцать, третье вместе с четвертым—восемнадцать, четвер-,о8 тое вместе с пятым—двадцать четыре, | пятое вместо с первым—тридцать.
Предположим, ч то первое число есть вещь. Вычтем это из десяти, останется второе. Вычтем ого из пятнадцати,
294
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
останется третье, запишем это действие в таблице для облегчения его понимания.
Правило его таково [308]:
Вопрос Первое вместе со вторым -десять Второе имеете с третьим—пятнадцать Третье вместе с четвертым—восемнадцать Четвертое имеете с пятым-два-дцатьчетыре Пятое вместе с первым—тридцать
Объяснение действия Предположим, что первое, есть вещь и вычтем ее из десяти, останется второе Второе есть десять без вещи; вычтем это из пятнадцати, остане гея третье Третье есть пять с вещью; вычтем это нз восемнадцати Четвертое есть тринадцать без вещи; вычтем это из двадцати четырех Останется пятое—одиннадцать с вещью
Ия юс вместе с первым—это одиннадцать с двумя вещами; это равно тридцати; после отбрасывания одиннадцати в приравниваемых остается: две вещп равны девятнадцати; разделим это па два; частное от деления есть девять с половиной; это и есть первое число
Ответ
девять е половина чстырпа-половипой дцагь с по-
ловиной
три с по- двадцать ловипоп с половиной
Д в а д ц а т ь но р в ы й и р и м с р. ГТз пяти человек один сказал второму: дай мне четыре пятых того, что у тебя, тогда получится стоимость этого коля; второй сказал третьему: дай мне три пятых того, что у тебя, тогда получится стоимость коня; третий сказал четвертому: дай мне две пятых того, что у тебя; четвертый сказал пятому; дай мне одну пятую того, что у тебя, а пятый сказал первому: дай мне одну шестую того, что у тебя, тогда получит-
ся стоимость коня.
С помощью алгебры и алмукабалы: примем стоимость коня за вещь, а то, что у первого человека,—за единицу, так как эта задача является неопределенной, т. е. неизвестное но охватывается одной величиной, а может быть произвольным числом. Запишем остальное действие в таблице для облегчения его понимания (309]. Люди: Зейд, Амр, об. Бакр, Халид, Валид. |
Зейд
Амр
Требует четыре пятых того, что у Амра, тогда получится стоимость коня
Требует три пятых того, что у Бакра
Предположим, что то, что у Зейда,—единица, и вычтем это из вещи, т. с. стоимости копя. Останется то, что требуется от Амра. Останется, вещь без единицы. Это четыре пятых того, что у Амра. Умножим четверть этого на пять или' прибавим к этому четверть. Получится то, что у Амра
> Амра вещь и четверть вещи без единицы и четверти. Вычтем это из вещи. Останется то, что требуется от Бакра. Это единица с четвертью без четверти вещи. Это три пятых того, что у Бакра. Умножим треть этого па пять или прибавим к этому две трети. Получится то, что у Бакра
Бакр Халид Валид
Требует две пятые того, что у Халида Требует одну пятую того, что у Валида Требует одну шестую того, что у Зейда
У Бакра о 2 0 н 5 1 без 5 g = 12 12 g вещи o' R числа g to У Валида о 26 12 „ 1 без 17 g = 24 24 g
Вычтем это пз нощи. Останется то, что требуется от Халида Вычтем это из вещи. Останется то, что требуется от Валида Вычтем это из вещи. Останется то, что требуется от Зейда
1 й «2 5 g без с 1 12 g В 12 о 5 2 е □ 5 без 13 =г В 24 24 g 13 = й 26 17 =( без 5 1 24 g g 24
'Ото две пятых того. что у Халида Это одна пятая того, что у Валида Это одна шестая того, что у Зейда
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
296
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
Затем умножим эту одну шестую на знаменатель одной шестой. Получится величина того, что у Зейда.
82 „ а 156 6 S без § 6 24 д z 24 Это равно единице. Запишем единицу сначала. После восполнения будет: о 157 82 5 б равно 6 £ 24 24 £
Раздробим целые в дроби. Будет: число 3774 равно 1974 вещам. Разделим число на число вещей. То, что во лучится, это величина стоимости коня, если то, что у Зейда есть единица, как предположено. Если так у Зейда, то искомое число дробное. Нрнмемчисло, полученное при раздроблении, т. о. 3774, за стоимость коня, а число вещей, полученное при раздроблении, т. е. 1974, за величину того, что у Зейда. Так как два приравнивающихся—это одпа величина, измеренная двумя мерами, одна из которых является вещью, а другая -единицей, число, приравнивающееся числу вещей, относится к числу вещей, | как одпа вещь к единице, как мы указали в тридцать девятом правиле. Если найдены стоимость копя и величина того, что у Зейда, находятся и величины того, что у каждогоиз остальных: вычтем то, что у Зейда, из стоимости копя, остаток есть четыре пятых того, что у Амра. Прибавим к этому его четверть, получи гея то, что у Амра. Затем вычтем то, что у Амра, из стоимости копя, остаток есть три пятые того, что у Бакра. Найдем из этого то, что у Бакра, и но этому правилу у других Р,о|:
У Зейда У Амра У Бакра > Халида У Вали са
1974 2250 2540 3085 3445
Мы записали эти величины также цифрами «сияка», так как это удобнее для подобных вычислений и более ясно, чем другие способы. Это таково:
КЛЮЧ К М'ШРМЕТИКЕ
297
У Зейда У Амра У В а к]) а У Халида У Валида
[1974] [22ЙО] [2540] [3085] 1 [3445]
Если люден четыре—Зейд, Амр, Бакр и Халид и кал; дый пз них требует у своего друга то же, что раньше, с той только разницей, что Халид требует от Зейда то, что [раньше] он требовал от Валида, то примем за единицу н за вещь то же, |что раньше], но отбросим то, что было там под именем Валида [3J1]:
о 2 12 _ С 1 без 12 В После восполнения и отбрасывания общего будет: число к к с 12 Ё 17 “ 5 I
5 Зейда 1 У Амра У Бакра X Халида
Прибавим к имуществу четверть его, [так как] четыре пя тых того, что 5 Амра, и имущество образуют стоимость [коня] 1 Прибавим к имуществу две трети его, [так как] три пятых того, что у Бакра, и имущес тво образуют стоимость [коня] Прибавим к имуществу [полтора имущества, так как] две пятых того, что у Халпда, и имущество образуют стоимость [коня] Прибавим к имуществу [четыре имущества, так как] одна пятая того, что у Зейда, п имущество образуют стоимость [коня]
Раздробим эго. Получится стоимость копя fiUl, а то, 109 что у Зейда, — 305. Поэтому остатки п I величины того, 00. •'
что у каждого из друзей, таковы:
У Зейда У Амра У Бакра У Халида |
305 370 385 540
298
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Если людей трое, вычисление такое же [312]:
У Зейда У Амра У Бакра
Прибавим к имуществу четверть его, [так как] четыре пятых того, что у Амра, и имущество образуют стоимость [копя] Прибавим к имуществу две трети его, [так как] три пятых того, что у Бакра, и имущество образуют стоимость [копя] Прибавим к имуществу полтора, [так как] две пятых того, что у Зейда, и имущество образуют стоимость [коня]
С помощью известных правил: начертим столбцы по числу .людей, папишем в каждом столбце имя человека и поместим под каждым именем числитель дроби, которую оп требует от своего друга, и ее знаменатель. Затем умножим числители друг па друга, так что первый числитель умножается на второй, произведение—па третий и так до тех пор, пока не закончится действие, и запишем произведения под знаменателями в другом ряду так, чтобы каждое произведение оказалось под знаменателем, являющимся множителем, т. с. первое произведение—во втором столбце, второе—в третьем и так до последнего произведения этой задачи, [равного] 24. Назовем это первым запомненным. Затем умножим знаменатели друг на друга и запишем произведения в одном ряду вод первыми произведениями, как раньше. Последнее произведение, [равное] 3 750, назовем вторым запомненным.
Так как число людей нечетное, сложим это. Получится 3774. Это стоимость коня, являющаяся целой, вместе с тем, что у каждого из людей, п тем, что каждый требует у своего друга.
Если же число людей четное, найдем разность между последними произведениями, это будет стоимость копя. Начертим другой ряд под вторыми произведениями и за-110 пишем в нем суммы | произведений под четными именами п их разности под нечетными именами. Стоимость копя попадает в пятый столбец, если людей пятеро, в четвертый
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
299
столбец, если людей четверо, в третий,если их трое, и во второй, если их двое [3JS]:
Помер столбца 1 2 3 4 5
Имя Зейд Амр Бакр Халид Валид
Дробь 4 3 2 1 1
5 «) 5 6
Первое произведение 12 24 24 24
Второе произведение 2а 125 (525 3750
Сумма или разность 13 149 G01 3774
Что получится при 0 1 2 13 17
сложении пли 1 5 13
останется при вы- 4 12 24 24
читанни четный почетны й четны й почетный
Частное от деления 82 1 0 3 12
6 1 5 13 17
24 4 12 24 24
i 1974, если было пяте- ро 5 5, если было двое 85, если было трос 305, если было четверо
Затем проведем под этим рядом линию на подходящем расстоянии, запишем под ней значения четных и нечетных столбцов и назовем ее линией знаков. Далее разделим первым знаменатель па числитель дроби, которую требует Зейд от Амра. Получится один с четвертью. Запишем это под вторым столбцом под линией знаков. Вычтем из этого единицу,
300
ДЖГМШПД ГНЯСЭДДИН K4IIIII
так как столбец четный, и заппшем остаток, т. е. четверть, над этим. Затем умножим эту четверть на знаменатель, помещенный в этом столбце. Получится один с четвертью
о Разделим это на его числитель, т . е. три, получится У Запишем гго иод третьим столбцом под линией знаков. Прибавим к этому единицу, так как столбец нечетный, и за-1
нишам су мму под ним. Затем также умножим сумму, т.е. •’>
12
па знамена те. ir>, находящийся в этом столбце. Полу-
чится
Разделим эго на его числитель, получит-
ио об.
3
13
24
с я
п шившем это под четвертым столбцом под линией
знаков. Затем вычтем | из этого единицу и запишем остаток под этим. Затем умножим остаток на знаменатель, па-
12
ходшцпйся в этом столбце. Получится П- Разделим это
лаегочш иггель. Оно не изменится, гак как делитель есть единица. Заппшем это иод пятым столбцом под линией знаков. Прибавим к этому единицу вследствие нечетности п запишем сумму над этим. Умножим ос на знаменатель. находящийся в этом столбце. Получится Разде-24
лям это иаего числитель, это не изменится. Запишем это в первом столбце, где угодно под линией знаков. Затем раздробим то, что записано иод линией знаков, и запишем то, ч го получилось, под ней в другой строке. Эго попадет в то г столбец, в котором находится то. что у Зейда, су ш люден .пятеро: попадет в пятый столбец, если люден четверо: попадет в четвертый столбец в случае троих к в третий столбец в случае двоих.
Мы произвели вычисление также для пяти людей, первый пз которых требует половину у второго, второй—треть у третьего, трети й— четверть у четвертого, четвертый—одну пятую у пятого и пятый—одну шестую у первого. Это таково [3141:
КЛЮЧ К АГ11ФА1 1СТИ1.Е
301
У Зейда У Амра У Бакра У Халида S Валида
Если прибавить к этому имуществу половину второго, получится стоимость [копя] Если прибавит], к этому треть того, что у Бакра, по- лучится стоимость [копя] Если прибавить к этому четверть того, что у Халида, получится стоимость [коня] Если ирп-баппп, к этому одну пятую того, что у Валида, получится стоимость [копя] Еслп при банить к । этому одну шестую то го, что у Зейда,полу чпгея стоимость [коня|
Два д ц а т ь в т о p о Гт и р и м с р. У Зейда тысяча и треть того, что у Амра, у Амра тысяча и четверть того, что у Бакра, у Бакра тысяча без одной шестой того, что нт у Халида, у Халида тысяча | и одна седьмая того, что \ Зейда. Определим это с помощью алгебры и алмукабалы таким образом [315]:
Примем то, что у Зейда, за вещь. Тогда у Халида тысяча и одна I седьмая вещи. Запишем это иод именем Халида, так как то, что у Халида, получится, еслп прибавить к тысяче одну седьмую того, что у Зенда
У Амра
1208 0 s
1 без I Е
3 168 к
Возьмем треть этого. Будет
402 0 =
i без 1 3"
9 504
У Бакра
833 0 s
1 без 1 g
3 42 ~
У Зейда по условию в результате нашего действия будет 1402 0 "g
7 без 1 § 9 504
Это равно вещи, так как мы приняли первое имущество за одну вещь
Прибавим эго к тысяче. Получится то, что у Зейда
Возьмем четверть этого.
Будет
20S 0
1 без 1 §
3 168 к
Прибавим это к тысяче. Получится го, что у Амра
\ Халида тысяча и одна седьмая вещи. Возьмем одну шестую этого, получится при этом
166 0 'е
2 и 1 § '
3 42 .а.
Вычтем это пз тысячи. Получится то, что
у Бакра
302
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
1402 1
После восполнения будет: число 7 равно 1 вещи.
Разделим число па число вещей. После раздробления вещи числитель ее дроби будет 505, так как знаменатель дроби вещи есть 504. Получится 707 000. Разделим это на раздробленную часть вещи и числитель ее дроби, т. с. 505. Частное от деления есть 1400. Это то, что у Зейда. Подсчитаем то, что у остальных [316]:
У Зейда 1400 У Амра 1200 У Бакра 800 У Халида 1200
Возьмем одну седьмую этого. Это 200. Прибавим это к тысяче. Получится то, что у Халида Возьмем треть этого. Это 400. Прибавим это к тысяче;. Получится то, что у Зейда Возьмем четверть этого. Это 200. Прибавим это к тысяче. Получится то, что у Амра Возьмем одну шестую этого. Это 200. Вычтем это из тысячи. Полу- чится то, что у Бакра
oV । Два Д П а т ь трет и й п р и м с р. Вес, каждой ноги коровы является [основанием] куба со веса, а вес со головы равен сумело [весов] ее пог л остальное—удвоенный квадрат [веса] одной ноги. Примем вес коровы за куб. Тогда вес одной ее ноги есть вещь, вес ее головы есть четыре вещи, а остальное—два квадрата. Поэтому сумма восьми вещей и двух квадратов равна кубу. Так как эти три рода относятся так же, как число, вещь и квадрат, заменим вещь числом, два квадрата—двумя вещами, а куб—квадратом. Получится: число восемь и две вещи равны квадрату. Это третья [задача] из сложных. Прибавим квадрат половины числа вещей, т. е. единицу, к числу, получится девять. Возьмем корень из этого, будет три. Прибавим к этому половину числа вещей, получится четыре. Это и есть неиз'всстиая вещь, т. о. вес, одной ноги. Ее куб, т. с. шестьдесят четыре, ость вес коровы. Учетверенный вес ноги, т. е. шестнадцать, равен весу головы. Остается тридцать два, эго удвоенный квадрат [веса] одной ноги.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
303
Двадцать четвертый при м е р. Тело цилиндрической формы является полым и имеет квадратное основание, длина тела равна сумме стороны основания и ее куба. В нем имеется цилиндрическая полость, расположенная по длине, основание полости есть локоть па локоть, а длина короче тела па сторону основания тела. Объем тела—двести сорок три локтя. Мы хотим узнать величину сторон его основания и его длину.
Примем сторону основания за вещь. Тогда основание есть квадрат без единицы, а длина есть куб и вещь. Умножим ото на основание, получится квадрато-куб без веши. Прибавим к этому разность длины полости и длины тола, т. о. одну вещь, останется квадрато-куб. Это равно двумстам сорока трем. Мы пришли к задаче, ле приводящейся ни к одной пз шести задач, а подобной упомянутым нами в десятом разделе первой главы этой книги. Поэтому разделим число, т. с. двести сорок три, па число квадрато-кубов, т. с. единицу. Частное совпадаете делимым, так как делитель есть единица. Возьмем основание | квадрато-куба, это три. Это сторона основания тела. Образуем ее куб, это двадцать семь, это со стороной есть тридцать. Это длина тела.
Проверка измерения: умножим сторону оснований, т. е. три, на себя, получится девять. Умножим это па длину, т. е. тридцать, получится двести семьдесят. Это объем с полостью. Вычтем пз пего объем полости, т. с. произведение единицы па единицу и па двадцать семь, равное двадцати семи. Останется двести сорок три, как предположено.
Двадцать пятый при м о р. Голова рыбы есть четыре девятых ее веса, со хвост ость пять оснований ее веса, являющегося квадрато-кубом, а остальное равно восьми ее хвостам.
С помощью алгебры и алмукабалы: примем вес рыбы за квадрато-куб. Тогда се хвост есть пять вещей, голова—четыре девятых квадрато-куба, а остальное—пять девятых квадрато-куба без пяти вещей, равные сорока вещам, так как тело равно сорока основаниям, потому что оно равно восьми хвостам, которые равны пяти основаниям. После восполнения будет: пять девятых квадрато-куба равны сорока пяти вещам. Мы пришли к задаче, упомянутой
'304
ДЖЕЧШПЛ ГНЯСЭДЫГШ каши
в десятом разделе первой главы этой книги. Разделим число вещей на число квадрато-кубов, т. с. умножим его на его знаменатель, получится четыреста пять, и разделим на его числитель, т. е. пять, получится восемьдесят один. Так как разность между степенями родов равна четырем, а это есть число показателя степени квадрато-квадрата, частное от деления но своему показателю степени является квадрато-квадратом. Возьмем его основание, это три. Эго и есть неизвестная вещь, т. е. основание веса рыбы, являющегося квадрате кубом. Поэтому вес рыбы есть двести сорок три. вес ее хвоста есть пятнадцать, вес ее головы—сто восемь. Остается вес тела—сто двадцать, он равен восьми хвостам.
С помощью анализа и синтеза: примем хвост за порцию. Тогда тело рыбы есть восемь порции, а их сумма ость девять порций. Это есть пять девятых веса рыбы. | Раздробим это в пятые, получится сорок пять. Возьмем четыре девятых этого, будет тридцать шесть, это порции головы рыбы, (дожим их, получится восемьдесят одна порция. Это двести сорок три. Поэтому порция есть три.
Второй раздел,
с о д е р ж а щ и й в о с е м ь п р и аг еров о з а в е щ а и и я х Р17]
Их способ таков: мы ищем наименьшее целое число, делающее целыми и то, что завещано, и наследство. Если имущество равно ему, это искомое. Если же имущество больше пли меньше ого, мы делим имущество па него и умпожпм частное от деления на норпип, чтобы получить долю каждого наследника.
Нервы й и р и м с р. 1 Голове к оставил наследство трем сыновьям и завещал одному человеку долю [сына], а другому треть того, что останется от трети имущества после выделения доли.
С помощью алгебры и алмукабалы: примем имущество за вещь и вычтем из ее трети долю первого пз тех, кому завещается, останется треть вещи без доли. Возьмем треть этого для второго пз тех, кому завещается. Будет одна девятая вещи без трети доли. Вычтем то, что завещается,
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
305
из веши, останется восемь девятых вещи без двух третей доли. Это равно трем долям. Это число того, что наследуется. После восполнения будет: восемь девятых вещи равны трем и двум третям доли. Получилась первая [задача] из простых. Мы хотим разделить число па число вещей. Способ этого деления таков же, как раньше при делсппи: раздробим целые в дроби или возьмем два знаменателя и разделим делимое па делитель. Делимое есть три и две трети. Превратим три и две трети доли в девятые; числитель числа вещей будет делителем, это восемь. Разделим делимое на делитель, получится целое с дробью, нуждающиеся в раздроблении. Примем неизвестную вещь, т. с. имущество, за тридцать три, а долю—за восемь, так как число относится к числу вещей, как неизвестная вещь к единице, как мы указали раньше в тридцать девятом правиле [318].
П р о в е р к а. Сели имущество есть тридцать три, его треть ость одиннадцать. Поэтому, если мы примем первое завещанное за восемь, остаток есть три. Второе завещанное есть треть остатка, т. с. единица, сумма двух завещанных | есть девять. Останется от имущества двадцать четыре. Это доли трех сыновой. Поэтому доля каждого из них восемь. Запишем это:
Имущество тридцать три
Завещанное Унаследованное
[девять] двадцать четыре
Зейд Амр сын сып сын
восемь один восемь восемь восемь |
Абу‘ Али Хасан ибн Харис Хубубй Хорезми, да сми-
лостивится над ним аллах, нашел другой способ для решения задач, подобных этой, с помощью которого искомое получается более просто. Это таково: примем имущество за прямоугольник и разделим его па три равные поверхности AC, CD, DB. Рассечем их по ширине липнем GI1FI Если каждая пз поверхностей АН, 111), DI есть доля [сына], то поверхность FB остается от трети после выделения 20 Историко-матем. исследования
.‘Ж
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
доли, так как 1)В есть треть имущества, a DJ — одна доля. Далее, разделим поверхность 673 па три равные части, пусть это будут поверхности GK, KL, L13. Поэтому поверхность FK есть треть того, что остается от трети после выделения доли, а это второе завещанное. Пз малых поверхностей остается восемь, это одпа доля, ЛИ—другая доля, 77//— еще одпа доля, 1)1—первое завещанное и каждая пз них есть восемь, a FI—второе завещанное, это единица. Поэтому все имущество есть тридцать три, как
раньше, так как девять малых поверхностей и три большие, каждая из которых равна восьми и которые поэтому вместе равны двадцати четырем, вместе составляют три дцать три.
Второй пример. Человек оставил наследство трем сыновьям и завещал одному человеку равное доле одного из сыновей без трети того, чю останется от трети после выделения завещанного.
С помощью алгебры it алмукабалы: примем завещанное за вещь. Тогда имущество есть три доли и вещь, т. е. треть его есть до 1я и треть вещи. Вычтем из этого завещанное, т. е. вещь. Останется доля без двух третей вещи. Возьмем треть этого. Будет треть доли без двух девятых вещп. Вычтя это из доли, получим завещанное. Вычтем это из доли. Останется: две трети доли и две девятые вещи равны вещи. После отбрасывания двух девятых веши из приравнивающихся останется: две трети доли равны семи девятым вещи.
Разделим число па число вещей, получится шесть седь-мых | доли. Это неизвестная вещь. Если одпа доля есть семь, то завещанное есть шесть и имущество—двадцать семь. Запишем это так [319]
КЛЮЧ К М’ПФМЕТЛКК
307
11мущес гво [двадцать семь]
Завещанное
шесть
Унаследованное [двадцать один] сын сын сын семь семь семь
Другой способ. Так как завещанное равно доле одного сына без трети того, что останется от трети после выделения унаследованного, оно равно доле без половины того, что останется от трети после выделения доли. Если мы примем имущество за вещь и вычтем пз трети долю, останется треть вещи без доли. Разделим это ионолам, будет одна шестая вещи без половины доли. Поэтому полторы доли без одной вещи есть унаследованное. Вычтем его из вещи. Останется одпа и одна шестая вещи без полутора долей. Это равно трем долям. После воснолнения будет: одпа п одна шестая вещи равны четырем с половиной долям. Разделим число па число вещей. Получится неизвестная вещь—двадцать семь, это имущество, а доля -семь, так как первое -увеличенное число, а второе—увеличенное [число] вещей. Завещанное есть шесть.
По способу Абу‘ Али Хасана ибн Хариса Хубуби примем имущество за прямоугольник, например за поверхность /1/7, и разделим ее на три равные поверхности — поверхности AC, CD, J)B. Разделимое также липиейбУ/Л/.
Затем разделим поверхность GB линией KL на две равные части, поверхность BG превратится в шесть равных малых поверхностей. Отделим линией J/A от поверхности DI поверхность ЛИ, равную одной пз шести малых поверх-20*
ЗОН
1ЖЕ.М1ПИД гиясэдднн к мин
ностой. Если каждая из поверхностей АН, DII, DI—доля, то DN—величина завещанного; вычтем из поверхности DI, являющейся долой, поверхность MI, являющуюся третью поверхности МВ, т. е. того, что остается от трети, т. е. ])В, после выделения завещанного; эта Ml является половиной FB, т. с. того, что остается от трети, т. е. DB, пос-1,4 ле выделения доли, так как семь малых | поверхностей равны доле. Поэтому каждая доля есть семь, а завещанное—шесть, как раньше.
Т р с г и и п р и м е р. Человек оставил наследство сыну и трем дочерям, а также одному человеку—долю своего сына, другому—треть того, что остается от трети после выделения доли сына, и еще одному—долю дочери и треть ее.
Примем имущество за вещь и остальное действие запишем в таблице [320]:
Если каждое из необходимых является целым, то они составляют пять. По второе завещанное равно доли дочери с третью, поэтому эта треть должна быть целой и необходимые составляют пятнадцать, причем доля каждой дочери есть три, а доля сына—тесть 1 Гоэтому первое завещанное есть шесть Чтобы получить второе завещан нос, возьмем треть имущества, т. р. треть вещи, и вычтем нз псе долю [сына], т. е. шесть, останется треть вещи без шести. Далее, возьмем треть этого, будет одна девятая вещи без двух. Это и есть второе завещанное 'Третье завещанное равно доле дочери с третью, т. е. четырем
Сложим необходимое и завещанное. Сумма будет: число двадцать три и одна девятая вещи. Это равно одной вещи. После того как вычтем из обоих приравнивающихся одну девятую вещи, являющуюся общей, получим: число двадцать три равно восьми девятым вещи. Разделим число на число вещей п увеличим вещи, будет восемь, согласно тридцать девятому правилу. Если мы примем имущество
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
309
за двести семь, одна доля необходимо будет восемь. Умножим все на необходимое для дочери, т. е. три, получится, что доля дочери есть двадцать четыре. Поэтому доля сына ость сорок восемь. Запишем все подразделение в таком порядке:
Имущество
Необходимое
Завещанное
сын сорок восемь
дочь двадцать четыре
дочь двадцать четыре
дочь двадцать четыре
Зейд равное доле сына сорок восемь
Бакр равное доле цочерн с третью тридцать два
Амр греть того, что остается от трети имущества после выделения доли сына семь
Это будет законным, если разрешают наследники, так как здесь завещанной больше трети имущества, и, согласно чистому шариату I.3"' I, завещанное законно лишь из Н4 трети имущества; если же оно превосходит эту треть, | 1 ‘ то завещанное незаконно, если нет разрешения наследников.
Если они ие разрешают, надо делить треть имущества пропорционально долям тех, кому завещано, а две трети надо делить между наследниками.
Например, если мы хотим разделить в этой задаче по закону завещанное между наследниками и теми, кому завещано, т. с. так, чтобы завещанное было третью имущества, мы удвоим сумму завещанного, являющуюся восемьюдесятью семью, получится сто семьдесят четыре. Однако доли наследников не будут целыми, так как это ие делится па пять, а оно должно делиться на пять. Умножим это на пять, получится восемьсот семьдесят. Это и будет необходимое. Разделим это между наследниками, а также умножим долю каждого из тех, кому завещано, на пять, получится то, что завещано, причем сумма этого будет третью имущества.
3io
ДЖЕМШИД ГПЯСЭДДШ1 КАШИ
Получится так [322]:
Имущество
Необходимое Завещанное
сын дочь дочь Зейд Амр Бакр
триста сто сто двести тридцать сто
сорок восемь семьдесят четыре дочь сто семьдесят четы ре семь десят четыре сорок пять шестьдесят
Что касается способа Лбу' Али Хасана ибн Хариса
Хубуби, то Mj»i примем имущество за поверхность АВ, раздел им ее па три поверхности /1 С, СТ), СВ, затем рассечем эти поверхности линией EGUВ. Далее, разделим поверхность ЕВ па три части линиями ТК, Li\l\ предположим, что поверхность DF ость доля сына, и будем считать ее первым завешанным, а поверхпосль ПК есть второе завешанное, т. с. треть ТТВ, т. е. того, что остается от трети [имущества] DH после выделения доли [сына] DF. Затем разделим поверхность DG линией-VI так, что поверхность /)Х
будет половиной поверхности DG. Тогда сумма поверхно-
стей Х/Т, ХО, являющаяся суммой доли дочери с се трепло, осп» третье завещанное. Поверхность IC есть доля сына. Оставшаяся поверхность W -две трети доли дочери. Поэтому оставшиеся во семь малых поверхностей равны двум с третью долям дочерей. Если ХО—две трети доли [доче-
ри], разделим восемь | на два с третью. Частное есть три и три седьмых. Поэтому три и три седьмых .малых поверхностей есть доля одной! дочери. Если мы сделаем каждую пз этих поверхностей равной семи, доля одной дочери будет равна двадцати четырем. Поэтому доля сына будет равна сорока восьми, а сумма всего необходимого будет
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
311
равна ста двадцати. Первое завещанное будет равно сорока восьми, второе завещанное—семи, а третье—тридцати двум, как раньше.
Че твер т ы й н р и м е р. Человек оставил наследство родителям, двум сыновьям и двум дочерям и завещал одному человеку равное доле сына, другому — дополнение доли дочери до одной шестой [имущества], еще одному--дополнение доли матери до одной пятом [имущества] и еще одному—треть того, что останется от трети после выделения долей наследников.
Будем считать необходимое целым. Тогда получится для каждой дочери два, для каждого сына четыре, для каждого из родителей три. Примем имущество за вещь. Тогда наследство таково: сложим то, что завещано, в таблице [323]:
I [срвос завещанное, равное доле сына,— четыре Второе завещанное— одна шестая вещи без двух Третье завещанное— одна пятая вещи без трех Что касается четвертого завещанного, то если мы примем имущество за вещь н будем считать все доли целыми, необходимое будет равно восемнадцати. Поэтому сумма всех четырех завещанных есть вещь без восемнадцати. Вычтем это нз трети вещи. Останется восемнадцать без двух частей вещи. Поэтому треть этого есть шесть без двух девятых вещи. Это и есть четвертое завещанное.
Будет: число пять и тринадцать девяностых вещи. При баним к этому восемнадцать. Будет число двадцать три и тринадцать девяностых вещи. Это равно одной вещи. После отбрасывания общего будет: число двадцать три равно семидесяти семи девяностым вещи. Умножим число па знаменатель вещей, получится две тысячи семьдесят. Это наименьшее число, при котором и необходимое, п завещанное являются целыми. Умножим семьдесят семь, т. е. числитель вещей, на восемнадцать, получится тысяча триста восемьдесят шесть, это есть необходимое.
312
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
115 об.
Подразделение здесь таково| :
Имущество—две тысячи семьдесят
наследованное Завещанное'
отец мать первое второе—
умножим три равно отцу равно доле одна шестая
на семьдесят двести три- сына—триста имущества без
семь, получится двести тридцать одни сын умножим четыре па семьдесят семь, получится триста восемь дцать один второй сын триста восемь восемь третье одна пятая имущества без двухсот тридцати одного - ста пятидесяти четырех, т. е. сто девяносто один четвертое треть того, что останется от трети вещи после выделе-
ДОЧЬ дочь сто восемьдс- цня четырех
сто пятьдесят четыре сто пятьдесят четы ре сит три завещанных,— два
Пят ы й п р и м е р. Человек завещал Зейду половину имущества, Амру—треть его, Бакру—четверть его, Халиду—одну пятую его и Валиду—одну шестую его. Наименьшее число, делающее эти дроби целыми, есть шестьдесят. Если возьмем эти дроби от него, получится восемьдесят семь, что больше исходного. Для решения таких примеров надо разделить имущество в этом отношении. Это действие состоит в том, что полагают, что он завещал Зейду тридцать восемьдесят седьмых, Амру—двадцать восемьдесят седьмых, Бакру—пятнадцать восемьдесят седьмых, Халиду—двенадцать восемьдесят седьмых, Валиду—десять восемьдесят седьмых. Пусть теперь имущество разделено незаконно п судья знает величину, взятую каждым из них незаконно, причем от Зенда он берет половину взятого им, от Амра—треть взятого им, от Бакра—четверть взятого им, от Халида—одну пятую взятого им и от Валида—одну шестую взятого им, складывает это и делит между ними поровну. То, что остается у каждого
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
313
после требования судьи, и есть его доля. Мы хотим узнать
!1С величину того, что взял незаконно каждый из них. | Примем то, что требуется судьей, за вещь. Тогда то, что он дал каждому, есть одна пятая вещи. Остальное действие приводим в таблице [324]:
У Зейда после требования судьи остается тридцать без одной пятой вещи. От него [судья берет] половику незаконно взятого, поэтому судья требует от него тридцать без одной пятой вещи У Амра после требования остается двадцать без одной пятой вещи. От него судья берет треть незаконно взятого, поэтому от пего требуется десять без одной десятой вещи У Бакра после требования остается пятнадцать без одной ПЯТОЙ! вещи. Это втрое больше того, что требуется судьей, т. е. это четверть незаконно взятого, поэтому требуемая величина— пять без трети одной пятой вещи У Халида остается двенадцать без одной пятой! вещи. Это вчетверо больше того, что требуется судьей, т. с. это одна пятая незаконно взятого, поэтому требуемая величина—три без половины одной десятой вещи У Валида остается десять без одной пятой вещи. Это впятеро больше того, что требуется судьей, т. е. это одна шестая незаконно взятого, поэтому требуемая величина— два без одной пятой [одной пятой] вещи, т. с. без од- 1 пой двадцать пятой вещи 1
Затем сложим то, что требуется судьей. Будет: пятьдесят без ста тридцати семи трехсотых вещи равны тому, что мы приняли за вещь. После отбрасывания общего будет: пятьдесят равно одной и ста тридцати семи трехсотым вещи. Еслп мы разделим число па число вещей, получится пятьдесят [на триста] четыреста тридцать седьмых. Это и есть неизвестная вещь, т. е. то, что возвращено ими судье. По мы хотим, чтобы величины, полученные при делении, а также взятые незаконно п возвращенные, были целыми. Для этого увеличим оба приравнивающиеся. После увеличения число будет равно пятнадцати тысячам, мы примем его за неизвестную вещь, т. е. за то, что возвращено ими судье. Увеличение вещей есть четыреста тридцать семь. Примем это за одну пз указанных долей. Умножим это на каждое пз чисел долей и на их сумму, т. е. восемьдесят
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
313
после требования судьи, и есть его доля. Мы хотим узнать 116 величину того, что взял незаконно каждый из них. | Примем то, что требуется судьей, за вещь. Тогда то, что он дал каждому, есть одна пятая вещи. Остальное действие приводим в таблице [324]:
У Зейда после требования судьи остается тридцать без одной пятой ветцн. От пего [судья берет] половину незаконно взятого, поэтому судья требует от пего тридцать без одной пятой вещи 1 У Амра после требования остается двадцать без одной пятой вещи. От пего судья берет треть незаконно взятого, поэтому от него требуется десять без одной десятой вещп У Бакра после требования остается пятнадцать без одной пятой вещи. Это втрое больше того, что требуется судьей, т. е. это четверть незаконно взятого, поэтому требуемая величина— пять без трети одной пятой вещи У Халида остается двенадцать без одной пятой Isen[п. Это вчетверо больше того, что требуется судьей, т. е. это одпа пятая незаконно взятого, поэтому требуемая величина—три без половины одной десятой вещи У Валида остается десять без одной пятой вещи. Это впятеро больше того, что требуется судьей, т. е. эго одпа шестая незаконно взятого, поэтому требуемая величина— два без одной пятой [одной пятой] вещп, т. е. без одной двадцать пятой вещи
Затем сложим то, что требуется судьей. Будет: пятьдесят без ста тридцати семи трехсотых вещи равны тому, что мы приняли за вещь. После отбрасывания общего будет: пятьдесят равно одной и ста тридцати семи трехсотым вещи. Если мы разделим число на число вещей, получится пятьдесят [па триста] четыреста тридцать седьмых. Ото в есть неизвестная вещь, т. е. то, что возвращено ими судье. Но мы хотим, чтобы величины, полученные при делении, а также взятые незаконно и возвращенные, были целыми. Для этого увеличим оба приравнивающиеся. После увеличения число будет равно пятнадцати тысячам, мы примем егоза неизвестную вещь, т. е. за то, что возвращено ими судье. Увеличение вещей есть четыреста тридцать семь. Примем это за одну пз указанных долей. Умножим это па каждое из чисел долей и на их сумму, т. е. восемьдесят
314
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
семь. Получится, что имущество ость тридцать восемь тысяч девятнадцать, это наименьшее число, при котором эта задача решается в целых. Подсчет того, что было неза-116 конно взято каждым пз них, —в этой таблице!: об.___________________________________________________
Умножим увеличение вещей, т. е. 437, па число Зейда, т. е. тридцать, [получится] 13110. Эго доля Зейда. Вычтем из псе одну пятую того, что требуется, т. е. 3000, останется 10110. Удвоим это, получится то, что незаконно взято Зейдом: 20220 Умножим увеличение вещей па двадцать. Получится доля 8740 Вычтем пз нес 3000, останется 5740 Прибавим к этому половину этого, т. е. 2870. Получится то,что незаконно взято Амром : 8610 Умножим увеличение вещей на пятнадцать, получится доля 0555 Вычтем из нее 3000, останется 3555 Прибавим к этому треть этого, т. с. 1185. Получится то, что незаконно взято Бакром: 4740 Умножим это на двенадцать. Получится доля 5244 Вычтем из нес 3000, останется 2244 Прибавим к этому четверть этого, т. с. 561. Получится то, что незаконно взято Халидом: 2805 Умпожпм это на десять. Получится доля 4370 Вычтем из нее 3000, останется 1370 Прибавим к этому одну пятую этого, т. е. 274. Получится то, что незаконно взято Валидом: 1644
Имущество [38019]
Зейд неза- Амр неза- Бакр неза- Халид неза- Валид неза-
кошю взял КОШ 10 взял конно взял конно взял конно взял
20220 8610 4740 2805 1644
У него У него У него У пего У него
судья взял судья взял судья взял судья взял судья взял
половину треть четверть одну пятую одну шестую
этого, т. с. этого, т. о. этого, т. е. этого, т. с. этого, т. е.
10110 2870 1185 561 274
Его имуще- Его имуще- Его имуще- Его имуще- Его имуще-
ство после ство после ство после ство после ство после
прибавления прибавления прибавления прибавления прибавления
указанной указанной указанной указанной указанной
одной пятой одной пятой одной пятой одной пятой одной пятой
13110 8740 6555 5244 4370
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
315
Ш е с т о й п р и м е р. Человек оставил наследство трем сыновьям и завещал одному человеку корень доли одного из них. 13 таких примерах не следует брать число, делающее целыми доли наследников, и делить имущество на него, так как корень не относится к его квадрату, как другой корень к его квадрату, и также два числа не отио-И7 сятся, как пх квадраты, как мы говорили | раньше, в сорок третьем правиле. Следует, чтобы величина имущества была известна, а затем принять долю наследника за квадрат, а завещанное—за вещь. Тогда три квадрата и вещь равны имуществу. После приведения будет: один квадрат и треть вещи равны трети имущества. Это—задача, являющаяся первой из сложных. Возведем в квадрат половину числа вещей, прибавил! ее к трети имущества, возьмем корень из этого и вычтем пз нее половину числа вещей. 'Го, что останется, это завещанное, а квадрат его -одна доля наследника [325]. Если, например, имущество есть тысяча двести двадцать, то завещанное есть двадцать, а каждая из долей есть четыреста, т. с. квадрат завещанного. Здесь пет необходимости делить в отношении, как раньше.
С о д ъ м о й и р и м е р. Человек оставил наследство трем сыновьям и завещал одному человеку их долю, а другому корень того, что остается нз трети [имущества] после выделения доли. Необходимо, чтобы имущество было известно, как в предыдущем примере. Пусть оно есть тысяча динаров. Примем второе завещанное за вещь. Тогда то, что останется от трети после выделения доли, есть квадрат. Вычтем это пз трети имущества, т. е. трехсот тридцати трех динаров и трети динара. Останется триста тридцать три динара и треть динара без квадрата, это одна доля. Поэтому сумма двух завещанных и трех долей, т. с. тысяча триста тридцать три динара и треть динара и вещь без четырех квадратов, равна тысяче динаров. После восполнения и противопоставления будет: триста тридцать три динара и треть динара и вещь равны четырем квадратам. После приведения будет: восемьдесят три динара и треть динара и четверть вещи равны одному квадрату. Это третья [задача] из сложных. Возьмем квадрат половины числа вещей, это одна шестьдесят четвертая, и прибавим ее к числу. Получится восемьдесят три и шестьдесят
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
315
Ш е с т о й и р и м с р. Человек оставил наследство трем сыновьям и завещал одному человеку корень доли одного из них. В таких примерах не следует брать число, делающее полыми доли наследников, и делить имущество па него, так как корень нс относится к его квадрату, как другой корень к его квадрату, и также два числа не отно-17 сятся, как их квадраты, как мы говорили | раньше, в сорок третьем правиле. Следует, чтобы величина имущества была известна, а затем принять долю наследника за квад рат, а завещанное—за вещь. Тогда три квадрата и вещь равны имуществу. После приведения будет: один квадрат и треть вещи равны трети имущества. Это—задача, являющаяся первой из сложных. Возведем в квадрат половину числа вешен, прибавим ее к трети имущества, возьмем корень пз этого и вычтем пз нес половину числа вещей. 1о, что останется, это завещанное, а квадрат его - одна доля наследника I3’25]. Если, например, имущество есть тысяча двести двадцать, то завещанное есть двадцать, а каждая пз долей есть четыреста, т. о. квадрат завещанного. Здесь пет необходимости делить в отношении, как раньше.
С о д ь м о й и р и м е р. Человек оставил наследство трем сыновьям и завещал одному человеку их долю, а другому корень того, что остается пз трети [имущества] после выделения доли. Необходимо, чтобы имущество было известно, как в предыдущем примере. Пусть оно есть тысяча динаров. Примем второе завещанное за вещь. Тогда то, что останется от трети после выделения доли, есть квадрат. Вычтем это пз трети имущества, т. е. трехсот тридцати трех динаров и трети динара. Останется триста тридцать три динара и треть динара без квадрата, это одна доля. Поэтому сумма двух завещанных и трех долей, т. е. тысяча триста тридцать три динара и треть динара и вошь без четырех квадратов, равна тысяче динаров. После восполнения и противопоставления будет: триста тридцать три динара и треть динара и вещь равны четырем квадратам. После приведения будет: восемьдесят три динара п треть динара и четверть вещи равны одному квадрату. Это третья [задача] пз сложных. Возьмем квадрат половины числа вещей, это одпа шестьдесят четвертая, и прибавим ее к числу. Получится восемьдесят три и шестьдесят
.316
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
семь сто девяносто вторых. Переведем дроби в десятичные минуты, секунды, терции и кварты. Это будет: восемьдесят об. | три и 3489 десятичных кварт. Возьмем приближенно корень пз этого. Получится девять и 1295 десятичных кварт. Прибавим к этому половину числа вещей, т. е. одну восьмую или 125 десятичных терций. Получится девять я 2545 десятичных кварт. Это величина [второго] завещанного. Вычтем его из тысячи. Останется девятьсот девяносто и 7455 десятичных кварт. Разделим это па четыре, получится двести сорок семь и 6864 десятичные кварты. Это величина одной доли [наследника] [32е].
П р о в е р к а. Вычтем это из трети имущества. Останется восемьдесят пять и 6469 десятичных кварт. Возьмем корень из этого, это девять и 2545 десятичных кварт. Это равно второму завещанному.
Если имущество 792, его треть есть 264, одна доля есть 264 без квадрата. Сумма долей и двух завещанных, т. с. 1056 п вещь без четырех квадратов, равна 792. После восполнения, противопоставления и приведения будет: число 66 и четверть веши равны одному квадрату. Возьмем квадрат половины числа вещей, это одна шестьдесят четвертая. Прибавим это к числу, получится 66 и одпа шестьдесят четвертая. Это рационально по отношению к корню. Возьмем корень пз этого. Это восемь и одна восьмая. При бавим это к половине числа вещей. Получится восемь с четвертью. Это величина второго завещанного. Вычтем это из имущества, т. е. 792. останется 783 и три четверти. Возьмем четверть этого, это 1.95 и 15 64-х. Это одна доля. Если вычесть это из трети имущества, останется только квадрат восьми с четверило.
Третий раздел
с о д е р ж а щ п й в о с е м ь и р и м с р о в I327 ], в к о т о р ы х и с и з в е с т и ы е о и р е д е л я ю т с я
с номо щь го г е о м с т р и ч е с к и х и р а в и л
д л я н р и в .3 с ч е и и я и з у ч а го щ и х п и р и-
у ч е н и я и х кпз у ч с и и го м а т е м а т п к и.
Нерв ы й п р и м о р. Копье стояло в воде отвесно и высовывалось наружу па три локтя. Ветер наклонил его и погрузил в воду таким образом, что его вершина стала
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
317
находиться па поверхности воды, а основание не изменило своего положения. Расстояние между первоначальным местом его появления и местом, ого ,нзчсзновения в воде — пять локтей. Мы хотим узнать длину копья.
И8 Предположим, что поверхность воды ) есть Л13, копье в то время, когда оно стояло, CD, а в то время, когда его вершина достигла поверхности воды, /3D. Тогда то, что находится между местами его появления и исчезновения, ость ЕВ, а та часть, которая в то время, когда оно было отвесно, находилась вне ________________|_____________„
воды, ость СЕ. При сво- ^ть
ем движении копье они-сало дугу СВ, не из-меняя положения своего л/7
основания, т. с. D. По-
этому копье является полови пой диаметра, а ЕВ есть половина хорды [328].
Док а з а тс л ь с т в о. По сорок восьмому правилу и тридцать четвертому предложению третьей [книги] «Начал» мы получаем, что квадрат ЕВ, т. е. того, что находится между местами его появления и исчезновения, равный двадцати пяти, равен поверхности, построенной па СЕ. и па дополнении диаметра. Разделим это па СЕ, т. о. три. частное от деления ость восемь с третью. Прибавим это к С/С, т. е. трем, получится одиннадцать с третью, это величина диаметра круга, дугой которого является СВ. Половина диаметра есть пять и две трети. Это и есть величина CD, т. о. длина копья. С помощью алгебры и ал му-кабалы: примем ED за вещь. Это часть копья, находящаяся в воде в том случае, когда оно отвесно. Ее квадрат это квадрат [вещи]. Квадрат ЕВ есть двадцать пять. Пх сумма, т. с. квадрат [вещи] и двадцать пять, равна квадрату BD по сорок шестому правилу и сорок седьмому предложению первой [книги] «Начал», называемому «теоремой невесты» [32!Ч; BD, равная CD, т. с. длина копья, есть вещь и три. Квадрат этого есть квадрат, шесть вещей и девять. Это равно сумме двух первых квадратов, и после от-
31«
ДЖ1 МП1ЛД ГНЯСЭД, 1.1111 К A III! I
брасываиия общего шесть вещей равны шестнадцати. Разделим число на число вешен, частное есть два и две трети. Это неизвестная вещь, т. е.7ГЛ. Прибавим к этому три, т. с. Г/Г. Получится пять н две трети. Это и есть длина копья.
В т о р о й и р н аг с р. Часть копья находилась в воде, и часть высовывалась наружу на три локтя; копье было наклонено, не отвесно. Далее ветер наклонил ого до погружения в воду. Тогда расстояние между первоначальным местом его появления и aicctoai его исчезновения—четыре локтя, а расстояние Агежду его первоначальной вершиной 118 и aicctoai его исчезновения—три локтя. Мы хотнаг | узнать °6’ длину копья.
Пусть Л В— поверхность воды, Г/) - копье, ЕВ— наружная часть его, ЕВ— то. что находится между Агентами его появления и исчезновения а ВВ -расстояние между его верши noir в нервом случае и местом его исчезновения. Опустил! из Е перпендикуляр /<Г на /)/>’, а также пз С перпендикуляр (If на нее же. Точка падения этого перпендикуляра попадет на середину прямой D13 по третьему предложению третьей кнпгп «Пачал». По трпиадца-Чтому предложению второй [книги] «Начал» вычтем квадрат ЕВ, т. е. шестнадцать, пз суммы квадратов ЕВ, В.В, т. е. восемнадцати. О ста 11 е т-ся два. Разделим это на удвоенную В.В, т. е. Шесть. Частное от деления есть треть локтя, это линия ВС. Так как DG относится к DE.
С как 1)И к ВС, в силу подобия треугольников ВСЕ, ВИС, а ВС—треть .локтя, BE— три локтя, т. с. ВС относится к BE, как одпа девятая [к единице], то ВИ относится к ВС так же. По ВИ есть половина ВВ, т. е. полтора локтя, поэтому ВС есть тринадцать с половиной локтей. Это и есть длина копья [33!)].
J110’1 К A Р11ФМETUKE 319
T p e т и ii u p и м с p. Если угол наклона копья над поверхностью воды есть половина прямого угла, ia часть его, которая высовывается пз воды,—три локтя, а то, что находится между местами его появления и исчезновения,— четыре локтя, мы возьмем предыдущую фигуру и опустим из точки D перпендикуляр DF па ЛВ. Тогда угол DEB— половина прямого, синус угла DEF—42 25 35, это величина DF, считая DE за шестьдесят; считая же ее за три локтя, 7)есть 2 716 45 терций, это локти. ЕЕ равна её. Оставшаяся FB есть 1 52 43 15. Квадратов есть 3 31452 49,
квадрат DF—4 30 1 2 49, сумма их — 8146 5 38 кварт. Корень пз этого—2 50 1 секунд, это линия DB. Поэтому синус угла BDF есть 39 46 48. Его дуга есть 41 31 44. Поэтому угол EDB—86 31 44, т. с. острый. Знай, что такой наклон необходим, так как угол DGE прямой. Угол DEG есть 3 28 16, синус его 3 37 18, это прямая DG, считая DЕ за шестьдесят; если же считать ее за три лок-И9 тя, | линия .DG—0 10 53 54, а линия DH, т. е. половина DB, равной 2 50 1, есть 1 25 0 30. Опа относится к DC, как DG к ED. Поэтому DC есть 23 24 1. Что и есть длина копья, где 23 24 1—секунды. Ото и есть искомое [331].
Четвертый пример. Две пальмы стоят отвесно к поверхности горизонта, одпа из пих - двадцать локтей, другая—двадцать пять локтей, а расстояние между ними—шестьдесят локтей. Между ними находится река пли пруд. Па каждой пальме находится по птице. Они увидели в воде рыбу и, полетов по направлению к пей с одинаковой скоростью по прямым линиям, достигли ее одновременно, и прямые лпнпп их полета встретилгсь
320
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШ II
между корнями пальм. Мы хотим [найти] величину того, что пролетает каждая пз них, а также расстояние между их местом встречи, т. е. мостом рыбы, и корнями каждой из пальм.
Пусть АВ—расстояние между корнями пальм, АС— большая пальма, BD—малая, точка Е—место встречи, т. о. место, где находится рыба, величины СЕ и DE это то, что пролетает каждая нз птиц, эти величины равны [332].
Примем ЕВ, т. е. расстояние между точкой встречи и корнем меньшей пальмы, за вещь. Тогда ее квадрат есть квадрат, а квадрат BD, т. с. малой пальмы, ость четыреста. Сумму их, т. е. квадрат и четыреста, запомним. Так как расстояние точки встречи от корня малой пальмы, т. о. Е В, есть вещь, АЕ, т.е. расстояние от корпя большой пальмы, ость шестьдесят локтей без вощи. Ее квадрат, т. е. три тысячи шестьсот локтей, и квадрат без ста двадцати вещей [вместе с квадратом Л С, т. с. большой пальмы, равным шестистам двадцати пяти], равен тому, что мы запомнили. После отбрасывания общего будет: сто двадцать вещей равны трем тысячам восьмистам двадцати пяти локтям. Разделим число иа число вещей. Получится неизвестная вошь. Это тридцать одни локоть и семь восьмых. Это | ЕВ, т. е. расстояние от точки встречи до корня малой пальмы. Поэтому АЕ, т. с. расстояние от места встречи до корня большой пальмы, ость дополнение этого до шестидесяти, т. е. двадцать восемь локтей и одна седьмая.
1016 ‘ 792
Квадрат первого есть 1, а квадрат второго есть 1. 64 64
Сумма первого квадрата и квадрата длины малой пальмы 1416
есть 1- Это равно также сумме второго квадрата и дли-64
КЛЮЧ К \ГИФМЕТИКЕ
321
ны большой пальмы. Это квадрат того, что пролетела каждая из них. Корень из этого есть тридцать семь локтей н приблизительно тринадцать сотых.
П я т ы й пример. Имеется треугольник, основание которого есть восемнадцать, одна из двух остальных сторон равна половине другой, и высота, опущенная нз угла, стягиваемого основанием, на это основание, равна двум. Мы хотим узнать величину каждой пз двух других сторон.
Пусть треугольник ЛВС [333] и его основание ВС известны, так же как высота AD, а сторона АС есть половина стороны АВ и мы хотим [определить] их величины. Продолжим ВС и возьмем СЕ, равную ВС, продолжим АС и возьмем CG, равную АС, соединим EG, продолжим со и возьмем GH, равную АС, соединим ВП, разделим пополам GE в F л соединим AF. [AF пересечется с СЕ в /.] Так как CG равна АС и СЕ равна ВС, а углы АСВ [и ECG] противоположные и равные, то по шестому [предложению] шестой [книги] «Начал» и четвертому [предложению] ее же [3341 треугольник АВС равен и подобен треугольнику CEG. Поэтому угол АВС равен углу C1G и АВ параллельна ЕН по двадцать седьмому [предложению] первой [киши] «Начал». Так как каждая из [линий]IJG, GF равна AC, I1F равна [АС, линия I/F равна] удвоенной АС, т. с. АВ, и параллельна ей. Поэтому AF, ВИ параллельны и равны по тридцать третьему [предложению] первой [книги] «Начал». Так как AG равна АВ, GF равна АС, а углы ВАС, AGF равны в силу параллельности АВ, IIF, треугольник GAF равен треугольнику АВС. Поэтому ЛЕ равна ВС, т. е. основанию. Треугольники EFI, E1IB подобны в силу параллельности линий FI, ВП. EF есть треть ЕП, поэтому EI есть треть BE и две трети ЕС или СВ, а остаток CI—треть ВС и СЕ. Так как треугольники 120 AGE и EGC равны и подобны ) и ЛС равно 1'Е, угол АСЕ равен углу AFE, AI равна EI, и это две трети оснований. Отнимем квадрат AD, т. е. число четыре, от [квадрата] AI, т. е. двух третей основания, это 144, останется 140. Возьмем корень из этого, это одиннадцать и 832 десятичные терции. Это линия DI. Отнимем из этого CI, т. е. треть основания, это шесть. Останется пять и 832 десятичные 21 Историко-матем. исследования
322
джгьмшид гпясаддии каши
терции. Это линия DC. Квадрат ее—тридцать четыре и 12 224 десятичные сексты. Квадрат, т. е. высота,—четыре.
Сумма этих двух квадратов — тридцать восемь и 12 224 десятичные сексты. Возьмем корень из этого, будет шесть и 1662 десятичные кварты. Это величина стороны АС. Результат се удвоения есть величина АВ. Это и есть искомое.
С помощью алгебры и алмукабалы: примем DC за вещь. Тогда квадрат АС есть квадрат и четыре, а квадрат АВ ость четыре таких, т. о. четыре квадрата и шестнадцать. Остаток BD есть восемнадцать без вещи, квадрат ее ость 324 и квадрат без 36 вещей. Сложим это с квадратом AD, получится 328 и квадрат боз 36 вещей. Это равно четырем квадратам и шестнадцати, и после восполненияппротиво-поставлепия будет: 312 равно трем квадратам и 36 вещам, а после приведения будет 104 равно квадрату и 12 вещам. Возведем в квадрат половину числа вещей, получится 36, прибавим это к числу, получится 140. Возьмем корень из этого, будет, как раньше, одиннадцать и 832 десятичные терции. Вычтем из этого половину числа вещей, останется пять и 832 десятичные терции. Это и есть неизвестная вещь, т. о. DC. Остальное—как раньше.
Ш вето й п р и м е р. Имеется треугольник, основание которого есть шестнадцать, одна пз двух остальных сторон равна утроенной другой, и высота, опущенная пз угла, стягиваемого основанием, на это основание, равна трем. Мы хотим узнать две остальные стороны.
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
323
Пусть треугольник АВС, АС—известное основание, Ц° такая же высота BI, и мы хотим узнать | стороны АВ, ВС. Отношение между ними известно, и пусть величина А В есть утроенная ВС. Продолжим АС до D, так что AD равна утроенной АС, продолжим также ВС до Е, так что BE равна утроенной ВС, и соединим DE. Продолжим ее до G, так что EG равна удвоенной ВС, в соединим AG [335]. Возь-
мем ЕЛ равной ВС и соединим ВЕЛ . Так как углы BCJ и ECD равны, сторона CD—удвоенная сторона АС, а. ЕС—удвоенная сторона ВС, треугольники ЛВС, DEC подобны и поэтому углы ВАС, EDC равны и линии АВ, DE парраллельны. Так как СЕ равна удвоенной ВС и ЕН равна ВС, GJI равна АВ и AG, ВП параллельны. [Поэтому, если точка пересечения липин А1) и BII ость F], треугольники ABF, FHD подобны. Так как CD равна удвоенной АС, то ED равна удвоенной АВ и ушестеренной ЕС, a GD равна увосьмерепной ВС и DH равна упятеренной ВС п пяти восьмым DG. Поэтому н DF равна инти восьмым AD. Так как треугольник BCF подобен треугольнику DF1I и ВС— одна пятая DII, BF есть одпа пятая DF и одпа восьмая AD. Так как AD равна утроенной Л С, т. е. основанию, BF есть три восьмые АС. Так как основание есть шестнадцать, BF есть шесть. Поэюму CF, т. е. разность между CD, т. е. удвоенным основанием, равным двум третям AD, и DF, т. е. пятью восьмыми Л В, есть треть одной восьмой Л В. Это одна восьмая АС, т. с. основания, это треть BF, или два. Если мы вычтем квадрат BE т. с. девять, из квадрата BF, т. е. 36, останется квадрат FJ. это 27. Возьмем корень пз этого, будет пять и 1961 десятичная кварта. Это линия/7/. Отнимем из псе CF, т. о. два, останется три и 1941 десятичная кварта. Возведем это
21*
324
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
в квадрат, получится десять и 21 506 десятичных квинт. Прибавим к этому квадрат BI, получится девятнадцать и 21506 десятичных квинт. Возьмем корень пз этого, 121 будет четыре и 3848 десятичных | кварт. Это есть сторона ВС. Поэтому сторона ЛВ есть тринадцать и '1544 десятичные кварты. Это и од гь искомое.
С е д ь м о й и р и м е р. Мы хотим поместить внутрь треугольника точку таким образом, что если соединить ее с углами треугольника, мы получим три треугольника, один из которых будет половиной второго, а второй—третью третьего. Мы хотим узнать величины этих линий и величины перпендикуляров, опущенных из этой точки на стороны известного треугольника.
Пусть треугольник ЛВС [ззс]. Разделим ВС па три части, так что одна часть есть половина второй, а вторая есть треть третьей; это части CD, DB, ЕВ, причем DE есть удвоенная CD, a ЕВ есть утроенная DE, т. о. ушестеренная CD, а вся/?С есть удевятеренная CD. Далее соединим AD. Тогда треугольник ACD есть половина треугольника ADE, а он есть треть треугольника ЛЕВ, как указано в сорок седьмом правиле и доказано в первом предложении шестой книги «Начал» [337 ]. Затем проведем из точки D линию DG, параллельную стороне ЛС, а из точки Е— [линию] Л7, параллельную ЛВ. Опп пересекутся в точке Е. Это искомая точка. Если мы соединим ЕЛ, ЕС, ЕВ,
получится треугольник ЛЕС, равный треугольнику ЛСВ, как находящийся между параллельными прямыми с рав-
КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
325
121 об.
ними основаниями по тридцать седьмому [предложению] первой [книги] «Начал», и треугольник AFB равен треугольнику ЛЕВ так же, как раньше, и оставшийся треугольник FCB равен треугольнику ADE. Поэтому треугольник AFC есть половина треугольника FCB, а он есть треть треугольника AFB. Это и есть то, что мы искали. Добавим перпендикуляры, опушенные пз точки F па стороны, это перпендикуляры FI, FK, FL.
Пусть АС—десять, АВ—семнадцать и ВС—двадцать о цщ. Тогда площадь этого треугольника—восемьдесят четыре. Возьмем одну девятую этого, будет девять с третью.
| Это площадь треугольника AFC. Разделим это на половину АС, частное от деления есть перпендикуляр FJ, это одни и тринадцать пятнадцатых. Затем разделим результат удвоения указанной девятой па половину стороны ВС, частное от деления есть единица и семь девятых, это величина перпендикуляра FL. Затем разделим две трети площади, т. е. пятьдесят шесть, па половину стороны АВ, частное от деления есть шестнадцать семнадцатых, это перпендикуляр FK.
Другой способ. Опустим нз точки А высоту ПЛ иа СВ. В силу тринадцатого предложения второй [книги] «Начал» вычтем квадрат АВ пз суммы квадратов АС, СВ, останется 252, разделим половину этого па CD, получится, что величина липин CN есть шесть, вычтем ее квадрат пз квадрата АС, останется квадрат AN, [равный] 64, корень из пего—восемь, это ость высота AN. Так как треугольник FDE подобен треугольнику АВС в силу параллельности сторон/'’D, FE сторонам АС, АВ, и DE есть две девятых ВС, FD ость две девятых АС, ЕЕ ость две девятых АВ, то в силу подобия треугольников FDL и ЛСЛГ | перпендикуляр] FL также есть две девятых AV, DL—две девятых CN. Поэтому FL—единица п семь девятых, a DL—единица с третью. Сумма CL есть три и две трети. Квадрат этого есть тринадцать и четыре девятых, а квадрат FL—три и тринадцать восемьдесят первых. Сумма их—шестнадцать и сорок девять восемьдесят первых. Возьмем корень этого, будет четыре и 0754 десятичные кварты. Это лппия FC. Затем опустим из точки D перпендикуляр DM иа АС и из точки Е перпендикуляр ЕХ па АВ. Тогда треугольник DCM
326
ДЖЕМШИД ГИНСЭДДИН КАШИ
подобен треугольнику АСА, так как у них общий угол С, а углы У1/, N прямые. Поэтому АС относится к AN, как CD к DM, и DM есть единица и тринадцать пятнадцатых, это равно искомой FI. Точно так же АС относится к CN, как DC к СМ, поэтому СМ есть единица и две пятых, a IM, 122 равная FD,—два | и две девятых. Поэтому С1 есть три и двадцать восемь сорок пятых. Остаток AI ость шесть и семнадцать сорок пятых. Поэтому AF, сторона того же треугольника, что и. высота FI, равная DM, есть шесть и 6439 десятичных кварт. Треугольник ВЕХ также подобен треугольнику В ЛА , так как угол В общий, а углы X, N прямые. Поэтому АВ относится к AN, как BE, т. с. четырнадцать, к FX. Поэтому ЕХ есть шесть и десять семнадцатых, а это равно FK, т. е. искомому. Мы нашли величину третьей высоты. Для проверки правильности указанного действия [заметим] также, что АВ относится к BN, т. о. пятнадцати, как отношение BE, т. с. четырнадцати, к ВХ. Поэтому ВХ есть двенадцать и шесть семнадцатых. ХК, равная FE, ость три и семь девятых, ВК есть шестнадцать и двадцать сто тридцать пятых, a FB, сторона того же треугольника, что и [высота] FK, ость семнадцать и 4243 десятичные кварты, подобно тому, как было раньше. Это и есть искомое.
Это последнее из того, что мы хотели изложить в этой книге. Хвала всевышнему аллаху за его блага, благословенно его наилучше му творению Мухаммеду, ого потомкам п друзьям, бывшим чистыми, и ого друзьям, направленным па путь истины.
Оригинал этой книги написан автором, паибессильной-шим из рабов аллаха, Джемшидом ибн Мас’удом, врачом, да улучшит аллах ого судьбу, третьего [числа] первого джумада восемьсот тридцатого года хиджры Мустафы [33sj, |{Т0 совпадает с 24 старого месяца тира 796 года эры Иездегорда [• ’]. Затем благословение аллаха нашему господину Мухаммеду, его потомкам и его чистым друзьям до дня воскресения. Хвала господу аллаху. Окончено в благословенный четверг шестого [числа] второго раби 1204 года
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ [1]
| Хвала аллаху, обладающему знанием отношения диаметра 'к окружности [2], знающему величину всего сложного и простого, творцу земли и неба, создателю света во тьме. Благословение и мир Мухаммеду Мустафе [3], центру круга пророков и окружности, диаметром которой является наставление на путь истины и справедливости, а также ого потомству, добру и ого чистым друзьям.
После [этого]: творение всевышнего аллаха, [надеющееся] па его прощение Джемшид ибн Мас’уд ибн Махмуд, врач из Кашана, по прозванию Гпяс, да улучшит аллах его судьбу, говорит:
Архимед доказал, что окружность превосходит тройной диаметр меньше, чем на одну седьмую диаметра, и больше, чем на десять семьдесят первых диаметра [4]. Разность между этими двумя [дробями] есть одпа четыреста девяносто седьмая. Поэтому в круге, диаметр которого равен четыремстам девяносто седьмым локтя, сустава, бамбука или фарсанга, [5], величина окружности неизвестна и сомнительна в пределах одного локтя, одного сустава бамбука или. одного фарсанга, а в наибольшем круге, находящемся па земном шаре, это неизвестное находится в пределах пяти фарсаигов, так как его диаметр приблизительно равен пяти этим количествам фарсаигов [6]. В небесном же поясе зодиака это неизвестное находится в пределах значительно больших, чем сто тысяч фарсап-гов [7]. Эти величины чрезмерно велики уже для окружностей, а что же будет при измерении площадей! Собственно он [Архихмед] определил периметр вписанного в круг девяиостошостиугольника, меньший окружности этого круга, так как каждая из его сторон меньше дуги, для
328
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
которой опа является хордой, и поэтому сумма всех сторон [многоугольника] меньше окружности круга, [в который вписан многоугольник], а также [Архпмед определил] периметр описанного около круга многоугольника, подобного первому, и в первом предложении первой книги своего сочинения он доказал, что этот периметр больше окружности круга, причем разность между ними [периметрами вписанного и описанного многоугольников] такова, как указано выше [8].
Абу-л-Вафа Вузджанй получил с помощью приближенного вычисления хорду половины одной трехсотшэсти-десятой части окружности в тех частях, в которых диаметр есть сто двадцать, и, умножив это на семьсот двадцать, получил периметр многоугольника, вписанного в круг. Он определил также периметр подобного ому описанного многоугольника и утверждал, что если диаметр ость сто двадцать, то окружность есть 376 с дробью, большей 59 10 59 терций и меньшей 59 23 5412 кварт. Разность между этими величинами есть 12 5512 кварт. Это для наибольшего круга, находящегося на .земле, приблизительно равно тысяче локтей. При этом он ошибочно считал величину хорды половины [360-й] части за 0 3124 55 54 55. Это неверно: правильное [значение] есть 0 3124 56 58 36, как мы покажем ниже.
Абу Рейхан Биру ни получил хорду двух трс хсотшости-десятых частей окружности. Он нашел, что периметр ставосьми десяти угольника, вписанного в круг, есть 6 16 59 10 480, а периметр подобного ому описанного [многоугольника] есть 617 1 5819 6, принял половину их суммы за окружность круга и перешел от знаменателя дроби [вшостидесятернчиых] цифрах к индийским цифрам, приняв диаметр за единицу. Это составляет для круга, равного наибольшему кругу, находящемуся на земле, приблизительно фарсанг. При этом вычислении он ошибочно при ия.ч хорду двух [360-х] частей за 2 5 39 43 36, в то время как должно быть 2 5 39 26 22. Однако в таблице синусов, [помещенной] в его «Каноне Мас’уда», он принял, что синус одной [360-й] части, т. е. половина хорды двух частей, есть 1 2 49 43, что верно, в то время как в удвоенном имеется ошибка.
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
329
Так как эти действия приводят к ошибкам, мы хотим так определить окружность круга в частях, в которых выражен диаметр, чтобы мы были уверены, что в круге, диаметр которого равен шестистам тысячам диаметров земли, разница между ней [полученной величиной окружности] и истинной была по больше волоса, т. с. одной шестой ширины среднего ячменного зерна, так что разность для круга, | меньшего чем этот, была бы еще меньше.
Я составил этот трактат, содержащий это определение, озаглавил его «Т рактат об окружности» и разделил его на десять разделов и заключение. Я умоляю о помощи дорогого п щедрого аллаха, направляющего пас на путь истины [9].
ПЕРВЫЙ РАЗДЕЛ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ХОРДЫ ДУГИ, ЯВЛЯЮЩЕЙСЯ СУММОЙ ДУГИ С ИЗВЕСТНОЙ ХОРДОЙ, II ДУГИ, являющейся ПОЛОВИНОЙ ЕЕ дополнения до полукруга
Я говорю: [прямоугольная] поверхность, [построенная] па сумме диаметра и хорды каждой дуги, меньшей полукруга, и па половине диаметра [10], равна квадрату хорды дуги, равной сумме первой дуги и половины ее дополнения до полукруга. Для доказательства построим па линии АВ полукруг ЛСДс центром Е, проведем произвольную хорду АС, разделим пополам [дугу] ВС, являющуюся дополнением ее [дуги АС] до полукруга, в точке D и соединим AD. Тогда утверждение [гласит]: поверхность ла половине диаметра и сумме АВ с АС равна квадрату АГ).
Доказательство. Соединим BD. Тогда угол ADB прямой по тридцатому предложению третьей [книги] «Начал» [п]. Затем опустим из точки D перпендикуляр D6
330
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
на линию АВ. Получатся треугольники DBG п DAG, подобные треугольнику ADB по восьмому предложению шестой'[книги] «Начал» [12]. Поэтому диаметр АВ относится к АГ), как AD к AG, и по девятнадцатому предложению седьмой [книги] «Пачал» [13] поверхность на диаметре ЛВ и AG равна квадрату AD. Далее опустим из точки Е перпендикуляр ЕН на АС. Тогда точка Я ость середина ЛС но третьему предложению третьей [книги]« Пачал» Р4]. Соединим ED. Так как величина угла ВАС ость половина дуги СВ, а это величина угла BED, эти два угла [ВАС и DEG} равны. Поэтому треугольники АНЕ и EGD равны, так как у них прямые углы И, G, равные углы Е, А и равные стороны АЕ, ED. Поэтому сторона EG равна стороне, ЛЯ, являющейся половиной АС, и поверхность па AG, т. о. сумме половины диаметра и EG, равной половине АС, и па диаметре равна квадрату AD. Так как поверхность па одной липин и на половине другой равна поверхности на половине первой и на целой другой, то поверхность па сумме диаметра л удвоенной EG, т. о. на сумме дпаметра и АС, и на половине диаметра равна квадрату AD. Это то, что мы хотели [доказать] [1Й].
Если АС выражена в тех частях, в которых половина диаметра есть шестьдесят, прибавим к ней диаметр и повысим сумму па [шестидесятеричный] разряд [1С]. Тогда результат будет квадратом AD.
ВТОРОЙ РАЗДЕЛ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ. ПЕРИМЕТРА ПРОИЗВОЛЬНОГО МНОГОУГОЛЬНИКА, ВПИСАННОГО В КРУГ, И ПЕРИМЕТРА ПОДОБНОГО ЕМУ МНОГОУГОЛЬНИКА, ОПИСАННОГО ОКОЛО КРУГА
Построим па линии АВ полукруг ЛСВ с центром Е и предположим, что [дуга] АС—одна шестая окружности. Тогда хорда АС равна половине диаметра по пятнадцатому предложению четвертой [книги] «Начал» [*7]. Затем разделим пополам [дугу] СВ, являющуюся дополнением [дуги] АС до полукруга, в D, [разделим пополам дугу] DB в G, [дугу] GB в 11 и так далее сколько угодно. Как мы указали в предыдущем разделе, благодаря [известной хор-
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
331
де]ЛС, становится известной и [хорда] AD, отсюда стано- -вится известной [хорда] AG, отсюда становится известной [хорда] АП и так далее сколько угодно. Теперь, если мы
2 об.
получили, например, хорду АП и мы хотим определить | хорду ВП, вычтем квадрат АП из квадрата диаметра и останется квадрат хорды ВН, так как угол АПН прямой по тридцатому предложению третьей [книги] «Начал» [18] и, следовательно, квадрат АВ равен квадратам АН, НВ по «теореме невесты» [1У]. Затем разделим пополам дугу ВII в точке F и соеднпнмEF. Эта линия делит пополам хорду ВН в I. Проведем касательную FLk кругу в точке F, восставив в точке F два перпендикуляра FK, FL к EF по обе стороны [от нее], соединим ЕП и продолжим [ее] до L, а также [продолжим] ЕВ до К. Тогда KL будет параллельна ВН и, так же как ВП ость сторона многоугольника, вписанного в круг, KL ость сторона подобного ему многоугольника, описанного около круга. При этом треугольники EKF и ELF равны между собой и подобны равным между собой треугольникам EBI и E11I. Поэтому EI относится к EF, являющейся половиной диаметра, как BI к FK, и таково же отношение ВП к КЕ. Поэтому EI относится к IF, являющейся избытком последующего [члена этой пропорции] над предыдущим, как хорда ВН к избытку KL над ВН, и таково же отношение [суммы] всех сторон многоугольника, вписанного в круг, одной пз сторон которого является ВП, ко всем [вместе взятым] избыткам сторон описанного многоугольника, одной пз сторон которого является KL, над первыми сторонами. [Линия] EI есть половина [липин] АП, так как треуголь
332
Д/КБМПП4Д ГИЯСЭДДИП КАШИ
ники АНВ и EIB подобны в силу того, что углы И, I прямые, угол А при окружности, стягиваемый дугой ВН, равен центральному углу Е, стягиваемому дугой BF, являющейся половиной дуги ВЛ, а ЕВ есть половина АВ. Таким образом, А7 есть половина АН. Поэтому, поскольку EI и ВП станут известны, указанные отношения также бу-дут известны, и как многоугольник, вписанный вкруг, так и многоугольник, описанный около пего, также будут известны. Это то, что мы хотели [получить].
ТРЕТИЙ раздел
О ТОМ, ИА сколько частей нужно разделить ОКРУЖНОСТЬ И ДО КАКОГО [ШЕСТИДЕСЯТИРИЧНОГО] РАЗРЯДА НУЖНО ПРОИЗВОДИТЬ ДЕЙСТВИЕ, ЧТОБЫ ПОЛУЧЕННЫЙ НАМИ ПЕРИМЕТР ОТЛИЧАЛСЯ
ОТ ОКРУЖНОСТИ ДАННОГО КРУГА НА ВЕЛИЧИНУ, НЕ ПРЕВОСХОДЯ 1ЦУ10 ВОЛОСА
Знай, что у круга, диаметр которого в шестьсот тысяч раз больше диаметра земли, окружность также в шестьсот тысяч раз больше окружности земли. В этом круге будет:
Г рад у с тысяча шестьсот шестьдесят шесть п две | трети окружности земли
Минута приблизительно двадцать семь и три четверти того же
Секунда приблизительно три тысячи семьсот четыре фарсанга, если окружность земли [принята за] восемь тысяч фарсаигов
Терпин приблизительно шестьдесят два фарсанга
К ла рта приблизите 1ыю фарсаш и треть одной десятой [фарсанга]
Квинта приблизительно двести шесть локтей
Секста приблизительно три и треть локтя
Септима одпа п треть пальца, т. е. сорок восемь волос
Октава четыре пятых толщины конского волоса и даже еще меньше [20]
ТРАКТАТ ОВ ОКРУЖНОСТИ
333
Так обстоит дело, если окружность есть триста шестьдесят. Если же она есть триста семьдесят семь с дробью [21], то ее октава много меньше четырех пятых толщины волоса.
Поэтому, если мы определим периметры двух многоугольников таким образом, что разность между ними но достигает одной октавы, то, следовательно, разность между ними подавно нс достигает одного волоса и тем более такова разность между каждым пз них и действительном окружностью npyia.
Как ты знаешь, [периметр] внутреннего многоугольника относится к избытку над ним [периметра] внешнего многоугольника, как расстояние от центра круга до середины стороны [внутреннего многоугольника] к его дополнению до половины дпаметра, т. е. расстоянию середины стороны от середины дуги, хорда которой ость сторона. Зто дополнение является стрелой этой дуги [22].
Ты знаешь также, что отношение половины дпаметра к окружности меньше одном шестой па меньшее, чем треть одной седьмой одной шестой [23]. Поэтому нам нужно взять в круге многоугольник со столь большим числом сторон, чтобы отношение стрелы дуги каждой стороны к дополнению стрелы до половицы диаметра было бы меньше отношения одной шестой октавы к единице на треть одной седьмой этой одной шестой пли [еще] больше, т. с. чтобы это отношение было равно восьми попам или меньше [24]. Тогда хорда дополнения дуги каждой стороны будет меньше диаметра па шестнадцать поп, так как указанная хорда равна удвоенному указанному расстоянию [25]. Поэтому разность квадрата диаметра и се квадрата меньше, чем приблизительно учетверепные шестнадцать ион, поднятые па один разряд, т. е. меньше, чем одна септима и четыре октавы. Поэтому корень пз этого, т. е. хорда, [т. о.] каждая из сторон, не превосходит восьми кварт [26].
Если мы будем раздваивать треть окружности двадцать з восемь | раз, получится дуга в пять кварт сорок семь квинт с дробью в тех частях, в которых вся окружность равна тремстам шестидесяти, как ясно из следующей таблицы [27]:
Г 1 00 IC ю *<1 о 24 25 22 23 20 21 н- 5 о ГО ОТ 1-Л. со to о ГО 00 го ГО Js со го *- о число
пять раз поднятые
ОТ ОТ ГО <1 со от четырежды поднятые
СО ОТ ОТ о S ГО СП О 00 14 29 со трижды поднятые
о 00 ОТ ГО г-^ О СП ОТ ОТ го от сл м го от дважды поднятые
го О 00 ^-о со О Си 48 37 го от СО О от го ОТ 1>. СП to ГО СИ ЬО го от >-=• поднятые
от 00 ГО ь-d>* ГО 48 36 отот го от 12 24 ОТ ОТ го от от от от от ОТ ОТ оО ЬО го от 12 24 ОТ (От го от 12 24 го стороны
о ОТ <1 30 15 ГО I о 45 части
О со -.1 й>- ОТ СП сл О N? tOT ОТ С1 о минуты
О от от го От Го ОТ О от >л ГО О секунды
Повторное удвоение числа сторон, начиная т-,
с треугольника Повторное
>— ГО 1СО ГО Д'. to СП СП Д' О J о со О Ю Д' CD CO «J С1 H^to Д' СО О ГО то терпни
30 15 7 3 1 0 30 45 52 26 43 21 10 5 32 46 23 И 5 кварты
30 45 52 56 28 14 18 9 47 23 41 20 10 35 47 квиты
CJU-MCn^W^W^W СО О СО -О Дч О CD СО -О со о*— СО <1 СЛ О сексты
30 45 52 56 28 44 52 26 43 51 25 42 51 септимы
ГО СЛ Д' СО СО а го сл о о о со -д сл о октавы
се го сч сл со О се 00 о Ю о 1 о ПОНЫ
30 15 7 й 1 30 45 децимы
30 45 52 56 28 ундецимы
Си О дуодецимы
о тродецпмы
раздвоение трети окружности
336
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
Несомненно, что хорда этой дуги меньше семи кварт, так как хорда всякой дуги, если окружность есть триста шестьдесят, а диаметр—сто двадцать, ire превышает дугу па треть одной седьмой ее. Поэтому мы впишем в круг такой многоугольник, число сторон которого [равно] восьмистам пяти тысячам тысяч тремстам шести тысячам тремстам шестидесяти восьми [28], его поднятое— 1 2 8 16 12 48.
Так как первый разряд этого числа—пятерные [поднятые], нам нужно найти величину одной стороны таким образом, чтобы пренебрегаемая часть дроби не выходила бы за пределы [единицы] тринадцатого разряда, потому что если мы умножим сторону па это число, пренебрегаемая часть дроби в периметре не выйдет за пределы одной октавы, ибо если умножить пятерное [поднятое] на тредециму, получится октава.
Так как первый разряд величины одном стороны меньше семи кварт и се конец—тредецимы, а если умножить то, что меньше семи кварт, на тродсциму, получится меньшее семи в семнадцатом разряде, то разница [т. е. ошибка] для квадрата этой стороны по должна достигнуть этой величины, так же как для ее дополнения и для того, что получается при понижении на один разряд, и так далее до того, па чем начинается действие Поэтому искомое получится, если мы будем определять хорды способом, указанным нами в двух предыдущих разделах, до тех пор, пока по получим периметр многоугольника, число сторон которого равно 1 2 8 16 12 48, и будем производить действие до восемнадцатого разряда.
ЧЕТВЕРТЬ! 11 РАЗДЕЛ
О ДЕЙСТВИЯХ
Прибавим диаметр, равный 2 0, к стороне шестиугольника, равной 1 0, получится 3 0, повысим это па разряд, получится 3 0 0. Возьмем корень из этого, прибавим к нему 2 0 и поднимем это на разряд, а затем возьмем корень из этого; мы произведем двадцать восемь таких действий.
трактат об Окружности
337
При этом мы будем переходить от одного действия к другому только после повторения ого два три раза н, кроме того, будем гарантировать себя проверкой с помощью мерила действия, умножением корня произведения на себя, также повторяемым два-три раза, и прибавлением остатка действия ко второму произведению, при котором сумма должна быть равна числу, если действие правильно.
Мы производим проверку н гарантирование правили иости для того, чтобы не вкралась ошибка, так как в дальнейшем опа увеличилась бы.
Ввиду большого количества цифр мы ие пользуемся теми цифрами, в которых нет необходимости. Способ пз влечения корпя и возведения корня в квадрат—это то, что мы открыли,- наиболее легки!! способ в этом предмете. В этом разделе мы приводим таблицы этих действий, чтобы они были образцом для вычислителе!! и дорогой для того, кто пожелает убедиться в правильности этого.
Вот эти таблицы [29] [см. стр. 338—345].
22 Историио-матем. исследования
3 I об. I
Первое депствпе. пз которого получаете» хорда трети окружности. т. с. хорда дополнения одной шестой б
31 децима 4 2 унде-
цимы
1 дуодецима
56 трсдс-цим
22 кватуор-децимы
42 нвнн-дсцимы
48 секс-деним
58 септен-
ДС.ЦИ.М 57 окто-децим правильно
43 |
3 3
] |. 3 | 27 | 50 | 4 5 | 56 | 5 5 | 55 | 52 |_
| 3 I 27 | 50 | 45 I 56 I 55 I 55 j__5 2_| 0
3 | 27 | 50~5~l~56 55 | 55 | 52 | ~ О I
44
51
56
31
43 I
3 I 27
| 3 | 27 | 50 | 45 | 56 | 5_5
3 | 27 J"50 | 45 | 56 | 54 I 57
3 | 27 | 50 | 45 I 56 I 27
3 I 27 | 50 | 44 | 58 I
50
22
2
43“
| О I 25
0 44 | 17
0
56
I 3 | 27 I 50
27 | 50 I 45 | 56
3 | 27 | 50 I 45 | 56 | 55 I 55
0
4 3
0“'
27
0 । 01 31
6 0 I 0
0 I 48 19 I
22 I 41 I 34 |
57 I 40 I 8 01 0
40 | 51 I 51 20 | _ 0
20
20 । 32
5 9 I 5 4
I 46 I 53
I 20 | 10
10 9 I 5 4
21 | 16 I 26
55 । 1
39 I 2___________________
3 5 I 4 4 7 I 2 5 I 5 7 I 3 1
. 35 I 4 | 47 I 25 I 57 I 31
| 1 | 30 | 49 I 50 | 25 | 8‘ | 4 |' 56 |
6 I 25
4
55
9
50 | 46
4 5 | 56
56 | 5 5
1 | 28
I 3 | 27 | 50 | 45 | 56 I 55 | 55 | 52
I 27 I 5 0 j 4 5 ] 56 | 55 I 55 | 52 | 1 | 28 | 50
48 I
34 6
2 4
0
0,421
31 I 3U I
22
28 I 55
20 | 9
3 4
5
56 : 15 I 46 I 38
40 | 8 | 20 | 10
0 1 43 I 51 | 2o I 8
6 I 0 I 55 । 20 | 32
18 30 I О I 22 | 54
I 58
30
15
4
25
10 I
21 I 16
17 I 36 56
24 46 24
"40 ‘ 36 । 21
16 18 I 54
7 I 53 12
U I {j7 I 52
о 0 и 18 I 5 4
TtFi 8Т2/ГГ1П . 13 i 57 j 3f“| 54 I 0 1 56 I
0 I 42 I 32 ; 11 15 I 29 I 27 I 39 | 12 | 0 |
01 0 19 | 48 | 23
8 I 0 | 0 | 4 I 4 8 |
25 । f
39 I 5
28
I 56 ] 0
I 0 0
0
1411 41 О I 0 . 22
| 0 I 0 I 0 I 18 | 20
I 5 9~, 5 9 I 43 | 50 16
I 59 I 59 I 43 | 50 । 16
16 I 10“
3 i 16
16 | 0 | 0
3 4 1
_-7 j___________
3 0 0 И к 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n 0 0 0
CO СЛ CO « о <1 to мерило 1 поднятые один раз 1
— tcb= -OS поднятые дважды
О w поднятые один раз 2
to to to S градусы О.»
cccc CO Cc GO IO [минуты] [MI ты]
— — — о — о tS CD s [секунды] 0,3
CD CD ИС co to [терции] [се: ДЫ
to to oo CO >£> >—о to —1 [кварты]
xoo 22 1 43 | CoS <=> о [КВИНТЫ]
‘05 co toco МСЛ co^ co о [сексты] и! о
LOtO 38 1 36 I tOi-* toS co С- [септимы] [KI ты.
to to to^> toco 10 1 36 1 о w LO [октавы] у?
1 25 48 I 32 | 47 1 49 14 ' 36 | 43 | 43 | tO»£> oo^ Ю а [ноны] н С?
СЛО to to COCC £ [децимы]
I c </ 01 11) 1 6? I 09 1 6 V to COCO *•<> 03 CJ 11 27 -• [ундецимы] Я-
Осп to to -qcc- 25 5 1 b-s 6'/ SS s [дуодецимы]
oS ss li-c Sc Sec t-- to to [тредецпмы] ? 2
cl •5>. '—“ co- Cl' to ooS o£ to [кватуор-децимы]
I S 9 1 7,'t i Z4 UJ to to bctc wen Sw Sc oo [к винде цпмы] [01 вы'
CD to c? to cS —J о о c> c~_ । 'Л JI oS co [ескс-децимы] оТ
to £ — ? C->~ “ W -jS ' V 8g 4 9 | 20 1 o. cc «^1 [септен-д.ецимы] соО
a- u1 T~ ~ cc^ co cc 5-q H i;c LO^ JI [октодецимы] ос Д
to
Второе действие, из которого получается хорда дополнения половины одной шестой окружности
□
35
23 |
48 |
2
3 1 51
3 50 | 54
55
4 8
I I | 12 I 11 | 11 I 49 3 I 43 I 4G I 39 36 I 56
| 3 | 51 I 49 I 19 | 54 | 50 I 5 | 22 | 15 52 | 38
| 3 | 51 | 49' | 19 | 54 | 50 | 5 I 22 । 14 56
3 | 51 , 49 I 19 I 54 | 50 | 5 | 22 | 7 I__________
| 3 | 51 | 49 | 19 [ 54 | 50
3 | 51 j 49 |19| 54 50 | 2
3 | 51 I 49 | 19 54
' '4 9 I 18" | 57'
39 I ।
I 31511 49 |
3 | 51 | 49 i 19 |
3 | 51 I 49
3 I 51 | 49 i 19
3 | 51 49 | 19 | 54
19
54
3 | 51 | 49 | 19 I 54 I 50 I 5
51 1 49 | 19 | 54 | 50 | 5 I 22
15
53
3151 , 49 | 19 | 54 50 | 5 I 22
19 54 I 5 0 | 5 i 22 | 15
54 | 50 | 5
I 0 I 22
0
0 I 4 | 20
46 I 3 | 40
14 4 6
2'5
3 8
54 ! 50
50 | 5
15
53
16
I 0 I 55
I 11^
0
0
54
4 9
44
4 4
0 I 57 I 22
39 | 52 | 15
3 5
30
51
6
50 | 25 |48 । 36 1
I 0 0 I 41 u
55 I 1
22 | 30
0
0 I 9
3 I 8
50 I 2
34
L_° I 38 [ 34 7 151 i~20" 6 I 25 | 50
I 6 I 18 I 36
| 54 | 4 I 3 48 I 26 I 39 I 6 1 | 18 I 36 | 57 18 , 16 I 15 I 1 I 54 I 17
37 | 3 I 23 I 45 I 0 I 50
5 0
35
36
12
24
24
53
39
18
18
I 0 I 55 I 47 I 0115
I 0 | 55 I 47 I 0 I 15
0
| 9 I 10
5
48
48
12 i 50 I 45
15 | 12 I 36
8
4 2
36
12
23
0
46
46
28
22 | 15 I 53 I 16 44" 40 10 19 36
2
20
39
48
14
3 6
3
6 I 9
5 | 51
57 I 8
2 I 51
6
15
20
50
4
57
57
38
4 7
33
6
13
42
27 , 57
9 40
48 1 27 1 17
18 I 21 । 15
5 1
36
28
18
20 ’4 8
36
4 2 54
33 I 5 | 50 I 1
3 I 45 I 0 I 28
151 0 I 18 I 0 I 6 | 6 |
16 I 2
25 | 58 |
4 5
9
0 I 21
1 | 40
5 5 1 0
1 I 26
42 I 29
34 I 51
34 1 6
1 I 38
3 113
161 4 I 26 I 2
6 | 32 | 35 I 28
40 I 56 I 28 I 19 ! 48
40 I 56 | 28 | 19 I 48
ТТТ°11с
48 1 6
1 | 54
25 I 0
25 | 0
3 43 55 22 58 27 57 56 8 44 25 31 42 1 56 22 42 48 58 57 0 0
I
1 [мерило] -з - .-г-
СО со [поднятые днажды] ^5=3 1 ‘ о 1 1
СЛ 5 [поднятые один раз]
о [градусы]
g [минуты] [ми ты]
со [секунды]
59 [терцин] [CCI ды]
'— [кварты] <уи-1 59
о [квинты]
5 5 [сексты]
““ сл —1 [септимы] [кв ты]
° сё [( ктавы] Сэ СЛ“£Ч О.
й£. (_Л [попы] [ кв ты]
со С. сл g [децимы] 5?
сс — t? ю [ундецимы]
— - tc г* (О [дуоде-цп мы] О 1
«[ ст оо оо [трсде-цимы] [септимы] 5 9
— с» о> [кватуор-деипмы]
tctc о со о со [кип line ци мы] [он вы]
to се О' се — СО [еекс-децймы] оо V
и 5t< 1О - [сеитеи-деннмы] too
с 5 с in К =- 1— ь [окто-децпмы]
Двадцать седьмое действие, из которого получается хорда дополнения дуги, являющейся одной 3 1 4 8 6 24-й окружности
59 I 5 6
— 1 Р Г 1 [мерило] [поднятые один раз] 1 Двадцать поел.мое действие, из к<
— 1 1 1 1 1 Ml zc [поднятые дважды]
о о [поднятые один раз] tr
— о [градусы]
СТ. [минуты] [минуты] 59
— — от [сенуиды 1
—• — о; [терцин | [секунды] 5 9
?2 [кварты]
— — £ [квинты] - г?
[сексты] о ‘
1 1 ! 1 1 1 ГГПрО 1 2 8
го со от •ь [септимы] 1 [ква- ' рты] 59 1 1
— 1 :! i т 1 s [октавы] го нолуч? 16 12 4;
- [ноны] н 7?
9 i 2 1 О' 28 27 59 00 1С [децимы] ОТ Т 1ется хорда дополнения дуги, hi 8-й окружности
?!| | 1 — 50 ОТ [ундецимы]
1 1 НЫ 1 1 911Ь 1 го го __ СО [дуодецимы] [}К-] 59
2 | 28 IC SM 1 1 С [треде-цп мы] [сенти-мы] 59
— — — Р 1 is 1 с>т Its 1 31 1 19 [кватуор-децц.мы] [КВ1П1- децпмы]
оо [октавы] 5!)
СО 00 [секе-децимы]
41 1 20 59 | 64 со [сентеи-децимы] 0 9 [пион] Л о
с [октодецимы]
О С С СС 00 СО LS
47 [децим] 52 [ундецимы ] 12 [дуодецимы] 30 [тредецимы] 48 [кватуор-дечпм] 37 [квипде-цим] 4 9 [сексде-цим] 54 [септен-децимы] 40 [октоде-цим] правильно 4 9 11 1 3 58 56 и
. 2
4 0
4 0
4 и
4 0
4 0
з 59 59
3 59 I 59 41
3 59 1 59 40 47
з 59 1 59 58 50
3 59 59 59 59 59 59 59 58 59
54
4 9 53 6 6 6
37 4 8 1 1 4 4
36 23 12 12 12 12
Зи 4 7 12 4 9 4 9 4 9 4 9 50
1 1 29 3 0 1 7 17 17 17 17 17
52 1 1 4 8 18 18 18 18 18 18 18
4 7 51 8 2и 20 20 20 20 20 20 20
50 46 19 4 4 4 4 4 4 4 4
49 10 57 57 57 57 57 57 57 57 44
49 49 4 9 49 4 9 49 4 9 49 39 10
1 41 35 4 4 25 1 37 1 5 39 47 9 52
1 41 3 5 4 4 25 1 37 15 39 4 7 9 2
3 59 59 5 6 0 0 1 41 40 37
3 4 1 3 5 19
59 59 23 11 28 50 3 14 31 19 36 4 3 0 0
Вычтем этот квадрат из квадрата диаметра.
Останется квадрат стороны. Он танов:
и 0 0 и 0 0 0 0 0 0 3 6 4 8 31 9 56 4 5 28 40 21 17
34(5
ДЖВМПТИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
17 сб.
| ПЯТЫЙ РАЗДЕЛ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОДНОЙ СТОРОНЫ ВПИСАННОГО В КРУГ МНОГОУГОЛЬНИКА С 1 2 8 16 12 48 СТОРОНАМИ
Квадрат, вычисленный в двадцать восьмом действии, был тако*! [;<0]:
А'варть’ 6 Квинты Сексты 1 Септимы 14 Октавы 59 Нины 3 6 Децимы' !4 | 33 ундецимы 36 дуодецим /9 т| ед спим 25 иватуор-децим правильно
ё о о 31 унде- цимы 1 дуодецимы тредецн- . м ы м кватуор-1 со денимы । кв ч и децимы 1 I'jkhH -Ol.'j.'iaj септеч-децнмы октоде-цпмы 1 1 1
36 36 4 6 9 56 451 4 0 21 17
0 4 8 16
15 12 8 1
3 2 1 31 16 12 /6 4 9
1 2 1 1 3 55 1' 30 1 20 59
7 7 19 16 1 0 29 9 3 6
2 56 4 0 21 34 7 59 24 4 8 51 16
6 6 4 7 4 0 /6 7 | 22 29 8 33 4 4 51
7 7 20 16 1 4 5 49 5 29 3 4 59 53 31 1
3 3 I Р I 5 0 3 5 3 2 3 5 47 22 30
i 1 1 1 1 5 2 47 52
12 12 1 8 8 1 2 1 29 3 0 59
1 1 1 1 1 12 12 8 R 1 9 । 29 29 59 59 12 12 14
ТРАКТАТ ОВ ОКРУЖНОСТИ
18
I ШЕСТО II РАЗДЕЛ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРИМЕТРОВ ВПИСАННОГО В КРУГ II ОПИСАННОГО ОКОЛО НЕГО МНОГОУГОЛЬНИКОВ, КОТОРЫЕ ПОДОБНЫ ДРУГ ДРУГУ II ЧИСЛО СТОРОН КАЖДОГО
ПЗ КОТОРЫХ ЕСТЬ 805 30G 368
Умножим корень, полученный в пятом разделе, являющийся величиной одной стороны, на число сторон указанного многоугольника, поднятое которого есть 1 2 8 16 12 48. Получится периметр вписанного в круг многоугольника в тех частях, в которых диаметр есть сто двадцать [3JJ.
