/
Текст
ГЛАВА 7, ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КА
С ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ
Развитие космической техники в рамках использования тра-
диционных химических ракетных двигателей наталкивается на
серьезные трудности, связанные с ограниченностью скоростей
истечения газов из сопла таких двигателей. Для энергонапря-
женных космических маневров КА, которым соответствуют боль-
шие значения требующейся характеристической скорости КА,
массовая отдача аппарата становится очень малой и целесооб-
разно перейти к использованию двигателей с более высокими
значениями удельного импульса тяги.
Среди таких двигателей большой интерес представляет
электрореактивные двигатели (ЭРД), удельный импульс тяги
некоторых типов которых достигает 105 м/с и принципиально
может быть увеличен. В настоящей главе будут исследованы
траектории КА с ЭРД.
7.1. ОСОБЕННОСТИ ТРАЕКТОРИЙ КА С ЭРД
Для КА с ЭРД используют следующие названия:
КА с двигателем ограниченной мощности, КА с двигателем ма-
лой тяги.
Первое из этих названий связано с тем, что на КА с ЭРД
существует принципиальное ограничение по мощности, имею-
щейся на борту энергетической установки, энергия которой ис-
пользуется для создания реактивного ускорения. Утвердивше-
еся за таким двигателем название — двигатели малой тяги
или, иногда, малого ускорения — связано с тем, что реактив-
ное ускорение КА с ЭРД мало и находится в пределах 10-2—
Ю~5 м/с2 и на несколько порядков меньше ускорения свобод-
ного падения на поверхности Земли.
Те небольшие величины реактивного ускорения, которыми
располагает КА с ЭРД, не дают возможности использовать та-
кие аппараты для старта с Земли или с поверхности любого
сколько-нибудь значительного небесного тела. Запуск такого
аппарата должен проводиться с орбиты спутника небесного
тела, а конечной целью полета может служить либо другая ор-
Ю—8
289
бита вокруг того же небесного тела, либо орбита спутника дру-
гого небесного тела. Возможность непрерывной работы в тече-
ние длительного времени предполагает целесообразность ис-
пользования КА с ЭРД в качестве космических «буксиров»
для грузовых перевозок, для удержания на заданной траек-
тории, коррекции орбиты, управления ориентацией спутников
и КА.
Использование ЭРД для КА, осуществляющих переходы с
одной орбиты на другую в окрестности Земли, приводит к мно-
говитковым траекториям, спиралевидным движениям. Реактив-
ное ускорение на таких аппаратах медленно изменяет оскули-
рующие элементы орбиты КА. Время активного полета таких
аппаратов в ряде случаев может совпадать с временем полета
(т. е. пассивных участков траектории может не быть).
При движении КА с ЭРД на гелиоцентрическом участке
траектории, а также в окрестности малых гравитирующих тел
(астероидов, естественных спутников) реактивное ускорение
может оказаться сравнимым с гравитационным ускорением. В
этом случае активный участок траектории КА может быть не
многовитковым. Так, на гелиоцентрическом участке полета
межпланетного КА включение ЭРД на время, соответствующее
угловой дальности полета 50°, может обеспечить полет КА к
Венере, Марсу, Юпитеру и т. д.
При использовании ЭРД для коррекции и поддержании ор-
биты спутника участки активного полета могут быть относи-
тельно небольшими.
При использовании массовых критериев оценки проекта КА
подход к анализу проекта КА с ЭРД существенно отличается
от. анализа проекта КА с химическими двигателями. Для КА
с химическим двигателем в первом приближении допустимо
пренебрежение массой двигательной системы и задача мини-
мизации массового критерия сводится прежде всего к отыска-
нию условий наименьшей затраты топлива на совершение за-
данного космического маневра. Это связано с тем, что при до-
статочно энергоемких маневрах масса двигательной установки
у таких аппаратов существенно меньше затрат топлива (масса
топлива может составлять две трети и более всей массы аппа-
рата). На основании формулы Циолковского условие миними-
зации топлива сводится к минимизации характеристической
скорости (1.66). Для ряда космических маневров КА с двига-
телем большой тяги потери скорости малы, характеристическая
скорость при этом не сильно отличается от того приращения
скорости, которое должен получить КА на активных участках
полета. Таким образом, анализ массового критерия КА с хими-
ческим двигателем часто легко сводится к анализу характери-
стической скорости КА или просто к приращению скорости ап-
парата.
290
Иначе обстоит дело для КА с ЭРД. В этом случае силы тя-
готения часто превышают ракетную тягу. При этом, по край-
ней мере, гравитационными потерями скорости пренебрегать
нельзя, а приращение скорости имеет очень мало общего с ха-
рактеристической скоростью. Таким образом, хотя характери-
стическая скорость для КА с двигателем малой тяги опреде-
ляет затраты топлива на маневр, но сама характеристическая
скорость существенно зависит от параметров аппарата и его
двигательной установки. С общей постановкой анализа проек-
тов КА с двигателем малой тяги можно ознакомиться в [20].
В дальнейшем, при нахождении рациональных схем полета
КА с ЭРД с заданными параметрами, будет минимизироваться
характеристическая скорость или для случая нерегулируемого
двигателя полное моторное время полета Тц (время полета
на активных участках траектории). В случае нерегулируемо-
го однорежимного двигателя минимум моторного времени соот-
ветствует минимальным затратам топлива и минимальной ха-
рактеристической скорости. Действительно, однорежимность
двигателя предполагает постоянство массового расхода рабо-
чего тела пг и постоянство скорости истечения W. При этом
закон изменения реактивного ускорения оказывается следу-
ющим:
f=------------ = , (7.1)
W Н
где Гц — текущее моторное время (текущее время активного
полета).
Выражение для характеристической скорости принимает
вид
Кхар = ? —k— dt= -rin ( 1- А т|Л . (7.2)
о о 1 10, \ ™ /
W "
Из последнего соотношения видно, что минимум полного мо-
торного времени Тц соответствует минимуму характеристиче-
ской скорости. Затраты топлива при этом будут тоже мини-
мальными, так как тт = тТ^.
Таким образом, реактивное ускорение КА с ЭРД не превы-
шает 10-2 м/с2. Траектория такого КА в окрестности Земли и
Других больших планет чаще всего многовитковая и может
представлять медленно раскручивающуюся спираль. Хотя ра-
циональная траектория КА с ЭРД соответствует минимуму ха-
рактеристической скорости (для нерегулируемого двигателя
Моторного времени), но сама характеристическая скорость яв-
Ю* 291
ляется существенной функцией проектных параметров КА, что
необходимо учитывать при анализе проектных решений КА и
выборе его проектных параметров.
