Автор: Граве Д.  

Теги: математика  

Год: 1915

Текст
                    ДИМИТРІЙ ГРАВЕ.
Заслуженный профессоръ 5 ниверситета Св. Владиміра.
О ПРЕПОДАВАНІИ
ЭЛЕМЕНТАРНОЙ
АЛГЕБРЫ.
Методическія указанія къ книгѣ
того-же автора подъ заглавіемъ
„НАЧАЛА АЛГЕБРЫ**.
ПЕТРОГРАДЪ.
Изданіе К. Л. РИККЕРА.
Морская ул., 17.
1915.

ДИМИТРІЙ ГРАВЕ. Заслуженный профессоръ Университета Св. Владиміра. НАЧАЛА АЛГЕБРЫ Классное руководство для гимназій и другихъ среднихъ учебныхъ заведеній. Допущено Ученымъ Комитетомъ Министерства Народнаго Просвѣщенія въ качествѣ учебнаго руководства для среднихъ учебныхъ заведеній. ПЕТРОГРАДЪ. Изданіе К. Л. РИККЕРА. Морская ул. 17. 1915-
Гг. преподавателей алгебры, желающихъ ознакомиться съ трудомъ профессора Д. Граве НАЧАЛА АЛ ГЕБРЫ, допущеннаго Ученымъ Комитетомъ Мин. Народи. Просв. въ качествѣ учебнаго руководства для среднихъ учебныхъ заве- деній (Журн. Мин. Народи. Просвѣщ. 1915 г. Октябрь), покорнѣйше просятъ обратиться съ требо- ваніемъ о безплатной высылкѣ его по адресу: СКЛАДЪ ИЗДАНІЙ К. Л. Р И К К Е Р А. Петроградъ, Морская, 17.
Типографія Э. Ф. Мексъ. Петрографъ. Забалкавскій пр. 22.
Публикуя первое изданіе моей книги „Начала Алгебры", предназначаемой какъ классное руководство для гимназій и дру- гихъ среднихъ учебныхъ заведеній, я предполагаю въ настоящей статьѣ изложить тѣ взгляды на преподаваніе элементарной ал- гебры, которые я проводилъ въ книгѣ. При этомъ я долженъ оговорить, что, хотя моя книга значительно отличается какъ по способу изложенія такъ и по содержанію отъ обычныхъ руко- водствъ элементарной алгебры, тѣмъ не менѣе я не считаю свое изложеніе принадлежащимъ мнѣ лично. Я присоединился лишь къ наиболѣе распространеннымъ въ настоящее время въ наукѣ взглядамъ. Если эти взгляды могутъ представиться читателямъ новыми, то это объясняется лишь сравнительно малымъ распро- страненіемъ въ Россіи наиболѣе новыхъ взглядовъ на основы математики. Профессоръ Д. Граве.

Реформа преподаванія элементарной математики въ духѣ идей профессора Клейна. Въ послѣднее время почти во всѣхъ европейскихъ странахъ дебатируется вопросъ о реформѣ преподаванія математики въ средней школѣ для того, чтобы сблизить это преподаваніе съ тре- бованіями высшихъ школъ съ одной стороны, а также съ измѣ- нившимися общенаучными взглядами. Вопросъ о реформѣ под- нятъ главнымъ образомъ профессорами высшей школы. Главное направленіе въ вопросѣ о реформѣ состоитъ во введеніи понятія о функціи и о производной, причемъ считается желательнымъ пропитать понятіемъ о функціональной зависимости все изложеніе элементарной алгебры, начиная съ низшихъ классовъ. Предла- гается заставлять учениковъ вычерчивать на клѣтчатой бумагѣ ходъ измѣненія функціи. Иниціаторомъ этого направленія является профессоръ Геттингенскаго университета Ф. Клейнъ. Благодаря его энергіи образована международная комиссія и, повидимому, число сторонниковъ реформы въ духѣ Клейна растетъ во всѣхъ странахъ. Франція провела въ новыхъ программахъ реформы средней школы 1902 года идеи Клейна даже дальше, чѣмъ меч- талъ объ этомъ самъ авторъ ихъ. Считая дѣло преподаванія элементарной математики дѣй- ствительно до нѣкоторой степени устарѣвшимъ, застывшимъ въ однѣхъ и тѣхъ же давно установленныхъ рамкахъ, я желаю самъ реформы этого преподаванія. Весь вопросъ состоитъ въ томъ, какъ понимать эту реформу. Слѣдя за конгрессами сторонниковъ реформы въ духѣ Клейна, я съ грустью долженъ признать фактъ несомнѣнно черезмѣрнаго увлеченія идеей, хотя бы и правильной въ своей основѣ. Профессоръ Клейнъ жалуется на то, что въ Германіи не появляется учебника въ духѣ новыхъ теченій, и указываетъ на Францію, какъ на примѣръ для подражанія, гдѣ появился учебникъ профессора Бореля какъ разъ желательнаго ему ха- рактера Д. Граве. О преподаваніи элементарной алгебры. 1
— 2 — Такое отсутствіе учебниковъ, мнѣ кажется, объяснется проще, а именно мнѣ кажется, что вопросъ о сущности реформы вовсе не такъ ясенъ, какъ заявляютъ объ этомъ ораторы конгрессовъ. Что сами сторонники идей Клейна не ясно себѣ представляютъ, что надо дѣлать, слѣдуетъ изъ того факта, что профессоръ Бо- рель на послѣднемъ конгрессѣ въ Парижѣ отстаивалъ парадо- ксальную мысль о необходимости уничтожить преподаваніе обык- новенныхъ дробей и сохранить только дроби десятичныя, чего вовсе нельзя заключить изъ его учебника. Часто приходится слышать, что надо расчистить мѣсто для введенія началъ дифференціальнаго и интегральнаго исчисленій при помощи удаленія изъ курса ряда вопросовъ. Къ числу та- кихъ вопросовъ относили, между прочимъ, сочетанія, биномъ Ньютона и непрерывныя дроби. Не стану защищать эти вопросы. Скажу только, что, если уничтожить преподаваніе непрерывныхъ дробей, то надо будетъ оставить въ сторонѣ классическій алгс- риѳмъ Эвклида нахожденія общей мѣры двухъ отрѣзковъ, а также оставить безъ разъясненія, что такое длина отрѣзка. Невольно задумываешься просматривая, такъ называемую „меранскую программу" сторонниковъ идей Клейна. Эта про- грамма написана въ такомъ духѣ, что, если бы мнѣ пришлось преподавать по ней алгебру, я бы не зналъ, что надо дѣлать. Что могутъ выражать, напримѣръ слова: „систематическая сводка основныхъ правилъ ариѳметическихъ дѣйствій, выраженныхъ буквами", „понятіе объ относительныхъ величинахъ выяснить сначала на конкретныхъ примѣрахъ, а затѣмъ на числовой прямой", и т. д. Нужно ли только догматически свести основныя правила, подъ которыми я разумѣю перестановочный, сочетательный и распредѣлительный законы сложенія и умноженія и другія свой- ства чиселъ, образующихъ поле (ХаЫкбгрег), или же нужно дока- зывать справедливость этихъ правилъ. Повидимому доказатель- ства не нужно, ибо систематическое изложеніе развитія понятія о числѣ требуется только въ старшемъ классѣ. Итакъ, преподаваніе алгебры въ среднихъ классахъ по „ме- ранской программѣ" должно итти повидимому безъ всякихъ до- казательствъ путемъ какой-то „интуиціи" съ упражненіемъ въ вычерчиваніи функцій, предполагая извѣстнымъ координатный способъ.
