Автор: Кнут Д.Э. Грэхем Р. Паташник О.
Теги: приборы, устройства, аппараты с механизмами передачи или с подвижными механизмами математика информатика дискретная математика конкретная математика
ISBN: 5-03-001793-3
Год: 1998
Текст
Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник
КОНКРЕТНАЯ
МАТЕМАТИК А
Основание информатики
Перевод с английского
\В.В.Походзея\
и А. В. Ходулёва
под редакцией
А. В. Ходулёва
МОСКВА «МИР» 1
CONCRETE
MATHEMATICS
A Foundation for Computer Science
Second Edition
This printing incorporates the final corrections made in 1998
Ronald L. Graham
AT&T Bell Laboratories
Donald E. Knuth
Stanford University
Oren Patashnik
Center for Communications Research
ADDISON-WESLEY An Imprint of Addison Wesley Longman,
Reading, Massachusetts Harlow, England Menlo Park, Calif<
Berkeley, California Don Mills, Ontario Sydney
Bonn Amsterdam Tokyo Mexico City
УДК 681.142.2
ББК 22.19
Г75
Переводчики: |Б. Б. Походзей| (предисловие, значения обозначе-
обозначений, гл. 1-6, приложения А, С), А. Б. Ходулёв (гл. 7-9, приложе-
приложения А, С)
Грэхем Р., Кнут Д., ПаташникО.
Г75 Конкретная математика. Основание информатики: Пер.
с англ. — М.: Мир, 1998. —703 с, ил.
ISBN 5-03-001793-3
Название этой оригинальной как по содержанию, так и по форме книги
знаменитых американских математиков можно расшифровать как КОНти-
нуальная и дисКРВТНАЯ математика. Прообразом книги послужил раз-
раздел „Математическое введение" первого тома фундаментальной моногра-
монографии Д. Кнута „Искусство программирования для ЭВМ" (М.: Мир, 1976).
Бе назначение — дать читателю технику оперирования с дискретными объ-
объектами, аналогичную технике для непрерывных объектов. Название книги
можно понимать и буквально — обучение общим методам ведется на много-
многочисленных конкретных примерах и упражнениях разной степени сложно-
сложности. Все упражнения снабжены ответами.
При переводе на русский язык учтены исправления авторов 1998 года.
Книгу, без сомнения, можно рекомендовать всем изучающим и применя-
применяющим дискретную математику и информатику. Она раскрывает тайну одно-
одного феномена американского образования — как превращать малограмотных
школьников в прекрасных математиков.
ББК 22.19
Издание осуществлено при поддержке Российского фонда
фундаментальных исследований по проекту № 97-01-14010
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001793-3 (русск.)
ISBN 0-201-55802-5 (англ.)
© 1994, 1989 by Addison-Wes!
Company, Inc.
© перевод, jB. В. Походзей|, А. В. Ходулёв,
1998
© оформление, «Мир», 1998
Оглавление
От Фибоначчи до Эрдёша 7
Предисловие 8
К русскому изданию 14
Значения обозначений 15
Возвратные задачи 17
1.1 Задача о ханойской башне 17
1.2 Задача о разрезании пиццы 21
1.3 Задача Иосифа Флавия 25
Упражнения 34
Исчисление сумм 39
2.1 Обозначения сумм 39
2.2 Суммы и рекуррентности 43
2.3 Преобразование сумм 48
2.4 Кратные суммы 52
2.5 Общие методы суммирования 60
2.6 Исчисление конечного и бесконечного 66
2.7 Бесконечные суммы 76
Упражнения 83
Целочисленные функции 88
3.1 Пол/потолок: определения 88
3.2 Пол/потолок: применения 91
3.3 Пол/потолок: рекуррентности 101
3.4 'mod': бинарная операция 104
3.5 Пол/потолок: суммы 108
Упражнения 117
Элементы теории чисел 125
4.1 Отношение делимости 125
4.2 Простые числа 129
4.3 Простые примеры 131
4.4 Факториальные факты 135
4.5 Взаимная простота 139
4.6 Отношение сравнимости 148
4.7 Независимые остатки 151
4.8 Дополнительные примеры 154
4.9 Фи- и мю-функции 157
Упражнения 169
Биномиальные коэффициенты 178
5.1 Основные тождества 178
5.2 Необходимые навыки 199
6 ОГЛАВЛЕНИЕ
5.3 Специальные приемы 213
5.4 Производящие функции 224
5.5 Гипергеометрические функции 232
5.6 Гипергеометрические преобразования 245
5.7 Частичные гипергеометрические суммы 252
5.7 Механическое суммирование 259
Упражнения 271
6 Специальные числа 287
6.1 Числа Стирлинга 287
6.2 Числа Эйлера 297
6.3 Гармонические числа 303
6.4 Гармоническое суммирование 309
6.5 Числа Бернулли 313
6.6 Числа Фибоначчи 322
6.7 Континуанты 333
Упражнения 341
7 Производящие функции 353
7.1 Теория домино и размен 353
7.2 Основные маневры 364
7.3 Решение рекуррентных соотношений 371
7.4 Специальные производящие функции 385
7.5 Свертки 387
7.6 Экспоненциальные производящие функции 399
7.7 Производящие функции Дирихле 405
Упражнения 407
8 Дискретная вероятность 418
8.1 Определения 418
8.2 Математическое ожидание и дисперсия 424
8.3 Производящие функции случайных величин 432
8.4 Бросание монеты 438
8.5 Хеширование 448
Упражнения 464
9 Асимптотика 477
9.1 Иерархия 478
9.2 Символ О 481
9.3 Операции с О 488
9.4 Два асимптотических приема 502
9.5 Формула суммирования Эйлера 508
9.6 Завершающее суммирование 515
Упражнения 529
А Ответы к упражнениям 537
В Список литературы 651
С Первоисточники упражнений 684
Указатели 689
Именной указатель 689
Предметный указатель 695
Указатель таблиц 703
От Фибоначчи до Эрдёша
ТЕРМИН CONCRETE (означающий также „бетонный") образо-
образован слиянием слов cONtinous и disCRETE. Авторы, избегая воды
обобщений, на конкретных примерах обучают читателя методам
исследования как дискретных, так и непрерывных систем.
Примеры учат не меньше, чем правила. И. М. Гельфанду при-
приписывается высказывание: „Теории приходят и уходят, а примеры
остаются" „Конкретная математика" — это и есть тот сухой оста-
остаток, который сохраняется при всех поворотах моды и составляет
необходимую часть ремесла всякого математика.
Созданная Ньютоном и Эйлером, Бернулли и Гауссом, Лейб-
Лейбницем и Дирихле, она оказывается вечно юной и вновь возрожда-
возрождается следующими поколениями математиков.
Настоящая книга представляет собой попытку учебного из-
изложения ряда действительно фундаментальных математических
фактов. Издание ориентировано на потребителя, хотя и теорети-
теоретики, несомненно, найдут в нем много полезного. Очевидная непол-
неполнота курса, отражающая личные вкусы авторов, является скорее
достоинством, чем недостатком.
Книгу, без сомнения, можно рекомендовать всем работающим
математикам и всем студентам и пользователям математики. Она
раскрывает тайну одного феномена американского образования —
как превращать малограмотных школьников в прекрасных мате-
математиков.
— В.Арнольд, 1998
Посвящается Леонарду Эйлеру A707-1783)
Предисловие
В ОСНОВУ ЭТОЙ КНИГИ положен одноименный курс лекций,
который ежегодно читается в Станфордском университете, начи-
начиная с 1970 года. Каждый год его слушателями становятся око-
около пятидесяти человек — студентов предпоследнего и последнего
курсов, но, в основном, дипломников,—а ряд наших выпускни-
выпускников уже начал насаждать подобные курсы и в других местах.
Так что настала, видимо, пора ознакомить с материалами курса
более широкую аудиторию (включая младшекурсников).
Конкретная математика зарождалась в смутное и неспокой-
неспокойное десятилетие. В те бурные годы казавшиеся незыблемыми
ценности постоянно подвергались сомнениям:' студенческие го-
городки превращались в очаги жарких дискуссий. Оспаривались
сами учебные программы, и математика не стала исключением.
Как раз в то время Джон Хаммерсли написал полемическую ста-
статью „О снижении уровня математической подготовки в школах
и университетах благодаря 'современной математике' и подобной
ей жидкой интеллектуальной похлебке" [330]; другие обеспокоен-
обеспокоенные математики [279] даже задавались вопросом: „Можно ли спа-
спасти математику?" Когда один из авторов настоящей книги за-
задумал серию книг под названием Искусство программирования
для ЭВМ, то при написании первого тома он (Д. Э.К.) обнару-
обнаружил, что в его арсенале отсутствуют важные математические
инструменты: математика, которая требовалась для доскональ-
досконального, обоснованного истолкования компьютерных программ, со-
совершенно отличалась от той, которую автор изучал в колледже
в качестве профилирующей дисциплины. Поэтому он ввел новый
курс, содержащий материал, который он, в свое время, предпочел
бы прослушать сам.
С самого начала название курса — „конкретная математика" —
подразумевало его противопоставление „абстрактной математи-
математике", поскольку конкретные классические результаты стремитель-
стремительно вымывались из современного математического образования
новой волной абстрактных идей, популярно именовавшихся „но-
„новой мат'кой*! Абстрактная математика — чудесный предмет, и в
ней нет ничего плохого: она красива, обща и полезна. Однако ее
приверженцы впали в заблуждение, что вся остальная математи-
математика занимает более низкое положение и далее не заслуживает вни-
внимания. Погоня за обобщениями оказалась столь захватывающей,
что целое поколение математиков потеряло способность находить
„Круг читателей,
уровень изложения
и трактовка мате-
материала — такого ро-
рода вопросы обычно
обсуждаются в
предисловиях"
-П.Р.Халмош[328]
„Отдельные лица
приобретают де-
дешевый авторитет,
оснастив свою речь
жаргоном: они мо-
могут проповедовать и
выставлять напоказ
поверхностные
суждения. Но от
математиков-про-
математиков-профессионалов тре-
требуются не их раз-
разглагольствования и
даже не степень их
осведомленности в
тех или иных мате-
математических вопро-
вопросах, а готовность
применять свои зна-
знания и способность
реально решать воз-
возникающие на прак-
практике математиче-
математические задачи. Короче
говоря, мы ждем
дел, а не слов"
—Дж. Хаммерсли
[330]
ПРЕДИСЛОВИЕ 9
„Суть математи-
математики—в конкрет-
конкретных примерах
и конкретных
проблемах"
-П.Р.Халмош[327]
Одно из значений
слова „concrete"—
бетон.
-Ред.
„Учить абстракт-
абстрактному, не изучив
конкретного,—
непростительный
грех1.1
-З.А.Мелзяк[216]
Конкретная ма-
математика — мост
к абстрактной
математике.
„Более подгото-
подготовленный читатель,
пропустивший те
части, которые ка-
кажутся ему слишком
элементарными, мо-
может потерять боль-
больше, чем менее под-
подготовленный чита-
читатель, который про-
пропустит части, пока-
показавшиеся ему слиш-
слишком сложными"
-Д.Пойа[242]
прелесть в частностях, в том числе получать удовольствие от ре-
решения численных задач или оценить по достоинству роль матема-
математических методов. Абстрактная математика стала вырождаться и
терять связь с действительностью — математическое образование
нуждалось в конкретном противовесе для восстановления устой-
устойчивого равновесия.
Когда Д. Э.К. приступал к чтению курса конкретной мате-
математики в Станфорде, он объяснял несколько странное название
курса тем, что это попытка преподавания математики в стиле
„хард" вместо „софт" Он объявил, что вопреки ожиданию неко-
некоторых его коллег он не собирается излагать ни теорию агрегатов
Вейрштрасса, ни теорему вложения Стоуна, ни даже компакти-
фикапию Стоуна—Чеха. (Несколько студентов с факультета гра-
гражданского строительства поднялись со своих мест и потихоньку
покинули аудиторию.)
Хотя конкретная математика возникла в качестве реакции на
другие тенденции в математике, основные причины ее появления
скорее позитивны, нежели негативны. И по мере того как этот
курс продолжал занимать надлежащее место в учебном процес-
процессе, содержание предмета „отвердевало" и доказывало свою цен-
ценность в целом ряде новых приложений. Тем временем поступило
другое независимое подтверждение уместности подобного наиме-
наименования курса: 3. А. Мелзяк опубликовал два тома Справочника
по конкретной математике [216].
На первый взгляд, содержание конкретной математики может
показаться беспорядочным нагромождением уловок, но на деле —
это упорядоченный набор инструментов. Более того, методы кон-
конкретной математики обладают не только внутренним единством,
но и внешней привлекательностью. Когда другой автор этой кни-
книги (Р. Л. Г.) впервые прочитал данный курс в 1979г., студенты
пришли в такой восторг, что договорились продлить это удоволь-
удовольствие на следующий год.
Но что же в действительности представляет собой конкрет-
конкретная математика? Это смесь континуальной и дискретной мате-
математики. Еще более конкретно: это осмысленное оперирование ма-
математическими формулами с использованием определенного на-
набора методов решения задач. После того как вы, читатель, из-
изучите материал этой книги, все, что вам потребуется,—это ясная
голова, большой лист бумаги и сносный почерк для вычисления
ужасных сумм, решения запутанных рекуррентных соотношений
и выявления коварных закономерностей в данных. Вы овладеете
алгебраической техникой в такой степени, что зачастую вам бу-
будет проще получить точные результаты, нежели удовлетвориться
приближенными ответами, которые справедливы лишь в пределе.
Исчисление сумм, рекуррентные соотношения, элементарная
теория чисел, биномиальные коэффициенты, производящие фун-
функции, дискретная теория вероятностей и асимптотические мето-
методы — вот наиболее важные темы этой книги. При этом предпочте-
предпочтение отдается технической стороне дела, а не теоремам существо-
10 ПРЕДИСЛОВИЕ
вания или комбинаторным рассуждениям: наша цель состоит в
том, чтобы сделать каждого читателя настолько осведомленным
в дискретных операциях (типа вычисления функции „наибольше-
„наибольшего целого" или конечной суммы), насколько изучающие анализ
знакомы с непрерывными операциями (типа вычисления функ-
функции „абсолютной величины" или определенного интеграла).
Заметим, что этот перечень тем совершенно отличается от то-
того, что в наши дни обычно читается в качестве спецкурсов под
названием „Дискретная математика" Поэтому наш предмет ну-
нуждается в отличительном наименовании, и название „Конкретная
математика", право, не хуже любого другого.
Первоначальным руководством по конкретной математике для
станфордского курса служил раздел „Математическое введение"
из Искусства программирования для ЭВМ [139]. Но изложение
на тех 110 страницах было слишком сжатым, поэтому еще один
автор книги (О. П.) загорелся желанием составить длинный ряд
дополнений. Настоящая книга выросла на их почве: она одновре-
одновременно предваряет и дополняет материал „Математического введе-
введения" Некоторые вопросы повышенной сложности были опущены;
в то же время в книгу включено несколько тем, которых не было
раньше и без которых изложение было бы неполным.
Авторы с удовольствием объединили свои усилия для работы
над этой книгой, поскольку ее предмет начал зарождаться и об-
обретать свою собственную жизнь на наших глазах; кажется, что
книга написана как бы сама собой. Более того, отчасти разнород-
разнородные подходы, которые выбирал каждый из нас, оказались после
стольких лет совместной работы настолько плотно подогнанными
друг к другу, что мы не могли удержаться от ощущения, что эта
книга— своего рода манифест единодушно выбранного нами пути
занятий математикой. Поэтому мы полагаем, что наша книга про-
прозвучит одой математической красоте и очарованию, и надеемся,
что наши читатели разделят с нами хотя бы ? того удовольствия,
которое мы испытали при ее написании.
Поскольку книга родилась в университетской среде, мы по-
попытались передать дух аудитории наших дней, выбрав нефор-
неформальный стиль изложения. Есть люди, полагающие, что матема-
математика—это нудное занятие, которое всегда уныло и скучно; мы
же находим математику развлечением и не стыдимся признаться
в этом. К чему проводить четкую грань между делом и игрой?
Конкретная математика полна тому примеров: действия не все-
всегда доставляют удовольствие, но результаты могут быть удиви-
удивительно приятны. Радости и горести математической работы явно
присутствуют в этой книге, поскольку являют собой части наше-
нашего бытия.
Студенты всегда умнее своих учителей, поэтому мы попро-
попросили изучавших впервые этот материал откровенно поделиться
своим мнением в форме „граффити" на полях. Некоторые из их
маргиналий были попросту банальны, некоторые не лишены смы-
смысла: одни предупреждали о двусмысленностях или неясностях,
(Мы не настолько
дерзки, чтобы на-
назвать наш предмет
„Дистинуальная
математика")
„... конкретный
спасательный круг,
брошенный сту-
студентам, тонущим в
море абстракции"
— У. Готшалк
Мат. граффити:
N = 1 =^P = N
Килрой не был
Хоаром.
ПРЕДИСЛОВИЕ 11
К этому предмету
у меня всего лишь
маргинальный
интерес.
Это был самый
приятный предмет
из пройденных
мною. Но по ме-
мере продвижения
вперед было бы
неплохо подыто-
подытоживать материал.
Понятно: конкрет-
конкретная математика —
это муштра.
Домашнее задание
оказалось непо-
неподатливым, зато
я выучил уйму
нового. Каждый
час стоил того.
Домашние кон-
контрольные еще
пригодятся—
храните их.
Контрольные
оказались более
трудными, чем я
ожидал, глядя на
домашние задания.
другие были типичными комментариями умников с последних
рядов. Часть замечаний позитивна, часть — негативна, ценность
остальных равна нулю. Но все они, несомненно, отражают реаль-
реальные чувства читателей, что должно облегчить восприятие кни-
книги. (Вдохновляющая идея для подобных маргинальных пометок
почерпнута из Справочника &ая поступающих в Станфорд, где
официальной линии университета противопоставляются ремарки
покидающих его студентов. К примеру, справочник гласит: „Есть
несколько вещей, которые нельзя пропустить в таком аморфном
образовании, каковым является Станфорд", а на полях помечено:
„Образование, блин! Кругом одни псевдоинтеллектуалы" Спра-
Справочник: „Потенциал группы совместно проживающих студентов
безграничен" Граффити: „Станфордские общаги —это зверинец
без смотрителя")
На полях также цитируются знаменитые математики прошло-
прошлого—подлинные слова, которыми они сопровождали некоторые
свои фундаментальные открытия. Отчего представляется умест-
уместным свести воедино высказывания Лейбница, Эйлера, Гаусса и
других с высказываниями тех, кому предстоит продолжить их
дело в будущем? Математика по-прежнему продолжает привле-
привлекать своих приверженцев —из многих нитей сплетается богатое
полотно!
Книга содержит более 500 упражнений, разбитых на шесть
категорий:
• разминочные упражнения, которые должен попытаться
выполнить каждый читатель при первом чтении книги;
• обязательные упражнения, предназначенные для устано-
установления фактов, которые лучше всего усваиваются, если их вы-
выводить самостоятельно, а не читать о том, как это сделали
другие;
• домашние задания, представляющие собой задачи для уг-
углубленного понимания материала той главы, к которой они
относятся;
• контрольные работы, обычно охватывающие материал
двух и более глав одновременно,—в основном они предназна-
предназначены для выполнения дома (а не в аудитории при нехватке
времени);
• конкурсные задачи, превышающие возможности, которые
предполагаются у среднего студента, изучающего tfypc кон-
конкретной математики на базе этой книги,— они продвигают из-
изложение в важных направлениях;
• исследовательские проблемы, разрешимые или неразре-
неразрешимые человеком, но те из них, что предложены в книге,
наверное следует попробовать решить (без ограничения вре-
времени).
Ответы ко всем этим упражнениям приводятся в приложении А,
зачастую с дополнительной информацией о родственных резуль-
12 ПРЕДИСЛОВИЕ
татах. (Разумеется, „ответы" на исследовательские проблемы яв-
являются неполными, но даже в этих случаях могут оказаться
полезными частичные результаты или указания.) Читателям не
возбраняется заглянуть в ответы главным образом разминочных
задач, но только ПОСЛЕ серьезных попыток решить задачу без
заглядывания украдкой в ответы.
В приложении С мы постарались воздать должное первоис-
первоисточникам каждого упражнения, поскольку составление той или
иной поучительной задачи зачастую является весьма творческим
процессом с некоторой долей везения. К сожалению, у математи-
математиков сложилась традиция заимствовать упражнения без выраже-
выражения какой бы то ни было признательности; мы полагаем, что го-
гораздо лучше противоположная традиция, практикуемая, напри-
например, в шахматных книгах и журналах (где заведен порядок специ-
специально оговаривать авторов, дату и место появления оригиналь-
оригинальных шахматных задач). Как бы то ни было, мы не смогли вы-
выявить источники многих задач, ставших частью математического
фольклора. Если кому-нибудь из читателей известно о происхо-
происхождении того или иного упражнения, ссылка на которое нами про-
пропущена или неточна, мы были бы рады узнать об этом подробнее,
с тем чтобы восполнить подобный пробел в последующих изда-
изданиях этой книги.
Шрифт, которым набраны математические обозначения в кни-
книге—это новая разработка Германа Цапфа [159], заказанная Аме-
Американским математическим обществом и выполненная при со-
содействии комиссии, в состав которой вошли Б. Битон, Р. П. Боас,
Л. К. Дерет, Д. Э. Кнут, П.Мёрдок, Р. С. Пале, П.Ренц, Э.Свен-
Э.Свенсон, С. Б. Уидден и У. Б. Вульф. Основная идея дизайна Цапфа —
отразить особенности написания математических знаков идеаль-
идеальным почерком. Рукописный стиль в отличие от механического
более естествен, поскольку математические формулы обычно вы-
выходят из-под карандаша, ручки или куска мела. (Примером одно-
одного из фирменных знаков этого нового дизайна является начерта-
начертание символа нуля, 'О1, который слегка заострен сверху, поскольку
рукописный нуль редко закругляется в исходной точке гладко.)
Буквы расположены прямо, а не наклонно, с тем чтобы нижние
и верхние индексы, а также штрихи, было легче совмещать с
обычными символами. Новое семейство шрифтов получило на-
название A MS Euler в честь великого швейцарца Леонарда Эйле-
Эйлера A707-1783), открывшего так много в математике из того, что
мы сегодня знаем. Алфавиты AMS Euler включают в себя тек-
текстовые (Аа ВЬ Сс... Хх У у Zz), готические B1а Sb Сс... Э?у Щ Зз)
и рукописные прописные (Л Ъ G... X У Z) буквы, а также грече-
греческие буквы (АаВC Гу.. .ХхЧ'ф Clcu) и спецзнаки типа р и К. Нас
особенно радует возможность торжественно представить эйлеро-
эйлерово семейство шрифтов в нашей книге, поскольку дух Леонарда
Эйлера живет поистине на каждой ее странице: конкретная ма-
математика—это эйлерова математика!
Авторы чрезвычайно признательны Андрею Бродеру, Эрнсту
Лодыри могут
сдать этот курс,
просто списывая
ответы, но обманут
они только себя.
Конкурсные зада-
задачи не рассчитаны
на студентов,
которые специ-
специализируются по
другим предметам.
Я не привык к
такому обороту.
ПРЕДИСЛОВИЕ 13
Дорогой проф.,
спасибо за A) ка-
каламбуры, B) со-
содержательность
предмета.
Не понимаю,
сможет ли то,
что я изучил,
когда-нибудь мне
пригодиться.
С этим предметом
у меня хватило
хлопот, но я знаю,
что он отточил
мои математиче-
математические и умственные
способности.
Случайному сту-
студенту следовало
бы держаться
подальше от этого
курса.
Мэйру, Эндрю и Фрэнсис Яо, внесшим значительный вклад в эту
книгу в те годы, когда они преподавали конкретную математи-
математику в Станфорде. Кроме того, мы выражаем 1024 благодарности
ассистентам, творчески подошедшим к записи происходившего в
аудитории каждый год и помогавшим составлять экзаменацион-
экзаменационные вопросы; их имена перечислены в приложении С. Эта книга,
представляющая в сущности компендиум всего ценного, прозву-
прозвучавшего на лекциях за шестнадцать лет, была бы невозможной
без их первоклассной работы.
И еще многие помогли этой книге стать реальностью. Напри-
Например, достойны похвалы студенты университетов Брауна и Раиса,
Колумбийского, Нью-Йоркского, Принстонского и Станфордско-
го университетов, внесшие вклад в отобранные граффити и ока-
оказавшие помощь в вылавливании ошибок первых вариантов этой
книги. Наши контакты с издательством Эддисон-Уэсли были осо-
особенно эффективны и плодотворны; в частности, мы хотим побла-
поблагодарить нашего издателя (Питер Гордон), технического директо-
директора (Бет Аронсон), дизайнера (Рой Браун) и редактора (Лин Дю-
Дюпре). Национальный научный фонд и Отделение военно-морских
исследований оказали нам неоценимую помощь. Ширли Грэхем
была воистину незаменима при составлении указателя. А сверх
того мы хотим поблагодарить наших жен (Фэн, Джилл и Эми)
за их терпение, поддержку, ободрение и советы.
Это второе издание отличается новым разделом 5.8, описы-
описывающим ряд важных идей, которые Дорон Зильбергер открыл
вскоре после выхода первого издания. Кроме того, исправления
к первому изданию встречаются почти на каждой странице.
Мы пытались создать безупречную книгу, но мы — небезу-
небезупречные авторы и поэтому призываем оказать содействие в ис-
исправлении допущенных 1^ми ошибок. Мы с признательностью
выплатим вознаграждение в сумме 2.56 доллара первому нашед-
нашедшему любую ошибку, будь то математическая, историческая или
типографская.
Мюррей Хилл, Нью Джерси,
Станфорд, Калифорния,
май 1988 и октябрь 1993
-Р. Л. Г.
Д.Э.К.
О. П.
К русскому изданию
Я С БОЛЬШИМ УДОВЛЕТВОРЕНИЕМ встретил известие о
том, что перевод нашей книги опубликован в стране, где дол-
долгое время жил и создал свои основополагающие работы Леонард
Эйлер, которому и посвящена книга.
Мне доставило подлинное удовольствие сотрудничество с Ири-
Ириной Маховой и в ее лице с издательством „Мир" которое длится
уже почти 20 лет. Было очень приятно увидеть, как элегантно
Андрей Ходулёв, Ольга Лапко и их коллеги адаптировали по-
полиграфические средства, разработанные мною для английского
языка, под русские полиграфические традиции.
Я хотел бы отдать дань памяти Бориса Походзея, внесшего
неоценимый вклад в перевод книги, работу над которым прервала
его внезапная кончина. Во время моего визита в Санкт-Петербург
в 1994 г. мы с Борисом посетили Александро-Невскую Лавру и
возложили цветы на могилу Леонарда Эйлера.
-Д.Э.Кнут, 1998
Значения обозначений
„Плохая система
обозначений может
сделать хорошее
изложение плохим,
а плохое—еще
худшим; лучшее
обозначение —
отсутствие обо-
обозначений"
-П.Р.Халмош
[327, с. 262].
(Добавл. перев.)
ЧАСТЬ СИМВОЛИКИ, используемой в этой книге (еще?) не ста-
стала нормой. Вот список обозначений, которые могут быть незна-
незнакомы читателям, изучавшим аналогичный материал по другим
книгам. В списке указаны номера страниц, где эти обозначения
разъясняются. (Ссылки на более стандартные обозначения см. в
предметном указателе в конце книги.)
Обозначение Смысл
lnx натуральный логарифм: loge x
lgx двоичный логарифм: log2x
log х десятичный логарифм: log! 0 х
[xj пол: max{ n | n ^ x, n — целое}
[Y| потолок: min{n | n ^ х,п —целое}
х mod -у остаток: х - у [х/у\
{х} дробная часть: х mod 1
У" f (х) бх неопределенная сумма
> f (х) бх определенная сумма
¦ Q
х- убывающая факториальная степень:
)
9tz
3z
Нп
f ^ (z)
возрастающая факториальная степень:
Г(х + п)/Г(х)
субфакториал:
•• + (-! )nn!/n!
действительная часть: х, если z = х + vy
мнимая часть: -у, если z = х + \у
гармоническое число: 1/1 Н Ь 1/п
обобщенное гармоническое число:
VIх Н h 1/пх
m-я производная функции f в точке z
Стр.
307
91
488
88
88
104
91
68
69
67,239
67,239
221
84
84
47
308
509
16 ЗНАЧЕНИЯ ОБОЗНАЧЕНИЙ
Г
m
С)
ат... ао)ъ
(VI-)
F
#A
[zn]f(z)
[a,p]
[m = n]
[m\n]
[m\\n]
[m_Ln]
число Стирлинга первого рода
(число „циклов")
число Стирлинга второго рода
(число „подмножеств")
число Эйлера
число Эйлера второго порядка
обозначение для ]T?L0
в системе счисления с основанием b
континуант (К-многочлен)
гипергеометрическая функция
мощность: количество элементов
в множестве А
коэффициент при zn в разложении f (z)
замкнутый интервал:
множество {х | а ^ х ^ C}
1 , если та = п,
О в противном случае*
1, если та нацело делит п,
О в противном случае*
1, если m напросто делит п,
О в противном случае*
1, если m взаимно просто с п,
О в противном случае*
289
288
297
300 В толковом учеб-
учебнике по конкрет-
28 ной математике
не обойтись без
сбивающего с
толку списка
обозначений.
334
233
58
224
95
42
125
171
139
*В общем случае, если S —некоторое утверждение, которое может
быть истинно или ложно, квадратно-скобочное обозначение [S]
означает 1, если S истинно, и 0 в противном случае.
Повсюду в книге мы используем одинарные кавычки ('...')
для выделения текста, как он пишется, а двойные кавычки
(„...")—для фразы, как она произносится. Так, строка букв
'строка' называется "строка".
Выражение типа 'a/bc* означает то же самое, что и 1а/(Ъс)\
Кроме того, logx/log-y = (logx)/(log-у) и 2п! = 2(п!).
'Нестрока7 также
строка.
1
Возвратные задачи
В ЭТОЙ ГЛАВЕ В КАЧЕСТВЕ ПРИМЕРА рассматриваются три
задачи, по которым можно будет судить о том, что нас ожидает в
дальнейшем. Эти задачи имеют две общие черты: к ним неодно-
неоднократно обращались математики и решение каждой из них осно-
основано на идее возвратности (или рекуррентности), согласно
которой решение всей задачи зависит от решений той же самой
задачи меньших размеров.
Кто раньше этого
не видел, пусть
поднимет руку.
О'кей, осталь-
остальные могут сразу
перейти к соот-
соотношению (i.i).
Бог с ними, с золо-
золотыми, разобраться
бы с нашими,
конкретными.
1.1 ЗАДАЧА О ХАНОЙСКОЙ БАКЕНЕ
Рассмотрим сначала маленькую изящную головоломку под
названием ханойская башня, которую придумал французский
математик Эдуард Люка в 1883 г. Башня представляет собой во-
восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один
из трех колышков:
Задача состоит в том, чтобы переместить всю башню на один из
других колышков, перенося каждый раз только один диск и не
помещая больший диск на меньший.
Люка [209] связывал свою игрушку с мифической легендой о
значительно большей башне Брамы, которая, как утверждается,
состоит из 64 дисков чистого золота, а колышки представляют
собой три алмазных шпиля. При сотворении мира Всевышний
поместил диски на первый шпиль и повелел, чтобы жрецы пере-
18 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
местили их на третий в соответствии с предписанными правила-
правилами. По имеющимся сведениям жрецы трудятся над этой задачей
денно и нощно — как только они закончат, башня рассыплется в
прах и наступит конец света.
Не тотчас очевидно, что эта головоломка разрешима, но по
кратком размышлении (или предварительном знакомстве с дан-
данной задачей) убеждаемся, что это так. Тогда возникает следую-
следующий вопрос: какой способ самый оптимальный? То есть, какое
количество перемещений дисков является необходимым и доста-
достаточным для выполнения поставленной задачи?
Наилучший способ разрешить вопрос, подобный нашему,— не-
несколько обобщить его. Башня Брамы состоит из 64 дисков, а ха-
ханойская башня — из 8; посмотрим, что будет в случае п дисков.
Одно из преимуществ такого рода обобщения состоит в том,
что можно будет даже еще уменьшить размер задачи. И в са-
самом деле, на протяжении всей книги вы неоднократно сможете
убедиться, что полезно вначале рассмотреть крайние случаи.
Совершенно ясно, как перемещать башню, состоящую только из
одного или двух дисков, а после нескольких попыток становится
понятно, как перемещать башню из трех дисков.
Следующий шаг в решении задачи —выбор подходящего обо-
обозначения: обозначай и властвуй. Будем говорить, что Тп есть
минимальное число перекладываний, необходимых для переме-
перемещения п дисков с одного колышка на другой по правилам Люка.
Тогда Ti, очевидно, равно 1, а Т2 равно 3.
Можно получить дополнительную информацию, причем со-
совершенно бесплатно, если рассмотреть самый крайний случай:
ясно, что То = 0, поскольку для перемещения башни из п = О
дисков вообще не требуется ни одного перекладывания! Блестя-
Блестящие математики не стыдились впадать в крайности, потому что
если хорошенько разобраться в частных случаях (даже в совсем
тривиальных), легче постичь общие закономерности.
Но давайте теперь изменим точку зрения и попробуем поду-
подумать о главном — как переместить высокую башню? Эксперимен-
Эксперименты с тремя дисками показывают, что решающая идея состоит в
переносе двух верхних дисков на средний колышек; затем пере-
переносится третий диск и на него помещаются два других. Это дает
ключ к общему правилу перемещения п дисков: сначала мы пере-
перемещаем п — 1 меньших дисков на любой из колышков (что требу-
требует Tn_i перекладываний), затем перекладываем самый большой
диск (одно перекладывание) и, наконец, помещаем п— 1 меньших
дисков обратно на самый большой диск (еще Tn_i перекладыва-
перекладываний). Таким образом, п дисков (при п > 0) можно переместить
самое большее за 2ТП_1 + 1 перекладываний:
Тп ^ 2Тп_1 + 1 при п > 0.
В этой формуле фигурирует знак ' ^ ' вместо ' =', поскольку на-
наше построение показывает только, что достаточно 2Tn_i + 1 пе-
перекладываний; мы не доказали, что необходимо 2ТП_1 + 1 пере-
He впадая при
этом в крайности,
разумеется.
(Большинство
опубликованных
„решений" зада-
задачи Люка, вроде
содержащегося в
работе Аллардиса
и Фрейзера [6], не
объясняет, почему
Тп должно быть
z 2тп-1 +1.)
1.1 ЗАДАЧА О ХАНОЙСКОЙ БАШНЕ 19
кладываний. Быть может, какой-нибудь мудрец отыщет лучший
метод.
А действительно, нет ли более короткого пути? Оказывается,
нет. На некотором этапе мы обязаны переместить самый большой
диск. Когда мы это делаем, п — 1 меньших дисков должны нахо-
находиться на одном колышке, а для того чтобы собрать их вместе,
потребуется по меньшей мере Tn_i перекладываний. Самый боль-
большой диск можно перекладывать и более одного раза, если мы не
очень расторопны. Но после перемещения самого большого дис-
диска в последний раз мы обязаны поместить п — 1 меньших дисков
(которые опять должны находиться на одном колышке) обратно
на наибольший диск, что также требует Tn_i перекладываний.
Следовательно,
Тп ^ 2ТП_1 + 1 при п > 0.
Эти два неравенства вместе с тривиальным решением при п = 0
дают
Тп = 2ТП_1 + 1 при п > 0.
(i.i)
Постойте, постой-
постойте.. . Я видел это
слово раньше.
(Заметим, что уже известные нам значения "П = 1 и li = 3 согла-
согласуются с этими формулами. Особое внимание к крайним случа-
случаям не только способствовало выводу общей формулы, но и обес-
обеспечило удобным способом проверки, что мы не совершили глу-
глупой ошибки. Такие проверки будут особенно ценными, когда мы
отважимся на более рискованные маневры в последующих гла-
главах.)
Совокупность равенств типа (i.i) называется рекуррентно-
рекуррентностью (говорят также о возвратном соотношении или рекурсив-
рекурсивной зависимости). Она задается начальным значением и зависи-
зависимостью общего члена от предыдущих. Иногда мы будем назы-
называть рекуррентностью только выражение для общего члена, хотя
формально для полного задания рекуррентности необходимо еще
начальное значение.
Рекуррентность позволяет вычислять Тп для любого п, ка-
какое мы пожелаем. Но в действительности никто не захочет поль-
пользоваться для вычисления рекуррентностью, когда п велико — это
займет слишком много времени. Рекуррентность дает только кос-
косвенную, локальную информацию. Решение рекуррентного со-
соотношения — вот что доставило бы нам чувство глубокого удо-
удовлетворения. То есть мы хотели бы получить Тп в простой, ком-
компактной, „замкнутой форме", что позволило бы вычислить Тп
быстро даже при большом п. Располагая решением в замкну-
замкнутой форме, мы могли бы понять, что на самом деле представляет
собой Тп.
Итак, как же решить рекуррентное соотношение? Один из
способов состоит в угадывании правильного решения с последу-
последующим доказательством, что наша догадка верна. А наша самая
ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
большая надежда на угадывание решения — (снова) крайние слу-
случаи. Поэтому мы последовательно вычисляем Тз = 2 • 3 + 1 =7;
Т4 = 2-7+1 = 15; Т5 = 2-15 + 1 = 31; Т6 = 2-31 + 1 = 63. Ага! Это
определенно выглядит так, как если бы
Тп = 2П - 1 при п ^ 0.
A.2)
По крайней мере эта формула „работает" при п ^ 6.
Математическая индукция — это общий способ доказатель-
доказательства, что некоторое утверждение о целом числе п справедливо
при любом п ^ по. Сначала данное утверждение доказывается,
когда п принимает свое наименьшее значение, по; это называется
базой или основанием. Затем данное утверждение доказывается
для п > По, в предположении, что оно уже доказано для всех п
между По и п — 1 включительно; это называется индукцией или
индуктивным переходом. Такого рода доказательство позволя-
позволяет получить бесконечное число результатов при конечном объеме
работы.
Рекуррентность идеально подходит для математической ин-
индукции. Например, в нашем случае A.2) легко следует из (l.i):
база индукции тривиальна, поскольку То = 2° —1 = 0, а индуктив-
индуктивный переход выполняется для п > 0, если предположить справед-
справедливость A.2), когда п заменяется на п — 1:
Тп - 2ТП_! + 1 = 2BП - 1) + 1 = 2П - 1 .
Следовательно, A.2) справедливо с равным успехом при любом
п. Отлично! С поиском выражения для Тп благополучно покон-
покончено.
Однако с задачей браминов дело обстоит иначе — они по-преж-
по-прежнему покорно перекладывают диски и им придется еще изрядно
потрудиться, поскольку при п = 64 требуется 264 — 1 (пример-
(примерно 18 с восемнадцатью нулями) перекладываний. Даже работая с
фантастической скоростью одно перекладывание в микросекунду,
они затратят свыше 5000 веков для перемещения башни Брамы.
Сама же головоломка Люка несколько практичнее — она требует
28 — 1 = 255 перекладываний, которые при известной сноровке
можно выполнить приблизительно за четыре минуты.
Рекуррентность, связанная с ханойской башней, типична для
множества задач, которые возникают во всякого рода приложе-
приложениях. В процессе поиска выражения в замкнутой форме для не-
некоторой интересующей нас величины, подобной Тп, мы проходим
три стадии.
1 Рассмотрение крайних случаев. Это позволяет вникнуть в за-
задачу и помогает на стадиях 2 и 3.
2 Нахождение и доказательство математического выражения
для интересующей нас величины. В случае ханойской баш-
башни это рекуррентность (l.i), которая позволяет при заданной
высоте башни вычислить Тп для любого п.
Математическая
индукция до-
доказывает, что
можно подняться
по лестнице так
высоко, как мы
того пожелаем,—
для этого надо
доказать, что мож-
можно подняться на
нижнюю ступень-
ступеньку (база) и что с
каждой ступеньки
можно подняться
на следующую
(индукция).
А если найти
ошибку в этой
книге, то можно
получить даже
на 1 цент боль-
больше „стоимости"
ханойской башни.
— Перев.
1.2 ЗАДАЧА О РАЗРЕЗАНИИ ПИЦЦЫ 21
„Конечно, мы будем
учиться доказы-
доказывать, но будем
также учиться
догадываться"
-Д. Пойа,
[242, с. 15].
(Добавл. перев.)
Забавно, мы из-
избавляемся от
+1 в (i.i) путем
прибавления, а не
вычитания.
3 Нахождение и доказательство замкнутой формы для нашего
математического выражения. В случае ханойской башни это
решение рекуррентности A.2).
Именно третьей стадии мы будем уделять внимание на протяже-
протяжении всей книги. Порой будем перескакивать сразу через стадии 1
и 2, поскольку математическое выражение будет задано в каче-
качестве исходного. Но даже тогда мы будем сталкиваться с подза-
подзадачами, необходимость решения которых заставит нас проходить
все три стадии.
Наш анализ задачи о ханойской башне привел к правильному
ответу, но он требовал „индуктивного скачка"— мы полагались на
счастливую догадку об ответе. Одна из основных целей этой кни-
книги состоит в том, чтобы объяснить, как читатель может решать
рекуррентности, не являясь ясновидцем. Например, рекуррент-
рекуррентность (i.i) может быть упрощена прибавлением 1 к обеим частям
соотношений:
То
=1,
=2Tn_,+2
при п > 0.
A-3)
Теперь, если положить Un = Тп + 1, то получим
Uo = 1;
Un = 2Un_i при n > 0.
Не надо быть гением, чтобы обнаружить, что решение этой ре-
рекурсии есть просто Un = 2П; следовательно, Тп = 2П — 1. Даже
компьютер смог бы обнаружить это.
1.2 ЗАДАЧА О РАЗРЕЗАНИИ ПИЦЦЫ
Вторая выбранная нами задача имеет более ощутимый гео-
геометрический привкус: сколько кусков пиццы можно получить, де-
делая п прямолинейных разрезов ножом? Или более академично:
каково максимальное число Ln областей, на которые плоскость
делится п прямыми? Впервые эта задача была решена в 1826 г.
А пицца была швейцарским математиком Якобом Штейнером [356].
со швейцарским Снова начнем с рассмотрения крайних случаев, памятуя, что
сыром? начинать надо с самого крайнего. Плоскость без прямых —это
одна область, с одной прямой — две области, а с двумя прямыми —
четыре области:
1
Lo = 1 Li =2 L2 = 4
(Каждая прямая неограниченно продолжается в обоих направле-
направлениях.)
22 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Вы наверняка думаете, что Ln = 2П! Добавление новой прямой
попросту удваивает число областей. К сожалению, это неверно.
Мы могли бы достигнуть удвоения, если бы новая п-я прямая
рассекала каждую старую область на две части; разумеется, она
может рассекать старую область в лучшем случае на две части,
поскольку каждая из старых областей выпукла. (Прямой лини-
линией можно рассечь выпуклую область самое большее на две новые
части, которые также будут выпуклы.) Но когда добавляется тре-
третья прямая — жирная линия на нижнем рисунке — мы быстро об-
обнаруживаем, что она может рассекать самое большее три старые
области вне зависимости от того, как расположены первые две
прямые:
Область называ-
называется выпуклой,
если она целиком
содержит прямо-
прямолинейные отрезки,
соединяющие две
любые ее точки.
(Это не то, что
говорится в моем
словаре, но так
считают матема-
математики.)
Таким образом, 1_з = 4 + 3 = 7 —самое большее, что можно сде-
сделать.
А по некотором размышлении на ум приходит и подходящее
обобщение. Новая n-я прямая (при п > 0) увеличивает число
областей на к тогда и только тогда, когда рассекает к старых
областей, а рассекает она к старых областей тогда и только тогда,
когда пересекает прежние прямые в к — 1 различных местах. Две
прямые могут пересекаться не более чем в одной точке. Поэтому
новая прямая может пересекать п — 1 старых прямых не более
чем в п — 1 различных точках, и мы должны иметь k ^ п. Нами
установлена верхняя граница
Ln ^ Ln_i + п при п > 0.
Более того, легко показать по индукции, что в этой формуле мож-
можно достичь равенства. Мы просто проводим n-ю прямую так, что-
чтобы она не была параллельна никакой другой (следовательно, она
пересекает каждую из них) и так, чтобы она не проходила ни че-
через одну из имеющихся точек пересечения (следовательно, она
пересекает каждую из прямых в различных местах). Поэтому ис-
искомое рекуррентное соотношение имеет вид
Ln = Ln_i + n при n > 0.
A-4)
Уже известные значения Li, L2 и 1_з превосходно согласуются с
этим соотношением, так что мы его берем.
Теперь нам нужно решение в замкнутой форме. Мы могли бы
снова сыграть в „угадайку", но 1, 2, 4, 7, 11, 16,... не напоминает
ничего знакомого: поэтому попробуем применить другой подход.
1.2 ЗАДАЧА О РАЗРЕЗАНИИ ПИЦЦЫ 23
Развертывая?
Я бы сказал
„подставляя".
Зачастую можно разобраться в рекуррентности, „развертывая"
или „разматывая" ее всю до конца следующим образом:
Ln = Ln_!
n
Что-то Гауссу
приписывают
многовато —
либо он был
действительно
толковым, либо
имел толкового
пресс-секретаря.
Выть может, он
просто имел при-
привлекательную
внешность?
На самом деле,
Гаусса часто назы-
называют величайшим
математиком всех
времен. Поэтому
приятно, что мы
оказались в со-
состоянии понять
хотя бы одно из
его открытий.
= 1 + S
n ,
где Sn = 1 + 2 + 3 + • • • + (n - 1) + п.
Другими словами, Ln на единицу больше суммы Sn первых п по-
положительных целых чисел.
Поскольку величина Sn возникает сплошь и рядом, непло-
неплохо бы составить таблицу нескольких первых значений. Тогда мы
смогли бы с большей легкостью распознать такие числа, когда
они встретятся нам в дальнейшем:
п
Sn
1
1
2
3
3
6
4
10
5
15
6
21
7
28
8
36
9
45
10
55
11
66
12
78
13
91
14
105
Эти числа называются также треугольными числами, посколь-
поскольку Sn представляет собой число кеглей, расставленных треуголь-
треугольником в п рядов. Например, обычная четырехрядная расстановка
**Х**состоит из S4 = 10 кеглей.
Для вычисления Sn можно воспользоваться уловкой, до кото-
которой, как утверждается, Гаусс додумался в 1786 г., когда ему было
девять лет от роду [96] (см. также Эйлер [378, часть 1, §415]):
Sn =
Sn =
1
n
+
+ 3 +
+ (n-2) +
+ (n-1) + n
+ 2 + 1
2Sn = (n
(n
(n
(n
Мы просто складываем Sn с самой собой, записанной в обратном
порядке, так что сумма в каждой из п колонок справа равна п+1.
После упрощения имеем
n[n
при
0.
Ну вот мы и получили требуемое решение:
п(п + 1)
Ln = Ь I при n ^ 0.
A-5)
A.6)
Как специалисты, мы могли бы удовлетвориться этим выво-
выводом и рассматривать его в качестве доказательства, даже если
слегка отмахивались от выполнения „развертывания*1 и „обраще-
„обращения*! Но изучающие математику должны уметь действовать в со-
соответствии с более строгими стандартами—вот хороший повод
24 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
для строгого доказательства по индукции. Решительный индук-
индуктивный шаг —
Ln = Ln_! +n= Q(n-
u = \n[n
и теперь можно не сомневаться в справедливости замкнутой фор-
формы (i.6).
Между прочим, мы разглагольствуем о „замкнутых формах"
без точного определения, что мы под этим понимаем. Обычно это
и так достаточно очевидно. Рекуррентности типа (i.i) и A.4)
представлены в незамкнутой форме, ибо они выражают неко-
некоторую величину через самое себя, но их решения типа A.2) и
(i.6)—в замкнутой форме. Суммы вида 1 + 2 + • • • -f n запи-
записаны не в замкнутой форме, поскольку они грешат наличием
'•••'; но выражения вида п(п + 1 )/2 представлены в замкнутой
форме. Можно дать некое грубое определение типа следующе-
следующего: выражение для величины f (п) представлено в замкнутой
форме, если ее можно вычислить с помощью некоторого фик-
фиксированного числа „известных" стандартных операций, независи-
независимо от п. Например, выражения 2П — 1 и п{п + 1 )/2 представле-
представлены в замкнутой форме, поскольку они включают в себя только
сложение, умножение, деление и возведение в степень в явном
виде.
Общее число простых замкнутых форм ограничено, так что
существуют рекуррентности, которые не представимы в простых
замкнутых формах. Но если такие рекуррентности возникают по-
постоянно, демонстрируя свою важность,—мы пополняем свой ре-
репертуар новыми операциями; это может существенно расширить
диапазон задач, решаемых в „простой" замкнутой форме. К при-
примеру, произведение первых п целых чисел, п факториал, оказа-
оказалось настолько важным, что теперь все мы рассматриваем его как
основную операцию. Поэтому формула {п!' записана в замкнутой
форме, хотя эквивалентное ей выражение Ч -2-... -п' — нет.