7.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ
ДВИЖЕНИЯ КА С ДВИГАТЕЛЕМ МАЛОЙ ТЯГИ
КА с двигателем малой тяги могут иметь весьма
большую протяженность активных участков, измеряемых сут-
ками, месяцами и даже годами (при реализации межпланетных
перелетов). При этом допущение об импульсной аппроксима-
ции активных участков безусловно не проходит. Анализ актив-
ного участка полета аппаратов с ЭРД должен проводиться на
основе исследования весьма полной математической модели,
часто с учетом ускорений, которые для аппаратов с большой
тягой рассматривались как возмущающие. Последнее связано
с малостью реактивного ускорения, с тем, что ускорение, на-
пример связанное с нецентральностью гравитационного поля
Земли, может иметь тот же порядок малости, что и реактивное
ускорение. Эти обстоятельства приводят к тому, что для кос-
мических маневров оказывается целесообразным рассматри-
вать тягу как возмущающую силу и описывать движение КА
так, как это было сделано для анализа возмущенного движе-
ния ИСЗ. Такое описание часто целесообразно проводить с-
использованием оскулирующих элементов, например в виде
системы (3.44).
Используя (3.44), можно получить (
=2о 1/^_________5_____f •
dt V р 1 + е cos и п ’
de , ecos2u + 2 cos и 4- e f \.
-ТГ = I/ — Sill V fr H------r-y------—— / n >
dt V p \ 'r 1 + e cos и )
d®
dt ~
di
dt
COS V fr +
COS U f 9
1 + e cos и '& ’
sin и cosec i r
1 + e cos d ' b ’
sin и (2 + e cos и) c
1 4- e cos и 'n
e sin и ctg i <. -i
+ —----------- / ъ ;
1 + e cos и J
dt p2 г
df = L<eNsin”-C0S”> !' +
+ — q.
1 + e cos и J
(7.3)
292
где fn, fr, fb — соответственно трансверсальная, радиальная и
нормальная проекции реактивного ускорения;
fn = f cos ft cos гр;
fr= f sin ft; (7.4)
fb = —f cos ft sin г|),
ф, гр — углы, характеризующие направление вектора тяги в
орбитальной системе координат. Если вектор тяги направлен
по оси КА, то это — углы тангажа и рыскания (см. рис. 1.5).
В ряде случаев целесообразно перейти к полярному углу
как независимой переменной. Этим углом может быть аргу-
мент широты и. Воспользовавшись равенством (3.60), получим
du = Урр , (7,д)
dt jr2
где
/ = Г1 + — fb ctg i Sin и 1 1 . (7.6)
I HP J
Принципиальное отличие соотношений (7.3) ... (7.6) главы
от соотношений (3.44), (3.60) и т. д. состоит в следующем. В
гл. 3 предполагалась известной природа возмущающих уско-
рений. Ускорения связывались с характеристиками движения
КА (положением, направлением скорости и т. д.) и получались
вполне однозначные возмущающие эффекты, которые учитыва-
лись при проектировании орбит спутников и прогнозировании
их движения на значительных интервалах времени. В настоя-
щей главе возмущающее ускорение — это реактивное ускоре-
ние, выбор направления (а иногда и величины) которого нахо-
дится в распоряжении проектанта. Задача ставится так, чтобы
выбрать законы изменения вектора реактивного ускорения, при
котором, возмущая траекторию наиболее рациональным спо-
собом, можно было выполнить заданный космический маневр,
решить транспортную задачу, т. е. задача состоит в выборе
fn(0, fb(t) (или $(t), г|)(0).
В некоторых случаях не следует прибегать к уравнениям
в оскулирующих элементах (7.3), а использовать орбитальную
систему координат, планетоцентрическую или гелиоцентричес-
кую невращающиеся системы координат.
Рассмотрим законы управления вектором реактивного ус-
корения, которые позволяют максимально быстро изменять
элементы оскулирующей орбиты КА. Закон управления векто-
ром реактивного ускорения, который максимально быстро из-
меняет фокальный параметр (размер орбиты), мы сможем най-
ти из анализа правой части первого уравнения системы (7.3).
Чтобы dpldt в какой-то момент времени было максимально
большим, необходимо, чтобы fn в этот момент достигало своего
293
максимального значения. Если полная величина реактивного
ускорения ограничена, то при этом следует выбрать fr = fb = O.
Таким образом, локально оптимальное реактивное ускорение
для увеличения размера орбиты направлено по трансверсали
(трансверсальное ускорение)'. fn = f', fr=fb = O-
С другой стороны, для того чтобы фокальный параметр ос-
кулирующей орбиты в течение всего движения с включенным
двигателем оставался постоянным, достаточно сделать fn=®.
Из уравнений системы (7.3) следует, что положение плос-
кости орбиты в пространстве, определяемое долготой восходя-
щего узла и наклонением орбиты, изменяется только под влия-
нием перпендикулярной к мгновенной плоскости орбиты состав-
ляющей ускорения fb- Для наискорейшего изменения долготы
восходящего узла величина fb должна быть максимальной. Для
увеличения долготы восходящего узла нужно, чтобы fb = fmaxX
Xsignfsinu]. Записанный закон обеспечивает монотонное из-
менение Q и соответствует переключению нормальной компо-
ненты реактивного ускорения в узлах оскулирующей орбиты
КА.
Для изменения наклонения орбиты КА можно предложить
закон, основанный на анализе уравнения для i из (7.3): fb =
= f max sign [cos и]. Наклонение орбиты KA монотонно изменя-
ется, если переключение нормальной компоненты реактивного
ускорения происходит в точках максимального возвышения КА’
над плоскостью экватора.
Рассмотрим несколько законов реактивного ускорения для
изменения плоских оскулирующих элементов орбиты КА. При
этом нормальную компоненту реактивного ускорения будем
считать нулевой fb = O. Тогда fn = fcosf&; fr=fsin4 и дифферен-
циальные соотношения для плоских оскулирующих элементов
могут быть с помощью (7.3) записаны в виде
dp_ 1/Т" cQsfr .
dt I г у i _j_ е cos и ’
de р 1 /~ р Г • - di 6 cos2 и + 2 cos и е « п
-п- =f I/ — sinusin vH---------т-р-----—— cos v ; (7.7)
dt 1 r p. L 1 + e cos и J ’ v 7
do f 1/ P Г • о. । sinu (2-f- e cosu) a “I
dt e r p, L 1 1 + e cos и J
Все правые части (7.7) являются линейными однородными
функциями sin-ft и cos-ft.
Приравнивая поочередно эти функции нулю, можно полу-
чить законы управления, при которых соответствующий оску-
лирующий элемент не имеет возмущений.