348
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Этот [периметр] меньше окружности круга и, как мы показали по втором разделе, этот периметр относится к избытку между суммой сторон подобного ему описанного многоугольника над этим периметром, как половина корпя того, что получено при двадцать восьмом действии, которая такова:
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
349
Это четыре числа, находящиеся в пропорции, второе пз которых неизвестное. Первый разряд первого числа—поднятое один раз, первый разряд четвертого—попы, поэтому [первый разряд] пх произведения- октавы, а [первый разряд] частного отделения этого па третье—ноны. То, что следует после нон, мы вс используем. Таким образом, мы отбрасываем большинство цифр и говорим, что 6 17 относятся к неизвестному, как шестьдесят к 4 36 децимам. Мы умножаем первое па четвертое и понижаем I на разряд], получается двадцать девять нон. Если мы прибавим это к периметру вписанного мпогоуто. 1ьинка, получится периметр многоугольника, описанного около круга:
превышения и недостатка есть двадцать девять поп, если диаметр—сто двадцать. Поэтому в частях, в которых окруж пость есть триста шестьдесят, эта величина заведомо меньше двадцати девяти пои. Как мы показали в третьем разделе, величина одной октавы окружности круга, дна метр которого равен шестистам тысячам диаметров земли, меньше четырех пятых толщины конского волоса, равного одной шестой ширины среднего ячменного зерна. Поэтому то, что меньше двадцати девяти нон этой окружности, меньше двух пятых толщины волоса. Поэтому' разность между двумя указанными периметрами, один из которых
350 ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
меньше действительной окружности круга, а другой— больше ее, не превосходит двух пятых толщины волоса. Поэтому, если мы прибавим половину разности между [периметрами] обоих многоугольников к меньшему и отнимем со от большего или, лучше, восполним то, что находится в разряде нон у меньшего [периметра!, т. е. [добавим] 14 нон, и отбросим то, что находится в этом разряде у большого, т. о. 45 пои, то получится так [33]:
Величина окружности, если диаметр—сто двадцать
6
поднятые одни раз
части минуты секунды терцин кварты
16 5 9 G8 1
Поэтому разность между этим и том, что есть в действительности, не превосходит одной пятой толщины конского волоса, т. е. одной шестой ширины среднего ячменного зер-18 на. | Это и есть то, что мы хотели доказать.
об- Я выразил это в стихе в следующем двустишьп [34]:
ва йав пат ках а лад на му фа-йадну мухитун хейсу нихфу-я-кутри сипу
6 1G 59 28 1 34 51 46 14 50
— окружность, сети половина диаметра—60. Далее, если мы примем половину диаметра за единицу, то окружность будет выражаться в точности тем же числом, по пониженным [па разряд], т. о. ого поднятые станут частями, части—минутами и так далее до октав, которые станут ионами. В этом случае разность с истинным не превзойдет одной ионы, или, вернее, будет меньше четверти ноны. 13 предыдущих действиях мы принимали половину диаметра за шестьдесят лишь для того, чтобы хорды ие отличались от того, что общепринято и обычно приводится в таблицах. Если же принять половину диаметра за единицу, то цифры [величин хорд] не изменятся, а изменятся только их разряды. Мы привели произведения этого па все шссти-десягоричпыс цифры в таблице, чтобы облегчить определение окружности по диаметру и обратно. Вот эта таблица:
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
351
t •-> Ji£}v >>, >»
'& i?b ’То)' •
LbAj^V^uz^i'Ci/tk СЛ*"Ь /1*>*1*/ А-Х>^гчЯ^Х^*^ ?\л^ _Л*>> V
Лист 18 об. Число 2тс с 10 пк стндссятсрпчпымп знаками, двустишье для его запоминания.
ОТ ОТ О О от to СО *~4 to от to to О' ОТ [о 19 20 00 "1 )—. 1-ь. Н1- 1-Л. 11 . 12l 1 _ X ^7 ст. от ОТ' ряд плела
to to — LI Ст подпятые один раз
4 от от сл сл сс 0s от (ОТ ОТ О О» от С Сл Cs O' от О О' ГС № ^7 от ст 09 9Т/ от от —ь. кратные половины диаметра
ОТ СТ К> 38 55 O' 30 47 се ст 22 39 СЛ от £ 40 57 ОТ _ 32 _J9 от от о ст от ст их минуты
О. О' О' Сл ОТ O- ii JS со со 49 49 Сл О 51 51 53 52 54 53 'о от от от от ст 57 56 от 59 58 их секунды
О от US СТ CO CT 44 12 О' о со 52 20 0^ ст to от о ь*) >> ст от о от tCs О? 20 48 24 52 от от ст от их терцин
45 47 42 44 39 41 36 37 ОТ (ОТ ОТ ОТ от to 23 25 от to от о 8Г а сл К С< СТ -'l СТ О' от их кварты
го гл 41 15 СТ 21 56 ст от to to ОТ ОТ от от 23 58 13 48 ОТ О' ОТ ОТ СТ) О' 61 ’7’7 00 со и>. их квинты
й >— о ст О' СЛ to о сл 00 "1 го Сл СО от Oj- О' СЛ ОТ Ст. О' от 29 21 ОТ О' О' от о от № СС ^7 С( 0s ОТ их сексты
м 48 34 ОТО; Си ^7 -=- 4S 00 СЛ to ст о» О' О- от О' от от ст ст Н-’ О' от ОТ СТ их септимы
10 25 от о- 10 25 41 56 11 26 41 56 от й от 52 27 От от от от 43 58 14 29 СП го 14 29 их октавы
°sj 30 20 о о ст от о о о о о от от 50 40 _ 30 20 о с _ 30 20 ui4' Ч_, ( пх ноны
Таблица кратных отношения окружности к поло
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
353
вине диаметра, если опа принята за единицу
ряд числа поднятые один раз кратные половины диаметра их минуты их секунды их терции их кварты их квинты их сексты их септимы их октавы их ноны
31 3 14 46 43 28 49 0 44 53 39 50
32 J 21 3 42 56 50 35 36 39 54 40
33 I 27 20 42 24 52 10 28 26 9 30
34 | 33 37 41 52 53 45 20 12 24 20
За | 39 54 41 20 55 20 11 58 39 10
36 46 11 40 48 56 55 о 44 54 0
37 52 28 40 16 58 29 55 31 8 50
38 3 58 4э 39 45 0 4 47 17 23 40
39 1 4 5 2 39 13 1 39 39 3 38 30
40 11 19 38 41 3 14 30 49 53 20
41 1 17 36 38 9 4 49 22 36 8 10
42 23 53 37 37 6 24 14 22 23 0
43 30 10 37 5 7 59 6 8 37 50
44 36 27 36 33 9 33 37 54 82 40
45 42 44 36 1 11 8 49 41 30
46 49 1 35 29 12 43 41 27 22 20
47 4: 55 18 34 57 14 18 33 13 37 10
48 о 1 35 34 25 15 53 24 59 52 0
49 7 52 33 53 17 28 16 46 6 50
50 14 9 33 21 19 3 8 32 21 40
51 20 16 32 49 20 38 0 18 36 30
52 26 43 32 17 22 12 52 4 51 20
53 33 0 31 45 23 47 43 51 6 10
54 39 17 31 13 25 22 35 37 21 0
55 45 34 30 41 26 57 27 23 35 50
56 51 51 30 9 28 32 19 9 50 40
57 5 58 8 29 37 30 7 10 56 5 30
58 6 4 25 29 5 31 42 2 42 20 20
59 10 42 28 33 33 16 54 28 35 10
60 6 16 59 28 1 34 51 46 14 50 0
23 Историко-матем. исследования
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
20 1 СЕДЬМОЙ РАЗДЕЛ
О ТОМ, ЧТО ДАЕТ В ПРЕДЫДУЩИХ ДЕЙСТВИЯХ ПРЕНЕБРЕЖЕНИЕ ИЗБЫТОЧНЫМИ II НЕДОСТАТОЧНЫМИ ДРОБЯМИ В ПОСЛЕДНЕМ РАЗРЯДЕ
Знай, что в последнем разряде при этих действиях разница, [т. е. ошибка], но достигает полной единицы этого разряда и не превосходит этого до последнего разряда последнего действия.
В самом деле, в последнем разряде первого действия было пятьдесят семь, и здесь был недостаток на двадцать в следующем, т. с. девятнадцатом разряде, ибо остаток при вычислении был 3 16 27, и если мы разделим это на разность обоих квадратов, т. е. 3 27 50 45, получится 56 40 [S5L Это мы и принимаем, восполняя дробь, за 57. Квадрат при втором действии имеет этот недостаток, т. е. двадцать, ио уже в восемнадцатом разряде. Если вычесть его из остатка второго действия, т. о. 2 56 5, останется 2 55 45. Разделим это на разность обоих квадратов, т. е. 3 51 49, получите я 45 28. а там мы считали, что при делении 2 56 5 па разность обоих квадратов получилось 46, так что у нас имелся недостаток тридцать два в девятнадцатом разряде. По этому же правилу мы находим, что последний разряд третьего действия имеет недостаток шесть в следующем разряде, при четвертом— избыток пятнадцать, при пятом—недостаток двадцать восемь, при шестом—недостаток пятнадцать, при седьмом— избыток двадцать два, при восьмом—недостаток шесть, при девятом—недостаток двадцать четыре, при десятом— избыток восемнадцать, при одиннадцатом—недостаток четыре, при двенадцатом—избыток двенадцать, при тринадцатом—недостаток пять, при четырнадцатом- недостаток шестнадцать, при пятнадцатом—недостаток семнадцать, при шестнадцатом—избыток девять, при семнадцатом— [избыток] шестнадцать, при восемнадцатом—избыток восемь, при девятнадцатом—недостаток три, при двадцатом—недостаток семнадцать, при двадцать первом—недостаток четырнадцать, при двадцать втором—избыток двадцать семь, при двадцать третьем—три, при двадцать четвертом—единица, при ..двадцать пятом—'Восемнадцать,
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
355
при двадцать шестом—пятнадцать, при двадцать седьмом— десять и при двадцать восьмом—двадцать шесть,—все они в девятнадцатом разряде для корня п в восемнадцатом разряде для квадрата следующего действия; последние семь пз этих величин—избытки. Таким образом, квадрат двадцать восьмого действия имеет избыток деся ть, однако, в восемнадцатом разряде. Поэтому последний разряд избытка над пим квадрата диаметра, т. о. семнадцать в семнадцатом разряде, имеет недостаток десять в восемнадцатом разряде, и последний разряд корня из этого, который мы приняли за двадцать пять, имеет недостаток пятьдесят два в пятнадцатом разряде, а последний разряд произведения, т. о. периметра, который мы приняли за сорок шесть в девятом разряде, имеет недостаток пятьдесят четыре в десятом разряде, и поэтому лучше принять для стороны последний разряд за двадцать четыре, а последний разряд для периметра [многоугольника], вписанного в круг, за сорок пять. Здесь производятся восполнение четырнадцати нон и отбрасывание пятнадцати поп.
Я растянул речь об этом для того, чтобы знали, что пренебрежение в этих действиях избыточными и недостаточными дробями в последнем разряде ие приводит к [изменению] одной целой ионы в величине окружности. Мы привели эти величины также в таблице, чтобы переписчики сделали меньше ошибок.
Вот эта таблица:
Таблица того, чем иренебрегастся в последнем разряде действия
действие чем пренс-брсгается избыток и недостаток
1 20 II
2 32 II
3 6 11
4 15 II
5 28 11
6 15 11
23*
356
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
[П Р О Д О Л Ж С U нс]
7 8 22 6 II II
9 10 24 18 11 И
11 12 4 12 И и
13 14 5 16 11 II
15 16 17 9 11 и
: 17 18 16 8 И и
19 20 3 17 II II
21 22 14 27 11 11
23 24 3 1 II 11
25 26 18 15 и и
27 28 10 26 и II
квадрат диаметра 10 II
диаметр 52 II
окружность 1 ы II
ВОСЬМОЙ РАЗДЕЛ
О ПЕРЕВОДЕ ВЕЛИЧИНЫ ОКРУЖНОСТИ В ИНДИЙСКИЕ ЦИФРЫ, ЕСЛИ ПОЛОВИНА ДИАМЕТРА—ЕДИНИЦА
Так как окружность равна шести половинам диаметра 2Р | с дробью, которую мы вычислили до нон, приведем '°' эту дробь к знаменателю десять пять раз повторенных тысяч, так как одпа доля этого знаменателя превосходит одну попу нс более чем на половину децимы [й6]. [Для облегчения действия с этим] мы привели произведения этого на все девять цифр в таблице. Вот эта таблица:
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
357
,ч л ^v₽- ,t-v>c, -LuX'j <v~2J’f;j\y^.'? Уи jU»l*yp'oJ>y-4 vA ^З^'^&^'а-З^Ч^'сО/ч-Улг*^Ъл)v4'? .<\уР'Уу-^
/чдА' O^sT1 ^AjSVs^'a^ yX> eB>
VVaI ruWv; .? кА^'^ЪДуу1' - b Ц^*4 >u 3 *dj*u. \ (Л-А.? pff$ *-'> A >t> >A6-i (&Ч
V 5? uX1 < XX'jJ' Ъ>1 I V I f f
I £ £ $ f M- f I r V £ I Г i? t Г
V (. V V < Ц 1 k. r; I < p
л k A X \ ft v^ у V V ft ft A *ft я 1
1 6 ~\ л V * T I r V ft ft I V r ♦ f
.и^ф jvJCu£^ 1 A A \ ft « 1 \ \ ft V л V ft ft 8 r
к t \ V k V Y k V. A Y \ A t r ft r
tnLj ДдлДЗ'Ч^^ t \ t k ft л ft V t A ft V t X ft i
LA\> i г \ л \ *1 1 \ A X V •> V Y ft ft ft < 1
г V 4 Д V t ‘i X 1 t ft 8 V ft ft e V
8 '/ t л 8 r ~~7 \ X 0 V f r ft ft ft A Л л
8 и t r Д л v V л X л ft ft ft V 8 ft
kr^kjJV 5 yJb л A V \ л V ' V \ Y A ft V ft I*
члб -g V3 4 л*«л^ Vil t/"1 V a0-?4 —"'У>'У>' Д >Ai у Дд>Д_ Ум^л аУ U tJ(ji Ук^<С^Дда “7 С—^aZ, 3 сА> , С^ау С^Л*** “-'- '—Л чЛ A-J >' фл>\, V\\zjk><X^ 1*^ Xi*' o^ijks i/J • ! бчр '-'У 1 Чл*45 Vy lAj-XSy*^ • f У>Ь Az а-?
iA’A>VjJy/5£'^
-ьА^ »лД t-Vj' Crb3\iv^pil
_aToS
<4^_>Vi4.'9bTt 'uVuS
j^-^>»o\V, ,p J t -ам5'(11-'1-^1у‘«^о-^'гУ^'^^»^'чХ3-’^-? lAV^JyJ^i
Лист 20 об. Число 2tz с 17 десятичными знаками, двустишья для его запоминания.
358
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП НАШИ
Таблица кратных отно
целые дро
их десятки кратные половины диамет- ра одиппцы тысяч повторенных пять раз тысяч, повторенных четыре раза тысяч, повторенных три раза
сотни Десятки единицы сотни десятки единицы
пуль шесть два восемь ТТЛ! единица во- семь пять три
0 6 2 8 3 1 8 5 3
1 2 5 6 6 3 7 0 6
1 8 8 4 9 5 5 5 9
2 5 1 3 2 7 4 1 2
3 1 4 1 5 9 2 6 5
3 7 6 9 9 1 1 1 8
4 3 9 8 2 2 9 7 1
5 0 2 6 5 4 8 2 4
5 6 5 4 8 6 6 7 7
6 2 8 3 1 8 5 3 0
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
359
тения окружности к диаметру
би числа
тысяч тысяч тысяч сотни десятки единицы
сотни десятки еди- ницы сотни десятки единицы
нуль семь единица семь девять пять восемь шесть пять
0 7 1 7 9 5 8 6 5 1
1 4 3 5 9 1 7 3 0 2
2 1 5 3 8 7 5 9 5 3
2 8 7 1 8 3 4 6 0 4
3 5 8 9 7 9 3 2 5 5
4 3 0 7 7 5 1 9 0 6
К 0 2 5 7 1 0 5 5 7
5 7 4 3 6 6 9 2 0 8
6 4 6 1 G 2 7 8 5 9
. 7 1 7 9 5 8 б 5 0 10
360
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Знай, что дна, стоящие в последнем [справа] разряде, дробей, находятся в разряде минут но отношению к шести, являющимся целыми, если принять, что десять таких минут составляют целую единицу. Еслп угодно, мы можем назвать этот разряд десятыми. Восемь, стоящие справа от них, находятся в разряде секунд, и мы будем называть пх десятичными секундами. Три за восемью [находятся] в разряде терций, мы будем называть их десятичными терциями и так далее- по правилам исчисления астрономов. При этом мы исходим из простейшего знаменателя, а именно: из единицы [с пулями] Этот метод в счете с помощью индийских цифр открыт нами, так же как его расположение в.таблице.
Мы выразили эти цифры слева направо в стихе в следующем двустишьи [37]:
ва-бахджа хахджи саз а за max хаваху му хиту и ли-ку трин хува’ снани минху
62831 85307179 5'8 6 5
— окружность, еслп диаметр—два и по-псрслдеки:
гиаш в a, do хашт в а се иск хашт в а панд.нс в а се сефра бахафт ва йекра [хаф)т\ ва нох пандж ва хашт еа гиаш пандж аст
Шесть п два, восемь и три, один, восемь и пять и три, пуль с семью и единицей, [семь] и девять, пять и восемь и шесть, пять есть это.
ДЕВЯТЫЙ РАЗДЕЛ
О СПОСОБАХ ДЕЙСТВИЯ С ЭТИМИ ДВУМЯ ТАБЛИЦАМИ
Если величина половины диаметра известна в локтях, фарсангах плп других мерах, запишем это цифрами джу-мала плп индийскими цифрами, в каком из этих двух [видов] мы хотим, и умножим это на отношение окружности
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
361
[к диаметру], для чего войдем в таблицу и начнем с высшего пз ее разрядов. То, что мы'находим, записываем где-либо. Затем переходим к следующему разряду и записываем то, что мы находим, под ним ниже па разряд. Затем [переходим] к следующему [разряду] и записываем то, что мы находим, под ним, также ниже на разряд в так далее, пока не закончим. Далее складываем все вместо и отбрасываем при этом то, что выходит за пределы того, что находится против последнего разряда, взятого сначала, или даже против нескольких последних, если не требуется уточнения или если круг мал.
То, что получится,—это величина окружности в тех частях, в которых известна половина диаметра, причем высший разряд этого повышен па один разряд по отношению к высшему разряду половины диаметра, безразлично, является ли он нулем пли числом, например, если высший разряд половины диаметра—четырежды поднятые, высший разряд произведения—пять раз поднятые, если кварты, высший разряд произведения—терции, если десятки тысяч, [высший разряд произведения]—сотни тысяч, если десятичные терции, [высший разряд произведения]— десятичные секунды. Понижение цифр джумала происходит справа палево, а понижение индийских цифр— слова направо.
П р и ме р. Мы хотим узнать величину окружности круга, половина диаметра которого—шестьсот пятьдесят тысяч восемьсот сорок четыре и одпа восьмая локтя или фарсанга.
Записываем это так:
Цифрами джумала
целые дроби
трижды поднятые дважды поднятые один раз поднятые локти или фар-сангп минуты секунды
3 0 47 24 7 30
ет СОТНИ тысяч целые Ипди некими цифрами
СП десятки тысяч
о тысячи
со сотни
десятки
единицы
десятые дроби
N5 десятичные секунды
сл десятичные терции
произведение, т. с. окружность секунды минуты локти или фарсапги одни раз подпитые] дважды поднятые 1 трижды подпятые Действие с цифрами джумала 1
о -J N5 ii о СО
о О
трижды поднятые со о 00
дважды поднятые Сл 4s о Сл о
один раз поднятые сл N5 СП СП Ст ОО
локти пли фарсапгп о се о 00 no
минуты W Со й W
секунды С5 оо СП ОО <1 СП
терции NO ё Сл сл
кварты СП о о S 00
квинты о о СП
сексты ij NO о о
септимы Сл NJ N5 О с
N5
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
произведение, т. о. окружность | десятичные терции j десятичные секунды 1 десятые 1 единицы | десятки 1 сотни 1 тысячи j десятки тысяч 1 сотни тысяч I 1 Действие, с индийскими цифрами ' 1
1 1 Ils 1 1 1 1 1 1 1 г 10 1 1 1 1 1 1 П hi । 1 1 I 121 8 | ) | | 5 | 0 | 2 | о 1 Is 1 6 | 3 1 7 I 61 9 I 9 I
целые тысячи тысяч
СОТПП ТЫСЯЧ со СО
десятки тысяч
тысячи со
СОТПП СО
десятки Ся | 5 1 2 —
единицы Сч О >—
дроби десятые со сг — СО СП to —
десятичные секунды СО ND to со to сс со
десятичные терции СО Си ОС to ОС ся
десятичные к в а рты фч о СО КЛ. 1-0 со СО
[десятичные квипты] О 1 1 8 trh- СП О
[десятичные сексты] £* СП Nd 1 5 | 7 — 1 8 | 9 -J
[десятичные септимы] н- Си
[десятичные октавы] СП ND о СО to 00 -а СП
[десятичные ноны] о О'. о 00 со о >—
[десятичные децимы] Си -J со 1 6 1 7 I со со
[ д е ся т ичные у и деци мы ] О to ND to о
IIJjOOHJHAdMO 90 JLVJLHVdl
S9£
Еслп угодно, выразим эту дробь, как- две Целые повторенных тысяч и так далее до конца со
это, как две десятые, четыре десятичные палее до конца. Это [требует] крайнюю
тысячи тысяч се Другой вид, так же с индийскими цифрами, при котором палено, каждый
сотни тысяч о W
десятки тысяч со о О
тысячи со cd 4s о СЛ
сотни СО CD I-*. о о №
десятки СЛ — № СП КО
единицы JS 1 1 1 1 CD О СЛ о
десятые тысячи 6 раз го N5 СП о
десятичные секунды тысячи 5 [раз] сотни Лч СО CD 4s № со № № W
[десятичные терции] десятки W JS W оо -J NO ОО СП
[десятичные кварты] единицы tfs се со го 4s -J W о 0s
[десятичные квинты] тысячи 4[раза] сот ни CD О СЛ 4S о
[десятичные сексты] десятки -J СО Сл КО >— ОО СО СП
[десятичные септимы] единицы D —1 NO КО Си -4 CD
[десятичные октавы] тысячи 3 [раза] [сотни] Сл СП -J 4S ОО ьо се о N>
[десятичные ноны] [десятки| JS CD со -J ОС О о CD
[десятичные децимы] [единицы] ас со О -! Сп
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
ТРАКТАТ'ОБ ОКРУЖНОСТИ
365
начинаем действие справа и повышаем разряд за разрядом друг под другом
31 5 1 8 9I 71 9|3| 2| 51 5 десятичные терцин
41 3 1 а 91 1 1 7|3| °| 2 десятичные секунды
1 i 71 9 5 1 81 в | 5 [ 1 десятые
11 8 3 4 | 61 °l 1 1 4 единицы
8I 3 4 6 1 0 1 1 1 1 4 десятки
el 9 2| 0| 1 1 1 8 сотни
°| 0 °| 1 1 1 • 1 0 тысячи
21 5 1 1 1 5 десятки тысяч
°| 1 6 сотни тысяч
9 3 4 5 4 3 1 2 5 произведение, т. е. окружность
[сотни] [десятки] [единицы] [сотни] [десятки] [единицы] сотни десятки 1 единицы Названия разрядов
тысячи тысяч тысячи
I [десятичные ундецимы] [десятичные дуодецимы] [десятичные тредецимы] [десятичные кватуордецимы] [десятичные квии децимы] [десятичные сексдецпмы] [десятичные ссптендешшы] [десятичные октодецимы] [десятичные пондецимы]
Дроби
шесть раз повторенные тысячи, четыреста тридцать четыре пять раз знаменателем десять шесть раз повторенных тысяч. Если угодно, выразим секунды, три десятичные терции, четыре десятичные кварты и так степень времени действия
366 ДЖЕМЙ1ИД ГИЯСЭДДИП КАШИ
| Самое легкое будет, если отбросить несколько последних разрядов п оставить только то, что влияет на ту величину, которую мы не хотим отбросить.Например,если мера—фарсапг и мы хотим в произведении нс отбрасывать пальцы, то, так как палец равен трем четвертям терции •фарсанга, т. е. приблизительно трети десятичной квинты [его], искомое получится, если мы будем учитывать [шести-десятеричные] кварты и десятичные сексты и отбросим то, что за ними.
Если же круг мал, например, половина его дпаметра есть сто двадцать семь [с половиной] локтей, то мы поступаем так:
Получится восемьсот один п одпа десятая локтя, это величина окружности.
Если же известна величина окружности п мы хотим узпагь диаметр, запишем ее и разделим на отношение окружности [к диаметру]. Ищем в таблице наибольшее число, меньшое величины окружности по своим цифрам. Если оно
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
367
найдено и высший разряд в этой строке нуль, то запишем также нуль и в высшем разряде записанной окружности, т. е. справа от всех се цифр джумала пли слева от всех ее индийских цифр, и запишем то, что мы нашли, под этим таким образом, чтобы пули стояли друг против друга, а за ними по порядку и остальные цифры. Затем вычтем одно пз другого и запишем остаток под ними, а также запишем то, что находится па полях таблицы, в строке числа против этого числа па месте, называемом строкой частного.
Эта [цифра] записывается в разряде, следующем за высш UI разрядом окружности, даже если это пуль. Далее ищем [в таблице] наибольшее число, меньшее остатка по своим цифрам, вычитаем одно пз другого и записываем то, что находим на полях [таблицы] против этого числа, следующего за первым, в строке частного, т. е. левое первого в случае цифр джумала и правее его в случае индийских цифр.
Так [поступаем], если число в высшем разряде остатка ниже па один разряд высшего разряда того, что стоит под ним, [безразлично], пуль это или число. Если же понижение больше, чем на один разряд, запишем в местах, следующих за том, что написано в строке частного, нуль плп пули в числе, па единицу меньшем числа понижения высшего разряда остатка по отношению к тому, что стоит над ним.
Под остатком запишем ряд из пулей пли ряды в [числе, равном] указанному числу нулей, так, чтобы высший разряд первого ряда находился в точности против высшего разряда остатка, даже если это пуль, второй [ряд] ниже его на разряд, третий на два разряда итак далее, пока пе будет копчено, чтобы избежать ошибки и облегчить запись, [хотя это и] по необходимо. Мы записываем остаток еще раз под нулями и притом в точности под первыми.
Затем ищем указанным способом наибольшее число и вычитаем его из остатка по указанному правилу и поступаем так до тех пор, пока хотим.
То, что получится в строке частного, и есть искомое. ........
ЗС8
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
Если угодно, \мы запишем цифры строки частного на полях схемы действия против тех чисел, которые мы искали.
II р и м о р. Мы хотим узнать диаметр круга, если локти окружности по величине равны тому числу, которое мы раньше принимали за диаметр. Поступаем так:-
[Строка частного] • Действие с помощью счета джумала
дважды поднятые 28 окружность то, что ищем 3 2 0 47 55 24 45 7 4 30 44
один раз поднятые 46 остаток то, что ищем 4 4 51 49 39 1 2 35 46 29
локти 25 остаток то, что ищем 2 2 37 37 27 4 17 47
минуты 3 остаток то, что ищем 0 0 22 18 30 51
секунды 33 остаток то, что ищем 3 39
Историко-матем. исследования
Строка частного
сотни 1 окружность 0
тысяч то, что ищем 0
десятки тысяч 0 остаток то, что ищем
тысячи 3 остаток то, что ищем
сотни 5 остаток то, что ищем
десятки 8 остаток то, что ищем
единицы 5 остаток то, что ищем
десятые 0 остаток то, что ищем
десятичные 6 остаток
секунды то, что ищем
Индийскими цифрами
6 6 5 2 0 8 8 4 1 4 8 1 5 2 3 5 1
2 0 2 0 5 0 0 5 0 0 9 0 4 0
2 1 2 8 5 8 2 4 5 9 5 5 9 5 4 6
о 6 1 7 4 6 1 0 5 9 8 3
5 О 0 4 2 4 <э 4 5 5
3 3 1 1 7 i 9 1 0 6
3 0 7 О 4 0
1 7 4
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
370
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН КАШИ
2» ] ДЕСЯТЬ! II РАЗДЕЛ
ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ РАЗНОСТИ МЕЖДУ ТЕМ, ЧТО ОБЩЕПРИНЯТО II УПОТРЕБЛЯЕТСЯ ЛЮДЬМИ, II ТЕМ, ЧТО МЫ ПОЛУЧИЛИ
Знай, что владеющие этой наукой считают, что окружность равна трем и одной седьмой диаметра п, значит, шзсти и двум седьмым половины диаметра. Если мы запишем это цифрами джумала и найдем разность между этим п тем, что получено у нас, получится вот что:
Отсюда находим, что эта разность в круге, половина диаметра которого—три тысячи шестьсот локтей, есть приблизительно девять и одпа десятая локтя.
Автор «Подарка царю» [38] считает, что половина диаметра выпуклости неподвижных звезд равна семидесяти тысячам семидесяти трем с половиной диаметрам земли и находит окружность, считая ее тремя и одной седьмой диаметра, равной четыремстам сорока тысячам четыремстам шестидесяти двум диаметрам земли. Если же мы вычислим это в соответствии со значением, полученным нами, то разница между ними будет равна ста семидесяти [семи] диаметрам земли с дробью, меньшей четверти. Таким образом, па один градус выпуклости неподвижных звезд приходится приблизительно половина диаметра земли, аллах знает это лучше всех.
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
371
Числовые цифры данного 7
7
439822
439
18
97
82
85
Цифра дроби........Г)
Произведение.........
440284 78
То, что в «Подарке» . . * II
Разность между пики .
Отсюда понятно, что еслп умножить половину диаметра па шесть целых и семнадцать минут, то окружность получится более близкой [к истинной], чем если умножить диаметр па три и одну седьмую, это же и более легко.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
О ДОКАЗАТЕЛЬСТВЕ ОШИБОК АБУ-Л-ВАФА
II АБУ РЕЙХАПА [БИРУНИ]
Приведем первое предложение первой книги «Алмаге-ста» [39]. Пусть ЛВС—полукруг на диаметре ЛВС, центр— I), а линия BD перпендикулярна к диаметру. Разделим CD
пополам в Е и соединим BE. Построим EG, равную BE, и соединим BG. Тогда DG—сторона десятиугольника, а BG—сторона пятиугольника.
Так как CD делится пополам в Е и DG прибавлена в ее направлении, то поверхность, [построенная] па CG
24
I
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН К'АПШ
и DG вместе с квадратом DE, равна квадрату EG по шестому предложению второй [книги] «Начал» [10]. Поэтому это равно квадрату ЕВ, т. е. [вместе взятым] квадратам Е/), 1)В. Отбросим общий квадрат ED, останется: поверхность на CG и DG равна квадрату DB. т. е. квадрату CD. Поэтому линия CG делится в точке D на две части в среднем и крайнем отношении [41], так как произведение всей липни па ее меньшую часть равно квадрату более длинной части. Отсюда следует, что DG относится к CD, как CD к CG по семнадцатому предложению шестой [киши] «Начал» [12]. При этом более длинная часть CD есть хорда одной шестой круга по пятнадцатому предложению четвертой [книги] «Начал» [43]. Поэтому DG—хорда одной десятой круга по разъяснению двенадцатого предложения тринадцатой [книги] «Начал» [44], a BG, стягивающая обе, есть хорда одной пятой круга по тринадцатому предложению тринадцатой [книги] «Начал» [45].
Я говорю, что CG равна хорде дополнения стороны пятиугольника, г. е. хорде трех десятых окружности. Как ты уже знаешь нз предыдущего, сумма квадратов хорды дуги и хорды ее дополнения равна квадрату диаметра. Сумма квадратов J3G, CG равна квадрату диаметра, так как квадрат диаметра равен четырем квадратам половины диаметра, квадрат CG равен сумме квадрата половины диаметра CD, квадрата DG, и удвоенной поверхности иа CD и DG, а квадрат J3G равен сумме квадратов половины диаметра J3D п DG. Поэтому сумма квадратов CG, 13G равна сумме удвоенного квадрата половины диаметра, удвоенного квадрата DG и удвоенной поверхности на С Г) и DG, по, как ты знаешь пз предыдущего, квадрат половины диаметра равен поверхности па CG и DG и, значит, равен сумме поверхности на CD и DG и квадрата DG. Поэтому сумма удвоенной поверхности па CD и DG и удво-си и ого квадрата DG равна удвоенному квадрату | половины диаметра и сумма квадратов DG, CG равна четырем квадратам половины диаметра и, значит, квадрату диаметра .
Таким образом, если BG—сторона пятиугольника, то CG—хорда трех десятых [окружности], а это и есть искомое.
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ.
373
Птолемей в третьем предложении первой книги «Ллма-геста» доказал, что разность между поверхностью на хорде одной из двух дуг и на хорде дополнения другой и поверхностью на хорде дополнения первой дуги и па хорде второй равна поверхности на диаметре и на хорде разности между обеими дугами. Он доказал также в четвертом предложении той же книги, что сумма поверхности на хорде одной из двух дуг и на хорде другой [дуги] и поверхности па хорде [дополнения] суммы дуг и па диаметре равна поверхности па хорде дополнения одной пз двух дуг и на хорде дополнения другой [4С]. Поэтому сумма квадрата хорды дуги и поверхности па хорде [дополнения] результата ее удвоения и па диаметре равна квадрату хорды дополнения этой дуги.
Если эти правила ясны, перейдем к определению хорды полутора частей, проверим то, что, по мнению Абу-л-Вафа, есть хорда половины части, выясним ошибку при его вычислении, найдем дугу половины части и проверим ее правильность. Это вычисление таково:
Объяснение действия
Пять квадратов четверти диаметра, т. е. сумма квадрата половины диаметра в его четверги ............
Корень из этого, т. е. сумма стороны десятиугольника и четверти дпаметра, т. е. EG . .
Вычтем из этого четверть диаметра, останется сторона десятиугольника, т. с. EG .
।
374
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП НАШИ
[II р о д о л ж е н и е]
Сумма квадрата этого н х<вадрата половины диаметра, т. о. квадрат стороны пятиугольника 1 22 53 4 39 30 20 53 0 40 0
Сторона пятиуголь пика, т. о. BG .... 0 1 10 32 3 13 44 21 54 54 00
Линия CG, т. с. хорда трех десятых,—хорда дополнения одной пятой круга до его половины 0 1 37 4 55 20 29 39 6 54 20
Хорда третп круга, т. е. дополнение одной шестой, которое было раньше в четвертом разделе ... 0 1 43 55 22 58 27 57 56 0 44
। Поверхность на хор-: де одной шестой и на хорде дополнения од-! ной пятой 1 1 37 4 55 20 29 39 6 54 20 0
, Поверхность на хор-; до одной пятой и на | хорде дополнения од-I ной шестой 2 2 10 7 56 1 47 58 39 33 50
Разность между ними 0 25 5 12 35 32 8 51 45 13 50
Разделим ее на диаметр, получится хорда трети одной десятой круга, т. е. хорда двенадцати частей . . . 0 0 12 32 36 17 46 4 25 52 37
Ее квадрат 0 2 37 20 14 И 20 19 37 39 52
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
375
[П р о д о л ж о и и с]
Вычтем се пз квадрата дпаметра, останется квадрат хорды 168 частей . .
Корень пз пего . . .
Затем прибавим к этому корню величину дпаметра, поднимем это на один разряд и возьмем корень пз этого. Получится хорда 174 [частей]..........
Прибавим диаметр к этому корню, поднимем это на разряд, возьмем корень пз этого. Получится хорда [177 частей] .......
Таким же образом получим хорду 178 [частей] 30 [минут] . .
Вычтем квадрат этого, т. е. поднятое суммы диаметра if хорды 177 частей, которое было раньше, из квадрата диаметра. Останется квадрат хорды полутора частей . .
Корень пз этого, т. е. хорда полутора частей
Мы записали в клетках, свободных от ци[>р,~ красные нули для отличения их от нулей, полученных нри действии
Объяснение действия
Если хорда дуги . . . .
То ее квадрат ........
Вычтем его пз квадрата диаметра, останется квадрат хорды ее дополнения ..............
Первое действие—проверка того, что, по млению Абу-л-Вафа, есть хорда половины части
Хорда ее дополнения . .
3
О
59 59 43
I 59 59
33 3 51 39 7 | 29
Вычтем квадрат хорды этой дуги из квадрата хорды ее дополнения, останется поверхность на диаметре и на хорде дополнения удвоенной данной дуги .............
----------!-----------------
55 53 15 53 41 И
Разделим это на диаметр. Получится хорда дополнения удвоенной данной дуги
Возведем это в квадрат .................
3 59 58 54 12 19 57 10 29 59
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИП КАЩ11
378
ДЖЕМШИД ГИЯСЭДДИН НАШИ
Так как в конце таблицы первого действия мы получили из хорды, которая, по миопию Абу-л-Вафа, есть хорда половины части, хорду утроенной этой дуги, равную 1 3414 39 7 59, что меньше хорды полутора частей, которую мы получили в предыдущей таблице равной 1 34 14 42 19 1, па три терции одиннадцать кварт с дробью, то отсюда попятно, что найденное Абу-л-Вафа меньше хорды половины части приблизительно па треть указанной разности, так что окружность, полученная из этого, является неправильной.
То же,, что получается в конце таблицы второго действия, в точности совпадает с хордой половины части, откуда понятно, что то, что мы привели для хорды половины дуги в конце таблицы второго действия, правильно.
Что касается проверки дуги двух частей,
то то, что помещено в седьмой строке второго действия, т. е. квадрат хорды дополнения одной части, есть . . . .
Если мы вычтем диаметр из этого, пониженного па разряд, останется хорда дополнения двух частей ................
Если мы вычтем это пз квадрата диаметра, останется квадрат хорды двух частей ............
Поэтому корень из этого есть правильное [значение] хорды двух частей
28 32 25
ТРАКТАТ ОБ ОКРУЖНОСТИ
379
Так как Абу Рейхан [Бируни] при определении периметра многоугольника подсчитал, что это 2 5 39 43 36, попятно, что он здесь ошибся, так как это превосходит ира пильное [значение] на семнадцать терцин четырнадцать кварт, хотя в своих таблицах он привел синус одной части, т. е. половину хорды двух частей, совершенно правильно [47].
Это последнее из того, что мы хотели изложить, слава аллаху, господину обоих миров. Благодаря щедрости аллаха эта книга окончена.
ПРИМЕЧАНИЯ К МАТЕМАТИЧЕСКИМ ТРАКТАТАМ ДЖЕМШИДА ГИЯСЭДДИИА КАШИ
А. II. Юшкевич и Б, А. Розенфельд
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ»
1. Криме указанных в предисловии пяти рукописен «Ключа к арифметике», известны еще две рукописи этого сочинения: одна рукопись в Берлинской публичной научной библиотеке (Spr. 1824, эта рукопись написана на 209 листах малого формата, в то время как указанная в предисловии рукопись Spr. 1824 bis написана на 78 листах большого формата) и другая в Британском музее в . (ондоне (ЛЬ 419). Рукописи Парижской национальной библиотеки и Британского музея частично процитированы в статье W о е р-с k е F., Passages relatifs a des summations des series des cubes extraits de deux rnanuscrits arabes.—Annali di niatem. pura ed appli-cata 6 (18(54), стр. 225—248. Рукописи Берлинской публичной научной библиотеки частично процитированы в книге: Л h 1 w а г d t \\ ., Ve.rzeic.lm is der arabischen Handschriften der Kgl. Bibliothok zn Berlin, t. 5, Перлин, 1893, стр. 342—344.
Следует заметить, что настоящее сочинение Каши в различных рукописях носит несколько различные названия: кроме названия «Ключ к арифметике», оно в некоторых рукописях также называется «Ключ вычислителей» (Мифтах ал-хуссаб) пли «Ключ вычислителей к арифметике».
2. Рукопись этих таблиц находится в Стамбульской библиотеке Айя-София (№ 2092); они были закопчены автором в 1413—1414 гг. «Хакан»—«хан ханов»—титул потомков Тимура (см. примечание 7).
3. «Эльханские астрономические таблицы»— труд выдающегося азербайджанского ученого Мухаммеда Иасирэдднна Туси (1201 — 1274), основателя астрономической обсерватории в г. Марата. «Эльхап»—титул потомков Чингни-Хана, царствовавших в Марате (Насирэддпн работал при основателе династии эльханов Хулагу. внуке Чипгпс-Хапа).
4. См. стр. 327—379 настоящего сборника.
5. «Алмагест»—арабское искажение греческого названия книги Клавдия Птолемея (ок. 140 г.) «Построение» («Синтаксис»), па-
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 384
зываемой также «Великам построением» («Метаете—ала Метало— синтаксис»). Издание: С I a u d i i Р tolem aei, Syntaxis Mathe-inalica, ed. Heiberg , Лейпциг, т. 1, 1898; т. И, 1903.
Каши здесь ссылается на одно замечание Птолемея в гл. 10 кп. J «Алмагеста» (т. I, стр. 32).
Трактат Катин «О хорде и синусе» до сих пор но обнаружен. Метод Каши для определения sin 1° по известному sin 3°, дошедший в изложении современников, представляет собой итерационный прием вычисления корпя уравнения вила
x3+q=px.
См. Т. II. К а р ы-ll и я з о в, Астрономическая школа Улугбека, М.-Л., 19.50, стр. 147—154.
В отрывках, цитируемых Венке ио рукописи Британского музея (см. прим. I1]), содержится фраза: «Поэтому мы придумали особый прием определения хорды одного градуса с весьма точным приближением».
Рукопись трактата «Услада садов» имеется в библиотеке «India office» в Лондоне (Ms. 210). Об этом трактате см. Е. S. К е я nerty, A fifteenth century lunar eclipse computer, Scripta math., Aj 17: 1/2, 19ol, стр. 91—97.
6. «Шесть алгебраических задач», решения которых изложены в «Краткой книге об исчислении алгебры и алмукабалы» хорезмпйского ученою Мухаммеда Хорезми (780—847), одно линейное уравнение и пять квадратных: Ьх—а, сх2=а, сх2=Ъх («простые») п сх2+Ьх—а, сх2+а=Ьх, сл'2 —bx^-а («сложные»). (См. также прим. [227].
В ленинградской рукописи слова «ответы» и «шести» пропущены (вместо пих оставлены пробелы). Слова восстановлены по берлинской рукописи (лист 1 об.).
7. Улугбек Гурагаи (1394—1449)—выдающийся узбекский политический деятель и ученый, внук Тимура, управлял с 1409 по 1449 г. Был покровителем ученых и, в частности, Каши, основал астроном плоскую обсерваторию в Самарканде, является автором известных «Новых Гурагапских астрономических таблиц». Об Улугбеке см. Т. Н. К а р ы-11 и я з 6 в, Астрономическая школа Улугбека.
Имеющееся в начале абзаца выражение. «аджамскнх султанов» происходит от слова Аджам—общего названия Средней Азии и Ирана, употреблявшегося в Средние века (первоначально— арабское название пеарабов).
8. Разделение целых чисел па четно-четные, четно-четные и вместе почетные, а также четио-печетпые у Каши несколько отличается от сходной античной классификации. См. «Начала» Евклида, перевод Д. Д. Мордухап-Болтовского, т. II, М.—Л., 1949, стр. 9 п 267.
9. «Индийские цифры», употребляемые Каши:
I Г Г б 8 Т V л ч
1 г з it s 6 у ь s
382 А. и. ЮШКЕВИЧ И Ь. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Нуль Каши изображает кружочком. «Индийские цифры» пишутся так же, как у нас—слева направо, в то время как направление чтения в арабском языке обратное нашему, т. е. справа налево. Поэтому говоря о числах, записанных «индийскими цифрами», Каши называет первыми цифрами тс, которые мы называем последними, и наоборот.
10. Об истории операций удвоения и раздвоения см. Л. II 10 ш-к е в и ч, Арифметической трактат Мухаммеда беи Муса ал-Хо-резми (Труды Института истории естествознания и техники, т. I. М., 1954, стр. 85 -127).
11. Первое определение действия умножения восходит к древним грекам. «Всеобщее определение» умножения возникло в результате распространения понятия числа, определявшегося в классической греческой математике как собрание единиц, па дроби и иррациональные числа. О синтезе идей отношения и числа в математике Востока см. примечания Б. А. Розе и ф е л ь д а и А. П. 10 ш-ксвича к «Математическим трактатам» Омара Хайяма (Историко-математические исследования, вын. VI, M.-JI., 1953, особенно стр. 157—168).
12. Первая известная десятичная таблица умножения многозначных чисел встречается в сочинении «Талхис» Ибн ал-Ванна (1251—1351). См. М а г г с A., Le Talkhys d’Ibn-Albanna, Alli dell’ Ac. Pont, de Xuovi IJncei 17 (1864), стр. 289—319 (см. стр. 300).
О различных формах записи действии при умножении, а также ври делении см. В. Бе л л юс тип, Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики, АБ, 194(1.
1
13. Доля числа а — дробь — .
14. Латинское слово «rationalis», откуда паше «рациональный» и арабское слово «мунтпк»— переводы греческого слова «’рт,то;»; латинское слово «irralionalis», откуда наше «иррациональный», и арабское слово «асамм» —переводы греческого слова «’аХор?;». В Западной Европе до XVIII века наряду со словом «иррациональный» употреблялось под влиянием переводов с арабского слово «surdus», дословно «глухой», «немой».
15. Извлечение квадратного корня у Каши основано на формуле (а 4- Ь-\- с 4- ...у2 = а2 4- (2а -р Ь) Ъ 4- (2а 4- 2Ь 4- с) с 4- ...
Первое известное в литературе описание приема извлечения квадратного корпя, основанное на том же принципе, встречается в китайском сочинении «Арифметика в девяти отделах» (II век до п. э.), затем в IV веке у Теона Александрийского и около 500 г. у индийского ученого Арпабхатта. Этот прием был описан и Мухаммедом Хорезми. См. статью А. II. Юшкевича, указанную в [Ю].
Вместе с тем прием, излагаемый Каши, можно рассматривать и как применение так называемого метода Руффини—Горнера (см. [18]).
16. Поправка к иррациональному корню, предлагаемая Каши и дающая приближение с недостатком, была известна Пасави
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ.
383
родом из г. Наса (пыпс г. Ашхабад Туркменской ССР), жившему в первой половине XI века. Опа может быть получена из следующих простых соображений. Если а < )/Л < « + 1, то А = а + г,
А —а2 Л — а2 Л — а2 т„
г = „;— — о—гзг —т—глх—“5 • Возможно, что Ваши получил 2а + г 2с+ 1 (« + !) — a2 J
поправку по методу ложного положения (см. [19]).
д__а2
Поправка вида —— > дающая приближение с избытком, была известна древним в-авилопяпам, встречается у Геропа Александрийского (II век н. э.), в названном выше китайском сочинении н в принадлежащей Поаппу Севильскому (вторая четверть XII века) обработке арифметического трактата Мухаммеда Хорезми.
17. Эта таблица приведена далее на вклейке. «Квадрато-ква-драто-кубо-куб» есть, говоря но-современному, 10-я степень. Терминология Каши, основанная на сложении показателей, восходит здесь к древнегреческой (например, у Диофанта, жившего в конце 1II века, квадрато-квадрат соответствует 4-й степени, квадрато-куб— —5 й, а кубо-куб—6-й степени). Современное наименование высших степеней появляется в Европе в конце XV века (II. 1Пюке, 1484) п входит в широкое употребление в XVII веке. Подробности см. у Tropfkc Y., Geschicble der Elcmentar-Malhcinatik, т. П, Перлин и Лейпциг, 1921, стр. 104 и сл.
18. Извлечение корня n-п степени здесь у Катин основано на применении метода, носящего теперь имена Руффини — Горнера. Это с большой подробностью доказал II. Люкен в статье в Math. Annalcn, указанной в предисловии к настоящему переводу.
Названный метод, коротко говоря, состоит в следующем. Пусть искомый корень уравнения
/ (*) = агАп + + ••• + «0 = 0
есть число р0, pj р2 ... Подобрав с помощью проб целую часть корня р0, делаем подстановку а? = р0 + у п разлагаем /(а.) — — (йо + У) = ? (у) по степеням у:
? (У) = АпУп + Ап-\Уп~2 + ... + Ао = 0.
Далее подбираем с помощью проб первый отличный от нуля „ Pi
знак у и, найдя его равным рх, делаем подстановку y —
после чего разлагаем <р по степеням z п т. д. Вычисле-
ние коэффициентов каждого последующего уравнения производится по «схеме Горнера». Поясним ее на примере
/ (х) = а6ж5 + а4.гл + аях2 + а2х2 + ахх + а0.
Полагая х = р + у и
/ (Г + У) = ? (У) = АУ5 + АУ4 + +зУ3 + А-гУ2 + А1У + Л>>
A. II. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
составляем таблицу:
р ! «5 «4 4-а^Р п3 4-ad> 4- азР «1 4- 02Р а0 4- ^!р
н5 ^4 а'ъ «2 a'i ' «о = А()
4- «5? 4-ф 4- «з/7 4- л: ь
rt 5 // «4 „ н а3 «2 " А П! =Aj
+ «6? 4-a’t'P 4-as"p
«5 а3 п'2" = -А^
4- «5? ai"P
«з"' = A3
4"
«5 а\"" =
•^5
Если, в частности, / (х) — X i—2V = 0
и первое приближение для корпя есть п, так что х—р + у, то коэффициенты уравнения <? (у)=0 будут
1, 5р, Юр®, Юр3, 5р4, р5—
В примере, приводимом Каши непосредственно далее, »5 = 4424 08995 06197
(цифры разбиты па разряды, как было сказано) р = 500 находится по таблице степенен чисел. Затем Каши должен подобрать q, первую цифру у, по условию, чтобы
1/5 4-25.10V 4- 250- 104t/3 4-1250-10V + 3125 • 108у
не превосходило остатка N — р5 = 1299 08995 06197. Коэффициенты этого многочлена фактически записаны в соответствующих частях таблицы на стр. 54—55. Чтобы оперировать не десятками, а однозначным числом q, Каши переходит, говоря по-современному,
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 315
с помощью подстановки у = 10z к многочлену
6 (г) = z5 + 250z4 + 25 OOOz3 +1 250 OOOz* 2 + 31 250 OOOz
и ищет ci, т. e. целую часть z, по условию, чтобы значение 6(z) пе превосходило соответственно измененного остатка 129 008 995 [0611)7]. Подбором находится <7 = 3.
Само значение ф (3) вычисляется в следующем порядке:
{ < [(3 + 250) 3 + 25 000] 3 +1 250 000 > 3 + 31 250 000} 3.
Числа 253, 759, 25 759 и т. д. до 105 695 493 = 6(3) можно найти в соответствующих частях таблицы па стр. 54—55. Дальнейшие выкладки строятся аналогично. Следующий многочлен, служащий для определения г единиц корня, будет
w (У) = и-> + 265 • Юи1 + 28 090-102и3 + 1 488 770• 103?г2 4- 39 452 405 • 101 и. При этом oj (?г) должно быть не больше 24213 >02 06176, откуда для г получается значение 6 и целая часть корпя равна 536.
Аналогичные выкладки [вычисление чисел 2 656, 15 936, и т. д. до 403 558 367 696 и, наконец, 2 421 350 206 176 = <о (6)] проводятся для нахождения последнего остатка 21. Вместо с тем Каши определяет числитель и знаменатель дробной поправки к найденной целой части корпя (см. [19|). Полная таблица вычисления корпя данного уравнения по схеме Руффини Горнера приведена у Люкея в пит. статье па стр. 242 (наше изложение, впрочем, несколько отличное; кроме того, в пояснениях на с гр. 244 у Люкея содержатся неточность и опечатка).
Схема Руффини — Горнера в случае уравнения а?5—N = 0 и вообще кп —jV = () дает по существу те же результаты, что и применение формулы бинома Ньютона. Представив искомый корень ж в виде р + у и найдя с помощью проб приближение р, мы получили бы по формуле бинома то же уравнение:
7 (у) — У7' + Зру1 + IO;?2!/3 + Ю/х'у2 + 5//у -}- р5 —7V = 0.
В схеме Горпсра по требуется, однако, знать заранее формулу бинома и се коэффициенты. Подбор приближения q для у производится с помощью выкладок, которые дали выше значение 6(3), а члены уравнения с (у) = 0 находятся последовательно в описанном ранее порядке. По Каши, как мы увидим, знал, а также применял п формулу бинома Ньютона.
Каши нс приписывает себе изобретения изложенного приема извлечения корпя. Вопрос об источниках Каши остается пока открытым. П. JJioKeii указал, что в литературе па арабском языке метод Руффшш— Горнера для случая кубического корпя впервые встречаемся у Насавн, и высказал предположение, что промежуточным звеном между Насавн и Каши мог быть Омар Хайям (см. цпт. статью Люкея, стр. 244—254 1).) Со слов самого Хайяма пзве-
*) Индийские математики (Арпабхатта и др.) извлекали кубический корень по развернутой формуле куба двучлена. Примеров извлечения корней с большими показателями в старой индийской литературе не имеется.
2 Псторико-матем. исследования
386
А. П. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
CTiio, что он написал сочинение об извлечении корней с любым натуральным показателем. Сочинение это пока не обнаружено, п неясно, каков бы.ч метод Хайяма: возможно, что он пользовался непосредственно формулой бинома Ньютона (см. «Историко-математические исследования», выи. VI, стр. 22 и 1L9)1).
С другой стороны, известно, что метод н схему Руффини—Горнера применяли к численному решению уравнен и ii 3-й и 4-й степени средневековые математики Китая. Этот метод nojij обно описан ученым Цппь Цзю-шао в 1247 г. и, невидимому, был в употреблении с VII века (см. Mik a ini Y,, The development oi' mathematics in China and Japan, Лейпциг—Берлин, 1912, стр. 53 -56, 73—77).
Мы находим у китайских математиков XIII века применение метода и схемы Руффини—Горнера также к извлечению кубических корней (см. пример с решением двучленного уравнения ,т3— —17 576—0 в изданной на китайском языке книге Л и Я и я, История китайской математики, Шанхай, 1937, стр. 88—90). Китайские ма-.. . У
тематики пользовались и линейным прсооразованием вида х— — для приведения к единице старшего коэффициента уравнения (см. книгу Ли Ния, стр. 141—142.)
Описанный прием китайские ученые называли методом небесного элемента («небесный элемент»—термин для обозначения неизвестной).
Учитывая политические п культурные связи между Китаем и странами Средней Азии в XIII -XV вв. (и ранее), можно предположить, что метод и схема Руффини - Горнера были получены Кати или его предшественниками от китайских ученых.
В «Ключе к арифметике» мы впервые встречаем описание общего приема извлечения корней с .любым натуральным показателем по способу Руффини • Горпера (а не для п— 3 плп п— 4, как у китайских авторов).
В Европе общий прием извлечения корней, основанный па знании биномиальных коэффициентов, был опубликован примерно па 100 лет позднее М. Штифелем (1544 г.); несколько ранее отдельные примеры извлечения корней (до 8-й степени) встречаются у IT. Ami-ana (1527 г).
Традиционное наименование изложенного способа численного решения алгебраических уравнений п извлечения корней «методом Руффини -Горпера», таким образом, исторически совершенно пеои-равдапо. II. Руффини опубликовал этот метод в 1804 г., а В. Горнер, независимо, в 1819 г. Этот же метод (однако, без столь важной схемы вычисления коэффициентов) предложен был в 1591 г, Ф. Виета (опубликовано в 1 (J00 г.).
г) Известно, что еще рапсе, во второй половине X века математик Абу-л-Вафа, родом пз Хорасана, написал сочинение об извлечении корней 3-й, 4-й и 7-й степеней. Это сочинение пока не обнаружено (см. цит. статью Люкся, стр. 218).
I. ПРЛМЕЧЛНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 38/
О методе Руффини Горнера см. в статье А. II. Доморяда «Численные и графические способы решения уравнений» (Энциклопедия элементарной математики, кн. IT, М. —Л., 1951, в частности, стр. 374).
19. В случае иррационального корня, содержащего целую часть, Каши предлагает добавлять поправку в виде дроби. Вели
Пг “Г >
а у А < а -|- 1. поправка имеет вид
А— ап
(с + l)rt—^ап
Вывода этого выражения Каши не дает. Возможно, что он исходил здесь пз формулы степени бинома:
А — ап 4- г ф- ап ~2г2 Д- ... |- г”,
А -а11
(а 4- 1}п—а"
Возможно также, как полагает Л юней, что поправка была получена посредством линейного интерполирования, широко применявшегося математиками Востока в астрономических вычислениях, а также лежащего в основе так называемого правила .ложного положения. Пусть у = |Аг; если = ап, то уу = а, если .г-2 — (п 4- I)17, то у2 = а 4- 1. Тогда для х — А = ап 4- // (« - - целая часть ffA)
т. е.
У^а + (а+1^—п
(см. статью И. Люкея в Math. Annalen, стр. 262—263).
Разность (аД-1)п—ап Каши в своем примере (таблица на стр. 57) вычисляет по данным, получаемым в последней части вычислений. Разность эта находится в виде суммы 1 4-2680 4- 28 72960 4-4- 15399 06560 4- 41 26949 58080 = 41 42377 40281. В самом деле, (536 4- 1 )5 — 536’ -^14-5- 536 4- Ю • 5362 4- 10 • 5363 4- 5 5364 = 1 +2680 4-... ...4-41 26949 58080.
Каши хорошо знает, что полученная им здесь сумма есть (неполная) сумма членов разложения пятой степени бинома. Он это прямо указывает на стр. 58, где начинает разъяснение «другого метода 25*
388
и. ЮШКЕВИЧ И Г>. \. РОЗЕНФЕЛЬД
определения разности между двумя рациональными степенями»-и слонами выражает разность
(а +1 )* -— а5 = 1 -I- 5а + 10а2 4- 10а3 + 5а4.
2и. «Элементы показателей степени» Каши мы теперь называем биномиальными коэффициентами; однако Каши не распространяет свой термин па коэффициенты первого и последнего членов разложения. равные единице, т. е. на н на СТР' °И
говорит, что квадрату соответствует один элемент'показателя степени, кубу — два и т. д.
21. Здесь словесно выражена формула составления биноми-, , Л п Л Л п — 1 Л Л 11 — । А
а, 1Ы1ЫХ коэффициентов = . ) 4- (
/ \_т — 1 J \ т J
22. Эта таблица известна в Западной Европе под названием «треугольника Паскаля».
Треугольник Паскаля и правило составления его элементов / п \ f п — IX / п — 1 Л „
Im ) = V т___1/~Ц т ) оьг;,и известны индийским матема-
тикам примерно за два века до н. э. Невидимому, биномиальные коэффициенты применялись здесь к решению некоторых комбинаторных задач. См. Singh A. N’., On the use of series in Hindu mathematics, Osiris, 1, 1936; Chakradarti G., Growth and development of permutations and combinations in India, Bull. Calcutta Math. Soc 24, 1933, стр. 79—88. Синг утверждает, что древние индийские математики зналн и общую теорему о биноме для натурального показателя. Это утверждение не подкреплено у него доказательствами, и в его примерах показатель не превосходит 3. Для показателя, равного 4, правило бинома имеется у Кархн в начале XI века (Luckey Р., Zur islamischen Re-chenkunst und Algebra des Mittelalters. Forschungen und Fortschritte 24, АЛ 17'18, за сентябрь 1948 г.). Полная таблица биномиальных коэффициентов до 8 й степени встречается у китайского математика Чжу Шп-чцзе в 1303 г., который, однако, имел неизвестных предшественников (М i k a in i Y., соч., указанное в р], стр. 90). В Европе такая таблица (до п=17) появляется впервые у М. Шти-феля в 1541 г. при изложении действия извлечения корней; Шти-фель образует се члены по тому же правилу, что и Каши; см. Сап-I or М., Vorlesiingen uber Geschichte der Mathematik, II, Лейпциг, 1899, стр. 433—434).
Формула бинома для любого натурального показателя встречается в изученной до сих пор литературе у Каши впервые, но оп сам в предисловии указывает, что опа была известна ранги'. Возможно (см. (1Д), что открыл эту формулу Хайям.
Дюкей полагает, что треугольник Паскаля п формула бинома были получены в результате применения способа Руффини—Горнера к извлечению корней. Вычисляя коэффициенты по схеме
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 389
Горнера для f(x)~xn, имеем:
1 0 0 0 0
а 1 а а2 а3 я1 . . .
1 2а За2 \а3 5а1
1 За 6а2
1 А а
1
При а = 1 получится треугольник Паскаля (см. статью Люкея в Math. Annalen, стр. 229, 2/2).
Термин «треугольник Паскаля», по существу неправильный, связан с тем обстоятельством, что треугольная таблица биномиальных коэффициентов получила широкую известность по «Трактату об арифметическом треугольнике» Б. Паскаля, опубликованному в 1665 г. (Cantor М., пит. соч., стр. 749 и сл.). Ньютону (1664—1665) принадлежит индуктивное обобщение формулы бинома на любые действительные показатели, основанное па открытом им правиле мультипликативного образования коэффициентов.
Первое указание па употребление Каши формулы бинома сделал Дж.' Татлер (Asiatic Researches 13, Калькутта, 1820), работу которого упомянул Г. Гапкель ( Zur Geschichle der Matho-matik, Лейпциг, 1874, стр. 269). Основная заслуга в исследовании метода извлечения корней в арабоязычной литературе Средних веков принадлежит Люкею.
23. Здесь Каши пользуется формулой
(« + Ь)п — ап—пап~Ч> + 2 ^)аП~2Ь2 + ^ап~3Ъ3 + ... + nabn~x + bn,
для п—5. В примере
75_45 = (/1 + 3)5_45 =
5 А 2/
= 5-256-3+ Ю-64.9 + 10-16-27+ 5-4-81 + 243 =
= 3840 + 5760 + 4320 + 1620 + 243 = 15 783.
24. Здесь Каши излагает способ проверки правильности действий с помощью числа 9, основанный на равенстве остатков («поверочных чисел») от деления всякого целого числа и суммы значений его цифр. Этот способ был известен греческим и индийским математикам. В литературе па арабском языке он применяется к первым четырем действиям уже Мухаммедом Хорезми; в обработке арифметики Хорезми, принадлежащей Иоанну Севильскому, проверка девятью применяется к операции извлечения квадратного корня. Обоснование приема встречается впервые у Леонардо Пизанского (1202 г.).
= 5-44-3 +
-42-33 +5-4-31+35 =
390
A. II. ЮШКЕВИЧ II Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Излагая проверку девятью средневековые авторы, как правило, заявляли, что при равенстве соответствующих проверочных чисел результат действия верен, между тем как это равенство есть необходимое, но по достаточное условие правильности вычислений. Как видно, формулировки Кати в этом отношении математически корректны.
Так поступил еще ранее Такиэддни Пззадии Ханбали (рукопись 1409 г.; см. указанную в предисловии книгу II. Люкея, стр. 20—27). В Европе недостаточность проверки девятью была специально отмечена лишь 11. П1юке (1484 г.) и Л. Пачнолп (1495 г.).
Заметим, что Каши применяет проверку девятью к случаям деления с остатком и к извлечению корня с любым натуральным показателем, опять-таки с остатком.
25. В арабском языке особые названия для дробей имеются 111
не только для -о- , и -т- , как в русском языке (половина, 2 3 4
ч . .. 1 1111 1
треть и четверть), а также для дрооеи —, —, — , —, — , — .
Остальные дроби в арабском языке выражаются оборотами речи вроде «одпа из одиннадцати долей» , «одна пз двенадцати
долей» п 1'- Д-
26. «Противоположные числа» — взаимно простые.
27. «Соединение»—сложение дробей. Примеры:
28. «Выделение» — вычитание дробей. Примеры:
£ А 1 1 __ 1
3 5’2 5 11 20
29. «Составление» — умножение дробей. Примеры:
30. «Разделение»—отношение, дробей. Примеры:
9
3 1 1
+ 2 Х 6
“ 2
31.
1
10 •
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ:
391
32 Это возникшие в математике древнего Вавилона шестпдеся теричпыс дроби
abed к
"(Ю + ~G(? + OP +W +‘”+ 60" '
Разряды шести десятеричных дробей называются: минуты, секунды («вторые»), тернии («третьи»), кварты («четвертые»), квинты («пятые»), сексты («шестые»), септимы («седьмые»), октавы («восьмые»), попы («девятые»), децимы («десятые»), ундецимы («одиннадцатые»), дуодецимы («двенадцатые») н т. д.
33. Здесь Каши вводит десятичные дроби а b с d к , 1
кГ+Чог + -йя +“ПК+'--+1о^“1’ аЬс(}" к'
Каши называет сотые «.десятичными секундами», тысячные «десятичными терциями» и т. д. См. прим. [42].
34. Данги, тасуджн и шайры — средневековые меры веса и де-
нежные единицы в Средней Азии и Иране. 1 даиг = — динара
1 _ I
в случае золота, у дирхема в случае сереора и — мпскаля в слу-, 1 1
час произвольного веса; 1 тасудж =-у даига ==-уг динара, дир-
, 1 1 1
хсма пли мпскаля: 1 шайр = -г- тасуджа — дапга = динара, 4. 1() • “>
дирхема или мпскаля. Отметим, что общий корень со слоном «даиг» имеет русское слово «деньга», первоначально обозначавшее* денежную 1 1 п ,.
единицу, равную — копенки, т. е. — алтына. В дальнейшем Капш 2 о
1
применяет эти меры как дрооп, причем динар— 1, данг=у,
1 1
тасудж = уу, шайр = у. .
35. В вычислительной практике купцов, финансовых чиновников и писцов Востока очень широко употреблялись дроби— доли единицы. В одном сочинении Абу-л-Вафа, предназначенном для такого т . ...
рода читателей, говорится, что дрооп вида — (п > tn > I) некрасивы и их следует избегать. Деловые люди не любят таких дробен и предпочитают их выражать (точно плн приближенно) комбинациями долей е (пиицы. Предпочтительнее выразить -у- ирнблп-111 12 1
женио через — + -=- - — пли — + .< -п , чем сказать «три из одип-4 5 9 о о У
надцатп долей» (у наряду с долями единицы
относили к элемеи-
392
Л. П. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
тарным дробям)* 1). Ученые составляли обширные таблицы для выражения наиболее часто встречающихся дробей через доли единицы. Этот традиционный счет с дробями нашел отражение в классификации дробей Каши, хотя он вовсе нс избегает дробей
вроде — . См. книгу П. Люкея,
нашел отражение
указанную в предисловии,
стр. 28 — 30.
Представление произвольных дробей через комбинации долей единицы восходит к математике древнего Египта; оно применялось в греческой математике, особенно в поздпсалексапдри некий период, распространилось далеко на Восток и продержалось, как видно, весьма долгое время.
36. Применяемые Каши знаки действий с дробями следующие: «ва» (буква «вав») — «и» — знак присоединения, «плиа»—«без» — знак выделения, «ли» (буква «лам») — «к»—-знак составления, «мин» — «от»—знак разделения (напомним, что краткие гласные в арабском письме не обозначаются).
потребляемая Каши форма записи дроби или целого с дробью восходит к индийским математикам и применялась еще Мухаммедом Хорезми. Разделительная черта между числителем и знаменателем дроби появляется у западно-арабского ученого ал-Хассара (не позднее первой половины ХШ века) п у Леонардо Пизанского (1202 г.).
37. Это алгоритм Евклида («Начала», кп. 7, предл. 2).
1 1 1 2 5 3 7 2 3
оо. , -ту, —г , - , — , — , —, —-, —- соответственно рав-2345678 9 7
1260 830 630 1008 2100 1080 2205_ 560 656_
ПЫ 2520 ’ 2520 ’ 2520 ’ 2520 ’ 2520 ’ 2520' ’ '2520 ’ 2520 ’ 2520 '
Средневековые математики, как правило, получали общий знаменатель нескольких дробей, просто перемножая все знаменатели. Невидимому, первым ученым этой эпохи, предложившим брать обтипм знаменателем общее наименьшее кратное всех знаменателей, был Леонардо Пизанский (1202 г.); с перерывом в три с половиной века с таким же предложением выступил 11. Тарталья (1556 г.). Имел ли Каши, поступающий, как Леонардо, предшественников па Востоке, нам неизвестно.
39. £ 1
2 2 21 3
, 2 ~“14 ~ 28 “Т *
4з V
х) Оба приближения имеют довольно высокую точность: первое, избыточное, даст погрешность около -у- процента; второе, пе-
1
достаточное, — около -у процента.
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 393
40. £ 9 1 1 2 1 JL 5
z 4 z 2 1 3 4 2 3 5 5
~4 Х ~4 8~Х “4 8~= 116 ’ "8~ 24
55 ~Г
45-5-3 —5-116 116-24
675 — 580
2784
95
2784 •
В оригинале вместо 2784 написано вдвое мсныпсе число: 1392.
7
41. В оригинале ответ 5 — (автор или переписчики забыли вы-
О
честь 3 из 5).
42. Здесь Каши вторично говорит о десятичных дробях, упомянутых в первой главе второй книги настоящего сочинения и приводит первый пример действий с десятичными дробями. Далее этот вид дробей встречается неоднократно, особенно в первой, шестой и восьмой главах третьей книги.
Введение десятичных дробей является одним пз крупнейших достижений Каши. Целью его при этом было создать столь же удобную в обращении систему дробей, какой являлась разработанная уже рапсе система птсстидесятерпчпых дробей (см. [5G]), но основанную на общеупотребительном в счете целых чисел десятичном принципе. В частности, Каши желал, таким образом, популяризировать результаты своего вычисления отношения длины окружности С к диаметру d, которое в «Трактате об окружности» оп сначала провел в шестидесятеричных дробях. Об этом он сам говорит в начале тестой главы третьей книги «Ключа к арифметике», заявляя, что
намерен перевести полученное им в названном трактате значение для — в десятичные дроби, «чтобы им владел вычислитель, ие знающий
исчисления астрономов» (стр. 126 настоящего перевода).
В четвертой книге «Ключа к арифметике», посвященной измерению различных фигур, многие результаты переводятся в десятичные дроби. Ср. также восьмой отдел «Трактата об окружности», содержащий перевод — в десятичную дробь.
Каши весьма тщательно и систематически описывает действия с десятичными дробями, даст правила определения целой и дробной частей результата действия, учит переводу шестпдссятеричпых дробей в десятичные, знакомит с некоторыми правилами приближенных действий.
Для выделения дробной части целого с десятичной дробью, которые он пишет в одной строке, Каши употребляет различные приемы: 1) пользуется чернилами различного цвета (как в данном тексте), 2) отделяет целые от дробей вертикальной чертой, 3) заключает те и дру1 не в отдельные соседние прямоугольники, 4) выражает знаменатель словами, 5) над каждой цифрой выписывает название разряда (в таблицах) или же 6) указывает один высший плц низший рязряд, определяющий остальные.
A. II. ЮШКЕВИЧ II Б. Л. РОЗЁНФЕЛЬД
Дроби со знаменателем 10fe применялись ранее случайно. Так, они получались при извлечении квадратного корпя по правилу 4— 1 Gv • 102*
у JV —----------(наир., Насавп в первой половине XT в.).
10/? - - 1/й 141/1 1Г
рактерио, что, найдя таким ооразом У 2 ’ 11оанн
нильский немедленно обращает корень в тестпдесятерпчвую дробь 1 _j_ _?4 _р _22_ _р -З4. СО СО2 СО3 '
Се-
Первая попытка введения десятичных дробей принадлежит, поводимому, Э. Бонфпсу из Тараскона во Франции (XIV век), называвшему десятые «первыми», сотые «секундами» и. т. д. Очевидно, и здесь имело место желанно построить десятичные дроби по образцу шестидесятеричиых. Судя но изученному С Гайдном тексту рукописи Бонфпса, написанной на древнееврейском языке, он дал только краткий набросок задуманной им системы. У пего пот пп особой записи десятичных дробей, ни вычислений, хотя он и дает правила определения разрядов произведения и частного. Ср. G а n d z S., 'The invention of the decimal fractions and application of the exponential calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon, Isis, XX\ I, [936). Гайдн, сильно преувеличил достижения Бонфпса, которые совершенно незначительны в сравнении с детально развитой системой десятичных дробей Каши.
Р> Европе десятичные дроби также возникли в результате синтеза принципов десятичного счета целых и системы шести десятеричных дробей. 11 здесь дроби со знаменателем 10ft сначала встречаются в связи с извлечением квадратного корня (например, О. Фипэ около 1550 г. находит /1(Г, преобразуя его к 1/19/.1°С , а затем переводит в шестидесятиричные дроби). Существенную роль сыграло, далее*, вычисление таблиц тригонометрических величии при г=10п вместо общепринятого ранее г=6-10п [впервые у Региомонтана (11. Мюллера) в 14671’., опубликовано в 1490 г.]. Первым в Европе пропагандистом десятичных дробей и автором первого сочинения о них явился С. Стевии, в 1585 г. выпустивший на голландском и французском языках брошюру «Десятая, обучающая легко производить все расчеты, встречающиеся в людских делах, с помощью целых чисел, без дробен».
Капш опередил Стевипа более чем па полтораста лет. К сожалению, труды Капш в Европе тогда не были известны.
В России изложение учения о десятичных дробях дал впервые Л. (D. Магницкий в своей «Арифметике» в 1703 г., где описаны «аст-рономская» арифметика, оперирующая с шестндссятеричнымп Дробями, и другая арифметика, «яже децпмаль или десятичная именуется» (после иною Магницкий применяет в некоторых геометрических задачах па измерение фигур).
Указания па разработку Каши системы десятичных дробей имеются у Smit h D. Е., History of mathematics, т. II, Бостон, 1923.
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 395
стр. 238 — 240, па русском языке у Юсупова II., Очерки по истории развития арифметики на Ближнем Бостоке, Казань, 1933, стр. 83 — 84.
Подробности об истории десятичных дробей в Европе см. у Tropfke Y., еоч., указанное в [l7J.
15 72 , 12 , 4
4 ~ 15 15 ~ 1 5 •
72
43.
18:3| = -
45. Здесь словесно выражена формула
по способу Руффини — Горнера.
47. Здесь словесно выражена формула
Число 2 „ легко получается ио
Здесь погреш-
ность около 0,04.
49. Болес точпо:
Здесь погрешность около 0,007 (см. [Is]).
/145,0000^ 12.04+ (1204^^=12.04+^1=
9(5,30 + 3,84 , 100,2 167
2409 1 240у 4015 ’
52. В связи с том, что эта и следующая таблицы в русском переводе в соответствии с нашим способом чтения слева направо зеркально отражены по отношению к таблицам в оригинале, в этом разделе всюду, где в оригинале говорится «слева», в русском переводе мы будем говорить «справа», и наоборот. О дапгах, тасуджах и шайрах см. [:п].
53. Буквенное обозначение чисел («джумал» или «абджад») основано на числовых значениях арабских букв:
Генетически род- Число- Генетически род- Число-
Арабские ствеиные >уквы вое Арабские ствеиные оуквы вое
буквы латин- знача- бук вы латин- значе-
греческие с к ио НИС греческие скис пне
1 алиф а альфа а 1 Q ейн ; КСИ X G0
к < ба р бэта Ь 2 ‘айи о омикрон О 70
Д/КЙМ 7 гамма с фа ТС ИИ р 80
> дал S дельта d 4 с- сад — — 90
о ха е эпсилон 0 5 Q каф — q 100
? ва в — 1' G О Р5 Р ро г 200
S за С дзета g 7 г~Л шйн <3 сигма я 300
С ха т, эта 11 8 та X тау 1 400
L та 9 тэта — 9 f са — — 500
О йа i пота i 10 ,ух ха — — 600
3 каф % каппа k 20 <=ДО Да — — 700 '
J лам X ламбда 1 30 да — — 800
Р мйм [Л мю m 40 Q 35 — — 900
О нуп V НЮ n 50 г.айн — — 1000
II. ЮШКЕВИЧ И Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
1. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 397
Слово «джумал» означает «предложение», «фраза»; «абджад»_— слово, образуемое четырьмя первыми буквами (алиф, ба, джим, дал).
В качестве «цифр джумала» используются буквенные обозначения от 1 до 59.
<—' a 2 J c G
1 г 3 и 4 b 6 8 w
L z s
// 12 13 /4 15 16 Г8 13 26/
X 4 5 J) I
21 22 J3 26 25 25 27 26 29 J 30
r J J J J У Ji u e
3! 32 33 36 35 36 37 38 3S uo
L O-c r r 6 U
47 U2 из 44 35 44 47 38 39 50
1 Aj £
Л £2 53 53 55 56 47 Q 56 53
Особенность этих обозначений состоит в ног, что вместо букв
соответственно пишут
А ‘z
а в числах, обозначаемых двумя буквами, эти буквы особым образом еливаются.
Цифры «джумала» в отлично от «индийских» цифр в арабском тексте пишутся в порядке, обратном нашему,- справа палево; однако мы транскрибируем их цифрами в обычном порядке.
54. Здесь мы так же, как выше (см. 152|), пишем в переводе слово «слева» там, где в оригинале стоит слово «справа», п наоборот. Дело в том, что если «индийские» цифры математики Востока писали в том же порядке, что и мы, «цифры джумала» эти математики писали в соответствии со своим способом чтения справа палево. Сохранение при переводе этого противоположного нашему способу чтения порядка записи шестпдесятеричпых цифр привело бы к,значительным затруднениям в понимании текста, вследствие чего в
398
A. II. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
переводе мы записываем эти цифры в общепринятом у пас порядке, т. о. от высших порядков к низшим,—слева направо. В соответствии с. этим все таблицы, содержащие тестидссятервчные цифры, в пашем переводе зеркально отражены по отношению к таблицам в оригинале, и всюду в дальнейшем, где в оригинале применительно к «цифрам джумала» и содержащим их таблицам стоят слова «слева» и «справа», в переводе они заменены друг на друга.
55. Нуль в шестпдссятеричпой системе Каши обозначает знаком <5. Повидпмому, этот знак произошел от нуля индийских цифр (кружок), к которому сверху прибавлялась черта для отличия его от знака для 5, также имеющего вид кружка.
56. Позиционная шестидесятеричная система счисления целых и дробей, основанная на употреблении двух клинописных знаков для 1 и 10, возникла в древнем Вавилоне ранее, чем за две тысячи лет до пашей эры. Система эта ввиду отсутствия знака пуля была неабсолютной. Запись (в современных цифрах) 25; 12 могла, обозначать 25-60m +12-60п, гдетип—любые целые числа, но т>тг; точное значение числа определялось из контекста. В середине первого тысячелетия для обозначения отсутствия внутренних разрядов по -явился особый знак нуля; теперь запись 25; 0; 12 стала обозначат!. 25-60п+2 -М2-60п. В эллинистическую эпоху греческие ученые стали пользоваться в астрономических вычислениях шестидесятсричнымп дробями, записывая их числители, мепьшис 59, своими алфавитными цифрами; при этом целые числа писались в привычной для греков десятичной системе. Такая смешанная система встречается, например, у Птолемея и Теона Александрийского. Мы находим ее (с применением других цифр и пуля) и у Мухаммеда Хорезми и Иоанна Севильского.
Единая абсолютная позиционная шестидесятиричная система целых и дробей появляется в арабоязычпой математической литера туре. Несомненно, что опа возникла в результате синтеза идей позиционной индийской арифметики, впервые изложенной по-арабски Мухаммедом Хорезми, шест и десятеричного счета дробей, принятого в позднегреческой астрономии, а также старинных традиций шестидесягсричного счета целых и дробей, сохранившихся в районах, некогда находившихся под влиянием вавилонской культуры Наиболее раннее известное описание такой шестидесятсричной системы имеется во второй части небольшого трактата «О началах индийской арифметики» Кушиара ибн Лабана Джили, родом из Гиляпа (к югу от Каспийского моря: по-арабски «Гилян» произносится «Джиляп»), жившего примерно в 971—1024 гг.
Запись 43; 0; 16; 8; 37 секунд означала бы у Джили 43-602 +0-60 т 4-16-60°+8-60-1+37-60-2; числа от 1 до 59 писались в указанной выше алфавитной арабской системе. Читалось это число, как позднее у Каши: 43 дважды поднятых 0 поднятых 16 градусов 8 минут 37 секунд. Таким образом, здесь уже имелись обе «цепи» «восхождения» и «нисхождения» для целых и дробных разрядов (у Хорезми и Иоанна Севильского не было нужды в «поднятых» разрядах, так
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 399
как целые выражались в десятичной системе, т. е. в «градусах»), У Джили описана таблица умножения до 59-59, которую вычислитель должен был иметь под руками, ибо запомнить входящие в се состав 1770=59-30 произведений (вместо 45=9-5 произведений таблицы до 9-9) чрезвычайно трудно. Наши говорит об этой таблице в третьей главе третьей книги «Ключа к арифметике». Джили сообщает также правила составления разрядов произведения и частного, которые (только для градусов и дробей) имелись еще у Хорезми п затем у Иоанна Севильского. Эти правила Каши приводит в греты й н четвертой главах. В единой шестпдесятерпчпой системе Джили производит действия умножения, деления н извлечения квадратного корпя; кубический корень он извлекает в примерах, записанных по десятичной системе. Следует заметить, что Джили не приписывает себе создание единой шес.тидесятеричпой системы, однако сколько-нибудь определенные более ранние упоминания о послсд-iroii неизвестны.
Невидимому, единая шестидесятиричная система применялась только в астрономических вычислениях. Насавп, ученик Джили, в предисловии к своему труду «Достаточное об индийской арифметике» говорит, что книга Джили предназначалась для астрономических выкладок. Об этом свидетельствуют и работы Каши.
Описание единой шестидссятерпчиой системы в изученных до сих пор сочинениях, относящихся к промежутку времени мсжд\ Джили и Каши, не встречается, по в некоторых арабских рукописях второй половины XV века оно имеется. Шестндссятернчпый счет в связи с его ролью в тогдашней астрономии разрабатывали и употребляли мио! не европейские математики XIV—XVI веков, иногда в полном объеме (О. Фииэ, 1494—1555 гг.). Подробности см. в книге 11. Люкея, стр. 40—89.
Нужно заметить, что разрядами «созвездий» и «кругов», нарушающими единство системы и простоту ее употребления,' Каши далее почти нс пользуется и при описании действия умножения рекомендует числа этих разрядов переводить в обычные шестндесятернчные (стр. 114 перевода).
57. В таблице по указан получившийся в результате 1 круг (круг есть 12 созвездий; терминология, очевидно, астрономического происхождения: 12 созвездий Зодиака располагаются по большому кругу небесной сферы).
58. Здесь Каши по существу формулирует единое правило атап==а.т+п для любых целых показателей-«чисел разрядов». «Градусам» он ставит в соответствие разрядное число 0 (аналогично он поступает в пятой главе, где а°=1), а без отрицательных показателей обходится с помощью различения сторон, ио которые распо катаются разряды целых и дробей относительно градусов. Таблица для определения разрядов произведений и частных находится в следующей, четвертой, главе третьей книги.
Отрицательная и пулевая степени (для неизвестной) появляются у Н. ПТюке (1484 г.), дробные—у II. Орссма (XIV век), у которого в своеобразной форме выражены и общие правила действий
400
Л. II. ЮШКЕВИЧ И Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
над степенями. См. Tropf к е, сочинение, указанное в р7], т. II, стр. 104—134.
59. Умножение шестидесятиричных чисел Каши производит с такой же принципиальной простотой, с какой производится эта операция над целыми и дробными числами в позиционной десятичной системе. До создания единой шестидесятиричной системы при умножении записанных в пей правильных дробей или целых с дробями (выраженных частью в десятичной, частью в шестпдссятеричпой системе) множители переводили в единицы низшего разряда, затем перемножали результаты, как целые числа в десятичной записи, и, наконец, произведение переводили обратно в шестидесятиричные дроби пли целые с дробями. Так действовали Хорезми, Иоанн Севильский, Пасави и др. Аналогично поступали при делении и извлечении квадратных корней. См. статью А. II. Юшкевича, указанную в I10], стр. 109, 120.
60. Проверка ( помощью числа 59—60—1 играет в шести десятеричной системе ту же роль, что проверка с помощью числа 9=10—1 в десятичной. Каши пользуется «мерилом» 59 в «Трактате об окружности».
Джили применял в шестидссягеричиых выкладках проверку девятью, не заметив, что здесь все числа, стоящие в третьем и высших разрядах, т. е. Л' (Ю2, делятся па 9 нацело, так что ошибка в этих разрядах нс может быть обнаружена с помощью «мерила» 9. См. кишу II. . Покоя, стр. 80.
61. To-есть о'п : Ср. [58|.
62. Текст в квадратных скобках пропущен в ленинградской рукописи и восполнен по берлинской рукописи (лист 24 об.).
63. В ленинградской рукописи начерчены только поперечные п продольные линии настоящей таблицы, а цифры по вставлены, в берлинской рукописи для таблицы оставлено пустое место. Таблица «первой фигуры» восстановлена нами по приведенному Jюкеем отрывку из рассматриваемых им рукописей (цит. статья, стр. 255 и цит. "книга, стр. 51), таблица «второй фигуры» восстановлена в соответствии с текстом.
64. В ленинградской рукописи вместо настоящей таблицы оставлена пустая страница, в берлинской рукописи для таблицы оставлено пустое место. Условно задачи и таблица восстановлены нами но формулировке этой задачи, приведенной Люкеем по рассмотренным нм рукописям (цит. книга, стр. 52).
65. В ленинградской рукописи начерчены только поперечные п продольные липни настоящей таблицы, а цифры не вставлены, в берлинской рукописи для таблицы оставлено пустое место. Условие задачи и таблица восстановлены вами по формулировке этой задачи, приведенной Люкеем по рассмотренным нм рукописям (цит. статья, стр. 255;в цит. книге, стр. 52, в качестве подкоренного выражения указано не 34 59 17 14 54 23 3 47 36 40 минут, а 34 59 17 14 54 23 3 47 40 минут).
66. См. с гр. 350—360 «Трактата об окружности», где Каши вычислил отношение окружности к диаметру с десятью
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 401
шсстпдссятерпчнымп знаками («до нон»), а затем перевел этот результат в индийские цифры, в которых это отношение было записано с семнадцатью десятичными знаками, т. е. в виде дроби со знаменателем 1U16.
67. Перевод шестидесяторичпой записи целого числа в десятичную, встречающийся еще у Иоанна Севильского, Насавн и Джили, Каши проводит здесь в порядке, очевидном из следующего:
ап- 60" + ап_г • 60”-1 + - • - + а0 =
= {[(Gn"60 -|- °n-i) 60 + а-п-г]• G0 + • • • + О]} «60 + а0.
Любопытно сравнить этот порядок действий с вычислениями по схеме Горнера (см. [ls]).
68. Этот и следующий примеры отсутствуют в ленинградской и берлинской рукописях, по, как указывает Лишен, имеются па полях в рассмотренных им рукописях; так как, начиная с двух предыдущих таблиц, в ленинградской рукописи таблицы п чертежи ие вставлены переписчиком и во многих мостах таблицы отсутствуют ц в берлинской рукописи, мы считаем, что этот пример находился на полях оригинального текста «Ключа». Поэтому мы восстанавливаем эти два примера по приводимому Люксом отрывку из рассмотренных им рукописей (цит. книга, стр. 142 — арабский текст и 115 — перевод).
Заметим, что в случае второго примера во второй строке таблицы стоит шестндесятсричное частное 16 40 от деления па 10 числа 2 46 40, в третьей—частное от деления па 10 числа 16 40 п т. д.
69. Пример отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях и имеется на полях в рукописях, рассмотренных Люкеем (цит. книга, ст]). 142 и 146).
70. Таблица отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях, по для нос оставлено пустое место. Таблица восстановлена по сведениям об этой таблице, при веденным Люкеем в рассмотренных им рукописях (цит. книга, стр. 116). Эта таблица выражает числа а-10" (а = 1, 2, ..., 9; п = 1, 2, 3, ..., 10) в шестидесятиричных цифрах.
71. Таблица отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях, где для псе оставлено место. Восстановлена по приведенной Люксом таблице рассмотренных им рукописей (цит. книга, стр. 117).
Правило Каши проще всего пояснить иа данном примере. Если
8 29 44 х у z
60" + ~602 + '605'= 10" + Т02‘+ Ч(Р + ' ’' ’
то, умножая на 10,
80 , 29-10 44-10 _ у , z
60 • 602 + G03 — + 10 + 102 "1
26 Историко-матем. исследования
402
А. П. ЮШКЕВИЧ II Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
Следовательно, х есть 1 — целая часть левого числа, получаемая при его шестидссятерпчиой записи (ио таблице умножения)
1+а.+лч+2о_
60 60“ 603 '
Далее также оперируем с равенством -114-^4-22 =Д'-4- -^4- ..
60 602 603 10 "Г 102
и т. д.
72.
А=о,1(3), ^.=0,0080(5), ЛЬ = 0,0002 (037) и
8'29"4"' = 0,141 (592).
Капш вполне по-современному «округляет» результат, увеличивая последнюю цифру па 1. Так он поступает в аналогичных случаях и в «Трактате об окружности». Заметим, что дробь 0,141593 является приближенным выражением дробной части числа тс. См. таблицу па стр. 358—359 настоящего перевода.
73? Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, где для нее оставлено место/ Восстановлена по берлинской рукописи (лист 26 об.) и рукописям, рассмотренным Люкеем (цит. книга, стр. 117) 74.
22,56 22 0,56 _ 22 , 33,6 _
и,о'ь~ 60 " 60 + 60 60 602
_ 22 33 0,6
— 60 + 602 4 602
22 t 33 36
60 + 602 + 603 ~
22'33"36"'-
Этот нрпем излагается у Иоанна Севильского.
75. Таблица отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях, но для нее оставлено пустое место. Таблица восстановлена по сведениям, приведенным Люкеем, об этой таблице в рассмотренных им рукописях (цит. книга, стр. 118). Эта таблица выражает дроби а-10 п (я — 1, 2, ..., 9; п = 1, 2,..., 10) в шестидесятеричных цифрах.
76. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, где для нее оставлено пустое место. Восстановлена по берлинской рукописи (лист 46 об.).
77. = 0,1011326786... = 6'4"4"'39n36V...
1236
78. Текст в квадратных скобках пропущен в ленинградской рукописи и восполнен по берлинской рукописи (лист 26 об.).
79. = 0,2588...
ОО
t. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 4U3
80. Эта п следующая таблицы отсутствуют в ленинградской и берлинской рукописях, но для них оставлено пустое место. Таблицы восстановлены но тексту.
81. Локоть (знра‘), сустав камыша (касаба), стожок (ашалл), ступня (кадам), палец (асба‘) — применяемые па Востоке меры длины.
82. Определения Ваши тонки, линии и поверхности совпадают с обычными определениями Евклида. Прямую линию Каши определяет не по Евклиду, ti по Архимеду.
83. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустее место, чертеж восполнен по берлинской рукописи (лист 28).
84. To-есть построением.
85. В ленинградской рукописи для чертежей оставлены пустые места, чертежи восполнены по берлинской рукописи (лист 28).
86. Обозначив на первом чертеже в тексте перевода (стр. 139)
АВ = с, получаем:
и
Отсюда
т. с.
AC — b, ВС = а, AE = h п ВЕ = х,
х2 h2 — с2
(а — т)2 + h2 = Ъ2.
(а — х)2 — х2 = Ь2 — с2,
В случае второго чертежа члены в скобках меняются местами.
Подобного рода применение алгебры в геометрических задачах мы находим еще в алгебраическом трактате Мухаммеда Хорезми, где дастся (при отличных числовых данных) pi пи пне той же задачи,'включая вычисление высоты. Каши, как и Хорезми, не пользуется какой-либо алгебраической символикой и все записывает словами.
87. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустое место, чертеж восполнен по берлинской рукописи (лист 28). Ср. [2ТЗ].
88. Расстояние х места падения высоты треугольника АВС, . с2 — а2 — Ь2
опущенной пз точки А па сторону а, от точки С равно----------
при тупом С, равно пулю при прямом С и равно остром С. В последнем случае угол В острый, а2, угол В прямой, если х—а.
а.2 + Ь2 — с2
2
и угол В тупой, если х>а, т. о.------
а2.
-----Та----- ПР1‘
сеян х<а, т. е. ч24-52 — с2
-----5----->
404
А. П. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
89. См. пример па стр. 138 настоящего перевода.
90. Если В-—примыкающий угол, то опущенная на ВС высота h = с sin/?, отсекаемый высотой отрезок d — c cos В. У Каши синусы и косинусы записаны в шостидссятсрпчпых дробях, причем синус прямого угла считается равным 60.
Последнее нужно иметь в виду во всех тригонометрических правилах Каши. Например, предыдущие формулы у Каши принимают , с sin В , с cos В ви д h = ——7^- , d = .
sin 90° sin 90
Появлявшиеся изредка, начиная с Абу-л-Вафа, предложения принять радиус тригонометрического круга равным 1- (в Европе это советовал сделать Врадвардпп в 13г5 г.) не имели успеха до XVIII вока, и лишь Эйлер (1748 г.) покончил с употреблением «полного сштуса» прямого угла в системе тригонометрических формул, вводя тригонометрические функции как безразмерные числовые отношения отрезков.
91. В случае, когда в треугольнике АВС высота АЕ падает иа основание ВС и углы В и С острые, Каши находит синусы острых углов В и С, так что Л =180°—(В + С).
В случае, когда высота АЕ падает на продолжение СВ и угол АВС тупой, он определяет острый угол С и острый угол АВЕ = В', дополняющий В до 180°, т. с. В = 180° — В', так что Л =180=— (В + С) = В' — С.
В следующих далее примерах первый треугольник имеет стороны 10, 17, 21, а второй—стороны 9, 10, 17.
по о ТР sin Л sin В sin С
92. Здесь Каши использует теорему синусов —— = —у- =~—’ известную, вероятно, с IX века (Баттапп).
93. Формула с2 = (& а cos Q2 + а2 sin2 ссть пс что Ш10е> как теорема косинусов с2 = а2 + b2 -j- 2ab cos С, встречающаяся уже у Хорезмнйского ученого Бярупп (973—1048гг.). Предлагаемая Каши формулировка теоремы, очевидно, связана с тем, что в треугольнике ЛВС опускается высота B.D, а затем используются тригонометрические соотношения между катетами и гипотенузой и теорема Пифагора. В чисто геометрической форме «теорема косинусов» содержится в предложениях 12 и 13 второй книги «Начал» Евклида (о квадрате стороны, лежащей против тупого и острого углов треугольника).
Различение случаев острого и тупого угла связано у Каши с тем, что косинус тупого угла рассматривается как косинус его дополнения до 180°; в это время оперировали только положительными значениями тригонометрических величии. Полная ясность в вопрос о знаках тригонометрических функций любого действительного аргумента была внесена Л. Эйлером («Введение в анализ», т. I, 1748 г.).
48
94. To-есть на .
ЬО
95. Определяя элементы треугольника АВС по данным двум сторонам АВ, АС и острому углу В, противолежащему АС, Каши
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ»
405
применяет теорему синусов. Он ле замечает, однако, что при этих условиях могут, вообще говоря, встретиться случаи, когда имеется одно решение (АС^АВ), два решения (при АС ' АВ и АВ sin В<АС) и когда решения не существует (АС < АВ и АВ sin В > АС). В случае тупого угла В. как известно, решение либо единственное (АС > АВ}, либо не существует. В следующем далее примере Каши решение, очевидно, единственное.
Полный анализ решения треугольника по данным АВ, АС п острому углу В дал впервые Ф. Виет (1593 г.).
96. Если а, Ъ, с— стороны, С— угол, противолежащий стороне с,
ab sin С то радиус вписанного круга r= q .
Эта формула следует из
того, что площадь треугольника может быть записана в виде S=-^ г (а + Ъ -|- с) и в виде 5 = -у ab sin С.
97. Площадь £ равностороннего треугольника со стороной а равна у 3^ ) = .
98. Высота h равностороннего треугольника со стороной а а 1 3 1 Г 1 74
равна —— 11 *^—1/ у'г -
1/3 IV V
99. -V-= 0,4330127 = 25'58"50'"44 37 .
4
101. Из А =4? r-3a = ~ah, где г — радиус вписанного круга, 2 2
h
следует, что г==- .
102. ~- = 0,8660254=5Г57"41'”29/У14У.
103. Радиус R описанного круга равен h—г, т. е.
2 , 2 а У 3 а 1^3 а
3 3 2 о j/y
. . 1 , а „ 1 /" ft2 1 /~а2
104. г=т Здесь г= у |/ .
