/
Текст
БИБЛИОТЕЧКА
ИНОСТРАННЫХ
МЕТОДЫ
книг для
экономистов
СТАТИСТИКИ
И СТАТИСТИКОВ
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
NONPARAMETRIC
STATISTICAL
METHODS
MYLES HOLLANDER
the Florida State University
DOUGLAS A. WOLFE
the Ohio State University
JOHN WILEY AND SONS 4
NEW YORK LONDON • SYDNEYTORONTO
М. ХОЛЛЕНДЕР, Д. ВУЛФ
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ
МЕТОДЫ
СТАТИСТИКИ
Перевод с английского
Д. С. ШМЕРЛИНГА
Научное редактирование
Ю. П. АДЛЕРА и Ю. Н. ТЮРИНА
Предисловие Ю. П. Адлера, Ю. Н. Тюрина и Д. С. Шмерлинга
ББК 22.172
Х72
БИБЛИОТЕЧКА ИНОСТРАННЫХ КНИГ
для экономистов И СТАТИСТИКОВ
Издательство «Финансы и статистика» выпускает иа русском языке серию
книг иностранных авторов, рассчитанных на специалистов, нуждающихся в по-
полнении своих математических и статистических знаний. Задача серии — по-
знакомить советского читателя с методами, применяемыми за рубежом в эконо-
мическом анализе и различных хозяйственных расчетах. В серию включаются
также работы по общим вопросам статистики.
Вышли из печати книги:
1. М. Броуди. О статистическом рассуждении. 1968.
2. А. Бернстейн. Справочник статистических решений. 1968.
3. У. Д ж. Рейхман. Применение статистики. 1969.
4. X. К р ы и ь с к н й. Математика для экономистов. 1970.
5. С. Д а й м е н д. Мир вероятностей. 1970.
6. А. Хьюте он. Дисперсионный анализ. 1971.
7. С. Лизер. Эконометрические методы и задачи. 1971.
8. Э м. Б о р е л ь, Р. Дельтейль, Р. Юрой. Вероятности, ошибки.
1972.
9. Статистические методы исследования корреляций в экономике. 1972.
10. Л. Стол ерю. Равновесие и экономический рост. 1974.
11. Я. Окунь. Факторный анализ. 1974.
12. С. Снрл, У. Г осман. Матричная алгебра в экономике. 1974.
13. Е. Грень. Статистические игры и их применение. 1975.
14. Д. Тёрнер. Вероятность, статистика и исследование операций. 1976.
15. Э. К е й и. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 1. 1977.
16. Э. Кейн. Экономическая статистика и эконометрия. Вып. 2. 1977.
17. Э. Кол кот. Проверка значимости. 1978.
18. Г. Дэвид. Метод парных сравнений. 1978.
19. М. Г. Кеиуй. Быстрые статистические вычисления. 1979.
20. Д ж. Вайнберг, Дж. Ш у м е к е р. Статистика. 1979.
21. И. Хастингс, Дж. П и к о к. Справочник по статистическим рас-
пределениям. 1980.
22. А. Гильберт. Как работать с матрицами. 1981.
23. 10. Кюи. Описательная и индуктивная статистика. 1981.
24. М. Кеидэл. Временные ряды. 1981.
25. А. Эренберг. Анализ и интерпретация данных. 1982.
26. П. М ю л л е р, П. Н о й м а н, Р. Ш т о р м. Таблицы по математиче-
ской статистике. 1982.
27. Е. Фёрстер, Б. Р ё н ц. Методы корреляционного и регрессионного ана-
лиза. 1983.
Подготавливается к изданию:
Р. Д ж е с с е п. Методы статистических обследований.
Редколлегия серии:
В. М. ИВАНОВА, В. А. КОЛЕМАЕВ, Г. Г. ПИРОГОВ, А. А. РЫВКИН,
Е. М. ЧЕТЫРКИН, Р. М. ЭНТОВ.
(6) 1973, John Wiley and Sons, Inc. II
© Перевод на русский язык, предисловие, примечания, дополийта
библиография, «Финансы и статистика», 1983 \
ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
О НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОМ ПОДХОДЕ КАК СИСТЕМЕ
Методы непараметрической статистики уже доказали свою широкую
применимость, важность и актуальность, но, к сожалению, пока не
получили адекватного описания на русском языке. Теперь этот про-
бел восполняется. Книга М. Холлендера, Д. Вулфа «Непараметричес-
кие методы статистики» предназначена и для профессионального ста-
тистика и для исследователя-прикладника. В ней впервые непарамет-
рические методы представлены как система статистической обработки,
по своим возможностям приближающаяся к методу наименьших квад-
ратов.
Метод наименьших квадратов широко применяется в статистичес-
кой практике. Достаточно сказать, что вычисление различных сред-
них арифметических как приближенных значений неизвестных вели-
чин является его следствием. Для более тонких и глубоких выводов
приходится предполагать, что наблюдаемые случайные величины име-
ют нормальное распределение. На этой основе за многие годы вырос-
ла обширная и развитая система статистической обработки регресси-
онных и факторных экспериментов, в частности дисперсионный ана-
лиз. Она позволяет решать основные статистические задачи: получать
оценки неизвестных параметров (как точечные, так и интервальные),
проверять статистические гипотезы, проводить сравнения и т. д.
На практике эти методы приходится применять и в тех случаях, ког-
да наблюдения, возможно, распределены иначе, что превращает точ-
ные выводы в приближенные. Немало сил было потрачено на то, чтобы
выяснить, как те или иные отступления от основных предположений
о случайных ошибках (независимость, одинаковая распределенность,
распределенность по Гауссу и т. д.) влияют на конечные результаты.
Выяснилось, что иногда нарушения, кажущиеся незначительными и
потому трудно обнаружимые, могут их существенно исказить: привести
к смещению оценок, доверительных границ и коэффициентов доверия.
Один из способов ослабить эти неприятные явления — разрабаты-
вать такие статистические правила в рамках гауссовской модели,
результаты применения которых были бы устойчивы, малочувстви-
тельны к тем или иным отступлениям от предпосылок модели. Если
какое-либо из предположений модели вызывает у нас подозрение, то
5
как защитную меру нам следует использовать соответствующее
устойчивое правило. Разумеется, ради таких защитных свойств при-
ходится идти на то, что такие устойчивые (робастные) правила в усло-
виях, когда модель полностью справедлива, имеют меньшую точность,
нежели традиционные, оптимальные процедуры. Ио можно добивать-
ся того, чтобы и устойчивые методы имели хорошие характеристики.
Это научное направление сейчас интенсивно развивается.
Мы говорили до сих пор о таких отступлениях от нормального
закона ошибок наблюдения, которые бывает трудно обнаружить по
ограниченному числу наблюдений и которые опасны именно этой неза-
метностью. При явном же отличии распределения от гауссовского
проверка корректности многих выводов (таких, как доверительное
оценивание и проверка гипотез о параметрах), полученных в рамках
нормальной модели, перерастает в сложную проблему.
В таких случаях разумно вообще отказаться от стандартной гаус-
совской модели и применять иные, непараметрические, методы. Непа-
раметрическими называют такие методы, которые не предназначены
специально для какого-нибудь параметрического семейства распреде-
лений (того же гауссовского) и не используют его свойства. Благо-
даря этому непараметрические методы имеют более широкую область
применения.
Можно считать, что в непараметрической статистике до сих пор
было три «прорыва» (по выражению Ю. Неймана): теорема А. Н. Кол-
могорова (1933 г.) о предельном поведении наибольшего уклонения
эмпирической функции распределения от теоретической (эту величину
теперь называют статистикой Колмогорова); открытие Ф. Уилкоксо-
ном (1945 г.) ранговых критериев; использование Ходжесом и Лема-
ном ранговых критериев для оценивания неизвестных параметров
(1963 г.). Каждый из упомянутых прорывов дал толчок многочислен-
ным исследованиям, которые вызвали важные для статистической
практики последствия. Данная книга в основном посвящена изложе-
нию результатов, связанных с двумя последними из перечисленных
открытий.
Интенсивные исследования двух предыдущих десятилетий привели
к тому, что многие задачи, ранее разрешимые лишь тогда, когда мы
знали закон распределения и соответственно этому выбирали статис-
тические средства, теперь оказались в сфере действия непараметричес-
ких методов. В особенности это касается анализа таблиц с одним
или несколькими входами, которые обычно изучаются с помощью дис-
персионного анализа. (Иногда говорят о «непараметрическом диспер-
сионном анализе», что не совсем верно, поскольку при этом не обра-
щаются к дисперсиям, т. е. суммам квадратов отклонений от средних.)
Ядро книги образуют гл. 6 и 7, описывающие анализ таблиц с
одним и двумя входами. Из содержания этих глав видно, что дейст-
вительно есть полноценная замена дисперсионного анализа в тех
случаях, когда его применение невозможно или нецелесообразно
по указанным выше причинам. Математической основой такой замены
служит критерий Уилкоксона и оценки Ходжеса—Лемана для двух
выборок, изложенные в гл. 4. Естественные отступления от этой основ-
6
ной линии — гл. 3 (одна выборка) и гл. 5 (две выборки, отличающие-
ся масштабом). В гл. 9 изложен ряд результатов, относящихся к зада-
че регрессии. Эта важная тема пока разработана менее глубоко. Нес-
колько особняком стоит гл. 8, посвященная изучению зависимости
между двумя переменными с помощью рангов. В ней предложена хоро-
шая замена традиционной корреляционной теории, основанной на
двумерном распределении. Именно отсюда возникли ранговые мето-
ды. Ныне широко известный коэффициент ранговой корреляции был
предложен Спирмэном еще в начале нашего века. В данной книге
авторы систематически используют коэффициент ранговой корреля-
ции Кендэла, возможно, по той причине, что статистика Кендэла —
это оценка с более ясным вероятностным смыслом. В последней гла-
ве сообщается несколько непараметрических критериев, не относя-
щихся к линейной модели. Две первые главы имеют вспомогатель-
ный характер, причем в первой дан общий обзор содержания книги,
а во второй — схема испытаний Бернулли и связанное с ней биноми-
альное распределение.
Изложение материала в книге многослойное. Каждый из обсуж-
даемых методов подан в рецептурно-алгоритмическом виде, предназ-
наченном для пользователей. Алгоритм всегда учитывает вариан-
ты проверяемых гипотез, асимптотические результаты для больших
выборок, иногда графические разновидности методов и присутствие
совпадающих наблюдений. Предписаниям, которые построены таким
образом, можно следовать, имея лишь самые общие статистические
понятия и не вникая в существо метода.
Второй слой образуют комментарии. Они предназначены для ста-
тистика и знатока, которому помогут полностью разобраться в задаче.
Желающим глубже войти в проблему или вести самостоятельные
исследования предлагается прокомментированная библиография.
Наконец, третий слой — это несколько десятков содержательных
примеров, заслуживающих особого разговора. Опи либо сопровожда-
ют алгоритмы, либо служат для упражнений. Судя по всему, авторы
исходили из предпосылки, что читатель, специалист в какой-то узкой
области, встретив в книге пример, относящийся к его компетенции,
не должен почувствовать фальши по существу. Тогда можно надеять-
ся, что рекомендуемый математический аппарат он воспримет с дове-
рием. Такая исходная установка привела к тому, что большинство
примеров относятся к специальным конкретным постановкам задач,
как правило, касающихся проблемных вопросов той или иной области
исследования. Ну, а чтобы число «обращенных» исследователей было
возможно большим, примеры выбирались из самых разнообразных
областей человеческой деятельности. Подчеркнем, что подобный
взгляд на примеры далеко не типичен для статистической литерату-
ры, где обычно принято столь сильно упрощать конкретную ситуа-
цию, что специалист воспринимает ее как шарж на реальность.
Книга снабжена богатым набором таблиц, что является ее сущест-
венным достоинством, поскольку это превращает изложенные методы
в рабочий инструмент. К тому же многие таблицы рассчитаны относи-
тельно недавно и опубликованы в труднодоступных изданиях.
7
Мы добавили при переводе подробную таблицу процентных точек
коэффициента ранговой корреляции Спирмэна [783], ибо без нее комп-
лект был бы неполным.
Конечно, не все аспекты ранговых методов нашли отражение в
этой книге. Поскольку данная книга предназначена для исследовате-
ля, который впервые обращается к непараметрическим методам, ника-
кие многомерные методы в ней не уместны. Кроме того, вряд ли их
вообще можно сейчас изложить столь же последовательно, как и обыч-
ные. Эти методы сложны, они существуют и развиваются отнюдь не
механическим обобщением одномерных результатов. Этой теме по-
священы монография Пури и Сена [307] и ряд статей [601], [631].
Не касаются авторы и последовательных методов. Между тем такие
методы для некоторых задач существуют [747], причем само понятие
«последовательный» трактуется иногда не по Вальду.
Не все представленные в тексте методы разработаны с одинаковой
полнотой. Одним из косвенных указаний на недостаточную теорети-
ческую разработанность метода может служить использование ран-
домизации в ходе обработки данных (гл. 5 и 9). Рандомизация состоит
в обращении к какому-либо статистическому механизму с контроли-
руемыми исходами и известными вероятностями, который независим
от основного статистического материала. Обращение к нему естест-
венно и вполне уместно, скажем, при планировании эксперимента,
где таким образом мы пытаемся избежать действия какой-нибудь пусть
даже и пе выявленной причины при, например, отнесении объектов к
контрольной и рабочей совокупностям. Иначе в результате может по-
явиться смещение. При обработке же результатов эксперимента ран-
домизацию применяют редко, обычно в тех случаях, когда без этого
не удается получить статистических правил с ясными вероятностными
свойствами. Такая рандомизация нехороша тем, что окончательный
вывод ставится в зависимость от не относящихся к делу случайностей.
Благодаря этому две обработки одного и того же статистического
материала могут привести к различным, порой противоположным
выводам (например, при проверке гипотез, проведении множественных
сравнений и т. п.).
Известные трудности сопряжены и с обработкой совпадающих
наблюдений. Действительно, в общей схеме статистических рассужде-
ний мы исходим из наблюдения X, к которому примысливается выбо-
рочное пространство (т. е. множество возможных, но не осуществив-
шихся наблюдений), и на этом пространстве вводится вероятность.
Тогда X мыслится как результат случайного выбора из этой совокуп-
ности. А по X мы судим о свойствах вероятностного распределения.
Ранговые методы основаны на том, что мы переходим от X (обычно зада-
ваемого набором чисел) к набору рангов. Если предположить, что
X — последовательность п независимых случайных величин с непре-
рывным распределением, то в соответствии с общей схемой конкретный
набор мысленно дополняется всеми прочими перестановками первых
п натуральных чисел. И только если распределения отдельных наб-
людений непрерывны, вероятность распределяется равномерно на
множестве п! ранговых последовательностей. В этом — суть ран-
а
говых методов. Но при непрерывных распределениях вероятность
совпадения отдельных наблюдений равна нулю, стало быть, они не
должны происходить. На практике же они встречаются сплошь и
рядом. Малое число совпадений можно было бы объяснить ограничен-
ной точностью измерений. Тогда ранговые методы сохраняют свою
основу, требуя лишь перехода к средним рангам при совпадениях.
Правда, выводы станут приближенными в тем большей степени, чем
больше будет совпадений. Количественно оценить степень приближе-
ния не удается. Когда совпадений много, приходится признавать,
что основное распределение не непрерывно. Это ставит под сомнение
все выводы, основанные на рангах. Хотя переход от наблюдений к
рангам (быть может, и средним) остается возможным, непонятно,
чем заменить совокупность п! перестановок и как распределить веро-
ятность в новой совокупности.
Обычно рассуждают примерно так. Пусть среди трех наблюдений
а, b и с два совпали и получилось следующее упорядочение: а -< b =
= с. Этот исход можно дополнить всеми такими исходами, где совпа-
дают какие-либо два наблюдения. И в этом пространстве положим
вероятность распределенной равномерно. Основание для этого приема
не вполне ясно, тем не менее именно так рассчитываются математичес-
кие ожидания и дисперсии большинства ранговых статистик при по-
правках на совпадения.
Остановимся теперь на переводе. При переводе алгоритмов труднос-
ти возникали только при выборе терминологии. Наша точка зре-
ния отражена в переводе терминов глоссария (см. приложение Б,
с. 444). Перевод некоторых терминов мы снабдили примечаниями,
объясняющими их толкование. Один терминологический момент за-
служивает специального обсуждения.
В нашей литературе как частичные синонимы используются тер-
мины «непараметрический» и «свободный от распределения». Они, од-
нако, отражают разные понятия, и при переводе мы старались упот-
реблять их соответственно месту. «Непараметрический» — это харак-
теристика метода, отражающая тот факт, что он не предназначен спе-
циально для какого-либо определенного параметрического семейства,
но может применяться к более широкой совокупности распределений
(обычно ко всем непрерывным распределениям). «Свободным от распре-
деления» может быть результат наших действий, т. е. статистика,
критерий, правило и т. п. Так его называют, если присущие ему веро-
ятностные свойства не зависят от того, какое именно из возможных в
модели распределений осуществилось на практике. В частности, в
параметрической задаче свободные от распределения выводы не зави-
сят от конкретных значений неизвестных параметров (но могут зави-
сеть от типа семейства).
При переводе примеров трудности были связаны с употреблением
авторами различных профессиональных языков и жаргонов. В сое-
динении с краткостью изложения это порой делало понимание их
не совсем простым. Поэтому в ряде случаев иам пришлось прибегнуть
к разъяснениям.
9
Книга изобилует именами исследователей. В нескольких случаях
мы сочли нужным привести краткие биографические сведения о на-
иболее выдающихся из них.
Мы уже отмечали, что по каждому затронутому вопросу авторы
книги приводят хорошо подобранную и прокомментированную библио-
графию. Это поможет заинтересованному читателю быстро выйти на
необходимые для него методы, находящиеся за пределами данной
книги. Считая важным поддержать и продолжить эту линию, мы снаб-
дили русское издание дополнительной библиографией (не претендую-
щей на полноту), в которую включены издания на русском языке и
основные продолжающие или развивающие тему книги работы, по-
явившиеся после ее выхода в свет.
Развитие статистических методов непараметрического типа, в част-
ности методов, основанных на рангах, интенсивно продолжается в
нескольких направлениях. Рассмотрим некоторые новые результаты,
полученные после выхода книги. К тематике данной книги относятся
практически важные случаи неполных данных, т. е. таблиц диспер-
сионного анализа с незаполненными клетками. Оказывается, что и в
этих условиях можно решать те же задачи, что и в гл. 7. Конкретные
рекомендации можно найти в работах [28], [677], [711], [759], [549].
За последние годы расширен объем ряда таблиц. Этот процесс
происходит постоянно. Для распределений некоторых табулированных
статистик найдены новые аппроксимации, значительно превосходя-
щие традиционные, точность которых вне области обычно применяе-
мых таблиц, как правило, недостаточна. Эти аппроксимации на гра-
нице действия таблиц, где возможно сравнение, позволяют уменьшить
относительную погрешность на порядок. Ввиду особой важности этого
усовершенствования мы расскажем о нем подробнее.
В основе нового подхода лежит преобразование статистики. Про-
центные точки новой, преобразованной статистики приближаются
линейной комбинацией процентных точек некоторых стандартных
распределений. Новая статистика и ее процентные точки используют-
ся в статистических правилах вместо старой. Покажем действие улуч-
шенной аппроксимации на примере коэффициента ранговой корреляции
Спирмэна г (см. § 8.1 этой книги).
Пусть (Хь Ух),..., (Xn, Yn) — взаимно независимые случайные вели-
чины, каждая из которых извлечена из непрерывной двумерной сово-
купности. Для проверки гипотезы о независимости случайных величин
Но : Р (X а и У С b) — Р (X а) Р (У Ь) для всех а, b против
альтернативы о неравенстве нулю коэффициента корреляции р в гене-
ральной совокупности (р #= 0) двусторонний критерий строится сле-
дующим образом.
Вместо статистики Спирмэна г вводим статистику J,
2 L V 1-r2 J
Верхние а%-ные точки для нее суть
7 1 , 1 t
J(a, п—2) — ~ Z(a) + ~ Ча, п-2),
10
где ft — объем выборки; Z(a> — а%-ная точка нормального распреде-
ления N (0, 1); ^(а,п-2) — а%-ная точка распределения Стьюдента с
п — 2 степенями свободы.
Критерий независимости на уровне а действует так:
отклонить Н9, если J J(a2, п-2) или —J(att п_2);
принять До, если — 7(в„ п-2) < <7 < J(a,. п-2), где а1 + а2 = а.
Односторонние критерии для альтернатив р>0, р<0 строятся ана-
логично. Этот метод предложен Иманом и Коновером [639].
Приведем улучшенную аппроксимацию для критерия ранговых сумм
Уилкоксона. Через W* обозначаем нормированную статистику Уил-
коксона (см. §4.1). Вычисляем новую статистику
,/=21Г1 + (——fh,
2 L \ JV—1 — (IT*)2 J J
где N — т + п. а%-ные точки для нее те же самые J(a,w-2)- Двусто-
ронний критерий для проверки однородности принимает эту гипотезу
на уровне а, если, как и выше,
J (a, N—2) < J <Z J (а». N — 2),
причем ах + а2 = а- Односторонние критерии строятся аналогично.
Метод предложен Иманом [637].
Представим, наконец, улучшенные аппроксимации для критериев
Краскела—Уоллиса и Фридмана (для таблиц с одним входом — §6.1
и с двумя входами — § 7.1).
Новая статистика для проверки однородности k выборок равна:
2 (
где И—статистика Краскела—Уоллиса (§ 6.1); N — общее число
наблюдений. Ее приближенные а%-ные точки суть
Ja = Y [(*-1) Fa(k-1, N-k) + _ 1. a)],
где Fa (ylt v2) — верхняя а%-ная точка распределения F с vlt v2 сте-
пенями свободы числителя и знаменателя соответственно. Гипотеза
об однородности k выборок отклоняется на уровне а, если Ja-
Метод принадлежит Иману и Давенпорту [640].
Перейдем к таблицам с двумя входами. Пусть k обозначает число об-
работок, ft — число блоков. Проверяется гипотеза До об отсутствии
эффекта обработок (§ 7.1). Приходится прибегать к различным
аппроксимациям для различных сочетаний чисел k, п.
1) Если fe 20, ft 13, следует пользоваться критерием (6) из
§ 7.1 этой книги.
11
В других случаях нужно вычислить новую статистику
р (n — \)S
n(k—V)—S ’
где S — статистика критерия Фридмана из § 7.1 этой книги, форму-
ла (4).
2) Если 7 k 19, 13, гипотезу Но следует отклонить на
уровне а, когда
3) Если k 8, 7 п 12, гипотеза Нй отвергается на уровне
а, когда
Е>Еа(^-1,Т),
где f — вообще говоря, дробное число степеней свободы, вычисляемое
следующим образом. Обозначим через ранг наблюдения х1}
среди наблюдений i-ro блока, i = 1, . . ., п, j = 1, . . . , k. Пусть =
= 4- У ги. Составим статистики
п »=1
1 "
F/“rzrS ' = '.................k’
i=l
L = (n-l)2Vj.
/=i
TT x-'4 L2
Число степеней свободы f==-------------(n—1).
(n-1) £ Vf
l=i
4) Если k 7, n 8, следует вычислять статистику
j=-L[S+(fe- 1)П
для которой верхние а%-ные точки равны:
Гипотезу Ни следует отклонить, если JZ^Ja..
5) Если ^^6, 2^п^6 или k — 5, п — 6, 7, следует вычислять
J* = ^-[S + (fe-l)(n-l)F].
Ее верхние а%-иые точки приближенно равны:
^ = ±[(/г-1)(п-1)Га(Л-1,(Л-1)(п-1)) + %^_ьа)].
Гипотеза Но отвергается на уровне а, если J* Jа-
12
Эта модификация критерия Фридмана предложена Иманом и Да-
венпортом [641]. См. также ГОСТ 23554.2—81 [487].
Наконец, следует упомянуть основные книги по ранговым
методам. Наиболее глубокой и математически содержательной
среди них является книга Я- Гаека и 3. Шидака «Теория ран-
говых критериев» [1651. Она внесла важнейший вклад в теорию;
ее появление дало также мощный импульс к развитию. Ввиду своего
высокого теоретического уровня она доступна лишь подготовлен-
ному читателю. К сожалению, ее авторы освещают только один
аспект ранговых методов, хотя и наиболее привычный — проверку
статистических гипотез (в основном об однородности наблюдений) —
и не касаются оценивания неизвестных величин. Поэтому знакомства
с этой книгой недостаточно для практической работы.
В книге Ван дер Вардена «Математическая статистика» [480] хоро-
шо рассказано о критерии ранговых сумм Уилкоксона и ранговых
коэффициентах корреляции. Речь снова идет исключительно о про-
верке гипотез.
Ранговым корреляциям посвящена известная книга М. Кендэла
«Ранговые корреляции» [216]. Она не требует больших предваритель-
ных знаний и читается с большим интересом. Конечно, с момента ее
первого издания прошло немало времени, и сейчас ее можно рассмат-
ривать лишь как введение в предмет, о котором она сообщает.
Недавно вышел перевод небольшой книги Р. Руниона «Справочник
по непараметрической статистике» [533]. Она содержит ряд непарамет-
рических правил обработки данных, измеренных в разных шкалах —
номинальной, порядковой, абсолютной и т. д. Она не требует большой
математической подготовки и полезна широким кругам читателей.
Имеется и несколько других, в том числе прикладных, книг по
непараметрической статистике [539] в медицине [507, 489, 490], педа-
гогике и психологии [488] и др. Из новых книг на английском языке
отметим книгу Э. Лемана [671], второе издание книги У. Коновера
[82], а также [722]. По устойчивым методам недавно вышла моногра-
фия П. Хубера [630].
Таким образом, предлагаемая читателю книга М. Холлендера и
Д. Вулфа принадлежит к весьма бурно развивающейся области науч-
ных исследований. У нас нет сомнений в том, что она будет полезна
многим. Это утверждение справедливо прежде всего для задач, решае-
мых в таких областях, как экономика, социология, педагогика, био-
логия, медицина. Книга окажет неоценимую помощь и тем специалис-
там, которые захотят создать программное обеспечение для непара-
метрических методов.
Работа, в которой непараметрические методы изложены столь
систематически и доступно, будет, безусловно, стимулировать их ши-
рокое применение в прикладных исследованиях самой различной
направленности, особенно там, где распределения наблюдений име-
ют сложные, малоизученные и неясные законы распределения, пре-
пятствующие применению классической теории.
Ю. П. Адлер, Ю. Н. Тюрин, Д. С. Шмерлинг
13
Посвящается памяти
доктора Фрэнка Уилкоксона*
ПРЕДИСЛОВИЕ
В автобиографическом предисловии к своей книге «Забавные сцен-
ки из жизни одного городка» Стивен Ликок** так вспоминает о дости-
жении степени доктора философии: «Смысл этой степени в том, что
обучающийся был экзаменован в последний раз, после чего объявлен
достигшим высшей степени совершенства. Далее он уже никогда не
сможет вместить ни одной новой мысли». Такое понимание роли ученой
степени, как бы ни было остроумно, вполне может стать фатальным
для любого современного ученого. Случилось так, что методология
непараметрической статистики была широко развита гораздо позже,
чем многие из нас окончили университеты. Эта методология весьма
привлекательна для применяющих статистику, в особенности в науках
о поведении, что и определяет ее важную роль в статистическом обра-
зовании.
Основные достижения непараметрической статистики приходятся
на последние 25 лет. Некоторые начальные результаты были получены
раньше Р. А. Фишером (R. A. Fisher), К. Спирмэном (С. Spearman),
М. Фридманом (М. Friedman), Е. Дж. Питменом (Е. J. G. Pitman),
* Профессор Фрэнк Уилкоксов (Frank Wilcoxon, 1892—1965) сыграл клю-
чевую роль в становлении непараметрической статистики как нового научного
направления. Его судьба необычна. Получив в 1924 г. ученую степень в области
химии и биохимии (Корнельский университет), он до 1950 г. работал в промыш-
ленности. Книги Р. Фишера пробудили в нем интерес к статистике, и в 1945 г.,
будучи уже 52-летним, он опубликовал свою первую статистическую работу
(Biometrics Bull., vol. 1, № 1). Это было прикладное исследование. В том же
году он публикует и вторую работу, которой суждено было стать главным делом
его жизни. В ней предложены критерии, получившие позднее его имя. Эта работа
неоднократно переиздавалась с различными улучшениями. Круто изменив свою
жизнь, он в 1957 г. начинает преподавательскую деятельность в университете
штата Флорида, где ставит новый курс — непараметрическую статистику, соз^
давая целую школу. Среди его учеников были Д. Рэнкин (Dunn Rankin),
У. Томпсон, мл. (W. A. Thompson, jr.), Мак Дональд (Mac Donald) и др. Под
его влиянием начали работать в этой области Л. Мозес (L. Moses), К. У. Даннетт
(С. W. Dunnett), Р. Брэдли (R. A. Breadly), Дж. Хантер (J. S. Hunter) и др.
Стало быть, и настоящая книга возникла как развитие традиции, созданной
Уилкоксоном, что вполне оправдывает посвящение. Между прочим, Уилкоксон
был в СССР в 1934—1935 гг. Знал русский язык и следил за литературой иа
нем. — Примеч. ред.
** Стивен Батлер Ликок (Stephen Butler Leacock, 1869—1944) — канадский
экономист, писатель-юморист и педагог. Здесь цитируется его сборник «Sunshine
Sketches of a Little Town»., — Примеч. ред.
14
Г. Хотеллингом (Н. Hotelling) и М. Пабстом (М. Pabst). Работа, сде-
ланная одновременно и независимо Ф. Уилкоксоном (F. Wilcoxon) и
Г. Б. Манном (Н. В. Mann) и Д. Р. Уитни (D. R. Whitney), знаменова-
ла начало интенсивного современного развития. Книга Уилкоксона
«Некоторые быстрые приближенные статистические методы» [455] и
работа Е. Дж. Питмена «Лекции по непараметрической статистике»
(Lecture Notes on Non-parametric Statistics) вместе с книгой М. Г. Кен-
дала (М. G. Kendall) «Ранговые корреляции» [216] дали первый учеб-
ный материал. Так начиналась популяризация непараметрических
методов статистики; теперь уже есть довольно много книг о подобных
методах, а данная книга содержит систематическое и полное описание
этой методологии. Уровень развития непараметрической статистики
виден из «Библиографии по непараметрической статистике» И. Р. Сэ-
виджа (I. R. Savage) и трехтомного «Справочника по непараметричес-
кой статистике» Д. Л. Уолша (D. L. Walsh).
Классические статистические методы, предназначенные для резуль-
татов измерений, хотя и основаны на предположении о нормальности,
часто относительно нечувствительны к отклонениям от нее. Непара-
метрические же методы были построены специально для того, чтобы
обходиться вовсе без этого предположения, причем они широко при-
менимы и просты в работе. Более того, непараметрические методы
обладают высокой степенью эффективности по сравнению с классичес-
кими при наличии нормальности и к тому же часто более эффективны
в других ситуациях.
Эта книга обладает рядом примечательных особенностей: прежде
всего это акцент на условиях обоснованного применения непарамет-
рических методов. Конкретные приемы, используемые в непараметри-
ческих методах, изложены ясно и иллюстрированы тщательно разо-
бранными примерами и задачами. Диапазон непараметрических мето-
дов, описываемых в книге, шире, чем в большинстве других книг по
этой тематике. Включены все основные одномерные методы, впрочем,
не доведенные до многомерных обобщений или до последовательных
модификаций (исключение авторами последних достойно сожаления).
В книге достигнуто равновесие между проверками гипотез и непара-
метрическим интервальным оцениванием, одинаково необходимым для
адекватного анализа исследовательских данных. Кроме того, авторы
обсуждают свойства методов в элементарной, понятной для их пред-
полагаемых читателей манере, приводя при этом некоторые соображе-
ния о выборе того или иного метода. Наконец, эта книга в окончатель-
ном виде и ее ранние редакции систематически проверялись в универ-
ситете штата Флорида в рамках пользующихся большим успехом
учебных курсов, организованных еще Фрэнком Уилкоксоном и читае-
мых в течение трех месяцев.
Ликок оправдывает автобиографическое предисловие тем, что это
удобный способ представить свою работу публике и говорит: «Таким
образом некоторые из имеющихся недостатков можно отнести на счет
смягчающих вину обстоятельств жизни автора». Хотя Холлендер и
Вулф могут и не иметь никаких недостатков, кажется уместным,
чтобы читатели знали кое-что о них.
15
Майлс Холлендер — уроженец Бруклина. Он получил степень
бакалавра в технологическом институте Карнеги в 1961 г. Учился в
аспирантуре Стэнфордского университета, где удостоен степени ма-
гистра и доктора философии соответственно в 1962 и 1965 гг. Интерес
к статистике возник у него под влиянием Мориса Де Гроота (Morris
DeGroot) в институте Карнеги. На его специализацию и исследо-
вания в области непараметрической статистики оказали большое
влияние сначала Линкольн Мозес (Lincoln Moses) в Станфорде, затем
Фрэнк Уилкоксон, И. Ричард Сэвидж, а позднее еще и Ярослав Гаек
(Jaroslav Hayek) в университете штата Флорида, где работал доктор
Холлендер.
Дуглас А. Вулф, уроженец Айовы, получил степени бакалавра,
магистра и доктора в университете штата Айова в 1965, 1967 и 1969 гг.
соответственно. Его интерес к статистике возник под влиянием Робер-
та Хогга (Robert Hogg). Доктор Вулф стажировался в университете
штата Флорида после получения докторской степени, а затем начал
работать в университете штата Огайо в рамках новой статистической
программы этого университета.
Авторы писали книгу в период работы в университете штата Флори-
да, в связи с разработкой учебного курса, в которой они оба участ-
вовали.
Ральф Брэдли,
профессор и руководитель
отдела статистики
университета штата Флорида,
июль 1972
ВСТУПЛЕНИЕ
Хотя важность непараметрических методов как существенного
раздела современной статистической науки признана самими статисти-
ками, современные непараметрические методы пока не широко распро-
странены среди представителей других наук. А если непараметричес-
кий анализ и появляется в прикладных журналах, то он обычно не
выходит за рамки проверки гипотез. Современные и будущие ученые
должны владеть непараметрическими методами, включая точечные
оценки, доверительные интервалы, методы множественных сравнений,
а также новые результаты о непараметрических критериях. Обеспече-
ние этого и есть главная цель нашей книги.
В течение 7 лет мы читали курс прикладной непараметрической
статистики в университете штата Флорида. Этот курс — преемник
того курса непараметрических методов, который поставил во Флориде
Фрэнк Уилкоксон. Курс ведется совместно факультетами психологии и
статистики и предназначен для студентов-выпускников и аспирантов
первого года обучения. Предполагается знание вводного курса ста-
тистики. Мы не смогли найти подходящего учебника, написанного на
нематематическом уровне и охватывающего весь необходимый матери-
ал*. Наша книга в некоторой степени устраняет эту трудность.
Мы также надеемся, что книга будет использоваться как справоч-
ник по непараметрическим методам. Куски ранних редакций книги,
соответствующие теперешним главам, использовались во Флориде в
вычислительных и консультационных центрах для ознакомления
консультантов с различными непараметрическими методами. Имея в
виду эту роль, мы старались сделать книгу пригодной для обучения
и удобной для автономного применения отдельных методов.
Стоит отметить две особенности книги, отличающие ее от предшест-
венниц. Во-первых, наша книга предназначена непосредственно для
обработки реальных экспериментов, поэтому в ней представлены приме-
ры задач из экономики, астрономии, биологии, криминалистики, пе-
дагогики, техники, охраны окружающей среды, медицины, океано-
графии, физики, психологии, социологии и изучения космического
Для предварительного чтения можно рекомендовать книгу [535], а для
с меньшей математической подготовкой — книги Гмурмана, например,
14O3J. Полезны также [476] и [482]. — Примеч. пер.
1?
пространства. Они показывают широкую применимость математичес-
кой статистики вообще и непараметрических методов в частности.
Вторая особенность связана с отбором методов. Дело в том, что для
каждой из рассматриваемых задач не существует какой-то одной
«лучшей» процедуры. Можно было бы, например, описать массу извест-
ных двухвыборочных критериев, каждый из которых построен спе-
циально для проверки альтернатив о различии в положении, но мы
включили в книгу лишь один (критерий сумм рангов Уилкоксона).
Делая такой выбор, мы предпочли те методы, которые легко применять
и понимать, да еще такие, что сохраняют эффективность в разнообраз-
ных ситуациях.
Нам были полезны помощь и поддержка многих друзей. Мы благо-
дарим также авторов и издателей, разрешивших воспроизвести их
таблицы и графики в приложении А.
Таллахасси, Флорида, Майлс Холлендер,
Колумбус, Огайо Дуглас Вулф
июль 1972 г.
ГЛАВА ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ
1 СВЕДЕНИЯ
§ 1.1. ВВЕДЕНИЕ
Всякий непараметрический метод — это статистический метод с
некоторыми желательными свойствами, сохраняющимися при отно-
сительно слабых допущениях о рассматриваемых генеральных сово-
купностях, из которых получены данные. Быстрое развитие непара-
метрических статистических методов можно отчасти отнести за счет
следующего.
1. Непараметрические методы требуют немногих предположений
относительно генеральных совокупностей, из которых извлечены дан-
ные. В частности, эти методы, в отличие от своих предшественников,
не требуют традиционных допущений о нормальном распределении
генеральных совокупностей.
2. Непараметрические методы часто (хотя не всегда) проще в приме-
нении, чем их конкуренты из нормальной теории.
3. Непараметрические приемы обычно понятны.
4. Непараметрические методы применимы в ситуациях, в которых
методы нормальной теории не «работают». Например, для многих
(непараметрических) методов требуются не действительные значения
наблюдений, а только их ранги.
5. Хотя на первый взгляд может показаться, что, применяя ранго-
вые процедуры, мы теряем много существенной информации, содер-
жащейся в выборке, теоретические исследования показали, что это
вовсе не так. Обычно непараметрические процедуры лишь немного
менее эффективны, чем их конкуренты из нормальной теории, если
рассматриваемые генеральные совокупности нормальны (т. е. на
«своем поле» для методов нормальной теории), зато они могут оказать-
ся и немного, и значительно эффективнее, чем их соперники, если
распределения генеральных совокупностей отличны от нормального.
И. Р. Сэвидж [332] указывает на 1936 г. как на год начала этого
направления, когда Хотеллинг (Hotelling) и Пабст (Pabst) опублико-
вали работу по ранговой корреляции. Однако он не пишет, что работы
по непараметрической статистике появлялись еще в XIX веке. Шеф-
фе [341] в одном из своих обзоров упоминает (среди других) о статьях
Карла Пирсона [292, 293] и о наличии критерия знаков в первом изда-
19
нии книги Р. А. Фишера [125]. В обзоре Шеффе писал: «Лишь ничтож-
ная доля обширной литературы по математической статистике рассмат-
ривает непараметрическую ситуацию, причем ее большая часть появи-
лась в последнее десятилетие. Однако мы можем ожидать быстрого
развития этого направления. Перспективы теории, свободной от конк-
ретных предположений о форме распределения генеральной совокуп-
ности, будут притягивать и теоретиков и практиков, поскольку такая
теория может сочетать в себе изящество структуры с широтой примени-
мости».
В 1947 г. желание Ф. Уилкоксона (F. Wilcoxon) способствовать
развитию непараметрических методов воплотилось в первом издании
брошюры «Некоторые быстрые приближенные статистические методы»
[455]. Через шесть лет после появления обзора Шеффе, упомянутого,
выше, Волфовиц [463] рассмотрел ряд задач непараметрического вы-
вода и констатировал: «В этой работе мы вкратце опишем несколько
недавних результатов в непараметрической теории. Читатели, ожидаю-
щие найти полную, единую теорию, подобную дисперсионному анали-
зу, будут разочарованы; такую теорию представить нельзя, посколь-
ку ее не существует. А есть лишь несколько малых продвижений в
различных направлениях».
1948 г. был отмечен появлением первого учебника, посвященного
исключительно ранговым методам. Он назывался «Методы ранговой
корреляции» и принадлежал М. Дж. Кендэлу [216]. Кендэл увидел
широкую применимость ранговых методов во многих областях, ука-
зав, в частности, психологию, педагогику, промышленный экспери-
мент, экономику. В конце 1950-х годов развитие непараметрической
статистики породило три новые книги: «Непараметрическая статисти-
ка в науках о поведении» С. Зигеля [372], «Непараметрическая и ра-
циональная статистика» М. Тейта и Р. К. Клелланда [403], авторы
которых сделали упор на приложения, в то время как работа «Непа-
раметрические методы в статистике» Д. А. С. Фрэйзера [130] содер-
жит непараметрическую теорию.
К 1962 г. богатство предмета стало таким, что Сэвидж [335] смог
расширить свою раннюю (1953 г.) библиографию [332] до капитальной
«Библиографии по непараметрической статистике», включающей более
чем 3000 названий работ.
Непараметрическая статистика процветает и в наше время*. Я. Га-
ек (Hajek J.), признанный лидер теоретического развития непарамет-
рической статистики в мире, прекрасно подвел итог этому процвета-
нию**. В предисловии к своей «Непараметрической статистике» [164]
* Библиография Зингера [756] продолжает упомянутую библиографию
Сэвиджа, она содержит более 1200 названий и при этом далеко не полна, особен-
но в части охвата теоретических работ. — Примеч. пер.
** Ярослав Гаек (J. Hajek, 1926—1974) родился в г. Подебради (ЧССР).
В 1949 г. окончил Технический университет в Праге по специальности инженер-
статистик, в 1955 г. защитил диссертацию, а в 1966 г. стал профессором в Карло-
вом университете. В 1965—1966 гг. работал в качестве приглашенного профес-
сора в Калифорнийском университете США, а в 1969—1970 гг. — в университете
штата Флорида. За свою короткую жизнь Я. Гаек опубликовал 5 книг и несколь-
ко десятков статей, оказавших сильнейшее воздействие иа развитие ряда стати-
20
он пишет: «Непараметрические методы составляют одно из наиболее
успешных направлений современной статистики. Они широко приме-
нимы, быстры в исполнении и легко усваиваются. Непараметрическая
теория изящна, включает как элементарные, так и весьма продвину-
тые методы, два десятилетия интенсивного развития не истощили ее
способности стимулировать исследования».
§ 1.2. ЗАМЫСЕЛ КНИГИ
Это прикладная книга. Методы поясняются примерами. Таблицы
и графики, без которых не обойтись в применениях, даны в приложении
А. Для понимания текста достаточно владеть материалом в объеме
вводного курса элементарной статистики, хотя время от времени мы
пользуемся терминологией, не представленной обычно в таком курсе.
Если читатель встретится с какими-нибудь неизвестными понятиями
или терминами, то он может обратиться к глоссарию приложения Б,
где даны определения.
В отличие от многих вышедших книг по непараметрической ста-
тистике, содержание этой книги не ограничивается критериями для
проверки гипотез, мы рассматриваем также точечные оценки, довери-
тельные интервалы и методы множественного сравнения. Задачи,
рассмотренные в книге, вкратце перечисляются ниже.
Глава 2 «Задача о дихотомических данных-». В этой главе данные
представляют собой исходы п независимых повторных испытаний
Бернулли, в каждом исходе испытание приводит к успеху с вероятнос-
тью р. В § 2.1 описан биномиальный критерий для гипотезы р = рй
(где /?о известно). А в § 2.2 дана точечная оценка неизвестного парамет-
ра р. Наконец в § 3.3 даются доверительные интервалы для р.
Глава 3 «Одновыборочная задача о положении (сдвиге)». В § 3.1 —
3.7 данные имеют вид парных повторных наблюдений. Первое наблю-
дение в каждой паре можно рассматривать как наблюдение до обработ-
ки, второе — как наблюдение после обработки. Основной вопрос
таков: вызовет ли обработка смещение, сдвиг распределения? Методы
§ 3.1—3.3 основаны на знаковых рангах. В § 3.1 представлен свободный
от распределения критерий для гипотезы о равенстве эффекта обра-
ботки 0 нулю, § 3.2 содержит точечную оценку 0, а в § 3.3 строится
свободный от распределения доверительный интервал для 0.
стических направлений. Его подход характеризовался оригинальностью идей,
умением увидеть за частной задачей общий метод, способностью к широким ас-
социациям. Основное достижение — создание нового проекционного метода
для доказательства асимптотической нормальности. Он развил, обобщил и систе-
матизировал ранговые методы, создав законченную теорию ранговых критериев.
Занимался и рядом других задач, например теорией статистических выводов для
случайных процессов. Будучи членом большинства международных и амери-
канских статистических организаций и обществ, он весьма содействовал ин-
тенсификации международной научной жизни. Так, он был инициатором и руко-
водителем оргкомитета Пражских конференций по статистике и теории информа-
ции, а позднее и по асимптотическим методам. Эти конференции, ставшие перио-
дическими, пользуются заслуженно высокой репутацией среди специалистов.
Авторы не зря дают Я. Гаеку столь высокую оценку. — Примеч. ред.
21
Методы § 3.4—3.6 аналогичны методам, описанным в § 3.1—3.3, но
вместо знаковых рангов используют сами знаки. В § 3.7—3.8 и знако-
вые, и знаковые ранговые методы применяются к данным одной выбор-
ки. В § 3.9 представлен асимптотически свободный от распределения
критерий для гипотезы о том, что выборка извлечена из симметричной
совокупности.
Глава 4 «.Двухвыборочная задача о положении (сдвиге)». В этой главе
рассматриваются две случайные выборки: одна — из контрольной
совокупности, другая — из «рабочей» совокупности. Основная гипоте-
за означает, что две выборки можно объединить и рассматривать как
единую выборку из одной совокупности. Интересующая нас альтерна-
тива состоит в том, что рабочая совокупность сдвинута (по медиане)
относительно контрольной. Обозначим А (эффект обработки) разность
медиан. В § 4.1 представлен свободный от распределения ранговый
критерий для гипотезы А = 0, в § 4.2 дается точечная оценка А, а в
§ 4.3 — свободный от распределения доверительный интервал для А.
Глава 5 «Двухвыборочная задача о рассеянии (масштабе)». Здесь
исходные данные те же, что и в гл. 4, но интересующие нас альтерна-
тивы — об относительном рассеянии двух рассматриваемых совокуп-
ностей. Обозначим через у неизвестное отношение мер рассеяния
(размахов) для двух совокупностей. В § 5.1 содержится свободный от
распределения ранговой критерий для гипотезы у = 1, основанный на
допущении, что обе совокупности имеют общую медиану; в § 5.2 дан
класс свободных от распределения критериев для гипотезы у = 1,
похожих на ранговые и не требующих равенства медиан; в § 5.3 по-
строен класс точечных оценок у, а в § 5.4 — класс свободных от
распределения доверительных интервалов для у. В § 5.5 мы рассмат-
риваем асимптотически свободный от распределения критерий для
гипотезы у=1, также не требующий равенства медиан.
Глава 6 «Однофакторные таблицы дисперсионного анализа». В этой
главе двухвыборочная задача из гл. 4 обобщается на случай k рабочих
совокупностей. Данные содержат по одной случайной выборке из каж-
дой генеральной совокупности. Исходная гипотеза Но состоит в отсут-
ствии различий в обработках, так что если Но верна, то k выборок
можно объединить и рассматривать как единую выборку из одной
популяции. В § 6.1 можно найти свободный от распределения критерий,
предназначенный для обнаружения альтернатив о существовании
сдвига; свободный от распределения критерий, предназначенный для
различения специальных альтернатив, представлен в § 6.2. В § 6.3
содержатся методы множественных сравнений. Они предназначены для
отыскания пар рабочих совокупностей, значимо отличающихся друг
от друга. В § 6.4 мы предлагаем точечные оценки для контрастов эф-
фектов обработок.
Глава 7 «Двухфакторная таблица дисперсионного анализа». В дан-
ной главе задача повторных парных наблюдений из одной выборки
обобщается на случай k обработок. Мы заменяем п пар из гл. 3 на п
блоков, причем каждый блок содержит по одному наблюдению па
каждую обработку. Исходная гипотеза Но говорит об отсутствии
эффектов обработок. В § 7.1 представлен свободный от распределения
22
критерий для Но, предназначенный для обнаружения альтернатив о
существовании сдвига, § 7.2 дает свободный от распределения крите-
рий Но, направленный против частных альтернатив с упорядоченны-
ми обработками. В § 7.3 излагаются методы множественных сравне-
ний, а § 7.4 посвящен оценкам контрастов.
Методы § 7.1—7.4 связаны с ранговыми суммами Фридмана, а
§ 7.5—7.8 аналогичны им, но связаны со знаковыми рангами Уилкок-
сона. В §7.5 дан асимптотически свободный от распределения критерий
для Но, предназначенный для обнаружения альтернатив о существова-
нии сдвига, в § 7.6 представлен асимптотически свободный от распре-
деления критерий для Но, предназначенный для обнаружения альтер-
натив с упорядоченностью. В § 7.7 — 7.8 рассматриваются методы
множественных сравнений и оценки контрастов соответственно.
Глава 8 «Задача о независимости». Здесь мы имеем дело со случай-
ной выборкой наблюдений (X, У) из двумерной совокупности. Гипо-
теза независимости утверждает, что случайные величины X и Y неза-
висимы. В § 8.1 представлен свободный от распределения ранговый
критерий для этой гипотезы; в § 8.2 мы найдем точечную оценку па-
раметрах, служащего мерой связи между X и Y, а в § 8.3 дан асимпто-
тически свободный от распределения доверительный интервал для т.
Глава 9 «Задача о регрессии и угле наклона». Эта глава посвящена ре-
шениям регрессионных задач для углов наклона одной и двух прямых.
В §9.1 мы обсуждаем свободный от распределения критерий равенства
углового коэффициента р (простейшей линейной регрессии) некото-
рому числу. В § 9.2 дана точечная оценка р, а в § 9.3 представлен сво-
бодный от распределения доверительный интервал для р. В § 9.4—9.6
рассматривается случай двух линий регрессии: в § 9.4 мы описываем
свободный от распределения критерий параллельности двух линий
регрессии (при обозначении рг для углового коэффициента i-й линии —
это критерий для гипотезы р2 = р2), в § 9.5 дается точечная оценка
Pi — р2, а в § 9.6 представлен свободный от распределения доверитель-
ный интервал для рх — р2.
Глава 10 «Критерии, сконструированные для широких альтерна-
тив». Эта глава содержит четыре метода проверки гипотез, каждый
из которых предназначен для широкой альтернативы к соответст-
вующей нулевой гипотезе. В § 10.1 мы описываем двухвыборочный
свободный от распределения критерий для гипотезы о том, что сово-
купности, скажем, Щ и П2, одинаковы, предназначенный для выявле-
ния любого возможного различия между ними. В § 10.2 дан свободный
от распределения критерий независимости, предназначенный для об-
наружения (почти) всех форм зависимости, которые могут существо-
вать между исходными случайными величинами X и Y из двумерной
совокупности. В § 10.3 также рассматривается двумерная совокуп-
ность. В этом параграфе свободная от распределения процедура
служит для проверки нулевой гипотезы о том, что X и Y взаимозаменяе-
мы. (Бывает полезно рассматривать X как некоторую переменную
«до обработки», Y — «после обработки», а нулевую гипотезу — как
утверждение, что эффект обработки отсутствует.) Описанный критерий
предназначен для выявления почти всех возможных отклонений от
23
взаимозаменяемости (перестановочности). В § 10.4 данные образуют
случайную выборку из совокупности сроков службы. Наблюдения
здесь всегда положительны, их удобно рассматривать как время
наработки до отказа (срок службы) партии изделий (механизмов,
систем) одного типа. Мы предлагаем свободный от распределения
критерий для гипотезы о том, что новые изделия не лучше и не хуже
старых, предназначенный для выделения всех тех альтернатив, для
которых новые изделия лучше старых.
Мы имеем целью дать основы непараметрических методов, которые
можно было бы объяснить и проиллюстрировать в 10-недельном ввод-
ном курсе. Классические задачи проверки согласия, включая критерий
о принадлежности совокупности к некоторому типу распределения,
относящиеся к непараметрической тематике, были опущены, одна из
причин этого та, что ни один из предлагаемых методов не требует
столь точного знания вида распределения рассматриваемой совокуп-
ности. (Монография [239] о распределении хи-квадрат включает
материал по критериям согласия и близким вопросам о таблицах со-
пряженности, в ией также содержится превосходная библиография*.)
Процедуры с нормальными метками упоминаются, но не описываются
в деталях. Увы, эти методы, несмотря на их превосходную эффектив-
ность, не так легко понять. Многомерные непараметрические методы
тоже превышают уровень элементарной книги. Заинтересованный чи-
татель отсылается к книге [307].
Непараметрический подход недавно был успешно использован в
области последовательного анализа. Но последовательные методы
лежат вне рамок этой книги. Читатель, интересующийся ими, отсыла-
ется к следующим работам по непараметрическим и последовательным
методам: [55], [56], [93], [94], [95], [119], [143], [144], [145], [154], [167],
[189], [265], [266], [267], [289], [337], [338], [359], [424], [448], [449],
[450], [451], [456], [457].
Для дополнительного чтения мы упомянем еще несколько элемен-
тарных книг по непараметрической статистике, ограничившись пуб-
ликациями, появившимися после 1960 г.: [442], [444], [445], [458],
[51], [232], [82]**. Среди учебников по непараметрической статистике
среднего уровня упомянем [279], [164], [148], [250]. Более продвинутые
книги — [165] и [307]. Указания на элементарность, средний и про-
двинутый уровень книг предназначены для читателя, они отражают на-
ше собственное субъективное мнение. Вот некоторые специальные кни-
ги, использующие непараметрический подход в той или иной степени и
представляющие интерес: [97], [98]***, [123], [263], [24], [239], [267]****.
* Материал о критериях согласия см. также в [477], [535], [512], [541];
о таблицах сопряженности см., например, [473], [498]. — Примеч. пер.
** Недавно вышло новое издание 1980 г. — Примеч. пер.
*** Есть 2-е английское издание 1981 г. — Примеч. пер.
**** За годы, прошедшие со времени сдачи в печать этой книги (июль 1972 г.),
появились некоторые важные публикации:
а) элементарные: [604], [585], [488], [541], [507, гл. 8];
б) среднего уровня: [562], [722];
в) по смежным вопросам вышло несколько интересных книг, среди которых
упомянем [605]. — Примеч. пер.
24
§ 1.3. ОРГАНИЗАЦИЯ И СТРУКТУРИРОВАНИЕ МАТЕРИАЛА
В каждой главе исходные данные, допущения и методы описаны в
точном соответствии со следующей структурой. «Данные» и «Допуще-
ния» определяются до обсуждения группы методов. Затем для каждого
метода мы излагаем (если требуется) следующие разделы: «Метод»,
«Приближение для большой выборки», «Связи», «Пример», «Коммен-
тарии», «Свойства», «Ссылки» и «Задачи». Сейчас мы расскажем о
целях каждого из этих разделов.
Метод. Этот раздел содержит подробную, шаг за шагом, инструк-
цию по применению обсуждаемого метода. Если нужна какая-нибудь
специальная таблица, вроде таблицы точного распределения при ну-
левой гипотезе для статистик критерия проверки этой гипотезы, то
читатель отсылается к соответствующей таблице приложения А, где
есть требуемые числа.
Приближение для большой выборки. Этот раздел содержит аппрок-
симацию метода, описанного в подразделе «Метод», которая предназ-
начена для применения в случае, когда объем выборки (или, быть
может, объемы выборок) велик. Важность такого приближения зави-
сит от конкретной ситуации. Если точные таблицы для данного метода
ограничены, то аппроксимация жизненно важна. И если объем выбор-
ки больше, чем объем в точных таблицах, мы все же можем принять
хоть какое-то решение, основываясь на приближении для большой
выборки. Даже если для метода есть обширные таблицы, приближение
для большой выборки может оказаться более удобным. Более того,
применяя это приближение при наличии точных таблиц и сравнивая
результат с точным, мы получаем информацию о точности приближе-
ния для тех объемов выборок, которые не охвачены точными таблицами.
Связи. Согласно общепринятому в развитии непараметрических
методов допущению совокупность (совокупности), из которой (ко-
торых) извлечена выборка (выборки), непрерывна (непрерывны). Из
этого следует, что вероятность получения связанных (одинаковых)
наблюдений равна нулю. Между тем на практике такие наблюдения
встречаются. Они могут появиться из-за нарушения непрерывности
соответствующих совокупностей. Но также могут возникнуть и при
выполнении допущения о непрерывности. Из-за неточности измерений
мы просто можем не различить два близких наблюдения (температуры,
длины и т. д.), извлеченные из непрерывной совокупности. Раздел
«Связи» содержит предписания по коррекции этапов в «Методе», необ-
ходимые для обработки совпадающих наблюдений. Такие скорректи-
рованные методы можно рассматривать как некие аппроксимации.
Пример. Этот раздел в нашем тексте — главный. Именно здесь
мы даем какую-то задачу, к которой применим обсуждаемый метод.
У читателя появляется набор данных, которые годятся для последо-
вательного применения шагов «Метода», он привыкает к обозначениям
и сам убеждается в возможности использования данного метода. В до-
полнение к этому пример обеспечивает первый шаг в развитии понима-
ния простоты (трудности) обработки и в интуитивном восприятии
воздействия метода на данные. Читатель-энтузиаст может попытаться
25
прочесть журнальную статью, из которой заимствован пример, чтобы
получить более детальное представление об опыте (в некоторых слу-
чаях паши описания опытов упрощались, но полное описание легко
восстанавливается) и ответить на вопрос о выполнении соответствую-
щих «Допущений» для нашего непараметрического метода.
Комментарии. Комментарии дополняют краткий текст. В них мы
можем обсуждать соответствующие допущения, давать интуитивное
обоснование рассматриваемого метода, соотносить метод с процедура-
ми из других частей книги, давать, наконец, какие-либо полезные со-
веты по вычислениям или обращать внимание на некоторые работы.
Свойства. Этот раздел является в первую очередь набором возмож-
ных ориентиров для читателя, желающего изучить теоретические
стороны предмета и, в частности, теорию рассматриваемых методов.
Сама теория не приводится, но даются ссылки на источники, где опи-
саны основные свойства и их следствия.
Ссылки. Список литературы в подразделе «Ссылки» не претен-
дует на полноту. Исходя из предполагаемого уровня книги в ссылках
мы не делали акцента на наиболее важные теоретические работы,
если в них не предлагаются новые методы, предпочитая сослаться
на те работы, где детально описаны конкурирующие процедуры. По-
лезными источниками дополнительных ссылок могут быть работы
[3351, [165], [1551*.
Задачи. Первая задача из этого раздела должна помочь вырабо-
тать навык применения введенных процедур. Умение правильно вы-
полнить все этапы весьма важно. Остальные задачи предназначены
для развития мышления. В типичной задаче мы просим читателя
найти или придумать пример, иллюстрирующий полезные или вред-
ные свойства обсуждаемых методов. Последняя задача в каждой главе
служит для проверки того, как усвоена терминология. Читателя здесь
просят дать определения нескольких наиболее важных терминов этой
главы. Он может найти эти определения в приложении Б.
Есть лишь несколько отклонений от этой схемы. Так, во многих
параграфах, посвященных оценкам и доверительным интервалам, нет
нужды в разделе «Связи», поскольку описанные там методы столь же
хорошо работают и при наличии совпадений. § 3.3 и 4.3 имеют дополни-
тельный раздел «Графический метод», где описаны графические методы
для получения доверительных интервалов, основанные на критерии
знаковых рангов Уилкоксона и на критерии ранговых сумм Уилкок-
соиа. В гл. 10, где свойства решаемых задач изменяются от параграфа
к параграфу, мы включаем разделы «Данные» и «Допущения» в каждый
параграф. В других главах раздел «Допущения» дан перед некоторыми
группами параграфов, содержащих методы, основанные на этих «До-
пущениях».
Надо сделать еще несколько замечаний относительно архитек-
тоники этой книги. Как сравнить представленные непараметрические
* Другими источниками библиографии могут служить [562], [307], [671],
[756], [722], [630], [548]. В дополнении к этой книге дан некоторый список лите-
ратуры, появившейся после ее завершения. — Примеч. пер.
26
методы с их классическими соперниками, основанными на предположе-
нии о нормальности генеральных совокупностей? Ответ зависит от
конкретных рассматриваемых задач и методов. В тех случаях, когда
это возможно, частичный ответ на этот вопрос дан в параграфе об эф-
фективности в конце каждой главы.
Мы уже упоминали приложения к книге, играющие важную роль.
Приложение А содержит необходимые для предлагаемых непараметри-
ческих методов таблицы*. Номер соответствующей таблицы указыва-
ется в разделе «Метод», где он описан. Приложение Б содержит глос-
сарий. Мы объясняем некоторые обозначения, часто встречающиеся в
тексте, и определяем термины и понятия, возможно, неизвестные чи-
тателю, прослушавшему лишь вводный элементарный курс. Мы вы-
несли такие определения в приложение для того, чтобы сохранить
прикладную направленность книги. Там, где это возможно, мы вклю-
чаем, помимо определений понятий, примеры их использования.
* Для получения точных и приближенных распределений, описанных
в книге, могут пригодиться следующие сборники таблиц: [477], [286], [577],
[698], [780], [684]. — Примеч. пер.
27
оо Таблица 1.1. Путеводитель для нахождения соответствующей
непараметрической процедуры
Тема или задача Данные Процедура (в скобках — номер параграфа книги) В этом параграфе предлагается
Биномиальная Исходы независимых иий Бернулли испыта- Биномиальный критерий (2.1) Биномиальная оценка (2.2) Доверительный интервал Клоппе- ра — Пирсона (2.3) Проверка гипотезы относительно р — неизвестной вероятности ус- пеха Оценка р Доверительный интервал для р
Одновыборочная о положении (сдвиге) распре- деления Парные повторные наблюдения (Х1г У,) (к, Уп) Одна выборка, Zb Zn (на- блюдения Z возможно, но не обязательно, имеют вид Z= = У — X) Критерий знаковых рангов Уил- коксона (3.1) Критерий знаков Фишера (3.4) Одновыборочная оценка Ходже- са — Лемана (3.2) Медианная оценка (3.5) Доверительный интервал Тьюки (3.3) Доверительные интервалы Томп- сона, Савара (3.5) Процедуры, основанные на знако- вых рангах (3.7) Процедуры, основанные на знаках (3-8) Критерий Гупты (3.9) Проверка гипотезы об эффекте обработки 0, где 0—неизвестная медиана У — X Оценка 0 Доверительный интервал для 0 Критерий, оценка и доверитель- ный интервал для 0—неизвестной медианы Z Критерий для проверки гипотезы о симметрии совокупности Z от- носительно 0
Двухвыборочная о положении (сдвиге) распре- деления Две выборки Хъ ...» X .... Уп т И У, Критерий сумм рангов Уилкоксо- на (4.1) Двухвыборочная оценка Ходже- са — Лемана (4.2) Доверительный интервал Мозеса (4.3) Критерий для проверки гипотезы о том, что выборки X и У извле- чены из одной совокупности, про- тив альтернативы о том, что со- вокупность У сдвинута на величи- ну Д (разности медиан совокуп- ностей У и X) Формула для оценки Д Доверительный интервал для Д
Двухвыборочная о рассеянии (мас- штабе) распреде- ления Две выборки Xi Хт, Zj, Критерий Ансари — Брэдли (5.1) Критерий рангового типа Мозеса (5.2) Критерий «складного ножа» Мил- лера (5.5)
Yn
Однофакторный N наблюдений Оценка Шорака (5.3) Доверительный интервал Шорака критерий Краскела — Уоллиса
дисперсионный Ху, где Хгу=ц+ту+ец, (6.1)
анализ (k выбо- рок) 1 = 1, . ,, Пу, j— 1 k, П, Критерий Джонкхиера (6.2)
Множественные сравнения всех
обработок (6.3А)
Множественные сравнения обра-
боток с контролем (6.3Б)
Двухфакториый n-k наблюдений Ху, где Оценка контраста Спётволля (6.4) Критерий Фридмана (7.1)
дисперсионный анализ (случай- ные блоки) = Н+Pi+ту+еу, 1= 1, ..., п,/=1 k Критерий Доксама (7.5)
Критерий для проверки гипотезы
о том, что выборки X и У извле-
чены из одной и той же совокуп-
ности, против альтернативы об от-
личии неизвестного квадрата от-
ношения параметров масштаба
ya=(<j®/<j*) от 1
Оценка для у2
Доверительный интервал для у2
Критерий для провеки гипотезы
о том, что k выборок извлечены
из одной и той же совокупности
(T1=T2=...=Tfe), против аль-
тернатив сдвига, согласно кото-
рым т (эффекты обработок) не
все равны между собой
Критерий для проверки гипотезы
о том, что k выборок из одной н
той же совокупности против аль-
тернатив с упорядочением
... CTft
Методы множественных сравне-
ний по выбору тех пар эффектов
обработки (ти, для которых
Метод множественных сравнений
для выбора тех обработок, эффек-
ты ту, j = 2, .... k которых тако-
вы, что ту #= тх (здесь ti соот-
ветствует контролю)
Оценка контраста от Ti... тл
Критерий для проверки гипотезы
Т1=...=тл против альтернатив
сдвига, для которых не все Ti, ...,
тл равны между собой
to
«5
Продолжение табл.
Тема нлн задача Данные Процедура (в скобках — номер параграфа книги) В этом параграфе предлагается
Независимость Регрессия: одна линия рег- рессии две линии регрес- сии Двумерные наблюдения (Хь Г1) (%п, Гп) Наблюдения У} в фиксирован- ных точках xt, i= 1, .. , п, где Уг = а+₽хг4-ег Наблюдения Y*j в фиксирован- ных точках х*, i = l,2, /=1, N*, где y'J = at4-₽tX/} + +еи Критерий Пейджа (7.2) Критерий Холлендера (7.6) Множественные сравнения: основанные на ранговых суммах Фридмана всех обработок (7.3А); основанные на знаковых рангах Унлкоксона (7.7А) Сравнения обработок с контро- лем: основанные на ранговых суммах Фридмана (7.3Б); основанные на знаковых рангах Унлкоксона (7.7Б) Оценка контраста Доксама (7.4) Оценка контраста Лемана (7.8) Критерий Кендэла (8.1) Оценка, связанная со статистикой Кендэла (8.2) Доверительный интервал Нётера (8.3) Критерий Тейла (9.1) Оценка Тейла (9.2) Доверительный интервал Тейла (9.3) Критерий Холлендера (9.4) Оценка, связанная со статистикой Холлендера (9.5) Критерий для гипотезы Ti=...= =тл против альтернативы с упо- рядочением Методы множественных сравне- ний для выбора тех пар обрабо- ток (ти, т0 ), для которых Тц^То Методы множественных сравне- ний для выбора той обработки, эффект Xj, j = 2,...,k,которой та- ков, что Xj =# Tj (здесь Ti соот- ветствует контрольной обработке) Оценка контраста от Ti Критерий для гипотезы о незави- симости случайных величин X и У Оценка параметра т=2 Р {(Xi— -Х2)(У1-У2)>6}-1 Доверительный интервал для т Критерий для проверки гипотезы об угле наклона линии регрессии ₽ Оценка для 0 Доверительный интервал для р Критерий для проверки гипотезы ₽1 = ₽2, т. е. о параллельности ли- ний регрессии Оценка flj — /32
1 Критерии для ши- роких альтерна- тив: двухвыборочные Две выборки Xi, ..., Хщ> Ух> ...» Yn Доверительный интервал, осно- ванный на критерии Холлендера (9.6) Критерий Колмогорова — Смир- нова (10.1) Доверительный интервал для Pi — ₽2 Критерий для проверки однород- ности двух выборок против широ- ких альтернатив о том, что сово- купности различны
Независимость Двумерные наблюдения ,(%1. /1) (Xn, Yn) Критерий Хёфдиига (10.2) Критерий для проверки гипотезы о независимости случайных вели- чин X и У против широких аль- тернатив зависимости
Взаимозаменяе- мость Двумерные наблюдения (Хх, Гх) (Xn> Yn) Критерий Холлендера (10.3) Критерий проверки гипотезы о том, что случайные величины взаимозаменяемы, против широ- ких альтернатив о том, что это не так
«Новое лучше старого» Одна выборка Zlt .Zn, где Zj—сроки службы, 1 = 1 п (Р {Zj>0)=1) Критерий Холлендера — Проша- на (10.4) Критерий для проверки гипотезы о том, что стандартные образцы изделий не лучше и не хуже, чем новые (совокупность Z — экспо- ненциальная), против широких альтернатив о том, что новые об- разцы лучше, чем (или хуже, чем) стандартные
ГЛАВА ЗАДАЧА
2 О ДИХОТОМИЧЕСКИХ
ДАННЫХ
Данные этой главы состоят из дихотомических (двоичных) исходов
независимых повторных испытаний Бернулли с постоянной вероят-
ностью успеха р. Мы хотим делать выводы относительно параметра р,
основываясь на этих исходах.
В §2.1 дан биномиальный критерий для гипотезы/? = р0, когда
р0 — заданное число; в § 2.2 дается точечная оценка, а в § 2.3 — класс
доверительных интервалов для р.
Данные. Мы наблюдаем исходы в п независимых повторных
испытаниях Бернулли.
Допущения
А1. Исход каждого испытания можно отнести либо к «успехам»,
либо к «неудачам».
А2. Вероятность успеха, обозначаемая р, не меняется от испытания
к испытанию.
АЗ. Все п испытаний независимы.
§ 2.1. БИНОМИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ
Метод. Проверить
До: Р = Ро, 0)
где р0 некоторое заданное число, 0 < р0 < 1.
1. Положим
В = (число успехов). (2)
2. Для одностороннего критерия Но (1) против альтернативы
р > р0 на уровне значимости а
отвергнуть Но, если В Ь,
принять Но, если В < Ь,
(3)
38
где постоянная b — верхняя a-процентная точка* биномиального
распределения при объеме выборки п и р = р0. Мы часто используем
более сложное обозначение b (а, п, р0) вместо Ь, указывая тем самым
на зависимость b от вероятности ошибки I рода а, объема выборки п
и гипотетической вероятности успеха р0. Значения b (а, п, р0) даны
в табл. А.2 (см. также комментарий 2.3).
Для одностороннего критерия HQ (1) против альтернативы р < р0
на уровне значимости а
отвергнуть Но, если В с, (4)
принять Нй, если В > с,
где с — нижняя а-процентная точка биномиального распределения
при объеме выборки п и р = р0 (см. комментарий 2.3 и табл. А.2).
Для двустороннего критерия HQ (1) против альтернативы р =/= р0
на уровне значимости а
отвергнуть Но, если В b или В с, (5)
принять Но, если с < В < Ь,
где Ь —верхняя а^процентная точка; с — нижняя а2-процентная точ-
ка; ах + а2 = а (см. комментарий 2.3 и табл. А.2).
Приближение для большой выборки **. Определяем
В* = _---------------------------- (6)
где ЕРо(В)=про—это среднее В при р = р0, a varPo(B) = пр0 (1 — р0) —
дисперсия В при р — р0. Если HQ верна, статистика В* имеет асим-
птотическое (п->оо) распределение N (0, 1).
Приближение нормальной теории для (3) дает:
отвергнуть Но, если В* > Z(a), (7)
принять Но, если В* < Z(a),
где Z(a) — верхняя a-процентная точка распределения N (0, 1). Зна-
чение 2(й) можно взять из табл. А.1.
* Несмотря па то что В есть a-процентная точка, она часто записывается
не в процентах (5%), а в виде десятичной дроби (0.05). При этом нуль перед
точкой обычно опускается и мы пишем .05. Здесь и далее точки отделяют целую
часть от дробной, а запятые означают тысячи, как это принято в англоязычной
литературе. — Примеч. пер.
** Более точное приближение см. в сноске к задаче 4 в конце этого параграфа.
В формуле (6) при пр0 (I — р0) > 9 желательно делать поправку на непрерыв-
ность: В* - (В — про + 2 ) х tnPo (1 — Ро)]'/2 (см-. например, [479, с. 128—
130]). — Примеч. пер.
33
Пример 2.1. В контроле качества и его оценивании часто проводят-
ся испытания порога чувствительности. Тройной тест (ср. [53]) как раз
и есть одно из таких испытаний, позволяющее нам с пользой применить
биномиальную модель*. В простейшем виде тройной тест сводится к
следующему. Каждому из п участников испытания предъявляют в слу-
чайном порядке три проверяемых образца. Известно, что два из них оди-
наковы, а третий — иной. Респонденту предлагают выбрать непарный
(отличающийся) образец, быть может, основываясь иа способности к
определенному ощущению. Если опрашиваемые образуют однородную
обученную группу экспертов, то опыт можно рассматривать как п не-
зависимых повторных испытаний Бернулли, где успех соответствует
правильному определению непарной выборки. (Если же респонденты не
образуют однородную обученную группу экспертов, то возникает во-
прос о выполнении допущения А2.) В предположении, что основания
для различения отсутствуют, вероятность успеха равна 1/3; если же
основания для различения есть, то эта вероятность превысит 1/3.
В работе [64] рассмотрен тройной тест на горькость, в котором каж-
дому дегустатору давали три стакана, в двух из которых был один и
тот же водный раствор соли хинина, а третий содержал раствор дру-
гой концентрации. В первом из тестов растворы имели концентрации
0.0075% и 0.0050% по сульфату хинина (сернокислому хинину) соот-
ветственно. Шесть порядков представления LHH, HLH, HHL, HLL,
LHL, LLH (L означает низкую, Н — высокую концентрации) случай-
ным образом распределялись среди дегустаторов. Было выполнено 50
испытаний, из них 25 закончились правильным и 25 неправильным
выбором.
Мы применим биномиальный критерий для гипотезы Но: р = 4-
и
против односторонней альтернативы и используем приближение
для большой выборки (3). Возьмем а = .05. Из табл. А.1 мы находим
г(о.О5) = 1-645, и (7) при уровне а = .05 сводится к
отвергнуть Но, если В* 1.645,
принять 77О, если В* < 1.645.
Из наблюдений мы имеем п — 50 и В (число верных определений не
парного стакана) = 25. Тогда из (6) при р0 = 1/3 получаем
25-50 (-Ц
В* =----------= 2.50.
f / 1 W 2 \)1/2
]50 — НгИ
I \ з /\ з )1
Поскольку В* = 2.50 > 1.645, мы отвергаем Но: р — у в пользу
примерно на уровне а = .05. Можно полагать, что способность
О
* Тройной тест (triangle test) описан, например, в книге [97]. — Примеч. пер-
34
дегустаторов различать горькость превышает порог чувствительности.
(Из табл. А.1 мы видим, что zl0,0WZ) = 2.50. Следовательно, наимень-
ший уровень значимости, на котором мы отвергаем Но в пользу р>~,
равен .0062. Выяснение наименьшего уровня значимости, на котором
можно отвергнуть гипотезу, тоже дает некоторую информацию. См. ком-
ментарий 2.8.)
Комментарии
2.1. Допущения А1—АЗ — это обычные предположения для бино-
миального опыта. Практические задачи позволяют считать такие до-
пущения достаточно общими, процедуры биномиального критерия
встречаются часто. Особенно важен частный случай применения про-
цедур (3)—(5) для проверки гипотезы о неизвестной медиане 0 совокуп-
ности. Приложение биномиальной теории к этой задаче дает статисти-
ку В, подсчитывающую число наблюдений в выборке, превышающих
некоторое значение 0 при нулевой гипотезе, скажем, 0О- В этом случае
статистика В называется знаковой статистикой, а соответствующий ей
метод — методом критерия знаков. Более подробное обсуждение про-
цедуры критерия знаков, отвечающей (3), (4) и (5), см. в § 3.4 и 3.8.
2.2. Критическое значение b для выражения (3) выбирается так,
чтобы вероятность отвергнуть гипотезу Но (1), когда она верна, была
равна а. Мы можем управлять величиной ошибки I рода, так как допу-
щения А1—АЗ при заданном р (нулевая гипотеза приравнивает р к р0)
определяют распределение В сами по себе без всяких дополнительных
допущений относительно рассматриваемых совокупностей, из которых
извлечены дихотомические данные. Таким образом, при допущениях
А1—АЗ про критерий (3) говорят, что это свободный от распределения
критерий для гипотезы Но. То же справедливо и для критериев (4) и
(5).
2.3. Пусть п = 8 и мы хотим проверить Но: р = 0.4 против
р > 0.4 с помощью процедуры (3). Из табл. А.2 мы находим:
ь 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Р.< {В>Ь} 1 .9832 .8936 .6846 .4059 .1737 .0498 .0085 .0007
(Запись Рл указывает на вычисление вероятностей при условии
.4.) Из этих данных видно, что лишь для некоторых а мы можем
найти постоянные b (а, 8, .4), удовлетворяющие уравнению Рл {В
b (а, 8, .4)} — а. Для а = .0085, b (.0085,8, .4) = 7. Для а — .0498
соответственно b (.0498,8, .4) = 6. С ростом а критические значения
b (а, 8, .4) убывают. Чем больше а, тем легче отклонить Но, следова-
тельно, мы увеличиваем мощность, или, что эквивалентно, уменьшаем
вероятность ошибки II рода для нашего критерия (против данной аль-
тернативы). Наоборот, если мы уменьшаем а, то вероятность ошибки
II рода увеличивается. Этот факт поясняется в комментарии 2.9.
35
Вернемся к случаю п = 8 и предположим, что мы хотим проверить
р = .4 против альтернативы р < .4. Мы можем взять критерий для ниж-
него «хвоста» распределения, соответствующий (4). Пусть, например,
а = .1064. Из табл. А.2 находим Р.4 {6^2} — .8936. Таким образом,
Р.4 {В 1} — 1 — .8936 = .1064. Полагая с — 1 в (4), получим кри-
терий с а — .1064, а именно: отклоняем Но, если В 1, и принима-
ем Но, если В > 1.
Закончим этот комментарий примером двустороннего критерия,
представленного в (5). Для удобства остановимся на случае п — 8
и критерии Но: р = .4. Поскольку ft = 6 есть верхняя .0498-процент-
ная точка распределения В при нулевой гипотезе, а с = 1 — нижняя
.1064-процентная точка, критерий отвергает Но при В 6 или
В 1 и принимает Но при 1 < В < 6 на уровне а = .0498 + .1064 =
= .1562 для двустороннего критерия.
2.4. Статистика В была определена как число успехов в п повтор-
ных испытаниях Бернулли, имеющих в каждом испытании вероят-
ность успеха р. Распределение случайной величины В известно под
названием биномиального распределения с параметрами пир.
В частном случае р = можно показать, что распределение В
симметрично относительно его среднего п/2. Отсюда следует, что
Л5{В>х} = Р.5{В^(п-х)}, (8)
х = 0, ..., п.
В силу равенства (8) для биномиального распределения с р = .5 ниж-
няя a-процентная точка равна п минус верхняя a-процентная точка.
2.5. Статистика Bln служит оценкой (см. 2.2)* истинного неизвест-
ного параметра р. Так, если р > рй, то Bln стремится к некоторому
пределу, большему, чем рй. Этот результат приводит к отбрасыванию
Но : р = ро в пользу р> рй при больших значениях В и служит ча-
стичным оправданием (3).
2.6. Распределение В для нулевой гипотезы можно получить из
равенства
п
(9)
/=1
где
_ f 1, если i-e испытание Бернулли закончилось успехом,
~ [ о, если i-e испытание закончилось неудачей.
Мы рассмотрим 2" возможных наборов (1рЛ фп) и используем тот факт,
что при выполнении Но (1) любой исход с b единицами и (п — 6)
нулями имеет вероятность рь (1 — р0)п~ь. Так, для п = 2, р0 = j
ниже представлены 22 — 4 возможных набора (фх, ф2) и соответствую-
щие им значения В:
* Так обозначаются ссылки на главу и параграф (гл. 2, §2). — Примеч. ред.
36
(4>1. ч>2) Р-,1 {О1>1.
(0, 0) / 1 \0 / 3 у-о 9 (“J t 4 / = 16 0
(0, 1) /_1_у /з_У-1 з 1 4 / \ 4 / “16 1
(1. 0) \ 4 / 4 / “16 1
(1.1) / 1 у / 3 у-2 1 \ 4 / 1 4 / = 16 2
Тогда, к примеру, Р.25 {В > 1} = Р,25 {В = 1} + Р,25 {В = 2} =
= (4) + . (Сравните со значением Р,25 для р = .25, п — 2,
b = 1 в табл. А.2.)
2.7. Методом, подобным тому, что для частного случая дан в ком-
ментарии 2.6, можно показать, что для всех п + 1 возможных исходов
В (именно Ь = 0, ..., п) мы имеем при р — р0:
Р{В = Ь} = Г )^(1-Ро)"-ь. (10)
/
В (10) символ Q) (читается: «число сочетаний из п по to) есть
п!
6! (п-by. ’
(Н)
где обозначение т\ (читается: т факториал) для положительных це-
лых равно tn\ — т (т — 1) (т — 2) • • -(3) (2) (1), а 0! = 1 по оп-
1п\
ределению. Величина L I известна как число сочетаний из п предметов,
взятых по Ь штук. Оно равно числу подмножеств объема (мощности) Ь
множества объема п.
2.8. Несколько информативнее установить наименьший уровень
значимости, на котором можно отвергнуть гипотезу при имеющихся
данных, а не назначать уровень а и сообщать, что критерий отвергает
ее на этом уровне. Рассмотрим критерий (скажем, 7\) уровня а — .0085
и критерий (пусть TJ) уровня а = .0498 для гипотезы Но : р = .4
против альтернативы р >• .4 для п = 8. Предположим, что в реальном
эксперименте значение В оказалось равным 7. Тогда, пользуясь кри-
терием Т2, мы отвергаем Но, так как критическая область для крите-
рия Т2 включает {В = 6, В = 7, В = 8} и наблюдаемое значение при-
надлежит ей. Таким образом, верно утверждение о значимости величи-
ны В = 7 на уровне а = .0498. Однако та же величина В =7 значима
и на уровне а = .0085. Если просто утверждается, что мы отклоняем
37
Но на уровне .0498, то мы не сообщаем дополнительную информацию
о том, что при В = 7 мы также отвергаем Нй на уровне .0085. Для ис-
правления этого недостатка предлагается следующий прием.
Пусть, как и в предыдущем Примере, большие значения некоторой
статистики, обозначенной, скажем, S, приводят к отклонению нуле-
вой гипотезы. Обозначим через s наблюденное значение S. Вычислим
Ро {<$ s}, т. е. вероятность того, что при нулевой гипотезе S будет
равно или больше s. Эта вероятность есть наименьший уровень, на
котором мы можем отклонить Н9. Наблюдаемое значение S = s будет
значимо на всех уровнях, больших или равных Р9 {S s}, и не зна-
чимо на всех уровнях, меньших, чем Ро {S s}.
Для иллюстрации этого подхода рассмотрим критерий для гипоте-
зы Р = у против альтернативы из примера 2.1. Возьмем проце-
дуру (7). основанную на аппроксимации распределения В при нуль-
гипотезе для большой выборки. При (приближенном) значении
а = .05 критерий отклоняет 7/0, если В 1.645, и принимает ее в
противном случае. Поскольку наблюдаемое значение равно В* = 2.50,
мы можем отвергнуть р — у в пользу р > на уровне а = .05. Однако
из табл. А.1 видно, что z(.oo62) = 2.50. Таким образом, наименьший
уровень значимости, на котором возможно отклонение гипотезы, при-
ближенно равен .0062, и это утверждение более информативно, чем
утверждение об отклонении Но на уровне .05.
2.9. Положим п = 8 и рассмотрим следующие два критерия для
гипотезы Нй: р = .4 против р>.4, основанные на (3). Критерий
Tlt соответствующий а = .0085, отвергает Но, если В 7, принимая
ее в противном случае. Критерий Тг, соответствующий а = .0498,
отвергает Нй, если В 6, принимая ее в противном случае. Пусть на
самом деле верна альтернативная гипотеза р = .5. Обозначим через
Pi мощность критерия Tj (для упомянутой альтернативы), а Т?2 —
мощность критерия Т2. Тогда (Т?2) — вероятность отвергнуть Но
с помощью критерия Т1 (Т2), когда верна альтернатива р = .5. За-
глянув в табл. А.2 при р = .5, мы находим
Pi = Р.ь {В > 7} = .0352,
Яа = Р,5 {В >6} = .1445.
Обозначив Рл (Ра) вероятность ошибки II рода для критерия Тг (Т2)
при альтернативе р = .5, мы получаем
рл = 1 _ р1 = .9648, ра = 1 — R2 = .8555.
Вероятность ошибки I рода у критерия Тг меньше, чем у критерия Т2,
зато вероятность ошибки II рода у критерия Л больше, чем у Та.
В данном случае значения рл и р2 очень велики, что не должно удив-
лять читателя. Дело в том, что альтернатива р = .5 очень близка к
значению вероятности при нулевой гипотезе р = .4 и объема выборки
п = 8 просто недостаточно для того, чтобы лучше (в смысле мощности)
различить гипотезу и альтернативу.
38
2.10. Определим В~ как число неудач в п испытаниях Бернулли.
Заметим, что В~ можно определить так же, как в (9), заменив на
1 —гр/ при t = l, ...» п. Методы проверки гипотез, основанные на В~,
будут эквивалентны методам (3)—(5), поскольку В~ = п — В.
Свойства. Состоятельность: методы с критериями (3), (4) и (5) со-
стоятельны против альтернатив, для которых р > р0, р < р0 и р р0
соответственно.
Ссылки. Биномиальное распределение было использовано для
статистических выводов относительно двоичных данных более чем
250 лет тому назад. Биномиальные вычисления применялись британ-
ским врачом Арбетнотом [12] в начале восемнадцатого столетия как
аргумент в защиту равновесия полов, поддерживаемого «божественным
провидением», и против практики полигамии*. Испытания Бернулли
получили свое название в честь Якоба Бернулли (Jacques Bernulli).
Его книга «Искусство предположений» [30] содержит глубокое ис-
следование таких испытаний и рассматривается в истории как крае-
угольный камень теории вероятностей**. Ле Кам и Нейман [241] со-
общают, что оригинальное латинское издание несколько раз перево-
дилось иа некоторые современные языки, последнее из немецких пере-
изданий появилось в Германии в 1899 г. в 107 и 108 выпусках серии
«Ostwald’s Klassiker der exakten Wissenschaften», Wilhelm Engelman,
Leipzig. Сегодня биномиальные методы остаются одними из простейших
и распространеннейших среди всех статистических методов***.
Задачи
2.1. В работе [384] исследовалась проблема условного досрочного освобож-
дения уголовников. Изучалось поведение всех уголовников-мужчин, впервые
условно освобожденных под специальный надзор из тюрем Нью-Йорка в 1958—
1959 гг. (исключая тех, кто был освобожден по другим судебным распоряжениям
или сослан). Все освобожденные находились под наблюдением 3 года после ос-
вобождения, если какое-либо правонарушение не прекращало действие освобож-
дения раньше. В этом исследовании, где фигурировало очень много осужденных,
Стэнтон рассматривал преступников, признанных виновными в иных преступле-
ниях, чем убийство без смягчающих вину обстоятельств или с таковыми. Он об-
наружил, что около 60% всех освобожденных не совершают каких-либо правона-
рушений в течение трех лет после освобождения.
* Джон Арбетнот (1667—1735), шотландец, врач английской королевы,
-активный участник общественно-политической жизни своего времени. Друг
Дж. Свифта, А. Попа, Честерфилда, автор сатирических книг, кроме того, опуб-
ликовал ряд работ по медицине и статистике. Обследовал церковные книги за
80 лет, подсчитывая число рождений мальчиков и девочек. В результате пришел
к выводу о том, что известный феномен более частого рождения мальчиков не
может быть случайностью, но обусловлен «божественным провидением», что, од-
нако, отнюдь не нарушает принципа моногамии. — Примеч. ред.
** Якоб (1) Бернулли (1654—1705) — одни из представителей знаменитой
швейцарской семьи, давшей миру несколько поколений ученых и общественных
деятелен, работавших и в России. Упомянутая работа издана посмертно, частич-
но переведена на русский язык (см. [30]). В [508] содержится довольно полный
обзор этого сочинения. — Примеч. ред.
*** Подробнее о свойствах биномиального распределения см., например,
[477, с. 104—110], [286, § 9.5, 9.6] и др. Более подробные, чем в данной книге,
таблицы см. в [769] и особенно в [537]. — Примеч. пер.
39
Стэитои обнаружил также, что в течение тех же трех лет 56 из 65 освобож-
денных досрочно на поруки убийц (как имевших, так и не имевших смягчающих
обстоятельств и тоже освобожденных условно досрочно впервые) также не со-
вершали каких-либо правонарушений, приостанавливающих условное освобож-
дение. Будем считать, что отсутствие правонарушений у мужчин-убийц, нахо-
дящихся в течение трех лет под надзором, — это «успех» в испытаниях Бернулли.
Заметим, что при такой постановке задачи можно усомниться в выполнении до-
пущения 2 — освобожденные иа поруки после убийства без смягчающих вину
обстоятельств и те, кто совершил убийство со смягчающими обстоятельствами,
могут иметь разные вероятности успеха. Даже внутри этих групп лиц вероятно-
сти успеха могут быть разными. Для учебных целей будем, однако, считать, что
допущение 2 выполняется и вероятность успеха равна р.
Интересно исследовать, больше ли риск условно-досрочиого освобождения
убийц, чем преступников, совершивших меиее тяжкие преступления. Для ответа
иа этот вопрос проверьте гипотезу Но : р = .6 против альтернативы р > .6.
Воспользуйтесь критерием с аппроксимацией для большой выборки (3).
2.2. Опишите ситуацию, в которой допущения А1 и А2 выполняются,
а АЗ — нет.
2.3. Опишите ситуацию, в которой допущения А1 и АЗ выполняются,
а А2 — нет.
2.4. Пусть в 10 испытаниях Бернулли, удовлетворяющих допущениям
А1 — АЗ, наблюдалось 8 «успехов». Исследуйте точность приближения для
большой выборки, сравнивая наименьшие уровни значимости, иа которых от-
клоняется Но : р = -L в пользу р > -L для метода (3) и его аппроксимации (7)*.
§ 2.2. ОЦЕНКА ВЕРОЯТНОСТИ УСПЕХА
Метод. Оценка вероятности успеха р, связанная со статистикой
В (2), равна:
Пример 2.2. Рассмотрим тройной тест для данных примера 2.1. По-
лучаем р = В/п = 25/50 = .5. Таким образом, точечная оценка ве-
роятности распознавания непарной выборки равна р — .5.
Комментарии
2.11. Статистика р — это просто наблюдаемая относительная ча-
стота успехов в п испытаниях Бернулли, удовлетворяющих допуще-
ниям А1—АЗ. Таким образом р оказывается естественной оценкой
р—вероятности успеха в единичном испытании Бернулли.
2.12. Величина [р (1 —-р)пр/2 дает состоятельную оценку стан-
дартного отклонения точечной оценки р.
* Предлагаемое авторами сопоставление точностей показывает, что ап-
проксимация в данном случае довольно груба. Так, для п = 25 (это наибольшее
число, при котором еще применимы формула (3) и табл. А.2) получается относи-
тельная ошибка приближения порядка 35%. Следовательно, надо искать улуч-
шенную аппроксимацию. Ее вариант предложил Молеиар [692 (1)]. (См. также
[479, § 3.3, формула 3.2 и § 7.2)].) Применение такого приближения снижает от-
носительную ошибку до величины порядка 15%.
Для 25 < п < 1000 методы (3), (4) и (5) вполне приемлемы в сочетании с таб-
лицами [769(1)], где п = 1 (1) 50 (2) 100 (10) 200 (20) 500 (50) 1000 (в скобках —
шаг). Годятся еще таблицы [537] и [769 (2)]. Если же все эти источники недо-
ступны, то остаются аппроксимации Моленара, см. также [602]. —Примеч. пер.
40
2.13. Оценка р, полученная из теории статистических решений
Ходжесом и Леманом [178] (признающими приоритет Рубина (Н. Ru-
bin)), равна*:”/? = lft1/2p+^j]/[l + п1/2], где p определено в (12). Ес-
ли параметр р не равен , относительная асимптотическая эффектив-
ность р по отношению к р больше 1. Однако при р — относительная
асимптотическая эффективность р по отношению к р равна 1 и для вы-
бора лучшей оценки нужно дальнейшее рассмотрение (см. [183]).
Свойства
1. Стандартное отклонение р-. см. комментарий 2.12.
2. Асимптотическая нормальность: см. [128, р. 192—196]**.
Ссылки. Другие методы для оценивания р предложены в [178]
(см. также [47] и комментарий 2.13), [375], где учтено наличие априор-
ной информации о р. В работах [150], [421] для получения оценок р
применяется теория информации. Другие методы оценки р можно найти
в описательной работе [72]. Ходжес и Леман [183] исследовали асимпто-
тическую относительную эффективность р по отношению к оценке р
из комментария 2.13.
Задачи
2.5. Оцените рдля данных об условно-досрочном освобождении из задачи 2.1.
2.6. Оцените стандартное отклонение оценки (см. комментарий 2.12), вы-
численной в задаче 2.5.
§ 2.3. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ ВЕРОЯТНОСТИ УСПЕХА
(КЛОППЕР — ПИРСОН)
Метод. При построении двустороннего доверительного интервала
для р с коэффициентом доверия не менее 1 — а следует:
1) из табл. А.З найти значения р (а) и pv (а);
2) тогда 1 — а-доверительный интервал для р будет (р L (а),
Ри(а)) и
рр {Pl («)<Р<Ри (а)}> 1 — а. (13)
Приближения для большой выборки. Для достаточно большого п
величины р L (а) и р v (а) можно приблизить следующим образом:
Рг.(а)а?р—z(e/2)
7d-7) Т/2
п
Ри(а) »p+z(a/2)
р(1—р)
п
(14)
(15)
где р дано формулой (12).
* Оценка р является минимаксной. См. о ней и о некоторых других допусти-
мых оценках р в [531 разд. 5в, с. 286]. - Примеч. ред.
Или [484, § 13]. _ Примеч. пер.
41
Пример 2.3. Рассмотрим данные тройного теста из примера 2.1,
Из табл. А.1 Z(.o.25) = 1-96. Отсюда и из (14) и (15) получаем
Таким образом, приближенный 95%-ный доверительный интервал для
р есть (.36, .64).
Комментарии
2.14. Заметим, что р есть средняя точка приближенного доверитель-
ного интервала для р, определенного в (14) и (15). Однако в общем слу-
чае для интервалов из табл. А.З, вообще говоря, это не верно.
2.15. Клоппер и Пирсон [731 предложили графический способ по-
строения доверительных интервалов, данных в табл. А.З.
2.16. В этом комментарии мы обозначим pL (а) через р“ (п, В),
а ри (а) — через ри (п, В), указывая тем самым на их зависимость от
п. и В. Можно показать, что доверительные границы, данные в табл. А.З,
удовлетворяют соотношениям
В+(П—В + 1)/я/2, 2 (п —В+1). 2В
и
Ри (п, В) = 1 — р* (п, п — В),
где В — число успехов в п испытаниях Бернулли; fv, п„ п, — верхний
у-процентиль F-распределения с пг степенями свободы для числителя
и п2 степенями свободы для знаменателя*.
Свойства. Для испытаний Бернулли, удовлетворяющих допуще-
ниям А1—АЗ, верно (13). Таким образом, для широкого класса экспе-
риментальных ситуаций (р l (а), р и (а)) — доверительный интервал
для р с коэффициентом доверия не менее 1 — а.
Ссылки. Методы получения доверительных интервалов, приве-
денных в табл. А.З, как численные, таки графические**, были предло-
жены в работе [73]. В работе [87] предложена модификация этой схемы.
Другие конкуренты процедуры Клоппера—Пирсона разработаны в ста-
* Свойства F-распределения и таблицы см. в [477, табл. 3.3, 3.5]; [286,
разд. 4]. Более подробное свойство этого и других распределений см. во втором
томе [577]. — Примеч. пер.
** Более подробные таблицы pL (а), (а) см. [286, табл. 9.6], откуда заим-
ствована (с сокращениями) табл. А.З; [477, табл. 5.2], где а = 0.05; 0.025; 0.005
и В, п — В = 0 (1) 20 (2) 30 (5) 50, 60, 80, 100, 200, 500, оо, [537], где а = 0.5,
0.2; 0.1; 0,05, 0.025, 0.010, 0.005, 0.0025, 0.001; п = 3 (1) 40 (2) 50 (5) 65, 80 (20)
120, 150, 200, 250, 300 (100), 600 (200) 1200 (1500); В = 1 (1) 30 (2) 60 (5) 100. —
Примеч. пер.
42
тьях [390], [87], где модифицирована процедура исходной работы, при-
чем в последней работе получаются, вообще говоря, более узкие ин-
тервалы, чем в методе Клоппера—Пирсона. В работах [6] и [7] рассмо-
трены приближенные односторонние интервалы для р. Основы общей
теории доверительных интервалов заложила работа [276].
Задачи
2.7. Используя данные заДачи 2.1, постройте приближенный доверительный
интервал для р с коэффициентом доверия .96.
2.8. В работе [366] рассматриваются некоторые проблемы, связанные с кон-
сервированием сердец. В частности, авторы изучали морфологические и физио-
логические нарушения, наблюдающиеся в сердцах, охлажденных до различных
температур без помощи предохранителя от замерзания. Через сердца всех взрос-
лых особей крыс 20 мин перфузировал (прокачивался) сбалансированный физио-
логический раствор in vitro («искусственно») и в течение всего этого времени сок-
ращения наблюдались. После отключения перфузионного насоса каждое серд-
це, предохраненное полиэтиленовым мешочком, помещалось в металлическую
капсулу и охлаждалось в растворе ацетона (при температуре — 20° С, обеспе-
чиваемой периодическим добавлением сухого льда) до достижения самой низкой
желаемой темпратуры. Затем каждое сердце в отдельности размораживали
(1 мин или менее), извлекая из металлической капсулы и поливая водопроводной
водой, при температуре 35° С, полиэтиленовый мешочек, дабы предотвратить
попадание воды непосредственно на сердце. После размораживания сердца оно
опять подключалось к перфузионному насосу со сбалансированным физиологи-
ческим раствором. Те сердца, которые произвольно (спонтанно) возобновляли
регулярные сокращения предсердия и желудочков в течение 20 мин размора-
живания, рассматривались как «выжившие» в процессе «замораживания — раз-
мораживания».
Авторы проводили эксперименты, в которых достигались минимальные тем-
пературы: — 10, — 12, — 17, — 20. Мы ограничимся здесь исследованием дан-
ных для — 12° С, когда из шести замороженных сердец три «выжило». Если мы
будем считать «успехом» выживание, то р представляет собой вероятность того,
что сердце крысы, охлажденное до— 12° С, самопроизвольно возобновит регуляр-
ные сокращения предсердия и желудочков в течение 20 мин после разморажи-
вания и перфузии сбалансированного физиологического раствора. Найдите из
табл. А.З приближенный 95%-ный доверительный интервал для р.
2.9. Многие материалы, вполне пригодные для работы в воздухе, в чистом
кислороде будут воспламеняться от удара. Эта проблема относится к наиваж-
нейшим в авиационно-космической промышленности, изделия которой подвер-
гаются массированному воздействию жидкого и газообразного кислорода. В ча-
стности, очень нужен справочник конструктора, выбирающего материалы для
герметических кислородных систем. Для разработки подходящего метода опреде-
ления стойкости материалов в газообразном кислороде Центр управляемых
космических кораблей NASA (Национального управления по аэронавтике и ис-
следованию космического пространства) недавно разработал методику изучения
удара в среде газообразного кислорода. В работе [204] сообщается о применении
этой схемы исследования для проверки стойкости в газообразном кислороде
33 аэрокосмических материалов для космического корабля «Аполлон» («Apollo»).
Один из исследуемых по этой методике материалов, силиконовый (кремнийорга-
нический) эластомер* 342, отказал (воспламенился) при работе в газообразном
кислороде в четырех из 20 опытов. Пусть р есть вероятность воспламенения для
силиконового эластомера 342 в газообразном кислороде при испытании по упо-
мянутой методике. Постройте приближенный доверительный интервал с коэф-
фициентом доверия .96.
* Речь идет о герметике — клееобразном веществе, предназначенном для
обеспечения герметичности системы, предотвращения утечки газов. — Примеч..
ред.
43
2.10. Допустим, что значение р, полученное в примере 2.2, было результатом
30, а не 50 испытаний. Как это повлияет на ширину приближенного 95%-го до-
верительного интервала для р из примера 2.3?
2.11. Предположим, что 10 испытаний Бернулли, удовлетворяющих допу-
щениям А1 — АЗ привели к 6 «успехам». Исследуйте точность приближения
для большой выборки, сравнивая крайние точки приближенного 95%-го довери-
тельного интервала для р, полученного по (13), с соответствующими точками
доверительных границ приближенного 95%-го интервала по формулам (14)
и (15)*.
2.12. Дайте определения: альтернативной гипотезы, асимптотического рас-
пределения, асимптотической относительной эффективности (оценок), испытания
Бернулли, биномиального распределения, коэффициента доверия, доверитель-
ного интервала, состоятельной оценки, состоятельного критерия, критической
области, свободного от распределения критерия, оценки, гипотезы, независимых
повторных испытаний Бернулли, нижнего а-процентиля, медианы (совокупно-
сти), нормальной совокупности, распределения при нулевой гипотезе, парамет-
ра, мощности, вероятности, распределения вероятностей, уровня значимости,
стандартного отклонения (для совокупности), симметричного распределения,
симметричного критерия, критерия, ошибки I рода, ошибки II рода, верхнего
а-процентиля, дисперсии (совокупности).
* Здесь, как и в задаче 2.4, относительные ошибки имеют порядок 30—40%,
что весьма велико. Приближение Моленара несколько уменьшает погрешнос-
сти. — Примеч.. пер.
44
глава ОДНОВЫБОРОЧНАЯ
3 ЗАДАЧА О ПОЛОЖЕНИИ
(СДВИГЕ)
Методы настоящей главы предназначены для статистического
анализа, направленного в первую очередь на изучение параметра поло-
жения (медианы) совокупности. Это важно для двух разных типов дан-
ных. Данные первого типа, известные как данные парных повторных
наблюдений, представляют собой «наблюдения до обработки» и «на-
блюдения после обработки». Здесь мы имеем дело со сдвигом распре-
деления из-за «обработки». Данные второго типа, известные как одно-
выборочные данные, состоят из наблюдений одной генеральной сово-
купности, о положении (медиане) которой мы хотим сделать выводы.
В § 3.1—3.3 для анализа повторных парных данных применяются
методы, использующие знаковые ранги. В частности, в § 3.1 представ-
лен критерий знаковых рангов, в § 3.2 — точечная оценка, связанная
со статистикой знаковых рангов, а в § 3.3 — соответствующий свобод-
ный от распределения доверительный интервал. В § 3.7 эти методы при-
меняются к одновыборочным данным. Асимптотически свободный от
распределения критерий симметрии соответствующей генеральной со-
вокупности (одного из допущений § 3.1—3.3 и 3.7) рассматривается в
§3.9.
В § 3.4—3.6 для анализа повторных парных данных излагаются
методы, использующие знаки. В § 3.4 рассматривается свободный от
распределения критерий знаков, в § 3.5 — точечная оценка, связанная
со статистикой знаков, а в § 3.6 — соответствующий свободный от рас-
пределения интервал.
В § 3.8 методы, основанные на знаках, применяются к некоторым
одновыборочным данным.
Асимптотическая относительная эффективность методов при аль-
тернативах типа сдвига (переноса) для статистик знаковых рангов и
знаков по отношению к их соперникам из нормальной теории, основан-
ным на выборочном среднем, обсуждается в § 3.10. В этом параграфе
мы также встретимся с асимптотической относительной эффективностью
критерия симметрии из § 3.9.
45
АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ПАРНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ЗНАКОВЫХ РАНГОВ
Данные. Мы имеем 2п наблюдений, по два наблюдения на
каждый из п объектов (блоков, пациентов и т. д.):
Объект 1 xi Yl
1 Xi У1
2 х2 г?
п ХП Уп
Допущения
А1. Обозначим Zt- = Yt — Xt и примем модель
2г — 0 + еь i = 1, ..., n, (1)
где ег — ненаблюдаемые случайные величины; 0 — неизвестный пара-
метр эффекта «обработки», интересующий нас.
А2. Все ei взаимно независимы, i = 1, .... п.
АЗ. Все ег принадлежат непрерывной совокупности (не обязатель-
но одной и той же), которая симметрична относительно нуля, i =
= 1, ..., п.
§ 3.1. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
ЗНАКОВЫХ РАНГОВ (УИЛКОКСОН)
Метод. Для того чтобы проверить
Но: 0 = 0, (2)
надо выполнить следующие шаги.
1. Вычислить абсолютные разности IZJ, .... |Zn|. Пусть Rt есть
ранг |Z;| в совместной ранжировке от меньшего к большему для по-
следовательности IZJ, ..., \Zn\.
2. Определить переменные-счетчики фг, i = 1, ..., п, где
. _ (1, если Zi > О,
[0, если Zi < 0.
3. Вычислить п произведений ..., /?пфп и получить
(3)
t = 1
Произведение /?;ф; называется положительным знаковым рангом Zi-
Оно принимает значение 0, если Z, отрицательно, и равно рангу
]Zi\, если Zi положительно. Статистика Т+ равна сумме положитель
ных знаковых рангов.
46
4. Для одностороннего критерия Но (2) против альтернативы
0 > 0 на уровне значимости а
отклонить Но, если Т* t (а, п\,
(4)
принять Но, если Т+ < t (а, п),
где константа t (а, п), удовлетворяющая уравнению Ро {Т+ > t (а,
п)} = а, берется из табл. А.4 (см. также комментарий 8)*.
Для одностороннего критерия Но (2) против альтернативы 0 < О
на уровне значимости а:
отклонить Но, если Т+ ДД+Д-------/ (а, п),
(5)
принять Но, если Т* > ----t (а» «)•
Для двустороннего критерия Но (2) против альтернативы 0 У= О
на уровне значимости а:
отклонить Но, если или Т+ t (а2, п),
или Т+ < n.<P±!L—t («!, п), (6)
принять Но, если п — t (ах, п) <. Т+ <. t (а2, п),
где а = ах + а2.
Приближение для большой выборки* **. При выполнении гипотезы На
статистика
г* = Т+-Ер(Т+) = 74—[п(п-Ц)/4] 7
[var0 (Т+)]1/2 [n(n+ 1) (2n+1)/24]'/2
имеет асимптотическое (при со) распределение N (0, 1). Прибли-
жение нормальной теории для метода (4) таково:
отклонить Но, если Т* z(a),
(8)
принять Но, если Т* < z(a).
♦ В этой книге приведены таблицы верхних процентных точек 7’+ для
п ~ 3 (1) 15. Есть обширные таблицы [779], где п = 3 (1) 50. — Примеч. пер.
** Предлагаемую нормальную аппроксимацию можно заменить более точ-
ной. В работе [636] предложено использовать линейную комбинацию из нормаль-
ной и стьюдентовской процентных точек. Это обеспечивает меньшую относитель-
ную ошибку для уровня значимости.
Вот метод, заменяющий в этом случае (4), (5), (6):
1) вычислить
Т*
1 + 1/ - д-1
V п~(Т*)‘
2
47
Связи. Если среди значений 2г есть нулевые, то их следует отбро-
сить и соответственно сократить п до числа ненулевых значений Zt,
i = 1, п. Если среди ненулевых значений \Zt\ есть равные, то для
вычисления Т+ используются средние ранги, а затем берется один из
методов (4), (5) или (6). Для приближения в большой выборке Т+ вы-
числяется с помощью совпадающих (связанных) рангов и заменой
var0 (Т+) в (7) на
уаг0(Т+) = (24)
1 * 8
1 п(п + 1)(2п + 1)-^- 2 G(G~ 1)(6 + 1)L
(9)
где g — число групп связей; tj — число элементов в /-й группе, / =
= 1.....
2) вычислить
Ua(n- 1)+га
4(«)=-------5-----
где Ua (п — 1) — верхняя a-процентная точка распределения Стьюдента
ел — 1 степенями свободы (см., например, табл. 3.1а в [477]); za — то же, для
распределения N (0, 1);
3) для одностороннего критерия На (2) против альтернативы 0 > 0 иа уров-
не значимости а
отклонить Я о > если J Ja (п),
принять Но, если /</а(п);
для одностороннего критерия Но (2) против альтернативы 0 < 0 на уровне
Значимости а
отклонить На, если (л),
принять Но, если J> Ji_a(n);
(5')
для двустороннего критерия Но (2) против альтернативы 0 =/= 0 на уровне
значимости
отклонить Но, если />/аг(п)
или J<JW1(n),
принять Но, если JVi (n) < J< J№t (п).
(6')
В работе [636] для Л = 5 (1) 50 и а = 0.01, 0.05 приведены процентные точки
(л). Это приближение обеспечивает значительное снижение относительной
ошибки. — Примеч.. пер.
1 В (9) несвязанное (ие совпадающее с другим) наблюдение рассматривается
как группа (связь) длины 1. Следовательно, если связей нет вовсе, то g = п,
tj — 1, / = 1, .... п, и правая часть (9) сводится к (24)-1 [n (п + 1) (2 п + !)]•
48
Пример 3.1. Данные
табл. 3.1 получены в ин-
тересной работе [329].
Данные основаны на на-
блюдениях за 9 пациента-
ми, принимавшими транк-
вилизатор* Т. Они полу-
чены в «дважды слепых»
клинических опытах** по
сравнению двух препара-
тов. Критерием служил
фактор IV шкалы депрес-
сии Гамильтона [168], от-
ветственный за склонность
Таблица 3.1. Результаты измерения
фактора IV по шкале депрессии Гамильтона*
Пациент i Х1 Yi
1 1.83 0.878
2 0.50 0.647
3 1.62 0.598
4 2.48 2.05
5 1.68 1.06
6 1.88 1.29
7 1.55 1.06
8 3.06 3.14
9 1.30 1.29
к самоубийству («суици-
дальный» фактор). Значе-
ния X относятся к перво-
му визиту пациента после
начала лечения, значения
Y—ко второму визиту. Все
Источник. [329].
* Эта шкала предложена в i960 г. специально для
клинической оценки действия препаратов с помощью
статистических методов. Получила широкое распрост-
ранение. См., например: [522]. — Прим. ред.
пациенты диагностировались как страдающие тревожностью в соче-
тании с депрессией.
В этом примере с транквилизаторами чем меньше коэффициент, тем
лучше состояние больного. Воспользуемся критерием (5). Из табл. А.4
мы видим, что критическое значение для а = .049 равно (9(10)/2) —
(.049,9) = 45 — 37 = 8. Сведем вычисления (3) в таблицу:
i г' |2г| «1
1 — .952 .952 8 0 0
2 .147 .147 3 1 3
3 — 1.022 1.022 9 0 0
4 — .430 .430 4 0 0
5 — .620 .620 7 0 0
6 — .590 .590 6 0 0
7 — .490 .490 5 0 0
8 .080 .080 2 1 2
9 — .010 .010 1 0 0
* Успокаивающее средство, действующее на центральную нервную систему
и предназначенное для подавления психической напряженности ц чувства страха
при бессонице и различных неврозах. — Примеч. пер.
** Поскольку, как известно, слово может быть мощным лечебным факто-
ром, для выявления «чистого» фармакологического действия препарата важно,
чтобы пациент не знал, какой именно препарат он принимает (ибо с «именем»
препарата бывает сопряжено некое «общественное мнение»). Если это условие
выполняется, опыт называется «слепым». Однако персонал, дающий пациентам
лекарства, может своим поведением вольно или невольно выражать некоторое
отношение к даваемому препарату. Чтобы избежать этого, организуют «дважды
слепые» опыты, которые еще, как правило, рандомизируются. — Примеч. ред.
49
Получаем
»=1
9 • 10
и, поскольку Т+ = 5 < —2---------t (.049,9) = 8, отклоняем Но в
пользу 9 < 0 на уровне а = .049. Заметим, что наименьший уровень,
на котором мы можем отклонить Но, используя односторонний крите-
рий, равен .020, так как (9(10)/2) — t (0.020,9) = 45 — 40 = 5.
Приближение для большой выборки (7) дает
_ 5—(9(10)74) _ -17.5 = _2 07
[9(10) (19)724]1/2 8.44
Из табл. А.1 видно, что наименьший уровень, на котором мы отверга-
ем Но, при нормальной аппроксимации есть .0192. Следовательно, и
точный критерий, и аппроксимация его для большой выборки весьма
очевидно указывают на то, что транквилизатор приводит к улучшению
состояния больных, измеренному коэффициентом шкалы IV теста
Гамильтона.
Комментарии
3.1. Допущение А1 не требует независимости Xt и Yt и в дейст-
вительности в большинстве приложений они зависимы.
3.2. Для данных повторных парных наблюдений та часть допуще-
ния А1, которая относится к симметрии, часто органична ситуации. В
частности, когда Xt и Yt — из совокупностей, различающихся только
сдвигом (т. е. «эффект» обработки проявляется лишь как сдвиг рас-
пределения), et = Zt — 0 принадлежит совокупности, симметричной
относительно нуля. И это также верно при более общих условиях.
3.3. Для проверки гипотезы 0 = 0О, где 0О — заданное число, не
равное нулю, получаем модифицированные наблюдения Zi = Zt — 0О,
i = 1, ..., п, и вычисляем Т¥, используя Z/ (вместо ZJ, i = 1, .... п.
Методы (4) — (6) работают так же, как и выше.
3.4. Если Но (2) верна, распределение Т+ симметрично относитель-
но среднего п (п + 1)/4, откуда следует
Ро {Т+ > х} = Ро {Т+ < п(п+1)--х}
при х = 0....(л (л + 1)/2). В свою очередь это приводит к тому, что
нижний процентиль нулевого распределения Т+ оказывается равным
(п (п + 1)72 — t (а, п)). Последнее объясняет использование (п (п +
+ 1)72 — t (а, п)) в качестве критического значения в методе ( 5).
3.5. Чтобы применить критерий знаков (§ 3.4) для повторных пар-
ных наблюдений, нам нужны лишь знаки разностей Z;, а в случае кри-
терия знаковых рангов надо знать и знаки Zt, и ранги |ZJ, i = 1,.... п.
3.6. Статистика Т* есть сумма рангов (абсолютных значений), со-
ответствующих положительным наблюдениям Z. Определим Т~ как
сумму рангов (абсолютных значений), соответствующих отрицательным
наблюдениям Z. Заметим, что Т~ можно определить из (3), если заме-
нить фг на 1 —Ф1 для всех i = 1, .... п. Методы проверки гипотез
50
м)—(6) заменяются тогда эквивалентными методами, основанными на
Т-, поскольку Т~ = In (п + 1)/2] — Т+ (см. задачу 3.3).
3.7. Обозначим через В число положительных наблюдений среди
Zlt ..., Zn и пусть гг < г2 < ... < г в есть ранги абсолютных величин
этих положительных чисел. При 0 > О эти ранги имеют тенденцию пре-
восходить ранги тех абсолютных величин, для которых соответствую-
щие наблюдения отрицательны. Этим объясняется отклонение Но (2)
в
в пользу 0 > 0 при больших значениях 2 П- В комментарии 3.6 за-
в 1=1
мечено, что Т+ = Это отчасти объясняет метод (4).
i=l
3.8. Распределение Т+ при нулевой гипотезе получается из равен-
в
ства Т+ = 2 ri (см. комментарий 3.7), если учесть, что при Но (2)
1 = 1
каждый нз возможных 2П исходов для набора (гь ..., гв) происходит
с вероятностью (у) . Например, при п = 3 число возможных исходов
для (гь ..., гв) равно 23 = 8, а соответствующие значения Т+ сведе-
ны в таблицу:
В Ui- г гв) Pt {('’I. г„ ... • г в)) II ~
0 1/8 0
1 Г1=1 1/8 1
1 гг = 2 1/8 2
1 п=з 1/8 3
2 Г1=1. г2 = 2 1/8 3
2 Г1=1» Га = 3 1/8 4
2 гх = 2, г2 = 3 1/8 5
3 Г1=1. г2 = 2, г8 = 3 1/8 6
Так, к примеру, Ро {Т+ 5} = Ро {Т+ = 5} + Ро {Т+ = 6} =
= -у + Т = т (ср- табл- А-4>-
Получение распределения Т+ для нулевой гипотезы не зависит от
рассматриваемой совокупности ег, i = 1, ..., п, ни в чем, кроме требо-
ваний ее непрерывности и симметрии относительно нуля. Именно по-
этому методы, основанные на Т+, оказываются свободными от распре-
деления. Например, если мы выбираем критическое значение t (а, п)
для метода (4), так чтобы выполнялось уравнение Р [Т+ t (а, п)] =
= а, то мы определяем вероятность (неверного) отклонения Но, когда
//0 верна (и соблюдены допущения А1—АЗ); более того, эта вероят-
ность ошибки не зависит от совокупности случайных величин е.
3.9. Заменим допущения А1—АЗ на допущения АГ (все наблюдения
Z извлекаются из одной и той же непрерывной совокупности) и А2'
(все п наблюдений Z взаимно независимы). Тогда, полагая
0* = P(Z1+Z2>O)_-L
51
(где Zx, Z2 — случайные элементы совокупности Z, причем Zx и Z2
независимы), мы обеспечиваем состоятельность критериев (4), (5) и
(6) против альтернатив 0* > О, 0* < 0 и 0* =/= 0 соответственно
(см. [298]>. Для частного случая верности допущений А1 и А2 и
усиленной версии АЗ, использованной в формулировке свойства 1,
это утверждение о состоятельности влечет за собой и свойство 1 — со-
стоятельность.
Свойства
1. Состоятельность: мы усиливаем допущение АЗ, требуя, чтобы все
е были независимо извлечены из одной и той же непрерывной и симмет-
ричной относительно нуля совокупности. Тогда критерии, определен-
ные в (4), (5), (6), будут состоятельны относительно альтернатив 0 > О,
0< 0 и 0 0 соответственно (см. [295], [432], [298] и комментарий
2. Эффективность: см. [295], [179] и §3.10.
Ссылки. Статистику Г+ ввел Уилкоксон [454]. В работе [131]
был предложен аналог критерия знаковых рангов с нормальными мет-
ками, обладающий высокой эффективностью. Прэтт [298] детально об-
судил пути обработки нулевых наблюдений и связанных рангов в мето-
де знаковых рангов (см. также [88]). Холлендер [196] ввел метод про-
верки отсутствия эффекта обработки при более общей модели, чем (1)
(см. §10.3).
Среди других конкурентов критерия Т+ упомянем бинарный кри-
терий из работы [334], его обобщение, предложенное в [106], и различ-
ные классы критериев, предложенных в работах [171], [172], [431],
[432], [433], [152], [158], [106]. См. также ссылки в §3.4*.
Задачи
3.1. В табл. 3.2 приведена часть данных, полученных в [124] и использован-
ных в [336].
Таблица 3.2. Данные о содержании в крови
свободного инсулина (pt///n/)
Собака i Х1 Yi
1 350 480
2 200 130
3 240 250
4 290 310
5 90 280
6 370 1 450
7 240 280
Источник. [124].
* В последующие годы вышли некоторые работы, развивающие тему этого
параграфа. В книге [250] интересно обсуждение критерия Т+, в работе [657]
рассматривается комбинация критериев знаков и знаковых рангов, в [578] —
учет связей и таблицы распределений. О так называемых адаптивных критериях
см. [708], [722] и др. — Примеч. пер.
52
В этом исследовании изучалось влияние раздражения блуждающего нерва ив
секрецию (выделение) инсулина. Испытывались беспородные собаки различного
веса. В табл. 3.2 даны количества свободного инсулина в панкреатической (из
поджелудочной железы) венозной плазме семи собак сразу после раздражения
левого блуждающего нерва (X) и спустя 5 мин (У). Проверьте гипотезу об отсут-
ствии влияния против альтернативы о том, что в результате раздражения блуж-
дающего нерва в крови возрастает уровень свободного инсулина.
3.2. Измените значение Х8 = 1.62 в табл. 3.1 на 16.2. Как повлияет этот
выброс на вычисления в примере 1? Подкрепляет ли это утверждение об относи-
тельной нечувствительности знакового рангового критерия к выбросам? Пост-
ройте пример, в котором изменение одного наблюдения приведите к заметному
влиянию на окончательное решение об отклонении или принятии Н9.
п
3.3. Пусть Т~ = (1 — i|>i), где = 1, если Zj > 0, и 0 в противном
случае. Проверьте непосредственно илн по данным табл. 3.1 равенство
Т+ + Т~ = п (п + 1)/2.
§ 3.2. ОЦЕНКА, СВЯЗАННАЯ СО СТАТИСТИКОЙ
ЗНАКОВЫХ РАНГОВ УИЛКОКСОНА (ХОДЖЕС —ЛЕМАН)
Метод. Для оценки 0 из модели (1) надо выполнить следующие шаги.
1. Построить М = п (п + 1)/2 средних (Zf4-Z;)/2, i= / = 1, ..., п.
2. Оценка 0, связанная со статистикой знаковых рангов Уилкоксо-
на (см. комментарий 3.10), равна:
0 = медиана Г < /I • (10)
Пусть Ц7(1) < ... < 1Г(Л1) обозначает упорядоченные значения
(Zj + Zj)/2. Тогда, если М. — нечетное число (скажем, М = 2k + 1),
то
0 = Г<*+».
(И)
Если же М — четное (скажем, М = 2k), то
(12)
2
(Для определения 0 можно использовать графический метод из
§3.3.)
Пример 3.2. Возьмем данные о транквилизаторе из табл. 3.1. Для них
упорядоченные значения (Zf + Zj)/2, т. е. суть:
— 1.022, — .987, —.952,— .821, —.806, —.786, —.771,
— .756, — .726, — .721, — .691, — .620, — .605, — .590, — .555,
— .540, — .525, — .516, — .510, — .490, — .481, — .471, —
— .4375, — .436, — .430, — -4025, — .315, — .300, — .270, —
— .250, — .2365, — .2215, — -220, — .205, — .175, — .1715, —
-.010, .035, .0685, .080, .1135, .147. При М = 9(10)/2 = 45
чается М = 2k + 1, где k = 22. Поэтому из (11) имеем
'gsSU7<23)== —-460.
.460,
.255,
.1415,
полу-
53
Комментарии
3.10. Оценку Ходжеса—Лемана (10) отчасти можно объяснить еле-
дующим образом. При 0 = 0 распределение статистики Т+ (3) сим-
метрично относительно среднего п (п + 1)/4 (см. комментарий 3.4),
Естественная оценка 0 — это такая величина (обозначенная, скажем,
0), что при вычитании из каждого Zt значения Т+, построенного по
сдвинутой выборке Zr — 0, .... Zn — 0, она равна п (п + 1)/4. Грубо
говоря, мы оцениваем 0 такой величиной (0), чтобы сдвинутая выборка
Zx — 0, ..., Zn — 0 имела тот же вид (с «точки зрения» статистики
знаковых рангов Т+), что и выборка из совокупности с медианой 0.
(При выполнении допущений А1—АЗ каждая из случайных величин
Zj — 0, ..., Zn — 0 принадлежит совокупности с медианой 0.)
3.11. Псевдомедиана (ср. [199]) распределения F определяется как
медиана распределения случайной величины (Zj + Z2)/2, где Zr и Z2
независимы и каждая из них имеет одно и то же распределение F. Мы
предполагаем здесь, что у распределения F медиана и псевдомедиана
единственны. Оценка 0 (10) — это состоятельная оценка псевдомедиа-
ны, которая, вообще говоря, может и не совпадать с медианой 0. Одна-
ко, если F симметрично, как и предполагается в этом параграфе, ме-
диана и псевдомедиана совпадают.
3.12. Каждое из п (п + 1)/2 средних (Z£ + Zj)/2, i < /, называет-
ся средним Уолша (см. [440]). Если мы определим W+ как число по-
ложительных средних Уолша, то (при отсутствии связей среди всех
|ZJ и нулевых Zit i = 1, ..., п) статистика W+ совпадает с Т+ (3) (см.
задачу 3.6). Этот результат получен Тьюки [417].
3.13. Читатель может заметить, что 0 будет относительно нечув-
ствительной к выбросам. Это не так для классической оценки, осно-
___________ п х-ч
ванной на Z = 2 Хг/п. Поэтому использование 0 защищает результаты
г=1
(выводы) от влияния грубых ошибок в исходных данных.
Свойства
1. Стандартное отклонение 0 (10): асимптотическое стандартное
отклонение см. в работах [181], [248] и комментарии 3.16.
2. Асимптотическая нормальность: см. [181], [314].
3. Эффективность: см. [181], [37], [200], [141] и § 3.10.
Ссылки. Оценка 0 (10) есть одна из класса оценок, предложен-
ных Ходжесом и Леманом [181]. Этот класс включает, среди прочих,
оценку нормальных меток; оценку 0 (26), связанную со статистикой
знаков и рассматриваемую в § 3.5; оценку, полученную Ходжесом
[177] из одновыборочного аналога двухвыборочной статистики Гальто-
на; классическую оценку Z. В работе [467] введен класс оценок, вклю-
чающих 0 (10) и $ (26). Свойства эффективности были рассмотрены в
работах [181], [37], [200], 1141]*.
* В [559] дана программа на Фортране для вычисления 6. — Примеч. пер-
54
Задачи
3.4. Оцените 0 по данным Табл. 3.2 о содержании в крови свэбоДноГо иксу-
ли на»
3.5. Замените в табл. 3.1 значение Х3 = 1.62 на 16.2. Как это повлияет на
9
величину 2 =2^</9? Каково новое значение 0 (10)? Объясните результаты счета
с точки зрения комментария 3.13.
3.6. Проверьте непосредственно илн покажите, используя данные табл. 3.1,
что (при отсутствии связей и нулей среди величин jZj) Т+ равно числу положи-
тельных средних Уолша W+ (см. комментарий 3.12).
3.7. а) Что произойдет с 0 при прибавлении числа b к каждому из выборочных
значений Zx. Zn?
б) Что произойдет с 0, если каждое наблюдение умножить на число dt Что
произойдет с 0, если исключить из выборки k наибольших и k наименьших
значений Zlt...,Zn (предполагая п > 2 А)?
§ 3.3. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ, ОСНОВАННЫЙ НА ЗНАКОВОМ
РАНГОВОМ КРИТЕРИИ УИЛКОКСОНА (ТЬЮКИ)
Метод. При построении симметричного двустороннего доверитель-
ного интервала для 0 с коэффициентом доверия 1 — а надлежит вы-
полнить следующие шаги.
1. Из табл. А.4 найти такое целое число Са, что
Ре < Т+ < [п(п+1}—j = 1 —а. (13)
Заметим, что [п (п + 1)/2] — Са + 1 = t ((а/2), п).
2. Получить упорядоченные значения IF1) UZW вели-
чин (Zf + Zj)/2 при i < / и М = п (п + 1)/2.
3. Искомый (1 — а)-доверительный интервал (0 ь, 0 у) задается
выражениями
0L = UZ(c«), 0у=Г(л<+1“с«). (14)
При 0Ь и 0У, определенных из (14), мы получаем
Ре {0ь< 0< 0у} = 1 — а. (15)
Графический метод. Вычисление Л! = п (п + 1)/2 упорядоченных
значений (Zt -f- Zj)/2 может оказаться громоздким. Мозес [272] описал,
следуя Тьюки, такой графический прием получения и U/(A1+1 “)•
Нанесите выборочные точки Zlt ..., Zn на вертикальную ось. Обо-
значьте через А наибольшее, а через В — наименьшее среди выбороч-
ных значений Zb ..., Zn. Найдите и отметьте на чертеже середину от-
резка АВ, обозначьте эту точку С. (Заметим, что С не обязательно сов-
падет с каким-нибудь из значений Z, обычно оно не совпадает ни с одним
из них.) Проведите через С горизонтальный отрезок любой подходя-
щей длины и обозначьте его концевую точку через D. Постройте тре-
угольник ADB. Через каждую точку на вертикальной оси, соответст-
55
вующую Z, проведите две лйнйи, параллельные сторонам треугольника
ADB, и продлите их до пересечения со сторонами.
Теперь для нахождения верхней доверительной границы 0 v сдви-
гайте горизонтальную линию вниз от точки А до тех пор, пока она не
достигнет Са — точки пересечения наклонных линий. (При этом надо
учесть и точки, соответствующие самим наблюдениям.) На пересече-
нии этой горизонтальной линии с вертикальной прямой и лежит
tP'(A£+1-c«). Точно так же получаем 1ИС“\ двигая горизонталь сни-
зу вверх до точки пересечения Са (и опять надо учитывать точки на-
блюдений). Точные значения и ^(Л1+1-с“) можно найти, если
учесть, что они равны среднему арифметическому тех значений, кото-
рые дали именно эту точку пересечения Са, отсчитанную снизу или
сверху соответственно.
Приближение для большей выборки. Для больших п целое число
Са можно приблизить формулой
г ~ п(п+1)
4
z(a/2)
»(п + 1)(2»+1)-
24
1/2
(16)
Значение правой части (16), вообще говоря, не целое, так что для
подстановки в (14) надо взять ближайшее целое.
Пример 3.3. Рассмотрим данные о транквилизаторе из табл. 3.1.
Получим с помощью графического метода доверительный интервал
для 0 с коэффициентом доверия 1 — a = 1 — .04 = .96. Из табл. А.4
для п = 9 мы находим t ((a/2), п) = t (.02,9) = .40. На шаге 1 метода
получаем С.о4 = {9 (10)/2) + 1 — t (.02,9) = 45 + 1 — 40 = 6. На
рис. 3.1 показан метод, описанный в разделе «Графический метод».
Таким образом находим 0 ь= —.786 (это среднее, равное (— .952
— .620)) и 0ц = — .010 (среднее, равное j(— .010 — .010)), так что
96%-ный доверительный интервал для 0 равен:
(0i( би) = (—.786, — .010).
Это совпадает с величинами ТР6) и Ц7(М+ 1 _ 6>= Ц7<40) из примера
3.2.
Применяя аппроксимацию для большой выборки, из (16) находим
С.о4 « [9 (10)/4] — 2.054 [9 (10) (19)/24]>/2 « 5,
откуда = — .806 и Ц7(м+1-5> = Ц7<41) = .035, приближенный
96%-ный доверительный интервал равен (— .806, .035).
Заметим, что графический метод можно использовать и для полу-
чения оценки 0 (10). Для данных о транквилизаторе 0 = Ц7<23>, и
мы видим, что 23-я точка пересечения сверху дает 0 = — .460, соот-
ветствующая точка на рисунке заключена в квадрат (взято среднее
между значениями Z — .430 и — .490). Понятно, что на глаз довольно
56
трудно найти на рис. 3.1 23-ю точку, поскольку в примере несколько
точек в этой области имеют почти равные ординаты*.
Рис. 3.1. 96%-ные доверительные границы для 0 из примера 3.3. (Нанесены
точки Z]...........Z9, из которых выходят параллельные линии)
Комментарии
3.14. В терминах двустороннего критерия знаковых рангов
(1 — а)-доверительный интервал (14) можно интерпретировать следую-
щим образом. Доверительный интервал (0 ь, 0 и) состоит из тех значе-
ний 0О, для которых двусторонний критерий уровня а для гипотезы
0 = Оо (см. комментарий 3.3) принимает гипотезу 0 = 0О. Общий ре-
зультат относительно связи доверительных интервалов и областей при-
нятия гипотез см. в [245, р. 79], более специальные результаты, в том
числе и для критерия знаковых рангов, см. в [248].
3.15. Средняя точка интервала (14), равная [VJ/<C“) + Ц7(м+1-с“)]/2,
кажется разумной оценкой 0. (Заметим, что это на самом деле приво-
дит к классу оценок, зависящих от величины а.) В общем случае эта
средняя точка не совпадает с 0 (10). Леман [248] получил асимптотиче-
ски свободный от распределения доверительный интервал для 0 с
центром в 0. Этот асимптотически свободный от распределения довери-
* В [559] для построения доверительных интервалов, основанных на крите-
риях знаковых рангов и ранговых сумм Уилкоксона и задач § 3.3, 3.9, 4.3 и 5.4,
дана программа па языке ISO Fortran. — Примеч. пер.
57
тельный интервал, построенный в предположении, что каждая из п
случайных величин е модели (1) извлечена из одной и той же генераль-
ной совокупности, симметричной относительно нуля. Такое предпо-
ложение более ограничительно, чем допущение АЗ.
3.16. Заменим допущение АЗ на более сильное допущение АЗ':
каждая случайная величина е извлечена из одной и той же непрерыв-
ной совокупности, симметричной относительно нуля. Тогда мы можем
использовать результат [248] о том, что (0У — 0 L)/2z(a/2) есть состоя-
тельная оценка асимптотического стандартного отклонения точечной
оценки 0 (10). Здесь 0 L, 0 v суть концевые точки (1 — ^-доверитель-
ного интервала для 0, определенные в (14).
Свойства
1. Для совокупностей, удовлетворяющих допущениям А1—АЗ,
верно (15). Следовательно, при условиях А1—АЗ мы можем выбирать
вероятность накрытия 1 — а, не зная фактического распределения е.
Значит, (0 L, 0 у) — это свободный от распределения доверительный
интервал для 0 в широком классе совокупностей.
2. Эффективность: см. [248] и §3.10.
Ссылки. Доверительный интервал (14) с помощью графиче-
ского метода построил Мозес (который приписал авторство Тьюки),
в гл. 18 книги [438]. Этот прием описан также в работе [272]. Леман
[248] рассмотрел асимптотические свойства свободного от распределе-
ния доверительного интервала (14) и свободного от распределения до-
верительного интервала с центром в 0.
Задачи
3.8. Постройте доверительный интервал для 0 с коэффициентом доверия
.922 по данным о содержании инсулина в крови из табл. 3.2.
3.9. По тем же данным н а = .078 вычислите точечную оценку 0, опреде-
ленную в комментарии 3.15. Сравните результат со значением 0 в задаче 3.4.
3.10. Как изменение а влияет на ширину доверительного интервала, опре-
деленного в (14)? А как оно влияет на точечную оценку, определенную в коммен-
тарии 3.15?
(АНАЛИЗ ПОВТОРНЫХ ПАРНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ
С ПОМОЩЬЮ ЗНАКОВ
Данные. Мы получаем 2п наблюдений, по два наблюдения на
каждый из п предметов (блоков, пациентов и т. д.).
Предмет 1 xi Yi
1 Xi У1
2 х2 г?
п хп Уп
58
Допущения
Б1. Обозначим Z£ = у. — х; и примем модель
Z; = 0 + et, i = 1.... л, (17)
где et — ненаблюдаемая случайная величина; 0 — интересующий нас
неизвестный параметр, эффект «обработки».
Б2. Все ег взаимно независимы.
БЗ. Все ег извлечены из непрерывной совокупности (не обязатель-
но одной и той же ), имеющей медиану 0, так что
Р(ег<0) = Р(ег>0) = у, i=l..п. (18)
§ 3.4. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТЕРИЙ ЗНАКОВ (ФИШЕР)
Метод. Проверим
Яо:0 = О. (19)
1. Определим переменную-счетчик
| 1, если Zj > О,
I 0, если Z{ < 0.
2. Положим
(20)
Статистика В есть число положительных величин среди Z;, i = 1, ..., п.
3. Односторонний критерий для Яо (19) против альтернативы 0 > 0
на уровне значимости а:
отклонить Но, если В^Ь^а, п, -у),
принять Но, если B<z.b(a, п, -у),
(21)
где константа Ъ (а, п, у) удовлетворяет уравнению PQ[B Ь (а, п,
у)] =а. Таким образом, b (а, п, есть верхняя а-процентная точ-
ка биномиального распределения при объеме выборки п и р — .
Односторонний критерий для Но (19) против альтернативы 0 < 0
на уровне значимости а;
отклонить Но, если В^ п—Ь[а,п, —
принять Но, если В > п—b
1
а, п, —
. 2 Ц
(22)
59
Двусторонний критерий для Но (19) против альтернативы 0 =/= о
на уровне значимости а:
отклонить Но, если В [п — b (аь п, 1/2)]
или В b (а2, п, 1/2),
принять Но, если In — b п, 1/2)1 <. В < b (а2, п, 1/2),
(23)
где а = ах + а2.
Приближение для большей выборки. Определим
q* & __В (п/2) _
[var0(B)]I/2 (n/4)I/2
Когда Но верна, статистика В* имеет асимптотическое (при п -э- оо) *
распределение N (0, 1).
Приближение нормальной теории для метода (21) таково:
отклонить Но, если 1
принять Но, если В* < z(a). J
Связи. Если среди значений Zit i = 1, ..., п, есть нули, то их надо
отбросить и соответственно сократить п до числа ненулевых значений
Пример 3.4. В табл. 3.3 приведена часть данных из работы
[285], где подробно описано исследование светочувствительности
куриных эмбрионов. Опыты проводились на эмбрионах породы белый
леггорн. Измеряемой поведенческой реакцией служило клевание (т. е.
быстрое постукивание клювом) во время последней трети периода ин-
кубации эмбрионов. (Ранее в работе [151] было показано, что изменение
частоты клеваний —- хороший показатель слуховой реакции куриных
эмбрионов.) Эмбрионы помещались в темную камеру на 30 мин, пос-
ле чего проводилось испытание. Затем 10 мин подсчет велся в темноте
и одну минуту — на свету. В табл. 3.3 приведены среднее число клевков
в минуту за время «темного периода» (X) и соответствующее им число
(У) для «светлого периода». Исследовалось 25 куриных эмбрионов.
Поскольку ожидается, что реакции на световой стимул будет со-
ответствовать положительная разность частот, нам нужен метод (21).
При уровне значимости a = .0216 из табл. А.2 находим, что b (.0216,
25, 1/2) = 18.
* Точность приближения (24) и (25), так же как и (6), (7) из 2.1 для малых
п (во всяком случае 100), может оказаться недостаточной. При п/4 < 9
надо делать поправку на непрерывность, заменяя В* на В' = (В — n/2 + 1)/
| — ) .В других случаях хорошее приближение дает способ Большева (см. [477]).
\4/
Однако аппроксимация Моленара при тех же условиях дает еще большую точ-
ность (см. сноски к примеру 3.4 этого параграфа и к § 2.1). Наконец, следует со-
общить, что для a = 0.005, 0.01, 0.025, 0.05 и 0.10 и п = 4 (1) 100 (10) 200 (20)
500 (50) 1000 критические значения для критерия знаков табулированы в [286,
табл. 12.1], и при упомянутых а и п нет нужды пользоваться аппроксимация-
ми. — Примеч.. пер.
60
Таблица 3.3. Число клевков в минуту
Зародыш 1 (в темноте) Vj (на свету) Зародыш 1 X. (в темноте) У- (на свету)
1 5.8 5 14 14.2 38
2 13.5 21 15 55.2 70
3 26.1 73 16 15.4 36
4 7.4 25 17 30.0 55
5 7.6 3 18 21.3 46
6 23.0 77 19 26.8 25
7 10.7 59 20 8.1 30
8 9.1 13 21 24.3 29
9 19.3 36 22 21.3 46
10 26.3 46 23 18.2 71
11 17.5 9 24 22.5 31
12 17.9 25 25 31.1 33
13 18.3 59
Источник. [285].
Для вычисления В используем следующий прием:
1 zl I zl *4
1 —0.8 0 14 23.8 1
2 7.5 1 15 14.8 1
3 46.9 1 16 20.6 1
4 17.6 1 17 25.0 I
5 —4.6 0 18 24.7 1
6 54.0 1 19 —1.8 0
7 48.3 1 20 21.9 1
8 3.9 1 21 4.7 1
9 16.7 1 22 24.7 1
10 19.7 1 23 52.8 1
11 —8.5 0 24 8.5 1
12 7.1 1 25 1.9 1
13 40.7 1
Отсюда В = 21, что указывает на отклонение Но в пользу 0 > О
на уровне значимости а = 0216, поскольку В = 21 > 18 =
=Ь(.О216, 25,1/2). Из табл. А.2 мы видим, что b (.0005, 25, 1/2) = 21.
Следовательно, наименьший уровень значимости, на котором мы можем
отклонить Но в пользу 0 > 0, равен .0005.
Применяя аппроксимацию для большой выборки, из (24) имеем
21~ —
В* —-----L_£J. = 3.40.
/ 25 \t/2
61
При использовании нормального приближения наименьший уровень
значимости, на котором мы можем отклонить Но, равен .0003. Очевид-
но, что и точный критерий, и аппроксимация для большой выборки
весьма определенно поддерживают альтернативную гипотезу о сущест-
вовании реакции куриных эмбрионов на световой раздражитель*.
Комментарии
3.17. Допущение БЗ следует из допущения АЗ, но обратное невер-
но. Таким образом, допущение БЗ слабее, чем допущение АЗ — это
преимущество критерия знаков перед критерием знаковых рангов.
Проверяя 0 = 0, можно еще более ослабить допущение БЗ, сведя его
к допущению БЗ', а именно: Р (Zt < 0) = Р (Zt > 0) = ^, i = 1,
..., п, где предполагаемое значение 0 равно 0. При проверке гипотезы
0 = 0О (см. комментарий 3.20) допущение БЗ можно заменить допуще-
нием БЗ", а именно:
/’(Zi-0o<O) = P(Zi-0o>O) = 4.t = 1............ti,
где предполагаемое значение 0 есть 0О.
3.18. Допущение Б1 не требует независимости Xt и Уг.
3.19. Для применения критерия знаков нужны только знаки раз-
ностей Zit i = l,..., п. Этот критерий и есть частный случай биномиаль-
ного критерия из гл. 2.
3.20. Для проверки гипотезы 0 = 0О, где 0О — некоторое число,
отличное от нуля, находим модифицированные наблюдения Z< = Zt —
— 0О, i = 1...п, и вычисляем В, используя Z/ (вместо Zt), i = 1, ...,
п, так что В — число Zf, больших, чем 0О. Методы (21)—(23) работают
точно так же, как и выше.
3.21. Если выполняется Но (19), то распределение симметрично
относительно своего среднего п/2, откуда следует
Ро {В > х} = Ро {В < (п. — х )}
для х = 0, ..., п, что в свою очередь влечет равенство верхнего а-про-
центиля распределения В при нулевой гипотезе и [п — Ь (а, п, 1/2)1,
поэтому роль критического значения в методе (22) играет [п — b (а,
п, 1/2)].
* Если вычислить относительную ошибку
„ 0.0005—0.0003
6=-----------------------------------= 0.4,
0.0005
или 40%, то становится ясно, что приближение плохое. Поправка на непрерыв-
D __ я/9 I i/o
ность В' = -----——J_----- ничего не улучшит (вместо 0.0003 будет 0.0007 и
V/1/4
п 25
опять б = 0.4). Это и понятно, нбо f < 9. Аппроксимация
Моленара (см. сноску к 2.1) хорошо действует для 0.93 1 — а 0.995, т. е
0.005 а 0.007, а у нас а = 0.0005.
Однако аппроксимация, предложенная Болыневым и обсуждаемая в § 5.1
(с. 104—107) книги [477], дает здесь лучшее приближение. — Примеч. пер.
62
3.22. При 9 > О число положительных наблюдений имеет тенден-
цию превосходить число отрицательных. Это требует отбрасывания
гипотезы Но (19) в пользу 9 > 0 при больших значениях В (20) и
служит некоторым объяснением метода (21).
3.23. Распределение В при нулевой гипотезе можно получить, ис-
п
пользуя равенство В = 2 Я’/ и 101 факт, что для Но (19) каждый из 2«
Z=1
возможных исходов в наборе (фх, ..., *ф„) реализуется с вероятностью
(у)". Например, в случае п = 3 есть 28 = 8 возможных исходов для
(фх, ф2, Фз), соответствующие им значения В приведены в следующей
таблице:
(Фо -Ф». Ф>) Ро {(Ф1> Ф». Ф.)1 3 2 1=1
(0,0,0) 1/8 0
(0,0,1) 1/8 1
(0,1.0) 1/8 1
(1,0,0) 1/8 1
(0,1,1) 1/8 2
(1,0,1) 1/8 2
(1,1,0) 1/8 2
1,1.1) 1/8 3
Так, например, Ро {В > 2} = Ро {В = 2} + Ро {В = 3} =y+|-sS
= -g- (ср. с вероятностью из табл. А.2 для р = .50, п = 3, Ь
Другой способ получения распределения при нулевой гипотезе —
использование формулы (2.10) для р0 = 1/2.
3.24. Статистика В (20) равна числу положительных наблюдений
среди Zit г = 1,.... ti. Определим В~ как число отрицательных наблю-
дений среди Zi, i = 1, ..., п. Заметим, что В~ можно определить по
формуле (20), если заменитьна (1 —фг), » = 1» •••> Методы про-
верки (21)—(23) можно с тем же успехом построить и для В~, посколь-
ку В~ = п — В.
3.25. С точки зрения простоты счета критерий знаков лучше кри-
терия знаковых рангов. Зато обычно (но не всегда) критерий знаков
менее эффективен, чем критерий знаковых рангов (см. § 3.10).
Для критерия знаковых рангов условия состоятельности аналогич-
ны, но не эквивалентны условиям состоятельности критерия знаковых
рангов (см. комментарий 3.9). Заменим допущение Б1—БЗ на допуще-
ния Б1' (все Zi извлечены из одной генеральной совокупности) и Б2'
(все п случайных величин взаимно независимы). Далее обозначим
9**=Р(/.>0)—-1-,
63
где Zi — случайный представитель совокупности Z. Тогда проверки
(21), (22) и (23) состоятельны против альтернатив, для которых 6** >о
0**<Ои6**=0:О соответственно. Для случая, когда верны допуще’
ния Б1 и Б2, а вместо БЗ берется его «усиленный» вариант из свойства
1, утверждение о состоятельности следует из утверждения, сформули-
рованного в связи со свойством 1 (см. [432]).
Свойства
1. Состоятельность: для получения нашего условия состоятельности
надо усилить допущение БЗ так, чтобы каждая из величин е извлека-
лась из одной и той же непрерывной совокупности с медианой 0. Тогда
критерии, определенные (21), (22) и (23), будут состоятельны против
своих альтернатив (см. [432], [279, р. 44]).
2. Эффективность: см. [74], [295], [179] и §3.10.
Ссылки. Критерий знаков использовался впервые не позже, чем
в 1925 г. в книге Фишера [125]. Одной из первых обстоятельных работ
по приложениям и теории этого критерия была работа [104]. Уолш
[440], [441] рассмотрел предпосылки применения критерия знаков
и их выполнимость в приложениях. В работах [328], [158], [106] изу-
чались методы проверки Но (19), основанные на линейной комбинации
статистики знаков В (10) и статистики знаковых рангов Т+ (3). В ста-
тье [433] предложен метод, использующий одновременно статистики
знаков и знаковых рангов*. Другие непараметрические конкуренты,
критерия включают критерии, предложенные Уолшем [440]; методы,
использующие одновременное приложение критерия знаков и свобод-
ных от распределения двух выборочных критериев (например, кри-
терий ранговых сумм Унлкоксона из § 4.1), которые обсуждались в
статьях [171], [172]; критерии, основанные на некотором классе ста-
тистик (включающем В как частный случай), которые рассматривались
в статьях [431], [432], и [433]. Методы, одновременно использующие кри-
терий знаков и одновыборочный Лкритерий, изучались в работе [115].
См. также «Ссылки» §3.1**.
Задачи
3. 11. В табл. 4 представлена часть данных из работы [83]. Цель исследова-
ния — установить, позволяют ли практика и тренировка изменить гипноти-
ческую внушаемость, измеряемую по объективным шкалам. В качестве таких
объективных мер использовались Стэнфордские профилограммы (системы шкал)
гипнотической внушаемости в формах I и II (СПГВ) [175]. Гипнотизер (нс экс-
периментатор) предъявлял испытуемым обе формы СПГВ. Затем каждый испы-
* См. также [657]. — Примеч. пер.
** Укажем на ряд не упомянутых здесь работ: Большей дал улучшенную
аппроксимацию, см. сноску выше и книгу [477], в рецензии Большева описаны
аппроксимации Моленара [692] для биномиального распределения. В русском
переводе книги Браунли [479] переводчик М. С. Никулин сделал добавления об
аппроксимациях. Критерий знаков — «старый и знаменитый», как выразились
Гаек и Шидак [165], на русском языке описан еще в ряде книг: [535], [495] и ДР-
При работе с ним можно пользоваться таблицами Оуэна [286], обширными таб-
лицами биномиального распределения [537]. таблицами [678]. Перечислим еше
работы: [582], [ 173], [634], [643], [665], [765], [602], [250] — подробное обсуждение,
сравнение с Т+ и /-критериями; [682] — обзор; [725]. — Примеч. пер.
64
туемый поступал к одному нз авторов
для ускоренного курса «гипнотической
тренировки». После его окончания каж-
дый испытуемый снова проверялся уже
другим гипнотизером (опять-таки не
экспериментатором) с помощью СПГВ
по эквивалентным формам I' и II'. В
табл. 3.4 приводятся средние баллы,
полученные по формулам I и II до обу-
чения (X), и соответствующие им сред-
ние баллы, полученные по формам I' и
II' после обучения (Г), для 6 испытуе-
мых. Заметим, что высокий (низкий)
балл по СПГВ указывает на высокую
(низкую) степень гипнотической вну-
Таблица 3.4. Средние баллы
по СПГВ
Испытуемый i xi vl
1 10.5 18.5
2 19.5 24.5
3 7.5 11.0
4 4.0 2.5
5 4.5 5.5
6 2.0 3.5
Источник. [83].
шаемости.
Проверьте гипотезу об отсутствии изменений гипнотической внушаемости
против альтернативы о том, что (как говорит СПГВ) она может возрастать под
воздействием практики и тренировки.
3.12. Измените в табл. 3.3 У 8= 73.0 иа 173. Как это повлияет на результаты
в примере 3.4? На какие соображения об относительной чувствительности кри-
терия знаков к резко выделяющимся наблюдениям это наводит? Постройте при-
мер, в котором замена одного наблюдения явно изменит окончательное решение
об отклонении или принятии Но.
3.13. Примите п = 25 и а = .0539. Сравните критерий, который дается фор-
мулой (21), и критерий нормального приближения (25).
§ 3.5. ОЦЕНКА, СВЯЗАННАЯ СО СТАТИСТИКОЙ ЗНАКОВ
Метод. Чтобы оценить 0 в модели (1), надо выполнить следующее.
1. Упорядочить наблюдения от меньшего к большему и обозначить
их так: Z(1> ^ ... ^ Z(n).
2. Оценка 0, связанная со статистикой знаков (см. комментарий
27), равна:
0 = медиана {Zb 1 i п}. (26)
Так, если п — нечетное (скажем, п = 2k + 1), имеем
0 = Z<*+D. (27)
Если же п — четное (скажем, п = 2k), то
0 = (28)
Пример 3.5. Рассмотрим данные о числе клеваний из табл. 3.3.
Упорядоченные значения Z, т. е. Z<x> ... Z<26), таковы:—8.5,
-4.6, — 1.8, —0.8, 1.9, 3.9, 4.7, 7.1, 7.5, 8.5, 14.8, 16.7, 17.6, 19.7,
20.6, 21.9, 23.8, 24.7, 24.7, 25.0, 40.7, 46,9, 48.3, 52.8, 54.0. Посколь-
ку п — 2k + 1 при k = 12, из (27) мы видим, что 0 — Z<13> = 17.6.
Комментарии
3.26. Одно из достоинств 0 (26) — простота. Для вычисления 0
(26) надо просто найти медиану п наблюдений Z, тогда как вычисление
многих оценок, связанных со свободными от распределения статисти-
ками, весьма трудоемко (например, для получения 0 (10) надо вычис-
65
лить медиану п (п + 1)/2 чисел). Правда, для получения оценки О
надо знать разности Z, а для построения критерия знаков вполне до.
статочно информации только о знаках этих разностей.
3.27. Оценку 6 (26) можно связать со статистикой знаков точно
так же, как и 9 (10) со статистикой знаковых рангов (см. комментарий
3.10). При 0 = 0 распределение статистики В (20) симметрично отно-
сительно среднего п/2 (см. комментарий 3.21). Величина, обозначенная,
скажем, 0, будет естественной оценкой, если при вычитании 0 из всех
Zi значение статистики В, вычисленной по сдвинутой выборке Zx — (Г,
..., Z„ — 0, равно п/2. Интуитивно ясно, что параметр 0 надо оценивать
таким числом 9, чтобы при сдвиге выборки Z новая выборка Zi — 9,
...., Zn — 9 выглядела (с точки зрения статистики В) как выборка из
совокупности с медианой 0. Эта интуитивная интерпретация форма-
лизуема (ср. с [181]).
3.28. Оценка 9 (26) еще менее чувствительная к выбросам, чем оцен-
ка 9, построенная по статистике знаковых рангов Т+ (3) (см. коммента-
рий 3.13 и задачи 3.5 и 3.15). Поэтому оценка 9 хорошо защищена от
грубых ошибок. Однако при ее вычислении использована не вся инфор-
мация, содержащаяся в собранных данных. Поэтому для многих видов
генеральных совокупностей эффективность 9 довольно низка.
3.29. Пусть Z<x> ^ ... ^ Z(n> — наблюдения из выборки, упорядо-
ченные от наименьшего к наибольшему, как на 1-м шаге метода. Опре-
делим выборочную квазимедиану выборки (ср. с [182]) как
9< = 2
Z^>+Z^.+O
2
иными словами, 9г есть среднее из двух симметрично расположенных
в вариационном ряду наблюдений Z. (Заметим, что определение квази-
медианы обобщает определение медианы выборки, так как медиана вы-
борки 9 (26) равна 90.) Такие квазимедианы суть естественные оценки
параметра 9 (см. комментарий 3.35); они рассматривались в работе
[182], где изучались и некоторые асимптотические свойства статистик
этого класса.
3.30. Приближение для дисперсии 9 (2) было дано в [182] (см. фор-
мулу (1.4) этой работы). Ходжес и Леман обратили внимание на то, что
неразумно вычислять медиану выборки 9, используя нечетное число
наблюдений, скажем, п = 2k + 1. Выборочная медиана для^ бли-
жайшего меньшего числа наблюдений n = 2k имеет по крайней мере
такую же точность. Причем сам этот вывод не зависит от формы рас-
сматриваемой (симметричной) совокупности, от нее зависит лишь
точность приближения.
66
3.31. Обозначим
п
D=^ai,
Х=1
где
(1, если [§—(n)-1/5] [0 + (n)“1/s],
1~|0 в противном случае,
для i = 1, п. Пусть А = maximum {1,0}. Если еще дополнитель-
но предположить, что все Z£ извлечены из одной совокупности (с ме-
дианой 6) и что вероятность попадания Z, в любой (достаточно) малый
интервал /, включающий медиану 0, должна быть больше или равна
некоторому числу (не зависящему от /), умноженному на ширину ин-
тервала I (см. допущение Д2), то статистика С = n3/i°A-1 будет со-
стоятельной оценкой асимптотического стандартного отклонения то-
чечной оценки 0 (26). Статистика С связана с общим классом оценок
плотностей вероятностей, рассмотренным в работах [327], [290], и
[159]. Состоятельность С можно вывести из результатов [228], где была
исправлена ошибка в доказательстве леммы 8.2 из работы [159].
3.32. Как сам критерий знаков (см. комментарий 3.26), так и свя-
занная с ним оценка 0 (26) проще с вычислительной точки зрения, чем
критерий знаковых рангов и связанная с ним оценка 0 (10). Обычно
(но не всегда) 0 более эффективна, чем 0 (см. комментарий 3.28 и § 3.10).
Свойства
1. Стандартное отклонение 0 (26): сведения об асимптотическом
стандартном отклонении см. в [128, р. 383] и комментарий 3.31.
2. Асимптотическая нормальность: см [128, р. 383].
3. Эффективность: см. [181] и §3.10.
Ссылки. Использование оценки 0 — не новый прием. В работе
[84] впервые найдено выборочное распределение 0, Смирнов [378] по-
лучил ее асимптотическое распределение. Более подробные сведения
относительно 0 и вообще порядковых статистик можно найти в книгах
[330] и [98]. Оценка 0 принадлежит к классу оценок, предложенных
Ходжесом и Леманом [181]. В частности, она получается при приме-
нении их метода к статистике знаков. Другой класс оценок, основан-
ных на квазимедианах, рассматривался в [182].
Задачи
3.14. Оцените 0 для средних из данных СПГВ табл, 3.4.
3.15. Замените в табл. 3.3 значение К3 = 73.0 на 173. Как это повлияет на
_ 25 ~
Z = 2 Zj/25? Каково новое значение 0 (26)? Интерпретируйте результат счета
i=l
(см. комментарий 3.26).
3.16. а) Что произойдете 0 при прибавлении b к каждому значению Z1,...,Znf
б) Что произойдет с 0 при умножении каждого значения на d?
67
в) Что произойдет с7> при отбрасывании из выборки k наибольших и k наи-
меньших значений (предполагается, что л > 2 А)? Сравните ответы иа эти вопро-
сы с ответом на соответствующий вопрос в задаче 3.7.
§ 3.6. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕРВАЛ,
ОСНОВАННЫЙ НА КРИТЕРИИ ЗНАКОВ (ТОМПСОН, САВАР)
Метод. При построении симметричного двустороннего доверитель-
ного интервала для 0, с коэффициентом доверия 1 — а, надо выполнить
следующее.
1. Из табл. А.2 найти такое целое число Са, что
Во {Са В (п, Са)} = 1 а. (29)
Заметим, что п — Са + 1 = b ((а/2), п,
2. Упорядочить выборочные наблюдения от меньшего к большему
и обозначить их так: Z(1) ^ ... ^ Z<n>.
3. Искомый (1 — а)-доверительный интервал (0 L, 0 и) получает-
ся из
0L = Z(C“), 0y = Z(n+1-c“). (30)
Числа 0 г, и 0 и из (30) таковы, что
Be (0 l < 0 < 0У) = 1 — а. (31)
Приближение для большей выборки. Для больших п. целое число Са
можно аппроксимировать*:
Са^(т)~2а/2(т)1/2- (32)
Поскольку число, получаемое при разных п из правой части (32), не
обязательно целое, для подстановки в (30) берется ближайшее к не-
му целое.
Пример 3.6. Рассмотрим данные о клевании из табл. 3.3. Положим
а = .1078. Из табл. А.2 при п = 25 находим Ъ (а/2, п, 1/2) = b X
X (.0539, 25, 1/2) = 17. Затем на шаге 1 метода получаем С, 107в =
= 25 + 1 — 17 = 9. Из примера 3.5
0£ = Z<8) = 7.5 и 0У = Z<17> = 23.8,
так что 89.22 %-ный доверительный интервал для 0 равен:
(0Ь, 0п) = (7.5, 23.8).
* Эта аппроксимация довольно грубая, можно использовать более точные
аппроксимации, приведенные в сноске к § 5.3. Подробнее см. [477], [479], [692]. —
Примеч. пер,
68
Применяя приближение для большой выборки (32), находим
с 1 алО/25\1/2
Ь.1078 ~ ——1.608 — «8,
\ 2 / \ 4 /
и потому =Z(8> = 7.1 и
Z<n+1-8) = z< 18) = 24.7
дают нам приближенный 89.22%-ный интервал для 6, равный (7.1,
Комментарии
3.33. Интерпретируем (1 — а)-доверительный интервал (30) в тер-
минах двустороннего критерия знаков. Доверительный интервал (9 L,
0 и) состоит из тех значений 0О, для которых двусторонний критерий
уровня а для гипотезы 9 = 60 (см. комментарий 3.20) принимает ги-
потезу 0 = 0о. В комментарии 3.14 дана аналогичная интерпретация
доверительного интервала (14), основанного на критерии знаковых
рангов.
3.34. Доверительный интервал для 0, основанный на статистике
знаков, легко построить, так как концы этого интервала зависят лишь
от упорядоченных значений Z. Однако знания одних только знаков раз-
ностей недостаточно. Для получения 9 ь и 9 v надо знать сами наблю-
дения.
3.35. Средняя точка интервала (30), равная [Z(c“l + Z("+l -с“)]/2,
кажется разумной оценкой 9 (см. [182] и комментарий 3.29. Заметим,
что при этом фактически получается класс оценок, зависящих от а).
В общем случае 9 средняя точка не совпадает с 9 (26).
3.36. Доверительный интервал (30), основанный на критерии зна-
ков и п наблюдениях Z, вычислять легче, чем доверительный интервал
(14), основанный на критерии знаковых рангов и п (п + 1)/2 разно-
стях Уолша (см. комментарий 3.12)*. Однако доверительный интервал
(14) обычно (но не всегда) более эффективен, чем (30) (см. § 3.10).
Свойства
1. Для совокупностей, удовлетворящих допущениям Б1—БЗ, вы-
полняется и (31). Поэтому (9£, 9 и) — свободный от распределения
интервал для 9 в широком классе совокупностей.
2. Эффективность: см*. §3.10.
Ссылки. Доверительный интервал (30) был описан Томпсоном
[413] и, независимо, Саваром [339]. Обобщение доверительного интер-
вала (30) на случай дискретной совокупности рассмотрели Шеффе и
Тьюки [343]. Подробное обсуждение получения (30) см. в [98, р. 13—
14].
* Алгоритм и программа для вычисления этих оценок даны в [559]. —
Примеч. пер.
69
Задачи
3.17. Постройте доверительный интервал для 0 с коэффициентом доверия
9688 для данных из табл. 3.4 о СПГВ.
3.18. Получите оценку асимптотического стандартного отклонения оценки
0 (по комментарию 3.31) для данных о клевании из табл. 3.3.
3.19. Для данных табл. 3.3 и а = .1078 вычислите точечную оценку 0, оп-
ределенную в комментарии 3.35. Сравните со значением"0 из примера 3.5.
ДАННЫЕ ОДНОЙ ВЫБОРКИ 1
§ 3.7. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА СТАТИСТИКЕ
ЗНАКОВЫХ РАНГОВ
Данные. Мы получаем п наблюдений Zb ..., Zn.
Допущения
Bl. Все Z взаимно независимы.
В.2. Каждое Z извлечено из непрерывной и симметричной относи-
тельно 0 совокупности (возможно, что разные Z извлечены из разных
совокупностей).
Методы. Для проверки гипотезы Но : 0 = 0О, где 0О — некоторое
заданное число, модифицируем наблюдения Z/ = Zt — 0О, i = 1, ...,
п. Затем берем любой из критериев § 3.1 и применяем его к наблюде-
ниям Z'.
Чтобы получить точечную оценку 0 или доверительный интервал
для 0, методы § 3.2 и 3.3. надо применять прямо к наблюдениям
Z, не модифицируя их.
Пример 3.7. Данные в табл. 3.5 опубликованы в статье [5]. Семь
наблюдений представляют собой семь
массы Земли к
полученные
космичес-
данных,
с косми-
Таблица 3.5. Оценки значений 0
с космических кораблей
«Маринер» и «Пионер»
Космический корабль е
«Маринер-4» (Венера) «Марниер-4» (Марс) «Марннер-5» (Венера) «Маринер-6» (Марс) «Марннер-7» (Марс) «Пионер-6» «Пионер-7» 81.3001 81.3015 81.3006 81.3011 81.2997 81.3005 81.3021
Источник. [5].
усредненных измерений 0 —
отношения
массе Луны,
семью различными
кими кораблями.
На основании
ранее полученных
ческого корабля «Рейнджер»,
специалисты считали 0 при-
мерно равным 81.3035. Следо-
вательно, мы заинтересованы
в проверке по данным табл.
3.5 гипотезы Но; 0= 81.3035
против альтернативы 0 #=
#= 81.3035, для чего мы при-
меним метод (6). При =
= аа = .039 из табл. А.4 на-
ходим, что t (.039, 7) = 25.
Теперь модифицируем наблюдения Z':
1 § 3.7—3.9 факультативны. Их результаты не используются в дальнейшем.
70
Прилагая метод из 3.1
к наблюдениям Z', полу-
чаем Т+ = 0. Поскольку
Т+=0< [28— t (.039, 7)=
=3], мы отвергаем Но: 9=
= 81.3035 на уровне а =
=ах + а2 = .078. Из табл.
А.4 видно, что [28 — t х
х (.008,7)1 = (28—28)=0.
Отсюда наименьший уро-
1 zl z'i = Zt — 6l .3035
1 81.3001 — .0034
2 81.3015 — .0020
3 81.3006 — .0029
4 81.3011 — .0024
5 81.2997 — .0038
6 81.3005 — .0030
7 81.3021 — .0014
вень значимости, на кото-
ром мы можем отвергнуть Но в пользу 9^=81.3035, при использо-
вании симметричного критерия, основанного на Т+, равен .016.
Используя аппроксимацию для большой выборки, мы видим из
(7), что
СП* _ о [7 (8)/4] _ q qck
Т “[7(8)(15)/24]>/2-“2-366-
Наименьший уровень значимости, на котором мы можем отвер-
гнуть Но, используя симметричный критерий, основанный на нормаль-
ной аппроксимации, равен .018. Это означает, что и точный, и прибли-
женный критерий указывают на полную несостоятельность старого
результата, полученного «Рейнджером», 9 = 81.3035.
Упорядоченные величины (Z4 + Zj)/2, т. е. UZt1) ^ ... ^ Ц7<28),
равны: 81.2997, 81.2999, 81.3001, 81.3001, 81.30015, 81.3003, 81.30035,
81.3004, 81.3005, 81.30055, 81.3006, 81.3006, 81.3006, 81.3008, 81.3008,
81.3008, 81.30085, 81.3009, 81.3010, 81.30105, 81.3011, 81.3011,
81.3013, 81.3013,81.30135, 81.3015, 81.3016, 81.3018,81.3021. Посколь-
ку М = 7 (8)/2 = 28, то М = 2k и k = 14. Тогда из (12) имеем:
-- ^(14) + ^(15) 81.3008 - 81.3008 О1 ОЛОО
и ------------------------------------ о 1 .оООо.
2
Из табл. А.4 при п = 7, а = .046 находим t п\ = t (.023,7) =
= 26. Отсюда С.046 = {7 (8)/2) + 1 — t (.023,7) = 28+1 — 26 = 3.
Из (14) следует, что 9 L = = 81.3001 и 9 ц = №<26> =
= 81.3016, таким образом, 95.4%-ный интервал для 9 равен:
(9£, 9Ц) = (81.3001, 81.3016).
Заметим, что для получения 9 и точного доверительного интервала для
9 можно использовать графический метод из § 3.3.
Применяя аппроксимацию для большой выборки (16), находим
С.046 « [7 (8)/41 — 1.996 [7 (8) (15)/24р/2 2>
поэтому = 81.2999 и Ц7<2’) = 81.3018, приближенный 95.4%-ный
доверительный интервал есть (81.2999, 81.3018). Важно отметить, что,
применяя методы, основанные на статистике знаковых рангов 7+ (3),
мы тем самым принимаем допущение о том, что совокупность средних
71
измерений 0 с каждого спутника была симметрична относительно 0.
