Текст
                    В. А. Касьянов
ФИЗИКА
Учебник для общеобразовательных учебных заведении
Допущено Министерством образования Российской Федерации
эрофа
Москва • 2000
УДК 373.167.1:53
ББК 22.317я721
К28
Касьянов В. А.
К28 Физика. 10 кл.: Учебн. для общеобразоват. учеб, заведений. — М.: Дрофа, 2000. — 416 с.: ил.
ISBN 5—7107—2791—1
Новый учебник предназначен учащимся 10 классов общеобразовательных учебных заведений Он является частью учебно-методического комплекта по физике, представленного в основной школе учебниками физики А. В. Перышкина для 7, 8, 9 классов.
Учебник создан с учетом современных научных представлений и соответствует требованиям минимума содержания среднего (полного) образования.
В учебник включены следующие основные разделы: «Механика», «Молекулярная физика», «Электродинамика».
Достоинством учебника является тщательно разработанный методический аппарат, включающий вопросы и задачи различного уровня сложности. Книга хорошо иллюстрирована.
Учебник одобрен Федеральным экспертным советом и рекомендован Министерством образования Российской Федерации. Включен в Федеральный перечень учебников.
УДК 373.167.1:53
ББК 22.317я721
ISBN 5—7107—2791—1
©ООО «Дрофа», 2000
ВВЕДЕНИЕ
Физика в познании вещества, поля,
пространства и времени
§ 1. Что изучает физика
Возникновение физики. Любое природное явление в окружающем нас мире имеет множество черт и признаков.
Например, море ассоциируется с водой и пеной, рябью и набегающими волнами, шумом приливов и отливов, водорослями и рыбами.
Любознательность, стремление увидеть общее в разрозненных проявлениях и признаках природных явлений, понять причины, порождающие их, а также желание предсказать их возникновение неизменно стимулировали научное познание.
Любому рационально мыслящему человеку, несомненно, интересно узнать, чем отличаются различные звуки и что у них общего, что определяет разный цвет тел, что общего между падением тел на Землю и движением звезд и планет.
Физика как экспериментальная наука возникла из астрономии, 1*
фиксировавшей закономерность и повторяемость в движении звезд и планет. Сама природа принимала участие в астрономических экспериментах, подобно бесконечной рулетке выбрасывая повторяющиеся события.
Смена времен года, смена дня и ночи, цикличность перемещения звезд и планет по небесному куполу, четкая периодичность солнечных и лунных затмений свидетельствовали об определенных закономерностях природных явлений.
Астрономы фиксировали и классифицировали данные своих наблюдений и, что особенно важно, проводили измерения. На результатах этих измерений строились количественные объяснения основных закономерностей движения небесных тел.
Количественный подход. Начало физике положил итальянский
4
Введение
ученый Галилео Галилей, поставивший первые физические эксперименты и предложивший теоретическое объяснение движения тел. До Галилея изучение движения основывалось на чисто философских выводах и было описательным.
Физика — наука о наиболее общих и фундаментальных закономерностях, определяющих структуру и эволюцию материального мира.
Физика, как и любая другая наука, основывается на количественных наблюдениях.
Изучая падение тел разной массы, Галилей не просто наблюдал за их движением, но и измерял высоту, с которой падают тела, и определял время их падения.
В результате измерений Галилеем были получены количественные соотношения между величинами. Только с их помощью Галилею удалось объяснить закономерность падения тел на Землю.
ВОПРОСЫ
1.	Какова роль астрономии в возникновении физики как экспериментальной науки9
2.	Что является предметом изучения физики9
3.	Почему именно Галилео Галилея считают первым физиком9
§ 2. Органы чувств как источник информации об окружающем мире
Диапазон восприятия органов чувств. Органы чувств человека сформировались в процессе длительной биологической эволюции. Являясь источником информации об окружающем мире, они обеспечивают необходимый уровень адаптации человека к возможным изменениям внешней среды. Вместе с тем органы чувств ограничивают возможности познания человеком природных явлений из-за сравнительно узкого диапазона воспринимаемых ими информационных сигналов.
Органы осязания не позволяют отличать друг от друга достаточно мелкие шероховатости и различать
слабые раздражители. Диапазон воспринимаемой температуры, а также концентрации вредных жидкостей на коже невелик и обеспечивает лишь режим биологического выживания организма.
Рецепторы вкуса чувствительны только к ограниченному набору химических соединений и веществ, потребляемых организмом.
Органы обоняния реагируют лишь на некоторые газы, пары и их смеси в узком диапазоне концентрации.
Невелики пороговые возможности восприятия малой и большой интенсивности звука органами слуха. Частотный диапазон сигналов,
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 5
принимаемых человеческим ухом, ограничен 16 Гц — 20 кГц.
Через орган зрения (глаз) человек получает наибольший объем информации по сравнению с другими органами чувств. Однако человеческий глаз не может воспринимать сверхвысокую интенсивность излучения и различать последовательные короткие сигналы (длительностью менее 0,05 с). Видимый свет ограничен чрезвычайно узким (по сравнению со спектром возможных излучений) диапазоном длин волн от 0,38 до 0,78 мкм. Крайне невелика и разрешающая способность глаза: минимальный размер объекта, различаемого глазом, оказывается порядка микрона.
Узкий диапазон восприятия органов чувств по сравнению с широчайшим многообразием природных информационных сигналов всегда оставался существенным препятствием, тормозящим развитие научных представлений об окружающем мире.
Органы чувств и процесс познания. Ограниченный объем информации, получаемый человеком от каждого органа чувств, позволяет уподобить процесс познания окружающего мира ситуации, которая возникла в притче о пяти слепых, пытавшихся представить себе, что такое слон. Первый слепой,
взобравшийся на спину слона, считал, что это стена. Второй, ощупывающий ногу слона, решил, что это колонна. Третий, взявший в руки хобот, принял его за трубу. Слепой, дотрагивающийся до бивня, думал, что это сабля, а слепой, поглаживающий хвост слона, заподозрил, что это веревка.
Аналогично недостаток чувственных восприятий, казалось бы, неизбежно должен был привести к неоднозначным и противоречивым представлениям о структуре окружающего мира. «Жизненный опыт» оказывается недостаточным при изучении явлений, характеризуемых пространственными размерами и временным интервалом, недоступными для непосредственного наблюдения. В этих условиях дополнительную информацию можно получить лишь с помощью экспериментальных установок, существенно расширяющих диапазон принимаемых информационных сигналов, и парадоксальных физических теорий, адекватно описывающих основные закономерности физических явлений.
Несмотря на ограниченный диапазон восприятия органов чувств, человек сумел определить структуру вещества и понять природу многочисленных эффектов вне этого диапазона.
ВОПРОСЫ
1.	Почему диапазон восприятия органов чувств человека достаточен для адаптации к жизни в земных условиях?
2.	Почему диапазон восприятия органов чувств является препятствием для формирования научных представлений об окружающем мире?
6
Введение
3.	Чем ограничен диапазон восприятия органов осязания, вкуса, обоняния и слуха?
4.	Какой диапазон длин волн излучения, называемый световым, воспринимается глазом?
5.	Что компенсирует недостаток восприятия органов чувств человека при формировании представлений о структуре окружающего мира?
§ 3. Эксперимент. Закон. Теория
Особенности научного эксперимента. Суть любого научного эксперимента состоит в наблюдении явления и получении данных, его характеризующих.
Классификация и анализ экспериментальных данных выявляют характер изменения наблюдаемых величин или их постоянство. Результаты таких исследований формулируются в виде определенных закономерностей.
Физический закон — описание соотношений в природе, проявляющихся при определенных условиях в эксперименте.
Особая ценность получаемого из опыта закона состоит в том, что с его помощью часто можно описать не только изучаемое явление, но и ряд других явлений и экспериментов. Сравнительно небольшое число основных, фундаментальных физических законов достаточно для описания многих природных явлений. Объяснить явление помогают интуиция, воображение, догадка.
Научная гипотеза является предположением о том, что существует связь между известным и вновь объясняемым явлением.
Дав количественное описание падения тел на землю, Галилей не ответил на вопрос, почему они падают.
Исаак Ньютон, основоположник фундаментальной физической теории, высказал гипотезу, согласно которой причина падения — притяжение тел к Земле. Ньютоном была создана классическая теория тяготения.
Научная теория содержит постулаты, определения, гипотезы и законы, объясняющие наблюдаемое явление.
Любая теория является некоторым приближением к реальности. Результаты теории постоянно проверяются экспериментом, являющимся критерием правильности теории. Даже временное совпадение теории с экспериментом не означает ее абсолютной правильности. Расхождение теории с корректно поставленным экспериментом приводит к совершенствованию старой или созданию принципиально новой теории, дающей новые законы и более глубокое понимание физической реальности.
Фундаментальные физические теории. Особенно ценной в физике считается теория, предсказывающая новые экспериментальные эффекты, которые не могут быть объ
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 7
яснены в рамках прежней теории. Примером такой теории является общая теория относительности Альберта Эйнштейна, предсказавшая и количественно описавшая отклонение светового луча в поле тяготения — эффект, который нельзя было объяснить в рамках теории тяготения Ньютона.
Особенностью фундаментальных физических теорий является их преемственность. Более общая теория включает частные, уже известные законы и определяет границы применимости предыдущей теории. Так, механика Ньютона в течение двух столетий прекрасно описывала наблюдаемое поведение макроскопических тел. Однако движение тел со скоростью, близкой к скорости света, она объяснить не смогла. Специальная теория относительности Эйнштейна, основанная на постулатах, отличных от ньютоновских, правильно объяснила законы движения тел, движущихся со скоростью, сравнимой со скоростью света. Для небольшой скорос-
ВОПРОСЫ
Что называют физическим законом9
В чем ценность фундаментальных законов?
Перечислите основные компоненты физической теории
Что означает преемственность фундаментальной физической теории?
Почему эксперимент является критерием правильности физической теории?
1. 2. 3.
4. 5.
§ 4. Физические модели
Модельные приближения. Каждый шаг в изучении природы — приближение к истине (или к тому,
ти (много меньшей скорости света) результаты теории относительности совпадают с результатами классической механики Ньютона. Это совпадение и определяет границу применимости теории Ньютона.
Классическая механика справедлива для описания движения тел, скорость которых много меньше скорости света.
Отметим, что лишь с помощью теории Ньютона нельзя описать и процессы в микромире, которые активно использует современная электроника, компьютерная техника, новые технологии.
Ни одна физическая теория не может быть признана окончательной и верной навсегда. Всегда существует вероятность, что новые наблюдения потребуют уточнения теории. В этом смысле все изучается лишь для того, чтобы снова стать непонятным или в лучшем случае потребовать исправления.
что мы считаем истиной в настоящий момент). Физические законы — лишь некоторые ступени в позна
8
Введение
нии окружающего мира. Изучение сложных природных явлений в полном объеме часто невозможно без введения упрощающих предположений. В таком случае полученные теорией результаты могут служить в качестве приближения к реальной картине явления.
Подобные приближения часто называют модельными. В повседневном разговоре слово «модель» используется достаточно часто (применительно к небоскребу, железной дороге, демонстраторам одежды и т. д.).
Модель в физике — упрощенная версия физической системы (процесса), сохраняющая ее (его) главные черты.
Например, при полете теннисного мяча в воздухе следует иметь в виду, что он не идеально сферичен и не идеально тверд. На его движение оказывают влияние сопротивление воздуха и ветер. При движении мяч может вращаться, а сила тяжести мяча изменяется с высотой. Вообще говоря, следует учитывать и вращение Земли. При учете всех этих факторов проанализировать движение мяча практически невозможно. Тем не менее, пренебрегая размерами мяча, сопротивлением воздуха, вращением Земли и считая постоянной силу тяжести, можно рассчитать, что мяч движется по параболической траектории. Результаты теоретического расчета достаточно точно описывают реальную траекторию
движения мяча (хотя и несколько отличающуюся от параболической). Это означает, что созданная идеализированная модель содержит наиболее важные черты системы, а мы пренебрегли не самыми существенными ее характеристиками. В то же время теория принципиально расходится с экспериментом, если пренебречь силой притяжения мяча к Земле. В этом случае мяч должен двигаться равномерно и прямолинейно, а не по параболе. Отсюда следует, что важнейшим фактором, который следовало учитывать при теоретическом рассмотрении данного движения, является сила тяжести.
Пределы применимости физической теории. Границы применимости теории определяются физическими упрощающими предположениями, сделанными при постановке задачи и в процессе вывода соотношений.
Другими словами, границы применимости физической теории определяются пределами применимости используемой модели.
Успех описания явления зависит от того, насколько удачно выбрана физическая модель, насколько она адекватна явлению.
Наглядность моделей позволяет лучше представить, например, структуру вещества, а также природу физических процессов и явлений.
Для описания сложных физических систем используется целый ряд стандартных физических моделей: материальная точка, абсолютно твердое тело, математический маят
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 9
ник, идеальный проводник, изолятор и т. д.
Любая теория является описанием некоторой модели физической системы, некоторым приближением к реальности и поэтому в дальнейшем может быть развита
и обобщена. В этом смысле одни и те же модели могут использоваться для объяснения различных физических явлений. Эйнштейна восхищало то, что можно так много сделать, зная так мало.
ВОПРОСЫ
1.	Чем определяются границы применимости физической теории9
2.	Что такое модель в физике9
3.	Приведите пример физической модели
4.	Что определяет адекватность модели физическому явлению9
5.	В чем заключается взаимосвязь теории и физической модели9
§ 5. Симметрия и физические законы
Инварианты. Наиболее общими фундаментальными законами физики являются законы сохранения физических величин, в частности законы сохранения импульса, энергии, электрического заряда. Например, в процессе падения тела на Землю изменяется его расстояние от Земли, скорость, но полная энергия не изменяется, она инвариантна.
Инварианты — постоянные, не изменяющиеся в процессе эволюции системы, величины.
Инварианты характерны для геометрически симметричных систем. Например, при вращении однородного диска вокруг неподвижной оси его внешний вид при повороте на любой угол не изменяется. Говорят,
что диск обладает непрерывной вращательной симметрией (рис. 1).
Буквы А, П, Ш обладают дискретной симметрией (рис. 2, а). Их вид не изменяется при повороте на 180° относительно вертикальной оси.
Буква О симметрична относительно горизонтальной и вертикальной осей. Дискретная симметрия характерна для снежинки при повороте на 60° и 180° относительно го-
Непрерывная вращательная симметрия диска
10
Введение
Дискретная симметрия:
а) буквы А, П, Ш, О; б) снежинка
▲ з
Двор университета и церковь Сант Иво алла Сапиенца в Риме
ризонтальной оси и на 180° относительно вертикальной (рис. 2,6).
Симметрия наглядно проявляется в архитектуре, она особенно характерна для эпохи классицизма (рис. 3).
Система обладает симметрией, если в результате происходящих в ней изменений какая-то характеристика системы остается постоянной (инвариантной).
Наличие постоянных физических величин в окружающем нас мире отражает симметрию пространства и времени.
Симметрия пространства и времени. Физическое пространство и время характеризуют три основных типа симметрии: однородность пространства, изотропность пространства и однородность времени.
Однородность пространства означает эквивалентность (или равноправие) всех точек физического пространства, т. е. параллельный сдвиг физической системы в любом направлении не влияет на характер протекающих в ней процессов.
Изотропность пространства соответствует эквивалентности всех
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 11
направлений в пространстве и симметрии физической системы относительно ее произвольного поворота, который не влияет на процессы, протекающие в системе.
Однородность времени отражает симметрию по отношению к сдвигу времени, не влияющему на характер процессов в физической системе, т. е. эквивалентность всех моментов времени.
Гипотеза о том, что наиболее общие фундаментальные законы сохранения в физике отражают симметрию, содержащуюся в физических явлениях, блестяще подтвердилась и может быть сформулирована следующим образом.
Каж до му типу непрерывной симметрии пространства и времени соответствует закон сохранения определенной физической величины.
Возможно обратное утверждение.
Каждый закон сохранения отражает определенный тип непрерывной симметрии пространства и времени.
При дальнейшем изучении законов сохранения мы более подробно обсудим их связь с симметрией пространства и времени.
ВОПРОСЫ
Что такое инварианты?
Приведите примеры физических инвариантов.
Приведите примеры непрерывной и дискретной симметрии.
В каком случае система обладает симметрией?
Охарактеризуйте основные типы симметрии физического пространства.
1. 2. 3. 4. 5.
§ 6. Идея атомизма
Гипотеза Демокрита. Первой наиболее перспективной научной гипотезой о строении вещества была идея атомизма. Греческий философ Демокрит в V в. до н. э. предположил, что все вещества состоят из невидимых человеческим глазом малых частиц — атомов (от греч. atomos — неделимый). Атомистическая гипотеза впервые в научном познании предполагала существование объектов, недоступных вос
приятию органов чувств человека. Эта гениальная идея человеческого разума нашла свое экспериментальное подтверждение лишь через два тысячелетия, в XIX в., в работах английского физика и химика Джона Дальтона. Объясняя химические превращения и реакции, он пришел к выводу, что каждому химическому элементу соответствует свой тип мельчайших невидимых атомов, а все вещества

Введение
состоят из химических соединений атомов.
Последующая классификация атомов в периодической таблице химических элементов Д. И. Менделеева в порядке возрастания массы показала, что всего в природе насчитывается около 110 химических элементов. Это означает, что многообразный окружающий мир сконструирован примерно из сотни типовых блоков — атомов.
Модели в микромире. Исследования структуры вещества на пространственных масштабах, меньших атомарных, привели к открытию новых простейших кирпичиков мироздания. В 1887 г. английский физик Джозеф Томсон обнаружил еще одну частицу — электрон. По своим характеристикам электрон не вписывался в периодическую таблицу химических элементов Д. И. Менделеева.
Открытие английским физиком Эрнестом Резерфордом в 1911 г. атомного ядра привело к созданию планетарной модели атома. Согласно этой модели атом состоит из ядра, вокруг которого вращаются электроны.
Последующие эксперименты (1914—1932) показали, что атомное ядро состоит из тяжелых (по сравнению с электроном) частиц: электронейтральных нейтронов и положительно заряженных протонов. Заряд протона равен по величине и противоположен по знаку отрицательному заряду электрона. В целом атом электронейтрален,
так как число протонов в ядре равно числу электронов в атоме.
Число протонов в ядре определяет химические свойства атома и его место в периодической таблице химических элементов Д. И. Менделеева.
К настоящему времени открыто свыше 400 элементарных частиц.
Элементарная частица — микрообъект, который невозможно расщепить на составные части.
Атом
Структура атома: протон и нейтрон -частицы, состоящие из трех кварков
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 13
Согласно современным представлениям, протон и нейтрон являются сложными частицами, состоящими из трех кварков (рис. 4).
Элементарные частицы, подобно атомам, классифицируют по массе на две большие группы. Легкие частицы образуют группу лептонов (от греч. leptos — мелкий).
Тяжелые частицы относятся к группе адронов (от греч. hadros — сильный).
Особую (третью) группу составляют частицы — переносчики взаимодействий между частицами. В частности, фотон переносит минимальную порцию энергии электромагнитного поля.
ВОПРОСЫ
1.	В чем состояла гипотеза Демокрита о строении вещества9
2.	Какие выводы следовали из экспериментов Д Дальтона?
3.	Какое количество элементов насчитывается в настоящее время в периодической таблице химических элементов Д И Менделеева?
4.	Что представляет собой планетарная модель атома?
5.	На какие три группы подразделяют элементарные частицы9
§ Ч. Фундаментальные взаимодействия
Виды взаимодействий. Упорядоченность расположения небесных тел во Вселенной объясняется их взаимодействием друг с другом. Структура вещества этих тел стабильна благодаря связям между составляющими его частицами. Несмотря на то что в веществе содержится большое число различных элементарных частиц между ними, существует лишь четыре вида фундаментальных взаимодействий: гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное взаимодействия.
Фундаментальные взаимодействия — взаимодействия, которые не могут быть сведены к другим, более простым видам взаимодействия.
Все процессы и явления в природе (падение яблока, взрыв сверхновой звезды, прыжок кузнечика или радиоактивный распад веществ) происходят в результате этих взаимодействий.
Гравитационное взаимодействие универсально: в нем участвуют все элементарные частицы.
Слабое взаимодействие присуще всем частицам, кроме фотона.
Электромагнитное взаимодействие связывает между собой только заряженные частицы.
Сильное взаимодействие определяет связи только между адронами.
В таблице 1 условно представлены важнейшие элементарные частицы, принадлежащие к основным группам (адроны, лептоны, переносчики взаимодействия), и показаны типы
14
Введение
Таблица 1
Взаимодействия, в которых участвуют основные элементарные частицы
Лептоны	Нейтральный о (нейтрино)	Заряженный о (электрон)	Цветовое обозначение взаимодействий
			Гравитационное Слабое Электромагнитное Сильное
Адроны	Нейтральный с (нейтрон)	Заряженный • (протон)	
Фотон			
взаимодействия, в которых эти частицы могут участвовать.
Важнейшей характеристикой фундаментального взаимодействия является его радиус действия (табл. 2).
Радиус действия — максимальное расстояние между частицами, за пределами которого их взаимодействием можно пренебречь.
При малом радиусе действия взаимодействие называют короткодействующим, при большом — дальнодействующим.
Сильное и слабое взаимодействия являются короткодействующими. Их интенсивность быстро убывает при увеличении расстояния между частицами. Такие взаимодействия проявляются на не
большом расстоянии, недоступном для восприятия органов чувств. По этой причине эти взаимодействия были открыты позже других с помощью сложных экспериментальных установок лишь в XX в.
Электромагнитное и гравитационное взаимодействия являются дальнодействующими. Такие взаимодействия медленно убывают при увеличении расстояния между частицами и не имеют конечного радиуса действия.
Взаимодействие как связь структур вещества. В атомном ядре связь протонов и нейтронов обусловливает сильное взаимодействие. Оно обеспечивает исключительную прочность ядра, лежащую в основе стабильности вещества в земных условиях. На расстоянии, большем 10-15м (порядка размера ядра), силы притяжения между про-
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 15
Таблица 2 Основные характеристики фундаментальных взаимодействий
Взаимодействие	Взаимодействующие частицы	Радиус действия, м	Относительная интенсивность
Гравитационное	Все	оо	1
Слабое	Все, кроме фотона	10~17	1032
Электромагнитное	Заряженные частицы	оо	1036
Сильное	Адроны	10-i5	1038
тонами и нейтронами резко убывают, переставая их связывать друг с другом.
Слабое взаимодействие в миллион раз менее интенсивно, чем сильное. Оно действует между большинством элементарных частиц, находящихся друг от друга на расстоянии, меньшем 10-17м. Слабым взаимодействием определяется радиоактивный распад урана, реакции термоядерного синтеза на Солнце. Как известно, именно излучение Солнца является основным источником жизни на Земле.
Электромагнитное взаимодействие, являясь дальнодействую-щим, определяет структуру вещества за пределами радиуса действия сильного взаимодействия. Электромагнитное взаимодействие связывает электроны и ядра в атомах и молекулах. Оно объединяет атомы и молекулы в различные вещества, определяет химические и биологические процессы. Электромагнитное взаимодействие проявляется в силах упругости, трения, вязкости, магнитных силах. В частности, электромагнитное отталкивание мо
лекул, находящихся на малых расстояниях, вызывает силу реакции опоры, в результате чего мы, например, не проваливаемся сквозь пол. Электромагнитное взаимодействие не оказывает существенного влияния на взаимное движение макроскопических тел большой массы, так как каждое тело электронейтрально, т. е. содержит примерно одинаковое число положительных и отрицательных зарядов.
Гравитационное взаимодействие пропорционально массе взаимодействующих тел. Из-за малости массы элементарных частиц гравитационное взаимодействие между частицами невелико по сравнению с другими видами взаимодействия, поэтому гравитационное взаимодействие в процессах микромира несущественно.
При увеличении массы взаимодействующих тел (т. е. при увеличении числа содержащихся в них частиц) гравитационное взаимодействие между телами возрастает пропорционально их массе. В связи с этим в макромире при рассмотрении движения планет, звезд, галак-
16
Введение
Диаграммы взаимодействий элементарных частиц:
а) гравитационное; б) слабое; в) электромагнитное; г) сильное
тик, а также движения небольших макроскопических тел в их полях гравитационное взаимодействие становится определяющим. Оно удерживает атмосферу, моря и все живое и неживое на Земле, Землю, вращающуюся по орбите вокруг Солнца, Солнце в пределах Галактики. Гравитационное взаимодействие играет главную роль в процессах образования и эволюции звезд.
Фундаментальные взаимодействия элементарных частиц в физике изображаются с помощью специальных диаграмм (рис. 5).
Современные физические представления о фундаментальных взаимодействиях постоянно уточняются.
В 1967 г. Шелдон Глэшоу, Абдус Салам и Стивен Вайнберг создали теорию, согласно которой электромагнитное и слабое взаимодействия представляют собой про
явление единого электрослабого взаимодействия. Если расстояние от элементарной частицы меньше радиуса действия слабых сил (10“17м), то различие между электромагнитным и слабым взаимодействиями исчезает.
Таким образом, число фундаментальных взаимодействий сократилось до трех. В настоящее время экспериментальную проверку проходит теория «великого объединения». Согласно этой теории, объединяющей сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия, существуют лишь два типа взаимодействий: объединенное и гравитационное. Не исключено, что все четыре взаимодействия являются частными проявлениями единого взаимодействия. На предпосылках таких предположений мы остановимся более подробно при обсуждении теории возникновения Вселенной (модель Большого взрыва).
ВОПРОСЫ
1.	Как расположить в порядке возрастания интенсивности фундаментальные взаимодействия?
2.	Для взаимодействия каких частиц характерно каждое фундаментальное взаимодействие?
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 17
3.	Какие фундаментальные взаимодействия являются короткодействующими и какие — дальнодействующими? Чему равен их радиус действия9
4.	Какие фрагменты структуры вещества или физические процессы определяют каждое фундаментальное взаимодействие9
5.	Какие взаимодействия объединяет теория «великого объединения»9
§ 8. Единицы физических величин
Базовые физические величины механики. Среди многочисленных физических величин существуют основные базовые величины, через которые с помощью определенных количественных соотношений выражаются все остальные. Такими базовыми величинами являются длина, время, характеризующие расположение тел в пространстве в определенный момент времени, и масса, являющаяся мерой количества вещества и определяющая характер движения тел. Рассмотрим подробнее эти основные величины и их единицы.
Длина. Длина характеризует протяженность или расстояние в пространстве. Для ее измерения нужно выбрать какую-то единицу длины и сосчитать, сколько таких единиц укладывается на данном отрезке. Попытки субъективных измерений длины отмечались уже свыше 4000 лет назад в Древнем Египте и Месопотамии. Неоднозначность результатов измерений показала необходимость введения согласованной единицы. Действительно, дюйм (введенный как толщина большого пальца на руке) и фут (как длина ступни) было трудно сравнивать. С 1889 по 1960 г. в качестве единицы длины использо
валась одна десятимиллионная часть расстояния, измеренного вдоль Парижского меридиана от Северного полюса до экватора, — метр (от греч. metron — мера) (рис. 6).
Для удобства измерения в качестве эталона длины использовался стержень из платиново-иридиево-го сплава. По мере совершенствования техники и уменьшения погрешности измерений повышались требования к точности эталона. Кроме того, неудобства, связанные с необходимостью постоянного обращения в Палату мер и весов, где хранились эталоны, привели в 1960 г. к введению нового эталона метра. До 1983 г. метр считался равным 1650763,73 длин волн оранжевой спектральной линии, излучаемой криптоновой лампой.
Метр как эталон длины с 1889 по 1960 г.
18
Введение
Появление лазера позволило измерить скорость света с большей степенью точности (с = = 299 792 458 м/с), увеличив точность задания эталона на порядок величины по сравнению с криптоновой лампой.
Метр — единица длины, равная расстоянию, которое проходит свет в вакууме за время 1/299 792 458 с.
180° - (0^+ а2)
Метод триангуляции
Это определение следует из формулы для расстояния, проходимого за промежуток времени t со скоростью с:
I = ct =
= 299 792 458 м/с • (1/299 792 458) с = = 1 м.
Диапазон изменения размера объектов в природе приведен на форзаце в начале книги.
Методы измерения расстояний. Не любое расстояние можно непосредственно измерить линейкой — метром. Например, расстояние до Луны или звезд измеряют методом триангуляции (рис. 7).
Зная базу — расстояние I между двумя телескопами, расположенными в точках А и В на Земле, и углы ах и а2, под которыми они направлены на Луну, — можно найти расстояния АС и ВС:
, „	I sin а?
z sin (04 + а2) ’
ВС = Z sin а1 sin (04 + а2)’
При определении расстояния до звезды в качестве базы можно использовать диаметр орбиты Земли, вращающейся вокруг Солнца (рис. 8):
2cos a
В настоящее время расстояние до ближайших к Земле планет изме-
8
Определение расстояния до звезды
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 19
ряется методом лазерной локации. Луч лазера, посланный, например, в сторону Луны, отражается и, возвращаясь на Землю, принимается фотоэлементом (рис. 9).
Измеряя промежуток времени tQ, через который возвращается отраженный луч, и зная скорость света с, можно найти расстояние до планеты:
1 = I ct0.
Для измерения малых расстояний с помощью обычного микроскопа можно разделить метр на миллион частей и получить микрометр, или микрон. Однако продолжать таким образом деление невозможно, так как предметы, размеры которых меньше 0,5 микрона, нельзя увидеть в обычный микроскоп.
Ионный микроскоп позволяет проводить измерения диаметра ато-
Измерение расстояния до планеты методом лазерной локации
А Ю
Фотография атомов углерода в графите, сделанная с помощью ионного микроскопа
мов и молекул порядка Ю-10м (рис. 10).
Расстояние между атомами — 1,5 • Ю~10м. Внутриатомное пространство практически пустое, с крошечным ядром в центре атома.
Наблюдение рассеяния частиц высокой энергии при прохождении сквозь слой вещества позволяет зондировать вещество вплоть до размера атомных ядер (10-15 м).
Время. Если свойства, структура, протяженность пространства проявляются при заполнении его веществом, то время характеризует изменение этого заполнения.
Время — мера скорости, с которой происходят какие-либо изменения, т. е. мера скорости развития событий.
Один из способов измерения времени — использование регулярных, повторяющихся, циклических процессов.
20
Введение
Например, ежедневный восход Солнца определяет единицу времени — сутки.
Для измерения меньшего промежутка времени египтяне уже 3000 лет назад делили день и ночь на 12 равных часов, так что час составил 1/24 часть суток.
Дальнейшее уточнение в измерении времени связывают с базовым числом 60 в вавилонской арифметике.
Минута (от древнелат. minute — первая мельчайшая часть) составляет 1/60 часть часа. Еще более короткие интервалы времени можно измерять секундами (от лат. second — вторая мельчайшая часть).
Секунда составляет соответственно 1/60 часть минуты и 1/3600 часть часа.
В 1656 г. Христиан Гюйгенс сконструировал маятниковые часы, погрешность которых составляла 10 с в сутки.
Несмотря на постоянное совершенствование часов и увеличение точности измерения времени, секунду (определенную как 1/86 400 суток) нельзя было использовать в качестве постоянного эталона времени. Это объясняется незначительным замедлением скорости вращения Земли вокруг своей оси и соответственно увеличением периода обращения, т. е. длительности суток.
Получение стабильного эталона времени оказалось возможным в результате исследований спектров излучения различных атомов и мо
лекул. Эти исследования позволили измерять время с уникальной точностью. Период электромагнитных колебаний, излучаемых атомом в пространство, измеряется с относительной погрешностью порядка 10~10.
В 1967 г. был введен новый эталон секунды.
Секунда — единица времени, равная 9 192 631 770 периодам излучения изотопа атома цезия-133.
Излучение цезия-133 легко воспроизводится и измеряется в лабораторных условиях. Погрешность таких «атомных» часов за год составляет 3 • 10"7 с.
Для измерения большего промежутка времени используется периодичность иного рода. Многочисленные исследования радиоактивных (распадающихся со временем) изотопов показали, что время, за которое их число уменьшается в 2 раза (период полураспада), является постоянной величиной. Это означает, что период полураспада позволяет выбирать масштаб времени.
Выбор изотопа для измерения времени зависит от того, какой ориентировочно интервал времени измеряется. Период полураспада должен быть соизмерим с предполагаемым интервалом времени (табл. 3).
При археологических исследованиях наиболее часто измеряют со-
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 21
Таблица 3 Период полураспада некоторых изотопов
Изотоп	Период полураспада	Изотоп	Период полураспада
238JJ	4,5 109 лет	Зн	12,3 года
239р|д	2,4 104 лет	60Со	5,24 года
14С	5730 лет	131]	8 суток
226Ra	1600 лет	222Rn	3,8 суток
90Sr	28 лет	104Тс	18 минут
держание изотопа углерода 14С, период полураспада которого составляет 5730 лет. Возраст древней рукописи оценивается в 5730 лет, если содержание 14С в ней в 2 раза меньше первоначального (которое известно). При уменьшении содержания 14С в 4 раза по сравнению с первоначальным возраст объекта кратен двум периодам полураспада, т. е. равен 11 460 годам.
Для измерения еще большего интервала времени используются другие радиоактивные изотопы, имеющие больший период полураспада. Изотоп урана 238U (период полураспада 4,5 млрд лет) в результате распада превращается в свинец. Сравнение содержания урана и свинца в горных породах и воде океанов позволило установить примерный возраст Земли, который, как оказалось, составляет около 5,5 млрд лет.
Масса. Если длина и время — фундаментальные характеристики пространства и времени, то масса является фундаментальной характеристикой вещества. Можно опре
делить три основные особенности этой физической величины.
. I мера количества вещества и энергии МАССА в мера инертности
мера гравитационного взаимодействия
Эталоном массы 1 кг, начиная с 1984 г., является платиново-иридиевый цилиндр, хранящийся в Международной палате мер и весов близ Парижа. Национальные палаты мер и весов имеют копии такого эталона.
Килограмм — единица массы, равная массе международного эталона килограмма.
Работа с реальным эталоном массы требует особой тщательности, так как прикосновение щипцов и даже воздействие атмосферного воздуха может привести к изменению массы эталона. Определение массы объектов, имеющих объем, соизмеримый с объемом эталона массы, можно проводить с относительной погрешностью порядка 10-9.
22
Введение
Кратные и дольные единицы. Определив в Международной системе единиц основные фундаментальные единицы (метр — для длины, секунда — для времени, килограмм — для массы) в зависимости от диапазона измерений, удобно использовать единицы, большие или меньшие по величине. Эти кратные и дольные единицы отличаются от основных на порядки величин. Название основной величины является корнем слова, а приставка характеризует соответствующее отличие в порядке.
Например, приставка «кило-» означает введение единицы в тысячу раз (на 3 порядка) большей, чем основная: 1 км = 103м.
В таблице 4 приведены приставки для образования кратных и дольных единиц.
Введенные таким образом кратные и дольные единицы часто по
Таблица 4
порядку величины характеризуют физические объекты. Приведем лишь несколько примеров дольных единиц.
Длина
1 сантиметр = 1 см = 10-2 м (диаметр мизинца)
1 микрометр (микрон) = 1 мкм = 10-6 м (размер бактерий и клеток)
1 нанометр = 1 нм = 10-9м
(размер молекулы)
Время
1 миллисекунда = 1 мс = 10-3 с (промежуток времени, за который звук в воздухе проходит 34 см)
1 микросекунда = 1 мкс = 10~6 с
(промежуток времени, за который персональный компьютер производит сложение)
1 наносекунда = 1 нс = 10-9с
(промежуток времени, за который свет в вакууме проходит 30 см)
Приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц
Сте пень	Приставка	Символ	Примеры	Степень	При ставка	Сим вол	Примеры
ю18	экса-	э	эксаджоуль, ЭДж	10"1	Деци-	Д	децибел, дБ
1015	пета-	п	петасекунда, Пс	10-2	санти-	с	сантиметр, см
1012	тера-	т	терагерц, ТГц	IO’3	милли-	м	миллиметр, мм
109	гига-	г	гигавольт, ГВ	ю-6	микро-	мк	микрограмм, мкг
106	мега-	м	мегаватт, МВт	10~9	нано-	н	нанометр, нм
103	кило-	к	килограмм, кг	10~12	ПИКО-	п	пикофарад, пФ
ю2	гекто-	г	гектопаскаль, гПа	10-15	фемто-	ф	фемтометр, фм
10	дека-	Да	декатесла, даТл	10"18	атто-	а	аттокулон, аКл
Физика в познании вещества, поля, пространства и времени 23
Масса
1 грамм = 1 г = 10-3 кг (масса скрепки для бумаги)
1 миллиграмм =10 3 г = 10 6 кг (масса крупинки соли)
1 микрограмм = 10"6 г = 10~9 кг (масса мельчайшей пылинки)
В О П Р о с ы
1.	Какие физические величины называют базовыми или основными9
2,	Какое свойство пространства характеризует длина9 Что является эталоном метра9 Перечислите основные методы измерения расстояний различных пространственных масштабов
3.	Что характеризует время9 Какой эталон секунды принят в настоящее время9 Какая физическая величина используется в качестве масштаба для измерения больших промежутков времени9
4,	Какие свойства тела характеризует масса9 Что является эталоном килограмма9
5- Приведите примеры кратных и дольных единиц
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
	Физика — наука о наиболее общих и фундаментальных закономерностях, определяющих структуру и эволюцию материального мира.
Физика, как и любая другая наука, основывается на количественных наблюдениях.
	Органы чувств человека являются источником информации об окружающем мире.
Наибольший объем информации человек получает с помощью зрения.
	Физический закон — описание соотношений в природе, проявляющихся при определенных условиях в эксперименте.
	Научная теория включает постулаты, определения, гипотезы и законы, объясняющие наблюдаемые явления
Критерий правильности теории — физический эксперимент.
	Границы применимости теории определяются физическими упрощающими предположениями, сделан
ными при постановке задачи и в процессе вывода соотношений.
	Модель в физике — упрощенная версия физической системы (процесса), сохраняющая ее (его) главные черты.
	Инварианты — постоянные, неиз-меняющиеся в процессе эволюции системы величины Наличие инвариантов отражает симметрию пространства и времени.
Физическое пространство и время характеризуют три основных типа симметрии.
	Однородность пространства — независимость свойств физической системы от ее параллельного сдвига.
	Изотропность пространства —- независимость свойств физической системы от ее поворота на произвольный угол.
	Однородность времени —независимость протекания процесса в физической системе от выбора начального момента процесса.
24
Введение
Все вещества состоят из атомов. Атом состоит из положительно заряженного ядра, вокруг которого вращаются отрицательно заряженные электроны.
В атомном ядре находятся положительно заряженные протоны и электронейтрал ьные нейтроны.
В целом атом электронейтрален, так как число протонов в ядре равно числу электронов в атоме.
Число протонов в ядре определяет химические свойства атома и его место в периодической таблице химических элементов Д. И. Менделеева.
Элементарные частицы — частицы, которые до настоящего времени не удалось описать как составные.
Элементарные частицы подразделяются на три группы: адроны, лептоны, переносчики взаимодействий.
Фундаментальное взаимодействие — взаимодействие, которое не может быть сведено к другим, более простым видам взаимодействий.
Существует четыре вида фундаментальных взаимодействий, гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное взаимодействия.
Гравитационное взаимодействие присуще всем частицам. Оно определяет процесс образования и структуру Вселенной.
Слабое взаимодействие ответственно за взаимодействие всех частиц, кроме фотона. Оно определяет реакции термоядерного синтеза на Солнце.
Электромагнитное взаимодействие связывает между собой только заряженные частицы. Оно объединяет атомы и молекулы в веществе.
	Сильное взаимодействие определяет связи только между адронами Оно обусловливает связь протонов и нейтронов в атомном ядре
	Радиус действия взаимодействия — максимальное расстояние между частицами, за пределами которого их взаимодействием можно пренебречь При малом радиусе действия взаимодействие называют короткодействующим, при большом — дальнодействующим.
Сильное и слабое взаимодействия являются короткодействующими.
Электромагнитное и гравитационное взаимодействия являются дально-действующими.
	Базовые физические величины —-величины, через которые выражаются все остальные.
Базовыми физическими величинами в механике являются длина, время и масса.
	Длина характеризует протяженность или расстояние в пространстве.
	Метр — единица длины, равная расстоянию, которое проходит свет в вакууме за время 1/299 792 458 с.
	Время — мера скорости, с которой происходят какие-либо изменения, или мера скорости развития событий.
	Секунда — единица времени, равная 9 192 631 770 периодам излучения изотопа атома цезия-133.
	Масса — мера количества вещества и энергии, мера инертности, мера гравитационного взаимодействия.
	Килограмм — единица массы, равная массе международного эталона массы.
МЕХАНИКА
Кинематика материальной точки
§ 9. Траектория.
Закон движения
Описание механического движения. Неотъем-лемой формой существования вещества во Вселенной является движение. Оно характеризует изменения, происходящие в окружающем нас мире. В движении участвует каждый атом любого тела. По поверхности Земли и вблизи нее перемещаются, например, вода, песок, атмосферный воздух, транспорт и т. д. Земля вращается вокруг собственной оси и вокруг Солнца, которое вместе со всеми планетами Солнечной системы перемещается относительно центра Галактики. Вселенная как целое расширяется.
Полное описание движения макроскопического тела, состоящего из огромного числа движущихся частиц, целесообразно разделить на два этапа.
Наиболее рационально на первом этапе рассмотреть движение тела как целого, т. е. механи-ческое движение.
Механическое движение — изменение пространственного положения тела относительно других тел с течением времени.
На втором этапе методами молекулярной физики изучается движение молекул в веществе (внутри
26
Механика
тела). Если подобная детализация является излишней (например, при анализе движения планет, космических ракет, самолетов, автомобилей, поездов, кораблей и т. д.), то можно ограничиться рассмотрением механического движения, являющегося упрощенной моделью реального сложного движения.
Задача кинематики (от греч. kinematos — движение) — дать математическое описание движения тел.
Кинематика изучает механическое движение тел, не рассматривая причины, которыми это движение вызывается.
Для описания механического движения тела необходимо знать положение тела в пространстве в любой момент времени. Эта задача осложняется тем, что любое тело состоит из частей, занимающих различное положение в пространстве. Указать положение одной точки тела при его движении можно лишь в случае, когда размеры и форма тела несущественны.
Например, при описании полета пули к мишени нет необходимости учитывать размеры пули. Поэтому в механике часто используется простейшая физическая модель — материальная точка.
Слово «материальная» подчеркивает отличие такого объекта от геометрической точки, не обладающей физическими свойствами.
Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Землю, движущуюся вокруг Солнца, можно рассматривать как материальную точку, так как радиус Земли много меньше расстояния от Земли до Солнца (Я® « Tq). Подобное неравенство в физике означает, что R® меньше по крайней мере на порядок, т. е. R® < О,1г0.
В то же время Землю нельзя считать материальной точкой во всех «земных» задачах, когда рассматривается движение самолетов, кораблей, поездов, автомобилей.
Кинематика материальной точки
27
Указать положение материальной точки в реальном физическом пространстве можно лишь относительно положения других тел.
Тело отсчета — произвольно выбранное тело, относительно которого определяется положение движущейся материальной точки (или тела).
При описании механического движения космических ракет, искусственных спутников Земли в качестве тела отсчета обычно рассматривают Землю, считая ее неподвижной. При описании движения Земли и планет за тело отсчета принимается Солнце.
Траектория. Очень важным понятием при описании движения тела является траектория.
Траектория Луны относительно Земли ( геоцентрическая система отсчета)
Траектория — воображаемая линия, соединяющая положения материальной точки (тела) в ближайшие последовательные моменты времени.
Возможно и непосредственное наблюдение траектории: искры, летящие при сварке; след в небе от выхлопных газов ракеты или реактивного самолета; линия, рисуемая мелом на доске или ручкой в тетради; лыжный след. В разных системах отсчета траектория движения материальной точки может быть различной (рис. 11, 12).
Закон движения. Положение материальной точки в пространстве в произвольный момент времени (например, теннисный мяч, движущийся относительно Земли) можно определить, если ввести систему отсчета.
Система отсчета — совокупность тела от счета, связанной с ним системы координат и часов.
А 12
Траектория Луны относительно Солнца ( гелиоцентрическая система отсчета)
28
Механика
У]
А
▲ 13
Координатный и векторный способы задания положения час тицы в пространстве и во времени
Выберем произвольное начало отсчета и координатные оси X и Y (рис. 13).
Отметим положение А материальной точки в произвольный момент времени t.
Совокупность координат x(t), y(t) в момент времени t определяет закон движения материальной точки в координатной форме.
В дальнейшем материальную точку мы будем называть либо частицей, либо телом.
Положение точки можно задать и с помощью вектора.
Радиус-вектор — вектор, соединяющий начало отсчета с положением точки в произвольный момент времени.
Проведем из начала отсчета в точку А радиус-вектор г, который так же, как и координаты х, у, характеризует положение точки в произвольный момент времени.
Закон (или уравнение) движения в векторной форме — зависимость радиуса-вектора от времени.
Вектор г (t) на рисунке 14 отслеживает движение пчелы относительно начала отсчета. Зависимость радиуса-вектора от времени г (t) определяет закон движения тела в векторной форме.
14 к
Изменение радиуса-вектора с течением времени при полете пчелы.
Телом отсчета является угол комнаты
Кинематика материальной точки
29
Координатное описание механического движения тела эквивалентно векторному. Зная закон движения в векторной форме, можно получить закон движения в координатной форме, и наоборот. Рассмотрим связь радиуса-вектора и координат тела в произвольный момент времени (рис. 15).
Предположим, что в момент времени t движущееся тело проходит точку А. Длина радиуса-вектора (или его модуль |г| = г) характеризует расстояние, на котором точка А находится от начала координат. На таком же расстоянии от точки О находятся все точки, лежащие на окружности радиусом г. Дополнительную информацию о положении точки А дает угол а, который образует вектор г с осью X. Координаты х и у связаны с г и а следующими соотношениями:
15
Связь закона движения в координатной и векторной формах:
х = г cos а, у = г sin а.
Вектор г можно представить в виде суммы его составляющих (компонент) гх и гу по осям X и Y соответственно:
г — г + г .
X ' у*
Проекция радиуса-вектора на координатную ось равна координате тела по этой оси:
Гх = X, Гу = у.	|	(1)
Закон движения тела в координатной форме можно получить, проецируя закон движения в векторной форме на координатные оси X и У.
В О П Р О С Ы
1.	Какое движение называется механическим9
2.	Какое тело можно считать материальной точкой?
3.	Что такое система отсчета?
4.	Произойдет ли столкновение двух кораблей, если траектории их движения пересекаются?
5.	Что определяет закон движения тела?
30
Механика
Изменение координат пчелы при движении между точками 1 и 2
Перемещение — изме нение радиуса-вектора
Взаимосвязь векторного и координатного описи ния перемещения частицъ,
§10. Перемещение
Перемещение — векторная величина. Изменение положения движущегося тела в пространстве можно характеризовать либо изменением его координат, либо изменением радиуса-вектора, так как координатное и векторное описания движения эквивалентны.
Изменение любой величины — разность ее конечного и начального значений.
Изменение координат при движении материальной точки может быть как положительным, так и отрицательным (рис. 16).
Например, при перемещении пчелы из точки 1 в точку 2 координата пчелы по оси X возрастает (х2 > хх), поэтому изменение координаты положительно (Дх = х2 - хх > 0). По оси Y координата пчелы уменьшается (у2 < уД соответственно изменение координаты отрицательно (Дг/ = у2 - ух < 0).
Рассмотрим изменение радиуса-вектора при движении материальной точки.
На рисунке 17 начальное и конечное положения пчелы характеризуются не координатами, а начальным г\ и конечным г2 радиусами-векторами.
Вектор Дг, проведенный из конца радиуса-вектора г\ в конец радиуса-вектора г2, называют перемещением тела за промежуток времени t.
Перемещение — вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное.
Перемещение характеризует изменение радиуса-вектора материальной точки:
Дг = г2 - гг
Перемещение показывает, на какое расстояние и в каком направлении смещается тело из начального положения за данное время.
Кинематика материальной точки
31
Единица перемещения — метр (м).
Как видно из рисунка 17, длина вектора перемещения Дг не равна в общем случае пути I, пройденному телом.
Совмещение рисунков 16 и 17 показывает (рис. 18), что проекция вектора перемещения на ось X совпадает с изменением координаты по оси X (Дг* = Дх). Соответственно проекция вектора Дг на ось Y равна изменению координаты у (Агу = Ау). Подобные равенства еще раз подчеркивают взаимосвязь и эквивалентность векторного и координатного методов описания движения.
Сложение перемещений. Перемещение — векторная величина, поэтому действия с векторами перемещений подобны действиям с любыми векторами.
Так, два последовательных перемещения материальной точки эквивалентны одному перемещению, равному их векторной сумме.
Результирующее перемещение автомобиля из точки А в точку С (рис. 19) складывается из двух последовательных перемещений (из точки А в точку В и из точки В в точку С). Перемещение автомобилй из точки А в точку В, лежащую на середине расстояния АС, характеризуется вектором 5/2. Таким же вектором 5/2 определяется перемещение из точки В в точку С, а АС = d.
▲ 19
Результирующее перемещение при прямолинейном движении
Результирующее перемещение равно векторной сумме посль доьатслъных перемещений.
В случае, если движение происходит по взаимно перпендикулярным направлениям, сложение перемещений можно выполнять по правилу треугольника (рис. 20).
При движении автомобиля по пути ADC перемещение из точки А в точку С равно
d = а 4- Ь.
Результирующее перемещение — вектор, проведенный из начала первого перемещения а в ко-
Результирующее перемещение при изменении направления движения
32
Механика
▲ 21
Сложение нескольких последовательных перемещений:
АВ = а + Ъ + с + d = = ((а + Ъ) + с) + d
I	2
Аг
▲ 22
Равенство модуля вектора перемещения и пройденного телом пути при прямолинейном движении в одном направлении: Ar = I
А	I	В
▲ 23
Отличие модуля перемещения от пройденного пути при прямолинейном движении с изменением направления
нец второго Ъ. Выбор пути АЕС соответствует перемещению d = Ъ 4- а.
Результат сложения перемещений не зависит от последовательности, в которой происходят эти перемещения.
По правилу треугольника удобно складывать большое число последовательных перемещений (рис. 21).
В этом случае для нахождения результирующего перемещения надо соединить начало первого перемещения с концом последнего.
Путь и перемещение. Расстояние, на которое смещается движущаяся материальная точка от начального положения, и направление, в котором это смещение происходит, характеризует векторная величина — перемещение.
Результирующее расстояние, которое проходит точка, двигаясь из начального положения в конечное, определяет положительная скалярная величина — путь.
Путь — длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени.
Единица пути — метр (м).
Тело, движущееся прямолинейно из точки 1 в точку 2, расстояние между которыми Z, проходит путь I (рис. 22).
Модуль вектора перемещения, соединяющего эти точки, также равен I.
Путь равен модулю вектора перемещения только при прямолинейном движении в одном направлении.
Если направление прямолинейного движения изменяется, то путь превосходит модуль вектора перемещения.
Например, автобус, движущийся из пункта А в пункт В, а затем возвращающийся обратно в А, проходит путь 2Z (рис. 23).
Кинематика материальной точки
33
При этом его перемещение относительно начальной точки равно нулю:
АВ + ВА = 0.
При криволинейном движении путь больше модуля перемещения, так как длина дуги всегда больше длины стягивающей ее хорды (см. рис. 17).
Евклидовость физического пространства*. При рассмотрении действий с векторами перемещений, подобно действиям с векторами в евклидовой геометрии, предполагалось, что именно эта геометрия реализуется в физическом пространстве. Вопрос о геометрии реального физического пространства решается экспериментально. Многочисленные геодезические измерения по определению суммы углов треугольника, образованного вершинами гор, были проведены выдающимся немецким математиком и физиком Карлом Гауссом (1777—1855) и неизменно давали результат 180°. Гаусс не обнаружил отклонений геометрии физического пространства от евклидовой геометрии.
До XIX в. единственно известная евклидова геометрия считалась геометрией физического пространства. В настоящее время, помимо евклидовой геометрии, известны и другие геометрии, базирующиеся на различных системах аксиом. В плоском двухмерном евклидовом пространстве параллельные прямые никогда не пересекаются. В искривленных пространствах Лобачевского и Римана такие прямые могут расходиться или сходиться (рис. 24).
В геометрии искривленного пространства (в отличие от евклидова пространства) результирующее перемещение зависит от последовательности перемещений.
Перемещаясь сначала вдоль экватора на восток, затем на север на такое же расстояние (ВС = АВ), можно попасть в точку С (рис. 24, б). Если из точки А двигаться на север и потом на восток (DE = = AD), то можно оказаться в другой точке Е.
* Цветом выделены заголовки материала для дополнительного чтения.
б)
24
Примеры неевклидова пространства: а) пространство Лоба невского (сумма углов пространственного треугольника меньше 180°>;
б) пространство Рима на (сумма углов про странственного тре угольника больше 180°, сумма перемещений зависит от порядка слагаемых:
АВ + ВС *AD + DE)
2 В А Касьянов «Физика, 10 кл »
34
Механика
Реально абстрактного пустого пространства не существует. В физике, например, материальным воплощением прямой линии, или кратчайшего пути между точками, является луч света. В поле больших масс световой луч искривляется, не следуя законам евклидовой геометрии. Луч света определяет кратчайший путь между точками, но не в неевклидовой геометрии.
Распределение вещества в пространстве изменяется со временем, поэтому геометрия, описывающая физическое пространство, тоже не остается неизменной. Это означает, что в формулировке аксиом геометрии должно участвовать время. Понятия пространства и времени оказываются неразрывно связанными друг с другом.
ВОПРОСЫ
1.	Что такое вектор перемещения9 Что он характеризует9
2.	Сформулируйте правила действия с векторами перемещений.
3.	При каком движении путь, пройденный точкой, равен модулю перемещения?
4.	Будет ли путь равен модулю перемещения при вращательном движении?
5.	Найдите путь и перемещение конца минутной стрелки часов длиной 10 см, совершившей полный оборот
§11. Скорость
25
Средняя скорость прохождения пути
автомобиля ср
£ t
Средняя скорость. Изменение положения в пространстве движущегося тела характеризуют векторная величина — перемещение и скалярная — путь. Однако эти величины не содержат информацию о том, как быстро происходит это изменение.
Для того чтобы узнать, кто быстрее, спортсмены пробегают определенную дистанцию (например, 100 м). Чем меньше времени затрачивает спортсмен, тем быстрее он бежит, тем больше его скорость. Скорость является пространственно-временной характеристикой движения тела.