— 3 — Быть можетъ такое „натаскиваніе" въ чертежныхъ и вычи- слительныхъ навыкахъ практично ля болѣе быстраго приготов- ленія техниковъ и инженеровъ, но это не есть преподаваніе ал- гебры въ томъ смыслѣ, что учащіеся внимательно и серіозно зна- комились съ изучаемымъ предметомъ. Подписываясь вполнѣ подъ мнѣніемъ Макса Симона, назы- вающаго требованія реформаторовъ „сплошнымъ преступленіемъ", я считаю, что педагогическое значеніе этого „шаривари" для средней школы общаго типа ясно для всякаго безпристрастнаго наблюдателя. Реформаторы возмущаются тѣмъ, что за неимѣніемъ поня- тія о производной приходится давать плохое изложеніе понятію о скорости, а также недостаточно хорошо рѣшать задачи на тахіша и тіпіта. Я же лично не вижу, въ чемъ будетъ состоять особенное благополучіе, если я услышу отъ ученика средней школы, что скорость есть производная пространства по времени, а также, если ученикъ приравняетъ нулю производную при раз- смотрѣніи тахіша и тіпіта. Придавая математикѣ узко утилитарное значеніе, игнори- руютъ великую науку, называемую чистой математикой. Я вижу гораздо больше бѣды въ томъ, что изложеніе эле- ментарной алгебры отстало въ идейномъ отношеніи отъ совер- шеннаго положенія чистой математики. Не уничтожать надо современную программу элементарной алгебры, а модернизировать ея проведеніе въ жизнь. Профессоръ Клейнъ критикуетъ, что современные учебники алгебры носятъ отпечатокъ алгебры Эйлера. Этотъ отпечатокъ есть сильная сторона этихъ учебниковъ, а вовсе не ихъ недоста- токъ. Я считаю профессоровъ -Клейна и Бореля первоклассными учеными, но нельзя же позволить публикѣ, апплодирующей ихъ рѣчамъ на конгрессахъ, безнаказанно выкидывать изъ гимназиче- скаго курса великія мысли міровыхъ кориѳеевъ: Эвклида, Архи- меда, Діофанта, Декарта, Ньютона, Паскаля, Эйлера, Лагранжа и др. Е§і тосіиз іп геѣиз! Моя точка зрѣнія. Я вовсе не противникъ введенія въ элементарный курсъ по- нятія о функціональной зависимости, а также другихъ важныхъ 1*
— 4 — основныхъ понятій высшей математики. Такъ напримѣръ, я счи- таю совершенно необходимымъ понятіе о предѣлѣ перемѣнной и удѣляю этому понятію большое мѣсто въ моей книгѣ. Что ка- сается функціональной зависимости, то я ей посвятилъ лишь по- слѣднюю главу моей книги. Модернизированіе изложенія не должно никоимъ образомъ нарушать цѣлость создавшейся историческимъ путемъ, путемъ открытій міровыхъ геніевъ, современной программы элементарной алгебры. Даже желательно, чтобы были мало измѣнены сами выра- ботавшіеся пріемы изложенія. Этими принципами я руководство- вался при писаніи книги. Позволю себѣ точно и опредѣленно для избѣжанія всякихъ недоразумѣній указать главные тезисы моего изложенія въ книгѣ „Начала Алгебры"*). Прежде всего читатель долженъ знать, что я желалъ напи- сать классное руководство, а не самоучитель, поэтому я всегда предполагалъ наличность преподавателя, такъ что я вы- кинулъ изъ моего изложенія всякую пропедевтику. Читатель не увидитъ, напримѣръ, при изложеніи отрицательныхъ чиселъ словъ „направо", „налѣво", „долгъ", „капиталъ", „тепло", „холодно". Я не прошу читателя, подобно профессору Борелю, ѣхать изъ Ліона въ Парижъ и обратно. Всю пропедевтику образованія у учениковъ понятія о числахъ отрицательныхъ я предоставляю преподавателю. По окончаніи этой пропедевтики ученики выучатъ по моей книгѣ опредѣленія, относящіяся къ числамъ отрицательнымъ, и слѣдую- щія изъ этихъ опредѣленій теоремы. Само собою разумѣется, что если преподаватель замѣтитъ, что его пропедевтика смущаетъ учениковъ, онъ имѣетъ возможность во всякое время сократить ее и даже прекратить. Подобнымъ же образомъ я былъ лакониченъ въ нѣкоторыхъ доказательствахъ, предполагая, что ученикъ будетъ имѣть помощь преподавателя. Особенно желательна краткость при изложеніи расположенія дѣйствій въ алгориѳмахъ. Изложеніе такого матеріала всегда мало вразумительно безъ разъясненія учителя. Вопросъ о задачахъ является вопросомъ первостепенной важ- *) При ссылкахъ на эту книгу я буду писать сокращенно Н. А.