А теперь небольшая вариация на тему прямых на плоскости:
предположим, что вместо прямых линий мы используем ломаные
линии, каждая из которых представлена одним „зигом" Каково
максимальное число Zn областей, на которые плоскость делится
п такими ломанными линиями? Можно ожидать, что Zn будет
примерно вдвое или, быть может, втрое больше, чем Ln. Но да-
давайте посмотрим:
Г3
Zi = 2 Z2 = 7
Из этих частных случаев, немного подумав, мы заключаем,
что ломаная линия подобна двум прямым с тем лишь отличием,
Если сомневае-
сомневаетесь — обратимся
к словам. Почему
„замкнутое" в про-
противоположность
„открытому1'?
Чему это должно
соответствовать
в наших умах?
Ответ: выражение
„замкнуто" если
оно не выражается
само через себя,
раскручиваясь
по спирали. Го-
Говорят допрос
закрыт"—он не
возникнет вновь.
Метафоры — ключ
к пониманию.
А,риг"—это на-
научный термин?
... а затем
передумав..
Подробности —
в упр. 18.
1.3 ЗАДАЧА ИОСИФА ФЛАВИЯ 25
что области сливаются, если „две" прямые не продолжать после
их пересечения:
Области 2, 3 и 4, которые были бы раздельны при наличии двух
прямых, превращаются в единую область в случае одной ломаной
линии, т. е. мы теряем две области. Однако если привести все в
надлежащий порядок — точка излома должна лежать „по ту сто-
сторону" пересечений с другими линиями,— то окажется, что это все,
что мы теряем; т. е. мы теряем только две области на одну линию.
Таким образом,
Zn = t-2n - 2n =
= 2п2 — п+1 при n ^ 0. A.7)
Сравнивая решения в замкнутой форме (i.6) и A.7I мы приходим
к выводу, что при большом п,
Zn - 2п2 ,
так что ломаные линии дают примерно в четыре раза больше
областей, чем прямые. (В последующих главах мы обсудим, как
анализировать приближенное поведение целочисленных функ-
функций при большом п. Символ '~' определен в разд. 9.1.)
(Увлекательную
историю этой
задачи обсужда-
обсуждают Арене [9, т. 2]
и Герштейн с
Каплански [70].
Самого Иосифа
[122] несколько
труднее понять.)
... и лишь поэто-
поэтому мы знаем его
историю.
1.3 ЗАДАЧА ИОСИФА ФЛАВИЯ
Последний из наших предварительных примеров предста-
представляет собой один из вариантов античной задачи, носящей имя
Иосифа Флавия — известного историка первого века. Существует
легенда, что Иосиф выжил и стал известным благодаря мате-
математической одаренности. В ходе иудейской войны он в составе
отряда из 41 иудейского воина был загнан римлянами в пеще-
пещеру. Предпочитая самоубийство плену, воины решили выстроить-
выстроиться в круг и последовательно убивать каждого третьего из жи-
живых до тех пор, пока не останется ни одного человека. Однако
Иосиф, наряду с одним из своих единомышленников, счел подоб-
подобный конец бессмысленным — он быстро вычислил спасительные
места в порочном круге, на которые поставил себя и своего това-
товарища.
В нашем варианте мы начнем с того, что выстроим в круг
п человек, пронумерованных числами от 1 до п, и будем исклю-
исключать каждого второго из оставшихся до тех пор, пока не уцеле-
26 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ет только один человек. Вот, к примеру, исходное расположение
при п = 10:
10
Порядок исключения — 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается
номер 5. Задача: определить номер уцелевшего, J(n).
Мы только что выяснили, что JA0) =5. Можно было бы пред-
предположить, что ](п) = п/2 при четном п, тем более, что случай
п = 2 подтверждает наше предположение: JB) = 1. Однако не-
некоторые другие частные случаи разочаровывают нас — предполо-
предположение нарушается при п = 4и п = 6.
п
J(n)
1
1
2
1
3
3
4
1
5
3
6
5
Придется вернуться к табличке и попробовать сделать лучшее
предположение. Гм-м ... Кажется, J(n) всегда будет нечетно. И в
самом деле, для этого имеется веское основание: первый обход по
кругу исключает все четные номера. К тому же, если само п чет-
четно, мы приходим к ситуации, подобной той, с которой начали, за
исключением того, что остается вдвое меньше людей и их номера
меняются.
Итак, допустим, что первоначально имеется 2п людей. После
первого прохода по кругу мы остаемся с номерами
1
Вот случай, когда
п = 0 не имеет
смысла.
Даже неудачная
догадка —непу-
—непустая трата време-
времени, поскольку она
помогает вникнуть
в задачу
и следующий проход будет начинаться с номера 3. Это все равно,
как если бы мы начинали с п людей, за исключением того, что
номер каждого уцелевшего удваивается и уменьшается на 1. Тем
самым
JBn) =2J(n)-l прип;>1.
Теперь можно быстро продвигаться к большим п. Например, нам
известно, что JA0) =5, поэтому
JB0) =2JA0)-l =2-5-1 = 9.
Аналогично, JD0) = 17, и вообще можно вывести, что JE-2m) =
2m+1 +1.
Вот в чем хи-
хитрость:
JBn) =
newNo{][n)),
где newNo{k) -
2k- 1.
1.3 ЗАДАЧА ИОСИФА ФЛАВИЯ 27
чет, нечет, почет, Ну, а как насчет нечетного случая? Оказывается, что в случае
учет ... 2п + 1 людей жертва с номером 1 уничтожается сразу после
жертвы с номером 2п, и мы остаемся с номерами
2п+1
2п
'-О:
J0)
JBn)
JBn + 1)
= 1 ,
= 2J(n) - 1
= 2J(n) + 1
при n J
при n J
и,
si.
Опять получили почти первоначальную ситуацию с п людьми,
но на этот раз номера уцелевших удваиваются и увеличиваются
на 1. Таким образом,
JBn + 1) = 2J(n) + 1 при n ^ 1.
Объединение этих уравнений с JA) = 1 дает рекуррентное соот-
соотношение, которое определяет J во всех случаях:
A.8)
Вместо получения }(n) из J(n — 1) это рекуррентное соотноше-
соотношение действует значительно более „эффективно" поскольку оно
каждый раз уменьшает величину п вдвое и более. Скажем, мож-
можно вычислить J(IOOOOOO), применяя (i.8) только 19 раз. Но мы
по-прежнему хотим найти выражение для J(n) в замкнутой фор-
форме, поскольку оно будет более информативным и позволит вы-
вычислять решение еще быстрее. В конце концов, это ведь вопрос
жизни или смерти.
Наше рекуррентное соотношение дает возможность очень бы-
быстро составить таблицу первых значений J(n). Быть может, оно
поможет нам так же быстро заметить закономерность и угадать
ответ:
п
J(n)
1
1
2
1
3
3
4
1
5
3
6
5
7
7
8
1
9
3
10
5
11
7
12
9
13
11
14
13
15
15
16
1
Вот оно\ Оказывается, если сгруппировать значения п по степе-
степеням 2 (в таблице эти группы отделены вертикальными линиями),
то в каждой группе J(n) всегда будет начинаться с 1, а затем уве-
увеличиваться на 2 . Итак, если записать п в виде n = 2m+l, где 2т —
наибольшая степень 2, не превосходящая n, a 1 —то, что остает-
остается, то решение нашего рекуррентного соотношения, по-видимому,
должно быть таким:
JBm +1) = 21 + 1 при m ^ 0 и 0 ^ I < 2
A-9)
(Заметим, что если 2Ш ^ п < 2m+1, то остаток I = п — 2т удовле-
удовлетворяет неравенству 0 ^ I < 2m+1 - 2m = 2m.)
28 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Теперь надо доказать (i.o,)- Как и прежде, мы будем исполь-
использовать индукцию, но на этот раз —индукцию по т. При т = О
имеем 1 = 0; таким образом, база для (l.g) сводится к равенству
JA) = 1, которое не вызывает сомнений. Индуктивный шаг со-
состоит из двух частей в зависимости от того, четно или нечетно I.
Если m > 0 и 2т + I = 2п, то I четно и
JBm +1) = 2JBm + 1/2) - 1 - 2B1/2 + 1) - 1 = 21 + 1
на основании (i.8) и индуктивного предположения; это как раз то,
что нам надо. Аналогичное доказательство проходит и в нечетном
случае, когда 2т +1 = 2п + 1. Можно было бы также заметить,
что из (i.8) следует соотношение
JBu + 1)-JBn) =2.
В любом случае индукция выполнена и справедливость (l.g) уста-
установлена.
С целью иллюстрации решения (l.g), вычислим JA00). В этом
случае 100 = 26 + 36, так что JA00) = 2-36 + 1 = 73.
Теперь, когда самое трудное позади (решена задача), осмо-
осмотримся немного: решение всякой задачи может быть обобщено
так, что его можно применить к более широкому кругу задач.
Раз уж нами освоена некая техника, поучительно присмотреться
к ней повнимательнее и выяснить, что еще можно получить с ее
помощью. Поэтому в оставшейся части данного раздела мы из-
изучим решение (l.g) и исследуем некоторые обобщения рекуррент-
рекуррентного соотношения (i.8). Эти исследования выявят определенную
структуру, которая лежит в основе всех таких задач.
Степени 2 играли важную роль в нашем поиске решения, так
что естественно обратиться к двоичным представлениям величин
п и J(n). Допустим, что двоичные разложения величин п имеют
вид
п = (bm bm_i
boh ;
т. е.
n = bm2
bi2
где каждое bi равно 0 или 1, причем старший бит bm равен 1.
Вспоминая, что п = 2т +1, последовательно получаем:
тг = A bm_i bm_2 .. .bi boh >
I = @bm_ibm_2...bib0h,
2l = (bm_ibm-2..
21 + 1 = (bm_1bm_2..
J(n) = (bm_! bm_2 ..
.biboOJ>
.bib0lJ,
. bi b0 bmJ .
(Последнее следует из того, что J(n) = 21 -f 1 и bm = 1.) Мы
доказали, что
J((bm bm_i ... bi boh) = (bm-i ... Ьт b0 bmJ , A.10)
Но существует бо-
более простой путь!
Ключевой момент
состоит в том, что
JBm) = 1 при
всех та, а это не-
немедленно вытекает
из нашего первого
уравнения
JBn)=2J(n)-l.
Следовательно, мы
знаем, что первый
человек уцелеет,
когда п является
степенью 2.
А в общем случае,
когда n = 2m + l,
число людей со-
сокращается до сте-
степени 2 после I ис-
исключений. Первый
из оставшихся в
этот момент—тот,
кто останется в
живых,—имеет
номер 21 + 1.
1.3 ЗАДАЧА ИОСИФА ФЛАВИЯ 29
(„Итерация" озна-
означает применение
функции к самой
себе.)
т.е., на программистском жаргоне, J(n) получается путем ци-
циклического сдвига двоичного представления п влево на один
бит! Мистика. Например, если п = 100 = A100100J, то ](п) =
j(A100100J) = A001001J, что равно 64 + 8 + 1 = 73. Если бы мы
имели дело с двоичной записью с самого начала, то, вероятно,
сразу же бы наткнулись на эту закономерность.
Если мы начинаем спи итерируем J-функцию m + 1 раз,
то тем самым осуществляем циклический сдвиг на та + 1 би-
битов; а поскольку п является (та + 1 )-битовым числом, мы мо-
могли бы рассчитывать в итоге снова получить п. Но это не со-
совсем так. К примеру, если п = 13, то J(A101 )^) = A011J, но
затем J(A011J) = A11J и процесс обрывается: когда 0 стано-
становится старшим битом—он пропадает. В действительности J(n)
всегда должно быть ^ п по определению, ибо J(n) есть номер
уцелевшего; следовательно, если J(n) < n, мы никогда не смо-
сможем получить снова п в последующих итерациях.
Многократное применение J порождает последовательность
убывающих значений, достигающих в конце концов „неподвижной
точки" п, такой, что J(n) = п. Свойство циклического сдвига
позволяет легко выяснить, что это будет за точка: итерирова-
итерирование функции та и более раз всегда будет порождать набор из
одних единиц со значением 2*^ — 1, где -v(n)— число равных
1 битов в двоичном представлении п. Так, поскольку ^A3) = 3,
имеем
2 и более
= 23-l =7;
Более чем странно:
если М —ком-
—компактное п -мерное
многообразие
С°° (п > Ц
то существует
дифференцируемое
погружение М
в Rin-ir[n), но
необязательно
В R2u-v(n)-1 .
Интересно, не за-
занимался ли Иосиф
топологией втайне
от всех?
аналогично,
8 и более
=210-1 = 1023.
Странно, но факт.
Давайте ненадолго вернемся к нашему первоначальному пред-
предположению, что J(n) = п/2 при четном п. Вообще-то это неверно,
но теперь мы как раз в состоянии выяснить, когда это верно:
J(n) =n/2,
21 + 1 = Bт +1)/2,
1 = 1Bт-2).
Если число I = \{2Ш — 2) целое, то n = 2m + I будет решени-
решением, поскольку I меньше, чем 2т. Нетрудно убедиться, что 2т — 2
кратно 3, когда та нечетно, но не когда та четно. (Мы будем изу-
изучать подобные вещи в гл.4.) Поэтому имеется бесконечно много
30 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
решений уравнения J(n) = n/2, и первые — такие:
m I n = 2т + I J(n) = 21 + 1 = n/2 n (двоичное)
1
3
5
7
0
2
10
42
2
10
42
170
1
5
21
85
10
1010
101010
10101010
Обратите внимание на крайний правый столбец. Это двоичные
числа, циклический сдвиг которых на одну позицию влево дает
тот же самый результат, что и обычный сдвиг на одну позицию
вправо (деление пополам).
Отлично, мы достаточно основательно разобрались с функ-
функцией J; следующий этап —ее обобщение. Что бы случилось, если
бы в нашей задаче возникла рекуррентность, схожая с (i.8), но
с другими константами? Тогда мы вряд ли могли бы рассчиты-
рассчитывать угадать решение, поскольку оно было бы воистину таин-
таинственным. Исследуем этот случай, введя константы а, C и у, и
попытаемся-найти решение в замкнутой форме для более общего
рекуррентного соотношения
A.11)
(В нашем первоначальном рекуррентном соотношении было a =
1, C = -1 и у = 1.) Начиная с f A) = а и прибегая к ранее опробо-
опробованному способу, можно составить следующую сводную таблицу
для малых значений п:
fBn)
f (In + 1)
= 2f (n)
= 2f(n)
+ 3
+ У
при
при
n J
n ^
H,
11.
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
a
2a
2a
4a
4a
4a
4a
8a
8a
f(n)
+ Э
+ 3C
+ 2Э,
+ Pi
-
+ 7C
-f 6C H
Ь У
h у
h 2y
ЬЗу
h у
A.12)
Похоже, что коэффициенты при а равны наибольшим степеням 2,
не превосходящим п. Кроме того, между последовательными сте-
степенями 2 коэффициенты при C уменьшаются на 1 вплоть до 0, а
при у увеличиваются на 1, начиная с 0. Поэтому, если выразить
f (n) в виде
f (п) = Л(п) a + B(n) C + C(n)y, (i.i3)
Какая-то греческая
грамота.
1.3 ЗАДАЧА ИОСИФА ФЛАВИЯ 31
Подождите, впере-
впереди вас ждет новое
угощение.
Тонкая мысль!
разделяя зависимость от <х, C и у, то, по-видимому,
A(n)=2m,
B(n) =2m -1-1, (i.i4)
С(п)=1.
Здесь, как обычно, п = 2т + 1и0^1<2т при п ^ 1.
Нельзя сказать, что так уж трудно доказать A.13) и A.14)
по индукции, но подобные действия бестолковы и малоценны. К
счастью, существует лучший способ действия, если выбрать от-
отдельные значения и затем скомбинировать их. Продемонстрируем
этот способ на примере частного случая <х = 1, C = у = 0, когда
функция f (n) предполагается равной А(п). Тогда (i.n) сводится
к рекуррентному соотношению
AA)
ABn)
ABn + 1)
= 1,
= 2A(n)
= 2A(n)
при n 5
при n ^
i 1.
i 1.
Достаточно ясно (доказывается индукцией по та), что ABm + l) =
2m.
Затем воспользуемся рекуррентным соотношением (l.n) и ре-
решением A.13) б обратном порядке, начав с простой функции
f (п) и выяснив, нет ли каких-нибудь определяющих ее констант
(ос, C,у). Подстановка постоянной функции f (n) = 1 в (l.n) по-
показывает, что
1 =а,
1 = 2-1+у,
следовательно, значения (ос, |3,у) = A,—1,—1), удовлетворяющие
этим уравнениям, дадут А(п) —В(n) — C(n) = f(n) = 1. Подобным
же образом можно подставить f (n) = п:
1 =а,
2п = 2-п + р,
2п+1 = 2-п + у.
Эти уравнения справедливы при всех п, когда ос = 1, C = 0 и
у = 1, так что нет нужды доказывать по индукции, что при этих
параметрах f (n) = п. Нам уже известно, что в таком случае
f (п) = п будет решением, поскольку рекуррентное соотношение
(l.n) однозначно определяет f (n) при каждом п.
И теперь, в сущности, блюдо готово! Мы показали, что фун-
функции А(п), В(п) и С(п) из A.13), которые определяют решение
(l.n) в общем случае, удовлетворяют уравнениям
А(п) - 2т
A(n)-B(n)-C(n) = 1,
A(n) + C(n) =n.
где n = 2m + l и 0 ^ I < 2m,
32 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Наши предположения, сделанные в A.14), подтверждаются не-
немедленно, поскольку мы можем решить эти уравнения, получая
С{п) = п - А(п) = I и В(п) = А(п) - 1 - C(n) = 2m - 1 - I.
Изложенный подход иллюстрирует исключительно полезный
репертуарный метод решения рекуррентных уравнений. Сна-
Сначала мы подбираем величины общих параметров, для которых
мы знаем решение,— это обеспечивает нас репертуаром разреши-
разрешимых частных решений. Затем, комбинируя частные решения, мы
получаем общее решение. При этом необходимо столько независи-
независимых частных решений, сколько имеется независимых параметров
(в нашем случае их было три — для а, Р и у). Другие примеры
репертуарного подхода содержатся в упр. 16 и 20.
Мы знаем, что первоначальная J-рекуррентность имеет мисти-
мистическое решение в двоичной записи:
J((bmbm_i .. .bi boh) = (bm-i .. .bi bobmh , где bm = 1.
А допускает ли обобщенная J-рекуррентность подобную мистику?
Конечно, почему же нет? Обобщенную рекуррентность (i.n)
можно переписать как
fA) = a,
fBn + j) = 2f(n) + Pj npnj =0,1 и п^1,
если положить Po = PnPi=y.A эта рекуррентность разверты-
развертывается, бит за битом:
f ((bm Ьт_, .. .b, boh) = 2f ((bm bm_i ... bi J) + Pbo
= 4f ((bm bm_! ... b2h) + 2Рь, + Cb0
A-15)
Внимание!
Авторы рассчи-
рассчитывают на то, что
читатель осознает
идею метода из
этого подробного
примера, и не
излагают его по-
последовательно,
„сверху вниз".
Этот метод лучше
всего работает с
рекуррентными
соотношениями,
)Глинейными" в том
смысле, что их ре-
решения могут быть
выражены в виде
суммы произволь-
произвольных параметров,
помноженных на
некоторые фун-
функции от п, как
в A.13). В этом
смысле уравнение
A.13) типично.
= 2™f ((bmJ) + 2Ш~1 Рьт_, + '' • + 2CЬ) + CЬо
= 2та + 2т-1рЬте_1 +.-. + 2pbi +pbo.
Предположим, что теперь мы расширили систему счисления с
основанием 2, так что в ней допустимы произвольные цифры, а
не только 0 и 1. Предыдущий вывод означает, что
f((bmbm_i ...bTboh) = (apbm_, Pbm_2 ¦ • - Рь, Pboh. A.16)
Чудесно. Мы смогли бы заметить это обстоятельство гораздо
раньше, если бы составили табл. A.12) в ином виде:
n
1
2
3
4
5
6
7
4a
4a
4a
4a
f(n)
2a-
2a-
+ 2p -
+ 2P H
+ 2y H
+ 2yH
a
hP
by
HP
н у
HP
ьу
Мне кажется, до
меня доходит: в
двоичных предста-
представлениях А(п),
В(п) и С(п)
единицы стоят на
разных местах.
1.3 ЗАДАЧА ИОСИФА ФЛАВИЯ 33
„Существуют два
рода, обобщений:
один дешевый,
другой ценный.
Легче обобщить,
разбавив малень-
маленькую идею большой
болтовней.
Приготовить
очищенный и сгу-
сгущенный экстракт
из нескольких
хороших составных
частей значительно
труднее1.1
-Д.Пойа[242]
Например, при п = 100 = A100100J значения <х = 1, |3 = —1
и у = 1 для исходной J-рекуррентности дают
п=
1
0
0 1 0 0 J = 100
f(n) = A 1 -1-1 1 -1 -1 J
= +64 +32 -16 -8 +4 -2 -1 = 73,
как и прежде. Свойство циклического сдвига сохраняется, по-
поскольку каждый набор двоичных цифр A0 ... 00J в данном
представлении п преобразуется в
A-1 ... —1 —1J = @0 ... 01J-
Итак, изменение системы счисления привело нас к компактно-
компактному решению (i.i6) обобщенной рекуррентности A.15)- Если нам,
право, неймется —можно обобщить ее еще больше. Рекуррент-
Рекуррентность
при 1 ^ j < d,
при 0 ^ j < d и п ^ 1,
A-17)
совпадает с предыдущей за одним исключением: мы начинаем с
чисел по основанию d, а получаем значения по основанию с. То
есть эта рекуррентность имеет решение с переменным основанием
f ((bm bm_!.. .b! bo)d) = (abm Pbm_, Pbm_2 • • -Pb, Cbo )c ¦ A.18)
Предположим, к примеру, что вследствие некоторого благоприят-
благоприятного стечения обстоятельств нами получено рекуррентное соот-
соотношение
Возможно, это
было стечением
неблагоприятных
обстоятельств.
Но, вообще-то, я
против возврата
войн.
fA)=34,
fB)=5,
f Cn) = lOf (n) + 76
f Cn + 1) = lOf (n) - 2
fCn + 2) = 10f(n) + 8
при n
при n
1,
1,
и, допустим, мы хотим вычислить fA9). Здесь d = 3 и с = 10.
Тогда 19 = B01 )з, и решение по переменному основанию позво-
позволяет осуществить переход от основания 3 к основанию 10 цифра
за цифрой. Так, старшая цифра 2 становится цифрой 5, а 0 и 1
становятся цифрами 76 и —2, образуя наш ответ:
fA9) = f(B01K) = E 76 -2I0 = 1258,
Итак, Иосиф и иудейская война привели нас к довольно инте-
интересным обобщенным возвратным соотношениям.
34 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
Упражнения
Разминочные упражнения
1 То, что все лошади одной масти, можно доказать индукцией
по числу лошадей в определенном табуне. Вот так:
„Если существует только одна лошадь, то она своей масти,
так что база индукции тривиальна. Для индуктивного пере-
перехода предположим, что существует п лошадей (с номерами от
1 до п). По индуктивному предположению лошади с номера-
номерами от 1 до п — 1 одинаковой масти, и, аналогично, лошади с
номерами от 2 до п имеют одинаковую масть. Но лошади по-
посредине с номерами от 2 до п — 1 не могут изменять масть в
зависимости от того, как они сгруппированы,—это лошади, а
не хамелеоны. Поэтому в силу транзитивности лошади с номе-
номерами от 1 до п также должны быть одинаковой масти. Таким
образом, все п лошадей одинаковой масти. чтД*
Есть ли ошибка в приведенном рассуждении и какая имен-
именно?
2 Найдите кратчайшую последовательность перекладываний,
перемещающих башню из п дисков с левого колышка А на
правый колышек В, если прямой обмен дисками между А
и В запрещен. (Каждое перекладывание должно производить-
производиться через средний колышек. Как обычно, больший диск нельзя
класть на меньший.)
3 Покажите, что в процессе перемещения башни при ограниче-
ограничениях из предыдущего упражнения нам встретятся все допу-
допустимые варианты размещения п дисков на трех колышках.
4 Имеются ли какие-нибудь начальная и конечная конфигура-
конфигурации из п дисков на трех колышках, которые требуют более
чем 2П — 1 перекладываний, чтобы получить одну из другой
по исходным правилам Люка?
5 Так называемая „диаграмма Венна" с тремя пересекающими-
пересекающимися окружностями часто приводится для иллюстрации восьми
возможных подмножеств, связанных с тремя заданными мно-
множествами:
Разминка
во всех главах
обязательна!
—Адм-ция
„Прежде чем ре-
решать задачу, по-
думай, что делать
с ее решением"
-Д. Пойа
[239* с. 208].
Можно ли проиллюстрировать четырьмя пересекающимися
окружностями шестнадцать возможностей, которые возника-
возникают в связи с четырьмя заданными множествами?
1 УПРАЖНЕНИЯ 35
6 Некоторые из областей, очерчиваемых п прямыми на плос-
плоскости, бесконечны, в то время как другие конечны. Каково
максимально возможное число конечных областей?
7 Пусть H(n) = I(n+1)-J(n). В силу уравнения (i.8) HBn) = 2,
aHBn+1) = JBn+2)-JBn+1) = BJ(n+ 1)-1)-BJ(n) + i) =
2H(n) — 2 при всех u ^ 1. Поэтому представляется возможным
доказать индукцией по п, что Н(тг) =2 при всех п. Что здесь
неверно?
Домашние задания
8 Решите рекуррентное соотношение
Qo = a, Qi = Э.
Qn = A + Qn-i )/Qn-2 при тг > 1.
Примите, что Qn ^ 0 при всех п ^ 0. Указание: Q4 =
... то есть лошадь 9 Иногда возможно использование „обратной индукции", т. е. до-
уже иной масти. казательства от п к п — 1, а не наоборот! К примеру, рассмо-
рассмотрим утверждение
Р(п): xi...Xn^(— -) , еслихь...,хп ^ 0.
Оно справедливо для п = 2, так как (xi + х2J —
(xi — Х2J ^ 0.
а Полагая xn = (xi Н Ь xn_i )/(n — 1), докажите, что Р[п)
влечет Р{п— 1) при всяком п > 1.
b Покажите, что Р(п) и РB) влекут РBп).
с Объясните, почему отсюда следует справедливость Р{п)
при всех п.
10 Пусть Qn — минимальное число перекладываний, необходи-
необходимых для перемещения башни из п дисков с колышка А на ко-
колышек В, если все перекладывания осуществляются по часо-
часовой стрелке —т. е. с А на В, или с В на другой колышек, или
с другого колышка на А. Кроме того, пусть Rn — минимальное
число перекладываний, необходимых для перемещения башни
с В обратно на А при том же ограничении. Докажите, что
если п = 0,
^п_1 +1, если п > 0;
, ~, еслип = 0,
n S ^ ' ^ -1+1, еслип>0.
(Нет необходимости решать эти рекуррентные соотношения —
как это делается, мы увидим в гл. 7.)
36 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
11 Двойная ханойская башня состоит из 2п дисков п различ-
различных размеров — по два диска каждого размера. Как и в случае
обычной башни, за один раз разрешается перекладывать толь-
только один диск и нельзя класть больший диск на меньший.
а Сколько перекладываний необходимо для перемещения
двойной башни с одного колышка на другой, если диски
одинаковых размеров неотличимы друг от друга?
b Что если в окончательном расположении дисков требуется
воспроизвести исходный порядок всех одинаковых дисков
сверху донизу? [Указание: это трудно —на самом деле это
„конкурсная задача"]
12 Давайте еще обобщим упр. 11а, предполагая, что имеется п
различных размеров дисков и ровно так дисков размера к.
Определите наименьшее число А(тгц,..., mn) перекладыва-
перекладываний дисков, необходимых для перемещения такой башни, если
считать диски одинаковых размеров неразличимыми.
13 На какое максимально возможное число областей плоскость
делится п зигзагообразными линиями.
„Не делайте при
помощи большего
то, что можно сде-
сделать при помощи
меньшего"
-Д. Пойа,
[240? с. 277].
ZZ? = 12
каждая из которых состоит из двух параллельных полубеско-
полубесконечных прямых, соединенных прямолинейным отрезком?
14 На сколько частей можно разделить головку сыра с помощью
пяти плоских разрезов? (Головка сыра должна оставаться в
исходном положении, пока вы ее режете, и каждому разре-
разрезу должна соответствовать некоторая плоскость в трехмерном
пространстве.) Найдите рекуррентное соотношение для Рп —
максимального числа трехмерных областей, на которое может
быть разбито пространство п произвольно расположенными
плоскостями.
15 У Иосифа был друг, которого он спас, поставив на предпослед-
предпоследнее спасительное место. Чему равен 1(тг) —номер предпослед-
предпоследнего выжившего, если экзекуции подлежит каждый второй?
16 Примените репертуарный метод для решения обобщенного ре-
рекуррентного соотношения с четырьмя параметрами
= <х,
gBn + j) = 3g(n) +yn + Cj при j = 0,1 и п^1.
Указание: попробуйте функцию д(п) = п.
Иу-ну... Желаем
успеха в этом деле!
1 УПРАЖНЕНИЯ 37
Это что-то вроде
пятизвездного
метода?
Контрольные работы
17 Обозначим через Wn наименьшее число перекладываний, не-
необходимых для перемещения башни из п дисков с одного ко-
колышка на другой, когда имеется не три, а четыре колышка.
Покажите, что
Wn(n+i)/2 ^ 2Wn(n_i)/2 + Тп при п > 0.
(Здесь Тп = 2П — 1 — число перекладываний в обычном случае
трех колышков.) Воспользуйтесь этим для нахождения выра-
выражения f (п), такого, что Wn(n+i)/2 ^ f(n) при всех n ^ 0.
18 Покажите, что следующая совокупность п ломаных линий де-
делит плоскость на Zn областей, где Zn определено в A.7): ка-
каждая j-я ломаная при 1 ^ j ^ п имеет излом в точке (п2^,0)
и проходит через точки (п2^ — тО', 1) и (п2^ — гО — п~п, 1).
19 Могут ли п ломаных линий разделить плоскость на Zn обла-
областей, когда угол каждого излома составляет 30°?
20 Примените репертуарный метод решения обобщенной рекур-
рекуррентности с пятью параметрами
HBn + j) =4H(nL-Tjn+Ci при) =0,1 и п^1.
Указание: попробуйте функции h{n) = п и h{n) = п2.
21 Допустим, что в круг поставлено 2п человек, первые п из ко-
которых — „славные ребята", а п последних — „гадкие парни*! По-
Покажите, что всегда найдется целое та (зависящее от п), такое,
что если, двигаясь по кругу, мы наказываем каждого та-го, то
первыми будут наказаны все гадкие парни. (К примеру, при
п = 3 можно взять m = 5, а при п = 4 взять та = 30.)
Конкурсные задачи
22 Покажите, что используя п выпуклых многоугольников, ко-
которые конгруэнтны друг другу и повернуты относительно об-
общего центра, можно построить диаграмму Венна для 2П все-
всевозможных подмножеств п заданных множеств.
23 Допустим, что Иосиф занимает конкретное j-e место, но при
этом имеет возможность назвать роковой параметр q, после
чего уничтожается каждый q-й человек. Всегда ли он сможет
спастись?
Исследовательские проблемы
24 Найдите все рекуррентные соотношения вида
х ар + cnXn-i H h
bi Xn_i H h
решения которых периодичны.
38 ВОЗВРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
25 Решите задачу о ханойской башне с четырьмя колышками и
в бесконечном числе случаев, доказав, что в соотношении из
упр. 17 имеет место равенство.
26 Обобщая упр. 23, будем называть иосифовым подмноже-
подмножеством множества {1,2,...,и} такое множество из к номе-
номеров, что при некотором q первыми будут уничтожены лю-
люди с остальными п — к номерами. (На этих к местах нахо-
находятся „славные ребята", которых хочет спасти Иосиф.) Ока-
Оказывается, что при п = 9, три из 29 возможных подмножеств
являются неиосифовыми, а именно, подмножества {1,2,5,8,9},
{2,3,4,5,8} и {2,5,6,7,8}. Когда п = 12, то 13 подмножеств
являются неиосифовыми, а при любом другом п ^ 12 нет ни
одного неиосифова. Редки ли неиосифовы подмножества при
больших п?
Да, поздравля-
поздравляем, если вы их
найдете.
2
Исчисление сумм
СУММЫ ВЕЗДЕСУЩИ в математике, поэтому нам потребуются
основные приемы обращения с ними. Эта глава знакомит с теми
обозначениями и методами, которые помогут освоиться с сумми-
суммированием.
Членом почетным
и по нечетным
тоже.
2.1 ОБОЗНАЧЕНИЯ СУММ
В гл. 1 мы уже сталкивались с суммой первых п натураль-
натуральных чисел, которую старательно выписывали как 1 +2 + 3Ч Ь
(п — 1) + п. Многоточие * • • •' в таких формулах указывает на
то, что пропущенное нужно восполнить по аналогии с соседними
членами суммы. Разумеется, мы должны остерегаться сумм типа
1 +7-\ Ь41.7, которые не что иное, как вопиющая бессмыслица.
С другой стороны, включение членов 3 и (п - 1) было излишней
роскошью — достаточно было бы написать 1 + 2 Н Ь п. Крайне
самоуверенные ограничились бы даже записью 1 + • • • + п.
Мы будем иметь дело с суммами общего вида
<ц +a2 + --- + an, B.i)
где каждое ак — определенное каким-то образом число. Такое обо-
обозначение имеет то преимущество, что при наличии достаточно
богатого воображения можно „представить" себе всю сумму цели-
целиком, почти так, как если бы она была выписана полностью.
Каждый элемент а^ такой суммы называется ее членом. За-
Зачастую эти члены определяются косвенно, в виде формул, следуя
некоторому легко просматривающемуся правилу, а в ряде случа-
случаев приходится записывать суммы в развернутом виде с тем, что-
чтобы стал понятен их смысл. Например, если предполагается, что
формула
должна обозначать сумму из п, а не из 2П~1 членов, то ее следует
записать более аккуратно как
40 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Хотя обозначение с использованием * • • •' широко распростра-
распространено, оно излишне громоздко и может вызывать разночтения. Ис-
Используются и другие способы записи суммы, особенно форма за-
записи с явными пределами
B.2)
k=1
которая называется сигма-обозначением, поскольку здесь фигу-
фигурирует греческая буква ]Г (прописная сигма). Это обозначение
говорит, что включать в сумму надо именно те члены а^, но-
номер к которых является целым числом, лежащим между нижней
и верхней границами 1 и п включительно. Это произносится как
„сумма по к от 1 до п" Это ^-обозначение ввел Жозеф Фурье в
1820 г., и оно вскоре покорило математический мир.
Кстати, величина после знака ^Г (в данном случае а*) назы-
называется общим членом.
Говорят, что переменный индекс к связан знаком ]Г в B.2),
поскольку к в ак не имеет отношения к тем к, которые появля-
появляются за рамками сигма-обозначения. В частности, любая другая
буква могла бы заменить к без изменения смысла B.2). Часто ис-
используется буква г (возможно потому, что с нее начинается слово
,Дпс1ех"), но мы будем, как правило, суммировать по к, поскольку
разумно сохранить г за \/^Т
Оказывается, что еще более полезным, чем форма записи с
явными пределами, является обобщенное сигма-обозначение: мы
просто записываем одно или несколько условий под знаком ^Г, за-
задавая тем самым множество значений индекса, по которым следу-
следует проводить суммирование. Например, суммы B.1) и B.2) можно
записать иначе как
B-3)
Хотя в этом отвлеченном примере и не видно существенного раз-
различия между новым обозначением и обозначением B.2), обобщен-
обобщенное обозначение позволяет „брать" суммы по множествам значе-
значений индекса, не ограниченным последовательными целыми чи-
числами. К примеру, сумму квадратов всех нечетных положитель-
положительных чисел, меньших 100, можно выразить таким образом:
L
к нечетно
Аналог этой суммы с явными пределами
49
indique que
Von doit donner
au nombre entier i
toutes ses valeurs
1,2,3,...,*
prendre la somme
des termes'.'
-Ж.Фурье [324]
Граффити на
иностранных
языках способ-
способствуют воспитанию
ПОЛИГЛОТОВ.
Ну, я бы не хотел
заменять перемен-
переменный индекс к на
а или п —эти
буквы являют-
являются „свободными
переменными"
имеющими са-
самостоятельное
значение за рам-
рамками этой ]Г.
к=0
2.1 ОБОЗНАЧЕНИЯ СУММ 41
Знак суммы похож
на сгорбившегося
грузчика.
Кругленькая
сумма...
Это еще что... А
вы бы подсчита-
подсчитали, сколько S в
„Илиаде1!
более громоздок и менее нагляден. Аналогично, сумма обратных
всем простым числам между 1 и N есть
p^
р простое
в случае формы записи с явными пределами потребовалось бы
написать
7l(N)
k=1 И1с
где pic означает k-е простое число, a 7r(N) —количество простых
чисел, не превосходящих N. (Между прочим, эта сумма дает при-
приблизительно среднее число простых делителей „случайного" це-
целого числа, близкого к N, поскольку около 1 /р этих целых чисел
делятся на р. При большом N она примерно равна lnlnN + М,
где М к 0.2614972128476427837554268386086958590515666-кон-
0.2614972128476427837554268386086958590515666-константа Мертенса [220], lnx означает натуральный логарифм х, а
lnlnx означает ln(lnx).)
Но самым большим преимуществом обобщенного сигма-обоз-
сигма-обозначения является то, что с ним обращаться гораздо легче, чем
с формой записи с явными пределами. Предположим, например,
что нам захотелось заменить переменный индекс к на к + 1. В
случае обобщенной формы записи мы имеем
легко сообразить, что происходит, и мы производим подстановку
почти без всяких раздумий. А в случае обозначения с явными
пределами получаем
п—1
k=1
k=0
в этом случае труднее понять, что стряслось, и больше шансов
совершить оплошность.
Тем не менее, форма записи с явными пределами не является
совершенно бесполезной. Она имеет округлые, привлекательные
формы и быстро пишется, ибо сумма B.2) состоит из семи сим-
символов, в сравнении с восемью, требуемыми для суммы B.3). По-
Поэтому мы будем зачастую использовать ^Г с пределами при фор-
формулировке задачи или представлении результата, но предпочтем
иметь дело с соотношениями-под-^Г при действиях с суммой, ко-
которые требуют преобразования переменной суммирования.
Знак Y. встречается в этой книге более 1000 раз, поэтому надо
бы убедиться в том, что мы наверняка знаем, что он означает.
42 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Формально
Х> B4)
Р(к)
представляет собой сокращенную запись суммы всех членов а^,
таких, что целое к удовлетворяет заданному условию Р(к).
(„Условие Р(к)" — это некоторое утверждение относительно к, ко-
которое может быть либо истинным, либо ложным.) Пока допустим,
что die ф 0 лишь для конечного числа к, удовлетворяющих усло-
условию Р(к); в противном случае будет складываться бесконечное
число ненулевых членов, и тогда придется несколько исхитрить-
исхитриться. Другая крайность: когда Р(к) ложно для всех целых к, мы
получаем „пустую" сумму — пустая сумма по определению равна
нулю.
Если знак суммы появляется в тексте, а не в выделенной фор-
формуле, то используется слегка измененная форма записи B.4): мы
пишем 'Цр(к) ak'> придавая условию Р(к) вид нижнего индекса
при ]Г, Для того чтобы формула не слишком выходила за пре-
пределы строки. Аналогично, (]Г?=1 cik' представляет собой удобный
вариант записи B.2), если мы хотим уместить данное обозначение
в одну строку.
Зачастую соблазнительна запись
п—1 п
^k(k-l)(n-k) вместо ^k(k- 1)(n -к),
к=2 к=0
поскольку при к = 0, 1 и п соответствующие члены этой суммы
равны нулю — разве не разумнее сложить п—2 члена вместо п+1
членов? Но не надо поддаваться таким соблазнам: разумность в
смысле вычисления и разумность в смысле понимания — это не
одно и то же! В дальнейшем мы обнаружим, что как можно более
простые верхние и нижние границы индекса суммирования име-
имеют то преимущество, что при простых границах гораздо проще
обращаться с суммами. Более того, обозначение типа J2k=2 мо"
жет даже приводить к опасной двусмысленности, поскольку не
совсем ясен его смысл при п = О или п = 1 (см. упр. 1). Нулевые
члены безопасны и часто избавляют от ненужных хлопот.
Обозначения, которые мы обсуждали до сих пор, являются
общепринятыми, но сейчас мы собираемся решительно отступить
от сложившейся традиции. Кеннет Айверсон в своем языке про-
программирования АПЛ [4, с. 11, см. также 152], внес замечательную
идею, которая, как будет видно, существенно упрощает многое из
того, что мы собираемся проделать в этой книге. Его идея состоит
в том, чтобы просто заключать истинное-или-ложное утвержде-
утверждение в квадратные скобки и считать при этом, что результат равен
1, если данное утверждение истинно, и 0, если данное утвержде-
утверждение ложно. Например,
[р простое] =
1, если р — простое число,
О, если р — не простое число.
Вот это да! Дель-
Дельта Кронекера"
которая встреча-
встречалась мне в других
книгах (я имею в
виду 6kn, равную
1, если к = п, и
0 —в противном
случае), всего
лишь частный
случай нотации
Айверсона —вме-
—вместо нее можно
писать [к = п].
2.2 СУММЫ И РЕКУРРЕНТНОСТИ 43
Нотация Айверсона позволяет выражать суммы без каких бы то
ни было ограничений на индекс суммирования, поскольку сумму
B.4) можно переписать в виде
B.5)
„Я часто удивляюсь
новым, важным
приложениям [это-
[этого обозначения]".
— Б.деФинетти
[313]
Если Р(к) ложно, то член а.к[Р(к)] равен нулю, так что можно
спокойно включать его в состав суммируемых членов. Это упро-
упрощает манипулирование с индексом суммирования, ибо нет нужды
беспокоиться о граничных условиях.
Необходимо только отметить одну техническую деталь: ино-
иногда die бывает определено не для всех целых к. Это затруднение
можно обойти, допуская, что [Р(к)] является „очень сильно ну-
нулевым", когда Р(к) ложно,—оно настолько нулевое, что делает
aic[P(k)] равным нулю, даже когда а^ не определено. Например,
если воспользоваться нотацией Айверсона для записи суммы чи-
чисел, обратных простым ^ N, в виде
[р простое] [р ^ ТМ]/р ,
... я уменьшает
шансы получить
плохую отметку
на экзамене за
„недостаточную
строгость1!
то при р, равном нулю, проблем с делением на нуль не воз-
возникает, потому что наше допущение позволяет считать, что
[О простое][0 ^ ТМ]/О = 0.
Давайте теперь подытожим то, что обсуждалось до сих пор
в отношении сумм. Имеются два заслуживающих внимания спо-
способа записи суммы членов: в одном случае используется '•••',
в другом — '21'. Запись с многоточием часто подсказывает по-
полезные преобразования (в частности, группировку смежных чле-
членов), поскольку, когда вся сумма маячит у нас перед глазами, мы
можем уловить упрощающую ее закономерность. Однако обилие
добра сродни пороку. Сигма-обозначение компактно, впечатляет
родных и близких и зачастую подсказывает преобразования, ко-
которые не столь очевидны в случае записи с многоточием. При
работе с сигма-обозначением нулевые члены совсем не мешают —
напротив, они часто облегчают ^-операцию.
2.2 СУММЫ И РЕКУРРЕНТНОСТИ
Итак, мы разобрались, как выражать суммы с помощью
того или иного причудливого обозначения. Но как надо действо-
действовать для нахождения значения той или иной суммы? Один из
способов —заметить, что существует тесная связь между сумма-
суммами и рекуррентностями. Сумма
Sn
k=0
44 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
эквивалентна рекуррентности
So = 0-0»
Sn = Sn-i + ап при n > 0.
B.6)
Следовательно, можно вычислять суммы в замкнутой форме, ис-
используя для этого методы решения рекуррентных соотношений в
замкнутой форме, которые изучались в гл. 1.
К примеру, если ап есть некая постоянная плюс некое крат-
кратное п, то сигма-рекуррентность B.6) приобретает следующий об-
общий ВИД!
B-7)
Ro = <*;
Rn = Rn_1 + р + уп При П > 0.
Действуя так же, как в гл. 1, мы находим, что Ri = а + |3 + у,
R2 = а + 2|3 + Зу и т. д., а вообще искомое решение может быть
записано в виде
Rn = A(n) а + B(n) |3 + С[п)у, B.8)
где А(п), В(п) и С(п) — коэффициенты при основных параметрах
а, |3, и у.
Репертуарный метод подсказывает попробовать подставить
вместо Rn простые функции от п в надежде найти такие постоян-
постоянные параметры а, |3 и у, при которых решение особенно просто.
Подстановка Rn = 1 дает а = 1, |3 = 0, у = 0, откуда
А(п) = 1 .
Подстановка Rn = n дает а = 0, |3 = 1, у = 0, откуда
В(п) =п.
А подстановка Rn = n2 дает а = 0, |3 = — 1, у = 2, откуда
2С(п)-В(п) =п\
и мы получаем С(п) = [и2 + п)/2. Просто как дважды два.
Итак, если мы хотим вычислить сумму
к=0
то сигма-рекуррентность B.6) сводится к B.7) ca=|3 = a, y = b,
и ответом будет аА(п) + аВ(п) + ЬС(п) = а(п + 1) + b(n + 1 )п/2.
И обратно, многие рекуррентности могут быть сведены к сум-
суммам; в силу этого специальные методы вычисления сумм, кото-
которые мы изучим позже в этой главе, будут полезны и при решении
рекуррентных соотношений, справиться с которыми иначе было
бы трудно. Подходящий пример —рекуррентность, связанная с
задачей о ханойской башне:
(Считайте, что
Sn —не просто
отдельное число,
а их последова-
последовательность, опре-
определенная для всех
Еще проще:
2x2 =
я
Z- Dп+1)Dп+3)
п^0
Тп =
при п > 0.
2.2 СУММЫ И РЕКУРРЕНТНОСТИ 45
Ее можно привести к частному случаю B.6), если поделить обе
части на 2П:
То/2° = 0;
ТП/2П = Тп^/2п~] + 1/2п при п > 0.
Теперь можно положить Sn = Tn/2n, получая
So =0;
Sn = Sn_i + 2~n при n > 0.
Отсюда вытекает, что
(Обратите внимание, что член с к = 0 не включен в эту сум-
сумму.) Сумма геометрической прогрессии 2 + 2~г + • • • + 2~п =
[j)] + {\)г Н h(^)n будет выведена в этой главе позднее — она
окажется равной 1 — (j)n. Следовательно, Тп = 2nSn = 2П — 1.
В этом выводе мы перешли от Тп к Sn, заметив, что исходное
рекуррентное соотношение можно было поделить на 2П. Эта улов-
уловка — частный случай общего метода, с помощью которого факти-
фактически любую рекуррентность вида
anTn = bnTn_! + cn B.9)
можно свести к сумме. Суть данного метода состоит в том, чтобы
домножить обе части на суммирующий множитель sn:
Sn^-n In = SnDn In—1 "Ь SnCn •
При этом множитель sn подбирается столь искусно, чтобы сде-
сделать snbn равным sn_ian_i. А теперь, если положить Sn =
sn<iuTn, то получим сигма-рекуррентность
Sn = Sn-1 + SnCn .
С ледов ательно,
Sn = SoCioTo
k=1
k=l
и решением исходной рекуррентности B.9) является
Тп =
n
sibiTo+ У"
?7
B.10)
snan
(Величина si со-
сокращается, так что Например, при п = 1 мы получаем
она может быть (biТо + С] )/а-\.
чем угодно, кроме Но хватит ли нам сообразительности, чтобы найти требуе-
"У**.) мое Sn? Нет проблем: достаточно развернуть соотношение sn =
46 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
sn_ian_i/bn, чтобы выяснить, что искомым суммирующим мно-
множителем является дробь
Sr, =
bnbn-i• • -
B.11)
или любое подходящее кратное этой величины. В частности, для
рекуррентности, связанной с задачей о ханойской башне, an = 1
и bn = 2; общий метод, который мы только что вывели, утвер-
утверждает, что sn = 2~п является подходящим кандидатом на роль
множителя, если мы хотим свести рекуррентность к сумме. Для
того чтобы обнаружить сей множитель, не нужно искры вдохно-
вдохновения.
Как всегда, надо соблюдать осторожность, чтобы не поделить
на нуль. Метод суммирующего множителя срабатывает всегда,
когда все а и все b не равны нулю.
Применим эти соотношения к рекуррентности, которая возни-
возникает в связи с анализом „быстрой сортировки" — одного из наибо-
наиболее популярных методов внутренней сортировки данных в ком-
компьютере. Среднее число выполняемых „быстрой сортировкой" ша-
шагов сравнения, когда она применяется к п элементам данных, рас-
расположенным в случайном порядке, удовлетворяет рекуррентному
соотношению
(„Быстрая сор-
сортировка11 была
придумана Хоаром
в 1962 г. [339].)
п-1
Cn = n + 1 + - У Ск при п>0.