Сравнивать скорость бегунов можно и иначе: по расстоянию, которое они пробегают за одно и то же время (например, за 1 с). Чем больше это расстояние, тем больше скорость спортсмена.
Кинематика материальной точки
35
Если автомобиль проехал путь I = 500 м за промежуток времени t = 20 с (рис. 25), то можно предположить, что за секунду автомобиль проезжал 25 м. Однако реально в течение первых пяти секунд автомобиль мог двигаться медленно, следующие восемь секунд стоять, а последние семь секунд двигаться очень быстро. Поэтому путь, проходимый телом в среднем за секунду, характеризует среднюю скорость.
== 60 км/ч
Средняя скорость прохождения пути — скалярная величина, равная отношению пути к промежутку времени, затраченному на его прохождение:
% - f •	(2)
26
Средняя скорость прохождения пути _ 2ухр2 ср ^1 + v2
Единица скорости — метр в секунду (м/с). Часто используют и другие единицы, например км/ч.
Найдем среднюю скорость автобуса, курсирующего между пунктами А и В, находящимися друг от друга на расстоянии I = 120 км (рис. 26), если из А в В он двигался со скоростью рх = 60 км/ч, а из Вв А возвращался со скоростью v2 = 40 км/ч.
Путь, пройденный автобусом, 21 = 240 км. Время движения t складывается из времени движения tx из А в В и времени движения t2 из В в А:
t =	+ t2.
Средняя скорость движения некоторых тел очень мала: ледники «текут» со скоростью около метра в неделю, разломы земной коры смещаются на несколько сантиметров в год, Луна удаляется от Земли на 4 см в год.
Путь из А в В автобус проходит за 2 ч, а из В в А за 3 ч. Следовательно, полное время движения t = 5 ч. Средняя скорость, согласно определению, находится из отношения пути к промежутку времени, затраченному на его прохождение:
% = у = ^ = 48 км/ч
Полученный результат не совпадает со средним арифметическим значением 40 и 60, равным 50.
Чтобы перевести скорость из метров в секунду в километры в час, надо умножить ее значение на 3,6:
10 м/с = 36 км/ч.
2*
36
Механика
Решим ту же задачу в общем виде.
Так как = — , t9 = — , то
t = — + —.
Pl v2
Следовательно,
21
”1	^2
или
= 2PiV2 ср 1 + »г
27
Определение мгновен ной скорости из опыта: а) оценка мгновенной скорости пчелы в точке Р в момент времени t = 10 с (Д^ = 20 с); б) приближение средней скорости иср по величине к мгновенной при уменъ шении интервала времени (At2 = 10 с)
откуда видно, что средняя скорость автобуса не зависит от расстояния Z. Однако заранее, a priori, это не было ясно.
Когда в задаче какая-то величина не известна явно, ее следует задать. Если в решении, полученном в общем виде, эта величина не содержится, значит, ее задание не требуется для решения задачи. В таком случае говорят, что в задаче есть лишние данные.
Наличие неизвестной величины в полученном решении может означать, что для решения задачи не хватает данных, или, другими словами, задача поставлена некорректно.
Мгновенная скорость. Средняя скорость, как и любая средняя величина, является достаточно приблизительной характеристикой движения. Проезжая по городу 15 км за 30 мин (со средней скоростью 30 км/ч), водитель не один раз смотрит на спидометр, показывающий скорость движения в данный момент времени (в данное мгновение) — мгновенную скорость. При реальном неравномерном движении показания спидометра могли изменяться от нуля до максимально разрешенной скорости.
Способ расчета мгновенной скорости движения не был известен вплоть до середины XVII в., когда Ньютоном было точно определено одно из самых
Кинематика материальной точки
37
поэтических понятий — мгновение как предельно (бесконечно) малый интервал времени.
Чем меньше этот интервал, тем меньше за это время успевает измениться скорость, тем точнее ее можно определить (рис. 27).
Мгновенная скорость — средняя скорость за бесконечно малый интервал времени.
Если за промежуток времени At частица проходит путь AZ, то модуль мгновенной скорости (или просто скорость) определяется следующим образом:
v = Иш исо
lim —
At -> о
(3)
Например, если за промежуток времени At = 10"6с (одна миллионная доля секунды) тело проходит путь А1 = 10 мкм = 10"5 м, то его скорость, согласно формуле (3), равна
10~5 м
10~6 м
= 10 м/с.
Это означает, что, продолжая двигаться с той же мгновенной скоростью (скорость, с которой тело двигалось 10-6с) в течение секунды, тело прошло бы путь 10 м. В этом и заключается физический смысл абсолютной величины мгновенной скорости.
Модуль мгновенной скорости численно равен расстоянию, которое может пройти тело за единицу времени, продолжая двигаться так же, как оно двигалось в данный момент времени.
В таблице 5 приведена примерная скорость различных объектов.
Вектор скорости. Из формулы (3) можно найти лишь модуль мгновенной скорости, но не ее направление. Для определения скорости как вектора воспользуемся другой векторной величиной — перемещением.
Таблица 5
Скорость различных объектов
Объект	Скорость, м/с
Муравей	0,01
Пловец	2
Спринтер	11
Автомобиль (в городе)	16,66
Рыба-парусник	30
Спортивный автомобиль	70
Авиалайнер	270
Звук в воздухе	333
Реактивный автомобиль	340
Молекула в атмосфере	500
Пуля	700
Реактивный истребитель	1000
Луна вокруг Земли	1000
Спутник связи	3000
Искусственный спутник Земли	7900
Земля вокруг Солнца	29600
Солнечная система в Галактике	210000
Электрон в атоме водорода	2000000
Радиоволны, свет, рентгеновское излучение	300000000
38
Механика
28
Предельный переход к бесконечно малым интервалам времени: 1) вектор перемещения соединяет две бесконечно близкие точки; 2) длина вектора перемещения совпадает с длиной пути
На рисунке 28 показаны векторы перемещения Дгр Дг2, Дг3, Дг4 самолета относительно точки О, пролетающего последовательно по криволинейной траектории точки 1, 2, 3, 4. Для определения мгновенной скорости самолета в точке 0 рассмотрим, согласно формуле (3), предельный переход к малым интервалам времени. Чем меньше время полета, отсчитываемое от 0, тем на меньшее расстояние Д/ удаляется самолет от этой точки. При Д£ —> О самолет как бы обратимо фиксируется видеокамерой в точках 4, 3, 2, 1. При этом вектор перемещения самолета, соединяющий начальную и конечную точки, поворачивается против часовой стрелки, уменьшаясь по длине. При неограниченном уменьшении интервала времени длина дуги Д/, уменьшаясь, стремится к длине хорды Дг. Заменяя в формуле (3) Д/ на вектор перемещения Дг за промежуток времени Д£, можно определить вектор мгновенной скорости.
29
Направление вектора мгновенной скорости самолета (касательная к траектории в сторону движения)
Скорость (мгновенная скорость) — векторная физическая величина, равная пределу отношения перемещения тела к промежутку времени, за который это перемещение
произошло:
v = Иш “
At->0 Al
(4)
Кинематика материальной точки
39
Пропорциональность векторов v и Дг (коэффи
циент пропорциональности равен означает.
что направление скорости v совпадает с направлением перемещения Дг. При Д£ —> 0 вектор Дг соединяет две бесконечно близкие точки на траектории. Следовательно, вектор Дг, так же как и вектор 5, направлен по касательной к траектории.
Мгновенная скорость тела направлена по касательной к траектории в сторону его движения (рис. 29).
В дальнейшем для краткости мы будем говорить о скорости, а не о мгновенной скорости.
Относительная скорость. Предположим, что скорость двух тел и v2 определена в одной и той же системе отсчета (например, системе отсчета, связанной с Землей).
Относительная скорость первого тела относи-
(5)
тельно второго равна разности скоростей тел:
?12 = ”1 - ^2*
При движении тел в одном направлении (например, при обгоне) модуль относительной скорости равен разности скоростей (рис. 30, а).
При встречном движении (рис. 30, б) тела сближаются с относительной скоростью, равной сумме их скоростей, поэтому встречное столкновение автомобилей, поездов столь опасно.
б)
30
Относительная
скорость:
а) при движении в одном направлении; б) при встречном движении
ВОПРОСЫ
1.	Сформулируйте определение средней скорости.
2.	Как определяется мгновенная скорость при прямолинейном движении9 Чему равен ее модуль?
3.	Может ли мгновенная скорость быть больше (меньше) средней скорости?
4.	Что такое вектор мгновенной скорости9 Куда он направлен9 Почему?
5.	Какая скорость называется относительной9 Может ли человек бежать быстрее своей тени9
ЗАДАЧИ
1.	Докажите, что средняя скорость автобуса, движущегося из пункта А в пункт В со скоростью Vp а из В в А со скоростью и2, меньше либо равна (v1 + v^/2.
40
Механика
2.	Самолет пролетел первую треть пути со скоростью 1100 км/ч, а оставшийся путь со скоростью 800 км/ч Найдите среднюю скорость его полета	[880 км/ч]
3-	Материальная точка переместилась с постоянной скоростью по прямой из точки 1 с координатами х} = 6 см, = 5 см в точку 2 с координатами х2 = 2 см, у2 = 9 см за 2 с Какой угол образует скорость точки с осью X9 Чему равен модуль скорости9
[135°; 2,84 - 102м/с]
4,	Теплоход проходит расстояние от пункта А до пункта В по течению реки за трое суток, а обратно от В до А за пять суток, затрачивая одинаковое количество топлива на путь в оба конца. За сколько суток проплывет расстояние от А до В плот9 [15 суток] 5. Пассажир поезда, идущего со скоростью 60 км/ч, наблюдает встречный состав в течение 2 с Длина каждого поезда 200 м С какой скоростью двигался встречный состав9	[120 км/ч]
§ 12. Равномерное прямолинейное движение
График скорости. При прямолинейном движении тела вектор скорости не изменяется по направлению, модуль скорости при этом может оставаться постоянным или изменяться с течением времени.
При равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает равное перемещение.
Равномерное прямолинейное движение — движение, при котором тело перемещается с постоянной по модулю и направлению скоростью:
v = const.
Рассмотрим равномерное прямолинейное движение болида «Формулы-1», движущегося со скоростью 100 м/с (рис. 31).
31
Равномерное прямолинейное движение болида «Формулы 1»
ох= 100 м/с
Кинематика материальной точки
41
Выбрав координатную ось X вдоль направления движения болида, можно утверждать, что его скорость по оси X остается постоянной и равной 100 м/с:
vx = const = 100 м/с.
На рисунке 32 приведен график зависимости vx (t). Скорость не изменяется, т. е. является константой. Если за 1 с болид проходит расстояние 100 м, то за 3 с он пройдет 300 м.
Это расстояние численно равно площади прямоугольника под графиком скорости.
Площадь под графиком зависимости скорости движения от времени равна перемещению тела за соответствующее время.
Перемещение при равномерном прямолинейном движении тела по оси X за время t можно рассчитать так:
32
Графический способ нахождения перемещения при равномерном прямолинейном движении тела
Дх = vxt.
Зная, что перемещение по оси X равно разности конечной и начальной координат тела, т. е.
Дх = х - х0, получаем закон равномерного прямолинейного движения:
X = х0 + vxt.
Если совместить начало отсчета по оси X с начальной координатой (х0 = 0), то закон равномерного прямолинейного движения примет вид
X = vxt.
(6)
График равномерного прямолинейного движения. Графиком линейной зависимости (6) координаты тела от времени является прямая линия, проходящая через начало координат (при t = 0, х = 0). На рисунке 33 приведен график равномерного прямолинейного движения болида, переме-
33
График равномерного прямолинейного движе ния болида «Формулы 1», перемещающего ся со скоростью 100 м/с
42
Механика
34
Графики движения тел, перемещающихся с различной скоростью
щающегося со скоростью 100 м/с. По известной ординате х и абсциссе t из формулы (6) можно найти скорость:
Чем больше скорость движения тела, тем больше в данный момент времени ордината х и тем больше угол наклона а прямой к оси X. Соответственно больший угол наклона прямой x(t) означает большую скорость движения. На рисунке 34 для сравнения приведены графики движения автомобиля, болида и сверхзвукового гоночного автомобиля с реактивным двигателем, движущихся со скоростями 50 м/с, 100 м/с и 350 м/с соответственно.
Чем круче график движения, тем больше скорость движения тела:
(а3 > а2 > ар vx2 > vx2 > vxi).
ВОПРОСЫ
1.	Какое движение называется равномерным прямолинейным?
2-	При равномерном прямолинейном движении средняя скорость совпадает с мгновенной Почему?
3.	Почему при равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело перемещается на одно и то же расстояние9
4-	Как по графику зависимости v(t) определяется перемещение тела при равномерном прямолинейном движении9
5.	Как угол наклона графика равномерного прямолинейного движения зависит от скорости?
ЗАДАЧИ
1	- Тело движется в направлении, противоположном оси X, со скоростью 200 м/с Постройте график зависимости vx(t) Найдите графически перемещение тела от начала отсчета за 4 с
2.	Постройте графики равномерного движения бегунов, стартующих из начала отсчета в противоположных направлениях со скоростями их1 = 5 м/с и vx2 = -8 м/с соответственно Найдите графически расстояние между бегунами через 5 с	[65 м]
Кинематика материальной точки
43
3.	Через равные промежутки времени At от вокзала отходят поезда с постоянной скоростью v. Запишите закон движений первого поезда, отправляющегося в момент времени t = 0, второго, третьего, n-го Постройте графики движений этих поездов.
4.	В начальный момент времени автомобиль, движущийся равномерно по шоссе со скоростью I?! = 25 м/с, отстает от автобуса, имеющего постоянную скорость v2 = 20 м/с, на расстояние I = 30 м Изобразите графики движения автомобиля и автобуса, выбрав систему координат с началом отсчета в точке, где находится автомобиль в момент времени t = 0. Найдите графически, через сколько секунд автомобиль догонит автобус. Какое расстояние преодолеют автомобиль и автобус до встречи? [6 с; 150 м; 120 м] 5. Катера выходят из пунктов А и В, находящихся на расстоянии I = 1800 м один от другого, и сближаются по прямой со скоростями v1 = 40 м/с и v2 = 20 м/с соответственно. Изобразите графики движений катеров в системе координат, в которой нуль отсчета находится в точке А, а ось X направлена от А к В. Найдите графически время и место встречи катеров.	[30 с; 1200 м от точки А]
§ 13. Ускорение
Вектор мгновенного ускорения. Равномерное прямолинейное движение характеризуется постоянной во времени скоростью, что крайне редко встречается в реальных условиях. Тем не менее оно является полезным приближением для рассмотрения других видов движения, при которых скорость тел изменяется. Физической величиной, характеризующей изменение скорости с течением времени, является ускорение. Для определения мгновенного ускорения рассмотрим движение самолета от точки 1 к точке 2 (рис. 35).
Понятие ускорения было введено Галилеем, экспериментально изучавшим связь между скоростью падения тел и силой тяжести.
35
Изменение скорости Av при криволинейном движении за промежуток времени At
44
Механика
Излучение электромагнитных волн происходит только при ускоренном движении заряженных частиц.
36
Направление вектора мгновенного ускорения при криволинейном движении:
а И Др, а = ах + ап
Расстояние Д/ между точками 1, 2 самолет пролетает за промежуток времени Д£. Набирая высоту, самолет ускоряется, увеличивая скорость от v (в точке 1) до v + Др (в точке 2). Совместив начало векторов v и v + Др, найдем их разность Др — изменение скорости за промежуток времени At. Отношение Др/At при неограниченном уменьшении промежутка времени At определяет вектор мгновенного ускорения*.
а ~
lim^.
де _> о At
(7)
Мгновенное ускорение — векторная физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.
Мгновенное ускорение численно равно изменению скорости в единицу времени.
Размерность ускорения следует из определения и равна
И-И-^-м/е*.
Единица ускорения — метр на секунду в квадрате (м/с2).
Тангенциальное и нормальное ускорения. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории. В то же время вектор ускорения а параллелен вектору изменения скорости Др. Как видно из формулы (7) и рисунка 35, он может иметь составляющие, направленные как по касательной ах, так и по нормали (перпендикулярно) к траектории ап (рис. 36).
Ускорение ат, направленное по касательной к траектории, называется касательным (или тангенциальным) ускорением.
Кинематика материальной точки
45
Компоненту ускорения ап, перпендикулярную траектории, называют нормальным (или центростремительным) ускорением.
При прямолинейном движении тела нормальное ускорение равно нулю (ап = 0), поэтому мгновенное ускорение тела совпадает с тангенциальным ускорением.
Найдем направление ускорения разгоняющегося автомобиля на прямолинейном участке пути (рис. 37).
Ду = и — у0
37
Направление ускоре ния при прямолинейном ускоренном движении a ft v
Конечная скорость автомобиля больше на-чальной, поэтому вектор изменения скорости Ай = v - Йо направлен вдоль направления движения так же, как и вектор ускорения а, всегда параллельный Ай.
При прямолинейном ускоренном движении тела вектор ускорения параллелен (сонаправлен) вектору скорости:
а И v.
При торможении автомобиля на прямолинейном участке (рис. 38) конечная скорость v меньше начальной i>0, поэтому вектор изменения скорости Ай так же, как и вектор ускорения а, направлен противоположно скорости.
Вектор ускорения направлен вдоль траектории только тогда, когда эта траектория прямолинейная.
Ду = v - Vq
38
Направление ускорения при прямолинейном замедленном движении
a tl v
46
Механика
При прямолинейном замедленном движении тела вектор ускорения антипараллелен (направлен противоположно) вектору скорости:
а Ц v.
Направление и величина ускорения определяют скорость и закон движения тела.
ВОПРОСЫ
1.	Сформулируйте определение мгновенного ускорения
2.	Что такое тангенциальное и нормальное ускорения?
3-	Почему нормальное ускорение при прямолинейном движении равно нулю9
4.	Почему при прямолинейном ускоренном движении вектор ускорения параллелен вектору скорости?
5.	Почему при прямолинейном замедленном движении вектор ускорения антипараллелен вектору скорости?
§ 14. Прямолинейное движение с постоянным ускорением
Равноускоренное прямолинейное движение. Зная ускорение тела, можно найти его скорость в любой последующий момент времени. Если модуль ускорения тела, движущегося прямолинейно, остается постоянным, то движение тела может быть либо ускоренным (равноускоренное движение), либо замедленным (равнозамедленное движение), либо последовательной совокупностью этих движений (равнопеременное движение).
Примеры ускорений
Электропоезд 0,6 м/с2
Свободно	2
падающее тело ’ м'с
Ракета при запуске спут- 60 м/с2 ника
Равноускоренное прямолинейное движение — прямолинейное движение, при котором ускорение параллельно (сонаправлено) скорости и постоянно по модулю:
а И v, а = const.
Пуля в стволе автомата
600 км/с2
Рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение из состояния покоя. Если при прямолинейном движении с места (начальная скорость
Кинематика материальной точки
41
vQ = 0) мотоцикл разгоняется вдоль оси X с постоянным ускорением а = 6 м/с2, то это означает, что за каждую секунду его скорость возрастает на Др = 6 м/с. В конце первой секунды движения его скорость Pj = 6 м/с, в конце второй р2 = 12 м/с, в конце третьей р3 = 18 м/с. За пять секунд мотоцикл наберет скорость
р5 = 6 м/с2 • 5 с = 30 м/с (108 км/ч).
За промежуток времени t скорость мотоцикла возрастет от нуля до р = at.
Скорость тела при равноускоренном прямолинейном движении возрастает с течением времени линейно (пропорционально первой степени t).
Графиком зависимости v(t) является прямая линия, проходящая через начало координат (при t = 0; р = р0 = 0) (рис. 39).
Коэффициентом пропорциональности между скоростью и временем при равноускоренном прямолинейном движении является ускорение. Чем больше ускорение, тем больше скорость движения в данный момент времени и соответственно тем больше угол наклона а.
Для вычисления координаты тела в произвольный момент времени нельзя воспользоваться формулой х = р£, полученной для равномерного движения, при котором скорость не зависит от времени.
Для бесконечно малого интервала времени Д£ можно считать, что скорость тела не изменяется и равна средней иср(ДО скорости его движения за этот промежуток времени (рис. 40).
В случае неизменной скорости площадь прямоугольника под графиком Рср(£) равна перемещению Дх тела за соответствующий промежуток времени Д£. Площадь этого прямоугольника равна площади трапеции ABCD под графиком зависимости скорости от времени. Перемещение тела за промежуток времени t складывается из отдельных последовательных перемещений за бесконечно малые интервалы времени Д£.
39
График зависимости скорости тела, движущегося прямолинейно и равноускоренно без начальной скорости, от времени а2 > а2 > а1
40
Графический способ нахождения перемещения при равноускоренном прямолинейном движении без начальной скорости х = at2/2
48
Механика
Перемещение тела численно равно площади под графиком зависимости скорости движения тела от времени.
ах = 6 м/с2
О 1 2 3 4 5 t, с
41
Зависимость координа ты от времени при рае ноускоренном движении по оси X (х0 = 0; v0 = О)
Подобным способом нахождения перемещения можно воспользоваться для любого движения.
Для равноускоренного прямолинейного движения без начальной скорости перемещение тела равно площади прямоугольного треугольника (см. рис. 40) со сторонами t и at. Следовательно,
А-2?-
Перемещение тела равно разности конечной х и начальной х0 координаты: Дх = х - х0. При выборе начала отсчета в точке старта мотоцикла (х0 = 0) получаем зависимость координаты тела по оси X от времени, или закон равноускоренного движения без начальной скорости:
у = at2 х Т*
Графиком такого движения является парабола (рис. 41) (так как х квадратично зависит от t) с вершиной в начале координат.
Ее ветви направлены вверх, так как а > 0. Левая ветвь параболы не имеет физического смысла, так как движение началось лишь в момент времени t = 0 и не существовало при t < 0.
Это не означает, что отрицательное время не имеет физического смысла. Например, фраза «120 лет до новой эры» предполагает, что есть условный нуль отсчета — Рождество Христово, относительно которого христианский мир отсчитывает время.
В этом смысле 120 лет до н. э. эквивалентно времени t = -120 лет. Однако нет привилегированного нуля отсчета времени: он может быть разным у мусульман, иудаистов, буддистов.
Кинематика материальной точки
49
Отрицательное время — время до условно выбранного нуля отсчета.
Теперь рассмотрим равноускоренное прямолинейное движение с начальной скоростью. Пусть в начальный момент времени мотоцикл имел начальную скорость i>0 = 10 м/с, двигаясь с постоянным ускорением а = 6 м/с2 (рис. 42, а).
Тогда его скорость в конце первой секунды станет равной = 16 м/с, в конце второй — v2 = 22 м/с.
Через пять секунд скорость мотоцикла равна = 10 м/с + 6 м/с2 • 5 с = 40 м/с.
В произвольный момент времени t скорость мотоциклиста равна
(8)
Таким образом, зависимость скорости тела от времени при равноускоренном прямолинейном движении является линейной.
Графиком зависимости v(t) является прямая линия с положительным тангенсом угла наклона (рис. 42, б), начинающаяся на оси ординат из точки i>0.
Площадь под графиком зависимости скорости движения от времени численно равна перемещению тела за время t при равноускоренном движении.
Как известно, площадь трапеции равна произ-„ и0 + (г0 + at) ведению полусуммы основании —----£----- на ее
а)
V 42
Равноускоренное прямо линейное движение: а) начальные условия v0 = 10 м/с, х0 = 12 км; б) линейная зависимость движения по оси X от времени:
v2 -
2а
б)
50
Механика
высоту. В нашем случае основания равны и0 и (р0 + at), а высота — t. Соответственно
Ax = vot+^
Учитывая, что перемещение по оси X равно разности конечной х и начальной х0 координат те-
Определение координаты движущегося тела в произвольный момент времени — основная задача механики. Формула (9) — решение основной задачи механики для равноускоренного движения.
ла, получаем закон равноускоренного прямолинейного движения:
х — х0 +	. I (9)
Формула (9) позволяет рассчитать координату мотоциклиста (относительно километрового столба, мимо которого проедет мотоциклист, изображенный на рисунке 44) через 30 с после начала движения. Подставляя начальные данные х0, и0, а также ускорение а и время t в (9), получаем
х = [12 000 + 10 • 30 + м =
= 15 000 м= 15 км.
Это означает, что через 30 с, проехав 3 км, мотоциклист проедет мимо столба с отметкой 15 км.
Равнозамедленное прямолинейное движение.
Так же часто, как равноускоренное движение, встречается и равнозамедленное движение.
Равнозамедленное прямолинейное движение — прямолинейное движение, при котором ускорение антипараллельно (противоположно направлено) скорости и постоянно по модулю:
a. U V, а = const.
При равнозамедленном движении по оси X (например, при торможении автомобиля) ускорение направлено противоположно скорости (рис. 43).
Кинематика материальной точки
51
К моменту времени t скорость движения тела уменьшается на Ди = -at. Если начальная скорость движения тела равна и0, то его скорость в момент времени t можно найти из соотношения
и = и0 — at.	(10)
Скорость тела при равнозамедленном прямолинейном движении линейно уменьшается с течением времени.
Графиком зависимости v(t) является прямая линия с отрицательным тангенсом угла наклона (рис. 44).
Перемещение при равнозамедленном движении тела, так же как и в случае равноускоренного движения, можно найти графически.
Перемещение за промежуток времени t при равнозамедленном движении численно равно площади трапеции под графиком зависимости скорости движения от времени.
Основания трапеции равны vQ и и0 - at, ее высота равна t. Найдем площадь трапеции и соответственно перемещение тела:
Дх = ио + (ио-^^.
2
Учитывая, что Дх = х - х0, получаем закон равнозамедленного движения:
x = xo + vot-?g.	(И)
▲ 43
Равнозамедленное прямолинейное движение (начальная скорость и0, начальная координата х0 = 0)
Линейная зависимость скорости от времени при равнозамедленном движении вдоль оси X. Площадь трапеции численно равна перемещению Дх тела за промежуток времени t:
Графиком квадратного трехчлена является парабола. Если х0 = 0, то график параболы проходит через начало координат (при t = 0, х = 0). Так как
V2 -
2а
52
Механика
х
0	«max
▲ 45
Зависимость координаты от времени при равнозамедленном движении по оси X (х0 = 0)
Математическое решение основной задачи механики, т. е. определение координаты движущегося тела в произвольный момент времени, должно удовлетворять начальным условиям и оказывается справедливым в рамках поставленной физической задачи.
В течение почти двух тысячелетий со времен Аристотеля (IV в. до н. э.) считалось, что ускорение, сообщаемое Землей телу, тем больше, чем тяжелее тело. Только Галилею в конце XVI в. удалось доказать, что это не так.
коэффициент при t2 меньше нуля, то ветви параболы направлены вниз (рис. 45).
Правая половина параболы не имеет физического смысла, так как уменьшение координаты х соответствует равноускоренному движению автомобиля (причем задним ходом).
Равнопеременное прямолинейное движение. Если при равноускоренном прямолинейном движении aff й, ПРИ равнозамедленном a tl v, то при равнопеременном движении взаимная ориентация этих векторов может изменяться.
Равнопеременное прямолинейное движение — движение с постоянным по модулю и направлению ускорением: а — const.
Например, равнопеременным является движение камня, брошенного с Земли вертикально вверх: как при его подъеме, так и при его спуске ускорение камня постоянно по модулю и направлено вниз.
В процессе этого движения изменяется направление скорости: при подъеме она направлена вверх, при спуске — вниз. Равнозамедленное движение камня вверх и последующее равноускоренное падение можно рассматривать как равнопеременное движение.
При равнопеременном движении проекция скорости тела на ось X зависит от времени следующим образом:
= уОх +	|	(12)
где vQx и ах — проекции начальной скорости и ускорения тела на ось X.
Зависимости скорости от времени при равноускоренном (8) и равнозамедленном (10) движении можно рассматривать как частные случаи равнопеременного движения.
В случае равноускоренного движения вдоль оси X проекции вектора начальной скорости и ускорения на эту ось положительны (см. рис. 37):
vox = хо> ах = а-
Кинематика материальной точки
53
При равнозамедленном движении проекция на ось X вектора начальной скорости положительна, а вектора ускорения отрицательна (см. рис. 38):
У0х = Р0’ ах = ~а-
Учитывая это, выражения (9) и (11) можно обобщить, заменив одним законом равнопеременного движения:
х = xG + vQxt +	.
(13)
ВОПРОСЫ
1.	Какое прямолинейное движение называется равноускоренным9 равнозамедленным9 равнопеременным9
2.	Чем равноускоренное движение отличается от равнозамедленного, происходящего в том же направлении9
3.	Определите направление ускорения авиалайнеров, если один ускоренно летит на восток, а другой — замедленно на запад
4.	Как определяется графически перемещение тела при равноускоренном и равнозамедленном движениях9
5.	Какая кривая определяет зависимость координаты от времени при равнопеременном движении9
ЗАДАЧИ
1.	Через какой промежуток времени с момента старта мотоциклист, двигаясь с постоянным ускорением а = 5 м/с2, разовьет скорость v = 90 км/ч? На каком расстоянии от места старта это произойдет9	[3 с; 62,5 м]
2.	Используя данные задачи 1, нарисуйте зависимость скорости мотоциклиста от времени Найдите графически перемещение мотоциклиста при достижении им скорости 90 км/ч Постройте график движения мотоциклиста
3.	Автомобиль движется в северном направлении со скоростью 90 км/ч Найдите модуль и направление его постоянного ускорения при торможении перед светофором за 4 с Рассчитайте длину тормозного пути автомобиля	[6,25 м/с2; 50 м]
4.	Используя данные задачи 3, нарисуйте зависимость скорости автомобиля от времени Найдите графически длину тормозного пути автомобиля Постройте график движения автомобиля
5.	За какое время, двигаясь равнозамедленно с ускорением а, тело уменьшает вдвое начальную скорость и09 Какой путь проходит тело за это время9 [v0/(2a); 3v§/(8a)]
54
Механика
46
Опыт Галилея.
1. При фиксированном угле наклона плоскости шар скатывается с постоянным ускорением.
2. При увеличении угла наклона плоскости ускорение шаров возрастает
47
Синхронное свободное падение яблока и пера в вакууме
§15. Свободное падение тел
Падение тел в отсутствие сопротивления воздуха. Самый распространенный вид равнопеременного движения — свободное падение тел в поле тяготения Земли. Наблюдение за потоком воды в водопаде показывает, что у поверхности Земли поток разделяется на отдельные капли. Это означает, что скорость падения нижней части потока оказывается больше, чем скорость падения его верхней части, т. е. свободное падение на Землю является ускоренным.
Все тела независимо от их массы в отсутствие сил сопротивления воздуха падают на Землю с одинаковым ускорением, называемым ускорением свободного падения.
Впервые это утверждение экспериментально было доказано Галилео Галилеем. Из-за отсутствия точных часов Галилей не мог измерять достаточно надежно малые интервалы времени падения тел на Землю. Ученый исследовал скольжение шаров с наклонной плоскости (рис. 46), угол наклона которой постепенно приближался к прямому. Результаты экспериментов показали, что при любом угле наклона плоскости расстояние, проходимое шаром по этой плоскости, пропорционально квадрату времени движения.
Например, за удвоенный промежуток времени шар проходил расстояние в 4 раза большее. Выводы Галилея были подтверждены английским ученым Робертом Бойлем, наблюдавшим синхронное падение различных предметов в сосуде, из которого был откачан воздух (рис. 47).
Откачка воздуха из сосуда была произведена для того, чтобы исключить силу сопротивления воздуха, препятствующую движению тел. Ускорение свободного падения тел на Землю впервые измерил Кристиан Гюйгенс в 1656 г. с помощью
Кинематика материальной точки
55
маятниковых часов. Вблизи поверхности Земли ускорение свободного падения равно
g = 9,8 м/с2.
На Луне нет атмосферы, поэтому астронавты наблюдали синхронное падение предметов, происходящее с одинаковым ускорением. Ускорение свободного падения тел на Луне примерно в 6 раз меньше, чем на Земле:
<л = 1,6 м/с2.
Падение тел в воздухе. В воздухе падение тел происходит иначе, чем в вакууме. На тело, движущееся в воздухе, действует сила сопротивления воздуха. Свободно падающее тело вначале движется, как в вакууме, с ускорением свободного падения, так как сила сопротивления воздуха пренебрежимо мала при небольшой скорости. Увеличение скорости падения тела приводит к увеличению силы сопротивления воздуха и уменьшению ускорения тела. Когда сила сопротивления воздуха становится равной силе притяжения тела к Земле, ускорение тела оказывается равным нулю. Вблизи Земли тела, падающие с большой высоты, имеют постоянную скорость.
Например, скорость падения капель дождя и градин на Землю около 30 км/ч. В отсутствие атмосферы они достигали бы Земли со скоростью пули. Впрочем, надуманность этой ситуации очевидна: в отсутствие атмосферы не было бы ни капель дождя, ни града, ни жителей Земли.
Легкие тела с большой площадью поверхности (снежинки, листья) через короткий промежуток времени начинают двигаться в воздухе равномерно с небольшой скоростью.
Скорость тяжелых предметов при падении в атмосфере Земли возрастает в течение нескольких первых секунд, а затем остается постоянной (порядка 100 м/с). В таблице 6 приведена примерная конечная скорость падения различных тел с большой высоты на Землю.
Наблюдения астронавтами Д. Скоттом и Дж. Ирвином свободного падения птичьего пера и молотка на поверхность Луны показали, что предметы падают с одной и той же высоты за одинаковый промежуток времени.
Таблица 6
Скорость падения различных тел с большой высоты на Землю
Падающее тело	Скорость падения на Землю, м/с
Перо птицы	0,4
Лист бумаги	0,5
Снежинка	1
Парашютист (раскрытый парашют)	7
Монета	9
Мышь	13
Парашютист (нераскрытый парашют)	60
Пуля (крупного калибра)	100
Большой камень	200
56
Механика
ВОПРОСЫ
1.	Почему струя воды разделяется при падении на Землю на отдельные капли9
2-	При каких условиях падение тел на Землю можно считать равноускоренным движением9
3-	Опишите эксперименты Г Галилея и Р Бойля, подтвердившие постоянство ускорения тел, свободно падающих на Землю
4.	Чем отличается падение тел в воздухе от их падения в вакууме9
5.	Почему раскрытие парашюта существенно уменьшает скорость приземления парашютиста9
§ 16. Графики зависимости пути, перемещения, скорости и ускорения от времени при равнопеременном движении
Свободное падение без начальной скорости. Свободное падение монеты без начальной скорости с высоты Н (рис. 48, а) является равнопеременным движением. Закон равнопеременного движения по оси У, вдоль которой происходит падение монеты, имеет вид (см. формулу (13))
У = Уо +	+
gyt2
2 *
(14)
Прежде всего, следует конкретизировать начальные условия {у0, vQy и ау}, входящие в это выражение. Направим ось У вниз и выберем начало отсчета в верхней точке. В этом случае yQ = О, vQy = 0. Ускорение свободного падения g направлено вниз, следовательно, его проекция на ось У ау = ё-
Подставляя начальные условия в формулу (14), получаем окончательный вид закона движения тела при свободном падении без начальной скорости:
(15)
Кинематика материальной точки
57
Г°
-ю
-20
-30
t = 0, v = О
t = 1,0 с v = 9,8 м/с
t = 2,0 с v = 19,6 м/с
t = 3,0 с
v = 29,4 м/с
При прямолинейном движении вдоль координатной оси, когда начальная точка движения совпадает с нулем системы координат, координата одновременно характеризует и перемещение, и путь тела.
Графиком такой квадратичной зависимости от времени является парабола, проходящая через начало координат. По графику можно найти время t падения монеты на Землю (рис. 48, б). С помощью закона движения (15) это время можно рассчитать, полагая у = Н:
▲ 48
Свободное падение тела в поле тяжести Земли: а) положение тела через каждую секунду движения;
б) график свободного падения тела:
у — перемещение (путь) тела, tH — время падения тела на Землю с высо ты Н
Время падения тела на Землю с высоты Н:
(16)
Зависимость скорости движения монеты по оси У от времени записывается аналогично формуле (12):
и =	4- a t.
У 0у “'у*'*
(17)
Подстановка значений i>Oy = v0 и ау = g дает
vy = gt. ]	(18)
58
Механика
▲ 49
Зависимость скорости свободного падения тела от времени
с2
40
15
5
°	1 2 3tH4z, с
Ускорение свободного падения тела постоянно
С математической точки зрения прямая vy (t), проходящая через начало координат, не ограничена. Однако физический смысл имеет лишь отрезок прямой между tQ = 0 (начало движения) и t = tH (время падения тела) (рис. 49).
Зная время падения, можно найти скорость тела в момент падения как графически (см. рис. 49), так и аналитически (т. е. рассчитать по формуле).
Для расчета скорости тела подставим время падения из равенства (16) в выражение (18). Тогда
s
Ускорение по оси У (ау = g) является положительной константой, т. е. не зависит от времени. Поэтому графиком ау (f) является прямая, параллельная оси времени (рис. 50).
Одномерное движение в поле тяжести при наличии начальной скорости. В поле тяжести тело движется с постоянным ускорением, т. е. равнопеременно, независимо от начальной скорости тела и ее направления. Брошенный вверх мяч вплоть до высшей точки подъема движется равнозамедленно, а вниз движется равноускоренно. Но в целом его движение является равнопеременным, так как при движении и вверх, и вниз его ускорение остается постоянным (равным g).
Рассмотрим движение мяча, брошенного вверх с высоты Н со скоростью и0 (рис. 51, а).
Запишем закон равнопеременного движения мяча (14):
a t%
У = y0 + v0yt+
Выбирая начало отсчета в точке бросания (z/0= 0), направим ось У вверх. Тогда vQy = v0. Ускорение свободного падения направлено вниз (противоположно направлению оси У), поэтому его проекция на ось У отрицательна (ау = -g). После
Кинематика материальной точки
59
а)
51
Равнопеременное движе ние мяча, брошенного вертикально вверх: а) положение мяча зафиксировано через каждую секунду, а также в верхней точке и точке падения; б) зависимость переме щения у и пути I тела, брошенного вверх в поле тяжести, от времени;
в) зависимость проек ции скорости тела на вертикальную ось, брошенного вверх в поле тяжести, от времени; г) зависимость проекции ускорения свободного падения тела, брошенного вертикально вверх, от времени
60
Механика
подстановки начальных условий {yQ, vOy, ау} закон движения тела имеет вид
У =	-
(19)
Для построения графика движения необходим небольшой математический экскурс.
Графиком любой квадратичной функции у = = ах2 4- Ъх является парабола. В нашем случае
g
2
роль х играет t, а =
Ь = р0. Известно, что если
коэффициент при квадратичном члене а < 0, то ветви параболы направлены вниз. Ясно, что график проходит через начало координат: при х = 0 (t = 0) у = 0. Парабола имеет вершину (максимум)
ПРИ Хтах = (в данном случае tmax = v-j). Вершина параболы по оси Y имеет максимальную коор-
b2 , динату утах = — (в данном случае утах = —).
Этих сведений вполне достаточно, чтобы качественно (без подстановки числовых значений) построить график движения тела (рис. 51,6).
Графически время падения тела на Землю t_H можно найти следующим образом. Отметив на оси ординат точку -Н, следует определить соответствующее ей время на оси абсцисс t_H.
Это время можно рассчитать, если подставить в закон движения (19) вместо у его значение в точке
падения:
_ТТ _ у _
-п — VQt_H	—— .
Чтобы найти время падения, надо решить квадратное уравнение относительно t_H. Можно получить эту величину и другим способом, не решая явно квадратное уравнение. Для этого найдем зависимость проекции скорости по оси У от времени
Кинематика материальной точки
61
с помощью формулы (17), учитывая, что о0у = v0, ау = -g:
| (2°)
Графиком этой зависимости является прямая с отрицательным тангенсом угла наклона, поднятая вверх (по оси У относительно нуля отсчета) на и0 (рис. 51, в). Прямая пересекает ось t в точке £тах, в которой vy = 0. Следовательно,
VQ ~ ^тах — 0»
t = ~ max g
(21)
Как видно из рисунка 51, б, величина £тах определяет время подъема тела на максимальную высоту. В этой точке тело останавливается: его скорость становится равной нулю. Соответственно максимальная высота подъема тела равна координате вершины параболы:
2/тах
-
2g ‘
(22)
Знак проекции скорости тела на ось У при t > tmax изменяется. Это означает, что изменяется направление движения тела, которое, достигнув высшей точки, начинает падать на Землю (рис. 51, в). При этом модуль скорости возрастает, так как движение вниз является равноускоренным.
Промежуток времени, через который тело упадет на Землю, t_H складывается из двух интервалов времени: времени подъема на максимальную высоту £тах и времени свободного падения с мак-
симальной высоты Н + на Землю:
2g
62
Механика
Полученное выражение является одним из корней не решенного нами явно квадратного уравнения. Другой его корень не имеет физического смысла.
Графиком проекции ускорения на ось У является прямая, параллельная оси времени (ау = -g), так как ускорение свободного падения постоянно и направлено противоположно оси У (рис. 51, г).
ВОПРОСЫ
1.	Запишите закон свободного падения тела, падающего без начальной скорости с высоты Н, выбрав нуль отсчета на Земле, а ось У направив вверх Постройте график закона движения тела.
2.	Как выглядят графики зависимости скорости и ускорения свободного падения монеты при выборе координатной оси У так же, как и в вопросе 1?
3.	Какой физический смысл может иметь отброшенный корень квадратного уравнения (19), не решенного нами явно, когда у = -Н9
4.	Чем объяснить отличие друг от друга графиков перемещения и пути тела, брошенного вверх в поле тяжести (см. рис. 51 )9
5.	Постройте графики пути, проекции перемещения, скорости и ускорения тела, брошенного вертикально вниз со скоростью vQ с высоты Н Направьте ось У вниз, выбрав начало отсчета по оси У в точке бросания
ЗАДАЧИ
1.	Какой путь проходит свободно падающая (без начальной скорости) капля за четвертую секунду от момента отрыва9	[34,3 м]
2.	С крыши дома через промежуток времени т одна за другой падают капли Запишите закон движения капель. Постройте в одних координатных осях Y, t графики движения первой, второй, третьей, n-й капель.
3.	Используя данные задачи 2, найдите расстояние между второй и третьей каплями в момент отрыва седьмой капли.	[4,5gT2]
4.	Тело свободно падает с высоты Н без начальной скорости. Какой путь оно проходит в последнюю секунду падения на Землю?	z .—
5.	По данным рисунка 51, а оцените начальную скорость vQ мяча, брошенного вертикально вверх Постройте графики перемещения и пути мяча, выбрав начало отсчета на поверхности Земли	[~ 24 м/с]
Кинематика материальной точки
63
§ 17. Баллистическое движение
Возникновение баллистики. В многочисленных войнах на протяжении всей истории человечества враждующие стороны, доказывая свое превосходство, использовали сначала камни, копья и стрелы, а затем ядра, пули, снаряды и бомбы.
Успех сражения во многом определялся точностью попадания в цель. При этом точный бросок камня, поражение противника летящим копьем или стрелой фиксировались воином визуально. Это позволяло (при соответствующей тренировке) повторять свой успех в следующем сражении.
Значительно возросшая с развитием техники скорость (и соответственно дальность полета) снарядов и пуль сделали возможными дистанционные сражения. Однако навыка воина, разрешающей способности его глаза было недостаточно для точного попадания в цель в артиллерийской дуэли первым. Желание побеждать стимулировало появление баллистики (от греч. ballo — бросаю).
Баллистика — раздел механики, изучающий движение тел поле тяжести Земли.
Пули, снаряды и бомбы, так же как и теннисный, и футбольный мячи, и ядро легкоатлета, при полете движутся по баллистической траектории. Для описания баллистического движения в качестве первого приближения удобно ввести идеализированную модель, рассматривая тело как материальную точку, движущуюся с постоянным ускорением свободного падения g. При этом пренебрегают изменением высоты подъема тела, сопротивлением воздуха, кривизной поверхности Земли и ее вращением вокруг собственной оси. Это приближение существенно облегчает расчет траектории тел. Однако такое рассмотрение имеет определенные границы применимости. Например,
Основные допущения при рассмотрении баллистического движения: • тело — материальная точка;
•	движение тела рассматривается вблизи поверхности Земли, когда высота подъема тела мала по сравнению с радиусом Земли;
•	сопротивление воздуха не учитывается.
Независимость перемещения тела от порядка перемещения по разным координатным осям — следствие евклидовости физического пространства.
64
Механика
▲ 52
Плоскость полета снаряда, содержащая вектор начальной скорости и0:
= Ц)х + %’
^ох u Voy — компоненты начальной скорости по координатным осям X и Y
при полете межконтинентальной баллистической ракеты нельзя пренебрегать кривизной поверхности Земли. При свободном падении тел нельзя не учитывать сопротивление воздуха.
Траектория движения тела в поле тяжести. Рассмотрим основные параметры траектории снаряда, вылетающего с начальной скоростью vQ из орудия, направленного под углом а к горизонту (рис. 52).
Движение снаряда происходит в вертикальной плоскости ХУ, содержащей vQ. Выберем начало отсчета в точке вылета снаряда.
В евклидовом физическом пространстве перемещение тела по координатным осям X и Y можно рассматривать независимо.
Ускорение свободного падения g направлено вертикально вниз, поэтому по оси X движение будет равномерным. Это означает, что проекция скорости vx остается постоянной, равной ее значению в начальный момент времени vQx.
Закон равномерного движения снаряда по оси X имеет вид
х —	4- VQXt.	(23)
По оси У движение является равнопеременным, так как вектор ускорения свободного падения g постоянен.
Закон равнопеременного движения по оси У можно представить в виде
gyt2
2 ’
У = У о + W +
(24)
Криволинейное баллистическое движение тела можно рассматривать как результат сложения двух прямолинейных движений: равномерного движения по оси X и равнопеременного движения по оси У.
Кинематика материальной точки
65
В выбранной системе координат
*о = °’ Уо = °;
vo* = vo cos voy = vo sin a-
Ускорение свободного падения направлено противоположно оси У, поэтому
ау = ~2-
Подставляя х0, у0, vOx, vQy, ау в (23) и (24), получаем закон баллистического движения в координатной форме:
х = (v0 cos a) t,
у — (г0 sin а) t —
(25)
Уравнение траектории снаряда, или зависимость у(х), можно получить, исключая из системы уравнений время. Для этого из первого уравнения системы найдем
i?0cos а *
Подставляя его во второе уравнение системы, получаем
и l>0cos a 2i?gcos2a
Сокращая и0 в первом слагаемом и учитывая, что = tg а, получаем уравнение траектории снаряда:
у = xtg а - -	.	(26)
2ugcosza
График баллистического движения. Построим баллистическую траекторию (26).
Графиком квадратичной функции, как известно, является парабола. В рассматриваемом случае парабола проходит через начало координат,
3 В А Касьянов «Физика, 10 кл »
Прямая пропорциональность горизонтальной координаты х времени t как бы разворачивает в пространстве закон равнопеременного движения тела по оси У в виде траектории его движения.
Экспериментальное наблюдение баллистической траектории возможно с помощью струи воды, вытекающей под напором из трубки. Струя принимает форму параболы, так как каждая частица воды движется по баллистической траектории — параболе.
66
Механика
так как из (26) следует, что у = 0 при х = 0. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент
J при х2 меньше нуля-
Определим основные параметры баллистического движения: время подъема на максимальную высоту, максимальную высоту, время и дальность полета. Вследствие независимости движений по координатным осям подъем снаряда по вертикали определяется только проекцией начальной скорости vQy на ось У. В соответствии с формулой (21), полученной для тела, брошенного вверх с начальной скоростью и0, время подъема снаряда на максимальную высоту равно
,	=	= t>psin а
max g g
Максимальная высота подъема может быть рассчитана по формуле (22), если vQy подставить вместо и0:
= vgy = vg sin2a
^max g	2g
53
Независимость вертикального и горизонтального движений
На рисунке 53 сопоставляется вертикальное и криволинейное движение с одинаковой начальной скоростью по оси У. В любой момент времени тело, брошенное вертикально вверх, и тело, брошенное под углом к горизонту с той же верти-
t
^шах
vQ sin а max g
Кинематика материальной точки
67
кальной проекцией скорости, движутся по оси У одинаково.
Так как парабола симметрична относительно вершины, то время полета tn снаряда в 2 раза больше времени его подъема на максимальную высоту:
_ 2v0sin а п max	g
Подставляя время полета в закон движения по оси X, получаем максимальную дальность полета:
2uftsin а
X = V0 COS а --------•
Так как 2 sin a cos а = sin 2а, то
у max
г2
= — sin 2а ё
(27)
Следовательно, дальность полета тела при одной и той же начальной скорости зависит от угла, под которым тело брошено к горизонту (рис. 54).
Дальность полета максимальна, когда максимален sin 2а.
Максимальное значение синуса равно единице при угле 90°, т. е.
sin 2а =1, 2а = 90°, а = 45°.
54
Баллистическая траектория снаряда в отсутствие сопротивления воздуха при стрельбе под разным углом к горизонту
3*
68
Механика
55
Определение скорости снаряда и ее угла наклона к горизонту по проекциям скорости
VX и »у
В отсутствие сопротивления воздуха максимальная дальность полета тела в поле тяжести достигается при вылете под углом 45° к горизонту.
При а = 45° + Р (навесная траектория) и а = 45° - Р (настильная траектория) (рис. 54) дальность полета одинакова (см. формулу (27)).
Скорость при баллистическом движении. Для расчета скорости v снаряда в произвольной точке траектории, а также для определения угла Р, который образует вектор скорости с горизонталью, достаточно знать проекции скорости на оси X и У (рис. 55).
Если vx и vy известны, то по теореме Пифагора можно найти скорость
56
Зависимости от време ни горизонтальной vx и вертикальной vy проекций скорости снаряда
(28)
Отношение катета vy, противолежащего углу р, к катету прилежащему к этому углу, определяет tg Р и соответственно угол Р:
При равномерном движении по оси X скорость движения остается постоянной и равной начальной скорости рОх:
vx = vo cos а-
Зависимость vy (t) определяется формулой (17), в которую следует подставить
voy = vo sin а> ау = ~ё-
Тогда
vy = vQ sin а - gt.
Графики зависимостей проекций скорости vx, vy от времени приведены на рисунке 56.
В любой точке траектории проекция скорости на ось X остается постоянной. По мере подъема снаряда проекция скорости на ось У уменыпа-
Кинематика материальной точки
69
ется по линейному закону. При t = 0 она равна
= и0 sin а. Найдем промежуток времени, через который проекция этой скорости станет равна нулю:
57
Скорость снаряда в различных точках траектории
zx .	sin а
О = vQ sm а - gt, t = —-----------
Полученный результат совпадает со временем подъема снаряда на максимальную высоту.
В верхней точке траектории вертикальная компонента скорости равна нулю.
Следовательно, тело больше не поднимается. При t > tmax проекция скорости vy становится отрицательной. Значит, эта составляющая скорости направлена противоположно оси У, т. е. тело начинает падать вниз (рис. 57).
Так как в верхней точке траектории vy = 0, то скорость снаряда (см. (28))
v = vx = vQ cos а.
Баллистическое движение в атмосфере. Полученные результаты справедливы для идеализированного случая, когда можно пренебречь сопротивлением воздуха. Реальное движение тел в земной атмосфере происходит по баллистической траектории, существенно отличающейся от параболической (рис. 58) из-за сопротивления воздуха. При увеличении скорости движения тела сила
70
Механика
58
Отличие реальной баллистической кривой от параболы при различной скорости вылета:
а)	снаряда v0 = 100 м/с;
б)	пули vQ = 630 м/с
сопротивления воздуха возрастает. Чем больше скорость тела, тем больше отличие баллистической траектории от параболы. При движении снарядов и пуль в воздухе максимальная дальность полета достигается при угле вылета 30—40°. Расхождение простейшей теории баллистики с экспериментом не означает, что она не верна в принципе. В вакууме или на Луне, где практически нет атмосферы, эта теория дает правильные результаты.
Для лунных условий во всех формулах следует заменить ускорение свободного падения g на £л.
При описании движения тел в атмосфере учет сопротивления воздуха требует математического расчета, который мы не будем приводить из-за громоздкости.
Отметим лишь, что расчет баллистической траектории запуска и выведения на требуемую орбиту спутников Земли и их посадки в заданном районе осуществляют с большой точностью мощные компьютерные станции.
Кинематика материальной точки
71
ВОПРОСЫ
1.	Какая идеализированная модель используется для описания баллистического движения тела9 Почему перемещение тела по различным координатным осям можно рассматривать независимо9
2.	Почему при баллистическом движении тело движется по горизонтали равномерно, а по вертикали равнопеременно9
3.	Какой угол должна составлять начальная скорость тела с горизонтом, чтобы дальность полета в отсутствие сопротивления воздуха была максимальной9 Приведите необходимую формулу для аргументации
4.	Как сила сопротивления воздуха влияет на баллистическое движение и на максимальную дальность полета снарядов и пуль9
5.	Определите угол, при котором максимальная высота подъема снаряда равна максимальной дальности полета
ЗАДАЧИ
1.	Из окна дома с высоты 19,6 м горизонтально брошена монета со скоростью 5 м/с Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите, через какой промежуток времени монета упадет на Землю На каком расстоянии по горизонтали от дома находится точка падения9	[2 с; 10 м]
2.	Используя условие задачи 1, найдите скорость падения монеты и угол, который образует вектор скорости с горизонтом в точке падения	[20,2 м/с; 78,7°]
3.	Длина скачка блохи на столе, прыгающей под углом 45° к горизонту, равна 20 см Во сколько раз высота ее подъема над столом превышает ее собственную длину, составляющую 0,4 мм9	[1251
4.	Мяч, брошенный под углом 45° к горизонту, упруго отскочив от вертикальной стены, расположенной на расстоянии L от точки бросания, ударяется о Землю на расстоянии I от стены С какой начальной скоростью был брошен мяч9	[v0 = Jg(L + 1)1
5.	Под каким углом к горизонту охотник должен направить ствол ружья, чтобы попасть в птицу, сидящую на высоте Н на дереве, находящемся на расстоянии I от охотника? В момент выстрела птица свободно падает вниз на землю.	[а = arctg (Н/1)]
§ 18. Кинематика
периодического движения
Виды периодического движения. Повторяющие-
ся, циклические явления в окружающем нас мире, такие как смена времен года, смена дня и ночи, солнечные и лунные затмения, перемещение
72
Механика
v 59
Вращательное движе ние спутника Юпитера
60
Колебательное движение маятника
звезд и планет по звездному куполу, колебания маятников и пружин, классифицируются как периодические.