— 5 — ности при преподаваніи алгебры, а потому параллельно съ теоре- тическимъ учебникомъ долженъ быть взятъ задачникъ. Умѣніе достигнуть гармоническаго сочетанья преподаванія теоріи и рѣшенія задачъ зависитъ, конечно, отъ опыта, такта и педагогическаго таланта преподавателя. Преподаваніе въ средней школѣ есть живое, интересное дѣло, способное поглотить вполнѣ человѣка, имѣющаго къ этому дѣлу талантъ. Никакими книгами нельзя замѣнить этого таланта. Теперь я долженъ сказать два слова о современныхъ обще- филосовскихъ взглядахъ на чистую математику. Образовавшаяся подъ вліяніемъ приложеній, она достигла въ своихъ отвлеченіяхъ полной абстрактности. Въ этомъ смыслѣ алгебра является док- триной наиболѣе близкой къ внутреннему міру человѣка. Мы не нуждаемся при установленіи основъ алгебры въ какихъ-либо со- ображеніяхъ, взятыхъ изъ внѣшняго міра. Знаки и объекты, надъ которыми мы производимъ дѣйствія, суть продукты нашей сво- бодной воли. Я желаю разсматривать такіе-то объекты, я надѣляю ихъ тѣми свойствами, какія для меня почему-либо желательны, дальнѣйшіе выводы изъ этихъ свойствъ производятся на осно- ваніи законовъ моего-логическаго мышленія. Отсюда является пер- вымъ требованіемъ при логическомъ изложеніи алгебры не вво- дить утвержденій другого характера, кромѣ опредѣленій и теоремъ. Если геометрія, которая уже болѣе имѣетъ по существу об- щаго съ внѣшнимъ міромъ, нуждается въ аксіомахъ и постула- тахъ, то для алгебры такого рода истины были бы совершенно чуждыми существу дѣла. Напримѣръ, въ старомъ изложеніи можно было видѣть „ак- сіому": часть менѣе цѣлаго. Каково достоинство этой аксіомы К Ж 1 1 видно хотя бы изъ примѣра: —- есть третья часть числа 1, между тѣмъ — больше — 1. Въ теоріи ансамблей показы- О вается, что ансамбль можетъ быть эквивалентенъ своей части. Это наводитъ на мысль, что иногда возможно сказать, что часть равна цѣлому. Иногда считалось аксіомой предложеніе: двѣ величины порознь равныя третьей равны между собой. Такой взглядъ, конечно, неправильный, если дѣло идетъ объ алгебрѣ. Приведенное утвержденіе есть теорема, необходимость которой
— 6 обусловливается тѣмъ обстоятельствомъ, что одно и то же число й 2 4 6 можетъ быть написано въ разныхъ видахъ, ,п - о о У Въ дальнъйшемъ изложеніи я вернусь еще къ этому вопросу. Вотъ еще одна причина, почему у меня пропущена пропе- девтика. Зъ теоріи алгебры совершенно неважно, для какихъ прикладныхъ цѣлей созданы числа отрицательныя. Теорія счи- тается съ ними, какъ уже съ готовымъ фактомъ, и интересуется лишь ихъ свойствами, устанавливаемыми при помощи опредѣле- ній, и логическими выводами изъ этихъ свойствъ, то есть теоре- мами. Дѣло рѣшенія конкретныхъ задачъ показать, для чего нужны отрицательныя числа. Послѣ этихъ словъ читатель будетъ ожидать, что я захочу представить всю алгебру, какъ цѣпь мелкихъ теоремъ, слѣдую- щихъ логически одна изъ другой и изъ опредѣленій. Попытки такого изложенія алгебры носятъ на себѣ характеръ ненужнаго, сухого, отталкивающаго педантизма: онѣ способны возбудить у учащагося отвращеніе къ математикѣ. Лозунгъ: ііа 1: логика, регеаі здравый смыслъ, не въ моемъ духѣ, поэтому я пропускаю безъ упоминанія много мел- кихъ промежуточныхъ теоремъ, доказательство которыхъ оче- видно. Что такое число? Что касается предметовъ, обозначаемыхъ буквами при алгеб- раическихъ выкладкахъ, то я разъ на всегда заявляю, что эти пред- меты въ моемъ изложеніи суть числа. Названія количества, величины иногда употребляются вмѣсто названія „число" только потому, что практика преподаванія санкціонировала эти названія. Я иногда въ началѣ лекцій по высшей математикѣ спраши- валъ аудиторію: „что такое число?" Отвѣтъ получался: „резуль- татъ измѣренія". Вопросъ: „что такое измѣреніе?" сопровождался болѣе долгимъ молчаніемъ аудиторіи!... Совмѣстная бесѣда вы- ясняла, что понятіе объ измѣреніи не такое простое. Мы припо- минали способъ Эвклида находить общую мѣру двухъ протяжен- ныхъ величинъ: заданной и единицы. Иногда способъ Эвклида приводитъ къ безконечному числу операцій; значитъ, измѣреніе
— 7 — есть такая операція, которая часто не можетъ быть выполнена. Что же такое будетъ числомъ въ этомъ случаѣ? Да, наконецъ, что такое мнимое число |/— 1? Кончалось дѣло тѣмъ, что роли мѣнялись, и аудиторія начи- нала спрашивать меня, что такое число. Отвѣтъ мой былъ „не знаю“, „буду лгать, если скажу, что знаю", „не долженъ знать". Если мы разсмотримъ извѣстные въ настоящее время въ наукѣ виды чиселъ: натуральныя, дробныя, отрицательныя, ирра- ціональныя, комплексныя, идеальныя, трансцендентныя, алгебра- ическія, трансфинитныя р-адическія, то мы увидимъ, что эти виды чиселъ настолько отличаются другъ отъ друга, что едва ли воз- можно дать имъ общее логическое опредѣленіе. Да и зачѣмъ? Когда дѣло идетъ о каждомъ изъ видовъ чиселъ въ отдѣль- ности, то можно дать опредѣленіе и сказать, что эти числа суть предметы, обладающіе такими то и такими то свойствами. Свойства чиселъ, входящія въ ихъ опредѣленіе, должны относиться къ дѣйствіямъ надъ ними, ибо этими лишь дѣйствіями и занимается элементарная алгебра. Мнѣ приходилось много разъ замѣчать, что такое изложеніе началъ алгебры, когда дѣйствія надъ числами устана- вливаются при помощи опредѣленій преподавателямъ средней школы не нравится. Они стремятся держаться схоластики недавняго прошлаго и думаютъ, что можно притти къ установ- ленію дѣйствій надъ числами изъ какихъ то болѣе общихъ и про- стыхъ соображеній. Я согласенъ, что числа, съ которыми оперируетъ элементар- ная алгебра, создались подъ вліяніемъ приложеній алгебры въ обыденной жизни и въ натуральной философіи; но эти приложе- нія могутъ быть полезными лишь какъ догадка, какъ интуиція, при установленіи тѣхъ или другихъ опредѣленій дѣйствій. Уже давно въ наукѣ выяснено, что желаніе выводить законы чистой математики изъ физическихъ приложеній является логической ошибкою, изъ которой ничего хорошаго для изложенія чистой математики вывести нельзя. Какъ на примѣръ подобной устарѣвшей схоластики можно указать на „знаменитое" общее правило Коши умноженія чиселъ. Умноженіе есть дѣйствіе, при помощи котораго мы получаемъ произведеніе изъ множимаго такъ, какъ множитель составленъ изъ единицы.