105. «Ромбоидом» Каши называет параллелограмм, не являющийся прямоугольн ином.
Термин «ромбоиды» встречается в определениях первой книги «Начал» Евклида. О происхождении этого термина, как и
406
А. П. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
некоторых других, папрнмср «трапеция», см. М. Я. Выгоде к и й, «Начала» Евклида, Историко-математические исследования, вып. I, 1048, стр. 227-228.
106. В ленинградской рукописи для чертежей оставлено место, чертежи восполнены но берлинской рукописи (лист 30).
107. Если а — сторона квадрата, то его диагональ
d = а 2 и
а = d, /2 =1,414213562 =
V 2 2
= 1°24'51"10"'71Г4б\ 4= = К^ = 0,707106781=42'25''35'''3П,58У.
/2 2
108. Если а, b
диагонали ромоа, то его сторона равна
109. Если а, Ъ —диагонали «двурукого», делится налью
причем диагональ а диагональю Ь пополам, а диагональ Ъ делится дпаго-а па неравные части 6', Ь", то стороны «двурукого»
+ &'2 и У(^~у + Ъ"2 Здесь =
равны
ab 2
а его площадь равна
— ( Ъ'—
110. Невидимому, Каши здесь имеет в виду, что при данных сторонах «двурукого» 10 и 17 н диагонали 21 отрезки, па которые делит последнюю вторая диагональ, будут 6 в 15, а половина второй диагонали 8 (см. стр. 140 настоящего перевода).
111. Если d — отрезок названной диагонали «двурукого», примыкающий к стороне а, то c2 = hcos-^ , где А — угол, деля-
щийся этой диагональю пополам и прилежащий к стороне а; cos у это синус половины дополнения угла А до 180°.
112. Высота ^трапеции равна высоте треугольника, стороны которого равны боковым сторонам трапеции и разности ее оснований.
ИЗ. Искомое — площадь. Заметим, что здесь речь идет о выпуклых четырехугольниках.
114. Что подразумевается здесь под словом «картина» («пакт»), неизвестно.
I, ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ»
407
115. Пусть Л, Л—два смежных угла неравностороннего многоугольника, обладающего вписанным кругом, г —сторона этого многоугольника, соединяющая вершины А и В. Рассмотрим треугольник ПВО, где О —центр вписанного круга. Углы этого треугольника равны я = у, п 7 —130°—а —8. Обозначим стороны трс-
С другой стороны, из одного нз прямоугольных треугольников, па которые треугольник ЛВО делится высотой, опущенной пз О, находим, что г — a sin Й и, следовательно,.
с sin a sin 3 с sin а
sin a cos В -+- cos а sin В sin а cos 8
----;—5—- + COS а sin 8
Именно эту формулу и дает Наши.
1J б. П шестидесятиричных дробях вычисления проведены 1 1,5 1
с точностью до —-т , в десятичных —с точностью до — .
117. Таблица отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях, по для нес оставлено пустое место. Восстановлена у £ п х 180° ,
в соответствии с текстом по формуле —=—etg—(а—сторона п-уголышка).
118. Таблица отсутствует в ленинградской и берлинской руко писях, по для псе оставлено пустое место. Восстановлена в соответствии с текстом.
119. Таблица отсутствует в ленинградской п берлинской рукописях, но для нее оставлено место. Восстановлена в соответствии с текстом.
120. Слова в квадратных скобках отсутствуют в ленинградской рукописи, по для них оставлено пустое место. Текст восстановлен по берлинской рукописи (лист 320) и приведенному Люкеем. отрывку из рассмотренных рукописей (цит. книга, стр. 140—арабский текст и 111 — перевод).
408
А. П. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
121. Если а — сторона правильного п-угольника, г—радиус вписанного круга, R—радиус описанного круга, то г—--^-ctg-^-
180°
„ « >80» „ a C0S п „ а 1
„ K=_csc — . Здесь г = т----------— п Вэтои
sin --- Sill-----------
п п
абзаце неправлены искажения, имеющиеся в оригинале.
122. «Цифры многоугольника»— это цифры таблиц на
п 180°
стр. 1о5 настоящего перевода, т. с. числа -у-etg----. Так как
4 ° п
z? I с
1S = -yCtg--а2> То а2~--------—Гопе (СМ. I117])-
4 ° п п 180° v L J;
4ctS —.
123. 5 = I etg 30е • a2 = '-Ц5 a2. 3десь £ = = 3 a2.
124. ^=-^- = 2/Зг2. Здесь .S= /127^=2/3 r2. etg 30 ’ r
125. r = y etg 30° =1 . Здесь 2r= j За2 = /‘Га.
126. S' = 2 etg 22°30'-a2 = 2 (1/2) a2, r = ^ etg 22°30', 2r=
= (l + /2)a. Поэтому (2r)2—a2 = 2 (1-f-/2) a2 = 6'.
127. a = —--= 2r (/2-1)= V^W2" —2r.
/2-pl / i \ J
128. В ленинградской и берлинской рукописях для чертежей оставлено пустое место, чертежи восстановлены в соответствии с текстом. В европейской науке линия «стрелы», введенная, так же как линии синуса в косинуса, индийскими математиками, получила у переводчика арабских сочинений Платона из Тиволи (середина XII века) название синуса-верзуса. Очевидно, что sin vers a = 1 — cos a.
129. В ленинградской и берлинской рукописях вместо чертежей оставлено пустое место, чертежи восстановлены в соответствии с текстом.
130. В ленинградской и берлинской рукописях вместо чертежей оставлено пустое место, чертежи восстановлены в соответствии с текстом.
131. В «Трактате об окружности» Каши вычислил отношение окружности к диаметру (т. о. число г) с десятью шестидесятеричными и с семнадцатью десятичными знаками (см. стр. 350 и 360 настоящего сборника.).
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 409
Последние слова абзаца позволяют предполагать, что Каши считал отношение окружности к диаметру числом иррациональным.
132. В ленинградской н берлинской рукописях для чертежа
оставлено пустое место, чертеж с текстом.
133. Так как S=k ’ т0
1 7
известному исчислению» — —
восстановлен в соответствии
4 14
— , а «по нашему
где «по
исчисле-
нию» к = 3°8'29"44'"> -^^О^^'^б"'.
4
134. Таблица отсутствует в ленинградской и берлинской рукописи, по для нее оставлена пустая страница. Восстановлена по сведениям Люкея об этой таблице (цит. книга, стр. 111).
135. Таблица отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях, по для все оставлена пустая страница. Восстановлена по сведениям Люкея об этой таблице (цит. книга, стр. 111).
13G. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, по для нее оставлено место. Восстановлена по берлинской рукописи (лист 34).
137. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, но для нее оставлено место. Восстановлена ио берлинской рукописи (лист 34).
138. Таблица отсутствует в .ленинградской рукописи, но для пес оставлено место. Восстановлена ио берлинской рукописи (лист 34). Здесь г=1 17, =4 1 54 9 28, 5 = 5 102630 856.
139. Таблица отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях, по для псе оставлено место. Восстановлена в соответствии
с текстом.
140. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, по для псе оставлено место. Восстановлена по берлинской рукописи (лист 34 об. .
141. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, по для нес оставлено место. Восстановлена по берлинской рукописи (лист 34 об.).
142. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, по для пес оставлено место. Восстановлена по берлинской рукописи
(лист 34 об.).
143. Если г—радиус сектора, I — дуга, то площадь сектора
М-
144. Так как площадь сектора относится к площади всего круга, как его угол к углу 2тс, то площадь сектора с углом
<х°
Равна зоо^2-
То же выражение мы получим, если будем делить
не па ЗСО, а на 6, и понизим результат на шестидесятиричный разряд. Указание на необходимость понижения на разряд
410
A. IL ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
отсутствует у Каши, так как его, невидимому, интересуют только шестидесятеричные цифры результата.
145. Если г =60, то С = 2кг = 376,8. Здесь S = r^.
14G. Пусть длина окружности есть С, длина, полудуги s; тогда’ длина полудуги, выраженная в 360-х частях С, будет I —
= = • Если принять г=60, то С — 2к -60,
360 о
360.9
2п-60
tcZ 22 22 7
и.и1Шл = т,5 = я! = г+п..
147. Еслп h — стрела, а — хорда, г—радиус, то по теореме Пифагора для треугольника, образованного половиной хорды, высотой, опущенной пз центра круга па ее середину, и радиусом-вектором одного из ее концов, г2 —Г ) + (г—7г)2, откуда
-| = /г2-(г-7г)2 = /[(/—/г) + г]7г.
В тригонометрических обозначениях при г = 1 и угле, стягивающем дугу, равном 2а:
У (2 —sin vers a) sin vers а= (1 + cos а) (1 — cos a) = sin а.
148. S = r.R‘—-r‘ = (H- г) 21tff 22Г'Г
IV. s^f_SL‘ = (s^r)^+^.
150. В этой и следующей задачах Каши применяет линейную интерполяцию.
151. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, но для псе оставлено место. Восстановлена по берлинской рукописи (лист 35 об.): sin 15°21'48" = 0,264939 —15 53 46.
152. Таблица синусов отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях, во для нее оставлена пустая страница. Восстановлена по таблице синусов из «Канопа Мас’уда» Веруни, приведенной в книге Sc ho у С. Die trigonometi ische Lehren des persischcn Astronomen Abu’l Haihan Muhammad ibn Ahmad al-Biiuni, darges-tcllt nacli al-Qanun al-Mas’udi, Ганновер, 1927, стр. 37—39.
153. Чертеж отсутствует в ленинградской и берлинской рукописях, по для него оставлено место. Восстановлен в соответствии с текстом.
154. Чертежи отсутствуют в ленинградской и берлинской рукописях, по для пих оставлено место. Чертеж «барабанообразнои» фигуры восстановлен по..чертежу, приведенному .Люксом по рас-.
I. примечания к трактату «ключ к арифметике» 411
смотренным им рукописям (цпт. книга, стр. 11), остальные чертежи восстановлены в соответствии с текстом.
155. Чертежи отсутствуют в рукописи и добавлены нами для наглядности.
156. Чертежи отсутствуют в рукописи и добавлены нами для наглядности. Заметим, что Каши называет «многоугольными цилиндрами» то, что мы называем призмами; то, что он называет «многоугольными конусами», мы называем пирамидами.
157. Чертежи отсутствуют в рукописи, но добавлены нами для наглядности.
158. Чертежи отсутствуют в рукописи, но добавлены нами для наглядное тп.
159. Если мы обозначим радиусы нижнего и верхнего оснований усеченного конуса через R и г, а длины прямолинейных образующих полных конусов, разностью которых является усеченный конус, через L и I, то площадь боковой поверхности усеченного конуса равна S = r.RL— izrl. По в силу пропорции R:r = L:l мы имеем RL— rl = (R + r)(L — I), откуда 61 = (нА + кг) (А— I).
160. Длина образующей, соединяющей вершину конуса с точкой, радиус-вектор которой составляет угол с радиусом-вектором кратчайшей образующей, равпа (г sin <f)2 + [а + г (1 — cos с)]2 + 7г2, где г — радиус основания, с — проекция кратчайшей образующей на плоскости основания, h — высота конуса. Здесь г sin <?—«первое отмеченное», г (1—cos <f) — «второе отмеченное», (1 — cos <х>) — «стрела», а — «третье отмеченное», «4-с(1 — cos<f) —
«четвертое отмеченное». Величина а нахо- J
дится следующим образом: по теореме коси- / \
пусов для треугольника, образованного / \
длиннейшей и кратчайшей образующими / / /
L и I и диаметром основания, косинус угла / / /
между нижним основанием и кратчайшей L / / . ,
„ „ (2г)2 + 72 — А2 / / /
ооразующеи равен —(2г) I—»П0Эт0тже / / /
a L2 — l2 — ^r2 /r(i-cosw) /
косинус равен —а=----------------__________________ / а
v 1 Г (А+ 7) (А-7) 9 "I
В тексте а — у ---------------• rSLncp
Применяемый здесь Каши прием вычисления боковой поверхности наклонного конуса представляет собой попытку приближенного интегрирования, однако ввиду того, что Каши неправильно вычисляет площадь своих «элементов»—узких треугольников, ограниченных двумя близкими образующими конуса и малой дугой окружности основания конуса, его прием вычисления принципиально неправилен. Ошибка Каши состоит в том, что произведение боковой стороны узкого треугольника па малую лугу окружности основания наклонного конуса, вообще говоря, отличается от площади этого треугольника па малое того же порядка, что и площадь треугольника.
412
А. П. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
161. 6'=-.(2г)2^, 5' = 4кг2, S = 2~r-2r, S^2~r-r + 2rr\
162. «Первая величина»— хорда а, соединяющая вершину сегмента с точками окружности его основания. Сторона правильного шестиугольника, вписанного в это основание,—радиус г этого ос-
теоремы Пифагора высота сегмента h— ]/а.2— г2 : R, где 7?—радиус шара. Здесь
новация. В силу
Отношение h : а равно отношению
п
163. «Второй раствор» это — диаметр круга, проведенного па поверхности шара, если измерять его в плоскости этого круга. Смысл построения Каши состоит в следующем: пусть концы этого
диаметра — точки Л, Л, а центр круга — точка С. Нам известна только длина отрезков АВ и ВС. Задавшись отрезком АВ и проведя около точек А, В два круга радиуса ВС, мы найдем точку С как одну из точек пересечения этих кругов. Если О—центр шара, то ввиду симметрии построенных нами кругов относительно линии ОС точка О найдется как точка пересечения линий, соеди-
няющих точки пересечения этих кругов с произвольным кругом с цент) ом в С (у Каши этот круг также имеет радиус ВС). Половина диаметра Шара — любой из отрезков О А, ОВ, ОС.
В ленинградской и берлинской рукописях вместо чертежа оставлено пустое место. Чертеж восстановлен в соответствии с текстом.
164. Если Л —радиус шара, h — высота сегмента, то площадь поверхности сегмента 6' равна 2п Rh. Здесь S = r.a2, где а— расстоя-
ние от вершины сегмента до окружности его основания
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 413
165. Еслп г—радиус основания сегмента, то r2 + hz = az и 7*2 7*® -|-
-у + /г=——= — = 27?. В ленинградской и берлинской рукописях Вхмссто чертежа оставлено пустое место, чертеж восстановлен в соответствии с текстом. Слова в квадратных скобках отсутствуют в ленинградской рукописи, но имеются в берлинской рукописи (.чист 38 об.).
166. Шестой раздел пропущен в ленинградской рукописи. Восстановлен по берлинской рукописи (лист 38 об.). Еслп г —радиус шара, а угол между плоскими гранями «ребра шара» равен А, площадь боковой поверхности ребра шара равна 2Arz = 2r-Ar; Аг — длила дуги большого круга, стягиваемой углом А.
167. Пусть высота конуса CD — II, радиус основания DB = r, образующая СВ = 1, п перпендикуляр из D иа образующую
есть DE = h. Тогда пз подобия треугольников /7= --
Т7 1 о гт 11 1
И И = — 717’“// = — 7ГГ1.
168. Если мы обозначим данную прямолинейную образующую через I, радиус основания через г, ось («стрелу») через 7г, а угол
между прямолинейной образующей и радиусом основания через ?., то из теоремы косинусов находим, что hz — lz -\-rz — 2Zrcosa, откуда
414
А. п. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
г COS а =
/г2 тг
— . Искомая величина равна г sin а. Здесь она рав-
(h + r) (h—r) 'y
— (г cos а)2—г) 1 — cos2 а.
I
2
169. Если мы обозначим радиусы нижнего и верхнего основании через R и г, а высоты полного и усеченного конуса через Н, /?., то из пропорции Н : h = R: (R— г) найдем, что 11 — -^^ .
170. Если мы обозначим радиусы нижнего и верхнего оснований усеченного конуса через R и г, высоты полных конусов, раз-
ностью которых является усеченный конус, через Н и /г, а длины прямолинейных образующих этих конусов через L и I, то объем 7 конического избытка равен 1
объему большого конуса — ~Р1Ч1, из которого вычтены объем малого конуса -утНк и объем конуса, основанием которого является верхнее основание усеченного конуса, а высотой—его высота, т. с. -|- № (II—7г). Поэтому 7 = T.RHI-
V = —т. (R2— г2) Н. С другой
h г
И H~R’
1
откуда xL = HR,
1 1
—— 7tr2A — у № (II — 7г), откуда стороны, опустив перпендикуляр х на прямолинейную образующую, имеем (ср. [1С7]), что
xl = hR — Hr. Поэтому 7 = -^- г. (R2 — „ (RL—rl)— боковая поверхность
171. Избыток ромбического конических избытков с одним и прямолинейными образующими. Поэтому если 7ц 72—-объемы этих тел, S2 — их боковые поверхности, а х— перпендикуляр, опущенный из центра нижнего основания па образующую, объем 7 избытка ромбического тела равен т =^i — 72= (3\ — S2) х, но
81~ ^2 — боковая поверхность
Но
усеченного конуса.
тела является разностью двух и тем же пижпнм основанием
верхней части ромбического тела.
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 415
ТЕ 8 75 11
172. У = —(tZ)3 = —тг3. «По известному исчислению» — = — •
6 ' b J 6 21
по «нашему исчислению» - = 0с31'24"57"'2(/у. о
173. Это — знаменитая теорема Архимеда.
174. Объем V сектора шара радиуса г, если боковая поверх-
1 пость сегмента равна S, равен К=—67.
О
175. Каши рассматривает здесь все пять правильных многогранников и два из тринадцати введенных Архимедом полупра-вильных многогранников. Это: 1) тетраэдр (четыре грани, являющиеся равносторонними треугольниками, и четыре вершины); 2) октаэдр (восемь гранен, являющихся равносторонними треугольниками, и шесть вершин); 3) куб (шесть гранен, являющихся квадратами, и восемь вершин); 4) икосаэдр (20 граней, являющихся рав-Ш)сторошп1мл треугольниками, и 12 вершин); 5) додекаэдр (12 граней, являющихся правильными пятиугольниками, и 20 вершин); 6) кубооктаэдр (14 граней, из которых восемь равносторонних треугольников и шесть квадратов, и 12 вершин); 7) икосидодекаэдр (32 грани, из которых 20 равносторонних треугольников и 12 правильных пятиугольников, и 30 вершки). Кубооктаэдр можно рассматривать как куб, у которого срезаны его вершины в виде тре-
угольников, пли как октаэдр, у которого срезаны его вершины в виде квадратов, а икосидодекаэдр—как додекаэдр, у которого срезаны его вершины в виде треугольников, плп как икосаэдр, у которого срезаны его вершины в виде пятиугольников. Чертежи отсутствуют в рукописи, по добавлены нами для наглядности.
176. Если г—радиус описанного шара, то ребро тетраэдра рав-
2 г~ 2 г-
по — г у 6, высота грани равна г у 2, площадь грани равна — г2 }' 3,
объем равен с3 |^3. Здесь ребро равно |/ —(2г)2, высота грани
равна у у (2г)2, объем равен ~ • 2г • у у (2r)2 j/' Ip (2г)2.
177. у/6=О,8164996С=ОР48'59''23''Ч5/У41У, =0,70710678=
= (Р42'25"35'"31У53У.
178. Если г—радиус описанного шара, то ребро октаэдра равно г j/2, высота грани равна у г площадь грани равна yr2j/3, объем равен — г3. Здесь объем равен 2г-г-— или —'О о
(2г)2.-А-2г. о
416
A. 11. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
179. 2г = с/2. /2 = 1,414213562= 1С24'5Г'Ю"'7/У46У
180. Если г—радиус описанного шара, то ребро куба равно
2 — 1 /~~1
- г /3. Здесь ребро равно |/ — (2г)2. Объем куба равен кубу его ребра.
181. -
-L = 0,5773503 = 0°34'38"27"'39?у29у.
V з
Если г—радиус описанного шара, то ребро икосаэдра
182.
равно г 1/10 (5— ]/ 5). Здесь ребро равно
2 1 г г-------------
+ 4(2г)2 = -1 50-10 I 5. о а
183.
184.
—1 \/ ю (5— /б) = 1с10'32"3"'131У 94у
2 у 5
1_.£ 1/10(5— /5) = 31'32"37"'54гу 13У
2 О
185. Радиус шара, вписанного в икосаэдр, равен Г l/l--^(3-/5). г Ю
186. 4 1/1-15 (5~ Г/3) = 23'50"22"'41ГУ2бУ
137. Если г—радиус описанного круга, то ребро додекаэдра равно — г (/15 — /3). Здесь ребро равно I/ 5-у-^-(2г)2 — -/44 <^=//4-/)
188. 4_.А (/15— /3) = 0,3568221 = 0°2Г24"33"'34гу 17у
1 __ _ /15 4- /з
189. Если а = -?г(/15—/3), то г = 3я----15ZZ3 =
— 2 а (/15 + /3). Здесь 2г =/З^я+ |/^ а2-]—----•
190. Число 0°10'33"23"'45ту 58v равно половине отношения перпендикуляра, опущенного из центра кубооктаэдра на центр квадратной грани, к диаметру описанного шара, а число 0°16'19"<7"'45ТУ 13у равно двум третям отношения перпендикуляра, опущенного пз центра тела па центр треугольной грани, к тому же диаметру.
I. Примечания к трактату «ключ к Арифметике» 417
191. Если г—радиус описанного шара, то ребро икосидодекаэдра
равно -~-г (1/5—1). Здесь ребро райпо
192. Число 8'30"23'"21ту 50V равно трети отношении перпендикуляра, опущенного из центра мкослдодекаэдра на центр ею пятиугольной грани, к диаметру описанного шара, а число 9'10"20"' 12n 18V равно трети отношения перпендикуляра, опущенного из центра тела на центр ого треугольной грани, к тому же
194. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, но для нее оставлена пустая страница. Восстановлена но берлинской рукописи (лист 41 об.).
Говоря о «Началах», Каши имеет в виду «Начала» Евклида, в XIII книге которых изложена классическая греческая теория о правильных многогранниках. О разни гни этой теории, а также учения о полу правильных многогранниках см. комментарии Д. Д. Чордухай-Болтовского и И. II. Веселовского к русскому переводу: «Начала» Евклида, кп. XI — XV, AI.— ,'Г, 1950.
195. В этом месте в ленинградской и берлинской рукописях оставлено пустое место без чертежа.
196. «Блестящие пользы оснований арифметики» (ал-фава‘ид ал-бпха‘ ийя фи-л-кана‘ ид ал-хпеабийя») -трактат багдадского ученого XII — XIII веков Имададднпа Хаввама. Рукопись этого трактата находится в Берлинской государственной библиотеке (№ \\ell29). О нем см. Ahlwardt, книга, указанная в [’], стр. 334.
197. «Весы мудрости»—трактат мервского ученого XII века Абу-л-Фатха‘Дбд-ар-Гахмапа Майсура Хазини. Об этом трактате, см. примечания к математическим трактатам Хайяма в VI выпуске «Историко-математических исследований», М., 1953,
стр. 168—170.
198. Кпмаладдин Хасан Фарси—иранский ученый XIII— XI\ веков, автор комментариев к «Оптике» выдающегося египетского физика и математика XI века пои Хайсама и к указанному трактату Имададднпа.
199. Таблицы отсутствуют в ленинградской рукописи, ио для них оставлены две пустые страницы. Восстановлены по берлинской рукописи (лист 43) с той разницей, что вместо слова «сандал» в этой рукописи стоит слово «золото». Исправление сделано по рукописи «Весов мудрости», указанной в [1971.
200. Архитектурная глава «Ключа к арифметике» представляет значительный интерес не только для истории математики, ио и для истории архитектуры. Глава содержит изложение способов 27 Исторпко-матем. исследования
418
V П. ЮШКЕВИЧ Н Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
построения и измерения таких весьма широко распространенных в зодчестве стран Ближнего и Среднего Востока архитектурных форм и конструкций, как стрельчатые арки, своды, купола и сталактиты. Арки, своды и купола полу чпли широкое распространение и в русской и в западноевропейской архитектуре, сталактиты же (мукариас) являются специфической архитектурной деталью зодчества средневекового Востока. Сталактиты представляют собой систему расположенных в несколько ярусов и нависающих одни над другими многогранных призм с плоскими пли кривыми гранями. Образованные сочетанием призм ячейки создают живописную игру светотеневых пятен В целом сталактитовые композиции нано мипают известковые сталактиты пещер, откуда они и получили свое наименование в русской в западноевропейской .литературе. Первоначально сталактиты представляли собой конструктивный прием для перехода от помещения с квадратным основанием к перекрывающему его круглому куполу. Для этой цели служили выпущенные в углах помещения ряды кирпичной кладки, нависшие друг над другом. Впоследствии сталактиты постепенно превратились в декоративный прием для заполнения внутреннего прострап ства портальных шин, украшения карнизов, балкончиков минаретов и т. д. Сталактитовые композиции обладают огромным многообразном художественных форм.
Значение настоящей главы для истории архитектуры определяется тем, что архитектурной’пауке крайне мало известно о той предварительной проектной работе, которая предшествовала воз ведению монументальных сооружений средневекового Востока. Настоящая глава является первым известным пауке документом, характеризующим математическое обоснование гех приемов построения указанных архитектурных форм и конструкций, которыми и были вооружены зодчие средневекового Востока для осуществления своих архитектурных замыслов. (Примечание Л. С. Бретани цкого.)
201. Этот и следующие четыре чертежа отсутствуют и в ленинградской и в берлинской рукописях, но для пих оставлено место (в ленинградской рукописи в третьем и пятом чертежах проведены прямые линии). Чертежи восстановлены в соответствии с текстом.
202. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, где для псе оставлено место, и восстановлена по берлинской рукописи (лист 44 об.). Приведенные здесь цифры вычислены Каши в следующих таблицах.
203. Вместо слова «разделим» в обеих рукописях ошибочно написано «умножим». Площадь «частей арки. входящих в стену» определяется следующим образом: в случае 1-го и 2-го фасадов, деля радиус внутренней дуги первой секции ЕГ) па радиус внешней iyrn этой секции ЕМ —ED \-DM, мы получаем косинус угла МЕТ (линия ЕТ нс проведена), стягивающего дугу МТ. По косинусу находим угол МЕТ в градусах. Умножая полученное значение па к и у щоепный радиус дуги и доля па 360, получим длину дуги МТ. Умножая эту длину снова на радиус дуги, получим удвоенную площадь сектора МЕТ. Умножая синус той же дуги па ее
1. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К А.РИФМЕТИКЕ» НУ
радиус ЕМ=ЕТ и па радиус ED, получим удвоенную площадь треугольника EDT. Вычитая удвоенную площадь треугольника из удвоенной площади сектора, получим удвоенную площадь фигуры J\1TD, т. е. площадь «частей арки, входящей в стену». В случае 3-го и 4-го фасадов точку 7: следует заменить точкой Е п в случае 4-го фасада точку Л/ следует заменить точкой L.
204. Эта и следующая таблицы, eo;iej жащие вычисление цифр, приведенных в предыдущей таблице, также отсутствуют в ленинградской рукописи, где для них оставлено место, и восстановлены по берлинской рукописи (листы 45 и 45 со.). В первой таблице вычисляется длина «линии вогнутости» арки в предположении, что пролет арки равен 2. Воловина «линии вогнутости» состоит из дуг CD и CF. В случае 1-го фасада дуга ('D имеет радиус I и стягивается углом С>0°, поэтому ее длина равна длине < к| ужпостп радиуса 1 деленной па 6. Дуга СЕ имеет радиус 2 и стягивается углом CHF—E11F, вычисляемым следующим образом: в треугольнике EHF известны угол FEIJ—150° и стороны III. I u НЕ— 2, sin/7/:// sin/:/7//
откуда по теореме синусов —=—~ТСг находится угол ГР И и угол EI1F получается вычитанием углов FEH и /.7'7/ из 180°. Но углу СНЕ находится дуга CF, и длина «липин вогну гости» равна удвоенной сумме длин дуг CD и CF. В случае 2-го фасада дуга CD стягивается углем 45° и также имеет радиус 1. а дуга СР имеет радиус 1 -ф-1' 2. В случае 3 го фасада дуга CD также стш ннается углом 45° и имеет радиус!—, а дуга СЕ имеет радиус }z2.
Замечание между таблицами говорит о том, что если дуга была получена в градусах, то для того чтобы найти ее длину при единичном радиусе, следует умножить ее па 2п и разделить на 3(>0.
Во второй таблице вычисляется разность между « шпион выпуклости» и «.чинной вогнутости» арки, «нижняя высота выпуклости», «толщина выпуклости» и площадь отверстия арки. Половина «линии выпуклости» арки состоит из дуг 1ZL, 1.0 и прямолинейного отрезка ON. Так как разность двух дуг радиусов г и г 6, стягиваемых одним и тем же углом % равна о<х, разность дуг J/7. п CD равна произведению толщины арки ла дугу радиуса 1, стягиваемую тем же углом, и такой же вид имеет разность дуг 7,(7 и CF. Отрезок ON равен произведению толщины арки па тангенс угла 0FN, называемого Каши углом «миндаля». В таблице приведены суммы длин дуг радиуса 1, стягиваемых теми же углами, что и дуги CD и СЕ, и тангенса угла 0FN. «Нижняя высота выпуклости», т. о. линия ЕЕ, в случае 1-го и 2-го фасадов находится пз тре-
sin FEH угольника EHF по теореме синусов -----
Г Н
smEHI^ EF
а в слу-
чае 3-го фасада пз треугольника FXH находится линия FX, дающая EF в сумме с /?_¥=—. В таблице приведены значения половины
линии EF. «Толщина выпуклости», т. е. линия FH, равная раз-
420
\. 1(. ЮШКЕВИЧ И В. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
пости «верхней высоты выпуклости» ЕП и «нижней высоты выпуклости» EF, является частным от деления толщины а] кп FO на косинус угла «миндаля» OFF. Площадь отверстия арки вычисляется следующим образом: в случае 1-го и 2-го фасадов произведение длины дуги CJ) на ее радиус ED равно удвоенной площади сектора CED, произведение длины дуги FC на ее радиус СИ равно удвоенной площади сектора FIJC, произведение стороны EF па высоту, опущенную из вершины II треугольника 11EF на эту сторону, равно удвоенной площади этого треугольника, и площадь отверстия арки равна сумме удвоенных площадей секторов без удвоенной площади треугольника. В случае 3-го фасада таким же образом получается площадь отверстия арки с удвоенной площадью треугольника ЕВХ. В таблице приведены значения четверти площади отверстия арки. Числовые данные в обеих таблицах приведены без исправлений за исключенном нескольких явных описок.
205. Числа 5 43 27 и 933 пропущены в обеих рукописях и восстановлены путем вычисления: если пролет арки равен 1, то отпо-1
тонне АМ=-^ к CF=2 равно синусу угла ACF—CFAE Вычитая угол ACF из угла у1С'£)=45°, получим угол FCD, откуда, зная, что радиус дуги DF равен | 2, найдем эту лугу, а умпежая эту цугу па тот же радиус, найдем удвоенную площадь сектора E)CF. Произведение CF= 2 на косинус угла ACF равно сумме AC— I и высоты арки ЕЛЕ Площадь тр< угольника Д1СА", где X—испока-завпая па чертеже, точка пересечения линий АЛТ и CF, равна половине произведения квадрата стороны АС— 1 на тангенс угла ACF, площадь треугольника FЛ1Х равна половине произведения квадрата стороны F Л1 па тот же тангенс,, а площадь треугольника ACL) равна половине квадрата АС—1. Площадь фигуры г ЛТЕ равна площади сектора без площадей треугольников FA1X и OCX, послед-iiiiii из которых равен разности площадей треугольников ACD и АСХ, а площадь всего отверстия арки равна удвоенной площади фигуры Fi\lD.
20(). Чертеж отсутствует в обепх рукописях, но для него оставлено место (в ленинградской рукописи проведено несколько прямых линий), и восстановлен в соответствии с текстом. Здесь вычисляется площадь фасада арки, половина которой равна сумме площадей кольцевого сектора FDKE и фигур KD1 и 1JFL. При определении дуги ED, равной произведению ее радиуса CD па стягивающий ее угол FCD в градусах и на 2тг, деленные на 3G0, Каши вместо того, чтобы множить па 2к и делить на ЗВО, умножает на л и делит на 3, не оговаривая, что результат следует понизить на П1сстидесятсрич11ый разряд (ср. [141]ф
Здесь же вместо слов «разделим пролет арки на CD» в обеих рукописях написано: «разделим пополам квадрат DK, т. е. толщины арки, прибавим корень из этого к пролету, разделим сумму на CD». Это место неправлено, так как угол 1СК равен разности углов ICA и КСА. первых! из которых есть арккосинус отношения АС к СТ, а второй—арксинус отношения AD к CD.
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 421
207. Здесь Каши находит поверхность и объем купола с помощью приближенного интегрирования, разбивая купол па слои, которые приближенно можно рассматривать как круглый конус н как усеченные круглые конусы.
208. Чертежи отсутствуют в ленинградской рукописи, по приведены на полях берлинской рукописи (лист 46 об.).
209. Чертеж отсутствует в обеих рукописях, по для него оставлено место. Восстановлен в соответствии с текстом.
210. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, где для нес оставлено место, и восстановлена но берлинской рукописи (лист. 48). Слова в кавлратных скобках, для которых в рукописи оставлено пустое место, восстановлены в соответствии с текстом.
211. Алгебра и ал.мукабала (ал-джабр ва-л-мукабала; дословно: восполнение н противопоставление)—первоначально термины, обозначающие две алгебраические операции—перенос вычитаемых выражений из одной части равенства в другую в виде прибавляемых и сокращение равных слагаемых в обеих частях равенства. Операции встречаются в «Краткой книге об исчислении алгебры и ал-мукабалы» Хорезми. Эти термины окончательно стали названием алгебры как науки в сочинении (.'мара Хайяма «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы» (см. русский перевод в VI выпуске «Историко-математических исследований», XI., 1953, стр. 15—66). От этого термина происходит и паше название алгебры.
212. Текст в квадратных скобках пропущен в ленинградской рукописи и восстановлен по берлинской рукописи (листы 48 в’ 19).
213. (5.с2 + 100— Юг — аД) -г (.г3 +3.с2 т 6.т — -|2—5)- 8.т2-Г 95—
1 ,
---„—4.с. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 49)
214 В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 49а).
215. В оригинале—«слева»; мы переводим «справа» в соответствии с расположением таблицы.
216. В ленинградской рукописи для таблиц]»! опав ieiio пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 49).
217 Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, по для нее оставлено пустое место. Восстановлена по берлинской рукописи (лист 50) и приведенной Люксом таблице из рассмотренных им рукописей (пит. .книга, стр. 58).. .
218. В оригинале—«слева»; мы переводим «справа».
с 219. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено место, таблица восстановлена..по берлинской рукописи (лист. 50).
220. 1 ленинградской рукописи для таблицы оставлено нустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 50)
422
A. II. ЮШКЕВИЧ II Б. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
221. ^ж’3 —ж24-2ж4-5 ——
(ж3 2ж2 — х — 4) = ж6 4- ж5 — х1 4-
4-6ж3 4- Нт2— 15ж—19 4* д/ • В ленинградской рукописи для таблицы оставлено нустое место. Таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 50а).
222. 25жл 4-20ж3 4-4ж2 — 5ж24-2ж. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена ио берлинской рукописи (лист 51).
Кати основывается здесь н далее на разложении квадрата целого многочлена, расположенного в порядке роста или убывания показателей степени.
223. В ленинградской рукописи для таблицы ославлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 51).
224. Таблица отсутствует в ленинградской рукописи, но для нее оставлено место. Восстановлена по берлинской рукописи (лист 51а).
225. Таблицы отсутствуют в ленинградской рукописи, но для них оставлено пустое место. Восстановлены по берлинской рукописи (лист 51а).
226. Таблицы отсутствуют в ленив градской рукописи, но для них оставлено нустое место. Восстановлены но берлинской рукописи (лист 51а).
227. О «Шести известных алгебраических задачах» см. [®]. О комментаторе «Блестящего трактата» Камаладдпне Фарси ем. [18S|. Шарафаддип Мас‘удн—математик, работавший в XII — XIII веках в г. Тусе (Хорасан), один из учителей Иасирэддипа Туси. Девятнадцать кубических уравнений: <7ж3 — a, dx3 — bx, dx3 = cx2, dx3 =• bx p a, dx3 — cx2 4- a, dx3—cx2-}~bx, dx3-'ra — bx, dx3-\-a — cx2, dx3 4- bx—a, dx3 + bx = ex2, dx3 4- еж2 — a, dx3 4- ex2 = bx, dx3 — ex2 4-4-6ж-|-«, dx3 4- b 4- « = еж2, dx3 4- ex2 4- a = bx, dx3 4- ex2 4- bx = a, dx3 + a — ex2 ~'r bx, dx3 + bx —ex2 + a, dx3 4- еж2 = bx 4- «Классификация этих уравнений, изложение способов их решения с помощью пересечений окружностей, равносторонних гипербол и парабол и указание случаев невозможности и нескольких корней были впервые изложены в трактате Омара Хайяма «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы». Так как известно, что Насирэддии был знаком с математическими работами Хайяма я развивал дальше его идеи, возможно, что упоминаемый Камаладднпом трактат Шарафаддлпа представляет собой изложение результатов алгебраического трактата Хайяма, может быть, без упоминания его имени, и что именно Шарафаддип был посредствующим звеном между Хайямом и Наспрэддпном.
Здесь и далее следует иметь в виду, что Каши, как и его предшественники, рассматривал только положительные корни уравнений и, значит, лишь те уравнения, которые имеют положительные корни.
Г. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
423
228. Шестьдесят пять (а не семьдесят) биквадратных уравнений: ех4 — а, ex4 — bx, ех4 — сх2, ex4 — dx3, ex4 — bx-\-a, ех4 — сх2-\-а, ex'1 — dx3 4 a, ex1 = ex2 4 bx, ex1 = dx3 4 bx, ex4 = dx3 4- ex2, ex4 -f- a = — bx, ex4-i-a = cx2, ex'1 a = dx3, ex4 + bx = a, ex4 + bx — cx2, ex4 4 bx = dx3, ex4 4 cx2 = a, e.r4 4 ex2 — bx, ex4 4 ex2 — dx3, e.x4 4 dx3 — — a, ex4 -P dx3 = bx, ex1 4 dx3 = ex2, ex1 —ex2 4bx + a, ex4 = dx3 4-+ bx 4 a, ex1 = dx3 -p ex2 4 a < f,x1 = dx3 4 ex2 -P bx, ex1 4 bx 4 a = ex2, ex4 4 bx ~p a — dx3, ex4 4 cx2 4 a — bx, ex1 ex2 4 a — dx3, ex4 + dx3 + ^-a = bx, ex1 4 dx 4 a — cx2. e.r1 4 ex2 4 bx = a, ex4 ' ex2 4 bx — dx3, ex4 4 dx3 4 bx = a, ex1 4 dx3 4 bx — e.x2, ex1 4 dx3 4 e.x2 — a, ex1 4 dx3 4 4 ex2 = bx, ex4 4 (i - ex2 4 bx, ex1 4 et — dx3 4 bx, ex1 4 a — dx3 4 cx2, ex4 4 bx = ex2 4 ci, ex1 -\-bx. — dx3 4 «• ex' 4 Ьл = dx3 4 cx2, ex,4cx2 = = 6x4 о, cx4 4 ex2 -- dx3 4Ю ex4 4 ex2 — dx3 4 bx, ex’ 4 dx3 = bx 4 e • ex1 4 dx3 — ex2 4 a ex1 4 dx3 = 'x2 4 bx. ex1 — dx3 4 ex2 4 bx2 4 о• ex14 dx3 4 cx2 4 bx = a, ex1 4 dx3 p cx2 - ‘i — bx, e x1 4 dx3 4 bx 4« -— ex2, ex1 4 ex2 4 dx 4 a = dx3, cx4 4 a = dx3 4 e.x2 4 bx. er4 + bx— — dx3 4 ex2 4 ci, ex4 4 ex2 = dx3 4 bx 4 ч • ex1 4 d P3 — ex1 4 bx 4 c. ex1 4 bx 4 « — dx3 4 ex2, ex4 4 cx2 a -- dx3 4 bx, ex' 4 dx3 4 a = = ex24^r> e.r,4<‘x2 ’- bx = dx3 4 '>, < x2 44 6 c = cx2 - a. ex* 4 -p dx3 4 ex2 = bx 4 ci
Названное Kanin число биквадратных \ равнений не совпадает с их действительным числом: это указывает, невидимому, на то, что Каши нс закончил классификацию и изложение способов ре шення биквадратных уравнений. Методом решения Каши, вероятно. так же как у Хайяма, было пересечс пис коннчеч них сечений.
Об отдельных примерах геометрического построения корней уравнений 4-й етоисвн см. примечания к математическим тракта там Хайяма («Псторпко-математнческпе исследования», выи. VI, стр. 139) п Mieli А-, La science, arabc cl son role dans Г evolution scienlilique mondialc, Мейдсл, 1939, стр. 107.
229. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место: восстановлена но берлинской рукописи (лист 52 об.).
230. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место; восстановлена по берлинской рукописи (лист 53).
231. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место; восстановлена ио берлинской рукописи (лист 53).
232. Если 4 сх’1+г 4 Ьхп 1 -+- ахп = 0. то 4 сх2 4 Ьх 4- а = 0. п—т .—
233. Если pxn = qxni• то хп~т = — - и х— 1/ —- . /' Т Р
234. «Правило двух ошибок» («ал-хаттейи») -правило двойного ложного положения (regula duorum falsoruin европейских математиков).
Ранняя история правила ложного положения известна пока далеко не полностью. Правило одного ложного положения, применявшееся к задачам, выражаемым уравнением ах~с, состоит в том, что вместо х полагают определенное х1( после чего вычп-
СЖ1 г г
сляют ах! = с3 и находят х=—- . Невидимому, это правило
424
А. П, ЮШКЕВИЧ И Б.'Л. РОЗЕНФЕЛЬД
ВОЗШГКЛО в связи со стремлением взбежать сложных действий с дробями в задачах, выражающихся уравнешиши, вроде
Лл+^ + ...+^у=с;
\ <И <?2 ЯП J
в качестве хг брали некоторое кратное всех знаменателей. Употребление такого приема можно усмотреть в древнеегипетских папирусах. Впоследствии, например в древнеиндийских рукопи сях, это правило применяется и в задачах вроде
х + 2х + 3 (2а;) + 4 [3 (2ж)] = 132;
132
здесь хг берется равным 1, Сх — 33 и х — ~^ = 4 (мы записали задачу в современной алгебраической символике). При отсутствии сколько-нибудь развитой символики, и особенно знака неизвестной величины, широкое применение такого механического приема было естественно.
Правило двух ложных положений применялось к задачам, выражающимся уравнениями ах-\-Ь = с. Полагая х = хх, а затем х = х2 и обозначая «.Tj-f-b — сх, ах2-\-Ъ — с2 соответствующие две «ошибки» с — Cx — dx, с — c2 = d2, имеем:
x-ido — x2dy Х== d2 — dx '
Впервые правило двух ложных положений встречается в арабских рукописях XIII и более ранних веков. Возможно, что опо индийского происхождения. Из арабских рукописей правило перешло в средневековую европейскую литературу и изла)алось в качестве основного (наряду с тройным) правила в большинстве учебников арифметики до XVIII века включительно, иногда и в учебниках XIX века. Такая популярность правила двух ложных положений связана была с тем, что оно давало простой алгоритм решения любых линейных задач с одним неизвестным, без содержательного анализа и без пользования алгебраической символикой, которая стала постепенно развиваться в Европе лишь с XV века. Только с включением в программы средних школ алгебры (XIX век) это правило исключили пз арифметических курсов. Интересно заметить, что правило двух ложных положений довольно легко распространяется и на более сложные задачи, выражающиеся определенными линейными системами уравнений с несколькими неизвестными. Примеры такого применения ..правила имеются в русских математических^ рукописях XVIL века (см. Бобынин В. В., Очерки развития физико-математических знаний и. России, вып. I; М., 1886,. стр. 98 — 104).
. Правило, двух ложных положений для линейных задач состоит в..точной линейной., интерполяции • неизвестного’, по двум еш.нрит блпжспным значениям.. И.Ы’.видели, что .такой, же приближенный интерполяционный прием издавна применялся для отыскания значений .трнгонометрнческих величин ‘ или их аргументов ио сосед
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 425
ним значениям, имеющимся в таблицах. Линейная интерполяция сохранила важное значение, и в современной практике приближенных вычислений. Опа обычно излагается в курсах численных методов анализа.
Основное отличие предлагаемой далее Кант формулировки правила двух ошибок от современной состоит в том, что он различает два варианта правила соответственно двум случаям: 1) Ci, с2 оба больше или меньше с и 2) с заключается между с1? с2. Различение этих двух вариантов (и некоторые обороты речи Каши) связано с употреблением только неотрицательных чисел. В первом случае Каши делит разность произведений па разность ошибок, во втором—сумму произведений на сумму ошибок. Различение этих случаев, естественно, сохранялось в арифметической .литературе и позднее.
235. Следует подчеркнуть совершенно правильное указание Каши, что правило двух ошибок является точным лишь в линейных задачах.
236. - i/ab.
,, _ аг?— п г— тп — тп г~,— га?г ,-----------
237. а- }/b — |/ ап у/ апЬ"1.
239. Здесь рассматриваются уравнения Р (x) = Q (.г), где Р(х), Q (.г)— многочлены, которые приводятся к виду ахп — Ъх11'1, так что
после этого- находитсяР (гг).
Болес ранний способ, о котором говорит Каши, это прием извлечения квадратного корпя из многочлена (стр. 231 и след, настоящего перевода).
240. 1 + 2-г-3 + .. ,+п —/? ("2+ .
241. 1+3 +-5 + ... + (2п + 1) = (ц + I)2.
242. 2 + 4 + 6 + ... + 2п = п (п + 1).
243. 2+ 6 + 10+,.. + (4п + 2) = 2(л + I)2.
244. 6 + 10 + ... + (4?г + 2) = 2 (п + 1)а — 2 = 2п (п + 2).
245. Это правило выражает общую формулу арифметической прогрессии. Если. .прогрессия состоит из п членов at, ..., ап с разностью d,_ то «n== aj + (/г— 1) d и сумма прогрессии- S равна п .
-^-(«i + On). ‘-ч
Определять ап по о.0, п, d и сокращение. думлшровать арифметическую прогрессию умели еще древние египтяне в древние вавилоняне примерно за восемнадцать . веков до нашей эрьк Суммирование рядов 1 + 3 + 5 + ...4-(2п + !) = («•+1)2 п ,2 + 4+...+'2п —
A. 11. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
= п (п-р 1) производили ранние пифагорейцы (середина V века до п. а.). Правило для произвольной арифметической прогрессии было хорошо известно грекам к III веку до и. э. Примерно тогда ;ке этим правилом владели индийцы. См. Cantor И., Vorlesungen fiber Geschichte der Malhenialik, т. I, Яейпциг, 1906; Выгодский M. Я., Арифметика и алгебра в древнем мире, \1,- Л., 1941 и статью Singh A. N., указанную в [22].
246. Это правило выражает формулу суммы ряда чисел et = J, °2 “ а1 4" d + 1, <ig ~ (i 2 ~1~ 2d1, .... ап = Он—1 4~ (п — l)rfd-l. Сумма с 72(п + 1) / । (п — 1) d Д Г п (л + 1)
6 этого ряда равна ——- ( 1 + — ) ——.у—- есть
сумма чисел 1, 2, 3, .... п — «сумма таких же чисел в естественном порядке»].
Числа, рассматриваемые здесь Каши, названы были древними греками многоугольными: л-е А угольное число ап есть сумма членов прогрессии
I + ]1 + (А--2)] + [1 -р2 (А- - 2)] + ...-р [1 + (/г —1) (А-—2)] =
и
= т|2 + (/?.-1)(А--2)].
Треугольные числа 1, 3, 6, 10, ... были введены древними пифагорейцами; Аг-угольиые встречаются у Гинспкла во II веке до и. э.; ряд свойств А-угольных чисел изложен во «Введении в арифметику» Ппкомаха (II век н. э.). Терминология здесь связана с геометрическим представлением Аг-угольпых чисел точками, лежащими в вершинах фигу]), образуемых правильными А-уголь-нвкамл, расположенными некоторым определенным образом. Сумма п первых /с-угольных чисел называлась n-м А-угольиым пирамидальным числом.
Общее правило Суммирования ряда А-угольпых чисел приводится у древнеримских авторов первых веков нашей эры, несомненно заимствовавших его нз греческой .литературы; затем опо встречается у индийского математика IX века .Магавпры и в средневековой китайской математике. Суммирование это связано со суммированием арифметической прогрессии и ряда натуральных квадратов. См. Cantor М., цит. соч., т. I, стр. 5 8 и Singh А. Г ., цит. соч.
247. Сумма прогрессии 1 -t-2-f-4-]-... + 2П“1 равна 2п—1.
248. Папомним, что «четно-четные числа»— степени двойки, начиная с первой. Здесь 2 + 4 +- ... + 28==510.
249. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место: восстановлена по берлинской рукописи (лист 56 об.).
251. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место; восстановлена по берлинской рукописи (лист 57) и по при
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 427
веденной Люксом таблице из рассмотренных нм рукописей (цит. книга, стр. (it).
252. .$ = 14-24 4+ ... 4-211 = 4095, так как 2п = 28-22-2 = = 2s22 • 22 • 2 = (256) • 4 • 2 = 2048, .$ = 212 -1 = 2 • 2048 — 1 = 4095.
253. 1.2+2.3-НМ+ ...+„(B + l)=^±l.>£i±a. здесь
2 (п 4" 1) (« 4” 2) f .
— п- —----~. Суммирование этого ряда тесно связано
с суммированием ряда квадратов, так как 1 -2 4- 2-3 4- ... 4- п (п 4-1) = = Р4-22 4-...4-«24-14-2-1-...4-?г. Ср. [2-«].
254. 1 • 2 • 34-2 3 • 44-3 4 • 5+ . . . Д-п («4-1) («4-2) =
(«4-1) («4-2) Г (zi4-1) (« + 2) . I .
— л----—!—L л---------'-----------1 # Колее удоона оыла оы
<1х,рму.ш ^М->+1)(п + 2)(п + 3)
255. 1+У + 3=+../4„, = 1I1±WL±1). здесь -Ц+А .
6 2
2п 4-1
X—у- •
Правило суммирования ряда натуральных квадратов А' = 12 [-4- 22 4- ... п2 = Jj- 4-у (1 4- 2 4- ... 4- п) встречается в древневавилонских текстах (см. Выгодский М. Я., соч., цит. в [245]). Архимед нашел сулему квадратов членов любой арифметической прогрессии в связи с вычислением объемов и площадей пското-а
рых криволинейных фигур, равносильным вычислению х2 dx
о
(см. Вплейтпср Г., Хрестоматия но истории математики, перевод 11. С. Юшкевича и А. П. Юшкевича, М.— Л., 1935). Далее сумма натуральных квадратов встречается у Ариабхатты в V веке л аналогичная сумма для арифметической прогрессии у Магавиры в IX веке (Sing h A. N., цит. статья). Китайский математик XI века Шэиь Ко применил формулу суммы квадратов натуральных чисел для суммирования ряда ab 4- (а 4-1) X у (Ь 4-1) 4-... 4- [« 4- (гг — 1)] [6 L (п — 1)] (см. статью Стой Чунь-фана «Древнпс математики Китая и их достижения» в китайском журнале Кэсюэ Дачжун, 1953, Л» 11).
94- I 193.003 , “ _L 3_«2(«4-1)2 о Zn(«4-l)V 2о6. 1 -р 23 4- 3 Д- ... 4~ «- — ——/-• одесь ( -\ .
У Ппкомаха (II век и. э.) в связи с изложением свойств фигурных чисел указывается, что ври разделении ряда нечетных чисел на последовательные группы с 1, 2, 3, ... членами имеют место равенства 1 —I3 , ЗД-5 = 23, 7 4-9 4-11 = 33 и т. д. Отсюда легко получается формула суммы кубов, которая в явном виде
428
А. П. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
встречается, однако, лишь в относящейся примерно к той же эпохе римской землемерной литературе. См. Cantor V., цпт. соч., т. I, стр. 432 в 559.
Далее формула суммы кубов для натуральных чисел встречается у Арнабхатты, а для членов любой арифметической прогрессии у Магавиры (Singh А. К., пит. статья). Формулы суммирования квадратов и кубов приводятся и в арабских рукописях (например, у Кархи и лбп-Хайсама около 1000 г.; ср. р57]).
2S7. р + 24 + зы...+п'=[А(!Ьгнф_^+.^+1)1 х - 1г ('* + !) (2га + о
6
Формулу суммирования ряда четвертых степеней натуральных чисел вывел ибн-Хайсам при вычпелеппп объема вращения прямого сегмента параболы вокруг оси, перпендикулярной к се оси симметрии; вычисление это равносильно вычислению интеграла а
\ х'1 dx. См. Suter II., Die Abhandluiig uber die Ausmcssung
0
des Paraboloides von Ibn al Ilaitbain, Bibliotheca mathemal ica, 3-я серия, т. 12, 1912, стр. 289 — 332.
Суммирование рядов высших степеней натуральных чисел предпринято было математиками Х\ II века (11. Ферма, Б. Кавальери, Б. Паскаль, Дж. Валлис и др.) в связи с задачами па квадратуры «.
и кубатуры, приводящими к вычислению хп dx, где п— пату-
0
ральпое число. См. об этом Цейтси Г., История математики в XVI—XVII вв., перевод II. С. Новикова, под ред. М. Я. Выгодского, .VI.— Л., 1938. ,
0-0 1 о , з , п хП 1 —х п •г-д”—ж (а;’г — 1)ж
2а8. х + + ж3 + ... -J-хп~-——— . Здесь---, х------,
х -1 .г—1 х—1
- 37
-----р-|-а:п. О суммировании геометрической прогрессии в древнем
Египте (знаменатель 7) и древнем Вавилове (знаменатель 2) см. книгу М. Я. Выгодского, указанную в [245]. Общее правило суммирования геометрической прогресс ни содержится в предложении 35 IX книги «Начал» Евклида (кн. VII — X, стр;-97), и безусловно было известно грекам ранее III века до и. а. В индийской литературе это правило встречается у Магавиры.
2а9. Если х < 1, тб S = х 4- х~ + ж5 -р ... + ,тп = ——т Поэто-
1 — х
-• р / р xn*l pqn— рви
MV нри*=А .f/ 4 ^2- JgETL : qn
\ q 1-..Д 7—Л 7—7»
• 7 7
I. ПРИМЕЧАНИЯ К TPAKT.kTS «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ
429
260. а2тг-.:"а2~'' .
261. Если т = 2W1 + 2Ж2 + ... + 2W + 1, то а’» = .
262. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место; восстановлена по берлинской рукописи (лист .58 об.) и но приведенной .Люкеем таблице из рассмотренной им рукописи (цит. книга, стр. 61).
263. Здесь и далее Капш формулирует ряд свойств равенств и неравенств отношений величин плп чисел, изложенных в «Началах» Евклида, V книга которых посвящена обшей теории отношений величии, а VI! — IX — снецналыю теории отношений целых чисел. Некоторые правила Каши у Евклида отсутствуют.
Примечательно, что Каши формулирует свойства пропорций для величин и чисел вперемежку, между тем как у Евклида они строго отделены друг от друга. Каши здесь не касается вопроса о том, можно ли рассматривать любое (в частности, несоизмеримое) отношение двух однородных величии как число. «Ключ к арифметике» не содержит доказательств и теоретических рассуждений — это практическое руководство для вычислителей, торговцев, землемеров, строителей и т. д. Tcopiя пропорций здесь привлекается для последующего решения задач. Вместе с тем ясно, что Каши рассматривает число в том широком смысле, какой это понятие начало приобретать j его предшественников Хайяма л Пасирэддипа. Об эволюции античной теории отношении см. примечания ко второму трактату Хайяма в VI выпуске «Псторнко-математнческих исследований». Ср. I11].
Терминология правил 23 — 23 соответствует русскому переводу «Начал» (кп. 1 — VI, стр. 143—144).
266. Еслп b
, до a2d = b3 и ad2 = c3 (так как сс = й2, с а
bd = c2, ad=bc).
267. Еслп — =—го Ь = а2, с = «3, d = a' п г. д.
abed
Q - ----
— , то ac — b2, bd — c2, у ac-bd — ad — bc. d
268. Если -у-— — Ь с
43О А. 11. ЮШКЕВИЧ 11 Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Если даны отношения у и — , то по античной терминологии
а с составленным из них отношением называется отношение ---------- .
b а а а „ а а а
Отношение- называется двойным, отношение -—,—троп-ft b bob
ным и т. п. Канит употребляет без различия термины отношение н частное, двойное отношение и квадрат частного (см. правила 38, 43, 44). Ср. [263], а также «Начала» Евклида, кн. I — XI, стр. 143 и примечания ко второму трактату Хайяма в VI выпуске «Историко-математических исследовании», стр. 1(>3—164.
271. Если стоимости некоторых количеств двух видов товаров с одинаковой мерой (веса и т. и.) одинаковы, то цена единицы первого товара относится к цепе единицы второго товара, как количество второго к количеству первого.
,..n h
272. Если ахп — Ьлт, то — =— . хт а
273. (« + b)2 — а2 + 2аЪ 4- Ъ2, а2 — Ь2 — (а 4- ft) (а— Ь).
Первое из этих равенств представляет собой алгебраическое выражение предложения 4 второй книги «Начал» (квадрат, построенный на отрезке, равен сумме квадратов, построенных на его частях, и удвоенного прямоугольника на этих частях). Теоремы, непосредственно соответствующей второму равенству, у Евклида нет. См. «Начала», кн. I — \ I, стр. 311—312.
Вторая книга «Начал» содержит начала учения о метрических свойствах фигур— так называемую «геометрическую алгебру» древних греков, о происхождении и назначении которой см. примечания II. 10. Т и мч е и к о к книге К э д ж о р и Ф., История элементарной математики, Одесса, 1917, стр. 373 и сл., а также Ц сите и Г.. История математики в древности и Средние века, перевод И. С. Юткевича, М.— Л., 1938, стр. 42—48. Ученые Средней Азии и Востока перевели геометрические предложения второй книги па язык современной им числовой алгебры и арифметики. Точно так же опп поступали с теоремами десятой книги «Начал», посвященной исследованию свойств различных квадратичных иррациональностей. Ср. Tropfke X., соч., цит. в [17], т. II, стр. 155—157.
274. Если а -|- b = 2с, то ab 4- (с — а)2 — с2 и а2 4- Ъг = 2с2 4- 2 (с — а)2. Ср. предложение 5 и соответственно предложение 9 второй книги «Начал» (кн. I—VI, стр. 65—67 и 71-73).
f ъ X2 Z ь X2
275. (а + Ъ) ‘ Г|РеДложсппе вго
рой книги «Начал» Евклида (кн. I — VI, стр. 67—68).
276. Подробно развитое учение о дробных отношениях, corn
ответствующих иррациональным выражениям типа ап , встречается в Европе у II. Оресма в XIV веке. См. Cantor АТ, цит. соч., т. II, Лейпциг, 1899, стр. 133—137.
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ»
431
„„-ft3 / а \3 ап / а
2'7' ) : п‘т',ЩС! = '
0-0 г- - ° -Г
2/8. Если а - данное число, z--оолыпая часть, то — =--- ,
х а —х
l/o2 ,г
откуда х— корень уравнения х2 + ах -а2 —О и х = I/ -у+«2— -^~=
1 5 — 1 /5— 1
— а -— -- . Из исходного отношения видно, что а — х = х - ,
у/5-1 1/5+I . . . 1/5+1
1ак как ----у- -------— I, находим, что х — (а — х) --?— —
= (а-х) 1<5~1 +(й—г). См. [’-*+
279. 0,GL803399 = 0=37'4" 55"'20* v29r39vz.
t__yf5~l= 0,38196601 = 0°22'55"4"'39/у30у21у/.
280. Задача о делении отрезка в крайнем и среднем отношении, алгебраически выражающаяся квадратным уравнением, встречается в ряде геометрических построений л имеет основное значение в теории правильных многоугольников и мноюгранннков. Геометрическое решение задачи дано было, вероятно, древними пифагорейцами. Задача неоднократно встречается в «Вачалах» Евклида: построения отрезков даются в предложении И второй книги и предложении ЗА) шестой книги, затем первое построение используется при построении правильных 5- и 15-угольников в предложениях 10, 11 и 16 четвертой книги («Начала», кн. I — VI, стр. 75 — 76, 213, 132—134, 140—141). В XIII книге делению в среднем и крайнем отношении посвящен ряд теорем,
.Г - / а 2
например, предложение 1 |в наших ооозначениях ( х + J = = 5^-|-^ J , предложение 6 (доказательство квадратичной иррациональности обеих частей отрезка в случае его рациональности), предложение 9, относящееся к построению правильного десятиугольника, предложение 16 о построении икосаэдра, предложение 17 о построении додекаэдра («Начала», кн. XI — XV, стр. J05—106, 110—111, 114—115, 127—136).
Делению отрезка в среднем и крайнем отношении, которое Леонардо да Винчи назвал золотым сечением и которое представляет определенный интерес для архитектуры л живописи, посвящена была очень большая литература (см. Т и м е р д и и г Г. Е., Золотое сечение, Птг., 1924).
281. Так называемая теорема Пифагора, известная, впрочем, еще в древнем Вавилоне (предложение 47 первой книги «Начал» Евклида, кн. I — VI, стр. 58).
432
A. JI. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
282. Предложение 1 шестой книги «Начал» Евклида (кп. I—VI, стр. 174).
283. Предложение 35 третьей книги «Начал» Евклида (кп. I — VI, стр. 116).
284. Совершенное число определяется как число, рапное сумме всех своих делителем, кроме него самого. Евклид доказал, что числа вида
(1 Ч- 2 -4- 22 + ... +2Р~1)2Р-1,
где первый множитель, а значит р— простые («первые») числа, являются совершенными (предложение 36 девятой книги «Начал»; кн. VII — .X, стр. 98-—100). Пн Евклид, ни Каши не оговаривают условия, что р— простое (без выполнения этого условия 2'’—1 = — 1 + 2+22.+2Р-1 будет составным). Об истории учения о совершенных числах см. примечания Д. Д. Мордухай Болтонского и 11. 11. Веселовского к «Началам» (кп. VII — X, стр. 348 — 356).
285. Дружественные числа, встречающиеся впервые у поздних пифагорейцев (ок. 300 г.), определяются как пары чисел, каждое из которых есть сумма всех делителей другого. Арабский математик IX в. Сабит ибн Корра установил, что числа М — 2np-q и А' = 2п-г, где р = 3-2п— 1, д — 3-2’1-1—1, г = 9«22п-1-—1 — простые, суть дружественные. См. Т г opfke Y., соч., цит. в [17], т. I, стр. 110.
У Кант здесь q— «первое нечетное» 1 , Р— «вто-
рое почетное*», рд— «третье нечетное», r—p-\-q+pq.
286. В ленинградской рукописи таблицы отсутствуют (с самого начала листа 95 об. начинается четвертая глава пятой книги). Таблицы в я'стаисвлспы ио берлинской рукописи (лист 61а).
287. Каши, как и другие математики Средней Азии, не пользуется какой-либо алгебраической символикой. Это придает решению всех его примеров с помощью «алгебры и алмукабалы» громоздкость, котором читатель легко избежит, переводя условия па язык современной алгебры.
288. Такой прием решения задач посредством обращения действий и их порядка часто встречается в старой индийской математике. См. Кэджори Ф., соч., указанное в [273], стр. 106—107.
289. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист. 64).
290. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 64).
291 Задача неопределенная, приводящаяся к системе
а; 4-74-2 = 3, 4а.- 4- 20 г/ 4- 30-з = 60.
Несмотря на некоторые указания Каши при решении по первым двум способам («зададимся весом самого дешевого» и т. и.), он не отмечает со всей ясностью, что задача имеет бесчисленное множа-
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 433
ство решении. Требование задаться таким значением х, которое 3.30—60 30 „ 30 „
меньше——7~ = г- ооъясняется тем, что при . оыло бы оО — 4 2и 26
у <10. Эта и предыдущая задача—задачи на «правило смешения», прообразом которого была решенная Архимедом задача о сплаве, составлявшем корону царя Гиероиа. См. Белл юс тин В., соч., указанное в [12], стр. 186 —189.
292. Если дни работы первого, второго, третьего работников
х 4 х 3 5 5
соответственно х, у и z, то — = -^, — = — и ?/=— х, z = — х,
v 5 z 5 J 4 3
откуда- x + y-\-z — ( 1 + 1 A Л а- —зо} х=_30, а.-=АА = 7 ,
4 3/ 1Z 4/4/
5 450 „27 5 600 .„36 lr г х , у
2=УЖ=ТГ=1247- ° 30 ~ ЙО ~
_3l-G0-1 13
30 —47—1 47 ‘
В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 65).
293. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (.чист 66).
294. Пусть 10 ='« + ?); требуется найти рациональные решения уравнения
и2<г>— Z2 (пли и2 — u-j-10 = Z2).
Каши по существу полагает и = тх, ъ~2тпх -\-п2, где т, п— какие-либо целые числа; тогда рациональны х, и, v, а вместе с тем I2 - = и2 + V — (тх 4- п)2 есть квадрат рационального числа.
Задачи на решение в положительных рациональных числах уравнений вида
/2 = а2и2 < Ъи 4-е
решал еще Диофант в конце III века и. э. Говоря по-современному, он для рационализации у^а2//2 4-Ьн-|-с полагал Z —au-|-z;
2 2_Q
после этого и = ~^—п ПРИ тсх или иных рациональных z можно получать бесчисленное множество положительных рациональных решений данного уравнения. Диофант ограничивается отысканием какого-либо одного решения, по метод его носит общий характер. См. Цсйтен Г., соч., указанное в [273], стр. 168.
295. Систему
z-’ = .t4-3 А ,
и2 = х—з -А,
для которой ищутся рациональные решения, Каши сводит к уравнению Z2—и2=7, которое решает аналогично предыдущему. Сходные 28 Историко-матем. исследования
Ш А. ГГ. ЮШКЕВИЧ 11 Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
задачи решались па Востоке значительно ранее. Ср. решение системы L2 = х2 + 5, и2=.х2, — 5,
найденное в начале .XIII века выдающимся учеником восточных математиков Леонардо Пизанским (Ц е я т о и Г., соч., указанное в [?7:!], стр. 168—169, 211—212). При решении «с помощью пзве-7—z2
сгпых правил» Каши полагает и——------- , тогда t=u-[-z. Это реше-
ние легко получить, положив в (z-|-u) (Z—н)=7 разность I—u~z,
Y_—2
так что l-\-u=z-\-2u и и=——. Каши берет z=2.
296. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист. 66).
297. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена но берлинской рукописи (лист 66).
298. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 66а).
299. В ленинградской рукописи для’таблпцы оставлено пустое место. Таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 66а).
300. Общим наименьшим кратным чисел 16, 15, 30 является по 60, а 30. В ленинградской рукописи вместо таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 67 об.).
301. (Рале—мелкая медная монета на средневековом Востоке.
302. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена но берлинской рукописи (лист 68).
303. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена но берлинской рукописи (лист 68 об.).
Заметим, что неопределенные задачи такого рода обошли в (’редине века всю учебную арифметическую литературу Востока и Европы.
304. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 68 об).
305. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустее место, таблица восстановлена но берлинской руконши (лист 69).
306. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустее место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 69).
307. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустее место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 69 об).
308. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое м сто, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 704
309. В ленинградской рукописи для этой и следующей таблиц оставлено пустое место, таблицы восстановлены по берлинской рукописи (лист 70).
Задачи такого рода имеются в русских рукописях XVII века, где они решаются по правилу дв\ х ложных положений. См. В о-б ы и и п В. В., соч., указанное в [234], стр. 98—104.
I. ПРИМЕЧАНИЯ lx ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 435
310. Цифры «сляка»—цифровая скоропись, употребляющаяся на Востоке главным образом в торговле для записи денежных подсчетов. Цифры «симка» выработались из скорописного' написания арабских слов, обозначающих числа. Эти цифры приведены в книге Да раба д и Г. А., Каллиграфия (на азерб. языке), Ваку, 1953, стр. 192—207. В ленинградской рукописи для нтой и следующей таблиц оставлено пустое место, таблицы восстановлены но берлинской рукописи (лист 70 об.).
.311 . В ленинградской рукописи для таблиц оставлено пустое, место; первая таблица восстановлена ио берлинской рукописи (лист 70 об.), для второй таблицы в берлинской рукописи места не оставлено, таблица восстановлена по аналогии с таблицей задачи о пяти человеках.
312. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, а в берлинской рукописи (лист 70 об.) таблица не дописана до конца. Таблица восстановлена но аналогии с таблицей задачи о четырех человеках.
313. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена ио берлинской рукописи (лист 71).
314. В ленинградской рукописи для таблицы остав.тепо пусто»' место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 71 об.).
3'15 . В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 71 об.).
316. В ленинградской рукописи для таблицы оставлено пустое место, таблица восстановлена по берлинской рукописи (лист 71 об.).
317. Раздел содержит не восемь, а семь примеров.
318. Если обозначим имущество через г, а наследственную долю каждого из сыновей через у, то первое завещанное равно »/,
1 (ж X п
а второе завещанное равно "у! -у—-у )• (йгстода находим, что
о 1 ( х Л 8 11 33
х=?>у + у+-у ( -у — у 1, т. е. — х= — у и .<•= —<у. Принимая затем у = 9>, находим, что первое завещанное равно 8, имущество 33, а второе завещанное 1. В ленинградской рукописи для таблицы н чертежа оставлено пустое место, таблица и чертеж восстановлены по берлинской рукописи (листы 72 об. и 73).
Задачи па раздел наследства занимают очень видное место в сочинениях ио алгебре, начиная с Мухаммеда Хорезми.
319. Если обозначим завещанное через х, а наследственную долю каждого из сыновей через у, то все имущество равно ж-J-Зу
1 / х + Зу X 2 7
и но условию задачи х = у—— I —--------.г \, откуда —-у=— х
6 „ г
п г = -у-у. Принимая затем у= /, находим, что завещанное равно (>.
В ленинградской рукописи для таблицы и чертежа оставлено пустое место, таблицы и чертеж восстановлены по берлинской рукописи (лист 73).
320. Если обозначим имущество через х, а долю дочери через у, то, так как доля дочери считается равной половине роли сына, 28*
436
А.. II. ЮШКЁВИЧ 11 В. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
доля сына и равное ей первое завещанное равны 2г/, третье завс-4 L / х X
щапноо равно -у- у, а второе завещанное равно — ( -.у—2у \ —
'ю 2 ос 2
= yj---у У- Отсюда находим, что х = 2у + Зг/ + 2у + — -- у + — у,
8 23 G9
откуда -^ъ= — у и х=—у. Полагая г/ = 24, находим, что х = 207, 9 3 о
доля сына в первое завещанное равны 48, второе завещанное равно 7, третье завещанное равно 32. В ленинградской рукописи для этой и следующей таблиц оставлено пустое место, таблицы восстановлены по берлинской рукописи (лист 73 об.; вторая таблица в берлинской рукописи нс закончена).
321. Шариат—мусульманское законоучение.
322. Так как в нашей задаче сумма завещанного, равная 484-4-7 4-32 = 87, оказалась больше трети имущества, равной 69, будем (читать «необходимое», т. е. доли прямых наследников, равным 87-2 = 174, или, чтобы освободиться от дробей, 174-5 = 876. Тогда доля сына равна 870--^-=348, доли 1£ех дочерей равны 870--^-=522, первое завещанное равно 48-5 = 240, второе завещанное равно 7-5 = 35, третье завещанное равно 32-5 = 160. В ленинградской рукописи для таблицы и чертежа оставлено пустое место, таблицы и чертежи восстановлены но берлинской рукописи (лист 74; таблица в берлинской рукописи не закончена).
323. Если обозначим имущество через х, а долю дочери через у, то, так как доля сына считается равной двум долям дочери, а доля каждого из родителей считается равной полутора долям дочери, доли сыновей равны 2у, доли каждого из родителей Зу, первое завещанное, равное доле сына, равно 2у, второе завещанное х х 3
равно — — у, третье завещанное равно ------^-у, а четвертое заве-
1 г х л 1 / 2 ’\ 2
щапноо равно -= — (ж—9г/) = =-( 9 г/—х 1 = 3?/ — “ х. Отсюда
о L *3 J О Оу о
‘jc ос 3 2
находим, что х=2у 4- Зг/ 4- 4г/ 4- 2у + -- — г/4-у У + Зг/— х, 77 23 23-45 гг
откуда qqx=3:~2 у и х = ' 77 ' у' 1Годагая г/ = 154, находим, что х=
= 2070, доля каждого из родителей равна 231, доля сына и первое завещанное равны 308, второе завещанное равно 191, третье завещанное равно 183 и четвертое завещанное равно 2. В ленинградской рукописи для этой и следующей таблиц оставлено пустое место, таблицы восстановлены по берлинской рукописи (.чисты 74 и 74 об.).
324. При правильном распределении Зейд, Амр, Бакр, Хадид
и Валид должны
30 получить соответственно
J 8/
20 15 12 10
87’ 87’ 87 И 87
I. ПРИМЕЧАНИЯ К ТРАКТАТУ «КЛЮЧ К АРИФМЕТИКЕ» 437
имущества. Если мы обозначим то, что судья взял у них, через х, то, так как судья должен дать каждому поровну, после выполнения 30 х 20 х требования судьи у них осталось соответственно g_— ,
ItS ос 12 iz* 10 ос
— п =—-г- . По условию задачи то, что судья берет 87 5 87-5 8/ 5 J J
1111 v каждого из наследников, равно соответственно ~г , -гг • —
2 3 ' 4 о
их первоначальных долей. Поэтому первоначальные незаконные
\87
доли наследников равны соответственно
х \ 3/20 х \
5? ’ Т <87“ТД
10 х 1/15 х \ _ 5 х 1/12 жД 3 х = 87’~’W ’ У <8Т—5j~ 87“—То ’ Т<~87'~’5 Д87~20
1 /10 2 х „ 50 137
и — ( —р- ) = ж^—тл . Сумма этих выражении равна
о \ 87 5 J 87 2а 8/ 300
50 437 15 000
Ото равно х, откуда — и х = О'7~т^ имущества, (.читая о / oUU о / •/
имущество равным 87-437 = 38 010, мы находим, что ж=15ОО0. а доли наследников при правильном распределении равны соответственно 13 110, 8740, 6555, 5244 и 4370, а при первоначальном распределении равны соответственно 20 220, 8610, 4740, 2805 и 1644. В ленинградской рукописи для этой п следующих двух таблиц оставлено пустое место, таблицы восстановлены но берлинской рукописи (листы 74 об. и 75). В последней таблице все числа записаны цифрами «сияка».
пп- р о 9 i О.З' __ О' ,
32о. Если а — имущество, то Зх-' + х—а, а--|- -- = ;
<5 о
326. Если второе завещанное есть х, то 4^333-g- — х2 J-f-x = = 1000, 333-1- + ж = 4.г2, 83 ,1--4--^-=а;2. Далее, переходя к десятпч-
1
иым дробям и приближенно принимая -у за 0,3333, Каши получает, что х «= V83^3489 + 0,1250 9,1295 + 0,1250 = 9,2545.
327. Раздел содержит нс восемь, а семь примеров.
328. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустое место, чертеж восстановлен ио берлинской рукописи (лист 76).
438
Л. П. ЮШКЕВИЧ И Г>. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
329. Такое название теоремы Пифагора произошло от перевода греческого слова хбрсст,, встречающегося применительно к этой теореме в византийской литературе. Слово vopcr, означает: невеста, нимфа, но также: молодая пчелка, крылатый муравей. Крылатая фигура ирямоуго.чьного треугольника с построенными па его сторонах квадратами действительно несколько напоминает пчелу ir.ni муравья в полете. См. Кэджорп Ф., соч., указанное в [273], ст]). 139. Задача рассмотренного здесь Кант типа встречается в несколько отличной форме еще в китайской «Арифметике в девяти отделах», II век до и. а. (см. Mika mi Y., соч., указанносв [181, стр. 23).
330. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустое место, чертеж восстановлен по берлинской рукописи (лист 76). Ио предложению 3 третьей книги «Начал» (кн. I — VI, стр. 83—84) перпендикуляр СИ, опущенный из центра круга на хорду BD, делит со в точке И пополам. Но предложению 13 второй книги «Начал» (кн. I, стр. 77 — 78), равносильному теореме косинусов для остроугольных треугольников:
п BIB + Dl'^ — BE2 9 + 9—16 2 1
Cr>=DL cos Т>=-----.
Из подобных треугольников DGE, DHC находим, что = ,
откуда DC = DH.^-=[1—=1 1_.9=13~ .
T
331. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустое место, чертеж восстановлен но берлинской рукописи (лист 76 об.).
332. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустое место, чертеж восстановлен ио берлинской рукописи (лист 76 об.).
333. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустое место, чертеж восстановлен по берлинской рукописи (лист 77).
Эта задача (с другими числовыми данными) имеется у Кар-хи. См. Попов Г. 11., Сборник исторических задач но элементарной математике, М,— Л., 1932 (задача ,М 179).
334. Здесь цитируются следующие предложения из «Начал» Евклида: предложение 6 шестой книги (кн. В—VI, стр. 181): «Если два треугольника имеют одни угол, равный одному углу, и стороны при равных углах пропорциональные, то треугольники будут равноугольны п будут иметь равными углы, стягиваемые соответственными сторонами»; предложение 4 шестой книги (ки. I—VI, стр. 178): «В равноугольных треугольниках стороны при равных углах пропорциональны и соответственными будут стягивающие равные углы»; предложение 27 первой книги (кн. I—VI, стр. 39): «Если прямая, падающая на две прямые, образует пакрест-лежащпе углы, равные между собою, то прямые будут параллельны друг другу»; предложение 33 первой книги (кн. I—VI, стр. 44): «Прямые, соединяющие е одной и той же стороны равные и параллельные [прямые], н сами равны и параллельны».
II. ПРИМЕЧАНИЯ К «ТРАКТАТА ОБ ОКРУЖНОСТИ»
439
335. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустое место, чертеж восстановлен но берлинской рукописи (лист 77об.).
336. В ленинградской рукописи для чертежа оставлено пустое место, чертеж восстановлен но берлинской рукописи (лист 78).
337. Здесь цитируются следующие предложения из «Начал» Евклида: пре сложение 1 шестой книги (кп. I—VI, стр. 174): «Треугольники и параллелограммы, находящиеся под одной и той же высотой, [относятся] друг к другу как основания»; предложение 37 первой книги (кп. I — VI, стр. 48): «Треугольники, находящиеся на том же основании и между темп же параллельными, равны между собой».
338. 3 число первого джумада 830 г. хиджры соответствует 2 марта 1427 г. нашей эры. Мустафа (избранный)—о спи пз эпитетов Мухаммеда.
339. Эра Пездегерда иранского солнечного календаря отсчитывается от 16 нюня 632 г.
340. Дата переписки ленинградской рукописи—четверг 6 второго рабп 1204 г., что соответствует 24 декабря 1789 г. нашей эры.
В копне берлинской рукописи опущен абзац о дате окончания книги автором, по сказано, что рукопись была переписана в 1283 г хиджры, что соответствует 1868 г. нашей эры.
П. ПРИМЕЧАНИЯ К «ТРАКТАТУ ОБ ОКРУЖНОСТИ»
1. Название «Трактат об окружности» не точно передает арабское название этого трактата «Ар-рпсала ал-мухйтнйя». Слово «ал-мукйтййя» представляет собой существительное женского рода, образованное от слова мухйт—окружность, подобно названию мечети Сулеймаппйя—от имени основавшего ее суп гака Сулеймана Великолепного плп названию духовной академии Ннзамипя от нмепп основавшего ее вазпра Низам ал-Мулка. 'Такое название книги об окружности вполне аналогично названию Энеиды (от имени Энея) — книги о подвигах Энея.
«Трактат об окружности», как сказано в предисловии, был па-нисан Каши ранее «Ключа к арифметике», где Каши называет этот трактат средн других своих произведений (стр. 13 настоящего издания). Стамбульская рукопись, с фотокопии которой сделай перевод, относится, вероятно, к XVI плп XVII веку (см. стр. 35 названной в предисловии к переводу книги II. Люкея об этом трактате). Так как в пашем распоряжении имелась только фотокопия с фотокопии рукописи, мы не могли выделить те буквы и цифры, которые в рукописи написаны красными чернилами.
В переводе не оговариваются исправления описок переписчика (илп'автора) рукописи в отдельных цифрах и буквах, за исключением наиболее важных.
440
V. II. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
2. Слова об аллахе, «обладающем знанием отношения диаметра к окружности», так же как аналогичные слова в «Ключе к арифметике», означают, что отношение окружности к диаметру (число л) люди могут вычислять с любой, по ограниченной точностью, однако всей бесконечной последовательности знаков этого числа не может познать пи один человеческий ум; знание же всей ©той последовательности приписывается лишь уму аллаха. Вычисление числа п; с точностью, значительно превосходящей все известное до этого времени, и является основной целью этого трактата. См. [131| к «Ключу к арифметике».
3. См. р38] к «Ключу к арифметике».
4. Архимед (III век до и. э.) установил, что отношение окруж-о 1 о 10
пости к диаметр} заключено между дробями 3 и 3yj в третьем предложении своего сочинения «Измерение круга»: «Окружность всякого круга равна троекратному поперечинку с избытком, который меньше седьмой части поперечинка, а больше десяти семьдесят первых («Архимед. Две книги о шаре и цилиндре, измерение круга и леммы», перевод Ф. Петрушевского, СПб., 1823, стр. 144).
5. Применяемые здесь в далее Каши меры длины таковы:
1 фарсаиг =12 000 локтей,
1 сустав бамбука — 6 локтям,
1 локоть =24 пальцам,
1 палец = 6 ширинам среднего ячменного зерна,
1 ширина среднего ячменного зерна = 6 толщинам волоса пз гривы рабочей лошади.
Локоть примерно составляет 50 см, так что фарсаиг равен примерно 6 км, а толщина волоса—около 0,06 см. Эти меры длины восходят к древневавилонским. См. книгу Люкея о «Трактате об окружности», стр. 38. «Волос из гривы рабочей лошади» мы переводим всюду как «конский волос».
6. Каши считает диаметр земли равным 5-497 = 2485 фарсаигам, откуда следует, что большой круг земли равен 2485т: 7807, т. с.
около восьми тысяч фарсаигов (ср таблицу в третьем разделе трактата, строка третья).
7. Каши вслед за иранским астрономом Кутбаддйном Шйразй (1236—1311 гг.) считает диаметр сферы неподвижных звезд равным 1
70 073’2 земного диаметра, откуда следует, что ошибка в большом круге этой сферы будет равна более чем тремстам тысячам фарсапгов. См. книгу Люкея, стр. 39 (там же приведены сведения об измерении большого круга земной сферы багдадскими учеными IX века, а также Бируии).
8. Упоминаемая здесь Каши теорема Архимеда о том, что периметр описанного около круга многоугольника больше окружности круга, есть первое предложение первой книги сочинения Архимеда «О шаре и цилиндре», а в сочинении «Измерение круга» отсутствует, хотя и предполагается. Возможно, что смешение этих двух сочинений Архимеда объясняется дефектом стамбульской руко
II. ПРИМЕЧАНИЯ К «ТРАКТАТУ ОБ ОКРУЖНОСТИ* 441
писи. Возможно также, что смешение это было обусловлено тем, что в арабских рукописях перевод «Измерения круга» следовал в качестве приложения за переводом сочинения «О шаре и цилиндре» (Л ю к ей, цит. книга, стр. 42).
9. Строго научное определение отношения длины окружности к диаметру было предпринято Архимедом, насколько известно, впервые. До Архимеда были известны приближения к —3, примете к, <16\2
пившиеся еще в древнем Египте и древнем Вавилоне, тс=( — \ =
= 2^=^3,1604 (древний Египет) и, вероятно, 77 = 3-^=3,125
О1 о
(древний Вавилон; см. Neugebauer О., The exact sciences in Antiquity, Копенгаген, 1951, стр. 45 — 46). Невидимому, Аполлоний (III век до и. э.) вскоре после Архимеда получи;! для к значение, равное 3,1416. Птолемей во II веке и. э. использует шестидссятерич-8 30 377
пос значение 77 = 3 8 30, т. е. т7 = 3+ +-^—= 2—-=^3,14167. Ин-
60 3600 120
дпйцы применяли различные значения для тг, у Арпабхатты (около 500 I.) 7: = 2ociCi6~3,1416. Брамагупта (VII век) принимает тг = 3 и как более точное предлагает т?= ^10=^3,1623; индийцам было
1
известно и приближение к я-3 у. См. Cantor М., Vorlesungen fiber Geschichte der Mathematik, т. I, по указателю.
Замечательные результаты в вычислении п получили китайские математики. В «Арифметике в девяти отделах» (III век до н. а.) берется еще тг = 3. Чап Хен (ум. в 139 г.) предлагает значение 77=3^10, позднее встречающееся у индийцев. Лю Хуэй в III веке, вычисляя сторону правильного вписанного 192-угольника, нашел 157
= 3,14. Цзу Чун-чжи (430 — 501 гг.), принимая радиус за л < 3,1415927, и привел два более удоб-22
которых — назвал неточным, а другое
У., соч., указанное в [ls] к «Ключу к
Приближение 77ЯЬ? могло быть полу-113
.. д Г1 355 377—22
чепо из приолижештп Архимеда ц Птолемея: fi3 = "120~7 ’ Именно так это оригинальное и весьма точное приближение
3,1415929^ было вновь найдено впоследствии в XVI веке Валентином Отто (см. Scripta mathematica, т. XIX, 1953, № 2—3, стр. 219).
~ 50
10s, нашел, что 3,1415926 < пых приближения, одно из
точным (см. М i к a m i
арифметике», стр. 46 — 53).
442
Л. II. ЮШКЕВИЧ И Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Мухаммед Хорезми в своем алгебраическом трактате приводит j ___ 62832
три приближения: л=3-=-, тг==}/1б, тг = ^ . Работа над уточ-
/ ZUUUU
непием значения тг, связанная с уточненном астрономических и тригонометрических таблиц, велась па Ближнем Бостоке и в Средней Азии в течение многих столетий.
Насколько прав Каши в своей критике вычислений Абу-л-Вафа (940—988 гг.), которые пока не обнаружены, не ясно. Каши ука-1°
зывает, что Аоу-л-Вафа получил -для хорды — - шестидесятерпчное значение 0 31 24 55 54 55 при диаметре 120. Такое значение для хорды действительно встречается в одной арабской рукописи, восходящей примерно к 1253—1255 гг. и переписанной в 1322 г.; там же приводятся приписываемые Нагни Абу-л-Вафа границы для значения длины окружности при диаметре 120. Однако Венке установил, что Абу-л-Вафа получил значение 0 31 24 55 54 55 не |О |О
для хорды , а для sin-у-, a sin — я- 0 31 24 55 54 0, так что ошибка Абу-л-Вафа составляет всего 55 квинт. Сомнительно, чтобы Абу-л-Вафа где-либо принял равными вплоть до квинт хор-JO ,JO
ду -у- и sin - —, которые отличаются уже в терциях. Таким образом, критика Каши должна быть здесь отнесена, невидимому, не к Абу-л-Вафа, а к другому, пока неизвестному ученому. Сам Каши проводит далее вычисления с гораздо большей степенью точности (см. предпоследнюю таблицу трактата).
Критика вычислений Бирупи (933 —1048 гг.) у Каши справедлива. См. Л ю к ей, цит. соч., стр. 43 — 47.
10. «Поверхность, [построенная) па линиях А, Ву>— имеется в виду прямоугольник—произведение (длин) липин А, В
И. В тексте «Начал», лежащем в основе русского перевода, это предложение 31 третьей книги (кн. I—VI, стр. НО): «В круге угол, [заключенный] в полукруге, — прямой...».
12. Евклид, «Начала»,' предложение 8 пятой книги (кп. I — VI, стр. 184): «Если в прямоугольном треугольнике проведен из прямого угла к основанию перпендикуляр, то треугольники при перпендикуляре подобны и целому и между собой».
13. Евклид, «Начала», предложение 19 седьмой книги (кн. VII — X, стр. 25): «Если четыре числа пропорциональны, то возникающее из первого и четвертого число будет равно возникающему из второго и третьего чисел, и если возникающее из первого и четвертого чисел равно [возникающему! из второго н третьего, ' Л С
то четыре числа будут пропорциональны», т. е. если > то
AD — BC и обратно. Отметим вновь, что Каши здесь применяет это предложение о натуральных числах к произвольным геометрическим отрезкам, хотя естественно было бы применить здесь — как
TI. ПРИМЕЧАНИЯ К «ТРАКТАТУ 0Г> ОКРУЖНОСТИ» 443
поступает Кашп далее, в начале «.Заключения», — предложение 17 шестой книги (кн. I — VI, стр. 193): «Если три прямые пропорциональны, то прямоугольник, заключенный между крайними, равен квадрату на средней, и если прямоугольник, заключенный между крайними, равен квадрату па средней, то три прямые будут пропорциональны». Смешение Каши предложений числовой теории пропорций и предложений геометрической теории пропорций, строго различавшихся самим Евклидом и многими позднейшими математиками, показывает, что синтез этих двух теорий, происходивший в математике средневекового Востока, получает у Каши дальнейшее развитие (см. [п] к «Ключу к арифметике»).
14. Евклид, «Начала», предложение 3 третьей книги (кн. I — VI, стр. 83): «Если в круге некоторая [проходящая] через центр прямая другую, нс [проходящую] через центр, сечет пополам, га сечет ее п под прямыми углами; и если сечет се иод прямыми углами, то сечет ее и пополам».
15. Доказанное здесь Каши предложение—основное и его дальнейших вычислениях, проводимых в четвергом разделе трактата. Если обозначить дугу АС через а, диаметр через d, то предложение Кашп таково:
x(l 2 Г , 180°-а\
(tZ + хорда а) — = хорда2 ( а -]-- ) •
Эта формула при а = 2<?, d—2r = 2 соответствует тригонометрической формуле
5in(45o+|)=/I±p. .
Вслед за древними греками Кашп в настоящем трактате применяет «тригонометрию хорд», а не тригонометрию полухорд, т. с. синусов и связанных с последним линий. Это, впрочем, нисколько пе усложняет аппарат выкладок, и основная схема вычислений весьма простая. Другая особенность вычислений связана с принятым здесь значением диаметра 120, которое Каши выбирает потому, что при этом значении вычислены были употребительные таблицы (см. копец пятого раздела). Так как радиус равен 60, то в шестпдссятеричпой системе переход к г —1 осуществляется одним понижением всех разрядов результата на единицу без изменения цифр. В десятичной системе, которой Каши поль-зустся далее, этот переход требует персечетов.
Еще Абу-л-Вафа, а за ним Бпрупп предлагали принимать радиус за 1. Так поступает и Каши в восьмом — десятом разделах трактата.
Предложение Кашп выполняет функцию, аналогичную той, какую у Птолемея имело предложение, которое можно выразить фОрАГуЛОЙ
хорда2 («/ — хорда (180°—^))
444 А. П. ЮШКЕВИЧ II Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД
п которому соответствует при 3 = 2ф формула тригонометрии
sin £
1 — cos ф
о. хорды дуг,
Птолемей пользовался указанной формулой для получения хорды половины дуги по хорде целой дуги (см. J ю к с й, пит. книга, стр. 48—49 и там же па стр. 51 об отличии выкладок Каши от выкладок Архимеда при переходе от стороны zi-угольника к стороне 2/г-уголышка). Схема применения Каши его предложения такова. Исходя из хорды ЛС — r при а = 60°, он последовательно 1° определяет хорды 120, 150, 1G5, 172 —
дополняющих до 180° дуги, стягиваемые сторонами правильных 3-2п-угольпиков. Теорема Пифагора позволяет затем по диаметру и последней найденной хорде вычислить сторону соответствующего 3«2п-уголышка (см. [29]).
В следующих, втором и третьем, разделах Каши, привлекая списанные многоугольники, устанавливает число сторон правильного вписанного 3-2п-угольника, периметр которого будет отличаться от длины окружности па заданную величину.
16. Каши пользуется здесь в основном шсстидесятсрпчиой системой счисления, в которой единицы называются градусами или частями. Делп частей мы переводим следующими общепринятыми
в русской математической литературе терминами: минута
терция
кварта
квинта
септима
октава
, иона
децима
ундецима
дуодецима
треде-
нам а
кватуор децима
квпндецпма
секстдецима
, септепдецпма
, октодецима
поидецима (см- 1321 к «Ключу к арифметике»).
Кратные части, не имеющие названий в русской математической литературе, мы, как и рапсе, переводим дословно: поднятое одни раз (60), поднятое дважды (602), поднятое трижды (603), поднятое четырежды (601), поднятое пять раз (605) и т. д. Повысить па (шестидесятеричный) разряд — то же, что умножить на 60.
17. Евклид, «Начала», предложение 15 четвертой книги (кн. I —VI, стр. 138): «В данный круг вписать шестиугольник равносторонний п равноугольный».
и. примечания к «трактату об окружности
445
18. См. I11].
19. См. [329] к «Ключу к .арифметике».
20. Если считать большой круг земли за 8000 фарсапгов, а фарсанг за 10 368 000 толщин конского волоса (см. [5]), то октава градуса круга, в 600 000 раз большего этого большого круга, равна 7-тг- • л • 600 000 • 8000 • 10 368 000 = = 0,823 толщины воло-
608 360 7//6
са. Это несколько больше — толщины волоса, а по меньше ее, как пишет Каши.
21. To-есть, если радиус равен 60, длина окружности прибли-1 1
зительпо равна 2-60-3 у = 377 у • В рукописи вместо 377 оиш-бочпо паппсапо 366.
22. Речь идет об отношении периметра вписанного правильного прямоугольника к разности между ним и периметром описанного многоугольника, подобного ему. Пусть сторона вписанного многоугольника есть а, апофема (высота, опущенная из центра па его сторону) А, сторона описанного многоугольника Л; апофема описанного многоугольника равна радиусу круга г. В силу подобия много-а h
угольников — = — и таково же отношение их периметров р — па
и Р = пЛ. 1Тз пропорции -£-=— находим —= —— или,
В г Р—р г—п
обозначив стрелу
, р Г--о
г—h ч срез я, ——-— =----
Р—р s
23.
Пусть С —длина окружности радиуса г: так
Р 2 1 г 7 17 11
Ь„ ,то ~р >-р > уу , причем —-— =
7 6 С 44 1 6 44 132 3
как 6 < — < г
1_ 1 _ 1
“7 ’ 6 “126 '
24. Если разность Р — р должна быть меньше октавы одной 1
шестидесятой части радиуса, т. с. меньше радиуса, то отношс-
Р—р s
ине -----—= ^__$ ввиду олпзости периметра р и длины окруж-
1
иостн С мы можем
заменить отношением
Р~Р С
60°
с., в си-
Г23! 1 ( 1 Л 1 1 8
-,у 11 «Д7Г~гда !<Гй- т»“ как Т^'~6О’
мы па-
8
ходим, что -—^^qqTo’ т- °- это отношение приблизительно рав
по 8 нонам части радиуса.
25. Хорда дополнения дуги приблизительно равна удвоенной апофеме, т. с. 27г = 2 (г — .$) или, так как г = 60, равна 120 — .
к. И. ЮШКЕВИЧ Ji В. Л. РОЗЕНФЕЛЬД
26. Сторона многоугольника равна у/(2г)2 — (2г — 2s)2, т. е. не превосходит 1^2 • 2г • 2s — 1/ 4-60--^- =1/ -^-=1/ —-—]——=
1 г Г 60» V ВО8 Y 607 60s
8
— • В рукописи вместо «восьми кварт» написано «семи кварт».
27. Приведем первую из этих таблшг в десятичной системе:
0 3 15 98 304
1 6 16 196 608
2 12 17 393 216
3 24 18 786 432
4 48 19 1 572 864
5 96 20 3 145 728
6 192 21 6 291 456
7 384 22 12582 912
8 768 23 25 165 824
9 1 536 24 50 331 648
10 3 072 25 100 663 296
11 6 144 26 201 326 592
12 12 288 27 402 653 184
13 24 576 28 805 306 368
14 49 152
28. В рукописи здесь и всюду в дальнейшем это число \ казано неправильно: 800 335 168 вместо 805 306 368, как мы видели в предыдущем примечании. Мы везде даем в переводе правильное значение этого числа. Эта ошибка ни отмечена Люкеем в его книге об этом трактате.