Периодическое движение — движение, повторяющееся через постоянный промежуток времени.
Важнейшей характеристикой такого движения является период.
Период — минимальный интервал времени, через который движение повторяется.
Единица периода — секунда (с).
Через период частица вновь попадает в начальную точку движения и повторяет свой путь по прежней траектории. Примером периодического движения являются: вращение Земли вокруг Солнца, колебания маятника, сердцебиение.
Различают два вида периодических движений: движение в одном направлении по плоской (или пространственной) замкнутой траектории (подобно движению Земли по орбите вокруг Солнца) и движение вдоль одного и того же отрезка с изменением направления движения (подобно колебаниям маятника).
В первом случае периодическое движение называют вращательным, во втором — колебательным (рис. 59, 60).
Равномерное движение по окружности. При равномерном движении по окружности модуль скорости тела остается постоянным.
Если размерами тела, движущегося по окружности, можно пренебречь по сравнению с радиусом окружности, то его можно рассматривать как материальную точку. С помощью этой простейшей модели можно описывать вращение Земли вокруг Солнца, электрона вокруг ядра атома.
Кинематика материальной точки
73
Рассмотрим равномерное движение материальной точки (частицы), имеющей скорость и, по окружности радиусом г. Предположим, что в начальный момент времени частица находится в точке А, а ее движение происходит против часовой стрелки (рис. 61).
Положение частицы в пространстве в произвольный момент времени t можно определить тремя способами.
1.	С помощью пути Z, пройденного частицей от начальной точки А до точки В (рис. 61).
2.	С помощью угла поворота а радиуса-вектора г относительно его начального положения (рис. 62).
3.	С помощью закона движения в координатной форме (зависимость координат частицы от времени) (рис. 63).
Первый способ позволяет легко найти время одного оборота по окружности Г. Разделив длину окружности I = 2лг на скорость частицы, получим
61
Определение положения частицы по прой денному ею пути I по окружности
у__
V
Через это время частица возвращается в точку А, а затем продолжает вращение против часовой стрелки вокруг точки О.
Период вращения — время одного оборота по окружности.
Период вращения можно определить и другим способом. Полный оборот по окружности соответствует углу поворота на 360°. Если радиус-вектор, характеризующий положение частицы на окружности, поворачивается на угол 60° за 3 с, то это значит, что за 1 с он повернулся на угол 20° (60°/3 с = 20°/с).
Время одного оборота составило 18 с:
▲ 62
Определение положения частицы по углу поворота а радиуса-вектора г относительно его начального положения

i 63
Т= 360°
20°/с
= 18 с.
Определение положения частицы на окружности с помощью закона движения в координат ной форме x(t), y(t)
74
Механика
Получим выражение для периода вращения в общем виде.
Угол поворота а определяет фазу движения.
Фаза вращения — угол поворота радиуса-вектора в произвольный момент времени относительно его начального положения.
Эклиптика — большой круг, наклоненный к экватору под углом 23,5°, по которому движется Солнце.
Угловая скорость движения Солнца по эклиптике со = 1 град/сут.
Таблица 7
Период вращения вокруг собственной оси Солнца, ближайших планет Солнечной системы и Луны
Угол поворота за единицу времени характеризует угловую скорость.
Угловая скорость — физическая величина, равная отношению угла поворота тела к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошел:
а	(30)
Небесное тело	Период Т, сут
Солнце	25,4
Меркурий	58,6
Венера	243
Земля	1
Марс	1,03
Сатурн	0,43
Луна	27,3
1 сутки = 23 ч 56 мин 4 с
В случае равномерного вращения тела по окружности его угловая скорость постоянна.
Размерность угловой скорости следует из формулы (28):
= Ш =	= 1 рад/с.
Единица угловой скорости — радиан в секунду (рад/с).
Период вращения можно найти, разделив полный угол поворота 360° или 2л радиан на угловую скорость:
Т = —.	(31)
со
Зная время одного оборота, например 0,2 с, можно найти число оборотов v тела за 1 с.
В данном примере за 1 с происходит 5 оборотов.
В таблице 7 приведен период вращения вокруг собственной оси некоторых тел Солнечной системы.
Кинематика материальной точки
75
Частота вращения — число оборотов в единицу времени.
Частота связана с периодом вращения соотношением
(32)
Единица частоты — секунда в минус первой степени (с-1).
Используя соотношения (31) и (32), нетрудно связать угловую скорость с периодом вращения и частотой:
2л о со = — = 2nv.
Т
(33)
Приравнивая выражения (29) и (31) для пери ода вращения
2лг _ 2л
v со
получаем связь между угловой скоростью со, радиусом R и скоростью v (при вращении эту скорость называют линейной):
v = со г.
Подставляя выражение для угловой скорости в формулу (34), получаем линейную скорость:
(34)
64
Зависимость линейной скорости от расстояния до оси вращения:
= сог, v2 = со 2r=2v1
v = шг = — г = 2луг. Т
(35)
В соответствии с формулой (34) скорость бусинок, закрепленных на вращающейся нитке, растет пропорционально расстоянию до оси вращения (рис. 64).
76
Механика
Центростремительное ускорение Скорость тела — векторная величина. Любое изменение вектора
скорости во времени означает появление ускорения:
а =
Av \t
65
Ускорение при равномерном движении час тицы по окружности: а) при At -> 0, Да -> О; б) при At -> О, Ди _L vA, Av 1 vB
При этом Av может характеризовать не только изменение модуля скорости, но и ее направления.
Если изменяется только модуль скорости, то происходит прямолинейное ускоренное движение. Если изменяется только направление, то возникает равномерное криволинейное движение.
Чтобы найти ускорение, возникающее при равномерном движении по окружности, рассмотрим положения частицы на окружности в точках А и В в достаточно близкие моменты времени t и t -F At (рис. 65, а).
Обозначим через Да угол поворота радиуса-вектора г при перемещении Аг. Совместив начала векторов скорости в точках А и В, найдем изменение скорости Av как разность конечной vB и начальной vA скоростей (|иА| = |ив| = и) (рис. 65, б). Полученный равнобедренный треугольник скоростей подобен Д ОАВ, так как угол между скоростями vA и vB равен Z АОВ = Да (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Скорости vA и vB направлены по касательной к окружности и поэтому перпендикулярны радиусу-вектору в этих точках. Из подобия треугольников следует, что
Av = v
Аг г4 откуда
Av = - Аг. г
Для получения мгновенного ускорения воспользуемся формулой (7), подставив в нее выражение для Av:
„	,. Av v Аг
а = lim — = - lim —
t-+ о At г t^> о At
(необходимость индекса п в выражении для ускорения мы обоснуем чуть позже).
Кинематика материальной точки
77
Согласно определению (4) модуль перемещения в единицу времени равен модулю мгновенной
V Дг
скорости lim — = и, поэтому t->o Д£
(36)
Направление ускорения совпадает с направлением вектора Дй, когда At -> 0. В этом случае точки А и В неограниченно сближаются, так что Да -> 0. Так как сумма углов в равнобедренном треугольнике равна 180°, а Да —> 0, то каждый угол при основании Ди стремится к 90°. Это означает, что вектор Дй в случае, когда Д£ -> 0, направлен перпендикулярно скорости. Так как скорость направлена по касательной к окружности, то перпендикуляр к касательной направлен по радиусу к центру окружности. Следовательно, вектор Ди, как и вектор ускорения, перпендикулярен, или нормален, скорости (отсюда появление индекса п и название нормальное ускорение). Так как вектор ускорения направлен к центру окружности, то это ускорение иногда называют центростремительным.
Если величина центростремительного ускорения постоянна, то тело движется по окружности.
При равномерном движении частицы по окружности ее ускорение направлено перпендикулярно скорости, по радиусу к центру окружности и называется нормальным или центростремительным ускорением.
Для расчета нормального ускорения подставим выражение для линейной скорости (35) в формулу (36):
V2 о 4л2 А 9 2
Г = т~2Г =
(37)
Выбор необходимой расчетной формулы зависит от того, какая кинематическая величина и, со, Т или v известна.
78
Механика
66
Нормальное ускорение самолета при равномерном движении по криволинейной траектории
67
Представление о круговом движении Луны вокруг Земли как о колебательном при наблюдении в плоскости орбиты
Выражение (36), полученное для вычисления нормального ускорения при равномерном движении по окружности, можно использовать и при равномерном движении тела по произвольной криволинейной траектории.
Это объясняется тем, что любая сложная кривая на небольшом участке может быть заменена (аппроксимирована) дугой окружности (рис. 66).
При равномерном движении нормальное ускорение обратно пропорционально радиусу дуги окружности, аппроксимирующей траекторию.
Колебательное движение. Взаимосвязь двух видов периодического движения (вращательного и колебательного) особенно наглядно проявляется при наблюдении вращения Луны вокруг Земли в плоскости орбиты (рис. 67).
Наблюдателю, находящемуся на большом расстоянии, кажется, что Луна колеблется вдоль диаметра орбиты.
Для получения закона колебательного движения воспользуемся координатным способом описания вращательного движения (рис. 68).
Координаты частицы по осям X и У связаны с радиусом окружности г и углом поворота следующими соотношениями:
х = г cos а, у — г sin а.
Кинематика материальной точки
79
Если частица движется по окружности с угловой скоростью со, то за промежуток времени t ее радиус-вектор поворачивается на угол
а = cot,
поэтому закон вращательного движения в координатной форме имеет вид
X = г cos ©t, У — г sin CDt.
(38)
При этом координаты изменяются со временем по законам синуса и косинуса.
Гармонические колебания — колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем синусоидально (или косинусоидально ).
Связь законов равномерного движения по окружности в векторной и координатной форме
Зависимость x(t) можно построить графически, отметив положение Луны на орбите вокруг Земли в шестнадцати различных точках (рис. 69, а), раз-
деленных по времени периода вращения Г. Поте
ложения Луны в плоскости орбиты показаны на рисунке 69, б. На рисунке 69, в построена зависимость x(t). По оси времени равномерно нанесены деления через равные промежутки времени Д£ =
• 69
Связь вращательного движения Луны вокруг Земли с ее колебательным движением в плоскости орбиты: а) положение Луны через равные промежутки времени At == Т/16 при наблюдении перпендикулярно плоскости орбиты;
б) положение Луны через равные промежутки вре мени At = Т/16 при наблюдении в плоскости орбиты;
в) график закона коле бания Луны в плоскости орбиты
80
Механика
= Т/16. Через период Т Луна вновь проходит через первоначальное положение, а график зависимости х (t) периодически продолжается.
Частота колебаний — величина, равная числу полных колебаний, совершаемых в единицу времени:
Определение скорости колебательного движе
ния по оси X
71
Определение ускорения при колебательном движении по оси X
Единица частоты колебаний — герц (Гц).
1 Гц = 1 с1.
Для определения скорости колебательного движения (рис. 70) по оси X рассмотрим произвольное положение частицы на окружности в момент времени t.
Скорость направлена перпендикулярно радиусу-вектору и образует с вертикалью угол (ot, равный углу поворота (как углы с соответственно перпендикулярными сторонами). Горизонтальная компонента скорости направлена противоположно оси X. Проекция скорости на ось X равна
vx = —V sin cot = —cor sin cot. (39)
Найдем зависимость проекции ускорения на ось X от времени (рис. 71) при колебательном движении частицы. При равномерном движении по окружности ускорение частицы направлено к центру окружности и равно
ап = (02г.
Его горизонтальная компонента ах направлена противоположно оси X. Угол, который образует нормальное ускорение с вектором ах, равен cot, поэтому проекция вектора ускорения
ах = ~ап cos = ~®2r cos <*>*• I (40)
Кинематика материальной точки
81
ВОПРОСЫ
1.	Какое движение называют периодическим9 Что такое период движения9
2.	Какие параметры характеризуют положение точки на окружности9
3,	Почему равномерное движение по окружности является ускоренным9 Куда направлено нормальное ускорение и чему оно равно9
4,	Скорость отдельных частей колец Сатурна не пропорциональна их расстоянию до оси вращения, проходящей через центр планеты Что можно сказать о структуре колец по результатам этих астрономических наблюдений9
5,	Какие колебания называют гармоническими9 Как зависят координата колеблющейся точки, ее скорость и ускорение от времени9
ЗАДАЧИ
1.	Найдите скорость вращения Земли вокруг Солнца, считая ее орбиту круговой с радиусом го = 1,5 - 108 км	[29,9 км/с]
2,	Северная широта Москвы составляет 55°45' С какой скоростью москвичи вращаются вместе с земным шаром вокруг его оси9 Радиус Земли принять равным 6400 км
[943 км/ч]
3.	Найдите нормальное и тангенциальное ускорения конца секундной, минутной и часовой стрелок наручных часов, если их длина соответственно равна 1,5 см, 1 см и 0,5 см.
4,	Частица совершает гармонические колебания по закону х = 24 cos t см Как зависят проекции скорости и ускорения частицы на ось X от времени9 Определите координату частицы Найдите проекции ее скорости и ускорения на ось X в момент времени t = 4 с	[12 см, 5,44 см/с; 1,42 см/с2]
5.	Две частицы 1 и 2 совершают гармонические колебания вдоль оси X с одинаковой амплитудой А = 18 см Их координаты косинусоидально зависят от времени, а периоды колебаний составляют = 3,6 с и Т2 = 1,8 с соответственно На каком расстоянии друг от друга частицы будут находиться в момент времени t = 0,9 с9 Найдите скорость частицы 2 относительно частицы 1 в этот момент времени	[0,18 м; 0,314 м/с]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
	Механическое движение — изменение пространственного положения тела относительно других тел с течением времени
	Материальная точка — тело, обладающее массой, размерами которого можно в данной задаче пренебречь.
	Система отсчета — совокупность тела отсчета, связанной с ним системы координат и часов
	Траектория — воображаемая линия, соединяющая положения материальной точки в ближайшие последовательные моменты времени
82
Механика
	Радиус-вектор — вектор, соединяющий начало отсчета с положением материальной точки в произвольный момент времени
	Закон движения — зависимость радиуса-вектора или координат от времени.
	Перемещение — вектор, проведенный из начального положения материальной точки в конечное Путь — длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени
	Средняя скорость — скалярная величина, равная отношению пройденного пути к промежутку времени, в течение которого этот путь пройден.
	Скорость — векторная физическая величина, равная пределу отношения перемещения тела к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.
v = lim ~ дг -> о Л*
Единица скорости — метр в секунду (м/с).
Скорость тела направлена по касательной к траектории в сторону движения тела
Относительная скорость первого тела относительно второго равна разности векторов скорости тел
”12 = ”1 - ”2‘
	Равномерное прямолинейное движение — движение с постоянной по модулю и направлению скоростью.
Закон равномерного прямолинейного движения по оси X
х = х0 4- vxt,
где х0 — начальная координата тела, vx — проекция скорости тела на ось X
Ускорение — векторная физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости тела к промежутку времени, в течение которого это изменение произошло.
Единица ускорения — метр на секунду в квадрате (м/с2) Равноускоренное прямолинейное движение — прямолинейное движение, при котором ускорение параллельно скорости и постоянно по модулю.
Равнозамедленное прямолинейное движение — прямолинейное движение, при котором ускорение антипараллельно (противоположно направлено) скорости и постоянно по модулю
Равнопеременное движение — движение с постоянным по модулю и направлению ускорением
Закон равнопеременного движения
.	. . axt2
Х = *0 + W +	>
где vQx и ах — проекции начальной скорости и ускорения тела на ось X. Проекция скорости на ось X при равнопеременном движении линейно зависит от времени
»х = vOx + axt.
Кинематика материальной точки
83
В отсутствие сил сопротивления воздуха все тела независимо от их массы падают на Землю с одинаковым ускорением свободного падения (g = 9,8 м/с2)
 Криволинейное баллистическое движение — результат сложения двух прямолинейных движений равномерного движения по горизонтальной оси и равнопеременного движения по вертикальной оси Баллистической кривой в отсутствие сопротивления воздуха является парабола
Максимальная дальность полета тела в поле тяжести (в отсутствие сопротивления воздуха) достигаегся при его вылете под углом 45° к гори-зонгу
В верхней точке траектории вертикальная компонента скорости равна нулю
	Периодическое движение — движение, повторяющееся через постоянный промежуток времени.
	Период — минимальный интервал времени, через который движение повторяется
	Период вращения — время одного оборота по окружности
	Угловая скорость — физическая величина, равная отношению угла поворота к интервалу времени, в течение которого этот поворот произошел.
Единица угловой скорости — радиан в секунду (рад/с)
Угловая скорость связана с периодом вращения и частотой соотношениями
о = — = 2tcv. СО
Линейная скорость движения тела по окружности радиусом г пропорциональна его угловой скорости
V — со г.
	Касательное (тангенциальное) ускорение - составляющая ускорения тела, движущегося по криволинейной траектории, направленная по касательной
	Нормальное (центростремительное) ускорение — составляющая ускорения тела, движущегося по криволинейной траектории, направленная перпендикулярно траектории.
Модуль нормального ускорения тела при движении по окружности радиусом г
a = — = ®2г = г = 4я2у2г,
где v — скорость тела, со — угловая скорость, Т — период вращения, v — частота вращения
	Гармонические колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется со временем синусоидально (или косинусоидально).
Динамика
материальной
точки
§ 19. Принцип
относительности Галилея
Слово «динамика» происходит от греч. dynamis — сила.
Состояние тела в данный момент времени определяется его координатами и скоростью.
Принцип инерции. Кинематика описывает механическое движение математически, не объясняя физических причин его возникновения и изменения, отвечая лишь на вопрос, как движется тело.
Динамика объясняет причины, определяющие характер механического движения, т. е. дает ответ на вопрос, почему движется тело.
Согласно современным физическим представлениям, характер движения тела определяет его взаимодействие с другими телами.
Согласно классической динамике начальное состояние системы однозначно определяет ее состояние в любой последующий момент времени.
Благодаря однородности времени роль начального момента может играть любой момент времени.
Динамика — раздел механики, в основе которого лежит количественное описание взаимодействия тел, определяющего характер их движения.
Для того чтобы тело, находящееся в покое, изменило положение в пространстве, необходимо оказать на него некоторое воздействие. Поэтому кажется логичным утверждение, что без внешнего воздействия не может быть движения и чем сильнее воздействие, тем больше скорость тела. Еще Аристотель утверждал: «Движущееся тело останавливается, если сила, его толкающая, прекращает свое действие». Это подтверждал повсе-
Динамика материальной точки
85
дневный опыт и непосредственные наблюдения: например, тележка, которую перестают толкать, быстро останавливается на шероховатой дороге.
Чем лучше смазаны оси колес и чем ровнее дорога, тем большее расстояние проходит тележка до остановки. В идеализированном эксперименте, когда дорога абсолютно гладкая, т. е. когда исключены все внешние воздействия, тележка будет катиться без остановки по инерции.
Движение по инерции — движение тела, происходящее без внешних воздействий.
Для накопления, хранения и последующего выделения механической энергии в двигателях используют маховик, движущийся по инерции в отсутствие внешних воздействий.
В земных условиях такое движение практически не встречается.
Обобщив результаты изучения движения тел при максимальном уменьшении сил трения, Галилей сформулировал принцип инерции.
 	 Принцип инерции
Если на тело не действуют внешние силы, то оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Инерциальные системы отсчета. Равномерное прямолинейное движение и состояние покоя физически эквивалентны в том смысле, что они существуют без внешнего воздействия. Кроме того, понятия «движение» и «покой» относительны и зависят от выбора системы отсчета. Например, стол в комнате, неподвижный относительно системы отсчета, связанной с домом, движется вместе с Землей вокруг ее оси и вокруг Солнца, а вместе с Солнечной системой вокруг центра Галактики в расширяющейся Вселенной.
Однако эквивалентность и взаимозаменяемость состояния покоя и равномерного прямолинейного движения возможна лишь в инерциальных системах отсчета, покоящихся или движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга.
Системы отсчета, в которых принцип инерции не выполняется, называют неинерциальными. При резком трогании с места автобуса пассажира отбрасывает назад, в сторону, противоположную направлению движения. Следовательно, скорость пассажира относительно автобуса изменяется в отсутствие внешних сил. Поэтому система отсчета, связанная с автобусом, является неинерциальной.
86
Механика
В гелиоцентрической системе отсчета все тела, не взаимодействующие с другими телами, либо покоятся относительно тела отсчета (Солнца), либо движутся равномерно и прямолинейно. Планеты, движущиеся неравномерно по криволинейным траекториям, взаимодействуют друг с другом и с Солнцем.
Инерциальная система отсчета — система отсчета, в которой тело, не взаимодействующее с другими телами, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
Рассмотрим примеры возможных инерциальных систем отсчета (рис. 72).
Предположим, что на открытой платформе вагона поезда, движущегося со скоростью v относительно железнодорожного полотна, находится автомобиль. Относительно движущейся системы отсчета X' (связанной с вагоном) автомобиль покоится, а относительно неподвижной системы X (связанной с Землей) он движется со скоростью поезда.
В то же время километровый столб покоится в системе отсчета X и движется со скоростью -v относительно системы X' (как это кажется пассажиру поезда, смотрящему из окна вагона).
Возможная перестановка (эквивалентность) понятий покоя и движения в системах отсчета X и X' свидетельствует о том, что эти системы являются инерциальными.
72 ’•
Относительность состояния покоя равно мерного прямолинейного движения в различных инерциальных системах отсчета:
а) скорость автомоби ля, находящегося на платформе, относи тельно Земли равна v; б) скорость километро вого столба относитель но платформы равна -v
Динамика материальной точки
87
Преобразования Галилея. Найдем, как связаны между собой координаты и скорость тела в различных инерциальных системах отсчета. Предположим, что автомобиль, находящийся на платформе поезда, идущего со скоростью щ равномерно движется вдоль нее со скоростью vx относительно платформы (рис. 73, а).
73
11реобразования Галилея:
X - неподвижная система отсчета; X' -- движущаяся система отсчета
Через промежуток времени t платформа сместится от километрового столба на расстояние vt. Автомобиль за этот промежуток времени проедет по платформе расстояние
х' = vx.t	(41)
и будет находиться от столба на расстоянии
х = х' + vt	(42)
(рис. 73, б). Координаты тела (автомобиля) в различных инерциальных системах отсчета X и X' связывают преобразования Галилея:
х' = х — vt.	(43)
Время в классической механике является абсолютным: оно едино для наблюдателей во всех инерциальных системах отсчета. Движущиеся и неподвижные часы идут с одинаковой скоростью и (после синхронизации) показывают одинаковое время.
88
Механика
Преобразования Галилея и закон сложения скоростей справедливы, если скорость движения тела или инерциальной системы отсчета много меньше скорости распространения света в вакууме с = 3 • 10* 8 м/с.
Скорость тела относительно неподвижной системы отсчета:
74
Отличие скорости дви жения вокруг Солнца освещенной и затенен ной сторон Земли: Ц, = vc ~ v>
Разделив почленно (42) на время t, получим закон сложения скоростей:
________+ »•______________|	(44)
Если платформа движется со скоростью v = = 60 км/ч, а автомобиль едет относительно нее в направлении движения поезда со скоростью vx, = 10 км/ч, то скорость автомобиля относительно железнодорожного полотна vx = 70 км/ч.
Если бы автомобиль двигался по платформе с той же скоростью, но в противоположном направлении, то его скорость относительно полотна дороги была бы равна 50 км/ч.
Из-за вращения Земли вокруг своей оси скорость движения v ее затененной стороны прибавляется к скорости движения vc по орбите вокруг Солнца (рис. 74).
Скорость движения освещенной стороны меньше, чем затененной. Поэтому жители Земли ночью движутся вокруг Солнца быстрее, чем днем.
Движение инерциальной системы отсчета не оказывает влияния на прямолинейное равномерное движение тела или его состояние покоя в этой системе.
Во всех инерциальных системах отсчета законы классической динамики имеют один и тот же вид.
Все инерциальные системы отсчета равноправны. Принцип относительности Галилея характеризует симметрию законов физики по отношению к переходу от одной ИСО к другой.
В этом состоит принцип относительности Галилея.
Это означает, что при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой математические формулы, описывающие законы механики, не изменяются.
Динамика материальной точки
89
В О П Р о с ы
1.	Что изучает динамика9
2,	Какое движение называется движением по инерции9 Сформулируйте принцип инерции Галилея
3,	Какую систему отсчета называют инерциальной9 Почему равномерное прямолинейное движение и состояние покоя физически эквивалентны и взаимозаменяемы лишь в инерциальных системах отсчета?
4,	Получите преобразования Галилея и закон сложения скоростей
5.	Сформулируйте принцип относительности Галилея Разъясните его смысл
§ 20. Первый закон Ньютона
Закон инерции. Формулировка принципа инерции, данная Галилеем, свидетельствует о том, что не всегда можно доверять очевидным выводам, базирующимся на непосредственном наблюдении. К представлению о движении по инерции удалось прийти лишь при анализе идеализированного эксперимента (который невозможно реализовать в действительности), когда отсутствуют трение и любые внешние воздействия на тело.
В 1687 г. принцип инерции Галилея был сформулирован Ньютоном в виде первого закона динамики (закона инерции).
——- Первый закон Ньютона ..
Материальная точка (тело) сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит ее (его) изменить это состояние.
Строго говоря, система отсчета является инерциальной лишь для определенного круга рассматриваемых задач. Понятие инерциальной системы отсчета является идеализацией, потому что она связана с телом отсчета, а все тела в природе в большей или меньшей степени взаимодействуют друг с другом.
Тело движется прямолинейно и равномерно, так как все действующие на него силы скомпенсированы. Пока такая компенсация сохраняется, скорость тела либо постоянна (при прямолинейном равномерном движении), либо равна нулю (в состоянии покоя). Во Вселенной практически невозможно найти тело, не испытывающее внешние воздействия, и непосредственно эксперимен-
90
Механика
75
Сохранение состояния покоя: монета проводи вается в бутылку
76
Расширение облака рас каленного газа, образо вавшегося при взрыве сверхновой звезды (1987А), в космическом пространстве
тально подтвердить первый закон Ньютона. Однако с его помощью можно объяснить ряд опытов, что является косвенным подтверждением справедливости этого закона.
Экспериментальные подтверждения закона инерпин Монета, лежащая на плексигласе, закрывающем горлышко бутылки, при резком щелчке по плексигласу в горизонтальной плоскости падает в бутылку (рис. 75).
При резком торможении автомобиля пассажиры, не пристегнутые ремнями безопасности, продолжают по инерции движение вперед, что может привести к травме.
Межпланетная космическая станция, запускаемая с Земли, ня большом расстоянии от планеты движется практически прямолинейно и равномерно, вообще не расходуя топливо.
Облако раскаленного газа, образовавшегося при взрыве сверхновой звезды, по инерции расширяется в окружающее пространство от места взрыва (рис. 76). В момент фотографирования (1990 г.) его диаметр составлял 2 • 1013 км.
Важнейшее следствие первого закона Ньютона состоит в том, что тело может двигаться как при наличии, так и при отсутствии внешнего воздействия. Следовательно, скорость сама по себе не показывает, действуют на тело внешние силы или нет. Ответ на фундаментальный вопрос, какая физическая величина является однозначным показателем наличия внешнего воздействия, был дан Ньютоном во втором законе.
ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте закон инерции (первый закон Ньютона)
2. При каком условии скорость тела остается неизменной9
3. Почему при резком выдергивании свеклы из земли ботва рвется, а при постепенном нет9
4. Какие различные физические эффекты и почему наблюдаются при резком и постепенном выдергивании листа бумаги из-под стоящего на нем стакана с водой9
5. Сформулируйте следствие первого закона Ньютона
Динамика материальной точки
91
§21. Второй закон Ньютона
Сила как мера взаимодействия тел. Тело движется прямолинейно и равномерно по абсолютно гладкой поверхности лишь в случае, когда отсутствует внешнее воздействие. Если подтолкнуть тело в направлении движения, его скорость увеличится. Воздействие на тело в направлении, противоположном его движению, уменьшает скорость тела. Следовательно, внешнее воздействие изменяет скорость. Таким образом, не скорость, а ее изменение является показателем наличия или отсутствия внешнего воздействия. При равномерном прямолинейном движении изменение скорости равно нулю, что свидетельствует об отсутствии внешнего воздействия.
При воздействии на движущееся тело других тел его скорость может изменяться не только по модулю, но и по направлению.
Направление внешнего воздействия может не совпадать с направлением скорости тела.
Рассмотрим удар бильярдного кия по шару в направлении, перпендикулярном скорости б0 движения шара (рис. 77).
В результате удара с силой F шар получает дополнительную скорость в направлении F. Вектор изменения скорости Ди направлен в сторону силы F.
Чем больше сила F, тем больше изменение скорости Др, т. е.
Ди ~ F.	(45)
F
77
Изменение вектора ско рости шара параллель но направлению удара:
Др П F
Так как изменение скорости в единицу времени определяет ускорение тела а, то
Ди ~ а.
(46)
При контакте взаимодействующих тел изменения скорости их отдельных частей могут быть различными.
При этом возникают деформации тел, т. е. изменения их формы и размеров.
Деформации тел прекращаются, когда возникающие силы упругости уравновесят внешние воздействия на тело.
Следовательно, ускорение тела пропорционально силе, действующей на тело:
a-F.
(47)
92
Механика
Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой механического воздействия на тело со стороны других тел, в результате которого тело приобретает ускорение или изменяет форму и размеры.
78
Совпадение направле ния ускорения а с на правлением силы F (независимо от направления скорости v тела)
79
Ускорение тела прямо пропорционально силе, действующей на тело
Физическая природа взаимодействий может быть различной. Существует четыре фундаментальных взаимодействия: гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное. Сила является количественной мерой любого взаимодействия. Силы взаимодействия различной природы можно измерять в одних и тех же единицах с помощью одних и тех же эталонов.
Пропорциональность между силой F и ускорением а справедлива для сил любой физической природы. Направление ускорения совпадает с направлением силы независимо от направления скорости тела (рис. 78).
Коэффициент пропорциональности между силой и ускорением для данного тела является постоянной величиной, не зависящей от модуля и направления силы. Он характеризует меру инертности тела.
Инертность — физическое свойство, заключающееся в том, что любое тело оказывает сопротивление изменению его скорости (как по модулю, так и по направлению),
Количественной мерой инертности является масса тела.
Масса тела — физическая величина, характеризующая меру инертности тела.
80
Ускорение тела обратно пропорционально его массе
Чем больше сила, действующая на тело определенной массы, тем большее ускорение оно приобретает (рис. 79).
Динамика материальной точки
93
Чем больше масса тела, тем труднее его сдвинуть.
Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно приобретает при одной и той же действующей на него силе (рис. 80).
Связь между ускорением тела и силой, действующей на него, можно представить в виде
(48)
Размерность силы определяется из формулы (48): [F] = [т] [а] = 1 кг • 1 м/с2 = 1 Н. (49)
Единица силы — ньютон (Н).
1 Н — сила, которая сообщает телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2 в направлении действия силы.
Движение тела под действием нескольких сил. Найдем ускорение тела при одновременном действии на него нескольких сил.
Если на тело массой т действует сила F19 то она вызывает его движение с ускорением аг (рис. 81, а).
Согласно формуле (48)
а, = 4 .	(50)
1 т
Под действием силы F2 (рис. 81, б) тело приобретает ускорение
«2 = 5-	(51)
т
При одновременном действии на тело двух сил F\ и F2 (рис. 81, в) тело движется с ускорением
а =а1 + а2 = — + — ,	(52)
1 z т т
или
а =
л + А т
Ускорение, приобретае мое телом массой т: а) под действием силы Fr
_ Л.
а1 , т
б) под действием силы F2
=F_2.
2 т’
в) под действием сил Fx
и F2
Рг+Р2 а
т
94
Механика
Принцип суперпозиции сил справедлив для сложения сил различной природы. С его помощью возможно сложение гравитационной силы (например, силы тяжести тела) с электромагнитной (например, силой трения).
В общем случае если на тело действует п сил (Д, /2, Fn), то результирующее ускорение тела определяется суммарной (равнодействующей) силой:
Е F =	+ F2 + ... + Fn.
(53)
В этом состоит принцип независимости действия различных сил, или принцип суперпозиции (наложения) сил.
....Принцип суперпозиции сил ......—
Результирующая (равнодействующая) сила, действующая на частицу со стороны других тел, равна векторной сумме сил, с которыми каждое из этих тел действует на частицу.
Найдя из второго закона Ньютона ускорение тела, можно определить его скорость и координаты в любой момент времени (если известно начальное состояние тела). Второй закон Ньютона применим:
•	для описания движения тела со скоростью, много меньшей скорости распространения света в вакууме;
•	для описания движения макрочастиц, волновыми свойствами которых можно пренебречь.
Сформулируем второй закон Ньютона.
.... Второй закон Ньютона	„ „
В инерциальной системе отсчета ускорение тела прямо пропорционально векторной сумме всех действующих на тело сил и обратно пропорционально массе тела:
ЕF	/кл1
а = .	(54)
т
При решении задач динамики второй закон Ньютона удобно записать иначе:
та = EF.
(55)
Произведение массы тела на его ускорение равно векторной сумме всех действующих на него сил.
ВОПРОСЫ
1.	Какая физическая величина характеризует отсутствие или наличие внешнего воздействия9 Дайте определение силы и назовите единицы силы
Динамика материальной точки
95
2.	Почему, находясь в купе поезда с зашторенным окном и хорошей звукоизоляцией, можно обнаружить, что поезд движется ускоренно, но нельзя узнать, что он движется равномерно9
3.	Что такое инертность9 Какая физическая величина является мерой инертности9
4.	Сформулируйте принцип суперпозиции сил
5.	Сформулируйте второй закон Ньютона
ЗАДАЧИ
1.	Тело массой т = 2 кг, движущееся на восток, тормозится постоянной силой F = ЮН, направленной на запад Чему равно и куда направлено ускорение тела9
[а = 5 м/с2]
2.	Коляска массой т = 10 кг движется на юг с ускорением а = 0,5 м/с2 под действием двух сил, одна из которых F1 = 25 Н направлена на юг. Куда направлена и чему равна сила F2, действующая на коляску9	[на север; 20 Н]
3-	На тело массой т = 5 кг действуют силы Г1=9НиГ2=12Н, направленные на север и восток соответственно Чему равно и куда направлено ускорение тела9
[а = 3 м/с2; 36,87°; на северо-восток]
4.	При входе ракеты со скоростью и0 в плотные слои атмосферы тормозящая сила Fyi действовавшая на ракету в менее плотных слоях, скачком возросла втрое, оставаясь затем постоянной Как будет зависеть от времени скорость ракеты в плотных слоях атмосферы9 Масса ракеты т
5-	Моторная лодка движется с ускорением а = 2 м/с2 под действием трех сил силы тяги двигателя = 10ОО Н, силы ветра F2 = 10ОО Н и силы сопротивления воды F3 = 414 Н Сила F1 направлена на юг, сила F2 — на запад, а сила F3 противоположна направлению движения лодки В каком направлении движется лодка и чему равна ее масса9
[на юго-запад; 500 кг]
§ 22. Третий закон Ньютона
Силы действия и противодействия. Сила, сообщающая телу ускорение, является мерой внешне-го действия на него другого тела. Эта сила возникает при взаимодействии между этими телами. Так как объекты взаимодействия равноправны, то на второе тело со стороны первого также действует сила — сила противодействия.
Два одинаковых шара из пластилина (массой т каждый), движущиеся с одинаковой по модулю
Силы действия и противодействия, возникающие в результате взаимодействия тел, являются силами одной природы. Взаимодействие планет является гравитационным, стального бруска и магнита — электромагнитным.
96
Механика
82
Равенство сил дейст вия и противодействия при столкновении двух одинаковых шаров
Границы применимости третьего закона Ньютона совпадают с границами применимости второго закона Ньютона.
Движение автомобильного и железнодорожного транспорта происходит благодаря трению колес о бетонное или асфальтовое покрытие и рельсы. Разрушение авто- и железнодорожных магистралей — следствие третьего закона Ньютона.
скоростью v (рис. 82), при встречном столкновении останавливаются.
При столкновении наблюдается равенство сил действия и противодействия. Докажем это.
Изменение скорости первого шара Дб1 = 0 - v = = -v направлено влево. Изменение скорости второго шара Ди2 = 0 - (-и) = и направлено вправо и равно по модулю Дг>г Ускорения шаров, характеризующие изменение их скорости в единицу времени, равны по модулю и противоположны по направлению:
а1 ~ ~а2*
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на первый шар со стороны второго, F12 = mav Аналогично сила, действующая на второй шар со стороны первого, F21 =
В этом состоит третий закон Ньютона.
...	Третий закон Ньютона .
Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю, противоположны по направлению и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела:
Ft2 - -F21.	(56)
Эти силы приложены к разным телам, всегда действуют парами и являются силами одной природы.
Ньютоном этот закон был сформулирован так: «Любому действию всегда препятствует равное и противоположное противодействие».
Динамика материальной точки
97
Физическая природа действия и противодействия одинакова, так как они являются результатом взаимодействия тел.
Третий закон Ньютона справедлив для любого фундаментального взаимодействия и при любом соотношении масс взаимодействующих тел.
Примеры действия и противодействия. В качестве примеров действия и противодействия можно рассматривать любые столкновения и удары. Так, при столкновении двух автомобилей каждый автомобиль получает повреждения.
Ускорение, приобретаемое телами в результате их взаимодействия, зависит от соотношения масс тел. Чем больше масса одного тела, тем труднее его сдвинуть другому, менее массивному телу.
Рассчитаем, например, ускорение, которое приобретает Земля при старте спринтера массой т = 60 кг.
Отталкиваясь от стартовых колодок, спринтер действует на Землю (рис. 83).
В свою очередь, на спринтера, стартующего с ускорением ар со стороны Земли действует сила противодействия
F12 = znar	(57)
По третьему закону Ньютона такая же по модулю и противоположная по направлению сила Г21 будет действовать на Землю (масса Земли Мф = 6 • 1024кг).
Под действием этой силы Земля приобретет ускорение, которое находится из второго закона Ньютона:
83
Ускорение, приобре таемое Землей при старте спринтера
£г1=Лг=_т
2 м@ м@ м@ !•
(58)
Так как масса Земли на 23 порядка превышает массу спринтера, то ускорение Земли при старте спринтера оказывается ничтожным: оно на 23 порядка меньше, чем ускорение спринтера:
аг = 5 м/с2, а2 = 5 • 10-23 м/с2.
84
Запуск космического корабля многоразового использования
4 в А Касьянов «Физика, 10 кл »
98
Механика
Космический корабль многоразового использования имеет массу около 2000 т. Ускорение, приобретаемое Землей при его старте (рис. 84), может быть зафиксировано чувствительными сейсмическими приборами.
В О П Р О С Ы
1.	Почему при действии тела на частицу возникает противодействие со стороны частицы'?
2.	Сформулируйте третий закон Ньютона
3.	Для каких фундаментальных взаимодействий применим третий закон Ньютона9
4.	С какой силой вы притягиваете к себе Землю9
5.	Как ускорение, приобретаемое телами в результате парного столкновения, зависит от соотношения масс тел9
§ 23. Сила упругости
Интенсивность электромагнитного взаимодействия на 36 порядков больше, чем гравитационного. Тем не менее гравитационная сила оказывается соизмеримой с электромагнитной из-за большой массы Земли. Электромагнитные силы резко убывают с расстоянием из-за компенсации положительных и отрицательных зарядов в электронейт-ральных телах.
Электромагнитная природа силы упругости. Законы динамики справедливы для любого фундаментального взаимодействия (гравитационного, слабого, электромагнитного и сильного). При описании механического движения представляют интерес макроскопические масштабы (10-6—1013) м. На таком расстоянии короткодействующие слабое и сильное взаимодействия практически несущественны и не оказывают влияние на механическое движение тел. Напомним, что радиус действия слабого взаимодействия 10“17м, а сильного 10~15м. Электромагнитное и гравитационное взаимодействия (в отличие от слабого и сильного) являются дальнодействующими: их действие проявляется и на очень большом расстоянии, поэтому именно электромагнитное и гравитационное взаимодействия определяют характер макроскопического движения от молекулярного уровня до масштабов Вселенной.
Все механические явления в макромире определяются электромагнитным и гравитационным взаимодействиями.
Среди многочисленных сил электромагнитной природы наибольшее влияние на механическое
Динамика материальной точки
99
движение тела оказывают две: сила упругости и сила трения.
Возникновение этих сил обусловлено силами электромагнитного взаимодействия между заряженными частицами, из которых состоят все макроскопические тела.
Сила упругости — сила, возникающая при деформации тела и направленная противоположно направлению смещения частиц при деформации.
Сила упругости восстанавливает первоначальные размеры и форму тела.
Механическая модель кристалла. Рассмотрим возникновение сил упругости при деформации кристаллического твердого тела. В таком теле атомы располагаются упорядоченно. Среднее расстояние между атомами не изменяется. Каждый атом находится в равновесии, так как силы притяжения и отталкивания, действующие между соседними атомами, компенсируют друг друга. Характерная особенность сил взаимодействия соседних атомов состоит в том, что они подобны силам, действующим в растянутой или сжатой пружине.
При увеличении межатомного расстояния по сравнению с равновесным (растяжение пружины) атомы притягиваются друг к другу (пружина стремится сжаться). При уменьшении расстояния между атомами (сжатие пружины) возникают силы отталкивания (пружина стремится растянуться).
Поэтому простейшей механической моделью кристалла являются шарики, соединенные нерастянутыми пружинами (рис. 85).
В этой модели шарики играют роль атомов, а связывающие их пружины имитируют особенности электромагнитного взаимодействия атомов. Предложенная модель позволяет просто объяснить упругие свойства твердых тел.
Деформации тела не всегда приводят к появлению сил упругости. Наряду с упругими телами (теннисный мяч, стальной шар) имеются пластичные тела (пластилин, свинцовый шар), которые не восстанавливают свою форму после прекращения действия внешних сил. Для пластичных тел сила, противодействующая деформации, пропорциональна скорости ее возникновения.
а 85
Механическая модель кристалла
100
Механика
Механическая модель кристалла правильно описывает его упругие свойства. Силы упругости пружинок между шариками имеют то же электромагнитное происхождение, что и силы взаимодействия между атомами в кристалле.
При растяжении твердого тела увеличивается среднее расстояние между атомами (при этом между шариками растягиваются все пружины). Суммарная сила притяжения атомов (сила упругости пружин) стремится сжать тело до первоначальных размеров.
При сжатии тела уменьшение межатомных расстояний (сжатие пружин) приводит к возникновению силы отталкивания атомов (растягивающей упругой силы). В результате эта сила стремится восстановить первоначальную длину тела.
Упругое воздействие на тело — воздействие, в результате которого тело восстанавливает форму и размеры.
Воздействие тела на опору (например, чайник давит на стол, автомобиль на дорогу) приводит к ее сжатию, подобно сжатию пружины. При этом со стороны опоры возникает встречная сила — сила упругости (сила реакции опоры).
Сила реакции опоры — сила упругости, действующая на тело со стороны опоры перпендикулярно ее поверхности.
86
Сжатие воздушного шарика под действием силы F и силы реакции N2 стены
На рисунке 86 воздушный шарик прижимается к стене с силой F. На руку действует сила реакции Nv
При растяжении пружины, резинового шнура, нити возникает упругая сила сжатия, или сила натяжения.
Сила натяжения — сила упругости, действующая на тело со стороны нити или пружины.
Закон Гука. О величине силы упругости можно судить по степени растяжения или сжатия пружины.
Динамика материальной точки
101
Чем больше растянута или сжата пружина, тем больше сила упругости.
Пусть на тележку, прикрепленную пружиной длиной Zo к стенке и находящуюся в покое (рис. 87, а), вдоль оси X действует сила F (рис. 87, б). Сила упругости Fynp, действующая на пружину, направлена противоположно перемещению ее правого конца. Модуль этого перемещения называется удлинением9.
|Дх| = Д/ = \l - Zo|.
При сжатии Дх пружины силой F, действующей на тележку^ противоположно оси X (рис. 87, в), упругая сила Fynp также направлена противоположно перемещению Дх. Чем больше растянута или сжата пружина (чем больше Дх), тем больше сила упругости Fynp.
Fynp = "feAx.I (59)
Коэффициент пропорциональности k — жесткость. Жесткость зависит от упругих свойств материала и размеров пружины (или тела).
Размерность жесткости следует из формулы (59): т-ш-и/м.
Единица жесткости — ньютон на метр (Н/м).
Закон Гука связывает модуль силы упругости и удлинение.
———————— Закон Гука	—————
Модуль силы упругости возникающей при деформации тела, пропорционален его удлинению Ы:
= Л At	(60)
Закон Гука, как и любой другой физический закон, имеет определенную область применимости. Он справедлив лишь при малом удлинении,
равновесие
7//////Ц
а)! Х
87
fynp = -*A*
Упругие силы растяжения и сжатия в пружи не под действием внеш ней силы:
а)	нерастянутая пружина;
б)	растянутая пружина;
в)	сжатая пружина
V
В отличие от гравитационной силы, зависящей от расстояния между различными телами, сила упругости зависит от изменения расстояния между частями одного и того же тела.
102
Механика
При больших деформациях сила упругости перестает быть пропорциональной удлинению тела.
При еще больших деформациях тело разрушается.
т. е. когда удлинение много меньше длины нерастянутой пружины:
AZ«Zo.
В этом случае деформация является упругой.
Как следует из закона Гука, по удлинению пружины можно судить о силе, действующей на нее. Этот факт используется для измерения сил с помощью динамометра — пружины с линейной шкалой, проградуированной на разные значения сил.
ВОПРОСЫ
1.	Какие взаимодействия определяют характер механических движений в макромире9 Следствием какого взаимодействия являются силы упругости9
2.	Почему механическая модель кристалла правильно описывает упругие силы, возникающие при его сжатии и растяжении?
3.	Какое воздействие на тело называется упругим9
4.	Сформулируйте определения силы реакции опоры и силы натяжения
5.	Сформулируйте закон Гука Выясните физический смысл жесткости пружины Определите границы применимости закона Гука
ЗАДАЧИ
1.	При растяжении стержня длиной Zo = 70 см среднее расстояние между атомами увеличилось на 0,1% Найдите удлинение стержня.	[7 мм]
2.	Мяч прижимается ногой к стене и полу одновременно Силы давления мяча на стену и пол одинаковы и равны F Куда направлена и чему равна суммарная сила реакции опоры9	[Fz/2]
3.	Когда четыре человека массой по 70 кг садятся в автомобиль, пружина амортизатора автомобиля сжимается на 2,5 см Найдите жесткость одной пружины, если всего пружин — четыре	[2,7 104 Н/м]
4.	Пружина длиной lQ = 20 см растягивается силой F = 50 Н Найдите конечную длину растянутой пружины, если ее жесткость k = 1000 Н/м.	[0,25 м]
5.	Две одинаковые пружины жесткостью k и 3k соединены друг с другом одним концом, образуя единую пружину Найдите ее жесткость	[1,5fe]
2
§ 24. Сила трения
Трение покоя. Сила трения, так же как и сила упругости, имеет электромагнитную природу. В земных условиях трение сопутствует любому
Динамика материальной точки
103
движению тел. В отличие от силы реакции опоры (силы упругости, направленной перпендикулярно поверхности соприкосновения тел) сила трения всегда направлена вдоль соприкасающихся поверхностей.
а)
Сила трения — сила, возникающая при соприкосновении поверхностей тел, препятствующая их относительному перемещению, направленная вдоль поверхности соприкосновения.
При контакте твердых тел возможны три вида трения — трение покоя, трение скольжения, трение качения.
Трение покоя — трение, возникающее при отсутствии относительного перемещения соприкасающихся тел.
Рассмотрим взаимодействие бруска с поверхностью стола (рис. 88).
Поверхность соприкасающихся тел не является абсолютно ровной.
Наибольшая сила притяжения возникает между атомами веществ, находящимися на минимальном расстоянии друг от друга, т. е. на микроскопических выступах. Суммарная сила притяжения атомов соприкасающихся тел столь значительна, что даже под действием внешней силы F, приложенной к бруску параллельно поверхности его соприкосновения со столом, брусок остается в покое. Это означает, что на брусок действует сила, равная по модулю внешней силе, но противоположно направленная. Эта сила является силой трения покоя.
▲ 88
Взаимодействие бруска с поверхностью стола: а) пропорциональность силы трения покоя числу взаимодействующих выступов и давлению бруска на стол (FTp - пр; б) силы^взаимодейст вия — FTp, N
Сила трения покоя — сила трения, препятствующая возникновению движения одного тела по поверхности другого:
FTp.a = ~F.	(61)
Автомобиль, поезд приводятся в движение силами трения покоя, действующими между колесами и полотном дороги. Отталкивание ноги человека от земли при ходьбе и беге позволяет ему перемещаться в пространстве.
104
Механика
При увеличении внешней силы происходит микроскопическое смещение трущихся поверхностей друг относительно друга. Оно продолжается до тех пор, пока силы притяжения между взаимодействующими атомами выступов не скомпенсируют внешнюю силу.
Когда приложенная сила достигает максимального критического значения (FTp п)тах, достаточного для разрыва связей между выступами, брусок начинает скользить по столу. Естественно предположить, что (Етр п)тах пропорциональна числу п взаимодействующих выступов и давлению р бруска на стол:
С^тр пХпах
Давление равно отношению силы нормального давления F±, действующей перпендикулярно поверхности соприкосновения тел, к площади поверхности S:
F± p=~s'
Число взаимодействующих выступов пропорционально площади поверхности соприкосновения тел: n ~ S, поэтому
(^.Jmax-S	~F±.
Максимальная сила трения покоя не зависит от площади поверхности соприкосновения поверхностей (рис. 89).
По третьему закону Ньютона сила нормального давления равна по модулю силе реакции опоры N.
Максимальная сила трения покоя (F^ „)WftV пропорциональна силе нормального давления: (^.nU = P/.	(62)
где цп — коэффициент трения покоя.
Коэффициент трения покоя зависит от характера обработки поверхности и от сочетания ма-
89
Равенство сил, требующихся для сдвига книги (независимо от ее поло жения)
Динамика материальной точки
105
териалов, из которых состоят соприкасающиеся тела. Качественная обработка гладких поверхностей контакта приводит к увеличению числа притягивающихся атомов и соответственно к увеличению коэффициента трения покоя. Силы притяжения отдельных атомов различных веществ существенно зависят от их электрических свойств.
Трение скольжения. Трение скольжения возникает при относительном перемещении соприкасающихся тел.
Сила трения скольжения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости соприкасающихся тел.
Когда одно тело начинает скользить по поверхности другого, связи между атомами (молекулами) первоначально неподвижных тел разрываются, трение уменьшается. При дальнейшем относительном движении тел постоянно образуются новые связи между атомами. При этом сила трения скольжения остается постоянной, несколько меньшей силы трения покоя. Как и максимальная сила трения покоя, сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления и, следовательно, силе реакции опоры:
FTP = nN,	I (63)
где ц — коэффициент трения скольжения (ц < цп), зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей.
При ходьбе сила трения покоя, действующая на подошву, сообщает человеку ускорение. Идя по льду, человек старается идти небольшими шагами: при большом шаге возрастает сила отталкивания и начинается скольжение. Как видно из таблицы 8, коэффициент трения скольжения кожаной обуви о лед вдвое меньше коэффициента трения покоя. Соответственно сила, сообщающая человеку ускорение, уменьшается в 2 раза.
Трение качения. Одно из самых гениальных изобретений человечества — колесо. Оно использо-
Максимальное критическое значение силы трения покоя определяется конечной величиной силы взаимодействия поверхностных атомарных слоев соприкасающихся тел.
Разрыв атомарных (молекулярных связей)— главное отличие механизма возникновения сил трения от механизма возникновения сил упругости.
Именно поэтому сила трения скольжения зависит от относительной скорости движения соприкасающихся тел.
106
Механика
Таблица 8 Коэффициент трения покоя и скольжения для некоторых пар материалов
Материал	Нп	м	Материал	Нп	Р
Лед — лед	0,05—0,15	0,02	Сталь — сталь	0,6	0,4
Кожаная обувь — лед	0,1	0,05	Кожаная обувь — ковер	0,6	0,5
Сталь — лед	0,1	0,05	Автошина — мокрый бетон	0,7	0,5
Автошина — лед	0,3	0,02	Стекло — стекло	0,9	0,7
Кожаная обувь — дерево	0,3	0,2	Резиновая обувь — дерево	0,9	0,7
Дерево — дерево	0,5	0,5	Автошина — сухой бетон	1,0	0,8
Резина — асфальт	0,6	0,4	Обувь альпиниста — скала		
Трение качения возникает, например, между шарообразным или цилиндрическим телом, катящимся без скольжения по плоской или изогнутой поверхности.
валось для транспортировки грузов еще 5000 лет назад. Хорошо известно, что несравненно легче везти груз на тележке, чем тащить его (рис. 90).
Сила F19 затрачиваемая для скольжения груза (рис. 90, а), гораздо больше силы F2, необходимой для того, чтобы его катить (рис. 90, б). При скольжении участки тела смещаются вдоль поверхности соприкосновения и вместо разорванных связей постоянно образуются новые. Когда колесо катится без проскальзывания по поверхности, молекулярные связи разрываются при подъеме участков колеса быстрее, чем при скольжении. По-
90
Сравнение сил трения, скольжения и качения: а) скольжение груза; б) качение груза; в) траектория точки на ободе колеса при его качении
Динамика материальной точки
107
этому сила трения качения значительно меньше силы трения скольжения.
Сила трения качения пропорциональна силе реакции опоры:
^тр. кач Мкач^’
где цкач — коэффициент трения качения.
Коэффициент трения качения много меньше коэффициента трения скольжения:
М'кач « М-
Например, для стального колеса железнодорожного вагона, движущегося по рельсам, Ркач = 0,001. Это значение в 400 раз меньше соответствующего коэффициента трения скольжения (сталь — сталь) (см. табл. 8). Тем не менее, несмотря на малое значение цкач = 0,01, потери мощности на трение автомобильной резины по бетону (при скорости автомобиля, меньшей 40 км/ч) превосходят потери мощности на преодоление сопротивления воздуха.
Наиболее радикальным способом уменьшения сил трения, получающим в последнее время все большее распространение, является создание «воздушной подушки» между соприкасающимися поверхностями.