п *•—
B.12)
к=0
М-да... Это выглядит гораздо страшнее, чем встречавшиеся до
сих пор рекуррентности: сюда входит сумма всех предыдущих
величин, да еще деление на п. Попытка вычислить несколько
первых значений даст нам кое-какую информацию (Ci = 2, С2 =
5, С3 = у), но не избавит от чувства страха.
Однако сложность соотношения B.12) можно снижать посте-
постепенно, сперва избавившись от деления, а затем —от знака Y. • Ре-
Реализуя эту идею, домножим обе части рекуррентности на п, по-
получив соотношение
п-1
пСп = п2 + п + 2
при п > 0;
к=0
а если заменим п на п — 1, то
п-2
прип-1
к=0
Теперь можно вычесть второе равенство из первого, и знак
пропадает:
пСп — (п — 1 )Cn_i = 2n + 2Cn_i
при п
Мы начинали с ]Г
в рекуррентности
и основательно
потрудились,
чтобы избавиться
от нее. Но затем
после применения
суммирующего
множителя мы
пришли к другой
Y_. Так что же,
суммы—это хоро-
хорошо, или плохо, или
как?
2.2 СУММЫ И РЕКУРРЕНТНОСТИ
Между прочим, это соотношение справедливо и при п = 1, по-
поскольку Ci = 2. Итак, исходное рекуррентное соотношение для
Сп сводится к гораздо более простому:
пСп = (п + 1 )СП_1 + 2п при п > 0.
Явный прогресс. Теперь мы в состоянии подключить к делу сум-
суммирующий множитель, поскольку полученное рекуррентное со-
соотношение имеет вид B.9) с an = n, bn = п+ 1 и сп = 2п. Общий
метод, изложенный на предыдущей странице, подсказывает нам,
что нужно домножить все рекуррентное соотношение на нечто,
кратное величине
ап_1 ап_2 .
(п - 1) • (п - 2) • ... • 1
bnbn_i .. ,
Тогда, согласно B.10), решением является
(п+1)тГ
Сп=2(п+1)]Г
1
k=1
k+1
Оставшаяся сумма очень похожа на величину, которая ча-
часто возникает в приложениях. В действительности она возникает
столь часто, что заслуживает специального названия и специаль-
специального обозначения:
Буква Н происходит от слова „harmonic" так что Нп — это гар-
гармоническое число. Оно названо так потому, что k-я гармоника,
извлекаемая из скрипичной струны,—это основной тон, произво-
производимый струной длиной 1/к от длины исходной струны.
Изучение „быстрой сортировки" — рекуррентности B.12) —
можно завершить приведением Сп к замкнутому виду, если мы
сможем выразить Сп через Нп. Сумма в нашей формуле для Сп
есть
k+1 '
Ее можно без особого труда связать с суммой Нп, заменив к на
к — 1 и изменив граничные условия:
±
k+1
]-
L I
п
48 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Польный порядок! Найдена сумма, необходимая для завершения А с правописа-
решения B.12): среднее число выполняемых „быстрой сортиров- нием польный
кой" сравнений, когда она применяется к п случайно расположен- беспорядок.
ным элементам данных, есть
Cn =
1)Hn-2n.
B.14)
И, как водится, убедимся в правильности первых значений: Со
О, €,=2,02=5.
2.3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ
Ключ к успеху при суммировании лежит в нашей способно-
способности преобразовывать одну сумму в другую — либо упрощающую
исходную, либо приближающую нас к цели. А выучив несколько
основных правил преобразования и поупражнявшись в их приме-
применении, можно легко овладеть такой способностью.
Пусть К — некоторое конечное множество целых чисел. Сум-
Суммы по элементам из К можно преобразовывать, исходя из трех
простых правил:
= с
kGK
(распределительный
закон),
(переместительный
закон).
B-15)
B.16)
B.17)
Распределительный закон разрешает вводить и выводить посто-
постоянные под знак и за знак ?\ Сочетательный закон позволяет
разбивать одну сумму на две или объединять две суммы в од-
одну. Переместительный закон гласит, что члены суммы можно
переставлять в любом требуемом порядке; здесь р(к)—некото-
р(к)—некоторая перестановка множества всех целых чисел. Например, если
К = {—1,0, +1} и если р(к) = —к, то три этих закона утверждают
соответственно, что
ca_i
= c(a_i + a0 + си)
(a_! + b_i) + (a0
= (a_i + a0 + a
a-] + a0 + си
= си + a0 + а_т
b0) + (en
b0
(распределительный
закон),
(сочетательный
закон),
(переместительный
закон).
Уловку Гаусса из гл. 1 можно рассматривать как одно из при-
применений этих трех основных законов. Предположим, мы хотим
Б какую валюту?
Почему бы тогда
не назвать его
перестаново иным
вместо перемести-
тельного?
Это нечто вроде
замены перемен-
переменных в интеграле,
но попроще.
„Сколько будет
один плюс один
плюс один плюс
один плюс один
плюс один плюс
один плюс один
плюс один плюс
один?"
„Не знаю" ответила
Алиса.
„Я сбилась со
счета"
„Она не умеет
складывать"
—Льюис Кэррол
[174]
2.3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ 49
вычислить сумму арифметической прогрессии общего вида
q
Согласно переместительному закону, заменив к на п—к, получим
S = YL (a + b(n-k))= YL (а + Ъп-Ък).
Два этих уравнения можно сложить, используя сочетательный
закон:
Ba+ bn).
2S =
А теперь применим распределительный закон и вычислим три-
тривиальную сумму:
2S = Bа + Ьп)
B.18)
Разделив на 2, выясняем, что
(a+lbn)(n
k=0
Правую часть можно запомнить как среднее первого и последнего
членов, а именно как \(а + (a + bn)), помноженное на число
членов, т. е. на (п + 1).
Важно иметь в виду, что функция р(к) в общей форме пере-
местительного закона B.17) считается перестановкой всех целых
чисел. Другими словами, для каждого целого п должно суще-
существовать в точности одно целое к, такое, что р(к) = п. В против-
противном случае переместительный закон может и не выполняться —
упр. 3 тому наглядный пример. Преобразования типа р (к) = к + с
или р(к) = с — к, где с —целая константа, всегда представляют
собой перестановки, поэтому с ними все в порядке.
Впрочем, можно слегка ослабить ограничение на перестанов-
перестановку: достаточно всего лишь, чтобы существовало в точности од-
одно целое к, такое, что р(к) = п, когда п —элемент индексного
множества К. Если п ^ К (т.е. если п не принадлежит К), то
не существенно, как часто имеет место равенство р(к) = п, по-
поскольку подобное к не участвует в сумме. Так, к примеру, можно
утверждать, что
Q2k =
2к четное
к четное
п четное
ибо имеется в точности одно к, такое, что 2к = п, когда n G К и
п — четное.
50 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Нотация Айверсона, позволяющая получать 0 или 1 в качестве
значений логических выражений внутри некоторой формулы, мо-
может быть использована вкупе с распределительным, сочетатель-
сочетательным и переместительным законами для выявления дополнитель-
дополнительных свойств сумм. Вот, к примеру, важное правило объединения
различных множеств индексов: если К и К'—некоторые множе-
множества целых чисел, то
Qk. B.20)
B.21)
Б купе?
Это вытекает из общих формул
кек
и
.'] = [кекпк'] + [кекик']. B.22)
Обычно используется правило B.20) либо для объединения двух
почти непересекающихся индексных множеств, как в случае
= а.
m
n,
die при 1
k=1 k=m k=1
либо для выделения отдельного члена суммы, как в случае
0.
a0
при п
B.23) (Здесь правая и
левая части равен-
равенства B.2о) поме-
Подобная операция выделения члена составляет основу ме- нялись местами.)
moda приведения, зачастую позволяющего вычислить ту или
иную сумму в замкнутой форме. Суть этого метода заключается
в том, чтобы начать с подлежащей вычислению суммы и обозна-
обозначить ее Sn:
Qk'
(Обозначай и властвуй.) Затем мы переписываем Sn+i двумя спо-
способами, выделяя как последний, так и первый члены:
Sn
ak
B.24)
Теперь можно заняться последней суммой и попытаться выра-
выразить ее через Sn. Если попытка окажется удачной, мы получим
уравнение, решением которого и будет искомая сумма.
Если она геоме-
геометрическая, то и
доказательство
должно быть
геометрическим:
Ах, да —эту фор-
формулу вдолбили
в меня еще в
старших классах.
2.3 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММ 51
Воспользуемся, к примеру, этим подходом для нахождения
суммы геометрической прогрессии общего вида
ах
s,
В соответствии с общей схемой приведения B.24) сумма Sn+i пе-
переписывается в виде
Sn
axn+1 = ax°
ах
k+1
а сумма в правой части равняется х ^Г0<ск^п axk = х$п по распре-
распределительному закону. Таким образом, Sn + axn+1 = a + xSn, и,
разрешая это уравнение относительно Sn, получаем
i
k
ax =
1-Х
при
B-25)
(Прих = 1 данная сумма, разумеется, равна просто (n+1)a.) Пра-
Правую часть этой формулы можно запомнить как разность первого
входящего и первого не входящего в сумму членов, деленную на
разность 1 и знаменателя прогрессии.
Все это было довольно простым делом, поэтому давайте-ка
испытаем метод приведения на несколько более трудной сумме,
В данном случае мы имеем So = О, S] = 2, S2 = 10, S3 = 34,
S4 = 98, но какова же общая формула? В соответствии с B.24)
получаем
так что желательно выразить сумму в правой части через Sn.
Ну, а ее можно разбить на две суммы с помощью сочетательного
закона
и первая из полученных сумм равна 2Sn. Вторая сумма — это сум-
сумма геометрической прогрессии, равная B—2п+2)/A— 2) =2П+2—2
по формуле B.25). Следовательно, Sn+(n+1 Jn+] = 2Sn+2n+2—2,
и после алгебраических преобразований получаем
Теперь понятно, почему S3 = 34 — это 32 + 2, а не 2 • 17.
52 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Аналогичный вывод с х вместо 2 привел бы нас к уравнению
Sn + (n+1)xn+1 = xSn+(x—xn+2)/A—x), откуда можно заключить,
что
2_кх =
x-(n+1)x"+1+nxn+2
B.2б)
к=0
Интересно отметить, что эту замкнутую форму можно бы-
было бы вывести совсем другим способом, используя элементарные
приемы дифференциального исчисления. Если начать с равен-
равенства
1 -х1
п+1
к=0
1-Х
и взять производную по х от обеих частей, то получим
к=0
A-хJ
- (n + 1 )xn + nxn+1
поскольку производная суммы равна сумме производных ее сла-
слагаемых. В последующих главах мы обнаружим гораздо больше
связей между непрерывной и дискретной математикой.
2.4 КРАТНЫЕ СУММЫ
Члены суммы могут быть снабжены не только одним, а
двумя и более индексами. Вот пример двойной суммы из девяти
членов, управляемой двумя индексами j и к:
-+- Q2bi + Q2b2 -j- Cl2b3
+ a3bi + a3b2 + a3b3 .
Для таких сумм используются те же обозначения и методы, что
и для сумм с единственным индексом. Так, если j и к связаны
некоторым условием P(j,k), то сумма всех членов a^k, таких, что
Р (j, k) истинно, может быть записана двумя способами, в одном из
которых используется нотация Айверсона, а суммирование осу-
осуществляется по всем парам целых j и к:
aj|k =
Обычно правление
бывает из девяти
членов.
Заметим, что это
вовсе не означает
суммирование по
всем ) }> 1 и всем
Несмотря на то, что здесь имеется более одного индекса сумми-
суммирования, достаточно только одного знака ?1, который означает
сумму по всем допустимым комбинациям индексов.
2.4 КРАТНЫЕ СУММЫ 53
Кратные суммы
вычисляются
справа налево
(изнутри-наружу).
Впрочем, случается использовать и две сигмы, когда речь
идет о сумме сумм. Например,
— это сокращенная запись суммы
которая представляет собой сумму по всем целым j членов
iLkai,k [P(J>k)], в свою очередь являющихся суммами по всем
целым к всех таких членов a^k, которые удовлетворяют условию
P(j, k). В таких случаях говорят, что двойная сумма „суммируется
сначала по к". Сумму, которая зависит более чем от одного индек-
индекса, можно начинать суммировать с любого из этих индексов.
Это обстоятельство представляет собой важное правило, на-
называемое изменением порядка суммирования и обобщающее
сочетательный закон B.16), с которым мы уже знакомы:
А кто, собственно,
паникует? Это
правило предста-
представляется само собой
разумеющимся
по сравнению с
некоторыми воль-
вольностями из гл.1.
В этом правиле средний член представляет собой сумму по двум
переменным. В левой части ]Г. j^k означает суммирование сперва
по к, а потом по j. В правой части XIк XIj означает суммирование
сначала по j, а затем по к. На практике, когда нам надо вычи-
вычислить двойную сумму в замкнутой форме, обычно проще сначала
просуммировать по какому-то одному из двух индексов, а не по
другому — мы свободны в выборе более удобного из них.
Суммы сумм — не повод для паники, но они могут сбить с тол-
толку начинающего — поэтому давайте-ка решим еще несколько при-
примеров. Девятичленная сумма, с которой мы начинали, служит
хорошей иллюстрацией преобразования двойных сумм, посколь-
поскольку эта сумма действительно может быть упрощена, а сам процесс
упрощения типичен для того, что можно делать с двойными сум-
суммами:
54 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
4 =1
Здесь в первой строке записана сумма из девяти членов безотно-
безотносительно их порядка. Во второй строке эти члены сгруппированы
по три, (aibi +aib2 + ciib3) + (ci2bi + а2Ь2 + а2Ьз) + (азЬ1 + азЬ2 +
азЬз). В третьей строке используется распределительный закон
для вынесения за скобки всех a-членов, поскольку aj и [1 ^ j ^ 3]
не зависят от к; это дает ai (bi + Ьг + Ьз) + ci2(bi + b2 + Ьз) +
аз(Ьт + b2 + Ьз). Четвертая строка аналогична третьей, но с до-
дополнительной парой скобок, введенных с тем, чтобы следующая
строка не выглядела слишком загадочной. В пятой строке выно-
выносится множитель (Ь1+Ь2+Ьз), который встречается при каждом j:
(ai +a.2 + a.3)(bi Н-Ьг + Ьз). Последняя строка— всего-навсего дру-
другая форма записи предыдущей. Подобный вывод можно исполь-
использовать для доказательства общего распределительного закона
)€J
B.28)
справедливого для всех множеств индексов J и К.
Основное правило B.27) изменения порядка суммирования до-
допускает разного рода вариации, возникающие, когда мы хотим
ограничить области изменения индексов вместо суммирования по
всем целым j и к. Эти вариации вызывают два ощущения: ванили Как-будто ешь пи-
пита, булыжной мостовой. Сперва — „ванильная" версия: рожное на Красной
площади!
k€K
JGJ
Это всего лишь другой способ записи B.27), поскольку скоб-
скобки Айверсона [j€j,keK] распадаются в произведение скобок
[) ? J] [k e К]. Правило с привкусом ванили применимо во всех слу-
случаях, когда области изменения j и к не зависят друг от друга.
„Булыжная" формула изменения порядка суммирования не-
несколько более мудреная. Она применима, когда область измене-
изменения индекса внутренней суммы зависит от переменного индекса
внешней суммы:
Gj,k • B.30)
JGJ k€K(j)
kGK' j
2.4 КРАТНЫЕ СУММЫ 55
(Теперь самое
время разогреться
упр.4 и 6.)
И скушать Твикс.
Разве на мостовой
могут быть лиш-
лишние булыжники?
В этом случае множества J, K(j), К' и J'(k) должны быть связаны
так, чтобы
j)] = [keK'][jeJ'(k)].
В принципе, разложение такого рода всегда возможно, посколь-
поскольку можно считать J = К' множеством всех целых чисел, а
K(j) = J'(k) — основным условием P(j, k), которое управляет двой-
двойной суммой. Вместе с тем существуют важные частные случаи,
когда множества J, K(j), К' и J'(k) имеют довольно простую фор-
форму. С ними часто приходится сталкиваться в приложениях. Вот
пример весьма полезного разложения:
^k]. B.31)
Это равенство по Айверсону делает справедливой следующую за-
запись:
п п
B.32)
j = 1 k=j
k=1 j = 1
Одну из этих двух двойных сумм обычно легче вычислить, чем
другую,— мы можем воспользоваться равенством B.32) для пере-
ключения с трудной суммы на легкую.
Используем эти соображения с пользой для дела. Рассмотрим
матрицу
... ai an
... a2an
... a3an
... ananj
. Наша цель — найти простую формулу
суммы всех элементов на и над главной диагональю этой матри-
матрицы. Поскольку ajuk = a^aj, матрица симметрична относительно
главной диагонали; следовательно, S^q будет приближенно рав-
равно полусумме всех элементов (за исключением липшего члена,
отвечающего главной диагонали).
Подобные наводящие соображения служат поводом для сле-
следующих манипуляций:
ai a2 ai аз
a2ai a2a2 а2аз
аза1 аза2 аз аз
Lanai апа2 апаз
из п2 произведений
для
56 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
поскольку (j,k) можно переобозначить как (k, j). Кроме того, по-
поскольку
мы получаем
Первая сумма по общему распределительному закону B.28) есть
(LJLi a))(Hk=i Qk) = (Lk«i cikJ, а вторая-^=1 а{. Поэтому
2 п \
1 (( п \2
= 21 а^ = ч! BLak)
1<$j<$k<$n \Лк=1 ^
)
j k=1 /
— выражение для суммы элементов верхней треугольной матри-
матрицы, записанное через более простые однократные суммы.
Воодушевленные таким успехом, рассмотрим еще одну двой-
двойную сумму:
S=
Здесь мы снова имеем симметрию относительно перестановки j
и к:
S= Y- (<Ч-ак)(^-Ьк)= Л (ak-a,)(bk-bj).
Поэтому сумму S можно сложить саму с собой, используя соот-
соотношение
с тем, чтобы заключить, что
2S = Y_ (glj — ak)(bj — bk) — ^ (aj-ak}(bj-bk).
Вторая сумма здесь обращается в нуль, а как насчет первой? А
она распадается на четыре отдельные суммы, каждая из которых
отдает ванилью: Просто кондитер-
ский магазин...
jbj - 2_ ajbk - 22 21
I^j.k^n I^j.k^n
= 2 22
22
На последнем шаге обе суммы подверглись упрощению в соот-
соответствии с общим распределительным законом B.28). Если же
(В действи-
действительности, Че-
бышёвым [346]
доказан аналогич-
аналогичный результат для
интегралов, а не
для сумм:
(Jjf(x)dx)
x(j'g(x)dx)
$(b-a)
x(j'f(x)g(x)dx),
если f (x) и
g(x) —монотон-
—монотонные неубывающие
функции.)
2.4 КРАТНЫЕ СУММЫ 57
преобразование первой суммы остается загадкой — воспроизведем
его не спеша снова:
akbk
akbk
= In
akbk = 2
= 2
= 2
Переменный индекс (в данном случае j), от которого не зависит
общий член суммы, можно просто исключить, если домножить
то, что остается, на размерность множества значений этого ин-
индекса (т. е. на п).
Возвращаясь к тому месту, где мы остановились, теперь мож-
можно поделить все пополам, произвести перестановку и получить
интересную формулу:
=1
7 4
=1
- 21
B-34)
k=1
В качестве частных случаев это соотношение дает неравенства
Чебышева для сумм:
bT1;
bn.
если
k=1
an и b
21ak)B1bk) ^ ^
k=1 ^ ^k=1 ^ k=1
если ai ^ • • • ^ an и
(В общем случае, если ai ^ • • • ^ an и если р —некоторая пере-
перестановка множества {1,..., п}, то нетрудно доказать, что наиболь-
наибольшее значение ]Tk_i сЦсЬр(к) достигается при bp(i) ^ • • • ^ Ьр(п), а
b b)
наименьшее значение —при bp(i)
М
bp(n).)
p() p()
Многократное суммирование имеет интересную связь с об-
общей операцией замены переменной суммирования в однократ-
однократных суммах. В силу переместительного закона мы знаем, что
22 Qk = Ц ap(k)
k€K p(k)€K
если p(k) является некоторой перестановкой целых чисел. Но что
будет, если заменить к на f(j), где f — произвольная функция
f: J -> К,
58 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
которая переводит целое j ? J в целое f(j) ? К? Общая формула
замены переменной выглядит так:
k#f-(k), B.35)
где #f~(k) обозначает число элементов множества
т. е. число элементов j ? J, таких, что f(j) равно к.
Формулу B.35) легко доказать, изменив порядок суммирова-
суммирования:
k€K
поскольку ^j€j[f(j) =k] = #f~(k). В частном случае, когда f—
взаимно однозначное соответствие между J и К, имеем #f~(k) = 1
при всех к, и общая формула B.35) сводится к формуле
j€j f(j)€K k€K
Это переместительный закон B.17), с которым мы уже имели
дело — в слегка замаскированном виде.
До сих пор все наши примеры кратных сумм включали в себя
произвольные члены типа ak или bk. Но поскольку эта книга
претендует на конкретность, давайте рассмотрим кратную сумму,
включающую реальные числа:
1^-^ъ^- ^ 3
В частности, Si = 0; S2 = 1; S3 = ?- + -!_ + ^ = f •
Обычный способ вычисления двойной суммы состоит в сум-
суммировании сначала по j или же сначала по к —поэтому давайте
испробуем обе возможности.
Другой преподава-
преподаватель математики
называет это
„биекцией"; быть
может, мне ког^а-
нибудь понравится
это слово.
А потом опять...
Глядите-ка, авто-
авторы, по-видимому,
думают, что j, к
и п „реальные
числа"
s-=
суммируя сперва по j
заменяя j на к — j
упрощая границы для )
по определению
формула B.13)
2.4 КРАТНЫЕ СУММЫ 59
= У" Нк заменяя к на к + 1
= У" Нк . упрощая границы для к.
Возьмите хлыст. Увы! Мы не знаем, как загнать сумму гармонических чисел в
замкнутую форму.
Если же попробовать начать суммировать по-другому, то по-
получим
Sn = ^~ ^~ -—г суммируя сперва по к
= У" У" - заменяя к на к + j
= У" У" -- упрощая границы к
Zy, по определению Hn_j,
n~j формула B.13)
= У" Hj заменяя j на n — j
= У" Hj. упрощая границы для j.
И вновь оказываемся в том же самом тупике.
Но имеется еще один путь, по которому можно добраться до
цели, если заменить к на k+j, прежде чем решиться на сведение
Sn к сумме сумм:
1*-,-^ъ*-„ fc )
переписывая исходную сумму
= У" -- заменяя к на к + j
суммируя сперва по j
v
Ln-k
ибо сумма по ) тривиальна
Кк^п
= У" — — ^" 1 в силу сочетательного закона
60 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
¦"(?*)-
= пНп — п.
черт возьми!
по определению Нп,
формула B.13)-
Ура! Мы нашли Sn. Сопоставляя результаты этого „забега" с до-
допущенными фальстартами, мы получаем в качестве приза следу-
следующее соотношение:
Нк=пНп-п.
B.36)
Использованную здесь уловку можно осмыслить двояко: во-
первых, алгебраически, а во-вторых, геометрически. A) Алгебра-
Алгебраически: если дана двойная сумма, члены которой включают в
себя k + f(j), rAe f — произвольная функция, то этот пример по-
показывает, что неплохо попробовать заменить к на к — f (j) и про-
просуммировать по ). B) Геометрически: можно представить сумму
Sn, например сумму при п = 4, в следующем виде:
k= I k = 2 к = 3 к = 4
1
2 ~
1 j
т н
1 1
h 3
¦ 1
h I
1
1
j=3
j=4
Наши первые попытки просуммировать сначала по j (по столб-
столбцам) или по к (по строкам), давали Hi -j- Н2 + Н3 = Н3 + Н2 + Hi.
Но выигрышный ход, по существу, заключался в суммировании
по диагоналям, и он давал у + \ + \-
Считать в этом вы-
выводе к ^ п вместо
к ^ п — 1 —это
было остроумно.
Простые границы
экономят силы.
2.5 ОБЩИЕ МЕТОДЫ
СУММИРОВАНИЯ
Теперь закрепим то, что уже изучили, рассмотрев один
и тот же пример с разных сторон. На следующих страницах
будет предпринята попытка найти замкнутое выражение для
суммы первых п квадратов, которую будем обозначать через Пп:
о,-
при n ^ 0.
B-37)
Мы увидим, что имеется по меньшей мере семь различных спо-
способов решения этой задачи, а в процессе их тактического разбора
мы научимся и стратегии успешного наступления на произволь-
произвольные суммы.
2.5 ОБЩИЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 61
Но вначале, как обычно, понаблюдаем некоторые крайние слу-
случаи:
(Более сложные
суммы можно
найти в объеми-
объемистых таблицах
Хансена [332].)
п
п2
?п
0
0
0
1
1
1
2
4
5
3
9
14
4
16
30
5
25
55
6
36
91
7
49
140
8
64
204
9
81
285
10
100
385
11
121
506
12
144
650
Никакого замкнутого выражения для Пп на первый взгляд не
наблюдается, но когда мы его обнаружим, эти величины могут
быть полезны для проверки точности попадания.
Метод 0: с помощью справочника
Проблема типа суммы первых п квадратов, несомненно, уже
кем-нибудь решена, так что весьма вероятно, что ее решение мож-
можно найти в любом имеющемся под рукой справочнике. И в са-
самом деле, на 36-й странице Стандартных математических таблиц
CRC [16] содержится такой ответ:
?n =
при n ^ 0.
B.38)
Исключительно с целью проверки правильности прочтения убе-
убедимся в том, что эта формула верна: Пъ = 5-6-11/6 = 55. Между
прочим, на той же 36-й странице таблиц CRC содержится даль-
дальнейшая информация, о суммах третьих, ..., десятых степеней.
Авторитетным собранием математических формул служит
Справочник по специальными функциям [2] под редакцией Абра-
мовица и Стиган. На ее. 616-617 этой книги приведены значения
Пп для всех п ^ 100, а на ее. 608 и 612 представлены формулы,
эквивалентные B.38), вместе с аналогичными формулами для
сумм третьих, ..., пятнадцатых степеней (с переменой или без
перемены знаков).
Но наилучшим источником ответов на вопросы о последо-
последовательностях остается изумительная небольшая книжка Слоана
под названием Справочник по целочисленным последовательно-
последовательностям [276], в которой перечислены тысячи последовательностей в
соответствии с их числовыми значениями. Если вы сталкиваетесь
с некоторой рекуррентностью, которую есть основание считать
уже изученной, все, что нужно сделать,—это вычислить доста-
достаточное число членов для того, чтобы распознать вашу рекуррент-
рекуррентность среди других известных; тогда у вас появятся шансы найти
указание на соответствующую литературу в справочнике Слоана.
Так, выясняется, что 1, 5, 14, 30, ... у Слоана имеет номер 1574
и называется последовательностью „квадратных пирамидальных
чисел" (ибо в пирамиде с квадратным основанием из п2 шаров
умещается Пп шаров). Слоан отсылает нас к трем источникам,
одним из которых служит уже упоминавшийся справочник Абра-
мовица и Стиган.
62 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Еще один способ почерпнуть из кладезя мировой математиче-
математической мудрости — использование компьютерных программ (таких,
как MACSYMA, Axiom, Maple или Mathematica), дающих средства
для символьных преобразований. Такие программы особенно цен-
ценны, когда приходится иметь дело с громоздкими формулами.
Знакомство со стандартными источниками информации небес-
небесполезно, ибо они могут оказаться исключительно полезными. Тем
не менее, метод 0 не вполне согласуется с духом этой книги, по-
поскольку нам хотелось бы знать, как угадать ответ самостоятель-
самостоятельно. „Справочный" метод ограничивает нас задачами, которые кто-
то счел заслуживающими внимания — интересующую нас задачу
среди них можно и не найти.
Метод 1: угадывание ответа с подтверждением
по индукции
Возможно, ответ к задаче принесла на хвосте сорока, а мо-
может быть, мы пришли к нему каким-то другим таинственным
способом — тогда от нас требуется всего лишь подтвердить его
правильность.
Мы могли бы, например, заметить, что значения Пп раскла-
раскладываются на маленькие простые множители, так что мы могли
найти B.38) как формулу, работающую для всех малых п. Можно
было бы также предположить эквивалентную B.38) формулу
Или, по крайней
мере, задачами,
имеющими те же
ответы, что и
задачи, которые
кто-то решил
рассмотреть.
?п =
при n ^ О,
B-39)
которая приятнее в том смысле, что ее легче запомнить. Все го-
говорит в пользу B.39), но мы обязаны доказать наши предполо-
предположения способом, не оставляющим ни малейшего сомнения. Для
этой цели и была придумана математическая индукция.
„Итак, Ваша честь, нам известно, что По = 0 = 0@+ j)@+l )/3,
так что с базой индукции просто. Для индуктивного перехода
предположим, что п > 0, и допустим, что B.39) остается в силе,
когда п заменяется на п — 1. Поскольку
то
ЗПП = (n-1)(n-l)(n) + Зп2
= (п3 - §п2 + \п) + Зп2
Таким образом, формула B.39) действительно справедлива при
всех п ^ 0 вне всякого сомнения4! Господа присяжные, нет возра-
возражений?
2.5 ОБЩИЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 63
„В старину вне-
внезапную удачную
мысль считали
прозрением, даром
богов. Этот дар}
однако, надо заслу-
заслужить своим трудом
или, по крайней
мере, страстным
желанием"
-Д. Пойа,
[239* с. 140].
Больше похоже на
ничью.
Индукция здесь уместна и отчасти более оправдана, чем по-
поиск ответа в справочнике. Но все равно это не совсем то, что нам
нужно. Со всеми другими суммами, которые до сих пор вычисля-
вычислялись в этой главе, мы справлялись без всякой индукции; того же
правила нам следует придерживаться и при установлении суммы
?п. Не стоит каждый раз надеяться на счастливые прозрения —
мы должны уметь обращаться с подобными суммами и в повсе-
повседневности.
Метод, 2: метод, приведения
Итак, давайте вернемся к методу приведения, который так хо-
хорошо проявил себя в случае геометрической прогрессии B.25).
Выделим первый и последний члены Пп+1, для того чтобы полу-
получить уравнение относительно Пп:
(k2
к2+2
к+ Y.
(п
Оп-па! Величины Пп взаимно уничтожаются. Случается, что, не-
несмотря на все наши старания, метод приведения приводит к чему-
то вроде Пп — Пп, и мы остаемся в проигрыше.
Тем не менее, этот вывод не совсем бесполезен: он выявляет
способ вычисления суммы первых п целых чисел в замкнутой
форме
? к = (п + 1J-(п + 1),
хотя мы и рассчитывали вычислить сумму их квадратов. А не
может случиться так, что, начав с суммы кубов целых чисел,
которую можно обозначить через ЙРП| мы получим выражение
для суммы их квадратов? Давайте попробуем:
Метод 2':
метод приведения
в смятение.
Как мы и ожидали, величины EРП уничтожаются, и мы можем
определить Пп, не полагаясь на индукцию:
ЗПП = (п + 1 K - 3(п + 1 )п/2 - (п + 1)
= (n + 1)(n2+2n + 1-fn-l) = (n + 1)(n + l)n.
64 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Метод, 3: подбор репертуара
Для суммирования квадратов достаточно также немного
обобщить рекуррентное соотношение B.7). Решение рекуррент-
рекуррентности
Ro — &>>
Rn = Rn_i + $+уп + бп2 прип>0, B.40)
вообще будет иметь вид
Rn = A(n)oc + B(n)|3 + C(n)y-f D(nN, B.41)
и мы уже определили Л(п), В(п) и С{п)> поскольку B.40) — то же
самое, что и B.7), когда б — 0. Если теперь подставить Rn = п3,
то выясняется, что п3 будет решением при a = 0, C = 1, у = — 3
и5 = 3. Итак,
3D(n)-3C(n) + B(n) =n3;
откуда определяется D(n).
Но нас интересует сумма Пп, которая равна Dn_i -fn2: если
мы положим ос=|3=у = 0иб = 1 в B.41), то получим Пп = Rn.
Следовательно, Пп = D(n). Нам ни к чему прибегать к алге- Прибегать лучше
бре для вычисления D(n) по В(п) и С(п), поскольку мы уже не к финишу.
сомневаемся в том, каким будет ответ. Но если среди нас есть
сомневающиеся, то их следует заверить в том, что
3D(n) - п3 + ЗС(п) - В(п) = п3 +
= n(n+-)(n + l).
Метод 4; замена сумм интегралами
Те, кто взращен на ниве непрерывной, а не дискретной матема-
математики, больше симпатизируют интегралам, нежели суммам, и по-
потому находят естественным попытаться заменить Y. на J- Одна из
целей нашей книги заключается в том, чтобы сделать Y_ настоль-
настолько простой в обращении, что уже J будет казаться более сложным
чем Y. (по крайней мере, при точных вычислениях). Но все же
имеет смысл проследить связь между Y. и J\ поскольку и сумми-
суммирование, и интегрирование основаны на очень схожих идеях.
В математическом анализе интеграл может рассматривать-
рассматриваться как площадь под некоторой кривой, и мы можем вычислить
эту площадь приближенно, складывая площади вытянутых уз-
узких прямоугольников, которые соприкасаются с данной кривой.
Если же совокупность вытянутых узких прямоугольников зада-
задана, то можно пойти обратным путем: поскольку величина Пп есть
сумма площадей прямоугольников размером 1 х 1, 1 х4, ..., 1 хп2,
то она приближенно равна площади под кривой f (х) = х2 в ин-
2.5 ОБЩИЕ МЕТОДЫ СУММИРОВАНИЯ 65
Здесь масштаб
по горизонтали в
десять раз боль-
больше масштаба по
вертикали.
тервале от 0 до п.
f(x
123
А так как площадь под этой кривой есть J^ x2 dx = n3/3, мы
выясняем, что величина Пп приближенно равна ^п3.
Один из способов извлечь пользу из этого факта — оценить по-
погрешность полученной аппроксимации, Еп — Пп — \п3. Поскольку
Пп удовлетворяет рекуррентности Пп = Шп-i +тг2, мы обнаружи-
обнаруживаем, что Еп удовлетворяет еще более простой рекуррентности
Еп = Пп - -п3 = Пп-1 + nz - -тг5
Это для питаю-
питающих склонность к
математическому
анализу.
= En_1+l(n-l)+n-in =Еп_1+тг-1.
Другой способ проведения в жизнь интегрального подхода —на-
—нахождение формулы для Еп путем суммирования площадей кли-
клиновидных фигур, составляющих погрешность. Получаем
Пп - х2 dx = У (к2 - х2 dx
Jo ^~f V Jk-1 /
к=1 ч 7 к=1
В любом случае можно было бы найти Еп, а затем Пп.
Метод, 5: усложнение и упрощение
Еще один способ нахождения Пп в замкнутой форме — замена
исходной суммы более сложной на первый взгляд двойной сум-
суммой, которая в действительности может быть упрощена, если пре-
преобразовать ее как надо:
?п =
= i
66 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Переход от однократной суммы к двукратной может сначала по-
показаться шагом назад, но на самом деле — это шаг вперед, ибо
он дает нам суммы, с которыми легче работать. Нельзя рассчи-
рассчитывать решить каждую задачу, непрерывно упрощая, упрощая и
упрощая, как нельзя овладеть горными вершинами, только под-
поднимаясь, поднимаясь и поднимаясь!
Метод, 6: исчисление конечных разностей
Метод, 7: использование производящих функций
Настраивайтесь на еще более захватывающие методы вычи-
вычисления Пп = XLk=o^2' которые мы будем изучать в следующем
разделе и в последующих главах.
(В данном выводе
последний шаг от-
отчасти напоминает
последний шаг
метода приведения,
так как мы полу-
получаем уравнение
с неизвестной
величиной в обеих
частях.)
2.6 ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО
И БЕСКОНЕЧНОГО
Мы изучили целый ряд способов непосредственного обра-
обращения с суммами. Теперь настала пора расширить наш круго-
кругозор, рассмотрев проблему суммирования на более высоком уров-
уровне. По аналогии с более традиционным исчислением бесконечно
малых математиками разработано исчисление „конечных разно-
стей1; с помощью которого можно аккуратно и методично подойти
к суммированию.
Исчисление бесконечно малых основано на свойствах диффе-
дифференциального оператора D, определяемого как
Df (x) = lim
h*0
f(x + h)-f(x)
Исчисление конечных разностей основано на свойствах разност-
разностного оператора А, определяемого как
=f(x
B42)
Это конечно-разностный аналог производной, в котором мы огра-
ограничились целыми положительными значениями Н. Таким обра-
образом, Н = 1 —ближайшее к нулю значение, которое можно по-
получить „в пределе" при Н —> 0, a Af (х) — это (f(x-f-h) — f(x))/H
при Н = 1.
Символы D и А называются операторами, поскольку они
„оперируют" с функциями, образуя новые функции: они являют-
являются функциями функций, результатом которых являются
функции. Если f — достаточно гладкая функция, отображающая
2.6 ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО И БЕСКОНЕЧНОГО 67
вещественные числа в вещественные числа, то Df также является
функцией из вещественных чисел в вещественные числа. А если
f представляет собой любую функцию из вещественных чисел в
вещественные числа, то таковой является и Af. Значения функ-
функций Df и Af в точке х вычисляются в соответствии с данными
выше определениями.
Приступая к изучению дифференциального исчисления, мы
прежде всего выясняем, как D действует на степенные функции
f (х) = хт. Для таких функций Df (x) = mxm~]. Неформально это
можно записать, опуская f, как
D(xm) = тих™ .
Бь1ло бы здорово, если бы оператор А давал столь же элегантный
результат; к сожалению, этого не происходит. Так,
А(х3) = (х+1K-х3 = Зх2+Зх+1.
Тем не менее, имеется некая разновидность „тп-й степени", ко-
которая действительно здорово преобразуется под действием А, и
именно это обстоятельство делает исчисление конечных разно-
разностей содержательным. Такие модифицированные степени х опре-
определяются по правилу
тп сомножителей
= х(х — 1)... (х — m + 1), целое m ^ 0.
B43)
Обратите внимание на маленькую черточку под та —она указы-
указывает на то, что m сомножителей должны постепенно становиться
все меньше и меньше. Существует, соответственно, определение,
по которому сомножители становятся все больше и больше:
та сомножителей
хт = х(х + 1)... (х + т - 1), целое т ^ 0.
B.44)
А если отсутству-
отсутствуют и сомножители,
и слагаемые?
При т = 0 имеем х- = х° = 1, так как по соглашению произведе-
произведение отсутствующих сомножителей принимается равным 1 (точно
так же, как сумма отсутствующих слагаемых считается равной 0).
Величина х™ называется „х в убывающей степени та" если
нужно произнести это вслух; созвучно хт — это „х в возрастающей
степени та". Эти функции называют также убывающими факто-
факториальпыми степенями и возрастающими факториальпыми
степенями^ поскольку они тесно связаны с факториальной фун-
функцией п! =п{п— 1)... A). В самом деле, п! =п- = 1П.
В математической литературе встречается ряд других обозна-
обозначений для факториальных степеней, среди них —„символ Пох-
68 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
гаммера" (х)т для хт или для х—; встречаются также обозначе-
обозначения типа х(тп) или Х(т). Тем не менее в моду входит подчеркнуто-
надчеркнутое обозначение, ибо оно просто пишется, легко запо-
запоминается и избавлено от лишних скобок.
Убывающие степени х— особенно хороши по отношению к А:
= (x + 1 )x... (x - m + 2) - x... (x - m + 2) (x - m + 1)
= mx(x - 1)... (x - m + 2),
так что исчисление конечных разностей располагает удобным в
обращении правилом, под стать правилу D(xm) = mx™:
а[х—j — mx . 12.45;
Это основной факториальный факт.
Оператор D в исчислении бесконечно малых имеет обрат-
обратный—антидифференциальный (или интегральный) оператор J.
Основная теорема дифференциального и интегрального
исчисления связывает D с J следующим образом:
g(x) = Df(x)
тогда и только тогда, когда g(x) dx = f (х) + С.
Здесь J g (x) dx — неопределенный интеграл g (x) — является клас-
классом функций, производная которых есть д(х). Точно так же, опе-
оператор А имеет обратный — антиразностный (или суммирующий)
оператор ]Г, и в этом случае справедлива такая Основная тео-
теорема:
9(х) = Af(x)
тогда и только тогда, когда У" д(х) бх = f (х) + С . B.46)
Здесь ^1 9 М ^х —неопределенная сумма д(х)—является клас-
классом функций, разность которых есть д(х). (Заметим, что строч-
строчная б соотносится с прописной А так же, как d соотносится с D.)
Буква „С" в случае неопределенных интегралов обозначает про-
произвольную постоянную; в случае же неопределенных сумм роль
„С" играет любая функция р(х), такая, что р(х+1) = р(х). В част-
частности, С могла бы быть периодической функцией а + Ъ sin27TX —
такие функции аннулируются, если мы берем от них разности
(точно так же как аннулируются константы, когда мы берем от
них производные). При целочисленных х функция С является
константой.
Теперь мы почти подошли к кульминационному моменту. Ис-
Исчисление бесконечно малых включает в себя и определенные ин-
интегралы: если g(x) = Df (х), то
[ g(x)dx = f(x)|b =f(b)-f(a).
Ja «a
С математической
символикой порой
случаются наклад-
накладки: на самом деле
Похгаммер [245]
использовал обо-
обозначение (х)т для
биномиального
коэффициента
(I), а не для
факториальных
степеней.
Впрочем, в Спра-
Справочнике по специ-
специальными функ-
функциям [2] символ
Похгаммера опре-
определяется именно
как (х)о = 1,
(х)т = х(х +
— Перев.
„Quemadmodum
ad differentiam
denotandam usi
sumussigno A,
ita summam
indicabimus
signo I. ... ex quo
aequatio z = Лу, si
invertatur, dabit
quoque у =
Iz + C."
-Л. Эйлер [374]
2.6 ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО И БЕСКОНЕЧНОГО 69
Соответственно, исчисление конечных разностей — во всем ими-
имитирующее своего более знаменитого собрата — располагает опре-
определенными суммами: если g(x) = Af(х), то
Y Ъ д(х) бх = f (х) Ъ = f (b) - f (a). B.47)
*—а а
Эта формула раскрывает смысл обозначения Л^дМЬх, точно
так же, как предыдущая формула — смысл JQ g(x) dx.
Но что же представляет собой сумма Х^д(хNх в действи-
действительности? Мы установили ее смысл по аналогии, но не по суще-
существу. Такая аналогия хороша для того, чтобы облегчить запоми-
запоминание правила исчисления конечных разностей; однако подобное
обозначение будет бесполезным, если мы не поймем его истин-
истинного смысла. Попробуем выяснить смысл этой суммы, рассмо-
рассмотрев сначала некоторые специальные случаи, исходя из того, что
g(x) = Af (х) = f (х + 1) - f (х). Если Ъ = а, то
Далее, если Ъ — a -f I, то результат такой:
y"G+lgM6x = f(a + 1)-f(a) = g(a).
И еще, если к Ъ добавить 1, то
1
g(xMx -
= g(b).
Подобные наблюдения, а также математическая индукция, позво-
позволяют выяснить точный смысл YX 9(х) бх в общем случае, когда
а и b — целые числа иЬ^а:
ъ ъ-1
д(х) бх =^ д(к) =^ д(к) при целых b ^ а. B.48)
к=а а^к<Ь
И вот ради этого Другими словами, определенная сумма —это то же самое, что и
весь сыр-бор? обычная сумма с пределами суммирования, но с исключенным
значением верхнего предела.
Попробуем повторить этот вывод несколько иначе. Предпо-
Предположим, что нам дана неизвестная сумма, которая, предположи-
предположительно, вычисляется в замкнутой форме, и еще предположим,
что ее можно записать в виде Ha^k<b g(k) = 21а9(х)бх. Тео-
Теория исчисления конечных разностей говорит, что ответ можно
выразить в виде f(b) — f(a), если только мы сможем найти не-
неопределенную сумму или антиразностную функцию f, такую, что
ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
g(x) = f (х +1) — f(x). Один из способов понять сей принцип— вы-
выписать ^a^k<b д(к) в развернутом виде, используя '•¦•':
Все члены в правой части, за исключением f (Ь) — f (a), сокраща-
сокращаются, так что значением суммы является f (b)—f (a). (Суммы вида
^Ta<k<b(f(k + 1) — f (k)) часто называют телескопическими^ по
аналогии со складным телескопом, так как толщина стенок сло-
сложенного телескопа определяется исключительно радиусом самой
большой и радиусом самой малой из труб.)
Но правило B.48) применимо только при b ^ а; а что случится
при b < а? Ну, согласно B.47))
что аналогично соответствующему соотношению для определен-
определенного интеграла. Подобным же образом доказывается, что YX +
Иь = Ha — аналог соотношения Ja +/^ = \°а для сумм. Вот это
соотношение при полном параде:
У д(хMх+У~%(хNх = У"Сд(х)бх B.49)
' ¦ a ' b ' a
для любых целых a, b, и с.
Скорее всего, на данном этапе некоторые начинают интересо-
интересоваться: а что нам дают все эти параллели и аналогии? Ну, для
начала, исчисление определенных сумм дает простой способ вы-
вычисления сумм убывающих степеней: из основных правил B.45))
B.47) и B48) вытекает общее правило
m+1
n
m+1
m+1
при целых m,n ^ 0.
B.50)
Эта формула легко запоминается, поскольку она очень похожа
на знакомую нам формулу J™ xm dx = nm+1/(m + "I )•
В частности, при m = 1 имеем k- = к, поэтому данное прави-
правило исчисления конечных разностей предоставляет простой способ
запоминания того факта, что
^ k = -у = п(п-1)/2.
Исчисление определенных сумм облегчается также тем обстоя-
обстоятельством, что суммы в промежутке 0 ^ k < n зачастую ока-
оказываются проще сумм в промежутке 1 ^ k ^ п: первые из них
И все то время,
пока я думал, она
телескопировалась,
поскольку склады-
складывалась из довольно
длинного выра-
выражения в весьма
короткое.
Других этот во-
вопрос занимает уже
давно.
2.6 ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО И БЕСКОНЕЧНОГО 71
попросту равны f (n) - f @), в то время как последние требуют
вычисления Цп + 1) — f A).
Обычные степени также можно суммировать этим новым спо-
способом, если сперва выразить их через убывающие степени. Так,
k2 = k^ + k1,
откуда
= у+ у = in(n-1)(n-2 + §) = 'n(n-l)(n-1).
Замена пнап+1 дает еще один способ вычисления в замкнутой
форме нашего старого знакомого — суммы Пп = XL0<k<n к2-
Вот здорово —так просто! Это действительно проще, чем лю-
любой из той уймы способов, которыми мы замучили до смерти дан-
данную сумму в предыдущем разделе. Поэтому попробуем подняться
выше —от квадратов к кубам. Несложное вычисление показыва-
показывает, что
к3 =1^ + 31^ + ^.
(Обычные степени всегда можно обратить в факториальные и на-
наоборот, используя числа Стирлинга, которые мы будем изучать
в гл. б.) Таким образом:
L*-$
Итак, убывающие степени весьма подходят для вычисления
сумм. Но обладают ли они еще какими-нибудь качествами, оправ-
Как много дывающими их существование? Должны ли мы обращать давно
знакомых... нам знакомые обычные степени в убывающие до суммирования, а
затем обращать их обратно, вместо того чтобы действовать как-
нибудь по-другому? Вовсе нет: зачастую можно работать непо-
непосредственно с факториальными степенями, поскольку они обла-
обладают рядом дополнительных свойств. Например, точно так же,
как справедливо, что (х + уJ = х2 + 2ху + у2, справедливо и то,
что (х + у)- = х- + 2х-"у- + "у-, и та же самая аналогия существует
между (х + у)ш и (х + у)—. (Эта „факториальная биномиальная
теорема" доказывается в упр. 5.37.)
До сих пор мы рассматривали только убывающие степени без
отрицательных показателей. Чтобы провести аналогии с обыч-
обычными отрицательными степенями, нам потребуется подходящее
определение х— при m < 0. Глядя на последовательные степени
х- = х,
72 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
можно заметить, что для перехода от х- к х-, к х- и к х- мы делим
на х — 2, потом — на х — 1, и потом — на х. Представляется жела-
желательным (если не обязательным) затем разделить на х +1, чтобы
перейти от х- к х— = 1/(х + 1). Продолжая деление, мы полу-
получаем несколько первых убывающих степеней с отрицательными
показателями,
х— =
х=2 =
1
х + 1 '
1
(y 4- 1Ux 4- 2Uy 4- Ч) '
так что в общем случае определение отрицательных убывающих
степеней таково:
л,— та
X ==:
1
при та > 0.
B-51)
(Убывающие степени можно также определить и для веществен-
вещественных и даже комплексных та, но мы отложим это до гл. 5.)
Благодаря такому определению убывающие степени обрета-
обретают дополнительные замечательные свойства. Возможно, наибо-
наиболее важным из них является общее правило показателей, анало-
аналогичное правилу
Все в комплексе.
для обычных степеней. Его вариант для убывающих степеней:
m±n = хт (х _ т)п
целые 7TL И П.