29- В двадцати восьми таблицах четвертого раздела, из которых мы печатаем две первые и две последние, приведены двадцать восемь вычислений, выражаемых формулой
<£,i = /'' + ,
1 .. где Q —хорда дополнения -и части окружности до полуокружности, с0 как сторона шестиугольника равна г. Поэтому
с, — д/'г ?>г — г /3 , с.э = г (2г 4- г ]/~3 ) = г 2 -] |ЛЗ , ...,
Ci = г у 2 ф-1'' 2 4- ... + К2 4- V3 (г корней).
Каждое пзвАсчснпа корпя проверяется обратным возведением в квадрат, а в большинстве случаев также с помощью мерила 59 (см. [ео] к «Ключу к арифметике»).
11. 11Р11МЕЧ\1111Я К «ТРАКТАТУ 013 ОКРУЖНОСТИ» 447
В последней строке последней таблицы находится квадрат стороны 3 - 228-у голышка:
О18 = (2г)2-с28.
Следует особо подчеркнуть внимание Каш и к тому, чтобы не вводить в выкладки излишние цифры, усложняющие расчеты, но нс влияющие на требующуюся точность розу штата. Это — первое известное в истории приближенных вычислений систематическое округление исходных чисел, сознательно проводимое при только что указанном условии (ср. седьмой раздел трактата). Подробности о сокращенном умножении и извлечении квадратного корня у Каши см. в цпт. кише Люкея, стр. 5(5 — 59.
Для понимания структуры 28 таблиц четвертого раздела трактата заметим следующее: самой верхней строкой этих таблиц является «внешняя строка», т. е. строка, в которой записывается результат извлечения корня. Нод ней записывается подкоренное выражение и далее следует действие извлечения корня, подробно описанное в «Ключе к арифметике» (см. стр. 42 и след, настоящего сборника). Под этим действием, ниже двойной горизонтальной черты, Каши в целях проверки возводит полученный им корень в квадрат, а затем прибавляет к результату7 возведения в квадрат остаток, отброшенный им при извлечении корпя. В крайнем левом столбце верхней части таблицы для каждой строки приводятся остатки от деления сумм всех цифр этой строки на «мерило» 59.
30. 15 пятом разделе производится извлечение корпя из найден иого в последнем действии четвертого раздела выражения а%3, т. о. находится сторона вписанного 3-228-угол винка «28.
31. Здесь находится периметр вписанного 3 • 228-уголышка
7^8 = 3.228.«28-
32. В [221 мы видели, что отношение , а в [251 —
Р—р г — п
что за апофему 7? можно принять половину7 хорды дополнения дуги. Поэтому7 здесь
£28
Р-28 _ 2
7*28 7’28 ___£28
2
В таблице приведены значения и г—Далее из этой пропорции находится неизвестное Р^— /э28, сумма которого с рпъ равна 7£,8.
33. За длину7 окружности принимается округленное среднее арифметическое периметров р28 и 7-£s. Если считать радиус за 60, полученное число равно I20-, т. е. числу 2г, повышенному па шестидесятиричный разряд, а если считать радиус за 1, полученное число равно 2%.
448
Л. 11. ЮШКЕВИЧ И В. А. РОЗЕНФЕЛЬД
Таким образом, Каши приводит десять шестидесятеричных знаков числа 2т.. Ошибка Каши на самом деле меньше не только 11 2 1
4 ‘ 609 ’ Н° И 25 ‘ 60»“ '
Отметим, что более точной, чем формула Каши приближенного выражения длины окружности С через периметры рп и Рп вписанного и описанного n-угольпиков, является формула
Рп +
3 получающаяся следующим образом: если мы обозначим угол — через <рп, то
an=2r sin ф?7, Лп=2г tg ср„, pn=2nr sin <pn, Pn=2nr tg <рп, откуда
Рп — С _ 2nr tg ^п — 2тг _ tg<p„ —?п ~ lim _tg У —Т 2
С—рп 2тг—2nr sintpn <pn—sin^n ?-»0 <р—sin ?
Такого рода приближенные формулы и неравенства, позволяющие значительно улучшить точность вычисления эт, не увеличивая числа сторон аппроксимирующих многоугольников, были впервые найдены 13. Спеллом (1621 г.) и X. Гюйгенсом (1654 г.). См. Л ю к е и, цпт. соч., стр. 65 и статью Ф. Рудио в сборнике: А р х и м с д, Г ю й г е н с, Л а м б е р т, Л е ж а и д р, О квадратуре круга, перевод С. II. Бернштейна, М. — Л., 1934, стр. 55 — 59.
34. Двустишие основано па том, что шестидесятеричные цифры у Каши обозначаются буквами (в = 6, й в —16, и т = 59 и т. д. см. [53] к «Ключу к арифметике»), а также [35].
35. Седьмой раздел трактата липший раз свидетельствует о чрезвычайно скрупулезном отношении Каши к точности вычислений, до последнего принятого нм знака включительно. Здесь все же имеются мелкие неточности, пе влияющие, впрочем, на заключения Капш. Так, Люкей (цит. соч., стр. 66) отмечает, что •316 27 : 3 27 50 45 ^56 43, а нс 56 40, как стоит в рукописи.
36. Здесь Каши приводит 17 десятичных знаков числа 2к> т. е. приближенно выражает это число дробью со знаменателем 101е (Каши называет 103m m раз повторенной тысячей).
Эта точность соответствует точности приведенного Каши выражения числа 2к в шестидссятерпчиой системе, так как
1 111
101е 60» < 2 ’6010 '
Полученный Каши результат
2к = 6,2831853071795865
верен во всех разрядах. Этот результат был вновь получен А. ван Роменом с помощью 230-угольников (в 1597 г.) и улучшен
II. ПРИМЕЧАНИЯ К «ТРАКТАТУ 013 ОКРУЖНОСТИ»
449
Л. ван Цейлоном, нашедшим с помощью 00-229-у голышка сначала 20 знаков тг (в 1590 г.) и затем 32 знака (опубликовано в 10J5 г.). У. Шенке вычислил 708 десятичных знаков (в 1873 г.); в настоящее время с помощью вычислительных машин определено более 2000 десятичных знаков к.
Восьмой раздел трактата замечателен тем, что в нем впервые вводятся открытые Каши десятичные дроби, которые немедленно же получают применение в практических вычислениях. Ем. [42] к «Ключу к арифметике».
37. В арабском двустишии цифры заменены обозначающими их буквами (0 = в, 2- б, 8 = х и т. д.), в персидском двустишии каждая цифра названа по-верепдекп.
38. «Астрономический подарок царю» — сочинение Кутбаддйна Шпразй (см. [71).
39. Об «Алмагесте» см. [5| к «Ключу к арифметике». Каши проводит предложение 1 десятой главы первой книги «Алмагеста» (цит. издание, стр. 32).
40. Евклид, «Начала», предложение 6 второй книги (кн. 1 — \ 1, стр. 07): «Вели прямая линия рассечена ионолам и к ней (по прямой] при южена какая-либо другая прямая, то прямоугольник, заклюш иным между всей прямой с приложенной и самой приложен пой вместе с квад] атом на половине, равен квадрат) на [прямой], составленной из половины if приложенной», т. с. (« + 6)& + (д)2= Q + b ) •
41. О делении в крайнем и среднем отношении см. [2S0] к «Ключу к арифметике».
42. См. [,3].
43. См. [17].
44. В тексте «Начал», лежащем в основе русского перевода, это предложение 9 XIII книги (кн. XI—XV, “стр. 114): «Вели будут соединены стороны шестиугольника и десятиугольника, вписанных в тот же самый круг, то вся прямая разделится в крайнем и среднем отношении и большим ее отрезком будет сторона шестп-jголышка».
45. В тексте «Начал», лежащем в основе русского перевода, это предложение 10 XIII книги (ни. XI —XV, стр. 115): «Если в круг вписан равносторонний пятиугольник, то сторона пятиугольника в квадратах равна [стороне] шестиугольника [вместе со стороной] десятиугольника, вписанных в тот же самый круг».
40. К'апш цитирует предложения 3 и 4 десятой главы первой книги «Алмагеста» (цит. издание, стр. 38—39), являющиеся следствиями известной теоремы Птолемея (второе предложение той же главы стр 3 ).
47. Тригонометрические таблицы помещены в «Капоне Мас’уда» Вирупи (см. [152] к «Ключу к арифметике»).
29 Историко-матем. исследования
ЛЕОНАРД 0 Й Л Е Р
29*
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
II. Г. Баги.какова и А. II. Юшкевич
1
Есть несколько имен в истории матемагичсских наук, которые, хотя бы понаслышке, известны каждому образованному человеку. К числу таких имен принадлежит и имя великого математика, академика Леонарда Эйлера, руководителя первой русской научной математической школы, крупнейшего ученого XV11I века, который в области математики справедливо может быть назван веком Эйлера. Эйлер сделал первостепенные открытия почти во всех областях математики. Школьники и сейчас проходят теорию логарифмов и тригонометрию по Эйлеру, студенты наших дпей изучают аналитическую геометрию, дифференциальное и интегральное исчисление и механику по руководствам, восходящим к трактатам знаменитого ученого. Эйлер, по выражению Лапласа, был отцом современного математического анализа; Эйлер заложил фундамент ряда новых паук: вариационного исчисления, теории уравнений с частными производными, теории функций комплексного переменного, дифференциальной геометрии, теории чисел. Механика, впервые спстематпческп изложенная Эйлером с помощью анализа, приобрела в его трудах современный вид и получила повое существенное развитие. Эйлеру принадлежат серьезные заслуги и в физике, и в теории сопротивления материалов, и в баллистике.
Леонард Эйлер родился 15 апреля 1707 г. в швейцарском городе Базеле, в семье пастора Павла Эйлера. Навел
454
II. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
Эйлер, в свое время учившийся у Якова Бернулли, дал сыну первые уроки математики, однако он хотел воспитать из него священника. Осенью 171_0 г. Эйлер поступил в Базельский университет. По настоянию отца он изучал богословие, латинских писателей, греческий и еврейский языки, по собственному призванию—математику. Учился Л. Эйлер блестяще. Наряду с превосходными способностями ои обладал и редкой памятью. Семидесятилетиям стариком он помнил еще первый и последний стих па каждой странице издания «Энеиды», которое читал в юности.
Математическое дарование Эйлера привлекло внимание профессора Базельского университета Ивана Бернулли. Под руководством И. Бернулли Эйлер изучил ряд классических трудов по математике и занимался решением трудных задач. Эйлер стал другом сыновей своего наставника—11 иколая и Даниила, также успешно занимавшихся математическими науками.
8 июня 1724 г. Эйлер окончил университет со званием магистра искусств. Отец согласился с его желанием избрать специальностью математику. Юноша занялся поисками работы. Поиски эти долгое время оставались безуспешными.
В это время в России подбирали сотрудников для только что открывшейся Петербургской Академии наук. Талантливая ученая молодежь Западной Европы потянулась в Россию, в надежде на хорошие условия для научной работы. К первой группе профессоров Академии принадлежали старшие друзья Эйлера Николай и Даниил Бернулли. Братья Бернулли также не могли найти приложения своим дарованиям на родине и охотно приняли в 1724 г. приглашение переехать в русскую столицу. Отец их по этому поводу писал: «лучше несколько потерпеть от сурового климата страны льдов, в которой приветствуют муз, чем умереть от голода в стране с умеренным климатом, в которой муз обижают и презирают» х).
х) Цит. по книге du I’asquicr G., Leonard Euler et ses amis, Париж, 1927, стр. 12.
О весьма неблагоприятном положении ученых в тогдашней Швейцарии см. в книге Е не ter Е., Geschichte dor exakten Wissen-schaften in dor Schwcizerischen Aufklarung (1689—1780), Aapay,
Портрет Л. Эйлера (1780 г.)
Зак. 493
Портрет Oii. юра с надписью: «Леонард Эйлер, который своими исследованиями раскрыл тайпы природы.
Рисовал Брюкнер в Петербурге, 1737 г.»
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
В Петербургской Академии паук оставалась свободной вакансия на кафедре физиологии. По ре к о.мен да дни братьев Бернулли Эйлеру в 1726 г. предложили должность адъюнкта этой кафедры с тем, чтобы он применил в медицине свои математические познания. Эйлер усердно принялся за штудирование анатомии и медицины1). Между тем в 1727 г. в Базельском университете освободилась кафедра физики. Университетские вакансии замещались тогда в Базеле путем жеребьевки среди отобранных кандидатов. Несмотря на явное превосходство Эйлера перед некоторыми кандидатами, к жеребьевке его не допус гили. О работе на родине думать было более нечего. 5 апреля 1727 г. двадцатилетиий Эйлер навсегда покинул Базель, 17 мая того же года приехал в Петербург, и Россия стала его вторым отечеством.
Руководство Петербургской Академии наук, правильно оценив дарования молодого ее сочлена, предоставило Эйлеру возможность заняться только математическими пауками.
15 1730 г. Эйлер перешел па кафедру физики, а в 1733 г. он получил звание академика по кафедре высшей математики.
После приезда в Петербург Эй.лер немедленно приступил к ишспспвпой научной работе.
19zil. Авто]), например, пишет: «Незначительное общественное положение, а также неудовлетворительное финансовое обеспечение делали жизнь многих исследователей весьма тяжелой... За границей оклады были, как правило, в несколько раз выше, чем в Швейцарском союзе» (стр. 117—118). Швейцарские буржуа свысока смотрели на ученых и отпускали на содержание университетов ничтожные средства.
Э Академик II. 11. Фус, личный секретарь Эйлера и муж его внучки, в похвальном слове покойному математику, написанном вскоре после его кончины, говорил: «Он прочитал всех ианлучших ])пмски.\ писателей, знал совершенно древнюю историю мафематл-ки, деяния всех времен и народов имел в памяти, пн мало не запинаясь, в пример приводил маловажпейшпе приключения. О врачебной пауке, ботанике и химии большее имел сведение, нежели ожидать можно от человека, которой не поставлял сих наук особливым упражнением» (русский перевод в «Академических сочинениях, выбранпы.т из первого тома Деяний императорской Академии наук», т. 1. СПб., 1801, стр. 161).
;5(> Н. Г- БАШМАКОВА II А. П. ЮШКЕВИЧ
В этот первый период своей петербургской жизни Эйлер, поддерживая живые научные связи со своими коллегами, особенно с Д. Бернулли и X. Гольдбахом, начал исследования но многим вопросам, впоследствии занимавшим его всю жизнь: по дифференциальным уравнениям, теории рядов, специальным функциям, вариационному исчислению, дифференциальной геометрии, непрерывным дробям, теория чисел, механике и физике. Уже во втором томе «Комментариев» Академии за 1727 г. были опубликованы две статьи Эйлера. Всего за 1727—1741 гг. он подготовил более 75 работ, из которых в это время напечатано было 46. В частности, в 1736 г. была издана «Механика или наука о движении» в двух томах и в 1739 г. «Опыт новой теории музыки»,—Эйлер был большим любителем музыки ’)•
Вместе с тем Эйлер принял деятельное участие в других работах Академии. Он читал лекции студентам \каде-мического университета, принимал экзамены в Академии и в Сухопутном кадетском корпусе. По поручению Академии он составил замечательное для своего времени «Руководство к арифметике» (нем. изд., СПб., 1738; русск. пер., ч. I, ( Пб , 1740;ч.2, СПб., 1760), писал популярные статьи в академическом журнале, предназначенном для широкой публики. Эйлера привлекали к экспертизам по вопросам техники: в комиссиях о мерах и весах, об устройстве пожарных насосов и пильных машин и т. п. В течение нескольких лет Эйлер работал в географическом департаменте Академий наук, которому было поручено составление карт России—дело большого государственного значения. Он был здесь и главным консультантом по вопросам математики, и руководителем больших циклов работ, и вычислителем, и сам занимался черчением карт. Впоследствии Эйлер с полным основанием писал: «Я уверен, что география российская через мои и г. Генпзнуса труды приведена в гораздо исправнейшее состояние, чем география немецкой земли»* 2).
г) Здесь 11 далее мы приводим названия трудов Эйлера па русском языке.
2) См. II с к а р с к и й 11., История императорской Академии наук в Петербурге, т. 1 СПб., стр. 255. Член Петербургской Авале-
* ЛЕОПАРД ЭЙЛЕР
457
Так с самого начала пребывания в Петербурге Эйлер сумел сочетать теоретические исследования с практической работой, связанной с насущными задачами русского общества н государства. Никогда при этом он по смотрел на свое пребывание в России, как па временные гастроли. Он жил одной жизнью с Академией паук, разделял ее интересы, откликался на задачи, которые ставила перед пей страна.
Между прочим, вскоре после приезда он основательно изучил русский язык и свободно говорил и писал по-русски. В архиве Академии паук СССР хранится много писем Эйлера па русском языке.
Эйлер вполне сознавал, что приглашение в Петербургскую Академию имело решающее значение для его судьбы и научного творчества. Он засвидетельствовал свою глубокую признательность русской Академии наук в следующих выражениях: «Я и все прочие, имевшие счастье некоторое время состоять при русской императорской Академии, должны признать, что всем, что собой представляем, обязаны благоприятным обстоятельствам, в которых мы там находились. Я то собственно до меня касается, то при отсутствии такого превосходного обстоятельства я бы вынужден был, главным образом, обратиться к другим занятиям, в которых, по всем признакам, мог бы заниматься только крохоборством. Когда его королевское величество (Фридрих прусский.—Авторы} недавно меня спрашивал, где я изучал то, что знаю, я, согласно истине, ответил, что всем обязан своему пребыванию в Петербургской Академии» х).
Я личной жизни Эйлера это время было отмечено женитьбой в 1733 г. па дочери академического живописца Екатерине Гзелль (1707—1773). Два сына его, математик мни наук астроном Г. Гейпзпус. работал вместе с Эйлером в географическом департаменте. Работа Эйлера вад черчением карт стоила ему потерн зрения па одни глаз, как он писал об этом Гольдбаху 21 августа 1740 г. См. Corrcspondance тайн matique el physique do quclqucs eelebres gcoinctrcs du Will sieclc, т. I. C.1J6., 1843, стр. 102 - 103.
Э Из письма Эйлера к Шумахеру от 18 ноября 1719 г. Главный \рхив АН СССР, ф. 1, опись 3, А 37, лл. 317—318. Перевод этого текста в книге П Пекарского (т. I, стр. 265) нс вполне точен.
458
И. Г. БАШМАКОВА И А. II. ЮШКЕВИЧ
и механик Иван-Альбрехт (1734—1800) и врач Карл (1740—1790) впоследствии состояли членами Петербургской Академии. Сын Эйлера Кристоф (1743 —1812) был. позднее офицером и гонора. юм русской армии и директором оружейного завода в Сестрорецке; в молодости он участвовал в астрономической экспедиции Академии наук (1769г.). Потомки великого математика живут и в паши дни в Советском Союзе.
Положение Академии паук в целом и отдельных академиков в царствование Анны Иоанновны было трудное и неустойчивое. Члены Академии находились в зависимости от случайных людей и временщиков вроде Бирона, С одной стороны, и от грубого и малокультурного правителя академической канцелярии Шумахера—с другой. В кратковременное регентство Анны Леопольдовны положение дел стало еще хуже. Это заставило Э вчера принять приглашение прусского короля Фридриха переехать в Берлин. Фридрих намерен был укрепить прозябавшее Берлинское общество паук it преобразовать его в Академию паук. Свой вынужденный отъезд Эйлер сам объяснил в автобиографической заметке лишь том, что «при последовавшем тогда регентстве дела стали итти плохо»1). В июле 1741 г., после четырнадцати лет жизни в России, Эйлер с семьей прибыл в Берлин.
Берлинский период жизни Эйлера, продолжавшийся до 1766 г., отличался попрежнему высокой научной активностью. За это время он опубликовал «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума» (1744), два тома «Введения в анализ бесконечно малых» (1748), два тома «Морской науки» (1749), «Дифференциальное исчисление» (1755), «Теорию движения Луны» (1753), «Теорию движения твердых тел» (1765) и ряд классических мемуаров по математической физике, гидродинамике, баллистике, дифференциальной геометрии, тригонометрии, теории чисел и пр. Занимая с 1746 г. посты директора математического отделения и члена правления Берлинской Академии наук, основанной в 1744 г., он вел также большую административную работу. Иногда 3 й icpa
9 Пекарский II., цпт. соч., т. I, стр. 258.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
459
привлекали в качестве консультанта к гидротехническим работам, к организации лотерей.
Эйлер внес большой вклад в развитие немецкой математики. Вместе с тем ои продолжал вести в Берлине интенсивную работу для русской Академии наук.
Перед отъездом Эйлеру было присвоено звание почетного члена Петербургской Академии паук с ежегодной пенсией в 200 р. Связи его с нашзй Академией оставались прочными почти все время его жизни в Берлине. Только в годы семилетной русско-прусской войны эти связи вынужденным образом стали нерегулярными. Эйлер тяжело переживал временное ослабление научного контакта с русской Академией. В письме 29 января 1760 г. он писал непременному секретарю Академии паук Ф. 11. Мюллеру; «...в особенности я желаю скорейшей перемены нынешних обстоятельств, чтобы без опасения продолжать с Вами прежнюю переписку и доказывать на деле свое усердие к императорской Академии» х).
Находясь в Берлине, Эйлер сообщал русской Академии о научных новинках за границей, редактировал математический отдел ее журнала, приобретал для Академии книги, инструменты, рецензировал работы студентов Академического университета. Па квартире у Эйлера годами жили присланные к нему для завершения образования адъюнкты и будущие академики Б Котельников (1723—1806), С. Я. Румовский (1734—1812); несколько месяцев провел у него также адъюнкт М. Софронов (1729—1753). Эйлер по-мога.ч Академии при подборе кандидатов на вакантные должности и в этом вопросе никогда не становился на сторону так называемой «немецкой» группы академиков: он понимал, что Россия нуждается в национальных кадрах ученых и поддерживал способных русских кандидатов. Так, по его рекомендации кафедра математики была поручена С. К. Котельникову.
13 Берлине же Эйлер вступил в научную переписку с Ломоносовым. В 1745 г. враг Ломоносова Шумахер направил Эйлеру для отзыва первые диссертации Ломоносова. Ответ Эйлера должен был горько разочаровать
) Пека рек и и И., цит соч., т. I, стр. 278,
460
И. Г. БАШМАКОВА И А. II. ЮШКЕВИЧ
Шумахера. Знаменитый математик полностью оцепил и глубину идеи и дарование Ломоносова. «Все спи сочинения,—писал Эйлер в отзыве,—не токмо хороши, по и превосходны, ибо он изъясняет физические и химические материи самые нужные и трудные, кои совсем неизвестны и невозможны были к истолкованию самым остроумным ученым людям с таким основательством, что я совсем уверен о точности его доказательств. При сем случае я должен отдать справедливость господину . 1омопосову, что он одаривая самым счастливым остроумием для объяснения явлений физических и химических. Желать надобно, чтобы все прочие Академии были в состоянии показать такие изобретения, которые показал господин Ломоносов»1). В позднейших письмах Ломоносов не раз делился с Эйлером своими мнениями но вопросам физики и химии, и физические воззрения обоих ученых во многом совпадали.
Не ослабевала в это время и научная деятельность Эйлера в русской Академии паук. За годы жизни в Берлине Эйлер опубликовал в изданиях Берлинской Академии 127 мемуаров, в России--109. Во особому поручению Петербургской Академии, связанному с той ролью, которую т рала Россия в качестве великой морской державы, Эйлер подготовил основоположный в пауке о кораблестроении и кораблевождения, а также в теории устойчивости труд «Морская паука», начатый еще в 1737 г. в России, изданный в двух томах по-латыии в Петербурге (1749).
По заданию же Петербургской Академии наук Эйлер написал «Дифференциал ыюе исчисление», изданное па ее средства в Берлине в 1755 г.
Таким образом, Эйлер, как выразился II. В Шуе, никогда не переставал принадлежать русской Академии паук2). Между тем, положение его в Берлине во многих отношениях оставляло желать лучшего. Король Фридрих, любиып 1й показать себя просвещенным правителем и покровителем паук и искусств, не ценил всерьез теоретпче-
Э Л о м о и о с о в М. 13., Избранные философские, произведения, Гос. изд. политической литературы, i960, стр. 709—710.
2) Ф у с 11. И., цит. соч., стр. 141.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
461
скис последования в области математики и механики1). Эйлер, с другой стороны, не умел играть роль придворного и салопного собеседника, необходимую для хороших отношений с прусским королем. Высоко развитое в Эйлере чувство собственного достоинства, ого упорство в отстаивании своих взглядов, разногласия по многим деловым вопросам, касавшимся Берлинской Академии наук,—все это из года в год ухудшало отношения между ученым и королем, о котором Вольтер как-то заметил, что его лучше иметь другом, чем господином. Еще в копне 40-х годов начались переговоры о возвращении Эйлера в Россию. Ряд обстоятельств—и среди них противодействие Шумахера—помешал в то время их успешному завершению. После окончания ссмилетпей войны переговоры возобновились. Фридрих долго ие соглашался отпустить знаменитейшего в мире математика. Наконец, в мае 1766 г. король в сухой и лаконической записке дал разрешение на отъезд, 9 нюня Эйлер с семьей покинул Берлин и 17 июля того же года возвратился в Петербург2).
В русской столице Эйлеру были созданы исключительные условия. Ему было выдано 8000 руб. для покупки дома па Васильевском острове, неподалеку от Академии, назначен особо высокий оклад в 3000 руб. в год, жене ого обеспечивалась после кончины мужа солидная пенсия. Старший сын Ивап-Альбрехт получил должность непременного секретаря, устроены были и другие два сына.
В начале второго петербургского периода жизни Эйлер потерял .зрение и па второй глаз; операция, сделанная в 177'1 г. окулистом Венцелем, вернула было зрение, по через короткое время но неосторожности больного оио
Э Свое отношение к математическим наукам Фридрих высказал в переписке. 26 января 1738 г. он писал Вольтеру: «Что касается математики, то признаюсь Вам, что я не люблю ее; она сушит ум», а Даламберу4 января 1770 г. писал: «Совершенствование нравов более ценно для общества, чем все вычисления Ньютона». См. С a j о г у F., Erederic the Great on mathematics and mathematicians, The American mathematical monthly, т. XXXIV, 1927, с.тр. 122—123.
2) Вскоре после отъезда Эйлера Фридрих, пригласивший вместо него молодого Лагранжа, цинично заявлял, что доволен обменом кривого математика па математика с двумя глазами.
462
И. Г. БАШМАКОВА Й А. П. ЮШКЕВИЙ
вновь почти полностью было утрачено. Некоторые выкладки Эйлер писал крупными буквами мелом на черном столе, некоторые проводил в уме1), по по большей части он диктовал основной текст секретарям, которые многие вычисления проделывали под его общим руководством сами. Такую секретарскую работу вели будущие академики Н. И. Фус (1755—1826), племянник Ломоносова М. Е. Головин (1756—1790), А. И. Лексель (1740—1784) и И.-А. Эйлер. В подготовке «Диоптрики» Эйлеру помогал академик В. «Л. Крафт.
Потеря зрения и приближавшаяся старость ire ослабили паучпой продуктивности Леопарда Эйлера. За последние 17 лет жизни он только в изданиях Петербургской Академии опубликовал около 120 работ по различным вопросам математики, механики и физики, в том числе два тома «Универсальной арифметики» в русском переводе П. Ино-ходцева и И. Юдина (1768—1769), три тома «Интегрального исчисления», три тома «Диоптрики», три тома «Писем к одной немецкой принцессе» (1768—1772), «Новую теорию движения Луны» (1772) и составленное им специально для учащихся морских школ сокращение «Морской науки» па французском языке (1773).
Невозможно было своевременно печатать всю научную продукцию Эйлера и он шутливо говорил, что его статьи будут издаваться в журналах Академии еще двадцать лет после его кончины. В действительности сочинения, обнаруженные в наследии Эйлера, публиковались Академией паук до 1862 г.
Эйлер и в старости продолжал принимать деятельное участие в различных работах Академии наук. Как старейший член Ккадемии, он в ряде случаев замещал ее президента, вел переписку с иностранными корреспондентами, был членом комиссии, управлявшей Академией, работал над пересмотром устава Академии и ее учебных заведений. В 1776 г. он был одним из экспертов, рассматривавших проект одпоарочпого моста через Нову, составленный
J) Эйлер превосходно вычислял в уме. Н. II. Фус (цит. соч., стр. 162) сообщает, что в одпу бессонную ночь Эйлер подсчитал первые шесть степеней чисел от 2 до 19, которые через несколько дней все помнил наизусть.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
463
замечательным изобретателем II. П. Кулибиным, которому Эйлер оказал большую поддержку. Ряд .лет Эйлер руководил математической подготовкой IT. И. Фуса и М. Е. Головина.
Большую часть последних лот жизни Эйлер все же проводил в домашнем кругу. В 1773 г. скончалась его первая жена. В 1776 г. он вступил во второй брак с Саломеей Гзелль, единокровной сестрой его первой супруги. От первого брака он имел 13 детей, из которых восемь умерли в детстве, а выжили названные сыновья и две дочери; ко времени кончины у пего было 26 внуков. В эти годы Эйлер, не считая утраты зрения, обладал хорошим здоровьем и совершенной ясностью мысли, стал лишь слабеть слух. Н. II. Фус рисует Эйлера кат? спокойного и ровного человека, непринужденно веселого в обществе, несколько вспыльчивого, но отходчивого и совершенно свободного от всякого высокомерия. Тот же II. И Фус рассказывает о кончине Эйлера, наступившей 7(18) сентября 1783 г. следующее; в этот день «за столом беседовал он с академиком Лекселем о новой планете, около того времени открытой1), и о других предметах с обыкновенным проницанием. После обеда лег отдохнуть, потом, пыочи чан, шутил с одним из своих внуков, как вдруг, поражен будучи ударом, произнес: «я умираю». Сии были последние его слова, а по прошествии нескольких часов кончил славное течение жизни, имея от роду 76 лет5 месяцев и три дня»2).
Кончина Эйлера была отмечена 11 сентября 1783 г. траурным заседанием конференции Академии наук, иа котором, согласно протокольной записи, старейший из академиков стихотворец Я. Штелин «постарался выразить, в какой мере должна Академия сожалеть о смерти этого великого человека, более 56 лет бывшего се славой и лучшим украшением». Вскоре затем в заседании Академии зачитал свое «Похвальное слово Эйлеру» П. И. Фус. Для увековечения памяти о знаменитом математике 14 января 1785 г. в зале заседаний напротив кресла президента
Э Речь идет об Уране, обнаруженном У. Гершелем, который сначала считал открытое им светило кометой. А. Л. 1ексоль доказал, что это—планета.
2) Фус II. И., цит. соч., стр. 159—160.
464
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
была поставлена колонна с бюстом Эйлера; в настоящее время бюст помещается в одной пз зал Президиума Хкадо-мпп паук СССР в Москве.
Посмертные почести, оказанные Эйлеру в России, произвели глубокое впечатление па зарубежных ученых.
В речи памяти Эйлера, произнесенной во Французской Академии паук, Кондорсе выразил это впечатление в следующих словах: «Итак, народ, который мы в начале этого века принимали за варваров, в настоящем случае подает пример цивилизованной Европе—как чествовать великих людей при жизни и уважать пх память после смерти; и другим нациям приходится в данном случае краснеть, что они не только в этом отношении не могли предупредить Россию, но даже пе в состоянии ей подражать».
В 1837 г. над могилой Эйлера на петербургском Смоленском лютеранском кладбище был воздвигнут памятник, с надписью по-латыни «Леонарду Эйлеру—Петербургская Академия. MDCCCXXXVII».
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
465
II
Деятельность Эйлера оказала весьма плодотворное влияние па прогресс математической культуры в России XVIII века. Многие наша ученые были его непосредственными учениками, как С. К. Котельников, С. Я. Румовский, М Софронов, М. Е. Головин, И -А. Эйлер, II. II. Фус; другие—А. II. Лексель, Ф. II. Шуберт (1758—1825), С. Е. Гурьев (1764—1813) воспитывались па ого сочинениях. Названные ученые составили первую в России научную математическую школу и продолжили труды Эйлера в различных отделах математического анализа, дифференциальной геометрии, полигонометрии—учения об измерении плоских многоугольников, сферической геометрии, механики и т. д.
Эйлер оказал глубокое влияние и па создание русской учебной литературы по математическим наукам. Его руководство по арифметике положительно отразилось па преподавании этой дисциплины, особенно благодаря популярным учебникам преподавателя Морского кадетского корпуса Н. Г. Курганова (1725 или 1726—1796). «Универсальная арифметика» Эйлера явилась отправным пунктом для всех последующих авторов школьных учебников алгебры XVIII—XX веков, начиная с II. 11. Фуса и Т. Ф Оснпов-ского и кончая А. 10. Давидовым нА. П. Киселевым ’). Опираясь на оригинальные научные мемуары и книги Эйлера, М. Е. Головни издал «Плоскую и сферическую тригонометрию с алгебраическими доказательствами» (СПб., 1789), по научным достоинствам значительно превосходившую прежние русские руководства, С. К. Котельников во втором томе перевода «Сокращения первых оснований мафима-тики» X. Вольфа (СПб., 1771) дал, отправляясь от трудов Эйлера, первое на русском языке изложение начал введения в анализ, а также дифференциального и интегрального исчисления. Труды Эйлера по механике отразились и на другом учебнике Котельникова—«Книге, содержащей
9 Курс алгебры Эйлера выдержал в XVIII веко ряд изданий иа русском, немецком, французском, английском и других языках. В этой книге содержатся также важные исследования Эйлера по диофантову анализу.
30 Историко-матем. исследования
466
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
в себе учение о равновесии и движении тел» (СПб., 1774), в основном посвященной статике. Трактаты Эйлера по математическому анализу и аналитической-геометрии десятилетиями служили образцом классической ясности, увлекательности и последовательности изложения для авторов руководств по этим предметам и значительная часть их содержания, как было сказано, входит в современные нам курсы. Было бы невозможно перечислить составителей русских (и иностранных) учебников, черпавших материалы из сочинений Эйлера. Наконец, небывалой популярностью в самых широких кругах читателей пользовались его «Письма к одной немецкой принцессе», переведенные на русский язык С. Я. Румовским. Эта объемистая энциклопедия физических знаний XVIII столетия выдержала 3 русских издания, 12 французских, 8 немецких, 10 английских, 2 голландских, 2 шведских, итальянское, испанское, датское и латинское1).
Но Эйлер был не только крупным деятелем русского просвещения. Многие его труды возникли в ответ на различные практические запросы русского государства и общества. Мы говорили уже о его активной работе по составлению карт России, о технических экспертизах, о составленной им специально для нужд русского флота «Морской пауке», сокращенный для учебных целей вариант которой в переводе с французского па русский языки с пояснительными примечаниями М. Е. Головина был издан под заглавием «Полное умозрение строения и вождения кораблей, сочиненное в пользу учащихся навигации» (СПб., 1778)2). Эйлер принял большое участие и в развитии русской оптотохппки, а Н. И. Фус составил под его руководством «Подробное наставление по приведению телескопов самых разнообразных видов к наивысшей возможной сте
’) Подробнее см. Юшксвпч А. П., Эйлер и русская математика в XVIII в., Труды Института истории естествознания АН СССР, т. III, 1949.
2) Этим учебником широко пользовались также во Франции тт в соответствующих переводах в Англии и Италии. О значении названных трудов Эйлера в развитии теоретической механики см. Моисеев II. Д., Очерки развития теории устойчивости, М.—Л., 1949, стр. 205—223.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
467
пени совсршэпства, извлеченное из диоптрической теории г. Эйлора-старшэго и доступно изложенное для всех мастеров этого дела. С описанием микроскопа, который можно считать наиболее совершенным в своем роде и который может давать любые желательные увеличения» (СПб., 1774)1). Эйлер положил в России и начало работам по страховому делу, которым занялся еще в Берлине. Тот же II. II. Фус, в частности, издал «Пояснение о публичных учреждениях в пользу вдов и покойных лиц, с описанием нового рода пожизненных рент... Вычислены II. Ф. под руководством г. Леопарда Эйлера» (СПб., 1776).
Великое значение Эйлера в истории пауки и, шире, в истории культуры определяется, однако, прежде всего его научными открытиями.
Ill
С внешней стороны научное творчество Эйлера поражает своим исключительным объемом, в несколько раз превосходящим по размеру труды наиболее продуктивных математиков. Список сочинений Эйлера насчитывает около <800 названий, из которых более половины были изданы русской Академией паук 2). Среди этих сочинений имеется свыше 20 больших монографий, в несколько сот страниц каждая. Начатое в 1911 г. полное собрание сочинений Эйлера и его писем займет более 70 томов большого формата; до сих пор вышло около половины этого издания3).
Следует заметить, что в указанное число работ Эйлера не входит ого колоссальная переписка, а многие
9 См. Соболь С. Л., История микроскопа п микроскопических исследований в России в XVIII веке, М.—Л., 1949. Но указателю.
2) Enestrom G., Verzeichniss dor Schriften Leonard Eulers, 2 выпуска, Лейпциг, 1909 и 1913.
3) Сочинения Эйлера выходят на языке оригинала, т. с. большой частью по-латыни, под общим названием: L с о n h а г d i Eulori, Opera omnia sub auspiciis Societatis Scientiarum Natu-raliuni Iklveticac. Насколько нам известно, до сих пор вышли из печати в I серии (математика) тт. I — XXIII, во II серин (механика и астрономия) тт. 1—II,XIV, в III серии (физика, разное) тт. I—IV; в IV серии (письма, дневники, записные книжки) еще ничего не издано.
30*
468
И. Г. БАШМАКОВА II А. П. ЮШКЕВИЧ
письма его представляют собой по существу небольшие научные сообщения1).
Еще более поражает разнообразие интересов Эйлера, шпрота диапазона его творчества. Гоши! Эйлера проявился и в различных частях самой математики, и в математическом естествознании, и в приложениях математики к технике. Около 3/5 работ Эйлера посвящено математике, почти 2/5—прикладной математике л математическому естествознанию, физике и технике, механике точки и твердого тела, небесной механике, гидромеханике, теории упругости, баллистике, оптике, теории машин, кораблестроению и т. д. Более подробная классификация сочинений Эйлера, за вычетом одного процента нераспределенных работ, такова:
Алгебра, теория чисел, анализ............... 40%
Геометрия................................... 18%
Механика и физика........................... 28%
Астрономия.................................. 11%
Баллистика, морская наука, строительное дело 2%
Отмстим, что 19 мемуаров Эйлера посвящепо теории машин, 8—баллистике, 11—морской науке, 6—проблемам строительства мостов и плотин. Внимание Эйлера привлекали даже вопросы сельского хозяйства, о чем свидетельствует ого статья «Известие о новом средстве к размножению хлеба», напечатанная по-русски в Трудах вольного экономического общества (СПб., 1767).
В приведенных числах отразилась основная черта творчества Эйлера: глубокая и органическая связь ого математических иеыскапий с потребностями естественных паук и техники. При этом Эйлер был прежде всего и более всего математиком. Большая часть его трудов непосредственно относится к анализу бесконечно малых и теории чисел,
г) Значительная часть переписки Эйлера опубликована в различных изданиях. Однако многие письма его (и особенно к нему) по изданы. Большое число таких писем хранится в Главном архиве АН СССР. Издание полной научной переписки великого математика имело бы большое значение пе только для полноценного изучения его личного творчества, по и для истории математических наук в целом.
ЛЕОПАРД ЭЙЛЕР
469
а значительная часть других состоит в применении математического анализа к геометрии, механике, теории упругости, баллистике и т. д.
Не будет преувеличением сказать, что весь анализ бесконечно малых в целом, а также отделившиеся от него вариационное исчисление, теория дифференциальных, уравнений, начала теории функции комплексного переменного, дифференциальная геометрия, строились Эйлером главным образом как математический аппарат для классической механики и физики.
Можно привести много примеров того, как, отправляясь от рассмотрения конкретных проблем естественных наук, Эйлер приходил к созданию новых аналитических методов, а иногда и больших математических теорий. В этом сказывалась особая черта его творчества, которую разделяла с ним школа великого Чсбьшива: умение подойти к частным задачам с широкой общей точки зрения. Вот несколько примеров.
Работы по географии поставили пород Эйлером картографическую задачу о таком изображении поверхности земли па плоскости, при котором искаженно в малых частях получается наименьшим. Эйлер занялся отысканием функций, которые отображают шаровую поверхность па плоскость так, чтобы достаточно малые фигуры первой переходили (с точностью до малых высших порядков) в подобные им фигуры па второй. Для таких отображений он впервые применил функции комплексного переменного, положив тем самым начало теории конформных отображений—важнейшей части современной теории функций комплексного переменного. Работы по картографии, с другой стороны, повлекли за собой ряд исследований Эйлера по сферической тригонометрии.
Другой пример. Исследование движения точки по данной поверхности сообщило толчок работам Эйлера по теории поверхностей, явившимся отправным пунктом дальнейших изысканий Г. Монжа п созданной им французской геометрической школы.
Третий пример. Занимаясь задачей о колебаниях круглой мембраны, Эйлер ввел в математику важное в приложениях линейное дифференциальное уравнение второго
470
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
порядка с переменными коэффициентами, неправильно называемое именем математика XIX вока Бесселя. Решение этого уравнения Эйлер получил в виде бесконечного ряда, выражающего цилиндрические функции первого рода и любого порядка (функция пулевого порядка встретилась рапсе Д. Бернулли в задаче о колебаниях гибкой нити, подвешенной за один из концов). Впоследствии теория цилиндрических функций, имеющая разнообразные применения в небесной механике, физике и технике, выросла в большой отдел математикиJ).
Количество подобных примеров можно было бы умножить. Собственно говоря, вся теория дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными, разрабатывалась Эйлером в непосредственной связи с решением задач механики и математической физики. В этих задачах лежат корни созданных Эйлером методов интегрирования уравнений в квадратурах, в произвольных функциях, с помощью разложении решений в ряды, а также различных специальных приемов численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений. С этими задачами были связаны и некоторые исследования широкого методологического значения, прежде всего спор между Эйлером, Даламбсром и Д. Бернулли о понятии функции и о представимости функций тригонометрическими рядами, о котором мы скажем далее.
Для отношения Эйлера к математике в целом весьма показательней является ого оценка методов вариационного исчисления. Эйлер ясно понимал огромную роль вариационных методов в естествознании и, детально разрабатывая их, прежде всего имел в виду после дующие приложения в механике и физике. Он писал: «... метод, изложенный в этой книге * 2), не только весьма полезен в самом анализе, по и в решении физических задач оказывает
Э См. Г ус с о в В. В., Развитие теории цилиндрических функций в России и СССР, Историко-математические исследования, выв. VI, М., 1933.
2) To-есть в «Методе нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума, либо минимума, или решение нзопсримстрп-ческой задачи, взятой в самом широком смысле». Приводимые цитаты находятся па стр. 447 русского перевода (М.—Л., 1934).
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
471
большую помощь» и далее: «...в мире пе происходит ничего, в чем по был бы видон смысл какого-нибудь максимума или минимума; поэтому нет никакого сомнения, что все явления мира с таким же успехом можно определить из причин конечных при помощи метода максимумов и минимумов, как и пз самых причин производящих» .
Эйлер, как и некоторые другие ученые XVIII века придал этой идее теологическую окраску, ссылаясь па «премудрость tboj ца» мира. Вместе с тем, в утверждении Эйлера содержится вполне рациональная мысль. Развитие механики подтвердило огромную важность вариационных принципов этой науки, простейший пз которых был впервые точно сформулирован Эйлером в одном из приложений к цитированной книге.
Нельзя нс сопоставить приведенную мысль Эйлера с замечательным высказыванием П. Л. Чебышева, в котором основатель п глава петербургской математической школы XIX вока дал следующую оценку экстремальных задач:
«Практическая деятельность человека представляет чрезвычайное разнообразие, и для удовлетворения всех ее требований, разумеется, недостает пауке многих и различных метод. Но из них особенную важность имеют то, которые необходимы для рсшэнпя различных видоизменений одной и той же задачи, общей для всей практической деятельности человека: как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды!
Решение задач этого рода составляет предмет так называемой теории наибольших и наименьших величин. Эти задачи, чисто практического характера, имеют особенную важность и для теории: все законы, определяющие движение материн, весомой и невесомой1), представляют решение за щч этого рода. Нельзя не заметить особенно благотворного влияния их на развитие паук математических»2).
Э В то время иод невесомой матерней понимали электричество, свет, а иногда и теплоту.
2) Пз речи «Черчение географических карт», 185G. См. Ч е-бышев П. Л., Полное собрание сочинений, т. V, М.—Л., 1951, стр. 150—151.
472
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
Наследуя конкретные проблемы самой математики и математического естествознания, Эйлер всегда искал общие эффективные алгоритмы, позволяющие довести решение каждой задачи до числового результата. Эта черта творчества Эйлера также роднит ого с творчеством П. Л. Чебышева и ого школы.
Ярким образном теоретического исследования, проведенного с прямым учетом его последующего приложения в практике, являются работы Эйлера по уточнению движения Лупы. Изучение движения Лупы, начатое еще Ньютоном, имело, конечно, и первостепенное научное значение для выяснения применимости закона всемирного тяготения. Вместе с том эта проблема представляла огромный интерес для мореплавания. Одна из географических координат—широта места—определяется легко по положению Солнца днем и Полярной звезды ночью. Гораздо большие трудности были связаны в XVII—XVJII воках с определенном долготы корабля в открытом море. Долготу места можно определять по п сложению Луны относительно Солнца или неподвижных звезд. Однако для этого нужно было знать с большой точностью закон движения земного спутника с том, чтобы вычислить на годы вперед таблицы, указывающие его угловые расстояния до других светил. В сороковые годы XV] II века эта задача—классическая «задача трех тол»—по имела еще достаточно удовлетворительного решения, и теоретические результаты значительно расходились с данными наблюдений.
В 1750 г. Петербургская Академия по совету Эйлера объявила конкурс па решение вопроса: «Показать, согласны ли все неравенства, которые наблюдаются в движении Луны, с ньютоновой георией, и какой должна быть истинная теория всех этих неравенств, чтобы по пей можно было со всей точностью определять место Лупы иа любое время»1). Премия была присуждена по отзыву Эйлера французскому математику А. В icpo, сочинение которого «Теория Луны, выведенная пз единственного начала притяжения,
') II д с л ь с о и Н. И., Закон всемирного тяготения п теория движения. Сборник «Исаак Ньютон», иод ред. С. И. Вавилова, М.—Л., 1943, стр. 161.
ЛЕОПАРД ЭДЛЕР
473
обратно пропорционального квадратам расстояний», вышло в Петербурге в '1752 г. Эйлер в «Теории движения Лупы», опубликованной в следующем году, усовершенствовал теорию Клеро и дал формулы, удобные для вычисления лунных таблиц. Такие таблицы вскоре были составлены геттингенским астрономом Т. Майером, и затем способ определения долгот по лунным расстояниям применялся около столетня, пока ого но вытеснило употребление точных морских хронометров1).
Развивая математические методы в тесном переплетении с их приложениями, Эйлер вместе с том разрабатывал математику как целое. Он годами и десятилетиями совершенствовал и систематизировал раз начатые исследования, постепенно складывая из отдельных камней гигантские здания новых научных дисциплин или их крупных отделов. 13 ясном сознании внутренних взаимосвязей между различными частями математики он по ограничивался счастливо найденным решением отдельной задачи. Именно благодаря этому так значительны были его достижения. Глубокое понимание органической зависимости математических паук друг от друга—одна пз характерных черт творчества Эйлера, которая сближает ого с современной нам математикой. В этом отношении поучительно сравнить математические работы Эйлера и его друга Д. Бернулли.
Д. Бернулли был крупнейшим геометром XVJTI вока в том весьма широком смысле, который при давали этому слову двести лет назад. Ему принадлежат ценные математические открытия в теории уравнения Риккати, новый метод численного решения алгебраических уравнений, первые применения в теории вероятностей методов исчисления бесконечно малых. Бессмертной славой Д. Бернулли является открытие метода наложения главных колебаний для получения интегралов уравнений математической физики. Но автор «Гидродинамики» был в первую очередь гениальным физиком-экспериментатором п теоретиком. К математике он обращался почти исключительно по мерс
Э О работах Эйлера по теории движения Луны см. в статье А. II. Крылова. Леонард Эйлер. Сборник «Леонард Эйлер», М.—Л., 1936, стр. 22—29.
474
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
надобности в пей для решения естественно-научных задач и ценил в пой то, что давало плоды немедленно. К более отвлеченным изысканиям Д. Бернулли не питал пи малейшего интереса. Он, между прочим, изумлялся тому, что Эйлер тратит время и силы на теорию чисел и считал это проявленном чрезмерной утонченности вкусов, своего века г). Эйлер, напротив, занимаясь и физикой, и теорией кораблестроения и пр., всегда оставался прежде всего математиком, продвигавшим свою науку вперед по всему фронту, хотя п не упуская из виду насущные запросы современного ему естествознания. А теория чисел была одним из любимых занятий Эйлера всю его жпзпь—недаром этой пауке посвящено 148 его работ.
Довольно распространенным является мнение, что Эйлер был главным образом гениальным вычислителем, виртуозом формулы. Иногда его противопоставляют Лагранжу, как создателю широких обобщающих концепций* 2). Такое противопоставление вряд ли оправдано и во всяком случае нуждается в существенных ограничениях. Несомненно, что трудам Лагранжа по аналитической механике, теории функций, алгебре, теории чисел свойственна более высокая степень монолитности и обобщенности, большее единство исходных принципов, чем работам Эйлера. Однако по следует забывать, что в своих исследованиях Лагранж отправлялся от достижений Эйлера и, стоя па плечах этого гиганта, естественно, мог обозревать более далекие горизонты. Аналитическую механику Лагранжа отделяет от механики точки Эйлера полстолстия, за которые было сделано немало открытий, и, например, Эйлер математически выразил простейший принцип наименьшего действия, а Даламбер высказал начало возможных перемещений. В сравнении с трудами предшественников Эйлера его концепции являются не в меньшей мере обобщающими, чем идеи Лагранжа в сравнении с трудами Эйтора. Достаточно сопоставить теорию вариационного
г) Corrcspondancc mathematiquo et physique de quelques eelebres geometres du XVIII siecle, т. II, CII6., 1843, стр. 676—677 (письмо Д. Бернулли Н. Фусу от 18 марта 1778 г.).
2) См., например, статью А. Н. Колмогорова «Математика» в БСЭ, изд. 2-е, т. 26, 1954, стр. 473—474.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
475
исчисления у Эйлера и силу созданных им здесь методов с частными приемами решения вариационных задач братьев Ивана и Якова Бернулли.
Берио то, что Эйлер но имел соперников в изобретательном применении формульного аппарата математики, в' создании которого ему принадлежит столь многое. По верно ц то, что он выдвигал общие теоретические идеи большой глубины и дальнодействия, как, скажем, в своей трактовке обобщенных методов суммирования расходящихся рядов, которые были возрождены и правильно оценены лишь в конце прошлого столетия.
Мы по касаемся здесь различий, имевшихся в строе математического мышления Эйлера и Лагранжа. Такие различия несомненно существуют и в пих отразилось отмоченное А. Н. Колмогоровым влияние, оказанное на Лагранжа философским движением французских просветителей и материалистов. При всем том мы полагаем, что нет основания для противоположения вычислителя Эйлера мыслителю Лагранжу. Впрочем, вопрос о соотношении творчества обоих великих математиков заслуживает отдельного рассмотрения.
IV
Дальнейший обзор наш будет посвящен почти исключительно математическим трудам великого ученого—мы оставим здесь в стороне его работы по механике и физике. Обзор этот не претендует па полноту. В большинство случаев мы ограничимся суммарными описаниями и не будем обязательно придерживаться хронологической последовательности работ.
Свои многочисленные исследования по математическому анализу, так же как и результаты своих предшественников, Эйлер в значительной части подытожил в названных выше фундаментальных трудах: «Введение в анализ бесконечно малых» (два тома, 1748), «Дифференциальное и счисление» (1755) и «Интегральное исчисление» (трн тома, 1768—1769)1). Сочинения эти составили эпоху в
г) При втором посмертном издании этого труда был добавлен четвертый том (1794), составленный пз ряда отдельных работ Эйлера.
476
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
истории математики. Впервые математический анализ был построен как единая система. Новые фундаментальные факты и методы были изложены с большой ясностью и простотой. Ойлер показывал читателю не только коночный результат исследования, по и самый путь, который привел ого к этому результату. Он рассказывал о трудностях, встреченных па этом пути, и о методах их преодоления, подводя, таким образом, читателя к самостоятельным математическим изысканиям. Общая теория всегда разъяснялась Эйлером на хорошо подобранных примерах. Неудивительно, что труды Эклера по математическому анализу были настольной книгой каждого математика того времени. Оли не потеряли интереса и много позднее; недаром П. Л. Чебышев настоятельно советовал своим ученикам внимательно читать Эйлера.
Чтение «Введения в анализ» и в наши дни доставит большое удовольствие молодому математику, который почерпнет пз него немало неожиданных интересных фактов и приемов.
Прежде всего мы дадим краткий обзор трех названных сочинений, привлекая по мере надобности и некоторые другие дополняющие их работы Эйлера.
Уже в начале 40-х годов Эйлер замыслил составить полный курс математического анализа, в котором испытывалась острая нужда, ибо основное в то время учебное руководство—«Анализ бесконечно малых» Г. Лопиталя (169G) содержал только начальные сведения по дифференциальному исчислениюг). Дифференциальному и интегральному ис.чпслоппто Эйлер счел нужным предпослать введение в анализ. В предисловии к этой книге он писал: «Нередко мне приходилось замечать, что большая часть трудностей, на которые наталкиваются в анализе бесконечно малых изучающие математику, возникает оттого, что, едва усвоив элементарную алгебру, они направляют свои мысли к этому высокому искусству, вследствие чего они по только как бы остаются на пороге, но и составляют собе про-
9 Изданные в 1742 г. И. Бернулли лекции по интегральному исчислению, написанные им еще в 1691—1692 гг., ко времени издания весьма устарели.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
477
вратпыо представления о той бесконечно малой величине, идея которой призывается на помощь... Я приложил старание ио только к тому, чтобы пространнее и отчетливее, чем обычно, изложить все то, что безусловно требует анализ бесконечно малых; я развил также довольно много вопросов, благо [аря которым читатели неза тетно и как бы сверх ожидания могут освоиться с идеей бесконечного»1).
В первом томе «Введения в анализ» излагается учение о функциях п пх разложениях в бесконечные ряды и бесконечные произведения, в непрерывные дроби и в суммы простых дробей. Особенность изложения состояла в том, что в ном совершенно не используются понятия дифференциала и производной; впрочем, в ном ио определяется п понятие бесконечно малой и не выясняются какие-либо общие свойства бесконечно малых величии и бесконечных рядов: читатель приучался применять те и другие в практике решения задач.
В начало «Введения» Эйлер впервые отчетливо высказал ту важнейшую мысль, что предметом математического анализа является изучение функций: «весь анализ бесконечных величин,—писал оп,—заключается в исследовании переменных величии и пх функций» 2).
Представление о взаимозависимости двух нс ременных величии, фактически введенное для простейших алгебраических функций в «Геометрии» Декарта (1637), долгое время оставалось по сформулированным. Количество изучаемых функций постепенно возрастало. В круг исследований включались тригонометрические, 'логарифмические и показательные функции, некоторые функции вводились в форме степенных рядов. Ньютон вво । идею о функции в механическом облачении «текущей величины», по его терминологии флюенты, аргументом которой является некая равномерно текущая величина, аналогичная времени. Иногда i I ыотои говорил о величинах соотнесенной (аргументе) и отнесенной (функции). Во
х) Леона р д Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, т. I, перевод Е. Л. Иацаповского, под ред. С. Я. Лурье, АЕ—Л., 1936, стр. 25.
2) Там же. Наш перевод несколько отличается в этом месте от перевода Е. Л. Пацаповского.
478
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
многих случаях функции задавались геометрически, как площади пли длины дуг каких-либо кривых.
Само слово «функция» ввел в математику Лейбниц, который в 1692—1694 гг. назвал функциями отрезки любых прямых, связанных с некоторой данной кривой, например абсциссы точек кривой, их ординаты, отрезки касательных, нормален, подкасательных и т. п., т. е. пользовался геомегрнческимп образами. Иван Бернулли в одной статье 1718 г. определил функцию переменной величины аналитически как количество, составленное каким бы то пн было образом из этом переменной и постоянных. Это определение можно считать началом арифметико-алгебраического подхода к понятию функции. Однако только Эйлер предпринял построение всего здания математического анализа па базе арифметики и алгебры, без обращения к геометрии и механике. Желание его освободить основы анализа от геометрических и механических представлении было настолько велико, что пп в первом томе «Введения», пи в «Дифференциальном исчислении» Эллера пот ни одного чертежа. Эту чисто аналитическую манеру изложения, сыгравшую огромную роль во всем дальнейшем развитии исчисления бесконечно малых, восприняли и другие крупнейшие ученые XVIII века (например, Лагранж).
Во «Введении в анализ» Эйлер дал определение функции, которое отличается от определения И. Берпуллп более определенным указанием на способ образования функции: «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этого переменного количества и чисел или постоянных количеств»* 1). При этом Эйлер сразу же делает принципиально важный шаг вперед, рассматривая функции для любых, в том числе комплексных значений аргумента: «Переменная величина охватывает собой решительно все числа, как положительные, так и отрицательные, как целые, так и дробные, как рациональные, так и иррациональные и трапс-
9 Л с о п а р д Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, т. I, перевод Е. Л. Пацановского, под ред. С. Я. Лурье, М.—Л.,
1 36, стр. 30.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
479
цепдептпыс. Даже пуль и мнимые числа не исключаются из значений переменной величины»1), II он действительно изучает далее многие виды функций не только при действительных, по и при комплексных значениях аргумента.
Содержание, которое Эйлер вкладывает в свое определенно функции, т. е. в слова «аналитическое выражение», раскрывается пз последующего изложения. Приступая к классификации функций, Эйлер отмечает, что основное различие функций лежит в способе составления их из переменного количества и количеств постоянных. При этом он перечисляет запас допустимых операций, которыми можно пользоваться для составления ана. литических выражений. Это, прежде всего, сложение, вычитание, умножение, деление, возвышение в степень, извлечение корня и решение алгебраических уравнении С помощью таких операций получаются функции алгебраические.
Помимо алгебраических допускаются и трансцендентные операции, задаваемые элементарными трансцен дентными функциями: ег, In z, sinz, cos z, а также операция интегрирования. При этом молчаливо предполагается, что всякая функция задается для всех значений аргумента одной и тон же формулой.
Разделив функции на алгебраические и трансцендентные, что делали и до пего Декарт и Лейбниц, Эйлер подразделяет алгебраические па иррациональные- и рациональные, а последние—па целые и дробные. Оп вводит также понятия однозначных и многозначных функций, прячем показывает, что функция у, задаваемая алгебраическим уравненном /(.г, г/)=Н) n-й степени относительно у, будет п-значной. Он утверждает и обратное: всякая и-зпачиая функция является алгебраической. Как известно, последнее верно лишь при дополнительных оговорках.
Итак, исходным для Эйлера является определение функции как аналитического выражения, образованного с помощью перечисленных выше операций. По уже на первых страницах «Введения» Эйлер подходит к понятию функции и с другой стороны, пе отождествляя се с аналитической
Э Л еона р д Э й л с р, Введение в анализ бесконечно малых, т. I, перевод Е. Л. Нацановского, под ред. С. Я. Лурье, М,—Л., 1936, стр. 29.
480
И. Г. БАШМАКОВА И А- ПЛОШКЕВИЧ
формулой. Так, он делит функции на явные и неявные, которые не задаются каким-либо известным аналитическим выражением. Затем он утверждает, что если у является функцией z, то и z будет функцией у. При этом, однако, «весьма часто из-за несовершенства алгебры эти функции (т. е. обратные.—Авторы') нельзя выразить явно; тем не менее эта взаимность функции имеет такой характер, как если бы все уравнения могли быть решены» г). Таким образом, по Эйлеру, обратная функция существует всегда, даже если для нее нельзя найти никакой конечной формулы. Он допускает и параметрическое задание функций: если у и х являются функциями z, то у будет функцией х. При пояснении всех этих свойств Эйлер не пользуется аналитическим выражением функций. Во второй главе «Введения» он специально оговаривает возможность выражения одной и той же функции различными формулами, которые можно получить друг из друга тождественными алгебраическими преобразованиями. Совершенно ясно, что все эти формулы имеют то общее, что одинаковым значениям переменного z они сопоставляют одни и то же значения функции. Эйлер выдвигает здесь на первый план представление о функции как соответствии между множествами значений двух величин. В «Дифференциальном исчислении» он это формулирует явно. «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых» * 2). Однако и в этом сочинении Эйлер фактически рассматривает еще только зависимости, задаваемые аналитическими вы ра; ке i ш я мп, фор мул а мп.
Те функции, которые для всех значений аргумента (т. е. во всей комплексной плоскости) могут быть заданы одним аналитическим выражением, Эйлер называл «непрерывными». Разумеется, его понятие «непрерывности» не совпадает с современным; его непрерывность—это посто-
х) Леонард Эйлер, Введение в анализ бесконечно малых, т. I, перевод Е. Л. Пацановского,. иод редакцией С. Я. Лурье, М.—Л., 1936, стр. 35
2) Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, перевод М. Я. Выгодского, М.—Л., 1949, стр. 38.
ЛЕОПАРД ЭЙЛЕР
481
яиство определяю!цеп функцию формулы. С точки зрения Эйлера гипербола является «непрерывной» во всей плоскости, тогда как кривая у-х* для х д, 1 и у—х для ./;>! представляет разрывную функцию. Кривые, непрерывные в нашем смысле слова, Эйлер называл «связными».
В изучении общих свойств «непрерывных» функций Эйлер’ получил некоторые результаты большой теоретической важности. Уже во «Введении в анализ» он формулирует как основное свойство функций, т. с. функций, аналитически выразимых, пх представимость степенным рядом вида
а0-; atz р a.z3 + ...
Выдвигая это утверждение, Эйлер ссылается на практический опыт математиков: «еслп же кто сомневается, чтобы можно было выразить функцию посредством бесконечного ряда членов подобного рода, то это сомнение устранится при развертывании каждой функции» '). Отсюда ясно, что, по существу, «непрерывная» пли же аналитически выразимая функция Эйлера есть, по современной нам терминологии, функция аналитическая.
Позднее (1767 г.) Эйлер указывает важное дескриптивное свойство «непрерывных» функций, а именно то, что все части «непрерывной» кривой (т. е. задаваемой для всех значений аргумента единим аналитическим выражением) «соединены между собой теснейшим образом, так что ин в одной пз этих частей не может произойти изменения без нарушения связи непрерывности» ?). Плаче говоря, всякая сколь угодно малая часть аналитической кривой Онреде лист поведение кривой в целом.
«Для большей ясности этого утверждения,—добавляет Эйлер,— следует допустить, кроме степеней переменной z с целыми положительными показателями, еще какие угодно степени. В таком случае; не будет никакого сомнения в том, что всякая функция может быть преобразована в такое бесконечное выражение:
Az* + Bz?J ACz1+Dz6 Д- и т. д., где показатели а, 3, р, о и т. д. обозначают любые числа» (цнт. соч., стр. 77). Однако, несмотря на эту огово] ку, Ляпер здесь имеет дело всякий раз с разложениями в ряды но натуральным СТС1.С.1ЯМ нс рс менвого.
2) Цнт. по книге: Тимченко II. 10., Основания теории аналитических функций, Одесса, 1899, стр. 482.
1 Историко-матем. исследования
482
И. Г. БАШМАКОВА И Л. П. ЮШКЕВИЧ
В дальнейших работах Эйлер сформулировал еще два основных свойства аналитических функций, а именно: 1) «непрерывные» функции осуществляют подобные в малом отображения сферы на плоскость (1777), 2) действительная и мнимая части таких функций удовле-
творяют условиям
ди 01) г ди di)
их ду ’ ду дх '
При этом Даламбер (1752) и Эйлер (1755) в своих исследованиях по гидромеханике показали (с пашей точки зрения нестрого), что указанные соотношения достаточны для аналитичности функции w (Эйлер разложил се в стеноп-ной ряд и нашел соответствующие ряды для и и г). В работах 1777 г., опубликованных в 1793 и 1797 гг., Эйлер показал и необходимость этих условий. При этом он фактически опирался па то, что криволинейный интеграл от полного дифференциала по зависит от пути интегрирования, т. е. является функцией точкиг).
Каждое пз обнаруженных Эйлером четырех свойств «непрерывных», т. с. аналитических, функций может быть принято за их определенно. Принципиальное значение этих открытий Эйлера, полный смысл которых был раскрыт лишь в XIX в. после работ Коши, Римана и Всйсрштрасса, очевидно. Нельзя по отметить, вместе с тем, что в формулировках и взглядах Эйлера имелись и неясности и неточности. Вопрос о соотношении объемов классов аналитически выразимых функций и функций, представимых степенными рядами, т. о. аналитических, решен Эйлером не был. Эйлер считал, что аналитичность является непременным свойством аналитически выразимой функции, доказательством которого ои лишь по располагал. В этом за ним последовал Лагранж, сделавший в 1797 г. попытку доказать, что всякая функция, за исключением отдельных значений аргумента (в которых она или ее производные обращаются в бесконечность), представима своим рядом Тейлора. Между тем в XIX веке было доказано, что в действительности существуют апалптп-
9 См. М а р к у ш с в и ч А. И., Очерки,по истории аналитических функций, М.—Л., '195'1, стр. 27—35.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
483
чески выразимые функции, не являющиеся аналитическими. IJo если Эйлер и ошибался, считая всякую аналитически выразимую функцию аналитической, то огромной заслугой его явилось самое выделение класса аналитических функций и установление ряда важнейших их свойств1).
1 спорь мы можем сказать точнее, что математический анализ Эйлер строил как анализ «непрерывных», т. с. аналитических функций. Помимо установления общих свойств всего класса таких функций, он рассмотрел и некоторые свойства важнейших подклассов. Так, во второй главе «Введения в анализ» он формулирует предложение: «Если целая функция Z при подстановке z=a принимает значение Л, а при подстановке z—b принимает значение В, то при подстановке вместо z значений, промежуточных между а и Ь, функция Z может принимать любые промежуточные значения между Л и В»2). В той же главе Эйлер—чаще без доказательства—устанавливает свойства многочленов и рациональных функций, разложение их па действительные множители и соответственно на простые дроби; в третьей—параметрическое представление алгебраических функций (здесь приводятся знаменитые подстановки Эйлера для рационализации квадратичных иррациональных выражений). В пятой главе он исследует функции двух и более переменных, устанавливает теорему о разложении па множители однородных функций:
У) = П а'^)-
I лавы VI—XI посвящены исследованию элементарных трансцендентных функций. Эйлер не только представляет их с помощью бесконечных рядов (некоторые такие разложения были известны и до пего), но и с помощью бес-.. , тт . тт
конечных произведении, a tg — nctg— разлагает па простые дроби. Оп устанавливает многие важные свойства
J) Отметим, что Эйлер все же не даст вполне точного определения аналитической выразимости. Подробнее см. Марку-шевич А. II., Элементы теории аналитических функций, М., 1944, стр. 20 — 32.
2) Цит. соч., стр. 44.
31*
464
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
Inz, sin z, cos z и, в частности, знаменитую зависимость е ZV~1 = cos z 4- ]/ — 1 sin z.
Далее, в главах XV—XVI он применяет бесконечные произведения для задания новых функций, так там вводится ^-функция. Наконец, в главе XVII1 функции разлагаются в непрерывные дроби.
Основным содержанием первого тома «Введения в анализ» является, таким образом, теория простейших аналитических функций.
Учение об элементарных аналитических функциях Эйлер дополнил в одном мемуарс 1749 г. (опубликовано в 1751 г.), в котором до конца разрешил вопрос о природе логарифмов отрицательных и мнимых чисел, бывший неясным Лейбницу и Ивану Бернулли. Б противовес неверным утверждениям тщетно спорившего с ним Даламбора Эйлер выяснил бссконечпозначность логарифма всякого числа, отличного от нуля, и установил, что среди значений логарифма положительного числа имеется одно действительное, а все значения логарифмов отрицательных и мнимых чисел являются мнимыми.
Мы несколько отступим теперь от изложения' руководств Эйлера, чтобы до конца проследить развитие ого взглядов на понятие функции.
Уже при построении аналитической геометрии во втором томе «Введения в анализ» Эйлер поставил вопрос о соотношении объемов понятий «непрерывной» функции и функции, задаваемой кривой, начертанной свободным движением руки. Такие кривые, по мнению Эйлера, представляют произвольные функции, которые не могут па всем своем протяжении задаваться одной формулой. Действительно, существование единой формулы обеспечивало бы, по Эйлеру, однозначность продолжения любого участка такой кривой, что исключает продолжение с помощью свободного движения руки.
В математическом анализе, в узком смысле слова, Эйлер исследовал только «непрерывные» функции и соответственно «непрерывные» кривые. Однако, занимаясь вопросами математической физики, Эйлер встретился с необходимостью рассматривать и «разрывные» функции,
ЛЕОПАРД ЭЙЛЕР
485
т. е. тдкпе, которые, по его мнению, нельзя задать па всем протяжении с помощью одной формулы.
Речь шла о решении задачи колебания струны, которую Даламбер свел к уравнению в частных производных
д2у д2у
(1)
В 1747 г. Даламбер впервые нашел общин интеграл этого уравнения в виде суммы двух произвольных функций у — ср (х + at) 4- Ф (.г — oZ). (2)
Приняв во внимание граничные условия г/|л— о = О, у х=г=.-0, Даламбер получил, что
у = ср (at 4- х) — ср (at — х),
ф (z4 2Z) =ср (z).
При этом Даламбер считал, что <р-фупкция произвольная, однако «непрерывная», т. о. аналитически выразимая и, следовательно (согласно общему мнению математиков XVJIT века), сколько угодно раз дифференцируемая.
В следующем году (опубликовано в 1750 г.) Эйлер, занимаясь этой же задачей, пришел нз физических соображений к выводу, что положение конечной струны будет вполне определено в каждый момент времени /, если помимо граничных условий заданы начальное положение струны и начальное распределение скоростей ее точек. Пусть
4=o=/(z); £L°=s(-x}-
Тогда
cp(j-) —ср( — x) = f(x); ср (.г) -4 ср ( — х) = — g (х) dx,
так что функция cp(z) вполне определяется через j(x) и g(x). По начальное положение струны /(х) и начальное распределение скоростей g(x) можно задать при помощи произвольных начертанных от руки кривых (без разрывов в нашем смысле пли «связных» в смысле Эйлера). Но тогда и ср, вообще говоря, не является «непрерывной» функцией.
Даламбер нс согласился с выводом Эйлера. Он настаивал па том, что решением может быть только апалитичс-
486
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
скал функция ср. Так разгорелся знаменитый спор о природе функции, входящих в состав интегралов дифференциальных уравнений с частными производными. Этот спор длился более полувека и в нем приняли участие крупнейшие ученые XVIII столетня—Даниил Бернулли, позднее 1аграпж, Лаплас п др. Вопросы, затронутые при этом, касались, по существу, соотношения между внутренними свойствами функций и характером аналитического аппарата, выражающего эти функции. Историю этой последней проблемы можно проследить вплоть до наших дней.
Дальнейшие исследования показали принципиальную правоту более широкой точки зрения Эйлера па природу функций, входящих в решения уравнений с частными производными. «Разрывные» или «произвольные» в смысле Эйлера функции стали позднее весьма важными объектами математического анализа в целом. Эйлер, впрочем, не подозревал, что функции, изображаемые «связными» линиями, начертанными свободным движением рукиг), являются в действительности аналитически выразимыми. Это выяснилось в ходе изучения другой проблемы, возникшей в том же споре.
Б одной работе 1748 г. Эйлер получил частное решение задачи о струпе в форме тригонометрического ряда синусов. В 1753 г. Даниил Бернулли, исходя из наглядных физических представлений, предложил общее решение уравнения (1) в виде
т/= а sin ^--Б р sin —у sin-^4^.-]-. . ., (3)
где I—длина струны, а а, р, у, ...—функции t, в каждый данный момент времени принимающие определенные числовые значения. Д. Бернулли был убежден, — хотя
*) Сам Эйлер различал два вида «разрывных» функций. Он характеризовал их геометрически, как 1) линии «смешанные», на разных участках заданные различными аналитическими формулами и 2) произвольно начертанные линии, не определяющиеся каким бы то ни было уравнением или уравнениями. См. Т и м-ченко И. Ю., цит. соч., стр. 482—484.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
487
и ие располагал соответствующим доказательством, — что уравнением (3) при подходящем выборе значения а, 6, у, ... можно представить любую кривую. Эйлер не согласился с мнением Бернулли. С точки зрения Эйлера «заданная уравнением (3) функция, как «непрерывная» и к тому же нечетная периодическая функция, ие могла служить для представления произвольной «разрывной» функции и потому давала только частный класс решений уравнения (1). 'Гак встал вопрос об условиях представимости функций тригонометрическими рядами ]).
Только после работ Ж. Фурье но теплопроводности (доложены в 1807 г., опубликованы в 1822 г.) эта новая iq облома получила первое удовлетворительное решение. Фурье показал, что весьма широкий класс «разрывных» функций, в частности, «связные» линии, заданные на разных участках различными уравнениями, представим на любом конечном отрезке в виде сумм рядов:
оо
“2 + 2 C0S Пх sin пх) •
Достаточные условия разложимости функций в ряды Фурье были вскоре по-разному установлены п строго обоснованы II. Д ирпхле п И. И. Лобачевским, а затем Б. Риманом и др. При этом выяснилось, что и все вообще эйлеровы «связные» кривые, начертанные свободным движением руки, представимы на любом конечном отрезке рядами Фурье, т. е. с помощью некоторого аналитического выражения* 2).
*•) Мы оставляем здесь в стороне вопрос о том, что «метод характеристик» Даламбера—Эйлера более удобный в задаче о струпе, чем метод наложения главных колебаний Бернулли, ибо дает здесь решение в конечной форме, принципиально уступает последнему, применимому к гораздо более широкому классу задач мате-матичсской ф । г з и к и.
2) Произвольная непрерывная (в пашем смысле) функция, вообще говоря, рядом Фурье все же пеиредставима. Однако в '1885 г. К. Вейерштрасс доказал, что любая непрерывная па отрезке функция аналитически выразима на нем, как сумма равномерно сходящегося ряда многочленов. См. Ма ркушевич А. И., Элементы теории аналитических функций, Введение.
488
II. Г. БАШМАКОВА II А. П. ЮШКЕВИЧ
Несмотря па неверную позицию в вопросе о представлении «произвольной» функции тригонометрическим рядом, Эйлер много сделал для развития самой теории тригонометрических рядов. Так, он вывел в 1777 г. (опубликовано в 1798 г.) общие формулы для коэффициентов тригонометрических рядов из косинусов пли синусов (так называемые коэффициенты Фурье) и еще ранее дал разложения многих функций в тригонометрические ряды.
Обрисованные до сих пор исследования Эйлера оказали мощное влияние на дальнейшее развитие математики в нескольких направлениях,- Созданная им теория элементарных аналитических функций вместе с его работами, в которых аналитические функции были применены к интегрированию уравнений с частными производными, а комплексные подстановки—к вычислению ряда специальных определенных интегралов, явилась основой, па которой в XIX воке О. Коши, азатемБ. Риман и К. Всйэр-штрасс построили общую теорию аналитических функций как особую математическую науку. Известно, какую роль эта паука приобрела по только для математики в целом, но н в ее приложениях к гидро- и аэродинамике и технике. При этом Эйлер в отдельных случаях далеко выходил за границы элементарной теории функций и блестяще указал па некоторые общие свойства аналитических функций, взаимные связи и фундаментальный характер которых во всей полноте стали ясны много позднее.
С другой стороны, упорная борьба Эйлера за расширение понятия функции, за включение в математику, хотя бы и вне пределов дифференциального и интегрального исчисления в обычном смысле слова функций, по Эйлеру, аналитически невыразимых, явилась преддверием к более топким и обоснованным изысканиям XIX века. От его идеи, пусть не во всем правильных, нити тянутся к созданию теории тригонометрических рядов, с разработкой которых в большой мерс связаны были дальнейшее расширенно понятия функции, новое определение непрерывности, обобщения понятия об интеграле, а затем возникновение теории множеств и теории функций действительного переменного, на основе которой гораздо более глубокое
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
489
решение получила проблема аналитической выразимости функций с помощью тех или иных математических операций.
Мы возвратимся теперь'к обзору математических руководств Эйлера.
V
Второй том «Введения в анализ» с достаточной ясностью характеризуется словами самого автора в предисловии ко всему труду. Здесь, пишет Эблер, «прежде чем приступить к коническим сечениям, к которым в других курсах обычно сводится вся эта часть, я изложил теорию кривых линий вообще, которая затем могла бы быть с пользой применена для изучения природы каких бы то пн было кривых линий. При этом я не пользуюсь никакими другими вспомогательными средствами, кроме уравнения, выражающего природу каждой кривой линии, и показываю, как из этого уравнения можно вывести как фигуру кривой, так и ее основные свойства. Это особенно важно, как мне кажется, в применении к коническим сечениям, которые до сих пор изучались либо только при помощи геометрии, либо хотя и при помощи анализа, но весьма несовершенным и неестественным путем. Сперва я изложил общие свойства линий второго порядка, исходя пз общего уравнения для этих линий, затем иодразде шл их па роды или виды...»1). Придав впервые последовательно аналитический характер изложению учения о кривых второго порядка, Эйлер здесь же развивает теорию кривых третьего порядка, бывшую ранее предметом глубоких изысканий Ньютона и его учеников, даст набросок теории кривых четвертого порядка и гораздо полнее своих предшественников исследует поверхности второго порядка. Без применения дифференциального исчисления он выводит также основные дифференциально-геометрические свойства рассматриваемых кривых. Одна глава посвящена трансцендентным кривым, среди них кривой лУ=ух.
Дифференциальное исчисление Эйлер характеризовал как «метод определения отношения исчезающих прпраще-
’) Цнт. соч., стр. 27.
490
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
или, получаемых функциями, когда переменному количеству, функциями которого они являются, дается исчезающее приращение»3). Поставив в центр понятие производной функции (термин .Лагранжа), Эйлер отошел от традиции школы Лейбница, в которой основным объектом дифференциального исчисления служил дифференциал, находимый с помощью логически не обоснованного отбрасывания высших бесконечно малых слагаемых в выражении для приращения функции. Здесь Эйлер (подобно Даламбору) примкнул к Ньютону, а за Эйлером (и Далам-бсром) последовали Лагранж п Коши.
При этом, желая избежать трудностей, связанных с отбрасыванием бесконечно малых, природа которых оставалась в то время неясной, Эйлер делает попытку построит], своеобразное «исчисление пулой», рассматривая бесконечно малые и дифференциалы как абсолютные пули, с тем чтобы отбрасывание бесконечно малых слагаемых в развернутой формуле для отношения не приводило даже к самым малым ошибкам. Основным для Эклера является различение арифметического отношения, т. е. разности двух пулей, обязательно равной нулю, и их геометрического отношения. Последнее, принципиально говоря, может иметь любые числовые значения, из которых при вычислении производной выбирается одно,
А?/ \
а именно предельное значение — при =
Мы по можем входить здесь в подробный разбор «исчисления пулой» и ограничимся краткими замечаниями. Эйлерова трактовка бесконечно малых, лишенная подлинной строгости и ио пригодная в практике математических ггс-следоваппй, ие могла сохраниться в пауке. Само вычисление производных по Эйлеру наталкивалось па ирпнцц-ннальпую трудность, ибо предполагало разложение приращения функции по степеням приращения аргумента.
Пе менее существенно и следующее. Важнейшим свойством дифференциала функции является то, что оп составляет главную линейную часть приращения. Именно этим свой-
!) Цит. соч., стр. 39.
ЛЕОПАРД ЭЙЛЕР
491
ством п пользовались фактически математики, начиная с XVII века. Сам Эйлер писал: «зная первый дифференциал Р dx мы знаем, правда, приближенно, и первую разность...; это даст немалую пользу во многих случаях, в которых анализ применяется к практическим задачам»1). По понимание дифференциалов как пулен не согласуется с только что названным пх свойством. Концепция Эйлера только маскировала логические трудности, возникающие при продельных переходах, и но могла служить основой для теоретического изучения и оценки тех приближений и неравенств, с которыми приходится на каждом шагу иметь дело в дифференциальном и интегральном исчислении. Мы увидим, что эта концепция, в частности, препятствовала пониманию определенного интеграла как предела интегральной суммы. П результате эйлерово исчисление пулей но удержалось в пауке. Конкретное же содержание «Дифференциального исчисления» было чрезвычайно богатым.
Эйлер прежде всего излагает начала теории коночных разностей как основы вычисления производных, а затем систематически и в весьма широком объеме строит дифференциальное исчисление для функций одного и no-скольких аргументов. К частности, он доказывает свою известную теорему об однородных функциях, выводит необходимое условие полного дифференциала функции двух переменных, достаточность которого обосновывается в «Интегральном исчислении», излагает весьма подробно разработанное нм учение о замене переменных и исследует (не полно) экстремумы функций двух аргументов 2).
Значительная часть «Дифференциального исчисления» отведена учению о рядах. Мы находим здесь, в частности, широкие применения ряда Тейлора (например, к раскрытию так называемых неопределенных выражений, к численному решению уравнений), а также важной для
Л с о н а р д Э й л с р, Дифференциалы!ос исчисление, стр. 105.
2) Приложениям дифференциального исчисления к учению о кривых Эйлер предполагал посвятить отдельную книгу, но успел написать лишь ее начальные отделы, опубликованные в 1862 г.
492
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
вычисления интегралов или сумм формулы суммирования Эйлера
I) ъ
$ / (ж) dx = Л 2 / В) + [/ (Ч - / 0)1 -
а а
-% 1‘2[/'(6)- Г 0)1 + %Л‘ [/-" (0-Г" 0)1 -...,
где 13—так называемые числа Бернулли1).
В этом же сочинении Эйлер обстоятельно излагает своп взгляды па природу бесконечных рядов. Разложения в степенные ряды, ранее служившие только для вычисления значений функции, стали у Эйлера одним из главнейших средств изучения и определения функций. При этом Эйлер, как мы говорили, с успехом применял не только сходящиеся, но и расходящиеся ряды, примеры которых нередко представляет хотя бы только что упоминавшаяся формула суммирования. Эйлер прекрасно сознавал, что следует понимать иод суммой сходящегося ряда,—это было ясно и другим ученым еще со времени Ньютона. По в связи с оперированием расходящимися рядами вставали весьма трудные проблемы.
Некоторые ученые, как старший Николай Бернулли, П. Варпньои, Даламбер, целиком отвергали употребление бессмысленных с их точки зрения расходящихся рядов, приводящих к парадоксальным равенствам, вроде равеш тва 1—2 4-4—8 4-16— ...=-’ , которое получается О
из разложения — = 1—х + х2—х3 !-••• при х = 2.
1 -[-X
Эйлер но считал допустимым отказаться от применения таких рядов, в полезности которых неоднократно убеждался в своей работе. «Затруднений и кажущихся противоречий,—утверждал он,—мы совершенно избежим, если мы припишем слову «сумма» значение, отличное от обычного. Л именно мы скажем, что сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разло-
*) Формулу суммирования Эйлер опубликовал в 1739 г.:
в 1742 г. ее опубликовал также К Маклорен. Обыкновенно эту формулу называют по именам обоих ученых. '
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
493
жеиия которого возникает этот ряд... При этом соглашении, если ряд будет сходящимся, то новое определенно слова сумма совпадает с обычным, а так как расходящиеся ряды не имеют суммы в собственном смысле, то из этого нового наименования не проистечет никаких неудобств»1).
Эйлер но ограничился в этом вопросе общими декларациями. Он предложил вполне конкретные методы обобщенного суммирования и преобразования рядов, медленно сходящихся в быстро сходящиеся или же расходящихся рядов в сходящиеся. Эти методы много позднее вошли в состав современной теории суммирования. В ого исследованиях содержались ростки идеи аналитического продолжения и смысл некоторых его вычислений стал ясен только после соответствующих работ Всйорштрасса. Эйлер не выяснн.ч, однако, и при тогдашнем состоянии пауки не мог выяснить, при каких условиях предложенные им обобщенные методы суммирования законны и почему они дают верные результаты. Противоречия и некоторые прямо неверные результаты, полученные вследствие некритического применения расходящихся рядов, привели в начале XIX века к почти полному исключению их из математики, хотя даже Коши, творец современной теории сходимости рядов, иногда продолжал ими пользоваться. Только в конце XIX вока благодаря работам Э. Чезаро, Л. Пуанкаре, Э. Борсля, Г. Ф. Вороного, Л. Фейера и других была создана теория суммирования, у щвлетворяющая современным требованиям математической строгости. По в процессе создания этой теории стала очевидной принципиальная правота Эйлера. «Здесь,—пишет Г. Харди,—как и в некоторых других случаях Эйлер был по существу прав. Затруднения того времени относительно расходящихся рядов возникали большей частью не из-за какой-либо особой таинственности расходящихся рядов, как таковых, сколько из-за несклонности давать формальные определения и недостаточности тогдашней теории функций. Принцип Эйлера невозможно сжато формулировать без ясных
) Цит. соч., стр. 101.
494
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
представлений о функциях комплексного переменного и аналитическом продолжении» *).
В «Интегральном исчислении» Эйлера, завершающем его курс анализа, излагается как интегральное исчисление в узком смысле слова, так и теория дифференциальных уравнений; в приложениях рассматриваются и вопросы вариационного исчисления.
Первая часть первого тома этого труда отведена разнообразным методам вычисления интегралов функций одного аргумента. Исходным является понятие интеграла как первообразной, в связи с чем прежде всего с исключительной полнотой излагаются различные приемы вычисления неопределенных интегралов, многообразные подстановки, рекуррентные формулы и пр. Здесь впервые отчетливо ставится вопрос об интегрировании в конечном виде: ранее постановка этого вопроса была невозможна, поскольку не был выделен класс так называемых элементарных функций.
Мы отмстим особо крупный вклад Эйлера в учотше об эллиптических интегралах: открытие основной теоремы об их сложении и некоторую их классификацию, значительно улучшенную затем Лежандром.
Определенный интеграл Эйлер рассматривал в первую очередь как одно из значений какой-либо одной из первообразных. Лойбппцсво определение интеграла как суммы дифференциалов было для Эйлера неприемлемым, поскольку дифференциалы, согласно его определению, представляли чистые пули. Впрочем, Эйлер но выдерживал последовательно этой точки зрения. При приближенном вычислении определенных интегралов (термин Лапласа) Эйлер подходит к пониманию интеграла как предела интегральной суммы, которое в форме отчетливого определения высказал позднее Коши. Как сумму трактует Эйлер пптеграл и в одной работе 1769 г., в которой он впервые ввел двойные интегралы, положив начало теории многократных интегралов, развитой далее Лагранжом, Гауссом и М. 15. Остроградским.
Э Харди Г., Расходящиеся ряды, М., 1951, стр. 30. В этом сочинении читатель найдет подробное изложение результатов Эйлера в теории расходящихся рядов.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
495
Но сели в трактовке природы определенного интеграла Эйлер по достиг еще ясности, то в вычислении определенных интегралов. им были получены первостепенные результаты и его с полным основанием можно считать основоположником учения о специальных определенных интегралах. В этой области до Эйлера почти ничего не было сделано.
Эйлер развил такие важные методы вычисления определенных интегралов, как дифференцирование и интегрированно по параметру, и первый применил в этих целях комплексные переменные. Он вычислил большое число определенных интегралов, встречающихся теперь исследователям па каждом шагу. Некоторые из интегралов, введенных впервые Эйлером, ввиду особой полезности их в математике и ее приложениях сталп предметом многочисленных исследований ученых XIX—XX веков. Таковы, например, функции Г и В, глубоко изученные уже их изобретателем, «интегральный логарифм» и многие другие.
Во второй части первого тома и во втором томе «Интегрального исчисления» систематически изложены приемы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений норного и высших порядков. В этой области Эблеру принадлежит большое число классических результатов: решение однородного линейного уравнения любого порядка с постоянными коэффициентами посредством составления так называемого характеристического алгебраического уравнения, решение неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами путем последовательного понижения ого порядка, решение некоторых типов линейных уравнений с переменными коэффициентами (например, упомянутого ранее «уравнения Бесселя»), интегрирование уравнению Эйлера, связанного с теоремой сложения эллиптических интегралов, исследование уравнения Риккати, создание’ теории интегрирующего множителя, эйлеров критерий особого решения1), методы численного интегрирования уравнений первого и второго порядка и многое другое.
х) См. статью Н. И. Симонова в настоящем сборнике.
496
И. Г. БАШМАКОВА II Л. П. ЮШКЕВИЧ
Наконец, третий том посвящен уравнениям с частными производными. Мы но будем останавливаться на богатом содержании этого тома, которому в настоящем сборнике посвящена специальная статья Ф. И. Франкля, убедительно показывающая, что Эйлер явился создателем теории уравнений с частными производными.
Как мы предупреждали выше, наш беглый обзор ие претендует на полноту изложения. Пашой целью было дать общую характеристику творчества Эйлера в области математики1). Оставляя в стороне ого труды но непрерывным дробям, дифференциальной геометрии, теории вероятностей, отдельные топологические результаты и многое другое, мы остановимся теперь еще на двух направлениях работ Эйлера—на вариационном исчислении и теории чисел. Обо эти науки созданы были в основном Эйлером, в обоих он в ряде вопросов значительно опередил как всех своих современников, так и ближайшее потомство.
VI
Возникновение первых вариационных задач относится к глубокой древности2). Архимед (III век до п. э.) поставил и решил задачу об отыскании тола, имеющего при заданной поверхности наибольший объем, аЗенодор(П вок до и. э.)—аналогичную задачу для плоскости. Герои Александрийский (I вок и. э.) усмотрел, что отражение светового луча плоским зеркалом хорошо описывается на основе принципа минимума.
Возрождение интереса к вариационным задачам относится к XVII воку. П. Форма обнаружил, что и закон проломления света может быть объяснен, исходя из минимального принципа. Вскоре было установлено, что и меха
*) Краткий систематический обзор наиболее важных открытий Эйлера с указанием литературы, полезной для первой ориентировки, см. Muller F., Uber bahnbrechende zirbeiten Leonhard Eulers aus der rcinen Mathematik, сборник. FcsLschi ift zur Feier des 200. Gcburlslagcs Leonhard Eulers (Abh, zur Gcschichle der malhcmat, Wissenschaften, тетрадь XXV), Лейпциг и Берлин, 1907.
2) О первых этапах развития вариационного исчисления см. в статье К. А. Рыбникова в «Историко-математических исследованиях», вып. II, М.—Л., 1949.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
497
ническая система находится в устойчивом равновесии при минимальном значении потенциальной энергии. На основе этого Г. Лейбниц нашел форму, которую принимает тяжелая цепь (цепная линия). В конце XVII века были исследованы и некоторые другие вариационные задачи. Наибольшую известность получила так называемая задача о брахистохроне—кривой, соединяющей две точки А и В (нс лежащие на одной вертикали), по которой тяжелое тело скатывается в паикратчайшес время. В конце XVII вока Иван Бернулли поставил проблему о нахождении брахистохроны. Проблема была решена Ньютоном, Лейбницем, Яковом Бернулли, самим Иваном Бернулли и Лопиталем. При этом Яков Бернулли высказал важный принцип: экстремальная кривая должна обладать свойством экстремальности в любой своей сколь угодно малой части. Очень большое значение имела также исследованная братьями Бернулли проблема нахождения геодезических на поверхности1). Таким образом, до Эйлера были рассмотрены отдельные вариационные задачи и найдены отдельные методы их решения. Положение вещей здесь было примерно такое же, как с методами бесконечно малых до работ Ньютона и Лейбница.
Исследуя экстремальные задачи, Эйлер ищет для них единый алгоритм и впервые создаст вариационное исчисление, подробное изложение которого он дал в «Методе нахождения кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума...» (1744).
В начале этого сочинения Эйлер отчетливо сформулировал принципиальное отличие между задачами на максимум и минимум дифференциального исчисления и задачами вариационного исчисления: «...Там мы определяем для данной и определенной кривой линии то место, где какая-либо заданная переменная величина, относящаяся к кривой, была бы наибольшей или наименьшей. Здесь же отыскивается сама кривая линия, для которой какая-либо заданная величина была бы наибольшей или наименьшей» 2).
х) Дифференциальное уравнение геодезических было впервые найдено Эйлером.
2) Цит. соч., стр. 26—27.
32 Историко-матем. исследования
498
И. Г. БАШМАКОВА И А- П. ЮШКЕВИЧ
Эйлер ищет прежде всего аналитическое выражение для величины, зависящей от кривой линии или от функции, т. с. (в нашей терминологии) для функционала. Он находит выражение для функционала в виде
ь
W = Z (х, у, у', .. ., y(h)) dx,
а
тогда IV будет зависеть от соотношения, связывающего х и у : у{х). Только после этого появилась возможность аналитически трактовать экстремальные задачи и строить вариационное исчисление.
Эйлер разделяет вариационные проблемы на задачи отыскания абсолютного экстремума и задачи определения относительного экстремума (классическим примером которых служат изоперпметрическне задачи). Последние он сводит к первым тем же способом, который применяется и сейчас.
Основная идея Эйлера при решении задач на абсолютный экстремум заключается в построении кривой y — f (х), дающей наибольшее или наименьшее значение интегралу1)
* ъ
TV = Z (ж, у, у') dx,
а
как пределу последовательности приближающих ее ломаных {/п(ж)}. Он рассматривает ломаную /п(ж)> вершины которой находятся в точках с абсциссами х0, . . ., х.п, xi^x— xi--b—^- = dx’, тогда интеграл W заменится суммой
п— 1
И'„ = 2 Zv (V, dx.
4=0
Далее Эйлер ищет обычный экстремум Wn = Wn (у0, у1}.. . .. ., ?/„). Поскольку к этому времени еще не была построена общая теория нахождения экстремумов функции многих переменных, Эйлер подробно останавливается па методе отыскания их. Он дает приращение ^у. одной
’) Для краткости допускаем, что Z зависит только от т, у, у'.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
499
пз ординат yv, обозначает
_ yv-Vl-yv
1 v dx
находит
п— 1
dZ., А'
др.,
d\Vn — dZy dx = 1 dZd) dx =
= (P^^idp^i j- Nvdyv — P^dpd) dx ~
= (X-i dx =
= [л-„Аг/., -
Для того чтобы Wn имело экстремум, необходимо равенство нулю приращения dWn. Так как dx произвольно, то dZ^-t -\-dZy) = 0, т. с.
{л\- (А,- А,_1)Л}а2/., = 0
ИЛИ
а так как условие должно иметь место для любой ординаты, то
n- dP 07 d 07,
Л----— = 0 пли — - -——- = ().
dx dy dx Оу
Таким образом, с помощью метода, позднее названного «прямым», Эйлер пришел к знаменитому уравнению, носящему его имя, и свел задачу отыскания экстремума функционала к интегрированию дифференциального уравнения. После этого Эйлер даст общий метод решения задач па отыскание экстремальной кривой средн кривых, задаваемых некоторым свойством, и показывает, в каких случаях применим принцип Бернулли (экстремаль в целом является экстремалью и в малом), а в каких он не действует. Теоретические исследования Эйлер дополняет большим числом прекрасно подобранных примеров.
В приложениях к трактату Эйлер применил вариационные методы к составлению дифференциальных урав
32*
500
И. Г. БАШМАКОВА И'А. П. ЮШКЕВИ.Ч
нений некоторых задач теории упругости1). Здесь, в частности, приводится известная в учении о сопротивлении материалов формула Эйлера для определения критической нагрузки, допускаемой без изгиба колонной с известным коэффициентом упругости. Здесь же Эйлер дает первую точную формулировку принципа наименьшего действия для динамики свободно движущейся точки и использует его для решения ряда механических задач, требуя, чтобы движение совершалось по траекториям, сообщающим минимум mvds2).
В 1755 г. девятнадцатилетний Лагранж постропл новый алгоритм вариационного исчисления, который он изложил в письме к Эйлеру3 * * * * 8). Лагранж полагал, однако, что новый алгоритм заключается просто в применении к вариационным задачам принципов дифференциального исчисления. Только чтобы отличить дифференциалы, которые уже имелись в подпнтсгральпой функции, от приращений, связанных с определением экстремальной кривой, он ввел для обозначения этих последних новый символ—«характеристику» б. Поэтому-то Лагранж и пе пытался дать обоснования своему исчислению, так как с его точки зрения оно просто было частью дифференциального.