— 8 — Разберемъ логическое достоинство этого опредѣленія. При- дется разсматривать приложеніе сказаннаго опредѣленія къ слу- чаямъ различнаго вида множителей. I. Случай множителей натуральныхъ *). Правило умноженія числа а на натуральное число т состоитъ въ томъ, что надо взять множимое а слагаемымъ т разъ, то есть столько разъ, сколько разъ единица входитъ слагаемымъ въ число т. II. Случай дробнаго множителя. Въ этомъ случаѣ правило разъясняется такъ. Для полученія дробнаго числа пг=- , единица дѣлится на у равныхъ частей и V такихъ частей берется^. Поэтому надо раздѣлить множимое а = гр . на <7 и умножить на р, получимъ - , т. е. правило можно форму- лировать иначе такъ: для умноженія дробей надо перемножить отдѣльно ихъ числителей и ихъ знаменателей и т. д. III. Случай отрицательнаго множителя. Въ этомъ случаѣ правило разъясняется такъ. Для полученія отрицательнаго числа—5 берется положительная единица Д-1, у нея мѣ- няютъ знакъ на обратный, получаютъ — 1 и такую отрицатель- ную единицу берутъ слагаемымъ 5 разъ. То-же самое надо про- дѣлать надъ множимымъ. Надо взять его съ обратнымъ знакомъ и взять слагаемымъ 5 разъ. IV. Случай чиселъ ирраціональныхъ. V. Случай чиселъ комплексныхъ. Эти два случая обыкновенно не разсматриваются. Приведу мою бесѣду со студентомъ, которому правило Коши нравилось: Я- Вамъ нравится правило Коши, и Вы думаете, что оно при- лагается также и къ числамъ ирраціональнымъ. Студентъ. Да Я. Тогда послушайте. Положимъ, что надо умножить нѣко- торое произвольно взятое число а на ирраціональное число Я буду разсуждать такъ. Какъ полученъ множитель 2 изъ еди- ницы? Взята единица слагаемымъ два раза 1 1 и изъ получен- *) Натуральными я называю числа цѣлыя и положительныя.
— 9 — наго числа извлеченъ корень Значитъ, надо множимое взять слагаемымъ два раза а -|- а и извлечь корень К «-[-«. По- лучается, очевидно, невѣрный результатъ ]/2<г. Студентъ. Вы нарочно неправильно разсуждали. Сейчасъ я не нахожусь, какъ исправить ошибку. Позвольте мнѣ дома по- думать. При слѣдующей встрѣчѣ разговоръ продолжался въ такомъ духѣ. Студентъ. Надо разсуждать такъ. Корень ]/2 получается изъ единицы такимъ образомъ. Берется единица 1, возвышается въ квадратъ I2, такой квадратъ берется слагаемымъ 2 раза I*—|— I2 и, наконецъ, извлекается корень Г3-}-Г2. Производя тоже са- мое съ множимымъ получаемъ правильный результатъ ]/га--\-а‘= =аѴ2. Я. Итакъ, правило Коши, по Вашему мнѣнію, таково, что оно нуждается въ особенномъ разъясненіи для различнаго вида ирраціональныхъ множителей ]/2 , ^Г, 11, П, . . . Студентъ. Да. Я- Скажите, пожалуйста, чѣмъ я погрѣшилъ противъ буквы правила Коши при моемъ ошибочномъ примѣненіи? Отвѣта не послѣдовало. Я. Какъ Вы примѣните правило Коши къ умноженію на ком- плексное число? Студентъ. Я не буду совсѣмъ разсматривать въ гимнази- ческомъ курсѣ чиселъ комплексныхъ. Я. Итакъ, по Вашему выходитъ, что правило Коши годится для гимназическаго курса, гдѣ не разсматриваются числа мнимыя, и оно не годится для Университета. Студе нтъ. Да, пожалуй. Я. Не находите ли Вы, что правило Коши пустой звукъ, не заключающій абсолютно никакой опредѣленной мысли? Оно по- лучаетъ смыслъ только послѣ особенныхъ добавочныхъ разъясне- ній, относящихся къ каждому виду чиселъ: цѣлыхъ, дробныхъ, отрицательныхъ, ирраціональныхъ и комплексныхъ. Отвѣта не послѣдовало. Современная наука проводитъ до конца основную мысль приведеннаго моего разговора со студентомъ. Общее правило умноженія сокращается до двухъ словъ „пра-
10 — вило умноженія", добавочныя же разъясненія для каждаго вида чиселъ въ отдѣльности обращаются въ полное опредѣленіе дѣйствія умноженія надъ этими числами, позволяющее безоши- бочно примѣнить это опредѣленіе въ каждомъ отдѣльномъ случаѣ. Современная наука спрашиваетъ дальше: почему умноженіе находится въ такомъ привилегированномъ положеніи, что оно по- дробно разъясняется при помощи ряда опредѣленій? Почему ничего не говорится о другихъ дѣйствіяхъ, напримѣръ, о дѣйствіи сложенія? Она требуетъ разъясненіе правила сложенія при помощи соотвѣт- ствующаго опредѣленія, причемъ опять общаго правила не должно быть, а надо дать рядъ опредѣленій для каждаго вида чиселъ въ отдѣльности. Дѣйствія вычитанія и дѣленія какъ обратныя не подлежатъ новымъ опредѣленіямъ. Правила этихъ дѣйствій вытекаютъ какъ доказываемыя теоремы изъ правилъ, данныхъ для сложенія и умно- женія. Необходимы кромѣ указанныхъ опредѣленій сложенія и умноженія еще опредѣленія равенства и неравенства, ибо нѣкото- рые виды чиселъ задаются знаками не единственнымъ образомъ. Такъ напримѣръ, одно и тоже дробное число можно задать на много способовъ. 2—Л_12- 3 ~ 6 “’9“І5 ~ ‘ Для простоты я принялъ какъ опредѣпеніе равенства (1) а с Ь сі двухъ дробныхъ чиселъ, равенство (2) асі = Ы выражающее свойство пропорціи: произведеніе крайнихъ равно произведенію среднихъ., Я долженъ здѣсь войти въ нѣкоторыя подробности. Если предположить, что а дѣлится на Ь нацѣло и с на д., то равенство (2) уже не есть равенство, выражающее опредѣленіе равенства (1), а есть прямое слѣдствіе равенства (1). Въ самомъ дѣлѣ, обозначая черезъ р частное ,т. е. пола- сі с гая =р, получимъ на основаніи (1) также —р\ отсюда а =