Для нахождения законов управления вектором реактивного
ускорения, обеспечивающих максимальную скорость изменения
элементов орбиты, нужно найти такой закон -О*(и), при котором
294
достигается максимум правой части одного из равенств систе-
мы (7.7).
Такие законы можно использовать при коррекции орбит
спутников, в более ограниченном виде для синтеза законов,
обеспечивающих перелет между орбитами.
В данном разделе была введена широко используемая мо-
дель для анализа траектории КА с двигателем малой тяги и
показано, как анализ уравнений этой модели дает возможность
выделить некоторые рациональные законы направления реак-
тивного ускорения, максимально быстро изменяющие (коррек-
тирующие) отдельные элементы орбиты КА или не изменяю-
щие их.
7.3. ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ КА ПРИ ПРОСТЫХ
ЗАКОНАХ УПРАВЛЕНИЯ ВЕКТОРОМ ТЯГИ
Рассмотрим основную задачу теории движения КА с
двигателем малой тяги. Пусть известны начальные условия
движения. Задается программа управления движением КА
(будет задаваться некоторый простой закон изменения вели-
чины и направления реактивного ускорения). Требуется рассчи-
тать траекторию КА, выявить, как изменяется его положение и
скорость.
Исследование траектории КА с двигателем малой тяги в
ряде случаев целесообразно вести, анализируя изменение ос-
кулирующих элементов траектории КА. Таким образом, будем
фиксировать определенный простой закон управления векто-
ром тяги Р (вектором реактивного ускорения f = Plm) и иссле-
довать изменение элементов траектории КА.
Рассмотрим движение КА >с малой невыключаемой тягой.
Трансверсальная тяга
Трансверсальная тяга (т. е. тяга, направленная по
трансверсали) привлекает при проектировании траекторий КА
(не только траекторий КА с малой тягой) относительной прос-
тотой реализации, целесообразностью такого закона для ряда
космических маневров.
Уравнения для оскулирующих элементов в случае транс-
версальной тяги (/& = 0, ф = 0) запишутся в виде
%- = 2р ]/— ; (7.8)
dt r V р, 1 + е cos и ’ ' 7
de ____е 1 Г р е cos2 и 4“ 2 cos и + е .
dt * V р, 1 -f- е cos и ’ * • /
295
(7.12)
- _L 1/JL sin d (2 +cos eu) . (7 m
dt e V ik 1 + ecosu ’
dQ/dt = O, dildt = Q. (7.11)
Первые три уравнения при использовании полярного угла
как независимой переменной могут быть записаны в виде
dp _ 2р3/ 1.
du ц (1 + е cos и)3
de _ fp2 е cos2 и -f- 2 cos и -f~ е .
du p (1 + ^cosd)3 *
do) _ fp2 sin d (2 -f- e cos u)
du ep (14"£cosd)5
С помощью системы (7.12) при заданных начальных значе-
ниях оскулирующих элементов возможно численным интегриро-
ванием найти траекторию КА с трансверсальной тягой.
Рассматривая реактивное ускорение как возмущающее уско-
рение, выделим вековые уходы от его действия. При этом пред-
полагается, что:
реактивное ускорение мало (по отношению к гравитацион-
ному ньютоновскому ускорению);
движение КА — многовитковое;
реактивное ускорение на одном витке траектории изменя-
ется пренебрежимо мало и на каждом витке траектории его
можно считать постоянным (fj — const).
Воспользуемся методом осреднения. Для нахождения возму-
щений на произвольном витке траектории интегрируют на
этом витке уравнения системы (7.12), пренебрегая изменения-
ми оскулирующих элементов внутри витка траектории (считая,
что на этом витке элементы постоянны). Таким образом, при-
ращения оскулирующих элементов р, е, со на /-м витке траекто-
рии можно записать в виде
—1
м-
= P2jfi 2ГЯ ej cos2 и -f- 2 cos и + еу
J* |i о (1 + eicos и)3 *
А М
А СО; = -L
ejp
При записи последних
дующие обстоятельства:
подынтегральные функции в (7.12) периодические с периодом
2л (это дало возможность пределы интегрирования взять равны-
ми 0 ... 2л),
при со = const из соотношения u = v + (o следует du = dv.
1 du;
о (l + ejcosu)3
(1 + ej cos и)3
sin и (2 + ej c°s и) j
(1 -f- ej cos d)3
2л
О
соотношений были использованы сле-
(7.13)
296
Квадратуры, входящие в правые части равенства (7.13), мо-
гут быть взяты. Приращения оскулирующих элементов
рии КА за виток траектории оказываются равными
И
Злру fj
------
ej
LI
траекто-
(7.14)
(7.15
(7.16)
А(0; = 0.
Последние равенства можно использовать для анализа траек-
тории КА под действием трансверсального ускорения.
Из равенства (7.15) следует, что если начальная орбита
КА — круговая, то эксцентриситет оскулирующей траектории
не будет иметь вековых уходов. Вся траектория КА в этом слу-
чае представляется совокупностью оскулирующих круговых ор-
бит Ае; = 0, е7 = 0 (/ = 0, 1, 2, ...). При этом фокальный параметр
(радиус) этих орбит будет изменяться в соответствии с равен-
ством
4nr3.f j
O+i = O + ——
и
Рассмотрим этот интересный для практики случай.
(7.17)
Перелет с помощью нерегулируемой трансверсальной
тяги между круговыми орбитами
Пусть начальная орбита КА—круговая. Для пере-
лета используем трансверсальный закон направления тяги. В
соответствии с равенством (7.17) такой разгон с помощью ме-
тода осреднения может быть описан одним из следующих со-
отношений:
dr _ 2 г3 f
du pi
dr __ 4 nr3 f
dN ~
где W— номер витка траектории КА.
Для того чтобы исследовать решения последних уравнений,
необходимо задать закон изменения величины реактивного ус-
корения f(u). Считаем, что двигатель КА — нерегулируемый, по-
стоянно включенный, тогда ускорение f(t) можно записать в
виде
(7.18)
P
f (о = —
т (0 — — /0)
fo
1 - — (/-/„)
U7
(7.19)
297
Свяжем угловую дальность полета (аргумент широты) со
временем. В рамках метода осреднения, когда траектория КА
представляется совокупностью оскулирующих круговых орбит,
аа которых угловая скорость КА постоянна, связь времени с
угловой характеристикой с или и имеет вид
du — ndt= dt.
r3/2
(7.20)
Используя (7.19) и (7.20), из равенства (7.18) получим
2/0 г3/2 dt
Z/Q ' aL_
М'-’Н
Разделяя переменные в последнем дифференциальном урав-
нении и интегрируя его, придем к равенству
Последнее соотношение дает возможность подсчитать ради-
ус конечной орбиты, которую КА может достичь с помощью
трансверсальной тяги за определенное моторное время. Для
нахождения времени достижения заданного конечного радиуса
г к воспользуемся соотношением, следующим из (7.21),
tK = у- (1 — exp
(7.22)
/о I
Соотношение (7.22) полностью характеризует энергетичес-
кие затраты на переход между круговыми орбитами с транс-
версальной тягой. Так как такие затраты часто представляют-
ся в виде характеристической скорости, то приведем выражения
для ее определения
(7.23)
Нормальная тяга
Рассмотрим влияние на траекторию КА реактивного
ускорения, направление которого перпендикулярно плоскости
оскулирующей орбиты КА. Такое ускорение называют нор-
мальным. Итак, f=fb, a fr=fn = O (ф =—л/2, '&=0 (7.4)). При
таком направлении возмущенного ускорения элементы орбиты,
характеризующие форму и размер оскулирующей орбиты КА,
изменяться не будут (7.3): = 0.