Эйлер глубоко оценил исчисление Лагранжа, которое он назвал вариационным, и дал ему повое истолкование. Эйлер ввел понятие семейства кривых, зависящих от параметра, и среди этого семейства путем изменения параметра искал экстремаль. Изменения функции Ъу, соответствующие изменению параметра, Эйлер назвал вариациями. Он изложил свои исследования в этом направлении в 1771 г. При этом'он дал вывод «уравнения
х) Вариационные методы Эйлер применил также в некоторых задачах, рассмотренных в «Морской науке» (1749).
2) Содержательный обзор работ Эйлера по . вариационному
исчислению дал А. Кнезер (Euler unci die Varialionsrechnung)
в сборнике, указанном на стр. 544, сноска2). Между прочим, Л. Кнезер
характеризует здесь Эйлера как творца научных систем, как чело-
века мощного обобщающего ума («Systembildner» и «kraftvollor
Verallgemeinerer», стр. 29).
8) Свои исследования Лагранж опубликовал в 1762 г.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
501
Эйлера», сходный с современным, и вывел вариацию интеграла с переменными пределами. Впоследствии он нашел и вариацию двойного интеграла.
После работ Эйлера и Лагранжа особенно интенсивное развитие получает метод вариаций. Разработкой вариационного исчисления занимались К. Гаусс, С. Пуассон, О. Ковш, К. Якоби, М. В. Остроградский, нашедший вариацию n-кратного интеграла, и другие.
Поучительна дальнейшая история прямых методов г д2и ।
1 аусс заметил, что краевая задача для уравнения +
— = 0 сводится к отысканию минимума интеграла dxdy. Эту идею Гаусса под названном принципа Дирихле развил дальше Риман, применивший се к доказательству теорем существования в теории алгебраических функций. В 1869 г. Вейерштрасс указал, что из существования нижтюй грани приведенного интеграла еще по следует, что эта нижняя грань достигается в классе допустимых функций. Несмотря па всю наглядность этого метода его применение было надолго дискредитировано. Реабилитация «принципа Дирихле» оказалась связанной с возрожденном прямых методов в трудах Д. Гильберта и его учеников (1901 п след. годы)1).
В XX веко прямые методы приобрели в вариационном исчислении и его приложениях основное значение. Их общая идея состоит в трактовке вариационной задачи, как предельной для некоторой задачи на экстремум функций многих переменных. Повое развитие получил при этом изложенный выше метод конечных разностей Эйлера (в частности, в трудах советских ученых Л. А. Лтостсрнп-ка и И. Г. Петровского); советские математики (II. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов) разработали далее и другой более общий прямой метод В. Ритца (1909).
Теперь, однако, прямые методы получили повое назначение. Эйлер с помощью своего прямого метода свел
Э См. Клейн Ф., Лекции о развитии математики в XIX столетии, М.—Л., 1937, стр. 304 и след.
502
И. Г. БАШМАКОВА И А. И. ЮШКЕВИЧ
решения вариационных задач к решению дифференциальных уравнении. Сейчас прямые методы с успехом применяются в тех вариационных задачах, для которых уравнение Ойлера пе интегрируется в коночном виде, а также для нахождения решения самих дифференциальных уравнений, которые удается представить как уравнение Эйлера для некоторой вариационной задачи.
Современные прямые методы вариационного исчисления представляют собой один из примеров возрождения забытых в точение долгого времени идей Эйлера.
VII
Теория чисел занимала в творчестве Эйлера особое место. Проблемы высшей арифметики интересовали его на протяжении всей жизни. Как уже говорилось, он посвятил им 148 работ и можно без всякого преувеличения сказать, что Эйлер является основателем теории чиеел как науки.
«Эйлером положено начало всех изысканий, составляющих общую часть теории чисел»,—писал II. Л. Чебышев1). До Эйлера вопросами 'теория чисел занимался гениальный математик XVII века П. Ферма, который нашел многие важные теоремы теории чисел. Однако почти mi одно его доказательство но сохранилось. Поэтому предложения, открытые Ферма, стояли пород математиками в виде отдельных проблем, причем пе были ясны ни связи между проблемами, ни методы, которыми можно было бы исследовать их. Проблемы эти оказались но под силу ни одному математику до Эйлера. «И эго понятно,—писал П. Л . Чебышев,—эти изыскания требовали пе новых приложений приемов, ужо известных, и пе новых развитий приемов, прежде употреблявшихся; эти изыскания требовали создания новых приемов, открытия новых начал, одним словом, основания новой науки. Это сделано было Эйлером»2).
1) Чебышев 11. Л., Полное собрание сочинений, т. I, М.—Л., 1944, стр. 10.
2) Там же.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
503
Эйлер доказал почти все теоремы Ферма и обобщил многие из них. При этом он открыл новые фундаментальные законы теории чисел, построил важные разделы ее и развил глубокие методы исследования теоретико-числовых проблем.
Мы остановимся па двух методах Эйлера, имеющих особенно большое значение. Первый из них был применен Эйлерс I при доказательстве так называемой «малой теоремы Ферма». П. Ферма, рассматривая вопрос о делителях больших чисел, обнаружил, что если некоторое целое число а не делится на простое число р, то нр-1—1 всегда будет долиться на р. Ферма не оставил доказательства этого важного предложения. Эйлер не только доказал, но и обобщил «малую теорему Ферма» на случай, когда р составное. Он показал, что —1 всегда делится на /г,
где а и п взаимно просты, а ср(п)—число чисел, меньших п и взаимно простых с ним.
Первое доказательство «малой теоремы Форма», данное Эйлером (1738 г.), основывалось па рассмотрении свойств биномиальных коэффициентов. В 1758—1759 гг. Эйлер дал новое, по существу теоретико-групповое доказательство. Пусть р простое и а не делится на р. Эйлер рассматривает остатки от деления па р степеней а:
1, а, а2, . . ., а*, . . .
Они не могут быть все различны между собой, так как всего различных остатков будет р — 1. Пусть аУ- и аУ имеют одинаковый остаток г, тогда аУ--'* при делении па р даст в остатке 1. Пусть X — наименьший показатель, при котором — 1 делится на р. Тогда, как показывает Эйлер, числа
1/а, а2, . . ., а*-1
дают при делении на р различные остатки. Рассуждение Эйлера почти дословно такое же, как и современные рассуждения во всех аналогичных случаях: пусть ah и а1, к > Z, к, I < X, имели бы одинаковые остатки, тогда ah~L давало бы остаток единицу, что невозможно, так как k — l< 'h, а X — наименьшее из чисел /, для которых с/ - 1 делптся на р.
504
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
После этого Эйлер доказывает, что X должно быть делителем р — 1. Ясно, что Х<_р — 1. Если имеет место равенство, то теорема доказана. Если X << р— 1, то Эйлер показывает, что Х<-^—• Для этого он фактически рассматривает разложение группы G вычетов по модулю р на смежные классы по подгруппе Н = {1, а, а2, . .., а'-1}.
Рассуждение проводится так: пусть Х< р - 1, тогда найдется вычет Ь, не встречающийся среди остатков, которые дают при делении на р степени 1, а, а2, . .
Эйлер рассматривает числа
b, ba, Ьа2, . .., Ьа?-~^
и показывает, что все они дают при делении па р различные остатки; действительно, если бы Ьа1г и Ьа1 имели при делении на р один и тот же остаток, то baL — bak = = bah (aL~h — 1) делилось бы на р, а так как bah взаимно просто с р, то aL~k — 1 делилось бы на р, что невозможно. Эллер показывает также, что пи одно из чисел Ьа1 но может иметь остаток, равный остатку какого-либо из ап, где n^X—1. Таким образом,
2Х < р — 1 п X < Р ‘
Аналогично Эйлер доказывает, что если X < , т0
X < и т. д. Но X —целое положительное число, поэтому процесс этот ие может продолжаться до бесконечности. Значит, найдется такое /, что X = •
Итак, Эйлер устанавливает: 1) что число элементов любого смежного класса в Н конечной группы G равно числу элементов подгруппы Н; 2) что порядок X подгруппы Н всегда является делителем порядка р — 1 группы G. Хотя Эйлер рассматривает только циклические подгруппы Н, но метод рассуждения его является вполне общим. Насколько мы знаем, доказательство, данное Эйлером малой теореме Ферма, являегся первым в математике чисто теоретико-групповым доказательством. При этом, как известно, прием разложения группы на
ЛЕОПАРД ЭЙЛЕР
505
смежные классы по подгруппе является центральным в теории групп.
Ряд вопросов, поставленных Ферма, относился к так называемому диофантову анализу, т. е. к решению неопределенных уравнений в целых числах. Так, Ферма поставил задачу о нахождении всех целочисленных решений уравнения
re2 — ay2 = 1,
где а — целое поквадратное число (так называемое уравнение Пслля). Исследуя это уравнение, Эйлер впервые в истории теории чисел применил прием разложения формы х2 — ау2 на иррациональные множители
х2 — ау2 — (х-\ у р а) (х — у |' а).
Аналогичный метод был им применен и для форм вида х2- ау2. «Я показал, — писал Эйлер Лагранжу1), — что для того, чтобы решить уравнение ж2-| пу2~ (р2-\ nq2y, достаточно решить следующее: х 4 yV —n — {p-\-q ]/ —пу».
В 1760 г. Эйлер впервые рассмотрел выражения х-\ У V + а как обобщенные числа. Это дало ему возможность доказать частный случай большой теоремы Ферма. Как известно, теорема эта утверждает, что неопределенное уравнение
Хп 4 уп = zn
при п > 3 и a??/z4=0 по имеет целочисленных решений. Для /г = 4 Эйлер доказал эту теорему еще в 1738 г., применив так называемый метод спуска. Однако провести аналогичное доказательство для п=3 ему пе удавалось до тех пор, пока он по начал рассматривать выражения 7?г —J п }/Г — 3 как целые числа, подчиняющиеся обычным законам делимости. Он выделил среди чисел т -|- п \/ — 3 простые и взаимно простые, считая, что для чисел этого вида справедлив закон однозначности разложения па простые множители, а значит, если произведение двух взаимно простых чисел этого вида является некоторой степенью,
х) Oeuvres de Lagrange, т. XIV, стр. 215.
506
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
то каждый из сомножителей представляет собой такую же степень.
Спуск проводился следующим образом: пусть имеются три числа х, у, z, такие, что
Ж3 _ уЗ _ z3?
и пусть х, у почетны, a z четно. Положим
х — р -\-q, ] y = p-q- J Тогда
z3 = 2р3 + 6pq2 = 2р (р2 Н- З^2).
Так как х, у п z всегда можно предполагать попарно взаимно простыми, то р и q также будут взаимно просты. Так как z3 четпо, то оно должно во всяком случае делиться на 8, т. е. ~ (р2 4- 3<у2) является кубом. Эйлер рассматривает два случая: 1) р не делится на 3 и 2) р делится па 3. Чтобы попять идею доказательства Эйлера, нам достаточно будет рассмотреть только первый случаи. Если р не делится па 3, то р2 ' - Зс/2 нечетно (так как р и q разной четности), значит, р четно. Кроме того, числа и р2 4- 3q2 взаимно просты, значит, п р2 |- 3q2 являются кубами. Далее — и это центральное место в доказательстве--Эйлер разлагает число р2 h 3q2 на множите лп:
(Р -’г q У - 3) (р - q \/ - 3) = кубу,
но —3 и р — q\f — 3 взаимно просты —они нс
могут иметь общего множителя того же вида, поэтому Эйлер полагает
д>-| <?]/ —3 = (н-: — З)3,
р — 7 ]/ — 3 = (и — v У — З)3. Отсюда
р = и3 — 9нг2 — и (и — Зг) (и -|- Зг), q — 3u2v — Зг;3 = 3v (и2 — г-2). ’
Поскольку q нечетно, то и v нечетно. Тогда и четпо.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
507
Пз верхнего равенства видно, кроме того, что и не делится на 3. Так как равно кубу, то и 8 ^ = 2р является кубом, или
2р — 2и (и — Зг) (и - Зг) = 73.
Поскольку числа 2а, и —За и и }-За взаимно просты, то каждое пз них является кубом:
и — За = /3,
и [- За — g3
2и = /3 4 g3 — t3.
По /, g и t меньше, чем х, у и z, поэтому если бы исходное уравнение решалось в целых числах х, у, z, то оно решалось бы и в меньших числах /, g, I. По от /, g, t можно тем же рассуждением перейти к /1? gr, /г, меньшим чем /, g, t, и т. д. А это невозможно, так как существует только конечное число чисел, меньших данного.
Конечно, приведенное рассуждение Эйлера ио является вполне строгим. Может даже показаться, что оно ошибочно: действительно, так как 3= — 1 (mod 4), то целыми числами поля будут не только т ± п ]г — 3, ио и - т , п у — 3
— 4 ——%—, где т и п одинаковой четности.
Поэтому, вообще говоря, если некоторое число а — /г)/—3 является кубом, то можно только утвер-
ждать, что
a=G±-21 ~3;
где е—кубическая единица. Одпако, так как в случае, рассматриваемом Эйлером, р четно, a q почетно, то р~\- q у — 3 является кубом тогда и только тогда, когда оно имеет вид (и 4: v — З)2, т. е. доказательство Эйлера не содержит никаких ошибок. Правда, оно нуждается в существенных дополнениях, прежде всего в доказательстве
508
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
тп 4- п у — 3 , того, что для чисел вида -—!------------ (где т п п
одинаковой четности) имеет место закон однозначности разложения на простые множители.
Рассуждение Эйлера при доказательстве большой теоремы Ферма для п = 3 важно потому, что здесь впервые выражения вида — 3 рассматриваются как
целые числа, т. е. что обобщается само понятие целости. Эти изыскания Эйлера положили начало алгебраической теории чисел, развитой в XIX веке в работах К. Гаусса, П. Дирихле, Е. Куммера, Р. Дедекинда, Е. И. Золотарева, Л. Кронскера и Д. Гильберта.
Третий важный круг вопросов, постав лепных Форма, также относился к теории делимости. Ферма открыл, что формой ж2-р?/2 представимы те и только те простые числа, которые имеют вид 4п4- 1, формой ж2-} Зу2 — простые числа вида Зтг-|-1, наконец, формой х2 2у2 — простые числа вида 8п ; 1 и 8/г — 3. Эйл(?р дал строгое доказательство двум первым утверждениям Ферма и существенно обобщил задачу: он поставил проблему определения вида простых чисел, которые могут быть делителями формы х2 ± Лгу2. Здесь важно и то, что Эйлер рассмотрел такие формы при произвольном целом А’, и то, что он сосредоточил свое внимание па делителях формы, а нс только на простых числах, представимых ею. Такой общий и глубокий подход позволил Эйлеру в 1772 г. обнаружить фундаментальный закон всей теории — так называемый квадратичный закон взаимности. Открытие этого закона явилось результатом больших экспериментальных исследований Эйлера над числами.
Квадратичный закон взаимности в бо.чсе современной формулировке гласит, что если хотя бы одно из двух простых чисел р и q имеет вид 4/г Г1, то q есть квадратичный вычет р тогда п только тогда, когда и р есть квадратичный вычет q, а если р и q оба имеют вид 4/г -р 3, то q есть квадратичный вычет р тогда, когда р есть невычет q, и наоборот. Эта теорема вновь была найдена п опубликована А. Лежандром в 1785 г., после чего п приобрела известность. Первое полное доказательство ее дал Гаусс.
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
509
Квадратичный закон взаимности является центральным предложением арифметики квадратичных полей. Только с его помощью удается найти вид тех простых чисел, которые разлагаются в данном квадратичном поле па множители, построить теорию делимости в целом. Его открытие и знаменует собой начало алгебраической теории чисел как науки. Нельзя не удивляться гению Эйлера, обнаружившего этот закон, который оставался скрытым и ог Ферма, и от младшего современника Эйлера — Лагранжа, посвятившего многочисленные исследования теории квадратичных форм.
Дальнейшие исследования по теории чисел Лежандра, Гаусса, Якоби и др. были тесно связаны с законом взаимности. В настоящее время известно более 40 доказательств этого закона. Гаусс доказал аналогичный закон и для бпквадратичпых вычетов, а Куммер —для целых чисел поля деления круга. Общий закон для произвольных полой алгебраических чисел был открыт и обоснован в 1950 г. советским математиком И. Р. Шафаревичем.
Все перечисленные работы Эйлера относятся к алгебраической теории чисел, методы которой совпадают в основном с методами алгебры и арифметики. Но в работах Эйлера было положено начало и другому важному направлению исследований, а именно, так называемой аналитической теории чисел, теории, в которой свойства и отношения целых чисел исследуются методами анализа бесконечно малых. В частности, в первом томе «Введения в анализ» Эйлер ввел для действительных значений аргумента так называемую дзета-функцию
СО
П=1
и установил для нее фундаментальное тождество (тождество Эйлера):
510
И. Г. БАШМАКОВА II Л. П ЮШКЕВИЧ
где произведение в правой части распространено на все простые числа р. Сам Эйлер с помощью установленного им тождества вновь доказал знаменитую теорему Евклида о бесконечности числа простых чисел. Кроме того, он нашел функциональное уравнение, связывающее £(s) и C(l—s), которое впоследствии было вновь открыто Риманом. Заметим, что одни из рядов 2 11 2 Эд-s обя-
зательно является расходящимся, поэтому в настоящее время с (.<>) или соответственно £(! — .$) определяется с помощью аналитического продолжения. Эйлер же при установлении функционального уравнения для С-функцпи пользовался расходящимися ря щмн.
Дзета-функция и тождество Эйлера имеют фундаментальное значение в аналитической теории чисел. С помощью рассмотрения поведения с (Д, ее логарифма, производных и логарифмических производных близ полюса s = l II Л. Чебышев и Б. Риман установили свои замечательные теоремы о законах распределения простых чисел в натуральном ряду.
После работ Эйлера теория чисел стала неотъемлемой составной частью математики. В России, где теория чисел впервые оформилась в самостоятельную науку, исследования, начатые Эйлером, были продолжены и существенно расширены П Л. Чебышевым и его учениками А. 14. Коркиным, Е. И. Золотаревым, А. А. Марковым, Г. Ф. Вороным. Важнейшие результаты в области теории чисел были получены затем советскими математиками И. М. Виноградовым, Н 1 . Чеботаревым, А. О. Гсльфои-дом и др. При этом истоки многих современных исследований по теории чисел восходят к Эйлеру.
*
Научная деятельность Эйлера оказала исключительно сильное влияние на развитие математических паук в XVIII веко. Младший его современник .Лаплас говорил своим ученикам: «Читайте, читайте Эйлера: это наш общий учителю?. Действительно, па монографиях и
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
511
статьях Эйлера воспитывались буквально все выдающиеся математики и механики второй половины XVIII столетия.
И в XIX веке сочинения Эйлера оставались одним из богатых источников, в котором черпали ученые свои знания и проблемы для научной работы. К работам Эйлера по эллиптическим интегралам примыкали дальнейшие исследования Лежандра, а затем Абеля и Якоби, от его дифференциально-геометрических работ отправлялись Монж, Дюпен, Гаусс, Ф. Г. Мипдинг, от его работ по теории чисел—Гаусс, Дирихле, П. Л. Чебышев и Риман, вариационное исчисление Эйлера продолжали разрабатывать Лагранж, Пуассон и Остроградскпй, теорию специальных функций—И. И. Лобачевский, II. Я. Сонин и другие, и т. д. С приведенными словами Лапласа, характеризующими значение Эйлера для математики XVIII века, перекликаются мнение Гаусса, писавшего, что изучение трудов Эйлера является наилучшей школой в различных областях математики и ничто пе может заменить этого изучения, а также оценки М. В. Остроградского х). Некоторые идеи Эйлера, как было сказано, возродились только на рубеже XIX и XX воков, например его концепция суммирования рядов или прямой метод вариационного исчисления.
Русские математики, весьма высоко ценя научное наследие Эйлера, принимал п деятельное участие в издании его трудов.
II. И. Фус десятилетиями подготовлял к печати в изданиях русской Академии паук многочисленные статьи из научного наследия Эйлера, П. II. Фус опубликовал часть его переписки, П. Л. Чебышев и В. Я. Буняковский издали теоретико-числовые работы Эйлера. В советское время академик А. II. Крылов издал со свопмп комментариями важнейшую часть эйлеровой «Новой теории движения Луны». Стопятпдесятилотио со дня смерти своего великого сочлена Академия наук СССР отмстила выпуском сборника посвященных ему статей. Некоторые труды
]) См. в настоящем сборнике материал, публикуемый К. И. Ко-। трюковым.
512
И. Г. БАШМАКОВА И А. П. ЮШКЕВИЧ
Эйлера имеются в русском переводе,—мы ссылались па них в предыдущем изложении.
В настоящее время приближается двухсотпятидесятп-летие со дня рождения Эйлера. Долгом советских математиков и историков математики является подготовиться к этой дате, наступающей 15 апреля 1957 г. Глубокое и детальное изучение научного наследия знаменитого ученого с позиций современной математики несомненно раскроет новые стороны его творчества, ускользавшие от прежних неслодоватолой, обогатит наши знания о развитии математических паук и приумножит славу отечественно й м а те м а т и к и.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Я, II. Симонов
Жизненному пути Эйлера и его научной деятельности посвящены весьма многие исследования. Однако огромное научное наследие знаменитого петербургского академика все еще остается изученным далеко но полностью. Насколько далека еще от завершения задача создания обобщающего исследования о гигантской фигуре Эйлера, показывает, в частности, ознакомление с ого работами по дифференциальным уравнениям. Многие из этих работ в литературе вообще не рассмотрены, некоторые открытия Эйлера остались незамеченными, а общие оценки его научного наследия иногда весьма односторонни и даже ошибочны.
В настоящей работе мы покажем, что нередкие представления об Эйлере лишь как о «непревзойденном вычислителе», которого не интересовала идейная сторона дела, являются несостоятельными, во всяком случае, если говорить о его трудах по дифференциальным уравнениям.
Мы не ставим здесь целью изучить полностью вклад Эйлера в развитие теории дифференциальных уравнений. Наша цель заключается в том, чтобы показать неполноту освещения в имеющейся историко-математической литературе некоторых принципиально важных открытий Эйлера в данной отрасли математики. Из области обыкновенных дифференциальных уравнений рассматривается найденный Эйлером критерий различия между частными и особыми интегралами. Из результатов, связанных с изучением уравнений с частными производными первого 33 историко-матем. исследования
514
Н. И. СИМОНОВ
порядка, освещаются метод интегрирования уравнений вида Р dx-\-Q dy-\-H dz—Q и вопрос о геометрической интерпретации результатов Эйлера, связанных с этим методом. Из исследований Эйлера об уравнениях с частными производными высшего порядка мы ограничиваемся вопросом о задаче с начальными условиями, останавливаясь несколько подробнее па методах Эйлера интегрирования уравнения колебаний неоднородной струны.
1. Обзор литературы вопроса
Прежде всего отметим общие заключения о научном творчество Л. Эйлера, характерные для значительной части зарубежной литературы по истории математики. В известной двухтомной работе по истории математики У. У Р. Бола делается следующий вывод: «Можно резюмировать сочинения Эйлера, сказав, что он создал многое в анализе, что он заново изложил в последовательной форме почти все ветви чистой математики, дополнив их в деталях и в их доказательствах. Подобная работа очень важна и очень хороню для науки, что это выполнено человеком с талантом Эйлера» [*]-
Что же говорит автор об открытиях Эйлера в анализе? Ответ па этот вопрос мы находим на 84-й странице указанного сочинения: «Это сочинение («Интегральное исчисление».—II. С.), так же как и трактат о дифференциальном исчислении, резюмирует все то, что знали тогда; Эйлер значительно дополнил теоремы, известные в его время, и улучшил доказательства. Здесь имеется в виду, что впервые в анализ были введены бета- и гамма-функции, однако Эйлер использовал их только для преобразования интегралов. Изложение эллиптических интегралов поверхностно: оно подсказано соотношением между дугами гиперболы и эллипса, которое привел Дж. Ланден в Philosophical Transactions в 1775 году».
На этой же странице указывается, что привлекавшие внимание Эйлера классические проблемы изопоримотри-ческих кривых, брахистохроны в сопротивляющейся среде и теории геодезических кривых были все предложены его учителем Ив. Бернулли. Лишь в отношении вариа-
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 515
циопиого исчисления отмечается, что общая его идея была высказана Эйлером в его сочинении 1744 г., причем однако, сразу же добавляется, что «полное развитие нового исчисления дало сочинение Лагранжа 1759 года». В приведенных положениях достаточно определенно выражено мнение, что основная заслуга Эйлера состояла в развитии аналитических методов, позволяющих получить в более простой форме результаты, известные ранее. Исключая вариационное исчисление, автор не находит каких-либо принципиально новых идей в развитии самого апа лиза, принадлежащих Эйлеру. Мы по будем приводить аналогичных высказываний других авторов, но отмстим, что эти взгляды ведут начало еще от речи Кондорсе, фразу которого — «Эйлер прекратил вычислять и жить»— приходится, как показывает контекст речи, понимать в том смысле, что Эйлер прекратил именно вычислять [2].
В сравнительно новой монографии по истории математики Е. Т. Болла [3] творчество Эйлера, как и весь почти двухсотлетии?! период в развитии дифференциальных уравнений от Ньютона и Лейбница до работ Софуса Ли, объявляется царством формализма. Это мотивируется лишь том, что тогда не возникал вопрос: почему дифференциальные уравнения интегрируются (в смысле сведения к квадратурам) в исключительно редких случаях?
Нельзя не остановиться и па другом довольно распространенном в зарубежной литературе взгляде, а именно на резком противопоставлении Лагранжа как истинного мастера в области чистой математики «вычислителю» Эйлеру.
В некоторых случаях такое противопоставление Эйлеру Лагранжа строится на прямом извращении фактов. Для иллюстрации достаточно вернуться к той же монографии Р. Бола, ограничившись при этом областью дифференциальных уравнении. Вот что пишет Р. Бол об одной работе Лагранжа, посвященной знаменитому спору о решении задачи колебаний струны и напечатанной в первом томе «Miscelanea Tauririensia» (1759): «Этот том содержит также полнее решение проблемы поперечных колебаний £трукы\ в своей заметке он (т. о. Лагранж.—II. С.) ука^ зывает недостаток общности решений, данных рапсе 33*
516
И. И. СИМОНОВ
Тейлором, Даламбсром и Эйлером, и приходит к заключению, что форма струны в произвольный момент выражается уравнением у=а sin mxsin nt. Статья завершила спор и сделана рукой мастера» [4] (курсив наш.—Н. С.).
Необоснованность выводов Р. Бола становится очевидной, если учесть, что Лагранж допускал возможность представления тригонометрическим рядом только аналитической периодической функции и что открытие Д. Бернулли, о котором Бол вообще не упоминает, о колебаниях струны по закону
2ппх пг.а . D . ап sm -j- cos — (t — pn)
n
было сделано ранее чем за пять лет до работы Лагранжа[3]. Мы уже не говорим о том, что с выступлением Лагранжа спор, связанный с задачей о колебаниях струны, отнюдь по получил своего разрешения.
Совершенно по обосновано и следующее утверждение Р. Бола: «Между 1772 и 1785 годами Лагранж написал большую серию мемуаров, которые создали науку о дифференциальных уравнениях, по крайней мерс, в области уравнений в частных производных. Никто, насколько нам известно, не предшествовал ему в рассмотрении уравнений этого вида. Большая часть полученных результатов была включена во второе издание интегрального исчисления, которое Эйлер опубликовал в 1794 году» [61 (курсив наш.—// С.)1).
Было бы весьма наивно и странно отрицать замечательные достижения Лагранжа почти во всех областях современной ему математики, не говоря уже о механике. Бесспорны его выдающиеся заслуги в развитии общей теории уравнений с частными производными первого порядка и некоторых классов уравнений высшего порядка. Вместе с тем, в дометнительпости Эйлер независимо от Лагранжа и рапсе ого рассмотрел отдельные классы уравнений с частными производными первого, второго и высшего порядка, выдвинув при этом принципиальные
1) Мы нс касаемся безграмотного утверждения, что Эйлер, скончавшийся в 1783 г., вторично опубликовал «Интегральное исчисление» в 1794 г.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 517
идеи и методы. Уже в первом издании «Интегрального исчисления» все основное содержание третьего тома (1770 г.) составляли собственные результаты Эйлера об уравнениях с частными производными первого и высших порядков [7].
Академик А. II. Крылов справедливо отмечает, что «все, что есть в третьем томе, всецело принадлежит Эйлеру, ему не у кого было что-либо заимствовать или ио-своему излагать что-либо существующее» [8]. Отмстим, впрочем, как исключение, что Эйлер приводит в этом томе решение Даламбора уравнения колебания струны. Однако здесь же Эйлер дает и свое решение этой задачи и притом в большей общности, развивая метод характеристик. Ниже мы покажем, что некоторые существенные результаты Эйлера, содержащиеся в его упомянутом сочинении, до сих пор по нашли надлежащего освещения в литературе о его творчество.
* * *
Остановимся теперь в самой сжатой форме па итоговых оценках значения Эйлера в истории науки, дающихся в советской литературе. Блестящая характеристика Эйлера как «первого аналиста в мире» содержится в статье академика II. II. Лузина [9]: «Эйлер нисколько не тяготился вычислениями и никакие формулы, как бы они ни были необъятны, никогда по стесняли его: такова была его прозорливость, что самая громоздкая формула гнулась в его руках как мягкий воск и послушно давала под его усилиями все, что угадывала ого проницательность... В своем поистине изумительном чувстве формул Эйлер не знает соперников и в наши дни». Лузин нс останавливается па этом, а характеризует, хотя и кратко, методологическую сторону творчества Эйлера, отмечая, что математические формулы «рассказывали Эйлеру глубочайшие вещи о познании природы».
Особенно выразительно охарактеризованы достижения Эйлера в развитии интегрального исчисления: «Математика в течение 150 лет после смерти Эйлера не смогла пробить бреши в том кольце интеграций, которое было выковано Эйлером, и таким образом добавить новые
518
II. И. СИМОНОВ
квадратуры» [10]. К сожалению, краткость статьи но позволила Лузину достаточно подробно осветить основные открытия Ойлера в области дифференциальных уравнений. И в то время как Н. II. Лузин отмечает выдающуюся роль Эйлера в создании основ теории корабля, теории движения Луны, теории движения жидкости^ теоретические результаты Ойлера в области дифференциальных уравнений он оставляет совершенно в стороне.
Напомним далее некоторые положения доклада академика А. II. Крылова об Эйлере, прочитанного на торжественном заседании Академии паук СССР, посвященном 150-летию со дпя смерти Эйлера. Отмечая изумительное богатство научного наследия Эйлера и его гениальную проницательность, А. II. Крылов тем не менее указывает, что в творчестве Эйлера теоретические результаты почти отсутствуют:
«О чисто теоретической части мы не говорим,—-ее у Эйлера почти нет и опа всецело создана трудом авторов, живших после Эйлера» Р1].
Эта оценка заслуживает особого внимания, так как опа может, на наш взгляд, привести к неправильным представлениям об Ойлере. Прежде всего возникает вопрос; что же в таком случае является основным в достижениях Эйлера? Очевидно, результаты, относящиеся к «практической части», которые Эйлер мог получить в силу своей «гениальной проницательности». Однако несомненно, что хотя ссылки на гениальность многих догадок Эйлера и являются весьма простым сродством объяснения любых открытий, они пе объясняют и по могут объяснить самого пути, па котором получены эти открытия. Если теоретическая часть всецело создана трудами позднейших ученых, то неизбежно приходится притти к выводу о ее и о с у щ е с т в о и и о с т и д л я собственных исследований Эйлера. Несомненное противопоставление теории п практики в указанном замечании А. II Крылова, если понимать это замечание буквально, пе является, на наш взгляд, правильным в методологическом отношении. Приведенное положение неудачно формулирует действительную оценку А. II. Крыловым всего значения творчества Эйлера.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИИ 519
Невидимому, здесь А. Н. Крылов хотел указать на отсутствие той строгости в построениях и доказательствах Эйлера, которая стала характерна для математики XIX столетия. Ниже в своем докладе А. Н. Крылов подводит итог деятельности Эйлера в следующих словах: «...создав новые методы, показав их приложения к решению новых вопросов, Эйлер, так сказать, проложил новые пути д 1я быстрого движения науки вперед» [12]. Но это с полно и определенностью показывает, что А Н. Крылов отнюдь не считал творчество Эйлера лишенным принципиального теоретического содержания, так как в противном случае ни о каком влиянии Эйлера на дальнейшее развитие пауки говорить было бы невозможно.
В этой связи следует напомнить, что в высказываниях классиков русской математики мы не находим какого бы то ни было противопоставления Эйлера-теоретцка Эйлеру-практику.
М. В. Остроградский писал о роли Эйлера в развитии математического анализа:
«Эйлер создал современный анализ, обогатил его один сам более, чем все его предшественники вместе, и сделал и? пего самый могущественный инструмент ума человеческого. Он один охватил анализ во всем его объеме и указал на многочисленные и разнообразные ого применения... Эйлер обязан этой славе б. гагодаря тому перевороту, который on произвел в математических науках, подвергнув их все анализу, благодаря своей работоспособности, позволившей ему объять все эти пауки во всем их объеме, благодаря методическому порядку, внесенному им в свои многочисленные труды, благодаря простоте и доступности своих формул, ясности своих методов и своих доказательств» [13].
Мы видим, что эта оценка М. В. Остроградского принципиально отличается от указанных выше, весьма распространенных представлений об Эйлере, оценивающих его вычислительное мастерство как основную сторону его достижений.
Также высоко ставпли творчество Эйлера академики П. Л. Чебышев, А. М. Ляпунов и А. А. Марков.
520
Н. И. СИМОНОВ
* * *
Рассмотрим, насколько же обстоятельно в отечественной и зарубежной литературе по истории математики изучено творческое наследие Эйлера в теории дифференциальных уравнений.
Обзор советской литературы по истории математики позволяет отметить не только неполноту, но и некоторую односторонность освещения научного наследия Эйлера в области математического анализа. Действительно, большинство работ советских историков математики в этой области посвящено эйлоровскому «исчислению нулей».
Этот вопрос подробно рассматривается в специальной работе С. Я. Лурье «Эйлер и ого исчисление нулей» [14] и во вступительной статье того же автора к русскому переводу «Введения в анализ бесконечно малых» Эйлера [15], освещается также во вступительной статье М. Я. Выгодского к русскому переводу «Дифференциального исчисления» Эйлера [1С], в работе А. П. Юшкевича «Эйлер и русская математика XVIII века» [17] и некоторых других исследованиях.
Данная проблема заслуживает, конечно, большого внимания, однако не опа характеризует основные результаты Эйлера в области математического анализа.
В работахН. С. Кошлякова [18] и К. А Рыбникова Р9] дано освещение исследований Эйлера о вариационном исчислении. Однако специальных работ о замечательных достижениях Эйлера в теории дифференциальных уравнений в нашей литературе почти нет.
Общая, но предельно сжатая характеристика этих достижений дается в отмеченном выше докладе академика А Н Крылова. Указывая, что основное произведение Эйлера но математическому анализу произвело своей грандиозностью «ошеломляющее впечатление» на современников, A. II. Крылов, как уже отмечалось, весьма высоко оценивает открытия Эйлера в области уравнений с частными производными. Вполне попятно, что в своем докладе А. Я. Крылов был лишен возможности разобрать конкретное содержание работ Эйлера по дифференциалы
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 521
ным уравнениям для подтверждения своих выводов и был вынужден ограничиться общей характеристикой ого результатов.
Весьма ценные п подробные комментарии написаны А. II. Крыловым [20] к основному астрономическому трактату Эйлера «Новая теория движения Лупы», где Эйлер развивает свои методы приближенного интегрирования дифференциальных уравнений второго порядка. В «Лекциях по приближенным вычислениям» А. И. Крылов [21] рассматривает эйлеров метод приближенного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Очерк развития теории дифференциальных уравнений А. П. Юшкевича I22] является содержательным, однако он весьма краток, характеризуя па 30 страницах развитие теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными на протяжении почти трех столетий. Определенный интерес представляет и работа А. П. Юшкевича «Эйлер и русская математика XVIII вока», ставящая своей целью выяснение роли Эйлера в развитии русской математической культуры XVIII столетия. В частности, здесь указаны научные результаты в области дифференциальных уравнений ряда учеников Эйлера и отражение его собственных результатов в первых русских учебниках по математическому анализу. Однако по самому характеру этой работы вклад Эйлера в теорию дифференциальных уравнений и его роль в дальнейшем развитии этой пауки не могли найти в этой статье достаточно полного рассмотрения. Это отмечает и сам автор в своем заключении: «Впрочем, вопрос о значении эйлеровской традиции в развитии математики XIX века далеко выходит за рамки настоящей статьи» [23].
В вышедших шести выпусках «Историко-математических исследований» научное наследие Эйлера в области математического анализа освещается лишь в статьях Г. М. Фихтенгольца—о результатах Эйлера в теории двойного интеграла [24] и В. В. Гуссова—об основоположных работах Эйлера в теории гамма-функций и теории цилиндрических функций [2Э].
522
II. И. СИМОНОВ
В интересной небольшой статье Ф. И. Франк ля «О гидродинамических исследованиях Л. Эйлера» [26] дается сжатый обзор результатов Эйлера о выводе и интеграции соответствующих дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка. Несомненно, что эта работа содержит сравнительно подробное освещение окончательных результатов Эйлера в решении ряда вопросов гидродинамики, однако сами методы интеграции характеризуются лишь в общих чертах. Следует также отметить, что автор по ставит себе целью дать освещение и более общих результатов Эйлера, чем те, которые им используются в гидродинамике.
В тезисах доклада Ф. II. Фрапкля «О работах русских математиков XIX века по теории характеристик уравнений в частных производных» [27], сделанного на заседании Московского математического общества в 1951 г., вполне справедливо подчеркнуто значение работ Эйлера в развитии метода характеристик. Однако конкретным результатам Эйлера здесь посвящена буквально одна страница1). Вследствие этого недостаточно ясен тот смысл, который вкладывает автор в основное утверждение, что «основы общей теории уравнений в частных производных и важнейшей ее части—теории характеристик были положены , I. Эйлером». Дальнейшее развитие теории дифференциальных уравнений в трудах русских математиков В. Г. Имшенецкого, А. 10. Давидова, В. В. Преображенского, II. Я. Сонина излагается также исключительно кратко.
Отдельные краткие замечания о частных результатах Эйлера по дифференциальным уравнениям имеются в статье С. Е. Белозерова о работах Эйлера по теории функций комплексного переменного [28] и в очерке А II. Марку-шевпча по истории этой теории I29].
Отсутствие должного внимания к освещению результатов Эйлера о дифференциальных уравнениях проявляется даже в тех обзорах, которые связаны иепосред-
9 Автор не мог знать помещенной здесь статьи (стр. 596—624) Ф. И. Фраикля «Об исследованиях Л. Эйлера в области теории уравнений в частных производных», в которой этот вопрос разбирается подробно.—Прим. ре).
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 523
ственно с работами Эйлера в этой области. 13 качестве примера можно указать па «Вступительное слово» М. Я. Выгодского к переводу «Дифференциального исчисления» Эйлера. Несмотря на то, что IX глава этого сочинения—«Дифференциальные уравнения» содержит весьма интересные результаты Эйлера об уравнениях в полных дифференциалах и затрагивает, в частности, вопрос о существовании решении этих уравнений, М. Я. Выгодский не анализирует содержание главы, ограничиваясь перечислением на полстрапнце ее разделов [30].
Следует, наконец, остановиться на статье «Дифференциальные уравнения» А. Н. Колмогорова, Б. П. Демидовича и В. В. Немыцкого в 14-м томе второго издания Большой Советской Энциклопедии (1952). Статья обладает бесспорными достоинствами в четкости определений важнейших понятий теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Однако, на наш взгляд, опа значительно выиграла, если бы содержала сжатый исторический очерк основных этапов развития теории. Несколько неудачно, по нашему мнению, дается общая характеристика состояния теории в XVIII веке. Действительно, в статье указывается: «выделение теории дифференциальных уравнений в самостоятельную детально разработанную научную дисциплину относится к XVIII веку и было осуществлено Д. Бернулли, Ж. Д’Аламбером и, в особенности, Эйлером» (см. стр. 520, курсив наш.—11. С.). Правильнее было бы, конечно, сказать о теории дифференциальных уравнений XVIII века как о самостоятельной и интенсивно разрабатываемой научной дисциплине. Имеющиеся в статье формулировки теорем Ковалевской, Ляпунова и немногих других ученых не дают прсдставлеппя об основных моментах развития теории и в XIX веке.
Можно было надеяться, что указанный недостаток будет устранен содержанием дальнейших более подробных статей в БСЭ по отдельным важнейшим разделам теории. Однако статья «Линейные дифференциальные уравнения», помещенная в 25-м томе (1954), пе оправдывает эту надежду. Несмотря на то, что неоспоримые принципиальные заслуги в построении основ современной
524
и. И. СИМОНОВ
теории этого класса дифференциальных уравнений принадлежат Л. Эйлеру, в этой статье пет ни одного упоминания ого имени.
Сделаем теперь замечание об отечественной дореволюционной литературе.
Исследования о работах Эйлера не только по дифференциальным уравнениям, по и другим областям математики крайне скудны.
Главным образом должна быть отмечена монография II 10. Тимченко по истории теории аналитических функций [31]. Эта работа содержит обширнейший фактический материал по истории математического анализа в XVIII веке, включая сюда и теорию обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Особенно подробно излагается исторический спор о природе звучащей струны (см. стр. 473—609 указанного сочинения). Однако автор сам отмечает, что некоторые важные работы Эйлера по этому вопросу остались неосвещенными. В частности, о принципиально новом по сравнению с методом Даламбора методе Эйлера решения уравнения колебания струны упоминается лишь в кратком примечании па стр. 477. Результаты Эйлера в области дифференциальных уравнений освещаются в этой монографии лишь в плане изучения развития понятия функциональной зависимости. В этом отношении книга Тимченко несомненно имеет существенное значение.
Работы Л. А. Саткевича «Леонард Эйлер» Р2] и Е. А. Литвиновой Р3] являются лишь биографическими очерками и совершенно не ставят своей целью анализировать творчество Эйлера в какой-либо определенной области математики.
Таким образом, приходится сделать вывод, что систематическое освещение вклада великого ученого в развитие теории дифференциальных уравнений в отечественной литературе отсутствует.
Мы видим также., что в советской литературе по истории математики почти нет исследований, в которых подвергались бы критическому разбору необоснованные, но распространенные в зарубежных исследованиях по истории математики представления об отсутствии
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 525
принципиального идейного содержания в творчестве Эйлера.
Возникает вопрос: не выяснена ли роль Эйлера в развитии теории дифференциальных уравнений в каких-либо зарубежных исследованиях?
В ряде зарубежных работ по истории математики XVIII века действительно дается освещение конкретных результатов Эйлера в области обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. И вместе с этим мы видим, что многие работы Эйлера в дайной области остаются вообще не рассмотренными, что во многих случаях трактовка значения открытий Эйлера является поверхностной, а теоретические исследования Эйлера изучаются вне связи с его работами в различных областях математического естествознания.
Основными работами в зарубежной литературе по истории математики в данном случае являются: обзор Валлиера о развитии теории дифференциальных уравнений в XVIII столетии [34], помещенный в четвертом томе известного труда М. Кантора, предисловия к 11, 12 и 13 томам первой серии Opera omnia—полного собрания сочинений Эйлера, принадлежащие редакторам этих томов Шлезингеру и Энгелю [351, материалы сборника, посвященного 200-летию со дня рождения Эйлера [36], монография Вилейтпера I37]. В качестве дополнительного источника справочного характера, особенно в области обыкновенных дифференциальных уравнений, следует указать на немецкую математическую энциклопедию [38]. В рамках данной статьи мы не можем ставить своей задачей подробное рассмотрение всего содержания этих работ и постараемся охарактеризовать лишь их общие недостатки, отражающиеся на освещении отдельных конкретных результатов Эйлера в теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. При этом, как говорилось, мы ограничимся лишь небольшой частью теоретических исследований Эйлера в данной области.
Существенный недостаток указанных работ заключается, на наш взгляд, в неправильном методологическом
526
II. И. СИМОНОВ
освещении теоретических исследований Эйлера, в отрыве их от его результатов в области математического естествознания. Неизбежным следствием такого недостатка является неполнота оценок теоретических результатов Эйлера. Более того, по ряду общих вопросов теории дифференциальных уравнений эти оценки явно неверны, так же как неверно решение некоторых вопросов о приоритете научных открытий в этой области. И в обзоре Валлпора, и в предисловиях к указанным томам Opera omnia, и в статье Мюллера о работах Эйлера в области чистой математики [зэ], содержащейся в указанном сборнике, посвященном 200-летию со дня рождения Эйлера, почти все внимание сосредоточено на соответствующих разделах «Интегрального исчисления» Эйлера, три тома которого опубликованы в 1768—1770 гг., а четвертый» дополнительный, вышел в свет посмертно—в 1794 г. [40]. Несомненно, что это произведение, составившее эпоху в развитии математического анализа, подлежало изучению в первую очередь. Однако при изучении научного наследия Эйлера но теории дифференциальных уравнений ни в какой степени нельзя не учитывать его исследований но теоретической механике, астрономии, а также по изучению колебаний струн, мембран, распространению звука и другим проблемам физики.
Даже в сравнительно полном обзоре о работах Эйлера по дифференциальным уравнениям—статье Валлпора— нет упоминания о том, что Эйлеру принадлежит нс менее 15 работ о колебании струн и не менее 10 работ о распространении звука. При этом немаловажное значение имеют и даты опубликования этих работ. В прилагаемом списке литературы мы указываем, в частности, работы о колебании струн и мембран, опубликованные после выхода в свет трех основных томов «ИптеграЛгного исчисления» [4]]. В четвертый же, дополнительный том «Интегрального исчисления», вышедший, как уже указывалось, в 1794 г., были включены лишь некоторые из работ Эйлера по обыкновенным дифференциальным уравнениям, написанные после 1770 г., и дополнения по вариационному исчислению. Таким образом, при изучении научного творчества Эйлера в области обыкновенных дифференциальных
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 527
уравнений и уравнений с частными производными нельзя ограничиваться содержанием четырех томов «Интегрального исчисления». В связи с этим следует остановиться на одном замечании академика А. II. Крылова, в котором позднейшие работы Эйлера учитываются далеко не полным образом.
В отмоченном выше докладе А. II. Крылова мы читаем: «Третий том «Интегрального исчисления» вышел в 1770 г. В последующие годы до самой своей смерти Эйлер написал целый ряд статей, в которых развивает и дополняет отдельные главы «Интегрального исчисления». Статьи эти он помещал в изданиях Академии наук. Таких статей им составлено 11. В 1794 г. они были собраны и переизданы Академией в одном томе, составившем дополнительный четвертый том «Интегрального исчисления» Эйлера» [42].
В списке литературь( указываются работы Эйлера по дифференциальным уравнениям и смежным вопросам анализа, написанные после 1770 г., не включенные и в четвертый том его основного сочинения, при этом мы пи в какой степени не можем претендовать па полноту этой библиографии [43].
Возвращаясь к зарубежным обзорам, мы покажем теперь, что в них дается недостаточно полное освещение некоторых важных открытий Эйлера, содержащихся и е его основном сочинении. В зарубежной литературе по истории теории дифференциальных уравнений XVIII века указанная выше работа В ал л пера выделяется своей сравнительной широтой. Несомненно, что данная работа позволяет ознакомиться со многими существенными результатами Эйлера и трудами следующего поколения математиков. Однако это исследование написано в виде энциклопедического обзора состояния теории в период 1759—1799 гг. и освещает в лучшем случае окончательные результаты. Как правило, метод исследования и значение установленного результата для дальнейшего развития теории автором по выясняются. Этот формальный подход в значительной степени объясняется уже отмеченным методологически неправильным отрывом теоретических исследований Эйлера от его работ по матсматичо-
528
II. И. СИМОНОВ
ской физике. Эти же замечания почти полностью относятся и к указанным выше предисловиям Шлезингера и Энгеля, и к статье Мюллера о теоретических работах Эйлера.
Освещение развития теории дифференциальных уравнении в XVIII веке, содержащееся в восьмой главе «Истории м; тематики» Вилейтпера I37], имеет еще более конспективный характер, чем обзор Валлнора. Весьма показательно, что Вилейтиер комментирует именно то работы Эйлера в области дифференциальных уравнений, которые были опубликованы еще при жизни Эйлера. И несмотря на стремление автора проследить развитие открытий Эйлера в трудах Лапласа, Лагранжа, Монжа и других математиков, оценка многих из этих открытий также не исчерпывает существа вопроса.
Перейдем теперь к рассмотрению некоторых конкретных результатов Эйлера. Сначала мы остановимся более подробно па его результатах относительно частных и особых интегралов обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, а затем рассмотрим указанные выше вопросы об уравнениях с частными производными.
2. Исследования Эйлера о частных и особых интегралах обыкновенных дифференциальных уравнений
Рассматривая интегральное исчисление в весьма широком плане, Эйлер ставит в качестве центральной проблемы интегрирование диффе ре нциальны х у равно пи й.
Не только при решении, ио даже при постановке любого, сколько-нибудь общего вопроса ому приходится начинать в своих исследованиях почти с самых начальных построений. Учитывая и новизну вопросов, и ужо ясную для него их сложность, Эйлер всюду старается возможно подробнее разъяснить смысл вводимых понятий и самой постановки задач.
Хотя изложение результатов о дифференциальных уравнениях отнесено к «Интегральному исчислению», девятая глава предшествующего труда—«Дифференциального исчисления» (1755) называется «Дифференциальные уравнения» и посвящается необходимым подготовительным вопросам.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 529
Уже здесь Эйлер дает определение дифференциального уравнения и разъясняет смысл его интегрирования (впервые термин «дифференциальное уравнение» введен 1 Лойбницем в письме к Ньютону в 1676 г.).
«Подобно тому,—говорит Эйлер,—как конечное уравнение выражает соотношение между х и у, так дифференциальное уравнение выражает соотношение между dx и dy, т. е. отношение между dy и dx» [44].
Наиболее общим и основным д ш дальнейшего является следующее определение смысла интегрирования дифференциального уравнения: «... в интегральном исчислении наиболее трудным вопросом является интегрирование дифференциальных уравнений, т. е. нахождение таких конечных уравнений, которые согласовывались бы с дифференциальными уравнениями» [45] (курсив наш.—II. С.).
Эта задача но современной терминологии эквивалентна нахождению интегральных кривых данного уравнения.
Одновременно здесь же мы находим и другое положение Эйлера, также разъясняющее смысл интеграции, но отличающееся постановкой задачи в меньшей общности, причем это уменьшение общности нс отмечается:
«'Таким образом, природа дифференциального уравнения будет выяснена, если можно будет представить у в виде такой функции от х, которая указывается дифференциальным уравнением, т. е. которая составлена таким образом, что если повсюду подставить ее вместо у, ее дифференциал вместо dy, ос высшпе дифференциалы вместо d2y, d:iy и т. д., то получится тождественное уравнение» [46].
Здесь мы узнаем, конечно, задачу отыскания решений данного уравнения в смысле нахождения функций у — у(х), отождествляющей уравнение, и, следовательно, в этой формулировке интегральные кривые, содержащие куски, параллельные осп у, не учитываются.
В этих разъяснениях смысла интеграции, как мы видим, отце нет определения понятий, соответствующих нашим понятиям общего и частного интеграла, общего пчастного решения [47J.
Только в четвертой главе второго раздела первого тома «Интегрального исчисления», г. е. после изложения 34 Исторпко-матем. исследования
530
[I. H. СИМОНОВ
интегрального исчисления в собственном смысле, изложения методов разделения переменных и интегрирующего мпожи геля, Эйлер приводит подробные определения полного и частного интегралов п переходит к исследованию важных теоретических вопросов, связанных с построениями этих интегралов.
Попутно отметим, что заслуга самого введения этих понятий в теорию дифференциальных уравнений принадлежит Эйлеру (впервые опубликовано в 1743 г. в его мемуаре о линейных однородных уравнениях с постоянными коэффициентами).
«Частный интеграл дифференциального уравнения—это всякое соотношение между переменными, которое удовлетворяет уравнению и не содержит никаких постоянных, кроме тех, которые имеются в уравнен ни. Полный интеграл содержит постоянную, не имеющуюся в уравнении, и поэтому заключает в себе частные интегралы».
Эти определения Эйлера, которыми начинается указанная глава, описывают содержание введенных понятий полного и частного интегралов, но оставляют открытым вопрос: исчерпывается ли этими видами решений в с е ])сше-ния дифференциального уравнения?
В дополнительном пояснении па той же 344-й странице «Интегрального исчисления» [49] дается необходимое уточнение, показывающее, что возможность особых решений при этом не учитывается:
«Если имеем, следовательно, дифференциальное уравнение между х и у, то всякая функция от х, которая, подставленная вместо ?/, удовлетворяет уравнению, является частным интегралом, если она случайно не будет полным интегралом».
Однако совершенно ясно, что в своих разнообразнейших иссле щваппях по дифференциальным уравнениям Эйлер должен был неоднократно встречаться л с особыми решениями. П мы увидим, что Эйлер во многих случаях действительно пе мог ограничиться полными п частными интегралами и был принужден считаться с наличием таких «конечных уравнений», которые удовлетворяют дифференциальному уравнению, пз не получаются пз полного интеграла ин при каких значениях произвольного постоянного.
(MI КУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 531
Для подобных конечных уравнений у Эйлера пот специального названия, чаще всего он называет их просто «величинами», ио отнюдь нс интегралами. Иногда, отмечая наличие подобных конечных уравнений, он даже говорит об этом, как о парадоксе интегрального исчисления. II тем нс менее, он вынужден уделять весьма большое внимание этим «величинам».
В этой связи Эйлер ставит следующий главный вопрос: каким образом можно отличать обычные частные интегралы от величии подобного рода? Постановка этого вопроса показывает, что подход Эйлера к изучению основных свойств особых решений отличается значительно большей глубиной но сравнению с предшествующими результатами 'Гейлора п Клсро. Напомним, что 'Гейлор в 1715 г. с помощью приема, основанного на дифференцировании заданного уравнения, нашел особое решение .г—1 уравнения (1+2*)^—J =4ж3 —4д2, но не исследовал свойства этого решения. Основной результат Клсро связан с обобщением этого приема для уравнении первого порядка известного частного вида I48].
Важнейшими результатами Эйлера в решении указанного вопроса является установление им критерия, позволяющего судить о том, можно ли данную функцию у=ф (д) или в более общем случае—«конечное уравнение» ф (ж, ?/) —О, отождествляющие предложенное дифференциальное уравнение, считать частным интегралом этого уравнения. Ясно, что этот вопрос весьма усложняется, если для данного уравнения полный интеграл не известен.
Значение этого критерия становится вполне понятным, если учесть общий подход Эйлера к учению о дифференциальных уравнениях как к одному из основных средств решения задач математического естествознания.
Занимаясь почти всеми современными ему областями естествознания и применяя развиваемую им теорию дифференциальных уравнении к решению важнейших вопросов механики и астрономии, гидродинамики и физики, Эйлер пришел к выводу: если только проблема сведена к решению некоторого дифференциального уравнения, то существенным для реального содержания задачи всегда 34*
IL. LI. СИМОНОВ
оказывается рошен no, выделяемое из полного интеграла с помощью дополнительных условий, соответствующих данному физическому и.пг механическому процессу. Сформулируем это важное заключение словами самого Эйлера: «Мы ужо видели для всех задач, решение которых ведет к дифференциальному уравнению, что возникающая при интеграции произвольная постоянная должна быть определена посредством условий,соответствующих задаче, так что всегда, необходим только частный интеграл» [49] (курсив наш.-—//. С.).
В этой связи существенный интерес представляет замечание академика В. А. Стеклова об особых решениях:
«Как показывает практика, особые решения получаются лишь в иск.ночнтелыгыхслучаях. Например, все разрешенные в настоящее время вопросы общей механики и астрономии получаются интегрированием таких уравнений, которые никаких особых решений не допускают. Вероятно, что все дифференциальные уравнения механики пе имеют никаких особых решений, хотя это предложение, имеющее важное философское значение, насколько я знаю, в настоящее время в общем случае остается недоказанным» [50].
Исходная правильная в методологическом отношении позиция Эйлера в вопросе о значении теории дифференциальных уравнений! для практики, понимаемой в широком смысле слова, определяет и его постановку математических задач.
J [ри исследовании разнообразных задач, поставленных естествознанием, к нужному решению дифференциального уравнения приходили почти всегда путем выделения соответствующего частного интеграла из полного. Однако при неизвестном полном интеграле совершенно неясно, где же найти пеобхо щмую уверенность в том, что данная функция ?/ = <р(т) (или в более общем случае—конечное уравнение ф (я, ?/) = 0), обращающая дифференциальное уравнение в тождество, действительно содержится в полном интеграле и может быть пз пего поэтому получена при соответствующем значении произвольной постоянной.
При чтении всего раздела «Интегрального исчисления», где рассматриваются эти вопросы, бросаются в глаза мно-
О Н U4HOM НАСЛЕДИИ ЭН.1Е.РА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРХВВЕНПП 533
гократпое подчеркивание важности поставленной задачи, се пеизучеиность и стремление рассмотреть ее возможно подробнее. Эйлер не раз указывает па возможность во многих случаях допустить серьезную ошибку, необоснованно приняв данное «конечное уравнение» за частный интеграл. В этом разделе Эйлер всюду стремится но возможности более четко отграничить решения, являющиеся, ио его определению, «частными интегралами», «от «величин», удов.[створяющих уравнению, но не получающихся из полного интеграла. Необходимость этти о очевидна не только потому, что во всех приложениях теории дифференциальных уравнений Эйлеру нужны лишь частные ни тегралы, но и в связи с вопросом о единственности решения задачи но начальным данным, хотя явным образом этот вопрос в работах Эйлера не ставится. Действительно, в конкретных приложениях, исключая единичные случаи, дополнительные условия приводили Эйлера к однозначному выделению нужного частного интеграла из полного; конечное уравнение, удовлетворяющее данному дифференциальному уравнению и этим дополнительным условиям, определялось однозначно. По дело обстоит совершенно ио нному, если [пфференциальное уравнение допускает «конечные уравнения», ио возникающие из полного интеграла.
Существо этой стороны вопроса заключается в следующем. Если «конечное уравнение» (д), удовлетворяющее дифференциальному уравнению, оказывается не принадлежащим полному интегралу, то, взяв числа .т0, у0, такие, что у0= (д(), и построив, если это, конечно, возможно, частный
интеграл по начальным значениям.т0, ?/0, мы получпмнару-шелие единственности решения этой задачи: существуют по меньшей мере два различных «конечных уравнения», удовлетворяющих дифференциальному уравнению и начальным условиям. По в таком случае возникает сомнение ji возможности применения теории в конкретных задачах, гак как неизбежно возникает вопрос, какие же «конечные уравнения» являются «истинными». Па наш взгляд, именно об этом сомнении Эйлер говорит в следующих словах: «Однако это обстоятельство [то, что не всякое конечное уравнение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению, является его частным интегралом.—If С.] никоим
334
И. II. СИМОНОВ
образом по препятствует развиваемому здесь истинному учению об интегралах уравнений и никакое сомнение никогда не может иметь места для интегралов, находимых но строгим правилам, и лишь для интегралов, находимых как бы удачной догадкой, это сомнение возможно» I51]. Замечательно, что основной идеей в построении указанного критерия Эйлеру служит выяснение расходимости соответствующих несобственных интегралов, т. е. именно та идея, которая лежит в основе современных доказательств теорем единственности для определенных классов дифференциальных уравнений.
Переходим к подробному рассмотрению рассуждении Эйлера.
Предварительно приведем несколько примеров, поясняющих все сделанные определения.
Пусть дано уравнение a2 dy+y2 dx—a2 dx-\-xy dx.
Эйлер замечает [52], что в ряде случаев, подобных дан ному, частный интеграл может быть «угадан».
В данном случае легко заметить (по некоторой снммег рин левой и правой частей), что для у=х уравнение будет удовлетворяться. Однако пока еще не ясно, получен ли действительно частный интеграл. __
Для предложенного уравнения этот вопрос не представляет затруднений, так как, используя найденное «конечное соотношение», Эйлер с помощью подстановки y=x-\-z получает более простое уравнение a2 dz-\-xz dx-\-z2 dx=() (т. е. уравнение Бернулли) и, применяя новую нодстанов-а2
ку z = —, получает, вернувшись к прежним переменным, полный интеграл исходного уравнения
а2
у — Х-{--2--------—----—
2а2 Г С 2сЛ , , , 1 е \ е dx -|- С
Допуская в качестве возможных значений произвольной постоянной значение С— со, Эйлер заключает, что найденное выше уравнение у—х является частным интегралом, так как оно получается из полного интеграла при этом зн£-
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИЙ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИИ 53о
ченнп С (заменяя С на , получим решение у= х при c-i
G = 0).
В качестве второго примера рассмотрим уравнение
d.y — ——- пли, говорит Эйлер, —.г.
у а — ОС J
Уравнению в последней форме, очевидно, удовлетворяет х — а. Далее приводим текст: «Однако, эта величина отнюдь не является частным интегралом, так как полным интегралом уравнения будет у -С — 2]/н — х нлн а - х — — -1- (С — у)2 и, следовательно, ни при каком значении С уравнение х — а не может быть получено» [4У]. Пользуясь современной терминологией, можем сказать, что в этом примере конечное уравнение, нс получающееся из полного интеграла, определяет огибающую семейства графиков решений, являющуюся, очевидно, существенно особой интегральной линией, так как в каждой ее точке нарушается единственность.
Эти примеры достаточно отчетливо выявляют постановку и сложность вопроса.
Дополнительные трудности, возникшие перед Эйлером, связаны с его стремлением избежать в данном случае привлечения каких бы то шт было геометрических построений. Тем более удивительными оказываются результаты, достигнутые им в этом направлении.
К рассмотрению этих результатов мы теперь и перейдем. И своих построениях необходимого критерия Эйлер
остается верен своему неизменному методическому принципу перехода от простого к сложному. Сначала решение
задачи дается для уравнений dy = -, где Q (ж) обра-
зе \х)
ищется в пуль при х — а.
В силу особого значения этого результата приведем рассуждения самого Эйлера
Пусть в дифференциальном уравнении dy = функция Q обращается в нуль при х=а. Записав уравнение
в виде Q — ~, заключаем, что величина х -=а: удовле-
536
Л. И. СИМОНОВ
творяет предложен лому дифференциальному уравнению;
одна ко отсюда еще не следует, что она является частным интегралом. Требуется определить случаи, когда урав-
нение х=а является частным интегралом предложенного дифференциального уравнения. Для этого нужно, чтобы уравнение х = а было заключено в полном интеграле при некотором определенном значении постоял ной интегрирования. Если мы положим, что Р (х) — интеграл дифферен-
dx
О’’
циальной формулы
то полный интеграл будет:
У = ? (^) 4 С.
0)
Уравнение х — а может удовлетворить «интегральному уравнению», т. е. уравнению (1), лишь в том случае, если для х = а выполнено равенство Р=со.
В этом же последнем случае замечаем, что если считать постоянную С бесконечно большой, то у из равенства (1) остается неопределенным при х — а.
Итак, только в том случае, если для х — а величина Р равна бесконечности, уравнение х—а можно считать частным интегралом. Мы имеем, следовательно, критерий для суждения о том, будет ли величина х = а, удовлетворяющая дифференциальному уравнению, частным интегралом. Это будет лишь в том случае, когда при х = а функция Q обращается в нуль, а Р (х) — в бесконечность.
Этим и закапчивается рассуждение Эйлера. Рассуждение проведено, разумеется, в стиле математики Х\Ш века. Основным является, как мы видим, учет Эйлером того обстоятельства, что в «конечном уравнении» х — а «величина у является неопределенной».
Результаты Эйлера можно выразить в несколько более отчетливой форме, если воспользоваться геометрической интерпретацией приведенных им построений.
По существу Эйлер решил вопрос о том, будет ли единственной та кривая, которая проходит через точку, заданную на прямой х = а, и которая определяется конечным уравнением, удовлетворяющим данному дифференциальном}7 уравнению. Действительно, обнаружив в первой части своей теоремы, что при конечном интеграле
О НАУ ИНОМ НАСЛЕДИИ ЭПЛЕРА В ОВЛ \(’ТИ ДИФ. У.Р ХВНЕПН11 -7>37
уравнение х = а не содержится в полном интеграле у—Р(х)-\ С, Эйлер одновременно показал, что через любую точку прямой х = а проходят, по меньшой мере, две липни, определенные конечными уравнениями, которые отождествляют исходное дифференциальное уравнение. В самом деле, во-первых, это сама прямая х — а и,
во-вторых, это линия, определяемая из уравнения полного интеграла у = Р (.г) С при соответствующем значении С1). Возможность определения такого значения С
в данном случае очевидна.
Тревоги Эйлера ц его предупреждения о «возможности ошибки» вполне понятны и обоснованы: в данном
случае удовлетворить а дифференциальному у равнению, и начальным условиям, возможно не только выбором соответствующего частного интеграла. IT то об( тоятольство, что Эйлер пе пользуется геометрической интерпретацией, конечно, пе меняет сути. Эту суть дела Эйлер видит совершенно отчетливо и без привлечения геометрии, пользуясь лишь своими, понятиями полного а частного интеграла и своим определением операции, интегрирования
уравнения.
Установив же, что в случае расходимости интеграла
уравнение х=а
возникает,
во всяком случае
формально, из полного интеграла при бесконечно большом значении С, Эйлер одновременно показал, что в этом
случае не существует других конечных уравнений, отождествляющих дифференциальное уравнение и заданные
начальные условия: все остальные частные интегралы соответствуют конечным значениям С и поэтому в силу самого вида полного интеграла будут нс совпадать с частным интегралом х—а. И тот факт, что Эйлер не сформулировал выводы о единственности, следующие из его теоремы, ни в какой мере не умаляет ее значения. Эйлер фактически дал содержание известной теоремы, которую можно найти в современных учебниках по
Э Пз этого следует, что через каждую точку прямой х а в данном случае проходит бесконечное множество интегральных ЛИНИЙ.
JI. 11. СИМОНОВ
при х~*а ± 0 был расходящимся (#0 обознача-
дифференциальным уравнениям1): пусть функция Q (х) является непрерывной в интервале < х < х2 и обращается в пуль в точке а этого интервала н только в ней; для того чтобы через каждую точку прямой х — а проходила только одна интегральная кривая уравнений dy—
— , ~L = Q(x}, необходимо и достаточно, чтобы инте-
Q (ж) dy v '
х
г га л
Х()
ет некоторую точку интервала xt < х < а или а<х<х^ [53].
Полное соответствие между критерием Эйлера и критерием единственности интегральной кривой рассматриваемого уравнения, проходящей через заданную точку, является результатом глубокого проникновения Эйлера в основные закономерности, описываемые дифференциальными уравнениями.
Разумеется, вопрос о том, представлял ли достаточно отчетливо Эйлер значение найденного критерия для выяснения единственности решения указанной задачи по начальным данным, не является бесспорным, так как прямых указании на это в тексте нет. Однако совершенно бесспорно, что установленный Эйлером критерий является одновременно необходимым и достаточным условием единственности решения рассмотренной здесь простейшей задачи с начальными условиями.
Установив критерий частного интеграла для рассмотренного тина уравнений, Эйлер намечает дальнейшую программу исследований. Он вновь говорит: «...мы должны особенно внимательно следить за тем, чтобы конечное соотношение, удовлетворяющее уравнению, ошибочно не взять за частный интеграл.
Вследствие того, что в этом вопросе теперь мы имеем ясность для уравнений с разделяющимися переменными, мы намерены тщательно исследовать, как можно избежать этой ошибки в случае любых дифференциальных уравнений» [51].
... - *) См..,..например,• .цитировал их ю и |-47р книгу II.• Г. Петровского, стр. 1617. ‘ .......
О II КУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА 15 ОВД КС'ГП ДИФ. УРАВНЕНИЙ ЙЗИ
Перейдем к рассмотрению дальнейших результатов Эйлера. Мы увидим, что установленные нм в более общих случаях критерии для определения частных интегралов в качестве своих следствий также содержат соответствующие критерии единственности решения задачи по начальным данным.
Пусть имеется уравнение
dy _ “ \ s
dx (а—х)п '' (я—.г-)»"1 ’ ‘ ’
где а, 3, ..., .у — некоторые постоянные, Л (ж) — данная (непрерывная) функция и Л (а) -# 0. Расходимость при г — а интеграла
~Q (ж) ’
где Q (ж) = (а — ж)’1 Л (ж),
в данном случае имеет место лишь при п^>\. Таким образом, Эйлер заключает: если /г>1, то конечное уравнение х = а может быть принято в качестве частного интеграла, и, наоборот, при п < 1 уравнение х = а не
, dr является частным интегралом уравнения ау = .
Однако возникает вопрос: что можно сказать, если /<’(ж) является более сложной функцией, обращаясь в нуль при х = а? Для ответа на этот вопрос Эйлер прежде всего устанавливает следствие пз полученного результата. Он замечает, что если Q — (а — х)пЛ и п <1, то <701 . dQ
= оо, если же /г>1, то является ограниченной dx I Х=а dx 1
величиной. Поэтому для данного случая результат можно выразить следующим ооразом: если ограничено, то
<?Q|
х — а является частным интегралом; если же — _а = = со , то уравнение х — а нс будет частным интегралом (в первом случае имеется единственность, во втором — •нсединствештость решения задачи,, рассмотренной выше).
'40
н. И. СИМОНОВ
Эйлер нс ограничивается указанным уравнением и говорит, что данный результат справедлив для любых уравнений вида
dy _ 1______
dx Q (х)— Q (с)
(2)
Пе приводя общего доказательства, оп ограничивается пояснением на следующих примерах:
dy Р (х)
dx Ina;—Ina
dy P (x)
dx x
(3)
e — e
имея в обоих случаях конечное уравнение х — а частным интегралом, что соответствует в силу указанных выше соображений единственности решения. Справедливость утверждения Эйлера относительно уравнения (2) очевидна для функций с ограниченной производной в окрестности ж — а.
Для второго из уравнений (3) в предположении, что
Р(ж) = е“, легко находится полный интеграл:
= 1н(е«-е),
и, так же как выше, Эйлер заключает, что уравнение х — а получается из полного интеграла при С=со.
Весьма просто Эйлер получает нужный критерий для уравнения = с помощью разложения функции Q (х) по степеням бесконечно малого приращения ее аргумента, причем, конечно, предполагается, что Q (а) = 0, (а) # О
(возможность разложения Q (х) в условии теоремы явно не оговаривается). Рассуждение весьма простое и существенно для дальнейшего. Приведем его полностью: «Положив х = a -j со и рассматривая со как бесконечно малое, замечаем, что высшие степени по сравнению с низшими исчезают и величина Q получает вид /?соЛ, откуда следует с необходимостью, что х=а является частным интегралом уравнения, если только X не меньше еди-
О И SA ИНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕР V В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАН И El 111И ?'*1
вицы» [53]. Для пояснения достаточно сделать замену переменных х = а 4- он
(С- — постоянные).
Вопрос о сходимости этого интеграла при <•>—>0 опре-
деляете я
сходимостью
откуда п следует
утверждение.
Этот же прием позволяет исследовать вопрос в случае
уравнении с разделяющимися переменными.
Рассуждения вполне аналогичны предыдущим, поэтому достаточно указать окончательный результат.
Для нахождения частных интегралов указанного вида
dx dy
для уравнении — ; сначала определяют А (х) 1 (у)
n dX
уравнения А=()и затем исследуют — при х — а.
а из
Келл
dX „
~ не ооращается в оескопечность, то х = а — частями интеграл. Млн же полагают х = а w и рассматривают и> как бесконечно малое; если в результате получим А" — Рыл, то при Х>1 х = а будет частным интегралом, если же Х< 1, то х — а не есть частный интеграл. Так же исследуют знаменатель другой части уравнения: уравнение dY
У = 0 определяет значение />; если -— со при у=Ь, то последнее уравнение ость частный интеграл. Или же: если при у = b - о> имеют У = то в случае
у = Ъ будет также частным интегралом [53].
Отметим также замечание Эблера, что случаи уравнения Р (х) dx = Q (у) dy при Р или Q, обращающихся в бесконечность, для х = а, у = Ь легко сводится к предыдущему.
542
11. И. СИМОНОВ
В соответствии со своей программой Эйлер переходит затем к постановке вопроса в большей общности. Пусть между переменными х и у дано соотношение, удовлетворяющее дифференциальному уравнению Р {х, y)dx — ^Q{xty)dy. Требуется установить, будет ли оно мастным интегралом или пет.
Постановка этого большого теоретического вопроса нуждается, конечно, в уточнении свойств функций Р (х, у) и Q (х, у). Мы увидим, что Эйлер рассматривает класс уравнений, для которого Р и Q суть непрерывные функции ио х, попускающие разложение по у по формуле Гейлора.
Для того чтобы оцепить исследование Эйлера, следует учесть, что полученный им результат позволяет сделать определенное заключение о данном решении не только в случае единственности, но и неединственности, в то время как соответствующие теоремы многих современных учебников по дифференциальным уравнениям (в частности, теоремы Коши и Осгуда) дают лишь достаточные условия единственности и потому вообще неприменимы в случае неединственности решения задачи по начальным данным для указанного уравнения.
Переходим к рассуждениям Эйлера [54|, имеющим особый интерес.
Пусть уравнение
Р (х, у) dx = Q (х, y)dy (4)
удовлетворяется при у = Х(х). Положим у = А (ж) <•> (гг); тогда вместо данного уравнения получим:
dX , cZw Р (ж, X 4- ш) г.
dr. 1 dr Q (х, X + ш) '
При <*> = О из (5) получаем тождество
dX = P(x, X) с
dr Q (ж, X) ’ ' '
которое нам дано по условию. Рассматривая правую часть (5) как функцию, зависящую от со, разложим ее по степеням о), ограничиваясь главными членами. Результат
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. М’АВНГ.ППИ б'ь’>
можно записать в виде
dX _ Р (х, X) dx "Г dx ~ Q (ж, X)
А (ж, А) и)'1 —,
в силу (6) отсюда следует уравненпо для <>:
б7« dr
= S(x, А)
(О'1- -
Эйлер замечает, что так как это уравнение должно быть исследовано при со, близких к нулю, то в правой части этого равенства можно ограничиться лишь первым слагаемым, получив, таким образом, уравнение с разделяющимися переменными. Далее он указывает, что, как следует пз предыдущего, решение у — А (ж) будет частным интегралом лишь в том случае, когда w — 0 будет частным интегралом своего уравнения, но последнее, как было уже установлено, имеет место липы» тогда, когда
€
-. . л С fZw
а>1, шю только в этом случае интеграл \ — является
J G)Z хр расходящимся. Итак, если только X не меньше единицы, заключают, что ?/ = Х(.т) есть частный интеграл данного уравнения.
Ограничиваясь, как это следует пз самого доказатель-d I/ Р (х, у)
ства, уравнением уу с правой частью, удовле-
творяющей указанным условиям, Эйлер полностью решил поставленпуго задачу. Найденный критерий весьма удобегг для практического применения.
В современной тооригг изложенный результат Эйлера совершенно несправедливо связывается с именем Пуассона; при этом формулировка «критерия Пуассона» совпадает с только что приведенным результатом Эйлера почтгг текстуально [5°].
Напомним, что гг год смерти Эйлера Пуассону исполни лосг> два года.
Рассмотрим два примера Эйлера.
Дано уравнение ady — a dx == dx |' у2 — .г2; требуется определить, будет ли у = х частным интегралом.
<>44
II. И. СИМОНОВ
Вычисления аналогичны общему случаю:
У = X 4 <j>, ]Zу2- — X2 — ]. 2х<» *- (1)2 яь; 2X0).
Значит,
а = ]/2хо>, a = I/ 2х dx:
dx v j/ <„ ’
, I
так как к =— , то у — х не является частным интегралом.
Следовательно, говорят Эблер, если бы можно было найти полный интеграл этого уравнения, то мы увидели бы, что с помощью произвольной! постоянной интеграции решение у = х получить невозможно. Отметим, что с помощью обычного приема нахождения особых решении получается менее определенный результат. Действительно, записав уравнение в виде ~ — / (х, у),
1 г~------~
где / (х, у) = 1 - — |/?/2— х2, замечаем, что производная
Of <
ооращастся в бесконечность при у = х, что вполне согласуется с результатом Эйлера (в противном случае, df г
т. о. при ограниченности , решение ?/ = х не было бы особым). Однако отсюда можно заключить лишь, что у = х является особым решением. Вопрос о том, будет ли оно существенно особым решением, остается открытым. Результат Эйлера позволяет установить, что в данном случае это решение у = х будет существенно особым (для любой существенно особой точки но существует окрестности, в каждой точке которой выполнялась бы единственность1).
Отметим в этой связи, что в известном «Курсе дифференциальных уравнений» В. 13. Степанова решение вопроса о том, когда особое решение будет существенно особым, дастся лишь при известном общем решении или общем интеграле рассматриваемых уравнений.
Недостаточно полно освещается данный вопрос и в учебных руководствах зарубежных авторов.
*) Более подробное определение, существенно особого решения см. в нит. в [17| книге П. Г. Петровского, стр. 88 и 94.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИИ 545
В книге «Обыкновенные дифференциальные уравнения» Э. J1. Аниса [56] изучение проблемы единственности интегральных кривых дифференциальных уравнении первого порядка, разрешенных относительно производных, ограничивается доказательством теоремы существования и единственности решения задачи по начальным данным (методом последовательных приближений и методом Коши — Липшица) и следующим определением особых точек: «Особая точка может быть определена как точка плоскости, в которой одно из условий, необходимых для установления теоремы существования, перестает быть справедливым». Подобным же образом вопрос излагается в главе об особых решениях в книге Камке [57].
Рассмотрим второй пример Эйлера и решим тот же вопрос относительно у = х для уравнения
л2 dy — a2 dx — dx (у2 — х2).
Подстановка у = х 4 ф дает у2 — х2 2ях», a2 dw 2ато dx или а2 = 2х dx. Следовательно, в данном случае у — х является частным интегралом (этот же результат легко можно получить, например, по теореме Коши).
Отметим, что здесь Эйлер указывает возможность найти полный интеграл:
отсюда при С—со он получает у = х.
Подведем краткие итоги. Изучение исследований Эйлера о частных интегралах обыкновенных дифференциальных уравнений показывает прежде всего, что определение Эйлером условий, устанавливающих принадлежность заданного конечного уравнения, удовлетворяющего дифференциальному уравнению, к полному интегралу, явилось исследованием серьезного вопроса теории дифференциальных уравнений, так как он тесно связан с проблемой единственности.
35
Нсгорико-матсм. псследова';ня
II. II. СИМОНОВ
Эйлер, считая данный вопрос принципиально важным, дал ei'o решение пе только для уравнений с разделяющимися переменными, по и для уравнений Р (х, у} dx-}- Q (ж, у} dy = 0, где Р и Q удовлетворяют указанным выше условиям.
Результат, установленный Эйлером для этого уравнения. позволяет иногда выяснить природу особого решения в случае поедииствеппостп более определенно, чем известные теоремы Коши и Осгуда, дающие лишь достаточные условия единственности. Приоритет Эйлера в установлении критерия различия частного и особого интегралов является бесспорным. Критерий Эйлера является вполне эффективным. Этот результат целесообразно включить в учебники ио теории дифференциальных уравнений при рассмотрении вопроса о единственности решения задачи ио начальным данным.
Указанные выше результаты Эйлера для уравнений с разделяющимися переменными позволяют сразу же сделать выводы, совпадающие с известными необходимыми и достаточными условиями единственности решения задачи но начальным данным для этих уравнений, основанными на рассмотрении несобственных интегралов, вследствие чего эти условия с полным правом должны ноенчь имя Эйлера.
Вопрос о дальнейшей! развитии этих идей Эйлера представляет тему самостоятельного исследования. Дальнейшие результаты связаны прежде всего <• именами Лапласа и Коши.
3. О некоторых результатах Эйлера в теории уравнений с частными производными первого порядка
В основных работах Эйлера но уравнениям с частными производными первого порядка существенное значение имеют ого результаты об у равней них вида
Р(х, у, z)dx-\-Q(x, у, z)dy-}-l((x, у, z)dz—O (7)
Интеграция линейных и квазилинейных уравнений первого иорядка в случае двух независимых переменных
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ
достигается (по современной терминологии) путем нахождения интегрального многообразия двух измерений, соответствующих уравнениям этого вида.
Здесь мы остановимся па основном результате Эйлера, относящемся к уравнению (7), и покажем несостоятельность оценки этого результата, которая дается в отмеченном выше обзоре Вал ливра [й4]. Дополнительно мы укажем на упрощение общего метода интеграции уравнения (7), данное Эйлером для уравнений, однородных ио х, у, z. Вопрос имеет определенный интерес и в методологическом отношении, так как он связан с замечаниями Эйлера относительно существования решений этого уравнения.
Важные предварительные результаты содержатся уже в седьмой главе «Дифференциального исчисления» [58]. Здесь Эйлер устанавливает прежде всего необходимость известного условия интегрируемости
дР__dQ dQ___д]{ дК__дР
ду dx ’ dz ду ’ дх dz ’ '
при невыполнении которого выражение Р dx-\- Q dy-\-ll dz ие может быть полным дифференциалом функции переменных X, у, Z.
Доказательство основано на очевидном применении условия интегрируемости для уравнения
Л/ {х, у) dx-\- N (х, y)dy = (), (9)
найденного Эйлером еще в 1739 г. (в том же году последнее условие было найдено также А. Клсро).
Постановку основной задачи относительно уравнения (7) Эйлер дает в первом разделе третьего тома «Интегрального исчисления». Основываясь на развитом им методе интегрирующего множителя, Эйлер прежде всего указывает на принципиальное различие уравнений (7) и(9). Действительно, в том же «Дифференциальном исчислении» Эйлер установил, что для выражения Р (х, у) dx-\-Q (а у) dy всегда существует множитель М, такой, что MP dx-\-MQdy является полным дифференциалом некоторой функции « (.г, у). Желая обобщить результат для выражения
Р(х, у, z)dx-\-Q(x, у, z)dy -ф R(x, у, z)dz,
548
П. И. СИМОНОВ
Эйлер сразу убедился, что для существования соответствующего множителя в этом случае необходимо выполнение указанного выше условия интегрируемости. Вместо с этим он получил решение задачи, которая поставлена в самом начале третьего тома его «Интегрального исчисления»:
«Пусть z есть функция двух переменных х и у, требуется определить природу того дифференциального уравнения, с помощью которого выражается соотношение, возникающее между дифференциалами dx, dy, dz» [59].
Точно так же и в дальнейших разделах о линейных и квазилинейных уравнениях с частными производными первого порядка Эйлер всюду в этом сочинении ставит задачу о нахождении интегрального многообразия двух измерений. Эта постановка основного вопроса и определяет разделение Эйлером всех уравнений на «действительные» и «мнимые» (или «абсурдные»), которое вызывает изумление у Р. Валлнера [ео]. К «действительным» уравнениям относятся, конечно, те, для которых выполнено условие интегрируемости, к «мнимым»—остальные.
Прежде чем переходить к основным результатам Эйлера о действительных уравнениях, отметим, что Эйлер не забывает остановиться и на методологической стороне вопроса о разделении всех уравнений данного типа па два указанных класса «действительных» и «мнимых» уравнений. При этом следует учесть, что Эйлеру еще не были известны вопросы теоретической механики, решение которых требует применения теории уравнений с частными производными первого порядка. В заключительном замечании, сделанном после изложения первых трех глав данного раздела, Эйлер пишет: «Проблемы механики, для которых изложена эта часть интегрального исчисления (т. е. весь раздел об уравнениях с частными производными.— II. С.), приводят всегда к уравнениям второго и высшего порядков, решение которых требует других методов» [61]. II тем не менее, в указанном вопросе трактовка Эйлера основана на материалистическом понимании роли математики в изучении природы. Отметим в связи с этим, что с уравнениями в частных производных первого порядка Эйлер встретился при исследовании ряда геометрических вопросов, в частности, при изучении развертывающихся поверх-
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 349
ностсй, ортогональных траекторий в пространстве, так называемых «поверхностей каналов».
Наличие уравнений, пе имеющих полного интеграла в смысле одпопараметрического семейства интегральных многообразий двух измерений (по современной терминологии), для Эйлера очевидно. Из многих его примеров таких уравнений достаточно привести следующий:
(z — у) dx 4 х dy + (у — z) dz — 0.
При этом от внимания Эйлера но ускользает возможность существования отдель/шя интегральных многообразий двух измерений, находимых из соотношения (8), если последнее не выполнено тождественно. В частности, Для данного уравнения условие интегрируемости получает вид уравнения z—x^-y, и так как подстановка z=x-\-y отождествляет исходное уравнение, то Эйлер справедливо заключает, что данное дифференциальное уравнение равносильно «конечному» уравнению z=x-\-y и «не выражает ничего большего» [62]. Отмстим также указанное Эйлером уравнение z dy—y dx как пример уравнений, которые вообще нс могут допускать никаких интегральных многообразий двух измерений. Наличие подобных уравнений заставляет Эйлера сразу же подчеркнуть важность самого вопроса о существовании интеграла.
«Это различие между действительными и мнимыми уравнениями надо соблюдать очень тщательно, особенно в интегральном исчислении, ибо было бы смешно искать интеграл какого-нибудь дифференциального уравнения, т. е. конечное уравнение, удов ютворягощее ему, когда такого конечного уравнения вовсе по существует» [63].
Этот вывод показывает, что Эйлер в данном вопросе далек от той недооценки принципиальных теоретических вопросов, в которой ого упрекают многие зарубежные авторы.
Эйлер этим пе ограничивается и затрагивает вопрос о самой возможности возникновения «мнимых» уравнений. Ответ на этот вопрос для Эйлера очевиден. Он указывает, что «мнимые» уравнения могут возникать лишь при искусственных теоретических построениях, «потому что каждая определенная проблема, которая приводит к диф-
550
П. И. СИМОНОВ
фсренцнальному уравнению между тремя переменными, должна с необходимостью обладать указанным свойством (уравнение должно допускать интеграл.—11. С.), потому что в противном случае она не имела бы никакого значения» [64]. Если исходные предпосылки верны и проблема правильно сведена к соответствующему дифференциальному уравнению, то интеграл этого уравнения должен существовать—такова глубочайшая уверенность Эй. юра, являющаяся прямым следствием материалистического решения Эйлером вопроса о роли математики в познании природы.
Остановимся теперь на критических замечаниях Р. Вал-лнера относительно выделения Эйлером класса «мнимых» уравнений. Валлпср упрекает Эйлера не только в том, что он не учел частных результатов Ньютона, но и в противоречии с более ранними работами Эйлера. Действительно, Ньютон в «Методе флюксий» проинтегрировал уравнение 2dx х dy — dz = 0, которое, как легко видеть, не удовлетворяет условию (8). Однако Валлпср не учитывает существенного обстоятельства, а именно того, что Ньютон строит интегральное многообразие одного измерения:
! 3
у2 = х, z = 2х + у х2.
Другой упрек Валмиера несостоятелен потому, что в своих ранних работах Эйлер также строит интегральное многообразие одного измерения. В частности,
Эйлер еще в 1730 г. для уравнения ds — }/dx2-\-dy2 находит интегральное многообразие, зависящее от одной
произвольной
функции:
dP при х = ^
у—рх — Р, где Р—
произвольная (дифференцируемая) функция параметра /?,
уравнение удовлетворяется функцией
рх d р
VI
С подобными случаями Эйлер встречается в своих исследованиях по теоретической механике. В частности, в «Механике» I65] при решении проблемы 44 (падение тела но заданному закону действия центростремительной силы) Эйлер приходит к необходимости интегрировать уравпе-
II А> ЧПОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. >РАВНЕНИЙ 551
нне di'— у ds — г- dx, для которого условие интегрируемости пе выполнено. Задача в данном случае также заключается в построении интегрального многообразия одного измерения, так как здесь s за га по в силу самой постановки задачи в виде определенной функции х.
Однако мы должны при этом отметить и ограниченность постановки Эйлером обшей проблемы интегрирования уравнений вида Р dx 4- Q dy + R dz = 0. Эта ограниченность и состоит в том, что Эйлер не ставит задачи о нахождении интегральных многообразии одного измерения. 11сдостаточ пая общность эйлеровской постановки проблемы была впервые указана Монжем, геометрические идеи которого послужили основанием нового направления в теории уравнений с частными производными первого порядка.
Остановимся теперь па результатах Эйлера относительно «действительных» уравнений.
Предполагая выполненным условие (8), Эйлер в тре тьем томе «Интегрального исчисления» излагает метод, построения «полного интеграла» этого уравнения, доказы вая тем самым достаточность данного условия. При этом определение «полного интеграла» непосредственно переносится пз теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Напомним, что полным интегралом уравнения М (х, у) dx 4-Д' (,с, у) dy — 0 Эйлер называет всякое «конечное уравпеппс» у = гз(х, С), удовлетворяющее дифферен цнальному уравнению и содержащее постоянную, отсутствующую в заданном уравнении. В данном же случае Эйлер ставит задачу в общей форме: не предрешая, какие два из трех переменных будут независимыми для уравнения Р dx + Q dy R dz = 0, которое предполагается «действительным», требуется найти интеграл и вместе с этим выразить одно из трех переменных в функции двух других |6(!|. Приступая к описанию схемы метода решения поставленной задачи, Эйлер вновь подчеркивает, что мы должны быть прежде всего уверены в том, что искомое решение до йствительно существует.
При изложении своего метода, совпадающего с общепринятым в современной теории, Эйлер пользуется весьма простыми соображениями: предположив, что у равно
552
Н И. СИМОНОВ
нию (7) удовлетворяет некоторое конечное соотношение, и считая в этом соотношении, например, z постоя и ной величиной, мы замечаем, что последнее соотношение будет интегралом уравнения, которое возникает из (7) при подстановке z = с. Иов таком случае, интегрируя это последнее уравнение в предположении, что z является постоянным, мы получим исходное конечное соотношение, где С, однако, будет зависеть от z. Отсюда Эйлер выводит «правило интегрирования предложенного уравнения» [сс]. Одно из переменных, например z, рассматривают как постоянное, вместе с чем получают уравнение Р dx - Q dy = 0 только между двумя переменными х и у, затем находят полный интеграл этого уравнения, который, следовательно, будет содержать произвольную постоянную С. Затем эту постоянную рассматривают как некоторую функцию z и дифференцируют найденное «интегральное уравнение» (полный интеграл) уже в новом смысле, когда все трп величины х, у, z считаются переменными. Сравнивая результат этого дифференцирования с предложенным уравнением, получают (в силу условия интегрируемости) возможность определить С через z из возникающего дифференциального уравнения относительно С. Так как при этом вводится «истинная» произвольная постоянная, то в результате получают полный интеграл предложенного уравнения.
В этом изложении метода построения полного интеграла «действительного» уравнения Эйлер недостаточно подробно показывает, почему условие интегрируемости всегда приводит к обыкновенному дифференциальному уравпеппю относительно С. В известной степени роль условия интегрируемости поясняется в последующем замечании Эйлера: если этот метод применить к «мнимому» ю получим для С «абсурдное уравнение»
для z dx -J- х dy = 0 получим уравнение
уравнению, в частности,
^ = 1ПЖ-А> dz х J
Укажем теперь некоторое упрощение общего метода, которое дано Эн лером для того случая, когда Р, Q, Л являются однородными функциями ж, у, zодинакового измерения [67]. Пусть п — показатель однородности. В таком
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРЧВНЕПИЙ 553
случае можно положить х == pz, у = qz\ тогда У = zTS, Q = znT, Ii = znV, где «S’, Т, Г — некоторые функции р и ср В силу равенств dx-—pdz zdp, dy = qdz- zclq исходное уравнение принимает следующий вид:
dz S dp + Т dq z Р$ + qT + V ’
и, следовательно, может быть «действительным» только в
том случае, когда выражение
S d p + Т dq pS + qT + V
является диффе-
ренциалом некоторой функции, зависящей от р п q, т. с.
если
<? £ _ д т
dq pS + qT + V др pS + qT + V
(10)
При выполнении этого условия исходное уравнение имеет полный интеграл
С Sdp + Tdq _ 3 PS~+qT + V ~
с,
где после интеграции р и q
X у ственно на — п — .
Z Z
Упрощение вычислений по отчетливо видно на примере, Пусть имеем уравнение
следует заменить соответ-
сравнеппто с общим методом при веденном Э ii лером.
(х2 — у2-\ z2) dx — z2 dy Г х {у — х} | — (у2 — я2) ”| dz — О I z j
и, следовательно, S = р2 — q2 А 1, 7'=—1, V = q — р-4- р (с/2 — р2). Из (10) в этом случае получаем днффереп-цп альное уравнение, связывающее только р a q:
dq = (j>2 — q2 -•[- 1) dp,
которое допускает очевидное частное решение q — р, что определяет известную подстановку с/ — р . 13 результате получаем dr — 2pj' dp — dp. Умножая это уравнение на очевидный интегрирующий множитель е_р2, можем записать последнее уравнение в виде с7(е_р2-г) = d \e~^2dp\
.534
II. И. СИМОНОВ
следовательно,
е-р-—_—— С е-р- dp ч—р J
II.Ill
' '''-'С) с-
Применение общего метода, как легко может проверит!. читатель, приводит к значительно более громоздким вычислениям.
Этот прием интегрирования данною класса уравнении заслуживает, па наш взгляд, внесения в соответствующие разделы наших учебников.
Остановимся па геометрической интерпретации некоторых результатов Эйлера. В обзорах работ Эйлера но дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка геометрическая сторона дела не затрагивается. Между том оказывается, что основные результаты Эйлера о многих классах нелинейных уравнений с частными производными первого порядке! имеют весьма простой геометрический смысл: искомое решение строится в виде огибающей поверхности соответствующего семейства интегральных поверхностей, хотя Эйлер и пе использует понятия огибающей, вследствие чего и не говорит о геометрическом смысле своих результатов1). Следует подчеркнуть, что эти результаты Эйлера предшествуют известным результатам Лагранжа и получены совершенно иным методом, так что ни о каком заимствовании у Лагранжа говорить не приходится. Основным методом интегрирования как линейного, так и некоторых нелинейных уравнений с частными производными первого порядка у Эйлера является сведение задачи к решению соответствующих уравнений в полных дифференциалах.
Сначала рассмотрим уравнение
9 = Р(7>).г- ИО). P = ^r, ? = g['8J.
х) Отметим замечание Вилейтнера в восьмой главе его указанного в [37| сочинения что Эйлер в исследованиях уравнений с частными производными часто пользовался приемом дифференцирования но параметру и иск. коченном последнего.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕР\ В ОБЛ АСТИ ДИФ. УРАВНЕНИИ 555
Из соотношения dz = рdx '-Рхdy -ф II dy, интегрируя по частям, находим z — px-± (Pxdy-P Udy — xdp). Полагая Рх II — V, имеем:
2 = \pdp-\ ^v(jly-^ . (LI)
Далее Эйлер заключает, что последнее слагаемое должно представлять функцию разности у — . Положив
J v (dy - = / (у - , (12)
имеем:
v = Рх 11 (у?) = /' (у -
и, следовательно,
Равенства (13) и (И) определяют полный интеграл в параметрической форме. Геометрический смысл этого результата Эйлера очевиден: в силу уравнения (12) следует, что равенство (13) является следствием дифференцирован вя (11) по параметру р, поэтому искомое решение представляет огибающую поверхность одиопара-метрического семейства поверхностен (11), зависящие от произвольной функции /.
Легко видеть, что семейство
Г И 7 , f С dp Д
z = рх-\ ^pdp f (У~~}-р )
является семейством интегральных поверхностей при произвольной дифференцируемой функции /:
55(5
II. И. СИМОНОВ
но
/'(у-^) = .Ря-Ц1
н, следовательно, исходное уравнение удовлетворяется. По современной терминологии метод Эйлера дает в данном случае общин интеграл.
Рассмотрим далее построения Эйлера [69] для уравнения x = U(p, q). В этом случае решение строится в виде огибающей семейства поверхностей, зависящего от двух параметров. Исходной является фо]шула
z = px~\ qy—{ (xdp-\ ydqj, (15)
получаемая интегрированием по частям тождества dz~ pdx-Y qdy.