B.52)
Так, x^ti — х- (х — 2)-, а при отрицательном п
1
х+1
Если бы мы определили х— как 1/х, а не как 1/(х + 1), то пра-
правило показателей B.52) оказалось бы несправедливым в случаях
типа та = — 1 и п = 1. В действительности, можно было бы вос-
воспользоваться правилом B.52), которое как раз и указывает, как Правила показы-
следует определять убывающие степени с отрицательными пока- вают как поло-
зателями, если положить та = —п. Когда какое-то существующее жительные, так
обозначение распространяется на большее число случаев, всегда и отрицательные
лучше формулировать определения таким образом, чтобы общие свои СТ0Р0НЫ-
правила оставались справедливыми.
2.6 ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО И БЕСКОНЕЧНОГО 73
Убедимся теперь в том, что решающее разностное свойство
справедливо для установленных нами по-новому убывающих сте-
степеней. Действительно ли Ах— = тах^—- при та < 0? Если, напри-
например, та = —2, то соответствующая разность
2)(х
+ 2)
2)(х
Да, все верно! Подобная проверка проходит при любом та < 0.
Следовательно, правило суммирования B.50) остается спра-
справедливым как для отрицательных, так и для положительных
убывающих степеней, до тех пор, пока не произойдет деление на
нуль:
ъ
х^бх =
т+1
при та ф —1.
Ну, а как же быть с та = — 1? Вспомним, что при интегриро-
интегрировании при та = — 1 мы получаем
ГЬ -1 b
х dx = lnx
Ja
Нам хотелось бы иметь конечно-разностный аналог lnx; другими
словами, мы хотим найти функцию f (x), такую, что
1
= АЦх) =f(x+1)-f(x).
Не очень трудно видеть, что такой функцией является
В точности 0.577 ?
Может, имеется в
виду 1/л/З.
А может, и нет.
когда х —целое число, а эта величина — попросту гармоническое
число Нх из B.13). Таким образом, дискретным аналогом непре-
непрерывной функции lnx служит Нх. (Мы определим Нх для неце-
нецелых х только в гл. б, а для ближайших целей будет вполне доста-
достаточно целых х. Мы также увидим в гл. 9, что при больших х вели-
величина Нх —lnx приближенно равна 0.577+ 1/Bх). Следовательно,
Нх и lnx —не просто аналоги: обычно их значения отличаются
менее чем на 1.)
Теперь можно дать полное описание сумм убывающих степе-
степеней:
„т+1
т+ 1
ъ
при та Ф —1;
при та = — 1.
B-53)
74 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Эта формула показывает, почему пресловутые „гармонические"
числа очень гармонично возникают при решении дискретных за-
задач, типа анализа задач „быстрой сортировки", тогда как так на-
называемые „натуральные" логарифмы весьма натуральны при ре-
решении непрерывных задач.
Теперь, когда найден аналог для lnx, посмотрим, имеется ли
таковой для ех. Какая функция f(x) обладает свойством АЦх) =
f(x), соответствующим тождеству Dex = ех? Ответ прост:
f(x+1)-f(x) =f(x)
=2f(x)
так что мы имеем дело с простой рекуррентностью и можем при-
принять f (х) = 2х в качестве дискретной экспоненты.
В случае произвольного с разность функции сх также доста-
достаточно проста, а именно,
Д(сх) = сх+1 -сх = (с-1)сх.
Следовательно, антиразностью функции сх является сх/(с — 1),
если с ф 1. Этот факт, вместе с основными правилами B.47) и
B.48), дают нам компактный способ выведения общей формулы
суммы геометрической прогрессии:
Z ck =
с-1
cb-cQ
с-1
при с Ф 1.
Всякий раз, когда мы сталкиваемся с функцией f, которая
могла бы оказаться полезной в качестве замкнутого выражения
суммы, можно вычислить ее разность Af = g —тем самым мы
получаем функцию д, неопределенная сумма ]Г д(х) 6х которой
нам известна. Таблица 75 представляет собой начало перечня пар
разность/антиразность, полезных при вычислении сумм.
Несмотря на все эти параллели между непрерывной и дис-
дискретной математикой, некоторые непрерывные понятия не име-
имеют дискретных аналогов. К примеру, „правило цепочки" в исчи-
исчислении бесконечно малых — удобное правило вычисления произ-
производной „функции от функции"; однако в исчислении конечных
разностей правила, соответствующего „правилу цепочки", нет, по-
поскольку нет подходящего выражения для Af(g(x)). В дискрет-
дискретном случае затруднена также замена переменных, за исключени-
исключением определенных случаев, типа замены х на с ± х.
Однако для A(f (x) g(x)) есть весьма подходящее выражение,
и оно обеспечивает нас правилом суммирования по частям —
конечно-разностным аналогом того, что в исчислении бесконечно
малых именуется „интегрированием по частям" Вспомним, что в
исчислении бесконечно малых формула
D(uv) = uDv + vDu
приводит к правилу интегрирования по частям,
u Dv = uv — v Du,
'Таблица 75'-
которая на стра-
странице 75. Доходит?
2.6 ИСЧИСЛЕНИЕ КОНЕЧНОГО И БЕСКОНЕЧНОГО 75
Таблица 75 Суммы и разности
Af = g
= lg
Af = g
х! = -
х— = х(х — 1)
X—
x2b±l/(m+1)
О
1
2х
х^1=1/(х-
2х
сх
сх/(с-1)
cf
f + g
fg
2х
(c-1)cx
с"
cAf
Af + Ag
f Ag + EgAf
В исчислении
бесконечно ма-
малых мы полагаем
1 —> 0, так что Е
пропадает.
А, я понял, е* =
2х при достаточно
малой 1.
после интегрирования и перестановки членов; то же самое можно
проделать и в исчислении конечных разностей.
Начнем с применения разностного оператора к произведению
двух функций и(х) и v(x):
A(u(x) v(x)) = u(x + 1) v(x + 1) -u(x)v(x)
= u(x + 1) v(x + 1) -u(x) v(x + 1)
+ u(x)v(x+1)-u(x)v(x)
= u(x) Av(x) + v(x + 1) Au(x). B.54)
Эта формула может быть приведена к более удобному виду, если
использовать оператор сдвига Е, определяемый как
Ef(x) =f(x+1).
Подставляя его вместо v(x+1), получаем компактное правило
для разности произведения:
A(uv) = uAv + EvAu.
B.55)
(Здесь Е доставляет некоторое неудобство, но зато делает это
уравнение правильным.) Взяв неопределенную сумму от обеих
частей этого равенства и переставив члены, мы получаем обе-
обещанное правило суммирования по частям:
uAv = uv-^T EvAu. B.56)
Как и в исчислении бесконечно малых можно пристроить пре-
пределы суммирования ко всем трем членам, делая неопределенные
суммы определенными.
Данное правило полезно, когда сумму слева вычислить труд-
труднее, чем сумму справа. Вот пример. Интеграл J xex dx обычно
вычисляют по частям; его дискретным аналогом является сумма
]Г х2х 6х, с которой мы уже сталкивались в этой главе, правда,
записанной в виде 2Zk=o^^k- Аля суммирования по частям по-
полагаем и(х) = х и Av(x) = 2х; откуда Аи(х) = 1, v(x) = 2х и
Ev(x) =2X+1. Подстановка в B.56) дает
х2х6х = х2х -
С.
76 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
А теперь можно воспользоваться этим для вычисления суммы, с
которой мы имели дело раньше, расставив пределы суммирова-
суммирования:
Ту* = Тп
к=0
= х2х-2
х+1
= ((n+1Jn+1-2n+2)-@-2°-21)
Вместо того чтобы использовать метод приведения, легче вычи-
вычислить данную сумму таким методом, поскольку при этом не надо
думать ни о чем.
Где-то посреди этой главы мы наткнулись на формулу для
Ho^k<n ^k и сочли себя счастливыми. Но мы могли бы обнару-
обнаружить нашу формулу B.36) закономерно, если бы знали о сумми-
суммировании по частям. Продемонстрируем это, взявшись вычислить
даже более трудную на вид сумму Ц0^к<п ^Нъ На самом деле
решение будет нетрудным, если исходить из аналогии с интегра-
интегралом Jxlnx dx: мы полагаем и(х) = Нх и Av(x) = х = х-, так что
Ди(х) = х—, v(x) = xV2, Ev(x) = (х + 1 )-/2 и, следовательно,
Конечная цель
математики —
вообще избавиться
от необходимости о
чем-либо думать.
к— 5х
(Переходя от первой строки ко второй, мы объединили две убыва-
убывающие степени (х + 1 )-х—, используя правило показателей B.52)
с та = — 1 и п = 2.) Теперь можно подключить пределы и заклю-
заключить, что
B-57)
2.7 БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ
Вводя в начале главы ^обозначение, мы ловко уклонились
от вопроса о бесконечных суммах, в сущности, заявив: „Отложим
это на потом. А пока можно считать, что все встречающиеся сум-
суммы имеют только конечное число ненулевых членов" Но пришло,
наконец, время расплаты — мы обязаны признать тот факт, что
Это называется
ловко?
„Искусный оратор-
ораторский прием состоит
в том, чтобы посте-
постепенно действовать
на воображение
слушателей после-
последовательным изло-
изложением деталей, а
затем уже сделать
общий вывод. То
же самое мы имеем
при последователь-
последовательном складывании
членов суммы"
— А.Н.Уайтхед,
[297; с. 181].
Правильно:
1+2+4+84-
„бесконечно точ-
точное" представление
числа -1 в дво-
двоичном компьютере
с неограниченной
длиной слова.
2.7 БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ 77
суммы могут быть и бесконечными. И, по правде говоря, беско-
бесконечные суммы сопровождаются как приятными, так и неприят-
неприятными обстоятельствами.
Сперва о неприятном: оказывается, что те методы, которые
мы применяли при обращении с суммами, не всегда справедливы
для бесконечных сумм. А теперь о приятном: существует обшир-
обширный просто устроенный класс бесконечных сумм, для которых
вполне законны все те операции, что мы выполняли. Причины,
кроющиеся за обоими обстоятельствами, станут ясны после того,
как мы выясним подлинный смысл суммирования.
Все знают, что такое конечная сумма: мы добавляем к общему
итогу все слагаемые, одно за другим, покуда все они не окажутся
сложенными. Но бесконечную сумму следует определить более
деликатно, чтобы не попасть впросак.
Например, представляется естественным считать, что беско-
бесконечная сумма
16
32
равна 2, поскольку при ее удвоении получаем
2S =
1 + 1 + 1 + ^ + . •¦ =2 + S.
Но тогда, следуя той же логике, надо бы считать сумму
Т =
16 + 32Н
равной —1, ибо при ее удвоении получаем
2Т = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + .-. =Т-1.
Происходит нечто странное: как можно получить отрицательное
число, суммируя положительные величины? По-видимому, луч-
лучше оставить сумму Т неопределенной, а, возможно, нам следует
считать, что Т = оо, поскольку слагаемые в Т становятся больше
любого фиксированного конечного числа. (Заметим, что величи-
величина оо является другим „решением" уравнения 2Т = Т — 1; она
также „решает" и уравнение 2S = 2 + S.)
Попробуем дать надлежащее определение величины произ-
произвольной суммы ]TkGK aic, где множество К может быть беско-
бесконечным. Для начала предположим, что все члены а* неотрица-
неотрицательны. В этом случае подходящее определение найти нетрудно:
если для любого конечного подмножества F С К существует огра-
ограничивающая постоянная Л, такая, что
то мы полагаем сумму Лкек ак равной наименьшей из всех та-
таких Л. (Как следует из хорошо известных свойств вещественных
чисел, множество всех таких Л всегда содержит наименьший эле-
элемент.) Но если такой ограничивающей постоянной Л не существу-
существует, мы считаем, что ]TkGK а* = оо; это означает, что если Л —
78 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
некоторое вещественное число, то найдется некоторое конечное
число членов а^, сумма которых превосходит А.
Определение в предыдущем абзаце сформулировано столь де-
деликатно, что оно не зависит ни от какого порядка, который мо-
может существовать в индексном множестве К. Поэтому те доводы,
которые мы собираемся привести, будут справедливы не только
для сумм по множеству целых чисел, но и для кратных сумм со
многими индексами ki, кг,
В частности, когда К —множество неотрицательных целых
чисел, наше определение для неотрицательных членов а* озна-
означает, что
k = lim
п—>оо
к^О к=0
И вот почему: любая неубывающая последовательность веще-
вещественных чисел имеет предел (возможно, равный оо). Если этот
предел равен A, a F —некоторое конечное множество неотри-
неотрицательных целых чисел, все из которых ^ п, то Hk€F cik ^
2Ik=o ak ^ А; следовательно, либо А = оо, либо А — ограничива-
ограничивающая постоянная. Но если А' — некоторое число, меньшее устано-
установленной границы А, то найдется такое п, что 2Ik=o ак ^ А'» сле"
довательно, конечное множество F = {0,1,..., п} свидетельствует
о том факте, что А' не является ограничивающей постоянной.
А теперь можно легко вычислить величины конкретных бес-
бесконечных сумм в соответствии с только что данным определени-
определением. Например, если a* = xk, то
lim
п->оо
оо,
В частности, бесконечные суммы S и Т, которые обсуждались
минуту назад, равны, соответственно, 2 и оо —как мы и предпо-
предполагали. Другой заслуживающий внимания пример:
L
1
(Тс+1)(к
lim
п—>сх>
к=0
= 1
Теперь рассмотрим тот случай, когда наряду с неотрицатель-
неотрицательными сумма может содержать отрицательные члены. Какой, к
примеру, должна быть величина суммы
Если сгруппировать члены попарно, то получаем:
A-1) + A-1) + A-1) + ••• = 0 + 0
Множество К
может даже быть
несчетным. Но
если существует
ограничивающая
постоянная А, то
лишь счетное чи-
число его членов мо-
может быть отлично
от нуля, поскольку
самое большее пА
членов ^ 1/тг.
,flggregatum
quantitatum
a—a+a—a+a—a
etc. nunc est = a,
nunc = 0, adeoque
continuata in
inunitum serie
ponendus = a/2,
fateor acumen
et veritatem
animadversionis
tux1.1
-Г.Гранди[80]
2.7 БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ 79
Это что, первая
страница без
граффити?
так что сумма оказывается равной нулю; но если начать группи-
группировку по парам шагом позже, то получаем
1-A-1)-A-1)-A-1) = 1-0-0-0 ,
т. е. сумма равна единице.
Можно было бы также попробовать положить х = — 1 в фор-
формуле ]Гк>охк = VA —*)> поскольку мы знаем, что эта формула
справедлива при 0 ^ х < 1; но тогда мы будем вынуждены при-
признать, что данная бесконечная сумма равна j — а ведь это сумма
целых чисел!
Другим любопытным примером служит бесконечная в обе
стороны сумма ]Гкак, в которой ak = 1 /(Тс -h 1) при k ^ 0 и
ak = 1 /(Тс — 1) при Тс < 0. Ее можно записать как
i
B.58)
Если мы вычисляем эту сумму, отталкиваясь от „центрального"
элемента и двигаясь наружу,
то получаем 1; и мы получим ту же 1, если сдвинем все скобки
на один элемент влево,
поскольку сумма всех чисел, заключенных в п внутренних скоб-
скобках, есть
1 1 IT 1
. _ ... _ _J_ I _J____I_..._J_ _.
n+1 nil n-1
п
п+1
Аналогичное рассуждение показывает, что величина суммы оста-
остается равной 1, если эти скобки передвинуть на любое фиксиро-
фиксированное число элементов влево или вправо — это укрепляет нас во
мнении, что сумма действительно равна 1. Но, с другой стороны,
если сгруппировать члены следующим образом:
то п-я пара внутренних скобок будет содержать числа
11 1.1 11
п + 1
п
2п-1
= 1+Н2п-Н
п+1
В гл. 9 будет показано, что limn_yoo(H2n — Hn+i) = In 2,— следова-
следовательно, данный метод группировки приводит к мысли, что бес-
бесконечная в обе стороны сумма на самом деле должна равняться
1 +1п2.
80 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Есть нечто бессмысленное в сумме, которая дает разные значе-
значения при сложении ее членов разными способами. В современных
руководствах по анализу имеется целый ряд определений, с помо-
помощью которых подобным патологическим суммам приписываются
осмысленные значения; но если мы позаимствуем эти определе-
определения, то не сможем оперировать с ]Г-обозначением так же свобод-
свободно, как делали это до сих пор. Цели этой книги таковы, что нам
не нужны рафинированные уточнения понятия „условной сходи-
сходимости" — мы будем придерживаться такого определения беско-
бесконечных сумм, которое оставляет в силе все использованные нами
в настоящей главе операции.
В сущности, наше определение бесконечных сумм достаточно
просто. Пусть К —некоторое множество, а а^ — вещественнознач-
ный член суммы, определенный при каждом k E К. (На самом
деле, 'Тс' может означать несколько индексов ki, k,2, ..., так что
само множество К может быть многомерным.) Всякое веществен-
вещественное число х можно представить в виде разности его положитель-
положительной и отрицательной частей,
где х+ = х-[х>0] и х = -х-[х<0].
(Либо х+ = 0, либо х = 0.) Мы уже объясняли, как опреде-
определять величины бесконечных сумм 21 кек а? и 21кек ак» посколь-
поскольку а? и а^ неотрицательны. Поэтому наше общее определение
таково:
B-59)
кек
кек
кек
если только обе суммы в правой части не равны оо. В последнем
случае сумма Хлск а* остается неопределенной.
Пусть А+ = 211<
и А" =
кек ak
ак. Если обе суммы
абсолютно
Л+ и Л конечны, то говорят, что сумма 21кек
сходится к Л = Л+ — А". Если А+ = оо, а А~ конечна, то го-
говорят, что сумма 21 кек аь расходится к +оо. Аналогично, если
А~ = оо, а А+ конечна, то говорят, что 21кек аь расходится к
—оо. Если же А+ = А~ = оо, то не говорят ничего.
Мы начинали с определения, которое „работало" при неотри-
неотрицательных членах суммы, а затем распространили его на лю-
любые вещественнозначные члены. Если же члены суммы ak — ком-
комплексные числа, то очевидным образом наше определение мож-
можно распространить и на этот случай: сумма 21 кек аь определя-
определяется как 21кек^ак +^Икек^ак> гАе ^а^ и ^ак — веществен-
вещественная и мнимая части ak при условии, что обе эти суммы су-
существуют. В противном случае сумма Хкек а^ не определена.
(См. упр. 18.)
Другими словами,
абсолютная сходи-
сходимость означает, что
сходится сумма аб-
абсолютных величин.
2.7 БЕСКОНЕЧНЫЕ СУММЫ 81
Когда вы добере-
доберетесь досюда, на
первый раз лучше
всего перевернуть
эту страницу.
— Сочувствующий
ассистент
Неприятное, как уже говорилось, заключается в том, что не-
некоторые бесконечные суммы приходится оставлять неопределен-
неопределенными, поскольку операции, которые мы выполняем с ними, мо-
могут приводить к несуразностям. (См. упр. 34.) Приятное же за-
заключается в том, что все операции из настоящей главы абсолют-
абсолютно справедливы всякий раз, когда мы имеем дело с суммами,
которые абсолютно сходятся в только что установленном смы-
смысле.
Мы можем подтвердить это приятное обстоятельство, про-
продемонстрировав, что каждое из наших правил преобразования
сумм оставляет величину любой абсолютно сходящейся суммы
неизменной. Более определенно, это означает, что следует про-
проверить выполнение распределительного, сочетательного и пере-
местительного законов, плюс правило, согласно которому можно
начинать суммировать по любой переменной; все остальное, что
мы выполняли в настоящей главе, может быть выведено из этих
четырех основных операций с суммами.
Распределительный закон B.15) можно сформулировать бо-
более строго следующим образом: если сумма Цкек а* абсолют-
абсолютно сходится к А и если с —некоторое комплексное число, то
]ГкеК сак абсолютно сходится к сЛ. Это можно доказать, раз-
разбивая сумму сначала на вещественную и мнимую, затем на по-
положительную и отрицательную части, как разбивали прежде, и
доказывая частный случай, когда с > 0 и каждый член суммы ак
неотрицателен. Доказательство в этом частном случае проходит
в силу того, что 2IkGF cak = с HkeF ak Аля любого конечного мно-
множества F; последний же факт доказывается индукцией по размеру
множества F.
Сочетательный закон B.16) может быть сформулирован сле-
следующим образом: если суммы ]Г kGK a^ и ]Г kGK bk абсолютно схо-
сходятся соответственно к Л и В, то сумма HkGK(ak + bk) абсолютно
сходится к А+В. Оказывается, что это является частным случаем
более общей теоремы, которую мы вскоре докажем.
Переместительный же закон B.17) в действительности нет ну-
нужды доказывать, поскольку при обсуждении формулы B.35) мы
показали, как выводить его в качестве частного случая общего
правила изменения порядка суммирования.
Главным для нас остается доказательство основного принци-
принципа для кратных сумм: абсолютно сходящиеся суммы с двумя и
более индексами всегда можно начинать суммировать по любому
из этих индексов. Фактически, мы должны доказать, что если J
и элементы {Kj | j E J} —некоторые множества индексов, такие,
что
У"
абсолютно сходится к Л,
82 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
то для каждого j G J найдутся комплексные числа Aj, такие,
что
У" aj(ic абсолютно сходится к Aj и
У
Aj абсолютно сходится к А.
Это утверждение достаточно доказать для случая, когда все чле-
члены суммы неотрицательны, ибо в общем случае все можно раз-
разбить на вещественную и мнимую, положительную и отрицатель-
отрицательную части, как это делалось прежде. Поэтому предположим, что
Qj.k ^ 0 для всех пар (j,k) G М, где М —основное индексное
множество {(j,k) | j ? J,k G Kj}.
Дано, что сумма ]Г (j к)ем ai>k конечна, а именно, что
для всех конечных подмножеств F С М и что А является наи-
наименьшей из таких верхних границ. Если j — некоторый элемент
множества J, то каждая сумма вида Лкет- а)Л> гАе ^j~конеч-
^j~конечное подмножество Kj, ограничена сверху числом А. Следователь-
Следовательно, эти конечные суммы имеют наименьшую верхнюю границу
Aj ^ 0, и, по определению, ЛкеК. cij.ic = Aj.
Еще нам нужно доказать, что А является наименьшей верх-
верхней границей множества Y-jeG Ai Аля всех конечных подмножеств
G С J. Предположим, что G — конечное подмножество множе-
множества J, такое, что Hjgg Aj = А' > А. Мы можем найти конечные
подмножества Fj С Kj, такие, что ]Гкер. CLj,ic > (A/A')Aj, при ка-
каждом j G G, для которого Aj > 0. По крайней мере одно такое j
найдется. Но тогда YLjeGyke?. ajyk > (A/A') ?jGG Aj = А, что про-
противоречит тому факту, что ?^. ь)ет ahk ^ ^ Аля всех конечных
подмножеств F С М. Следовательно, Xjgg ^j ^ ^ Аля Л1°бого
конечного подмножества G С J.
Наконец, пусть А' —некоторое вещественное число, мень-
меньшее А. Доказательство будет завершено, если мы сможем найти
конечное множество GCJ, такое, что JijeG Aj>A;. Известно, что
существует конечное множество FCM, такое, что ?V kieF glj>j<>A/;
пусть G будет множеством индексов j в этом F, и пусть Fj={k |
(j,k)eF}. Тогда LjeGAJ^Lj€GLkeF, ^.^Ltj.kjeF^.^A1.
чтд.
Итак, теперь все законно! Все, что мы делали с бесконечными
суммами, оправданно постольку, поскольку для любой конечной
суммы абсолютных величин ее членов существует конечная гра-
граница. Так как бесконечная в обе стороны сумма B.58) давала нам
два разных ответа при вычислении ее двумя разными способами,
ее положительные члены 1 + j + ^+• • • должны расходиться к со —
в противном случае нами был бы получен один и тот же ответ,
независимо от способа группировки ее членов.
Так почему же в
последнее время
я только и слышу
о „гармонической
сходимости"?
2 УПРАЖНЕНИЯ 83
„Для развития мы-
мышления действи-
действительно полезным
является только
его упражнение.
Самостоятельное
решение трудных
и интересных
задач больше
даст читателю,
чем приводимые
нами афоризмы,
однако для на-
начала и они будут
небесполезны"
—Д.ПойаиД.Сегё,
[244, с. 10].
(Добавл. перев.)
Дает возрастающие
степени.
Упражнения
Разминочные упражнения
1 Что означает обозначение
9
к=4
2 Упростите выражение х • ([х > 0] — [х < 0]).
3 Продемонстрируйте ваше понимание ^-обозначения, выписав
суммы
L
ак
и
в развернутом виде, (Осторожно —вторая сумма с подвохом.)
4 Выразите тройную сумму
в виде троекратной суммы (с тремя сигмами):
а суммируя вначале по к, потом по j, а затем по г;
b суммируя вначале по г, потом по j, а затем по к.
Выпишите также ваши троекратные суммы в развернутом ви-
виде без ^-обозначения, используя (круглые) скобки, чтобы по-
показать, что складывается вначале.
5 Что неверно в следующей выкладке:
k=1
6 Выразите Лк[1 ^ j ^ k ^ п] в виде функции j и п.
7 Пусть Vf (х) = f (х) - f (х - 1). Что такое V(x^)?
8 Чему равно 0—, когда m — некоторое целое число?
Что представляет собой правило показателей для возрастаю-
возрастающих факториальных степеней — аналог правила B.52)? Вос-
Воспользуйтесь им для определения х~п.
10 В тексте выведена следующая формула для разности произ-
произведения:
A(uv) = uAv + EvAu.
Как может быть эта формула правильной: ведь ее левая часть
симметрична относительно и и v, а правая —нет?
84 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Обязательные упражнения
11 Общее правило B.56) суммирования по частям эквивалентно
следующему:
= anbn - aobo - ^ aic+i(bic+i -Ьк) при n ^ 0.
Докажите эту формулу непосредственно, используя распреде-
распределительный, сочетательный и переместительный законы.
12 Покажите, что функция p(k) = k + (—1)kc является переста-
перестановкой множества всех целых чисел, когда с —целое число.
13 Примените репертуарный метод для нахождения суммы
Х^=о(—1)к1с2 в замкнутой форме.
14 Вычислите сумму ?!k=i k2k, переписав ее в виде двукратной
суммы IKja^2k.
15 Вычислите 6Pn = H?=i к3 методом 5 из текста вот как: сперва
запишите 6РП + Пп = 2^1^.^]c^n jk, а затем примените фор-
формулу B.зз).
16 Докажите, что х—/[х — п)— = х-/(х — та)-, если только ни
один из знаменателей не равен нулю.
17 Покажите, что следующие формулы могут быть использо-
использованы для взаимного обращения возрастающих и убывающих
факториальных степеней при всех целых та:
х^= (-1)т(-хГ = (х-т+1Г =
(Степень х~т определена в ответе к упр. 9.)
18 Пусть 9lz и 3z — действительная и мнимая части комплекс-
комплексного числа z. Модуль \z\ равен i/(9lzJ + CzJ. Говорят, что
сумма X^icgk a^ комплексных членов а^ сходится абсолютно,
если сходятся абсолютно обе вещественные суммы ЛкеК Жаъ
и Y.keK^ak' Докажите, что HkGK a^ сходится абсолютно то-
тогда и только тогда, когда существует ограничивающая посто-
постоянная В, такая, что Лке? laid ^ В для всех конечных подмно-
подмножеств F С К.
Домашние задания
19 Подберите суммирующий множитель и решите рекуррент-
рекуррентность
То-5,
2Tn = nTn_i + 3 • п! при п > 0.
20 Попробуйте, вычисляя Ц^=окН]с методом приведения, найти
величину Лк=о ^к>
2 УПРАЖНЕНИЯ 85
Трудно отожде-
отождествить того, кто
умер почти 2 века
тому назад.
Это обозначение
было введено Яко-
би [400] в 1829 г.
21 Вычислите суммы Sn = Ц^оМГ^ Тп = Ик-оМГ^ и
Un = Цк=о(-1)п~кЪ2 методом приведения, считая, что n ^ 0.
22 Докажите тооюдество Лаграноюа (не прибегая к индукции):
Докажите далее более общее тождество для суммы:
23 Вычислите сумму ^k=i (^ + ^ )/(^(^ + 1)) Двумя способами:
а заменяя дробь 1/k(k + 1) „элементарными дробями" 1/к —
b суммируя по частям.
24 Чему равна сумма Цо<ск<п Нк/(к+ 1)(к + 2)? Указание: обоб-
обобщите вывод B.57)-
25 Обозначение Пкек а^ означает произведение чисел ак при
всех k G К. Предположим для простоты, что ак ф 1 лишь
для конечного числа к, так что нет необходимости определять
бесконечные произведения. Каким законам, аналогичным рас-
распределительному, сочетательному и переместительному зако-
законам для ^-операции, удовлетворяет подобная [^-операция?
26 Выразите двойное произведение Пт^кгсп aiak чеРез одинар-
одинарное произведение Пк=1 аь манипулируя с П"°^означением-
(Это упражнение дает нам произведение элементов верхней
треугольной матрицы по аналогии с их суммой B.33)-)
27 Вычислите величину Д(с-) и используйте ее для установления
величины суммы YJv.=\ (—2)-/к.
28 В каком месте следующий вывод сбивается с пути истинного?
_к к-Г
к+1 к
86 ИСЧИСЛЕНИЕ СУММ
Контрольные работы
29 Вычислите сумму ??=1 (-1 )кк/Dк2 - 1).
30 Игрокам в крибедж издавна известно, что 15 = 7 + 8 =
4 + 5 + 6 = 1+2 + 3 + 4 + 5. Найдите количество способов пред-
представления числа 1050 в виде суммы последовательных поло-
положительных целых чисел. (Тривиальное представление 4050'
в виде самого себя считается одним из таких способов; сле-
следовательно, имеются четыре, а не три способа представления
числа 15 в виде суммы последовательных положительных це-
целых чисел. Между прочим, в этой задаче не предполагается
знания правил игры в крибедж.)
31 Дзета-функция Римана С Aс) определяется в виде бесконечной
суммы
1 11
1 + ^ +
2^ р
Докажите, что ^]с>2 (С(^<-) — 1) = 1. А чему равна сумма
32 Пусть а — b = max@, а — b). Докажите, что
при любом вещественном х ^ 0, и вычислите эту сумму в
замкнутой форме.
Конкурсные задачи
33 Пусть Дкек пк обозначает минимальное из чисел а^ (или их
наибольшую нижнюю грань, если К бесконечно), считая, что
каждое а^ либо вещественное число, либо ±оо. Какие зако-
законы справедливы для Д-операции, аналогичные тем, которые Законы джунглей.
имеют место для Y. и f|? (См. упр. 25.)
34 Докажите, что если сумма ?_keK cik не определена в соответ-
соответствии с определением B.59)) т° она расслаивается в следую-
следующем смысле: если А~ и А+~ любые заданные вещественные
числа, то можно найти последовательность конечных подмно-
подмножеств Fi С F2 С F3 С • • • множества К, такую, что
ciic ^ А~, если п нечетно,
die ^ А+, если п четно.
35 Докажите теорему Гольдбаха
3 + 7 + 8 + 15 + 24 + 26 + 31 + 35 +' "
2 УПРАЖНЕНИЯ 87
Совершенно иска-
искаженные совершен-
совершенные степени.
где Р —множество „совершенных степеней*! определяемое ре-
рекурсивно как:
2, п ^ 2, m ? Р}.
курсивно как
Р = {mn
m
36 „Самоописательная последовательность" Соломона Голомба
(fA), fB), fC), ...) — единственная неубывающая последова-
последовательность целых чисел, обладающая тем свойством, что она
содержит ровно f (к) вхождений каждого к. По кратком раз-
размышлении становится ясно, что эта последовательность долж-
должна начинаться так:
п
f(n)
1
1
2
2
3
2
4
3
5
3
6
4
7
4
8
4
9
5
10
5
11
5
12
б
Пусть g(n) —наибольшее целое та, такое, что f(m) = п. Пока-
Покажите, что
a 9(n)=n=1fAc);
b g(g(n))=n=ikf(ic);
с g(g(g(n))) = ?ng(n)(g(n) + 1) - \ Zll\ 9(lc)(9(k) + 1)-
Исследовательская проблема
37 Можно ли уложить все прямоугольники размера 1/к на 1/(к+1)
при к^1 в квадрате размера 1 на 1? (Вспомните, что сумма их
площадей равна 1.)
3
Целочисленные функции
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА составляют костяк дискретной математики, и
нам часто приходится округлять дробные или произвольные ве-
вещественные числа в целые. Наша цель в этой главе — получить
представление и навыки в обращении с подобными округлениями
и узнать кое-что об их замечательных свойствах.
3.1 ПОЛ/ПОТОЛОК: ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Начнем с настила пола и перекрытия потолка — определе-
определений для любого вещественного числа х функций наибольшего и
наименьшего целого:
[xj = наибольшее целое, меньшее или равное х;
|~х] = наименьшее целое, большее или равное х.
Эти обозначения, как и названия „пол" и „потолок" были введены
в обиход Кеннетом Э.Айверсоном в начале 60-х годов [4, с. 12].
Он обнаружил, что наборщики вполне могли бы обойтись име-
имеющимися литерами '[' и ']', срезав их верхушки и основания.
Предложенные им обозначения стали настолько популярными,
что теперь скобки „пола" и „потолка" можно встретить в любой
статье без какого-либо пояснения. До недавнего времени чаще
всего использовалась запись ([х]' для наибольшего целого ^ х,
а для функции наименьшего целого подходящий эквивалент от-
отсутствовал. Впрочем, некоторые авторы пытались писать *]х['—
затея, обреченная на провал. )У~ух!(
Помимо многозначности в обозначениях, существует неодно-
неоднозначность в существе этих функций. Так, в некоторых калькуля-
калькуляторах имеется функция INT, определяемая как [xj при положи-
положительном х и как [х] при отрицательном х. Вероятно, создатели
таких калькуляторов хотели, чтобы их функция INT удовлетво-
удовлетворяла соотношению ШТ(-х) = — INT(x). Но мы останемся привер-
приверженцами наших функций пол и потолок, поскольку они обладают
гораздо более привлекательными, чем это, свойствами.
3.1 ПОЛ/ПОТОЛОК: ОПРЕДЕЛЕНИЯ 89
Остроумно.
В соответствии
со скобочной
нотацией Айвер-
сона это законное
равенство.
Один из подходящих способов получить представление о
функциях пол и потолок — разобраться в их графиках, которые
располагаются лесенкой выше и ниже линии „перил" f (х) = х:
х = —е
f(x)=x
х = е
К примеру, из данного графика видно, что
Lej=2, L~eJ=-3,
Ге1=3, Г-е1 = -2,
поскольку е = 2.71828....
Глядя на эту графическую иллюстрацию, можно отметить ряд
фактов относительно полов и потолков. Прежде всего, посколь-
поскольку функция пол лежит на и под диагональной линией f (х) = х,
то [xj ^ х; точно так же [х] ^ х. (Впрочем, это и так ясно из
определения.) В целых точках обе эти функции совпадают:
[xj = х
х — целое
|У| = х.
(Мы пользуемся обозначением С4=ф>, подразумевая под этим
„тогда и только тогда") А если они не совпадают, то потолок ровно
на 1 выше пола:
\х\ — [х\ = [х — не целое].
C-2)
Если же сдвинуть диагональную линию вниз на единицу, то она
целиком окажется под функцией пол, так что х — 1 < [xj; точно
так же х + 1 > [х]. Объединяя эти наблюдения, получаем, что
х - 1 < |_xj ^ х ^ |Y| < х + 1 .
C-3)
И, наконец, данные функции являются отражениями друг друга
относительно обеих осей:
L-xj=-M,
C-4)
Таким образом, каждая из них легко выражается через другую.
Это обстоятельство позволяет объяснить, почему функция по-
потолок прежде не имела собственного обозначения. Но потолки
90 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
встречаются столь часто, что заслуживают специальных знаков
отличия, точно так же, как нами были присвоены специальные
обозначения возрастающим, равно как и убывающим, степеням.
У математиков издавна есть синус и косинус, тангенс и котангенс,
секанс и косеканс, максимум и минимум — а теперь у нас есть как
пол, так и потолок.
Для того чтобы не просто довольствоваться графической ил-
иллюстрацией неких фактов, а действительно доказать свойства
этих функций, особенно полезны следующие четыре правила:
C-5)
(Во всех четырех случаях считается, что п —целое, а х — веще-
вещественное число.) Правила (а) и (с) суть немедленные следствия
определения (з-i); правила (Ь) и (d) суть те же самые с той лишь
разницей, что данные неравенства переставлены так, что п ока-
оказывается в середине.
Целочисленное слагаемое можно вносить и выносить в/за
скобки пола (или потолка):
[x\
fxj
\x]
M
= n 4=
= n 4=
= n 4=
= n 4=
=> x —
=> тг —
=Ф x^
X < П +
1 <n^
1 <x<c
n<x +
1,
x,
n,
1 .
(a)
(b)
(c)
(d)
[х + п\ = [х\ + n, п — целое.
(З-б)
(Действительно, правило (з-б(а)) утверждает, что это равенство
эквивалентно неравенствам [*J + п ^ х + n < [*J + тг + 1.) Но
аналоги этой операции—типа вынесения за скобки постоянного
множителя —в общем случае недопустимы. Так, [пх\ ф п[х\, ко-
когда п = 2 и х = 1/2. Это значит, что скобки пола и потолка
недостаточно гибки,—мы счастливы уже тогда, когда удается во-
вообще отделаться от их присутствия либо что-то сделать при их
наличии.
Оказывается, что имеется много случаев, когда скобки пола
и потолка излишни и их можно либо вставлять, либо удалять —
как нам угодно. Так, любое неравенство между вещественными и
целыми числами равносильно неравенству с полом или потолком
между целыми числами:
C.7)
Эти правила легко доказываются. Например, если х < п, то на-
наверняка [*J < тг, так как [^J ^ х. И наоборот, если [*J < тг, то
непременно х < тг, так как х < [х\ + 1 и |_xj + 1 ^ тг.
Было бы здорово, если бы все четыре правила в C.7) так же
легко запоминались, как и доказывались. Каждое неравенство без
пола или потолка соответствует такому же неравенству с полом
x <
n <
x^
n ^
n
X
n
X
4=>
4=>
4=*
4==>
W
n<
M
n ^
<n,
M >
^тг,
Lxj.
(a)
(b)
(c)
(d)
А на следующей
неделе будут и
стены.
3.2 ПОЛ/ПОТОЛОК: ПРИМЕНЕНИЯ 91
М-да... Лучше
не обозначать
дробную часть
через {х}, когда
ее можно спутать
с множеством,
содержащим х в
качестве своего
единственного
элемента.
Второе случается
тогда и только
тогда, когда проис-
происходит „перенос" за
десятичную точку
при сложении
дробных частей
или потолком, но нужно дважды подумать, прежде чем решить,
которое из двух годится.
Разность между х и |_*J называется дробной частью х и в
приложениях возникает столь часто, что заслуживает собствен-
собственного обозначения:
М - х-\х\ (ъ8)
{Xj — X [_XJ . \O-°J
Иногда [xj называется целой частью х, поскольку х = [х\ +{х}.
Если вещественное число х может быть записано в виде х = п+0,
где п —целое число, а 0 ^ 9 < 1, то на основании (з-5(а)) можно
заключить, что n = [х\ и 0 = {х}.
Равенство (з«б) не выполняется, если н — вещественное число.
Но, вообще-то, для |_x + yj имеются всего лишь две возможности.
Если х и у записать в виде х = [х\ +{х} и у = [у\ +{/у}, то получим
[х + у\ = |_xj + [у\ + [{х} + {у}\. А поскольку 0 ^ {х} + {у} < 2, то
оказывается, что в некоторых случаях [x + vj —это [*J + |_"У_1> а в
остальных — это |_*J + [у\ + 1.
3.2 ПОЛ/ПОТОЛОК: ПРИМЕНЕНИЯ
Итак, мы подобрали основные инструменты для работы с
полами и потолками. Опробуем их на деле, начав с простой за-
задачки: что такое fig 35] ? (Следуя предложению Эдварда М. Рейн-
Рейнгольда, мы используем (lg' для обозначения логарифма по осно-
основанию 2.) Ну, поскольку 25 < 35 ^ 26, можно взять логарифмы,
получая 5 < Ig35 ^ 6,—таким образом, правило (з«5(с)) утвер-
утверждает, что fig 35] = 6.
Заметим, что будучи записанным в системе счисления с осно-
основанием 2, число 35 тоже состоит из шести битов: 35 = A00011J-
А верно ли, что flgn] —это всегда длина п, записанного в двоич-
двоичной форме? Не всегда. Для записи 32 = A00000J тоже необходи-
необходимо шесть битов, так что flgn] —неверный ответ на этот вопрос.
(Он неверен только в случае, когда п является степенью 2, но это
означает, что он неверен в бесконечном числе случаев.) Правиль-
Правильный же ответ можно получить, заметив, что для записи каждого
числа п, такого, что 2
у
n < 2т, требуется та битов. А по-
поскольку га— 1 = |_lgnJ по правилу (з-б(а))| то та = [lgnj + 1. То
есть, для того чтобы выразить любое п > 0 в двоичной форме,
необходимо LlgnJ + 1 битов. Исходя из правила (з-5(с))> анало-
аналогичный вывод дает ответ flg(n + 1)] —эта формула справедлива
даже при п = 0, если нам хочется считать, что для записи п = 0
в двоичной форме требуется нуль битов.
Обратимся далее к конструкциям с несколькими полами и по-
потолками. Что такое f [_х_|] ? Ответ прост: поскольку [xj — целое чи-
число, то f[xj] —это просто [х_|. Этому же равно любое другое вы-
выражение, в котором самый внутренний [xj окружен каким угодно
числом полов и потолков.
92 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
А вот орешек покрепче: разгрызите-ка такую задачку — верно
или неверно утверждение, что
bj при вещественном х ^ 0. C.9)
Очевидно, это равенство справедливо, когда х —целое число, ибо
тогда х = |_xj. Но это является равенством и для я = 3.14159...,
и для е = 2Л828..., и для ф = A + у/5)/2 = 1.61803..., ибо во
всех этих частных случаях мы получаем 1=1. Наша безуспеш-
безуспешная попытка найти какой-либо опровергающий пример наводит
на мысль, что равенство справедливо и в общем случае, так что
давайте попробуем его доказать.
Между прочим, когда мы сталкиваемся с выбором между
„доказать или опровергнуть", то обычно предпочитаем вначале
опровергнуть с помощью какого-нибудь контрпримера по двум
причинам: опровержение существенно проще (нужен всего лишь
один опровергающий пример), а „придирки по мелочам" вызыва-
вызывают прилив творческих сил. Даже если данное утверждение ока-
оказывается верным, поиск контрпримера зачастую приводит к его
доказательству, как только скептик осознает, почему контрпри-
контрпример невозможен. Помимо всего прочего, скептицизм полезен для
здоровья.
Если бы мы решили доказать, что |_\/W] = LV*J методами
анализа, то могли бы начать с разбиения х на целую и дроб-
дробную части |_xj + {х} = п -Ь 0 с последующим разложением ква-
квадратного корня, используя биномиальную теорему: (п + 0I/2 =
п1/2 + п~1/20/2 — n~3/202/8 H .Но подобный подход весьма не-
непрактичен.
Гораздо практичнее воспользоваться уже подготовленными
нами инструментами. Предлагается такой план: каким-либо обра-
образом разобрать наружный пол и квадратный корень [a/[*TJ > после
чего убрать внутренний пол, а затем вновь собрать_разобранное,
чтобы получить [у/х\. Годится. Положим та = [-y/Wj и восполь-
воспользуемся правилом (з-б(а))) получая та ^ \/[xJ < та+1. Тем самым
мы избавляемся от скобок наружного пола, ничего не теряя при
этом. Поскольку все три части этой конструкции неотрицатель-
неотрицательны, возводим их в квадрат, получая та2 ^ |_xj < (та + 1 J. Тем
самым мы отделываемся от квадратного корня. Затем разбираем
оставшийся пол, пользуясь правилом (з-7(сО) для левого нера-
неравенства и правилом (з-7(а)) Для правого: та^ ^ х < (та + IJ. A
теперь не составляет труда восстановить проделанное: извлечь
квадратные корни, получая та ^ у/х < та + 1, и воспользо-
воспользоваться правилом (з-б(а))> получая та = [у/х\. Таким образом,
L\/W~J = та = [у/х\ — наше утверждение оказалось верным. Тем
же способом можно доказать, что
(Конечно же, тс, е
и ф —это первые
вещественные чи-
числа, которые надо
попробовать,—не
так ли?)
Скептицизм полезен
для здоровья толь-
только до определенной
степени. Скепти-
Скептическое отношение
к намерениям и
планам (особенно
своим) вероятно
избавит вас от вол-
волнений и обеспечит
спокойную жизнь.
Но проявление
слишком скепти-
скептического отношения
наверняка заставит
вас все время быть
прикованным к
работе, вместо того
чтобы позволить
себе выкроить
время для физиче-
физических упражнений и
восстановления сил.
Чрезмерный скепти-
скептицизм — это прямая
дорога к состоянию
„конченого челове-
человека" когда вы ста-
становитесь настолько
озабоченным соблю-
соблюдением строгости и
законченности, что
уже никогда не в
состоянии ничего
довести до конца.
— Один
из скептиков
Г! ПРИ вещественном х ^ 0.
Предложенное доказательство не столь уж существенно опи-
опирается на свойства квадратных корней. Более внимательное рас-
3.2 ПОЛ/ПОТОЛОК: ПРИМЕНЕНИЯ 93
(Это наблюдение
было сделано
Робертом Д. Мак-
Элисом, когда
он заканчивал
университет.)
„Сядем на минут-
минутку",—предложила
Алиса.
„На минутку?"—
воскликнул Ко-
Король.
tfA если бы на тебя
сели?"
—Л.Кэррол
[174, с. 244].
(Добавл. перев.)
смотрение показывает, что можно обобщить лежащие в его осно-
основе идеи и доказать много большее. Пусть f(x)—некоторая не-
непрерывная монотонно возрастающая функция, обладающая тем
свойством, что
f (x) = целое число => x = целое число .
(Символ *=У означает „влечет за собой") Тогда
|f(*)J = Lf(LxJ)J и [f(x)i = ff (М I
C-ю)
всякий раз, когда определены функции f(x), f(|_xj) и f(|Y|). Да-
Давайте докажем это общее свойство для потолков, поскольку до
этого мы уже занимались полами, тем более, что доказательство
для полов почти такое же. Если х = [У|, то доказывать нече-
нечего. В противном случае х < [Y|, a f(x) < f([Y|), поскольку f—
возрастающая функция. Тогда ff(x)] ^ [f(M I, так как П —не-
—неубывающая функция. Если бы было ff(x)] < [f(M)l) то должно
найтись число у, такое, что х ^ у < \х\ и f [у) — |~f (x)], поскольку
функция f непрерывна. Это у должно быть целым в силу специ-
специального свойства f. Но непосредственно между х и [х] не мо-
может быть никакого целого числа. Это противоречие означает, что
должно быть [f(x)~| = [f(|Y|)"|.
Явного упоминания заслуживает важный частный случай
этой теоремы:
если тип- целые числа, а знаменатель п положителен. К при-
примеру, пусть m = 0; тогда [[[x/10J/10j/10j = [x/1000J. Трое-
Троекратное деление на 10 с последовательным отбрасыванием цифр
остатка — это то же самое, что и непосредственное деление на 1000
с последующим отбрасыванием всего остатка.
Попробуем теперь подтвердить или опровергнуть другое пред-
предположение:
^ Гл/*1
вещественном х ^ 0.
Оно проходит при х = 7Г и х = е, но не проходит при х = ф — тем
самым выясняется, что в общем случае оно неверно.
Прежде чем двинуться дальше, сделаем минутное отступле-
отступление для того, чтобы обсудить различные „уровни" задач, которые
могут рассматриваться в книгах по математике.
Уровень 1. Для определенного объекта х и определенного со-
соотношения Р(х) доказать, что выполняется Р(х). Например,
„доказать, что \п\ = 3" Здесь суть дела заключается в нахожде-
нахождении доказательства некоторого предполагаемого факта.
Уровень 2, Для определенного множества X и определенного
соотношения Р(х) доказать, что Р(х) выполняется при любом
х G X. Например, „доказать, что [xj ^ x при любом вещественном
94 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
х". Суть дела опять заключается в нахождении доказательства,
но на этот раз — общего доказательства. Мы имеем дело уже не с
арифметикой, а с алгеброй.
Уровень 3. Для определенного множества X и определенного
соотношения Р(х) подтвердить или опровергнуть, что Р(х) вы-
выполняется при любом х ? X. Например, „подтвердить или опро-
опровергнуть, что |"-y/[xj] = \у/х] при любом вещественном х ^ О"
Здесь мы имеем дело с дополнительным уровнем неопределенно-
неопределенности — результат может оказаться либо тем, либо другим. Это бли-
ближе к той реальной ситуации, с которой постоянно сталкивается
математик: утверждения, попадающие на страницы книг, имеют
обыкновение быть правильными, но к новому следует относить-
относиться предвзято. Если данное утверждение ошибочно — наше дело
найти контрпример. Если данное утверждение правильно —мы
обязаны найти доказательство (как на уровне 2).