(О проверке этого важного предположения см. § 3.9.) Заметим также,
что приведенные выше данные доставляют нам пример, в котором со-
вокупности наблюдений Z, вероятно, различны (см. допущение В2).
Комментарии
3.37. Отметим, что допущение А1, высказанное в связи с обра-
боткой повторных парных наблюдений с помощью статистики знаковых
рангов, не является обязательным для одной выборки, поскольку ее
данные — вовсе не разности парных наблюдений.
Свойства. Свойства методов, основанных на статистике знаковых
рангов, для одной выборки, по существу, те же, что и для соответст-
вующих методов для повторных парных наблюдений. Правда, могут
появиться различия в эффективности, обусловленные различиями в
типе данных. Об этих различиях эффективности для § 3.1, 3.2, 3.3 при-
менительно к задачам одной выборки см. в §3.10.
Задачи
3.20. В табл. 3.6 приведена часть данных из работы [202], в которой исследо-
валась коррозионная стойкость нержавеющей стали 18Сг — 10N1 — 2Мо
(т. е. нержавеющей стали, содер-
жащей (в весовых процентах)
18% хрома, 10% никеля и 2%
молибдена). Для исследования
стойкости было отобрано 12 об-
разцов стали. Хотя описанный в
[202] эксперимент был направлен
на изучение коррозии, мы оста-
новимся на качестве нержавею-
щей стали, из которой были взя-
ты образцы. В табл. 6 дано про-
центное содержание хрома в 12
образцах из работы [202].
Проверьте гипотезу о том,
что медиана процента хрома в
стали (6) равна 18% против аль-
тернативы, что она не равна 18%.
Получите точечную оценку 6 и
найдите для 6 доверительный ин-
тервал с коэффициентом доверия
.936.
3.21. По данным табл. 3.6
получите точечную оценку 0 —
середину доверительного интервала, построенного в задаче 3.20 (см. коммента-
рий 3.15). Сравните с точечной оценкой, полученной в задаче 3.20.
3.22. Вычислите 6 по данным о скорости седиментации в табл. 3.7 и сравните
со значением 6 из примера 3.8.
§ 3.8. МЕТОДЫ, ОСНОВАННЫЕ НА СТАТИСТИКЕ ЗНАКОВ
Данные. Мы получаем п наблюдений Zlt ..., Zn.
Допущения
Д1. Все наблюдения Z взаимно независимы.
Д2. Все Z извлечены из одной и той же непрерывной совокупности
с медианой 0, так что Р (Z; < 0) = Р (Z; > 0) = 2\> i = 1, п'
72
Таблица 3.6. Процент хрома в образцах
нержавеющей стали
Выборка стали
Содержание Сг, %
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
17.4
17.9
17.6
18.1
17.6
18.9
16.9
17.5
17.8
17.4
24.6
26.0
Источник. [202].
Методы. Для проверки Но: 0 = 0О, где 0О — некоторое заданное
число, надо модифицировать наблюдения Zi = Zt — 0О, i = 1, ..., п.
Затем к этим наблюдениям Z' можно применять любой из методов 3.4.
(Для проверки Но можно ослабить допущение D2 до допущения D2'
о том, что наблюдения Z извлечены из таких, вообще говоря, различ-
ных совокупностей, что Р (Zt <. 0О) = Р (Zt > 0О) = ; i = 1 -j- п,
где 0 как раз и есть гипотетическое 0О.)
Чтобй получить точечную оценку 0 или доверительный интервал
для 0, надо применить методы § 3.5 и 3.6 непосредственно к наблюде-
ниям Z.
Пример 3.8. В табл. 3.7 приведены некоторые данные из [381],
полученные в эксперименте по исследованию геоморфологии большой
песчаной отмели в южной части пролива Винъярд в штате Массачу-
сетс. Из различных мест мели
отобрали с помощью грейфер-
ного пробоотборника ван Ве-
ена 7 проб. Одним из объек-
тивных измерений, о котором
сообщил Смит, было измере-
ние скорости седиментации
песка при 22° С. Обычно на
пересечении гребней песча-
ных волн скорость седимен-
тации равна 14 см/с.
В табл. 3.7 даны скорости
для песка из семи выбо-
Таблица 3.7. Скорости седиментации
(осаждения) при 22° С
Образец i (см/с)
1 12.9
2 13.7
3 14.5
4 13.3
5 12.8
6 13.8
7 13.4
рок, извлеченных ИЗ одной Источник. [381].
пробы.
Мы хотим узнать, относятся ли эти семь выборок к тому месту,
где пересекаются гребни песчаных волн этой отмели. Пусть 0 есть ме-
диана скорости седиментации для совокупности песка, из которой из-
влекались эти выборки. Мы хотим проверить Но: 0 = 14-см/с против
альтернативы 0 14 см/с и возьмем для этого метод (23). При аг =
= а2= .0078 из табл. А.2 видим, что b (.0078,7, у) = 7. Теперь мы,
таким образом, модифицируем наблюдения Z'.
Используя для Z' спо-
соб счета 3.4, находим
i Zi 2^ = (2г-14)
1 12.9 -1.1
2 13.7 -0.3
3 14.5 0.5
4 13.3 -0.7
5 12.8 —1.2
6 13.8 -0.2
7 13.4 —0.6
b = 1. Поскольку [7 —
— б(.0078, 7, у)]= 0<
< b< 1 = b (.0078, 7, 1/2),
то принимаем Но : 6 =
= 14 см/с на уровне а —
= ах 4- а2 = .0156. Из
табл. А.2 получаем [h —
— &(.О625, 7, 4) =7—6 =
73
— 1. Следовательно, наименьший уровень значимости, на котором
мы могли бы отвернуть Но в пользу 0 14 см/с, при симметрич-
ном критерии, основанном на В, равен .1250.
Для приближения при большой выборке (24) мы получаем
-т
В* =-----— «—1.89.
/_7_\|/2
\ 4 /
В этом случае наименьший уровень значимости, на котором можно
было бы отвергнуть Но, применяя симметричный критерий, основанный
на нормальной аппроксимации, равен* .0588.
Упорядоченные значения наблюдений Z, т. е. Z(1> ^ ... ^ Z(7>
таковы: 12.8, 12.9, 13.3, 13.4, 13.7, 13.8, 14.5. Поскольку п — 2k 4- 1
и k = 3, из (27) видим, что
0 = ZW = 13.4.
Из табл. А.2 при п = 7, а = .1250 находим b ((-у)> п, у) = 6 (.0625,
7, у) = 6. Поэтому С.125о = 7-|-1—6 = 2. Тогда из (30) следует
0 х, = z(2) = 12.9 и 0^ = Z<e> = 13.8,
так что 87.5%-ный доверительный интервал для 0 есть
(0ь, 0^) = (12.9, 13.8).
Применяя приближение для большой выборки, находим из (32).
с. 1250 ~ (v)- L534-(тТ/2 ~к
Значит, Z(1) = 12.8 и Z(n+1-1) = Z(1) = 14.5, поэтому приближен-
ный 87.50%-ный доверительный интервал для 0 есть (13.8, 14.5).
Комментарии
3.38. Заметим, что для одной выборки методы, основанные на ста-
тистике знаковых рангов, не обязательно основываются на допущении
Б1, предназначенном для повторных парных данных.
3.39. При работе с одной выборкой теорию, основанную на стати-
стике критерия знаков, можно развить для построения свободных от
распределения методов проверки гипотез о различных квантилях, а не
только о медиане. Эти методы подобны методам (21), (22), (23), но отно-
сятся к другим вероятностям р в нулевой гипотезе о биномиальном рас-
пределении. Например, пусть Zlt .... Zn — случайная выборка из со-
вокупности П. Обозначим через р неизвестный 1-квантиль совокуп-
ности П. (Положим для удобства, что pg — единствен.) Рассмотрим
задачу проверки гипотезы Но : pg = р0 (заданное число) против одно-
* Обратите внимание иа то, как сильно различаются .1250 и .0588. Авт°"
ры применяют при п = 7 нормальную аппроксимацию лишь в учебных целях.
— Примеч. пер.
74
сторонней альтернативы pg > р0- Обозначим через В число наблюде-
ний Z, больших |10. При Но случайная величина В распределена бино-
миально с параметрами пир = 1 — Большие значения В указывают
на выполнение неравенства p.g > р0, поэтому подходящий односторон-
ний критерий уровня а отвергает Но в пользу pg > р0, если В b (а,
п, 1 — £); критерий принимает Но, есЛи В < b (а, п, 1 — £). Здесь
b (а, п, 1 — £) — число, извлеченное из табл. А.2. Односторонний
критерий против альтернативы pg < р0 и двусторонний против
pg Ф р0 строятся аналогично. Статистика Bln является естественной
оценкой параметра Р (Z > р0). Можно получить еще и приближенный
доверительный интервал для pg (ср. [82]).
Свойства. По существу, свойства одновыборочных методов, осно-
ванных на статистике знаков, те же, что и у методов, относящихся к
парным данным и той же статистике. Лишь свойства эффективности со-
ставляют исключение, поскольку различны типы данных. Различие в
эффективностях для методов § 3.4—3.6 и случаи их применения к одной
выборке обсуждаются в §3.10.
Задачи
3.23. Данные в табл. 8 — это часть результатов работы [76]. Авторы ее ис-
следовали соотношение между концентрацией озона и фитофтозой посевов та-
бака на юге провинции Онтарио в Канаде*. Одним из объективно измеряемых
показателей было содержание окислителя в воде для орошения, измеряемое
в миллионных долях озона. В период 25—30 августа 1960 г. в районе Порт-
Беруэлл в Онтарио было взято 12 проб воды; содержание окислителя в них при-
ведено в табл. 3.8.
Проверьте гипотезу о том, что медиана содержания (6) равна 0.25, против
альтернативы, что она менее 0.25. Найдите для 6 точечную оценку и доверитель-
ный интервал с коэффициентом доверия .9614.
Таблица 3.8. Содержание окислителя в поливной воде, Порт-Беруэлл 1960
Выборка i Zj—содержание озона (млн. доли) | Выборка 1 Zj —содержание озона (млн. доли)
1 0.32 I 7 0.17
2 0.21 8 0.35
3 0.28 9 0.20
4 0.15 10 0.31
5 0.08 11 0.17
6 0.22 1 12 0.11
Источник. [76].
3.24. По данным табл. 3.8 о содержании окислителя найдите точечную оцен-
ку 0 как среднюю точку доверительного интервала задачи 3.23 (см. комментарий
3.35). Сравните ее с оценкой "0 из задачи 3.23.
3.25. Вычислите 6 для данных об отношениях масс из табл. 3.5 и сравните с
0 из примера 3.7.
* Фнтофтоза — болезнь листьев табака, вызываемая грибком, размноже-
нию которого способствует избыточная влажность. Часто возникает при непо-
мерном поливе или в дождливое лето. — Примеч ред.
75
§ 3.9. АСИМПТОТИЧЕСКИ СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТЕРИЙ СИММЕТРИИ (ГУПТА)
Данные. Мы получаем п наблюдений Zb .... Zn.
Допущения
El. Все Z взаимно независимы.
Е2. Все Z извлекаются из одной и той же непрерывной совокупно-
сти с неизвестной медианой 0. Это общая для всех Z совокупность та-
кова, что вероятность попадания наблюдения в любой (достаточно)
малый интервал I, содержащий медиану 0, равна или более некоторой
заданной константы (не зависящей от 7), умноженной на ширину ин-
тервала I1.
Метод. Вот интересующая нас гипотеза:
7fo:P(Z<0 + 6) + P(Z<0-6) = 1 (33)
для всех Ь.
Это гипотеза о том, что совокупность, из которой извлечены на-
блюдения Z, симметрична относительно 0, она эквивалентна равенст-
ву Р (0 < Z — 0 <b) = Р (— b<.Z — 0 < 0) для всех b > 0. Для
проверки /70 надо выполнить следующее.
1. Получить медиану выборки Ъ (26), выполняя шаги 1 и 2 § 3.5.
2. Определить переменные-счетчики
1, если (Zj-]-Z^>20,
0, если (Zi + ZJ)^20,
6М =
для / = 2, ..., яи 1 = 1....../— 1»
3. Положить
п /-1
А= 2 2
/=2 1=1
и
. _[(»-2)/2] [п/2]
2 2
(34)
(35)
где (только в этом параграфе) [х] означает наибольшее целое, меньшее
или равное х.
4. Определить С из
С = 2<л1~л») (36)
п (п—1)
5. Определить другой набор переменных-счетчиков
( 1, если |0-(п)-‘/5} ^Zt < {0 + (п)->/5},
1 0, в противном случае
для i — 1, .... п.
1 Это словесное выражение математического условия 1(c) из работы [159,
р. 850].
76
n
6. Положить D = maximum {1, J] at} и определить Л3 из
/=i
Д3 = —•
2л4/5
7. Пусть t определено равенством
(37)
f z (ct* /2) /оо\
где (9j для 9 шагов 8. Г l» 9 u) — симметричный двусторонний доверительный интервал с коэффициентом доверия 1 —а*, полученный применением 1—3 § 3.3 (см. комментарий 3.46). Чоложить У = (1/12) + —~(2<Мз)}2 (39)
9. ( Определить с—) 7=—(40) (У/Л)1'2 К ’
10. потезы Р Односторонний (приближенный) критерий уровня а для ги> i Но (33) против альтернатив (0 < Z — 0 < 6) Р (— b<ZZ — 0 < 0) для всех b > 0 со строгим неравенством по крайней мере для одного положительного b (41)
таков: отклонить Но, если 7 Z(a), 1 ПРИНЯТЬ Но, еСЛИ 7 < Z(a). J
Од] Но (3J Р посторонний (приближенный) критерий уровня а для гипотезы J) против альтернативы (0<Z — 0<6)>Р(— & <Z — 0<О) для всех Ь > 0 со строгим неравенством по крайней мере для одного положительного b (43)
таков: отклонить Но, если 7 С — Z(a), 1 (44) принять Но, если 7 > — Z(a). J
Двусторонний (приближенный) критерий уровня а для гипотезы
Но (33) против альтернативы
P(0<Z — 0<6)^Р(— 6<Z — 9<0), хотя
одного положительного Ь,
таков:
отклонить /70,.если J^Z(a.)
ИЛИ J с —Z(a,)»
Принять Но, если —Z(ai) С 7С Z(a,),
где a = ах + аа.
бы для
(45)
(46)
7J
Методы (42), (44) и (46) асимптотически свободны от распределений
(см. комментарий 3.42).
Связи. Для случая, когда в выборке есть связи, все методы вполне
пригодны и никаких коррекций не требуют.
Пример 3.9. Рассмотрим данные о процентах хрома из табл. 3.6
Заметим, что при применении к этим данным в § 3.7 метода знаковых
рангов мы сделали предположение о том, что наблюдения о содержании
хрома извлечены из совокупности, симметричной относительно медианы
0. Поэтому критерий симметрии представляет более чем иллюстратив-
ный интерес. Если далее предположить, что каждое из наблюдений из-
влечено из одной и той же непрерывной совокупности, удовлетворяющей
допущению Е2, мы можем применить один из методов Гупты. Поскольку
нет определенных указаний на возможный тип асимметрии, мы будем
проверять HQ (33) против двусторонних альтернатив асимметрии (45)
и возьмем критерий (46).
Упорядоченные значения Z(1)^ ... < Z(12) таковы: 16.9, 17.4, 17 4
17.5, 17.6, 17.6, 17.8, 17.9, 18.1, 18.9, 24.6, 26.0. Поскольку п = 2k
и k — 6, мы видим из (28), что 0 = (Z(6) + Z(7))/2 = (17.6+17.8)/2 =
= 17.7. Покажем, как найти и Л2, используя табл. 3.9.
Мы получаем
и
12 /-1
/ = 2 ( = 1
5(6)
Отсюда
с= 2(40-15). = 379
{12(H)}
78
Покажем, как найти А3 по следующей таблице:
Номер выборки 1 zi ai Номер выборки i zi ai
1 17.4 1 7 16.9 0
2 17.9 1 8 17.5 1
3 17.6 1 9 17.8 1
4 18.1 1 10 17.4 1
5 17.6 1 11 24.6 0
6 18.9 0 12 26.0 0
Отсюда видно, что/) - maximum {1, = maximum {1,8}==
= 8 и
А3 = —— = —— = -548.
2(12)4/5 2(12)4/5
Полагая а* = .064, получаем из табл. A.l z(,o32) ~ 1-852. По методу
§ 3.3 получаем
(0l, 0и) = (17.5, 21.25)
— доверительный интервал для 0 с коэффициентом доверия 93,6%.
Тогда из (38) мы видим (для а* = .064), что
t ________1^2____________= = .082.
(21.25—17.5) {3 (12))1/2 22-5
Учитывая предыдущую информацию из (39),
V = + I'-^-W-548»2 в.083 + .123 = .206.
Объединяя все найденное, получаем по (40)
J = .379-.25 = 985
(. 206/12)1 /2
Вывод: наименьший уровень, на котором мы можем отвергнуть
Но< применяя двусторонний критерий (26), примерно равен .32 (см.
табл. А.1), что указывает на отсутствие достаточных оснований для за-
ключения об асимметрии рассматриваемой совокупности долей хрома.
Комментарии
3.40. Ранее мы заметили, что гипотеза о симметрии Но (33) экви-
валентна гипотезе Р (0 < Z — 0 < b) = Р (— b <ZZ — 0 < 0) для
всех b > 0. Альтернативе (41) соответствует совокупность, скошен-
ная вправо; альтернативам (43) соответствует совокупность, скошен-
ная влево. Двусторонние альтернативы (45) есть общие альтернативы
асимметрии в рассматриваемой генеральной совокупности.
79
3.41. Статистика (34) — число тех средних Уолша (см. ком-
ментарий 3.12) для выборки Z, которые строго больше, чем медиана
выборки 0; А2 (35) — число тех пар (Z,, Z;), i < /, для которых и Zi
и Z.] строго Дольше 0. Можно показать, что .dj — А 2 есть число тех пар
(Z,, Z/), для которых Z, < 0, Zj >0 и при этом (Z> — 0) > (0 —
— Z;); таким образом, Ai — А2 есть число таких положительных от-
клонений от медианы выборки 0, которые превышают абсолютное зна-
чение отрицательных отклонений от 0. Если (41) верно, т. е. совокуп-
ность скошена вправо (см. комментарий 3.40), то должно наблюдать-
ся большее число пар (Zit Zj), для которых Zj<0, Z>> 0 и (Z7 —
— 0) >• (0 — Z;). Статистика J (40) имеет склонность к большим зна-
чениям, поскольку так ведет себя разность — А2. Поэтому откло-
няем /70 (33) в пользу (41) при больших значениях J. Эти соображения
частично объясняют метод (42).
3.42. Истинный уровень значимости критериев (42), (44) и (46)
асимптотически (т. е. при бесконечно больших выборках) равен но-
минальному уровню значимости. При выполнении допущений Д1 и Д2
это асимптотическое утверждение не зависит от вида рассматриваемой
совокупности. Более точно: при допущениях Д1 и Д2 статистика J
имеет асимптотическое распределение N (0,1), если верна гипотеза
Но. Поскольку асимптотическое распределение не зависит от сово-
купности Z, мы говорим, что критерий, основанный на J, асимптотиче-
ски свободен от распределения. На практике, разумеется, не бывает
бесконечно больших выборок. В любом конкретном случае при большом
п уровень значимости критерия, основанного на J, близок к номиналь-
ному уровню а, но не равен ему в точности: Точность приближения за-
висит от п и а, а для фиксированного а она обычно возрастает с ростом
п. Вопрос о том, как велико должно быть п, чтобы приближение ока-
залось хорошим, остается открытым, о чем и надо предупредить чита-
теля. Поскольку точное распределение J при нулевой гипотезе зависит
от типа совокупности Z, нельзя построить таблицы точного распреде-
ления для каждого п точные критические точки будут зависеть от
формы распределения Z. Поэтому методы, основанные на J, не будут
в точности свободными от распределения.
3.43. Для случая, когда медиана рассматриваемой совокупности
равна некоторому заданному числу, скажем, 0О, Гупта [159] предложил
процедуры проверки гипотезы симметрии относительно 0О. Они осно-
ваны на статистике С = 2 (Л[ — А'2)/{п(п—1)}, где /И равно
(34) с заменой 9 на 0О при подсчете 6; А2 равно числу таких пар
(Zj, Zj), i <Z j, для которых Zj ><0O и Zj > 0O. Однако ситуация, в ко-
торой медиана совокупности известна, встречается гораздо реже,
чем ситуация, когда она неизвестна (см. комментарий 3.44). Гупта
[159] исследовал потерю эффективности, возникающую вследствие при-
менения методов (42), (44), (46) в случае, когда медиана известна и
можно применять критерии, основанные на С (см. 3.10).
3.44. В § 3.7 для исследования медианы совокупности использовались
методы, основанные на статистике знаковых рангов Т(2}, при этом
80
предполагалось, что генеральная совокупность симметрична. С другой
стороны, методы (42), (44) и (46) используются для проверки симмет-
рии и в них явно не фигурирует численное значение медианы совокуп-
ности. Поэтому при решении одновыборочной задачи о параметре по-
ложения у нас может возникнуть желание применить (42), (44) и (46)
для получения выводов о действительном значении медианы совокуп-
ности (для проверки допущения о симметрии) до использования мето-
дов со знаковыми рангами из § 3.7. Действительно, методы (42), (44)
и (46) для этого вполне подходят, а упомянутые в комментарии 3.43
критерии для проверки симметрий, требующие знания медианы, —
непригодны.
3.45. Для обеспечения асимптотической свободы от распределения
для статистики J (40) надо, чтобы V (39) была состоятельной оценкой
асимптотической дисперсии n^J при распределении Но. Величины
i (38) и А з (37), используемые для вычисления V, сами связаны с не-
которыми состоятельными оценками, рассмотренными в этой главе
ранее. В частности, член 1/{2/ (Зп)|/2} — состоятельная оценка асим-
птотического стандартного отклонения оценки 0 (10) (см. комментарий
3.16), а член 1/{2А3п1/2} служит состоятельной оценкой асимптотиче-
ского стандартного отклонения 1) (26) (см. комментарий 3.31).
3.46. Уровень значимости а* удобно выбирать так, чтобы а*/2
соответствовало одной из вероятностей на хвосте распределения Т+
при нулевой гипотезе. Иными словами, а* выбирается так, что для не-
которого целого t вероятность Ро {Т+ t} = а*/2*. Значение а*,
вообще говоря, может не совпадать с номинальным уровнем значи-
мости а критерия J.
Свойства
1. Состоятельность: при слабых предположениях о рассматривае-
мой совокупности критерии, определенные в (42), (44) и (46), состоя-
тельны относительно альтернатив (41), (43) и (45) соответственно. Об-
суждение этих предположений приведено в [159].
2. Эффективность: см. [159] и §3.10.
Ссылки. Асимптотически свободные от распределения методы
для проверки симметрии совокупности относительно неизвестной ме-
дианы предложил Гупта [159]. Доксам и Томпсон [106] придумали
конкурирующий подход. Для проверки симметрии при известной ме-
диане предложены другие методы, в том числе и основанные на стати-
стике, подобной J (см. комментарий 3.43) и рассмотренной Гуптой [159].
Такой критерий разработан Гросс [158]. Метод, предложенный Бат-
лером [63], основан на эмпирической функции распределения наблю-
дений выборки [см. (10.30)]. Семейство критериев, включающее кри-
терии, основанные на статистике знаков В (20) и на характеризации
симметричных случайных величин, обсуждается в [209]. Критерий,
основанный на линейной комбинации статистики знаков и знаковых
* Например, при п ~ 9 вместо а* = 0.100 мы можем выбрать а* — 0,098,
а*
Которому соответствует х = t = 37, так что Ро {Т+ > 37} = = 0.049
(см. табл. А.4). — Примеч. пер.
81
рангов, рассматривался в [158], [1061, он асимптотически эквивалентен
критерию J*.
Задачи
3.26. Рассмотрите данные о скорости седиментации из табл. 3.7. Проверьте
гипотезу о симметрии против альтернативы о том, что совокупность скоростей
скошена вправо.
3.27. В табл. 3.6 замените величины Z1( Z2, Z4 и Z10, равные 17.4, 17.9, 18. i
и 17.4 иа 17.55, 18.7, 19.1 и 17.55 соответственно. Каким будет после этих изме-
нений наименьший уровень значимости, па котором мы можем отвергнуть Но (33)
в пользу (45) методом (46)? Сравните его с наименьшим уровнем значимости из
примера 3.9 для исходных наблюдений табл. 3.6. Объясните эти результаты
с точки зрения изменения данных.
3.28. Как повлияет на статистику J (40) прибавление к каждому Z числа
6? Объясните это полезное свойство критерия симметрии совокупности.
3.29. Дайте определения следующих понятий: асимптотически свободный от
распределения доверительный интервал, асимптотически свободный от распреде-
ления критерий, асимптотическая относительная эффективность (доверительных
интервалов, оценок, критериев), средние ранги, состоятельная оценка, состоя-
тельный критерий, непрерывная случайная величина, свободный от распределе-
ния доверительный интервал, свободный от распределения критерий, совокуп-
ность с двусторонним экспоненциальным распределением, грубая ошибка, не-
зависимые случайные величины, переменная-счетчик, среднее (математическое
ожидание) совокупности, среднее выборки, медиана совокупности, медиана вы-
борки, выброс, нормальная совокупность, распределение при нулевой гипотезе,
псевдомедиаиа, квантиль, случайная величина, ранг, квазимедиана выборки,
знаковый ранг, объем (группы совпадающих наблюдений), симметричная сово-
купность, равномерно распределенная совокупность.
§ 3.10. СРАВНЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТЕЙ
(ОДНОВЫБОРОЧНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПОЛОЖЕНИЯ
(СДВИГА) И МЕТОДЫ, ПРЕДНАЗНАЧЕННЫЕ
ДЛЯ ПОВТОРНЫХ ПАР)
Асимптотическая относительная эффективность одновыборочных
непараметрических методов, основанных на статистике знаковых ран-
гов Т+ (3) по отношению к их соперникам, использующим теорию нор-
мального распределения и основанным на выборочном среднем Z =
п
= У, Zi/n при альтернативах сдвига, задается величиной /4 (F)* 1, где
z=i
F — функция распределения, общая для всех наблюдений Zlt .... Zn-
В частности, Питман [295] нашел асимптотическую относительную эф-
фективность /х (F) для метода проверки гипотез, основанного на Т*
по отношению к одновыборочному /-критерию, основанному на Z.
Этот подход был распространен Ходжесом и Леманом [181] на точечную
оценку 6 (10) и Z, а Леманом [248] — на доверительные интервалы,
полученные по Т+ и Z соответственно.
Ходжес и Леман [179] показали, что для непрерывных симметрич-
ных совокупностей (F) не может быть менее 0.864, зато может быть
* Добавим к этому списку следующие работы [377], [764], [725], [679],
[657]. См. также [523]. — Примеч. пер. .
1 Математическое выражение /4 (F) дается формулой (1.4) из работы [ 1791'
82
бесконечной. Они доказа- ли, что обе эти границы Таблица 3.10. Значения /|(F) для некоторых распределений
достигаются для конкрет- ных распределений. Зна- чения /г (F) для некото- рых F даны в табл. 3.10. Асимптотическая эф- фективность одновыбороч- Распределение (F) Л (Г)
Нормальное Равномерное Двойное экспоненциальное .955 1.000 1.500
ных непараметрических
методов, основанных на статистике знаков В (20), по отношению к
их соперникам из нормальной теории, основанным на Z, выражается
величиной /2 (F)1, где F — функция распределения, общая для всех
Z. Питман [295] нашел /2 (F) для методов проверки гипотез, основан-
ных на В, по отношению к методам, основанным иа Z в случае альтер-
натив сдвига, а для нормального распределения еще раньше Кокрен
[74] получил эффективность .637. Ходжес Леман [181] нашли /2 (F)
для точечной оценки 6 (26) по отношению к Z. Так же как в [248] Леман
получил асимптотическую относительную эффективность доверитель-
ного интервала, основанного на статистике знаковых рангов Т+, по
отношению к доверительному интервалу, основанному на Z, он пришел
к выводу о том, что и асимптотическая эффективность доверительного
интервала, основанного на В, по отношению к доверительному интер-
валу, основанному на Z, равна /2 (F).
Ходжес и Леман [179] показали, что для некоторого класса распре-
делений /2 (F) никогда не бывает менее 1/3 и может быть бесконеч-
ной. Причем они показали, что обе границы могут достигаться для оп-
ределенных распределений. Значение /2 (F) для отдельных F даны в
табл. 3.11.
Заметим, что в задаче о повторных парных наблюдениях каждое
Z — разность двух наблюдений. Значит, при вычислении эффектив-
ности общая функция распределения в параметрах /х (F) и /2 (F)
будет функцией распределения разности двух независимых и одинако-
во распределенных случайных величин. Поскольку не все непрерывные
распределения и даже не все непрерывные и одновершинные распре-
деления могут быть распределениями такого вида, нижние границы
Л (F) и /2 (F) для повторных пар надо искать для более узкого класса
распределений, чем в случае одной выборки. В частности, в случае пар
Холлендер [192] доказал, что нижняя граница .864 /X(F) не достигает-
ся. Подобным же образом Пури и Сен [306] показали, что и нижняя гра-
ница у для /2 (F) в случае пар тоже не достигается.
Для парных повторных наблюдений значения /х (F) и /2 (F) те же,
что в табл. 3.10 и 3.11 —для нормальной и двусторонней экспонен-
циальной совокупности. Однако равномерное распределение не может
служить распределением разности двух независимых и одинаково рас-
пределенных случайных величин (см. [306]).
1 Математическое выражение /2 (Г) дается формулой (1.14) из работы [179].
83
Таблица 3.11: Значения h(F)
для разных совокупностей
Распределение (F) 1>(F)
Нормальное Равномерное Двустороннее экспоненциальное .637 .333 2.000
Асимптотическая относительная эффективность проверок, осно-
ванных на J (40), в случае асимметричных альтернатив с неизвестной
медианой по отношению к их соперникам для ситуации с известной ме-
дианой (см. [159] и комментарий 3.43) получена Гуптой [159] и выража-
ется величиной /8 (F)1. Эти асимптотические эффективности дают не-
которое представление о том, что мы теряем, не зная медианы. Как по-
казал Гупта [159], в широком классе альтернатив /8 (F) лежит между
.25 и 1. Он также показал, что для определенных распределений эти
границы достигаются (см. табл. 3.12). Значения /8 (F) даны в табл. 3.12
Таблица 3.12. Значения I3(F)
Распределение (F) /,(П
Нормальное Равномерное Двустороннее экспоненциальное .67 .25 1.00
Гупта [159] нашел также асимптотическую относительную эффек-
тивность критериев, основанных на J (40), по отношению к их соперни-
кам из нормальной теории.
1 Математическое выражение 1//8 (F) даио формулой (7.1) у Гупты [1591
84
ГЛАВА ДВУХВЫБОРОЧНАЯ
4 ЗАДАЧА О ПОЛОЖЕНИИ
(СДВИГЕ)
В этой главе рассматриваются две случайные выборки: одна —
из контрольной совокупности, а другая, независимая от первой, —
из рабочей совокупности. На основе этих выборок мы хотим выяснить,
есть ли эффект обработки, который приводит к сдвигу. Гипотеза об от-
сутствии эффекта обработки и есть исходная гипотеза. Она означает,
что две выборки можно объединить и рассматривать как единую вы-
борку из одной совокупности.
В § 4.1 представлен свободный от распределения критерий суммы
рангов для гипотезы об отсутствии эффекта обработки, в § 4.2 — точеч-
ная оценка, основанная на статистике суммы рангов, в § 4.3 — соот-
ветствующий свободный от распределения доверительный интервал,
порожденный критерием сумм рангов. В § 4.4 описывается асимпто-
тическая относительная эффективность при альтернативах сдвига для
методов, основанных на статистике сумм рангов, по отношению к их
соперникам из нормальной теории, основанным на выборочных сред-
них.
Данные. Имеем N = т + п. наблюдений Xlt .... Хт и Kj,.., Уп,
Допущения
А1. Возьмем модель
Хг = ег, i= 1 т,
и
^ = ет+; + Д,
(1)
чайн^1 И ~ наблюдаемые, а ет+ъ •••. ет+п — ненаблюдаемые слу-
сдви е величины; интересующий нас параметр Д — это неизвестный
А9 впположении> обусловленный «обработкой».
Все N случайных величин е взаимно независимы.
<>• Все е извлечены из одной непрерывной совокупности.
85
§ 4.1. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
РАНГОВЫХ СУММ (УИЛКОКСОН)
Метод. Для проверки
/7о: А — 0 (2)
надо выполнить следующее.
1. Упорядочить N наблюдений от наименьшего к наибольшему и
обозначить Ri ранг У; в этом упорядочении.
2. Обозначить
п
(3)
Статистика W — сумма рангов, относящихся к Ylt ..., Yn.
3. Для одностороннего критерия Но (2) против альтернативы
Д > 0 на уровне значимости а
отклонить Но, если W w (а, т, я),)
принять Но, если W <. w (а, т, n)J
где константа w (а, т, п) удовлетворяет условию P0[W w (а, т,
я)] = а (см. комментарий 4.8). Значения w (а, т, я) приведены в
табл. А.5*.
Для одностороннего критерия Но (2) против альтернативы Д < О
на уровне значимости а:
отклонить Но, если W [я (яг + я + 1) — w (а, т, я)],
принять Но, если W > [я (яг + я + 1) — w (а, т, я)].
Для двустороннего критерия Но (2) против альтернативы Д О
на уровне значимости а:
(5)
отклонить Но, если W w (а2, т, я)
или W [я (т + я + 1) — w (ах, яг, я)],
принять Но, если [я (яг + я + 1) — w (аь т, я)] < W <
< w (а2, т, п),
(6)
где а = aj + а2
* Табл. А.5 дает вероятности верхнего хвоста нулевого распределения ста-
тистики ранговой суммы W Уилкоксона и соответствующие верхние критические
точки для т = 3 (1) 10; п = 1 (1) т; т = 11 (1) 20; п = 1 (1) 4. Более обширные
таблицы верхних и нижних критических точек были вычислены УилкоксоноМ.
Кэти и Уилкокс и опубликованы в 1970 г. (см. [779], где a = 0.005, 0.01, О.О-»
и 0.05, 3 т п 50). (Насколько известно, для больших т, п таблиц нет )
Если эти таблицы доступны читателю, то при указанных т, п лучше брать при-
веденные там точные критические значения, а не нормальное приближение,
которое предлагают авторы. — Примеч. пер.
86
Приближение для большой выборки*. Определим
117* = ^-£о(1У') 1У-[п (fft+« + l)/2]
[var0 (W7)]1 /2 [mn(m-|-n-| l)/12]1/2
(7)
Если верна Но, то статистика IE* имеет асимптотическое (когда
min (т, п) стремится к бесконечности) распределение N (0, 1).
Нормальная теория дает следующее приближение для метода (4):
отклонить Но, если IE* z(a),
принять Но, если- IE* < z(a).
(8)
Связи. Если среди N наблюдений есть одинаковые, то надо рабо-
тать со средними рангами, подставляя их в (4), (5) или (6) при вычисле-
нии 1Е для малых выборок. При использовании приближения для боль-
ших выборок надо считать W с учетом средних рангов и заменять
var0 (IE) в (7) на
var0(IE)
тп
~12
8
2 0(^-1)
__________
(m + n) (m-J-n — 1)
(9)
tn -|” п -j-1
где g — число групп связей; tj— объем /-й группы. В формуле
(9), если наблюдение не совпадает ни с каким другим, оно рассматри-
вается как группа объема 1. Поэтому если в ранжировке нет совпаде-
ний, то g — N, tj — 1, j — 1, ..., N, и правая часть (9) сводится к
(mn/12) (т + п + 1).
Пример 4.1. Данные табл. 4.1 составляют часть данных, полученных
в работе 1254]. Наряду с другими вопросами авторы выясняли, есть ли
различие в переносе тритиевой воды (воды, обогащенной тритием —
одним из радиоактивных изотопов водорода) через слой плаценты (пла-
центной мембраны), полученной от женщин при нормальной беремен-
ности и при беременности, которая была искусственно прервана между
третьим и шестым месяцами. Критерием служила константа водоне-
проницаемости (Pd) плаценты**. (Исследовалась ткань, полученная из
плаценты в течение 5 мин после родов, когда это уже безопасно и ничем
* Это приближение не дает достаточной точности при т, п 50. Например,
при 25 т, п < 50 лишь в 59,9% случаев критические точки критериев (4) и
(8) различаются не более чем на единицу. По этой причине мы советуем пользо-
ваться аппроксимацией Имана [637]. Она ничем не сложнее (8), однако в боль-,
шннстве случаев критические значения, которые она дает, совпадают с точными
критическими значениями w (а, т, п) процедуры (4), см. с. 11. — Примеч. пер.
** Плацента — орган, возникающий в месте контакта оплодотворенной яйце-
клетки (плодного яйца) с внутренней стенкой матки и служащий для обменных
процессов между развивающимся плодом и материнским организмом. В данной
работе рассматривается вопрос о том, меняется ли во времени водопроницае-
мость плаценты, поскольку такое изменение имело бы важные последствия для
физиологии развития плода. Вода, обогащенная тритием, служит удобным сред-
ством активационного измерения диффузии через плаценту. Выводы авторов на-
ходятся в согласии с тезисом о том, что к 4-му месяцу беременности формирова-
ние плаценты уже завершается. — Примеч. ред.
87
Таблица 4.1. Диффузия тритиевой воды
через плаценту (10~4 см/с)
Для родивших в срок Для прервавших беремен- ность на 12 —26-й неделе
0.80 1.15
0.83 0.88
1.89 0.90
1.04 0.74
1.45 1.21
1.38
1.91
1.64
0.73
1.46
Источник. [254].
не осложнит беременности
для следующих двух rpyn<J
женщин: а) прервавши*
беременность путем брющ.
ной гистеротомии (кесаре
во сечение) между 12-й ц
26-й неделями по требо.
ванию психиатра; б) бла.
гополучно перенесших сво.
евременные, ничем не
осложненные роды. В экс-
перименте использовались
препараты ткани, получен-
ные от 10 женщин, родив-
ших своевременно, и 5
прервавших беременность.
Табл. 4.1 дает средние зна-
чения константы проницаемости (в 10-4 см/с) по 6 измерениям для
каждого из 15 исследованных препаратов ткани.
В этом примере нас интересует альтернатива — возрастет ли про-
ницаемость плаценты у родивших в срок. Пусть X — константа про-
ницаемости Pd ткани для родивших в срок, У — для прервавших бе-
ременность. Возьмем критерий (5).
Из табл. А.5 при уровне значимости а = .082 мы находим, что
w (.082, 10, 5) = 52.
Теперь найдем W, используя следующий прием:
/ YJ
1 1.15 8
2 0.88 5
3 0.90 6
4 0.74 2
5 1.21 9
Отсюда
5
№ = 2 Я; = 30,
/=1
что приводит к отклонению Но на уровне а = .082, поскольку W
= 30 > 28 = [п (т + п + 1) — w (.082, 10, 5)]. Из табл. А.5 имеем
[п (т + п + 1) — w. (.127, 10, 5)] = 30. Следовательно, наименьший
уровень значимости, на котором можно отвергнуть Яо в пользу
Д < 0, равен .127.
По аппроксимации для большой выборки из (7) мы получаем
Г^...30-[5<16)/2]_____________________-—1.225.
[5 (10) (leviS]*/2
88
Поэтому наименьший уровень значимости, на котором мы можем от-
вергнуть Но, основываясь на нормальной аппроксимации, равен .110*.
Таким образом, и точный, и приближенный критерий указывают на
отсутствие веских оснований для принятия гипотезы о большей водо-
проницаемости плаценты у родивших в срок по сравнению с прервав-
шими беременность между 12-й и 26-й неделями.
Комментарии
4.1. Из допущений А1—АЗ следует только то, что различие между
совокупностями наблюдений X и У сводится к сдвигу Д. (Для модели
(1) Д — р,2 — щ, где р2 — медиана совокупности У; щ — медиана со-
вокупности X. Если еще предположить, что существует среднее сово-
купности е, то Д = т2 — т1г где /п2 — среднее совокупности У, а
Wj — среднее совокупности X.) В частности, мы не предполагаем, что
совокупности различаются по рассеиванию (разбросу). Если две сово-
купности имеют различный разброс или форму, то изменится уровень
значимости критерия суммы рангов. То же самое относится к двухвы-
борочному /-критерию из классической нормальной теории. Влияние
различия формы распределений на уровень значимости критерия ран-
говой суммы и других методов для двухвыборочной задачи о сдвиге
исследовано в [299]**.
4.2. Для вычисления статистики W нужна лишь совместная ран-
жировка N наблюдений. Поэтому критерий, основанный на W, будет
«работать» даже тогда, когда мы не знаем действительных величин на-
блюдений, а располагаем лишь их относительными рангами.
4.3. Для проверки гипотезы Д = До, где До — некоторое не рав-
ное нулю заданное число, надо модифицировать наблюдения У] =
= У, — До, j = 1, ..., п, и вычислять W по Хъ ..., Хт и Y't, ..., Yh
(вместо Ylt ..., Уп). Методы (4) — (6) можно применять так же, как
и раньше.
4.4. При выполнении Яо (2) распределение W (3) симметрично
относительно своего среднего п (т 4- п + 1)/2, откуда следует
Ро {W х} = Ро {W (т + п + \) — х]}
для х = [п (п + 1)/2], ..., [п (2т 4- п 4- 1)/2].
Значит, нижний а-процентиль распределения W для нулевой ги-
потезы равен [п (т 4- п 4- 1) — w (а, т, п)], поэтому мы берем в ме-
тоде (5) In (т 4- п 4- 1) — w (а, т, /г)] как критическую точку.
4.5. Статистика W (3) —это сумма рангов наблюдений Уг, ..., Уп.
Определим W — сумму рангов наблюдений Хъ ..., Хт. Методы (4),
(5) и (6) можно расспространить на W', поскольку W' = [(/и 4- п) (т +
4- п 4- 1 )/2] — W (см. задачу 4.2).
* С помощью аппроксимации Имаиа [637] можно заметно улучшить точ-
ность. — Примеч. пер.
** См. [596], где изучается эта задача и даны более свежие ссылки. —
Примеч. пер.
89
4.6. Для проверки гипотезы Но: Д = До Манн и Уитни [257] Пре
дожили статистику
tn п
1 = 11 = 1
[1, если а <. Ь,
где ф (а, Ь) = Л
[О в противном случае.
Статистику U можно вычислять так. Для каждой пары значений %.
и Yj смотрим, какое из них меньше: если Xt меньше, то паре приписьь
ваем единицу; а если У; меньше, то — 0. Сложим нули и единицы и
обозначим сумму U. Манн и Уитни показали, что при отсутствии свя-
зей W — U + [п (п + 1)/2], откуда следует, что критерии, основанные
на U и W, эквивалентны.
4.7. Пусть U то же, что в комментарии 4.6, а U' — число пар (X.
Yj), для которых Xi>Yj. Тогда (предполагая отсутствие связей
X = Y) получим U' U = тп (см. задачу 4.4). Если Д > 0, то у
стремится превзойти U', что приводит к отклонению Но в пользу
Д > 0 при больших значениях U, или, что то же самое, для больших
значений W (см. комментарий 4.6). Это служит некоторым обоснова-
нием метода (4).
4.8. Пусть < ... < /?<л> — упорядоченные ранги Y в совмест-
п
ной ранжировке .... Хт и Ylt ..., Yn. Распределение = =
/=1
Л
= 2/?(7) при иуль-гипотезе можно получить, пользуясь тем, что при
/=1
Но (2) вероятность каждого из возможных сочетаний [/?(,),
/?(п>] равна Например, при т = 3, п — 2 есть (g) — 10 возмож-
ных исходов для [/?(1), /?<2>] и соответствующие им W даны в следующей
таблице:
[rU>, R<2)] Ро {[«<». Ж2)]} 117 = R11 > + r( 2 )
(1,2) 1/10 3
(1.3) 1/10 4
(1.4) 1/10 5
(1.5) 1/10 б
(2,3) 1/10 5
(2.4) 1/10 6
(2,5) 1/10 7
(3,4) 1/10 7
(3,5) 1/10 8
(4,5) 1/10 9
Так, например, Ро {Г > 7} = Ро {№ = 7} + Ро {Г = 8} +
+ Р0{1У = 9} = (^) + (^) + = 0.4. (Проверьте, совпадает л'1
этот результат с соответствующим числом из табл. А.5.)
90
Используя допущения Al—АЗ, мы можем построить распределение
Ц7 для нулевой гипотезы без уточнения распределения е1г ..., eN.
Поэтому-то методы, основанные на W, называются свободными от рас-
пределения. Например, выбирая критическую константу w (а, т, п)
метода (4) так, чтобы удовлетворялось уравнение да (а,
т, /г)1 — а, мы задаем вероятность (неверного) отклонения Но, когда
она верна, и эта ошибка не зависит от совокупности е.
4.9. Обратим внимание на сходство вычисления U (формы Ман-
на—Уитни для статистки W, обсуждаемой в комментарии 4.6) и ста-
тистики знаков для повторных пар В (3.20)*. Статистика В подсчиты-
вается как число положительных разностей Y} — Xj для естественных
пар данных (Xj, Yj), j — I,..., п, a U — число положительных разно-
стей Yj — Xt для всех возможных пар (Хг, Yj), i = I, ..., т, j = 1,
..., п, поскольку в двухвыборочной ситуации естественных пар нет.
4.10. Заменим допущения А1—АЗ на соответствующие менее огра-
ничительные допущения АГ: все Х; извлечены из одной и той же не-
прерывной совокупности; А2': все Yt извлечены из другой непрерыв-
ной совокупности; АЗ': (т + п) величин X и Y взаимно независимы.
Тогда при
Д* = [Р(Х<У)—
— критерии для методов (4), (5) и (6) состоятельны против альтернатив,
для которых А* > , А* < и А* у= 0 соответственно (см. [257] и [423]).
Для частного случая допущений А1—АЗ это утверждение приводит к
утверждению, сформулированному как свойство 1.
Свойства
1. Состоятельность: критерии (4), (5) и (6) состоятельны против
альтернатив А > 0, А < 0, А =# 0 соответственно (см. также [257],
[295], [4231 и комментарий 4.10).
2. Эффективность: см. [295], [179] и § 4.4.
Ссылки. История статистики Уилкоксона [454], начинающаяся
по крайней мере с 1914 г., подробно описана в работе [235]**. Манн и
Уитии [257] рассмотрели эквивалентную статистику, основанную на
числе X, расположенных ранее Y в совместной упорядоченной выбор-
ке (см. комментарий 4.6). В статье [299] изучается уровень значимости
критерия ранговой суммы в ситуации, когда рассеяния двух совокуп-
ностей различны (см. комментарий 4.1). В [346], [296] описан способ
приспособления W для проверки разности положений, когда рассея-
* Соотношение между U Манна — Уитни и коэффициентом ранговой кор-
реляции Кендэла обсуждается в работе [481]. — Примеч. пер.
** Критерий Уилкоксона, описанный в этом параграфе, весьма удобен и
применяется очень часто. Ои и его обобщения подробно описаны в книге [249,
гл. 6, § 8]. В своей книге по ранговым методам [250] Леман посвятил критерию
Уилкоксона гл. 2 (см. [480]). Большое внимание двухвыборочным критериям
Уделено и в книгах Коновера [82], [148], [722]. См. также [541], [507], [501], где
обсуждается 117 и его применения. — Примеч. пер.
91
ния различны. Верхние границы для различия точного и предельно
нормального распределений W дал Стокер в [391] и [392]. г°
В работах [308], [222] обсуждаются различные способы обработк
связанных наблюдений. Многие рассматривали использование крит?
рия ранговой суммы при дискретных распределениях (см. [173], [2421
[69], [222]). В работе [259] исследована потеря асимптотической эф'
фективности в результате группировки данных и применения критерия
Уилкоксона. Свойства эффективности W изучались в [295], [179]. ДНа.
логи критерия ранговой суммы, основанные на нормальных метках с
хорошей эффективностью, дали Фишер и Иейтс [126], [186] и [406]
См. также Ван дер Варден [426], [427], [428]. Среди других соперни-
ков критерия W упомянем критерии из работ Гальтона (Gallon) (см
[96], [176], [268], [244], [325], см. также [459], [333], [161], [162], [1381’
[139], [140], [147], [25], [193], [174], [425]).
Серфлинг [361] приспособил статистику Уилкоксона к случаю, ког-
да между выборками допускается зависимость определенного вида,
Хефдинг [188] дал превосходное краткое изложение статистических вы-
водов, построенных с помощью статистик Т+ (3.3) и W (3). О двухвыбо-
рочных критериях для обнаружения альтернатив о рассеянии см.
гл. 5 и раздел «Ссылки» в ней. Двухвыборочные критерии обнаружения
более общих альтернатив — в § 10.1 и ссылках к пему*.
Задачи
4.1. Часть данных из работы [411], где исследовалось соотношение уровня
гистамина** в мокроте и склонности к раздражению дыхательного аппарата
(аллергии), представлена в табл. 4.2. Содержание гистамина приведено в микро-
граммах на грамм сухого остатка мокроты. Изучались курильщики (22 человека),
9 из которых были подвержены аллергии, а остальные нет. Исследователи ста-
рались не включать в опыт людей, работающих в условиях загазованности или
в среде каких-либо токсинов, действующих на дыхательные органы. Табл. 4.2
дает упорядоченные уровни гистамина для всех 22 испытуемых.
Проверьте гипотезу о равенстве уровней против альтернативы о том, что
у курильщиков, подверженных аллергии, уровень гистамина выше, чем у нсал-
лергентов. Используйте приближение для большой выборки.
4.2. Обозначим W" сумму рангов X. Проверьте непосредственно или на при-
мере данных о проницаемости плаценты из табл. 4.1 равенство W ~г IV' =
= (т + п) (т + п + 1)/2.
* О разных критериях рассеяния см. также [251], [598], [596]. Об аппрокси-
мации см. [502], [637] и др. О связях см. [581], [582] и др. О дискретных распре'
делениях см. [581], [635], [776] и др. Об эффективности см. [568], 1587], а также
[634], где рассматривается эффективность в смысле Чернова; [666], [695], [72.21
и др. Об альтернативных критериях см. [568], [587], [599], [611], [250], [693J-
[722], [748], [756], [654 (2)] и др. О зависимых выборках см. [611], [627], |70э1-
[724]. О робастности (устойчивости) UZ-критерия см. [596], [627], [630], [72W>
[638]. О мощности lV-критерия см. [576], [584], [638], [774], [250], [722].
Примеч. пер.
** Гистамин — органическое соединение, получающееся в результате Ра^
пада одной из незаменимых (т. е. не синтезируемых организмом) аминокислот
гистидина, вхоящего в состав большинства белков. Заметное повышение
жания гистамина в мокроте — один из признаков развития патологичсско
процесса. — Примеч. ред.
92
4.3. Давайте добавим к
пяти Y из табл. 4.1 шесть на-
блюдений Y и допустим, что
значение W — 30, основанное
на первоначальных Хг, Yit
i = 1,..., 10, j = 1.5, уже
найдено. Как теперь найти
новое значение W? Сравните
метод повторного ранжирова-
ния (для получения рангов но-
вых У) с методом получения
новой статистики Манна —
Уитни U и перехода от нее к
1У, пользуясь соотношением
между ними из комментария
4.6*. Обобщите задачу на
произвольные т, п и сравните
результаты.
4.4. Пусть U' —число пар
(Xi, Yj), для которых Xt>Yj,
1 < i < т, 1 j < п. Пред-
полагая, что связей Xi = Yj
нет, докажите нли проверьте на
примере данных о проницаемо-
сти плаценты из табл. 4.1, что
U' + U = тп.
Таблица 4.2. Уровень гистамина
в мокроте (в микрограммах* на грамм
сухого остатка мокроты)
Склонные к аллергии Несклонные к аллергии
1651.0 1112.0 102.4 100.0 67.6 65.9 64.7 39.6 31.0 48.1 48.0 45.5 41.7 35.4 34.3 32.4 29.1 27.3 18.9 6.6 5.2 4.7
Источник. [411].
* Один микрограмм равен 10-’ кг. — Примеч. ред.
§ 4.2. ОЦЕНКА, СВЯЗАННАЯ СО СТАТИСТИКОЙ
РАНГОВОЙ СУММЫ УИЛКОКСОНА (ХОДЖЕС — ЛЕМАН)
Метод. Для оценки Д из модели (1) надо проделать следующее.
1. Построить тп разностей Yj — Хь i = 1, ..., т\ j = 1........п.
2. Вычислить оценку Д, связанную со статистикой ранговой суммы
Уилкоксона (см. комментарий 4.12):
Д =• медиана {(У} — Хг), i = 1, ..., /и; / = 1, ..., и). (10)
Пусть {/<*> ... ^ </<"»") обозначают упорядоченные значения Y} —
— Xt. Если тп — нечетное число, скажем тп = 2k + 1, то
Д = [/(*+О. (П)
Если же тп — четное число, скажем, тп = 2k, то
(Можно использовать графический метод определения Д из § 4.3.)
Пример 4.2. Вернемся к данным о проницаемости плаценты из
табл. 4.1. Упорядоченные значения (Y} — Xt), т. е. UW < ... ^ [7<50),
таковы: - 1.17,- 1.15, —1.03, —1.01, — 1.01, —0.99, —0.90,— 0.76,
— 0.76, —0.74, —0.74, —0.72, — 0.71, —0.70, —0.68, —0.64,
- 0.58, — 0.57, — 0.56, — 0.55, — 0.50,-0.49, — 0.48, — 0.43, — 0.31,
* Имеется в виду W = {/+(«(« + 1)/2]. — Примеч. пер.
— 0.30, —0.30, — 0.25, — 0.24, —0.23, —0.17, —0.16, — о i4
— 0.09, — 0.06, 0.01, 0.05, 0.07, 0.08, 0.10, 0.11, 0.15, 0.17, 0’17
0.17, 0.32, 0.35, 0.38, 0.41, 0.42, 0.48. При т = 10, п = 5, mn^2k
k = 25. Поэтому из (12) мы получаем ’
ty(25) + f7(26) = (0,31-о.зо) = _ 0 305
2 2
Комментарии
4.11. Заметим, что для вычисления Д надо найти тп разностей. ДЛя
небольших т, п это можно сделать с помощью графического метода
из § 4.3. Однако при больших т, п он становится слишком громоздким.
В таких ситуациях Д легко найти с помощью ЭВМ* **.
4.12. Оценка Ходжеса—Лемана Д (10) связана с критерием ранго-
вой суммы Унлкоксона. Распределение статистики W (3) симметрич-
но относительно среднего п (иг 4~ п + 1)/2 (см. комментарий 4.4.).
Разумная оценка Д —-это такое число, обозначенное, например, Д,
для которого статистика W остается равной п (т + п + 1)/2, после
вычитания Д из всех Yj и нового упорядочения выборок Xlt ..., Хт,
Yx — Д, ..., Yn — Д. Грубо говоря, мы оцениваем Д тем числом Д,
на которое надо сдвинуть выборку Y, чтобы Хъ .... Хт и Уъ .... Уп
казались (при исследовании с помощью статистики ранговых сумм)
двумя выборками из одной совокупности. (При выполнении допущений
А1—АЗ случайные величины Xlt .... Хт и У! — Д, ..., Уп — А можно
объединить и рассматривать как одну выборку объема N = (т + п)
из данной совокупности).
4.13. Оценка Д менее чувствительна к грубым ошибкам, чем ее
______________________________ _ ______ П _ Ш
аналог из нормальной теории У — X, где У = ^Yj/n, X =
J=1 4=1
4.14. Заметим, что оценку Д нельзя записать как разность стати-
стик, одна из которых относится только к У, а другая — к X. Клас-
сическая оценка Д = У — X, напротив, допускает такую запись.
Когда рассматриваемое распределение симметрично, Леман [2461
предложил оценивать Д через Д* = 02 — 0Ъ где 0! (02) есть оцен-
ка (3.10), связанная со статистикой знаковых рангов Т* (3.3) н
предназначенная для оценивания положения совокупности, соответ-
ствующего наблюдениям X (У). Мы видим, что у Д* те же свой-
ства разности, что и у Д. В работах [246], [199], [313] исследованы
свойства Д, Д и Д* при различных отклонениях от допущении,
включая асимметрию и различия, не связанные с положением с0'
вокупностей*.
* См., например, работу [559], где приведена программа на языке Ф°РТ
ран. — Примеч. пер.
** См. также [647 (1), (2)], [687], [630], [614]. — Примеч. пер.
94
4.15. В двухвыборочной задаче о положении нас интересует пара-
метр 6 = Р (Хг < У^, где Xi — случайная величина из совокупно-
сти X; У7! — случайная величина из совокупности У; Xi и Ух незави-
симы, т. е. б есть вероятность того, что произвольное наблюдение Y
больше произвольного наблюдения X. Питман [295] и Бирнбаум [40]
обсуждали точечную оценку б, равную б = Штп, где V — форма
Майна — Уитни статистики ранговой суммы (см. комментарий 4.6).
Верхние границы дисперсии U, которые использовались при приме-
нении б как точечной оценки б, были получены как функция б в работе
[423]. Нижние границы см. в [42]. Леман [243] показал, что б — оцен-
ка б с равномерно наименьшей дисперсией в классе непрерывных сово-
купностей (см. также [47]). Об использовании статистики знаков для
получения оценки б см. [340].
Некоторые статистики, в том числе совсем недавно Вулф и Хог
[462], отметили важность таких естественных параметров, как б. Рас-
смотрим приложение из области медицины, в котором X — реакция на
лечение A, Y — реакция на лечение В. Пусть р.ъ р2 — средние сово-
купностей X и Y соответственно, а—обозначение для (предполагаемо-
го) общего стандартного отклонения. Тогда утверждение Р (X <. Y) =
= .76 обычно более понятно врачу, чем утверждение {(р2— рД/сг} =
= 1. (Если X и Y нормально распределены и независимы, их средние
равны |л1( р2, а общее стандартное отклонение а, то из {(р2 — р,х) /
/о} = 1 следует Р (X < У) = .76). Более того, часто интересна ве-
роятность того, что X еще меньше У, чем разность между их средни-
ми. Так бывает во многих биологических исследованиях, где, напри-
мер, большая печень есть большая печень, а насколько большая —
не столь важно, кроме случая сравнения ее с другими (это же не взве-
шивание на весах). В ситуациях, подобных этой, оценка б может ока-
заться полезнее, чем оценка Д.
Свойства
1. Стандартное отклонение Д (10): об асимптотическом стандартном
отклонении Д (10) см. [181], [248] и комментарий 4.19.
2. Асимптотическая нормальность: см. [181], [313].
3. Эффективность: см. [181], [199], [313] и §4.4.
С с ы л к и*. Оценка Д (10) принадлежит к классу оценок, предло-
женных Ходжесом и Леманом [181]. Этот класс включает в себя оцен-
ку нормальных меток и классическую оценку Д = У — X. Свойства
эффективности Д рассматривались в [181], [199], [313]. В работе [124]
доказана характеризационная теорема для Д в терминах минимиза-
ции двухвыборочной сдвиговой версии статистики Крамера—фон Ми-
зеса. Другие двухвыборочные оценки — конкуренты Д — см. в ра-
ботах [181], [246], [124], [350], [33], [430].
См. также [590], [614], [647 (1), (2)], [687]. — Примеч пер.
95
Задачи
4. 5. Рассмотрим данные из табл. 4.2. Обозначьте уровни для склонных к ал.
лергии курильщиков через Y, а для несклонных — через X и оцените Д в моде,
ли (J).
4. 6. Замените в табл. 4.2 102.4 на 1024. Как это повлияет на оценку Д (10)
параметра Д? Как это повлияет на оценку Д = Y — X параметра Д?
4. 7. а) Что произойдет с Д при прибавлении Ь к каждому из т наблюдений
X и при прибавлении с к каждому из п наблюдений У? В частности, что прои-
зойдет прн b — с?
б) Что произойдет с Д при умножении всех X и Y на одно и то же число d?
§ 4.3. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ, ОСНОВАННЫЙ
НА КРИТЕРИИ РАНГОВЫХ СУММ УИЛКОКСОНА (МОЗЕС)
Метод. Для построения симметричного двустороннего интервала
для Д с коэффициентом доверия 1 — а надо выполнить следующее.
1. Из табл. А.5 найти такое целое число Са, что
Ро = + Са С WI »(2от±5+1)—Caj| = 1 _.а. (13)
Заметим, что [п (2т + п + 1)/2] — Са + 1 = w ((а/2), т, п).
2. Упорядочить значения (/<4 ^ ... ^ разностей Yj — Xit
i = 1, ..., т; j = 1, ..., п.
3. Искомый (1 — а)-доверительный интервал (Д Д и) дается фор-
мулами
AL=[/(ca)> Ду = -Са). (14)
При Д L, Ду из (14) для всех Д получаем
Рд {Дь< Д< Да) = 1—а*. (15)
Графический метод. Подсчет тп упорядоченных разностей Yj — Xt
может оказаться утомительным. Мозес [272] описал следующую
графическую схему получения U(Ca) и у<тп+,~са).
К каждому из N наблюдений мы прибавим такую константу, кото-
рая сделает всех их положительными. (Это обеспечивает удобства и
не сказывается на получении Д L и Д у.) Нанесем тп точек, соответст-
вующих всем возможным парам преобразованных (X,, УД откладывая
значения X,- по оси х, a Yj — по оси у.
Затем возьмем прямую под углом 45° (назовем ее и будем сме-
щать ее параллельно себе по рисунку слева направо до тех пор, пока
Са нанесенных точек не окажется выше ее и, быть может, (частично)
на ней. Точка пересечения оси ординат с этой прямой и есть Д v =
_ y(mn+i-ca) продолжим движение такой же линии (обозначим
* Для описанной процедуры есть программа на Фортране, см. [559]. —
Примеч. пер.
96
ее £s) слева направо до тех пор, пока Са нанесенных точек не окажет-
ся ниже ее или, быть может, (частично) на ней. Точка пересечения оси
ординат с этой прямой дает A L = U(Ca). Точные значения £/(Са> и
^(mn+i-Ca) можно найти, если разности у — х для точек (х, у) лежат
на линиях L2 и Lx соответственно.
Рис. 4.1. 90%-ные доверительные границы для Д из примера 4.3. (Нанесены
точки,— значения Pd в единицах 10~4 см/с)
Приближение для большой выборки. Для больших т, п целое чис-
ло Св можно приблизить формулой*
п тп Гтп(т+п+1) 11/2
—-----Z(e/2)l — I . (10)
В общем случае в правой части (16) — не целое число, так что надо
подставлять в (14) ближайшее целое.
Пример 4.3. Возьмем данные о проницаемости плаценты из табл. 4.1.
Построим графическим методом доверительный интервал для Д с ко-
эффициентом доверия 1—а=1 — .10 = .90. По табл. А5 при
т — Ю и п = 5 находим w ((а/2), т, п) = w (.05, 10, 5) = 54. На 1-м
шаге получаем С.1О = {5 (20 + 5 + 1)/2) + 1 — w (.05, 10, 5) =
= 65+ 1 — 54 = 12. Рис. 4.1 иллюстрирует подход, описанный в
разделе «Графический метод». Заметим, что для этого набора данных
* Предлагаемая ниже аппроксимация основана на асимптотической нормаль-
ности W, т. е. на W* ~ N (0,1), и прн небольших выборках может давать значи-
тельную погрешность в вероятности ошибки I рода. Можно построить более точ-
ное приближение исходя из (7), (8) с помощью таблиц [779]. — Примеч. пер.
97
все наблюдения изначальна положительны и, следовательно, их сдви
не нужен. Иг
Из рис. 4.1 мы находим Д L = — .72 (это разность, соответствующе
(.74 — 1.46)) и Д и = .08 (это разность, соответствующая (.88 — ,80)\Я
так что наш 90%-ный доверительный интервал для Д есть ’
(Д L, Д „) = (- .72, .08).
Это согласуется со значениями 1/<12> и £/(’пп+1-,2> = С7<39) из дан.
ных примера 4.2.
Применяя приближение для большой выборки (16), находим
1.645
10(5) (10 + 5 + 1) ~|1/2
12 I
12,
так что приближенный 90%-ный доверительный интервал также есть
(— .72, 0.08). Заметим, что для получения оценки А (10) § 4.2 можно
использовать графический метод. Для данных о проницаемости пла-
центы Д = [С7(25> + t/<a6>l/2. Если мы будем сдвигать прямую, иду-
щую под углом 45°, по рис. 4.1 до тех пор, пока 25 нанесенных на лист
точек не окажутся выше нее или на ней, то величина у в точке пересе-
чения с этой линией дает №. Точно так же получается н СЛ2®). На
рис. 4.2 LM26)— разность (1.15—1.46) = — .31, а f/(26>— разность
(1.15— 1.45) = — .30, или разность (.74 — 1.04) = — .30. Пользуясь
графическим методом, находим
£= [{/(25) + t/(26)J = [,31 —.30J = _ 305
2 2 ’ ’
что согласуется со значением из примера 4.2.
Комментарии
4.16. Интересующий нас (1—а)-доверительный интервал (14)
можно получить из двустороннего критерия ранговой суммы следую-
щим образом. Доверительный интервал (Д L, Д у) состоит из тех зна-
чений До, для которых двусторонний критерий уровня а для гипотезы
Д = До (см. комментарий 4.3) принимает эту гипотезу Д = До- Об-
щие результаты о доверительных интервалах и областях принятия ги-
потезы для критериев см. в [245, с. 79*], а частные результаты, в том
числе и о критерии ранговой суммы, см. в [248].
4.17. Середина интервала (14), равная [f/(ca> + и<тп+1~Са>]12,
представляется разумной оценкой Д. (Заметим, что это фактически при-
водит к классу оценок, зависящих от а.) В общем случае эта средняя
точка не совпадает с Д (10). Леман [247] также рассматривал асимпто-
тически свободный от распределения доверительный интервал для Д
(центрированная Д), и в работе [248] он показал, что асимптотически
свободный от распределения доверительный интервал асимптотически
* Страница указана по оригиналу, по переводу см. гл. 3, § 5, с. 93. -"
Примеч. пер.
98
ведет себя так же, как свободный от распределения доверительный
интервал (14).
4.18. В работах [40], [43] рассмотрена свободная от распределения
верхняя доверительная граница для 6 = Р (Хх <. КО (см. коммента-
рий 4.15), основанная на статистике Манна—Уитни U (см. коммента-
рий 4.6), при условии непрерывности генеральных совокупностей.
В [287] эти результаты распространены на случай дискретных совокуп-
ностей, в [153] уточнена верхняя граница Бирнбаума—Маккарти [43]
и построены соответствующие свободные от распределения доверитель-
ные интервалы для 6. Дальнейшие усовершенствования этих довери-
тельных границ см. в [422]. Асимптотически свободные от распределения
доверительные границы для б, основанные на состоятельных оценках
дисперсии статистики Манна—Уитни U, рассмотрены в [351], [153].
Свободные от распределения доверительные границы для б, основан-
ные на статистике знаков, обсуждались в [340].
4.19. Величина (Д и — Д L)/2z(a/2). где (Д ь, Ду) есть (1—а)
доверительный интервал, определенный в (14), дает состоятельную
оценку асимптотического стандартного отклонения точечной оценки
Д (10) (см. [248]).
Свойства
1. Для совокупностей, удовлетворяющих допущениям А1—АЗ,
верно (15). Следовательно, при выполнении допущений А1—АЗ мы мо-
жем обеспечить вероятность накрытия, равную 1 — а без дополни-
тельных сведений о форме распределения е. Поэтому (Д ь, Ду) — сво-
бодный от распределения доверительный интервал для Д в широком
классе совокупностей.
2. Эффективность: см. [248] и § 4.4.
Ссылки. Доверительный интервал (14) был построен графиче-
ски Мозесом (Moses) в гл. 18 книги [438]. Этот графический метод мож-
но найти также в работе [272]. Леман [248] рассмотрел асимптотиче-
ские свойства асимптотически свободных от распределения интервалов
для центрированных Д, описанных в его работе [247]. Нётер [280]
обсуждал использование доверительного интервала (14), построенного
для дискретных совокупностей. Общий класс доверительных интерва-
лов, связанных с (14), описан в статье Сена [350]. Свободные от рас-
пределения интервалы, основанные на парах упорядоченных наблюде-
ний, обсуждались в [425]*.
Задачи
4.8. Для параметра Д в задаче 4.5 постройте доверительный интервал с ко-
эффициентом доверия .95.
4.9. Для данных о проницаемости плаценты из табл. 4.1 вычислите оценку
Д по формуле из комментария 4.17. Сравните результат с Д из примера 4.2.
4.10. Получите, используя результаты примера 4.3, оценку асимптотиче-
ского стандартного отклонения Д (см. комментарий 4.19).
* По теме этого параграфа см. также [565], [559], [696], [695], [701]. —
“Римеч. пер.
99
4.11. Дайтё определения: вероятности накрытия; рассеяния (разбрбсаУ
свободного от распределения доверительного интервала; свободной от распре
деления статистики; свободного от распределения критерия; эквивалентных кри
териев; случайной выборки. н
§ 4.4. ЭФФЕКТИВНОСТИ (ДВУХВЫБОРОЧНЫЕ
МЕТОДЫ ДЛЯ СДВИГА)
Асимптотическая эффективность непараметрических методов, ос-
нованных на статистике суммы рангов W (3), для альтернатив сдвига
по отношению к их соперникам из нормальной теории, основанным на
разности средних выборок Y — X, выражается через параметр
Л (F) из §3.10, где F — соответствующая функция распределения.
В частности, Питман [295] получил Д (F) как асимптотическую эффек-
тивность критерия Уилкоксона по отношению к двухвыборочному
^-критерию. Эта же эффективность была получена для точечной оценки
Д (10) и Д = Y — X Ходжесом й Леманом в [181] и [248] — для до-
верительных интервалов, полученных по IT и У — X соответственно*.
Величины нижннх границ и табличных значений (F), данные в
§3.10 для одновыборочных процедур, годятся и для соответствующих
двухвыборочных процедур этой главы. (Однако общее распределение
в двухвыборочных задачах не обязательно должно быть симметричным,
как в § 3.10.)
• См. также [566], [568], [584], [587], [590 (а)], [634], [638], [666], [6961-
[695], [312], [722], [774]. Другие концепции эффективности см> в [183]. — "г
меч. пер.
100
глава ДВУХВЫБОРОЧНАЯ
5 ЗАДАЧА О РАССЕЯНИИ
(МАСШТАБЕ)
В этой главе данные представляют собой две независимые случай-
ные выборки, по одной для каждой из двух генеральных совокупно-
стей. На основе выборок мы хотим выяснить, есть ли различие в мерах
рассеяния (масштаба) этих совокупностей.
В §5.1 представлен свободный от распределения ранговый крите-
рий для гипотезы о равенстве мер рассеяния (масштаба), когда обе со-
вокупности имеют одинаковые медианы. В § 5.2 мы встречаемся с
классом свободных от распределения критериев, похожих на ранговые
для равенства мер рассеяния в случае, когда предположение об оди-
наковых медианах не обосновано. В § 5.3 рассматривается класс то-
чечных оценок квадрата отношения мер, связанных с классом стати-
стик, похожих на ранговые, а в § 5.4 обсуждается класс свободных от
распределения доверительных интервалов для квадрата отношения
мер рассеяния, основанный на тех же критериях. § 5.5 посвящен асим-
птотически свободному от распределения критерию равенства мер мас-
штаба, причем гипотеза о равных медианах не проверяется. В § 5.6
обсуждается асимптотическая относительная эффективность при при-
нятых в этой главе методах, альтернативных к их конкурентам из нор-
мальной теории, основанным на выборочной дисперсии.
МЕДИАНЫ ИЗВЕСТНЫ ИЛИ РАВНЫ
§ 5.1. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
РАНГОВЫЙ КРИТЕРИЙ (АНСАРИ — БРЭДЛИ)
Данные. Мы получаем N = т + п наблюдений Хъ ..., Хт и
Уъ •••>
Допущения
А1. Берем модель Xt = сг^ + р, i = 1,..... /и, и Y} = 0^+; +
+ И, / = 1, ..., п, (1)
где еь ...,ет+п — ненаблюдаемые случайные величины; р — неизвест-
ный мешающий параметр (общая медиана совокупностей X и У), нас
101
интересует неизвестный параметр у = a J в]. (см. комментарий
А2. Все N случайных величин е взаимно независимы.
АЗ. Все е извлечены из одной и той же непрерывной совокупности
медиана которой равна нулю.
Метод. Для проверки
Я®: У2 = 1 (2)
надо проделать следующее.
1. Упорядочить N наблюдений от меньшего к большему.
2. Наименьшему и наибольшему из наблюдений в объединенной вы-
борке присвоить ранг 1, следующим среди наименьших и наибольших
присвоить ранг 2 и продолжить ранжирование тем же способом. Если
N — четно, то расположение рангов будет 1, 2, 3, ..., N/2, N/2,
3,2, 1; если же Я — нечетно, то расположение рангов будет 1, 2, 3,...,
(Я — 1)/2, (Я + 1)/2, (Я — 1)/2, ..., 3, 2, 1.
3. Обозначим ранг X, в упомянутой ранжировке через 7?г и поло-
жим
т
W = % Ъ- (3)
1= 1
Статистика W есть сумма рангов, относящихся к X.
4. Для одностороннего критерия Но (2) против альтернативы
у2 > 1 на уровне значимости а нужно;
отклонить Но) если W со2 (а, т> п),
принять Но, если 1^<<о2(а, т, п),
где константа <о2 (а, т, п) удовлетворяет уравнению Ро [U/ <о2 (а,
т, га)] а. Значения <о2 (а, т, и) приведены в табл. А.6.
Для одностороннего критерия Но (2) против альтернативы у2 < 1
на уровне значимости а следует:
отклонить Но, если т, п),
принять Но, если т, п),
где ©j (а, т, п) удовлетворяет уравнению Ро [U/ «ь (а, т, га)] = «•
Значения (ох (а, т, п) можно найти в табл. А.6.
Для двустороннего критерия Но (2) против альтернативы у2 =#= *
на уровне значимости а надо:
отклонить Но, если W <о2 (с^, т, п) или W юх (otj, т, п),
принять Но, если (Ох (ах, т, п) < № < (с^, т, п),
(6)
где а = ах + а2.
102
Приближение для большой выборки. Положим
(^) _
{var0(iF*)}1/2
___________W—[m(,m+n+2)/4]_____________
'{тя(/п+я+2)(/п+п—2)/[48(т+л —1)]}1/S
W — {m(m-hn-f-l)2/[4 (m+n)]}
{тп (я*+я+ О [3+(tfi+n)aJ/[48 (m+ л)8]}1/2
, если m+n — четное,
, если m+ n—нечетное.
(7)
Если Ho верна,.то статистика U7* асимптотически (при min (т,
п) _> со) распределена как N (0, 1).
Нормальное приближение для метода (4) таково:
отклонить Но, если > z(a},
принять Но, если 1F*<z<a).
(8)
Связи. Если среди N наблюдений есть одинаковые, то для вычис-
ления и/ следует использовать связанные ранги и действовать так
же, как в (4), (5) и (6) при применении критерия для малых выборок.
Применяя приближение для большой выборки, следует вычислять W
по средним рангам и заменить var0 (ТГ) в (7) на
var0(U7) =
(m+n) (m+«+2)8
16 (m-j-n) (m+n—1)
(9)
если m-j-n—четное; если же m-j-n—нечетное, то var0(U?) в (7)
следует заменить на
16 (/»+«) (т+я+04
/= 1
(тп
var0(№)=-—
(Ю)
16 (яг-|-п)8 (m+n —1)
свв & ~ »исло связанных групп среди N наблюдений; t} — объем
занЗЭ а*10” ГРУП.ПЫ с номеРом /» ri — средний ранг наблюдений в свя-
с дГ Группе>‘ (В формулах (9) и (10) несвязанные (не совпадающие
ма 1 Г)ИМИ) иаб’ИОДеиня рассматриваются как связанная группа объе-
иссле>ИМер В табл- 1 представлены данные, заимствованные из
Дования [208], относящегося к методу прямого определения же-
103
лезистой сыворотки*. В частности, исследователи пытались справить-
ся с некоторыми проблемами, характерными для других широко рас-
пространенных методов анализа, не исключающих помутнения смеси
требующих больших проб, к тому же медленно протекающих и тру’
доемких. Для преодоления этих трудностей авторы предложили улуч-
щенный метод определения железистой сыворотки, основанный на не-
давно синтезированной присадке. Одна из целей исследования —
сравнение точности предложенного метода и известного метода Рамсея
[315]. Было проделано двадцать пар анализов, каждый двумя методами,
причем в качестве эталонов служили сыворотки Hyland, содержащие
105 микрограмм железистой сыворотки на 100 миллилитров. Табл. 5.1
дает найденные в 40 анализах этого исследования количества же-
лезистой сыворотки (в микрограммах на 100 мл).
С точки зрения методики выполнения анализа метод авторов
(Jung—Parekh) явно лучше, чем метод Рамсея.
Таблица 5.1. Содержание железистой сыворотки (микрограмм/100 мл),
определенное эталоном по сывороткам Hyland
Метод Ramsay Метод Jung—Parekh
111 107
107 108
100 106
99 98
102 105
106 103
109 НО
108 105
104 104
99 100
Метод Ramsay Метод Jung—Parekh
101 96
96 108
97 103
102 104
107 114
113 114
116 113
113 108
НО 106
98 99
Источник. [208].
Однако при дополнительном рассмотрении возникло подозрение, что
метод авторов имеет меньшую точность, чем процедура Рамсея. По-
этому в данном примере нас интересует альтернатива о том, что рассея-
ние предложенного метода больше, чем у метода Рамсея. Следователь-
но, обозначая через X результаты, полученные по методу Рамсея, а
через Y — по методу авторов, надо проверять Но (2) против альтерна-
тивы у2 > 1. Поскольку т = п = 20, возьмем приближение для боль-
шой выборки метода (4). На уровне около а = .05 из табл. А.1 на-
ходим z (О.о5) = 1.645.
* Железистая сыворотка — препарат железа (лактат, или молочнокислое
железо), применяется как средство от малокровия. Авторы разработали такой
метод полумикроанализа этого препарата на железо, который не требует громозд-
кой и влияющей на точность результата операции депротеинизации. — ПРи'
меч. ред.
104
После этого находим ^*, используя следующий вычислительный
прием:
1 xi i xl Rl
1 111 7 11 101 11
2 107 16 12 96 1.5
3 100 9.5 13 97 3
4 99 7 14 102 12.5
5 102 12.5 15 107 16
6 106 19 16 113 5
7 109 10 17 116 1
8 108 12.5 18 113 5
9 104 17 19 ПО 8.5
10 99 7 20 98 4.5
80
Отсюда = 185.5. Теперь для получения W* остается найти
var0 (W). Поскольку т + п = 40 — четное число и имеются связан-
8.
ные наблюдения, мы пользуемся (9). Покажем вычисление в
следующей таблице, где есть g = 19 связанных групп.
Связанная группа Ч ‘г2
1 2 2.25 4.5
2 1 9 9
3 2 20.25 40.5
4 3 49 147
5 2 90.25 180.5
6 1 121 121
7 2 156.25 312.5
8 2 210.25 420.5
9 3 289 867
10 2 380.25 760.5
11 3 361 1083
12 3 256 768
13 4 156.25 625
14 1 100 100
15 2 72.25 144.5
16 1 49 49
17 3 25 75
18 2 6.25 12.5
19 1 1 1
19
Поэтому мы имеем в 5721, и из (7) и (9) получаем
fy*_______________185.5—[20 (42)/4)______________ _
{(20) (20) [16 (5721)—40 (42)«]/[ 16 (40) (39)]}1
105
что приводит нас к принятию Но на уровне it = .05, поскольку U7*
= — 1.336 < 1.645 = Z(.о5). Следовательно, нет достаточных ос-
нований считать, что предложенный метод связан с потерей точности
по сравнению с методом Рамсея.
Комментарии
5.1. Если известна медиана совокупности наблюдений Y (скажем
р2), равная р! + 6, где рх — медиана совокупности наблюдений X-
6 — известная константа, мы можем модифицировать наблюдения
Xj = Xt + 6, i = 1, ..., т, и применить методы Ансари—Брэдли из
этого параграфа к новым наблюдениям X' и старым Y.
5.2. Для проверки гипотезы Но: у2 = yg, где yg — некоторое
данное положительное, не равное единице число, в ситуации, когда
известно значение общей для совокупностей X и Y медианы ц0, мы мо-
дифицируем наблюдения Xj = Xt — р0, i = 1, ..., tn, Yj = (Yj —-
— НоУТо. / = L • ••, n> a затем вычисляем W (3), используя X', Y'
(вместо X и У). Методы (4)—(6) работают как обычно.
5.3. При допущениях А1—АЗ у совокупностей X и У одна и та же
медиана. Пусть, например, у2 больше 1. Тогда значения У будут про-
являть склонность к большему рассеянию (разбросу), чем значения X.
Поэтому при ранжировании по схеме 2-го шага метода У будут прояв-
лять склонность к малым рангам, а X — к большим. При этом W
(3) будет возрастать. (Наглядным примером крайнего случая служит
такое упорядочение выборки: (YYXXXYY).) Эти рассуждения дают
некоторые объяснения для метода (4).
5.4. При выполнении гипотезы Но (2) вероятность каждого из
возможных «сцеплений» X и У равна Благодаря этому можно
найти распределение W (3) при нулевой гипотезе. Приведем пример
для случая т = 2, п = 3. Пусть 7?(1> < 7?<2> — упорядоченные ран-
ги X; тогда W = Ri + Rz = R(1) + Rw- Все = 10 возможных
сцеплений вместе с соответствующими (/?а>, 7?<2>) и 117 приведены
в следующей таблице:
Сцепление Вероятность Д(2)) VbrIO+rI2)
XXYYY 1/10 (1.2) 3
XYXYY 1/10 (1.3) 4
XYYXY 1/10 (1.2) 3
XYYYX 1/10 (1.1) 2
YXXYY 1/10 (2,3) 5
YXYXY 1/10 (2,2) 4
YXYYX 1/10 (1.2) 3
YYXXY 1/10 (2.3) 5
YYXYX 1/10 (1.3) 4
YYYXX 1/10 (1.2) 3
106
Так, например, Ро {W > 4} = Ро {W = 4} + Ро {W = 5} =
== "Ь То = 2"’ (Проверьте совпадение этой вероятности с соответст-
вующим числом из табл. А.6.)
Если верна На (2) и N = (т + га) четно, то распределение 117 (3)
симметрично относительно среднего т (т + п + 2)/4. Отсюда следует,
что при четном N = (т + п)
Ро {W^x} = Ро {W < [(т (т 4- п + 2)/2) — х]}
при всех х. Отсюда в свою очередь вытекает, что при четном N нижний
а-процентиль распределения 117 при нуль-гипотезе равен:
(Oj (а, т, п) = {(т (т + п + 2)/2) — со2 (а, т, п)}.
5.5. В схеме ранжирования этого метода статистика 117 (3) — это
сумма рангов X. Обозначим сумму рангов Ув той же схеме как 117'.
Методы (4) — (6) можно с тем же успехом построить и на 117', по-
скольку 117' = [М (W + 2)/4] — 117*, если N = т + п — четно,
и W' = [(М + 1)2/4] — W, если N — нечетно (см. задачу 5.3).
5.6. Можно использовать критерий Ансари—Брэдли (и методы
§ 5.2—5.4), даже не предполагая существования дисперсии совокупно-
сти величин е. Действительно, наши допущения А1—АЗ из этого пара-
графа (и допущения Б1—БЗ § 5.2—5.4) не упоминают о дисперсии со-
вокупности е. Если, однако, эти дисперсии существуют, то можно пока-
зать, что параметр у2 равен отношению var (/j/var (X), где var (У) —
дисперсия случайной величины У, var (X) — дисперсия X.
Допущения А1—АЗ требуют, чтобы совокупности X и У различа-
лись лить в мерах рассеяния. В частности, эти совокупности не долж-
ны иметь сдвига, а медиана каждой из них должна быть равной р
(см. комментарий 5.1, где эти условия несколько ослаблены). В то же
время требование равенства медиан не обязательно для классического
F-критерия, основанного на отношении выборочных дисперсий X
и У, или для методов из§ 5.2—5.5, а для критерия Ансари—Брэдли оно
существенно. Возьмем, например, т = 4, п = 5 и все наблюдения из
совокупности X меньше любого наблюдения из совокупности У. Тогда
для всех возможных выборок X и У совместная ранжировка четырех
наблюдений X и пяти наблюдений У даст 117 = 10, вне зависимости
от мер разбросов этих совокупностей. Выходит, что здесь мы не можем
получить какую бы то ни было информацию о у2.
Мозес [270] обратил внимание на это причудливое поведение ран-
говых критериев рассеяния и показал, что такие критерии не отвечают
своему назначению, если не выполнены сильные допущения (такие, как
равенство медиан или знание их величин) о параметрах положения.
О «похожих на ранговые» свободных от распределения критериях, для
применения которых не нужно равенство или знание медиан, см.§ 5.2.
Об асимптотически свободном от распределения критерии, тоже не
требующем равенства или знания медиан, см. в § 5.5.
107
5.7. Для случая, когда медианы совокупностей X и Y неизвестны
Ансари и Брэдли [9] предложили следующую модификацию своих ме-
тодов. Определим скорректированные наблюдения X't — Xt — *
i = 1, ..., т, nY'i=Yt — Y, ] = ]., .... п, где Х~и Y — медианы вы-
борок X и Y соответственно. Обозначим через W статистику W (3),
вычисленную по X' и Y', и применим методы этого параграфа к модифи'
цированной статистике W. Критерии, основанные на W, уже не
будут свободными от распределения, однако в [158] даны условия, при
которых они асимптотически свободны от распределения.
5.8. Заменим допущения А1—АЗ на менее ограничительные допу-
щения АГ: все X извлечены из одной непрерывной совокупности, все
Y извлечены из другой непрерывной совокупности; А2': (пг +«) х
и Y взаимно независимы; АЗ': у совокупностей X и Y одна и та же ме-
диана р. Пусть А* = [Р (У > X > р )+ Р (У < X < р) — -1]. Ме-
тоды (4), (5) и (6) состоятельны против альтернатив Д* > О, Д* < О,
Д* 0 соответственно (см. [270], [429]). Если, в частности, выполне-
ны допущения А1—АЗ, это утверждение о состоятельности влечет за
собой другое, данное в разделе «Свойства» (1).
5.9. Во многих двухвыборочных ситуациях интересно выявить раз-
личие совокупностей в сдвиге или разбросе. Одно из решений — при-
менение критериев, предназначенных для более общих альтернатив (на-
пример, критериев, основанных на статистиках Колмогорова—Смир-
нова, обсуждаемых в § 10.1). Другой путь — совместное применение
двух критериев: одного — для сдвига, другого — для разброса; на-
пример, критерия Уилкоксона, основанного на W (4.3) и предназначен-
ного для выявления различий в положении (сдвиге), и критерия Ан-
сари — Брэдли, основанного на if (3) и предназначенного для выяв-
ления различий в рассеянии (см. [251], где реализован такой подход).
В [317] показано, что при выполнении Но (2) W и W некоррелирова-
ны и, более того, асимптотически независимы. Отсюда следует, напри-
мер, что если мы применяем критерий Уилкоксона на уровне и кри-
терий Ансари—Брэдли на уровне а2, то вероятность отклонить гипо-
тезу об идентичности совокупностей X и У, хотя бы одним из крите-
риев, будет приближенно равна aj + a2 — а^.
Свойства.
1. Состоятельность: критерии, определенные (4), (5) и (6), состоя-
тельны против альтернатив у2 > , у2 < и у2 1 соответственно. См.
также [9], [270], [429] и § 5.6.
2. Эффективность: см. [9] и § 5.6.
Ссылки. Статистика W рассматривалась в [132] и, как частный
случай более широкого класса критериев, в [22]. Ансари и Брэдли [91
детально изучили свойства статистики W. Обработку связанных на-
блюдений для критерия W обсуждала Ван Еден [429].
Свойства состоятельности критерия W исследовались в [9], [2701
и [429]. Асимптотическая относительная эффективность изучалась в
[9]. Гаствирт [138] рассмотрел процентильную модификацию W, в
108
[661, [221] даны критерии нормальных меток, имеющие хорошую эф-
фективность. Зигель и Тьюки [373] предложили критерий рассеяния,
асимптотически эквивалентный 117-критерию (см. [165, р. 126])*.
Другие двухвыборочные критерии масштаба, основанные на равенст-
ве параметров положения, можно найти в [324]; см. также [459] и [213],
где критерий основан на превышающих наблюдениях; [269], [190],
[399] ,где критерии связаны с различными суммами квадратов рангов;
критерий Сэвиджа [333] для строго положительных наблюдений; кри-
терии, основанные на расстояниях наблюдений от медиан совокупно-
стей [395], [396], [397]; критерии с обобщенными [7-статистиками [400];
критерии, основанные по k-x степенях рангов, рассмотрены в [401];
критерий со взвешенной суммой рангов, использующий интерквартиль-
ные промежутки, — в [347]; класс перестановочных критериев — в [351 ].
Если не предполагать равенства или известности медиан, то можно при-
менять свободные от распределения модификации ранговых критери-
ев для рассеяния, которые рассмотрены в [396], [397] и [400], [85],
[312], [158].
В [317] исследована корреляция между ранговыми критериями рас-
сеяния и сдвига (см. комментарий 5.9). Хорошее обсуждение задач,
связанных с ранговыми критериями масштаба, см. в [270]. Методы,
похожие на ранговые и не требующие равенства положений двух сово-
купностей, см. в § 5.2. О двухвыборочных критериях однородности
против более общих альтернатив см. в § 10.1 и его ссылках**.
Задачи
5.1. Обратимся к данным о водопроницаемости плаценты из табл. 4.1.
В § 4.1 мы видели, что критерий, основанный на статистике ранговой суммы
Уилкоксона, принимает нулевую гипотезу о том, что водопроницаемость пла-
центы на 12—26-й неделях беременности та же, что и после обычных родов. Пом-
ня это и работая с теми же данными, проверьте гипотезу об одинаковых рассея-
ниях против альтернативы о том, что вариация диффузии тритиевой воды через
плаценту различна для нормальной беременности и для беременности, прерван-
ной на 12—26-й неделе.
5.2. Найдите или постройте пример, в котором даны уровень а и число
с, такие, что при вычислении W (3) для исходных данных Xlt...,Xm, У^..., Уп
основанный на (4) метод при уровне а приводит к принятию Но (2), а при вычис-
лении W для Xi + с, Х2 + с,..., Хт + с, У^-.^Уп тот же метод на том же
уровне а приводит к отклонению Но. Заметим, что такой пример подчеркивает
нежелательное свойство 117-критерия. Пусть X — случайный элемент из сово-
купности П. Тогда совокупность П', полученная прибавлением константы к каж-
дому элементу П, должна при любом разумном определении рассеяния иметь ту
же ее величину, что и П. Поэтому различие в рассеянии между совокупностями
X и У должно быть таким же, как и между совокупностями X-f-c и У. Тем не ме-
* В русском переводе 1971 г. см. с. 122. — Примеч. пер.
** Дополним пункт «Ссылки» следующими работами: [564], обзор Дюрана
[592], [595], [596]; об адаптивных критериях см. [624], [722], [596]; Лепаж [673 (1)]
дал таблицы для критерия, составленного из критериев Уилкоксона и Анса-
ри— Брэдли; см. также [673 (2)]. Укажем еще на [504], [665], [672]. Алгоритм
для получения точного нулевого распределения № см. в [589]. — Примеч. пер.
109
нее критерий W, примененный к данным Xi + с,..., Хт + с, Yif...,Yn, Мо.
привести к решению, которое отличается от решения для Xi,..., Хт, Xj,...
5.3. Пусть W'— сумма рангов наблюдений Y по схеме ранжирования г
2-м шаге метода. Проверьте непосредственно или покажите на примере дайны9
табл. 5.1, что верно W' = [(N + 2)/4] — W, если JV = (т + п) — четно*
МЕДИАНЫ НЕИЗВЕСТНЫ И НЕРАВНЫ
Данные. Имеется N = т + п наблюдений Х1г ..., Хт, у,
Уп-
Допущения
Б.1. Мы принимаем модель
Xi = О1в£ + Hi, i = 1, тЛ
Yj = °2ет+п + |i2, j = 1.... nJ
где е1г ..., em+n — ненаблюдаемые случайные величины; и р2 — не-
известные медианы совокупностей X и Y соответственно, причем нас
интересует параметр у = — неизвестное отношение мер рассея-
ния.
Б2. Все N случайных величин е взаимно независимы.
БЗ. Все е извлечены из одной непрерывной совокупности с медиа-
ной, равной нулю.
§ 5.2. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ,
ПОХОЖИЙ НА РАНГОВЫЙ (МОЗЕС)
Метод. Для проверки
До : V2 = 1
надо выполнить следующее.
1. Выбрать положительное целое 2 и случайным образом раз-
делить наблюдения X и Y на tri и ri подгрупп соответственно. Все не
вошедшие в подгруппы наблюдения отбросить.
2. Обозначить через Xfl, •••> Xih k наблюдений, попавших в но
подгруппу для X, i = 1, ..., tri, а через Уд, ..., Yjh — k наблюдений,
попавших в /-ю подгруппу для У, / = 1, .., п'.
3. Определить Сх, ..., Ст- из
k _
Ci= 2 {Xii-Xi)\l=\, ...,tri, (13)
s= 1
где
k
2 xt°
у s= 1
4. Определить Db ..., Dn- из
Dj = ^ (Ул-У;)2,/=1,..., ri, (14)
t= 1
где
no
5. Выполнить шаги 1, 2, 3 метода из § 4.1, подставляя вместо X и У
полученные на шаге 3 и шаге 4 этого параграфа величины Ci, D},
i == 1, т', j = 1, .... га', которые играют роль X и У из § 4.1 соот-
ветственно; при этом т’ + п' = N' играет роль (т + n) = N, 1п(у2)
играет роль Д (см. §4.1 и 4.2). Другими словами, надо найти стати-
стику Уилкоксона для двух выборок 1У (4.3), используя ..., Ст>
и 0ц ..., Dn', полученные на шаге 3 и шаге 4, и применить крите-
рий суммы рангов, соответствующий альтернативной гипотезе, как
описано в § 4.4—4.6.
Приближение для большой выборки. Надо взять приближение для
большой выборки из § 4.1, заданное (4.7) и (4.8), заменяя в нем тип
на т! и п' соответственно.
Связи. Если среди (пг' + га') = N' наблюдений С и D, полученных
на шаге 3 и шаге 4, найдутся равные между собой, то надо их скоррек-
тировать, как в пункте «Связи» из § 4.1.
Пример 5.2. В табл. 5.2 частично воспроизведены данные из ра-
боты [61], где исследовался анализ содержания ионов натрия в эритро-
цитах (красных кровяных тельцах). Эта информация полезна в диагно-
стике некоторых заболеваний, знания лишь содержания ионов натрия
в плазме бывает недостаточно. Однако содержание ионов натрия в
эритроцитах сильно изменяется и его измерение подвержено ошибкам.
Эго побудило авторов предложить для определения ионов натрия в эри-
троцитах метод пламенной фотометрии, который может обеспечить
большую точность, чем точность обычных неэффективных методик.
Один из путей оценки точности предлагаемого метода — сравнение
разброса концентраций ионов натрия в эритроцитах с разбросом в оп-
ределении ионов натрия в плазме, так как известно, что разброс для
второго анализа методом пламенной фотометрии достаточно мал. Ана-
лиз содержания ионов натрия делали методом пламенной фотометрии
для каждого из 30 образцов плазмы и эритроцитов. В табл. 5.2 дана
концентрация ионов натрия в милли-эквив./литр для всех 60 образцов.
Таблица 5.2. Содержание ионов натрия в мили-эквив./литр
Плазма Эритроциты | Плазма | Эритроциты
147.0 10.3 161.0 15.2
147.0 11.0 145.0 31.4
144.0 10.7 145.5 26.8
147.0 12.2 141.0 27.0
142.0 16.0 144.& 31.4
145.0 19.4 142.0 32.2
146.0 16.5 146.5 26.3
144.0 19.2 145.0 12.7
144.0 16.5 157.0 17.2
145.0 19.3 145.0 17.5
146.0 9.7 154.5 16.9
162.5 12.6 148.5 19.0
146.5 8.3 153.5 21.7
163.0 9.7 139.0 11,4
147.0 8.5 137.0 17.5
Источник. [61].
111
Перейдем к постановке задачи, для чего обозначим через X резуд.
тэты определения содержания ионов натрия в плазме, а через Y
в эритроцитах. Нас интересует односторонний критерий Но (12) ПрГ
тив альтернативы -у2>1. Следовательно, воспользуемся методом (4л\
для наблюдений С и D. В частности, последуем совету комментария 5 J
и возьмем метод Мозеса для объемов подгрупп k = 6, tri = 5, п' = 5
Из табл. А.5 мы видим при а = .048, что w (.048, 5.5) = 36.
Разделяя 30 наблюдений X на 5 подгрупп объема 6, получаем-
Подгруппа Наблюдения X в подгруппе
1 144 146.5 141 146.5 145 139
2 145 147 145 157 162.5 154.5
3 142 148.5 146 145 144 145.5
4 161 153.5 144 142 137 163
5 147 144 147 146 147 145
Так же получим пять поДгрупп наблюдений Y:
Подгруппа Наблюдение У в подгруппе
1 11 16 19.3 15.2 32.2 17.5
2 19.4 16.5 8.3 9.7 27 31.4
3 10.3 19.2 26.3 31.4 16.9 21.7
4 12.2 17.5 26.8 11.4 12.6 17.2
5 10.7 16.5 9.7 8.5 12.7 19
С3 = 23.33,
и
Ds = 271.27,
= 264.33,
Св = 8.00
= 424.67,
Р5 = 84.64.
/ DJ RJ
1 262.7 6
2 424.7 9
3 271.3 8
4 167.0 5
5 84.6 4
Затем по формулам (13) и (14) для этих подгрупп находим С,
Св> Dx....Ds'.
Ci = 46.83, С2
С4 = 571.21,
= 262.71, Dz
= 167.01
(Мы сохраняем у С и D два десятичных знака, имея в виду их дальней*
шее использование в примере 5.3.) Теперь выполним, пользуясь обо-
значениями § 4.1, табличный счет статистики ранговой суммы Уилкок-
сона для Съ ..., Cs и Dlt .... Ds. „
Отсюда W = 32, и мы принимаем Но
иа уровне а = .048, поскольку W
=32 < 36 = w (.048, 5.5). Из табл. А^
находим, что w (.210, 5, 5) = 32. Поз*
тому наименьший уровень значимости
на котором мы можем отклонить по
пользу у2> 1, равен .210. Таким обР
зом, похожий на ранговый критер
Мозеса при k = 6 указывает, что УтВ Р
112
ение о превышении разброса при определении ионов натрия в эри-
^цитах по сравнению с разбросом при анализе в плазме отнюдь не
очевидно.
Комментарии
5 10. Заметим, что допущения Б1—БЗ не требуют, чтобы у двух
ассматриваемых совокупностей медианы были равны, поэтому оии
менее ограничительны, чем допущения А1—АЗ для методов, основан-
ных на статистике Ансари — Брэдли W (3). Вследствие этого крите-
оии основанные на классе статистик Мозеса, не имеют тех неприятных
свойств, которые появляются у ранговых критериев рассеяния, когда
есть различие в положении двух выборок (см. комментарий 5.6).
5.11. Для проверки гипотезы у2 = уо, где — некоторое данное
положительное не равное единице число, мы модифицируем наблюде-
иия у] = Yj/yOt j = 1» •••> п> а затем шаг за шагом применяем метод
этого параграфа, используя X и У (вместо X и У). Критерии 5-го шага
метода можно применять без изменений.
5,12. При у2> 1 величины D, определенные в (14), стремятся прев-
зойти величины С из (13). Это приводит к увеличению рангов D и, как
следствие, к большим значениям статистики W (4.3), применяемой к
Ci,..., Ст’ и Dlt ..., Dn‘. Это объясняет односторонний критерий Мо-
зеса для альтернативы у2 > 1 из 5-го шага метода.
5.13. Как говорилось в комментарии 5.10, неравные параметры
положения |лх и |л2, определенные в (11), не влияют на методы Мозеса,
а критерий Ансари—Брэдли теряет свои свойства. Статистика
2 (Xt — X)2 не меняется, если ее вычислить по новой выборке, где
все Х[ заменены на Xi + b, и b — некая константа, что как-то объяс-
няет упомянутые выше свойства. (На переход к статистикам Сх, ...,
Ст', Е)ъ ..., Dn' можно смотреть как на прием, исключающий влияние
мешающих эффектов сдвига.)
5.14. Заметим, что CtHk—1), i = l, .., tn',—выборочные дисперсии
k наблюдений Хц случайным образом помещенных в i-ю подгруппу.
Аналогично/)^—1) — выборочные дисперсии k наблюдений У,
случайным образом помещенных в /-ю подгруппу. Для вычисления бо-
лее удобны, чем определения в (13) и (14), следующие эквивалентные
формулы:
o,~ Jr;,
1
515. Если k = 2, to
C.--2
se 1
( k \а
k 2
2 !
S=1 R
k \2
2
t= i /
k
i=l...т',
, j=l..tl'
ч= 1
(Хи—Хй)а (размах в /-й подгруппе наблюдений Х)а
2
2
113
при i — 1, т! и аналогично
2
t= 1
(размах в /-й подгруппе наблюдений У)2
“ 2
при / = 1, п'. Таким образом, при k = 2 ранги D в совместной
ранжировке величин С и D те же самые, что и ранги |УЛ — У>2| в
совместной ранжировке всех |ХП — Xi2| и |УЛ — У>21- Поэтому при
k = 2 проверки, обсуждаемые на 5-м шаге, можно рассматривать как
методы, основанные на размахах подгрупп объема 2 наблюдений X
и Y.
5.16. Шорак [370] рекомендует выбирать объем подгруппы k как
можно больше (но не более 10), однако не делая т' и п’ настолько ма-
лыми, что распределение соответствующей статистики ранговой сум-
мы Уилкоксона не сможет обеспечить разумные уровни значимости для
критериев. Мы подчеркиваем, что объем подгрупп надо выбирать исходя
только из т и п, а не манипулируя значениями X и Y. Было бы невер-
но так подбирать различные значения k, чтобы получились значимые
решения. Такой подход делает незаконными все выводы!
5.17. У критерия Мозеса, похожего на ранговый, есть недостаток —
два человека могут получить различные выводы, обрабатывая одни и те
же данные с помощью одного и того же критерия при одном и том же
а. Эта возможность возникает из-за случайности процесса группирова-
ния*. Мы подчеркиваем, что при применении критерия допускается
лишь одна чисто случайная группировка. Совершенно неверно манипу-
лировать группировками для достижения значимого результата. Такой
подход делает незаконными все выводы. См. также комментарий 5.16.
5.18. Методы вроде «похожего на ранговый» критерия Мозеса при-
менимы при менее ограничительных допущениях, чем Б1—БЗ. Рас-
смотрим более общие допущения Б Г: все X извлечены из одной и той
же непрерывной совокупности и все Y — из другой непрерывной со-
вокупности; Б2': (т + п) наблюдений X и Y взаимно независимы.
Тогда методы, описанные в шагах 1—5 и § 4.4, 4.5, 4.6, состоятельны
против альтернатив, для которых Р (Сх < DJ >, < и #= -у соответ-
ственно (см. [270]). Утверждение о состоятельности (свойство 1) и3
раздела «Свойства» — частный случай состоятельности, относящийся
к выполнению допущений Б1—БЗ.
5.19. Холлендер [194] показал, что при выполнении Но (12) и сим-
метрии совокупности статистика Мозеса, похожая на ранговую, и ста-
тистика суммы рангов Уилкоксона (4.3) для проверки гипотез о раз-
личии в положении иекоррелированы и асимптотически независимы-
* Повторное и независимое от первого (т. е. с другим разбиением на под-
группы тех же объемов) применение критерия Мозеса к тем же исходным данны-
может привести к иным выводам. — Примеч. ред.
IJ4
Из этого следует, например, что если мы применим критерий Уилкок-
сона на уровне значимости и критерий Мозеса — на уровне а2,
то вероятность отклонить хотя бы одним из двух критериев будет
приближенно равна ах + а2 — «ia2, если X и Y — случайные выбор-
ки, извлеченные из общей непрерывной симметричной совокупности
(см. также комментарий 5.9).
5.20. Хотя для методов Мозеса из этого параграфа и не надо ра-
венства медиан, без которого не работают методы Ансари—Брэдли из
§5.1, для практически применимых объемов подгрупп похожие на
ранговые методы, как показал Шорак [370], относительно неэффек-
тивны (см. § 5.6). О методах с более высокой асимптотической относи-
тельной эффективностью, чем у критерия Мозеса, но не строго сво-
бодных от распределения, см. § 5.5.
Свойства
I, Состоятельность: критерии, определенные в § 4.4, 4.5 и 4.6, где
W надо считать по наблюдениям С и D из (13) и (14), состоятельны при
у2> 1, у2 < 1, У2 =/= 1 соответственно (см. также комментарий 5.18).
2. Эффективность: см. [270], [367], [370] и § 5.6.
Ссылки. Критерии, похожие на ранговые, предложены Мозесом
[270] для борьбы с требованием равенства медиан, необходимым для
ранговых критериев разброса (см. § 5.1). Они отчасти навеяны крите-
рием, предложенным Боксом [49]. Состоятельность методов, похожих
на ранговые, обсуждалась в [370], асимптотическая относительная
эффективность получена в [270], [367], [370]. Холлендер [194] исследо-
вал корреляцию между критериями Мозеса и некоторыми известными
непараметрическими двухвыборочными критериями сдвига. Соперники
критериев, похожих на ранговые, из этого параграфа, также ие тре-
бующие равенства медиан двух совокупностей, включают: основанный
на {/-статистике критерий [243] (связанной с критериями Мозеса при
k = 2), не свободный от распределения даже асимптотически; переста-
новочный критерий, данный Боксом и Андерсеном [50]; асимптотиче-
ски свободную от распределения модификацию метода Лемана, предло-
женную Сеном [345]; модификацию критерия для средних из диспер-
сионного анализа (ANOVA), данную в [2521; разновидность критерия
Бокса—Андерсена, предложенную Шораком [367], [370]; перестановоч-
ный аналог процедуры Мозеса, предложенный в [353]; вариации кри-
терия [252], данные в [264], [275]; критерий, основанный на дисперсии
метода «складного ножа» в [264] (см. § 5.5)*.
Задачи
5. 4. Для данных об уровне гистамина из табл. 4.2 проверьте гипотезу об
одинаковом рассеянии против альтернативы о том, что изменчивость уровня
гистамина среди курильщиков больше у склонных к аллергии, чем у устойчивых
к ней. Используйте критерии А1озеса из этого параграфа с объемом подгрупп
k = 3.
5. 5. Повторите обработку данных примера 5.2 для подгруппы объема k = 5.
(Сохраните новые случайные группы, они еще пригодятся в задаче 5.7.)
* См. также [722, § 11.2], [596] — Примеч. пер.
115
§ 5.3. ОЦЕНКА, СВЯЗАННАЯ С ПОХОЖИМ
НА РАНГОВЫЙ КРИТЕРИЕМ МОЗЕСА (ШОРАК)
Метод. Для оценки -у2 в модели (11) надо выполнить следующер
1. Вычислить т'п' отношений DjICt, i = 1, ..., т', j = 1, .
2. Обозначить через ... упорядоченные значе‘
ния DjICt, а через у2 — оценку параметра у2, построенную по стати
стике, похожей на ранговую Мозеса (см. комментарий 5.24). Если
т'п' — нечетно, скажем, т'п' = 2r + 1, то
(15)
Если же т'п' — четно, скажем, т’п' = 2г, то
V (16)
(См. § 5.4, где дан графический метод, пригодный для определения
?•)
Пример 5.3. Рассмотрим данные о содержании иона натрия из
табл. 5.2. Упорядоченные значения (О;/Сг), обозначаемые V(1) ... <
< У<25>, таковы: .15, .29, .32, .46, .47, .63, .74, .99, 1.03, 1.61, 1.81
3.57, 3.63, 5.61, 5.79, 7.16, 9.07, 10.58, 11.26, 11.63, 18.20, 20.88, 32.84^
33.91, 53.08. Поскольку т' = 5, п' = 5, то т'п' = 2r + 1 и г = 12’
Тогда из (15) получаем у2 = У(13> = 3.63.
Комментарии
5.21. Заметим, что для подсчета у2 надо найти т'п' отношений.
Если т' и п' малы, то найти все отношения — не проблема; если же
т' и п' несколько больше, можно применить графический метод из
§ 5.4. Однако для больших т' и п' и он слишком трудоемок. Тогда
легко вычислить у2 на вычислительной машине.
5.22. Оценка у2 менее чувствительна к большим ошибкам, чем ее
аналог, основанный на теории нормального распределения
п
2 (r,-r)2/(«-i)
= /=*_________________ А
Г т _ s? ’
2 (Хг-Х)2/(/п-1)
z=i
т п
2 хг _ 2 yj
где Х = ---и У=-^=-!-----.
т п
5.23. Как отмечено в 2-м шаге метода, графический подход § 5.4
можно использовать для получения у2. Шорак [368], обсуждавший дрУ'
гую графическую процедуру, которая тоже годится, дал эквивалентное
выражение для у2.
5.24. Объяснение формул для оценки у2 (15), (16) подобно тому, чт0
было дано для А в § 4.10 (см. комментарий 4.12). Мы оцениваем Y
116
через у2 так, чтобы статистика ранговой суммы Уилкоксона, применен-
ная к величинам Clt ..., Ст', Djy2, ..., DnJyz, была как можно ближе
к ее математическому ожиданию для нулевой гипотезы п' (т' + и' +
+ 1)/2‘
5.25. Значение у2 (15), (16) зависит от группировки наблюдений,
проводимой путем рандомизации, применяемой для получения С и D.
Это приводит к недостатку метода, о котором говорилось в коммента-
рии 5.17.
Свойства.
1. Стандартное отклонение у2 (15), (16). Об асимптотическом стан-
дартном отклонении у (15), (16) см. [370].
2. Асимптотическая нормальность: см. [370].
3. Эффективность: см. [370] и § 5.6.
Ссылки. Оценка у2 (15), (16) рассматривалась в [370] как одна
из оценок класса, предложенного Шораком и связанного с методами,
похожими на ранговые, в [367]. Другие заменители у2 предложены Се-
ном [348], [350]*.
Задачи
5.6. По данным об уровне гистамина из табл. 4.2 оцените у2, применяя
оценку, построенную по статистике Мозеса при объеме подгрупп k = 3.
5.7. По данным о содержании ионов натрия из табл. 5.2 оцените у2, исполь-
зуя подгруппы объема 5. (Сохраните результаты для задачи 5.9.)
§ 5.4. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ, ОСНОВАННЫЙ
НА ПОХОЖЕМ НА РАНГОВЫЙ КРИТЕРИИ МОЗЕСА (ШОРАК)
Метод. Чтобы построить двусторонний доверительный интервал
для у2 с коэффициентом доверия 1 — а, надо выполнить следующее.
1. В табл. А.5 найти такое целое число Са, что
P°{[~ '(V ° ["' <2/п,+д, + 1)--са]|= 1-а. (17)
Заметим, что п' (2т' + п' + 1)/2 — Са + 1 = w ((а/2), т', п').
2. Упорядочить значения И1) ... у(т'п') величин (Dj/Ct),
f = 1, ..., т', / = 1, .... п'.
3. Искомый (1 — а)-доверительный интервал (yt, yb) задается
Формулами
?2 = у(С«)> = у(т’+1 -са). (18)
При yi, из (18) имеем
“• <19)
* См. также 1592], 1504] и библиографию в сноске к § 5.1. — Примеч. пер.
П7
Графический метод. Обозначить
At = In Ct, i = 1, ..., tn',
В} = InDj, / = 1.....n'.
Применить графический метод § 4.3, подставив tri вместо т\ п'
вместо п к величинам Л£ и Bs вместо X и Y соответственно, i = 1,...
tn', j = 1, ..., п'. Тогда (1 —а)-доверительный интервал для -у2 (18)
будет (antiln a, antiln b)*.
Для получения точечной оценки -у2 (15), (16) можно использовать
графическую процедуру §4.3дляАг, В,, i = 1, ..., n', / = 1,
Приближение для большой выборки. Возьмите приближение для
большой выборки из § 4.3, с tri и п' вместо /пип, соответственно.
Пример 5.4. Обратимся к данным о содержании ионов натрия из
табл. 5.2. В табл. А.5 при tri = 5, п' = 5, а = .032 находим w ((а/2),
tri, п') = w (.016, 5, 5) = 38. На 1-м шаге получаем С.0зг = {5 (10 +
+ 5 + 1)/2} + 1 — w (.016, 5, 5) = 40 + 1 — 38 = 3. По (18) стро-
им 96.8%-ный доверительный интервал для у2:
(yl, У&) = (.32, 32.84),
где .32 = У(8), 32.84 = У(23> из данных примера 5.2.
Комментарии
5.26. Можно получить (1 — а)-доверительный интервал (18) сле-
дующим образом из похожего на ранговый критерия Мозеса. Довери-
тельный интервал (у2, у&) содержит все те значения для которых
двусторонний критерий уровня а (см. комментарий 5.11) принимает
гипотезу у = у0.
5.27. Доверительный интервал (18) имеет тот же отмеченный в ком-
ментариях 5.17 и 5.25 недостаток, что и критерии Мозеса и точечные
оценки, а именно: различные случайные группировки могут привести
к различным доверительным интервалам при неизменных данных и
для одних и тех же а.
Свойства
1. Равенство (18) верно для совокупностей, удовлетворяющих допу-
щениям Б1—БЗ. Поэтому (yZ, yfr) — свободный от распределения до-
верительный интервал для у2 в этом широком классе совокупностей.
2. Эффективность: см. [370] и § 5.6.
Ссылки. Доверительный интервал (18) для у2 ввел Шорак [368].
этот интервал принадлежит классу доверительных интервалов, полу-
ченных из критериев, похожих на ранговые, тем же Шораком [367].
Другую графическую процедуру, отличную от описанной в этом пара-
графе и тоже предназначенную для построения доверительного интер-
вала (18), можно найти в [368]. Другие доверительные интервалы были
* Выражение antiln х (у нас часто antin х) равно ех. Можно, конечно, ра-
ботать с логарифмами по любому основанию. — Примеч. пер.
118
Предложены й работах [348], [350]. О доверительных интервалах для
у2, основанных на ранговых критериях рассеяния и построенных при
известных или равных медианах, см. [367]*.
Задачи
5.8. По данным о гистамине из табл. 4.2 постройте доверительный интервал
для с коэффициентом доверия .886, используя доверительные интервалы, свя-
занные со статистикой Мозеса, при объеме подгрупп k = 3.
5.9. В задаче о содержании иона натрия найдите доверительный интервал
для у2 при объеме подгрупп k = 5. Какой коэффициент доверия надо взять, чтобы
разумно сравнить С интервалом из примера 5.4?
§ 5.5. АСИМПТОТИЧЕСКИ СВОБОДНЫЙ
ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ, ОСНОВАННЫЙ
НА СТАТИСТИКЕ «СКЛАДНОГО НОЖА» (МИЛЛЕР)
Данные. Мы получаем N = т + п наблюдений Xlt..., Хт
и Л.... Yn.
Допущения
В1. Выбираем модель
Xt = ffiei + Pi, i = l.т, |
Kj = o2em^+p2, /= 1,..., п J
(20)
где е1( .... ет+п — ненаблюдаемые случайные величины; рх и р2—
неизвестные медианы совокупностей X и Y соответственно; нас ин-
тересует параметр у2 = — отношение мер рассеяния совокуп-
ностей.
В2. Все Я величин е взаимно независимы.
ВЗ. Все е извлечены из одной непрерывной совокупности с нуле-
вой медианой и конечным четвертым моментом.
Метод. Для проверки
Яо : Та = 1 (21)
надо выполнить следующее.
1. Выбрать положительные целые числа kr и kz, так, чтобы m/k-t
и n/k2 были целыми. Разделить случайным образом наблюдения X на
т' подгрупп объема k2. Таким же образом разделить наблюдения Y
на п' подгрупп объема k2.
2. Положить = tn — k2, d2 = п — k2. Удалим из выборки X
i-ю подгруппу, i = 1, ..., т'. Оставшиеся dx = tn — kx наблюдений
обозначим Xtl, ..., Xidt. Аналогично удалим из выборки Y подгруппу
с номером /, / = 1, ..., п'. Оставшиеся d2 = и — k2 наблюдений обо-
значим ....... Yjdt.
* См. также [592], [722] и библиографию в сноске в конце гл. 4. — Примеч.
пер.
119
3. Вычислить Slt Sm' по формуле
“I
2 и.-з-^i)2
s= I
гдеХг
d,
2 %is
s = l
dt ’
4. Вычислить 7\... Tn> по формуле
Т, = 1п
Г d, _
2
t=l__________
di —1
5. Найти
2 (**-*)2
z= i______
m— 1
6. Вычислить
T0 = ln
2 -n2
/=i_______
n — 1
m n
2*« _ 2yi
гдеХ= —-----и Y = —
tn n
At = tn'S0 — (tn' — 1) St, i = 1........ tn',
Bj = п'Тц — (n' — 1) T}, j = 1, n'.
7. Найти
mr
2
A=
tn'
n'
2
b= —
я'
(23)
(24,1
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
120
8. вычислить т' % -А)* V1 тЧт' — Х) ’ (30) v‘-'»!(»--!) • <31>
9. Положить л В—А Q (Vx+V.)-'’- <32)
10. Односторонний критерий Но (21) против альтернативы у® > 1
на приближенном уровне значимости а таков:
отклонить Но, если Q Z(a), |
принять Но, если Q < zw- J (33)
Односторонний критерий Но (21) против альтернативы у2 < 1
на уровне значимости а (приближенно) таков:
отклонить Но, если Q Z(a>, 1
принять Но, если Q > — Z(a>. J (34)
Двусторонний критерий Но (21) против альтернативы у2 =/= 1 на
приближенном уровне значимости а таков:
отклонить Но, если Q^Z(a>) или —z(ai) ,|
ПрИНЯТЬ Яо, еСЛИ —Z(ai)<Q<Z(aa), )
где a = 04 + a2.
Если и т', п' малы и равны, то приближенные правила
проверки гипотез для уровня а, данные в формулах (33), (34) и (35),
можно улучшить, заменив z(a), z(at) на t(m-+n'-2, a), t(m'+n’-2, «,>
и t{n’+n.'-z. аг) соответственно, где t(m'+n'—2, a>— верхняя а%-ная
точка ^-распределения с т' + п' — 2 степенями свободы. Значения
а) можно получить из номограммы А.1.
Связи. Все методы таковы, что при наличии равных наблюдений
менять ничего не надо.
Пример 5.5. Вернемся к данным о проницаемости плаценты из
табл. 4.1. Нас интересует альтернатива об отличии изменчивости в
диффузии тритиевой воды через плаценту для рожавших своевременно
по сравнению с теми, кто вынужденно прервал беременность между 12-й
и 26-й неделями. Если обозначить через X значение Pd для пре-
паратов ткани плаценты, взятых у первой категории женщин, а через
Y — Pd для ткани, взятой у второй категории, то можно применить
критерий (35). (См. задачу 5.1, где используется другой подход — ме-
тоды, основанные на ранговой статистике Ансари—Брэдли W (3).)
121
Здесь же мы возьмем метод Миллера с = £а = 1, т' = 10, га' = 5
di = 9 и d2 = 4.
При ki = k2 = 1 мы видим, что есть т! = 10 подгрупп для Л,
каждая из которых содержит по одному из разных наблюдений
и п' = 5 подгрупп для Y, каждая из которых содержит по одному Из
разных наблюдений Y (см. комментарий 5.32). При i = 1, ..., 10,
/ = 1, ..., 5, назовем подгруппу, содержащую Х{, i-й подгруппой
наблюдений X, а подгруппу, содержащую Yj, — j-й подгруппой на-
блюдений Y. Теперь с этими подгруппами по (22) и (23) вычислим
•$1 510 и Tlt ..,
Sj =—1.70, Sa = —1.62, S3 = — 1.76,
S4 = — 1.57, Ss = —1.53,
S6 = — 1.52, S7 =— 1.77, S8 = — 1.59.
S9 = — 1.76, Slo = — 1.53;
Л = — 3.24, Ta = — 3.04, T3 = — 3.01, T4 = — 3.55, T5 = — 3.54,
По (24) и (25) вычисляем So=—1.64, To= — 3.25. Подставляя за-
тем эти величины в (26) и (27) получим
А], = — 1.10, Л2 = — 1.28, Аа = —.56,
Л4 = — 2.27, As = — 2.63,
Лв = —2.72, Л7 = —.47, Л8 = —2.09,
Лв = —.56, Л10 = — 2.63;
= — 3.29, В2 = — 4.09, Ва = ~ 4.21,
В4 = — 2.05, Въ = — 2.09.
Для ясности развернем вычисления:
А! = 10 (—1.64) — 9 (— 1.70) = — 1.10,
= 5 (—3.25) — 4(— 3.24) = — 3.29.
Далее по (28) и (29) находим Л = — 1.63, В = — 3.15. Используя
найденные выше значения А и В, находим и V2 по формулам (30) и
(31), что дает = .087, V2 = .22. Из (32) вытекает, что
Q =-3.15-(-1.63)
(.087+.22)1/2
Следовательно, наименьший уровень, на котором двусторонний кри'
терий с равными вероятностями «хвостов» отвергает Яо — эт° -0062
(см. табл. А.1). Отсюда явно подтверждается вывод о том, что изменчи-
вость диффузии тритиевой воды через плаценту различна для рожав-
ших в срок и прервавших беременность.
Комментарии
5.28. Заметим, что допущения В1 — ВЗ не требуют равенства ме-
диан двух рассматриваемых совокупностей, поэтому метод Миллера
п рименим в более общих ситуациях, чем методы Ансари — Брэдли,
122
основанные на W (3) (см. комментарии 5.6 и 5.10). Допущения В1—ВЗ,
однако, более ограничительны (требуется существование четвертых
моментов рассматриваемых совокупностей), чем допущения Б1 — БЗ,
необходимые для процедур Мозеса из § 5.2.
5.29. Для проверки гипотезы у2 = у§> где — некоторое данное
положительное число, не равное единице, надо модифицировать наб-
людения У] = Yj/y0, j = 1....п, а затем вычислить Q (32) по X и
У' (вместо X и У). Методы (33) — (35) остаются без изменений.
5.30. Подчеркнем, что методы (33) — (35) свободны от распределе-
ния лишь асимптотически, т. е. они не свободны от распределения в точ-
ном смысле этого слова. Поэтому нельзя вычислить таблицы точного
распределения Q (32) при Нй, поскольку оно зависит от неизвестной
нам совокупности.
5.31. Заметим, что St, i = 1, ..., т', — натуральный логарифм вы-
борочной дисперсии dx наблюдений Хг1,..., Хи,. Подобным же обра-
зом Т,, /= 1, ..., п' — натуральный логарифм выборочной дисперсии
наблюдений Уг1....... Yуц- В комментарии 5.14 приведены упро-
щенные формулы для вычисления дисперсии набора наблюдений. Для
этих эквивалентных формул (при i = 1, ..., т')
di т di т
2 xi5 = 2 Xs-Git 2 x?s= 3 Xs2-/fh
s=1 s = l S — 1 s—1
где Gi — сумма наблюдений, a Hi — сумма квадратов тех наблю-
дений, которые составляют i-ю подгруппу X. Аналогично (для
/ = 1...»')
dt п di п
*=1 t=i t=i t=i
где Uj есть сумма, а Т} — сумма квадратов тех наблюдений, которые
составляют j-ю подгруппу У.
5.32. При = 1 появляется т' — т подгрупп наблюдений X, каж-
дая из которых содержит по одному различному наблюдению из т,
в случайном разбиении X нет нужды. В действительности подгруппы
обычно строят так, что i-я подгруппа содержит Хг, i = 1,..., т. Когда
kx = 1, S,—просто натуральный логарифм дисперсии выборки из
(m— 1) наблюдений, остающихся в общей выборке X после изъятия
подгруппы Xt. Значит S, — натуральный логарифм дисперсии выбор-
ки, состоящей из наблюдений Хъ ..., Xf_x, Хг+1, ..., Хт. Аналогично
при k = 1 появляется п'= п подгрупп наблюдений У, каждая из ко-
торых содержит по одному различному наблюдению У (случайное раз-
биение У не требуется); T}t j= 1,..., п', — натуральный логарифм
дисперсии выборки наблюдений Ух,..., У;_1? Уs+1, ...,Yn (см. коммента-
рий 5.31).
5.33. Метод «складного ножа», применяемый в этом параграфе для
проверки гипотез о рассеянии в двух выборках,— это инструмент, ко-
торый можно успешно использовать в разных статистических задачах,
когда важно достичь двух целей: (а) уменьшить смещение точечной
оценки, (б) построить широко применимые и достаточно мощные кри-
123
терии для задач, где классические критерии чувствительны* к откло-
нениям распределений от нормальности. Хотя метод «складного ножа»
не всегда эффективно обеспечивает эти цели (см. [262]), он вполне хорош
в двухвыборочной задаче о рассеянии, давая асимптотически свободные
от распределения критерии для задач, когда отклонение от нормаль-
ности распределения может загубить классический F-критерий равен-
ства дисперсий (ср. [49], [370] и комментарий 5.40), а свободные от рас-
пределения ранговые критерии применимы ограниченно (см. коммента-
рий 5.6 и [270]). Миллер [264] подробно обсуждает преимущества ме-
тода «складного ножа» в двухвыборочной задаче о рассеянии (см. так-
же комментарий 5.34).
5.34. Метод «складного ножа» — это обобщение идеи Кенуя [309].
Он предназначен для уменьшения смещения оценки. Пусть есть выбор-
ка из N независимых наблюдений с одним и тем же распределением,
зависящим от неизвестного параметра 0. Пусть еще есть общий метод
оценивания 0 и 0 — оценка, основанная на N наблюдениях. Разделим
данные на п групп объема k. Пусть 0_ь i = 1,..., п, — оценка 0, полу-
ченная после изъятия i-й группы и оценивания 0 по оставшимся
(п—l)k наблюдениям. Определим 0г=п0—(п—1) 0_г. Оценка б но
п
методу «складного ножа» дается формулой 0 = Можно показать,
»=1
что в некоторых случаях метод «складного ножа» дает меньшее смеще-
ние, чем оценка 0. Тьюки [419], [420] обобщил метод «складного ножа»
на построение приближенных критериев значимости и доверитель-
ных интервалов для 0.
В задаче о рассеянии Миллер применил метод складного ножа не к
выборочной дисперсии, а к ее натуральному логарифму, поскольку это
преобразование способствует стабилизации дисперсии и «приближает»
распределение к нормальному. Статистика В (29) — оценка ln{var (У)};
статистика А (28) — оценка In {var (X)}; В — А — оценка In {var (Y)i
var (X)} = In у2. Величина (Vx + V2)1/2 в знаменателе Q (32) —оценка
среднего квадратичного отклонения В — А. Если, к примеру, Y более
разбросаны, чем X, то В — А возрастает, что отчасти объясняет метод
(33).
5.35. Процентили единичного нормального распределения, исполь-
зуемые в (33) — (35), можно заменить на соответствующие процент-
ные точки t -распределения с т' + п' — 2 степенями свободы лишь
тогда, когда т', п' малы и равны, а = k2. В других случаях примене-
ние ^-распределения (т. е. способ нахождения числа степеней свободы)
для получения процентилей не вполне ясно.
5.36. Методы связанные с критериями, похожими на ранговые Мо-
зеса (см. §5.2), как и метод «складного ножа», имеют то неприятное
свойство, что выводы зависят от принятых объемов подгрупп, хотя
* Т. е. могут значительно изменить свои свойства даже при небольших
отклонениях распределения от гауссовского. — Примеч. пер.
124
для больших выборок эта зависимость не так уже и велика. Если либо
ki > 1, либо k2 > 1, то метод «складного ножа» проявляет тот же не-
достаток, что и методы Мозеса (см. комментарий 5.17), а именно воз-
можно, что два человека сделают различные выводы, хотя будут ис-
пользовать одни и те же данные, критерий и уровень значимости.
Эта возможность таится в рандомизации группирования. Однако если
мы положим kT = k2, то результаты, полученные методом «складного
иожа», не вызывают сомнений. Таким образом, это оптимальный под-
ход, требующий, к сожалению, большого времени счета.
5.37. Когда стоит брать критерий «складного ножа» Миллера вмес-
то сравниваемого с ним похожего на ранговый критерий Мозеса? Этот
вопрос важен, поскольку допущения для обоих классов методов почти
одинаковы (см. комментарий 5.28). Перечислим ряд факторов, важных
для принятия решения о выборе метода.
1. Метод «складного ножа» свободен от распределения лишь асимп-
тотически, в то время как критерии Мозеса свободны от распределения
и для конечных выборок.
2. Критерии «складного ножа» обычно более эффективны. Однако с
ростом объема выборок они требуют все больше и больше вычислений
по сравнению с критериями Мозеса, особенно при наиболее эффек-
тивных для метода «складного ножа» объемах подгрупп kr = k2 =1.
Это, конечно, не слишком важно, если использовать ЭВМ.
3. Критерий Мозеса для малых выборок мало эффективен, так как
в этом случае либо мал объем подгрупп, либо лишь малое их число дает
разумный уровень значимости.
В заключение скажем, что при очень малых выборках не стоит брать
ни тот, ни другой критерий. Первый (Мозеса) теряет слишком много
информации из-за рандомизации при группировке, а для второго (Мил-
лера) критические точки получаются с помощью приближения для
больших выборок, точность которого в этой ситуации не исследована.
В выборках среднего и большого объема критерии Мозеса обладают
свойством независимости от распределения и относительно легко счи-
таются, что позволяет их рекомендовать, в то время как критерии
«складного ножа», предложенные Миллером, более эффективны, но не
обладают свойством независимости от распределения.
Для конкретного приложения пользователь может выбирать про-
цедуру в зависимости от того, что ему важнее: точное достижение тре-
буемой ошибки I рода илн увеличение мощности. Если важно обеспе-
чить точную ошибку I рода, то лучше критерии Мозеса, а не метод
Миллера, если же нам в первую очередь важна мощность, то мы бы по-
рекомендовали метод «складного ножа».
5.38. Из метода «складного ножа» легко извлечь точечные оценки
и доверительные интервалы для у2. В частности, точечная оценка у2,
связанная с методом «складного ножа», для дисперсий равна*:
у2 = antiln (В — А). (36)
См. также [5721. — Примеч пер.
125
Более того, асимптотически свободный от распределения Довери-
тельный интервал с приближенным коэффициентом доверия 1 — а
основанный на дисперсионных методах «складного ножа», дается фор’
мулами
(yL Yи), (37)
где
?£ = antiln [(В — А) — z(a/2) (Vx + V2)’/2], (38)
Y# = antiln [(В - A) + z(a/2) (Vx + V2)>/2]. (39)
При и y& из (38) и (39) следует
руг {y! < Y2 < Vu} 1 — a- (40)
5.39. Асимптотически (т. e. для бесконечно больших выборок)
истинная вероятность накрытия доверительного интервала, опреде-
ленного в (37), совпадает с номинальным коэффициентом доверия
1 — а. При допущениях В1 —ВЗ асимптотический результат не зави-
сит от распределения (величин е1,...,ет+п из модели (20)); поэтому мы
говорим, что интервал, заданный (37), — асимптотически свободный от
распределения доверительный интервал для у2-
Интервал (37) можно еще назвать «асимптотически симметричным».
В нашей терминологии (см. глоссарий в приложении Б), симметрич-
ный двусторонний доверительный интервал с коэффициентом доверия
1 — а для параметра 0 — это такой случайный интервал (0£, Оу),
что Ре (0 и 0) = рб (9 l 9) = а/2. Слово «симметричный» от-
носится к равным а/2 вероятностям «хвостов» распределения. Наш
(1 — а)-доверительный интервал для у2, определенный в (37), можно
назвать «асимптотически симметричным», поскольку он устроен так,
что
Ру* ("tu Y2) ~ ру* (Yl > Y2) ~ a/2 •
Равенство здесь приближенное из-за приближения истинного рас-
пределения статистики В — А асимптотическим нормальным распре-
делением.
5.40. Критерий F для равенства дисперсий из нормальной теории
не робастен (устойчив) к нарушению нормальности в том смысле, что
когда распределение не нормально, фактический уровень значимости
F-критерия, который предполагается равным а, на самом деле может
весьма отдалиться от а. Бокс [49] привел примеры, в которых уровень
(предположительно равный 05) колеблется от .166 до .0056. Более того,
существуют не нормальные совокупности, в которых даже при боль-
ших выборках уровень значимости F - критерия не тот, что предпола-
гался. На эту неробастность (неустойчивость), указанную по крайней
мере еще в 1931 г. Пирсоном [291], обратили внимание Бокс [49] и не-
давно Миллер [264] и Шорак [370].
5.41. О выборе между доверительными интервалами «складного
ножа» ((38), (39)) и доверительными интервалами Шорака (18) можно
126
сказать примерно то, что уже говорилось о критериях «складного но-
жа» Миллера и похожих на ранговые критерии Мозеса (см. коммен-
тарий 5.37). Интервалы метода «складного ножа» обычно бывают $же
интервалов Шорака, полученных для критерия, похожего на ранговый,
но интервал Шорака имеет (точно) определенный коэффициент доверия,
а интервал «складного ножа» гарантирует доверительный коэффициент
лишь асимптотически. В задаче оценивания, где нет вероятности, ана-
логичной вероятности ошибки I рода, или коэффициента доверия, ко-
торого мы могли бы добиваться, опираясь лишь на эффективность,
заключаем, что оценки «складного ножа» у2 (36) обычно лучше, чем
оценка Шорака у2 (15), (16).
Свойства
1. Состоятельность: критерии, определенные в (33), (34) и (35), со-
стоятельны против альтернатив у2> 1, у2 < 1, у2 =]= 1, соответственно.
2. Эффективность: см. [264] и § 5.6.
Ссылки. Метод «складного ножа» основан на идее Кенуя [309].
Развит Тьюки [419], [420]*. Метод уменьшает смещение некоторых оце-
нок и дает критерии значимости и приближенные доверительные интер-
валы. Миллер [264] применил метод «складного ножа» в одновыбороч-
ной и двухвыборочной задачах о рассеянии, преобразуя выборочные
дисперсии натуральными логарифмами. Различные приложения мето-
да «складного ножа» можно найти в [310]. Его применения в задачах об
отношениях осуществлены в [113], [101], [318], [319]. Арвесен [13] при-
менил этот метод к широкому классу статистик, известных как {/-ста-
тистики (см. [184]), обратив особое внимание на двухвыборочные мето-
ды и дисперсионный анализ, который рассмотрен в [14]. Другие при-
менения метода «складного ножа» даны в [58], [263], [142].
Асимптотическую относительную эффективность методов «складного
ножа», предложенных Миллером для дисперсий, см. в [264], [370]. Об
эффективности их «конкурентов» см. «Ссылки» в § 5.2.
Задачи
5.10. Рассмотрите данные об ионах натрия из табл. 5.2. Используя метод
«складного ножа» Миллера при объемах подгрупп = k2 = 5, проверьте ги-
потезу о равных разбросах против альтернативы о том, что изменчивость кон-
центрации ионов натрия в эритроцитах больше, чем в плазме.
5.11. Используйте для решения задачи 5.10 подгруппы другого объема =
= Л» — 3, чтобы показать, как объемы подгрупп влияют на статистический
анализ.
5.12. По данным о содержании иона натрия из табл. 5.2 вычислите оценку
у2, с помощью формулы у2 (36) при объеме подгрупп = k2 = 6. Сравните ее
с величиной у2, полученной в примере 5.3. (Сохраните все вычисления для зада-
чи 5.13.)
5.13. По данным об ионе натрия из табл. 5.2 найдите приближенный
96.8%-ный доверительный интервал для у2, используя метод из комментария
5.38, при объеме подгрупп = k2 = 6. Сравните его с интервалом, построенным
в примере 5.4.
5.14. Дайте определения следующих понятий: асимптотически свободный от
распределения критерий; асимптотически свободный от распределения довери-
* См. также [516], [691 (1)], [500, вып. 1, с. 178—180]. — Примеч. пер.
127
тельный интервал; асимптотически независимые (статистики); смещение; коэф-
фициент корреляции; рассеяние; момент; устойчивая оценка (устойчивый крите-
рий); выборочная дисперсия; мера рассеяния (масштаба); некоррелированные
(случайные) величины; дисперсия (совокупности); дисперсия (выборки).
§ 5.6. ЭФФЕКТИВНОСТИ ДВУХВЫБОРОЧНЫХ МЕТОДОВ
В ЗАДАЧЕ О РАССЕЯНИИ (МАСШТАБЕ)
Уровень значимости классического критерия F для равенства дис-
персий крайне чувствителен к нарушению нормальности (см. коммен-
тарий 5.40). Это также верно и для вероятности накрытия доверитель-
ных интервалов параметра которая связана с отношением дис-
персий выборок и получается из F-критерия. Критерий Бокса — Ан-
дерсена [50] — это «исправление» F-критерия, предназначенное для
преодоления возникшей трудности. Подход Бокса и Андерсена дает
методы с хорошими свойствами, поэтому здесь мы приведем асимпто-
тические эффективности методов из § 5.1 — 5.5 по сравнению с соответ-
ствующими методами Бокса—Андерсена. (Мы сравниваем со следую-
щими методами Бокса — Андерсена: (а) APF-критерий из [370],
представляющий собой вариацию критерия Бокса и Андерсена для
случая, когда параметры щ, модели (20), известны; (б) соответствую-
щая оценка из [367]; (в) соответствующий доверительный интервал
из [370].)
Асимптотическую относительную эффективность для альтернатив
масштаба критерия Ансари — Брэдли, основанного на W, по отно-
шению к процедуре Бокса — Андерсена, можно взять из работы [9].
Асимптотическая эффективность задается параметром /4 (F)1, где F —
соответствующее распределение. Значения /4 (F) для различных рас-
пределений даны в табл. 5.3.
Таблица 5.3. Значения /4(Г)
F lt(F)
Нормальное 0.61
Равномерное 0.60
Двустороннее экспоненциальное 0.94
Таблица 5.4. Значение h(F, k)
’ k F —. 2 3 4 9 15 20 Пт Л-^.оо
Нормальное Равномерноэ Двустороннее экспоненци- альное .304 .133 .591 .500 .608 .798 .860 .884 .955 .955 .955
1 Математическое выражение для /4 (F) дано в [9, формула 41].
128
Асимптотическая относительная эффективность при альтернати-
вах разброса для методов из § 5.2—5.4, связанных с критерием, похо-
жим на ранговый Мозеса, по отношению к методам Бокса — Андерсе-
на, дается параметром /5 (F, k)1, где k — объем подгрупп, используе-
мых в методах Мозеса; F — соответствующее распределение. Мозее
[270] нашел, что значения /5 (F, 3)= .5, если F— нормальное распре-
деление. Шорак [370] получил общее выражение для Is (F, k). Значе-
ния Is (F, k) для различных распределений k даны в табл. 5.4.
Миллер [264] показал, что асимптотическая эффективность методов
«складного ножа» по отношению к методам Бокса — Андерсена равна
1. Этот результат не зависит от объемов подгрупп kr и k2, используе-
мых в методе «складного ножа», правда, он зависит от распределения.
Отсюда следует, что 75 (F, k) (см. табл. 5.4) дает также асимптотичес-
кую относительную эффективность для альтернатив разброса и мето-
дов, связанных с критерием, похожим на ранговый Мозеса по отноше-
нию к их конкурентам, основанным на методе «складного ножа» Мил-
лера для дисперсии. Более того, эта асимптотическая эффективность
не зависит от объемов подгрупп и kit выбранных для метода «склад-
ного ножа».
1 Математическое выражение для 1Ъ (F, k) дано в [370, формула 4.1],
129
глава ОДНОФАКТОРНЫЕ
6 ТАБЛИЦЫ
ДИСПЕРСИОННОГО
АНАЛИЗА
В этой главе мы обобщаем задачу о двух выборках (гл; 4) на слу-
чай, когда данные состоят из k (k 2) случайных выборок, по одной
на каждую из k рабочих совокупностей. Исходная гипотеза говорит
об отсутствии различия в обработках, т. е. полагается, что k выборок
можно рассматривать как одну (объединенную) выборку из общей сово-
купности. В основном нас интересуют альтернативы о различиях в по-
ложении.
В § 6.1 представлен свободный от распределения критерий, предназ-
наченный для общих альтернатив. В § 6.2 рассматривается также сво-
бодный от распределения критерий, но он предназначен для альтер-
натив с упорядочением. В § 6.3 мы вводим методы множественных срав-
нений, предназначенные для выявления любых различающихся друг
от друга совокупностей. В § 6.4 представлены оценки контрастов эф-
фектов обработок. В § 6.5 мы рассматриваем асимптотическую относи-
тельную эффективность методов этой главы по отношению к их сопер-
никам из нормальной теории.
Данные. Данные состоят из N = 2 ni наблюдений, по «у наб-
/=1
людений на /-ю обработку, / = 1,..., k.
Обработки
1 2 ... k
Хц *21 *n,i х12 х22 ^п22 ... xlh Xzk
130
Допущения
Al. Наша исходная модель:
Хц = у. + Ту + еи, i = 1... п; / = 1, k, (1)
где р — (неизвестное) общее среднее; х} — (неизвестный) эффект
/-й обработки; 2 х} = 0.
А2. Все е (случайные ошибки) взаимно независимы.
АЗ. Все е извлечены из одной и той же непрерывной совокупности
§ 6.1. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
(КРАСКЕЛ —УОЛЛИС)
Метод. Для проверки
Нй‘.х1= ...= xk (2)
против альтернатив о том, что не все х равны между собой, надо про-
делать следующее.
1. Проранжировать все W наблюдений вместе от меньшего к боль-
шему. Пусть гц обозначает ранг Хц в этой совместной ранжировке.
2. Положить для / = 1, ..., k
R/=2n,R,= U,R..= —. (3)
i=i \ni/ 2
Например, —- сумма рангов, присвоенных обработке 1, а —
средний ранг, который получила эта обработка.
3. Вычислить
А
Н =--------- У nAR.j— R..)2 =
N(N+l) А J 1 1
(ю к R2 \
2тЧ-3(т (4)
N(N+l) п} J
4. На уровне значимости а:
принять Но, если Н h (a, k, пА)),1
отклонить Но, если Н <. h (a, k, nk)),J '
где постоянная h (a, k, (nx, ..., п^)), удовлетворяющая уравнению
Рй{Н > h (a, k, (пь ..., пь))} = а, берется из табл. А.7*.
Приближение для большой выборки. Если Но верна, то статистика
Н имеет асимптотическое (при min («!,..., nk) оо) %2-распределение
с k — 1 степенями свободы. Приближенный критерий уровня а таков:
отклонить Но, если Н > x?a-i, а)1
ПРИНЯТЬ До, еСЛИ Я < %(V1,а) ’ J (6)
* В таблицах [642] охват шире: k = 3, max {«j, n2, n8) < 6; i = 4,
max{n1(.... n4)=/=nj =7.8; ft = 5, max {дц.n6) ^4; k= 6, max ne}<3; a=
= 0.10. В работе [676] даны таблицы ft (.) для критериев типа (4), (5), но с нор-
мальными метками (см. «Ссылки» в конце этого параграфа). — Примеч. пер.
131
где а) верхняя а°/0-ная точка ^-распределения с k—1 степенями
свободы*. Значения а) можно получить из номограммы А. 2.
Связи. Для вычисления Н берите средние ранги. В методах (5) и (6)
надо заменить Н на Н', где
Я' ----------------------’ (7)
1 ~(S T;/[№-JV]J
\/=i /
причем g — число групп связанных наблюдений, 7} = (rf — (,); tj —
объем группы связанных наблюдений с номером /. (В (7) несвязан-
ные наблюдения рассматриваются как группы объема 1. Таким обра-
зом, если нет связанных наблюдений, то g = N, t} = 1, Tj = 0 при
всех j = 1,..., N, так что знаменатель правой части (7) превращается в
единицу, а Н' (7) переходит в Н (4)**.)
Пример 6.1. Томсон и Шорт [414] оценили эффективность защитной
работы слизистой оболочки носа по доле задержанной пыли у людей здо-
ровых, у страдающих хроническим респираторным заболеванием и боль-
ных асбестозом***. Табл. 6.1 составлена по данным Томсона—Шорта.
Таблица 6.1. Время, в течение которого слизистая
оболочка носа обеспечивает освобождение организма
от половины той пыли, которая в него попала* (ч)
Обследуемые люди
Здоровые Страдающие хроническим респи- раторным заболеванием Больные асбестозом
2.9(8) 3.0(9) 2.5(4) 2.6(5) 3.2(10) 3.8(13) 2.7(6) 4.0(14) 2.4(3) 2 .8(7) 3.4(11) 3.7(12) 2.2(2) 2.0(1)
#1 = 36 #2 = 36 #з = 33
Источник. [414].
* В круглых скобках — ранга. — Примеч. пер.
* Точность приближения (6) может оказаться недостаточной. В табл. 1
работы [640] приведены величины Д (а, А, п) = Р {Н %(£— 1, а)} = а.
Где а — вероятность ошибки I рода из точного критерия (5), п = = ... = лл;
Нами вычислены 6 (а, А, п) = Д (а, А, п)/а для А, п, окаймляющих таблицу
А.7 этой книги (т. е. при ближайших А и за ее пределами) для а = 0.05, 0.01,
0.001 при аппроксимации (6). При этом для (А, п) = (4,2), (4, 3), (4,4) (5,2), (5,3),
(6,2) |6 (а, А, п) |> 33%. Аппроксимация Имана и Дэвенпорта [640] снижает
6 (а, А, п) для тех же (А, п) в среднем в 5—6 раз, см. также с.11. —Примеч. пер.
** См. также [656]. — Примеч. пер.
*** Одним из видов пневмокониоза, профессиональной болезни, вызванной
длительным вдыханием асбестовой пыли. — Примеч. ред-
132
Цо формуле (4) получаем
Из табл. А.7 находим h (.101,3, (4, 5,5)) = 4.52 и, поскольку. 771<
< 4.52, принимаем Но на уровне а = .101.
Действительно из той же табл. А.7 находим Ро {Н^.771} = .711,
а это значит, что нет достаточных оснований говорить о значимой раз-
ности в эффективности защиты, определяемой по времени полуочистки
для трех обследованных групп*.
Комментарии
6.1. Мы могли бы вместо модели (1) и Но (2) взять более общую нуле-
k
вую гипотезу о том, что все ЛП/(Пп^|) размещений из пх рангов для
/=1
обработки 1, п2 рангов для обработки 2,..., пк рангов для обработки k
равновероятны.
6.2. При k = 2 метод (5) сводится к двустороннему критерию ран-
говой суммы Уилкоксона (§ 4.1).
6.3. Критерий Краскела — Уоллиса можно объяснить, рассматри-
вая обычную в дисперсионном анализе статистику F, вычисленную по
рангам, а не по исходным данным. Статистику F можно записать в виде
F = с (SSB)/(SST — SSB), где с — константа, зависящая лишь от
объемов выборок; SST — общая (полная) сумма квадратов; SSB —
k
сумма квадратов между обработками. Статистика SSB сводится к2 х
/=1
х(/?.у — 7?..)2, когда счет идет по рангам, а не по наблюдениям, а
SST для рангов превращается в известную константу. Используя все
это, можно показать **, что ранговая F будет возрастающей функцией
от Н.
6,4. При выполнении Но (2) мы ждем, что все R.j будут близки к
к
R.. = (N+1)/2h 2
/=i
окажется небольшой. Если же не все т равны между собой, то мы
ожидаем увидеть большее различие в Rj и, таким образом, (хотя бы не-
которые) из п} (Rj — R..) увеличатся, порождая рост Я (4). Так мож-
но отчасти объяснить метод (5) (см. также комментарий 6.3).
6.5. Распределение Я (4) при нулевой гипотезе можно получить
и из того, что при Яо (2) все Я!/(Ппу!) наборов по пх рангов для обра-
/=1
ботки 1, п2 рангов для обработки 2, ..., пк рангов для й-й обработки
* И критерий (6) дает в этом случае малую относительную ошибку. —
Примеч. пер.
** Общее описание дисперсионного анализа можно найти, например, в кни-
гах [498, разд. 35.11]; [479, гл. 10]; [482, гл. 15]; [535, гл. 8]; [547] и др,—При-
меч. пер.
133
равновероятны. Давайте покажем, как получить распределение при
/70 в частном случае k = 3, пх= п2=п3 = 2. В этом случае мы имеем
Н = [{12/16(7)]} {R* + R* + /?‘)/2} - 21] = ЦЛ/7) - 21], где А =
=Ri + R3 + R%- Пронумеруем 15 из возможных {61/1(21) (21)(21)]}=
=90 наборов рангов и получим соответствующие значения А и Н-.
I II III (б) I II III (в) I II III
1 3 5 Л =179 1 3 4 Л =173 1 3 4 Л=171
2 4 6 77=4.57 2 5 6 77=3.71 2 6 5 17=3.43
I II III (б) I Н Ш (в) I II III
1 2 5 Л=173 1 2 4 Л=165 1 2 4 Л=161
3 4 6 17=3.71 3 5 6 //=2.57 3 6 5 77=2
1 2 3 Л=155 1 2 5 Л=171 1 2 3 Л=153
4 5 6 17=1.14 4 3 6 77=3.43 4 6 5 77=.86
I II III (л) I II III (JK) I II III
1 2 4 Л = 161 1 2 3 Л=153 1 2 3 Л = 149
5 3 6 77=2 5 4 6 77=.86 5 6 4=.29
(«) J
6
II III (о) I II III (п) I II
2 4 Л=155 1 2 3 Л=149 1 2
3 5 77=1.14 6 4 5 77=.29 6 5
III
4 Л=147
3 77=0
Каждому из приведенных наборов соответствует еще пять вариан-
тов (для всех шести перестановок номеров выборок I, II, III), которые
дают те же значения 77. Они исчерпывают все 90 возможных наборов.
Таким образом,
Ро {/у = 4.57} - 1/15, р0 {77 = 3.71} = 2/15, Р0{Н = 3.43} = 2/15,
Ро {Н = 2.57} = 1/15, Ро {77 = 2} = 2/15, Ро {Н = 1.14} = 2/15,
Ро {Н = .86} = 2/15, Ро {77 = .29} = 2/15, Ро {77 = 0} = 1/15.
(Сравните Ро {77 = 4.57} = 1/15 со значением из табл. А. 7 при k =3,
«1 = п2 = »з-)
6.6. Табл. А.7 дает критические значения для случая пх п2 < п3.
Однако и для наборов (пх, п2, п3), расположенных в другом порядке,
критические точки получаются перестановкой выборок в порядке воз-
растания объемов и обращением к табл. А.7. (Это происходит потому,
что перенумерация выборок не меняет 77.) Таким образом, находя кри-
тические точки в примере 6.1 для пх = 5, п2 = 4, п3 = 5, мы пользу-
емся табл. А.7 для пх = 4, п2 = 5, п3 = 5.
6.7. В работе Габриеля [136] введено одно весьма удобное свой-
ство семейства статистик, названное монотонностью, и показано, что
134
статистика Н этим свойством не обладает. Отошлем интересующихся
подробностями к работе [1361, а здесь лишь кратко отметим, что проб-
лема возникает из-за возможности столкнуться с такой статистикой Н,
вычисленной для некоторого подмножества, которая будет больше, чем
статистика, вычисленная для множества, содержащего это подмножест-
во. Габриель дает следующий пример. Пусть выборке 1 соответствуют
ранги 8, 9, 10, И, выборке 2—1,2, 6, 7, а выборке 3 — 3, 4, 5, 12.
Тогда Н для выборок 1 и 2 (й = 2) равно 5.33, а для всех трех выборок
(k = 3) равно 4.77. То же противоречие присуще и статистике Фридма-
на (§7.1).
6.8. Заменим допущения А1 — АЗ на менее ограничительные —
АГ: все X взаимно независимы, и А2' : Х1}, ..., Xn.j извлечены из од-
ной и той же генеральной совокупности П^, j = 1, ..., k (при этом не
предполагается, что Пл,..., П& тождественны). В этом случае Краскел
и Уоллис [237] показали (грубо говоря), что критерий, определенный
в (6), состоятелен тогда (и только тогда), когда «... существует хотя бы
одна такая совокупность, для которой предельная вероятность для
случайного наблюдения из этой совокупности оказаться больше, чем
независимое случайное наблюдение из выборки объема АГ,не равнялась
половине».
Свойства
1. Состоятельность: см. [234] и комментарий 6.8.
2. Эффективность: см. [8], [179] и§ 6.5.
Ссылки. Статистику Н предложили Краскел и Уоллис [234],
[237]. К ее соперникам относятся соответствующее обобщение крите-
рия ранговой суммы Уилкоксона [323], медианный критерий Брауна—
Муда (см. [268], [59]); обобщение критерия Брауна—Муда [343]; аналог
Ятипа «%-квадрат», основанный на нормальных метках (см. [165]); кри-
терий, основанный на k наборах [31], [102], [1031, [394], [32]. Другие
процедуры см. в [99], [2191, [41], [114], [302], [469], [78], [86], [3601,
[349], [70], [80]. Критерии, предназначенные для выяснения того, не
«сдвинуты» ли одна или несколько совокупностей, см. в [273], [48],
[81]. Бенет [29] предложил ранговый критерий для более общей мо-
дели, который сводится к критерию Краскела — Уоллиса, если вы-
полняется модель (1). В [402] обобщен результат [1741, предложен кри-
терий, основанный на усеченных выборках; этот подход связан с кри-
терием Бхапкара [31]*.
* Дадим дополнительные ссылки е небольшими пояснениями: [580] —
приближение критических точек Н, [581 (а)] — отказ от предположения непре-
рывности распределений, [676] — таблицы точного распределения аналога Н,
з
основанного на нормальных метках для 2 Л/ 15, [640] — приближение кри-
тических точек Н, [642] — обширные таблицы критических точек Н, [649] —
критерий, конкурент Н, [656] — построение точного распределения для случая
связей, [662] — асимптотические свойства линейных ранговых статистик. См.
также [722], [701] — эффективность критериев для группированных данных,
[728] — асимптотические разложения для критериев, основанных на переста-
норках, [768] — задача о «сдвигрх». — Примеч. пер.
[35
Задачи
6.1. Известно, что специальная предварительная подготовка, направленная
иа повышение эффективности лечения, оказывает благотворное воздействие на
диагностику и лечение методами психотерапии. Заубер [331] исследовал 4 раз-
личных варианта такой подготовки, а именно:
1) контроль (без подготовки);
2) чтение специальной инструкции (ЧИ) (непрямое обучение);
3) видеомагнитофонная (косвенная) предварительная подготовка к лечению
(ВПЛ);
4) групповое собеседование с распределением ролей (СРР) (прямое обу-
чение).
Можно ожидать, что обработки 2, 3 и 4 улучшают дело по сравнению с ре-
зультатами контрольной группы, испытуемые которой не подвергались воздей-
ствию какой-либо специальной предварительной процедуры. Одной из основных
переменных, изучавшихся в исследовании, была «психотерапевтическая эффек-
тивность». Данные в табл. 6.2 содержат исходные оценки в баллах этой перемен-
ной, соответствующие каждому из четырех экспериментальных условий. Приме-
ните метод (6) с учетом связей (7).
6,2. Докажите или покажите на примере, что наибольшее возможное зна-
к
чение Н равно Дщах = {№ — S }/{N (N + 1)}. Для каких наборов рангов
достигается этот максимум?
Таблица 6.2. Исходные баллы, характеризующие
степень психотерапевтической эффективности
для всех условий экспериментирования
Контроль Чтение (ЧИ) Видеом а га итофон (ВПЛ) Группа (СРР)
0 0 0 1
1 6 5 5
3 7 8 12
3 9 9 13
5 11 11 19
10 13 13 22
13 20 16 25
17 20 17 27
26 24 20 29
Источник. [331].
§ 6.2. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
ДЛЯ АЛЬТЕРНАТИВ С УПОРЯДОЧЕНИЕМ (ДЖОНКХИЕР,
ТЕРПСТРА)
Метод. Для проверки Но (2) против альтернатив (см. коммента-
рий 6.9) вида На
< ...
(8)
где хотя бы одно из неравенств строгое, надо выполнить следующее,
136
1. Вычислить k (k — l)/2 значений статистики Манна— Уитни
Uuv, u<v, где
nu ло
Uuv=% 2 Ф(^и,Хгр) . (9)
/= i /' = i
и q> (a, b) = 1, если а < Ь и 0 — в противном случае.
Таким образом, статистика Uuv показывает, сколько раз элементы
ц-й выборки превосходят элементы v-й выборки.
2. Пусть
k k
J=^uuv=^ 2 0°)
U<0 «=1 0 = U-H
обозначает сумму k (k — 1 )/2 статистик Манна — Уитни.
3. На уровне значимости а
отклонить Но, если J > /(а, k, («I,..., nft)),
принять Но, если J < j (а, k пк)),
(П)
где константа j (a, k, nft)), удовлетворяющая уравнению
Ро {J / («> k, («1,..., П1))} = а, берется из табл. А.8.
Приближение для большой выборки. Положим
(12)
При выполнении Но статистика J* имеет асимптотическое (когда
min («!,..., nft)-> оо) распределение N (0,1). Приближенный критерий
уровня а таков:
отклонить Но, если 1
принять Но если J*<Z(a). /
Связи. Заменить ф (a, b) — 1 на ф* (с, b) = 1, если a<Zb; на
1/2, если а = Ь, и на 0 — в остальных случаях, с тем, чтобы от каждого
сравнения совпадающих элементов выборок в статистики Манна —
Уитии добавлялось по 1/2.
Пример 6.2. В [201] описано исследование по оценке роли чистой
Мотивации — знания цели работы — на выполнение монотонных скуч*
ных производственных операций. Исследовалась операция вытачива-
ния металлической заготовки определенных формы и размера. Восем-
надцать рабочих — мужчин были случайным образом разделены на
3 группы. Рабочие, попавшие в группу А, не имели информации о
137
требуемой производительности, в группе В они получали лишь общие
представления о том, что они должны делать, наконец, в группе С
рабочие имели точную информацию о задании и могли контролировать
себя по графику, лежащему перед ними. В табл. 6.3 приведено число
заготовок, обработанных каждым рабочим за время эксперимента.
Таблица 6.3. Число обработанных заготовок
Контрольная группа (нет информации) Группа В (Общие представления) Группа С (точная информация)
40(5.5)1 38(2.5) 48(18)
35(1) 40(5.5) 40(5.5)
38(2.5) 47(17) 45(15)
43(10.5) 44(13) 43(10.5)
44(13) 40(5.5) 46(16)
41(8) 42(9) 44(13)
Источник. [201].
1 Хотя для вычисления статистики Джонкхиера нам не нужна совместная ран-
жировка, мы приводим эти ранги для дальнейшего использования в § 6.ЗБ.
Мы применяем метод Джонкхиера, поскольку ожидаем таких откло-
нений от Но, при которых производительность растет с осведомленно
стью.
Из (9) мы получаем
Ul2 = 22, U19 * 30.5, U23 = 26.5,
а из (10) мы имеем
J = 22 + 30.5 + 26.5 = 79.
Из табл. А.8 находим /(-0231, 3, (6,6,6)) = 79, поэтому для метода
(11) наименьший уровень, на котором можно отклонить Но, равен
.0231. Теперь применим приближение для большой выборки и сравним
с тем, что дал точный критерий. Из (12) находим
(79-М-)[(18)«-(б«+б»+б»)]| „
J* = = 2.02.
{[(18)» (39) — 3 (6)3 (15)]/72)1 /2 12.37
Следовательно, для приближенного метода (13) наименьший уровень
значимости, на котором мы отклоняем Но, равен .0217. Таким образом,
для операции, изученной в этой работе, и точный и приближенный кри-
терий приводят к выводу о явном возрастании производительности при
росте знания о задании.
Комментарии
6.9. Другими примерами упорядоченных обработок, кроме знания
задания, могут служить качество материалов, стаж работы, система
138
поощрения, температура. В ситуации, когда обработки упорядочены
и экспериментатор ожидает отклонения от Но в определенном направ-
лении, критерий Джонкхиера должен работать лучше, чем крите-
рий Краскела — Уоллиса (§ 6.1). Если ожидаемое направление не сов-
падает с естественным упорядочением тх^т2^ ... ^ rh для гипотезы
На, то надо просто так перенумеровать обработки, чтобы ожидаемый
порядок совпал с нумерацией. Заметим, что статистика Краскела —
Уоллиса не использует ту часть априорной информации, которая за-
ключена в предполагаемом упорядочении альтернативы. Статистика
Я(4) принимает одно и то же значение для всех возможных (&!)
перенумераций обработок.
6.10. Возьмем J (10) и заметим, что член зависит от ожидае-
U < V
мого упорядочения. Ограничимся для простоты случаем k = 3. Тогда
ь
У Uuv = t/12 + t/13 4- 1/23; если тх < т2<т3, то t/12 должно прев-
u< V
зойти пхп2/2 (свое математическое ожидание при нулевой гипотезе),
U1S должно превзойти пхп3 /2, а t/23 должно превзойти п2п3/2, и сле-
довательно, J = U12 + U13 + U2з превзойдет свое математическое
ожидание при нулевой гипотезе (nxn2 + nxn3 + п2п3)/2 = {[№ —
— (nJ -j. пг п§)]/4}. Это может быть некоторым объяснением кри-
терия J.
6.11. Небольшое размышление убедит читателя в том, что J можно
k
вычислять по совместной ранжировке всех УУ = наблюдений. Та-
ким образом, хотя нам для вычисления J и не нужна совместная ран-
жировка, зная ее и не зная самих Хц, мы можем восстановить J. Отсю-
да возникает способ получения распределения J при Но, предложен-
ный в комментарии 6.5, где используется тот факт, что при Но (2) все
k
У!/(П п;!) наборов рангов равновозможны и для каждого из них вычис-
/=1 „
ляется соответствующее значение J. Посмотрим, как это делается для
выборок с малыми объемами k = 3, пх = п2 = п3 = 2, аналогичных
указанным в комментарии 6.5. Мы можем легко найти значения J для
всех 15 наборов рангов из комментария 6.5. Однако мы никак не мо-
жем избежать счета для остальных 75 ранговых наборов (как это было
для статистики Краскела — Уоллиса Н), поскольку J зависит от кон-
кретного упорядочения обработок. Рассмотрим к примеру варианты
(а) и (а*):
(а) I II III (а*) I II III
1 3 5 3 1 5
2 4 6 4 2 6
Их можно считать одинаковыми с точностью до перестановки об-
работок I и II. Просто сосчитать, что для (a) J = 12, в то время как
Для (a*) J=8. (Статистика Н (4) остается неизменно равной 4.57 и
139
для (а), и для (а*)-) Все-таки можно получить одно из значений
из табл. А.8 без полного перебора. Вариант (а) дает наибольшее
возможное значение J. Следовательно, Ро {J > 12} = Ро {J =12}=
== 1/90 =.0111, что согласуется с табл. А.8.
6.12. Табл. А.8 дает критические значения для ситуаций мх
п2 п3. Однако критические точки для (nlt п2, п3), расположенных
в другом порядке, можно получить просто перестановкой объемов вы-
борок в возрастающем порядке и обращением к соответствующей гра-
фе табл. А.8. (Это следствие некоторых свойств симметрии распределе-
ния «/.)* Так, например, при поиске критического значения в случае
пх = 4, п2 — 6, п3 = 2 возьмем табличное значение для пх = 2, п2 =4,
п3 = 6.
6.13. При k = 2 метод (11) сводится к одностороннему критерию
Манна — Уитни — Унлкоксона (§ 4.1).
Свойства
1. Состоятельность: для обеспечения состоятельности критерия
(11) против альтернатив На (8) достаточно, чтобы n}IN стремилось к
к}, 0 < kj < 1, / = 1, .... k. Более общее утверждение о состоятель-
ности см. в [405].
2. Эффективность: см. [303] и §6.5.
Ссылки. Критерий, основанный на статистике J, был предло-
жен в работах Терпстра [405] и независимо Джонкхиера [206]. Первое
обобщение двухвыборочного критерия Манна — Уитни — Уилкок-
сона, предназначенное для альтернатив с упорядочением, сделал Уит-
ни [453]. Он рассматривал случай k = 3 и его процедура не тождест-
венна критерию J, примененному в этом случае. В [68] предложен ана-
лог рангового критерия для альтернатив с упорядочением, получен-
ный в предположениях нормальной теории Бартоломью [18], [19], [20],
[21]. Пури [303] обобщил критерий Джонкхиера на класс критериев,
включающих его аналог, построенный на нормальных метках. Некото-
рые обобщения были даны в [415]. Другой подход, в котором исполь-
зуется часть априорной информации, см. в [1]**.
Задачи
3. Примените критерий Джонкхиера к данным табл. 6.2, постулируя упоря-
дочение Tj< т2 < т3 < т4.
4. Объясните, почему статистику J можно вычислить либо из (а) совмест-
k
ной ранжировки всех N = 2 М наблюдений, либо нз (б) k (k — 1)/2 «двухвыбо-
рочных» ранжировок.
* Это тот же результат, что и в комментарии 5.6 для статистики И, но сов-
сем по другим причинам. Статистика Н не меняется при перестановке выборок,
статистика J—меняется, зато ее распределение симметрично. — Примеч. пер-
** См. также следующие работы. В книге [562, гл. 3] подробно излагается
теория критериев для различных альтернатив с упорядочением, в том числе и
для На (8), как продолжение упомянутой выше работы [68]. Критические значе-
ния для соответствующей статистики -/rank для k = 3, nj = п = 2 (1) 8, 2 (1) 8,
уровня значимости а = 0.005, 0.01, 0.025, 0.05, 0.1 недавно получил Парсонс
(см. также [369]). Далее упомянем [674]. В [697 (3)] изучена мощность критерия
Джонкхиера из этого параграфа (см. также [771]). — Примеч. пер,
140
§ 6.3. СВОБОДНЫЕ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МНОЖЕСТВЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ
НА СУММАХ РАНГОВ КРАСКЕЛА — УОЛЛИСА
А. Сравнение всех обработок
Поскольку таблицы для различных наборов (nlt..., пк) отсутствуют,
да и число таких (возможных) наборов весьма велико, мы ограничимся
рассмотрением точного метода для равных объемов выборок = па =
«...= пк = п. А для неравных объемов мы представим один консер-
вативный метод.