1Iропптегрируем выражение
xdp—U (p, q) dp, считая q постоянным; в результате получим:
^xdp = V(p, 7)4 f(q), (16)
где V (p, q) — известная функция, a / — произвольная функция (7.
Из (16) следует
dV = х dp J- S dq, (17)
В силу равенства (15), заключает Эйлер, выражение xdp-\ у dq должно быть интегрируемо. По вследствие (16) должно выполняться соотношение
(xdp-\ ydq) = V(p, q)- /х (7), (18)
i де Д (с/) можно считать произвольной в силу произвольности /(7) (заметим, что Эйлер в равенстве (18) пишет f (q). что может вызвать формальное заключение о равен
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИИ 557
ство нулю интеграла ydq). Из (18), находя полные дифференциалы и учитывая (17), получаем:
xdp- у dq = xdp -ф S dq -j /' (7);
отсюда имеем:
y = S(p, q) I- /; (7), (19)
но по (15) и (18)
z = рх qy - V (р, q) - (7),
или
z = px-\ qS - 7/; (7) - Д (7) - V (р, 7). (20)
Уравнения (19), (20) вместе с исходным уравнением x — U (р, q) определяют решение в параметрической форме.
Выясним геометрический смысл полученного решения.
Вследствие определения V и S имеем:
g? = U(p,q), g-^S{p,q),
по в таком случае очевидно, что искомое решение получается в результате дифференцирования по параметрам р и 7 уравнения двухпара метрического семейства плоскостей
2 = qy-V(p, 7)-f^q). (21)
Действительно, уравнение х —- U (р, 7) = 0 есть следствие дифференцирован ня этого уравнения по р, а уравнение У = 8(Р, q) - — следствие его дифференцирования
по 7. Ври произвольных р, q плоскости этого семейства пе будут пптегра.льпыми; действительно, считая р и q произвольными, находим из (21):
dz _ dz _
dx Qy У’
dV
однако уравнение ж — —— О, т. е. х - U (р, <?) = 0, в этом случае может и по удовлетворяться. Если же параметры р и 7 считать связанными между собой данным соотно-
558
II. Jl. CIHMOHOB
шепнем x = U(j),q), то семейство (21) представляет одпо-параметрлческоо семейство интегральных поверхностей.
Отметим, что и для других видов нелинейных уравнений, в частности, уравнений
y = V(p, q)x-\-U(p, q), Р(р, x) = Q(q, у),
Р = Ч (7, х), Р = V (х, q)y- U (/), с/),
построения Ойлера приводят, но современной терминологии, к общему интегралу, т. е. к совокупности огибающих поверхностей одпопараметрпческого семейства интегральных поверхностей, зависящей от произвольной функции.
Таким образом, опираясь только па свой метод интегрирования уравнений в полных дифференциалах, Эйлер для отдельных видов уравнений с частными производными первого порядка фактически указал способ построения решений, называемых теперь общими интегралами. Эти построения Эйлера совершенно нс связаны с теорией систем обыкновенных дифференциальных уравнений, чем и объясняется неполная общность этих результатов Эйлера.
11с останавливаясь на ряде других вопросов, связанных с содержанием работ Эйлера об уравнениях с частными производными первого порядка, мы должны отметить далее, что в исследованиях Эйлера о линейных уравнениях высшего порядка с постоянными коэффициентами, однородных относительно дифференцирования, содержится идея разложения .левой части уравнения на символическое произведение дифференциальных операторов первого порядка. Пи одного упоминания об этом нам также пе пришлось встретить в литературе но истории математического анализа. Вопрос ставится следующим образом.
Для уравнения с постоянными коэффициентами
. O-V L> 02v ^02v , Q d2v о Z1 д'Ч: д2ь
Л - b -7Г—~ - С -р 21D ~77-7~ 2 7t --77-2 Л 77-77- - О
от- ду2 dz- дх ду дх dz- dy dz
требуется найти решение вида Г(£, и), где t = ax-\ pz, и = 1У .'02, a, fj, 7, о — постоянные [70]. Пользуясь своими формулами общего преобразования независимых перемеп-
О НАХ ИНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕР V В ОБЛАСТИ Д11Ф. УРАВНЕНИЙ 539
пых, Эйлер получает уравнение
(,1а24 О'А-| 2/иЗ)-
-|-^(2СЗг V2DaTH-27?a«H 2^т) '
Са2 + 2/.’78) = О.
Требование обращения в нуль коэффициентов при производных приводит к следующему (достаточному) условию для коэффициентов исходного уравнения:
AF2-\-BE2-\ CD2=ABC-{ 2DEF, при выполнении: которого легко определяются отношения искомых постоянных а, 3, 7, о. Далее доказывается основной результат: для построения решения составляют соответственно исходному уравнению алгебраическое выражение
Ах2- By2 |- Cz2 -| 2Dxy 2Exz-t 2Fyz и раскладывают его на два множителя (ах ' bycz)x X (fx gy hzy, в таком случае искомое решение определи ется формулой
v = V(cx — az, су - bz) -\ A(hx — fz, hy — gz), где Г п А суть произвольные функции указанных аргументов. Учитывая, что слагаемые правой части являются полными интегралами уравнений первого порядка соответственно
до . , до . до п , до . ди . , до л
а. b -I с -- =0, /-----Р— -J-A- = О,
дх ду az 1 ах ° ду az
Эйлер делает следующее заключение:
«Данное уравнение можно, следовательно, рассматривать одновременно как квазппропзведеппе двух однородных уравнений первого порядка, посредством соединения которых получается полный интеграл» [п].
Отметим, что и в своих выводах общих формул замены независимых переменных Эйлер также использует разложение дифференциальных операторов па произведения операторов низшего порядка. Укажем, в частности, результат Эйлера для вычисления производной любого
3(50
II. И. СИМОНОВ
gm+nz
порядка п прп линейной замене £ = аж4 и
(J JU (J у
и — ^х 1-02/. Для нахождения этой производной следует образовать произведение
(а 4 yv)n ф 4 5г)’п = ап- 4 па^1- ^mv 4 • • • 4 flmvn+m
и заменить в правой части этого равенства гЛ через
guh ’
Указанный результат для уравнения второго порядка Эйлер переносит па уравнения высших порядков, однородных относительно порядка дифференцирования; при этом ому приходится, конечно, предполагать, что соответствующие алгебраические формы можно разложить па произведения линейных множителей. Эйлер отмечает, что не следует пренебрегать возможностью выделения линейных множителей и в числе, меньшем порядка уравнения, так как подобное выделение позволяет во всяком случае понизить порядок исходного уравнения, «что для таких сложных исследований без сомнения имеет большое значение» [72].
4. О задаче с начальными условиями в некоторых работах Эйлера по уравнениям с частными производными
Значительную часть третьего тома «Интегрального исчисления» Эйлер посвятил изложению своих исследований об уравнениях с частными производными порядка выше первого.
Ограничиваясь областью уравнений с частными производными второго порядка, поставим вопрос: какая задача для этих уравнений ставится здесь Эйлером в качестве основной? Несомненно, что без ответа на этот вопрос содержание исследований Эйлера в данной области не может быть охарактеризовано надлежащим образом.
И тем пе менее, этот ответ мы не сможем найти ни в упоминавшемся многократно ранее обзоре Валлпора о развитии дифференциальных уравнений в XVIII веке, ни в предисловиях [35] к «Интегральному исчислению», пи
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 561
в статьях сборника [зс], посвященного 200-летию со дня рождения Эйлера.
Сравнительно подробно результаты Эйлера по уравнениям с частными производными высших порядков освещаются в указанном обзоре Валлпора. Однако и этот обзор не выявляет полностью содержание исследований Эйлера.
Подобный формальный подход к изучению творчества Эйлера характерен и для других зарубежных авторов историко-математических статен. Он объясняется тем, что, как уже указывалось, теоретические исследования Эйлера изучаются в отрыве от его работ но математическому естествознанию.
Для решения поставленного выше вопроса об основном направлении исследований Эйлера по уравнениям с частными производными второго порядка мы должны обратиться опять непосредственно к тексту «Интегрального исчисления».
При первоначальном знакомстве с этим сочинением можно притти к ошибочному заключению о том, что основной целью для Эйлера является само построение полных интегралов дифференциальных уравнений в смысле решений, зависящих от произвольных функций, число которых равно порядку уравнения. В самом деле, при рассмотрении множества уравнений второго и высшего порядка схема исследования одна и та же: путем соотвстствующей замены независимых переменных, а иногда и .линейной замены неизвестной функции Эйлер стремится преобразовать уравнение к такому виду, для которого он может найти полный интеграл. В тех же случаях, когда он пе имеет метода построения таких интегралов и получает решение, обладающее иной степенью произвола, он пе считает задачу решенной в окончательном виде. На одном замечании Эйлера относительно решений в форме бесконечных рядов мы остановимся ниже.
Исследования в совершенно новой для математики середины XVII [века области уравнений с частными производными отличались особой сложностью, что неоднократно подчеркивал Эйлер. Эта сложность становится особенно понятной, если учесть, что, несмотря па усилия многих последующих поколей.,й математиков, некоторые 36 Исторпко-матем. исследования
562
II. 11. СИМОНОВ
существенные вопросы теории уравнений с частными производными пе разрешены и до настоящего времени. Достаточно указать на проблему единственности решения задачи Коши в области нсапалмтических функций для линейных гиперболических и параболических систем в случае многих независимых переменных или па поизучеипость систем уравнений с частными производными, пе принадлежащих к трем основным типам, и отсутствие достаточно общей классификации таких систем I73]. Помимо этого следует помнить, что Эйлеру, как уже отмечалось выше, «ио'у кого было что-либо заимствовать или по-своему излагать что-либо существующее — ему все пришлось создавать заново». Во всех 12 главах третьего тома «Интегрального исчисления», в которых рассматриваются уравнения порядка выше первого, Эйлер имеет возможность лишь один раз сослаться на результат, установленный до пего, а именно — на решение уравнения колебания струны, найденное Даламбером. Однако ив этом случае Эйлер предлагает свой значительно более общий метод, основанный, как мы увидим, фактически па применении интегралов уравнений характеристик в противоположность несколько искусственному способу Далам-бера. II тем не менее Эйлеру удалось найти и в этом новом направлении «высшей ветви анализа» для определенных классов уравнений постановку задачи, принадлежащей к тем немногим проблемам, с решением которых было связано дальнейшее развитие теории. Мы имеем в виду задачу по начальным данным1).
В первой же главе об интегрировании простейших уравнений с частными производными второго порядка, найдя решение уравнения
Й = Р (ж’ у)
J) Неуместность использования здесь установившегося термина «задача Коши» очевидна: О. Коши родился после смерти Эйлера. О постановке «задачи Копти» пли задачи по начальным данным для уравнений с частными производными и систем таких уравнений см., например, книгу И. Г. Петровского, Лекции по теории уравнений с частными производными, М.—Л., 1950.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. S РАВНЕНИЙ 563
в виде
Z= ^dx Р(х, y)dx-\ xf(y) F{y),
где / (у) и F (у) являются произвольными функциями, Эйлер с достаточной определенностью формулирует постановку этой задачи и притом и е т о л ь к о д л я д энного уравнения: «Задача, приводящая к такому уравнению
всегда такова, что при заданном значении х = а задается dz
значение вместе с z в виде некоторых определенных функций от у. Поэтому, если интегралы
Р (х, у) dx и dx Р (х, у) dx
таковы, что при х — а они равны нулю, то при х = а получают
= z = af(y) F (у)
и обе функции будут определены природой задачи. Поэтому,— продолжает далее Эйлер,— мы должны при всех таких задачах искать полный интеграл» [74].
Нахождение полного интеграла является здесь, таким образом, для Эйлера отнюдь не самоцелью, а лишь средством для решения действительно основной в этих его исследованиях задачи по начальным данным.
К постановке этой задачи Эйлер пришел, конечно, не случайно. В области обыкновенных дифференциальных уравнений с этой задачей связаны важнейшие вопросы теоретической механики, которой Эйлер впервые придал аналитическую форму. К «естественному» обобщению постановки этой задачи для уравнений в частных производных Эйлера, несомненно, направляло само содержание его исследований о колебании струн, мембран, распространении звука, распространении возмущений в упругой среде. Ранее было уже указано, что у Эйлера имеется около
36*
5(>4
И. II. СИМОНОВ
10 работ О распространении звука и не менее 15 работе колебании струн при различных предположениях об их физических свойствах. Для его творчества в развитии математического анализа характерна внутренняя связь теоретических построений с конкретными задачами естествознания. Иногда он считает нужным даже обращаться и к таким вопросам механики или физики, которые непосредственно ие связаны с конкретным предметом данного теоретического исследования. 13 частности, понятие «произвольной функции» в тексте «Интегрального исчисления» Эйлер вводит уже при рассмотрении простейших уравнений с частными производными первого порядка. Основывается же он при этом на своем введении этого понятия, сделанном еще в 1748 г. в известной работе о звучащей струпе. Уже тогда Эйлер от функции в смысле аналитического выражения пришел к понятию функциональной зависимости как зависимости между ординатой и абсциссой точки произвольно начерченной кривой, которое вновь разъясняется и в данном случае [751.
Вводимые при интегрировании уравнений с частными производными первого порядка «произвольные» в этом смысле функции Эйлер называет «разрывными» (в понятие «непрерывности» им вкладывается смысл, родственный! нашему понятию «аналитической продолжаемости»).
Эйлер отчетливо представляет существенное значение развития этого понятия анализа: «Замечательные свойства интегрирований, которые изучаются в этой второй книге (т. е. в третьем томе «Интегрального исчисления».—11. С.), состоят в том, что они могут вводить такие разрывные функции, и это показывает мне поэтому, чго через это новое исчисление границы анализа могут значительно расшириться» [7С]. При этом Эйлер вынужден защищать необходимость такого расширения анализа, ибо «многие превосходные геометры были того мнения, что этот принцип исчисления даже противоречив». В первую очередь Эйлер имеет здесь в виду Даламбера, который упорно отстаивал необходимость ограничиться при интегрировании дифференциальных уравнений лишь такими интегралами, которые могут быть определены единым аналитическим выражением.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИИ 565
В данном случае для нас особенно существенно напомнить аргументацию Эйлера, основанную на необходимости рассмотрения в общей форме той же проблемы о колебании струны. «Так как решение должно быть таким общим, чтобы оно соответствовало всякому начальному состоянию,— говорит Эйлер,— то оно должно быть распространено па те случаи, когда начальная фигура струны совершенно нерегулярна и никоим образом не обладает характером непрерывности. По это было бы невозможно, если бы при интегрировании не вводилась вполне произвольная функция, которая могла бы соответствовать нерегулярной начальной фигуре струны» р7]. Напомним, что Даламбер фактически уклонился от рассмотрения новой принципиальной проблемы а на шза и рекомендовал решение общей проблемы о колебании струны «предоставить самим физикам».
Однако вопрос о постановке основной задачи имеет и другую сторону. Известно, что задача по начальным давшим не для всех классов уравнений с частными производными ставится корректно. Для уравнений эллиптического тина, как показывает хорошо известный пример Адамара, решение этой задачи может зависеть от начальных данных разрывным образом, поэтому она для таких уравнений фактически не имеет практического значения. Возникает вопрос, для каких же типов уравнений с частными производными второго и высшего порядка Эйлер развивает свои методы нахождения полных интегралов, дающие возможность решить задачу по начальным данным? В имеющихся обзорах об исследованиях Эйлера и, в частности, в обзорах Р Валлнера, Вилейтнера и отмеченном выше предисловии Ф. Энгеля к третьему тому «Интегрального исчисления» этот вопрос вообще не ставится.
Весьма характерно, что на выбор множества уравнений частного вида, рассмотренных Эйлером (одних уравнений второго порядка здесь имеется около 100), несомненное влияние оказали его работы по математическому естествознанию. Уравнения второго порядка, изучаемые им в третьей, четвертой и пятой главах раздела об уравнениях с частными производными порядка выше первого, за единичными исключениями принадлежат, по современной терминологии, к гиперболическому типу, для которого
566
II. И. СИМОНОВ
задача по начальным данным, как хорошо известно, ставится корректно. Это исключение составляет уравнение
<Э2и о д2и
-------1- Л &-----—
ду2 дх2
О1),
рассмотренное вслед за уравнением колебания струны в одном из последующих замечаний, где Эйлер с помощью формального повторения предыдущих построений получает для этого уравнения комплексное решение, зависящее от двух произвольных функций аргументов х-^-ау^-—1 и х—ау\/ — 1.
Вследствие указанной особенности самого выбора исследуемых уравнений возникает новый вопрос — о классификации Эйлером уравнений с частными производными. И хотя этот вопрос, как самостоятельный, Эйлер по ставил, оп должен был определенным образом систематизировать множество изучаемых нм уравнений частного вида. Это Эйлер делает, исходя из возможности построения полного интеграла. Вслед за уравнениями, нс содержащими производных по одному из двух независимых переменных, d2z
рассматривается уравнение — Р (х,у), для которого решение задачи достигается двумя квадратурами, затем более сложные уравнения второго порядка, содержащие из вторых производных лишь смешанную. Только после этого рассматриваются уравнение колебания струны и его различные обобщения. При этом широко используется обычный прием Эйлера: отправляясь от изученного уравнения и применяя ту или иную определенную подстановку, он получает повое уравнение, для которого задача оказывается также решенной. В частности, широко используются подстановки вида z = А^-\-Ви, где z—прежняя, а и—новая .неизвестные функции (эти подстановки позже нашли себе дальнейшее применение в известном методе Лапласа).
Э А также более общие линейные уравнения второго порядка, для которых изучаются линейные преобразования, указываемые ниже (см. проблемы 56 и 59 в указапой выше пятой главе).
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 567
Несомненно, что весьма существенную роль в выборе основного класса уравнений, исследуемых Эйлером в «Интегральном исчислении», наряду с его работами по математическому естествознанию, имело и другое обстоятельство: фактическое применение метода характеристик в действительной области. Этот вопрос также совершенно недостаточно освещен в историко-математической литературе, и мы поэтому па пом остановимся несколько подробнее. Достаточно рассмотреть метод Эйлера построения полного интеграла уравнения колебания струны. При этом уместно сравнить его со способом Даламбера. Прием Даламбера заключается в следующем: учитывая соотношения, справедливые для произвольной функции z — Z (х, у},
dz — pdx-' qdy, dр = г dx -| s dy, dq = .<? dx + t dy,
dzu 2 d2u Q
и записав исходное уравнение = а1 в виде I — а~х, имеем dp=r dx-\-s dy, dq=sdx-\ a~rdy, поэтому a dp-\-dq= — (ar s) {dx — a dy). Отсюда следует, что nr f-s является функцией только х \ ау. По в таком случае в результате интегрирования последнего равенства получают арq — = / (х -| ау), где / можно считать «произвольной» функцией аргумента х - ау, заменяя а па —а, подобным же образом находят, что q — ap = F{x — ay), где F—другая произвольная функция своего аргумента. Из последних соотношений находят р п q, подставляют найденные значения в равенство dz = pdx j- q dy и почленным интегрированием получают искомый полный интеграл.
Подход Эйлера совершенно иной [78]. Прежде всего он проводит общее линейное преобразование независимых переменных t = ax-'r&y, и = -[х-+ Ъу. Пользуясь формулами, установленными им ранее, для случая общего нелинейного преобразования независимых переменных, Эйлер сразу получает уравнение в новых координатах:
(₽2 - Sх 2 В=.- «•
Дальше задача ставится совершенно так же, как в современной теории: линейное преобразование выбирается
568
Н. И. СИМОНОВ
^/2 ~ d^z так, чтобы ооратить в нуль коэффициенты при п — . Для этого, как замечает Эйлер, достаточно положить а = 7=1, 3 = а, о= — а. По в таком случае Эйлер получает для t и и левые части равенств, представляющих, по современной терминологии, интегралы уравнений характеристик. Сократив па коэффициент при смешанной производной, Эйлер получает уравнение — 0, которое ужо исследовал рапсе. Но вводя самого понятия характеристик, Эйлер, том пе менее, применяет канонические преобразования, используя интегралы уравнений характеристик, а так как все исследования ведутся в данных разделах, как правило, в действительной области (), то содержание этих исследований неизбежно должно быть при этом связано с гиперболическим]! уравнениями (или параболическими). Интегралы уравнений характеристик Эйлер использует аналогичным образом при рассмотрении уравнения
d2z D9 . .d2z
— = р- (х, у)л2, ду2 4 ’ J1 дх2
затем уравнения
a2 d2z d2z 2т dz___~
b2 ду2 дх2 х дх ’
о котором Эйлер замечает, что оно имеет существенное значение при исследовании распространения звука [79]. уравнения
d2z b2 d2z
ду2 а2 дх2 ’
соответствующего неоднородной струне, а также и для других уравнений того же типа.
Уравнения параболического типа Эйлер почти не затрагивает. Это обстоятельство в определенной степени свя-
’) Отмстим, однако, что здесь же у Эйлера имеется существенное замечание о различии свойств решений уравнений
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 5G9
запо с тем, что в естествознании того времени вопрос о математическом исследовании распространения тепла еще нс был поставлен в тон отчетливой форме, как это было уже сделано в отношении проблемы колебаний простейших механических систем.
Уравнения вида
у, z) Q(x, у, z),
рассмотренные Эйлером предварительно, конечно, не представляют в данном случае особого интереса, так как они по существу являются обыкновенными дифференциальными уравнениями.
Одно из замечаний Эйлера [80] относительно уравне-d2z dz
ния теплопроводности = -- сводится к признанию особой сложности его интегрирования, второе замечание [81] об этом уравнении такого же характера делается в связи с тем, что Эйлер свел интегрирование уравнения четвер-<94z й d~z
того порядка = а*3 —- к решению двух уравнении вто-
рого порядка:
d2z dz d2z , dz ,
•T-2 — a — = 0, — T- « — = 0.
dy2 dx dy2 dx
„ - d'1-- i dz
Отметив здесь, что в случае уравнения = приходится ограничиваться нахождением частных интегралов, так как методы нахождения его полного интеграла неизвестны, Эйлер подчеркивает, что исходное уравнение четвертого порядка нс является предметом чисто теоретических размышлений, а имеет непосредственное значение для проблемы колебаний упругого стержня. Для построения частных интегралов этого уравнения Эйлер указывает два способа. Один из ппх основан па подстановке z = e»xx+VI/, в результате которой исходное уравнение сводится к соотношению v4 = р2а2, или р = ± ал2, где X = ~, так что z_ еал (1/±лх)# Второй прпем состоит в разделении переменных. Сначала частное рои: сине строится в виде 2 = ев* cos (w/а}, затем построение обобщается, прсдвос-
570
П. И. СИМОНОВ
хищая построения «метода Фурье». Полагая z=X(x)F(?/) 1 </4У d?X 1
п получив уравнение — -у-^- = а2 - 2- v , Эйлер заключает, л ау ctx хс
что каждое из этих отношений должно равняться одной и той же постоянной.
Пам остается остановиться на замечаниях Эйлера относительно решений, получаемых в впде ряда. Проблема разложения произвольных функций в ряд по заданной системе функций в анализе еще только ставится и не решен вопрос об определении коэффициентов, пе говоря уже о полном исследовании вопросов сходимости.
Напомним, что первый смелый шаг был сделай в 1753 г. Д. Бернулли, получившим решение уравнения колебания струны из физических соображений в впде тригонометрического ряда и защищавшим тот взгляд, что это решение имеет полную общность. Отметим также, что Эйлер в 1777 г. получил выражения коэффициентов тригонометрического ряда в виде известных определенных интегралов. Этот ого результат был опубликован только в 1798 г. [82]. В данном же случае, т. о. в третьем томе «Интегрального исчисления», получив, в частности, для d2Z лг / \
уравнения • — z с помощью подстановки z = e'JX Y (у) формальное решение
, а „ а а
ах+— у У , п ТХ+— у
z = Ле а -] Be ₽ + Се 7 - . . .,
где zl, В, С, ... и а, р, р, . . .—произвольные постоянные, Эйлер замечает, что хотя найденное решение содержит бесконечное множество неопределенных параметров, его пе следует считать равнозначным тем решениям, которые содержат две произвольные функции, потому что неизвестно, как нужно выбирать произвольные коэффициенты, dz чтооы, например, при у, равном нулю, z вместе с — совпадало с произвольно заданными функциями второго аргумента.
Было бы, разумеется, неправильно утверждать, что Эйлер предопределил в своих работах развитие основных
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 571
методов решения задачи по начальным данным в области уравнений с частными производными. Исторически обусловленная ограниченность результатов Эймера в этой области состоит в том, что решение этой задачи он искал главным образом лишь па пути выделения нужного частного решения пз «полного интеграла», т. е. пз решения, содержащего, по определению Эйлера, соответствующее число произвольных функций. Известно, что в современной теории уравнений с частными производными в области поаналнтпческих функций! решение дайной задачи, исключая самые простые случаи, требует создания специальных .методов, отвечающих типу данного уравнения с частными производными и дающих непосредственно решение, удовлетворяющее поставленным начальным условиям без построения «общего решения».
Однако для гиперболических уравнений второго порядка Эйлер нашел правильную постановку существеннейшей задачи теории и для определенных частных видов уравнений этого типа подробно развил метод решения этой задачи с помощью нахождения полных интегралов.
В рассмотренных исследованиях Эйлера содержатся также основы одного пз самых сильных методов современной теории этой ветви анализа - метода характеристик.
5. Об исследовании Эйлером уравнения колебания неоднородной струны
Проблема колебания струны имела весьма существенное значение для развития математического анализа не только в XVIII, по и в XIX веке.
Впервые задача была поставлена Тейлором в 1713 г. (в Phil. Trans, и в 1715 г. в «Методе приращений»). После опубликования в 1728 г. исследования Ивана Бернулли «О колеблющихся струнах» I83], эта проблема привлекает внимание Даниила Бернулли, Даламбсра и Эйлера, затем Лагранжа п позже Фурье.
К изучению процесса колебания струны Эйлер возвращался неоднократно. Значительную часть полученных результатов Эйлер изложил в третьем томе «Интегрального исчисления» [84]. В некоторых позднейших работах Эйлера
572
Н. И. СИМОНОВ
содержится ряд его других результатов, представляющих несомненный интерес как для развития теории, так и для ее приложении. Обзор отечественной и зарубежной литературы о творчестве Эйлера показывает, что сравнительно подробно прокомментирована лишь та часть этого цикла работ Эйлера, которая непосредствен ио связана с известным спором о звучащей струне, начавшимся с середины XVIII века. В этом споре о самом содержании понятия «решение» уравнения колебании однородной струны, как известно, припили участие Даламбер, Д Бернулли, Эйлер, Лагранж и некоторые менее знаменитые математики. В литературе по истории математического анализа XV] II века до сих пор не получили надлежащего освещения результаты Эйлера о проблеме колебания струны, нс относящиеся непосредственно к этой полемике, по также содержащиеся в третьем томе «Интегрального исчисления». В еще мепыпей степени изучены соответствующие работы Эйлера, опубликованные в сборниках Петербургской Академии паук и других периодических изданиях того времени.
Здесь мы рассмотрим результаты Эйлера, относящиеся лишь к изучению колебаний струны, плотность которой является заданной функцией точки струны. Не ограничи ваясь содержанием соответствующих разделов указанного основного сочинения Эйлера, мы рассмотрим при этом несколько работ Эйлера, опубликованных в XVII томе «Новых комментариев» Петербургской Академии паук за 1772 г. (1773 г.).
Прежде всего остановимся на выводе уравнения поперечных колебаний неоднородной струны, который был дан Эйлером в работе «О колебательном движении струн, обладающих переменной плотностью» [85]. Эйлер рассматривает ограниченную струну длины а, закрепленную в своих концах Л, В, Находящуюся под действием постоянного натяжения К, и для вывода уравнения свободных колебаний такой струны основывается исключительно па втором законе Ньютона. При этом с самого начала указывается, что изучаются малые колебания. Несколько изменяя обозначения Эйлера, изложим в основных чертах сам вывод (чорт. 1).
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ УРАВНЕНИЙ 573
N У
А М В
Черт. 1. близости направления каса-
Пусть Х=Х(х) обозначает линейную плотность струны, х—абсцисса произвольной точки М струны. По предположению, М движется в направлении, перпендикулярном к АВ. Прежде всего отмечается, что «аппликата ?/ будет функцией двух переменных t и .т». Расстояние MX считается бесконечно малым, и, «следовательно, касательная в Y бесконечно мало отличается от направления оси абсцисс» (точки М и А в тексте Ойлера обозначены соответственно X, Y).
Разумеется, заключение о
тельной в точке Д' и направления оси х, сделанное на основании малости интервала MX, является математически необоснованным. Однако в силу физических особенностей процесса Эйлер вправе пренебречь различием между этими направлениями * L).
Для определения силы, действующей на элемент dx, заключающий точку И струны с абсциссой х, Эйлер учитывает, что вес этого элемента с точностью до постоянного множителя можно считать равным X(x)dx, а его ускорение
1 д2у , .
равным , где /? ооозпачаот высоту, которую проходит тело под действием силы земного притяжения «в наших широтах» за одну секунду2). Применение второго закона Ньютона дает, таким образом, для силы, действую-щей па элемент dx, величину —• Далее Эйлер
Э Напомним, что необходимое предположение теперь обычно делается в следующем виде: «Считая деформации малыми, мы будем - .. du
нрепсорегать квадратом производной — ио сравнению с единицей» (В. It. С м и р н о в, Курс высшей математики, т. II, 1948, стр. 475).
1
2) Множитель 2^ Эйлер вводит для измерения «аоеолютнымп единицами», когда ускорение силы тяжести принимается за единицу, п ускорение, вызываемое любыми силами, сравнивается с ускорением силы тяжести, подобно тому, как все силы сравниваются с весом.
н. и. Симонов
учитывает силы натяжеп , действующие на точку Л . Прежде всего он убеждается в том, что вследствие ранее указанных предположений о малости колебаний натяжение в точке N струны можно считать равным заданному натяжению К струны в точке Л. Эти рассуждения Эймера мы поясним черт. 2 (в оригинальном тскс тс отс утствуст).
Пусть 0 — натяжение в силы натяжения равны 6
точке N. Тогда составляющие cos со, 0 sin о), где w — угол между касательной в точке N к кривой, выражающей форму струны в момент I, и осью х. Пусть натяжение в бесконечно близкой точке Л\, соответствующее абсциссе х + dx, будет равно О -i dG и, значит, определяется составляющими (О 4 dO) cos (со -+ cZco), (О 4 dO) sin (to-4-cZw). Так как силы в направлении оси х
должны взаимно уничтожаться, то 0 cosсо == (0 4 d(i) cos (со 4-cZio). Применяя формулу для косинуса суммы и заменяя costZo) и sincZo) соответственно единицей и cZco, Эндер приходит к равенству О cos со = (6 + d1)) (cos со — dw sin со), откуда, пренебрегая слагаемым dG dw sin <», имеющим высший порядок малости, Эйлер получает окончательно
cZO-cos со — 6 cZco sin со = 0, т. е. dG = G-^-^dw. cos
Вследствие же того, что dw бесконечно мало, Эйлер заключает далее, что dG = 0, т. о. что G постоянно вдоль струны, и так как оно в точке А равно К, то 0 = К всюду вдоль струны.
Аналогично вычисляется составляющая натяжения вдоль осп у. При этом, учитывая малость со, Эйлер за-. дг/
меняет sin о через tgo>, т. с. через получая вместе с этим для точки N значение этой составляющей, равное К —. Затем вновь применяется тот же прием, в ре
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДНФ. УРАВНЕНИЙ 57.1
зультате чего значение тон же составляющей для точ-ки Л\ с аосциссой x-[-dx оказывается равным +
Гг д-у ,
К-^ах. Учитывая противоположное направление составляющих натяжения вдоль оси у в точках N и А\, Эйлер заключает, что на элемент dx действует сила, равная К ~dx, которая должна быть равна силе, вызвавшей ускорение, найденное выше, и приходит, таким образом, к равенству
Хс1хд2у &У
2h di2 Эх2’
или в окончательной форме
W
д2у = д2у dt2 дх2
где
Далее мы рассмотрим результаты исследования уравнен л я
= (22)
найденные Эйлером методом характеристик и изложенные в третьем томе «Интегрального исчисления». Предварительно напомним, что хотя при изучении уравнений с частными производными второго порядка Эйлер в этом труде постоянно стремится построить полный интеграл в смысле решения, зависящего от двух произвольных функций, его основная цель в этом сочинении при исследовании таких уравнений заключается в построении решения задачи по начальным данным.
Сначала мы укажем два результата Эйлера, относящихся к уравнениям более общего вида, чем (22). При этом, учитывая, что эти результаты в исследовании проблемы колебаний струны Эйлер непосредствен ио не использует, мы приведем их к окончательной форме, опуская само доказательство.
11. 11. СИМОНОВ
Перлы! из этих результатов формулируется так: если уравнение
Z=p^+G^di+H^v <23>
разрешимо в смысле нахождения полного интеграла, то в этом же смысле разрешимо и уравнение
£ = Г (G 4^V_i+f//4 (24)
ду2 дх- \ dx J дх \ ' dx dx J '
где 8 удовлетворяет уравнению
Fds + Gsdx-Fs2 dx-\-(C — H)dx = Q. (25)
Связь между уравнениями (23) и (24) дается подстановкой z == sv + . При G = l/ = 0 получаем очевидный ре-
зультат для уравнения (22). Попутно отметим, что как частный случай Эйлер рассматривает уравнение
d2z d2z 2iп dz п
ду2 дх2 л х дх * х2 Z’
имеющее существенное значение в современной газовой динамике.
Второй результат для уравнения также более общего, чем (22), связан с применением Эй лером своего метода характеристик к уравнению
ду2 = У^да? ’ (26)
которое можно трактовать как уравнение, соответствующее случаю неоднородной струны, плотность которой зависит пе только от абсциссы точки, но и от времени. Вполне понятно, что при этом Эйлер был вынужден найти соответствующие достаточные условия для коэффициента Р (х, у). Сделав общее преобразование t = t(x, у) и воспользовавшись своими формулами общего преобразования переменных (см. в [5Э] стр. 156), Эйлер, приравнивая коэффициенты при 11 ’ П0ЛУчает по-
сле их разложения па множители линейные уравне
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В 0БЛ \СТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 577
ния для I в и:
Р^=(), ду дх 1 ди р ди__р
ду дх
(27)
(28)
Дальнейшее применение метода характеристик у Эйлера несколько отлично от общепринятого в современной теории. Вместо интегрирования уравнений (27) и (28) Эйлер их дифференцирует и легко находит выражение dzt dzt '
для не содержащее ; таким же образом определяется . Вследствие (27) и (28) результат подстановки в исходное уравнение можем записать так:
/ р дР дР\ dt dz / р дР , &и dz _
\ дх ду ) дх dt' \ дх ду у дх ди
- 4/>2 di ди дЧ = 0.
дх дх dtdu ' '
Нетрудно видеть, что это уравнение получается сразу по формулам общего преобразования независимых переменных в силу уравнений (27) и (28). Искомое условие для Р (х, у) является достаточным условном, обеспечивающим возможность нахождения полного интеграла уравнения (29) методами, развитыми в предыдущих разделах того же сочинения, где Эйлер дал способы построения полных интегралов для тех линейных уравнений второго порядка, которые, имея из вторых производных лишь смешанную, не содержат какой-либо одной из частных производных первого порядка. Это обстоятельство и заставляет Эйлера потребовать выполнения для Р (х, у) одного из двух равенств:
+ P~-d^ = Q. (30)
дх 1 ду дх ду 4 '
Так как при интегрировании этих уравнений входит произвольная функция от Р, то Эйлер получает не какое-либо определенное уравнение вида (26), допускающее решение поставленной задачи, а целый класс 37 Историко-матем. исследования
n. ii. Симонов
таких уравнений. В частности, интегрируя своим методом второе уравнение в (30) и получив его интеграл в неявной форме в виде равенства х г Ру j (Р), Эйлер, полагая произвольную функцию / (Р) равной тождественно пулю, находит для Р частное - допустимое значение Р ~ . Полный интеграл для соответствующего урав-
d2z х2 d2z / х \
нспия , = — т-г при этом получается в виде z = а?Г( — ) В ду2 у2 дх2 1 J \ у J
Q(xy), где Г и Q — произвольные функции указанных аргументов, Отметим, что изложенный прием Эйлер распространяет и па случай более общего уравнения
~ + с? +л т = °>
ду2 дх2 ду дх
в котором коэффициенты зависят от х и у. Вопрос ставится подобно предыдущему: определить достаточные условия, которые должны быть наложены па функции Р, Q, R для того, чтобы это уравнение допускало интегрирование в смысле нахождения полного интеграла.
Теперь мы в краткой форме изложим результаты Эйлера, относящиеся к уравнению
а2 9 d2z d2z
Ъ2 dy2 ex2 '
Эйлер особо подчеркивает важность для практических приложении частного вида этого уравнения:
дЧ ду2
Ь2
а2
по. /у2«г— 1 ° * Х Эх2
(31)
отмечая, что с решением этого уравнения связана проблема колебаний струны, плотность которой непостоянна Р].
В теоретическом отношении это уравнение представляет особый интерес: Эйлер устанавливает, что случаи его интегрируемости полностью совпадают со случаями интегрируемости уравнения Риккати:
6 т dy -\-y~dx — ах 2?n“i.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИИ 579
Исследование уравнения (31) Эйлер начинает также с применения метода характеристик, однако выписывает формулы преобразования переменных без нош-пений. Эти формулы полу чаются путем умножения уравнений характеристик
х 2m~l dx = 0, ~dy — x 2n,~i dx = 0
па —1) 11 1|НТ0гРиР0вапия- результате найденного
таким образом преобразования
у, _ ________ о/ _J sv* 2 771— 1
2 {2т — 1)аУ ' '2
ъ .1
У —_________ч t 1 . 2 /7'1 — 1
2(2т—1)аУ^ 2
Эйлер приходит к уравнению
d~z т / dz dz \
dt ди 1 t + и ydi ди J \
Основываясь затем па своих результатах относительно более общего уравнения
& + 4 т £ + т (х + Ру + nz = °’ ^За-
полученных с помощью рядов, Эйлер имеет возможность найти полные интегралы (32) при целых значениях ???; так, при тп = 0 он получает
z=/Gr+йд)-'
при тп — — 1
Z = / («) + F (О -4 (/' (') + J‘” (и)У
Так же подробно вычислил Эйлер решения для ш= —2, — 3, —4 и для ??г = 1, 2, ...,6.
В данной работе мы но будем останавливаться подробно па последовании Эйлером уравнения (33), которое имеет столь важное значение в газовой динамике.
37*
Н. И. СИМОНОВ
Результаты, полученные здесь Эйлером, заслуживают особого разбора.
Для выяснения указанной выше связи (3'1) с уравнением Рпккатп Эйлер рассматривает более общее уравнение
дЧ v, xa2z
= Л (ж) — ду2 4 ' дх2
л делает подстановку z = e”yv, где v - некоторая неизвестная функция х, а - постоянное. В результате возникает уравнение для v:
v / х cl2Vi п X (х) = а2г,
4 7 ах2
\ р dx
которое подстановкой v — e^ сводится к уравнению Рик-
_±2L а-2
кати. При X = Лх2т~1 п а= д получается окончатель-
ное уравнение
4 т dy -\-у2 dx~ ах 2т~Х.
Эйлер пе оставляет без внимания и продольный случай последнего уравнения, возникающий при т—»со, которому соответствует уравнение
^2Z _ 62 ду2 а2 дх2
По ограничиваясь применением своего результата к уравнению второго порядка вида (33), Эйлер указывает возможность построения для уравнения
<92Z _ 2 &~z
ду2 дх2
бесконечного множества частных интегралов вида z= Ахлеуу, если параметры X и р связаны соотношением р = j/X(X — 1) . Отметим, наконец, что для этого же уравнения Эйлер строит частные решения и другого вида методом вариации произвольного постоянного. Положив z = х'-еуу и считая теперь множитель v при х*еуу завися-
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 581
щпм от х и у, оп после очевидной подстановки в исходное уравнение получает соотношение
о . о <9v . <9^2? х /х л \ ох <9с I < р2 v + 2и -х- - — -5 = X — 1) г? + 2\х — -4 х-г ду ду2 4 ' дх '
d2V
дх2'
Считая, что р и X удовлетворяют указанному соотношению, и используя произвол для v, при Р = а1пж4 $у Эйлер приходит к решению
z = x* [ ( Л + -° 1п,' + S') +
В заключение в явном виде вычисляется и решение для случая комплексных значений ]/Х(Х—1) [84].
Дальнейшее развитие интегрирование уравнения
/ х д2у д2у
4 ' dt2 дх2
(w {х} > 0)
получает в указанной выше работе [85], вышедшей через три года после опубликования третьего тома «Интегрального исчисления». Постановка задачи изменяется: основной целью Эйлер ставят себе здесь по построение полного интеграла, а нахождение решения в виде ряда, коэффициенты которого обладают возможно большим произволом. При этом Эйлер применяет своеобразный вариант метода разделения переменных. Окончательный результат состоит в построении решения в виде такого ряда, коэффициенты которого зависят от «произвольной» функции и всех ее производных.
Сначала решение строится в виде ряда
y = P^Q^ + R^..., (34)
где 6 — функция, зависящая только от Z, а коэффициенты Р, Q, R, . . . суть функции только х. Все построения имеют формальный характер, никакие предположения о функции w(x) не высказываются, сходимость рассматриваемых рядов но изучается.-Находя для у из (34)
582
И. 11. СИМОНОВ
<92у д2у п о
— и , дилер, после подстановки пх в данное уравнение, получает:
, Л n f/20 П f/4tJ ! 1> ,
1 — d*P fi I ^2 6/26 д. J — dx2 dx2 dt2 +
Приравнивание коэффициентов при одинаковых производных приводит к равенствам, позволяющим последовательно определить неизвестные коэффициенты:
^-4- - О, Р (х) = ах + Р, dx2 ' '
где а и р — произвольные постоянные,
^ = oi(z)P(z), следовательно,
Q (х} = dx wP dx,
с-^ = w (х) Q (х), Rix') — dx wQ dx и т. д.
Полученный результат немедленно используется для построения более общего решения также в виде бесконечного ряда:
у = рФ Qt + zdx^ -i
-; q'l)' ( t z dx + 7’Ф" (j + z dx -j . . :
Применяя предыдущий прием в этом случае, лучает равенства:
Эйлер по-
d~p n .
-^-4 = 0, т. е. 7? = ?гж-4
dx2 ‘
2z^+?^ = o,
dx~ dx 1 dx
dx
dx
/, n и / — постоянные,
или
пли
I 1 d (P~Z) _ Q
dx2 p dx
d2r 1 d(q2z) 0
dx2 ’ q dx
d2s
dr
dx
dz A
r — = 0 n t. dx
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 583
Из второго равенства сразу следует
у d(p2z), т. е. q^dx^dfjfz),
аналогично
г — — dx у d (q2z)
и т. д. Полученное решение затем представляется в несколько ином виде. Полагая z — ^-v2, Эйлер вместо предыдущих равенств легко получает соотношения
q= — dx vd(pv), r = — ^dx^ vd(qv) п т. д.
При v = ax'-, где а и X — постоянные, Эйлер отмечает, что при р — 1 полученный бесконечный ряд обрывается, если
При частных значениях wty) Эймер строит решение в конечной форме. Сначала решается задача: определить условия того, что уравнению удовлетворяет функция у = р (ж) Ф t + z{x)dx^ (функцию следует считать, конечно, дважды дифференцируемой). Находя производные и подставляя в уравнение, имеем:
Подставляя в уравнение и приравнивая коэффициенты при одинаковых производных функции Ф, приходим к следующим равенствам:
44 = 0, т. е. 7? = а.г + Р, 2 z + р~ = 0, ахл ах ах
откуда
z(z)=-7—ТТГ2 ’ C = cobsI, pw = pz2,
j . _ . \ ’ (ах -|- S)2. . . . . 1
584
Н. И. СИМОНОВ
но это означает, что
t ч С2
W \Х) = i—~ЛТ •
4 ' (аж + р)4
Таким образом, Эйлер заключает, что если плотность струпы определена формулой
/ Ч С2
то движение струпы таким методом действительно можно определить. При р = х ряд обращается в конечную сумму для
Х=-2^Т> *=2’3.............
Нетрудно убедиться, что если функция
р (я) Ф (уф- zdx^
удовлетворяет данному уравнению, то и функция
р (х) Ф' (j+ zdx^
будет также ого решением. Отмечая это, Эйлер получает возможность несколько обобщить найденный результат и взять реп свис в виде ряда
у = рФ + (q-\- ар) Ф' -Ь (s + aq 4- ftp) Ф" + . . ., где р (а?) есть произвольный полипом первой степени, а и Р — постоянные.
Теперь мы изложим совершенно ппой подход Эйлера к изучению задачи о колебании струны с непостоянной плотностью. Мы имеем в виду результаты Эйлера о построении реп синя уравнения колебаний струны, которая состоит из конечного числа кусков различной, но постоянной на каждом куске плотности. В известном смысле это исследование Эйлера [86] примыкает к исследованиям Д. Бернулли о колебаниях нити с распределенными нагрузками. Результат представляется интересным не только в силу его непосредственного значения для рассматривав-
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА Б ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 585
У у"
У'
---------1—----f---------
в х' С х" D
Черт. 3.
мой проблемы, но и в связи с вопросом о развитии Эйлером понятия функциональной зависимости. Мы увидим, что в этой работе Эйлер при своих построениях вводит такую функцию, которая определена на разных кусках основного интеграла различными аналитическими выражениями.
В указанном исследовании Эйлер рассматривает струну, состоящую из трех кусков. Метод применим без изменений для любого конечного числа кусков, па
которых плотность струны постоянна. Сохраняя почти все обозначения Эйлера, укажем основные пункты его построения. Пусть па куске АВ (черт. 3) значение —, где р —плотность струны, а Т - ее натяжение, равно а2, на ВС оно равно р2 и на CD равно *у2. В соответствии с с этим Эйлер рассматривает па интервалах АВ, ВС, CD уравнения:
д*У _ 2 д2У д*У' 02 д*у' д2у" 2 д2у”
dl2 дх2 ’ dt2 ” дх2 ’ dl2 1 дх2
(через у’ и у" обозначены соответствующие неизвестные функции), длины АВ, ВС и CD равны соответственно а, Ь, с. Решения па каждом пз этих интервалов строятся отдельно, а затем производится «склеивание» этих решений. Для интервала АВ решение ищется в виде
+ (35)
для ВС — в виде
^ = ®'(z + /+20-<F'(j-/_J!0 (36)
и для CD — в виде
= + ё + (37)
где / и g— некоторые постоянные, подлежащие определению. Из условия закрепления струны в точке А сразу
586
II. И. СИМОНОВ
следует равенство
Ф(0=Ф(/). (38)
В точке В осуществляется «склеивание»: из (35) и (38) для В имеем ?/ == Ф + ±) _ ф ( , _ А) , с другой стороны, из (36) для х' = 0 получаем ?/'— Ф'(г д-/)— Ч ' (£ —-/). Так как оба выражения должны совпадать, то, полагая /= — и Ф' = Ф, Ф' = Ф, получаем для второго пптервала равенство
у=ф(?+т+т)-ф.(г7“^т);'
Применяя этот же прием к точке х' = Ъ и положив прп этом , Ф" = Ф, Ч.'" ==<!>, получаем для интер-
вала CD формулу
,/=фГ/+л+^+^у..Ф^_А_4_^у
J Ч ’ т \ а р 7 7
Пз условия закрепления струны в точке D следует, что
По это означает, как указывает Эйлер, что природа функции Ф ограничивается свойством:
ф(/н-4+4+т)=ф(/?)’
т. о. Ф должна быть периодической с периодом
2 (т+1+f) •
Учитывая, что при изменении времени на 2 + +
«аппликата кривой приходит в то же самое состояние, в котором опа была в момент £ = ()» [87], и учитывая явление отражения волн, Эйлер заключает, что время одного колебания, измеренное в секундах, равно )_±+± ;
- а 1 5 j ' ; __ ____
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 587
Эйлер дает геометрическую интерпретацию результата, что в свою очередь приводит геометрическому построению кривой, пред-фигуру струны в произвольно взятый мо-Осповная новой
выборе соответ-коордииаты v, абсциссой» [88]-х"
— умножаются
при этом следует отметить, что необходимость «склеивания» производных решении для отдельных интервалов отпадает вследствие совпадения функций Ф' и Ф" с Ф$ если, конечно, Ф является дифференцируемой па всем интервале.
Здесь же полученного к простому ставляющей мент I. Основная идея заключается в ствуюшсй новой пространственной которую Эйлер называет «фиктивной Предварительно «количества t и , -j- , на одно и то же произвольное количество г»; другими словами, вместо решения, например, для первого интервала, полученного ранее (см. (35)), берется функция у = ФЛг+Д>_фСа_А.У
«Фиктивная абсцисса» v вводится путем задания аналитических выражений отдельно па каждом из трех интервалов АВ, ВС, CD. Па помним, что возможность задания значений функции различными аналитическими выражениями на различных кусках всего интервала ее определения была в математике конца XV11I века отнюдь пе общепризнанной. Это обстоятельство, видимо, и заставило Эйлера провести особо подробное разъяснение способа введения переменного гк Хотя на каждом пз трех интервалов определение v подчинено весьма простой, а именно лилейной зависимости, Эйлер считает нужным сохранить па каждом интервале свое независимое переменное и дает определение v следующей таблицей:
Фиктивная абсцисса
1х v = — , а id , ix' V=~a Г J" ’ ia , ib , ix" = +
А б сц и с с а само й с т р у и ы
ЛХ = х,
ЛА. — и, -|- х
588
Н. И. СИМОНОВ
Напомним, что здесь х, х', ж" изменяются соответственно в границах 0,а; О,/?; О,с. Заменив i буквой к и сохраняя для всех интервалов переменное х, можно, как легко видеть, выразить это определение формулой
f*?,
I кх . ак ак ,
v = \ ~ ---, а^х^а-Х-Ъ.
I ₽ а Р
! кх ак , Ьк ак Ък . , ,
— Н--F----------, л4-д<ж<а4-&4-с.
V 1 1 а р Y I
С помощью введенной переменной v п указанного изменения масштаба формулы (35), (36), (37), определяющие решения на трех интервалах, могут, очевидно, быть записаны, как это и делается Эйлером, в виде одной формулы, определяющей решение на всем интервале AD длины а -р с:
у = Ф (kt + г) — Ф (kt — v).
В качестве Ф может ция, имеющая период
быть взята «произвольная» 2/ = 2Л(-+-^4--').
Функ-
Очевидиая возможность геометрического построения найденного решения позволяет Эйлеру построить и график самой струны для любого момента t. Сначала на интервале длины 21 произвольной оси строят график функции с указанным периодом и продолжают его периодически па два смежных интервала той же длины 21. Для того чтобы построить геометрически отрезок, выражающий отклонение от положения равновесия точки струны с абсциссой х в момент Z, находят ординату построенного графика, соответствующую значению А/. Затем по указанным выше формулам определяют «фиктивную» абсциссу, соответствующую взятому значению ж, и па графике функции Ф находят ординаты, отвечающие значениям аргумента этой функции, равным kt 4- v nkt — v. Разность этих ординат Ф (Л t -| г) — Ф(А£ — г) и будет давать искомый отрезок. В свою очередь функцию Ф легко определить через начальные условия. Пользуясь опять переменным г, Эйлер замечает, что начальное состояние струны
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДЙФ. УРАВНЕНИЙ 589 может быть охарактеризовано определенной функцией Г (г), а начальная скорость в каждой точке струны— функцией кА' (?;), где Д (г?) — также некоторая заданная функция v. Из двух равенств, выражающих начальное состояние струны:
Ф (г?) — Ф (— г?) = Г (г), Д' (г?) — Ф' (г?) — Ф' (— г),
Эйлер сразу же получает равенства
Ф(_ю)= A<-)-rw +у
(F — постоянное), определяющие Ф на интервале
2к( “+4 + ЛУ
К ° 7 J
так как само v было определено на интервале длины
В заключение следует отметить, что мы здесь отнюдь но претендуем на исчерпывающую полноту освещения вопроса. В частности, здесь не отражены результаты Эйлера, содержащиеся в мемуарах Берлинской Академии, которыми мы не располагали.
❖ * ❖
Паша работа, как и указывалось во введении, не имела своей целью дать представление о всем вкладе Эйлера в теорию дифференциальных уравнений. Мы совершенно не касались многих теоретических открытий Эйлера в данной области, нашедших относительно полное освещение в обзорах о его творчестве. Напомним хотя бы о развитии Эйлером метода интегрирующего множителя не только для уравнений первого, но и высшего порядка, о развитии метода бесконечных рядов как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными, о построении для таких уравнений второго и высшего порядка частных решений вида и—Х (ж) -У (y)t о нахождении
590
Н. и.. СИМОНОВ
Эйлером формул для - «коэффициентов Фурье» и построении интеграла уравнения колебаний струмы в виде тригонометрического ряда.
Мы не могли в данной статье ставить задачу освещения многих результатов Эйлера, содержащихся в указанных изданиях Петербургской и Берлинской Академий, почти пе рассмотренных в литературе по истории математического анализа. Однако и охарактеризованные выше открытия Эйлера позволяют, па наш взгляд, сделать определенные выводы о научном наследии Эйлера в данной области.
Несомненно, что эти открытия относятся к принципи-а л ы i ы м во п р о с а м теории о бык новен ны х ди ффе реи цн a. i ь п ых уравнений и уравнений с частными производными. Эти результаты Эйлера свидетельствуют, что в своих исследованиях он выдвинул новые идеи иловые постановки задач, оказавшиеся весьма плодотворными в дальнейшем развп тин теории дифференциальных уравнений. Мы видели, что в исследованиях Эйлера содержатся основы некоторых современных методов, имеющих важнейшее значение в этой теории.
Таким образом, даже краткий обзор теоретических результатов Эйлера в области дифференциальных уравнений показывает необоснованность мнений об отсутствии глубокого идейного содержания в научном наследии великого математика.
Одновременно этот обзор и анализ основных работ по истории математики XVIII вока подтверждают сделанное выше заключение о недостаточной изученности научного наследия Эйлера.
Эти выводы, а также исключительное обилие материала, связанного с работами Эйлера в данной области, вызывают необходимость в дальнейшем исследовании вклада Эйлера в теорию дифференциальных уравнений.
литература
1. Rouse В а 1 1 W. W., Ilistoire de Mathematiqucs, т. II, Edition francaise, Paris, 1912, стр. 81.
2. Condorce t, Eloge d’Euler, Strasbourg, 1786.
3. Bell E. T., The Development of Mathematics, New York, 1945, стр. 401- и с.т.
О НАУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 591
4. Rouse В а 1 1 W. Л¥., цит соч., стр. 90‘—91. Показательно, что 18-я глава этого сочинения, охватывающая период 1740—1830 гг. и содержащая освещение творчества Эйлера, носит название «Лагранж, Лаплас и пх соврс.мепппкн» (см. стр. 79).
5. Histone de Г Acad, de Berlin, т. IX, 1753, стр. 147.
6. Rouse Ball W. \\цпт\ соч., стр. 94.
7. E и 1 e г о L., Institutionum calculi integralis volunien tertium, in quo methodus invcniencli functioues duarum et plurium Variabilium ex data relatione dillerentialiuni cuiusvis graclus per-tractalur, Clio., 1770, 639, стр. 4°. (Эйлер Л., Интегральное исчисление, тем третий, в котором излагается метод нахождения функций Двух и большего числа переменных из данного соотношения дифференциалов любого порядка.) Письмо Эйлера к Гольдбаху от 17 декабря 1763 г. позволяет заключить, что «Интегральное нечисленно» было закопчено Эйлером уже к концу 1763 г.; см. Corrcspondance matin malique el pliusiquc des quelqucs celebres gcometres du XVIII siecle, т. T, Cl(6, 1843.
8. Крылов А. II,, Леопард Эйлер. См. «Леонард Эйлер. 1707—1783». Сборник статей и материалов к 150-летню со дня смерти. Изд. ЛИ СССР, М,—Л., 1935, стр. 17.
9. Л у з и н И. И., Эйлер. Журнал «Социалистическая реконструкция и наука», 1933, выш 8, стр. 21 й с ,4.
10. Гам же, стр. 16.
11. Крылов А. II., цит. соч., стр. 25.
12. Там же, стр. 18.
13. Архив АII СССР, ф. 2, опись 1841, л.т. 13—14. Цит. но книге: Г н ед е н к о Б. В., Михаил Васильевич Остроградскпй, М., 1052, стр. 101—102.
14. См. цнт. в [8] сборник «Леопард Эйлер», стр. 51—80.
15. Эйлер Л., Введение в анализ бесконечно малых, т. I. Перевод с латинского Е. Л. Папаповского., М,—Л., 1936.
16. Э й л е р Л., Дифференциальное исчисление. Перевод с латинского М. Я. Выгодского., М.—Л., 1949, стр. 26 и ел.
17. Труды Института истории естествознания АН СССР, т. 111., М.—Л., 1949, стр. 45—116.
18. К о ш л яков И. С., Эйлер и вариационное исчисление. См. цит. в [8] сборник «Леопард Эйлер», стр. 39—50.
19. Р ы б и и ков К. А., Первые этапы развития вариационного исчисления. Историко-математические исследования, выв. II., М.—Л., 1949, стр. 355—498.
20. Э и л е р Л., Новая теория движения Луны. Перевод с латинского акад. А. И. Крылова., Л., 1934, 208 стр.
21. К р ы л о в А. И., Лекции о приближенных вычислениях, 5-е изд., А1,—Л., 1950.
22. См. в книге: Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений., М.—Л., 1950, стр. 428 и сл.
23. См. цит. в [17] соч., стр. 116.
24. Историко-математические исследования, вып. V, М., 1952, стр. 241.
592
н. И. СИМОНОВ
25. Там же, вып. V, М., 1952, стр. 421 и вып. VI, М., 1953, -стр. 355.
26. Успехи математических паук, т. V, вып. 4 (38), 1950, стр. 170.
27. Успехи математических наук, т. VI, вып. 2 (42), 1951, стр. 154.
28. Ученые записки Ростовского государственного университета, т. 14, 1951.
29. Мар кушевич А. И., Очерки по истории теории аналитических функций., М.—Л., 1951.
30. См. цит. в [16] соч., стр. 31.
31. Т и м ч е н к о И., Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций., Одесса, 1899.
32. Журнал «Русская старина», 1907, № 12.
33. Литвинова Е. А., Лаплас и Эйлер, их жизнь и научная деятельность, СПб., изд. Павленкова, 1892.
34. Wallner С. R., Totale und partiellc Diffcrentialgleichun-gen. См. Cantor M., Vorlcsungen uber Geschichte der Mathema-tik, t. 4, Leipzig, 1908, стр. 871—1074.
35. E u 1 e r i L., Opera Omnia. Lipsiae et Bcrolini, ser. 1, т. XI, 1913, стр. 7—15; т. XII, 1914, стр. 7—И; т. XIII, 1914, стр. 7—13.
36. Festschrift zur Fcier des 200. Gcburtstages L. Eulers, Leipzig u. Berlin, 1907.
37. W i с 1 e i t n e г H., Geschichte der Mathcmatik, Leipzig, 1911.
38. Encyclopedie der Math. Wisscnschaften, 1900, т. II, 4a, стр. 190 и сл.; 4b, стр. 232—259; 5, стр. 256 и сл.
39. Muller F., Ober bahnbrcchende Arbeiten Leonard Eulers aus des reincn Mathcmatik, см. I36].
40. См., например, Euler L., Institutioncs Calculi Intcgra-lis. 3-е изд., СПб., т. I, 1824 (463 стр ); т. II, 1827 (434 стр.); т. Ill, 1827 (524 стр.); т. IV, 1845 (620 стр.).
41. Сюда относятся, в частности, следующие работы Л. Э й-л е р а:
1) Повое рассуждение о колебаниях струн (De chordis vibran-tibus disquisitio ulterior. Novi Commcntarii Academiac Scientia-rum Petropolitanae 17, 1772, стр. 381).
2) Замечания относительно разъяснений Бернулли о движении струн, состоящих из двух частей различной плотности (Animadver-siones in solutioncm Bernoullianam de motu chordarum ex duabus partibus diversac crassitiei compositarum. Там же, стр. 410).
3) О колебательном движении струн, составленных из любого количества частей различной плотности (De motu vibratorio chordarum ex partibus quotcunque diveral crassitiei compositarum. Там же, стр. 422)
* 4) О колебательном движении струп, обладающих переменной плотностью (De motu vibratorio chordarum crassitiei utcunque varia-bili paeditarum. Там же, стр. 432).
О и РУЧНОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 593
3) О колебательном движении упругих пластинок... (De molu vibratorio laminarum elasticarum... Там же, стр. 449).
6) О вращательном движении музыкальных струп... (De molu turbinatorio chordarum niusicarum. Там же, 19, 1774, стр. 340).
7) Определение всяких движений, которые может иметь натянутая струпа с равномерной плотностью (Determinalio omnium niotum, quos chorda tensa et uniformitcr crassa recipere potest. Acta Acade-miac Scientiarum Petropolitauae 3, 1779, стр. 116).
8) Определение движений, которыми колеблются упругие пластинки и стержни (Invcstigatio motuin, quibus laminae et virgac elasficae coiitreiniscunt. Там же, стр. 103).
9) Разъяснения о движении струп неоднородной плотности (Dilu-cidaliones de motu chordarum inacqualitcr crassarum. Там же, 4, 1780, стр. 99).
10) О нарушении движения струп, происходящем от их веса (De perturbalionc motus chordarum ab earum pondere oriunda. Там же, 5, 1781, стр. 178).
42. К рылов А. Н., цит. соч., стр. 17—18.
43. Имеются в виду, например, следующие работы Л. Эйлера:
1) О дифференциальных формулах, которые посредством двух или более данных множителей становятся интегрируемыми (De for-mulis differentiabilus, quae per dims plurcsve quati tales dalas mul-tiplicatae, fiant integralities. Nova Acta Petr. 7, 1789, стр. 3).
2) Примеры замечательных дифференциальных уравнений (Exanipla memorabilium aequationum diffcrcnlialium. Там же, 13, 1795—1796, стр. 3—13).
3) Специальное замечание относительно линейных дифференциальных уравнений (Observalio singularis circa aequationcs differen-tialcs linearcs. Там же, 14, 1797—1798, стр. 52—61).
4) Исследования о некоторых замечательных интеграциях в анализе функций двух переменных... (Recherches sur quclques integrations remarquablcs dans 1’analysc de fonctions a deux variables... Там же, 1э, 1799—1802, стр. 3).
5) Общее интегрирование линейных дифференциальных уравнений любого порядка (Inlegratio generalis aequationum differentia-lium cuinsqunqnc gradus... Mem. de Petcrsb., 4, 1811, стр. 43—51).
6) Интеграция следующего дифференциального уравнения:
, , , , A dx
dy + у~ dx = -------.
{а + 2.Ьх 4- сх-)~
5 Там же, 3 (1809—1810), 1811, стр. 3—15.
7) Простой анализ уравнения Рнккатп... (Analysis facilis acqua-tionem Riccatianam... Там же, 6, 1813—1814, стр. 12—29.)
8) Интегрирование одного замечательного дифференциального уравнения в анализе функций двух переменных (Integration d'line especc rciiiarquable d’equation diffcrenliclle dans 1’analise des functions a deux variables. Там же, 11, 1830, стр. 131—137).
9) Замечания о дифференциальном уравнении ydy +Mydx. + +l\7dx—0 (Observation's cina aiquationem diffcrentialem... Novi Comm. Petr. 17, 1772, стр. 105—124).
38 Исторпко-матем. исследования
Н. 11. СИМОНОВ
10) Рассмотрение дифференциальных уравнений 2 порядка... (Consideratio aequaliones diffcrenlio-differcnlialibus... Там же, стр. 125—154).
44. См. [1в], стр. 188.
45. Там же, стр. 187.
46. Там же, стр. 195.
47. См. Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 4-е изд., И.—Л., 1952, стр. 12—13.
48. См. цит. в [22] исторический очерк развития теории дифференциальных уравнений Л. II. Юшкевича (стр. 436—437).
49. Е u 1 е г i L., Opera omnia. Lipsiac ct Berolini, ser. 1, т. XI, 1913, стр. 346—347 (здесь содержится первый том «Интегрального исчисления»).
50. Стеклов И. Л., Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, М.—Л., 1927, стр. 51.
51. См. [49], стр. 357—358.
52. Там же, стр. 345.
53. Там же, стр. 353—354.
54. Там же, стр. 358—359.
55. См. [зо], стр. XIII, и 232.
56. Л й п с Э. Л., Обыкновенные дифференциальные уравнения, Харьков, 1939, стр. 104 и сл.
57. К a in k е Е., Differentialglcichungen recler Functional!, Leipzig, 1930.
58. См. [16], стр. 188.
59. Euler L., Institutioues calculi integralis, t. Ill, CI 16. 1827, стр. 3.
60. См. [34J, стр. 1034.
61. См. Г5»], CTp gg
62. Cm. [16J, стр. 206.
63. См. [16], стр. 201.
64. См. [59j, стр. 5.
65. Эйлер Л., Основы динамики точки, М.—Л., 1938, стр.239.
66. См. [58], стр. 8—9.
67. Там же, стр. 22.
68. Там же, стр. 74.
69. Там же, стр. 76.
70. Там же, стр. 368.
71. Там же, стр. 372.
72. Там же, стр. 376.
73. 11 е т р о в с к и й И. Г., О некоторых проблемах теории уравнений с частными производными, «Успехи математических паук», т. 1, вып. 3—4, 1946, стр. 45 и сл.
74. См. [50], стр. 166.
75. Там же, стр. 31.
76. Там же, стр. 32.
77. Там же, стр. 33.
78. Там же, стр. 193.
79. Там же, стр. 231.
О ПАУЧКОМ НАСЛЕДИИ ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ДИФ. УРАВНЕНИЙ 595
80. Там же, стр. 173—174.
81. Там же, стр. 310.
82. Novi Acta Petr, за 1793 г. (опубл, в 1798 г.).
83. Bernoulli J., Mcditationes de chordis vibrantibus, Commcntarii Acad. Scient. Petropolit. 3, 1730, стр. 13—28
84. См. [5®1, стр. 238—241.
85. E u 1 e r L., De motu vibralorio chordarum crassiliei utcun-que variabili praedilarum, Novi Comm. Petr., т. XVIII, 1773 стр. 432—448.
86. Euler L., De motu vibratorio chordarum cx partibus quol-cimque divcrsac crassiliei compositarum. Там же, стр. 422 и сл.
87. Там же, стр. 426.
88. Там же, стр. 427—428.
38*
ОБ ИССЛЕДОВАНИЯХ Л. ЭЙЛЕРА В ОБЛАСТИ ТЕОРИИ УРАВНЕНИИ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Ф. II. Фраиклъ
Работы Эйлера по теории уравнений с частными производными в большой части собраны в третьем томе его «Интегрального исчисления»1), хотя они продолжались и после выхода в свет этого сочинения. В «Интегральном исчислении» уравнениям с частными производными посвящен основной отдел третьего тома, озаглавленный «Метод определения функций двух и многих переменных из данного дифференциального соотношения любого порядка». Этот отдел, занимающий более двух третей третьего тома 2), представляет собою первую в истории математики монографию по уравнениям в частных производных, причем почти все содержащиеся в ней результаты принадлежат лично Эйлеру. Эйлер является, таким образом, основоположником теории уравнений в частных производных.
Начиная с этих работ Эйлера, возникших па почве его исследований в области гидродинамики, теории упругости и акустики, теория уравнений в частных производных находится в центре развития математики. Б этой области математики, теснейшим образом связанной с физикой (неслучайно термины «уравнения в частных пронзвод-
г) Е и 1 е г L., Tnsliluliomun Calculi Integrals volumen tertium, Петербург, 1770.
2) Остальное содержание этого тома составляют приложения «О вариационном исчислении» и «Дополнение, содержащее изложение некоторых особых случаев интегрирования дифференциальных уравнений».
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА СБ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 597
ных» и «уравнения математической физики» употребляются практически равнозначно) работал и работает ряд крупнейших ученых всех стран. Большие заслуги в этой отрасли принадлежат русским и советским математикам, таким, как академик М. В. Остроградскпй в прошлом веке, академики С. П. Бернштейн, 11. Г. Петровский, С. Л. Соболев и многие другие в наше время.
Подробный анализ работ Эйлера в области уравнений в частных производных нужен тем более потому, что в западноевропейской литературе встречаются попытки принизить его заслуги. Так, английский автор У. У. В. Бол1) доходит до утверждения, что результаты в этой области, содержащиеся в «Интегральном исчислении» Эйлера, якобы принадлежат Лагранжу и были внесены лишь задним числом во второе издание этой работы. 11а деле работы Лагранжа, па которые ссылается Бол, начали публиковаться лишь через два года после выхода первого издания третьего тома «Интегрального исчисления» Эйлера, а второе издание представляет точную перепечатку первого.
«Метод определения...» делится па две части, причем в первой рассматривается проблема отыскания функций двух независимых переменных, а во второй—проблема отыскания функций трех или более независимых переменных. Первая часть распадается па три раздела, посвященных соответственно уравнениям первого, второго и третьего и более высоких порядков. Во всей работе исследуются только единичные уравнения, но пе системы.
В этой работе Эйлер подводит итог своим исследованиям по уравнениям в частных производных, начатым в конце 40-х годов XVIII века. Однако он не включил в книгу ряд своих важнейших результатов в этой области. Дело в том, что Эйлер нашел многочисленные частные решения линейных уравнений в частных производных, встречающихся в механике, и показал, как из них путем
О W. W. R. Ball, A short account of the history of mathematics, Лошюп, 1893, стр. 412. В расширенное французское издание вод редакцией Фрейнда и Монтсссю (Hist oire des mathemaliques, т. II. Париж, 1912, стр. 94) неправильное утверждение Вола вошло даже в усиленной форме.
598
Ч>. И. ФРАПКЛЬ
линейной комбинации можно найти более общие решения. Он, однако, сомневался в том, что таким путем, применяя бесконечные суммы, можно получить общее решение в задачах с неаналитическимп начальными данными. Лишь гораздо позже было доказано, что сомнения Эйлера были необоснованны.
В результате своих сомнений Эйлер включил в свою книгу только те общие решения, которые он мог получить в явном виде при помощи произвольных функций. О возможности получения общих решений в виде бесконечных сумм частных решений он говорит лишь мимоходом в нескольких местах, выражая при этом каждый раз свои сомнения.
Уравнениями в частных производных Эйлер занимался главным образом в связи с потребностями механики сплошных сред, а уравнения, которые при этом возникают,—всегда второго или более высокого порядка. Однако система исследования требовала начать с более простого случая—с уравнений первого порядка, т. е. с уравнений, содержащих лишь первые производные искомо й функции z:
f(z,y,z, (1)
Значительная часть результатов Эйлера в этом вопросе содержится в ранее опубликованной работе «Определение функций из данного дифференциального соотношения»1).
Эйлер, в частности, дал общее решение линейного уравнения первого порядка
%=V(x,y)^+U(x, у), (2)
где U и V—произвольные функции («Интегральное исчисление», т. III, проблема 23)2).
Кроме того, в книге даны общие решения многочисленных нелинейных уравнений, причем каждый раз решение
г) Novi Coinmcntarii Academiae Scicntiarnm Pctropolitanae, 'г. IX за 1762—1763 гг. (1764 г.).
2) Здесь л далее ссылки на проблемы в пункты третьего тома «Интегрального исчисления» приведены в тексте в скобках,
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 599
дается в квадратурах1). Ряд нелинейных уравнений Эйлер сводит к линейным (проблемы 11, 12, 13, 14 и др.) при помощи преобразования
d (z - рх - qy) = - xdp - у dq (р = , Q = ^) ,
широко известного под названием «преобразования Лежандра», хотя Лежандру в год окончания «Интегрального исчисления» было всего одиннадцать лет2). В других задачах он использует несимметричное преобразование d (z — qy) = р dx — y dq
(проблема 17 и др-)- Фактически — правда, без раскрытия геометрического смысла — Эйлер пользуется при решении уравнений первого порядка теми линиями интегральной поверхности, которые в настоящее время называются характеристиками. Оп подчеркивает, что произвольная функция, входящая всегда в выражение общего решения, может быть «разрывной». При этом следует иметь в виду, что Эйлер употребляет слова «непрерывный» («continuus») и «разрывный» («discontinuns») не в современном смысле: под «functio discontinua» Эйлер понимал такую функцию, которую нельзя для всех значений независимой переменной выражать одним и том же аналитическим выражением (формулой). Следовательно, «рвутся» нс значения функции, по се аналитические выражения. Точно так же разрывной Эйлер считал функцию, вообще по имеющую аналитического выражения или, как он выражается, такую, которую «можно получить даже так, что описывается произвольная кривая, причем абсцисса обозначается через у, а ординаты дают функцию у» (см. пункт 37). Над тем, что карандаш или перо, которым мы описываем кривую, в действительности дает па бумаге пе кривую, а полосу и что точное определение кривой таким способом получить нельзя—над этим Эйлер, как вообще матема-
х) Общим решением уравнений первого порядка Эйлер еще пе обладал. Оно было найдено значительно позже Шарли и дальше разработано Коши.
2) Согласно письму Эйлера к Гольдбаху от' 17 декабря 1763 г. рукопись «Интегрального исчисления» была закопчена в 1763 i
600
Ф. И. ФРАНКЛЬ
тики XVIII вока, не задумывался. Но по существу Эйлер сделал в этом вопросе важнейшее открытие: он впервые ввел—хотя и в нестрогой форме—понятие песта литической функции. 11 действительно, произвольная функция, входящая в общее решение уравнения первого порядка, является, вообще говоря, неаиа.титической.
Было бы, однако, неправильной модернизацией заменять термины Эйлера «непрерывная функция» и «разрывная функция» современными терминами «аналитическая функция» и «неаиалитичсская функция», так как Эйлер современным понятием аналитической функции еще не владел. Именно в связи с этим, как мы увидим далее, он и пе достиг полной ясности в вопросе об общем решении уравнения
= 0 (3)
Луа ~ й;/’- ' '
и, вообще, уравнений эллиптического типа.
Мысль о необходимости введения в анализ пеаналитн ческпх функций пришла Эйлеру в связи с исследованием проблемы распространения звука, проблемы, которой Эйлер занимался в течение почти всей своей научной деятельности и в связи с которой оп получил важнейшие свои результаты по уравнениям в частных производных.
Впервые эта мысль появляется у Эйлера в его работе «О колебании струп»1). Лагранж об этом говорит следующее: «Г. Эйлер, я думаю, первый, который ввел в анализ этот новый вид функций (т. е. ноапалптпче-ские функции. — Ф. Ф.), в проблеме о колеблющихся струнах» 2).
Как известно, согласно результату Даламбера3), отклонение точки струны (рассматриваемой как линия) от положения равновесия определяется при малых откло-
*) Euler L., De vibratione chordarum excrcitatio, Nova Ada erudilorum, 1749.
2) La Grange J., Nouv. rech. sur la nature ct la propagation du son, Miscellanea taurinensia, т. II за 1760—-1761 гг., стр. 19 мемуара.
3) D’Alembert J., Recherche? sur la courhc que forme une cordc clendue miso en vibration, Hist. Ac. Berlin, 3, 1747 (1749).
ИССЛЕД0ВШ1Я ЭЙ. ГЕРА ОБУР-ИЯХ В МАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 601
нениях пз уравнения
dzz 2 dzz ~dir~a ~дх^ •
(4)
Здесь t — время, х — координата вдоль струны в положении равновесия и
к
F<7 ’
а =
(4а)
где к — сила натяжения струпы, р—плотность ее материала и q — ее поперечное сечение.
15 случае постоянства поперечного сечения общее решение уравнения (4), согласно Даламберу, есть
z = f(x — at) at}, (5)
где / n g— произвольные функции. Даламбор, признававший вообще только аналитические функции, считал, что / и g должны быть аналитическими; по тогда становится непонятным, каково должно быть движение струпы в случае, когда начальное отклонение допускает разрыв производных. Если, наоборот, допускать такой разрыв первой или более высоких производных, то становится понятным физический смысл параметра а, имеющего размерность скорости: а есть скорость распространения разрыва вдоль струны (скорость распространения волны), причем первый член правой части уравнения (5) означает волну, движущуюся в сторону растущих х, а второй член— волну, движущуюся в сторону убывающих х. Общее движение струны получается путем наложения указанных двух волн.
Эйлер первый понял, что уравнение Даламбора (4) отражает процесс распространения воли. Папрнмер, в своей работе «Разъяснения о движении колеблющихся струп»:) Эйлер, рассматривая струпу АВ, отклоненную в начальный момент времени только па участке AD, и точку х (Ах AD), говорил: «точка х остается в покое xD в течение времени (стр. 26 работы).
*) Euler L., Eclaircissenienls sur le mouveinont des cordos vibranles, Miscellanea taurinensia, т. 1П, 1762—1765.
602
Ф. И. ФРАНКЛЬ
Совершенно аналогичное положение имеем в случае движении воздуха в трубе постоянного сечения с малыми продольными отклонениями от положения равновесия. Эти продольные отклонения удовлетворяют также уравнению (4), причем па этот раз скорость равна
й = /ср (4Ь)
где р — давление, р — плотность воздуха, с — безразмерная постоянная. Эйлер считал эту постоянную равной единице; впоследствии Лаплас показал, что она равна
где ср и си — удельные теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме.
Следовательно, решение (5) также остается в сило, а это значит, что а в данном случае представляет собой скорость распространения звуковых воли в воздухе (газе)7).
Таким образом, строгое доказателютво формулы (4Ь) для скорости звука, выведенной еще раньше элементарными средствами, но но менее строго Ньютоном, требует введения неаналитических функций, допускающих разрыв-н ые про и ввод н ы е.
Сам Эйлер говорит об этом в своей работе «О распространении звука» * 2):
«В настоящее время, после того, как г. Лагранж полностью подтвердил мое решение, и притом совершенно неопровержимо, я не сомневаюсь в том, что скоро будет признана необходимость разрывных функций в анализе, тем более, что это—единственное средство для объяснения распространения звука».
Спор ио поводу допустимости неапалитичсских функций и вместе с этим по поводу скорости звука продолжался между Эйлером и Даламбором в точение многих лет.
*) Euler L., $claircissements sur le mouvement des cordes vibrantes, Miscellanea tauriucnsia. t. Ill, 1762—1765.
2) Euler L., De la propagation du son, Mem. Ac. Beil., 15, 1759 (Opera omnia, Ser. 3, т. I, § 25).
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОНЗВОДПЫХбОЗ
Даламбер отказывался признавать как неаналитические функции, так и формулу для скорости звука (4Ь). Эйлер замечает по этому поводу (Opera omnia, scr. 3, т. I, стр, 431): «В самом деле, когда я дал свое общее решение для колебания струн, которое охватывает также те случаи, когда струна в начальный момент имеет неправильную форму, пе выражающуюся никаким уравнением, оно казалось сначала подозрительным некоторым крупным математикам. Г. Даламбер предпочел даже утверждать, что в этом случае абсолютно невозможно определить движение струны, лишь бы не допустить моего решения, хотя оно формально ничем не отличается от ого решения в других случаях», т. е. в случае аналитических начальных данных.
Заметим в связи с этим, что применение разрывных в современном смысле решении в теории волнового уравнения полностью оправдано благодаря работе советского академика С. Л. Соболева, который ввел понятие «предельных решений» волнового уравнения, имеющее большое принципиальное значение; предельное решение может иметь разрывные первые производные или даже по иметь производных.
Даламбер, упрямо ие признавая пеапалитичсских (разрывных) функций, закрыл себе этим дорогу к пониманию проблемы скорости звука и пришел, наконец, к следующему безнадежному выводу: «Мы видим, таким образом, что даже если сделать предположения наиболее благоприятные для вычислений, пе представляется возможным привести к точным аналитическим формулам законы движения частиц воздуха, а, следовательно, и объяснить этими формулами распространение звука, известное нам из опыта» ]).
Справедливо придавая большое значение введению пеана, ттичоскпх функций в теорию уравнений в частных производных, Эйлер, однако, ошибочно полагал, что общее решение задачи колебания струны пе может быть найдено путем разложения по гармоникам, т. е. по сппусо-
х) D'Alembert J., Suite de rechen hes sur le inouvenient des fliiidos, § 16. Opuscules malliemaliques, т. V, 1768. стр. l-Vi.
604
Ф. И. ФРАНКЛЬ
пдальным колебаниям, согласно методу Д. Бернулли. Он писал по этому поводу: «Теперь легко согласятся со мною в том, что мы совершенно не знаем, как можно это движение (т. о. то, при котором в начальный момент была отклонена только часть струны.—Ф. Ф.) каким бы то пи было образом представить при помощи синусоид» х).
Как мы ужо говорили, Эйлер не считал, вообще говоря, возможным представление общих решений линейных уравнений в частных производных в виде рядов, образованных из частных решений (см. сказанное выше на стр. 597—598).
Изложение теории уравнений второго порядка для функций двух независимых переменных Эйлер начинает в третьем томе «Интегрального исчисления» с теории преобразования к другим независимым переменным, причем пользуется функциональным определителем этого преобразования, который теперь обычно называется «якобианом», хотя К. Г. Якоби жил в XIX веко. Исследуется также вопрос о преобразовании уравнения при заменах зависимой переменной z через г', а именно z = vp, z = v -f- p, где p = p(x, у) — заданная функция.
Далее дается общее решение при помощи произвольных функций простейших уравнений
= Р (х’ У)> — Р + С,
дх2 1 \ 1 дх v
d2z d2z dz
-V"b = P, —Г- = P -5 h V,
dx dy 1 Ox dy 1 Ox
которые легко приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям (проблемы 41—45).
Далее (проблема 46) Эйлер рассматривает уравнение
d2Z
-л~5~ = aZ’ дх д у
к которому сводится, как известно, телеграфное уравнение.
Э См. цитированную i ыше работу в Miscellanea laiirincnsia, т. Ill, стр. 26.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДИЫХбО?>
Эйлер дает частные решения вида
и
z — В sin (тх — ivy), пли z — В cos (тх — ну),
где тп = а, и указывает па возможность получения более общих решений в виде линейных комбинаций решений этого вида. Что же касается возможности получения общего решения этим путем, он высказывает сомнения, о которых мы уже говорили.
Затем Эйлер ставит следующий вопрос (проблема 47): дано наиболее общее линейное уравнение второго порядка, содержащее только смешанную вторую производную,
~^r + P^+Q^- + Rz + S = b, (6)
дх ду дх ду ' '
(6а)
Р = Т
дх ’ d2v
п спрашивается, при каких соотношениях между Р, Q, В, В удается записать общее решение в явном виде, Для этой цели Эйлер пользуется преобразованием z = evv, где v — v (х, у) — заданная функция. Если для v получится уравнение
т &V =
дх ду дх
то уравнение (6), очевидно, сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Условием приводимости (6) и (6а) являются, как показывает Эйлер, равенства dV п дУ ду ’
В = — _______
дх ду дх дх ду
Общее решение уравнения (6) — последовательными приближениями, пли в квадратурах при помощи функции Римана, пли численным способом — Эйлеру еще не было известно. Вообще, метод реп.сипя линейных уравнений в частных производных при помощи некоторых фундаментальных решений и квадратур, основы которого заложил, невидимому, Пуассон, у Эйлера еще по встречается.
606
Ф. И. ФГАПКЛЬ
После этого Эйлер переходит к волновому уравнению (проблема 48)
d~z _ 2 d~z
dy2 а дх2
Вводя новые координаты t — x-\-ay, и — х~ ау, т. о., выражаясь современной терминологией, вводя характеристические координаты, Эйлер получает общее решение
z = / (z) + F (w) = / (ж + ay} + F (x - ay).
Исторически очень интересны замечания Эйлера в пункте 301 относительно уравнения
обычно, по не вполне справедливо, называемого «уравнением Лапласа» (коэффициент а~ при помощи преобразования можно привести к единице).
Эйлер записывает общее действительное решение в виде
z = / (х -j ay\F — 1) 4- F (х — ay]/ — 1)
и констатирует, что если функции / и F «непрерывные», т. е. аналитические, то они должны иметь форму Р ± Q \' — 1, т. о. быть комплексно-сопряженными. Но, будучи убежденным в том, что и в этом случае общее решение должно быть представлено при помощи произвольных и, вообще говоря, «разрывных» функций, Эйлер не допускает мысли, что функции / и Е в данном случае по сути дела должны быть аналитическими, хотя иа самом дело они именно таковы.
Следует отмстить, что еще в 1752 г. Даламбер показал1), что уравнения
dz dri dz dvt dx dy ’ dy dx
Э D’Alembert J., Essai d’une nouvelle theoric de la resistance des fluidcs, Paris, 1752, § 59, стр. 61.
Исследования Эйлера об Ур-иях в частных прОпзводны\607
являются условиями формальной дифференцируемости функции
C = + = C(z), (7а)
где z = x-\-iy, а Эйлер в 1777 г. показал1), что уравнения (7) являются условиями конформности отображения. Но что функции Ё, т], удовлетворяющие уравнениям (7), автоматически являются «непрерывными», т. е. в окрестности любой точки выражаются в степенных рядах, об этом ие догадывались пи Даламбер, ни Эйлер: у них отсутствовало строгое определение аналитичности функции.
Таким образом, Эйлер достиг ясности в отношении качественного характера общего решения уравнений гиперболического, по не эллиптического типа.
Начиная с проблемы 49, Эйлер приступает к рассмотрению гиперболических уравнений с переменным»! коэффициентами. Он каждый раз переходит к характеристическим координатам, т. е. к таким, для которых из вторых производных остается только смешанная производная
d2z ди dt ’
и ищет условия, при которых решение задачи сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям. После разбора ряда более простых случаев он исследует общее линейное уравнение гиперболического типа с переменными коэффициентами (проблема 51)
dpi-2P-pP + (P2-Q2)BpiJl-R S/+S ~+Tz + V = 0. (8) ду2 дх ду 1 ' х ' дх2 1 ду ф)х 1 ' '
г) Е u 1 с г L., De repraesentatione superficial sphaericac super piano, Acta Ac. Sc. Petr., т. I за 1777 г. (1778). 13 этой работе, связанной с картографическими исследованиями Эйлера, он впервые вводит понятие конформного отображения. Эйлер решает в этой статье общую задачу конформного отображения области сферы на плоскую область, т. е. задачу, предельным случаем которой является конформное отображение плоской области па плоскую область. Термин «конформный» ввел несколько позднее в 1789 г. петербургский академик Ф. И. Шуберт.
G08
Ф. II. ФРАНКЛЬ
Эйлер вводит общие характеристические координаты
i р [dx + (Р + Q) dy], и.= q [dx + (Р — Q) dy], (8а)
где р, q — интегрирующие множители. После этого уравнение принимает вид
- + -Vr; J- + Мр + Tz 4- V = О
4 1 1 dt ди 1 ди ‘ dl
(так что задача сведена к проблеме 47, которую Эйлер, как мы видели, рожает только в тех случаях, когда задача сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям).
Как уже сказано, общего метода решения задачи у Эйлера не было, но само введение характеристических координат в общем виде является крупной его заслугой.
Одной из наиболее интересных глав третьего тома «Интегрального исчисления» является четвертая глава второго раздела первой части.
В ней рассматривается уравнение
(х + УУ-^, + т^ + У'> (£+^) + пг = 0- (9)
Это уравнение, изученное впервые Эйлером, часто называют уравнением Эйлера — Пуассона. Пуассон1) нашел его общее решение, пригодное для нецелых
и п— 0 и по требующее дифференцируемости произвольных функций, прп помощи которых оно выражается; решение Эйлера, имеющее ряд практических преимуществ, в то же время требует в общем случае бесконечно многократной дифференцируемости этих функций. Распространенное также в литературе название «уравнение Дарбу» неверно: сам Дарбу в своих «Лекциях по общей теории поверхностей»2) ссылается в этом вопросе на Эйлера и Пуассона. Самое
Э Poisson S., Mt moire sur 1’intcgration des equations lim'aircs aux dervies partielles, Journal de 1’Ecole poly technique 12, ch. 19, 1823.
2) Darboux G., Logons sur la thi’orie gcneralc des surfaces, 1. 4, ch. 3.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 609
общее решение этого уравнения, как и линейных уравнений гиперболического типа вообще, было найдено Риманом.
Уравнение Эйлера — Пуассона (9) и ого решение, данное Эйлером, впоследствии нашло большое число применении в газовой динамике, что указывает на чрезвычайную важность этого исследования Эйлера (см. ниже).
Очень интересно и характерно для стиля работы Эйлера, каким образом он пришел к этому уравнению и как он получил его общее решение. Остановимся па этом вопросе несколько подробное.
Мы уже упомянули работу Эйлера «О распространении звука», опубликованную в «Мемуарах Берлинской Академии наук» за 1759 г.; в этой работе даны общие дифференциальные уравнения для смещений частиц воздуха при звуковых колебаниях и рассматривается решение задачи движения воздуха в трубе постоянного сечения (плоские звуковые волны). В двух дополнениях к этой работе, напечатанных там же, исследуется случай цилиндрических волн, в котором Эйлеру пе удается записать общее решение, а затем случай сферических волн, где это ему удалось1). Если р, q, г — смещения частиц, то имеем:
dt2 дх\дх ду^ dz ) п аналогичные уравнения для q п г.
В случае цилиндрических волн смещения а направлены перпендикулярно к некоторой осп (например, оси z) и зависят только от времени п от расстояния г от этой осп. Если ввести зависимую переменную s = —то па основании уравнения (10) получим в этом случае
_____________3^ = 0 ип а2 д!2 дгг г дг ' '
В случае сферических воли смещения и направлены от некоторого центра (источника звука); если г — расстоя-
г) Краткое резюме этой работы содержится в письме Эххлсра к Лагранжу от 1 января 17(50 г., опубликованном в Miscellanea laurinensia. т. II.
39 Историко-матем. исследования
610
Ф. II. ФРАНК ЛЬ
нис данной точки от источника звука и ес/ш снова ввести и
величину s = — , то получим:
1 d2s d2s ds z,i i \
~2 АЛ— Л~2— —= Э. 1а)
a2 dt2 dr2 г dr '
В связи с этим Эйлер исследовал общее уравнение
1 d2s d2s v ds____ q f 1‘A
a2 dt2 dr2 r dr
Сначала он искал частное решение в впде
s — Р (г) sin (а/ ~р а), что дает
d2P . v dP , 9 n Z а2Л
~г^>—--г~ 4" ia~p — 0 ( пг — о ) •
dr2 ' г dr ' 1 С a2 J
Дальнейшие подстановки ?! .. •-1 1
Р — еР , г -р = ср г- 1 = —
приводят к уравнению Риккатп __________________________________2у
Л-—<-р ^‘=°> <13)
dp v—• 1 v— 1 1 '
которое интегрируется в явном виде, когда v — четное число. Таким образом, Эйлер получил для сферических волн
Е sin (тг Д- с) sin (mat Д- о) тЕ cos (тг + 6) sin (mat + а) Ц, - - ~ ~ .
г
Это обстоятельство, как рассказывает сам Эйлер1), навело его па мысль о существовании решения вида
и = 0 Ф (г + at) + у Ф' (г4 at),
что подтвердилось при условии В= — А.
l) Opera omnia, scr. 3, т. I, стр. 493.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 611
Таким образом, Эйлер получил общее решение задачи сферических воли:
« = Ф + ai) ~ -у Ф' (>’ + «О + 47 (>’ - «О - у 1Г'(Г - “1).
(14)
О связи исследуемого уравнения в частных производных с уравнением Риккати говорится также в «Интеграл ыгом исчислении», т. III, пункт 346.
После решения задачи сферических волн естественно было выяснять, имеют ли физический смысл остальные случаи, когда уравнение Риккати (13) решается в явном виде, и решается ли уравнение (12) в этих случаях в явном виде. Все это подтвердилось.
В 1772 г. Эйлер публикует работу «О движении воздуха в трубах» *), часть результатов которой ко времени написания третьего тома «Интегрального исчисления» уже была известна Эйлеру, как можно заключить по примечанию в пункте 342. В этой работе Эйлер рассматривает распространение звука в трубе переменного сечения. Если пренебречь влиянием силы тяжести (Эйлер его учитывает), то полученное Эйлером уравнение для малых смещений и скоростей принимает вид
1 д2и д2и j д (TJu)
a2 dL2 дх2 ‘ дх
(15)
где и — смещение частицы, х — координата поперечного сечения, измеренная вдоль трубы, и
d In Q dx
где Q — площадь поперечного сечения. Положим, что
□ = сха.
(16)
х) Euler L., De molu acris in tubis, Novi Comm. Ac. Sc. Petr., т. XVI за 1771 г. (1772).
39*
612
Ф. И. ФРАНКЛЬ
Если принять, что труба — поверхность вращения, то это значит, что образующая есть парабола
г = Сж2 (16а)
(если а < 0, то имеем, конечно, кривую типа гиперболы). В таком случае
U = - ,
X
и если ввести обозначение
то уравнение (15) принимает вид 1 d2s d2s 2-i-a d s
a2 dt2 dx2 "I" x dx ’
t. e. приводится к уравнению (12). Следовательно, если а—четное число, то связанное с данным уравнением уравнение Риккати решается в явном виде.
В «Интегральном исчислении» Эйлер показывает, что при помощи характеристических координат уравнение (12) сводится к уравнению (9), где т = , лг = О, кото-
рое он решает при целых т в явном виде формулой, содержащей две произволение (функции и конечное число их производных, т. е. посредством некоторого обобщения решения для сферических волн (проблема 53, случай 1, прибавление 1).
Заметим, что в работе «О движении воздуха в трубах» Эйлер решает задачу о распространении звука в трубах в явном виде для труб еще гораздо более сложных форм, чем рассмотренные выше, причем пользуется методами, изложенными в «Интегральном исчислении» (т. Ill, ч 1, разд. II, гл. V).
Другой проблемой, которая привела Эйлера к уравнению (9), была проблема колебания струн переменной толщины.
Этой проблеме Эйлер посвятил несколько статей.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 613
Уравнение (4) в этом случае остается в спле, только скорость распространения волны а зависит от координаты х.
4 m
Если а2 = с2я2™-1, то получаем уравнение
02z dt2
4 m
2 2m^l d2z = С2Х
дх2
(17)
которое после введения характеристических координат также сводится к уравнению (9), причем п = 0 (проблема 53, случай 2, прибавление 1).
Часть приведенных по данному вопросу результатов Эйлер опубликовал еще значительно раньше в статьях «О движении струи переменной толщины» и «Об иите-02z 2 d2z Ъ dz с ,ч
грации уравнения = а2 & г» >).
Последнее уравнение также приводится при помощи характеристических координат к уравнению (9) (проблема 53, случай 1).
Решение уравнения (9) Эйлер сразу записывает в виде
z=A(x-\ уУ / (х) + В (х-[-уУ + 1 Г (£)+•• • > (18)
причем показатель \ находится из уравнения х2 + •+ (2m — 1)X + п = 0, а для коэффициентов А, В, С... получается рекуррентная формула:
п_ (m + l^A ' „ _ (т 4-Х + 1)7? .
U “ 2 (2т + X) ’ G 2 (2т + X + 1) ’ '' ’
(проблема 52). Поскольку
то ясно, что ряд обрывается, нем равна квадрату дроби со
если величина под нор-знаменателем 2, а перед
х) Euler L., Rechcrchcs sur le mouvcment des cordes incgalement grosses; Recherches sur 1’integration de Г equation + ~ f“ + ~5z» Miscellanea taurinensia, T. HI, 1762—1765. ol2 ox2 x ox x2
614
Ф. И. ФРАНКЛЬ
корнем взят знак минус. Конкретно, если X 4- т 4- i — 0, то ряд обрывается па (i — 2)-м члене. 13 этом случае i 1 /"4
-у-Р z — I/ -— т — п-\- т2 = 0, откуда п,— (т 4- г) (т—i—1).
Zj Г 4
Общее решение равно
z=A{x-VyY[H^ Р^(?/)Н ^(^ + ?7)ан [/'(я) I F' (?/)] + •••,
причем А молено приравнять единице.
Как особенно интересный пример, Эйлер рассматривает случай п = О, который дает
т = — i плп т = i 4 1 (i — 0, 1, ...).