ВОПРОСЫ
1.	Какое фундаментальное взаимодействие определяет силу трения9 Сформулируйте определение силы трения, перечислите возможные виды трения
2.	Чему равна сила трения покоя9 Как находится максимальная сила трения покоя9
3.	Что требует меньшего усилия удержать сани на склоне горы или перемещать их равномерно вверх по склону9
4.	Куда направлена сила трения скольжения и чему она равна9
5.	Почему для коэффициентов трения покоя цп, скольжения ц и качения цкач справедливо неравенство цп > ц > цкач9
ЗАДАЧИ
1.	Спичечный коробок может скользить по поверхности стола под действием постоянной силы F При движении на какой грани сила трения скольжения коробка будет наибольшей9 Размеры коробка 50 х 37 х 14 мм
2.	Найдите массу стального бруска, равномерно скользящего по горизонтальной поверхности под действием силы F = 20 Н Сила направлена вдоль поверхности Коэффициент трения скольжения приведен в таблице 8	[5,1 кг]
3.	С какой силой упряжка собак равномерно перемещает сани с грузом массой т = 250 кг, если коэффициент трения скольжения ц = 0,19	[245 Н]
108
Механика
4.	Для сооружения памятника Петру I в XVIII в гранитную глыбу массой 1600 т перевозили на салазках, катившихся по пушечным ядрам Зная силу тяги F = 157 кН при равномерном движении, найдите коэффициент трения качения	[0,01]
5.	Деревянный брусок массой 1 кг тянут равномерно по горизонтальной деревянной доске с помощью пружины жесткостью 100 Н/м Найдите удлинение пружины, если ц = 0,5	[4,9 см]
§ 25. Гравитационная сила. Закон всемирного тяготения
а. - 0,0027 м/с2 I
I
г = 384 000 км
i
▲ 91
Совпадение нормального ускорения Луны, вращающейся вокруг Земли, с ускорением, приобретаемым Луной под действием силы притяжения к Земле
Гравитационное притяжение. Слово «гравитация» происходит от латинского слова gravitas, означающего «вес, тяжесть». Свободное падение тел на Землю издавна объяснялось наличием их таинственного притяжения к Земле. Астрономические наблюдения показали, что небесные тела также притягивают друг друга.
В 1685 г. И. Ньютон предположил, что движение земных объектов и небесных тел подчиняется общим закономерностям: все тела притягиваются друг к другу гравитационными силами. Единые универсальные законы справедливы для всей Вселенной: свободное падение яблока на Землю и движение Луны имеют общую причину — гравитационное притяжение к Земле. В отличие от упругих сил и сил трения гравитационное притяжение является взаимодействием тел друг с другом на расстоянии без участия промежуточной среды или дальнодействием.
Выясним зависимость силы притяжения от расстояния между телами. Для этого точно сравним ускорение тел, притягивающихся к Земле и находящихся от нее на известном расстоянии. Зная зависимость ускорения от расстояния, с помощью второго закона Ньютона (Fg = та) можно определить зависимость силы гравитационного притяжения от расстояния. Тело, свободно падающее на Землю под действием силы притяжения с ускорением g = 9,8 м/с2, находится от центра Земли на расстоянии R® = 6400 км. Луна вращается вокруг
Динамика материальной точки
109
Земли с периодом Т = 27,32 дня = 2,36 • 106с по орбите радиусом г = 384 000 км = 60 R@. Под действием гравитационного притяжения Земли Луна приобретает нормальное (центростремительное) ускорение(рис. 91)
ап=1ЙГ=0’0027м/с2-
Найдем отношение ускорений, приобретаемых Луной и свободно падающим телом, находящимися от Земли на расстояниях, отличающихся в 60 раз:
ап = 0,0027 = 1
g 9,8	3600 ’
Следовательно, увеличение расстояния между притягивающимися телами в 60 раз приводит к уменьшению их ускорения в 602 раз.
Это означает, что ускорение тела под действием гравитационной силы Fg обратно пропорционально квадрату расстояния между телами. Согласно второму закону Ньютона, ускорение тела прямо пропорционально действующей на него силе. Следовательно, сила гравитационного притяжения двух тел обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:
(64)
Так как все тела падают на Землю с постоянным ускорением g, то гравитационная сила, действующая на тело массой т со стороны Земли, согласно второму закону Ньютона, имеет вид
Fg = mg.
Если сила, действующая на тело массой тп, пропорциональна его массе, то сила, действующая на Землю, пропорциональна массе Земли М®. По третьему закону Ньютона эти силы равны по модулю. Следовательно, сила гравитационного взаимодействия тела и Земли пропорциональна произведению их масс.
Земля и Луна образуют единую систему двух тел, связанных гравитационным притяжением. Ускорения, приобретаемые Землей и Луной под действием Солнца, примерно одинаковы, поэтому система Земля — Луна вращается как целое вокруг Солнца.
Обратная пропорциональность квадрату расстояния силы гравитационного притяжения оказывается справедливой лишь для взаимодействия материальных точек. При контакте тел конечных размеров сила притяжения между ними не возрастает неограниченно. Поэтому мы легко поднимаем одно тело с поверхности другого.
110
Механика
Гравитационное притяжение испытывают световые лучи при прохождении вблизи массивных тел (звезд, планет). Отклонение их траектории от прямолинейной наблюдается, например, при полном солнечном затмении.
Закон всемирного тяготения. Закон всемирного тяготения Ньютона определяет силу притяжения двух материальных точек.
———— Закон всемирного тяготения	—
Между любыми двумя материальными точками действует сила взаимного притяжения, пропорциональная произведению масс этих точек и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними:
F	(65)
где G — гравитационная постоянная (коэффициент пропорциональности, одинаковый для всех тел).
Гравитационная сила притяжения направлена вдоль прямой, соединяющей материальные точки.
В 1798 г. гравитационная постоянная была измерена английским физиком Генри Кавендишем с помощью крутильных весов (рис. 92).
Два шарика 1, имеющих одинаковую массу т19 укреплены на концах легкого коромысла 2, подвешенного на упругой нити 3. Шарики находятся на расстоянии г от более массивных шаров 4 массой тп2. Под действием сил притяжения малых шаров к большим коромысло поворачивается. По углу закручивания нити определяется сила гравитационного притяжения F12 шариков массами тх и т2. Кавендиш нашел числовое значение гра-
92 ►
Принципиальная схема опыта Кавендиша по определению грави тационной постоянной
Динамика материальной точки
111
витационной постоянной. Последующие эксперименты лишь несколько уточнили его результат:
G = 6,67 • IO’11 Н • м* 1 2/кг2.
Гравитационная постоянная численно равна силе гравитационного притяжения двух тел, массой по 1 кг каждое, находящихся на расстоянии 1 м одно от другого.
Эта сила столь мала, что мы не замечаем притяжения между окружающими нас телами и сами не испытываем к ним притяжения. Значительным оказывается лишь притяжение тел к Земле благодаря ее огромной массе. Гравитационное притяжение определяет характер движения тел вблизи Земли.
Расчет силы притяжения тел конечных размеров проводится с помощью принципа суперпозиции. При этом тела мысленно делятся на материальные точки,сила гравитационного взаимодействия которых определяется законом всемирного тяготения. Суммирование этих сил дает силу притяжения тел конечных размеров.
ВОПРОСЫ
1. Что такое дальнодействие9
2. Сформулируйте закон всемирного тяготения В чем заключается физический смысл гравитационной постоянной9
3. Как определял Г Кавендиш силу гравитационного притяжения шариков9
4. Почему не приближаются друг к другу предметы в комнате, несмотря на их гравитационное притяжение9
5. Во сколько раз уменьшается гравитационная сила притяжения к Земле космической ракеты, совершающей посадку на Луне9
ЗАДАЧИ
1. Во сколько раз сила гравитационного притяжения двух шаров массой по 1 кг, находящихся на расстоянии 1 м один от другого, меньше силы их гравитационного притяжения к Земле9	[1,47  1011]
2. Сравните гравитационные силы, действующие на Луну со стороны Земли и Солнца Масса Земли 6 • 1024 кг, масса Солнца 2 1036 кг Среднее расстояние от Земли до Луны 3,8 108 м, от Луны до Солнца 1,5 • 1011 м	[Г3/Гс = 0,47]
3. Первый искусственный спутник Земли (был запущен в нашей стране) вращался по орбите радиусом 6950 км Чему был равен период его обращения9 [1 ч 36 мин]
4. Определите радиус орбиты, на которую должен быть выведен спутник Земли, чтобы он постоянно висел над определенной точкой, находящейся на экваторе [42,3 - 103 4 5 * км]
5. Солнце притягивает Луну примерно в 2 раза сильнее, чем Земля (см. задачу 2) Поче-
му Луна является спутником Земли, а не самостоятельной планетой9
112
Механика
т
§ 26. Сила тяжести. Вес тела
Сила тяжести. Все тела притягиваются друг к другу гравитационными силами.
Сила тяжести — гравитационная сила, действующая на тело.
Например, на тело массой т, находящееся на высоте h над поверхностью Земли, действует гравитационная сила притяжения Земли (рис. 93):
93
Гравитационная сила в поле тяжести Земли
тМ@ _ п тМ@
Fg-G — -G^~r^-
(66)
Ускорение, приобретаемое телом под действием гравитационной силы, можно найти из второго
закона Ньютона а0 = G— . Вблизи поверх-ё (R®+h)2
ности Земли (Л « Я@)
Fg = GmM®
(67)
*1 ’
Следовательно,
Таблица 9
Гравитационное ускорение на планетах Солнечной системы
Планета	Гравита ционное ускорение, м/с2
Меркурий	3,7
Венера	8,9
Земля	9,8
Луна	1,6
Марс	3,7
Юпитер	26
Сатурн	12
Уран	11
Нептун	12
Плутон	2
ag = g=^ = g|=9,8m/c2.	(68)
JTl
Ускорение свободного падения (гравитационное ускорение) — ускорение, приобретаемое телом под действием гравитационной силы вблизи поверхности небесных тел (планет, звезд).
В таблице 9 приведено гравитационное ускорение у поверхности планет Солнечной системы, значение которого зависит от их массы и радиуса.
Сила тяжести, действующая на тело массой т вблизи поверхности Земли, равна
Fg = mg.
Динамика материальной точки
ИЗ
Вес тела. Для измерения силы тяжести можно использовать динамометр. На тело массой т, подвешенное на пружине^ действуют сила тяжести mg и сила натяжения Т (рис. 94, а).
В равновесии Т = mg. По третьему закону Ньютона на связь (пружину) со стороны тела действует в направлении силы тяжести сила упругости, или вес, равный по модулю и противоположно направленный силе натяжения: Р = -Т.
Возникновение этой силы можно представить наглядно с помощью механической модели кристалла. При подвешивании тела в результате действия силы тяжести тела все пружинки между шариками растягиваются, стремясь затем сократиться (рис. 94, б). Поэтому на подвес (пружину) будет действовать упругая сила, направленная вниз.
Вес тела определяется суммарной силой притяжения между атомами, возникающей вследствие растяжения тела под действием силы тяжести.
Вес тела — суммарная сила упругости тела, действующая при наличии силы тяжести на все связи (опоры, подвесы).
На тело массой т, находящееся на неподвижной горизонтальной опоре, действуют сила тяжести mg и сила реакции опоры ЛГ, равные по модулю, N = mg (рис. 95, а). Согласно третьему закону Ньютона на опору действует вес
P = -N.
Вес тела на опоре определяется приростом суммарной силы отталкивания между атомами,
а)
94
Возникновение силы упругости
95
Возникновение силы упругости при размещении тела на опоре
114
Механика
возникающим из-за сжатия тела силой тяжести (рис. 95, б). В рассматриваемом случае вес тела равен по модулю и направлению силе тяжести:
Р = mg.
Говоря об этих силах, нужно помнить, что сила тяжести приложена к телу, а вес приложен к опоре или подвесу.
ВОПРОСЫ
1.	Что такое сила тяжести9
2.	В каком приближении можно считать силу тяжести постоянной9
3.	Дайте определение веса тела
4.	Чем определяется вес тела на опоре9
5.	Где расположены точки приложения силы тяжести и веса тела9
ЗАДАЧИ
1.	Во сколько раз сила тяжести космонавта на Меркурии меньше, чем на Земле9 [в 2,63 раза]
2.	Найдите гравитационное ускорение на поверхности планеты, если ее масса равна массе Земли, а радиус в 2 раза меньше	[39,2 м/с2]
3.	Какое расстояние пролетит за первую секунду тело, свободно падающее на поверхность Венеры9 Диаметр Венеры 1,21 104 км, ее средняя плотность 5,2 103 кг/м3 [4,45 м] 4. Во сколько раз масса Луны меньше массы Земли, если гравитационное ускорение на ее поверхности gn = 1,6 м/с29 Радиус Луны в 3,7 раза меньше радиуса Земли [в81раз] 5. Чему равен вес водителя автомобиля, движущегося по горизонтальному шоссе с ускорением 10 м/с29 Масса водителя 70 кг	[980 Н]
§ 27. Применение законов Ньютона
Методика решения задач динамики. Для решения задач динамики целесообразно использовать следующий стандартный подход.
•	Изобразите силы, действующие на каждое тело в инерциальной системе отсчета (условно Е F).
•	Запишите для каждого тела второй закон Ньютона в векторной форме (55).
•	Выберите координатные оси. Если заранее известно направление ускорения, то целесообразно направить одну из осей вдоль ускорения, а вторую (если она требуется) перпендикулярно ему.
Динамика материальной точки
115
•	Проецируя второй закон Ньютона на координатные оси, получите систему уравнений для нахождения неизвестных величин.
•	Решите полученную систему уравнений, используя аналитические выражения для всех сил и дополнительные условия.
Воспользуемся предложенным подходом для решения конкретных задач динамики.
КЛЮЧЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Покажем с помощью законов Ньютона, что вес тела не всегда равен его силе тяжести.
Вес тела в лифте
Человек массой т находится в лифте. Найдем силу давления человека на пол лифта (вес), если:
а)	лифт покоится или равномерно движется;
б)	лифт движется с постоянным ускорением а, направленным вверх;
в)	лифт движется с постоянным ускорением а, направленным вниз.
Решение.
а)	Ускорение лифта равно нулю (а = 0).
Изобразим силу тяжести mg и силу реакции N19 действующие на тело (рис. 96). Согласно третьему закону Ньютона сила реакции равна по модулю и противоположна по направлению весу тела Pv Поэтому большинство задач о нахождении веса тела сводятся к задачам определения силы реакции опоры.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
ma^mg + N}.	(69)
Направим ось У вертикально вверх.
Спроецируем на ось У второй закон Ньютона, учитывая, что а = 0:
0 = -mg + Рг= Nr = mg.
Вес тела, находящегося в покое или движущегося равномерно и прямолинейно, равен силе тяжести.
— mg
▲ 96
Равенство веса тела силе тяжести в покоящемся или равномерно движущемся лифте
116
Механика
N2> mg
97
Перегрузка при движении лифта с постоянным ускорением, направленным противоположно ускорению свободного падения
б)	Лифт движется с постоянным ускорением а, направленным вверх (рис. 97).
Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось У:
та = -mg 4- N2.
Тогда
Р2 = К2 =	+ а)-
В этом случае вес больше, чем гравитационная сила. Возрастание веса (перегрузки) космонавты и пилоты реактивных самолетов особенно остро ощущают при взлете и посадке, когда ускорение максимально. Количественно возрастание веса характеризуется коэффициентом перегрузки, определяемым отношением ускорения тела к ускорению свободного падения.
Например, при посадке космический корабль может двигаться равнозамедленно с ускорением а = 6g*, направленным от Земли вверх. В этом случае Р2 = Img, т. е. возникает семикратное увеличение веса, которое у нетренированных людей может вызвать временную утрату зрения и потерю сознания. Отрицательные физиологические эффекты (табл. 10), связанные с перегрузками, легче переносятся космонавтом, если его тело располагается перпендикулярно направлению ускорения. Это позволяет выдерживать даже 10—12-кратное увеличение веса. Несмотря на все меры предосторожности, подобная перегрузка сопряжена с болью в груди, усталостью, частичной потерей периферического зрения.
Таблица 10
Физиологические эффекты, связанные с перегрузками
Ускорение	p mg	Физиологический эффект
2g	3	Движение затруднено
3g	4	Ходьба невозможна
4g — 6g	5—7	Нарастающая нечеткость зрения, временная потеря зрения
Динамика материальной точки
117
в)	Лифт движется с ускорением а, направленным вниз.
В этом случае удобно выбрать ось Y, направленную вниз (рис. 98).
Проецируя второй закон Ньютона на ось У, получаем
та = mg - N3.
Следовательно,
Р3 = N3 = m(g - а),	(70)
т. е. вес тела меньше силы тяжести.
При свободном падении а = g.
Вес при этом становится равным нулю, т. е. возникает состояние невесомости.
Невесомость — состояние, при котором тело движется только под действием силы тяжести.
Любое тело, свободно движущееся в гравитационном поле Земли, находится в состоянии невесомости. Длительное пребывание космонавта в состоянии невесомости существенно влияет на физиологические процессы в организме, приспособившемся к земной гравитации в результате длительной эволюции.
Скольжение тела
по горизонтальной поверхности
Найдем ускорение и вес тела массой т, движущегося по поверхности стола, под действием силы F, направленной под углом а к горизонтали (рис. 99).
mg
▲ 98
Уменьшение веса по сравнению с силой тяжести
Вес тела на экваторе меньше, чем на полюсах Земли, так как вследствие вращения Земли вокруг оси тело на экваторе движется с центростремительным ускорением.
99
Уменьшение веса тела и силы трения сколъже ния за счет вертикальной компоненты силы, приподнимающей тело
118
Механика
Коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью стола равен ц.
Решение.
На тело действуют: сила тяжести mg, сила реакции опоры N, сила F и сила трения Ртр, направленная противоположно скорости движения.
Второй закон Ньютона в векторной форме имеет вид
та = mg + N 4- F + Гтр.	(71)
Направим ось X вдоль ускорения а, а ось Y вертикально.
Спроецируем уравнение (71) на оси X и У:
та = 0 + 0 + F cos а - Ртр (на ось X), О = -mg + N + F sin а + 0 (на ось У).
Стандартный подход к решению задачи: 1. Определить силы, действующие на тело.
2.	Записать второй закон Ньютона в векторной форме.
3.	Выбрать координатные оси.
4.	Записать второй закон Ньютона в проекциях на оси.
5.	Решить систему уравнений с учетом дополнительных условий.
Согласно (63)
Лр=^.
Подставляя выражение для силы трения в первое уравнение системы (72), получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными N и а:
та = F cos а - pN, О = -mg + N + F sin а.
(73)
Сила сопротивления движению корабля на воздушной подушке уменьшается за счет подъемной силы, приподнимающей корабль из воды.
Из второго уравнения находим силу реакции N и вес тела Р:
N = Р = mg - F sin а.	(74)
Вес тела меньше силы тяжести, когда на тело кроме силы тяжести действуют силы, имеющие составляющую, направленную противоположно силе тяжести.
Вертикальная компонента внешней силы Fy = = F sin а приподнимает тело и уменьшает силу давления на опору, а следовательно, и силу трения. Подставляя N из выражения (74) в первое уравнение системы (73)
та = F cos а - ц (mg - F sin а), находим ускорение тела:
а = F cos а -	- F sin а)
т
Динамика материальной точки
119
Соскальзывание тела с наклонной плоскости
Найдем ускорение и вес тела массой т, скатывающегося по наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом (рис. 100). Коэффициент трения скольжения равен ц.
Решение.
Изобразим все силы, действуюгцие на тело: силу тяжести mg, силу реакции N и силу трения FTp, направленную противоположно скорости движения.
Запишем второй закон Ньютона в векторной форме:
та = mg + N + FTp.	(75)
Выберем ось X параллельно и ось Y перпендикулярно наклонной плоскости.
Спроецируем уравнение (75) на координатные оси X и У:
та = mg sin а - FTn (на ось X), р	(7 О)
0 = N - mg cos а (на ось У).
Используя выражение для силы трения FTp = pN и подставляя его в первое уравнение системы (76), получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными:
та = mg sin а - FTp, 0 = N - mg cos а.
Из второго уравнения находим силу реакции N и соответственно вес тела Р:
N = Р = mg cos а.
Вес тела на наклонной опоре меньше силы тяжести.
Подставляя выражение для силы реакции в первое уравнение системы (77)
та = mg sin а - \xmg cos а, находим ускорение тела
а = g (sin а - ц cos а).
Fx= F sin а
А 100
Вес тела на наклонной плоскости:
Р = mg cos а
Соскальзывание тела с наклонной плоскости происходит, если а > 0, т. е. если коэффициент трения скольжения ц < tg а. Если ц > tg а, тело покоится на наклонной плоскости.
120
Механика
ВОПРОСЫ
1.	При каком движении лифта вес тела, находящегося в нем равен силе тяжести, больше силы тяжести, меньше силы тяжести, равен нулю9
2.	Какой способ перемещения холодильника по полу требует меньших усилий — когда его толкают или когда тянут9
3.	Под действием какой силы F (см задачу 2) тело движется равномерно9
4.	Какие часы следует использовать в условиях невесомости- маятниковые, песчаные, пружинные9
5.	При каком угле наклона плоскости к горизонту (см задачу 3) тело будет скатываться с нее равномерно9 При каком угле наклона плоскости тело не будет скатываться с плоскости9
ЗАДАЧИ
1.	Собачья упряжка начинает тащить стоящие на снегу сани массой 100 кг с постоянной силой 149 Н За какой промежуток времени сани проедут первые 200 м пути9 Коэффициент трения скольжения полозьев о снег 0,05	[20 с]
2.	Вагон массой тп соединен с электровозом массой М пружиной жесткостью k Найдите ускорение состава, если на состав действует тормозящая сила F Определите сжатие пружины	г
а = —-— , х = -	-
т + М k т + М
3.	Тепловоз тащит состав из трех одинаковых вагонов массой т = 50 т с силой F = 17 940 Н Коэффициент трения качения колес о рельсы ц кач = 0,002 С каким ускорением движется состав9 Определите силы натяжения сцепок между вагонами
[а = 0,1 м/с2; 5980 кг; 11 960 кг]
4.	Стальной кубик вкатывают с начальной скоростью v0 на ледяную прямолинейную горку, наклоненную к горизонту под углом а Коэффициент трения скольжения кубика о лед р Через какой промежуток времени кубик вернется к основанию горки9 На какую максимальную высоту он поднимется9
5-	Два груза, массы которых тА и т2 (т2 > связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок (тпн « mv т2) С каким ускорением будут двигаться грузы9 Найдите силу натяжения нити и силу давления на ось блока
ТПп — ТП*	__
а = g —Ц—i; Т = ---g; F* = 2Т
mj + m2	+ m2 8
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
	Динамика — количественное описание взаимодействия тел, определяющего характер их движения
	Движение по инерции — движение, происходящее без внешних воздействий
	Принцип инерции Галилея: если на тело не действуют силы, оно сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.
	Инерциальные системы отсчета (ИСО) — системы отсчета, в кото
Динамика материальной точки
121
рых тело, не взаимодействующее с другими телами, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения
	Преобразования Галилея:
X = X' + vt,
где х — координата тела в ИСО X; х' — координата тела в ИСО X', движущейся относительно X со скоростью v
Закон сложения скоростей:
Vx = Рх'+
где vx — скорость тела в ИСО X; vx,— скорость тела в ИСО X', движущейся относительно X со скоростью V.
	Принцип относительности Галилея: во всех инерциальных системах отсчета законы механики имеют одинаковый вид
	Первый закон Ньютона: тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не заставит его изменить это состояние
	Сила — векторная физическая величина, являющаяся мерой взаимодействия тела с другими телами, в результате которого тело приобретает ускорение (или изменяет свою форму и размеры) Единица силы — ньютон (Н)’
1 Н = 1 кг м/с2
	Инертность — физическое свойство тела в отсутствие трения оказывать сопротивление изменению его скорости
	Масса (инертная масса) — физическая величина, характеризующая меру инертности тела
Единица массы — килограмм (кг)
	Принцип суперпозиции сил: результирующая сила, действующая на частицу со стороны других тел, равна векторной сумме сил, с которыми каждое из этих тел действует на частицу.
1F = F1 + F2 + ... +Fn.
	Второй закон Ньютона: в инерциальной системе отсчета ускорение тела прямо пропорционально векторной сумме всех действующих на него сил и обратно пропорционально массе тела
-> a = — . m
	Третий закон Ньютона: силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по величине, противоположны по направлению и приложены к разным телам:
^12 = “^21*
	Все механические явления определяются электромагнитным и гравитационным взаимодействиями Электромагнитными силами являются сила упругости и сила трения.
	Упругое воздействие на тело — воздействие, в результате которого тело восстанавливает форму и размеры.
	Закон Гука: сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна его удлинению и направлена противоположно направлению деформации.
^упр = ~k ^Х.
	Сила реакции опоры — сила, действующая на тело со стороны опоры перпендикулярно ее поверхности
	Сила натяжения — сила упругости, действующая на тело со стороны нити или пружины
122
Механика
	Сила трения — сила, препятствующая относительному перемещению соприкасающихся тел, направленная вдоль поверхности их контакта.
	Сила трения покоя равна по величине и противоположно направлена силе, приложенной к покоящемуся телу параллельно поверхности его контакта с другим телом.
	Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе реакции опоры:
(^тр п)тах ~
где цп — коэффициент трения покоя.
	Сила трения скольжения
FTP = »N, где ц — коэффициент трения скольжения.
	Сила трения качения
F = ц ЛГ, тр. кач Н'кач ’ ’
где цкач — коэффициент трения качения (цкач « ц < цп).
	Закон всемирного тяготения: гравитационная сила притяжения материальных точек пропорциональна произведению их масс и обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними'
где G = 6,67 • 10"11 Н • м2/кг2 — гравитационная постоянная
	Сила тяжести — гравитационная сила, действующая на тело Вблизи поверхности Земли сила тяжести, действующая на тело массой ш,
Fg = mg.
	Вес тела — суммарная сила упругости тела, действующая при наличии силы тяжести на все связи (опору, подвес)
Вес тела может быть не равен силе тяжести, если на тело кроме силы тяжести действуют и другие силы Вес тела в лифте, находящемся в покое или движущемся равномерно, равен силе тяжести
Перегрузка — увеличение веса тела, вызванное его ускоренным движением
Невесомость — состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести. Вес тела в состоянии невесомости равен нулю.
Законы
сохранения
§ 28. Импульс материальной точки
Импульс силы. Использование законов динамики позволяет описать эволюцию механической системы в результате действия на нее внешних сил и взаимодействия ее элементов. Во многих случаях детальная информация о промежуточных состояниях системы не представляет существенного интереса. Наиболее важной является связь начального и конечного состояний системы, будь то реакция рождения элементарных частиц или столкновение автомобилей. Поэтому в физике большое внимание уделяется поиску физических величин, сохраняющихся неизменными в процессе эволюции системы, или инвариантов. Законы сохранения в классической механике могут быть получены из законов динамики Ньютона. Однако область их применимости гораздо шире.
Законы сохранения оказываются справедливыми для явлений различной физической природы и разных типов взаимодействия.
Каждый закон сохранения отражает определенный тип непрерывной симметрии пространства и времени.
Все фундаментальные взаимодействия и соответственно силы, их характеризующие, реально действуют в определенной области пространства в течение некоторого конечного интервала времени.
Инварианты (к которым относятся импульс, энергия, заряд) остаются неизменными в явлениях различной физической природы — механическом движении, теплообмене, прохождении электрического тока, распространении электромагнитных волн, взаимодействии атомов, ядер, элементарных частиц.
Справедливость законов сохранения подтверждается экспериментально.
124
Механика
Fu --------------т
o At 7
а)
▲ 101
Зависимость силы, действующей на шайбу при броске, от времени
В случае одномерного движения материальной точки вдоль оси X действующая на нее сила F может зависеть как от координаты точки, так и от времени. Это означает, что сила является функцией координаты и времени: F = F (х, t).
Рассмотрим сначала, как на движение тела влияет длительность действия силы.
Для упрощения математических оценок будем считать, что:
•	модуль силы не зависит от координаты х: F ф F (х);
•	сила, начиная действовать в момент времени t = 0, остается постоянной в течение времени Д£ и затем прекращает свое действие, т. е. становится равной нулю при t > Д£ (рис. 101, а). Подобная зависимость силы от времени реализуется, например, при броске шайбы хоккеистом (рис. 101, б).
Временной характеристикой действия силы является импульс силы.
Импульс силы — произведение силы на длительность ее действия:
fat.
Слово «импульс» (impulsus) в переводе с латинского — толчок. Иногда используется термин «количество
Импульс силы — временная характеристика действия силы.
Единица импульса силы — ньютон-секунда (Н • с).
Импульс силы F /\t численно равен площади прямоугольника со сторонами F и Д£ (рис. 101, а).
Импульс тела. Предположим, что до броска (при t < 0) тело (шайба) массой т двигалось равномерно со скоростью и0. Под действием постоянной силы F оно в течение времени Д£ будет двигаться равноускоренно с ускорением а:
движения».
- F а= —
т
Законы сохранения
125
Скорость, приобретаемую телом при равноускоренном движении за промежуток времени Л£, можно найти согласно формуле (11):
v =	+ a At =	+ — At.
и	т
Перенося и0 в левую часть равенства с противоположным знаком и умножая обе части полученного соотношения на тп, получаем
mv - mv0 = F At.
Правая часть этого соотношения содержит величины, характеризующие внешнее воздействие на тело (сила, длительность ее действия). Левая часть представляет изменение импульса, характеризующего движение тела.
Импульс тела — векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость и имеющая направление скорости:
р — mv.	(78)
Согласно формуле (78) размерность импульса [р]= tm] М = кг ’ м/с.
Единица импульса — килограмм-метр в секунду (кг - м/с).
Импульс является фундаментальной и (как мы покажем в дальнейшем) сохраняющейся характеристикой состояния физической системы.
В начальный момент времени импульс тела р0 = mvQ, поэтому
р - р0 = FAt.|	(79)
Это выражение является более общей формулировкой второго закона Ньютона. Скорость изменения импульса тела равна действующей на тело силе.
Импульс — одна из самых фундаментальных характеристик движения физической системы. Физический смысл понятия импульса связан с наглядным представлением о том, что сила, требуемая для остановки движущегося тела за определенный промежуток времени, прямо пропорциональна как массе тела, так и его скорости.
126
Механика
▲ 102
Равенство импульсов силы Fr и F2 А^2 при броске шайбы и при щелчке
।
0Д£2	t
▲ 103
Зависимость импульса шайбы при броске (1) и при щелчке (2) от времени
Выражение (79) является уравнением движения тела.
Как следует из (79), изменение импульса тела определяется импульсом силы, действующей на него. Импульс силы характеризуется произведением силы на время ее действия. Следовательно, аналогичное воздействие на тело может оказать небольшая сила, действующая значительный промежуток времени, и большая сила, которая действует кратковременно. Этот эффект хорошо известен как хоккеистам, так и любителям хоккея. Скорость, приобретаемая шайбой при сильном броске, когда время контакта клюшки с шайбой оказывается порядка секунды, примерно совпадает с ее скоростью при мощном, но кратковременном щелчке.
Если импульс силы F1/\t1 при броске шайбы равен импульсу силы при щелчке F2 kt2, то площади заштрихованных прямоугольников равны (рис. 102). При этом, согласно соотношению (79), при броске и при щелчке шайбы будет одинаково изменение импульса и конечная скорость шайбы. Графики зависимости импульса шайбы от времени (при броске и щелчке) в соответствии с формулой (79) представлены на рисунке 103.
В случае, когда на тело не действует внешняя сила (F = 0), импульс тела сохраняется: р = р0 (см. (79)).
ВОПРОСЫ
1.	Что такое импульс силы9
2.	Сформулируйте определение импульса тела
3.	Почему небольшая сила, действующая значительный промежуток времени, оказывает на движение тела такое же воздействие, как и большая сила, которая действует кратковременно9
4.	Почему импульс шайбы линейно увеличивается со временем (см рис 103), если на шайбу действуют постоянные силы Г1 и F29
5.	При каком условии импульс тела сохраняется9
ЗАДА Ч И
1.	По изогнутому под прямым углом шлангу течет вода Определите направление импульса силы, изменяющей направление потока воды, и направление силы, действующей на шланг
Законы сохранения
127
2,	Автомобиль массой 2000 кг, двигаясь на север со скоростью 90 км/ч, повернул на перпендикулярное шоссе, ведущее на восток. Определите направление и модуль изменения импульса автомобиля	[юго-восток; 7,07  104 кг  м/с]
3.	Теннисный мяч, летящий со скоростью и, отскакивает от теннисной ракетки, движущейся навстречу мячу со скоростью и С какой скоростью отлетит мяч после упругого удара о ракетку*?	[и + 2и]
4.	Шар из пластилина и теннисный мяч, двигаясь вправо, ударяются о бетонную стенку, имея перед ударом скорость v Определите направление и модуль изменения импульса шара и мяча, если их массы одинаковы	[влево; mv\ 2mv]
5,	Молекула газа массой т упруго ударяется о стенку сосуда, двигаясь со скоростью и, составляющей угол а с перпендикуляром к стенке Какой импульс и в каком направлении сообщает молекула стенке9	[2mv cos а; перпендикулярно стенке]
§ 29.	Закон сохранения импульса
Замкнутая система. Рассмотрим систему, состоящую из двух тел, взаимодействующих друг с другом. Такую систему образуют, например, два шара массой т1 и тп2, движущихся навстречу друг другу с начальной скоростью и10 и и20 соответственно (рис. 104, а).
Пренебрегая внешними силами, действующими на шары (например, силой тяжести), данную систему тел можно считать замкнутой. Замкнутая система — система тел, для которой равнодействующая внешних сил равна нулю. до Г1° ( J взаимодействия б) Г / ) взаимодействие	 ч	после	vi	2 в) 1 —1	я _	————	1 V у взаимодействия	▼ 104 Сохранение суммарного импульса шаров при их столкновении: а) до взаимодействия; б) в момент взаимодействия; в) после взаимодействия 1
128
Механика
Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тех, входящих в эту систему.
Для системы двух тел р = m1v1 + m2v2.
Силы взаимодействия между телами системы называются внутренними силами. При столкновении шаров сила /12, которая действует на первый шар со стороны второго (рис. 104, б), по третьему закону Ньютона равна по модулю и противоположна по направлению силе F21, действующей на второй шар со стороны первого:
Д2 = -Л1-	(80)
Запишем выражения для этих сил. Согласно второму закону Ньютона
F12 =	F21 = т2а2.	(81)
Обозначим скорость шаров после столкновения 5Х и v2 (рис. 104, в), а длительность столкновения At. Ускорение шаров
- _ ASi _ 51 - 510	_ \v2 _ v2 - и20
cl-| - - - ------ , On - —-- - ------ -
1 At At 2 At
м
Подставляя эти выражения в уравнение (81) и используя соотношение (80), находим
w 5i - 510 _ v2 - v20
тЛ------- — — т9 —----.
1 At	2 At
Закон сохранения импульса. Сократив обе части уравнения на At и перегруппировав слагаемые в обеих его частях, получим закон сохранения импульса:
Внутренние силы, изменяя импульсы отдельных тел системы, не изменяют суммарный импульс системы. Импульс системы тел могут изменить только внешние силы.
m1v1 + m2v2 = m1v10 + m2vzo- I (82)
В правой части равенства содержится суммарный импульс системы в начальный момент времени, а в левой — сумма импульсов тел в произвольный момент времени, приобретенных в результате взаимодействия (столкновения). Это означает, что при столкновении суммарный импульс системы сохраняется.
 Закон сохранения импульса
Суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой.
Законы сохранения
129
Закон сохранения импульса, полученный из законов Ньютона (справедливых для описания движения системы макрочастиц), имеет более широкую область применимости, чем эти законы. Импульс сохраняется и для систем микрочастиц, для которых законы Ньютона неприменимы. Закон сохранения импульса является следствием однородности пространства (см. § 5). При параллельном сдвиге замкнутой физической системы в любом направлении ее суммарный импульс не изменяется.
Система называется замкнутой вдоль определенного направления, если проекция равнодействующей внешних сил на это направление равна нулю.
Примером замкнутой системы вдоль горизонтального направления является снайперская винтовка массой т2 = 6 кг, из которой производится выстрел пулей массой тг = 9 г, вылетающей с начальной скоростью = 600 м/с (рис. 105).
Система «винтовка — пуля» замкнутая, так как внешние силы (сила тяжести винтовки и пули, сила реакции опоры винтовки) действуют перпендикулярно оси X. До выстрела суммарный импульс неподвижной системы равен нулю. Согласно выражению (82) после выстрела проекция суммарного импульса на ось X не изменяется по сравнению с первоначальной. Обозначив через vlx и v2x проекции скорости пули и винтовки на ось X, получим
mlvlx + m2v2x = 0-	(83)
В неоднородном пространстве сила гравитационного взаимодействия тел зависит от их расположения. Это означает, что силы действия и противодействия двух одинаковых тел не равны друг другу (что противоречит третьему закону Ньютона). Следовательно, суммарный импульс системы тел в неоднородном пространстве не сохраняется.
Из закона сохранения импульса находим
(84)
тп,
V*x = ~m2 V^
5 В А Касьянов «Физика, 10 кл *
I?! = 600 м/с
< 105
Отдача при выстреле как результат сохранения суммарного импульса системы
130
Механика
При взрыве снаряда сила давления газов (внутренняя сила) превышает силу тяжести снаряда (внешнюю силу) более чем в 10 000 раз. Поэтому импульс такой системы тел можно с хорошей степенью точности считать сохраняющимся.
Подставляя в формулу (84) числовые значения, получаем
о • 1 о-з
v2x = “—g— ’ 600 м/с = -0,9 м/с.
Знак «минус» означает, что при выстреле в положительном направлении оси X винтовка смещается в противоположном направлении: возникает отдача. Такую же отдачу испытывают пожарные, направляя мощную водяную струю на горящий объект и с трудом удерживающие брандспойт (рис. 106).
106
Возникновение значительной отдачи при использовании мощного брандспойта
Реактивное движение ракеты. Отдача возникает также при реактивном движении.
Реактивное движение — движение, возникающее при отделении от тела с некоторой скоростью какой-либо его части.
Важным примером реактивного движения является движение ракеты. Отделяющейся частью тела (ракеты) при таком движении является струя горячих газов, образующихся при сгорании топлива. Когда реактивная струя с большой скоростью выбрасывается из ракеты, то ракета вследствие отдачи устремляется в противоположную сторону.
Законы сохранения
131
4 107
Реактивное движение ракеты
Рассмотрим упрощенную теорию реактивного движения. Предположим, что реактивная струя массой выбрасывается из ракеты массой ти2 (без учета топлива) со скоростью в направлении оси X (рис. 107).
Скорость и2х, приобретаемую ракетой в направлении, противоположном оси X, можно найти из уравнения (84) при известном отношении тп1/тп2.
о
Если масса ти1 топлива составляет -	+ тп2) мас
сы ракеты, полностью загруженной топливом,
пл = §
тх + т2 4’
то
= 3 т2
При использовании определенного химического топлива скорость реактивной струи оказывается примерно постоянной. Из выражения (84) следует, что при скорости реактивной струи
= 2,4 км/с скорость ракеты
TTll	ГТ Л
v2 = —-	= 7,2 км/с.
Такая скорость недостаточна для того, чтобы вывести на орбиту искусственный спутник Земли, поэтому для увеличения скорости ракеты с тем же топливом следует увеличить отношение т1/т2- Это возможно при использовании многоступенчатой (составной) ракеты, у которой ступени с опустевшими топливными резервуарами отбрасываются в полете и сгорают в атмосфере из-за трения о воздух. При этом масса т2 ракеты уменьшается и соответственно увеличивается ее скорость v2.
Реально истечение продуктов сгорания топлива происходит непрерывно, так что масса топлива убывает с течением времени. Реактивная сила, появляющаяся вследствие истечения горячих газов, приложена к ракете и направлена противоположно скорости реактивной струи. Эта сила определяется расходом топлива в единицу времени и скоростью истечения газов относительно ракеты.
5*
132
Механика
Для межзвездных полетов требуются значительно более высокие скорости. Учитывая, что ближайшие звезды находятся на расстоянии около четырех световых лет, необходима скорость порядка 0,1 скорости света с.
Исследования околоземного и межпланетного космического пространства проводятся с помощью многоступенчатых ракет. С их помощью в нашей стране был выведен на околоземную орбиту первый искусственный спутник Земли в 1957 г., обеспечен полет Ю. А. Гагарина в космическом околоземном пространстве в 1961 г. Многоступенчатые ракеты доставили в 1969 г. астронавтов на поверхность Луны, позволили произвести исследования планет Солнечной системы.
В О П Р О С Ы
1.	Какая система тел называется замкнутой9 Приведите примеры замкнутых систем
2.	Сформулируйте закон сохранения импульса Как эффект отдачи используется в реактивном движении9
3.	Почему для запуска космических кораблей с поверхности Земли используются многоступенчатые ракеты9
4.	Камень дважды бросают с одинаковой начальной скоростью под одним и тем же углом к горизонту сначала с причала, затем из покоящейся на воде надувной резиновой лодки В каком случае дальность полета камня больше и почему9
5.	Почему лодка начинает отплывать от берега, когда человек выходит из нее на причал9
ЗАДАЧИ
1.	Два шара массой ту = 1 кг и т2 = 2 кг скользят по гладкой горизонтальной поверхности на запад и север со скоростью = 10 м/с и v2 = 5 м/с соответственно Определите направление и модуль импульса системы двух шаров
[14,14 кг - м/с; на северо-запад]
2.	Граната массой 1 кг, летящая со скоростью 20 м/с на запад, разрывается на два осколка Один массой 0,2 кг начинает двигаться со скоростью 500 м/с в направлении полета гранаты В каком направлении и с какой скоростью полетит другой осколок9
[на восток; 100 м/с]
3.	Из орудия, установленного на гладкой горизонтальной поверхности, вылетает снаряд массой т = 20 кг со скоростью и0 = 200 м/с под углом а = 30° к горизонту Какую скорость приобретет орудие после выстрела, если его масса М = 2000 кг9
[и = mu0 cos а/М = 1,73 м/с]
4.	Человек массой т = 70 кг переходит с кормы лодки на нос Масса лодки М = 130 кг, ее длина Z = 4 м На какое расстояние и в какую сторону отплывет лодка9Гу т = 1 4 м
[ т + М ’
5.	Снаряд, вылетевший из орудия, разорвался в верхней точке траектории на высоте 1960 м на два равных осколка Скорость снаряда перед разрывом равна 100 м/с. Один из осколков полетел горизонтально в обратном направлении со скоростью, вдвое большей На каком расстоянии друг от друга осколки упадут на землю?	[4000 м]
Законы сохранения
133
§ 30. Работа силы
Работа как пространственная характеристика действия силы. Любая сила действует в определенной области пространства в течение конечного интервала времени и может зависеть как от координаты, так и от времени: F = F(x, t).
Если сила не зависит от координаты и действует на тело в течение времени Д£, то можно ввести временную характеристику силы (импульс силы) как произведение силы на длительность ее действия: FAt.
Удачный выбор временной характеристики силы позволяет найти изменение импульса тела — фундаментальной физической величины, сохраняющейся в замкнутой системе.
Если сила не зависит от времени и действует на тело, движущееся по оси X, на перемещении Дх, то мы можем ввести также и пространственную характеристику действия силы — работу*.
Работа — физическая величина, равная произведению проекции силы на ось X на перемещение по этой оси:
A = FX Дх.	(85)
Единица работы — джоуль (Дж):
1 Дж = 1 кг • м2/с2.
1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н при перемещении на 1м.
Работа силы численно равна площади прямоугольника со сторонами Fx и Дх (рис. 108).
* Пространственная характеристика действия силы введена по аналогии с ее временной характеристикой — импульсом силы. Как мы увидим впоследствии, работа равна изменению другой фундаментальной физической величины — механической энергии, для которой также справедлив закон сохранения.
Сила, действующая на движущееся тело со стороны другого тела, совершает работу.
Например, гравитационная сила притяжения Земли и сила сопротивления воздуха совершают работу при падении капель дождя и метеоритов. Сила упругости совершает работу при распрямлении сжатой пружины и натянутой тетивы лука.
Fx"-----------?
0	Дх	X
А 108
Геометрический смысл работы — площадь под кривой Fx(x):
А = FxAx
134
Механика
109
Работа, совершаемая силой F при перемещении тела на Дх.
Работа определяется проекцией силы Fx = F cos а
Проекция силы Fx в направлении вектора перемещения Дх равна проекции вектора F на ось X:
Fx = F cos а,	(86)
где а — угол между вектором силы F и вектором перемещения Дх (рис. 109).
Компонента силы, перпендикулярная перемещению, не влияет на движение частицы по оси X и не совершает работу. Подставляя выражение проекции силы в формулу работы, получаем
А = F Дх cos а.
(87)
Работа силы F при перемещении Дх равна произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
г 110
Зависимость знака работы от взаимной ориентации силы и перемещения
Сила и перемещение — векторные величины, характеризующиеся как модулем, так и направлением.
Работа — скалярная физическая величина. Знак работы определяется знаком cos а.
Работа силы положительна (А2 > 0) (рис. 110, а), если угол а острый (0° < а < 90°), cos а > 0.
Аг > 0 (cos а > 0) а)
А2 < 0 (cos а 0) б)
А3 = 0 (cos а = 0) в)
Законы сохранения
135
Работа силы отрицательна (А2 < 0), если угол а тупой (90° < а < 180°), cos а < 0 (рис. 110, б). Работа силы F3, перпендикулярной перемещению, равна нулю (рис. 110, в).
Работа сил реакции, трения, тяжести. Найдем работу сил, действующих на тело массой т (рис. 111), соскальзывающее с вершины наклонной плоскости (точка 0) к ее основанию (точка 1). Угол наклона плоскости к горизонту а, ее высота Н, коэффициент трения скольжения ц.
Работа сил, действующих на тело, соскальзывающее с наклонной плоскости.
Работа силы трения при соскальзывании тела отрицательна. Работа силы тяжести не зависит от угла наклона плоскости
На скользящее тело действуют сила тяжести mg, сила реакции опоры N и сила трения FTp.
Работа силы реакции, перпендикулярной перемещению Дх, равна нулю.
Сила трения, направленная противоположно перемещению, составляет с ним угол 180°, поэтому работа силы трения отрицательна:
Атр = FTp Дх cos 180° = -FTp Дх.
TJ
Так как = uN, N = mg cos а, Дх = I = --, to
Tp	sin a
Д’р = -pmgH ctg a.
Сила тяжести составляет с перемещением угол (90° - а), поэтому ее работа
Ag = mgl cos (90° - a) = mgl sin a = mgH, (88) откуда видно, что работа силы тяжести зависит от высоты плоскости и не зависит от угла наклона плоскости (рис. 112, а).
Если на тело действует несколько сил, то полная работа (работа всех сил) равна сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.
136
Механика
112
Работа силы тяжести не зависит от формы траектории при перемещении тела из точки 0 в точку 1
▲ 113
Снижение физических усилий при применении наклонных лестниц
Полная работа силы тяжести при перемещении частицы из точки 0 в точку 1 по двум прямолинейным участкам 0 - 2 и 2 - 1 (рис. 112, б)
Ag = ^0—2 + ^2—1 *
Применяя формулу (88) для каждого участка и учитывая, что Н = hx + Л2, получаем
Ag = mghr + mgh2 = mgH.
При движении тела по произвольной траектории (рис. 112, в) между точками 01&1 работа силы тяжести также равна mgH.
Тело массой т можно равномерно поднять на высоту Н, совершив одну и ту же работу mgH двумя способами:
•	приложив силу, равную mg, по вертикали;
•	приложив меньшую силу, равную mg sin а, вдоль наклонной плоскости.
При этом меньшая сила должна действовать на большем перемещении Дх = H/sin а. Наклонная плоскость облегчает подъем тела на определенную высоту, хотя и увеличивает путь. Так, уменьшить усилия при подъеме позволяет применение наклонных лестниц (рис. 113).
ВОПРОСЫ
1.	Сформулируйте определение работы силы. В каких единицах измеряется работа9 В чем заключается физический смысл работы?
2.	При каких условиях работа силы положительна9 отрицательна9 равна нулю9
3.	Как зависимость силы от координаты влияет на величину работы силы9 Как можно найти работу графически9
Законы сохранения
137
4.	В каком случае штангист совершает ббльшую работу: при подъеме штанги массой 100 кг на высоту 2 м или при подъеме штанги массой 120 кг на высоту 1,5 м?
5.	Почему наклонные лестницы облегчают усилия при подъеме9
ЗАДАЧИ
1.	Для разрезания сыра толщиной 15 см требуется усилие 40 Н Какая при этом совершается работа?	[6 Дж]
2.	Деревянный контейнер массой т = 200 кг равномерно передвинули по деревянному полу на расстояние Z = 5 м Найдите работу, совершенную при таком перемещении. Коэффициент трения скольжения ц = 0,5 (см. табл 8).	[4,9 Дж]
3-	Сердце взрослого человека за одно сокращение прогоняет около 160 см3 крови Оно сокращается примерно 70 раз в минуту, совершая работу 1 Дж за каждое сокращение Какую работу совершает сердце за день?	[100 кДж]
4.	Упряжка собак, протащив сани по горизонтальному пути длиной 10 км, совершает работу 980 кДж Считая коэффициент трения равным 0,02, найдите массу саней [500 кг] 5. Найдите массу груза, если для его подъема на высоту 20 м подъемник совершает работу 9,8 кДж.	[50 кг]
§31. Потенциальная энергия
Потенциальная сила. Выражение для работы силы тяжести при перемещении тела массой т с высоты Нх на высоту Н2 (см. рис. 111) представим в виде
Ag = mg (Н1 - Н2) = mgH1 - mgH2. (89)
Из формулы 89 следует, что работа силы тяжести не зависит от формы пути. Сила тяжести является потенциальной силой.
Потенциальная сила — сила, работа которой при перемещении материальной точки зависит только от начального и конечного положений точки в пространстве.
Работа силы тяжести равна разности двух величин, называемых потенциальной энергией тела в начальном Ер1 = mgH1 и конечном Ер2 = mgH2 положениях:
V
Работа потенциальной силы не зависит от формы траектории движения тела.
Ag - Ер1 Ер2"
(90)
138
Механика
При неподвижном удержании человеком груза в поле тяжести Земли совершается работа и рука испытывает усталость, хотя видимое перемещение груза равно нулю.
Причиной этого является то, что мышцы человека испытывают постоянные сокращения и растяжения, приводящие к микроскопическим перемещениям груза.
т
▲ 114
Выбор нуля отсчета потенциальной энергии ЕрХ = mgH, Ер2 = О
Потенциальная энергия тела в данной точке — скалярная физическая величина, равная работе, совершаемой потенциальной силой при перемещении тела из этой точки в точку, принятую за нуль отсчета потенциальной энергии.
Единица потенциальной энергии — джоуль (Дж).
Работа силы тяжести определяется разностью начальной и конечной высот. Нуль отсчета потенциальной энергии выбирается произвольно.
Вблизи поверхности Земли в качестве нуля отсчета удобно выбирать потенциальную энергию на меньшей высоте (из начальной и конечной высот). На рисунке 114 Ер1 = mgH, Ер2 = 0.
Работа силы тяжести при перемещении из точки 1 в точку 2 равна
Ag = mgH.
Потенциальная энергия силы тяжести характеризует энергию гравитационного притяжения материальной точки к Земле.
Потенциальная энергия материальной точки массой т, поднятой на высоту Н над нулем отсчета,
Ер = mgH.
Полная работа сил, действующих на тело, соскальзывающее с наклонной плоскости, равна (рис. 111)
A =Ag + A^,	(91)
где Ag — работа силы тяжести, Атр — работа силы трения.
Сила трения в отличие от силы тяжести не является потенциальной силой, поэтому в общем случае суммарная работа всех сил, действующих на тело,
А=Ар+Апр,	(92)
где Ар — работа потенциальных сил, Апр — работа непотенциальных сил.
Законы сохранения
139
Принцип минимума потенциальной энергии. Если потенциальная энергия тела в начальном положении больше его потенциальной энергии в конечном положении (£р0 > Ер), то, согласно выражению (90), работа потенциальной силы положительна. Это означает, что угол между силой и перемещением острый. Следовательно, сила имеет компоненту в направлении перемещения, т. е. направлена в сторону убывания потенциальной энергии.
Подобная закономерность имеет общий характер и справедлива не только для гравитационного, но и для любого фундаментального взаимодействия.
Состояние с меньшей потенциальной энергией является энергетически выгодным.
и Принцип минимума потенциальной энергии — Любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна.
На рисунке 115 показаны три возможных случая равновесия шара, находящегося на опоре.
Устойчивое равновесие — равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия, возвращается в первоначальное положение.
При отклонении шара из положения равновесия его потенциальная энергия возрастает (рис. 115, а). Сила тяжести возвращает его к положению равновесия, в котором его потенциальная энергия минимальна.
Неустойчивое равновесие — равновесие, при котором тело, выведенное из положения равновесия, не возвращается в первоначальное положение (рис. 115, б).
Безразличное равновесие — равновесие, при котором соседние положения тела также являются равновесными (рис. 115, в).
Если толкнуть тело в любую сторону, то оно, согласно первому закону Ньютона, будет двигаться прямолинейно и равномерно, удаляясь от начального положения.
Е р Р0
в)
115
Равновесие шара на опоре: а) устойчивое; б) неустойчивое; в) безразличное
140
Механика
ВОПРОСЫ
1.	Какая сила называется потенциальной?
2.	Дайте определение потенциальной энергии
3.	Чему равна результирующая работа силы тяжести при подъеме с Земли тела массой т на высоту Н и при последующем его опускании обратно на Землю9
4.	В чем состоит принцип минимума потенциальной энергии9 Почему потенциальная сила направлена в сторону убывания потенциальной энергии9
5.	Сформулируйте определения устойчивого, неустойчивого, безразличного равновесия и приведите примеры
ЗАДАЧИ
1.	Тело массой т =1 кг имеет потенциальную энергию Ер = 9,8 Дж На какую высоту над Землей поднято тело, если нуль отсчета потенциальной энергии находится на поверхности Земли?	[1м]
2.	Землекоп, выкапывая яму глубиной 1 м, длиной 2 м и шириной 1 м, выбрасывает глину на уровень земли Считая плотность глины равной 2 103 кг/м3, найдите изменение потенциальной энергии глины и минимальную работу, совершенную землекопом
[19,6 кДж]
3.	В цилиндрической бочке находится 200 л воды Высота столба воды в бочке 1 м Найдите изменение потенциальной энергии воды после ее вытекания* а) на поверхность Земли, 6) на поверхность Луны	[-9,8 кДж; -1,6 кДж]
4.	Найдите работу, которую надо совершить, чтобы положить друг на друга в одну стопку пять словарей, лежащих отдельно на столе высотой 1 м Масса каждого словаря 2 кг, а толщина 10 см	[3,92 Дж]
5.	Какую работу против силы тяжести совершает штангист, поднимая штангу массой 200 кг на высоту 2 м9	[3,92 кДж]
116
Перемещение тела к Земле под действием силы тяжести
§ 32. Потенциальная энергия сил гравитации и упругости
Работа силы тяжести. Рассмотрим работу, совершаемую силой тяжести при перемещении тела массой т из точки 1, находящейся на расстоянии г от центра Земли, в точку 2 (рис. 116).