Метод
1. Вычислить k (k—1)/2 абсолютных значений разностей |7?„ —
— R„ |, и < v, где Rlf..., Rk даны формулой (3).
2. При вероятности ошибочного решения* а
принять решение т„ #= тр, если |7?„ — 7?р| у (а, k,h), (14)
где у (а, k, п) удовлетворяет соотношению
Ро {1Я« — < у (а, k, п), и — 1,..., k — 1, v = и + 1, ..., k) =
= 1—а. (15)
Соотношение (15) означает, что k (k — 1)/2 неравенств |7?„ — T?D| <
< у (a, k, п), соответствующих всем парам (и, о) обработок с u < о, вы-
полняются одновременно с вероятностью 1 — а, если верна гипотеза
На (2). Некоторые приближенные значения у (a, k, п) можно найти в
табл. А.9.
Консервативный метод. При вероятности ошибочного решения, не
большей, чем а, принять решение ти td, если
|Я.„—-R.vl>{/i(a, k, (ttj, п2,..., п^))}1/2 х
где h (а, k, (пъ..., пк) — критическое значение критерия Краскела —
Уоллиса (§ 6.1), которое можно найти в табл. А.7.
Приближение для большой выборки. При пх = п2 = ...= пк = п
и при большом п Миллер [263] предложил заменить (16) на такой
метод: принять решение т„5^-г0, если
I R.u-R.B !><?(«, k, оо) (17)
* Вероятность ошибочного решения — это вероятность того, что обработки
обнаружат значимое различие за счет действия чистой случайности, т. е. в усло-
виях Нй (2). Реально принимать решения о различии приходится в условиях
неоднородности, неэквивалентности обработок. Вычислить вероятность непра-
вильного решения в этих условиях не удается (к тому же она необходимо зависит
от действительного различия в эффектах обработок, которые иам не известны).
Но можно утверждать, что она меньше а, притом тем меньше, чем значительнее
различие в эффектах обработок. Поэтому при таком установлении вероятности
неправильного решения данный метод множественных сравнений является
Консервативным правилом. Примеч. ред.
141
где q (a, k, оо ) — верхняя а%-ная точка размаха k независимых слу.
чайных величин У (0,1) (см. табл. АЛО).
Другое приближение, предложенное Данном [109] и пригодное для
неравных объемов выборок, таково:
принять решение тц =£ т„, если
ip р pvov+i)ii/2/ 1 1 \1/2
I Я.u—.R.0|>Z(a/[* (*-!)]) -ГГ-- I-------Ь— ' (18)
L J \ 71ц пв /
Связи. Пользуйтесь средними рангами.
Пример 6.3. Хальд ([166] 1956, с. 368—370) приводит такой при-
мер. Взяты 14 образцов некоторого продукта, которые случайным об-
разом разбили на пять групп (заранее заданного объема). Каждая груп-
па хранилась в разных условиях, а после хранения у всех образцов
определили содержание влаги. Данные приведены в табл. 6.4.
Таблица 6.4. Содержание влаги (в */•) после хранения
Условия хранения
1 2 3 4 Б
7.8(7) 8.3(10.5) 7.6(6) 8.4(12) 8.3(10.5) 5-4(1) 7.4(5) 7.1(3.5) 8.1(9) 6.4(2) 7.9(8) 9.5(13) 10.0(14) 7.1(3.5)
#1 = 46 #а = 9.5 Яз = Н #4=35 = 3.5
Источник. [166].
Брэдли [52] показал на данных Хальда работу статистики Краске-
ла—Уоллиса Н и нашел (используя приближенный метод с Н' (7) вмес-
то Н (6), для учета связей), что различия значимы на (приближенном)
уровне .08. Отсюда ясно, что пять способов хранения не эквивалентны.
Для выяснения того, какие же из способов отличаются друг от друга,
возьмем приближенный метод (18). В табл. 6.5 сведены вычисления для
этого метода, при (приближенной) вероятности ошибочного решения
.15.
Из табл. 6.5 видно, что неравенство в (18) имеет место для пары
(и, ц) = (2, 4). Таким образом, при вероятности ошибочного решения
Л 5 способы хранения 2 и 4 различаются значимо.
Комментарии
6.14. Мы рассматриваем методы этого параграфа как методы мно-
жественных сравнений. Цель применения таких методов, состоит
не столько в выяснении эквивалентности обработок, сколько в реше-
нии (часто более важной) задачи отбора тех из них, что отличаются
между собой, если, конечно, они есть. Таким образом, пользователь
принимает k (k — 1 )/2 решений, по одному на каждую пару обработок.
Неравенства (15) означают, что вероятность правильно принять все
решения, если Но верна, обеспечена и равна (1 — <х). Значит, при при-
142
Таблица 6.5. Применение метода множественных сравнений.
Дана к результатам из табл. 6.4
(U, О) 1 К.в 1 , |W (N 4-1) I *(«/[*(*—!)]>[ 12 j \nu + "о )
О. 2) 19.20—3.171 = 6.03 (2.43) [14(15)/12]’-4 (4" \ 5 +4"У/,= 7-42 о /
(1. 3) 19.20—5.501 = 3.70 (2.43) [14(15)/12]*/« (4- \ ь . 1 Yz* +tJ = 851
О. 4) |9.20—11.67| = 2.47 (2.43)[14(15)/12]’/»(4- + "7 ~ 7.42
(1. 5) 19.20- 3.50| = 5.70 (2.43) [14(15)/12]’4 (4- . Л % + J =11.14
(2. 3) 13.17— 5.501=2.33 (2.43) [14(15)/12]’4-~ \ & + ~£_у2= 9.28
(2. 4) |3.17—11.67| = 8.50 (2.43) [14(15)/12]% (4- + "?4Й= 8.30 О /
(2. 5) 13.17—3.501= .33 (2.43) [14(15)/12]'4 (4* \ & + 1) ,Л= 11.74
(3, 4) 15.50—11.671=6.17 (2.43) [14(15)/12]%(-|- , 1 \54 + = 9.28
(3, 5) 15.50— 3.501=2.00 (2.43) [14(15)/12]’/«^4- \7» +1) =12.45
(4, 5) 111.67— 3.501 = 8.17 (2.43) [14(15)/12]%(4- \7. + 11 =11.74
менении метода (14) и выполнении HQ вероятность хотя бы одного не-
верного решения поддерживается на уровне а. Эта вероятность оши-
бочного решения получается при допущении о том, что На выполняет-
ся, причем она не зависит от вида распределения совокупности вели-
чин е. Поэтому-то мы называем (14) свободным от распределения мето-
дом множественных сравнений.
Методы множественных сравнений можно рассматривать как кри-
терии для проверки гипотезы. Если взять критерий, отклоняющий
Но, когда неравенство в (14) выполняется хотя бы для одной пары (и,
у), и принимающий Но, если для всех пар (и, о) неравенство (14) не вы-
полняется, то он будет свободен от распределения и иметь размер а.
6.15. Значения у (a, k, п) табл. А. 9 можно получить из равноверо-
ятности всех M/[(nl)fe] наборов рангов при Но (2). Таким образом, что-
бы получить вероятность при Но того, что |£и — 7?0| < с для всех
и < у, мы просто пересчитываем наборы, для которых происходит со-
143
бытие А =- {|7?u — #0|< с при всех и< п}, и делим результат Ня
2VI/[(n!)fe]. Мы вернемся к комментарию 6.5и используем 15 приведен
ных там для k — 3, п = 2 наборов. (Опять уменьшить число рассмат-
риваемых наборов с 90 до 15 помогают те же соображения, что и в
комментарии 6.5.) Теперь приведем значения |2?х — /?а|, р.
и U?2 — /?з1 для каждого набора. з|
(а) 1 Ях-Я2|=13-71=4 (б) 1^-^1=13-111=8 |Я2-Я3|=|7-11|=4 >0 Хз Хз Хз Хз А W « N ТУТ оо сю сю 1 1 1 1— »— 00 --Т II II <51 to м
(в) 1 ^i-^21=13-91=6 (г) |Я1-Я8|=|3-9|=6 |Я2-Я8|=|9-9|=0 >а Хэ Хэ » Н>| н 1LJL1 о ►— н- О ТТ w сл **3
(5) |^1-^1=|4-7|=3 (е) |Я1-/?з1=|4-10|=6 |₽2-/?я 1=17-101=3 1 1 1 Хэ Хз йз СО W to £11 00 Ф» 1 1 1 со со оо ТУТ — СЛ 4^.
03 03 £11 t' О1 О1 1П in ti ТУТ а? а? о? L L L У 1 1 1 £ JLJL сл сл сл 1 1 1 Ь- н- сл ТТ i СП СП
(п) '0£з Хз Л А А w и N ТУТ оо сл сл 00 00 00 II тт о со со 5? 'ОХЗ Х> вШ w 09 to £££ СЛ о О 1— 1— СЛ © © — и т L СЛ ЙЬ.
(4) |Р1-Р2| = 16-6| = 0 (М) |Р1-Р3|=|6-9|=3 |Р2-Р3|=|6-9|=3 |Я1-Я2|=|6-8|=2 |Я1-Я3|=|6-7|=1 |Я2-Я3|=|8-7|=1
(я) Хз Хз Хз Хз ХЗ А СО 00 to Ill сл о о сл ттт to to |Pi-/?2|=|7-6|=1 IP1—р81=| 7-81=1 1 Rz Rg |=| 6—81=2
(л) i₽i-/?2i=|7- |Я1-Яз1=|7- |/?2-/?8|»|7- 71=0 7|=0 71=0
Так, для примера
Ро{|₽в - Я,| < 8, и = 1,2, v = 2,3} = Р„ {I/?! - /?а| < 8; |ЯХ-
- Я3 | <8; J2?a - /?8| < 8} = || - 1 - .067,
Поскольку для 14 наборов (всех, кроме (а)) происходит событие {|Pi'"
< 8; |Pi — /?8| < 8, |р2 — Р3| < 8}. Аналогично
—/?в|<7, и = 1,2, v = 2,3} = 12/15 = .80, так как событие {
144
—Rz\ < 7, [У?! — 7?3| < 7; |T?2 — R3| <; 7} происходит для 12 наборов
(всех, кроме (а), (б), (г). Сравните полученные вероятности с соответ-
ствующими значениями из табл. А.9.
6.16. Определим размах как range [7?i,..., RJ =
= {max [/?!, ..., R J — min U?i,..., 7?J}. Тогда событие {|RU — Ro|<
<c, и = 1, ..., k — 1, v = и + 1, ..., k} отождествляется с событием
{range [7?i, ..., Rn] < с} (см. задачу 6.7). Следовательно, в ком-
ментарии 6.15 вместо счета |RX — R2|, |7?х — 7?3| и |Т?2 —7?3| для
каждого набора рангов мы могли бы найти их range [R1? Т?2, R3]. Но
если для получения критических значений у (a, k, п) размахов доста-
точно, то для применения метода (14) ко всем данным нам все-таки нуж-
ны разности |7?ц — 7?0|.
6.17. Использование вероятности ошибочного решения представ-
ляет собой весьма консервативный подход к множественным сравне-
ниям. Мы можем утверждать, что вероятность получения всех правиль-
ных решений равна 1 — а лишь в том случае, когда верна гипотеза
Нй (2) об эквивалентности обработок. Таким образом, мы обеспечива-
ем высокую степень надежности, когда Но верна, но к этому методу
нам часто приходится обращаться и тогда, когда очевидно, что Но не
выполняется (либо по априорным сведениям, либо на основе критерия
Краскела — Уоллиса, как в примере 6.3).
Ориентация на На затрудняет признание обработок значимо,
различными, даже если на самом деле На не верна, и эта трудность
увеличивается с ростом k. (Это хорошо видно в примере 6.3, где Л=5.
Хоть мы и приняли решение т2 =/= т4, но смогли сделать это только
на уровне .15. А на уровне, скажем, .10 мы бы уже не смогли сделать
этого.) Эта величина дает точную меру уровня неопределенности,
причем легко получить утверждение и более высокого, и более
низкого уровня. В защиту столь консервативного подхода Энс-
камби в [11] со ссылкой на Ричарда Олшена (Richard Olshen),
хотя и не настаивая на использовании именно этого показателя,
обсуждает любопытные гипотетические ситуации. Автор имел в виду
совместные доверительные интервалы, предложенные в [238], однако
его соображения применимы и для тех методов множественных сравне-
ний, которые обсуждаются здесь. Приведем ряд его замечаний. Рекла-
мируя по телевидению свое новое лекарство как панацею, каждая фир-
ма непременно объявляет, что при испытаниях оно показало себя эф-
фективнее всех известных препаратов. Такие испытания (если, конечно,
они не откровенно подделаны), несомненно, относятся к ситуации
третьего типа1. Их цель вовсе не помочь изготовителю в принятии
решения, но дать ему возможность оптимистически объявить о произ-
веденном сравнении, дабы произвести впечатление на публику и уве-
личить продажу. Для него правильнее было бы использовать совмест-
ные доверительные интервалы из этой статьи. Действительно, Управ-
ление продовольствия и медикаментов (Food and Drug Administration)
1 Термин «третий тип» Энскамби использует для описания эксперимента,
предназначенного для получения фундаментальных сведений или понимания
механизма явления, а не для выработки конкретного решения.
145
могло бы потребовать этого от него. Чем более равно неэффективны
были бы хваленые лекарства, тем труднее было бы ему сделать убеди-
тельный вывод и тем большее число испытаний ему пришлось бы про-
вести и скрыть, чтобы прийти к желаемому заключению. Вот так Ста-
тистика и Экономика должны были бы идти рука об руку, защищая
интересы общества.
6.18. Абсолютные разности |7?ц — 7?0| и — /?.0| зависят не
только от наблюдений, относящихся к обработкам и и v, но и от всех на-
блюдений над остальными k — 2 обработками. Таким образом, реше-
ния, относящиеся, например, к обработкам 1 и 2, зависят от обработки
3. На эту трудность обратили внимание Миллер [263] и Габриель [136].
Свойства. Эффективность: см. [365] и § 6.5.
Ссылки. Миллер [263] дал превосходное изложение множест-
венных сравнений, пригодное как для практиков, так и для теорети-
ков. В частности, он детально обсуждает методы § 6.3 А и Б, основан-
ные на ранжировках Краскела — Уоллиса, а также методы множест-
венных сравнений из § 7. 3 А и Б, основанные на ранжировках Фрид-
мана. К другим источникам общего характера относятся основатель-
ные работы [418] и [274].
Процедура типа Краскела — Уоллиса этого параграфа рассматри-
валась в [274], [109], [458], [258]. Конкурирующие методы даны в [388],
[114]. Они основаны на вычислении двухвыборочной статистики Уил-
коксона для всех k (k — 1 )/2 двухвыборочных ранжировок (см. также
[389]). Шерман [365] показал, что процедура Стила — Дуосса [388],
[114], основанная на раздельных ранжированиях, и процедура Данна
[109], основанная на совместных ранжировках, имеют одинаковую
асимптотическую эффективность*.
Задачи
6.5. Примените метод (14) к данным о производственном задании из табл. 6.3.
6.6; Рассмотрите метод, определенный в (17). Примите а = .05, k = 4,
И = 10. Постройте числовой пример, в котором лишь перемена мест наблюдений
в обработках 3 и 4 меняет на противоположное решение об обработках 1 и 2
(тх, т2), полученное методом (17) с тг=/=т2 на = т2 (см. комментарий 6.18).
6;7. Проверьте прямо или покажите иа числовом примере, что утверждение
комментария 16 верно.
6.8. Для случая k = 3, а = .05, п, = 6 сравните методы (14) и (17).
Б. Сравнение обработок с контролем
Точные методы известны для равных объемов выборок, когда =
— п2 = ...= nh = п. Мы дадим аппроксимации для больших выборок,
которые можно использовать при произвольных наборах (rtlt п2, ...,
nft). Для простоты примем, что роль контроля играет обработка 1.
Метод
1. Вычислить k — 1 разность Ru — Rlt и = 2.......k, где
Rk даны в (3).
♦ См. еще обзор за 1966—1976 гг. Миллера [691 (2)], [500] и 2-ое изд. 1980 г.
[263]. — Примеч. пер.
146
2. Для выполнения односторонней проверки (см. комментарий
6.20) с вероятностью ошибочного решения а надо принять решение
о том, что
> тх, если (Дц — Дх) > у* (a, k — 1, п), (19)
где у* (а, k — I, п) удовлетворяет соотношению
Ро{(Яи-Я1)<0*(а. 1. п), « = 2..£} = 1—а. (20)
Соотношение (20) означает, что (k — 1) неравенств (Дц — KJ <
Су* (a, k—1, ^.соответствующих односторонним сравнениям обра-
боток 2, .... k с обработкой 1, выполняются одновременно с вероятно-
стью 1 — а, если верна Но (2). Некоторые точные значения у* (а, 2,
п) можно найти в табл. А. 11.
Для выполнения двусторонней проверки с вероятностью ошибочно-
ного решения а надо принять решение о том, что
ти #= тх, если |Z?U — Дх| > у** (a, k — 1, п), (21)
где у** (а, k — 1, п) удовлетворяет соотношению
М1Яи-Я11<У**(а» *-1, л), и-2............ Л} = 1-а. (22)
Соотношение (22) означает, что (k—1) неравенств |Ди— Д11
> у*(а, k — 1, п), соответствующих двусторонним сравнениям обра-
боток 2, ..., k с обработкой 1, выполняются одновременно с вероятно-
стью 1 — а, если Но (2) верна. Некоторые точные значения у** (а, 2, п)
можно найти в табл. А. 12.
Приближения для больших выборок. Для случая nx = b, п2 —
...= nh = п при достаточно больших Ь и n Ь Миллер в [263] b пред-
ложил следующее приближение для метода (19): принять решение о
том, что тц > тх, если
R.u — Д.1 > т ( a, k — 1, n/(b + n) X
+ nv. в=,2 (23)
L 1! \ о п 1
где иг (а, k — 1, р) есть верхняя а%-ная точка максимума из (k — 1)
случайных величин с распределением N (0,1), с общим коэффициентом
корреляции р и с N = Ъ + (й — 1) п. Значения tn (a, k — 1, р)
можно найти в табл. А.13.
Метод (21) можно аппроксимировать следующим образом [263J:
принять решение о том, что тц тх, если
|Д.„ — Д.11 > И (a, k — 1, п/(& + и)) х (24)
ГЛЧЛГ-Н)11/2/ 1 , 1 у/2
12-J ’
147
где ]m| (a, k — 1, р) — верхняя а%-ная точка максимума абсолютных
значений (k — 1) случайных величин с распределением Л/ (0,1) и об-
щим коэффициентом корреляции р. Значения \т\ (a, k — 1, 1/2) можно
найти в табл. А. 14.
Данн [109], не ограничиваясь случаем равных объемов выборок,
предложил аппроксимации методов (19) и (21). Вот приближение для
(19), которое построил Данн:
принять решение о том, что ти > ть если
D D p(W + l)]'/2/ 1 . 1 у/2
А.и —Я.1>?(а/(й-1)) ----7Т -------------1---. (25)
J \ ft и /
а вот для (21):
принять решение %и =£ т1( если
Id d rA?(W+l)li/2/ 1 1 М/2
1А.Ц —Я.11>г«х/[2(А-.1)]) —-—--------------1-----. (26)
L J \ ni /
Связи. Используйте средние ранги.
Пример 6.4. К данным о производственном задании из табл. 6.3
мы применим метод (19) с вероятностью ошибочного решения .049. Из
табл. А. 11 находим г/* (.049, 2, 6) =36. Из табл. 6.3 находим (R2~А\)=
= (52.5 — 40.5) = 12, — Ri = (78 — 40.5) = 37.5, и поскольку
(1?з — 7?i) > 36, мы можем при вероятности ошибочного решения
049 выбрать обработку 3 (точная информация), как приводящую к зна-
чимо большей производительности, чем контрольная обработка (от-
сутствие информации).
Комментарии
6.19. В методах этого параграфа сравнивают не все пары обработок,
а лишь каждую обработку с контролем. Эта ситуация возникает, на-
пример, при отборе лекарств в исследовании многих новых методов ле-
чения, предназначенных для улучшения принятого ранее стандартного
метода, когда вначале нет оснований для сравнения обработок друг с
другом. Разумеется, такие сравнения можно выполнять позже, срав-
нивая те обработки, которые были признаны лучшими, чем контроль-
ная.
6.20. Методы (19), (23) и (25) предназначены для односторонних за-
дач, когда решение есть >т1противтц =т1, и = 2,..., k. В аналогич-
ных односторонних задачах, когда решение есть хи < против тц =
= ?! (и = 2, ..., k), надо заменить в (19), (23) и (25) (7?и — 7?х) и
(7?.и—R.i) на (Ri—Ru) и (7?.!—R,u) соответственно при] и= 2, .... 1г.
6.21. Значение у* (a, k—1, «)(«/** (а, k—1, п)) из табл. А. 11 (табл.
А. 12) можно получить из равновероятности всех 7Vl/[(n!)ft] наборов ран-
гов при Но (2). Однако в нашей задаче «обработки в сравнении с кон-
трольной» нам сделать это несколько труднее, чем в случае «всех срав-
нений» (см. комментарии 6.5 и 6.15), так как значения 7?ц — Rlt
и = 2, ..., k (|7?u — 7?i|, и = 2, ..., Л), вообще говоря, изменяются при
перенумерации контрольной обработки. В случае «всех сравнений» со-
ответствующая статистика — размах {/?i,..., R^} (см. комментарий
6.16) — не зависит от перенумерации обработок.
148
Это можно проиллюстрировать случаем п = 2, k = 3. Наибольшее
значение R 3 — Rx равно 8, что соответствует набору
(a) I II III
1 3 5
2 4 6
причем R3 = 11 и Rx = 3. Наибольшее значение R3 — Rt также рав-
но 8 и относится к набору
(a') I II III
1 5 3
2 6 4
Поскольку ни для какого другого из всех (6!)/[(21)3] = 90 наборов
разность Ru — Rx не может быть более 8, мы получаем
Л»{(Яи~Я1)>8, ы = 2,3} = -^-= 022.
Тогда в терминах (20) имеем у* (.022, 2,2) = 8.
6.22. Методы (19) и (21) можно интерпретировать как критерии для
Н3 (2). Например, критерий, который отклоняет Но, если выполня-
ется хотя бы одно из (k — 1) неравенств (19), свободен от распределе-
ния.
6.23. Методы множественных сравнений из § ЗБ имеют тот же недо-
статок, что был отмечен в комментарии 6.18, а именно решение об
обработке и и контрольной обработке зависит от наблюдений, относя-
щихся к другим k — 2 обработкам.
Свойства. Эффективность: см. [365] и § 6.5.
Ссылки*. Методы сравнения обработок с контролем из этого
параграфа обсуждали Немени [274], Уилкоксон и Уилкокс [458],
Миллер [263]. Непараметрические процедуры-конкуренты предложе-
ны в [386], где используется статистика Унлкоксона, подсчитанная для
k — 1 пар выборок (контроля поочередно с каждой обработкой). Кро-
ме того, имеется процентильный критерий для сравнения обработок
с контролем (см. [376]), обобщающий двухвыборочный медианный кри-
терий для сравнения с контролем, предложенный в [137].
Задачи
6.9. Примените метод (26) к данным табл. 6.2.
6.10. Вернитесь к примеру 6.4 и (приближенно) найдите наименьшую ве-
роятность ошибочного решения, при которой мы, используя метод (23), решаем,
что т3 > тх.
6.11. Сравните методы (19) и (23) на примере данных при k = 3, а = -01,
«I = п2 = па = 6.
* См, также обзоры [691 (2)], [745]. — Примеч. пер.
149
§ 6.4. ОЦЕНКА КОНТРАСТА, ОСНОВАННАЯ НА ДВУХВЫБОРОЧНЫХ
ОЦЕНКАХ ХОДЖЕСА — ЛЕМАНА (СПЕТВОЛЛЬ)
Контраст параметров т модели (1) определяется формулой
k
9=2fl^> (27)
h
где 2а> — 0 и аь..., afe— какие-то заданные константы.
/=1
Эквивалентно мы можем определить 0 формулой
0= 2 2 4, Ду. (28)
h=l/=1
где
dh} = -^~, k, (29)
fi
= (30)
Метод
1. Определить оценки
7/0 = медиана {Xah—ХР;, а=1,...,ил, 0 = 1,...,п,}, /г#=/. (31)
Поскольку Zhj = — Zjh, надо сосчитать лишь k (k — 1)/2 оценок
Zhj, соответствующих паре (/г, /) при h < /.
Будем называть Zhj исходной (грубой) или нескорректированной
оценкой тЛ — Tj. (Это оценка Ходжеса — Лемана, определенная в
§ 4.2. Например, Z1S — медиана /г^Пд разностей Ха1 — Хрз, получен-
ных для наблюдений обработок 1 и 3.)
2. Вычислить взвешенные суммы
k
2 niZh]
bh = !—-----, /г=1.....k, (32)
k
2 ni
i=i
где
Zhh = 0, h = \.k. (33)
3. Взвешенная скорректированная оценка определяется фор-
мулой _
= (34)
4. Взвешенная уточненная оценка контраста 0 равна:
'0=2 Др (35)
/=1
или, что эквивалентно,
0=2 ^dhjwhj= 2 2 4>(Дл-ДД (3б)
h=l/=I Л==1/ = 1
150
В частном случае п± — п2 ~ дг (32) сводится к
k
Zh=d^—, (37)
Л»
а ДЛ — Д; сводится к
ДЛ - Д, = Zft. - Z/.. (38)
Пример 6.5. ВЫЧИСЛИМ оценку ДЛЯ Тточная информация'—Тцет информации —
= т3 — тх по данным табл. 6.3. В примере 6.4 мы нашли, что группа,
получившая точные сведения, выпустила существенно больше про-
дукции (вероятность ошибочного решения .05), чем группа, не знав-
шая задания. Оценка т3 — тх дает ожидаемый прирост продукции за
счет сообщения рабочим точной информации.
Из табл. 6.3 и (31) получаем ZX2 = — 1,5, Z13 = — 4, Z23 = — 3.
Из (32), или, что эквивалентно (поскольку пх = п2 = п3 = 6),
из (37) имеем
д ^2i+^23 + ___ 1.5 + 0— 3 5
2~ 3 ~ 3 • ’
Д 23X + Z32 + Z33 4 + 3 + 0 .. 7 .
3 3 3 3
Заметим, что при вычислении Д 2 и Д 3 мы используем равенство Zu
= —Zou. Взвешенная скорректированная оценка т3— тх получается
из (34) или (35) при ах = — 1, а2 = 0, а8 — 1. Мы находим
е - - Д.-А- = -1-(—Ц-)=(^-)-4.17.
Сравните с грубой оценкой Z3X = 4.00 и классической оценкой ^3—
~Хх = (25/6) = 4.17.)
Комментарии
6.24. Если оценивать контраст по исходным (грубым) оценкам, мы
сталкиваемся с тем неприятным обстоятельством, что оценки контрас-
та не будут удовлетворять тем линейным соотношениям, которые вы-
полняются для самих контрастов. Например, Дхз = Д12 + Д23*, но
213#= ZX2 + Z23 в общем случае. Таким образом, две вполне «естест-
венные» формулы для оценки ZX3, Z12-+Z23 могут давать разные зна-
чения. На это обратил внимание Леман [246], назвавший неуточнен-
ные оценки несовместимыми.
* Это может быть свойством некоторой «количественной транзитивности»
парных сравнений; если 6jX= exp {Ajj}, i, j — 1,..., k, to 6jj= <5;z для
всех 1 fe. Оно выполняется, например, для количественных
парных сравнений, когда выясняют, «во сколько раз i-й объект превосходит
;'-й» (см., например, [514]; ср. с § 4.1 (с. 46, 48,формулы (4.1.8) и (4.1.11)) из кни-
ги [97]). — Примеч. пер.
151
6.25. Леман [2461 преодолел трудность «несовместимости» переходом
к оценкам Zh. — Zj. (38). Эти оценки получены минимизацией суммы
квадратов SS [Zh3 — (Tft — т,)]2. Хотя эти оценки совместимы, Леман
ь-М
указывает на появление двух новых затруднений. Во-первых, оценки
Zh. — Zj. для = г/, — Т;, помимо зависимости от наблюдений из
выборок h и j, зависят еще от наблюдений из остальных k —2 выборок.
К тому же оценка Zt. — Z2. (для — т2) не будет состоятельной, ког-
да п3 и п2 стремятся к бесконечности, а п3 не стремится (в случае k ~ 3).
6.26. Спётволль [383] преодолел трудность, связанную с не-
состоятельностью, введением взвешенных скорректированных оценок
Д/г — Д; (34). Эти оценки минимизируют сумму квадратов
[Zhj— ('t/г — Tj)]2.
Оценки Спётволля тем не менее сохраняют тот недостаток, что оценки
Th — Tj зависят от наблюдений из других групп, которые явно с ними
не связаны.
6.27. Спётволль также предложил взвешенные скорректированные
оценки, минимизирующие
Г (39)
\ «л ni /
где роль весов для суммы квадратов играют асимптотические дис-
персии величин Z/,j*. Вычислять эти оценки труднее, чем оценки (34).
Более того, Спётволль показал, что оценки (34) и оценки, полученные
минимизацией (39), имеют одинаковые асимптотические свойства, ес-
ли tij -> оо так, что (rij/N) -> ij, где 0 < < 1.
6.28. Спётволль указал также, что оценки, полученные минимиза-
цией (39), и оценки (34) сведутся к оценкам Лемана (38), если пг = п2—
= ...= пк.
Свойства
1. Стандартное отклонение 0 (35):асимптотическое стандартное от-
клонение 0 (35) см. в [383].
2. Асимптотическая нормальность: см. [383], [246].
3. Эффективность: см. [383], [246] и § 6.5.
С с ы л к и**. Взвешенную скорректированную оценку (34) дал
Спётволль [383], модифицируя невзвешенную оценку (38), предло-
женную Леманом [246]. Кроме того, Леман [246] обсудил оценку 0 (27),
использующую одновыборочную оценку Ходжеса — Лемана из § 3.2.
Некоторое развитие результатов Лемана [246] сделано в [36]. Довери-
тельные интервалы для контрастов можно найти в [246], [349], Оценки,
заданные (38), использовал Рэндле [316] для задачи выбора совокуп-
ности, соответствующей наибольшему из параметров Tj,..., тй.
* Ср. с формулами § 4.2 книги [97]. — Примеч. пер.
** См. также [500]. — Примеч. пер.
152
Задачи
6.12. Оцените т4 — т2 по данным о содержании воды из табл. 6.4.
6.13. Примите k = 4 и постройте пример, где Z13 + Z24 =£ Z14 + Z23.
Учтите, что Д13 + Д24 = Д14 + Д23 (см. также комментарий 6.24).
6.14. Дайте следующие определения: асимптотическая относительная эф-
фективность (методов множественных сравнений); контраст; свободный от рас-
пределения метод множественных сравнений; вероятность ошибочного решения;
метод множественных сравнений.
§ 6.5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ (МЕТОДОВ ОДНОФАКТОРНОГО
ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА)
Асимптотическая эффективность при альтернативах сдвига для не-
параметрических процедур, обсуждаемых в этом параграфе, по отноше-
нию к их конкурентам из нормальной теории выражается величиной
Д (F) из § 3.10. Заметим, что так было и для двухвыборочных проце-
дур ГЛ. 4.
В частности, в [8] было доказано, что асимптотическая эффектив-
ность критерия Краскела — Уоллиса по отношению к критерию F для
однофакторного дисперсионного анализа из нормальной теории равна
7Х (F). Пури [303] показал, что для альтернатив с упорядочением 7Х (F)—
асимптотическая относительная эффективность критерия Джонкхиера
по отношению к соответствующему /-критерию из нормальной теории.
Шерман [365] получил 7Х (F) как асимптотическую эффективность ме-
тодов множественных сравнений из § 6.ЗА и Б по отношению к мето-
дам классической нормальной теории, основанным на выборочных сред-
них. Спётволль [383] показал, что при (rij/N) ру, 0 <рг <1 оценка
Whj (34) имеет те же асимптотические свойства, что и оценка (Zh. —
—Zj.) (см. комментарий 6.25). Затем из результатов Лемана [246] еле
дует, что Ц (F) — асимптотическая эффективность оценки 6 (36) по
отношению к оценке метода наименьших квадратов
0 = SSdw(X.ft-XJ,
Как установлено в § 3.10, асимптотическая относительная эффектив-
ность 7Х (F) всегда больше или равна .864 и может быть бесконечна
(см. табл. 3.10, где приведены значения 7Х (F) для некоторых распреде-
лений F*).
* См также [662] [701 (а)] — АОЭ крятерия и его аналога с нормальными
метками, [694], [697 (3)], [771], [722], гл. 3 книги [562], а также ссылки к §6.1 -
Примеч. пер,
153
ГЛАВА ДВУХФАКТОРНЫЕ
7 ТАБЛИЦЫ
ДИСПЕРСИОННОГО
АНАЛИЗА
В этой главе мы обобщим схему повторных парных наблюдений гл. 3
на случай, когда данные состоят из nk наблюдений. В каждом из п бло-
ков встречается по одному наблюдению на каждую из k обработок. Ис-
ходная гипотеза говорит об отсутствии различия в обработках, а ин-
тересующие нас альтернативы относятся к различию в положении (к
сдвигу).
В § 7.1 представлен свободный от распределения критерий, пред-
назначенный для общих альтернатив, в § 7.2 — свободный от распреде-
ления критерий, построенный для альтернатив с упорядочением, в
§ 7.3 даются методы множественных сравнений всех обработок или «об-
работок против контроля», в § 7.4 мы предлагаем оценки контрастов.
Методы § 7.1—7.4 связаны с ранговыми суммами Фридмана.
В § 7.5—7.8 даны аналогичные методы, связанные со знаковыми
рангами Уилкоксона. В § 7.5 мы имеем дело с асимптотически свобод-
ным от распределения критерием общих альтернатив, §7.6 включает
асимптотически свободный от распределения, критерий для альтерна-
тив с упорядочением, в § 7.7 приводятся методы множественного срав-
нения. В § 7.8 мы оцениваем контрасты, в § 7.9 обсуждаем асимптоти-
ческую относительную эффективность методов этой главы по отноше-
нию к их соперникам из нормальной теории.
АНАЛИЗ, ОСНОВАННЫЙ НА РАНГОВЫХ СУММАХ ФРИДМАНА
Данные. Данные содержат nk наблюдений по одному наблюде-
нию на каждую обработку в каждом из п блоков.__
Блоки Обработки
1 2 ... 1 k
1 Хп х12 xlft
2 Хи Х2а ... X2ft
п Хл! хп2 Xnfe
154
Допущения
А.1. Мы принимаем модель
Хц = И + Р; + + еи< 1 = 1, •••> п, j = 1, k, (1)
где р — неизвестное общее среднее; [3; — эффект блока i (параметры
В — неизвестные мешающие параметры); т; — неизвестный эффект об-
п k
работки j, 2 Pi = 0 и — О-
i = l i^l
А.2. Все е (случайные ошибки) взаимно независимы.
А.З. Все е извлечены из одной непрерывной совокупности.
§ 7.1. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
(ФРИДМАН, КЕНДЭЛ И БЭБИНГТОН СМИТ)
Метод. Для проверки
Но : Ti = т2 = ...= Tft (2)
против альтернатив о том, что не все т равны между собой, надо выпол-
нить следующее.
1. Проранжировать k наблюдений отдельно внутри каждого блока
от меньшего к большему. Обозначить через ri} ранг Хц в совместной
ранжировке АД,..., Xlh.
2. Найти
(3)
»=1
Так, например, Т?2 — сумма (по всем п блокам) рангов, предназначен-
ных обработке 2, а Т?,2— средний ранг, полученный этой обработкой.
3. Вычислить
4. На уровне значимости а
отклонить Но, если S Д$(а, k, п),1
принять Но, если S < s (а, k, п), )
где константу s (а, k, п), удовлетворяющую уравнению Ро {S
>s(a, k, п)} = а, надо брать из табл. А. 15*.
* Таблицы распределения S для (k, п) пне диапазонов табл. А. 15 даны в ра-
ботах [697 (а)] и [732]. Хороший подбор таблиц дан в карманном справочнике
[698].
Наиболее доступна таблица ГОСТ 23554.2—81 [487], где для а, самых близких
к 0.01, 0.05, 0.10, приведены точные верхние критические точки статистики
S (в ГОСТе и многих статистических работах она обозначается X2) для k = 6,
п = 2 (1) 15; k -= 4, п = 2 (1) 8; k = 5, п = 2 (1) 8; k - 6, п =2 (1) 8, 6=7,п =
=7,8 (в ГОСТе вместо k стоит п, а вместо п — т). — Примеч. пер.
155
Приближение для большой выборки*. Если гипотеза Но верна, то
статистика S имеет асимптотическое (при п -> оо ) распределение %2 с
k — 1 степенями свободы.
Критерий с приближенным уровнем значимости а таков:
отклонить Но, если S Х<ал—i, а), 1
принять Но если S< 1, а). /
Связи. Берите средние ранги. В методах (5) и (6) S заменяется на
к
12 2 (Rj~nR..)2
s'=-------------/=1 » (/ \
i=l I / J
где gi — число групп связанных наблюдений в блоке i; tit } — объем
/-й связанной группы в блоке г, при этом наблюдения, не равные ника-
кому другому наблюдению внутри блока, рассматриваются как связи
объема 1. (Заметим, что если вообще нет связей, то для всех i = 1,...,
п, tit} =1, j = 1, .... k, gi = k, = k,{Wj) — k} = О и S' (7)
/=i /=i
сводится к S (4).)
Пример 7.1. Данные табл. 7.1 получены Вудвардом [464]. Вудвард-
защитник (обороняющийся между второй и третьей базами) коман-
ды Национальной бейсбольной лиги «Краснокожие из Цинцинати»
в 1970 г.— рассмотрел три метода достижения первой базы **. На-
илучшим методом определенно должен быть один из них. В среднем он
будет минимизировать время достижения второй базы. Эти три мето-
да, а именно «обегание», «проход под острым углом» и «проход под ту-
пым углом», представлены на рис. 7.1.
Каждое число в табл. 7.1 — среднее из двух перебежек время пере-
мещения с места на линии первой базы в 35 футах (~ 10, 65 м) от «дома»
до точки на 15 футов (~ 4,55 м), не доходя до второй базы.
Поскольку в блоках 7,15, 17 и 22 есть связи, берем S' (7). Для всех
блоков, в которых нет связей, выражение в фигурных скобках в зна-
менателе (7) обращается в нуль. Поэтому его надо считать только для
i =7, 15, 17 и 22, соответствующих блокам со связями. В блоке 7 лишь
одна связанная группа объема 2 (5.40, 5.40) и одна «связанная груп-
* Это приближение не вполне удовлетворительно. Читатель может убедить-
ся в этом, если воспользуется работой [641]. Например, для а = 0.01, k — о>
п = 6 относительная ошибка ошибки I рода равна — 62.8% для (6) и — 3.3% "
для аппроксимации [641]. см. также с. 11 — 12. — Примеч. пер.
** Бейсбол — спортивная игра, в которой участвуют две команды; напоми-
нает лапту. Поле имеет форму ромба — см. рис. 7.1 (все 4 стороны равны, дв
угла острых, два — тупых). Одна команда кидает мяч, а вторая стремится о -
бить его с помощью биты как можно дальше от «дома». Цель игры — преодоле
3 базы (угла ромба) и вернуться «домой», потеряв как можно меньше очко
В ходе игры команды меняются ролями. — Примеч. ред.
156
Таблица 7.1. Время достижений первой базы
Игроки Методы
обегание проход под острым углом проход под тупым углом
1 5.40(1) 5.50(2) 5.55(3)
2 5.85(3) 5.70(1) 5.75(2)
3 5.20(1) 5.60(3) 5.50(2)
4 5.55(3) 5.50(2) 5.40(1)
5 5.90(3) 5.85(2) 5.70(1)
6 5.45(1) 5.55 2) 5.60(3)
7 5.40(2.5) 5.40(2.5) 5.35(1)
8 9 5.45(2) 5.25(3) 5.50(3) 5.15(2) 5.35(1) 5.00(1)
10 5.85(3) 5.80(2) 5.70(1)
11 5.25(3) 5.20(2) 5.10(1)
12 5.65(3) 5.55(2) 5.45(1)
13 5.60(3) 5.35(1) 5.45(2)
14 5.05(3) 5.00(2) 4.95(1)
15 5.50(2.5) 5.50(2.5) 5.40(1)
16 5-45(1) 5.55(3) 5.50(2)
17 5.55(2.5) 5.55(2.5) 5.35(1)
18 5.45(1) 5.50(2) 5.55(3)
19 5.50(3) 5.45(2) 5,25(1)
20 5.65(3) 5.60(2) 5.40(1)
21 5.70(3) 5.65(2) 5.55(1)
22 6.30(2.5) 6.30(2.5) 6.25(1)
/?1 = 53 7?а=47 /?з = 32
Источник. [464].
па» объема 1 (5.35). Таким образом, /7,1=2, /7,2=1, gi = 2 и jS /?,/)—
Si
~k} = {(2s + Is) — 3} — 6. Точно так же {(2/®,/) — k} — 6 для i=
= 15, 17, 22. Поэтому из (7) получаем
S' == 121(53-44)* + (47- 44)»+ (32-44)»] _ । j j
22(3)(4)-(у)(6+6+6+6)
Из распределения xi (номограмма А.2) видим, что наименьший уро*
вень значимости, на котором, при использовании приближения для
большой выборки (6) с поправкой на связи, можно отклонить гипотезу,
равен .004. Поэтому отклонение гипотезы об эквивалентности методов
по скорости здесь вполне очевидно.
Комментарии
7,1. Модель (1) — это основная таблица двухфакторного диспер-
сионного анализа. В каждой ячейке имеется по одному наблюдению,
при этом предполагается, что взаимодействие между блоками и обра-
ботками отсутствует.
157
7.2. Мы можем отказаться от модели (1) и принять нулевую гипо-
тезу о равновероятности всех возможных (&!)'’ наборов рангов г;;.
Метод (5) будет свободным от распределения для этой более общей аль-
тернативы.
7.3. Использование в модели (1) п блоков — это попытка умень-
шить экспериментальные ошибки и предотвратить сравнение «яблок с
апельсинами», которое может легко ввести в заблуждение* (мы пред-
почитаем сравнивать яблоки с яблоками). Так, в примере 7.1 22 блока
соответствуют 22 бейсболистам. Обработки внутри каждого блока ран-
Рис. 7.1.. Три метода достижения первой базы: О —
«обегание»; w — «проход под острым углом»;---------
«проход под тупым углом»
домизируются (т. е. в каждом блоке порядок, в котором каждому игро-
ку предлагается воспользоваться одним из трех различных методов
«преодоления первой базы», должен генерироваться с помощью ка-
кого-нибудь случайного механизма, в котором каждый из 6 возмож-
ных порядков будет равновероятным, причем все предписания в раз-
личных блоках независимы) **.
* Этот подход широко используется в социологии [530], экспертных опен-
ках [216], [487], педагогике [488] при ранжировании респондентами, экспертами
или испытуемыми объектов (в дисперсионном анализе роль объектов играют об-
работки). — Примеч. пер.
** Здесь авторы обращают внимание на важный факт — необходимость
рандомизации порядков обработок в блоках. Для ее осуществления есть таблицы
случайных перестановок [216] или алгоритмы получения случайных перестано-
вок (см., например, [532, п. 5.1.5, с. 194—195].
Сравнение осуществляется в условиях эксперимента, а не реальной игры. —
Примеч. пер.
158
Заметим, что метод предполагает ранжирование только внутри каждо-
го блока. Так, например, в блоке 1 сравнивается время трех обработок
игрока 1. Это попытка исключить мешающий эффект собственной ско-
рости игрока 1. Было бы довольно глупо сравнивать время при «обе-
гании» игрока 1 со временем «прохода под тупым углом» игрока 2, если
игрок 1—это (медлительный) 200-фунтовый (около 81 кг) игрок, ло-
вящий мяч, стоящий за «домом», а игрок 2 — (юркий) 160-фунтовый
(около 65 кг) защитник, обороняющийся между второй и третьей база-
ми. При таком сравнении различие во времени обработок будет смеша-
но с различием в собственных скоростях игроков, которое в этом экс-
перименте малоинтересно или даже совсем не интересно *.
7.4. Статистика Фридмана естественным образом возникает при
попытке применить обычную статистику F из двухфакторного диспер-
сионного анализа к рангам, а не к исходным наблюдениям. В этом слу-
чае S можно записать в виде S = [12/fe (k 4- 1)] SST, где SST —
сумма квадратов «обработок» для рангов.
7.5. При Но (2) мы ждем, что все R.} будут близки к R.. =
k
= (k + 1)/2 и потому S (R-j — R-)* будет мала. Если параметры т
не равны, то мы ждем, что величины Rj будут различаться сильнее, а
потому (R.j — R..)2 (по крайней мере некоторые из них) будут ббль-
шими, что приведет и к большим значениям S (4). Это служит некото-
рым объяснением метода (5) (см. также комментарий 7.4).
7.6. Распределение S (4) при Яо (2) можно получить, опираясь
на равновероятности всех возможных (&!)" ранговых наборов для всех
Гц. Взяв k = 4, п = 2, покажем теперь, как это сделать. В нашем при-
мере S (4) сводится к S = (.37?* — 30), где R* — RI 4- R$ 4- R% +
4- Т?4. Заметим, что S не изменяется приперенаименовании блоков или
при перенумерации k выборок. Так, например, наборы (а) и (б)
(«) I II III IV (б) I II III IV
Блок 1 1 2 3 4 Блок 1 3 1 2 4
Блок 2 3 1 2 4 Блок 2 1 2 3 4
ведут к одному и тому же значению S, поскольку (б) получается из (а)
переменой ролей для блоков 1 и 2. Аналогично наборы (в) и (г)
(в) I II III IV (г) I II III IV
Блок 1 1 2 3 4 Блок 1 2 1 3 4
Блок 2 3 1 2 4 Блок 2 1 3 2 4
приводят к одному и тому же значению S, поскольку (г) получен из
(в) переменой ролей выборок I и II. Поэтому вместо (4!)2= 576 набо-
ров достаточно записать лишь 4! — 24 набора (24 различным наборам
* См., например, [498, п. 35.25]; [342, § 4.2]; [482, гл. 17]; [513, т. 2, статья
Л. Н. Большева «Дисперсионный анализ»]. - Примеч. пер.
Iq9
в блоке 2 соответствует фиксированный набор 1,2, 3, 4 в блоке 1) и Со.
ответствующие им значения R* и 8.
(а) I II III IV (6) I II III IV
12 3 4 1 2 3 4
12 3 4 1 2 4 3
Я*=120, 8=6 R* = = 118, 8=5.4
(в) I II III IV (a) I II III IV
12 3 4 1 2 3 4
13 4 2 1 3 2 4
7?*=114, 8=4.2 R* = = 118, 8=5.4
(д) I II III IV (<0 I II III IV
12 3 4 1 2 3 4
Fl 4 2 3 1 4 3 2
£*=114, 8=4.2 R*= = 112, 8=3.6
(ж) I II III IV (3) I II III IV
12 3 4 1 2 3 4
2 13 4 2 1 4 3
R*=118, 8=5.4 R*= = 116, 8=4.8
(«) I II III IV (K) I II III IV
12 3 4 1 2 3 4
2 3 4 1 2 3 1 4
#*=108, 8=2.4 R*-- = 114, 8=4.2
(Л) I II III IV (Л4) I II III IV
12 3 4 1 2 3 4
2 4 1 3 2 4 3 1
#*=110, S=3 R*: = 106, 8=1.8
(м) I II III IV (o) I II III IV
12 3 4 1 2 3 4
3 12 4 3 1 4 2
#* = 114, 8=4.2 R* = 110, 8=.3
(«) I II III IV (p) I II III IV
12 3 4 1 2 3 4
3 2 4 1 3 2 1 4
#*=106, 8=1.8 K* = 112, 8 = 3.6
160
(с) I II III IV (m) I II III IV
1 2 3 4 1 2 3 4
3 4 1 2 3 4 2 1
я*= = 104, S= = 1.2 R*-- = 102, S= = .6
(У) I II III IV (Ф) I II III IV
1 2 3 4 1 2 3 4
4 1 2 3 4 1 3 2
R* = 108, S= =2.4 R* = 106, S= = 1.8
(х) I II III IV (4) I II III IV
1 2 3 4 1 2 3 4
4 2 1 3 4 2 3 1
R* = 106, S= = 1.8 R* =102, S: = .6
(«О I II III IV (ш) I II III IV
1 2 3 4 1 2 3 4
4 3 1 2 4 3 2 1
R* = 102, S = .6 R* = 100, S =0
Отсюда находим
p»{s=6} = A-, P0(S-5-4}=-2-, Po{S = 4.8} = A_,
P0{S = 4.2} = ^-, PO{S = 3.6}=^- . MS = 3}=JL,
P0{S=1.8)=-±-, P0{S = 1.2}=J-
Po{S = 6) ’ Л{« 0}=— . 1 24
Так, например, P{S 5.4} — Ро {S = 5.4} + Ро {S = 6} =
~ 24" + гТ = Сравните это с соответствующим числом из табл.
7.7. При k = 2 метод (5) сводится к двустороннему критерию зна-
3.4).
'•о. Заменим допущения А1—АЗ на менее ограничительные допу*
Щен и я АГ; Xtj = рг 4- eif, А2': все е взаимно независимы; АЗ': еи-, ...,
("/ Ит3гВЛекаются из °Дн°й непрерывной совокупности П,-, j = 1, ..., k
т ° „ь-.., Пй не предполагаются идентичными). В таком случае кри-
Рии, определенный в (6), состоятелен против альтернатив, для кото-
~ хотя бы для одного и, где puv = Р (eiu <
161
<.eie), eiu — случайный элемент из совокупности Пи; eiv — случи“
ный элемент из По, причем eiu, etD независимы.
Свойства
1. Состоятельность: см. [279, р. 54], комментарий 7.8.
2. Эффективность: см. [434] и § 7.9.
Ссылки. Статистику S предложил Фридман [133], эквивалент-
ные статистики независимо предложили Кендэл и Бэбингтон Смит [217]
а также Уоллис [439]. Аналог критерия Фридмана, построенный на
нормальных метках, можно получить из общей статистики Q, кото-
рую рассматривали Гаек и Шидак [165]. Критерий, предложенный
Юденом [470] и исследованный в [412], также является конкурентом
Другие критерии дали Браун и Муд [59] и Сен [355]. Ходжес и Леман
[180] предложили условно свободный от распределения критерий-кон-
курент, так же как и Сен [354]. Нётер [279] обсудил обобщение крите-
рия Фридмана, основанное на теории Бенарда и ван Элтерена [28] на
случай 1 наблюдений в ячейке и сбалансированных неполноблоч-
ных планов. Одно из таких обобщений — критерий, данный Дар-
бином [112] *. Леман [247] работал с более общей моделью, чем (1),
допускающей взаимодействие между блоками и обработками, так же
как и Мехра и Сен [260], Мехра и Смит [261]. О критериях, предназ-
наченных для специальных альтернатив с упорядоченностью, см.
«Ссылки» в конце § 7.2 и 7.4 **.
* В работе [759] даны таблицы критических точек статистики Т — %2, экви-
валентной статистике Дарбина, см. § 6.18 [216]. Охвачена ситуация сбалансиро-
ванных неполноблочных планов. Там же [759] даны критические точки для 34
различных планов. В этой же работе сделаны обобщения критериев Дар-
вина [112] и Бейарда — ван Элтерена [28] на широкий класс таких планов
с повторными наблюдениями. Наблюдения в блоках взяты с весами, пропорцио-
нальными числу наблюдений в блоках, как и в [711], рассмотрены и множествен-
ные сравнения. — Примеч. пер.
** Критерий Фридмана и эквивалентный ему критерий Кендэла— Бэбпнг-
тона Смита со статистикой — коэффициентом конкордации W — очень часто
применяется в дисперсионном анализе (ДА) и экспертных оценках. Дадим до;
полнительные ссылки. В книге Кендэла [216], см. гл. 6, 7, где есть и упомянутый
выше критерий Дарбина [112], его применения см. в [479, п. 8.2] [494, п. 9. 7, 21
и др; обсуждение см. в [541]. Работа с обширными таблицами критических тсюк и
улучшенной аппроксимацией (лучшей, чем ^-распределение) показана в ГОС1
23554.2—81. В фундаментальной книге [307] задаче этого параграфа посвящен
§ 7.1 («метод ранжировок»); конкуренты, основанные на ранжировании _п°слс
выравнивания (вычитания оценки параметра положения: Yij = Ху — Xi, гДе
Xi — оценка), описаны в § 7.3 этой книги (см. также [507, 8.3]). Различные пе-
полные схемы двухфакторного ДА см. в [511]. Далее перечислим работы: ро )•
[521], [527], [544], [543]. Конкурентный критерий см. в [736], [729], работа о i
полных блоках [28] развивается в [711], [677], [759], [548], [506]). Многомерн
обобщения см. в [601]. О проверке согласия между 2 группами ранжировок с> •
[628], [644], см. также [740[, [649], [655], [672]; эффективность в малых выо 1
ках недавно исследовалась в [685], [688]. Таблицы: [697 (а, б)], [698] (см-
предыдущую сноску); [712] — неполные блоки; Д. Квейд [718] предло ,с
использовать веса блоков — ранги статистик разброса в блоках (см. т‘ -
[737], [742], [770], [782]). Об эффективности см. [688], где предложен и Крите]
основанный на ранжировках с «выравниванием». — Приме*- п?Р-
152
Задачи
7.1. В работе [1491 исследовано дых ание людей, подвергнутых в течение часа
действию различных количеств озона в воздухе. Испытывались четверо мужчин,
считающихся здоровыми, из Управления здравоохранения штата Калифорния.
Мерой воздействия служила стабильность работы дыхательных органов, измерен-
ная методом плетизмографии грудной клетки* (см. [108], [77]). Голдсмит и Нэдел
[149] приводят средние по четырем последовательным измерениям, выполненным
иепосредствеино перед началбм и через 5 мин после окончания подачи озона на
каждом из уровней. В табл. 7.2 приведены некоторые из этих данных, причем таб-
личные значения — это разности средних значений стабильности работы дыха-
тельных путей после воздействия озона и до него. Для проверки Яо используйте
метод (5).
Таблица 7.2. Влияние содержания озона
на стабильность работы дыхательных органов
(см Н2О л/с)
Испытуемые Концентрация (млн. доли)
.1 .6 1.0
1 — .08 .01 .06
2 .21 .17 .19
3 .50 —.11 .34
4 .14 .07 .14
Источник. [149].
7.2. Можно ли применять критерий Фридмана к таблице однофакторного
дисперсионного анализа? Объясните. Целесообразно ли применять к данным од-
нофакторного дисперсионного анализа критерий Фридмана? Объясните.
§ 7.2. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
ДЛЯ АЛЬТЕРНАТИВ С УПОРЯДОЧЕНИЕМ, ОСНОВАННЫЙ
НА РАНГОВЫХ СУММАХ ФРИДМАНА (ПЕЙДЖ)
Метод. Для проверки Но (2) против альтернатив (см. комментарий
7.9) вида
Яа:Т1<т2< ... <тл, (8)
где хотя бы одно из неравенств строгое, надо выполнить следующее.
1. Вычислить
k
L — S 4* (9)
/=i
где Rlt..., Rk даны формулой (3).
* В процитированных авторами примера двух работах осуществлено при-
способление метода плетизмографии, разработанного ранее для измерения пе-
риферического кровоснабжения с помощью регистрации изменений объема того
или иного органа (in. vivo), к исследованию работы системы сердце — легкие.
Таким образом, у авторов появился экспрессный метод количественной оценки
работы дыхательного аппарата. Опыты проводились в рамках исследований по
изучению влияния изменений окружающей среды на организм человека. —
Примеч. ред.
163
2. На уровне значимости а
отклонить Но, если L I (а, k, ri),
принять Но, если L < I (а, k, ri),
где I (а, k, ri) удовлетворяет уравнению P{L > I (а, k, ri)} = а. При-
ближенные значения I (а, k, ri) даны в табл. А. 16*. F
Приближение для большой выборки. Положить
? b-E0(L) = L-nfe(fe+ 1)2/4 .
Ivaro(L)]1/2 [Я(/>з_/>)2/144(/>_1)]1/2 *
При Но статистика L* имеет асимптотическое (при п стремящемся к
бесконечности) распределение N (0,1). Приближенный критерий уров-
ня а таков:
отклонить Но, если L*>z(e), |
принять Но, если L*<z(e). J
Связи. Используйте средние ранги.
Пример 7.2. В опыте, описанном в книге Кокрена и Кокс [75,
с. 1081, изучалось влияние количества калийного удобрения, вноси-
мого в почву (в расчете иа К^О), на разрывную прочность волокон
хлопка. В плане случайных блоков при трех блоках (п = 3) использо-
валось 5 уровней удобрений (k = 5). В качестве критерия служил по-
казатель прочности по Прессли, измеренный на скрутках заданной тол-
щины**. С каждой делянки отбирался один образец хлопка, на кото-
ром делалось 4 разрывных измерения. В табл. 7.3 приведены средние
по этим четырем замерам, а в круглых скобках — ранги внутриблоч-
ного ранжирования. (Данные в табл. 7.3 безразмерны, поскольку раз-
рывная машина проградуирована в произвольных единицах***.) Мы
рассматриваем гипотезу о независимости прочности от уровня удобре-
ний против альтернативы о регулярном тренде: убывании прочности
нити с ростом количества вносимых удобрений.
* Таблицы точного распределения статистики (9) Пейджа для k = 3 (1) 8,
п = 2 (1) 10 и а = 0.001, 0.005, 0.025, 0.050, 0.100, 0.200 (в которых указаны
точные величины уровня значимости для верхней и нижней границ 1Л, 1Л — 1 та-
ких, что
Ро - 1}>а> Ро {£>/в})
даны в работе Оде (697 (2)]. Табл. А. 16 дает весьма близкие к 1Л или la — 1 точки
(обычно совпадающие с ними). В ГОСТ 23554.2—81 приведена несколько рас-
ширенная по отношению к А. 16 таблица для k = 3, п— 2 (Г) 20, k = 4 (1) 8,
п = 2 (1) 12 при а — 0.01, 0.05 и 0.10 (лишь при а = 0.10 п = 2 (1) 10). —
Примеч. пер.
**Скруткой называется нить, полученная скручиванием нескольких воло-
кон. Волокон можно взять столько, сколько надо для получения нити требуемой
толщины (с ней связана такая характеристика нити, как номер). — Примеч ред.
***ПравДа, как отмечают авторы исходной работы, прн желании результаты
Можно пересчитать в фунты на кв. дюйм по регрессионной градуировочной пря-
мой. — Примеч. ред.
164
Таблица 7.3. Прочность хлопка на разрыв по Прессли
Повторение Калийное удобрение* (фунт/акр)
144 108 72 54 36
1 7.46(2) 7.17(1) 7.76(4) 8.14(5) 7.62(3)
2 7.68(2) 7.57(1) 7.73(3) 8.15(5) 8.00(4)
3 7.21(1) 7.80(3) 7.74(2) 7.87(4) 7.93(5)
Ях = 5 Я2 = 5 Я3 = 9 R< = 14 12
Источник. [75].
* Для перехода к метрической системе надо учесть, что 1 акр=0,4 га, а 1 фунт»
» 453,6 г. — Примеч. ред.
Из (9) получаем
L = + 2 R2 + 3R, + 4R4 + 5 R5 = 5+2 (5) + 3 (9) +
+ 4 (14) + 5 (12) = 158.
Из табл. А. 16 при k = 5, п. =3 находим I (.01,5,3) = 155. Посколь-
ку L = 158 >155, по методу (19) мы можем отклонить Но на уровне
.01. Отсюда (для рассматриваемых уровней удобрения) вполне ясно,
что прочность действительно падает при увеличении количества вноси-
мого в почву удобрения.
Комментарии
7.9. Во многих экспериментальных ситуациях обработки упоря-
дочены естественным образом (например, обработки, связанные с раз-
личной температурой, интенсивностью стимулов или стажем работы).
В этих ситуациях экспериментатор имеет в виду конкретную альтер-
нативу, подобную На (8), и критерий Пейджа стоит предпочесть крите-
рию Фридмана (§ 7.1). Заметим, что статистика Фридмана не исполь-
зует часть априорной информации, содержащейся в предполагаемой
упорядоченности. Статистика S (4) принимает одно и то же значение
для всех возможных (Л!) перенумераций обработок.
7.10. Если имеет место упорядочение т2 < т2 < ...< xk, то Rv
стремится превзойти Ru при и < v. Заметим, что в L (9) Ro — входят
с весом — целым числом v, a Ru — с целым числом и. Поэтому при вы-
полнении На (8) L возрастает. Это соображение служит некоторым объ-
яснением критерия L, определенного в (10).
7.11. Распределение L (9) при Но (2) можно получить из равноверо-
ятности всех возможных (£!)л наборов рангов. Так же, как и S (4)
(см. комментарий 7.6), L не изменяется при изменении названий бло-
ков, однако что касается альтернативы конкретного упорядочения, то
в отличие от S значения L, вообще говоря, меняются при изменении но-
меров выборок. Из-за этого вычислять распределения L при Но труд-
нее, чем S. Мы ограничимся лишь проверкой того значения из табл.
165
A. 16, которое соответствует наибольшему возможному L. В случае
k = 3, п, = 2 наибольшее L достигается на наборе
I II III
1 2 3
1 2 3
для которого L = 1 (2) + 2 (4) + 3 (6) = 28, Ро {L = 28} = 1/[(3!)2
= (1/36) =.028. Табл. А.16 свидетельствует, что Ро {L = 28} ^.05.
7.12 При k = 2 метод (10) сводится к одностороннему критерию
знаков (§ 3.4).
7.13. Критерий L прямо связан с коэффициентом ранговой корре-
ляции Спирмэна г (§ 8.12). Пусть rt — коэффициент ранговой корреля-
ции Спирмэна, вычисленный между наблюденной ранжировкой в бло-
_______________________________________________ п
ке i и ранжировкой предполагаемой; положим г = (2г»/п). Можно по-
/==1
казать, что
-= [ 121 _ 1,
( nA(A«—1) (А—1) J
7.14. Заменим допущения А1 — АЗ на менее ограничительные до-
пущения АГ: Хц = рг -|- ец', А2': все е взаимно независимы и АЗ':
......... enj извлечены из одной и той же непрерывной совокупности
Пу, /= 1,..., k (Пь..., Пл не предполагаются идентичными). В этой
ситуации критерий, определенный (10), состоятелен против альтерна-
тив, для которых
{2 (V - U)puv > k (k - 1) (k + 1)/12},
где pu„ = P (elu < e1D); elu—случайный элемент Пи; e1D—случайный
элемент По; е1и, е1в— независимы (см. [192]). При допущениях А1—АЗ
состоятельность следует из утверждения, данного в 1-м свойстве.
Свойства
1. Состоятельность: критерий, определенный в (10), состоятелен
при альтернативах На (8) (см. [192] и комментарий 7,14).
2. Эффективность: см. [192] и § 7.9.
Ссылки. Статистику L предложил Пейдж [288]. У нее есть сопер-
ники — критерии, тоже свободные от распределения, и среди них пред-
ложенный Джонкхиером [207]; модификацию критерия Фридмана дал
Шорак [369]; критерий, основанный на нормальных метках, предложи-
ли Пири и Холлендер [294]. Асимптотически свободный от распределе-
ния критерий предложили Доксам [105], Холлендер [192], Пури и Сен
[306] (см. § 7.6). У асимптотически свободных от распределения крите-
риев эффективность обычно выше, чем у свободных от распределения
166
критериев, но первые из них требуют более сложных вычислений и к
тому же не обладают свободой от распределения*.
Задачи
7.3. Брэди [57] описал опыт, в котором изучалось влияние ритмичности мет-
ронома на речь людей, страдающих заиканием. Испытуемыми были 12 человек
с тяжелой формой заикания. Каждый испытуемый импровизировал З-минутную
речь при трех условиях N, A, R.
N; испытуемый говорил без помощи метронома.
К: испытуемый говорил при регулярной (ритмичной) работе метронома —
120 ударов в минуту, причем он был заранее проинструктирован о том, что надо
произносить один слог речи на каждый удар.
Л: испытуемый говорил под неритмический метроном, который работал со
случайными интервалами между ударами от 0.3 до 0.7 с, делая при этом в среднем
те же 120 ударов в минуту. При этом, как и прежде, испытуемый должен был
произносить одни слог на каждый удар. В табл. 7.4 даны числа заиканий каждо-
го испытуемого при разных условиях.
Таблица 7.4. Влияние ритмичности метронома на плавность речи
Испытуемый Число заиканий при Число заиканий при условиях
условиях । Испытуемый
R А 1 N R А N
1 3 5 15 7 0 2 10
2 3 3 11 8 0 3 8
3 1 3 18 9 0 2 13
4 5 4 21 10 1 0 4
5 2 2 6 11 2 4 11
6 0 2 17 12 2 1 17
Источник. [57].
* За прошедшие годы появились новые интересные результаты: Хеттмэнс-
пергер [617] рассмотрел обобщение статистики Пейджа на случай, когда в ячей-
ке более одного наблюдения (см. [507, 8.7]). Оде [697 (2)] дал подробные таблицы
точных критических точек £0; в книге [562, гл. 4] обсуждаются критерии для
На (8), особенно основанные на изотонической регрессии, причем последние
сравниваются с L (10), (12) и критериями, описанными в § 7.6. По критериям,
основанным на изотонической регрессии, см. также [694], [775]. Пири [712 с ис-
правлением (1975)] сравнил критерии L и критерии [294] (с нормальными мет-
ками) — с критериями Холлендера [192]. В работе [733] и [552] предлагается
критерий для На (8) со статистикой, где члены, относящиеся к блокам, имеют
веса, пропорциональные рассеянию в блоках (как в [718]). Там же произведе-
но его сравнение с рядом конкурентов. В [740] строится обобщение статистики
Пейджа на 2 набора ранжировок по пг, п3 >> 1 штук в каждом. Другой (более
строгий) подход к решению этой задачи дали Холлендер и Сетураман [628]. От-
метим работы [758], во второй дан адаптивный критерий, в первой — таблицы
для обобщения упоминаемого выше критерия Джонкхиера [207] (его обсуждение
см. [562, гл. 4]). Эти таблицы относятся к предложенному Скиллингсом обобще-
нию критерия Джонкхиера на случай нескольких наблюдений в ячейке, при
этом а = 0.2, 0.1, 0.05, 0.01 и 0.001, k = 2 (1) 6, п = 2 (1) 5 для b = 2, 3, 1<
С Мг Mo Ma 5, b = 4, 5, пц — М — 1 (1) 5. Ряд результатов см. в
[760], книге [763]. См. также [34], [620], [707], [770].
Случай неполных блоков рассматривался в [549], случай многомерных на-
блюдений — в [550]. В [552], независимо от [733], предложен критерий с весами
блоков против альтернативы с упорядоченностью. — Примеч. пер.
167
Исходя из условий опыта и априорных соображений, а не по численным дап
пым, мы можем ожидать отказа от Но в пользу < тл < iN. Примените кр1ь
терий Пейджа для этого ожидаемого упорядочения.
7.4. Докажите или покажите на примере, что верно соотношение, связываю,
щее L (9) и г (8.12). См. комментарий 7.13.
§ 7.3. СВОБОДНЫЕ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МНОЖЕСТВЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ НА РАНГОВЫХ
СУММАХ ФРИДМАНА
А. Сравнение всех обработок
Метод. 1. Вычислить k (k — 1)/2 модулей разностей |7?и — # ।
и < v, где Rk определены ^юрмулой (3).
2. При вероятности ошибочного решения а принять решение ти
Ф td, если
Iflu — > г (а, k, п), (13)
где г (а, k, п) удовлетворяет соотношению
Л){1#и — Яо| < г (а, k, п), и=1,..., k — 1, (14)
v = и + 1,..., k} = 1 — а.
Соотношение (14) означает, чтоб условиях Но (2) с вероятностью 1 —
— а одновременно выполняются k (k—1)/2 неравенств |7?и— 7?у|<
<Zr (a, k, п), соответствующих всем парам (и, о) обработок приы<и.
Приближенные значения г (a, k, п) можно взять из табл. А. 17.
Приближение для большой выборки. Метод (13) при больших п
можно приблизить следующим образом:
принять решение ти =/= т0, если
(15)
где q (a, k, оо) — верхняя а%-ная точка размаха k независимых, рас-
пределенных как N (0,1), случайных величин. Значения q (a, k, оо)
даны в табл. А. 10.
Связи. Используйте средние ранги.
Пример 7.3. Покажем действие приближения для большой выборки
(15) на данных о преодолении первой базы из табл. 7.1. Работая с веро-
ятностью ошибочного решения а = .01, мы находим из табл. А.10, что
q (.01, 3, оо) = 4.12. Тогда неравенство (15) дает
| | (4-12)
' 22(3) (4) 11/2
12 I
Из табл. 7.1 находим
|Я1 - /?2| = 6, 17?! - /?8| = 21, |/?2 - /?8| = 15.
Таким образом, лишь способы «обегания» (обработка 1) и «прохода под
тупым углом» (обработка 3) различаются значимо при вероятност
ошибочного решения а.
168
Комментарий
7.15. Метод, определенный в (13), и его аппроксимация для боль-
шой выборки (15) — это множественные сравнения, поскольку они
состоят из k (k — 1)/2 решений. Тем не менее их можно интерпретиро-
вать и как критерии для проверки гипотез.
7.16. Значения г (a, k, п) в табл. А.17 можно получить из равно-
вероятности всех (k\)n наборов рангов при Но (2). Так, для получения
вероятности при Но одновременного для и = 1,..., k — 1, v = и 1,...
k, наступления событий |/?и — 7?D|<c, мы можем найти число тех
наборов, для которых произошло событие В = {|/?и — < с,
и = 1, ..., k — 1, v = и + 1, ..., k}, и поделить его на (£!)п. Покажем
все это на 24 наборах из комментария 7.6 для случая k = 4, п. = 2.
(Соображения, приведенные в комментарии 7.6, дают возможность рас-
сматривать 24, а не (4!)2 = 576 наборов.) Приведем для каждого набо-
ра величины |7?1 — Я2|, |7?1 —Я3|, I#! — Я4|, |Т?2 — 7?з|,|7?2 — Т?4|,
|/?з - Ad-
(а) N (О N О) « Ч* С£ Ct; О' QJ С< QJ 1 1 1 1 1 1 Qj ct; Q; С£ Qj (б) 1 Ri-Rz 1 = 2 |Я1-Яз1 = 5 |/?1 —/?4( = 5 |Я2-Яз| = 3 |Т?2—Т?4| = 3 |Я3^Я4| = О (з) |7?1-7?21 = 3 1 Ri — 1 :3 |Я1-Я4| = 4 |Я2-Яз1 = 2 1 Rz—Ri 1 = 1 |Яз-Я4| = 1
(г) |Я1-Я2| = 3 1 Ri Rs1 ; 3 |^-^4| = 6 |Я2-Яз1 = 0 1 Rz—Ri | = 3 |Я3-Я4| = 3 (д) |Я1-Я2| = 4 ^-^1 = 3 |/?i—/?4| = 5 |Я2~Яз1 = 1 1Я2-Я4| = 1 |Я3-Я41 = 2 (е) |Я1-Я2| = 4 I Ri-Яз 1=4 1 Ri—Ri | = 4 |Я2-Яз| = 0 1 Rz—Ri 1 — 0 |Я3-Я4|=0
(ж) Xj Дз йэ ЙЗ ЙЗ W tQ ЬО М Н« 1 II II 1 ЙЗ йз йз ЙЗ Хэ йз ЙЬ W W tQ II II II II II II ю сл сю сл сю о (з) |Я1~Я2| = 0 1 Ri—R31 = 4 1 Ri Ri I = 4 |Я2-7?з| = 4 |Я2-Я4| = 4 |Яз-Я4| = 0 («) <N TH С4 <N О О) IN СО СО *3* rfl О' О' О' 1 1 1 1 I 1 г-i ih са <N со Ct; о; Qi ct; Qj qj
(«) |/?t —/?2| = 2 1Я1-Я3| = 1 |7?!-/?4| = 5 1Я2-/?з|=1 l^2-Ri | = 3 |Яз—Я4| = 4 (4) |^i—/?21 = 3 |Я1-Яз1=1 |Я1-Я4| = 4 |Я2-/?з| = 2 |Я2-Я4|=1 |Я3-Я4| = 3 (л) |/?i-^21 = 3 1 Я1-Яз| = 3 1 /?!-Ri 1 = 2 1 Rz~ Яз1 = o |Я2-Я4|=1 |Яз-я4|= 1
169
(«) -н Tt CS ю со J] М ч1 М сц а; qj а о; qj 1 1 1 II 1 Н i-t "4 Cl со
(р) ЙЗ ЙЭ ЙЗ ЙЗ ЙЗ ЙЗ W to ЬЭ м W ь» 1 II 1 1 1 ЙЗ ЙЗ >3 Зи ЙЭ йз й w 4» W Ь5 II II II II II II 4^ О 4^ О О
(У) ЙЗ ЙЗ ЙЗ ЙЗ ЙЭ ЙЗ W to N Н Н 1- 1 1 1 1 1 1 ЙЗ ЙЗ ЙЗ ЙЗ ЙЗ ЙЗ W rfi w N II II II II II II tO 4^ К> bo О tO
(ч) |/?1—я2|=1 |7?i-K3I = 1 |/?i—/?4| = o |T?2—7?3| = 2 1 t?2- K4I = 1 |/?3-Я4|= 1
Так, например,
P0{|Ku-/U<6,
I Я1-Яз I <6;
(о) l^-T^Hl 1 Ri—7?з | = 3 |7?i-7?4| = 2 |T?2—7?3| = 4 1 %2 ^4 j = 3 |/?3-/?4|=1 (с) |Ях-Я2| = 2 |tfi-/?3| = 0 |7?i-/?4| = 2 |Т?2—7?3| = 2 |^-Т?41=0 |7?3-7?4| = 2 (Ф) |Я1-Я21 = 2 Ifli—Я3| = 1 Ifli-Я4| = 1 |Я2~ 7?з1 = 3 |К2-Я4| = 3 |7?3—Т?4| = 0 (0 17?!—Т?2| = 0 |Я1-Я3| = 1 |Я1-Я4| = 1 1 %2 Я3 | = 1 |К2-К4| = 1 |Я3-Я4| = 2
(П) |Я1-Д2|=0 |7?1-7?3| = 3 |Т?1-Т?4|=1 |Т?2—7?3| = 3 1 Т?2 Т?4 | = 1 17?3—Т?41 = 2 (т) 17?!—7?2|=2 1 Ri—^з I = 1 1 Ri—| ; 1 I Т?2 — 7?31 = 1 1 В-2—^4|= 1 17?3—Т?41 = 0 (х) |7?!—Т?21 = 1 |7?1—К3| = 1 |7?1-7?4| = 2 1 Т?2— 7?з | = 0 |fl2_fl4| = 3 17?3—Т?4| =3 (tu) |7?!-/?2| = 0 |Я1-7?з1=0 |Я1~Я4| = 0 1Я2~Я3| = 0 |/?2-/?4| = 0 17?3—Т?4| = 0
1Яз-Я4|<6} =
— =1— 083,
24
поскольку для всех наборов, кроме (а) и (г) произошло событие
{|Я1-Я2|<6; |7?1 —^з1<6; |7?± — Т?4|<6; |Т?2- 7?3|<6; |Я2-
—/?4|<6; |7?3 —Т?4|<6}. г „ ,
7.17. Определим размах Rlt .... Rh как range [/?1( ..., fid = maA
[7?!,..., 7?ft] — min [7?!,..., 7?ft]. В этом случае |7?u — меньше с при
всех и < v тогда и только тогда, когда размах [/?!,..., меньше, чем
с. Поэтому в комментарии 7.16 вместо счета — Т?2|, |7?г — °з1>
|7?i — Т?4|, |Т?2 — 7?3|, 1Яг — ЯЛ» 1Яз — ЯЛ Для каждого набора ран-
гов надо лишь вычислить все размахи [7?!,..., 7?ft]. Таким образом мо
но найти критические константы г (a, k, п), вычисляя лишь разма
для каждого набора рангов. Однако для применения метода (13) к ко -
кретным данным нам надо вычислять абсолютные значения разност
- /?Р|.
170
7.18. Абсолютная разность |RU— R 0| зависит не только от на-
блюдений и и о, но и от значений всех остальных наблюдений в k —2
обработках. Например, решение, касающееся обработок 1 и 2, зависит
от значений наблюдений над обработкой 3.
Свойства. Эффективность: см. § 7.9.
Ссылки. Читателям, которые хотят познакомиться с обшир-
ной областью работ, относящихся к методам множественных сравнений,
в качестве начального чтения можно рекомендовать работы Миллера
[263] и Немени [274]; Мак Дональд и Томпсон [258] приписывают ис-
пользование ранговых сумм Фридмана для множественных сравнений
Уилкоксону, который «... в неопубликованных заметках 1956 г. вы-
полнил первое верное вычисление вероятности для трех объектов (об-
работок) и трех экспертов (блоков) ...» (см. также [111]). Помимо мето-
дов, основанных на ранговых суммах Фридмана, существуют методы,
основанные на знаках [466], [274] и знаковых рангах (см. § 7.7)*.
Задачи
7.5. В работе [253] сравнивалась реакция крыс, кроликов и кошек на тест
эстакадного лабиринта (ТЭЛ) (ЕРТ—Elevated Pathway Test) Хэбба—Уильям-
са [ ГО].
В табл. 7.5, основанной на данных [253], даны средние числа ошибок при вы-
полнении 12 разных заданий животными трех видов.
Таблица 7.5. Число ошибок разных животных
Номер задавая Крысы Кролнки Кошки
1 1.5 1.7 0.3
2 1.1 1 .5 1.0
3 1.8 8.1 3.6
4 1.9 1.3 0.0
5 4.3 4.0 0.6
6 2.0 4.6 5.5
7 8.4 4.0 1.0
8 6.6 5.1 3.1
9 2.4 2.5 0.1
10 6.5 6.9 1.6
11 2.6 2.5 4.3
12 6.5 6.8 1 .0
Источник. [253].
Используя метод (13), найдите животных (если, конечно, таковые есть),
которые значимо различаются**.
* Дополнительно рекомендуем обзор Миллера за 1968—1976 гг. [691 (2)],
статью [358] и § 7.6 книги [307]; недавно вышедший обзор Сена [745] в т. I «Спра-
вочника по статистике», посвященном дисперсионному анализу (здесь будут
полезны и другие главы этого тома). Более подробную библиографию см.
в [745], [691 (2)]. — Примеч. пер.
** Хэбб и Уильямс разработали тест эстакадного лабиринта (ТЭЛ) для срав-
нительной оценки разума животных. Он состоит из 12 заданий, на которых в дан-
ной работе сравнивалась «сообразительность» крыс, кроликов и кошек. —
Примеч. ред.
171
7.6. Покажите на каком-нибудь числовом примере, как возникает трудность,
о которой говорилось в комментарии 7.18.
7.7. Сравните методы (13) и (15) при k = 3, а = .05 и п ~ 9.
Б. Сравнение обработок с контролем
Метод. Предположим для простоты, что обработка 1 играет роль
контроля или эталона.
1. Вычислите k — 1 разностей Ru — Rlt и = 2, ..., k, где^,.,.,
Rk заданы формулой (3).
2. Односторонняя процедура (см. комментарии 7.21) с вероятно-
стью ошибочного решения а требует
принять решение ти > тх, если Ru — Ri"^ г* (a, k — 1, п), (16)
где г* (а, k — 1, п) удовлетворяет соотношению
Ро {Ри — Р1 < Г* (а, k — 1, п), и = 2,..., k} = 1— а. (17)
Соотношение (17) означает, что, если верна Но, k — 1 неравенств
(Pu - Pi) < г* (а, й-1, п),
соответствующих односторонним сравнениям обработок 2, .... k с об-
работкой 1, выполняются одновременно с вероятностью 1 — а. Из-
бранные точные значения г* (a, k — 1, п) можно найти в табл. А. 18.
Двусторонний метод с вероятностью ошибочного решения а требует
принять решение ти =/= ть если |7?и — | > г** (а, k — 1, п), (18)
где г** (а, k — 1, п) удовлетворяет соотношению
Ро {IPu — Pil < г** (а, k — 1, п), и = 2, ..., k} = 1 — а. (19)
Соотношение (19) означает, что, если верна Но (2), k — 1 не-
равенств
|Pu — Pil < г** (а, А — 1, п),
соответствующих двусторонним сравнениям обработок 2, ..., k с об-
работкой 1, выполняются одновременно с вероятностью 1—а. Из-
бранные точные значения г** (a, k — 1, п) можно найти в табл. А. 19
Приближение для большой выборки. При больших п метод (16)
можно приближенно заменить на следующий:
принять решение ти>Т!, если Ru~R^mfa, k—1, -y-j х
где т (a, k — 1, у) — верхняя а%-ная точка максимума (k — 1)
случайных величин с распределением N (0,1) и общим коэффициентом
корреляции 1/2. Значения т (a, k — 1, 1/2) приведены в табл. А. 13.
При больших п метод (18) можно приближенно заменить на сле-
дующий:
172
принять решение ти5&Т11 если |/?и —/?х
[nfe(fe + l)-|l/2
z\ I I
L e J
|m|(a,£—1,-L) x
(21)
где |m| (a, k— 1, 1/2) — верхняя а%-наяточка максимума из абсо-
лютных значений (k — 1) случайных величин с распределением
N (0,1) и общим коэффициентом корреляции 1/2. Значения |/n| (a, k—
—1, 1/2) приведены в табл. А. 14.
Связи. Используйте средние ранги.
Пример 7.4. В [89] рассматривалась оценка аккомодации при заика-
нии в трех ситуациях. Восемнадцать заик студенческого возраста чи-
тали вслух три различных фрагмента последовательно по пять раз.
В первой ситуации они подвергались воздействию электрошока в мо-
мент заикания, во второй —сразу же после каждого слова, на котором
они заикнулись. Последняя ситуация была контрольной и никакого
воздействия не предусматривала *. Во время чтения фиксировался про-
цент заиканий, а в табл. 7.6 приведены оценки аккомодации в баллах
для всех систуаций. Эти «баллы» получены методом «мер остатков»,
предложенным в [404].
Таблица 7.6. Оценки аккомодации в баллах для заик
студенческого возраста
Испытуемые Обработка
1 (без шока) 2 (шок «после») | 3 (шок «во время»)
1 57(3) 38(1) 51(2)
2 59(3) 48(1) 56(2)
3 44(1.5) 50(3) 44(1.5)
4 51(2) 53(3) 44(1)
5 43(1) 53(3) 50(2)
6 49(1) 56(3) 54(2)
7 48(2) 37(1) 50(3)
8 56(2) 58(3) 40(1)
9 44(1.5) 44(1.5) 50(3)
10 50(2) 50(2) 50(2)
11 44(1) 58(3) 56(2)
12 50(3) 48(2) 46(1)
13 70(2) 60(1) 74(3)
14 42(1) 58(3) 57(2)
15 58(1) 60(2) 74(3)
16 54(3) 38(1) 48(2)
17 38(1) 48(2.5) 48(2.5)
18 48(2) 56(3) 44(1)
= 33 ₽з = 39 =36
Источник. [89].
* При последовательном чтении одного и того же текста несколько раз под-
ряд число заиканий имеет тенденцию к снижению. Электрошок как метод борь-
бы с заиканием претендует иа ускорение этого процесса (аккомодации). Опись!-
ваемый эксперимент призван ответить на вопрос «так ли это?» и заодно выяснить,
важен ли выбор момента шокового воздействия. — Примеч. ред.
173
Применим приближение для большой выборки (21) с вероятностью
ошибочного решения а, для чего в табл. А.14 найдем |/п| (.05, 2, 1/2) =
= 2.21, откуда следует
\т\( 05, 2, —
\ 2
[пМН-Д]1/2 = 2 21 [18(3)(4)/6р/2==13 26>
6
Из табл. 7.6 находим
= 6, |7?з-^1 = 3,
и поскольку обе разности по модулю меньше 13.26, мы не можем ут-
верждать, что при вероятности ошибочного решения .05 действитель-
но есть различия между контролем и обработками.
Комментарии
7.19. Методы (16) и (18), предполагающие k— 1 решение, можно
интерпретировать и как критерии для Но (2). Например, метод, откло-
няющий Но, если выполняется по крайней мере одно из k — 1 неравен-
ств (16), будет одновременно и свободным от распределения критерием
размера а для Но.
7.20. Значения г* (a, k — 1, п) [г** (а, k — 1, и)]табл. А. 18 [табл.
А. 19] можно получить из равновероятности всех (&!)" наборов рангов
при Но (2). Однако вычислительные трудности в данном случае «срав-
нения обработок с контролем» больше, чем в случае «сравнения всех
обработок», поскольку величины |7?и — 7?il, и = 2,..., k, [|7?u —
— и=2,..., А], вообще говоря, изменяются при изменении номера
контрольной обработки. (А в случае «всех обработок» соответствующая
статистика — размах [/?!,..., 7?п] — не изменяется при перенумера-
ции обработок.)
Теперь, чтобы показать, как по существу выполняются вычисления,
давайте проверим какое-нибудь значение из табл. А. 18. Для простоты
рассмотрим случай п = 3, к = 3. Наибольшее возможное значение
7? з — Ri равно 6, соответствующий набор
(a) I II III
1 2 3
1 2- 3
1 2 3
где = 3, /?3 = 9. Точно так же наибольшее значение Т?2 — Ri рав-
но 6 и соответствует набору
(б) I II III
1 3 2
1 3 2
1 3 2
Поскольку ни для какого другого набора разность Ru— R-iiie до-
стигает 6, получаем Ро {7?и — Ri 6, и = 2,3} = 2/[(3!)3] = 2/216=
= .009. Отсюда, в обозначениях (16), получаем, что г* (.009, 2,3) = 6.
(Сравните с числом из табл. А. 18.)
174
7.21. Методы (16) и (20) предназначены для одностороннего случая,
когда возможны решения ти > против ти = и = 2,..., k. Для
аналогичной односторонней ситуации, когда мы выбираем между хи <_
<Tj и ти = ть и = 2, ..., k, используем (16) и (20), заменяя (Ru —
— Rj) на (/?i — Ru), п = 2, ..., k.
7.22. Методы множественных сравнений, обсуждаемые в этом пара-
графе, имеют недостаток, отмеченный в комментарии 7.18. Решение, от-
носящееся к обработке с номером и в сравнении с контролем, зависит
от наблюдений над остальными k — 2 обработками.
Свойства. Эффективность: см. § 7.9.
Ссылки. Методы «сравнения обработок с контролем» обсужда-
ли Немени [274], Уилкоксон и Уилкокс [458] и Миллер [263]. К кон-
курирующим процедурам относится знаковый метод, предложенный
Стиллом [387], и метод знаковых рангов, рассмотренный Холлендером
[191] (см. § 7.7Б) *.
Задачи
7.8. Примените подходящий односторонний метод множественных сравне-
ний (см. (16) и комментарий 7.21) к данным о ритмичности из табл. 7.4, рассмат-
ривая условие N (испытуемый говорит без метронома) как контрольную об-
работку.
7.9. Сравните методы (16) и (20) при k = 3, а « .01 и п = 18.
§ 7.4. ОЦЕНКА КОНТРАСТА, ОСНОВАННАЯ НА ОДНОВЫБОРОЧНЫХ
ОЦЕНКАХ МЕДИАН (ДОКСАМ)
Метод. Положим, что модель (1) верна и обозначим контраст для на-
бора Т; через
k / k \
0= S 2 = 0 . (22)
/=1 \/=| /
где величины а} — заданные константы.
Затем можно переписать 0 в виде
k k
е= 2 2 dh} bh}, (23)
Й=1/=1
где
= (24)
и Am = — xh h,j = 1,..., k. (25)
1. Найти разности
Duv = -Xfu Xj0, i = 1, ..., n, (26)
между наблюдениями, относящимися к обработкам и, v для каждого из
п блоков.
* См. также дополнительную литературу в сноске к пункту «Ссылки» из
предыдущего параграфа. — Примеч.. пер.
175
2. Положить
Zuv = медиана {DU i = 1, «}. (27)
(Например, Z23 — медиана Xi3 — X13, i = 1, ..., n. Статистика Z23 __
это оценка т2 — т3. На самом деле это медианная оценка § 3.5, прило-
женная к разностям Xi2 — Xi3.) Мы называем Zuv первичной оценкой
Дц0 — ти — т0. Поскольку Zvu = Zuv, надо найти лишь k (k — j)/2
первичных оценок, соответствующих парам (и, и) для и < и.
3. Положить
о = , Z р>, (28)
где
k
Zu. = -^~--, Zuu = o, u=\,...,k. (29)
4. Уточненная оценка 0 равна:
e=22d*A> (30)
Л=1/=1
или, что то же самое,
„ *
0=Xfl/Z;,. (31)
/ = 1
Пример 7.5. Вычислим оценку Тобегание — *ГпрОХОД под тупым углом —
= Tj —т3 по данным табл. 7.1. В примере 7.3 мы обнаружили, что
эти методы значимо различаются при вероятности ошибочного реше-
ния .01. Оценка Tj — т3 приводит к мысли об экономии времени при
«проходе под тупым углом» по сравнению с «обеганием».
Таблица 7.7. Значения разностей Duv для данных табл. 7.1
Игрок i D\z ° 13 Й23 Игрок i °12 D13 43
1 — .10 — .15 -.05 12 .10 .20 .10
2 . 15 .10 — .05 13 .25 .15 -.10
3 — .40 — .30 .10 14 .05 .10 .05
4 .05 .15 .10 15 .00 .10 .10
5 .05 .20 .15 16 —.10 — .05 .05
6 — .10 -.15 — .05 17 .00 .20 .20
7 .00 .05 .05 18 — .05 — .10 — .05
8 — .05 .10 .15 19 .05 .25 .20
9 .10 .25 .15 20 .05 .25 .20
10 .05 .15 .10 21 .05 .15 .10
11 .05 .15 .10 22 .00 .05 .05
Из табл. 7.7 и (27) получаем
Z12= .05, Z13 = .125, Z23 = .10.
176
Из (29) имеем
2 ^и+^12+Zls _ 0 + 05 + • 125 _ Qeg
1,— 3 3 ‘
2 ^214~^22 + ^23 -- . 05 + 0 . + . 10 017
2,~ 3 3
2 _ ^31+^32+^33 _ — -125 — .164-0 ______ Q75
3-- 3 3 — • •
Заметим, что при вычислении Z2., Z3. мы используем тот факт, что
ZUD ~ 20U.
Теперь уточненная оценка тг — т2 получается из (22):
ai=l, а2 = 0, а3 = — 1,
так что из (31) имеем
0 = Zj. — Z3. = .058 — (—. 075) =. 133.
Заметим, кстати, что другая эквивалентная форма (23) дает Нам оценку
при
dii = ^12 = di3 = 1/3,
^21 — d33 — d33 — О,
dsi = ^зг = d33 — — 1/3.
Комментарии
7.23. Первичная оценка ZUP (27) параметра Дио (25) — это просто
оценка, связанная с критерием знаков из § 3.5. (Сравните с Zi3 =.125
при 0 = .133 в нашем примере.)
7.24. Первичные оценки имеют тот же недостаток несочетаемости,
что и первичные оценки § 6.4 (см. комментарий 6.24).
7.25. Уточненные оценки Дио (28) для Дио (25) по крайней мере
столь же эффективны, что и первичные, да к тому же они еще и сочета-
емы. Их недостаток — зависимость оценки ти — хв от наблюдений, от-
носящихся к остальным k — 2 наблюдениям.
Свойства
1. Стандартное отклонение 0 (31): см. об асимптотическом стандарт-
ном отклонении 0 (31) у Доксама [105].
2. Асимптотическая нормальность: см. Доксам [105].
3. Эффективность: см. [105] и § 7.9.
Ссылки. Леман [249] исследовал оценки 0 (23), пользуясь оцен-
п* пРоизводными от критерия знаковых рангов Уилкоксона (см.
» 1.8). Пури и Сен [305] распространили подход Лемана, используя
124б1КИг’ ИЗВлеченные из общих статистик Чернова — Сэвиджа. Леман
Ы. [247], [249] и Пури, Сен [305] предложили асимптотически не-
Г Ра^рический критерий и доверительные интервалы для контрастов.
еРг 456] обобщил оценки Лемана [249] на случай неполноблоч-
мых п^анов> в которых размеры блоков меньше, чем число сравнивае-
болР0бработок- Оценки Гринберга обобщены Пури и Сеном [304] на
е широкий класс таких планов.
177
Задачи
7.10. Оцените 2 rN — тА — tr по данным о метрономе из табл. 7.4.
7.11. На числовом примере покажите несочетаемость иеуточнеиных оценок
ZUD (см. комментарии 7.24 и 6.24).
МЕТОДЫ, СВЯЗАННЫЕ СО ЗНАКОВЫМИ РАНГАМИ УИЛКОКСОНА
§ 7.5. АСИМПТОТИЧЕСКИ СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТЕРИЙ (ДОКСАМ)
Метод. Для проверки Но (2) против альтернатив о том, что не все
параметры т равны между собой, надо проделать следующее.
1. Для каждой из k (k — 1)/2 пар обработок (и, и), и < и, по-
строить п абсолютных значений разностей
Yuv = \Xiu-Xiv\, i = 1,2....п. (32)
(Заметим, что Yluv= |£>tol, гдеО„0 дается в (26).) Обозначим через Rlw
ранг Yluo в ранжировке от наименьшего к наибольшему п значений
у1 уп
2. Положить
(33)
z=i
во=2€ (34)
i=i
где
( 1, если Xiu<XiD,
ио ( 0 в противном случае.
3. Положить по определению
Н'и„ = Тив-Вио, (36)
о/У'
Нив = ^-. (37)
п (п—1)
Статистики Нио надо искать лишь для и < и. А для и > и справед-
ливо равенство
Я„ = 1-Я... (38)
4. Получить величины
k
2 н*ч
Hu=-^l—tHuu = 0,u=l,...,k. <39)
k
Б. Вычислить либо
V = var0
{2n—1-1-(А— 2) [24 (п-2) х +13—6п]}
3fe(n—1)
(40)
178
(определение % см. в комментарии 7.28), либо
V<j - vary (Ни —Н„)= J2n-[_+(fe-2)[7(n-2)+13-6n]} , .
3to(n-l) ' ’
Статистика V используется в асимптотически свободном от распре-
деления методе (44), статистика Vu — в консервативном методе (45).
См. комментарии 7.27 и 7.28.
6. Положить по определению
2 [Я;.-{(й-1)/2А}р
А'=^-----------------------
(k — l)V/2fe
k
2 IHj.-{(k—l)/2}]a
= ----------------------
(fe-1) Vy/2Z>
(42)
(43)
7. Приближенный асимптотически свободный от распределения
критерий для Но (2) на уровне значимости, приближенно равном а,
таков:
отклонить Но, если А' Х(2*-1, а)>
принять Но, если А' <Х(л-1.а).
Консервативный критерий Но (2) на уровне значимости, прибли
женно равном а, таков:
отклонить Но, если xfc-i.a)
принять Но, если Л"< х®*—1. ю-
(45)
Связи. Если Yuo (32) равны нулю, то надо вычислять Ти„ и Вив,
заменяя ipL» в (33) и (43) на
1, если X [в
ф**
т UV
-у, если Xiu = Xiv,
(46)
О в противном случае.
Если же среди YuV, .... Yu0 есть равные, то для вычисления ТиР надо
брать средние ранги.
Пример 7.6. Применим консервативный критерий (45) к данным о
преодолении первой базы из табл. 7.1. Читатель уже знаком с вычисле-
нием статистики знаковых рангов Тив и статистики знаков Вио по§3.1
и 3.4 соответственно. Мы приводим подробные вычисления 7'1г и В12,
чтобы показать, как надо обходиться с нулевыми разностями и связя-
ми. (См. пункт «Связи» и комментарий 7.30.) Вычисления даны в табл.
7.8.
179
Таблица 7.8. Вычисления Ti2 и Bt2 по данным из табл. 7.1
i Xil~Xi2 уг У1 2 «12 ^12 R‘l2 12
1 2 3 4 5 6
1 -.10 .10 17 1 17
2 .15 .15 20 0 0
3 — .40 .40 22 1 22
4 .05 .05 9.5 0 0
5 .05 .05 9.5 0 0
6 — .10 .10 17 1 17
7 .00 .00 2.5 1/2 1.25
8 — .05 .05 9.5 1 9.5
9 .10 .10 17 0 0
10 .05 .05 9.5 0 0
И .05 .05 9.5 0 0
12 .10 .10 17 0 0
13 .25 .25 21 0 0
14 .05 .05 9.5 0 0
15 .00 .00 2.5 1/2 1.25
16 — .10 .10 17 1 17
17 .00 .00 2.5 1/2 1.25
18 — .05 .05 9.5 1 9.5
19 .05 .05 9.5 0 0
20 .05 .05 9.5 0 0
21 .05 .05 9.5 0 0
22 .00 .00 2.5 1/2 1.25
Z?i2 = 8 7’12=97
Статистика В12 (Т12) получена суммированием чисел в предпослед-
нем (последнем) столбце табл. 7.8. Мы можем получить В13, В23, Т13,
Т33 тем же способом, что дает
Т12 = 97, Т13 = 54, Т23 = 30.5,
В12 = 8, В13 = 5, В33 = 5.
Затем из (36) и (37) получаем
Н[2 = 89, Н[3 = 49, Н23 = 25.5,
Н1г = . 385, Н13 = .212, Н33 =. ПО.
Из (39) имеем
н 2 Яц+Я1г+//13 0+.385+.212
ъ з з
уу __Нг1 + Н22-\-Н23 _ .6154-0+ 1Ю __ 242
2-~ 3 3 ’ ’
уу Нз1~г #зг + ^зз .788+ .890 + 0 ggg
3' “ 3 ~ 3 - • •
180
Заметим, что при вычислении Н2. и Н3. мы пользуемся тем, что HVu ==
= 1 — Huv. После этого находим V v (41):
у {2(22) —1-[-[7(20)4-13—6(22)]} 015
3(3) (22) (21)
Подставляя в (43), имеем
Г I 1 Yl2 7 1 \12 Г / 1 \12
1-199—(—) + .242- — + .559- —
А" = ---L----ЦЛ—L----------\ 7 J = 15 5.
2(.015)76
Наконец, обращаясь к %2-распределению, по номограмме А.2, на-
ходим, что наименьший уровень значимости, на котором мы отклоняем
гипотезу Нй, менее .001 (ср. с примером 7.1).
Комментарии
7.26. При Но (2) величины Hj. стремятся к (k — 1) / 2k, своим ма-
k
тематическим ожиданиям при нулевой гипотезе, поэтому 5 I Hj. —
7=1
— {(k — 1 )/2&}]2 уменьшается. Когда же т не равны, мы ожидаем, что
величины Hj. будут различаться сильнее, и потому (хотя бы некоторые)
значения [Hj. — {(k — 1)/2А}]2 возрастут, что приведет к большим зна-
чениям А' (и А"). Это отчасти объясняет методы (44) и (45).
7.27. Критерий, определенный в (44), не свободен от распределения
при конечном п, но свободен от распределения асимптотически. Кри-
терий (45) и при конечных п, и асимптотически не свободен от распре-
деления. Точнее говоря, это консервативный критерий в том смысле,
что истинная вероятность отбрасывания Но (2), когда на самом
деле она верна, остается меньше, чем номинальный уровень а. Это
следствие использования верхней границы параметра % (47) вместо
состоятельной оценки X (48) для % (см. комментарий 7.28).
7.28. Положим
Х = Р(Х1<Х2 + Х3-Х4 и Хг < Х6 + Хв - Х7), (47)
где Хг, Х2, ..., Х7— семь независимых одинаково распределенных
случайных величин с общей функцией распределения, обозначенной,
скажем, F. Корреляция при нулевой гипотезе между двумя перекры-
вающимися статистиками Huv, H'uw, определенными в (36), при и v,
и w, v w зависит от %. В силу этого обстоятельства, а также пото-
му, что % меняется при изменении F (см. [249]), критерий, основанный
на (числителе) А', утрачивает свойство независимости от распределе-
ния. Однако дело спасает оценивание % по данным. Оно приводит к
асимптотически свободному от распределения критерию. Леман пред-
ложил оценку X для %, где % есть доля таких шестерок (а, 0, у; и, v, w),
для которых одновременно выполняются неравенства
(Xаи <Хри + Хао—Хр0 и Хаи Хаш •XvKi). (48)
Практически для вычисления X достаточно какого-нибудь подмножест-
ва из общего числа таких шестерок. (Мы поясним счет в примере 7.9)
181
Леман показал, что X а значит, вместо X можно вое
пользоваться верхней границей 7/24. (Заметим, что V v (41) получено
из V (40) заменой X на 7/24.) Это приводит к консервативной процедуре
основанной на А" (43).
7.29. Точно так же можно найти статистику H'uv (36) как число тех
средних Уолша (Хаи — Xav + Х$и — Х₽в), а < 0, которые отри-
цательны.
7.30. Читатель мог заметить, что предлагаемый в пункте «Связи»
способ обработки нулевых разностей при вычислении статистики
знаковых рангов (знаков) отличается от соответствующих указаний по
вычислению статистики знаковых рангов (знаков) в § 3.1 (§ 3.4). В гл. 3
мы уменьшали объем выборки на число разностей, равных нулю. Эти
изменения сделаны для того, чтоб у всех Tuv (Buv) сохранить одинако-
вые объемы выборок.
7.31. Критерий Доксама (44), основанный на А', обычно более эф-
фективен (см. § 7.9), чем рассматриваемый в § 7.1 критерий Фридмана.
Это связано с тем, что статистика Н'иг> (36) использует межблоковую
информацию, тогда как ранжировки Фридмана опираются на внутри-
блоковую информацию. С другой стороны, критерий Фридмана обла-
дает желанной свободой от распределения, а критерий Доксама свобо-
ден от распределения лишь асимптотически. Мы советуем использовать
для малых п критерий Фридмана, а для больших п — критерий Док-
сама. Ответить на вопрос, что такое «малые» и «большие» п, мы не бе-
ремся.
7.32. Заменим допущения А1 — АЗ на менее ограничительные до-
пущения АГ: Xi} = (3j + etj, А2': все ец взаимно независимы, АЗ':
г^,..., — извлечены из одной непрерывной совокупности П>,
/ = 1,..., k (однако Пх,..., Пл не обязательно идентичны). Тогда крите-
k k
рий (44) состоятелен против тех альтернатив, для которых 21( %suv/k)—
и=1 0=1
— (k — 1)/2&]2 > 0, или, иначе, против альтернатив, для которых
k
[( ^suv/k)—(k— 1)/2£]2 > 0 хотя бы для одного и, и = 1, .... k. Пара-
о = 1
метры sUB в этом утверждении о состоятельности определяются так:
sUB = Р (Хщ + Xiu < Х1В + Х2в), где Х1и, Х2ц — два случай-
ных элемента из Пц; Х1В, Х2в—два случайных элемента из Но>
a Xlu, Х2и, Х1В и Х2в — независимы.
Свойства
1. Состоятельность: см. комментарий 7.32.
2. Эффективность: см. [105] и § 7.9.
Ссылки. Асимптотически свободный от распределения крите-
рий этого параграфа предложил Доксам [105]. Конкурирующий асим-
птотически свободный критерий предложил Леман [249] (см. также
«Ссылки» из § 7.1*).
* См. также [736], [729] и примечание переводчика к тому же пункту из
7.1. — Примеч. пер.
182
Задачи
7.12. Примените Метод (45) к данным об аккомодаций в табл. 7.6 из приме-
у 4.
Ра 7 13, Объясните, как критерий Доксама использует межблоковую информа-
цию а критерий Фридмана — внутриблоковую (и только ее);
§ 76 АСИМПТОТИЧЕСКИ СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТЕРИЙ ДЛЯ АЛЬТЕРНАТИВ С УПОРЯДОЧЕНИЕМ,
ОСНОВАННЫЙ НА ЗНАКОВЫХ РАНГАХ (ХОЛЛЕНДЕР)
Метод. Для проверки Но (2) против альтернатив На (8) надо про-
делать следующее.
1. Вычислить k (k — 1)/2 статистик знаковых рангов Tuv, u<v,
определенных в (33).
2. Вычислить
k Л = 1 k
2 ти„ (49)
и < О К = 1 0 = и+1
и
E0(Y) — k(k-l)n(n+l) . (50)
8
3. Получить либо
7аг0 (У) = п (n+1) (2я+1) k (A-1) {3+2 (А~2) , (51)
144
где р определено формулой (59), либо
л (л+1) (2п+1) k(k-1) {3+2 (fe-2)р£)
vary (У) ---------------—-------------------- , (52)
144
где ру берется из табл. А.20.
В асимптотически свободном от распределения методе (55) мы ис-
пользуем var0 (У), а в консервативном методе (56) — var у (У).
4. Определить
Y'= Y~E°W , (53)
0?аго(У))1/2
У" = . (54)
(vary (У))1/2
5. Приближенный асимптотически свободный от распределения
критерий Но (2) против На (8) на уровне значимости а таков:
отклонить Но, если У'
принять Но, если У' < Z(a). j (55)
Приближенный консервативный критерий Но (2) против На (8)
Уровне значимости а таков:
отклонить Но, если У" ?(а), 1
принять Но, если У" < (za). J (56)
183
Связи. См. пункт «Связи» в § 7.5.
Пример 7.7. Данные табл. 7.9 заимствованы из работы [129], в ко*
торой исследовалось дрожание мышц рук (тремор) *. Каждое таблич-
ное значение — среднее из 5 экспериментальных измерений частоты
тремора. Мы отождествляем 1-ю обработку с браслетом массой 7,5
фунта, 2-ю — с 5 фунтами, ..., 5-ю — с 0 фунтов, а затем исполь-
зуем метод (56) для проверки Но (2) против альтернатив На (8) с упо-
рядоченными обработками, предполагающих, что с ростом веса брас-
лета падает частота тремора.
Таблица 7.9. Частота тремора руки (Гц) как функция веса браслета
Обработка 1 2 3 4 5
Вес (в фунтах)
Испытуемый X. 7. Б 5 2.6 1.25 0
1 2 3 4 5 6
1 2.58 2.63 2.62 2.85 3.01
2 2.70 2.83 3.15 3.43 3.47
3 2.78 2.71 3.02 3.14 3.35
4 2.36 2.49 2.58 2.86 3.10
5 2.67 2.96 3.08 3.32 3.41
6 2.43 2.50 2.85 3.06 3.07
Источник. [129J.
Вычисления, подобные тем, что были в примере 7.6, дают
712 18.5, 718 = 21,Т14 = 21, Т16 = 21, Т28 = 20, Т24 = 21,
T2S = 21, Т84 = 21, T3i = 21, Т№ = 21. (57)
Из (49) получаем
= 5 Ти„ = Т12 + 713 + Tlt + T154- Т2з+ 784+72S4-T84+ T’ss'b
U < О
+ T45 = 206.5.
Из табл. А.20 находим р& = .452, а вычисления по (50) и (52) дают
£,(У) = S<4><6><7> =105,
8
var„(У)_6<7><''WW+S<W _433.2.
144
Затем из (54) получаем
у»_ 206.5—105 _gg
“ (433.2)1/2 ~
* Тремор представляет собой чередование довольно быстрых самопроизволь-
ных сокращений и расслаблений мышц, которое передается конечностям и может
нарушить координацию движений. Бывает как естественным, так и патологиче-
ским. В последнем случае, как правило, обусловлен нарушением работы мозжеч-
ка (болезнь Паркинсона). Между прочим анализ такого нарушения был одним
из первых объектов применения кибернетических методов в медицине. В данной
работе изучалась зависимость тремора руки от тяжести специального браслета,
одеваемого иа запястье. Одновременно измерялись биотоки двуглавой мышцы
(бицепса). Результаты представляют интерес для разработки биоуправляемых
протезов рук. — Примеч. ред.
184
Таким образом, наименьший уровень, на котором мы отклоняем Но,
меньше .0002 (см. табл. А.1), и поэтому совершенно очевидно, что
(в границах рассматриваемых весов) частота тремора действительно
убывает с ростом веса.
Комментарии
k
7.33. Заметим, что статистика У = 2 Tuv (45) предназначена для
и < о
альтернатив, постулирующих упорядочение. Рассмотрим случай k =3.
Тогда Y = Т12 + Т13 + Т23 и при тх < т2 < т3 каждая из величин
Т12, Лз, ^гз стремится быть больше, чем ее математическое ожидание
при нулевой гипотезе, равное п (n + 1 )/4. Таким образом, Y бужч стре-
миться к росту, что и требовалось. Сопоставьте это с ситуацией, где
мы предполагаем (и строим для этого критерий) выполнение альтерна-
тивы тх < т2 < т3, а на самом деле имеет место т3 < т2 < тх. Тогда
каждая из величин Т12, Т1а, Т23 стремится стать малой, что в свою
очередь уменьшит У. Это рассуждение отчасти объясняет смысл мето-
дов (55) и (56).
7.34. Рассмотрим статистику У (49) для проверки нулевой гипоте-
зы против альтернатив с упорядочением в двухфакторной таблице (1)
дисперсионного анализа, сопоставляя ее со статистикой Джонкхиера
J (6.10), предназначенной для проверки нулевой гипотезы против аль-
тернатив с упорядочением в однофакторной таблице (6.1). Статистика
J — это сумма У, Uuv двухвыборочных статистик Uuv Манна—Уитни
и < о
(или, что эквивалентно, статистик суммы рангов Унлкоксона), причем
каждая из Uu D свободна от распределения при //0 (6.2). Статистика У —
k
сумма 2 T'uv статистик знаковых рангов Унлкоксона, предназначен-
и < V
ных для парных выборок, причем каждая Тии свободна от распределе-
ния при Но (2). Тем не менее J свободна от распределения при Но (6.2.)
а У не свободна от распределения при Но (2) для k >> 2. (При k = 2
статистика У сводится к Т12, которая свободна от распределения*.)
Зависимость У от распределения обсуждал Холлендер [192].
7.35. В формуле (49) появляется оценка р — состоятельная оценка
р*, где р* — предельное значение корреляции при нулевой гипотезе
между двумя перекрывающимися статистиками знаковых рангов Т12 и
Т13. Эта предельная корреляции равна:
р* = 12% — 3, (58)
где % определено (47). Мы оцениваем р* через
Р = 12 % — 3, (59)
где % определена в комментарии 7.28.
* Заметим, что Джонкхиер [207] предложил критерий и для двухфакторной
таблицы при Но (2) против На (8). Эта статистика похожа иа J (6.10) и Y (49).
Опа свободна от распределения, асимптотически нормальна, (точные) таблицы
критических точек и обсуждение см. в [282], [758]; сравнение с другими крите-
риями — в [562]. — Примеч. пер.
185
7.36. При построении статистики критерия Y' (53) мы заменяем ис-
тинную неизвестную дисперсию при нулевой гипотезе, на состоятель~
ную оценку этой дисперсии. Это приводит нас к асимптотически св<^
бодному от распределения методу. При формировании статистики крИ-
терия Y" (54) мы заменяем неизвестную дисперсию Y при нулевой ги-
потезе на верхнюю границу var v (У) (52). Поэтому фактическая веро-
ятность отклонения Но (когда Но верна) с помощью метода (56) обыч-
но ниже, чем номинальный уровень а.
7.37. Когда критерий, основанный на Y (49), будет лучше крите-
рия, основанного на статистике Пейджа L (9)? Асимптотическая эф-
фективность (см. § 7.9) говорит за У, но свойство свободы от распределе-
ния свидетельствует в пользу L. Мы советуем применять L, когда п
мало, и предпочитать У, если выборки средние или большие.
7.38. Заменим допущения А1 — АЗ на менее ограничительные
допущения АГ: XiS = (Зг + ег7; А2': все е взаимно независимы; АЗ'
eljt •••> еп} извлечены из одной и той же непрерывной совокупности
П>, / = 1, ..., k (однако Пц ..., ПЛ не обязательно идентичны). Тогда
критерий, определенный в (55), состоятелен против альтернатив, для
k k
которых { 2 suv/(k(k —1)/2)}>1/2. Здесь 2 suv определено по формуле
и < V и<0
$uv Р (Xiu —Н ^2u где ^2и два случайных
элемента из П„; Xj0, У2[)—два случайных элемента из По; при этом
Aiu Х2и, Xlv, Х2о независимы (см. [192]). В ситуациях, удовлет-
воряющих допущениям А1—АЗ, это утверждение о состоятельности
следует из утверждения о состоятельности, приведенного в свойстве 1.
Свойства
1. Состоятельность: критерий, определенный в (55), состоятелен
против альтернатив На (8). См. [192] и комментарий 7.38.
2. Эффективность *: см. [192] и § 7.9.
Ссылки. Асимптотически свободный от распределения крите-
рий и консервативный критерий этого параграфа предложил Холлен-
дер [192]. Доксам [105] разработал близкий к нему асимптотически сво-
бодный от распределения критерий со статистикой 2 (#и. — Н»-)’
и < V
где Ни_ определяется по формуле (39). Аналог критериев Холлендера и
Доксама из этого параграфа, построенный на нормальных метках, пред-
ложили Пури, Сен [306], Сен [354] построил условно свободный от рас-
пределения критерий-соперник, основанный на перестановочных кри-
териях. В другой работе Сен [356] рассмотрел непараметрические про-
цедуры, основанные на статистике знаковых рангов Уилкоксона и
предназначенные для оценивания контрастов от параметров т и про-
верки гипотез о них. (См., например, § 7.5, 7.6, 7.8, а также [249],
[192], [105].) Сен показал, что эти процедуры пригодны, даже если ос-
* Об эффективности см. гл. IV книги [562]. Соперничество между кРитЯР/т]"
ми Пейджа из § 7.2 и критериями данного параграфа обсуждается у Пири [70/J-
Кроме того, см. [733], [569], [760]. См. также сноску к § 7.2. — Прим?11' пе"‘
136
Лабить требование независимости от допущения А2, заменив его на
требование перестановочности ошибок переменных eih внутри
каждого блока.
Задачи
7.14. Примените Y” (56) к данным о метрономе из табл. 7.4. Постулируйте
упорядочение < tw.
7.15. Сравните трудность вычисления для критериев Пейджа (§ 7.2) и Хол-
лендера. Рассмотрите различные комбинации п и k.
§ 7.7. АСИМПТОТИЧЕСКИ СВОБОДНЫЕ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
МНОЖЕСТВЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ, ОСНОВАННЫЕ
НА ЗНАКОВЫХ РАНГАХ
А. Сравнение всех обработок
Метод
1. Вычислить k (k — 1)/2 статистик
= max ^^-TUD),u< о, (60)
где TUD задаются формулой (33).
2. С приближенной вероятностью ошибочного решения а
принять решение ти =/= т0, если T'Uv t (a, k, п), (61)
где t (а, k, п) выбирается так, чтобы
Ро {Tuv < Ца, k, ri), и = 1, ..., k — 1, v = и + 1,..., k} « 1 — а.
(62)
Соотношение (62) означает, что при Но (2) вероятность одновременного
выполнения всех k(k — 1)/2 неравенств TuV<Z t (a, k, п), соответст-
вующих всем парам и < v, приближенно равна 1 — а. Вот аппрокси-
мация для t (a, kt п):
, ! , . rt(rt-|-l) . , . . Г л (л +1) (2л-|-1) 11 /2
t(a,k,n) = -4 ’ +q (a, k, оо) —> ~ ' (63)
4 L 48 J
(См. комментарий 7.30.) Значения q (a, k, оо) можно брать из табл. А. 10.
Связи. См. пункт «Связи» в § 7.5.
Пример 7.8. Покажем действие метода (61), использующего приб-
лижение (63), на примере о преодолении первой базы из табл. 7.1.
В примере 7.6. мы нашли Т12 = 97, 7'13 = 54, Т23 = 30,5, а теперь из
(60) получаем:
Г12 = max {97,253-97} = 156, Г13 = max {54, 253 — 54} = 199,
Т23 = max {30.5, 253—30.5} = 222. 5.
Задавшись величиной вероятности ошибочного решения а = .01,
находим из табл. А.10, что q (.01,3, оо ) = 4.12; используя прибли-
жение (63), сводим неравенство (61) к
(2-3) Ч-4.12Г —(-23)(45). 11/2 ^216.2, u<v = 1,2,3
4 L 48 J ’
187
Таким образом, мы заключаем, что метод, основанный на знаковых
рангах, при приближенной вероятности ошибочного решения .01 об-
наруживает значимые различия лишь между обработками 2 и 3.
Здесь читатель легко может заметить, что при а = .01 анализ,
основанный на знаковых рангах, приводит к выводу, отличному от
того, что дает анализ, основанный на ранговых суммах Фридмана (см.
пример 7.3). Это не должно смущать читателя, поскольку применялись
процедуры, опирающиеся па разные ранжировки и статистики. Поучи-
тельно проверить, что, например, при вероятности ошибочного реше-
ния а = .10 оба метода сравнения дают согласованные выводы в том чис-
ле и о том, что обработки 2 и 3 и обработки 1 и 3 различаются значимо.
Комментарии
7.39. Метод (61) при приближении (63) не только не свободен от рас-
пределения, но не обладает этим свойством даже асимптотически. Не-
мени [274] предложил эту процедуру при допущениях: (а) статистика
шах {Та0, u<Zv} свободна от распределения, (б) предельная корре-
ляция между (скажем) 712 и Т13 близка к 1/2. Однако допущение (а) было
не корректно, тогда как разумность допущения (б) подтверждается
значениями X, полученными для различных распределений в работах
[249], [191], [281].
7.40. Статистика T'uv, используемая для принятия решения о т„ и
тр, не зависит от наблюденных величин, относящихся к остальным
k — 2 обработкам. Таким образом, в методе знаковых рангов нет тех
трудностей, что свойственны соответствующим методам множественных
сравнений из § 7.3А, основанным на ранговых суммах Фридмана.
Свойства. Эффективность: см. § 7.9.
Ссылки. Немени [274] предложил приближенный метод этого
параграфа, его обсуждал Миллер [263]. Сен [354] описал метод множе-
ственных сравнений «всех обработок», условно свободный от распреде-
ления и основанный на статистиках Ти„. См. также «Ссылки» § 7.ЗА.
Задачи
7.16. Примените метод (61) к данным о треморе из табл. 7.9. Сначала исполь-
зуйте вероятность ошибочного решения .20. Затем повторите для .10. Обсудите
консервативность подхода к множественным сравнениям, основанного иа поня-
тии о вероятности ошибочного решения.
7.71. Сравните относительные трудности вычисления методами (15) и (61).
Рассмотрите различные комбинации п и k.
Б. Сравнение обработок с контролем
Метод. Будем предполагать, что обработка 1 играет роль контроля.
1. Вычислить k—1 статистику знаковых рангов Т1и, и = 2,
.... k, определенную формулой (33).
2. Приближенная односторонняя процедура (см. комментарий 7.41)
при вероятности ошибочного решения а такова:
принять решение ти > ть если Т1и >/*(«, k — 1, /г), (64)
188
где (а, Л—1, п) выбрано так, что
Ро {Tiu < t* (a, k — 1, п), и = 2, k} « 1 — а. (65)
Соотношение (65) означет, что при гипотезе Но (2) вероятность одно-
временного выполнения k — 1 неравенств Tlu < (a, k — 1, п), со-
ответствующих односторонним сравнениям обработок 2...k с кон-
тролем (т. е. с обработкой 1), приближенно равна 1 — а. Мы предста-
вим три приближения для Z* (a, k — 1, п) (см. комментарий 7.42).
Приближение 1: положить
, i 1 ч n(»+l) . / < <ЛГ п ('Н-1) (2п +1) I1/2 /СС.
/*(а,/г—1,га)= - / ' +/n(oc,fe—1, р) — - , (66)
где tn (a, k — 1, р) —верхняя а%-ная точка максимума из k — 1 слу-
чайных величин, каждая из которых имеет распределение N (0,1)
44
(см. табл. А. 13), р надо считать по формуле (59).
Приближение 2: положить
i*(a,k — 1,п) = n(n4+1) + m(а, k — 1, р") n(n + 1H2n+1) J1 /2, (67)
где ру надо взять из табл. А.20.
Приближение 3: положить
^(а,/г_1>га)=”(«+1).+/„((ад_ !, МГп(»+1)(2»+1) 1‘/2
' 4 ( 2 У 24 J
(68)
Приближенный двусторонний метод при вероятности ошибочного ре-
шения а таков:
принять решение ти тъ если Tiu t** (a, k — 1, ri), (69)
где Т\и определено формулой (60); t* * (a, k — 1, ri) выбирается так, что-
бы
Ро {Ли < /** (a, k — 1, п), и = 2... k} « 1 — а. (70)
Соотношение (70) означает, что при Нй (2) вероятность одновремен-
ного выполнения k— 1 неравенств Т\и<. i** (a, k— 1, ri), соответ-
ствующих двусторонним сравнениям обработок 2, ..., k с обработкой
1> приближенно равна 1 —а. Вот одно из возможных приближений
Для /** (а> k — 1, /г):
***(«;, /г — 1,п) = »(» + !)
4
а, k— 1, — 'j
2 /
' n (n+1) (2n+ I) ’/2
24
(71)
Где I772 I (a, k—1,-^-j — верхняя а%-ная точка распределения макси-
мума (k — 1) абсолютных значений случайных величин N (0,1) с об-
А 14К0РРеляц.ией 1/2. Значения \tn\ (a, k — 1, 1/2) приведены в табл.
Двусторонний аналог приближения 1 получается вычислением
Таб/а’ П ») из (66) с заменой tn (a, k — 1, р) на |m|(a, k — 1, р).
нцы |/n| (a, k — 1, р) можно найти в работах [410] и [233].
189
Связи. См. пункт «Связи» § 7.5.
Пример 7.9. Чтобы показать действие трех приближений (66) —
(68), возьмем данные о треморе из табл. 7.9. Перенумеруем обработки
так, чтобы «отсутствие веса» (0 фунтов) играло роль контроля. Для
ясности воспроизведем табл. 7.9 с новыми обозначениями обработок
в виде табл. 7.9'.
Таблица 7.9. Частота тремора руки (Гц) как функция веса браслета
Обработка 1 1 2 3 4 5
Вес (в фунтах)
Испытуемый 0 1.25 2,5 5 7.5
1 3.01 2.85 2.62 2.63 2.58
2 3.47 3.43 3.15 2.83 2.70
3 3.35 3.14 3.02 2.71 2.78
4 з.ю 2.86 2.58 2.49 2.36
5 3.41 3.32 3.08 2.96 2.67
6 3.07 3.06 2.85 2.50 2.43
Источник. [129].
Рассмотрим односторонние решения ти < Tj против хи — Tj
(см. комментарий 7.41). Стало быть, наш метод основан на (64) с Ти1 =
= (n (п + 1)/2)— Т1и вместо Т1и в левой части неравенства (64). Таким
образом, будем пользоваться первым приближением (66) с вероятно-
стью ошибочного решения .10; для и = 2, 3, 4, 5 мы должны принять
решение хи < если
21 — Т1и > 10.5 + tn (.10, 4, р) (4.77) (72)
Из табл. 7.9' получаем
= 0, Т18 = 0, = 0,Т15 = 0,
21 — Т12 = 21,21 — Т13 = 21, 21 — Т14 = 21, 21 — Т15 = 21. (73)
Теперь нам надо получить значение /п(.1О, 4, р). Для этого оценим
X (47) с помощью X по методу, описанному в комментарии 7.28, вычис-
лим р по (59), азатем по табл. А.13 определим tn (.10, 4, р).
Напомним, что согласно комментарию 7.28 X есть относительная
частота события
(Дай <7 X'Pu Д' Xav Др о И X аи <Z Дуи Д" Даго Дую)
по подмножеству шестерок (а, 0, у; и, v, w). В нашем подмножестве
есть 36 перестановок (а, 0, у; и, v, w)= (1, 2, 3; 2, 3, 4) *. В табл. 7.10
* Речь идет о (31) (31) независимых перестановках внутри первой п второй
троек элементов (а, 0, у; и, v, а>). — Примеч. пер.
190
Таблица 7.10. Оценивание К по даииым табл. 7.9'
(а, Р> V; к. V, S>} %au <*pu+ ^av~< ^vv+^осш-Xyw Д или Н
(1, 2, 3; 2 3, 4) Х12<Х2з~}-Х1^—2к23; Х12<Х32+ХМ—Х34 Д
(1, 2, 3; 2 4, 3) Xj2<X224“ Хц— X2<b Х12<Хз2 4"Х1з— Х33 н
(1,2, 3; 3, 2, 4) •К1з<Х23 +Xj2— Х22; Х13<Хзз+ Х14—Х31 н
(1, 2, 3; 3, 4, 2) ^1з<Х23 -|-^i4—X2i; Х1з<Х33 +Х12—Х32 д
(1, 2, 3; 4, 2, 3) Х14<Х24-|-Х12—XS2; Х14<Х34+Х1з—Хзз н
(1, 2, 3; 4, 3, 2) Х14<Х24 +Х1з — Х23; Х14<Х34+Xi2—Х32 н
(1, 3, 2; 2, 3, 4) Х12<Х32+Х13—2С33; Xi2<X22-(-Хм—Х24 н
(1, з, 2; 2, 4, 3) 2Ci2<X32-|-Х14—Х34; Хх2<Х22+Х1з—Х23 д
(1, 3, 2; 3, 2, 4) 2^1з<2^зз+2(12 — Х32; Х13<Х234''5Си—2С24 д
(1. 3, 2; 3, 4, 2) 2^1з<2С33+Х14—Х34*, Х13<Х23 +Xj2—Х22 н
(1, з, 2; 4, 2, 3) Xi4<X34-|-Xi2 Х32; Xi4<X24-|- Х12—Х23 н
(1, з, 2; 4, 3, 2) Xj4<X34 —|—Х1з—2С33'> 2С14<Х24-|- Х12—Х22 н
(2, 1, 3; 2, 3, 4) X22<Xj2 4_j^23 — ХП; Х22<-Хз2 4“Хг4—Х34 н
(2, 1, 3; 2, 4, 3) X22<Xi2+ Х24—Xj4j х22<х32+Х23—х33 н
(2, 1, 3; 3, 2, 4) Х2з<Ххз+Х22—Х12; Х23<Х33+Х23—Х31 н
(2, 1, 3; 3, 4, 2) X23<Xi3-|-X24— Xj4‘, Х23<Х33 -|-Х22—Х32 н
(2, 1, 3; 4, 2, 3) X24<Xi4+X22—Х12; 2С24<Х34+Х23—Х33 д
(2, 1, 3; 4, 3, 2) X24<Xj4-|- Х23—Xj3; Х24<Х34“|~ Х22—Х32 д
(2, 3, 1; 2, 3, 4) Х22<Х32-|-Х23—Хз3; Х22<Х12+Х24—Х14 н
(2, 3, 1; 2, 4, 3) Х22<Хзз+Х24— Х34*, Х22<Х12+ Х23—Х13 н
(2, 3, 1; 3, 2, 4) Х23<-^33 4-^22 — -^32» -^23*^-^13 4“-^24 — -^14 н
(2, 3, 1; 3, 4, 2) Х23<Х33-(- Х24—Х341 Х23<Х13-(- Х22—х12 н
(2, 3, 1; 4, 2, 3) 2Сз4<Х34+ Х22—Х33; X24<Xi4+ Х23—Xj3 д
(2, 3, 1; 4, 3, 2) Х24<Х34-|-Х23—Х33; Х24<Х14~|-Х22—Х12 д
(3, 2, 1; 2, 3, 4) Хз2<^224- Х33 Х2з1 Хз2<Л124“Хз4—Ли н
(3, 2, 1; 2, 4, 3) ^33<Х22+Х34 Х24; X32<Xi2+X33—Х13 д
(3, 2, 1; 3, 2, 4) ^33<'^2з+-^32 — Х22; Х33<Х13+Х34—Х14 ы
(3, 2, 1; 3, 4, 2) ^3з<^23 +-^34—Х24; Х33<Х13-|-Х32—Х12 н
(3. 2, 1; 4, 2, 3) ^34<'^24+'^32 — Х22; Х34<Х144-Х33—Х13 н
(3, 2, I; 4, 3, 2) ^34<'^24*|_ Х33 — Х23; Х34<Х14 +Х32—Х12 н
(3, 1, 2; 2, 3, 4) •^32<-^12_|_'^33—^!3; XgzCXzz-f-Xst—Х24 д
(3, 1, 2; 2, 4, 3) '^32<'^12+ Хз1 — ХМ; Хз2<Х22~]-Хзз — Х«з н
(3, 1 , 2; 3, 2, 4) Хзз<%1з~1-Хз2—Xj2; Х33<Х23-|-Х34—Х24 н
1, 2; 3, 4, 2) Х33<Х13 +Х34—Х14; Х33<Х23-|-^32—Х22 н
(<>» I, (ъ 1 2; 4, 2, 3) Хз4<Хн4~Хз2—Х12; Хз4<Х244“Хзз—Х23 н
<0 , 1 , 2; 4, 3, 2) Хз4<Х14 4~Хзз—Х13; Хз4<Х24 4~Х32—Х22 н
191
выписаны соответствующие пары неравенств и отмечены буквой Д («да»)
те пары, в которых выполняются одновременно оба неравенства. Про-
чие пары отмечены буквой Н («нет»).
Рассмотрим для примера набор (а, 0, у; и, v, а») = (1,3,2; 3, 2, 4)
в табл. 7.10. Из табл. 7.9' находим, что совместные неравенства
XjgC Х33 + Xia — Хз2‘, Х18 < Х23 ”Ь Хи — Х24 сводятся к
2.62 < 3.02 + 2.85 — 3.14; 2.62 < 3.15 + 2.63 — 2.83. (74)
Поскольку в (74) выполняются оба неравенства, мы ставим «Д» в
табл. 7.10 для конфигурации (1, 3, 2;3, 2, 4). Рассмотрим еще одну стро-
ку табл. 7.10, соответствующую набору (а, 0, у; и, v, w) = (1, 3, 2;
3, 4, 2). Из табл. 7.9' мы видим, что пара неравенств
Х18 < XS8 + Х14 — Х84; Х18 < Х23 + Х12 — Х22 сводится к
2.62 < 3.02 + 2.63 — 2.71; 2.62 < 3.15 + 2.85 — 3.43. (75)
Хотя левое неравенство в (75) верно, зато правое — нарушено. По-
скольку мы ставим метку «Д» лишь при выполнении обоих неравенств,
в соответствующую строку табл. 7.10 для (1, 3, 2; 3, 4, 2) ставится «Н».
Посчитав число знаков «Д» в табл. 7.10, находим
5?= —=.278,
36
и из (59) получаем
f?= 12 Г— 3 = 1/3. (76)
Из табл. А. 13 при р = р = 1/3 находим т (.10, 4, 1/3) ж 1.90, по-
этому критическая константа из правой части формулы (72) сводит-
ся к
10.5 + т (.10, 4, 1/3) (4.77) = 19.6. (77)
По формулам (72), (73), и (77) принимаем решения т2 < ть т3<
< Т], т4 <С ть Т5 < tj.
Пользуясь приближением 2 (67), найдем сначала из табл. А.20
рпи = .452.
Но теперь в табл. А. 13 нет значения, соответствующего р = .452,
а есть лишь величины для р = .400 и р = .500. Для р = .400 получаем
т (.10, 4, .400) лг 1.87, а для р = .500 т (.10, 4, .500) « 1.84. Здесь
знак « означает, что результат получен с помощью линейной интер-
поляции. Еще раз применив линейную интерполяцию, находим т (.10,
4, .452) « 1.85. Тогда правая часть (67) сводится к
10.5 + т (.10, 4, .452) (4.77) = 19.3,
и наши решения совпадают с теми, что получены для приближения 1.
Далее применим приближение 3 (68), заметив, что мы уже нашли
(.10, 4, .500) га 1.84. Отсюда правая часть (68) сводится к
10.5 + т (.10, 4, .500) (4.77) = 19.3,
192
и опять наши решения совпадают с тем, что следовали из приближе-
ния 1. Таким образом, в этом примере три приближения приводят к од-
ним и тем же выводам при (приближенной) вероятности ошибочного ре-
шения .10.
Комментарии
7.41. Метод (64) предназначен для односторонней ситуации, в ко-
торой принимается решение хи > против ти = тъ и — 2, ..., k.
Чтобы получать аналогичные односторонние решения ти С против
ти = Tj, и = 2, ..., k, надо в левой части неравенства (64) заменись
Т1и.на Ти1 = (п (га + 1)/2) — Т1и.
7.42. Приближения 1—3 ( (66) — (68) соответственно) не порожда-
ют свободных от распределения методов. Приближение 1, правда, все-
таки приводит к асимптотически свободному от распределения методу
множественных сравнений, но требует взамен от пользователя допол-
нительных усилий и энтузиазма для вычисления р (59). А методы,
основанные на приближениях 2 и 3, вовсе не обладают свойством асим-
птотической свободы от распределения. Приближение 2 консерватив-
но и имеет тот недостаток, что постоянную m (a, k — 1, ру) обычно при-
ходится получать с помощью интерполяции между двумя постоянными
m (a, k — 1, рх) и m (а, k — 1, р2), где Pi <С ру < р2- Приближение 3
применять удобнее, поскольку есть таблицы tn (а, k — 1, 1/2).
I 7.43. При k 2 зависимость от распределения статистики max
и = 2, ..., k} мешает получению точного значения t** (a, k —1,
ri), так же как (при k 2) зависимость от распределения шах {Т1и,
и~ 2, .... k} мешает получению точного значения t* (a, k — 1, ri).
(При k = 2 обе статистики зависят от распределения.)
Свойства. Эффективность: см. § 7.9.
Ссылки. Приближение (66) предложил Холлендер в [191], при-
ближение (67) основано на другой его работе — [192], где есть табли-
цы ру; приближение (68) предложил Немени [274]. См. также «Ссылки»
§7.3Б*.
Задачи
7.18. Примените односторонний метод множественных сравнений, основан-
ный на знаковых рангах (см. (64) и комментарий 7.41), к данным табл. 7.4 о рит-
мичности, считая условие N контролем.
7.19. Сравните приближения 2 и 3 ((67) и (68)) в двух^случаях: прн а = .05,
k = 4, п = 10 и при а = .10, k = 6, п = 15.
§ 7.8. ОЦЕНКА КОНТРАСТА, ОСНОВАННАЯ
НА ОДНОВЫБОРОЧНЫХ ОЦЕНКАХ ХОДЖЕСА —
ЛЕМАНА (ЛЕМАН)
Метод. Предполагаем, что выполняется модель (1). Чтобы оценить
контраст 0 (22), (23), надо выполнить следующее.
* И примечания к § 7.ЗА, 7.ЗБ. — Примеч.. пер.
19
1. Пусть Wao — медиана п (п + 1)/2 средних Уолша, равных
(Х1а — + ^iu — Xiv)/2, i, j = 1, .... n, i /, t. e.
1УЦ!) = медиана^ хг«~х^+х^~х^ ., (78j
(Каждая оценка Wuv — это оценка Ходжеса — Лемана в форме, ко-
торая рассматривалась в § 3.2. Например, И713— как раз медиана
п (п. + 1 )/2 средних Уолша вида (Хг1 — Х(8 + Х}1 — Х]3)/2, i у)
Можно рассматривать Wuv как первичную оценку (см. комментарии
7.44 и 7.45) разности параметров ти —т„. Поскольку Wuv = — WVUt
надо вычислять лишь k (k — 1)12 значений Wut> Для пар (и, и) с м < ц
2. Положить
Kv = Wu.-Wv., (79)
где
k
2 wuj
Wu. = -±±-----, №„„ = 0^1......k. (80)
К
3. Уточненная оценка 0 равна:
0 = 22<Л (81)
Л=1 /=1
или, эквивалентно,
k
0 = 2 a, W}. (82)
См. (23), где приведено соотношение между величинами d и а.
Пример 7.10. В примере 7.5 мы получили оценку Доксама для кон-
траста Tj — т3 по данным о преодолении первой базы из табл. 7.1. Те-
перь воспользуемся формулой (82) для получения такой же оценки
Лемана. Чтобы оценить Ц712 (78), заметим, что Ц712 == медиана {(Р{г +
+D[t)/2, i < /}, где 0'12 определены формулой (26). Значения D\t, ,
D2tl представлены в табл. 7.7. Полагая, что ... F|2263) обо-
значают 253 упорядоченных значения (D'12 + D{2)/2, находим:
F& = - .4, F& = FW = F® = - .25, F& = Fft = - .225,
F\V = ... = F\W > = — .2, Fti1 > =... = F^8’ = —. 175,
F&> = F&> = —. 15, F& = —. 125, F№ =... = F\V’ = -• 1.
F)!8’ = ... = Fj34) = — .075, F[ 326> =... = F$429) = — -05,
FjV’ = ... = F№ = - .025, F?22’ =... = Fti'V = 0,
Fjy4> = ... = Г(/2вг’ = .025, FiV8’ = ... = F(i298) = -05,
F?299) = ... = Fh91) = .075,F?22i!) = ...=Fh34)=.l.
Fj2236) =... = Fi249> = .125, Fi24l) = ... = F(i2249) = -15.
194
= 175, p(26 2) = 2, F&3' = .25
Отсюда
№12 = Ml227) = -025.
Для оценивания W\3 возьмем выражение Ц713 = медиана {(D'13 +
। £)/3)/2, i C j}, где Dl13 определено в (26). Значения Dz13 приведены
в табл. 7.7. Обозначая 253 упорядоченные медианы (D'13 + D{3)/2, через
77(1) ...^ Лз63) получим:
F?3) = --3, F\V = F® = - .225, FЩ = - .2, FW = -. 175,
F‘e3> = Fft = FW = -. 15, F& = ... = FW = -.125,
/гС13з> = _ = /7(») = _ л, F<»3o) =... = Fft’ = — .075,
F\*3v = ... = F № = — .05, F 5V’ = - . = № = — .025,
F(14з7) =... = F?32) = 0, F?з3) = ... = F(i’3” = -025,
Л’з8) =... = F ?34> = .05, F (i936) =... = № = -075,
f JV” =... = f , F<V2) = - . = ^V7’ = -125,
F ^з68’ =... = Fu80’ = -15, F ‘Л91’ =... = F ?з17) = .175,
F?з,8) =... -- Д?з88) = .2, FS2339) =... = Лз47) = -225,
f^8) = ... = fV36S, = .25.
Отсюда
Г13 = F\'3”> = .1.
Тем же способом вычисляем Ц723. Значения D\3, ..., D23 берутся из
табл. 7.7, а Ц723 = медиана {(Oz23 + D{3)/2, i /}. Обозначая через
^гз’ ... Д12гз63) 253 упорядоченных значения (Oz23 + Z){3)/2,
имеем:
F^ = -. 1, F& =... = F& = - .075, F=... = F№ = - .05,
F^ =... = Д^з9’ = — .025, F h” = ... = ^4з2) =0,
f=... = F& = .025, F^ = ... = F&8> =. .05,
^939> =... = F S,1/81 = .075, /^з3” = ... = Fp378) = .1,
Д^з7 8 ’ = ... = Д 23111 = • 125, Д2312 ’ = • • • = Д233 8> = .15,
f =... = F?347) = .175, F?з48’ =... =Д?з63> = -2.
Таким образом,
Ц723 = ^1з27) = .О75.
Из (80) находим:
.025+ .1 _ Q4j7
X’ 3 3
Ц7 + —.025 + 0+-075 0167
2‘ 3 ~ 3 ‘
_ ^3i + ^s» + ^83 _ — .1— .075 + 0 _____ 0583
’ 3 3
195
Заметим, что при вычислении W2. и W3. мы используем соотношение
WUB = - WBU.
Теперь оценка Лемана 0 получается из (82) при = 1, а2 ~ о
а3 = — 1,
так что
”9 =Wi. — IFs. = .0417 — (—. 0583) = .10.
В нашем случае уточненная оценка И?!. — Ц73. совпадает с исход-
ной оценкой U713. (Крометого, сравните 0 с оценкой 0 из примера 7.5.)
Комментарии
7.44. Первичная оценка U7UV (78) параметра Дио = ти — —
это оценка, связанная со знаковыми рангами, которые рассматрива-
лись в § 3.2.
7.45. Первичные оценки WUB (78) — несочетаемые оценки. Мы
встречались ранее с этой трудностью (см. комментарии 6.24 и 7.24).
Уточненные оценки Д (79) — сочетаемые оценки, однако и у них есть
недостаток —зависимость оценки Дцв = ти — тв от наблюдений над
остальными k — 2 обработками.
7.46. Пример 7.10 хорошо показывает трудности, возникающие при
вычислении wUB для умеренных значений п. Надо найти медиану
п (п — 1)/2 средних Уолша, в то время как оценка ZUB (27) основана на
медиане лишь из п. разностей. Таким образом, с точки зрения легкости
счета оценка для контраста по Доксаму предпочтительнее, чем оценка
для контраста по Леману. С другой стороны, асимптотическая эффек-
тивность обычно (но не всегда) выше у оценки Лемана (см. § 7.9).
Свойства.
1. Стандартное отклонение 6 (81): асимптотическое стандартное от-
клонение 6 (81), см. [249].
2. Асимптотическая нормальность: см. [249].
3. Эффективность: см. [249] и § 7.9.
Ссылки. Оценка контраста 6 (81) предложена и исследована
Леманом [249]. Другие оценки контраста предложили Доксам
[105] (см. § 7.4) и Пури и Сен [305]; последняя оценка основана на одно-
выборочном аналоге двухвыборочной статистики Чернова — Сэвид-
жа [71].
Задачи
7.20. Вычислите оценку Лемана для контраста 2 — хА — тл по дан-
ным о метрономе из табл. 7.4 (ср. с задачей 7.10). _
7.21. Дайте пример несочетаемости оценок WUB (78) (см. комментарий '.45).
7.22. Дайте определения: асимптотически свободного от распределения
метода множественных сравнений; асимптотически свободной от распределен!»
статистики; асимптотически свободного от распределения критерия; состоятель
ной оценки; состоятельного критерия; контраста; свободного от распределен»
метода множественных сравнений; вероятности ошибочного решения.
196
§ 7.9. ЭФФЕКТИВНОСТИ (МЕТОДОВ ДВУХФАКТОРНОГО
ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА)
Сначала рассмотрим методы §7.1—7.4, использующие ранговые сум-
мы Фридмана. Асимптотическая эффективность (для альтернатив сдви-
га) этих методов по отношению к их соперникам из нормальной тео-
рии равна:
W=-^-W, (83)
где Ц (F) — параметр, зависящий от исходного распределения F, он
уже появлялся в § 3.10.
В частности, асимптотическая эффективность рангового критерия
Фридмана, основанного на S (4), по отношению к F-критерию
из нормальной теории для двухфакторной таблицы была получена
ван Элтереном и Нётер [434] как правая часть (83). Холлендер [192]
показал, что асимптотическая эффективность критерия, основанного
на статистике L (9) Пейджа, по отношению к критерию t из нормальной
теории, направленному против альтернатив с упорядоченностью, так-
же дается формулой (83). Более того, и методы множественных сравне-
ний, аналогичные тем, что дал Шерман [365], имеют асимптотическую
эффективность (83) по отношению к процедурам классической нормаль-
ной теории, основанным на выборочных средних. Наконец, Доксам
[105] получил (83) как асимптотическую эффективность оценки 9 (31)
по отношению к оценке наименьших квадратов
_ А п
9=2 aix-i' где хз~ 2 ха!п-
i=i /=1
Параметр /9 (F) всегда больше или равен .576 и может достигать
бесконечности. Значения асимптотической относительной эффектив-
ности для различных F приведены в табл. 7.11.
Таблица 7.11. Значения Is(F) для различных распределений
F " ~~ k 2 3 4 5 10 20 so ОО
Нормальное .637 .716 .764 .796 .868 .909 .936 .955
Равномерное Двустороннее экспонен- .667 .750 .800 .833 .909 .952 .980 1.000
циальное 1.000 1.125 1.200 1.250 1.364 1.429 1.471 1.500
Теперь обратимся к методам § 7.5—7.8, которые связаны со зна-
ковыми рангами Уилкоксона. Здесь также есть ключевые для асимпто-
тической эффективности параметры альтернатив сдвига, скажем,
/7 (F) — он дается правой частью формулы (2.12) из работы [105] —
и IS(F) — он дается правой частью формулы (4.6) из работы [192].
В частности, Леман [249] показал, что /7 — асимптотическая эф-
фективность его оценки контраста (82) по отношению к оценке кон-
197
траста методом наименьших квадратов, основанной на выборочных
средних. Доксам [105] получил /7 (F) как асимптотическую эффектив-
ность своего критерия, основанного на Л'(42) по отношению к F-кри.
терию нормальной теории.
Холлендер [192] показал, что асимптотическая относительная эф.
фективность критерия, основанного на Y' (53), по отношению к /-кри-
терию из нормальной теории, направленному против альтернатив с упо-
рядоченностью, равна /8 (F). Он показал также, что методы, аналогич-
ные тем, которые дал Шерман [365], приводят к /8 (F) как асимптоти-
ческой эффективности метода множественных сравнений, определен-
ного в (64) и (66) относительно их конкурентов из нормальной теории
основанных на выборочных средних.
Параметры /7 (F) и /8 (F) всегда больше .864 и могут достигать бес-
конечности. В табл. 7.12 даны значения /8 (F) для различных k и нор-
мального, равномерного и экспоненциального F. (Для всех распреде-
лений F /7 (F) IS(F), но разность /7 (F) — /8 (F) весьма мала.)
Значения /7 (F) для нормального, равномерного и экспоненциального
распределений можно установить по табл. 7.12, используя соотношения
(84)
/ ( k \ 3+2(fe-2)p* ;
7 \ fe + 1 J 2 + 2(k—2) p* 8
Таблица 7.12. Значение I»(F) для различных распределений
F '——. 2 3 4 5 ю 20 50 ОО
Нормальное .955 .963 .969 .972 .980 .985 .988 .990
Равномерное .889 .893 .895 .897 .901 .903 .905 .906
Экспоненциальное 1.500 1.521 1.534 1.543 1.563 1.575 1.585 1.588
В формуле (84) р*—предельная корреляция, определенная по (58).
Если распределение F нормальное, то р* = .4826, если F — равно-
мерное, то р* = .4904, если же F—экспоненциальное, то р* = .4722.
Например, при нормальном распределении F и £=;4 для получения /7
подставляем в (84) £ = 4, р =. 4826, /8 = .969 (последнее значение
получено из табл. 7.12 при нормальном F и k = 4), что дает h =
=.972*.
* Исследования по эффективности методов этой главы обсуждались так
в [354], [356], [688], см. также гл. 6, §4 в книге [671]. Другие работы: 1°
[672], [677], [685] — исследована оптимальность при конечных k, п, 1°, ’
[718], [729], [736], [549], [562, гл. 4], [707], [307, гл. 7], [733] и др. -
меч. пер.
198
ГЛАВА ЗАДАЧА
8 О НЕЗАВИСИМОСТИ
В этой главе данные представляют собой случайную выборку из
двумерной совокупности. Исходная гипотеза состоит в том, что две
переменные в этой двумерной структуре независимы. Рассматриваемые
альтернативы описывают те виды зависимости, при которых мера свя-
зи (соответствия и ассоциации) т (см. (1)) не равна нулю.
В §8.1 представлен свободный от распределения критерий незави-
симости, в § 8.2 — соответствующая ему точечная оценка степени свя-
зи (соответствия) г, а в § 8.3 — асимптотически свободный от распре-
деления доверительный интервал для т. В § 8.4 рассматривается асимп-
тотическая относительная эффективность методов этой главы, по от-
ношению к их соперникам из нормальной теории.
Данные. Мы получаем п двумерных наблюдений (Xj, Yr), ...»
(Хп, Уп), по одному наблюдению на каждый из п. объектов.
Допущения
А1. Все п. двумерных наблюдений (Хь YJ, .... (Xn, Yn) взаимно не-
зависимы.
А2. Все (Xit Yj) извлечены из одной и той же непрерывной двумер-
ной совокупности.
§ 8.1. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТЕРИЙ НЕЗАВИСИМОСТИ (КЕНДЭЛ)
Метод. Определим коэффициент Кендэла т следующим образом:
т = 2 Р{(Хх - Ха) (У, - Уа) > 0} - 1. (1)
Для проверки гипотезы о независимости случайных величин X и У
(откуда следует т =0), а именно
Яо: Р (X а и У < 4) = Р (X <а) • Р (У < 6) при всех а и Ь,
(?)
надо проделать следующее.
1. Для всех 1 i < j п вычислить
I (Xb Xj, Yh Yj), где
„, . .. (1, если (а—b)(c—а)>0,
199
2. Положить
n—1 n
K=2 2 t(Xt,Xj,Yt,Yj). 4'
1=1 l=l+\ >
Таким образом, каждой паре индексов {I, j) приписывается +1 лри
i < /, если {Xt — Xj) (Yt — Y}) — положительно, и —1, если (X- —
— Xj) (Yt — Y})—отрицательно. Складывая эти единицы (с их зна-
ками), мы и получаем сумму К.
3. Односторонний критерий Но (2) против альтернативы т > 0 для
уровня значимости а таков:
отклонить Но, если k (а, п),1
принять На, если Д’ < & (а, п), J (5)
где константа k (а, п) удовлетворяет уравнению Р0[К^ k (а, п)]
Значения k (а, п) приведены в табл. А.21.
Односторонний критерий Но (2) против альтернативы т < 0 для
уровня значимости а таков:
отклонить Но, если К — k (а, п),1
принять Но, если К > — k (а, п), J (6)
Двусторонний критерий Но (2) против альтернативы т =/= 0 для уров-
ня значимости а таков:
отклонить Но, если /С> й (а2, п) или /С < — k (аь п)Д
принять Но, если — k (аь п.) < X < k (а2, п), J
где а = ах + а2.
Пр "лижение для большой выборки. Положить
д-* _ Х—Ео (К) ____________К_________. (g)
[varo(K)]1/2 [п (п-1) (2й + 5)/18]1/2
При выполнении Но статистика X* имеет асимптотическое (при п -> оо)
распределение N (0,1).
Теория, основанная на нормальном приближении к (5), дает:
отклонить Но, если X*~^zw, 1
принять Но, если /C*<z(a). J
Связи. Если среди п наблюдений X или среди п наблюдений Y есть
связи, то (а, Ъ, с, d) в определении X надо заменить на
(Ю)
1, если (а—Ь)(с—d)>0,
В* (а, Ь, с, d)= о, если —эд (с—d) = o,
.— 1, если (а—Ь)(с—d)<0.
При применении критерия для малых выборок следует действовать
так же, как в (5), (6) или (7), но с измененной, как показано, статисти-
кой При применении приближения для большой выборки следует вь -
00
числять ту же модифицированную статистику /С, a var0 (Д') в (8) заме-
нять на
g л
{п(п- 1)(2п+5)- 2 1)(20 + 5)- 2 «;(“j-l)(2«j+5)}
var0 (Д) =-----------------—--------------------—-------------------- +
g w л
2 ti(h-b(h-2) 2 uj(uj-1)(uj-2)
7=1______________J l/=l________________
9n (n — 1) (n — 2)
( g ] ( h 1
2 2 о
U=1 J l/=l t
2n(n—1)
(И)
где g — число групп совпадающих наблюдений Х\ tt — объем t-й
группы наблюдений X; h — число групп совпадающих наблюдений
У; uj — объем /-й группы наблюдений Y. (Несвязанные наблюдения
X (Y) рассматриваются как группа совпадающих наблюдений объема 1.
Если X и Y не содержат групп связанных наблюдений, то g = h. = п,
k = = 1, i = 1, .... ti, j = 1, n, и правая часть (11) сводится
кл(я- 1) (2п + 5)/18.)
Пример 8.1. В табл. 8.1 приведены данные, заимствованные из ра-
боты [321], в которой планировалось исследование для выяснения от-
носительной важности различных факторов, определяющих качество
консервированного тунца, а также для поиска объективных методов
определения характеристик качества и предпочтений потребителей,
В табл. 8.1 даны значения меры усвояемости (удобоваримости, легко-
сти) L Хантера наряду с балльными оценками потребителей по 9 пар-
тиям консервов. Во время опроса потребители пользовались шкалой:
«превосходно», «очень хорошо», «хорошо», «так себе», «плохо» и «не-
приемлемо», уровням которой присваивались баллы 6, 5, 4, 3, 2, 1
соответственно. Данные
табл. 8.1 получены в ре-
зультате усреднения по
80 опрошенным. (Случай-
ная величина Y дискретна
и поэтому та часть допу-
щения А2, которая гово-
рит о непрерывности рас-
пределения, не выполняет-
ся. Тем не менее, посколь-
ку каждое значение Y —
это все-таки среднее из 80
величин, у нас нет особых
причин для волнений о на-
рушении допущения А2).
Предполагается, что ме-
ра Хантера L положитель-
Таблица 8.1. Значения L по Хантеру
и результаты опроса потребителей
для 9 партий консервов из тунца
Партия Значение L по Хантеру, X Результат опроса, У
1 44.4 2.6
2 45.9 3.1
3 41.9 2.5
4 53.3 5.0
5 44.7 3.6
6 44.1 4.0
7 50.7 5.2
8 45.2 2.8
9 60.1 3.8
Источник. [321].
201
ио связана с баллами опроса. Поэтому мы применяем метод (5) для
проверки т = О против т > 0.
Из табл. А.21 находим критическую константу на уровне значимо-
сти а = .090, равную k (.090, 9) = 14. Вычисление статистики К. (4)
иллюстрирует табл. 8.2.
Таким образом, имеем
8 9
к=2 2 5(ХьХу,У/,^) = 26-10=16,
/-/+1
и поскольку К = 16 > k (.090, 9) = 14, отклоняем Но в пользу т >0
на уровне значимости а. Из табл. А. 21 также видно, что Ro 16}=
= . 060. Поэтому наименьший уровень значимости, на котором мы мо-
жем отклонить Но в пользу т > 0, равен .060. Все это свидетельству-
ет в пользу положительной корреляции меры Хантера L и результа-
тов опроса.
Для применения приближения большой выборки вычислим К* (8).
Найдем
К* =
16
{9(8) (23)/18}1/2
= 1.67.
Из табл. А.1 мы видим, что z (.476) = 1.67. Значит, наименьший уро-
вень значимости, на который можно отклонить Но в пользу т > 0, ис-
пользуя приближение для большой выборки (9), равен .0475. Это хоро-
шо согласуется с точным критерием *.
* Тем не менее такое «приближение» дает относительную ошибку в уровне
значимости, превышающую 20%, что ие так мало. Применение, например, вместо
этого приближения ^-распределения уменьшило бы ошибку почти в 4 раза.
Нам остается лишь процитировать [477, с. 104]: «... Название этих приближе-
ний «удовлетворительными» во многих вероятностных н статистических прило-
жениях является следствием снисходительности авторов...». — Лримеч. пер.
202
Комментарии
8.1. Нулевая гипотеза данного параграфа — это гипотеза о неза-
висимости случайных величин X и Y, а альтернативы суть т >, т <,
t Ф 0. Критерий, основанный на X, построен для обнаружения толь-
ко того типа зависимости, для которого т =/= 0 (см. свойство 1). Некото-
рые типы зависимости между X и Y не обнаруживаются с помощью про-
цедур, основанных на X- В § 10.2 описан метод Гёфдинга, состоятель-
ный против многих видов зависимости между X и У.
8.2. Если случайные величины X и Y независимы, то
Р {(Хх — Ха) (Ух — Уа) > 0} = у
и t = 0. Более того, т > 0 можно интерпретировать как положитель-
ную взаимосвязь между X и У (измеряемую т), а т< 0 — как отрица-
тельную взаимосвязь X и У (измеряемую т).
8.3. Назовем пары (Х£, Х7), (У£, Y}) «согласными», если (Х£—
— Xj) (Yt — Y})> 0, и «несогласными», если (Х£ — Х}) (У£ — У7)<
<0. Тогда (Х£, Х}) и (У£, Yj) будут согласны, если либо (а) Х£ > Х} и
У£ > У/, либо (б) Х£<Х; и У£< Yj. Точно так же (X£,Xj) и (У£, У,)
будут несогласны, если либо (в) Х£ < X^ и У£ > У;, либо (г) Х£ >
> X] и У£ < У}. Значит, X (4) можно выразить как X — X' — К",
где X' — число согласных пар; X" — число несогласных пар, учиты-
ваются все п (п — 1) /2 наборов пар (Х£, Xj), (Yit У7) с i < /. За-
метим, что (Х£, Х}), (Yit Yj) согласны, если упорядочение Х£, Xj сов-
падает с упорядочением У£, Yj. Мы наблюдаем несогласованность,
если эти упорядочения не совпадают. Таким образом, Х/{п (п — 1)/2}
можно рассматривать как среднюю меру такого согласия X и У, кото-
рое означает совпадение порядков. Если упорядочение Х£, Xj согласу-
ется с упорядочением У£, Yj для большого числа пар i, j, это указывает
на положительную связь между случайными величинами X и У. Тогда
и X будет большим. Это служит некоторым объяснением метода (5).
8.4. Если среди наблюдений X и среди наблюдений У нет одинако-
вых (связанных), то X' + К" = п (п — 1)/2 и статистику X = X' —
— X" можно переписать в виде X = 2Х' — (п (п — 1)/2}. Напомним,
что X' (число согласованных пар) было определено в комментарии 8.3.
п— 1 п
Можно записать X' в виде S S (Х£, X/, У£, У7), где б (a, b, с, d)
i=i /=z+i
определено (16).
8.5. Удобно вычислять X', прежде переставив пары (Х£, У£) так,
чтобы (новые) наблюдения X шли в возрастающем порядке. Тогда после
перестановки статистика X' будет равна числу пар, для которых соот-
ветствующие наблюдения У тоже идут в возрастающем порядке. На-
пример, пусть наши наблюдения таковы:
/ 1 2 3 4 5
х£ 4.1 —2.4 —2.2 —5.6 5.5
У£ 2.3 3.7 1.1 2.2 3.8
203
Поменяем местами столбцы так, чтобы X шли в возрастающем поряд-
ке, и получим следующее:
X: —5.6 —2.4 —2.2 4.1 5.5
У: 2.2 3.7 1.1 2.3 3.8
Затем, двигаясь слева направо, найдем те пары Y, в которых наб-
людения идут в возрастающем порядке: (2.2, 3.7), (2.2, 2.3), (2.2, 3.8)
(3.7, 3.8), (1.1, 2.3), (1.1, 3.8), (2.3,3.8). Отсюда К' = 7 и К = 2 X-
— {5-(4)/2} = 4.
8.6. Пусть Ri — ранг Хг в совместной ранжировке Хх,..., Хп, а
5г — ранг Yi в совместной ранжировке Ylt..., Yn. Очевидно, что зна-
ние всех рангов R и S достаточно для вычисления X (4) (см. задачу 8.2).
Чтобы показать, как можно получить распределение К при Но, исполь-
зуем этот факт. Не нарушая общности, положим = 1, .... Rn = п;
тогда при Но (2) все возможные наборы (Sj,..., Sn) рангов Y равноверо-
ятны, причем ясно, что каждый из них имеет вероятность (1/п!). Возь-
мем случай п = 4. Ниже в таблице приведены 4! = 24 возможных на-
бора (Si, S2, S3, S4), соответствующие им значения X и вероятности
при нулевой гипотезе.
Таким образом, например,
/>о{Х>4} = Ро{Х = 6} + Ро{Х = 4}=(^-) + (^-) = .167
(ср. с табл. А.21).
8.7. При выполнении Но (2) распределение X (4) симметрично от-
носительно своего среднего, равного нулю, т. е.
Ро {X > а} = Ро {X - а}
для всех а. Отсюда следует, что нижний сс-процентиль нулевого рас-
пределения X равен — k (а, п); поэтому мы используем — k (а, п)
как критическое значение в методе (6).
8.8. Если п — 4/или п = 4/ 4- 1, j — 0,1, ..., то статистика X(4)
всегда выражается четным целым числом. Аналогично если п = 4/ +
+ 2 или п — 4/4-3, /=0,1,.. , то X — нечетное целое число. К
может принимать лишь каждое второе целое значение, что сле-
дует из метода подсчета, определяющего X (см. (3) и (4)). Свойство
четности или нечетности X для известных объемов выборок можно
вывести из соотношения X = 2Х' — {п (п — 1 )/2}, учитывая, что
п(п — 1)/2—четное число (произведение четного и нечетного числа),
когда п — 4/ или п -= 4/ 4- 1, j = 0,1,...; и п (п — 1)/2 — нечетное
число (произведение двух нечетных чисел), когда п = 4/ 4- 2 или п =
= 4/4-3, ] = 0,1,...
8.9. Заметим, что вычисление X состоит в приписывании 4- 1 или
— 1 вне зависимости от того, далеки или близки ранги наблюдений в
индивидуальных ранжировках X и У. Поэтому статистика X похожа
на статистику знаков для задачи о независимости. Спирмэн [382] ввел
свободную от распределения статистику для задачи о независимости,
в которой чем больше различаются пары (X, У) в относительных ран-
204
?Rt. Rj. 1 (S„ S„ S„ S4) Вероятность при H0 К
1
(1, 2, 3, 4) (1, 2, 3, 4) 24 6
1
(1, 2, 3, 4) (1, 2, 4, 3) 24 4
(1, 2, 3, 4) (1, 3, 2, 4) 1 24 4
(1, 2, 3, 4) (1. 3, 4, 2) 1 24 2
(1, 2, 3, 4) (1. 4, 2, 3) 1 24 2
(1, 2, 3, 4) (1, 4, 3, 2) 1 24 0
(1, 2, 3, 4) (2, 1, 3, 4) 1 24 4
(1, 2, 3, 4) (2, 1, 4, 3) 1 24 2
(1, 2, 3, 4) (2, 3, 1, 4) 1 24 2
(1, 2, 3, 4) (2, 3, 4, 1) _1 24 0
(1, 2, 3, 4) (2, 4, 1, 3) 1 24 0
(1, 2, 3, 4) (2, 4, 3, 1) 2 24 —2
(1, 2, 3, 4) (3, 1, 2, 4) J 24 2
(1, 2, 3, 4) (3, 1, 4, 2) 1 24 0
(1, 2, 3, 4) (3, 2, 1, 4) 1 24 0
(1. 2, 3, 4) (3, 2, 4, 1) 1 24 —2
(1. 2, 3, 4) (3, 4, 1,2) 1 24 —2
(1, 2, 3, 4) (3, 4, 2, 1) 1 24 —4
(1. 2, 3, 4) (4, 1,2,3) 1 24 0
(1. 2, 3, 4) (4, 1, 3, 2) 1 24 —2
(1. 2, 3, 4) (4, 2, 1,3) 1 24 —2
(1, 2, 3, 4) (4, 2, 3, 1) 1 24 —4
(l> 2, 3, 4) (4, 3, 1, 2) 1 24 —4
(1 2, 3, 4) (4, 3, 2, 1) 1 24 -6
205
жировках наблюдений X и Y, тем больший вес им присваивается. Ста-
тистика Спирмэна задается формулой
12 2 [**-(«+1)/2] [${-(«+0/2]
г-----------------------
п (п2—1)
где Ri — ранг Xt в совместной ранжировке Хх,..., Хп; St — ранг
Yi в совместной ранжировке Yn.
Можно показать, что статистика Спирмэна г — это классический
выборочный коэффициент корреляции, примененный к ранжировкам
наблюдений X и Y внутри их выборок. Можно показать также, что
п
г — линейная функция от У, RtSi. Это означает, что критерии незави-
i=i
п
Симости могут выражаться через У, RtSt, а не по усложненной формуле
(12) для г*.
8.10. Положим Xi = i, i = 1,..., п, и рассмотрим
п— 1 п п— 1 п
к=2 2 = 2 c(Y}-Yi),
i=l i=i+l i=l/=i+l
где
с(а) =
1, если а>0,
0, если а = 0,
—1, если a<Z 0.
Тогда К можно использовать как статистику критерия для временного
тренда в одномерной случайной выборке .....Yn. Это использование
X для критерия временного тренда предложил Манн [256].
8.11. Критерий суммы рангов Унлкоксона (§4.1) и критерии
Джонкхиера (§ 6.2) можно рассматривать как критерии, основанные
на Д (4) (или, что то же самое, на т (13)). Об этой интерпретации
см. [206], [216, §3.12 и 13.9].
Свойства
1. Состоятельность: критерии, определенные в (5), (6) и (7), состоя-
тельны против альтернатив о том, что в двумерных совокупностях
Т > 0, т < 0, т 0 соответственно.
2. Эффективность: см. [393], [226], [118] и § 8.4.
Ссылки. Кендэл [215] детально рассмотрел К (4), хотя эта статис-
тика была известна с XIX в. Краскел [236] описал историю многих не-
зависимых открытий К и обсудил общие проблемы независимости и свя-
зи.
* Наиболее часто встречающаяся формула для г: г = 1—6-X (Rl —
:(п3 — п), формулу для связанных рангов см, в [216, § 3.8 (3.8), с. 49] или [487J.
Примеч. пер,
206-
Кендэл [2161 дал модификацию критерия К для случая, когда есть
связи (см. также [374], [377], [62]). Графическая процедура для вычис-
ления К предложена в [157], ее обсуждение см. в [362]. Экономичная
программа для ЭВМ, вычисляющая К, дана в [224] *.
В [226], [118] найдена асимптотическая относительная эффектив-
ность Д’ для двух различных классов альтернатив о связи. Оба эти
класса альтернатив содержат нормальные альтернативы, для семей-
ства которых ранее Стьюарт [393] исследовал свойства эффективности
Д.
Многие исследователи предлагали соперничающие с К критерии,
каждый из них имел дело с различными видами зависимости между
переменными. Спирмэн (1904) предложил статистику, которую можно
рассматривать как выборочный коэффициент корреляции, вычисленный
по рангам (см. комментарий 8.9). Общий класс статистик для проверки
независимости, который включает и К Кендэла, и статистику Спирмэна,
предложил Дэниэльс [90].
Среди других соперников критерия К упомянем «серединный крите-
рий» [283], квадрантный критерий [45], близкий к нему критерий из
]116], критерий из [311] **, общий класс критериев [35], включающий
процедуры, основанные на нормальных метках [126], критерии из
[26], класс критериев, основанных на квадрантных послойных рангах
[465], который затем изучали в [34]. О критериях, предназначенных для
широких классов альтернатив о зависимости, см. [185] и § 10.3***.
* См. также [559]. Программа для вычисления 2 К/п (п — I) есть и в пакете
SSP для ЕС ЭВМ. — Примеч. пер.
“В русском издании этой книги [499] можно найти некоторые из упомяну-
тых здесь критериев. Так, серединный критерий см. в § 31, с. 52, а квадрантный
критерий — в § 29, с. 50. Правда, там принята несколько иная терминология. —
Примеч. ред.