Таким образом, в случае п = 0 ряд обрывается для любых целых положительных или отрицательных т, т. о. как раз для тех случаев, для которых соответствующее уравнение Риккати решается в явном виде.
В проблеме 53 Эйлер решает вопрос о том, когда уравнение
т4--<?2-йг+ 5^- + Г = 0
дх2 v ду2 дх ду
сводится к уравнению (9), и находит в качестве частных случаев также уравнения (12) и (17), как мы указали выше.
Проблемы 54 и 55 не дают ничего существенно нового: Эйлер еще раз непосредственно решает уравнения (12) и (17), не прибегая к общей теории.
Уравнение (9) нашло впоследствии гораздо более широкое применение, чем мог предвидеть Эйлер.
Прежде всего, Рпман*) показал в I860 г., что точное уравнение адиабатического п обратимого движения газа в трубе постоянного сечения в случае, когда во всех частицах энтропия одна и та же, в' характеристических координатах сводится к уравнению Эйлера — Пуассона (напомним, что Эйлер дал решение этой механической
9 Рпман Б., О распространении волн конечном амплитуды? Сочинения, М.—Л., 1948. ‘ "
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРОБ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ (>15
задачи только для случая малых колебаний). При этом получается
» = °, т = дёг)’
где х — отношение теплоемкостей. В этой работе Риман разработал метод решения уравнении гиперболического типа, носящий его имя. Число т здесь, вообще говоря, пе целое, так что решение Эйлера может превратиться в бесконечный ряд; однако в случае одноатомных газов имеем:
5 Л
х = у т = 1;
в случае двухатомных газов
7 о
х = — , т ~ 2,
5
так что в обоих этих случаях общее решение Эйлера применимо.
Кроме того, при очень высоких давлениях и температурах получаются хорошие результаты, если принять х - 3, т — 0.
В связп с этим Л. Д. Ландау1) и К. П. Станюкович 2) недавно получили ряд практически важных результатов, пользуясь общим решением Эйлера.
Дарбу3) в своих «Лекциях по общей теории поверхностей» применяет уравнение Эйлера — Пуассона в дифференциал ьпог’1 геометрии. Как показал С. А. Чаплыгин4), задача определения плоскопараллельных безвихревых изэнтропических течений газа сводится к уравнению
х) Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред,. М,, 1953.
2) Станюкович К. П., Теория неустановившихся движений газа, М., 1948.
3) Darboux G., цит. соч., 1. 4, ch. 3.
4) Чаплыгин С. А., О газовых струях, Собрание сочинений, т. П, М.—Л., 1948.
616
Ф. И. ФРАНКИ!»
где о, К — функции модуля скорости, 0 —угол наклона скорости и ф —функция тока. При сверхзвуковых скоростях К < 0; в этом случае уравнение Чаплыгина (19) совпадает формально с частным случаем уравнения колебания струны переменной толщины (4); однако при дозвуковых скоростях К принимает положительные значения и уравнение становится эллиптическим.
Как показал автор данной статьи, при околозвуковых скоростях уравнение (19) может быть заменено прибли-жеппо уравнением (9) при л —0, т = у (уравнение Эйлера — Трикоми). В настоящее время советские и иностранные авторы ужо решили ряд задач по околозвуковым течениям газа при помощи этого уравнения.
Несмотря на то, что в этом случае общее решение Эйлера превращается в бесконечный ряд, все же частные случаи этого решения, соответствующие степенным функциям (/(я) = л:и, F (у) = yv), играют большую роль в решении задач по околозвуковым течениям1). При сверхзвуковых скоростях С. А. Хрнстнановнч2) заменил уравнение Чаплыгина приближенно уравнением Эйлера — Пуассона при п = 0 и целых т. Болес точно уравнение С. А. Чаплыгина может быть заменено обобщением уравнения Эйлера — Пуассона, которое предложил и исследовал М. Б. Капилович3). В самое последнее время М. Г. Крейн4) новыми методами нашел решение уравнения колебаний струны переменной толщины в явном виде в гораздо более общих условиях, причем для струи,
9 Фр анк ль Ф. II., Об одном семействе частных решений уравнения Дарбу—Трикоми, ДАН, т. 56, № 7, 1947. (Заметим, кстати, что это уравнение должно правильно называться уравнением Эйлера—Трикоми.)
2) X р и с т и а н о в и ч С. Л., Приближенное интегрирование уравнений сверхзвукового течения газа. Прикладная математика и механика, т. XI, вып. 2, 1947.
3) Капилевич М. Б., Об одном уравнении смешанного эллинтико-гиперболического типа, Математический сборник, т..ЗО, вып. 1. 1952
4) Крейн М. Г., Теория спектральных и переходных функций одномерных краевых задач. Доклад на заседании Московского математического общества 29 декабря 1953 г., Успехи математических паук, т. IX, вып. 3, 1954.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ УГ-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 617
сколь угодно близких к любой заданной. Разработанный им метод позволил решить впервые в явном ви io ряд интегральных уравпений.
Таким образом, классическая проблема струны переменной толщины снова показала свою плодотворность.
13 «Интегральном исчислении» (т. III, ч. 1, разд. II, гл. V) Эйлер даст метод нахождения общих решении широкого класса уравнений гиперболического типа без применения квадратур При помощи этого метода удается выразить общие решения через произвольные функции и конечное число их производных. Этот метод сохраняет значение и в настоящее время.
Сущность метода хорошо видна из простейшего примера (проблема 56):
d2v ду2 j. d2v 1 дх2 + G^- + IIv, дх (20)
где У, G, Н зависят только ОТ X.
Требуется найти другое уравнение
дЧ ду2 дх2 v дх (21)
где У, Q, У также зависят только от х, такое, что его общее решение получается в виде
(22)
z — M Nv, дх '
где Л/, <V — функции х', под v в уравнении (22) подразумевается общее решение уравнения (20).
Если общее решение уравнения (21) уже известно, то мы получаем, таким образом, общее решение уравнения (20).
Если заранее заданы У, G, Н, М, то, как показывает Эйлер, функция s = определяется из обыкновенного дифференциального уравнения:
— 2- s - с - == 0 (С — постоянная), dr г г
618
Ф. И. ФРАНК ЛЬ
а коэффициенты уравнения (21) находятся в виде
р___р О_______с I dF 2F dM
Г, тт G dM F d2M , 2F / dM V dF 1 dF dM
li lL м dx M (Z.Z-2 1 M2 V dx ) ' S dx ~ M dx dx '
(23)
Проблемы 57 и 58 представляют собой приложения изложенного метода к конкретным уравнениям.
В проблеме 59 рассматривается следующая, более сложная задача. Задано уравнение
d2v
и d2v I /' ^V 1 ZJ дх~ дх
(24)
где F, С, II зависят только от ж; требуется найти другое уравнение
общее решение которого получается из общего решения (24) при помощи преобразования
dv ,f)P.
z=^- + (26)
где г, s— функции х. Функции г, s в данном случае получаются из F, G, Н прп помощи двух совместных дифференциальных уравнений первого порядка, после чего находят Р, Q, IP
В проблеме 60 исследуется система двух дифференциальных уравнений первого порядка, частным случаем которой является система для определения г, s, о которой только что шла речь, и устанавливается, когда решение этой системы (нелинейной) находится в явном виде.
Как мы уже отмстили, этим методом пользуется Эйлер в своей работе «О движении воздуха в трубах»;
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ А Р-ПЯХ ВЛАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 619
его применяют в настоящее время с успехом п в других газодинамических задачах1).
Несмотря па то, что в настоящее время общее решение линейного уравнения гиперболического типа всегда может быть найдено — либо методом Римана, либо численно, пользуясь сеткой характеристик, — методы Эйлера сохраняют большое практическое значение. Дело в том, что метод Римана требует применения квадратур, выполнимых, как правило, только численно. В то же время так называемую функцию Римана, входящую в это решение, чаще всего найти трудно. С другой стороны, метод сеток, будучи численным, по дает решения в виде общих формул и часто также очень трудоемок. Напротив, решения Эйлера требуют лишь элементарных, мало трудоемких операций и дают результат в явном виде. А, как мы видели, ряд практически важных задач сводится хотя бы приближенно к уравнениям, допускающим решение методами Эблера. Этим объясняется то обстоятельство, что некоторые из этих методов были вновь открыты современными нам авторами, незнакомыми с «Интегральным исчислением» Эйлера.
Упомянутая выше работа М. Г. Крейна является принципиально новым и практически очень важным достижением в доле отыскания возможно более общих уравнений в частных производных, допускающих решение в явном виде без квадратур.
Третий раздел первой части «Интегрального исчисления», посвященный теории уравнений третьего или более высокого порядка для функций двух независимых переменных, по содержанию существенно бедное первых двух разделов ввиду большой трудности этого вопроса. Тем не менее, и он содержит очень важные результаты. В первой главе дается решение в простейшем случае, когда одна пз производных высшего порядка задана. На этом примере устанавливается, что общее решение
1)_<3м. Peres J., Quclqucs transformations des.equations du mouvement d’un fluido compressible, C. R. Ac. Sc., Paris 219, 1844, стр. 501 — 504. Метод Эйлера применяется здесь к уравнению С. А. Чаплыгина (19); ссылки па Эйлера у Переса нет.
620
Ф. И, ФРАНКЛЬ
содержит столько произвольных функций (каждая от одной переменной), каков порядок уравнения.
Во второй главе рассматриваются некоторые случаи, когда однородно-линейное дифференциальное уравнение сводится к уравнениям менее высокого порядка. Это то случаи, когда при записи уравнения в виде L (z) — 0 (L — однородно-линейный дифференциальный оператор) оператор L может быть представлен как произведение двух операторов М, N:
Г(2) = Л/[Л'(2)].
В частности (проблема 68Ь), Эйлер рассматривает, образом, уравнение
dlz л2 d2z
dyi & дх2 ’
таким
(27)
которое отличается от найденного им уравнения изгиб-пых колебаний пластинки только знаком перед коэффициентом. На связь этого уравнения с уравнением изгпб-ных колебаний Эйлер указывает в пункте 415.
Уравнение (27) Эйлер сводит к двум уравнениям тина уравнения теплопроводности
d2z dz d2z dz /o_ 4
= а -Д— , -77-^ == — <2 —— , (2 /a)
dy2 dx dy2 dy v >
для которых он даст частные решения
2—eza(v±>-a:), z = е±л2ах cos (лаг/q-а). (27b)
Что касается возможности представления общего решения уравнения через такие частные решения, Эйлер выражается, как всегда в аналогичных случаях, несколько неопределенно: «Путем комбинирования интегралов этого бесконечного семейства как бы (quasi) исчерпывается, как надо ожидать, полный интеграл» (пункт 413).
Подробное (не первое) исследование изгпбных колебаний пластинки Эйлер опубликовал в 1773 г.1). При
*) Euler L., De motu vibratorio laminarum clasticarum, ubi plurcs novae vibrationum species hactcnus non porlractatae evol-vuntur. Novi Commcntarii Acad. Sc. Petrop., т. XVII за 1772 г. (1773).
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОБ УР-ИЯХ В Ч УСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 621
помощи теоремы о моменте количества движения Эйлер получает для этих колебаний уравнение
— 7)4 д1У
di2 дх* ’
(28)
для которого он указывает частные решения вида
?/ = cos(02Z) f Л cos у-J-sin bDe b Y (28а)
Далее Эйлер рассматривает общее однородно-линейное уравнение любого порядка с постоянными коэффициентами и получает его общее решение (ч. 1, разд. III, гл. III). Именно, для уравнения
+ в ---Ь ’ ’ ’ =° (29)
дх}- дх'' ду дх'~ ду2
Эйлер образует характеристическое уравнение
Аи* + Ви’-~1 + Си'-~2 +...== 0. (29а)
Если 72 = а, п=$, п = у, ... —корни этого уравнения, то общее решение Эйлер дает в виде
z = Г (?/ - ах) -8 Д (у ?х) Н- (?/ 4 jx) 4- . . .
Прямые у + ах = const, у -Р fix = const и т. д. мы в настоящее время называем характеристиками уравнения (29) и они играют фундаментальную роль в современной теории уравнений в частных производных. Их направления определяются уравнением Эйлера (29а) и в общем случае нелинейного уравнения. Таким образом, Эйлер положил основу теории характеристик уравнений в частных производных любого порядка.
Во второй части III тома «Интегрального исчисления» Эйлер рассматривает уравнения для функций трех независимых переменных.
Первая глава касается лишь самого понятия частных производных; во второй главе исследуется задача об определении функции трех переменных, если задана одна пз ее производных первого или более высокого порядка. Обнаруживается, что общее решение содержит
622
Ф. 11. ФРХПКЛЬ
произвольные функции от двух независимых переменных и притом столько, каков порядок заданной производной. Кроме того, рассматриваются уравнения, в которых встречаются производные только по одной или двум переменным и которые, следовательно, сводятся к задачам, рассмотренным раньше.
В третьей главе исследуются уравнения первого порядка теми же методами, как и в случае двух независимых переменных. Ври этом решается ряд линейных и нелинейных задач, средн которых особо отмстим решение однородно-линейного уравнения
L-~ + + N О, (30)
дх ду dz ' '
где L = L(x), М = М(у), N — N (z) — любые заданные функции. Общее решение Эйлер дает в виде
$4; ММ40- (30а)
т. е. используются характеристики для данного частного случая (проблема 82).
В четвертой главе Эйлер рассматривает одпородпо-линейныс уравнения с постоянными коэффициентами.
Общее решение Эйлеру удастся только в том случае, если при записи уравнения в впде L (z) — 0 оператор L представим как произведение операторов первого порядка. В частности, для уравнения второго порядка
+ 2£^-} 2Г/У = 0;(21)
дх2 ду2 dz2 дх ду дх dz ду dz ' '
это имеет место, если коэффициенты удовлетворяют уравнению
AF2 -р BE2 + CD2 = ABC + 2DEF. (31а)
Заметим, что геометрический смысл условия распадения оператора L на линейные заключается д том, что характеристический конус распадается на плоскости, а это для важнейших уравнений математической физики не имеет места.
ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЙЛЕРА ОВ УР-ИЯХ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 6>3
В заключительном параграфе рассматриваемой части третьего тома «Интегрального исчисления») (пункт 510) Эйлер с сожалением отмечает, что такое важнейшее уравнение, как найденное им пространстве иное волновое уравнение
<?2у _ д2о , д2и д-о
dl2 дх2 ' ду2 ‘ dz2 ’ '
таким способом пе решается. Он указывает па существование частных решений вида
I’ 4 Tz -т <>!) (33)
при условии
S2 = а2 -; р2 -- 72, (33а)
из которых, как мы теперь знаем, можно получить общее решение путем образования бесконечных ря#ов.
Далее Эйлер указывает решения вида
г __ Г 0 ^х2 + ?/2 + z2)
У X2 + У2 + Z2
т. о. опережающий и запаздывающий потенциалы неподвижного точечного источника1). Запаздывающий потенциал играет важнейшую роль во всей современной математической физике и, как впоследствии показал Пуассон, из этих потенциалов можно построить общее решение волнового уравнения посредством дифференцирования и квадратур. Указанное Эйлером решение
__Г (х i t2 — у2—z2)
yf t2— у2 — Z2
также очень важно в газовой динамике: выражение
с
х) Он получен путем интегрирования скоростей частиц но радиусам-векторам для случая сферических волн; см. сказанное о работе Эйлера «О распространении звука».
624
Ф. И. ФРАНК ЛЬ
есть но что иное, как потенциал неподвижного точечного источника постоянного расхода в равномерном потоке сверхзвуковой скорости.
Приходится сожалеть о том, что Эйлер но включил в «Интегральное исчисление» свой важнейший результат по уравнениям для функций трех независимых переменных, а именно решение задачи колебания мембраны х).
Отклонение z точки мембраны от положения равновесия при малых колебаниях, как показывает Эйлер, сводится к уравнению
d2z 9 / d2z d'2z \ /ог-ч
а \j№ дф2) ’
т. о. к уравнению цилиндрических волн.
Эйлер находит полную систему частных решений этого уравнения (собственные колебания) как для случая прямоугольной мембраны, так и для мембраны формы круга, причем для решения последней задачи он вводит впервые цилиндрические функции с произвольным целым индексом—те самые функции, которые впоследствии были несправедливо названы функциями Бесселя (работа Бесселя об этих функциях вышла только в 1826 г.; до этой работы функции ужо исследовались рядом авторов). Цилиндрические функции в настоящее время широко применяются в математической физике.
Этим замечанием мы закапчиваем наш обзор классических исследований Эйлера об уравнениях в частных производных, сыгравших большую роль в истории математики. Значительная часть этих исследований сохраняет актуальное значение и в настоящее время.
’) Euler L., De motu vibratorio tympanorum, Novi Comm. Ac. Sc. Petr., т. X за 1764 г. (1766).
ПОСЛЕДНЕЕ ПИСЬМО Л. ЭЙЛЕРА К X. ГОЛЬДБАХУ А. П. Юшкевич
Публикуя в первом томе «Correspondance malhematique et physique des quclqucs celebrcs geomelrcs du XVIII 6me siecle» (СПб., 1843) знаменитую переписку академиков Л. Эйлера и X. Гольдбаха, издатель этой переписки, непременный секретарь Петербургской Академии наук II. II. Фус поместил в качестве «последнего» письма Эйлера письмо от 17 декабря 1763 г., а за ним—последнее письмо Гольдбаха от 10 января 1764 г. Письма Эйлера были скопированы с оригиналов, хранящихся в Центральном московском архиве (ныне Центральный государственный архив древних актов), письма Гольдбаха—с оригиналов, хранящихся в Главном архиве Академии наук.
Просматривая недавно письма Л. Эйлера к Ф. П. Мюллеру, непременному секретарю Петербургской академии наук в 1754—1765 гг., я обнаружил среди них 1) еще одно, действительно последнее письмо великого математика к Гольдбаху от 17 марта 1761 г., являющееся ответом иа письмо Гольдбаха от 10 января 1764 г. В это время Гольдбах был уже тяжело болен; он скончался 10 (20) ноября того же года. Возможно, что Мюллер, через которого шла переписка, пе доставил письма Эйлера адресату и сохранил в своих бумагах.
Ниже приводится полный перевод письма Эйлера от 17 марта 1764 г., с сохранением особенностей математической орфографии. Подлинник написан по-немецки.
Э Главный архив Академии наук СССР, ф. 21, опись 3. X 210 лл. 112—113.
Исторпко-матем. исследования
626
A. 11. ЮШКЕВИЧ
В квадратных скобках поставлены номера моих' примечании, следующих за текстом письма.
«Ваше Высокородие
Глубокоуважаемый господин тайный советник.
Так как Ваше Высокородие чем дальше, тем метине пишете и читаете I1], то я естественно должен прежде всего покорнейше просить прощения за то, что все же бору на себя смелость Вам писать. Я нс выполнил бы своего обязательного долга, если бы время от времени не пользовался случаем засвидетельствовать Вашему Высокородию свое совершеннейшее почтение и покорнейше вверить себя и моих Вашей постоянной милости. По я твердо уповаю на милосердие божие и надеюсь, что Ваше Высокородие снова оправитесь от прежней слабости и с наступлением благоприятного времени года вновь станете пользоваться совершенным здоровьем,—каковую надежду всемогущий бог да выполнит в своей милости!
Соображения Вашего Высокородия по поводу формулы P2-\-eQ2—aa-\-ЬЬ тоже указывают к большому моему утешению па выдающуюся бодрость духа, а то обстоятельство что это равенство всегда имеет место, когда е—кк—(ezcz-{--pbb), тем более замечательно, что обычно подобного рода теоремами не занимаются [3]. Действительно, исходя пз него, можно объяснить весьма красивые свойства чисел. Так, если в еще более общем виде принять е—тк2—т (a2-]-mb2), то можно аналогичным путем определить и числа Р и Q таким образом, что P24-eQ2 будет равно выражению аа -\-ЬЪ нлп же такому: с2 (а2 + mb'2). Если положить
Р2 + [тк2 — т {а2 -)- ?и&2)] Q2 — с2 (я2 + mb2), то получается
Р2 + mk2Q2 — (а2 + mb2) (с2 + mQ2) = (ас mbQ)2 Д- т (aQ Ьс)2.
Следовательно, можно положить
Р = ясД- mbQ и kQ = aQ Д- be.
Отсюда
. be mbbe
Q = Ч-----г и Р = ас-\------
— а — к а — к
а из этого получается рассмотренный Вашим Высокородием случай, если положить с=1 и т — 1.
ПОСЛЕДНЕЕ ПИСЬМО Л. ЭЙЛЕРА К X. ГОЛЬДБАХУ
627
В настоящее время у нас здесь находится даровитый г. Ламберт, организующий для курфюрста баварского новую академию в Мюнхене. Он не только отличается во всех науках, по имеет большие достижения и в анализе Он сообщил мне об одном ряде, который меня изумил, так как он имеет характер, совершенно отличный от всех тех рядов, которые рассматривались до сих нор I4]. Если т и п — любые числа и а есть произвольное количество, то этот ряд таков:
, a 2m — п + 1 д2 3m—п +1
4+т+---Н-'^+---2--
?>т — 2п + 1 а3
3 п3
km—п +1 km — 2п + 1 km — Зп + 1 а4 f
2 3 4 й*+
5m -— n + 1
5m — 2п + 1 5m—Зп + 1 5m — kn + I а5
3 k 5 n5 +
и т. д.
Подобные ряды мне еще никогда не встречались, и я бы не знал, как подойти к определению их суммы. Поэтому тем более удивительно, что их сумму илп значение z можно дать даже в алгебраическом виде. Действительно, как открыл г. Ламберт, истинное значение указанной суммы z даст уравнение zn=azm + 1. Замечательно также, что л обую степень z можно выразить с помощью подобного же ряда. В таком случае
X X + km — п
+ Ч 2~
X + km — 2п
X + 3m — 2п
О
X + 4m — Зп k
а1
—. + и т. д. п1
Если теперь сперва положить Х = п, го получается:
2m a2 3m 3m — п
~2Г'~п+~2 3““
4m 4m—п km — 2п а , ~2 3 4 й3 + П Т Д'
Положим затем Х = т; тогда
т а т
1 ' п 1
а2 т km — п km — 2п а3
п2 + Т' 2 ’ 3
+
m т
5m — п ~2
5m — 2п
3
5m — Зп
4
и т. д.
40*
628
А. П. ЮШКЕВИЧ
Отсюда очевидно следует, что zn = azm + 1. По моему мнению, это открытие является таким образом открытием величайшей важности [3].
Весь мой дом всепокорнейше вверяет себя постоянной милости Вашего Высокородия, а я имею честь остаться с. глубочайшим к Вам уважением
Вашего Высокородия покорнейше обязанный слуга
Л. Эйлер.
Берлин, 17 марта 1/64 г.»
Примечания
1. Эти слова относятся к началу письма Гольдбаха от 10 января 1764 г., где Гольдбах в тех же выражениях жалуется па состояние своего здоровья. 11. II. Фус пз письма Гольдбаха опубликовал только постскриптум математического содержания, о котором см. р].
2. В постскриптуме письма от 10 января 1764 г. Гольдбах сообщает Эйлеру; «Если в выражении Р2-\-eQ~ будет е = А2—(a2 -j- b'2), где к—рациональное число, то все выражс пне может быть сведено к сумме двух квадратов а2 +&2; в самом деле, пусть
о2 + Ь'2— ак а—к
См. «Correspondance mathrmatiquo...», т. I, стр. 673. Эйлер в публикуемом письме несколько обобщает предложение Гольдбаха.
Вопросу о представимости целых рациональных чисел одновременно двумя формами вида а2 -\-Ь'2 и Р2 +eQ'2 посвящен ряд писем Эйлера и Гольдбаха, начиная с осени 1762 г. См. «Correspondance inalheinatique...», стр. 649 и след.
3. Иогапп-Геприх . [амберт (1728—1777), швейцарец, выдающийся математик и физик, работал с 1764 г. в Берлине, где состоял членом Академии паук. Ламберт принял деятельное участие в организации Академии наук в Мюнхене, основанной в 1739 г. О математических трудах Ламберта см. \1 С а и I о г, Vorlcsungen uber Gcschi-chte dor hlathematik, т. IV, Лейпциг, 1908, по указателю.
4. Речь идет об открытом Ламбертом (Observationes variae in Mathcsin puram, Acla Helvetica, t. Ill, Базель, 1758) разложении в степенной ряд корпя трехчленного уравнения. Эйлер приводит ряд Ламберта и соответствующее уравнение непосредственно далее.
5. Эйлер посвятил кругу вопросов, связанных с применением ряда Ламберта, несколько работ, в которых, в частности, получил разложения в степенные ряды корней и степеней корней четырех
ПОСЛЕДНЕЕ ПИСЬМО Л. ЭЙЛЕРА К X. ГОЛЬДБАХУ 629
членных уравнений, а также уравнений с большим числом членов. Эти мемуары Эйлера таковы: Observationcs circa radices acqualio-num (Novi Comm. Ac. Petrop., т. XV за 1770 г.; 1771), Analysis l‘a-cilis et plana ad eas series maxiine abstmsas । erduccns, quibus omnium aequationum algebraicarum non solum radices ipsac sed etiam corum potestates expriini possunt (Nova Acta Ac. Petrop., т. IV за 1786 г.; 1789) п De innumeris generibus serieruin maxime memorabilium, quibus omnium aequationum algebraicarum non solum radices ipsac sed etiam quaccunque earum polestales exprimi possunt (там же). См. также J)c serie Lambertiana plurimisque cjus insignibus pro-prietatibus (Acta Ac. Petrop., t. Ill, ч 2 за 1779 г.: 1783).
Открытие Ламберта сообщило также толчок исследованиям Лагранжа и привело последнего к открытию разложения в так называемый ряд Лагранжа корня уравнения а — х-Р <р(х) = 0, где <р(а?)—какая-либо функция х (1770—1771 гг.). См. XI. Cantor, цит. соч., стр. 140 и 145.
ОБ ОДНОЙ ПОПЫТКЕ ИЗДАТЬ ТРУДЫ ЛЕОПАРДА ЭЙЛЕРА
К. II, Ь'оетрюков
Всем известно, какое огромное научное наследство оставил Леонард Эйлер после своей смерти. Одних только напечатан вых при его жизни сочинений насчитывается бо лее 500 названий. В настоящее время список трудов Эйлера содержит свыше 800 отдельных работ. Они составят вместе с письмами более 70 томов полного собрания сочинений, которое издается (на языке оригиналов) с 1910 г. под названием Lconardi Euler i, Opera omnia (пока вышло только около половины томов).
Наша отечественная Академия паук всегда уделяла серьезное внимание изданию трудов своего знаменитого сочлена. В течение десятков лет после смерти Эйлера она публиковала его труды в своих изданиях. В 1842—1843 гг. П. II. Фус опубликовал часть переписки Л. Эйлера, так же как и переписки других знаменитых математиков. В 1848—1849 гг. П. Л. Чебышев и В. Я. Вупяковский выпустили (иа языке оригиналов) работы Эйлера по теории чисел как ранее публиковавшиеся, таки находящиеся в рукописях.
У Академии паук было большое желание издать полное собрание сочинений Леопарда Эйлера. В этом деле активную роль играл М. В. Остроградский. В апреле 1844 г. физико-математическое Отделение Академии наук назначило М. В. Остроградского главным редактором предполагаемого издания трудов Эйлера. В протоколах заседания Отделения имеется запись о том, что «г-да академики Остроградский, Струве, Ленц.
ОБ ОДНОЙ ПОПЫТКЕ ИЗДАТЬ ТРУДЫ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 631
Бупяковский, Якобп и Фус (докладчик) представили Отделению:
1. План издания полного собрания сочинений Эйлера.
2. Стоимость одного тома этого издания.
3. Смету расходов.
4. Краткое сообщение о важности работ Эйлера и о необходимости собрать их в едином издании трудов иод редакцией Остроградского. Это будет состоять из 25—28 томов in quarto в 80—90 листов каждый. Издание будет распределено па 10 лет, стоимость—5902 руб. 70 коп. серебром.
Неопубликованные рукописи, преподнесенные г-ном Фусом, войдут в новое издание в соответствующих местах. Отделение одобрило весь план комиссии и поручило секретарю доложить об этом г-иу министруи президенту» ’).
Однако этому изданию не удалось осуществиться. Косность царского правительства, его реакционное отношение к деятельности Академии наук встали непреодолимой преградой па пути осуществления этого замечательного мсропрня тия. Министр народного просвещения, он же президент Академии, С. С. Уваров наложил на ходатайстве об издании сочинений Эйлера краткую резолюцию: «1 Говроменпть».
В публикуемых ниже документах, относящихся к указанной выше попытке Академии наук издать сочинения Эйлера, большой интерес представляют характеристика Эйлера, данная академиком М. В. Остроградским, и его отношение к изданию научных трудов своего великого предшественника.
Дело об издании полного собрания сочинений Эйлера (начато 7 февраля, окончено 27 апреля 1844 г.) находится в Центральном государственном историческом архиве в Ленинграде, фонд 733, опись 13, ед. хр. 46, дело департамента народного просвещения, и содержит 57 листов.
В нем имеются:
1) Смета расходов, лл. 5 и 6.
2) Отпечатанный типографским способом Liste syste-matique des ouxrages de Leonhard Euler:
Э Протокол № 5 от 5 апреля 1844 г., № 8, Архив Академии паук, ф. .1, опись 1а, № 70. Протокол сделан на французском языке.
К. И. КОСТРЮКОВ
A) Ouvrages pul)lies.
В) Pieces inedites.
C) Pieces marquees dans la liste des manuscrits de L’Eloge, mais qui ne so sent trouvees ni dans les archives do 1’Academic, ni dans aucun recueil, public apres la inort d’EuIcr.
[Систематический список трудов JI. Эйлера:
А) Опубликованные труды.
В) Неизданные сочинения.
С) Сочинения, указанные в списке рукописен Похвального слова1), но нс обнаруженные mi в архивах Академии, пи в каком-либо сборнике, опубликованном после кончины Эйлера], лл. 7—42.
3) Extrait du Bulletin de la Classe physique—mathema-tique de I’Academic des sciences de St. Petcrsbourg, t. Hl, заголовок [Notice sur la dccouverte d’ouvragos iuedits d’Euler], лл. 48—51.
4) Образец печатных сочинений Эйлера, лл. 52—-55.
5) Письма Фуса министру, лл. 46 и 47.
6) Карандашные заметки о ходе дела, л. 56.
7) Отношение министра с указанием, чтобы дело отложили, л. 57.
8) Помещенные ниже: копия письма М. В. Остроградского П. Н. Фусу, лл. 43—45; копия записки об издании Полного собрания сочинений Л. Эйлера, лл. 2 и 3: Представление вице-президента Академии паук от 6/IV 1844 г. об издании сочинений Эйлера за № 470 с пометкой «Повременить», л. 1.
1. Письмо П. П. Фуса2) М. В. Остроградскому об издании трудов Л. Эйлера3).
О Имеется в виду «Похвальное слово» Эйлера, составленное И. И. Фусом (1783).
2) Павел Николаевич Фус (1798—1855)—сын Николая Ивановича Фуса (см. примечание на стр. 634) и правнук по матери Леопарда Эклера, воспитанник Петербургской Академии наук, адъюнкт по чистой математике с 1818 г. С 1826 г. ординарный академик и непременный секретарь Академии. Его учено-литературная деятельность свелась исключительно к работам по библиографии-сочинений знаменитого прадеда Л. Эйлера.—Прим. К. К.
3) Архив. Академии паук, ф.. 2, опись 1, 1844, № .8, лл. 17 н 17 об. (подлинник по-французски).
ОБ ОДНОЙ ПОПЫТКЕ ИЗДАТЬ ТРУДЫ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 633
«Сударь и дорогой коллега!
Вы должны были заметить, что в моем предложении относительно издания полного собрания сочинений Эйлера я отдаю Вам справедливость, говоря, что мысль о подобном издании принадлежит Вам но праву. Я думаю, что не ошибаюсь, предполагая, что Вы придаете значение тому, что впервые подали эту .мысль. Если это так. Вы не примете дурно вопрос, который я хочу Вам задать.
Я информировал министра, нашего президента, об этом проекте. Он принял его как нельзя лучше и поручил .мне составить смету по всем правилам. Поэтому я усердно занялся этим и закончил план издания и расходы по статьям, что мне далось в особенности трудно и что я могу хоть сейчас передать комиссии. Остается только подробно разработать смету, fl готов этим заняться и смогу довести это дело до конца.
Но я подумал, что так как здесь речь идет о научной ценности трудов Эйлера, о значении, которое они имеют еще и в наши дни в глазах геометров, и так как здесь нужно одушевленное изложение мотивов, определяющих ваш проект и могущих заставить правительство немедленно принять его, я подумал, повторяю, что это труд, который должен принадлежать по праву тому, кто впервые подал мысль об издании, и который Вы выполните лучше любого из нас. Итак, я спрашиваю Вас: нс согласились ли бы Вы, пз интереса к столь давно защищаемому Вами вопросу, предоставить свое перо для этого изложения. Ойо ие должно быть длинным и, если Вы предпочитаете писать его но-фраицузски, что, может быть, будет даже приятно некоторым членам Отделения, я берусь перевести его па русский и придать ему официальную форму. Если, наоборот, Вы не хотите вмешиваться в это дело, скажите мне об этом; тогда я возьмусь за него сам и постараюсь сделать наилучшим возможным для меня образом.
Что бы Вы пи решили, соблаговолите дать мне ответ и считайте меня всегда Вашим преданным другом и коллегой
17 марта 1844 года».
G34
К. И. KOCTPIOKOB
2. Письмо M. В. Остроградского П. Н. Фусу по вопросам издания трудов Л. Эйлера1).
«Ваше Превосходительство!
Вы приписываете мне честь первой мысли об издании полного собрания сочинений нашего бессмертного Эйлера. Я искренне благодарю Вас, но спешу заявить, что Ваш отец2) высказывал эту мысль много ранее, чем она могла придти в голову кому-нибудь пз пас. Поэтому наша заслуга только в том, что мы возобновили предложение, которое Ваш отец сделал 1к рвым. Вез сомнения, есть некоторая заслуга в возвращении к этому важному предложен ню, но гораздо большая заслуга в том, чтобы его провести в жизнь.
В последнем деле, отдавая кесарево кссаревп, мы должны положиться па нашего знаменитого президента. Ученая Европа, которая ценит его литературные труды, будет приветствовать бескорыстную заботу и попечение, оказываемое им всем паукам, и с благодарностью увидит появление под покровительством этоП> знаменитого министра трудов бессмертного ученого, которому опа присудила звание отца современного анализа 3).
Это зваппе отца вполне заслужено, так как именно Эйлер создал современный анализ и современный язык геометров.
Пусть попробуют обратиться к трудам предшествующих п современных ему математиков, пусть почитают Паскаля, Лейбница, Бернулли, Клеро, Даламбсра и др.: это чтение
Ц Архив Академии наук, ф. 2, опись 1, 1844, № 8, лл. 13 и 1 1 (подлинник по-французски), лл. 15 и 16 об. (копия). Центральный государственный исторический архив в Ленинграде, ф. 733, департамент народного просвещения, опись 13, дело 46, 1844, лл. 43—45 (копия).
. 2) Николай Иванович Фус (1755—-1826), швейцарец по происхождению, в 1772 г. приехал в Россию и стал личным секретарем и учеником Л. Эйлера; с 1783 г.—ординарный академик. Автор многочисленных научных работ и нескольких учебных руководств.— Прим. К. К.
3) «Эйлер дает метод интегрирования того вида уравнений (линейных), которые столь часто встречаются в небесной физике. Это самое замечательное в его труде, мы узнаем в этом великого анали-'тйка, который благодаря своим открытиям во всех областях анализа н совершенству, внесенному нм в аналитический язык, может считаться отцом современного анализа». Laplace, Mecanique celeste, т. V, стр. 152.—Прим. М. В. Остроградского.
ОБ ОДНОЙ ПОПЫТКЕ ИЗДАТЬ ТРУДЫ ЛЕОПАРДА ЭЙЛЕР X 635
покажется утомительным, как и чтение всех трудов, язык которых устарел, а последовательность и выражение мыслей нам чужды. При этом видно, что нужно еще внимательнее относиться к форме, под которой преподносятся идеи, чем к самим идеям. И если теперь больше нс пишут так, как писали эти, столь заслуженно знаменитые люди, если мы отошли от их манеры трактовки вещей, то это потому, что Эйлер увлек за собою последующие поколения и научил их думать и писать так, как думал и писал он сам. Чтение его работ является самым легким и самым полезным делом. Он соединил в своем лице славу великого преобразователя со славой очень ясного и очень изящного писателя.
Эйлер создал современный анализ, одни обогатил его более, чем все его последователи вместе взятые и сделал его могущественнейшим орудием человеческого разума. Он одни сумел охватить анализ во всей его полноте и нашел ему самые многочисленные и разнообразные применения. Он рассмотрел труднейшие вопросы натурфилософии, военного и морского дела, политической экономии, промышленной механики и т. д. и т. д. Его открытия могут быть переданы следующими немногими словами. Эйлер создал современный анализ, т. с. самую значительную, самую обширную и самую трудную пауку; по если бы пожелали некоторых подробно стой, то следовало бы сказать: Эйлер открыл исчисление частных дифференциалов. Эйлер придал гидростатике в гидродинамике их современную форму. Эйлер ввел в анализ несколько трапецоид ситных функций, открыв их главные свойства. Эйлер научил пас рассматривать вопрос о илапстных возмущениях в его настоящей форме и устранил основные трудности этого важного вопроса. Эйлер открыл ахроматические стекла. Эйлер высказал общепринятые теоретические взгляды па свет и т. д. и т. д. Это перечисление нескоро было бы закончено.
Один столь же знаменитый автор, сколь и глубокий геометр говорит, что все существующие крупные математики являются учениками Эйлера. Пет ни одного из них, который бы не сложился под влиянием чтения его трудов, но получил бы от него употребляемых им формул и методов, кого бы в его открытиях ие поддерживал и нс направлял его гепий. Эйлер обязан этой честью перевороту, который он произвел
636
К. И. КОСТРЮКОВ
Д*. » <>-'
Afe £>«.«.«. А» с*^“ i-^'*'’*' А f“
eft: <tc; ~
#VZw/Z# ** ''/. v 4<**^*^>* 4*e<jr* z.
Zw ,u 1
A &Л ^9 ' Х*Цй л/**-* ^<е^..;.,^ /и-Л.
Ф4‘«4 Z’ Л*^- ' v'^ «<’<^^ ^«<1 a’^W
ftu /*$ /#&> '^.{ ' >'^2 >5е»
f-». vf.-t/,i i л» «»' еч.^ .» z^z<
Zzc^ й'<>«:^ v Z'e»...-^ '^;i,r •-^^.f'-r.
«" Z^'^S Z**? fi'
/X<z t»^~/. ' г г- ’£
xkUvXti^ Z. «,«.
. с/ (t,. й». sZZ .. '/ i».zZ4 y?^’' < •*--»«-<
zr* z<«$' A.„
£Л,^ : ;-«Л >-
Л^/k s-*?^.'-;^„^Z
sZfe?/Z ft£i'i.-/A.^;^
Последняя страница письма M. В. Остроградского II. П. Фусу от 21 марта 1844 года.
ОВ ОДНОЙ ПОПЫТКЕ ИЗДАТЬ ТРУДЫ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА
в математических науках, подчинив их все анализу; своей работоспособности, позволившей ему охватить всю ширь этих паук; методическому порядку, который он вносил в своп великие труды; простоте и изяществу своих формул; ясности своих методов и доказательств, еще усиленных большим количеством и удачным выбором примеров. Ни Ньютон, пи даже Декарт, влияние которых было так велико, не получили такой славы; и до настоящего времени один из всех геометров—Эйлер пользуется сю полностью и безраздельно.
Ученые и промышленники встретят с радостью и благодарностью собрание сочинений разностороннего гения, разбросанных в большом количестве изданий, академических сборников и журналов.
Примите, Ваше Превосходительство, уверение в глубоком уважении преданного Вам
21 марта 1844 года. АГ. Остроградского».
3. Записка об издании полного собрания сочинений Леопарда Эйлера1).
«В числе ученых, прославивших XVIII век бессмертными своими открытиями в пауках, конечно, первое место занимает Леонард Эйлер. Вызванный в Россию в 1727 году при императрице Екатерине I па 20 году своего возраста для поступления в открытую за год перед тем С.-Петербургскую Академию наук, он у нас положил первое основание своей щ.авы. В течение 56-лстией службы при Академии2) издано им, при пособии нашей Академии, по менее 14 больших, отдельных и отчасти многотомных сочинений и представлено ровно 500 диссертаций, напечатанных в продолжение более ста лет (с 1727 по 1832 год) в собрании актов Академии, пе говоря о больших творениях (числом 15), изданных им за границею, отчасти также иждивением нашей Академии, и об ученых статьях (более 200), украшающих собою сборники трудов Академий Берлинской, Парижской
А) Архив Академии наук, ф. 2, опись 1, 1844, №8, лл. 19— 22 (подлинник). Центральный государственный исторический архив в Ленинграде, ф. 733, департамент народного просвещения, опись 13, дело 46, 1844, лл. 2—4 (копия). Записка ие имеет подписи, по, судя по стилю, писалась И. В. Остроградсклм или Остроградским совместно с II. II. (Русом. Записка составлена па русском языке.
2) Он скончался в С.-Петербурге в 1783 г.—Прим, в оригинале.
638
К. И. К0СТР10К0В
и многих друшх. Все эти глубокие творения нашего геометра нс только в свое время высоко ценились учеными и озарили неувядаемою славою как самого автора, так и тс сословия, которым он их уделял, преимущественно же нашу Академию, но, что истинно удивления достойно, и поныне еще, спустя два поколения со времени смерти его, ни одни математик пе может обойтись без основательного изучения творений Эйлера, пе может приступить к какому-либо исследованию без предварительной справки о том, что сделано было Эйлером но сому предмету; ибо нет ни одной отрасли математических паук, которая нс была бы обязана Эйлеру каким-либо важным открытием или усовершенствованием. Напомним только, для примера, что он, родившись среди материка, в Швейцарии, нс видав моря, на 20-м году своей жизни за рассуждение о выгоднейшем устройстве мачт получил премию Парижской Академии и уже в России первым изложил теорию морского искусства, кораблестроения и кораблевождения; что, потеряв сам зрение, он усовершенствовал зрительные трубы, подав первую мысль об ахроматических стеклах.
При таких обстоятельствах, изданная от Академии в про-шедшехМ году трудами академика Фуса систематическая роспись всех сочинений Эйлера, содержащая в себе 756 заглавий, была приятным подарком для математиков, облегчая приискание статей, нужных для справок. Но так как мелкие статьи Эйлера рассеяны в дорогих, многотомных сборниках всех почти европейских академий, сборниках, которыми обладают разве одни только большие библиотеки, а обширные его творения вовсе извелись и встречаются лишь изредка и случайно у антиквариев и букинистов, то ученый свет с давнего времени с нетерпением ждет от нас полного издания сочинений сего знаменитого геометра, которым отечество паше по справедливости может гордиться. Какое-то общество бельгийских математиков пыталось было предупредить пас в сем отношении, но предприятие рушилось от неумения издателей с выпуском пятого тома.
Когда, лет десять тому пазад, па Смоленском кладбище случайно открыли вдавленный в землю и поросший дерном гробовой камень Эйлера, Академия, по единодушному определению, пз собственных своих средств воздвигла великому мужу прочный памятник и тем сохранила для потомства по
ОБ ОДНОЙ ПОПЫТКЕ ИЗДАТЬ ТРУДЫ ЛЕОНАРДА ЭЙЛЕРА 639
крайней мере то место, где покоится прах его. Ныне речь идет о другом достойнейшем памятнике, па сооружение которого, к сожалению, способов академии ио достанет: о новом издании полного собрания его бессмертных трудов, памятнике, которым Россия воздала бы заслуженную дань признательности гению, озарившему се ученою славою в такое время, когда пауки лишь начинали приниматься у пас. Болес того, она явила бы сим подвигом новый залог уважения своего к паукам и просвещению и подарила бы ученый свет давно желанным творением, драгоценным наследном мужа, коего имя в летописях науки стоит наряду с именами Ньютона и Декарта.
Представление о сем сделало было физико-математическому Отделению Академии повременным секретарем ея, академиком (Русом, по поводу некоторых важных, нс изданных доселе рукописей Эйлера, о которых печатное известие к сему прилагается. Особая наряженная Отделением комиссия начертала общин план предполагаемого издания, одобренный Отделением, п составила приблизительную смету расходам. Так как спи расходы, даже с рассрочкою их па десять лет, превышают способы Академии, то она считает обязанностью повергнуть смету при сей записке па усмотрение своего начальства и просить об исходатайствовании потребной па сне издание суммы из общих доходов Государственного казначейства. 6 апреля 1844 г.»
4. Отношение Академии паук министру народного просвещения г).
«Господину министру народного просвещения, президенту Академии.
В собрании физико-математического Отделения, бывшем 8 марта, академик (Dye представил в дар Академии открытые нм шесть больших неизданных творений знаменитого Эйлера, писанных собственною его рукою: о теории чисел, о приложении дифференциального вычисления к теории кривых линий, о статике, о механической астрономии (небесной механике) и о диоптрике, сверх того, весьма значительное количество, отчасти оконченных, собственноручных же, ио также
3) Центральный государственный исторический архив в Леипн-1 раде, ф. 733, департамент народного просвещения, опись 13, дело 46, 1844, лл. 1 и 1 об. (подлинник).
64o
В.. И. КОСТРЮКОВ
неизданных мелких рассуждений сего великого геометра по разным отраслям математических наук; наконец, три фолианта, писанные руками учеников—его сына Иоганна-Альбрехта Эйлера *), Крафта * 2), Лекселя 3) и Николая Фуса (отца нынешнего академика)- и заключащпе в себе диссертации Эйлера пз последнего периода его жизни, когда, лишившись зрения, он не мог уже сам рсдижировать своих глубоких выкладок.
При сем случае академик (Рус напомнил отделению о давно ощущаемой необходимости полного собрания сочинений Эйлера, изучение которых и поныне составляет главное условие и начало образования для каждого, посвящающего себя математическим наукам. Ученый свет, обязанный уже французскому правительству новым изданием творений Лапласа, с нетерпением ожидает от нашего отечества таковое же трудов Эйлера, который, положив у нас первое основание своей славы, посвятив служению России 56 лот своей жизни ц скончавшись в С.-Петербурге в 1783 году, по справедливости считается русским геометром. .
Физико-математическое Отделение, призывая и с своей стороны за обязанность Академии пещись но мерс сил своих о приведении в действие сего полезного предположения, долгом считает представить о сем па усмотрение вашего высоко-ргвосходительства записку с приложением: 1-е сметы расходам издания; 2-е печатной росписи всем творениям Эйлера; 3-е известия о вновь открытых рукописях его и 4-е пробного листа формата и шрифта предполагаемого нового издания.
Вице-президент, князь Дондукое-Корсаков. 6 апреля 1844 года. Непременный секретарь Фус».
Па бланке отношения помечено: «Повременить», «г. Министр приказал отложить, 13 апреля 1844 года».
х) В оригинале «Альберта». Иоганн-Альбрехт Эйлер (1734 — 1800)—старший сын Л. Эйлера, родился в С.-Петербурге. Профессор физики с 1766 г.; непременный секретарь академического ученого собрания и впоследствии конференц-секретарь с 1769 но 1800 г.— Прим. К. К.
Вольфганг-Людвиг Крафт (174.3—1814), физик, член Петербургской Академии паук.—Прим. К. К.
3) Андрей Иванович Лексель (1740—1784)—ученик Л. Эйлера, адъюнкт Петербургской академии наук с 1769; профессор астрономии с 1771 г.—Прим. Ii.
ПЗ ПСТОРПП МАТЕМАТИКИ
Исторнко-матем. исследования
О ТАК НАЗЫВАЕМЫХ ТВОРЧЕСКИХ И КРИТИЧЕСКИХ ПЕРИОДАХ В ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
К. А. Рыбников
В истории длфференцпа.лютого и интегрального исчисления споры, критика, борьба мнении занимали такое большое место и проявлялись настолько остро, что пи одни историк математики ио обходит этого вопроса молчанием. Особенно резкие формы борьба мнений принимала при обсуждении вопросов обоснования. Видимо, это обстоятельство дало повод некоторым авторам в известном смысле положить критику исходных понятий и методов анализа в основу деления его истории на периоды. Так появились и получили широкое распространение ошибочные представления о сменяющих друг друга периодах в развитии математического анализа и вообще математики: творческих, когда увлечение конкретными открытиями заставляло математиков откладывать в сторону задачи обоснования, и критических, характеризующихся исключительным вниманием к логическому обоснованию анализа в ущерб творческим достижениям.
Особенно характерна подобная точка зрения для историков математики, не владеющих методом диалектического материализма. В качество примера приведем высказывание одного пз крупнейших зарубежных математиков и историков математики Ф. Клейна (1849—1925). В книге «Лекции о развитии математики в ХТХ столетии» (Москва, 1937) в связи с характеристикой научного творчества Гаусса Ф. Клейн высказывал эту мысль
41*
644
К. А. РЫБНИКОВ
следующим образом: «В периоды неудержимого роста творческой продуктивности требование строгости часто отступало на задний план, уступая стремлению к возможно большему и быстрейшему обогащению научного достояния. В следующие же затем периоды критики—периоды просеивания и очистки достигнутых приобретений—стремление к строгости начинало опять играть доминирующую роль» (стр. 83). Классическим примером творческого периода Клейн считал «эпоху возникновения дифференциального и интегрального исчисления в XVIII столетии». В качество противоположного примера он приводил «эпоху схоластики, сочетавшую незначительную продуктивность с величайшей остротой критического и диалектического ума». При этом Клейн переоценивал роль средневековой схоластики, видя в ней нечто вроде предтечи современной теории множеств.
Идея смены творческих и критических периодов в история математического анализа до последнего времени некритически воспроизводится в научных статьях и учебниках ряда советских ученых. Эту идею, в частности, можно встретить в историческом очерке, включенном А. Я. Хинчиным в «Краткий курс математического анализа» (М., 1953). Можно указать также на статью II. II. Лузина «Ньютонова теория пределов»1), где XIX век охарактеризован как «эпоха логического обоснования анализа бесконечно малых», сменившая эпохи, в характеристике которых вопросы логического обоснования не нашли места.
Даже с первого взгляда вся эта концепция представляется противоречащей общеизвестным положениям марксистско-ленинской теории о необходимости научной критики и борьбы мнений для развития науки и о невозможности, следовательно, разделить и, тем более, противопоставить друг другу научное творчество и научную критику.
Факты истории показывают, что борьба мнений вокруг вопросов обоснования математического анализа пе прекращалась в течение всей его истории. Оказывается, что
9 Исаак II ь то т о и, Сборник статей к 300-лстию со дня рождения (1643—1727), М., 1943, стр. 53—74.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
645
так называемые критические периоды, когда критика и связанная с ней борьба мнений приобретали особенно большой размах и глубину, в основном совпадают ио времени с периодами наибольшей гворческой продуктивности и практических достижений анализа. Конкретные указания, позволяющие правильно оцепить место и роль критики в истории математического анализа и, в частности, выяснить, при каких условиях критика ведет науку вперед и когда она вырождается в бесплодные схоластические споры, содержатся в математических рукописях Маркса и, особенно, в находящемся в них историческом очерке 1).
Известно, что методы и понятия, являвшиеся необходимой предпосылкой возникновения дифференциального и интегрального исчисления, вырабатывались в атмосфере острой критики и борьбы мнений. Едва дифференциальное и интегральное исчисление возникло и оформилось как самостоятельная математическая дисциплина, как его основы стали объектом еще более ожесточенных споров. Маркс выявил причины и роль последних, указав на основное обстоятельство—мистический характер метафизических разъяснений основных понятий и операций исчисления бесконечно малых у его творцов. Но этому вопросу он писал:
«Итак сами верили в мистический характер новооткрытого исчисления, которое давало правильные (и притом в геометрическом применении прямо порази гсльные) результаты математически положительно неправильным путем. Таким образом сами ссб>г мистифицировали н тем более ценили новое открытие, тем более бесили толпу старых ортодоксальных математиков и вызвали таким образом враждебный крик, отдавшийся даже в мире несведущих в математике лто хон и бывший необходимым для того, чтобы проложить путь новому»2).
Многие ученые теперь плохо представляют себе грандиозные размеры этого «враждебного крика» и чрезвычайно большое число работ по обоснованию анализа, ноявпв-
х) Журнал «Под знаменем марксизма», 1933, № 1.
2) Там же, стр. 65,
646
К. А. РЫБНИКОВ
шпхся в конце XVII и в XVIII веках1). Эта литература, по справедливому выражению Виваитп 2), настолько велика, что составляет самостоятельную отрасль математической литературы вообще. Дать полный обзор ее в данной работе нет никакой возможности; поэтому мы ограничимся в ряде случаев лишь суммарными характеристиками с приведением минимально необходимого числа примеров.
Видная роль во враждебных выступлениях против анализа бесконечно малых в ту пору, когда дифференциальное исчисление, по словам Маркса, было еще мистическим, принадлежит Дж. Беркли.
Английский епископ Беркли был озабочен укреплением позиции религии, которые расшатывались под влиянием грандиозных успехов естественных наук того времени. Наряду с другими сочинениями философского характера, написанными с позиций субъективного идеализма, Беркли написал трактат «Аналист, или рассуждение, обращенное к одному неверующему математику» (1734). В этом трактате ои стремился доказать, что предмет, принципы и заключения современного ему анализа имеют отнюдь ио (большую научную обоснованность, чем догматы богословия или таинства религиозных служб.
Беркли был достаточно подготовлен математически и изощрен в логических спекуляциях, чтобы умело выбрать направление и объект критики. Последним явился только что оформившийся к этому времени анализ бесконечно малых. Полезности анализа или справедливости полученных с его помощью результатов Беркли пе отрицал. Оп только (!) утверждал в «Аналисте» и в последующих статьях, что принципы анализа пе обоснованы; больше того, он говорил даже, что они ошибочны, результат же получается правильный благодаря взаимной компенсации ошибок.
х) По вопросу обоснования анализа в XVIII веке см. вступительную статью А. II. IO ш к свича в кн.: Л а з а р ь К а р и о, Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых, М.—Л., 1936, стр. 11—76.
2) См. Cantor М., Vorlesungen fiber Gescliichtc dor Mathema-tik, t. IV, стр. 641—670.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
647
Критические аргументы Беркли весьма характерны для субъективного идеалиста. Они основываются на чувственно-интуитивной несообразности понятия флюксии и способа последовательного дифференцирования, а также на противоречиях в высказываниях Ньютона ио вопросам обоснования авализа.
Приведем несколько типичных рассуждении Беркли, употреблявшихся им в спорах с защитниками метода ф. иокс ни.
«Я сказа.т (и я осмеливаюсь снова повторить это), что флюксия непонятна; что вторая, третья и четвертая флюксии еще более непонятны; что невозможно постичь простое бесконечно малое; что еще менее постижимо бесконечно малое от бесконечно малого, и так далее. Что можете вы сказать в ответ па это? Попытались лп вы выяснить понятие флюксии или разности? Ничего подобного».
«Пе ясно ли, что если флюксия это скорость, то флюксия флюксии может быть, в соответствии с этим, названа скоростью скорости? Аналогично, если иод флюксией подразумевается зарождающееся приращение, то разве не будет отсюда следовать, что флюксия флюксии, или вторая флюксия, есть зарождающееся приращение зарождающегося приращения?»
«Вы, сэр,... будьте добры сказать мне, является лл момент сэра Исаака (Ньютона—К. Р.) конечным количеством, или бесконечно малым, или просто пределом? Если скажете, что конечным количеством, то будьте добры согласовать это с тем, что он сказал в поучении ко второй лемме первого раздела первой книги его Начал: Не следует [под этими словами] разуметь количеств определенной величины, но надо их рассматривать как уменьшающиеся бесконечно. Если вы скажете, что бесконечно малым, то согласуйте это с тем, что он сказал в своем введении к Квадратурам: Я желал обнаружить, что в методе флюксий нет необходимости вводить в геометрию бесконечно малые фигуры. Еслп вы скажете, что это просто предо.г, то бу хьте добры согласовать это с тем, что мы находим в первом случае второй леммы во второй книге его Начал: Когда до сторон А и В нехватало по половине их моментов и т. д., — где моменты признаются поделен-
648
К. Л. РЫБНИКОВ
ними1). Я был бы очень рад, если бы лицо со столь светлым умом было столь добрым объяснить, должны ли мы понимать иод флюксиями сами зарождающиеся пли исчезающие количества, пли их движения, пли их скорости, или просто их отношения..., чтобы вы затем удостоили объяснить учение о второй, третьей и четвертой флюксиях и показали, если вы можете, что оно согласуется со здравым смыслом»2).
Выпады Беркли против анализа бесконечно малых вызвали оживленную полемику. Ола не входила в расчеты Беркли, и ои вскоре отошел от этощтомы. Однако критическое рассмотрение вопросов обоснования анализа продолжалось в течение всего XVIII столетия с большой и нте н с ив и остью.
Критика Беркли и других противников математического анализа вызвала реакцию трех родов:
1) английские математики Джарип, Робинс, Ппмбор-тон, Маклорен и др. встали па путь защиты Ньютона от нападок Беркли, подробно комментируя утверждения Ньютона;
2) Даламбер, Кестнер, Эйлер и др. пошли по пути рационализации методов Ньютона и Лейбница;
3) Лагранж, Ланден и др.' встали на путь замены этих методов «чисто алгебраическим» исчислением, представлявшимся им более строгим.
По своей объективной ценности критика была различной. Наиболее плодотворным было то ее направление, которое было связано с трудностями, возникавшими в ходе применения апа шза к естествознанию и технике, развивавшимся в то время быстрыми темпами в связи с промышленным переворотом. Преодоление этих труд постой требовало крптпческогб выяснения сущности основных понятий математического анализа п уточнения его опера-
Ц Предел, таким образом, понимался Берклп в смысле «неделимого»—как точка по отношению к отрезку, линия по отпогпепшо к поверхности, поверхность—к телу. Такой взгляд на предел был характерен ие для одного Беркли.
2) Цитаты из сочинений Берклп взяты нами из книги С a j о г i F., A history of the conceptions of limits and 'fluxions in Great Britain, London, 1919, стр. 74, 76, 77. Фразы из сочинений Ньютона приведены в переводе А. II. Крылова.
113 ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
649
цпй и методов. Наоборот, наименее продуктивными оказались длительные споры между английскими математиками, вставшими па путь комментирования текстов Ньютона.
Кое-что было выяснено, однако, даже в этих спорах. Прежде всего они показали, что высказывания Ньютона по вопросам обоснования анализа во всяком случае пе отличались ясностью. Его формулировки допускали отнюдь пе однозначное истолкование. Отсюда неизбежно вытекал вывод, что защита анализа должна состоять пе в оправдании Ньютона (или Лейбница) путем толкования цитат из его сочинений, а в дальнейшем развитии анализа—его методов п понятий.
Проиллюстрируем эти утверждения па примере дискуссии между английскими математиками, разгоревшейся в XVIII веке в связи с появлением «Апалиста» Беркли1).
Как уже было отмечено, в этих спорах выявилось то, что одни и те же тексты из сочинений Ньютона давали повод к самым разным истолкованиям. Джарип считал, что Ньютон понимал предел как последнее значение величины, стремящейся к этому пределу и актуально его достигающей. Робинс энергично протестовал против такого понимания предела. Он утверждал, что переменная может только стремиться к проделу, никогда его пе достигая, и что именно так представлял себе дело и Ньютон. В подтверждение Робинс ссылался па то, что Ньютон в своей «Квадратуре кривых» (1704) возражал против метода неделимых, между тем как «утверждать, что переменные величины и отношения актуально достигают пределов и существуют в них, в этом и состоит подлинная сущность неделимых» 2).
Фактически и Джарип и Робинс предполагали, что предел—это состояние, к которому переменная стремится, принимая последовательно различные значения, и которое
х) Материалы об этом споре взяты в большинстве пз цитированной уже кппги-хрестоматни Ф. Келжори.
2) Таким образом, и Робинс понимал предел в смысле «последнего», далее неделимого состояния величины (как точка по отношению к отрезку пли линия по отношению к поверхности). Ср. С a j о-г у F., цит. соч., стр. 129.
650
К. А. РЫБНИКОВ
соответствует последнему моменту этого стремления. Но Робинс считал, что так как этому «последнему» моменту предшествует бесконечное множество других моментов, то он недостижим. К пределу можно только приближаться, никогда его пе достигая. Джарин же утверждал, что поскольку время достигает всех своих значений, хотя они заведомо образуют бесконечное и иритом даже непрерывное множество, то и величина, изменяющаяся во времени и стремящаяся к пределу, достигает его. Иными словами, Джарин пытался использовать существование непрерывных функций в качестве аргумента в пользу своего утвер-
ждения, что предел это и есть «последнее» значение церемонной, которого опа актуально достигает.
Все дискретные функции, с которыми ему в связи с комментированием Иыотопа при ходилось иметь дело, Джарин пытался поэтому доопределить но непрерывности. Прежде всего ему пришлось вы-
полнить это в применении к пределам последовательностей сумм в задачах на квадратуры: «... так как мистеру Робинсу нравится столь много говорить о напряжении нашего воображения,... посмотрим, но сможем ли мы найти какой-нибудь ясный и легкий способ представить воображению то актуальное равенство, которого достигнут друг с другом и с криволинейной фигурой вписанные и описанные фигуры по истечении коночного времени»1). Способ, предложенный Джарином, состоял в том, что площади криволинейной фигуры АВЕ (черт. 1) и каждой вписанной в нее и описанной вокруг нее суммы параллелограммов он представлял себе в виде прямоугольников с одним и тем же основанием ЛЕ и высотами Cd (для суммы вписанных параллелограммов), CD (для суммы описанных) и AF для самой криволинейной фигуры. Точки d и D, положение которых изменяется
*) С a j о г у F., пит. соч., стр. 120.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЛИЛЛИ ЗА
651
с возрастанием числа слагаемых в рассматриваемых суммах, Джарин представлял себе движущимися по двум кривым Edd и GDD и утверждал далее, ссылаясь на известную лемму Пыотопа, что поскольку Cd и CD сближают-ся друг с другом в течение конечного времени мопсе чем па любое данное расстояние до конца этого времени, то три отрезка AF, Cd и CD должны стать равными друг другу в конце этого времени. Предел, таким образом, достигается.
Лемма, о которой з щсь идет речь1), как известно, гласит: «Количэства, а также отношения количеств, которые па протяжении любого конечного (отрезка) времени по-тоянио стремятся к равенству и ранее конца этого времени сближаются друг с другом ближе, чем на любую заданную разность, становятся окончательно равными».
На наш взгляд, эта лемма достаточно ясно свидетель ствуот о том, что Ньютон действительно считал всякую функцию непрерывной и вводил в рассмотрение время именно для того, чтобы иметь возможность рассматривать предельное значение, как то самое значение, которое достигается в конце рассматриваемого отрезка времени. В то же время смысл слов «на протяжении любого конечного (отрезка) времени» нуждается в пояснении. Почему «любого», а не «какого-нибудь»?
Робинс интерпретирует это следующим образом: одним из двух рассматриваемых количеств может быть предел измененпя другого; тогда, после того как «разность однажды задана, сближение этих количеств может быть так ускорено, чтобы в менее, чем в любое заданное время переменное количество и ого продел отличались менее, чем на эту заданную разность» 2). Иными словами, величина конечного промежутка времени не играет роли, существенна только его конечность. Существенна, очевидно, потому, что сближение, и притом сколь угодно тесное, должно происходить актуально, должно осуществляться во времени, осуществляться не только в математическом смысле, по
х) «Начала» Пыотопа, кппга 1, раздел 1, лемма 1.
2) С a j о г у пит. соч., стр. 107—108.
652
К. А. РЫБНИКОВ
и физически1). В последнем и Джарип и Робинс согласны между собой (невидимому, и с Ньютоном, который пытается определить предел с помощью физического движения: с помощью механических представлении, которые, однако, сами нуждаются в понятии продела для выяснения и уточнения их содержания). По только Робинс решительно возражает против совпадения переменной с ос пределом. Последние слова из леммы Ньютона, которые он переводит в смысле «являются окончательно равными», даже в таком
переводе не совсем согласуются, однако, с версией Робин са. Почему «окончательно»?
Чтобы показать, к каким «ошибочным» результатам ведет предположение о достижении переменной ее предела, Робинс приводит следующий пример. Он рассматривает гиперболу (черт. 2) и последовательно уменьшает угол между асимптотами и осью х вплоть до совпадения обеих прямых. «В конце» гипербола совпадает с асимптотой, что «является абсурдом». Точно так же, очевидно, должно было быть «абсурдом» превращение хорды в касательную, многоугольника—в круг и т. д.
С другой стороны, и представления Джарппа о пределе были но лучше. Их о и связывал с ньютоновыми «первыми» и «последними» отношениями, пли «зарождающимися» и «исчезающими» количествами, которые определял при-
г) И притом так, чтобы предел по менялся с изменением отрезка времени, в течение которого величина стремится к нему.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
653
мерно так: «зарождающееся количество—это количество, но достигшее еще никакой указуемой величины, сколь бы мала опа пи была». Когда же его спрашивали, пе пытается ли он здесьопределитьпесуществующую вещь, Джарин отвечал, что «ее нельзя назвать пи просто несуществующей вещью, ии просто существующей. Эго несуществование, переходящее в существование, или существование, возникающее из несуществования, начинающееся существование, нечто, возникающее из ничего1»).
Неудивительно, что Маркс такого рода «диалектику» мог квалифицировать только как мистику, что он ле случайно называл подобное «обоснование» дифференциального исчисления мистическим. Неудивительно, что на этом пути нельзя было и отстоять новое исчисление от нападок идеалистов типа Беркли.
Мы пе имеем возможности в настоящей статье дать полное освещение всех сторон этой дискуссии. Приведенного, на наш взгляд, достаточно, чтобы сделать вывод об исторической бесплодности попыток решения научных проблем, когда в основе их лежит догматическое понимание предмета. Дальнейшее развитие дифференциального исчисления показало это со всей очевидностью. Оно пошло по пути развертывания практических приложений исчисления и па этой основе развития идей его обоснования.
На этом пути и добились своих успехов Эйлер и Далам-бер. Однако в области обоснования анализа они видели свою задачу пока еще только в рационализации методов Ньютона и Лейбница. Принципиально новое в работах Эйлера и Даламбсра, посвященных обоснованию анализа, состояло в том, что в них преодолевались мистические черты исчисления, свойственные первому периоду его развития, и отбрасывались представления о приближенном характере результатов анализа.
Эйлер критиковал в своем «Дифференциальном исчислении» Лейбница и его последователей. Предложенное Эйлером исчисление нулей представляло собой попытку рационализировать исчисление бесконечно малых
) С a j о г у F., цит. соч., стр. 135.
654
К. А. РЫБНИКОВ
(соответственно моментов) Лейбница (и Ньютона), превратив дифференциалы в точные нули, что должно снять вопрос о правомерности их отбрасывания.
lie останавливаясь на характеристике хорошо известного исчисления нулей Эйлера х), укажем только, что оно, наряду с иными способами обоснования, пропагандировалось в ряде книг других авторов. По подсчету Ф. Ксд-жори * 2), вопросы обоснования анализа в период с 1754 по 1784 г. освещались в 28 изданиях: из них 15 интерпретировали исчисление в духе Лойбница, шесть—в духе теории пределов Даламбера, четыре излагали исчисление нулей Эйлера, два придерживались теории флюксий, а одно излагало метод Лагранжа. Из сочинений последователей исчисления нулей приведем лишь один пример.
Джузеппе Торслли (1721—1781), поэт, философ и математик, написал и издал в 1758 г. в Вероне сочинение «Две книги о геометрическом нуле». Дифференциальное исчисление, по Торелли, ость по что иное, как исчисление пулей; однако необходимо различать метафизический и геометрический нули. По этому вопросу Торелли говорит: «Пичто есть то, в силу чего о каждом из тех предметов, которые не существуют, говорят, что он—ничто. С другой стероны, говорят, что нечто но плюет бытия в том случае, если это нечто раньше существовало, по теперь мыслится ие существующим более» 3).
Иными словами, о метафизическом нуле, о котором идет речь в первой части приведенного определения, и сказать ничего нельзя помимо того, что он есть нуль—ничто. Геометрический же пуль, которому посвящена вторая часть, ость пуль, сохранивший в известном смысле историю своего становления нулем. Поэтому его можно в отличие от метафизического пуля сравнивать с другими геометрическими нулями.
Э См., например, Эйлер Л., Дифференциальное исчисление, М., 1949.
2) С a jory F., Grafting of the theory of limits on (he Calculus of Leibniz. American Mathematical Monthly, XXX (1923), 223—234.
3) Cantor M., Vorlcsungen uber Geschichte der Mathematik, t. IV, стр. 652.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
655
С самим собой, т. е. с тем же самым нулем, с нулем с той же историей,—обозначим его 0а, если он произошел из величины а,—геометрический нуль находится в отношении 1:1. Сравнение двух величин одной и той же размерности называется сравнением «того же рода», если они обе отличны от нуля, пли сравнением «разных родов», если одна из них равна нулю. При вычитании какой-нибудь величины из самой себя возникает геометрически ii нуль, так как при этом перестает существовать нечто, ранее существовавшее. Разность .т—х, пли, как мы ее обозначим 0г, представляется в впде х (1—1). Сравнение (для примера) двух величии одной и той же размерности: х (1—1) 1 и х (1—I)2 ость «сравнение разных родов», поскольку при этом а; нужно сравнивать с х, 1—1 с 1—1 и 1 с 1—1. Обе величины равны пулю, по в этом сравнении второй нуль исчезает перед первым, поскольку его отношение к первому равно нулю:
_ 1-1 х(1 —1)-1 ‘ 1
Тореллп, таким образом, пытается построить такое «исчисление пулей», где все операции были бы, говоря языком математических рукописей Маркса, «математически правильны», т. с. по содержали бы недостаточно обоснованных отбрасываний бесконечно малых и в то же время не требовали бы введения каких-нибудь чуждых анализу и.in недостаточно выясненных понятий вроде «скорости» плп «предела» (в то время это понятие было еще очень туманным).
Однако алгоритма отыскания производной хотя бы для какого-нибудь ограниченного класса функций—алгоритма в смысле разработанной программы действий, указывающей, в какой последовательности и какие именно «реальные» математические операции нужно выполнить, чтобы получить производную, у ТорелЯи не было. Ио было у пего и самого понятия производной: речь шла только о нахождении отношения «нулей с историей». Это нахождение подчинялось, правда, некоторым общим правилам, из которых важнейшим, помимо уже приведенного отбрасывания нулей высших порядков, было следующее: если
656
К. Л. РЫБНИКОВ
мы обозначим разность а—а через 0а то, согласно Торе л ли,
_а — а__а(1—1) а 0а а Т’ °* б;=Г
Однако эти правила но носили алгоритмического характера. В частности, последнее пз них употреблялось
скорее для чем наоборот.
а 0 а
нахождения отношения через отношение д-. р
Невидимому, именно это Маркс и имел в виду, говоря, что Даламбер и Эйлер рационализировали исчисление Лойбница и Ньютона, освободив ого от мистических
Черт. 3.
актуально бесконечно малых, этих «тепой» действительной величины, по выполнили это только в применении к символической стороне равенств, отражающих процесс нахождения производной.
Чтобы показать, как именно Торелли пользовался своими правилами в тех или иных случаях, в частности, а Ч.
как он находил отношениечерез т,- , мы приведем пример
у
нахождения отношения —, где у —ордината точки пара-
болы, a v — ее подкасательная.
Заметим прежде всего, что касательная понималась Торелли как проходящая через точку (х, у) прямая, которая рапсе пересекала кривую в двух точках (х, у) и (xv yj, а теперь уже не пересекает ее (черт. 3).
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
(к) I
Когда она перетекала кривую, разность ординат точек пересечения F и Е была у1 — у, теперь же эта разность имеет вид у — у = у (1 - 1) = 0у.
Аналогично, если Н и G — точки пересечения секущей п касательной с осью абсцисс, В и / —проекции точек F и Е па эту ось, a v и г^ —отрезки ВII и IH, то разность этих отрезков, которая была ранее — v, теперь превратилась в v — v — v (1 — 1) = О,., где v — подкасательная BG для точки F.
ГТ _ 0 и у
Поскольку -Я—— 9 НаХО/КДСППС искомого отношения V
у О
—- сводится к нахождению отношения Последнее же Ц)
находятся следующим образом (мы позволим себе здесь только изменить обозначения Торелли, который именует отрезок двумя буквами, следуя чертежу).
Уравнение параболы дает нам рз\ = у\> или Р (х Ь (хл - ж)) = (у - (т/х — у))2. По рх = у2, поэтому р (хг — х) = 2у (yt — у) 4- (уг - ?/)2. Так как жг — х = - v
{IB — 1H—BII}, то Р (г.4 - г) = 2у (уг - у) к (^ — у)2. Когда точка (я^, уу) сливается с точкой (ж, у), мы получаем:
р (г> - v) = 2у (у -у)-] (у - у)2, или р • 0о = 2у 0у L %.
Поскольку сравнение членов 2?/-0у и Оу есть сравнение «разных родов», то нуль высшего порядка Оу может быть отброшен, и мы получаем:
0и 2у Л
Мы видим, что «исчисление пулей» ость действительно пе что ипос, как попытка перевести методы Лейбница па такой язык, где вместо актуально бесконечно малых фигурировали бы точные пули. Поскольку в действительности этот метод также нс решал в более сложных случаях вопроса об опрсделении порядков геометрических нулей (как пе решал его и метод Лейбница), он пе выдержал критики и быстро сошел со сцепы.
J) Ср Cantor М., цит. соч., стр. 653.
42 Историко-матем. исследования
658
К. А. РЫБНИКОВ
Отличной была судьба метода пределов Даламбера, который также возник па почве критического пересмотра всех существующих попыток обоснования анализа. Далам-бер категорически отрицал существование особых бесконечно малых величин: «Величинаость или нечто, пли ничто: если она почто, то опа еще пе исчезла; если же опа ничто, то опа в буквальном смысле слова исчезла. Предположение, что существует промежуточное положение между ними двумя, есть химера»7).
Критический пересмотр работ по обоснованию анализа, произве Щ1НПЛЙ Даламбером, заставил его отдать предпочтение методу первых и последних отношений Ньютона. Этот метод Даламбер развил, придав ому форму метода пределов. Характеризуя этот метод, он писал, что Ньютон «но рассматривал дифференциальное исчисление как исчисление бесконечно малых величин, по как метод первых и последних отношений. Этот знаменитым автор никогда пе дифференцировал величины, но всегда только уравнения; ибо всякое уравнение заключает отношение между переменными, а дифференцирование уравнений состоит лишь в нахождении пределов отношений конечных разностей двух переменных, которые содержатся в уравнении» * 2).
По отношению к методу пределов критика вела пе к отказу от этого понятия, а к его все большему уточнению и выяснению, хотя и обнаруживала всякий раз новые трудности, связанные с вопросом о существовании предела и способах его эффективного нахождения3). Однако понятие предела и во времена Даламбера, и даже после пего, было еще настолько неясным, что такой математик, как Лагранж, не решился положить его в основу математического анализа. Вопреки широко распространенному—
J) D’Alembert, Melanges de litlerature etc., Amsterdam, 1767, стр. 219—250.
2) D’ A 1 e m b e r t, Статья «Differcnticlle» в Encyclopedic, IV, стр. 985—986.
s) Вплоть до известной теоремы ТПпекера о последовательности рациональных чисел, заданной с помощью алгоритма, пс зволяюще-го по номеру п эффективно вычислить соответствующий член последовательности, монотонной и ограниченной, п тем не мопсе такой, что пи одни (двоичный или десятичный) знак предела не может быть вычислен.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
(>5У
в том числе и среди советских математиков—мнению, будто первые творцы действенных методов математического анализа не имели ни потребности, ни времени задуматься на i основами той теории, которую строили, отвечая на запросы естествознания и техники, в действительности Ньютон, Лейбниц, Лагранж и другие но только испытывали потребность разобраться в основах своей теории, чтобы справиться с довлевшими над нею трудностями, ио и находили время для исследований па эту тему.
Одним пз таких исследований была знаменитая работа Лагранжа «Теория аналитических функций, содержащая принципы дифференциального исчисления, освобожденные от всякого рассмотрения бесконечно малых или исчезающих пределов и флюксий и сведенные к алгебраическому анализу коночных количеств» (1797). Сочинение это хорошо известно математикам и в настоящей работе пот необходимости в его характеристике. Однако высказывания Лаграпжа в этом трактате настолько убедительно разъясняют вопрос о значении научной критики в истории возникновения его теории, что невозможно удержаться от выписки, хотя и несколько длинной.
«Первые геометры, —говорит Лагранж, —употреблявшие дифференциальное исчисление, Лейбниц, Бернулли1), Лоппталь п другие основали его па рассмотрении бесконечно малых количеств различных порядков и па предположении, что можно рассматривать и трактовать как равные количества, отличающиеся друг от друга только па величины, бесконечно малые по сравнению с ними. Довольные тем, что посредством приемов этого исчисления они приходили быстро и уверенно к точным результатам, опп совсем не занимались доказательством ого принципов2). Их преемники Эйлер, Даламбер и другие пытались устранить этот недочет, показав па частных приложениях, что разности, которые предполагают бесконечно малыми,
Э В оригинале—во множественном числе, т. е. братья Я. и II. Бернулли.—К. Р.
2) Не эти ли слова Лаграпжа,—кстати, отнюдь пе верные,— лежат в основе того деления истории математики на периоды творческие и периоды критические, о котором уже шла речь?— К. Р.
660
К. А. РЫБНИКОВ
должны быть в абсолютном смысле нулями и что их отношения—единственные количества, которые действительно входят в исчисление, являются не чем иным, как пределами отношений конечных или неопределенных (indelinies) разностей.
Однако нужно признать, что эта идея, хотя и верная сама ио себе, недостаточно ясна, чтобы служить основой для науки, достоверность которой должна быть основана па очевидности, и особенно, чтобы быть предложенной начинающим» 1).
J3 следующей фразе Лагранж высказывается в пользу мнения, что «истинная метафизика» исчисления состоит, как это утверждал Беркли, во взаимной компенсации ошибок: «...что легко показать па примерах, но что было бы, может быть, трудно снабдить общим доказательством»2).
«Чтобы избежать предположения бесконечно малых, Ньютон рассматривал математические количества как порожденные движением,—продолжает Лагранж,—и искал метод непосредственного определения скоростей, или скорее, отношения переменных скоростей, с которыми эти количества возникли; это и называют, согласно ему, методом флюксий ила флюксаоиалъным исчислением, потому что он называл эти скорости флюксиями количеств. Этот метод, или это исчисление согласуется, в основе и в операциях, с дифференциальным исчислением и отличается от ного только метафизикой, которая представляется действительно более ясной, потому что все люди имеют, или думают, что имеют, идею скорости. Но, с одной стороны, вводить движение в исчисление, предметом которого являются только алгебраические количества, это значит вводить в него идею чуждую и обязывающую рассматривать эти количества как липин, пробегаемые движущимся телом; с другой стороны, приходится признать, что мы пе имеем даже достаточно ясной идеи о том, что такое скорость точки в каждый момент, когда эта скорость переменная, а ученый „Трактат о флюксиях" Маклореиа свидетельствует о том, как трудно строго доказать метод
Э Oeuvres de Lagrange, Париж, 1881, т. IX, стр. 16.
2) Там же, стр. 17.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
661
флюксий и сколько частных уловок приходится применять, чтобы доказать различные части этого метода.
Сам Ньютон поэтому в своей книге «Начала» предпочел, как более короткий, метод последних отношений исчезающих количеств, и к принципам этого метода сводятся в конечном счете доказательства, относящиеся к методу флюксий. Но этот метод, как и метод пределов, о котором мы говорили выше и который, в сущности, является не чем иным, как его алгебраическим переводом, имеет большое неудобство, состоящее в том, что он рассматривает количества в состоянии, где они перестают, так сказать, быть количествами; ибо, хотя всегда легко рассматривать отношение двух количеств, поскольку опп остаются конечными, это отношение не представляется больше разуму в виде ясной и точной идеи, как только оба члена становятся одновременно нулями.
Чтобы избежать этих трудностей, один искусный английский геометр, сделавший в анализе важные открытия, предложил в последнее время заменить метод флюксий, которому до тех пор пунктуально следовали все английские геометры, другим методом, чисто аналитическим и аналогичным дифференциальному методу, но в котором вместо того, чтобы употреблять только бесконечно малые или пулевые разности переменных количеств, употребляют сначала различные значения этих количеств, которые затем приравнивают после того, как посредством деления уничтожают множитель, который этим равенством обращался бы в нуль. Этим способом действительно избегают бесконечно малых и исчезающих количеств; но приемы и приложения исчисления затруднительны и мало естественны, и нужно признать, что этот способ сделать дифференциальное исчисление более строгим в его началах лишает его основных примуществ простоты метода и легкости операций». В скобках приводится ссылка на «Анализ вычетов» Джона Ландена (1764) и на другое его сочинение 1758 г.
«Эти различия в способе установить и представить принципы дифференциального исчисления и даже в наименовании этого исчисления,—заключает Лагранж,—
602
К. Л. РЫБНИКОВ
свидетельствуют на мои взгляд, что не была понята его истинная теория, хотя и были найдены сначала правила наиболее простые и наиболее удобные для механизма операций»1). Далее Лагранж излагает принципы своей теории аналитических функций, па которых мы здесь но будем останавливаться.
Из приведен пой выписки видно, что Лагранж был хорошо знаком пе только с «Авалистом» Беркли, по и с разгоревшейся в среде английских математиков полемикой, что ого собственная теория возникла, в значительной мере, как ответ на трудности, вскрытые во всех этих выступлениях.
Конец XVIII и начало XIX века ознаменовались появлением ряда работ по обоснованию анализа. Они представляют большой интерес. Приведенный нами материал хотя и пе дает полной картины громадной работы математиков данного периода по обоснованию математического анализа и достигнутых ими успехов, все же позволяет сделать некоторые выводы.
Представление о сменяющих друг друга в истории математики критических и творческих периодах оказывается неверным. Классический пример творческого периода, на который ссылаются все сторонники этой теории,—история математического анализа в XVIII веке,—не соответствует даваемой этому периоду характеристике. Работы критического характера в этот период весьма многочисленны. В них всесторонне рассматривались вопросы обоснования анализа. Проблема обоснования прошла весьма значительный путь своего развития: периоды мистического исчисления, рационального исчисления и алгебраического исчисления производных функций. Период активного научного творчества оказался также периодом интенсивной научной критики и больших успехов в деле логического обоснования анализа.
Рассмотренные здесь нами научные споры, борьба мпе-' ппй в области обоснования математического анализа являются лишь одной из сторон более общей борьбы—борьбы идейной.
J) Oeuvres de Lagrange, т. IX, стр. 18.
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
663
В. И. Ленин в 1908 г. писал: «Известное изречение гласит, что если бы геометрические аксиомы задевали интересы людей, то они наверное опровергались бы. Естественно-исторические теории, задевавшие старые предрассудки теологии, вызвали и вызывают до сих пор самую бешеную борьбу»х). На примере борьбы марксизма с ревизионизмом Ленни показал, что реакционные воззрения, преодоленные ходом развития науки, трансформируются и продолжают свою борьбу на почве самого марксизма в виде ревизионистских течений, уклонов, «критических» направлений ит. и.
В плане философской борьбы, борьбы материализма и идеализма усилия Беркли предстают перед нами как попытка укрепить предрассудки теологии за счет невыясненности некоторых основных понятий одной ветви одной из наук—математики. Беркли в этой борьбе был пе одинок. Еще до появления его «Аналиста» математический анализ подвергался настойчивым атакам со стороны Ролля* 2), поддерживаемого в Парижской Академии влиятельными лицами Ла Гпром и аббатом Гюйе. В дальнейшей истории нередки были попытки использовать еще неясные вопросы для нужд поповщины. Например, в Италии Гвидо Гранди по поводу парадоксального результата Лейбница
1
1—1-|-1—1 -ф... = у высказывался, что он согласуется с таинствами христианской религии и с сотворенном мира, когда абсолютная бесконечная сила создала нечто из абсолютного ничто. Число аналогичных мистических спекуляций велико, но перечислять их пет необходимости.
Исторически положение дел всегда складывалось так, что идеалисты использовали в своих целях невыясненность тех или иных вопросов науки. Однако борьба вокруг подобных вопросов всегда приводила к новому подъему науки, к победе нового, развивающегося и к преодолению старого, отмирающего.
В свете указанных фактов напрашивается вывод, что сама концепция творческих и критических периодов
*) В. И. Л с и и н, Сочинения, 4-е изд., т. 15, стр. 17.
2) О Ролле см.: С. А. Я ц о в с к а я, Мишель Голль как критик анализа бесконечно малых.—Труды Института истории естествознания АН СССР, т. I, М.—Л., 1947, стр. 327—346,
664
К. А. РЫБНИКОВ
в развитии пауки не так уж безобидна. Она искажает действительный процесс развития науки и может служить аргументацией в пользу сил, стремящихся задержать ход истории, в настоящее время—в пользу ученых прислужников империализма.
Вопросы обоснования основных понятий математического анализа со всей остротой возникли снова в начале XX века. Борьба, которая развернулась вокруг этих понятий, в условиях империализма привела непосредственно к кризису основ математики, отражающему невозможность с позиций идеалистической философии справиться с трудностями, связанными с диалектической природой основных понятий и методов математического анализа. Однако старая история с «Авалистом» Беркли повторилась. Критика математического анализа со стороны Браусра и других лнтуицпонистов вызвала пе только попытки любой ценой отстоять достижения теоретико-множественной школы в анализе (формализм Гильберта), по и, вопреки намерениям Брауера, привела к результатам, имеющим объективный смысл и выясняющим соотношение конструктивных методов анализа и характерных для пего неконструктивных теорем существования.
С этой точки зрения представляют особый интерес работы советских математиков А. II. Колмогорова, И. С. Новикова, А. А. ^Маркова, II. А. 111апнна и других, самая полемика между которыми ведется с позиций диалектического материализма. Работы Геделя и Клипа по вопросам, затронутым в споре между интуиционизмом Брауера и формализмом Гильберта, лишний раз демонстрируют, как попытка разобраться ио существу в трудностях, на которых спекулирует идеализм, ведет к результатам, прямо противоположным тем, которые ему хотелось получить.
Обратив внимание на специфические особенности конструктивных методов математики, Брауер хотел использовать их, чтобы «доказать», что математика это вообще по наука, а только вид субъективной деятельности человека («творческого субъекта»), с помощью которой последний вносит порядок в «хаос» природы и человеческих взаимоотношений и подчиняет себе if вообще господствую
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
665
щему классу всех остальных людей. Действительное исследование сущности математических конструктивных методов (алгоритмов), в том числе и фактов, открытых самим Браусром, обнаружило их объективный (а не субъективный, как этого добивался Брауср) смысл и позволило установить конструктивную роль доказательств существования в самом определении конструктивной (так называемой общерекурсивной) функции
Мы не имеем здесь возможности подробно остановиться на основах современной теории рекурсивных функций. В плане рассматриваемого вопроса мы хотели лишь подчеркнуть, что враждебный крик пнтуицпописта Бра-уера является современной разновидностью отмеченного Марксом враждебного крика реакционных сил. Б искаженной идеалистической форме он отражает трудности роста математической пауки. В борьбе вокруг поднятых Браус-рсм проблем неизбежны победа диалектико-материн диетических воззрений и дальнейшее развитие математики Таковы законы истории
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ (по материалам ее переписки)
П. Я. Получи рн нова-Почина
Переписка С. В. Ковалевской, хранящаяся в архиве Миттаг-Леффлера в Дьюрсхольме (окрестность Стокгольма), фотокопии которой были получены в 1950 г. Академией паук Советского Союза, представляет богатый материал, доставляющий нам сведения о самой Ковалевской, а также о математическом мире восьмидесятых годов прошлого столетия. Часть этой переписки опубликована мной в «Успехах математических наук» (т. VII, вып. 4(50), 1952, июль—август).
В настоящей статье я останавливаюсь главным образом па научно-общее гневной деятельности Софьи Васильевны. Но Ковалевская была настолько мпогограиной натурой, а ее научная, общественная и личная жизнь настолько переплетаются, что порой невозможно их отделить, и мне придется попутно касаться некоторых сторон ее личной жизни.
В основном я опираюсь па письма Венсрштрасса (84 письма), Миттаг-Леффлера (около 80 писем), Эрмита (1G писем) к С. В. Ковалевской, на письма Ковалевской к Миттаг-Леффлору (420 писем и записок), а также на переписку Сильвестера и Хапземана с Ковалевской 2).
9 Перевод писем со шведского языка, а также некоторых с французского и немецкого был выполнен дочерью Софьи Васильевны—Софьей Владимировной Ковалевской, скончавшейся 13 июня 1952 г., 74 лет. Большая часть других переводов, в частности писем Венсрштрасса, сделана Е. О. Бильдт. От Д. Я. Броуна я получила ряд библиографических сведений.
Зак- 493
С. В. Ковалевская (1887 г.)
C. D. Ковалевская
(1888 г.)
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
667
1. КОВАЛЕВСКАЯ П ВЕЙЕРШТРАСС
Прежде чем перейти к рассмотрению писем Карла Всйерштрасса (1816—1897), я позволю себе дать краткое описание обстановки, в которой жил маститый ученый. Оно заимствовано мной из книги Клары Хофер «Соин Ковалевская», изданной в Берлине в 1927 г. х). В ней есть много неточностей, ио, невидимому, то, что касается Вейер-штрасса, в основном правильно.
С. В. Ковалевская, 20-летняя девушка, пришла к Веп-ерштрассу, 55-летнему ученому, 3 октября 1870 г.
Дом, в котором жил Вейерштрасс, был старомодным и хорошо содержался. Узкая тканая дорожка, поддерживаемая латунными стержнями, шла вдоль лестницы, выкрашенной в томпокоричповую краску. Направо, на латунной проволоке, была рукоятка звонка из белого фарфора, на котором стояло черными буквами «Вейерштрасс». Па звук несколько поржавевшего колокола появлялась пожилая прислуга в сером кринолине и белом переднике. Опа носила мягкую домашнюю обувь и отвечала па обычные вопросы монотонным голосом: «Да, профессор дома». Квартира имела три комнаты, в одной из которых была коричневая ринсовая мебель. Ковер над софой представлял гобелен, на котором была выткана святая ночь в хлеве с картины Корреджо. По сторонам трюмо были два окна, завешанных туго накрахмаленными гардинами, возле них росли два симметрично поставленных фикуса. В жилой комнате, которая вместе с тем служила столовой, сидели за круглым столом, покрытым скатертью с мозаично поставленными зап.татами, две женщины в черных платьях с подшитыми воротничками и длинными цепочками из человеческого волоса для часов. Это были сестры ученого, Клара и Элиза. Опп вязали толстые шерстяные чулки для немецких ополченцев, сражавшихся во Франции. Впечатление чистоты и педантичности дополнялось чувством уюта, которое, однако, улетучивалось в третьей комнате—кабинете великого математика.
Э Hofer Klara, Sonja Kowalewsky. Die Geschichte einer geistigen Frau, Stuttgart—Berlin, 1927 (336 стр.).
668
П. Я. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА
Здесь были портреты родителей, плохо выполненные странствующим живописцем в крюгеровской манере, дагерротип брата, много силуэтов и гипсовые статуи Декарта, Лапласа и Канта, а также бюст Аристотеля. Арсенал трубок свидетельствовал о склонности учепого к курению.
В это помещение и вошла маленькая дама робкого вида, укутанная в бедуин.
Посетительница пробормотала па ломаном немецком языке несколько не совсем связных фраз с изложением своей просьбы.
Вейерштрасс высказал ей свою точку зрения па занятия математикой: оп пе ставит своей целью облегчить налипающему проникновение в высокую науку, так что постижение неизведанных глубин может оказаться тяжелым игом для любителя, и т. д.
Из статьи Миттаг-Леффлсра известног), что Вейерштрасс написал письмо Кенигсбергеру (его лекции Ковалевская слушала в Гейдельберге), в котором спрашивал его о способностях иностранки и о том, «представляет ли личность этой дамы необходимые гарантии». Кенигсбсргор дал более чем благоприятный ответ, п Вейерштрасс решил поддержать ходатайство о допуске Софьи Васильевны к слушанию его лекций. Однако руководство университета пе разрешило этого. Вейерштрасс пишет Кепигсбергеру 25 ноября 1870 г. письмо по этому поводу.
Как известно, в 1870 г. Пруссия вела с Францией войну, которая отразилась и на занятиях математикой в Берлинском университете. Так, Вейерштрасс начал свои лекции по эллиптическим функциям при наличии только 20 слушателей, в то время как предыдущий ого курс по этому предмету собрал 50 человек. И вот Вейерштрасс жалуется Кенигсбергеру:
«Тем более тягостно для пас, что непреклонная воля высокого совета (университета) до сих пор никак не допускает к нам замены, которую Вы предлагаете нам в лицо Вашей слушательницы,—при условии правильного весо-
0 Acta Mathematica, t. 39. М i 11 a g-L c f f 1 e r, Weierslrass und Sonja Kowalcwskj\ См. также заметку И. Я. Денмана в этом сборнике, стр. 713—715.
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
669
вого коэффициента она могла бы оказаться весьма цепной». Речь идет о Ковалевской, причем ко времени написания этого письма Вейорштрасс уже успел убедиться в ее необыкновенных способностях.
Обычно рассказывают (А. Ш. Леффлер уверяет, что слышала это от самого Вейсрштрасса), что во второй приход, когда Софья Васильевна сняла свой бедуин, она поразила профессора своим юным видом if умным, оживленным лицом.
Из 84 сохранившихся писем Вейерштрасса 44 относятся к периоду обучения у него Софьи Васильевны. Первое письмо, от 11 марта 1871 г., представляет записку такого содержания: «Милостивая государыня! К сожалению, мне нельзя было побывать у Вас вчера вечером и в то же время невозможно было, по некоторым обстоятельствам, уведомить Вас об этом. Но надеюсь, что завтра Вы обрадуете меня своим посещением. С дружеским приветом преданный Вам Вейерштрасс, Берлин (суббота) 11 марта 71».
По воскресеньям и еще раз в неделю Ковалевская приходила к учителю, раз в педелю он бывал у нее (Софья Васильевна жила в Берлине с К). В. Лермонтовой).
Весной 1871 г. занятия с Вейерштрассом были прерваны в связи с поездкой Софьи Васильевны и Владимира Оиуфрпсвпча Ковалевских в Париж, осажденный пруссаками. Эти героические страницы жизни Ковалевских еще пе полностью раскрыты. Что пов. юкло их в такое опасное путешествие? Во всяком случае, несомненно, что Софья Васильевна была охвачена страшной тревогой за свою горячо любимую сестру, Анну Васильевну, жену парижского коммунара Жаклара и активную деятельницу Парижской Коммуны. Ковалевские жили «иод Коммуной» с 5 апреля по 12 мая, т. е. они пробыли в осажденном Париже 38 дней из 71 дня Парижской Коммуны (существовавшей с 18 марта ио 28 мая). Ковалевская ухаживала за ранеными в госпитале вместо с сострой и другими коммунарками, заменившими монахинь, изгнанных за их злобное обращение с ранеными.
По возвращении в Берлин С. В. Ковалевская собиралась продолжить занятия с Вейерштрассом, о чем свидетельствует ого записка от 3 июня (суббота), в которой он
67U
IT. Я. ПОЛУБАЙИНОВА-КОЧИНА
извещает, что завтра после обеда будет дома и будет рад видеть свою ученицу у себя.
Но из Парижа шли, по словам В. О. Ковалевского, «раздирательные вести» о кровавом подавлении Коммуны, с «гуртовыми убийствами и расстреливаниями». «Очень много из наших хороших знакомых убиты и расстреляны»—пишет В. О. Ковалевский брату в письме от 28 мая 1871 г. Д. Арестованному Жаклару грозил смертный приговор или ужасы ссылки в Новую Каледонию. И Ковалевские опять поехали в Париж, па этот раз действительно спасать Жаклара. Уже 11 июня Ковалевские были в Париже. Туда же приехали родители Софьи Васильевны—старый генерал В. В. Корвии-Круковский п ого жена. Общими усилиями они устроили побег Жаклара.