298
Изменение остальных элементов описывается следующими
соотношениями
d& __ ? р2 sin и cosec i
du ц (1 -|- e cos u)3
di __ e p2 cos и
du p, (1e cos u)3 ’ (7-24)
d& ___i p2 sin и ctg i
du p, (1 -f- e cos u)3
В соотношениях (7.24) величиной второго порядка малости
относительно f пренебрегаем и считаем, что величина / (см.
(7.6)) равна единице.
Изменение оскулирующих элементов по виткам траектории
в рамках метода осреднения движения КА можно получить из
следующих соотношений
dQ _ 3 л/р2 е sin со
dN pi sin Z (1 — e2)5/2
di _ ~dN ~ d& ~dN ” 3 JT fp^1 & OC\ = Г/T cos (7-25) р,(1_е2)5/2 > 3nfp2e sin (D ’ц(1-е2)5/2 tgi *
Интересно то, что если эксцентриситет начальной орбиты
равен нулю, то из (7.25) следует, что плоскость оскулирующей
орбиты и положение линии апсид в среднем не возмущаются:
dQ I _____ di
d N |e=o d N e=0
day
dN e=0
= 0.
Рассмотрим возможность однократного переключения нор-
мального реактивного ускорения на каждом витке траектории.
Для сокращения объема выкладок рассмотрим случай круго-
вой начальной орбиты КА. Как уже отмечалось, при нормаль-
ном законе реактивного ускорения — = —=0. Поэтому ос-
кулирующая орбита КА в рассматриваемом случае всегда ос-
тается круговой постоянного радиуса.
Для того чтобы максимально быстро изменить наклонение
круговой орбиты КА, следует воспользоваться следующим за-
коном переключения нормального реактивного ускорения:
==—I f I sign [cos и]. В этом случае с использованием системы
(7.24) получим
ДЙ, = 0 ; Д i} = .
299
При таком законе реактивного ускорения только наклоне-
ние круговой орбиты КА будет иметь вековой уход. Соотно-
шения, характеризующие этот процесс, имеют вид
di W ,
dt р
М= —Ai; (7.26)
4 1/1 р2
2|/|
Аналогично можно исследовать другие фиксированные за-
коны направления реактивного ускорения. Среди проанализи-
рованных в настоящее время — тангенциальный радиальный за-
коны. В некоторых случаях предусматривается изменение на-
правления реактивного ускорения на противоположное в неко-
торых точках витка траектории КА. В том случае, когда суще-
ствует техническая возможность многократного включения дви-
гателя, рассматривают траекторию КА с участками пассивно-
го полета. И в этом случае удается [67] выработать рекомен-
дации по количеству активных участков на витке траектории,
по расположению и длительности этих участков, по направлег
нию тяги на них.
Таким образом, в данном разделе рассмотрен подход к ана-
лизу многовитковых траекторий КА с фиксированными зако-
нами направления реактивного ускорения. Показано, что ис-
пользование метода осреднения может позволить получить
аналитические соотношения для оценки временных и энергети-
ческих характеристик в задачах коррекции орбиты ИСЗ и в
задачах перелета между орбитами.
7.4. МНОГОВИТКОВЫЙ ПЕРЕЛЕТ МЕЖДУ
НЕКОМПЛАНАРНЫМИ КРУГОВЫМИ ОРБИТАМИ
В ньютоновском гравитационном поле заданы на-
чальная и конечная круговые орбиты. Рассматривается КА с
нерегулируемым двигателем. Выключение двигателя на траек-
тории перелета не предполагается. Ставится задача о нахож-
дении (проектировании) траектории перелета между заданны-
ми орбитами и соответствующей ей программы управления
движением. Критерием оптимальности выбираемого закона уп-
равления движением считается минимум времени полета КА
или, что то же самое в рассматриваемой постановке, — мини-
мум моторного времени КА,
Сузим класс допустимых управлений. Будем считать, что
рациональное направление реактивного ускорения перпенди-
зоо
кулярно радиусу-вектору КА (т. е. вектор реактивного уско-
рения состоит из трансверсальной и нормальной составляющих,
а радиальная составляющая равна нулю). В этих условиях вы-
бор закона направления вектора реактивного ускорения сво-
дится к нахождению угла между вектором реактивного уско-
рения и мгновенной плоскостью оскулирующей орбиты, угла ф
(см. (7.2), #=0).
Рассмотрение задачи будем вести в рамках осреднения
движения КА по виткам, т. е. предполагая многовитковость
траектории, малость реактивного ускорения.
Первое решение этой задачи получим при следующем пред-
положении о структуре управления на витке траектории. Пусть
в течение всего витка траектории трансверсальная компонен-
та реактивного ускорения постоянна по величине. Нормальная
составляющая реактивного ускорения постоянна по величине
и имеет одну «перекладку» на витке траектории, т. е. на поло-
вине витка траектории (на участке восходящего движения,
когда-----нормальная компонента реактивного
ускорения, например, положительная. На другой половине вит-
ка траектории эта компонента отрицательная. Такой закон из-
менения нормального ускорения рассматривался в разд. 7.3.
Компоненты реактивного ускорения при таком законе за-
писываются в виде fn = fcosip; /7=0; fb =—f sign (cos fz) sin | |.
где реактивное ускорение f для рассматриваемого нерегулиру-
емого двигателя меняется так:
_ Vxap
f= ---------- = foe w • (7.27)
1 — — t,
w
Поясним, почему выбран такой закон изменения вектора
реактивного ускорения, почему он может быть рационален при
перелете между орбитами, особенно круговыми. Выбранный за-
кон для нормальной компоненты реактивного ускорения обес-
печивает наискорейшее изменение наклонения круговой орби-
ты без изменения остальных ее элементов. С другой стороны,
трансверсальная тяга обеспечивает максимальное изменение
размера орбиты (ее фокального параметра). Таким образом,
комбинация законов может одновременно изменять и положе-
ние орбиты, и ее размер.