*** Дадим список дополнительной литературы по теме данной главы.
а) Критерии, основанные на статистике Кендэла К(4) и коэффициенте
ранговой корреляции т (13). Связь т с расстоянием Кемени между упорядочения-
ми d [497] была установлена независимо Л. Б. Черным в 1972 г. и В. Б. Кузьми-
ным, С. В. Овчинниковым в 1974 г. Об этом см. [515], где систематически исполь-
зуются разные меры близости. О мерах близости на ранжировках см. также
[548]. О комбинаторных свойствах перестановок см. [524], [588], [571], где таб-
лицы [212], воспроизведенные в данной книге, продолжены до я = 100; при этом
изучается точность приближения и влияния связей. В [571] даны алгоритм и про-
грамма для вычисления вероятностей на верхнем хвосте К (или т); затем [645],
[663], где изучается ненулевое распределение т, [680], [559], где даются некото-
рые таблицы для распределения К при связи в одной ранжировке, а также алго-
ритм и программа для получения точного распределения К, см. еще [727]; далее
[710], [755]. Кроме того, см. [216], [756]. Вопросы о точности нормального приб-
лижения (5), (6), (7) и погрешностях, возникающих при применении точного н
приближенного распределений в ситуации, когда есть связи, представляются
важными. Погрешности аппроксимаций, особенно на «хвостах», как правило,
велики, так что лучше табулировать точные распределения для различных ва-
риантов связей.
б) Критерии, основанные на коэффициенте ранговой корреляции Спир-
мэна. Аппроксимация: [502], [216], [639] и др. Распределение; [571], где есть ал-
горитм и программа вычисления вероятностей верхнего хвоста, [700] — таблицы
точного распределения для п = 12 (1) 16, [783] — таблицы критических точек.
207
Задачи
8.1. Данные в табл. 8.3 заимствованы из работы [121]. Ее автор интересовал-
ся наряду с прочим и вопросом о соотношении между весом ленточных червей
(глистов) (Taenia hydatigena), которых скармливали собакам, и весом головок
извлекаемых из этих собак через 20 дней*. (Головка — прикрепляющийся конец
(присоска) ленточного червя, состоящая из собственно головки и шейки.) В экс-
перименте использовались личинки (финны), извлеченные из овечьих туш. Их
насильно скармливали 10 собакам в желатиновых капсулах. Глисты извлека-
лись из каждой собаки при вскрытии через 20 дней после введения личинок.
В табл. 8.3 даны средние веса исходных личинок и средние веса извлеченных
особей для каждой из 10 исследуемых собак.
Проверьте гипотезу о независимости против альтернативы о том, что средние
веса вводимых личинок положительно коррелированы со средними весами извле-
ченных червей.
8.2. Пусть Ri — ранг Xj в совместной ранжировке Xlt..., Хп, a Si — ранг
Yi в совместной ранжировке Ki,..., Кп- Тогда, зная Ri, Rj, Sj, Sj, мы можем
вычислить | Xj, Yit Yj) (см.(З)), таким образом, знание рангов R и S доста-
точно для вычисления К (4). Объясните, почему это так.
Таблица 8.3. Соотношение между весом скармливаемых
собакам личинок глистов Taenia hydategena
и весом извлеченных из них через 20 дней глистов
Собака Средний вес (мг) Собака Средний Вес (мг)
ЛИЧИНОК извлеченных глистов ЛИЧИНОК извлеченных ГЛИСТОВ
1 28.9 1.0 6 38.0 3.5
2 32.8 7.7 7 12.5 18.9
3 12.0 7.3 8 36.5 33.9
4 9.9 7.9 9 8.6 28.6
5 15.0 1.1 10 26.8 25.0
Источник. [121].
Таблица [783] для п = 4 (1) 50 (2) 100 воспроизведена в русском издании этой
книги как таблица А. 30.
Свойства г: [580], [603], [616], [663] — ненулевое распределение, далее [651].
Есть простая аппроксимация [639], см. с. 10.
в) Общая проблема независимости, другие критерии и смежные вопросы:
[560], [566], [613], [702], [717], [741]. — Примеч. пер.
* В данной работе рассматривался вопрос о том, насколько эффективно
собаки могут играть роль промежуточных хозяев в распространении некоторых
видов глистов. Выбран отряд цепни (тенииды или солитеры); конкретный объ-
ект— червь Taenia hydatigena. Он имеет головку, снабженную четырьмя мы-
шечными присосками, с помощью которых прикрепляется к слизистой оболочке
кишечника хозяина. После созревания в течение нескольких месяцев позади
головки образуется шейка, от которой отпочковываются членики, содержащие
матку с яйцами, и выделяются с испражнениями хозяина. Для дальнейшего
развития яиц необходим промежуточный хозяин (как правило, крупный рогатый
скот и свиньи), в организм которого зародыш может попасть с зараженной пищеи.
В кишечнике промежуточного хозяина зародыш освобождается от оболочки и
током крови заносится в мышцы, где превращается в личинку-цистицерк, или
финну. Наконец, человек, съев плохо обработанное мясо зараженного животного,
также заражается солитером. Если в кишечнике собаки условия для развития
финны благоприятны, то она присосется и начнет развиваться, если нет, то ли-
чинки просто будут выведены из организма. Измерения весов и призваны пролить
свет на эту проблему. — Примеч. ред.
208
§ 8.2. ОЦЕНКА, СВЯЗАННАЯ СО СТАТИСТИКОЙ КЕНДЭЛА
Метод. Оценка т (1), основанная на статистике Кендэла К, равна:
7=-^,
п(п-1)
(13)
где К дается формулой (4). Статистика т (13) известна как коэффициент
ранговой корреляции Кендэла.
Пример 8.2. Рассмотрим данные о консервированном тунце из
табл. 8.1. Из (13) мы имеем
Комментарии
х-ч
8. 12. В присутствии связей надо брать т = 2J</n (« — 1)» где
s (14)
« = 1/=£ + 1
а £* Xj, Yi, Y}) определено в (10).
8. 13. Во многих задачах свободные от распределения критерии
используются непосредственно для оценки основных вероятностных
параметров. Они отличаются от тех, что используются в нормальной
теории. Например, т = 2/< !п (п — 1) оценивает скорее вероятность
т (1), чем привычный коэффициент корреляции для двумерной совокуп-
ности. В анализе данных полезно оценивать именно такие непосредст-
венно интерпретируемые величины (см. [85], [462] и комментарий 4.15).
Свойства
1. Стандартное отклонение т (13): об асимптотическом стандартном
отклонении т (13) см. [279, р. 78] и комментарий 8.16.
2. Асимптотическая нормальность: см. [184] и гл. 5 в [216].
Задачи
8.3. Оцените т по данным о ленточных червях из табл. 8.3.
8.4. Каково йвксимальио возможное значение т? Каково минимально воз-
можное значение т? Постройте три примера так, чтобы в первом т достигало мак-
симального значения, во втором — минимального, а в третьем — значения
Г== о.
§ 8.3. АСИМПТОТИЧЕСКИ СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Доверительный интервал, основанный
НА СТАТИСТИКЕ КЕНДЭЛА (НЕТЕР)
Метод. Для построения приближенного асимптотически свободного
от распределения доверительного интервала для т с коэффициентом
Доверия 1 — а надо выполнить следующее..
209
1. Положить
YitY})
i*i
для i=l, ...» n, где
Ца, b. с, Л=( 11 есл“ (“-») <£-*)> °.
1 0, если (а—b)(c — d)<ZQ.
2. Определить
3 = 4 £ С/ —2 £ Ci
i=\ »=i
(15)
(16)
(17)
/ П \ 2
2(2я—3) JC£
________у=1 /
n(n-l)
3. Приближенный (1 — а)-доверительный интервал (xL, xv) таков:
т£ = т
2gz(g/2)
n(n-l)
2oz
[a/2)
n(n —1) ’
(18)
где x дается формулой (13). При xL и т v из (18) имеем
Рх {т/. < х < ту) « 1 — а. (19)
Связи. См. [279, р. 78].
Пример 8.3. Рассмотрим данные о консервированном тунце из
табл. 8.1. Получим доверительный интервал для х с приближенным
коэффициентом доверия 1 — а = 1 — .10 = .90. В табл. 8.4 мы
даем значения б (ХЬХ}, Y{, Uj), требующиеся для вычисления С£, t=l,
.... 9. Значения б (Х£, Х}, Yi, Yj) легко получить из значений £ (X,,
Xj, Yi, Yj) в табл. 8.2. Из (3) и (16) просто вывести, что б (Х£, Х},
Yit Yj) = {1 + & (Xit Xj, Yi, Yj)}/2. Поэтому каждую + 1 табл. 8.2
мы без изменений переносим в табл. 8.4, а каждую — 1 заменяем ну-
лем. Каждое число в (i, j) клетке табл. 8.2, равное— 1, мы заме-
няем на 0 в (i, j) клетке табл. 8.4.
Таблица 8.4. Значения б( Х£, Xj, Yi, Yj)
для данных о тунцовых консервах
i / 1 2 3 4 6 6 7 8
2 1
3 1 1
4 1 1 1
5 1 0 1 1
6 0 0 1 1 0
7 1 1 1 0 1 1
8 1 1 1 1 0 0 1
9 1 1 1 0 1 0 0 1
210
ь МЫ покажем вычисления С5 = У б (Х5, Xj, Х5, Yj). Справедливо
с5 = б (Х5, Хъ Х5, Ух) + б (Х5, х2, y5, y2) +
+ б (Х5, Х8, Y5, Уз) + б (Х5, Х4, У5, У4) +
+ б (Х5, Х8, Ys, Ув) + б (Х5, Х7, У5, У7) +
+ б (Х5, Х8, У5, У8) + б (Х5, Х„ У5, У,).
Из табл,
у.), следует
8.4, учитывая, что б (Х£, Xj, Yt, Yj) = б (Xj,
С$ ~ 1 + 0 + 1 + 1 + 0+14-0 + 1 = 5.
Xi, Yj,
Заметим, что С5 просто равна сумме строки с номером / = 5 и столбца
с номером i = 5 в табл. 8.4. Тем же способом находим
= 7, С2 = 6, С3 = 8, С4 = 6,
С8 = 3, С7 = 6, С8 = 6, С8 = 5.
Отсюда
9
2 Сj = 7 + 6 + 8 + 6 + 5 + 3 + 6 + 6 + 5 = 52
/=1
и
9
2 с] :=72 + 62 + 82 + 62 + 52 + 32 + 62 + 62 + 52 = 316.
/=1
Из (17) мы получаем
о2 = 4 (316) - 2 (52) — 2(1^2)2 = 33.3.
Из табл. А.1 имеем z(.o5) = 1.645. Следовательно, из (18) получа-
ем
tl = .44 — J2 (33.3)1 /2 = .44 — .26 =. 18
Ту = .44+ |2(33.3),/2-^-} = .70.
Комментарии
8.14. Доверительный интервал (18) — приближенный 1—а-
Доверительный интервал для параметра, представляющего собой линей-
ую функцию от вероятности Р{Хг — Х2) (Ух — У2) > 0}. Это обыч-
аи прием в непараметрической статистике, где именно вероятности
сто служат естественными и легко интерпретируемыми параметрами,
помним соотношение двухвыборочного критерия Уилкоксона из
и параметра Р (X < У). См. комментарии 4.10 и 4.15.
асим15 ’Статистика о (17) выбрана как состоятельная оценка для
птотического стандартного отклонения статистики Кендэла X.
211
Для вычисления а вовсе не обязательно использовать все наблюдения
выборки. Для получения Сг, применяемых в (18), можно брать любую
фиксированную долю п наблюдений выборки. Например, выборкой
объемом в 25% от случайной выборки п пар наблюдений (именно га/4
наблюдений) вполне можно было бы ограничиться при получении о.
8.16. Величина 2 о/п (га — 1) — состоятельная оценка асимптоти-
ческого стандартного отклонения точечной оценки т (13).
8.17. Истинная вероятность накрытия для интервала, определен-
ного (18), в пределе совпадает с номинальным коэффициентом доверия
1 — а. При допущениях А1 —АЗ этот асимптотический (когда га -> оо)
результат не зависит от распределения исходной двумерной совокупно-
сти. Поэтому интервал (18) и имеет свойство асимптотической независи-
мости от распределения.
8.18 Оценка о2 может принимать отрицательные значения. Эта не-
приятность скорее может встретиться в малых выборках, чем в боль-
ших. Конечно, это серьезный недостаток, поскольку оцениваемая по-
средством о2 дисперсия всегда неотрицательна.
Свойства. Для совокупностей, удовлетворяющих А1 и А2, выпол-
няется (19) (см. комментарий 8.17). Таким образом, (т£, ту) — асимп-
тотически свободный от распределения интервал для весьма широкого
класса распределений.
Ссылки. Использование состоятельной оценки асимптотическо-
го стандартного отклонения т (13) при получении доверительного ин-
тервала для т рассмотрел Нётер [279].
Задачи
8.5. Постройте доверительный интервал для т с коэффициентом доверия,
примерно равным .98, по данным табл. 8.3.
8.6. Вычислите, используя лишь первые 6 пар (соответствующих первым
шести партиям консервов) в табл. 8.1, новую оценку а2 (17) для асимптотической
дисперсии К (см. комментарий 8.15). Сравните ее с оценкой, основанной па 9
наблюдениях, полученной в примере 8.3.
8.7. Данные табл. 8.5 заимствованы из работы [398], где проводилось пато-
логоаиатомическое исследование состояния нервных путей, связывающих голов-
ной мозг со спиниым, и соматической нервной системы, а также теменных долей
мозга пациентов, страдавших церебральным параличом*. Среди прочего ав-
тора интересовало соотношение между весом мозга и числом больших волокон
( > 7.5 мк в диаметре), проходящих в пирамидном пути (через спинной мозг).
В табл. 8.5 даны средний вес мозга (в граммах) и числа больших волоком у 11
больных, страдавших церебральным параличом.
• Параличом центрального происхождения (или инсультом). При этом тяже-
лом заболевании возникают нарушения работы органов чувств и речи человека,
а также его двигательной активности и координации. Причиной служит дезорга-
низация деятельности соматической нервной системы, ответственной за связь
организма и среды через органы чувств и за сознание. Число больших нервных
волокон, возможно, связано с надежностью работы организма при параличе. —
Примеч. пер.
212
Таблица 8.5. Средний вес мозга и количество больших волокон
спинномозгового ствола лиц, страдавших церебральным параличом
Номер Вес мозга г Число больших спинномоз- говых волокон Номер Вес мозга г Число больших спинномоз- говых волокон
1 515 32500 7 479 29840
2 286 26800 8 198 21830
3 469 11410 9 389 24650
4 410 14850 10 262 22500
5 461 23640 11 536 26000
6 436 23820
Источник. [398].
Постройте доверительный интервал для Т, задавшись приближенным коэф-
фициеитом доверия .98,
8.8. Дайте следующие определения: асимптотически свободный от распреде-
ления доверительный интервал; двумерная функции распределения; коэф-
фициент корреляции; независимые случайные величины; выборочный коэффи-
циент корреляции.
§ 8.4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ (КРИТЕРИИ НЕЗАВИСИМОСТИ)
Таблица 8.6. Значения эффективности
для различных распределений
F Эффективности
Нормальное Равномерное Двустороннее экспоненциальное .912 1 1.266
Асимптотическая эффективность критерия, основанного на статисти-
ке Кендэла К (4), по отношению к его конкуренту из нормальной тео-
рии, основанному на выборочном коэффициенте корреляции, была най-
дена Стьюартом [393] и
Кониным [227] для целого
класса альтернатив за-
висимости, «близких» к
независимости. Значе-
ния асимптотической эф-
фективности для некото-
рых распределений да-
ны в табл. 8.6.
Для двумерных нор-
мальных совокупностей
точечные оценки и до-
верительные интервалы строятся для истинного коэффицента корреля-
ции, в противоположность точечным оценкам и доверительным интер-
валам, непараметрической теории, основанным на статистике Кендэла
К и относящимся к параметру т. По этой причине трудно сравнить оцен-
ку т (13) и доверительный интервал (18) с методами нормальной теории,
и их асимптотические эффективности здесь не приведены.
213
глава ЗАДАЧИ О РЕГРЕССИИ
9 И УГЛЕ НАКЛОНА
В этой главе описаны непараметрические методы для ряда простых
задач, связанных с линейной регрессией. В § 9.1, 9.2 и 9.3 рассматри-
вается случай одной линии регрессии. В §9.1 мы приводим свободный от
распределения критерий для гипотезы о равенстве углового коэффи-
циента линии регрессии некоторому заданному числу. В § 9.2 и 9.3 да-
ются точечная оценка и свободный от распределения доверительный
интервал для угла наклона.
А § 9.4, 9.5 и 9.6 относятся к случаю двух регрессионных линий. Ги-
потеза § 9.4 предполагает их параллельность, т.. е. одинаковые углы
наклона регрессионных, прямых. В § 9.5 обсуждаются точечные оцен-
ки ₽1 — ра (разность двух параметров углов наклона), в § 9.6 пред-
ставлен свободный от распределения доверительный интервал для Pi —
-р2.
В § 9.7 описана асимптотическая относительная эффективность не-
параметрических методов этой главы по отношению к их конкурентам,
основанным на классических оценках углов наклона методом наимень-
ших квадратов.
ОДНА ЛИНИЯ РЕГРЕССИИ
Данные. Для каждой из п заданных констант хх,..., хп мы наб-
людаем случайную величину Y. Таким образом, получается набор наб-
людений Ух,..., Yn, где Yi — отклик в точке хг. Предполагая, что все
х различны, без потери общности, положим хх< хг< ...<хп.
Допущения
А1. Наша модель
Yi — а P^i 4* i — L •••> п>
(1)
где все х — заданные константы, а а и Р — неизвестные константы.
А2. Все случайные величины е взаимно независимы.
АЗ. Все е извлечены из одной и той же непрерывной совокупности.
2Д4
§9.1. СВОБОДНЫЙ от распределения критерий
ДЛЯ УГЛОВОГО КОЭФФИЦИЕНТА (ТЕЙЛ)
Метод. Для проверки
До : Р = Ро (заданное число) (2)
надо выполнить следующее.
1. Вычислить п разностей
Di = Yt — PoXi( i = 1...n. (3)
2. Положить
C= £ c(D,-Dt), (4)
i<i
где
1,если а> 0,
с (а) = 0, если а = 0, (5)
. -1, если а<_ 0.
Таким образом, каждой паре индексов (i, j)ci <. j соответствует 1, ео
ли разность Dj — Di положительна, и — 1, если D3 — Di отрицатель-
на. Сумма единиц с их знаками и есть С.
3. Односторонний критерий для Но (2) против альтернативы Р >•
> Ро на уровне значимости а таков:
отклонить Но, если С k (а, га), 1 (6)
принять Но, если С < k (а, га), J
где константа k (а, га) удовлетворяет уравнению Ро {С k (а, га)} = а
и берется из табл. А. 21 (см. комментарий 9.2).
Односторонний критерий для Но (2) против альтернативы Р <. р0 на
уровне значимости а таков:
отклонить На, если С — k (а, га),|
принять Но, если С > — k (а, га). J ’
Двусторонний критерий для Но (2) против альтернативы Р =# Ро
на уровне значимости а таков:
отклонить Но, если С > k (а2, га) или С < — k (ап га), (8)
принять Но, если — k (ах, ге) < с < k (а2, га), где а = <*! + а2.
Приближение для большой выборки. Положим по определению
£♦_ (Q ___________________С__________
[var0(C)]‘/2 {П(п — 1)(2/г4-5)/18}’/2 ’ М
Статистика С* при выполнении Но асимптотически (га -> оо) распре-
делена как N (0,1).
Нормальное приближение метода (6) таково:
отклонить Но, если С*>г(а), 1
принять Но, если С*<2(а). J
215
Связи. Если среди наблюдений Y есть равные, то С можно вычис-
лять по (4). При этом методы (6) — (9) становятся приближенными, а
не точными. В работе [3571 допускаются связи и для значений х.
Пример 9.1. Смит [3801 описал проведенный в Австралии экспери-
мент по исследованию влияния некоего конкретного метода засева об-
лаков на количество осадков*. В одном эксперименте, который прово-
дился в Снежных горах**, было выбрано 2 района — для воздействия
(В) и для контроля (К) соответственно. И всякий раз с помощью слу-
чайного механизма определялось, надо ли засевать облака над районом
воздействия или нет. Эффект засева измерялся «двойным отношением»
В/К (засеянного)/В/К (незасеянного), где В и К — общие осадки над
районами воздействия и контроля соответственно. В табл. 9.1 дано
двойное отношение, за каждый год 5-летнего эксперимента.
Параметр угла наклона (J говорит о том, насколько изменится У, ес-
ли изменить х на единицу. Применим одностронний критерий (7), по-
лагая ро равным нулю. Тогда его можно рассматривать как критерий
для гипотезы о постоянстве двойного отношения во времени (т. е. о
том, что засев одного года не проявляется в следующих) против аль-
тернативы об его убывании во времени, вместо того чтобы проверять,
возрастает ли выпадение осадков из-за засева или позволяет ли экспе-
римент обнаружить такое возрастание.
Из (3) при 0О = 0 видим, что Dt = Yt. Продемонстрируем теперь
вычисления, нужные для получения С (4).
Из таблиц на с. 217
[5
C=2c(D;-D() = -6.
l<i
Из табл. А.21 находим
Ро{С<-6} = .117.
Это значит, что k (.117,5) = 6. Наименьший уровень, на котором мы
отклоняем Но при С = — 6 для одностороннего критерия (7), равен
.117.
* В этой работе описаны некоторые результаты исследования, начатого груп-
пой физики облаков Организации научных и промышленных исследований Бри-
танского содружества в 1955 г. в Австралии. Засев облаков йодистым серебром
(AgJ) осуществлялся с самолета. Есть некоторые основания думать, что такая
операция может привести к увеличению выпадения осадков в соответствующем
районе. Однако не исключено, что со временем эффект затухает. Эта гипотеза
и проверялась. Воздействие осуществлялось на район площадью в 80 км2, ио
предполагалось, что влияние засева может распространиться иа территорию
площадью в 2860 км2. Контрольный район имел площадь 1875 км2. Для измере-
ния осадков была создана специальная дождемерная сеть. Чередование периодов
«с засевом» и «без засева», каждый не менее 8 дней, рандомизировалось во време-
ни. За подробностями можно обратиться к сборнику: Изменение погоды челове-
ком. М., Прогресс, 1972, особенно с. 57. — Примеч. ред.
♦♦Снежные горы — массив в Австралийских Альпах, 36°30' — южной
широты, 148°20' восточной долготы. — Примеч. ред.
216
Таблица 9.1. Двойное отношение за пять лет эксперимента
в Снежных горах Австралии
Годы засева. х[ Двойное отношение. У/
1 1.26
2 1.27
3 1.12
4 1.16
5 1.03
Источник. [380].
('• /) D;-Dt с (Dj-D#
(1.2) .01 1
(1.3) —.14 —1
(1.4) —.10 —1
(1.5) —.23 —1
(2.3) —.15 —I
(2,4) —.11 —1
(2.5) —.24 —1
(3.4) .04 1
(3,5) — .09 —1
(4,5) —.13 —1
Используя нормальную аппроксимацию (от которой мы не ждем
высокой точности для такого малого объема выборки, как 5), из (9)
находим
{5(4) (15)/18}‘/2 ’ ’
Мы находим по табл. А. 1. что для N (0,1) распределенной случайной
величины Z P{Z — 1.47} = . 0708. Таким образом, наименьший уро-
вень значимости, на котором можно отклонить Яо, используя нормаль-
ную аппроксимацию метода (7), равен .0708.
Комментарии
9.1. Из (4) видно, что С велико тогда, когда Оу > О; для многих пар
(i, /). Итак,
D} - Dt = [У; - ро х} - (Yi - ро xt)J = 1У) - Yt + ро (Xi - X;)].
Более того, если модель (1) верна, то медиана случайной величины
Y} — Yi = [р (х} — х^ 4- (е} — е£)] равна Р (х} — х£). Значит, при
выполнении модели (1) медиана D}—Di равна [р (х} — х£) + Ро*
X (xi — X;)] = (Р — р0) (х} — х;). Следовательно, когда р > р0, боль-
ше шансов получать положительные разности Dj —Di, а они в свою
очередь дадут большие значения С. Это рассуждение отчасти объясня-
ет метод (6).
217
9.2. Статистика С — просто статистика Кендэла К (см. § 8.1), вы-
численная для х и Y — 00%. В частности, критерий 0О = 0 можно рас-
сматривать как критерий для корреляции между последовательностями
Y и х.
9.3. В том частном случае, когда х — упорядоченные моменты вре-
мени (см. пример 9.1) критерии (6) — (8) (при 0О = 0) можно рассмат-
ривать как критерии для альтернатив временного тренда, предложен-
ные Манном [2561 (см. также комментарий 8.10).
Свойства
1. Состоятельность: критерии, определенные в (6), (7) и (8), состоя-
тельны при 0 > 0о, 0 < Ро, 0 =/= 0о соответственно.
2. Эффективность: см. Сен [357] и § 9.7.
Ссылки. Критерий С предложен Тейлом [407] и обобщен Сеном
[357] на случай совпадения отдельных значений х.
С критерием Тейла конкурируют методы [59], [162], [163], [2].
В [59], [2] даны критерии для коэффициента а — свободного члена мо-
дели (1). В [91] предложен критерий для а = а0 и 0 = 0О. Не-
параметрические методы статистических выводов по модели (1) пред-
ставлены в [227]. Другие работы, посвященные непараметрическому
подходу к регрессионным задачам,* — [284], [229], [230], [231], [210],
[211], [146], см. также пункт «Ссылки» § 9.4. Классический подход к
регрессионному анализу см. в [460], [107].
Задачи
9.1. В работе [205] изучалось поведение связующего — композита из цепо-
зитовых микрошариков и смолы под гидростатическим давлением**. Авторы ука-
зывают, что в глубоководных связках используется легкий наполнитель, извест-
ный как структурированная пена. Это композит, состоящий из плотно упакован-
ных полых стеклянных шариков, погруженных в смоляную подложку. Производ-
ство таких шариков довольно дорого и практически определяет стоимость син-
тактической пены. Авторы заметили также, что зола от паровых котлов тепло-
централей, работающих на угольной пыли, содержит небольшую долю полых
стекловидных шариков, называемых ценозитовыми шариками. Причем их гра-
нулометрический состав довольно близок к тому, что используется в производст-
ве пены. Эти шарики легко извлекаются из отвалов золы методом, который ис-
пользуется на некоторых британских теплоцентралях. Авторам было интересно,
можно ли в ряде случаев заменить выпускаемые промышленностью дорогие по-
лые шарики на шарики из цеиознта.
Чтобы оценить полезность цеиознта как компонента структурированной пе-
ны, они испытали влияние гидростатического давления (такого, как в глубинах
океана) иа плотность композита из ценозитовых шариков и смолы. Результаты
приведены в табл. 9.2.
* Непараметрический регрессионный анализ и смежные вопросы: [5531,
[562], [5661, [567], [590], [618], [177], [624], [631], [647], [652], [687], [709], [714],
[735], [742], [743], [744], [745], [746], [747], [754].
Устойчивая регрессия и смежные вопросы: [492], [529], [540] и многие дру-
гие, см. [630]. — Примеч. пер.
** Цеиозит (или кайнозит)—минерал, сопутствующий углю и потому при-
сутствующий в угольной пыли, а затем, естественно, попадающий в золу. Соб-
лазнительно испытать этот бросовый продукт вместо дорогого легкого (легче
воды) наполнителя для связующих, работающих под водой на больших глуби-
нах. — Примеч. ред.
218
Таблица 9.2. Влияние гидростатического давления
иа плотность композита из ценозитовых шариков и смолы
Образец Давление (фунты иа кв. дюйм) Плотность (г/см*)
1 0 0.924
2 5000 0.988
3 10000 0.992
4 15 000 1.118
5 20000 1.113
6 25000 1.145
7 30000 1.157
8 100 000 1.357
Источник. [205].
Каков наименьший уровень значимости, на котором можно отклонить
Яо : 0 = 0 в пользу альтернативы 0 > О?
9.2. Докажите или покажите иа числовом примере, почему влияние неиз-
вестного мешающего параметра а (см. модель (1)) устраняется методом (6).
Подсказка: рассмотрите члены С (Dj — Di) в (4).)
§ 9.2. ОЦЕНКА, СВЯЗАННАЯ СО СТАТИСТИКОЙ ТЕЙЛА (ТЕЙЛ)
Метод. Для оценки параметра 0 из модели (1) надо сделать следую-
щее.
(п\
2 I и достроить N значений углового коэффи-
циента St] = (Yj — YiV (xj — хг), i < j.
2. Оценка 0 равна:
0 = медиана {Sf;}. (12)
Пусть SU) ^ ... ^ S(W) обозначают упорядоченные значения всех
Stj. Если W — нечетное число, скажем, N = 2k + 1, то
0 = 3(*+П. (13)
Если же N — четное, скажем, N = 2k, то
-----• О4)
Пример 9.2. Рассмотрим данные о двойном отношении из табл. 9.1.
упорядоченные значения Si} = (Y} — Уг)/ (х} — х;) — это S(1> ^ ...
5<М); _ Л50> _ J30> _ 080> _ 070j _ 0575j _ 055) _ 045) _
~~ -033, 4- .010, + .040. При N = ( g ) = Ю получаем N = 2k и й =
5. Тогда из (14)
г з<»+*»> = .мге-.ою = _.о563.
2
219
Комментарии
9.4. Сен обобщил оценку Тейла на случай, когда некоторые х мо-
гут совпадать. Пусть N' — число положительных разностей х? — xit
С > i. (В случае когда х различны, N' = N.) Оценка Сена 0 — это ме-
диана угловых коэффициентов выборки объемом N', которую можно
найти по имеющимся данным. В том частном случае, когда хг = хг ==
= ... = хт, = 0 и xmi+1 = xmt+2 = ... = хт,+тг = 1 (при п = т1 +
+ /и2, < га), оценка Сена сводится к медиане (Yj — ^раз-
ностей, где i = 1, .... /raj и / = raii + 1, ..., + гаг2. Таким образом,
оценка Сена сводится к медиане Ходжеса—Лемана из §4.2, применен-
ной к двум выборкам: Ух, ..., Ymi и Ут|+1.Ут1+т2.
9.5. Оценка 0 менее чувствительна к грубым ошибкам, чем клас-
сическая оценка, полученная по методу наименьших квадратов
2 (Yi-Y)(Xi-x)
2
1
п — п
.где х = (2 *<)/«» У = (2 Kt)/ra.
1=1 i=i
9.6. Оценка 0 — медиана совокупности N отдельных оценок коэф-
фициентов _5г; = (Y} — Yt)/ (xj — Xi). А оценка метода наименьших
квадратов 0 (см. комментарий 9.5) — взвешенное среднее Si?-.
Свойства
1. Стандартное отклонение 0 (12): асимптотическое стандартное
отклонение 0 (12) см. в [357].
2. Асимптотическая нормальность: см. [357].
3. Эффективность: см. [357] и § 9.7.
Ссылки. Оценку 0 (12) предложил Тейл [409], обобщение на
случай не обязательно различных х дано в [357]. К непараметрическим
конкурентам относятся оценки из [59], [3] и средняя точка доверитель-
ного интервала из § 9.3. Оценка для более общей одновыборочной рег-
рессионной модели предложена в [320].
Задачи
9. 3. Оцените 0 по данным о композитах из табл. 2.
9. 4. Вычислите 0 (см. комментарий 9.5) по данным о композитах из табл. 2
и сравните 0 со значением 0 из задачи 9.3. Вообще, что легче вычислить: 0 или 0?
220
§ 9.3. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ, ОСНОВАННЫЙ НА КРИТЕРИИ
ТЕЙЛА (ТЕЙЛ)
Метод. При построении двустороннего доверительного интервала
для р с коэффициентом доверия 1 — а надо выполнить следующее.
1. Из табл. А.21 определить постоянную Са, удовлетворяющую
уравнению
ро {—са^ Са) = 1 — а. (15)
Заметим, что Са + 2 = k ((а/2), га).
2. Получить упорядоченные значения ДО) ^ ... ^ £<*) для N =
= (2 ) Угловых коэффициентов Si} = (Yj — уг)/ (Х] — х().
3. Положить
М1==2)^Са (16)
И
(17)
4. Искомый (1 — а)-доверительный интервал (р L, (J v) дается фор-
мулами
Pl = S(A4 (18)
ру = 5(Л,г + 1). (19)
При заданных формулами (18) и (19) значениях pL и р v имеем
M₽L<₽<M = (20)
Приближение для большой выборки. При больших п можно при-
ближенно заменить Са на
С 7 (п(п 1) (2n-J-5)U/2
f-a ~ Z(a/2) ---— j • 1/1)
Вообще говоря, правая часть (21) не является целым числом, так
что для подстановки в (16) и (17) надо брать ближайшее к нему целое.
Пример 9.3. Рассмотрим данные о двойном отношении из табл. 9.1.
Давайте найдем доверительный интервал для 0 с коэффициентом до-
верия 1 — a = 1 — .084 — .916. Из табл. А.21 при га = 5 имеем
k (.042,5) = 8. Затем по 1-му шагу метода получаем С.О84 = k (.042,5)
— 2 = 8 — 2 = 6. Поскольку N = ( 2 j = 10, из (16) и (17) следует
М1=_^ = 2,
1 2
М2 = -1°±6=8.
2 2
Таким образом, (18) и (19) дают концы 91.6%-ного доверительного
интервала для р : р L = S(2) и ру = S(a). Из вариационного ряда
значений коэффициентов угла наклона, приведенных в примере 9.2,
221
получаем S<2> = —.130 и S(8> = .010, так что 91.6%-ный доверитель,
ный интервал для 0 таков:
(0ь, ₽и) = (-.13О, .010).
Комментарии
9.7. Середина интервала, задаваемого (18) и (19) и равная
[5(м,) 5(м, +1 )]/2, — разумная оценка 0. (Заметим, что это факти-
чески приводит к классу оценок, зависящих от величины а.) Такая
средняя точка в общем случае не совпадает с 0 (12).
Свойства
1. Формула (20) верна для совокупностей, удовлетворяющих до-
пущениям А1—АЗ. Таким образом, интервал (0 L, 0Ц) — свободный
от распределения доверительный интервал для 0 в весьма широком
классе совокупностей.
2. Эффективность: см. [357] и § 9.7.
Ссылки. Доверительный интервал этого параграфа получен
Тейлом [408], [409], а затем обобщен Сеном [357] на случай, когда зна-
чения х не обязательно различны.
Задачи
9.5. Постройте доверительный интервал для 0 по данным о композите из
табл. 9.2. Используйте коэффициент доверия .938.
9.6. Возьмите какой-нибудь набор данных. Покажите, что длина симметрич-
ного двустороннего доверительного интервала для 0, заданного (18) н (19), при
увеличении коэффициента доверия может только увеличиваться.
ДВЕ ЛИНИИ РЕГРЕССИИ
Данные. Для прямой i, i = 1,2, имеем наблюдения Уг1....YiN>
при известных значениях хц, xiN*. Случайная величина Уц — это
отклик в точке хц, / = 1, Не теряя общности, можем предпо-
лагать, ЧТО Хц <1 xi2 ... xiN*.
Допущения
Б1. Возьмем модель
Ya = аг + 0^; + etj i = 1, 2; j = 1....N*t (22)
где все значения х — известные неслучайные величины, а ап а2, и
02 — неизвестные параметры.
Б2. Все e(i взаимно независимы.
БЗ. Для первой прямой все е1} извлекаются из одной и той же не-
прерывной совокупности Пх. Для второй прямой — все е2/ извлека-
ются из одной и той же непрерывной совокупности П2. При этом сово-
купности ilj и П2 не обязаны совпадать.
§ 9.4. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ДВУХ РЕГРЕССИОННЫХ ПРЯМЫХ
Метод. Для проверки
HQ: 01 = 02 (23)
надо выполнить следующее.
222
1. Положить N* = 2п, отбрасывая, если надо, одно случайное
наблюдение из каждой выборки (т. е. если N* нечетно).
2. Для 1-й прямой образовать п пар, объединяя } с xlt j+n, j~
=? 1, ..., п, а затем найти п оценок углового коэффициента этой пря-
мой В виде
= —, /= 1,.... п. (24)
xi, ]+п — х1]
3. Для 2-й прямой образовать п пар так же, как на 2-м шаге, а за-
тем снова получить п оценок углового коэффициента:
=-----------,/=!,...,п. (25)
хг, t+n—xtt
4. Объединить случайным образом в пары величины с «а (так,
чтобы каждое и появлялось в одной и только одной паре), а затем вы-
числить п разностей вида
2 = Иц — Иц. (26)
Обозначить эти разности Zlt .... Zn.
5. Повторить шаги 1—4 метода из § 3.1, при этом значения Z, по-
лученные на 4-м шаге, играют ту же роль, что и Z из § 3.1, а — р2
играет роль 6 (см. (3.1) и (3.2)). Иначе говоря, надо найти статистику
Т+ (3.3) по значениям Z, полученным на 4-м шаге, и применить кри-
терий знаковых рангов, описанный в (3.4)—(3.6).
Приближение для большой выборки. Использовать приближение
для большой выборки из §3.1, формулы (3.7) и (3.8).
Связи. В случае, если среди наблюдений |Z|, полученных на 4-м
шаге обнаружатся связи, надо брать уточненные формулы из пункта
«Связи» в §3.1.
Пример 9.4. В работе [447] обсуждается метод испытания инсулина
на культуре ткани полудиафрагмы мышей. Эффективность метода за-
висит от способности данного гормона стимулировать синтез гликоге-
на на культуре ткани диафрагмы, т. е. in vitro (в пробирке)*. Полу-
* Инсулин — гормон, вырабатываемый поджелудочной железой, способ-
ствующий усвоению углеводов и снижающий концентрацию сахара в крови.
При некоторых болезнях, прежде всего при сахарном диабете, возникает необ-
ходимость во введении в организм инсулина, получаемого ранее из желез внут-
ренней секреции убойного скота. В конце 30-х годов инсулин удалось синтезиро-
вать. Синтезируемый в промышленности препарат нуждается в экспрессном ме-
тоде оценки качества. Данная работа — один нз подходов к решению этой важ-
ной проблемы.
Если можно считать, что действие препарата на культуру ткани (in vitro)
аналогично его поведению в организме (in vivo), то о его качестве можно судить
по способности стимулировать синтез гликогена. Гликоген (или животный
крахмал) — основной запасный углевод в организме. Он может превращаться
в глюкозу, которая поступает в кровь, обеспечивая организм «энергией». Для
измерения количества выработанного гликогена в прозрачный раствор вводится
антрон (СцНюО). Реагируя с гликогеном, антрон образует взвесь, тем более
плотную, чем больше было гликогена. Это выявляется при измерении оптической
плотности раствора — способности его пропускать свет. В предыдущей работе
был построен градуировочный график для рабочего диапазона концентраций
инсулина. Эталоном —«стандартным инсулином» — обычно служит препарат
естественного происхождения. — Примеч. ред.
223
диафрагмы извлекались при вскрытии мышей, доведенных голоданием
до постоянного веса, равного 18 г. Ткани культивировались в пробир-
ках, затем полученные полудиафрагмы промывались водой и анали-
зировались на содержание гликогена с помощью антрона. Мерой со-
держания служила оптическая плотность раствора. В этом методе
анализа используется тот факт, что рост концентрации инсулина в ус-
ловиях культивирования интенсифицирует синтез гликогена на ди-
афрагмах. В частности, при содержании инсулина в границах от
.1 до 1.0мг/мл существует приближенная линейная связь между содер-
жанием гликогена и логарифмом концентрации инсулина (см. [4461).
Чтобы показать работу критерия параллельности, воспользуемся
данными табл. 4 из статьи [446], относящимися к 12 наблюдениям
над «стандартным инсулином» и 12 наблюдениям над «первым образцом
инсулина». Данные приведены в табл. 9.3. Для обеих линий (и «стан-
дартной», и «первого образца») есть 6 наблюдений при объеме инсули-
на 0.3 мл и 6 наблюдений при объеме 1.5 мл. Обозначим линию «стан-
дартного инсулина» 1-й, а линию «первого образца» — 2-й.
В этом испытании инсулина, как и во многих биологических испы-
таниях, вопрос о параллельности исключительно важен, поскольку
заключение об относительной действенности (испытываемого препа-
рата по сравнению со стандартным) зависит от предположения о па-
раллельности линий «доза» и «эффект».
Таблица 9.3. Содержание гликогена на полудиафрагмах,
измеренное по оптической плотности в присутствии антрона, XI 000
Стандартный инсулин Инсулин первого образца
/ Х1}. (дозы) (содержание гликогена) x2j (дозы) У2^ (содержание гликогена)
1 10g(.3) 230 log(.3) 310
2 log(.3) 290 log(.3) 265
3 log(.3) 265 log(.3) 300
4 log(.3) 225 log(.3) 295
5 log(.3) 285 log(.3) 255
6 log(3) 280 log(.3) 280
7 log(1.5) 365 log (1.5) 415
8 log(1.5) 325 log(1.5) 375
9 log (1.5) 360 log(1.5) 375
Ю log (1.5) 300 log (1.5) 275
11 log (1.5) 360 log (1-5) 380
12 log(1.5) 385 log(1.5) 380
Источник. [446].
Положим d = log (1.5) — log (.3) = .699; для ясности будем пи-
сать Уц (Xij) вместо YtJ (хи). Тогда получим:
«п
__ Л ,7~^1 , I
Х1,7~Х1.1
365—230
d
193.1,
224
«12 — ^1.8-Г1,2 325 - 290 _5()1
*1 ,8 — *1,2 d ' ’
^1,9 — ^1 ,3 _ 360 - 265. = 135 9>
«•13
, 9 — Х1.3 d
. ^1 ,10 —Л,4 300—225 107 3
”14 *1,10 — *1 ,4 d ’ ’
//- — ^1,5 _360 — 285 _ jny ч
”16 *1,11—*1,5 d
^1,12 —^1,6 __ 385—280 _ i5Q g
«16 —
*1,12 —*1,6 d
«21 = ^2,7 —^2,1 415—310 — 150 2
*2,7 —*2,1 d
«22 = ^2,8~^2,2 375 265 157 4
*2,8 — *2,2 d
«23 ^2,9 —^2,3 = 375 - 300 = j Q73>
*2,9—*2,3 d
^2, 10~ ^2,4 . — 275—295 gg 6
”24
*2, 10 —*2,4 ^2,П~^2,5 d = 380- 255, = 178 8^
«26 =
*2,11““ *2,5 d
ft- — ^2, 12—^2,6 380— 280 _ j48 j
”•26
*2,12 —*2,6 d
Случайным образом объединяя некоторые их с некоторыми и2, по-
лучим шесть разностей Z:
^1 «и «21> Z2 = U12 — «221 Z8 = «13 — «24, Z4 = «14 «25>
Z5 = U15 — u2e, Z6 = Uie — и2з.
Пользуясь обозначениями § 3.1, сведем теперь вычисления в таблицу,
предназначенную для получения, применительно к Z, статистики зна-
ковых рангов Уилкоксона Т+.
i zi 1 |
1 0 42.9 42.9 2.5 1 2.5
z —107.3 107.3 5 0 0
о A 164.5 164.5 6 1 6
4 к -71.5 71.5 4 0 0
□ £ —35.8 35.8 1 0 0
0 42.9 42.9 2 5 1 2.5
225
Из (3.3) получаем
i=i
Из табл. А.4 находим, что t (.078,6) = 18.
Двусторонний метод (3.6) при а = .156 и = а2 = а/2 отвергает
гипотезу при Т+ > 18 или Т+ < 3. Поэтому при значении Т+ = 11
мы принимаем гипотезу на уровне .156.
Комментарии
9.8. При выполнении допущений Б1—БЗ этого параграфа разности
Z из (26) удовлетворяют допущениям А1—АЗ гл. 3, если положить
6 = Pi — р2. Тогда можно применить критерий знаковых рангов и
получить свободный от распределения критерий Pj = р2.
9.9. Каждое значение Z = — u2t представляет собой разность
оценок угловых коэффициентов двух линий. Если Pj > р2, то оценки
для 1-й линии будут превышать оценки для 2-й линии, что приведет к
положительным значениям Z и большим Т+. Это проясняет смысл ме-
тода (3.4) применительно к величинам Z из (26).
9.10. Случайное объединение в пары на 4-м шаге можно заменить
любым другим объединением «1;- с и^, поскольку оно зависит лишь от
х (а не от и ы2) и каждое и появляется в одной и только одной паре.
Случайное объединение в пары выступает здесь как мера предосторож-
ности против смещений. Мы подчеркиваем, что пользователь имеет
право делать всякий раз лишь одно случайное объединение. Было бы
неверно перебирать различные объединения в пары до тех пор, пока
одно из них не приведет к значимому решению. Такие действия ведут
к неверным выводам.
9.11. Необходимость объединения в пары и ограничение, состоя-
щее в требовании равного числа наблюдений для каждой прямой, —
вот недостатки этого критерия параллельности. На перечисленные де-
фекты можно смотреть как на плату за относительно высокую эффек-
тивность критерия, к тому же свободного от распределения при допу-
щениях Б1—БЗ.
9.12. Сен [358] предложил критерии параллельности для регрес-
сионных прямых; при k = 2 эти критерии — соперники критерия,
предложенного для Но (23) в этом параграфе. Критерии Сена сво-
бодны от распределения лишь асимптотически, имеют хорошую эф-
фективность и не требуют равного числа наблюдений для каждой пря-
мой. Однако они используют оценки, которые (обычно) надо искать
методами проб и ошибок.
Свойства
1. Состоятельность: при слабых ограничениях на наборы {х^} кри-
терии (3.4), (3.5) и (3.6), где Т+ вычислено для разностей Z (26), со-
стоятельны, когда Pi — р2>0, Pi — р2<0 и Pi— р2#=0 соответственно.
2. Эффективность: см. [195] и §9.7.
Ссылки. Критерий параллельности, описанный в этом парагра-
фе, был предложен Холлендером [195]. Поттхофф [297] предложил кон-
сервативный непараметрический критерий для Но, который не толь-
ко ие свободен от распределения, но даже и асимптотически не обла-
22«
дает этим свойстйоМ. Сен [358] рассмотрел класс асимптотически сво*
водных от распределения критериев для Но. Другие ссылки по непа-
раметрическим методам регрессии см. в пункте «Ссылки» из § 9.1.
Задачи
9.7. В работе [452] обсуждается проект SCUD, в котором делается некоторая
попытка изучить влияние засева облаков в районах циклона. Исходная гипотеза
состоит в том, что засев облаков в зоне образования циклонов над восточным по-
бережьем США ие оказывает заметного влияния на развитие здесь ураганов.
В табл. 9.4, основанной на части наблюдений (эксперимент 1 из табл. 9.1 [452])
из проекта SCUD, даны значения «Rh> и «Л4» для 11 районов засева и 10 конт-
рольных районов.
Таблица 9.4. Количество выпавших осадков RI и коэффициент
циркуляции М для районов засева и контроля
Засев Контроль
/ (М) | Уу (W> X2i М |
1 24 .180 —7 .138
2 28 .175 10 .081
3 30 .178 17 .072
4 37 .021 25 .188
5 43 .260 44 .075
6 47 .715 51 .435
7 52 .441 53 .423
8 57 .205 63 .339
9 71 .417 75 .519
10 87 .498 90 .738
11 115 .603
Источник. [452].
Величина RI — это некая мера количества осадков, а М — геострофиче-
ский меридианный коэффициент циркуляции*, используемый в предсказании
зарождения циклонов. Развитие циклона ожидается лишь тогда, когда предска-
занное значение М положительно. Проверьте параллельность регрессионных
прямых RI иа М для районов засева и контроля.
9.8. Вернитесь к примеру 9.4 и проведите свое собственное объединение
в пары всех Mj и «2. Сделайте необходимые расчеты и сравните новые результаты
с теми, что получились в примере 9.4. (Сохраните это случайное объединение для
задачи 9.12.)
§ 95. ОЦЕНКА, СВЯЗАННАЯ СО СТАТИСТИКОЙ ХОЛЛЕНДЕРА
Метод. Для оценки
е = ₽1 - ₽2, (27)
* Геострофическим называется перемещение, происходящее в условиях
уравновешивания противоборствующих сил. Горизонтальный барический гра-
диент уравновешивает отклоняющие силы Кориолиса. При отсутствии этих
сил трение направлено по изобарам, причем в Северном полушарии ортогонально
меридиану вправо, а в Южном — влево. При некоторых обстоятельствах способ-
ствует образованию циклонов. — Примеч. ред.
227
где 0i и 02 — параметры углов наклона модели (22), надо выполнить
шаги 1 и 2 метода из § 3.2, используя значения Z, даваемые (26). При
этих значениях Z оценка, задаваемая формулой (3.10), равна:
?= медиана » I /}. (28)
Пример 9.5. Рассмотрим данные о содержании гликогена из табл. 9.3.
Значения Z, полученные в примере 9.4, таковы: Zx = 42.9, Z2 =
= —107.3, Z3 = 164.5, Z4 = —71,5, Z5 = —35,8, Z6 = 42.9. Вот
все n (n + 1 )/2 = 21 упорядоченных значений (Z; + Zy)/2 IF1) <
<...< IF21>: — 107.3, —89.4, —71.6, —71.5, —53.7, —35.8
—32.2, —32.2, —14.3, —14.3, 3.55, 3.55, 28.6, 42.9, 42.9, 42.9, 46.5,
64.4, 103.7, 103.7, 164.5. Из (3.11) находим
*6 = IFU> = 3.55.
Комментарии
9.13. Оценка, основанная на статистике Холлендера, удобна, если
уже получены разности Z из § 9.4 и можно воспользоваться оценкой
из § 3.2. Напомним, что каждая разность Z из § 9.4 имеет вид и1;- — u2i,
где и1} — выборочная оценка углового коэффициента 0Ь а — выбо-
рочная оценка углового коэффициента 02. Мы не сравниваем каждую
и1}- со всеми ы2ь поскольку хотим обеспечить взаимную независимость
разностей Z, чтобы получить свободный от распределения критерий
Но : 01 = 02. В оценивании нет какой-либо свободы от распределения
и надо считать все возможные разности ц1;- — и2(, сравнивая таким
образом каждую выборочную оценку коэффициента угла наклона 1-й
прямой с любой выборочной оценкой угла наклона 2-й прямой. Пред-
положим, что для прямой i, i = 1,2, есть М£ наблюдений. Пусть
7V(£) — число положительных разностей Хц> — xi}, так что
Nt
^‘\=^с(хц.-х1}}, i = l,2, (29)
КГ
где с (а) задано формулой (5). Теперь надо найти все возможные №>
выборочных оценок коэффициента угла наклона прямой i —
— Yц)/ (хц> — Xij), образуя для этого М<1)М<2) разностей
zS3,tt,= y^-yis s<s,, t<i, (30)
*1S' *ls X2t' X2t
и получая оценку как медиану совокупности всех этих A^W*2) раз-
ностей
6 = медиана {ZSS'tf}.
Для нее вовсе не нужно, чтобы объемы выборок для двух прямых сов-
падали. Но счет гораздо утомительнее. (Если все Xj и все х2 различны,
то NU> = и существует (Л\ — 1)М2 (М2 — 1)/4 разностей 2.)
228
Оценку 0 можно рассматривать как оценку, связанную с критерием
параллельности из 1297]*.
9.14. Возможно, что при использовании всех имеющихся выбороч-
ных оценок углового коэффициента наиболее разумная оценка 0 =
= Pi — 02 получается тем же способом, которым Сен [357] обобщил
оценку Тейла из § 2. Пусть JVM и N& те же, что и в комментарии 9.13.
Оценка Сена (скажем, 0J параметра 0Х — медиана АЛ1) выборочных
значений углового коэффициента, которые можно найти для 1-й пря-
мой. Если значения х для этой прямой различны, то AM1) = I 2 I и
оценка Сена сводится к оценке Тейла. Аналогично пусть 02 — медиа-
на AM2) тех выборочных значений углового коэффициента, которые мож-
но найти для 2-й прямой. Положим
Hj-K (32)
Эта оценка не требует равного объема выборок. С вычислительной точ-
ки зрения надо найти медианы значений и AM2) вместо медианы
JV<1)JV<2> значений, как требовалось в (31).
Свойства. Эффективность: см. § 9.7.
Ссылки. К конкурентам оценок (28), (31) и (32) относятся оцен-
ки, имеющие форму 0* — 02, где 0Z* — оценка Брауна—Муда [59]
или Адичи [3] параметра 0г, i = 1, 2.
Задачи
9.9. Возьмите данные табл. 9.4. Воспользуйтесь 0 (28) для оценивания
₽1 02- я
9.10. Решите задачу 9.9, используя 0 (32) вместо 0. Сравните результаты»
§ 9.6. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ, ОСНОВАННЫЙ НА КРИТЕРИИ
ХОЛЛЕНДЕРА
Метод. При построении симметричного двустороннего интервала
для 0 = 0! — 02 с коэффициентом доверия 1 — а надо выполнить ша-
ги 1—3 метода из § 3.3 применительно к величинам Z (26). При этих
Z доверительный интервал задается формулами (3.14), а именно:
0L = r(Ca), 0у = Г(М+1-Са) , (33)
где Са определяется из табл. А.4, так чтобы выполнялось (3.13). Здесь
М = п (п -|- 1)/2 и ИМ1) ... ИМ") — упорядоченные значения
(Zt + Z;)/2, i /. При 0 ь и 0 и из (33) имеем
{0 ь < 01 - 02 < е ц} = 1 - «• (34)
* См. также [553]. — Примеч. пер.
229
Г рафичёский метод. При построении доверительного интервала для
6 = 0! — 02 к Z из (26) можно применить графический метод из § 3.3.
Приближение для большой выборки. Берите приближение для
большой выборки из § 3.3.
Пример 9.6. Рассмотрим данные о содержании гликогена из
табл. 9.3. Из табл. А.4 при п = 6 и а = .062 находим t ((а/2), п) =
= t (.031,6) = 20. Затем по 1-му шагу метода из §3.3 получаем
С.овг = {6 (7)/2 + 1 — t (.031,6) = 21 + 1 — 20 = 2. Из (33) видим,
что 93.8%-ный доверительный интервал
(6 b, 6 о) = (-89.4, 103.7),
где — 89.4 = Ц7(2> и 103.7 = И7(2о> получены из данных в примере 9.5.
Комментарии
9.15. Недостаток доверительного интервала (33) заключается в
зависимости от не относящегося к существу дела объединения в пары.
(Это также относится к методам проверки из § 9.4 и к оценке 0 (28) из
§ 9.5.) Таким образом, два различных человека, задавшись одним и
тем же коэффициентом доверия, обрабатывая при этом одни и те же
данные, могут (и, вероятно, будут) получать различные доверительные
интервалы.
9.16. Средняя точка интервала (33), а именно [ Ц7(Са) 4- 1 -Са)]/2,
служит естественной оценкой 0л — 02. Вообще говоря, эта оценка не
совпадает с 6 (28).
Свойства
1. Для совокупностей, удовлетворяющих допущениям Б1—БЗ,
выполняется (34). Таким образом, (бх,, бу) — свободный от распре-
деления доверительный интервал для 6 в широком классе распреде-
лений.
2. Эффективность: см. § 7.
Ссылки. В [297] предложены доверительные границы для 0,
основанные на статистике
:*) (!•)]
2 Sd(4s-«'),
s<s' t<t'
(35)
где d (а) равно 0, если а < 0, и равно 1, если а > 0, a Zss' it’ задает-
ся по (30). Причем планы эксперимента построены так, что нет двух
одинаковых значений %i и двух одинаковых значений х2.
Задачи
9.11. По данным об осадках из табл. 9.4 постройте доверительный интервал
для 0 = 01 — 02 с коэффициентом доверия .938.
9.12. Вернитесь к задаче 9.8 и, используя случайное объединение в пары из
этой задачи, постройте другой доверительный интервал с коэффициентом дове-
рия .0938 для 0 = 0J — 02 по данным о содержании гликогена из табл. 9.3. Срав-
ните этот интервал с полученным в примере 9.6.
9.13. Дайте определение линейной регрессии.
230
§ 9.7. ЭФФЕКТИВНОСТЬ (РЕГРЕССИОННЫЕ ПРОЦЕДУРЫ
ДЛЯ УГЛОВ НАКЛОНА)
Асимптотическая эффективность процедур Тейла из этой главы по
отношению к их соперникам из нормальной теории, основанным на
оценках наименьших квадратов 0, найденная Сеном [357], равна:
/9 (F) = (Р),
(36)
где /i(F) — мера эффективности, которая уже появлялась в §3.10,
4.4, 6.5 и 7.9; е2 — предельное значение (п -> оо); еп (определено в
(6.2) [357]) — обычный коэффициент корреляции между (хь ..., хп) и
(1, 2, ..., п). Величина 8П зависит от структуры плана (х1( ..., хп). Важ-
ный частный случай е = 1 возникает в плане без повторений с равно-
мерным расположением точек, когда Xt = хг + (I — 1) а, а> 0, i =
= 1, ..., п. При е2 = 1 значения /9 (F) (36) можно получить из
табл. 3.10.
Теперь обсудим асимптотическую эффективность методов из § 9.4—
9.6. Рассмотрим план с равномерным расположением точек, где на
прямой i всего N* = 2kn' наблюдений, причем п’ наблюдений — это
параллельные в каждой из 2k точек
Ci + 2cij,j = 0....2k — 1, (37)
где Ct, Ci — произвольные константы, а с(>0, / = 1, 2.
Для плана (37) асимптотическая относительная эффективность (при
п,' -* оо) методов, основанных на статистике Холлендера (по отноше-
нию к их соперникам из нормальной теории, основанным на оценках
метода наименьших квад-
ратов для параметров 0lt
02), дается величиной /10
(Flt FJ\ где Fj (F2) — об-
щая функция распределе-
ния наблюдений е1} (е2}).
Значения /10 (Fb F2) для
случая k = 1 (двухточеч-
ный план), с' = (c2/Cj) = 1
и F, = f2 = F приведены
в табл. 9.5.
Таблица 9.5. Значения /щ (F, F)
для плана (37) при k=l, c=(c2/ci) = l
F /ю (F. F)
Нормальное Равномерное Экспоненциал ь ное .955 .919 1.172
В рамках плана (37) случай k = 1 можно рассматривать как наи-
более благоприятный для методов, основанных на статистике Холлен-
дера. Для фиксированных Flt F2 и с асимптотические эффективности
убывают по k. Отчасти это происходит потому, что с ростом k эти ме-
тоды используют все меньшую долю от общего количества оценок угло-
вых коэффициентов, которые можно найти по наблюдениям.
х Математическое выражение для /;0 (Flt F2) дается формулой (3.4) [195].
231
ГЛАВА КРИТЕРИИ,
Ю СКОНСТРУИРОВАННЫЕ
ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ
ПРОИЗВОЛЬНЫХ
АЛЬТЕРНАТИВ
Эта глава посвящена свободным от распределения критериям, пред-
назначенным для обнаружения широких классов альтернатив. В
§ 10.1 приведено описание двухвыборочного свободного от распреде-
ления критерия для гипотезы об идентичности двух совокупностей
IIj и П2. Критерий предназначен для обнаружения всех возможных
отклонений от этой гипотезы. В § 10.2 представлен свободный от рас-
пределения критерий для гипотезы о независимости случайных вели-
чин X, Y из двумерной совокупности. Критерий предназначен для об-
наружения широкого класса альтернатив зависимости. В § 10.3 мы
описываем свободный от распределения критерий для гипотезы, ут-
верждающий, что случайные величины X, Y из рассматриваемой дву-
мерной совокупности перестановочны. Критерий служит против (поч-
ти) всех отклонений от перестановочности. В § 10.4 переменные X рас-
сматриваются как случайная выборка из какой-то одной совокупно-
сти «времен жизни» (сроков службы) некоторых изделий. Исходная
гипотеза состоит в том, что новые изделия не лучше и не хуже старых
(т. е. рассматривается экспоненциальное распределение). Описанный
свободный от распределения критерий предназначен для обнаруже-
ния всех альтернатив, при которых новые изделия лучше (или
хуже), чем старые.
§10.1. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
ОДНОРОДНОСТИ ДВУХ ВЫБОРОК (КОЛМОГОРОВ — СМИРНОВ)
Данны е. Имеем N = т + п наблюдений ..., Хти Уь .... Уп-
Допущения
А1. Все N наблюдений X и У взаимно независимы.
А2. Все эти X извлечены из одной непрерывной совокупности ПР
АЗ. Все У извлечены из одной непрерывной совокупности Пг.
232
Метод. Мы рассматриваем гипотезу о том, Что совокупности Пх и
П2 идентичны, т. е. о том, что обе выборки извлечены из одной и той
же совокупности. Ее можно записать так:
Но : Р (X а) = Р (У а) для всех а.
(1)
Для проверки Но надо сделать следующее.
1. Переупорядочить объединенную выборку из N наблюдений
Хь ..., Хт, Уь ..., Yn для получения набора из тех же N наблюдений,
но упорядоченных по возрастанию. Обозначить эти упорядоченные
значения через
2(d Z(2) ^ ... ^ Z(W). (2)
2. Ввести переменные бг, i = 1, М, положив
г1, если Z(n — одно из наблюдений X,
О, если Z(o — одно из наблюдений У.
(3)
3. Допустить, что
d = общий наибольший делитель тип. (f)
4. Положить , i,n, (5)
и ввезти Jx =— max{s1( d (6)
Т N f J2 = — max{— d (7)
r N (l J3 = — max {| sx d 1. IM- (8)
5. Односторонний критерий уровня а для гипотезы Но (1) против
альтернативы
Р (X а) < Р (У а), по меньшей мере для одного а, (9)
таков:
отклонить Но, если Д (а, т, п),
.принять Но, если J± <z j\ (а, т, ri), .
(Ю)
где константа Д (а, т, ri) удовлетворяет уравнению Р Мх
> h (а, т, п)] = а. Значения j\ (а, т, ri) даны в табл. А.22*.
* Здесь полезно сослаться на ряд других таблиц: [477, табл. 6.5а], [478],
где т1 50, [653], где при m < л = 1 (1) 25 уровень значимости 0.001 <а<
К 0.10; тСп = 1 (1) 100, а= 0.001, 0.005, 0.01, 0.025, 0.05, 0.10, даны
верхние процентные точки. В этих книгах обсуждается и точность приближения
и т. п. См. также [577]. — Примеч, пер.
233
Односторонний критерий уровня а для гипотезы Но (1) протий аль-
тернативы
Р (X а) > Р (У а) хотя бы для одного а (1 п
таков:
отклонить Но, если J2 /а (а> т> п),
(12)
принять Но, если J2 < j2 (а, т, п),]
где константа Д (а, т, п) удовлетворяет уравнению Р {J2 д (а>
т, п)] = а. Константы Д и /2 удовлетворяют соотношению Д (а’
т, п) = /г (а> т)- Поэтому значения /2 (а, п, п) = Д (а, п, п)
также можно получить из табл. А.22.
Двусторонний критерий уровня а для Но (1) против любой альтер-
нативы о том, что Но не верна, а именно
Р (X а) Р (Y а), таков: (I3)1
отклонить Но, если J3^ j3 (а, т, «),]
(14)
принять Но, если J3<Z j3 (а, т, п),)
где константа /3 (а, т, п) удовлетворяет уравнению Ро [J3^ j3 (а,
т, п)] = а. Значения /3 (а, т, п) даны в табл. А.23.
Приближение для большой выборки. Введем
J1 = [ max{sb.... sw}, (15)
\ тп /
j'=/'ffI+ra.y/2max{^_gi> f — sN}, (16)
\ тп /
/'=МНду/2П]аХ{|'<;1|.....|8л,|}, (17)
\ тп /
где S; заданы в (5).
При стремлении min (m, п) к бесконечности
Ро (/;<%)-> 1— е-2Л', %> 0, (18)
Ро(^<Ь)->1—е-2Л’, %>0, (19)
Po(J3<X)-^ 2 (—lye-2^*, ><>0, (20)
/=—»
предельные значения вероятностей в (18)—(20) равны нулю для % 0.
Табл. А.24 содержит значения функции Q (%), определенной как
Q(X)= 2 (_i)/e-2/«v х>0. (21)
/= — »
1 Мы используем обозначение ф для альтернативы о том, что Р (X а)
не тождественно равна Р (У ssj а), т. е. что Пх=/= П2.
234
Приближение для большой выборки в методе (10), основанное на
(18), таково:
' (—ln«) ]i/2
отклонить Но,
2
ы J' (—Ina) ]1/2
принять Но, если J, < --------
(22)
2
(23)
Приближение в методе (12) для большой выборки дается формулой
(22) с заменой J'2 на J’lt а приближение к методу (14) при большой вы-
борке основывается на (20); вот оно:
отклонить Но, если
принять Но, если
где qZ находится из
Q(<£) = l-a (24)
и может извлекаться из табл. А.24*.
Связи. При наличии связей применить метод (10) ((12), (14)), вы-
числяя Ji (J2, J3) непосредственно из (32) ((33, (34)), и используя те
же критические точки, что и при отсутствии одинаковых наблюдений.
Эмпирические функции распределения Fm (а) и Gn (а), заданные (30)
и (31) соответственно, хорошо определены и при наличии связей, поэ-
тому никаких подгонок не надо. Этот подход консервативен, ибо при
наличии связей мы получаем критерии с уровнем значимости, не пре-
вышающим номинальный (см. [165, с. 159], [278], [443]. Другие методы,
действенные при наличии связей и используемые для статистики Кол-
могорова—Смирнова, см. в [164, р. 134, 145].
Пример 10.1. В работе [100] изучалось, влияет ли на отделение слю-
ны возможность самому испытуемому знать выделенное ее количество
в ходе эксперимента по увеличению или уменьшению слюноотделения.
Испытуемые двух групп пытались увеличить слюноотделение при го-
рении левой лампочки и уменьшить — при горении правой. Аппарату-
ра для сбора слюны и регистрации ее количества описана в [100], [120].
Члены группы с обратной связью получали сигнал длительностью 0.2 с
иа частоте 1000 Гц после каждой собранной капли слюны, в то время
как члены группы без обратной связи не получали никаких указаний
о своем слюноотделении. В табл. 10.1 приведены разности между
«средним числом капель после 13 сигналов об усилении слюноотделе-
ния» и «средним числом капель после 13 сигналов об уменьшении» для
группы с обратной связью и без обратной связи, по 10 испытуемых в
каждой группе.
* Более подробная таблица приведена в томе избранных трудов
Н. В. Смирнова [534, с. 267—277, 283 (таблица вычислена Е. С. Кедровой и
М. А. Рыбинской)]. В этой таблице дано Q (X) с 7 знаками, X = 0.25 (0.001)
3.00. — Поимеч. пер.
235
Таблица 10.1. Разности средних чисел
капель
Группа с обратной связью, X* Группа без обратной связи,
-.15(5) 2.55(11)
8.60(19) 12.07 (20)
5.00(16) •46(7)
3.71 (14) .35 (6)
4.29(15) 2.69(12)
7.74(17) — .94 (2)
2.48(10) 1.73 (9)
3.25(13) .73 (8)
-1.15(1) -35(4)
8.38(18) — .37 (3)
Источник. [100].
Найдем двустороннюю
статистику J3 (8) для под-
счета всех возможных раз-
личий между группами с
обратными связями и без
обратных связей. Когда
т = п, величина (N/d)~2t
J3 сводится к
/з=тах {|4Ь |/2|,.... |4|),
(25)
где
4 = (1 — 2S1)+(1—2б2) +
+ ... + (1-26Д (26
величины 6 вычисляются
по формуле (3).
Величины в круглых скобках возле разностей в табл. 10.1 —это
соответствующие им ранги в совместной ранжировке 20 наблюдений.
Используя эти ранги, легко выписать, как это сделано ниже, упоря-
доченные значения Z, определенные в (2). Приведем теперь эти упо-
рядоченные значения вместе с 6, определенными в (3), и t из (26).
I 2(0 6i ‘t |М
1 -1.15 1 -1 1 1
2 — .94 0 1 0 0
3 — .37 0 1 1 1
4 —.35 0 1 2 2
5 — .15 1 —1 1 1
6 .35 0 1 2 2
7 .46 0 1 3 3
8 .73 0 1 4. 4
9 1.73 0 1 5 5
10 2.48 1 —1 4 4
И 2.55 0 1 5 5
12 2.69 0 1 6 6
13 3.25 1 —1 5 5
14 3.71 1 —1 4 4
15 4.29 1 —1 3 3
16 5.00 1 -1 2 2
17 7.74 1 —1 1 1
18 8.38 1 —1 0 0
19 8.60 1 —1 — 1 1
20 12.07 0 1 0 0
Заметим, что величины t из (26) легко найти из соотношения
tj+1 = Z; + (1 - 26;+1). (2Л
Из (25) имеем
J3 = max {|4|, .... |/20|} = -6. (28)
236
По табл. А.23 находим Ро (J 3 25= 6) = .0524. Таким образом, в обозна-
чениях (14) /3 (.0524, 10,10) = 6. Поэтому на уровне а = .0524 мы от-
клоняем Но. На самом деле это и есть тот наименьший уровень, на ко-
тором мы можем отклонить Яопри наблюдаемом значении J3 = 6 и ме-
тоде (14).
Применяя приближения для большой выборки, вычисляем Л (17).
В случае т = п выражение (17) можно упростить, заметив, что, во-
первых, (т + n)lmn = N/ (N/2)2 = 4/N и, во-вторых, tn/N = у, так
что S] (5) сводится к
_ [(l-2S1)+...+(l-2S;)l _ О
S] 2 2 ’
где tj даны в (26). Следовательно, если объемы выборок равны, можно
представить J'3 в виде
= №I/2max {| ^ I,.... |^|}. (29)
Из (29) находим, что Л = 6/1/20 = 1.34. А по табл. А.24 Q (1.34) =
= .9449. Отсюда наименьший уровень значимости, на котором мы мо-
жем отклонить Но, используя приближения для больших выборок
двустороннего критерия Колмогорова—Смирнова, примерно равен
.055*.
Комментарии
10.1 . Для статистик (6), J2 (7), J3 (8) есть более общие фор-
мулы, содержащие эмпирические функции распределения (30), (31)
выборок X и Y соответственно. Положим по определению для любого а:
Рт(а)-.-числ°х<° , (30)
т
\ число Y <2а
Gn (а) =--------------. (31)
п
Можно показать [164, р. 64], что
J1=^L max {Gn(a)-Fm(a)}, (32)
J2 = ^ max {Fm (a) — Gn(a)}, (33)
= max {|Fm(n)-Gn(a)|}. (34)
a (— »<a<oo)
Можно показать, что для вычисления J3 надо переписать формулу
J3 в виде
J3 = (tnn/d) max {|Fm(Z(i))—Gn(Z(0)|},
где Z(d ^ ... ^ Z(JV) — порядковые статистики, определенные в (2).
Теперь покажем, как найти |Fm (Z(i))— Gn (Z(n)l для данных из
табл. 10.1, где т = п = 10.
♦ Относительная ошибка приближения близка к 5%, что ие так уж плохо
по сравнению с другими критериями при тех же а, т, п. — Примеч. пер.
237
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
z(i) G*o (Z(i)) И*0 (z(i)_c‘« (z(/))|
1 0 1
—1.15
10 10 10
-.94 1 10 1 10 0
— .37 1 2 1
10 10 10
— .35 1 3 2
10 10 10
— .15 2 3 1
10 10 10
.35 2 4 2
10 10 10
.46 2 5 3
10 10 10
.73 2 6 4
10 10 10
1.73 2 7 5
10 10 10
2.48 3 7 4
10 10 10
2.55 3 8 5
10 10 10
2.69 3 9 6
10 10 10
3.25 4 9 5
10 10 10
3.71 _5 9 4
10 10 10
4.29 6 9 3
10 10 10
5.00 7 9 2
10 10 10
7.74 8 9 1
10 10 10
8.38 9 9 o
10 10
8.60 10 9 1
10 10 10
12.07 10 10 о
10 10
238
Рассмотрим для примера Flo (Z(4)). Сначала надо найти число X,
которые меньше или равны Z(4) = —.35, а затем разделить его на 10.
Из табл. 10.1 находим, что только одно наблюдение X (—1.15) меньше
—.35 и ни одно из них не равно —.35, поэтому Flo (Z(4)) = . Анало-
гично значение G10 (Z(4)) = {числу Y, которые меньше или равны
—.35}/10. Из табл. 10.1 находим два значения Y (—.94 и —.37), кото-
рые меньше, чем —.35, и одно значение У, которое равно —.35, откуда
G10 (Z(4)) = . Из таблицы имеем
max {| Fl0 Ы—G10 (Z^) |} = —— ,
i = l.20 io
поэтому J3 = 110 (10)/10) - I = 6. Заметим, что вычисления из этого
комментария очень похожи на вычисления в примере 10.1. Это помога-
ет читателю понять, почему (8) и (34) эквивалентны. Разумеется,
пример нельзя рассматривать как доказательство эквивалентности.
Соотношения (32) и (33) для удобства счета можно переписать так:
Л — max {GR(Z(l))-Fm(Z(0)};
и i = 1,..W
Jz = ~ z=max n {Fm (Z{l))-Gn (Z(0)}.
10.2 . Для объяснения метода (10) удобно ссылаться на выражение
(32). Эмпирические функции распределения Fm (а) (30) и Gn (а) (31) —
суть оценки рассматриваемых функций распределения F (а) =
= Р {X ^.а} и G (а) = Р {Y а} соответственно. Поэтому dj-jrnn.
можно рассматривать как оценку max {G (а) — F (а)} —
— ео < а < <ю
= max {Р {У а} — Р {X гг}}. Этот параметр обращается
— »<а<оо
в нуль, когда верна /70 (1). Отсюда ясно, что большие значения
указывают на отклонение от Но в направлении альтернативы (9).
10.3 . Распределение при Нй для Jlt J2, J3 можно получить исходя
из того, что при Но (1) вся «сетка» возможных сочетаний X и У, кото-
рых всего (^), равновероятна, а каждое сочетание имеет вероятность
1/ (^). Возьмем, например, такое распределение для J3 (8) при
выборках объема т = 1, п = 3. Здесь N = 4, d = 1, а значит, J3 =
= 4 max {|$1|... |s4|}. Перечислим теперь (J) = 4 возможных ва-
рианта, и для каждого из них дадим соответствующие значения
(61. •••> 64) (см. (3)), (sj, ..., s4) (см. (5)), (IsjI, ..., |s4|) и, наконец, J3.*
Таким образом, Ро {J 3 = 2 = (®) = .5, Ро {J 3 = 3} = .5. Срав-
ните эти результаты с соответствующими числами из табл. А.23.
10.4 . Смирнов [379]** получил предельное распределение статис-
тики Колмогорова—Смирнова, основываясь на работе Колмогорова
* См. таблицу па с. 240.
** См. также мемориальный сборник Н. В. Смирнова [534]. — Примеч. ред.
239
Варианты №. в,. в4) (St- S2. S, . s4) IS4I, |S,|. |s4l) J, = 4max {is,!. |s2l, |ss|, |s4|}
XYYY (1, 0, 0, 0) со | -г 1 — о | -г 1 >». | со 2 4 1 \ 4 ’ J 3
YXYY (0, 1, 0, 0) 1 _ 4 \ 4 ’ ' '"S'" N | * 1 /_1_ 14 ’ 2 4 —, o') 4 / 2
YYXY (0, 0, 1, 0) 1 “ 4 \ 4 ’ ° OI | ч* \ 4 ’ 2 4 1 \ 4 ’ °) 2
YYYX (0, 0, 0, 1) |сч | * 1 -й . ' О * ° со | тс /_!_ \ 4 ’ 2 4 rf* | co 3
[225] о предельном распределении одновыборочной статистики
J^Vm max | Fm (a) — F0(a)|, (35)
( — ео < а < »)
где Fm (а) вычисляется по (26) для выборки объема т из совокупности
с (предположительно) непрерывным распределением F0(a) = Р (X а).
Статистику 70 можно использовать для проверки гипотезы о том,
что выборка Хь Хт принадлежит совокупности с распреде-
лением F
Hq : Р (X а) = Fo (а) (известная); (36)
против общей альтернативы о том, что выборка принадлежит совокуп-
ности с иным распределением, чем Fo*.
10.5 . Интересно, что двухвыборочный критерий Уилкоксона, об-
суждаемый в §4.1, сводится к критерию для проверки Н’о (36), если
одну из выборок считать бесконечной. Мозес [271] показал, как это
т
приводит к критерию, основанному на Wo — S F0(X}). (Для нор-
/=1
мальной аппроксимации статистика Wo заменяется на статистику
[Wo— (m/2)]/(zn/12)1/2, которая распределена приближенно как
N (0, 1) при N'o.) Мозес отметил, что критерий, основанный на Wo, осо-
бенно удобен, если Fo задано таблично, как демографические данные о
* Критерий HI, (36) со статистикой Jo (35) снабжен таблицами распределе-
ний (см. [286, 15.2, с. 426]). — Примеч. пер.
240
распределении продолжительности Жйзнй, а не в виде математическо-
го выражения.
10.6 . Двусторонний критерий Колмогорова—Смирнова, основан-
ный на J j, предназначен для обнаружения (см. свойство 1) всех аль-
тернатив к Но (1). Для получения такой дополнительной защиты, мы
жертвуем мощностью против частных подклассов альтернатив (вро-
де сдвига параметра положения).
Свойства
1. Состоятельность: критерии, определенные в (10), (12) и (14),
состоятельны против альтернатив (9), (И) и (13) соответственно. (Важ-
но подчеркнуть, что двусторонний критерий (14) состоятелен всякий
раз, когда Но не верна.)
2. Эффективность: см. [67], [314], [471] и § 10.5.
Ссылки. Работа Колмогорова [225] была продолжена исследо-
ванием Смирнова [379[ по двухвыборочной статистике из этого пара-
графа. Статьи Колмогорова и Смирнова вдохновили многих исследо-
вателей, резюме многочисленных последующих результатов можно
найти в [92], [23] и [165]. К конкурентам двухвыборочного критерия
Колмогорова—Смирнова можно отнести: критерий, основанный на
двухвыборочной статистике Крамера—фон Мизеса (ср. с [243], [326],
[127]), и критерии, основанные на двухвыборочной статистике Реньи
(Renyi), переделанные Гаеком и Шидаком из критерия согласия Реньи
1322]. В [385] получены результаты по двухвыборочному критерию
Винце [435], [4361, [437], который использовал статистику Колмого-
рова-Смирнова в сочетании со статистикой первого встретившегося
максимума. Об использовании статистики Колмогорова—Смирнова
в последовательных критериях см. [94]. В [416] и [203] использована
статистика Колмогорова—Смирнова в задачах надежности, а статис-
тику [416] рассматривал также Коновер [79]*.
Задачи
10.1. В табл. 10.2 приведена часть данных из работы [134], где в эксперимен-
те сравнивались средние концентрации в плазме крови человека гормонов роста,
суммарно свободных и возникших в связи с внутривенным вливанием хлоргид-
рата аргинина, для лиц, склонных к сердечно-сосудистым заболеваниям (лица
с моделью поведения типа Л), и для лиц, относительно устойчивых к сердечно-
сосудистым заболеваниям (лица с моделью поведения типа В)**. Тип А характе-
* Укажем дополнительную литературу; [477], [478], [493], [498, гл. 30],
[501], [502], [512], [518], [524], [534], [535], [541], [579], [577], [593], [653]. —
Примеч. пер.
** Склонность к сердечно-сосудистым заболеваниям, таким, как атероскле-
роз, стенокардия, инфаркт миокарда, кардиосклероз, сердечная недостаточ-
ность, которые принято рассматривать как разные проявления или стадии ише-
мической болезни сердца (ИБС), обусловлена комплексом причин, называемых
факторами риска. Авторы данного примера Фридман и Розенмаи в 1959 г. предло-
жили учитывать среди факторов риска склад психоэмоциональной сферы пациен-
тов. Для этого они ввели классификацию людей в зависимости от психических
особенностей их поведения, которая относит индивидов к типам А или В.
Цель данного исследования — показать, что за этой классификацией стоят фи-
зиологические различия.
241
ризуется постоянным острым дефицитом времени (живет в «цейтноте»), напори,
стостью и склонностью к соперничеству; тип В — ведет себя во всем наоборот.
Разные исследования (ср. [135]) указывают на то, что индивидуумы типа А более
склонны к сердечно-сосудистым заболеваниям, чем индивидуумы типа В.
Таблица 10.2. Максимальные уровни концентрации
в плазме человека гормонов роста после внутривенного вливания
хлоргидрата аргинина (диагностический тест, мг/мл)
Испытуемые типа А X Испытуемые типа В У Испытуемые типа А X Испытуемые типа В У
3.6 16.2 8.8 9.8
2.6 17.4 4.6 14.9
4.7 8.5 5.8 16.6
8.0 15.6 4.0 15.9
3.1 5.4 4.6 5.3 10.5
Источник. [134].
Примените аппроксимацию для большой выборки в методе (12) при проверке
Яо (1) против альтернативы (11).
10.2. Докажите или покажите на числовом примере, что представление ста-
тистики Ух в (6) и (32) эквивалентны.
§ 10.2. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
КРИТЕРИЙ НЕЗАВИСИМОСТИ (ХЁФДИНГ)
Данные. Получаем п двумерных наблюдений (Хх, Ух), (Х2,
У2), ..., (Хп, Yn), по одному на каждый из п объектов.
Допущения
Б1. Все п двумерных наблюдений (Хх, Ух), .... (Хп, Yn) взаимно
независимы.
Б2. Каждая пара (Xit Yi) извлечена из одной непрерывной дву-
мерной совокупности.
Метод. Для проверки гипотезы о независимости случайных вели-
чин X и Y, а именно
Но: Р (X < х и Y С У) = Р (X С х) • Р (Y ^.у) для всех х, у, (37)
надо выполнить следующее.
Проявления таких различий на ранних стадиях заболевания естественно
искать прежде всего в составе крови. Дело в том, что в развитии атеросклероза
важную роль играют жироподобные вещества, входящие в состав плазмы крови,
в том числе холестерин (холестерол), играющий важную роль в обмене веществ
способствуя выработке гормонов коры надпочечников (гормонов роста). Поэтому
по их концентрации можно косвенно судить о содержании холестерина и, следо-
вательно, о риске ИБС. Хлоргидрат аргинина вводится для полного выделения
гормонов из плазмы. Данные авторов свидетельствуют в пользу гипотезы о дей-
ствительных физиологических различиях, стоящих за стереотипами поведения.
Дальнейшие подробности можно найти, например, в работе: Климов А. Н.,
Липовецкий Б. М. Быть или не быть инфаркту. М., Медицина, 1931,
особенно с. 56. — Примеч. ред.
242
1. Ранжировать совместно Xlt .... Хп, обозначив через г;- ранг
Xi в этой ранжировке, i = 1, ..., п.
2. Ранжировать совместно Ylt ..., Уп, обозначив через S; ранг Yt
в этой ранжировке , i = 1, п.
3. Обозначить через ct число пар из выборок (Ха, Уа), для которых
одновременно Ха < Хг и Ya < Уг. Именно
с>=2ф(Хв,Хг)-ф(Ув,У(), i = l,...,n, (38)
а= 1
где ф (a, b) = 1 при а <. Ь, 0 —-в противном случае.
4. Положить
<2=2 ('*-1)(0-2)(Si-1)(Si-2), (39)
«=1
2 (О —2)(0 —2)сг, (40)
*=1
s= 2 0(0-1) (41)
1=1
и вычислить
D = Q~2(n-2)X+(n-2)(n-3)S .
п (п~ 1) (п~2) (п—3) (п—4) '
5. Двусторонний критерий Но (37) на уровней против альтернативы
о том, что X и У зависимы (см. комментарий 10.9):
отклонить Яо> если D d (а, п),
принять Но, если D < d (а, п),
(43)
где константа d (а, п) удовлетворяет соотношению P0[D d (а, п)] =
= а. Значения d (а, п) можно получить из табл. А.25.
Приближение для большой выборки. Для аппроксимации в боль*
шой выборке возьмем статистику В, предложенную Блюмом, Ки-
фером и Розенблаттом [46], которая несколько отличается от D-ста-
тистики Хёфдинга. (Однако критерии, основанные на В и D, асимпто-
тически эквивалентны, поскольку nD + и пВ имеют одно и то же
асимптотическое распределение при Но (37), см. комментарий 10.10.)
Пусть
В = П-® 2 (О N, (i)-Nz Ю #3 Ж (44)
i=i
где (i) = числу выборочных пар (Ха, Уа), лежащих в области
Ri (i) = { (х, у) х Xt и i/ < Yi},
(i) = числу выборочных пар (Ха, уа), лежащих в области
Rz (i) = {(.х, у)-. х> Xt и у < Yi}, (45)
243
2V3 (i) = числу выборочных пар (Ха, Уа), лежащих в области
Яз (0 = {(х, у) x^Xt и у > у,.},
Л^4 (0 = числу выборочных пар (Ха, Y а), лежащих в области
/?4 (i) = { (х, у) : х > Xi и г/ > Уг).
Таким образом, для каждого I определено число выборочных пар
(Х„, Ya), лежащих в каждой из областей, разграниченных горизон-
тальными и вертикальными линиями, проходящими через точку
(Xit Yi).
Табл. А.26 дает значения верхних а-процентилей 6(а), относящих-
ся к асимптотическому (п -> оо) распределению у л*пВ при Но. Ап-
проксимация метода (43) для большой выборки такова:
отклонить Но, если -у-л4пВ^6(а),
принять Но,
если — л4 пВ < Ь
2
(46)
(ос)-
J
Блюм, Кифер и Розенблатт предложили при малых п уменьшать
ошибку приближения для большой выборки, заменяя пВ в левой час-
ти (46) на (п — 1)В. Другие приближения для больших выборок см.
в комментарии 10.10.
Связи. Использовать средние ранги на Ьм и 2-м шагах. На 3-м
шаге (38) надо заменить на
п
2 <P*(^a.^i)-<P*(ra,rt), 1 = 1,..., Л,
a= 1
(47)
где
Ф* (а, Ь) =
1, если а <_Ь,
1 , t.
— , если а^Ъ,
(48)
0 в противном случае
Пример 10.2. В [218] изучали соотношение между запасами сво-
бодного пролина и содержанием коллагена в циррозной печени чело-
века. Данные в табл. 10.3 основаны на анализе циррозной печени у
семи пациентов с гистологическим диагнозом: портальный цирроз*.
* Цирроз печени — хроническое воспаление печеночной ткани с замеще-
нием ее значительной части соединительной тканью, которая строится за счет
разрушения белков, в частности протеинов, содержащих аминокислоту пролин.
Коллаген — желатинообразное вещество, входящее в состав соединительной
ткани, костей и хрящей. Цирроз часто начинает развиваться в месте соединения
воротной вены с печенью (портальный цирроз). Диагностика — с помощью
гистологического, т. е. подробного патологоанатомического, анализа. В данном
исследовании рассматривается соотношение между двумя процессами — рас-
падом белка и построением соединительной ткани. — Примеч. ред.
244
Таблица 10.3. Свободный пролин и общее содержание
коллагена у страдавших циррозом
Больной Общее содержание колла- гена. Xj (мг/г сухого ве- щества печеин) Свободный пролин, Vj (миллимоль/г сухого вещес- тва печени)
1 7.1 (1.5) 2.8 (2.5)
2 7.1(1.5) 2.9(4)
3 7.2(3) 2.8 (2.5)
4 8.3(4) 2-6(1)
5 9.4 (5) 3.5(5)
6 10.5(6) 4.6(6)
7 11-4(7) 5.0(7)
Источник. [218].
В табл. 10.3 в круглых скобках приведены ранги Xt и Yit обозначае-
мые rt и sE, в соответствии с 1-м и 2-м шагами метода.
Из (47) находим
q = Ф* (Х2, X,) ф* (У2, У4) + ф* (Х3, Xi) Ф* Хз, Л) + Ф* (Х4 х
X Ф* (У4, YJ + ф* (ХБ, XJ ф* (УБ, ГО + ф* (Х„, Х0 ф* (Ув, У7) 4-
+ Ф* (Х7, XJ ф* (У7, Л) = у- (0) + 0 (-i-j + 0 (1) + 0 (0) + 0 (0) +
+ 0(0) = 0.
с2 = ф* (Хп Х2) ф* (Ylt Y2) + ф* (Х3, Х2) ф* (Уз, У2) + ф* (Х4, Х2) х
X Ф* (У4, У2)+Ф* (ХБ, х2) ф* (УБ, у2)+ф* (Х6, Х2) ф* (У6, у2)+
+ ф*(Х7,Х2)ф*(У7,У2) = -^(1) + 0(1)+0(1) + 0(0) + 0(0) +
+0(0)=-!-,
с3=ф* (Xlt Хз) ф* (У1( Уз)+ф* (Х2, Хз) ф* (У2, Уз)+ф* (Х4, Хз) X
X ф* ОХ Уз) + ф* (Х5) Хз) Ф* (Уз, Уз) + Ф* (Хв, Хз) ф* (У6, У3) +
+ Ф* (Х7, Х3) ф* (У7, У3) = 1 + 1 (0) + о (1) + 0 (0) + 0 (0) +
+0(0) = ^-,
с4 = Ф* (Хь Х4) ф* (У1( у4) + ф* (Х2, Х4) ф* (У2, У4) + ф* (Хз, Х4) X
X Ф* (У3, у4) + ф* (ХБ, Х4) ф* (УБ, у4) + ф* (Хв, Х4) ф* (У6, У4) +
+ <₽* (Х7, Х4) ф* (У7> г4) = 1 (0) +1 (0) 4- 1 (0) + о (0) + О (0) + О (0) = о,
СБ = Ф* (Х7, х5) ф* (У1( УБ) + ф* (х2, ХБ) ф* (У2, уБ) + ф* (Хз, ХБ) X
X ф* (У3, у5) + ф* (х41 Хб) ф* (у4> уъ} + .р» (Xfl> Хб) ф* (Гв, Уб) +
+ ф* (Х7, ХБ) ф* (У7> уб) = 1 (1) +1 (1)+1 (1)+1 (1) 4- 0 (0) + о (0) = 4,
245
с6 = ф* (ХМ ф* (У1( у„) + ф* (Х2, Х6) ф* (У2, ув) 4- ф* (Х3> х6) х
х ф* (Уз- У6) + ф* (Х4, х6) ф* (У4, у.) 4- ф* (ХБ, Х6) ф* (У5, у6) +
+ ф*(Х7>Х6)ф*(У7> У6) = 1 (1)4-1 (1)4-1 (1)4-1 (1)4-1 (1) + 0(0)=5,
с7 = ф* (Хь Х7) ф* (Уь У7) 4- Ф* (Х2, х7) ф* (У2, У7) 4- Ф* (Х3, Х7) х ’
х ф* (У3, У7) 4- ф* (Х4, Х7) х ф* (У4, У7) 4- ф* (ХБ, х7) Ф* (УБ, У7) +
+ Ф* (Х6, Х7) ф* (Ув, У7) = 1 (1) 4-1 (1)4-1 (1) 4-1 (1) 4-1 (1) 4-1 (1) = 6.
Теперь по определению 4-го шага найдем значения Q, R, S и D. Ис-
пользуя (39) и (42), получаем
Q = -5 (-.5) (1.5) (.5) 4- .5 (-.5) (3) (2) 4- 2 (1) (1.5) (.5)4-
4- 3 (2) (0) (-1) 4- 4 (3) (4) (3) 4- 5 (4) (5) (4) 4- 6 (5) (6) (5) =
= 1443.81,
R = —5.(.5)0 4- (-.5) (2) (j) 4- 1 (.5) (у) 4- 2 (-1) (0) 4- 3 (3) (4) 4-
4- 4 (4) (5) 4- 5 (5) (6) = 265.75,
S = 0(-l)4-Y(-y)4-4-(-v) + 0(-1) + 4(3) + 5<4) + 6(5) =
= 61.5
и
1443.81—2 (5) (265.75)4-5 (4) (61.5) _ 16.31
“ 7 (6) (5) (4) (3) 2520
Обращаясь к табл. А.25, при п = 7 находим Ро {1260 • D 8} =
= .0905. Таким образом, d (.0905,7) = (8/1260). Для анализируемых
данных 1260 • D = 8.16, следовательно, мы отклоняем гипотезу о не-
зависимости на (двустороннем) уровне .0905. (Конечно, критерий в
этом случае лишь приближенный, поскольку совпадения в исходных
данных противоречат допущению Б2 о непрерывности распределения.)
Давайте теперь покажем на этих данных, как пользоваться при-
ближением для большой выборки. На рис. 10.1 мы провели горизон-
тальные и вертикальные линии через пару (Х4, У4) = (8.3, 2.6), раз-
делив плоскость на 4 области, как показано в (45). Посчитав число вы-
борочных пар по областям, получаем значения Nt (4), Af2 (4), Wз (4)>
(4), определенные (45), а именно:
Ni (4) = 1, N2 (4) = 0, (4) = 3, Nt (4) = 3.
Производя аналогичные деления и счет для других шести выбо-
рочных пар, найдем
Л71 (1) = 1, Л7а (1) = 2, У3(1) = 1, Nt (1) = 3,
N, (2) = 2, ЛГ2 (2) = 2, N3 (2) = 0, Nt (2) = 3,
tfi (3) = 2, (3) = 1, (3) =1, Nt (3) == 3,
246
(5) = 5,
Nt. (6) = 6,
Nr (7) = 7,
(5) = 0,
N3 (6) = 0,
Nt (7) = 0,
N3 (5) = 0,
N3 (6) = 0,
N3 (7) = 0,
Ni (5) = 2,
^4 (6) = 1,
y4 (7) = 0.
ji3 (44) получаем
В = (7)-Б {[3 - 2]2 + [6 - О]2 + [6 - I]2 + [3 - О]2 +
+ [10 — О]2 + [6 — О]2 + [0 — О]2} = 7-6 (207).
5,0
*
4,5 “
4,0 '
М-
2,5-
2,0-
7,0
75
_1__________1 ।_________।----------1---------1---------1
8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 11,5
*
X- количество коллагена (мг/г сухого вещества печени"}
Рнс. 10.1. График семи пар (X.-, У<) из таблицы 3
Поскольку число п = 7 относительно невелико, заменим в левой
части (46) 7В на (7 — 1)В. Тогда
-i- л4 (и— 1) В = — (3.14)4 (6) (207) (7)~8 = 3.60.
2 2
Из табл. А.26 находим, что в &<.020&) = 3.60. Следовательно, наи-
меньший уровень, на котором мы отклоняем Яо при работе с аппрок-
симацией для большой выборки, есть .0205. Это плохо согласуется с
Результатом, который дает для малых выборок метод, основанный на
» что можно отнести за счет сочетания ряда факторов, а именно: отно-
ительно малого объема выборки, различия (при малых выборках)
жду критериями, основанными на В и D, наличия связей.
Комментарии
Ю-7. Рассмотрим (37) и определим
D* (х, у) = р (X < х и Y < у) — Р (X < х)Р (У < у), (49)
247
Заметим, что D* (х, у) = 0 Для всех (х, у) тогда и только тогда,
когда верна гипотеза Но (37). Этот факт Хёфдинг использовал при по-
строении критерия, основанного на D. Статистика D оценивает пара-
метр
Дх (F) = (X', Г)}2, (50)
где (X', Y') есть случайный элемент из рассматриваемой двумерной
совокупности с распределением F. Другими словами, мы можем смот-
реть на D* (х, у) как на меру отклонения от Но в точке (х, у), а на
Дх (F) (50) — как на среднее значение квадрата этого отклонения.
10.8. Для получения распределения D (42) при Но мы можем, не
теряя общности, положить г( = [ и находить соответствующие значе-
ния D для п\ возможных наборов рангов Y вида (sb ..., sn). Вероят-
ность при Но (37) каждого из этих наборов равна [1/ (л!)].
10.9. Критерий D предназначался Хёфдингом для обнаружения
произвольных альтернатив против гипотезы о независимости, в этом
смысле его характер отличается от критерия независимости, основан-
ного на статистике Кендэла К, который рассматривался в § 8.1. Хотя
Хёфдинг и указал, что критерий D чувствителен не ко всем альтерна-
тивам Но, он еще показал, что при довольно слабых ограничениях на
природу рассматриваемой двумерной совокупности F критерий состоя-
телен. В частности, критерий обнаруживает альтернативы с положи-
тельной и отрицательной связью X и У. Более того, существуют рас-
пределения F, для которых т (8.1) равна нулю, а Но (37) не верна, где
критерий D состоятелен, а критерий, основанный на X (8.4), Кендэ-
ла — нет.
10.10. Статистики nD + (-gg) и пВ имеют при Но (37) одно и то
же асимптотическое распределение (см. [185], [46]). Другая аппрокси-
мация для большой выборки метода (43) такова:
отклонить Но, если
\ * / t \ оо /)
принять Но, если
f-—[пВ
\ 2 / I \36 )}
где Ьа дается в табл. А.26.
Свойства. Состоятельность: критерий, определенный в (43), состоя-
телен против тех совокупностей, для которых положителен параметр
Дх (F) из (50). Условия положительности Дх (F) см. в [185], [468].
Ссылки. Критерий, основанный на D, введен Хёфдингом
[185]. Близкий критерий, основанный на В, рассматривали Блюм,
Кифер и Розенблатт [46], обобщившие подход на случай проверки не-
зависимости k (k 2) случайных величин. Односторонний критерий,
по существу подобный двустороннему критерию В, предложил Крау-
зе [86]. Другие ссылки на свободные от распределения критерии не-
зависимости в двумерных выборках см. в §8.1*.
См. также [560], [566], [713], [717], [730], [741], [752], [757].— Примеч. пер.
248
Задачи
10.3. Данные в табл. 10.4 — часть резул.. .атов, полученных в работе [364],
где проводился эксперимент для проверки современной гипотезы о том, что повы-
шение содержания сахара при хроническом сахарном диабете обусловлено ие
просто дефицитом инсулина, а, возможно, важную роль в гипергликемии при
диабете* играет нечувствительность к инсулину. Одной из целей исследования
было установление соотношения между реакцией на тест глюкозной толерантно-
сти и задержкой глюкозы, количественного описания сопротивления тканей те-
ла глюкозе и ожидаемого постоянства скорости поглощения глюкозы для дан-
ного индивидуума в экспериментальном диапазоне настоящего исследования.
Семь испытуемых, представленных в табл. 10.4, были добровольцами, только
что освобожденными из тюрьмы под минимальный залог. У них были низкая
чувствительность глюкозы плазмы к глюкозе, поступающей в организм с пи-
щей. В табл. 10.4 даны средние взвешенные значения чувствительности к глю-
козе, поступающей с пищей, в тесте толерантности (X) и величина задержки
глюкозы (У) для всех семи испытуемых.
Таблица 10.4. Средние взвешенные чувствительности
к глюкозе н задержки глюкозы
Испытуемый Средняя взвешенная чувст- вительность к глюкозе, X Задержка глюкозы, У
1 130 26.1
2 116 19.7
3 122 26.8
4 117 23.7
5 108 23.4
6 115 24.4
7 107 16.5
Источник. [364].
* Сахарный диабет — нарушение обмена углеводов и воды в организме,
приводящее, в частности, к избытку сахара в кровн (гипергликемии), — возни-
кающей, как считается, из-за недостатка инсулина (см. примеч. ред. на с. 223).
В данной работе рассматривается другая гипотеза, утверждающая, что наблю-
даемую картину нельзя объяснить столь просто и приходится говорить о сниже-
нии эффективности действия наличного инсулина из-за снижения чувствитель-
ности к нему. Получая с пищей стандартное количество веществ, перерабатывае-
мых в глюкозу, здоровый организм вырабатывает соответствующее количество
инсулина, который, взаимодействуя с глюкозой, снижает до обычного уровня
концентрацию ее в крови. Организм больного, страдающего диабетом, не справ-
ляется с этой задачей, поскольку нарушение обмена приводит либо к дефициту
инсулина, либо к снижению его эффективности, либо одновременно к тому и дру-
гому. Тест на толерантность, т. е. на способность переработать стандартное коли-
чество глюкозы, показывает, как меняется концентрация сахара в кровн через
определенное время после еды. Данные в табл. 10.4 усреднены по нескольким
приемам пищи с учетом веса вводимой глюкозы. Что касается задержки глю-
козы, то это результат неспособности организма ее усвоить. Незначительные за-
держки вполне естественны, однако их рост — свидетельство диабета или угрозы
диабета. Наличие связи между X и Y в табл. 10.4 говорило бы в пользу гипотезы
авторов. А использование в качестве пациентов людей, проведших некоторое вре-
мя в тюрьме, делает результаты более «чистыми», поскольку, во-первых, в тю-
ремном рационе уровень веществ, переходящих в глюкозу, довольно ни-
зок (и результаты не могут быть искажены перееданием или злоупотреблением
сластями), а во-вторых, он точно известен, а значит, может быть учтен. — При-
меч. ред.
249
Используйте метод (43) для проверки независимости чувствительности и
задержки. (Напомним, что метод (43) предназначен для обнаружения всех аль-
тернатив к гипотезе о независимости. Однако, если есть априорные соображения
или явно стоит предполагать положительную корреляцию между чувствитель-
ностью и задержкой глюкозы, то имеет смысл сосредоточиться на альтернативах
о положительной связи, используя одностороннюю процедуру, основанную
на К (8.5) Кендэла.)
10.4. Примените к данным примера 10.2 приближение для большой выборки
из комментария 10.10. Сравните эту аппроксимацию с аппроксимацией, осно-
ванной на (46) из примера 10.2.
§ 10.3. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
ДВУМЕРНОЙ СИММЕТРИИ (ХОЛЛЕНДЕР)
Данные. Получаем 2п наблюдений, по два наблюдения на каж-
дый из п предметов.
Предмет i xi Yi
1 Yi
2 х2 У2
п Хп Уп
Допущения
Б1. Все п двумерные случайные величины (Хх, KJ, ..., (Хп, Yn)
взаимно независимы.
Б2. Каждая из пар (Хг, Уг) извлечена из одной и той же двумерной
совокупности.
Метод. Нас интересует гипотеза
Но: Р (X < х и Y^y) = P(X^yn У < х) (51)
для всех х, у.
Это гипотеза о перестановочности X и Y, т. е. о том, что выбор наиме-
нований X или Y для имеющихся двух переменных не влияет на ре-
зультат. В некоторых случаях перестановочность можно толковать
как отсутствие эффекта «обработки» (см. комментарий 10.11).
Для проверки Яо надо выполнить следующее.
1. Положить
ai = min {Xit KJ, bt = max {Xit Yt}, i = 1..n,(52)
где, не теряя общности, можно принять а2 ... ап.
(Можно просто перенумеровать п пар (X, У) так, чтобы сц в (52) воз-
растали.)
2. Ввести п (наблюдаемых) величин г, обозначив их через rlt г2,
..., гп и положив
п==1 1, если Xi=ah 1 (53)
( 0, если Х; = Ь;. |
250
Таким образом, rt равно 1, если Хг < Yь и равно 0, если Xt > Yt.
(Когда Xi = Yi, произвольно положим г£ = 0, поскольку при этом
связи не изменяют статистику критерия (57).)
3. Ввести п2 величин da, i, j = 1, .... п, положив
_( 1, если и аг<а;> 1
| 0 в противном случае. J ' '
4. Для j = 1, .... п определить
п
T^ZdiASi), (55)
i=i
где dtj даны в (54), а
st = 2rt - 1. (56)
5. Положить ДНабл» что читается как «Д наблюдаемое», равным
2 т>
лнабл=-^т- • (57)
пй
6. В дополнение к наблюдаемому нами набору г (гъ ..., гп), опре-
деленному в (53), есть еще 2" — 1 других возможных наборов г, соот-
ветствующих случаям, при которых каждое из г, может быть 0 или 1
(см. комментарий 10.12). Для каждого из этих 2" — 1 дополнительных
наборов г надо найти соответствующее значение А по формулам
(55)—(57). Величины d, определенные в (54), остаются одними и теми
же для каждого вычисления. Пусть
Д(')<Д(2)^... Л(2«) (58)
обозначают 2п упорядоченных значений А. (Заметим, что Днабл будет
одним из наблюдаемых Д.)
7. Наш (двусторонний) критерий уровня а таков. Положить
т = 2" — [2"сс], (59)
где [2п а] — наибольшее целое число, меньше или равное 2"а.
Пусть Мг — число значений А(1>, ..., Д(2”>, которые превосходят Д<т>,
а Л12 — число значений Д(1>, ..., Д(2Г!), равных Д<т>, причем Д(т>
определено в (58) и (59). Для двустороннего критерия Но (51) про-
тив альтернативы о том, что X и У не перестановочны, на уровне зна-
чимости а надо
отклонить Но, если Днабл >Д(т), ]
принять Но, если Днабл <Д(т). J
если же Днабл = Д(т), принимаем рандомизованное решение откло-
нить Но с вероятностью 1г и принять Но с вероятностью 1 — 1Ъ где
= . (61)
1 м2 '
251
Приближение Для большой выборки. Некоторое Приближение для
большой выборки (см. комментарий 10.16) можно основать на соотно.
шении
Рс(Л>0«1-Ф
(62)
где Ф (а) обозначает площадь под кривой N (0, 1) между —оо и а,
Уп=Ес’(А)=п 2 2 2^
1=11=1
и
Vn = varcG4) = 4(n-4)(2 £ dud‘'i + 2 2 2 dud>' id'i' dl' Л
(/=!/<»' Kl’Kl’ J
(63)
Вероятность Pe в (62) — условная вероятность (см. комментарий
10.12), а математическое ожидание и дисперсия в (63) относятся к
этому условному распределению. Экспериментатор может вычислить
Лнабл Для своих данных, положить t — Лнабл, а затем использовать
(62) для приближенного достижения требуемого уровня значимости.
Связи. Никаких переделок в случае связей не требуется. Пред-
ложенный метод устроен так, что связи обрабатываются автомата
чески. Заметим, что в «Допущениях» мы не делаем каких-либо утвер-
ждений о непрерывности рассматриваемых совокупностей. Это пре-
красное свойство обеспечивается тем, что критерий условный (см.
комментарий 10.12).
Пример 10.3. Данные в табл. 10.5 — часть результатов работы [363],
в которой исследовались пересадки (трансплантации) почек. Часть
исследования связана со сравнением пропускной способности почек
донора и реципиента после пересадки*.
В табл. 10.5 даны значения пропускной способности по инулину для
семи реципиентов и их доноров. (Заметим, что допущение Б2 может не
выполняться, поскольку испытуемые не однородны. Они могут отли-
чаться по ряду признаков, которые влияют на очистку, а именно: по
основному заболеванию, возрасту реципиента в момент пересадки,
* Почки — парный орган, но и одна почка, пересаженная от живого донора>
как правило, может долгое время обеспечивать жизнеспособность больного^
у которого отказали обе почки. Мерой эффективности работы пересаженной почки
у реципиента служит ее способность к очистке крови (пропускная способность):
в норме почки обеспечивают прокачку 10—15 л крови в час и фильтрацию жид-
кости до 7 л в час. Индикатором работы почки может служить инулин (белый
полисахарид растительного происхождения, гидролиз которого ведет к образова-
нию фруктозы). Можно ожидать, что есть связь между работой почки у донора
и у реципиента. — Примеч. ред.
252
возрасту донора, его полу. Для демонстрации критерия двумерной
симметрии мы пренебрежем неоднородностью испытуемых.)
Из (52) и табл. 10.5 находим
= 61.4, а2 = 63.3, а3 = 63.7, а4 = 67.1, а5 = 77.3,
ав = 84.0, а7 = 88.1, (64)
= 70.8, Ь2 = 89.2, Ь3 = 65.8, £>4 = 80,0, Ь5 = 87.3,
Ьв = 85.1, b7 = 105.0.
Наша наблюдаемая конфигурация г есть из (53)
ri = 1> Г2 = 1. г» = 1> Г4 = 0, г5 = 1, г6 = 1, г7 = 0. (65)
Таблица 10.5. Пропускная способность по инулину почек
живых доноров и реципиеитов
Больной1 Пропускная способность по инулину (мл/мин)
реципиент, 1 донор, Уг
1' 61.4 70.8
2' 63.3 89.2
3' 63.7 65.8
4' 80.0 67.1
5' 77.3 87.3
6' 84.0 85.1
7' 105.0 88.1
Источник. [363].
1 Штрихи указывают на то, что паша нумерация отличается от ну-
мерации в исследовании авторов. Мы перенумеровали а из (52) так,
что
fll < Gi Аз G^ <С < Gq < fly.
Найдем теперь 72 = 49 значений d, используя (54):
41 — 1» 4г ~ 1> 413 = 6, du ~ 1, di3 = 0, dig = 0, 4т = 0,
4i = 0, d33 = 1, di3 0, d24 ~ 6, d25 — 0, 6^26 = 0, d27 — 1,
^31 “ 0, d32 = 0, d33 = 1, dg4 == 0, d33 = 0, d3e — 0, d3y = 0,
4i = 0, d42 = 0, 4з = 0, d44 = 1, d45 = 1, d4e = 0, d47 = 0,
4i — 0, d33 = 0, d53 — 0, det ~ 0, dee ~ 1> dee — 0, d3i ~ 0,
(66)
4t — 0, d33 ~ 0, d63 — 0, dg4 0, dee — 0> dee — 1, dei — 0,
4i -= 0, d72 = 0, d73 = 0, d74 = 0, dqe = 0, d7e = 0, d77 = 1.
Из (56) и (65) имеем
Si = 1, s2 = 1, s3 = 1, s4 = —1, s5 = 1, se = 1, s7 = —1. (67)
Из (55), (66) и (67) получаем
Л — duSi + d2ls2 + d3iS3 + d41s4 + d51s5 + delse + c/ns7 =
= 1 (1) + 0 (1) + 0 (1) + 0 (-1) + 0 (1) + 0 (1) 4- 0 (-1) = 1,
253
72 — d12S1 + 4/22S2 4" ^32$3 + ^42S4 4" d52S5 4" ^62S6 4~ 4/72X7 —
= 1 (1) + 1 (1) + 0 (1) + 0 (-1) + 0 (1) + 0 (1) + 0 (-1) = 2,
Tз = ^хз8! 4" 4/23x2 4" d33p3 + 4/43x4 + 4/53X5 + 4/33X3 + 4/73X7 =
= 0 (1) + 0 (1) + 1 (1) + 0 (-1) + 0 (1) + 0 (1) + 0 (-1) = i,
T4 = 4/44S4 + 4/24S2 + 4/34S3 + 4/44S4 + 4/54X5 + 4/34X3 + 4/74X7 =
= 1 (1) + 0 (1) + 0 (1) + 1 (-1) + 0 (1) + 0 (1) + 0 (-1) = 0>
(68)
T3 = 4/15X] + 4/25X2 + 4/35X3 + 4/45X4 + 4/55X5 + 4/35X3 + 4/75X7 =
= 0 (1) + 0 (1) + 0 (1) + 1 (-1) + 1 (1) + 0 (1) + 0 (-1) = 0,
T’e = 4/73X4 + 4/26x2 + 4/33X3 + 4/43X4 + 4/53X5 + 4/33X3 + d-^ =
= 0 (1) + 0 (1) + 0 (1) 4- O(—1) + 0(1) + 1 (1) + 0 (-1) = 1,
77 = 4/47X4 + 4/27S2 + 4/37S3 + 4/47S4 + 4/57X5 + 4/37X3 + d-jqSq =
= 0 (1) + 1 (1) + 0 (1) + 0 (-1) + 0 (1) + 0 (1) + 1 (-1) - 0.
Выражение(57) дает
„ П+Л+П+П+П+П+Л
Лнабл — 49 —
= 1 + 4+1+0 + 0+1+0 _ 7
49 “ 49 ’
Теперь для применения точной процедуры (60) нам нужно получить
дополнительно 27— 1 = 127 значений А, соответствующих другим
127 возможным наборам. Эти 127 наборов г, вместе с наблюденным на-
бором г (65), сведены в табл. 10.6. Как и Лнабл, они найдены по фор-
мулам (66)—(69).
В круглых скобках справа от каждого набора в табл. 10.6 стоят
соответствующие значения 49Л. Величины s, соответствующие (67),
приходится пересчитывать заново для каждого набора г при работе с
уравнениями для Tj, однако значения d} остаются неизменными во
всех случаях. Упорядоченные значения А из (58) равны Л(1) •••
Л<128).
Теперь упорядочим значения 49Л:
49Ж1) = ... = 49Л<8> = 3, 49Л<41) = ... = 49Л<88> = 11,
49Л<»> = ... = 494<4°) = 7, 494<89> = ... = 49Ж12<»= 15,
49Л'121) = ... = 49Л<128>= 19.
( 8 1 ==
Рассмотрим как иллюстрацию критерий с уровнем а =
— .0625. Значение т (59) равно:
щ = 2’— 27
= 128 —8= 120,
254
Таблица 10.6. 128 возможных наборов г и соответствующие
им значения 49 А____________________
Г1 Г1 Г, rt f 7 (49Л)
1 1 1 1 1 1 (19)
1 1 1 1 1 1 0 (15)
1 1 1 1 1 1 1 (19)
1 1 1 1 0 0 (15)
1 1 1 1 1 0 1 1 (15)
1 1 1 1 0 1 0 (Н)
1 1 1 1 0 0 1 (15)
1 1 1 1 0 0 0 (И)
1 1 1 0 1 1 1 (И)
1 1 1 0 1 0 1 (Н)
1 1 1 0 1 1 О1 (7)
1 1 1 0 1 0 0 (7)
1 1 1 0 0 1 1 (15)
1 1 1 0 0 0 1 (15)
1 1 1 0 0 1 0 (И)
1 1 1 0 0 0 0 (Н)
1 1 0 1 1 1 1 (19)
1 1 0 1 1 1 0 (15)
1 1 0 1 1 0 1 (19)
1 1 0 1 1 0 0 (15)
1 1 0 1 0 1 1 (15)
1 1 0 1 0 1 0 (И)
1 1 0 1 0 0 1 (15)
1 1 0 1 0 0 0 (Н)
1 1 0 0 1 1 1 (Н)
1 1 0 0 1 0 1 (Н)
1 1 0 0 1 1 0 (7)
1 1 0 0 1 0 0 (7)
1 1 0 0 0 1 1 (15)
1 1 0 0 0 0 1 (15)
1 1 0 0 0 1 0 (Н)
1 1 0 0 0 0 0 (Н)
1 0 1 1 1 1 1 (Н)
1 0 1 1 1 1 0 (15)
1 0 1 1 1 0 1 (Н)
1 0 1 1 1 0 0 (15)
1 0 1 1 0 1 1 (7)
1 0 1 1 0 1 0 (Н)
1 0 1 1 0 0 1 (7)
1 0 1 1 0 0 0 (Н)
1 0 1 0 1 1 1 (3)
1 0 1 0 1 0 1 (3)
1 0 1 0 1 1 0 (7)
1 0 1 0 1 0 0 (7)
1 0 1 0 0 1 1 (7)
1 0 1 0 0 0 1 (7)
1 0 1 0 0 1 0 (Н)
1 0 1 0 0 0 0 (Н)
1 0 0 1 1 1 1 (И)
1 0 0 1 1 1 0 (15)
1 0 0 1 1 0 1 (Н)
0 0 1 1 0 0 (15)
0 0 1 0 1 1 (7)
1 Заметим,
что (1, 1, 1, о, 1, 1, 0) — наблюдаемый набор (см. (65)).
255
Продолжение
ri Г, Г, Г* rt ri (49 A)
1 0 0 1 0 1 0 (11)
1 0 0 1 0 0 1 (7)
1 0 0 1 0 0 0 (11)
1 0 0 0 1 1 1 (3)
1 0 0 0 1 0 1 (3)
1 0 0 0 1 1 0 (7)
1 0 0 0 1 0 0 (7)
1 0 0 0 0 1 1 (7)
1 0 0 0 0 0 1 (7)
1 0 0 0 0 1 0 (II)
1 0 0 0 0 0 0 (II)
0 1 1 1 1 1 1 (11)
0 1 1 1 1 1 0 (7)
0 1 1 1 1 0 1 (11)
0 1 1 1 1 0 0 (7)
0 1 1 1 0 1 1 (7)
0 1 1 1 0 1 0 (3)
0 1 1 1 0 0 1 (7)
0 1 1 1 0 0 0 (3)
0 1 1 0 1 1 1 (H)
0 1 1 0 1 0 1 (H)
0 1 1 0 1 1 0 (7)
0 1 1 0 1 0 0 (7)
0 1 1 0 0 1 1 (15)
0 1 1 0 0 0 1 (15)
0 1 1 0 0 1 0 (И)
0 1 1 0 0 0 0 (И)
0 1 0 1 1 1 1 (И)
0 1 0 1 1 1 0 (7)
0 1 0 1 1 0 1 (И)
0 1 0 1 1 0 0 (7)
0 1 0 1 0 1 1 (7)
0 1 0 1 0 1 0 (3)
0 1 0 1 0 0 1 (7)
0 1 0 1 0 0 0 (3)
0 1 0 0 1 1 1 (H)
0 1 0 0 1 0 1 (И)
0 1 0 0 1 1 0 (7)
0 1 0 0 1 0 0 (7)
0 1 0 0 0 1 1 (15)
0 1 0 0 0 0 1 (15)
0 1 0 0 0 1 0 (ID
0 1 0 0 0 0 0 (II)
0 0 1 1 1 1 1 (П
0 0 1 1 1 1 0 (15)
0 0 1 1 1 0 1 (И)
0 0 1 1 1 0 0 (15)
0 0 1 1 0 1 1 (7)
0 0 1 1 0 1 0 (H)
0 0 1 1 0 0 1 (7)
0 0 1 1 0 0 0 (4
0 0 1 0 1 1 1 (И)
0 0 1 0 1 0 1 (11)
0 0 1 0 1 1 0 (15)
0 0 1 0 1 0 0 (15)
256
Продолжение
г. Гг Г3 г. (49 А)
0 0 1 0 0 1 1 (15)
0 0 1 0 0 0 1 (15)
0 0 1 0 0 1 0 (19)
0 0 1 0 0 0 0 (19)
0 0 0 1 1 1 1 (11)
0 0 0 1 1 1 0 (15)
0 0 0 1 1 0 1 (Н)
0 0 0 1 1 0 0 (15)
0 0 0 1 0 1 1 (7)
0 0 0 1 0 1 0 (Н)
0 0 0 1 0 0 1 (7)
0 0 0 1 0 0 0 (И)
0 0 0 0 1 1 1 (И)
0 0 0 0 1 0 1 (Н)
0 0 0 0 1 1 0 (15)
0 0 0 0 1 0 0 (15)
0 0 0 0 0 1 1 (15)
0 0 0 0 0 0 1 (15)
0 0 0 0 0 1 0 (19)
0 0 0 0 0 0 0 (19)
откуда А(т> = Л(12°> = (—). Затем получим
/Иг = [число значений А больших, чем = 8,
М2 = (число значений А, равных = 32
и
'> “ <128 Ш - ») = °-
Следовательно, при уровне а — .0625 метод (60) сводится к сле-
дующему:
отклонить //0, если ^набл - 15 > 49 *
принять /70, если Л„абл 15 49 ’ (70)
принять /70, если Лцабл 15 49
Поскольку Лнабя = мы принимаем гипотезу о двумерной сим-
метрии на уровне а = .0625. Более того, так как 120 наборов (в том
числе и наш Лнабя) приводят к значениям, большим или равным
^набл . наименьший уровень значимости, на котором можно отклонить
при использовании нерандомизованного критерия, основанного
на Л, равен 21 = .9375.
1Zo
25?
Комментарии
10.11. Гипотеза HQ (51) естественна, когда экспериментатор, ис-
следуя эффект обработки, находит удобным (или необходимым) счи-
тать одни и те же объекты и обработками, и контролем. Поскольку
(Xi, Yt) тогда представляет два наблюдения для одного и того же объек-
та, вряд ли предположение об их независимости правдоподобно. Ги-
потеза об отсутствии эффекта обработки есть именно Но. Различные ис-
следователи говорят о Но в терминах: взаимозаменяемость, перестано-
вочность и двумерная симметрия.
10.12. Из гипотезы Но следует независимость величин г (53) и иден-
тичность их распределения, причем каждая из гг принимает значения
1 и 0 с вероятностями и j соответственно. Поэтому условное распре-
деление Рс приписывает вероятность каждому значению А для
каждого из 2П наборов г. (В предыдущем утверждении мы подразуме-
вали, что все А различны, хотя, как видно из примера 10.3, два раз-
личных набора г могут порождать одно и то же значение Л.) Критерий
(60) проверяет, сколь велико Дна6л по отношению к своему условно-
му распределению. Другие сведения о природе условных критериев
(известных как перестановочные критерии) см. в [187], [50], [245], [342].
10.13. При вычислении значений d по (54) можно облегчить себе
жизнь, заметив, что
(1) di] = 0 для всех /, если а{ = bt,
(2) da = 1, если at =/= bi, da = 0, если аг = bit
(3) при i > j, если аг =/= а,, то dtj — 0.
10.14. Рассмотрим (51) и положим
Л* (х, у) = Р (X С х и Y С у) — Р (X < у и Y < х). (71)
Гипотеза Но (51) верна тогда и только тогда, когда А* (х, у) = 0 для
всех (х, у). Статистика (А/п) оценивает параметр
Д2 (F) = Ef {Л* (X', У')}2, (72)
где (X', У') — случайный элемент из рассматриваемой двумерной со-
вокупности с распределением F. Мы можем рассматривать Я* (х, у)
как меру отклонения от Но в точке (х, у), а Д2 (F) (72) — как среднее
значение квадрата этого отклонения. Ситуация здесь аналогична той,
что возникает для D-критерия Хёфдиига (см. комментарий 10.7).
10.15. Критерий А предназначался Холлендером для обнаруже-
ния произвольных альтернатив к гипотезе об отсутствии эффекта об-
работки. Поэтому критерий А будет обнаруживать не только альтер-
нативы вида (3.1) при 0 =/= 0, но будет также чувствителен к различи-
ям в рассеянии в (безусловных) распределениях X и У так же, как и
к отклонениям от Но более общего вида. Конечно, за эти более широ-
кие гарантии приходиться платить. В частности, в условиях модели
(3.1) мы не можем надеяться на такую же мощность критерия А, как,
скажем, у критерия знаковых рангов Уилкоксона (36), поскольку
критерий знаковых рангов направлен на фиксацию изменения поло-
жения. С другой стороны, есть много альтернатив к Но, для которых
258
критерий знаковых рангов будет иметь мощность, остающуюся равной
а (для любого объема выборки), в то время как мощность критерия А,
будет стремиться к 1 (при оо). Действительно, критерий А сос-
тоятелен при слабых ограничениях на свойства двумерной совокупно-
сти F.
10.16. Приближение для большой выборки, основанное на (62),
было получено эвристически в работе Холлендера [196]. В табл. 1 этой
работы приведено сравнение приближенных вероятностей, найденных
по (62), и точных вероятностей в ряде частных случаев.
Свойства. Состоятельность: критерий, определенный в (60), состоя-
телен против распределений, для которых параметр Д2 (F) из (72) по-
ложителен. Об условиях на F, обеспечивающих положительность
Д2(Л, см. [196].
Ссылки. Критерий, основанный на А, был введен Холлендером
[196]. Другие непараметрические критерии для двумерной симметрии
даны в работах [466], [352], [27], в последней обсуждалось несколько
методов*.
Задачи
10.5. В [65] исследовался метаболизм альбумина и фибриногена с исполь-
зованием меченого углерода 14С для измерения скорости синтеза протеинов плаз-
мы крови печенью до и после 13-дневного курса преднизолона**. Восемью ис-
следуемыми были больные с заболеванием коры надпочечников, которое устанав-
ливалось методом биопсии. Часть исследования относится к изменениям внутри-
сосудистого запаса альбумина. Табл. 10.7 основана на этой части данных из [65].
Таблица 10.7. Внутрисосудистый запас альбумина
до и после курса преднизолона
Больной Внутрисосудистый запас альбумина (г)
До курса, после курса, У*
1 74.4 83.8
2 100.0 97.5
3 82.5 77.4
4 84.3 87.2
5 91.4 116.2
6 92.8 88.2
7 104.2 115.1
8 58.3 50.5
Источник. [65].
* См. также [631], [661], [762] — Примеч. пер.
** Авторы этой работы использовали радиоизотопный метод (с изотопом
углерода 14С) для проверки гипотезы о том, что кортикостероидные вещества,
вырабатываемые корой надпочечников, стимулируют синтез альбумина, но не
фиброгена. Альбумин и фиброген — это протеины, входящие в состав плазмы
крови и играющие разную роль в работе механизма свертывания крови. Так,
фиброген под действием энзима тромбина вырабатывает фибрин. Для проверки
этой гипотезы группе больных проводили курс преднизолона — аналога корти-
зона — гормона коры надпочечников. Здесь приведена часть данных, относящих-
ся только к метаболизму (обмену) альбумина. Наличие у пациентов заболевания
коры надпочечников устанавливалось методом биопсии, т. е. лабораторным ана-
лизом ткани пораженного органа, извлеченной из живого организма. Если ис-
ходная гипотеза верна, то после введения преднизолона мы должны наблюдать
увеличение содержания в крови альбумина, но не фиброгена. — Примеч. ред.
259
Найдите (приближенный) уровень значимости, достижимый при Янабл, ис-
пользуя приближение для большой выборки (62).
10.6. Докажите или покажите на числовом примере, что пункты (1) — (3)
из комментария 10.13 действительно верны.
§ 10.4. СВОБОДНЫЙ ОТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТЕРИЙ
«НОВОЕ ЛУЧШЕ СТАРОГО (НЛС)» (ХОЛЛЕНДЕР — ПРОШАН)
Данные. Получаем выборку из п «продолжительностей жизни»
Х1( ..., Хп.
Допущения
П. Случайные величины Хъ ..., Хп взаимно независимы.
Г2. Все Хг извлечены из одной непрерывной совокупности, при-
чем Р (Хг > 0) = 1.
Метод. Нас интересует гипотеза
Н9 : Р (X х + у\Х х) = Р (Xz^y) для всех х, у 0. (74)
Знак «|» в скобках в левой части (74) читается «при условии, что...».
Таким образом, в (74) утверждается, что вероятность «выживания» за
дополнительный период времени у при условии, что изделие «прожило»
в течение периода времени х, равна вероятности того, что новое еще
не работавшее изделие проживет начальный период времени у. Утвер-
ждение о том, что это верно для всех х, у 0, эквивалентно утверж-
дению о том, что работающие изделия любого «возраста» не лучше и не
хуже, чем новые. А это значит, что рассматриваемая совокупность экс-
поненциальная (см. комментарий 10.17).
Для проверки Но надо выполнить следующее.
1. Упорядочить X(i> по возрастанию. Пусть Х(1)^Х(2)^...^Х(п)—
упорядоченные значения.
2. Вычислить
2 "Ф СХ(О>-Х(Л + (75)
i> j> k
где
Ш »)=(*• “>Ч (76)
I 0, если а < b. J
Заметим, что суммирование в (75) производится по всем п (п—1)Х
Х(п—2)/6 упорядоченным тройкам (/, /, k), для которых i> j>k.
3. Односторонний критерий уровня а для Но (74) против альтерна-
тив о том, что новое лучше старого (НЛС),
Р (X > х-\-у\Х х)^ Р (Х~^у) для всех х, у 0 (77)
(причем хотя бы для некоторых х, у 0 неравенство (77) строгое),
таков:
отклонить Но, если Т 4 (а, п)Л ,^\
принять Но, если Т > 4 (а, n), J '
где константа 4 (а, п) удовлетворяет соотношению Ро (а>
~ а. Приближенные значения (а, п) даны в табл. А.27.
260
Односторонний критерий уровня а Но (74) против альтернатив о
том, что новое хуже старого (НХС),
Р (X х + у\Х для всех х, у 0 (79)
(причем хотя бы для некоторых х, у Q неравенство (79) строгое), та-
ков:
отклонить Но, если Т t2 (а, и),
принять Но, если Т < /2 (а, и),
(80)
где константа /2 («♦ п\ удовлетворяет соотношению Ро
> h (а, п)} = а. Приближенные значения ta (а, п) даны в
табл. А.27.
Приближение для большой выборки. Положим
Т-Е»(Т) __
[var0(T)],/2
= ___________________Т-{п(л-1)(п-2)/8)____________________
(7 3 \ Г/ 5 \ , „J 7 \ . / 1 \]р/2 *
((т)я ("-1) <п-2) Ц^г)(п-3) (n“4)+(""3)h^)+wJ}
(81)
При гипотезе Но статистика Т* имеет асимптотическое (при п -> оо)
распределение N (0, 1).
Нормальное приближение для метода (78) таково:
отклонить Но, если Т*<—2(а), |
принять Но, если Т*>—z<a). J
Связи. Когда Хц) = Х(/) + Х(*>, надо вычислять Т, заменяя
Ф(Х(/), + на "Ф* (Ху),Х(/) + Х(Л)), где
ф* (а, &) =
1, если а>Ь,
1 .
—, если а — Ь,
2
0, если a<Z b.
(83)
Пример 10.4. Табл. 10.8 основана на части данных Прошана [300].
Он исследовал распределение сроков службы системы кондициониро-
вания воздуха одного отряда реактивных самолетов Боинг-720. В таб-
лице представлены интервалы между отказами кондиционера самоле-
та 7907.
Прежде чем проверять гипотезу о том, что новое лучше старого,
надо ответить на следующий вопрос: можно ли рассматривать Х( как
261
Таблица 10.8. Интервалы между отказами системы кондиционирования самолета 7907 случайную выборку из общей совокупности? Мы рассмат- риваем конкретный самолет,
1 (часов) а по мере роста времени его эксплуатации интервалы ме- жду отказами могут сокра- щаться (или удлиняться). Прошан пишет: «Тенденция к удлинению интервалов, ес- ли она выявлена, может быть результатом опыта эксплуа- тации, доводки или смены поврежденных частей, а тен-
1 2 3 4 5 6 194 15 41 29 33 181 15 29 33 41 181 194
Источник. [300].
денция к их сокращению —
напротив, может быть результатом износа, старения или плохого
технического обслуживания».
Чтобы убедиться в правомерности рассмотрения последовательных
интервалов для самолета 7907 как выборку из одной совокупности, мы,
следуя Прошану, применим критерий Манна для тренда. Определение
статистики К (см. комментарий 8.10) приводит по данным табл. 10.8
к значению К= 1. Сравнивая эту величину с данными из А.21, мы не
видим очевидных доводов в пользу тренда, значит, можно действовать
так, как будто Хг образуют случайную выборку из общей совокупно-
сти. Теперь применим метод (78) для проверки гипотезы о том, что
эта совокупность удовлетворяет (74) против альтернатив НЛС (77).
В нашей конкретной ситуации можно интерпретировать эту гипотезу
как утверждение о том, что после ремонта система кондициониро-
вания так же хороша, как новая. В табл. 10.9 показаны вычисления,
требующиеся для получения Т.
Отсюда имеем
т= Ц)(х(0,х(/)+ад=12.
i>i>k
По табл. А.27 находим критическую константу для уровня а =
= .086, равную 4 (.086, 6) = 9. Поскольку Т = 12 > 9 = (.086,6),
принимаем Но (74). Таким образом, используя метод (78) на уровне
а = .086, мы принимаем гипотезу о том, что рассматриваемое распре-
деление будет экспоненциальным (см. комментарий 10.17).
Используя нормальную аппроксимацию (от которой мы не ждем
особой точности при относительно малом объеме выборки п = 6), най-
дем из (81)
_____________12-{6 (5) (4)/8)______
(/ 3 \ Г/ 5 \ I 7 \ { 1 УП !/2
Кт)6 ®(4) Ктт) ®(2)+3 Ы+(т)]}
Наименьший уровень, на котором мы можем отклонить Но (74) в
пользу альтернатив (77) НЛС, используя нормальное приближение
(82), равен .22.
262
Таблица 10.9. Значения ф (X(i)> Х(/)4-Хдо),
соответствующие 20 упорядоченным тройкам (с> j, k) при i>j>k
(/. /. k) (Х(О< *(;)> Х(М) Х(;)+Х(Ю (x(i). X(J)+*(&))
(3, 2, 1) (33, 29, 15) 44 0
(4, 2, 1) (41, 29, 15) 44 0
(5, 2, 1) (181, 29, 15) 44 1
(6, 2, 1) (194 , 29, 15) 44 1
(4, 3, 1) (41, 33, 15) 48 0
(5, 3, 1) (181, 33, 15) 48 1
(6, 3, 1) (194, 33, 15) 48 1
(5, 4, 1) (181, 41, 15) 56 1
(6, 4, 1) (194, 41, 15) 56 1
(6, 5. 1) (194, 181, 15) 196 0
(4, 3, 2) (41, 33, 29) 62 0
(5, 3, 2) (181, 33, 29) 62 1
(6, 3, 2) (194 , 33 , 29) 62 1
(5, 4, 2) (181, 41, 29) 70 1
(6, 4, 2) (194, 41, 29) 70 1
(6, 5, 2) (194, 181, 29) 210 0
(5, 4, 3) (181, 41, 33) 74 1
(6, 4, 3) (194, 41, 33) 74 1
(6, 5, 3) (194, 181, 33) 214 0
(6, 5, 4) (194, 181, 41) 222 0
Комментарии
10.17. При выполнении (74) для всех х, у > 0 можно показать (ср.
с [122, р. 459—460]), что Р (X х) = е-^ для любого X > 0. Таким
образом, соответствующее распределение экспоненциально. Хотя при
Но распределения могут быть только экспоненциальными, мы назы-
ваем критерий, основанный на Т, непараметрическим, поскольку рас-
пределение Т при Но не зависит от частного значения к*.
10.18. Существуют критерии для HQ (74), специально предназна-
ченные для обнаружения (суженного) класса альтернатив, известных
как альтернативы возрастания частоты (интенсивности) отказов (ВЧО).
Мы назовем q (t) частотой отказов, если вероятность отказа изделия
возраста t в малом интервале равна q (t) • Д (t) 4- о (Д£) (см. [16, р. 10]).
Альтернатива ВЧО — это такая альтернатива, для которой q (/) не
убывает при возрастании t. Подобные альтернативы одновременно бу-
дут и альтернативами НЛС (77), однако обратное, вообще говоря, не
верно. А именно есть много альтернатив НЛС, не являющихся аль-
тернативами ВЧО. Например, рассматриваемая совокупность может
быть такой, что новое лучше старого (т. е. выполняется (77)), а частота
отказов колеблется (в частности, не возрастает), скажем, из-за сезон-
ных трендов. Для таких альтернатив критерий НЛС (78) лучше, чем
* Заметим, что на протяжении всей книги трактовка термина «иепараметри-
ческий» более общая. — Примеч. пер.
263
критерий ВЧО. Аналогичные замечания можно сделать о критерии
НХС (79) и о критериях для альтернатив убывающей частоты отказов
УЧО (см. «Ссылки» о критериях ВЧО (УЧО)).
10.19. Читатель должен иметь в виду, что судить о том, когда новое
лучше (хуже) старого, можно, пользуясь только новыми изделиями,
т. е. для построения критерия НЛС (НХС) нужна выборка из времен
жизни новых изделий.
10.20. Легко видеть, чтоф (Х(г), Х(;) 4- X(fc))^ ф (Х(г), Xqj 4- Х(4>)
при i' > i. В частности, если ф (X(f), XW)4-X(ft))=l, то гр (Х</-), Х<;)+
+ Х(ю) = 1 Для всех i' > i. Этот факт может упростить вычисле-
ния статистики Т. Например, в табл. 10.9, после того как мы устано-
вим, что Х(5) > Х(а) 4- Х(1) и, таким образом, ф (X(5-j, Х(2)4-Х(1)) =
= 1, нет необходимости сравнивать Х(в) с Х<2) 4- Xqj. По-
скольку Х(в)>Х(5), имеем Х((П > Х(2) 4- Х(1), и потому ф (Х(6),
Х(2) 4- Х(1)) = 1.
10.21. Уравнение (74) можно переписать в виде
Р (X х 4- у) = Р (X > х)Р (X > у) для всех х, у > 0. (84)
Положим
Т* (х, у) = Р (X > х)Р (X > у) - Р (X > х 4- У). (85)
Заметим, что Т* (х, у) = 0 для всех (х, у) тогда и только тогда,
когда /70 (74) верна. Этот факт использовали Холлендер и Прошан для
получения критерия, основанного на F. Статистика — {277 [пх
Х(п — 1) (п. — 2)]} оценивает параметр
Д8 (F) = £f{T* (Х\ К')}, (86)
где X', Y' независимы и каждый извлечен из рассматриваемой сово-
купности времени жизни (безотказной работы) с распределением F.
Мы можем рассматривать Т* (х, у) как меру отклонения от Но в точке
(х, у), а Д8 (F) — как среднее значение этого отклонения. Когда рас-
пределение F соответствует НЛС (и, следовательно, не экспонен-
циально) и непрерывно (см. допущение Г2), параметр Д3 (F) поло-
жителен. Когда выборка берется из такой совокупности, величина
(-j)—{277 [гс (гс—1) (п — 2)]} возрастает, или, что эквивалентно,
Т убывает. Это частично объясняет метод (78).
Свойства
1. Состоятельность: при допущениях Г1 и Г2 методы (78) ((80)) со-
стоятельны против альтернатив, относящихся к типу НЛС (НХС) и,
следовательно, не экспоненциальных. Таким образом, критерий
НЛС (НХС) состоятелен против тех альтернатив, для которых нера-
венство (77) ((79)) выполняется для всех (х, у), причем строго хотя бы
для некоторых (х, у) (см. [197]).
2. Эффективность: см. [197] и § 10.5.
Ссылки. Критерии, основанные на Т, ввели Холлендер и Про-
шан [197]. Насколько известно авторам, других критериев дляобна-
264
ружения НЛС (НХС) альтернатив не предлагалось. Процедуры для
проверки Но (74) против альтернатив ВЧО (УЧО) предложены в [117]
[117а], [301], [15], [17], [39], [38]*.
Задачи
10.7. Данные в табл. 10.10 извлечены из исследования, которое обсужда-
лось в [371], а также рассматривалось в [60]. Они представляют собой продолжи-
тельность жизни (измеренную с момента постановки диагноза) для 43 боль-
ных, страдающих хронической гранулоцитной лейкемией**. Для этих данных
Г = 8327. Примените приближение для большой выборки (82) для критерия
против альтернатив НДС. (Заметим, что здесь можно возражать против альтер-
натив НХС, поскольку после установления диагноза лейкемии лечение может
стать причиной убывания частоты отказов в течение некоторого времени.)
Таблица 10.10. Упорядоченные значения продолжительности
жизни (в днях от даты диагноза)
7 429 579 968 1877
47 440 581 1077 1886
58 445 650 1109 2045
74 455 702 1314 2056
177 468 715 1334 2260
232 495 779 1367 2429
273 497 881 1534 2509
285 532 900 1712
317 571 930 1784
Источник. [371].
10.8. Докажите или покажите на примере, что наибольшее возможное зна-
чение Т (75) (при объеме выборки п) равно п(п — 1) (л — 2)/6, а наименьшее —
нулю.
10.9. Дайте следующие определения: двумерная функция распределения;
функция распределения; эмпирическая функция распределения; показательное
(экспоненциальное) распределение; частота (интенсивность) отказов; наиболь-
ший общий делитель; возрастающая частота (интенсивность) отказов (ВЧО);
независимые случайные величины; перестановочные случайные величины;
«новое лучше старого» (НЛС); порядковые статистики.
§ 10.5. ЭФФЕКТИВНОСТЬ (КРИТЕРИИ, ПОСТРОЕННЫЕ
ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ ПРОИЗВОЛЬНЫХ АЛЬТЕРНАТИВ)
Найти асимптотическую относительную эффективность критерия
Колмогорова — Смирнова довольно затруднительно, чему причиной
сложная форма асимптотического распределения статистики Колмого-
рова-Смирнова. В [67] получена нижняя грань асимптотической от-
* См. также [660], [475], [485]. — Примеч. пер,
** Лейкемия (белокровие, рак крови) — хроническая болезнь, обусловлен-
ная значительным увеличением содержания в крови белых кровяных телец —
лейкоцитов, причем преобладают их патологические, незрелые формы. Вызы-
вается рядом болезней кроветворных органов, а также некоторыми внешними
воздействиями, например радиацией. Лейкоциты бывают зернистыми (грануло-
циты) и не зернистыми. В данной работе говорится о хронической гранулоцит-
ной лейкемии. — Примеч. ред.
265
носительной эффективности этого критерия. В частности, для альтер.
натив сдвига при нормальном распределении в [67] получена нижняя
грань .673 для асимптотической относительной эффективности кри-
терия Колмогорова—Смирнова по отношению к ^-критерию из гаус-
совской теории. (См. также [314] и [471].) Связанные с этим данные об
эффективности, использующие другие ее определения, см. в [223]
[165, с. 343]*, [4].
Мы не знаем никаких результатов по асимптотической относитель-
ной эффективности критерия независимости Хёфдинга (из § 10.2) или
критерия двумерной симметрии Холлендера (из § 10.3).
Наконец, обсудим критерии НЛС из § 10.4. Поскольку нет других
критериев, ориентированных на альтернативы НЛС, Холлендер и Про-
шан [197] сравнили критерий НЛС с критериями, построенными для
более узкого класса альтернатив — класса ВЧО. Если рассматривае-
мое распределение — действительно распределение ВЧО, то надо ожи-
дать, что критерий ВЧО, как правило, будет работать лучше, чем кри-
терий НЛС, так и оказалось на самом деле. Мы ограничимся здесь кри-
терием НЛС, предложенным Бикелом и Доксамом [39]. Этот критерий
основан на статистике из работы Бикела и Доксама. (Об относитель-
ной асимптотической эффективности критерия НЛС по отношению к
другим критериям см. [197].)
Асимптотическая относительная эффективность критерия НЛС по
отношению к критерию Бикела—Доксама, основанному на Wlt равна
.937 для альтернатив Вейбулла и .45 для альтернатив линейной час-
тоты отказов. Математическое описание этих альтернатив см., напри-
мер, в [197]. В той же работе [197] представлены: (а) альтернативы
типа НЛС, не являющиеся ВЧО, для которых критерий НЛС облада-
ет большей мощностью, чем критерий Бикела—Доксама (как и сле-
довало ожидать), (б) альтернативы типа ВЧО, для которых критерий
НЛС обладает большей мощностью, чем критерий Бикела—Доксама!
* См. § 2 гл. VIL книги [165]. — Примеч. пер.
266
ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРИЛОЖЕНИЕ А. ТАБЛИЦЫ И НОМОГРАММЫ
Таблица А.1 . Вероятности верхнего хвоста стандартного нормального рас-
пределения
Таблица А.2 . Вероятности верхних хвостов биномиальных распределений:
п = 2 (1) 10, р = .05 (.05). 45, 1/3; п = 2 (1) 25, р = .50
Таблица А.З . Некоторые доверительные пределы для вероятности успеха:
п = 1 (1) 10
Таблица А.4 . Вероятности верхнего хвоста распределения статистики знаковых
рангов Унлкоксона Т+ при выполнении нулевой гипотезы:
п = 3 (1) 15
Таблица А.5 . Вероятности верхнего хвоста распределения статистики ранговых
сумм Унлкоксона W, когда выполняется нулевая гипотеза:
пг = 3 (1) 10, п = (1) nv, т = 11 (1) 20, п = 1 (1) 4
Таблица А.6. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики W
(Ансари — Брэдли), когда выполняется нулевая гипотеза:
2 т < п, (т + п) < 20
Таблица А.7. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики Крас-
кела — Уоллиса Н, когда выполняется нулевая гипотеза:
k = 3, «j = 1 (1) 5, л2 — ni (О 5; 2 С п3 = л2 (1) 5
Таблица А.8 . Некоторые критические значения распределения статистики
Джонкхиера J, когда выполняется нулевая гипотеза; k = 3,
2 С «1С пг С «з С 8; k = 4, 5, 6, = ... = = 2 (1) 6
Таблица А.9 . Некоторые критические значения для множественных сравнений
всех обработок, основанных на ранговых суммах Краскела —
Уоллиса: k «= 3, л = 2 (1) 6; k = 4, 5, л = 2, 3, 4; k = 6, 7, 8,
л = 2, 3; k = 9 (1) 15, л = 2
Таблица А. 10. Некоторые критические значения размаха k независимых N (0, 1)
случайных величин: k = 2 (1) 20 (2) 40 (10) 100
Таблица А.11. Критические значения односторонних множественных сравнений
обработок с контролем, основанные на ранговых суммах Краске-
ла — Уоллиса: k = 3, л = 2 (1) 6
Таблица А. 12. Критические значения двусторонних множественных срав-
нений обработок с контролем, основанные на ранговых суммах
Краскела — Уоллиса: k = 3, л = 2 (1) 6
Таблица А. 13. Накопленные вероятности распределения максимума I распре-
деленных N (0, 1) случайных величин с общим коэффициентом
корреляции р: I = 1 (1) 12; р = .1 (.1). 9, р = .125 (.125).875,
р = 1/3, 2/3
1аолицаА.14. Некоторые критические значения для максимума абсолютного
значения I распределенных N (0, 1) случайных величин с общим
коэффициентом корреляции р = 1/2: 7=1(1) 12, 15, 20
1аблица А. 15. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики Фрид-
мана S, когда выполняется нулевая гипотеза: £ = 3, л = 2 (1) 13;
k «= 4, п 5= 2 (1) 8; k = 5, п. = 3, 4, 5
207
Таблица А. 16. Некоторые критические значения статистики Пейджа L при
выполнении нулевой гипотезы: k = 3, п = 2 (1) 20; k = 4
(1) 8, п = 2 (1) 12
Таблица А.17. Некоторые критические значения для множественных сравнений
всех обработок, основанных на ранговых суммах Фридмана:
k = 3, п = 3 (1) 15; k = 4 (1) 15, п = 2 (1) 15
Таблица А.18. Критические значения для односторонних множественных срав-
нений обработок с контролем, основанные на ранговых суммах
Фридмана: k = 3, п = 2 (1) 18; k = 4, п = 2 (1) 5
Таблица А. 19. Критические значения для двусторонних множественных срав-
нений обработок с контролем, основанные на ранговых суммах
Фридмана: k = 3, п = 2 (1) 18; k = 4, п = 2 (1) 5
Таблица А.20. Верхние границы ру для нулевой корреляции между двумя пе-
рекрывающимися статистиками знаковых рангов: п = 1 (1) 50
Таблица А.21. Вероятность верхнего хвоста распределения статистики Кендэла
К при выполнении нулевой гипотезы: п = 4 (1) 40
Таблица А.22. Вероятности верхнего хвоста распределения односторонней ста-
тистики Колмогорова — Смирнова Jit когда выполняется нуле-
вая гипотеза: т = п = 1 (1) 30 (2) 40
Таблица А.23. Вероятности верхнего хвоста распределения двусторонней ста-
тистики Колмогорова — Смирнова J3, когда выполняется нуле-
вая гипотеза: п = 1 (1) 20, т = 1 (1) п
Таблица А.24. Накопленные вероятности для предельного распределения дву-
сторонней статистики Колмогорова — Смирнова J3, когда вы-
полняется нулевая гипотеза
Таблица А.25. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики Хёф-
динга D, когда выполняется нулевая гипотеза: п = 5 (1) 9
Таблица А.26. Вероятности верхнего хвоста предельного распределения статис-
стики Блюма — Кифера — Розенблатта (л* п В/2), когда выпол-
няется нулевая гипотеза
Таблица А.27. Некоторые критические значения распределения статистики
Холлендера — Прошана Т, когда выполняется нулевая гипотеза:
п = 4 (1) 20 (5) 50
Таблица А.28. Квадратные корни: п = 1 (1) 500 (10) 5000
Таблица А.29. Натуральные логарифмы: х= 1 (.01) 10
Таблица А.30. Критические значения коэффициента ранговой корреляции
Спирмэна г для двусторонних и односторонних вероятностей
а (2) и а (1) соответственно
Замечание
В таблицах приняты следующие условности. Целая часть отделяется от
дробной точкой (а ие запятой). Ноль целых, как правило, опускается. Таким
образом, запись .02 означает 0,02. Если в корпусе таблицы стоит набор цифр,
скажем, 4960, то это прочитывается как 0,4960. Ради экономии места опускается
не только ноль целых, но и точка. Если же целых не ноль, то это обязательно
отражается в таблице, например, так: 1.000. Исключение составляют числа, не.
стоящие в скобках, из табл. А.27 (см. с. 432). В этом единственном случае в таб-
лице фигурируют самые обычные числа. Соглашения, подобные сформулирован-
ным, получают все большее распространение и кажутся удобными и оправданны-
ми. — Ред.
208
Таблица А.1. Вероятности верхнего хвоста стандартного нормального рас-
пределения.
В таблице для заданного х приведены Р (X > х), где X имеет распределение
N (0,1)*. Таким образом, если х таков, что Р (X х) = а, то = х.
X .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641
.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247
.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .3859
.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483
.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .3121
.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776
.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451
.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2296 .2266 .2236 .2206 .2177 .2148
.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .1867
.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611
1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379
1.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170
1.2 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985
1.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823
1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0721 .0708 .0694 .0681
1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .0559
1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455
1.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367
1.8 .0359 .0351 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .0294
1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233
2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183
2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143
2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110
2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084
2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064
2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048
2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036
2.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026
2.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019
2.9 .0019 .0018 .0018 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014
3.0 .0013 .0013 .0013 .0012 .0012 •ООП .ООП .0011 .0010 .0010
3.1 .0010 .0009 .0009 .0009 .0008 .0008 .0008 .0008 .0007 .0007
3.2 .0007 .0007 .0006 .0006 .0006 .0006 .0006 .0005 .0005 .0005
3.3 .0005 .0005 .0005 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0004 .0003
3.4 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0003 .0002
Более подробные таблицы [477], [538] и др. — Примеч. пер.
269
Таблица А. 2. Вероятности верхних хвостов биномиальных распределе-
ний: п = 2 (1) 10, р = .05 (.05) .45, 1/3; п = 2 (1) 25, р = .50*
Когда В имеет биномиальное распределение с параметрами п н р0, таблицы чи-
таются следующим образом:
1. При р0 < .5 для (Ь, п) в таблице с р — р0 приведены РР(} {В Ь}. Так,
если для данных (Ь, п) в таблице с р = р0 напечатано а, то b (а, п, р0) — Ь.
2. При р0 > .5 вероятности хвостов можно получить из уравнения
РРо {В > b} = Pi_p0 {В < п — Ь}. Например, при п— 10, р0 = .7, Ь — & на-
ходим Р., {В > 8} = Р.3 {В < 2} = 1 — Р.3 {В > 3} = 1 — .6172 = .3828.
3. При ро = .5 для (Ь, п) содержание соответствующей графы в таблице
с р = .5 есть Р.6 {В 5} — Р.3 {Bsg: (п — Ь)}. Так, если для (5, п) в таблице
с р = .5 напечатано а, то b (а, п, 1/2) = Ь.
р = .05
п
ь 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .0975 .1426 .1855 .2262 .2649 .3017 .3366 .3698 .4013
2 .0025 .0073 .0140 .0226 .0328 .0444 .0572 .0712 .0861
3 .0001 .0005 .0012 .0022 .0038 .0058 .0084 .0115
4 .0000 .0000 .0001 .0002 .0004 .0006 .0010
5 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000 .0001
6 .0000 .0000 .0000 .0000 .0000
7 .0000 .0000 .0000 .0000
8 .0000 .0000 .0000
9 .0000 .0000
10 .0000
р = .10
п
ъ 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .1900 .2710 .3439 .4095 .4686 .5217 .5695 .6126 .6513
2 .0100 .0280 .0523 .0815 .1143 .1497 .1869 .2252 .2639
3 .0010 .0037 .0086 .0159 .0257 .0381 .0530 .0702
4 .0001 .0005 .0013 .0027 .0050 .0083 .0128
5 .0000 .0001 .0002 .0004 .0009 .0016
6 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001
7 .0000 .0000 .0000 .0000
8 .0000 .0000 .0000
9 .0000 .0000
10 .0000
* Сведения о более подробных таблицах см. в ссылках к § 2.1 — Примеч. пер-
270
Таблица А.2] (продолжение)
Р = Л5
ь 2 3 4 5 п 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .2775 .3859 .4780 .5563 .6229 .6794 .7275 .7684 .8031
2 .0225 .0608 .1095 .1648 .2235 .2834 .3428 .4005 .4557
3 .0034 .0120 .0266 .0473 .0738 .1052 .1409 .1798
4 .0005 .0022 .0059 .0121 .0214 .0339 .0500
5 .0001 .0004 .0012 .0029 .0056 .0099
6 .0000 .0001 .0002 .0006 .0014
7 .0000 .0000 .0000 .0001
8 .0000 .0000 .0000
9 .0000 .0000
10 .0000
р = .20
п
Ь 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .3600 .4880 .5904 .6723 .7379 .7903 .8322 .8658 .8926
2 .0400 .1040 .1808 .2627 .3446 .4233 .4967 .5638 .6242
3 .0080 .0272 .0579 .0989 .1480 .2031 .2618 .3222
4 .0016 .0067 .0170 .0333 .0563 .0856 .1209
5 .0003 .0016 .0047 .0104 .0196 .0328
6 .0001 .0004 .0012 .0031 .0064
7 .0000 .0001 .0003 .0009
8 .0000 .0000 .0001
9 .0000 .0000
10 .0000
р = .25
Ъ 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .4375 .5781 .6836 .7627 .8220 .8665 .8999 .9249 .9437
2 .0625 .1563 .2617 .3672 .4661 .5551 .6329 .6997 .7560
3 .0156 .0508 .1035 .1694 .2436 .3215 .3993 .4744
4 .0039 .0156 .0376 .0706 .1138 .1657 .2241
5 .0010 .0046 .0129 .0273 .0489 .0781
6 .0002 .0013 .0042 .0100 .0197
7 .0001 .0004 .0013 .0035
8 .0000 .0001 .0004
9 .0000 .0000
10 .0000
271
Таблица А.2. (продолжение)
р = .30
5 2 3 4 п 7 8 9 10
5 6
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .5100 .6570 .7599 .8319 .8824 .9176 .9424 .9596 .9718
2 .0900 .2160 .3483 .4718 .5798 .6706 .7447 .8040 .8507
3 .0270 .0837 .1631 .2557 .3529 .4482 .5372 .6172
4 .0081 .0308 .0705 .1260 .1941 .2703 .3504
5 .0024 .0109 .0288 .0580 .0988 .1503
6 .0007 .0038 .0113 .0253 .0473
7 .0002 .0013 .0043 .0106
8 .0001 .0004 .0016
9 .0000 .0001
10 .0000
Р = 1/3
п
Ъ 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .5556 .7037 .8025 .8683 .9122 .9415 .9610 .9740 .9827
2 .1111 .2593 .4074 .5391 .6488 .7366 .8049 .8569 .8959
3 .0370 .1111 .2099 .3196 .4294 .5318 .6228 .7009
4 .0123 .0453 .1001 .1733 .2586 .3497 .4407
5 .0041 .0178 .0453 .0879 .1448 .2131
6 .0014 .0069 .0197 .0424 .0766
7 .0005 .0026 .0083 .0197
8 .0002 .0010 .0034
9 .0001 .0004
10 .0000
Р = .35
п
Ъ 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .5775 .7254 .8215 .8840 .9246 .9510 .9681 .9793 .9865
2 .1225 .2818 .4370 .5716 .6809 .7662 .8309 .8789 .9140
3 .0429 .1265 .2352 .3529 .4677 .5722 .6627 .7384
4 .0150 .0540 .1174 .1998 .2936 .3911 .4862
5 .0053 .0223 .0556 .1061 .1717 .2485
6 .0018 .0090 .0253 .0536 .0949
7 .0006 .0036 .0112 .0260
8 .0002 .0014 .0048
9 .0001 .0005
10 .0000
272
Таблица А.2 (продолжение)
р = .40
ь 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .6400 .7840 .8704 .9222 .9533 .9720 .9832 .9899 .9940
1 .1600 .3520 .5248 .6630 .7667 .8414 .8936 .9295 .9536
3 .0640 .1792 .3174 .4557 .5801 .6846 .7682 .8327
4 .0256 .0870 .1792 .2898 4059 .5174 .6177
5 .0102 .0410 .0963 .1737 .2666 .3669
6 .0041 .0188 .0498 .0994 .1662
7 .0016 .0085 .0250 .0548
8 .0007 .0038 .0123
9 .0003 .0017
10 .0001
Р = .45
п
b 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 6975 .8336 .9085 .9497 .9723 .9848 .9916 .9954 .9975
2 .2025 .4253 .6090 .7438 .8364 .8976 .9368 .9615 .9767
3 .0911 .2415 .4069 .5585 .6836 .7799 .8505 .9004
4 .0410 .1312 .2553 .3917 .5230 .6386 .7340
5 .0185 .0692 .1529 .2604 .3786 .4956
б .0083 .0357 .0885 .1658 .2616
7 .0037 .0181 .0498 .1020
8 .0017 .0091 .0274
9 .0008 .0045
10 .0003
Р = .50
п
Ь 2 3 5 6 7 8 9
1 .7500
2 .2500 .5000 .6875
3 .1250 .3125 .5000 .6563
4 .0625 .1875 .3438 .5000 .6367
5 .0313 .1094 .2266 .3633 .5000
6 .0156 .0625 .1445 .2539
7 0078 .0352 .0898
8 .0039 .0195
9 .0020
273
Таблица А.2 (продолжение)
р = .50
п
ъ 10 И 12 13 14 15 16 17
5 .6230
6 .3770 .5000 .6128
7 .1719 .2744 .3872 .5000 .6047
8 .0547 .1133 .1938 .2905 .3953 .5000 .5982
9 .0107 .0327 .0730 .1334 .2120 .3036 .4018 .5000
10 .0010 .0059 .0193 .0461 .0898 .1509 .2272 .3145
11 .0005 .0032 .0112 .0287 .0592 .1051 .1662
12 .0002 .0017 .0065 .0176 .0384 .0717
13 .0001 .0009 .0037 .0106 .0245
14 .0001 .0005 .0021 .0064
15 .0000 .0003 .0012
16 .0000 .0001
17 .0000
р = .50
п
Ь 18 19 20 21 22 23 24 25
9 .5927
10 .4073 .5000 .5881
11 .2403 .3238 .4119 .5000 .5841
12 .1189 .1796 .2517 .3318 .4159 .5000 .5806
13 .0481 .0835 .1316 .1917 .2617 .3388 .4194 .5000
14 .0154 .0318 .0577 .0946 .1431 .2024 .2706 .3450
15 .0038 .0096 .0207 .0392 .0669 .1050 .1537 .2122
16. .0007 .0022 .0059 .0133 .0262 .0466 .0758 .1148
17 .0001 .0004 .0013 .0036 .0085 .0173 .0320 .0539
18 .0000 .0000 .0002 .0007 .0022 .0053 .0113 .0216
19 .0000 .0000 .0001 .0004 .0013 .0033 .0073
20 .0000 .0000 .0001 .0002 .0008 .0020
21 .0000 .0000 .0000 .0001 .0005
22 .0000 .0000 .0000 .0001
23 .0000 .0000 .0000
24 .0000 .0000
25 .0000
274
Таблица А.З. Некоторые доверительные пределы для вероятности успеха;
п = 1 (1) ю*
Для заданных п, а и числа успехов В в таблице приведены такие величины
PL (а) и Рц (а), что Рр {pL (а) < р < ру (а)} > 1 — а. **
и=1 и = 3
В а В а Р£(а)
0 .010 .0000 .9950 0 .010 .0000 .8290
.020 .0000 .9900 .020 .0000 .7846
.050 .0000 .9750 .050 .0000 .7076
.100 .0000 .9500 .100 .0000 .6316
.200 .0000 .9000 .200 .0000 .5358
1 .010 .0050 1.0000 1 .010 .0017 .9586
.020 .0100 1.0000 .020 .0033 .9411
.050 .0250 1.0000 .050 .0084 .9057
.100 .0500 1.0000 .100 .0170 .8647
.200 .1000 1.0000 .200 .0345 .8042
2 .010 .0414 .9983
п = 2 .020 .0589 .9967
.050 .0943 .9916
в а Р^(а) .100 .1353 .9830
—- .200 .1958 .9655
0 .010 .0000 .9293
.020 .0000 .9000 3 .010 .1710 1.0000
.050 .0000 .8419 .020 .2154 1.0000
.100 .0000 .7764 .050 .2924 1.0000
.200 .0000 .6838 .100 .3684 1.0000
.200 .4642 1.0000
1 .010 .0025 .9975 ' "
.020 .0050 .9950
.050 .0126 .9874 п = 4
.100 .0253 .9747
.200 .0513 .9487 В а Р£(а) Р^(«)
2 .010 .0707 1.0000 0 .010 .0000 .7341
.020 .1000 1.0000 .020 .0000 .6838
.050 .1581 1.0000 .050 .0000 .6024
.100 .2236 1.0000 .100 .0000 .5271
.200 .3162 1.0000 .200 .0000 .4377
* Заимствовано (с некоторой переработкой) из табл. 9(286] с разрешения автора
и издателя.
** Ссылки на более подробные таблицы см. в § 2.3 — Примеч. пер-
275
Таблица А.З. (продолжение)
и«4
В а Р£(«) Р(/(«)
1 .010 .0013 .8891
.020 .0025 .8591
.050 .0063 .8059
.100 .0127 .7514
.200 .0260 .6795
2 .010 .0294 .9706
.020 .0420 .9580
.050 .0676 .9324
.100 .0976 .9024
.200 .1426 .8574
3 .010 .1109 .9987
.020 .1409 .9975
.050 .1941 .9937
.100 .2486 .9873
.200 .3205 .9740
4 .010 .2659 1.0000
.020. .3162 1.0000
.050 .3976 1.0000
.100 .4729 1.0000
.200 .5623 1.0000
п = 5
В а Р£(а) Ру(“)
0 .010 .0000 .6534
.020 .0000 .6019
.050 .0000 .5218
.100 .0000 .4507
.200 .0000 .3690
1 .010 .0010 .8149
.020 .0020 .7779
.050 .0051 .7164
.100 .0102 .6574
.200 .0209 .5839
2 .010 .0229 .9172
.020 .0327 .8944
.050 .0527 .8534
.100 .0764 .8107
.200 .1122 .7534
и = 5
В а Р£(а) ~~ —. Ру(а)
3 .010 .0828 •9771
.020 .1056 .9673
.050 .1466 .9473
.100 .1893 .9236
.200 .2466 .8878
4 .010 .1851 .9990
.020 .2221 .9980
.050 .2836 .9949
.100 .3426 .9898
.200 .4161 .9791
5 .010 .3466 1.0000
.020 .3981 1.0000
.050 .4782 1.0000
.100 .5493 1.0000
.200 .6310 1.0000
п = 6
В а Р£(а) Р{/(«)
0 .010 .0000 .5865
.020 .0000 .5358
.050 .0000 .4593
.100 •0000 .3930
.200 .0000 .3187
1 .010 .0008 .7460
.020 .0017 .7057
.050 .0042 .6412
.100 .0085 .5818
.200 .0174 .5103
2 .010 .0187 .8564
.020 .0268 .8269
.050 .0433 .7772
.100 .0628 .7287
.200 .0926 ,6бб8
3 .010 .0663 .9337
.020 .0847 .9153
.050 .1181 .8819
.100 .1532 .8468
200 ,?009 7991
276
Таблица А.З (продолжение)
п = 6 л = 7
В а Р£(а) Р^(«) В а Р£(а) Ру(а)
4 .010 .1436 .9813 4 .010 .1177 .9447
.020 .1731 .9732 .020 .1423 .9292
.050 .2228 .9567 .050 .1841 .9010
.100 .2713 .9372 .100 .2253 .8712
.200 .3332 .9074 .200 .2786 .8304
5 .010 .2540 .9992 5 .010 .2030 .9842
.020 .2943 .9983 .020 .2363 .9773
.050 .3588 .9958 .050 .2904 .9633
.100 .4182 .9915 .100 .3413 .9466
.200 .4897 .9826 .200 .4038 .9212
6 .010 .4135 1.0000 6 .010 .3151 .9993
.020 .4642 1.0000 .020 .3566 .9986
.050 .5407 1.0000 .050 .4213 .9964
.100 .6070 1.0000 .100 .4793 .9927
.200 .6813 1.0000 .200 .5474 .9851
7 .010 .4691 1.0000
л = 7 .020 .5179 1.0000
.050 .5904 1.0000
В а Р£(а) Р{/(а) .100 .200 .6518 .7197 1.0000 1.0000
0 .010 .0000 .5309
.020 .0000 .4821
.050 .0000 .4096 п = 8
.100 .200 .0000 .0000 .3482 .2803 В а Р£(а) Ру(а)
1 .010 .0007 .6849 0 .010 .0000 .4843
.020 .0014 .6434 .020 .0000 .4377
.050 .0036 .5787 .050 .0000 .3694
.100 .0073 .5207 .100 .0000 .3123
.200 .0149 .4526 .200 .0000 .2501
2 .010 .0158 .7970 1 .010 .0006 .6315
.020 .0227 .7637 .020 .0013 .5899
.050 .0367 .7096 .050 .0032 .5265
.100 .0534 .6587 .100 .0064 .4707
.200 .0788 .5962 .200 .0131 .4062
3 .010 .0553 .8823 2 .010 .0137 .7422
.020 .0708 .8577 .020 .0197 .7068
.050 .0990 .8159 .050 .0319 .6509
.100 .1288 .7747 .100 .0464 .5997
.200 .1696 .7214 .200 .0686 .5382
277
Таблица А.З (продолжение)
и = 8
В а
3 .010 .0475 .8303
.020 .0608 .8018
.050 .0852 .7551
.100 .1111 .7108
.200 .1469 .6554
4 .010 .0999 .9001
.020 .1210 .8790
.050 .1570 .8430
.100 .1929 .8071
.200 .2397 .7603
5 .010 .1697 .9525
.020 .1982 .9392
.050 .2449 .9148
.100 .2892 .8889
.200 .3446 .8531
б .010 .2578 .9863
.020 .2932 .9803
.050 .3491 .9681
.100 .4003 .9536
.200 .4618 .©314
7 .010 .3685 .9994
.020 .4101 .9987
.050 .4735 .9968
.100 .5293 .9936
.200 .5938 .9869
8 .010 .5157 1.0000
.020 .5623 1.0000
.050 .6306 1.0000
.100 .6877 1.0000
.200 .7499 1.0000
п = 9
В а Р£(«) Ру(«)
0 .010 .0000 .4450
.020 .0000 .4005
.050 .0000 .3363
.100 .0000 .2831
.200 .0000 .2257
и=9
В а Р£(«) Р{/(а)
1 .010 .0006 •5850
.020 •ООП •5440
.050 .0028 •4825
.100 .0057 .4291
.200 .0116 3684
2 .010 .0121 •6926
.020 .0174 .6563
.050 .0281 .6001
.100 .0410 .5496
.200 .0608 .4901
3 .010 .0416 .7809
.020 .0534 .7500
.050 .0749 .7007
.100 .0978 .6551
.200 .1295 .5994
4 .010 .0868 .8539
.020 .1053 .8290
.050 .1370 .7880
.100 .1687 .7486
.200 .2104 .6990
5 .010 .1461 .9132
.020 .1710 .8947
.050 .2120 .8630
.100 .2514 .8313
.200 .3010 .7896
6 .010 .2191 .9584
.020 .2500 .9466
.050 .2993 .9251
.100 .3449 .9022
.200 .4006 .8705
7 .010 .3074 .9879
.020 .3437 .9826
.050 .3999 .9719
.100 .4504 .9590
.200 .5099 .9392
8 .010 .4150 .9994
.020 .4560 .9989
.050 .5175 .9972
.100 .5709 .9943
.200 .6316 .9884
278
(продолжение)
Габл»ча А.З
п = 9
В а ₽£<«>
.010 .5550 1.0000
.020 .5995 1.0000
.050 .6637 1.0000
.100 .7169 1.0000
.200 .7743 1.0000
п= 10
в а Р£(а) Ру(а)
0 .010 .0000 .4113
.020 .0000 .3690
.050 .0000 .3085
.100 .0000 .2589
.200 .0000 .2057
1 .010 .0005 .5443
.020 .0010 .5044
.050 .0025 .4450
.100 .0051 .3942
.200 .0105 .3369
2 .010 .0109 .6482
.020 .0155 .6117
.050 .0252 .5561
.100 .0368 .5069
.200 .0545 .4496
3 .010 .0370 .7351
.020 .0475 .7029
.050 .0667 .6525
.100 .0873 .6066
.200 .1158 .5517
4 .010 .0768 .8091
.020 .0932 .7817
.050 .1216 .7376
.100 .1500 .6965
.200 .1876 .6458
и = 10
В а Р£(«) Р[/(а)
5 .010 .1283 .8717
.020 .1504 .8496
.050 .1871 .8129
.100 .2224 .7776
.200 .2673 .7327
.010 .1909 .9232
.020 .2183 .9068
.050 .2624 .8784
.100 .3035 .8500
.200 .3542 .8124
7 .010 .2649 .9630
.020 .2971 .9525
.050 .3475 .9333
.100 .3934 .9127
.200 .4483 .8842
8 .010 .3518 .9891
.020 .3883 .9845
.050 .4439 .9748
.100 .4931 .9632
.200 .5504 .9455
9 .010 .4557 .9995
.020 .4956 .9990
.050 .5550 .9975
.100 .6058 .9949
.200 .6631 .9895
10 .010 .5887 1.0000
.020 .6310 1.0000
.050 .6915 1.0000
.100 .7411 1.0000
.200 .7943 1.0000
279
Таблица А.4. Вероятности верхнего Хвоста распределения статистики зна-
ковых рангов Уилкоксона Т* при выполнении нулевой гипотезы: п = 3 (1) >5*
Для заданных п в таблице приведены такие значения х, для которых Рй {Т+ > х).