Осенью Софья Васильевна возобновила занятия в Берлине. Письма Вейорштрасса от 6 и 14 ноября 1871 г. содержат записку к заведующему университетской библиотекой с просьбой включить Ковалевскую в число абонентов. Ко второму письму был приложен экземпляр «Минимальных поверхностей» Шварца.
В записке 25 марта 1872 г. Вейерштрасс пишет:
«Могу ли я Вас попросить, уважаемый друг, написать мне ла листе бумаги к следующей встрече доказательство теоремы, о которой мы вчера рассуждали п которой мне хотелось бы поделиться с одним моим другом?».
Через два года после начала занятий отношения между Вейерштрассом и Ковалевекой приняли более теплый и дружеский характер. Нужно отметить, что в это время Софья Васильевна находилась в длительной разлуке с Владимиром Онуфриевнчом. После происшедшей размолвки Владимир Онуфриевич покинул Софью Васильевну и стал вести своп научные занятия в других частях Европы. Л. III. Давиташвили в своей книге говорит по этому поводу, что, несмотря па любовь к Софье Васильевне, «а может быть именно в силу этой любви, Ковалевский глубоко оскорбил в одном из своих писем ту, которую всегда „носил па руках"»* 2).
*) Д а в и т а пт в и л и Л. ITT.. В. О. Ковалевский. 2-е изд., М., 1931, стр. 135.
2) Д а в и т а ш в и л и Л. III., пит. соч., стр, 142.
К БИОГРАФИИ с. б. КОВАЛЕВСКОЙ
671
Нужно отмстить, что Владимир Опуфриевпч был крайне нервным п болезненно самолюбивым человеком, его очень тяготила ложность фиктивного брака. Сохранились письма Софьи Васильевны от весны 1873 г., периода примирения Ковалевских. Я приведу коротенький отрывок из одного письма:
«.. Когда я вспоминаю о вас таким, как знала вас в первые годы нашего знакомства, и о всем дорогом прошлом, с которым вы так тесно связаны, мне приходит неотразимее желание опять назвать вас братом. Но мой „брат“, такой, как он остался в моих воспоминаниях и которого я очень сильно гнобила, пе имеет ничего общего с этим новым Владимиром Оиуфриевичем, который не может оторваться от своей работы, чтобы повидаться со мной дня два после года разлуки, и который так завален письмами от Дарвинов, Гексли и прочих знамени iwx людей, что в течение недели пе может найти минуты ответитьх) на мое письмо».
После обмена рядом писем состоялось примирение. Ковалевская поняла, что многое в поведении со мужа объяснялось его ровностью, и теперь опа весело смеялась над его первоначальной попыткой к примирению, выразившейся в посылке ей туфель, и с чистым сердцем утеряла его в отсутствии поводов для ревности.
Летом 1873 г. Ковалевские уже зажили семейной жизнью. Но осенью 1872 г. Софья Васильевна была в подавленном настроении. Она всегда обладала широким кругом интересов. Однако теперь, целиком погрузившись в математику, опа по откликалась ни па что другое. Мнттаг-Леффлер считает, что 25 октября 1872 г. Ковалевская рассказала учителю о своей личной жизни, так как на следующий день он написал ой такое письмо:
«Моя дорогая Софья! Я только что нашел в своих бумагах несколько старых заметок насчет простейшей задачи вариационного исчисления. Несмотря на другой способ обозначений, Вы, как я думаю, сможете хорошо их использовать для проработки, поэтому я их и посылаю, предполагая, что Вы еще пе начали Ваш трудовой день.
г) В подлиннике «отвечать».—Прим. П. П.-К.
672
П. Я. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА
Сегодня ночью я много думал о Вас; это нс могло быть иначе—мои мысли блуждали в разных направлениях, по всегда возвращались к одному пункту, о котором я сегодня же должен поговорить с Вами.
По боитесь, я не коснусь вопросов, о которых мы согласились не говорить, но крайней море, в настоящее время. То, что я хочу Вам сказать, связано с Вашими научными стремлениями, по я по уверен, что при Вашей милой скромности, с которой Вы судите о том, чего Вы уже и теперь достигли, Вы были бы склонны согласиться с моим планом». И он предлагает зайти к пей па часок перед обедом, чтобы устно обсудить этот план. Вейерштрассу хотелось направить мысли своей ученицы на определенную цель—получение диплома доктора. Речь шла о выборе задач для этой цели.
В следующих письмах, написанных в период болезни Вейерштрасса, он переходит в обращении к Ковалевской на ты. 11ервое пз этих писем, от 4 ноября 1872 г., начинается так: «Мой дорогой друг! Пересылаю тебе при этом один лист, который ты забыла вчера взять с собою, по должен обратить твое внимание па некоторые пункты». Он указывает, что посылает ей две теоремы о линейных дифференциальных уравнениях. Далее идет изложение вопроса о вариации определенного интеграла,причем па следующий день Вейерштрасс посылает исправление предыдущего изложения.
В одном из писем Вейерштрасс говорит в ответ па ее слова с выражением боязни помешать ему: «Будь уверена, что я никогда пе забуду, что именно благодарности моей ученицы я обязан тем, что обладаю по только моим лучшим, но и единственным настоящим другом. Поэтому еслп ты и в будущем сохранишь то расположение ко мне, которое до сих пор проявляла, то можешь твердо рассчитывать на то, что я буду преданно поддерживать тебя в твоих научных стремлениях».
Эго письмо относится к апрелю 1873 г., когда и Вейерштрасс и Ковалевская были больны и когда она уехала для поправления здоровья в Швейцарию к своей сестре, которая там жила в качестве политической эмигрантки после побега из Парижа.
К БИОГРАФИИ С. Р>. КОВАЛЕВСКОЙ
673
В Цюрихе Софья Васильевна познакомилась со Шварцем п возымела желание работать у него—у них оказались совсем одинаковые планы работ, да и Шварц принял ее восторженно.
Литвинова J) замечает, что как бы в ответ на эти думы проницательный Вейерштрасс написал ой, что для ное у пего всегда найдется время, несмотря на то, чго он был назначен ректором Берлинского университета. Действительно, в письме от 20 августа 1873 г. Вейерштрасс говорит: «Если тебе кажется, что следующей зимой ты будешь меня очень редко видеть, то ты меня превратно поняла—во всяком случае мы пе откажемся от наших воскресеппй, да и в другие дни я найду все-таки часочек, который смогу посвятить своему милому другу».
Однако с возвращением в Берлин он просит С. В. Ковалевскую повременить, так как в городе холера. Это письмо было написано Вейерштрассом на острове Рюгене (на Балтийском море), где он отдыхал. Описав красоту моря и острова с его нолями ржи, лугами и лесами, учитель выражает сожаление, что ого ученицы пет с ним. «Как прекрасно мы оба—тыс твоей полной фантазии душой и я, возбужденный и освеженный твоим энтузиазмом, могли бы мечтать и думать здесь о многих задачах, которые нам предстоит решать—о конечных и бесконечных пространствах, об устойчивости мировых систем и о всех других великих задачах математики и физики будущего. 11 о я ужо давно научился смиряться с тем, чго нс всякий прекрасный сон осуществляется».
Такое письмо должно было поколебать Софью Васильевну в ее намерении изменить своему старому учителю. Об этом опа говорила Литвиновой, которая вспоминает слова Ковалевской: «Итак, значит, мне ио судьба остаться здесь, надо охать в Берлин, да и Юленька* 2) уже там». «Разве вы ставите Шварца выше Вейерштрасса?»—спросила Литвинова. «Ах, вовсе пет,—ответила Софья Васильевна,—но с идеями Вейерштрасса я ужо освоилась, а здесь, знаете ли, прелесть новизны меня привлекает. Но, разумеется,
х) Е. Ель (Литвинова Е. Ф.), Из времени моего студенчества. Знакомство с С. В. Ковалевской, «Женское дело», 1899, апрель.
2) Лермонтова.
йЗ Исторпко-матем. исследования
674
II. Я. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА
я всегда сумею с собою справиться и буду жить там, где должна». На вопрос, чем же обусловливается это «должна», она ответила: «Моим назначением или, если хотите, главною целью в жизни, но я больше люблю слово назначение, потому что цель жизни во мне самой, а назначение—высшего происхождения. Я чувствую, что предназначена служить истине —пауке и прокладывать новый путь женщинам, потому что это значит служить справедливости».
Летом Ковалевская ездила в Ба шбино, а осенью, в конце октября 1873 г., вернулась в Берлин. Вейерштрасс оказался сильно загруженным, и ряд ого записок связан с тем, что приходилось менять время занятии.
19 ноября он пошет, что посылает он еще серию «Песен без слов», которые все относятся к минимальным поверхностям. Он собрал отдельно листы и просит сохранить их в том порядке, в каком он их разложил. «Я хотел их тотчас же доверить твоим рукам, чтобы они у меня снова по пришли в беспорядок». Правда, насчет порядка в бумагах и Софья Васильевна пе была безукоризненной.
Математические вопросы, которые рассматриваются Вейерштрассом в письмах 1873—1874 гг., относятся к теории целых комплексных чисел с п единицами, приведению абелевых интегралов и к уравнению теплопроводности. В качестве примера я укажу предложенную им Ковалевской задачу пз последней области.
Дифференциальное уравнение _________________________<92ср dt дх2
имеет частный интеграл
Ф = (aZ)~v/’ (н), И — Х Л ,
где X, р, v—произвольные постоянные, a F(u) удовлетворяет уравнению
F" («) + у V-uF' (и) -j- ^F (н) = 0.
Каково общее решение этого уравнения? Вейерштрасс имеет в виду общие свойства решения.
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
675
Когда Ковалевская вернулась в Россию, Вейерштрасс вначале писал ой длинные письма. Он отчитывался в израсходовании денег, которые опа оставила ему для уплаты за печатание се диссертации об уравнениях в частных производных (в то время диссертации печатались за счет диссертанта), сообщал новости математической жизни. 1 января 1875 г. он поверяет Ковалевской свои грустные мысли.
«... Мне крайне необходимо, как ты и сама сознаешь, сначала закончить мои старые работы. С этим я не должен медлить и по другим причинам. В настоящее время, с тех пор как молодые математики увидели, что писать толстые книжки (Bi. В.—пе указывая источников) является самым верным средством завоевать у толпы почет и добиться хорошего места, как раз в области анализа, тщательному исследованию которого я посвятил .лучшую часть моей жизни, слишком бесчинствуют, и давно настала пора помешать этому». Он негодует па одного своего старого ученика, который только что опубликовал толстую книгу об эллиптических функциях, «а теперь также выбрал себе в жертву и абелевские функции, в области которых он ио сделал ничего самостоятельно».
Вейерштрасс требует от научной работы «единства метода, последовательной разработки единого плана, соответственной разработки деталей, и чтобы на ней лежала печать самостоятельного исследования. Достаточно плохо уже то, что у пас, как и в других местах, учебники так часто пишутся недостаточно компетентными людьми, причем за французами надо, по крайней мере, признать ту заслугу, что они ясным и красноречивым изложенном до некоторой степени искупают недостаток глубины. Но самые высшие и трудные части науки, в которых совершить что-нибудь может лишь тот, кто вкладывает сюда все силы, но должны предоставляться пишущим легковесные книги».
Он советует Ковалевской поработать над «болос элементарными частями математики»—аналитической механикой и математической физикой. В одном из писем рекомендует математическую литературу брату Ковалевской, Федору, указывая, между прочим, на курс анализа Эрмита.
43*
f;7(J
IT. Я. ПОЛУВАРШЮВА-КОЧИНЛ
Софья Васильевна все реже и реже отвечает Вейер-штрассу, и их переписка иа некоторое время прерывается. 15 августа 1878 г. в ответ на письмо Софьи Васильевны Вейерштрасс пишет: «За последнее время я только два раза слышал о тебе о г других .лиц, именно от Ми гтаг-Леффлора, который посетил тебя в Петербурге, а затем недавно от Чебышева. С последним мне ио пришлось говорить лично—он всегда посещает меня, когда меня пет дома, по он говори.т Борхардту, что ты бросила занятия математикой. Я был рад услышать от тебя уверения в противном. Млт-таг-Леффлер был для меня очень приятным учеником. Наряду с основательными знаниями оп обладает удивительными способностями к усвоению предмета и умом, направленным к идеалу. Я уверен, что знакомство с ним оказало бы иа тебя стимулирующее действие».
Войортптрасс указывает, что у пего был Зо ютарев и произвел на ного хорошее впечатление.
Желание возобновить свою научную деятельность заставило Софью Васильевну приехать в Берлин осенью 1880 г. (в это же время Владимир Опуфрневич выехал за границу), ио в январе 1881 г. она была уже опять в России.
Весной 1881 г. опа поохала в Берлин уже надолго, взяв с собой свою маленькую дочь Фуфу.
В письмах Вейерштрасса последующих лет, когда Софья Васильевна была во Франции, Швеции пли России, научные сообщения чередуются с осторожными советами относительно устройства ее жизни, относительно со дочери н т. д.
Лотом 1888 г. Софья Васильевна после напряженной н спешной работы послала свои исследования но вращению твердого тела в Париж иа конкурс. Хотя изложением работы она была очень недовольна, по Эрмит посоветовал ей подать все же работу во-время, с тем чтобы осенью, пока у членов жюри (Морис Лови, Филипс, Розаль, Сарро и Дарбу) будут каникулы, опа могла заменить представленный текст другим, более тщательно обработанным.
Кстати отмочу, что Шарль-Лоран Борден, пмени которого была премия, был нотариусом, передавшим в 1835 г. Институту Франции ренту в 15 000 франков, которая должна была распределяться поровну между пятью академиями.
К БИОГР ХФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
677
Томы, которые могли выдвигаться и а конкурс согласно завещанию Бордена, должны были иметь целью общественные интересы, благо человечества, прогресс науки и национальную честь.
18 декабря 1888 г. непременные секретари Парижской Академии наук, Луп Пастер и Жозеф Бертран, послали Ковалевской извещение о присуждении ей премии Бордена и о времени ее вручения на специальном бланке: вверху, между словами «Институт Франции» и «Академия Наук», находится изображение Минервы в шлеме со змеей и галльским петухом.
24 декабря 1888 г. Софья Васильевна вместе со своим однофамильцем Максимом Максимовичем Ковалевским присутствовала на заседании Парижской Академии наук, где ей была вручена премия при горячих аплодисментах присутствующих, причем президент, астроном Жансен, особое место в своей речи уделил работе женщины-математика..
Эти важные события в жизни С. В. Ковалеве кой отражены в переписке Воиерштрасса следующим образом.
В письме от 22 июня 1888г. он ириг.шшаст Ковалевскую в Вернигероде, в Гарц, для отдыха (в то время ои был в повторявшемся у него состоянии крайнего переутомления после напряженной работы). Он говорит, что отель пе очень роскошный, но все же достаточно хороший, «в особенности для такой нетребовательной дамы, как ты... Ты сделала хорошо, что подала работу в том виде, как опа сейчас, и Эрмит подал тебе хороший совет». Далее идет практический совет учителя: «Тебе будет целесообразно назвать свою фамилию с приставкой фон—это значительно повлияет па обслуживание».
В Гарце вокруг старого ветерана Всйорштрасса собралась целая группа молодых математиков: Миттаг-Лсф-флер, Вольтерра, Кантор, Шварц, Гурвиц, Хепнер и другие1). Софье Васильевне было досадно, что опа не всегда могла присутствовать при их беседах, так как она продолжала трудиться над новой редакцией своей, работы, поданной па конкурс.
l) Loffler Л. С., Sonja Kovalevsky. Stockholm, 1892
678
И. Я. ПОЛУБАРИПОВА-КОЧИНЛ
1 февраля 1889 г., т. о. уже после получения премии, Вейерштрасс пишет: «Моя дорогая Соня! Я только что узнал из письма Миттаг-Леффлера, что ты еще в Париже и чувствуешь себя настолько утомленной, что мечтаешь взять отпуск. Я думал, что ты давно уже в Стокгольме, где полностью развернула свою деятельность... Нечего говорить о том, что мы, т. о. прежде всего мои сестры и я, а затем и твои друзья, находящиеся здесь: Фукс, Хотт-мер, Кноблаух, Бензель, П. Дюбуа и недавно возвратившийся Хапзоман сердечно радовались твоему успеху. Я испытывал особое удовлетворение оттого, что, как это констатировали компетентные судьи, относительно моей „верной ученицы", моей слабости, дело заключается не в „пустом хвастовстве1».
Замочу, что Шварц назвал Ковалевскую «слабостью старости Вейерштрасса», а Гюльдоп бросил слово о «лиге взаимного восхищения», в которую включил Вейерштрасса, Эрмита, Пуанкаре, Миттаг-Леффлера и Ковалевскую. Нужно сказать, что «лига» была весьма почтенная, однако Мпттаг-Леффлер ввиду разговоров о ной обратился в 1889 году для проведения Софьи Васильевны в ординарные профессора, помимо члена «лиги» Эрмита, еще к итальянцу Больтрамп п норвежцу К. Бьеркнесу за отзывами о Ковалевской. Все трое дали высокую оценку ее научной и профессорской деятельности.
Письмо Вейерштрасса закапчивается приветом от сестер и сообщением, что Френцхен—маленький приемный сын Вейерштрасса,—услышав, что тетя Соня получила большую премию, сказал: «Теперь опа привезет своей Фуфо красивые игрушки из Парижа».
Еще в 1882 г., когда Софья Васильевна жила в Париже, Вейерштрасс очень советовал ой сблизиться с французскими математиками, в частности с Л. Пуанкаре. Так, 11 апреля 1882 г. он пишет: «Обратила ли ты внимание на последние работы Пуанкаре? Это во всяком случае крупный математический талант. Вообще теперь во Франции молодое поколение математиков с большим успехом стремится к новым достижениям в области анализа, единственным представителем которого, после отхода Лиувилля, долгое время оставался Эрмит.
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
679
Исследования, начатые Пуанкаре, в связи с работами Фукса, Шварца и Клейна, во всяком случае, приведут к новым аналитическим трансцендентным, даже если он еще нс находится на верном пути. Можно только пожалеть, что Академия является такой манящей целью для молодых французских исследователей. Каждую педелю представлять в С. К. х) статью, действительно ценную, это все-таки невозможно. Даже талантливый Пикар расточается таким образом, а Эрмит слишком поощряет эту беспокойную погоню за внешним успехом».
У Кова невской установилось довольно близкое знакомство с Эрмитом* 2), а также с его племянниками Пикаром и Аппелом. Она встречалась также с Пуанкаре, который восхищался со остроумием и богатством математических идей.
Впоследствии Пуанкаре в своих работах п док 1адах никогда нс упускал случая отметить работы Ковалевской. Так, в докладе «О соотношениях между чистым анализом и математической физикой», сделанном в 1897 г. па интернациональном математическом конгрессе в Цюрихе, он говорит о «знаменитом мемуарс» Ковалевской ио уравнениям в частных производных, в «Анализе научных работ Пуанкаре, сделанном пм самим» (Acta matheuialica, т. 38, 1921) он также делает ссылки на этот мемуар, а в главе, посвященной небесной механике, пишет: «Я воспользовался методом разложения периодов эллиптических функций в ряд по степеням модуля, который г-жа Ковалевская уже применяла в своем мемуаре о кольце Сатурна».
Приезжая в каникулярное время в Париж, Ковалевская всегда имела живое научное общение с французскими математиками и, конечно, могла оказывать влияние па направление исследований этих математиков. Так, в письме 1886 г., когда она интенсивно занималась задачей о вращении твердого тела, опа пишет Миттаг-Леффлеру3):
Э Comptes Rendtis, Доклады Парижской Академии наук.
2) См. пи ко.
3) См. Голубев 13. В., Лекции по интегрированию уравне. ний движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки, М., 1933, стр. 282.
680
П. Я. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА
«Мсмуар Пикара в Complcs Bend us очень хорош... Я но была бы очень удивлена, если бы узнала, что моя работа о вращении твердого тела и наши беседы об этом послужили ему побуждением заняться этим вопросом. Пе далее этого лота он отнесся с большим недовернем, когда я ему сказала, что функции вида
__ 0 (Сх + Л, Сг .с Ч- Л ])
01(Сж + Л, С^ж-рЛд)
будут очень полезны при интегрировании некоторых дифференциальных уравнений».
Вернемся к письму Вейерштрасса от 1 февраля 1889 г. Причиной того, что Софья Васильевна осталась в Париже иа весенний семестр 1889 г., было пе только ее переутомление, по и крайнее расстройство ее нервной системы, от которого она лечилась у известного врача Вуазена.
В 1889 г. кончался пяти,leniirii срок, на который Ковалевская была избрана профессором стокгольмской Высшей школы. Она мечтала о возвращении в Россию, но, как известно, в России не нашлось места, соответствующего научным возможностям для Ковалевской. Опа стала думать о Франции, которая привлекала со по ряду причин. Но Вейерштрасс восстал против планов Софьи Васильевны, связанных с Францией. Он пишет ей 12 июня 1889 г.:
«У тебя сейчас нет более сильного желания, чем получить работу в Париже. Но где се взять? Ты имела в виду должность педагога в высшей женской школе пли что-либо подобное. По это могло быть лишь временным желанием. Такая должность означала бы деградацию для тебя—сказали бы, что ты сама почувствовала себя недостаточно подготовленной для университетской кафедры, и тем самым доказали бы, что женщины непригодны как преподаватели и представители точных наук...
Я узнал от Мпттаг-Леффлсра, что ты в настоящее время наметила себе другой план, а именно, ты хочешь еще раз защитить докторскую диссертацию в Париже, с том, чтобы таким образом открыть себе доступ на французский факультет... Но я уверен, что если ты представишь свою работу для защиты, то найдется какой-нибудь забытый на-
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
681
раграф, согласно которому женщины пе допускаются к защите».
У Вейерштрасса есть еще и другое сомнение: «Тот, кому присвоено звание доктора на каком-либо факультете, пе может причинить ему большей обиды, чем приняв ту же степень от другого факультета той же категории... Как в Германии, так и в Швеции произошел бы страшный скандал, и даже хорошо к тебе относящиеся люди отвернулись бы от тебя».
В последнем написанием Вейерштрассом письме (от 2 февраля 1890 г.) он откликается на получение Ковалевской почетного звания члена-корреспондента Петербургской Академии наук в следующих словах:
«Теперь прими сердечное поздравление в связи с наградой, присужденной тебе Петербургской Академией. Она вполне заслужена. Я искренно радовался, что первая академическая почесть тебе была оказана в России».
Софья Васильевна всегда относилась с большой теплотой к своему учителю и другу. В ряде писем к Митта г-Леффлеру она выражает свое возмущение по поводу большой и непосильной нагрузки, которую возлагают па Вейерштрасса: «Его лекции, которые он читает перед большой аудиторией, подготовка к изданию собрания сочинений Якоби и Штейнера, различные академпко-сенато-факуль-тетскис заседания и тому подобное заполняют его день и пе дают ему возможности закончить его собственные исследования, особенно ввиду его возраста и плохого состояния здоровья».
Впоследствии Вейерштрасс писал своей ученице, что он приспособился к рациональному использованию некоторых заседаний, занимаясь на них писанием писем, главным образом па математические темы. ’Гак. вся его переписка с Ворхардтом во вопросу о среднем арифметико-геометрпческом была обязана этпм заседаниям.
В 1890 г. Вейерштрасс в последний раз прочитал курс лекций,. Оп был болен, когда 10 февраля 1891 г. скончалась ого любимая ученица, и очень тяжело воспринял известие о ее смерти. Состояние его здоровья было плохим во все последующие годы его жизни. Скончался Вейерштрасс в 1897 г., 82 лет.
682
П. П. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИИЛ
2. КОВАЛЕВСКАЯ II МИТТАГ-ЛЕФФЛЕР
13 ряде мест х) я уже писала о перипетиях привлечения Софьи Васильевны к профессорской деятельности, причем цитировала в основном письма Ковалевской. Здесь я буду пользоваться главным образом письмами Геста Миттаг-Леффлера (1846—1927), который с 1877 по 1881 г. был профессором университета в Гельсингфорсе, с 1881 г. — вповь открытого университета (Высшей школы) в Стокгольме.
13 письмо ог 19 июня 1881 г. он пишет С. 13. Ковалевской:
«Для меня будет высшим счастьем иметь возможность привлечь Вас как коллегу в Стокгольм, и я ие сомневаюсь, что если Вы будете в Стогкольме, то наш факультет будет одним из первых по математике во всем мире».
Далее он обрисовывает положение дел в Швеции: здесь имеется Академия паук, организованная наподобие Петербургской, ость большая и хорошая политехническая школа, а теперь открывается новый университет. Известный астроном Гюльдон * 2) является хорошим математиком, так же как и профессор механики Хольмгроп; в Упсале живет на пенсии Мальмстеп, известный математик.
По поводу высшего женского образования Миттаг-Леф-флер сообщает, что в старом университете, в Упсале, имеется ужо около 20 студенток, в Стокгольме же их будет больше. «В Швеции жешцпны могут сдаватьтс же экзамены, что и мужчины»,-—пишет он 15 июля 1881 г. «Не надо также опасаться, что у женщины могут отнять дарованные ей однажды права» (так 'было в России и в Германии);
9 Например, в сборнике «Памяти С. 13. Ковалевской», Пзд-во АН СССР, М., 1931 г.
2) Иоганн-Август Гуго Гюльдон (1861 —1896) родился и учился в Гельсингфорсе, девять лет был астрономом в Пулкове. Впоследствии Ковалевская подружилась с Гильде ком. Однажды она подарила ему подушку с вышитыми сю какими-то геометрическими фигурами и с надписью «четвертое измерение», что вызвало большое оживленно среди гостом Гюльдепа, так как вопрос о четвертом, измерении-был в-то время модным, а рисунок Ковалевской, вероятно, отличался остроумием.
К БИОГРАФИИ С. Б. КОВАЛЕВСКОЙ
683
«Швеция—свободная страна и не управляется, как Германия, министром-деспотом...».
«Правда, не совсем ясно, имеет ли право женщина стать профессором в старинных университетах Упсалы и J[yn-да, по до сих пор не появлялось такой женщины. По сейчас университет находится под руководством мало просвещенных люден, которыми тому же я пепо вкусу и которые, быть может, создадут трудности, когда придется осуществлять на деле провозглашенные принципы. Но будут профессора и иа моем стороне, и я не сомневаюсь, что Вы получите к началу будущего года приглашение как доцент Стокгольмского университета».
«Вас примут,—говорит он далее,—с самыми большими симпатиями, и у Вас будут ученики-энтузиасты. Теории Вейерштрасса имеют способность ваннгерссовать и захватить».
Сам учитель находил, что Митта г-Леффлер слишком часто употребляет его имя и что поэтому его положение в Гельсппгфорсе мало благоприятно. По этому поводу Вейерштрасс 1 января 1875 г. писал Ковалевской так: «Там (т. с. в Гельсингфорсе) идут далее, чем где бы то пи было, в создании нацшшалыю-фипскоп математики, и за время пребывания там Леффлера в тамошних газетах в каждом семестре появляются передовые против математики Вейерштрасса».
Возвратимся к цитируемому письму Мпттаг-Леффлора. Отмечая положительные стороны жизни в Стокгольме, он, однако, указывает, что ому по удастся заниматься математикой столько, сколько он хотел бы, так как у него много организационных дел «и, наконец, как Вы хорошо знаете, общественная жизнь пашей страны мало способствует научной работе».
Так, у Мпттаг-Лоффлера уже в 1879 г. были все результаты относительно линейных дифференциальных уравнений, которые Пикар опубликовал в 1881 г., п ряд других исследований, по он не успел их напечатать.
Как известно, Мпттаг-Леффлсру пришлось выдержать большую борьбу с консервативной партией Стокгольмского университета, .чтобы предоставить профессуру С. В. Ковалевской. Ему пришлось дать, согласие, на. прове-
684
П. Я. ПОЛУБЛРШЮВЛ-КОЧИПЛ
деппе в профессора двух лиц, которых он считал слабыми. Уезжая из Стокгольма на дачу, Мпттаг-Леффлер обещал Софье Васильевне прислать отчет обо всем этом. «Это ведь большое историческое событие,—писал он 7 июня 1884 г.,—и очень важно, чтобы будущие историки узнали, как все происходило в действительности. Но я сделаю распоряжение, чтобы мой отчет по был опубликован раньше, чем Вы, и я, и все, имевшие с этим дело, пе будут покойниками».
Когда Ковалевская была утверждена профессором. Мпттаг-Леффлер писал ей (21 июня 1884 г.): «Бреггер мне откровенно сказал, что Ваше назначение никогда пе удалось бы, если бы весь план нс был разработан до мельчайших подробностей и если бы я по потратил на него столько энергии. Барлинг, 1еккс и Петерсон, а в Правлении —Дюбен и Эдлунд употребляли величайшие усилия, чтобы разрушить весь мой план, а говоря обо мио, они по находили выражений для своей ненависти. Но эго безразлично. Ведь никогда не удается добиться чего-нибудь нового без борьбы, а борьба, которую я выдержал, все же ничтожна ио сравнению с величиной победы. Лишь бы природа дала нам обоим достаточно сил и здоровья, и я убежден, что мы в точение 3—10 лот много сделаем, и положение математики как в Стокгольме, так и вообще па Севере будет совсем иным, чем сейчас».
В другом письме, от 24 мая 1885 г., Мпттаг-Леффлер высказал свою точку зрения па тайну успеха в практической жизни: «Он зависит частью от веры в то дело, которое хочешь провести, а частью от понимания всех трудностей, которые встретятся на пути. При этом необходимо, чтобы вора в самое дело была поставлена выше трудностей».
Между прочим, одной из причин того, что Млттаг-Леффлер так старался привлечь 1 овалсвскую к работе па новом для женщины поприще, было, несомненно, то обстоятельство, что он имел сестру, роВеснину Софьи Васильевны, передовую женщину I Иве пип, боровшуюся за свое право работать в области литературы. Он любил свою сестру, гордился ею, помогал ой и стал активным борцом за женское равноправие.
К БИОГРАФИИ С. в. КОВАЛЕВСКОЙ
68. >
Позже Мпттаг-Леффлер писал (от 2 июня 1884 г.): «Поело того как Правление (Высшей школы.—11. II.-II.) приняло свое решение о Вашем назначении, у самых худших ночных колпаков еще больше открылись глаза на то, какое ужасное дело совершилось. Особенно поражен Дюбен—дурак второго, если не третьего класса,—предполагающий, что Вы дол/Кны бы ть нигнлисткон и привезете еще неизвестные взрывчатые вещества в наше добропорядочное отечество».
Репутация «нигилистки», как видим, прочно утвердилась за Софьей Васильевной. П в дальнейшем Мшттаг-Леффлор опасался в этом отношении за Ковалевскую. Так, в 1886 г., когда опа была в Париже, он писал: «Пе ведите себя так, чтобы в Вас заподозрили нигилистку! Все это коснется и меня, но я все исправлю!».
Ожидая, что Ковалевская будет работать в университете хорошо, Мпттаг-Леффлер не ошибся. По окончании учебного семестра 11 мая 1885 г. он писал ей: «Сердечное спасибо за преданную товарищескую совместную работу в истекшем академическом году. Желаю нам снова встретиться здоровыми и бодрыми».
On высоко цепи.] большую работоспособность Софьи Васпльевпы. что выразил в письмо от 12 июня 1885 г. в словах: «Но у вас дештвнтелып» такая работоспособность, которая может поспорить с 10 мужчинами, по крайней мере опа в 10 раз больше моей».
Когда Ковалевская летом 1886 г. пожучила основные результаты в задаче о вращении твердого тела, Мнттаг-Леффлер писал ей 22 июня: «Если бы я по своей ириро te был завистливым, то очень завидовал бы Вашему счастью сделать гговос математическое открытие и самой изложить его перед наиболее компе гептной публикой в Европе. Но я ле завистлив и искренне радуюсь Вашему успеху».
Мпттаг-Леффлер привлекал Кова тевскую ко всем своим начинаниям общественного порядка. Так, Софья Васильевна входила в состав редакции организованного Миттаг-Леффлсром в 1882 г. журнала Acta matliematica и он просил ее завязать отношения с молодыми математиками Берлина. «Постарайтесь заполучить Гамбургера, Рунге и Минковского для Acta»,—писал ей Мпттаг-Леффлер
686
И. Я. ПОЛУБАРЛ Н0ВА-К0Ч1-П1А
7 июня 1884 г. В другом письме он благодарит Софью Васильевну за известия о Гурвице, Крацере и Вильдхсй-се, а также просит ее предложить Фуксу прислать статью для Acta. В письме от 12 июня 1885 г. читаем: «Выло бы очень приятно, если бы 1сбышов приехал в Стокгольм. Мы постарались бы принять ого как можно лучше. Когда Вы его в следующий раз встретите, то не забудьте напомнить ему о топ жатве, которую он в Берлине обещал для Ada. Пе могли ли бы Вы даже написать ему об этом?».
Точно так же Мпттаг-Леффлер просил Софью Васильевку завербовать для журнала математиков в Париже: Пуанкаре, Аппеля, Пикара. Особо он пишет о Бертране, непременном секретаре Французской Академии наук: «Завоюйте его для себя самой, для меня, а прежде всего для Acta» (письмо от 22 июня 1886 г.). В другом письме (от 18 июня 1886 г.) он просит ос: «...разверните при этом все Ваши дипломатические таланты, па которые Вы способны, когда этого хотите».
Хорошие отношения с Бертраном нужны были Миттаг-Леффлсру для укрепления положения журнала, так как он хотел добиться субсидии для пего от иностранных государств и, кроме того, получить возможность пополнять библиотеку Шведской Академии иностранными журналами в порядке обмена. По отзыву Харди, оставленная Митта г-Лсффле ром библиотека в его институте (Институте имени супругов Мпттаг-Леффлер) отличается большой полнотой и находится в прекрасном состоянии.
Когда осенью 1886 г. Ковалевская была в России, то Мпттаг-Леффлер и здесь поручил ей хлопоты о субсидии для Acta.
Другим начинанием, в котором участвовал Мпттаг-Леффлер, было учреждение в 1885 г. премии по математике имени короля Оскара П, которую предстояло выдать в 1889 г., к 60-летию Оскара. Ковалевская, а через нее и Вейерштрасс были привлечены к обсуждению вопроса о характере премии.
Сначала Ковалевская писала Миттаг-Лсффлеру (из Берлина, письмо 1885 г. без даты), что Вейерштрасс раздражен против всех конкурсов в миро по следующей причине. «Он поставил вопрос по синтетической геометрии на
К БИОГРАФИИ с. В. КОВАЛЕВСКОЙ
687
Премию имени Штейнера и предполагал, что никто па этот вопрос не ответит. Вопреки его ожиданиям была прислана масса работ, одна объемистее другой, ... и Вейерштрасс считает себя обязанным все их просмотреть, так как вопрос был поставлен им. Но его словам, это займет пе менее 7 педель упорного труда».
Однако Мнттаг-Леффлер в письме от 22 января 1885 г. настойчиво просит Софью Васильевну: «Привезите вопросы Вейерштрасса для премии, хотя бы они были плохо отредактированы на немецком языке, п все равно, готовы ли они вполне или нет, .лишь бы я действительно получил их. Я знаю, что он очень этого хочет. Жестоко мучить его, но как в его интересах, так и в моих, чтобы я сейчас получил их. Он может прислать свои поправки после и сделать сколько захочет изменений, лишь бы он сейчас приготовил одну редакцию. Навещайте его каждый день, хорошенько па него наседайте, плачьте и стенайте, если это понадобится, по нс бросайте дела».
В пояснение нужно отметить, что Вейоршграссу всегда было трудно писать, в особенности же в периоды его переутомления.
Вейерштрасс считал, что следует выбрать тему по возможности ограниченную, по очень точную. Софье Васильевне, напротив, правилась премия наподобие учрежденной в России промни имени географа Бэра, которая выдавалась раз в гри года за лучшую работу в области естествознания; опа послужила материальной поддержкой для дальнейшей научной работы А. О. Ковалевскому, И. 11. Мечникову и другим русским ученым.
Мальмстен и король хотели, чтобы жюри назначалось королем и состояло из: 1) главного редактора-математика, 2) немецкого пли австрийского математика—па первый раз намечался Вейерштрасс, 3) французского пли бельгийского математика—Эрмит, 4) русского пли итальянского математика—Чебышев в первый раз, Ковалевская во второй, 5) английского математика—Колп.
Софья Васильевна выразила полное свое неодобрение по поводу такого проекта (письмо без даты): «Подумайте только, можно ли надеяться, что четыре таких математика, как Вейерштрасс, Эрмит, Колп и Чебышев, когда-нибудь
688
П. Я. ПОЛЯЗАРИПОВЛ-КОЧНПА
придут к соглашению относительно достоинств какой-либо работы». Кроме того, по словам Ковалевской, «Вейерштрасс находит, что судьям будет очень трудно притти к соглашению, если им по будет предоставлена возможность обсуждать вопрос совместно в общей беседе. Вести обсуждение путем переписки гораздо труднее, и, в сущности, какой смысл этим старым господам брать на себя столько хлопот из-за пас... Что же касается оказанной чести, то каждый из названных Вамп четырех судей будет, напротив, считать себя обиженным, что Вы его выбрали одновременно с другими».
Не знаю, правильны лп были соображения Софьи Васильевны, по жюри было выбрано в составе: Вейерштрасс, Эрмит и Мпттаг-Леффлер. Комиссия предложила премию за лучший мемуар по одному из вопросов: 1) из области задачи об п телах, 2) развитие мемуара Фукса (76-й том журнала Ворхардта), 3) развитие исследовании Врио и Вуке по дифференциальным уравнениям, 4) обобщенно фуксовых функций Пуанкаре. Верной премии были удостоены мемуары (помещенные в 13-м томе Acta inallie-matica) Пуанкаре - о задаче трех тел и Аппеля—по теории абелевых функций.
Между прочим, Л. Кронекер обиделся па то, что его пе выбрали в состав жюри, и Миттаг-Леффлеру пришлось утешать его тем, что основную роль в избрании Вейер-штрасса играл его возраст.
Я остановлюсь здесь па взаимоотношениях между Кро-пскером, Ковалевской и Миттаг-Леффлсром.
Кронекер мог быть чрезвычайно любезным и отзывчн-вымчеловском, они его жена умели принимать гостей. Так, па рождественских праздниках 1882 г. в число гостей Кро-пскеров были Софья Васильевна с дочкой и Д. Ф. Селиванов. Фанни Кронекер, вспоминая в своем письме от 5 января 1884 г. посещение Ковалевской и се ребенка, «явившегося как бы воплощением святой легенды и украсившего рождество», уверяла, что чувствует настоящую тоску по тому вечеру. За ужином гостям были розданы подарки.
Однако Ковалевская, говоря о чрезмерном развитии у некоторых математиков «шишки тщеславия», отмечает, что этот недостаток в сильной степени присущ и Кронексру.
К БПОГРХФНН С. В. КОВЛЛБВСКОП 68Н
Мнттаг-Леффлер снисходительно относился к слабостям большого ученого и 13 июля 18(34 г. писал Софье Васильевне в Берлин:
«Я очень ценю благосклонное отношение КропеКера. Я знаю его слабости, но я его искренне люблю и глубоко восторгаюсь его гением и проникновенностью его ума... Скажите ему, что я жду с большим интересом мемуары, которые он мио обещал для Acta. Я испрошу для него командорский крест полярной звезды. Это ему доставит, конечно, большое удовольствие и утешит в его неприятностях с Почетным легионом» ’).
Правда, ко времени написания этого письма благосклонность Кроиекера к Мнттаг-Леффлеру уже шла на убыль по той причине, что последний становился пос. юдователем идей Георга Кантора и открыл для него страницы своего журнала. Ji своем предыдущем письме, от 30 июня 1884 г., Митта г-Леффл ер просит Ковалевскую: «Постарайтесь помирить меня с Кропекером. Пе моя в том вина, что исследования К[аитора] необходимы для теории функция».
Однако через год Кронекер совсем уже рассердился па Миттаг-Леффлера за то, что он стал применять теоремы 1\аптора к теории функций. Свое недовольство Кронекер проявил в чрезвычайно мелочной и смешной форме. Б связи с этим Ковалевская писала Миттаг-Леффлеру в 1885 г. (письмо без даты): «Беиерштрасс часто говорил мне, что когда Кронекер считает себя задетым в своем тщеславии, то он совершенно теряет голову и способен на величайшие глупое ги». Но Бейерштрасс пе захотел рассказать своей ученице о «многочисленных невероятных историях такого рода», так как, несмотря па неприятности, иричппсиные ему Кропекером, «он все же сохраняет такое уважение к его математическим способностям, что ему противно раскрывать его слабости».
Далее Ковалевская говорит: «Обычно, совершив большое число подобных глупостей, Кронекер понемногу начинает сам замечать, что он сыграл ие очень красивую роль, и тогда он поступает почти как ребенок. Он осыпает своего
*) Кронекер не получил этого ордена, в то время как Вейерштрасс получил его.
44 Нсторпко-матем. исследования
1)90
II. Я. НОЛЯ’.ХРНИОВА КОПИИА
противника любезностями, отчасти, чтобы добиться прощения за свое дурное поведение, а главным образом, чтобы принудить его к молчанию. Я думаю, что в данном случае Кроискер пе замедлит убедиться в том. насколько смешно его письмо к Вам, и что оно может стать .мощным оружием в Ваших руках».
II действительно, Миттаг- (еффлер 30 августа 1885 г. сообщает Софье Васильевне, что получил длинное письмо от Кронекера, наштсанпоо таким неразборчивым готическим шрифтом, что не смог его прочитать и отдал для расшифровки: «Я мог лишь разобрать, что оно в примиренческом духе и что в нем говорится о Вспсрштрассе, о Вас, о Рунге, Эрмите и т. д.». При этом Мпттаг-Леффлер добавляет: «Я его ученик и получал от него много доказательств дружбы и готовности к услугам. Этого я никогда не забуду, как бы он затем ни пожелал вести себя». В копне письма он, однако, пишет про Кронекера: «Я никогда пе забуду, чем я ему обязан, ио также никогда не упущу случая сделать в'е, что могу, чтобы побороть вредное влияние, произведенное нм на всю немецкую математику».
О Георге Канторе, к которому Мпттаг-Леффлер относился с большой симпатией, он пишет следующее (из . 1ойицнга, К) декабря 1884 г.): «Я нашел Кантора в состоянии си 1ьного раздражения. Он страдает тем же недостатком, что и Гюльдсп, и непременно хочет быть признанным другими и не доволен тем удовлетворением, которое должны доставлять ему его открытия. Если бы он был доволен, то и признания других скоро пришли бы к нему. Веема [фраза не разобрана] получит то, чего должен был добиваться. Однако, я признаю, что ему неприятно быть вынужденным удовлетворяться жалованием в 3 500 марок, тогда как, па пример, Фукс получает 11000 твердого жалованья. В общем же было очень интересно поговори гь с ним. У него необыкновенно много'идей. Он навестит Вас в Верлинс па рождество, и мне кажется, Вы получите удовольствие от встречи с ним».
Но поводу Л. Фукса Ковалевская шпала Миттаг-Леффлсру в 1885 г. (письмо без даты) следующее: «Он теперь совершенно подавлен тяжестью своего нового звания и читает только то, что абсолютно необходимо для
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
61)1
его курсов. Я видела ого три раза на обедах, но для меня оказалось совершенно невозможным заставить его говорить о математике. Когда я начинала что-нибудь рассказывать ему, он только говорил время от временигм! гм!“, и когда я ему предлагала вопросы, он вздыхал, принимал вид мученика и, казалось, хотел сказать мне: „По, ради псба, оставьте же в покое мое пищеварение.,».
Аренс1), отмечая «леность» Фукса в отношении чтения лекций,—когда он был уже в пожилом возрасте,—объясняет ос нервным переутомлением
Как известно, Мпттаг-Леффлер в J885 г. хотел выдвинуть кандидатуру С. В. Ковалевской в Шведскую Академию наук.
В письме от 23 июня 1885 г. Мпттаг-Леффлер говорит: «Если Вы пройдете в Академию, то мы сделаем что-нибудь порядочное для математики. Ведь у Академии есть большие средства во многих отношениях».
Однако Софья Васильевна возражала против выдвижения, считая, что со положение в Швеции еще недостаточно укрепилось. Здесь я приведу выдержки из писем Мпттаг-.. 1сффлера, показывающие, какие дипломатические соображения он развивал в этом деле: если не выдвинуть Ковалевскую, то пройдет астроном, а противная партия боится усиления астрономов. В письме от 13 июля 1885 г. он говорит: «Я думаю, что профессор Линдхагсп 2) будет за Вас, потому что, если бы мы взяли одного астронома, то возникла бы борьба между Пюрсном - его родственником—и Баклупдом, и Баклунд, вероятно, одержал бы победу». Мпттаг-Леффлер хочет также привлечь на сторону Ковалевской старого профессора Мальмстспа.
Через две недели, 27 июля 1885 г., Мпттаг-Леффлер пишет: «Я получил, наконец, ответ от Мальмстспа. Он даст голос за Вас, если астрономы согласятся еще раз одолжить нам (не разобрано).. Между том Линдхагсп хочет иметь Нюрена, а Гюльдсп Баклуида, поэтому я хочу вывести Академию из этой дилеммы тем, что предложу Вас».
г) A h г с н s W., Malhcniatikcr Anekdoten—Malli. Bibliofek. Teubner, 1913—1916.
2) Астроном, ученый секретарь Шведской Академии наук.
B92
II. Я. 11О.1УП АРИПОВ VK04IIH \
У М пттаг--1еффлера было основание ра считывать на поддержку Jнпдхагеном кандидатуры Софьи Васильевны в академики, так как Лиидхагеи утверждал, что чувствуем к ней большое уважение и убежден в ее необыкновенных способностях. «Насколько я мог понять пз разговора с ним,— пишетМитта г-, 1оффлср Кова.к-вс кой25мая 1 <585г., -его уважение к Вам особенно укрепилось после Вашей лекции по элементарной алгебре, которую Вы прочли зимой».
Однако в шве ц-кон газете «Стокгольме Тидпиигеп» от 14 января 1.950 г. в статье, посвященной столетию со дня рождения С. В. Ко валеникой, говорится следующее:
«..Вели Академия начнет избирать в своп члены женщин, то па ком пз сотворенных существ опа тогда остановится?"—воскликнул с удивлением секретарь Академии наук, профессор Лиидхагеи, когда в 1880-х годах зашла речь о том, чтобы избрать в академики профессора математики Стокгольмской высшей школы Софью Ковалевскую, европейски знаменитого математика». -
В результате Ковалевская не была избрана, и должно было еще пройти около 30 лет, прежде чем Шведская Академия «рискнула» избрать в академики женщину—писательницу Сельму ’ 1агерлеф.
Таким образом, мы видим, что все дипломатические действия Миттаг-Леффлера в вопросе об избрании С. В. Ковалевской в шведские академики оказались напрасными, причем прежде всех против ппх ополчи iarb сама Софья Насилье вна.
В письмо от 22 мая 1887 г. Миттаг-Леффлер дает шутливую характеристику своих дипломатических наклонностей. Течь идет о большом празднестве в Упсале, па котором присутствовал Миттаг-Леффлер. «Я сделал несколько интересных знакомств, расточал похвалы Синю Ковалевской, говорил в пользу Acta, допустил неосторожные выражения об Упсале и здании у пи верентета и, как обычно, иеременшвал умно рассчитанные, хорошо действующие шахматные ходы с необдуманными, опрометчивыми, действующими в противоположном направленон».
О том, что именно говорил Миттаг-Леффлер но поводу Упсалы и университета, можно судить по следующим строкам того же письма: «Нигде пе умеют устраивать столь
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВОЙОН
(593
роскошных празднеств, как там... Было предоставлено лучшее, па Севере помещение для празднеств—актовый зал старейшей Высшей школы. Он... почти может соперничать с Эдемом, Альказаром, пли как там называются эти бо гьтнпе парижские кафе. Отделка актового зала произведена по образцу этих кафе. Широкая публика была в восторге».
Остановлюсь еще на одном эпизоде из жп лиг С. 15. Ковалевской. Летом 1884 г. в связи с утверждением ее профессором Стокгольмской высшей школы, шведская газета хотела напечатать биографически ii очерк с приложением портрета женщины-профессора. Мпттаг-Леффлер в нескольких письмах просил Софью Васильевну прислать автобиографические сведения, а опа все никак не могла выполнить этого. Тогда в письме от 10 июля 1884 г. он делает oil настав шине:
«II считаю, что, избрав однажды поприще общественной деятельности, Вы пе имеете нрава избегать также общественного суждения. Не говорите, что газетные сообщения не имеют значения. Быть может, это верно для Германии, по совершенно не верно для Швеции. J(одумайте также, что Вы оказываете существенную услугу нашему университету и женскому вопросу, позволяя говорить о себе лишь в надлежащем топе, и что Вы очень вредите себе, предоставляя всеце ю случаю то, что будут говорить о Вас».
Мпттаг-Леффлер далее указывает: «Лю 11 ллю< трирте-Ти цшиШ напечатает Ваш портрет и Вашу биографию, ио считаясь с тем, хотите Вы этого или пе хотите. Если Вы нс хотите прислать необходимые сведения, этим воспользуются п ианишут много нелепостей, которые окажутся краппе неприятными для Вас, для меня и для Университета. Ес in напечатают в Л л.-Тпдштпг1 биографию, кото рую получат не от меня, тем пе менее, все припишут ее мне,—судите, как мне это будет неприятно».
После таких убедительных доводов Софья Васильевна прислала Миттаг-Леффлеру биографические сведения о себе—очень скудные, па несколько строк.
Отношения между Ковалевской и Митта г-Леффлером были таковы, что, выступая на похоронах Софьи Васильевны
694
II. Я. ИОЛУБЛРИЛОВА-КОЧПИА
в качестве ректора Стокгольмской высшей школы, он мог сказать от своего имени прочувствованные слова: «Благодарю за те сокровища дружбы, которыми ты оделяла всех б шзких твоему сердцу».
3. КОВАЛЕВСКАЯ И ЭРМИТ
Шарль Эрмит (1822—1901) играл примерно такую же роль во Франции, какую Вейерштрасс играл в Германии. В первом из имеющихся писем его к Софье Васильевне, от 27 февраля 1882 г., он, говоря о молодых математиках Франции, отдаст дань Вейерштрассу, как их общему учителю, и пишет:
«Г-н 11икар работает вовсю и печатает замечательные работы, как, впрочем, и г-н Аппель и г-н Пуанкаре, и меня с чрезвычайной горечью упрекают, что я их слишком хвалю1). Таким образом, мы являемая маленькой группой, представляющей французскую математику, глубоко связанной с немецкой наукой. Наш общий учитель—это г-п Вейершт расе, и наши лекции в Сорбонне и Политехнической школе имеют целью, главным образом, представить слушателям его труды и его великие открытия.
II потом еще Вы, дорогая г-жа Ковалевская, являетесь звеном симпатии, связующим меня с великим геометром; скоро, надеюсь, Вы подтвердите его надежду, которую он внушил и мне, па Ваше полное выздоровление».
Для пояснения последней фразы приведу начало письма Эрмита:
«Дорогая г-жа Ковалевская,
Ваше последнее письмо, посланное из Штутгарта2), сильно меня встревожило, пока я не узнал от г-на Вепсрштрасса, что Вам не грозит какая-либо серьезная опасность, но что Вам нужен более мягкий воздух, чем холодный и сырой воздух Берлина. Д, щ меня будет большой радостью узнать, что перемена климата окажется для Вас благоприятной и даст желанный результат».
9 См. выше письмо Вейерштрагса от И апреля 1882 г.
2) В Штутгарте жила двоюродная сестра Ковалевской С. Аде-
К БИОГРАФИИ и. В. КОВАЛЕВСКОЙ
693
Далее, сообщая о разводе в семье Бертранов, рождении ребенка у г-жи Пикар, Эрмит просит Ковалевскую представить себе, что опа в отеле «Бристоль», где она выслу шала в свое время много признаний, хотя и протестовала против всяких секретов. В частности, Эрмит благодарит Ковалевскую за содействие в примирении враждовавших семейств Бертранов и Эрмитов.
Во втором письме, от 21 апреля 1882 г., он сообщает: «Разрешите, дорогая г-жа Ковалевская, сообщить Вам обстоятельства, касающиеся г-на Вейерштрасса. Несколь ко дней назад я получил от г па Фрейсине, министра иностранных дел и I [редседателя Совета министров, .записку, написанную его рукой, следующего содержания:
Президент Республики подписал сегодня утром приказ о присвоении г-ну Вейерштрассу звания Кавалера ордена почетного легиона". Я хочу, чтобы Вы первая сообщили эту новость Вашему знаменитому другу».
Следующие пять писем относятся к январю марту 1884 г., т. е. ко времени начала педагогической деятельности Ковалевской в Стокгольме.
В письме от 7 января Эрмит просит Ковалевскую разрешить опубликовать ее заметку «О преломлении света в кристаллах» в «Докладах 1 [арлжгкоп Академии паук». Дальше1 он пишет о другом вопросе, который должен был интересовать Софью Васильевну: «В ожидании Вашего разрешения позвольте мне, г-жа Ковалевская, сообщить Вам одно обстоятельство, которое вызвало во мне это желанно еще по другим соображениям, помимо интересов чистой науки.
Быть может Вам пе безызвестно о большом движении, которое происходит во Франции уже в течение нескольких лет—движении за научное образование молодых девушек. Нормальная школа для них была основана в Стебле 1), и Министерство народного образования пригласило преподавать там матомаi яку г-на Дарбу и г на Гапнерн.
Ученицы этой школы, совместно с вольное.тушателыш
J) Эта школа была открыта n 18S1 г., через три года ное в1 основания в Петербурге Высших женских курсов: инициатива организации последних, принадлежавшая русским женщинам, была встречена французским обществом с горячим сочувствием.
69(5
И. Я П0.1УБАРИ1Г0ВЧ-К0Ч1Ш
нами, предстали в июле с. г. на экзамен—для получения звания преподавательниц—перед Комиссией, в которой принимал участие г-н Аппель, и я узнал нс без удивления, что [члены комиссии] были крайне поражены объемом знаний, и особенно способностью изложения, а также важнейшими качествам в педагога большого коли честна молодых девушек, от которых совсем пе ожидали таких замечательных способностей к математическим наукам.
Вашим открытиям в больших и трудных вопросах анализа будут аплодировать по только академики и математики, Ваши успехи будут воодушевлять и учениц Дарбу и Танперп, со стороны которых Вы будете иметь столько сочувствия и привязан пости».
В этом же письме Врмит пишет о предстоящем iiai'pa-ждешти Вейерштрасса и Кроиекера орденами Командора почетного легиона, добавляя:
«Осмелюсь, однако, г-жа Ковалевская, поведав Вам о своей надежде, просить Вас, как я и росил и г-на Миттаг-Лсффлера, сохранить се в абсолютной тайне, пока эта падеж [а не осуществится, ибо политика столь изменчива и играет некоторую роль и в вопросе распределения знаков отличия».
Из письма от 27 января 1884 г. приведем большую выдержку:
«Основанная па принципах Вейерштрасса, точная теория уравнений в частных производных, которую Вы, г-жа Ковалевская, излагаете в Стокгольмском университете, является очень важным и трудным вопросом. Вы окажете также слушателям этого университета огромную услугу, излагая шм то, чего они по нашли бы ни в какой другой работе, кроме лекций Якоби.
11 за это препода ванне, и за Ваши глубокие исследования в математической физике Вы пользуетесь, г-жа Ковалевская, особенными симпатиями г-на Дарбу, который успешно занимался уравнениями с частными производными, причем мемуар его об особых решениях этих уравнений был премирован Академией наук.
В настоящий момент он занят тем, что учит преподавать математику молодых девиц из Нормальной школы. Для меня будет большим удовольствием сообщить ему
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
697
о Вашем благосклонном намерении познакомиться с некоторыми из его учениц и рассказать ему о прекрасных и важных результатах работы, которую я представляю в Академию.
Как было бы прекрасно, если бы в эпоху, когда условия существования стали для всех более тяжелыми, а для многих женщин отчаянными, молодым девушкам, имеющим призвание к науке, открылась на поприще преподавания новая жизнь, обеспеченная, почтенная.
Вы, г-жа Ковалевская, .лучше меня знаете, что нужно еще победить общественное мнение в этом вопросе, а оно даст свое согласие лишь в том случае, если будет иметь доказательства, что влиятельные лица Франции обеспечат ему поддержку.
Грубая рассудочность по Мольеру все еще руководит общественным млением невысокого уровня, мало утонченным, приветствующим аплодисментами знаменитую пьесу, в которой проповедуется, что человек живет иищеп, а не красивыми речами.
Вы, г-жа Ковалевская, больше способствовали успеху этого дела, чем мадемуазель София Жермен, как благодаря превосходству Вашего таланта, так и потому, что явились в благоприятную эпоху».
В письмо от 13 февраля 1.884 г. Эрмит пишет о работе Ковалевской по преломлению света в кристаллах:
«Перед заседанием (редакции «Докладе]? Парижской Академии наук». — //. //.-/{.) я сообщил о Вашей заметке Пуанкаре и, как я и был уверен заранее, Ваши результаты показались ему исключительно цепными и важными. Г-н Дарбу того же мнения, и мио поручено сообщить Вам, что он напечатает по поводу Вашон статьи заметку в своем Б юл. [степе.
Он поручил м нс, г-жа Ковалевская, равным образом ска зать Вам, что Вы будете желанной гостьей в Нормальной школе для девиц тт что ему будет очень приятно оказать Вахт там радушны!] прием и сопровождать Вас при осмотре уч ре ж донн я.
Директор института —г-жа Жюль Фавр, в [ова знаменитого адвоката и государственного деятеля. Нод ее начали ством, для наблюдения за научными занятиями, находит
GU8
II. Я. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА
ся г-жа Бортпикер1), русская дама—боюсь, что нс совсем правильно пишу се имя,—которая прекрасно справляется со своими обязанностями.
Молодые ученицы работают с увлечением; руководство школы превосходное. Вы сможете судить об этом сами, г-жа Ковалевская, когда почтите ее своим посещенном; Вы разделите также грустное чувство, которое исиытыва-ваешь при мысли о будущем молодых девушек по окончании школы. Это будущее, которое я представлял себе обеспеченным предусмотрительностью основателен школы, к сожалению, краппе ненадежно.
Несколько мост, конечно, будет им предложено, как. например, педагога в женских лицеях, организуемых в провинции, но сколько трудностей ожидает тех, которые получат эту привилегию! Вакантное место может оказаться в городе, очень отдаленном от семьи, которую совсем не следует покидать молодой девушке. Ввиду этого для большинства из них надежды, которые в них поддерживают, выльются в горькое разочарование.
Тем нс менее г-н Дарбу и г-н Taniiepii также самоотверженно занимаются со своими ученицами до тех но]), пока закон о совместительстве, который угрожает в ближайшем будущем всем должностным .тицам, нс заставит их подать в отставку.
Слушая рассказы г-на Дарбу, я вспоминал о барде в одном пз романов Вальтер-Скотта, настраивающем свою арфу па радостную песнь, которую от пего ждут, — но аккорды, помимо его воли, звучат в жалобном тоне».
Поводимому, Эрмит вообще был склонен к пессимизму. Так, в письмах Ковалевской к Мнттаг-Лсффлсру встречается замечание о том, что Эрмит находится в вечном страхе перед войной или революцией.
В письме от 8 марта 1884 г. Эрмит2) излагает Ковалевской своп соображения но поводу мероморфных решений уравнения Лапласа, а также свой способ приведения гиперэллиптических интегралов, причем добавляет:
Э Л. Бортипкер опубликовала несколько статен по геометрии R. 104, 106: Bull. Darboux, mai 1890).
2) См. письмо Эрмита ниже, на стр. 709—712.
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
699
«Эти подробности мало достойны Вас, г-жа Ковалевская; только зная Вашу доброту и зная также, что Вы посвящаете себя трудоемкой работе—тщательно приготовлять Вагин лекции—я позволю себе их Вам сообщить».
Летом 1888 г. Эрмит послал Ковалевской три письма. В это время, как мы уже знаем, она интенсивно работала над задачей, о вращении твердого тела и послала результаты своих исследований па конкурс в Парижскую Академию наук. Однако ее пе удовлетворяло изложение, о чем она написала Эрмиту. Тот отвечает ей в письме от И июня 1888 г.:
«Мои коллеги, г-н Бертран и г-н Дарбу, с которыми я воспользовался случаем поговорить по поводу премии Бордена, полностью подтвердили все то, что мне сказал г-н Пшике р, и поручили мне довести до Вашего сведения, что Вы можете, если считаете это необходимым, послать новую редакцию Вашего мемуара, предназначенного на конкурс.
Вопрос относительно срока решает Комиссия Академии, которой поручено рассмотрение документов, а так как у академиков вакации, в которых они очень нуждаются, то Вы можете быть уверены, что они не приступят к работе раньше октября, так что Ваша новая редакция или добавление к первой придут во-время, если они поступят в Секретариат в текущем месяце или даже в конце сен тября.
Два мемуара были посланы на конкурс премии Бордена одновременно с Вашим: один из Парижа, другой из Бреста. Они ио могли быть мне сообщены, поскольку я нс являюсь членом Комиссии, по я пе предполагаю, чтобы их авторы были известные среди нас геометры.
Пе будучи удостоенным чести быть средн судей конкурса, я буду, г-жа Ковалевская, одним из Ваших читателей, жаждущих узнать прекрасные и важные результаты, к которым Вы пришли в знаменитом вопросе и которые в высшей степени меня интересуют.
Мне будет ириягпо подбирать колосья со сжатого Вамп ноля. Я уже мечтаю об изучении частных случаев, в которых Ваши гиперэллпн тическнс интегралы приводятся
/IV
II. Я. ПОЛУНАГПИОВ VK04I1I1 \
к Эл.литическим функциям, подобно тем примерам, которые дали Якоби и другие».
Письмо 19 июня 1888 г содержит приглашение Ковалевской на обед к Эрмиту, па который ожидаются Пикар, его жена и маленькие дети.
22 июня 1888 г. Эрмит пишет:
«Г-жа Ковалевская, мы счастливы, что Вы были добры принять наше приглашение, благодаря чему я смогу поговори гь с Вами о многом, в частности, о выпаде г-на Кро-некера, о котором я узнал только что из номера ..Отчетов Заседании Берлинской Академии" и который касается астрономического вопроса, выдвинутого г-ном Вейорнгграс-сом па премию, учрежденную шведским королем.
("удя по тому, что мне пишет г-н Мпттаг-.Леффлер, великий геометр хочет принять вызов и ответить на пего, и мне не терпится узнать, считаете ли Вы, как я, что поднятый его противником вопрос слишком незначителен, чтобы обязывать его вступать в спор».
11а следующий день, 23 июня, Эрмит посылает Софье Васильевне записку, в которой выполняет поручение, данное ему Гюль юном: «Будьте добры передать г-же Ковалевской, —которая должна сегодня приехать в Париж, - -вместе с моим приветом, что со ребенок чувствует себя очень хорошо».
Наконец, отметим два письма Эрмита от 1889 г., посланные в одни день—29 февраля. В этих письмах речь идет о двух вопросах. Одни пз них касался удовлетворения просьбы Миттаг-Леффлера, направленной в Парижскую Академию паук, — выслать в Стокгольм те издания Французской Академии, которых нет в Шведской Академии наук.
Другое вопрос—об орденах для Пуанкаре и Аппеля, а также Миттаг-Леффлера, о которых хлопотали Эрмит и Дарбу. Для этого нужно было сделать представление министру народного образования Франции. Мпттаг-Леффлер сделал таковое но поводу Пуанкаре п Аппеля, и Эрмит пишет:
«Официальное письмо г-на Миттага произвело паплуч-шее впечатление, оно будет напечатано в следующем номере „Докладов". Новый министр народного образования
К БИОГРАФИИ С. в. КОВА 1ЕВСК0Й
г-н Фальерин будет х.юиотать, но г-н Бертран рассчитывает только на орден для Пуанкаре и считает сомнительным, чтобы его удалось получить для Аппеля. Для 1-113 Миттага, как иностранца, это много легче: число орденов ограничено и очень иезпачп телыю для французов, что и заставляет опасаться, что Аппель его ио получит, но г-н Бертран не сомневается, что Министр присудит его г-ну Мпттагу».
Однако оказалось, что Миттаг-Леффлеру был присужден орден более низкой степени, чем Пуанкаре, а также Г юл вдену п Дунару (вновь назначен пому астроному в Упсале).
Как это произошло, видно из переински Ковалевской с Mi 1тт а г-JI е ф флером.
Весенний семестр 1889 г. Софья Васильевна проводила в Париже, получив отпуск по болезни. 24 января она посылает Митгаг-Леффлеру в Стокгольм телеграмму: «Если Эрмит получит награду, Бертран обязательно также должен получить». Вслед за телеграммой было отправлено письмо с объяснением.
Оказывается, к Ковалевской два раза заходил Эрмит и под глубочайшим секретом сообщил, в чем дело.
«Вы ему будто написали,—пишет Ковалевская,—что король желает выказать ему свою благодарность, и вот по этому поводу Эрмит чувствует себя в крайне затруднительном положении п полагает, что для пас троих—для меня, для Васи даже для Вейерштрасса, могут быть большие неприятности: Бертран будет чрезвычайно задет, если Эрмит получит новое отличие от шведского короля, в то время как у пего только орден Полярной звезды. Он желает получить такое же отличие, как Эрмит... Эрмит думает, что если его отличат новым орденом или чем-нибудь подобным, обой in при этом Бертрана, тот будет глубоко обижен, и это плохо отразится па всех нас. Эрмит сам опасается своего столкновения с Бертраном, но для нас это будет еще хуже. Эрмит сообщил мне следующие два проекта, взяв с меня клятву, что я никому об этом пе скажу. Он хочет получить для Вас орден Почетного легиона (гой же степени, какую имеет Гюльден), что может быть полезно для Ваших будущих планов, ввиду того значения, которое
702
И. Я. НОЛУБАРИИОВЛ-КОЧШТА
во Франции имеют глупость придавать этой красной ленточке, а для Вейерштрасса он хочет получить 50.000 франков, которые Академия должна в этом году присудить самому засл уженному ученому Европы. Сами понимаете, что без поддержки Нортрапа осуществление этих двух проектов невозможно. Ра in бога, приложите все усилия, чтобы Бертран получил это отличие».
Мпттаг-Чеффлср отвечает, что он сделает все, что только в его силах, по что дело является чрезвычайно с южным.
«Выже хорошо знаете,—пишет он 31 января 1889 г.,— во-первых, чго король пе республиканец, во-вторых, что его политика скорее склоняется на немецкую, чем на французскую сторону, и, в-третьих, что он чрезвычайно боится всего, что может ие поправиться Германии, и, наконец, что он в отношении орденов для математиков гораздо больше сделал для Франции, чем для Германии,—Эрмит, Пуанкаре, Пикар, Аппель. В Германии же только Вейер-иг1 расе».
Заметим, что речь шла уже о втором ордене для Пуанкаре и Аппеля.
6 февраля 1889 г. Миттаг-е 1еффлер сообщает:
«Пока мои усилия удались мне в том отношении, что Вейерштрасс и Эрмит по получат орденов, по каждый из них получит портрет короля большого формата и в подходящей рамке. В официальной шкале отличий эго пенится выше всякого ордена. Его обычно дают министрам и посланникам, имеющим уже настолько высокие ордена, что им нельзя дать больше. С другой стороны, Бертран нс может обидеться, чго король пошлет свою фотографию лицу, оказавшему ему личную услугу...
Что касается Бертрана, то он вероятно будет командором, как только король вернется, а я встану...1).
Я надеюсь, что Эрмит действительно сознает, что я сделал все, что было в моих силах».
Далее Мнттаг-Чсффлер пишет, что его просьба о том, чтобы ему по давали никакой награды, удовлетворена. Однако, как мы уже говорили выше, ему присудили орден
х) Миттаг-Леффлер был в это время болен.
К ЬИОГРАФНП С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
703
Почетного легиона, но более низкой степени, чем другим шведам. Мпттаг-Леффлер рассматривал .это как большую неприятность для нею, так как это могло быть истолковано в Швеции как доказательство того, что ого ставят во Франции ниже Гюльдепа и Дунара.
Еще в письме от 7 февраля 1889 г., когда дело с орденами пе было закопчено, Мпттаг-,'[еффлер писал Софье Васильевне:
«А теперь я так устал от все i этой возни с орденами, что начинаю думать, что было бы лучше, если бы король никогда не имел дела с математикой» (шведский король Оскар II интересовался математикой).
В 1889 и 1890 гг. Софья Васильевна, как мы видели, хотела взять преподавание па Высших женских курсах во Франции, по из этого ничего не вышло. Эрмит знал, что опа очень хочет верпу иля в Россию, и написал по этому поводу письмо Чебышеву Д.
В письме к Мпттаг-. 1еффлеру 2), относящемся, вероятно, к сентябрю 1888 г., Ковалевская говорит, что опа недавно писала Эрмиту, и добавляет: «Я рассказываю о некоторых, как мне кажется, удивительных и интересных результатах, которые я нашла относительно общего случая». По свидетельству Н. Е. Жуковского3), Софья Васильевна говорила также I(уапкаj>e о новых случаях решения задачи о вращении, которые она нашла. К сожалению, у пас пет сведений об этих исследованиях.
4. ИЗ ПЕРЕПИСКИ С ДРУГИМИ МАТЕМАТИКАМИ
В этом разделе я хочу дать некоторые дополнительные сведения, которые мне удалось собрать за последнее время, к тому, что мною было сообщено на заседании Московского математического общества в 19л2 г. и опубликовано впоследствии в «Успехах математических паук». Эти сведения имеют и самостоятельный интерес.
9 См. Чебышев II. /I., Полное собрание сочинении, г. V, Пзд-во АП СССР, 1951, стр. 434.
2) Голубев В. В., цнт. соч., 1953, стр. 283.
3) Ж v к о в с к и ii 11. Е., Полное собрание сочинений, т. IX, И., 1937,'стр. 310.
II. Я. НОЛУ ВАШИ! О BA-KO’- IJL1LI А
1. В письмах Д. Ф. Селиванова к С. В. Ковалевской встречается упоминание о Голубицких. Так, 26 июля 1885 г. Селиванов пишет пз Пензы: «Если Вы желаете видеть Голубицких, то это очень легко сделать. Вы проедете по Московско-Курской ж. д. до станции Иваново (это недалеко), там возьмете почтовых лошадей и проедете 21. версту до города Тарусы (уездный город Калужской губернии), откуда 2 версты до деревни Пачево, где и живут Голубицкие. Очень их обрадуете, если приедете».
Павел Михайлович Голубицкий (1845—1911) был талантливым изобретателем в области, телефонии. Когда Софья Васильевна была утверждена профессором Стокгольмской высшейшко.ты, он послал ей для уплаты вексель на 4000 рублей (за что был назван Ковалевской «разбойником Голубицким» в письме к Александру Оиуфриевнчу Ковалевскому). Вероятно, это был старый долг Ковалевских. Житель города Калуги Николай Михайлович Маслов сообщил мне в письме некоторые подробности о Голубицком и высказал свое мнение но поводу иска: вероятно, Голубицкому дозарезу были нужны деньги иа его изобре-гония. Отношения его к Ковалевской все время оставались хорошими, о чем свидетельствуют письма Селиванова и тот факс, что Софья Васильевна посетила Голубицкого в его деревне.
Напомню, что от Голубицкого Ковалевская узнала о молодом талантливом изобретателе—Константине Эдуардовиче Циолковском (1857—1935), жившем в Калуге, и выразила горячее желание познакомиться с ним. Циолковский по своей застенчивости (связанной отчасти с его глухотой) отказался приехать к Голубицким, чтобы повидаться с знаменитым математиком, однако он вспоминал внесло цтвии, как ободряюще подействовало па пего внимание Софьи Васильевны.
Известно, что Ковалевская интересовалась физикой и ее приложениями. Так, одно время она работала вместе с Юлией Всеволодовной Лермонтовой, талантливым химиком (см. о пей в Большой Советской Энциклопедии), над практическим применением «свечи-Яблочкова». К сожалению, по этой части почти нет материалов. Среди писем
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
705
Ковалевской сохранился листок с рисунком какой-то электростатической машины.
2. В шутливом письме к своей приятельнице, польской революционерке М. Залеской-Мопдельсон («Современный мир», 1912, J\° 2), С. В. Ковалевская говорит о трех своих «молодых» поклонниках, которым в сумме больше двухсот лет. Описав первых двух, она добавляет: «... третий же—молодой 72-летний английский ученый, пишет сонеты в мою честь. В одном из сонетов он говорит: „Твоя звезда ярко сияет над озером Молари“ х) и сравнивает меня с Прометеем».
Этим ученым-поэтом был Джозеф Сильвестер (18'14.— 1897). В Лондонском журнале «Nature» («Природа») 9 декабря 1886 г. появилось письмо Сильвестера под заголовком «Музыка и математика» с предисловном:
«Вчера вечером я встретил в одном из знакомых мне домов даму, которая должна была в этот вечер петь па еженедельном концерте в Бэллиоль-колледже * 2). Завязавшийся разговор коснулся знаменитого профессора математики— женщины, преподававшей в Стокгольмском университете. Когда я возвращался домой, мои мысли сами собой вылились в следующие строки, которые, возможно, вызовут интерес у читателей, если, к моему счастью, они появятся па широко распространенных во всем мире столбцах журнала „Природа".
Пыо колледж, ноябрь 15, Дж. Дж. Сильвестер».
Далее идет сонет, в котором говорится о Ковалевской, но нет сравнения ос с Прометеем. Оказывается, у Сильвестера было еще два варианта сонета, один из которых --неизвестно какой—был послан Ковалевской 25 декабря 1886 г. Приводим здесь перевод того варианта, который был послан 18 ноября 1886 г. Миттаг-Леффлеру. Фотокопия этого письма Сильвестера, вместе с сонетом, присланная но моей просьбе пз Стокгольма, хранится в фундаментальной библиотеке по общественным паукам АН СССР.
Э Меларен или Мелар—озеро, на берегу которого стоит Стокгольм.
2) Бэллиоль-колледж—типичный пансион Оксфорда, считающийся одним пз самых богатых.
Исторпно-матем. исследования
706
П. Я. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА
Сонет
Молодой даме, собиравшейся петь па еженедельном концерте в Бэллиоль-коллсджс.
Прекрасная дева, чей голос низводит музыку с небес, (Для труженика—их лучший и ценнейший дар), Чье пенье так же разнообразно, как вечно меняющаяся луна, И ложно, как слеза, которую роняют грустные очи,—
Пусть ложные страхи, злейшие враги истинного достоинства, По мешают твоему порыву—не рассеивают слишком скоро пашу радость.
Надоест ли аромат розы в июньский знойный день, Иль ласковый ветерок, замирающий в прохладной ложбине?
О ты, чья звезда ярко сияет над озером Мелар, И ты, украшение веселых берегов Изиды1), Позвольте,, я сплету вам единый гармонический венок'
Ты можешь звуками пленить наши чувства,
Л она—средь немых чисел ударить с силой Прометея По всем струнам всепобеждающего разума Человека.
3. Следующее добавление относится к переписке Ковалевской с Густавом Хапзсмаиом (1829—1902), немецким физиком (по занимавшим никакого официального поста).
Когда Софья Васильевна после смерти профессора Хольмгрена получила предложение читать курс механики, то ее берлинский приятель прислал ей письмо, в котором называл ее профессором в квадрате. Я думала, что это выражение принадлежало автору письма Хапземану. Однако оказалось, что он лишь отвечал на письмо Ковалевской от 9 ноября 1885 г., в котором опа говорит: «Исходя пз того, что раз ты стал профессором, то можно с таким же успехом быть им вдвойне или в квадрате, я приобрела себе, кроме прежней, еще новую профессуру. Пе думайте, что это шутка: дело действительно до некоторой степени обстоит так, как я Вам пишу. Моя формула теперь есть Фрау Сопя = (профессору)2».
9 Название берегов Темзы в Оксфорде на студенческом жар
гоне.
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
707
Ханземан был том человеком, которого в литературе о Ковалевской называли г-ном X. или «молодым математиком X.». Это ему Софья Васильевна писала из Стокгольма, что опа собирается на бал и сидит перед зеркалом с бабочкой в волосах. Его, будучи в Берлине, она извещала о своем согласии принять его предложение повеселиться,—но через два часа отказалась от этого решения ради занятий математикой. На самом доле Ханземан ужо был пожилым, у него в то время был сын-врач.
Ханземан был сердечным человеком, считавшим, что молодые люди должны иметь свои радости в жизни и не должны замыкаться лишь в свою специальность. Он заботился об отдыхе и развлечениях Софьи Васильевны (обучал се катанью на коньках, приглашал в театр), и пе только ее, но и Вейерштрасса.
Однажды Ханземан пришел к Вейерштрассу и стал уговаривать ого и Ковалевскую пойти с ним в театр. По Вейерштрасс не мог принять этого предложения, так как должен был проделать длинные выкладки к предстоявшей лекции. Тогда Софья Васильевна принялась за эти алгебраические преобразования, быстро справилась с ними, п все трое пошли в театр1).
Ханземан поддерживал Ковалевскую в трудные моменты ее жизни. Когда в феврале 1891 г. Софья Васильевна заболела своей смертельной болезнью, то опа послала Хаиземану записку,—продиктованную сю другому лицу, так как сама опа уже не могла писать, —в которой извещала его о своей болезни, по просила не говорить о ней Вейерштрассу, чтобы не расстроить его, так как он был болен в то время.
4. В заключение я хочу воспользоваться случаем исправить ошибку, допущенную мною в статье «Из переписки С. В. Ковалевской» в «Успехах математических паук» (1952, т. VII, вып. 4). Там был упомянут французский физик (я назвала его математиком) Габриель Липпмаи (1845—1921), по поводу которого Мпттаг-Леф-
9 Bunsen Marie, Sonja Kovalevsky. Einc biographische Skizze. Westermanns illustriertc dcutsche Monatshefte, 1897, Bd. 82, Mai, стр. 218—232.
45*
7 О»
II. Я. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА
флер писал Ковалевской (в 1886 г.): «Я со своей стороны не возражаю, чтобы Вы вышли замуж за Липпмана, по с тем условием, чтобы Вы встречались с ним только во время каникул»
Среди писем Ковалевской имеется одно, написанное крупным, решительным почерком—от матери Лпнпмапа, с припиской самого Липпмана—мелким, изящным почерком. И j письма Ковалевской к Миттаг-Леффлеру выясняет-ся, что мать Липпмана нашла своему сыну подходящую невесту и боялась «вредного влияния» Софьи Васильевны. Когда последняя узнала об этом, то перестала делать визиты Липпмапам.
Мария Бунзен, воспоминания которой процитированы выше, говорит, что Софья Васильевна на советы знакомых по поводу замужества шутливо отвечала, что если она л выйдет вторично замуж, то только за математика и иритом за русского.
Как известно, С. В. Ковалевская в Стокгольме в J888 г. близко познакомилась с Максимом Максимовичем Ковалевским—русским, но не математиком, a юристом. Отношения между Софьей Васильевной и Максимом Максимовичем были сложными, так как пережитое очень отразилось па нервной системе Ковалевской, у Ковалевского же были свои сложившиеся особенности и привычки. Однако есть основания считать, что в последнее свидание, па каникулах 1890—1891 г., они решили оформить свои отношения браком, и лишь смерть Софьи Васильевны 10 февраля 1891 г. помешала осуществлению этого намерения.
Что касается умственных интересов, связывавших Ковалевских, то они были глубокими. Это видно хотя бы из того, что Максим Максимович свою большую работу о происхождении семьи и собственности1) (на которую делает ряд ссылок Ф. Энгельс в труде «Происхождение семьи, частной собственности и государства») посвятил Софье Васильевне. Вся первая страница книги занята одной фразой: «Г-же Софье Ковалевской». Софья Васильевна,
г) Tablean des origines et de revolution de la fainille et de la proprietc, par Maxime Kovalevsky, Stockholm, 1890 (Publication de la fondation Loren).
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
709
как член комитета Лореновского фонда, пригласившего М. М. Ковалевского читать лекции но социологии, присутствовала на этих лекциях, обсуждала их и спорила ио поводу ряда вопросов. М. М. Ковалевский говорит, что Софья Васильевна умела проникать в самую глубь вещей и что споры с нею были весьма полезны. В свою очередь Софья Васильевна делилась с Максимом Максимовичем своими литературными замыслами.
Шведская писательница Эллен Кей оставила такие строки воспоминаний о Ковалевской1):
«В течение нескольких лет я каждую неделю встречалась с ней, но Соню Ковалевскую я, в сущности, видела только раз. Это было однажды вечером иа концерте, когда исполнялась девятая симфония Бетховена. Сопя, против обыкновения, была в элегантном туалете—черное шелковое платье с кружевами. Рядом с пей сидел ее соотечественник, предмет ее любви. Вокруг них неслись божественные звуки бетховенской музыки. Светлое спокойствие отражалось па обычно нервных чертах Сопи Ковалевской. Она как бы преобразилась. Опа .'побила, н музыка уносила се в мир светлых мечтаний... Такое выражение мне вторично пришлось видеть у Conn Ковалевской лишь еще один раз— когда она лежала мертвою».
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПИСЬМО Ш. ЭРМИТА С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
Париж 8 марта 1884.
Г-жа Ковалевская,
Предположив, что решение уравнения = 0 является мероморф-и
пым, я полагаю ——, где и и v целые функции; таким ооразом,
это совсем ие тот случав, который рассмотрев в Вашем письме,
х) Цитирую по статье II. М и р о в и ч, Софья Ковалевская. Вестник знания, Ai 3—4, 1911.
710
П. Я. ПОЛУБАРИНОВА-НОЧИНА
где Вы принимаете ср = — . При наличии этого, если я воспользуюсь подстановкой, то получаю:
(UxV—UVx)2 + (u'yV-UVy)Z + (u'zv— uv’z)z=&,
из чего следует, что условие v — Q, соответственно, влечет за собой следующее:
'2 . '2 , '2 п
Vx + Vy + Vz — 0
и, значит, для действительных количеств, которые только и рассматриваются:
v'x — 0, Vy — 0, v'z — 0.
Эти уравнения показывают, что бесконечности моей функции суть изолированные точки, как их рассматривает Динель, или же они представляют собой линию, если три уравнения сводятся только к двум.
Я, г-жа Ковалевская, очень занят моими лекциями и деталями преподавания программы, требуемой от кандидатов па ученую степень.
_ С Edx
Так, для приведения гиперэллиптических интегралов I ’ где Е обозначает полином некоторой степени, я заменяю хороню известные Вам вычисления замечанием, что, обозначив через М неопределенный полином и полагая
найдем, что N непременно будет также целым полиномом. Тогда видно, что его степень п будет наименьшей. Верем для М целую часть разложения выражения
1 Г Edx
Vr J V~R
по убывающим степеням переменной. Обозначьте через г степень R\ Р
тогда ясно, что разложение интеграла начинается с выра-
г
жения степени -%— 1, так что немедленно получаем условие
а, следовательно, п — г
К БИОГРАФИИ С. Б. КОВАЛЕВСКОЙ
711
Для приведения эллиптических интегралов
У / (ж> К (ж)) dx,
где
R(x) = A(x—а) (х—Ъ) (х—с) (х—d),
в которых можно исключить нечетные степени полинома
путем
подстановки
__p + qt
1+i
я замечаю, что уравнения между р и д.
а именно:
а—р b — р с — р d—р
q — a q — b ’ д— с д— d '
легко дают
1_ 111
р — а р — b р — с р — d '
Эта форма сразу же показывает, что, если корпи действительны и расположены в порядке величин, уравнение для р имеет решение, содержащееся между а и Ъ и другое между с и d. В случае, когда а и Ъ—комплексные сопряженные, существует еще одно решение, содержащееся между двумя действительными корнями и, следовательно, второе. Наконец, если с и d— также комплексные сопряженные, предположите па время:
JZ х 1,1 1
1
Р — d '
Вы будете иметь для очень большого р:
/(Р)
а + Ъ — с — d
потом для 2р — а -}-Ь:
f(p) =
а + b — с—d {P-с) (Р-d)
и также для 2p — c-\-d:
,, a + b—c—d .
ПР)~ (P-а) (р-Ь) '
следовательно, существует отце два действительных решения урав-а Ь с-f- d
пения для рвпе интервала, содержащегося между —— и —.
Эти подробности мало достойны Вас, г-жа Ковалевская; только зная Вашу доброту и зная также, что Вы посвящаете себя трудоемкой работе—тщательно приготовлять Ваши лекции, я позволяю себе их Вам сообщить. Если Вы разрешите, я осмелюсь рассказать
712
1Г. Я. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА
Вам случай, который позволит Вам судить об уме наших господ учеников и который касается моего ученого собрата, г-на Бонна. Недовольны его глухим голосом, и он слывет небрежным; совсем недавно случилось, что на его лекции по астрономии, вследствие недосмотра, [пе разобрано], на доске бы.г стерт синус, потом заменен косинусом, который оказался также ошибочным. Злобная аудитория доказала свое нерасположение к профессору насмешливыми рукоплесканиями, которые, все усиливаясь, перешли к концу .лекции в оглушительный шум.
Я взял на себя миссию, г-жа Ковалевская, сообщить Аппелю Ваше частное решение уравнения Лс=0 и получил от него завлеку, которую считаю своим долгом послать Вам. Г-н Александр Бертран, его тес гь, добивается получения через Министерство народного образования подписки иа Acta, которая будет предназначена пе для факультетских библиотек, которые почти все имеют принципе абонементы, а для библиотек лицеев, гораздо более мпогоч нс лепи ых.
Благоволите, г-жа Ковалевская, вновь принять уверения в моей почтительной преданности.
ТП. Эрмит
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
И. Я. Депман
В биографии В. Ковалевской говорится, что К. Вейерштрасс, сыгравший всем известную роль в ее жизни, был вообще противником допущения женщин в университет, и .лишь убедившись в блестящих способностях С. В. Ковалевской, решил заниматься с нею приватно. Такое утверждение противоречит фактам и опровергается письмом Вейерштрасса от 25 октября 1870 г. к Л. Кенигсбергеру, учителю (Г В. Ковалевской по Гейдельбергскому университету,—письмом, которое в некоторой степени уточняет одну из страниц биографии (Г В. Ковалевской.
Лоо Коншчбергор (1837 —1921) представляет для нас интерес как учитель С. В. Ковалевской. С 1864 г. он состоял профессором математики Грейфсвальдского университета, с 1875 г.—профессором высшей технической школы в Дрездене, с 1877 г,—профессором Венского университета, с 1869 по 1875 г. и с 1884 по 1913 г.—профессором Гейдельбергского университета. К первому периоду работы Кенигсбергера в Гейдельберге и относятся студенческие годы С. В. Ковалевской в этом университете. Кспшсбсргер, будучи учеником Вейерштрасса но Берлинскому университету, в основном работал в русле идей своего учителя. Главные ого работы относятся к теории функций, дифференциальным уравнениям и механике. Широкой известностью пользовался Кенигсберге]), как превосходный педагог.
Интересующее нас письмо содержится на стр. 31 — 32 статьи Кенигсбергора «Первый курс Вейерштрасса по
714
И. Я. ДЕПМАИ
теории эллиптических функций»1). Письмо относится к осени 1870 г., ко времени прусско-французской воины. Оно написано после первого знакомства Вейерштрасса с С. В. Ковалевской и показывает, что Вейерштрасс пе проявил в деле Ковалевской отрицательного отношения к стремлению женщин к университетскому образованию. Мало зная С. В. Ковалевскую лично, но доверяясь рекомендации своего ученика Кенигсбергера, он сразу поддержал в сенате (правлении) университета ходатайство Софьи Васильевны о допущении ее к слушанию лекций. Как показывает письмо, Вейерштрасс сделал все от него зависящее, чтобы поддержать ходатайство С. В. Ковалевской, ожидая от новой своей ученицы проявления серьезных математических способностей. Все это ясно из текста письма Вейерштрасса к Кенигсбергеру в Гейдельберг.
25 октября 1870 г.
Уважаемый друг п коллега!
Мне стало известно, что Ваши великолепные планы путешествий лопнули так же, как и мои более скромные. По все же, как я слышу от Фукса, Вы по крайней мере посетили родные места, в то время как я, как и все мои более близкие знакомые, ие покидали Берлина. Нужно надеяться, что наступающий год сделает ио меньшей мере возможным нам, мирным труженикам, насладиться без помех нашим отпуском, который нам вдвойне необходим после переживаемых волнений настоящего времени.
В университете мы будем, вероятно, в весьма сильной степени чувствовать влияние военного времени. Я сегодня начал чтение своего курса по эллиптическим функциям с двадцатью слушателями, в то время как два года тому назад моя аудитория состояла из пятидесяти человек. Куммер и Кронекер по этой причине предполагают приступить к чтению лекций лишь после 1 ноября. Тем острее задевает пас то обстоятельство, что неумолимая—пока что—воля высо-
L) Weierstrass erste Vorlcsung liber die Theorie der ellipLischen Funktionen von Leo Koenigs berg er in Heidelberg. Sonderab-drnck ausdemXXV Bande, Heft 10—12 des Jahrcsbericlits der deut-schen Matheinatiker-Vereinigung. Verlag von B.G.Teubner,Leipzig— Berlin.
К БИОГРАФИИ С. В. КОВАЛЕВСКОЙ
715
кого сената нс даст нам возможности воспользоваться заменою, которую Вы нам предлагаете от себя в лице Вашей бывшей слушательницы Софьи Ковалевской, каковая замена,— снабженная справедливым весовым коэффициентом,—быть может, оказалась бы весьма ценной. Вы обяжете меня, если соблаговолите сообщить мне Ваше мнение об этой даме и ее способностях к более глубоким математическим занятиям. Это для пас было бы тем более желательно, что в ближайшем заседании сената—через педелю—ходатайство дамы о допущении ее к слушанию математических лекций будет еще раз предметом обсуждения и я, выступая в поддержку ходатайства, мог бы, опираясь па Ваш отзыв, высказать свое убеждение в том, что названная дама действительно имеет призвание к научной работе. Она говорила мне, что в течение нескольких семестров слушала Ваши лекции, в том числе и по эллиптическим функциям, и что она охотно желала бы нтти в этой области дальше. Если бы я мог рассчитывать па то, что она справится с этим, что опа, например, в состоянии разработать, при моей помощи, теорию ги-нерэлл литических функций, то я был бы охотно готов всячески поддержать се стремления. По для Вас, конечно, понятно, что я пе хотел бы начинать дело, которое, быть может, окажется невыполнимым. Что личность дамы представляет требуемые гарантии—это тот момент, который неизбежно будет предметом суждения в сенате—я предполагаю, так как она достаточно долго училась в вашем университете. Но все же мне было бы в то же время желательно ясное заверение Ваше об этом, так как здесь у пас не могут признать нормаль иым такое необычное явление, что дама желает изучать математику и не боится переступить порог такого помещения, каким является паша аудитория № 17.
С дружеским приветом Ваш Вейерштрасс
ЧЕТЫРЕ ПИСЬМА К М. В. ОСТРОГРАДСКОМУ
В. JE. Прудников
Об академике М. В. Остроградском сохранились многочисленные воспоминания его учеников, сослуживцев и просто знакомых. Значительно менее благополучно обстоит дело с перепиской Остроградского. До настоящего времени обнаружено очень немного писем Остроградского и к Остроградскому.
Ниже публикуются четыре письма известных французских математиков прошлого века—Коши, Ляме, Штурма и Бине к Остроградскому, позволяющие судить в известной мере о характере отношений между Остроградским и названными французскими учеными и свидетельствующие о глубоком их уважении к Остроградскому.
Письма взяты из коллекции И. Е. Жуковского, хранящейся в архиве ЦА1J1. За предоставление их в наше распоряжение выражаем глубокую благодарность Н. М. Соме новрй.
II и с ь м о К о ш и 0 к М. В. и с т р о г р а д с к о м у
Господину Остроградскому, профессору небесной механики
Сударь!
Я пользуюсь любезностью г. де ла Буйллерп, который отправляется в настоящее время в С.-Петербург, чтобы передать Вам экземпляр литографированного мемуара об интегрировании дифференциальных уравнений, который я недавно опубликовал.
1) Коши (Augustin-Louis Cauchy, 1789—1857)—знаменитый французский математик.
ЧЕТЫРЕ ПИСЬМА Ь‘ ХЕ В. ОСТРО1Ч’АДСКОМУ
717
Я с удовольствием воспользуюсь этим случаем передать Вам новое выражение моей глубокой привязанности.
П рюген, 2 мая 1836.
Августин How. и.
Письмо Ляме1) к XI. В. О с т р о г р а д с к о м у
Дорогой О стр огр аде кий,
с большим удовольствием я получил Ваши проспекты, и я с радостью узнал, что Ваше здоровье настолько улучшилось, что Вы можете выходить. Скоро восстановят большой мост через Неву, п мы по будем больше разделены. Я радуюсь этому, так как начал привыкать навещать Вас по средам и пятницам, и я хотел бы сохранить эту привычку.
Предупредили ли Вы Грссфа о прибытии подписавшихся. Во всяком случае вечером или завтра я пойду к нему, чтобы взять билет или записаться. Я улажу это с ним.
Ваш друг Г. Ляме.
Письмо Штурма2) к М. В. О с т р о г р а д с к о м у
Париж, 24 июля 1847 г.
«Я был очень обрадован получением от Вас известий через господина лейтенанта Буцкого, который оказал мне любезность навестить меня. Он дал мне самый обстоятельный отчет о Ваших успехах. Вы окружены очаровательной семьей и осыпаны почестями, соответствующими Вашему таланту.
Да здравствует Россия, которая умеет оцепить своего выдающегося геометра.
Вам полагается еще одна дань: звание члена-корреспондента Парижской Академии наук, которое Вы уже давно заслуживаете и которое Вам дадут при первой возможности.
Д Ляме (Gabriel Баше, 1795—1870)—французский математик и физик. В начале двадцатых годов XIX века Ляме был приглашен профессором в Институт корпуса инженеров путей сообщения и до 1832 г. жил в Петербурге.
-) Штурм (Charles Sturm, 1803—1855)—французский математик.
718
В. Е. ПРУДНИКОВ
Снимок письма Ламе к М. В. Остроградскому.
ЧЕТЫРЕ ПИСЬМА К М. В. 0СТР0ГРАДС1ЮМУ
719
В секции математики (которая составляет список кандидатов) Вашими самыми горячими сторонниками являются г. г. Бине, Ляме и я, а вис секции—с различной степенью горячности—Коши, Дюгамсль, Попселе, Пиобер, Морен, Лиу-внлль и т. д.
Чтобы сохранить их доброе расположение, Вы сделали бы очень хорошо, если бы отправили в нашу Академию два или три экземпляра Ваших прекрасных мемуаров, которые, быть может, недостаточно известны здесь.
Но лучше всего было бы—по многим другим причинам— приехать в Париж весной, а не летом.
Г. Брассьен живет в Тулузе, довольный своей судьбой; он поручил мне передать Вам свои дружеские пожелания.
Уже несколько лет, как я занимаюсь больше моими лекциями, чем исследованиями. Я также очень сконфужен теми похвалами, которыми Вы осыпаете такого лентяя, как я.
Преданный Вам Штурм.
Письмо Бине1) к М. В. Остроградскому Сударь!
Г. Бине, мой брат, инженер морских сооружений, вероятно, будет иметь возможность посетить С.-Петербург.
Я надеюсь, что Вы не откажете сообщить ему некоторые сведения о том, как можно быстрее ознакомиться с достопримечательностями Вашей прекрасной столицы; он намеревается там пробыть немного времени. Он будет рад предложить Вам свои услуги для Ваших поручении [...] по возвращении во Францию.
Я радуюсь, что это обстоятельство даст мне возможность выразить свое чувство глубокого уважения к Вам.
Париж, 1844.
*) Бинс (Jacques-Philippe Binct, 1786—185G)—французский математик и астроном.
Историко-математические исследования. Выпуск VII.
Редактор А. II. Разумовская.
Техп. редактор II. А. Тумаркина. Корректор Е. А. Белицкая.
Сдано в набор 4/IX 1954 г. Подписано к печати 3/XII 1954 г. Бумага 82х108/32. Физ. псч. л. 22,5.
Условп. печ. л. 36,9 + 4 вклейки. Уч.-пзд. л. 36,03. Тираж 3 000 окз. Т-08469. Цена книги 20 руб. Заказ № 493.
Государственное издательство технико-теоретической литературы.
Москва. В-71. Б. Калужская, 15.
16 типография Главполиграфпрома Министерства культуры СССР. Москва, Трехпрудный пер., 9.