Для того чтобы оценить вековые уходы элементов орбиты
КА под действием такого реактивного ускорения, можно вос-
пользоваться результатами разд. 7.3. В нем рассмотрены веко-
вые уходы элементов орбиты под действием трансверсального
закона реактивного ускорения и отдельно нормального закона
реактивного ускорения. В рамках метода осреднения, в рамках
301
неучета интерференции одного вида возмущения на другое
(который допустим на ограниченных временных интервалах при
небольших возмущающих ускорениях) вековой уход под дейст-
вием комбинации трансверсальной и нормальной составляю-
щих реактивного ускорения можно рассматривать как сумму
вековых уходов от отдельных возмущений.
При этом большое число элементов орбиты не будут иметь
приращения на произвольном /-м витке траектории.
Так, эксцентриситет орбиты не будет иметь вековых уходов.
Действительно, эксцентриситет оскулирующей орбиты из-за
трансверсальной составляющей реактивного ускорения в об-
щем случае имеет приращение (7.15). Но так как начальная
орбита — круговая, то из (7.15) следует Де; = 0 и всю траек-
торию перелета можно рассматривать как совокупность оску-
лирующих окружностей ( — = 0 .
Аналогично можно показать, что для рассматриваемого за-
dQ п
кона управления ----=0.
Из оскулирующих элементов орбиты только фокальный па-
раметр (для круговой орбиты ее радиус) и наклонение имеют
вековые уходы. Используя (7.17) и (7.26), можно получить
— = ,W cosj|> . JL = ±!7sini|,. (7.28)
dN р dN р
Напомним, что соотношения (7.28) выведены для случая,
постоянного на витке реактивного ускорения, т. е. они справед-
ливы, если можно считать, что f=const, |ф| =const. Допуще-
ние f=const является естественным условием при использова-
нии метода осреднения. Постоянство модуля угла рыскания на
витке траектории следует рассматривать как один из возмож-
ных законов управления, и оно может быть заменено более ра-
циональным законом управления КА.
Используя то, что период на круговой орбите радиуса
2Л
равен Tj = —=г*./2, приращение времени по виткам траек-
Ун 1
dt 2тс g i -i—г
тории оценивается с помощью----- = —7= г К Поэтому из соот-
dN у [i
ношений (7.28) легко получить
А. = 2-^3-/C0S1P; -%- = <fsinДО. (7.29)
dt у р dt тс у р
Последняя система дает возможность исследовать вековые
уходы фокального параметра (радиуса) и наклонения оскули-
рующей орбиты, подставляя в нее закон изменения величины
реактивного ускорения (7.27) и угла рыскания ф(0- Напом-
302
ним, что (7.29) описывает осредненное движение. При выводе
1(7.29) предполагалось, что | яр |= const на витке траектории.
Но это, безусловно, не значит, что | тр | не изменяется от витка
к витку. Фиксирование |гр|, безусловно, сужает возможность
управления. Но для исследования это самый простой закон.
Рассмотрим его. Итак, пусть радиус начальной орбиты равен
Го, радиус конечной орбиты — гк, наклонение начальной орби-
ты равно нулю, наклонение конечной орбиты — fK. Найдем та-
кое постоянное значение | ip |, чтобы КА осуществил перелет ме-
жду заданными орбитами. Никаких возможностей оптимиза-
ции перелета в таком узком классе управлений нет. Единствен-
ный выбираемый параметр гр можно использовать, чтобы в
какой-либо момент попасть на конечную орбиту. Исследуем та-
кой перелет.
Из (7.29) следует
= rnctgxp.
Разделяя переменные и проводя интегрирование выражений
слева и справа, получим:
In — = л iK ctg ip. (7.30)
Из (7.30) легко получить необходимый для перелета между
орбитами угол, характеризующий направление реактивного ус-
корения,
1п-^
ip = arctg—— . (7.31)
л
При этом время, требующееся на перелет между орбитами,
найдется из любого равенства системы (7.29). Например, из
первого соотношения следует
dr 2 /0 cos гр dt
г3/г VfT
Г
/к= — (1-ехрГ—(—----------------— )11. (7.32)
/о I L И7005* \ V~«
Учитывая (7.31), равенство (7.32) перепишется в виде
303
Соотношения (7.31) и (7.33) в безразмерных переменных (ког-
да за единицу расстояния выбирается г0, а за единицу скоро-
сти— j имеют вид:
ф = arctg .
Безразмерная характеристическая скорость КА, соверша-
ющего маневр перелета между заданными некомпланарными
круговыми орбитами с рассматриваемым законом управления,
найденная с помощью (7.2), будет равна
1— 57г ("1—т7г /« +л2 %
у ___ V "к _ \________к_{к/_____________
Полученный закон управления движением можно улучшить
с точки зрения уменьшения времени перелета, характеристи-
ческой скорости, рассматривая величину угла -ф, меняющейся-
от витка к витку траектории. Рассмотрим такую возможность.
Как и раньше, считаем, что на каждом витке траектории |ф| =
= const, но в отличие от предыдущего |ф| пусть является мед-
ленно меняющейся функцией времени (изменяется от витка к
витку траектории).
Ставится задача о нахождении такой функции ф(/), кото-
рая обеспечивает перелет между орбитами за минимальное
время.
Используя принцип максимума, такую задачу оптимально-
го управления удается решить аналитически [41]. Оптималь-
ный закон управления в безразмерных переменных оказывает-
ся следующим:
Минимальная характеристическая скорость КА для такого
маневра определяется из соотношения
304
. -JL
“ fo
Минимальное время полета при этом равно
1 — exp
Оказывается, что зависимость r(t) может быть немонотон-
ной [41]. Это случается тогда, когда параметры конечной ор-
биты удовлетворяют неравенству cos^^-<—. При этом
2 гк
радиус растет, достигая максимума
а затем уменьшается до заданного значения гк.
Максимальное значение радиуса растет с ростом наклоне-
ния конечной орбиты. При гк->2 Гтах-^оо. Последнее обознача-
ет, что рассматриваемую схему оптимального перелета нельзя
использовать при больших iK (fK>2). Это происходит из-за
того, что в процессе движения оскулирующая орбита, уходя в
бесконечность от гравитирующего тела, перестает быть эллип-
тической и использованный метод осреднения по виткам «не
работает».
Таким образом, в настоящем разделе построены раци-
ональные траектории многовиткового перелета между круго-
выми некомпланарными орбитами для КА с нерегулируемым
невыключаемым двигателем, получены соотношения для на-
хождения потребной характеристической скорости и времени
движения.