Уровень 4. Для определенного множества X и определенного
соотношения Р(х) найти необходимое и достаточное условие
Q(x) того, что выполняется Р(х). Например, „найти необходимое
и достаточное условие того, что [xj ^ fx~|" Суть дела заключается
в нахождении условия Q, такого, что Р(х) <=> Q(x). Безуслов-
Безусловно, всегда наготове тривиальный ответ: просто взять Q(x) = Р(х).
Нет, имеется в виду, что нужно найти условие, которое настолько
просто, насколько это возможно. А для нахождения удовлетворя-
удовлетворяющего этому требованию простого условия нужна сообразитель-
сообразительность. (Так, в нашем случае ,,[xj ^ \х] 4=> х —целое") Этот
самый элемент сообразительности, который необходим для нахо-
нахождения Q(x), существенно усложняет решение подобных задач,
но как нельзя лучше характеризует то, с чем приходится стал-
сталкиваться математику в „реальной действительности*! И, наконец,
должно быть, естественно, доказано, что Р(х) выполняется тогда
и только тогда, когда выполняется Q(x).
Уровень 5. Для определенного множества X найти некоторое
интересное общее свойство Р(х) его элементов. Тем самым мы
вторгаемся в жуткие дебри чистой науки, где, как полагают сту-
студенты, царит всеобщий хаос. Но это уже настоящая математика.
Авторы учебников редко осмеливаются задавать вопросы уров-
уровня 5. Конец отступления.
Но давайте переведем наш последний вопрос с уровня 3 на
уровень 4: каково необходимое и достаточное условие того, что
[i/[xj] = f\/x"l? Мы уже выяснили, что при х = 3.142 это равен-
равенство выполняется, а при х = 1.618 — не выполняется. Дальнейшие
проверки показывают, что к тому же оно не выполняется при х
между 9 и 10. Ого-го. Более того, случаи невыполнения возника-
возникают всякий раз, когда та2 < х < та2 + 1, так как в этих случаях
в левой части получается та, а в правой —та + 1. Во всех дру-
других случаях, когда у/х определен, а именно при х = 0 или при
та2 4- 1 ^ х ^ (та + IJ, получается равенство. Поэтому для вы-
В других моих
сочинениях—но не
в настоящей кни-
книге—„подтвердить
или опроверг-
опровергнуть" примерно
в 99.44% случа-
случаев, по-видимому,
равносильно
подтвердить11.
Но не проще.
—А.Эйнштейн
3.2 ПОЛ/ПОТОЛОК: ПРИМЕНЕНИЯ 95
(А пессимистами—
полузамкнутыми.)
Точно так же
можно запомнить
дату открытия
Америки, напевая:
„Один, четыре, де-
девять, три —Колумб
Америку открыл"
полнения равенства необходимо и достаточно следующее условие:
либо х — целое число, либо \f\x\ — не целое число.
Для формулировки нашей следующей задачи воспользуем-
воспользуемся удобным обозначением для интервалов вещественной прямой,
предложенным К. А. Р. Хоаром и Лайлом Рэмшоу. Интервал [а, [3]
обозначает множество вещественных чисел х, таких, что <х ^
х ^ C. Это множество называется замкнутым интервалом,
поскольку он включает как одну, так и другую концевую точ-
точку а и C. Интервал (<х, C), не включающий ни одной, ни другой
концевой точки, состоит из всех х, таких, что а < х < C; он на-
называется открытым интервалом. А интервалы [<х, C) и (а, C],
включающие либо одну, либо другую концевую точку, определя-
определяются аналогично и называются полуоткрытыми.
Сколько целых чисел содержится в подобных интервалах?
Нам удобнее начать с полуоткрытых интервалов. И вообще, почти
всегда удобнее иметь дело с полуоткрытыми, чем с открытыми
или замкнутыми интервалами. К примеру, они аддитивны — при
объединении полуоткрытых интервалов [<х, C) и [C, у) получа-
получается полуоткрытый интервал [а, у). Для открытых интервалов
этого не произошло бы, ибо точка C оказалась бы исключенной,
а для замкнутых интервалов возникли бы проблемы, ибо точка
C оказалась бы включенной дважды.
Но вернемся к нашей задаче. Если а и C — целые числа, то
ответ простой: тогда интервал [а, C) содержит ровно C — а целых
чисел а, а-Ь 1, ..., C — 1 при условии, что а ^ C. Точно так же ин-
интервал (а, C] содержит C — а целых чисел при том же условии.
Но наша задача потруднее, ибо по условию а и C—произволь-
C—произвольные вещественные числа. Тем не менее, ее можно свести к более
легкой задаче, поскольку согласно C-7)
а ^ п < C
а < п ^ C
^ n < ГЭ1,
< n ^ LPJ,
когда п — целое число. Интервалы справа имеют целочисленные
концевые точки и содержат такое же количество целых чисел,
что и интервалы слева, имеющие вещественнозначные концевые
точки. Поэтому интервал [а, C) содержит ровно [|3] — [а] целых
чисел, а интервал (<х, C] ровно |_|3J — [<xj целых чисел. Это один из
тех случаев, когда нам действительно надо обзавестись скобками
пола или потолка, вместо того чтобы избавляться от них.
Кстати, существует мнемонический прием для запоминания
того, в каком случае употребляются полы, а в каком — потолки:
полуоткрытые интервалы, которые включают не правую, а левую
концевую точку (такие, как 0 ^ 0 < 1) несколько более употреби-
употребительны, чем те, которые включают не левую, а правую концевую
точку,—так же как полы несколько более употребительны, чем
потолки. Но по закону Мерфи действительное прямо противопо-
противоположно ожидаемому —потолки соответствуют интервалам [а, C),
а полы соответствуют интервалам (<х, C].
96 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
интервал
к, 13]
[а, C)
(а, й]
(а, й)
количество
LPJ-
ГР1
LCj
ГC] -
целых чисел
-м
ограничение
а^ C,
а^C,
а^ C,
а< C.
Аналогичный разбор показывает, что замкнутый интервал
[а, [3] содержит |_|3J — [а] +1 целых чисел и что открытый интер-
интервал (а, C) содержит [~C] — |_<xj — 1 целых чисел, хотя в последнем
случае мы налагаем дополнительное ограничение а Ф C с тем,
чтобы эта формула не приводила нас в замешательство откро-
откровением, что пустой интервал (а, а) содержит ровно — 1 целых
чисел. Подытожим установленные факты:
C-12)
А вот задача, которая не может нас не заинтриговать. В Клубе
любителей конкретной математики находится казино (доступное
только обладателям этой книги), в котором колесо рулетки имеет
тысячу гнезд с номерами от 1 до 1000. Если выпадающий при
вращении рулетки номер п делится на пол своего кубического
корня, т. е. если
№ \п,
то это выигрышный номер и казино выплачивает нам 5 долларов;
в противном случае это проигрышный номер и уже мы обяза-
обязаны уплатить 1 доллар. (Обозначение „a\b" которое читается как
„а делит Ь" означает, что b в точности кратно а,—это соотноше-
соотношение обстоятельно исследуется в гл.4.) Можно ли рассчитывать
„сделать деньги" на такой игре?
Средний выигрыш — т. е. сумму, которую мы выиграем (или
проиграем) за одну игру,—можно вычислить, подсчитав сперва
число W выигрышных номеров и число L = 1000 — W проигрыш-
проигрышных номеров. Если каждый номер выпадает по одному разу в
1000 играх, то мы выигрываем 5W долларов и проигрываем L
долларов, так что средняя сумма выигрыша составит
5W-L 5W-A000-W) 6W-1000
1000
1000
1000
долларов. Если выигрышных номеров 167 и более, то мы извле-
извлекаем прибыль; в противном случае выигрывает казино.
Но как подсчитать число выигрышных номеров среди тысячи?
Не так уж и трудно уловить их закономерность. Все номера от
1 до 23 — 1 = 7 — выигрышные, ибо для каждого из них L<v^4l = 1 •
Среди номеров от 23 = 8 до З3 — 1 =26 выигрышными являются
только четные номера. А среди номеров от З3 = 27 до 43 — 1 =63 —
только те, которые делятся на 3; и т. д.
Общее число благоприятных исходов игры можно выразить
аналитически, если воспользоваться техникой суммирования из
(Опрос ауди-
аудитории показал,
что 28 студентов
посчитали, что
играть не стоит,
13 пожелали риск-
нуть, а остальные
постеснялись
ответить.)
(Так что мы за-
заинтриговали их
Клубом любите-
любителей конкретной
математики.)
3.2 ПОЛ/ПОТОЛОК: ПРИМЕНЕНИЯ 97
предыдущей главы с привлечением нотации Айверсона для логи-
логических выражений, доставляющей 0 или 1:
1000
W = У~ [п — выигрышный номер]
Не „похоже" а
именно так.
Так где, вы сказа-
сказали, находится это
казино?
k,u
k,m,n
k,m
k,m
= 1+
[k2,
C1c+ 4) =
= 172.
Этот вывод заслуживает внимательного изучения. Обратите вни-
внимание, что в б-й строке используется формула (з-12) Для ко~
личества целых чисел в полуоткрытом интервале. Единственно
„трудный" момент — это решение при переходе от 3-й к 4-й стро-
строке выделить п = 1000 в качестве отдельного случая. (Неравен-
(Неравенство к3 ^ п < (к + IK не так просто объединить с неравенством
1 ^ п ^ 1000 при к = 10.) Вообще-то, граничные условия, похоже,
самое скользкое место при 22~мантУляниях.
В нижней строке сообщается, что W = 172; следовательно,
наша формула для средней суммы выигрыша за одну игру сво-
сводится к F-172 — 1000)/!000 долларам, что составляет 3.2 цента.
Можно рассчитывать стать богаче примерно на 3.20 доллара, сде-
сделав 100 ставок по 1 доллару. (Если, конечно, владельцы казино не
сделают так, что номера будут выпадать с равной вероятностью,
но некоторые — равнее других.)
Задача о казино, которую мы только что решили, представля-
представляет собой приукрашенную версию более прозаического вопроса:
„Сколько целых чисел и при 1 ^ п ^ 1000 удовлетворяют соотно-
соотношению [\/n\ \ п?" С математической точки зрения эти два вопро-
вопроса одинаковы. Но иногда неплохо приукрасить задачу: мы обога-
обогащаем свой словарь (выигрышными номерами" и ,дооигрышными
номерами"), что помогает нам разобраться в существе дела.
Попробуем обобщить задачу. Предположим, что 1000 заменя-
заменяется на 1 000000 или на еще большее число N. (Мы допускаем,
что у владельцев казино есть связи и они могут достать коле-
колесо побольше.) Насколько тогда увеличится число выигрышных
номеров?
ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Для ответа на этот вопрос достаточно тех же самых рассу-
рассуждений, но необходимо осторожнее обращаться с самым большим
значением к, которое для удобства обозначим через К:
К =
(Раньше К равнялось 10.) Для произвольного N общее число вы-
выигрышных номеров становится равным
W =
Нам известно, что оставшаяся сумма есть [N/KJ — ["К2] + 1 =
[N/KJ — К2 + 1; следовательно, формула
w = ln/kj + 1к2 + |к-з, к = l^nJ C.13)
дает общий ответ для колеса с N гнездами.
Первые два члена этой формулы приближенно равны N2/3 +
lN2/3 = |N2/3, а при большом N остальные члены по сравнению
с ними много меньше. В гл. 9 мы узнаем, как получать выраже-
выражения, подобные выражению
W=
где O(N1/3) означает величину, которая не превосходит констан-
константы, умноженной на N1/3. Какой бы ни была константа — она не за-
зависит от N, так что при большом N вклад О-члена в величину W
будет весьма незначительным по сравнению с |N2/3. Так, следу-
следующая таблица показывает, насколько близки значения |N2^3 к
величине W:
N
1000
10000
100000
1000000
10000000
100000000
150.0
696.2
3231.7
15000.0
69623.8
323165.2
W
172
746
3343
15247
70158
324322
% погрешности
12.791
6.670
3.331
1.620
0.761
0.357
1000000000 1500000.0 1502496 0.166
Вполне приличное приближение.
Приближенные формулы полезны постольку, поскольку они
проще, чем формулы с полами и потолками. Однако зачастую
3.2 ПОЛ/ПОТОЛОК: ПРИМЕНЕНИЯ 99
важна „абсолютная точность", особенно при малых значениях N,
с которыми обычно имеют дело на практике. Скажем, владелец
казино может ошибочно предполагать, что при N = 1000 имеется
лишь |N2/3 = 150 выигрышных номеров (в таком случае доход
казино составил бы 10 центов).
И в завершение этого раздела обратимся к так называемым
спектрам. Спектр некоторого вещественного числа <х определя-
определяется как бесконечное мультимножество целых чисел:
...не добавляя
общности...
„Если х есть не-
некоторое ирраци-
иррациональное число,
меньшее единицы,
то можно взять
один из двух рядов
величин тп/х,
тп/A -х),где
m —целое число;
каждое число,
принадлежащее к
тому или иному
ряду, и только
оно одно, будет
заключено между
любыми двумя
заданными по-
последовательными
целыми числами"
-Рэлей[287]
Правильно—при
возрастании п
на 1 должен возра-
возрастать только один
из этих счетчиков.
(Мультимножество — это то же самое, что и множество, но в нем
могут содержаться повторяющиеся элементы.) К примеру, спектр
числа 1 /2 начинается так: {0,1,1,2,2,3,3,...}.
Легко показать, что нет двух одинаковых спектров — т. е.
а ф |3 влечет за собой Spec (а) ф Spec(C). Действительно, если
предположить, не умаляя общности, что а < C, то найдется не-
некоторое положительное целое число та, такое, что т(C — ос) ^ 1.
(На самом деле, любое т ^ [/(C — ос)] будет таковым, но мы не
видим необходимости каждый раз бравировать своими познани-
познаниями в области полов и потолков.) Следовательно, т|3 — та ^ 1
и [mPj > [m<xj. Таким образом, Spec(C) содержит менее чем та
элементов ^ Lm<xJ, Т0ГДа как Spec(a) содержит по меньшей ме-
мере та.
Спектры обладают многими замечательными свойствами. Рас-
Рассмотрим, например, два мультимножества
Spec(x/2) ={1,2,4,5,7,8,9,11,12,14,15,16,18,19,21,22,24,...},
SpecB+\/2)-{3,6,10,13,17,20,23,27,30,34,37,40,44,47,51,...}.
Элементы Spec(\/2) легко вычисляются на калькуляторе, а со-
согласно (з-б) n-й элемент SpecB + у/2) ровно на 2п больше п-го
элемента Spec(\/2). Более внимательное рассмотрение показыва-
показывает, что два этих спектра связаны друг с другом гораздо более
удивительным образом: получается так, что любое число, отсут-
отсутствующее в одном спектре, присутствует в другом, но никакое
число не содержится одновременно в обоих! И это действительно
так — все целые положительные числа представляют собой объ-
объединение непересекающихся множеств Spec(\/2) и SpecB + у/2 ).
Говорят, что эти спектры образуют разбиение всех целых поло-
положительных чисел.
Для доказательства этого факта подсчитаем, сколько в мно-
множестве Spec(\/2) элементов ^ п и сколько элементов ^ п в мно-
множестве SpecB + у/1). Бели при каждом п их общее число соста-
составит п, то эти два спектра действительно образуют разбиение всех
целых чисел.
100 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть <х положительно. Число элементов в Spec(ot), которые
^ п, равно
N(a,n) =
k>0 k>0
= ?jka<n+1] =
k>0 к
= [¦(n + lj/al-l. C.14)
Этот вывод интересен двумя моментами. Во-первых, здесь ис-
используется правило
та ^ п <=> га < п+1, та и п —целые, (злб)
для замены '^' на '<' с тем, чтобы в соответствии с C.7) можно
было убрать скобки пола. Во-вторых —и это более тонкий мо-
момент — суммирование проводится по к > 0, а не по к ^ 1, так
как величина (п + 1 )/а могла бы оказаться меньшей 1 при не-
некоторых п и а. Если бы мы попытались применить (з«12) для
определения количества целых чисел в интервале [1, (п + 1)/а)
в отличие от определения количества целых чисел в интервале
(О, (п + 1)/<х), то получили бы правильный ответ, однако наш
вывод был бы неправильным, поскольку не были бы соблюдены
условия его применимости.
В любом случае у нас есть формула для N (а, п). Теперь можно
проверить, образуют или нет множества Spec(\/2) и
SpecB + у/1) разбиение всех целых положительных чисел, прове-
проверив, выполняется или нет равенство N (\/2> тг) + N B + л/2, п) = п
при любом целом п > 0, используя для этого (з-14):
11 I п+1
\ + 1\ согласно (з-а
п+1 /п+Ч п+1 f п+1 Л _
у/1 I у/1 } 2 + V2 l2 + \/2J ~П'
согласно (з-8).
Все упрощается благодаря изящному равенству
так что наше условие сводится к проверке, правильно или нет,
что
3.3 ПОЛ/ПОТОЛОК: РЕКУРРЕНТНОСТИ 101
при любом п > 0. А это правильно, потому что это дробные части
нецелых чисел, которые в сумме дают целое число п+1. Действи-
Действительно, разбиение.
3.3 ПОЛ/ПОТОЛОК:
РЕКУРРЕНТНОСТИ
Полы и потолки обеспечивают широкий простор для изуче-
изучения рекуррентных соотношений. Для начала рассмотрим рекур-
рекуррентность
Кп+1 = 1 + minBKLn/2j3Kln/3j) при п ^ 0. {3' ]
Так, например, Ki есть 1 4- minBKo,3Ko) = 3, а сама последова-
последовательность начинается с чисел 1, 3, 3, 4, 7, 7, 7, 9, 9, 10, 13, ....
Один из авторов этой книги с присущей ему скромностью решил
назвать их числами Кнута.
В упр. 25 предлагается подтвердить или опровергнуть, что
Кп ^ п при любом n ^ 0. Несколько только что перечислен-
перечисленных первых К-чисел действительно удовлетворяют этому нера-
неравенству, так что имеется некоторое основание считать, что оно
справедливо и в общем случае. Попробуем доказать его по ин-
индукции. База индукции при п = 0 вытекает непосредственно из
определения рекуррентности. Для индуктивного перехода пред-
предположим, что данное неравенство выполняется вплоть до некото-
некоторого фиксированного неотрицательного п, и попробуем показать,
что Kn+i ^ п+ 1. По определению рекуррентности нам известно,
что Кп+1 = 1 +minBK|_n/2j, ЗК|_п/з]), а по индуктивному предполо-
предположению—что 2K|^n/2j ^ 2|_n/2J и 3K^n/3j ^ 3[n/3J. Однако 2[n/2J
может быть равным самое меньшее п — 1, а 3 |_n/3J может быть
равным самое меньшее п — 2. Самое большее, что можно извлечь
из нашего индуктивного предположения, это Кп+1 ^ 1 + (п — 2),
что явно не дотягивает до неравенства Kn+i ^ п + 1.
Теперь у нас появилось основание усомниться в справедли-
справедливости неравенства Kn ^ и, поэтому попытаемся его опроверг-
опровергнуть. Если мы сумеем найти п, такое, что либо 2K^n/2j < п, либо
3K[n/3j < n,—другими словами, такое, что
K[n/2j < п/2 или KLn/3J < п/3,
то получим Кп+1 < п+1. Возможно ли такое? Но здесь нам лучше
воздержаться от ответа, чтобы не испортить упр. 25.
Рекуррентные соотношения, включающие в себя полы и/или
потолки, часто возникают в задачах информатики, поскольку ал-
алгоритмы, основанные на важном принципе „разделяй и властвуй",
зачастую сводят задачу размера п к решению тех же задач мень-
меньших размеров, являющихся целочисленными долями п. Напри-
Например, один из способов сортировки п записей при п > 1 состоит
102 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
в том, чтобы разделить их на две примерно равные части: од-
одну—размера fn/2], а другую — размера [n/2J. (Кстати, обратите
внимание, что
п = Гп/21 + [п/2\ ; C.17)
эта формула оказывается кстати довольно часто.) После того как
каждая часть отсортирована отдельно (тем же самым методом,
применяемым рекурсивно), можно объединить записи в требу-
требуемом порядке, выполнив самое большее п — 1 дополнительных
сравнений. Таким образом, общее число выполненных сравнений
не превышает f (п), где
f(n) = f(Гп/21) + f(Ln/2J) + n- 1 при n > 1. w-xo'
Решение этой рекуррентности приводится в упр. 34.
В задаче Иосифа из гл. 1 фигурирует сходная рекуррентность,
которой можно придать следующий вид:
J(n) =2J(|n/2J)-(-ir прип>1.
Теперь мы располагаем уже большим числом приемов по срав-
сравнению с тем, что имели в гл. 1, поэтому рассмотрим более досто-
достоверную задачу Иосифа, в которой уничтожается каждый третий,
а не каждый второй. Если для решения этой более сложной за-
задачи воспользоваться теми же методами, которые срабатывали в
гл. 1, то дело закончится рекуррентностью вида
Ь(п) =
где 'mod' — это функция, которой мы вскоре займемся, и ап = —2,
+1 или — j соответственно при n mod 3 = 0, 1 или 2. Но к этой
рекуррентности страшно даже подступиться.
Существует другой подход к задаче Иосифа, который приво-
приводит к более благоприятной ситуации. Всякий раз, когда один из
людей остается нетронутым, ему можно присвоить новый номер.
Таким образом, 1-й и 2-й человек становятся п + 1-м и п + 2-м,
а 3-й подвергается казни; 4-й и 5-й человек становятся п + 3-м
и п + 4-м, а 6-й подвергается казни; ...; Зк + 1-й и Зк + 2-й чело-
человек становятся п + 2к + 1 -м и п -f 2к + 2-м, а Зк + 3-й подвергается
казни и так далее до тех пор, пока Зп-й человек не подвергнется
казни (или не останется в живых). Вот пример перенумерации
при п = 10:
1
11
18
2
12
3
4
13
19
23
26
28
29
30
5
14
20
24
6
7
15
8
16
21
9
10
17
22
25
27
3.3 ПОЛ/ПОТОЛОК: РЕКУРРЕНТНОСТИ 103
„Нот ту слоу,
нот ту фаст?
—Л.Армстронг
Казнимый к-м человек прекращает существование вместе со сво-
своим номером Зк. Таким образом, мы можем отгадать, кто останется
в живых, если сможем отгадать первоначальный номер человека,
получившего номер Зп.
Если N > п, то жертва с номером N должна была иметь не-
некий предыдущий номер, который можно установить следующим
образом: поскольку N = п + 2k -f 1 или N = п + 2к + 2, то к —
[(N — п — 1 )/2J. Но предыдущий номер был соответственно Зк 4-1
или Зк+2. Это значит, что он был равен 3k+(N— п—2к) = k+N—п.
Следовательно, номер 1з("П-) оставшегося в живых может быть вы-
вычислен следующим образом:
N :=3п;
пока N > п выполнять N :=
Ь(п) :=N.
N-u-1
N-u;
Это не является выражением для Ь(п) в замкнутой форме— это
даже не рекуррентность. Но, по крайней мере при большом п,
это позволяет вычислить ответ достаточно быстро.
К счастью, имеется возможность упростить этот алгоритм,
воспользовавшись переменной D = Зп-f 1 — N вместо N. (Такая за-
замена переменных соответствует присвоению номеров, уменьшаю-
уменьшающихся от Зп до 1, вместо номеров, увеличивающихся от 1 до Зп,—
подобно обратному отсчету времени.) Тогда усложненное правило
присвоения значений переменной N становится таким:
и предыдущий алгоритм можно переписать следующим образом:
D :=1;
пока D ^ 2п выполнять D := [|D] ;
Ь(п) :=3n + 1-D.
Ага! Это выглядит гораздо привлекательнее, поскольку п очень
просто входит в вычисления. Фактически, рассуждая аналогич-
аналогично, можно показать, что если уничтожается каждый q-й чело-
человек, то номер уцелевшего Jq (n) может быть вычислен следующим
образом:
D := 1 ;
пока D ^ (q - 1)п выполнять D := [^
Jq(n) :=qn + 1-D.
C.19)
104 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
В случае q = 2, который нам столь хорошо знаком, переменная
D возрастает до 2т+* при п = 2т + I; следовательно, ]г{п) =
2Bт + I) + 1 - 2т+1 = 21 + 1 • Годится.
В (з»19) реализован способ вычисления последовательности
целых чисел, которая может быть определена рекуррентно как
(q) -
о —
Щ*п>0.
C-20)
Эти числа, по-видимому, не связаны каким-нибудь простым спо-
способом с какими-нибудь известными функциями, за исключением
случая q = 2; следовательно, им вряд ли можно придать при-
привлекательный замкнутый вид. Но если мы согласимся принять
n за „известную", то задача Иосифа допус-
допуспоследовательность
кает простое описание: номер уцелевшего Jq (и) равен qn+1 —
[
где к —наименьшее возможное число, такое, что
^
> (q — 1 )u.
3.4 'MOD': БИНАРНАЯ ОПЕРАЦИЯ
Если тип- целые положительные числа, то частное от
деления п на m равно [n/mj. Полезно обзавестись достаточно
простым обозначением и для остатка от этого деления — обозна-
обозначим его через 'п mod та*. Основная формула
п = m [n/mj -f n mod m
„Известную" как,
скажем, гармо-
гармонические числа.
Э. М. Оалыжко и
Г. С. Вильф показа-
показали [231], что
где
С «1.622270503.
позволяет выразить п mod та в виде п — m[n/mj. Это можно
распространить на целые отрицательные числа, а фактически —
на произвольные вещественные числа:
х mod у = х — у [х/у\ при у ^ 0.
C-21)
Тем самым 'mod' оказывается бинарной операцией точно так же,
как являются бинарными операции сложения и вычитания. Не-
Неформально математики издавна использовали понятие mod, вы-
вычисляя разные величины по модулю 10, по модулю 2тс и т.п., но
оно утвердилось лишь в последние двадцать лет формально. По-
Понятие—старое, обозначение—новое.
Когда х и -у — вещественные положительные числа, смысл
х mod у можно легко уловить интуитивно. Вообразим себя бегу-
бегущими по кругу с длиной окружности у, точкам которой припи-
приписаны вещественные числа из интервала [0, у). Если, взяв старт
в точке 0, пробежать некоторое расстояние х по окружности, мы
остановимся в точке х mod у. (А пока мы бегаем, точка 0 встре-
встретится нам [x/yj раз.)
Когда же х или у отрицательны, нужно внимательно вник-
вникнуть в определение, с тем чтобы точно выяснить, что в этом
Откуда взялось
название lmod':
бинарная опера-
операция? Вы узнаете
это в следующей,
волнующей, главе!
3.4 'MOD': БИНАРНАЯ ОПЕРАЦИЯ 105
Остерегайтесь
машинных языков,
в которых ис-
используется другое
определение.
А что если на-
назвать это число
мотором?
Одно время в
70-х годах был в
моде стиль 'mod'.
Может быть новую
mumble-функцию
следовало бы
назвать 'панк'?
Нет—мне
нравится 'mumble'!
случае означает xmody. Вот некоторые примеры с целыми х
и у:
5mod3 = 5-3L5/3J =2,
5mod-3 = 5-(-3)L5/(-3)J =-1 ,
-5 mod 3 = -5 - 3|_-5/3J = 1 ,
-5 mod -3 = -5 - (-3) [—5/(—3)J = -2.
Число после 'mod' называется модулем, но никто пока еще не
придумал, как назвать число перед 'mod'. В приложениях мо-
модуль обычно положителен, но данное выше определение сохраня-
сохраняет смысл и когда модуль отрицателен. В обоих случаях величина
х mod у лежит между нулем и модулем:
0
0
х mod у < у
х mod у > у
при у > 0,
при у < 0.
А как насчет у = 0? Определение C-2i) оставляет этот вопрос от-
открытым, с тем чтобы избежать деления на нуль, но для полноты
можно положить
х mod 0 = х.
C-22)
Подобное соглашение сохраняет свойство х mod у всегда отли-
отличаться от х на величину, кратную у. (Может показаться более
естественным сделать эту функцию непрерывной в 0, полагая
xmodO = limy_K)X mod у = 0. Однако в гл.4 увидим, что это
сделало бы ее менее полезной. Непрерывность — не самая важная
сторона операции mod.)
Мы уже сталкивались с одним замаскированным частным
случаем операции mod, когда записывали число х в виде суммы
его целой и дробной частей: х = [xj + {*}. Дробная часть может
быть записана также как х mod 1, потому что
х = [xj 4-х mod 1 .
Обратите внимание, что в этой формуле круглые скобки не нуж-
нужны: считается, что знак mod связывает операнды сильнее, чем
знаки сложения или вычитания.
При определении операции mod использовалась функция пол,
в то время как функция потолок не удостоилась равного внима-
внимания. Быть может, стоило бы воспользоваться функцией потолок
для определения аналога операции mod типа операции
х mumble у = у [х/у] — х;
(mumble — нечто невразумительное.— Ред.). в случае нашей ана-
аналогии с кругом это соответствует расстоянию, которое нужно до-
добежать бегуну, преодолевшему расстояние х, чтобы попасть в ис-
исходную точку 0. Конечно же, необходимо более подходящее назва-
название, нежели 'mumble'. Но нашлось бы подходящее приложение —
наверняка найдется и соответствующее название.
106 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Самым важным алгебраическим свойством операции mod яв-
является распределительный закон:
c(xmody) = (ex) mod (су) C-2з)
при любых вещественных с, х и у. (Те, кто предпочитает, чтобы
знак mod связывал операнды слабее, чем знак умножения, могут
и здесь убрать круглые скобки в правой части.) Этот закон легко
получается из определения C-2i), так как
с(х mod у) = с(х - у |_x/yj) = сх - су |_cx/cyj = ex mod су ,
если су ф О (случаи с нулевыми модулями тривиальны). Четы-
Четыре предыдущих примера с ±5 и ±3 дважды иллюстрируют этот
закон при с = —1. Тождество типа C-23) действует успокаиваю-
успокаивающе, ибо оно позволяет надеяться, что операция 'mod* определена
надлежащим образом.
В оставшейся части этого раздела рассмотрим одно приложе-
приложение операции 'mod', в котором она оказывается весьма полезной,
хотя и не играет центральной роли. Рассматриваемая задача ча-
часто возникает в тех многочисленных ситуациях, когда надо раз-
разложить п предметов на m групп как можно более равномерно.
Предположим, например, что мы располагаем п короткими
строками текста line I, line 2 ..., которые хотелось бы разместить
в та колонках. По эстетическим соображениям желательно, что-
чтобы по высоте эти колонки располагались в убывающем порядке
(фактически — в невозрастающем порядке), причем высота коло-
колонок должна быть примерно одинаковой—никакие две колонки
не должны отличаться друг от друга более чем на одну строку
текста. Если 37 строк текста разбиваются на пять колонок, то
предпочтительно такое их размещение, как справа:
8 8
8
8
8 8
linel
ine2
Iine3
Iine4
Iine5
ine6
line 7
ine8
Iine9
line 10
line 11
line 12
line 13
line 14
line 15
line 16
line 17
line 18
19
ne20
ne21
ne22
ne23
ie24
ine25
ine26
ine27
ine28
ine29
ine30
ine31
ine32
line 33
line 34
line 35
line 36
line 37
linel
line 2
Iine3
line 4
Iine5
Iine6
line 7
lineS
17
пс 18
пе 19
пе20
21
line 22
line 23
ne24
ne25
ne26
ne 27
ne28
ne29
ne30
line 31
line 32
line 33
line 34
line 35
line 36
line 37
К тому же желательно распределить строки по колонкам следу-
следующим образом: вначале решается, сколько строк войдет в пер-
первую колонку, затем мы переходим ко второй, третьей и так да-
далее— ведь именно таков порядок чтения. Распределение строк
текста ряд за рядом обеспечило бы нас требуемым числом строк
в каждой колонке, однако порядок их чтения оказался бы нару-
нарушенным. (Мы получили бы нечто подобное размещению справа,
но в 1-й колонке оказались бы строки 1, б, 11, ..., 36 вместо
строк 1, 2, 3,..., 8.)
Хотя план размещения ряд-за-рядом неприемлем, он позволя-
позволяет выяснить, сколько строк поместится в каждой колонке. Если
В остатке, а?
3.4 'MOD': БИНАРНАЯ ОПЕРАЦИЯ 107
п не кратно та, то в процессе размещения ряд-за-рядом выясня-
выясняется, что удлиненные колонки должны вмещать [п/та], а укоро-
укороченные — [n/mj строк каждая; в результате будет ровно п mod m
удлиненных колонок (и, как выясняется, ровно п mumble та уко-
укороченных).
Теперь обобщим терминологию и поговорим о 'предметах' и
'группах' вместо 'строк' и 'колонок'. Только что мы выяснили,
что первая группа должна вмещать [п/та] предметов; следова-
следовательно, можно попробовать следующую схему последовательно-
последовательного распределения: для распределения п предметов по та группам
при та > 0 поместить [п/та] предметов в одну группу, а затем
рекурсивно применить ту же самую процедуру для того, чтобы
разместить п' =п— [п/та] оставшихся предметов в та' = та — 1
прочих группах.
К примеру, если п = 314 и та = 6, то распределение происхо-
происходит по такой схеме:
оставшиеся
предметы
314
261
208
156
104
52
оставшиеся
группы
6
5
4
3
2
1
предметов в
группе
53
53
52
52
52
52
Схема работает — мы получаем группы практически неизменного
размера, несмотря на то, что делитель изменяется.
А почему она работает? В общем случае можно предположить,
что n = gm -f т, где q = [n/mj и т = n mod та. Если т = 0, то
процесс размещения прост: мы помещаем [п/та] = q предметов
В первую группу и заменяем пнап' = п — q, оставляя n' = qm'
предметов для размещения в остальных та' = та — 1 группах.
Если же т > 0, мы помещаем [п/та] = q + 1 предметов в первую
группу и заменяем п на п' = п — q — 1, оставляя n' = qm' -f т — 1
предметов для последующих групп. Новый остаток г' заменяется
на г' = т — 1, но q остается без изменений. Отсюда следует, что
получится т групп с q -f 1 предметами, за которыми следуют та—т
групп с q предметами.
Сколько же предметов окажется в k-й группе? Для ответа на
этот вопрос нам нужна формула, которая бы давала [п/та] при
к ^ п mod та и [n/mj в противном случае. Нетрудно убедиться,
что требуемым условиям удовлетворяет формула
Гп-к+Л
I m I'
поскольку она сводится к q+ f(r—k+1 )/та], если, как и в предыду-
предыдущем абзаце, записать п в виде п = qm + т (здесь q = [n/mj). По-
Получаем, что [(т — к+ 1 )/тп] = [к ^ г], если 1 ^к^таиО^т<та.
108 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Следовательно, можно записать следующее тождество, которое
выражает разбиение п на m как-можно-более-равных частей в
невозрастающем порядке:
п — т+ 1
т
C-24)
Это тождество справедливо при любом целом положительном m
и при любом целом п (положительном, отрицательном или рав-
равном нулю). Мы уже сталкивались со случаем та = 2 в (з«17)>
правда, записанном в несколько ином виде: п = frx/2~| + Ln/^J •
Если бы мы пожелали, чтобы все части располагались в
неубывающем порядке — когда меньшие группы предшествуют
большим,—можно было бы действовать тем же способом, но с
[n/mj предметами в первой группе, получая соответствующее
тождество:
n = \ —
Тождества C-25) и C.24) можно обращать одно в другое, пользу-
пользуясь либо соотношением (з-4)> либо тождеством из упр. 12.
Теперь, если в (з«25) заменить п на [ttlxJ и применить правило
(З-ii) для удаления полов внутри полов, то получится тождество,
которое справедливо при любом вещественном х:
LmxJ =
C.26)
Это до некоторой степени удивительный результат, ибо функция
пол является целочисленной аппроксимацией вещественнознач-
ной величины —тем не менее, отдельное приближение слева рав-
равняется сумме их целой компании справа. Если считать, что [xj —
это, грубо говоря, х — \ в среднем, то левая часть, грубо говоря,
равна примерно тх - |, в то время как правая часть — это при-
приблизительно (х- I) + (х- I + ?) + .. • + (х- 1 + ^=1) = тх- I.
Но сумма всех этих грубых приближений оказывается величиной
точной!
Некоторые утвер-
утверждают, что заме-
заменять что бы то
ни было на тх
слишком опас-
опасно. (Имеются в
виду ракеты MX.
— Перев.).
3.5 ПОЛ/ПОТОЛОК: СУММЫ
Уравнение (з«2б) наглядно показывает, что по крайней ме-
мере один вид сумм, включающих в себя скобки [ J, можно полу-
получить в замкнутой форме. А есть ли другие? Есть. Уловка, которая
обычно срабатывает в таких случаях, заключается в том, чтобы
избавиться от пола или потолка, введя новую переменную.
Посмотрим, к примеру, можно ли получить сумму
3.5 ПОЛ/ПОТОЛОК: СУММЫ 109
в замкнутой форме. Предлагается ввести переменную m = [л/kj —
это можно сделать „чисто механически*; действуя так же, как в
задаче с рулеткой:
k.m^O
k.m^O
YL m[k<n][m2^k<(m+1J]
k.m^O
k.m^O
k.m^O
И вновь некоторые затруднения с граничными условиями. Допу-
Допустим сначала, что п = а2 — точный квадрат. Тогда вторая сумма
обращается в нуль, а первая может быть вычислена по обычному
правилу:
k.m^O
mBm+1)[m<a]
Убывающие степе- = V" Bm- + 3m-) 6m
ни убирают сумму °
= fa(a-1)(a-2) + fa(a-1) = lDa
ни убирают сумму. °
В общем случае можно положить a = [д/rtj; тогда нужно всего
лишь сложить члены при a2 ^ k < п, причем все они равны а,
так что в сумме дают (n — a2)a. А это дает сумму в требуемой
замкнутой форме:
Другой подход к вычислению подобных сумм состоит в замене
выражения вида [xj на ?^.[1 ^ j ^ х], что допустимо всегда, когда
110 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
х ^ 0. Вот как выглядит этот подход в случае суммы [квадратных
корней], если для удобства предположить, что п = а2:
А вот другой пример, в котором замена переменной приводит
к преобразованной сумме. В 1909 г. независимо друг от друга и
практически одновременно три математика — Боль [30], Серпин-
ски [269] и Вейль [49] — обнаружили замечательный факт: если
число а иррационально, то при п —> оо дробные доли {па} распре-
распределены весьма равномерно между 0 и 1. Одна из формулировок
этого факта такова:
1 f1
C.28)
при любом иррациональном а и любой ограниченной функции f,
которая непрерывна почти всюду. В частности, полагая f (х) = х,
можно найти среднее значение {па}, которое оказывается равным
j. (Именно этого и следовало ожидать, но разве не приятно со-
сознавать, что это справедливо вне зависимости от того, каково на
самом деле иррациональное число а.)
Теорема Боля, Серпинского и Вейля доказывается путем ап-
аппроксимации f(x) сверху и снизу „ступенчатыми функциями",
которые являются линейными комбинациями простых функций
fv(x) - [0 ^ х < v]
при 0 ^ v ^ 1. Однако наша цель состоит не в доказательстве
этой теоремы — это удел книг по численным методам. Мы же по-
попробуем выяснить основную причину, по которой она справедли-
справедлива, рассмотрев частный случай f(x) = fv(x). Другими словами,
попробуем выяснить, насколько близка сумма
[{ka}<v]
к „идеальному" значению nv, если п велико и а иррационально.
С этой целью определим отклонение D(a,n) как максимум
по всем 0 ^ v <J 1 абсолютной величины суммы
s(a,n,v) =
-v) .
C-29)
Внимание! Это
довольно трудный
материал. Для
начала достаточно
быстро пробежать
две следующие
страницы — они
пока не столь
существенны.
— Сочувствующий
ассистент
Ускоряйтесь
с этого места
3.5 ПОЛ/ПОТОЛОК: СУММЫ 111
Правильно: обозна-
обозначай и властвуй.
Замена переменной
к на j —вот что
главное.
— Сочувствующий
ассистент
(Запись [0 или 1]
означает нечто,
равное либо 0,
либо 1 —нет
необходимости
связывать себя
деталями, которые
на самом деле
несущественны.)
Наша задача —показать, что D(a,n) не „слишком велико" по
сравнению с п, показав, что величина |s(a,n,v)| всегда достаточ-
достаточно мала для иррационального а.
Сначала можно переписать s(a,n,v) в более простом виде, а
затем ввести новый индекс суммирования у.
([{ka}<v]-v) =
= -nv +
= -uv+
- v <
k<n
Если нам повезет, то можно будет просуммировать по к. Но пре-
прежде стоит ввести некоторые новые переменные, чтобы привести
эту формулу в божеский вид. Не умаляя общности, предположим,
что 0 < a < 1, и положим:
a =
b =
a-1 =
va
= b
Таким образом, a' = {a} —это дробная часть a~1, а v' — это
mumble-дробная часть от va.
И вновь единственное, что нас огорчает,—это граничные усло-
условия. Поэтому давайте пока забудем про ограничение ск < тС и
вычислим сумму по к без него:
Ну, а дальше совсем просто — подставляем это в s и выставляем S:
s(a,n,v) = -nv+fnalb+ ? (fja'-v'l — fjot'"]) -S, C.30)
где S — поправка на случаи к ^ п, от которых нам не удалось
избавиться. Величина joe' будет целой только при j = 0, поскольку
число а (и, следовательно, ос1) иррационально, а величина j ос'— v'
будет целой самое большее при одном значении j. Так что можно
„спуститься с потолка на пол":
s(a,n,v) = — nv+ fna]b
(Li^'J - LJcx' -v'J) - S 4- [0 или 1].
Интересно — вместо суммы в замкнутой форме мы получаем сум-
сумму, которая весьма похожа на s(a, n, v), но отличается параметра-
параметрами: ос' вместо a, fna] вместо п и v' вместо v. А что если получить
112 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
рекуррентность для s(a,n,v), которая (как мы надеемся) приве-
приведет к рекуррентности для отклонения D(<x, n)? Это означает, что
мы хотим ввести в рассмотрение сумму
s(a',rnal,v')=
(Ua'J-lJa'-v'J-v'),
получая рекуррентность
s(oc>nyv) = — nv-h |"na"|b— [najv'-sfa'Jna^v') — S-f [О или 1].
Вспоминая, что b—v' = va~1, мы обнаруживаем, что все прекрас-
прекрасно упростится, если заменить [па] (b — v') на na(b — v') = nv:
s(a,n,v) = — s(a', [na],v') — S + e -f [0 или 1].
Здесь е —некоторая положительная добавка, меньшая va. В
упр. 18 доказывается, что подобно ей S лежит между 0 и [va].
К тому же можно вывести из суммы член при j = [na] — 1 = [no],
так как он дает либо v', либо v' — 1. Следовательно, если взять
максимум абсолютных величин по всем v, то получим
D(a,n) ^ D(a',|anJ) +от1+2. C.31)
Методы, которые мы будем изучать в последующих главах, по-
позволяют, исходя из этой рекуррентности, сделать вывод о том,
что D(a,n) всегда много меньше п, если п достаточно велико.
Следовательно, теорема (з-28) справедлива; однако сходимость к
пределу не всегда очень быстрая (см. упр. 9.45 и 9.61).
Вот-те на— всего лишь упражнение на манипуляции с сум-
суммами, полами и потолками. Читателям, которые не приучены
„доказывать, что погрешности невелики*; трудно поверить в то,
что у кого-то могло бы хватить смелости не отступить перед
такими безнадежными суммами. На самом деле повторное рас-
рассмотрение показывает, что все это вычисление пронизывает одна
простая мысль. Суть ее в том, что некоторая сумма s(a,n,v) из
п членов может быть сведена к аналогичной сумме из не более
чем [an] членов. Все остальное сводится на нет, за исключени-
исключением небольшого остатка, образованного из близких к граничным
членов.
А теперь вдохнем поглубже и вычислим еще одну сумму, кото-
которая также нетривиальна, но имеет одно огромное преимущество
(по сравнению с только что вычисленной): она выражается в зам-
замкнутой форме, так что можно легко проверить ответ. Теперь за-
задача будет состоять в том, чтобы обобщить сумму в (з«2б), найдя
выражение для
у- I nk + х I
,4т„ L ™- J
та,п — целые числа, та > 0.
I Конец
I ускорения
Это более креп-
крепкая сумма полов
или сумма более
крепких полов?
Нахождение этой суммы в замкнутой форме — орешек покрепче
тех, с которыми мы имели дело до сих пор (за исключением,
3.5 ПОЛ/ПОТОЛОК: СУММЫ 113
Предупреждаем:
это только начало
тянущейся до
конца главы
выкладки, пред-
представляющей
собой решение
одной нудной
задачи, поста-
поставленной исклю-
исключительно ради
любопытства.
— Студенты
Справедливо. Но
почему, чтобы вас
заинтересовать,
всегда нужно
говорить о прак-
практической пользе?
Эта сумма возни-
возникает, например,
при изучении и
тестировании
генераторов
случайных чисел.
Однако математи-
математики рассматривали
ее задолго до
появления
компьютеров,
ибо находили
естественным
поинтересоваться,
нет ли способа
просуммировать
доставленные на
пол" арифметиче-
арифметические прогрессии.
-Ваш
преподаватель
возможно, задачи об отклонении, с которой мы только что ра-
разобрались). Но эта задача настолько поучительна, что мы будем
возиться с ней до самого конца данной главы.
Как обычно, особенно при решении трудных задач, начнем с
рассмотрения простых крайних случаев. Частный случай п = 1 —
это тождество C.26), в котором х заменено на х/та:
l-l
LmJ
1+х
та
та— 1 +х
та
= №•
И как в гл. 1 имеет смысл получить еще некоторую информацию,
снизойдя до случая п = 0:
LmJ Lm
_mJ Lm.J LmJ LmJ
Но в нашей задаче два параметра, тип; теперь посмотрим,
как выглядят некоторые частные случаи для та. Если m = 1, то
в сумме всего один член, равный [х]. Если же та = 2, то сумма
равна [х/2\ + [(х + п)/2\. Можно избавиться от взаимодействия х
и п, если вынести п за знак функции пол, но чтобы сделать это,
надо рассмотреть отдельно случаи четного и нечетного п. Если
п —четное, то п/2 —целое число, так что его можно вынести за
знак пола:
п
Если же п —нечетное, то (п — 1)/2 —целое число, так что мы
получаем
, п-П _ п-1
Последний шаг следует из (з-2б) при m = 2.
Эти формулы при четном и нечетном п несколько напомина-
напоминают формулы при и = 0 и 1, но отчетливой закономерности пока
еще не просматривается, так что лучше продолжить рассмотре-
рассмотрение еще нескольких крайних случаев. При та = 3 сумма равна
х + п I I х + 2n I
ш
и возможны три варианта для п: либо оно кратно 3, либо на 1
или на 2 больше этого кратного —т. е. n mod 3 = 0, 1 или 2. Если
n mod 3 = 0, то п/3 и 2п/3 — целые числа, так что сумма равна
Если n mod 3 = 1, то (п — 1 )/3 и Bп — 2)/3 — целые числа, так
что имеем
2n-2N
114 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Здесь последний шаг опять следует из (з-2б), на этот раз при та =
3. И, наконец, если n mod 3 = 2, то
Наши левые мозговые полушария уже разобрались со случа-
случаем та = 3, но правые все еще никак не могут последовать их
примеру, поэтому перейдем к случаю та = 4:
х,
J
+ 2П
L 4 j l 4 J l 4
По крайней мере теперь мы знаем уже достаточно, для того что-
чтобы рассмотреть случаи, основанные на значении n mod та. Если
n mod 4 = 0, то
А если n mod 4 = 1, то
/|х+1 1 п-1
U 4 _Г 4
(I
xJ-31
4 J
4
Зп-3
Зп
T
3
2
Случай n mod 4 = 3, как выясняется, дает тот же самый ответ.
Наконец, в случае n mod 4 = 2 мы получаем нечто несколько
иное, и это нечто оказывается важным ключом к установлению
закономерности в общем случае:
_2п\ Лх + 2| Зп-2
|
4 J
+ ¦
На последнем шаге упрощается нечто вида [у/2\ + [(у + 1)/2J,
что вновь оказывается частным случаем (з«2б).
Вот сводка значений нашей суммы при малых та:
та
1
2
3
4
тг
2
3
4
mod та = 0
W
ixi Зп
п mod та
ш
Ш
W
п
+ п -
+|-
= 1
1
2
1
3
2
nmod
W +
та =
п -
Зп
2
-1
-1
nmod та
i i Зп
= 3
3
~2
„Пытливый ум тре-
требует приносящей
удовлетворение
умственной де-
деятельности как
необходимого
условия его со-
совершенствования.
'Необходимость —
источник откры-
открытий '—бесхитрост-
'—бесхитростная поговорка.