11 = рЪ, с=р<1 или иначе а<1 =рМ, сЬ=рМ. Изъ послѣднихъ ра- венствъ выводимъ (2), что и требовалось доказать. Приведенное доказательство падаетъ, если мы только что переходимъ гітъ изученныхъ нами чиселъ цѣлыхъ къ числамъ дробнымъ. Въ этомъ случаѣ, если а не дѣлится нацѣло на Ь, ,, а дробь — ь представляетъ намъ число новой природы. Такъ какъ относи- тельно этихъ новыхъ (дробныхъ) чиселъ намъ еще ничего не извѣстно, то мы не можемъ обозначать буквой р предметъ намъ еще неизвѣстный и производить надъ этой буквой дѣйствія, ибо мы не знаемъ еще, можно ли съ новыми числами производить дѣйствія по тѣмъ же законамъ, какъ и съ цѣлыми. Опредѣленіе неравенства двухъ чиселъ я разбилъ въ моей книгѣ на два опредѣленія, причемъ первое опредѣленіе конста- тируетъ фактъ неравенства двухъ чиселъ, а второе указываетъ, которое изъ двухъ неравныхъ чиселъ больше. Итакъ, мы приходимъ къ слѣдующимъ пяти опредѣленіямъ, необходимымъ и достаточнымъ для полной характеристики чиселъ даннаго вида: 1., Опредѣленіе равенства двухъ чиселъ. 2., Опредѣленіе неравенства двухъ чиселъ 3., Опредѣленіе понятія больше и меньше. 4., Опредѣленіе дѣйствія сложенія. 5., Опредѣленіе дѣйствія умноженія. Для мнимыхъ чиселъ опредѣленіе 3., отпадаетъ. О величинахъ и количествахъ. Преподавательская схоластика недавняго прошлаго вводила въ разсмотрѣніе терминъ „величина (?!)“, причемъ это понятіе опредѣлялось какъ нѣчто, „могущее быть больше и меньше". Нѣтъ надобности распространяться, насколько понятіе о ве- личинѣ является не яснымъ; сюда можно отнести самые разнооб- разные предметы, какъ то умъ, талантъ, преступность, канторов- скіе алефы, элементы любого упорядоченнаго ансамбля и т. п. Если мы скажемъ, что мы будемъ разумѣть подъ величи- нами лишь тѣ предметы, относительно которыхъ можно кромѣ
— 12 — понятій больше и меньше установить правило ариѳметическихъ дѣйствій, то и тогда мы не избѣгаемъ недоразумѣній. Современная теорія абстрактныхъ группъ, а также теорія абстрактныхъ полей учитъ, что между природой предметовъ и возможностью установленія надъ этими предметами ариѳметиче- скихъ дѣйствій можетъ и не существовать никакой зависимости. То, что разумѣлось подъ словомъ величина, не было поня- тіемъ ни достаточно общимъ ни достаточно простымъ, чтобы при- нять его какъ категорію безъ дальнѣйшихъ разъясненій. Обыкновенно подъ понятіемъ величины разумѣется то, что нѣкоторые авторы называютъ непрерывно—протяженною величиною, и что имѣетъ своимъ изоморфнымъ образомъ длину отрѣзка прямой. Предполагается возможность измѣренія такой протяжной величины при помощи взятой за единицу вели- чины того же рода. Требованіе возможности примѣненія столь сложной операціи, какъ измѣреніе, дѣлаетъ само понятіе о протяженной величинѣ по- нятіемъ не простымъ. Я считаю понятіе о непрерывно-протяженной величинѣ по- нятіемъ узкимъ, ибо кромѣ геометрическихъ величинъ: длины, угла, дуги, площади, объема, я почти не вижу другихъ величинъ такого же характера. Уже физика меня ставитъ въ полное недоумѣніе. Въ кни- гахъ по физикѣ мы постоянно читаемъ: „измѣреніе, измѣритель- ные приборы", между тѣмъ какъ самая возможность измѣренія многихъ (если не всѣхъ) величинъ физики для меня лично яв- ляется болѣе чѣмъ сомнительною. Напримѣръ, возьмемъ измѣреніе массы тѣла при помощи вѣсовъ. Мы знаемъ, что измѣреніе приводитъ къ алгориѳму Эв- клида нахожденія общей мѣры между измѣряемой величиною и единицей мЬры. Въ случаѣ несоизмѣримости алгориѳмъ Эвклида требуетъ возможности безконечной дѣлимости измѣряемой величины. Эта дѣлимость въ случаѣ измѣренія массы противорѣчитъ атомной теоріи вещества. Если мы захотимъ измѣрять время, то встрѣтимъ затрудне- ніе въ самомъ примѣненіи алгориѳма Эвклида. Если желаютъ физическія величины подводить подъ руб- рику непрерывно-протяженныхъ, то необходима добавочная гипотеза о возможности измѣренія.