7.5. МЕЖПЛАНЕТНЫЕ ПЕРЕЛЕТЫ КА С ДВИГАТЕЛЕМ
МАЛОЙ ТЯГИ
В основе метода исследования траектории межпла-
нетных КА с двигателями большой тяги, рассмотренного в гл. 6,
лежали две идеи: идея импульсной аппроксимации активных
участков и идея грависфер влияния. Обращаясь к анализу
межпланетных аппаратов с двигателями малой тяги, приходит-
ся распрощаться с идеей импульсной аппроксимации активных
участков. В отличие от нее идея грависфер очень активно ис-
пользуется при анализе межпланетных траекторий с малой тя-
гой. Остановимся на одном подходе при использовании метода
грависфер для анализа межпланетных перелетов КА с малой
тягой.
305
Метод исследования межпланетных траекторий КА
с двигателем малой тяги
КА с двигателем малой тяги, стартуя с промежуточ-
ной орбиты ИСЗ, будет достаточно медленно набирать энергию,
двигаясь на некоторой спиралевидной относительно Земли тра-
екторий. Этот участок траектории КА можно рассматривать в
рамках возмущенной реактивным ускорением задачи двух тел
Земля — КА. К^к всякую константу интегрирования задачи
двух тел, константу энергии Л = 1/2— можно рассматри-
г
вать как оскулирующий элемент траектории возмущенного
движения. Эта константа будет медленно (ускорение мало)
увеличиваться. В некоторой точке траектории она станет рав-
ной нулю. В этой точке скорость КА окажется равной местной
параболической скорости. Если в этот момент времени th=o вы-
ключить ракетный двигатель КА, то КА будет двигаться по
параболической относительно Земли траектории и уйдет в бес-
конечность от Земли (покинет грависферу Земли). С опреде-
ленной неточностью метода грависфер траектория КА относи-
тельно Солнца после выхода из грависферы Земли очень близ-
ка к орбите Земли относительно Солнца. Ясно, что никакую
окрестность планеты назначения КА не достигнет, если на тра-
ектории гелиоцентрического перелета не будет активных участ-
ков. Картина перелета принципиально не изменится, если в мо-
мент набора параболической скорости th=o не выключить ра-
кетный двигатель КА. Независимо от того, в какой точке гра-
висферы Земли КА наберет параболическую скорость, время
его дальнейшего движения в грависфере Земли относительно
небольшое (ну, скажем, сутки, пусть двое). За ограниченное
время, двигаясь в грависфере Земли, КА с двигателем малой
тяги не сможет набрать гиперболический избыток скорости,
достаточный для полета к планете назначения.
Таким образом, КА с двигателем малой тяги выходит из
грависферы Земли с небольшой величиной гиперболического
избытка скорости. Поэтому на участке гелиоцентрического пе-
релета необходимо предусматривать активные участки полета.
Исследования показали, что рациональная схема траектории
межпланетного КА с нерегулируемым двигателем малой тяги
содержит несколько активных участков. Первый активный уча-
сток начинается на промежуточной орбите ИСЗ, на которую
КА с его двигательной установкой малой тяги выводится ра-
кетой-носителем. На этом участке КА, набирая энергию, вы-
ходит из грависферы Земли и продолжает движение по неко-
торой гелиоцентрической траектории. Затем ракетный двига-
тель КА выключается и КА по отношению к Солнцу движется
по некоторой эллиптической орбите. В наиболее простом случае
306
при реализации пролетной относительно планеты назначения
траектории больше включения двигателя можно не предусма-
тривать. Чаще всего рассматривают, по крайней мере, еще один
активный участок движения. Задача второго активного участ-
ка состоит в обеспечении входа в грависферу планеты назна-
чения с определенными кинематическими характеристиками и
торможения КА на планетоцентрическом участке движения в
окрестности планеты назначения для выхода на некоторую ор-
биту относительно этой планеты.
Наиболее распространенный метод исследования межпла-
нетных траекторий КА с двигателем малой тяги базируется на
следующих положениях и допущениях:
1) траектория перелета КА состоит из планетоцентри-
ческих (внутренних) и гелиоцентрических (внешних) уча-
стков;
2) задача геоцентрического (первого внутреннего) участка
заключается в наборе параболической относительно Земли ско-
рости. Именно в момент набора параболической скорости и за-
канчивается геоцентрический участок;
3) гелиоцентрический (внешний) участок траектории КА с
двигателем малой тяги начинается в фиксированной точке ге-
лиоцентрической орбиты, совпадающей с радиусом-вектором
Земли относительно Солнца. Начальная гелиоцентрическая ско-
рость КА считается равной скорости Земли в этот момент вре-
мени. Заканчивается гелиоцентрический участок межпланет-
ного перелета в точке, совпадающей с радиусом-вектором пла-
неты назначения.
Сделаем несколько замечаний по сформулированным допу-
щениям.
Метод предполагает так называемую нулевую стыковку
внутреннего и внешнего участков. Начальная скорость гелио-
центрического участка траектории У0.с считается равной ге-
лиоцентрической скорости Земли У3. Считается, что гипербо-
лический избыток скорости КА в момент выхода из грависфе-
ры Земли Voo равен нулю.
Пренебрежение протяженностью грависфер Земли и планет
при исследовании траектории гелиоцентрического перелета эк-
вивалентно основному допущению метода грависфер нулевой
протяженности. Естественно, и для КА с малой тягой возмож-
ны более общие подходы метода грависфер.
Траектория КА в окрестности планеты назначения в рас-
сматриваемом методе часто анализируется аналогично геоцен-
трической траектории. Эта некоторая скручивающая спираль,
в начальной точке которой скорость равна местной параболи-
ческой. Спиральная траектория заканчивается выходом, напри-
мер, на круговую орбиту ИС планеты назначения.
307
Таким образом, в рамках описанной схемы полета и метода
ее исследования траектория КА с малой тягой включает:
участок набора параболической скорости относительно пла-
неты старта (участок раскрутки — другое название этого уча-
стка) ;
участок межорбитального перелета;
участок скрутки у планеты назначения.
Сформулированный метод решения дает возможность рас-
сматривать эти три участка независимо.
Набор параболической скорости у планеты
Пусть промежуточная орбита ИСЗ — круговая. Для
КА с двигателем малой тяги эта орбита является начальной.
Предполагаем двигатель малой тяги нерегулируемым, тогда
траектория полета КА полностью определяется законом изме-
нения направления реактивного ускорения, т. е. углами # и 1р.