'Необходимость —
источник бесплод-
бесплодных усилий'—
гораздо ближе к
истине. Основой
роста современных
открытий является
наука, а наука
почти целиком
произрастает на
почве удовлетворе-
удовлетворения собственного
любопытства"
—А.Н.Уайтхед
[299]
3.5 ПОЛ/ПОТОЛОК: СУММЫ 115
Это выглядит так, как если бы мы имели нечто вида
где a, b, и с каким-то образом зависят от та и п. Даже близору-
близорукие в состоянии заметить, что Ь, похоже, равно (та—1 )/2. Труднее
разглядеть выражение для а, но случай n mod 4 = 2 указывает
на то, что а, похоже, равно нод(та,п) —наибольшему общему де-
делителю та и п. Это не лишено смысла, так как нод(та,п) —это
тот множитель, который мы выделяем из та и п, приводя дробь
n/та к несократимой, а наша сумма включает в себя дробь п/та.
(Операции с НОД будут обстоятельно рассмотрены в гл.4.) Ве-
Величина с представляется более таинственной, но, возможно, она
как-нибудь получится в ходе доказательства наших предположе-
предположений относительно а и Ь.
Вычисляя сумму при малых та, мы, по существу, переписали
каждый член этой суммы в виде
х + kn | | х + kn mod та I kn kn mod та
та J та та
ибо (kn —kn mod та)/та —целое число, которое может быть вы-
вынесено за скобки пола. Таким образом, исходную сумму можно
представить в следующем развернутом виде:
1-1
LmJ
I х + n mod та I
та
I х •+• 2n mod та I
1_ _1
О 0 mod та
та та
n n mod та
та та
. 2n 2n mod та
та та
I x+ (та— 1)nmod та I (та—1)п (та— 1)nmodm
та J та та
Когда мы экспериментировали с малыми значениями та, эти три
колонки приводили нас соответственно к a[x/aj, bn и с.
В частности, теперь можно понять, откуда берется Ь. Вторая
колонка представляет собой арифметическую прогрессию, сумма
которой нам известна — это среднее первого и последнего членов,
помноженное на число членов:
2
Таким образом, наша догадка, что b = (тп— 1 )/2, подтвердилась.
116 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Первая и третья колонки стоят покрепче: чтобы определить
а и с, надо повнимательнее присмотреться к последовательности
чисел
О mod та, n mod та, 2n mod та, ..., (та — 1 )n mod та.
Допустим, к примеру, что та = 12 и п = 5. Если представить
эту последовательность в виде часового циферблата, то данные
числа суть 0 часов A2 часов принимается за 0 часов), затем 5 ча-
часов, 10 часов, 3 часа (= 15 часов), 8 часов и т. д.—оказывается,
что каждый час пробивает лишь однажды.
Предположим теперь, что та = 12 и п = 8. Тогда данные числа
суть 0 часов, 8 часов, 4 часа (= 16 часов), но затем 0, 8 и 4 повто-
повторяются. Так как 8 и 12 кратны 4, а числа начинаются с 0 (тоже
кратного 4), вырваться из этого замкнутого круга невозможно —
все числа должны быть кратны 4.
В этих двух случаях мы имеем нодA2,5) = 1 и нодA2,8) = 4.
Общее правило, которое будет доказано в следующей главе, гла-
гласит, что если d = нод(та)п), то мы получаем последовательность Сейчас—лемма,
чисел 0, d, 2d, ..., та—d, взятых в некотором порядке, за которой потом—дилемма.
следуют еще d — 1 копий той же последовательности. К примеру,
при та = 12 и п = 8 набор чисел 0, 8, 4 встречается четыре раза.
Итак, первая колонка суммы приобретает ясный смысл: она
содержит d копий членов [x/mj, L(x+d)/mJ, ..., [(х+та—d)/mj,
взятых в некотором порядке, так что их сумма равна
d —
m/dj |_ m/d J L m/d
Здесь последний шаг — еще одно применение (з«2б). Наша догадка
относительно а подтвердилась:
а = d = нод(та)п).
А теперь, как мы и предполагали, можно вычислить с, ибо ста-
становится понятным содержание третьей колонки. Она содержит
d копий членов арифметической прогрессии О/та, d/та, 2d/m,...,
(та — d)/m, так что сумма их равна
та— d
на самом деле элементы третьей колонки не складываются, а вы-
вычитаются, так что
d — та
С —————
3 УПРАЖНЕНИЯ 117
Конец загадкам, конец догадкам. Искомая сумма в замкнутой
форме выглядит так:
nk + xl ,1х! та—1 d — та
где d = нод(та,п). В порядке проверки можно убедиться в том,
что это проходит для уже известных нам частных случаев п = О
и п = 1. Если п = 0, то получаем d = нод(та, 0) = та; в
этой формуле два последних члена равны нулю, поэтому фор-
формула дает правильный ответ та[х/та]. А при п = 1 мы получаем
d = нод(та, 1) = 1; два последних члена чудесно сокращаются и
сумма равна просто [*| •
После небольшой манипуляции с полученным замкнутым вы-
выражением его можно сделать даже симметричным относительно
тип:
та —
2
(та-
(та-
1
п
D(
2
+
п
d —та
2
-1)
-1)
та-
2
d-
-1
1
I
1
d —та
2
C-32)
Оп-па! Я повержен Это несколько неожиданно, поскольку нет никакого повода по-
на пол. дозревать, что такая сумма должна быть симметричной. Нами
доказан „закон взаимности"
LI пк + х I ^~ I так + х I
= > , целые та, п > 0.
та ^— tl
$k<m u J 0^k<n L J
К примеру, если та = 41 и n = 127, то левая сумма состоит из
41 члена, а правая состоит из 127 членов —тем не менее они ока-
оказываются равными при любом вещественном х.
Упражнения
Разминочные упражнения
1 Когда в гл. 1 мы разбирали задачу Иосифа, то представляли
произвольное целое положительное число п в виде n = 2m 4-1,
где 0 ^ I < 2т. Приведите явные формулы для I и та как
функций п, используя скобки пола и/или потолка.
2 Как выглядит формула для ближайшего целого к заданно-
заданному вещественному числу х? В случае „равновесия" — когда х
лежит ровно посредине между целыми числами — приведите
выражение, округляющее результат: (а) в сторону увеличе-
увеличения, т. е. до [х"|; (Ь) в сторону уменьшения, т. е. до [х].
118 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
3 Вычислите [[majn/aj, если m и п —целые положительные
числа, а а — иррациональное число, большее п.
4 В тексте охарактеризованы задачи с 1-го уровня по 5-й. А что
представляет собой задача уровня 0? (Это, между прочим, во-
вопрос не уровня 0.)
5 Укажите необходимое и достаточное условие того, что [пх\ =
n[xj, если п — целое положительное число. (Ваше условие
должно включать в себя {х}.)
6 Что примечательного можно сказать про |_f(x)J> если
непрерывная, монотонно убывающая функция, которая при-
принимает целые значения, только когда само х — целое число?
7 Решите рекуррентность
Хп=п
Хп = Хп_
при 0 ^ n < та,
1 при n ^ та.
8 Докажите принцип ящиков Дирихле: если п предметов раз-
размещены по та ящикам, то некоторый ящик должен содержать
^ [п/та~| предметов, а некоторый ящик должен содержать
^ [п/т\.
9 В 1800-м году до н. Э. египетские математики представляли
рациональные числа между 0 и 1 в виде сумм „основных" дро-
дробей 1 /xi Н Ь1 /хк, где Х{ суть различные целые положитель-
положительные числа. Например, вместо | они писали \ + j$- Докажите,
что всегда есть возможность делать это систематически: если
0 < та/п < 1, то
та 1 Г та 1
— = —Ь \ представление
тг q (^ n q
(Это алгоритм Фибоначчи, предложенный Леонардо Фибо-
Фибоначчи в 1202 г. н. э.)
Обязательные упражнения
10 Покажите, что выражение
всегда равно либо [xj, либо [х]. При каких условиях получа-
получается тот или иной случай?
11 Приведите детали отмеченного в тексте доказательства того,
что открытый интервал (а, C) содержит ровно ["C] — [ос\ — 1
целых чисел при а < C. Почему для корректности доказатель-
доказательства нужно исключить случай а = C?
Речь идет о так
называемом
„папирусе Рай-
нда"—по имени
обнаружившего
его английского
египтолога, или
„папирусе Ахме-
са"—по имени
составившего его
египетского писца,
который служит
основным источ-
источником сведений
о древнеегипет-
древнеегипетской математи-
математике; подробнее
см.Д.Я.Стройк,
[288* с. 37].
— Перев.
3 УПРАЖНЕНИЯ 119
12 Докажите, что
тг + та —
Iml ~
та I L m
при любом целом п и любом целом положительном т. [Это
тождество дает другой способ обращения потолков в полы и
обратно вместо применения рефлексивного закона (з-4)-]
13 Пусть аи р —-вещественные положительные числа. Докажи-
Докажите, что Spec(a) и Spec(|3) образуют разбиение всех целых по-
положительных чисел тогда и только тогда, когда а и C ирра-
иррациональны и 1 /ос + 1 /|3 = 1.
14 Подтвердите или опровергните, что
(х mod пу) mod у = х mod у при целом п.
15 Имеется ли аналогичное C.26) тождество, в котором вместо
полов используются потолки?
16 Докажите, что n mod 2 = A — (—1 )п)/2. Найдите и докажите
аналогичное выражение для n mod 3 вида а + Ьшп + сш2п,
где ш — комплексное число (—1 +г\/3)/2. Указание: ш3 = 1
и 1 + ш + ш2 = 0.
17 Вычислите сумму H0^k<mLx- + k/mj в случае, когда х ^ 0,
подставляя ]Гj [I ^ J ^ х + k/m] вместо [х + k/mj и суммируя
сперва по к. Согласуется ли ваш ответ с (з-2б)?
18 Докажите, что остаточный член S в (з-3°) не превосходит
<x~1v. Указание: покажите, что малые значения j не суще-
существенны.
Домашние задания
19 Какому необходимому и достаточному условию должно удо-
удовлетворять вещественное число b > 1, чтобы
LlogbxJ = [logb|xJJ
при любом вещественном х ^ 1 ?
20 Найдите сумму всех чисел, кратных х, в замкнутом интервале
[а, C], при х > 0.
21 Сколько чисел вида 2т, 0 ^ та ^ М, начинаются с 1 в деся-
десятичной записи?
22 Вычислите суммы
+]-\ и
23 Покажите, что п-й элемент последовательности
1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,...
равен [л/2п + ^J. (Каждое число m входит в данную последо-
последовательность та раз.)
120 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
24 Упражнение 13 устанавливает замечательную связь между
двумя мультимножествами Spec(a) и Spec(<x/(<x— 1)), когда
<х — некоторое иррациональное число > 1, поскольку 1 /ос +
(<х— 1 )/<х = 1. Найдите (и докажите) другую примечательную
связь между мультимножествами Spec(a) и Spec(a/(a-f-1)),
когда a — некоторое положительное вещественное число.
25 Подтвердите или опровергните, что числа Кнута, определен-
определенные соотношением (з-1б), удовлетворяют условию Kn ^ n при
любом неотрицательном п.
26 Покажите, что вспомогательные числа Иосифа (з-2о) удовле-
удовлетворяют неравенству
27 Докажите, что среди определенных посредством (з-2о) чисел
Dn бесконечно много четных и бесконечно много нечетных.
28 Решите рекуррентность
а0 = 1 >
an = an-i + U/an-iJ
при n > 0.
29 Покажите в дополнение к (з-З1)) что
D(a,n) ^ D(a/,LanJ)-a-1-2.
30 Покажите, что рекуррентность
Хо = та,
Хп = X2 _! - 2 при п > 0
имеет решение Xn = fa2'1], если та —целое число, большее 2,
где a+a = та и a > 1. К примеру, если та = 3, то решением
является
Эта формула
несколько откло-
отклоняется от
п = ГФ2
ф =
<х = ф .
31 Подтвердите или опровергните, что
32 Обозначим через ||х|| = min(x — [xj, fx] — х) рассто5пше от х
до ближайшего целого. Какова величина суммы
(Заметьте, что эта сумма может быть бесконечной в обе сто-
стороны. Так, если х = 1/3, то ее члены отличны от нуля как при
Тс —» —оо, так и при Тс —» +оо.)
3 УПРАЖНЕНИЯ 121
Упрощая, не из-
измените значение.
Контрольные работы
33 На шахматной доске размером 2n x 2п клеток симметрично
начерчена окружность с диаметром 2п— 1 единиц; вот как это
выглядит при п = 3:
(
1
—-
л
I
а Через сколько клеток доски проходит данная окружность?
b Укажите функцию f(n,k), такую, что внутри данной ок-
окружности полностью умещается ровно ]Г k=i ^ (n> k) клеток
доски.
34 Пусть f(n)=C=i Tig Я
а Найдите выражение для f (п) при п^1 в замкнутой фор-
форме.
b Докажите, что f (n) = n—I +f ([n/2]) +f ([n/2J) при любом
тг ^ I.
35 Упростите формулу [(тг + 1 Jтг! ej mod n.
36 Считая, что п —целое неотрицательное число, найдите выра-
выражение для суммы
1
l<k<22'1
в замкнутой форме.
37 Докажите справедливость тождества
min(m mod n, (—та) mod n)*
при любых целых положительных тип.
38 Пусть xi, ..., хп — вещественные числа, такие, что тождество
k=1
справедливо при любом целом положительном та. Выясните
что-нибудь характерное для чисел xi, ..., хп.
122 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
39 Докажите, что двойная сумма
равна (b — 1)(U°gbxJ + 1) + M — 1 ПРИ кажА0М веществен-
вещественном х^1и каждом целом b > 1.
40 Спиральная функция а(п), схематически показанная внизу,
отображает целое неотрицательное число п в упорядоченную
пару целых чисел (х(п), у (п)). Например, она отображает п =
9 в упорядоченную пару A,2).
1 "8
5 6
а Докажите, что если та = [у/п\, то
x(n) = Ы)т((п-тп(т4-1))-[|А/п] четное] + [ 1
и укажите аналогичную формулу для у (п). Утсазакгле; раз-
разбейте спираль на сегменты W^, Sk, Ek, Nk в зависимости
от значения [2у/п\ = 4к - 2, 4к - 1, 4к, 4к + 1.
b И наоборот, докажите, что п можно установить из а(п) по
формуле вида
п = BкJ± Bк + х(п)+ у(п)) , к = max(|x(n)|,|y(n)|).
Приведите правило, определяющее, когда знак ± есть +, а
когда —.
Конкурсные задачи
41 Пусть f и д — возрастающие функции, такие, что множества
{f A), f B),...} и {д A), д B),...} образуют разбиение всех целых
положительных чисел. Предположим, что f и д связаны усло-
условием д(п) = f(f(n)) 4- 1 при любом п > 0. Докажите, что
f(n) = |u<W и 9(п) = [пф2\, где ф = A + V5)/2.
42 Существуют ли вещественные числа а, C и у, такие, что
Spec(a), Spec(C) и Spec(y) вместе взятые образуют разбиение
множества целых положительных чисел?
Б южном полуша-
полушарии спираль за-
закручена в другую
сторону.
3 УПРАЖНЕНИЯ 123
43 Дайте другую интересную интерпретацию числам Кнута, раз-
развернув рекуррентность C-i6).
44 Покажите, что существуют целые числа атг и dT1 , такие, что
D{qK +d{nq) Dl?] +dbq]
~(q) — n = при n > 0,
q-1 q
где Dn является решением рекуррентности C.20). Восполь-
Воспользуйтесь этим фактом для получения решения обобщенной за-
задачи Иосифа в другой форме:
Jq(n) = 1 4 4q) 4 q(n- 4q)) при a^q) ^ n < aj^.
45 Примените прием из упр. 30 для нахождения решения рекур-
рекуррентности
Yo = та,
Yn = 2Y^_t - 1 при п > 0
в замкнутой форме, если та —целое положительное число.
46 Докажите, что если п — [(л/2 4- л/2 )mj, где та и I — целые
неотрицательные числа, то [^/2п(п4 1)J = [(л/2 4л/2 )та].
Воспользуйтесь этим замечательным свойством для нахожде-
нахождения решения рекуррентности
Lq = a, целое a > 0,
Ln = [ V2Ln_! (Ln_! +1)J при n > 0
в замкнутой форме. Указание: [у/2п{п+ 1)J = [л/2(п+ \)\-
47 Говорят, что f (х) является репликативной функцией, если
f(mx) = i[x)+ f(x+-)+••• +f(x+?^-)
\ та/ \ та /
при каждом целом положительном т. Укажите, каким не-
необходимым и достаточным условиям должно удовлетворять
вещественное число с, чтобы следующие функции являлись
репликативными:
a f(x) =x + c;
b f(х) = [х + с целое];
с f(x)=max(|xj,c);
d f (x) = х 4- c[xj - \[х не целое].
48 Докажите тождество
х3 = 3x[xLxJJ 4- 3{x}{xLxJ} 4- {х}3 - 3LxJ [x[xjJ 4- \_х\ъ
и покажите, как можно получить аналогичные формулы для
хп при п > 3.
124 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ ФУНКЦИИ
49 Укажите, какому необходимому и достаточному условию
должны удовлетворять вещественные числа 0^а<1иC^0,
чтобы можно было установить ос и C из бесконечного мультим-
мультимножества величин
Исследовательские проблемы
50 Укажите, какому необходимому ц достаточному условию
должны удовлетворять вещественные неотрицательные числа
ос и C, чтобы можно было установить а и |3 из бесконечного
мультимножества величин
51 Обозначим через х вещественное число ^ ф = \A+у/5). Тогда
решение рекуррентности
Z0(x) = х,
Zn(x) = Zn_! (xJ - 1 при п > 0
может быть записано в виде Zn(x) = |~f(xJn], если х —целое
число, где
f(x)= lim Zn{x?'2\
n—>oo
так как Z7l(x) — 1 < f(xJ'1 < Zn(x). Какими еще интересными
свойствами обладает функция f (х)?
52 При заданных вещественных неотрицательных числах ос и |3
положим
Spec(cx;C) = {Lcx + CJ, [2ос+ CJ, L3cx + |3J,... }
— мультимножество, обобщающее мультимножество Spec (a) =
Spec(oc; 0). Докажите или опровергните, что если m ^ 3 муль-
мультимножеств Spec(au (Зт), Spec(cx2; C2), ..., Spec(cxm; Cm) обра-
образуют разбиение всех целых положительных чисел и при этом
параметры аи < осг < • • • < осш рациональны, то
53 Алгоритм Фибоначчи (из упр. 9) является „жадным" в том
смысле, что на каждом шаге он выбирает как можно более
малое q. Известен более сложный алгоритм, с помощью кото-
которого любая дробь m/u с нечетным п может быть представлена
в виде суммы различных основных дробей 1/qi 4- • • • 4- 1/qic
с нечетными знаменателями. Всегда ли заканчивается жад-
жадный алгоритм при поиске такого представления?
4
Элементы теории чисел
ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА ЗАНИМАЮТ ОДНО ИЗ КЛЮЧЕВЫХ МЕСТ
в дискретной математике, которая нас особенно интересует в этой
книге. Поэтому нам следует получить представление об элемен-
элементах теории чисел — важном разделе математики, имеющем де-
дело со свойствами целых чисел.
В предыдущей главе мы ненадолго окунулись в воды теории
Короче говоря, чисел, когда учились плавать стилями 'mod' и {нод\ А теперь ре-
готовьтесь пойти шительно бросимся и уже надолго погрузимся в стихию данного
ко дну. предмета.
4.1 ОТНОШЕНИЕ ДЕЛИМОСТИ
Говорят, что m делит п (или же п делится на та), если
та > 0, а отношение n/m — целое число. Это свойство чисел ле-
лежит в основе всей их элементарной теории, так что разумно об-
обзавестись для него специальным обозначением. Поэтому будем
писать
та\п <=> та > 0 и п = так при некотором целом k. D-1)
(На самом деле, в существующей математической литературе го-
гораздо более употребительно обозначение 'Tn|n', а не 'mXu'. Но с
вертикальной чертой вышел явный перебор — ее используют при
записи абсолютных величин, множеств, условных вероятностей
и т. д., в то время как с наклоненной влево чертой вышел явный
недобор. Помимо всего прочего, обозначение (та\п' создает впеча-
впечатление, что та как бы является знаменателем некоторого вообра-
воображаемого отношения. Так что наберемся смелости склонить наш
символ делимости влево!)
То, что та не делит п, записывается как 'mXn'.
Имеется аналогичное соотношение „п кратно та", которое озна-
означает почти то же самое с тем лишь отличием, что та не обязано
быть положительным числом. Это просто означает, что n = mk
при некотором целом к. Так, например, существует только одно
число, кратное 0 (а именно, сам 0), но ничто не делится на 0.
126 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Каждое целое число кратно —1, но никакое целое число (строго
говоря) не делится на —1. Эти определения применимы и тогда,
когда та и п — любые вещественные числа; например, Ъп делит-
делится на п. Но мы почти всегда будем пользоваться ими, когда m
и п — целые числа. В конце концов, это всего лишь элементарная
теория чисел.
Наибольший общий делитель двух целых чисел тип-это
наибольшее целое число, которое делит их оба:
нод(т,п) = max{k | к\т и к\п}.
D-2)
К примеру, нодA2,18) = 6. Это известное всем понятие, ибо это
не что иное, как общий множитель, который еще в младших клас-
классах учатся выделять из дроби та/п, когда приводят ее к несокра-
несократимому виду: 12/18 = A2/6)/A8/6) = 2/3. Обратите внимание,
что если п > 0, то нод@,п) = п, так как любое положительное
число делит 0, an является наибольшим делителем самого себя.
Но величина нод@,0) не определена.
Другим хорошо известным понятием является наименьшее
общее кратное
нок(та,п) = min{k | к > 0, т\к и п\к}у
D-3)
которое не определено, если та ^ 0 или n ^ 0. Изучающим ариф-
арифметику это знакомо как наименьший общий знаменатель, к кото-
которому приводятся при сложении дроби со знаменателями та и п.
Например, нокA2,18) = 36, и даже ученики начальных классов
знают, что п + тг^М + ^^М* Понятие нок отчасти аналогич-
аналогично понятию нод, но мы не будем уделять ему равного внимания
по той причине, что нод обладает более привлекательными свой-
свойствами.
Одним из самых привлекательных свойств нод является про-
простота его вычисления с помощью известного уже 2300 лет метода,
называемого алгоритмом Евклида. Для вычисления нод(тп,п)
заданных величин 0 ^ та < п в алгоритме Евклида используется
рекуррентность
нод@,п) = п,
нод(та,п) = нод(п mod та, та)
при та > 0.
D4)
Так, например, нодA2,18) = нодF,12) = нод@,6) = 6. Указан-
Указанная рекуррентность законна потому, что любой общий делитель
чисел та и п должен быть также общим делителем как числа та,
так и числа n mod та, которое равно п — [тг/тп]т. Вряд ли име-
имеется рекуррентность для нок(ттг, тг) сколько-нибудь близкая по
своей простоте к данной. (См. упр. 2.)
Алгоритм Евклида дает нам и нечто большее: его можно об-
обобщить так, что он будет вычислять целые числа т' и п', удо-
удовлетворяющие уравнению
„... никакое целое
число (строго
говоря) не делится
на -1."
—Грэхем, Кнут,
Паташник [90]
На Британских
островах это на-
зывается *hcf'
(highest common
factor) [а в Соеди-
Соединенных Штатах—
'gcd' (greatest
common divisor).
— Перев.].
He путать с наи-
наибольшим общим
кратным.
„Прошу-забудь
все, чему ты учил-
учился в школе, потому
что ты этому не
научился"
— Э. Ландау,
[182: с. 8].
та'та 4- п'п = нод(та,п).
D-5)
тельны.)
4.1 ОТНОШЕНИЕ ДЕЛИМОСТИ 127
(Не забывайте, что Вот как это делается. Если m = 0, мы просто выбираем т'=0и
т' и п' могут п' = 1. В противном случае мы полагаем г = n mod m и приме-
быть и отрица- няем этот метод рекурсивно — подставляя г и та вместо тип, и
вычисляя f и Та, такие, что
г г 4- та та = нод(г,та).
А поскольку г = п — [п/та]та и нод(т,тп) = нод(та,п), то это
уравнение превращается в
f(n— |п/тгг]т) 4 та та = нод(та,п).
Левая часть может быть переписана, чтобы показать, как она
зависит от та и п:
(та— [n/mjf) та + гтг = нод(та,п);
следовательно, та' = та — [ n/mjf и п' = f — это те целые числа,
которые нужны в D-б)- К примеру, в нашем излюбленном случае,
когда та = 12 и и = 18, этот метод дает б = 0-04-1-6 = 1 -64-012 =
(-1Н24Ы8.
Но чем же так привлекательно уравнение D.б)? Главным об-
образом тем, что числа та' и п' фактически подтверждают, что в
каждом конкретном случае алгоритм Евклида дает правильный
ответ. Предположим, что после продолжительных вычислений
наш компьютер сообщил, что нод(та, п) = d и что та'та-Ьтг'тг = d,
но мы относимся к этому скептически и полагаем, что на самом
деле имеется больший общий делитель, который машина почему-
то „проглядела" Однако этого быть не может, потому что всякий
общий делитель чисел тип должен делить та/та4т1/п, а посему
он должен делить и d —следовательно, он должен быть ^ d. К
тому же можно легко проверить, что d действительно делит как
та, так и п. (Алгоритмы, которые доставляют свои собственные
подтверждения правильности результата, называются самопод-
тверэюдающими.)
До конца этой главы мы будем много раз пользоваться уравне-
уравнением D.5)- Одним из его важных следствий является следующая
мини-теорема:
к\та и к\п
к\нод(та,п)
D-6)
(Доказательство. Если число к делит как та, так и п, то оно делит
та'та 4- п'п, а потому делит и нод(та,п). Обратно, если число
к делит нод(та,п), то оно делит делитель та и делитель n, a
потому делит как та, так и п.) Мы всегда знали, что всякий общий
делитель чисел та и п должен быть меньшим или равным их
нод — по определению наибольшего общего делителя. А теперь
мы узнали, что всякий общий делитель на самом деле является
делителем их наибольшего общего делителя.
Иногда бывает необходимо просуммировать по всем делите-
делителям числа п. В таком случае зачастую полезно воспользоваться
128 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
удобным правилом
21Qm = 21 Qn/
m\n m\n
целое n > О,
D-7)
которое справедливо в силу того, что n/m пробегает те же де-
делители числа и, что и та. Так, при п = 12 это означает, что
ai + а.2 4 а3 4 сц 4 <*б + cii2 = &м + ав + сц 4- аз + а2 4- си.
Справедливо также несколько более общее равенство,
D-8)
m\n
k m>0
которое немедленно следует из определения D-i)- Бели п —поло-
—положительное число, то правая часть D.8) есть Y.k\n an/k» следова-
следовательно, D.8) влечет за собой D-7)- Но равенство D.8) справедли-
справедливо и при отрицательных п. (В таких случаях ненулевые члены в
правой части появляются тогда, когда к является отрицательным
делителем п.)
Кроме того, двойная сумма по делителям может быть „пере-
„переставлена" по правилу
D-9)
m\n k\m
k\n l\(n/k)
К примеру, если n = 12, то это правило приобретает следующий
вид:
4-
4- (а1L 4- а2,4 + а4|4) 4- (а1N 4- а2)б 4- а3|б 4- а6N)
4- (aij2 4- ci2,i2 4- аз,12 4- a4,i2 4- а^и 4 ai2,i2)
.i 4- aiJ 4- ai>3 4- a1L 4- ai>6 + ai,i2)
4- (a2,2 4- a2L 4- a2N 4- a2,i2) 4- (a3K 4- a3F 4- аз.и
4- (a4,4 4a4,i2) 4- {абуб + О-б,м) 4- ciu.u •
Равенство D.9) можно доказать с помощью нотации Айверсо-
на. Его левая часть есть
21
j,l k,m>0
а правая —
21 21 a
j,m k,l>0
21
k,l>0
21
m k,t>0
что то же самое, если не считать переименования индексов. Этот
пример показывает, что те приемы, которыми мы овладели в гл. 2,
пригодны и при изучении элементов теории чисел.
Важный специ-
специальный случай
суммы D.7)—фун-
Х1
связанная с так
называемыми
„совершенными
числами11.
См. М. Гарднер,
[60; с. 343-352].
— Перев.
4.2 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 129
4.2 ПРОСТЫЕ ЧИСЛА
Целое положительное число р называется простым, если
оно имеет только два делителя, а именно 1 и р. Вплоть до кон-
конца этой главы буквой р всегда будет обозначаться простое число,
А как насчет р в даже если это и не оговаривается явно. По соглашению 1 не явля-
слове 'оговарива- ется простым числом, так что последовательность простых чисел
ется}? начинается так:
2,3,5,7, 11, 13, 17, 19,23,29,31,37,41, ....
Некоторые числа кажутся, но не являются простыми, подобно
числам 91 (= 7-13) и 161 (=7-23). Эти и другие числа, которые
имеют три и более делителей, называются составными. Каждое
большее 1 целое число —либо простое, либо составное, но не то и
другое одновременно.
Простые числа крайне важны, ибо это те „кирпичики", из ко-
которых строятся все целые положительные числа —всякое целое
положительное число п может быть записано в виде произведе-
произведения простых чисел:
U = pi • ... -pm = J^Pk, Pi^"-^Pm. D-1°)
k=1
Так, 12 = 2-2-3, 11011 =7-11 -11-13, 11111 =41-271. (Произведе-
(Произведения, обозначаемые знаком ["]> аналогичны суммам, обозначаемым
знаком 52, в том смысле, как это разъяснялось в упр. 2.25. Бели
та = 0, то такое произведение считается пустым, а его величина
равна 1 по определению — именно так число п = 1 оказывает-
оказывается представленным с помощью D.10).) Подобное разложение на
множители всегда возможно, ибо если число п > 1 не является
простым, то оно имеет делитель ги, такой, что 1 < щ < п; следо-
следовательно, и можно записать в виде п = ги -П2, а (по индукции) ги
и П2 могут быть записаны в виде произведений простых чисел.
Более того, разложение D-ю) единственно: возможен только
один способ записи числа п в виде произведения простых чисел
в неубывающем порядке. Это утверждение называется основ-
основной теоремой арифметики и кажется настолько очевидным,
что впору усомниться в необходимости его доказательства. Разве
могут два разных набора простых чисел иметь одно и то же про-
произведение? Конечно же, не могут, но не просто „по определению
простых чисел" Так, если рассмотреть множество всех веществен-
вещественных чисел вида m -f rtVTO, где m и п —целые, то произведение
любых двух таких чисел снова будет числом того же вида, и мож-
можно было бы назвать такое число „простым1! если оно не может
быть разложено на множители нетривиальным способом. Число
6 имеет два представления, 2• 3 = D + л/То ) D — л/То ), и тем не ме-
менее в упр. 36 показано, что в этой системе 2,3,4 + у/То и 4 — л/То —
все „простые" числа.
Следовательно, то, что разложение D-ю) единственно, надо
доказать строго. Несомненно, если п = 1, то имеется только одна
130 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
возможность, поскольку произведение D.10) в этом случае долж-
должно быть пустым. Поэтому предположим, что п > 1 и что все
меньшие числа разлагаются на множители единственным обра-
образом. Допустим, что имеются два разложения
п =
.pm =
и
где все числа pi и Ц{ простые. Покажем, что pi = qi. Если это не
так, то можно считать, что pi < qi, тем самым число pi меньше
всех чисел q. Так как pi и qi —простые числа, их нод должен
быть равен 1; следовательно, самоподтверждающий алгоритм Ев-
Евклида дает целые числа а и Ъ, такие, что api -f bqi = 1. Тогда
api q2 .. .qic + bqiq2 .. .qic = q2 • ..qk-
Итак, pi делит оба члена в левой части, поскольку qi q2 ... qic = тц
следовательно, pi делит и правую часть q2...qk- Тогда число
q2 • • • qk/Pi целое, а q2 ... qk — разложение на множители, в ко-
котором присутствует pi. Однако q2 ... qk < ti, так что оно допус-
допускает единственное разложение на множители (по индукции). Это
противоречие показывает, что в конце концов pi должно быть
равно qi. Поэтому можно разделить оба разложения п на pi,
получая р2 ... pm = q2 ... qk < п. Подобно этому и другие сомно-
сомножители должны быть равны (по индукции) — тем самым наше
доказательство единственности разложения завершено.
Иногда удобнее сформулировать основную теорему другим
образом: любое целое положительное число может быть записано
единственным образом в виде
n = JT рПр , где каждое nv
0.
Правая часть представляет собой произведение по бесконечно
многим простым числам, однако для любого отдельного п все
показатели степени —за исключением нескольких — равны 0, так
что соответствующие им сомножители равны 1. Следовательно,
на самом деле —это конечное произведение, точно так же, как
в действительности конечны многие „бесконечные" суммы, ибо
большая часть их слагаемых равна нулю.
Формула D-и) однозначно представляет и, так что после-
последовательность (п2,пз,П5,...) можно рассматривать как (кано-
(каноническую) систему представления целых положительных чи-
чисел. Например, представление в виде показателей простых числа
12 имеет вид B,1,0,0,...), а представление в виде показателей
простых числа 18 — A,2,0,0,...). При умножении двух чисел их
представления просто складываются. Другими словами,
1с = ran
Это означает, что
тп\п
mp
Шр + пр при всех p. D-12)
пр при всех р, D.13)
Единственное—это
разложение, но не
теорема.
4.3 ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ 131
откуда непосредственно следует, что
k = HOA(m,n)
к = нок(т,п)
кр = mm(mp,np) при всех р, D-14)
кр = тах(тр,пр) при всех р. D-15)
Например, поскольку 12 = 22 -З1 и 18 = 21 -З2, можно получить
их НОД и нок, взяв min и max соответствующих показателей:
нодA2,18) =2minB'1)-3minA'2) =21-31 =6,
нокA2,18) = 2max<2>1) .3maxA'2) = 22-32 = 36.
Бели некоторое простое число р делит произведение mn, то
оно делит либо число та, либо число п, а возможно, и оба из них —
в силу теоремы о единственности разложения на множители. Од-
Однако составные числа этим свойством не обладают. К примеру, не
простое число 4 делит 60 = 6-10, но не делит ни 6, ни 10. Причина
очевидна: в разложении 60 = 6-10 = B-3) B-5) два простых сомно-
сомножителя числа 4 = 2-2 расщеплены на две части —следовательно,
4 не делит ни одну из частей. Но простое число нерасщепляемо,
так что оно должно делить один из исходных сомножителей.
„Oi TTpUTOL
apiOfiol
eiai тгаитоя tov
ттротевеитоя
i:\fjOovs тгрштши
-Евклид [360]
[Перевод:
„Первых чи-
чисел существует
больше всякого
предложенного
количества первых
чисел'.']
4.3 ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ
Сколько вевго простых чисвл? Много. На самом де-
деле—бесконечно много. Это давным-давно доказал Евклид в сво-
своем предложении 20 книги IX, и вот как. Предположим, что имеет-
имеется лишь конечное число простых, скажем, к чисел 2, 3, 5, ..., Р^.
Тогда, говорил Евклид, следует рассмотреть число
М = 2-3-5
¦Рк + 1
Ни одно из к простых чисел не может делить М, ибо каждое
из них делит М. — 1. Таким образом, должно иметься некоторое
другое простое число, которое делит М, а, возможно, само М —
простое число. Это противоречит нашему предположению, что
только 2, 3, ..., Рк. суть простые числа, так что на самом деле их
должно быть бесконечно много.
Евклидово доказательство наводит на мысль определить ре-
куррентно числа Евклида:
en =
если и
1.
D-16)
Их последовательность начинается с чисел
ei =1+1 =2,
е2 =2 + 1 =3,
е3 =2-3 + 1 =7,
е4 =2-3-7 + 1 =43,
132 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
все из которых простые. Но уже следующее число, es, есть 1807 =
13' 139. Оказывается, что ев = 3263443 — простое число, в то время
как
е7 = 547-607-1033-31051,
е8 = 29881-67003-9119521-6212157481.
Известно, что е9, ..., ei7 — составные числа, так же как, по всей
видимости, и остальные еп. Однако все числа Евклида являются
попарно взаимно простыми, т.е.
нод(ет, еп) = 1 , если т ф п.
Алгоритм Евклида (а как иначе?) подтверждает это за три ко-
коротких шага: поскольку en mod ет = 1 при п > га, то
нод(ет,еп) = нодA,ет) = нод@,1) = 1 .
Следовательно, если положить qj равным наименьшему множи-
множителю числа ej при каждом j ^ 1, то все простые числа qi, q2,
q3, ... будут различны —они образуют бесконечную последова-
последовательность простых чисел.
Теперь ненадолго отвлечемся, чтобы рассмотреть числа Ев-
Евклида с позиций гл. 1. Можно ли выразить числа еп в замкнутой
форме? Рекуррентность D-i6) можно упростить, избавившись от
многоточия. Если п > 1, то
еп = ei.. .en_2en_i + 1 = (en_i - 1 )en_i + 1 = e?_-, - en_i + 1 .
Таким образом, в еп примерно вдвое больше десятичных цифр,
чем в en_i. В упр. 37 доказывается, что существует постоянная
Е « 1.264, такая, что
еп = [Е2" + 1J . D.17)
А в упр. 60 обосновывается подобная этой формула
vn = Lp3"J - D-18)
которая доставляет только лишь простые числа при некоторой
постоянной Р. Но на самом деле формулы типа D-17) и D-1^)
не могут рассматриваться как формулы в замкнутой форме, по-
поскольку постоянные Е и Р вычисляются по тем же самым числам
еп и Vn— как бы заметая проблему под ковер. Не известно (и
его существование маловероятно) какое-либо соотношение, кото-
которое связывало бы эти числа с другими математически важными
постоянными.
И, действительно, никто не знает никакой полезной форму-
формулы, которая бы давала сколь угодно большие простые, но только
простые числа. Тем не менее, проводя в 1984 г. испытания ново-
нового суперкомпьютера Cray X-MP, специалисты из геологической
компании Chevron Geosciences все-таки наткнулись на математи-
математический клад. Используя программу, которую разработал Дэвид
4.3 ПРОСТЫЕ ПРИМЕРЫ 133
А, может быть,
и больше к тому
времени, когда вы
это прочтете.
„Что задача раз-
различать простые
и составные чи-
числа, последние
разлагать на про-
простые множители,
принадлежит
к важнейшим
и полезнейшим
задачам во всей
арифметике и что
она занимала ум
как древних, так и
современных мате-
математиков, настолько
известно, что было
бы излишним тра-
тратить на это много
слов'.'
-К.Ф.Гаусс, [296*].
Словински, они обнаружили наибольшее из известных на тот мо-
момент простых чисел,
2216091 _ -j
На персональном компьютере данное число легко вычислить
за несколько миллисекунд, поскольку современные компьюте-
компьютеры работают в двоичной системе, а это число — просто A1 ...1J:
все 216 091 его битов суть 'Г. Но много труднее доказать, что оно
простое. Практически любая операция с этим числом поглощает
уйму времени из-за его слишком больших размеров. Так, даже
изощренному алгоритму требуется несколько минут только для
преобразований 2216091 — 1 в десятичную форму на ПК. А для того
чтобы переслать по почте распечатку этого числа, состоящего из
65050 десятичных цифр, вам потребуется 78 центов.
Между прочим, 2216091 — 1 —это число перекладываний, необ-
необходимых для решения задачи о ханойской башне, когда имеется
216 091 дисков. Числа вида
2Р — 1
(где р -—простое, как и везде в этой главе) называются числами
Мерсеннау в честь преподобного Марена Мерсенна, который еще
в семнадцатом веке занимался исследованием некоторых свойств
подобных чисел [218]. Известные к настоящему времени простые
числа Мерсенна получаются при р = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61,
89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941,
11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091,
756839 859433, U57787, 1398269 и 2976221.
Число 2П — 1 всегда не простое, если п — составное, поскольку
2km — 1 имеет одним из сомножителей 2т — 1:
2кт —
Bт —
1)
Однако 2Р — 1 не всегда простое число, если р — простое: 211 — 1 =
2047 = 23 • 89 — наименьшее из таких не простых чисел. (Мерсенн
знал это)
В наши дни разложение на множители и испытание на про-
простоту больших чисел — темы оживленных исследований. Сводка
того, что было известно об этом вплоть до 1981г., содержится
в разд. 4.5.4 книги [140], а тем временем становятся известными
многие новые результаты. На ее. 431-435 (русского перевода) объ-
объясняется специальный метод проверки на простоту чисел Мер-
Мерсенна.
На протяжении последних пяти столетий наибольшим извест-
известным простым числом оказывается, по большей части, простое чи-
число Мерсенна, хотя известно всего лишь несколько десятков про-
простых чисел Мерсенна. Многим не дают покоя большие числа, но
они поддаются исследованию с трудом. Поэтому тем, кто рассчи-
рассчитывает на действительно заслуженную известность (а не просто
на везение) и место в Книге мировых рекордов Гиннесса, вместо
134 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
этого можно было бы попытать счастья с числами вида 2пк + 1
при малых к, скажем, 3 или 5. Эти числа могут быть провере-
проверены на простоту почти столь же быстро, сколь и числа Мерсенна
(подробности см. в упр. 4.5.4-27 книги [140]).
Но мы еще не полностью ответили на наш первоначальный
вопрос относительно того, сколько имеется простых чисел.
Их бесконечно много, но дело в том, что одни бесконечные мно-
множества „гуще" нежели другие. Так, среди целых положительных
чисел бесконечно много четных чисел и бесконечно много полных
квадратов, хотя с некоторых не лишенных смысла точек зрения
четных чисел больше, чем полных квадратов. Одна из таких то-
точек зрения — сравнить n-ю величину: п-е целое четное — это 2п, а
п-й полный квадрат — это п2; так как 2п гораздо меньше п2 при
большом п, то n-е целое четное встречается значительно раньше,
чем п-й полный квадрат, так что можно считать, что целых чет-
четных чисел много больше, чем полных квадратов. Сходная точка
зрения — сравнить число величин, не превосходящих х: имеется
[x/2J таких целых четных чисел и [у/х\ таких полных квадра-
квадратов; а поскольку х/2 гораздо больше л/х при большом х, то снова
можно считать, что целых четных чисел много больше.
Но что же можно сказать о простых числах с этих двух точек
зрения? Оказывается, что n-е простое число Рп приблизительно
в п раз больше натурального логарифма п:
Pn ~ nlnn.
(Знак '~' может быть прочитан как „асимптотически равно" — это
значит, что предел отношения Pn/nInn равен 1, когда п стремит-
стремится к бесконечности.) Подобно этому, для числа 7т(х) — простых
чисел, не превосходящих х, мы располагаем фактом, который из-
известен как „теорема о распределении простых чисел":
Странно... Я-то
думал, что це-
целых четных чи-
чисел столько же,
сколько и пол-
полных квадратов,
поскольку между
ними существует
взаимно однознач-
однозначное соответствие.
я(х) - -— .
lnx
Доказательство этих двух фактов выходит за рамки нашей кни-
книги, хотя легко показать, что один из них влечет за собой другой.
В гл. 9 мы обсудим скорости, с которыми возрастают функции,
и увидим, что функция nlnn —наше приближение числа Рп —
лежит между функциями 2п и п2 при большом п. Следователь-
Следовательно, простых чисел меньше, чем целых четных, но больше, чем
полных квадратов.
Эти формулы, справедливые только в пределе при п или
х —> со, могут быть заменены более точными оценками. Так, Рос-
сером и Шенфельдом [263] установлены следующие удачные гра-
границы:
n(lnn + lnlnn- \), п ^ 20.
<1пх-±,
n(lnn + lnlnn- §) < Pn
4.4 ФАКТОРИАЛЬНЫЕ ФАКТЫ 135
Если выбрать „случайное" целое число п, то его шансы ока-
оказаться простым составляют примерно один к Inn. Так, если
выбирать числа вблизи 1016, то мы должны проверить при-
примерно 16 In 10 и 36.8 из них, прежде чем найдем простое чи-
число. (Оказывается, что между 1016 — 370 и 1016 — 1 имеется
ровно 10 простых чисел.) Тем не менее в распределении про-
простых чисел имеется много нерегулярностей. Так, числа между
Р1Р2 ... Рп + 2 и Р]Р2 ... Ри + Рп+1 — 1 включительно — абсолютно
все составные. Известно много примеров „парных простых чисел"
рир + 2 E и 7, 11 и 13, 17 и 19, 29 и 31, ..., 999999999999964] и
9999999999999643, ... ), однако никто не знает, бесконечно много
или нет пар таких простых чисел. (См. Харди и Райт [335, §1.4 и
§2.8].)
Один из простых способов подсчитать все я(х) простых чисел
^ х — просеять их через так называемое „решето Эратосфена"
Сначала выписываются все целые числа от 2 до х. Затем обво-
обводится число 2, т. е. оно выделяется в качестве простого, и вычер-
вычеркиваются все другие числа, кратные 2. Затем последовательно
обводятся наименьшие из необведенных и невычеркнутых чисел
и вычеркиваются все кратные им. Когда все окажется обведен-
обведенным или вычеркнутым, обведенные числа —суть простые. Если,
например, х = 10, то выписываются числа от 2 до 10, обводится
число 2 и вычеркиваются кратные ему числа 4, 6, 8 и 10. Затем
наименьшим необведенным, невычеркну тым числом оказывается
число 3, поэтому оно обводится и вычеркиваются числа 6 и 9.
Теперь наименьшим является число 5, так что оно обводится и
вычеркивается число 10. В заключение обводится число 7. Обве-
Обведенные числа суть 2, 3, 5, 7 —вот вам яA0) =4 простых числа,
не превосходящих 10.
„Je те sers de la
notation tres simple
n! pour designer le
produit de nombres
decroissans depuis
n jusqu'a l'unite,
savoir n{n — 1)
(n-2)... .3.2.1.
L'emploi continuel
de Vanalyse
combinatoire que
je fais dans la
plupart de mes
demonstrations, a
rendu cette notation
indispensable"
—K.Kpaun
[167]
4.4 ФАКТОРИАЛЬНЫЕ ФАКТЫ
Давайте теперь посмотрим, как выглядит разложение на
простые множители самых составных чисел —факториалов:
п! = 1 • 2 •... • п = ТТ к, целое n ^ 0.
D.21)
к=1
В соответствии с нашим соглашением относительно пустого про-
произведения эта формула определяет 0! как 1. Таким образом,
п! = (п — 1)! п для каждого целого положительного числа п. Это
число перестановок п различных объектов, т. е. число способов
размещения п предметов в некотором ряду: для размещения пер-
первого предмета имеется п вариантов; для каждого из этих п вари-
вариантов имеется п— 1 вариантов размещения второго предмета; для
каждого из этих п(п — 1) вариантов имеется п — 2 вариантов раз-
размещения третьего предмета и т. д., что дает п{п — 1 )(п — 2)... A)
вариантов размещения в целом. Вот несколько первых значений
136 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
факториальной функции:
п
п!
0
1
1
1
2
2
3
6
4
24
5
120
6
720
7
5040
8
40320
9
362880
10
3628800
Полезно знать несколько факториальных фактов: например, точ-
точные значения первых шести факториалов, приблизительное зна-
значение 10! равное Ъ\ миллиона с мелочью. Еще один полезный
факт заключается в том, что количество цифр в записи п! пре-
превышает п, когда n ^ 25.
Можно доказать, что величина п! очень велика, используя не-
нечто вроде уловки Гаусса из гл. 1:
п
п!2 = A •2-....n)(n-....2-l) =[]k(n + l-k).
k=l
Имеем n ^ k(n+1 —k) ^ \{п+1 J, поскольку квадратный много-
многочлен k(n+l— k) = ^(п+1J —(к—1(п+1)) принимает наименьшее
значение при к = 1 и наибольшее значение —при к = j(n + 1).
Поэтому
k=1 k=1
т. е.
D.22)
n!
Это соотношение указывает на то, что факториальная функция
возрастает экспоненциально!!
Для более точного приближения п! при большом п можно вос-
воспользоваться формулой Стирлинга, которую нам еще предстоит
вывести в гл. 9:
v2nn(—J . D-23)
А еще более точное приближение доставляет его асимптотиче-
асимптотическую относительную погрешность: формула Стирлинга „не дотя-
дотягивает" до величины п! на множитель, примерно равный 1/A2п).
Даже при весьма малом п подобное более точное приближение
вполне достаточно. К примеру, приближение Стирлинга D-23)
при п = 10 дает значение, близкое к 3598696} при этом погреш-
погрешность— около 0.83% « 1/120 — крайне мала. Хорошая вещь —
асимптотика.
Но вернемся к простым числам. Хотелось бы для любого за-
заданного простого числа установить наивысшую степень р, кото-
которая делит п! — т. е. показатель числа р, с которым оно входит в
однозначное разложение п! на простые множители. Обозначим
эту величину через ер(п!) и начнем наше исследование с частно-
частного случая р = 2 и п = 10. Поскольку 10! —произведение десяти
4.4 ФАКТОРИАЛЬНЫЕ ФАКТЫ 137
чисел, то величину €2A0!) можно найти, сложив вхождения сте-
степеней числа 2 в эти десять чисел; подобное вычисление соответ-
соответствует суммированию столбцов в следующей таблице:
делится на 2
делится на 4
делится на 8
степени 2
1 2345 6789 10
X X X X X
X X
X
0 10201030 1
степени 2
5 = [10/2J
2= [10/4J
1 = [10/8J
8
(Суммарные значения столбцов образуют то, что иногда назы-
называют линеечной функцией р(к) в силу ее сходства с линейкой
11.,-,-т.-,-.¦,¦..,...,..¦,.,.| ^ деления которой отмечают доли дюйма.) Сум-
Сумма этих чисел равна 8; следовательно, 28 делит 10!, а 29 —нет.