— 13 — Я заявляю, что считаю эту гипотезу неправдоподобной. Я лично склоненъ допустить, что въ ложности указанной ги- потезы кроется начало того шатанія мысли, которое приводитъ къ столь непріятному для математическаго ума принципу относи- тельности. Для меня пріятнѣе признать, что размѣры физическаго тѣла не существуютъ вь смыслѣ числовомъ (т. е. въ смыслѣ резуль- тата измѣренія), чѣмъ думать, что размѣры тѣла могутъ мѣняться въ зависимости отъ движенія этого тѣла. Да, въ сущности, при- знаніе измѣнчивости размѣровъ тѣла не есть ли косвенное при- знаніе не существованія этихъ размѣровъ, какъ чего либо опре- дѣленнаго. Если еще я допускаю геометрическую иллюстрацію чистой математики, то поясненіе алгебры на Физическихъ примѣрахъ я считаю недопустимымъ. О числовомъ полѣ. Теперь я сообщу, что я разумѣю подъ модернизаціей изло- женія элементарной алгебры. На первомъ планѣ стоитъ введеніе понятія о числовомъ полѣ (ХаЫкбгрег). Первый примѣръ такого поля даетъ совокупность всѣхъ ра- ціональныхъ чиселъ, какъ цѣлыхъ, такъ и дробныхъ, какъ поло- жительныхъ, такъ и отрицательныхъ. Это поле я обозначаю въ книгѣ буквой 7?. Внутри поля 7? существуютъ такіе законы первыхъ четырехъ дѣйствій: сложенія, вычитанія, умноженія и дѣленія: I0., Сложеніе и умноженіе перестановочны а-\-Ь = Ь-\-а, аЬ = Ьа; 2°., Сложеніе и умноженіе обладаютъ сочетательнымъ свой- ствомъ а “Ь 4~ с) ~ + с, а (&с) = (аЬ) с; 3°., Существуемъ распредѣлительное свойство умноженія по отношенію сложенія {а -|~ Ь) с = ас -ф- Ьс, 4°., Вычитаніе въ полѣ 7? всегда возможно, то есть въ ре-
14 — зультатѣ вычитанія изъ одного элемента поля другого получа- ется третій элементъ поля; 5°., Дѣленіе всегда возможно, за исключеніемъ дѣленія на элементъ 0, называемый нулемъ; 6°., При всякомъ элементѣ а поля получаемъ а 0 = 0; 7°., Произведеніе аЬ тогда и только тогда равно нулю, когда одинъ изъ множителей а, Ь равенъ нулю. Всякую совокупность чиселъ мы назовемъ полемъ, если ея числа будутъ обладать вышеуказанными свойствами. Оказывается, что совокупность раціональныхъ чиселъ не представляетъ единственнаго поля. Мы получимъ новое поле И", если къ раціональнымъ числамъ присоединимъ числа ирраціо- нальныя. Для простоты я опредѣляю ирраціональныя числа, какъ без- конечныя неперіодическія десятичныя дроби. Наконецъ, мы получимъ третье поле .7, если къ полю IV присоединимъ еще всѣ мнимыя числа. Я считаю необходимымъ въ изложеніи обратить вниманіе на основныя свойства полей 7?, IV, Поле 7? обладаетъ свойствомъ плотности, то есть между каждыми двумя раціональными числами находится безчисленное множество другихъ раціональныхъ чиселъ. Геометрически это сводится къ тому, что точки съ раціональными координатами за- полняютъ всюду густо (плотно) прямую. Уже древніе греческіе математики замѣтили, что между точ- ками съ раціональными координатами есть какіе-то разрѣзы, про- межутки нулевой длины, въ которыхъ помѣщается, въ каждомъ по одной, точки, соотвѣтствующія новымъ ирраціональнымъ числамъ. Поэтому числамъ поля IV соотвѣтствуютъ уже всѣ точки прямой без ъ и с кл ю ч е н і я. Это свойство поля Изно- ситъ названіе непрерывности. Отсюда вытекаетъ, что поле I. всѣхъ вещественныхъ (дѣйствительныхъ) чиселъ является какъ бы масштабомъ для измѣренія непрерывныхъ протяженныхъ ве- личинъ. Каждой величинѣ при любой единицѣ соотвѣтствуетъ опредѣленное вещественное число. Поле .7 всѣхъ комплексныхъ чиселъ обладаетъ свойствомъ, которое называютъ свойствомъ замкнутости, а именно вся- кое алгебраическое уравненіе произвольной степени съ коэффи-
— 15 — ціентами изъ поля./ имѣетъ корень въ этомъ полѣ. Эта знаме- нитая теорема Гаусса однако не доказывается въ моей книгѣ „Начала Алгебры. 1915 г.“, а доказывается въ другой моей хнигѣ „Элементы высшей алгебры. 1914“. Въ связи съ непрерывностью поля IV находится весьма важ- ное понятіе о предѣлѣ вещественной перемѣнной. Этому понятію посвящена глава VII. Хотя понятіе о предѣлѣ тѣсно связано съ теоріей чиселъ ирраціональныхъ, но можно было бы, не нарушая полной стро- гости изложенія чиселъ ирраціональныхъ, совсѣмъ не упоминать о предѣлѣ. Я рѣшилъ однако ввести понятіе о предѣлѣ; при этомъ я руководствовался слѣдующими соображеніями. То мѣсто курса алгебры, гдѣ помѣщена глава о предѣлѣ, должно соот- вѣтствовать по времени изложенію въ геометріи главы объ окруж- ности круга, гдѣ понятіе о предѣлѣ является важнымъ. Съ дру- гой стороны понятіе о предѣлѣ даетъ возможность во многихъ мѣстахъ сокращенія изтоженія и кромѣ того само это понятіе является основнымъ понятіемъ высшей математики, заслуживаю- щимъ не меньшаго вниманія, чѣмъ „пресловутая" функціональная зависимость. Изъ непрерывности поля IV слѣдуетъ также основной прин- ципъ аналитической геометріи опредѣлять положеніе точки при помощи координатъ. Я посвящаю послѣднюю главу книги вопросу о графическомъ изображеніи функцій. Въ настоящее время играетъ видную роль въ наукѣ теорія абстрактныхъ полей. Подъ абстрактнымъ полемъ разумѣется со- вокупность предметовъ какой угодно природы, относительно ко- торыхъ можно установить четыре дѣйствія, удовлетворяющія всѣмъ законамъ поля. Два примѣра такихъ не числовыхъ полей въ послѣднее вре- мя получили большое значеніе. Одинъ примѣръ даетъ такъ на- зываемое, конечное поле. Это поле представляетъ систему конечнаго числа предметовъ, надъ которыми можно производить всѣ выкладки раціональныхъ дѣйствій алгебры. Второй примѣръ даетъ поле, такъ называемыхъ, р-адическихъ чиселъ, поле символовъ, которые хотя называются числами, но не совпадаютъ по характеру дѣйствій съ числами нашей элементарной алгебры. Подробное изложеніе теоріи конечнаго поля, а также /-ади- ческихъ чиселъ можно найти во второмъ изданіи моей книги „Элементарный курсъ теоріи чиселъ. Кіевъ. 1913".