Расстояние от точки 2 до центра Земли обозначим г-Н. Будем считать, что перемещение Н мало по сравнению сг(Н « г).
Сила тяжести тела на расстоянии г по закону всемирного тяготения определяется согласно равенству (66):
Г.-Ср*.
Законы сохранения
141
Работу силы тяжести, постоянной в пределах малого перемещения Н, можно записать согласно определению (87):
Ае = FH cos 0° = G^^H.	(93)
Работа любой потенциальной силы равна разности потенциальной энергии в начальном и конечном положениях тела (см. формулу (90)):
Ag = Ep(r)-Ep(r-Н).	(94)
Потенциальная энергия гравитационной силы. Проверим, что уравнение (94) превращается в тождество, если потенциальная энергия в поле тяжести Земли тела массой /и, находящегося на расстоянии г от ее центра, имеет вид
(г) =
(95)
Подставляя выражения для потенциальной энер-
гии Е (г) и Е (г - Н) =	в выражение (94),
р	р	г — Н
получаем
Потенциальная энергия взаимодействия тел зависит от расстояния между телами, а не от их координат. (Конечно, расстояние между телами зависит от координат.) Расстояние во всех инерциальных системах отсчета одно и то же. Поэтому потенциальная энергия не зависит от выбора системы отсчета. В то же время потенциальная энергия зависит от нуля отсчета.
•Л,--Стме(1 -
GinM® r(r - Н)
Н.

Так как Н « г, то величиной Н в знаменателе можно пренебречь. В этом приближении полученное выражение совпадает с (93), что подтверждает правильность выбора формулы (95) для потенциальной энергии.
Работа силы тяжести вблизи поверхности Земли г « R®
GM®
А‘~т-^н-
Так как ускорение свободного падения g =
(см. (68)), то работа силы тяжести вблизи поверхности Земли
117
Зависимость потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли от расстояния между телом и центром Земли
Ag = mgH.
Графиком зависимости потенциальной энергии тела в поле тяжести Земли от расстояния
142
Механика
а) । A Zo х0
118
Работа силы упругости при растяжении и сжатии пружины: а) нерастянутая пру жина длиной lQ (Al = 0) F = 0;
х упр
б) растянутая пружина длиной 10 + А10 (Al0 = х0) ^упрО = ^хо» в) сжимающаяся пружина длиной lQ + AZ (AZ = х) ^упр =
до центра Земли является отрицательная гипербола (рис. 117).
Согласно соотношению (95):
•	на поверхности Земли (г = R®) потенциальная энергия гравитационной силы минимальна:
Ep(r) = -^®=-mgR@;	(96)
•	начало отсчета потенциальной энергии находится на бесконечно большом расстоянии от центра Земли. На этом расстоянии стремится к нулю и сила гравитационного притяжения тела к Земле.
Работа силы упругости. Рассчитаем работу силы упругости пружины.
Предположим, что на нерастянутую пружину длиной Zo действует внешняя сила F (рис. 118, а).
После того как удлинение Л/о пружины становится равным х0 (координата ее правого конца), внешняя сила прекращает свое действие (рис. 118, б). В результате действия силы упругости Fynp = fex0, направленной к положению равновесия, пружина сжимается.
Найдем работу силы упругости при изменении координаты правого конца пружины от х0 до х. Модуль перемещения правого конца пружины Дх = х0 - х (рис. 118, в). Так как сила упругости при изменении удлинения пружины от AZ0 = х0 до А1 = х изменяется от Fynp = kxQ до Fynp = fex, то следует использовать ее среднее значение, равное полусумме начального и конечного значений:
_ fex0 + fex_ k( упр. ср 2	к)*
Так как направления средней силы упругости Fynp ср и перемещения Ах совпадают, то для вычисления работы надо умножить среднюю силу на перемещение:
[р = | (х0 + х)(х0 - х) =	.	(97)
Законы сохранения
143
Потенциальная энергия силы упругости. Как видно из выражения (97), работа силы упругости зависит только от начального и конечного удлинений пружины. Это означает, что сила упругости — потенциальная сила.
Работа потенциальной силы равна разности потенциальной энергии в начальном и конечном положениях тела.
Следовательно, потенциальная энергия пружины в начальном положении (см. формулу (97))
Потенциальная энергия упругодеформирован-ной пружины (сжатой или растянутой) зависит от степени ее деформации. Она имеет наибольшее значение, когда пружина максимально сжата или растянута.
Л₽0 - “2~ •
Потенциальная энергия упругодеформирован-ной пружины (или тела) равна
kx2
2 ’
(98)
где х — удлинение (или сжатие) пружины, k — жесткость пружины.
Начало отсчета потенциальной энергии (Ер = 0) соответствует нерастянутой пружине, удлинение х которой равно нулю.
Потенциальная энергия упругодеформирован-ной пружины равна работе силы упругости при переходе пружины из деформированного состояния в нед сформированное.
Графиком зависимости потенциальной энергии упругой пружины от ее деформации является парабола (рис. 119).
Правая ветвь параболы, соответствующая положительному удлинению (х > 0), определяет потенциальную энергию растяжения. Ее левая ветвь (х < 0) характеризует потенциальную энергию сжатия. Начало координат соответствует положению равновесия недеформированной пружины (х = 0).
119
Зависимость потенциальной энергии упругой пружины от ее деформации
144
Механика
ВОПРОСЫ
1.	При каком выборе начала отсчета потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли будет отрицательна9
2,	Почему потенциальная энергия минимальна на поверхности Земли9
3,	Почему сила упругости является потенциальной силой?
4,	Как потенциальная энергия силы упругости пружины зависит от деформации пружины9
5,	Почему правая ветвь параболы (см рис 119) определяет потенциальную энергию растяжения, а левая ветвь — потенциальную энергию сжатия9
ЗАДАЧИ
1.	Почему движение планет и спутников по эллиптической орбите не может быть равномерным9
2,	Ракета поднимает спутник сначала на высоту h = R® над поверхностью Земли, а затем запускает его на круговую орбиту на этой высоте Найдите отношение работ на поднятие 2^ и на запуск А2 спутника	[А1/А2 = 2]
3,	При растяжении пружины на 2 см совершена работа 1 Дж. Какую работу следует совершить, чтобы растянуть пружину еще на 2 см9	[3 Дж]
4.	Пружина сжимается дважды из положения равновесия первый раз на 3 см, второй раз на 6 см Во сколько раз энергия, накопленная пружиной при повторном сжатии, больше, чем при первоначальном9	[в 4 раза]
5.	Шар массой т = 0,2 кг, прикрепленный к горизонтальной, закрепленной с другого конца пружине, отводят от положения равновесия на расстояние А = 0,2 м и отпускают Частота возникающих при этом гармонических колебаний шара v = 2 Гц Определите максимальную силу упругости Fmax, действующую на шар, и его механическую энергию.
[6,32 Н; 15,8 Дж]
§ 33. Кинетическая энергия
При совершении работы над системой изменяется ее энергия.
Пружина заведенных часов поддерживает их ход вопреки силам трения, препятствующим движению колес и стрелок.
Теорема о кинетической энергии. Определим физическую величину, изменяющуюся при совершении силой работы.
Рассмотрим для этого движение тела массой тп, скорость которого увеличивается от и0 до v под действием всех приложенных к нему сил (рис. 120).
Работа равнодействующей постоянной силы F, совпадающей по направлению с перемещением Дх, равна
А = ^Дх.
Законы сохранения
145
120
Изменение кинетической энергии в результате действия силы на конечном перемещении
— и2	— у2
Так как F = та, Дх = —-—5 , то А = та—-—5, 2а	2а
или
(99)
Л
Левая часть формулы (работа) является пространственной характеристикой внешнего воздействия на тело (систему).
Правая часть содержит изменение физической величины, которая характеризует энергию движения тела, или кинетическую энергию.
Кинетическая энергия тела — скалярная физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости:
(100) а
Кинетическая энергия, как и работа, измеряется в джоулях (Дж).
Кинетическая энергия в начальный момент времени
£м)-
Формулу (99) называют теоремой о кинетической энергии.
Теорема о кинетической энергии
Изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело:
Ek — Ek0 = A.	(101)
Энергия — от греч. епёг-geia — действие;
кинетическая — от греч. kinetikos — приводящий в движение.
Понятие кинетической энергии было введено в 1849 г. английским ученым Уильямом Томсоном, получившим за научные заслуги титул лорда Кельвина.
Кинетическая энергия зависит от скорости тела, следовательно, ее значение зависит от выбора системы отсчета.
146
Механика
121
Определение тормозного пути автомобиля
Теорема о кинетической энергии сводится к равенству
2
Ek=^=A,	(102)
&
если в начальный момент времени тело неподвижно (и0 = 0, Ek0 = 0).
Кинетическая энергия тела массой т, движущегося со скоростью v, равна работе, которую совершает суммарная сила для сообщения покоящемуся телу этой скорости.
Тормозной путь автомобиля. В случае торможения тела, обладающего начальной кинетической
„ г mvo	/ л
энергией Ek0 = —-, вплоть до остановки (и = 0,
Zu
Ek = 0), теорему о кинетической энергии (101)
следует представить в виде
А = -Е
_ mv§
(ЮЗ)
Таблица 11
Тормозной путь автомобиля на разном дорожном покрытии
Скорость, км/ч	Тормозной путь, м	
	Сухой бетон	Мокрый бетон
40	8	12,5
60	18	28
80	32	50
120	72	112,5
Найдем тормозной путь автомобиля — расстояние, проходимое им до полной остановки (рис. 121). В процессе торможения на автомобиль действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения. Сила тяжести и сила реакции опоры направлены перпендикулярно перемещению автомобиля, поэтому их работа равна нулю. Это означает, что суммарная работа всех сил равна работе силы трения скольжения. Учитывая, что сила направлена противоположно перемещению I и что FTp = \iN = pmg, находим
А = Arp = -\imgl.
Подставим выражение для А в формулу (103):
_ mv%
-\imgl =	-2 ,
&
Законы сохранения
147
откуда
/=^-.
Следовательно, тормозной путь не зависит от массы автомобиля.
Тормозной путь прямо пропорционален квадрату скорости и обратно пропорционален коэффициенту трения.
В таблице 11 указан тормозной путь автомобиля при нескольких значениях начальной скорости на сухом и мокром бетонном покрытии дороги.
ВОПРОСЫ
1	- Сформулируйте определение кинетической энергии тела Какие единицы энергии вам известны9
2.	Сформулируйте теорему о кинетической энергии
3.	Может ли оставаться неизменной кинетическая энергия тела, если равнодействующая сил, приложенных к нему, отлична от нуля9
4.	От каких физических величин зависит тормозной путь автомобиля9
5.	В каком случае требуется ббльшая энергия — при запуске спутника вдоль меридиана или вдоль экватора (в сторону вращения Земли)9
ЗАДАЧИ
1,	Ракета, летящая со скоростью и, разгоняется до вдвое большей скорости В результате сгорания топлива полная масса ракеты уменьшается вдвое по сравнению с массой до разгона Как изменяется при этом кинетическая энергия ракеты9
[увеличивается в 2 раза]
2,	Шар массой 1 кг, летящий со скоростью 4 м/с, при ударе сжимает пружину Найдите максимальную энергию сжатия пружины	[8 Дж]
3.	Серьезной опасностью при межпланетных перелетах может стать столкновение космического корабля с небольшими высокоскоростными метеоритами Определите энергию микрометеорита массой 1 кг, движущегося со скоростью 60 км/с.	[1,8 МДж]
4.	Энергия 7,4-1016 Дж, выделяемая 1 турана-235, идет на ускорение космического корабля массой 3000 т Какую максимальную скорость может набрать корабль?
[220 км/с]
5.	Пуля массой т = 9 г вылетает из винтовки со скоростью v0 = 650 м/с. На расстоянии 400 м от места выстрела скорость пули становится равной v = 390 м/с Какую часть от своей начальной кинетической энергии потеряла пуля на этом расстоянии в результате трения о воздух? Найдите работу сил сопротивления воздуха при полете пули.
[0,64; -1,22 кДж]
148
Механика
§ 34. Мощность
В качестве единицы мощности в 1783 г. Джеймс Уатт ввел лошадиную силу (л. с.), иногда используемую даже в настоящее время.
Л. с. — средняя работа за 1 с, которую могла совершить сильная ломовая лошадь, равномерно работающая целый день. 1 л. с. = 746 Вт.
Средняя мощность. Скорость совершения работы характеризуют физической величиной, называемой мощностью. Подобно введению средней скорости в кинематике, в динамике вводят среднюю мощность.
Средняя мощность — скалярная физическая величина, равная отношению работы к промежутку времени, за который она совершена:
(104)
Единица мощности — ватт (Вт):
1 Вт = 1 Дж/с.
Найдем среднюю мощность автомобиля массой т = 2 т, требуемую для его разгона до скорости v = 108 км/ч = 30 м/с из состояния покоя, за время t = 10 с (рис. 122). (Автомобиль набирает такую скорость на расстоянии I = vt/2 = 150 м от места старта.)
122 ►
Определение средней мощности автомобиля, необходимой для разгона до требуемой скорости, за заданный промежуток времени
и = 108 км/ч
I = 150 м
Работа, совершаемая двигателем, идет на увеличение кинетической энергии автомобиля. Используя теорему о кинетической энергии в виде (102), находим по формуле (104) среднюю мощность автомобиля:
г • ;о;-зо‘ (Дж) _ 90 кВт. ср t 2t 2 • 10 v с /
Реально для такого разгона автомобиля требуется большая средняя мощность из-за затрат
Законы сохранения
149
энергии на преодоление сил трения и сопротивления воздуха.
Мгновенная мощность. Подобно введению мгновенной скорости в кинематике, в динамике используют понятие мгновенной мощности.
Мгновенная мощность — скалярная физическая величина, равная отношению работы к промежутку времени At, в течение которого она совершена (при At —> О).
При перемещении Ах проекция силы F совершает работу А = Fx Ах (см. (85)).
Мгновенная мощность
Сила сопротивления воздуха при больших скоростях движения автомобиля возрастает пропорционально квадрату его скорости. Поэтому на скоростных гоночных автомобилях ставят двигатели значительно большей мощности, чем на обычных.
Fxbx
Р = lim —— м -> о Д£
= F lim —
х М
Согласно равенству (4)
lim — д*->о Д£
= Vx>
где их — проекция мгновенной скорости на направление перемещения.
Окончательно получаем
__________Р =	_________J (Ю5)
Мгновенная мощность равна произведению проекций силы, действующей на тело, и скорости в направлении его перемещения.
Следовательно, чем больше скорость автомобиля, тем меньшая сила тяги (равная силе статического трения колес о землю) требуется для ее поддержания (при постоянней мощности двигателя):
Требуемая сила тяги обратно пропорциональна скорости автомобиля. С ростом скорости водитель может переходить на повышенные передачи. При этом вращение колес будет происходить с большей скоростью, но при меньшем усилии.
Человек в хорошем физическом состоянии может развивать мощность около 0,1 л. с., т. е. 75 Вт. В течение очень коротких интервалов времени человеческий организм способен развивать мгновенную мощность, в несколько раз превышающую это значение (до нескольких кВт). Скрытые резервы мощности человеческого организма огромны.
150
Механика
ВОПРОСЫ
1,	Сформулируйте определение средней мощности. В каких единицах измеряется мощность9
2.	Чему равна мгновенная мощность9
3-	К каким величинам относится мощность: скалярным или векторным9
4.	Почему при увеличении скорости автомобиля требуется меньшая сила тяги для ее поддержания?
5-	На что расходуется мощность двигателей палубного истребителя, зависшего над авианосцем9
ЗАДАЧИ
1.	Какой минимальной мощностью должен обладать двигатель подъемника, чтобы поднять груз массой 100 кг на высоту 20 м за 9,8 с9	[2 кВт]
2.	Вентиляторный ремень автомобиля, движущийся со скоростью 40 м/мин, натянут с силой 30 Н. Определите мощность, передаваемую ремнем	[20 Вт]
3.	Река Замбези в Центральной Африке приносит к водопаду Виктория ежеминутно 90 млн л воды (высота падения воды около 100 м) Найдите мощность водопада Виктория.	[1470 МВт]
4.	Чему равна мощность сердца спортсмена во время соревнований, если при одном ударе оно совершает работу 16 Дж, а ежеминутно делает 180 ударов9	[48 Вт]
5.	При вдыхании человеком 1 л кислорода в организме (в результате взаимодействия кислорода с белками, жирами и углеводами) выделяется энергия 20 кДж Для нормального функционирования организма человеку массой 70 кг требуется (даже во время сна) приток мощности 80 Вт. Какой объем вдыхаемого воздуха в секунду обеспечит такой приток мощности?	[4 мл]
§ 35. Закон сохранения механической энергии
Полная механическая энергия. Для системы, в которой действуют потенциальные силы, удобно ввести понятие полной механической энергии.
Полная механическая энергия системы тел определяется положением тел и их скоростью.
Полная механическая энергия системы — сумма ее кинетической и потенциальной энергий:
Е =	+ Ер-
Законы сохранения
151
Найдем закон изменения полной механической энергии и условия, при которых полная механическая энергия системы сохраняется. Представим работу сил, действующих на тело, в виде суммы работ потенциальных и непотенциальных сил в теореме о кинетической энергии (101):
Ek~Ek0^Ap+Anp.	(106)
Работа потенциальных сил равна разности потенциальной энергии тела в начальном EpQ и конечном Ер состояниях.
__ Закон изменения механической энергии — Изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил:
Потенциальная энергия зависит от положения тел, т. е. от расстояния между ними. Кинетическая энергия определяется скоростью тел.
Кинетическая энергия всегда положительна, а потенциальная энергия может быть как положительной, так и отрицательной в зависимости от выбора нуля отсчета.
(£fe + Ep)-(Efc0 + Ep0) = Anp, (107)
где левая часть равенства — изменение полной механической энергии, правая — работа непотенциальных сил.
Механическую систему, в которой отсутствуют непотенциальные силы, называют консервативной.
Консервативная система — механическая система, в которой действуют только потенциальные силы.
В такой системе Апр = 0.
Закон сохранения механической энергии .
В замкнутой консервативной системе полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем):
Ek + Ep = EkG + Ер0. (108)
Закон сохранения полной механической энергии получен из законов Ньютона (справедливых для описания движения системы макрочастиц).
152
Механика
Однородность времени состоит в том, что при одинаковых начальных условиях протекание физических процессов не зависит от того, в какой момент времени эти условия созданы. Справедливость закона сохранения энергии подтверждается экспериментально с высокой степенью точности.
Однако этот закон имеет более широкую область применимости, чем законы Ньютона. Полная механическая энергия сохраняется и для систем микрочастиц, для которых законы Ньютона неприменимы.
Закон сохранения механической энергии является следствием однородности времени.
Потенциальная энергия консервативной системы не может изменяться во времени при неизменной конфигурации системы.
Закон сохранения полной механической энергии предполагает взаимное превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно в равных количествах. При этом полная энергия остается неизменной.
Механическая энергия физических объектов и явлений
Таблица 12
Физический объект, явление	Энергия, Дж	Физический объект, явление	Энергия, Дж
Молекула воздуха при комнатной температуре	10~21	Атомная бомба	ю14
Электрон в атоме	1018	Ураган	1015
Деление ядра урана	1011	100 МВт-водородная бомба	ю17
Протон в ускорителе, прыгающая блоха	10-7	Землетрясение (8 баллов по шкале Рихтера)	1018
Клавиша компьютера	10-2	Извержение вулкана	1019
Сердцебиение	0,5	Солнечное излучение, ежегодно попадающее на Землю	ю25
Яблоко, падающее с высоты 1 м	1		
Горящая спичка	103	Вращение Земли вокруг оси	ю29
Стайер после часового бега, взрыв 1 кг тринитротолуола	106	Движение Земли вокруг Солнца	1033
Сгорание 1 л бензина	107	Солнечное излучение за год	1034
Сгорание 1 м3 дров	109	Взрыв сверхновой звезды	1044
Разряд молнии	1О10	Излучение радиогалактики	1055
Космическая ракета	10й	Рождение Вселенной	ю68
Законы сохранения
153
В таблице 12 приведена механическая энергия некоторых физических объектов и явлений.
Применение закона сохранения энергии. С помощью закона сохранения механической энергии значительно проще находить кинематические величины, чем при непосредственном применении законов движения и законов динамики Ньютона.
Рассмотрим примеры таких расчетов.
Определение начальной скорости тела, брошенного вертикально
Найдем начальную скорость и0, с которой теннисист при подаче подбрасывает мяч вертикально. Обычно теннисист выпускает мяч на высоте yQ = 2 м от покрытия, подбрасывая его на максимальную высоту i/max = 3,5 м (рис. 123).
Решение.
Если пренебречь непотенциальной силой сопротивления воздуха, то систему «мяч — Земля» можно считать консервативной. Для консервативной системы выполняется закон сохранения механической энергии:
Ek + Ер = Ek0 + Ер0‘
Примем за начало отсчета потенциальной энергии точку бросания мяча (EpQ = 0). В этой точке кинетическая энергия мяча массой т равна
г, _ mv%
Скорость мяча в верхней точке v = 0. Соответственно
Ek = °> Ер = т§Н = т£ («/max ~ У0>-
Из закона сохранения механической энергии следует, что
▲ 123
Определение начальной скорости мяча, подбрасываемого теннисис том при подаче.
Кинетическая энергия мяча максимальна в нижней точке, а по тенциальная — в точке максимального подъема
откуда начальная скорость мяча
v0 = j2gH ® 5,4 м/с.
154
Механика
Примерно с такой скоростью игроки экстракласса подбрасывают при подаче теннисный мяч.
Скорость тела, брошенного под углом к горизонту, на определенной высоте
Докажем, что снаряды, вылетающие из орудия с начальной скоростью и0, на одной и той же высоте имеют одинаковый модуль скорости v (рис. 124).
124
Траектории снарядов, вылетающих с одинаковой начальной скоростью vQ под разными углами к горизонту
Решение.
Это следует из закона сохранения механической энергии (за начало отсчета потенциальной энергии принята точка вылета снаряда из орудия):
+тён=^.
Эта закономерность справедлива при любой массе снаряда (в отсутствие сопротивления воздуха), так как в этом выражении можно сократить массу. Следовательно,
v=Jv§-2gH.
ВОПРОСЫ
1	- Что называется полной механической энергией системы9 Сформулируйте закон изменения механической энергии
2.	Какая система тел называется консервативной9
3-	При каких условиях полная механическая энергия системы сохраняется9
4-	Воспользовавшись решением задачи (рис 123), определите скорость мяча, падающего на Землю без начальной скорости с высоты 1,5 м
5-	Почему снаряды, выпущенные из одного орудия под разными углами к горизонту, имеют одинаковую скорость на одной и той же высоте9
Законы сохранения
155
ЗАДАЧИ
1	- Найдите максимальную высоту, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх со скоростью v0 = 20 м/с	[20,4 м]
2.	Пружинный пистолет выбрасывает резиновую пулю на высоту 18м над поверхностью Земли. На какую максимальную высоту поднялась бы пуля, если бы выстрел был сделан с поверхности Марса9	[47,7 м]
3-	Найдите скорость входа в воду прыгуна с пятиметрового трамплина, если начальная скорость отталкивания спортсмена v0 = 5 м/с.	[11,1 м/с]
4.	Авиалайнер летит на высоте 9,2 км со скоростью 1080 км/ч Принимая, что нуль отсчета потенциальной энергии находится на поверхности Земли, найдите, какую часть от полной механической энергии составляют соответственно кинетическая и потенциаль-ная энергии	[2/3; 1/3]
5.	Ядро массой т = 5 кг свободно падает на Землю с высоты Н = 10 м. Определите изменения потенциальной и кинетической энергий ядра в точке падения. Найдите скорость ядра на высоте h = 5 м и при ударе о Землю, пренебрегая сопротивлением воздуха.
§ 36. Абсолютно неупругое
и абсолютно упругое столкновения
Виды столкновений. Под столкновением в физике понимают взаимодействие тел при их относительном перемещении. Для классификации результата этого взаимодействия вводят понятие абсолютно неупругого и абсолютно упругого ударов.
Абсолютно неупругий удар — столкновение тел, в результате которого тела движутся как единое целое.
Примерами абсолютно неупругого удара является столкновение метеорита с Землей, мухи с лобовым стеклом автомобиля, пули с песком, захват нейтрона ядром урана, присоединение электрона ионом и т. д.
Абсолютно упругий удар — столкновение, при котором деформация тел оказывается обратимой, т. е. исчезающей после прекращения взаимодействия.
156
Механика
125
Неупругий удар пули о яблоко: яблоко деформируется, пуля теряет часть энергии
126
Абсолютно неупругое столкновение грузовика с легковым автомобилем. Перегрузка, испытываемая пассажирами, обратно пропорциональна массе автомобиля
Например, футбольный мяч после удара о стенку восстанавливает шарообразную форму.
Абсолютно упруго сталкиваются многие элементарные частицы, бильярдные шары, теннисный мяч с ракеткой.
Абсолютно неупругий и абсолютно упругий удары являются физическими моделями для описания реальных столкновений (рис. 125).
Абсолютно неупругий удар. Рассмотрим в качестве примера абсолютно неупругого удара столкновение грузовика, движущегося со скоростью р0 = 36 км/ч = 10 м/с, с легковым автомобилем, стоящим у светофора (рис. 126).
Ui	а2
Длительность удара t = 0,2 с. Масса грузовика тг = 4000 кг, масса автомобиля т2 = 1000 кг.
Найдем ускорение грузовика и автомобиля в результате удара.
Запишем закон сохранения импульса для замкнутой системы тел «грузовик — автомобиль»: тп1б0 = (т1 4- т2) р, где v — их общая скорость после удара.
Тогда
При неупругом ударе механическая энергия системы не сохраняется. Часть кинетической энергии сталкивающихся тел идет на их необратимую деформацию, изменяя внутреннюю энергию тел (переходя в тепло).
->	ГПл ->
V = ------- Рл.
тх 4- т2
Изменение скорости грузовика и автомобиля в результате столкновения соответственно равно тг
Д"1 = v - р0 = —р— v0 - р0 = л/i-j I iii>2
т± 4- т2
т9
= ----—vQ,
J тг 4- т2 и
тА
---V-- vo-
тг + т2 и
= ”о
Лб2 = v - 0 =
Законы сохранения
157
В результате столкновения грузовик получает ускорение
At?! _	т2	vQ
At	+ т2 At'
Знак «минус» означает, что ускорение грузовика направлено противоположно скорости его движения: ах 11 v0 (движение замедленное).
Ускорение автомобиля после столкновения
Ag2 = v_ = ТП1 ^0
At At + т2 At'
При этом а2 ft v (движение ускоренное). Подставляя числовые значения, находим
=	1000	22. (м/с2) = 10 м/с2 « е
1	4000 + 1000 0,2 1 7 ' iU ' g’
а2 = , l00^ „ 12 (м/с2) = 40 м/с2 « 4g.
2	4000+1000 0,2 v	'	®
При рассмотрении такого столкновения силы сцепления колес автомобилей с дорогой (внешние силы) много меньше сил, возникающих при деформации автомобилей (внутренние силы). Поэтому рассматриваемую систему можно считать замкнутой и использовать для нее закон сохранения импульса.
Сравнение ускорений аг и а2 показывает, что перегрузка, которой подвергаются пассажиры автомобиля при таком столкновении, гораздо больше перегрузки водителя грузовика.
При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия не сохраняется.
Часть кинетической энергии грузовика, которая расходуется на деформацию автомашин, определяется из соотношения
(mr + m2)v2
~~2~ ~	2
^1^0
2 *
Подставляя v в это соотношение, находим
тг
у = т1 + т2
Абсолютно упругий удар. Рассмотрим столкновение двух бильярдных шаров, имеющих одинаковую массу т и движущихся навстречу друг
Пассажиры автомобиля, не пристегнутые ремнем безопасности, после лобового столкновения автомобилей продолжают по инерции движение вперед.
Силы реакции приборного щитка, ветрового стекла, действующие на пассажиров, оказываются значительными из-за большого ускорения, приобретаемого пассажирами, и могут привести к серьезным травмам.
158
Механика
127 ► Упругий удар бильярдных шаров: а)	до столкновения; б)	после столкновения	v ”10	^^20^^ а)	W7——V 51=г20.^	/Ж52=151О б)	<=>6> -	-	> *- ДРУГУ со скоростями и10 и и20, направленными вдоль линии, соединяющей центры шаров (рис. 127). Найдем скорости и v2 шаров после удара. Закон сохранения импульса в проекции на ось X для замкнутой системы шаров имеет вид mv10 - mv20 = mv1 + mv2.	(109) Уравнение (109) содержит два неизвестных: и v2. Для их однозначного определения требуется
При нецентральном абсолютно упругом столк-	еще одно уравнение — закон сохранения энергии:
новении одинаковых шаров они разлетаются под углом 90° друг к другу.	mt,io + mvlo	+mvl 2	2	2	2	1	' Сокращая обе части (109) на т и обе части (110) на ти/2 и перегруппировывая слагаемые, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: 1 ”10 - ”1 = У2 + У20’	П1П ] п2 _ п2 = п2 _ п2 [i?io	v2 и20. Разделив почленно второе уравнение системы (111) на первое, приходим к равносильной системе: | ”10 “ ”1 = V2 + У20’	(112) 1 ”10 V1 = V2 ~ ”20*
При упругом центральном ударе покоящийся шар приобретает большую скорость, чем при неупругом ударе, при котором часть энергии расходуется на деформацию шара.	Вычитая из второго уравнения системы первое, получаем ”1 = “и20‘ Знак «минус» означает, что скорость первого шара после столкновения направлена противоположно оси X.
Законы сохранения
159
128
Упругое центральное столкновение движущегося бильярдного шара с неподвижным:
а) система до столкновения;
б) система после столкновения
Сложение уравнений системы (112) дает р2 = ^10-
В результате упругого столкновения одинаковые шары обмениваются проекциями скорости на линию, соединяющую их центры.
Шар, движущийся с большей начальной скоростью, при этом замедляется, теряя энергию, а более медленный ускоряется, приобретая энергию.
В частном случае — если один шар движется со скоростью и10 = v9 а второй шар покоится, и20 = 9. После соударения первый шар остановится: = 0, а другой начнет двигаться со скоростью v2 = и (рис. 128).
При центральном ударе шаров движущийся шар останавливается, а неподвижный приобретает скорость движущегося.
Скорости тел различной массы после абсолютно упругого удара зависят от соотношения масс тел (рис. 129).
до столкновения
X
после столкновения
б)
. 129
Столкновение шарика для настольного тенниса с бильярдным шаром (т « М): а) до столкновения неподвижен шар; б) до столкновения неподвижен шарик
160
Механика
ВОПРОСЫ
1.	Какой удар является абсолютно неупругим9 Приведите примеры такого удара
2.	Какой удар считается абсолютно упругим9 Приведите примеры такого удара.
3-	Почему в результате абсолютно неупругого удара шаров их суммарная кинетическая энергия уменьшается9
4.	Покоящийся шар приобретает скорость в результате центрального соударения с другим шаром При каком ударе (упругом или неупругом) эта скорость больше9 Почему9
5.	Почему в результате абсолютно упругого столкновения одинаковых шаров шар, движущийся с большей скоростью, замедляется, а шар, движущийся с меньшей скоростью, ускоряется9
ЗАДАЧИ
1	- Какой молоток (легкий или тяжелый) при ковке теряет большую часть своей энергии9 Почему9
2.	Во сколько раз скорость, приобретаемая при ударе двух одинаковых шаров неподвижным шаром, больше при упругом ударе, чем при неупругом9	[в 2 раза]
3-	Какую часть своей первоначальной энергии теряет электрон при центральном упругом соударении с неподвижным атомом9 Масса электрона те много меньше массы ато-ма та	[4те/та]
4.	При радиоактивном (самопроизвольном) делении неподвижное ядро атома может распадаться на две частицы с различной массой тп1 и т2 С помощью законов сохранения импульса и энергии покажите, что энергия продуктов распада обратно пропорциональна их массе, т е менее массивная частица уносит большую энергию
5.	Пуля массой т = 9 г, летящая со скоростью и0 = 600 м/с, попадает в ящик с песком массой М = 2 кг, висящий на веревке длиной I = 2 м, прикрепленной к потолку, и застревает в нем Какая часть энергии пули была израсходована на деформацию ящика9 На какой максимальный угол от вертикали отклонится веревка в результате выстрела9
[99,5%; 35,5°]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
	Взаимодействие тел происходит в пространстве и во времени Временнбй характеристикой действия силы является произведение силы на длительность ее действия — импульс силы F At.
Единица импульса силы — ньютон-секунда (Н с)
Импульс силы определяет изменение импульса тела р
p-p0 = Fbt.
	Импульс тела — векторная_физи-ческая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
р = mv.
Соответственно
Ро = mv0,
где v0 — скорость тела в начальный момент времени
Единица импульса тела — килограмм-метр в секунду (кг м/с).
Законы сохранения
161
	Импульс системы тел — векторная сумма импульсов тел, входящих в систему.
Замкнутая система — система тел, для которой равнодействующая внешних сил равна нулю.
	Закон сохранения импульса: суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой.
Сохранение импульса отражает один из типов симметрии физического пространства — его однородность.
Закон сохранения импульса — теоретическая основа реактивного движения.
Однородность пространства означает, что параллельный перенос замкнутой системы на некоторое расстояние не влияет на взаимодействие тел системы.
	Пространственной характеристикой действия силы является работа силы — произведение проекции силы на ось X на перемещение по этой оси.
А = (F cos а) Дх,
где F — модуль силы, Дх — модуль перемещения, а — угол между силой и перемещением.
Единица работы — джоуль (Дж), 1 Дж = 1 кг м2/с2.
	В механике силы делят на две группы. потенциальные и непотенциапь-ные
	Потенциальная сила — сила, работа которой при перемещении тела зависит только от начального и конечного положений тела в пространстве. Для непотенциальной силы работа зависит от траектории
движения тела между начальным и конечным положениями тела.
Потенциальная энергия тела в данной точке — скалярная физическая величина, равная работе, совершаемой потенциальной силой при перемещении тела из этой точки в точку, принятую за начало отсчета потенциальной энергии.
Потенциальная энергия тела на высоте Н над поверхностью Земли
Ер = mgH.
	Принцип минимума потенциальной энергии: любая замкнутая система стремится перейти в такое состояние, в котором ее потенциальная энергия минимальна.
Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли, находящегося на расстоянии г от ее центра
E(r) = -G^® F	Г
где М® — масса Земли.
Потенциальная энергия упругоде-формированной пружины жесткостью k, растянутой на величину х:
г - kx2 Ер-~2~-
Кинетическая энергия тела — скалярная величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости-тр _ ши2 - —•
Соответственно
где vQ — скорость тела в начальный момент времени
162
Механика
	Теорема о кинетической энергии: изменение кинетической энергии тела равно работе всех сил, действующих на тело:
Ek ~ Ek0 = А.
	Средняя мощность — скалярная физическая величина, равная отношению работы к промежутку времени, за который она совершена.
N =-. с₽ t
Единица мощности — ватт (Вт), 1 Вт = 1 Дж/с.
	Мгновенная мощность равна произведению проекции силы, действующей на тело, и проекции скорости в направлении его перемещения.
N = FXVX-
	Полная механическая энергия системы — сумма ее кинетической и потенциальной энергий
E = Ek + Ep.
	Кинетическая энергия — энергия, обусловленная движением тела Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тела с другими телами.
Закон изменения полной механической энергии: изменение механической энергии системы равно работе всех непотенциальных сил
(Ek + Ер> ~ (Ek0 + Еро) = Апр-
Консервативная система — механическая система, в которой действуют только потенциальные силы.
	Закон сохранения механической энергии: в замкнутой консервативной системе полная механическая энергия сохраняется (не изменяется со временем).
Ek + Ep = Ek0 + Ер0-
Кинетическая энергия может переходить в потенциальную и обратно в равных количествах
Сохранение механической энергии является следствием однородности времени.
Однородность времени означает, что одинаковые физические эксперименты, поставленные в различные моменты времени, дают одинаковые результаты
	Абсолютно неупругий удар — столкновение, при котором тела в результате взаимодействия движутся как единое целое
При таком ударе кинетическая энергия системы не сохраняется.
	Абсолютно упругий удар — столкновение, при котором деформация тел оказывается обратимой, т е. тела восстанавливают свою форму.
В результате абсолютно упругого столкновения одинаковые шары обмениваются компонентами скорости вдоль линии, соединяющей их центры
Динамика периодического движения
§ 37. Движение тел
в гравитационном поле
Траектория тел, движущихся с малой скоростью. При рассмотрении кинематики периодического движения (см. § 18), такого как вращение Земли и других планет вокруг Солнца, движение спутников планет, мы предполагали, что их скорости вращения известны. Теперь нам предстоит рассчитать эти скорости, полагая, что единственной силой, удерживающей планеты вблизи Солнца, Солнце в Галактике, приводящей к образованию отдельных звезд и звездных скоплений, является сила гравитационного притяжения.
Казалось бы, что под действием гравитационного притяжения все тела во Вселенной должны стянуться в одно плотное образование. Однако этого не происходит. Что же препятствует такому объединению тел?
Рассмотрим в качестве примера тело массой тп, находящееся в точке К на высоте Н над поверхностью Земли (рис. 130). На тело со стороны Земли действует сила тяжести mg, направленная к центру Земли. Если начальная скорость тела равна нулю (либо направлена к центру Земли), то тело свободно падает на Землю по прямой, вдоль силы тяжести.
При наличии горизонтальной компоненты начальной скорости тело движется практически
”1
▲ 130
Траектория движения тел, имеющих начальную скорость, не превышающую первую космическую скорость, в гравитационном поле Земли, Первая космическая скорость — минимальная скорость для запуска искусственного спутника Земли (Vj = 7,9 км/с)
6*
164
Механика
по параболической траектории, падая на Землю в точке 1. С увеличением начальной скорости по оси X (v2 > рх) тело падает на Землю в точке 2, находящейся на большем расстоянии от точки К, чем точка 1.
Первая космическая скорость. Начиная с некоторой скорости рр названной первой космической (или круговой) скоростью, тело удаляется от Земли так быстро, что не падает на Землю. Становясь искусственным спутником Земли, тело движется вокруг нее по круговой орбите.
С увеличением высоты орбиты круговая скорость уменьшается. Например, на высоте 200 км круговая скорость меньше первой космической на 124 м/с.
Первая космическая (круговая) скорость — минимальная скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли (или небесного тела), чтобы тело могло двигаться вокруг Земли (или небесного тела) по круговой орбите.
При движении тела вокруг Земли по окружности радиусом R@ + Н на тело действует гравитационная сила
F = G
ё (R@+Н)2'
сообщающая телу нормальное (центростремительное) ускорение
„ _ V2 п R&+H'
По второму закону Ньютона
V2 =G
R@+ н (R®+Н)2'
131
Эллиптическая орбита спутника Земли (и >
Сокращая обе части равенства на —-— , полу-
R® + н
чаем горизонтальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно двигалось по окружности вокруг Земли на высоте Н:
Iq М®
R®+ Н
v =
Динамика периодического движения
165
Если тело запускается на круговую орбиту с поверхности Земли Н ~0(Н « R), то
N Я®
Согласно формуле (68) G	= g, поэтому
R®
V!= JgR®-'I (ИЗ)
Первая космическая скорость
Uj = л/9,8 м/с2 • 6,4 • 106 м =7,9 км/с.
Если начальная скорость тела превысит круговую скорость, то тело удалится от Земли на большее расстояние, однако сила гравитации удержит его вблизи Земли. При этом тело, оставаясь спутником Земли, движется по эллиптической орбите, вытянутой вдоль направления, перпендикулярного направлению начальной скорости (рис. 131).
Наиболее простое построение эллипса показано на рисунке 132 по аналогии с достаточно «экзотическим» способом изображения окружности.
Фокус эллиптической орбиты спутника (рис. 131) совпадает с центром Земли.
FrK — перигей орбиты (наименьшее удаление спутника от центра притяжения Земли);
F17T1 — апогей орбиты (наибольшее удаление спутника от центра притяжения Земли).
При дальнейшем увеличении скорости запуска тело все дальше удаляется от Земли, при этом эллиптическая орбита существенно вытягивается.
Вторая космическая скорость. Найдем скорость, начиная с которой тело способно вырваться в космическое пространство, преодолев притяжение Земли, т. е. удалиться от Земли на бесконечно большое расстояние.
Для вычисления второй космической скорости воспользуемся законом сохранения механической энергии (см. § 35). Кинетическая энергия тела мас-
Окружность как частный случай эллипса: а) построение окружное ши: привязав разные концы одной нити к двум булавкам, воткнутым в одну точку О, карандашом, натягивающим нить, соединяют все возможные точки;
б) построение эллипса: раздвинув булавки и за крепив их в двух точ ках Ft и F2, называемых фокусами, используют тот же прием построения.
ККг — большая ось эллипса,
ВХВ2 — малая ось эллипса
166
Механика
Параболическая траектория ракеты, удаляющейся от Земли со второй космической скоростью
Вторая космическая скорость — минимальная скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли (или небесного тела) для того, чтобы оно преодолело гравитационное притяжение Земли (или небесного тела).
сой т при запуске EkQ =	, а его начальная по-
тенциальная энергия Ер0 = -mgR@.
При удалении тела на бесконечно большое расстояние от Земли его потенциальная энергия Ер = 0. Скорость запуска будет минимальной, если в конечном состоянии скорость ракеты обратится в нуль. Следовательно, Ek = 0.
В рассматриваемом случае закон сохранения механической энергии имеет вид
л т ит2т „ о =
Значит, вторая космическая скорость
Третья космическая скорость — минимальная скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли для того, чтобы оно преодолело гравитационное притяжение Солнца:
= 16,7 км/с.
Развив скорость и > иш, автоматическая межпланетная станция «Пионер» вышла в 1983 г. за пределы Солнечной системы.
гп ==	= 11,2 км/с.
Вторая космическая скорость в J2 раза больше первой космической.
При однократном выстреле с поверхности Земли ракета, стартующая со второй космической скоростью, сгорела бы из-за нагревания в результате трения о воздух в плотных слоях атмосферы, поэтому космическая ракета постепенно ускоряется, набирая вторую космическую скорость в сильно разреженных верхних слоях атмосферы.
Параболическая траектория ракеты, запущенной с поверхности Земли со второй космической скоростью, показана на рисунке 133.
При запуске ракеты с поверхности Земли со скоростью, большей второй космической (и > ип), ракета преодолевает гравитационное притяжение
Динамика периодического движения
167
Земли, имея на бесконечно большом расстоянии от нее определенную скорость. В этом случае ракета движется по гиперболической траектории. Так же как и в случае запуска со второй космической скоростью, движение ракеты уже не является периодическим. Возможные траектории ракеты при разной горизонтальной начальной скорости запуска показаны на рисунке 134.
Строго говоря, движение тел со скоростью, меньшей первой космической (v < Vj)9 происходит по эллипсу, у которого фокус F2 находится в центре Земли.
Фактором, препятствующим гравитационному Притяжению тел, является их скорость и соответственно кинетическая энергия.
Планеты и кометы Солнечной системы движутся по эллиптическим орбитам вокруг основного центра гравитационного притяжения — Солнца (рис. 135).
В таблице 13 приведены: среднее расстояние от Солнца до ближайших планет, выраженное в астрономических единицах, их период обращения Т и вторая космическая скорость на этих планетах.
vx=0	Vi,f2 <v
( прямая)	( эллипсы )
4k 134
Траектория снарядов, вылетающих горизонтально, вблизи поверхности Земли с различной скоростью
Астрономическая единица — среднее расстояние от Земли до Солнца: 1 а. е. = 1,5 • 108км.
3 135
Эллиптические орбиты планет и комет.
Орбиты планет лежат примерно в одной плос кости. Движение комет происходит в различных плоскостях
168
Механика
Таблица 13
Некоторые характеристики ближайших
планет Солнечной системы
Планета	rQ, а. е.	Т, лет	ип, км/с	Планета	ГО, а. е.	Т, лет	ип, км/с
Меркурий	0,39	0,24	4,2	Марс	1,53	1,88	5,0
Венера	0,72	0,62	10,3	Юпитер	5,21	11,9	60,0
Земля	1,00	1,00	11,2	Сатурн	9,55	29,5	36,1
В О П Р о с ы
1.	Что называют первой и второй космической скоростью9 Каковы их величины9
2.	Сформулируйте определения перигея и апогея эллиптической орбиты
3.	По какой траектории движется тело, имеющее скорость: 1) v < ц, 2) и = ц, 3) ц < v < uN,
4)	v = pn; 5) v > Рц9
4. Какой фактор способствует стягиванию всех тел во Вселенной в одно сплошное образование и какой фактор препятствует этому объединению?
5. Солнце притягивает Луну сильнее, чем Земля. Почему в таком случае Луна — спутник Земли, а не самостоятельная планета?
ЗАДАЧИ
1.	Спутник вращается вокруг Земли на небольшой высоте. Определите период его обращения, если радиус Земли R = 6400 км.
Г2л /- = 1 ч 25 мин!
L Ng	J
2.	Чему равна плотность планеты, если период обращения вокруг нее спутника/дви-жущегося на небольшой высоте, равен Г?
Г 1 \_GT2 J
3.	Вокруг звезды по круговым орбитам, радиусы которых и R2, вращаются две планеты Период обращения первой планеты Т, Найдите период обращения второй планеты 4 5
4. Чему равна первая космическая скорость на планете, масса и радиус которой в 2 раза больше, чем у Земли9	[7,9 км/с]
5. Найдите вторую космическую скорость для планеты, имеющей радиус, равный радиусу Земли, и плотность, в 4 раза превышающую плотность Земли. [22,4 км/с]
Динамика периодического движения
169
§ 38. Динамика свободных колебаний
Свободные колебания пружинного маятника. При рассмотрении кинематики периодических движений мы отмечали, что колебательное движение происходит вдоль одного и того же отрезка с периодическим изменением направления движения (подобно колебаниям маятника). Теперь нам предстоит выяснить причины возникновения колебательного движения, определить его период, пространственные масштабы и энергетические характеристики.
Принципиально возможны два варианта колебаний в системе: под действием внешних и внутренних сил.
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием внешней периодической силы.
Примером вынужденных колебаний является раскачивание боксерской груши при периодических ударах в нее. К вынужденным колебаниям относится движение иглы швейной машины.
Свободные (собственные) колебания — колебания, происходящие под действием внутренних сил в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.
Такими колебаниями являются, например, колебания маятника часов.
Главной особенностью систем, в которых происходят свободные колебания, является наличие у них положения устойчивого равновесия.
Рассмотрим свободные колебания горизонтального пружинного маятника (рис. 136).
Он состоит из тележки массой т, прикрепленной к вертикальной стенке пружиной жесткостью k. Тележка может практически без трения переме-
Необходимые условия для возникновения свободных колебаний: • наличие энергии, избыточной по сравнению с энергией системы в положении устойчивого равновесия;
• работа силы трения в системе должна быть значительно меньше избыточной энергии.
В отсутствие этих условий колебания быстро затухают или не возникают вообще.
170
Механика
136	а)
Свободные	
( собственные ) колебания пружинного маятника: а) груз в положении рае новесия (нерастянутая	t < 0
пружина ); б) начальное отклоне	б)
ние груза (максималь ное растяжение); в) возвращение груза	t = 0
в положение равновесия	в)
(максимальная ско	+ 1 „
рость ); г) остановка груза (максимальное сжатие	t=iT
пружины );	г)
д) прохождение грузом	
положения равновесия (максимальная ско-	t=2T
рость ); е) возвращение груза в	д) о
начальное положение	
(максимальное растяжение )	
е)
t = Т
щаться по горизонтальной поверхности. При любом положении тележки сила тяжести mg и сила реакции N уравновешивают друг друга.
При растяжении пружины на х0 = А на тело начинает действовать сила упругости, направленная к положению равновесия. Если отпустить тело в момент времени t = 0, то оно начинает двигаться влево. Пройдя по инерции положение равновесия, в котором сила упругости становится равной нулю, тело начинает сжимать пружину. При сжатии пружины появляется возрастающая сила уп
Динамика периодического движения
171
ругости, направленная вправо. Именно она затормозит тело на расстоянии А слева от положения равновесия (координата тела по оси X в этот момент времени t = Т/2 равна -А).
Точка поворота — точка, в которой скорость колеблющегося тела равна нулю. Под действием силы упругости тело начинает двигаться вправо к положению равновесия. Пройдя его по инерции, тело, растягивая пружину, через промежуток времени Г, равный периоду колебаний, попадает в первоначальное положение. Затем процесс колебаний пружинного маятника повторяется.
Период колебаний — интервал времени, в течение которого происходит одно полное колебание.
Свободные колебания пружинного маятника являются гармоническими, т. е. отклонение маятника от положения равновесия изменяется со временем косинусоидально:
х = A cos соо£,	(114)
где А — амплитуда колебаний.
Так как косинус изменяется в пределах от (-1) до (+1), то координата тела лежит в промежутке
-А < х < А.
Амплитуда колебаний — максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия.
Аргумент косинуса (или синуса) при гармонических колебаниях характеризует фазу колебаний а = coof.
Такой величиной может быть не обязательно координата, как в рассматриваемом случае, но и давление, сила тока, сопротивление и т. д.
При рассмотрении гармонических колебаний величина соо называется циклической частотой (а не угловой скоростью, как при вращательном движении).
172
Механика
137
График свободных гармонических колебаний пружинного маятника
Устойчивая система, выведенная из положения равновесия, возвращается к нему в результате гармонических колебаний.
График свободных гармонических колебаний приведен на рисунке 137.
Чтобы найти период гармонических колебаний пружинного маятника, воспользуемся вторым законом Ньютона, записанным в проекции на ось X:
™ах ~~ “^упр. х'
С учетом закона Гука
max = -kx.	(115)
Подставляя в эту формулу зависимость координаты х и ускорения ах от времени, получаем
-тпсо^А cos соо£ = -kA cos соо£.
Сокращая это равенство на A cos co0t и умножая его на (-1), имеем
тсо$ = k.	(116)
Следовательно, циклическая частота собственных гармонических колебаний пружинного маятника
©о =
(117)
Связь периода свободных колебаний с циклической частотой известна:
Т = — = 2я 6.
со 0	ш
(И8)
Различные типы колебаний описываются подобно друг другу. Например, колебательное движение жидкости в U-образ-ной трубке аналогично колебаниям маятника.
Таким образом, период свободных колебаний пружинного маятника не зависит от начальных условий (амплитуда, скорость), а полностью определяется собственными характеристиками колебательной системы (жесткостью k и массой т).
Жесткость пружины характеризует силу взаимодействия (силу упругости): чем больше жесткость, тем сильнее воздействие на маятник,
Динамика периодического движения
173
тем быстрее он раскачивается и тем меньше его период колебания.
Масса характеризует инертные свойства маятника: чем больше масса, тем медленнее раскачивается маятник, тем больше его период колебаний.
Энергия свободных колебаний. Рассмотрим взаимосвязь энергии и амплитуды собственных колебаний пружинного маятника. В отсутствие сил трения колебательная система является консервативной, поэтому для нее выполняется закон сохранения полной механической энергии Е:
Ek + Ep = Ek0 + Ер0-
В начальный момент времени кинетическая энергия маятника, отклоненного на расстояние х0=А и отпущенного со скоростью ио = О (см. рис. 136), равна нулю. Согласно выражению (98)
р _ kA2
Еро~—-
Следовательно, Е = Ер0.
Полная механическая энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды:
v_kA2 Е-^~.
С ростом энергии колебаний возрастает их амплитуда:
(И9)
(120)

Как видно из формулы (120), чем жестче пружина (чем больше k), тем меньше амплитуда колебаний.
Хотя полная механическая энергия гармонических колебаний пружинного маятника сохраняется, его кинетическая и потенциальная энергия
138
Кинетическая, потен циальная и полная механическая энергия при свободных гармонических колебаниях
174
Механика
непрерывно изменяются. Потенциальная энергия зависит от координаты по квадратичному закону:
Кинетическая энергия маятника в сумме с потенциальной (рис. 138, а), согласно закону сохранения энергии, равна полной механической энергии:
mv2 . kx2 = р = kA2
“2" Т "2“ ‘
(121)
На рисунке 138, б изображены графики зависимостей Ер (х) и Ек (х).
Потенциальная энергия максимальна в точках (	kA2 А
поворота [Ер тах = -у J, когда х = ±А, и минимальна (Ер min = 0) в положении равновесия при х = 0. Кинетическая энергия, наоборот, минимальна (Ek min = 0) в точках поворота и макси-(	kA2 А
мальна в положении равновесия I Ek max = I.
ВОПРОСЫ
1.	Какие колебания называют вынужденными9 Приведите примеры
2.	Какие колебания называют свободными9 Приведите примеры В чем главная особенность систем, в которых происходят свободные колебания9
3.	Что такое период и амплитуда колебаний9
4.	Как период колебаний пружинного маятника зависит от его массы и жесткости пружины9
5.	Как полная механическая энергия гармонических колебаний зависит от их амплитуды9
ЗАДАЧИ
1.	Во сколько раз отличается период колебаний пружинных маятников в невесомости? Массы маятников равны т и 2т	[ J2 ]
2.	Горизонтальному пружинному маятнику сообщается начальная скорость р0, направленная от положения равновесия. Найдите максимальное отклонение маятника от положения равновесия, если известна частота собственных колебаний маятника со0. [ио/<оо]
Динамика периодического движения
175
3.	Смещение горизонтального пружинного маятника массой 10 г от положения равновесия изменяется по закону х = 0,4 sin (1ij Определите жесткость пружины Постройте графики зависимости кинетической и потенциальной энергии маятника от времени С какой частотой изменяется с течением времени кинетическая и потенциальная энергия9 Чему равна полная механическая энергия маятника9
4.	Шарик массой т свободно падает с высоты Н на вертикально расположенную пружину, сжимающуюся на величину AZ под действием его удара Определите жесткость пружины
Г2т£(Н + д»1
La/2 J
5.	Горизонтальный пружинный маятник с периодом собственных колебаний Т отклоняют от положения равновесия на расстояние а и отпускают без начальной скорости Чему равна скорость маятника на расстоянии а/2 от положения равновесия?	.