Есть и другой способ: можно подсчитать вклады по строкам.
В первой строке отмечены числа, которые вносят степень 2 (и,
следовательно, делятся на 2): их |_ 10/2J = 5. Во второй строке
отмечены те числа, которые вносят дополнительную степень 2: их
[10/4J = 2. И, наконец, в третьей строке отмечены числа, которые
вносят еще кое-что: их LI O/SJ = 1. Тем самым подсчитываются все
вклады, так что €2A0!) =5 + 2 + 1 =8.
Для произвольного п данный метод дает
к^1
В действительности эта сумма конечна, так как при 2к > п об-
общий член суммы обращается в нуль. Следовательно, она содер-
содержит только [lg tiJ ненулевых членов и довольно просто вычисля-
вычисляется. Так, если п = 100, то
€2(Ю0!) =50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 =97.
Каждый член в этой сумме —всего лишь пол от половины пре-
предыдущего члена. Это справедливо для любого п, поскольку,
как частный случай выражения (з-и), получаем [_"пУ2к+1] =
|_[_n/2kJ/2j. Если записать эти числа в двоичной форме, то суть
дела становится предельно ясной:
100 =
L100/2J =
[100/4J =
[ioo/sj =
L100/16J =
[100/32J =
[100/64J =
A100100J = 100
A10010J= 50
A1001J= 25
A100J= 12
A10J= б
A1J= 3
AJ= 1
Для получения последующего члена мы просто отбрасываем наи-
наименее значимый бит предыдущего.
138 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Помимо этого, двоичное представление показывает, как выве-
вывести другую формулу:
е2(п!) = п-л/2(п), D.24)
где у2 (п) —число единиц в двоичном представлении п. Подобное
упрощение возможно потому, что каждая 1, которая обеспечивает
вклад 2Ш в величину п, обеспечивает вклад 2m-1 +2т~2Н \-2° =
2Ш — 1 в величину €2(п!).
Обобщая наши находки на произвольное простое число р и
используя прежнее рассуждение, получаем, что
А какова примерно величина ер(п!)? Можно получить про-
простую (но хорошую) верхнюю оценку, просто удаляя пол в об-
общем члене суммы, а затем суммируя бесконечную геометриче-
геометрическую прогрессию:
г ,ч П П П
€р Tl! < - + -J + -Т + -"
V V2 V3
P p2
При р — 2 и п = 100 это неравенство свидетельствует, что
97 < 100. Таким образом, 100—-как оценка сверху —не только
правильна, но и близка к действительному значению 97. И в са-
самом деле, в общем случае действительная величина п—^(тг) ~ "П-,
потому что л/2(п) ^ flgrt"| асимптотически много меньше п.
Если р = 2 и 3, то наши формулы дают €2(n!) ~ пи
ез(п!) ~ п/2, поэтому весьма правдоподобно, что изредка ве-
величина €з(п!) должна быть ровно в два раза меньше величины
€2(п!). Так случается, например, когда п = б и п = 7, посколь-
поскольку 6! = 24 -З2 -5 = 7\/7. Но еще никем не доказано, что подобные
совпадения случаются бесконечно часто.
Оценка для величины ер (п!), в свою очередь, приводит к оцен-
оценке для величины ipev(n'\ которая равна вкладам р в п!:
Эту формулу можно упростить (рискуя сильно ослабить верх-
верхнюю границу), заметив, что р <J 2Р~1; следовательно, pn/(p~^ ^
BP-1 )n/tv-V = 2п. Другими словами, вклад, который любое про-
простое число вносит в п!, меньше 2П.
Используя это наблюдение, можно дать другое доказательство
того, что простых чисел бесконечно много. Действительно,
если бы было только к простых чисел 2, 3, ..., Рк, то мы бы
имели, что п! < Bп)к = 2пк при любом п > 1, поскольку каждое
простое число может внести в разложение п! множитель, равный,
4.5 ВЗАИМНАЯ ПРОСТОТА 139
самое большее, 2П — 1. Но неравенство п! < 2пк можно легко
опровергнуть, выбрав достаточно большое п, скажем, n = 22k.
Тогда
п!
2пк = 22"к =
что противоречит неравенству п! ^ пп/2, которое было устано-
установлено в D.22). Так что простых чисел все же бесконечно много.
Можно еще помусолить это рассуждение, с тем чтобы полу-
получить грубую оценку для я(п)—количества простых чисел, не
превосходящих п. Каждое такое простое число вносит в разло-
разложение п! множитель, меньший чем 2П; поэтому, как и прежде,
п! < 2ппМ .
Если здесь заменить величину п! приближением Стирлинга
D.23), которое служит ее нижней оценкой, и взять логарифмы,
то получим
пп[п) > nlg(n/e) + \ lgBnn),
откуда
п[п) > lg(n/e).
Подобная нижняя оценка совсем слабая по сравнению с факти-
фактической величиной 7т(п) ~ n/lnn, ибо logn много меньше n/logn
при большом п. Но зато мы не потратили много сил на ее вывод —
оценка есть оценка.
Подобно тому, как
перпендикулярные
прямые не имеют
общего направле-
направления, так и перпен-
перпендикулярные числа
не имеют общих
сомножителей.
4.5 ВЗАИМНАЯ ПРОСТОТА
Если нод(т, n) = 1, то целые числа m и п не имеют оди-
одинаковых простых сомножителей; в таком случае говорят, что они
взаимно простые.
Это понятие настолько важно на практике, что следовало
бы обзавестись для него специальным обозначением. Но, увы,
теоретико-числовики еще не пришли к устраивающему всех со-
соглашению, а потому мы взываем: Внемлите нам, о математи-
математики всего света! Больше медлить нельзя! Многие форму-
формулы МОЖНО СДЕЛАТЬ ЯСНЕЕ УЖЕ СЕЙЧАС, ДОГОВОРИВШИСЬ О
новом обозначении! Согласимся же писать lm ± гС и го-
говорить, ЧТО „ТП ПРОСТО С П" ЕСЛИ ТПИП ВЗАИМНО ПРОСТЫ.
Другими словами, давайте объявим, что
тп-L п 4==$ тп, п —целые и нод(тп,п) = 1.
D-26)
Дробь тп/п несократима тогда и только тогда, когда m 1_ п.
Поскольку мы сводим дроби к несократимым, сокращая на самый
большой общий множитель числитель и знаменатель, то можно
предположить, что в общем случае
тп/нод(тп, n) ± п/нод(т, п);
D-27)
140 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
и это действительно так. Данное обстоятельство вытекает из бо-
более общего правила: нод(ктп, кп) = кнод(тп,п), доказанного в
упр. 14.
Определение отношения _L упрощается, если воспользоваться
представлением чисел в виде показателей простых. В силу пра-
правила D-14) ДО51 НОА имеем:
тп 1 п Ф=?> min(mp,np) = 0 при всех р. D-2^)
Более того, поскольку тпр и пр неотрицательны, это можно пере-
переписать в виде Подобно ортого-
ортогональным векторам,
га ± п Ф=Ф mpnp = 0 при всех р. D.29) скалярное произ-
произведение которых
А теперь можно установить важное правило, с помощью которого равно НУЛЮ-
можно разъединять и объединять два отношения _L с одинаковой
левой частью:
k _L та и kin
к _L тип.
D-30)
Ввиду соотношения D-29) это правило представляет собой другой
вариант следующего утверждения: крТпр = 0 и крпр =0 тогда и
только тогда, когда кр(тар +пр) = 0 при неотрицательных тар
И Пр.
Существует замечательный способ построения множества всех
неотрицательных дробей та/n с m _L n, носящий название дерева
Штерна—Броко, поскольку он был открыт независимо друг от
друга немецким математиком Морицем Штерном [357] и фран-
французским часовщиком Ахиллом Броко [41]. Суть этого способа в
том, чтобы начать с двух дробей (у, ?), а затем повторить необ-
необходимое количество раз следующую операцию:
тп + тп' , m m;
вставить между двумя соседними дробями — и —- .
п
п'
Новая дробь (та + ттг')/(п + п') называется медиантой дробей
ттг/п и тгг'/тг'. К примеру, первый шаг дает одну новую вставку
между у и ?:
Интересно, отчего
математики гово-
говорят „открыт" тогда
как абсолютно все
остальные сказали
бы „придуман".
[По этому поводу
см. интервью с
Рональдом Грэхе-
Грэхемом в 4-м номере
журнала „Квант"
за 1988 г.
— Перев.]
oil-
1 > 1 ' 0 '
следующий шаг добавляет две:
0 112 1
Т» I» T» Т> о
Последующий шаг добавляет четыре:
0 1 1 2 1 3 2 3 К
1 > 3> 2» 3» 1 > 2» 1 > 1 > 0 »
4.5 ВЗАИМНАЯ ПРОСТОТА 141
Я полагаю, 1 /О —
это бесконечность
„в несократимом
виде".
Пора бы заняться
консервированием.
затем добавляется 8, 16 и т.д. новых вставок. Всю совокупность
вставок можно представить в виде бесконечного бинарного дере-
дерева, верхние уровни которого выглядят так:
/\ /\ /\ /\ /\ /\ /\ /\
1233455457877875
5787787545543321
Каждая дробь имеет вид ™+™, , где ^ — ближайший предок свер-
сверху слева, а ^ — сверху справа. („Предком" является дробь, кото-
которая достижима, если следовать по ветвям вверх.) Подобное дере-
дерево радует глаз обильным урожаем закономерностей.
Но почему это дерево плодоносно? Почему, например, каждая
медианта (та + та')/(п + п') оказывается несократимой, когда со-
созревает на этом дереве? (Если бы все числа тп, тп', п и п' бы-
были нечетны, то мы получали бы дроби вида четное/четное — тем
не менее наше построение гарантирует, что дроби с нечетными
числителями и знаменателями никогда не появляются рядом.) И
почему все возможные дроби та/п встречаются только однажды?
Почему какая-нибудь дробь не может встретиться дважды или не
встретиться вообще?
Все эти вопросы имеют на удивление простые ответы, в осно-
основе которых лежит следующий элементарный факт: если та/п и
та'/п' —последовательные дроби на любом шаге их построения,
то
тп'п — ran' = 1 .
D-31)
Это соотношение справедливо первоначально A-1—0-0 = 1), а
когда мы вставляем новую медианту (та + га')/(п + п'), то надо
проверить новые соотношения:
m'jn-ratn + n') = 1 ;
m')n' = 1
Оба этих уравнения эквивалентны исходному условию D-31)» ко~
торое они заменяют. Поэтому условие D-31) инвариантно на всех
шагах построения.
Кроме того, если та/п < тп'/п1 и если все эти величины нео-
неотрицательны, то легко убедиться в том, что
та/п < (га + га')/(п + п') < m'/n'.
142 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Медианта не лежит точно посередине между своими предше-
предшественниками, но она лежит где-то между ними. Следовательно,
наше построение сохраняет порядок и получение одной и той же
дроби в двух разных местах невозможно.
Остается еще один вопрос: может ли какая-нибудь положи-
положительная дробь а/b с а _1_ b оказаться пропущенной? Ответ от-
отрицательный, ибо наше построение можно ограничить непосред-
непосредственной окрестностью дроби а/b, в которой ее поведение легко
поддается анализу. Вначале положим
m 0
п ~~ 1
(а\
п'
где скобки у дроби ^ указывают на то, что на самом деле ее здесь
нет. Затем, если на некотором шаге
Все это так, но
если у вас застря-
застряла дробь в разных
местах, то лучше
показаться врачу
то наше построение образует дробь (га + т')/(п + и') и здесь
возможны три варианта. Либо (т 4- т')/(п 4- п') = а/Ь и мы
удовлетворены; либо [т + т')/[п + п') < а/b и можно положить
m (— та 4-та', пьп + п'; либо (т + т/)/(п + п/) > а/b и можно
положить та' (— m4-m/, п' (— п + лЛ Этот процесс не может
продолжаться неограниченно, поскольку условия
и зт - г
означают, что
an — bm ^ 1
и
bm' — an' ^ 1 ;
следов ательно,
(m'4-n')(an-bm) + (m + n)(bm'-an')
а это то же самое, что иа + b ^m' + n' + m + n, согласно D-31)-
С каждым шагом либо га, либо п, либо та7, либо п1 возрастают,
так что мы должны быть удовлетворены после самое большее
a4-b шагов.
Последовательностью Фарея порядка N, обозначаемой че-
через Jn , является множество всех несократимых дробей между О
и 1, знаменатели которых не превосходят N и которые располо-
расположены в возрастающем порядке. Так, если N = 6, то
011112
1>6>5»4»3»5'
1323451
2»5»3»4»5'6»1
В общем случае последовательность 2Fn можно получить, начав
с Ji = y,{ и затем вставляя медианты всякий раз, когда это
можно сделать, с тем чтобы не получить превышающий N зна-
знаменатель. При этом ни одна дробь не будет пропущена, поскольку
известно, что построение Штерна—Броко не пропускает ни одну
из них, и поскольку медианта со знаменателем ^ N никогда не
образуется из дроби, знаменатель которой > N. (Другими слова-
словами, 5Fn выделяет в дереве Штерна—Броко некоторое поддерево.
4.5 ВЗАИМНАЯ ПРОСТОТА 143
получаемое путем обрезки ненужных ветвей.) Отсюда следует,
что т'п — тп' = 1 всякий раз, когда т/п и т'/п' являются
последовательными дробями в последовательности Фарея.
Подобный метод построения показывает, что последователь-
последовательность JN легко получается из последовательности Jn-1- мы про-
просто вставляем дробь (m4-m')/N между последовательными дро-
дробями т/п и т'/п' в Jn-ъ сумма знаменателей которых = N.
Так, последовательность J7 легко получить из элементов после-
последовательности J6, вставляя в нее дроби j, |, ..., | в соответствии
с указанным правилом:
<Т — 0111111111111134561
J7 — 1>7>6'5>4>7>3>5>7>2>7>5>3>7>4>5>6>7>1 "
Если N —простое число, то появится N — 1 новых дробей; в про-
противном случае их появится меньше N — 1, так как подобный про-
процесс порождает лишь дроби, имеющие взаимно простые с N чи-
числители.
Еще в D.5) было доказано—-правда, в других терминах,—что
если т!пиО<т^п,то можно найти целые числа а и Ь,
такие, что
ma — nb = 1 . D-32)
(На самом деле утверждалось, что m'm + п'п = нод(т,п), но
вместо нод(т,п) можно подставить 1, вместо та/ подставить a, a
вместо — п' подставить Ь. Последовательность Фарея обеспечива-
обеспечивает нас другим доказательством равенства D-32)> так как можно
положить дробь b/a равной дроби, которая предшествует дроби
т/п в последовательности Jn. Таким образом, D.5) снова есть
просто D-31)- К примеру, одним из решений уравнения За—7Ъ = 1
является а = 5, b = 2, поскольку дробь | предшествует дроби у в
ЗУ- Из этого следует, что всегда можно найти решение уравнения
D.32) cO^b<a<n, если 0 < m ^ п. Аналогично, если 0 ^ п <
m и m _L n, то уравнение D.З2) cO<a^b^m можно решить,
полагая a/b равной дроби, следующей за дробью п/т в Jm.
Последовательные тройки дробей последовательности Фарея
обладают удивительным свойством, которое доказано в упр. 61.
Но лучше прекратить дальнейшее обсуждение последовательно-
Хватит Фарея. стей Фарея, ибо в целом дерево Штерна—Броко оказывается го-
гораздо более интересным.
И в самом деле, дерево Штерна—Броко можно рассматри-
рассматривать как систему счисления для представления рациональных
чисел, поскольку каждая положительная несократимая дробь
встречается в нем лишь один раз. Воспользуемся символами L
и R для идентификации левой и правой ветви при продвижении
вниз по дереву от корня к некоторой определенной дроби; то-
тогда строка символов L и R будет однозначно идентифицировать
местонахождение дроби в этом дереве. Так, LRRL означает про-
продвижение вниз влево от { к j, затем вправо к |, еще раз вправо
к |, и, наконец, влево к |: строку LRRL можно рассматривать как
144 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
представление дроби |. При таком подходе каждая положитель-
положительная дробь получает единственное представление в виде строки
символов L и R.
Однако имеется небольшое затруднение: дробь | соответству-
соответствует пустой строке и необходимо подыскать ей какое-нибудь обо-
обозначение. Давайте условимся обозначать ее через I, поскольку
этот символ напоминает цифру 1 и с него начинается слово
identity" (единица — Перев.).
Такого рода представление вызывает два естественных во-
вопроса. A) Если заданы целые положительные числа типе
т 1 п, то какая строка символов L и R соответствует дроби m/n?
B) Если задана некоторая строка символов L и R, то какая дробь
ей соответствует? Вопрос 2 выглядит попроще, поэтому займемся
им в первую очередь. Пусть
f(S) = дробь, соответствующая S,
где S —некоторая строка символов L и R. Так, f (LRRL) = |.
В соответствии с нашим построением f(S) = (m+m')/(n+n'),
если m/n и m'/n' являются ближайшими к S (предшествующи-
(предшествующими и последующими) дробями на верхних уровнях нашего дерева.
Первоначально m/n = 0/1 и т'/п' = 1/0; затем либо m/n, либо
т'/п' последовательно заменяются медиантой (m + m')/(n + n;)
по мере продвижения по дереву соответственно вправо или влево.
Но как облечь это действо в подходящие математические оде-
одежды? Некоторый опыт подсказывает, что наилучший способ —
скроить 2 х 2-матрицу
M(S) =
которая содержит все четыре величины, входящие в дроби —
предки m/n и т'/п', охватывающие f(S). Подобно записи дро-
дробей, можно было бы расположить величины та наверху, а вели-
величины п — внизу, однако перевернутое вверх дном расположение
оказывается более подходящим, поскольку в начале M(I) = (J^),
а матрица (J °) традиционно называется единичной матрицей.
Шаг влево заменяет п' на п + п', am'-нат + т'; следова-
следовательно,
M(SL) = , ,
V m m + m/
1 1
0 1 =M(S) 0 1
(Это частный случай общего правила
(а Ъ\ /w
\с dj\y
w х\ _ /aw-Ыту ax + bz
z) ~ \cw + dy cx + dz
4.5 ВЗАИМНАЯ ПРОСТОТА 145
Если вы не имеете умножения 2 х 2-матриц.) Точно так же оказывается, что
понятия о матри-
матрицах—не впадайте
в панику: в этой -ч-.м - ^m + m/ ш> j - '"^> \ ] ]
книге они исполь-
используются только
здесь.
Поэтому если определить L и R как 2 х 2-матрицы
L=(! !V R =
1 О
1 1
D-33)
то индукцией по длине S мы получим простую формулу M(S) = S.
Разве не здорово? (Буквы L и R исполняют две роли: роль матриц
и роль символов в строковом представлении.) К примеру,
M(LRRL) = LRRL = (il)(l?)({?)(;{) = (?{)(] J) = ?) ;
так что дроби-предки, которые охватывают дробь LRRL = |, рав-
равны f и |. Это построение дает ответ на вопрос 2:
f (S) = f
n
m
n'
m'
m + m'
D.34)
А как насчет вопроса 1? Теперь, когда мы выяснили элемен-
элементарную связь между узлами дерева и матрицами 2x2, ответить на
него уже просто. При заданной паре целых положительных чисел
m и п с m 1 п, местоположение дроби m/п в дереве Штерна—
Броко можно установить „двоичным поиском":
S:=I;
пока m/п Ф f (S) выполнять
если m/п < f (S) то (выводA_); S := SL)
иначе (вывод^); S := SR) .
Результатом работы (посылаемым на вывод) является требуемая
строка символов L и R.
То же самое можно выполнить и другим способом, изменяя
величины тип без использования переменной S. Если S — неко-
некоторая 2 х 2-матрица, то
f(RS) =f(S) + 1,
поскольку матрица RS схожа с матрицей S с тем лишь отличи-
отличием, что в матрице RS верхняя строка матрицы S прибавлена к
нижней. (Распишем это подробнее:
S =
п п'
та та'
RS =
п
п'
та + п та'+п'
следовательно, f(S) = (та + та')/(п + п') и f(RS) = ((та + п) +
(та/4-п/))/(п + п/).) Если алгоритм двоичного поиска выполня-
выполняется применительно к некоторой дроби та/п с та > п, то первым
146 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
выводом алгоритма будет R; следовательно, при дальнейшем вы-
выполнении алгоритма f (S) будет ровно на 1 больше, чем если бы
мы начинали с (т — п)/п, а не с т/п. Аналогичное обстоятель-
обстоятельство имеет место и для L, так что получаем
m — п
п
m
п — т
= f(S)
= f(S)
при m > n,
при m < п.
Это значит, что алгоритм двоичного поиска можно преобразовать
в следующую безматричную процедуру:
пока m ф п выполнять
если m < n то (вывод(Ь); п\—п — т)
иначе (вывод(К); m := m — n) .
Так, если т/п = 5/7, то с использованием этого упрощенного
алгоритма последовательно получаем:
т =5 5 3 11
п= 7 2 2 2 1
вывод L R R L
В дереве Штерна—Броко отсутствуют иррациональные числа,
но зато присутствуют все „близкие" к ним рациональные числа.
Так, если попытаться использовать алгоритм двоичного поиска с
числом е = 2.71828... вместо дроби m/п, то получим бесконеч-
бесконечную строку символов L и R:
RRLRRLRLLLLRLRRRRRRLRLLLLLLLLRLR ....
Эту бесконечную строку можно рассматривать как представле-
представление числа е в системе счисления Штерна—Броко, точно так же,
как число е можно представить в виде бесконечной десятичной
дроби 2.718281828459... или в виде бесконечной двоичной дроби
A0.101101111110... )i. Между тем оказывается, что представле-
представление числа е в системе Штерна—Броко обнаруживает устойчивую
закономерность:
е = RL°RLR2LRL4RLR6LRL8RLR10LRLl2RL
что эквивалентно частному случаю одного открытия, сделанного
Эйлером [369] в возрасте 24 лет.
Исходя из этого представления, можно установить, что дроби
R R L R R
L L
12358Д]930496887106Ш299492685878 1071 1264
1 ' 1 ' 1 > 2' 3' 4 ' 7 ' 11 ' 18' 25' 32' 39 ' 71 ' 110' 181 ' 252' 323' 394 ' 465 » " * '
служат простейшими рациональными приближениями к числу
е сверху и снизу. Действительно, если дробь т/п отсутствует в
этом списке, то между т/п и е присутствует некоторая дробь
Это замечательное
бинарное пред-
представление Герман
Минковский про-
продемонстрировал
на Международ-
Международном конгрессе
математиков в Гей-
дельбергев 1904 г.
4.5 ВЗАИМНАЯ ПРОСТОТА 147
из этого списка с числителем ^ та и знаменателем ^ п. К при-
примеру, дробь Ц не служит столь же простым приближением, как
дробь у- = 2.714..., которая присутствует в списке и которая
ближе к числу е. Мы можем убедиться в этом на основании то-
того, что дерево Штерна—Вроко не просто включает все рацио-
рациональные числа—оно включает их в упорядоченном виде, а так-
также на основании того, что все дроби с малыми числителем и
знаменателем располагаются выше всех менее простых дробей.
Так, дробь Ц = RRLRRLL меньше дроби у = RRLRRL, кото-
которая, в свою очередь, меньше числа е = RRLRRLR.... Этот спо-
способ позволяет находить прекрасные приближения. К примеру,
дробь ||| « 2.718266 « .99999Аг\ эта дробь получается из первых
16 символов представления числа е в системе Штерна—Броко, а
точность примерно такая же, как в случае 16-битового двоичного
представления этого числа.
Бесконечное представление некоторого иррационального чи-
числа а можно получить путем простой модификации безматрич-
безматричной процедуры двоичного поиска:
если а < 1 то (выводA.); а := а/A - а))
иначе (вывод^); а := а— 1) .
(Эти шаги должны быть повторены бесконечное число раз, пока
не надоест.) Если число а —рациональное, то бесконечное пред-
представление, полученное этим способом, аналогично прежнему, но
к (конечному) представлению а справа присоединяются симво-
символы RL°°. К примеру, если а = 1, то получаем RLLL..., что со-
соответствует бесконечной последовательности дробей |, у, |, |,
|, ..., стремящейся в пределе к 1. Такое положение дел в точ-
точности соответствует обычному двоичному представлению, если
рассматривать L как 0 и R как 1: точно так же, как каждое веще-
вещественное число х из [0, 1) имеет бесконечное двоичное предста-
представление (.bib2b3 ... h, не оканчивающееся одними цифрами 1, так
и каждое вещественное число из [0, со) имеет бесконечное пред-
представление Штерна—Броко Bi B2B3 ..., не оканчивающееся одними
символами R. Таким образом, имеется сохраняющее порядок вза-
взаимно однозначное соответствие между [0, 1) и [0, со), если исхо-
исходить из соответствия 0 f-> L и 1 <-> R.
Существует тесная связь между алгоритмом Евклида и пред-
представлением Штерна—Броко рациональных чисел. Если а = т/п,
то получаем Lm/nJ символов R, затем |_u/(m modn)J симво-
символов L, после чего [(т mod n)/(n mod (m mod n))J символов R
и т. д. Числа т mod u, u mod (та mod n), ... — это не что иное,
как величины, фигурировавшие в алгоритме Евклида. (Нужно
проявить некоторую изобретательность, чтобы обеспечить отсут-
отсутствие в конце бесконечного числа символов R.) Подобная взаимо-
взаимосвязь будет исследована в гл. 6.
148 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
4.6 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ
Модулярная арифметика —это один из главных инстру-
инструментов, которыми располагает теория чисел. Мы мельком кос-
коснулись ее в гл. 3, когда имели дело с бинарной операцией 'mod' —
как правило, в качестве одной из операций наряду с другими в
составе некоторого выражения. В этой главе 'mod' будет исполь-
использоваться и в качестве самостоятельного выражения, в связи с чем
будет более удобна несколько иная форма ее записи:
а = b (mod та)
a mod m = b mod та.
D-35)
К примеру, 9 = —16 (mod 5), так как 9 mod 5=4 = (—16) mod 5.
Формула 'а = b (mod та)' может быть прочитана как „а сравнимо
с b по модулю та" Данное понятие имеет смысл и тогда, когда а,
b и та — произвольные вещественные числа, но мы почти всегда
будем использовать его только для целых чисел.
Поскольку х mod та отличается от х на величину, кратную та,
понятие сравнимости можно истолковать по-другому:
a = b (mod та)
а — b кратно та.
D-36)
Действительно, если a mod та = b mod та, то определение опе-
операции 'mod' из C-21) указывает, что а — b = а mod та 4- km —
(b mod m + Im) = (k — l)m при некоторых целых k и I. И наобо-
наоборот, если а — b = km, то а = b при та = 0; в противном случае
a mod та = а — [а/т] та = b + km — |_(Ъ + km)/mjm
= b — [b/mjm = b mod m.
Зачастую проще применять характеризацию = из D-3^), нежели
из D-Зб)- Так, 8 = 23 (mod 5), ибо 8 — 23 = —15 кратно 5 —не
нужно вычислять ни 8 mod 5, ни 23 mod 5.
Знак сравнения ' = ' очень напоминает знак ' =', ибо сравне-
сравнения весьма схожи с равенствами. Например, сравнение является
отношением эквивалентности, т.е. оно обладает свойствами
рефлексивности 'а = а', симметричности 'а = b => b = а' и
транзитивности 'а = b = с => а = с'. Все эти свойства легко
доказуемы, поскольку всякое отношение ( = ', которое удовлетво-
удовлетворяет соотношению 'а = b <=Ф f (а) = f (b)' для некоторой фун-
функции f, является отношением эквивалентности. (В нашем случае
f (х) = х mod та.) Кроме того, сравнимые элементы можно скла-
складывать и вычитать без потери сравнимости:
a = b
a = b
с = d
с = d
= b -f- d
a — c = b — d
(mod m),
(mod та).
Действительно, если а — b и с — d кратны m, то это же верно для
(а + с) - (Ъ + d) = (а - Ъ) + (с - d) и для (а - с) - (Ъ - d) =
(а — b) — (с — d). Кстати, вовсе не обязательно писать '(mod та)'
после каждого знака ' = ': если величина модуля не меняется, то
„Numerorum
congruentiam
hoc signo, =,
in posterum
denotabimus,
modulum ubi opus
erit in clausuHs
adiungentes,
-16 = 9
(mod. 5), -7 =
15 (mod. 11)."
-К.Ф.Гаусс [67]
„Сегодня я чув-
чувствую себя пре-
прекрасно по модулю
легкой головной
боли1.1
— Словарь хакера
[283]
4.6 ОТНОШЕНИЕ СРАВНИМОСТИ 149
достаточно упомянуть его лишь один раз без изменения последу-
последующего смысла. В этом состоит большое удобство понятия срав-
сравнения.
Подобное свойство справедливо и для умножения, если только
мы имеем дело с целыми числами:
а = Ъ и с = d =$> ас = bd (mod m),
целые b, с.
Доказательство: ас —bd = (а —b)c + b(c —d). А повторное приме-
применение этого свойства умножения делает его справедливым и для
степеней:
а = b =?• ап = Ьп (mod m), целые а,Ь,
целые n ^ 0.
К примеру, поскольку 2 = —1 (mod 3), то 2П = (—1 )n (mod 3); это
означает, что 2П — 1 кратно 3 тогда и только тогда, когда п четно.
Таким образом, большую часть алгебраических операций, ко-
которые обыкновенно выполняются с равенствами, можно выпол-
выполнять и со сравнениями. Большую — но не все: операция деления
блистательно отсутствует. Если ad = bd (mod m), то это не все-
всегда означает, что a = b. К примеру, 3-2 = 5-2 (mod 4), но 3 =? 5.
Однако свойство сократимости сравнений можно сохранить в
часто встречающемся случае, когда d и m взаимно просты:
ad = bd <=^ a = b (mod m), D-37)
целые a, b, d, m и d J_ m.
К примеру, из того, что 15 = 35 (mod m), вполне закономерен
вывод, что 3 = 7 (mod m), если только модуль m не кратен 5.
Для доказательства этого свойства снова воспользуемся рас-
расширением правила D.5) Для нод, находя d' и та', такие, что
d'd + та'та = 1. Тогда, если ad = bd, то можно умножить обе ча-
части сравнения на d', получая ad'd = bd'd. А поскольку d'd = 1,
Toad'd = aHbd'd = b; следовательно, a = b. Это доказатель-
доказательство показывает, что при рассмотрении сравнений по модулю т,
число d' ведет себя наподобие числа 1/d, в силу чего его называ-
называют „обратным d по модулю та"
Другое применение операции деления к сравнениями — деле-
деление модуля наряду с другими числами:
ad=bd (mod md) <=> a=b (mod та) при d ф 0. D-3^)
Это правило справедливо для всех вещественных чисел a, b, d
и та, поскольку оно основывается только на распределительном
законе (a mod та)d = admodmd: имеем a mod та = b mod та
<=> (amodm)d = (b modm)d <=^ ad mod md = bd mod md.
Так, например, из того, что 3-2 = 5-2 (mod 4), заключаем, что
3 = 5 (mod 2).
150 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Теперь можно объединить D-37) и D-3&) и получить общее
правило, изменяющее величину модуля в наименьшей возможной
степени:
ad = bd (mod га)
mod
m
A, целые a, b, d, m. D.39)
HOA(d,m)
Действительно, можно умножить ad = bd на d', где d'd +
га'га = HOA(d,m), получая сравнение a-HOA(d, m) = b-HOA(d, m)
(mod m), которое можно разделить на HOA(d, m).
Немного разовьем подобную идею изменения величины моду-
модуля. Если нам известно, что a = b (mod 100), то а должно быть
сравнимо с b по модулю 10, а также по модулю любого другого
делителя 100. Сказать, что a —b кратно 100 —это сильнее, чем
сказать, что a — b кратно 10. В общем случае
a = b (mod md) =?> a = b (mod m), целое d, D40)
поскольку величина, кратная md, кратна и та.
Обратно, если известно, что a = b по некоторым двум ма-
малым модулям, можно ли сделать вывод, что a = Ъ и по какому-
либо большему модулю? Можно — соответствующее правило гла-
гласит, что
a = Ъ (mod m) и a = b (mod n)
<=Ф a = b (mod нок(т,п)) , целые m,n > 0. D.41)
Так, если известно, что a = b no модулю 12 и 18, то можно с уве-
уверенностью заключить, что a = b (mod 36). Основанием для этого
служит то, что если разность a —b кратна как га, так и п, то она
кратна и нок(т,п). Это вытекает из принципа единственности
разложения на простые множители.
Исключительно важен частный случай этого правила, когда
га _1_ п, так как нок(га,п) = ran, если га и п взаимно просты.
Поэтому сформулируем его в явном виде:
а = b (mod ran)
<=^ а = b (mod m) и а = b (mod n), если т _L n. D42)
К примеру, а = b (mod 100) тогда и только тогда, когда а = b
(mod 25) и а = b (mod 4). Говоря по-другому, если известны
х mod 25 и х mod 4, то этого вполне достаточно для установления
х mod 100. Это частный случай китайской теоремы об остат-
остатках (см. упр. 30), открытой Сунь Цзы из Китая около 350 г. н. э..
Модули га и п в D-42) могут быть далее разложены на взаим-
взаимно простые множители, пока не будут выделены все различные
простые числа. Следовательно,
а = b (mod m) <=ф а = b (mod pmp) при всех р ,
если разложение D-и) числа га на простые множители имеет вид
ПрРтр- Сравнения по модулю степеней простых чисел —это те
„кирпичики*! из которых строятся все сравнения по модулю целых
чисел.
Модульчикам?
Пишут также Сунь
Цю, или Сунь Тзу.
— Перев.
4.7 НЕЗАВИСИМЫЕ ОСТАТКИ 151
4.7 НЕЗАВИСИМЫЕ ОСТАТКИ
Одно из важнейших приложений теории сравнений— си-
система счисления в остатках, в которой целое число х пред-
представлено набором его остатков (или вычетов) по взаимно простым
модулям:
Res(x) = (х mod тщ,... ,х mod mT),
если mj _L rrik при 1 ^ j < k ^ г.
Знание x mod mi, ..., x mod mT ничего не позволяет сказать
про х, однако все же позволяет установить величину х mod m,
где m равно произведению тщ ... mr. А поскольку в практиче-
практических применениях зачастую известно, что х лежит в некотором
диапазоне, то можно узнать все про х, если известна величина
х mod m и m —достаточно большое число.
Рассмотрим, например, один из случаев системы счисления в
остатках, когда имеется только два модуля —3 и 5:
х mod 15
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
х mod 3
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
0
1
2
х mod 5
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
Все упорядоченные пары (х mod 3, х mod 5) различны, поскольку
х mod 3 = у mod 3 и х mod 5 = у mod 5 тогда и только тогда,
когда х mod 15 = у mod 15.
Согласно свойствам сравнений можно складывать, вычитать
и умножать обе компоненты независимо. К примеру, если нужно
умножить 7 = A,2) на 13 = A,3) по модулю 15, то вычисляются
1 • 1 mod 3 = 1 и 2 • 3 mod 5 = 1. Ответом будет A,1) = 1; следова-
следовательно 7-13 mod 15 должно равняться 1. (Безусловно, так оно и
есть.)
Сей принцип независимости полезен при вычислениях на ком-
компьютере в силу того, что разные компоненты можно обрабаты-
обрабатывать раздельно (скажем, на разных компьютерах). Если в каче-
качестве каждого модуля rrik выбраны различные простые числа рк)
152 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
несколько меньшие чем 231, то компьютер, выполняющий основ-
основные арифметические операции с целыми числами в диапазоне
[—231, 231), может легко вычислять суммы, разности и произве-
произведения по модулю pic- Набор из г таких простых чисел дает воз-
возможность складывать, вычитать и умножать „числа многократ-
многократной точности", состоящие из почти 31 г битов, а система остат-
остатков дает возможность сделать это быстрее, чем если бы такие
большие числа складывались, вычитались и умножались други-
другими способами.
А в ряде случаев можно выполнять и деление. Предположим,
например, что нужно вычислить точную величину некоторого
большого определителя, составленного из целых чисел. Резуль-
Результатом будет некоторое целое число D, а границы для |D| можно
задать, исходя из размера его элементов. Однако все известные
способы быстрого вычисления определителей требуют деления, а
это приводит к дробям (и потере точности, если довольствоваться
двоичными приближениями). Выход заключается в вычислении
D mod pic = Dk по ряду больших простых чисел рк — можно спо-
спокойно делить по модулю р^, если только делитель не окажется
кратным pic. Это случается крайне редко, но если все-таки случа-
случается, то можно выбрать другое простое число. В конечном счете,
знание D^ для достаточно многих простых модулей позволяет
установить величину D.
Но мы еще не объяснили, как от заданного набора остатков
(х mod mi,..., х mod mr) перейти к х mod та. Мы показали, что
такой переход теоретически возможен, но сами вычисления мо-
могут оказаться столь внушительны, что практически сведут на
нет всю эту затею. К счастью, имеется довольно несложный спо-
способ уладить дело, который можно проиллюстрировать на при-
примере набора (х mod3,xmod5) из нашей таблички. Ключевая
идея состоит в разрешении данной проблемы для двух случа-
случаев A,0) и @,1); действительно, если A,0) = а и @,1) = Ь, то
(х,-у) = (ах + try) mod 15, поскольку сравнения можно перемно-
перемножать и складывать.
В нашем случае просмотр таблички дает а = 10 и Ъ = 6; но как
найти а и Ь, когда модули огромны? Иначе говоря, если та J_ п, то
где тот путь, который приведет к числам а и Ь, удовлетворяющим
каждому из уравнений
a mod та = 1, a mod n = 0, Ъ mod та = 0, Ъ mod тг = 1 ?
И опять на выручку приходит D.5) '• с помощью алгоритма Ев-
Евклида можно найти числа та' и тг', такие, что
та'та Н-тг'тг = 1 .
Поэтому можно взять а = п'п и Ъ = m'm, при необходимости
приводя их по mod тап.
При больших модулях для сведения вычислений к миниму-
минимуму бывают необходимы и другие уловки; подробности выходят
Например, удоб-
удобно работать с
простым числом
Мерсенна
231 -1.
4.7 НЕЗАВИСИМЫЕ ОСТАТКИ 153
Все простые чи-
числа свои среди
нечетных, кроме
числа 2, чужого
среди своих.
за рамки этой книги, но их можно найти в книге [140, разд. 4.3].
Переход от остатков к соответствующим исходным числам — опе-
операция в принципе выполнимая, но достаточно медленная, так
что выигрыша во времени выполнения можно достичь лишь при
условии, что удается выполнить сразу некоторую последователь-
последовательность операций в системе счисления в остатках перед обратным
переходом.
Попробуем подкрепить эти сравнительные идеи решением не-
небольшой задачи: сколько решений имеет сравнение
x = 1 (mod та),
D-43)
если два решения х и х', такие, что х = х', считать одинаковыми?
В соответствии с установленными ранее общими правилами,
вначале следует рассмотреть случай, когда та равно степени про-
простого числа рк при к > 0. Тогда сравнение х2 = 1 может быть
записано в виде
(х-1)(х + 1)=0 (modpk),
так что р должно делить либо х — 1, либо х + 1, либо и то и
другое. Но р не может делить как х — 1, так и х +1, если только р
не равно 2 (оставим этот случай напоследок). Если же р > 2, то
рк\(х—1)(х+1) <=> рк\(х—1) или рк\(х+1); поэтому имеется
ровно два решения: х = +1 и х = — 1.
Случай р = 2 несколько отличается. Если 2к\(х — 1 )(х + 1), то
одно из чисел х — 1 или х + 1 делится на 2 (но не на 4), а тогда
другое число должно делиться на 2к~]. Это означает, что при
к ^ 3 имеется четыре решения, а именно, хе±1ихе 2k-1 ± 1.
(Например, если рк = 8, то этими четырьмя решениями будут х =
1, 3, 5, 7 (mod 8) —полезно знать, что квадрат любого нечетного
числа имеет вид, 8п + 1.)
Итак, х2 = 1 (mod та) тогда и только тогда, когда х2 = 1
(mod рШр) для всех простых чисел р с тар > 0 из канонического
разложения та на множители. Каждое простое число не зависит
от других, и для х mod pmp (кроме случая р = 2) имеется ров-
ровно две возможности. Поэтому если та имеет ровно г различных
простых делителей, то общее число решений сравнения х2 = 1
равно 2Г (за исключением поправки на четное та). В общем слу-
случае точное число решений равно
-[2\m]
D-44)
Так, имеется четыре „квадратных корня из единицы по модулю
12" а именно 1, 5, 7 и 11. При та = 15 данная четверка — это числа,
остатки которых по mod 3 и mod 5 равны ±1, а именно A,1),
A,4), B,1) и B,4) в системе счисления в остатках. В обычной
(десятичной) системе счисления этими решениями будут 1,4,11
и 14.
154 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
4.8 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ
За нами тянется долг из гл. 3: мы обещали доказать, что
та чисел
О mod та, n mod та, 2п mod та, ..., (та — 1 )n mod та D-45)
состоят в точности из d наборов m/d чисел
О, d, 2d, ..., та-d,
взятых в некотором порядке, где d = нод(та,п). Например, если
та = 12 и п = 8, то d = 4 и эти числа суть 0, 8, 4, 0, 8, 4, 0, 8, 4,
О, 8, 4.
Первая часть доказательства —показать, что мы получаем
d наборов первых та/d величин,—теперь уже тривиальна. Со-
Согласно D-38))
jn = kn (mod та)
j(n/d) = k(n/d) (mod та/d)
откуда мы получаем d наборов чисел, полученных при 0^k<m/d.
Теперь нужно показать, что эти та/d чисел суть {0, d,2d,...,
та — d}, взятые в некотором порядке. Положим та = m'd и п =
n'd. Тогда knmodTa = d(kn' mod та') по распределительному
закону (з«2з), так что величины, которые получаются при 0 ^
к < та',—это взятые по d раз числа
О mod та', n' mod та', 2n' mod та', ..., (та' — 1 )n' mod та'.
Но на основании D-27) известно, что та' J_ n' — они уже поделены
на их нод. Поэтому нужно рассмотреть лишь случай d = 1, а
именно тот случай, когда та и п взаимно просты.
Итак, допустим, что та J_ п. Нетрудно заметить, что в этом
случае числа D-45) — это не что иное, как расположенные в не-
некотором порядке числа {0, 1, ..., та — 1}, если воспользоваться
принципом голубиных гнезд" Сей принцип утверждает, что если
та голубей рассаживаются по та гнездам, то одно из гнезд ока-
окажется пустым тогда и только тогда, когда в каком-нибудь дру-
другом гнезде будет сидеть более одного голубя. (Это аналогично
,^гринципу ящиков Дирихле", доказанному в упр. 3.8.) Известно,
что числа D45) различны, поскольку
jn = kn (mod та)
j = k (mod та),
если та J_ n (это свойство D-37))- Следовательно, все гнезда с
номерами 0, 1, ..., та — 1 должны заполниться та различными
числами и доказательство завершено. Тем самым наш долг из
гл. 3 погашен.
Доказательство-то завершено, но если не полагаться на кос-
косвенную „птичью" аргументацию, а воспользоваться прямым мето-
методом, то можно доказать даже большее. Если та J_ n и если задано
Математики обо-
обожают говорить,
что то или иное
тривиально.
4.8 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ 155
„Cubum autem
in duos cubos,
aut guadrato —
guadratum in duos
guadrati —guadratos,
et generaliter nul-
lam in infifnitum
ultra guadratum
patestatem in duas
ejusdem nominas fas
est dividere — cujus
rei demonstrart-
tonem mirabelem
sane detexi. Hanc
marginis exiguitas
поп caperet"
—Запись
П.де Ферма
на полях
„Арифметики"
Диофанта
(Добавл. перев.)
СЕНСАЦИЯ
В 1772 г. Эйлер [379]
предположил, что
Q4+b4+cVd4,
однако в августе
1987г. Наум Эль-
кис [383] обнаружил,
что существует
бесконечное число
решений.
Только что Ро-
Роджер Фрай провел
исчерпывающий
машинный поиск,
выяснив (после
ПО часов работы
суперкомпью-
суперкомпьютера Connection
Machine), что
единственным
решением для d <
1000000 является
958004 +2175194
+ 4145604
= 4224814.
значение j Е [0, та), то можно явно вычислить число к Е [0, та),
такое, что kn mod та = j, разрешив сравнение
kn = j (mod та)
относительно к. Мы просто умножаем обе части сравнения на
число п', такое, что m'm + п'п = 1, получая
k = )n' (mod та),
откуда k = )n' mod та.
Только что доказанные факты могут быть использованы для
установления одного важного обстоятельства, обнаруженного
Пьером де Ферма в 1640 г. Ферма был великим математиком,
внесшим существенный вклад в создание дифференциального ис-
исчисления и многие другие разделы математики. После него оста-
остались рукописи, содержащие массу сформулированных без дока-
доказательства теорем, и все они были впоследствии подтверждены.
Все —за исключением одной, которая стала самой знаменитой,
поскольку она противостояла лучшим математикам на протяже-
протяжении 350 лет. Та, что осталась недоказанной, теперь носит название
последней теоремы Ферма и утверждает, что
ф сп
D-46)
для всех целых положительных чисел а, Ь, с и п, если п > 2.
(Разумеется, уравнения а+b = с и а2+Ь2 = с2 имеют уйму реше-
решений.) В конце концов этот вопрос был разрешен Эндрю Уайлсом:
его эпохальное доказательство формулы D46) опубликовано в
Annals of Mathematics 141 A995), с. 443-551.
Теорему Ферма 1640 г. гораздо легче проверить. Теперь она
называется малой теоремой Ферма (или, для краткости, про-
просто теоремой Ферма) и утверждает, что
тг
= 1 (modp), еслип_]_р.
D47)
Доказательство. Как обычно, допустим, что р обозначает про-
простое число. Нам известно, что р — 1 чисел nmodp, 2nmodp,
..., (р — 1 )n mod р суть числа 1,2, ..., р — 1, взятые в некотором
порядке. Поэтому если их перемножить, то получим
= (n mod р) • Bтг mod р) • ... • ((р — 1 )тг mod p)
= (Р-1)!,
где сравнимость понимается по модулю р. Это означает, что
(p-i)!^ = (р-1)! (modp)
и можно сократить на множитель (р — 1)!, поскольку он не де-
делится на р. чтд.
Иногда более удобна другая формулировка теоремы Ферма:
nv = n (mod p), целое п.
156 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Данное сравнение имеет место при любом целом п. Доказать это
легко: если n J_ р, то просто умножаем D47) на П1 если же нет>
то р\п, так что пр = 0 = п.
В том же году, когда им была открыта теорема D47)» Ферма
в письме к Мерсенну высказывает свое предположение о том, что
число
fn = 22П + 1
должно быть простым при всех n
случаев давали простые числа:
241 -3, 22 + 1=5,
28 + 1 = 257, 216 + 1 = 65537,
0. Он знал, что первые пять
1=17,
но он не мог понять, как доказать, что в следующем случае число
232 + 1 = 4294967297 является простым.
Самое интересное, что используя свою же собственную только
что открытую теорему, Ферма мог бы доказать, что число 232 + 1
не является простым, если бы нашел время для выполнения не-
нескольких десятков умножений. Можно подставить п = 3в D47)»
устанавливая тем самым, что
З2 = 1 (mod232 + 1), если 232 + 1—простое число.
А это соотношение можно проверить вручную, начиная с 3 и воз-
возводя в квадрат 32 раза, сохраняя лишь остатки по mod 232 + 1.
Вначале мы получаем З2 = 9, затем З2 = 81, потом З2 = 6561
и т. д., до тех пор, пока не доберемся до
З2'2 = 3029026160 (mod 232 + 1).
В результате не получается 1, так что 232 +1 не является простым
числом. Подобный метод опровержения не дает никакого ключа
к разгадке того, каковы могут быть сомножители,—он только
доказывает, что сомножители существуют. (В данном случае они
равны 641 и 6700417, что было впервые обнаружено Эйлером в
1732 г. [366].)
Если бы число З2 оказалось равным 1 по модулю 232 + 1, то
данное вычисление не доказывало бы, что число 232 +1 простое,—
оно всего лишь не опровергало бы это. Однако в упр. 47 обсужда-
обсуждается обращение теоремы Ферма, с помощью которого можно до-
доказать, что большие простые числа — действительно простые, не
прибегая к изнурительным арифметическим выкладкам.
Мы доказали теорему Ферма, сократив обе части уравнения
на (р — 1)!. Оказывается, что величина (р — 1)! всегда сравнима
с —1 по модулю р — это следствие одного классического факта,
известного под названием теоремы Вильсона:
„... laquelle
proposition, si elle
est vraie. est de tres
grand usage'.'
Ферма [311}
Если это всего-
навсего МАЛАЯ
теорема Фер-
Ферма, то другая,
хотя и была по-
последней, но только
не по важности.
(п-1)! =-1
(mod n)
п простое, если п > 1.