Наименьшие затраты на разгон соответствуют случаю, когда
i|)=0. При этом тяга не будет тратиться на изменение, положе-
ния плоскости оскулирующей орбиты. Для случая движения в
Рис. 7.1. Траектория набора КА па-
раболической скорости при старте с
круговой орбиты
центральном поле • траектория
такого КА будет плоской, а са-
ма плоскость орбиты будет сов-
падать с плоскостью промежу-
точной орбиты ИСЗ.
Критерием оптимизации
участка раскрутки чаще все-
го считают минимальное вре-
мя набора параболической
скорости. Расчеты показали,
что трансверсальный и тан-
генциальный законы управле-
ния движением КА весьма
близки к оптимальному за-
кону управления, обеспечивающему минимальное время на-
бора параболической скорости. Такие траектории пред-
ставляют собой медленно раскручивающуюся спираль, каче-
ственно представленную на рис. 7.1. На нем за единицу рас-
стояния принят радиус начальной круговой орбиты г0. Началь-
ное реактивное ускорение /0 взято равным ц/г20 • 10-3. Началь-
ные витки спирали имеют очень небольшой шаг и на рисунке
не показаны. Цифры у раскручивающейся спирали соответст-
вуют текущему безразмерному времени раскрутки НУ р!г\.
Начальные витки спирали имеют очень небольшой шаг (рас-
стояние КА от гравитационного центра очень медленно растет).
В дальнейшем шаг спирали увеличивается и в точке, в которой
308
КА набирает параболическую скорость, скорость КА имеет
большой наклон к трансверсали.
Современные ЭВМ позволяют достаточно быстро рассчи-
тать траекторию разгона КА с любым законом управления, в
том числе тангенциальным и трансверсальным. Впрочем, при
проектировании траектории КА, которое проводится на ранних
этапах проектирования КА, такой подход к анализу траекто-
рии неприемлем.
Приведем широко используемую для оценки времени на-
бора параболической скорости /к аппроксимационную зависи-
мость:
tK = — [ 1 — с Vf0 — (1~с ^о)21, (7.34)
К и 2 W J V
где константа с=0,8082— для тангенциальной постоянной тя-
ги; с=0,7555 — для трансверсальной постоянной тяги.
Отметим, что время набора скорости с трансверсальной тя-
гой несколько больше времени набора скорости с тангенциаль-
ной тягой. Впрочем, разница мала.
При использовании более сложного закона управления, при
котором угол между реактивным ускорением и трансверсалью
& является некоторой колебательной функцией, удается умень-
шить потребное время набора параболической скорости. Оцен-
ка этого времени может быть получена с помощью уже
записанного равенства (7.34), если константу с в нем взять
равной 0,8209.
Важным вопросом является точность аппроксимационных
соотношений для подсчета потребного времени перелета. В
[20] утверждается, что точность записанных в разделе соотно-
шений не хуже 1% в диапазоне 0</0<Ю-2. С увеличением
W и уменьшением fo точность возрастает. Если начальное
ускорение меньше 10-3, то можно считать, что погрешность вы-
числения времени набора скорости меньше 0,5%.
Значение характеристической скорости (7.2), соответствую-
щее tKl подсчитанному по (7.34), оказывается равным
Из последнего соотношения получается предельное значе-
ние (при бесконечно малых ускорениях) безразмерной харак-
теристической скорости маневра выхода из грависферы притя-
гивающего центра, равное единице. При этом значение грави-
тационных потерь оказывается равным 2.
Если допустить многократное выключение двигателя на
траектории набора параболической скорости, то можно добить-
ся того, чтобы гравитационные потери были малы или даже
бесконечно малы. Для этого двигатель следует включать в рай-
309
оне перицентра витков траектории, а направление вектора тя-
ги выбирать трансверсальным. При этом сама траектория бу-
дет представлять набор эллиптических орбит с одним перицен-
тром и увеличивающимся апоцентральным расстоянием.
Значение безразмерной характеристической скорости манев-
ра будет минимальным V2—1^0,41 (К2 — безразмерная
местная параболическая скорость на начальной орбите). Мо-
торное время полета при этом может быть вычислено по соот-
ношению
'Г [ 1
inf = — { 1 —exp
/о I
"1/2—Г
W
(7.35)
В случае возможного выключения двигателя важно иметь
зависимость моторного времени выполнения маневра. Мотор-
ное время набора параболической скорости для аппарата с
двигателем постоянной тяги можно оценить с помощью следу-
ющего соотношения
т» (Т)=inf+(Tinf inf) ,
где Гц inf вычисляется по (7.35); Tmf вычисляется по (7.34)
(константа с в этом выражении берется равной 0,8209); и —
эмпирический коэффициент (в [20] он равен 1,103).
Замечание. Анализ затрат на скрутку (маневр выхода
КА на круговую орбиту спутника радиуса г0 вокруг планеты
назначения) для аппарата, входящего в грависферу планеты
с параболической скоростью, может проводиться по записан-
ному соотношению (7.34). При этом начальное ускорение fQ
КА может вычисляться по массе аппарата в начальный момент
(когда скорость КА параболическая), а единицей расстояния
следует выбрать радиус конечной орбиты г0.
Межорбитальный перелет
Задачу о нахождении оптимальной траектории межорби-
тального перелета как участка траектории межпланетного по-
лета КА с нерегулируемым двигателем малой тяги можно ста-
вить следующим образом.
Параметры КА: начальное реактивное ускорение f0 и ско-
рость истечения W заданы.
Характеристиками траектории межпланетного перелета яв-
ляются время перелета Г, угловая дальность полета Ф, время
работы двигателя на межорбитальном перелете (моторное
время) Тц.
Критерием оптимальности траектории межорбитального пе-
релета часто рассматривают моторное время или время пе-
релета Т. Задачу ставят, например, так. Найти такую прог-
310
рамму движения (такой закон включения — выключения ра-
кетного двигателя, такой закон изменения направления векто-
ра реактивного ускорения на активных участках движения),
чтобы для заданных времени перелета Т и угловой дальности
перелета Ф, для заданных параметров КА f0 и W моторное
время полета оказалось минимальным.
Такая постановка не является единственно возможной. На-
пример, может быть не фиксировано Ф и нужно будет нахо-
дить оптимальную траекторию и оптимальное значение угловой
дальности полета Форь которое обеспечивает min 7Ц. Может
быть не фиксировано Т или одновременно Т и Ф. Возможных
постановок очень много и в рамках настоящего раздела с ни-
ми познакомиться невозможно. Пожалуй, лучше всего это сде-
лать можно с помощью фундаментального труда [20].