— 16 — Какъ пользоваться моей книгой при препода- ваніи алгебры. При писаніи книги я старался, чтобы мои добавленія о свойствахъ числовыхъ полей, а также, непривычныя для рус- ской средней школы, двѣ главы о дѣйствіяхъ надъ числами ирраціональными и комплексными не произвели по возможности особенной ломки въ методахъ современнаго преподаванія. Для этой цѣли я помѣстилъ въ мелкомъ шрифтѣ все, что мнѣ каза- лось или труднымъ для пониманія средняго ученика, или же нѣсколько утомительнымъ по громоздкости. Этотъ мелкій шрифтъ можно пропустить при первоначальномъ преподаваніи. Такъ напримѣръ, утвержденіе, что при всякомъ положитель- номъ числѣ А существуетъ единственное положительное число, которое можетъ быть принято за (3) помѣщено у меня въ крупномъ шрифтѣ, доказательство же этого утвержденія напечатано мелкимъ шрифтомъ. Такимъ образомъ, если при первоначальномъ преподаваніи пропустить это доказательство, то преподаваніе останется такимъ, какимъ оно будетъ и безъ моей книги. Существованіе единствен- наго ариѳметическаго радикала (3) будетъ признаваться молчали- вымъ соглашеніемъ учителя и учениковъ. Претендуя на полную и строгую логичность изложенія, я допустилъ нѣкоторые пропуски, чтобы, какъ сказано выше, из- лишнимъ педантизмомъ не уничтожить любви къ математикѣ у способныхъ учениковъ. Я долженъ здѣсь упомянуть объ одномъ изъ такихъ намѣ- ренныхъ пропусковъ въ изложеніи. Дѣло въ томъ, что опредѣленія, относящіяся къ числамъ дробнымъ, отрицательнымъ и комплекснымъ, мною даны въ та- комъ видѣ, что одно и тоже число можетъ быть написано на безконечное число способовъ при помощи знаковъ 3 — 6 — 9 ~12 — 15 ~ ‘ ’ 2 — 4 = 3 -5 = 4—6 = 5 —7 = 6 —8= . . .
17 — Для ирраціональныхъ чиселъ у меня въ книгѣ дано опредѣ- леніе, по которому каждому числу соотвѣтствуетъ только одинъ знакъ : неперіодическая безконечная десятичная дробь. Приходится, поэтому, различать понятіе о самомъ числѣ отъ его различныхъ представленій знаками. Для простоты мною приняты опредѣленія дѣйствій, относящіяся къ предста- вленіямъ чиселъ знаками. Является весьма важнымъ вопросъ, будетъ ли результатъ дѣйствій надъ числами зависѣть отъ выбора того или другого представленія числа. Необходимо, слѣдовательно, убѣдиться, что данныя опредѣ- ленія дѣйствій надъ числами относятся къ самимъ числамъ и не зависятъ отъ выбора представленій этихъ чиселъ Эту независимость дѣйствій отъ представленій чиселъ будемъ называть одн означностью дѣйствій. Разсмотримъ произвольную раціональную функцію / (г> У у з,... I) отъ перемѣнныхъ независимыхъ х, у, %,. -. і. Придется доказать, что будетъ всегда существовать ра- венство / (а. Ь, с,. .. §) =/ (аи Ьг, съ... если а = а1г Ъ= Ьъ с-сл, . . . Очевидно, что достаточно доказать однозначное дѣйствіе сло- женія и умноженія. Относительно каждаго вида чиселъ надо доказать рядъ слѣ- дующихъ теоремъ: Если а = р, то «+'Г = ?4~Т и обратно. Если а = р, у = с, то « 4- Т = Р + о. Если а = р, то = р? и обратно, если у не = 0. Если а = Р, 7 = о, то ар = уо. Для примѣра я докажу первую теорему: Если (4) а = р, то (5) а + т = Р4-Т и обратно. Доказательство: I. Случай чиселъ натуральныхъ. Равносильность ра- венствъ (4) и (5) въ этомъ случаѣ очевидна. Равенство (4) выра- жаетъ фактъ обозначенія одного и того же числа различными буквами а и р. Такъ какъ правило сложенія чиселъ натуральныхъ устанавливается независимо отъ обозначенія его тѣми или другими знаками, то равенство (5) выразитъ, очевидно, справедливый фактъ Д. Граве. О преподаваніи элементарной алгебры. 2
18 обозначенія двумя знаками а 7 и ?4~Т одного и того же числа, которое получается отъ сложенія первоначальнаго числа (а или что тоже >) съ числомъ II. Случай чиселъ дробныхъ а = —, 3 = у = аі с Сі На основаніи опредѣленія (I стр. 7 Н. А.) равенство (4) равно- сильно съ такимъ (6) аЬѵ = Ьаг. Равенство (5) можетъ быть пере- писано такъ а . с Ъ , с ЬсА~\~сЬА /ц ЪуС или на основаніи опредѣленія (I стр. 7 Н. А.) (лсі <?1с) Ъг<\ = (Ьсу Ьгс) а^Су. Переписавъ это равенство въ такомъ видѣ (7) аЬ^сі1 сс1а1 = Ъагс^ -|- сс1а1Ь1 замѣтимъ его равносильность съ (6), ибо въ обѣихъ частяхъ ра- венства (7) фигурируютъ только числа натуральныя, всѣ свойства которыхъ нами уже раньше изучены. III. Случай чиселъ отрицательныхъ а = « — аъ 0 = = Ь— Ьи ~; = с— с}. Равенство (4) равносильно на основаніи опре- ленія (I стр. 15 Н. А.) съ такимъ (8) а-\-Ьг = Ь~\-ах. Равенство (5) будетъ равносильно съ такимъ (9) а -ф- с -1 - Ьг = Ь 4~ с 4~ аг -|- сѵ Равносильность же равенствъ (8) и (9) слѣдуетъ изъ случаевъ предыдущихъ (I и II). IV. Случай чиселъ ирраціональныхъ. На основаніи моего опредѣленія положительныхъ ирраціональныхъ чиселъ до- казательство этого случая принимаетъ характеръ доказательства случая I, ибо каждое ирраціоналоное число опредѣляется только однимъ знакомъ. Необходимо лишь сдѣлать добавленіе для слу- чая мною исключеннаго дроби съ періодомъ 9. Напримѣръ а = 0,567, | = 0,5669999. . . Въ этомъ случаѣ при Л>3.