Значит, если х таково, что Ро {Т+ х] = а, то t (а, и) = х**.
п
X 3 4 5 6 7 8 9
3 .625
4 .375
5 .250 .562
6 .125 .438
7 .312
8 .188 .500
9 .125 .406
10 .062 .312
11 .219 .500
12 .156 .422
13 .094 .344
14 .062 .281 .531
15 .031 .219 .469
16 .156 .406
17 .109 .344
18 .078 .289 .527
19 .047 .234 .473
20 .031 .188 .422
21 .016 .148 .371
22 .109 .320
23 .078 .273 .500
24 .055 .230 .455
25 .039 .191 .410
26 .023 .156 .367
27 .016 .125 .326
28 .008 .098 .285
29 .074 .248
30 .055 .213
31 -039 .180
32 .027 .150
33 .020 .125
34 .012 .102
35 .008 .082
Зб .004 .064
37 .049
38 .037
39 .027
40 .020
41 .014
42 .010
43 .006
44 .004
45 .002
* Заимствована (с некоторой переработкой) из табл. С [232 с разрешения авто-
ров и издателя.
** Более обширные таблицы п = 3 (1) 50 даны в [779], [286] — Примеч. пер.
280
Т а б л и ц а А.4 (продолжение) п
X ~ 10 И 12 13 14 15
28 .500
29 .461
30 .423
31 .385
32 .348
33 .312 .517
34 .278 .483
35 .246 .449
36 .216 .416
37 .188 .382
38 .161 .350
39 .138 .319 .515
40 .116 .289 .485
41 .097 .260 .455
42 .080 .232 .425
43 .065 .207 .396
44 .053 .183 .367
45 .042 .160 .339
46 .032 .139 .311 .500
47 .024 .120 .285 .473
48 .019 .103 .259 .446
49 .014 .087 .235 .420
50 .010 .074 .212 .393
51 .007 .062 .190 .368
52 .005 .051 .170 .342
53 .003 .042 .151 .318 .500
54 .002 .034 .133 .294 .476
55 .001 .027 .117 .271 .452
56 .021 .102 .249 .428
57 .016 .088 .227 .404
58 .012 .076 .207 .380
59 .009 .065 .188 357
60 .007 .055 .170 .335 .511
61 .005 .046 .153 .313 .489
62 .003 .039 .137 .292 .467
63 .002 .032 .122 .271 .445
64 .001 .026 .108 .251 .423
65 .001 .021 .095 .232 .402
66 .000 .017 .084 .213 .381
67 .013 .073 .196 .360
68 .010 .064 .179 .339
69 .008 .055 .163 .319
70 .006 .047 .148 .300
71 .005 .040 .134 .281
72 .003 .034 .121 .262
73 .002 .029 .108 .244
74 .002 .024 .097 .227
75 .001 .020 .086 .211
76 .001 .016 .077 .195
77 .000 .013 .068 .180
281
Таблица А.4 (продолжение)
п
х 10 И 12 13 14 15
78 .000 .011 .059 .165
79 .009 .052 .151
80 .007 .045 .138
81 .005 .039 .126
82 .004 .034 .115
83 .003 .029 .104
84 .002 .025 .094
85 .002 .021 .084
86 .001 .018 .076
87 .001 .015 .068
88 .001 .012 .060
89 .000 .010 .053
90 .000 .008 .047
91 .000 .007 .042
92 .005 .036
93 .004 .032
94 .003 .028
95 .003 .024
96 .002 .021
97 .002 .018
98 .001 .015
99 .001 .013
100 .001 .011
101 .000 .009
102 .000 .008
103 .000 .006
104 .000 .005
105 .000 .004
106 .003
107 .003
108 .002
109 .002
110 .001
111 .001
112 .001
ИЗ .001
114 .000
115 .000
116 .000
117 .000
118 .000
119 .000
120 .000
282
Таблица А.5. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики ран-
говых сумм Уилкоксона IV, когда выполняется нулевая гипотеза: т = 3 (1) 10,
л=1(1) т; т = 11 (1) 20, п = 1 (1) 4*
В таблице для заданных т, п и точки х приведены Ро {W х]. Прн этом если х
таково, что Ро {W > х} = а, то w (а, т, п) = х.**
п = 1
X т = 3 т = 4 т = 5 т - 6 ш = 7 т = 8 и = 9 т = 10 т = 11
3 .500 .600
4 .250 .400 .500 .571
5 .200 .333 .429 .500 .556
6 .167 .286 .375 .444 ..500 .545
7 .143 .250 .333 .400 .455 .500
8 .125 .222 .300 .364 .417
9 .111 .200 .273 .333
10 .100 .182 .250
И .091 .167
12 .083
и = 1
X т = 12 т = 13 т = 14 т = 15 т = 16 т = 17 wi = 18 ш = 19 т = 20
7 .538
8 .462 .500 .533
9 .385 .429 .467 .500 .529
10 .308 .357 .400 .438 .471 .500 .526
11 .231 .286 .333 .375 .412 .444 .474 .500 .524
12 .154 .214 .267 .312 .353 .389 .421 .450 .476
13 .077 .143 .200 .250 .294 .333 .368 .400 .429
14 .071 .133 .188 .235 .278 .316 .350 .381
15 .067 .125 .176 .222 .263 .300 .333
16 .062 .118 .167 .211 .25 О' .286
17 .059 .111 .158 .200 .238
18 .056 .105 .150 .190
19 .053 .100 .143
20 .050 .095
21 .048
* Заимствовано (с некоторой переработкой) из табл. В [232] с разрешения авто-
ров и издателя.
** Более обширные таблицы для 3 т п 50 см. в [779], [495, табл. 63,
С. 272—277], где 1 п 20, т = 1 (1) 40. — Примеч. пер.
283
Таблица А.5 (продолжение)
п = 2
X т = 4 т - 5 т = 6 т = 7 т = 8 т = 9 т = 10 т = 11
6 .600
7 .400 .600
8 .200 .400 .571
9 .100 .267 .429 .571
10 .133 .286 .429 .556
11 .067 .190 .321 .444 .556
12 .095 .214 .333 .444 .545
13 .048. .143 .250 .356 .455 .545
14 .071 .167 .267 .364 .455 .538
15 .036 .111 .200 .291 .379 .462
16 .056 .133 .218 .303 .385
17 .028 .089 .164 .242 .321
18 .044 .109 .182 .256
19 .022 .073 .136 .205
20 .036 .091 .154
21 .018 .061 .115
22 .030 .077
23 .015 .051
24 .026
25 .013
п = 2
X т = 12 т = 13 т = 14 т = 15 т = 16 т = 17 т = 18 т = 19 т = 20
15 .538
16 .462 .533
17 .396 .467 .533
18 .330 .400 .467 .529
19 .275 .343 .408 .471 .529
20 .220 .286 350 .412 .471 .526
21 .176 .238 .300 .360 .418 .474 .526
22 .132 .190 .250 .309 .366 .421 .474 .524
23 .099 .152 .208 .265 .320 .374 .426 .476 .524
24 .066 .114 .167 .221 .275 .327 .379 .429 .476
25 .044 .086 .133 .184 .235 .287 .337 .386 .433
26 .022 .057 .100 .147 .196 .246 .295 .343 .390
27 .011 .038 .075 .118 .163 .211 .258 .305 .351
28 .019 .050 .088 .131 .175 .221 .267 .312
29 .010 .033 .066 .105 .146 .189 .233 .277
30 .017 .044 .078 .117 .158 .200 .242
31 .008 .029 .059 .094 .132 .171 .212
32 .015 .039 .070 .105 .143 .182
284
Таблица А.5 (продолжение)
п = 2
X т = 12 т= 13 т = 14 т = 15 т = 16 т = 17 т = 18 т = 19 т = 20
33 .007 .026 .053 .084 .119 .156
34 .013 .035 .063 .095 .130
35 .007 .023 .047 .076 .108
36 .012 .032 .057 .087
37 .006 .021 .043 .069
38 .011 .029 .052
39 .005 .019 .039
40 .010 .026
41 .005 .017
42 .009
43 .004
п = 3
X т = 3 т = 4 т = 5 т =6 т = 7 т = 8 т = 9 т = 10 т = 11
11 .500
12 .350 .571
13 .200 .429
14 .100 .314 .500
15 .050 .200 .393 .548
16 .114 .286 .452
17 .057 .196 .357 .500
18 .029 .125 .274 .417 .539
19 .071 .190 .333 .461
20 .036 .131 .258 .388 .500
21 .018 .083 .192 .315 .432 .531
22 .048 .133 .248 .364 .469
23 .024 .092 .188 .300 .406 .500
24 .012 .058 .139 .241 .346 .442
25 .033 .097 .186 .287 .385
26 .017 .067 .141 .234 .330
27 .008 .042 .105 .185 .277
28 .024 .073 .143 .228
29 .012 .050 .108 .184
30 .006 .032 .080 .146
31 .018 .056 .113
32 .009 .038 .085
33 .005 .024 .063
34 .014 .044
35 .007 .030
36 .003 .019
37 .011
38 .005
39 .003
285
Таблица А.5 (продолжение)
п = 3
X т = 12 т = 13 т = 14 т = 15 т = 16 т = 17 т = 18 т = 19 ш = 20
24 .527
25 .473
26 .420 .500
27 .367 .450 .524
28 .316 .400 .476
29 .268 .352 .429 .500
30 .224 .305 .384 .456 .521
31 .182 .261 .338 .412 .479
32 .147 .220 .296 .369 .438 .500
33 .116 .182 .254 .327 .396 .461 .519
34 .090 .148 .216 .287 .356 .421 .481
35 .068 .120 .181 .249 .317 .382 .444 .500
36 .051 .095 .150 .213 .280 .345 .407 .464 .517
37 .035 .073 .122 .180 .244 .308 .370 .429 .483
38 .024 .055 .099 .151 .211 .273 .335 .394 .449
39 .015 .041 .078 .125 .180 .239 .300 .359 .415
40 .009 .029 .060 .102 .152 .208 .267 .325 .382
41 .004 .020 .046 .082 .127 .179 .235 .293 .349
42 .002 .012 .034 .065 .105 .153 .206 .262 .317
43 .007 .024 .050 .086 .129 .178 .232 .286
44 .004 .016 .038 .069 .108 .153 .204 .257
45 .002 .010 .028 .055 .089 .131 .178 .229
46 .006 .020 .042 .073 .111 .154 .202
47 .003 .013 .032 .059 .092 .132 .177
48 .001 .009 .024 .046 .077 .113 .155
49 .005 .017 .036 .062 .095 .134
50 .002 .011 .027 .050 .080 .115
51 .001 .007 .020 .040 .066 .098
52 .004 .014 .031 .054 .083
53 .002 .010 .023 .044 .069
54 .001 .006 .017 .034 .058
55 .004 .012 .027 .047
56 .002 .008 .020 .038
57 .001 .005 .015 .030
58 .003 .010 .023
59 .002 .007 .018
60 .001 .005 .013
61 .003 .009
62 .001 .006
63 .001 .004
64 .002
65 .001
66 .001
286
Т а б л и ц а А, 5 (продолжение)
п >= 4
X т = 4 т = 5 т = 6 ш = 7 т = 8 т = 9 т = 10 т = 11
18 .557
19 .443
20 .343 .548
21 .243 .452
22 .171 .365 .543
23 .100 .278 .457
24 .057 .206 .381 .536
25 .029 .143 .305 .464
26 .014 .095 .238 .394 .533
27 .056 .176 .324 .467
28 .032 .129 .264 .404 .530
29 .016 .086 .206 .341 .470
30 .008 .057 .158 .285 .413 .527
31 .033 .115 .230 .355 .473
32 .019 .082 .184 .302 .420 .525
33 .010 .055 .141 .252 .367 .475
34 .005 .036 .107 .207 .318 .426
35 .021 .077 .165 .270 .377
36 .012 .055 .130 .227 .330
37 .006 .036 .099 .187 .286
38 .003 .024 .074 .152 .245
39 .014 .053 .120 .206
40 .008 .038 .094 .171
41 .004 .025 .071 .140
42 .002 .017 .053 .113
43 .010 .038 .089
44 .006 .027 .069
45 .003 .018 .052
46 .001 .012 .039
47 .007 .028
48 .004 .020
49 .002 .013
50 .001 .009
51 .005
52 .003
53 .001
54 .001
287
Таблица А.5 (продолжение)
п = 4
X т- 12 тп = 13 т = 14 т "= 15 т = 16 т = 17 т = 18 т = 19 w = 2()
34 .524
35 .476
36 .431 .522
37 .385 .478
38 .342 .435 .521
39 .299 .392 .479
40 .260 .352 .439 .519
41 .223 .312 .399 .481
42 .190 .274 .360 .443 .518
43 .158 .239 .323 .405 .482
44 .131 .206 .287 .368 .446 .517
45 .106 .175 .253 .332 .410 .483
46 .085 .148 .221 .298 .375 .449 .516
47 .066 .123 .191 .265 .341 .415 .484
48 .052 .101 .164 .235 .308 .381 .451 .516
49 .039 .082 .139 .205 .277 .349 .419 .484
50 .029 .065 .116 .179 .247 .318 .387 .453 .515
51 .021 .051 .096 .154 .219 .287 .356 .422 .485
52 .015 .039 .079 .131 .192 .258 .326 .392 .455
53 .010 .030 .063 .110 .168 .231 .297 .363 .426
54 .007 .022 .051 .092 .145 .205 .269 .334 .397
55 .004 .016 .040 .076 .124 .181 .242 .306 .368
56 .002 .011 .031 .062 .106 .158 .217 .279 .341
57 .001 .008 .023 .050 .089 .138 .193 .253 .314
58 .001 .005 .017 .040 .074 .119 .171 .228 288
59 .003 .012 .031 .061 .101 .150 .205 .262
60 .002 .009 .024 .050 .086 .131 .183 .239
61 .001 .006 .018 .040 .072 .113 .162 .216
62 .000 .004 .014 .032 .060 .098 .143 .194
63 .002 .010 .025 .049 .083 .125 .174
64 .001 .007 .019 .040 .070 .109 .155
65 .001 .005 .015 .032 .059 .094 .137
66 .000 .003 .011 .026 .049 .081 .120
67 .002 .008 .020 .040 .069 .105
68 .001 .006 .016 .033 .058 .091
69 .001 .004 .012 .027 .049 .079
70 .000 .002 .009 .021 .041 .067
71 .001 .006 .017 .033 .057
72 .001 .005 .013 .027 .048
73 .000 .003 .010 .022 .041
74 .000 .002 .007 .018 .034
75 .001 .005 .014 .028
76 .001 .004 .011 .023
77 .000 .002 .008 .018
288
Таблица А.5 (продолжение)
п = 4
X т = 12 т= 13 т = 14 т = 15 т = 16 т = 17 т = 18 т = 19 т = 2С
78 .000 .002 .006 .015
79 .001 .004 .011
80 .001 .003 .009
81 .000 .002 .007
82 .000 .001 .005
83 .001 .004
84 .000 .003
85 .000 .002
86 .000 .001
87 .001
88 .000
89 .000
90 .000
и = 5
X т = 5 т = 6 т = 8 т = 9 т = 10
28 .500
29 .421
30 .345 .535
31 .274 .465
32 .210 .396
33 .155 .331 .500
34 .111 .268 .438
35 .075 .214 .378 .528
36 .048 .165 .319 .472
37 .028 .123 .265 .416
38 .016 .089 .216 .362 .500
39 .008 .063 .172 .311 .449
40 .004 .041 .134 .262 .399 .523
41 .026 .101 .218 .350 .477
42 .015 .074 .177 .303 .430
43 .009 .053 .142 .259 .384
44 .004 .037 .111 .219 .339
45 .002 .024 .085 .182 .297
46 .015 .064 .149 .257
47 .009 .047 .120 .220
48 .005 .033 .095 .185
49 .003 .023 .073 .155
50 .001 .015 .056 .127
51 .009 .041 .103
52 .005 .030 082
289
Таблица А.5 (продолжение)
п = 5
х т=5 m 3 6 т = 1 т = 8 т = 9 ш = 10
53 .003 .021 .065
54 .002 .014 .050
55 .001 .009 .038
56 .006 .028
57 .003 .020
58 .002 .014
59 .001 .010
60 .000 .006
63 .004
62 .002
63 .001
64 .001
65 .000
п = 6
т = 6 т = 1 т = 8 т = 9 т = 10
39 .531
40 .469
41 .409
42 .350 .527
43 .294 .473
44 .242 .418
45 .197 .365 .525
46 .155 .314 .475
47 .120 .267 .426
48 .090 .223 .377 .523
49 .066 .183 .331 .477
50 .047 .147 .286 .432
51 .032 .117 .245 .388 .521
52 .021 .090 .207 .344 .479
53 .013 .069 .172 .303 .437
54 .008 .051 .141 .264 .396
55 .004 .037 .114 .228 .356
56 .002 .026 .091 .194 .318
57 .001 .017 .071 .164 .281
58 .011 .054 .136 .246
59 .007 .041 .112 .214
60 .004 .030 .091 .184
61 .002 .021 .072 .157
62 .001 .015 .057 .132
63 .001 .010 .044 .110
290
Таблица
А. 5 (продолжение)
п = 6
X т = 6 т = 7 т = 8 т = 9 т = 10
64 .006 .033 .090
65 .004 .025 .074
66 .002 .018 .059
67 .001 .013 .047
68 .001 .009 .036
69 .000 .006 .028
70 .004 .021
71 .002 .016
72 .001 .011
73 .001 .008
74 .000 .005
75 .000 .004
76 .002
77 .001
78 .001
79 .000
80 .000
81 .000
и = 7
X т = 7 т = 8 т = 9 т = 10
53 .500
54 .451
55 .402
56 .355 .522
57 .310 .478
58 .267 .433
59 .228 .389
60 .191 .347 .500
61 .159 .306 .459
62 .130 .268 .419
63 .104 .232 .379 .519
64 .082 .198 .340 .481
65 .064 .168 .303 .443
66 .049 .140 .268 .406
67 .036 .116 .235 .370
68 .027 .095 .204 .335
69 .019 .076 .176 .300
70 .013 .060 .150 .268
71 .009 .047 .126 .237
72 .006 .036 .105 .209
291
Таблица А.5 {продолжение)
п = 7 п = 8
X т =' 7 ffi = 8 ffi = 9 т = 10 X т = 8 т = 9 т = Ю
73 .003 .027 .087 .182 80 .117 .240 .381
74 .002 .020 .071 .157 81 .097 .212 .348
75 .001 .014 .057 .135 82 .080 .185 .317
76 .001 .010 .045 .115 83 .065 .161 .286
77 .000 .007 .036 .097 84 .052 .138 .257
78 .005 .027 .081 85 .041 .118 .230
79 .003 .021 .067 86 .032 .100 .204
80 .002 .016 .054 87 .025 .084 .180
81 .001 .011 .044 88 .019 .069 .158
82 .001 .008 .035 89 .014 .057 .137
83 .000 .006 .028 90 .010 .046 .118
84 .000 .004 .022 91 .007 .037 .102
85 .003 .017 92 .005 .030 .086
86 .002 .012 93 .003 .023 .073
87 .001 .009 94 .002 .018 .061
88 .001 .007 95 .001 .014 .051
89 .000 .005 96 .001 .010 .042
90 .000 .003 97 .001 .008 .034
91 .000 .002 98 .ООО .006 .027
92 .002 99 .000 .004 .022
93 •0О1 100 .000 .003 .017
94 .001 101 .002 .013
95 .000 102 .001 .010
96 .000 103 .001 .008
97 .000 104 .ООО .006
98 .000 105 .000 .004
106 .000 .003
107 .000 .002
л = 8 108 .000 .002
109 .001
X т = 8 т = 9 п г = 10 НО .001
• 111 .000
68 .520 112 .000
69 .480 113 .000
70 .439 114 .000
71 .399 115 .ООО
72 .360 .519 116 .000
73 .323 .481
74 .287 .444
75 .253 .407
76 .221 .371 .517
77 .191 .336 .483
78 .164 .303 .448
79 .139 .271 .414
292
Таблица
А.5 {продолжение)
п =9 л = 9 й = 10
X т = 9 т = 10 X т ~ 9 т = 10 X т = 10
86 .500 122 •ООО .004 121 .124
87 .466 123 .000 .003 122 .109
88 .432 124 .000 .002 123 .095
89 .398 125 .000 .001 124 .083
90 .365 .516 126 .000 .001 125 .072
91 .333 .484 127 .001 126 .062
92 .302 .452 128 .000 127 .053
93 .273 .421 129 .000 128 .045
94 .245 .390 130 .000 129 .038
95 .218 .360 131 .000 130 .032
96 .193 .330 132 .000 131 .026
97 .170 .302 133 .000 132 .022
98 .149 .274 134 .000 133 .018
99 .129 .248 135 .000 134 .014
100 .111 .223 135 .012
101 .095 .200 136 .009
102 .081 .178 п- 10 137 .007
103 .068 .158 — 138 .006
104 .057 .139 х т = 10 139 .004
105 .047 .121 — 140 .003
106 .039 .106 105 .515 141 .003
107 .031 .091 106 .485 142 .002
108 .025 .078 107 .456 143 .001
109 .020 .067 108 .427 144 .001
ПО .016 056 109 .398 145 .001
111 .012 .047 110 .370 146 .001
112 .009 .039 111 .342 147 •ООО
113 .007 .033 112 .315 148 .000
114 .005 .027 113 .289 149 .000
115 .004 .022 114 .264 150 .000
116 .003 .017 115 .241 151 .000
117 .002 .014 116 .218 152 .000
118 .001 .011 117 .197 153 .000
119 .001 .009 118 .176 154 .000
120 121 .001 .007 119 .157 155 .000
ООО .005 120 .140
293
Таблица А.6. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики
IV (Ансари — Брэдли), когда выполняется нулевая гипотеза: 2 т п, (m-f-
+ Л) sC 20*
Для заданных т, п и точки х в таблице приведены Ро {х}. При этом если х та-
ково, что = а> то со2 (а, т, п) = х. С другой стороны, если х таково,
что_ Ро = 1 — а> то Ро {117 (х — 1)} = Ро {W < х} = [I —
> х}] = [1 — (1 — а)] = а и а»! (а, т, п) = (х — 1).
т = 2
X и = 2 п = 3 п = 4 п = 5 п = 6 л = 7 п = 8 п = 9 п = 10
2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
3 .8333 .9000 .9333 .9524 .9643 .9722 .9778 .9818 .9848
4 .1667 .5000 .6667 ..7619 .8214 .8611 .8889 .9091 .9242
5 .2000 .3333 .5238 .6429 .7222 .7778 .8182 .8485
6 .0667 .2381 .3571 .5000 .6000 .6727 .7273
7 .0952 .1786 .3056 .4000 .5091 .5909
8 .0357 .1389 .2222 .3273 .4091
9 ,0556 .1111 .2000 .2727
10 .0222 .0909 .1515
11 .0364 .0758
12 .0152
т = 2
X п = 11 л = 12 л = 13 и = 14 л = 15 л = 16 л = 17 л = 18
2 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
3 .9872 .9890 .9905 .9917 .9926 .9935 .9942 .9947
4 .9359 .9451 .9524 .9583 .9632 .9673 .9708 .9737
5 .8718 .8901 .9048 .9167 .9265 .9346 .9415 .9474
6 .7692 .8022 .8286 .8500 .8676 .8824 .8947 .9053
7 .6538 .7033 .7429 .7750 .8015 .8235 .8421 .8579
8 .5000 .5714 .6286 .6750 .7132 .7451 .7719 .7947
9 .3590 .4286 .5048 .5667 .6176 .6601 .6959 .7263
10 .2308 .2967 .3714 .4333 .5000 .5556 .6023 .6421
11 .1410 .1978 .2667 .3250 .3897 .4444 .5029 .5526
12 .0641 .1099 .1714 .2250 .2868 .3399 .3977 .4474
13 .0256 .0549 .1048 .1500 .2059 .2549 .3099 .3579
14 .0110 .0476 .0833 .1324 .1765 .2281 .2737
15 .0190 .0417 .0809 .1176 .1637 .2053
16 .0083 .0368 .0654 .1053 .1421
17 .0147. .0327 .0643 .0947
18 .0065 .0292 .0526
19 .0117 .0263
20 .0053
* Таблицу построил G. А. Маск на вычислительной машине IBM 370/165 в уни-
верситете штата Огайо.
294
Таблица А. 6 (продолжение)
т = 3
X п = 3 п = 4 п = 5 п = 6 л = 7 п = 8 п = 9 п = 10 п = 11
4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
5 .9000 .9429 .9643 .9762 .9833 .9879 .9909 .9930 .9945
6 .7000 .8286 .8929 .9286 .9500 .9636 .9727 .9790 .9835
7 .3000 .5714 .7143 .8095 .8667 .9.030 .9273 .9441 .9560
8 .1000 .3429 .5000 .6548 .7500 .8182 .8636 .8951 .9176
9 .1429 .2857 .4643 .5833 .6909 .7636 .8182 .8571
10 .0286 .1071 .2857 .4167 .5455 .6364 .7168 .7747
И .0357 .1429 .2500 .3939 .5000 .5979 .6703
12 .0595 .1333 .2606 .3636 .4755 .5604
13 .0119 .0500 .1455 .2364 .3497 .4396
14 .0167 .0727 .1364 .2413 .3297
15 .0303 .0727 .1503 .2253
16 .0061 .0273 .0839 .1429
17 .0091 .0420 .0824
18 .0175 .0440
19 .0035 .0165
20 .0055
т-3
X л= 12 п = 13 п = 14 п = 15 п = 16 п = 17
4 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
5 .9956 .9964 .9971 .9975 .9979 .9982
6 .9868 .9893 .9912 .9926 .9938 .9947
7 .9648 .9714 .9765 .9804 .9835 .9860
8 .9341 .9464 .9559 .9632 .9690 .9737
9 .8857 .9071 .9235 .9363 .9463 .9544
10 .8198 .8536 .8794 .8995 .9154 .9281
11 .7341 .7821 .8206 .8505 .8741 .8930
12 .6374 .6964 .7485 .7892 .8225 .8491
13 .5297 .6000 .6632 .7132 .7575 .7930
14 .4242 .5000 .5735 .6324 .6852 .7281
15 .3209 .4000 .4794 .5441 .6058 .6561
16 .2286 .3036 .3868 .4559 .5232 .5789
17 .1516 .2179 .2985 .3676 .4396 .5000
18 .0945 .1464 .2206 .2868 .3591 .4211
19 .0527 .0929 .1529 .2108 .2817 .3439
20 .0264 .0536 .1015 .1495 .2136 .2719
21 .0110 .0286 .0632 .1005 .1548 .2070
22 .0022 .0107 .0353 .0637 .1073 .1509
23 .0036 .0176 .0368 .0712 .1070
24 .0074 .0196 .0444 .0719
295
Таблица А.6 (продолжение)
т-3
X п = 12 л = 13 п = 14 п = 15 п = 16 п = 17
25 .0015 .0074 .0248 .0456
26 .0025 .0124 .0263
27 .0052 .0140
28 .0010 .0053
29 .0018
т = 4
X п = 4 п-5 п =6 п = 7 л = 8 л=9 л = 10 п = 11 л = 12
6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
7 .9857 .9921 .9952 .9970 .9980 .9986 .9990 .9993 .9995
8 .9286 .9603 .9762 .9848 .9899 .9930 .9950 .9963 .9973
9 .8000 .8889 .9333 .9576 .9717 .9804 .9860 .9897 .9923
10 .6286 .7778 .8571 .9091 .9394 .9580 .9700 .9780 .9835
11 .3714 .6032 .7333 .8242 .8788 .9161 .9401 .9560 .9670
12 .2000 .4286 .5810 .7152 .7980 .8573 .8961 .9238 .9429
13 .0714 .2619 .4190 .5818 .6889 .7762 .8342 .8769 .9066
14 .0143 .1349 .2667 .4424 .5677 .6783 .7542 .8154 .8582
15 .0476 .1429 .3030 .4323 .5650 .6593 .7385 .7951
16 .0159 .0667 .1939 .3111 .4503 .5554 .6520 .7225
17 .0238 .1061 .2020 .3357 .4446 .5546 .6374
18 .0048 .0515 .1212 .2378 .3407 .4564 .5473
19 .0182 .0606 .1538 .2458 .3590 .4527
20 .0061 .0283 .0923 .1658 .2711 .3626
21 .0101 .0490 .1039 .1934 .2775
22 .0020 .0238 .0599 .1319 .2049
23 .0084 .0300 .0821 .1418
24 .0028 .0140 .0484 .0934
25 .0050 .0256 .0571
26 .0010 .0125 .0330
27 .0044 .0165
28 .0015 .0077
29 .0027
30 .0005
296
т а б л и Ц а А.6 (продолжение) т = 4
X п = 13 п = 14 п = 15 п = 16,
6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
7 .9996 .9997 .9997 .9998
8 .9979 .9984 .9987 .9990
9 .9941 .9954 .9964 .9971
10 .9874 .9902 .9923 .9938
11 .9748 .9804 .9845 .9876
12 .9563 .9660 .9732 .9785
13 .9286 .9444 .9561 .9649
14 .8908 .9144 .9324 .9459
15 .8408 .8742 .9002 .9197
16 .7811 .8245 .8599 .8867
17 .7101 .7647 .8101 .8448
18 .6319 .6967 .7528 .7961
19 .5471 .6209 .6873 .7391
20 .4613 .5412 .6166 .6764
21 .3761 .4588 .5413 .6078
22 .2979 .3791 .4654 .5368
23 .2261 .3033 .3896 .4632
24 .1655 .2353 .3189 .3922
25 .1151 .1755 2531 .3236
26 .0765 .1258 1953 .2609
27 .0471 .0856 .1450 .2039
28 .0277 .0556 .1042 .1552
29 .0147 .0340 .0712 .1133
30 .0071 .0196 .0470 .0803
31 .0025 .0098 .0289 .0541
32 .0008 .0046 .0170 .0351
33 .0016 .0090 .0215
34 .0003 .0044 .0124
35 .0015 .0062
36 .0005 .0029
37 .0010
38 .0002
т = 5
X п = 5 п = 6 и = 7 п = 8 и = 9 и = 10 и = 11
9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
10 .9921 .9957 .9975 .9984 .9990 .9993 .9995
11 .9762 .9870 .9924 .9953 .9970 .9980 .9986
12 .9286 .9610 .9773 .9860 .9910 .9940 .9959
13 .8492 .9156 .9495 .9689 .9800 .9867 .9908
297
Таблица А.6 (продолжение)
т = 5
X п = 5 п = 6 п = 7 п = 8 п = 9 п = 10 п = 11
14 .7302 .8420 .9015 .9386 .9600 .9734 .9817
15 .5873 .7446 .8333 .8936 .9291 .9524 .9670
16 .4127 .6147 .7374 .8275 .8821 .9197 .9437
17 .2698 .4805 .6237 .7451 .8212 .8761 .9116
18 .1508 .3463 .5000 .6457 .7423 .8182 .8681
19 .0714 .2294 .3763 .5385 .6523 .7483 .8132
20 .0238 .1342 .2626 .4266 .5514 .6663 .7468
21 .0079 .0693 .1667 .3209 .4486 .5771 .6708
22 .0303 .0985 .2269 .3477 .4832 .5870
23 .0108 .0505 .1507 .2577 .3916 .5000
24 .0022 .0227 .0917 .1788 .3044 .4130
25 .0076 .0513 .1179 .2268 .3292
26 .0025 .0249 .0709 .1608 .2532
27 .0109 .0400 .1086 .1868
28 .0039 .0200 .0686 .1319
29 .0008 .0090 .0406 .0884
30 .0030 .0220 .0563
31 .0010 .0107 .0330
32 .0047 .0183
33 .0017 .0092
34 .0003 .0041
35 .0014
36 .0005
т = 5
X п = 12 п = 13 п = 14 п = 15
9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
10 .9997 .9998 .9998 .9999
11 .9990 .9993 .9995 .9996
12 .9971 .9979 .9985 .9988
13 .9935 .9953 .9966 .9974
14 .9871 .9907 .9931 .9948
15 .9767, .9832 .9876 .9907
16 .9601 .9711 .9787 .9840
17 .9368 .9538 .9659 .9743
18 .9047 .9295 .9476 .9604
19 .8633 .8978 .9235 .9417
20 .8116 .8569 .8920 .9171
21 .7508 .8079 .8533 .8861
22 .6810 .7498 .8067 .8483
23 .6054 .6846 .7530 .8038
298
Таблица А.6 (продолжение)
т = 5
п = 12 п = 13 п = 14 п = 15
24 .5254 .6130 .6923 .7523
25 .4449 .5383 .6267 .6950
26 .3662 .4617 .5572 .6329
27 .2928 .3870 .4864 .5673
28 .2262 .3154 .4157 .5000
29 .1690 .2502 .3478 .4327
30 .1214 .1921 .2840 .3671
31 .0835 .1431 .2262 .3050
32 .0546 .1022 .1751 .2477
33 .0339 .0705 .1318 .1962
34 .0197 .0462 .0960 .1517
35 .0107 .0289 .0675 .1139
36 .0052 .0168 .0455 .0829
37 .0023 .0093 .0294 .0583
38 .0008 .0047 .0181 .0396
39 .0002 .0021 .0105 . .0257
40 .0007 .0057 .0160
41 .0002 .0028 .0093
42 .0012 .0052
43 .0004 .0026
44 .0001 .0012
45 .0004
46 .0001
т = 6
X п = 6 п = 7 п = 8 л = 9 п = 10 п = 11 п= 12 п = 13 п = 14
12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
13 .9989 .9994 .9997 .9998 .9999 .9999 .9999 1.0000 1.0000
14 .9946 .9971 .9983 .9990 .9994 .9996 .9997 .9998 .9999
15 .9848 .9918 .9953 .9972 .9983 .9989 .9992 .9995 .9996
Гб .9632 .9802 .9887 .9932 .9958 .9973 .9982 .9987 .9991
17 .9264 .9592 .9760 .9856 .9910 .9942 .9961 .9973 .9981
18 .8658 .9242 .9547 .9724 .9825 .9887 .9925 .9948 .9964
19 .7846 .8735 .9217 .9518 .9692 .9799 .9865 .9907 .9935
20 .6807 .8048 .8751 .9215 .9487 .9663 .9772 .9843 .9890
21 .5649 .7203 .8139 .8803 .9202 .9469 .9636 .9749 .9823
22 .4351 .6189 .7366 .8260 .8812 .9199 .9445 .9613 .9725
23 Эл .3193 .5122 .6474 .7600 .8322 .8849 .9190 .9431 .9591
24 .2154 .4038 .5501 .6829 .7717 .8407 .8860 .9191 .9413
<-0 .1342 .3030 .4499 .5984 .7025' .7877 .8451 .8887 .9184
40 .0736 .2133 .3526 .5085 .6246 .7259 .7962 .8514 .8896
299
Таблица А.6 (продолжение)
т =6
X п = 6 л = 7 п = 8 л = 9 п = 10 п = 11 п = 12 п = 13 п = 14
27 .0368 .1410 .2634 .4190 .5425 .6574 .7398 .8074 .8549
28 .0152 .0851 .1861 .3323 .4575 .5831 .6765 .7564 .8138
29 .0054 .0484 .1249 .2543 .3754 .5065 .6082 .6996 .7668
30 .ООП .0239 .0783 .1860 .2975 .4292 .5364 .6376 .7139
31 .0105 .0453 .1303 .2283 .3549 .4636 .5723 .6566
32 .0035 .0240 .0859 .1678 .2851 .3918 .5049 .5954
33 .0012 .0113 .0539 .1188 .2226 .3235 .4376 .5322
34 .0047 .0312 .0798 .1678 .2602 .3716 .4678
35 .0017 .0170 .0513 .1226 .2038 .3094 .4046
36 .0003 .0082 .0308 .0859 .1549 .2518 .3434
37 .0036 .0175 .0579 .1140 .2002 .2861
38 .0012 .0090 .0370 .0810 .1550 .2332
39 0004 .0042 .0226 .0555 .1170 .1862
40 .0017 .0128 .0364 .0855 .1451
41 .0006 .0069 .0228 .0608 .1104
42 .0001 .0033 .0135 .0415 .0816
43 .0015 .0075 .0274 .0587
44 .0005 .0039 .0172 .0409
45 .0002 .0018 .0104 .0275
46 .0008 .0058 .0177
47 .0003 .0031 .0110
48 .0001 .0015 .0065
49 .0007 .0036
50 .0002 .0019
51 .0001 .0009
52 .0004
53 .0001
54 .0000
т = 7
X л = 7 л = 8 л = 9 л = 10 л= 11 п = 12 л = 13
16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
17 .9994 .9997 .9998 .9999 1.0000 1.0000 1.0000
18 .9983 .9991 .9995 .9997 .9998 .9999 .9999
19 .9948 .9972 .9984 .9991 .9994 .9996 .9998
20 .9878 .9935 .9963 .9978 .9987 .9992 .9995
21 .9744 .9862 .9921 .9954 .9972 .9982 .9988
22 .9534 .9744 .9851 .9912 .9946 .9966 .9978
23 .9196 .9549 .9734 .9841 .9901 .9937 .9959
24 .8730 .9270 .9559 .9734 .9833 .9893 .9930
25 .8106 .8878 .9306 .9574 .9729 .9826 .9885
300
1 а б л и ч а
А. 6 (продолжение)
т-1
X п — 1 п = 8 п = 9 п = 10 п = 11 п = 12 л= 13
26 .7348 .8375 .8965 .9354 .9583 .9730 .9820
27 .6463 .7748 .8523 .9059 .9381 .9595 .9727
28 .5507 .7021 .7981 .8685 .9118 .9415 .9602
29 .4493 .6194 .7336 .8221 .8782 .9181 .9435
30 .3537 .5324 .6608 .7676 .8374 .8889 .9223
31 .2652 .4435 .5820 .7052 .7887 .8532 .8958
32 .1894 .3577 .5000 .6368 .7333 .8111 .8637
33 .1270 .2777 .4180 .5637 .6714 .7626 .8258
34 .0804 .2075 .3392 .4888 .6050 .7085 .7822
35 .0466 .1478 .2664 .4139 .5353 .6494 .7332
36 .0256 .1005 .2019 .3421 .4647 .5869 .6795
37 .0122 .0648 .1477 .2753 .3950 .5220 .6219
38 .0052 .0393 .1035 .2154 .3286 .4568 .5616
39 .0017 .0221 .0694 .1633 .2667 .3925 .5000
40 .0006 .0115 .0441 .1199 .2113 .3311 .4384
41 .0053 .0266 .0847 .1626 .2735 .3781
42 .0022 .0149 .0576 .1218 .2213 .3205
43 .0008 .0079 .0375 .0882 .1749 .2668
44 .0002 .0037 .0233 .0619 .1350 .2178
45 .0016 .0136 .0417 .101'4 .1742
46 .0005 .0075 .0271 .0742 .1363
47 .0002 .0038 .0167 .0526 .1042
48 .0017 .0099 .0361 .0777
49 .0007 .0054 .0239 .0565
50 .0003 .0028 .0152 .0398
51 .0001 .0013 .0092 .0273
52 .0006 .0053 .0180
53 .0002 .0029 .0115
54 .0001 .0015' .0070
55 .0007 .0041
56 .0003 .0022
57 .0001 .0012
58 .0000 .0005
59 .0002
60 .0001
61 .0000
30?
Таблица А.6 (поодолжение)
т = 3
X п = 8 и = 9 п = 10 и = 11 п= 12
20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
21 .9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
22 .9996 .9998 .9999 .9999 1.0000
23 .9989 .9994 .9997 .9998 .9999
24 .9974 .9986 .9992 .9996 .9997
25 .9941 .9969 .9983 .9990 .9994
26 .9885 .9938 .9965 .9980 .9988
27 .9789 .9886 .9935 .9962 .9977
28 .9643 .9804 .9887 .9934 .9960
29 .9428 .9680 .9813 .9889 .9932
з'о .9133 .9504 .9704 .9823 .9890
31 .8737 .9262 .9551 .9728 .9830
32 .8246 .8947 .9344 .9598 .9745
33 .7650 .8549 .9075 .9423 .9629
34 .6970 .8069 .8738 .9199 .9477
35 .6212 .7508 .8328 .8918 .9281
36 .5413 .6877 .7847 .8578 .9038
37 .4587 .6184 .7296 .8174 .8742
38 .3788 .5457 .6686 .7710 .8392
39 .3030 .4714 .6031 .7189 .7986
40 .2350 .3983 .5347 .6621 .7528
41 .1754 .3281 .4653 .6015 .7022
42 .1263 .2636 .3969 .5386 .6476
43 .0867 .2055 .3314 .4746 .5898
44 .0572 .1557 .2704 .4113 .5302
45 .0357 .1139 .2153 .3500 .4698
46 .0211 .0807 .1672 .2925 .4102
47 .0115 .0548 .1262 .2394 .3524
48 .0059 .0358 .0925 .1919 .2978
49 .0026 .0221 .0656 .1503 .2472
50 .0011 .0131 .0449 .1150 .2014
51 .0004 .0072 .0296 .0856 .1608
52 .0001 .0037 .0187 .0621 .1258
53 .0017 .0113 .0437 .0962
54 .0007 .0065 .0298 .0719
55 .0002 .0035 .0196 .0523
56 .0001 .0017 .0124 .0371
57 .0008 .0075 .0255
58 .0003 .0043 .0170
59 .0001 .0023 .0110
60 .0000 .0012 .0068
61 .0006 .0040
62 .0002 .0023
63 .0001 .0012
302
табл ица А. 6 (продолжение) т = 8
X и = 8 и = 9 п = 10 п = 11 п = 12
64 .0000 .0006
65 .0003
66 .0001
67 .0000
68 .0000
т = 9 т = 9
Л п = 9 п= 10 п = 11 X п = 9 п = 10 Л = 11
25 1.0000 1.0000 1.0000 50 .2167 .3673 .5000
26 1.0000 1.0000 1.0000 51 .1687 .3092 .4407
27 .9999 .9999 1.0000 52 .1276 .2552 .3827
28 .9996 .9998 .9999 53 .0938 .2064 .3271
29 .9991 .9995 .9997 54 .0668 .1632 .2749
30 .9981 .9990 .9995 55 .0460 .1262 .2269
31 .9963 .9980 .9989 56 .0305 .0952 .1840
32 .9932 .9964 .9980 57 .0195 .0700 .1462
33 .9882 .9937 .9964 58 .0118 .0500 .1138
34 .9805 .9894 .9940 59 .0068 .0347 .0867
35 .9695 .9831 .9903 60 .0037 .0232 .0645
36 .9540 .9741 .9849 61 .0019 .0150 .0468
37 .9332 .9618 .9773 62 .0009 .0093 .0331
38 .9062 .9453 .9669 63 .0004 .0056 .0227
39 .8724 .9240 .9532 64 .0001 .0031 .0151
40 .8313 .8972 .9355 65 .0000 .0017 .0097
41 .7833 .8646 .9133 66 .0008 .0060
42 .7283 .8259 .8862 67 .0004 .0036
43 .6677 .7813 .8538 68 .0002 .0020
44 .6025 .7310 .8160 69 .0001 ООП
45 .5346 .6759 .7731 70 .0000 .0005
46 .4654 .6166 .7251 71 .0003
47 .3975 .5548 .6729 72 .0001
48 .3323 .4916 .6173 73 .0000
49 .2717 .4287 .5593 74 .0000
303
Таблица А.6 (продолжение)
т = 10 т= 10 т= 10
X п — 10 X И = 10 X ( Л = 10
30 1.0000 47 .8993 64 .1007
31 1.0000 48 .8694 65 .0761
32 1.0000 49 .8344 66 .0560
33 .9999 50 .7940 67 .0403
34 .9998 51 .7486 68 .0282
35 .9996 52 .6986 69 .0192
36 .9992 53 .6449 70 .0126
37 .9984 54 .5881 71 .0080
38 .9971 55 .5296 72 .0049
39 .9951 56 .4704 73 .0029
40 .9920 57 .4119 74 .0016
41 .9874 58 .3551 75 .0008
42 .9808 59 .3014 76 .0004
43 .9718 60 .2514 77 .0002
44 .9597 61 .2060 78 .0001
45 .9440 62 .1656 79 .0000
46 .9239 63 .1306 80 .0000
Таблица А.7. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики
Краскела — Уоллиса И, когда выполняется нулевая гипотеза: k = 3, nt = 1
(1) 5, п.г = (1) 5, 2 < п3 = иа (1) 5*
Для k == 3, объемов выборок и1г п2, п3 и для точки х приведены Ро {Н х).
Так, если х таково, что Рв {Я > х} = а, то h (а, 3, (п1( п2, п3)) = х**.
п1 = 1, пг = 1,и3 = 2 и, = 1,и2 = 1,и3 = 5 л,= 1,и2 = 2, и3 = 4 и, = 1,и2 = 2,и3 = 5
х Р- О Я>х * Ро\ Я>х х Я>х 1 х Ро Я>х
.300 1.000 2.314 .524 .000 1.000 .583 .821
1.800 .833 2.829 .333 .161 .971 .667 .798
2.700 .500 3.857 .143 .268 .933 .717 .774
.321 .895 1.000 .750
.536 .857 1.117 .738
= 1,л2 = 1, и3 = 3 Я, = 1,», = 2, я3 = 2 .643 .819 1.200 .714
.оУо .800 1.250 .655
х Ро< Н>х ' х Я>х 1.018 .781 1.383 .619
- 1.071 .743 1.533 .583
.533 1.000 .000 1.000 1.125 .705 1.783 .560
.800 .800 .400 .933 1.286 .667 1.800 .536
2.133 .700 .600 .867 1.393 .629 1.917 .488
3.200 .300 1.400 .733 1.446 .590 2.050 .464
2.000 .600 1.875 .533 2.333 .429
2.400 .467 2.036 .495 2.450 .393
п1 = 1,п2 = 1>"з = 4 3.000 .333 2.143 .476 2.717 .298
- 3.600 .200 2.250 .457 2.800 .286
Х Ро' п X 2.411 .400 2.867 .214
- 2.571 .305 3.133 .202
.143 1.000 Я, = 1,«2 = 2,и3 = 3 2.786 .286 3.333 .190
.786 .933 - 2.893 .267 3.383 .179
1.000 .800 х pj Я>х 3.161 .190 3.783 .131
1.286 .667 - 3.696 .171 4.050 .119
2.143 .600 .095 1.000 3.750 .133 4.200 .095
2.500 .467 .238 .933 4.018 .114 4.450 .071
3.571 .200 .429 .900 4.500 .076 5.000 .048
.810 .833 4.821 .057 5.250 .036
.857 .800 « — —
и, =1, пг = 1,и3 = 5 1.238 .700
1 - 1.381 .600 «I = 1,п2 = 2, п3 = 5 и, = 1,и2 = 3, п, = 3
X Р Н>х 1.952 .567
О - 2.143 .533 х pj Я>х х Н>х
.257 1.000 2.381 .433 0
.429 .905 3.095 .267 .050 1.000 -ООО 1.000
1.029 .857 3.524 .200 .133 .964 .143 .986
1.114 .762 3.857 .133 .200 .940 .286 .957
1.457 .667 4.286 .100 .450 .905 .571 .871
1.714 .571 — — — .467 .845 1.000 .771
305
Таблица А.7 (продолжение)
«1 = 1, пг = З,и3 = 3 п, = 1, пг = З,«3 = 4 н, = 1, и, - 3, иэ = 5 п, -• 1,п2 = 4, 4
* х Ро\ Н>х * Н>х X Р . о // > х |
1.143 .743 3.764 .136 2.844 .258 2.267 .410
1.286 .600 3.889 .129 2.951 .218 2.400 .384
1.571 .571 4.056 .093 3.040 .210 2.467 .349
2.000 .514 4.097 .086 3.218 .190 2.667 .305
2.286 .486 4.208 .079 3.271 .183 2.700 .260
2.571 .329 4.764 .071 3.378 .143 2.967 .235
3.143 .243 5.000 .057 3.484 .135 3.000 .222
3.286 .157 5.208 .050 3.804 .131 3.267 .178
4.000 .129 5.389 .036 3.840 .123 3.367 .171
4.571 .100 5.833 .021 4.018 .095 3.467 .152
5.143 .043 4.284 .083 3.867 .121
и, = 1, п2 = 3, и3 = 5 4.338 .079 3.900 .108
— - 4.551 .075 4.067 .102
” = 1,п2 = 3, и3 =4 х р0 Н>х 4.711 .056 4.167 .083
. 4.871 .052 4.267 .070
х Ро 4.960 .048 4.800 .067
.000 1.000 5.404 .044 4.867 .054
.056 1.000 .071 .992 5.440 .036 4.967 .048
.097 .971 .160 .972 5.760 .028 5.100 .041
.208 .950 .178 .952 6.044 .020 5.667 .035
.333 .921 .284 .929 6.400 .012 6.000 .029
.431 .900 .338 .889 6.167 .022
.500 .871 .551 .869 6.667 .010
.556 .843 .604 .853 п, = 1, Л2 = 4, п3 - 4
.764 .786 .640 .833 —
.875 .743 .711 .770 х Ро Н>х и, = 1, п2 = 4, п3 =5
1 097 721 818 750
1.208 .707 .960 .730 .000 1.000 х Р
1.222 .679 1.084 .694 067 987
1.389 .629 1.138 .683 .167 .968 .033 1.000
1.431 .557 1.351 .651 .267 .930 .060 .983
1.764 .536 1.404 .611 .300 .911 .104 .968
1.833 .514 1.440 .591 .567 .873 .186 .952
1.875 .471 1.511 .571 .600 .835 .273 .938
2.097 .457 1.600 .560 .667 .803 .278 .922
2.208 .443 1.671 .520 .867 .759 .295 .906
2.333 .429 1.778 .488 .967 .721 .360 .890
2.431 .371 1.884 .480 1.067 .689 .409 .875
2.722 .300 1.938 .468 1.200 .676 .540 .848
2.764 .229 2.044 .452 1.367 .644 .622 .821
3.000 .221 2.204 .437 1.500 .600 .731 .806
3.097 .214 2.400 .413 1.667 .537 .758 .794
3.208 .200 2.418 .405 1.767 .498 .796 .778
3.222 .157 2.560 .341 2.167 .460 .818 .762
306
Таблица А.7
(продолжение)
4, п3 = 5 л, = 1,и2 = 4, п3 = 5 и, = 1,л2 = 5,л3 = 5 п, = 1, п2 = 5, п3 =
х °о Н>х Л р о Н>х * Н>х х Ро
906 .730 4.287 .071 1.309 .630 7.309 .009
933 .719 4.549 .067 1.346 .605 7.527 .008
9'76 .690 4.636 .063 1.600 .584 7.746 .005
1.151 1.167 .676 4.724 .060 1.636 .571 8.182 .002
.665 4.833 .059 1.709 .509
1.195 .651 4.860 .056 1.746 .493 = 2, л2 = 2,п3 = 2
1.233 .640 4.986 .044 1.782 .468
1.342 .625 5.078 .041 1.927 .462 х Р Н>х
I 369 .614 5.160 .038 2.000 .438 01
1.495 .606 5.515 .037 2.146. .422 .000 1.000
1.500 .589 5.558 .035 2.182 .411 .286 933
1.587 1.604 1.669 .562 .535 .517 5.596 5.733 5.776 .033 .027 .025 2.327 2.436 2.509 .379 .374 .361 .857 1.143 2.000 .800 .667
1.778 .498 5.858 .024 2.582 .314 .533
1.806 .483 5.864 .022 2.727 .286 2.571 .400
1.849 .468 5.967 .021 2.909 .242 3.429 .333
1.931 .460 6.431 .019 2.946 .227 3.714 .200
2.040 441 6.578 .016 3.236 .188 4.571 .067
2.067 .432 6.818 .013 3.346 .168
2.106 .419 6.840 .011 3.382 .161 и, = 2, пг = 2, п3 =
2.242 .406 .400 6.954 7.364 .008 .005 3 527 141
2.286 3.600 .132 Н>х
2.455 .394 3.636 .116
2.460 .354 «, = 1, «2 = 5, п3 = 5 3.927 .113 .000 1.000
2.504 .346 4.036 .105 .179 .971
2.591 .300 х Р 1 4.109 .086 .214 .895
2.651 .286 о i 4.182 .082 .500 .857
2.896 .251 .000 1.000 4.400 .076 .607 .800
2.91.3 .222 .036 .994 4.546 .074 .714 .743
2.940 .216 .109 .982 4.800 .056 .857 .686
3.000 .208 .146 .956 4.909 .053 1.179 .657
3.087 .194 .182 .944 5.127 .046 1.357 .619
3.158 .187 .327 .920 5.236 .039 1.464 .562
3.240 .183 .400 .885 5.636 .033 1.607 .524
3.349 .151 .436 .872 5.709 .030 1.929 .467
3.524 .146 .546 .847 5.782 .027 2.000 .438
3.595 .138 .582 .802 6.000 .022 2.214 .419
3.682 .132 .727 .792 6.146 .019 2.429 .381
3.81 3 3.960 3.987 4.206 4.222 .110 .836 .771 6.509 .018 2.464 .362
.102 .909 .752 6.546 .015 2.750 .324
.098 .982 .716 6.582 .014 2.857 .286
.095 1.127 .669 6.727 .012 3.179 .267
.087 1.200 .646 6.836 .011 3.429 .248
307
Таблица А.7 (продолжение)
п, = 2, пг = 2,п3 = 3 л, = 2, л2 = 2, л3 = 4 = 2, л2 = 2, л3 = 5 л, = 2, и2 = З,я3 = з
х P0J Н>х X Р 0 Н>х * Ро- Я>х * Ро-
3.607 .238 5.333 .033 3.773 .175 3.222 .221"
3.750 .219 5.500 .024 3.840 .164 3.361 .207
3.929 .181 6.000 .014 3.973 .159 3.778 .200
4.464 .105 4.093 .148 3.806 .179
4.500 .067 4.200 .138 4.028 .164
4.714 .048 я, = 2, пг = 2, п3 = 5 4.293 .122 4.111 .129
5.357 .029 _ 4.373 .090 4.250 .121
1 " х Ро Н>х . 4.573 .085 4.556 .100
4.800 063 4 694
”i =2,п2 = 2, иэ = 4 .000 1.000 4.893 .061 5.000 .075
— - .093 .984 5.040 .056 5.139 .061
х Ро Н>х .133 .937 5.160 .034 5.361 .032
- .240 .913 5.693 .029 5.556 .025
.000 1.000 .360 .881 6.000 .019 6.250 .011
.125 .971 .373 .844 6.133 .013 —
.167 .914 .533 .807 6.533 .008
.333 .890 .573 .791 ——— - и, - 2, л2 = З,и3 =4
.458 .862 .773 .759
.500 .814 .840 .722 и, = 2, л2 = 3, л3 = 3 х Ро Я>х|
.667 757 893 685
.792 .733 .960 .653 х P0J Н>х .000 1.000
1.000 .695 1.093 .638 - .078 .987
1.125 .657 1.200 .606 .028 1.000 .100 .965
1.333 .581 1.373 .590 .111 .968 .111 .944
1.500 .552 1.440 .563 .222 .946 .244 .922
1.792 .514 1.493 .542 .250 .896 .278 .902
1.833 .486 1.533 .516 .472 .864 .311 .881
2.000 .448 1.693 .495 .556 .807 .344 .862
2.125 .410 1.800 -.474 .694 .757 .400 .844
2.458 .362 2.133 .452 1.000 .686 .444 .829
2.667 .333 2.160 .444 1.111 .671 .544 .811
2.792 .314 2.173 .402 1.139 .600 .600 .794
2.833 .295 2.293 .381 1.361 .564 .611 .770
3.000 .276 2.333 .365 1.444 .539 .700 .756
3.125 .248 2.373 .344 1.806 .511 .778 .722
3.167 .229 2.693 .317 1.889 .446 .811 .703
3.458 .210 2.760 .296 2.000 .425 .900 .689
3.667 .190 2.973 .275 2.028 .396 .978 .673
4.000 .181 3.093 .265 2.250 .368 1.000 .66U
4.125 .152 3.133 .254 2.472 .357 1.078 .627
4.167 .105 3.240 .238 2.694 .329 1.111 .614
4.458 .100 3.333 .206 2.778 .307 1.178 .602
4.500 .090 3.360 .196 2.889 .286 1.244 ,586
5.125 .052 3.573 .185 3,139 ,243 1.344 .571
308
Таблица
А.7 (продолжение)
rtf. - ''^~р0\ 3, и3 =4 и, = 2, пг = З,и3 =4 ях =2, я, = З,я3 =5 п1^2,пг =3,яэ =
х Ро Н>х * Ро Н>х Х Н>х
1 378 .559 4.378 .105 .713 .743 3.069 .243
1.411 .548 4.444 .102 .724 .714 3.167 .237
1.500 .537 4.511 .098 .767 .703 3.186 .233
1.600 .511 4.544 .086 .887 .692 3.273 .222
1.6U .502 4.611 .083 .942 .680 3.331 .211
1.678 .478 4.711 .079 1.014 .659 3.342 .206
1.711 .468 4.811 .076 1.058 .648 3.386 .201
1.778 .457 4.878 .073 1.091 .638 3.414 .193
1.844 .448 4.900 .071 1.149 .616 3.506 .189
1.944 .437 4.978 .059 1.178 .593 3.546 .183
2.144 .417 5.078 .057 1.276 .579 3.604 .175
2.178 .406 5.144 .054 1.324 .569 3.676 .171
2.200 .398 5.378 .052 1.378 .537 3.767 .167
2.211 .376 5.400 .051 1.451 .529 3.778 .159
2.244 .368 5.444 .046 1.586 .519 3.822 .156
2.378 .357 5.500 .040 1.596 .510 3.909 .152
2.400 .346 5.611 .032 1.614 .502 3.942 .146
2.411 .338 5.800 .030 1.713 .483 3.996 .139
2.444 .329 6.000 .024 1.727 .474 4.058 .137
2.500 .321 6.111 .021 1.760 .459 4.069 .132
2.778 .294 6.144 .014 1.814 .451 4.204 .129
2.800 .284 6.300 .011 1.858 .444 4.214 .125
2.911 .271 6.444 .008 1.876 .429 4.233 .122
2.944 3.011 .262 7.000 .005 2.022 .420 4.258 .120
.256 ‘ 2.033 .403 4.331 .117
3.100 .251 « =2,и2 = З,я3 = 5 2.076 .396 4.378 .113
3.111 .238 — - 2.106 .389 4.494 .101
3.244 .232 х Ро- 2.196 .382 4.651 .091
3.278 .225 . 2.251 .375 4.694 .089
3.300 .216 .014 1.000 2.294 .368 4.724 .087
3.311 .203 .069 .981 2.367 .362 4.727 .085
3.444 .197 .113 .966 2.454 .356 4.814 .071
3.478 .190 .131 .951 2.458 .350 4.869 .067
3.544 .184 .142 .932 2.469 .336 4.913 .063
3.600 .175 .273 .917 2.487 .330 4.942 .062
3.811 3.844 3.9Ц 3.978 4.000 4.078 4.200 4.278 4.3Ц .168 .276 .901 2.546 .321 5.076 .060
.163 .306 .886 2.633 .294 5.087 .053
.159 .331 .869 2.749 .287 5.106 .052
.156 .364 .855 2.818 .279 5.251 .049
.149 .451 .823 2.894 .269 5.349 .046
.140 .549 .807 2.924 .263 5.513 .044
.137 .124 .108 .567 ,622 .636 .794 .781 .769 2.949 2.978 3.022 .257 .252 .248 5.524 5.542 5.727 .043 .041 .037
309
Таблица А.7 (продолжение)
и, = 2, п2 = З,п3 =5 ”i = 2, пг = 4,и3 =4 п, =2,пг = 4, и3 =4 п, =2,пг = 4,и3 = 5
X Ро Х Н>х х Ро\ Н>х | х Р о]
5.742 .034 1.636 .510 6.546 .020 1.050 .623
5.786 .033 1.718 .488 6.600 .017 1.091 .614
5.804 .033 1.827 .441 6.627 .016 1.200 .607
5.949 .026 1.964 .426 6.873 .011 1.204 .599
6.004 .025 2.046 .400 7.036 .006 1.268 .592
6.033 .024 2.236 .386 7.282 .004 1.291 .576
6.091 .021 2.264 .375 7.854 .002 1.314 .569
6.124 .020 2.373 .363 1.318 .562
6.294 .017 2.454 .338 «1 = 2, пг 4, п3 =5 1.391 .554
6.386 6.414 .016 .015 2.509 2.673 .317 .301 х Р о 1.414 1.450 .537 529
6.818 .012 2.809 .281 .000 1.000 1.473 .521
6.822 .010 2.918 .272 .041 .992 1.518 .507
6.909 .009 2.946 .263 .064 .979 1.591 .499
6.949 .006 3.054 .239 .068 .965 1.618 .491
7.182 .004 3.136 .228 .141 .952 1.641 .485
7.636 .002 3.327 .220 .154 .939 1.664 .479
3.354 .210 .164 .926 1.704 .472
3.464 .192 .223 .913 1.750 .465
и, =2 пг = 4,и3 =4 3.491 .185 .254 .902 1.754 .459
3 682 .180 273 891 1 814 .452
X 3.764 .166 .300 .880 1.823 .432
3.818 .152 .323 .866 1.973 .427
.000 1.000 4.009 .142 .368 .855 2.004 .420
.054 .988 4.364 .125 .404 .832 2.018 .403
.082 .970 4.418 .120 .504 .823 2.073 .398
.191 .940 4.446 ЛОЗ .518 .812 2.114 .392
.218 .910 4.554 .098 .541 .801 2.118 .387
.273 .893 4.582 .094 .564 .791 2.141 .381
.327 .879 4.691 .080 .573 .781 2.164 .375
.409 .848 4.773 .075 .614 .759 2.223 .371
.491 .820 4.854 .071 .618 .749 2.254 .366
.627 .779 4.991 .065 .654 .740 2.291 .361
.736 .757 5.127 .057 .723 .730 2.318 .351
.764 .712 5.236 .052 .791 .720 2.323 .346
.873 .685 5.454 .046 .841 .710 2.391 .335
.954 .671 5.509 .044 .864 .701 2.454 .329
1.091 .651 5.536 .042 .891 .691 2.473. .324
1.146 .638 5.646 .039 .904 .683 2.504 .320
1.173 .596 5.727 .034 .914 .674 2.550 .315
1.282 .577 5.946 .028 .950 .657 2.618 .311
1.309 .559 6.082 .025 .954 .649 2.700 .306
1.364 ,537 6.327 .024 1.018 .640 2.723 .301
1.582 .526 6.409 .022 1.023 .632 2,754 .296
310
Таблица А. 7 (продолжение)
и, - 2, пг 4, ч3 =5 И; = 2, п2 = 4, п3 = 5 rij = 2,п2 = 4, п3 = 5 и, =2, п2 =5,п3 =
V р0 X Р о х ?о1 Н>х X Р0{н>х
2.768 .285 4.404 .110 6.564 .016 .908 .674
2.773 .273 4.500 .104 6.654 .016 .931 .661
2.868 .267 4.518 .101 6.723 .015 1.115 .638
2.891 .262 4.541 .098 6.904 .014 1.154 .611
2.904 .258 4.614 .090 6.914 .013 1.185 .593
2.914 .249 4.664 .088 7.000 .013 1.277 .569
2.973 .246 4.768 .079 7.018 .012 1.300 .558
3.023 .237 4.791 .078 7.064 .012 1.362 .552
3.050 .234 4.800 .076 7.118 .010 1.431 .539
3.064 .231 4.818 .074 7.204 .009 1.485 .528
3.118 .226 4.841 .072 7.254 .009 1.523 .516
3.164 .221 4.868 .071 7.291 .008 1.554 .506
3.268 .217 4.950 .063 7.450 .007 1.646 496
3.314 .214 5.073 .061 7.500 .007 1.669 .486
3.341 .208 5.154 .059 7.568 .006 1.731 .463
3.364 .200 5.164 .053 7.573 .005 1.854 .445
3.414 .197 5.254 .052 7.773 .004 1.915 .434
3.454 .193 5.268 .051 7.814 .003 1.923 .424
3.523 .190 5.273 .049 8.018 .002 2.015 .407
3.564 .187 5.300 .048 8.114 .001 2.038 .398
3.568 .184 5.314 .046 8.591 .001 2.223 ,379
3.573 .181 5.414 .045 - 2.262 .374
3.618 .178 5.518 .043 п. = 2.и, =5,п3 = 2.285 .363
3.641 .175 5.523 .042 2.292 .353
3.654 .170 5.564 .038 х L 2.385 .345
3.700 .164 5.641 .037 L 2.408 .330
3.704 .160 5.664 .036 .008 1.000 2.469 .323
3.791 .157 5.754 .035 .046 .988 2.538 .315
3.800 .151 5.823 .034 .069 .978 2.592 .300
3.818 .148 5.891 .032 .077 .966 2.662 .292
3.823 .145 5.954 .030 .169 .947 2.754 .286
3.864 .143 5.973 .029 .192 .928 2.777 .279
4.041 .139 6.004 .026 .254 .896 2.908 .276
4.064 .135 6.041 .025 .323 .877 2.962 .270
4.073 .133 6.068 .025 .377 .859 3.023 .243
4.091 .130 6.118 .024 .415 .830 3.031 .234
4.141 .128 6.141 .023 .446 .822 3.123 .228
4.154 .126 6.223 .022 .538 .807 3.146 .218
4.200 .123 6.368 .021 .562 .775 3.331 210
4.223 .121 6.391 .021 .623 .759 3.369 .203
4.250 .119 6.473 .020 .692 .749 3.392 .198
4.323 .116 6.504 .020 .746 .735 3.492 .190
^.364 .114 6.541 .017 .808 .719 3.515 .186
.112 6.550 .017 .815 .688 3.577 .181
311
Таблица А.7 (продолжение)
и3 = 2, п2 = 5, п3 =5 ”i = 2,иа = 5,и3 =5 и, = 3,и2 = З,л3 = 3 и, = 3,п2 = З,л3 =4
х Н>х | х Ро< х Н>х X Р 0
3.646 .169 6.969 .013 3.467 .196 1.864 .415
3.738 .165 7.023 .013 3.822 .168 2.091 .402
3.769 .163 7.185 .012 4.267 .139 2.200 .389
3.862 .150 7.208 .011 4.356 .132 2.227 .368
3.885 .146 7.269 .010 4.622 .100 2.300 .351
4.015 .136 7.338 .010 5.067 .086 2.382 .326
4.069 .132 7.392 .009 5.422 .071 2.518 .314
4.131 .130 7.462 .008 5.600 .050 2.527 .303
4.138 .127 7.577 .007 5.689 .029 2.664 .291
4.231 .124 7.762 .007 5.956 .025 2.882 .281
4.254 .114 7.923 .006 6.489 .011 2.927 .273
4.438 .106 8.008 .006 7.200 .004 2.954 .253
4.477 .103 8.077 .006 " 3.027 .244
4.508 .100 8.131 .005 3.073 .234
4.623 .097 8.169 .003 и, - 3,п2 = З,и3 = 4 3.109 .220
4.685 .092 8 292 003 - 3 254 212
4.754 .084 8.377 .002 х Ро Н>х 3.364 .203
4.808 .081 8.562 .002 - 3.391 .196
4.846 .073 8.685 .001 .018 1.000 3.609 .188
4.877 .068 8.938 .001 .046 .984 3.682 .180
4.992 .066 9.423 .000 .118 .970 3.754 .178
5.054 .060 .164 .941 3.800 .165
5.177 .057 .200 .925 3.836 .150
5.238 .054 и, = 3, п2 = 3,нэ =3 .336 .895 3.973 .143
5.246 .051 .346 .869 4.046 .132
5.338 .047 х Р Н>х .409 .842 4.091 .126
5.546 .045 .454 .830 4.273 .123
5.585 .041 .000 1.000 .482 .817 4.336 .117
5.608 .040 .089 .993 .636 .791 4.382 .111
5.615 .039 .267 .929 .700 .764 4.564 .106
5.708 .037 .356 .879 .746 .717 4.700 .101
5.731 .036 .622 .829 .891 .690 4.709 .092
5.792 .032 .800 .721 1.064 .656 4.818 .085
5.915е .030 1.067 .664 1.073 .633 4.846 .081
5.985 .028 1.156 .629 1.136 .611 5.000 .074
6.077 .027 1.422 .543 1.182 .602 5.064 .070
6.231 .U26 1.689 .511 1.209 .582 5.109 .068
6.346 .025 1.867 .439 1.427 .541 5.254 .064
6.354 .021 2.222 .382 1.473 .523 5.436 .062
6.446 .020 2.400 .361 1.573 .513 5.500 .056
6.469 .019 2.489 .339 1.618 .497 5.573 .053
6.654 .017 2.756 .296 1.654 .431 5.727 .050
6.692 .016 3.200 .254 1.791 л447 5.791 .046
6.815 .015 3.289 .232 1.80» .433 5,936 .036
6.838 • 014
312
Таблица А.7 (продолжение)
и, = 3,и, = З,и3 = 4 п j = 3, и3 = З,и3 = 5 «1 = 3, и, = 3,и3 = 5 «j = 3, ”г = 4, «з =4
х Л)' ‘ х } Х X
5.982 .034 1.515 .512 4.533 .097 .000 1.000
6.018 .027 1.527 .505 4.679 .094 .046 .993
6.154 .025 1.576 .491 4.776 .090 .053 .981
6.300 .023 1.648 .478 4.800 .087 .144 .959
6.564 .017 1.746 .450 4.848 .085 .167 .937
6.664 .014 1.770 .437 4.861 .082 .182 .925
6.709 .013 1.867 .425 4.909 .079 .212 .913
6.746 .010 2.012 .414 5.042 .077 .326 .890
7.000 .006 2.048 .403 5.079 .069 .348 .870
7.318 .004 2.061 .393 5.103 .067 .386 .850
7.436 .002 2.133 .382 5.212 .065 .409 .829
8.018 .001 2.170 .367 5.261 .062 .477 .819
" 2.182 .358 5.346 .058 .576 .799
2.194 .352 5.442 .055 .598 .779
= 3, п2 = З,и3 = 5 2.315 .342 5.503 .053 .659 .761
- 2.376 .334 5.515 .051 .667 .742
х р0 Н>х 2.594 .315 5.648 .049 .712 .731
- 2.667 .306 5.770 .047 .727 .713
.000 1.000 2.679 .298 5.867 .042 .848 .704
.048 .994 2.715 .291 6.012 .040 .894 .685
.061 .970 2.836 .267 6.061 .033 .932 .668
.133 .958 2.861 .258 6.109 .032 .962 .651
.170 .948 2.970 .242 6.194 .027 1.053 .635
.194 .926 3.079 .239 6.303 .026 1.076 .620
.242 .902 3.103 .232 6.315 .021 1.136 .604
.315 .890 3.333 .218 6.376 .020 1.144 .597
.376 .868 3.382 .215 6.533 .019 1.296 .582
.412 .847 3.394 .209 6.594 .019 1.303 .568
.436 .826 3.442 .196 6.715 .014 1.326 .553
.533 .804 3.467 .184 6.776 .013 1.394 .539
.546 .794 3.503 .179 6.861 .012 1.417 .524
.594 .783 3.576 .173 6.982 .011 1.500 .510
.679 .765 3.648 .167 7.079 .009 1.546 .503
.776 .725 3.709 .162 7.333 .008 1.598 .490
.848 .686 3.879 .156 7.467 .008 1.636 .477
.970 .668 3.927 .149 7.503 .006 1.682 .470
1.042 .641 4.012 .144 7.515 .005 1.750 .457
1.079 .624 4.048 .139 7.636 .004 1.803 .444
1.103 .609 4.170 .135 7.879 .003 1.909 .421
1.200 .594 4.194 .126 8.048 .002 1.962 .409
1.212 .587 4.242 .122 8.242 .001 2.053 .388
1.261 .571 4.303 .117 8.727 .001 2.144 .378
1.442 .539 4.315 .113 2.227 .368
1.503 .526 4.412 .109 2.296 .354
313
Таблица А.7 (продолжение)
и, = 3, п2 =,4, п3 = 4 «1 =3,^ = 4, пэ =4 и, =3; ,п2 = 4, иэ =4 н, = 3, п2 = 4,иэ =
X х Р о {"'>*} X ро{">х} х Ро
2.303 .344 5.053 .078 8.909 .001 1.062 .621
2.326 .334 5.144 .073 1.103 .615
2.394 .325 5.182 .068 1.106 .609
2.417 .315 5.212 .066 и, = 3 ,п2 = 4, п3 = 5 1.118 .602
2.598 .306 5.296 .063 1.137 .590
2.636 .290 5.303 .061 X Р0{^1>х} 1.164 .584
2.667 .281 5.326 .058 1.188 .578
2.712 .276 5.386 .054 .010 1.000 1.241 .572
2.848 .269 5.500 .052 .030 .990 1.246 .566
2.894 .261 5.576 .051 .060 .981 1.260 .553
2.909 .254 5.598 .049 .081 .972 1.349 .548
2.932 .250 5.667 .047 .092 .963 1.414 .542
2.962 .243 5.803 .045 .118 .953 1.445 .537
3.076 .230 5.932 .043 .138 .944 1.465 .522
3.136 .218 5.962 .041 .173 .935 1.472 .516
3.326 .212 6.000 .040, .180 .926 1.487 .506
3.386 .207 6.046 .039 .214 .917 1.506 .495
3.394 .201 6.053 .035 .241 .908 1.558 .490
3.417 .195 6.144 .032 .256 .900 1.568 .479
3.477 .190 6.167 .031 .265 .891 1.599 .475
3.576 .184 6.182 .030 .276 .882 1.615 .465
3.598 .178 6.348 .027 .323 .874 1.718 .460
3.659 .173 6.386 .026 .337 .865 1.733 .455
3.682 .162 6.394 .025 .368 .857 1.753 .450
3.727 .160 6.409 .023 .426 .841 1.780 .446
3.803 .154 6.417 .022 .430 .833 1.814 .441
3.848 .150 6.546 .021 .462 .825 1.856 .437
3.932 .145 6.659 .020 .491 .817 1.906 .427
3.962 .140 6.712 .019 .503 .809 1.927 .423
4.144 .135 6.727 .018 .542 .784 1.938 .418
4.167 .131 6.962 .017 .549 .777 1.964 .400
4.212 .129 7.000 .016 .626 .769 1.968 .396
4.296 .125 7.053 .014 .645 .754 1.985 .391
4.303 .121 7.076 .011 .692 .746 2.019 .387
4.326 .116 7.136 .011 .727 .738 2.030 .383
4.348 .113 7.144 .010 .737 .716 2.060 .379
4.409 .106 7.212 .009 .799 .709 2.103 .375
4.477 .102 7.477 .006 .830 .696 2.112 .366
4.546 .099 7.598 .004 .831 .689 2.169 .358
4.576 .097 7.636 .004 .856 .667 2.272 .354
4.598 .093 7.682 .003 .953 .660 2.308 .350
4.712 .090 7.848 .003 1.004 .654 2.337 .346
4.750 .087 8.227 .002 1.041 .641 2.349 .343
4.894 .084 8.326 .001 1.045 .628 2.368 .335
314
Таблица А.7 (продолжение)
и, - 3, и2 =4,«э =5 и, = 3, пг = 4, п3 =5 и( = 3,и2 = 4, иэ =5 и, « 3, п2 = 4,п3 =
X X Р х V X Р0{н>х
2.388 .332 3.753 .161 5.137 .068 6.580 .021
2.395 .321 3.773 .159 5.158 .067 6.635 .020
2.472 .318 3.785 .156 5.180 .065 6.676 .020
2.481 .311 3.810 .152 5.291 .063 6.703 .019
2.491 .307 3.831 .150 5.308 .062 6.780 .019
2.522 .301 3.865 .148 5.342 .061 6.785 .018
2.573 .294 3.876 .146 5.349 .061 6.799 .016
2.580 .291 3.958 .144 5.353 .059 6.830 .016
2.641 .288 4.015 .140 5.414 .058 6.891 .015
2.645 .284 4.030 .137 5.426 .057 7.004 .015
2.676 .281 4.060 .134 5.549 .054 7.010 .015
2.677 .278 4.122 .132 5.568 .052 7.096 .014
2.737 .271 4.154 .131 5.619 .051 7.106 .014
2.830 .266 4.180 .125 5.631 .050 7.188 .013
2.887 .263 4.195 .124 5.656 .049 7.195 .012
2.908 .260 4.235 .121 5.660 .048 7.256 .012
2.949 .251 4.241 .119 5.677 .047 7.260 .012
2.953 .248 4.276 .117 5.718 .046 7.272 .012
2.964 .240 4.318 .115 5.722 .045 7.291 .011
3.010 .238 4.327 .112 5.753 .044 7.318 .011
3.035 .235 4.368 .110 5.780 .043 7.395 .011
3.087 .232 4.419 .109 5.804 .041 7.445 .010
3.092 .222 4.426 .107 5.814 .040 7.465 .010
3.106 .219 4.487 .106 5.862 .040 7.477 .009
3.137 .216 4.522 .105 5.876 .039 7.523 .007
3.195 .214 4.523 .103 5.964 .038 7.568 .007
3.256 .209 4.549 .099 6.026 .038 7.641 .007
3.260 .206 4.564 .097 6.030 .037 7.708 .006
3.312 .204 4.645 .095 6.060 .037 7.753 .006
3.318 .199 4.676 .093 6.087 .035 7.810 .006
3.353 .197 4.754 .091 6.164 .035 7.876 .006
3.414 .194 4.789 .089 6.173 .034 7.887 .006
3.445 .192 4.810 .088 6.231 .033 7.906 .005
3.462 .190 4.830 .083 6.265 .032 7.927 .005
3.496 .188 4.856 .082 6.272 .030 8.030 .005
3.503 .183 4.881 .081 6.337 .030 8.060 .004
3.50б .181 4.891 .078 6.368 .029 8.077 .004
3.568 .179 4.939 .075 6.369 .029 8.118 .004
3.580 .177 4.953 .074 6.395 .026 8.122 .004
3.599 .173 4.983 .073 6.410 .025 8.215 .003
3.626 .169 5.041 .072 6.491 .025 8.256 .003
/0 3 .165 5.045 .071 6.522 .024 8.430 .002
.163 5.106 .070 6.542 .023 8.446 .002
315
Таблица А.7 (продолжение)
и, = 3, пг = 4,и3 = 5 и, = 3,и2 = 5,иэ =5 «, =з, (и2 = 5,и3 =5 и, = 3, п2 = 5.«з =5
X Л>{я>х} * Л>< X Р0{я>х} х
8.481 .002 1.037 .643 2.857 .257 4.914 .079
8.503 .001 1.055 .632 2.884 .255 4.941 .077
8.573 .001 1.064 .611 2.936 .246 4.993 .075
8.626 .001 1.116 .602 2.963 .241 5.020 .072
8.795 .001 1.134 .592 3.094 .237 5.064 .070
9.035 .001 1.143 .583 3.112 .224 5.152 .067
9.118 .001 1.248 .573 3.121 .220 5.169 .065
9.199 .000 1.266 .563 3.165 .216 5.222 .065
9.692 .000 1.292 .554 3.191 .208 5.284 .063
1.371 .550 3.279 .206 5.363 .062
1.407 .541 3.306 .202 5.407 .059
и, =3, и2 = 5,пэ =5 1.450 .514 3.429 .195 5.486 .057
1.459 .506 3.464 .191 5.494 .056
X Р0{я>х} 1.512 .497 3.516 .187 5.521 .055
1.565 .480 3.622 .173 5.574 .053
.000 1.000 1.688 .472 3.648 .167 5.600 .051
.026 .996 1.723 .460 3.666 .164 5.626 .051
.035 .989 1.741 .453 3.745 .161 5.706 .046
.088 .974 1.750 .445 3.780 .158 5.802 .045
.106 .959 1.802 .438 3.798 .152 5.837 .042
.114 .951 1.829 .431 3.807 .147 5.934 .040
.141 .944 1.855 .420 3.912 .144 5.943 .039
.193 .930 1.934 .413 3.965 .142 6.022 .038
.220 .916 1.978 .393 3.991 .139 6.048 .037
.237 .902 2.066 .386 4.114 .136 6.198 .035
.264 .895 2.136 .380 4.141 .135 6.207 .034
.316 .880 2.145 .377 4.150 .132 6.250 .034
.352 .866 2.163 .370 4.202 .127 6.259 .033
.422 .840 2.198 .364 4.220 .125 6.286 .031
.457 .819 2.250 .351 4.255 .117 6.312 .030
.484 .813 2.321 .339 4.308 .112 6.365 .030
.536 .800 2.374 .327 4.352 .110 6.391 .028
.563 .788 2.409 .321 4.378 .107 6.435 .027
.580 .763 2.479 .315 4.457 .105 6.488 .025
.659 .751 2.488 .310 4.466 .104 6.550 .024
.695 .745 2.514 .305 4.536 .102 6.593 .024
.721 .733 2.593 .299 4.545 .100 6.655 .022
.774 .721 2.620 .294 4.571 .098 6.734 .022
.791 .698 2.637 .289 4.694 .094 6.752 .021
.826 .686 2.716 .276 4.774 .092 6.866 .019
.879 .675 2.752 .271 4.826 .089 6.892 .018
.950 .653 2.778 .267 4.835 .088 6.945 018
.029 .648 2.848 .262 4.888 .082 6.963 .017
316
Таблица А.7 [продолжение)
zij - 3, и2 ~ 5, и3 5 и, = 4,и2 = 4, п3 =4 и, = 4, и2 = 4,«з - 4 и, = 4,и2 = 4, иэ = 5
X р0 х P0J х ро * Ро
6.998 .015 .000 1.000 4.654 .097 .119 .952
7.050 .015 .038 .994 4.769 .094 .132 .937
7.121 .014 .115 .968 4.885 .086 .201 .930
7.209 .014 .154 .941 4.962 .080 .218 .916
7.226 .012 .269 .913 5.115 .074 .228 .903
7.288 .012 .346 .864 5.346 .063 .267 .889
7.306 .012 .462 .840 5.538 .057 .297 .875
7.314 .011 .500 .815 6.654 .055 .343 .869
7.437 .011 .615 .770 5.692 .049 .376 .862
7.543 .010 .731 .746 5.808 .044 .382 .849
7.578 .010 .808 .706 6.000 .040 .399 .836
7.622 .009 .962 .667 6.038 .037 .425 .823
7.736 .009 1.038 .648 6.269 .033 .475 .811
7.763 .008 1.077 .630 6.500 .030 .528 .798
7.780 .008 1.192 .592 6.577 .026 .544 .792
7.859 .007 1.385 .557 6.615 .024 .597 .780
7.894 .007 1.423 .540 6.731 .021 .610 .768
7.912 .007 1.500 .510 6.962 .019 .613 .757
8.026 .006 1.654 .480 7.038 .018 .640 .745
8.079 .006 1.846 .452 7.269 .016 .689 .734
8.106 .006 1.885 .436 7.385 .015 .742 .723
8.237 .005 2.000 .397 7.423 .013 .771 .711
8.264 .005 2.192 .370 7.538 .011 .804 .706
8.316 .005 2.346 .348 7.654 .008 .824 .695
8.334 .005 2.423 .327 7.731 .007 .860 .690
8.545 .004 2.462 .307 8.000 .005 .870 .679
8.571 .004 2.577 .296 8.115 .003 .903 .668
8.580 .004 2.808 .277 8.346 .002 .910 .658
8.650 .003 2.885 .260 8.654 .001 .940 .647
8.659 .003 2.923 .252 8.769 .001 1.019 .637
8.791 .002 3.038 .234 9.269 .001 1.058 .627
8.809 .002 3.115 .219 9.846 .000 1.068 .617
8.950 .002 3.231 .212 1.124 .607
9.002 .002 3.500 .197 1.167 .598
9.055 .001 3.577 .173 и, = 4,и2 = 4, п3 =5 1.187 .589
9.284 .001 3.731 .162 1.190 .584
9.336 .001 3.846 .151 х ро 1.203 .574
9.398 .001 3.962 .145 1.256 .565
9.521 .000 4.154 .136 .000 1.000 1.272 .556
9.635 .000 4.192 .131 .030 .996 1.299 .548
9.916 .000 4.269 .122 .033 .981 1.371 .539
10.057 .000 4.308 .114 .086 .974 1.404 .534
10550 .000 4.500 .104 .096 .967 1.414 .526
317
Таблица А.7 (продолжение)
и, = 4, и2 = 4, п3 =5 Л1 = 4,и2 = 4,и3 =5 и, =4, Hj = 4, Hj =5 «1 =4, и2 -4, нэ =
X * Ро- X X
1.454 .518 3.013 .228 4.701 .094 6.214 .034
1.503 .509 3.086 .224 4.711 .092 6.228 .033
1.530 .501 3.119 .221 4.728 .091 6.267 .032
1.533 .493 3.129 .217 4.747 .089 6.310 .031
1.586 .485 3.168 .214 4.760 .088 6.343 .030
1.596 .477 3.218 .210 4.813 .086 6.382 .029
1.615 .469 3.260 .206 4.830 .084 6.399 .028
1.668 .465 3.297 .202 4.833 .082 6.462 .027
1.701 .458 3.330 .200 4.896 .081 6.544 .027
1.718 .450 3.382 .197 4.975 .077 6.547 .026
1.744 .443 3.432 .190 5.014 .076 6.59' .026
1.810 .436 3.442 .187 5.024 .074 6.672 .024
1.876 .429 3.481 .183 5.028 .073 6.676 .024
1.899 .422 3.511 .180 5.090 .071 6.804 .023
1.929 .414 3.590 .176 5.172 .069 6.860 .022
1.942 .408 3.613 .170 5.196 .068 6.870 .022
1.958 .401 3.630 .167 5.225 .066 6.887 .021
2.047 .388 3.640 .164 5.344 .065 6.890 .021
2.110 .375 3.656 .160 5.360 .063 6.943 .020
2.140 .371 3.696 .157 5.370 .062 6.953 .020
2.143 .365 3.758 .154 5.387 .061 6.976 .019
2.176 .362 3.828 .151 5.410 .060 7.058 .018
2.196 .356 3.910 .146 5.440 .059 7.075 .017
2.275 .344 3.986 .143 5.476 .057 7.101 .017
2.387 .338 3.989 .141 5.486 .056 7.124 .016
2.390 .332 4.025 .139 5.489 .056 7.190 .016
2.403 .327 4.042 .134 5.519 .054 7.203 .015
2.440 .316 4.068 .132 5.568 .052 7.233 .015
2.443 .310 4.075 .130 5.571 .051 7.240 .014
2.453 .305 4.118 .127 5.618 .050 7.256 .014
2.558 .299 4.170 .125 5.657 .049 7.418 .014
2.575 .293 4.200 .122 5.687 .048 7.467 .013
2.601 .288 4.233 .121 5.756 .047 7.470 .013
2.667 .283 4.253 .119 5.782 .046 7.497 .013
2.670 .279 4.272 .117 5.815 .045 7.503 .012
2.733 .271 4.289 .114 5.819 .043 7.586 .012
2.756 .267 4.332 .112 5.914 .042 7.596 .012
2.799 .262 4.381 .108 6.003 .042 7.714 .011
2.881 .257 4.447 .106 6.013 .041 7.744 .011
2.904 .253 4.497 .104 6.030 .040 7.760 .009
2.918 .249 4.553 .102 6.096 .039 7.767 .009
2.967 .245 4.619 .100 6.119 .038 7.797 .009
2.987 .240 4.668 .098 6.132 .037 7.810 .009
2.997 .236 4.685 .096 6.201 .036 7.833 .008
318
Таблица Л.7 (продолжение)
Л1 = 4,п2 = 4,п3 =5 И] = 4, п2 = 5,яэ = 5 = 4,и2 = 5,пэ =5 н, = 4,л2 = 5,”э =
Лэ х PQ \н>х X Ро £ Х С Pq \ц>х
7.942 .007 .111 .958 1.366 .525 2.783 .272
7.981 .007 .131 .946 1.411 .518 2.786 .268
8.047 .006 .143 .935 1.423 .512 2.831 .257
8.113 .006 .180 .929 1.483 .505 2.840 .254
8.130 .006 .203 .923 1.551 .498 2.886 .250
8.140 .005 .223 .912 1.560 .492 2.931 .246
8.156 .005 .226 .901 1.606 .485 2.946 .239
8,189 .005 .271 .890 1.620 .479 2.966 .236
8.403 .004 .280 .879 1.643 .470 2.991 .232
8.440 .004 .326 .874 1.651 .458 3.023 .229
8.456 .004 .360 .863 1.686 .455 3.083 .224
8.525 .003 .371 .852 1.711 .449 3.103 .221
8.558 .003 .386 .841 1.731 .443 3.160 .218
8.571 .003 .463 .821 1.743 .437 3.240 .215
8.575 .003 .500 .805 1.803 .431 3,243 .211
8.604 .003 .523 .800 1.826 .425 3.266 .209
8.703 .003 .543 .790 1.871 .420 3.286 .203
8.733 .002 .546 .781 1.963 .414 3.311 .200
8.782 .002 .591 .771 1.971 .409 3.343 .197
8.868 .002 .600 .752 1.986 .398 3.380 .188
8.997 .001 .691 .742 2.006 .393 3.403 .187
9.053 .001 .706 .738 2.031 .382 3.471 .184
9.099 .001 .726 .729 2.051 .377 3.540 .176
9.129 .001 .751 .720 2.063 .372 3.571 .174
9.168 .001 .771 .711 2.100 .369 3.586 .170
9.396 .001 .783 .693 2.143 .364 3.651 .167
9.528 .001 .843 .684 2.191 .354 3.743 .162
9.590 .001 .863 .675 2.246 .349 3.746 .160
9.613 .000 .866 .667 2.280 .344 3.791 .155
9.758 .000 .966 .658 2.306 .339 3.800 .153
10.118 .000 .980 .654 2.351 .335 3.846 .151
10.187 .000 1.000 .650 2.371 .330 3.883 .148
10.681 .000 1.003 .642 2.383 .326 3.891 .144
1.011 .626 2.420 .322 3.906 .142
1.046 .617 2.443 .319 3.926 .140
и, = 4, и2 = 5,пэ = 5 1.071 .610 2.463 .307 3.951 .137
— 1.140 .594 2.466 .302 3.971 .135
X PQ 1.183 .587 2.511 .298 4.043 .133
1.186 .579 2.520 .294 4.063 .131
.006 1.000 1.286 .572 2.566 .292 4.166 .127
.020 .994 1.300 .553 2.600 .288 4.200 .124
.043 .988 1.323 .547 2.626 .284 4.203 .122
.051 .976 1.331 .540 2.691 .280 4.246 .120
,086 .970 1.346 ,532 2.740 .276 4.271 .118
319
Таблица А.7 (продолжение)
«1 = 4, «2 = 5,пэ = 5 п, = 4, п2 = 5,пэ = 5 и, = 4,п2 = 5, п3 = 5 п, =4,п2 = 5,п3 =
X Ро Н>х х Лэ \Н>х * \н>х х
4.291 .115 5.711 .048 7.183 .017 8.683 .004
4.303 .113 5.780 .048 7.220 .017 8.691 .004
4.363 .111 5.803 .047 7.243 .017 8.726 .004
4.383 .110 5.811 .046 7.266 .016 8.751 .004
4.386 .108 5.871 .045 7.311 .015 8.771 .004
4.486 .106 5.903 .043 7.320 .015 8.969 .003
4.500 .105 5.963 .042 7.426 .015 8.980 .003
4.520 .101 5.983 .042 7.446 .014 9.000 .003
4.523 .099 5.986 .041 7.471 .014 9.011 .003
4.531 .098 6.031 .040 7.491 .014 9.026 .003
4.591 .096 6.086 .040 7.503 .013 9.071 .002
4.611 .095 6.100 .038 7.563 .013 9.103 .002
4.660 .093 6.123 .037 7.586 .012 9.163 .002
4.706 .092 6.146 .037 7.631 .012 9.231 .002
4.806 .089 6.166 .035 7.640 .011 9.286 .002
4.843 .088 6.211 .035 7.686 .011 9.323 .001
4.851 .086 6.223 .034 7.720 .011 9.411 .001
4.866 .084 6.283 .034 7.766 .010 9.503 .001
4.886 .083 6.303 .033 7.791 .010 9.506 .001
4.911 .079 6.351 .032 7.823 .010 9.606 .001
4.943 .078 6.406 .031 7.860 .010 9.643 .001
4.980 .076 6.440 .030 7.903 .009 9.651 .001
5.023 .075 6.451 .029 7.906 .009 9.686 .001
5.071 .074 6.486 .029 8.006 .009 9.926 .001
5.126 .073 6.531 .028 8.043 .009 9.986 .000
5.163 .070 6.543 .028 8.051 .008 10.051 .000
5.171 .069 6.603 .027 8.066 .008 10.063 .000
5.186 .068 6.623 .026 8.086 .008 10.100 .000
5.206 .067 6.626 .026 8.131 .008 10.260 .000
5.231 .066 6.671 .025 8.143 .008 10.511 .000
5.263 .064 6.760 .025 8.223 .007 10.520 .00b
5.323 .063 6.763 .024 8.226 .007 10.566 .000
5.400 .061 6.771 .024 8.271 .007 10.646 .000
5.446 .059 6.786 .023 8.280 .006 11.023 .000
5.460 .058 6.806 .022 8.340 .006 11.083 .000
5.483 .057 6.831 .022 8.363 .006 11.571 .000
5.491 .056 6.900 .021 8.371 .005
5.526 .056 6.943 .020 8.386 .005
5.571 .055 7.000 .019 8.431 .005 ”i = 5, п2 =5, п3 - 5
5.583 .052 7.046 .019 8.463 .005 х Р
5.620 .051 7.080 .018 8.523 .005 о 1 J
5.643 .050 7.106 .018 8.543 .005 .000 1.000
5.666 .049 7.171 .018 8.546 .004 .020 .998
320
Таблица А.7 (продолжение)
n, = 5,n2 = 5, n3 =5 л, = 5,n2 = 5, иэ =5 ”i = 5,h2 = 5, иэ = 5 nt = 5,n2 = 5,n3 =
x Po |Я>х| x Po \н> x^ x Po H>x x PQ- H>x
.060 .983 2.340 .330 5.120 .072 8.000 .009
.080 .968 2.420 .319 5.180 .070 8.060 .009
.140 .954 2.480 .314 5.360 .065 8.180 .008
.180 .925 2.540 .304 5.420 .063 8.240 .008
.240 .911 2.580 .294 5.460 .060 8.340 .007
.260 .898 2.660 .284 5.540 .055 8.420 .007
.320 .871 2.780 .265 5.580 .053 8.540 .006
.380 .858 2.880 .256 5.660 .051 8.640 .006
.420 .832 2.940 .252 5.780 .049 8.660 .006
.500 .807 2.960 .239 5.820 .048 8.720 .005
.540 .794 3.020 .231 5.840 .046 8.780 .005
.560 .783 3.120 .223 6.000 .044 8.820 .005
.620 .759 3.140 .216 6.020 .043 8.880 .004
.720 .736 3.260 .208 6.080 .040 8.960 .004
.740 .725 3.380 .201 6.140 .038 9.060 .004
.780 .703 3.420 .190 6.180 .036 9.140 .003
.860 .681 3.440 .184 6.260 .035 9.260 .003
.960 .660 3.500 .177 6.320 .033 9.360 .003
.980 .650 3.620 .171 6.480 .032 9.380 .003
1.040 .620 3.660 .165 6.500 .031 9.420 .002
1.140 .601 3.780 .159 6.540 .030 9.500 .002
1.220 .582 3.840 .153 6.620 .028 9.620 .002
1.260 .564 3.860 .150 6.660 .027 9.680 .001
1.280 .547 3.920 .145 6.720 .026 9.740 .001
1.340 .538 3.980 .137 6.740 .025 ?.78O .001
1.460 .521 4.020 .132 6.860 .024 9.920 .001
1.500 .505 4.160 .127 6.980 .021 9.980 .001
1.520 .497 4.220 .123 7.020 .020 10.140 .001
1.580 .481 4.340 .118 7.220 .019 10.220 .001
1.620 .466 4.380 .110 7.260 .018 10.260 .000
1.680 .459 4.460 .105 7.280 .018 10.500 .000
1.820 .444 4.500 .102 7.340 .016 10.580 ,000
1.860 .416 4.560 .100 7.440 .015 10.640 .000
1.940 .403 4.580 .096 7.460 .015 10.820 .000
2.000 .390 4.740 .092 7.580 .014 11.060 .000
2.060 .383 4.820 .089 7.620 .013 11.180 .000
2.160 .371 4.860 .085 7.740 .012 11.520 .000
2.180 .365 4.880 .084 7.760 .012 11.580 .000
2.220 .353 4.940 .081 7.940 .011 12.020 .000
2.240 .342 5.040 .075 7.980 .011 12.500 .000
* Заимствована (с некоторой переработкой) из табл. F [232] с разрешения авто-
ров и издателя.
* * Более обширные таблицы даны в [642], где а = 0.1, k = 3, max {nj, n2>
и3) 6 или nt = n2 = n3 = 7, 8; k = 4, max {«j, ..., n4] -<4; k = 5, max
in, .... n6} < 3.
В [640] добавлен случай k = 6, ni = 2, i = 1, ..., 6. — Примеч. nep.
321
Таблица А.8. Некоторые критические значения распределения статист
Джонкхиера J, когда выполняется нулевая гипотеза: k = 3, 2 п, „ ИКи
< п3 < 8; к = 4, 5, 6 nj. = ... = пк = 2 (1) 6» а
Для заданных k, а и объемов выборок ni,...,nk приведены j (a, k, (щ
удовлетворяющие равенству P3{J > j («, k, (nx.пк))} = a**.
к = 3 Jt» 3
ni пл nt а 7(«,3,(И1.л3>Пл)) и, и, и4 « 7(“, 3,(п1|Па1п,))
2 2 2 .5778 6 2 2 6 .5397 14
.4222 7 .4603 15
.2889 8 .2444 18
.1667 9 .1849 19
.0889 10 .1357 20
.0333 11 .0944 21
.0111 12 .0635 22
.0397 23
2 2 3 .5619 8 .0238 24
.4381 9 .0127 25
.2191 11 .0064 26
.1381 12 .0024 27
.0762 13
.0381 14 2 2 7 .5354 16
.0143 15 .4647 17
.0048 16 .2121 21
.1636 22
2 2 4 .5524 10 .1217 23
.4476 11 .0879 24
.2571 13 .0606 25
.1810 14 .0404 26
.1167 15 .0253 27
.0714 16 .0152 28
.0381 17 .0081 29
.0191 18 .0040 30
.0071 19
.0024 20 2 2 8 .5320 18
.4680 19
2 2 5 .5450 12 .2354 23
.4550 13 .1886 24
.2156 16 .1118 26
.1534 17 .0822 27
.1045 18 .0589 28
.0661 19 .0404 29
.0397 20 .0269 30
.0212 21 .0168 31
.0106 22 .0101 32
.0040 23 .0054 33
.0027 34
322
j л б л ч ц я
А.8 (продолжение)
к = 3
к = 3
«, «3 П3 а /(a, 3,(«i, «j. »s)) 71, Л, пз а /(а,3, (л,,л3, и,))
1 3 з .5000 11 2 3 6 .0329 29
.4000 12 .0210 30
.2214 14 .0126 31
.1518 15 .0071 32
.0964 16 .0037 33
.0571 17
.0304 18 7 .5000 21
.0143 19 2 э .4400 22
.0054 20 .2237 26
.0018 21 .1803 27
.1096 29
2 3 4 .5429 13 .0823 30
.4571 14 .0602 31
.2222 17 .0427 32
.1619 18 .0293 33
.1119 19 .0193 34
.0738 20 .0123 35
.0452 21 .0073 36
.0262 22 .0042 37
.0135 23
.0064 24 2 3 Я .□273 2?
.0024 25 .4727 24
э Л .2239 29
* 3 5 .5000 16 .1843 30
.4250 17 .1183 32
.2230 20 .0919 33
.1694 21 .0520 35
.1242 22 .0377 36
.0877 23 .0265 37
.0591 24 .0181 38
.0381 25 .0119 39
.0230 26 .0075 40
.0131 27 .0045 41
.0068 28
.0032 29 2 4 4 Л 375 16
.4625 17
1 3 6 .5336 18 .2559 20
.4665 19 .1981 21
.2234 23 .1079 23
.1755 24 .0756 24
.1340 25 .0502 25
.0996 26 .0321 26
.0714 27 .0191 27
.0496 28 .0108 28
323
Таблица А.8 (продолжение)
к = 3 fc = 3
"1 П2 л9 Ct 7 (<*, 3, (л„ л2, п,)) л, ла «3 “ 7 (а, 3, (л,, л2,я3))
2 4 4 .0054 29 2 4 8 .5241 28
.0025 30 .4759 29
.2150 35
2 4 5 .5326 19 .1808 36
.4674 20 .1227 38
.2287 24 .0988 39
.1810 25 .0611 41
.1049 27 .0469 42
.0766 28 .0259 44
.0540 29 .0186 45
.0368 30 .0131 46
.0240 31 .0089 47
.0150 32 .0059 48
.0088 33 .0038 49
.0049 34 2 5 5 .5000 23
2 4 6 .5293 22 .4423 24
.4707 23 .2327 28
.2086 28 .1900 29
.1680 29 .1194 31
.1025 31 .0916 32
.0774 32 .0501 34
.0569 33 .0357 35
.0408 34 .0245 36
.0282 35 .0105 38
.0190 36 .0064 39
.0122 37 .0037 40
.0076 38
.0044 39 2 5 6 .5260 26
.4740 27
2 4 7 .5263 25 .2360 32
.4737 26 .1971 33
.2321 31 .1046 36
.1931 32 .0818 37
.1005 35 .0628 38
.0780 36 .0472 39
.0592 37 .0347 40
.0441 38 .0249 41
.0319 39 .0118 43
.0226 40 .0078 44
.0103 42 .0049 45
.0066 43
.0041 44
324
Таблица А.81 (продолжение)
к = 3 к = 3
'— Лэ а 7 (а, 3, (”!.«! «s)) «1 «л «3 Ct j(a, 3,
7 .5000 30 2 6 7 .5213 34
.4530 31 .4788 35
.2029 37 .2109 42
.1706 38 .1809 43
.1159 40 .1072 46
.0936 41 .0880 47
.0582 43 .0572 49
.0448 44 .0452 50
.0251 46 .0270 52
.0182 47 .0204 53
.0129 48 .0110 55
.0089 49 .0079 56
.0060 50 .0055 57
.0039 51 .0038 58
2 5 8 .5215 33 2 6 8 .5195 38
.4785 34 .4805 39
.2077 41 .2018 47
.1776 42 .1749 48
.1040 45 .1080 51
.0850 46 .0903 52
.0548 48 .0612 54
.0428 49 .0495 55
.0252 51 .0314 57
.0189 52 .0245 58
.0138 53 .0107 61
.0100 54 .0079 62
.0070 55 .0057 63
.0048 56 .0040 64
2 6 6 .5234 30 2 7 7 .5000 39
.4766 31 .4613 40
.2220 37 .2174 47
.1882 38 .1895 48
.1061 41 .1003 52
.0853 42 .0836 53
.0526 44 .0563 55
.0403 45 .0454 56
.0303 46 .0286 58
.0224 47 .0223 59
.0114 49 .0129 61
.0079 50 .0096 62
.0053 51 .0051 64
.0034 52 .0036 65
325
Таблица А.8 (продолжение)
к = 3
к = 3
п3 п3 а 7 (а, 3, (л1( пг, п9)) п3 п3 а 7 (“, 3, (л,, л3,иэ))
2 7 8 .5178 43 3 3 4 .5000 17
.4822 44 .4267 18
.2229 52 .2283 21
.1968 53 .1750 22
.1113 57 .1300 23
.0947 58 .0931 24
.0554 61 .0641 25
.0456 62 .0421 26
.0299 64 .0264 27
.0238 65 .0155 28
.0113 68 .0086 29
.0086 69 .0043 30
.0064 70
.0047 71 3 3 5 .5000 20
.4353 21
2 8 8 .5164 48 .2058 25
.4836 49 .1615 26
.2162 58 .1235 27
.1925 59 .0918 28
.1139 63 .0662 29
.0983 64 .0462 30
.0509 68 .0311 31
.0423 69 .0200 32
.0286 71 .0123 33
.0232 72 .0071 34
.0117 75 .0039 35
.0091 76
.0054 78 3 3 6 .5000 23
.0040 79 .4421 24
.2319 28
3 3 3 .5000 14 .1891 29
.4155 15 .1185 31
.2595 17 .0908 32
.1941 18 .0679 33
.1387 19 .0495 34
.0946 20 .0351 35
.0613 21 .0241 36
.0369 22 .0102 38
.0208 23 .0062 39
.0107 24 .0036 40
.0048 25
326
Таблица А.8 {продолжение)
к = 3 К = 3
_ — «а «3 а j (а, 3, (л1Л л3, п3))
«1 «а пз а /(а, З.Сп,,^.^)) «1
3 3 7 .5000 26 3 4 5 .5000 24
.4476 27 .4430 25
.2132 32 .2358 29
.1762 33 .1933 30
.1145 35 .1227 32
.0899 36 .0948 33
.0522 38 .0528 35
.0385 39 .0379 36
.0277 40 .0265 37
.0194 41 .0179 38
.0132 42 .0117 39
.0087 43 .0073 40
.0055 44 .0044 41
.0034 45
3 4 6 .5257 27
3 3 8 .5000 29 .4743 28
.4522 30 .2383 33
.2343 35 .1997 34
.1984 36 .1072 37
.1113 39 .0843 38
.0891 40 .0651 39
.0545 42 .0492 40
.0414 43 .0264 42
.0309 44 .0187 43
.0226 45 .0128 44
.0112 47 .0086 45
.0076 48 .0055 46
.0050 49 .0034 47
3 4 4 S32z 20 3 4 7 .5000 31
.4678 21 .4534 32
.2325 25 .2050 38
.1853 26 .1728 39
.1093 28 .1181 41
.0804 29 .0957 42
.0576 30 .0600 44
.0397 31 .0464 45
.0265 32 .0263 47
.0169 33 .0193 48
.0103 34 .0138 49
.0059 35 .0096 50
.0032 36 .0066 51
.0044 52
327
Таблица А.8 (продолжение)
к-j
fc = 3
«1 "а «э а 7(а,3,(п1гп3, пэ)) «л и, п3 а j {а, 3, (п,, п3, из))
3 4 8 .5214 34 3 5 7 .5000 36
.4786 35 .4581 37
.2095 42 .2296 43
.1795 43 .1985 44
.1058 46 .1002 48
.0867 47 .0822 49
.0561 49 .0533 51
.0442 50 .0421 52
.0262 52 .0252 54
.0197 53 .0190 55
.0106 55 .0103 57
.0075 56 .0074 58
.0052 57 .0052 59
.0035 58 .0036 60
3 5 5 .5000 28 3 5 8 .5000 40
.4491 29 .4615 41
.2203 34 .2184 48
.1837 35 .1906 49
.1220 37 .1014 53
.0971 38 .0846 54
.0582 40 .0572 56
.0438 41 .0463 57
.0323 42 .0293 59
.0232 43 .0228 60
.0112 45 .0100 63
.0074 46 .0074 64
.0048 47 .0053 65
.0038 66
3 5 6 .5000 32
.4541 33 3 6 6 .5209 36
.2082 39 .4791 37
.1761 40 .2151 44
.1214 42 .1853 45
.0988 43 .1116 48
.0628 45 .0923 49
.0489 46 .0609 51
.0282 48 .0486 52
.0209 49 .0297 54
.0107 51 .0227 55
.0074 52 .0126 57
.0050 53 .0092 58
.0033 54 .0066 59
.0046 60
328
-г а б Л и ц а А.8 (п одолжение)
к = 3 к = 3
1 Л 1 ~ \ «г а / (а, 3, (л,, пг, л3)) Л1 «э а / (а, 3, (я,, я3, Ив))
3 6 7 .5000 41 3 7 8 .5000 51
.4619 42 .4677 52
.2209 49 .2077 61
.1932 50 .1849 62
.1039 54 .1095 66
.0870 55 .0946 67
.0593 57 .0585 70
.0482 58 .0492 71
.0308 60 .0278 74
.0242 61 .0227 75
.0109 64 .0116 78
.0081 65 .0091 79
.0059 66 .0054 81
.0043 67 .0041 82
3 6 8 .5176 45 3 8 8 .5150 56
.4824 46 4850 57
.2258 54 .2144 67
.1998 55 .1929 68
.1144 59 .1054 73
.0977 60 .0920 74
.0580 63 .0502 78
.0479 64 .0425 79
.0255 67 .0299 81
.0203 68 .0248 82
.0124 70 .0109 86
.0095 71 .0087 87
.0054 73 .0054 89
.0040 74 .0042 90
3 7 7 .5000 46 4 4 4 .5284 24
.4650 47 .4716 25
.2137 55 .2157 30
.1887 56 .1756 31
.1070 60 .1099 33
.0911 61 .0844 34
.0537 64 .0632 35
.0442 65 .0463 36
.0292 67 .0330 37
.0234 68 .0229 38
.0113 71 .0153 39
.0086 72 .0099 40
.0065 73 .0062 41
.0049 74 .0037 42
329
Таблица А.8 (продолжение)
к = 3 /с = 3
я, п2 «э а / (а, З,(я,,я3, я3)) я, я3 «э а /(“.З,(я,,и3,п,))
4 4 5 .5254 28 4 4 8 .5192 40
.4747 29 .4808 41
.2029 35 .2050 49
.1683 36 .1783 50
.1105 38 .1114 53
.0874 39 .0935 54
.0518 41 .0522 57
.0387 42 .0420 58
.0283 43 .0264 60
.0203 44 .0205 61
.0141 45 .0119 63
.0096 46 .0089 64
.0063 47 .0065 65
.0040 48 .0047 66
4 4 б .5229 32 4 5 5 .5000 33
.4771 33 .4545 34
.2265 39 .2107 40
.1929 40 .1787 41
.1109 43 .1014 44
.0898 44 .0818 45
.0565 46 .0509 47
.0438 47 .0393 48
.0334 48 .0298 49
.0250 49 .0222 50
.0132 51 .0116 52
.0093 52 .0082 53
.0064 53 .0056 54
.0043 54 .0037 55
4 4 7 .5209 36 4 5 6 .5207 37
.4791 37 .4793 38
.2147 44 .2172 45
.1849 45 .1875 46
.1112 48 .1138 49
.0918 49 .0944 50
.0605 51 .0502 53
.0482 52 .0397 54
.0294 54 .0310 55
.0224 55 .0238 56
.0125 57 .0135 58
.0091 58 .0099 59
.0065 59 .0050 61
.0045 60 .0035 62
330
Таблица А. 8 {продолжение)
к = 3 к = 3
Л, «а «э а /(а, 3,(Л1,и3, л3)) 71, л2 из а j(a, 3, (п^пг,п}))
4 5 7 .5000 42 4 6 7 .5173 41
.4622 43 .4827 48
.2226 50 .2034 57
.1949 51 .1794 58
.1057 55 .1013 62
.0888 56 .0862 63
.0608 58 .0507 66
.0496 59 .0417 67
.0252 62 .0276 69
.0196 63 .0221 70
.0115 65 .0107 73
.0086 66 .0082 74
.0063 67 .0062 75
.0046 68 .0046 76
4 5 8 .5175 46 4 6 8 .5160 52
.4825 47 .4840 53
.2013 56 .2217 62
.1772 57 .1982 63
.1159 60 Л 040 68
.0992 61 .0897 69
.0592 64 .0554 72
.0491 65 .0465 73
.0264 68 .0263 76
.0210 69 .0214 77
.0129 71 .0110 80
.0100 72 .0086 81
.0057 74 .0051 83
.0043 75 .0039 84
4 6 б .5189 42 4 7 7 .5000 53
.4811 43 .4681 54
.2097 51 .2107 63
.1831 52 .1880 64
.1161 55 .1126 68
.0981 56 .0976 69
.0559 59 .0515 73
.0455 60 .0432 74
.0291 62 .0296 76
.0229 63 .0243 77
.0103 66 .0100 81
.0077 67 .0078 82
.0057 68 .0061 83
.0041 69 .0047 84
331
Таблица А.8 (продолжение)
к = 3 к = 3
Л1 Л2 ЛЭ а j (а, 3, («!, иэ)) «1 «э а
4 7 8 .5148 58 5 5 6 .5000 43
.4852 59 .4625 44
.2170 69 .2246 51
.1955 70 .1971 52
.1081 75 .1078 56
.0945 76 .0908 57
.0523 80 .0512 60
.0444 81 .0415 61
.0262 84 .0264 63
.0217 85 .0207 64
.0118 88 .0122 66
.0095 89 .0092 67
.0060 91 .0050 69
.0047 92 .0036 70
4 8 8 .5138 64 5 5 7 .5000 48
.4862 65 .4655 49
.2129 76 .2169 57
.1932 77 .1920 58
.1116 82 .1103 62
.0987 83 .0943 63
.0575 87 .0563 66
.0497 88 .0467 67
.0261 92 .0251 70
.0219 93 .0201 71
.0102 97 .0124 73
.0083 98 .0096 74
.0054 100 .0055 76
.0043 101 .0041 77
5 5 5 5000 38 5 5 8 .5000 53
.4589 39 .4681 54
.2032 46 .2104 63
.1748 47 .1877 64
.1049 50 .1124 68
.0867 51 .0973 69
.0572 53 .0514 73
.0456 54 .0430 74
.0279 56 .0295 76
.0214 57 .0241 77
.0120 59 .0126 80
.0087 60 .0099 81
.0063 61 .0060 83
.0044 62 .0046 84
332
Таблица А.8 (продолжение)
к = 3 к = 3
П, Л2 пз а / (а, 3, пэ)) «1 «2 «Э Ct /(а, 3, и3))
5 6 6 .5172 48 5 7 7 .5000 60
.4828 49 .4707 61
.2052 58 .2081 71
.1812 59 .1874 72
.1030 63 .1032 77
.0879 64 .0902 78
.0521 67 .0583 81
.0430 68 .0498 82
.0286 70 .0300 85
.0230 71 .0250 86
.0113 74 .0113 90
.0087 75 .0090 91
.0066 76 .0057 93
.0050 77 .0045 94
5 6 7 .5000 54 5 7 8 .5000 66
.4683 55 .4727 67
.2122 64 .2047 78
.1895 65 .1856 79
.1141 69 .1068 84
.0991 70 .0944 85
.0527 74 .0549 89
.0443 75 .0474 90
.0251 78 .0295 93
.0204 79 .0249 94
.0105 82 .0119 98
.0082 83 .0098 99
.0064 84 .0052 102
.0049 85 .0041 103
5 6 8 .5147 59 5 8 8 .5127 72
.4853 60 .4873 73
.2182 70 .2117 85
.1968 71 .1934 86
.1094 76 .1046 92
.0958 77 .0932 93
.0533 81 .0564 97
.0454 82 .0492 98
.0269 85 .0272 102
.0224 86 .0232 103
.0122 89 .0117 107
.0099 90 .0097 108
.0062 92 .0054 111
.0049 93 .0043 112
Таблица А.8 (продолжение) 3 k- 3
n, n2 n3 a / (a, 3, nt n2 n3 a 7 (a, 3, («,, л„ и3))
6 6 6 .5158 54 6 7 7 .5000 67
.4842 55 .4729 68
.2015 65 .2060 79
.1796 66 .1869 80
.1072 70 .1081 85
.0929 71 .0956 86
.0581 74 .0560 90
.0490 75 .0484 91
.0282 78 .0256 95
.0231 79 .0215 96
.0121 82 .0102 100
.0095 83 .0083 101
.0058 85 .0054 103
.0045 86 .0043 104
6 6 7 .5146 60 6 7 8 .5127 73
.4854 61 .4873 74
.2196 71 .2127 86
.1983 72 .1946 87
.1108 77 .1057 93
.0972 78 .0943 94
.0545 82 .0500 99
.0465 83 .04 35 1 00
.0278 86 .0279 103
.0231 87 .0238 104
.0103 91 .0100 109
.0083 92 .0083 110
.0052 94 .0056 112
.0041 95 .0045 113
6 6 8 .5136 66 6 8 8 .5118 80
.4864 67 .4882 81
.2153 78 .2106 94
.1956 79 .1936 95
.1010 85 .1099 101
.0891 86 .0989 Ю2
.0515 90 .0553 Ю7
.0444 91 .0487 Ю8
.0275 94 .0282 П2
.0231 95 .0244 ИЗ
.0110 99 .0110 118
.0090 100 .0092 П9
.0059 102 .0053 122
.0047 103 .0044 123
334
Таблица
А.8 (продолжение)
к = 3 к = 3
п, "г п> °' “ / (а, 3, (п,, п2, лэ)) «2 «3 а j(a, 3, («j.n,, . w3))
« 7 7 .5000 74 8 8 8 .5104 96
.4747 75 .4896 97
.2041 87 .2087 112
.1864 88 .1939 113
.1005 94 .1085 120
.0894 95 .0989 121
.0540 99 .0537 127
.0471 100 .0480 128
.0261 104 .0263 133
.0223 105 .0231 134
.0112 109 .0115 139
.0093 110 .0099 140
.0052 113 .0053 144
.0042 114 .0045 145
7 7 8 .5000 81 к = 4
.4764 82 .
.2025 95 «1 «1 «3 «4 а j (а, 4, .л4))
.1860 96 -
.1048 102 2 2 2 2 5492 12
.0941 103 .4508 13
.0524 108 .2683 15
.0461 109 .1929 16
.0265 113 .1302 17
.0229 114 .0829 18
.0102 119 .0484 19
.0086 120 .0262 20
.0060 122 .0123 21
.0049 123 .0052 22
.0016 23
7 8 8 .5111 88
.4889 89 3 3 3 3 .5276 27
.2096 103 .4724 28
.1938 104 .2220 33
.1039 111 .1823 34
.0940 112 .1166 36
.0544 117 .0907 37
.0483 118 .0515 39
.0254 123 .0374 40
.0221 124 .0266 41
.0104 129 .0183 42
.0089 130 .0123 43
.0053 133 .0080 44
.0044 134 .0050 45
335
Таблица А.8 (продолжение)
к = 4
fc = 5
Wj Л9 а j (а, 4, (л,,. ...л,)) ”1 п1 пз ns а
4 4 4 4 .5183 48 2 2 2 2 2 .5353 20
.4817 49 .4647 21
.2172 57 .2110 25
.1910 58 .1625 26
.1058 62 .1213 27
.0895 63 .0878 28
.0514 66 .0613 29
.0420 67 .0412 30
.0272 69 .0265 31
.0215 70 .0162 32
.0130 72 .0094 33
.0100 73 .0051 34
.0056 75 .0026 35
.0041 76
3 3 3 3 3 .5198 45
5 5 5 5 .5132 75 .4802 46
.4868 76 .2274 53
.2030 88 .1982 54
.1846 89 .1049 58
.1083 94 .0874 59
.0962 95 .0588 61
.0574 99 .0475 62
.0498 100 .0300 64
.0271 104 .0234 65
.0230 105 .0102 68
.0113 109 .0076 69
.0093 110 .0055 70
.0050 113 .0039 71
.0040 114
б б 6 б .5101 108 4 4 4 4 4 .5131 80
.4899 109 .4870 81
.2004 125 .2059 93
.1863 126 .1876 94
.1052 133 .1113 99
.0961 134 .0991 100
.0529 140 .0521 105
.0474 141 .0452 106
.0265 146 .0288 109
.0234 147 .0245 110
.0104 153 .0102 115
.0089 154 .0084 116
.0057 157 .0056 118
.0048 158 ,0046 119
336
Т а б Л и на
А.8 (продолжение)
к = 5 к = 6
П1 П2 «3 «4 ns a j (а, 5, («],..., n5)) nln2n3n^nsni a j (а, 6, (п1,и6))
ГТ 5 5 5 .5094 125 2 2 2 2 2 2 .0142 46
.4906 126 .0094 47
.2035 143 .0061 48
.1903 144 .0038 49
.1039 152
.0954 153 3 3 3 3 3 3 .5000 68
.0549 159 .4698 69
.0497 160 .2015 79
.0260 166 .1806 80
.0232 167 .1109 84
.ОНО 173 .0969 85
.0096 174 .0533 89
.0055 178 .0452 90
.0047 179 .0266 93
.0220 94
6 6 6 6 6 .5072 180 .0119 97
.4928 181 .0096 98
.2075 203 .0060 100
.1972 204 .0047 101
.1049 215
.0984 216 4 4 4 4 4 4 .5099 120
.0523 225 .4901 121
.0484 226 .2049 137
.0251 234 .1909 138
.0229 235 .1005 146
.0107 243 .0918 147
.0097 244 .0508 153
.0051 25С -0457 154
.0046 251 -0257 159
.0227 160
к = 6 .0103 166
.0089 167
". П2 П, «4 "s "о “ /(а.бДл, п6)) .0057 170
ДМ)4у 171
2 2 2 2 2 2 .5271 30
.4729 31 5 5 5 5 5 5 .5000 188
.2265 36 .4857 189
.1871 37 .2039 211
.1215 39 .1938 212
.0953 40 .1032 223
.0553 42 .0968 224
.0408 43 .0515 233
,0294 44 .0478 234
.0207 45 .0270 241
337
Таблица А.8 (продолжение)
к- 6 к - 6
в sf sT sT м s: s: sf j (a, 6, («!,... , n6)) nt n2 n3 ns n6 a /(“> 6, (nt nJ)
5 5 5 5 5 5 .0248 242 6 6 6 6 6 6 .1048 316
.0107 251 .0998 317
.0096 252 .05 29 329
.0051 258 .0499 330
.0046 259 .0252 341
.0236 342
6 6 6 6 6 6 .5055 270 .0108 353
.4945 271 .0100 354
.2007 301 .0053 362
.1930 302 .0049 363
* Заимствовано частично из работ [282] и [206] с разрешения авторов и редакто-
ров журналов «Technometrics» и «Biometrika».
* * См. также [697 (3)]. — Примеч. пер.
338
Таблица А.9. Некоторые критические значения для множественных срав-
нений всех обработок, основанных иа ранговых суммах Краскела — Уоллиса:
к -= 3, п = 2 (1) 6; к = 6, 7, 8, п = 2, 3;
k = 4, 5, п = 2, 3, 4; к = 9 (1) 15, п = 2.»
Для заданных k и п числа в графах таблицы соответствуют Ро {[/?ц — /?„| <
< у (а, к, п), и = 1.. /е — 1, v = и + 1,..., k} ~ 1 — а.
и
2 3 4 5 6
к у(а, к, 2) а у (а, к, 3) а y(ct, к, 4) ot к, 5) а у(а, к, 6) а
3 8 .067 15* 16 17* .064 .029 .011 24* 25 27* .045 .031 .011 33* 35 39* .048 .031 .009 43* 51* .049 .011
4 12 .029 22 .043 34 .049
23 .023 36 .026
24 .012 38 .012
5 15 .048 28 .060 44 .056
16 .016 30 .023 46 .033
32 .007 50 .010
6 19 .030 35 .055
20 .010 37 .024
39 .009 Таблица А. должение) 9 (про-
7 22 .056 42 .054
23 .021 44 .026 п = 2
24 .007 46 .012 к у(а, к, 2) а
8 26 28 .041 .005 49 51 54 .055 .029 .010 12 40 41 43 .062 .033 .006
9 29 30 31 .063 .031 .012 13 44 45 46 .052 .028 .014
10 33 34 35 .050 .025 .009 14 48 49 50 .044 .024 .012
11 37 38 39 .040 .020 .008 15 52 54 .038 .010
* Заимствована частично из [258] с разрешения автора и редактора журнала
«Biomctrika». Числа, помеченные звездочкой, заимствованы из [274] с разрешения
автора.
339
Таблица А.10. Некоторые критические значения размаха k независимых
N (0, 1) случайных величин: /е = 2 (1) 20 (2) 40 (10) 100*
Для заданных k и а в таблице приведены значения q (a, k, оо ).
а
к .0001 .0005 .001 .005 .01 .025 .05 .10 .20
2 5.502 4.923 4.654 3.970 3.643 3.170 2.772 2.326 1.812
3 5.864 5.316 5.063 4.424 4.120 3.682 3.314 2.902 2.424
4 6.083 5.553 5.309 4.694 4.403 3.984 3.633 3.240 2.784
5 6.240 5.722 5.484 4.886 4.603 4.197 3.858 3.478 3.037
6 6.362 5.853 5.619 5.033 4.757 4.361 4.030 3.661 3.232
7 6.461 5.960 5.730 5.154 4.882 4.494 4.170 3.808 3.389
8 6.546 6.050 5.823 5.255 4.987 4.605 4.286 3.931 3.520
9 6.618 6.127 5.903 5.341 5.078 4.700 4.387 4.037 3.632
10 6.682 6.196 5.973 5.418 5.157 4.784 4.474 4.129 3.730
11 6.739 6.257 6.036 5.485 5.227 4.858 4.552 4.211 3.817
12 6.791 6.311 6.092 5.546 5.290 4.925 4.622 4.285 3.895
13 6.837 6.361 6.144 5.602 5.348 4.985 4.685 4.351 3.966
14 6.880 6.407 6.191 5.652 5.400 5.041 4.743 4.412 4.030
15 6.920 6.449 6.234 5.699 5.448 5.092 4.796 4.468 4.089
16 6.957 6.488 6.274 5.742 5.493 5,139 4.845 4.519 4.144
17 6.991 6.525 6.312 5.783 5.535 5.183' 4.891 4.568 4.195
18 7.023 6.559 6.347 5.820 5.574 5.224 4.934 4.612 4.242
19 7.054 6.591 6.380 5.856 5.611 5.262 4.974 4.654 4.287
20 7.082 6.621 6.411 5.889 5.645 5.299 5.012 4.694 4.329
22 7.135 6.677 6.469 5.951 5.709 5.365 5.081 4.767 4.405
24 7.183 6.727 6.520 6.006 5.766 5.425 5.144 4.832 4.475
26 7.226 6.773 6.568 6.057 5.818 5.480 5.201 4.892 4.537
28 7.266 6.816 6.611 6.103 5.866 5.530 5.253 4.947 4.595
30 7.303 6.855 6.651 6.146 5.911 5.577 5.301 4.997 4.648
32 7.337 6.891 6.689 6.186 5.952 5.620 5.346 5.044 4.697
34 7.370 6.925 6.723 6.223 5.990 5.660 5.388 5.087 4.743
36 7.400 6.957 6.756 6.258 6.026 5.698 5.427 5.128 4.786
38 7.428 6.987 6.787 6.291 6.060 5.733 5.463 5.166 4.826
40 7.455 7.015 6.816 6.322 6.092 5.766 5.498 5.202 4.864
50 7.571 7.137 6.941 6.454 6.228 5.909 5.646 5.357 5.026
60 7.664 7.235 7.041 6.561 6.338 6.023 5.764 5.480 5.155
70 7.741 7.317 7.124 6.649 6.429 6.118 5.863 5.582 5.262
80 7.808 7.387 7.196 6.725 6.507 6.199 5.947 5.669 5.353
90 7.866 7.448 7.259 6.792 6.575 6.270 6.020 5.745 5.433
100 7.918 7.502 7.314 6.850 6.636 6.333 6.085 5.812 5.503
* Таблицы заимствованы (с некоторой переработкой) из [169] с разрешения авто-
ра и издателя.
340
Таблица А.11. Критические значения* односторонних множественных
сравнений обработок с контролем, основанные иа ранговых суммах Краскела —
Уоллиса: А = 3, п=2(1)6.
Для заданных п и х в таблице приведены Ро {{Ru — Ri) < х, и = 2, 3). Таким
образом, прн х, таком, что Ро {(Rи — RL) < х, и = 2, 3} = 1 — а, у* (а, 2,
л) = х. В таблице для заданных п приведены величины хп с 4 десятичными зна-
ками, где хп — наименьшее значение х, для которого Ро {(Ru — R,) < х, и =
= 2, 3} = 1.
к = 3
X п = 2 п = 3 п = 4 и = 5 п = 6
1 .4222 .3571 .3541 .3471 .3442
2 .4889 .4179 .3896 .3745 .3649
3 .6000 .4810 .4317 .4038 .3873
4 .6889 .5429 .4711 .4331 .4093
5 .7778 .5976 .5118 .4615 .4313
6 .8444 .6619 .5530 .4921 .4543
7 .9333 .7179 .5942 .5217 .4772
8 .9778 .7702 .6316 .5507 .4995
9 .8179 .6717 .5807 .5230
10 .8560 .7071 .6099 .5457
11 .8869 .7419 .6375 .5680
12 .9190 .7748 .6661 .5908
13 .9429 .8068 .6930 .6131
14 .9631 .8342 .7188 .6345
15 .9786 .8612 .7442 .6564
16 .9905 .8836 .7681 .6773
17 .9964 .9044 .7902 .6976
18 .9988 .9221 .8122 .7178
19 .9378 .8323 .7372
20 .9505 .8509 .7555
21 .9621 .8686 .7738
22 .9710 .8848 -7910
23 .9787 .8993 .8073
24 .9849 .9130 .8232
25 .9898 .9252 .8382
26 .9935 .9361 •8522
27 .9962 .9460 •8657
28 .9978 .9547 .8782
29 .9990 .9621 .8899
30 .9995 .9688 •9010
31 .9998 .9744 .9112
32 .9999 .9793 -9205
33 .9834 .9293
34 .9869 .9373
* Вычислено S. Р. Leach в университете штата Флорида на ЭВМ CDC 6400.
341
Таблица А. 11 {продолжение)
к = 3
X п = 2 п = 3 п = 4 п = 5 п = 6
35 .9898 .9446
36 .9922 .9514
37 .9941 .9574
38 .9956 .9629
39 .9969 .9679
40 .9979 .9723
41 .9986 .9762
42 .9991 .9797
43 .9994 .9828
44 .9997 .9854
45 .9998 .9878
46 .9999 .9898
47 1.0000 .9916
48 .9931
49 .9944
50 .9954
51 .9964
52 .9971
53 .9977
54 .9983
55 .9986
56 .9990
57 .9993
58 .9995
59 .9996
60 .9997
61 .9998
62 .9999
63 .9999
64 1.0000
342
Таблица А. 12. Критические значения* двусторонних множественных срав-
нений обработок с контролем, основанные на ранговых суммах Краскела —
Уоллиса: k = 3, п = 2(1)6
Для заданного п табличное значение х имеет вероятность Ро < х,
и — 2, 3). Если х такое число, что Ро Ях| < х, и = 2,3} = 1 — а, то
у** (а, 2, п) = х. Для данного п в таблице приведены значения хп с 4 десятичными
знаками, где хп есть наименьшее значение х, для которого Ро < х,
« = 2, 3} = 1.
к = 3
X п = 2 п = 3 п = 4 п = 5 п = 6
1 .0667 .0071 .0055 .0024 .0015
2 .1111 .0286 .0145 .0074 .0045
3 .2444 .0881 .0417 .0222 .0133
4 .4000 .1571 .0763 .0414 .0249
5 .5556 .2369 .1191 .0647 .0393
6 .6889 .3440 .1733 .0967 .0589
7 .8667 .4440 .2330 .1315 .0808
8 .9556 .5429 .2924 .1692 .1047
9 .6369 .3608 .2127 .1332
10 .7119 .4248 .2577 .1629
11 .7738 .4894 .3027 .1940
12 .8381 .5524 .3517 .2282
13 .8857 .6147 .3995 .2631
14 .9262 .6689 .4465 .2980
15 .9571 .7226 .4942 .3352
16 .9810 .7672 .5399 .3718
17 .9929 .8087 .5827 .4080
18 .9976 .8443 .6257 .4451
19 .8757 .6652 .4812
20 .9011 .7022 .5160
21 .9243 .7373 .5511
22 .9419 .7697 .5843
23 .9574 .7986 .6163
24 .9698 .8261 .6475
25 .9796 .8504 .6771
26 .9870 .8722 .7047
27 .9924 .8919 .7317
28 .9956 .9093 7566
29 .9979 .9243 .7799
30 .9991 .9375 .8019
31 .9997 .9489 .8224
32 .9999 .9585 .8410
33 .9668 .8587
34 .9738 .8746
35 .9795 .8893
♦ Вычислено S. Р.
Leach в университете штата Флорида на ЭВМ CDC 6400.
343
Таблица А. 12 (продолжение)
к = 3
X п= 2 п = 3 п = 4 п = 5 п = 6
36 .9843 .9027
37 .9882 .9149
38 .9913 .9258
39 .9938 .9357
40 .9957 .9445
4J .9971 .9524
42 .9981 .9594
43 .9988 .9655
44 .9993 .9709
45 .9996 .9756
46 .9998 .9797
47 .9999 .9832
48 1.0000 .9862
49 .9887
50 .9909
5] .9927
52 .9943
53 .9955
54 .9966
55 .9974
56 .9981
57 .9986
58 .9990
59 .9993
60 .9995
61 .9997
62 .9998
63 .9998
64 .9999
65 .9999
66 1.0000
344
Таблица А. 13. Накопленные вероятности распределения максимума I рас-
пределенных N (0,1) случайных величин с общим коэффициентом корреляции р:
1 = 1(1)12; р=.1(.1).9, р = .125 (.125).875, р = 1/3, 2/3*
В таблице для I, р и соответствующих х приведена вероятность того, что I стан-
дартных нормальных случайных величин с общей корреляцией р одновременно
менее илн равны х. Если I, р и х таковы, что вероятность в таблице равна 1 — а,
то т (а, /, р) = х.
р = .100
\ Е 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-X \
3 50 .00023 .00000 .00000 .00000 00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00000 .00000 .00000 .00000 00000 .00000 .00000 .00000 00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.10 .00097 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 00000 .00000 00000 .00000
3 00 .00135 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2 90 .00187 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.80 .00256 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2 70 .00347 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.60 .00466 .00005 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.50 .00621 .00008 .00000 .000.00 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.40 .00820 .00013 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 00000
2.30 .01072 .00022 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2 20 .01390 .00035 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.10 .01786 .00056 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.00 .02275 .00087 .00005 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1 90 .02872 .00134 .00009 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.80 .03593 .00202 .00016 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.70 .04457 .00300 .00028 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
I 60 .05480 .00440 .00048 .00007 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.50 .06681 .00633 .00079 .00012 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.40 .08076 .00899 .00129 .00023 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.30 .09680 .01256 .00205 .00040 .00009 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.20 .11507 .01729 .00321 .00071 00018 .00005 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
1 10 .13567 .02344 .00491 00120 .00033 .00010 .00004 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000
1 00 15866 .03132 .00736 .00199 00061 .00020 .00007 .00003 00001 .00001 .00000 .00000
0 90 .18406 .04125 .01082 .00322 .00107 .00039 .00015 .00006 .00003 .00001 ooool 00000
0.80 .21186 .05355 .01559 .00510 .00183 .00072 00030 .00013 .00006 .00003 .00002 .00001
0.70 .24196 .06854 .02204 .00786 .00306 .00128 .00057 .00027 .00013 .00007 .00004 .00002
0.60 .27425 .08653 .03057 .01 186 .00497 .00223 .00106 .00053 .00027 .00015 .00008 .00005
0.50 .30854 .10776 .04162 .01746 .00786 .00375 .00189 .00099 .00054 .00031 .00018 0001]
0.40 .34458 .13242 .05562 .02515 .01210 .00614 .00326 .00181 .00103 .00061 .00037 .00023
0.30 .38209 .16062 .07301 .03543 .01816 .00976 .00547 .00317 .00190 00117 .00074 .00048
0.20 .42074 .19237 .09418 .04883 .02658 .01508 .00888 .00540 .00337 .00216 .00142 .00095
0.10 .46017 .22755 .11942 .06588 .03794 .02266 .01398 .00887 .00577 .00384 .00261 .00180
0 00 .50000 .26594 .14891 .08709 .05286 .03314 .02137 01413 .00955 .00659 .00462 .00330
\ 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12
х \
0.00 .50000 .26594 .14891 .08709 .05286 .03314 .02137 .01413 .00955 .00659 .00462 .00330
о.ю .53983 .30720 .18271 .11283 .07196 .04720 .03173 .02180 .01528 .01089 .00789 .00580
0.20 .57926 35089 .22070 .14336 .09574 .06551 04580 .03263 .02365 .01741 .01299 .00982
0.30 .61791 .39645 .26259 .17875 .12461 .08870 .06431 .04741 .03547 .02689 .02063 .01601
0.40 .65542 .44327 .30791 .21889 .15877 .11724 .08795 06692 .05157 .04020 .03167 .02519
0.50 .69146 .49068 .35605 .26340 .19820 .15141 .11722 .09186 .07277 .05823 .04701 .03827
0 60 .72575 .53802 .40625 .31173 24261 .19122 .15244 .12276 .09979 .08180 .06758 .05622
* Таблица заимствована из [160] с разрешения автора и издателя.
345
Таблица А. 13 (продолжение.}
р = .100
\ £ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
X \
0.70 .75804 .58461 .45769 .36310 .29145 .23642 .19360 .15990 .13310 .11159 .09417 .07995
0.80 .78814 .62984 .50948 .41659 .34393 .28641 .24039 .20320 .17289 .14799 .12737 .11019
0.90 .81594 .67313 .56074 .47120 .39906 .34035 .29216 .25226 .21899 .19105 ,16744 .14738
1.00 .84134 .71401 .61064 .52586 .45570 .39715 .34794 .30628 .27080 .24041 .21424 .19159
1.10 .86433 .7521 1 .65841 .57955 .51267 .45557 .40653 .36416 .32738 .29528 .26716 .24241
1.20 .88493 .78715 .70344 .63131 .56879 .51430 .46657 .42456 .38744 .35451 .32518 .29898
1.30 .90320 .81896 .74522 .68034 .62298 .57205 .52664 .48600 .44951 .41664 .38693 .36002
1.40 .91924 .84747 .78340 .72597 .67430 .62764 .58538 .54698 .51200 .48004 .45078 .42393
1.50 .93319 .87272 .81779 .76774 .72199 .68007 .64155 .60608 .57335 .54307 .51501 .48895
1.60 .94520 .89480 .84831 .80534 .76552 .72855 .69415 .66209 .63215 .60415 .57792 .55331
1.70 .95543 .91387 .87503 .83868 .80458 .77255 .74241 .71402 .68723 .66193 .63800 .61534
1.80 .96407 .93016 .89811 .86777 .83902 .81174 .78583 .76118 .73772 .71535 .69402 .67365
1.90 .97128 .94390 .91777 .89281 .86893 .84607 .82417 .80317 .78302 .76367 .74507 .72718
2.00 .97725 .95537 .93431 .91403 .89449 .87563 .85743 .83986 .82288 .80646 .79058 .77520
2.10 .98214 .96483 .94806 .93179 .91601 .90069 .88580 .87135 .85729 .84362 .83032 .81738
2.20 .98610 .97255 .95933 .94645 .93387 .92160 .90961 .89791 .88647 .87529 .86436 .85367
2.30 .98928 .97877 .96848 .95839 .94850 .93880 .92929 .91995 .91079 .90180 .89298 .8843)
2.40 .99180 .98374 .97580 .96800 .96031 .95275 .94530 .93797 .93074 .92363 .91662 .90971
2.50 .99379 .98766 .98161 .97564 .96974 .96391 .95816 .95247 .94686 .94131 .93583 .93042
2.60 .99534 .99072 .98616 .98164 .97716 .97273 .96834 .96399 .95969 .95542 .95120 .94702
2.70 .99653 .99309 .98968 .98630 .98294 .97960 .97630 .97301 .96976 .96652 .96332 .96013
2.80 .99744 .99491 .99238 .98987 .98738 .98490 .98244 .97999 .97756 .97514 .97273 .97034
2.90 .99813 .99628 .99443 .99259 .99076 .98894 .98712 .98532 .98352 .98173 .97995 .97818
3.00 .99865 .99730 .99596 .99463 .99330 .99197 .99065 .98934 .98802 .98672 .98541 .98412
3.10 .99903 .99807 .99710 .99614 .99519 .99423 .99328 .99233 .99139 .99044 .98950 .98856
3.20 .99931 .99863 .99794 .99726 .99658 .99590 .99522 .99454 .99387 .99319 .99252 .99185
3.30 .99952 .99903 .99855 .99807 .99759 .99711 .99663 .99615 .99568 .99520 .99472 .99425
3.40 .99966 .99933 .99899 .99865 .99832 .99798 .99765 .99731 .99698 .99665 .99631 .99598
3.50 .99977 .99953 .99930 .99907 .99884 .99861 .99838 .99814 .99791 .99768 .99745 .99722
Р = .125
2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
3.50 .00023 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3 20 .00069 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.10 .00097 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.00 .00135 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.90 .00187 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.80 .00256 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.70 .00347 .00003 . 00000 .00000 .00000 . 00000 .00000 .00000 .00000 . 00000 .00000 .00000
2.60 .00466 .00006 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.50 .00621 .00009 .00000 . 00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.40 .00820 .00016 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
346
Таблица А. 13 (продолжение)
о = .125
2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
2.30 .01072 .00025 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.20 .01390 .00040 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.10 .01786 .00064 .00004 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ооооо .ооооо ооооо
2.00 .02275 .00098 .00007 .00001 .00000 00000 00000 .00000 ООООО .00000 .ооооо .00000
1.90 .02872 .00149 .00012 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.80 .03593 .00224 .00021 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.70 .04457 .00330 .00036 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.60 .05480 .00480 .00059 .00010 .00002 .ооооо .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.50 .06681 .00686 .00097 .00018 .00004 .00001 .00000 .00000 .ооооо .00000 .00000 .00000
1.40 .08076 .00967 .00155 .0003I .00008 .00002 .00001 .00000 ооооо .00000 .00000 .00000
1.30 .09680 .01343 .00244 .00054 .00014 .00004 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
1.20 .11507 .01838 .00375 .00093 .00027 .00009 .00003 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000
1.10 .13567 .02479 .00566 .00154 .00048 .00017 .00006 .00003 .00001 .00001 .00000 .00000
1.00 .15866 .03295 .00838 .00250 .00085 .00032 .00013 .00006 .00003 .00001 .00001 .00000
0.90 .18406 .04318 .01217 .00396 .00145 .00058 .00025 .00012 .00006 .00003 .00002 .00001
А ОА .21186 .05580 .01734 .00614 .00241 .00103 .00047 .00023 .00012 .00006 .00004 .00002
0.70 .24196 .07112 .02425 .00930 .00392 .00178 .00087 .00045 .00024 .00013 .00008 .00005
0.60 .27425 .08942 .03330 .01377 .00620 .00300 .00154 .00083 .00047 .00027 .00016 .00010
0.50 .30854 .11096 .04491 .01997 .00958 .00490 .00264 .00149 .00088 00053 .00033 .00021
0.40 .34458 .13589 .05951 .02833 .01444 .00779 .00441 .00260 .00159 .00100 .00065 .00043
0.30 .38209 .16432 .07749 .03936 .02124 .01205 .00714 .00439 .00279 .00182 .00122 .00083
0.20 .42074 .19623 .09923 .05356 .03050 .01817 .01125 .00720 .00474 .00320 .00221 .00155
0.10 .46017 .23152 .12499 .07144 .04281 .02670 .01722 .01144 .00780 .00544 .00387 .00280
0.00 .50000 .26995 .15492 .09344 .05875 .03825 .02566 01766 .01244 .00894 .00654 .00486
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.00 .50000 .26995 .15492 .09344 .05875 .03825 .02566 .01766 .01244 .00894 .00654 .00486
0.10 .53983 .31117 .18905 .11992 .07885 .05346 .03721 .02650 .01925 .01424 .01070 .00815
0.20 .57926 .35475 .22724 .15106 .10360 .07296 .05258 .03865 .02892 .02198 .01694 .01322
0.30 .61791 .40014 .26919 .18692 .13332 .09729 .07242 .05486 .04220 .03291 .02598 .02074
0.40 .65542 .44673 .31443 .22733 .16815 .12685 .09734 .07583 .05987 .04783 .03863 .03150
0.50 .69146 .49388 .36235 .27192 .20804 .16185 .12777 .10217 .08265 .06755 .05573 .04636
0.60 .72575 .54092 .41221 .32011 .25264 .20223 .16390 .13430 .11114 .09279 .07809 .06619
0.70 .75804 .58719 .46321 .37115 .30142 .24769 .20568 .17239 .14570 .12407 .10637 .09177
0.80 .78814 .63209 .51449 .42414 .35357 .29764 .25274 .21629 .18641 .16167 .14103 .12368
0.90 .81594 .67506 .56519 .47811 .40814 .35121 .30441 .26555 .23300 .20554 .18220 .16223
1.00 .84134 .71564 .61450 .53204 .46404 .40737 .35973 .31935 .28487 .25524 .22961 .20733
1.10 .86433 .75346 .66170 .58495 .52013 .46493 .41756 .37663 .34105 .30995 .28263 .25850
1.20 .88493 .78824 .70618 .63593 .57531 .52264 .47659 .43610 .40032 .36856 .34023 .31487
1.30 .90320 .81983 .74746 .68419 .62853 .57929 .53549 .49637 .46127 .42966 .40108 .37517
1.40 .91924 .84816 .78520 .72912 .67891 .63376 .59299 .55603 .52241 .49174 .46366 .43790
1.50 .93319 .87325 .81920 .77025 .72574 .68512 .64792 .61377 .58230 .55325 .52636 .50141
1.60 .94520 .89520 .84940 .80731 .76850 .73261 .69935 .66843 .63963 .61276 .58762 .56407
347
Таблица А. 13 (продолжение)
t> = 125
2 3 4 5 6 7 8 9 10 и 12
1.70 1.80 .95543 .96407 .91417 .93038 .87585 .89871 .84018 .86890 .80688 .84077 .77573 .81418 .74653 .78902 .71911 .76516 .69331 .74252 .66900 .72099 .64605 .70050 62435 •68097
1.90 .97128 .94406 .91821 .89363 .87022 .84790 .82658 .80621 .78671 .76804 .75013 .73295
2.00 .97725 .95548 .93463 .91463 .89542 .87697 .85921 .84212 .82565 .80976 .79443 .77962
2.10 .98214 .96491 .94827 .93221 .91667 .90164 88708 .87298 .85931 .84605 .83317 .82067
2.20 .98610 .97260 .95948 .94673 .93433 .92226 .91051 .89907 .88791 .87703 .86642 .85606
2.30 .98928 .97880 .96858 .95858 94881 .93925 .92990 .92075 .91179 .90302 .89442 .88600
2.40 .99180 .98376 .97587 .96813 .96052 .95305 .94572 .93851 .93142 .92446 91761 .91087
2.50 .99379 .98768 .98165 .97572 .96987 .96411 .95843 .95283 .94731 .94187 .93649 •93119
2.60 .99534 .99073 .98618 .98169 .97725 .97286 .96852 .96422 .95998 .95578 .95163 94753
2.70 .99653 .99310 .98970 .98633 .98299 .97968 .97641 .97316 .96994 .96675 .96359 .96046
2.80 .99744 .99491 .99239 .98989 .98741 .98495 .98251 .98008 .97767 .97528 .97290 .97054
2.90 .99813 .99628 .99443 .99260 .99078 .98897 .98716 .98537 .98359 .98182 .98005 .97830
3.00 .99865 .99731 .99597 .99464 .99331 .99199 .99068 .98937 .98807 .98677 .98548 98419
3.10 .99903 .99807 .99711 .99615 .99519 .99424 .99330 .99235 .99141 .99047 .98954 .98860
3.20 .99931 .99863 .99794 .99726 .99658 .99590 .99523 .99455 .99388 .99321 .99254 .99187
3.30 .99952 .99903 .99855 .99807 .99759 .99711 .99664 .99616 .99568 .99521 .99473 .99426
3.40 .99966 .99933 .99899 .99865 .99832 .99799 .99765 .99732 .99699 .99665 .99632 .99599
3.50 99977 .99953 .99930 .99907 .99884 .99861 .99838 .99815 .99792 .99768 .99745 .99722
Р = .200
3.50 .00023 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
3.40 .00034 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 00000
3.30 .00048 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
3.20 .00069 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.10 .00097 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.00 .00135 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.90 .00187 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.80 .00256 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.70 .00347 .00006 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.60 .00466 .00009 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.50 .00621 .00015 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.40 .00820 .00024 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.30 .01072 .00038 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.20 .01390 .00059 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.10 .01786 .00091 .00009 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.00 .02275 .00137 .00015 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
1.90 .02872 .00204 .00025 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.80 .03593 .00298 .00042 .00008 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.70 .04457 .00431 .00067 .00015 .00004 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
1.60 .05480 .00614 .00107 .00025 .00007 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.50 .06681 .00861 .00168 .00043 .00014 .00005 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .ооооо
1.40 .08076 .01192 .00257 .00072 .00024 .00009 .00004 .00002 .00001 .00001 .00000 .ооооо
348
•jp блица
A. 13 (продолжение)
к = .200
1 30 .09680 .01626 .00387 .00117 .00042 .00017 .00008 .00004 .00002 .00001 .0000) .00000
j .20 .11507 .02189 .00573 .00187 .00072 .00031 .00015 .00008 .00004 00002 .00001 .00001
jjO .13567 .02906 .00834 .00293 .00119 .00054 .00027 .00014 .00008 .00005 .00003 .00002
1 00 .15866 .03807 .01192 .00449 .00194 .00093 .00048 .00027 .00016 .00010 .00006 .00004
0.90 . 18406 .04921 .01676 .00676 .00308 .00155 .00084 .00048 .00029 .000)8 .00012 .00008
0 80 .21186 .06278 .02315 .00996 .00480 .00252 .00142 .00084 .00053 .00034 .00023 .00016
0 70 .24196 .07906 .03146 .01439 .00730 .00401 .00234 .00144 .00093 .00062 .00042 .00030
0.60 .27425 .09830 .04206 .02041 .01087 .00623 .00378 .00240 .00159 .00109 .00076 .00055
0.50 .30854 .12072 .05533 .02840 .01586 .00946 .00595 .00390 .00265 .00186 .00134 .00098
0.40 .34458 .14643 .07165 .03879 .02267 .01405 .00914 .00618 .00432 .00310 .00228 .00171
о.зо .38209 .17552 .09135 .05204 .03174 .0204 2 .01372 .00954 .00684 .00503 .00378 .00289
0.20 .42074 .20792 .11471 .06856 .04356 .02903 .02011 .01439 .01057 .00794 .00609 .00475
О.Ю .46017 .24351 .14192 .08878 .05863 .04041 .02883 .02117 .01593 .01223 .00956 .00759
0.00 .50000 .28205 .17307 .11301 .07741 .05508 .04043 .03044 .02343 .01836 .01463 .01182
V 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
_____________________________________________________________________________________________________________________,_________
0.00 .50000 .28205 .17307 .11301 .07741 .05508 .04043 .03044 .02343 .01836 .01463 .01182
0.10 .53983 .32317 .20810 .14149 .10033 .07358 .05546 .04277 .03363 .02689 .02181 .01791
0.20 .57926 .36644 .24684 .17430 .12769 .09634 .07448 .05876 .04716 .03842 .03170 .02646
0.30 .61791 .41134 .28893 .21138 .15966 .12375 .09797 .07897 .06463 .05360 .04496 .03810
0.40 .65542 .45728 .33392 '.25248 .19624 .15599 .12631 .10390 .08662 .07305 .06224 .05351
0.50 .69146 .50364 .38120 .29720 .23725 .19309 .15970 .1 3389 .11358 .09734 .08417 .07336
0.60 .72575 .54980 .43008 .34496 .28229 .23486 .19813 .16912 .14584 .12689 .11126 .09824
0.70 .75804 .59513 .47982 .39502 .33077 .28089 .24137 .20952 .18348 .16191 .14385 .12859
0.80 .78814 .63906 .52961 .44658 .38194 .33054 .28895 .25477 .22633 .20240 .18206 .16462
0.90 .81594 .68109 .57869 .49874 .43491 .38301 .34016 .30431 .27398 .24806 .22572 .20632
1 00 .84134 .72076 .62632 .55059 .48871 .43733 .3941 1 .35733 .32572 .29832 ,27439 .25334
1.10 .86433 .75773 .67185 .60127 .54234 .49246 .44975 .41283 .38063 .35234 .32732 .30505
1.20 .884 9 3 .79175 .71472 .64999 .59484 .54732 .50596 .46968 .43760 .40905 .38351 .36052
1.30 .90320 .82266 .75451 .69605 .64532 .60088 .56162 .52669 .49542 .46726 .44177 .41861
1.40 .91924 .85040 .79091 .73891 .69302 .65221 .61565 .58270 .55285 .52568 .50083 .47802
1.50 93319 .87500 .82373 .77816 .73733 .70051 .66710 .63663 .60872 .58305 .55935 .53740
1.60 .94520 .89654 .85293 .81357 .77782 .74515 .71517 .68753 .66196 .63821 .61609 .59543
1.70 .95543 .91518 .87856 .84504 .81421 .78572 .75929 .73468 .71170 .69017 .66995 .65092
1 80 .96407 .93112 .90074 .87260 .84641 .82197 .79906 .77755 .75728 .73814 .72004 .70287
1 90 • 97128 .94460 .91971 .89639 .87448 .85382 .83431 .81582 .79827 .78159 .76569 .75051
2.00 .97725 .95587 .93571 .91664 .89856 .88138 .86502 .84940 .83448 82019 .80649 .79334
2 10 .98214 .96518 .94904 .93365 .91894 90486 .89135 .87838 .86590 .85388 .84230 .83111
2.20 7 1л •98610 .97279 .96002 .94775 .93594 .92456 .91358 .90297 .89271 .88278 .87315 .86381
Э Лл • 98928 .97893 .96894 .95928 .94993 .94086 .93206 .92352 .91521 .90714 .89927 .89161
2 99180 .98385 .97612 .96860 .96128 .95416 .94721 .94043 .93381 .92734 .92102 .91484
2.60 • 99379 .98773 .98182 .97603 .97038 .96485 .95944 .95413 .94893 .94384 .93884 .93393
•99534 •99077 .98629 .98189 .97758 .97334 .96918 .96509 .96106 .95710 .95321 .94937
349
Таблица А. 13 (продолжение)
р = .200
\ й 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X \
2.70 .99653 .99312 .98977 .98646 .98321 .98000 .97684 .97372 .97065 .96762
2.80 .99744 .99492 .99243 .98998 .98755 .98515 .98278 .98044 .97812 .97583
2.90 .99813 .99629 .99446 .99265 .99086 .98909 .98733 .98560 .98387 .98217 .
3.00 .99865 .99731 .99598 .99467 .99336 .99207 .99078 .98950 .98824 .98698
3.10 .99903 .99807 .99712 .99617 .99523 .99429 .99336 .99243 .99151 .99060 .
3.20 .99931 .99863 .99795 .99727 .99660 .99593 .99526 .99460 .99394 .99329 .
3.30 .99952 ;999ОЗ .99856 .99808 .99760 .99713 .99666 .99619 .99572 .99525
3.40 .99966 .99933 .99899 .99866 .99833 .99799 .99766 .99733 .99701 .99668 .
3.50 .99977 .99953 .99930 .99907 .99884 .99861 .99838 .99815 .99793 .99770 .