Для того чтобы было понятным, почему в ряде случаев це-
лесообразно фиксировать характеристики траектории Т и Ф,
отметим, что при рассмотрении гелиоцентрической траектории
перелета КА с двигателем большой тяги также приходилось
фиксировать, а затем анализировать две характеристики —
время полета tn и время старта ГСт. Что касается времени по-
лета, произошло лишь изменение обозначения, что связано с
тем, что время полета tn в гл. 6 есть не только время межорби-
тального перелета, но и время всего перелета от промежуточ-
ной орбиты ИСЗ к планете назначения. Обозначение Т, ис-
пользованное в настоящем разделе, предполагает, что в это
время не входит время движения на внутренних участках тра-
ектории.
Что касается времени старта (важного параметра при оцен-
ке межпланетных траекторий), то от его рассмотрения удается
отказаться и ценой дополнительного допущения перейти к бо-
лее универсальной характеристике — угловой дальности полета.
Предполагают, что межорбитальный
перелет происходит между компланар-
ными круговыми орбитами Земли и
планеты назначения. Такие две орби-
ты показаны на рис. 7.2. Внутренняя
круговая орбита — орбита Земли. Вне-
шняя орбита — орбита планеты назна-
чения. В точке С находится Солнце.
Положение Земли в момент начала ге-
лиоцентрического участка обозначено
буквой А. Положение планеты назна-
чения в момент окончания межорби-
тального перелета — буквой В. Угло-
вая дальность перелета Ф есть угол
АСВ. Сама траектория межорбиталь-
ного перелета есть дуга АВ.
Рис. 7.2. Схема гелиоцентри-
ческой траектории перелета
КА с двигателями малой
скорости
311
Фиксирование Ф для заданного времени межорбитального
перелета эквивалентно в рассмотренной схеме фиксированию
даты старта. Именно подбирая дату старта, можно обеспечить
встречу КА с плането?! назначения в точке В при фиксирован-
ных Т и Ф.
Допущения, которые нами перечислены, дали возможность
получить некоторые аналитические результаты по оптималь-
ным траекториям межорбитального перелета. Основной вклад
в это исследование внесен авторами [20]. Используя принцип
максимума, авторы [14] свели задачу поиска оптимальных
траекторий межорбитального перелета к краевой задаче и про-
вели массовые расчеты краевых задач для полета к орбите
Марса и орбите Венеры и траекторий возвращения от этих
планет. Результаты обработок этих массовых расчетов авторам
[20, 14] удалось аппроксимировать в виде соотношений, кото-
рые можно использовать для проектирования межорбиталь-
ных перелетов КА с малой тягой. Приведем некоторые из этих
аппроксимационных соотношений.
Минимальное время межорбитального перелета орбита Зем-
ли— орбита Марса или обратного перелета при оптимально
выбираемой угловой дальности перелета может быть подсчита-
но по соотношению
T’min [сут] = Т min [сут] = - 1,725 + 17 (1 — ---40 Y
./fo [м/с2] \ IT [км/с] /
V 9,8
При этом угловая дальность перелета Ф оказывается равна
Oopt [градус]
= 1,245 -+ 15Н
l//о [м/с2] \
V 9,8
d
W [км/с]
Константа d в последнем равенстве для случая полета орбита
Земли — орбита Марса равна 31,2; для обратного переле-
та — 43,5.
Минимальное моторное время рассматриваемого перелета
при оптимально выбираемых угловых дальности и времени пе-
релета
/ _ 5-59 \
= 18-10-
fo [м/с2]
9,8
7oPt[сут] =259+0,4857^ mln [сут];
Ф0Р1 [градус] = 180+0,3677'и mln [сут].
Результаты численного решения более общих задач межор-
битального перелета можно взять из графиков, приведенных
в [20].
312
Т. А. Гуриной и М. С. Константиновым исследована задача
перелета КА с нерегулируемым двигателем малой тяги при по-
лете орбита Земли — орбита Сатурна. Нахождение оптималь-
ной траектории перелета для перебираемых параметров КА
(fo и W) проведено для оптимально выбираемой угловой даль-
ности перелета, оптимально выбираемого времени перелета.
Схема перелета была фиксированной: два активных участка,
разделенных одним пассивным. Критерием оптимизации траек-
тории был минимум моторного времени перелета. Аппроксима-
ционная зависимость, определяющая энергетические затраты,
имеет вид
У\ар [км/с] = 0 45 0,016
29,78 ’ /4^
5,9293
Перелет с начальной круговой орбиты ИСЗ на орбиту
спутника планеты назначения
В заключение раздела, посвященного межпланетным
перелетам КА с двигателем малой тяги, приведем результаты
анализа траекторий перелета с начальной круговой орбиты
ИСЗ на орбиту вокруг Марса и Венеры, полученные описанным
в разделе методом.
Результаты расчетов авторами [20] сведены в следующие
соотношения:
Тmln (fo> Тц) 1СУТ] —
Г, если
Тц sup, если
оо, если
Гц > Гц sup
Гц < Гц inf,
где
Г — ГSUp (Гsup Гц sup) X
X I 1 t(7\t sup Гц)/(Гц sup Гц inf)]2 ] е
I 1 8 [(Гц sup Гц)/(Тц8ир Тц inf)]2 J
Гц sup [сут] = сх— - /а + (с3 — с4 W [км/с]-*) X
W [км/с]
х I .0-98
\/о {мм/с2]
Гц inf [сут] =
0,98
/о [мм/с®] ’
31
7\up [сут] — Cj.2 + (c13 + 14 - Тц inf;
\ Ц7 [км/с] )
е=С15+йб^[км/с].
Значения постоянных коэффициентов для случая перелета
с орбиты ИСЗ высотой 200 км на орбиты ИС Марса и Венеры
высотой 300 км приведены в табл. 7.1.
Таблица 7.1
Планета Ci с2 Сз с4 С5 с6 С? с8 с9 Сю
Марс Венера 33 39 730 580 277 286 1440 1210 1 0,81 0,75 0,9 0 2,53 0 —37,12 187 264,25 657 912,15
Планета Си С12 С13 С.4 С15 С16 С17
Марс Венера 0,8 0,7 259 147,1 0,815 0,864 0,54 0 0,181 —1,23 —8,36 0,455 —0,9 0,176
Таким образом, в настоящей главе исследованы методы
расчета траекторий КА с двигателем малой тяги. Проанализи-
рованы особенности траекторий КА с малой тягой и особен-
ности постановки задачи о нахождении рациональных траекто-
рий таких КА. Представлена математическая модель, которая,
может быть использована для расчета траекторий КА с малой
тягой. Рассмотрено несколько простых законов управления при
полете КА с двигателем малой тяги и построены соответству-
ющие траектории КА. Рассмотрено два космических маневра
(перелет между некомпланарными круговыми орбитами, меж-
планетный перелет) и проанализирован ряд результатов по
проектированию траекторий КА, выполняющих эти маневры.