— 19 — Изъ равносильности равенствъ а.к = “>4“?* = РаН-?* за- ключаемъ о равносильности равенствъ (4) и (5). V. Случай чиселъ комплексныхъ 3 == = Ъ-}-Ьуі, т = с4-с1/. Равенство (4) равносильно двумъ а = Ь, аг = = Ьг. Равенство (5) равносильно двумъ слѣдующимъ а~\~с=Ь~\- 4-г, =/>] 4“ Сі и мы пришли къ доказательству случаевъ предыдущихъ. Теорема доказана. Аналогично доказывается теорема, о которой мы раньше упоминали. Двѣ величины равныя порознь третьей равны между собой. Доказательство. Надо доказать, что два равенства (10) а = 7, Р = т влекутъ какъ слѣдствіе равенство (11) а — [3. I. Случай чиселъ натуральныхъ. Теорема очевидна, ибо въ этомъ случаѣ всѣ три буквы обозначаютъ одинъ и тотъ же предметъ. II. Случай чиселъ дробныхъ а = п 3 = -^ , — с о Заданныя равенства (10) будутъ на основаніи опредѣленія (I стр. 7) равносильны съ такими асг — са}, Ьсх = сЬг. Перепишемъ эти равенства такъ откуда на основаніи случая I получимъ <чс,Ь} = аѵЪг\ или иначе аЪх = а іЪ т. е. а = ,3 и теорема доказана. Я не буду продолжать доказательство, ибо разборъ осталь- ныхъ случаевъ не представляетъ также затруднен.я. Всѣ подобныя разсужденія, относящіяся къ однозначности дѣйствій и къ равносильности различныхъ представленій числа, мною пропущены въ книгѣ, причемъ я руководствовался слѣдую- щими соображеніями. 2
— 20 — Я считаю не безопаснымъ съ педагогической точки зрѣнія возбуждать сомнѣніе въ возможности неоднозначности ариѳметическихъ дѣйствій, принимая во вниманіе воз- растъ учащихся, когда имъ придется знакомиться съ числами дробными и отрицательными. Убѣжденіе въ однозначности дѣйствій надъ числами дроб- ными глубоко засѣло въ умѣ учениковъ послѣ курса ариѳ- метики. Положимъ, напримѣръ, ученику, прошедшему курсъ ариѳ- метики, заданы двѣ задачи. 2 5 Одна задача состоитъ въ сложеніи дробей т. и - , а дру- О / гая въ сложеніи дробей 14 25 и причемъ обращено вниманіе уче- 2 14 ника на то что -„= 5 _25 7“~35’ Если ученикъ получитъ въ обѣ- ихъ задачахъ разные результаты, то онъ начнетъ искать ошибку вычисленія. Однозначность сложенія для него очевидна, безъ особеннаго подчеркиванія со стороны преподавателя. Часто въ преподаваніи математики учащіеся пріобрѣтаютъ свои убѣжденія, причемъ эти убѣжденія иногда могутъ оказаться ошибочными. Стоитъ припомнить, напримѣръ, какую сенсацію среди молодыхъ русскихъ ученыхъ, посѣщавшихъ въ 80-тыхъ го- дахъ прошлаго столѣтія Берлинъ, произвели лекціи Вейерштрасса, на которыхъ онъ показывалъ непрерывныя функціи, не имѣющія производной. Непрерывность функцій и понятіе о производной излагаются обыкновенно рядомъ, причемъ изложеніе понятія о непрерывности предшествуетъ изложенію понятія о производной. Отсюда является у слушателей иллюзія, что непрерывность влечетъ за собой какъ слѣдствіе существованіе производной, хотя профессоръ такого утвержденія и не дѣлалъ. Если надо опасаться возможности такихъ иллюзорныхъ умо- заключеній, то. наоборотъ, надо радоваться, если учащіеся прі- обрѣтаютъ правильныя математическія убѣжденія. Какъ только преподаватель убѣдился въ существованіи у учениковъ увѣренности въ однозначности ариѳметическихъ дѣй- ствій, то нѣтъ надобности улучшать хорошее и терять время
— 21 — на мелочной казуистикѣ съ опасное ъю сдѣлать уроки скучными1 для хорошихъ учениковъ. Вотъ почему я не остановился на подробномъ выясненіи однозначности дѣйствій, ограничиваясь лишь рядомъ намековъ на суть дѣла. „Всѣ такія равныя между собой числа считаются за одно число . ..“ (стр. 8.) „ ... является простѣйшимъ видомъ отрицательнаго числа" (стр. 16). Заслуживаетъ разъясненія сказанное на 64 страницѣ. 7. Преобразованіе уравненія основывается на теоремахъ легко доказываемыхъ на основаніи свойствъ чиселъ, принадлежа- щихъ полю". Далѣе слѣдуетъ упоминаніе о трехъ теоремахъ, изъ кото- рыхъ первая не доказывается. Мы доказали выше эту теорему. Доказательство, какъ мы видимъ, сводится къ доказательству однозначности сложенія, а потому мы можемъ сказать, что дока- зательство основывается на свойствахъ чиселъ поля, хотя при пе- речисленіи этихъ свойствъ на стр. 24 не подчеркнута явно одно- значность дѣйствій. Необходимо теперь обсудить общій вопросъ о способахъ доказательства теоремъ. Основной принципъ, котораго я деэжал- ся въ книгѣ, былъ тотъ, чтобы аналогичныя теоремы имѣли ана- логичныя доказательства. Однажды я имѣлъ слѣдующій разговоръ съ преподавате- лемъ средней школы. Онъ сообщилъ мнѣ доказательство суще- ствованія логариѳма, которое онъ приводитъ ученикамъ, и спро- силъ меня, нравится ли оно мнѣ. Я отвѣтилъ, что ничего не могу сказать, пока онъ не скажетъ мнѣ, какъ онъ доказывалъ суще- ствованіе корня нѣкоторой степени изъ положительнаго числа. Какъ онъ доказывалъ существованіе корня, такъ надо доказы- вать существованіе логариѳма. Въ обоихъ случаяхъ дѣло идетъ о доказательствѣ существованія обратной функціи, въ первомъ случаѣ по отношенію къ функціи ѵ", а во второмъ по отношенію къ функціи ах . Въ моей книгѣ даны одинаковыя доказательства (стр. 125 - 128 и стр. 215 216) для обѣихъ теоремъ. Такъ какъ я опредѣ- ляю ирраціональное число какъ безконечную десятичную дробь,.
Школьные учебники (((Р шва.ш.вилнкоіа