Г 1,5ла “1 I “~ J
§ 39. Колебательная система под действием внешних сил
Затухающие колебания. Пружинный маятник является удобной моделью для изучения гармонических колебаний (кривая 1 на рис. 139).
В реальной системе механическое движение всегда сопровождается трением. Силы трения, направленные противоположно перемещению маятника, совершают отрицательную работу, уменьшая его механическую энергию. Согласно формуле (119) постоянное уменьшение энергии приводит к непрерывному уменьшению амплитуды колебаний. Колебания становятся затухающими (кривая 2).
Затухающие колебания — колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени.
Примером таких колебаний являются колебания маятника незаведенных механических часов. Энергия сжатой пружины не может компенсировать потери энергии на трение в опоре и о воздух.
При увеличении трения сопротивление движению оказывается столь значительным, что выве-
А 139
Графики колебаний: 1 — гармонические ко лебания;
2 — затухающие коле бания;
3 — апериодическое движение
176
Механика
Крепление к корпусу
Масло _
Рабочий-цилиндр
Резервуар-для масла
Крепление-
к оси колеса
Колесо
а)
140
Схема работы аморти затора:
а)	при попадании колеса в яму:
б)	при наезде на препятствие
денный из положения равновесия маятник, теряя энергию, не проходит через положение равновесия (кривая 3). Подобное неповторяющееся движение называется апериодическим, т. е. не имеющим периода. Специальным устройством для гашения колебаний кузова автомобиля на неровной дороге, переводящим колебания в апериодический режим, является амортизатор (рис. 140), в котором вязкое трение поршня в масле возрастает с увеличением скорости.
Статическое смещение. Предположим, что на пружинный маятник, находящийся в положении равновесия (рис. 141, а), действует постоянная сила FQ, направленная вдоль оси X (рис. 141, б).
141
Пружинный маятник под действием постоянной силы: a) Fo = 0;
б) Fq = Const
Динамика периодического движения
177
При растяжении пружины возрастает сила упругости, которая при удлинении х0 компенсирует внешнюю силу Fo. Равновесие возникает при условии равенства сил (рис. 141, б):
^упр ~	~ Л)«
Под действием постоянной силы Fo положение равновесия маятника смещается на
х0=т°.	(122)
Статическое смещение — изменение положения равновесия колебательной системы под действием постоянной силы.
Учитывая связь жесткости k пружины с частотой со0 собственных колебаний маятника массой т (см. (116)), представим статическое смещение в виде
х = А. Л0	9 •
7ПС0§
Измеряя статическое смещение пружины с известной жесткостью, можно определить массу тела, подвешенного на пружине (рис. 142).
142
Измерение массы тела по статическому смещению.
Шкала градуируется в единицах массы
178
Механика
Характеристики свободных колебаний, возникающих в системе, находящейся под действием постоянной силы, оказываются такими же, как и в ее отсутствие. Единственное отличие состоит в том, что колебания возникают и происходят относительно нового положения равновесия.
ВОПРОСЫ
1.	Какие колебания называют затухающими9 Приведите примеры
2.	Почему в механических часах используется заводная пружина9
3.	Какое движение называют апериодическим9 Приведите примеры
4.	При каких условиях в колебательной системе возникает апериодическое движение9 5. Что такое статическое смещение? Изменяются ли характеристики свободных колебаний при наличии статического смещения9
ЗАДАЧИ
1.	Чему равно растяжение вертикальной пружины, жесткость которой k = 245 Н/м, под действием подвешенного груза массой т = 0,5 кг9	[2 см]
2.	Два килограмма картофеля вызывают растяжение пружинных весов на 2 см Определите жесткость пружины. Чему равен возможный период собственных колебаний этой массы картофеля при незначительной встряске весов9	[980 Н/м; 0,28 с]
3.	Груз, подвешенный к пружине динамометра, совершает по вертикали гармонические колебания, период которых Т = 0,4 с Найдите растяжение пружины под действием этого груза в отсутствие колебаний	[4 см]
4.	Отклонение от положения равновесия горизонтального пружинного маятника изменяется с течением времени по закону х = 0,04 cos2 nt м Найдите статическое смещение, амплитуду и период колебаний маятника	[0,02 м; 0,02 м; 1 с]
5.	Отклонение от положения равновесия горизонтального пружинного маятника массой т = 1 кг зависит от времени по закону х = -0,04 sin2 nt м Определите статическое смещение, амплитуду, период и частоту колебаний, число колебаний в единицу времени, жесткость пружины и постоянную силу, действующую на маятник
[-0,02 м; 0,02 м; 1 с; 6,28 рад/с; 1 Гц; 39,5 Н/м; 0,79 Н]
§ 40. Вынужденные колебания. Резонанс
Система, находящаяся в состоянии безразлич-ного равновесия. Наряду со свободными колебаниями, происходящими под действием внутренних сил, в системе возможны колебания, вызванные периодической внешней силой.
Динамика периодического движения
179
Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием периодической внешней силы.
Эти колебания могут возникать как в колебательных системах, т. е. системах, имеющих положение устойчивого равновесия, так и в системах, не обладающих этим свойством.
Рассмотрим тело массой т, покоящееся на гладкой горизонтальной плоскости, находящееся в состоянии безразличного равновесия (рис. 143).
◄ 143
Вынужденные колебания тела массой т, находящегося в состоянии без различного равновесия, под действием внешней периодической силы
Пусть под действием периодической внешней силы тело совершает вынужденные колебания. Найдем отклонение тела от положения равновесия в произвольный момент времени при таких колебаниях.
Будем считать, что внешняя сила изменяется косинусоидально с частотой со и амплитудой Fo:
Fx = Fo cos cot.	(124)
Ускорение тела, согласно второму закону Ньютона,
o=^=^cos®t,	(125)
х т т
Подобные колебания совершает, например, поршень в цилиндре двигателя внутреннего сгорания или паровой машины.
^0
где — = ап — амплитуда ускорения тела. т
180
Механика
Вынужденные гармонические колебания тела совершаются по закону
х = A cos со£, где х — отклонение тела от положения равновесия, А — амплитуда вынужденных колебаний.
Для гармонических колебаний их амплитуда
связана с амплитудой ускорения: А =	, поэтому
со2
В отличие от статиче-
ского смещения амплитуду вынужденных гармонических колебаний иногда называют динамическим смещением.
К системам, имеющим положение устойчивого равновесия, относят, в частности: маятник часов, жидкость в U-образной трубке, ареометр в жидкости, дома, мосты, камертон.
А=Д.	(126)
Выбирая начало отсчета по оси X в начальном положении тела, можно утверждать в соответствии с выражением (126), что оно колеблется между
точками х = 0их = 2А = —с частотой со измене-т со2
ния внешней силы. Соответственно период Т вынужденных колебаний равен —. Подобное колесо
бательное движение можно наблюдать на соревнованиях конькобежцев, когда при поступательном движении спортсмена его тело смещается вдоль беговой дорожки и еще колеблется перпендикулярно ей.
Система, имеющая положение устойчивого равновесия (колебательная система). Рассмотрим характерные особенности вынужденных колебаний в системе, в которой возможны собственною колебания с частотой со0 в отсутствие внешнего воздействия. Такой системой является, например, пружинный маятник.
Предположим, что на горизонтальный пружинный маятник массой т (жесткость пружины k) действует по оси X периодическая внешняя сила Fx = F0cos mt (рис. 144).
Для определенности будем считать, что в начальный момент времени пружина максимально растянута (х0 = А) и неподвижна (р0 = 0). В этот момент сила упругости пружины Fynp > Fx = Fo.
Динамика периодического движения
181
144
Вынужденные колебания пружинного маятника под действием внешней периодической силы Fx = Fq cos cot
Если маятник отпустить, то он ускоренно начнет двигаться влево, а потом, сжимая пружину, возвратится в первоначальное положение. Затем процесс повторится. В системе возникнут вынужденные гармонические колебания с частотой вынуждающей силы со и с амплитудой А:
х=А coscot.	(127)
Амплитуда вынужденных колебаний. Чтобы найти амплитуду вынужденных колебаний маятника, воспользуемся вторым законом Ньютона. По оси X на маятник действуют сила упругости пружины Fynp = —kx и внешняя периодическая сила поэтому второй закон Ньютона имеет вид тах = -kx + Fq cos cot.	(128)
Скорость маятника оказывается максимальной, когда он проходит положение равновесия. Ускорение маятника максимально по модулю в точках поворота, в которых скорость маятника равна нулю (х = ±А).
Используя выражение для ускорения при колебательном движении (см. (40) при г = А)
ах = -а2А cos at	(129)
и формулу (127), запишем второй закон Ньютона в виде
-та2А cos at = -kA cos at + Fo cos at. (130)
Сокращая выражение на cos at n учитывая, что k = таг0, согласно равенству (116), получаем выражение для амплитуды вынужденных колебаний:
А =
т(а$ - а2)
(131)
182
Механика
Как следует из этой формулы, амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты со вынуждающей силы. Для построения графика полученной зависимости рассмотрим предельные случаи малых и больших частот.
•	При со = О Fx = Fo, т. е. на маятник действует постоянная сила, не зависящая от времени. В этом случае, согласно выражению (127), х = А, а из формулы (131) следует, что
mcog ’
▲ 145
Резонансные кривые: 1 — при отсутствии трения; 2 — при нали чии трени 1
Полученное соотношение определяет статическое смещение маятника, совпадающее с выражением (126).
•	Если частота вынуждающей силы меньше частоты собственных колебаний (со < соо), то при увеличении частоты со разность (со§ - со2) в знаменателе дроби (131) уменьшается. Это означает, что при частоте со < соо амплитуда вынужденных колебаний увеличивается с ростом частоты (рис. 145, кривая 1).
•	При большой частоте со частота вынуждающей силы существенно превосходит частоту собственных колебаний (со » соо). В этом случае величиной со0 в знаменателе выражения (131) можно пренебречь по сравнению с со:
т coz
Аналогичное выражение амплитуды (см. (126)) было получено при описании вынужденных колебаний тела, не имеющего положения устойчивого равновесия, т. е. при отсутствии пружины.
Амплитуда вынужденных колебаний обратно пропорциональна квадрату частоты со.
При частоте со » со0 амплитуда вынужденных колебаний убывает с ростом частоты. Закон убывания — квадратная гипербола (рис. 145,
Динамика периодического движения
183
Резонанс. Если частота вынуждающей силы приближается к частоте собственных колебаний (со -> соо), то знаменатель выражения (131) стремится к нулю. В этом случае амплитуда колебаний резко возрастает, стремясь к бесконечности при со = соо.
Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебании при совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы.
Резонанс — от лат. resono — откликаюсь.
Резонансная кривая — график зависимости амплитуды вынужденных колебаний системы от частоты изменения внешней силы.
При резонансе внешняя сила действует синхронно со свободными колебаниями системы. На протяжении всего периода свободных колебаний направление внешней силы F совпадает с направлением перемещения Дх колеблющегося тела.
Работа, совершаемая внешней силой, при резонансе положительна, поэтому полная механическая энергия системы
Е = Eq + Fx Дх постоянно возрастает из-за резонансного поглощения энергии.
Быстрое увеличение энергии колеблющегося тела ведет к резкому возрастанию амплитуды вынужденных колебаний, так как, согласно равенству (120),
A- JE.
При получении формулы (131) мы пренебрегли трением. Именно с этим приближением связано стремление к бесконечности амплитуды вынужденных колебаний при резонансе. Нереальность полученного результата означает, что учет трения принципиально необходим при описании вынужденных колебаний вблизи резонанса.
Если частота вынуждающей силы со не равна частоте соо свободных колебаний системы, то вынуждающая сила будет действовать не в такт со свободными колебаниями системы.
В целом за период результирующая работа вынуждающей силы будет невелика, поэтому оказывается незначительной и амплитуда вынужденных колебаний.
184
Механика
При свободных колебаниях система получает избыточную энергию однократно: при ее выведении из положения равновесия.
В случае вынужденных колебаний источник внешнего периодического воздействия сообщает системе дополнительную энергию непрерывно.
146
Резонансное разрушение моста Такома Нэроуз в 1940 г.
Потери энергии на трение приводят к уменьшению полной механической энергии колебаний и соответственно к уменьшению их амплитуды (рис. 145, кривая 2).
Многие физические объекты, обладая определенной упругостью, могут совершать собственные колебания. Поэтому внешнее периодическое воздействие на них может оказаться резонансным. Изучение явления резонанса позволяет избежать отрицательных последствий этих воздействий и использовать энергетические ресурсы резонансных процессов.
Известно, что для прекращения расплескивания воды в ведре необходимо изменить темп ходьбы. При этом изменяется частота внешней силы, вызывающей резонансные колебания воды.
Избежать нежелательного резонанса можно и изменяя частоту собственных колебаний системы. Пластилин, прикрепленный в центре оконного стекла, предотвращает его дребезжание, возникающее при проезде автомашин мимо окон, так как эффективное увеличение массы стекла изменяет частоту его собственных колебаний.
На рисунке 146 показано разрушение моста, произошедшее в результате совпадения собственной частоты его колебаний с частотой турбулентных воздушных вихрей.
Мосты в Анжере в 1750 г. и в Петербурге в 1906 г. были разрушены в результате резонанса !
Динамика периодического движения
185
частоты строевого шага марширующих военных с частотой собственных колебаний моста.
При землетрясении разрушаются здания одинаковой высоты, так как их собственная частота колебаний определяется высотой и совпадает с частотой колебаний почвы.
Явление резонанса позволяет с помощью сравнительно малой силы получить значительное увеличение амплитуды колебаний и поэтому используется в вибромашинах в горнодобывающей промышленности, а также при разработке мерзлого грунта. Более подробно на использовании явления резонанса в радио, телевидении, медицине, исследованиях Вселенной мы остановимся в следующих главах.
Первые реактивные самолеты, набирая скорость, близкую к скорости звука (1200 км/ч), разрушались из-за флаттера (резонансное возрастание колебаний крыльев под действием турбулентных воздушных потоков). Предотвратить это явление удалось, поместив в крылья дополнительный груз, масса которого изменяла частоту собственных колебаний крыльев.
ВОПРОСЫ
1.	Какое равновесие называют безразличным9
2.	Возможны ли свободные колебания в системе, находящейся в состоянии безразличного равновесия9
3.	Возможны ли свободные колебания в системе, имеющей положение устойчивого равновесия9
4.	Что такое резонанс9 Почему резонансная кривая при наличии трения располагается ниже, чем при его отсутствии9
5.	Как можно избежать нежелательного резонанса? Как можно использовать энергетические ресурсы резонансных процессов9
ЗАДАЧИ
1.	Шар массой т = 0,1 кг, находящийся на гладком горизонтальном столе, колеблется под действием внешней силы, изменяющейся с течением времени по закону F = = 0,25 cos 5t Н Найдите зависимость ускорения шара от времени, его максимальное ускорение Чему равна амплитуда колебаний шара?	[2 м/с2; 0,1 м]
2.	Шар массой т = 0,1 кг присоединяется к горизонтально расположенной, закрепленной на другом конце пружине Амплитуда колебаний шара под действием внешней вынуждающей силы F = 0,25 cos 5t Н возрастает в 5 раз по сравнению со случаем, когда он находился в состоянии безразличного равновесия Определите жесткость пружины
[3 Н/м]
3.	Ускорение пружинного маятника, совершающего вынужденные колебания по оси X, изменяется со временем по закону ах = -0,8 cos 4t м/с2 Определите амплитуду колебаний маятника	[0,05 м]
186
Механика
4.	На пружинный маятник, имеющий частоту собственных колебаний соо = 114,6 град/с, действуют последовательно вынуждающие силы одинаковой амплитуды, но разной частоты = 0,5 cos 1,9t и F2 = 0,5 cos 1,95f Жесткость пружины k = 50 Н/м Чему равна амплитуда вынужденных колебаний маятника, происходящих под действием каждой из этих сил9	[0,1 м; 0,2 м]
5.	К горизонтально расположенному пружинному маятнику приложена постоянная сила Fo, вызывающая его статическое смещение от положения равновесия После прекращения действия этой силы на маятник действует периодическая внешняя сила с амплитудой Fo. На сколько процентов отличается частота вынуждающей силы от частоты собственных колебаний маятника, если амплитуда вынужденных колебаний больше статического смещения в 10 раз?	[5,1 %]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
	Движение тел по замкнутым орбитам в гравитационном поле Земли является периодическим.
	Первая космическая (круговая) скорость — минимальная скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли для выведения его на круговую орбиту вокруг Земли:
Uj = 7,9 км/с.
	Вторая космическая скорость — минимальная скорость, которую надо сообщить телу у поверхности Земли для того, чтобы оно преодолело гравитационное притяжение Земли.
ип =11,2 км/с.
Форма траектории тела в зависимости от начальной скорости запуска с поверхности Земли:
Начальная скорость v0	Траектория
vo< f|	эллипс
и0 = Ц	окружность
V, < Vo < Ц|	эллипс
uo =	парабола
P0 > Ц|	гипербола
	Колебательное движение в системе может происходить под действием
внутренних сил и под действием внешних сил.
	Свободные (собственные) колебания — колебания, происходящие под действием внутренних сил в системе, выведенной из положения равновесия и предоставленной самой себе.
	Циклическая частота собственных гармонических колебаний пружинного маятника
“о-Д’
где k — жесткость пружины, т — масса маятника
	Период свободных колебаний пружинного маятника
	Амплитуда колебаний — максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия.
	Полная механическая энергия гармонических колебаний пропорциональна квадрату их амплитуды
kA2
Е ~ ~2~'
Динамика периодического движения
187
	Затухающие колебания — колебания, амплитуда которых уменьшается с течением времени.
	Апериодическое движение в колебательной системе — неповторяющееся (не имеющее периода) движение, возникающее из-за значительных сил трения, противодействующих движению.
	Статическое смещение — изменение положения равновесия колебательной системы под действием постоянной силы.
	Вынужденные колебания — колебания, происходящие под действием периодической внешней силы.
	Амплитуда вынужденных колебаний пружинного маятника массой т
зависит от частоты со вынуждающей силы.
Л)
7П(С0^ “ СО2) ’
где соо — частота собственных колебаний пружинного маятника, Fo — амплитуда периодической внешней силы F = Fq cos cot
Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты внешней силы с частотой собственных колебаний системы.
Резонансная кривая — график зависимости амплитуды вынужденных колебаний системы от частоты изменения внешней силы.
Релятивистская механика
§41. Постулаты специальной теории относительности
В опыте Майкельсона и Морли сравнивались скорости распространения света вдоль направления орбитальной скорости Земли вокруг Солнца и перпендикулярно этому направлению. Эти скорости оказались равными.
Расхождение классической теории с опытом Майкельсона—Морли. Классическая механика базируется на кинематике и динамике. Широко используя законы сохранения массы, импульса и энергии, к концу XIX в. она позволила теоретически описать основные механические явления, процессы и эксперименты. В классической механике были сформулированы основные представления о пространстве, времени и движении, объяснены важнейшие физические явления.
Однако временное совпадение теории с экспериментом не означает ее абсолютную правильность. Наиболее существенное расхождение классической теории с корректно поставленным физическим экспериментом было впервые зафиксировано в 1881 г. в опыте Альберта Майкельсона и Эдуарда Морли.
В этом эксперименте оценивалось влияние скорости движения Земли вокруг Солнца на скорость распространения света от источника, находящегося на Земле. Как показал опыт Майкельсона— Морли, движение Земли вокруг Солнца не влияет на скорость распространения света. Полученный результат оказался в противоречии с классическим законом сложения скоростей.
Релятивистская механика
189
Согласно этому закону скорость света, распространяющегося вдоль направления движения Земли вокруг Солнца, для неподвижного наблюдателя равна
= с + v,	(132)
где с = 3 108м/с — скорость света, излучаемого источником, v = 2,96	104м/с — скорость движения
Земли вокруг Солнца.
Соответственно скорость света, распространяющегося в противоположном направлении, определяется также законом сложения скоростей:
v2 = с - v.	(133)
Сравнение выражений (132) и (133) показывает, что ф v2, что противоречит результатам опыта Майкельсона—Морли (рис. 147).
Независимость скорости света от скорости его источника была подтверждена наблюдениями за двойными звездами, вращающимися вокруг общего центра. Равными оказались скорости распространения света и от диаметрально противоположных точек Солнца. Одна из этих точек из-за вращения Солнца вокруг своей оси приближается к наблюдателю, другая — удаляется от него.
Расхождение теории с корректно поставленным экспериментом приводит либо к совершенствованию существующей теории, либо к созданию принципиально новой теории, дающей новые законы и более глубокое понимание физической реальности.
Теория относительности. Альберт Эйнштейн создал новую теорию — теорию относительности, или релятивистскую механику (от англ. relativity — относительность).
Главный вклад Эйнштейна в познание законов природы состоял даже не в открытии новых формул, а в радикальном изменении основополагающих фундаментальных представлений о пространстве, времени, веществе и движении.
147
Независимость скорости света от направления движения Земли. Скорость распространения света в направлении движения Земли во круг Солнца и в противо положном направлении одинакова и равна скоро сти света в вакууме
190
Механика
Общая теория относительности является релятивистской теорией тяготения (гравитации). Согласно этой теории физическое пространство не является пустым вместилищем объектов. Гравитационное поле физических тел приводит к неевклидовости пространства — времени.
Специальная теория относительности (СТО) рассматривает взаимосвязь физических процессов, происходящих только в инерциальных системах отсчета, т. е. в системах отсчета, движущихся друг относительно друга равномерно и прямолинейно.
Общая теория относительности (ОТО) описывает взаимосвязь физических процессов, происходящих в ускоренно движущихся друг относительно друга (неинерциальных) системах отсчета.
Специальная теория относительности базируется на двух постулатах.
Первый постулат теории относительности является обобщением классического принципа относительности Галилея на любые законы природы, а не только механики.
_ Первый постулат теории относительности — Все законы природы одинаковы в инерциальных системах отсчета.
Это означает, что все инерциальные системы отсчета (ИСО) эквивалентны (равноправны). При наличии двух инерциальных систем отсчета бессмысленно выяснять, какая из них движется, а какая покоится. Можно наблюдать только относительное прямолинейное движение. Нельзя говорить об абсолютном прямолинейном и равномерном движении, иначе существовала бы ИСО, в которой законы природы отличались бы от законов в других системах. Сравнивая эти законы, наблюдатель мог бы установить, в покое или в движении находится эта система, что противоречит первому постулату.
Никакие опыты в принципе не позволяют выделить предпочтительную абсолютную инерциальную систему отсчета.
Обобщение принципа относительности Галилея на все законы природы означает, что закон сложения скоростей справедлив для описания распрост
Релятивистская механика
191
ранения всех видов взаимодействия, в частности для электромагнитного.
Второй постулат специальной теории относительности согласуется с результатами опыта Май-кел ьсона—Морли.
_ Второй постулат теории относительности —
Скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета.
Это означает, что скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника или приемника света (наблюдателя) (рис. 148).
148
Независимость скорости света в вакууме от скорости источника и приемника
Постоянство скорости света — фундаментальное свойство природы. Согласно постулатам СТО скорость света — максимально возможная скорость распространения любого взаимодействия.
Скорость света образует верхний предел скоростей для всех материальных тел.
Материальные тела не могут иметь скорость большую, чем скорость света.
Радиус черной дыры. Наличием верхнего предела скорости объясняется существование одного из самых необычных астрономических объектов — черной дыры.
Интенсивное рентгеновское излучение, наблюдавшееся из определенной области звездного неба, астрономы объяснили резким ускорением звездного вещества, втягивающегося в исключительно мощный гравитационный центр. В то же время излучение непосредственно из центра в отличие от звезд отсутствует, что и послужило основанием назвать подобный астрономический объект черной дырой. Для оценки радиуса черной дыры вое-
Черная дыра образуется при гравитационном сжатии (коллапсе) массивной звезды. Если масса звезды более чем в 3 раза превосходит массу Солнца, ядро этой звезды, сжимаясь, достигает такой плотности, что даже свет не может преодолеть силы его тяготения.
192
Механика
пользуемся выражением для второй космической скорости (минимальной скорости, необходимой для преодоления гравитационного поля звезды массой М и радиусом R):
»n=j2iR. Б°В-.
'У хС
Соответственно можно выразить радиус через
вторую космическую скорость:
2GM
(134)
149
Условия образования черной дыры: а) излучение выходит с поверхности звезды радиусом, превосходящим радиус Шварцшильда (R > Яш);
б) отсутствие излучения из черной дыры радиусом R < затрудняет получение информации о ее внутренней структуре
Согласно первому постулату СТО максимальное значение второй космической скорости i?IImax = с-
Соответственно можно определить критический радиус.
Радиус Шварцшильда — критический радиус черной дыры, соответствующий скорости света:

2GM
с2 ‘
(135)
Если частица находится от центра черной дыры на расстоянии R < 7?ш, то, как видно из сравнения формул (133) и (134), для преодоления грави-
Релятивистская механика
193
тационного притяжения она должна обладать скоростью, большей скорости света:
ип > с.
Противоречие этого неравенства постулатам СТО означает, что, находясь внутри сферы радиусом Дш, никакая частица не может покинуть черную дыру. Именно поэтому не наблюдается излучение, выходящее из черной дыры (рис. 149).
Оценим с помощью формулы (135) радиус черной дыры массой, равной массе Солнца MQ = = 2 • 1Озокг:
Р _ 2 • 6,67 • 10-11 • 2 • 1030 ~о.1ПЗм_о™
Яш ~ ----з . 108-- ~	10 м — 3 км.
Мы не можем наблюдать события, происходящие внутри сферы, ограничивающей черную дыру, так как свет не может из нее выйти наружу. Поэтому поверхность черной дыры радиусом Дш называется горизонтом событий.
ВОПРОСЫ
1.	Что показал эксперимент Майкельсона—Морли9
2.	Почему результаты эксперимента Майкельсона—Морли противоречили классическому закону сложения скоростей9
3.	Что изучают специальная теория относительности и общая теория относительности9
4.	Сформулируйте первый и второй постулаты теории относительности и объясните их смысл
5.	Почему существование черных дыр объясняется наличием верхнего предела скорости распространения любого взаимодействия9 Что такое радиус Шварцшильда и горизонт событий9
§ 42. Относительность времени
Время в разных системах отсчета. Последовательное рассмотрение следствий из постулатов СТО неизбежно приводит к анализу наиболее фундаментальных понятий физики: пространства и времени. Согласно классической механике время,
7 В А Касьянов «Физика, 10 кл »
194
Механика
Событие — физическое явление, происходящее в некоторой пространственной точке в определенный момент времени. Событие характеризуется физическим содержанием, местом и временем.
сопутствующее определенному событию, едино во всех системах отсчета (если не учитывать возможность изменять масштаб измерения времени или нуль его отсчета по своему выбору). Задав время, можно найти бесконечное множество одновременных событий, которым можно приписать одну и ту же временную координату. В классической механике достаточно одних часов, так как течение времени одинаково для всех наблюдателей во всех инерциальных системах отсчета. Такие понятия, как «теперь», «ранее», «позднее», «одновременно», имели абсолютное значение, независимое от выбора системы отсчета.
Повседневный опыт дает основания для установления единого и абсолютного хронологического порядка, одинакового для всего окружающего мира. Единое прошлое, настоящее и будущее существует, согласно классической механике, для всех возможных событий, где бы они ни происходили и каким бы образом ни наблюдались.
Житейское понятие времени не ложно, иначе оно было бы быстро отвергнуто. Естественность классических представлений возникает из расширенного представления об области применимости повседневного опыта. Реально классическое понятие времени справедливо лишь в ограниченных рамках этого опыта и становится неприменимым при нарушении их.
В обычных масштабах времени и пространства можно пренебречь тем временем, за которое световой сигнал доходит из одного места в другое.
«Теперь» — момент времени, когда мы получаем всю совокупность чувственных восприятий. Однако сосуществование событий в нашем чувственном восприятии не означает одновременности этих событий.
Когда мы смотрим телевизионную передачу, то понимаем, что события на экране телевизора происходят не в момент их наблюдения (даже при прямой трансляции). Электромагнитное излучение распространяется со скоростью света. Это оз-
Релятивистская механика
195
начает, что излучение, приходящее от телебашни, находящейся на расстоянии 1г = 30 км от дома, доходит до приемной антенны за время
t = h = 3 • 104
1 с ЗЮ8
= 10-4с.
Следовательно, мы наблюдаем на экране событие из прошлого (хотя и очень близкого).
Глядя в окно на звездное небо, мы как бы зондируем прошлое разной давности. Свет от Луны доходит до Земли за 1,3 с, от Марса — за 5 мин, от Солнца — за 8 мин. Поэтому такими, как мы их видим «теперь», Луна, Марс и Солнце были соответственно 1,3 с, 5 мин и 8 мин тому назад. Одни звезды так, как «теперь», выглядели несколько лет назад, другие — миллионы лет назад, третьи — сейчас существуют, но мы их не видим: свет от них к нам еще не успел дойти.
Наблюдая изображение часов на экране телевизора, необходимо вносить поправки, соответствующие расстоянию от часов. Вместо одних часов можно применять много синхронизированных часов. События будут одновременными, если синхронизированные часы показывают одинаковое время в момент, когда происходят события. Тогда утверждение, что одно отдаленное событие происходит раньше другого, имеет смысл. Его можно проверить с помощью синхронизированных часов, покоящихся в выбранной системе отсчета.
Одновременность событий. Рассмотрим восприятие одного и того же события наблюдателями, находящимися в разных ИСО.
Пусть световой сигнал излучается в центре ракеты, движущейся со скоростью v (рис. 150).
Наблюдатель 1 внутри ракеты считает, что свет достигает противоположных стен одновременно, так как стены находятся на одинаковом расстоянии от источника, а скорость света одинакова во всех направлениях. Внешний наблюдатель 2 знает, что скорость света постоянна и не зависит от направления движения. Левая стена приближается
«Прошлое» — множество событий, которые могли оказывать влияние на события в настоящем.
«Будущее» — множество событий, на которые могут оказать влияние события в настоящем.
7*
196
Механика
А 150
Относительность одно временности событий: а) наблюдатель 1: свет достигает противоположных стен одновременно;
б) наблюдатель 2: свет достигает левой стены раньше, чем правой
к источнику со скоростью и, а правая удаляется от него с такой же скоростью. Поэтому световой сигнал достигает левой стены раньше, чем правой. Хотя разность времени прибытия светового сигнала будет очень незначительной (если скорость ракеты мала по сравнению со скоростью света), принципиально важно, что сигнал не достигнет обеих стен одновременно.
Два события, одновременные в одной инерциальной системе отсчета, не являются одновременными в другой инерциальной системе отсчета.
Одновременность — не абсолютная характеристика явлений. Разные наблюдатели могут иметь различные представления об одновременности событий.
Порядок следования событий. Предположим, что в точках А и В, находящихся на расстоянии I друг от друга (рис. 151), последовательно через промежуток времени At вспыхивают две звезды (сначала в точке А, а затем в точке В). Приемник
Релятивистская механика
197
излучения находится в точке 1 на расстоянии L от звезды В (рис. 151, а).
В момент вспышки звезды В излучение от звезды А распространяется на расстояние cAt.
Если это расстояние меньше расстояния между звездами, то интервал времени между вспышками меньше времени, необходимого для распространения света между ними:
▲ 151
Зависимость порядка следования событий от положения наблюдателя:
а)	наблюдатель 1: раньше зажглась звезда В;
б)	наблюдатель 2: раньше зажглась звезда А
At
1_ с'
В этом случае излучение от звезды В достигнет приемника раньше, чем от звезды А. Поэтому наблюдатель 1 полагает, что последовательность событий была обратной: звезда В зажглась раньше, чем звезда А. Когда приемник излучения находится в точке 2 (рис. 151, б), излучение от звезды А при тех же условиях достигнет приемника раньше, чем от звезды В. Наблюдатель 2 считает поэтому, что звезда А зажглась раньше, чем звезда В.
Если промежуток времени между событиями (вспышками звезд) меньше времени, необходимого для распространения света между ними, то порядок следования событий остается неопределенным, зависящим от положения наблюдателя.
198
Механика
ВОПРОСЫ
1.	Почему сосуществование событий в нашем чувственном восприятии не означает их одновременности9
2.	Почему, глядя на звездное небо, мы как бы зондируем прошлое9
3.	Приведите пример того, что одновременность — не абсолютная характеристика явлений, а относительная, зависящая от положения в пространстве наблюдателя
4.	Будет ли определенным порядок следования событий, если разделяющий их промежуток времени больше времени, необходимого для распространения света между ними9
5.	При каком условии порядок следования событий не определен и зависит от положения наблюдателя9
§ 43. Замедление времени
Световые часы. Согласно классическим представлениям течение времени абсолютно и независимо от происходящих событий. В соответствии с повседневным опытом в классической механике молчаливо предполагалось, что движущиеся часы не изменяют своего ритма. Это казалось столь очевидным, что едва ли было достойно обсуждения. Однако ничто в физике не должно считаться слишком очевидным. Нет оснований считать, что часы будут вести себя так, как нам этого хотелось бы. Наши представления о пространстве и времени, базирующиеся на повседневном опыте, применимы в ограниченной области. За ее границами появляется потребность в новых представлениях.
Наблюдение световых явлений показывает, что движущиеся часы изменяют свой ритм.
Рассмотрим пример, наглядно показывающий, почему понятие времени следует изучить глубже.
152 >
Измерение собственного времени t' наблюдателем, движущимся вместе со световыми часами
Релятивистская механика
199
Световые часы (одна из разновидностей часов) — два зеркала, установленных на расстоянии I параллельно друг другу (рис. 152).
Световой импульс, отражаясь от поверхностей зеркал, может перемещаться между ними вверх и вниз за промежуток времени
При каждом отражении импульса от зеркала часы тикают. Пилот на борту космического корабля, движущегося со скоростью и, может измерять время по этим часам, покоящимся относительно корабля.
Собственное время. Время t' называется собственным временем.
Собственное время — время, измеренное наблюдателем, движущимся вместе с часами.
Внешнему наблюдателю путь светового импульса (при движении световых часов вместе с ракетой) по диагонали будет казаться более длинным, чем пилоту корабля (рис. 153).
При этом в соответствии со вторым постулатом СТО движение светового импульса должно происходить со скоростью света с, одинаковой во всех ИСО. Введем промежуток времени t, за который
4 153
Измерение времени непо движным наблюдателем. По мнению наблюдателя, световой импульс прохо дит большее расстояние за больший промежуток времени: t > t'
200
Механика
импульс достигнет верхнего зеркала (с точки зрения внешнего наблюдателя). За это время космический корабль пролетит расстояние vt, а световой импульс пройдет расстояние ct.
Применяя теорему Пифагора к А АВ'А', имеем
(ct)2 = (vt)2 + (ct' )2.	(136)
Предположим, что время в неподвижной и движущейся системах отсчета течет одинаково (t = t'). Тогда
с2 — v2 4- с2.
Полученное противоречие означает следующее.
Движущиеся часы идут медленнее неподвижных, так как время в движущейся системе отсчета замедляется.
Время в неподвижной системе отсчета и движущейся относительно нее течет с разной скоростью:
t # ?.
После перегруппировки слагаемых в (136):
t2 (с2 — v2) = c2t'2
находим время по часам неподвижного наблюдателя
л/1 “ V2/c2
(137)
Квадратный корень в знаменателе, если v ф 0,
Таблица 14
Замедление хода часов, движущихся со скоростью v
v/c	У
0	1
0,2	1,02
0,4	1,09
0,6	1,25
0,8	1,67
0,9	2,29
0,99	7,09
0,999	22,37
0,9999	70,7
0,99999	223,6
а величина
1~~2 с2
у = " 1	—
- г2/с2
(138)
Следовательно, согласно выражению (137)
t = yt' > t'.
Это означает, что неподвижный наблюдатель обнаруживает замедление хода движущихся часов в у раз по сравнению с точно такими же, но находящимися в покое часами (табл. 14).
Релятивистская механика
201
Эффект замедления времени не имеет ничего общего с особыми свойствами света или конструкцией световых часов, а является неотъемлемым свойством самого времени. Чтобы продемонстрировать это, можно в покоящемся космическом корабле поместить световые и механические наручные часы, предварительно синхронизированные. Если при движении корабля световые часы, как им и положено, замедляются, а наручные нет, можно было бы получить детектор абсолютного движения. При совпадении показаний корабль покоится, при отставании световых часов от наручных — движется. Наличие такого детектора противоречит первому постулату СТО.
Поскольку замедление времени — свойство самого времени, то замедляют свой ход не только движущиеся часы.
При движении замедляются все физические процессы, в том числе и химические реакции в человеческом организме, поэтому течение жизни замедляется в соответствующее число раз. Если бы это не происходило, мы опять бы получили детектор абсолютного движения. Соответственно замедляется и процесс старения космических путешественников.
«Парадокс близнецов». Замедлением времени объясняется «парадокс близнецов»: вернувшийся из космического путешествия близнец стареет гораздо меньше, чем его брат, оставшийся на Земле.
Предположим, что возраст близнецов А и В до начала путешествия 20 лет (рис. 154).
154
«Парадокс близнецов»: путешествующий близнец В стареет медленнее, чем близнец А, оставшийся на Земле, из-за замедления времени
близней В
= 0,99 с
202
Механика
Близнец В направляется со скоростью и = = 0,99 с к звезде Арктур, находящейся на расстоянии 40 св. лет от Земли (1 св. год — расстояние, которое свет проходит за 1 год).
1 св. год = с • Т =
= 3 • 108 • (365 • 24 • 3600) = 9,46 • 1015 м.
Согласно измерениям близнеца, оставшегося на Земле, путешествие брата займет на 1% больше времени, чем требуется свету для преодоления расстояния от Арктура и обратно (80 лет). Это объясняется тем, что скорость путешествия близнеца В на 1% меньше скорости света. Поэтому возраст близнеца А к моменту возвращения брата В составит
20 + 80,8 = 100,8 лет.
На космическом корабле часы идут медленнее в у раз (см. (138)):
у =	----= 7,09.
71 - 0,992
Поэтому для близнеца В время космического путешествия составит
80,8 -Ji л =11,4 года.
7,09
Возраст близнеца В при его возвращении на Землю составит
20 + 11,4 = 31,4 года.
Сравнение возраста близнецов показывает, что близнец В, вернувшийся из космического путешествия, окажется моложе своего брата на 69,4 года.
Человечество пока не имеет возможности использовать эффект замедления времени в практическом плане для совершения космических полетов к звездам со скоростью, близкой к скорости света. Тем не менее эффект замедления времени был экспериментально обнаружен и при скорости движения, много меньшей скорости света.
Релятивистская механика
203
В 1971 г. было проведено сравнение хода цезиевых часов: одни часы находились в полете вокруг Земли на реактивном самолете, а другие оставались в обсерватории на Земле.
При приземлении самолета отставание часов, путешествовавших вокруг Земли, от покоившихся составило около 200 нс. Этот эксперимент является прямым подтверждением представлений СТО о том, что ход времени различен в разных ИСО.
Время не является инвариантом для различных ИСО.
Время — способ упорядочения реальных событий и измерения относительной длительности процессов.
Зависимость хода времени от условий эксперимента хорошо всем знакома.
Один и тот же промежуток времени может представляться вечностью или мигом в зависимости от того, сколько событий совершилось в течение него.
Все физические процессы протекают в четырехмерном пространстве. Роль четвертого измерения (в дополнение к трем пространственным координатам х, yf z) играет время.
ВОПРОСЫ
1.	Какое время называют собственным9
2.	Чем определяется эффект замедления времени* свойствами света, конструкцией световых часов или свойствами самого времени9
3.	Почему при движении замедляется не только ход часов, но и протекание всех физических процессов, а также химических реакций в человеческом организме9
4.	В чем суть «парадокса близнецов»9
5.	Какой эксперимент подтверждает эффект замедления времени?
ЗАДАЧИ
1.	Во сколько раз замедляется время в ракете при ее движении относительно Земли со скоростью v = 2,6  108 м/с?	[в 2 раза]
2.	На сколько отстают за год часы в искусственном спутнике Земли, движущемся на небольшой высоте от ее поверхности9	[10,9 мс]
3.	Собственное время жизни нестабильной распадающейся частицы отличается на 1% от времени жизни по неподвижным часам. С какой скоростью движется частица?
[0,141 с]
204
Механика
4.	Время жизни одного из адронов (л+-мезон) в связанной с ним системе отсчета равно 26 нс Найдите расстояние, фиксируемое неподвижным наблюдателем, которое до распада пройдет л+-мезон, движущийся со скоростью 0,99 с	[54,7 м]
5.	Сестра в возрасте 18 лет, улетая в космическое путешествие, оставляет на Земле 14-летнего брата. Вернувшись через 2 года (по своим часам) на Землю, она встречает брата, ставшего ее ровесником. С какой скоростью путешествовала девушка9
[0,94 с]
§ 44. Релятивистский закон сложения скоростей
Вывод закона сложения скоростей. Опыт Май-кельсона—Морли показал, что скорость света в вакууме постоянна и не зависит от скорости движения источника или приемника света. Этот результат означает, что преобразования Галилея и закон сложения скоростей неверны при скорости движения, соизмеримой со скоростью света.
Согласно второму постулату теории относительности, материальное тело не может иметь скорость, большую скорости света. Следовательно, скорость тела как относительно неподвижной системы отсчета X, так и относительно системы отсчета X', движущейся со скоростью и,
Умножая последнее неравенство на (1 - и/с), получаем
Материальные объекты, удаляющиеся друг от друга со скоростью, меньшей скорости света (v < с), могут обмениваться информацией, распространяющейся (например, с помощью электромагнитных волн) со скоростью света.
Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, имеем
VX'V / vY, -	< С - Р,
с
или
vx, + V < cl 1
с2
Релятивистская механика
205
Деление обеих частей неравенства на (1 + дает
vx. + v
—-------- < с.
1 + vx.v/c2
Рассмотрим случай, когда скорости vx, и v малы по сравнению со скоростью света:
При этом
V
С с с
1
Этой величиной можно пренебречь по сравнению с единицей в знаменателе левой части неравенства (139). Тогда неравенство (139) примет вид
vx, + V < с.
В левой части этого неравенства фигурирует в соответствии с классическим законом сложения скоростей скорость vx тела относительно неподвижной системы отсчета.
Обобщая полученный результат на случай произвольных скоростей, можно предположить, что левая часть неравенства (139) также представляет скорость vx.
Следовательно, релятивистский закон сложения скоростей имеет вид
vx, + v
D — —*--------.
х 1 + vx<v/c
(140)
Релятивистский закон сложения скоростей справедлив при любой скорости движущихся тел.
Теория относительности определяет границы применимости классической механики.
Классический закон сложения скоростей vx = vx, + v справедлив лишь в предельном случае: для скорости движения, малой по сравнению со скоростью света.
206
Механика
1J релятивистский
При vx,«cnv
закон сложения скоростей переходит в классический
vx = vx, + v.
▼ 155
Скорость распространения светового сигнала, излучаемого космическим кораблем.
Скорость света относительно Земли (неподвижная система отсчета) равна скорости света
Именно с такими скоростями мы имеем дело в повседневном опыте.
Было бы столь же нелепо применять релятивистский закон сложения скоростей к движению автомобилей, поездов и самолетов, сколь нерационально использовать современную компьютерную станцию в торговом ларьке, где достаточно калькулятора.
Скорость распространения светового сигнала. Воспользуемся релятивистским законом сложения скоростей для оценки скорости света vx (относительно неподвижной системы отсчета X, связанной с Землей) светового сигнала, излучаемого с космического корабля, удаляющегося от Земли со скоростью v (рис. 155).
Скорость светового сигнала, излучаемого источником, покоящимся относительно корабля, vx, = с.
Из выражения (140) следует, что скорость светового сигнала относительно Земли
С + V	С + V о С + V 9
у = ________ = _____= _________с .
х 1 + cv / с2	с2 + со с(с + г)
Следовательно, vx = с. Это равенство подтверждает правильность выбора релятивистского закона сложения скоростей в виде (140). Как видно из рассмотренного примера, скорость света в вакууме одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Это означает, что релятивистский закон сложения скоростей согласуется со вторым постулатом
v
Релятивистская механика
207
теории относительности. Кроме того, полученное выражение для скорости света не зависит от скорости движения источника, объясняя теоретически результат опыта Майкельсона—Морли.
ВОПРОСЫ
1.	Почему преобразования Галилея и классический закон сложения скоростей не верны при скорости движения, соизмеримой со скоростью света?
2.	Сформулируйте релятивистский закон сложения скоростей.
3.	Укажите границы применимости классического закона сложения скоростей
4.	Докажите, что релятивистский закон сложения скоростей согласуется со вторым постулатом теории относительности.
5.	Как релятивистский закон сложения скоростей согласуется с результатами эксперимента Майкельсона и Морли9
ЗАДАЧИ
1. Две ракеты движутся навстречу друг другу относительно Земли с одинаковой скоростью, равной 0,5 с Определите скорость сближения ракет: согласно классической механике; в соответствии с релятивистским законом сложения скоростей. [с; 0,8 с] 2. Ионизованный атом, вылетев из ускорителя со скоростью 0,9 с, испустил фотон в направлении своего движения Найдите скорость фотона относительно ускорителя, [с] 3. Две галактики разбегаются от центра Вселенной в противоположных направлениях с одинаковой скоростью 0,75 с относительно центра. С какой скоростью они удаляются друг от друга?	[0,96 с]
4. С какой скоростью распространяются друг относительно друга два лазерных импульса, излучаемых в вакууме в противоположных направлениях? Какой результат дает классический закон сложения скоростей?	[с; 2 с]
5. С космического корабля, удаляющегося от Земли со скоростью 0,8 с, стартует ракета в направлении движения корабля. Скорость ракеты относительно Земли 0,976 с. Чему равна скорость ракеты относительно корабля?	[0,8 с]
§ 45. Взаимосвязь массы и энергии
Масса покоя. Покоящееся тело имеет определенную массу тп0, называемую массой покоя.
Масса покоя — масса тела в системе отсчета, относительно которой тело покоится.
Чем больше масса тела, т. е. чем более оно инертно, тем сильнее тело сопротивляется изменению движения. При этом в отсутствие сил, пре-
208
Механика
пятствующих движению, сопротивление движению характеризуется только массой тела.
Согласно результатам теории относительности, это сопротивление растет не только при росте массы покоя, но и при увеличении скорости тела.
Зависимость массы тела от скорости:
7П0
(141)
Искривление светового луча в результате его гравитационного притяжения к Солнцу впервые было зафиксировано в 1919 г. английским физиком и астрономом Артуром Эддингтоном во время полного солнечного затмения.
т = t_______
J1 - г2/с2
На первый взгляд эта формула неприменима к частицам, движущимся со скоростью света. Примером такой частицы является фотон — переносчик света. Действительно, при v = с знаменатель обращается в нуль и создается впечатление, что масса фотона стремится к бесконечности. Из эксперимента массу фотона можно рассчитать по искривлению траектории светового луча вблизи массивной звезды (Солнца) вследствие гравитационного притяжения фотонов луча к звезде (рис. 156).
Солнце является как бы гигантской гравитационной линзой, изменяющей ход светового луча. Гравитационная сила притяжения фотона к звезде пропорциональна его массе (см. (65)), поэтому искривление траектории светового луча зависит от массы фотона. Наблюдения траектории луча, идущего от отдаленной звезды, проводятся во время солнечных затмений, чтобы устранить прямую засветку приемника от солнечного излучения. Расчеты показывают, что масса фотона конечна.
Согласно формуле (141) масса фотона может быть конечной только тогда, когда и числитель и знаменатель обращаются в нуль одновременно, т. е. когда mQ = 0. Фотон не имеет массы покоя, так как он никогда не существует в состоянии покоя, постоянно двигаясь со скоростью с. В формуле (141) возникает математическая неопределенность:
Подобная «странная» дробь может иметь конечное значение. Рассмотрим пример такой дроби:
> sin 2х	п
о = —-— при х -> 0.
Релятивистская механика
209
При малых х (х 0) знаменатель дроби стремится к нулю. Однако к нулю стремится и числитель. При х -> 0 sin 2х » 2х. Тогда
О у b = — =2 при х 0. х
Видно, что в рассмотренном случае b имеет конечное значение.
Масса и энергия. Чем больше масса и энергия
156
Солнце как гравитационная линза: а) искривление светового луча, идущего от звезды S к Земле, вследствие гравитационного притяжения фотонов к Солнцу; S' — кажущееся положение звезды; б) вид Солнца с Земли во время солнечного затмения
тела, тем труднее изменить характер его движения. Для увеличения за определенное время скорости неподвижного сначала ящика, наполненного покоящимися шарами, требуется определенная мощность. Если шары в ящике будут двигаться во всех направлениях со скоростью, близкой к скорости света, то для аналогичного разгона ящика потребуется большая мощность. Возросшая кинетическая энергия шаров усиливает сопротивление
движению ящика.
Согласно теории относительности энергия тела пропорциональна его массе:
Е = тс2.
(142)
Классическая механика разделяет и определяет два различных вида материи: вещество и поле. Необходимым атрибутом вещества является масса,
210
Механика
Процесс излучения света является процессом превращения внутренней энергии излучающей системы в энергию излучения. При этом одновременно уменьшается и масса излучающего тела, переходя в массу излучения.
Мощность излучения Солнца составляет 3,8-1026 Вт.
Из-за излучения масса Солнца уменьшается примерно на 4 млн т в секунду.
▲ 157
Увеличение массы образца в результате его нагревания.
а поля — энергия. Соответственно существуют два закона сохранения: закон сохранения массы и закон сохранения энергии. Согласно теории относительности нет существенного различия между массой и энергией.
Вещество имеет массу и обладает энергией; поле имеет энергию и обладает массой.
Вместо двух законов сохранения есть только один: закон сохранения массы-энергии. Трудность формулировки этого закона в классической физике связана с тем, что энергии, с которой мы имеем дело в реальной жизни, соответствует очень малая масса. Согласно равенству (142)
т = £ .	(143)
сг
Характерному диапазону энергии (1—1000) Дж, с которым мы имеем дело в повседневной жизни, как видно из последнего соотношения, соответствует очень малая масса: от 10"17кг до 10-14кг. Естественно, что при использовании закона сохранения массы в классической физике масса, соответствующая этому диапазону энергии, оказывалась незамеченной. По этой причине классическая физика не зафиксировала взаимосвязь между веществом и полем (между массой и энергией).
Макроскопическая масса является очень крупной энергетической характеристикой. Массе покоя 1 г, согласно равенству (142), соответствует энергия 9-1013Дж. Такая энергия выделяется при взрыве атомной бомбы (см. табл. 12). Ее хватило бы для превращения 30 000 т воды в пар.
Излучение Солнца и звезд имеет энергию и, значит, массу. Излучая энергию, Солнце и звезды теряют массу.
Согласно формуле (143) изменение массы Дтп пропорционально изменению энергии ДЕ:
Дтп =	.	(144)
cz
Поэтому раскаленный образец вещества имеет большую массу, чем холодный (рис. 157).
Релятивистская механика
211
Однако это изменение массы практически невозможно обнаружить взвешиванием даже на очень чувствительных весах из-за большой величины коэффициента с2 в знаменателе (144).
ВОПРОСЫ
1.	Что такое масса покоя тела?
2.	Какой эксперимент подтверждает конечность массы фотона, движущегося со скоростью света9
3.	Почему единый закон сохранения массы-энергии представляется в классической механике в виде двух законов сохранения* массы и энергии?
4.	Почему нагревание образца приводит к увеличению его массы9
5.	Кратко сформулируйте основные результаты, полученные специальной теорией относительности
ЗАДАЧИ
1.	Чему равна энергия покоя электрона? Масса покоя электрона равна те = 9,1 • 10~31 кг.
[8,2 • 10-22 Дж]
2.	Энергию покоя частиц и соответственно их массу покоя часто измеряют в электронвольтах 1 эВ = 1,6  10-19Дж. Выразите массу покоя электрона и протона в электронвольтах	[те = 0,511 МэВ; тр = 938,3 МэВ]
3.	Энергия протона, вылетающего с поверхности Солнца в сторону Земли, равна 1083 МэВ. Через какой промежуток времени с момента вылета протона экспериментатор на Земле сможет зафиксировать его приземление?	[16 мин 40 с]
4.	Какую работу необходимо совершить для увеличения скорости электрона от 0,6 с до 0,8 с9	[0,213 МэВ]
5.	Дейтрон (ядро изотопа атома водорода — дейтерия) образовано из протона и нейтрона. Масса покоя протона тр = 1,673 • 10-27 кг, нейтрона тп = 1,675 • 10-27 кг. Энергия покоя дейтрона 1875,6 МэВ Какая энергия выделяется при образовании дейтрона? На сколько масса дейтрона меньше суммарной массы протона и нейтрона?
[2,22 МэВ; 3,965 - 10 30кг]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
 Общая теория относительности (ОТО) описывает взаимосвязь физических процессов, происходящих в ускоренно движущихся друг относительно друга (неинерциальных) системах отсчета.
 Специальная теория относительности (СТО) рассматривает взаи
мосвязь физических процессов, происходящих только в инерциальных системах отсчета (ИСО).
 Первый постулат СТО: все законы природы одинаковы в ИСО.
 Второй постулат СТО: скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО.
212
Механика
	Скорость света — максимальная скорость распространения любого взаимодействия.
Материальные тела не могут иметь скорость большую, чем скорость света.
	Черная дыра — астрономический объект, гравитационное поле которого удерживает излучение и вещество в пределах радиуса Шварцшильда:
о _ 2GM
где М — масса черной дыры.
Горизонт событий — поверхность черной дыры массой М и радиусом
	Два события, одновременные в одной ИСО, не являются одновременными в другой ИСО.
Порядок следования событий остается неопределенным, зависящим от положения наблюдателя, если промежуток времени между событиями меньше времени, необходимого для распространения света между ними.
	Собственное время — время, измеренное наблюдателем, движущимся вместе с часами.
Время в неподвижной системе отсчета t и в движущейся относительно нее t’ течет с разной скоростью:
71 “ v2/c2
где v — скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета.
 Релятивистский закон сложения скоростей справедлив при любой скорости движущихся тел:
VY< + V
V = ---------- ,
х 1 + vx,v/c2
где vx — скорость тела в неподвижной ИСО, vx, — скорость тела в ИСО, движущейся относительно неподвижной со скоростью V.
	Масса покоя — масса тела в системе отсчета, относительно которой оно покоится. Зависимость массы тела от скорости
	Масса покоя фотона (квант света), движущегося со скоростью света, равна нулю.