11 и
•96463 .96168
•97357 .97133
•98047 .97880
.98574 .98450
.98969 .98879
.99263 .99198
.99479 .99433
.99635 .99603
.99747 .99724
р = .250
3 50 .00023 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3 40 .00034 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.10 .00097 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.00 .00135 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.90 .00187 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.80 .00256 .00005 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.70 .00347 .00008 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.60 .00466 .00013 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.50 .00621 .00020 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.40 .00820 .00032 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.30 .01072 .00049 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.20 .01390 .00075 .00008 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.10 .01786 .00113 .00014 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.00 .02275 .00168 .00024 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.90 .02872 .00247 .00039 .00009 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.80 .03593 .00356 .00062 .00015 .00005 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
1.70 .04457 .00508 .00098 .00026 .00009 .00003 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
1.60 .05480 .00715 .00151 .00044 .00015 .00006 .00003 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000
1.50 .06681 .00991 .00230 .00071 .00027 .00012 .00006 .00003 .00002 .00001 .00001 .00000
1.40 .08076 .01357 .00345 .00114 .00045 .00021 .00010 .00006 .00003 .00002 .00001 .00001
1.30 .09680 .01832 .00508 .00180 .00075 .00036 .00019 .00010 .00006 .00004 .00003 .00002
1.20 .11507 .02441 .00735 .00278 .00123 .0006I .00033 .00019 .00012 .00007 .00005 .00003
1.10 .13567 .03210 .01047 .00421 .00195 .00101 .00056 .00034 .00021 .00014 .00009 .00007
1.00 .15866 .04168 .01468 .00626 .00305 .00164 .00095 .00058 .00038 .00025 .00017 .00012
0.90 .18406 .05342 .02025 .00914 00466 .00260 .00156 .00098 .00065 .00045 .00032 .00023
0.80 .21186 .06762 .02749 .01310 .00699 .00405 .00250 .00163 .00110 .00077 .00056 .00041
0.70 .24196 .08453 .03675 .01846 .01028 .00617 00394 .00263 00182 .00131 .00096 .00072
0.60 .27425 .10439 .04838 .02556 .01483 .00922 .00606 .00415 .00295 .00216 .00162 .00124
0.50 .30854 .12738 .06274 .03478 .02099 .01350 .00912 .0064I .00465 .00347 .00265 .00206
0.40 .34458 .15360 .08016 .04653 .02916 .01936 .01344 .00968 .00718 .00546 .00424 .00335
350
Таблица А. 13 (продолжение)
р= .250
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
пзо 38209 1831I .10095 .06121 .03977 .02722 .01941 .01431 .01084 .00839 .00663 .00532
0 20 *42074 .21583 .12532 .07922 .05327 .03755 .02746 .02070 .01599 .01261 .01012 .00825
0 10 46017 .25162 .15344 .10089 .07010 .05081 .03808 .02932 .02308 .01852 .01510 .01248
ООО .50000 29022 .18532 .12648 .09066 .06748 .05176 .04067 .03262 .02660 .02202 .01845
\ R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
X \
0 00 .50000 .29022 .18532 .12648 .09066 .06748 .05176 .04067 .03262 .02660 .02202 .01845
0 10 .53983 .33127 .22090 .15615 .11528 .08800 .06900 .05530 .04513 .03739 .03140 .02666
0 20 .57926 .37435 .25994 .18994 .14418 .11274 .09027 .07370 .06116 .05145 .04380 .03768
0 30 .61791 .41893 .30210 .22771 .1 7745 .14193 .11593 .09634 .08123 .06933 .05981 .05208
0 40 .65542 .46445 .34691 .26918 .21500 .17569 .14623 .12358 .10578 .09154 .07997 .07045
0 50 .69146 .51030 .39377 .31393 .25660 .21393 .18125 .15563 .13514 .11849 .10477 .09331
0 60 .72575 .55588 .44203 .36137. .30181 .25641 .22089 .19252 .16946 .15044 .13453 .12109
0.70 .75804 .60060 .49095 .41080 .35003 .30265 .26484 .23410 .20870 .18745 .16945 .15405
0.80 .78814 .64391 .53980 .46144 .40054 .35202 .31256 .27994 .25259 .22937 .20946 .19223
0 90 .81594 .68530 .58784 .51245 .45248 .40372 .36337 .32946 .30062 .27582 .25429 .23545
1.00 .84134 .72437 .63439 .56299 .50495 .45686 .41638 .38185 .35208 .32616 .30339 .28326
1.10 .86433 .76077 .67884 .61227 .55704 .51046 .47063 .43617 .40607 .37954 .35600 .33497
1.20 .88493 .79427 .72067 .65954 .60787 .56355 .52509 .49137 .46155 .43498 .41115 .38965
1.30 .90320 .82472 .75947 .70419 .65663 .61520 .57874 .54637 .51742 .49135 .46774 .44625
1.40 .91924 .85205 .79498 .74571 .70263 .66457 .63063 .60014 .57258 .54751 .52460 .50357
1.50 .93319 .87630 .82701 .78374 .74533 .71094 .67991 .65173 .62599 .60236 .58058 .56042
1.60 .94520 .89755 .85552 .81806 .78434 .75378 .72590 .70031 .67672 .65489 .63459 .61566
1.70 .95543 .91595 .88057 .84858 .81943 .79270 .76807 .74525 .72403 .70422 .68568 .66826
1 80 .96407 .93170 .90228 .87533 .85050 .82750 .80609 .78609 .76734 .74971 .73308 .71736
1 90 .97128 .94503 .92086 .89847 .87761 .85812 .83982 .82258 .80630 .79089 .77626 .76234
2 00 .97725 .95618 .93656 .91819 .90093 .88465 .86925 .85464 .84074 .82750 .81486 .80276
2.10 .98214 .96540 .94966 .93478 .92069 .90729 .89453 .88234 .87068 .85950 .84877 .83844
2.20 .98610 .97294 .96046 .94856 .93721 .92634 .91592 .90591 .89628 .88699 .87804 .86938
2 30 .98928 .97904 .96925 .95986 .95083 .94214 .93375 .92565 .91782 .91024 .90288 .89575
2.40 .99180 .98392 .97633 .96900 .96191 .95505 .94840 .94194 .93567 .92957 .92363 .91784
2 50 .99379 .98778 .98196 .97630 .97081 .96547 .96026 .95519 .95024 .94541 .94068 .93607
2.60 .99534 .99080 .98638 .98208 .97787 .97376 .96974 .96581 .96196 .95819 .95449 .95086
2.70 .99653 .99314 .98983 .98658 .98340 .98027- .97721 .97420 .97125 .96835 .96549 .96269
2.80 .99744 .99494 .99247 .99005 .98767 .98533 .98302 .98076 .97852 .97632 .97414 .97200
2.90 .99813 .99630 .994 49 .99270 .99094 .98920 .98749 .98580 .98413 .98248 .98085 .97924
3.00 .99865 .99732 .99600 .99470 .99341 .99214 .99088 .98963 .98840 .98718 .98597 .98478
з.ю .99903 .99807 .99713 .99619 .99526 .99433 .99342 .99251 .99162 .99072 .98984 .98897
3.20 .99931 .99863 .99795 .99728 .99662 .99596 .99530 .99465 .99400 .99336 .99272 .99209
з.зо .99952 .99904 .99856 .99808 .99761 .99714 .99668 .99622 .99576 .99530 .99484 .99439
3.40 .99966 .99933 .99899 .99866 .99833 .99800 .99768 .99735 .99703 .99670 .99638 .99606
3.50 .99977 .99954 .99930 .99907 .99885 .99862 .99839 .99816 .99794 .99771 .99 749 .99727
351
а б л и ц а А. 13 (продолжение)
р = .300
21 2 3 4 5 6 7 8 9 10. л
3.50 .00023 .00000 .00000 .00000 ООООО .ООООО .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ООООО
3.40 .00034 .00000 .00000 .00000 .ООООО .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 •ООООО
3 30 .00048 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ооооо
3.20 .00069 .00001 .00000 .00000 ООООО .00000 .00000 ооооо .00000 .00000 ООООО ООООО
3 10 .00097 .00001 .00000 ооооо .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ООООО
3 00 .00135 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ООООО
2 90 .00187 .00004 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ООООО
2.80 .00256 .00006 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ооооо •ООООО
2.70 .00347 .00010 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 ооооо .00000 .00000 .00000 •ООООО
2.60 .00466 .00017 00002 .00000 .00000 .00000 .00000 ооооо .00000 .00000 .00000 ООООО
2.50 .00621 .00026 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 ооооо .00000 .00000 .00000 ООООО
2.40 .00820 .00041 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 ооооо .00000 .00000 .00000 .00000
2.30 .01072 .00062 .00008 .00002 .00000 .00000 .00000 ооооо .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.20 .01390 .00094 .00014 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.10 .01786 .00139 .00022 .00005 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ооооо
2.00 .02275 .00204 .00036 .000(19 .00003 .00001 .00001 •ООООО .00000 .00000 .00000 .ооооо
1.90 .02872 .00295 .00057 .00016 .00006 .00002 .00001 .00001 •ООООО .00000 .00000 .00000
1.80 .03593 .00422 .00089 .00027 .00010 .00004 .00002 .00001 .00001 .00000 .ооооо .ооооо
1 70 .04457 .00594 .00137 .00044 .00017 .00008 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 .ооооо
1.60 .05480 .00826 .00207 .00070 .00029 .00014 .00007 .00004 .00002 .00002 .00001 оооо।
1.50 .06681 .01133 .00308 .ООП 1 .00048 .00024 .00013 .00008 .00005 .00003 .00002 ooool
1.40 .08076 .01535 .00451 .00172 .00078 .00040 .00022 .00013 .00009 .00006 .00004 .00003
1.30 .09680 .02052 .00650 .00262 .00124 .00066 .00038 .00024 .00015 .00010 .00007 .00005
1.20 .11507 .02709 .00923 .00393 .00195 .00107 .00064 .00040 .00027 .00019 .00013 .00010
1.10 .13567 .03531 .01290 .00580 .00299 .00170 .00104 .00068 .00046 .00032 .00024 .00018
1 00 ,15866 .04546 .01777 .00840 .00451 .00265 .00167 .00111 .00077 .00055 .00041 .00031
0.90 ,18406 .05781 .02410 .01196 .00668 .00406 .00263 .00179 .00126 .00092 .00069 .00053
0.80 .2)186 .07263 .03221 .01676 .00971 .00609 .00405 .00282 .00203 .00151 .00115 .00090
0.70 .24196 .09017 .04243 .02309 .01388 .00896 .00611 .00434 .00320 .00242 .00188 .00148
0.60 .27425 .11063 .05509 .03131 .01948 .01295 ,00904 .00657 .00493 .00379 .00298 .00239
0.50 .30854 .13418 .07052 .04177 .02687 .01836 .01314 .00974 .00744 .00582 .00464 .00377
0.40 .34458 .16090 .08902 .05487 .03645 .02558 .01872 .01416 .01100 .00874 .00708 .00582
0.30 .38209 .19082 .11085 .07096 .04861 .03500 .02618 .02019 .01596 .01287 .01056 .00879
0.20 .42074 .22385 .13620 .09039 .06376 .04705 .03595 .02824 .02268 .01856 .01543 .01300
0.10 .46017 .25983 .16516 .11344 .08229 .06217 .04847 .03875 .03162 .02624 .02210 .0188-’
0.00 .50000 .29849 .19774 .14031 .10453 .08077 .06421 .05221 .04325 .03638 .03101 .02673
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.00 .50000
0.10 .53983
0.20 .57926
0.30 .61791
0.40 .65542
.29849 .19774 .14031 .10453 .08077 .06421 .05221 .04325 .03638 .03101 .02673
.33949 .23381 .17109 .13073 .10321 .08358. .069(07 .05805 .04948 .04267 .0371^
.38237 .27314 .20575 .16104 .12975 .10694 .08977 ..07650 .06602 .05759 .05070
.42664 .31534 .24413 .19547 .16056 .13458 .11466 ЖИ01 .08647 .07625 .06 nvWQK
.47175 .35996 .28591 .23387 .19565 .16662 .14397 .12591) 11122 .09911
352
{аолица А13 (npodi ixs i ie)
P = .300
\ e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X \
0.50 .69146 .51710 .40641 .33064 .27594 .23487 .20306 .17782 .15738 .14055 .12649 .11461
0.60 .72575 .56213 .45405 .37774 .32124 .27789 .24370 .21613 .19348 .17458 .15861 .14496
0.70 .75804 .60624 .50219 .42653 .36916 .32423 .28817 .25863 .23403 .21325 .19549 .18015
0.80 .78814 .64892 .55011 .47627 .41898 .37325 .33592 .30488 .27869 .25630 .23696 .22008
0.90 .81594 .68969 .59715 .52617 .46991 .42417 .38623 .35424 .32690 .30327 .28263 .26446
1.00 .84134 .72815 .64264 .57545 .52111 .47615 .43829 .40593 .37795 .35349 .33191 .31275
1.10 .86433 .76398 .68602 .62337 .57172 .52828 .49117 .45905 .43095 .40613 .38404 .36423
1.20 .88493 .79695 .72682 .66925 .62093 .57967 .54394 .51264 .48495 .46026 .43807 .41801
1.30 .90320 .82692 .76465 .71252 .66803 .62949 .59568 .56573 .53895 .51484 .49299 .47308
1.40 .91924 .85383 .79926 .75273 .71240 .67698 .64554 .61737 .59195 .56886 .54776 .52838
1.50 .93319 .87771 .83049 .78954 .75354 .72151 .69275 .66674 .64304 .62132 .60132 .58283
1.60 .94520 .89866 .85830 .82277 .79110 .76260 .73674 .71311 .69140 .67135 .65276 .63544
1.70 .95543 .91681 .88275 .85234 .82489 .79991 .77703 .75594 .73640 .71822 .70124 68532
1.80 .96407 .93236 .90397 .87828 .85483 .83328 .81335 .79483 .77754 .76135 .74612 .73175
1.90 .97128 .94552 .92214 .90073 .88099 .86267 .84558 .82958 .81454 .80035 .78693 .77420
2.00 .97725 .95654 .93751 .91990 .90350 .88816 .87373 .86013 .84726 .83504 .82342 .81233
2.10 .98214 .96566 .95036 .93606 .92262 .90995 .89795 .88657 .87572 .86538 .85548 .84600
2.20 .98610 .97313 .96096 .94949 .93863 .92831 .91848 .90909 .90010 .89148 .88319 .87521
2.30 .98928 .97917 .96961 .96052 .95186 .94357 .93563 .92800 .92067 .91359 .90676 .90015
2.40 .99180 .98401 .97658 .96947 .96264 .95608 .94975 .94365 .93774 .93203 92648 .92111
2.50 .99379 .98784 .98213 .97663 .97132 .96619 .96122 .95640 .95172 .94717 .94274 .93843
2.60 .99534 .99084 .98650 .98230 .97822 .97426 .97040 .96665 .96299 .95943 .95594 .95254
2.70 .99653 .99317 .98990 .98673 .98363 .98061 .97766 .97478 .97196 .96920 .96650 .96385
2.80 .99744 .99495 .99252 .99015 .98783 .98555 .98333 .98114 .97900 .97690 97483 .97280
2.90 .99813 .99631 .99452 .99276 .99104 .98935 .98769 .98605 .98445 .98286 .98130 .97977
3.00 99865 .99732 .99602 .99474 .99347 .99223 .99101 .98980 ,98861 .98743 .98627 .98513
3.10 .99903 .99808 .99714 .99621 .99530 .99439 .99350 .99262 .99175 .99088 .99003 .98919
3.20 .99931 .99863 .99796 .99730 .99664 .99599 .99535 .99471 99408 .99346 .99284 .99223
3.30 .99952 .99904 .99856 .99809 .99763 .99717 .99671 .99625 .99581 .99536 .99492 .99448
3.40 .99966 .99933 .99900 .99867 .99834 .99802 .99769 .99737 .99706 .99674 .99643 .99612
3.50 .99977 .99953 .99930 .99908 .99885 .99862 .99840 .99818 .99796 .99773 .99752 .99730
0 = 1/3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3.50 .00023 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.10 .00097 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.00 .00135 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.90 .00187 .00005 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.80 .00256 .00008 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2 70 .00347 .00013 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.60 .00466 .00020 .00002 .ooooo .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
353
Таблица А. 13 (продолжение)
Р = 1/3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2 50 .00621 .00031 .(10004 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.40 .00820 .00048 .00007 00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.30 .01072 .00072 .00011 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.20 .01390 .00108 .00018 .00005 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.10 .01786 .00159 .00029 .00008 .00003 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.00 .02275 .00231 .00046 .00014 .00005 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
1.90 .02872 .00331 .00072 .00023 .00009 .00004 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000
1.80 .03593 .00469 .00111 .00037 .00015 .00007 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000
1.70 .04457 .00656 .00168 .00059 .00026 .00013 .00007 .00004 .00003 .00002 .00001 .00001
1.60 .05480 .00906 .00251 .00093 .00042 .00022 .00012 .00007 .00005 .00003 .00002 .00002
1.50 .06681 .01234 .00368 .00145 .00068 .00036 00021 .00013 .00008 .00006 .00004 .00003
1.40 .08076 .01661 .00532 .00220 .00108 .00059 .00035 .00022 .00015 .00010 .00007 .00006
1.30 .09680 .02207 .00758 .00330 .00168 .00095 .00058 .00038 .00026 .00018 .00013 .00010
1.20 .11507 .02896 .01063 .00486 .00257 .00150 .00094 .00063 .00043 .00031 .00023 .00018
1.10 .13567 .03754 .01469 .00705 .00386 .00232 .00150 .00102 .00072 .00053 .00040 .00031
1.00 .15866 .04807 .02002 .01005 .00571 .00353 .00233 .00162 .00117 .00087 .00066 .00052
0.90 .18406 .06083 .02688 .01411 .00829 .00528 .00357 .00253 .00186 .00141 .00109 .00086
0.80 .21186 .07607 .03558 .01948 .01185 .00776 .00537 .00388 .00290 .00223 .00175 .00140
0.70 .24196 .09402 .04644 .02649 .01664 .01119 .00792 .00583 .00443 .00346 .00275 .00223
0.60 .27425 .11489 .05978 .03547 .02298 .01586 .01147 .00860 .00665 .00526 .00425 .00349
0.50 .30854 .13881 .07591 .04678 .03123 .02209 .01631 .01246 .00978 .00785 .00642 .00533
0.40 .34458 .16586 .09512 .06076 .04176 .03024 .02280 .01772 .01413 .01150 .00952 .00799
0.30 .38209 .19604 .11763 07778 .05495 .04072 .03130 .02475 .02003 .01651 .01383 .01174
0.20 .42074 .22928 .14360 .09813 .07119 .05393 .04224 .03395 .02787 .02328 .01972 .01692
0.10 .46017 .26538 .17311 .12206 .09082 .07028 .05604 .04576 .03808 .03221 .02760 02392
0.00 .50000 .30409 .20613 .14974 .11413 .09012 .0731 1 .06061 .05113 .04375 .03790 .03318
\ й 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
X
0.00 .50000 .30409 .20613 .14974 .11413 .09012 .0731 1 .06061 .05113 .04375 .03790 .03318
0.10 .53983 .34504 .24251 .18121 .14133 .11377 .09384 .07893 .06744 .05838 .05111 .04516
0.20 .57926 .38780 .28201 .21642 .17250 .14144 .11853 .10109 .08744 .07654 .06768 .06036
0.30 .61791 .43187 32423 .25516 .20763 .17324 .14739 .12737 .11149 .09863 .08805 .07922
0.40 .65542 .47670 .36871 .29711 .24653 .20913 .18049 .15796 .13983 .12497 .11260 .10217
0.50 .69146 .52173 .41489 .34180 .28887 .24891 .21777 .19288 .17258 .15574 .14157 .12950
0.60 .72575 .56638 .46212 .38866 .33418 .29223 .25897 .23200 .20971 .19100 .17508 .16140
0.70 .75804 .61010 .50974 .43703 .38187 .33858 .30371 .27501 .25100 .23061 .21310 .19789
0.80 .78814 .65236 .55707 .48618 .43124 .38733 .35140 .32143 .29605 .27426 .25536 .23880
0.90 .81594 .69271 .60344 .53536 .48150 .43771 .40135 .37062 .34429 .32145 .30144 .28377
1.00 .84134 .73076 .64824 .58381 .53186 .48892 .45275 .42180 .39499 .37150 .35073 .33223
1.10 .86433 .76621 .69093 .63084 .58150 .54009 .50473 .47412 .44731 .42360 .40245 .38346
1.20 .88493 .79882 .73104 .67581 .62968 .59039 .55641 .52665 .50033 .47683 .45570 .43657
1.30 .90320 .82847 .76822 .71818 .67570 -.63902 .60691 .57849 .55310 .53024 .50951 .49062
1.40 .91924 .85509 .80223 .75753 .71900 .68529 .65545 .62876 .60471 .58286 .56291 .54458
354
«лица A. 13 (продолжение)
1 а о
Р = 1/3
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12
1 50 .93319
J.60 .94520
1.70 .95543
1 80 .9640?
1.90 .97128
2.00 .97725
2.10 .98214
2 20 .98610
2.30 .98928
2.40 .99180
2 50 .99379
2.60 .99534
2.70 .99653
2.80 .99744
2.90 .99813
3.00 .99865
3.10 .99903
3.20 .99931
3.30 .99951
3 40 .99966
3.50 .99977
.87873 .8329. .79354 .75912 .72863 .70134 .67670 .65430 .63380 .61493 .59748
.89946 .86026 .82604 .79573 .76858 .74403 .72166 .70115 .68224 .66471 .64841
.91743 .88431 .85497 .82866 .80484 .78310 .76312 .74466 .72752 .71153 .69656
.93283 .90518 .88036 .85785 .83727 .81831 .80076 .78441 .76913 .75479 .74129
.94588 .92307 .90235 .88336 .86583 .84956 .83437 .82013 .80674 .79409 .78213
.95681 .93821 .92114 .90533 .89062 .87686 .86392 85172 .84017 .82921 .81878
.96586 .95088 .93698 .92401 .91184 .90037 .88952 .87922 .86942 .86007 .85113
.97327 .96134 .95017 .93966 .92973 .92031 .91134 .90279 .89460 .88676 .87922
.97927 .96988 .96102 .95261 .94462 .93699 .92969 .92269 .91595 .90947 .90322
.98408 .97677 .96982 .96319 .95684 .95074 .94488 .93923 .93378 .92851 .92341
.98 789 .98226 .97688 .97171 .96673 .96193 .95729 .95280 .94845 .94423 .94012
.99088 .98659 98247 .97849 .97463 .97090 .96728 .96376 .96034 .95701 .95376
.99319 .98997 .98684 .98381 .98087 .97801 .97522 .97250 .96984 .96725 .96471
.99497 .99256 .99023 .98795 .98573 .98356 .98144 .97937 .97734 .97535 .97339
.99632 .99454 .99281 .99112 .98947 .98784 .98625 .98469 .98316 .98165 .98017
.99733 .99604 .99477 .99353 .99231 .99111 .98993 .98877 98763 .98650 .98540
.99808 .99715 .99623 .99533 .99444 .99357 .99270 .99185 .99101 .99018 .98937
.99863 .99797 .99731 .99666 .99602 .99539 .99477 .99415 .99354 .99294 .99234
.99904 .99857 .99810 .99764 .99718 .99673 .99629 .99585 .99541 .99498 .99455
.99933 .99900 99867 .99835 .99803 .99771 .99739 .99708 .99677 .99647 .99616
.99953 .99931 .99908 .99885 .99863 .99841 .99819 .99797 .99775 .99754 .99732
О = .У15
£123456789 10 11 12
3.50 .00023 .00000 .00000 .00000 .ооооо .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.10 .00097 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 ооооо .00000 .00000
3.00 .00135 .00004 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.90 .00187 .00006 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.80 .00256 .00010 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.70 .00347 .00016 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.60 .00466 .00025 .00004 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2 50 .00621 .00038 .00006 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.40 .00820 .00058 .00010 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.30 .01072 .00086 .00016 .00005 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2 20 .01390 .00128 .00025 .00008 .00003 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.Ю .01786 .00186 .00040 .00013 .00005 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
2.00 .02275 .00268 .00063 .00021 .00009 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000
1.90 .02872 .00381 .00096 .00034 .00015 .00008 .00004 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001
1.80 .03593 .00534 .00145 .00054 .00025 .00013 .00007 .00005 .00003 .00002 .00001 .00001
1.70 .04457 .00740 .00215 .00085 .00040 .00022 .00013 .00008 00005 .00004 .00003 .00002
1.60 .05480 .01013 .00315 .00130 .00064 .00036 .00022 .00014 .00009 .00007 .00005 .00004
355
Таблица А. 13 (продолжение)
f> = .375
1.50 .06681 .01369 .00455 .00197 .00101 .00058 .00036 .00024 .00016 .00012 .00009 .00007
1.40 .08076 .01828 .00647 .00293 .00155 .00091 .00058 .00039 .00028 .00020 .00015 00012
1.30 .09680 .02410 .00908 .00431 .00236 .00143 .00093 .00064 .00046 .00034 .00026 .00020
1.20 .11507 .03141 .01256 .00622 .00352 .00219 .00146 .00102 .00074 .00056 .00043 .00034
1.10 .13567 .04044 .01714 .00885 .Q0518 .00330 .00224 .00160 .00118 .00090 .00071 .00056
1.00 .15866 .05146 .02305 .01239 .00748 .00490 .00340 .00247 .00185 .00144 .00114 .00092
0.90 .18406 .06473 .03059 .01709 .01064 .00714 .00506 .00374 .00285 .00224 .00179 .00146
0.80 .21186 .08049 .04004 .02323 .01489 .01023 .00739 .00556 .00431 .00342 .00278 .00229
0.70 .24196 .09896 .05171 .03111 .02051 .01442 .01063 .00812 .00639 .00514 00422 .00352
0.60 .27425 .12032 .06591 .04106 .02783 .02000 .01502 .01166 .00930 .00758 .00629 .00530
0.50 .30854 .14470 .08292 .05342 .03717 ..02730 .02088 .01647 .01331 .01098 .00921 .00784
0.40 .34458 .17216 .10299 .06852 .04890 .03667 .02854 .02286 .01873 .01563 .01325 .01138
0.30 .38209 .20268 .12633 .08668 .06338 .04850 .03839 .03120 .02589 .02186 01872 01622
0.20 .42074 .23616 .15306 .10815 .08096 .06315 .05081 .04188 .03519 .03004 .02598 02272
0.10 .46017 .27242 .18323 .13315 .10193 .08100 .06620 .05531 .04704 .04058 .03544 03127
0.00 .50000 .31118 .21677 .16179 .12653 .10235 .08493 .07189 .06185 .05392 .04753 .04229
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.00 .50000 .31118 .21677 .16179 .12653 .10235 .08493 .07189 .06185 .05392 .04753 .04229
0 10 .53983 .35208 .25352 .19408 .15491 .12745 .10730 .09199 .08002 .07046 .06267 .05622
0.20 .57926 .39468 .29320 .22992 .18711 .15645 .13356 .11590 .10191 .09059 .08128 .07349
0.30 .61791 .43850 .33544 .26907 .22304 .18940 .16385 .14383 .12777 .11464 .10371 .09450
0.40 .65542 .48300 .37975 .31120 .26249 .22620 .19816 .17589 .15779 .14282 .13025 .11955
0.50 .69146 .52763 .42558 .35582 .30511 .26660 .23637 .21202 .19200 .17526 .16105 .14886
0.60 .72575 .57182 .47230 .40237 .35040 .31021 .27817 .25203 .23027 .21189 .19615 .18252
0.70 .75804 .61503 .51929 .45020 .39778 .35652 .32315 .29555 .27234 .25252 .23540 .22045
0.80 .78814 .65678 .56587 .49862 .44655 .40489 .37070 .34209 .31775 .29677 .27849 .26239
0.90 .81594 .69661 .61143 .54690 .49598 .45458 .42015 .39099 .36592 .34411 .32493 .30792
1.00 .84134 .73415 .65537 .59434 .54530 .50483 .47072 .44150 .41613 .39385 .3741 1 .35646
1.10 .86433 .76911 .69719 .64028 .59376 .55481 .52158 .49279 .46756 .44521 .42524 .40726
1.20 .88493 .80127 .73645 .68413 .64066 .60376 .57190 .54402 .51934 .49730 .47746 .45948
1.30 .90320 .83050 .77282 .72539 .68537 .65095 .62089 .59433 .57061 .54925 .52988 51221
1.40 .91924 .85676 .80608 .76367 .72736 .69574 .66783 .64293 .62051 .60017 .58159 .56453
1.50 .93319 .88007 .83610 .79868 .76622 .73761 .71211 .68914 .66829 .64924 .63172 .61554
1.60 .94520 .90053 .86284 .83028 .80166 .77616 .75321 .73237 .71330 .69575 .67951 .66442
1.70 .95543 .91827 .88636 .85840 .83352 .81113 .79079 .77217 .75501 .73912 .72431 .71048
1.80 .96407 .93348 .90679 .88309 .86177 .84239 .82464 .80826 .79306 .77889 76562 .75315
1.90 .97128 .94637 .92431 .90449 .88646 .86993 .85466 .84047 .82722 .81479 .80309 .79204
2.00 .97725 .95718 .93916 .92278 .90775 .8938s .88091 .86880 .85743 .84670 .83654 .82690
2.10 .98214 .96613 .95159 .93823 .92586 .91433 .90352 .89334 .88372 .87460 .86593 .85765
2.20 .98610 .97347 .96186 .95110 .94106 .93162 .92272 .91429 .90628 .89864 .89135 .88436
2.30 .98928 .97942 .97026 .96170 .95364 .94603 .93880 .93192 .92534 .91904 .91300 .90719
2.40 .99180 .98418 .97704 .97031 .96393 .95787 .95208 .94654 .94122 .93610 .93117 .92642
356
Табл И ца А.13
(продолжение)
о = .375
2.50 2 60 .99379 .98796 .98246 .97723 .97224 196747 .96290 .95850 .95425 .95016 .94620 .94236
.99534 .99093 .98673 .98271 .97886 .97516 .97159 .96815 .96481 .96158 .95844 .95539
2J0 .99653 .99322 .99006 .98701 .98407 .98124 .97849 .97583 .97324 .97072 .96827 .96588
2-80 .99744 .99499 .99263 .99034 .98813 .98598 .98389 .98186 .97988 .97795 .97606 .97422
250 99813 .99633 .99458 .99289 .99124 .98964 .98807 .98654 .98504 .98358 .98215 .98074
100 .99865 .99734 .99606 .99482 .99361 .99242 .99126 .99012 .98901 .98791 .98684 .98578
3 Ю .99903 .99809 .99717 .99626 .99538 .99451 .99366 .99283 .99201 .99120 .99041 .98962
3 20 .99931 .99864 .99798 .99733 .99670 .99607 .99545 .99485 .99425 .99366 .99308 .99251
3.30 .99952 .99904 .99857 .99811 .99766 .99721 .99677 .99634 .99591 .99549 .99507 .99466
3.40 .99966 .99933 .99900 .99868 .99836 .99805 .99773 .99743 .99712 .99682 .99652 .99623
3.50 .99977 .99954 .99931 .99908 .99886 .99864 .99843 .99821 .99800 .99778 .99758 .99737
f> = .400
2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112
3.50 .00023 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.10 .00097 .00003 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.00 .00135 .00005 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.90 .00187 .00007 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.80 .00256 .00012 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.70 .00347 .00018 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.60 .00466 .00028 .00004 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.50 .00621 .00043 .00007 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.40 .00820 .00065 .00012 .00004 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.30 .01072 .00096 .00020 .00006 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.20 .01390 .00141 .00031 .00010 .00004 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
2.10 .01786 .00204 .00048 .00017 .00007 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000
2.00 .02275 .00292 .00074 .00027 .00012 .00006 .00004 .00002 .00001 .00001 00001 .00001
1.90 .02872 .00413 .00112 .00043 .00020 .00011 .00006 .00004 .00003 .00002 00001 .00001
1.80 .03593 .00576 .00168 .00067 .00032 .00018 .00011 .00007 .00005 .00003 00002 .00002
1.70 .04457 .00794 .00247 .00103 .00052 .00029 .00018 .00012 .00008 .00006 .00004 .00003
1.60 .05480 .01081 .00358 .00157 .00081 .00047 .00030 .00020 .00014 .00010 .00008 .00006
1.50 .06681 .01454 .00513 .00234 .00125 .00075 .00048 .00033 00023 .00017 .00013 .00010
1.40 1.30 .08076 .01933 .00724 .00345 .00191 .00117 .00077 .00053 .00039 .00029 00022 .00018
.09680 .02538 .01007 .00500 .00285 .00179 .00120 .00085 .00062 .00047 .00037 .00029
1.20 .11507 .03294 .01382 .00714 .00420 .00270 .00185 .00133 .00099 .00076 .00060 .00049
1.10 1 00 0.90 0.80 0.70 0.60 .13567 04225 .01872 .01006 .00610 00401 .00281 .00205 .00155 .00121 .00097 .00079
.15866 .05356 .02500 .01394 .00870 .00587 .00418 .00311 .00239 .00189 .00152 .00125
.18406 .06714 .03295 .01906 .01223 .00843 .00612 .00463 .00361 .00288 .00235 .00195
• 21186 .08321 .04285 .02567 .01693 .01193 .00882 .00677 .00535 .00433 .00357 .00299
•24196 .10199 .05501 .03409 .02308 .01661 .01251 .00975 .00780 .00638 .00532 .00450
•27425 .12365 .06973 .04463 .03099 .02277 .01744 .01380 .01119 .00926 .00779 .00665
357
Таблица А. 13 (продолжение)
р = .400
0.50 30854 .14831 .08726 .05763 .04100 .03074
0.40 .34458 .17600 .10785 .07339 .05347 .04086
0.30 .38209 .20672 .13168 .09222 .06872 .05350
0.20 .42074 .24036 .15885 .11436 .08709 .06902
0.10 .46017 .27671 .18940 .13998 .10884 .08775
0.00 .50000 .31549 .22324 .16917 .13419 .10998
.02394 .01921 .01577 .01320 .01122 .00966
.03234 .02631 .02187 .01850 .01588 .01380
.04302 .03547 .02983 .02550 .02209 .01936
.05634 .04706 .04004 .03457 .03023 .02671
.07268 .06148 .05288 .04611 .04068 .03623
.09238 .07909 .06876 .06053 .05385 .04833
\ fi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X \
0.00 .50000 .31549 .22324 .16917 .13419 .10998 .09238 .07909 .06876 .06053 .05385 .04833
0.10 .53983 .35636 .26020 .20193 .16325 .13592 .11570 .10022 .08803 .07821 .07015 .06344
0.20 .57926 .39887 .29999 .23812 .19603 .16569 .14287 .12514 .11100 .09949 .08996 .08194
0.30 .61791 .44255 .34223 .27750 .23241 .19928 .17396 .15401. .13791 .12466 .11358 .10419
0.40 .65542 .48685 .38643 .31971 .27216 .23657 .20894 .18689 .16887 .15390 .14126 .13044
0.50 .69146 .53123 .43205 .36428 .31491 .27730 .24765 .22368 .20388 .18725 .17309 .16087
0.60 .72575 .57515 .47847 .41063 .36017 .32105 .28977 .26416 .24277 .22463 .20904 .19550
0.70 .75804 .61807 .52508 .45814 .40734 .36730 .33484 .30794 .28523 .26579 .24895 .23419
0.80 .78814 .65950 .57122 .50612 .45575 .41542 .38229 .35450 .33080 .31033 .29244 .27666
0.90 .81594 .69902 .61629 .55387 .50468 .46470 .43141 .40319 .37888 .35770 .33904 .32245
1.00 .84134 .73625 .65972 .60071 .55339 .51436 .48147 .45327 .42876 .40721 .38808 .37095
1.10 .86433 .77091 .70102 .64600 .60115 .56364 .53165 .50394 .47963 .45808 .43881 .42144
1.20 .88493 .80280 .73978 .68919 .64729 .61179 .58117 .55438 .53067 .50949 .49040 .47309
1.30 .90320 .83178 .77567 .72979 .69122 .65813 .62927 .60378 .58104 .56056 .54198 .52502
1.40 .91924 .85781 .80847 .76743 .73243 .70205 .67527 .65141 .62994 .61047 .59269 .57636
1.50 .93319 .88093 .83807 .80185 .77055 .74305 .71859 .69660 .67666 .65845 .64171 .62625
1.60 .94520 .90121 .86445 .83290 .80529 .78078 .75876 .73881 .72058 .70383 .68833 .67394
1.70 .95543 .91881 .88765 .86053 .83652 .81498 .79547 .77764 .76124 .74607 .73195 .71877
1.80 .96407 .93390 .90781 .88480 .86420 .84554 .82850 .81281 .79829 .78476 .77212 .76024
1.90 .97128 .94669 .92511 .90583 .88840 .87247 .85780 .84420 .83153 .81967 .80851 .79798
2.00 .97725 .95742 .93977 .92383 .90927 .89585 .88341 .87180 .86091 .85066 .84098 .83180
2.10 .98214 .96631 .95205 .93903 .92703 .91589 .90548 .89571 .88649 .87777 .86949 .86161
2.20 .98610 .97360 .96221 .95170 .94194 .93282 .92423 .91613 .90844 .90113 .89416 .88750
2.30 .98928 .97951 .97051 .96214 .95431 .94693 .93995 .93332 .92700 .92097 .91519 .90964
2.40 .99180 .98425 .97722 .97063 .96442 .95853 .95293 .94759 .94247 .93756 .93284 .92829
2.50 .99379 .98801 .98258 .97746 .97259 .96296 .96352 .95927 .95518 .95124 .94744 .94376
2.60 .99534 .99096 .98681 .98287 .97911 .97551 .97204 .96871 .96548 .96237 .95935 .95642
2.70 .99653 .99325 .99012 .98712 .98425 .98148 .97881 .97623 .97372 .97129 .96893 .96663
2.80 .99744 .99501 .99267 .99042 .98825 .98615 .9841'1 .98214 .98022 .97835 .97653 .97475
2.90 .99813 .99634 .99461 .99294 .99132 .98975 .98822 .98673 .98528 .98386 .98247 .98111
3.00 .99865 .99734 .99608 .99485 .99366 .99250 .99136 .99025 .98916 .98810 .98706 .98604
3.10 .99903 .99809 .99718 .99629 .99542 .99456 .99373 .99291 .99211 .99133 .99055 .9897^
3.20 .99931 .99864 .99799 .99735 .99672 .99610 .99550 .99491 .99432 .99375 .99318
3.30 .99952 .99904 .99858 .99812 .99768 .99724 .99680 .99638 .99596 .99554 .99513
3.40 .99966 .99933 .99901 .99869 .99837 .99806 .99775 .99745 .99715 .99686 .99656
3.50 .99977 .99954 .99931 .99909 .99887 .99865 .99844 .99822 .99801 99781 .99760
358
Таблица А.13
(продолжение)
/> = .500
3 50 .00023 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3 Ю .00097 .00005 .00001 .0(1000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.00 .00135 .00008 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.90 .00187 .00013 .00003 .00001 .00000 .00000 .ооооо .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.80 .00256 .00020 .00004 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2 70 .00347 .00030 .00007 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.60 .00466 .00045 .00011 .00004 .00002 .00001 00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.50 .00621 .00067 .00017 .00006 .00003 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
2.40 .00820 .00098 .00027 .00011 .00005 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000
2.30 .01072 .00143 .00041 .00017 .00009 .00005 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001
2.20 .01390 .00204 .00062 .00027 .00014 .00008 .00005 .00004 .00003 .00002 .00001 .00001
2.10 .01786 .00289 .00093 .00041 .00022 .00013 .00009 .00006 .00004 .00003 .00003 .00002
2.00 .02275 .00405 .00137 .00063 .00035 .00021 .00014 .00010 .00007 .00006 .00004 .00004
1.90 .02872 .00561 .00201 .00096 .00054 .00034 .00023 .00016 .00012 .00009 .00007 .00006
1.80 .03593 .00767 .00289 .00143 .00083 .00053 .00037 .00026 .00020 .00016 .00012 .00010
1.70 .04457 .01037 .00411 .00210 .00125 .00082 .00057 .00042 .00032 .00025 .00020 .00017
1.60 .05480 .01386 00576 .00305 .00185 .00124 .00088 .00066 .00051 .00040 .00033 .00027
1.50 .06681 .01832 .00799 .00436 .00272 .00185 .00133 .00101 .00079 .00063 .00052 .00043
1.40 .08076 .02394 .01093 .00616 .00393 .00272 00200 .00153 .00121 .00098 .00081 .00068
1.30 .09680 .03094 .01476 .00858 .00560 .00395 00294 .00228 .00182 .00149 .00124 .00105
1 20 .1 1507 .03955 .01970 .01179 .00788 00565 .00427 .00335 .00270 .00223 .00188 .00160
1.10 .13567 .04999 .02596 .01600 .01092 .00797 .00611 .00485 .00395 .00329 .00279 .00241
1.00 .15866 .06251 .03380 .02142 .01494 .01109 .00861 00692 .00570 .00479 .00410 .00355
0.90 .18406 .07734 .04347 .02832 .02015 .01521 01197 .00973 .00809 .00686 .00591 .00516
0 80 .21186 .09469 .05526 .03695 .02683 .02058 .01641 01348 .01133 .00969 .00841 .00739
0.70 .24196 .11472 .06941 .04762 .03525 .02746 .02218 .01842 .01562 .01348 .01179 .01043
0.60 .27425 .13757 .08619 .06060 (04570 .03614 .02957 .02481 .02124 .01847 .01627 .01449
0 50 .30854 .16332 .10580 .07617 .05850 .04694 03887 .03296 .02847 .02495 .02214 .01984
040 .34458 .19198 .12841 .09458 .07393 06017 .05041 .04318 .03762 .03323 .02969 .02677
0.30 .38209 .22349 .15414 .11606 .09227 07612 .06451 .05579 .04902 .04363 .03924 .03561
0.20 .42074 .25771 .18303 .14075 .11374 .09508 08147 .07113 .06302 .05650 .05115 .04668
0 10 .46017 .29442 .21503 .16873 .1 3850 .11727 .10156 .08948 .07991 .07215 .06574 .06034
0.00 .50000 .33333 .25000 .20000 .16667 .14286 .12500 .11111 .10000 .09091 .08333 .07692
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
ООО .50000 .33333 .25000 .20000 .16667 .14286 .12500 .111 11 .10000 .09091 08333 .07692
О ]0 .53983 .37408 .28772 .23446 .19823 .17192 .15 193 .13620 12350 .11302 .10422 .09673
0 2° .57926 .41623 .32788 .27192 23308 .20445 18240 .16487 .15058 .13869 .12863 .12000
О-30 61791 .45931 .37006 .31206 .27104 .24032 .21637 .19713 .18129 .16801 15669 .14692
*М0 .65542 .50282 .41379 .35450 .31177 27930 .25368 23287 21559 .20099 .18845 .17757
359
Таблица А. 13 (продолжение)
Р = .500
0.50 .69146 .54624 .45855 .39874 .35486 .32104 .29403 .27187 .25332 .23750 .22384 .21190
0.60 .72575 .58906 .50376 .44425 .39981 .36509 .33704 .31380 .29417 .27732 .26266 •24977
0.70 .75804 .63079 .54885 .49041 .44605 .41091 .38220 .35820 .33775 .32006 .30458 •29089
0.80 .78814 .67098 .59323 .53661 .49293 .45788 .42894 .40451 .38353 .36525 .34915 33483
0.90 .81594 .70922 .63638 .58224 .53983 .50536 .47660 .45211 .43090 .41231 .39582 •38107
1.00 .84134 .74520 .67778 .62670 .58608 .55267 .52450 .50030 .47920 .46056 .44394 •42898
1.10 .86433 .77866 .71701 .66944 .63107 .59913 .57195 .54839 .52770 .50930 .49279 47786
1.20 .88493 .80941 .75373 .71000 .67424 .64414 .61828 .59568 .57569 .55780 .54166 .52698
1.30 .90320 .83734 .78766 .74799 .71510 .68713 .66287 .64151 .62248 .60535 .58980 •57559
1.40 .91924 .86243 .81864 .78309 .75326 .72763 .70519 .68529 .66744 .65127 .63652 .62297
1.50 .93319 .88471 .84656 .81513 .78843 .76525 .74480 .72652 .71001 .69498 .68119 .66847
1.60 .94520 .90427 .87143 .84398 .82040 .79973 .78134 .76479 .74975 .73598 .72328 .71151
1.70 .95543 .92124 .89331 .86964 .84908 .83090 .81459 79982 .78631 .77388 .76236 .75163
1.80 .96407 .93581 .91233 .89218 .87448 .85870 .84444 .83144 81948 .80841 .7981 1 .78848
1.90 .97128 .94817 .92867 .91172 .89669 .88317 .87087 .85958 .84914 .83943 .83036 .82183
2.00 .97725 .95855 .94253 .92845 .91585 .90442 .89395 .88429 .87531 .86691 .85902 .85159
2.10 .98214 .96717 .95416 .94260 .93217 .92264 .91385 .90569 .89806 .89090 .88415 .87776
2.20 .98610 .97424 .96380 .95443 .94590 .93805 .93077 .92397 .91758 .91156 .90586 .90045
2.30 .98928 .97998 .97169 .96419 .95730 .95092 .94497 .93938 .9341 1 .92911 .92437 .91984
2.40 .99180 .98459 .97809 .97215 .96665 .96153 .95673 .95220 .94790 .94382 .93992 .93619
2.50 .99379 .98825 .98321 .97856 .97423 .97017 .96635 .96272 .95927 .95597 .95282 .94979
2.60 .99534 .99113 .98726 .98366 .98030 .97712 .97411 .97125 .9685 1 .96588 .96337 .96094
2.70 .99653 .99336 .99043 .98768 .98509 .98264 .98030 .97807 .97592 .97386 .97188 .96996
2.80 .99744 .99509 .99288 .99081 .98884 .98697 .98517 .98345 .98180 .98020 .97865 .97716
2.90 .99813 .99640 .99476 .99321 .99173 .99032 .98896 .98765 .98639 .98517 .98398 .98283
3.00 .99865 .99738 .99618 .99504 .99394 .99288 .99187 .99089 .98994 .98901 .98812 .98724
3.10 .99903 .99812 .99724 .99641 .99560 .99483 .99408 .99335 .99264 .99195 .99128 .99063
3.20 .99931 .99866 .99803 .99743 .99684 .99628 .99573 .99520 .99468 .99417 .99367 .99319
3.30 .99952 .99905 .99861 .99817 .99776 .99735 .99695 .99657 .99619 .99582 .99546 .99511
3.40 .99966 .99934 .99902 .99872 .99842 .99813 .99785 .99757 .99730 .99704 .99678 .99652
3.50 .99977 .99954 .99932 .9991 1 .99890 .99870 .99850 .99830 .99811 .99792 .99774 .99756
Р = .600
3.50 .00023 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00004 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00006 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .06000
3.10 .00097 .00009 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.00 .00135 .00014 .00004 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
2.90 .00187 .00021 .00006 .00003 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .ооооо .ооооо
2.80 .00256 .00032 .00010 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000
2.70 .00347 .00047 .00015 .00007 .00004 .00002 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001
2.60 .00466 .00069 .00023 .00011 .00006 .00004 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001
.00000
.ООООО
.00000
.00000
.ооооо
.00000
.(>0000
.ооооо
.00000
.00001
360
Таблица А. 13 (продолжение)
р -- .600
\ с 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 и 12
-X \
2.50 .00621 .00101 .00035 .00017 .00010 .00006 .00004 .00003 .00002 .00002 .00002 .00001
2.40 .00820 .00145 .00053 .00026 .00016 .00010 .00007 .00005 .00004 .00003 .00003 .00002
2.30 .01072 .00206 .00078 .00040 .00024 .00016 .00012 .00009 .00007 .00005 .00004 .00004
2.20 .01390 .00289 .00115 .00060 .00037 .00025 .00018 .00014 .0001 1 .00009 .00007 .00006
2.10 .01786 .00401 .00166 .00090 .00056 .00039 .00028 .00022 .00017 00014 .00012 .00010
2.00 .02275 .00550 .00237 .00132 .00084 .00059 .00044 .00034 .00027 .00022 .00019 .00016
1.90 .02872 .00 747 .00335 .00191 .00124 .00088 .00066 .00052 .00042 .00035 .00029 .00025
1.80 .03593 .01003 .00468 .00274 .00182 .00131 .00099 .00078 .00064 ,00053 .00045 .00039
1.70 .04457 .01333 .00645 .00387 .00262 .00191 .00147 .00117 .00096 .00081 .00069 .00060
1.60 .05480 .01753 .00880 .00541 .00372 .00275 .00214 .00172 .00143 .00121 .00104 .00091
1.50 .06681 .02279 .01186 .00747 .00523 .00392 .00308 .00251 .00209 .00178 .00154 .00135
1.40 .08076 .02933 .01581 .01018 .00725 .00551 .00438 .00359 .00302 .00259 .00226 .00199
1.30 .09680 .03736 .02082 .01372 .00994 .00765 .00614 .00509 .00431 .00372 .00326 .00290
1.20 .11507 .04708 .02711 .01826 .01345 .01049 .00851 .00711 .00607 .00528 00465 .00415
1.10 .13567 -.05873 .03492 .02403 .01798 .01420 .01164 .00981 .00844 00738 .00655 .00587
1.00 .15866 .07253 .04447 .03125 .02375 .01898 .01572 .01336 .01158 .01019 .00909 .00819
0.90 .18406 .08866 .05601 .04017 .03099 .02507 .02096 .01796 .01568 .01389 .01246 .01128
0.80 .21186 .10731 .06978 .05104 .03996 .03271 .02761 .02385 .02097 .01869 .01685 .01533
0.70 ,24196 .12863 .08600 .06412 .05093 .04216 .03593 .03128 .02769 .02483 .02250 .02057
0.60 .27425 .15270 .10488 .07965 .06416 .05370 .04618 .04052 .03610 .03256 .02966 .02724
0.50 .30854 .17956 .12657 .09786 .07989 .06759 .05864 .05184 .04649 .04217 .03862 .03563
0.40 .34458 .20919 .15118 .11893 .09837 .08410 .07360 .06553 .05915 .05395 .04965 .04602
0.30 .38209 .24150 .17876 .14299 .11978 .10344 .09128 .08187 .07434 .06819 .06305 .05869
0.20 .42074 .27631 .20927 .17012 .14425 .12580 .11192 .10107 .09233 .08514 .07910 .07394
0.10 .46017 .31338 .24262 .20030 .17186 .15130 .13567 .12334 .11334 .10505 .09804 .09204
0.00 .50000 .35242 .27862 .23345 .20259 .17999 .16263 .14882 .13753 .12810 .12009 .11320
\ с 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12
х
0.00 .50000 .35242 .27862 .23345 .20259 .17999 .16263 .14882 .13753 .12810 .12009 .11320
0.10 .53983 .39304 .31701 .26941 .23636 .21185 .19282 .17756 .16499 .15442 .14540 .13759
0.20 .57926 .43482 .35742 .30790 .27297 .24674 .22618 .20954 .19573 .18406 .17404 .16532
0.30 .61791 .47732 .39946 .34859 .31214 .28445 .26252 .24463 .22969 .21698 .20600 .19639
0.40 .65542 .52003 .44266 .39105 .35352 .32466 .30160 .28263 .26668 .25302 .24116 .23073
0.50 .69146 .56248 .48650 .43480 .39665 .36699 .34305 .32321 .30641 .29194 .27930 .26815
0 60 .72575 .60419 .53046 .47931 .44104 ,41094 .38644 .36596 .34851 .33339 .32012 .30835
0.70 .75804 .64470 .57400 .52403 .48612 .45599 .43123 .41039 .39251 .37693 .36319 .35095
0.80 .78814 .68360 .61660 .56840 .53133 .50155 .47688 .45595 .43788 .42204 .40801 .39545
0 90 .81594 .72054 .65780 .61187 .57608 .54704 .52277 .50204 .48402 .46815 .45402 .44131
1.00 .84134 .75521 .69715 .65392 .61982 .59186 .56830 .54804 .53032 .51463 .50059 .48791
1.10 .86433 .78740 .73429 .69410 .66202 .63545 .61289 .59334 .57616 .56086 .54710 .53462
1.20 .88493 .81694 .76893 .73203 .70222 .67730 .65598 .63738 .62093 .60621 .59291 .58080
1.30 .90320 84376 .80085 .76739 .74004 .71697 .69707 .67961 .66407 .65010 .63743 .62584
1.40 .91924 .86782 .82993 .79994 .77516 .75408 .73576 .71958 .70510 .69202 .68010 .66916
361
Таблица А.13 (продолжение)
р = .600
1.50 .93319 .88918 .85610 .82955 .80739 .78836 .77171 .75691 .74361 .73152 .72046 .71027 .74876
1.60 .94520 .90793 .87938 .85616 .83658 .81963 .80469 .79133 .77926 .76825 .75813
1.70 .95543 .92420 .89984 .87979 .86269 .84778 .83455 .82266 .81185 .80194 .79281 .78432
1.80 .96407 .93817 .91763 .90050 .88577 .87282 .86125 .85079 .84124 .83245 .82431 .81673
1.90 .97128 .95004 .93291 .91846 .90591 .89481 .88482 .87574 .86742 .85972 .85256 .84587
2.00 .97725 .96000 .94588 .93383 .92328 .91387 .90536 .89759 .89042 .88377 .87756 .87173
2.10 .98213 .96828 .95677 .94684 .93808 .93020 .92304 .91647 .91038 .90470 .89938 .89438
2.20 .98610 .97508 .96580 .95772 .95052 .94402 .93807 .93258 .92747 .92269 .91820 .91396
2.30 .98928 .98061 .97321 .96671 .96087 .95556 .95068 .94615 .94192 .93795 .93421 .93066
2.40 .99180 .98505 .97922 .97405 .96937 .96509 .96114 .95745 .95399 .95073 .94765 .94472
2.50 .99379. .98859 .98405 .97998 .97628 .97287 .96970 .96673 .96394 .96130 .95880 .95641
2.60 .99534 .99137 .98787 .98471 .98181 .97913 .97662 .97427 .97204 .96993 .96792 .96600
2.70 .99653 .99354 .99087 .98844 .98620 .98411 .98216 .98031 .97856 .97689 .97530 .97378
2.80 .99744 .99521 .99319 .99135 .98964 .98803 .98652 .98509 .98373 .98243 .98119 .97999
2.90 .99813 .99648 .99498 .99359 .99230 .99108 .98993 .98884 .98779 .98679 .98583 .98490
3.00 .99865 .99744 .99633 .99530 .99433 .99342 .99255 .99173 .99094 .99017 .98944 .98873
3.10 .99903 .99816 .99735 .99659 .99588 .99520 .99455 .99394 .99334 .99277 .99222 .99169
3.20 .99931 .99868 .99810 .99755 .99703 .99653 .99606 .99560 .99516 .99474 .99433 .99393
3.30 .99952 .99907 .99865 .99826 .99788 .99752 .99718 .99685 .99652 .99621 .99591 .99562
3.40 .99966 .99935 .99905 .99877 .99851 .99825 .99800 .99776 .99753 .99730 .99708 .99687
3.50 .99977 .99955 .99934 .99915 .99896 .99877 .99860 .99843 .99826 .99810 .99794 .99779
Р = .625
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3.50 .00023 .00002 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00004 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00007 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.10 .00097 .00010 .00003 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо
3.00 .00135 .00016 .00005 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
2.90 Q0187 .00024 .00008 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
2.80 .00256 .00036 .00012 .00006 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000
2.70 .00347 .00053 .00018 .00009 .00005 .00003 .00002 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001
2.60 .00466 .00077 .00028 .00014 .00008 .00005 .00004 .00003 .00002 .00002 .00001 .00001
2.50 .00621 .00111 .00042 .00021 .00013 .00009 .00006 .00005 .00004 .00003 .00002 .00002
2.40 .00820 .00159 .00062 .00032 .00020 .00013 .00010 .00007 .00006 .00005 .00004 .00003
2.30 .01072 .00224 .00091 .00049 .00031 .00021 .00015 .00012 .00009 .00008 .00006 .00005
2.20 .01390 .00314 .00132 .00073 .00046 .00032 .00024 .00019 .00015 .00012 .00010 .00009
2.10 .01786 .00433 .00190 .00107 .00070 .00049 .00037 .00029 .00023 .00019 .00016 .00014
2.00 .02275 .00592 .00269 .00156 .00103 .00074 .00056 .00044 .00036 .00030 .00026 .00022
1.90 .02872 .00801 .00378 .00224 .00151 .00109 .00084 .00067 .00055 .00046 .00040 .00034
1.80 .03593 .01071 .00524 .00318 .00217 .00160 .00124 .00100 .00083 .00070 .00060 .00053
1.70 .04457 .01417 .00718 .00446 .00310 .00231 .00181 .00147 .00123 .00104 .00090 .00079
1.60 .05480 .01855 .00973 .00618 .00437 .00330 .00261 .00214 .00180 .00154 .00134 .00118
362
С ица А. 13 (продолжение)
р = .625
2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12
1.50 .06681 .02404 .01303 .00846 .00607 .004 6 5 .00372 .00307 .00260 .00224 .00196 .00174
1 40 .08076 .03083 .01725 01144 .00835 .00647 .00523 .00436 .00371 .00322’ .00284 .00253
1.30 .09680 .03912 02259 01530 .01134 .00890 .00726 .00610 .00523 .00457 .00405 .00362
1 20 .11507 .04914 .02926 .02023 01522 .01208 .00995 .00843 .00728 .00640 .00570 .00512
1 10 .13567 .06111 .03748 .0264 3 .02018 .01620 .01348 .01150 .01001 .00885 .00792 .00716
1.00 .15866 .07523 .04748 .03414 .02644 .02148 .01803 .01551 .01358 .01208 .01086 .00987
0.90 .18406 .09171 .05951 .04361 03425 .02812 .02382 .02065 .01821 .01628 .01472 01343
0.80 .21186 .11070 .07380 .05507 .04 3 85 .03640 .03110 .02716 02410 .02167 01969 .01805
0.70 .24196 .13234 .09056 06879 .05550 .04655 .04013 .03529 .03152 .02850 .02602 .02395
0 60 .27425 .15672 .10997 .08499 .06945 .05886 05116 .04532 .04072 .03702 .03396 .03140
0.50 .30854 .18387 .13219 .10387 08595 .07357 .06447 .05751 .05199 .04751 .04379 .04065
0.40 .34458 .21375 .15730 .12561 .10521 .09092 .08032 .07212 .06559 .06024 .05578 .05200
0.30 .38209 .24626 .18534 .15031 .12739 .11112 .09893 .08942 08178 .07549 .07021 .06572
0.20 .42074 .28122 .21625 .17803 .15260 .1 3432 .12049 .10961 10080 .09350 .08734 .08207
0.10 46017 .31838 .24993 .20875 .18089 .16063 .14514 .13285 .12283 .11448 .10740 .10131
0.00 .50000 .35745 .28618 .24234 .21224 .19007 .17295 .15926 .14802 .13860 .13056 .12362
2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12
0.00 .50000 .35745 .28618 .24234 .21224 .19007 .17295 .15926 .14802 .13860 .13056 .12362
0.10 .53983 .39804 .32471 .27864 .24651 .22257 .20391 .18886 .17643 .16594 .15694 .14913
0.20 .57926 .43974 .36518 .31736 .28351 .25800 .23792 .22160 .20803 .19651 .18658 .17791
0.30 .61791 .48208 .40717 .35815 .32294 .29610 .27479 .25733 .24271 .23023 .21942 .20994
0 40 .65542 .54259 .45021 .40059 .36443 .33656 .31423 .29580 .28027 .26693 .25532 .24510
0.50 .69146 .56680 .49381 .44419 .40753 .37897 .35587 .33668 .32040 .30634 .29404 .28316
0 60 .72575 .60822 .53744 .48843 .45173 .42283 139927 .37954 .36270 .34808 .33523 .32381
0.70 .75804 .64842 .58058 .53276 .49649 .46763 .44390 .42389 .40670 .39170 .37845 .36663
0.80 .78814 .68699 .62273 .57665 .54124 .51280 .48921 .46918 .45187 .43669 .42321 .41114
0.90 .81594 .72359 .66343 .61956 .58543 .55775 .53460 .51482 .49762 .48246 .46894 .45677
1.00 .84134 .75792 .70225 .66100 .62852 .60192 .57950 .56022 .54336 .52842 .51503 .50294
1.10 .86433 .78978 .73886 .70053 .67000 .64477 .62334 .60479 .58847 .57394 .56087 .54902
1.20 .88493 .81901 .77297 .73779 .70945 .68581 .66560 .64798 .63240 .61846 .60586 .59439
1.30 .90320 .84552 .80438 .77248 .74650 .72463 .70580 .68929 .67461 .66141 .64943 .63848
1.40 .91924 .86931 .83296 .80438 .78086 .76089 .74357 .72829 .71464 .70231 .69107 .68076
1.50 .93319 .89043 .85868 .83337 .81233 .79433 .77861 .76465 .75212 .74074 .73034 .72076
1.60 .94520 .90896 .88154 .85941 .84082 .82479 .81069 .79811 .78675 .77640 .76690 .75811
1.70 .95543 .92504 .90164 .88250 .86628 .85218 .83970 .82851 .81835 .80905 .80048 .79253
1.80 .96407 .93885 .91909 .90275 .88877 .87652 .86561 .85577 .84680 .83856 .83093 .82383
1.90 .97128 .95057 .93409 .92029 .90838 .89788 .88846 .87992 .87211 .86489 .85819 .85194
2 00 .97725 .96042 .94682 .93531 .92529 .91639 .90836 .90105 .89432 .88809 .88228 .87684
2.10 .98214 .96860 .95751 .94802 .93968 .93223 .92548 .91929 .91358 .90826 .90329 .89862
2.20 .98610 .97533 .96637 .95864 .95180 .94563 .94002 .93485 .93006 .92558 .92138 .91742
2.30 .98928 .98080 .97365 .96742 .96186 .95683 .95222 .94796 .94399 .94027 .93676 .93345
2.40 .99180 .98519 .97956 .97459 .97014 .96608 .96234 .95886 .95562 .95256 .94968 .94694
363
Таблица А. 13 (продолжение)
р = .625
\ I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X \
2.50 .99379 .98869 .98429 .98039 .97686 .97362 .97062 .96783 .96520 .96273 .96038 .95815
2.60 .99534 .99145 .98805 .98501 .98224 .97969 .97732 .97510 .97301 .97103 .96914 .96735
2.70 .99653 .99359 .99100 .98866 .98652 .98453 .98268 .98093 .97929 .97772 .97623 .97480
2.80 .99744 .99525 .99329 .99151 98987 .98834 .98691 .98556 .98427 .98305 .98188 .98076
2.90 .99813 .9965 1 .99505 .99371 .99247 .99130 .99021 .98917 .98819 .98724 .98634 .98547
3.00 .99865 99746 .99638 .99538 .99445 .99358 .99276 .99197 .99122 .99050 .98981 .98915
3.10 .99903 .99817 .99738 .99665 .99596 .99531 .99470 .99411 .99355 .99301 .99249 .99199
3.20 .99931 .99869 .99812 .99759 .99709 .99661 .99616 .99572 .99531 .99491 .99452 .99414
3.30 .99952 99908 99867 .99828 .99792 .99758 .99725 .99693 .99662 .99633 .99604 .99577
3.40 .99966 .99935 .99906 .99879 .99853 .99828 .99805 .99782 .99760 .99738 .99718 .99697
3.50 .99977 .99955 .99935 .99916 .99897 .99880 .99863 .99847 .99831 .99815 .99801 .99786
Р = 2/3
I 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Л 12
3.50 .00023 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 00000 .00000 .00(100 .00000 .00000
3.30 .00048 .00005 .00002 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 00000 .00000 ооооо
3.20 .00069 .00008 .00003 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 00000 00000
3.10 .00097 .00013 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 ООООО
3.00 .00135 .00020 .00007 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00000 ооооо .ооооо
2.90 .00187 .00029 .00010 .00005 .00003 .00002 00002 .00001 00001 .00001 .00001 ооооо
2.80 .00256 .00 043 .00016 .00008 .00005 .00003 .00002 .00002 .00001 .00001 00001 .00001
2 70 .00347 .00063 .00024 .00013 .00008 .00005 .00004 00003 .00002 .00002 .00002 .00001
2.60 .00466 .00091 .00037 .00020 00013 .00009 .00006 .00005 .00004 .00003 .00003 .00002
2.50 .00621 .00131 .00055 .00030 .00019 .00014 .00010 .00008 .00006 .00005 .00004 .00004
2.40 .00820 .00185 .00080 .00045 .00030 .00021 .00016 .00012 .00010 .00008 .00007 .00006
2 30 .01072 .00259 .00116 .00067 .00044 .00032 .00024 .00019 .00016 000)3 .00011 ОО010
2.20 .01390 .00360 .00167 .00099 .00066 .00048 .00037 .00030 00025 .00021 .00018 00016
2.10 .01786 .00493 .00236 .00143 .00098 .00072 .00056 .00045 .00038 00032 .00028 .00024
2.00 .02275 .00669 .00331 .00204 .00142 .00106 .00083 .00068 .00057 .00048 .00042 00037
1.90 .02872 .00897 .00459 .00289 .00204 .’00154 .00122 .00100 .00085 .00073 .00063 .00056
1.80 .03593 .01192 .00630 .00405 .00290 .00222 .00177 .00147 .00124 .00107 00094 .00084
1 70 .04457 .01567 .00854 .00560 .00407 .00315 .00254 .00212 .00181 .00157 .00139 00124
1.60 .054 80 .02039 .01144 .00765 .00564 .00441 00360 .00302 .00259 .00227 .00201 .00180
I 50 .06681 .02626 .01517 .01035 .00773 .00611 .00503 .004 25 00368 .00323 .00288 00259
1.40 08076 .03347 .01990 .01383 .01047 .00837 .00694 .00592 .00515 .00455 .00407 .00368
1.30 .09680 .04224 .02581 .01827 .01402 .01133 .00948 .00813 .00712 .00632 00569 005)6
1.20 .11507 .05277 .03313 .02387 01856 .01515 .01278 .01105 .00973 .00869 .00785 00716
1.10 .13567 06528 04208 .03085 .02430 02003 .01704 .01483 .01313 01179 .01070 .00980
1 00 15866 .07997 05287 .0394 3 03145 02618 .02245 .01967 .01752 .01581 .01441 01325
0 90 18406 .09702 .06575 04985 .04025 .03383 .02924 .02579 .02310 .02095 .01919 01771
0.80 21186 11659 .08092 .06234 .05094 .04323 .03765 .03342 .03011 .02744 .02523 02338
0 70 .24196 .13880 09859 .07715 .06378 .05462 .04 793 .04282 .03878 .03551 .03280 03051
0.60 .27425 .16371 .11892 .09448 .07899 .06825 .06033 .054$4 .04939 .04543 .04214 .03935
3G4
Таблица
А. 13 {продолжение)
Р = 2/3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
-х
0.50 .30854 .19134 .14203 .11451 .09679 .08436 .07510 .06793 .06218 .05746 .05351 .05015
0.40 .34458 .22163 .16797 .13737 .11736 .10315 .09248 .08413 .07741 .07185 .06718 .06319
о.зо .38209 .25448 .19677 .16314 .14082 .12479 .11264 .10307 .09530 .08885 .08340 .07871
0.20 .42074 .28970 .22835 .19185 .16727 .14941 .13575 .12491 .11605 .10866 .10238 .09696
0.10 .46017 .32702 .26257 .22343 .19669 .17705 .16189 .14977 .13981 .13145 .12431 .118)2
0.00 .50000 .36614 .29921 .25775 .22902 .20769 .19109 .17771 .16665 .15732 .14931 .14234
\ « 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
х
0.00 .50000 .36614 .29921 .25775 .22902 .20769 .19109 17771 .16665 .15732 .14931 .14234
0.10 .53983 .40668 .33798 .29459 .26411 .24124 .22328 .20871 .19659 .18630 .17744 .16969
0.20 .57926 .44822 .37852 .33366 .30173 .27751 .25833 .24266 .22955 .21837 .20868 .20018
0.30 .61791 .49031 .42041 .37459 .34154 .31622 .29601 .27937 .26537 .25336 .24292 .23372
0.40 .65542 .53248 .46319 .41696 .38317 .35703 .33599 .31856 .30380 .29108 .27996 .27014
0.50 .69146 .57426 .50637 .46027 .42616 .39950 .37788 .35985 .34449 .33119 .31952 .30916
0 60 .72575 .61520 .54944 .504 03 .47001 .44317 .42123 .40281 .38704 .37331 .36121 .35043
0.70 .75804 .65487 .59190 .54770 .51418 .48750 .46551 .44694 .43095 .41697 .40459 .39351
0.80 .78814 .69288 .63328 .59076 .55815 .53194 .51020 .49171 .47570 .46164 .44913 .43790
0.90 .81594 .72890 .67313 .63272 .60137 .57596 .55471 .53654 .52072 .50676 .49429 .48305
1.00 .84134 .76266 .71106 .6731 1 .64335 .61900 .59851 .58087 .56544 .55175 .53948 .52839
1.10 .86433 .79394 .74676 .71154 .68362 .66059 .64106 .62416 .60929 .59605 .58414 .57332
1.20 .88493 .82263 .77996 .74766 .72179 .70026 .68189 .66590 .65176 .63911 .62769 .61728
1.30 .90320 .84863 .81049 .78122 .75753 .73766 .72059 .70565 .69237 .68044 .66963 .65974
1 40 .91924 .87196 .83824 .81202 .79059 .77248 .75681 .74302 .73072 .71961 .70950 .70023
1.50 .93319 .89264 .86317 .83997 .82081 .80450 .79030 .77774 .76647 .75626 .74693 .73835
1.60 .94520 .91079 .88533 .86502 .84810 .83359 .82088 .80957 .79939 .79012 .78163 .77378
1.70 .95543 .92654 .90478 .88722 .87246 .85971 .84847 .83842 .82933 .82102 .81338 .80630
1.80 .96407 .94006 .92168 .90667 .89394 .88287 .87305 .86423 .85621 .84886 .84207 .83577
1.90 .97128 .95154 .93618 .9 2350 .91266 .90316 .89469 .88704 .88006 .87363 .86768 .86213
2.00 .97725 .96119 .94849 .93790 .92877 .92072 .91350 .90695 .90095 .89541 .89025 .88543
2.10 .98213 .96920 .95883 .95009 .94249 .93574 .92967 .92413 .91903 .91430 .90990 .90576
2.20 .98610 .97579 .96741 .96027 .95402 .94844 .94339 .93876 .93448 .93050 .92678 .92328
2.30 .98928 .98115 .97445 .96869 .96361 .95905 .95489 .95107 .94753 .94422 .94112 .93819
2.40 .99180 .98546 .98016 .97557 .97149 .96780 .96443 .96131 .95841 .95570 .95314 .95072
2.50 .99379 .98889 .98475 .98113 .97789 .97494 .97224 .96973 .96738 .96518 .96310 .96113
2.60 .99534 .99159 .98839 .98557 .98302 .98070 .97855 .97656 .97468 .97292 97125 .96966
2.70 .99653 .99370 .99125 .98907 .98710 .98529 .98361 .98203 .98056 -97916 .97783 .97657
2.80 .99744 .99532 .99347 .99181 .99029 .98890 .98760 .98638 .98522 .98413 .98309 .98210
2.90 .99813 .99656 .99517 .99392 .99277 .99171 .99071 .98978 .98889 .98805 .98724 .98647
3.00 .99865 .99750 .99647 .9 9554 .99467 .99387 .99312 .99241 .99173 .99109 .99047 .98988
3.10 .99903 .99819 .99744 .99675 .99612 .99552 .99496 .99442 .99391 .99343 .99296 .99252
3.20 .99931 .99871 .99816 .99766 .99720 .99676 .99634 .99595 .99557 .99521 .99486 .99452
з.зо 99952 .99909 .99870 .99833 .99800 .99768 .99737 .99708 .99681 .99654 .99628 .99603
3.40 .99966 .99936 .99908 .99883 .99858 .99835 .99813 .99792 .99772 .99753 .99734 .99716
3.50 .99977 .99956 .99936 .99918 .99901 .99884 .99869 .99854 .99839 .99825 .99812 .99799
365
Таблица А.13 (продолжение)
/> * .700
cl 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
3.50 .00023 .00003 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо 00000
3.40 .00034 .00004 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .ооооо Ооооо
3.30 .00048 .00007 .00002 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .0001)0 ООООО
3.20 .00069 .00010 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .ооооо •0000(>
3.10 .00097 .00015 .00006 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .000011
3.00 .00135 .00023 .00009 .00005 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00001 .001)01
2.90 .00187 .00034 .00014 .00007 .00005 .00003 .00002 .00002 .00001 .00001 .00001 .01)001
2.80 .00256 .00050 .00021 .00011 .00007 .00005 .00004 .00003 .00002 .00002 .00002 .00(10]
2.70 .00347 .00073 .00031 .00017 .00011 .00008 .00006 .00005 .00004 .ооооз .00003 .00002
2.60 .00466 .00105 .00046 .00026 .00017 .00013 .00010 .00008 .00006 .00005 .00005 .00004
2.50 .00621 .00149 .00067 .00040 .00027 .00019 .00015 .00012 .00010 .00008 .00007 .00006
2.40 .00820 .00209 .00098 .00059 .00040 .00029 .00023 .00019 .00015 .00013 .00011 .00010
2.30 .01072 .00291 .00141 .00086 .00059 .00044 .00035 .00028 .00024 .00020 .0001 8 .00016
2.20 .01390 .00401 .00200 .00124 .00087 .00066 .00052 .00043 .00036 .00031 .00027 .00024
2.10 .01786 .00546 .00280 .00178 .00127 .00096 .00077 .00064 .00054 .00047 .00041 .00036
2.00 .02275 .00736 .00389 .00252 .00182 .00140 .00113 .00094 .00080 .00070 .00061 .00055
1.90 .02872 .00983 .00535 .00353 .00258 .00201 .00163 .00137 .00117 .00102 .00091 .00081
1.80 .03593 .01298 .00727 .00488 .00361 .00284 .00233 .00197 .00170 .00149 .00133 00119
1.70 .04457 .01698 .00977 .00668 .00501 .00398 .00329 .00279 .00243 .00214 .00191 .00171
1.60 .05480 .02198 .01300 .00904 .00687 .00551 .00459 .00392 .00343 .00304 .00273 00248
1.50 .06681 .02817 .01710 .01210 .00930 .00754 .00633 .00545 .00478 .00426 .00384 00350
1.40 .08076 .03574 .02226 .01601 .01247 .01020 .00863 .00748 .00660 .00591 .005.35 .00489
1.30 .09680 .04490 .02867 .02097 .01652 .01364 .01163 .01014 .00900 .00810 .00737 .00676
1.20 .11507 .05586 .03654 .02716 .02165 .01804 .01549 .01360 .01213 .01097 .01002 .00923
1.10 .13567 .06882 .04610 .03480 .02806 .02359 .02041 .01802 .01616 .01468 .01346 .01245
1.00 .15866 .08398 .05756 .04412 .03598 .03051 .02658 .02362 .02129 .01942 .01788 .01659
0.90 .18406 .10151 .07114 .05534 .04563 .03903 .03424 .03060 .02773 .02541 .02349 .02187
0.80 .21186 .12156 .08705 .06871 .05725 .04939 .04363 .03921 .03571 .03287 .03050 .02850
0.70 .24196 .14423 .10547 .08442 .07109 .06182 .05498 .04969 .04548 .04203 .03915 .03671
0.60 .27425 .16958 .12654 .10268 .08734 .07656 .06853 .06229 .05728 .05316 .04970 .04676
0.50 .30854 .19760 .15037 .12364 .10621 .09383 .08453 .07725 .07136 .06650 .06240 .05889
0.40 .34458 .22824 .17700 .14741 .12784 .11380 .10316 .09477 .08795 .08229 .07749 .07337
0.30 .38209 .26137 .20641 .17404 .15235 .13662 .12460 .11505 .10725 .10073 .09519 .09040
0.20 .42074 .29679 .23852 .20354 .17977 .16237 .14895 .13822 .12941 .12201 .11569 .11021
0.10 .46017 .33425 .27316 .23580 .21009 .19106 .17628 .16438 .15455 .14625 .13913 ,13293
0.00 .50000 .37341 .31011 .27069 .24319 .22265 .20656 .19353 .18269 .17351 .16559 .15868
2 34 56789 10 11
0.00 .50000 .37341 .31011 .27069 .24319
0.10 .53983 .41390 .34906 .30794 .27891
0.20 .57926 .45531 .38964 .34727 .31697
0.30 .61791 .49720 .43144 .38828 .35705
0.40 .65542 .53909 .47400 .43056 .39875
.22265 .20656 .19353 .18269 .17351 .16559 15S6S
.25700 .23971 .22561 .21382 .20378 .19509 18747
.29389 .27554 .26048 .24782 .23698 .22756 21927
.33304 .31380 .29790 .28448 .27293 .26285 2539.
.37407 .35414 .33758 .32352 .31137 30072 -291-»
366
Таблица А. 13 (продолжение)
р = .700
\ с 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X \
0.50 .69146 .58053 .51682 .47362 .44161 .41655 .39617 .37913 .36458 .35196 .34085 .33096
0.60 .72575 .62107 .55943 .51695 .48513. .45999 .43941 .42209 .40724 .39428 .38283 .37261
0.70 .75804 .66030 .60133 .56006 .52880 .50389 .48335 .46598 .45099 .43786 .42622 .41579
0.80 .78814 .69785 .64206 .60244 .57210 .54772 .52747 .51025 .49532 .48218 .47049 .45997
0.90 .81594 .73339 .68121 .64361 .61451 .59093 .57122 .55436 .53967 .52669 .51509 .50463
1.00 .84134 .76667 .71842 .683)5 .65557 .63304 .61409 .59778 .58350 .57084 .55948 .54920
1.10 .86433 .79749 .75336 .72067 .69484 .67358 .65557 -63999 .62629 .61409 .60310 .59313
1.20 .88493 .82572 .78582 .75586 .73196 .71213 .69523 .68053 .66755 .65593 .64544 .63588
1.30 :9О32О .85130 .81563 .78849 .76663 .74836 .73269 .71899 .70684 .69592 .68602 .67698
1.40 .91924 .87422 .84269 .81839 .79863 .78200 .76765 .75504 .74380 .73366 .72444 .71599
1.50 .93319 .89455 .86698 .84547 .82783 .81287 .79988 .78841 .77815 .76885 .76037 .75257
1.60 .94520 .91238 .88854 .86972 .85415 .84085 .82924 .81894 .80968 .80126 .79355 .78644
1.70 .95543 .92785 .90746 .89119 .87760 .86592 .85567 .84652 .83827 .83074 .82382 .81742
1.80 .96407 .94112 .92388 .90997 .89826 .88812 .87917 .87115 .86388 .85723 .85110 .84541
1.90 .97128 .95239 .93798 .92622 .91624 .90754 .89982 .89288 .88656 .88075 .87538 .87039
2.00 .97725 .96186 .94994 .94011 .93170 .92433 .91776 .91181 .90638 .90138 .89673 .89240
2.10 .98214 .96973 .95998 .95186 .94486 .93868 .93315 .92812 .92351 .91925 .91528 .91157
2.20 .98610 .97620 .96831 .96167 .95591 .95080 .94620 .94200 .93813 .93454 .93120 .92806
2.30 .98928 .98146 .97515 .96979 .96510 .96092 .95713 .95367 .95046 .94748 .94469 .94207
2.40 .99180 .98569 .98070 .97642 .97265 .96927 .96619 .96336 .96074 .95829 .95599 .95383
2.50 .99379 .98907 .98515 .98177 .97878 .97608 .97361 .97132 .96920 .96722 .96535 .96358
2.60 .99534 .99172 .98869 .98605 .98370 .98156 .97960 .97779 .97609 .97450 .97300 .97157
2.70 .99653 .99379 .99147 .98943 .98760 .98594 .98440 .98297 .98163 .98037 .97918 .97804
2.80 .99744 .99539 .99363 .99208 .99067 .98938 .98819 .98708 .98603 .98505 .9841 1 .98322
2.90 .99813 .99661 .99529 .99412 .99305 .99207 .99115 .99030 .98949 .98873 .98800 .98731
3.00 .99865 .99753 .99655 .99567 .99487 .99413 .99344 .99279 .99217 199159 .99103 .99050
3.10 .99903 .99822 .99750 .99685 .99626 .99570 .99519 .99470 .99423 .99379 .99337 .99297
3.20 .99931 .99873 .99821 .99773 .99729 .99489 .99650 .99614 .99580 .99547 .99515 .99485
3.30 .99952 .99910 .99872 .99838 .99806 .99777 .99749 .99722 .99697 .99672 .99649 .99627
3.40 .99966 .99937 .99910 .99886 .99863 .99842 .99821 .99802 .99783 .99766 .99749 .99732
3.50 .99977 .99956 .99937 .99920 .99904 .99889 .99874 .99860 .99847 .99834 .99822 .99810
Р = .750
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 II 12
3.50 .00023 .00004 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00006 .00002 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.30 .00048 .00009 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000
3.20 .00069 .00013 .00006 .00003 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00001 .00001 .00000
3.10 .00097 .00020 .00009 .00005 .00003 .00002 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00001
3.00 .00135 .00029 .00013 .00008 .00005 .00004 .00003 .00002 .00002 .00002 .00001 .00001
2.90 .00187 .00043 .00020 .00012 .00008 .00006 .00005 .00004 .00003 .00003 .00002 .00002
2.80 .00256 .00062 .00029 .00018 .00012 .00009 .00007 .00006 .00005 .00004 .00004 .00003
2.70 .00347 .00090 .00043 .00027 .00019 .00014 .00011 .00009 .00008 .00007 .00006 .00005
2.60 .00466 .00128 .00063 .00040 .00028 .00021 .00017 .00014 .00012 .00010 .00009 .00008
367
Таблица А. 13 (продолжение)
р = .750
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.50 .00621 .00179 .00092 .00059 .00042 .00032 .00026 .00022 .00018 .00016 .00014 00013
2.40 .00820 .00 250 .00131 .00085 .00062 .00048 .00039 .00033 .00028 .00024 .00022 00019
2.30 .01072 .00 345 .00186 .00123 .00090 .00070 .00057 .00048 .00042 .00037 .00033 .00029
2.20 01390 .00470 .00260 .00174 .00129 .00102 .00084 .00071 .00062 .00055 .00049 .00044
2.10 .01786 .00636 .00360 .00245 .00184 .00147 .00122 .00104 .00090 .00080 .00072 .00065
2.00 .02275 .00850 .00494 .00342 .00259 .00209 .00174 .00149 .00131 .00116 .00105 •00095
1.90 .02872 .01125 .00670 .00471 .00361 .00293 .00246 .00213 .00187 .00167 .00151 .00138
1.80 .03593 .01475 .00899 .00641 .00498 .00407 .00345 .00299 .00264 .00237 .00215 .00197
1.70 .04457 .01914 .01193 .00864 .00678 .00559 .00477 .00416 .00370 .00333 .00303 .00279
1.60 .05480 .02460 .01569 .01153 .00914 .00760 .00652 .00572 .00511 .00462 .00422 .00390
1.50 .06681 .03130 .02041 .01521 .01219 .01021 .00882 .00778 .00698 .00634 .00582 .00538
1.40 .08076 .03945 .02627 .01987 .01608 .01358 .01180 .01047 .00943 .00860 .00792 .00735
1.30 .09680 .04924 .03349 .02567 .02099 .01786 .01562 .01393 .01261 .01155 .01067 00993
1.20 .11507 .06088 .04226 .03283 .02711 .02325 .02046 .01834 .01667 .01533 .01421 .01327
1.10 .13567 .07455 .05280 .04156 .03464 .02993 .02650 .02388 .02180 .02012 .01872 .01753
1.00 .15866 .09046 .06532 .05207 .04382 .03814 .03396 .03076 .02821 .02612 .02439 .02291
0.90 .18406 .10874 .08002 .06459 .05485 .04808 .04 307 .03920 .03610 .03356 .03143 .02962
0.80 .21186 .12954 .09709 .07933 .06797 .06000 .05406 .04943 .04571 .04 265 04007 .03787
0.70 .24196 .15293 .11668 .09647 .08338 .07411 .06715 .06169 .05728 .05363 .05055 .04790
0.60 .27425 .17896 .13891 .11618 .10127 .09062 .08255 .07620 .07103 .06674 .06309 .05996
0.50 .30854 .20761 .16386 .13859 .12181 .10970 .10047 .09315 .08718 .08218 .07794 .07427
0.40 .34458 .23878 .19153 .16375 .14509 .13150 .12107 .11274 .10591 .10018 .09528 .09104
0.30 .38209 .27235 .22187 .19170 .17118 .15611 .14445 .13510 .12738 .12088 .11531 .11046
0.20 .42074 .30809 .25478 .22237 .20008 .18356 .17069 .16031 .15170 .14441 .13814 .13267
0.10 .46017 .34575 .29006 .25565 .23172 .21382 .19979 .18840 .17891 .17084 .16388 .15777
0.00 .50000 .38497 .32746 .29135 .26594 .24679 .23167 .21932 .20899 .20017 .19252 .18580
\ » 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
0.00 .50000 .38497 .32746 .29135 .26594 .24679 .23167 .21932 .20899 .20017 .19252 .18580
0.10 .53983 .42540 .36666 .32920 .30255 .28229 .26618 .25296 .24184 .23231 .22402 .21671
0.20 .57926 .46661 .40728 .36886 .34)23 .32005 .30310 .28912 .27730 .26712 .25824 .25038
0.30 .61791 .50817 .44891 .40995 .38164 .35976 .34214 .32752 .31510 .30437 .29497 .28663
0.40 .65542 .54963 .49109 .45204 .42336 .40103 .38292 .36781 .35493 .34375 .33392 .32517
0.50 .69146 .59053 .53335 .49465 .46594 .44341 .42502 .40960 .39639 .38489 .37473 .36567
0.60 .72575 .6 3 046 .57522 .53731 .50890 .48642 .46798 .45242 .43904 .42734 .41698 .40770
0.70 .75804 .66901 .61623 .57951 .55172 .52958 .51129 .49579 .48239 .4.7063 .46018 .45080
0.80 .78814 .70583 .65597 .62080 .59394 .57236 .55444 .53918 .52593 .51426 .50385 .49447
0.90 .81594 .74062 .69403 .66074 .63506 .61430 .59694 .58208 .56914 .55769 .54744 .53819
1.00 .84134 .77315 .73009 .69892 .67467 .65491 .63830 .62401 .61151 .60041 .59045 .58143
1.10 .86433 .80322 .76387 .73503 .71237 .69379 .67808 .66451 .65258 .64195 .63238 .62369
1.20 .88493 .83074 .79516 .76877 .74786 .73059 .71590 .70315 .69190 .68185 .67276 .66449
1.30 .90320 .85564 .82383 .79995 .78087 .76500 .75144 .73961 .72912 .71972 .71120 .70342
1.40 .91924 .87794 .84981 .82845 .81123 .79682 .78444 .77359 .76393 .75525 .74735 .74012
368
। а б л и u a A. 13 (продолжение)
1 70 .95543 .93001 .91180 .89751 .88571 .87564 .86686 .85905 .85204 .84566 83981 .83440
1’вО .96407 .94289 .92748 .91525 .90508 .89636 .88870 .88187 .87571 .87009 .86492 .86014
1 90 .97128 .95382 .94092 .93058 .92191 .91443 .90784 .90194 .89659 .89169 .88718 .88299
2 00 .97725 .96300 .95231 .94367 .93637 .93003 .92442 .91937 .91478 .91057 .90668 .90306
2.10 .98214 .97063 .96187 .95472 .94864 .94334 .93861 .93435 .93046 .92688 .92356 .92046
2'20 .98610 .97690 .96980 .96396 .95895 .95456 .95063 .94707 .94381 .94080 .93800 .93538
2.30 . 98928 . 98200 . 97631 .97158 .96751 .96391 .96068 . 95774 . 95504 . 95254 .95021 .94803
2.40 .99180 .98610 .98160 .97781 .97453 .97162 .96899 .96660 .96439 .96233 .96042 .95862
2.50 .99379 .98938 .98584 .98285 .98023 .97790 .97579 .97386 .97207 .97041 .96885 96738
260 .99534 .99195 .98921 .98687 .98481 .98297 .98129 .97975 .97832 .97698 .97573 .97455
2.70 .99653 .99396 .99185 .99004 .98844 .98700 .98568 .98447 .98334 98228 98128 98034
2.80 .99744 .99551 .99391 .99253 .99129 .99018 .98916 .98821 .98733 .98650 .98572 .98497
2.90 .99813 .99670 .99549 .99445 .99351 .99265 .99187 .99114 .99046 .98982 .98921 .98863
3.00 .99865 .99759 .99670 .99591 .99521 .99456 .99397 .99341 .99289 .99240 .99193 .99140
3.10 .99903 .99826 .99760 .99702 .99650 .99601 .99557 .99515 .99476 .99438 .99403 .99369
3.20 .99931 .99876 .99828 .99785 .99746 .99711 .99678 .99647 99617 .99589 .99563 .99538
3.30 .99952 .99912 .99877 .99847 .99818 .99792 .99768 .99745 .99723 .99703 .99683 99664
3.40 .99966 .99938 .99914 .99892 .99871 .99852 .99835 .99818 .99802 .99787 .99773 .99759
3.50 .99977 .99957 .99940 .99924 .99910 .99896 .99883 .99871 .99860 .99849 .99839 .99829
0 = .800
3.50 .00023 .00005 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00000 .00000 .00000 .00000 .00000
3.40 .00034 .00008 .00004 .00002 .00001 .00001 .00001 00001 .00001 .00001 .00000 .00000
3.30 .00048 .00011 .00005 .00003 .00002 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 00001 .00001
3.20 .00069 .00017 .00008 .00005 .00004 00003 .00002 .00002 .00002 .00001 .00001 .00001
3.10 .00097 .00025 .00013 .00008 .00006 .00004 .00004 .00003 .00003 .00002 .00002 .00002
3.00 .00135 .00037 .00019 .00012 .00009 .00007 .00006 .00005 .00004 .00004 .00003 .00003
2.90 .00187 .00054 .00028 .00018 .00013 .00011 .00009 .00007 .00006 .00006 .00005 .00004
2.80 .00256 .00078 .00042 .00028 .00020 .00016 .00013 .00011 .00010 .00009 .00008 .00007
2.70 .00347 .00110 .00060 .00041 .00030 .00024 .00020 .00017 .00015 .00013 .00012 .00011
2.60 .00466 .00156 .00087 .00059 .00045 .00036 .00030 0OO25 .00022 .00020 .00018 .00016
2 50 .00621 .00217 .00124 .00086 .00065 .00052 .00044 .00038 .00033 .00030 .00027 .00024
2.40 .00820 .00299 .00175 .00122 .00094 .00076 .00064 .00056 .00049 .00044 .00040 .00037
2.30 .01072 .00409 .00244 .00173 .00134 .00110 .00093 .00081 .00072 .00064 .00059 .00054
2.20 .01390 .00553 .00337 .00242 .00190 .00156 .00133 .00116 .00104 .00094 .00085 .00079
2 10 .01786 .00741 .00461 .00336 .00265 .00220 .00189 .00166 .00148 .00134 .00123 .00113
2.00 .02275 .00983 .00624 .004 60 .00367 .00307 .00264 .00233 .00209 .00190 .00175 .00162
1.90 .02872 .01290 .00836 .00624 .00502 .00423 .00367 .00325 .00293 .00267 .00246 .00228
1.80 .03593 .01678 .01109 .00838 .00680 .00576 .00503 .00448 .00405 .00370 .00342 .00319
1 70 .04457 .02162 .01455 .01114 .00912 .00778 .00682 .00610 .00554 .00509 .00471 .00440
1.60 .05480 .02758 .0)891 .01465 .01209 .01039 .00916 .00823 .00750 .00691 .00642 .00601
36'
Таблица А. 13 (продолжение)
р = .800
1.50 .06681 .03486 .02434 .01907 .01588 .01373 .01217 01098 .01005 .00929 .00866 .00813
1.40 .08076 .04363 .03101 .02458 .02064 .01796 .01600 .01450 .01332 .01235 .01155 •01087
1.30 .09680 .05411 .03913 .03136 .02655 .02325 .02082 .01896 .01747 .01626 .01524 01438
1.20 .11507 .06648 .04890 .03962 .03381 .02979 .02682 .02452 .02268 .02117 .01990 •01882
1.10 .13567 .08093 .06052 .04957 .04263 .03779 .03419 .03139 .02914 .02728 .02572 .02439
1.00 .15866 .09764 .07419 .06141 .05322 .04746 .04315 .03978 .03705 .03480 .03290 .03127
0.90 .18406 .11673 .09010 .07535 .06580 .05902 .05391 .04990 .04664 .04394 .04165 .03968
0.80 .21186 .13833 .10841 .09158 .08056 .07267 .06669 .06197 .05813 .05492 .05219 .04984
0.70 .24196 .16250 .12925 .11025 .09768 .08862 .08170 .07621 .07172 .06796 .06475 06198
0.60 .27425 .18926 .15271 .13151 .11733 .10703 .09912 .09281 .08762 .08326 .07954 •07630
0.50 .30854 .21856 .17883 .15543 .13962 .12804 .11910 .11193 .10601 .10102 09674 .09301
0.40 .34458 .25031 .20758 .18205 .16462 .15176 .14177 .13371 .12704 .12139 .11652 .11227
0.30 .38209 .28434 <23890 .21134 .19234 .17822 .16718 .15824 .15079 .14447 .13901 .13423
0.20 .42074 .32042 .27262 .24321 .22274 .20740 .19535 .18553 .17733 .17034 .16428 .15895
0.10 .46017 .35828 .30854 .27750 .25569 .23923 .22621 .21556 .20663 .19898 19234 18649
0.00 .50000 .39758 .34638 .31399 .29100 .27354 .25965 .24823 .23861 .23034 .22314 .21678
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.00 .50000 .39758 .34638 .31399 .29100 .27354 .25965 .24823 .23861 .23034 .22314 .21678
0.10 .53983 .43794 .38580 .35238 .32844 .31011 29545 .28335 .27311 .26428 .25657 24973
0.20 .57926 .47894 .42643 .39232 .36766 .34866 .33337 .32068 .30990 .30059 .29242 .28516
0.30 .61791 .52016 .46785 .43342 .40831 .38882 .37305 .35990 .34870 .33898 .33042 .32281
0.40 .65542 .56115 .50960 .47524 .44995 .43019 .41411 .40065 .38913 .37910 .37025 .36235
0.50 .69146 .60149 .55124 .51732 .49214 .47233 .45613 .44250 .43079 .42057 .41151 .40342
0.60 .72575 .64075 .59230 .55920 .53440 .51477 .49862 .48498 .47322 .46292 .45377 .44556
0.70 .75804 .67858 .63236 .60040 .57626 .55702 .54112 .52763 .51594 .50568 .49653 .4883 1
0.80 .78814 .71462 .67102 .64051 .61727 .59863 .58314 .56994 .55847 .54836 .53933 .53119
0.90 .81594 .74861 .70792 .67911 .65698 .63912 .62421 .61145 .60032 .59047 .58166 .57369
1.00 .84134 .78033 .74275 .71585 .69502 .6781 1 .66391 .65171 .64103 .63156 .62305 .615 34
1.10 .86433 .80960 .77528 .75044 .73105 .71521 .70185 .69032 .68019 .67117 .66306 .65568
1.20 .884 9 3 .83634 .80534 .78264 .76480 .75012 .73769 .72692 .71742 .70894 .70129 .69432
1.30 .90320 .86051 .83279 .81229 .79605 .78261 .77117 .76122 .75242 .74454 .73740 .731189
1.40 .91924 .88212 .85761 .83930 .82467 .81251 .80210 .79302 .78495 .77770 .77113 .7651)
1.50 .93319 .90124 .87981 .86362 .85060 .83971 .83035 .82215 .81484 .80826 .80227 .79677
1.60 .94520 .91798 .89943 .88529 .87383 .86419 .85587 .84854 .84199 .83608 .83069 825 73
1.70 .95543 .93249 .91661 .904 3 8 .89440 .88597 .87865 .87218 .86638 .86113 .85633 .85191
1.80 .96407 .94492 .93147 .92102 .91243 .90512 .89876 .89312 .88804 .88343 .87921 .87530
1.90 .97128 .95547 .94420 .93536 .92805 .92179 .91632 .91145 .90706 .90306 .89938 .89598
2.00 .97725 ..96432 .95498 .94759 .94143 .93614 .93149 .92733 .92357 .92014 .91698 .91404
2.10 .98214 .97168 .96402 .95790 .95277 .94834 .94443 .94093 .93775 .93483 .93214 .92964
2.20 .98610 .97772 .97151 .96650 .96227 .95861 .95536 .95244 .94978 .94733 .94507 .94296
2.30 .98928 .98264 .97765 .97359 .97015 .96715 .96448 .96207 .95987 .95785 95597 .95421
2.40 .99180 .98660 .98263 .97939 .97661 .97418 .97201 .97005 .96825 .96659 .96504 .96360
370
Таблица А. 13 (продолжение)
р = .800
2.50 .99379 .98975 .98663 .98406 .98185 .97991 .97816 .97658 .97512 .97378 .97252 .97135
2.60 .99534 .99223 .98981 .98780 .98605 .98451 .98313 .98186 .98070 .97962 .97861 .97767
2.70 .99653 .99417 .99231 .99074 .98939 .98818 .98709 .98610 .98518 .98432 .98352 .98277
2.80 .99744 .99567 .99425 .99305 .99200 .99107 .99022 .98945 .98873 .98806 .98743 .98684
2.90 .99813 .99681 .99574 .99483 .99403 .99332 .99267 .99207 .99151 .99099 .99051 .99004
3.00 .99865 .99767 .99688 .99619 .99559 .99505 .99456 .99410 .99367 .99328 .99290 .99255
3.10 .99903 .99832 .99773 .99723 .99678 .99637 .99600 .99565 .99533 .99503 .99475 .99448
3.20 .99931 .99880 .99837 .99800 .99767 .99736 .99709 .99683 .99659 .99637 .99615 .99595
3.30 .99952 .99915 .99884 .99857 .99833 .99811 .99790 .99771 .99754 .99737 .99721 .99706
3.40 .99966 .99940 .99918 .99899 .99881 .99865 .99850 .99837 .99824 .99811 .99800 .99789
3.50 .99977 .99958 .99943 .99929 .99916 .99905 .99894 .99884 .99875 .99866 .99858 .99850
р = .875
Г ' " " ”
3.50 .00023 .00008 .00004 .00003 .00002 .00002 .00002 .00001 .00001 .00001 .00001 .00001
3:40 .00034 .00012 .00007 .00005 .00004 .00003 .00003 .00002 .00002 .00002 .00002 .00002
3.30 .00048 .00017 .00010 .00007 .00006 .00005 .00004 .00004 .00003 .00003 .00003 .00002
3.20 .00069 .00026 .00015 .00011 .00009 .00007 .00006 .00006 .00005 .00004 .00004 .00004
3.10 .00097 .00037 .00023 .00017 .00013 .00011 .00010 .00008 .00008 .00007 .00006 .00006
3.00 .00135 .00054 .00034 .00025 .00020 .00017 .00014 .00013 .00012 .00011 .00010 .00009
2.90 .00187 .00077 .00049 .00036 .00029 .00025 .00021 .00019 .00017 .00016 .00015 .00014
2.80 .00256 .00109 .00070 .00053 .00043 .00036 .00032 .00028 .00026 .00024 .00022 .00020
2.70 .00347 .00152 .00100 .00076 .00062 .00053 .00046 .00041 .00038 .00035 .00032 .00030
2.60 .00466 .00211 .00141 .00108 .00088 .00076 .00067 .00060 .00055 .00051 .00047 .00044
2 50 .00621 .00290 .00196 .00151 .00125 .00108 .00096 .00086 .00079 .00073 .00068 .00064
2.40 .00820 .00395 .00271 .00211 .00176 .00152 .00135 .00122 .00112 .00104 .00097 .00092
2.30 .01072 .00533 .00370 .00291 .00244 .00212 .00190 .00172 .00158 .00147 .00138 .00130
2.20 .01390 .00711 .00502 .00398 .00336 .00294 .00263 .00240 .00221 .00206 .00194 .00183
2.10 .01786 .00941 .00673 .00539 .00457 .00402 .00361 .00330 .00306 .00286 .00269 .00255
2.00 .02275 .01232 .00893 .00722 .00616 .00544 .00491 .00451 .00418 .00392 .00370 .00351
1.90 .02872 .01599 .01175 .00957 .00823 .00730 .00662 .00609 .00567 .00532 .00503 .00478
1.80 .03593 .02056 .01531 .01258 .01087 .00969 .00882 .00814 .00760 .00715 .00677 .00645
1.70 .0445 7 .02619 .01975 .01637 .01423 .01275 .01164 .01078 .01009 .00951 .00903 .00862
1.60 .05480 .03305 .02525 .02109 .01845 .01660 .01522 .01413 .01326 .01253 .01192 .01139
1.50 .06681 .04132 .03197 .02692 .02369 .02141 .01970 .01835 .01726 .01635 .01558 .01492
1.40 .08076 .05120 .04010 .03404 .03012 .02734 .02525 .02359 .02225 .02113 .02017 .01935
1.30 .09680 .06288 .04984 .04263 .03794 .03459 .03205 .03004 .02840 .02703 .02586 .02485
1.20 .11507 .07653 .06138 .05290 .04734 .04335 .04030 .03788 .03590 .03424 .03283 .03160
1 10 .13567 .09232 .07491 .06504 .05852 .05381 .05020 .04732 .04496 .04297 .04127 .03979
1.00 • 15866 .11040 .09059 .07924 .07167 .06617 .06194 .05856 .05577 .05342 .05140 .04964
0.9О .18406 .13089 .10859 .09566 .08698 .08063 .07572 .07179 .06853 .06578 .06341 .06134
0.80 .21186 .15386 .12902 .11446 .10460 .09735 .09173 .08719 .08343 .08024 .07749 .07509
0 70 24196 .17935 .15198 .13574 .12467 .11649 .11010 .10494 .10064 .09699 .09383 .09107
0.60 .27425 20734 .17749 .15959 .14729 .13814 .13098 .12516 .12031 .11617 .11259 .10944
371
Таблица А. 13 (продолжение)
р = .875
10 11 12
0.50 .30854 .23775 .20554 .18602 .17250 .16239 .15444 .14796 .14253 .13790 .13387 .13033
0.40 .34458 .27046 .23607 .21500 .20030 .18925 .18051 .17337 .16737 .16224 .15777 .15382
0.30 .38209 .30527 .26894 .24644 .23063 .21867 .20919 .20140 .19484 .18921 .18430 17996
0.20 .42074 .34194 .30396 .28018 .26336 .25057 .24038 .23198 .22489 .21878 .21344 .20872
0.10 .46017 .38015 .34086 .31601 .29830 .28476 .27393 .26498 .25739 .25084 .24511 .24001
0.00 .50000 .41957 .37935 .35365 .33521 .32104 .30965 .30020 .29218 .28523 .27913 .27370
\ с 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
.V \
0.00 .50000 .41957 .37935 .35365 .33521 .32104 .30965 .30020 .29218 .28523 .27913 .27370
0.10 .53983 .45981 .41908 .39278 .37378 .35910 .34726 .337.40 .32900 .32171 .31529 .30958
0.20 .57926 .50046 .45963 .43301 .41365 .39861 .38643 .37625 .36755 .35999 .35332 .34736
0.30 .61791 .54109 .50061 .47395 .45442 .43918 .42679 .41639 .40749 .39972 .39286 .38671
0.40 .65542 .58130 .54157 .51516 .49568 .48040 .46792 .45742 .44840 .44052 .43353 .42727
0.50 .69146 .62068 .58210 .55620 .53697 .52182 .50939 .49891 .48987 .48195 .47491 .46860
0.60 .72575 .65883 .62176 .59664 .57787 .56300 .55076 .54039 .53144 .52357 .51656 .51027
0.70 .75804 .69542 .66017 .63606 .61793 .60350 .59157 .58144 .57266 .56493 .55803 .55182
0.80 .78814 .73015 .69698 .67409 .65676 .64291 .63141 .62161 .61309 .60558 .59886 .59280
0.90 .81594 .76276 .73189 .71038 .69400 .68084 .66987 .66050 .65233 .64511 .63864 .63278
1.00 .84134 .79309 .76464 .74465 .72933 .71696 .70662 .69775 .69000 .68313 .67696 .67137
1.10 .86433 .82099 .79505 .77667 .76249 .75099 .74134 .73304 .72576 .71930 .71348 .70821
1.20 .88493 .84639 .82299 .80626 .79328 .78271 .77380 .76611 .75936 .75334 .74792 .74299
1.30 .90320 .86928 .84839 .83333 .82157 .81195 .80381 .79677 .79057 .78503 .78003 *77548
1.40 .91924 .88969 .87124 .85782 .84729 .83863 .83128 .82490 .81926 .81422 .80966 .80550
1.50 .93319 .90771 .89158 .87975 .87041 .86270 .85613 .85041 .84535 .84081 .83669 .83293
1.60 .94520 .92345 .90949 .89918 .89099 .88419 .87839 .87332 .86882 .86477 .86110 .85773
1.70 .95543 .93705 .92511 .91621 .90910 .90318 .89810 .89365 .88970 .88613 .88289 .87991
1.80 .96407 .94870 .93858 .93098 .92488 .91977 .91538 .91152 .90808 .90497 .90213 .89953
1.90 .97128 .95856 .95007 .94366 .93847 .93412 .93036 .92704 .92408 .92140 .91895 .91670
2.00 .97725 .96682 .95978 .95442 .95006 .94639 .94320 .94039 .93787 .93558 .93349 .93156
2.10 .98214 .97368 .96790 .96346 .95984 .95677 .95410 .95174 .94962 .94769 .94592 .94428
2.20 .98610 .97930 .97461 .97098 .96800 .96546 .96325 .96129 .95952 .95791 .95643 .95506
2.30 .98928 .98388 .98010 .97716 .97474 .97267 .97085 .96924 .96778 .96645 .96523 .96409
2.40 .99180 .98756 .98455 .98220 .98024 .97857 .97710 .97578 .97460 .97351 .97251 .97158
2.50 .99379 .99048 .98812 .98625 .98469 .98335 .98217 .98112 .98016 .97928 .97847 .97772
2.60 .99534 .99279 .99095 .98948 .98825 .98719 .98626 .98542 .98465 .98395 .98330 .98270
2.70 .99653 .99459 .99317 .99203 .99107 .99024 .98951 .98884 .98824 .98769 .98717 .98669
2.80 .99744 .99598 .99489 .99402 .99328 .99264 .99206 .99155 .99108 .99064 .99024 .98986
2.90 .99813 .99704 .99622 .99555 .99499 .99450 .99406 .99366 .99329 .99296 .99265 .99235
3.00 .99865 .99784 .99722 .99673 .99630 .99593 .99559 .99529 .99501 .99475 .99451 .99429
3.10 .99903 .99844 .99798 .99761 .99729 .99701 .99676 .99653 .99632 .99613 .99595 .99578
3.20 .99931 .99888 .99855 .99828 .99804 .99783 .99764 .99747 .99732 .99717 .99703 .99691
3.30 .99952 .99921 .99897 .99877 .99859 .99844 .99830 .99818 .99806 .99795 .99785 .99776
3.40 .99966 .99944 .99927 .99913 .99900 .99889 .99879 .99870 .99861 .99853 .99846 .99839
3.50 .99977 .99961 .99949 .99939 .99930 .99922 .99915 .99908 .99902 .99896 .99891 .99886
372
Таблица А. 13 (продолжение)
Р = 900
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3.50 .00023 .00009 .00006 .00004 .00003 .00003 .00002 .00002 .00002 .00002 .00002 .00002
3.40 .00034 .00014 .00009 .00006 .00005 .00004 .00004 .00003 .00003 .00003 .00003 .00002
3.30 .00048 .00020 .00013 .00010 .00008 .00007 .00006 .00005 .00005 .00004 .00004 .00004
3.20 .00069 .00029 .00019 .00014 .00012 .00010 .00009 .00008 .00007 .00007 .00006 .00006
3.10 .00097 .00043 .00028 .00021 .00018 .00015 .00013 .00012 .00011 .00010 .00009 .00009
3.00 .00135 .00061 .00041 .00031 .00026 .00022 .00020 .00018 .00016 .00015 .00014 .00013
2.90 .00187 .00087 .00059 .00046 .00038 .00033 .00029 .00026 .00024 .00023 .00021 .00020
2.80 .00256 .00122 .00084 .00066 .00055 .00048 .00043 .00039 .00036 .00033 .00031 .00029
2.70 .00347 .00170 .00119 .00094 .00079 .00069 .00062 .00056 .00052 .00048 .00045 .00043
2.60 .00466 .00235 .00166 .00132 .00112 .00098 .00088 .00080 .00074 .00069 .00065 .00062
2.50 .00621 .00322 .00230 -00184 .00157 .00138 .00124 .00114 .00106 .00099 .00093 .00088
2.40 .00820 .00436 .00315 .00255 .00218 .00193 .00174 .00160 .00149 .00140 .00132 .00125
2.30 .01072 .00585 .00428 .00349 .00300 .00266 .00242 .00223 .00208 .00195 .00185 .00176
2.20 .01390 .00778 .00576 .00473 .00409 .00365 .00332 .00307 .00287 .00270 .00256 .00244
2.10 .01786 .01024 .00768 .00635 .00552 .00494 .00452 .00418 .00392 .00370 .00351 .00335
2.00 .02275 .01336 .01013 .00844 .00738 .00663 .00608 .00565 .00530 .00501 .00477 .00456
1.90 .02872 .01727 .01325 .01111 .00976 .00882 .00811 .00755 .00710 .00673 .00642 .00615
1.80 .03593 .02211 .01715 .01450 .01280 .01160 .01071 .01000 .00943 .00895 .00855 .00820
1.70 .04457 .02806 .02201 .01873 .01662 .01513 .01400 .01311 .01239 .01179 .01128 .01084
1.60 .05480 .03527 .02797 .02397 .02138 .01953 .01814 .01703 .01613 .01538 .01473 .01418
1.50 .06681 .04395 .03522 .03039 .02724 .02499 .02327 .02191 .02079 .01986 .01906 .01837
1.40 .08076 .05427 .04395 .03818 .03439 .03166 .02957 .02791 .02655 .02541 .02443 .02358
1.30 .09680 .06641 .05434 .04752 .04300 .03974 .03723 .03523 .03359 .03220 .03101 .02998
1.20 .11507 .08056 .06659 .05860 .05329 .04942 .04644 .04406 .04209 .04043 .03900 .03776
1.10 .13567 .09687 .08086 .07162 .06543 .06090 .05739 .05458 .05225 .05028 .04858 .04710
1.00 .15866 .11549 .09734 .08675 .07961 .07436 .07028 .06700 .06427 .06196 .05996 .05822
0.90 .18406 .13652 .11615 .10415 .09600 .08998 .08529 .08149 .07833 .07565 .07333 .07130
0.80 .21186 .16002 .13740 .12395 .11474 .10791 .10257 .09823 .09462 .09153 .08886 .08652
0.70 .24196 .18602 .16116 .14624 .13595 .12829 .12226 .11736 .11326 .10976 .10672 .10405
0.60 .274 25 .21448 .18746 .17107 .15970 .15118 .14447 .13899 .13439 .13046 .12703 .12402
0.50 .30854 .24533 .21624 .19844 .18601 .17665 .16925 .16318 .15808 .15370 .14989 .14652
0.40 .34458 .27841 .24743 .22829 .21484 .20467 .19659 .18995 .18435 .17954 .17533 .17161
0.30 .38209 .31352 .28088 .26051 .24611 .23517 .22645 .21926 .21318 .20794 .20335 .19929
0.20 .42074 .35040 .31636 .29492 .27967 .26803 .25871 .25100 .24447 .23883 .23388 .22949
0.10 .46017 .38875 .35361 .33129 .31530 .30304 .29319 .28502 .27808 .27207 .26680 .26210
0.00 .50000 ’.42822 .39233 .36931 .35274 .33996 .32967 .32110 .31380 .30747 .30189 .29693
2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12
0.00 .50000 .42822 .39233 .36931 .35274 .33996 .32967 .32110 .31380 .30747 .30189 .29693
0.10 .53983 .46841 .43213 .40866 .39165 .37848 .36783 .35894 .35135 .34475 .33892 .33373
0.20 .57926 .50892 .47263 .44894 .43168 .41825 .40734 .39822 .39040 .38359 .37758 .37220
0.30 .61791 .54934 .51341 .48976 .47241 .45886 .44782 .43855 .43059 .42364 .41749 .41198
0.40 .65542 .58925 .55405 .53068 .51344 .49991 .48884 .47953 .47151 .46450 .45827 .45269
373
Таблица А. 13 (продолжение)
р - .900
\ Е 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X \
0.50 .69146 .62825 .59412 .57127 .55431 .54095 .52998 .52072 .51273 .50572 .49950 .49390
0.60 .72575 .66597 .63323 .61112 .59462 .58155 .57079 .56168 .55381 .54689 .54072 .53517
0.70 .75804 .70209 .67099 .64982 .63393 .62130 .61086 .60200 .59431 .58754 .58151 .57607
0.80 .78814 .73631 .70708 68703 .67189 .65980 .64978 .64124 .63383 .62728 .62143 .61615
0.90 .81594 .76840 .74122 .72241 .70814 .69670 .68718 .67905 .67197 .66570 .66009 .65502
1.00 .84134 .79818 .77317 .75572 .74241 .73169 .72274 .71508 .70839 .70246 .69714 .69232
1.10 .86433 .82554 .80276 .78674 .77446 .76452 .75620 .74905 .74280 .73725 .73226 .72773
1.20 .88493 .85042 .82988 .81533 .80411 .79500 .78734 .78075 .77497 .76982 .76519 .76098
1.30 .90320 .87281 .85449 .84141 .83127 .82300 .81603 .81001 .80472 .80000 .79575 .79188
1.40 .91924 .89275 .87658 .86494 .85587 .84845 .84217 .83674 .83195 .82767 .82380 .82028
1.50 .93319 .91033 .89620 .88596 .87793 .87134 .86574 .86089 .85660 .85276 .84929 .84611
1.60 .94520 .92568 .91345 .90453 .89751 .89171 .88678 .88248 .87868 .87527 .87218 .86936
1.70 .95543 .93893 .92847 .92078 .91469 .90965 .90534 .90159 .89826 .89526 .89254 .89005
1.Я0 .96407 .95025 .94139 .93483 .92962 .92528 .92156 .91831 .91542 .91282 .91045 .90828
1.90 .97128 .95984 .95241 .94687 .94245 .93875 .93558 .93280 .93032 .92808 .92604 .92417
2.00 .97725 .96786 .96170 .95708 .95336 .95025 .94757 .94521 .94310 .94120 .93946 .93786
2.10 •9821ч .97451 .96946 .96563 .96255 .95995 .95771 .95573 .95396 .95236 .95090 .94955
2.20 .98610 .97997 .97586 .97273 .97020 .96806 .96620 .96456 .96309 .96176 .96054 .95941
2.30 .98928 .98440 .98110 .97857 .97650 .97476 .97324 .97189 .97068 .96958 .96858 .96764
2.40 .99180 .98796 .98533 .98331 .98165 .98024 .97901 .97791 .97693 .97603 .97521 .97445
2 50 .99379 .99080 .98873 .98712 .98580 .98467 .98368 .98281 98201 .98129 .98063 .98001
2.60 .99534 .99303 .99142 .99015 .98911 .98822 .98744 .98674 .98611 .98553 .98500 .98451
2.70 .99653 .99477 .99352 .99254 .99173 .99103 .99042 .98987 .98937 .98892 .98850 .98811
2.80 .99744 .99611 .99516 .99441 .99378 .99324 .99276 .99234 .99195 .99159 .99127 .99096
2.90 .99813 .99714 .99642 .99585 .99537 .99495 .99459 .99426 .99396 .99368 .99343 .99319
3.00 .99865 .99791 .99737 .99694 .99658 .99627 .99599 .99574 .99551 .99530 .99510 .99492
3.10 .99903 .99849 .99809 .99777 .99750 .99727 .99706 .99687 .99669 .99654 .99639 .99625
3.20 .99931 .99892 .99863 .99839 .99819 .99802 .99786 .99772 .99759 .99747 .99736 .99726
3.30 .99952 .99923 .99902 99885 .99870 .99857 .99846 .99836 .99826 .99817 .99809 .99801
3.40 .99966 .99946 .99931 .99919 .99908 .99899 .99890 .99883 .99876 .99869 .99863 .99858
3.50 .99977 .99963 .99952 .99943 .99935 .99929 .99923 .99917 .99912 .99907 .99903 .99899
а
Й .01 .05 Таблица А. 14. Некоторые критические значения для максимума абсолютного значе- ния 1 распределенных N (0,1)
1 2.58 1.96
2 2 79 2 21 случайных величин с общим
2.92 3.00 2.35 2.44 коэффициентом корреляции
3 4 р : р= (1/2), 1= 1 (1) 12, 15, 20*
5 3.06 2.51 Для данных / и а в таблице
6 7 3.11 3.15 2.57 2.61 приведены |m| (а, /, 1/2).
8 3.19 2.65
9 3.22 2.69
10 3.25 2.72
И 3.27 2.74
12 3.29 2.77 * Заимствовано из [ПО] с раз-
15 3.35 2.83
20 3.42 2.91 решения автора и издателя
журнала.
374
Таблица А.15. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики
Фридмана S, когда выполняется нулевая гипотеза:
fc = 3, /1 = 2(1)13; k = 4, п=2 (1)8; 6=5, // = 3,4,5*
Для заданных /г, п н точки х в таблице приведены Ро {S > х]. Причем если х
такая точка, что Ро {S > х} = а, то з (а, k, п) = х. При заданных k и п числа
в таблице заканчиваются таким числом хь.п, которое есть наименьшее целое чис-
ло, удовлетворяющее условию Pq {S х} = 0 в первых трех десятичных
знаках**.
к = 3, п '.=2 к = 3,n = 5 к = 3,n = 7 k = 3,n = 8
х Ро {S>x} х PQ{s>x} x Po X P0{5>x}
0 1.000 .0 1.000 .000 1.000 5.25 .079
1 .833 .4 .954 .286 .964 6.25 .047
3 .500 1,2 ,691 .857 .768 6.75 .038
4 .167 1.6 .522 1.143 .620 7.00 .030
2.8 .367 2.000 .486 7.75 .018
3.6 .182 2.571 .305 9.00 .010
к = 3,п = 3 4.8 .124 5.2 .093 3.429 3.714 .237 .192 9.25 9.75 .008 .005
х Ро 6.4 .039 7.6 .024 4.571 5.429 .112 .085 10.75 12.00 .002 .001
.000 1.000 8.4 .008 6.000 .051 12.25 .001
.667 .944 10.0 .001 7.143 7.714 .027 .021 13.00 .000
2.000 .528
2.667 ,361 8.000 .016
4.667 6.000- ,194 .028 к ~ 3, n = 6 8.857 10.286 .008 .004 k = 3,n = 9
10.571 11.143 .003 .001
x p0{s>x) X P0{S>x}
fc = 3,rt = 4 .000 1.000 12.286 .000 .000 1.000
.333 .956 .222 .971
х Ро {S>x} 1.000 .740 к = 3,n = 8 .667 .814
1.333 .570 .889 .685
.0 1.000 2.333 .430 X Pn (S>x\ 1.556 .569
.5 .931 3.000 .252 2.000 .398
1.5 .653 4.000 .184 .00 1.000 2.667 .328
2.0 .431 4.333 .142 .25 .967 2.889 .278
3.5 .273 5.333 .072 .75 .794 3.556 .187
4.5 .125 6.333 .052 1.00 .654 4.222 .154
6.0 .069 7.000 .029 1.75 .531 4.667 .107
6.5 .042 8.333 .012 2.25 .355 5.556 .069
8.0 .005 9.000 .008 9.333 .006 3.00 .285 6.000 .057
3.25 .236 6.222 .048
10.333 .002 4.00 .149 6.889 .031
12.000 .000 4.75 .120 8.000 .019
* Вычислил G. А. Маск на вычислительной машине IBM 370/165 в университете
штата Огайо.
** В последние годы эта таблица дополнялась авторами [697(1)], [732], [698].
В настоящее время их трудами табл. А. 15 может быть дополнена вероятностями
Ро {s> х} для k = 3, п = 14 (1) 25; k = 4, п= 9,10; fe = 5, /1 = 6, 7,8, k = 6,
п—2 (1) 8; k—7, п = 7,8- См. также [487]. — Примеч. пер.
375
Таблица А. 15 (продолжение)
к = 3,и = 9 к = 3,п = = 11 к = 3,п = 12 к = 3,п = 13
X p0{s-*} х Ро X Ро{ X Ро{ $>х)
8.222 .016 .000 1.000 1.167 .654 1.385 .527
8.667 .010 .182 .976 1.500 .500 1.846 .463
9.556 .006 .545 .844 2.000 .434 2.000 .412
10.667 .004 .727 .732 2.167 .383 2.462 .316
10.889 .003 1.273 .629 2.667 .287 2.923 .278
11.556 .001 1.636 .470 3.167 .249 3.231 .217
12.667 .001 2.182 .403 3.500 .Г 1 3.846 .165
13.556 .000 2.364 .351 4.167 .141 4.154 .145
2.909 .256 4.500 .123 4.308 .129
к = 3,и = 10 3.455 3.818 .219 .163 4.667 5.167 .108 .080 4.769 5.538 .098 .073
X 4.545 4.909 .116 .100 6.000 6.167 .058 .051 5.692 6.000 .065 .050
.0 1.000 5.091 .087 6.500 .038 6.615 .037
.2 .974 5.636 .062 7.167 .027 7.385 .028
.6 .830 6.545 .043 8.000 .020 7.538 .025
.8 .710 6.727 .038 8.167 .017 8.000 .016
1.4 .601 7.091 .027 8.667 .011 8.769 .012
1.8 .436 7.818 .019 9.500 .007 9.385 .009
2.4 .368 8.727 .013 10.167 .005 9.692 .007
2.6 .316 8.909 .011 10.500 .004 9.846 .005
3.2 .222 9.455 .006 10.667 .003 10.308 .004
3.8 .187 10.364 .004 11.167 .002 11.231 .003
4.2 .135 11.091 .003 12.167 .002 11.538 .002
5.0 .092 11.455 .002 12.500 .001 11.692 .002
5.4 .078 11.636 .001 12.667 .001 12.154 .001
5.6 .066 12.182 .001 13.167 .001 12.462 .001
6.2 7.2 .046 .030 13.273 13.636 .001 .000 13.500 .000 12.923 14.000 .001 .001
7.4 7.8 .026 .018 14.308 .000
3,п =
к = 3,п = 12 к = 13
8.6 .012
Л- к = 4,п = 2
9.6 .007
9.8 .006 х Ро
.000 1.000 Ро{ S>x\
10.4 .003
11.4 .002 .000 .167 1.000 .978 .154 .462 .980 .866
12.2 .001 .0 1.000
12.6 .001 .500 .856 .615 .767 .6 .958
12.8 .001 .667 .751 1.077 .675 1.2 .833
13.4.ООО
376
Таблица А. 15 (продолжение)
к =4,п = 2 к = 4, п *= 4 к~4,п =5 к = 4, п = 6
X PO{S>X} х Ро X X P<AS>X}
1.8 .792 2.1 .649 3.00 .445 1.4 .772
2.4 .625 2.4 .524 3.24 .408 1.6 .679
3.0 .542 2.7 .508 3.48 .372 1.8 .668
3.6 .458 3.0 .432 3.96 .298 2.0 .609
4.2 .375 3.3 .389 4.20 .260 2.2 .574
4.8 .208 3.6 .355 4.44 .226 2.4 .541
5.4 .167 3.9 .324 4.92 .210 2.6 .512
6.0 .042 4.5 .242 5.16 .162 3.0 .431
4.8 .200 5.40 .151 3.2 .386
5.1 .190 5.88 .123 3.4 .375
к = 4, п = 3 5.4 .158 6.12 .107 3.6 .338
— — 5.7 .141 6.36 .093 3.8 .317
X po{s>x} 6.0 .105 6.84 .075 4.0 .270
6.3 .094 7.08 .067 4.2 .256
.2 1.000 6.6 .077 7.32 .055 4.4 .230
.6 .958 6.9 .068 7.80 .044 4.6 .218
1.0 .910 7.2 .054 8.04 .034 4.8 .197
1.8 .727 7.5 .052 8.28 .031 5.0 .194
2.2 .608 7.8 .036 8.76 .023 5.2 .163
2.6 .524 8.1 .033 9.00 .020 5.4 .155
3.4 .446 8.4 .019 9.24 .017 5.6 .127
3.8 .342 8.7 .014 9.72 .012 5.8 .114
4.2 .300 9.3 .012 9.96 .009 6.2 .108
5.0 .207 9.6 .007 10.20 .007 6.4 .089
5.4 .175 9.9 .006 10.68 .005 6.6 .088
5.8 .148 10.2 .003 10.92 .003 6.8 .073
6.6 .075 10.8 .002 11.16 .002 7.0 .066
7.0 .054 11.1 .001 11.64 .002 7.2 .060
7.4 .033 12.0 .000 11.88 .002 7.4 .056
8.2 .017 12.12 .001 7.6 .043
9.0 .002 12.60 .001 7.8 .041
к = 4, п = 5 12.84 .000 8.0 .037
8.2 дкЗь
к = 4, л = 4 х Ро к = 4, п = 6 8.4 .032
8J> .029
X PO{S>X} .12 1.000 X PO{S>X} 8.8 .023
.36 975 9 0 022
.0 1.000 .60 .944 .0 1.000 9.4 .017
.3 .992 1.08 .857 .2 .996 9.6 .014
.6 .928 1.32 .771 .4 .957 9.8 .013
.9 .900 1.56 .709 .6 .940 10.0 .010
1.2 .800 2.04 .652 .8 .874 10.2 .010
1.5 .754 2.28 .561 1.0 .844 10.4 .009
1.8 .677 2.52 .521 1.2 .789 10.6 .007
377
Таблица А. 15 (продолжение)
к = 4, п = 6 к = 4, п = 7 к = 4, п = 8 к = 4, я = 8
х Ро X Ро\ X Р0{5>х} х ро{ 5 > л1} ‘ 1
10.8 .006 5.229 .161 .00 1.000 6.60 .081
11.0 .006 5.571 .143 .15 .998 6.75 .079
11.4 .004 5.743 .122 .30 .971 7.05 .068
11.6 .003 5.914 .118 .45 .959 7.20 .060
11.8 .003 6.257 .100 .60 .912 7.35 .058
12.0 .002 6.429 .093 .75 .890 7.50 .051
12.2 .002 6.600 .085 .90 .849 7.65 .049
12.6 .001 6.943 .073 1.05 .837 7.80 .046
12.8 .001 7.114 .063 1.20 .765 7.95 .042
13.0 .001 7.286 .056 1.35 .757 8.10 .038
13.2 .001 7.629 .052 1.50 .710 8.25 .037
13.4 .001 7.800 .041 1.65 .681 8.55 .031
13.6 .000 7.971 .038 1.80 .654 8.70 .028
8.314 .035 1.95 .629 8.85 .025
8.486 .033 2.25 .558 9.00 .023
к = 4, п = = 7 8.657 .030 2.40 .517 9.15 .022
9.000 .023 2.55 .507 9.45 .019
х Ро 9.171 .020 2.70 .471 9.60 .016
9.343 .017 2.85 .450 9.75 .015
.086 1.000 9.686 .015 3.00 .404 9.90 .014
.257 .984 9.857 .013 3.15 .389 10.05 .014
.429 .963 10.029 .012 3.30 .362 10.20 .011
.771 .906 10.371 .010 3.45 .350 10.35 .011
.943 .845 10.543 .009 3.60 .326 10.50 .009
1.114 .800 10.714 .008 3.75 .323 10.65 .009
1.457 .757 11.057 .007 3.90 .287 10.80 .008
1.629 .685 11.229 .005 4.05 .278 10.95 .008
1.800 .652 11.400 .004 4.20 .242 11.10 .006
2.143 .590 11.743 .004 4.35 .226 11.25 .006
2.314 .557 11.914 .003 4.65 .219 11.40 .005
2.486 .524 12.086 .003 4.80 .193 11.55 .005
2.829 .456 12.429 .002 4.95 .191 11.85 .004
3.000 .418 12.600 .002 5.10 .168 12.00 .004
3.171 .382 12.771 .002 5.25 .158 12.15 .004
3.514 .366 13.114 .001 5.40 .148 12.30 .003
3.686 .310 13.286 .001 5.55 .141 12.45 .003
3.857 .297 13.457 .001 5.70 .121 12.60 .002
4.200 .262 13.800 .001 5.85 .117 12.75 .002
4.371 .239 13.971 .001 6.00 .110 12.90 .002
4.54? .220 14.143 .001 6.15 .106 13.05 .002
4.886 .195 14.486 .000 6.30 .100 13.20 .002
5 057 .180 6.45 .094 13 35 .001
13.50 .001
378
Таблица А. 15 (продолжение)
к = 4, п = 8 к = 5, п = 3 к = 5, п = 4 к = 5, п = 4
X РО{^Х} Х X po{s>x} X
13.65 .001 8.000 .063 4.8 .329 13.6 .001
13.80 .001 8.267 .056 5.0 .317 13.8 .000
13.95 .001 8.533 .045 5.2 .286
14.25 .001 8.800 .038 5.4 .275
14.40 .001 9.067 .028 5.6 .249 к = 5, я = 5
14.55 .001 9.333 .026 5.8 .227
14.70 .001 9.600 .017 6.0 .205 X po{s>x}
14.85 .000 9.867 .015 6.2 .197
10.133 .008 6.4 .178 .00 1.000
10.400 .005 6.6 .161 .16 1.000
к = 5,и = 3 10.667 .004 6.8 .143 .32 .994
10.933 .003 7.0 .136 .48 .986
X 11.467 .001 7.2 .121 .64 .972
12.000 .000 7.4 .113 .80 .958
.000 1.000 7.6 .095 .96 .932
.267 1.000 7.8 .086 1.12 .925
.533 .988 к = 5, п = 4 8.0 .080 1.28 .891
.800 .972 8.2 .072 1.44 .865
1.067 .941 х ро 8.4 .063 1.60 .842
1.333 .914 8.6 .060 1.76 .823
1.600 .845 .0 1.000 8.8 .049 1.92 .789
1.867 .831 .2 .999 9.0 .043 2.08 .765
2.133 .768 .4 .991 9.2 .038 2.24 .721
2.400 .720 .6 .980 9.4 .035 2.40 .707
2.667 .682 .8 .959 9.6 .028 2.56 .679
2.933 .649 1.0 .940 9.8 .025 2.72 .657
3.200 .595 1.2 .906 10.0 .021 2.88 .613
3.467 .559 1.4 .895 10.2 .019 3.04 .594
3.733 .493 1.6 .850 10.4 .017 3.20 .562
4.000 .475 1.8 .815 10.6 .014 3.36 .535
4.267 .432 2.0 .785 10.8 .011 3.52 .518
4.533 .406 2.2 .759 11.0 .010 3.68 .494
4.800 .347 2.4 .715 11.2 .008 3.84 .454
5.067 .326 2.6 .685 11.4 .007 4.00 .443
5.333 .291 2.8 .630 11.6 .006 4.16 .410
5.600 .253 3.0 .612 11.8 .005 4.32 .398
5.867 .236 3.2 .579 12.0 .004 4.48 .371
6.133 .213 3.4 .552 12.2 .004 4.64 .349
6.400 .172 3.6 .500 12.4 .003 4.80 .325
6.667 .163 3.8 .479 12.6 .002 4.96 .316
6.933 .127 4.0 .442 12.8 .002 5.12 .295
7.200 .117 4.2 .413 13.0 .001 5.28 .275
7.467 .096 4.4 .395 13.2 .001 5.44 .255
7.733 .080 4.6 .370 13.4 .001 5.60 .246
379
Таблица А. 15 (продолжение)
к = 5,п = 5 к = 5, п = 5 к = 5, п = 5 к = 5,п = 5
X X po{S>x} X P0{S>x} X PO{S>x
5.76 .227 8.16 .077 10.56 .019 12.96 .003
5.92 .218 8.32 .073 10.72 .018 13.12 .003
6.08 .195 8.48 .066 10.88 .015 13.28 .003
6.24 .183 8.64 .058 11.04 .013 13.44 .002
6.40 .174 8.80 .056 11.20 .012 13.60 .002
6.56 .164 8.96 .049 11.36 .012 13.76 .002
6.72 .151 9.12 .046 11.52 .010 13.92 .002
6.88 .146 9.28 .042 11.68 .009 14.08 .001
7.04 .130 9.44 .038 11.84 .008 14.24 .001
7.20 .121 9.60 .035 12.00 .007 14.40 .001
7.36 .112 9.76 .032 12.16 .006 14.56 .001
7.52 .107 9.92 .029 12.32 .006 14.72 .001
7.68 .094 10.08 .026 12.48 .005 14.88 .001
7.84 .089 10.24 .024 12.64 .004 15.04 .000
8.00 .082 10.40 .022 12.80 .004
Таблица А. 16. Некоторые критические значения статистики Пейджа L при
выполнении нулевой гипотезы
k = 3, п = 2(1)20;
k = 4 (1) 8, п = 2 (1) 12*
Для заданных k, п, а приведены величины / (а, k, п), такие, что Ро {L I (а, k,
п)} ~ а.**
к
3. 4 5
(X а а
п .001 .01 .05 .001 .01 .05 .001 .01 .05
2 28 60 58 109 106 103
3 42 41 89 37 84 160 155 150
4 56 55 54 117 114 111 210 204 197
5 70 68 66 145 141 137 259 251 244
6 83 81 79 172 167 163 307 299 291
7 96 93 91 198 193 189 355 346 338
8 109 106 104 225 220 214 403 393 384
9 121 119 116 252 246 240 451 441 431
10 134 131 128 278 272 266 499 487 477
И 147 144 141 305 298 292 546 534 523
12 160 156 153 331 324 317 593 581 570
13 172 169 165
14 185 181 178
15 197 194 190
16 210 206 202
17 223 218 215
18 235 231 227
19 248 243 239
20 260 256 251
к
п 6 7 8
.001 а .01 .05 .001 а .01 .05 .001 а .01 .05
2 178 173 166 269 261 252 388 376 362
3 260 252 244 394 382 370 567 549 532
4 341 331 321 516 501 487 743 722 701
5 420 409 397 637 620 603 917 893 869
6 499 486 474 757 737 719 1,090 1,063 1,037
7 577 563 550 876 855 835 1,262 1,232 1,204
8 655 640 625 994 972 950 1,433 1,401 1,371
9 733 717 701 1,113 1,088 1,065 1,603 1,569 1,537
10 811 793 777 1,230 1,205 1,180 1,773 1,736 1,703
11 888 869 852 1,348 1,321 1,295 1,943 1,905 1,868
12 965 946 928 1,465 1,437 1,410 2,112 2,072 2,035
* Заимствованы из [288] с разрешения автора н редактора журнала.
** Таблица дополнена для а = 0.10 в работе [697 (2)], см. также [487].— При-
меч. пер.
381
Таблица А.17. Некоторые Критические значения для множественных срав
нений всех обработок, основанных на ранговых суммах Фридмана:
А=3, п = 3(1)15; k =4(1)15, п= 2(1)15*
При заданных k, п в таблице приведены числа, соответствующие Ро {|7?и
< г (a, k, п), и = 1, .. ., k — 1, V — и + к = 3 1,..., k} ~ - 1 — а. £=4
к = 3
п г(а, 3, и) а п г(а, 3, л) а и г(а,4,л) а
3 6* .028 14 13* .038 10 15* .046
14 .023 16 .029
4 7* .042 16* .007 18* .010
8* .005
15 13* .047 11 16 .041
5 8* .039 14 .028 17 .026
9* .008 16* .010 19 .009
6 9* .029 12 17 .038
10* .009 к =4 18 .023
——————- 20 .008
7 9* .051 п г (а, 4, л) а
10 .023 13 18 .032
11* .008 2 6* .083 19 .021
21 .008
8 10* .039 3 8* .049
11 .018 9* .007 14 18 ,042
12* .007 19 .028
4 10* .026 21 .011
9 10* .048 11* .005
11 .026 15 19 .037
12* .013 5 И* .037 20 .024
12* .013 22 .010
10 11* .037 —
12 .019 6 12* .037
13* .010 13 .018 к =5
14* ,О0б
11 11 * .049 п г(а,5,п) а
12 .028 7 13* .037
14* .008 14 .020 2 8 .050
15* .008
12 12* .038 3 10 .067
13 .022 8 14* .034 И .018
14* .012 15 .019 12 .002
16* .009
13 12* .049 4 12 .054
13 .030 9 15 .032 13 .020
15* .009 17* .010 14 .006
* Заимствовано частично из [258] с разрешения авторов н редактора журнала
«Biometrika». Значения, помеченные звездочкой, заимствованы из [274] с разре-
шения автора.
382
Таблица А. 17 (продолжение)
к =5 к = 6 к = О
?! г(а, 5,п) а п г(а, 6, и) а п г(а, 6, п) (X
5 14 .040 2 10 .033 13 28 .039
16 .006 29 .028
3 13 .030 32 .010
6 15 .049 14 .008
16 .028 14 29 .040
17 .013 4 15 .047 30 .030
16 .018 33 .011
7 16 .052 17 .006
17 .033 15 30 .040
19 .009 5 V .047 32 .023
8 18 .036 18 .022 34 .012
19 .022 19 .010
20 .012
6 19 .040 к=7
9 19 .037 20 .021
20 .024 21 .010 п г(а, 7, п) (X
22 .008
7 20 .049 2 12 .024
10 20 .038 21 .032
21 .025 23 .010 3 15 .048
23 .009 16 .016
8 22 .039
11 21 .038 23 .026 4 18 .040
22 .025 25 .008 20 .007
24 .010
9 23 .043 5 20 .052
12 22 .038 24 .030 21 .028
23 .025 26 .012 22 .014
25 .011
13 23 .035 10 24 .047 6 22 .050
24 .024 26 .023 23 .032
26 .011 28 .009 25 .009
14 24 .034 11 26 .036 7 24 .047
25 .024 27 .026 25 .032
27 .011 29 .012 27 .011
15 24 .045 12 27 .039 8 26 .041
26 .022 28 .028 27 .030
28 .010 31 .009 29 .011
383
Таблица А. 17 (продолжение)
к =7 к = 8 к =9
п г(а, 7,п) а п г(а, 8, п) а п г(а, 9, л) а
9 27 .050 5 23 .057 2 15 .069
29 .026 24 .034 16 .014
31 .011 26 .009 3 20 .041
10 29 .042 6 26 .045 22 .005
30 .031 27 .027
33 .010 29 .009 4 23 .064
24 .034
11 30 .049 7 28 .048 26 .008
32 .027 29 .032
35 .009 31 .012 5 27 .040
.040 .030 8 30 .046 28 .023
12 32 33 31 34 .033 .009 29 .013
36 .011 6 29 .058
9 32 .043 30 .038
13 33 .043 33 .032 33 .008
35 .025 36 .010
38 .009 7 32 .046
10 34 .040 33 .032
14 34 .047 35 .031 36 .008
36 .028 38 .010
39 .011 8 34 .049
11 35 .048 36 .026
15 36 .038 37 .028 38 .012
37 .030 40 .010
41 .009 12 37 .042 9 36 .050 .030
38
39 .026 41 .010
42 .010
к = 8 10 38 40 43 .050 .031 .ОН
п г(а, 8, и) (X 13 39 40 .039 .030
44 .009
2 14 .018
14 40 .042 11 40 .048
3 17 .067 42 .027 42 .030
18 .027 45 .012 46 .009
19 .009 15 42 .037 12 42 .046 .029 .009
4 21 .036 43 .030 44
23 .007 47 .011 48
384
Таблица А. 17 (продолжение)
к = 9 fc = 10 * = 11
п г(а, 9, л) (X п г (а, 10, л) Ct п г(а, 11, л) а
13 44 .042 9 41 .046 5 33 .055
46 .027 43 .027 34 .035
50 .009 46 .009 37 .008
14 46 .041 10 43 .047 6 37 .045
48 .026 45 .030 38 .030
52 .009 49 .009 41 .008
15 47 .046 11 45 .049 7 40 .049
50 .025 47 .032 41 .035
54 .009 51 .010 44 .011
12 48 .040 8 43 .046
* = 10 50 .027 44 48 .035 .009
г(а, 10, л) 54 .009
п (X 9 46 47 .043 .034
2 17 .056 13 50 .039
18 .011 52 .026 51 .009
56 .009
3 22 .057 10 48 .047
23 .026 14 52 .039 50 .031
24 .010 54 .026 54 .009
58 .010
4 26 .060 11 51 .040
27 .033 15 53 .045 53 .027
29 .009 56 .026 57 .009
60 .010
5 30 .047 12 53 .043
31 .029 55 .029
33 .010 к = 11 59 .011
6 33 34 .051 .033 п г(а, 11, л) а 13 55 57 .046 .031
37 .008 2 19 .045 62 .010
20 .009
7 36 .047 14 57 .045
37 .033 3 25 .038 60 .026
40 .010 27 .007 64 .011
8 38 .052 4 29 .057 15 59 .046
40 .031 30 .033 62 .027
43 .010 32 .010 67 .009
385
Таблица А. 17 (продолжение)
* = 12 *=12 * = 13
п г(а, 12, л) (X п г(а, 12, л) (X п г (а, 13, л) а
2 21 .038 13 61 .043 9 55 .048
22 .008 63 .030 57 .030
68 .010 61 .010
3 27 .053
28 .027 14 63 .046 10 58 .047
29 .012 66 .027 60 .032
71 .009 65 .009
4 32 .055
33 .033 15 66 .040 11 61 .046
35 .011 68 .028 63 .032
37 .042 73 .011 68 .010
5
38 .027 12 64 .045
40 .011 * = 13 66 .032
71 .010
б 40 42 .059 .028 п г(а, 13, л) (X 13 67
.041
45 .008 2 23 .032 69 .030
24 .006 74 .011
7 44 .050 69
46 .026 3 30 .038 14 .046
49 .009 32 .009 72 .028
77 .010
8 47 .050 4 35 .054 .040 .030 .010
49 .030 36 .033 15 72
52 .011 38 .012 80
9 50 .048 5 40 .049
52 .032 41 .033 к = 14
56 .010 44 .009
п г(а, 14, л) а
10 53 .047 6 44 .054
55 .032 46 .027 2 25 .027
59 .010 49 .009 26 .005
11 56 .043 7 48 .051 3 32 .052
58 .029 50 .028 33 .028
62 .011 53 .010 35 .006
12 58 .048 8 52 .046 4 38 .053
61 .027 53 .035 39 .034
65 .011 57 .010 41 .013
386
Таблица а. 17 (продолжение)
к = 14 £ = 14 £ = 1S
п г(а, 14, л) а п г(а, 14, л) (X п г(а, 15, л) (X
5 43 .057 14 75 .045 8 60 .056
45 .027 78 .028 63 .027
47 .012 84 .009 67 .009
6 48 .050 15 78 .043 9 64 .052
50 .026 81 .028 67 .028
53 .009 87 .010 71 .011
1 52 .053 10 68 .049
54 .030 £ = 15 71 .028
57 .012 75 .011
п г(а, 15, л) а
8 56 .051
58 .031 2 26 .071 11 72 .043
62 .010 27 .024 74 .032
28 .005 79 .011
9 60 .047
62 .029 3 35 .039 12 75 .045
66 .010 37 .010 78 .028
83 .010
10 63 .048 4 41 .053
65 .033 42 .035 13 78 .046
70 .010 45 .008 81 .030
87 .009
И 66 .049 5 47 .046
69 .029 48 .033 14 81 .046
74 .009 51 .010 84 .030
90 .010
12 69 .048 6 52 .047
72 .030 53 .035 15 84 .043
77 .010 57 .009 87 .029
94 .009
13 72 .047 7 56 .055
75 .030 58 .032
80 .011 62 .010
387
Таблица А.18. Критические значения для односторонних множественных
сравнений обработок с контролем, основанные на ранговых суммах Фридмана-
k = 3, /z==2(l)18; 6=4, n=2(l)5*
Для данных п, k и х в таблице приведены Ро {(Ри—Ri) < х, и = 2,..., k}. Если
х такое число, что Ро {(Ru — Ri) < х, и = 2. 6} = 1 — а, то г* (а, k —
п) = х. В таблице для п. и k приведены Xfe.n, где xk,n есть наименьшая величина
х, для которой Ro {(Ru—Ri)<x, и = 2,..., к} = 1—а с точностью до 4 десятич-
ных знаков.
к=3
X п = 2 и=3 и = 4 п = 5 и = 6 н = 7 п = 8 п = 9 п = 10
1 .5000 .3981 .4213 .3976 .3983 .3903 .3879 .3840 .3816
2 .6111 .5648 .5386 .5185 .5037 .4918 .4821 .4739 .4670
3 .7778 .7593 .6899 .6664 .6349 .6161 .5976 .5834 .5706
4 .9444 .8519 .8194 .7719 .7453 .7173 .6967 .6776 .6617
5 .9352 .8982 .8594 .8288 .8017 .7784 .7580 .7400
6 .9907 .9537 .9303 .9008 .8777 .8546 .8348 .8161
7 .9861 .9663 .9476 .9272 .9086 .8904 .8735
8 .9985 .9869 .9749 .9602 .9456 .9308 .9163
9 .9972 .9899 .9817 .9714 .9608 .9496
10 .9997 .9969 .9922 .9861 .9788 .9708
И .9994 .9972 .9939 .9894 .9841
12 1.0000 .9993 .9977 .9954 .9922
13 .9999 .9993 .9982 .9964
14 1.0000 .9998 .9994 .9985
15 1.0000 .9998 .9995
16 1.0000 .9998
17 1.0000
£=3
X л = 11 п = 12 л = 13 п = 14 п = 15 п = 16 п = 17 л = 18
1 .3791 .3771 .3753 .3737 .3723 .3710 .3698 .3687
2 .4610 .4557 .4590 .4468 .4431 .4396 .4365 .4336
3 .5598 .5502 .5417 .5341 .5272 .5210 .5154 .5101
4 .6474 .6349 .6236 .6135 .6043 .5960 .5883 .5812
5 .7239 .7095 .6965 .6847 .6739 .6640 .6549 .6464
6 .7995 .7840 .7840 .7570 .7451 .7340 .7237 .7141
7 .8576 .8429 .8290 .8160 .8039 .7926 .7819 .7718
8 .9023 .8889 .8761 .8639 .8523 .8413 .8308 .8208
9 .9383 .9271 .9161 .9054 .8950 .8849 .8752 .8658
10 .9623 .9536 .9446 .9357 .9268 .9180 .9094 .9010
И .9781 .9716 .9647 .9576 .9504 .9431 .9358 .9285
12 .9884 .9840 .9791 .9739 .9683 .9626 .9568 .9508
13 .9942 .9913 .9880 .9844 .9803 .9760 .9715 .9668
* Построена В. М. Windham в университете штата Флорида на ЭВМ CDC 6400
388
Табл и ц а А. 18 (продолжение)
к=3
X п= 11 11 = 12 п = 13 п = 14 п = 15 п = 16 п = 17 п = 18
14 .9973 .9956 .9935 .9910 .9882 .9851 .9817 .9782
15 .9989 .9979 .9967 .9952 .9934 .9913 .9889 .9863
16 .9996 .9991 .9984 .9975 .9965 .9950 .9935 .9917
17 .9999 .9997 ;9993 .9988 .9981 .9973 .9963 .9951
18 1.0000 .9999 .9997 .9995 .9991 .9986 .9980 .9972
19 1.0000 .9999 .9998 .9996 .9993 .9990 .9985
20 1.0000 .9999 .9998 .9997 .99.95 .9992
21 1.0000 .9999 .9999 .9998 .9996
22 1.0000 .9999 .9999 .9998
23 1.0000 1.0000 .9999
24 1.0000
к = 4
X п= 2 п = 3 п = 4 п = 5
1 .3542 .3029 .3033 .2960
2 .4792 .4358 .4121 .3957
3 .6354 .5733 .5325 .5019
4 .7708 .7105 .6481 .6095
5 .9062 .8121 .7563 .7091
6 .9792 .8954 .8434 .7960
7 .9540 .9082 .8666
8 .9878 .9519 .9196
9 .9983 .9795 .9554
10 .9935 .9778
И .9987 .9905
12 .9999 .9968
13 .9992
14 .9999
15 1.0000
389
Таблица А. 10. Критические значения для двусторонних множественных
сравнений обработок с контролем, основанные на ранговых суммах Фридмана:
А = 3, п = 2(1)18; А =4, п==2(1)5*
Для данных п, k, х в таблице приведены Ро {|7?и — 7?i| < х, и — 2,..., А}.
Если х такое число, что Ро {|7?и — Z?i| < х, и = 2,..., А} = 1 —а, то г**
(а, А — 1, п) = х. Для заданных п и А в таблице даны х^1П, где хь п — такое наи-
меньшее число х, для которого Рй {|7?u—7?jJ < х, и=2,..., k} = 1 —а с точностью
до 4 десятичных знаков.
А = 3
X п = 2 л = 3 п = 4 п = 5 п = 6 п = 7 м = 8 п = 9 п= 10
1 .1667 .0556 . .0695 .0463 .0437 .0360 .0326 .0288 .0263
2 .2778 .1944 .1620 .1337 .1157 .1013 .0903 .0814 .0741
3 .5556 .5278 .3997 .3601 .3067 .2763 .2469 .2253 .2061
4 .8889 .7037 .6404 .5491 .4992 .4475 .4104 .3765 .3489
5 .8704 .7963 -7189 .6589 .6058 .5612 .5222 .4883
6 .9815 .9074 .8606 .8017 .7556 .7099 .6708 .6343
7 .9722 .9326 .8952 .8543 .8173 .7809 .7475
8 .9969 .9738 .9498 .9205 .8912 .8615 .8327
9 .9943 .9799 .9634 .9428 .9216 .8991
10 .9995 .9937 .9844 .9722 .9576 .9417
И .9989 .9944 .9878 .9789 .9682
12 .9999 .9986 .9955 .9908 .9844
13 .9998 .9986 .9963 .9929
14 1.0000 .9997 .9987 .9971
15 1.0000 .9997 .9989
16 .9999 .9997
17 1.0000 .9999
18 1.0000
fc = 3
X п = 11 П = 12 и = 13 п = 14 И = 15 п = 16 п= 17 п= 18
1 .0239 .0220 .0204 .0190 .0178 .0167 .0157 .0149
2 .0680 .0628 .0584 .0545 .0512 .0482 .0455 .0432
3 .1904 .1768 .1650 .1547 .1456 .1375 .1303 .1238
4 .3245 .3036 .2851 .2688 .2542 .2411 .2293 .2186
5 .4584 .4320 .4084 .3873 .3682 .3509 .3351 .3207
6 .6019 .5722 .5454 .5207 .4982 .4775 .4584 .4408
7 .7160 .6868 .6596 .6342 .6106 .5886 .5680 .5488
8 .8048 .7780 .7526 .7284 .7054 .6837 .6630 .6435
9 .8767 .8543 .8324 .8110 .7902 .7701 .7508 .7321
10 .9246 .9071 .8893 .8714 .8537 .8362 .8190 .8022
11 .9562 .9432 .9295 .9153 .9008 .8862 .8716 .8570
12 .9768 .9679 .9582 .9477 .9367 .9252 .9135 .9016
* Построено В. М. Windham в университете штата Флорида на ЭВМ CDC 6400-
390
Таблица А. 19 (продолжение)
к=3
X л = 11 п = 12 п = 13 п = 14 п = 15 п = 16 п = 17 П= 18
13 .9883 .9827 .9761 .9687 .9607 .9521 .9430 .9336
14 .9945 .9912 .9870 .9821 .9764 .9702 .9635 .9563
15 .9977 .9959 .9934 .9904 .9867 .9825 .9778 .9727
16 .9991 .9982 .9969 .9951 .9928 .9901 .9869 .9833
17 .9997 .9993 .9987 .9976 .9963 .9946 .9926 .9901
18 .9999 .9998 .9994 .9989 .9982 .9972 .9960 .9945
19 1.0000 .9999 .9998 .9996 .9992 .9986 .9979 .9970
20 1.0000 .9999 .9998 .9997 .9994 .9990 .9984
21 1.0000 .9999 .9999 .9997 .9995 .9992
22 1.0000 1.0000 .9999 .9998 .9996
23 1.0000 .9999 .9998
24 1.0000 .9999
25 1.0000
к = 4
X п = 2 л=3 и = 4 п = 5
1 .0417 .0000 .0076 .0000
2 .1042. .0417 .0397 .0254
3 .2917 .2023 .1477 .1153
4 .5417 .4288 .3182 .2578
5 .8125 .6241 .5155 .4277
6 .9583 .7908 .6870 .5932
7 .9080 .8165 .7332
8 .9757 .9039 .8392
9 .9965 .9590 .9107
10 .9871 .9556
11 .9974 .9811
12 .9997 .9936
13 .9984
14 .9997
15 1.0000
391
Таблица А.20. Верхние границы ру для нулевой корреляции между двумя
перекрывающимися статистиками знаковых рангов: п = 1 (1) 50*
Для 1 п 50 в таблице приведены ру. А для п > 50 практически вполне
удовлетворительно приближение ру яв 1/2.
п п ри п ри
1 .333 26 .488
2 .389 27 .488
3 .416 28 .488
4 .433 29 .489
5 .444 30 .489
6 .452 31 .490
7 .458 32 .490
8 .463 33 .490
9 .467 34 .490
10 .470 35 .491
11 .472 36 .491
12 .474 37 .491
13 .476 38 .491
14 .478 39 .492
15 .479 40 .492
16 .480 41 .492
17 .481 42 .492
18 .482 43 .492
19 .483 44 .493
20 .484 45 .493
21 .485 46 .493
22 .485 47 .493
23 .486 48 .493
24 .487 19 493
25 .487 50 493
* Из [192] с разрешения автора и издателя.
392
Таблица А.21. Вероятность верхнего хвоста распределения статистики
Кендэла К при выполнении нулевой гипотезы; п = 4(1)40*
Для заданных п и точки х в таблице приведены Ро {К. >= х} = а. При этом если
х такое, что Ро {К > х} = а, то k (а, п) = х. Для некоторых п числа в таблице
кончаются хп, где хп такое наименьшее возможное значение х, что Ро {К х)
равно нулю с точностью до трех десятичных знаков. [Для п = 4 (4) 40 или
п = 5 (4) 37 всем целым четным числам между — п (п — 1)/2 и п (п — 1)/2 со-
ответствует положительная вероятность и для п = 6 (4) 38 или п = 7 (4) 39
всем нечетным целым числам, лежащим между — п (п — 1)/2 и п (и — 1)/2,
тоже соответствует положительная вероятность.]**
п
X 4 5 8 9 12 13 16 17 20
0 .625 .592 .548 .540 .527 .524 .518 .516 .513
2 .375 .408 .452 .460 .473 476 .482 .484 .487
4 .167 .242 .360 .381 .420 .429 .447 .452 .462
6 .042 .117 .274 .306 .369 .383 .412 .420 .436
8 .042 .199 .238 .319 .338 .378 .388 .411
10 .008 .138 .179 .273 .295 .345 .358 .387
12 .089 .130 .230 .255 .313 .328 .362
14 ^054 .090 .190 .218 .282 .299 .339
16 .031 .060 .155 .184 .253 .271 ,315
18 .016 .038 .125 .153 .225 .245 .293
20 .007 .022 .098 .126 .199 .220 .271
2? .002 .012 .076 .102 .175 .196 .250
24 26 .001 .000 .006 .003 001 .058 .043 .031 .082 .064 .050 .153 .133 .114 .174 .154 .135 .230 .211 .193
28 30 .000 .022 .016 .038 .029 .097 .083 .118 .102 .176 .159
32 .010 .021 .070 .088 .144
34 .007 .015 .058 .076 .130
Зб .004 .011 .048 .064 .117
38 .003 .007 .039 .054 .104
40 .002 .005 .032 .046 .093
42 .001 .003 .026 .038 .082
44 .000 .002 .021 .032 .073
46 .001 .016 .026 .064
48 .001 .013 .021 .056
50 .000 .010 .017 .049
52 .008 .014 .043
54 .006 .011 .037
56 .004 .009 .032
58 .003 .007 .027
о0 .002 .005 .023
04 .002 .004 .020
66 .001 .003 .017
68 .001 .002 .014
70 .001 .002 .012
* Заимствовано из [2121 с разрешения авторов и издателей.
♦ ♦ различные расширения и уточнения см. [571], [727], [216].—Примеч. пер.
393
Таблица А. 21 (продолжение)
п
X 4 5 8 9 12 13 16 17 20
72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 .000 .001 .010 •001 .008 •001 .007 •ООО .006 .005 .004 .003 .002 .002 .002 .001 .001 .001 .001 .000
п
X 21 24 25 28 29 32 33 36 37 40
0 .512 .510 .509 .508 .507 .506 .506 .505 .505 .505
2 .488 .490 .491 .492 .493 .494 .494 .495 .495 .495
4 .464 .471 .472 .477 .478 .481 .482 .484 .484 .486
6 .441 .451 .454 .461 .463 .468 .469 .473 .474 .477
8 .417 .432 .436 .446 .448 .455 .457 .462 .464 .468
10 .394 .413 .418 .430 .434 .442 .445 .452 .453 .459
12 .371 .394 .400 .415 .419 .430 .433 .441 .443 .449
14 .349 .375 .382 .400 .405 .417 .421 .430 .433 .440
16 .327 .356 .364 .385 .390 .405 .409 .420 .423 .431
18 .306 .338 .347 .370 .376 .392 .397 .409 .413 .422
20 .285 .320 .33,0 .355 .362 .380 .385 .399 .403 .413
22 .265 .303 .314 .341 .348 .368 .373 .388 .393 .404
24 .246 .286 .297 .326 .334 .356 .362 .378 .383 .395
26 .228 .270 .282 .312 .321 .344 .350 .368 .373 .386
28 .210 .254 .266 .298 .308 .332 .339 .358 .363 .377
30 .193 .238 .251 .285 .295 .320 .328 .347 .353 .369
32 .177 .223 .237 .272 .282 .309 .317 .338 .344 .360
34 .162 .209 .222 .259 .270 .298 .306 .328 .334 .351
36 .147 .195 .209 .246 .257 .287 .295 .318 .325 .343
38 .134 .181 .196 .234 .246 .276 .285 .308 .315 .334
40 .121 .169 .183 .222 .234 .265 .274 .299 .306 .326
42 .109 .156 .171 .211 .223 .255 .264 .290 .297 .318
44 .098 .145 .159 .200 .212 .244 .254 .280 .288 .309
394
блица А.21 (продолжение)
ю
CD
СО
Таблица А.21 (продолжение)
п
X 21 24 25 28 29 32 33 36 37 40
134 .001 .004 .006 .015 .019 .035 .041 .061
136 .001 .003 .005 .014 .018 .033 .039 .058
138 .000 .003 .005 .013 .017 .031 .037 .055
140 .003 .004 .012 .015 .029 .034 .053
.142 .002 .004 .011 .014 .027 .032 .050
144 .002 .003 .010 .013 .025 .031 .048
146 .002 .003 .009 .012 .024 .029 .046
148 .002 .003 .008 .011 .022 .027 .043
150 .001 .002 .007 .010 .021 .025 .041
152 .001 .002 .007 .009 .020 .024 .039
154 .001 .002 .006 .008 .018 .022 .037
156 .001 .002 .006 .008 .017 .021 .035
158 .001 .001 .005 .007 .016 .020 .034
160 .001 .001 .005 .006 .015 .018 .032
162 .001 .001 .004 .006 .014 .017 .030
164 .000 .001 .004 .005 .013 .016 .029
166 .001 .003 .005 .012 .015 .027
168 .001 .003 .004 .011 .014 .026
170 .001 .003 .004 .010 .013 .024
172 .001 .002 .004 .010 .012 .023
174 .000 .002 .003 .009 .011 .022
176 .002 .003 .008 .011 .020
178 .002 .003 .008 .010 .019
180 .002 .002 .007 .009 .018
182 .001 .002 .006 .009 .017
184 .001 .002 .006 .008 .016
186 .001 .002 .006 .007 .015
188 .001 .002 .005 .007 .014
190 .001 .001 .005 .006 .014
192 .001 .001 .004 .006 .013
194 .001 .001 .004 .005 .012
196 .001 .001 .004 .005 .ОН
198 .001 .001 .003 .005 .011
200 .000 .001 .003 .004 .010
202 .001 .003 .004 .009
204 .001 .003 .004 .009
206 .001 .002 .003 .008
208 .001 .002 .003 .008
210 .000 .002 .003 .007
212 .002 .003 .007
214 .002 .002 .006
216 .001 .002 .006
218 .001 .002 .005
220 .001 .002 .005
396
Таблица А.21 (продолжение)
п
X 21 24 25 28 29 32 33 36 37 40
222 .001 .002 .005
224 .001 .002 .004
226 .001 .001 .004
228 .001 .001 .004
230 .001 .001 .004
232 .001 .001 .003
234 .001 .001 .003
236 .001 .001 .003
238 .000 .001 .003
240 .001 .002
242 .001 .002
244 .001 .002
246 .001 .002
248 .000 .002
250 .002
252 .002
254 .001
256 .001
258 .001
260 .001
262 .001
264 .001
266 .001
268 .001
270 .001
272 .001
274 .001
276 .001
278 001
280 .000
397
Таблица А.21 (продолжение)
п
6 7 10 11 14 15 18 19 22
1 .500 .500 .500 .500 .500 .500 .500 .500 .500
3 .360 .386 .431 .440 .457 .461 .470 .473 .478
5 .235 .281 .364 .381 .415 .423 .441 .445 .456
7 .136 .191 .300 .324 .374 .385 .411 .418 .434
9 .068 .119 .242 .271 .334 .349 .383 .391 .412
11 .028 .068 .190 .223 .295 .313 .354 .365 .390
13 .008 .035 .146 .179 .259 .279 .327 .339 .369
15 .001 .015 .108 .141 .225 .248 .300 .314 .348
17 .005 .078 .109 .194 .218 .275 .290 .328
19 .001 .054 .082 .165 .190 .250 .267 .308
21 .000 .036 .060 .140 .164 .227 .245 .289
23 .023 .043 .117 .141 .205 .223 .270
25 .014 .030 .096 .120 .184 .203 .252
27 .008 .020 .079 .101 .165 .184 .234
29 .005 .013 .063 .084 .147 .166 .217
31 .002 .008 .050 .070 .130 .149 .201
33 .001 .005 .040 .057 .115 .133 .186
35 .000 .003 .031 .046 .100 .119 .171
37 .002 .024 .037 .088 .105 .157
39 .001 .018 .029 .076 .093 .144
41 .000 .013 .023 .066 .082 .131
43 .010 .018 .056 .072 .120
45 .007 .014 .048 .062 .109
47. .005 .010 .041 .054 .099
49 .003 .008 .034 .047 .089
51 .002 .006 .029 .040 .080
53 .002 .004 .024 .034 .072
55 .001 .003 .020 .029 .064
57 .001 .002 .016 .025 .058
59 .000 .001 .013 .021 .051
61 .001 .011 .017 .045
63 .001 .009 .014 .040
65 .000 .007 .012 .035
67 .005 .010 .031
69 .004 .008 .027
71 .003 .006 .024
73 .003 .005 .021
75 .002 .004 .018
77 .001 .003 .015
79 .001 .003 .013
81 .001 .002 .011
83 .001 .002 .010
85 .000 .001 .008
87 .001 .007
398
Табл Ца А.21 (продолжение)
ОС\00Г'\0«Лт^СПГ^г—iO0>00O-\Diz^iz^Ttcne4'—<00\0\
О»
CD
co
O^l>f4TtcCN^r-iir)O^
ОСО\0<ЛГ)гНОСО>1Л^сЧ
^’t’t’trr^-’tfncncncncn
OcniflCOT-l’tb'OMb’^’O
OOQ\©4t*cnr-<OSOO\©<Tt*cnw
’A^^^t^t^cnencneocnco
0^rHC0^1-(CO^’<tN’-<0
r-<C\CO^O^’t(N^O^at*'
СПСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧСЧ’-1 н Н
о'лочосчо'коепг’нечсог-»
OOOr-U-)Ttc4r-<OCsO-\Otn
(n(SNC4(S(SO<O<i-<H^H
O04eOCOr-r-*t-*t-»CO04»“<enV')OOC4\Oi-<t— cnOt—V*)^’^’
ОГ*»*ПС01—iO^r^UDCOi—tOCOxOTtCOi—<OOOC*-40’5'COC4i—<
1Л’$-тГ^т1,Г>С')СПСПГ<')СПСЧС'<О<ПО<ПН1-<г-1г(Н1-<К
НСП1/)Ь0\^СП1Л1>С\НГ>1Л1>О\тНт^^ЛН^1ЛЬ-
Hrtr-IrtHeiOICNCNnc^C^CnfOCn^Ttrtrt
Таблица А, 21 (Продолжение)
п
X 23 26 27 30 31 34 35 38 39
49 .104 .147 .160 .198 .209 .240 .249 .274 .282
51 .094 .137 .150 .188 .199 .231 .240 .266 .274
53 .086 .127 .141 .178 .190 .222 .232 .258 .266
55 .078 .118 .132 .169 .181 .213 .223 .250 .258
57 .070 .110 .123 .160 .172 .205 .215 .242 .250
59 .063 .102 .115 .152 .164 .196 .206 .234 .243
61 .057 .094 .107 .144 .155 .188 .198 .227 .235
63 .051 .087 .099 .136 .147 .180 .191 .219 .228
65 .046 .080 .092 .128 .140 .173 .183 .212 .221
67 .041 .073 .085 .121 .132 .165 .176 .205 .214
69 .036 .067 .079 .114 ,125 .158 .168 .198 .207
71 .032 .062 .073 .107 .118 .151 .161 ,191 .200
73 .028 .057 .067 .100 .112 .144 .154 .184 .193
75 .025 .052 .062 .094 .105 .137 .148 .177 .187
77 .022 .047 .057 .088 .099 .131 .141 .171 .180
79 .019 .043 .052 .083 .093 .125 .135 .165 .174
81 .017 .039 .048 .077 .088 .119 .129 .158 .168
83 .015 .035 .044 .072 .082 .113 .123 .152 .162
85 .013 .032 .040 .067 .077 .107 .117 .147 .156
87 .011 .029 .036 .063 .072 .102 .112 .141 .150
89 .009 .026 .033 .059 .068 .097 .107 .135 .145
91 .008 .023 .030 .054 .063 .092 .101 .130 .139
93 .007 .021 .027 .051 .059 .087 .096 .125 .134
9-5 .006 .019 .025 .047 .055 .082 .092 .120 .129
97 .005 .017 .022 .043 .052 .078 .087 .115 .124
99 .004 .015 .020 .040 .048 .074 .083 .110 .119
101 .004 .013 .018 .037 .045 .070 .078 .105 .114
103 .003 .012 .016 .034 .041 .066 .074 .101 .109
105 .003 .010 .015 .032 .038 .062 .070 .096 .105
107 .002 .009 .013 .029 .036 .058 .066 .092 .101
109 .002 .008 .012 .027 .033 .055 .063 .088 .096
111 .001 .007 .010 .025 .031 .052 .059 .084 .092
113 .001 .006 .009 .023 .028 .049 .056 .080 .088
115 .001 .005 .008 .021 .026 .046 .053 .076 .084
117 .001 .005 .007 .019 .024 .043 .050 .073 .081
119 .001 .004 .006 .017 .022 .040 .047 .069 .077
121 .000 .004 .006 .016 .020 .038 .044 .066 .074
123 .003 .005 .014 .019 .035 .042 .063 .070
125 .003 .004 .013 .017 .033 .039 .060 .067
127 .002 .004 .012 .016 .031 .037 .057 .064
129 .002 .003 .011 .014 .029 .034 .054 .061
131 .002 .003 .010 .013 .027 .032 .051 .058
133 .001 .003 .009 .012 .025 .030 .049 .055
135 .001 .002 .008 .011 .023 .028 .046 .053
400
Таблица А,21 (продолжение)
п
X 23 26 27 30 31 34 35 38 39
137 .001 .002 .007 .019 .022 .026 .044 .050
139 .001 .002 .006 .009 .020 .025 .041 .048
141 .001 .001 .006 .008 .019 .023 .039 .045
143 .001 .001 .005 .007 .017 .022 .037 .043
145 .001 .001 .005 .007 .016 .020 .035 .041
147 .000 .001 .004 .006 .015 .019 .033 .039
149 .001 .004 .006 .014 .017 .031 .037
151 .001 .003 .005 .013 .016 .029 .035
153 .001 .003 .004 .012 .015 .028 .033
155 .000 .003 .004 .011 .014 .026 .031
157 .002 .004 .010 .013 .025 .029
159 .002 .003 .009 .012 .023 .028
161 .002 .003 .008 .011 .022 .026
163 .002 .003 .008 .010 .021 .025
165 .001 .002 .007 .010 .019 .023
167 .001 .002 .007 .009 .018 .022
169 .001 .002 .006 .008 .017 .021
171 .001 .002 .005 .007 .016 .020
173 .001 .001 .005 .007 .015 .018
175 .001 .001 .005 .006 .014 .017
177 .001 .001 .004 .006 .013 .016
179 .001 .001 .004 .005 .012 .015
181 .000 .001 .003 .005 .011 .014
183 .001 .003 .005 .011 .014
185 .001 .003 .004 .010 .013
187 .001 .003 .004 .009 .012
189 .001 .002 .003 .009 .011
191 .000 .002 .003 .008 .010
193 .002 .003 .008 .010
195 .002 .003 .007 .009
197 .002 .002 .007 .009
199 .001 .002 .006 .008
201 .001 .002 .006 .007
203 .001 .002 .005 .007
205 ,001 .002 .005 .006
207 .001 .001 .004 .006
209 .001 .001 .004 .006
211 .001 .001 .004 .005
213 .001 .001 .004 .005
215 .001 .001 .003 .004
217 .001 .001 .003 .004
219 .000 .001 .003 .004
221 .001 .003 .004
223 .001 .002 .003
401
KJMWMWWWMWWWWWWWMWMWWWWIO
Таблица A.21 (продолжение)
Таблица А.22. Вероятности верхнего хвоста распределения односторонней
статистики Колмогорова — Смирнова Jx, когда выполняется нулевая гипотеза;
tn= п = 1(1)30(2)40*
Для заданных т = п и точки х в таблице приведены вероятности Ро {Jx х}.
При этих условиях если х таково, что Ро {7Х > х} = а, то /х (а, п, п) = х. Для
заданных т = п числа в графах таблицы ограничены числом хп, где хп наимень-
шее допустимое число х, такое, что Ро {Jx х} равно нулю с точностью до четы-
рех десятичных знаков**.
т = п
X 1 2 3 4 5 6 7
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .5000 .6667 .7500 .8000 .8333 .8571 .8750
2 .1667 .3000 .4000 .4762 .5357 .5833
3 .0500 .1143 .1786 .2381 .2917
4 .0143 .0397 .0714 .1061
5 .0040 .0130 .0265
6 .0011 .0041
7 .0003
т = п
X 8 9 10 И 12 13 14
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .8889 .9000 .9091 .9167 .9231 .9286 .9333
2 .6222 .6545 .6818 .7051 .7253 .7429 .7583
3 .3394 .3818 .4196 .4533 .4835 .5107 .5353
4 .1414 .1762 .2098 .2418 .2720 .3004 .3271
5 .0435 .0629 .0839 .1058 .1280 .1502 .1722
6 .0093 .0168 .0262 .0373 .0498 .0632 .0775
7 .0012 .0031 .0062 .0104 .0157 .0221 .0295
8 .0001 .0004 .0010 .0022 .0039 .0063 .0094
9 .0000 .0001 .0003 .0007 .0014 .0025
10 .0000 .0000 .0001 .0003 .0005
11 .0000 .0000 .0001
12 .0000
* Заимствовано из [286, табл. 15.3] с разрешения автора и издателя.
** См. также [286] и [577, табл. 54 с. 117—122, 359]. — Примеч. пер.
403
Таблица А.22 (продолжение)
т = п
X 15 16 17 18 19 20 21
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .9375 .9412 .9444 .9474 .9500 .9524 .9545
2 .7721 .7843 .7953 .8053 .8143 .8225 .8300
3 .5576 .5779 .5965 .6135 .6292 .6437 .6571
4 .3522 .3756 .3977 .4183 .4377 .4560 .4731
5 .1937 .2147 .2350 .2546 .2736 .2918 .3094
6 .0922 .1073 .1226 .1379 .1532 .1684 .1833
7 .0377 .0467 .0562 .0662 .0766 .0873 .0982
8 .0131 .0175 .0225 .0280 .0340 .0405 .0474
9 .0038 .0056 .0078 .0104 .0134 .0168 .0205
10 .0009 .0015 .0023 .0033 .0046 .0062 .0080
11 .0002 .0003 .0006 .0009 .0014 .0020 .0027
12 .0000 .0001 .0001 .0002 .0004 .0006 .0008
13 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001 .0002
14 .0000 .0000 .0001
15 .0000
т = п
X 22 23 24 25 26 27 28
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .9565 .9583 .9600 .9615 .9630 .9643 .9655
2 .8370 .8433 .8492 .8547 .8598 .8645 .8690
3 .6696 .6812 .6920 .7021 .7115 .7204 .7288
4 .4893 .5046 .5190 .5326 .5455 .5578 .5694
5 .3262 .3424 .3579 .3728 .3871 .4009 .4141
6 .1981 .2125 .2267 .2405 .2541 .2673 .2801.
7 .1093 .1204 .1316 .1428 .1540 .1651 .1761
8 .0546 .0622 .0699 .0779 .0860 .0943 .1027
9 .0247 .0291 .0339 .0390 .0443 .0498 .0555
10 .0100 .0124 .0150 .0178 .0209 .0242 .0278
11 .0036 .0047 .0060 .0074 .0090 ,0108 .0128
12 .0012 .0016 .0022 .0028 .0036 .0044 .0054
13 .0003 .0005 .0007 .0010 .0013 .0017 .0021
14 .0001 .0001 .0002 .0003 .0004 .0006 .0008
15 .0000 ,0000 .0001 .0001 .0001 .0002 .0002
16 .0000 .0000 .0000 .0001 .0001
17 .0000 .0000
404
Таблица А.22 (продолжение)
т-п
X 29 30 32 34 36 38 40
0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
1 .9667 .9677 .9697 .9714 .9730 .9744 .9756
2 .8731 .8770 .8841 .8905 .8962 .9013 .9059
3 .7367 .7441 .7578 .7701 .7813 .7914 .8006
4 .5804 .5909 .6105 .6283 .6445 .6595 .6732
5 .4268 .4390 .4620 .4833 .5031 .5214 .5386
6 .2927 .3048 .3283 .3504 .3713 .3911 .4098
7 .1870 .1977 .2188 .2393 .2591 .2781 .2964
8 .1112 .1197 .1368 .1538 .1707 .1874 .2038
9 .0614 .0675 .0801 .0930 .1062 .1196 .1331
10 .0315 .0354 .0438 .0528 .0624 .0723 .0825
11 .0150 .0173 .0224 .0282 .0345 .0413 .0485
12 .0066 .0078 .0107 .0141 .0180 .0223 .0271
13 .0027 .0033 .0048 .0066 .0088 .0114 .0143
14 .0010 .0013 .0020 .0029 .0040 .0055 .0072
15 .0003 .0005 .0008 .0012 .0017 .0025 .0034
16 .0001 .0001 .0003 .0004 .0007 .ООП .0015
17 .0000 .0000 .0001 .0002 .0003 .0004 .0006
18 .0000 .0001 .0001 .0002 .0003
19 .0000 .0000 .0001 .0001
20 .0000 .0000
405
Таблица А.23. Вероятности верхнего хвоста распределения двусторонней
статистики Колмогорова — Смирнова Je, когда выполняется нулевая гипотеза-
п=. 1(1)20, т = 1(1)я*
Для заданных т, п и точки х в таблице приведены Ро {Z3 > х). При этом если
х таково, что Ро {Z3 х} = а, то /3 (а, т, п) = х**.