	Энергия тела пропорциональна его массе:
Е = тс2.
Вещество имеет массу и обладает энергией, поле имеет энергию и обладает массой.
МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
Молекулярная структура вещества
§ 46. Масса атомов. Молярная масса
Строение атома. Первым модельным приближением при описании реального движения тела является механическое движение, определяющее изменение пространственного положения тела с течением времени. Простейшая модель любого тела при таком движении — материальная точка, имитирующая объект без внутренней структуры и пространственной протяженности. Например, материальной точкой можно считать движущийся океанский лайнер, размеры которого малы по сравнению с протяженностью его маршрута. Однако модель материальной точки неприменима для пространственных масштабов, соизмеримых с размерами тел (или еще меньших).
Подобно плывущему кораблю, состоящему из отдельных отсеков и кают, все тела состоят из образующих их атомов или молекул.
Моделью материального тела является совокупность движущихся и взаимодействующих между собой атомов (молекул).
Атомы недоступны наблюдению невооруженным глазом и неразличимы с помощью оптического микроскопа. Однако их изображение можно наблюдать с помощью ионного микроскопа.
Все вещества по составу можно разделить на два класса: простые и сложные.
214
Молекулярная физика
Простые вещества состоят из атомов одного и того же химического элемента, сложные — из атомов различных элементов.
Атом — наименьшая частица химического элемента, являющаяся носителем его свойств.
Молекула — система из небольшого числа связанных друг с другом атомов.
Число атомов в молекуле мало по сравнению с полным числом атомов, составляющих тело.
Строение атома напоминает структуру Солнечной системы. Вокруг ядра, находящегося в центре атома, движутся электроны. В отличие от планет, притягивающихся к Солнцу гравитационными силами, отрицательно заряженные электроны удерживаются вблизи положительно заряженного ядра силами электромагнитного взаимодействия.
Заряд ядра атома — главная характеристика химического элемента.
А 158
Атом водорода (изотоп водорода
Заряд ядра объясняется наличием в составе ядра протонов (заряженных адронов; см. табл. 1).
Зарядовое и массовое числа. Зарядовое число равно числу протонов в ядре и обозначается Z.
Зарядовое число ядра совпадает с порядковым номером химического элемента в периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева.
Заряд протона положителен и равен по величине заряду электрона е = 1,6 • 10~19Кл.
Полный заряд ядра равен +Ze.
Ядро атома водорода состоит из одного протона: Z = 1 (рис. 158).
В целом атом электронейтрален*. положительный заряд его ядра компенсируется отрицательным зарядом электронов, число которых равно числу протонов в ядре. Суммарный заряд электронов в атоме равен -Ze.
Другой основной характеристикой атома является его масса, складывающаяся из массы ядра и суммарной массы электронов.
Молекулярная структура вещества
215
Кроме протонов в ядре содержатся нейтроны (нейтральные адроны).
Масса нейтрона тп = 1,674929 • 10“27кг близка к массе протона тр = 1,672623 • 10-27кг.
Масса протона в 1836 раз превосходит массу электрона те = 9,1093897 • 10-31, а масса нейтрона в 1839 раз, поэтому почти вся масса атома сосредоточена в ядре.
Протоны и нейтроны, входящие в состав ядра, получили общее название нуклоны (от лат. nucleus — ядро).
Массовое число А равно числу нуклонов в ядре атома (суммарное число протонов Z и нейтронов N):
A = Z + N.
Число нейтронов
N=A-Z
в ядре одного и того же элемента может быть различным.
а)
Изотоп — разновидность одного и того же химического элемента, атом которого содержит одинаковое число протонов в ядре и разное число нейтронов.
Зарядовое число Z и массовое число А входят в условное обозначение изотопа любого химического элемента X. Слева от символа химического элемента X указываются массовое число А (сверху) и зарядовое число Z (снизу):
zX
Например, изотоп водорода (см. рис. 158), ядром которого является протон, изображается символом 1Н. Более тяжелыми изотопами водорода (рис. 159) являются дейтерий fH и тритий iH, ядра которых содержат 1 и 2 нейтрона соответственно.
б)
▲ 159
Изотопы водорода: а) дейтерий ?Н;
б) тритий ?Н
216
Молекулярная физика
валентный электрон
160
Атом лития |Li
Условное обозначение химического элемента позволяет легко определять состав ядра и число электронов в атоме. У изотопа f Li (рис. 160) в ядре находится 3 протона и 3 нейтрона:
Z = 3;
W=A-Z = 6-3 = 3.
Вокруг ядра движутся 3 электрона.
Дефект массы. Найдем суммарную массу mz частиц, входящих в изотоп углерода ^С, содержащий 6 протонов, 6 нейтронов и 6 электронов:
= 6 (тр + тп + те) =
= 6 (1,672631 • 10"27 + 1,674929 • 10"27 +
+ 9,1083897 • 10"31) кг = 2,009 • 10~26кг.
Измерение полной массы атома дает несколько меньший результат:
mi2C = 1,992648 • 10“26кг.
Разность масс тТ - /П12С определяет дефект массы.
Дефект массы — разность суммарной массы отдельных частиц, входящих в состав атома (ядра), и полной массы атома (ядра):
Ат =	— nti2C.	(145)
Дефект массы ядра характеризует уменьшение массы ядра, образующегося при объединении нуклонов, по сравнению с суммарной массой этих нуклонов до объединения.
Согласно формуле (144) уменьшение массы атома (ядра) сопровождается уменьшением его энергии:
АЕ = Ате2.	(146)
Уменьшение энергии при образовании атома из нуклонов и электронов происходит в результа-
Молекулярная структура вещества
217
те выделения энергии при объединении в ядро протонов и нейтронов (рис. 161, а), а также вследствие излучения энергии при присоединении электрона к ядру (рис. 161, б).
Атомная единица массы. Массу атомов, молекул, их ядер неудобно измерять в таких крупных единицах массы, как килограмм. Практически вся масса атома сосредоточена в ядре, так как масса электронов мала по сравнению с массой протона и нейтрона. Из-за примерного равенства масс протона и нейтрона в качестве единицы массы удобно использовать среднюю массу нуклона в атоме определенного химического элемента.
Атомная единица массы (а. е. м.) — средняя масса нуклона в атоме углерода ^С.
В ядре атома углерода содержится 12 нуклонов, поэтому
77112г = 12 а. е. м.
6е
Атомная единица массы равна 1/12 массы атома углерода ^С:
1 а. е. м. = 1/i2zni2C = 1,66 • 10"27кг.
Масса произвольного атома может быть выражена в атомных единицах массы или в килограммах*.
та = Мг а. е. м. = Мг • 1,66 • 10-27 кг, (147) где Мг — относительная атомная масса.
Относительная атомная масса МГ — число атомных единиц массы, содержащихся в массе атома.
Относительная атомная масса почти совпадает с числом нуклонов в его ядре:
МГ*А.
б)
4 161
Дефект массы как результат излучения энергии при образовании атома из отдельных частиц:
а)	при образовании ядра дейтерия f Н выделяется энергия АЕХ;
б)	при образовании атома дейтерия ?Н свободный электрон захватывается ядром, излучается энергия (АЕ2 «
Для углекислого газа (СО2)
М =12 +16-2 = 44.
218
Молекулярная физика
Таблица 15 Относительная атомная масса некоторых элементов
Элемент	Водород	Гелий	Литий	Углерод	Азот	Кислород	Уран
Изотоп	фн	фНе	_$Li_	0С			<1>и
Относительная атомная масса, а. е. м.	1,0078	4,0026	6,0151	12,0000	14,0031	15,9949	235,0439
Незначительное отличие Мг от А объясняется различием средней массы нуклонов в ядрах разных атомов (табл. 15).
Постоянная Авогадро. Количество вещества характеризуется числом молекул этого вещества.
Макроскопические тела состоят из огромного числа атомов или молекул, поэтому количество вещества удобно измерять в крупных единицах, содержащих большое число частиц.
Единица количества вещества — моль.
Моль — количество вещества, масса которого, выраженная в граммах, численно равна относительной атомной массе.
Массу одного моля называют молярной массой и обозначают М*.
М = Мг • 1 г/моль.
Единица молярной массы — килограмм на моль (кг/моль).
Из определения моля следует, что в нижней графе таблицы 12 приведена одновременно относительная атомная масса и молярная масса изотопов, выраженная в граммах на моль (г/моль).
Молярная масса может быть выражена через число атомов (или молекул) в моле вещества NА и массу отдельного атома та:
М = NlLma-
(148)
Молекулярная структура вещества
219
Используя определение молярной массы М = = (Мг • 10"3) кг/моль и выражение (147), преобразуем равенство (148) к виду
(Мг • 10"3) кг/моль = NA • Мг • 1,66 • 10~27 кг.
После сокращений из этого выражения можно получить число атомов (или молекул) в одном моле, или постоянную Авогадро.
Постоянная Авогадро впервые была вычислена Перреном в результате анализа опытов по изучению броуновского движения частиц.
Постоянная Авогадро — число атомов (или молекул), содержащихся в 1 моль вещества: Na = 6,022 • 10-23моль"Ч
Постоянная Авогадро одинакова для всех веществ, т. е. моль любого вещества содержит одинаковое число атомов (или молекул).
ВОПРОСЫ
1. Что из себя представляет модель материального тела9
2. Какая физическая величина является главной характеристикой химического элемента9
3. Что такое массовое число?
4, Что такое дефект массы? Чем он объясняется9
5, Сформулируйте определение постоянной Авогадро Почему постоянная Авогадро одинакова для всех веществ9
ЗАДА Ч И
1. Какую часть массы изотопа углерода * 1gC составляет масса его электронной оболочки9	[2,74  10“4]
2. В ядрах дВе, 1yN, „Na нейтроны заменили протонами, а протоны — нейтронами. Определите символы полученных изотопов, их зарядовые и массовые числа
3. Какая энергия выделяется при образовании изотопа углерода 1|С из образующих его частиц9	[15,3 МэВ]
4. Определите дефект массы атома бора ^В, имеющего массу 10,013 а е м
[0,72 а, е- м,]
5. Выразите массу протона и нейтрона, а также дефект массы дейтрона (см задачу 5 к § 45) в а е м	[1,007276 а. е. м.; 1,008665 а. е. м.; 0,002388 а. е. м.]
220
Молекулярная физика
§ 47. Агрегатные
Наиболее часто наблюдаются фазовые переходы между агрегатными состояниями, у которых потенциальная энергия связи молекул наиболее близка друг к другу. Плавление — переход из твердого состояния в жидкое, испарение — из жидкого в газообразное, ионизация — из газообразного в плазменное. Однако возможен и переход из твердого состояния в газообразное (минуя жидкое) — сублимация.
Ь 162
Заполнение плоскости правильными многоугольниками.
Правильные пяти-, семи- и восьмиугольники не могут заполнить плоскость без пропусков
состояния вещества
Виды агрегатных состояний. Объяснение свойств вещества, исходя из представлений о его молекулярном строении, составляет предмет молекулярно-кинетической теории вещества. Основной физической моделью этой теории является совокупность движущихся и взаимодействующих между собой молекул вещества. Взаимное расположение, характер движения и взаимодействие молекул одного и того же вещества, существенно зависящие от внешних условий (температура, давление), характеризуют его агрегатное состояние. Различают четыре агрегатных состояния (или фазы) вещества: твердое, жидкое, газообразное, плазменное.
Фазовый переход — переход системы из одного агрегатного состояния в другое.
При фазовом переходе скачкообразно изменяется какая-либо физическая величина (например, плотность, внутренняя энергия) или симметрия системы.
Реализация того или иного агрегатного состояния вещества зависит от соотношения кинетической и потенциальной энергии молекул, входящих в его состав. Потенциальная энергия молекулы характеризует степень ее связи с другими частицами. Между любыми двумя молекулами вещества на расстоянии, большем диаметра молекул, действуют силы притяжения электромагнитного происхождения. Эти силы стремятся связать молекулы в единое целое. Кинетическая энергия молекул препятствует этой тенденции сцепления их между собой (подобно движению тела в гравитационном поле, см. § 37).
Твердое тело. В климатических условиях, подобным земным, большинство тел находится в твердом состоянии.
Молекулярная структура вещества
221
Вещество находится в твердом состоянии, если средняя потенциальная энергия притяжения молекул много больше их средней кинетической энергии.
Силы электрического отталкивания ядер молекул противодействуют (на расстоянии, меньшем диаметра молекулы) уменьшению расстояния между молекулами, вызванному их взаимным притяжением. Каждая молекула занимает определенный объем в пространстве, притягивая соседние молекулы и одновременно отталкивая их, не давая занять то место, где она сама расположена.
Благодаря такому взаимодействию молекулы плотно заполняют пространство.
Молекулы в твердом теле располагаются упорядоченно.
Упаковка молекул в пространстве аналогична заполнению плоскости правильными многоугольниками (рис. 162).
Известный голландский художник Моритц Эсхер, обсуждая проблемы физики твердого тела со своим братом-кристаллографом, предложил много интересных и оригинальных способов разбиения плоскости на одинаковые объекты различной конфигурации (рис. 163).
Наиболее плотной упаковкой атомов является гранецентрированная, при которой атомы располагаются в углах куба и в центре его граней (рис. 164).
В качестве примера оценим среднее расстояние между ядрами атомов алюминия в такой решетке и их диаметр. Плотность алюминия р = 2,7 х х 10"3 кг/м3, молярная масса М = 2,7 • 10-2 кг/моль.
Образец алюминия массой т, состоящий из N атомов (т = Nma), занимает объем
у = т = Nma
Р Р
i 163
Заполнение плоскости одинаковыми объектами, предложенными М. Эсхером
164
Гранецентрированная кристаллическая решетка А1
222
Молекулярная физика
V 165
Модель теплового движения частиц в различных агрегатных состояниях вещества: а) твердое тело (частицы колеблются около положений равновесия, взаимодействуя с ближайшими соседями );
б) жидкость (частицы колеблются в большей области, положения равновесия подвижны );
в) газ (атомы (молекулы ) движутся по прямолинейным траекториям; столкновения изменяют направление движения)
Объем, приходящийся на один атом, _ у _
1 N р
Так как тЛ =	, то
к = 2L =_______2>710'2_____мз«
ЛлР 6,02 • 1023 • 2,7 • 10 3
*1,66* IO"29 М8.
Длина ребра куба, имеющего такой объем, определяет расстояние между ядрами атомов (а в случае плотной упаковки их диаметр):
/= 3ПЕ ~2,6 • 1010м.	(149)
А/^аР
Частицы твердого тела, образуя кристаллическую решетку, колеблются около некоторых средних положений равновесия, называемых узлами кристаллической решетки (рис. 165, а).
Колебания молекул возможны по различным направлениям и могут иметь разную амплитуду.
Значительная средняя потенциальная энергия взаимодействия препятствует изменению среднего расстояния между ними.
Следствием этого является сохранение твердыми телами формы и объема.
При деформации (изменение формы или объема) в твердом теле возникают силы, стремящиеся восстановить его форму и объем (см. § 23).
Молекулярная структура вещества
223
Жидкость. При нагревании твердого тела средняя кинетическая энергия молекул, колеблющихся около положений равновесия, возрастает. Рост кинетической энергии молекулы приводит к увеличению амплитуды ее колебаний. Уменьшение энергии связи при нагревании позволяет молекулам перескакивать из одного положения равновесия в другое (рис. 165, б). В результате нарушается правильное расположение частиц (дальний порядок), характерное для кристаллической решетки твердого тела. Происходит фазовый переход вещества из твердого состояния в жидкое.
Плотность льда меньше плотности воды, поэтому он плавает на ее поверхности. Вода подо льдом теплее окружающего воздуха, благодаря чему выживают рыбы и морские животные.
Вещество находится в жидком состоянии, если средняя кинетическая энергия молекул соизмерима со средней потенциальной энергией их притяжения.
Молекулы в жидкости упакованы так же плотно, как и в твердом теле, так как плотность жидкости и твердого тела примерно одинакова.
При упаковке частиц в жидкости, так же как и в аморфных твердых телах (типа смолы), упорядоченное расположение частиц (ближний порядок) наблюдается лишь в пределах двух-трех слоев. Это означает, что при фазовом переходе твердое тело — жидкость происходит нарушение симметрии системы. Относительные положения молекул в жидкости не фиксированы. Молекулы сравнительно медленно изменяют положение друг относительно друга. Под действием внешней силы (например, силы тяжести) жидкость течет, сохраняя свой объем, и принимает форму сосуда. Текучесть жидкости объясняется тем, что перескоки молекул из одного положения равновесия в другое происходят преимущественно в направлении действия внешней силы.
Сжимаемость жидкости невелика и мало отличается от сжимаемости кристаллических твердых
Текучесть жидкостей характеризуется их вязкостью.
В отсутствие сжатия воды уровень Мирового океана поднялся бы на 35 м и огромные территории материков оказались бы затоплены.
224
Молекулярная физика
тел из-за примерно одинаковой плотности упаковки частиц вещества в этих агрегатных состояниях.
Газ. При нагревании жидкости скорость молекул может возрасти настолько, что окажется достаточной для преодоления сил притяжения между молекулами.
Вещество находится в газообразном состоянии, если средняя кинетическая энергия молекул превышает их среднюю потенциальную энергию.
А 166
Условия идеальности газа: 1)D « I;
2) E_k » Ёр;
3) Ek < Г
При давлении газа, близком к атмосферному, его плотность примерно в 103 раз меньше плотности жидкости или твердого тела. Следовательно, среднее расстояние между молекулами в газе, пропорциональное р“1/3 (см. (149)), примерно в 10 раз больше, чем в жидкости и твердом теле. Собственный объем молекул газа в сосуде составляет лишь тысячную долю от объема сосуда.
Газы могут неограниченно расширяться в пространстве, так как силы притяжения между молекулами незначительны. Большая сжимаемость газов по сравнению со сжимаемостью жидкостей и твердых тел объясняется наличием большего межмолекулярного пространства (рис. 165, в). При сжатии газа уменьшается среднее расстояние между его молекулами. Однако силы взаимного отталкивания молекул на этом расстоянии невелики и практически не препятствуют сжатию.
Наиболее простой моделью, используемой для объяснения свойств газа, является модель идеального газа. Достаточно точно эту модель представляют примерно сто шариков для настольного тенниса, хаотически движущихся и сталкивающихся друг с другом, со стенами, полом и потолком комнаты (рис. 166).
Подобную модель можно использовать при выполнении трех условий, называемых условиями идеальности газа.
Молекулярная структура вещества
225
1.	Диаметр молекул много меньше среднего расстояния между ними:
D « I.
Это условие можно сформулировать иначе: возведя в куб это неравенство и умножив его на полное число N молекул:
ND3 « Nl3,
где ND3 — объем всех молекул, N13 — объем газа.
Следовательно, собственный объем молекул пренебрежимо мал по сравнению с объемом газа.
2.	Средняя кинетическая энергия молекул много больше средней потенциальной энергии их взаимодействия на расстоянии, большем диаметра молекул:
» Ёр.
Это означает, что между столкновениями молекулы движутся практически по прямолинейным траекториям (см. рис. 165, в).
3.	Столкновения молекул газа между собой и со стенками сосуда — абсолютно упругие.
электронные оболочки
б)
167
Атом гелия: а) в основном состоянии: б) в возбужденном состоянии г = е2- ех
Следовательно, структура электронных оболочек молекул не нарушается в результате столкновений.
Обозначим через Г энергию, необходимую для перевода (возбуждения) валентного электрона (определяющего валентность атома) на ближайшую орбиту (рис. 167).
Взаимодействие молекул можно считать упругим, если средняя кинетическая энергия молекулы недостаточна для возбуждения электрона:
Ek<I\	(150)
Условия идеальности обычно выполняются для разреженных газов.
8 В. А Касьянов «Физика, 10 кл •
Время столкновения молекул в идеальном газе значительно меньше времени их свободного пробега между столкновениями.
226
Молекулярная физика
99,9% всего вещества во Вселенной находится в плазменном состоянии.
При неупругом столкновении атомов валентный электрон переходит на одну из возможных орбит, более удаленную от ядра.
Плазма. Нагревание газа приводит к увеличению скорости движения молекул, а следовательно, к возрастанию их средней кинетической энергии. Возможное нарушение при этом неравенства (150) означает, что взаимодействие молекул при столкновениях нельзя считать упругим, т. е. молекулы нельзя рассматривать как упругие шары.
Изменение характера столкновения при увеличении относительной скорости движения можно представить на примере соударения теннисных мячей. При скорости движения порядка 10 м/с мячи сталкиваются упруго, практически не деформируясь после соударения. Если скорость мячей оказывается порядка 100 м/с, то взаимодействие становится неупругим и мячи разрываются.
Большая кинетическая энергия атомов (молекул) в нагретом газе оказывается достаточной не только для деформации их электронных оболочек при столкновении, но и для выбивания из атома валентного электрона. При столкновении двух атомов X один из них может потерять электрон, превращаясь при этом в положительный ион Х+ (рис. 168):
X + X -> X + Х+ + е-.
▼ 168
Реакция ионизации при столкновении атомов Li:
а) до столкновения; б) после столкновения
(151)
Ионизация — процесс образования ионов из атомов.
Ионизация возможна и при столкновении различных частиц.
Молекулярная структура вещества
227
Реакция (151) определяет один из многих возможных вариантов образования заряженных частиц в газе. В результате неупругого взаимодействия атомов качественно изменяется состав газа: наряду с электронейтральными атомами (молекулами) появляются заряженные частицы (электроны, ионы). Полный электрический заряд газа в результате реакции ионизации не изменяется, так как суммарный заряд положительных ионов равен по модулю суммарному заряду отрицательно заряженных электронов. Изменение качественного состава газа приводит к образованию нового агрегатного состояния — плазмы.
Плазма — электронейтральная совокупность нейтральных и заряженных частиц.
Плазма, состоящая из нейтральных атомов, ионов и электронов, называется трехкомпонентной.
Реальная плазма — многокомпонентна. Она состоит из атомов и молекул в основном и в возбужденном состоянии, положительных и отрицательных ионов, электронов и фотонов.
Характерные свойства плазмы особенно наглядно проявляются при наличии электрического и магнитного полей, воздействующих на заряженные частицы плазмы. Интенсивное излучение плазменного столба возникает при таком электрическом разряде в атмосфере Земли, как молния, северное сияние. Излучение плазмы используется при создании искусственных источников света: люминесцентные, ртутные, натриевые лампы, лазеры. 99,9% вещества во Вселенной находится в плазменном состоянии. Гигантскими скоплениями плазмы являются туманности, звезды, в том числе и Солнце.
Солнечный ветер — это поток плазмы, испускаемый Солнцем (рис. 169). Он оказывает существенное влияние на магнитное поле Земли.
▲ 169
Солнечный ветер
Заряженные частицы солнечного ветра останавливаются магнитным полем Земли, начиная циркулировать в радиационных поясах атмосферы. Эта циркуляция вызывает свечение атмосферы — полярное сияние.
8*
228
Молекулярная физика
170
Молекулярная структура агрегатных состояний воды: а) твердое тело (лед); расположение молекул Н2О в кристаллической решетке льда упорядоченно;
б)	жидкость (вода); расположение молекул Н2О неупорядоченно;
в)	газ (смесь О2 и Н2?); молекулы газа движутся поступательно и вращаются;
г)	плазма; молекулы, атомы, ионы, электроны взаимодействуют друг с другом на значительном расстоянии
Анализ свойств различных агрегатных состояний подтверждает тот факт, что переход вещества из одного агрегатного состояния в другое сопровождается изменением его молекулярной структуры (рис. 170).
Рисунок 170 дает представление о молекулярной структуре одного и того же вещества в разных агрегатных состояниях.
Молекулярная структура вещества
229
ВОПРОСЫ
1.	Назовите основные агрегатные состояния вещества Какие изменения происходят в веществе при фазовых переходах?
2.	При каком условии вещество находится в твердом состоянии? Как движутся молекулы в твердом теле?
3.	При каком условии образуется жидкое состояние вещества? В чем особенности движения молекул в жидкости?
4.	При каком условии вещество находится в газообразном состоянии? Сформулируйте условия идеальности газа.
5.	Назовите состав трехкомпонентной плазмы. Приведите примеры плазменного состояния вещества.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
 Все вещества состоят из движущихся и взаимодействующих между собой атомов и молекул.
Простые вещества состоят из одинаковых атомов, сложные — из атомов различных химических элементов.
 Атом — наименьшая часть химического элемента, являющаяся носителем его свойств.
В центре атома находится положительно заряженное ядро, вокруг которого движутся отрицательно заряженные электроны, притягивающиеся к положительно заряженному ядру силами электромагнитного взаимодействия.
Главной характеристикой химического элемента является заряд ядра атома.
Z — зарядовое число ядра, равное числу протонов в ядре, совпадает с порядковым номером химического элемента в периодической системе химических элементов Д. И. Менделеева.
Атом электронейтрален: положительный заряд (+Ze) ядра компенсируется отрицательным зарядом (-Ze) электронов.
Кроме протонов, в ядре атомов содержатся нейтроны, связанные с протонами сильным взаимодействием. Общее название протонов и нейтронов, входящих в состав ядра, — нуклоны.
Массовое число А равно числу нуклонов в ядре (суммарное число протонов Z и нейтронов ДГ):
А = Z + N.
 Изотоп — разновидность одного и того же химического элемента, атом которого содержит одинаковое число протонов в ядре и разное число нейтронов.
В условном обозначении изотопа химического элемента указываются массовое число А и зарядовое число Z:
zX.
Масса атома меньше суммарной массы частиц, входящих в его состав.
 Дефект массы — разность суммарной массы отдельных частиц, входящих в состав атома (ядра), и полной массы атома (ядра):
Ат = mz~ ma.
230
Молекулярная физика
Дефект массы обусловливается выделением энергии ДЕ при образовании атома:
ЛЕ = Дтис2.
 Атомная единица массы (а.е.м.) — средняя масса нуклона в атоме угле-рода 1еС.
Атомная единица массы равна 1/12 массы атома углерода 1бС.
1 а. е. м. = 1,66- 10-27кг.
	Относительная масса атома Мг — число атомных единиц массы, содержащихся в массе атома:
тпа = Мг • 1,66 • 10-27кг.
	Моль — количество вещества, масса которого, выраженная в граммах, численно равна относительной массе атома.
Молярная масса — масса одного моля.
Единица молярной массы — килограмм на моль (кг/моль).
	Постоянная Авогадро — число атомов (или молекул) в одном моле любого вещества:
ЛГА = 6,022 • IO'23 моль'1.
Молярная масса вещества M = NA т&.
	Существует четыре агрегатных состояния (или фазы) вещества: твердое, жидкое, газообразное, плазменное.
Фазовый переход — переход системы из одного агрегатного состояния в другое. При фазовом пере
ходе скачкообразно изменяется какая-либо физическая величина (например, плотность, внутренняя энергия) или симметрия системы.
	Вещество находится в твердом состоянии, если средняя потенциальная энергия притяжения молекул много больше их средней кинетической энергии.
Молекулы в твердом теле располагаются упорядоченно.
	Жидкое состояние образуется, если средняя потенциальная энергия притяжения молекул соизмерима с их средней кинетической энергией. Упорядоченное расположение молекул наблюдается в жидкости лишь в пределах нескольких соседних молекулярных слоев.
	Вещество находится в газообразном состоянии, если средняя кинетическая энергия молекул превышает среднюю потенциальную энергию их взаимодействия.
Молекулы газа движутся хаотически.
	Условия идеальности газа:
1)	диаметр молекул много меньше среднего расстояния между ними;
2)	средняя кинетическая энергия молекул много больше средней потенциальной энергии их взаимодействия;
3)	молекулы взаимодействуют между собой и со стенками упруго.
 Плазма — электронейтральная совокупность нейтральных и заряженных частиц.
Ионизация — процесс образования ионов из атомов.
Молекулярнокинетическая теория идеального газа
§ 48. Распределение молекул идеального газа в пространстве
Статистический метод. Любое вещество в земных условиях состоит из огромного числа молекул (мы отмечали, что 1 моль вещества содержит 6,022 • 1023 частиц). Математическое описание такой системы возможно лишь при рациональном выборе ее физической модели. Наиболее простой моделью является идеальный газ, состоящий из материальных точек, между которыми отсутствуют силы, действующие на расстоянии, и которые сталкиваются между собой как упругие шары. Использование подобной модели, одинаковой для всех идеальных (разреженных) газов, означает, что свойства различных газов не должны существенно отличаться друг от друга.
Свойства различных разреженных газов не зависят от специфики сил взаимодействия между отдельными молекулами.
Атмосферный воздух является примером идеального газа. Из-за малой разрешающей способности глаза мы не видим молекул азота и кислорода, движущихся вокруг нас. Их средняя скорость в 1,5 раза превышает скорость звука.
За одни сутки молекулы воздуха ударяют каждого из нас примерно 1032 раз.
Число частиц в 10 моль вещества примерно равно массе Земли, выраженной в килограммах: М@ = 6 • 1024 кг.
232
Молекулярная физика
171
Изменение направления движения молекул в результате упругого столкновения:
и10, и2о— начальная скорость молекул;
v2 — скорость молекул после столкновения
Из-за столкновения друг с другом молекулы изменяют направление своего движения.
Если предположить, что сначала все молекулы двигались горизонтально, то уже после первого столкновения часть молекул в результате нецентрального удара изменит направление движения (рис. 171).
С каждым последующим столкновением возрастает хаотичность движения молекул. В результате частых столкновений любая молекула может двигаться в произвольно выбранном направлении столь же вероятно, как и в любом другом.
Для определения положения и скорости всех частиц идеального газа в произвольный момент времени можно воспользоваться законами динамики Ньютона для каждой частицы. Для описания движения всех частиц в одном моле газа потребуется решить 6,022 • 1023 таких уравнений. Лишь для перечисления положений и скоростей этих молекул в начальный момент времени компьютером с быстродействием 100 млн операций в секунду понадобилось бы время 6,022 • 1015с, что составляет около 200 млн лет (1 год = 3,15 • 107с). Кроме того, получение информации об отдельной частице может не представлять практического интереса для описания поведения газа как целого. Информация о системе с большим числом частиц (идеальный газ) должна характеризовать не отдельную частицу, а всю совокупность частиц в целом. Подобный статистический, обобщенный, подход характерен, например, для военных мемуаристов, для которых главный интерес представляет изменение дислокаций армий и фронтов в целом, а не участие в бою отдельного солдата.
Статистическая законе мерность — закон поведения совокупности большого числа частиц.
Молекулярно-кинетическая теория
233
Система, состоящая из большого числа частиц, характеризуется микроскопическими и макроскопическими параметрами.
Микроскопические параметры — параметры малых масштабов (масса молекулы, ее скорость, импульс, кинетическая энергия), характеризующие движение отдельной молекулы.
Макроскопические параметры — параметры больших масштабов (масса газа, давление, объем, температура), характеризующие свойства газа как целого.
Молекулярно-кинетическая теория выясняет взаимосвязь микро- и макроскопических параметров. Ее цель — объяснить макроскопические свойства вещества, зная характерные особенности его молекулярной структуры. Возможность создания материалов с контролируемыми свойствами определяет большую практическую ценность молекулярно-кинетической теории.
Воспользуемся молекулярно-кинетическим подходом для описания распределения частиц идеального газа в пространстве. Свободный газ может неограниченно расширяться, занимая весь предоставленный ему объем, так как силы притяжения между молекулами малы.
Рассмотрим процесс расширения газа, первоначально находившегося в левой половине сосуда объемом V, разделенного непроницаемой перегородкой (рис. 172, а).
В правой половине сосуда — вакуум. При удалении перегородки газ свободно расширяется, равномерно заполняя правую половину сосуда (рис. 172, б).
Благодаря расширению газа и равномерному распределению его по объему аромат духов, внесенных в класс, начинает быстро ощущаться всеми.
□ о о о Оо О о
°О о О о о
. О О О О
Ь О Q О
(:
'! ° ° ° J
172
Свободное расширение газа в вакуум при удалении перегородки: а) начальное состояние газа;
б) конечное состояние газа
234
Молекулярная физика
< 1 |о>
<0 11 >
•	
	•
173
Возможное распределение частицы идеального газа по двум половинам сосуда, не разделен ного перегородкой
Однако никто и никогда не наблюдал обратный процесс, при котором газ, занимающий весь объем, самопроизвольно собирается в одной половине сосуда или духи оказываются вновь во флаконе. Подобная однонаправленность (или необратимость) процесса самопроизвольного расширения газа и его равномерного распределения по объему характерна лишь для систем с большим числом частиц и объясняется с помощью статистического метода.
Распределение частиц идеального газа по двум половинам сосуда. Рассмотрим основную идею статистического метода на примере распределения N частиц газа по двум половинам одного и того же сосуда, не имеющего перегородки между ними. Введем понятие макросостояния системы для этого случая.
Макросостояние системы — состояние, при котором в левой половине объема находится п частиц, а в правой соответственно N - п.
174
Возможное распределение двух частиц идеального газа по двум половинам сосуда, не разделенного перегородкой
Если система состоит из одной частицы (N = 1), то возможны два макросостояния системы (рис. 173):
•	в левой половине одна частица, в правой нет частиц (обозначим это состояние < 11 0>);
•	в левой половине нет частиц, в правой одна (<0 11>).
Если в системе две частицы (N = 2), отличающиеся друг от друга, например, цветом, то каждая из них может попасть либо в левую, либо в правую половину. Поэтому возможны 22 = 4 способа размещения частиц (рис. 174) по макросостояниям <2 | 0> и <0 | 2>. Макросостояние <11 1> реализуется двумя способами: б) и в) в отличие от макросостояний <2 | 0> и <0 | 2>, каждое из которых реализуется лишь одним способом: или а), или г).
Одно и то же макросостояние системы может реализоваться разными способами.
Молекулярно-кинетическая теория
235
Микросостояние — способ реализации макросостояния системы.
В силу хаотичности движения частиц любой способ реализации каждого микросостояния осуществляется с одинаковой вероятностью. Это означает, что система в каждом микросостоянии находится одинаковое время. При непрерывном наблюдении системы время нахождения в каком-либо макросостоянии пропорционально числу возможных микросостояний. Чем больше число микросостояний, тем чаще наблюдается соответствующее макросостояние.
Для системы из четырех частиц (N = 4) возможны 24 = 16 способов размещения частиц (рис. 175).
Лишь в одном случае из 16 можно наблюдать все частицы в левой половине сосуда. Чаще всего в шести случаях частицы равномерно распределяются по объему, когда в обеих половинах сосуда находится равное число частиц — две. Если число частиц велико (N » 1), то общее число микросостояний огромно и равно 2N. Только один раз из 2N случаев все частицы можно наблюдать в левой половине сосуда. Моль газа будет находиться в левой части сосуда в течение секунды при наблюдении в течение астрономического времени 26,022 ю23с> это означает, что реально такое макро-
175
Возможное распределение четырех частиц идеального газа по двум половинам сосуда, не разделенного перегородкой
<4 | 0	••ОО		1						
<3 11>	• •О	о	••о	о	•ОО	•	•ОО	•	4
<2 | 2>	••	ОО	•о	•о	•о	•о	•о	•о	ОО •• «О «О 6
<113>	•	• ОО	•	•ОО	о	••о	о	••о	4
<0 | 4		••ОО	1						
236
Молекулярная физика
Флуктуации — случайные отклонения физической величины от своего среднего значения.
С увеличением числа частиц в системе их относительные флуктуации уменьшаются. Соответственно вероятность равномерного распределения частиц в пространстве возрастает.
/NiN\ состояние не реализуется. Макросостояние ^—| -g/, характеризующееся равномерным распределением молекул идеального газа в пространстве, наблюдается практически всегда.
Приведенное обоснование равномерного распределения идеального газа по двум половинам сосуда можно обобщить на случай произвольного числа его частей.
Молекулы идеального газа в отсутствие внешних сил равномерно распределены в пространстве. Равномерное распределение в пространстве молекул идеального газа является его наиболее вероятным состоянием.
ВОПРОСЫ
1.	Почему свойства разреженных газов не зависят от их химического состава?
2.	Почему для описания движения молекул газа нет смысла использовать законы динамики Ньютона?
3.	Почему газ неограниченно расширяется, занимая весь предоставленный ему объем?
4.	Скорость теплового движения молекул в воздухе при комнатной температуре близка к скорости пули. Почему аромат духов распространяется по комнате лишь через некоторое время после открытия флакона?
5.	Как распределяются в пространстве молекулы идеального газа в отсутствие внешних сил? Почему?
ЗАДА Ч И
1.	Определите полное число микросостояний при распределении шести частиц идеального газа по двум половинам сосуда, не разделенного перегородкой Чему равно число способов реализации состояния <3|3>, <2|4>, <115>?	[64; 20; 15; 6]
2.	Какой промежуток времени экспериментатор будет наблюдать равномерное распределение шести частиц по двум половинам сосуда, если опыт проводится в течение суток?	[7,5 ч]
3.	Какую часть времени 10 частиц идеального газа будут распределены равномерно по двум половинам сосуда?	[63/256]
4.	Во сколько раз равномерное распределение 10 частиц <5|5> по двум половинам сосуда реализуется чаще, чем пребывание всех молекул в любой из двух половин сосуда?
[в 126 раз]
5.	Найдите полное число микросостояний при распределении 6 частиц по трем одинаковым частям сосуда, не разделенным перегородками. Какую часть времени 6 частиц будут равномерно распределены по объему, т е реализуется микросостояние <21212>?
[729; 10/81]
Молекулярно-кинетическая теория
237
§ 49. Распределение молекул идеального газа по скоростям
Статистический интервал. В результате столкновений друг с другом молекулы идеального газа изменяют не только направление своего движения, но и скорость. Если предположить, что сначала все молекулы идеального газа, двигаясь хаотически, имели один и тот же модуль скорости, то уже после первого столкновения часть молекул изменит свою скорость (рис. 176).
В результате последующих столкновений устанавливается статистическое равновесие, при котором распределение молекул по скоростям не зависит от времени.
Ответить на вопрос, сколько частиц обладает определенной скоростью, невозможно. Точно так же нельзя сказать, сколько человек в классе имеет возраст 15 лет 8 месяцев 4 дня 11 секунд и 5 наносекунд. Таких людей может и не быть. Учитывая, что возраст (как и скорость) изменяется непрерывно, статистический опрос пришлось бы проводить бесконечно долго. Поэтому для определения статистического распределения школьников класса по возрасту выбирается определенный возрастной интервал. Например, спрашивают: сколько в десятом классе школьников, возраст которых 15, 16 или 17 лет? Это означает, что при такой классификации школьников следует распределять по возрасту по трем группам. Возраст школьников в I группе изменяется в пределах 15 < W < 16. Средний возраст в этой группе Wt = 15,5 лет, возрастной интервал АГИ = 0,5 года. Тогда
15,5-0,5 < Wx < 15,5 + 0,5, или	__ _____________
Wr - AW < W± <	+ AW.
Возраст школьников во II и III группах изменяется в пределах
W2 - AW < W2 < W2 + AW, W4 - AW < W4 < Wq + AW, где W2 = 16,5 лет, W3 = 17,5 лет— средний возраст школьников во II и III группах.
Изменение скорости частиц в результате упругого столкновения, имевших до столкновения одинаковый модуль скорости
238
Молекулярная физика
177
Принципиальная схема опыта Штерна для определения скорости молекул газа или пара
Среднее значение физической величины. Предположим, что AJVX— количество учащихся, составляющих I возрастную группу, которым исполнилось 15 лет, AtV2 — количество школьников 16 лет, a AN3— количество школьников 17 лет. Средний возраст класса можно найти, сложив возраст всех школьников и разделив его на число учащихся в классе:
- =	4- W2bN2 + W3AN3 .	(152)
По аналогичным формулам рассчитывается среднее значение любой физической величины. В случае, если = 4, N2 = 20, N3 = 2, средний возраст класса
W = 16,4 года.
Измерение распределения частиц по скоростям. Опыт Штерна. На рисунке 177 приведена принципиальная схема опыта О. Штерна, поставленного им в 1920 г. для определения скорости молекул газа или пара.
В нагревателе с поверхности проволоки, раскаленной электрическим током, испаряются атомы вещества (в опыте Штерна — атомы серебра). Попадая из нагревателя через отверстие в вакуумную камеру, молекулы пара с помощью системы щелей формируются в узкий пучок, направлен-
камера
Молекулярно-кинетическая теория
239
ный в сторону двух дисков, вращающихся с угловой скоростью со. Диски используются для сортировки молекул по скоростям. Угол между прорезями в дисках а. Расстояние I между дисками в процессе эксперимента не изменяется. Для того чтобы молекула пара (газа) попала на приемник детектора частиц, она должна пройти через прорези в дисках.
Для этого время t = прохождения молекулы, движущейся со скоростью v между дисками, должно быть равно времени поворота прорези второго диска на угол а:
t =
со
Из равенства этих интервалов времени следует, что скорость молекул
I v —	.
а
Угол прорезей Да в дисках конечен, поэтому через них будут попадать на детектор молекулы, скорость которых лежит в интервале от v до v + Av,
где Av = v— .
а
Пусть, например, детектор фиксирует AN = 600 молекул, скорость которых находится в пределах от 500 м/с до 512 м/с (р = 500 м/с; Av = 12 м/с). Тогда число молекул, приходящихся на единичный интервал скоростей (например, молекул, имеющих скорость от 506 м/с до 507 м/с или от 510 м/с до 511 м/с), можно найти следующим образом:
AN = 600 1 _ 5Q 1
Av 12 м/с м/с *
Распределение молекул по скоростям. Анализ экспериментальных данных, полученных в опыте Штерна, позволяет найти распределение молекул по скоростям (рис. 178).
На графике изображена зависимость числа молекул, приходящихся на единичный интервал скоростей, от скорости, которой они обладают.
A;V Ли '
178
Распределение молекул по скоростям при определенной температуре: AN — число молекул со скоростью в интервале от v до v + Av;
иср — средняя скорость движения молекул;
ин в — наиболее вероятная скорость движения молекул
240
Молекулярная физика
Максимум функции ДЛГ/Др означает, что наибольшее число молекул обладает такой скоростью.
Наиболее вероятная скорость — скорость, которой обладает максимальное число молекул.
Полученное распределение справедливо для описания многих массовых процессов, характеризующихся внутренней неупорядоченностью, хаотичностью.
Очень медленных молекул мало, так как они образуются лишь при центральном ударе движущейся молекулы о неподвижную (см. рис. 128). Такие столкновения достаточно редки при хаотическом движении. Количество быстрых молекул также невелико, так как для заметного увеличения скорости молекулы требуются постоянные удары только с одной стороны. Подобная ситуация практически не реализуется при хаотическом движении.
Аналогичные кривые характерны для распределения одинаковых снарядов (выпущенных из одного и того же орудия, стреляющего под одним и тем же углом к горизонту) по дальности полета.
Распределение людей по умственным и физическим возможностям, материальному достатку, также описывается подобными зависимостями.
При анализе любой статистической закономерности одной из важнейших характеристик является среднее значение величины (например, средняя зарплата по стране). Выбирая определенный интервал скоростей Ди, можно найти среднюю скорость молекул:
_ _ ДУ\ + v2 ДУ2 +	+ vk _
 Д?Л
Р1 Ди
N
ДУ2
*2--- +
2 Ди
ДУ* +
Л Ди '
Ди
N
Вычисления показывают, что средняя скорость молекул превышает наиболее вероятную:
и > ин в.
Молекулярно-кинетическая теория
241
ВОПРОСЫ
1.	Сформулируйте закон сохранения импульса для упругого столкновения, изображенного на рисунке 176
2.	Как определить среднее значение физической величины из эксперимента?
3.	Для чего в опыте Штерна используются вращающиеся диски?
4.	Как рассчитывается число частиц, приходящихся на единичный интервал скоростей9 5. Сформулируйте определение наивероятной скорости частиц
3 А Д А Ч И
1. Рассчитайте средний возраст вашей семьи, используя формулу (152).
2. Угол между прорезями во вращающихся дисках в опыте Штерна составляет 90°. Прорезь образует угол 2°. Средняя скорость частиц, попадающих в вакуумную камеру, 450 м/с. В каком интервале скоростей детектор фиксирует частицы? [(450 ±10) м/с] 3. Определите наиболее вероятный возраст учеников в вашем классе
4. Докажите, что после абсолютно упругого нецентрального удара двух одинаковых шаров (один из которых первоначально покоился) угол между их скоростями составляет 90° 5. Докажите, что не существует преимущественного направления скорости молекул идеального газа
§ 50. Температура
Шкалы температур. В результате большого числа столкновений между молекулами устанавливается стационарное равновесное состояние газа — состояние, при котором число молекул в заданном интервале скоростей остается постоянным.
Важнейшим макроскопическим параметром, характеризующим стационарное равновесное состояние любого тела, является его температура.
Температура тела — мера средней кинетической энергии хаотического поступательного движения его молекул.
Средняя кинетическая энергия хаотического поступательного движения молекул тела пропор-
242
Молекулярная физика
Температура — статистическая величина, характеризующая достаточно большую совокупность частиц.
Явление расширения веществ при увеличении температуры используется в газовых и жидкостных термометрах. В температурных индикаторах для измерения температуры тела цвет жидких кристаллов оказывается различным при разной температуре.
Измерение высоких температур проводится оптическими методами.
циональна термодинамической (или абсолютной) температуре:
= |кТ,	(153)
где k = 1,38 • 10-23Дж/К— постоянная Больцмана, о
(Множитель - был введен для удобства, благодаря чему исчезают множители в других формулах.)
Единица термодинамической температуры — кельвин (К); 1 К = 1 °C.
Постоянная Больцмана является коэффициентом, переводящим температуру из градусной меры (К) в энергетическую (Дж) и обратно.
Кинетическая энергия не может быть отрицательной. Следовательно, не может быть отрицательной и термодинамическая температура. Она обращается в нуль, когда средняя кинетическая энергия молекул становится равной нулю, являясь абсолютным нижним пределом термодинамической температуры.
Абсолютный нуль температуры (О К) — температура, при которой должно прекратиться движение молекул.
Согласно равенству (153) при абсолютном нуле температуры средняя кинетическая энергия молекул равна нулю.
Наиболее распространенными температурными шкалами также являются шкала Цельсия и шкала Фаренгейта, отличающиеся друг от друга выбором реперных (опорных) точек.
В шкале температур Цельсия (рис. 179) температура таяния льда принята за О °C, а температура кипения воды равна 100 °C.
Абсолютный нуль термодинамической температуры по шкале Кельвина соответствует -273,15 °C.
Связь между температурными шкалами Цельсия и Кельвина определяется соотношениями:
t °C = Т - 273, Т = t °C + 273.
Молекулярно-кинетическая теория
243
кипение воды
температура тела человека
плавление _льда
сухой лед (СО21
жидкий воздух
абсолютный нуль
Шкала Цельсия
Термодинамическая шкала
Шкала Фаренгейта
t = Т - 273 = | (TF - 32)	Т = t + 273
У
TF = 32 + 1,8*
179
Шкалы температур
На рисунке 179 показаны различные шкалы температур и соотношения для перевода температуры из одной шкалы в другую.
Для шкалы Фаренгейта в качестве нуля выбрана наименьшая температура, которую Фаренгейт смог получить с помощью смеси воды, льда и морской соли. В качестве верхней опорной точки Фаренгейт использовал температуру тела человека 96 °F.
Скорость теплового движения молекул. Как следует из формулы (153), холодный газ отличается от нагретого до большей температуры энергией хаотического движения молекул, поэтому хаотическое движение молекул называется тепловым.
Для оценки скорости движения молекул в газе рассчитаем сначала средний квадрат скорости из (153):
Существуют природные термометры — цветы. Крокусы раскрываются при повышении температуры и закрываются, когда она понижается. Они реагируют на изменение температуры 0,5 °C.
р2=3*Т та
Умножим числитель и знаменатель правой части этого равенства на постоянную Авогадро NA. Тогда
3kNAT
244
Молекулярная физика
Криогенная (от греч. kryos — холод) техника — техника получения очень низких (криогенных) температур (Т < 120 К). Методами магнитного охлаждения удается получить температуру порядка мК.
Произведение
kNА = 1,38 • 10-23Дж/К • 6,022 • 10-23 моль-1
называется молярной газовой постоянной и обозначается 7?:
R = kNA = 8,31 ДжДмоль • К).	(154)
С учетом равенств (154) и (148) выражение для среднего квадрата скорости молекулы принимает вид
- зят
М ’
Извлекая корень квадратный из обеих частей этого равенства, получаем величину, имеющую размерность скорости и называемую средней квадратичной скоростью молекул9.
(155)
Средняя квадратичная скорость, близкая по значению к средней и наиболее вероятной скоростям, дает правильное представление о значении скорости теплового движения (или тепловой скорости) молекул в идеальном газе. Вычислим тепловую скорость молекул азота (М = 2,8 • 10-2 кг/моль) при температуре 20 °C (293 К):
/3 • 8,31 • 293	,	/
уср. кв J 2 8е 10-2 М/С ~ 511 м/с.
Скорость звука при той же температуре равна 343 м/с. Таким образом, тепловая скорость молекул азота, близкая к скорости пули, превышает скорость звука в 1,49 раза.
У легких газов, как видно из формулы (155), среднеквадратичная скорость еще больше, так как обратно пропорциональна JM . При той же температуре тепловая скорость молекул водорода примерно 2 км/с.
Молекулярно-кинетическая теория
245
Отсутствие у Луны атмосферы можно объяснить тем, что тепловая скорость молекул газов существенно превышает вторую космическую скорость для Луны. Поэтому молекулы газа отрывались от Луны, уносясь в космическое пространство.
ВОПРОСЫ
1.	Какое состояние газа является равновесным стационарным?
2.	Сформулируйте определение температуры тела Какая единица температуры используется в СИ?
3.	Применимо ли понятие температуры к одной молекуле?
4.	Почему термодинамическая температура не может быть отрицательной?
5.	Атмосферный воздух состоит из азота, кислорода, аргона и других газов Одинакова ли тепловая скорость молекул этих газов?
ЗАДАЧИ
1.	Чему равны показания термометра по шкале Фаренгейта: 1) при таянии льда; 2) при кипении воды; 3) при измерении нормальной температуры (36,6 °C) человеческого тела'?	[32 °F; 212 °F; 97,9 °F]
2.	При какой температуре показания термометров по шкалам Цельсия и Фаренгейта одинаковы?	[-40 °C]
3.	При какой температуре показания термометров по термодинамической шкале и шкале Фаренгейта одинаковы?	[574,25 К]
4.	Определите среднюю квадратичную скорость молекул кислорода и аргона в воздухе при температуре 20 °C.	[478 м/с; 427 м/с]
5.	При какой температуре тепловая скорость молекул азота равна 90 км/ч? [10,5 К]
§51. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории
Давление идеального газа. Молекулы газа, движущиеся со сверхзвуковой скоростью при обычной температуре, сталкиваясь с любыми препятствиями на их пути (стенки сосуда, люди, животные, машины, воды озера и скалы), воздействуют на них, оказывают давление. В процессе эволюции природа позаботилась о том, чтобы барабанные перепонки уха человека не были слишком чувствительны. Иначе в результате постоянной бомбардировки ушей молекулами воздуха в них постоянно стоял бы гул, напоминающий шум от стартующего самолета или ракеты и мешающий
246
Молекулярная физика
180
Деформация тонкой металлической канистры под действием атмосферного давления после откачки из нее воздуха
воспринимать все остальные звуки. Барабанная перепонка не продавливается внутрь бомбардирующими ее молекулами только потому, что такая же бомбардировка происходит и с внутренней стороны уха: воздух через носоглотку постоянно поступает из внешнего пространства во внутреннюю полость уха. При нарушении баланса давления воздуха на перепонку изнутри и снаружи может возникать боль в ушах. Например, насморк у пассажира самолета может быть причиной болевых ощущений. При взлете самолета наружное давление падает, а распухшая слизистая оболочка затрудняет доступ воздуха из внешнего пространства во внутреннюю полость уха. Это приводит к тому, что давление на перепонку снаружи и изнутри не может быстро уравняться.
Большое давление атмосферного воздуха заметно не проявляется из-за точного баланса внешнего и внутреннего давления. Нарушение этого баланса наглядно показывает, как велико атмосферное давление.
Если из канистры, сделанной из тонкого металла, откачать воздух, то она мгновенно деформируется под давлением атмосферного воздуха (рис. 180).
181
Эксперимент с «магде-бургскими полушариями» 18 мая 1654 г. (О. фон Герике.
«Experimenta Nova» )
Молекулярно-кинетическая теория
247
В 1654 г. немецкий инженер Отто фон Герике организовал в Магдебурге в присутствии императора Фердинанда III научное театрализованное представление (рис. 181).
Две восьмерки лошадей тщетно пытались разорвать в разные стороны две бронзовые полусферы, из пространства между которыми предварительно был откачан воздух. Секрет эксперимента с «маг-дебургскими полушариями» объясняется огромными, некомпенсируемыми изнутри силами, сдавливающими полушария в результате их бомбардировки снаружи молекулами воздуха (рис. 182).
Вывод основного уравнения молекулярнокинетической теории. Давление газа является результатом ударов молекул. Найдем давление газа, находящегося в цилиндрическом сосуде, на поршень площадью S (рис. 183).
Хи
182
Сжатие «магдебургских полушарий» — результат их бомбардировки снаружи частицами воздуха
183
Давление газа — результат ударов молекул
Если поршень расположен перпендикулярно оси X, то давление газа равно отношению силы Fx, действующей на поршень вдоль оси X, к его площади S:
F
Р=^.	(156)
О
Сила Fx является результирующей силой ударов молекул о поршень:
Fx = F\AN,	(157)
где Fr — сила удара одной молекулы, ДХ — полное число ударов молекул о поршень.
248
Молекулярная физика
Соударение молекулы с поршнем: а) упругий удар молекулы;
б) изменение скорости молекулы в результате удара
Черта сверху (знак усреднения) означает усреднение силы Fx по скоростям молекул.
Найдем сначала силу удара о поршень одной молекулы (рис. 184, а).
Согласно второму закону Ньютона, на молекулу (атом) со стороны поршня действует сила
w Av а aAf’
где Av — изменение скорости молекулы за время удара At.
По третьему закону Ньютона на поршень со стороны молекулы действует сила = -Fa:
При упругом ударе молекулы о поршень компонента ее скорости по оси Y не изменяется, а компонента по оси X изменяет направление на противоположное (рис. 184, б). Изменение скорости за промежуток времени At равно
Др = |и - Ро| = 2vx,
где vQ и v — скорость молекулы до и после удара о поршень, vx — проекция скорости молекулы на ось X.