т -1, п = 1 т = 1, п - 4 т = 3, п - 5 т = 3, п - б
X .Рорз>*} х P0(J3>x) х х Ро(/3>х}
1 1.0000 4 .4000 12 .1429 15 .0357 4 .3333 5 .0952 6 .0238
nl = 1, п = 2 т - 2, и = 4
т = 4, П = 5
х P0(Z3>x} х Р0{/3>х}
х Ро{Ъ>х} т - 4, п = 6
2 .6667 4 .1333 X ( J, >
15 .1429 16 .0794
8 .1810
т = 2, п = 2 т = 3, п = 4 20 .0159 9 .0952 10 .0476
х P0{J3 >х} х Po{J3>x} т = 5, п = 5 12 .0095
2 .3333 9 .2286
х Р0(73>х} т = 5, п = 6
12 .0571
т = 1,я = 3 3 .3571 х Po{J3>x}
X Р0{Л>х} 4 .0794
т = 4, п ~ 4 5 .0079 20 .1082 24 .0476 25 .0260
3 .5000 х Po{z3 >х}
30 .0043
3 .2286 4 .0286 т = 1, п = 6
т = 2, п = 3 X Ро{j3 > xj- т = 6, и = 6
X Р0{Л>х}
т - 1, П - 5 6 .2857 Т1 о Йч X
б .2000
X P0{J3>x} 4 .1429
т = 2, п - 6
5 .0260
т = з, п = 3 5 .3333 X £ »< V X б .0022
х р0{^>х} 5 .2143
т - 2, П - 5 б .0714 т - 1, п = 7
3 .1000
X Ро{^3^Х} х РО{Л>Х}
8 .2857 7 .2500^
10 .0952
406
Таблица А.23 (продолжение)
т = 2,п = 7 т = 7, п = 7 т = 5, и = 8 т = 1,и = 9
х Ро{7з>х} х Po{J3>x) х ро { /3 > х} х Ро'/3>х}
12 -1667 14 .0556 4 .2121 5 .0530 6 .0082 27 .0793 9 .2000
30 .0420 .0202
32
т = 3, п = 7 7 .0006 35 .0093 .0016 т =2 -, п = 9
40 / _ \
X Po{Js>x} т = 1, п = 8 Х Ро\^3 xf
16 .1091
т = 6, п = 8
15 .1667 18 .0667 х po{J*>x} 18 .0364
{Рз > х}
8 .2222 х ро
21 .0167
.1392 .0926 т = 3, п = 9
14
15
т = 4, п = 7 т = 2, п = 8 16 17 18 .0606 .0426 .0226 х Ро{рз*х}
х РО{^ > х} Х PO\J3>X} 6 .2364
20 .0093 7 .0909
20 .1212 7 .1333 21 .0047 8 .0364
21 .0667 24 .0303 8 .0444 24 .0007 9 .0091
zh = 3, п = 8 т = 7 п = 8 = 4, л = 9
28 .0061
т = 5, п = 7 х Po{J3>x} х Р Л Л. о {Л >х} х Po{j3>x}
х Р0{^>х} 18 .1212 33 .1181 24 .1147
21 .0485 34 .0870 27 .0615
23 .1162 25 .0657 24 .0121 35 .0559 28 .0420
40 .0326 32 .0140
28 .0303 41 .0242 36 .0028
30 .0152 35 .0025 т = 4, п = 8 42 48 .0131 .0047
х Ро{/Э>х) 49 56 .0025 .0003 fn = 5, п = 9
т = 6, п = 7 5 .2222 X Р0{Л>х)
6 .0848 7 .0202
х Po{J3 >х} т - 8, л = 8 27 .1189 30 .0859
8 .0040
24 .1469 28 .0909 {А >х)
X Р А Л о 31 .0559 35 .0280
29 .0676 30 .0385 т = 5, п = 8 4 5 .2827 .0870 36 .0140 40 .0060
х PQ {/3 > х |
35 .0152 36 .0082 6 .0186 45 .0010
7 .0025
42 .0012 25 .1259 8 .0002
407
Таблица А.23 (продолжение)
т = 6, п = 9 т = 9, п = 9 т = 5, п = 10 m = 8, п = ю
х Л> {Л> > х} х РО{Л>Х} X Р л. г 0 (А >х} х Ро{Рз>х}
10 .1758 5 .1259 6 .1658 21 .1203
11 .0947 6 .0336 7 .0606 22 .0951
12 .0611 7 .0063 8 .0193 23 .0704
13 .0280 8 .0007 9 .0040 24 .0499
14 .0140 .0060 10 .0007 25 .0373
15 26 .0303
16 18 .0028 .0004 т= 1,п = 10 т = 6, п= 10 27 .0207 28 .0120
х Р0{/3>х} V р f г 30 .0070 31 .0050
Л О lv3 (
т = 7, и = 9 10 Д818 32 .0024
X Р Л о {а >*} 17 .1251 35 .0008
т = 2, п = 10 18 19 .0922 .0664
.1267
35 20 .0420 т = 9, п = 10
36 .0979 .0315
х Ро(7э>х) 21
38 .0787 22 .0190 х PQ { J3 > х|
40
.0551 8 .1818 9 .0909 24 .0090 .0040
42 .0341 25 45 .1056
45 .0210 .0149 10 .0303 27 .0017 50 .0839
47 30 .0003 51 .0746
49 .0075 52 .0603
54 56 .0028 .0014 т = 3, и = 10 53 .0446 54 .0303
т = 7, п = 10
.0002 х Ро{рз>х} 60 .0210
,U>x}
х ра 61 .0176
21 .1399 62 .0123
т = 8, п = 9 24 .0699 39 .1165 63 .0070
{А >х} 27 .0280 40 .0869 70 .0037
х рО 30 .0070 42 .0716 71 .0028
43 .0541 72 .0014
39 40 .1094 .0786 т = 4, п = 10 46 .0361 80 .0004
49 50 .0217 .0140
45 .0559
х Ро {/3 > х)
46 .0469 53 .0095 т = 10,« = 10
47 .0336 .0202 56 60 .0045 .0017
48 13 .1259 X PQ{J3>X}
54 .0112 14 .0839 63 .0008
5 .1678
55 .0083 15 .0460
56 .0043 16 .0300 6 .0524
63 .0014 18 .0100 7 .0123
64 .0007 20 .0020 8 .0021
9 .0002
408
Таблица А.23 (продолжение)
т = 1,п = 11 т = 5, п = 11 т = 8, п = 11 jn=10,n = ll
х Л> {А > *} х Р0{Рз>х} х Ро {А > х} X ро{рз>х}
.(1 .1667 45 .0096 47 .1012 60 .0432
50 .0027 48 .0815 66 .0339
т = 2, п = 11 55 .0005 50 .0653 53 .0468 67 .0303
68 .0242
55 .0329 69 .0173
х Ро {Р*>х} т = 6, И = 11 56 .0275 70 .0112
58 .0201 61 .0132 77 .0075 78 .0064
18 .1538 X Ро {А >х}
20 .0769 64 .0074 66 .0045 79 .0044 80 .0024
22 .0256 37 .1256
38 .0916 69 .0031 88 .0012
т = 3, 42 .0645 72 .0014 89 .0009
п - 11 43 .0478 77 .0005
{Л >х) 44 .0297
х Ро 48 49 .0213 .0133 т = 9, и = 11 т=11,и = 11
.1099 .0549 x Po \рз x}
54 55 .0060 .0027
24 27 т Р О
х ro\Ji xf
30 .0220 60 .ООН 5 .2115
33 .0055 66 .0002 50 .1134 6 .0747
52 .0893 7 .0207
54 .0696 8 .0044
т = 4, я = 11 т = 7, я = 11 55 .0577 9 .0007
57 .0501
X Р (Л > *} х Ро (А >х} 59 .0391
61 .0279 63 .0187 m = l,n=12
28 .1436 .1053
42
29 .0982 44 .0828 66 .0136 x ро{рз>х}
32 .0630 45 .0709 68 .0111
33 .0352 48 .0489 70 .0074 12 .1538
36 .0220 49 .0357 72 .0041
40 .0073 52 .0244 77 .0023
44 .0015 55 .0143 79 .0016 m = 2, n = 12
56 .0111 .0062 81 .0008
x po (A **
59
т- 5, п = 11 63 .0028
66 .0011 m = 10,« = ll 10 .1319
V Р х {А 70 .0005 11 .0659
х Po{J*>x} 12 .0220
34 .1058 .0737
35 56 .1061
39 .0440 57 .0915
40 .0293 58 .0747
44 .0137 59 .0578
409
Таблица А.23 (продолжение)
т = 3,л = 12 т = 7,И = 12 т -9,п = 12 т = 11 >И=12
х p0(J3>x} X РО{'*>Х} х Ро X Р о {Л >*}
8 .1890 44 .1265 26 .0046 84 .0131
9 .0879 46 .0978 27 .0025 85 .0118
10 .0440 48 .0745 28 .0014 86 .0093
11 .0176 49 .0648 29 .0010 87 .0064
12 .0044 51 .0503 .0344 88 96 .0040 .0026
53
т = 4, и = 12 56 58 .0241 .0169 т = 10 ,и = 12 97 98 .0022 .0015
(Л >*}
60 .0098 99 .0008
х p0{Ji>x} х Ро
63 .0073
65 .0042 29 1113
8 .1121 70 .0018 30 .0927
9 .0484 72 .0008 31 .0736 т = 12, п = 12
10 .0165 32 .0617 {Л >*}
И .0055 12 .000 33 34 .0489 .0370 х Ро
nt = 8,и = 12 .2558
35 .0277 5
т = 5,п = 12 X PO{J^X} 36 37 .0226 .0198 6 7 .0995 .0314 .0079 .0015 .0002
х PO{J*>X} 12 13 .1496 .0907 38 39 40 .0153 .0105 .0067 8 9 10
14 .0557
35 .1312 15 .0320 42 .0048
36 .0963 38 .0795 16 .0182 .0086 .0048 43 44 .0039 .0026
40 .0537 18 45 48 .0014 .0007 т = 1, и = 13
43 .0326 19 .0020 (Л >*}
45 .0210 48 .0100 50 .0068 20 .0009 х Ро
т = 11 ,п= 12 13 .1429
55 .0019 60 .0003 т = 9,и = 12 х Ро > х}
X 63 .1085 .0906 т = 2, и = 13
т = 6, п = 12 64
18 .1138 65 .0735 х ро (Л, >4
х PO(J3 > л1} 19 .0785 66 .0589
20 .0606 72 .0498 22 .1143
7 .1146 21 .0414 73 .0460 24 .0571
8 .0463 22 .0260 74 .0394 26 .0190
9 .0149 23 .0180 75 .0314
10 .0041 24 .0120 76 .0235
11 .0008 25 .0072 77 .0169
410
Таблица
А.23 (продолжение)
т =3,п = 13 т = б.я = 13 т = 8, п = 13 т = 10, п = 13
X х Ро {Л >х} X Р о {/3 X Ро {Рз >х}
27 .1250 48 .0509 70 .0124 77 .0243
30 .0714 52 .0341 72 .0087 78 .0183
33 .0357 53 .0294 75 .0058 80 .0162
36 .0143 54 .0195 78 .0031 81 .0133
39 .0036 59 .0106 80 .0024 84 .0099
60 .0069 83 .0013 87 .0066
65 .0029 88 .0006 90 .0042
т = 4:я = 13 66 72 .0021 .0005 91 94 .0031 .0025
Р 'Д о 1 э / п = 13
X т - 9, 97 100 .0016 .0008
32 35 36 .1328 .0891 .0664 m =7. п = 13 х Ро (
56 .1153 nt = И ,п = 13
39 .0378 59 .0980
40 .0294 49 .1113 60 .0808 X Р. (J3>x}
44 .0126 50 .0941 63 .0645
48 .0042 51 .0729 64 .0556 66 .1106
52 .0008 52 56 .0541 .0458 65 68 .0423 .0374 67 .0998
69 .0876
57 .0364 69 .0284 71 .0738
т = 5, п = 13 58 .0248 .0166 72 .0220 .0178 73 .0602
63 73 75 .0482
X 64 .0120 77 .0119 77 .0390
65 .0068 78 .0079 78 .0341
39 .1008 70 .0049 81 .0065 80 .0310
40 .0868 71 .0029 82 .0048 82 .0259
42 .0609 77 .0012 86 .0030 84 .0201
45 .0399 78 .0005 90 .0015 86 .0146
47 50 .0247 91 .0009 88 .0106
.0154 91 .0085
52 .0075 .0049 .0014 т = 8, п = 13 93 .0075
55 60 {Л > *} т - 1U. П - 1J 95 .0058
х Ро 97 .0039
65 .0002 х p,AJ>*x} 99 .0024
52 .1097 104 .0016
54 .0989 61 .1145 106 .0013
т = 6, п = 13 56 .0782 .0656 64 .0943 108 .0009
** Х} 57 65 .0774
X 59 .0532 67 .0710
62 .0390 68 .0586
42 .1151 64 .0288 70 .0492
46 .0862 65 .0224 71 .0426
47 .0709 67 .0192 74 .0328
411
Таблица А. 23 (продолжение)
т = 12, п = ГЗ т = 2,п = 14 HI = 5, п = 14 hi = 8, п = 14
X х! х Л>'А>Х} X Р0{/э >х} X Ро{^х\
70 .1083 12 .1000 56 .0057 28 1151
71 .0913 13 .0500 60 .0036 29 .0910
72 .0771 14 .0167 65 .0010 30 .0727
78 .0681 70 .0002 31 .0564
79 80 .0643 .0574 т = 3, п = 14 32 33 .0464 .0381
81 82 83 .0488 .0397 .0311 * Л> *) т = 6, п = 14 34 .0280 .0201 .0176
30 .1029 X 36
84 .0243 .0204 33 .0588 36 .0294 37 .0134 .0086
91 23 .1131 38
92 .0190 39 .0118 24 .0863 40 .0058
93 .0162 42 .0029 25 .0661 .0531 41 .0040
94 .0126 26 42 .0021
95 .0091 27 .0373 44 .0016
96 .0063 т = 4, п = 14 28 .0255 45 .0009
104 .0049 29 .0217
105 .0044 х P0{J3>x} 30 .0139
106 .0034 32 .0077 .0049 = 9 п = 14
18 .1059
107 .0023 33
108 .0014 19 .0719 35 .0021 X Р0{/э >4
117 .0009 20 .0523 36 .0014
21 .0301 39 .0004 62 .1006
22 .0229 63 .0821
т = 13, и = 13 24 .0098 26 .0033 = 7, и = 14 66 67 .0706 .0583
Л>{7э>*} т
28 .0007 70 .0455
X >х}
X 71 .0418
6 .1265 .0443 72 .0320
7 т = 5, п = 14 7 .1762 .0827 75 76 .0262 .0214
8 .0126 8
9 .0029 х Р0{Л>х) 9 .0331 80 .0149
10 .0005 10 .0118 81 .0108
41. .1084 11 .0034 84 .0081
= 1,и = 14 42 .0789 45 .0666 12 .0008 85 89 .0071 .0043
т
46 .0475 90 .0030
X Р f J > xl 50 .0303 51 .0191 94 98 .0019 .0010
14 .1333 55 .0115
412
Таблица А.23
(продолжение)
т = 10, п = 14 т = 11,» = 14
X Лэ >Л х} X Л>{ Л
33 .1071 107 .0024
34 .0913 НО .0014
35 .0758 112 .0010
36 .0623 .0498 115 .0008
37
38 .0424
39 40 .0339 .0265 tn = 12,» = 14
41 .0225 X Л> (А >
42 .0164
43 .0148 38 .1015
44 .0108 39 .0870
45 .0083 40 .0733
46 .0066 41 .0615
48 .0043 42 .0525
49 .0027 43 .0445
50 .0023 44 .0389
51 .0016 45 .0324
53 .0010 46 .0257
47 .0199
48 .0157
tn = 11, и = 14 49 50 .0136 .0125
X Лэ {Л 51 .0104
52 .0079 .0056
71 .1060 53
73 .0901 54 .0039
74 .0802 56 .0031
76 .0684 57 .0027
77 .0575 58 .0021
79 .0512 59 .0014
82 .0410 .0325 60 .0008
84
85 .0301
87 .0242 tn = 13,»= 14
88 .0202
90 93 .0174 .0131 X Л>{'э
96 .0094 77 .1111
98 .0068 78 .0972
99 .0061 84 .0885
101 .0049 85 .0847
104 .0037 86 .0777
т = 13, п = 14
X Лэ {Л ""х'
87 .0688
88 .0590
89 .0492
90 .0404
91 .0334
98 .0295
99 .0280
100 .0249
101 .0209
102 .0166
103 .0126
104 .0096
112 .0081
113 .0075
114 .0064
115 .0049
116 .0034
117 .0023
126 .0018
127 .0016
128 .0012
129 .0008
т = 14,п = 14
X
6 .1549
7 .0590
8 .0188
9 .0049
10 .0010
11 .0002
т = 1, п = 15
X Лэ {А х}
15 .1250
т = 2, п = 15
X л» {л х}
24 .1471
26 .0882
28 .0441
30 .0147
т = 3, и = 15
X Лэ (Л
10 .1618
11 .0858
12 .0490
13 .0245
14 .0098
15 .0025
т = 4, п = 15
X Лэ{Л
37 .1166
40 .0857
41 .0588
44 .0418
45 .0243
48 .0181
52 .0077
56 10026
60 .0005
т = 5, п = 15
X Лэ{лМ
9 .1095
10 .0519
11 .0233
12 .0088
13 .0027
14 .0008
413
Таблица А.23 (продолжение)
тп = 6, п = 15 тп = 8, п = 15 m = 10,л = 15 m = 12,77 = 15
X Р Л го {л > *) х ро {л >*} X Ро 1^3 X Лн^з > Xf
16 .1336 66 .0544 17 .0296 28 .0783
17 .0875 67 .0415 18 .0181 29 .0610
18 .0659 72 .0332 19 .0100 30 .0507
19 .0404 73 .0278 20 .0055 31 .0398
20 .0279 74 .0205 21 .0028 32 .0297
21 .0163 75 .0144 22 .0015 33 .0219
22 .0102 80 .0123 23 .0006 34 .0170
23 .0058 81 .0096 35 .0131
24 .0035 82 .0061 36 .0096
25 .0015 88 .0040 m = 11,71= 15 37 .0068
26 .0010 89 .0028 38 .0051
28 .0003 90 .0015 X ро 39 .0035
96 .ООП 40 .0025
97 .0006 75 .1041 41 .0018
тп = 7, п = 15 76 .0987 42 .0013
77 .0839 43 .0008
х Ро Из тп = 9, п = 15 79 .0762
80 .0683
55 .1008 х Ро {J3 > х) 83 .0564 tn = 13,77 = 15
56 .0794 84 .0479
60 .0626 22 .1006 87 .0398 X
61 .0578 23 .0733 88 .0322
62 .0467 24 .0590 90 .0284 85 .1016
63 .0341 25 .0418 91 .0265 87 .0882
68 .0244 26 .0297 94 .0205 89 .0766
69 .0200 27 .0223 95 .0175 90 .0679
70 .0136 28 .0148 98 .0136 91 .0646
75 .0085 29 .0104 99 .0105 92 .0599
76 .0075 30 .0073 102 .0088 94 .0541
77 .0048 31 .0048 105 .0062 96 .0470
83 .0024 32 .0029 106 .0056 98 .0395
84 .0015 33 .0020 109 .0040 100 .0325
90 .0006 34 .0013 НО .0031 102 .0265
35 .0007 113 .0024 104 .0222
117 .0015 105 .0201
тп = г, п = 15 120 .0009 107 .0189
тп = 10, п = 15 109
{/3 >х} 111 .0136
х Ро {/3 >х} tn = 12,71 = 15 ИЗ 115 .0105 .0079
60 .0856 14 .1181 X 117 .0061
64 .0777 15 .0774 120 .0053
65 .0678 16 .0498 27 .1010 122 .0048
414
Таблица А.23 (продолжение)
m = 13, п- 15 m = 15, и = 15
х 1 x 1
124 .0040 6 .1844
126 .0030 7 .0755
128 .0021 8 .0262
130 .0014 9 .0077
135 .0011 10 .0018
137 .0010 И .0004
тп = 14, и = 15 m = 1, п = 16
х P0{j3>x} x 1
91 .1068 16 .1176
92 .0998
93 .0908
94 .0807 .0702 тп = 2, п = 16
95 о {J*
96 .0601 X 1
97 .0511
98 .0441 13 .1307
105 .0402 14 .0784
106 .0386 15 .0392
107 .0355 16 .0131
108 109 110 111 .0311 .0262 .0214 тп = 3,71= 16
.0170
112 .0138 X 1 ’0U ^х}
120 .0122
121 .0117 33 .1156
122 .0104 36 .0722
123 .0086 39 .0413
124 .0067 42 .0206
125 .0049 45 .0083
126 .0037 48 .0021
135 .0031
136 .0029
137 138 .0024 .0018 тп - 4,71= 16
’0{Л >х}
139 140 .0013 .0008 X 1
10 .1280
11 .0702
12 .0338
771 =4 ,71 = 16 711 = 7,71 = 16
..Х.Р° { ^3 > х} х P0{J з >*}
13 .0144 57 .1073
14 .0062 59 .0940
15 .0021 61 .0766
16 .0004 63 .0598
64 .0481
m = 5 ,71 = 16 66 .0440
68 .0348
х Ро {'а >*} 70 .0250
73 .0183
45 .1168 75 .0147
48 .0882 77 .0098
49 .0798 80 .0063
50 .0602 82 .0054
54 .0410 84 .0034
55 .0302 89 .0017
59 .0183 91 .0011
60 .0136 96 .0004
64 .0068
65 .0055
70 .0021 771 = 8,71 = 16
75 .0006
х
771 = 6. ,71 = 16 8 .1256
9 .0579
х {Л 10 .0242
11 .0088
26 .1053 12 .0028
27 .0860 13 .0007
28 .0686
29 .0512
30 .0421 771 = 9,71 = 16
31 .0313
32 .0212 х PAJ3 >*}
33 .0186
34 .0124 67 .1186
36 .0076 69 .0999
37 .0043 71 .0843
39 .0026 72 .0748
40 .0011 74 .0660
42 .0008 76 .0543
78 .0432
80 .0352
81 .0327
415
Таблица
А.23 (продолжение)
т = 9, п = 16 т = 11,п = 16 т = 13, п = 16 т = 14,77 = 16
х Ро {а >х} х ро{'3>х} х / ’о
83 .0280 79 .1004 89 .1014 57 .0267
85 .0215 80 .0865 91 .0892 58 .0241
87 .0159 83 .0818 92 .0836 59 .0208
90 .0129 84 .0718 95 .0721 60 .0172
92 .0105 85 .0603 96 .0621 61 .0138
94 .0074 88 .0536 98 .0593 62 .0109
96 .0050 89 .0490 99 .0513 63 .0090
99 .0044 90 .0404 101 .0466 64 .0082
101 .0033 94 .0336 102 .0410 65 .0077
103 .0020 95 .0282 104 .0353 66 .0067
108 .0013 96 .0224 105 .0327 67 .0055
НО .0009 99 .0208 108 .0270 68 .0042
100 .0186 111 .0218 69 .0030
101 .0142 112 .0178 70 .0023
т = 10, п = 16 105 .0119 114 .0168 72 .0020
106 .0093 115 .0141 73 .0018
х Ро {а >*} НО .0070 117 .0123 74 .0015
111 .0060 118 .0112 75 .0011
37 .1017 112 .0042 121 .0090 76 .0007
38 .0876 116 .0037 124 .0068
39 ,0761 117 .0026 127 .0051
40 .0634 121 .0020 128 .0040 zn = 15,п =16
41 .0534 122 .0016 130 .0036
42 .0440 127 .0010 131 .0032 Х (7Э Х1
43 .0359 134 .0026
44 .0313 137 .0019 100 .1041
45 .0244 т - 12,71= 16 140 .0013 101 .0933
46 .0210 143 .0009 102 .0825
47 .0168 X Р о t7» > х} 103 .0723
48 .0127 104 .0633
49 .0117 21 .1132 т = 14,71 = 16 105 .0563
50 .0085 22 .0837 112 .0525
51 .0070 23 .0633 X Р 0 Х} 113 .0509
52 0056 24 .0469 114 .0476
54 .0037 25 .0336 47 .1046 115 .0430
55 .0026 26 .0243 48 .0934 116 .0378
56 .0019 27 .0166 49 .0816 117 .0322
57 .0017 28 .0115 50 .0712 118 .0270
59 .0010 29 .0081 51 .0637 119 .0224 Л1 0 1
30 .0052 52 .0556 120
31 .0033 53 .0477 128 .0175
32 .0023 54 .0404 129 .0169
33 .0014 55 .0343 130 .0155
34 .0008 56 .0301 131 .0135
416
Таблица А.23 (продолжение)
тп = 15, п = 16 тп = 3, п = Y1 тп = 6, .п = 17 тп = 8. ,71= 17
* ро{ А >х) х ро{р*>х} х Ро {Л > х) х Ро {А >х)
132 .0112 34 .1193 55 .1062 64 .1136
133 .0089 36 .0982 56 .0842 68 .0974
134 .0069 39 .0614 60 .0674 69 .0927
135 .0055 42 .0351 61 .0545 70 .0813
144 .0049 45 .0V5 62 .0403 71 .0674
145 .0047 48 .0070 66 .0325 72 .0537
146 .0042 51 .0018 67 .0245 77 .0439
147 .0034 68 .0164 78 .0391
148 .0026 72 .0141 79 .0315
149 .0019 тп = 4, п = 17 73 .0096 .0057 80 .0235
150 .0014 х Ро&>х} 78 85 .0180
160 .ООП 79 .0033 86 .0168
161 .0011 84 .0019 87 .0134
162 .0009 43 .1069 85 .0009 88 .0093
44 .0849 94 .0064
47 .0581 95 .0052
m = 16. , п = 16 48 .0461 тп = 7 ,71 = 17 96 .0034
51 .0277 102 .0020
х Ро{ Л > х) 52 .0234 х Ро yJ3 «я Л у 103 .0018
56 .0117 60 .1192 104 .0011
6 .2145 60 .0050 111 .0005
61 .0989
7 .0933 64 .0017
8 .0350 68 .0003 63 64 .0874 .0737
9 .0112 тп = 9 ,п = 17
.0030 67 .0590
10
и .0007 тп = 5,п = 17 68 70 .0458 .0423 х Ро {^з
х 71 .0339 73 .1051
тп = 1,1 ч= 17 74 .0263 .0187 74 .0911
48 .1198 77 75 .0764
х Р 1 о\ Л >х} 50 .0939 51 .0718 78 81 .0139 .0110 76 81 .0633 .0551 .0494
17 .1111 53 .0643 84 85 .0072 .0047 82
55 .0476 83 .0409
58 .0328 88 .0040 84 .0323
>n = 2,t п = 17 60 .0237 63 .0145 91 95 .0024 .0013 85 .0257
90 .0236
х Ро{ Л >х} 65 .0106 98 .0008 91 .0205
68 .0053 70 .0043 92 93 .0159 .0115
28 .1170
30 .0702 75 .0016 99 .0091
32 .0351 80 .0005 100 .0076
34 .0117 101 .0053
102 .0036
417
Таблица А. 23 (продолжение)
ти = 9, п- 17 т - 11,71 = 17 т - 12,71 = 17 т = 13,7) = 17
х p<AJ3>x} X Р о {J* х p0{Jl>x} х p0{J’>x)
108 .0031 87 .0775 115 .0140 140 .0024
109 .0024 88 .0660 117 .0115 143 .0020
110 .0014 91 .0600 119 .0089 144 .0017
117 .0009 92 .0548 120 .0084 148 .0012
93 .0460 122 .0074 152 .0008
97 .0385 124 .0055
m = 10, п = 17 98 .0334 127 .0046
99 .0270 129 .0035 т = 14,п = 17
х pAJ*>x} 102 .0239 132 .0026
103 .0228 134 .0022 х Р IJ. >х\
76 .1137 104 .0184 136 .0015 0 » 3 J
79 .0974 108 .0146 139 .0013 98 .1013
80 .0837 109 .0128 141 .0009 100 .0959
82 .0760 НО .0097 102 .0846
83 .0666 114 .0082 103 .0819
85 .0563 115 .0066 zn = 13,71 = 17 105 .0721
86 .0535 119 .0048 106 .0672
89 .0436 120 .0044 X Р о > 4 108 .0593
90 .0362 121 .0032 109 .0533
92 .0320 125 .0025 93 .1013 111 .0479
93 .0283 126 .0020 96 .0913 112 .0415
96 .0225 131 .0013 97 .0810 114 .0390
99 .0173 132 .0009 100 .0712 117 .0329
100 .0140 101 .0642 119 .0277
102 .0119 102 .0553 120 .0266
103 .0111 т - 12,71 = 17 104 .0530 122 .0225
106 .0082 105 .0497 123 .0205
109 .0059 х P„\J3>X1 106 .0422 125 .0178
110 .0049 109 0384 126 0153
113 .0039 88 .1057 ПО .0327 128 .0141
116 .0026 90 .0927 113 .0282 131 .0115
119 .0017 91 .0856 114 .0246 134 .0091
120 .0016 93 .0763 117 .0203 136 .0072
123 .0011 95 .0655 118 .0187 137 .0068
126 .0007 96 .0580 119 .0150 139 .0057
98 .0536 122 .0142 140 .0049
100 .0455 123 .0114 142 .0045
m = ll,n=17 102 .0385 126 .0100 145 .0036
103 .0368 127 .0083 148 .0026
Х P0{J*>X} 105 .0318 130 .0067 151 .0019
107 .0260 131 0060 253 0Q1 S
82 .1049 108 .0233 135 .0045 154 .0013
85 .0921 ПО .0211 136 .0033 156 0012
86 .0884 112 .0169 139 .0031 159 .0010
418
Таблица А. 23 (продолжение)
№ ~ 15, п = 17 т = 16, п = 17 т = 1,7»= 18 т = 5,и = 18
X 1
104 .1001 120 .0645 18 .1053 50 .1237
105 .0941 121 .0611 52 .0987
106 .0897 122 .0564 54 .0765
108 ПО .0820 .0736 123 .0509 124 .0450 т - 2, и = 18 55 .0700 .0524
’0{Л >*} 57
112 .0650 125 .0390 X f 60 .0382
114 .0568 126 .0335 62 .0266
116 .0495 127 .0288 15 .1053 65 .0188
118 .0434 128 .0254 16 .0632 67 .0117
119 .0392 136 .0238 17 .0316 70 .0083
120 .0378 .0358 137 .0231 138 .0217 18 .0105 72 .0042 .0033
121 75
123 .0331 139 .0195 80 .0012
125 .0295 140 .0169 141 .0142 tn = 3, п= 18 85 .0004
127 .0254
129 .0214 142 .0116 X I *0{Л М
131 133 .0177 .0147 143 .0095 144 .0080 т = 6, п = 18
.1444
12
135 .0128 153 .0073 13 .0842 х ро{- 73 >х}
136 .0119 154 .0071 14 .0526
138 .0114 155 .0065 15 .0301 10 .1010
140 .0103 156 .0056 16 .0150 И .0534
142 .0088 157 .0046 17 .0060 12 .0254
144 .0072 158 .0036 18 .0015 13 .0109
146 .0056 159 .0027 14 .0044
148 .0044 160 .0021 15 .0015
150 .0035 .0032 170 .0019 171 .0018 tn = 4, и = 18 16 .0004
153
155 .0030 172 .0016 X 1 > /г
157 .0027 173 .0013 т = 7, п = 18
159 22 .1203
.0021 174 .0010
161 .0016 23 .0902
163 .ООП 24 .0705 .0487
165 .0008 т= П,п = 17 25 63 .1108
26 .0380 65 .0949
х PO{J*>X} 27 .0230 66 .0851
16, и = 17 28 30 .0191 .0096 69 .0684
7 .1124
70 .0563
х 8 .0450 32 .0041 72 .0461
9 .0156 10 .0046 11 .0012 34 .0014 .0003 73 .0431 .0325
108 109 .1068 36 76
.0959 77 •02б4
110 .0857 12 .0002 80 .0202
111 .0767 83 .0142
112 .0699 84 .0118
119 .0661 87 .0083
419
Таблица А.23
(продолжение)
т = 7,п = 18 т = 10, п = 18 т = 11,и = 18 W = 13,п = 18
х Р0(Р , >х } * рЛр > х Ро U >*} х- Ро
90 .0054 40 .1167 108 .0192 107 .0592
91 .0048 41 .0988 ПО .0183 108 .0515
94 .0030 42 .0865 111 .0164 110 .0497
98 .0018 43 .0738 114 .0130 112 .0428
101 .0009 44 .0626 115 .0104 ИЗ .0380
45 .0548 118 .0090 115 .0350
46 .0472 121 .0067 117 .0293
т = 8, п = 18 47 .0398 122 .0058 118 .0273
48 .0323 125 .0045 120 .0239
Х Р0{Р , >х } 49 50 .0263 .0233 126 129 .0033 .0030 123 125 .0198 .0165
35 .1043 51 .0205 132 .0021 126 .0141
36 .0878 52 .0164 13.3 .0017 128 .0135
37 .0723 53 .0125 136 .0014 130 .0108
38 .0625 54 .0099 140 .0009 131 .0098
39 .0510 55 .0093 133 .0088
40 .0405 56 .0079 136 .0068
41 .0337 .0297 57 58 .0059 .0042 т = 11 !,п = 18 138 141 .0056 .0045
42
43 .0235 60 .0033 х Ро (Л > *} 143 .0034
44 .0174 61 .0027 144 .0030 .0029
45 .0135 62 .0018 15 .1357 146
46 .0126 63. .0012 16 .0945 149 .0021
47 .0098 65 .ООН 17 .0626 151 .0017
48 .0067 66 .0008 18 .0417 154 .0013
50 .0047 19 .0263 156 .0009
51 .0038 20 .0163
52 54 .0024 .0014 т = 11, п = 18 21 22 ,0097 .0057 14,п = 18
т -
.0013 х pAh>x\ .0031
55 23
56 .0008 24 .0017 ¥ Р I I- ¥ >
0 < 3 ’
86 .1080 25 .0009
.1101
88 .0975 51
/п = 9, п = 18 89 .0906 .0783 1,и = 18 52 .0998 .0900
х P0{J 90 92 т = 1; 53 54
.0751 .0803
3 **xf
О'? .0661 V р ( J А > х ] 55 .0712
8 .1724 96 .0571 56 .0625
9 .0879 97 .0484 97 .1101 57 .0553
10 .0413 99 .0440 99 .0979 58 .0480
И .0173 100 .0403 100 .0893 59 .0432
12 .0066 103 .0333 102 .0811 60 .0376
13 .0022 104 ,0282 104 .0710 61 .0327
14 0006 107 .0240 105 .0670 62 .0291
420
Таблица А.23 (продолжение)
т = 14,и = 18 т = 15, п = 18 т = 16,п = 18 т = 17, п - 18
X X X Ро{р>>х} х Ро { /э > х}
63 .0246 53 .0036 88 .0014 169 .0039
64 .0222 54 .0028 90 .0012 170 .0032
65 .0184 55 .0022 91 .0012 180 .0030
66 .0168 56 .0017 92 .0010 181 .0029
67 .0140 57 .0014 93 .0008 182 .0026
68 .0121 58 .0010 183 .0023
69 .0104 184 .0018
70 .0084 185 .0014
71 .0078 zn = 16, п = 18 т - 17,п = 18 186 .0010
72 .ииы 187 .0008
73 .0058 X X ^0 { *^3 Х }
74 .0045
75 .0040 57 .1017 117 .1002 т = 18, 71 = 18
76 .0033 58 .0930 118 .0913
77 .0026 59 .0841 119 .0846 х Ро {Л >*}
78 .0023 60 .0753 126 .0809
80 .0017 61 .0670 127 .0793 7 .1324
81 .0012 62 .0597 128 .0759 8 .0560
82 .0012 63 .0537 129 .0711 9 .0207
83 .0009 64 .0482 130 .0654 10 .0067
65 .0434 131 .0592 И .0018
66 .0395 132 .0528 12 .0004
т - 15, п - 18 67 .0351 133 0466
68 .0306 134 .0409
X 69 .0262 135 .0362 гп = 1, п = 19
70 0224 136 Д328
36 .1094 71 .0194 144 .0311 х Л> {Л >*}
37 .0956 72 .0173 145 .0304
38 .0811 73 .0159 146 .0289 19 .1000
39 .0672 74 .0148 147 .0266
40 .0552 75 .0131 148 .0238
41 .0460 76 .0112 149 .0207 т = 2, п = 19
42 .0398 77 .0092 150 .0177
43 .0334 78 .0075 151 .0149 х ро {Л
44 .0271 79 .0061 152 0126
45 .0216 80 .0052 153 .0111 30 .1429
46 .0174 81 .0049 162 .0104 32 .0952
47 .0144 82 .0047 163 .0101 34 .0571
48 .0119 83 .0043 164 .0095 36 .0286
49 .0095 84 .0036 165 .0085 38 .0095
.0075 85 .0029 166 .0073
51 .0059 86 .0022 167 .0060
52 .0047 87 .0017 168 .0048
421
Таблица
А. 23 (продолжение)
т = 3,п = 19 т = 6, л = 19 т = 8,л = 19 т = 9, ,л= 19
X •^о { 7э х ) X ^*0 \ 73 х} X {7з х} х Р ’о >х/
39 .1091 60 .1011 72 .1100 107 .0091
42 .0727 64 .0820 74 .0971 108 .0065
45 .0455 65 .0708 76 .0817 114 .0048
48 .0260 66 .0558 77 .0781 115 .0045
51 .0130 70 .0429 79 .0651 116 .0036
54 .0052 71 .0377 80 .0568 117 .0024
57 .0013 72 .0284 82 .0486 124 .0016
76 .0201 85 .0391 125 .0013
77 .0187 87 .0310 126 .0008
т = 4, л - 19 78 .0135 88 .0276
83 .0085 90 .0228
X \ А х/ 84 .0062 93 .0177 т = 10, л = 19
.0130
95
48 .1016 90 .0025 96 .0122 х Р
49 .0768 95 .0011 98 .0095
52 .0592 96 .0009 101 .0073 84 .1022
53 .0411 104 .0049 85 .0893
56 .0316 106 .0035 90 .0814
57 .0192 т = 7,л = 19 109 .0028 91 .0755
60 .0158 112 .0017 92 .0666
64 .0079 X М А > 114 .0011 93 .0566
68 .0034 67 .1048 117 .0009 94 .0475
72 .0011 95 .0408
76 .0002 69 .0880 100 .0387
70 .0795 т = 9,л= 19 101 .0354
72 .0676 102 .0300
т = 5,и = 19 74 .0541 X р0{г, >х} 103 .0243
104
X ?о(7э 77 .0413 79 .1067 по .0169
79 .0338 80 O9J7 111 0151
55 .1020 81 .0254 81 .0778 112 .0122
56 .0822 84 .0202 86 .0681 113 .0092
57 .0630 86 .0157 87 .0633 114 .0072
60 .0570 88 .0109 88 .0552 120 .0066
61 .0431 91 .0089 89 .0458 121 .0057
65 .0309 93 .0064 90 .0371 122 .0043
66 .0217 95 .0040 95 .0313 123 .0030
70 .0152 98 .0036 96 .0301 130 .0023
71 .0095 100 .0023 97 .0263 131 .0019
75 .0066 105 .0013 98 .0211 132 .0013
76 .0034 107 .0007 99 .0161 133 .0008
80 .0026 105 .0129
85 .0010 106 .0115
422
Таблица А.23
(продолжение)
т = 11, и = 19 т = 12, и = 19 tn = 13, п = 19 т - 14, п = 19
х Л> (Л > х) {/,>*} х Pq (л >*} X {А > х f
91 .1044 113 .0352 130 .0182 140 .0126
92 .0935 114 .0305 131 .0170 143 .0117
94 .0847 116 .0294 132 .0141 144 .0102
95 .0735 118 .0252 133 .0116 148 .0083
97 .0708 120 .0207 137 .0111 149 .0068
99 .0610 121 .0190 138 .0095 152 .0057
100 .0565 123 .0173 139 .0075 153 .0055
102 .0491 125 .0140 143 .0066 154 .0043
103 .0426 128 .0116 144 .0061 157 ,0039
105 .0390 130 .0099 145 .0047 158 .0035
108 .0323 132 .0077 150 .0038 162 .0027
ПО .0269 133 .0069 151 .0031 163 .0022
111 .0244 135 .0065 152 .0023 167 .0017
113 .0211 137 .0051 156 .0022 168 .0013
114 .0175 140 .0040 157 .0019 171 .0011
116 .0167 147 ..0035 158 .0014 172 .0011
119 .0131 144 .0025 163 .0012 176 .0008
121 .0106 147 .0022 164 .0009
122 ,0093 149 .0017
124 .0082 152 .0012 т ~ 15,И = 19
127 .0064 154 .0011 т = 14, и = 19 •^о {'э
130 132 .0047 .0038 156 .0008 х Рп {Л X
133 .0032 112 .1093
135 .0030 ли = 13, п = 19 107 .1033 114 .1000
138 .0021 110 .0952 115 .0976
141 .0015 X {А >х} 111 .0869 116 .0881
143 0012 112 0773 118 0817
146 .0009 101 .1030 114 .0735 119 .0775
104 .0965 115 .0716 120 .0690
105 .0919 116 .0638 122 .0660
т = 12, п =19 106 .0825 119 .0566 123 .0609
107 .0726 120 .0533 126 .0537
х Ра {/3 111 .0657 121 .0466 127 .0483
112 .0599 124 .0420 130 .0430
97 .1003 113 .0522 125 .0382 131 .0378
99 .0902 114 .0458 126 .0327 133 .0343
101 .0791 117 .0442 129 .0308 134 .0334
102 .0710 118 .0418 130 .0270 135 .0288
104 .0662 119 .0363 133 .0230 137 .0273
106 .0578 120 .0308 134 .0224 138 .0256
108 .0499 124 .0283 135 .0189 141 .0218
109 .0465 125 .0251 138 .0166 142 .0195
111 .0416 126 .0209 139 ,0154 145 .0168
423
Таблица А.23 (продолжение)
т = 15,п = 19 т = 16, п = 19 т = 17, п= 19 т = 18.» = 19
X {А х} X Р0 U >*} X Ро X Pq (. а >х;
146 .0144 152 .0153 153 .0222 152 .0394
149 .0127 154 .0148 154 .0213 153 .0387
150 .0105 155 .0128 156 .0201 154 .0371
152 .0099 157 .0119 Г58 .0183 155 .0347
153 .0096 158 .0107 160 .0161 156 .0318
156 .0078 160 .0094 162 .0138 157 .0285
157 .0071 161 .0089 164 .0117 158 .0250
160 .0058 164 .0075 166 .0098 159 .0217
161 .0050 167 .0061 168 .0083 160 .0188
164 .0043 170 .0049 170 .0074 161 .0164
165 .0034 171 .0040 171 .0070 162 .0148
168 .0031 173 .0039 173 .0068 171 .0141
171 .0024 174 .0034 175 .0063 172 .0138
172 .0023 176 .0030 177 .0056 173 .0131
175 .0018 177 .0028 179 .0047 174 .0121
176 .0016 180 .0024 181 .0039 175 .0107
179 .0012 183 .0019 183 .0031 176 .0092
180 .0010 186 .0014 185 .0025 177 .0077
189 .ООП 187 .0021 178 .0064
190 .0009 190 .0019 179 .0053
т = 16, zi = 19 192 194 .0019 .0017 180 190 .0046
.0044
X Р 1 Г > т = 17, л = 19 196 198 200 .0014 .0011 .0009 191 192 193 .0043 .0040 .0036
119 .1054 X Л,''»**}
120 122 .0963 .0898 194 .0031
124 .1045- 195 .0025
123 125 .0825 .0754 126 128 .0953 .0864 т = 18, п =19 196 197 .0020 .0015
126 128 .0703 .0631 130 132 .0782 .0710 X Ро > х} 198 209 .0013 .0012
129 .0607 133 .0651 126 .1004 210 .0011
132 .0538 134 .0637 133 .0968 211 .0010
133 .0476 135 .0596 134 .0951 212 .0009
135 .0464 136 .0567 135 .0917
136 .0412 137 .0548 136 .0869
138 139 .0389 .0348 139 141 .0508 .0462 137 138 .0812 .0748 т = 19, л = 19
141 142 .0318 .0292 143 145 .0412 .0363 139 140 .0681 .0614 X Ро'^ >4
144 .0257 147 .0318 141 .0550 7 .1532
145 .0246 149 .0279 142 .0493 8 .0681
148 .0211 151 .0248 143 .0445 9 .0267
151 .0179 152 .0228 144 .0411 10 .0092
424
Таблица А.23
^продолжение)
т = 19, п = 19
X
11 .0028
12 .0007
tn = 1, n = 20
X P0{j3>x}
19 .1905
20 .0952
tn = 2, n = 20
X ^0 { ^3 x]
16 .1299
17 .0866
18 .0519
19 .0260
20 .0087
tn = 3,n = 20
X {A x}
40 .1107
42 .0949
45 .0632
48 .0395
51 .0226
54 .0113
57 .0045
60 .0011
tn = 4,w = 20
X
12 .1383
13 .0866
14 .0501
15 .0265
т - 4, п = 20
X Л) {^3 x}
16 .0132
17 .0066
18 .0028
19 .0009
tn = 5,n = 20
X Лп A x}
11 .1441
12 .0848
13 .0469
14 .0253
15 .0123
16 .0053
17 .0021
18 .0008
tn = 6, n = 20
X ^0 { A x }
32 .1005
33 .0819
34 .0672
35 .0573
36 .0447
37 .0348
38 .0303
39 .0225
40 .0161
41 .0148
42 .0106
44 .0068
45 .0048
47 .0027
48 .0020
50 .0009
tn -7,п = 20 tn = 9, п = 20
X {J3 >х} X Л> {А > х}
71 .1013 82 .1052
72 .0852 84 .0952
73 .0707 86 .0830
77 .0631 88 .0707
78 .0543 90 .0601
79 .0434 91 .0534
80 .0347 93 .0491
84 .0324 95 .0422
85 .0268 97 .0347
86 .0200 99 .0281
91 .0156 100 .0241
92 .0123 102 .0230
93 .0085 104 .0198
98 .0068 106 .0157
99 .0050 108 .0119
100 .0031 111 .0097
105 .0027 113 .0086
106 .0018 115 .0067
112 .0010 117 .0047
120 .0036
122 .0033
tn - 8, и = 20 124 .0026
126 .0017
X 131 .ООП
133 .0009
19 .1156
20 .0869
21 .0615 tn - 10, и = 20
22 .0441
23 .0304 X /’о (а
24 .0211
25 .0135 9 .1218
26 .0092 10 .0623
27 .0055 11 .0290
28 .0037 12 .0124
29 .0021 13 .0048
30 .0013 14 .0017
31 .0007 15 .0005
425
Таблица A.23 (продолжение )
m = 11, м = 20 m - 12, n = 20 w 3 13, n = 20 m = 14, n = 20
X Po {/, >x} X Л>{ A x} X p0{A >*} X po (J, >x]
94 .1091 32 .0183 156 .0030 88 .0015
96 .0964 33 .0137 160 .0026 89 .0012
98 .0855 34 .0100 .0070 161 162 .0025 .0020 90 .0009
99 .0780 35
100 .0727 36 .0052 167 .0015
101 103 .0703 .0624 37 38 .0036 .0024 168 169 .0013 .0009 m = 15, n = 20
105 .0538 39 .0017 X \J3 > x }
107 109 .0459 .0398 40 .0011
41 .0008 m = 14, n =20 24 .1019
ПО .0368 ^0 {a 25 .0790
112 .0338 X 26 .0611
114 .0292 m = 13,n = 20 27 .0461 .0347
116 .1063
.0241 56 28
118 120 .0198 .0171 X РО{Л>Х} 57 58 .0947 .0860 29 30 .0261 .0190
121 .0164 107 .1044 59 .0768 31 .0136
123 .0148 108 .0993 60 .0698 32 .0099
125 .0123 109 .0899 61 .0627 33 .0070
127 .0096 110 .0798 62 .0554 34 .0049
129 .0076 114 .0723 63 .0491 35 .0034
132 .0067 115 .0669 64 .0441 36 .0023
134 .0059 116 .0591 65 .0389 37 .0015
136 .0046 117 .0519 66 .0336 38 .0010
138 .0034 120 .0488 67 .0305 39 .0006
140 .0026 121 .0475 68 .0275
143 .0025 122 .0426 69 .0234
145 147 .0021 123 127 .0366 .0323 70 .0204 .0187 m = 16, n =20
.0015 71
149 .0010 128 .0304 72 .0159 X Po x /
154 .0008 129 .0262 73 .0133 .0123
.1085
130 .0221 74 31
134 .0205 75 .0108 32 .0889
m = 12, n =20 135 136 .0184 .0152 76 77 .0088 .0076 33 34 .0724 .0598
X Pq {A > x} 140 141 142 .0129 .0126 78 79 .0071 .0058 35 36 .0489 .0393
25 .1148 .0107 80 .0047 37 .0314
26 .0906 143 .0086 81 .0045 38 .0251
27 .0724 147 .0078 82 .0038 39 .0197
28 .0555 148 .0072 83 .0029 40 .0154
29 .0429 149 .0057 84 .0026 41 .0121
30 .0330 154 .0046 85 .0024 42 .0095
31 .0249 155 .0039 86 .0018 43 .0072
4z6
Та б л и ц а А. 23 (продолжение)
т - 16, п = 20 т - 17, и = 20 т = 18,л = 20 т = 19,и = 20
X (А > X Рз > X (А > х} X
44 .0054 181 .0064 90 .0101 170 .0208
45 .0041 183 .0054 91 .0095 171 .0192
46 .0032 184 .0050 92 .0089 180 .0184
47 .0023 186 .0045 93 .0081 181 .0182
48 .0017 187 .0040 94 .0071 182 .0174
49 .0012 189 .0038 95 .0060 183 .0163
50 .0009 192 .0031 96 .0050 184 .0148
195 .0025 97 .0041 185 .0132
т = 17, и = 20 198 .0020 98 .0035 186 .0114
Л>{Л >х} 200 .0016 99 .0031 187 .0098
X 201 .0015 100 .0029 188 .0083
203 .0013 101 .0028 189 .0072
129 .1060 204 .0012 102 .0026 190 .0064
130 .0986 206 .ООП 103 .0023 200 .0061
132 1 ,0916 209 .0009 104 .0019 201 .0060
105 .0016 202 .0058
135 .0791 т = 18, и = 20 106 .0012 203 .0053
136 .0717 107 .0010 204 .0047
138 .0694 X {А > х } 205 .0040
140 .0625 nt - 19,и = 20 206 .0033
141 .0613 67 .1072 207 .0027
143 .0551 68 .0985 X Л> (А >х} 208 .0022
144 .0527 69 .0904 209 .0019
146 .0475 70 .0833 143 .1037 220 .0018
147 .0443 71 .0761 144 .0979 221 .0017
149 .0403 72 .0692 145 .0914 222 .0016
150 .0366 73 .0632 146 .0845 223 .0015
152 .0340 74 .0583 147 .0776 224 .0012
153 .0302 75 .0531 148 .0707 225 .0010
155 .0291 76 .0479 149 .0642
158 .0254 77 .0428 150 .0584 т = 20, п = 20
160 ,0221 78 .0381 151 .0537
161 .0216 79 .0341 152 .0503 X к А > х /
163 .0189 80 .0310 160 .0486
164 .0178 81 .0284 161 .0479 7 .1745
166 .0158 82 .0262 162 .0463 8 .0811
167 .0144 83 .0243 163 .0439 9 .0335
169 .0132 84 .0220 164 .0408 10 .0123
170 .0115 85 .0194 165 .0373 11 .0040
172 .0110 86 .0169 166 .0335 12 .0011
175 .0094 87' .0145 167 .0298 13 .0003
178 .0078 88 .0125 168 .1)26'3
180 .0065 89 .0110 169 .0232
* Заимствовано из [220, табл. 2.1, с. 90—128] с разрешения авторов н издателя,
** В [477] приведена табл. 6.5а точных критических значений статистики
°m,n = sup|Gm (х) — Fn (х)|, немного отличающейся от J3 (34) в гл. 10 данной
427
Таблица А.24. Накопленные вероятности для предельного распределения
двусторонней статистики Колмогорова — Смирнова JJ, когда выполняется ну-
левая гипотеза*
Для заданного X в таблице**
~ ?о (^ < X) •
СО
приведены значения Q (%) = 2 ( — 1/ e~2;,^’==
/= — ОО
Л. 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.3 .0000 .0000 .0000 .0001 .0002 .0003 .0005 .0008 .0013 .0019
0.4 .0028 .0040 .0055 .0074 .0097 .0126 .0160 .0200 .0247 .0300
0.5 .0361 .0428 .0503 .0585 .0675 .0772 .0876 .0987 .1104 .1228
0.6 .1357 .1492 .1632 .1778 .1927 .2080 .2236 .2396 .2558 .2722
0.7 .2888 .3055 .3223 .3391 .3560 .3728 .3896 .4064 .4230 .4395
0.8 .4559 .4720 .4880 .5038 .5194 .5347 .5497 .5645 .5791 .5933
0.9 .6073 .6209 >6343 .6473 .6601 .6725 .6846 .6964 .7079 .7191
1.0 .7300 .7406 .7508 .7608 .7704 .7798 .7889 .7976 .8061 .8143
1.1 .8223 .8299 .8374 .8445 .8514 .8580 .8644 .8706 .8765 .8823
1.2 .8877 .8930 .8981 .9030 .9076 .9121 .9164 .9206 .9245 .9283
1.3 .9319 .9354 .9387 .9418 .9449 .9478 .9505 .9531 .9556 .9580
1.4 .9603 .9625 .9646 .9665 .9684 .9702 .9718 .9734 .9750 .9764
1.5 .9778 .9791 .9803 .9815 .9826 .9836 .9846 .9855 .9864 .9873
1.6 .9880 .9888 .9895 .9902 .9908 .9914 .9919 .9924 .9929 .9934
1.7 .9938 .9942 .9946 .9950 .9953 .9956 .9959 .9962 .9965 .9967
1.8 .9969 .9971 .9973 .9975 .9977 .9979 .9980 .9981 .9983 .9984
1.9 .9985 .9986 .9987 .9988 .9989 .9990 .9991 .9991 .9992 .9993
2.0 .9993 .9994 .9994 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997
2.1 .9997 .9997 .9997 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9999 .9999
2.2 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999
2.3 .9999 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
книги, для п = 1 (1) 20, т = 1 (1) п и уровней значимости Q = 1,2, 5, 10%.
Эта таблица составлена по таблицам [478], где для 1 т п 50 даны кри-
тические значения тп/ N Dm.n (Q), а также по [769], где табулированы функции
распределения Dm>n, 10. В книге [577, VIII, 30, Х,31, с. 117—123
и табл. 55, с. 360—363], приведены верхние критические точки с = тп Dm для
т = 1 (1) 25, п = т (1) 25 и уровней значимости а = 0.10, 0.05, 0.025, 0.01,
0.005, 0.001. Эти таблицы заимствованы из того же источника, что и табл. А.23.
Во втором издании упомянутых таблиц [220], которое вышло в 1973 г., при-
ведены верхние процентные точки Dm,n для т^п = 1 (1) 25 при 0.001 < а <
< 0.10 и для т < п = 1 (1) 100 при а = 0.10, 0.05, 0.025, 0.01, 0.005, 0.001. ~~
Примеч. пер.
** Заимствовано из [128, табл. VIII] с разрешения автора н издателя.
* Более подробные таблицы в [477], [534], [286, табл. 15.6]. — Примеч. пер-
428
Таблица А.25. Вероятности верхнего хвоста распределения статистики
Хёфдинга D, когда выполняется нулевая гипотеза: п = 5(1)9*
Приведены величины, определенные в (10.43), причем значения d (а, 5) даны в ви-
де (х/60) в таблице, где п. = 5; значения d (а, 6) даны в виде (х/180) в таблице,
РДе п = 6; значения d (а, 7) даны в виде (х/1260) в таблице, где п = 7; значения
(1 (а, 8) даны в виде (х/1680) в таблице, где п = 8; наконец, значения d (а, 9)
даны в виде (х/7560) в таблице, где п — 9.
п =5 и = 7 и = 8
х Ро {D (*/60)} х Р0 (х/1260)} х Ро{ D> (х/1680)}
- 1 0 2 1.0000 .8667 .0667 12 14 18 24 30 42 .0714 .0333 .0302 .0111 .0079 .0016 15 16 17 .0442 .0315 .0272
п = б 18 19 21 .0256 .0196 .0181 .0149 .0129 .0095 .0079 .0071 .0048 .0040 .0024 .0016 .0014
х P0{D> (х/180)} 1.0000 .9556 .6444 .2444 .0667 .0556 .0111 п = & 22 24 25
- 1 0 1 2 3 б х Ро -12 -11 -10 - 9 {d> (х/1680)} 1.0000 .9984 .9937 .9929 26 28 30 34 36 38 40
7 - 8 - 7 - 6 .9635 .9294 .9278 46 56 .0010 .0002
п -
х Р0 (х/1260)} - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 .8119 .7389 .7268 .6093 .4728 .4625 .3704 .2776 .2726 .2028 .1675 .1659 .1222 .1000 .0992 .0706 .0635 .0627 .0522 п = 9
-11 - 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 2 3 4 б 8 9 1.0000 .9873 .9365 .8857 .8730 .8286 .6889 .5873 .4984 .4857 .3460 .2238 .1857 .1794 .0905 .0778 х Pq { -44 -43 -42 -39 -38 -37 -36 -35 -34 -33 -32 -31 -30 -29 D> (х/7560)} 1.0000 .9992 .9985 .9984 .9977 .9942 .9936 .9900 .9851 .9837 .9773 .9750 .9708 .9611
* Заимствовано из [185] с разрешения автора и издателя. Значения для п = 8, 9
вычислил S.P. Leach на вычислительной машине CDC 6400 в университете штата
Флорида.
42$
Таблица А.25 (продолжение)
п = 9 п = 9 п = 9
х P0(D> (х/7560)} х P0{D> (х/7560)} х P0{D> (х/7560)}
-28 .9569 16 .1864 60 .0313
-27 .9442 17 .1762 61 .0296
-26 .9263 18 .1721 62 .0294
-25 .9206 19 .1589 63 .0279
-24 .9028 20 .1552 64 .0274
-23 .8893 21 .1455 65 .0266
-22 .8744 22 .1417 66 .0264
-21 .8547 23 .1329 67 .0258
-20 .8475 24 .1311 68 .0241
-19 .8243 25 .1207 69 .0215
-18 .8014 26 .1175 70 .0214
-17 .7837 27 ,1140 71 .0207
-16 .7580 28 .1118 72 .0205
-15 .7349 29 .1066 74 .0181
-14 .7177 30 .1050 75 .0171
-13 .6791 31 .0962 76 .0170
-12 .6631 32 .0928 77 .0152
-11 .6383 33 .0859 78 .0151
-10 .6214 34 .0836 79 .0144
- 9 .6007 35 .0819 82 .0142
- 8 .5834 36 .0782 83 .0136
- 7 .5489 37 .0737 84 .0135
- 6 .5308 38 .0725 86 .0130
- 5 .5069 39 .0688 87 .0128
- 4 .4934 40 .0676 88 .0119
- 3 .4574 41 .0637 89 .0110
- 2 .4413 42 .0628 90 .0110
- 1 .4140 43 .0580 91 .0107
0 .4088 44 .0565 92 .0104
1 .3856 45 .0543 94 .0084
2 .3700 46 .0539 96 .0078
3 .3501 47 .0533 97 .0071
4 .3390 48 .0515 98 .0069
5 .3186 49 .0468 102 .0067
6 .3106 50 .0459 104 .0062
7 .2905 51 .0427 105 .0061
8 .2816 52 .0407 106 .0060
9 .2591 53 .0386 107 .0059
10 .2539 54 .0384 108 .0058
11 .2400 55 .0367 112 .0052
12 .2332 56 .0359 114 .0043
13 .2090 57 .0333 116 .0041
14 .2017 58 .0329 118 .0037
15 .1926 59 .0315 120 .0037
430
Таблица А.25 (продолжение)
п-9 я«9 я = 9
х P0{d > (х/7560)} х Ро {D > (х/7560)} х Ро {О > (х/7560)}
121 .0035 142 .0016 172 .0006
122 .0033 146 .0016 182 .0005
126 .0030 150 .0014 192 .0003
127 .0028 152 .0014 202 .0002
128 .0026 157 .0010 222 .0001
132 .0023 158 .0009 252 ,0000
138 .0018 162 .0008
Таблица А.26. Вероятности верхнего хвоста предельного распределения
статистики Блюма — Кифера — Розенблатта (л4яВ/2), когда выполняется
нулевая гипотеза*
Для заданного у в таблице приведены V (у) яа Ро {л4п5/2) > у}. В частности,
если V (у) = а, то у = Ь^, где 6(а) — верхняя а%-ная точка асимптоти-
ческого распределения (л4п5/2) при верности нуль-гипотезы.
У У(У) У У(У) У У(У) У V(y) У Vfy).
.30 1.0000 1.35 .3648 2.40 .0864 3.45 .0244 4.50 .0074
.35 .9999 1.40 .3387 2.45 .0812 3.50 .0230 4.55 .0070
.40 .9991 1.45 .3146 2.50 .0762 3.55 .0217 4.60 .0066
.45 .9961 1.50 .2924 2.55 .0716 3.60 .0205 4.65 .0063
.50 .9884 1.55 .2719 2.60 .0673 3.65 .0194 4.70 .0059
.55 .9739 1.60 .2530 2.65 .0633 3.70 .0183 4.75 .0056
.60 .9513 1.65 .2355 2.70 .0595 3.75 .0173 4.80 .0053
.65 .9210 1.70 .2194 2.75 .0560 3.80 .0163 4.85 .0050
.70 .8841 1.75 .2045 2.80 .0527 3.85 .0154 4.90 .0047
.75 .8422 1.80 .1908 2.85 .0496 3.90 .0145 4.95 .0045
.80 .7971 1.85 .1781 2.90 .0467 3.95 .0137 5.00 .0042
.85 .7504 1.90 .1663 2.95 .0440 4.00 .0130 5.50 .0025
.90 .7035 1.95 .1554 3.00 .0414 4.05 .0123 6.00 .0014
.95 .6573 2.00 .1453 3.05 .0390 4.10 .0116 6.50 .0008
1.00 .6127 2.05 .1359 3.10 .0368 4.15 .0110 7.00 .0005
1.05 .5701 2.10 .1273 3.15 .0347 4.20 .0104 7.50 .0003
1.10 .5297 2.15 .1192 3.20 .0327 4.25 .0098 8.00 .0002
1.15 .4918 2.20 .1117 3.25 .0308 4.30 .0093 8.50 .0001
1.20 .4565 2.25 .1047 3.30 .0291 4.35 .0087 9.00 .0001
1.25 .4236 2.30 .0982 3.35 .0274 4.40 .0083 9.50 .0000
1.30 .3930 2.35 .0921 3.40 .0259 4.45 .0078 10.00 .0000
* Заимствовано из [46] с разрешения авторов и издателя,
431
Таблица А.27. Некоторые критические значения распределения статистики
Холлендера—Прошаиа Т, когда выполняется нулевая гипотеза: « = 4(1)20(5)50*
Для заданных п и а в таблице приводятся нижние критические точки (а, п),
такие, что Ро {Т (а, п)} « а, верхние критические точки /2 (а, л), такие’
что Ро {Т > t2 (а, л)} =s а. [Вероятности на хвостах оценивались методом Монте-
Карло. Числа в круглых скобках соответствуют верхним (нижним) критическим
точкам х и равны вероятностям Ро {Т > х} (Ря х}). Эти числа в круглых
скобках приведены для тех оценок на хвостах, которые не попадают внутрь ин-
тервала длиной 0.002 с центром в номинальном уровне значимости а.]
Нижний „хвост”
п а .01 .025 .05 075 .10
4 0(.0б7) К.103)
5 0(.018) 1(.028) 2(.040) 3(.072) 4
6 2 5(.028) 7 8(.О61) 9(.086)
7 7 11 14(.О45) 1б(.072) 18(.Ю5)
8 15 21 25 28 30
9 27 34 40 44 47
10 42 52 60 65 69
11 63 76 86 92 97
12 89 105 117 125 131
13 122 141 157 167 174
14 162 185 204 215 223
15 209 236 259 272 282
16 266 298 323 338 350
17 330 368 397 415 429
18 405 446 480 502 518
19 490 538 577 601 619
20 594 642 685 713 732
25 1250 1351 1427 1472 1507
30 2320 2463 2574 2651 2704
35 3850 4064 4215 4316 4394
40 5947 6214 6434 6593 6700
45 8665 9040 9341 9543 9686
50 12170 12661 13020 13255 13439
* Заимствовано из [197] с разрешения авторов и издателя.
432
Таблица А. 27 (продолжение)
п а верхний „хвост"
.01 .025 .05 .075 .10
4
5 1О(.177)
6 2О(.О53) 19(.167)
7 35 34(.О47) ЗЗС-ЮЗ)
8 55 54 53 52(,083) 52(.О83)
9 81 80(.019) 78 77 76
10 114 112 ПО Ю9(.О67) 1О7(.1О7)
11 155 152(.028) 15О(.О46) 148(.070) 146
12 205 201 198(.О47) 195 193
13 264 260 255 252(,072) 249
14 334 328 322 318 315
15 415 408 401 396 392
16 508 499 491 484 480
17 613 603 593 586 580
18 732 720 709 700 693
19 866 852 838 828 820
20 1015 998 982 970 961
25 2018 1986 1956 1934 1918
30 3521 3461 3411 3375 3349
35 5625 5546 5464 5403 5359
40 8418 8301 8189 8113 8049
45 12012 11864 11709 11600 11502
50 16519 16310 16085 15937 15823
433
Таблица А.28. Квадратные корни: п = I (1) 500 (10) 5000.
В таблице для всех целых чисел п от 1 до 500 содержатся значения "|/л и "|/Юл*
Л \Гп 716л Л •fn 71757 Л Тп 7 10»
1 1.000 3.162 44 6.633 20.976 87 9.327 29.496
2 1.414 4.472 45 6.708 21.213 88 9.381 29.665
3 1.732 5.477 46 6.782 21.448 89 9.434 29.833
4 2.000 6.325 47 6.856 21.679 90 9.487 30.000
5 2.236 7.071 48 6.928 21.909 91 9.539 30.166
6 2.449 7.746 49 7.000 22.136 92 9.592 30.332
7 2.646 8.367 50 7.071 22.361 93 9.644 30.496
8 2.828 8.944 51 7.141 22.583 94 9.695 30.659
9 3.000 9.487 52 7.211 22.804 95 9.747 30.822
10 3.162 10.000 53 7.280 23.022 96 9.798 30.984
И 3.317 10.488 54 7.348 23.238 97 9.849 31.145
12 3.464 10.954 55 7.416 23.452 98 9.899 31.305
13 3.606 11.402 56 7.483 23.664 99 9.950 31464
14 3.742 11.832 57 7.550 23.875 100 10.000 31.623
15 3.873 12.247 58 7.616 24.083 101 10.050 31.780
16 4.000 12.649 59 7.681 24.290 102 10.100 31.937
17 4.123 13.038 60 7.746 24.495 103 10.149 32.094
18 4.243 13.416 61 7.810 24.698 104 10.198 32.249
19 4.359 13.784 62 7.874 24.900 105 10.247 32.404
20 4.472 14.142 63 7.937 25.100 106 10.296 32.558
21 4.583 14.491 64 8.000 25.298 107 10.344 3Z711
22 4.690 14.832 65 8.062 25.495 108 10.392 31863
23 4.796 15.166 66 8.124 25.690 109 10.440 33.015
24 4.899 15.492 67 8.185 25.884 110 10.488 33.166
25 5.000 15.811 68 8.246 26.077 111 10.536 33.317
26 5.099 16.125 69 8.307 26.268 112 10.583 33.466
27 5.196 16.432 70 8.367 26.458 ИЗ 10.630 33.615
28 5.292 16.733 71 8.426 26.646 114 10.677 33.764
29 5.385 17.029 72 8.485 26.833 115 10.724 33.912
30 5.477 17.321 73 8.544 27.019 116 10.770 34.059
31 5.568 17.607 74 8.602 27.203 117 10.817 34.205
32 5.657 17.889 75 8.660 27.386 118 10.863 34.351
33 5.745 18.166 76 8.718 27.568 119 10.909 34.496
34 5.831 18.439 77 8.775 27.749 120 10.954 34.641
35 5.916 18.708 78 8.832 27.928 121 11.000 34.785
36 6.000 18.974 79 8.888 28.107 122 11.045 34.928
37 6.083 19.235 80 8.944 28.284 123 11.091 35.071
38 6.164 19.494 81 9.000 28.460 124 11.136 35.214
39 6.245 19.748 82 9.055 28.636 125 11.180 35.355
40 6.325 20.000 83 9.110 28.810 126 11.225 35.496
41 6.403 20.248 84 9.165 28.983 127 11.269 35.637
42 6.481 20.494 85 9.220 29.155 128 11.314 35.777
43 6.557 20.736 86 9.274 29.326 129 11.358 35.917
* Читателю, у которого есть потребность в более подробных или обширных
таблицах, можно рекомендовать (530]. — Примеч. пер.
434
Таблица А. 28 (продолжение)
п Л Лой п х/л* 7 10«’ Л Л Лой
130 11.402 36.056 176 13.266 41.952 222 14.900 47.117
131 11.446 36.194 177 13.304 42.071 223 14.933 47.223
132 11.489 36.332 178 13.342 42.190 224 14.967 47.329
133 11.533 36.469 179 13.379 42.308 225 15.000 47.434
134 11.576 36.606 180 13.416 42.426 226 15.033 47.539
135 11.619 36.742 181 13.454 42.544 227 15.067 47.645
136 11.662 36.878 182 13.491 42.661 228 15.100 47.749
137 11.705 37.014 183 13.528 42.778 229 15.133 47.854
138 11.747 37.148 184 13.565 42.895 230 15.166 47.958
139 11.790 37.283 185 13.601 43.012 231 15.199 48.062
140 11.832 37.417 186 13.638 43.128 232 15.232 48.166
141 11.874 37.550 187 13.675 43.243 233 15.264 48.270
142 11.916 37.683 188 13.711 43.359 234 15.297 48.374
143 11.958 37.815 189 13.748 43.474 235 15.330 48.477
144 12.000 37.947 190 13.784 43.589 236 15.362 48.580
145 12.042 38.079 191 13.820 43.704 237 15.395 48.683
146 12.083 38.210 192 13.856 43.818 238 15.427 48.785
147 12.124 38.341 193 13.892 43.932 239 15.460 48.888
148 12.166 38.471 194 13.928 44.045 240 15.492 48.990
149 12.207 38.601 195 13.964 44.159 241 15.524 49.092
150 12.247 38.730 196 14.000 44.272 242 15.556 49.193
151 12.288 38.859 197 14.036 44.385 243 15.588 49.295
152 12.329 38.987 198 14.071 44.497 244 15.620 49.396
153 12.369 39.115 199 14.107 44.609 245 15.652 49.497
154 12.410 39.243 200 14.142 44.721 246 15.684 49.598
155 12.450 39.370 201 14.177 44.833 247 15.716 49.699
156 12.490 39.497 202 14.213 44.944 248 15.748 49.800
157 12.530 39.623 203 14.248 45.056 249 15.780 49.900
158 12.570 39.749 204 14.283 45.166 250 15.811 50.000
159 12.610 39.875 205 14.318 45.277 251 15.843 50.100
160 12.649 40.000 206 14.353 45.387 252 15.875 50.200
161 12.689 40.125 207 14.387 45.497 253 15.906 50.299
162 12.728 40.249 208 14.422 45.607 254 15.937 50.398
163 12.767 40.373 209 14.457 45.717 255 15.969 50.498
164 12.806 40.497 210 14.491 45.826 256 16.000 50.596
165 12.845 40.620 211 14.526 45.935 257 16.031 50.695
166 12.884 40.743 212 14.560 46.043 258 16.062 50.794
167 12.923 40.866 213 14.595 46.152 259 16.093 50.892
168 12.961 40.988 214 14.629 46.260 260 16.125 50.990
169 13.000 41.110 215 14.663 46.368 261 16.155 51.088
170 13.038 41.231 216 14.697 46.476 262 16.186 51.186
171 13.077 41.352 217 14.731 46.583 263 16.217 51.284
172 13.115 41.473 218 14.765 46.690 264 16.248 51.381
173 13.153 41.593 219 14.799 46.797 265 16.279 51.478
174 13.191 41.713 220 14.832 46.904 266 16.310 51.575
175 13.229 41.833 221 14.866 47.011 267 16.340 51.672
435
Таблица А.28 (продолжение)
п \Гп Лой п \Гп Лой п ЛГ Лой
268 16.371 51.769 314 17.720 56.036 360 18.974 60.000
269 16.401 51.865 315 17.748 56.125 361 19.000 60.083
270 16.432 51.962 316 17.776 56.214 362 19.026 60.166
271 16.462 52.058 317 17.804 56.303 363 19.053 60.249
272 16.492 52.154 318 17.833 56.391 364 19.079 60.332
273 16.523 52.249 319 17.861 56.480 365 19.105 60.415
274 16.553 52.345 320 17.889 56.569 366 19.131 60.498
275 16.583 52.440 321 17.916 56.657 367 19.157 60.581
276 16.613 52.536 322 17.944 56.745 368 19.183 60.663
277 16.643 52.631 323 17.972 56.833 369 19.209 60.745
278 16.673 52.726 324 18.000 56.921 370 19.235 60.828
279 16.703 52.820 325 18.028 57.009 371 19.261 60.910
280 16.733 52.915 326 18.055 57.096 372 19.287 60.992
281 16.763 53.009 327 18.083 57.184 373 19.313 61.074
282 16.793 53.104 328 18.111 57.271 374 19.339 61.156
283 16.823 53.198 329 18.138 57.359 375 19.365 61.237
284 16.852 53.292 330 18.166 57.446 376 19.391 61.319
285 16.882 53.385 331 18.193 57.533 377 19.416 61.400
286 16.912 53.479 332 18.221 57.619 378 19.442 61.482
287 16.941 53.572 333 18.248 57.706 379 19.468 61.563
288 16.971 53.666 334 18.276 57.793 380 19.494 61.644
289 17.000 53.759 335 18.303 57.879 381 19.519 61.725
290 17.029 53.852 336 18.330 57.966 382 19.545 61.806
291 17.059 53.944 337 18.358 58.052 383 19.570 61.887
292 17.088 54.037 338 18.385 58.138 384 19.596 61.968
293 17.117 54.129 339 18.412 58.224 385 19.621 62.048
294 17.146 54.222 340 18.439 58.310 386 19.647 62.129
295 17.176 54.314 341 18.466 58.395 387 19.672 62.209
296 17.205 54.406 342 18.493 58.481 388 19.698 62.290
297 17.234 54.498 343 18.520 58.566 389 19.723 62.370
298 17.263 54.589 344 18.547 58.652 390 19.748 62.450
299 17.292 54.681 345 18.574 58.737 391 19.774 62.530
300 17.321 54.772 346 18.601 58.822 392 19.799 62.610
301 17.349 54.863 347 18.628 58.907 393 19.824 62.690
302 17.378 54.955 348 18.655 58.992 394 19.849 62.769
303 17.407 55.045 349 18.682 59.076 395 19.875 62.849
304 17.436 55.136 350 18.708 59.161 396 19.900 62.929
305 17.464 55.227 351 18.735 59.245 397 19.925 63.008
306 17.493 55.317 352 18.762 59.330 398 19.950 63.087
307 17.521 55.408 353 18.788 59.414 399 19.975 63.166
308 17.550 55.498 354 18.815 59.498 400 20.000 63.246
309 17.578 55.588 355 18.841 59.582 401 20.025 63.325
310 17.607 55.678 356 18.868 59.666 402 20.050 63.403
311 17.635 55.767 357 18.894 59.749 403 20.075 63.482
312 17.664 55.857 358 18.921 59.833 404 20.100 63.561
313 17.692 55.946 359 18.947 59.917 405 20.125 63.640
436
Таблица А. 28 (продолжение)
п 77 JWn п •fn Лой п Jn •J 10м
406 20.149 63.718 438 20.928 66.182 470 21.679 68.557
407 20.174 63.797 439 20.952 66.257 471 21.703 68.629
408 20.199 63.875 440 20.976 66.332 472 21.726 68.702
409 20.224 63.953 441 21.000 66.408 473 21.749 68.775
410 20.248 64.031 442 21.024 66.483 474 21.772 68.848
411 20.273 64.109 443 21.048 66.558 475 21.794 68.920
412 20.298 64.187 444 21.071 66.633 476 21.817 68.993
413 20.322 64.265 445 21.095 66.708 477 21.840 69.065
414 20.347 64.343 446 21.119 66.783 478 21.863 69.138
415 20.372 64.420 447 21.142 66.858 479 21.886 69.210
416 20.396 64.498 448 21.166 66.933 480 21.909 69.282
417 20.421 64.576 449 21.190 67.007 481 21.932 69.354
418 20.445 64.653 450 21.213 67.082 482 21.954 69.426
419 20.469 64.730 451 21.237 67.157 483 21.977 69.498
420 20.494 64.807 452 21.260 67.231 484 22.000 69.570
421 20.518 64.885 453 21.284 67.305 485 22.023 69.642
422 20.543 64.962 454 21.307 67.380 486 22.045 69.714
423 20.567 65.038 455 21.331 67.454 487 22.068 69.785
424 20.591 65.115 456 21.354 67.528 488 22.091 69.857
425 20.616 65.192 457 21.378 67.602 489 22.113 69.929
426 20.640 65.269 458 21.401 67.676 490 22.136 70.000
427 20.664 65.345 459 21.424 67.750 491 22.159 70.071
428 20.688 65.422 460 21.448 67.823 492 22.181 70.143
429 20.712 65.498 461 21.471 67.897 493 22.204 70.214
430 20.736 65.574 462 21.494 67.971 494 22.226 70.285
431 20.761 65.651 463 21.517 68.044 495 22.249 70.356
432 20.785 65.727 464 21.541 68.118 496 22.271 70.427
433 20.809 65.803 465 21.564 68.191 497 22.293 70.498
434 20.833 65.879 466 21.587 68.264 498 22.316 70.569
435 20.857 65.955 467 21.610 68.337 499 22.338 70.640
436 20.881 66.030 468 21.633 68.411 500 22.361 70.711
437 20.905 66.106 469 21.656 68.484
437
Таблица А.29. Натуральные логарифмы: х = 1 (.01) 10*
Табулированы значения In х для различных значений х. Отыскивая In у при
у = 10fc х, где k — любое вещественное число, 1 < х < 10, мы используем со-
отношение 1п у = k In 10 + In х, значения In х и In 10 = 2.3026 берем из таблицы.
X 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
1.0 .0000 .0100 .0198 .0296 .0392 .0488 .0583 .0677 .0770 .0862
1.1 .0953 .1044 .1133 .1222 .1310 .1398 .1484 .1570 .1655 .1740
1.2 .1823 .1906 .1989 .2070 .2151 .2231 .2311 .2390 .2469 .2546
1.3 .2624 .2700 .2776 .2852 .2927 .3001 .3075 .3148 .3221 .3293
1.4 .3365 .3436 .3507 .3577 .3646 .3716 .3784 .3853 .3920 .3988
1.5 .4055 .4121 .4187 .4253 .4318 .4383 .4447 .4511 .4574 .4637
1.6 .4700 .4762 .4824 .4886 .4947 .5008 .5068 .5128 .5188 .5247
1.7 .5306 .5365 .5423 .5481 .5539 .5596 .5653 .5710 .5766 .5822
1.8 .5878 .5933 .5988 .6043 .6098 .6152 .6206 .6259 .6313 .6366
1.9 .6419 .6471 .6523 .6575 .6627 .6678 .6729 .6780 .6831 .6881
2.0 .6931 .6981 .7031 .7080 .7129 .7178 .7227 .7275 .7324 .7372
2.1 .7419 .7467 .7514 .7561 .7608 .7655 .7701 .7747 .7793 .7839
2.2 .7885 .7930 .7975 .8020 .8065 .8109 .8154 .8198 .8242 .8286
2.3 .8329 .8372 .8416 .8459 .8502 .8544 .8587 .8629 .8671 .8713
2.4 .8755 .8796 .8838 .8879 .8920 .8961 .9002 .9042 .9083 .9123
2.5 .9163 .9203 .9243 .9282 .9322 .9361 .9400 .9439 .9478 .9517
2.6 .9555 .9594 .9632 .9670 .9708 .9746 .9783 .9821 .9858 .9895
2.7 .9933 .9969 1.0006 1.0043 1.0080 1.0116 1.0152 1.0188 1.0225 1.0260
2.8 1.0296 1.0332 1.0367 1.0403 1.0438 1.0473 1.0508 1.0543 1.0578 1.0613
2.9 1.0(>47 1.0682 1.0716 1.0750 1.0784 1.0818 1.0852 1.0886 1.0919 1.0953
3.0 1.0986 1.1019 1.1053 1.1086 1.1119 1.1151 1.1184 1.1217 1.1249 1.1282
3.1 1.1314 1.1346 1.1378 1.1410 1.1442 1.1474 1.1506 1.1537 1.1569 1.1600
3.2 1.1632 1.1663 1.1694 1.1725 1.1756 1.1787 1.1817 1.1848 1.1878 1.1909
3.3 1.1939 1.1969 1.2000 1.2030 1.2060 1.2090 1.2119 1.2149 1.2179 1.2208
3.4 1.2238 1.2267 1.2296 1.2326 1.2355 1.2384 1.2413 1.2442 1.2470 1.2499
3.5 1.2528 1.2556 1.2585 1.2613 1.2641 1.26 69 1.2698 1.2726 1.2754 1.2782
3.6 1.2809 1.2837 1.2865 1.2892 1.2920 1.2947 1.2975 1.3002 1.3029 1.3056
3.7 1.3083 1.3110 1.3137 1.3164 1.3191 1.3218 1.3244 1.3271 1.3297 1.3324
3.8 1.3350 1.3376 1.3403 1.3429 1.3455 1.3481 1.3507 1.3533 1.3558 1.3584
3.9 1.3610 1.3635 1.3661 1.3686 1.3712 1.3737 1.3762 1.3788 1.3813 1.3838
4.0 1.3863 1.3888 1.3913 1.3938 1.3962 1.3987 1.4012 1.4036 1.4061 1.4085
4.1 1.4110 1.4134 1.4159 1.4183 1.4207 1.4231 1.4255 1.4279 1.4303 1.4327
4.2 1.4351 1.4375 1.4398 1.4422 1.4446 1.4469 1.4493 1.4516 1.4540 1.4563
4.3 1.4586 1.4609 1.4633 1.4656 1.4679 1.4702 1.4725 1.4748 1.4770 1.4793
4.4 1.4816 1.4839 1.4861 1.4884 1.4907 1.4929 1.4951 1.4974 1.4996 1.5019
4.5 1.5041 1.5063 1.5085 1.5107 1.5129 1.5151 1.5173 1.5195 1.5217 1.5239
4.6 1.5261 1.5282 1.5304 1.5326 1.5347 1.5369 1.5390 1.5412 1.5433 1.5454
4.7 1.5476 1.5497 1.5518 1.5539 1.5560 1.5581 1.5602 1.5623 1.5644 1.5665
4.8 1.5686 1.5707 1.5728 1.5748 1.5769 1.5790 1.5810 1.5831 1.5851 1.5872
4.9 1.5892 1.5913 1.5933 1.5953 1.5974 1.5994 1.6014 1.6034 1.6054 1.6074
5.0 1.6094 1.6114 1.6134 1.6154 1.6174 1.6194 1.6214 1.6233 1.6253 1.6273
5.1 1.6292 1.6312 1.6332 1.6351 1.6371 1.6390 1.6409 1.6429 1.6448 1.6467
5.2 1.64'87 1.6506 1.6525 1.6544 1.6563 1.6582 1.6601 1.6620 1.6639 1.6658
5,3 1.6677 1.6696 1.6715 1,6734 1.6752 1.6771 1.6790 1.6808 1.6827 1.6845
* Сведения о более подробных таблицах см. в [536]. — Примеч. пер.
438
Таблица А. 29 (продолжение)
X 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
5.4 1.6864 1.6882 1.6901 1.6919 1.6938 1.6956 1.6974 1.6993 1.7011 1.7029
5.5 1.7047 1.7066 1.7084 1.7102 1.7120 1.7138 1.7156 1.7174 1.7192 1.7210
5.6 1.7228 1.7246 1.7263 1.7281 1.7299 1.7317 1.7334 1.7352 1.7370 1.7387
5.7 1.7405 1.7422 1.7440 1.7457 1.7475 1.7492 1.7509 1.7527 1.7544 1.7561
5.8 1.7579 1.7596 1.7613 1.7630 1.7647 1.7664 1.7681 1.7699 1.7716 1.7733
5.9 1.7750 1.7766 1.7783 1.7800 1.7817 1.7834 1.7851 1.7867 1.7884 1.7901
6.0 1.7918 1.7934 1.7951 1.7967 1.7984 1.8001 1.8017 1.8034 1.8050 1.8066
6.1 1.8083 1.8099 1.8116 1.8132 1.8148 1.8165 1.8181 1.8197 1.8213 1.8229
6.2 1.8245 1.8262 1.8278 1.8294 1.8310 1.8326 1.8342 1.8358 1.8374 1.8390
6.3 1.8405 1.8421 1.8437 1.8453 1.8469 1.8485 1.8500 1.8516 1.8532 1.8547
6:4 1.8563 1.8579 1.8594 1.8610 1.8625 1.8641 1.8656 1.8672 1.8687 1.8703
6.5 1.8718 1.8733 1.8749 1.8764 1.8779 1.8795 1.8810 1.8825 1.8840 1.8856
6.6 1.8871 1.8886 1.8901 1.8916 1.8931 1.8946 1.8961 1.8976 1.8991 1.9006
6.7 1.9021 1.9036 1.9051 1.9066 1.9081 1.9095 1.9110 1.9125 1.9140 1.9155
6.8 1.9169 1.9184 1.9199 1.9213 1.9228 1.9242 1.9257 1.9272 1.9286 1.9301
6.9 1.9315 1.9330 1.9344 1.9359 1.9373 1.9387 1.9402 1.9416 1.9430 1.9445
7.0 1.9459 1.9473 1.9488 1.9502 1.9516 1.9530 1.9544 1.9559 1.9573 1.9587
7.1 1.9601 1.9615 1.9629 1.9643 1.9657 1.9671 1.9685 1.9699 1.9713 1.9727
7.2 1.9741 1.9755 1.9769 1.9782 1.9796 1.9810 1.9824 1.9838 1.9851 1.9865
7.3 1.9879 1.9892 1.9906 1.9920 1.9933 1.9947 1.9961 1.9974 1.9988 2.0001
7.4 2.0015 2.0028 2.0042 2.0055 2.0069 2.0082 2.0096 2.0109 2.0122 2.0136
7.5 2.0149 2.0162 2.0176 2.0189 2.0202 2.0215 2.0229 2.0242 2.0255 2.0268
7.6 2.0281 2.0295 2.0308 2.0321 2.0334 2.0347 2.0360 2.0373 2.0386 2.0399
7.7 2.0412 2.0425 2.0438 2.0451 2.0464 2.0477 2.0490 2.0503 2.0516 2.0528
7.8 2.0541 2.0554 2.0567 2.0580 2.0592 2.0605 2.0618 2.0631 2.0643 2.0656
7.9 2.0669 2.0681 2.0694 2.0707 2.0719 2.0732 2.0744 2.0757 2.0769 2.0782
8.0 2.0794 2.0807 2.0819 2.0832 2.0844 2.0857 2.0869 2.0882 2.0894 2.0906
8.1 2.0919 2.0931 2.0943 2.0956 2.0968 2.0980 2.0992 2.IOO5 2.1017 2.1029
8.2 2.1041 2.1054 2.1066 2.1078 2.1090 2.1102 2.1114 2.1126 2.1138 2.1150
8.-3 2.1163 2.1175 2.1187 2.1199 2.1211 2.1223 2.1235 2.1247 2.1258 2.1270
8.4 2.1282 2.1294 2.1306 2.1318 2.1330 2.1342 2.1353 2.1365 2.1377 2.1389
8.5 2.1401 2.1412 2.1424 2.1436 2.1448 2.1459 2.1471 2.1483 2.1494 2.1506
8.6 2.1518 2.1529 2.1541 2.1552 2.1564 2.1576 2.1587 2.1599 2.1610 2.1622
8.7 2.1633 2.1645 2.1656 2.1668 2.1679 2.1691 2.1702 2.1713 2.1725 2.1736
8.8 2.1748 2.1759 2.1770 2.1782 2.1793 2.1804 2.1815 2.1827 2.1838 2.1849
8.9 2.1861 2.1872 2.1883 2.1894 2.1905 2.1917 2.1928 2.1939 2.1950 2.1961
9.0 2.1972 2.1983 2.1994 2.2006 2.2017 2.2028 2.2039 2.2050 2.2061 2.2072
9.1 2.2083 2.2094 2.2105 2.2116 2.2127 2.2138 2.2148 2.2159 2.2170 2.2181
9.2 2.2192 2.2203 2.2214 2.2225 2.2235 2.2246 2.2257 2.2268 2.2279 2.2289
9.3 2.2300 2.2311 2.2322 2.2332 2.2343 2.2354 2.2364 2.2375 2.2386 2.2396
9.4 2.2407 2.2418 2.2428 2.2439 2.2450 2.2460 2.2471 2.2481 2.2492 2.2502
9.5 2.2513 2.2523 2.2534 2.2544 2.2555 2.2565 2.2576 2.2586 2.2597 2.2607
9.6 2.2618 2.2628 2.2638 2.2649 2.2659 2.2670 2.2680 2.2690 2.2701 2.2711
9.7 2.2721 2.2732 2.2742 2.2752 2.2762 2.2773 2.2783 2.2793 2.2803 2.2814
9.8 2.2824 2.2834 2.2844 2.2854 2.2865 2.2875 2.2885 2.2895 2.2905 2.2915
9.9 2.2925 2.2935 2.2946 2.2956 2.2966 2.2976 2.2986 2.2996 2.3006 2.3016
10.0 2.3026
439
Таблица А.ЗО. Критические значения коэффициента ранговой корреляции
Спирмэна г для двусторонних и односторонних вероятностей
а(2) и а(1) соответственно*
а (2) а (1) .50 .25 .20 .10 .10 .05 .05 .025 .02 .01 .01 .005 .005 .0025 .002 .001 .001 .0005
п=4 .600 1.000 1.000
5 .500 .800 .900 1.000 1.000
6 .371 .657 .829 .886 .943 1.000 1.000
7 .321 .571 .714 .786 .893 .929 .964 1.000 1.000
8 .310 .524 .643 .738 .833 .881 .905 .952 .976
9 .267 .483 .600 .700 .783 .833 .867 .917 .933
10 .248 .455 .564 .648 .745 .794 .830 .879 .903
11 .236 .427 .536 .618 .709 .755 .800 .845 .873
12 .224 .406 .503 .587 .671 .727 .776 .825 .860
13 .209 .385 .484 .560 .648 .703 .747 .802 .835
14 .200 .367 .464 .538 .622 .675 .723 .776 .811
15 .189 0.354 .443 .521 .604 .654 .700 .754 .786
16 .182 .341 .429 .503 .582 .635 .679 .732 .765
17 .176 .328 .414 .485 .566 .615 .662 .713 .748
18 .170 .317 .401 .472 .550 .600 .643 .695 .728
19 .165 .309 .391 .460 .535 .584 .628 .677 .712
20 .161 .299 .380 .447 .520 .570 .612 .662 .696
21 .156 .292 .370 .435 .508 .556 .599 .648 .681
22 .152 .284 .361 .425 .496 .544 .586 .634 .667
23 .148 .278 .353 .415 .486 .532 .573 .622 .654
24 .144 .271 .344 .406 .475 .521 .562 .610 .642
25 .142 .265 .337 .398 .466 .511 .551 .598 .630
26 .138 .259 .331 .390 .457 .501 .541 .587 .619
27 .136 .255 .324 .382 .448 .491 .531 .577 .608
28 .133 .250 .317 .375 .440 .483 .522 .567 .598
29 .130 .245 .312 .368 .433 .475 .513 .558 .589
30 .128 .240 .306 .362 .425 .467 .504 .549 .580
31 126 .236 .301 .356 .418 .459 .496 .541 .571
32 .124 .232 .296 .350 .412 .452 .489 .533 .563
33 .121 .229 .291 .345 .405 .446 .482 .525 .554
34 .120 .225 .287 .340 .399 .439 .475 .517 .547
35 .118 .222 .283 .335 .394 .433 .468 .510 .539
• В этой таблице, добавленной при переводе, приведены точные критические значения,
пересчитанные из табл. 13.2 1286] для л=4(1)11, и приближенные критические значения дл"
п=12(1)50(2) 100, полученные с помощью аппроксимации кривой Пирсона типа н-
Таблица заимствована из [783], где сопоставляется точное распределение и приближенное.
Относительная ошибка для п> 11 н а(1)>0.05 не превышает 3% (примерно). Для
14, 15, 16 есть точные таблицы распределения, а именно: для л=12 и для л=13(1)16 в [7uuj.
Л С \2
в книге [216] они доведены до л-13, это таблицы распределения статистики s— У
сравните с формулой (8.12). При л, ббльших, чем в таблице, следует пользоваться прибли-
жением (639) (см. примечание к § 8.1). — Примеч. пер.
Таблица А.ЗО (прддолжение)
«1 dt .50 .25 .20 .10 .10 .05 .05 .025 .02 .01 .01 .005 .005 .0025 .002 .001 .001 .0005
я=3б 1.16 .219 .279 .330 .388 .427 .462 .504 .533
37 . 114 .216 .275 .325 .383 .421 .456 .497 .526
38 .113 .212 .271 .321 .378 .415 .450 .491 .519
39 .111 .210 .267 .317 .373 .410 .444 .485 .513
40 .110 .207 .264 .313 .368 .405 .439 .479 .507
41 .108 .204 .261 .309 .364 .400 .433 .473 .501
42 .107 .202 .257 .305 .359 .395 .428 .468 .493
43 .105 .199 .254 .301 .355 .391 .423 .463 .490
44 .104 .197 .251 .298 .351 .386 .419 .458 .484
45 .103 .194 .248 .294 .347 .382 .414 .453 .479
46 .102 .192 .246 .291 .343 .378 .410 .448 .474
47 .101 .190 .243 .288 .340 .374 .405 .443 .469
48 .100 .188 .240 .285 .336 .370 .401 .439 .465
49 .098 .186 .238 .282 .333 .366 .397 .434 .460
50 .097 .184 .235 .279 .329 .363 .393 .430 .456
52 .095 .180 .231 .274 .323 .356 .386 .422 .447
54 .094 .177 .226 .268 .317 .349 .379 .414 .439
56 .092 .174 .222 .264 .311 .343 .372 .407 .432
58 .090 .171 .218 .259 .306 .337 .366 .400 .424
60 .089 .168 .214 .255 .300 .331 .360 .394 .418
62 .087 .165 .211 .250 .296 .326 .354 .388 .411
64 .086 .162 .207 .246 .291 .321 .348 .382 .405
66 .084 .160 .204 .243 .287 .316 .343 .376 .399
68 .083 .157 .201 .239 .282 .311 .338 .370 .393
70 .082 .155 .198 .235 .278 .307 .333 .365 .388
72 .081 .153 .195 .232 .274 .303 .329 .360 .382
74 .080 .151 .193 .229 .271 .299 .324 .355 .377
76 .078 .149 .190 .226 .267 .295 .320 .351 .372
78 .077 .147 .188 .223 .264 .291 .316 .346 .368
80 .076 .145 .185 .220 .260 .287 .312 .342 .363
82 .075 .143 .183 .217 .257 .284 .308 .338 .359
84 .074 .141 .181 .215 .254 .280 .305 .334 .355
86 .074 .139 .179 .212 .251 .277 .301 .330 .351
88 .073 .138 .176 .210 .248 .274 .298 .327 .347
90 .072 .136 .174 .207 .245 .271 .294 .323 .343
92 .071 .135 .173 .205 .243 .268 .291 .319 .339
94 .070 .133 .171 .203 .240 .265 .288 .316 .336
96 .070 .132 .169 .201 .238 .262 .285 .313 .332
98 .069 .130 .167 .199 .235 .260 .282 .310 .329
100 .068 .129 .165 .197 .233 .257 .279 .307 .326
441
Номограмма А.1. /-распределение, число степеней свободы
п=1(1)6(2)12(4)20, оо
Точка (х, у) на кривой, соответствующая п степеням свободы, удовлетворяет
уравнению Р {U^x} =у, где U имеет /-распределение с п степенями свободы.
Таким образом, если (х, а) есть точка на кривой при п степенях свободы, х=
=tn а есть верхняя a-процентная точка /-распределения с п степенями свободы.
Заимствована из рис. 1 [458] с разрешения Lederle Laboratories (A Division of
American Cyanamid Company).
442
Номограмма А.2. Распределение %2, число степеней свободы п= 1(1)30
Точка (х, у) на кривой, соответствующая п степеням свободы, удовлетворяет
уравнению Р] V^x} =у, где V имеет распределение х2 с п степенями свободы.
Таким образом, если (х, а) есть точка на кривой при п степенях свободы, х=
= Хп а есть верхняя а-процситпая точка распределения х2 с п степенями сво-
боды.
Заимствована из [44] с разрешения автора и издателя
443
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ГЛОССАРИЙ
А/(0,1) — нормальное распределение со средним (т. е.
математическим ожиданием) 0 и дисперсией 1
[normal distribution with mean 0 and variance 1].
2(a) — верхняя а%-ная точка (процентиль) распре-
деления N (0,1) [upper a percentile point of а
N (0,1) distribution],
I b | — абсолютное значение, абсолютная величина
(модуль) b [absolute value of &].
Ш b — натуральный логарифм b [natural logarithm &].
log b — десятичный логарифм b [common logarithm Ь].
antiln b — антилогарифм (натуральный) b [antilogarithm 6].
p6 (A)— вероятность события (исхода) А, вычисленная
при условии, что истинное значение параметра
равно 0 [probability of the event A computed
under the assumption that the true parameter
value is 0].
po(A)—вероятность события А при условии, что верна
нулевая гипотеза [probability of the event A
computed under assumption that the null hy-
pothesis is true],
£p(S) — математическое ожидание статистики S, когда
справедлива нуль-гипотеза [mean of the sta-
tistic 5 when the null hypothesis is true],
varo(S)— дисперсия статистики S, когда справедлива
нуль-гипотеза [variance of the statistic S when
the null hypothesis is true],
P Y^b)‘, — разные способы обозначения вероятности
Y^b); одновременного наступления событий {X <2 а}
ЛХ а и Y и {У b} [alternate ways of denoting the pro-
bability of the event {X a and Y &}].
Z{1)^ ••• Z(n)i — разные способы представления упорядоченных
Z(1> Z<n) элементов выборки Zj, .... Zn [alternate ways
of denoting the ordered values of the sample
.... ZJ.
k
П/l; = П! • /l2 •• • tlh.
i=i
Absolute value — абсолютное значение, абсолютная величина (мо-
дуль): абсолютная величина (модуль) числа b равна Ь, безотноси-
тельно к тому, положительно ли само число или отрицательно. Мы
пользуемся для абсолютного значения b символом |&|.
Пример: пусть обозначает ранг |Z;| ... (с. 46).
Alternative — альтернатива (см. альтернативная гипотеза).
Alternative hypothesis — альтернативная гипотеза: альтернатив-
ной называется гипотеза, утверждающая, что предполагаемое распре-
деление (или распределения, быть может) не удовлетворяет нулевой
444
гипотезе. Обычно выделение альтернативной гипотезы достигается
выбором некоторого значения некоторого параметра (отличного от зна-
чения этого параметра для нулевой гипотезы)*.
Синоним: alternative — альтернатива.
Пример: для одностороннего критерия Но (1) против альтер-
нативы р > ро, ..., (с. 32).
Asymptotically distribution-free confidence interval — асимптотичес-
ки свободный от распределения доверительный интервал: некий слу-
чайный интервал (Д ь, Д и), возникающий при соответствующих допу-
щениях относительно генеральной совокупности (совокупностей), из
которой извлечена выборка (выборки), оказывается асимптотически
свободным от распределения доверительным интервалом для парамет-
ра Д с (приближенным) коэффициентом доверия** 1 — а, если, при
упомянутых допущениях, асимптотическая вероятность накрытия ис-
тинного значения параметра Д (при стремлении к бесконечности объе-
ма или объемов выборок) именно этим случайным интервалом дости-
гает 1 — а. Хотя в практике и не бывает бесконечных выборок, асимп-
тотическая теория позволяет нам установить для заданной выборки
конечного объема, что действительная вероятность накрытия близка
к 1 — а. Для данного а с ростом объема выборки приближение (обыч-
но) улучшается.
Пример: более того, асимптотически свободный от распреде-
ления доверительный интервал для у2 ... (с. 126).
Asymptotically distribution-free multiple comparison procedure —
асимптотически свободный от распределения метод множественных
сравнений: некий метод множественных сравнений, при соответствую-
щих допущениях относительно генеральной совокупности (или сово-
купностей), из которой извлечены выборки, будет асимптотически сво-
бодным от распределения методом, для которого вероятность ошибоч-
ного решения приближенно равна а для гипотезы Но, если, при упомя-
нутых допущениях, асимптотическая (когда объем выборки или выборок
стремится к бесконечности) вероятность принятия правильных реше-
ний при условии выполнения Но равна 1 — а, вне зависимости от ви-
дов распределений рассматриваемых совокупностей. Хотя бесконечных
выборок в практике не бывает, можно, основываясь на асимптотичес-
кой теории, сделать вероятность ошибочного решения для данной ко-
нечной выборки примерно равной а. Для заданного а приближение
(обычно) улучшается с ростом объема выборки.
Пример: аппроксимация 1 порождает асимптотически свобод-
ный от распределения метод множественных сравнений... (с. 193).
Asymptotically distribution-free statistic — асимптотически свободная
от распределения статистика: статистика 5, при соответствующих до-
пущениях о генеральной совокупности (совокупностях), из которой
извлечена выборка (выборки), будет асимптотически свободной от рас-
* Альтернативная гипотеза — гипотеза, отличающаяся от Яо. Это одно из
тех распределений (или совокупность распределений), которое мы ожидаем встре-
тить, если Но окажется неверной. — Примеч. ред.
** Об интерпретации этого термина см. Confidence coefficient. — Примеч.
ред.
445
пределения статистикой для гипотезы Но, если, при указанных до-
пущениях, асимптотическое распределение не зависит от вида распре-
делений рассматриваемых совокупностей.
Пример: можно показать, что при допущениях Al, А2, АЗ гл. 7
асимптотическое распределение статистики У', определенной (7.53)
для гипотезы Но, есть М (0,1). Поскольку этот результат не зави-
сит от рассматриваемой совокупности величин е (см. модель (7.1)),
мы видим, что Y' асимптотически свободна от распределения при
Но (7.2), (с. 184).
Asymptotically distribution-free test — асимптотически свободный от
распределения критерий: некий статистический критерий, при соот-
ветствующих допущениях о генеральной совокупности (совокупно-
стях), из которой (которых) извлечена выборка (выборки), будет
асимптотически свободным от распределения критерием (приближенно-
го) размера* а для гипотезы Но, если, при указанных допущениях,
асимптотическая (объем выборки или выборок бесконечен) вероятность
отвергнуть Но, когда она верна, равна а, вне зависимости от распреде-
лений рассматриваемой совокупности (совокупностей). Хотя беско-
нечных выборок в жизни не бывает, на основе асимптотической тео-
рии мы можем устанавливать для заданного объема выборки факти-
ческий размер критерия примерно равным а. Для заданного а при-
ближение (обычно) улучшается с ростом объема выборки.
Пример: критерий, определенный соотношением (44), не сво-
боден от распределения при конечном п, но асимптотически он
свободен от распределения (с. 181).
Asymptotically independent (statistics) — асимптотически независимые
(статистики): статистики Л и называют асимптотически независи-
мыми, если для любых чисел а, b справедливо
РА{Т\ < а и Тг^Ь} = Ра{7\ < а} • РА{Т2 < Ь}.
Индекс А указывает на то, что вероятности вычислены из асимптоти-
ческого двумерного распределения 7\ и Т2.
Пример: когда Яо(2) верна, W и W некоррелированы и дей-
ствительно асимптотически независимы (с. 108).
Asymptotic bivariate distribution — асимптотическое двумерное рас-
пределение: асимптотическое двумерное распределение пары статис-
тик Tlt Т2 есть двумерное распределение (7\, Т2) для случая, когда
объем выборки (выборок) бесконечен. Хотя так не бывает на практике,
можно рассматривать асимптотическое двумерное распределение при
конечных выборках как приближение к фактическому распределению.
Обычно приближение улучшается с ростом объема выборки.
Синоним: limiting bivariate distribution — предельное дву-
мерное распределение.
Пример: индекс А указывает, что вероятности вычислены из
асимптотического двумерного распределения 7\ и Т2 (с. 446).
Asymptotic distribution — асимптотическое распределение: асимпто-
тическое распределение статистики Т есть распределение Т в ситуации,
ред.
446
Об интерпретации термина «размер» см. Significance level. — Примеч.
когда объем выборки (выборок) становится бесконечным. Хотя в жиз-
ни так не бывает, мы можем и при заданном объеме выборки рассмат-
ривать асимптотическое распределение как приближение действи-
тельного распределения. Приближение обычно улучшается с ростом
объема выборки (выборок).
Синоним: limiting distribution — предельное распределение.
Пример: когда Но верна, статистика В* имеет асимптотичес-
кое (при п->оо) W (0,1) распределение (с. 60).
Asymptotic efficiency — асимптотическая эффективность (см. асимп-
тотическая относительная эффективность).
Asymptotic relative efficiency (of confidence interval) — асимптоти-
ческая относительная эффективность (доверительных интервалов):
пусть (0! ь, 0j и) и (02 L, 0217) есть доверительные интервалы для пара-
метра 0, причем каждый интервал имеет коэффициент доверия 1 —а.
Пусть Lx = 0Х и — 0г L есть (случайная) длина интервала 1 и
Z,2 = 02 и— 02L — случайная длина интервала 2. Будем говорить,
что отношение квадратов длин сходится по вероятности
к числу е, если для любого а >- 0 Р{е — а < Ll/Lj < е + а) стре-
мится как к пределу к 1 при стремлении объема выборки к бесконеч-
ности. Число е есть асимптотическая относительная эффективность
(01 ь, 01С7) по отношению к (02 L, 02[Z). Число е обычно не зависит от
а. Если для какой-либо совокупности асимптотическая относитель-
ная эффективность интервала (0г L, 0г v) по отношению к интервалу
(02 ь, 02С7) больше (меньше) 1, мы говорим, что интервал (0i L, 01[7)
более (менее) эффективен, чем (02 L, 02 v), для этой совокупности; ес-
ли же она равна 1,то мы говорим, что два доверительных интервала
одинаково эффективны для этой совокупности. (См. [248], где приведе-
но это определение, а также другие меры эффективности для довери-
тельных интервалов.)
Синоним: asymptotic efficiency — асимптотическая эффек-
тивность.
Пример: тем же путем, что и Леман [248], получим асимпто-
тическую эффективность доверительного интервала, основанно-
го на статистике знаковых рангов Т+, относительно доверитель-
ного интервала, основанного на Z (с. 83).
Asymptotic relative efficiency (of estimators) — асимптотическая
относительная эффективность (оценок): пусть 0Х и 02 — состоятель-
ные оценки 0. Обозначим дисперсию через а^, а дисперсию 02 — че-
рез (эти дисперсии обычно зависят от п). Асимптотическая относи-
тельная эффективность 0j относительно 02 есть предел (при стремле-
нии объема выборки к бесконечности) отношения Если для ка-
кой-либо рассматриваемой совокупности асимптотическая относитель-
ная эффективность относительно Й2 больше (меньше) 1, мы говорим,
что 0! более (менее) эффективна, чем 02, для данной совокупности; ес-
ли же она равна 1, мы говорим, что две оценки одинаково эффективны*.
* Дополнительно к этому определению обычно требуется еще, чтобы оценки
01 и 02 были асимптотически несмещенными, т. е. чтобы £|0{ — 0| = о (о,) при
п -> оо . — Примеч. ред.
447
Синоним: asymptotic efficiency — асимптотическая эффек-
тивность.
Пример: когда параметр р не равен 1/2, оценка р имеет асимп-
тотическую относительную эффективность более 1 по сравнению
с 'р (с. 41).
Asymptotic relative efficiency (of multiple comparison procedures)— асимп-
тотическая относительная эффективность (методов, множествен-
ных сравнений): мы определим асимптотическую относительную эф-
фективность этих методов через асимптотическую относительную
эффективность методики проверки гипотез. Для этого интерпретируем
процедуру множественных сравнений как критерий проверки исход-
ной нулевой гипотезы Но. Положим, что существует некоторая ком-
бинация из множества всех возможных решений, которая приводит к
принятию Но. Еще положим, что все прочие возможные решения и их
комбинации ведут к отбрасыванию Но (см., например, комментарий
6.14). При такой интерпретации асимптотическая относительная эф-
фективность метода I множественных сравнений по отношению к ме-
тоду II есть асимптотическая относительная эффективность критерия!
(соответствующего методу 1) по сравнению с критерием II (соответст-
вующим методу II).
Синоним: asymptotic efficiency — асимптотическая эффек-
тивность.
Пример: в работе [365] получена 7г (F) — асимптотическая
относительная эффективность методов множественных сравне-
ний, обсуждаемых в разделах ЗА и ЗБ в соотнесении с классичес-
кой нормальной теорией, основанной на выборочных средних
(с. 153).
Asymptotic relative efficiency(of tests) — асимптотическая относитель-
ная эффективность (критериев): асимптотическая относительная эф-
фективность* критерия II по отношению к критерию I определяется
(грубо говоря) как «предельная» величина относительной эффектив-
ности критерия II относительно критерия I. Это предельное значение
вычисляется для альтернатив, приближающихся к нулевой гипотезе
с ростом объема выборки так, чтобы мощности каждого из критериев
стремились к некоторому пределу, лежащему между уровнем значи-
мости и 1. (Когда сравниваются два состоятельных критерия, полезно
иметь приближающиеся к нулевой гипотезе альтернативы, иначе мощ-
ность каждого критерия будет практически равна 1 и станет трудно
асимптотически различать 2 критерия (при бесконечно большом объе-
ме выборки).) Предположим, что у критериев I и 11 один и тот же уро-
вень значимости. Приближенно мы можем считать асимптотическую
относительную эффективность критерия II по сравнению с критери-
ем I просто предельным отношением объемов выборок njn^ при до-
стижении обоими критериями равной мощности против равных альтер-
натив о «близости» к нулевой гипотезе. Асимптотическая относитель-
ная эффективность обычно не зависит от уровня значимости а, так чтс
* Обычные сокращения — ARE; в отечественной литературе —>Л
Примеч. пер.
448
для данной генеральной совокупности он определяется некоторым един-
ственным числом. Если для рассматриваемой совокупности асимпто-
тическая относительная эффективность критерия II по сравнению с
критерием I больше (меньше) 1, мы говорим, что критерий II более
(менее) эффективен, чем критерий I; если же она равна 1, то говорим,
что критерии одинаково эффективны для данной совокупности. Более
аккуратное определение асимптотической относительной эффективности
требует более тщательного описания предельных процессов (см. [295],
[277], [279])*.
Синоним: Pitman asymptotic relative efficiency, asymptotic
efficiency — асимптотическая относительная эффективность Пи-
темна, асимптотическая эффективность.
Пример: асимптотическая относительная эффективность кри-
терия НЛС по сравнению с критерием Бикела—Доксама, осно-
ванным на Wlt равна. 937 для альтернатив Вейбулла (с. 266).
Average rank — средний ранг: предположим, что наблюдение Zj имеет
ту же величину, что и (совпадающие с ним) некоторые из остальных
Z наблюдений. Средний ранг Z, в ранжировке наблюдений Zr, ..., Zn
есть среднее арифметическое из рангов, которые были бы назначены
Z, и остальным значениям Z, таким же, что и Zj, если бы равные наб-
людения оказались различными**.
Синоним: midrank*** — средний ранг; срединный ранг.
П р и м е р: в табл. 6.3, где 18 наблюдений проранжированы от
наименьшего к наибольшему, четыре наблюдения, равных 40
(совпадают). Поскольку три из 18 наблюдений меньше 40, четы-
ре наблюдения, равных 40, соответствуют рангам 4, 5, 6 и 7. Каж-
дое из этих наблюдений получает общий средний ранг, равный
(4 + 5 + 6 + 7)/4 = 5.5 (с. 138).
Bernoulli trial — испытание (по схеме) Бернулли: испытание Бернул-
ли — эксперимент только с двумя возможными исходами.
Пример: см. Independent repeated Bernoulli trials (неза-
висимые повторные испытания Бернулли) в этом глоссарии (с.461).
Bias — смещение: рассмотрим статистику S, служащую оценкой па-
раметра 0. Пусть Ев (S) = 0 + b (0), где индекс 6 в Е$ указывает на
вычисление математического ожидания при допущении, что истинное
значение параметра равно 0. Величина b (0) = Ев (S) — 0 есть сме-
щение оценки S при истинном значении параметра 0. Если b (0) = 0
для некоторого 0, то S называется несмещенной оценкой параметра.
Пример: этим можно уменьшить смещение некоторых оценок.
Binomial distribution — биномиальное распределение: говорят, что
случайная величина X имеет биномиальное распределение с парамет-
рами п, целым положительным числом, и р, 0 р 1, если
Р {X = х} = (1 — Р)п~х ПРИ х — 0, 1, .... п.
* См. также [574] или [722], где подробно показано вычисление ARE для
ранговых критериев. — Примеч. пер.
** Эти одинаковые наблюдения и их средние ранги образуют группу длиной
Z, где I — число одинаковых наблюдений. — Примеч. пер.
Эти термины синонимичны ие всегда. — Примеч. ред.
449
Пример: см. комментарий 2.7 (с. 37).
Bivariate distribution function — двумерная функция распределения:
двумерная функция распределения F пары случайных величин (X, Y)
определяется для каждой пары чисел а, b как вероятность
исхода {X < а и Y < Ь}. Мы используем обозначение F (а, Ь) =
= Р {Х<й и Y Ь}. Если (X, Y) — случайная пара величин из
совокупности П, то определение F (а, Ь) для всех пар а, b представ-
ляет совокупность П.
С и и о н и м ы: cumulative bivariate distribution function —
интегральная двумерная функция распределения; bivariate dis-
tribution — двумерное распределение.
Пример: ...где (X', Y') — случайный элемент из рассматри-
ваемой двумерной совокупности с распределением F (с. 248).
Bivariate symmetry — двумерная симметрия* (см. Interchangeable —
перестановочность, с. 462).
Central confidence interval — симметричный относительно центра до-
верительный интервал (см. Symmetric confidence interval — симмет-
ричный доверительный интервал).
Conditional distribution function — условная функция распределения:
условная функция распределения случайной величины X, обусловлен-
ная наступлением некоторого события В, выражает для любого числах
условную вероятность события {X х). Эти вероятности условны, в
том смысле, что они вычисляются в предположении, что событие В
наступило. Мы используем обозначение Fb(X) = Р {X х|В}, по-
казывая тем самым, что это условная функция распределения, за-
данная при осуществлении события В.
Синонимы: conditional distribution — условное распреде-
ление; conditional cumulative distribution function — условная
интегральная функция распределения.
Пример: математическое ожидание условного распределения
Y при условии X = х (с. 463).
Confidence coefficient — коэффициент доверия: коэффициент доверия
для доверительного интервала (Д L, Д п) параметра Д есть вероятность
того, что этот случайный интервал содержит значение Д.
Синоним: coverage probability — вероятность накрытия.
Пример: для данных шкалы профилей табл. 3.4 найти дове-
рительный интервал 0 с коэффициентом доверия .9688 (с. 70).
Confidence interval — доверительный интервал: некоторый (1 — а)-
двусторонний доверительный интервал (Д L, Д п) для неизвестного па-
раметра Д есть случайный интервал, обладающий тем свойством, что
с вероятностью 1 — а он содержит истинное неизвестное значение па-
раметра Д. Эта вероятность не зависит от величины Д.
Пример: при Дь и Ду из (14) мы имеем Р {Д L<Z Д < Д и} =
= 1 — а. Для интерпретации доверительного интервала рас-
смотрим доверительный коэффициент 1 — а как некую вероят-
ность, задаваемую до получения фактических значений Д ьи Ди-
Как только Д L и Д и определены, вероятность накрытия превра-
* По-русски не употребляется (см. авторскую отсылку), — Примеч, ред.
450
щается в 1 или 0, а не остается 1 — а. Так, в примере 4.3, где
(Д ь, Д и) = (—.72; .08), вероятность того, что интервал дейст-
вительно (— .72; .08), равна не .90, а 1 и 0 — в зависимости от
того, лежит ли Д между .72 и .08 или нет. Величину 1 — а
можно интерпретировать так. Рассмотрим длинную серию по-
вторений одного и того же эксперимента. Каждый раз мы полу-
чаем доверительный интервал и после окончания повторных
опытов — большое число доверительных интервалов, основанных
на одном и том же объеме (объемах) выборки и с одним итем же
коэффициентом 1 —а. Примерно 100 (1 —а) % этих интерва-
лов содержат неизвестное истинное значение Д (с. 96).
Consistent estimator — состоятельная оценка: оценка 0 называется
состоятельной оценкой параметра 0, если для любых а> 0 и 0
Рв {0 — а< 0*< 0 + а}-> 1
при стремлении к бесконечности объема выборки. Грубо говоря, если
объем выборки стремится к бесконечности, то оценка 0 приближается
к параметру 0.
Пример: величина [р (1 — р)]1/2 есть состоятельная оценка
для стандартного отклонения точечной оценки р (с. 40).
Consistent test — состоятельный критерий: критерий называется со-
стоятельным для некоторой альтернативы, если его мощность для этой
альтернативы стремится к единице при стремлении объема выборки к
бесконечности.
Пример: критерии с методами (3), (4) и (5) будут состоя-
тельными против альтернатив р >• р0, р < р0 и р =/= р0 соответ-
ственно (с. 39).
Continuous random variable — непрерывная случайная величина:
случайная величина X называется непрерывной, если Р {X х) =
= Р {X < х} для всех чисел х. Это все равно, что потребовать, что-
бы для всех х событие {X = х} имело вероятность нуль*. (Равенство
вероятности события нулю вовсе не означает невозможности этого со-
бытия. Когда мы говорим, что Р {Л} = 0, то имеется в виду, что в
длинной серии повторений опыта относительная частота событий А
будет весьма близка к нулю (если не равна ему).) Предшествующее
определение нелегко увязать с интуитивным представлением о не-
прерывной случайной величине как о величине, принимающей все
значения из континуума возможных исходов.
Пример: непрерывные случайные величины существуют в тео-
рии, где они полезны для построения моделей и изучения свойств
статистических методов, но их нельзя наблюдать на практике.
Из-за несовершенства измерительных инструментов мы можем
наблюдать исход непрерывной случайной величины лишь с не-
* Авторы не отмечают, что Р {X < х] как функция х называется функцией
распределения (случайной величины X). Непрерывность X означает просто не-
прерывность F (х) для каждого х. — Примеч. ред.
451
которой точностью. В частности, невозможно различить два «весь-
ма близких» числа. Насколько близки «весьма близкие» числа,
зависит от конкретного эксперимента и измерительного инстру-
мента. На практике любая величина может быть записана лишь
как имеющая конечное число знаков и должна из-за этого рас-
сматриваться как дискретная аппроксимация непрерывной слу-
чайной величины. Округление «средних времен» на первой ли-
нии табл. 7.1 представляет случай, когда соответствующая пере-
менная непрерывна, но из-за ограничения в точности хронометра
записываемые исходы есть исходы дискретной случайной вели-
чины (с. 157).
Contrast — контраст: пусть имеется k параметров Tn .... тЛ. Контрас-
k
том этих параметров называется величина 2а/с;, где alt ..., ah — из-
к
вестные константы, удовлетворяющие условию = 0.
/=1
Пример: предположим, что верна модель (1) и обозначим кон-
траст для всех т через... (с. 175).
Correlation coefficient — коэффициент корреляции: пусть X и Y две
случайные величины с конечными дисперсиями. Коэффициент корреля-
ции между X и Y определяется как cov (X, Y)/ [var (X)]1/2 [var (У)]1/2,
т. е. как ковариация, деленная на произведение стандартных откло-
нений X и Y. Для обозначения коэффициента корреляции используем
запись р (X, У).
Пр и м е р: случайные величины называются некоррелированны-
ми, если их коэффициент корреляции р (X, У) равен нулю (с. 475).
Covariance — ковариация, смешанный второй момент: пусть X и У —
две случайные величины. Ковариация X и У определяется как мате-
матическое ожидание случайной величины Z = [X — Е (X)] [У—£(У)1
при условии его существования. Ковариация X, У обозначается
cov (X, У).
Пример: коэффициент корреляции между X и У определяется
как cov (X, У)/ [ var (X)]I/2 [var (У)]1/2, ... (с. 452).
Coverage probability — вероятность накрытия (см. Confidence coeffi-
cient — коэффициент доверия, с. 450).
Critical region — критическая область: критическая область проверки
гипотезы есть область тех выборочных значений, которые приводят
к отклонению нулевой гипотезы. Обычно критическая область выби-
рается так, чтобы она имела а) низкую вероятность, когда верна нуле-
вая гипотеза, и б) высокую вероятность, когда верна интересующая
нас альтернативная гипотеза. Назначение уровня значимости равным
а эквивалентно назначению вероятности а для попадания оценки в
критическую область при нулевой гипотезе.
Синоним: rejection region — область отклонения.
Пример: отклонить Но, если Т+ t (се, п), принять Но, если
Т+ < t (се, и), ... Здесь критическая область состоит из тех вы-
борочных значений, для которых статистика критерия Т+ больше
или равна t (се, и) (с. 47).
452
Cumulative bivariate distribution function — интегральная двумер-
ная функция распределения (см. Bivariate distribution function —
двумерная функция распределения, с. 450).
Cumukative distribution function — интегральная функция распреде-
ления (см. Distribution function — функция распределения, с.455).
Decreasing failure rate — убывающая интенсивность отказов (см. Increa-
sing failure rate — возрастающая интенсивность отказов, с. 461).
Density function — плотность распределения, плотность вероятности
(см. Probability density function — плотность распределения вероят-
ностей, с. 468).
Discrete random variable — дискретная случайная величина: дискрет-
ная случайная величина — это случайная величина, множество воз-
можных значений которой конечное или в крайнем случае счетное.
Пример: рассмотрим случайную величину В, определенную
в (2.2): В есть число успехов в п испытаниях Бернулли. Это
дискретная случайная величина, она может принимать п + 1
значение: 0, 1, ..., п (с. 32).
Dispersion — рассеяние, разброс: есть две интерпретации термина
рассеяние. Первая из них относится к близости независимых наблюде-
ний внутри групп. Пример доставляет параметр, отражающий в этом
смысле различия в рассеяниях двух совокупностей Щ и П2:
{3 з )
2 (Х—х)2< 2 ,
»=i /=1 1
где Хг, Х2, ^з— независимые случайные элементы из совокупности
Hj; У1; У2, Y3 — независимые случайные элементы из совокупности
П2, X = (Xt + Х2 + Х3)/3, У = (У2 + У2 + У8)/3. Если %! больше,
чем 1/2, то (как показывает этот параметр) П2 имеет больший разброс,
чем Пь если же 1/2, то П2 имеет меньший разброс, чем П1Т нако-
нец, если %! = 1/2, то относительные рассеяния Щ и П2 одинаковы.
(Предполагается, что X не зависят от У.)
Во втором случае речь идет о рассеянии типичных наблюдений от-
носительно центрального значения (такого, как среднее арифметичес-
кое или медиана) распределения. Пример параметра этого 2-го типа:
у . Е — _ var Q^)
Е(Х1 — т1у var (Xj) ’
где т2 = Е (У2), — Е (Л\) — генеральные средние для совокупно-
стей П2 и Пх соответственно. На самом деле, %2 можно рассматривать
как параметр 1-го типа, если переписать его в виде
, Е^-УеУ)
/VO - -- •
Е{(Хг-Х^}
Если Х2 > I, то (как показывает этот параметр) П2 имеет больший
разброс, чем Ilf, если Х2 менее 1, то П2 имеет меньший разброс, чем Пх;
453
ну, а если Х2 — I, то Щ и П2 имеют одно и то же относительное рас-
сеяние.
Пример: таким образом различие в рассеянии между совокуп-
ностями X и У ... (с. 109).
Distribution-free confidence interval — свободный от распределения
доверительный интервал: случайный интервал (A L, A v) при извест-
ных допущениях относительно соответствующей совокупности (сово-
купностей), из которой получены наблюдения, будет свободным от
распределения доверительным интервалом с коэффициентом доверия
1 — а для параметра Д, если, при соответствующих допущениях, ве-
роятность того, что этот случайный интервал содержит истинное зна-
чение Д, равна 1 — а вне зависимости от свойств генеральной со-
вокупности (совокупностей).
Пример: таким образом, (Д L, Д v) есть свободный от распре-
деления доверительный интервал для Д при весьма широком
классе генеральных совокупностей (с. 99).
Distribution-free multiple comparison procedure — свободный от рас-
пределения метод множественных сравнений: мы интерпретируем ме-
тод множественных сравнений как критерий для исходной гипотезы
Но. Предполагается, что существует некоторая комбинация решений,
которая приводит к принятию Но, и что любая другая возможная
комбинация приводит к отбрасыванию Но (см. комментарий 6.14). При
этой интерпретации метод множественных сравнений будет свободным
от распределения, если связанный с ним критерий свободен от распре-
деления для На.
Пример: ... мы называем метод множественных сравнений (14)
свободным от распределения (с. 143).
Distribution-free statistic — свободная от распределения статистика*:
статистика S при известном наборе допущений относительно совокуп-
* Понятие о свободных от распределения статистиках, критериях, методах
и т. п. связано со следующей идеей. Пусть (неизвестный) закон распределения
Q наблюдения X обладает теми или иными известными нам свойствами, т. е.
принадлежит к определенной совокупности F законов распределения (на том же
выборочном пространстве, которому принадлежит и наблюдение X). Статистика
Т = Т (X) называется свободной от распределения, если распределение Т ос-
тается одним и тем же при всяком Q £ F (т. е. распределение Т (X) свободно от
влияния конкретного закона Q£F, которому подчиняется X). Статистические
правила, построенные с помощью свободных от распределения статистик, также
называются свободными от распределения. Типичный пример: X = (xi,...,xn) —
выборки нз непрерывного одномерного распределения F, семейство F — сово-
купность непрерывных одномерных распределений, Т (X) — совокупность ран-
гов случайных наблюдений Xj....хп. Как известно, для любого F в этих условиях
роль последовательности рангов с равными вероятностями могут играть любые
перестановки чисел 1, 2,..., п.
Близкое содержание имеет и понятие о непараметрическом статистическом
правиле. Непараметрнческой статистикой (непараметрическими методами ста-
тистики) обычно называют совокупность таких приемов, которые не используют
предположения о принадлежности имеющихся наблюдений (статистического ма-
териала) к какому-либо параметрическому семейству распределений. Поскольку
в приложениях наиболее популярны гауссовские распределения, непараметри-
ческая статистика часто выступает как конкурент и заменитель именно гаус-
совской статистики. — Примеч. ред.
454
ности (совокупностей), из которой (которых) извлекаются данные, бу-
дет свободной от распределения статистикой для гипотезы Но, если
при указанных допущениях распределение S при выполнении нуле-
вой гипотезы не зависит от распределения соответствующей генераль-
ной совокупности (совокупностей).
Пример: статистика W, определенная в (4.3), есть свободная
от распределения статистика для гипотезы //0 (4.2), если
выполняются предположения 4.А1Ч-4.АЗ. Так, в комментарии
4.8 представлено нулевое распределение 117, которое не зависит
от распределения соответствующей генеральной совокупности
для объемов выборки т = 3, п = 2, если верны предположения
4. А14-4. АЗ и сама эта гипотеза (с. 86).
Distribution-free test — свободный от распределения критерий: ста-
тистический критерий, при выполнении известных допущений отно-
сительно соответствующей генеральной совокупности (совокупностей),
из которой (которых) извлечена выборка (выборки), будет свободным
от распределения критерием размера се для гипотезы Но, если, при упо-
мянутых допущениях, вероятность отвергнуть Но, когда она верна,
равна се независимо от распределения соответствующей генеральной
совокупности (совокупностей).
Пример: это свободный от распределения критерий размера
се для HQ (2) (с. 143).
Distribution function — функция распределения: функция распреде-
ления F случайной величины, обозначенной X, определенная для всех
х, определяет вероятность исхода {X х). Мы используем обозна-
чение F (х) = Р {X х). Если X — случайная величина из совокуп-
ности II, то задание F (х) для всех х характеризует совокупность П.
Синоним: cumulative distribution function* — интегральная
функция распределения.
Пр имер: мы отсылаем читателя к комментарию 2.6, где пред-
ставлено распределение вероятностей статистики В (2.2) при
гипотезе р = рй = для случая п = 2. Мы имеем
Р{В = 0} = -^,₽{В=1)=-^.р<В-2) = ^--
Тогда
Р {В 2} = Р {В = 0} 4- Р {В = 1} +Р {В - 2} = 1,
1
Р{В^1} = Р{В = 0} + Р{В = 1}
р{В^О} = Р{В = 0} = ± .
Обычное сокращение с. d. f. — Примеч. пер.
455
Завершая построение функции распределения получением
Р {В <1 х} для всех х, мы имеем
Р{В^х} =
О, если х < О,
X если 0 s^x <^1,
Тб ’
15 если 1 «С х 2,
16 ’
1, если х 2 (с. 37).
Double exponential population — совокупность, имеющая* двусторон-
нее экспоненциальное распределение вероятностей: будем говорить,
что Y — случайная величина из совокупности, имеющей двусторон-
нее экспоненциальное распределение, если для каких-либо р, и а > О
Y = <уХ + р, где X •— случайная величина с плотностью вероятно-
стей
/(%) =
— ех, если xsCO,
2
1 „
— е~л, если х>0.
2
График f (х) приведен на рис. Б.2 (с. 460).
Синоним: Laplace population — совокупность, распреде-
ленная по закону Лапласа.
Пример: в табл. 3.10 мы приводим величины асимптотичес-
кой относительной эффективности для нескольких совокупно-
стей, в том числе для совокупности с двусторонним экспонен-
циальным распределением (с. 83).
Efficient — эффективный (см. Relative efficiency — относительная эф-
фективность и Asymptotic relative efficiency — асимптотическая отно-
сительная эффективность).
Empirical distribution function — эмпирическая функция распреде-
ления: пусть Хъ ..., Хт •—случайная выборка из совокупности П.
Эмпирическая функция распределения, обозначаемая здесь Fm> опре-
деляется для любого а как Fm (а) = (число наблюдений X, из выборки,
равных или меньших, чем а)/т. Эмпирическую функцию распределе-
ния можно рассматривать как оценку истинной функции распределе-
ния F случайной величины X.
Синоним: sample distribution function — выборочная функ-
ция распределения, функция распределения выборки.
Пример: эмпирические функции распределения Fm (а) (30)
и Сп (а) (31) суть оценки рассматриваемых функций распределе-
* Это распределение не следует путать с так называемым двойным экспо-
ненциальным распределением. Так на русском языке обычно называют распре-
деление с функцией распределения const е~е . В другой параметризации это
распределение известно как распределение Гнеденко — Вейбулла (см., напри-
мер, [491]). — Примеч. ред.
456
ния F (а) = Р {X а} и G (а) = Р {Y а} соответственно
(с. 128).
Equivalent tests — эквивалентные критерии: два статистических кри-
терия (скажем, критерии I и II) гипотезы Но эквивалентны, если для
любой возможной выборки решение, принятое с помощью одного из
критериев, согласуется с решением, принятым с помощью другого кри-
терия. А именно: критерии I и II эквивалентны, если критерий I от-
вергает Но тогда и только тогда, когда критерий II тоже отвергает
Но, и критерий I принимает Но тогда и только тогда, когда и критерий
II принимает Но.
Пример: Манн и Уитни показали в случае отсутствия совпа-
дений, что W U + следовательно, критерии, осно-
ванные на U и W, эквивалентны (с. 90).
Estimator — оценка*, статистика, используемая в качестве оценки,
оценочная функция; формула оценки: оценочная функция (оценка)
есть решающее правило (стратегия, способ действия), которая на ос-
нове наблюдений выборки оценивает (дает приближенное значение) ве-
личину параметра. То частное (конкретное) значение (полученное по
конкретным наблюдениям), которое принимает оценка (оценочная
функция, estimator) называется оценкой или значением оценки (esti-
mate).
Синоним: point estimator — точечная оценка или точечная
оценочная функция.
Пример: оценка вероятности успеха, полученная из статис-
тики В, есть р = Bln (с. 40).
Exchangeable — взаимозаменяемые (см. Interchangeable — переста-
новочные (случайные величины), с. 462).
Execution error — «роковая» ошибка** (см. Gross error—грубая ошиб-
ка***, с. 460).
Expectation (of a continuous random variable) — математическое ожида-
ние (непрерывной случайной величины): пусть X — непрерывная слу-
чайная величина с плотностью распределения f (х). Тогда математиче-
ское ожидание X — это площадь между кривой y=xf (х) и горизон-
тальной осью. Для х отрицательных xf (х) — отрицательная функция
и соответствующая площадь ниже оси вычитается из части, относя-
щейся кх>0. Мы используем для математического ожидания X обо-
значение Е (X).
Синонимы: mean of X, mean of the X population, first moment
of X — среднее значение X, среднее по совокупности X, первый
момент X.
* Оба термина: «estimator» (оценка) и «estimate» (значение оценки), часто
переводят одним термином «оценка» (см., например, [501, § 8.2]). — Примеч.
пер.
** Т. е. такая ошибка, появление которой противоречит принятой модели
распределения, разрушает ее. — Примеч. ред.
*** Также «crude error» — «грубая» ошибка (в отличие от «random» и
«unbiased error» — случайной н несмещенной ошибки). — Примеч. пер.
457
Пример: рассмотрим равномерно распределенную на интер-
вале [0, 1] случайную величину X. Плотность распределения X
есть f (х) = 1 при 0 <1 х 1 и 0 вне интервала [О, 1]. График
f (х) см. на рис. Б1. Из определения плотности распределения
f (х) для равномерно распределенной на [0, 11 величины мы
имеем xf (х) = х для 0 <1 х 1 и 0 — для остальных значений
х. Тогда площадь между кривой у = xf (х) и горизонтальной осью
есть площадь треугольника с вершинами в точках (0, 0), (0, 1)
и (1, 1), равная • 1 • 1 = .
Рис. Б.1. Графическое представление
Е(Х) в случае, когда X — равномер-
но распределенная случайная вели-
чина
За тушеванная площадь =Е(Х)=1/2
Expectation (of a discrete random variable)—математическое ожида-
ние (дискретной случайной величины): пусть X — дискретная слу-
чайная величина, принимающая значения х1; х2, ... с вероятностя-
ми рг = Р {X = Xj}, р2 = Р {X = х2}, ... Тогда математическое ожи-
дание X равно 2xiPi. Мы используем обозначение Е (X) для математи-
чееского ожидания случайной величины X.
Синонимы: mean of X, mean of the X population, first mo-
ment of X — среднее значение X, среднее по совокупности X,
первый момент X.
П р и м е р: в комментарии 3.8 мы получили распределение 7’+ для
нулевой гипотезы (3.3) при п = 3. Откуда имеем:
Ро {Т* = 0} = J- , Р {Т+ = 1} = 4, Ро {Т* = 2} = -А- ,
ООО
Р0{Т+ = 3}=^-, Р0{Т+ = 4}^±,Р0{Т+ = 5} = ±,
^оГ+ = 6} = 4-.
О
458
Если Но верна, то математическое ожидание Т+ равно:
£°(Т+)=0Ш+1(т)+2(т)+3(т)+4(т)+
\ О / \ о / \ о / \ о / \ О /
+ 5Ш + бШ=3(с. 51).
\ о / \ о /
Experimentwise error rate — вероятность ошибочного решения: рас-
смотрим метод множественных сравнений, включающий Nd частных
решений. Пусть Nf обозначает число неправильных решений. Веро-
ятность ошибочного решения для такого метода множественных срав-
нений определяется как Nj/Nd. Это отношение — случайная величи-
на, поскольку частота Nf случайна. Вероятность ошибочного реше-
ния — это вероятность* при нулевой гипотезе события {Nf/Nd > 0}.
Таким образом, для метода множественных сравнений она равна а,
если Ро {(Nj/Nd) > 0} = а или Р { (NffNd) = 0} = 1 — а.
Синоним: probability error rate — вероятная частота ошиб-
ки, вероятный уровень ошибки, вероятная доля ошибок,
вероятность ошибочного решения.
Пример: ...при вероятности ошибочного решения а ... (с. 141).
Exponential population — совокупность с экспоненциальным распре-
делением: будем говорить, что У — случайная величина из генераль-
ной совокупности, подчиняющейся экспоненциальному распределе-
нию, если для некоторого р и о >• О У = оХ + р, где X — случайная
величина с плотностью
.. . ( е~х, если х >0,
I 0 в противном случае.
График f (х) см. на рис. Б.2 (с. 460).
Пример: в табл. 7.12 мы приводим величины асимптотичес-
кой относительной эффективности конкурирующих методов
для нескольких основных генеральных совокупностей, в том
числе и для совокупности, подчиняющейся экспоненциальному
распределению (с. 198).
Failure rate — интенсивность отказов: пусть X случайная величина с
функцией распределения F и плотностью f (х). Предположим, что
Р (X 0) = 1. Интенсивность отказов для данного распределения
определяется как q (t) = f (/)/ {1 — F (t)} для тех значений t, для
которых F (t) <z 1. Интенсивность отказов имеет следующую интер-
претацию. Пусть X — срок службы какого-нибудь изделия. Тогда
q (/) • Д (/) есть вероятность того, что изделие возраста t выйдет из
строя (откажет) в малый интервал времени (t, I 4- At).
Пример: ...интенсивность отказов q (t) может флуктуировать...
(с. 263).
Frequency — частота (см. Relative frequency — относительная часто-
та, частость, с. 471).
* Точнее, оценка вероятности. — Примеч. ред.
459
Greatest common divisor — наибольший общий делитель: целое
число с делится на целое Ь, если существует такое целое t, что с = t • b.
Мы называем с множителем b, b •— делителем с. Целое число d есть
наибольший общий делитель целых чисел т и п, если d есть делитель
т и п и при этом d есть множитель любых общих делителей т и п. По-
скольку два различных наибольших общих делителя должны (по оп-
ределению) делиться друг на друга, существуют лишь 2 наибольших
Л =1 <£ о ± ё 5
Равномерное
Рис. Б.2. Плотности вероятности равномерного,
нормального, двустороннего экспоненциального и
экспоненциального распределений
общих делителя, d и — d. Мы сохраним название наибольшего общего
делителя за тем из них, который больше нуля.
Пример: мы сошлемся на пример 10.1, где т = п = 10. В
этом случае легко найти наибольший общий делитель d — 10.
(В случае т = п будет d = т = п.) (с. 236).
Gross error — грубая ошибка: под грубой ошибкой понимается (боль-
шое) расхождение между тем, что должно было быть (при правильном
460
выполнении процедуры), и тем, что призошло на самом деле. Если мы
перепутали десятичные знаки при записи наблюдений, то тем самым
мы совершили грубую ошибку. Если мы включили в выборку из одной
совокупности наблюдение из другой совокупности, то мы сделали гру-
бую ошибку. Мы не применяем термин «грубая ошибка» к небольшим
ошибкам из-за погрешностей измерительного инструмента.
С и н о н и м: execution error* — «роковая» ошибка.
П р и м е р: поэтому мы используем 0, предохраняющую нас
от грубых ошибок (с. 54).
Hypothesis — гипотеза (см. Alternative hypothesis — альтернативная
гипотеза и Null hypothesis — нулевая гипотеза).
Hypothesis distribution — распределение (условное), когда верна данная
гипотеза (см. Null distribution — распределение при выполнении ну-
левой гипотезы)..
Hypothesis test — критерий для проверки гипотезы: критерий для
проверки гипотезы — это решающее правило (метод), отвергающее
или принимающее нулевую гипотезу на основе выборочных наблюдений.
Синонимы: statistical test — статистический критерий; sig-
nificance test — критерий значимости; test — критерий.
Пример: для одностороннего критерия Но (2) против альтер-
нативы р < р0 на уровне значимости а отвергнуть На, если
С —k (а, п), принять Но, если С >—k (а, п), (с. 215).
Increa&ing failure rate—возрастающая интенсивность отказов: пусть
X — случайная величина, такая, что Р (X 0) = 1. Распределение
X называется распределением с возрастающей интенсивностью отка-
зов (IFR), если для всех х> 0 Р (X > х +t)/P (X > t) убывает
по t так, что и Р (X f) > 0. Если для всех х>0,
Р (X > x+f)/P (X > t) возрастает по t, то говорят, что X имеет рас-
пределение с убывающей интенсивностью отказов (DFR). Если рас-
пределение F величины X имеет плотность распределения f, то
IFR (DFR) эквивалентно интенсивности отказов q (t) — f (t)/
{1 — F (t)}, которая возрастает (убывает) no t при 1 — F (t) >0.
Пример: если распределение обсуждаемой совокупности есть
действительно IFR ... (с. 266).
Independent events — независимые события: заданные п событий
Аь А2, ..., Ап называются независимыми, если для любых k целых
чисел < i2 < < ik от 1 до п
Р {Ait и А1г и ...и A/fe) = Р {А,-} • Р {А,-} ... Р {AZft}.
Синоним: mutually independent events — взаимно независи-
мые события.
Пример: ...события Ап А2, ..., Ап независимы (с. 462).
Independent repeated Bemoully trials — независимые повторные испы-
тания Бернулли; мы говорим: т независимых повторных испытаний
Бернулли», описывая эксперимент, состоящий из п испытаний, если
(а) каждое отдельное испытание может привести к одному из двух ис-
ходов (которые можно условно называть «успехом» и «неудачей»), (б)
вероятность успеха остается одной и той же для всех испытаний, (в)
все п испытаний независимы.
* Или «crude error». — Примеч. пер.
461
П р и м е р: мы наблюдаем исходы п независимых повторных ис-
пытаний Бернулли (с. 32).
Independent trials — независимые испытания (опыты): рассмотрим
эксперимент, состоящий из п испытаний. Будем говорить, что испыта-
ния независимы, если для любого множества Лъ А2, , Ап событий,
таких, что зависит лишь от испытания 1, А2 зависит лишь от испы-
тания 2, ... Ап зависит лишь от испытания п, события Аъ А2, .... Ап
независимы.
Пример: АЗ. Все п испытаний независимы (с. 32).
Independent variable — независимые случайные величины*: заданные
п случайных величин Xlt Х2, ..., Хп называются (взаимно) незави-
симыми, если для любых аъ а2, ..., ап
Р {Хх < аъ Х2 < а2, .... Хп ап} = Р {Хг < а.} Р {Х2 < а2}...
-Р {Хп^ап}.
Синоним: mutually independent variables — (взаимно) не-
зависимые случайные величины.
Пример: А2. Величины е взаимно независимы (с. 46).
Indicator variable — переменная-счетчик**: переменная-счетчик со-
бытия А —это такая переменная, которая обращается в 1, если со-
бытие А произошло, и в 0, если оно не произошло.
П р и м е р: в методе из § 10.1 мы упорядочиваем объединенную
выборку из N — т + п наблюдений, среди которых тХ и п У.
Примем обозначение Z(d ^ ... ^ Z(w> для N упорядоченных
величин и обозначим переменную-счетчик 6г = 1, если —
наблюдение из X, и 0, если Z<2) — из У. Таким образом, 6г есть
переменная-счетчик события А — {Z<;) есть одно из наблюдений
Хг, ..., XJ (с. 233).
Interchangeable (random variables) — перестановочные (случайные вели-
чины): заданные k случайных величин Хп Х2, ..., Xh называются
перестановочными, если для любой перестановки (ilt i2...ih) целых
чисел (1, 2, .... k) и произвольных постоянных alt а2, ah
Р (Ах Х2 Й2,..., Xh Пд) = Р (Xit Xit '? а2> • •• > Xik Oh).
Рассмотрим для примера случай k — 3. В этом случае 3! = 6 переста-
новок целых чисел (1, 2, 3) суть: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3) (2, 3, 1),
(3, 1, 2), (3,2, 1). Так Xlt Х2, Х3 будут перестановочными случайными
величинами, если, для произвольных постоянных аъ а2, а3 имеем:
Р(Хх<ах иХ2<а2 иХ3^а3) =
= Р (Хх sC и Х3 sC а2 и Х2 а3) =
= Р (Х2 «х и Хх а2 и Х3 С а3) =
= P(X2^aj и Х3<а2 и Хх^а3) =
= Р (Х3 sC Пх и Хх<а2 иХ,^й3) =
= Р (Х3< Пх и Х2^а2 и Хх^а3).
* Существует и другой смысл этого термина: «независимые переменные
(факторы)», например в регрессионном анализе. — Примеч. ред.
* * Или «индикатор события А», или «фиктивный» (dummy) фактор. —
Примеч. пер.
462
Синонимы: exchangeable — взаимозаменяемые случайные
величины. (В частном случае k = 2 свойство взаимозаменяемо-
сти часто называется bivariate symmetry — двумерной симмет-
рией.)
Пример: это гипотеза о том, что X и Y — перестановочные
(случайные величины) ... (с. 251).
Laplace population — совокупность, распределенная по закону Ла-
пласа (см. Double exponential population — совокупность, имеющая
двустороннее экспоненциальное распределение, с. 456).
Level — уровень (см. Significance level —уровень значимости, с. 473)
Limiting bivariate distribution — предельное двумерное распреде-
ление (см. Asymptotic bivariate distribution — асимптотическое дву-
мерное распределение, с. 446).
Limiting distribution — предельное распределение (см. Asymptotic
distribution — асимптотическое распределение, с. 446).
Linear regression — линейная регрессия: рассмотрим две случайные
величины X, Y. Математическое ожидание условного распределения
Y, когда X — х, называется регрессией Y на X и обозначается
Е (У|Х = х). Если Е (У|Х = х) = а + 0х для определенных а, 0,
то регрессия Y на X называется линейной.
Пример: если в модели (9.1) предположить, что Е (е) (мате-
матическое ожидание совокупности е) существует, то
Е (Yt 1*0 = а' + ₽хг, где а' = а + Е (е). При непараметричес-
ком подходе мы можем работать с моделью (9.1), не предполагая
существования Е (в). Действительно, это допущение не дела-
ется в гл. 9. Тем не менее мы несколько неправильно употребля-
ем классическую терминологию и сохраняем выражение «линей-
ная регрессия» за моделью (1), поскольку верно, что медиана
(Yt|хг) = а" + рхг, где а" = а + ц, и р — медиана популяции
(совокупности) е (с. 214).
Lower percentile — нижний процентиль. Пусть Т — случайная ве-
личина с функцией распределения F. Мы говорим, что у есть ниж-
ний g-процентиль F, если Р (Т yg) = Е. Если, к примеру, мы пред-
полагаем, что F — непрерывная и строго возрастающая функция, то
у^ — единственная точка. Для того чтобы сделать yj единственной точ-
кой в случае, когда Т имеет дискретное распределение, мы определяем
нижний процентиль лишь для тех для которых | = Р {Т t} при
некотором возможном значении t случайной величины Т, требуя, что-
бы у$ была одним из значений, принимаемым Т.
Синонимы: lower percentile point, lower percentage point —
нижняя процентная точка*.
Пример: рассмотрим (дискретное) нулевое распределение ста-
тистики Т+, определенное в комментарии 3.8 для случая п = 3.
* Процентная точка случайной величины Т часто используется как крити-
ческая точка (critical value) t (а, п) статистики критерия Т (см. Critical region —
критическая область), где t (а, п), такое, что Но отвергается при Г+ > t (а, п)
и принимается при Т+ < t (а, п), есть критическая и одновременно а%-ная
точка статистики Т+. Кроме того, применяется термин «quantile» — квантиль
(см. соответствующее разъяснение в этом глоссарии). — Примеч. пер.
463
Мы не определяем, к примеру, .10 как нижнюю процентную точку
этого распределения, поскольку не существует такого значения t,
принимаемого статистикой Т+, что Ро {Т+ t} = .10 (с. 51).
Maverick — резко отклоняющийся результатам. Outlier — выброс,
с. 467).
Maximum — максимум: максимум чисел аъ аг,..., ат есть число
(числа) большее (большие), чем все остальные. Мы используем обо-
значение max {«!, ..., ап}.
Пример: ...bt — max {Хг, Уг} ... (с. 251).
Mean (of a population) — генеральное среднее; среднее совокупности
(см. Expectation—математическое ожидание).
Mean (of a sample) — выборочное среднее; среднее значение выборки:
п
пусть Хъ ..., Хп — выборка. Среднее значение выборки равно ЩХ-^п.
£==1
Мы используем для среднего значения выборки обозначение X.
Синоним: sample mean — выборочное среднее значение.
Пример: Это не тот случай, когда классическая оценка, ос-
_____________________ п
новывается на Z = %Zi/n (с. 54).
/=1
Median (of a population) — медиана генеральной совокупности: пусть
X — случайная величина из совокупности П. Число ц есть медиана
совокупности П, если Р {X < р} j Р {X р}. (Медиана сово-
купности не единственна. Однако, предположив, например, непрерыв-
ность и строгое возрастание функции распределения совокупности,
мы получим единственную медиану, определяемую как такое число р,
что Р {X sC р} = .)
Синоним ы*: median of X — медиана X, median of the X po-
pulation — медиана совокупности X.
Пример: ...так, чтобы Zx — 0, ..., Zn— 0 выглядели (при
использовании статистики критерия В) как выборка из сово-
купности с медианой, равной 0 (с. 65).
Median (of a sample) — медиана выборки: пусть Хх, ..., Хп — выбор-
ка и Х(1> ^ ... ^ Х(,|> — упорядоченные значения X. Если п — чет-
ное число (т. е. если п = 2k, где k — любое целое), то медиана выборки
равна (по определению) (X<fc> + X<t+1>)/2. Если п— нечетное число
(т. е. если п = 2k + 1 для некоторого целого k), то медиана выборки
равна X(W1>. (Замечание: медиана выборки единственна.)
Синоним: sample median — выборочная медиана.
Пример: 0 (26) требует лишь отыскания медианы п наблю-
дений Z (с. 65).
Midrank — средний (срединный) ранг (см. Average rank — средний
ранг).
Minimum — минимум: минимум из чисел ..., ап есть число (числа),
которое меньше всех остальных. Мы используем обозначение
min {аь ..., а,,}.
* Говорят также о медиане распределения случайной величины X. —
Примеч. пер.
464
Пример: а,. — min {Хг, УД (с. 25).
Moment — момент: пусть X — случайная величина из генеральной
совокупности П. Для любого целого п = 1, 2, 3, ... мы называем
Е (Х(,!)) — математическое ожидание случайной величины Х<п> — п-м
моментом совокупности П. (Заметим, что 1-й момент — это среднее
совокупности.) В этом определении предполагается существование
Е (Х<">).
При м е р: каждая случайная величина е извлекается из неко-
торой непрерывной совокупности с медианой 0 и конечным чет-
вертым моментом (с. 119).
Multiple comparison procedure — метод множественных сравнений:
метод множественных сравнений — это статистический метод, который
на основе выборочных наблюдений дает некоторое число (скажем, Nd)
утверждений (решений) относительно интересующих нас параметров.
Такой метод устанавливает отношение исходной нулевой гипотезы с
некоторой комбинацией утверждений из множества всех возможных
утверждений, которая выбирается в ходе работы метода и ведет к при-
нятию этой пулевой гипотезы. Мы сохраняем термин «метод множест-
венных сравнений» и для случаев, в которых Nd = 1.
Синоним: multiple decision procedure — метод множествен-
ных решений.
Пример: метод, определенный в (6.14), — это метод множест-
венных сравнений. Исходная нулевая гипотеза в терминах мо-
дели (6.1) есть //0 : Tj = т2 — ... = rh. Это значит, что нулевая
гипотеза утверждает равенство k параметров т1( .... тЛ. Метод
(6.14) требует k (k — 1)/2 утверждений (решений). Для каждой
пары u, v, где и v, пользователь утверждает (как бы принимая
решение), что либо ти — ту, либо тц т„. Для примера при
k — 3 можно принять 3 (2)/2 = 3 утверждения (решения), а
именно: либо Tj = т,, либо тд т2, либо ту = т3, либо ту т3,
либо т2 = т3, либо т2 т3. Причем комбинация решений = т2)
ту = т3, т2 — т3 приводит к принятию До : Tj = т3 = т3 (с. 141).
Multiple decision procedure — метод множественных решений (см. Mul-
tiple comparison procedure — метод множественных сравнений).
Mutually independent events — взаимно независимые события (см. In-
dependent events — независимые события).
Mutually independent variables—независимые в совокупности случайные
величины; взаимно (совместно) независимые случайные величины (см.
Independent variables — независимые случайные величины).
New better than used — новое лучше старого: пусть X — случайная
величина, такая, что Р (X 0) — 1. Распределение X имеет свой-
ство «новое лучше старого» (НЛС), если для всех х
Р (X > х + у\Х > х) Р (X у). Если же для всех х у^О,
Р (X х -|- у \Х х) Р (X > у), то говорят, что X имеет распре-
деление со свойством «новое хуже старого» (НХС). Если рассматри-
вать X как срок службы изделия, то X имеет НЛС (НХС)-распреде-
лепне в том случае, когда для х, у 0 вероятность сохранения ра-
ботоспособности («выживания») за дополнительное время у при усло-
вии, что изделие сохраняло работоспособность до момента х, меньше
465
(больше или равно), чем вероятность сохранения работоспособности
за время у от начала, эксплуатации изделия.
Пример: ...соответствующая совокупность может иметь свой-
ство «новое лучше старого» (с. 263).
New worse than used — новое хуже старого (см. New better than used —
новое лучше старого).
Nonparametric statistical procedure — непараметрический статистичес-
кий метод: непараметрический статистический метод — это статисти-
ческий метод с (некоторыми) желательными свойствами, сохраняющи-
мися при относительно слабых допущениях о рассматриваемых гене-
ральных совокупностях.
С и и о н и мы: nonparametric method, nonparametric techni-
que — непараметрический метод.
Более узкие термины: nonparametric test — непара-
метрический критерий; nonparametric estimator — непараметри-
ческая оценка (оценочная функция); nonparametric confidence
interval — непараметрический доверительный интервал; nonpa-
rametric multiple comparison procedure — непараметрический
метод множественных сравнений.
Пример: как сравнить представленные непараметрические
методы с их классическими соперниками, основанными на до-
пущении о нормальности соответствующих совокупностей? (с. 26).
Normal population — (генеральная) совокупность с нормальным рас-
пределением, нормальная или гауссова совокупность: мы говорим,
что Y — случайная величина из совокупности, имеющей нормальное
распределение, если для некоторого р. и некоторого положительного
a Y — <уХ + [л, где X — случайная величина с плотностью распре-
деления
f (х) — (2л)1/2 е~ (*г/2), —оо<;х<оо.
Мы говорим, что случайная величина X — нормальная случайная ве-
личина со средним 0 и дисперсией 1 и пишем N (0, 1), а случайную ве-
личину Y — нормальную со средним р и дисперсией о2 — обозначаем
N (р, о2). График f (х) приведен на рис. Б.2 (с. 460).
П р и м е р: в табл. 3.10 мы приводим значение асимптотической
эффективности конкурирующих методов для ряда совокупностей,
из которых извлекались выборки, включая и нормальную со-
вокупность (с. 83).
Null distribution — распределение при выполнении нулевой гипотезы:
распределение статистики при выполнении нулевой гипотезы — это
распределение статистики в условиях, когда нулевая гипотеза верна.
Синоним: hypothesis distribution — распределение (услов-
ное), когда верна данная гипотеза.
Пример: распределение Т+ при выполнении нулевой гипо-
тезы можно получить с помощью... (с. 51).
Null hypothesis — нулевая гипотеза: нулевая гипотеза означает при-
надлежность рассматриваемого распределения (или распределений,
что может случиться) некоторому классу. Обыкновенно нулевая гипо-
теза формулируется указанием значения какого-нибудь параметра.
466
Прилагательное «нулевая» возникло в статистической терминологии,
поскольку исходная гипотеза часто утверждает, что никакие предла-
гаемые нововведения не верны.
Синоним: (the) hypothesis Но — гипотеза Но.
Пример: приложение биномиальной теории к этой задаче
приводит к статистике критерия В, которая учитывает число вы-
борочных наблюдений, больших, чем принятое для нулевой ги-
потезы значение 0, скажем 0О (с. 35).
Order statistics—порядковые статистики: пусть Хъ ..., Х(п) есть п на-
блюдений и пусть X(i) ... Х(П) — те же наблюдения, упоря-
доченные по возрастанию их величин. Тогда X(ij, ..., Хм называ-
ются порядковыми статистиками, в частности Х(г>, т. е. i-й порядковой
статистикой*.
П р и м е р: в табл. 10.8 мы представили 6 наблюдений, соответ-
ствующих интервалам между отказами кондиционера. Вот они:
Хг=194, Х2 = 15, Х3 = 41, Х4 = 29, Х5 = 33, Х6 = 181.
Соответствующие порядковые статистики: Х^ — 15, Л\2) = 29,
Х(з) = 33, Xw = 41, Х(6) = 181, Х(6) = 194 (с. 262).
Outlier — выброс, резко отклоняющееся значение наблюдаемой вели-
чины: выброс есть наблюдение, которое лежит аномально далеко от
остальных из серии параллельных наблюдений (см. [10], где есть об-
суждение выбросов**).
Синонимы: maverick — резко выделяющийся результат,
straggler — оторвавшийся результат.
Пример: читатель может видеть, что оценка 0 относительно
нечувствительна к выбросам (с. 54).
Parameter — параметр: параметр есть неизвестная постоянная, ха-
рактеризующая совокупность.
Пример: примеры параметров — среднее совокупности, ме-
диана совокупности, дисперсия совокупности. В §2.1 нас инте-
ресует параметр р — неизвестная вероятность успеха. В §7.1
нас интересуют параметры Tb ..., тЛ, а р, ..., суть мешаю-
щие параметры (nuisance parameter), (с. 32).
Percentile — процентиль (см. Quantile — квантиль, с. 470).
Permutation — перестановка: перестановка целых чисел {1, 2, ..., п}
есть их перестройка. Существует /г! перестановок чисел 1, 2, ..., п.
В частности, есть 3! = 3 • 2 • 1=6 перестановок чисел (1, 2, 3).
Это перестановки: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1).
Пр и м е р: ...если для любой перестановки ((х, и, ..., ik) целых
(1, 2, ..., k)... (с. 462).
Pitman asymptotic relative efficiency — асимптотическая относительная
эффективность Питмена (см. Asymptotic relative efficiency — асимп-
тотическая относительная эффективность).
* Последовательность JV(i) Х<2) ... Х(П) называется также вариа-
ционным рядом. — Примеч. пер.
** См. [477, разд. 4.8]. — Примеч. пер.
467
Point estimator — точечная оценка (см. Estimator — оценка).
Power — мощность: мощность критерия относительно определенной
альтернативы есть вероятность (правильного) отбрасывания нулевой
гипотезы, т. е. отбрасывания (непринятия) нулевой гипотезы в случае
когда на самом деле верна альтернативная гипотеза. Мощность против
определенной альтернативы равна 1 — р, где |3 — вероятность ошибки
II рода для этой альтернативы.
Пример: ...существует много альтернатив к Но, для которых
знаковый ранговый критерий обладает мощностью, остающейся
равной а (для выборки любого объема), в то время как мощность
критерия А стремится к 1 (при /г->оо) (с. 230).
Probability (of an event) — вероятность (события): вероятность события
А, обозначаемая Р {/1}, есть число между нулем и единицей, указы-
вающее, насколько правдоподобно, что событие А произойдет. Веро-
ятности подчиняются следующим правилам:
1) Р {А} = 1, если событие А наверняка произойдет;
2) Р {Л} = 0, если событие А невозможно (не может осущест-
виться);
3) Р {А или В} = Р {Л} + Р {В}, если события Л и В не мо-
гут осуществиться одновременно (несовместны);
4) Р {события, состоящего в том, что А не произойдет} —
= 1 - р И).
Пр имер: значения у (a, k, п) из табл. А.9 можно получить,
воспользовавшись тем фактом, что при Но все ЛИ/ I (/г!)Ч
расположений рангов равновозможны. Для получения вероятно-
сти события |/?14 — < с при Но для всех и < v мы просто
определяем число тех конфигураций, для которых событие А ~
= {|/?ы — Для всех u<Zv} произошло, и делим это
число на Л<!/[ (;г!)А ] (с. 143).
Probability density function — плотность распределения вероятностей:
плотность распределения вероятностей непрерывной случайной вели-
чины может быть представлена графиком кривой. Эта кривая лежит не
ниже горизонтальной оси и вся площадь между кривой и горизонталь-
ной осью равна единице. Вероятности события {а X Ь} соответ-
ствует площадь под кривой (выше горизонтальной осн) между точками
а и &*.
Синоним: density function — плотность распределения, плот-
ность вероятности.
* Плотность (иногда — дифференциальная функция) распределения ве-
роятностей р (х) связана с (интегральной) функцией распределения соотношением
F(x)= f p(z)dz,
— 00
верным для всех х, — оо < х < оо. Подробнее см., например, [5351, [484]
и другие издания. — Примеч. пер.
468
Пример: если X — случайная величина из совокупности с
распределением, равномерным на интервале 10, 1], то ее плот-
ность распределения есть
/(*) = {
1, если sC 1,
0 в противном случае.
График f (х) дан на рис. Б.2, с. 460 (с. 476).
Probability distribution (of a continuous random variable) — рас-
пределение вероятностей (непрерывной случайной величины)
X: обычно синоним для функции распределения X, т. е. для F (х) =
= Р {X х} для всех чисел х.
Пример: в § 3.10 и других параграфах, где обсуждается эф-
фективность, мы упоминаем совокупность с равномерным рас-
пределением. Функция распределения случайной величины X,
извлеченной из совокупности с равномерным распределением на
интервале [0, 1], есть
Р {X х} =
0, если x<z 0,
х, если 0 С, х 1,
1, если х>1.
Случайной величине X можно приписать любое значение между
0 и 1. Это можно показать, используя данную функцию распре-
деления, для любого интервала [а, 6], а 0, b 1, b а. Та-
ким образом, вероятность того, что наблюдение попадет в ин-
тервал [a, ft], равна длине этого интервала (с. 83).
Probability distribution (of a discrete random variable) — распределение
вероятностей (дискретной случайной величины): перечень возмож-
ных значений X и соответствующих им вероятностей принятия вели-
чиной X этих значений.
Пример: в комментарии 3.8 мы описали распределение веро-
ятностей статистики для п = 3 и Но (3.2). Возможные зна-
чения и соответствующие вероятности суть
t 0 12 3 4 5 6
Р0{Т+ = /} 1/8 1/8 1/8 2/8 1/8 1/8 1/8
(с. 37)
Probability error rate — вероятная частота ошибки (см. Experimentwise
error rate — вероятность ошибочного решения).
Pseudomedian — псевдомедиана: псевдомедиана распределения F оп-
ределяется как медиана распределения (Хх + Х2)/2, где Хъ Х2 не-
зависимые случайные величины, каждая из которых имеет распределе-
ние F. (Если F непрерывная и строго возрастающая функция, то и ме-
диана и псевдомедиана определяются единственным образом*.)
Для симметричной F псевдомедиана совпадаете медианой. — Примеч. ред.
46 9
Пример: оценка 0 (10) есть состоятельная оценка псевдоме-
днаны, которая, вообще говоря, может отличаться от медианы
0 (с. 54).
Quantile — квантиль: пусть X — случайная величина из генераль-
ной совокупности П. Величина pt есть 1-квантиль совокупности II,
если Р {X <z Pfc} | Р {X [ц}. Единственность ^-квантиля
не обязательна. Однако если для примера мы предполагаем, что со-
вокупность П непрерывна со строго возрастающей функцией распре-
деления, то 1-квантиль определяется единственным образом, и его
можно определить как такое значение [it, что Р {X
Синоним: percentile — процентиль (замечание: о различном
использовании слова «процентиль» см. Upper percentile — верх-
ний процентиль, Lower percentile — нижний процентиль).
Пример: квантили N (0,1) можно получить из табл. А.1. Так,
из таблицы видно, что если X имеет распределение N (0,1), то
Р (X 1.53) = .0630. Отсюда следует, что 1.53 есть 1 — .0630 =
= .937 — квантиль распределения N (0, 1) (с. 269).
Randomized decision — рандомизованное решение: решение, осно-
ванное на статистической процедуре, называется рандомизоваиным
решением, если после получения данных и вычисления соответствую-
щей статистики требуются дополнительные усилия, причем для полу-
чения решения надо ввести некоторый (не связанный с данными) слу-
чайный механизм*.
Пример: ...если Ацабл = А<т>, причем рандомизованное
решение отвергнуть Но с вероятностью /г и принять Но с вероят-
ностью 1 — ... (с. 251).
Random sample — случайная выборка: последовательность случай-
ных величин Хъ .... Хп есть случайная выборка объема п, если каж-
дый из X имеет одно и то же распределение и все они независимы.
Пример: допущения ВГ и В2', введенные в комментарии 3.25
для описания класса альтернатив, для которых критерий знаков
состоятелен, эквивалентны утверждению о том, что Zlt ..., Zn —
случайная выборка из непрерывной совокупности (с. 63).
Random variable — случайная величина: случайная величина — это
некое правило, сопоставляющее каждому возможному исходу экспе-
римента определенное число.
Синоним: variable — величина, переменная, фактор.
Пример: рассмотрим статистику знаков В (3.20) в задаче с
парными повторениями. В этом случае В — случайная величина,
приписывающая каждому набору данных {(Xj, YJ, ..., (Хп, Уп)}
число, равное числу пар наблюдений, для которых Yt >• Хг. На-
значенная таким образом для каждого исхода статистика В при-
нимает одно из п 4- 1 значений 0, 1, .... п (с. 59).
Rank — ранжировать, ранг: мы ранжируем наблюдения (присваива-
ем им ранги), упорядочивая их по величине и назначая им номера (на-
зываемые рангами), соответствующие их месту в упорядочении (orde-
См., например, [501]. — Примеч. пер.
470
ring). Обычно мы ранжируем наблюдения от меньшего к большему
(from least to greatest) и при ранжировании N наблюдений используем
целые числа 1, 2, N как ранги. Тогда ранг Zt среди наблюдений
Zlt ..., Za' равен 1 + (число наблюдений Z, меньших Z;).
Примечание!.В предыдущем определении предполагалось, что среди
наблюдений нет одинаковых, совпадающих с Определение, пригодное для
работы со связями (одинаковыми наблюдениями). — average rank (средний ранг).
Примечание 2. Ситуация, когда при ранжировании N наблюдений
числа 1..Л' не используются в качестве рангов, описана в методе из § 5.1.
Пример: рассмотрим ранжировку (ranking) семи наблюдений
У, приведенных в правом столбце табл. 10.3. Величина У2 равна
2.9, поскольку три из семи У меньше, чем 2.9, ранг У2 равен 4
(с. 245).
Rejection region — область отклонения (гипотезы): область, где гипо-
теза отвергается (см. Critical region —критическая область).
Relative efficiency (of test II with respect to the test 1) — относительная
эффективность (критерия II no отношению к критерию 1): пусть
критерии I и II есть критерии размера а для гипотезы Но : 0 =
= 0О. Относительная эффективность критерия II по отношению к кри-
терию I есть отношение njn^, где п2 — объем выборки для критерия II,
требуемый для достижения той мощности при заданной альтернативе
0 = 0Ъ которую имеет критерий I по отношению к этой же альтерна-
тиве при объеме выборки для него Недостаток этой меры эффектив-
ности в том, что она, вообще говоря, зависит от уровня значимости а,
альтернативы 0 = 0Л и объема выборки критерия I. (Близкое поня-
тие относительной асимптотической эффективности — asymptotic re-
lative efficiency — было введено для того, чтобы иметь меру эффектив-
ности, не зависящую от столь многих факторов, во всяком случае так
сильно.)
С и н о н и M:.test efficiency — эффективность критерия.
Пример: относительная асимптотическая эффективность кри-
терия II по отношению к критерию I определяется (грубо говоря)
как «предельное» значение относительной эффективности кри-
терия II относительно критерия I (с. 448).
Relative frequency — относительная частота, частость: рассмотрим
длинную серию повторений одного и того же эксперимента. Отно-
сительная частота события А определяется как отношение Na/N, где
N число повторений, a Na — число тех повторений, в которых осу-
ществилось событие А.
Синоним: frequency — частота.
Пример: ... относительная частота события будет очень близ-
ка (если не равна) нулю (с. 451).
Robust — устойчивый, робастный (метод): статистический метод назы-
вается устойчивым (робастным) по отношению к некоторому принято-
му допущению, если он относительно нечувствителен к (небольшому)
отклонению от этого допущения*.
* См. 1529), [630], [516], [540]. Обширная библиография по устойчивым ста-
тистикам (robust statistics) есть в последних двух источниках. — Примеч.. пер.
471
Пример: критерий F из классической нормальной теории для
проверки равенства дисперсий неустойчив относительно до-
пущения о нормальности ... (с. 126).
Sample correlation coefficient — выборочный коэффициент корреля-
ции: пусть (Хх» Л)> ••• (^п» кп) суть независимые двумерные случай-
ные векторы, каждый из одной и той же двумерной совокупности. Вы-
борочный коэффициент корреляции равен:
2 (Хг-Х)(Уг-У)
г =-----—---------------------
{п _______ п _________ 11/2’
2 (хг-х)2 2 (yj-п2
«•=1 /=1 1
где 2 Хг/п, У= 2 Yi!n-
i=\ Z=1
Пример: можно показать, что г Спирмэна есть классический
выборочный коэффициент корреляции для ранжировок... (с. 206).
Sample distribution function — выборочная функция распределения,
функция распределения выборки (см. Empirical distribution function —
эмпирическая функция распределения, с. 456).
Sample mean — выборочное среднее (см. Mean (of a sample) — среднее
значение выборки, с. 464).
Sample median — выборочная медиана (см. Median (of a sample) —
медиана выборки, с. 464).
Sample quasimedian — выборочная квазимедиана: пусть дана вы-
борка Xlt ..., Хп, где ... — упорядоченные значения
X. Выборочная квазимедиана определяется как
, ССЛИ Гъ — ЛК “р 11
0i= {Х(*-О + Х(*+1+0}
—----------------->— если n = 2k.
Таким образом, каждая 0г есть среднее из двух симметрично располо-
женных упорядоченных значений. При i = 0 6г сводится к 60, т. е.
медиане выборки.
Пример: эти квазимедианы — естественные оценки для па-
раметра 0 ... (с. 66).
Sample standard deviation — выборочное стандартное отклонение, вы-
борочное среднее квадратичное отклонение (см. Standard deviation (of
a sample) — среднее квадратичное отклонение (выборки), с. 474).
Sample variance* — выборочная дисперсия (см. Variance (of a sample) —
дисперсия выборки, с. 477).
Scale parameter — параметр масштаба, масштабный коэффициент: па-
раметр 6 есть параметр масштаба для распределения случайной вели-
* Иногда «sampling variance». — Примеч. пер.
472
чины Z тогда и только тогда, когда распределение Z/6 не зависит от б,
где б есть истинное значение параметра.
Пример: при допущениях с А1 по АЗ гл.5 параметр модели
(5.1) есть параметр масштаба для распределения случайной ве-
личины X — ц, параметр а2 модели (5.2) — параметр масштаба
для распределения случайной величины Y — ц. Поэтому мы бу-
дем называть параметр у = <т2/а1 отношением параметров масш-
таба (см. также комментарий 5.6, где есть интерпретация у)
(с. 101).
Signed rank — знаковый ранг: пусть Zx, .... Zn — выборка из п наблю-
дений. Обозначим Ri — ранг |Z;| в совместной ранжировке величин
|Zj|, ..., |Zn| от меньшей к большей. Пусть 1рг = 1, если Z; > 0, и
= 0, если Zi < 0. Произведение R^i известно как положительный
знаковый ранг Z;. Последний равен рангу |ZJ, если Z, положительно,
и равен нулю, если Z, отрицательно. Аналогично произведение
R (% — 1) известно под названием отрицательного знакового ранга
Z,-. Это произведение равно — Rit если Zt отрицательно, и нулю, если
Zi положительно.
Пример: произведение Rityi известно как положительный зна-
ковый ранг Zi (с. 46).
Significance level — уровень значимости: уровень значимости крите-
рия есть вероятность ошибочно отвергнуть нулевую гипотезу, т. е.
вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда на самом деле она
верна.
Синонимы: level — уровень, size —размер (критерия)*.
Пример: ... если мы применим критерий Уилкоксона на уров-
не значимости ах ... (с. 115).
Significance test — критерий значимости (см. Hypothesis test — крите-
рий для проверки гипотезы, с. 461).
Size (of a group of ties) — объем (группы связанных наблюдений или
рангов): объем группы равных (связанных) наблюдений (размер свя-
зи) равен числу совпадающих наблюдений в группе.
* Понятия «significance level» — уровень значимости и «size» — размер кри-
терия отождествляют не всегда (см., например, [245, гл. 3, § 1, формула (3)]).
Толкование уровня значимости критической области (критерия) как вероятности
отвергнуть нулевую гипотезу Нд, если эта гипотеза верпа, не всегда возможно.
Если гипотеза Но сложная, возникают затруднения. Тогда (X £ S), даже при
9£/70. зависит от распределения Рд, которое фактически имеется. Однако для
свободных от распределения критериев из этой книги все указанные выше ве-
роятности совпадают.
Э. Леман придерживается следующей терминологии. Уровень значимости
а задает экспериментатор. Критическую область подбирает статистик, причем
так, чтобы при всех 0- Но, т. е. составляющих (сложную) гипотезу /70, выполня-
лось неравенство Pq (X £ Sa) Размером критической области Sa он назы-
вает sup Ра(Х •< S„). На практике размер критерия обычно совпадает с уровнем
значимости. Семейство критических областей Sa желательно выбирать так,
чтобы Sa CZSao при a, < a2. В таком случае критическим уровнем наблюдения
(иногда —уровнем значимости наблюдений X) X называют inf Р (X£Sa}. —
а
Примеч. ред.
473
Пример: рассмотрим 40 наблюдений в табл. 5.1. Поскольку
есть два наблюдения величиной 96, то группа (96, 96) есть группа
объема 2 (с. 104).
Size (of a test) — размер критерия (см. Significance level — уровень
значимости, с. 473).
Standard deviation (of a population) — среднее квадратичное откло-
нение (совокупности): пусть X есть наблюдение, извлеченное из сово-
купности П. Среднее квадратичное отклонение X есть квадратный ко-
рень из дисперсии X.
Пример: член [п (п + 1) (2п + 1)/24р/2 в знаменателе (3.7)
есть среднее квадратичное отклонение 7+ (3.3) для случая, ког-
да Но (3.2) верна (с. 47).
Standard deviation (of a sample)—среднее квадратичное отклонение
(выборки): пусть Xlt ..., Хп — выборка. Среднее квадратичное откло-
нение выборки равно {S (Хг- — X)2/ (п — 1)}1/2. Таким образом, сред-
нее квадратичное отклонение равно корню квадратному из дисперсии
выборки.
Синоним: sample standard deviation — выборочное среднее
квадратичное отклонение.
Пример: предположим п = 3 и Хх = 1.1, Х2 = —.4, Xs —
= .2. Тогда среднее квадратичное отклонение равно
({(1.1 — .З)2 + (—.4— ,3)2 + (—.2 — .3)2})>/2 = .755.
Statistical test — статистический критерий (см. Hypothesis test — кри-
терий для проверки гипотезы, с. 461).
Straggler — оторвавшийся результат (см. Outlier — выброс, резко
отклоняющееся значение наблюдаемой величины*, с. 467).
Symmetric confidence interval — симметричный доверительный интер-
вал: некий (1 — а)-симметричный доверительный (двусторонний) ин-
тервал (Д L, Д v) для неизвестного параметра Д — это (1 —^-дове-
рительный интервал для Д, имеющий дополнительное свойство
Рд {Д v < Д) = Рд {Д L > Д} = (а/2).
Синоним: central confidence interval — симметричный отно-
сительно центра доверительный интервал.
Пример: для построения симметричного двустороннего до-
верительного интервала для Д с коэффициентом доверия
1 — а, ... (с. 96).
Symmetric distribution — симметричное распределение: распределе-
ние статистики S называется симметричным относительно точки р,
если Р {S р + = Р {3 С И — х} Для любого х. Распределение
называется симметричным, если есть точка р, относительно которой
выполняется указанное выше свойство**.
Пример: если 0 = 0, то распределение статистики 7+ (3)
симметрично относительно ее среднего п (п -|- 1)/4 ... (с. 54).
* См. также «gross error», «crude error» — грубая ошибка. — Примеч. пер.
** Если распределение S имеет плотность f (х), то f (р — х) —- f (х Ч- р),
а функция распределения обладает свойством 1 — F (р -f- х) — F (р — х). —
Примеч. п?р.
474
Symmetric population — симметричная совокупность: пусть П — со-
вокупность и X — случайная величина, извлеченная из П. Мы го-
ворим, что П — симметричная совокупность, если существует точка
[А, для которой распределение X симметрично относительно р.
Пример: это гипотеза о симметричности совокупности наблю-
дений Z относительно 0, ... (с. 76).
Symmetric test — симметричный критерий:] рассмотрим двусторонний
критерий уровня а для гипотезы Но: 0 = 0О, где 0 — параметр, 0О —
его значение. Предположим, что критерий основан на статистике S и
отвергает Но либо при S Sj, либо при S Si- Такой критерий назы-
вается симметричным критерием, если он обладает дополнительным
свойством Ро {S sj = Ро {S s2} = а/2 (где Ро { • } — вероят-
ность при выполнении нулевой гипотезы Но).
Пример: поэтому наименьший уровень значимости, на кото-
ром можно отвергнуть Но и принять 0 =/= 81.3035, используя сим-
метричный критерий, основанный на Т+, равен .016 (с. 71).
Test — критерий (см. Hypothesis test — критерий для проверки ги-
потезы, с. 461).
Test efficiency — эффективность критерия (см. Relative efficiency —
относительная эффективность, с. 471).
Test statistic — статистика (лежащая в основе) критерия: статистика
критерия есть статистика, определяющая критическую область кри-
терия для проверки гипотезы.
Пример: статистика В, используемая в критерии для провер-
ки гипотезы, который определен (2.3), есть статистика этого кри-
терия (с. 32).
Type I error — ошибка I рода: ошибка I рода — это неверное откло-
нение нулевой гипотезы, т. е. отклонение нулевой гипотезы, когда она
на самом деле верна.
Пример: ... мы управляем вероятностью (ошибочного) откло-
нения Но ... (с. 90).
Type II error — ошибка II рода: ошибка II рода — это неверное при-
нятие нулевой гипотезы, т. е. принятие нулевой гипотезы, когда на
самом деле она не верна.
Пример: обозначив 0j (Р2) вероятность ошибки II рода кри-
терия (Т2) при альтернативе р = .5, мы получаем 0х = 1 —
— Pi = .9648, р2 = 1 — R2 = .8555 (с. 38).
Uncorrelated — некоррелированный: случайные величины X и Y на-
зываются некоррелированными, если их коэффициент корреляции
р(X, Y) равен 0.
Пример: если Но (2) верна, то W и W некоррелированы...
(с. 108).
Uniform population* — (генеральная) совокупность, имеющая рав-
номерное распределение: мы говорим, что Y—случайная величина из
совокупности, имеющей равномерное распределение, если для неко-
* Иногда используются термины: «restangular population (distribution)»
совокупность, имеющая прямоугольное (равномерное) распределение; равно-
мерное распределение. — Примеч. пер.
475
торых р. и а > О У = оХ |л, где X — случайная величина с плот-
ностью распределения вероятностей
( 1, если 1,
[ 0 в противном случае.
Случайная величина X называется равномерной (равномерно распре-
деленной) па интервале [0, 1]. Графиках) приведен на рис. Б.2 (с. 460),
П р и м е р: в табл. 3.10 мы приводим значения асимптотической
эффективности конкурирующих методов для нескольких раз-
личных совокупностей, в том числе и совокупности, имеющей
равномерное распределение (с. 83).
Upper percentile — верхний процентиль: пусть Т — случайная вели-
чина с распределением F. Мы говорим, что есть верхний ^-процен-
тиль для F, если Р {Т vs} = Если, например, мы предполагаем,
что F есть непрерывная и строго возрастающая функция, то будет
единственной точкой. Для того чтобы сделать единственной точкой
в случае, когда Т имеет дискретное распределение, мы определяем
верхний процентиль лишь для тех значений £, для которых £ =
= Р {Т t} при некотором возможном значении t случайной вели-
чины Т, требуя, чтобы Vj было одним из значений, принимаемых Т.
Синоним ы*: upper percentile point, upper percentage point —
верхняя процентная точка.
Пример: рассмотрим дискретное нулевое распределение ста-
тистики Т+, определенное в комментарии 3.8 для случая п — 3.
Мы видим, что Ро {Т^ 4} = 3/8 = .375 и 4 — это верхняя
.375%-ная точка нулевого распределения Т+ при п 3. Мы не
определяем, к примеру, 10%-ную верхнюю точку этого распре-
деления, поскольку не существует такого принимаемого статис-
тикой Т+ значения t, что Ро {71+ /} = .10 (с. 51).
Variable — переменная величина (см. Random variable — случайная
величина, с. 470).
Variance (of a population) — дисперсия (генеральной совокупности):
пусть X — случайная величина из генеральной совокупности П. Дис-
персия X определяется как математическое ожидание случайной ве-
личины У, где У = {X — Е (X)}2, при условии существования этого
математического ожидания. Мы используем для дисперсии X обозна-
чение var (X).
Пример: в комментарии 3.8 мы привели распределение Т+
(3.3), когда верна нулевая гипотеза для случая п = 3. Мы нахо-
дим
р0 {Т* = 0}=А-, Ро {Т+ = 1}=4- > Ро {Т+ = 2} = 4-,
ООО
Р0{Т+ = 3}=4- ^о{7’+ = 4}=4. ^о{7'+ = 5)=4-
ООО
Ро {7’+ = 6} = 4 .
о
* См. сноску к термину «lower percentile» — нижний процентиль. — ПР11'
меч. пер.
476
Среднее Т+ при верной нулевой гипотезе равно Ео (Т+) = 3.
Вычисление Ео (Т+) показано при термине «Expectation (of а
discrete random variable) — математическое ожидание (дискретной
случайной величины)» из этого глоссария. Распределение веро-
ятностей У = {Т+— Eq (7’+)}2 получается следующим образом;
т+ т+-Еа (т+) У={т+-Е0 (Т+)}2
0 1 2 3 4 5 6 -3 —2 —1 0 1 2 3 9 4 1 0 1 4 9
Отсюда Ро {У = 9} = Ро {Т+ = 0} + Р {Т+ = 6} =
Ро {У = 4} = Ро {Т+= 1}Ро {Т+=5}=|
Ро {У = 1} = Ро {Т+ = 2} + Ро {Т+ = 4} = |
Ро {Уо = 0} = Р0 {Т+ =3} = |.
Следовательно, var0 (X) = Ео (У) = 9Р0 {У = 9} +
+ 4Р {У = 4} 4- 1Р0 {У = 1}+ ОРо {У = 0}9 = (-|) +
+4 ® +1 (Э +0 ЙЧ <с-S1>-
Variance (of a sample) — дисперсия (выборки): пусть Xlt Хп —
п __
выборка. Дисперсия выборки равна S (Xt — X)2/ (п — 1),
_____ < = 1
где X — среднее значение.
Синоним: sample variance — выборочная дисперсия.
Пример: заметим, что Сг/ (k — 1), i = 1, ..., m', есть выбо-
рочная дисперсии k наблюдений X ... (с. 113).
БИБЛИОГРАФИЯ
1. A be Ison R. Р. and Tukey J. W. (1963). Efficient utilization
of non-numerical information in quantitative analysis: General theory and
the case of simple order. — Ann. Math. Statist. 34, 1347—1369.
2. A d i c h i e J. N. (1967 a). Asymptotic efficiency ef a class of non-paramet-
ric tests for regression parameters. — Ann. Math. Statist. 38, 884—893.
3. A d i c h i e J. N. (1967b). Estimates of regression parameters based on
rank tests. — Ann. Math. Statist. 38, 894—904.
4. A n d e I J. (1967). Local asymptotic power and efficiency of tests of Kol-
mogorov — Smirnov type. — Ann. Math. Statist. 38, 1705—1725.
5. Anderson J. D., Efron L. and WongS. K. (1970). Martian
mass of earth — moon mass ratio from coherent S-band tracking of Mariners
6 and 7. — Science 167, 277—279.
6. A n d e r s о n T. W. and В u r s t e i n H. (1967). Approximating the
upper binomial confidence limit. — J. Amer. Statist. Ass. 62, 857—861.
7. A n d c r s о n T. W. and В u r s t e i n H. (1968). Approximating the
lower binomial confidence limit. — J. Amer. Statist. Ass. 63, 1413—5; Cor-
rection 64 (1969), 669.
8. A n d г e w s F. C. (1954). Asymptotic behavior of some rank tests for
analysis of variance. — Ann. Math. Statist. 25, 724—736.
9. A n s a г i A. R. and Bradley R. A. (1960). Rank-sum tests for dis-
persions. Ann. Math. Statist. 31, 1174—1189.
10. A n s с о m b e F. J. (1960). Rejection of outliers. — Technometrics
2, 123—147.
11. Anscombe F. J. (1965). Comments on Kurtz—Link — Tukey —
Wallace paper. — Technometrics 7, 167—168.
12. Arbuthnott J. (1710). An argument for divine providence, taken from
the constant regularity observed in the births of both sexes. — Phil. Trans.
27, 186—190.
13. A r v e s e n J. N. (1969). Jackknifing (/-statistics. — Ann. Math. Statist.
40, 2076—2100.
14. A r v e s e n J. N. and Schmitz T. H. (1970). Robust procedures for
variance component problems using the jackknife. — Biometrics 26, 677—686.
15. В a r 1 о w R. E. (1968). Likelihood ratio tests for restricted families
of probability distributions. — Ann. Math. Statist. 39, 547—560.
16. В a r 1 о w R. E. and Proschan F. (1965). Mathematical Theory ol
Reliability. Wiley, New York. Русский перевод: Барлоу P>
П p о ш а н Ф. Математическая теория иадежности/Под ред. Б. В. Гне-
денко. М., Сов. радио, 1969. 488 с.
17. Barlow R. Е. and Proschan F. (1969). A note on tests for monotone
failure rate based on incomplete data. — Ann. Math. Statist. 40, 595—61W-
18. Bartholomew D. J. (1959a). A test of homogeneity for ordered
alternatives. — Biometrika 46, 36—48. ..
19. Bartholomew D. J. (1959b). A test of homogeneity for ordered altC'
rnatives. 11. — Biometrika 46, 328—335<
478
од, Bartholomew D. J. (1961a). A test of homogeneity of means under
restricted alternatives. — J. R. Statist. Soc. В 23, 239—272.
2i, Bartholomew D. J. (1961b). Ordered tests in the analysis of vari-
ance. — Biometrika 48, 325—332.
22. В a r t о n D. E. and David F. N. (1958). A test for birth order ef-
fect. — Ann. Human Genetics 22, 250—257.
23. В a r t о n D. E. and Ma 1 lows C. L. (1965). Some aspects of the ran-
dom sequence. — Ann. Math. Statist. 36, 236—260.
24. В e c h h о f e г R. E., Kiefer J. and Sobel M. (1968). Sequential
Identification and Ranking Procedures. The University of Chicago Press.
25. В e 1 1 С. B. and D о к s u m K- A. (1965). Some new distribution-free
statistics. — Ann. Math. Statist. 36, 203—214.
26. В e 1 1 С. B. and D о к s u m K- A. (1967). Distribution-free tests of
independence. — Ann. Math. Statist. 38, 429—446.
27. В e 1 1 С. B. and Haller H. S. (1969). Bivariate symmetry tests:
Parametric and nonparametric. — Ann. Math. Statist. 40, 259—269.
28. В e n a г d A. and van E 1 t e r e n P. (1953). A generalization of the
method of m rankings. — Indag. Math. 15, 358—369.
29. В e n n e t t В. M. (1968). Rank-order tests of linear hypotheses. —
J. R. Statist. Soc. В 30, 483—489.
30. Bernou.lli J. (1713). Ars Conjectandi. Есть частичный Русский перевод:
Часть четвертая сочинений Я. Бернулли «Ars conjectandi». СПб., 1913.
31. В h а р к а г V. Р. (1961). A nonparametric test for the problem of several
samples. — Ann. Math. Statist. 32, 1108—1117.
32. В h a p к a г V. P. and Deshpande J. V. (1968). Some nonparametric
tests for multisample problems. — Technometrics 10, 578—585.
33. Bhattacharya P. K. (1967). Efficient estimation of a shift para-
meter from grouped data. — Ann. Math. Statist. 38, 1770—1787.
34. В h a t t a c h а г у у a G. K., Johnson R. A. and N e a v e H. R.
(1970). Percentage points of some non-parametric tests for independence
and empirical power comparisons. — J. Amer. Statist. Ass. 65, 976—983.
35. В h u c h о n g'k u 1 S. (1964). A class of nonparametric tests for indepen-
dence in bivariate populations. — Ann. Math. Statist. 35, 138—149.
36. Bhuchongkul S. and Puri M. L. (1965). On the estimation of
contrasts in linear models. — Ann. Math. Statist. 36, 198—202.
37. В i с к e 1 P. J. (1965). On some robust estimates of location. — Ann.
Math. Statist. 36, 847—858.
38. В i с к e 1 P. J. (1969). Tests for monotone failure rate II.— Ann. Math
Statist. 40, 1250—1260.
39. В i с к e 1 P. J. and D о к s u m K- A. (1969). Tests for monotone failure
rate based on normalized spacings. — Ann. Math. Statist. 40, 1216—1235.
40. В i r n b a u m Z. W. (1956). On a use of the Mann — Whitney statistic. —
Proc. 3rd Berkeley Symp. I, 13—17.
41. В i г n b a u m Z. W. and H a 1 1 R. A. (1960). Small sample distributions
for multisample statistics of the Smirnov type. — Ann, Math. Statist. 31,
710—720.
42. В i r n b a u m Z. W. and Klose О. M. (1957). Bounds for the variance
of the Mann — Whitney statistic. — Ann. Math. Statist. 28, 933-945.
43. Birnbaum Z. W. and McCarty R. C. (1958). A distribution-free
upper confidence bound for Pr {Y < X}, based on independent samples of
X and Y. — Ann. Math. Statist. 29, 558-562.
44. В 1 i s s С. I. (1944). A chart of the chi-square distribution. — J. Amer.
Statist. Ass. 39, 246—248.
45. В 1 о m q v i s t N. (1950). On a measure of dependence between two random
variables. — Ann. Math. Statist. 21, 593—600.
46. В 1 u m J. R., К i e f e r J. and Rosenblatt M. (1961). Distribution
free tests of independence based on the sample distribution function. — Ann.
Math. Statist. 32, 485—498.
47. В 1 у t h C. (1950). Notes on the Theory of Estimation, recorded from lectu-
res by E. L. Lehmann. University of California Press, Berkeley.
479
48. Bof Inger V. J. (1965). The /с-sample slippage problem. — Aust т
Statist. 7. 20-31.
49. Box G . E. P. (1953). Non-normality and tests on variances. — Biometri
ka 40, 318—335.
50. Box G. E. P. and Andersen S. L. (1955). Permutation theory jn
the derivation of robust criteria and the study of departures from as-
sumption. — J. R. Statist. Soc. В 17, 1—26.
51. В r a d 1 e у J. V. (1968). Distribution-free Statistical Tests. Prentice-1 la]|
Englewood Cliffs, N. J.
52. В r a d 1 e у R. A. (1955). Some notes on the theory and application oi
rank order statistics. 11. — Indust. Qual. Control 11 (6), 5—9.
53. В r a d 1 e у R. A. (1963). Some relationships among sensory difference
tests. — Biometrics 19, 385—397.
54. В r a d 1 e у R. A. (1967). Topics in rank-order statistics. — Proc. 5th
Berkeley Symp. 1, 593—607.
55. В r a d 1 e у R. A., Martin D. C. and Wilcoxon F. (1965).
Sequential rank tests 1. Monte Carlo studies of the two-sample procedure.—
Technometrics 7, 463—483.
56. В r a d 1 e у R. A., Merchant S. D. and Wilcoxon F. (1966).
Sequential rank tests 11. Modified two-sample procedures. — Tcchnometrics
8, 615—623.
57. В r a d у J. P. (1969). Studies on the metronome effect on stuttering. —
Behav. Res. Ther. 7, 197—204.
58. В r i 1 1 i n g e r D. R. (1964). The asymptotic behaviour of Tukey’s general
method of setting approximate confidence limits (the jackknife) when ap-
plied to maximum likelihood estimates. — Rev. Int. Statist. Inst. 32, 202—
206.
59. Bro w n G. W. and Mood A. M. (1951). On median tests for linear
hypotheses. — Proc. 2nd Berkeley Symp.; 159—166.
60. В г у s о и M. C. and S i d d i q u i M. M. (1969). Some criteria for
aging- — J- Amer. Statist. Ass. 64, 1472—1483.
61. В u g у i H. I., M a g n i e r E., J о s e p h W. and Frank G. (1969).
A method for measurement of sodium and potassium in erythrocytes and
whole blood. — Clin. Chem. 15, 712—719.
62. В u r r E. J. (1960). The distribution of Kendall’s score S for a pair of tied
rankings. — Biometrika 47, 151 —171.
63. В u t 1 e г С. C. (1969). A test for symmetry using the sample distribution
function. — Ann. Alath. Statist. 40, 2209—2210.
64. Byer A. J. and Abrams D. (1953). A comparison of the triangular
and two-sample taste-test methods. —Food Technol. 7, 185—187.
65. C a i n G. D., Mayer G. and Jones E. A. (1970). Augmentation
of albumin but not fibrinogen synthesis by corticosteroids in patients with
hepatocellular disease. — J. Clin. Invest. 49, 2198—2204.
66. Capon J. (1961). Asymptotic efficiency of certain locally most powerful
rank tests. — Ann. Math. Statist. 32, 88—100.
67. С a p о n J. (1965). On the asymptotic efficiency of the Kolmogorov —
Smirnov test. — J. Amer. Statist. Ass. 60, 843—853.
68. C h а с к о V. J. (1963). Testing homogeneity against ordered alternati-
ves. — Ann. Math. Statist. 34, 945—956.
69. C h a n d а К. C. (1963). On the efficiency of two-sample Mann-Whitney
test for discrete populations. — Ann. Math. Statist. 34, 612—617.
70. C h a t t e r j e e S. K. (1966). A multi-sample non-parametric scale
test based on [/-statistics. —Calcutta Statist. Ass. Bull. 15, 109—119.
71. Chernoff H. and Savage I. R. (1958). Asymptotic normality
and efficiency of certain nonparametric test statistics.— Ann. Math. Statist.
29, 972—994.
72. Che w V. (1971). Point estimation of the parameter of the binomial distri-
bution. — Amer. Statistician 25 (5), 47—50.
73. Cl op per C. J. and Pearson E. S. (1934). The use of confidence
or fiducial limits illustrated in the case of the binomial. — Biometric
26, 403—413.
480
74. Coc h г a n W. G. (1937). The efficiencies of the binomial series tests
of significance of a mean and of a correlation coefficient. — J. R. Statist.
Soc. 100, 69—73.
75. С о c h г a n W. G. and Cox G. M. (1957). Experimental Designs.
2nd ed., Wiley; New York.
76. С о 1 e A. F. W. and Katz M. (1966). Summer ozone concentrations
in southern Ontario in relation to photochemical aspects and vegetation da-
mage. — J. Air Poll. Control Ass. 16, 201—206.
77. С о m p о c J. H„ Jr., Botelho S. Y. and D u В о i s A. B. (1959).
Design of a body plethysmograph for studying cardiopulmonary physio-
logy. — J. Appl. Physiol. 14, 439—444.
78. Conover W. J. (1965). Several /г-sample Kolmogorov—Smirnov tests.—
Ann. Math. Statist. 36, 1019—1026.
79. Conover W. J. (1967a). The distribution functions of Tsao’s truncated
Smirnov statistics. — Ann. Math. Statist. 38, 1208—1215.
80. Conover W. J. (1967b). A /г-sample extension of the one-sided two-
sample Smirnov test statistic. — Ann. Math. Statist. 38, 1726—1730.
81. Conover W. J. (1968). Two /г-samplc slippage tests. — J. Amer. Statist.
Ass. 63, 614—626.
82. Conover W. J. (1971). Practical Nonparametric Statistics. Wiley, New
York./2nd ed. (1980).
83. Cooper L. M., S c h u b о t E., В a n f о r d S. A. and TartC. T,
(1967). A further attempt to modify hypnotic susceptibility through repeated
individualized experience. — Int. J. Clin. Exp. Hypn. 15, 118—124.
84. Craig Л. T. (1932). On the distributions of certain statistics. — Amer.
J. Math. 54, 353—366.
85. С r о u s e C. F. (1964). Note on Atood’s test. — Ann. Math. Statist. 35,
1825—1826.
86. С г о u s e C. F. (1966). Distribution free tests based on the sample distri-
bution function. — Biometrika 53, 99—108.
87. Cr о w E. L. (1956). Confidence intervals for a proportion. — Biometrika
43, 423—435.
88. C u r e t о n E. E. (1967). The normal approximation to the signed-rank
sampling distribution when zero differences are present. — J. Amer. Statist.
Ass. 62, 1068—1069.
89. D a 1 у D. A. and Cooper E. B. (1967). Rate of stuttering adapta-
tion under two electro-shock conditions. — Behav. Res. Ther. 5, 49—54.
90. Daniels H. E. (1944). The relation between measures of correlation
in the universe of sample permutations. — Biometrika 33, 129—135.
91. D a n i e 1 s H. E. (1954). A distribution-free test foi regression parame-
ters. — Ann. Math. Statist. 25, 499—513.
92. Darling D. A. (1957). The Kolmogorov — Smirnov, Cramer-von
Mises tests. — Ann. Math. Statist. 28, 823—838.
93. D a r 1 i n g D. A. and Robbins H. (1967a). Iterated logarithm ine-
qualities. — Proc. Nat. Acad. Sci. 57, 1188—1192.
94. D a r 1 i n g D. A. and Robbins H. (1967b). Confidence sequences
for mean, variance and median. — Proc. Nat. Acad. Sci. 58, 66—68.
95. Darling D. A. and Robbins IT. (1968). Some nonparametric se-
quential tests with power one. — Proc. Nat. Acad. Sci. 61, 804—809.
96. D a r w i n C. (1876). The Effects of Cross- and Self-Fertilisation in the
Vegetable Kingdom. John Murray. London.
97. David H. A. (1963). The Method of Paired Comparisons. Hafner, New
York. Русский перевод: Дэвид Г. /Метод парных сравпений/Пер. с англ,
под ред. 10. П. Адлера. С прил. к русск. переводу. М., Статистика, 1978.
144 с. (Перевод со 2-го англ, изд., 1969 г.).
98. D a v i d Н. А. (1970). Order Statistics. Wiley, New York/2-nd ed. (1981).
Русский перевод: Д э и в и д Г. Порядковые статистики /Пер. с англ, под
ред. В. В. Петрова. М., Наука, 1979. 335 с.
99. David Н. Т. (1958). A three-sample Kolmogorov — Smirnov test. —
Ann. Math. Statist. 29, 842—851.
481
100. D е 1 s e F. C. and Feather В. W. (1968). The effect of augmenter
sensory feedback on the control of salivation. — Psychophysiology 5, 15—21.
101. Deming W. E. (1963). On the correction of mathematical bias by
use of replicated designs. — Metrika 6, 37—42.
102. Deshpande J. V. (1965). Anon-parametric test based on (/-statistics
for the problem of several samples. — J. Indian Statist. Ass. 3, 20—29.
103. Deshpande J. V. (1970). A class of multisample distribution-free
tests. — Ann. Math. Statist. 41, 227—236.
104. Dixon W. J. and Mood A. M. (1946). The statistical sign test. —
J. Amer. Statist. Ass. 41, 557—566.
105. D о к s u m K. (1967). Robust procedures for some linear models with one
observation per cell. — Ann. Math. Statist. 38, 878—883.
106. D о к s u m K. and Thompson R. (1971). Power bounds and asymptotic
minimax results for one-sample rank tests. Ann. Math. Statist. 42, 12—34.
107. Draper N. R. and Smith H. (1966). Applied Regression Analysis.
Wiley, New York. Русский перевод: Дрейпер И., Смит Г. Приклад-
ной регрессионный анализ/Пер. с англ., иаучн. ред. и предислов. Ю. П. Ад-
лера и В. Г. Горского. М., Статистика, 1973, 392 с.
108. Du Во is А. В., Botelho S. Y., Bedell G. М., Mars-
hall R. and Com roe J. H., Jr. (1956). A rapid plethysmographic
method for measuring thoracic gas volume: A comparison with a nitrogen
washout method for measuring functional residual capacity in normal
subjects. — J. Clin. Invest. 35, 322—326.
109. Dunn O. J. (1964). Multiple comparisons using rank sums. — Techno-
metrics 6, 241—252.
110. Dunne tt C. W. (1964). New tables for multiple comparisons with
a control. — Biometrics 20, 482—491.
111. Dun n-R a n k i n P. and Wilcoxon F. (1966). The true distributions
of the range of rank totals in the two-way classification. — Psychometrika
31, 573-580.
112. Durbin J. (1951). Incomplete blocks in ranking experiments.—Brit.
J. Statist. Psychol. 4, 85—90.
113. Durbin J. (1959). A note on the application of Quenouille’s method of
bias reduction to the estimation of ratios. — Biometrika 46, 477—480.
114. D w a s s M. (1960). Some ^-sample rank-order tests. In: Contributions to
Probability and Statistics/Olkin et al. (Eds.), pp. 198—202. Stanford Uni-
versity Press.
115. Efron B. (1969). Student’s /-test under symmetry conditions. — J.
Amer. Statist. Ass. 64, 1278—1302.
116. El and t R. (1957). A non-parametric test of tendency. — Bull. Acad.
Polon. Sci. cl. V, ser. sci. biol. 5, 187—190.
117. Epstein B. (1960a). Tests for the validity of the assumption that the
underlying distribution of life is exponential, I. — Technometrics 2, 83—101.
117a. Epstein B. (1960b). Tests for the validity of the assumption that the
underlying distribution of life is exponential, 11. — Technometrics 2, 167—
183.
118. F a r 1 i e D. J. G. (1961). The asymptotic efficiency of Daniels’s genera-
lized correlation coefficients. — J. R. Statist. Soc. В 23, 128—142.
119. Farrell R. H. (1966). Bounded length confidence intervals for the
p-point of a distribution function, III. — Ann. Math. Statist. 37, 586—592.
120. Feather B. W. and Wells D. T. (1966). Effects of concurrent motor
activity on the unconditioned salivary reflex. — Psychophysiology 2,
338—343.
121. Featherston D. W. (1971). Taenia hydatigena II. Evagination of
cysticerci and establishment in dogs. — Exp. Parasit. 29, 242—249.
122. Feller W. (1968). An Introduction to Probability Theory and'Its Ap-
plications. Vol. I, 3rd ed. Wiley, New York. Русский перевод co 2-го изд.:
Феллер Ф. Введение в теорию вероятностей и ее приложения/2-е изд.
Пер. с англ, под ред. Е. Б. Дыикипа. С предислов. A. II. Колмогорова.
М., Мир, 1964. 498 с.
482
123. Ferguson G. A. (1965). Nonparametric Trend Analysis. McGill Univer-
sity Press, Montreal.
124. Fine T. (1966). On the Hodges and Lehmann shift estimator in the two
sample problem. -• Ann. Math. Statist. 37, 1814—1818.
125. Fisher R. A. (1925). Statistical Methods for Research Workers, 1st
ed. Oliver and Boyd, Edinburgh. Русский перевод: Фишер P. Статисти-
ческие методы для исследователей. /Пер. саигл. М. Госстатиздат, 1958, 268 с.
126. Fisher R. A. and Yates F. (1938). Statistical Tables for Biological,
Agricultural and Medical Research, 1st ed. Oliver and Boyd, Edinburgh.
127. F i s z M. (1960). On a result by M. Rosenblatt concerning the von Mises —
Smirnov test. — Ann. Math. Statist. 31, 427—429.
128. Fisz M. (1963). Probability Theory and Mathematical Statistics. 3rd ed.
Wiley, New York.
129. F о x J. R. and Randall J. E. (1970). Relationship between forearm
tremor and the biceps electromyogram. — J. Appl. Physiol 29, 103—108.
130. Fraser D. A. S. (1957a). Nonparametric Methods in Statistics. Wiley,
New York.
131. Fraser D. A. S. (1957b). Most powerful rank-type tests. Ann. Math.
Statist. 28, 1040—1043.
132. Freund J. E. and Ansari A. R. (1957). Two-way rank-sum tests
for variances. Tech Rept. 34, Department of Statistics, Virginia Polytechnic
Institute.
133. Friedman Milton (1937). The use of ranks to avoid the assumption of
normality implicit in the analysis of variance. — J. Amer. Statist. Ass. 32,
675—701.
134. Friedman Meyer, Byers S. O., Rosenman R. H. and
Neuman R. (1971). Coronary-prone individuals (Type A behavior
pattern) growth hormone responses. — J. Amer. Med. Ass. 217, 929—932.
135. Friedman Meyer and Rosenman R. H. (1959). Association of
specific overt behavior pattern with blood and cardiovascular findings: Blood
cholesterol level, blood clotting time, incidence of arcus senilis, and clinical
coronary artery disease. — J. Amer. Med. Ass. 169, 1286—1296.
136. Gabriel K. R. (1969). Simultaneous test procedures — some theory
of multiple comparisons. — Ann. Math. Statist. 40, 224—250.
137. G a r t J. J. (1963). A median test with sequential application. — Biometri-
ka 50, 55-62.
138. Gastwirth J. L. (1965). Percentile modifications of two sample rank
tests. — J. Amer. Statist. Ass. 60, 1127—1141.
139. Gastwirth J. L. (1966). On robust procedures. — J. Amer. Statist.
Ass. 61, 929—948.
140. Gastwirth J. L. (1968). The first-median test: A two-sided version of
the control median test. — J. Amer. Statist. Ass. 63, 692—706.
141. Gastwirth J. L. and Rubin H. (1969). The behavior of robust
estimators on dependent data. Mimeo Ser. 197, Department of Statistics,
Purdue University.
142. G a v e r D. P., Jr. and Hoel D. G. (1970). Comparison of certain
small-sample Poisson probability estimates. — Technometrics 12, 835—850.
143. Geertscma J. C. (1968). Sequential confidence intervals based on
rank tests. Ph. D. thesis, University of California, Berkeley.
144. Geertsema J. C. (1970). Sequential confidence intervals based on rank
tests. — Ann. Math. Statist. 41, 1016—1026.
145. Ghosh В. K. (1970). Sequential Tests of Statistical Hypotheses. Addi-
son — Wesley, Reading, Mass.
146. Ghosh M. and S e n P. K. (1971). On a class of rank order tests for regres-
sion with partially informed stochastic predictors. — Ann. Math. Statist.
42, 650—661.
147. Gibbons J. D. (1964). A proposed two-sample rank test: the psi test
and its properties. — J. R. Statist. Soc. В 26, 305—312.
148. Gibbons J. D. (1971). Nonparametric Statistical Inference. McGraw-
Hill, New York.
483
149. Goldsmith J. R. and N a d c 1 J. Л. (1969). Experimental exposure
of human subjects to ozone. — J. Air Poll. Control Ass. 19, 329—330.
150. Good I. J. (1965). The Estimation of Probabilities: An Essay on Modern
Bayesian Methods. Research Monograph. 30, M. 1. T. Press, Cambridge.
151. Gottlieb G. (1965). Prenatal auditory sensitivity in chickens and
ducks. Science 147, 1596—1598.
152. Govindarajulu Z. (1960). Central limit theorems and asymptotic
efficiency for one-sample nonparametric procedures. Tech. Rept. If, Depa-
rtment of Statistics, University of Minnesota.
153. Govindarajulu Z. (1968a). Distribution-free confidence bounds
for P (X < Г). — Ann. Inst. Statist. Math. 20, 229—238.
154. -ifi ovindarajulu Z. (1968b). Stopping time of a rank order SPPT
for symmetry based on Lehmann alternatives. Unpublished manuscript.
155. Govindarajulu Z. and Leslie R. T. (1972). Annotated biblio-
graphy on robustness studies of statistical procedures. U. S. Department
of Health, Education, and Welfare Publication No. ( HSM) 72—1051.
156. Greenberg V. L. (1966). Robust estimation in incomplete block
designs. — Ann. Math. Statist. 37, 1331 — 1337.
157. Griffin H. D. (1958). Graphic computation of tau as a coefficient of
disarray. — J. Amer. Statist. Ass. 53, 441—447.
158. Gross S. (1966). Nonparametric tests when nuisance parameters are pre-
sent. — Ph. D. thesis, University of California, Berkeley.
159. G u p t a M. K- (1967). An asymptotically nonparametric test of symme-
try. — Ann. Math. Statist. 38, 849—866.
160. Gupta S. S. (1963). Probability integrals of multivariate normal and
multivariate t. — Ann. Math. Statist. 34, 792—828.
161. Haga T. (1960). A two-sample rank test on location. — Ann. Inst. Statist.
Math. 11, 211—219.
162. Hajek J. (1962). Asymptotically most powerful rank-order tests. — Ann.
Math. Statist. 33, 1124—1147.
163. H a j e к J. (1965). Extension of the Kolmogorov — Smirnov test to reg-
ression alternatives. In: Bernoulli, Bayes, Laplace Anniversary Volume,
L. L e C a m and J. Neyman (Eds.), 45—60. Springer-Verlag, New York.
164. Hajek J. (1969). Nonparametric Statistics. Holden-Day, San Francisco.
165. Hajek J. and Sida к Z. (1967). Theory of Rank Tests. Academic
Press, New York. Русский перевод: Гаек Я., Ill и д а к 3. Теория ран-
говых критериев/Пер. с англ, под ред. Л.Н. Большева. М., Наука, 1971.
375 с.
166. Н а 1 d А. (1952). Statistical Theory with Engineering Applications.
Wiley, New York. Русский перевод: Хальд А. Математическая статисти-
ка с техническими приложениями/Пер. с англ, под ред. Ю. В. Линни-
ка. М., ИЛ, 1956. 664 с.
167. Hall W. J., W i j s m a n R. A. and G h о s h J. K. (1965). The
relationship between sufficiency and invariance with applications in sequen-
tial analysis. — Ann. Math. Statist. 36, 575—614.
168. Hamilton M. (1960). A rating scale for depression. — J. Neurol. Neuro-
surg. Psychiat. 23, 56—62.
169. Harter H. L. (1960). Tables of range and studentized range. — Ann.
Math. Statist. 31, 1122—1147.
170. H c b b D. O. and Williams K- (1946). A method of rating animal
intelligence. — J. Gen. Psychol. 34, 59—65.
171. H e m e 1 r i j k J. (1950a). A family of parameterfree tests for symmetry
with respect to a given point, I. — Indag. Math. 12, 340—350.
172. H e m e 1 r i j k J. (1950b). A family of parameterfree tests for symmetry
with respect to a given point, II. — Indag. Math. 12, 419—431.
173. Hemelrijk J. (1952). Note on Wilcoxon's two-sample test when ties
are present. —Ann. Math. Statist. 23, 133—135.
174. H e t t m a n s p e r g e r T. P. (1968). On the trimmed Mann — Whitney
statistic. — Ann. Math. Statist. 39, 1610—1614.
484
175. H i 1 g а г d E. R., Lauer L. W. and Morgan A. H. (1963). Manual
for Stanford Profile Scales of Hypnotic Susceptibility, Forms I and II.
Consulting Psychologists Press, Palo Alto, Calif.
176. Hodges J. L., Jr. (1955). Gallon’s rank-order test. — Biometrika 42,
261—262.
177. H о d g e s J. L., Jr. (1967). Efficiency in normal samples and tolerance
of extreme values for some estimates of location. Proc. 5th Berkeley Symp.
I, 163—186.
178. Hodges J. L., Jr. and Lehmann E. L. (1950). Some problems
in minimax point estimation. — Ann. Math. Statist. 21, 182—197.
179. H о d g e s J. L., Jr. and Lehmann E. L. (1956). The efficiency^
some nonparametric competitors of the Mest. — Ann. Math. Statistv27,
324—335.
180. Hodges J. L., Jr. and Lehmann E. L. (1962). Rank methods for
combination of independent experiments in analysis of variance. — Ann.
Math. Statist. 33, 482—497.
181. Hodges J. L., Jr. and Lehmann E. L. (1963). Estimates of
location based on rank tests. — Ann. Math. Statist. 34, 598—611.
182. Hodges J. L., Jr. and Lehmann E. L. (1967). On medians and
quasimedians. — J. Amer. Statist. Ass. 62, 926—931.
183. Hodges J. L., Jr. and Lehmann E. L. (1970). Deficiency. — Ann.
Math. Statist. 41, 783—801.
184. H о e f f d i n g W. (1948a). A class of statistics with asymptotically normal
distribution. —Ann. Math. Statist. 19, 293—325. Русский перевод: Г о ф-
д и и г В. Класс статистик с асимптотически нормальным распределени-
ем. — Математика. Периодический сборник переводов иностранных статей,
1958, т. 2, № 3, с. 129—158.
185. Н о е f f d i n g W. (1948b). A поп-parametric test of independence. — Ann.
Math. Statist. 19, 546—557.
186. H о e f f d i n g W. (1951). «Optimum» nonparamctric tests. Proc. 2nd
Berkeley Symp., 83—92.
187. H о e f f d i n g W. (1952). The large-sample power of tests based on permu-
tations of observations. — Ann. Math. Statist. 23, 169—192.
188. H о e f f d i n g W. (1968). Some recent developments in nonparametric
statistics. — Rev. Int. Statist. Inst. 36, 176—183.
189. Hoel D. G. (1971). A method for the construction of sequential selection
procedures. — Ann. Math. Statist. 42, 630—642.
190. Hollander M. (1963). A nonparametric test for the two-sample prob-
lem. — Psychometrika 28, 395—403.
191. Hollander M. (1966). An asymptotically distribution-free multiple
comparison procedure-treatments vs. control. — Ann. Math. Statist. 37,
735—738.
192. Hollander M. (1967a). Rank tests for randomized blocks when the
alternatives have an a priori ordering. — Ann. Math. Statist. 38, 867—877.
193. Hollander M. (1967b). Asymptotic efficiency of two nonparametric
competitors of Wilcoxon’s two sample test. — J. Amer. Statist. Ass. 62,
939—949.
194. H о 1 1 a n d e r M. (1968). Certain uncorrelated nonparametric test statis-
tics. — J. Amer. Statist. Ass. 63, 707—714.
195. Hollander M. (1970). A distribution-free test for parallelism. —
J. Amer. Statist. Ass. 65, 387—94. ,,
196. Hollander M. (1971). A nonparametric test for bivariate symmetry. —
Biometrika 58, 203—12.
197. Hollander M. and Proschan F. (1972). Testing whether new is
better than used. — Ann. Math. Statist. 43, 1136—1146.
198. Hotelling H. and Pabst M. R. (1936). Rank correlation and tests
of significance involving no assumption of normality. — Ann. Math.
Statist. 7, 29—43.
199. H 0 у 1 a n d A. (1965). Robustness of the Hodges — Lehmann estimates
for shift. — Ann. Math. Statist. 36, 174—197.
485
200. H0y land A. (1968). Robustness of the Wilcoxon estimate of location
against a certain dependence. — Ann. Math. Statist. 39, 1196—1201.
201. H u n d a 1 P. S. (1969). Knowledge of performance as an incentive in re-
petitive industrial work. — J. Appl. Psychol. 53, 224—226.
202. Ijzermans A. B. (1970). Pitting corrosion and intergranular attack
of austenitic Cr-Ni stainless steels in NaSCN.— Corrosion Science 10, 607—615.
203. Ishii G. (1958). Kolmogorov — Smirnov test in life test. — Ann. Inst,
Statist. Math. 10, 37—46.
204. Jamison H. H. (1971). Development of a gaseous oxygen impact testing
method. — Mater. Res. Stand. 11 (6), 22—27.
ЙР5. Johnson A. A., Mukherjee K-, Schlosser S. and R a-
£ s к E. (1970). The behaviour of a cenosphere-resin composite under hydros-
tatic pressure. Ocean Engng. 2, 45—48.
206. J о nckheere A. R. (1954a). A distribution-free ^-sample test against
ordered alternatives. — Biometrika 41, 133—145.
207. Jonckheere A. R. (1954b). A test of significance for the relation bet-
ween m rankings and k ranked categories. — Brit. J. Statist. Psychol. 7, 93—
100.
208. Jung D. H. and Parekh A. C. (1970). A semi-micromethod for
the determination of serum iron and iron-binding capacity without depro-
teinization. Amer. J. Clin. Path. 54, 813—817.
209. J u о 1 a R. C. (1970). Population symmetry and the regions {X < filX}. —
Biometrika 57, 668—669.
210. J uretkova J. (1969). Asymptotic linearity of a rank statistic in regres-
sion parameter. — Ann. Math. Statist. 40, 1889—1900.
211. Jureckova J. (1971). Nonparametric estimate of regression coeffi-
cients. — Ann. Math. Statist. 42, 1328—1338.
212. Kaarsemaker L. and van Wijngaarden A. (1953). Tables
for use in rank correlation. — Statist. Neerl. 7, 41—54.
213. К a m a t A. R. (1956). A two-sample distribution-free test. Biomet-
rika 43, 377—387.
214. К a n e t о А., К о s а к a K. and N а к а о К. (1967). Effects of stimula-
tion of the vagus nerve on insulin secretion. — Endocrinology 80, 530—536.
215. K'e n d a 1 1 M. G. (1938). A new measure of rank correlation. — Biometri-
ka 30, 81—93.
216. Kendall M. G. (1962). Rank Correlation Methods, 3rd ed. Griffin,
London. Русский перевод с 4-го изд. 1970 г.: К е и д э л М. Ранговые кор-
реляции /Пер. с англ, и предисловие Е. М. Четыркина и Р. М. Энтова. М.,
Статистика, 1975. 214 с.
217. К е n d а 1 1 М. G. and Babington Smith В. (1939). The problem of
tn rankings. — Ann. Math. Statist. 10, 275—287.
218. Kershenobich D., Fierro F. J. and R о j k i n d M. (1970).
The relationship between the free pool of proline and collagen content in
human liver cirrhosis. —J. Clin. Invest. 49, 2246—2249.
219. Kiefer J. (1959). К-sample analogues of the Kolmogorov — Smirnov
and Cramer.— v. Mises tests. — Ann. Math. Statist. 30, 420—447.
220. Kim P. J. and J ennri ch, R. I. (1970). Tables of the exact sampling
distribution of the two-sample Kolmogorov — Smirnov criterion,
Dmnzn<n. In: Selected Tables in Mathematical Statistics, Vol. I, H. L. Har-
ter and D. Б. Owen (Eds.), pp. 90—128. Markham, Chicago.
221. Klotz J. (1962). Nonparametric [tests for scale. — Ann. Math. Statist.
33, 498—512. )
222. Klotz J. (1966). The Wilcoxon, ties and the computer.— J. Amer. Statist.
Ass. 61, 772—787. Corr. 62, 1520—1521.
223. Klotz J. (1967). Asymptotic efficiency of the two sample Kolmogorov —
Smirnov test. — J. Amer. Statist. Ass. 62, 932—938.
224. Knight W. R. (1966). A computer method for calculating Kendalls
tau with ungrouped data. — J. Amer. Statist. Ass. 61, 436—439.
486
225. Kolmogorov A. N. (1933). Sulla determinazione empirica di una
legge di distribuzione. — Giorn. dell’ Inst. Ital. degli Att. 4, 83—91.
226. К о n i j n H. S. (1956). On the power of certain tests for independence in
bivariate populations. — Ann. Math. Statist. 27, 300—23. Correction 29,
(1958), 935—936.
227. К о n i j n H. S. (1961). Nonparametric, robust and short-cu methods in
regression and structural analysis. — Aust. J. Statist. 3, 77—86.
228. Kor war R. M. (1971). Personal communication.
229. К о u 1 H. L. (1969). Asymptotic behavior of Wilcoxon type confidence
regions in multiple linear regression. — Ann. Math. Statist. 40, 1950—1979.
230. К о u 1 H. L. (1970). A class of ADF tests for subhypothesis in the multirPie
linear regression. —Ann. Math. Statist. 41, 1273—1281.
231. К о u 1 H. L. (1971). Asymptotic behavior of a class of confidence regions
based on ranks in regression. — Ann. Math. Statist. 42, 466—476.
232. Kraft С. H. and van E e d e n C. (1968). A Nonparametric Introduction
to Statistics. Macmillan, New York.
233. Krishna! ah P. R. and Armitage J. V. (1965). Tables for the
distribution of the maximum of correlated chi-square variates with one
degree of freedom. Aerospace Research Laboratories 64—218.
234. Kruskal W. H. (1952). A nonparametric test for the several sample
problem. — Ann. Math. Statist. 23, 525—540.
235. Kruskal W. H. (1957). Historical notes on the Wilcoxon unpaired two-
sample test. — J. Amer. Statist. Ass. 52, 356—360.
236. Kruskal W. H. (1958). Ordinal measures of association. — J. Amer.
Statist. Ass. 53, 814—861.
237. Kruskal W. H. and Wallis W. A. (1952). Use of ranks in one-cri-
terion variance analysis. — J. Amer. Statist. Ass. 47, 583—621.
238. Kurtz T. E., Link R. F., Tukey J. W. and W'a 1 1 a c e D. L.
(1965). Short-cut multiple comparisons for balanced single and double clas-
sification, Part 1, results. — Technometrics 7, 95—161.
239. Lancaster H. O. (1969). The Chi-Squared Distribution. Wiley, New
York.
240. Leach S. P. (1972). Personal communication.
241. LeCam L. and Neyman J. (Eds.) (1965). Bernoulli Bayes Laplace
Anniversary Volume. Springer-Verlag, New York.
242. Lehman S. Y. (1961). Exact and approximate distribution for the Wil-
coxon statistic with ties. — J. Amer. Statist. Ass. 56, 293—298.
243. Lehmann E. L. (1951). Consistency and unbiasedness of certain
nonparametric tests. — Ann. Math. Statist. 22, 165—179.
244. Lehmann E. L. (1953). The power of rank tests. — Ann. Math. Statist.
24, 23—43.
245. Lehman E. L. (1959). Testing Statistical Hypotheses. Wiley; New
York. Русский перевод: Лемаи Э. Проверка статистических гипотез/
Пер. с аигл. 2-е изд., испр. М., Наука, 1979. 498 с.
246. Lehmann Е. L. (1963а). Robust estimation in analysis of variance. —
Ann. Math. Statist. 34, 957—966.
247. Lehmann E. L. (1963b). Asymptotically nonparametric inference: An
alternative approach to linear models. — Ann. Math. Statist. 34, 1494—1506.
248. Lehmann E. L. (1963c). Nonparametric confidence intervals for a shift
parameter. — Ann. Math. Statist. 34, 1507—1512.
249. Lehmann E. L. (1964). Asymptotically nonparametric inference in
some linear models with one observation per cell. — Ann. Math. Statist.
35, 726—7.34.
250. Lehmann E. L. (1975). Nonparametrics. Statistical Methods Based
on Ranks. Holden-Day, San Francisco (to appear).
251. Lepage Y. (1971). A combination of Wilcoxon’s and Ansari — Brad-
ley’s statistics. — Biometrika 58, 213—217.
252. L e v e n e H. (I960). Robust tests for equality of variances. In: Contributi-
ons to Probability and Statistics. Olkin et al. (Eds.), pp. 278—292.
Stanford University Press.
487
253. L i v e s е у P. J. (1967). The Hebb — Williams elevated pathway test:
A comparative study of rat, rabbit and cat performance. — Aust. J. Psyc-
hol. 19, 55—62.
254. Lloyd S. J., G а г 1 i d K. D., Reba R. C. and Seeds A. E.
(1969). Permeability of different layers of the human placenta to isotopic
water. — J. Appl. Physiol. 26, 274—276.
255. Mack G. A. (1971). Personal communication.
256. Mann H. B. (1945). Nonparametric tests against trend. Econometrics 13,
245_______259.
257. Mann H. B. and Whitney D. R. (1947). On a test of whether one
of two random variables is stochastically larger than the other. — Ann.
.Math. Statist. 18, 50—60.
258. о n a 1 d B. J. and Thompson W. A., Jr. (1967). Rank sum
tnufciple comparisons in one-and two-way classifications,—Biometrika 54,
487—497.
259. McNeW D. R. (1967). Efficiency loss due to grouping in distribution-
free tests. —-J. Amer. Statist. Ass. 62, 954—965.
260. M e h r a K. U and S e n P. K. (1969). On a class of conditionally distri-
bution-free test? lor interactions in factorial experiments. — Ann. Math.
Statist. 40, 658—664.
261. Me hr a K- L. and Smith G. E. J. (1970). On nonparametric
estimation and testing for interactions In factorial experiments. — J. Amer.
Statist. Ass. 65, 1283—1296.
262. Miller R. G., Jr. (1964). A trustworthy jackknife. — Ann. Math. Statist.
35, 1594—1605.
263. Miller R. G., Jr. (1966). Simultaneous Statistical Inference, McGraw-
Hill, New York.
264. Miller R. G., Jr. (1968). Jackknifing variances. — Ann. Math. Statist.,
39, 567—582.
265. Miller R. G., Jr. (1970). A sequential signed-rank test. — J. Amer.
Statist. Ass. 65, 1554—1561.
266. Miller R. G., Jr. (1972). Sequential rank tests — one sample case.
Proc. 6th Berkeley Symp. I, 97—108.
267. M i 1 t о n R. C. (1970). Rank Order Probabilities. Wiley, New York.
268. Mood A. M. (1950). Introduction to the Theory of Statistics, 1st ed.
McGraw-Hill, New York.
269. Mood A. M. (1954). On the asymptotic efficiency of certain nonparamet-
ric two-sample tests. — Ann. Math. Statist. 25, 514—522.
270. Moses L. E. (1963). Rank tests of dispersion. — Ann. Math. Statist. 34,
973—983.
271. M о s e s L. E. (1964). One sample limits of some two-sample rank tests.—
J. Amer. Statist. Ass. 59, 645—651.
272. Moses L. E. (1965). Query: Confidence limits from rank tests. — Techno-
metrics 7, 257—260.
273. Mosteller F. (1948). A fe-sample slippage test fdr an extreme population.—
Ann. Math. Statist. 19, 58—65.
274. N e m e n у i P. (1963). Distribution-free multiple comparisons; Ph. D.
thesis, Princeton University.
275. N e m e n у i P. (1969). Variances: An elementary proof and a nearly distri-
bution-free test. — Amer. Statistician 23 (5), 35—37.
276. Neyman J. (1937). Outline of a theory of statistical estimation based
on the classical theory of probability. — Phil. Trans. A 236, 333—380.
277. Noether G. E. (1955). On a theorem of Pitman.— Ann. Math. Statist.
26, 64—68.
278. Noether G. E. (1963). Note on the Kolmogorov statistic in the discrete
case. — Metrika 7, 115—116.
279. Noether G. E. (1967a). Elements of Nonparametric Statistics. Wiley,
New York.
280. Noether G. E. (1967b). Wilcoxon confidence intervals for location
parameters in the discrete case. — J. Amer. Statist. Ass. 62, 184—188.
488
281. О b е n с h a i n R. L. (1969). Rank tests invariant only under linear tra-
nsformations. Mimeo Ser. 617, Institute of Statistics, University of North Caro-
lina.
282. О d e h R. E. (1971). On Jonckheere’s ^-sample test against ordered alter-
natives. — Technometrics 13, 912—918.
283. Olmstead P. S. and Tukey J. W. (1947). Л corner test for associ-
ation. — Ann. Math. Statist. 18, 495—513.
284. О 1 s h e n R. A. (1967). Sign and Wilcoxon tests for linearity. — Ann.
Math. Statist. 38, 1759—1769.
285. Oppenheim R. W. (1968). Light responsivity in chick and duck embryos
just prior to hatching. — Anim. Behav. 16, 276—280.
286. Owen D. B. (1962). Handbook of Statistical Tables. Addison-Wesley,
Reading, Mass. Русский перевод: Оуэн Д. Б. Сборник статистических
таблиц. 2-е изд., испр./Отв. ред. Л. Н. Большее. М., ВЦ АН СССР, 1973.
586 с.
287. Owen D. В., С г a s w е 1 1 К. J. and Hanson D. L. (1964). Non-
parametric upper confidence bounds for Pr {Y < X\ and confidence limits
for Pr {Y < X} when X and Y are normal. — J. Amer. Statist. Ass. 59,
906—924.
288. Page E. B. (1963). Ordered hypotheses for multiple treatments: a signifi-
cance test for linear ranks. — J. Amer. Statist. Ass. 58, 216—230.
289. Parent E. A., Jr. (1965). Sequential ranking procedures. Tech. Rept.
80, Department of Statistics, Stanford University.
290. P a r z e n E. (1962). On estimation of a probability density function and
mode. — Ann. Math. Statist. 33, 1065—1076.
291. Pearson E. S. (1931). The analysis of variance in cases of non-normal
variation. —Biometrika 23, 114—133.
292. Pearson K- (1900). On the criterion that a given system of deviations
from the probable in the case of a correlated system of variables is such that
it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. —
Phil. Mag., Ser. 5, 50, 157—175.
293. Pearson K. (1911). On the probability that two independent distribu-
tions of frequency are really samples from the same population. — Biometrika
8, 250—254.
294. P i r i e W. R. and Hollander M. (1972). A distribution-free normal scores
test for ordered alternatives in the randomized block design. — J. Amer.
Statist. Ass. 67, 855—857.
295. Pitman E. J. G. (1948). Notes on поп-parametric statistical inference.
Columbia University (duplicated).
296. P о t t h о f f R. F. (1963). Use of the Wilcoxon statistic for a generalized
Behrens — Fisher problem. — Ann. Math. Statist. 34, 1596—1599.
297. P о t t h о f f R. F. (1965). A поп-parametric test of whether two simple
regression lines are parallel. Mimeo Ser. 445, Institute of Statistics, University
of North Carolina.
298. Pratt J. W. (1959). Remarks on zeros and ties in the Wilcoxon signed
rank procedures. — J. Amer. Statist. Ass. 54, 655—667.
299. Pratt J. W. (1964). Robustness of some procedures for the two-
sample location problem. — J. Amer. Statist. Ass. 59, 665—680.
300. Proschan F. (1963). Theoretical explanation of observed decreasing
failure rate. — Technometrics 5, 375—383.
301. Proschan F. and Pyke R. (1967). Tests for monotone failure rate.
Proc. 5th Berkeley Symp. Ill, 293—312.
302. Puri M. L. (1964). Asymptotic efficiency of a class of c-sample tests.—
Ann. Math. Statist. 35, 102—121.
303. Puri M. L. (1965). Some distribution-free ^-sample rank tests of homoge-
neity against ordered alternatives. — Comm. Pure Appl. Math. 18, 51—63.
304. Puri M. L. and Sen P. K. (1967a). On robust estimation in incomplete
block designs. — Ann. Math. Statist. 38, 1587—1591.
305. Puri M. L. and Sen P. K. (1967b). On some optimum nonparametric
procedures in two-way layouts.—J. Amer. Statist. Ass. 62, 1214—1229.
306. Puri M. L. and Sen P. K. (1968). On Chernoff — Savage tests for
489
ordered alternatives in randomized blocks. — Ann. Math. Statist. 39
967—972.
307. Puri M. L. and S e n P. K. (1971). Nonparametric Methods in Multivar-
iate Analysis. Wiley, New York.
308. Putter J. (1955). The treatment of ties in some nonparametric tests. —
Ann. Math. Statist. 26, 368—386.
309. Q u c n 0 u i 1 1 e M. II. (1949). Approximate tests of correlation in
time-series. — J. R. Statist. Soc. В 11, 68—84.
310. Q u e n о u i 1 1 e M. H. (1956). Notes on bias in estimation. — Biomet-
rika 43, 353—360.
311. Q u e n 0 u i 1 1 e M. H. (1959). Rapid Statistical Calculations. Hafner,
New York. Русский перевод: К e и у й М. Г. Быстрые статистические вы-
числения. Упрощенные методы оценивания и проверки. Справочник. М.,
Статистика, 1979. 69 с.
312. Raghavachari М. (1965). The two-sample scale problem when locations
are unknown. — Ann. Math. Statist. 36, 1236—1242.
313. Ramachandramurty P. V. (1966a). On some nonparametric
estimates for shift in the Behrens — Fisher situation. — Ann. Math. Statist.
37, 593—610.
314. Ramachandramurty P. V. (1966b). On the Pitman efficiency
of one-sided Kolmogorov and Smirnov tests for normal alternatives. — Ann.
Math. Statist. 37, 940—944.
315. Ramsay W. N. M. (1957). The determination of iron in blood plasma
or serum. — Clin. Chim. Acta 2, 214—220.
316. Randles R. H. (1970). Some robust selection procedures.— Ann. Math.
Statist. 41, 1640—1645.
317. Randles R. H. and Hogg R. V. (1971). Certain uncorrelated and
independent rank statistics. — J. Amer. Statist. Ass. 66, 569—574.
318. R a 0 J. N. K- (1965). A note on estimation of ratios by Quenouille’s
method. — Biometrika 52, 647—649.
319. R a 0 J. N. K. and Webster J. T. (1966). On two methods of bias
reduction in the estimation of ratios. — Biometrika 53, 571—577.
320. Rao P. V. and Thornby J. I. (1969). A robust point estimator in
a generalized regression model. — Ann. Math. Statist. 40, 1784—1790.
321. Rasekh J., Kramer A. and Finch R. (1970). Objective evaluation
of canned tuna sensory quality. — J. Food Sci. 35, 417—423.
322. Renyi A. (1953). On the theory of order statistics. — Acta Math. Acad.
Sci. Hung. 4, 191—231.
323. R i j k о 0 r t P. J. (1952). A generalisation of Wilcoxon’s test. —
Indag. Math. 14, 394—404. Correction 15 (1953), 407.
324. Rosenbaum S. (1953). Tables for a nonparametric test of dispersion. —
Ann. Math. Statist. 24, 663—668.
325. Rosenbaum S. (1954). Tables for a nonparametric test of location. —
Ann. Math. Statist. 25, 146—150.
326. Rosenblatt M. (1952). Limit theorems associated with variants of
the von Mises statistic. — Ann. Math. Statist. 23, 617—623.
327. Rosenblatt M. (1956). Remarks on some nonparametric estimates
of a density function. — Ann. Math. Statist. 27, 832—837.
328. R u ist E. (1955). Comparison of tests for поп-parametric hypotheses. —
Ark. Math. 3, 133—163.
329. Salsburg D. S. (1970). Personal communication (with the cooperation
of Pfizer and Co., Groton, Conn.).
330. S a r h a n A. E. and Greenberg B. G. (Eds.). (1962). Contribu-
tions to Order Statistics. Wiley, New York. Русский перевод: Введение в тео-
рию порядковых статистик/Под ред. А. Сархана, Б. Гринберга. Пер. с англ,
под ред. А. Я. Боярского. М., Статистика, 1970. 414 с.
331. Sauber S. R. (1971). Approaches to precounseling the therapy training:
an investigation of its potential influence on process outcome. Ph. D.
thesis, Florida State University.
490
332. Savage I. R. (1953). Bibliography of nonparametric statistics and rela-
ted topics. — J. Amer. Statist. Ass. 48, 844—906. Correction 53 (1958),
1031.
333. Savage 1. R. (1956). Contributions to the theory of rank order statis-
tics — the two-sample case. — Ann. Math. Statist. 27, 590—615.
334. Savage I. R. (1959). Contributions to the theory of rank order statis-
tics — the one-sample case. — Ann. Math. Statist. 30, 1018—1023.
335. Savage 1. R. (1962). Bibliography of Nonparametric Statistics. Harvard
University Press, Cambridge, Mass.
336. Savage I. R. (1970). Nonparametric statistics, Chapter 9. In: Statistics
in Endocrinology, J. W. McArthur and T. Colten (Eds.), pp. 215—228. The
M. I. T. Press, Cambridge, Mass.
337. Savage 1. R. and Savage L. J. (1965). Finite stopping time and
finite expected stopping time. — J. R. Statist. Soc. В 27, 284—289.
338. Savage 1. R. and Sethuraman J. (1966). Stopping times of a rank-
order sequential probability ratio test based on Lehmann alternatives.—
Ann. Math. Statist. 37, 1154—1160.
339. S a v u r S. R. (1937). The use of the median in tests of significance. —
Proc. Indian Acad. Sci. A5, 564—576.
340. Saxena К. M. L. (1969). Use of sign statistic in problems concerning
P (У < X). Abstr. in Ann. Math. Statist. 40, 1154.
341. Schef fd H. (1943). Statistical inference in the non-parametric case. —
Ann. Math. Statist. 14, 305—332.
342. S c h e f f ё H. (1959). The Analysis of Variance. Wiley, New York. Русский
перевод: Шеффе Г. Дисперсионный анализ. 2-е изд. М., ГИФМЛ,
1980. 512 с.
343. S с h е f f ё Н. and Т u к е у J. W. (1945). Non-parametric estimation.
I. Validation of order statistics. — Ann. Math. Statist. 16, 187—192.
344. Schulzer M. (1969). Contributions to the ^-sample problem: a symmetric
statistic. — Ann. Math. Statist. 40, 1933—1949.
345. Sen P. K. (1960). On some convergence properties of (/-statistics. —
Calcutta Statist. Ass. Bull. 10, 1 —18.
346. Sen P. K. (1962). On studentized non-parametric multi-sample location
tests. — Ann. Inst. Statist. Math. 14, 119—131.
347. Sen P. K. (1963a). On weighted rank-sum tests for dispersion. — Ann.
Inst. Statist. Math. 15, 117—135.
348. Sen P. K. (1963b). On the estimation of relative potency in dilution
(-direct) assays by distribution-free methods. — Biometrics 19, 532—552.
349. Sen P. K. (1966a). On nonparametric simultaneous confidence regions
and tests for the one criterion analysis of variance problem. — Ann. Inst.
Statist. Math. 18, 319—336.
350. Sen P. K. (1966b). On a distribution-free method of estimating asymptotic
efficiency of a class of non-parametric tests. — Ann. Math. Statist. 37,
1759—1770.
351. Sen P. K. (1967a). A note on asymptotically distribution-free confidence
bounds for P (X < Y), based on two independent samples. — Sankhya A
29, 95—102.
352. S e n P. K. (1967b). Nonparametric tests for multivariate interchangeabili-
ty. Part 1: problems of location and scale in bivariate distributions.— San-
khya A 29, 351—372.
353. Sen P. K. (1967c). On some multisample permutation tests based on
a class of (/-statistics. —J. Amer. Statist. Ass. 62, 1201 —1213.
354. S e n P. K- (1968a). On a class of aligned rank order tests in two-way
layouts. — Ann. Math. Statist. 39, 1115—1124.
355. S e n P. K. (1968b). Asymptotically efficient tests by the method of n ran-
kings. — J. R. Statist. Soc. В 30, 312—317.
356. Sen P. K. (1938c). Robustness of some nonparamatric procedures in linear
models. — Ann. Math. Statist. 39, 1913—1922.
357. Sen P. K. (1968d). Estimates of the regression coefficient based on Ken-
dall’s tau. — J. Amer. Statist. Ass. 63, 1379—1389.
491
358. Sen P. К. (1969). On a class of rank order tests for the parallelism of se-
veral regression lines. — Ann. Math. Statist. 40, 1668—1683.
359. Sen P. K. and Ghosh M. (1971). On bounded length sequential confi-
dence intervals based on one-sample rank order statistics. — Ann. Math. Sta-
tist. 42, 189—203.
360. S e n P. K. and Govindarajulu Z. (1966). On a class of c-sample
weighted rank-sum tests for location and scale. — Ann. Inst. Statist.
Math. 18, 87—105.
361. S e r f 1 i n g R. J. (1968). The Wilcoxon two-sample statistic on strongly
mixing processes. — Ann. Math. Statist. 39, 1202—1209.
362. ShahS. M. (1961). A note on Griffin’s paper «Graphic computation of
tau as a coefficient of disarray». — J. Amer. Statist. Ass. 56, 736.
363. S h e 1 p W. D.i Bach F. H., Kisken W. A., Newton M.,
R iesel bach R. E. and Weinstein A. B. (1970). Long-term
integrity of renal function in cadaver allografts. — J. Amer. Med. Ass. 213,
1443-1447.
364. Shen S., R e a v e n G. M., F a r q u h a r J. W. and Nakanis-
h i R. H. (1970). Comparison of impedance to insulin-mediated glucose
uptake in normal subjects and in subjects with latent diabetes. — J. Clin.
Invest. 49, 2151—2160.
365. Sherman E. (1965). A note on multiple comparisons using rank sums.—
Technometrics 7, 255—256.
366. Shlafer M. and К a row A. M., Jr. (1971). Ultrastructure-function
correlative studies for cardiac cryopreservation II. Hearts frozen to various
temperatures without a cryoprotectant. — Cryobiology 8, 350—360.
367. Shorack G. R. (1965). Nonparametric tests and estimation of
scale in the two sample problem. Tech. Rept. 10, Department of Statistics,
Stanford University.
368. Shorack G. R. (1966). Graphical procedures for using distribution-
free methods in the estimation of relative potency in dilution (-direct) assays. —
Biometrics 22, 610—619.
369. Shorack G. R. (1967). Testing against ordered alternatives in model
I analysis of variance; normal theory and nonparametric. — Ann. Math.
Statist. 38, 1740—1752.
370. Shorack G. R. (1969). Testing and estimating ratios of scale parame-
ters. — J. Amer. Statist. Ass. 64, 999—1013.
371. Siddiqui M. M. and Gehan E. A. (1966). Statistical Methodo-
logy for Survival Time Studies. Communication of National Cancer Institute.
372. Siegel S. (1956). Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences.
McGraw-Hill, New York.
373. Siegel S. and Tukey J. W. (1960). A nonparametric sum of ranks
procedure for relative spread in unpaired samples. —J. Amer. Statist. Ass.
55, 429-445. Correction 56 (1961), 1005.
374. S i 1 1 i t t о G. P. (1947). The distribution of Kendall’s т coefficient of rank
correlation in rankings containing ties. — Biometrika 34, 36—40.
375. S к i.b i n s к у M. and Cote L. (1963). On the inadmissibility of some
standard estimates in the presence of prior information. — Ann. Math. Statist,
34, 539—548.
376. S 1 i v к a J. (1970). A one-sided nonparametric multiple comparison
control percentile test: Treatments versus control. — Biometrika 57,
431—438.
377. Sm i d L. J. (1956). On the distribution of the test statistics of Kendall
and Wilcoxon when ties are present. — Statist. Neerl. 10, 205—214.
378. Smirnov N. V. (1935). Ueber die Verteilung des allgemeinen Gliedes
in der Variationsreihe. —Metron 12, 59—81. Русский перевод: Смир-
нов H. В. О распределении общего члена вариационного ряда. —
В ки.: Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика.
Избранные труды. М., Наука, 1981, с. 36—50.
379. Смирнов Н. В. Оценка расхождения между эмпирическими кривыми
распределения в двух независимых выборках.—Бюл. МГУ, 1939, т. 2, №2,
492
с. 3—16. См. также: Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математи-
ческая статистика. Избранные труды. М., Наука, 1970, с. 117—127,267—277
380. Smith Е. J. (1967). Cloud seeding experiments in Australia. Proc. 5th
Berkeley Symp. V, 161 —176.
381. Smith J. D. (1969). Geomorphology of a sand ridge. —J. Geology 77,
39-55.
382. Spearman C. (1904). The proof and measurement of association
between two things. — Amer. J. Psychol. 15, 72—101.
383. S p j0t v о 1 1 E. (1968). A note on robust estimation in analysis of varian-
ce. — Ann. Math. Statist. 39, 1486—1492.
384. Stanton J. M. (1969). Murderers on parole. Crime and Delinquency
15, 149—155.
385. Steck G. P. (1969). The Smirnov two sample tests as rank tests. — Ann.
Math. Statist. 40, 1449—1466.
386. Steel R. G. D. (1959a). A multiple comparison rank sum test: Treat-
ments versus control. — Biometrics 15, 560—572.
387. Steel R. G. D. (1959b). A multiple comparison sign test: Treatments
versus control. — J. Amer. Statist. Ass. 54, 767—775.
388. S t e e 1 R. G. D. (1960). A rank sum test for comparing all pairs of treat-
ments. — Technometrics 2, 197—207.
389. Steel R. G. D. (1961). Some rank sum multiple comparisons tests. —
Biometrics 17, 539—552.
390. Sterne T. E. (1954). Some remarks on confidence or fiducial limits. —
Biometrika 41, 275—278.
391. Stoker D. J. (1954a). An upper bound for the deviation between the
distribution of Wilcoxon’s test statistic for the two-sample problem and its
limiting normal distribution for finite samples, I. — Indag. Math. 16, 599—
606.
392. Stoker D. J. (1954b). An upper bound for the deviation between the
distribution of Wilcoxon’s test statistic for the two-sample problem and
its limiting normal distribution for finite samples, II.— Indag. Math. 16,
607—614.
393. Stuart A. (1954). The asymptotic relative efficiencies of tests and the
derivatives of their power functions. — Skand. Aktuarietidskr. 37, 163—169.
394. S u g i u r a N. (1965). Multisample and multivariate nonparametric
tests based on (/-statistics and their asymptotic efficiencies. Osaka. —
J. Math. 2, 385—426.
395. Sukhatme В. V. (1957). On certain two-sample nonparametric tests
for variances. — Ann. Math. Statist. 28, 188—194.
396. Sukhatme В. V. (1958a). Testing the hypothesis that two populations
differ only in location. — Ann. Math. Statist. 29, 60—78.
397. Sukhatme В. V. (1958b). A two sample distribution free test for
comparing variances. — Biometrika 45, 544—548.
398. Sylvester P. E. (1969). Pyramidal lemniscal and parietal lobe status
in cerebral palsy. — J. Ment. Defic. Res. 13, 20—33.
399. Taha M. A. H. (1964). Rank test for scale parameter for asymmetrical
one-sided distributions. — Publ. Inst. Statist. Univ. Paris 13, 169—179.
400. T a m u г a R. (1960). On the nonparametric tests based on certain (/-statis-
tics. — Bull. Math. Statist. 9 (2—3), 61—67.
401. Tamura R. (1963). On a modification of certain rank tests. — Ann.
Math. Statist. 34, 1101 — 1103.
402. Tamura R. (1971). On a c-sample test based on trimmed samples.—Ann.
Math. Statist. 42, 1455—1460.
403. T a t e M. W. and Clel land R. C. (1957). Nonparametric and Short-
cut Statistics. The Interstate, Danville.
404. Tate M. W., Cullinan W. L. and Ahistrand A. (1961).
Measurement of adaptation in stuttering. — J. Speech Hearing Res. 4,
321—339.
405. Terpstra T. J. (1952). The asymptotic normality and consistency of
Kendall’s test against trend, when ties are present in one ranking. — Indag.
Math. 14, 327—333.
493
406. Т е г г у М. Е. (1952). Some rank order tests which are most powerful against
specific parametric alternatives. — Ann. Math. Statist. 23, 346—366.
407. T h e i 1 H. (1950a). A rank-invariant method of linear and polynomial
regression analysis, 1. — Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetensch. A. 53, 386—
392.
408. T h e i 1 H. (1950b). A rank-invariant method of linear and polynomial reg-
ression analysis, II. — Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetensch. A. 53, 521—525.
409. T h e i 1 H. (1950c ). A rank-invariant method of linear and polynomial
regression analysis, III. — Proc. Kon. Ned. Akad. v. Wetensch. A 53, 1397—
1412.
410. Thigpen С. C. (1961). Distribution of the largest observation in normal
samples under non-standard conditions. Ph. D. thesis, Virginia Polytechnic
Institute.
411. T h о m a s H. V. and Simmons E. (1969). Histamine content in
sputum from allergic and nonallergic individuals. — J. Appl. Physiol. 26,
703_______707
412. Thompson W. A., Jr. and W i 1 1 к e T. A. (1963). On an extreme
rank sum test for outliers. — Biometrika 50, 375—383.
413. Thompson W. R. (1936). On confidence ranges for the median and
other expectation distributions for populations of unknown distribution
form.—Ann. Math. Statist. 7, 122—128.
414. Thomson M. L. and Short M. D. (1969). Mucociliary function
in health, chronic obstructive airway disease, and asbestosis. — J. Appl.
Physiol. 26, 535—539.
415. Tryon P. V. and Hettmansperger T. P. (1971). A class of
non-parametric tests for homogeneity against ordered alternatives. Abstr.
in Ann. Math. Statist. 42, 1150.
416. T s а о С. K. (1954). An extension of Massey’s distribution of the maximum
deviation between two-sample cumulative step functions. — Ann. Math.
Statist. 25, 587—592.
417. T u к e у J. W. (1949). The simplest signed-rank tests. Memo Rept. 17,
Statistical Research Group, Princeton University.
418. T u к e у J. W. (1953). The problem of multiple comparisons. Unpublished
manuscript.
419. T u к e у J. W. (1958). Bias and confidence in not-quite large samples.
Abstr. in Ann. Math. Statist. 29, 614.
420. T u к e у J. W. (1962). Data analysis and behavioral science. Unpublished
manuscript.
421. Typaldos Z. A. and В г i m 1 e у D. E. (1962). Point estimation
of reliability from results of a small number of trials. Memo RM-3044-PR,
The Rand Corporation, Santa Monica.
422. Ury H. (1970). On distribution-free confidence bounds for PR (К < X).
Abstr. in: Ann. Math. Statist. 41, 1392.
423. van D a n t z i g D. (1951). On the consistency and the power
of Wilcoxon’s two sample test. — Indag. Math. 13, 1—8.
424. van der L a a n P. (1966). A sequential distribution-free two-sample grouped
test with three possible decisions. — Statist. Neerl. 20, 31—41.
425. van der L a a n P. (1970). Simple distribution-free confidence intervals for
a difference in location. Ph. D. thesis Technische Hogeschool, Eindhoven.
426. van der W a e г d e n B. L. (1952). Order tests for the two-sample problem
and their power. — Indag. Math. 14, 453—458. Correction 15 (1953), 80.
427. van der WaerdenB. L. (1953a). Order tests for the two-sample problem,
II. — Indag. Math. 15, 303—310.
428. van der WaerdenB. L. (1953b). Order tests for the two-sample problem,
III. — Indag. Math. '15, 311—316.
429. van E e d e n C. (1964). Note on the consistency of some distributionfree
tests for dispersion. — J. Amer. Statist. Ass. 59, 105—119.
430. van E e d e n C. (1970). Efficiency-robust estimation of location. — Ann.
Math. Statist. 41, 172—181.
494
431. van E eden C. and В e n a r d A. (1957a). A general class of distrlbutlonfree
tests for symmetry containing the tests of Wilcoxon and Fisher, I. — Indag.
Math. 19, 381—391.
432. van E e d e n C. and В e n a r d A. (1957b). A general class of distributionf-
ree tests for symmetry containing the tests of Wilcoxon and Fisher, II. —
Indag. Math. 19, 392—400.
433. van E e d e n, C. and В e n a r d A. (1957c). A general class of distri-
butionfree tests for symmetry containing the tests of Wilcoxon and Fisher,
III. — Indag. Math. 19, 401—408.
434. van E 1 t e r e n P. and Noether G. E. (1959). The asymptotic ef-
ficiency of the%r-test for a balanced incomplete block design. — Biometrika
46, 475—477.
435. V i n c z e I. (1957). Einige zweidimensionale Verteilungs-und Grenzvertei-
lungssatze in der Theorie der geordneten Stichproben. — Publ. Math. Inst.
Hung. Acad. Sci. 2, 183—209.
436. V i n c z e I. (1959). On some joint distributions and joint limiting
distributions in the theory of order statistics, II. — Publ. Math. Inst. Hung.
Acad. Sci. 4, 29—47.
437. V i n c z e I. (1961). On two-sample tests based on order statistics. Proc.
4th Berkeley Symp. I, 695—705.
438. Walker H. M. and Lev J. (1953). Statistical Inference. 1st ed. Holt,
Rinehart and Winston, New York.
439. Wallis W. A. (1939). The correlation ratio for ranked data. — J. Amer.
Statist. Ass. 34, 533—538.
440. Walsh J. E. (1949). Some significance tests for the median which are
valid under very general conditions. — Ann. Math. Statist. 20, 64—81.
441. Walsh J. E. (1951). Some bounded significance level properties of the
equal-tail sign test. — Ann. Math. Statist. 22, 408—417.
442. Walsh J. E. (1962). Handbook of Nonparametric Statistics. Van Nostrand,
Princeton, N. J.
443. Walsh J. E. (1963). Bounded probability properties of Kolmogorov —
Smirnov and similar statistics for discrete data. — Ann. Inst. Statist. Math.
15, 153-158.
444. Walsh J. E. (1965). Handbook of Nonparametric Statistics, II. Van
Nostrand, Princeton-, N. J.
445. Walsh J. E. (1968). Handbook of Nonparametric Statistics, III. Van
Nostrand, Princeton, N. J.
446. W a r d 1 a w A. C. and Moloney P. J. (1961). The assay of insulin
with anti-insulin and mouse diaphragm. — Can. J. Biochem. Physiol. 39,
695—712.
447. W a r d 1 a w A. C. and van Belle G. (1964). Statistical aspects of the
mouse diaphragm test for insulin. — Diabetes, 13, 622—633.
448. Weed H. D., Jr. (1968). Sequential one-sample grouped rank tests for
symmetry. Ph. D. thesis, Florida State University.
449. Weed H. D., Jr. and В r a d 1 e у R. A. (1971a). Sequential one-sample
grouped signed rank tests for symmetry: Basic procedures. — J. Amer.
Statist. Ass. 66, 321—326.
450. Weed H. D., Jr. and Bradley R. A. (1971b). Sequential one-sample
grouped signed rank tests for symmetry: Monte Carlo studies. Tech. Rept.
Ml75, Department of Statistics, Florida State University.
451. Weed H. D., Jr., Bradley R. A. and Govindarajulu Z.
(1969). Stopping times of two rank order sequential probability ratio tests
for symmetry based on Lehmann alternatives. Tech. Rept. M148, Department
of Statistics, Florda State University.
452. Wells J. M. and Wells M. A. (1967). Note on Project .SCUD. Proc.
5th Berkeley Symp. V, 357—369.
453. Whitney D. R. (1951). A bivariate extension of the U statistic. —
Ann. Math. Statist. 22, 274—282.
454. Wilcoxon F. (1945). Individual comparisons by ranking methods. —
Biometrics 1, 80—83.
495
455. Wilcoxon F. (1947). Some Rapid Approximate Statistical Procedures.
1st ed. American Cyanamid Co., Stamford Research Laboratories, Stamford,
Conn.
456. Wilcoxon F. and Bradley R. A. (1964). A note on the paper,
«Two sequential two-sample grouped rank tests with application to scre-
ening experiments». — Biometrics 20, 892—895.
457. Wilcoxon F., Rhodes L. J. and Bradley R. A. (1963). Two
sequential two-sample grouped rank tests with applications to screening expe-
riments. — Biometrics 19, 58—84.
458. Wilcoxon F. and Wilcox R. A. (1964). Some Rapid Approximate
Statistical Procedures, 2nd ed. American Cyanamid Co., Lederle Laboratories
Pearl River, N. Y.
459. Wilks S. S. (1942). Statistical prediction with special reference to the
problem of tolerance limits. — Ann. Math. Statist. 42, 400—409.
460. Williams E. J. (1959). Regression Analysis, Wiley, New York.
461. Windham В. M. (1971). Personal communication.
462. Wolfe D. A. and Hogg R. V. (1971). On constructing statistics
and reporting data. — Amer. Statistician 25 (4), 27—30.
463. Wolfowitz J. (1949). Non-parametric statistical inference. Proc.
Berkeley Symp., 93—113.
464. Woodward W. F. (1970). A comparison of base running methods in
baseball. M. Sc. thesis, Florida State University.
465. Woodworth G. G. (1965). Asymptotic theory of tests based on bivariate
admissible points. — Abstr. in Ann. Math. Statist. 36, 1609.
466. Wormleighton R. (1959). Some tests of permutation symmetry. —
Ann. Math. Statist. 30, 1005—1017.
467. Yanagawa T. (1967). Some nonparametric estimators of a location
parameter. — Bull. Math. Statist. 12 (3—4), 11 —19.
468. Yanagimoto T. (1970). On measures of association and a related prob-
lem. — Ann. Inst. Statist. Math. 22, 57—63.
469. Yen E. H. (1964). Generalization of Wilcoxon statistic for the case of
k samples. — Statist. Neerl. 18, 293—302.
470. Y о u d e n W. J. (1963). Ranking laboratories by round-robin tests. —
Mater. Res. Stand. 3, 9—13.
471. Yu C. S. (1971). Pitman efficiencies of Kolmogorov — Smirnov tests. —
Ann. Math. Statist. 42, 1595—1605.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ
БИБЛИОГРАФИЯ
(добавлена при переводе, список употребляемых сокращений см.
в конце библиографии]
472. Анастази А. Психологическое тестирование, ки. 1 и 2 /Пер. с англ.,
под ред. К- М. Гуревича, В. И. Лубковского. М., Педагогика, 1982.
473. Аптон Г. Анализ таблиц сопряженности/Пер. с англ. М., Финансы и
статистика, 1982. 143 с.
474. Асатрян Д. Г., Сафарян И. А. О функциях распределения, при
которых ранговый критерий является локально наиболее мощным. —
Докл. АН АрмССР, 1979, 69, № 4, с. 193—197.
475. Барлоу Р., Прошан Ф. Статистическая теория надежности и ис-
пытаний на срок службы/Пер. с англ. М., Наука, 1983.
476. Бейли Н. Статистические методы в биологии./ Пер. с англ, под ред.
В. В. Налимова. М., Мир, 1964. 326 с.
477. Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической стати-
стики, 2-е изд.: Библиотека математических таблиц, № 46. М., ВЦ АН СССР,
1968. 474 с.; 3-е изд. М., Наука, 1983.
478. Боровков А. А., Маркова Н. П., Сычева Н. М. Таблицы
для критериев Н. В. Смирнова однородности двух выборок. Новосибирск,
Изд-во АН СССР, 1964.
479. Браунли К. А. Статистическая теория и методология в науке и тех-
иике/Пер. с англ, под ред. Л. Н. Большева. М., Наука, 1977. 407 с.
480. В а н дер В а р д е и Б. Л. Математическая статистика/Пер. с нем.
под ред. Н. В. Смирнова. М., ИЛ, 1960. 434 с.
481. Гельберг И. Г. Соотношение между статистикой Майна — Уитни и
коэффициентом корреляции Кендалла. ТВП, 1974, XIX, 211—213.
482. Гласс Дж., Стэнли Дж. Статистические методы в педагогике и
психологии/Пер. с англ, под общ. ред. Ю. П. Адлера. М., Прогресс, 1976.
495 с.
483. Г м у р м а и В. Е. 1) Теория вероятностей и математическая статистика.
5-е изд., перераб. и доп. М., Высш, школа, 1977. 479с. 2) Руководство
к решению задач по теории вероятностей и математической статистике.
3-е изд., перераб и доп. М., Высш, школа, 1979. 400 с.
484. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. 3-е изд., перераб. М.,
Физматгиз, 1961. 406 с.
485. Г н е д е н к о Б. В., Б е л я е в Ю. К-, С о л о в ь е в А. Д. Матема-
тические методы в теории надежности. Основные характеристики надеж-
ности и их статистический анализ. М., Наука, 1965. 524 с.
486. ГОСТ 11.010—81 Издание официальное. Прикладная статистика. Правила
определения оценок параметров и доверительных границ для биномиального
и отрицательного биномиального распределений. М., Изд-во стандартов,
1981. 22 с. Надзаг.: Госстандарт СССР.
487. ГОСТ 23554.2—81. Издание официальное. Экспертные методы оценки ка-
чества промышленной продукции. Обработка значений экспертных оценок
качества продукции. Система управления качеством продукции. М., Изд-во
стандартов, 1982. 66 с. Надзаг.: Госстандарт СССР.
488. Грабарь М. И., Краснянская К. А. Применение математи-
ческой статистики в педагогических исследованиях. Непараметрические
методы. М., Педагогика, 1977. 136 с.
497
489. Г у б л е р Е. В. Вычислительные методы анализа и распознавания пато-
логических процессов. М., Медицина, 1978. 294 с.
490. Г у б л е р Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических
критериев статистики в медико-биологических исследованиях. Л., Меди-
цина, 1973. 141 с.
491. Гумбель Э. Статистика экстремальных значений/Пер. с англ, под ред.
Б. В. Гнеденко. М., Мир, 1965. 450 с.
492. Демиденко Е. 3. Линейная и нелинейная регрессия. М., Финансы и
статистика, 1981. 302 с.
493. Джапаридзе К. О., Никулин М. С. Распределения вероятно-
стей статистики Колмогорова и омега-квадрат для непрерывных распреде-
лений с параметрами сдвига и масштаба. — В кн.: Исследования по теории
вероятностных распределений IV. Под ред. В. Н. Судакова/ЗНС ЛОМИ,
т. 85. Л., Наука, Лен. отд., 1979, с. 46—74.
494. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента
в науке и технике. Методы обработки данных (1)/Пер. с англ. под. ред.
Э. К. Лецкого; Методы планирования эксперимента (II) /Пер. с англ, под
ред. Э. К. Лецкого, Е. В. Марковой. М., Мир, 1980. 510 с.; 1981. 516 с.
495. Закс Л. Статистическое оценивайие/Пер. с нем. Науч. ред. Ю. П. Адле-
ра и В. Г. Горского. М., Статистика, 1976. 598 с.
496. Зарубежные научные и технические журналы. Аннотированный справочник,
ки. 1, 2/Отв. ред. И. М. Харина. М., 1981. с. 390, 339. Надзаг.: ГПНТБ
СССР.
497. Кемени Дж., Снелл Дж. Кибернетическое моделирование./Пер.
с англ, под ред. И. Б. Гутчина. М., Сов. радио, 1972. 192 с.
498. Кендалл М., Стьюарт А. 1) Статистические выводы и связи/Пер.
с англ, под ред. А. Н. Колмогорова. М., Наука, 1973. 899 с. 2) Многомерный
статистический анализ и временные ряды/Пер. с англ, под ред. А. Н. Кол-
могорова, Ю. В. Прохорова. М., Наука, 1976. 736 с.
499. К е н у й М. Г. Быстрые статистические вычисления/Пер. с англ. М.,
Статистика, 1979. 69 с.
500. К л е й и е н Дж. Статистические методы в имитационном моделировании/
Пер. с англ, под ред. и с предисл. Ю. П. Адлера и В. Н. Варыгииа, М.,
Статистика, 1978, вып. 1. 221 с.; вып. 2. 335 с.
501. Кокс Дж., Хинкли Дж. 1) Теоретическая статистика/Пер. с англ,
под ред. и с предисл. Ю. К. Беляева. М., Мир, 1978. 560 с.; 2) Задачи по
теоретической статистике с решеииями/Пер. с англ, под ред. и с предисл.
Ю. К. Беляева. М., Мир, 1981. 224 с.
502. Королюк В. С., Боровских Ю. В. 1) Аналитические проблемы
асимптотики вероятностных распределений. Киев, Наукова Думка, 1981.
240 с.; 2) Аппроксимация распределения рангового коэффициента корреля-
ции Спирмена. — ТВМС, 1981, 25, 47—55; 3) Асимптотическая аппрокси-
мация распределения статистики Вилкоксона. — Изв. АН УзССР, 1981,
2, 26—31.
503. Крамер Г. Математические методы статистики/Пер. с англ, под ред.
А. Н. Колмогорова. 2-е изд., стереотип. М., Мир, 1975. 648 с.
504. Кулинская Е. В. О состоятельной оценке параметра масштаба.—
ТВП, 1983, XXVII.
505. Кулинская Е. В. Ранговый дисперсионный анализ со случайными
факторами. — В ки.: Прикладная статистика/УЗС, т. 43, М., Наука,
1982, с. 188—208.
506. Кулинская Е. В., Шмерлинг Д. С. О распределении статис-
тик, основанных на рангах.— В кн.: Анализ нечисловых данных в систем-
498
ных исследованиях. М., 1982. Надзаг.: ВНИИ системных исследований
ГКНТ и АН СССР, с. 28—35.
507. Лисенков А. Н. Математические методы планирования многофактор-
ных медико-биологических экспериментов. М., Медицина, 1979. 343 с.
508. Майстров Л. Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.,
Наука, 1967. 320 с.
509. Майстров Л. Е. Развитие понятия вероятности. М., Наука, 1980.
269 с.
510. М а л е в и ч Т. Л., А б д а л и м о в Б. Устойчивые предельные распре-
деления 17-статистик. — ТВП, 1977, XXII, 379—386; см. также: Изв. АН
УзССР. Сер. физ-мат. наук, 1979, № 3, 10—13.
511. Маркова Е. В., Лисенков А. Н. Комбинаторные планы в зада-
чах многофакторного эксперимента. М., Наука, 1979. 348 с.
512. Мартынов Г. В. Критерии омега-квадрат. М., Наука, 1978. 79 с.
513. Математическая энциклопедия/Гл. ред. И. М. Виноградов, т. 2. Д-Коо.
М., Сов. Энциклопедия, 1979. 1104 стб.
514. Миркин Б. Г. Проблема группового выбора. М., Наука, 1974. 256 с.
515. Миркин Б. Г. Анализ качественных признаков и структур. М., Статис-
тика, 1980. 319 с.
516. Мостеллср Ф., Т ьюк и Дж. Анализ данных и регрессия, выи. 1,
2/Пер. с англ, под ред. Ю. П. Адлера. М., Финансы и статистика, 1982. 317,
239 с.
517. Мюллер П., Нойман П., Ш т о р м Р. Таблицы по математической
статистике/Пер. с нем. М., Финансы и статистика, 1982. 278 с.
518. Н е с е н е н к о Г. А., Тюрин Ю. Н. Асимптотика статистики
Колмогорова для параметрического семейства — ДАН 1978, т. 239, 1292—
1294.
519. Никитин Я. Ю. Предельные распределения и сравнительная асим-
птотическая эффективность статистик Колмогорова — Смирнова со слу-
чайным индексом. — В кн.: ЗНС ЛОМИ, 1976, 55, 185—194, 202.
520. Никитина Е. П. Эффективность по Бахадуру критериев, основанных
на превышающих наблюдениях. — В кн.: Регрессионные эксперименты
(планирование и апализ)/Под общ. ред. В. В. Налимова. М., Изд-во МГУ,
1977, 39—70.
521. Н и с к и н а Н. П., Т е й м а н А. П., Ш м е р л и н г Д. С. Алго-
ритмы и программы решения задач анализа качественных данных. — В ки.:
I Всес. совещание по статистическому и дискретному анализу нечисловой
информации, экспертным оценкам и дискретной оптимизации. М. — Алма-
Ата, 1981, с. 95—96.
522. Ногис Р. В., Радавичус Л. Ю. Использование критерия зна-
ков в обработке результатов психофармакологических исследований. —
В кн.: Математические методы в. психиатрии и неврологии. Материалы
2 симп. Л-д, 21—22 ноября 1972 г. Л., 1972, с. 116—117.
523. Орлов А. И. О проверке симметрии распределения. — ТВП, 1972,
XVII, с. 372-377.
524. Орлов А. Н. Устойчивость в социально-экономических моделях.
М., Наука, 1979. 296 с.
525. Орлов А. Н. О развитии прикладной статистики. — В кн.: Современ-
ные проблемы кибернетики (Прикладная статистика). МК, № 8. М., Знание,
1981, с. 3-1 4.
499
526. Орлов А. И., Орловский И. В. Оценка остаточного члена поряд-
ка п~2 для функции распределения двухвыборочной статистики Смирно-
ва. — В ки.: Статист. методы/УЗПУ, Пермь, 1978, с. 100—109.
527. Пинкава Я- Вероятностные распределения в задачах статистического
ранжирования. — В кн.: Экспертные оценки/ВК, вып. 58. М., 1979
с. 34—52.
528. Пирсон К. Таблицы неполной бета-функции/Пер. с англ, и дополнение
Л. Н. Большева и В. И. Пагуровой. Обработка таблиц Л. С. Барк. Библ,
математ. таблиц, вып. 48. М., ВЦ АН СССР, 1974, 538 с.
529. Поляк Б. Т., Цыпкин Я- 3. Адаптивные алгоритмы оцени-
вания (Сходимость, оптимальность, стабильность). — АТ, 1979, № 3,
с. 71—84.
530. Рабочая книга социолога. М., Наука, 1976. 511 с. (Издательство «Наука»
готовит 2-е издание, перераб. и доп.).
531. Р а о С. Р. Линейные статистические методы и их примснения/Пер. с англ,
под ред. Ю. В. Линника М., Наука, 1968. 548 с.
532. Рейнгольд Э., Нивергельт 10., Д е о Н. Комбинаторные алго-
ритмы. Теория и практика/Пер. с англ. М., Мир, 1980. 476 с.
533. Рун ион Р. Справочник по непараметрической статистике. Современный
подход. Пер. с англ. М., Финансы и статистика, 1982. 198 с.
534. Смирнов Н. В. Теория вероятностей и математическая статистика.
Избранные труды. М., Наука, 1970. 290 с.
535. Смирнов Н. В., Дуни н-Б а р к о в с к и й Н. В. Курс теории
вероятностей и математической статистики для технических приложений
2-е. изд., нспр. и доп. М., Наука, 1965. 511 с.
536. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и матема-
тическими таблицами/Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган./Пер. с англ,
под ред. Диткина В. А. М., Наука, 1979. 831 с.
537. Статистические задачи отработки систем и таблицы для числовых расчетов
показателей надежности/Под ред. Р. С. Судакова. М., Высшая школа,
1975. 604 с.
538. Таблицы вероятностных функций. Т. II. М., ВЦ АН СССР, 1959. 344 с.
539. Тарасенко Ф. П. Непараметрическая статистика. Томск. Изд-во
Томского ул-та, 1976. 292 с.
540. Смоляк С. А., Титаренко Б. П. Устойчивые методы оценивания
(Статистическая обработка неоднородных совокупностей). М., Статистика,
1980. 208 с.
541. Тюрин IO. Н. Непараметрические методы статистики. — МК, № 4.
М., Знание, 1978. 64 с.
542. Тюрин Ю. Н., Литвак Б. Г., ОрловА. И., Сатаров Г. А.,
Ш м е р л и н г Д. С. Анализ нечисловой информации (Обзор). — ЗЛ,
1980, № 10, с. 931—935/Статья перепечатана в МК, 1981, № 8, с. 41—52.
543. Тюрин Ю. Н„ Литвак Б. Г., Орлов А. И., Сата-
ров Г. А., Ш м е р л и и г Д. С. Анализ нечисловой информации.
Препринт Научного совета по комплексной проблеме «Кибернетика»
АН СССР. М., 1981. 80 с.
544. Тюрин 10. Н., Яхья А. Ю. Доверительное оценивание порядка на
основе рангов.— В кн.: Экспертные оценки/ВК, вып. 58. М., 1979, с. 66—72.
545. Т ь ю к и Дж. Анализ результатов наблюдений. Разведочный анализ/
Пер. с англ, под ред. В. Ф. Писаренко. М., Мир, 1981. 693 с.
500
54b’. Хмаладзе Э. В. Асимптотическая теория ранговых статистик.—
ТВП, 1980, XXV, с. 661—662.
547. X ь ю т с о и А. Дисперсионный анализ/Пср. с англ., науч. ред. Т. И. Го-
ликова. М., Статистика, 1971. 88 с.
548. Ш м е р л и н г Д. С. О проверке согласованности мнений экспертов. —
В кн.: Статистические методы анализа экспертных оценок/УЗС. М., Наука,
1977, с. 77—83; см. также Ehrenberg A. S. С. — В, 1952, 39, 82—87.
549. Ш м е р л и и г Д. С. Свободные от распределения ранговые критерии для
неполных блоков при альтернативе априорного упорядочения. — В кн.:
Экспертные оцеики/ВК, вып. 58. М., 1979, с. 52—65; см. также УЗС, 1980,
т. 36/Алгоритм и прогр. обесп..., с. 366—368.
550. Ш м е р л и н г Д. С. Выявление упорядоченности объектов по данным
опросов. — В кн.: Математические методы в социологическом исследова-
нии. М., Наука, 1981, с. 108—114; см. также УЗС, 1982, т. 43, с. 59—71.
551. Ш мер л инг Д. С., Дубровский С. А., Аржанова Т. Д.,
Френкель А. А. Экспертные оценки. Методы и применения (обзор). —
В ки.: Статистические методы анализа экспертных оценок/УЗС, т. 29.
М., Наука, 1977, с. 290—382.
552. Ш м е р л и и г Д. С., Чайкина С. С. Использование взвешенных
ранжировок в двухфакториой схеме дисперсионного анализа при альтерна-
тиве упорядоченности. — В кн.: I Всес. совещание по статистическому и
дискретному анализу нечисловой информации, экспертным оценкам и дис-
кретной оптимизации. М. —Алма-Ата, 1981, с. 66—67.
553. A d i с h i е J. R. Rank test of subhypotheses in the general linear regres-
sion. - AS, 1978,6, 1012-1026; CS, 1976, A5, 985- 997, AS, 1975,3,
521-527.
554 Ahmad I. A., Lin P.-E. On the Chernoff — Savage theorem for depe-
ndent sequenses. — AISM, 1980, vol. 32, 211—222; Ahmad I. A. —
CS, 1975, 4, 863-871.
555. Ahmad R. On the multivariate fe-sample problem and the generalization
of the Kolmogorov — Smirnov-test. — AISM, 1976, 28, 259—265.
556. Albers W. Asymptotic deficiencies of one-sample rank test under restricted
adaptation. — AS, 1979, 7, 944—954; AS, 1978, 6, 923—925.
557. Albers W. Asymptotic expansions for the power of adaptive rank tests
in the one-sample-problem. — Statist, nonparametrique Asymptotique
/Leet. Not. Math. No. 821, Berlin e. g., 1980, 108—158.
558. Albers W., Bickel P. J., van Z w e t W. R. Asymptotic expansions
for the power of distribution free tests in the one-sample problem. — AS,
1976, 4, 108-156.
559. Algorithms: CJ, 1978, 21, 296—301; CJ, 1978, 302—305; CJ, 1977, 20, 346—
349; CACM, 1976, 19, 68—72. ApS, 1975, 24, 265—267; ApS, 1974, 23, 226—
228; EPM, 1975, 35, 713—715; ApS, 1972(a), 21, 321—323, Ibid. 345—348;
CASM, 1974, 17, 103—104; ACM TOMS, 1977, 3, 285—294; ApS, 1976, 25,
309—312.
560. A 1 - S a a d i S. D., Young D. H. Critical values of some nonparametric
statistics used for tests of total stocastic independence. — JSCS, 1981, 12,
217—224.
561. Antille A. Asymptotic linearity of Wilcoxon signed-rank statistics. — AS,
1976, 4, 175—186.
562. В a r 1 о w R. E., BartholomewD. J., BremnerJ. M., Brunk
H. D. Statistical inference under Order Restrictions. The Theory and Appli-
cations of Isotonic Regression. — N. Y. e.a.: Wiley, 1972.— XII, 388 p.
501
563. В а г t е 1 s R. M., HornS. D., LiebetrauA. M., Harr is W. L. A
computational investigation of Conover’s Kolmogorov — Smirnov test for
discrete distributions. — JSCS, 1978, 7, 151 —162.
564. В a s u A. P. On a generalized Savage statistic with applications to life tes-
ting.— 1968, 39, 1591 —1604; Basu A. P., Woodworth G.— AMS
1967, 38, 274—277; В a s u A. P. — AMS, 1967, 38, 905—915.
565. В a u e г D. F. Constructing confidence sets using rank statistics. — JASA
1972, 67, 687-690.
566. В e h n e n K. Asymptotic comparison of rank tests for the regression problem
when ties are present. — AS, 1976, 4, 157 — 174; AMS, 1972, 43, 1839—1851
Ibid. 1971, 42, 325—329.
567. Beran R. An efficient and robust adaptive estimator of location.—AS.
1978, 6, 292-313; AS, 1975, 3, 401-412.
568. В e г c h t о 1 d H. A modified Mann — Whitney with improved asympto-
tic relative efficiency.— BJ, 1979, 21, 649—655.
569. Berenson M. L., Gross Shulamith T. Designing completely randomi-
zed experiments to detect ordered treatment effects: an empirical study. —
CS, 1981, BIO, 405—431; CS, 1982, All, 1681—1693; Bll, 563—581.
570. Bergstrom H., Puri M. L. Convergence and remainder terms in li-
near rank statistics.— AS, 1977, 5, 671—680.
571. В estD. J. Extended tables for Kendall’s tau.—B, 1973, v. 60, p. 429—430;
В e s t D. J., G i p p s P. G. — ApS, 1974, 23, 98—100; В e s t D. J., Ro-
b e г t s D. E. - ApS, 1975, 24, 377-379.
572. Bhattacharyya H. T. Nonparametric estimation of ratio of scale
parameters. —JASA, 1977, 72, 459—463.
573. Bickel P. J., C li i b i s о v D. M., van Z w e t W. R. On efficiency of
first and second order.— ISR, 1981, 49, 169—175.
574. Bickel P. J., D о к s u tn K. A. Mathematical Statistics: Basic Ideas
and Selected Topics. — San Francisco: Holden Day, 1977. — IX. 492 p.
Русский перевод: Бикел П.,Доксам К. Математическая статистика.
М., Финансы и статистика, 1983, вып. 1 278 с., вып. 2 254 с.
575. В i с k е 1 Р. J., L е h m a n n Е. L. Descriptive statistics for nonparametric
models. I. Introduction, II. Location, III. Dispersion.— AS, 1975, 3, 1038—
1044; 1045-1069; 1976, 4, 1139-1158.
576. Bickel P. J., van Z w e t W. R. Asymptotic expansions for the power of
distribution free tests in the two-sample problem. — AS, 1978, 6, 937—1004;
В i с к e 1 P. J.— AS, 1974, 2, 1—20.
577. Biometrika Tables for Statisticians, vol. I/3rd ed, vol. 2 Pearson E.S. Hartley
H. O., eds. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1970, 1972.— XVI,
270 p., XVIII, 385 p.
578. В u с к W. Signed-гапк tests in the presence of ties (with extended tables).—
BJ, 1979, 21, 501—526.
579. CannerP. L. A simulation study of one-and two-sample Kolmogorov —
Smirnov statistics with a particular weight function. — JASA, 1975, vol.
70, 209—211.
580. C h о w B., Miller J. E., D i с к i n s о п P. C. Extensions of a Monte-
Carlo comparison of some properties of two rank correlation coefficient in small
samples.— JSCS, 1974, 3, 189—195; C h о w B., Dickinson P. C.,
Champagne Q. — J QC, 1974, 6, 95—97; ChowW. K., HodgesJ.L.,
Jr. — JASA, 1975, 70, 648—655.
502
581. Conover W. J. Rank tests for one sample, two samples, and К samples
without the asumption of a continuous distribution function.— AS, 1973 (a),
1, 1105—1125; JASA, 1973 (b), 68, 985—988.
582. Conover W. J., Kemp К- E. How to use rank tests in the presence of
ties.— CS, 1976, vol. A5 (1), 1-15; Buhler W. J. - AMS, 1967, 38,
519—522.
583. Conover W. J., Iman R. L. On some alternative procedures using
ranks for the analysis of experimental designs.—CS, 1976, A5, 1349—1368.
584. Conover W. J., Wehmanen 0., Ramsey F. L. A note on the
small-sample power functions for nonparametric tests of location in the
double exponential family. — JASA, 1978, 73, 188—190.
585. Daniel W. W. Applied Nonparametric Statistics. — Boston: Houghton
Mifflin, 1978.- XIII, 507 p.
586. DeheuvelsP. Non parametric tests of independence.— In: Statist, non
Parametrique Asymptotique/Lect. Not. Math., N 821. Berlin e.a.: Springer-
Verlag, 1980, p. 95—107; JMA, 1981, 11, 102—113.
587. Deshpande J. V. Linear ordered rank test when are asymptotically
efficient for the two-sample problem. — JRSS (B), 1972, 34, 364—369.
588. Diaconis P., GrahamR. L. Spearman’s footrule as a measure of
disarray.— JRSS (B), 1977, 39, 262—268, see: UriH. K-, Klei песке
D. S. — ApS, 1979, 28, 271-278.
589. DinneenL. C., BlakesleyB. C. A generator for the null distribu-
tion of the Ansari-Bradley W statistic.— ApS, 1976, 25, 75—81.
590. Dionne Louise. Small-sample properties of universally efficient nonpa-
rametric estimators of shift.—JSCS, 1981 (a), 12,259—276, see: AS, 1981 (b),
9, 457—460.
591. D u p а с V., Haj ek J. Asymptotic normality of simple linear rank sta-
tistics under alternatives, II.—AMS, 1969,40, 1992—2017, see: Haj ek J.—
AMS, 1968, 39, 325—346.
592. D u r a n B. S. A survey of nonparametric tests for scale — CS, 1976, A5,
1287—1312, see: D u r a n B. S., Tsai W. S.—B, 1976, 63, 173—176,
T s a i W. S., D u r a n B. S., L e w i s T. D. — JASA, 1975, 70, 791—796,
W h i t e s i d e M., Duran B. S., В о u 1 1 i о n T. L. — JSCS, 1975, 4,
121 — 132.
593. D u г b i n J. Kolmogorov—Smirnov tests when parameters are estimated.—
Leet. Notes Math., 1976, 566, 33—44; B, 1975, 62, 5—22.
594. E p 1 e t t W. J. R. The inadmissibilitv of linear rank tests under Bahadur
efficiency.—AS, 1981, 9, 1079—1086.
595. F 1 i g n e r M. A. A class of two-sample distribution-free tests for scale.-
JASA, 1979, 74, 889-893.
596. F 1 i g n e r M. A., Police 1 1 о G. E. II. Robust rank procedures for the
Behrens — Fisher problem. — JASA, 1981, 76, 162—168; Fl i g n e r M. A.,
Hogg R. V. — CS, 1976, A5, 373-376; F 1 i g n e r M. A., Killeen
T. J. — JASA, 1976, 71, 210-213; F 1 i g n e г M. A. JRSS, B, 43, 61-64.
597. Friedman J. H., R a f s к у L. C. Multivariate generalizations of the
Wald — Wolfowitz and Smirnov two-sample tests. — AS, 1979, 7, 193—200.
598. F u n g K. Y. Small sample behaviour of some nonparametric multi-sample
location tests in the presence of dispersion differences.— SN, 1980, 34, 189—
196.
599. G e h a n E. A. A generalized Wilcoxon test for comparing arbitrarily sig-
nly-censored samples.— B, 1965, 52, 203—223, see: B, 1965, 52, 650—653;
G e h a n E. A., T h о m a s D. G.— B, 1969, 56, 127—132.
503
600. Geller N. L. On limit distributions for one- and two-sample Kolmogorov—
Smirnov type statistics. — JAP, 1977, 14, 538—547; Gail M. H., Green
S. B. — J ASA, 1976, 71, 757—760.
601. GerigT. M. A multivariate extension of Friedman’s x? — test. — J ASA,
1975, vol. 70,350, 443—447; JASA, 1969,64, 1595—1608; Koziol J. A.,
Smith С. I. — BJ, 1980, 22, 683—688.
602. Ghosh В. K. Two normal approximations to the binomial distribution.
CS, 1980, A9, 427—438; JASA, 1979, 74, 894—900.
603. Ghosh M. On some properties of a class of Spearman rank statistics with
applications.— AISM, 1975, 27, 57—68.
604. Gibbons Jean D. Nonparametric methods quantitative analysis. N.Y.:
Holt, Rinehart, Winston, 1976.
605. G i b b о n s J. D., О 1 к i n I., S о b e 1 M. Selecting and Ordering Popula-
tions: A New Statistical Methodology.— N. Y. e. a.: Wiley, 1977, 569 p.
606. GordonR. D. On monotonicity of power of two-sample rank tests when
testing the alternative G is stochastically large than F. — CS, 1978, A7, 535—
541.
607. G о r i a M. N. Some locally most powerfull generalized rank tests. — B,
1980, 67, 497—500.
608. Govindaraj ul u Z. Robustness of Mann — Whithey — Wilcoxon test
to dependence in the variables. — SSMH, 1975 (a), 10, 39—45; Hay-
n a m G. E., G о v i n d a r a j u 1 u Z. — AMS, 1966, 37, 945—953.
609. Govindarajulu Z. Locally most powerful rank order test for the
one-way random effects model. — SSMH, 1975 (b), 10,47—60.
610. Govindarajulu Z. A brief survey on nonparametric statistics. — CS,
1976, A5, 429—453.
611. G г e e n J. R. Modified Wilcoxon test for two different distributions.—B,
1979. 66, 645—653.
612. Groeneboom P., Oosterhoff J. Bahadur efficiency and small-samp-
le efficiency.— ISR, 1981,49, 2, 127—141, see: ZWVG, 1976, 38, 2, 119—127;
W о о d w о r t h G. G. — AMS, 1970, 41, 251— 283.
613. Gupta G. D., Govindarajulu Z. Nonparametric tests of ran-
domness against autocorrelated normal alternatives. — B, 1980, 67, 375—
379.
614. Guttman G., К r a f t С. II. Robustness to spurious observations of
linearized Hodges — Lehmann estimators and Anscombe estimators. — T,
1980, 22, 55—63.
615. H a j e к J. Asymptotic sufficiency of the vector of ranks in the Bahadur sen-
ce. — AS, 1974. 2, 75—83; Nonpar. Techniq. in Statist. Inf. /М. L. Puri ed.
Cambridge: Univ. Press, 1970, p. 3—17, 18—19.
616. H e n z e F. H. — H. The exact noncentral distributions of Spearman’s
rand other related correlation coefficients.—JASA, 1979, 74, 459—464.
617. HettmanspergerT. P. Non-parametric inference for ordered alterna-
tives in a randomized block design.— P. 1975, 40, 53—57, Tryon P. V.,
HettmanspergerT. P. — AS, 1973, 1, 1061 —1070.
618. HettmanspergerT. P.,Me Kean J. W. Statistical inference based
on ranks.- P, 1978, 43, 69-79; T, 1977, 19, 275-284; Het tm ans-
p er ger T. P., U t t s J. R. — CS, 1977, A6, 855—868.
619. HewettJ. E., Sp urrierJ. D. Some two-stage А-sample tests. JASA,
1979, 74, 398—404.
620. H i г о t s u C. Ordered alternatives for interaction effects. — B, 1978, 65,
561-570.
504
621. Н о d g e s J. L., L e h m a n n E. L. Wilcoxon and t test for matched pairs
at typed subjects. — J. Amer. Statist. Assoc., 1973, 68, 151—158.
622. H oef 1 d ing W. Robustness of the Wilcoxon estimate of location against
a certain dependence.— AMS, 1968 , 39, 1196 —1201.
623. H о e f f d i n g W. On the centering of a simple linear rank statistic.— AS,
1973, 1, 54-66.
624. H о g g R. V. A new dimension to nonpai ametric tests.—CS, 1976, A5.1313 —
1326, see: Hogg R. V., R a n d 1 e s R. H. — T, 1975, 17, 399-408.
625. H о j e к S. Tables for the two-samples Haga test of location. — AM, 1978,
23, 237—247.
626. Hollander M., Prochan F., Sethuraman J. Decreasing in
transposition property of overlapping sums, and applications. — JMA, 1981,
11, 50-57.
627. Hollander M., Pledger G., Lin P. — E. Robustness of the Wil-
coxon test to a certain dependency between samples. — AS, 1974,2, 177—181.
628. Hollander M., Sethuraman J. Testing for agreement between
two groups of judges.— B, 1978, 65, 403—411 (with comments by W. R. Schu-
cany).
629. H о 1 s t L., R a о J. S. Asymptotic theory for same familes of two-sample
nonparametric statistics. — S, 1980, A42, 19—52.
630. Huber P. Robust statistics. — N. Y., e. a.: Wiley, 1981. —XI, 308 p.
631. Huskova Marie. Multivariate rank statistics for testing randomness
concerning some marginal distribution.— JMA, 1975, 5, 487—496; JMA,
1971, 1, 461—484.
632. H u s к о v a Marie. The rate of convergence of simple linear rank statistics
under hypothesis and alternatives. — AS, 1977, 5, 658—670; CMUC,
1979, 20, 399-415, JMA, 1977, 7, 63-73.
633. Huskova Marie. Simultaneous rank test procedures. — AM, 1980, 25,
33-38.
634. Hwang T.-Y. The Chernoff efficiency of the Wilcoxon rank test.— CS,
1978, A7, 543—555, see: H w a n g T. Y., К 1 о t z J. H. — AS, 1975, 3,
947-954.
635. Hwang T.-Y., T s a у J.-F. The treatment of ties in some linear rank tests
when underling distribution is discrete. — CS, 1978, A7, 813—827.
636. I m a n R. L. Use of a ^-statistic as an approximation to the exact distri-
bution of the Wilcoxon signed rank test statistic. — CS, 1974, vol. 3, 795—806.
637. I tn a n R. L. An approximation to the exact distribution of the Wilcoxon —
Mann — Whithey rank sum test statistic. — CS, 1976, A5, 587—598.
638. I m a n R. I., Co n о v e r W. J. On the power of the ttest and some rank
test when outliers may be present. — CJS, 1977, 5, 187—193.
639. 1 tn an R. L., Conover. W. J. Approximations of the critical region for
Spearman’s rho with and without ties present. — CS, 1978, B7, 269—282.
640. I m a n R. L., D a v e n p о r t J. M. New approximations to the exact dis-
tribution at the Kruskal — Wallis test statistic. — CS, 1976, A5, 1335—
1348.
641. 1 m a n R. L., D a v e n p о г t J. M. Approximations of the critical region
of the Friedman statistic. — CS, 1980, A9, 571—595.
642. Iman R. L., Quade D., Alexander D. Exact probability levels
for the Kruskal — Wallis test. — In: Selected Tables in Mathematical
505
Statistics, vol. З./Harter H.L., Owen D. B., eds.— Providence, R. I.: Amer
Math. Soc., 1975, 329-384.
643. 1 r 1 e A., К 1 о s e n e г. К. H. Note on the sign test in the presensc of
ties. —AS, 1980, 8, 1168—1170; Krauth J.— AS, 1973, 1, 166—169, AMS
1971,42,1949-1956.
644. Jensen D. R. On approximating the distribution of Friedman’s %2 and
related statistics — MK, 1977, 24, 75—85; AS, 1974, 2, 311—322.
645. J i г i n a M. On the asymptotic normality of Kendall’s rank correlation sta-
tistics. — AS, 1976, 4, 214—215.
646. Jones D. H. An efficient adaptive distribution-free test for location.—
JASA, 1979, 822—828.
647. J ureckova Jana. 1) Asymptotic relations of M-estimators and R-
estimators in linear regression model. — AS, 1977, 5, 464—472; 2) Tail-
behavior of location estimators. — Ibid, 1981, 9, 578—585; Kraft С. H.,
van E e d e n Constance. — AMS, 1972, 43, 42—57, JASA, 1972, 67,
199—202.
648. Kalbleisch J. D., Prentice R. L. The Statistical Analysis of
Failure Time Data. — N. Y. e. a.: Wiley, 1980. — XI, 321 p.
649. Kannemann K. An intrinsic rank test for К independent samples.—
BJ, 1980, 22, 229—239; BZ, 1976, 18, 3—11; Lehmacher W. — BJ,
1979, 21, 123—130.
650. К a n n о R. Tests for n ranking when then hypotheses not being limited
to random ranking. — TM, 1977, 13, 2, 83—92; TM, 1977, 13, No.l, 89—110.
651. Kerridge D. The interpretation of rank correlations. — AS, 1975, 24,
257-258.
652. К i 1 d e a D. G. Brown-Mood type median estimators for simple regression
models. — AS, 1981, 9, 438—442, see: Brown В. M., К i 1 d e a D. G. —
AS, 1978, 6, 828-835.
653. Kim P. J., J e n n г i c h R. I. Tables of the exact sampling distribution
of two-sample Kolmogorov—Smirnov criterion, Dm n, m < n. —In: Selec-
ted Tables in Math. Statist, v. 1; Harter H. L., О w e n D. B. eds./2nd.—
Inst.
Math. Statist., 1973,79-170; Kim P. J. - AISM, 1976, 28, 267—275.
654. Klotz J. 1) Alternative efficiences for signed-rank tests.—MS, 1965,
36, 1759—1766; 2) On the normal scores two-sample rank test. — JASA, 1964,
59, 652-664.
655. Klotz J. A modified Cochran—Friedman test with missing observati-
ons an ordered categorical data. — BS, 1980, 36, 665—670.
656. Klotz J., T e n g J. One-way layout for counts out the exact enumiration
of the Kruskal—Wallis H distribution with ties. —JASA, 1977, 72, 165—169.
657. К о о p m a n P. A. R. Testing symmetry with a procedure, combining the
sign test and signed rank test. — SN, 1979, 33, 137—142.
658. К о u 1 H. L. Behavior of robust estimators in the regression model with
dependent errors. — AS, 1977, 5, 681—699.
659. KoulH. L.,St audte R. G., Jr. Power bounds for a Smirnov statistic in
testing the hypothesis of symmetry. — AS, 1976, 4, 924—935.
660. К о u 1 H. L., S u s a r 1 a V. Testing for new better than used in expecta-
tion with incomplete data. — JASA, 1980, 75, 952—956; К о u 1 H. L.,
CJS, 1978, 6, 249—271; CS, 1977, A6, 563—573.
661. Koziol J. A. Asymptotic normality of multivariate linear rank statistics
under general alternatives. — AM, 1979, v.24, 326—347; CS, 1979, A8, 207—
221; Koziol J A., N e m e c A. F. — CJS, 1979, 7, 43-52.
506
662. Koziol J. A., R e i d Nancy. On the asymptotic equaivalence of two
ranking methods for К-sample linear rank statistics. — AS, 1977, 5, 1099—
1106.
663. Kraemer Helena C. The nonnull distribution of the Spearman rank corre-
lation coefficient. — JASA, 1974, 69, 114—117; JASA, 1973, 68, 1004—1008;
P, 40, 473—485.
664. Kraemer H. C. Intergroup concordance: Definition and estimation. —
B, 1981, 68, 641—646; JASA, 1976, 71, 608—613; Gordon A. D. — B,
1979, 66, 327—332.
665. К r a u t h J. Some locally optimal two-sample rank tests of scale. — MOS,
1976, 7, 113—121.
666. Kremer E. Approximate and local Bahadur efficiency of linear rank
tests in the two-sample problem. — AS, 1979, 7, 1246—1255.
667. Lai T. L. Pitman efficiencies of sequential tests and uniform limit theorems
in nonparametric statistics. — AS, 1978, 6, 1027—1047.
668. Latta R. B. A Monte Carlo study of some two-sample rank tests with
cencorded data. - JASA, 1981, 76, 713—719; B, 1977, 64, 633-635.
669. Laubscher N. F., Steffens F. E., DeLange E. M. Exact
critical values for Mood’s distribution-free test statistic for dispersion and
its normal approximation. — T, 1968, 10, 497-508.
670. Lee E. T., D e s u M. M., G e h a n E. A. A Monte Carlo study of the
power of two-sample tests. — B, 1975, 62, 425—432.
671. Lehmann E. L. Nonparametrics: Statistical Methods Based on Ranks. —
San Francisco: Holden-Day, N. Y. e. a.: McGraw-Hill, 1975,—XVI, 457 p.
672. L e m m e r H. H. Some empirical results on the two-way analysis of variance
by ranks.—CS, 1980, A9, 1427—1438; JASA, 1978, 73, 419—421; Gore A.P.—
AISM, 1975, 27, 487—500; Walsh J. E., К e 1 1 e h e r G. J. — SH,
1974, 15, 116-129.
673. Lepage Y. 1) A table for a combined Wilcoxon—Ansari—Bradley statis-
tics. — B, 1973, 60, 113—116; 2) A class of nonparametric tests of location
and scale parameters. —CS, 1977, A6, 649—660; see: CS, 1976, A5, 1257—
1274.
674. Lin F. О., H a s e m a n J. K- A modified Jonckheere test against ordered
alternatives when ties are present at a single extreme value. — BZ, 1976,
18, 623—631.
675. L о L. C., S i m к i n M. G., W о r t h 1 e у R. G. A small-sample com-
parison of rank score tests for parallelism of several regression lines.—JASA,
1978, 73, 666—669.
676. Lu H. T., S m i t h P. J. Distribution of normal scores statistic for nonpa-
rametric one-way analysis of variance. — JASA, 1979, v.74, 715—722.
677. Mack G. A., S к i 1 1 i n g s J. A. A Friedman-type rank test for main
effects in a two-factor ANOVA. — JASA, 1980, 75, 947—951; — CS, 1981,
B10, 571-591.
678. MacKinnon W. J. Table for both the sign test and distribution-free
confidence intervals of the median for sample sizes to 1000. — JASA, 1964,
59, 935-966.
679. Madsen R. W. A note on a sequential signed-rank test for symmetry. —
JSCS, 1976, 5, 259—265.
680. M a g h s о о d l.o о S., P a 1 1 о s L. L. Asymptotic behavior of Kendall’s
partial rank correlation coefficient and additional quantile estimates. —
JSCS, 1981, 13, 41—48; Johnson N. S. — B, 1979, 66, 333—337.
Б07
681. Maj umdar H., Sen P. K- Non-parametric tests for multiple regressi-
on under progressive censoring. — JMA, 1978, 8, 73—95.
682. Mantel N., R ah e A. J. Differentiated sign test. — ISR, 1980 48
19—28; G a s t w i г t h J. L. — JASA, 1971, 66, 821—823; Gibbons
J. —JASA, 1964, 59, 142—148.
683. Marcus R. A note on analyzing ordered alternatives. — P, 1978, 43
133—139.
684. Mardia К. V., Zemroch P. J. Tables of F — and related distribu-
tions with algorithms. — L.: Acad. Press, 1978. — X, 256 p.
685. Markham R. Small sample efficiencies of tests based on the method of
n rankings. — JSCS, 1981, 12, 193—207.
686. Mason D. M. On the use of a statistic based on sequential ranks to prove
limit theorems for simple linear rank statistics. — AS, 1981, 9, 424—436.
687. McKean J. M., Hettmansperger T. P. A robust analysis of
the general linear model based on one step R-estimates. — B, 1978, 65, 571 —
579; McKean J. M., R у a n T. A. — ACM TOMS, 1977, 3, 183—185;
McKean J. M., S c h г a d e r R. M. — JRSS, 1980, B42, 366—371.
688. M e h r a K- L. On Bahadur efficiency of the joint-ranking procedure. —
AMS, 1972, 43, 1155-1163; AMS, 1964, 35, 122-137; Meh г a K. L.,
Smith G. E. J. —JASA, 1970, 65, 1283—1296; Meh г a K- L.,
S а г a n g i J. — AMS, 1967, 38, 90—107.
689. MehrotraK- G.,J ohnsonR. A. Asymptotic sufficiency and asymp-
totically most powerful tests for the two sample censored situation. — AS,
1976, 4, 589-596.
690. M i e 1 к e P. W., Jr, S e n P. K. On the asymptotic non-normal null distri-
butions for locally most powerful rank test statistics. — CS, 1981, A10, 1079—
1094.
691. M i 1 1 e г R. G. 1) The jackknife. A review. — B, 1974, 61, 1 — 15; 2) Deve-
lopment in multiple comparisons 1966—1976; — JASA, 1977, 72, 779—788.
692. Molenaar W. Approximation to the Poison, Binomial and Hypergeomet-
ric Distribution Functions. Math./Centru Tracts, vol. 31. — Amsterdam,
1970, см. рецензию: Большее Л. H. — ТВП, 1971, 16, 196—198.
693. Nath R., D u г а п В. S. A generalisation of therank transform in the two-
sample location problem. — CS, 1981, A10, 1437—1455; CS, 1981, B10,
383-394.
694. Nelson L. S. Tables for testing ordered alternatives in an analysis of
variance. — B, 1977, 64, 335-338; S i s к i n d V. — B, 1976, 63, 647-654;
Nelson L. S., e. a. — BJMSP, 1975, 167—176; B. 1982 , 69 , 237- 238.
695. Noether G. N. Introduction to Statistics: A Nonparametric Approach/2nd
ed. — Boston: Houghton Mifflin, 1976.—XV, 292 p.
696. Noether G. Distribution free confidence intervals. — SN, 1978, 32, 109—
122; JASA, 1963, 58, 894-898; AmS, 1972, 26, 39-41.
697. О d e h R. E. 1) Extended tables of the distribution of Friedman’s S-statistic
in two-way layout. —CS, 1977, B6, 29 — 48; 2) The exact distribution
Page’s L-statistic in two-way layout. — CS, 1977, B6, 49 — 61, 3) On the
power of Jonckheere’s /г-sample test against ordered alternatives. — B, 1972,
59, 467—471.
698. О d e h R. E., Owen D. B., Birnbaum Z. W., Fisher L. Pocket
Book of Statistical Tables. — N. Y. and Basel: Marcel Dekker, Inc., 1977,—
X, 166 p.
699. О r b a n J., W о 1 f e D. A. Distribution-free partially sequential placement
procedures. — CS, 1980, A9, 883—904.
598
700. Otten A. The null distribution of Spearman’s S when n—3( 1) 16. — SN,
1973, 27, 19—20; De J ongeC., van Monitor t M. A.— SN, 1972, 26,
15-17.
701. Padmanabhan A. R. Hodges—Lehmann estimators in the case of
grouped data, I, III. — CS (A), 1977, vol.6, 371-380, 1980, 9, 415-425;
BIMSP, 1977 (a), 30, 222—226.
702. Papaivannon T., Speevak T. Rank correlation inequalities
with missing data. — CS, 1977, A6, 67—72.
703. Patel К- M. Hajek—Sidak approach to the asymptotic distribution of
multivariate rank order statistics. — JMP, 1973, 3, 57—70.
704. P e t о R., P e t о J. Asymptotically efficient rank invariant test procedures
(with discussion). — JRSS, A, 1972, 135, 185—206; P e t о R., B, 1072,
472— 475.
705. P e t t i t t A. N., Siskind V. Effect of within-sample dependence on
the Mann—Whitney—Wilcoxon statistic. — B, 1981, 68, 437—441.
706. P e t t i t t A. N., S t e p h e n s M. A. The Kolmogorov—Smirnov good-
ness-of-fit statistic with discrete.and grouped data. — T, 1977, 19, 205—210.
707. P i r i e W. R. Comparing rank tests for ordered alternatives in randomized
blocks. — AS , 1974. 2, 374- 382, Corr AS, 1975, 3, 796; P i r i e W. R.,
H о 1 1 a n d e г M. — AISM, 1975, 27, 521-523.
708. PolicelloG. E. II, Hettmansperger T. P. Adaptive robust
procedures for the one-sample location problem. — JASA, 1976, 71, 624—633.
709. Pott h off R. F. A non-parametric test of whether two simple regression
lines are parallel. — AS, 1974, 2, 295—310.
710. Praskova-Vlzkova Zuzana. Asymptotic expansion and local li-
mit theorem for a function of the Kendall rank correlation coefficient. —
AS, 1976, 4, 597-606.
711. P r e n t i c eM. J. On the problem of m incomplete rankings. — B, 1979,
66, 167—170.
712. P u r i M. L., W у к о f f N. L. Asymptotic distribution of rank statistics
for experiments involving incomplete block designs. — AISM, 1974, 26,
421-446; AISM, 1969, 21, 163-173; P u r i M. L., S h a n e H. D.-In.:
Nonpar. Tech, in Statist. Inf./M. L. Puri ed. 1970, 131 — 153; Sen. P. K. —
B, 1967, 54, 677—679.
713. Puri M.L., S e n P. K.> G о к h a 1 e D. V. On a class of rank order tests
for independence in multivariate distributions. — S (A), 1970, 32, 271—298;
AMS, 1969, 40, 610—618.
714. Pur iM. L.,SenP. K. Distribution-free approaches to general linear mo-
dels. — In: Survey Statist. Des. and Linear Mod. Amsterdam, 1975, 459—
474.
715. P у к e R. Asymptotic results for rank statistics. — In: Nonparametric Tech-
niques in Statistical Inferense/ M. L. Puri ed. — Cambridge: Cambridge
Univ. Press, 1970, 21—37, disc. 38—39.
716. Pyke R., Shorack G. R. Weak convergence to a two-sample empirical
process and a new approach to Chernoff—Savage theorems. — AMS, 1968,
39, 755—771, Correction see: AP, 1975, 3, 1068.
717. Quade Dana. Average Internal Rank Correlation, Stitching Mathematisch
Centrum (May 1972), 1972, 102 p.
718. Quade Dana. Using weighted rankings in the analysis of complete blocks
with additive block effects. — JASA, 1979, 74, 680—683; S i 1 v a C., Q u a -
d e D. — CS, 1980, A9, 1087—1096.
509
719. Quade Dana. Regression analysis based on the signs of the residuals. —
JASA, 1979, 74, 411—417.
720. R a h e A. J. Tables of critical values for the Pratt matched pair signed rank
statistic. - JASA, 1974, 69, 368—373; McCornackR.L. — JASA, 1965
60, 864—871; Claypool P. L. — JASA, 1970, 65, 974—975.
721. R a n d 1 e s R. H., F 1 i g n er M. A., P о 1 i c e 1 1 о G. E., II., Wolfe
D. A. An asymptotically distribution-free test for symmetry versus asymmet-
ry. — JASA, 1980, 75, 168-172.
722. R a n d 1 e s R. H., W о 1 f e D. A. Introduction to the Theory of Nonparamet-
ric Statistics. - N. Y., e. a.: Wiley, 1979. — XVII, 450 p.
723. R а о M. K- S., G о r e A. P. Distribution-free tests for parallelism and con-
currence in two-sample regression problem. — JSPI, 1981, 5, 281—286.
724. R a v i v A. A non-parametric test for the comparing two nonindependent
distributions. — JRSS (B), 1978, 40, 253—261.
725. Reynolds M. R., Jr. A sequential signed-rank test for symmetry. —
AS, 1975, 3, 382—400.
726. Rieder H. Robustness one-and two-sample rank tests against gross er-
rors. — AS, 1981, 9, 245—265; —AS, 1982, 10, 205—211.
727. Robillard P. Kendall’s S distribution with ties in one ranking. —
JASA, 1972, 67, 453-455.
728. Robinson J. An asymptotic expansion for permutation tests with se-
veral samples. — AS, 1980, 8, 854—864.
729. Rothe G. Some properties of the asymptotic relative Pitman efficiency. —
AS, 1981, 9, 663-669.
730. Ruymgaart F. H. A unified approach to the asymptotic distribution
theory of certain midrank statistics. — In: Leet. Notes in Math, №821/
Statist, non Parametrique Asymptotique. Berlin e. a.: Springer—Verlag,
1980, 1 — 18; AS, 1974, 2, 892—910.
731. Ruymgaart F. H., Van Z u i j 1 e n M. C. A. Asymptotic norma-
lity of multivariate linear rank statistics in the non-i. i. d. case. — AS, 1978,
6, 588-602.
732. Sacks S. T., S e 1 v i n S. A note on the extension of tables for the
Friedman statistic. — SN, 1979, 33, 51—54; Likes F., L a g a J. —
BJ, 1980, 22, 433—440.
733. Salama I. A., Quade Dana. Using weighted rankings to test against
ordered alternatives in complete blocks.—CS, 1981, A10, 385—399.
734. Saleh A. K. Md. E., Dionne J.-P. On a further generalization
of the Savage test. — CS, 1977, A6, 1213—1221.
735. Saleh A. K- Md. E., Sen P. K- Nonparametric estimation of loca-
tion parameter after a preliminary test on regression. — AS, 1978, 6, 154—168.
736. S c h a c h S. An alternative to the Friedman test with certain optimality
properties. — AS, 1979, 7, 537—550; Anderson R. L. — Bs, 1959,
15, 582—590.
737. S c li e i r e r C. J., Ray W. S., Hare N. The analysis of ranked
data derived from completely randomired factorial designs. — Bs, 1976, 32,
429—434.
738. Scholz F.-W. Weighted median regression estimates. — AS, 1978, 6,
603-609.
739. Shorack R. A. Tables of the distribution of the Mann — Whitney—
Wilcoxon (/-statistic under Lehmann alternatives. — T, 1967, 9, 666—678.
Б10
740. Sc hu c a h у W. R„ Ff a w ley W. H. A rank test for two group
concordance. — P, 1973, v. 38, p. 249—258: Li Loretta, Schucany
W. R. B. 1975, 62, 417-423; Schucany W.R., Beckett J., 111.—
CS, 1976 A5, 1327—1334.
741. Schweizer B., Wolff E. F. On nonparametric measures nf depen-
dence for random variables. — AS, 1981, 9, 879—885.
742. Sen P. K. On a class of aligned rank order tests for the identity of the in-
tercepts of several regression lines —AMS, 1972, 43, 2004—2012; AMS, 1971,
42, 1104—1112, Sen P. К. , P u r i M. L. — ZWVG, 1977, 36, 175—186.
743. S e n P. K. Invariance principles for linear rank statistics revisited. —
S (A), 1978, 40, 215—236.
744. Sen P. K. The extended two-sample problem: nonparametric case. —
JSPI, 1979, 3, 287-298.
745. Sen P. K. Nonparametric simultaneous inference for some MANOVA
models. — In: P. K. Krishnaiah, ed., Handbook of Statistics, vol. I. Ana-
lysis of Variance. Amsterdam e. a.: North-Holland Publ. Co., 1980, 673—702.
746. Sen P. K. Nonparametric repeated significance tests. — In: Develop.
Statist., vol. 1. — N. Y.: Acad. Press, 1978, 227—265; CS, 1979; A8, 819—
841; AS, 1981, 9, 109—121.
747. Sen P. K. Sequential Nonparametrics: Invariance Principle and Statisti-
cal Inference. — N. Y. e. a.: Wiley, 1981, 320 p.
748. Sen P. K., Saleh A. K. Md. E. Nonparametric estimation of locati-
on parameter after a preliminary test on regression in the multivariate case. —
JMA, 1979, 9, 322-331.
749. S e г f 1 i n g R. J. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. —
N. Y. e. a.: Wiley, 1980. — XIV, 371 p.
750. Shapiro С. P., Hubert L. Asymptotic normality of permutation
statistics derived from weighted sums of bivariate functions. — AS, 1979,
7, 788—794.
751. Shirahata S. Rank tests for the К-sample problem with restricted
alternatives. — CS, 1980, A9, 1071 — 1086; AS, 1976, 4, 400—405.
752. Shirahata S. Intraclass rank tests for independence. — B, 1981, 68,
451—456.
753. S i d a к Z. 1) Tables for two sample median test. — AM, 1975, 20,
405—420; 2) Tables for the two-sample location E-test based on exce-
eding observations. — AM, 1977, 22, 166—175; — AM, 1973, 18, 333—374.
754. Sievers G. L. Weighted rank statistics for simple linear regression. —
JASA 1978, 73, 628-631.
755. Simon G. Multivariate generalization of Kendall’s tau with application
to data reduction.—JASA, 1977, 72, 367—376; B, 1977, 64, 277—282.
756. Singer B. Distribution-free methods for nonparametric problems: A
classified and selected bibliography. — BJMSP, 1979, 32, 1—60.
757. Sinha В. K., W i en d H. S. Multivariate nonparametric tests for
independence. — JMA, 1977, 9, 572—583; see: Bhuchongkul S. — AMS,
1964, 35, 138—149.
758. Skillings J. H. On the null distribution of Jonckheere’s statistic used
in two-way models for ordered alternatives. T, 1980, 22, 431—436; CS, 1978,
A7, 1027—1039.
759. S к i 1 1 i n g s J. H., Mack G. A. On the use of a Friedman-type statistic
in balanced and unbalanced block designs. — T, 1981, 23, 171—177.
511
760. Skillings J. H., Wolfe D. A. Distribution-free tests for ordered
alternatives in a randomized block design — JASA, 1978, 73, 427—431; see:
CS, 1977, A6, 1453—1463; Y о u n g J. L., Wolfe D. A. — JASA,
1976, 71, 722—727; M а с к G. A., Wolfe D. A. — JASA, 1981, 76,
175—181.
761. S m i t h C. F. On a distribution-free Behrens—Fisher test by Hettmansper-
ger & Malin. — B, 1980, 67, 241—242.
762. Snijders T. Rank tests for bivariate symmetry. — AS, 1981, 9,
1087—1095.
763. Snijders T. A. B. Asymptotic optimality theory for testing problems
with restricted alternatives. — Amsterdam: Matematisch Centrum, 1979. —
XI, 265 p.
764. Sryivasan R., G о d i о L. B. A Cramer — von Mises type statistic
for testing symmetry. — B, 1974, 61, 196—198.
765. Starks T. H. An improved sign test for experiments in which neutral
responses are possible. — T, 1979, 21, 525—530.
766. Stephens M. A. Tests of fit for the logistic distribution based on the
empirical distribution function. — B, 1979, 66, 591—595.
767. Stephenson W. R. A general class of one-sample nonparametric test
statistics based on subsamples. — JASA, 1981, 76, 960—966.
768. Suneeta J., Sathe Y. S. A К-sample slippage test for location
parameter. — JSPI, 1981, 5, 93—98.
769. Tables: 1) Tables of the Binomial Probability distribution. Washington:
National Bureau of Standarts, 1952; 2) Tables fo Cumulative Binomial dis-
tribution: Cambridge, Mass: Harvard Univ. Press, 1955; 3) Tables of Cumu-
lative Binomial Probabilities/ U. S. Army, Ordn. Corps Pamphlett, ORD
P20—1, W., 1952.
770. Tardif S. On the almost sure convergence of the permutation distribution
for aligned rank test statistics randomized block designs. — AS, 1981, 9,
190—193; CJS, 1980, 8, 7—25, T a n K. S., Gore A. P. — AJS, 1976,
18, 151—157.
771. Terpstra T. J. Efficiency and optimality properties of a class of a
/С-sample rank tests against trend. — MK, 1980, 27, 225—235.
772. Thornburn D. A local limit theorem for the Wilcoxon rank sum. —
AP, 1977, 5, 926—939.
773. U г у H. K. A comparison of some approximation to the Wilcoxon—Mann-
Whitney distribution. — CS, 1977, B6, 181 —197; Ury H. K., W i g-
g i n s A. D. — BJMSP, 1976, 29, 263—267.
774. Van der L a a n P., W e i m a J. Asymptotic power of the two-sample
test of Wilcoxon for logistic shift alternatives, and comparison with simula-
tion results. — SN, 1980, 34, 117—121; JSCS, 1978, 8, 133—144.
775. Van Parson L. A note on the exact distribution of a nonparametric test
statistics for ordered alternatives. — AS, 1979,7,454—458; CS, B10, 289—302.
776. Vor 1 i б к о v a Dana. Asymptotic properties of rank tests of symmetry
under discrete distributions. — AMS, 1972, 43, 2013—2018; ZWVG, 1970,
14, 275—289; CMUC, 1976, 17, 557—565.
777. Wei L. J. Asymptotic conservativeness and efficiency of Kruskal—Wal-
lis test for /( dependent samples. — JASA, 1981, 76, 1006—1009.
778. W i e a n d H. S. A condition under which the Pitman and Bahadur appro-
aches to efficiency coincide. — AS, 1976, 4, 1003—1011.
512
779. Wilcoxon F., К a 11 i S. K-, Wilcox Roberta A. Critical values
and probability levels for the Wilcoxon rank test. — In: Selected Tables in
Mathematical Statistics, vol. 1/2-d ed. H. L. Harter, D. B. Owen, eds.—Pro-
vidence, R. I.: Am. Math. Soc., 1973, 171—235.
780. Wissenschaftliche Tabellen Geigy Statistik/ 8 Aufl. Cl BA—GEIGY AG. —
Basel, 1980, 241.
781. Wolfowitz J. Asymptotically efficient non-parametric estimators
of location and scale parameters. II. — ZWVG, 1974, 30, 117—128.
782. Woolson R. E., LachenbruchP. A. Rank fests for censored
randomized block designs. — B, 1981, 68, 427—435; Dowton F. — B,
1976, 63, 137—141.
783. Z a r J. H. Significance testing of the Spearman rank correlation coeffici-
ent. — JASA, 1972, 67, 578—580; Addendum: Otten A. — JASA, 1973, 68,
585.
784. Gupta S., Panchapakesan S. Multiple Decision Procedures: Theory
and Methodology of Selecting and Ranking Populations. — N. Y. e. a.: Wiley,
1979, XXV, 573 p.
785. Jensen D. R., Hui Y. V. Efficiency of Friedman’s Xr - test under depen-
dence. — JASA, 1982, 77, 384, 468—474.
786. Pratt J., Gibbons J. D. Consept of nonparametric theory I Springer
ser. in statist. Berlin: Springer, 1981. 480 p.
787. Готтсданкер P. Основы психологического эксперимента / Пер. с англ.
М., Изд-во Моск, ун-та, 1982. 463 с.
788. Bhattacharya Р. К., Gastwirth J. L„ Wright A. L. Two
modified Wilcoxon tests for symmetry about an uncnown location parame-
ter.—B„ 1982, 69.
789. Robertson T., Wright F. T. Testing for ordered alternatives, with
increased presion in one of the samples. — B., 1982, 69, 575—586.
790. Robinson J. Saddlepoint approximations for permutation tests and
confidence intervals. — JRSS (B), 1982, 44, 91—101.
791. Eplett E. J. R. Two Mann-Whitney type rank tests. — JRSS (B), 1982,
44, 270—286.
792. Conover W. J., Johnson M. E., Johnson M. M. A comparative
study of tests for homogeneity of variances, with applications to the outer
continental shelf bidding data.—T, 1981, 23, 351—361.
793. Тюрнн Ю. H. Ранговое оценивание. — В кн.: Тезисы докл. II Весе,
школы «Программно-алгоритмическое обеспечение прикладного многомерно-
го статистического анализа». Ереван, 1983.
ПЕРЕЧЕНЬ
СОКРАЩЕНИЙ НАЗВАНИЙ
ПЕРИОДИЧЕСКИХ ИЗДАНИЙ
АТ — Автоматика и телемеханика
ВК — Вопросы кибернетики, периоди-
ческое издание Научного совета по
комплексной проблеме «Кибернети-
ка» АН СССР
ДАН — Доклады АН СССР
ЗНС ЛОМИ — Записка научных се-
минаров Ленинградского отделения
Математического института им.
В. А. Стеклова АН СССР
ЗЛ — Заводская лаборатория
ИТК — Изв. АН СССР. Техническая
кибернетика
МК — Серия «Математика, киберне-
тика», Новое в жизни, пауке и
технике, изд-во «Знание»
ТВМС — Теория вероятностей и ма-
тематическая статистика, Киев,
изд-во Киевского ун-та. Сб. статей
ТВП — Теория вероятностей и ее
применения
УЗПУ — Уч. зап. Пермского ун-та
УЗС — Ученые записки по статисти-
ке, АН СССР
AISM — Annals of the Institute of
Statistical Mathematics
ACM TOMS — ACM ’> Transactions
on Mathematical Software
AJS — Australian Journal of Statis-
tics
AM — Aplikace matemaliky
AMS — Annals of Mathematical Sta-
tistics
AmS — The American Statistician
AP — Annals of Probability
ApS — Applied Statistics (JRSS, C)
AS — Annals of Statistics
В — Biometrika
BJ — Biometrical Journal
BJMSP — British Journal of Mathe-
matical and Statistical Psychology
Bs — Biometrics
BZ — Biometrische Zeitschrift (BJ —
Biometrical Journal)
CASM — Communications of the ACM
(Association for Computing Machi-
nery)
CJ — Computer Journal
CJS —Canadian Journal of Statistics
CMUC — Commentationes mathema-
tical Universitatis carolinae
CS (A, B) — Communications in Sta-
tistics (pt. A, B)
pt. A — Theory and Method
pt. В — Simulation and Computa-
tion
CSAB — Calcutta Statistical Associa-
tion Bulletin
E — Estadistica
EPM — Educational & Psychological
Measurement
IM — Indagationes Mathematical
(Holland)
IMSB — Institute Mathematical Sta-
tistics Bulletin
ISR — International Statistical Re-
view
JAP—Journal of Applied Probability
JASA — Journal of the American Sta-
tistical Association
JISA — Journal of the Indian Statisti-
cal Association (BOMBAY)
JMA—Journal of Multivariate Analy-
sis
JMP — Journal of Mathematical Psy-
chology
JQC — Journal Quality Control
JRNBS— Journal of Research of the
National Burean of Standarts, ser.
B, D
JRSS (А, В, C) — Journal of the
Royal Statistical Society (series A,
В, С); C —Applied Statistics (ApS)
1 Association for Computing Machinery.
514
JSCS — Journal of Statistical Compu-
tation and Simulation
JSPI — Journal of Statistical Plan-
ning and Inference
MK — Metrika
MOS — Mathematische Operationsfor-
schung und Statistik; ser. Statistik
P — Psychometrika
PCPS — Proceedings of the Cambrid-
ge Philosophical Society
PKNAWA — Proceedings Koninklijke
nederlandse akademie van wetersc-
happen; ser. A (Mathematical Scien-
ces)
RSA— Revue de statistique appliquee
RSAR — Reports of Statistical Appli-
cation Research Union of Japanese
Scientists & Engineers
S (А, В, C) — Sankhya. Indian Jour-
nal of Statistics (ser. А, В, C)
SAJ — Skandinavian Actuarial Jour-
nal
SH — Statistische Hcfte (Frankfurt
am A'lain)
SIAMJAM — SIAM Journal of Appli-
ed Mathematics
SIAMJSSC — SIAM Journal of Scien-
tific and Statistical Computing
SIAMR — SIAM Review
SJSTA — Skandinavian Journal of
Statistics Theory and Applications
SN — Statistica neerlandica
SSMH — Studia scientiarum mathe-
maticarum hungarica
St — Statistician
T — Technometrics
TEIO — Trabajos de estadistica у de
investigacion operativa
TM —Tru Mathematics
ZWVG—Zeitschrift fur Wahrscheinlich-
keitstheorie und vcrwandte Gcbiete
Реферативные журналы:
РЖМ — Реферативный журнал «Ма-
тематика», раздел «Теория вероят-
ностей и математическая статисти-
ка» (12 номеров в год)
MR — Mathematical Reviews. Provi-
dence, R. I. (12 номеров в год)
STMA — Statistical Theory and
Method Abstracts (4 номера в год)
ZMG — Zentralblatt fur Mathematik
und ihre Grcnzgebiete. Berlin e. a.,
Springer-Verlag (20 номеров в
год)
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к русскому изданию. О непараметрнческом подходе как си-
стеме .......................................................... 5
Предисловие..................................................... 14
Вступление.......................................................17
Глава 1. Предварительные сведения...............................19
§ 1.1. Введение.............................................19
§ 1.2. Замысел книги........................................21
§ 1.3. Организация и структурирование материала.............25
Глава 2. Задача о дихотомических данных.........................32
§ 2.1. Биномиальный критерий................................32
§ 2.2. Оценка вероятности успеха............................40
§ 2.3. Доверительный интервал для вероятности успеха (Клоппер —
Пирсон).....................................................41
Глава 3. Одновыборочиая задача о положении (сдвиге).............45
Анализ повторных парных наблюдений с помощью знаковых рангов 46
§ 3.1. Свободный от распределения критерий знаковых рангов
(Уилкоксон).................................................46
§ 3.2. Оценка, связанная со статистикой знаковых рангов Уилкок-
сона (Ходжес—Леман)........................................ 53
§ 3.3. Свободный от распределения доверительный интервал, осно-
ванный иа знаковом ранговом критерии Уилкоксона (Тьюки) 55
Анализ повторных парных наблюдений с помощью знаков...........58
§ 3.4. Свободный от распределения критерий знаков (Фишер) ... 59
§ 3.5. Оценка, связанная со статистикой знаков..............65
§ 3.6. Свободный от распределения интервал, основанный на кри
терни знаков (Томпсон, Савар) ............................. 68
Данные одной выборки..........................................70
§ 3.7. Методы, основанные на статистике знаковых рангов.....70
§ 3.8. Методы, основанные на статистике знаков..............72
§ 3.9. Асимптотически свободный от распределения критерий симме-
трии (Гупта)................................................76
§ 3.10. Сравнение эффективностей (одновыборочные методы опре-
деления положения (сдвига) и методы, предназначенные для
повторных пар)..............................................82
Глава 4. Двухвыборочиая задача о положении (сдвиге).............85
§ 4.1. Свободный от распределения критерий ранговых сумм (Уил-
коксон) ....................................................86
§ 4.2. Оценка, связанная со статисткой ранговой суммы Уилксона
(Ходжес—Леман)..............................................93
§ 4.3. Свободный от распределения доверительный интервал, ос-
нованный на критерии ранговых сумм Уилксона (Мозес) . . 96
§ 4.4. Эффективности (двухвыборочные методы для сдвига) .... 100
516
Глава 5. Двухвыборочная задача о рассеянии (масштабе)............101
Медианы ивестны или равны......................................101
§ 5.1. Свободный от распределения ранговый критерий (Ансари-
Брэдли) .....................................................101
Медианы неизвестны и неравны....................................НО
§ 5.2. Свободный от распределения критерий, похожий на ранго-
вый (Мозес)...................................................ПО
§ 5.3. Оценка, связанная с похожим на ранговый критерием Мозеса
а а к).......................................................116
эдный от распределения доверительный интервал, ос-
нованный на похожем на ранговый критерии Мозеса (Шорак) 117
§ 5.5. Асимптотически свободный от распределения критерий, ос-
нованный на статистике «складного ножа» (Миллер) . . . .119
§ 5.6. Эффективности (двухвыборочных методов в задаче о рассея-
нии (масштабе))..............................................128
Глава 6. Однофакторные таблицы дисперсионного анализа............130
§ 6.1. Свободный от распределения критерий (Краскел—Уоллис) 131
§ 6.2. Свободный от распределения критерий для альтернатив с
упорядочением (Джонкхиер, Терпстра)..........................136
§ 6.3. Свободные от распределения множественные сравнения, осно-
ванные иа суммах рангов Краскела—Уоллиса.....................141
А. Сравнение всех обработок...................................141
Б. Сравнение обработок с контролем .......................... 146
§ 6.4. Оценка контраста, основанная на двухвыборочных оценках
Ходжеса—Лемана (Спётволль)...................................150
§ 6.5. Эффективность (методов однофакторного дисперсионного
анализа).....................................................153
Глава 7. Двухфакторные таблицы дисперсионного анализа...........154
Анализ, основанный на ранговых суммах Фридмана................154
§ 7.1. Свободный от распределения критерий (Фридман, Кендэл и
Бэбингтон Смит)..............................................155
§ 7.2. Свободный от распределения критерий для альтернатив с
упорядочением, основанный на ранговых суммах Фридмана (Пейдж) 163
§ 7.3. Свободные от распределения множественные сравнения, осно-
ванные на ранговых суммах Фридмана...............................168
А. Сравнение всех обработок...................................168
Б. Сравнение обработок с контролем .......................... 172
§ 7.4. Оценка контраста, основанная на одновыборочных оценках
медиан (Доксам)..............................................175
Методы, связанные со знаковыми рангами Уилкоксона..............178
§ 7.5. Асимптотически свободный от распределения критерий (Доксам) 178
§ 7.6. Асимптотически свободный от распределения критерий для
альтернатив с упорядочением, основанный на знаковых рангах
(Холлендер)..................................................183
§ 7.7. Асимптотически свободные от распределения множественные
сравнения, основанные на знаковых рангах...............187
А. Сравнение всех обработок..................................187
§ 7.8. Оценка контраста, основанная на одновыборочных оценках
Ходжеса—Лемана (Леман).......................................193
§ 7.9. Эффективности (методов двухфакторного дисперсионного
анализа).....................................................197
Глава 8. Задача о независимости..................................199
§ 8.1. Свободный от распределения критерий независимости (Кендэл) 199
§ 8.2. Оценка, связанная со статистикой Кеидэла...............209
§ 8.3. Асимптотически свободный от распределения доверительный
интервал, основанный на статистике Кендэла (Нетер) .... 209
§ 8.4. Эффективность (критерии независимости).................213
Глава 9. Задачи о регрессии и угле наклона..............................214
Одна линия регрессии..............................................214
§9.1. Свободный от распределения критерии для углового коэф-
фициента (Тейл).................................................215
§ 9.2. Оценка, связанная со статистикой Тейла (Тейл)............219
§ 9.3. Свободный от распределения доверительный интервал, осно-
ванный на критерии Тейла (Тейл).........................221
Две линии регрессии...............................................222
§ 9.4. Свободный от распределения критерий параллельности двух
регрессионных прямых............................................222
§ 9.5. Оценка, связанная со статистикой Холлендера..............227
§ 9.6. Свободный от распределения доверительный интервал, основан-
ный на критерии Холлендера......................................229
§ 9.7. Эффективность (регрессионные процедуры для углов наклона) 231
Глава 10. Критерии, сконструированные для обнаружения произвольных
альтернатив..................................................232
§ 10.1. Свободный от распределения критерий однородности двух
выборок (Колмогоров—Смирнов)..........................232
§ 10.2. Свободный от распределения критерий независимости (Хёф-
дннг).......................................................242
§ 10.3. Свободный от распределения критерий двумерной симметрии
(Холлендер).................................................250
§ 10.4. Свободный от распределения критерий «новое лучше старо-
го (НДС)» (Холлендер—Прошан)................................260
§ -10.5 . Эффективность (критерии, построенные для обнаружения
произвольных альтернатив)...................................265
Приложения....................................................267
Приложение А. Таблицы и номограммы......................267
Приложение Б. Глоссарий...................................444
Библиография..................................................478
Дополнительная библиография...................................497
Перечень сокращений названий периодических изданий............514
Холлендер М., Вулф Д.
Х72 Непараметрические методы статистики / Пер. с англ.
Д. С. Шмерлинга; Под ред. 10. П. Адлера и Ю. Н. Тюрина;
Предисл. Ю. П. Адлера, Ю. Н. Тюрина и Д. С. Шмерлин-
га. — М.: Финансы и статистика, 1983. — 518 с. ил. —
(Б-чка иностр, книг для экономистов и статистиков).
4 р. 30 к.
Книга представляет собой руководство по непараметрической статистике для
пользователей. Методы ненараметрнческой статистики обладают обширной об-
ластью приложения, математической простотой и доступностью при довольно
высокой эффективности. Рассматривается, в частности, непарамстрнческий ана-
лог известного метода наименьших квадратов. Около половины книги занимают
тщательно подобранные таблицы.
Для исследователей и практиков — статистиков, экономистов, социологов,
специалистов других отраслей, использующих статистические методы.
1702060000—139
ОДБК 22.172
010(01)—83
М. Холлендер, Д. Вулф
НЕПЛРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ
Книга одобрена па заседании редколлегии серин «Библиотечка
иностранных книг для экономистов и статистиков» 30.10.80
Зав. редакцией А. В. Павлюков
Редактор К. М. Чижевская
Мл. редакторы И. Н. Горина, О. Б. Степанченко
Техн, редактор К. К. Букалова, Л. Г. Челышева
Корректоры Т. М. Васильева, 3. С. Кандыба н Н. П. Сперанская
Худож. редактор О. Н. Поленова
ИБ 1234
Сдано в набор 16.09.82. Подписано в печать 15.09.83.
Формат 60Х90'/1б- Бум. тип. № 2. Гарнитура «Литературная».
Печать высокая. Усл. п. л. 32,5. Усл. кр.-отт. 32,81. Уч.-изд.
л. 34,46. Тираж 5000 экз. Заказ 1307. Цепа 4 р. 30 к.
Издательство «Финансы н статистика»,
101000, Москва, ул. Чернышевского, 7
Московская типография № 4 Союзполпграфпрома
при Государственном комитете СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торгД^йи
129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 46