Тогда
21)
=	(158)
Рассчитаем теперь полное число ударов молекул о поршень. За промежуток времени At с поршнем сталкиваются только те молекулы, которые успевают долететь до него за это время (рис. 185).
185 ►
Определение полного числа ударов молекул о поршень за время At. Частицы 1 и 2, находящиеся за пределами цилиндра объемом ДУ = Svx At, не успевают столкнуться с поршнем за промежуток времени At
AN
Молекулярно-кинетическая теория
249
Они находятся в цилиндре объемом AV с основанием S и образующей vx At.
Следовательно, полное число ударов молекул о поршень равно числу этих молекул:
Atf = i п ДУ = | nSvx \t,	(159)
z z
где n — концентрация частиц (число частиц в единице объема).
Множитель i введен в формулу в связи с тем, что среди всех молекул, хаотически движущихся по оси X, лишь половина их движется в положительном направлении оси.
Подставляя равенства (158) и (159) в формулы (157) и (156), находим давление газа на поршень:
▲ 186
Вектор скорости v и его компоненты vx, vy, vz по координатным осям:
v2 = OB2 + ВА2,
OB2 = v2 + и2, BA = vy
1 nSvrAt • 2тяиг р = ------------—
р 2 SAt
= nmav2.
(160)
Вследствие хаотичности теплового движения молекул их движение может происходить равновероятно в любом направлении. Поэтому средние квадраты скорости по осям X, Y и Z равны:
v2 =	=	(161)
Из рисунка 186 видно, что
V2 = V2 + V2 + V2. Л у 4
Усредняя это выражение по скоростям и учитывая формулу (161), имеем
v2 = v2 + v2 + v2 = 3v2 . у *
Соответственно
-2 V2
3
Подставляя полученное равенство в выражение (160), получаем основное уравнение молекулярно-кинетической теории идеального газа:
Р = I nmav2.	(162)
О
Макроскопическая величина (в данном случае давление) с помощью модели идеального газа
250
Молекулярная физика
определяется этой формулой через микроскопические параметры: массу молекулы, концентрацию молекул и средний квадрат скорости их хаотического движения. Умножив и разделив правую часть равенства на 2, можно получить еще одну форму записи основного уравнения молекулярно-кинетической теории идеального газа:
Р=|пЁ*.	(163)
где Ek = —— — средняя кинетическая энергия молекул. 2
В данной формуле концентрация частиц характеризует число ударов молекул о поршень, а средняя кинетическая энергия молекул определяет интенсивность одного удара.
Давление идеального газа равно двум третям средней кинетической энергии поступательного движения молекул, содержащихся в единице объема.
Если газ представляет собой смесь идеальных газов, молекулы каждого газа ударяют поршень независимо друг от друга. В соответствии с принципом суперпозиции сил давления газов, составляющих смесь (парциальные давления), суммируются.
-- — Закон Дальтона
Давление смеси идеальных газов равно сумме парциальных давлений входящих в нее газов.
Так, атмосферное давление складывается из парциальных давлений азота, кислорода и др. газов.
ВОПРОСЫ
1. Почему барабанная перепонка уха не продавливается бомбардирующими ее молекулами воздуха?
2. Что доказал эксперимент О. фон Герике?
Молекулярно-кинетическая теория
251
3-	Сформулируйте и запишите основное уравнение молекулярно-кинетической теории.
4-	На высоте порядка сотен километров над Землей молекулы атмосферы имеют кинетическую энергию, которой соответствует температура порядка тысяч градусов Цельсия. Почему на такой высоте не плавятся искусственные спутники Земли?
5.	Сформулируйте закон Дальтона.
ЗАДАЧИ
1.	«Магдебургские полушария» растягивали 8 лошадей с каждой стороны. Как изменится сила тяги, если одно полушарие прикрепить к стене, а другое будут тянуть 16 лошадей?
2.	Идеальный газ оказывает на стенки сосуда давление 1,01 • 105 Па. Тепловая скорость молекул 500 м/с Найдите плотность газа.	[1,21 кг/м3]
3.	Под каким давлением находится кислород, если тепловая скорость его молекул 550 м/с, а их концентрация 1025м-3?	[9,7 кПа]
4.	Азот занимает объем 1 л при нормальном атмосферном давлении. Определите энергию поступательного движения молекул газа	[15,15 Дж]
5.	Воздух состоит из смеси азота, кислорода и аргона. Их концентрация соответственно равна 7,8 • 1024м~3, 2,1  1024м-3, 1023м-3. Средняя кинетическая энергия молекул смеси одинакова и равна 3 • 10-21 Дж. Найдите давление воздуха.	[20 кПа]
§ 52. Уравнение
Клапейрона—Менделеева
Постоянная Лошмидта. Исключим последовательно из основного уравнения молекулярнокинетической теории (163) микроскопические параметры, заменяя их на макроскопические. Подставляя выражение для средней кинетической энергии молекулы в формулу (163), получаем
р = nkT.
(164)
Это соотношение позволяет по двум известным макроскопическим параметрам (давлению и температуре газа) оценить микроскопический параметр (концентрацию молекул).
Найдем концентрацию молекул любого идеального газа при нормальных условиях: атмосферное
252
Молекулярная физика
давление р = 1,01 • 105Па, температура 0 °C, или Т = 273 К:
К1
----1,01'105--- м"3 « 2,7 • 1025м-3.
1,38 • 10-23 • 273
. 187
Взаимосвязь среднего расстояния между молекулами и их концентрации*.
Это значение концентрации молекул идеального газа при нормальных условиях называется постоянной Лошмидта.
Среднее расстояние между частицами идеального газа. Зная концентрацию частиц (молекул, атомов), можно оценить среднее расстояние I между частицами идеального газа.
Предположим, что молекулы упорядоченно располагаются в пространстве, находясь на расстоянии I одна от другой (рис. 187).
Разделив пространство на равные кубические ячейки со стороной I, найдем объем, занимаемый одной молекулой:
= Is.
В единице объема (1 м3) таких ячеек и соответственно молекул находится
Таким соотношением концентрация молекул связана со средним расстоянием между частицами, откуда следует, что
При нормальных условиях среднее расстояние между молекулами идеального газа можно найти через постоянную Лошмидта:
I =	1 и 3,3 • 10-9 м.
3л/2,7 • 1025
Среднее расстояние между молекулами идеального газа при нормальных условиях более чем на порядок превышает размер молекулы.
Молекулярно-кинетическая теория
253
Уравнение состояния идеального газа. Получим теперь с помощью равенства (164) уравнение состояния идеального газа, связывающее между собой только макроскопические параметры: давление, объем и температуру. Если известно полное число частиц газа ЛГ, занимающего объем К, то число частиц в единице объема
С учетом этого выражение (164) приводится к виду
pV = NkT.
Умножив и разделив правую часть на молярную массу М = maNA, имеем
(Л^ПаКад Т
р м
где Nma = т — масса газа, kNA = R.
R = 8,31 Дж/(моль*К) — молярная газовая постоянная.
Уравнение Клапейрона—Менделеева — уравнение состояния идеального газа, связывающее три макроскопических параметра (давление, объем и температуру) данной массы газа:
pV=^RT.	(165)
Уравнение Клапейрона—Менделеева справедливо для идеального газа любого химического состава. Единственной величиной, определяющей специфику газа, является молярная масса. Состояние данной массы газа однозначно определяется заданием любых двух макроскопических параметров (р, V), (р, Т) или (V, Т). Третий параметр Т, V, р соответственно определяется из уравнения Клапейрона—Менделеева.
С помощью уравнения состояния можно описывать процессы сжатия и расширения, нагревания и охлаждения идеального газа.
254
Молекулярная физика
ВОПРОСЫ
1.	Каковы нормальные условия для идеального газа?
2-	Какова концентрация молекул идеального газа при нормальных условиях?
3.	Как соотносится среднее расстояние между атомами идеального газа с размером атома.
4.	Какие макроскопические параметры связывает уравнение Клапейрона—Менделеева?
5-	Какие макроскопические параметры следует задать для однозначного определения состояния идеального газа?
3 А Д А Ч И
1.	Как изменится давление газа при уменьшении в 4 раза его объема и увеличении температуры в 1,5 раза?	[увеличится в 6 раз]
2.	Давление газа в люминесцентной лампе 103 Па, а его температура 42 °C Определите концентрацию атомов в лампе. Оцените среднее расстояние между атомами.
[2,3  1023м“3; 16,3 нм]
3-	Оцените число молекул воздуха, находящихся в классе при атмосферном давлении и температуре 20 °C.
4.	Найдите объем одного моля идеального газа любого химического состава при нормальных условиях.	[22,4 л = 0,0224 м3]
5.	В сосуде объемом 4 л находятся молекулярный водород и гелий. Считая газы идеальными, найдите давление газов в сосуде при температуре 20 °C, если их массы соответственно равны 2 г и 4 г.	[4,87 кПа]
§ 53. Изопроцессы
Изотермический процесс. Закон Бойля—Ма-риотта. Многие процессы изменения состояния газов в природе и в тепловых машинах происходят так, что один из трех макроскопических параметров (объем, давление или температура) остается (или специально поддерживается) постоянным. Два других параметра при этом изменяются.
Изопроцесс — процесс, при котором один из макроскопических параметров состояния данной массы газа остается постоянным.
Молекулярно-кинетическая теория
255
Рассмотрим последовательно возможные изопроцессы.
Изотермический процесс — процесс изменения состояния определенной массы газа при постоянной температуре.
При изотермическом процессе Т = const, т = const.
При этих условиях из уравнения Клапейрона— Менделеева следует закон Бойля—Мариотта*.
pV= const = RT.
*	Л/Г
Это означает, что произведение начального давления газа рг на его первоначальный объем V\ равно произведению этих параметров р2, V2 в произвольный момент времени.
Закон Бойля—Мариотта _____
Для газа данной массы при постоянной тем пературе произведение давления газа на его объем постоянно:
Р1У1 = Р2^2-
На рисунке 188 представлены начальное и конечное состояния газа при его изотермическом расширении при температуре Т19 когда к газу подводится количество теплоты Q.
В начале процесса объем газа V19 давление р19 в конечном состоянии — V2 и р2 соответственно.
Закон Бойля—Мариотта объясняет, почему пузырьки воздуха, поднимаясь в воде вверх, увеличиваются в объеме: на глубине давление жидкости больше, чем у поверхности воды.
«J 188
Изотермическое расширение газа:
а) начальное состояние; б) конечное состояние
256
Молекулярная физика
Давление газа при изотермическом процессе, как следует из закона Бойля—Мариотта, обратно пропорционально его объему:
„ const
Р- —
А 189
График изотермического расширения: изотерма 1—2
"1х
Графиком такой обратно пропорциональной зависимости является гипербола (сравните с у = |), называемая для данного процесса изотермой (рис. 189).
Изотерма — график изменения макроскопических параметров газа при изотермическом процессе.
Предположим, что при изотермическом расширении газа поршень движется вверх со скоростью v (рис. 190).
Скорость молекул, догоняющих поршень, при отражении уменьшается вследствие уменьшения проекции скорости молекулы по оси У. В этом случае v2y = vly - 2u, a v2x = vlx. Это приводит к уменьшению средней кинетической энергии молекул газа, т. е. к его охлаждению. Поэтому для поддержания постоянной температуры газа к нему подводится количество теплоты Q (рис. 188, 189).
Изобарный процесс. Закон Гей-Люссака. Изобарный процесс — процесс изменения состояния определенной массы газа при постоянном давлении.
При изобарном процессе р = const, т = const.
При этих условиях из уравнения Клапейрона—Менделеева следует закон Гей-Люссака*.
А 190
Охлаждение газа при его расширении: скорость молекул после отражения их от поршня и их средняя кинетическая энергия уменьшаются
откуда
£ = const -2*. Т	М р
V = const • Т.
(166)
Объем газа данной массы при постоянном давлении пропорционален термодинамической температуре.
Молекулярно-кинетическая теория
257
191
Изобарное расширение газа:
а) начальное состояние; б) конечное состояние
а)	б)
Согласно закону Гей-Люссака отношение первоначального объема V\ газа к его температуре Т1 равно отношению этих параметров V2, Т2 в произвольный момент времени.
—- Закон Гей-Люссака —
Для газа данной массы при постоянном давлении отношение объема газа к его термодинамической температуре постоянно:
V1 _ V2
Л Г2‘
На рисунке 191 представлены начальное и конечное состояния газа при его изобарном расширении при давлении р19 когда к газу подводится количество теплоты Q. В начале процесса объем газа Vj, температура Т19 в конечном состоянии — V2 и Т2 соответственно.
Линейная зависимость объема газа от температуры при изобарном процессе определяется формулой (166). Графиком такой линейной зависимости является прямая (сравните с у = fex), называемая для данного процесса изобарой (рис. 192, а).
Изобара — график изменения макроскопических параметров газа при изобарном процессе. На диаграмме р, V графиком изобары является прямая, параллельная оси V (рис. 192, б).
Изобара при изобарном расширении:
а) на диаграмме V, Т;
б) на диаграмме р, V
9 В А Касьянов «Физика, 10 кл »
258
Молекулярная физика
Воздушный шарик, помещенный на сухой лед, сжимается. Давление внутри шарика уменьшается, так как уменьшается скорость молекул и сила их удара о стенки шарика.
В то же время наружное давление атмосферного воздуха остается постоянным.
Результирующее давление сжимает шарик.
При изобарном расширении температура газа и соответственно средняя квадратичная скорость молекул возрастают за счет количества теплоты Q, подводимого к газу.
Изохорный процесс. Закон Шарля. Изохорный процесс — процесс изменения состояния определенной массы газа при постоянном объеме.
При изохорном процессе V = const, т = const.
При этих условиях из уравнения Клапейрона—Менделеева следует закон Шарля:
£ =const = Т
т R
MV9
откуда
р = const • Т.
(167)
Давление газа данной массы при постоянном объеме пропорционально термодинамической температуре.
Согласно закону Шарля отношение первоначального давления газа рх к его температуре Т\ равно отношению этих параметров р2, Т2 в произвольный момент времени.
 Закон Шарля	-
Для газа данной массы отношение давления газа к его термодинамической температуре постоянно:
Pi _ Рг
Т1 г2-
193
Изохорное нагревание газа:
а) начальное состояние; б) конечное состояние
Молекулярно-кинетическая теория
259
На рисунке 193 представлены начальное и конечное состояния газа объемом V\ при его изохорном нагревании, когда к газу подводится количество теплоты Q. В начале процесса давление газа р19 температура 7\, в конечном состоянии — р2 и Т2 соответственно.
Линейная зависимость давления газа от температуры при изохорном процессе определяется формулой (167). Графиком такой зависимости в осях р, Т является прямая, называемая для данного процесса изохорой (рис. 194, а).
Изохора — график изменения макроскопических параметров газа при изохорном процессе.
В координатных осях р, V графиком изобары является прямая, параллельная оси давления (рис. 194, б).
При изохорном нагревании газа за счет подводимого к нему количества теплоты средняя квадратичная скорость молекул и соответственно температура и давление газа возрастают.
194
Изохоры при изохорном нагревании:
а)	на диаграмме р, Т;
б)	на диаграмме р, V
ВОПРОСЫ
1.	Какие процессы изменения состояния идеального газа называют изопроцессами?
2.	Какой процесс называют изотермическим9 Сформулируйте закон Бойля—Мариотта. Постройте изотермы в осях р, V; р, Т, V, Т
3.	Почему при изотермическом процессе к газу подводится теплота9
4.	Какой процесс называют изобарным9 Сформулируйте закон Гей-Люссака. Постройте изохору в осях р, V и V, Т
5.	Какой процесс называют изохорным? Сформулируйте закон Шарля. Постройте изохоры в осяхр, Тир, V.
ЗАДАЧИ
1.	Определите глубину озера, если объем воздушного пузырька удваивается при подъеме со дна на поверхность. Температура пузырька не успевает измениться при подъеме	[10,3 м]
2.	Цилиндр разделен непроницаемой закрепленной перегородкой на две части, объемы которых V\ и V2 Давление воздуха в этих частях цилиндра рД и р2 соответственно При
Q*
260
Молекулярная физика
снятии закрепления перегородка может двигаться вдоль цилиндра как невесомый пор-
шень. На какое расстояние и в какую сторону сдвинется перегородка? ——
L Р1У1 + P2V2 .
3.	Посередине откачанной и запаянной с обоих концов горизонтальной трубки длиной 27,5 см находится столбик ртути длиной 7,5 см. При повороте трубки в вертикальное положение столбик ртути смещается вниз на 2 см. Определите давление воздуха в обеих частях трубки в горизонтальном и вертикальном положениях	[2,4 • 104 Па]
4.	В цилиндре под поршнем массой 50 кг и площадью S = 10-2 м2 находится 1 моль воздуха. Цилиндр нагревают снаружи при нормальном атмосферном давлении на 15 °C. Найдите смещение поршня в результате нагревания.	[8,3 см]
5.	Автомобильные шины накачаны до давления 2 • 104 Па при температуре 7 °C. После нескольких часов езды температура воздуха в шинах поднялась до 42 °C. Каким стало давление воздуха в шинах9	[2,25 • 104 Па]
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
	Молекулы в идеальном газе движутся хаотически. Движение одной молекулы характеризуют микроскопические параметры (масса молекулы, ее скорость, импульс, кинетическая энергия). Свойства газа как целого описываются с помощью макроскопических параметров (масса газа, давление, объем, температура). Молекулярно-кинетическая теория устанавливает взаимосвязь между микроскопическими и макроскопическими параметрами.
Число молекул в идеальном газе столь велико, что закономерности их поведения можно выяснить только с помощью статистического метода.
	Равномерное распределение в пространстве молекул идеального газа является наиболее вероятным состоянием газа, т. е. наиболее часто встречающимся.
	Распределение молекул идеального газа по скоростям при определенной температуре является статистической закономерностью.
Наиболее вероятная скорость молекул — скорость, которой обладает максимальное число молекул.
	Стационарное равновесное состояние газа — состояние, в котором число молекул в заданном интервале скоростей остается постоянным.
	Температура тела — мера средней кинетической энергии поступательного движения его молекул:
2	2
где черта сверху — знак усреднения по скоростям, k = 1,38 • 10~23 Дж/К — постоянная Больцмана.
Единица термодинамической температуры — кельвин (К).
При абсолютном нуле температуры средняя кинетическая энергия молекул равна нулю.
	Средняя квадратичная (тепловая) скорость молекул газа
Молекулярно-кинетическая теория
261
где М — молярная масса, R = = 8,31 Дж/(К • моль) — молярная газовая постоянная.
	Давление газа — следствие ударов движущихся молекул:
P=l^Ek,
где п — концентрация молекул (число молекул в единице объема), Ek — средняя кинетическая энергия молекулы.
Давление газа пропорционально его температуре:
р = nkT.
	Постоянная Лошмидта — концентрация идеального газа при нормальных условиях (атмосферное давление р = 1,01 • 105 Па и температура Т = 273 К):
п = 2,7 • 1025м"3.
	Уравнение Клапейрона—Менделеева — уравнение состояния идеального газа, связывающее три макроскопических параметра (давление, объем, температуру) данной массы газа.
pV = f-RT. м
	Изопроцесс — процесс, при котором один из макроскопических параметров состояния данной массы газа остается постоянным.
	Изотермический процесс — процесс изменения состояния определенной массы газа при постоянной температуре.
Закон Бойля—Мариотта: для газа данной массы при постоянной температуре:
P1V1 = Р2^29
где р}, р2, V\, V2 — давление и объем газа в начальном и конечном состояниях
Изотерма — график изменения макроскопических параметров газа при изотермическом процессе.
	Изобарный процесс — процесс изменения состояния определенной массы газа при постоянном давлении.
Закон Гей-Люссака: для газа данной массы при постоянном давлении
У1 = У2
Л т2>
где Vv V2, Tv Т2 — объем и температура газа в начальном и конечном состояниях.
Изобара — график изменения макроскопических параметров газа при изобарном процессе.
 Изохорный процесс — процесс изменения состояния определенной массы газа при постоянном объеме. Закон Шарля: для газа данной массы при постоянном объеме
Pi = Р2 т2’
где рр р2, Т-р Т2 — давление и температура газа в начальном и конечном состояниях.
Изохора — график изменения макроскопических параметров газа при изохорном процессе.
Термодинамика
§ 54. Внутренняя энергия
Предмет изучения термодинамики. Работа машин и механизмов, используемых человечеством в повседневном опыте на протяжении тысячелетий, осуществлялась главным образом за счет мускульных усилий людей и животных. Применение наклонной плоскости, рычагов, колес и блоков существенно облегчило физические нагрузки. Использование энергии ветра и падающей воды позволило совершать значительно большую механическую работу, чем прежде.
Однако огромный запас энергии, находящейся внутри тел, практически до XVIII в. не был востребован цивилизацией. Исключение составляла лишь энергия пороха, разгонявшая до большой скорости снаряды и пули, используемая человечеством отнюдь не для созидательных, конструктивных целей.
Одним из ключевых моментов научно-технической революции был переход от применения механической энергии к использованию внутренней энергии, за счет которой может совершаться большая работа.
Термодинамика — раздел физики, изучающий возможности использования внутренней энергии тел для совершения механической работы.
Термодинамика
263
Учитывая, что энергетические превращения сопутствуют всем явлениям природы, можно более широко определить термодинамику как теорию наиболее общих свойств макроскопических систем.
Внутренняя энергия идеального газа. Одной из основных величин, используемых в термодинамике, является внутренняя энергия тела.
Термодинамика изучает тепловые свойства макроскопических тел без учета их молекулярного строения. В этом смысле термодинамика является макроскопической теорией.
Внутренняя энергия тела — сумма кинетической энергии хаотического теплового движения частиц (атомов или молекул) тела и потенциальной энергии их взаимодействия.
Для идеального газа потенциальная энергия взаимодействия частиц пренебрежимо мала по сравнению с их кинетической энергией теплового движения. Поэтому внутренняя энергия идеального газа определяется кинетической энергией теплового движения частиц.
Средняя кинетическая энергия одного атома (согласно формуле (153))
Ek=lkT.
Отметим, что в силу хаотичности движения на каждое из трех возможных направлений движения, или степень свободы, по оси X, Y и Z прихо-ЪТ дится одинаковая энергия — .
С1
Число степеней свободы — число возможных независимых направлений движения молекулы.
Внутренняя энергия U одноатомного газа, состоящего из N атомов, в N раз больше энергии одного атома:
U = NEk= ^NkT.
R 2
264
Молекулярная физика
Кинетическая энергия молекулы идеального газа складывается из кинетической энергии поступательного и вращательного движения. При больших температурах оказывается существенной и кинетическая энергия колебаний атомов в молекулах.
Внутренняя энергия данной массы реального газа зависит не только от его температуры, но и от объема газа. Разным объемам соответствуют разные расстояния между молекулами и соответственно различные потенциальные энергии реального газа.
Разделив и умножив это выражение на молярную массу М = m&NA, получаем
3 N(maNA)kT = з (^та)(^)Т
2 М 2 М или
U=^RT.	(168)
Внутренняя энергия данной массы идеального газа зависит лишь от одного макроскопического параметра — термодинамической температуры.
Используя уравнение Клапейрона—Менделеева, можно представить выражение для внутренней энергии идеального одноатомного газа в виде v=hv.
£
Газ называют двухатомным, если каждая его молекула состоит из двух атомов.
Каждый атом может двигаться по трем направлениям, поэтому полное число возможных направлений движения молекулы равно 6.
Связь, существующая между атомами в двухатомной молекуле, уменьшает число степеней свободы на единицу. Поэтому число степеней свободы для двухатомной молекулы равно пяти.
Средняя кинетическая энергия двухатомной к
молекулы равна -^kT. Соответственно внутрен-няя энергия идеального двухатомного газа может быть рассчитана следующим образом:
и=- — RT = - nV. 2М 2Р
Формулы для внутренней энергии идеального газа можно обобщить:

(169)
где i — число степеней свободы молекул газа (i = 3 для одноатомного газа и i = 5 для двухатомного газа).
Термодинамика
265
Оценим внутреннюю энергию молекул воздуха, состоящего в основном из молекул N2 и О2, в классе объемом V = 5 х 8 х 4 м3. Считая давление воздуха атмосферным (р = 1,01 • 105 Па), находим из выражения (169)
и = | • 1,01 • 105 • 5 • 8 • 4 Дж = 4,04 • 107 Дж.
Этой энергии хватило бы для подъема груженого авиалайнера «Boeing-747» на высоту 20 м. (Отметим, что масса воздуха в классе оказывается порядка 200 кг.)
Однако внутреннюю энергию не всегда можно использовать для совершения механической работы.
Изменение внутренней энергии. Известно, что изменение температуры тела приводит к изменению его внутренней энергии.
Изменение внутренней энергии ДС7 равно разности ее конечного U2 и начального U\ значений:
ш = и2-и1.
Существует два способа изменения внутренней энергии системы: теплообмен и совершение работы.
Теплообмен — процесс передачи энергии от одного тела к другому без совершения работы.
Мерой такой передачи энергии является количество теплоты.
Количество теплоты, получаемое телом — энергия, передаваемая телу извне в результате теплообмена.
б)
195
Способы изменения внутренней энергии: а) теплообмен;
б) совершение работы над системой
266
Молекулярная физика
Л 196
Увеличение скорости молекул в результате столкновения с поршнем при сжатии газа
При нагревании тела увеличиваются его температура и внутренняя энергия (рис. 195, а).
Для уменьшения внутренней энергии тела можно привести его в контакт с более холодным телом. В результате теплообмена температура и внутренняя энергия горячего тела уменьшаются, но работа не совершается, так как тела не перемещаются.
За счет изменения внутренней энергии тела при теплообмене не может совершаться работа.
За счет совершения работы может происходить увеличение температуры и внутренней энергии системы, например, при вращении лопастей в жидкости и сжатии газа в сосуде (рис. 195, б).
При сжатии газа поршень передает молекулам газа часть своей кинетической энергии (рис. 196), в результате чего газ нагревается.
ВОПРОСЫ
1.	Сформулируйте определение внутренней энергии тела. Зависит ли внутренняя энергия тела от его движения и положения относительно других тел?
2.	От какого макроскопического параметра зависит внутренняя энергия идеального газа? Как изменяется температура тела, если оно отдает энергии больше, чем получает извне9
3.	Сформулируйте определение числа степеней свободы.
4.	Моль какого газа (гелия или водорода) имеет ббльшую внутреннюю энергию при одинаковой температуре газов?
5.	Как можно изменить внутреннюю энергию жидкости газа?
ЗАДАЧИ
1.	Воздух массой 87 кг нагревается от 10 °C до 30 °C. Определите изменение внутренней энергии воздуха. Молярную массу воздуха следует принять равной 2,9 • 10-2кг/моль, а воздух считать двухатомным (идеальным) газом.	[0,125 МДж]
2.	Найдите изменение внутренней энергии гелия при изобарном расширении газа от начального объема 10 л до конечного 15 л Давление газа 104Па.	[75 Дж]
3.	Молекулярный кислород находится под давлением 105 Па в сосуде объемом 0,8 м3. При изохорном охлаждении внутренняя энергия газа уменьшается на 100 кДж. Чему равно конечное давление кислорода?	[5  104 Па]
Термодинамика
267
4.	Определите, какое давление воздуха установится в двух комнатах, имеющих объем V1 и V2, если между ними открывается дверь Первоначальное давление воздуха в комнатах р1 и р2, а температура одинакова.	г , v п
Pl *1+ Р2*2
v 1 v 2
5.	При стыковке двух космических кораблей их отсеки соединяются между собой Объем первого отсека ^ = 12 м3, второго — V2 = 20 м3. Давление и температура воздуха в отсеках равны ру = 0,98 1 05 Па, р2 = 1,02  105 Па, = 17 °C, t2 = 27 °C. Какое давление воздуха установится в объединенном модуле? Какой будет температура воздуха в нем?
[1,005  105Па; 23 °C]
§ 55. Работа газа при изопроцессах
Работа газа при расширении и сжатии. Для обратного перехода внутренней энергии тела в механическую работу необходимо каким-то образом преобразовать хаотическое движение его молекул в упорядоченное движение другого тела. В качестве такого тела наиболее целесообразно использовать поршень в цилиндре, перемещающийся под давлением газа, заполняющего цилиндр.
Сила давления газа совершает работу при его расширении за счет изменения внутренней энергии газа.
Вычислим работу, совершаемую силой давления F газа при его расширении от начального объема V\ до конечного V2 (рис. 197, а).
Будем считать, что поршень, площадь поперечного сечения которого равна S, перемещается на высоту h и что сила давления газа остается постоянной в процессе перемещения.
▼ 197
Работа, совершаемая газом:
а) расширение газа (bV> 0; А > 0Л б) сжатие газа (AV< 0; А < 0)
268
Молекулярная физика
Работа силы давления газа при таком перемещении по определению равна:
A = Fh cosO= ^Sh. s
Учитывая, что давление газа р =
-, а изменение
его объема А У = V2 -	= Sh, выражение для рабо-
ты силы давления газа можно представить в виде
А = phV.
(170)
198
Работа, совершаемая газом при изобарном расширении (р = const, т = const)
199
Работа, совершаемая газом при изотермическом расширении (Т = const, т = const)
Работа, совершаемая газом, равна произведению давления газа на изменение его объема:
A=p(V2-V1).
При расширении (AV > 0) газ совершает положительную работу, отдавая энергию окружающим телам.
При сжатии (AV < 0) работа, совершаемая газом, отрицательна (рис. 197, б). Внутренняя энергия газа при сжатии увеличивается (см. § 50).
Работа газа при изопроцессах. При изохорном процессе (AV = 0) работа газом не совершается: А = 0.
Рассмотрим изобарное расширение газа, имеющего давление р, от начального объема V\ до конечного V2. Работа, совершаемая газом, равна площади прямоугольника под изобарой со сторонами р и (V2 - (рис. 198).
При изотермическом расширении газа его давление изменяется по гиперболическому закону. Выделим на изотерме небольшой участок, соответствующий малому изменению объема ДУ (рис. 199).
Проведем перпендикуляры из концов участка до пересечения с изотермой и обозначим через р среднее давление газа при таком изменении объема. Работа, совершаемая газом при расширении на ДУ, равна р AV. Такая же величина определяет
Термодинамика
269
площадь заштрихованной трапеции, имеющей среднюю линию р и высоту ЛК Из площадей подобных трапеций складывается полная площадь под изотермой, численно равная работе при изотермическом расширении газа*:
А=йдт 1пй-
Работа, совершаемая газом в процессе его расширения (или сжатия) при любом термодинамическом процессе, численно равна площади под кривой, изображающей изменение состояния газа на диаграмме р, V.
ВОПРОСЫ
1.	Как можно преобразовать хаотическое движение молекул газа в направленное движение макроскопического тела?
2.	От каких величин зависит работа, совершаемая силой давления газа9
3.	Какую по знаку работу совершает газ при расширении и при сжатии?
4.	Какой геометрический смысл имеет работа на диаграмме р, V?
5.	Газ, занимающий объем Vy и имеющий давление расширяется до объема V2 один раз изобарно, а другой — изотермически. В каком случае работа расширения газа больше? Обоснуйте ответ графически.
ЗАДАЧИ
1. Азот массой т = 0,28 кг нагревается изобарно от температуры Ту = 290 К до температуры Т2 = 490 К. Какую работу совершает газ при этом нагревании? Найдите изменение его внутренней энергии. [1,66 МДж; 41,55 МДж] 2. Кислород массой т = 50 г имеет температуру Ту = = 320 К. В результате изохорного охлаждения давление кислорода уменьшилось вдвое, а затем после изобарного расширения температура газа в конечном состоянии стала равна первоначальной. Изобразите на диаграмме р, V эти процессы. Покажите графически работу, совершенную газом, и рассчитайте ее. Найдите результирующее изменение внутренней энергии.	[2,08 кДж; 0]
3.	Определите работу, совершаемую гелием при переходе из состояния 1 в состояние 6 (рис. 200).	[9 кДж]
* Выражение для работы, совершаемой газом при изотермическом процессе, приводится без доказательства.
^р, кПа
° 0,1	0,3	0,5
200
270
Молекулярная физика
4.	Изменение состояния идеального газа изображено на диаграмме V, Т (рис. 201). Начальное давление газа рЛ = 105 Па и его объем V1 = 3 м3 известны Изобразите изменение состояния газа на диаграмме р, V Найдите работу, совершаемую газом в процессе 1— 2—3—4, графически и рассчитайте ее.	[5 • 105 Дж]
5.	Два моля идеального газа сжимаются изотермически при температуре Т = 300 К до половины первоначального объема. Какая работа совершается газом? Изобразите качественно рассматриваемый процесс на диаграмме р, V.	[-3,46 кДж]
§ 56. Первый закон термодинамики
Количество теплоты, поглощаемое телом, считают положительным, а выделяемое — отрицательным.
Закон сохранения энергии для тепловых процессов. До сих пор мы рассматривали два способа изменения внутренней энергии системы: теплообмен и совершение работы над системой независимо друг от друга. В общем случае внутренняя энергия может изменяться одновременно как за счет теплообмена с окружающими телами, так и за счет совершения работы внешними силами.
Первый закон термодинамики (закон сохранения энергии для тепловых процессов) определяет количественное соотношение между изменением внутренней энергии системы Д17, количеством теплоты Q, подведенным к ней, и суммарной работой внешних сил Авн, действующих на систему.
— Первый закон термодинамики
Изменение внутренней энергии системы при ее переходе из одного состояния в другое равно сумме количества теплоты, подведенного к системе извне, и работы внешних сил, действующих на нее:
MJ = Q + Авн.
Для изолированной системы, которая не обменивается теплотой с окружающими телами (Q = 0) и над которой не совершается работа внешних сил (Ави = 0),
Д17 = U2 -	= 0,
или
С/2 = ^1-
Термодинамика
271
Внутренняя энергия замкнутой, изолированной системы сохраняется.
В термодинамике наибольший интерес представляет преобразование внутренней энергии в работу, совершаемую газом. Эта работа отличается от работы внешних сил только знаком:
=	(171)
Действительно, пусть при сжатии газа (см. рис. 197, б) внешней силой FBH поршень смещается в направлении силы на величину h. Тогда
А = F h cos 0° = F h. ХЭЛ	СП	сп
По третьему закону Ньютона сила давления газа на поршень равна
F =-F .
вн*
Следовательно, работа, совершаемая силой давления газа,
А = Fh cos 180° = -F^h.
С учетом соотношения (171) первый закон термодинамики можно сформулировать так:
_ Первый закон термодинамики ..
Количество теплоты, подведенное к системе, идет на изменение ее внутренней энергии и на совершение системой работы над внешними телами:
Q = Л11 + А.
Первый закон термодинамики для изопроцессов. При изохорном процессе объем газа остается постоянным (AV = 0), поэтому газ не совершает работу (А = 0) (см. (170)).
Изменение внутренней энергии газа происходит благодаря теплообмену с окружающими телами:
<2 = ли.
(172)
Количество теплоты, сообщаемое газу для изменения его состояния, зависит от способа перехода газа из одного состояния в другое. При разных процессах, связывающих два состояния тела, количество подведенной (отведенной) теплоты также будет различным.
272
Молекулярная физика
Температура газа может оставаться постоянной при подведении к нему определенного количества теплоты, если газ будет совершать работу при его расширении.
Если начальная температура газа равна Тг, а конечная Т2, то
ACZ = U2 - Ur =
= i-^-RT, - l- £RT. = 1 ^-R \Т,	(173)
2 М 2 2 М 1 2 М	v '
где АТ = Т2 - Tj — изменение температуры газа.
Подставляя это выражение в равенство (172), получаем
Нагревание газа (АТ > 0) происходит при подведении к нему количества теплоты (Q > 0).
При изохорном нагревании давление газа возрастает из-за увеличения средней кинетической энергии молекул (рис. 202).
Если от газа отводится количество теплоты (Q < 0), то газ охлаждается (АТ < 0) и его давление падает.
При изотермическом процессе постоянна температура (АТ = 0), поэтому внутренняя энергия не изменяется (АС7 = 0) (см. (173)).
При изотермическом процессе количество теплоты, переданное газу от нагревателя, полностью расходуется на совершение работы:
Q=A.
При изотермическом расширении газа, находящегося в цилиндре под поршнем, молекулы газа, сталкиваясь с поршнем, уменьшают свою скорость и соответственно среднюю энергию (см. рис. 190),
202
Изохорный процесс (V = const, т = const)
Термодинамика
273
4 203
Изотермический процесс (Т = const, т = const): ДС7 = 0
поэтому для поддержания постоянной температуры газа к нему подводится дополнительное количество теплоты (рис. 203).
При изотермическом сжатии газа (А < 0) для сохранения постоянной температуры от газа отводится определенное количество теплоты (Q < 0).
При изобарном расширении газа подведенное к нему количество теплоты расходуется как на увеличение его внутренней энергии (AU > 0) и на совершение работы газом (А < 0) (рис. 204):
Q = ACZ + A.
Для изобарного расширения газа от объема до объема при котором увеличивается его температура, требуется большее количество теплоты, чем при изотермическом процессе, где температура газа не изменяется.
Подводимое количество теплоты при изобарном расширении газа расходуется не только на его нагревание, но и на совершение механической работы.
• 204
Изобарный процесс (р = const, т = const): \U > 0
274
Молекулярная физика
ВОПРОСЫ
1.	Как определяется изменение внутренней энергии системы согласно первому закону термодинамики?
2.	На что расходуется, согласно первому закону термодинамики, количество теплоты, подведенное к системе9
3.	Сформулируйте первый закон термодинамики для изохорного процесса
4.	Запишите первый закон термодинамики для изотермического процесса.
5.	Сформулируйте первый закон термодинамики для изобарного процесса. Почему при изобарном расширении газа от объема V1 до объема V2 требуется большее количество теплоты, чем при изотермическом процессе?
ЗАДАЧИ
1.	При подведении к идеальному газу количества теплоты 125 кДж газ совершает работу 50 кДж против внешних сил. Чему равна конечная внутренняя энергия газа, если его энергия до подведения количества теплоты была равна 220 кДж?	[295 кДж]
2.	Кислород массой 32 г находится в закрытом сосуде под давлением 0,1 МПа при температуре 17 °C. После нагревания давление в сосуде увеличилось в 2 раза. Найдите’ 1) объем сосуда; 2) температуру, до которой нагрели газ; 3) количество теплоты, сообщенное газу.	[2,41 * Ю-2 м3; 580 К; 6,02 кДж]
3.	Какое количество теплоты было подведено к гелию, если работа, совершаемая газом при изобарном расширении, составляет 2 кДж? Чему равно изменение внутренней энергии гелия?	[5 кДж; 3 кДж]
4.	Какое количество теплоты требуется для изобарного увеличения объема молекулярного азота массой 14 г, имеющего до нагревания температуру 27 °C, в 2 раза?
[4,36 кДж]
5.	Рассчитайте результирующее изменение внутренней энергии газа и подведенное к нему количество теплоты по диаграмме р, V (см задачу 3 к § 55). [5,625 кДж; 14,625 кДж]
§ 57. Адиабатный процесс
Термодинамический процесс в теплоизолированной системе. Для наиболее эффективного преобразования внутренней энергии газа в совершаемую им работу следует предотвратить возможные потери внутренней энергии в результате теплопередачи окружающим телам. Поэтому систему теплоизолируют.
Термодинамика
275
Теплоизолированная система — система, не обменивающаяся энергией с окружающими телами (Q = О).
Даже если газ недостаточно теплоизолирован, то при его быстром расширении или сжатии теплообмен между газом и окружающими телами не успевает произойти за малый промежуток времени.
Адиабатный процесс — термодинамический процесс в теплоизолированной системе.
Первый закон термодинамики для адиабатного процесса имеет вид
ACZ+A = O, или
▲ 205
Конденсация пара в виде мельчайших капель жидкости как результат уменьшения температуры пара при адиабатном расширении
А = —AL7.
При адиабатном расширении газа А > 0. Следовательно,
\u=l- ^-R\T<Q. 2 М
Это означает, что АТ < 0, т. е. температура газа уменьшается по сравнению с первоначальной (рис. 205).
Причина уменьшения средней энергии молекул при расширении газа обсуждалась ранее (см. рис. 190).
Изменение температуры газа при адиабатном процессе. Понижение температуры газа при адиабатном расширении приводит к тому, что его давление уменьшается более резко, чем при изотермическом процессе.
На рисунке 206 приведена адиабата 1 —2, проходящая между двумя изотермами. Площадь под
206
Понижение температуры газа при адиабатном расширении
276
Молекулярная физика
Воспламенение ваты, смоченной эфиром, при адиабатном сжатии
Сжатие и расширение газа в цилиндре дизельного двигателя
адиабатой численно равна работе, совершаемой газом при его адиабатном расширении от объема V1 до объема Г2.
Адиабатное сжатие приводит к повышению температуры газа, так как в результате упругих соударений молекул газа с поршнем их средняя кинетическая энергия возрастает (см. рис. 196).
Поэтому, например, при быстром сжатии воздуха в цилиндре кусочек ваты, смоченный эфиром, воспламеняется (рис. 207).
Резкое нагревание воздуха при адиабатном сжатии используется в дизельных двигателях (рис. 208).
При сжатии поршнем воздуха, находящегося в цилиндре, его температура значительно возрастает. Впрыскивание жидкого топлива в конце такта сжатия приводит к его воспламенению и резкому возрастанию давления рабочей смеси, вызывающему ход поршня в противоположном направлении.
Широкое распространение дизельных двигателей объясняется прежде всего дешевизной дизельного топлива. Однако система его дозирования требует особенно точного изготовления соответствующих деталей, что удорожает конструкцию.
ВОПРОСЫ
1.	Какой процесс называется адиабатным? Сформулируйте первый закон термодинамики для адиабатного процесса.
2.	За счет какой энергии совершается работа при адиабатном расширении газа?
3.	Почему при адиабатном расширении температура газа падает, а при сжатии возрастает?
4.	При резком сжатии газа в цилиндре поршнем объем газа уменьшился в 2 раза Почему давление газа при этом возросло более чем в 2 раза9
5.	Как используется адиабатное сжатие в дизельном двигателе (см рис. 208)?
ЗАДАЧИ
1.	При адиабатном расширении воздуха была совершена работа 500 Дж Чему равно изменение внутренней энергии воздуха?	[-500 Дж]
Термодинамика
277
2.	При адиабатном сжатии 8 моль гелия в цилиндре компрессора была совершена работа А = 1 кДж. Определите изменение температуры газа.	[40,1 °C]
3.	При адиабатном расширении 64 г кислорода О2, находящегося при нормальных условиях, температура газа увеличилась в 2 раза. Найдите: изменение внутренней энергии, работу расширения газа.	[—11,3 кДж; 11,3 кДж]
4.	Температура азота массой т = 1,4 кг в результате адиабатного расширения упала на 20 °C Какую работу совершил газ при расширении?	[31,16 кДж]
5.	Молекулярный кислород занимает объем V1 = 2 м3 при нормальных условиях При сжатии газа без теплообмена с окружающей средой совершается работа А = 50,5 кДж. Чему равна конечная температура кислорода?
h (, + 5^)=зоо’зк]
§ 58. Тепловые двигатели
Работа, совершаемая двигателем. Совершение механической работы в современных машинах и механизмах в основном происходит за счет внутренней энергии веществ. Примером такого механизма может служить тепловой двигатель.
Тепловой двигатель — устройство, преобразующее внутреннюю энергию топлива в механическую энергию.
Невозможно представить себе современную цивилизацию без тепловых двигателей.
Механическая работа в двигателе совершается при расширении рабочего вещества, перемещающего поршень в цилиндре. Для цикличной, непрерывной работы двигателя необходимо возвращение поршня в первоначальное положение, т. е. сжатие рабочего вещества. Легко сжимаемым является вещество в газообразном состоянии, поэтому в качестве рабочего вещества в тепловых двигателях используется газ или пар. Работа теплового двигателя состоит из периодически повторяющихся процессов расширения и сжатия газа. Сжатие газа не может быть самопроизвольным, оно происходит только под действием внешней силы, например за счет энергии, запасенной маховиком двигателя при расширении газа.
278
Молекулярная физика
Количество теплоты Qx, получаемое от нагревателя, положительно (Qi > 0).
Количество теплоты Q2, отдаваемое холодильнику, отрицательно (Q2 = -|Q2I < °)-
Три основных элемента любого теплового двигателя:
•	рабочее тело (газ или пар), совершающее работу;
•	нагреватель, сообщающий энергию рабочему телу;
•	холодильник, поглощающий часть энергии от рабочего тела.
Полная механическая работа А складывается из работы расширения газа Арасш и работы Асж, совершаемой силами давления газа при его сжатии. Так как при сжатии AV < 0, тоТГ = -|ArJ < 0, по-этому
А=А>асш~ lAj-
Для получения положительной полной механической работы (А > 0) необходимо, чтобы работа сжатия газа была меньше работы расширения. С учетом формулы (170)
А ~ (Ррасш Рсж)
Изменение объема AV газа при расширении и сжатии должно быть одинаковым из-за цикличности работы двигателя.
Следовательно, давление газа при сжатии должно быть меньше его давления при расширении. При одном и том же объеме давление газа тем меньше, чем ниже его температура (см. (167)), поэтому перед сжатием газ должен быть охлажден, т. е. приведен в контакт с холодильной машиной — телом, имеющим более низкую температуру. Для получения механической работы в тепловом двигателе при циклическом процессе расширение газа должно происходить при более высокой температуре, чем сжатие.
Необходимое условие для циклического получения механической работы в тепловом двигателе — наличие нагревателя и холодильника.
кпд замкнутого цикла. Для непрерывного совершения механической работы термодинамический цикл должен быть замкнутым.
Замкнутый процесс (цикл) — совокупность термодинамических процессов, в результате которых система возвращается в исходное состояние.
Замкнутые (круговые) процессы используются при работе всех тепловых машин: двигателей
Термодинамика
279
внутреннего сгорания, паровых и газовых турбин, холодильных машин. Для оценки эффективности преобразования внутренней энергии газа в механическую работу, совершаемую за цикл, вводится коэффициент полезного действия.
Коэффициент полезного действия теплового двигателя (КПД) — отношение работы, совершаемой двигателем за цикл, к количеству теплоты, полученному от нагревателя:
В циклическом тепловом двигателе нельзя преобразовать в механическую работу все количество теплоты Qr, получаемое от нагревателя. Некоторое количество теплоты |Q2I отдается холодильнику, поэтому работа, совершаемая двигателем за цикл, не может быть больше
A = Q1-|Q2|.
Учитывая полученное равенство, выражение для КПД можно записать в виде
(174)
Wi	Wi
Коэффициент полезного действия теплового двигателя всегда меньше единицы.
Круговой цикл не реализуется при отсутствии холодильника, т. е. при Q2 = 0.
Цикл Карно. Французский инженер Сади Карно, выясняя, при каком замкнутом процессе тепловой двигатель будет иметь максимальный КПД, предложил использовать цикл, состоящий из двух изотермических и двух адиабатных процессов. Выбор именно этих процессов обусловлен тем, что работа газа при изотермическом расширении совершается за счет внутренней энергии нагревателя, а при адиабатном процессе за счет внутренней энергии расширяющегося газа. В этом цикле исключен
280
Молекулярная физика
209
Цикл Карно:
„ Q1 ~ ®2 _ Л “ ^2
Л Qi Л
— подводимое количество теплоты, Q2 — отводимое количество теплоты
контакт тел с разной температурой, а значит, исключена теплопередача без совершения работы.
Цикл Карно — самый эффективный (из всех возможных) цикл, имеющий максимальный КПД.
Рассмотрим последовательно термодинамические процессы этого цикла (рис. 209). В процессе изотермического расширения (1—2) при температуре Т1 работа совершается за счет изменения внутренней энергии нагревателя, т. е. за счет подведения к газу количества теплоты Qx:
Аг =
Термодинамика
281
Охлаждение газа (перед сжатием 3—4) происходит при адиабатном расширении 2—3. Все изменение внутренней энергии Л1723 при таком процессе (Q = 0) преобразуется в механическую работу:
Аз =	23*
Температура газа в результате адиабатного расширения 2—3 понижается до температуры холодильника Т2 < Tv В процессе 3—4 газ изотермически сжимается, передавая холодильнику количество теплоты Q2:
^34 = Аж = ©2’
Цикл завершается процессом адиабатного сжатия 4—1 (Q = 0), при котором газ нагревается до температуры 7\.
Используя соотношение (174), можно найти максимальное значение КПД тепловых двигателей, соответствующее циклу Карно:
_ Л - г2
^Imax
В таблице 16 даны реальные КПД различных тепловых двигателей.
Тепловые двигатели и охрана окружающей среды. Тепловые двигатели — необходимый атрибут современной цивилизации. С их помощью вырабатывается около 80% электроэнергии. Без тепловых двигателей невозможно представить современный транспорт. В то же время повсеместное использование тепловых двигателей связано с отрицательным воздействием на окружающую среду.
Сжигание топлива сопровождается выделением в атмосферу углекислого газа, способного поглощать тепловое инфракрасное (ИК) излучение поверхности Земли. Рост концентрации углекислого газа в атмосфере, увеличивая поглощение ИК-излучения, приводит к повышению ее температуры (парниковый эффект). Ежегодно температура атмосферы Земли повышается на 0,05 °C. Этот эффект
Таблица 16
КПД тепловых двигателей, %
Двигатель	КПД, %
Паровая машина	1
Паровоз	8
Карбюраторный двигатель	20—30
Газовая турбина	36
Паровая турбина	35—46
Ракетный двигатель на жидком топливе	47
Для повышения КПД теплового двигателя следует понижать температуру холодильника и увеличивать температуру нагревателя.
282
Молекулярная физика
может создать угрозу таяния ледников и катастрофическое повышение уровня Мирового океана.
Продукты сгорания топлива существенно загрязняют окружающую среду. Углеводороды, вступая в реакцию с озоном, находящимся в атмосфере, образуют химические соединения, неблагоприятно воздействующие на жизнедеятельность растений, животных и человека.
Потребление кислорода при горении топлива уменьшает его содержание в атмосфере.
Для охраны окружающей среды широко используют очистные сооружения, препятствующие выбросу в атмосферу вредных веществ, резко ограничивают использование соединений тяжелых металлов, добавляемых в топливо, разрабатывают двигатели, использующие водород в качестве горючего (выхлопные газы состоят из безвредных паров воды), создают электромобили и автомобили, использующие солнечную энергию.
ВОПРОСЫ
1.	Какие устройства относят к тепловым двигателям? Почему в качестве рабочего тела в тепловых двигателях используют газы и пары9
2.	Почему наличие нагревателя и холодильника является необходимым условием для циклического получения полезной механической работы в тепловом двигателе9 3. Как определяют КПД замкнутого цикла9
4.	Какие тепловые процессы являются наиболее эффективными для получения максимальной работы в тепловом двигателе? Чему равен КПД цикла Карно?
5.	В чем состоит отрицательное воздействие тепловых двигателей на окружающую среду? Какие методы защиты окружающей среды используют в настоящее время9
2pi‘ - j -	’
рг -
о------*----*—*
2VX V
* 210
ЗА Д АЧ И
1. Кислород совершает замкнутый цикл, изображенный на диаграмме р, V (рис 210) Найдите графически и рассчитайте работу, совершенную газом в каждом изопроцессе и в результате цикла. На каких участках к газу подводится количество теплоты? Чему равно количество теплоты, полученное газом от нагревателя? Определите КПД цикла. [2/19] 2. Количество теплоты, получаемое двигателем от нагревателя, 100 Дж, а отдаваемое холодильнику 75 Дж. Найдите КПД двигателя и совершаемую работу [25%, 25 Дж]
Термодинамика
283
3.	Чему равно максимальное теоретическое значение КПД паровой машины, работающей в интервале температур 100—400 °C9	[75%]
4.	Паровая машина работает в интервале температур = 120 °C, t2 - 320 °C, получая от нагревателя количество теплоты Q1 = 200 кДж за каждый цикл. Найдите: 1) КПД машины, 2) работу, совершаемую за цикл; 3) количество теплоты, отдаваемое за цикл.
[62,5%; 125 кДж; 75 кДж]
5.	Двигатель автомобиля расходует за час работы 5 кг бензина При этом температура газа в цилиндре двигателя Т1 = 1200 К, а отработанного газа Т2 = 370 К. Удельная теплота сгорания бензина q = 46 МДж/кг Определите мощность, развиваемую двигателем.
[44 кВт]
§ 59. Второй закон термодинамики
Направленность тепловых процессов. Первый закон термодинамики является законом сохранения энергии для тепловых процессов. Однако он не определяет направление этих процессов. Достаточно часто процессы, допустимые с точки зрения закона сохранения энергии, не могут быть реализованы в действительности.
Обратимый процесс — процесс, который может происходить как в прямом, так и в обратном направлении.
Макроскопические процессы протекают в определенном направлении. В обратном направлении самопроизвольно они протекать не могут. Если обратимый процесс происходит сначала в прямом, а затем в обратном направлении и система возвращается в исходное состояние, то в этой системе и в окружающей среде изменения не происходят. Обратимый процесс — это идеализация реального процесса.
Необратимый процесс — процесс, обратный которому самопроизвольно не происходит.
Самопроизвольный процесс — процесс, происходящий без воздействия внешних тел. Необратимость характерна лишь для макроскопических систем. Если число частиц, составляющих систему, невелико, обратимые процессы могут наблюдаться.
284
Молекулярная физика
Например, процесс теплообмена необратим. Количество теплоты самопроизвольно передается от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой. Теплопередача от холодного тела к более нагретому самопроизвольно не возникает, а достигается лишь за счет дополнительной работы холодильной установки. Второй закон термодинамики отражает необратимость процессов в природе.
Второй закон термодинамики _в__
В циклически действующем тепловом двигателе невозможно преобразовать все количество теплоты, полученное от нагревателя, в механическую работу.
Это утверждение связано с необратимостью тепловых процессов: для сжатия газа, которое не может происходить самопроизвольно, требуется внешняя сила и охлаждение газа.
Необратимым процессом является диффузия.
Диффундировать друг в друга могут и атомы твердых тел. Поэтому трудно бывает отвинтить гайку от болта, туго завинченную в течение длительного времени, даже если они сделаны из нержавеющего металла.
Диффузия — физическое явление, при котором происходит самопроизвольное взаимное проникновение частиц одного вещества в другое при их контакте.
Например, молекулы чернил, проникая между молекулами воды, равномерно распределяются по объему, окрашивая воду в сосуде (рис. 211).
211 >
Диффузия чернил и воды
Термодинамика
285
Обратная локализация чернил на поверхности воды практически невозможна.
Статистическое истолкование второго закона термодинамики. Второй закон термодинамики, определяя