D49)
4.9 ФИ- И МЮ-ФУНКЦИИ 157
Одна половина этой теоремы тривиальна: если п > 1 — не простое
число, то у него есть простой делитель р, который появляется
в качестве множителя в разложении (п — 1)!, так что величина
(п — 1)! не может быть сравнима с — 1. (Если бы величина (п — 1)!
была сравнима с —1 по модулю п, то она была бы также сравнима
с —1 по модулю р, но это не так.)
Другая половина теоремы Вильсона утверждает, что (р — 1)! =
—1 (mod p). Эту половину можно доказать, объединяя попарно
числа и обратные к ним по mod p. Если nip, то известно, что
существует п', такое, что
п'п = 1 (mod p);
здесь п'— число, обратное к п, а, в свою очередь, п —обратное
к п'. Любые два обратных к п числа должны быть сравнимы
друг с другом, поскольку пп' = пп" влечет за собой п' = п".
Теперь предположим, что каждое число между 1 и р — 1 обра-
образует пару со своим обратным. Поскольку произведение некоторо-
некоторого числа и обратного к нему сравнима с 1, то произведение всех
обратных чисел во всех парах также сравнима с 1; по-видимому,
и величина (р — 1)! будет сравнима с 1. Проверим это, скажем,
при р = 5. Получаем 4! = 24, но это число сравнимо с 4, а не с 1 по
модулю 5. О-ля-ля! Где же мы ошиблись? Давайте-ка посмотрим
повнимательнее, что собой представляют обратные числа:
Г = 1, 2; = 3, 3'=2, 4'=4.
Ах, вот в чем дело: 2 и 3 образуют пару, а 1 и 4 нет — они являются
обратными к самим себе.
Чтобы исправить наши рассуждения, надо установить, какие
Это, наверное, числа являются обратными к самим себе. Если число х является
оборотни. обратным к самому себе, то х2 = 1 (mod p). Но уже доказано, что
это сравнение имеет ровно два корня, когда р > 2. (Если р = 2, то
очевидно, что (р — 1)! = — 1, так что нет нужды беспокоиться об
этом случае.) Эти корни равны 1 и р — 1, а все остальные числа
(между 1 и р — 1) благополучно разбиваются на пары; следова-
следовательно,
(р-1)! = 1-(р-1) =-1,
что и требовалось.
К сожалению, мы не умеем эффективно вычислять фактори-
факториалы, так что в качестве практического инструмента проверки на
простоту теорема Вильсона бесполезна. Это только теорема.
4.9 ФИ- И МЮ-ФУНКЦИИ
Сколько среди целых чисел {0,1,..., та — 1} взаимно про-
простых с та? Эта важная величина называется (р(та) — „тотиентой"
числа та (названной так Дж. Дж. Силвестером [274] — английским
математиком, любившим придумывать новые термины). Имеем
158 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
срA) = 1, (р(у) = р — 1 и ф(та) < та — 1 для всех составных чи-
чисел та.
Функция ф называется эйлеровой фи-функцией, ибо Эйлер
был первым, кто изучал ее. Так, Эйлер обнаружил, что теорема
Ферма D47) может быть обобщена на непростые модули следу-
следующим образом:
пф(т] = 1 (mod та), если п 1 та.
D-5о)
(Доказать теорему Эйлера предлагается в упр. 32).
Если та является степенью простого числа, та = рк, то ф(та)
легко вычисляется, ибо n I pk <=> ip\n. Кратными р среди
чисел {0,1,... ,рк — 1} являются числа {0,р,2р,... ,рк — р}, следо-
следовательно, всего их рк~1, a (p[ipk) подсчитывает то, что остается:
Обратите внимание, что при к = 1 эта формула, как и положено,
дает величину ф(р) = р — 1.
Если та > 1 не является степенью простого числа, то можно
записать та = таттаг, где тат J_ Ш2- Тогда числа 0 ^ п < та могут
быть представлены как (n mod mi, n mod тг) в системе остатков.
Согласно D-3°) и D4)
n J_ та
п mod mi J_
и n mod m2 J_ 1П2.
Следовательно, величина n mod та является „хорошей" тогда и
только тогда, когда являются „хорошими" как n mod mi, так и
п mod та2, если считать взаимную простоту хорошим качеством.
А общее число „хороших" величин по модулю та теперь может
быть вычислено рекурсивно: оно равно ф(та1 )ф(та2), посколь-
поскольку имеется ф(та1) хороших способов выбора первой компоненты
п mod тат и ф(та2) хороших способов выбора второй компоненты
n mod таг в модульном представлении.
Так, фA2) = фD)фC) = 2-2 = 4, поскольку п взаимно
просто с 12 тогда и только тогда, когда nmod4 = A или 3) и
nmod3 = A или 2). Вот четыре величины в системе остатков,
взаимно простых с 12: A,1), A,2), C,1), C,2); в обычной деся-
десятичной записи это 1, 5, 7, 11. Теорема Эйлера утверждает, что
п4 = 1 (mod 12) всякий раз, когда n _L 12.
Функция f (та) целых положительных чисел называется муль-
мультипликативной, если fA) = 1 и
f (miтг) = f(Tm)f(m2) для любых тат J_
D-51)
Тем самым мы доказали, что ф(та)—мультипликативная фун-
функция. Ранее в этой главе нам уже встречался другой пример
мультипликативной функции: число несравнимых решений срав-
сравнения х2 = 1 (mod та) мультипликативно. А вот еще один пример:
f (та) -- таа при любом показателе степени ос.
Мультипликативная функция полностью определяется ее зна-
значениями на множестве степеней простых чисел, поскольку любое
„Si fuerit N ad x
пи тег us primus
et n numerus
partium ad N
primarum, turn
potestas xn unitate
minuta semper per
numerum N erit
divisibilis"
-Л. Эйлер [375]
„Латынь Эйлера
очень проста, а его
обозначения почти
современны —
пожалуй, было бы
лучше сказать, что
наши обозначения
почти эйлеровы!"
—Д Я. Стройк
[288; с. 165]
„Si sint A et В
numeri inter se
primi et numerus
partium ad A
primarum sit
= a, numerus
vero partium
ad В primarum
sit = b, turn
numerus partium
ad productum
AB primarum erit
= ab"
-Л.Эйлер [375]
4.9 ФИ- И МЮ-ФУНКЦИИ 159
целое положительное число m может быть разложено на степени
простых сомножителей, которые взаимно просты друг с другом.
Общая формула
f (m) = П f (Pmp) - если m = П Ртм - D-52)
V V
имеет место тогда и только тогда, когда f — мультипликативная
функция.
В частности, эта формула доставляет величину эйлеровой фи-
функции для произвольного числа та:
Ф(т) = П(рт» -р™--1) =mJ](l-J). D-53)
р\т р\т
К примеру, <рA2) = D-2)C-1) = 12A-1)A-1).
Обратимся теперь к использованию ср-функции для изучения
рациональных чисел по mod 1. Говорят, что дробь га/п — пра-
правильная, если 0 ^ га < п. Следовательно, (р{п) —это число не-
несократимых правильных дробей со знаменателем п, а все несо-
несократимые правильные дроби со знаменателем п или меньшим и
неправильная дробь j входят в состав последовательности Фа-
рея Jn.
Множество всех правильных дробей со знаменателем 12 до их
приведения к несократимым имеет вид:
12' 12' 12' 12' 12' 12' 12' 12' 12» 12' 12' 12'
а после приведения —
0_1_111_5_1_7_235Ц
1 ' 12» 6' 4' 3» 12' 2' 12' 3' 4' 6' 12 '
и эти дроби можно сгруппировать по их знаменателям:
0.
т»
1.
2»
1
3»
2.
3»
1
4'
3.
4'
1
6'
5.
6>
1
Т2»
5
12'
7
12'
11
12-
Но что из этого можно извлечь? Ну, например, то, что среди зна-
знаменателей встречается каждый делитель d числа 12 вместе со
всеми cp(d) своими числителями. Все без исключения знаменате-
знаменатели являются делителями 12. Таким образом,
<рB) + ФC) + <рD) + уF) + <рA2) = 12 .
Если же начать с несокращенных дробей ~, ^, ..., ^^- при лю-
любом та, то, очевидно, выйдет то же самое —следовательно,
= га. D-54)
d\m
Как-то в начале этой главы мы утверждали, что в теоретико-
числовых задачах часто требуются суммы по делителям некото-
некоторого числа. Как видите, D-54)~~ одна из таких сумм, так что наше
утверждение подтвердилось. (Мы увидим и другие примеры.)
160 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
А теперь — курьезный факт: если f (тгг) —некоторая функция,
такая, что сумма
g(m) =
d\m
является мультипликативной функцией, то и сама f — мульти-
мультипликативная функция. (Это обстоятельство, наряду с D-54) и тем
фактом, что g(m) = та, очевидно, мультипликативная функция,
дает другое объяснение тому, почему (р(т) является мультипли-
мультипликативной функцией.) Сей курьезный факт можно доказать ин-
индукцией по та: база индукции устанавливается просто, ибо f A) =
gA) = 1. Пусть та > 1 и допустим, что f (татта2) = f (mi )f(m2) для
любых mi _1_ таг и mim2 < та. Если та = mi та2 и ттц J_ таг, то
d.\mi таг di \тги d2\Tn.2
и di J_ d2, так как все делители тат взаимно просты со всеми
делителями таг- По индукционному предположению, f(did.2) =
f(di )f (d.2), за исключением, возможно, случая, когда di = mi и
d2 = vri2] следовательно,
f(di) ^Г f(d2)Vf(m1)f(m2)
= g(mi)g(m2)-f(mi)f(m2)+f(mim2).
Но это равно g(mim2) = g(Tai)g(m2), так что f(mim2) =
f(mi)f(m2).
Обратно, если f (m) является мультипликативной функцией,
то соответствующая ей функция суммы по делителям g(m) =
Z^d\m f(d) —всегда мультипликативная функция. На самом деле,
как показывает упр. 33, справедливо даже большее. Следователь-
Следовательно, наш курьезный факт и обратный к нему —это непреложные
факты.
Функция Мёбиуса ц (та)—названная так в честь математи-
математика девятнадцатого столетия Августа Мёбиуса, знаменитого также
своей лентой,— определяется при всех та ^ 1 уравнением
[m=1]. D.55)
d\m
Вообще-то, это рекуррентное уравнение, поскольку его левая
часть представляет собой сумму, состоящую из собственно ц(та)
и определенных значений |a(d) при d < m. Например, если после-
последовательно подставлять та = 1, 2, ..., 12, то можно вычислить
двенадцать первых значений данной функции:
та
ц(га)
1
1
2
-1
3
-1
4
0
5
6
1
7
-1
8
0
9
0
10
1
11
-1
12
0
4.9 ФИ- И МЮ-ФУНКЦИИ 161
Ричард Дедекинд [100] и Жозеф Лиувилль [199] в 1857г. за-
заметили следующий важный )Гпринцип обращения":
g(m) =
f(m) =
-). D.56)
d\m
d\m
В соответствии с этим принципом, функция ц обеспечивает нас
еще одним способом выяснения того, что собой представляет не-
Сейчас самое которая функция f (m), для которой известна сумма 2Id\m f (d)-
время размяться Для доказательства соотношения D-5^) воспользуемся двумя
упражнением П. приемами D.7) и D-9)» которые были приведены где-то в начале
этой главы. Если д(та) = Hd\mf(d), то
В зависимости от
того, как быстро
вы читаете.
m
]
d\m
d\m
d\m
k\d
L *?
k\m d\(m/k)
k\m d\(m/k)
= f(m)
k\m
Другая половина соотношения D.56) доказывается аналогично
(см. упр. 12).
Соотношение D-5^) выявляет ценное качество функции Мёби-
Мёбиуса, и мы уже поместили в табличку первые двенадцать ее значе-
значений. Но какова величина ц(та) при большом та? И как разрешить
рекуррентность D-55)? Ну, очевидно, что g(m) = [m=1] явля-
является мультипликативной функцией — при всех га она попросту
равна нулю, за исключением та = 1. Так что функция Мёбиуса,
определенная уравнением D-55)» должна быть мультипликатив-
мультипликативной функцией в силу того, что мы доказали минуту или две назад.
Поэтому можно выяснить, что такое ц(та), если вычислить ц(рк).
Когда та = рк, то D-55) утверждает, что
при любом к ^ 1, так как делителями рк является 1,
Отсюда следует, что
И(р) = -1
= 0 для к > 1.
162 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Поэтому в силу D-52) получаем общую формулу:
Ц(т) = П
р\т
{
О, если т делится на некоторый D-57)
квадрат простого, р2.
Вот что такое \i.
Если рассматривать D-54) как рекуррентное соотношение для
функции (р(т), то эту рекуррентность можно разрешить, приме-
применив правило Дедекинда—Лиувилля D-56)- Искомое решение та-
таково:
cp(m) = X>(d)y. D.58)
d\m
Например,
ФA2) = цA). 12 + ^B). 6 + цC)-4 + цD).3 + цF)-2 + цA2)-1
= 12-6-4 + 0 + 2 + 0 = 4.
Если m делится на г различных простых чисел, скажем, на
{рь...,рг}, то сумма D.58) имеет только 2Г ненулевых членов,
ибо функция \х большей частью равна нулю. Так, можно убе-
убедиться, что D-58) согласуется с формулой D-53)> записанной в
виде
если перемножить все г сомножителей A — 1/pj), то получим в
точности 2Г ненулевых членов суммы D-58)- Достоинство функ-
функции Мёбиуса состоит в том, что помимо рассмотренной, она при-
применима и во многих других ситуациях.
К примеру, попробуем выяснить, сколько дробей насчитыва-
насчитывается в последовательности Фарея Jn. Их количество равно числу
несократимых дробей из [0, 1], знаменатели которых не превос-
превосходят п, так что оно на 1 больше величины Ф(п), которая опре-
определяется как
Ф(х) = YL ФМ- D-59)
(Из-за последней дроби у к Ф(п) нужно прибавить 1.) Непосред-
Непосредственное вычисление суммы D-59) затруднительно, однако вели-
величину Ф(х) можно установить косвенно, заметив, что
!wli+xi D.60)
при любом вещественном х ^ 0. Но почему это тождество спра-
справедливо? Ну, несмотря на его несколько пугающий вид, на самом
4.9 ФИ- И МЮ-ФУНКЦИИ 163
(Подобное про-
продолжение на
вещественные
числа —полезный
прием для раз-
разрешения многих
рекуррентностей,
которые возника-
возникают при анализе
алгоритмов.)
В действительно-
действительности Мёбиус [215]
изобрел свою
функцию из-за
свойства D-6i), a
яе D.56).
деле доказательство его справедливости не выходит за рамки на-
наших возможностей. Всего имеется \ |_xj [I +xj правильных дробей
тп/п с 0 ^ m < n ^ х, считая как сокращенные, так и несокра-
несокращенные дроби,—это дает правую часть. А число таких дробей с
нод(т,п) = d равно <D(x/d), потому что такие дроби суть vnf/nf
с 0 ^ m' < n' ^ x/d после замены m на m'd и п на n'd. Та-
Таким образом, левая часть подсчитывает число тех же самых дро-
дробей другим способом, и данное тождество должно быть признано
спр ав е дливым.
Теперь более обстоятельно разберемся в сложившейся ситу-
ситуации, с тем чтобы уравнения D-59) и D-6о) стали более ясны-
ясными. Из определения Ф(х) следует, что Ф(х) = Ф(|_х_|), однако
удобнее считать функцию Ф(х) определенной на произвольных
вещественных числах, а не только на целых. В целых точках по-
получаем следующую таблицу:
п
ср(п-)
Ф(п)
0
—
0
1
1
1
2
1
2
3
2
4
4
2
6
5
4
10
6
2
12
7
6
18
8
4
22
9
6
28
10
4
32
11
10
42
12
4
46
и можно проверить тождество D-бо) при х = 12:
ФA2) + Ф(б) + ФD) + ФC) + ФB) + ФB) + б
= 46 +12+ 6 + 4 + 2 + 2 + 6 = 78 = ?-12-13.
Поразительно.
Тождество D.60) можно рассматривать как неявную рекур-
рекуррентность относительно Ф(х) —как мы только что видели, этим
можно было воспользоваться при вычислении величины Ф A2) по
определенным величинам Ф(ггг) при m < 12. А разрешать такие
рекуррентности можно с помощью другого прекрасного свойства
функции Мёбиуса:
д(х) = ]Г f(x/d)
f(x) = J>(d)g(x/d). D.61)
Данное правило обращения имеет место для всех функций f, та-
таких, что X!k,d^i |f(x/kd)| < 00. Это можно доказать следующим
образом. Предположим, что g(x) = YL&^\ Цх/d). Тогда
52n(d)g(x/d) =
f(x/m)
d\m
Доказательство в другую сторону по существу такое же.
164 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Вот теперь мы в состоянии разрешить рекуррентность D-6о)
относительно Ф(х):
ф(х) = ^X>dH*MJLi +x/dj. D.62)
Эта сумма всегда конечна. К примеру,
ФA2) = 1A2-13-6-7-4.5 + 0-2-3 + 2-3
-1-2 + 0 + 0 + 1.2-1-2 + 0)
= 78-21-10-3 + 3-1+1-1 = 46.
В гл. 9 мы покажем, как использовать D-62) для получения хо-
хорошего приближения к Ф(х); в действительности мы докажем
результат, установленный Мертенсом в 1874г. [219],
ф(х) = -^x2 + O(xlogx).
Следовательно, функция Ф(х) возрастает „плавно", усредняя су-
сумасбродное поведение функции cp(k).
Придерживаясь заведенной в предыдущей главе традиции, за-
завершим эту главу задачей, иллюстрирующей многое из того, с
чем мы уже познакомились, и что, кроме того, имеет отношение
к следующей главе. Представим себя обладателями бусинок п
различных цветов; наша цель — подсчитать, сколькими способа-
способами из них можно составить ожерелье длины га. В данной задаче
можно испытать принцип „обозначай и властвуй", обозначив чи-
число возможных ожерелий через N(m,n).
К примеру, из бусинок двух цветов R и В ожерелье длины 4 Red и Black —
можно собрать ND,2) = 6 различными способами: красный и черный.
-Ред.
B BB BB BB
Все другие способы эквивалентны одному из этих, потому что
вращение ожерелья ничего не меняет. Однако их отражения счи-
считаются различными; так, в случае m = 6
R R R R
I | отлично от | | .
R В В R
Задача подсчета таких конфигураций впервые была решена май-
майором П. А. Мак-Магоном в 1892 г. [212].
Явной рекуррентности для величины N(m,n) не существует,
однако число ожерелий можно подсчитать, разрывая и вытягивая
в нить та способами каждое из них и рассматривая получающиеся
4.9 ФИ- И МЮ-ФУНКЦИИ 165
обрывки. Например, при та = 4 и п = 2 получаем следующие
наборы:
RRRR
RRBR
RBBR
RBRB
RBBB
ВВВВ
RRRR
RRRB
RRBB
BRBR
BRBB
ВВВВ
RRRR
BRRR
BRRB
RBRB
BBRB
ВВВВ
RRRR
RBRR
BBRR
BRBR
BBBR
BBBB
Каждый из nm возможных наборов встречается по крайней мере
один раз в этом наряде из mN (га, n) ниток бус, а некоторые набо-
наборы — и более одного раза. А сколько раз на самом деле встреча-
встречается набор do ... CLm,—1 ? В таком вопросе нет ничего сложного: это
число циклических сдвигов набора а^ ... am_i cio • • • ak-i > приво-
приводящих к тому же набору, что и первоначальный набор ао ... am_i •
К примеру, набор BRBR получается дважды, так как четыре спо-
способа разрыва ожерелья из бус BRBR соответствуют четырем ци-
циклическим сдвигам (BRBR,RBRB, BRBR, RBRB), два из которых
совпадают с самим BRBR. Подобное рассуждение показывает, что
mN(m,n) = ?_ X. [ao---am-i =ak ... am_ia0 ... a^]
ao,...,am-i€Sn
= /
[a<>... am_i = aic... am_i
ao,...,am-i€Sn
Здесь Sn — множество п различных цветов.
Выясним, сколько наборов удовлетворяют равенству
ао ... cim_i = die • • • Q-m-i O-o ... die—1 при заданном к. К примеру,
если га = 12 и к = 8, нужно подсчитать число решений вида
Это означает, что a0 = as = 04, а] = а9 = as, 0.2 = аю = ав
и аз = аи = а.7. Таким образом, ao, ai, аг и аз могут быть
выбраны п4 способами, а остальные сц,..., сиi — в зависимости от
них. Не напоминает ли это что-нибудь знакомое? В общем случае
соотношение
Щ = U(j+k) mod m При 0 ^ j < TTL
заставляет нас уравнять а, с <i(j+\a) mod m при I = 1, 2, ..., а
нам известно, что кратными к по модулю га являются числа
{О, A,2A,... ,ra — d}, где d = нод(к,га). Поэтому общее решение
состоит в независимом выборе ао, ..., aa-i и последующем при-
своениии aj = aj_d при d ^ j < та. А всего решений nd.
Тем самым мы доказали, что
mN(m,n) = J^ nHOA(k'm].
166 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Эта сумма может быть упрощена, поскольку она включает только
члены вида nd, где d\m. Подстановка d = нод(к, га) дает
N(m,n) = ^
d\m
= ^X>d Z [Vd±m/d]
d\m
m
d\m
(Мы имеем право заменить k/d на к, так как к должно быть крат-
кратно d.) Наконец, по определению, ]ro^k<m/d[k_Lm/d] = ф(m/d),
и мы получаем формулу Мак-Магона:
-!>№nm/d- D-63)
\ а / га А—
d\m d\m
К примеру, если га = 4 и п = 2, то число ожерелий равно \ A • 24 +
1 • 22 + 2 • 21) = 6 — как того и следовало ожидать.
Не тотчас очевидно, что величина N (га, п), определяемая сум-
суммой Мак-Магона, является целым числом! Давайте попробуем до-
доказать непосредственно, что
Y_ Ч>{&) nm/d = 0 (mod га), D.64)
d\m
не связывая наши рассуждения с ожерельями. В частном случае,
когда га — простое число, это сравнение сводится кпр + (р-1)пЕ
О (mod р), т. е. к сравнению пр = п. Мы уже видели в D48), что
это сравнение представляет собой другую формулировку теоремы
Ферма. Поэтому сравнение D-64) справедливо, если та = р,—его
можно рассматривать как обобщение теоремы Ферма на случай,
когда модуль не является простым. (Обобщение Эйлера D-5°) ~~
это другое обобщение.)
Мы доказали D-64) Для всех простых модулей, так что обра-
обратимся к наименьшему из оставшихся непростых случаев —слу-
—случаю та = 4. Надо доказать, что
n4+n2 + 2n = о (mod 4).
Доказательство упростится, если рассматривать отдельно четные
и нечетные случаи. Если п четно, то все три члена в левой части
сравнимы с 0 по модулю 4 —так же, как и их сумма. Если же
п нечетно, то п4 и п2 сравнимы с 1, а 2п сравнимо с 2; следова-
следовательно, левая часть сравнима с 1 + 1 + 2, а тем самым, сравнима
с 0 по модулю 4, и мы получили требуемое.
4.9 ФИ- И МЮ-ФУНКЦИИ 167
А теперь немного осмелеем и замахнемся на случай m = 12.
Это m должно нас заинтересовать потому, что оно имеет доволь-
довольно много множителей, включая квадрат простого числа, несмо-
несмотря на то, что само оно весьма мало. (К тому же нами движет на-
надежда получить возможность обобщения доказательства для 12
на произвольное т.) Сравнение, которое надо доказать, это
п12 + п6 + 2п4 + 2п3 + 2п2 + 4п = 0 (mod 12).
Ну и что? Согласно D42) это сравнение выполняется тогда и
только тогда, когда оно выполняется по модулю 3 и по моду-
модулю 4. Поэтому вначале докажем, что оно выполняется по моду-
модулю 3. Сравнение D-64) выполняется для простых чисел, так что
п3 + 2п = 0 (mod 3). Под пытливым взором выясняется, что дан-
данный факт можно использовать для группировки членов большей
суммы:
п12 + п6 + 2п4 + 2п3 + 2п2 + 4п
= (п12 + 2п4) + (п6 + 2п2) + 2(п3 + 2п)
= 0 + 0 + 2-0 = 0 (mod3).
Итак, по модулю 3 это проходит.
Полдела сделано. Для доказательства сравнимости по моду-
модулю 4 воспользуемся тем же самым приемом. Уже доказано, что
п4 + п2 + 2п = 0 (mod 4), поэтому воспользуемся этим обстоя-
обстоятельством для группировки членов сравнения
п
12 + п6
+ п6 + 2п4 + 2п3 + 2п2 + 4п
= (п12 + п6 + 2п3) + 2(п4 + п2 + 2п)
= 0 + 2-0 = 0 (mod 4).
ЧТД; Чрезвычайно чтд для случая та = 12.
Тривиальное Дело. Пока наше сравнение доказано для простого т, для т = 4 и
для т = 12. Теперь попробуем доказать его для степеней простого
числа. Для конкретности можно предположить, что m = р3 при
некотором простом р. Тогда левая часть D-64) есть
пр3 + Ф(р)пр2 + ф(р2)пр + ф(р3)п
= пр3 + (р - 1 )пр2 + (р2 - р)пр + (р3 - р2)п
= (пр3 -np2)+p(np2 -nv)+v2{nv-n)+v3n.
Можно показать, что это сравнимо с 0 по модулю р3, если мы
сумеем доказать, что пр — пр делится на р3, что пр — пр делит-
делится на р2 и что пр — п делится на р,—ибо все это вместе будет
тогда делиться на р3. Согласно теореме Ферма в альтернативной
формулировке имеем np = n (mod р), так что р делит пр — п;
следовательно, существует целое q, такое, что
np = n + pq.
168 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
Теперь возводим обе части в р-ю степень, разлагаем правую часть
в соответствии с биномиальной теоремой (с которой познакомим-
познакомимся в гл. 5) и после перегруппировки членов получаем
при некотором другом целом Q. Мы оказались в состоянии выде-
выделить множитель р2 потому, что во втором слагаемом (^) = р, и
потому, что множитель (pqJ присутствует во всех последующих
членах. Итак, выяснили, что р2 делит пр — пр.
Возведем еще раз обе части в р-ю степень, разложим в ряд и
перегруппируем члены, получая
пр3 = (np+p2Q)p
= np
при еще одном целом Q. Итак, р3 делит пр — пр . Этим завер-
завершается доказательство для m = р3, ибо показано, что р3 делит
левую часть D-64)-
Более того, можно доказать по индукции, что
при некотором последнем целом О (последнем потому, что мы
исчерпали все способы начертания данной буквы); следователь-
следовательно,
pk pk~1
npk = npk~1 (mod pk) при k> 0. D.65)
Таким образом, левая часть D-64), которая равна
(n^-n*16) +p(npk~-npk~2) + ••• +pk~1(np-n) +Vkn,
делится на pk и тем самым сравнима с 0 по модулю рк.
Уже почти все сделано. Теперь, когда сравнение D-64) доказа-
доказано для степеней простого числа, все, что осталось,—это доказать
его для m = ггитг, где тщ _1_ тп,2, считая, что данное сравнение
справедливо при гги ит2. Рассмотрение случая га = 12, который
распадался на отдельные случаи m = 3 и га = 4, дает основание
надеяться, что такой подход будет оправдан.
Поскольку нам известно, что ф — мультипликативная функ-
функция, можно записать
d\m
cp(d2)(nmi/di)m2/d2>)
d,\m, \a.\~- /
4 УПРАЖНЕНИЯ
Но внутренняя сумма сравнима с 0 по модулю ГП2, так как мы
предположили, что D.64) выполняется при тп.2; следовательно, и
вся сумма сравнима с 0 по модулю тп.2. Из симметричных сообра-
соображений выясняется, что вся сумма сравнима с 0 по модулю тти.
Таким образом, в силу D-42) она сравнима с 0 по модулю т. чтд.
„Die ganzen Zahlen
hat der Hebe
Gott gemacht,
alles andere ist
Menschenwerk"
—Л.Кронекер.
(Добавл. перев.)
Упражнения
Разминочные упражнения
1 Каково наименьшее целое положительное число, имеющее ров-
ровно к делителей при 1 ^ к <J 6?
2 Докажите, что нод(т,п) • нок(т,п) = т • п, и восполь-
воспользуйтесь этим тождеством, чтобы выразить нок(т, п) через
нок(п mod m,m) при n mod m ф 0. Указание: воспользуй-
воспользуйтесь правилами D.12), D-14) и DЛ5)-
3 Пусть 7г(х) — количество простых чисел, не превосходящих х.
Докажите или опровергните, что
7г(х) — 7г(х — 1) = [х — простое число].
4 Что бы случилось, если бы построение Штерна—Броко начи-
начиналось с пяти дробей (у, ?, TTf, -ff-, у), а не с дробей (у, ^)?
5 Укажите простые формулы для Lk и Rk, если L и R суть 2x2-
матрицыиз D-33)-
6 Что означает запись 'а = b (mod 0)'?
7 Десять человек, перенумерованных числами от 1 до 10, вы-
выстроены в круг, как в задаче Иосифа, и каждый ra-й чело-
человек подвергается казни. (Величина m может быть значитель-
значительно больше 10.) Докажите, что первыми тремя обреченными на
уничтожение людьми не могут быть 10-й, k-й и к+ 1-й человек
(именно в таком порядке) при любом к.
8 Система счисления в остатках (х mod 3, х mod 5), рассмотрен-
рассмотренная в тексте, обладает тем забавным свойством, что числу 13
соответствует в ней пара чисел A,3), которая выглядит почти
так же. Объясните, как установить все случаи подобного со-
совпадения, не вычисляя все пятнадцать пар остатков. Другими
словами, найдите все решения сравнений
Юх + у ее х (mod3), 10x+y=-y (mod 5).
Указание: воспользуйтесь теми фактами, что Юи + 6v = и
(mod 3)и 10u + 6vev (mod 5).
9 Покажите, что (З77 — 1 )/2 — нечетное составное число. Указа-
Указание: чему равно З77 mod 4?
10 Вычислите ср(999).
170 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
11 Найдите функцию сг(п), обладающую тем свойством, что
a(k)g(n-k).
(Это аналогично функции Мёбиуса: см. D-56).)
12 Упростите формулу ?d\m Lk\d M-(k) 9(d/k)-
13 Целое положительное число п называется свободным от ква-
квадратов, если оно не делится на та2 при любом та > 1. Устано-
Установите необходимое и достаточное условие того, что число п сво-
свободно от квадратов:
а через представление D.11) числа п в виде показателей про-
простых;
b через функцию ц(п)..
Обязательные упражнения
14 Докажите или опровергните следующие правила:
а нод(ктп, кп) = кнод(тп, п);
b нок(кт, кп) = кнок(т, п).
15 Встречается ли каждое простое число в качестве сомножителя
некоторого числа Евклида еп?
16 Чему равна сумма величин, обратных первым п числам Ев-
Евклида?
17 Пусть fn —„число Ферма" 22" +1. Докажите, что fm _L fn, если
га < п.
18 Покажите, что если 2П +1 — простое число, то п является сте-
степенью двойки.
19 Докажите следующие тождества при целом положительном п:
-1
у | ЧЛ^т Ч | _ у
L
k=1
Внимание: вопрос несколько усложнен, но ответ нисколько
не сложен.
20 При каждом целом положительном числе п найдется простое
число р, такое, что п < р ^ 2п. (В сущности, это „постулат
Бертрана", справедливость которого в 1845 г. проверил Жо-
зеф Бертран для п < 3000000, а в 1850 г. доказал П. Чебышёв
для всех п.) Воспользуйтесь постулатом Бертрана для дока-
доказательства того, что существует постоянная b « 1.25, такая,
что все числа
L24, L22bj, L222bj, ...
простые.
4 УПРАЖНЕНИЯ 171
21 Пусть Рп — п-е простое число. Найдите постоянную К, такую,
что
LA0n2K)mod10nJ =Pn.
Это что, проверка 22 Число 1111111111111111111 — простое. Докажите, что в систе-
на косоглазие? ме счисления с любым основанием b число A1 ... 1 )ь может
быть простым только тогда, когда число единиц—само про-
простое число.
23 Установите рекуррентность для р(к) —линеечной функции из
того места в тексте, где обсуждалась величина б2(п!). Пока-
Покажите, что существует определенная связь между р(к) и тем
диском, который перекладывался на k-м шаге A ^ к ^ 2П — 1)
при перемещении ханойской башни из п дисков за 2П — 1 пе-
перекладываний.
24 Выразите величину ер(п!) через функцию yv(n) — сумму
цифр представления числа п в системе счисления с основа-
основанием р, обобщая тем самым формулу D-24)-
25 Будем говорить, что m напросто делит п, записывая это
как т\\п, если т\п и т _1_ п/т. Так, для рассмотренных в
тексте факториальных делителей р€р^п^\\п!. Докажите или
опровергните следующие утверждения:
a k\\n и тп\\п <?=> km\\n, если k _L m.
b для всех т, п > 0; либо нод(т,п)\\т, либо нод(т, п)\\п.
26 Рассмотрим последовательность 9n всех неотрицательных не-
несократимых дробей m/п, таких, что ran ^ N. Например,
G _0 1111111121213253456789 10
^0 — Т>Т0'9>8'7>6>5>4>3>5'2>3>Т>2'Т>2>Т>Т>Т>Т'Т>Т>Т>Т"
Верно ли, что m'n — mn' = 1 всякий раз, когда дробь m/n
непосредственно предшествует дроби vnf/nf в Sn?
27 Укажите простое правило сравнения рациональных чисел,
основанное на их представлениях посредством символов L и
R в системе счисления Штерна—Броко.
28 Представление Штерна—Броко числа п имеет вид
тг = R3L7R15LR292LRLR2LR3LR14L2R... ;
воспользуйтесь этим для нахождения всех простейших раци-
рациональных приближений к я, знаменатели которых меньше 50.
Относится ли к ним Щ-1
29 В тексте охарактеризовано соответствие между двоичными ве-
вещественными числами х = (.bi ЬгЬъ ... h из [0, 1) и веществен-
вещественными числами Штерна—Броко а = В1В2В3 ... из [0, со). Если
числу х соответствует число ос и х ф 0, то какое число соот-
соответствует числу 1 — х?
172 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
30 Докажите следующее утверждение (китайскую теорему об
остатках): пусть mi, ..., таг—-целые числа с та^ JL та^ при
1 ^ j < k ^ т, пусть та = Tai ... таг и ai, ..., ar, А —целые
числа. Тогда существует ровно одно целое число а, такое, что
a = ciic (mod та^) при 1 $J k $J т и A $J a < А + та.
31 Десятичное число делится на 3 тогда и только тогда, когда
сумма его цифр делится на 3. Докажите это широко известное
правило и обобщите его.
32 Докажите теорему Эйлера D-5°) > обобщив доказательство те-
теоремы Ферма D-47)-
33 Покажите, что если f(m) и g(та) —мультипликативные функ-
функции, то такой же будет и функция К(та) = Hd\m ^№ 9(m/d)-
34 Докажите, что D-5^) является частным случаем D-6i).
Домашние задания
35 Пусть I(та, п)— функция, которая удовлетворяет соотноше-
соотношению
1(та, п)та
, та)п = нод(та, п),
если тип- целые неотрицательные числа и та ф п. Таким
образом, 1(та,п) = та' и 1(п,та) = п' в соотношении D-5)i
величина 1(та,п) —это обращение та относительно п. Устано-
Установите рекуррентность, которая определяет величину 1(та,п).
36 Рассмотрим множество Z(\/To) = {m + n\/iO | целые та,п}.
Число та + пл/ТО называется обратимым (или единицей),
если та2 — Юп2 = ±1, так как оно имеет некоторое обратное
число (т.е. (та + пл/ТО) • (±(та — пл/ТО)) = 1). К примеру,
3 + у/]0 — обратимое число, так же как и число 19 — 6>/Т0. Па-
Пары взаимно сокращаемых обратимых чисел могут быть вста-
вставлены в любое разложение на множители, поэтому оставим
их в покое. Необратимые числа множества Z(\/TO) называют-
называются „простыми", если они не могут быть записаны в виде про-
произведения двух необратимых. Покажите, что 2, 3 и 4 ± л/ТО
являются „простыми" числами множества Z(\/TO). Указание:
если 2 = (к + Ь/ТО )(та + пуДО), то 4 = (к2 - 1012)(та2 - Юп2).
Кроме того, квадрат любого целого числа по модулю 10 равен
0, 1, 4, 5, 6, или 9.
37 Докажите формулу D-17)- Указание: покажите, что еп — \ =
(en_i - \J + \, и рассмотрите числа 2~n log(en - \).
38 Докажите, что если a I b и a > b, то
НОД(ат-Ьт, Qn-bn) = aH°A(m,n)_bHOA(m,n) ^ 0 ^ т < П.
(Здесь все переменные — целые числа.) Указание: восполь-
воспользуйтесь алгоритмом Евклида.
Почему 1Еп\ет} про-
произносится „Эйлер"
тогда как 'Euclid'
произносится
„Евклид"?
4 УПРАЖНЕНИЯ 173
Радиокомментатор:
„... Питчер Марк
Лешифр дошел
до второй 6азы\ У
Марка, с коэффи-
коэффициентом бэттера
лишь .080, это
второй удачный
удар в этом сезоне"
Что-нибудь не так?
39 Пусть S(m) —наименьшее целое положительное число п, для
которого существует возрастающая последовательность це-
целых чисел
m = си < CL2 <
< at =
такая, что си ai... at — полный квадрат. (Если само число m —
полный квадрат, то можно положить t = 1 ип = тп.) К при-
примеру, SB) = 6, ибо наилучшей из таких последовательностей
является ai = 2, ai = 3, аз = 6. Имеем:
п
S(n)
1
1
2
6
3
8
4
4
5
10
6
12
7
14
8
15
9
9
10
18
11
22
12
20
Докажите, что S(m) ф S(m') для любых 0 < m < тпЛ
40 Если представление числа п в системе счисления с основани-
основанием р имеет вид (am ... ai ao)p, то докажите, что
n\/v?
Ы) = (_л
= (-l)ePln!)am!...a1!a0! (modp).
(Левая часть есть просто п! с полностью удаленными множи-
множителями р. В случае п = *р это сводится к теореме Вильсона.)
41 а Покажите, что если р mod 4 = 3, то не существует целого
числа п, такого, что р делит п2 + 1. Указание: восполь-
воспользуйтесь теоремой Ферма.
b С другой стороны, покажите, что если р mod 4 = 1, то та-
такое целое число существует. Указание: запишите (р — 1)!
в виде (Пк^~1 ^(р — к)) и вспомните теорему Вильсона.
42 Рассмотрим две несократимые дроби vn/n и m'/n1. Докажите,
что если сумма та/п + т'/п' приведена к несократимому ви-
виду, то ее знаменателем будет пп1 тогда и только тогда, когда
n JL п'. (Другими словами, дробь (mn' + m'n)/nn' сразу бу-
ч дет несократимой тогда и только тогда, когда пип'не имеют
общего множителя.)
43 На уровне к дерева Штерна—Броко имеется 2к узлов, соответ-
соответствующих последовательности матриц Lk, Lk~1R, ..., Rk. По-
Покажите, что эту последовательность можно получить, начав с
матрицы Lk и затем последовательно умножая на матрицу
о
-1 \
(n) + i;
при 1 ^ n < 2k, где р(п) —линеечная функция.
44 Докажите, что бейсболист, коэффициент бэттера у которого
равен .316, должен был отбить мяч по меньшей мере 19 раз.
(Если у него было та удачных ударов за п раз, когда он выхо-
выходил на биту, то m/n e [0.3155, 0.3165).)
174 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
45 Число 9376 обладает своеобразным свойством самовоспроиз-
самовоспроизводимости, как то:
93762 = 87909376.
Сколько четырехзначных чисел х удовлетворяют уравнению
х2 mod 10000 = х? Сколько n-значных чисел х удовлетворяют
уравнению х2 mod 10n = х?
46 а Докажите, что если г0=1 и nk=1 (mod та), то nHOA(^=1.
b Покажите, что 2П ^ 1 (mod п), если п > 1. Указание:
рассмотрите наименьший простой множитель в разложе-
разложении п.
47 Покажите, что если п™ = 1 (mod m) и если п^™^ ^ 1
(mod m) для любого простого числа р, такого, что р\(та — 1),
то число m — простое. Указание: покажите, что если это усло-
условие выполняется, то при 1 ^ к < та все числа nk mod та раз-
различны.
48 Обобщите теорему Вильсона D49)» установив величину выра-
выражения (nKn<m,n_Lmn) mod 7П ПРИ ТП > 1.
49 Пусть R(N)—количество пар (тп,п) целых чисел, таких, что
1 ^ та < N, 1 ^TKNnmln.
а Выразите R(N) через Ф-функцию.
b Докажите, что R(N) = V
50 Пусть та — некоторое целое положительное число и
ш = e2ni/m = cosB7t/m) +isinB7c/m).
Говорят, что си является корнем из единицы степени та, так А что такое корни
как шт = г2пх = 1. На самом деле, каждое из та комплексных из раз-ницы?
чисел си°, си1, ..., си111 является корнем та-й степени из еди-
единицы, поскольку (cuk)m = e2nki = 1; следовательно, z— tuk —
один из сомножителей многочлена zm — 1 при 0 ^ к < та.
Поскольку эти сомножители различны, то полное разложе-
разложение многочлена zm — 1 над полем комплексных чисел должно
быть таким:
"~ (z-wk).
а Пусть ?m(z) = По^к<т,к±тB ~ шк)- (Этот многочлен
степени (р(та) называется круговым многочленом поряд-
порядка та.) Докажите, что
d\m
b Докажите, что Wm(z) =
4 УПРАЖНЕНИЯ 175
Контрольные работы
51 Докажите теорему Ферма D4^), разлагая A +1 + • • • + 1)р
посредством мультиномиальной теоремы.
52 Пусть п и х — целые положительные числа, такие, что х не
имеет делителей ^ п (исключая 1), и пусть р —некоторое
простое число. Докажите, что по меньшей мере [n/pJ чисел
{х — 1,х2 — 1,...,хп~1 — 1} кратны р.
53 Укажите все целые положительные числа п, такие, что
\|J
54 Вычислите „вручную" величину 1000! mod 10250.
55 Пусть Рп — произведение первых п факториалов, Пк=1 ^!. До-
Докажите, что при любом целом положительном п отношение
Р2п/Рп является целым числом.
56 Покажите, что величина
г-2к-1
к=1
является степенью 2.
57 Пусть S(m,n) —множество всех целых чисел к, таких, что
m mod k + тг mod k ^ k.
К примеру, SG,9) ={2,4,5,8,10,11,12,13,14,15,16}. Докажи-
те, что
фAс) = mn.
keS(m,n)
Указание: вначале докажите, что сумма Hi<m<n
YLd>^ Ф^Н1/^- Затем рассмотрите разность [(m + n)/dj —
Lm/dJ-Ln/dJ.
58 Пусть f (m) = Hd\m ^- Укажите необходимое и достаточное
условие того, что f (та) является степенью 2.
Конкурсные задачи
59 Докажите, что если xi, ..., хп —целые положительные числа
и 1/xi + • • • + 1/хп = 1, то тах(хь... ,хп) < еп. Указание:
докажите по индукции следующий более сильный результат:
„Если 1/xi Н hl/xn+1/a = 1, где xi, ..., хп — целые положи-
положительные числа и а — рациональное число ^ max(xi,... ,хп),
то a+1^en+i и xi .. .хп(а+ 1)^еь . .enen+i" (Доказательство
этого нетривиально.)
176 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
60 Докажите, что существует постоянная Р, такая, что формула
D.18) доставляет только простые числа. Можно воспользо-
воспользоваться следующим (в высшей степени нетривиальным) фак-
фактом: при любом достаточно большом р между р и р +ре име-
имеется простое число, если 9 > -р-.
61 Докажите, что если та/п, т'/п' и т"/п" —последовательные
элементы последовательности jFn, to
m" = [(n + NJ/n'Jm'-m,
n" = [(n + N)/n'Jn'-n.
(Эта рекуррентность позволяет вычислить все элементы jFn
по порядку, начиная с у и ^.)
62 Какое двоичное число соответствует числу е, исходя из соот-
соответствия „двоичная система <-> система Штерна—Броко"? (Вы-
(Выразите ваш ответ в виде бесконечной суммы, вычислять ее в
замкнутой форме не нужно.)
63 Покажите, используя только методы из этой главы, что если
последняя теорема Ферма —утверждение D4^)~невер-
D4^)~неверна, то наименьшее п, которое ее опровергает, является про-
простым числом. (Можно считать, что утверждение D46) спра-
справедливо, когда п = 4.) Кроме того, если ар + Ьр = ср —наи-
—наименьший контрпример, покажите, что существует целое число
та, такое, что
f
1
mp, если р\с,
pp~1mp, если р\с.
Таким образом, число с ^ тар/2 должно быть поистине ги-
гигантским. Указание: положите х = а + Ъ и заметьте, что
нод(х, (ар + (х - а)р)/х) = нод(х,рар-1).
64 Последовательность Пирса Ум порядка N — это разделен-
разделенная знаками '<* или '=' бесконечная строка дробей, состоящая
из всех неотрицательных дробей тгг/п cm^Onn^N (вклю-
(включая несокращенные дроби). Она определяется рекурсивно, на-
начиная с последовательности
При N ^ 1 последовательность Pn+1 образуется путем встав-
вставки двух символов непосредственно перед kN-м символом по-
последовательности *?и при всех к > 0. Вставляемые символы
суть
к — 1
——- = , если kN нечетно;
к— 1
^N.kN ^rj—r > если kN четно.
4 УПРАЖНЕНИЯ 177
„In re arithmetica
ars proponendi
questionem pluris
facienda est quam
solnendi'.'
— Г. Кантор
(Добавл. перев.)
Здесь Pnj обозначает j-й символ последовательности Ум, ко-
которым будет либо знак '<' либо знак '=', если j четно, либо
это будет некоторая дробь, если j нечетно. Так,
У I — j — Т<2<2~"Т<2<-2~<2<2~^2<2~<2<- 2 —]<'">
Ф 0 0 0/1^1^1^1 3 1^4.3^5.4 6
:P3 = = =:T<<<<=:z=T<<<<rr::
0_0_0 0 0^1
2-4-5-3-Т<5
0_0 0 0 0 O
2--r=5==-
2 3_
(Одинаковые элементы выстраиваются в довольно своеобраз-
своеобразном порядке). Докажите, что знаки '<' и '=', определенные по
указанному правилу, корректно описывают отношения между
соседними дробями в последовательности Пирса.
Исследовательские проблемы
65 Все ли числа Евклида еп являются числами, свободными от
квадратов?
66 Все ли числа Мерсенна 2Р — 1 являются числами, свободными
от квадратов?
67 Докажите или опровергните, что maxi^j<k^nak/HOA(aj,aiJ^n
для любой последовательности целых чисел 0 < си < • • • < an.
68 Существует ли постоянная Q, такая, что число [Q2 J является
простым при любом п ^ 0?
69 Пусть Рп обозначает n-е простое число. Докажите или опро-
опровергните, что Рп+1 - Pn = O(logPnJ.
70 Будет ли ез(п!) = ei[n\)/2 для бесконечно многих п?
71 Докажите или опровергните: если к ф 1, то найдется п > 1,
такое, что 2n = k (mod n). Существует ли бесконечно много
таких п?
72 Докажите или опровергните: при любом целом числе а суще-
существует бесконечно много п, таких, что ср(n)\(n + a).
73 Если бы Ф(п) + 1 членов последовательности Фарея
были распределены достаточно равномерно, то надо бы ожи-
ожидать, что Jn(k) « к/Ф(п). Следовательно, сумма D(n) =
Hki^ l^nCc)—к/Ф(п) | служит мерой „отклонения Зп от равно-
равномерности1! Верно ли, что D(n) = O(n1/2+€) при любом е > 0?
74 Приблизительно сколько различных величин содержится в
множестве {0! mod р, 1! mod р,..., (р — 1)! mod р} при р —> со?
5
Биномиальные коэффициенты
ПЕРЕВЕДЕМ ДУХ. В предыдущих главах нам порой приходи-
приходилось нелегко с суммами, включавшими в себя пол-, потолок-,
mod-, фи- и мю-функции. А сейчас нам придется заняться би-
биномиальными коэффициентами, которые оказываются (а) более
важными в приложениях и (Ь) более удобными в обращении, чем У/\ачи\
все отмеченные величины.
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Символ (?) — это биномиальный коэффициент, своим на-
названием обязанный биномиальной теореме —важному соотноше-
соотношению, которое мы рассмотрим позже в этом разделе. А читается
этот символ как выбор „к из п". Подобное заклинание проистека-
проистекает из его комбинаторной интерпретации — это число способов вы-
выбора k-элементного подмножества из n-элементного множества.
Скажем, два элемента из множества {1,2,3,4} можно выбрать ше-
шестью способами,
{1,2}, {1,3}, {1,4}, {2,3}, {2,4}, {3,4},
так что B) = 6.
Для того чтобы выразить величину (?) в более привычных
терминах, удобнее всего вначале установить не число подмно-
подмножеств, а число k-элементных последовательностей^ выбранных
из n-элементного множества; в последовательностях учитывается
порядок элементов. Воспользуемся тем же соображением, кото-
которым мы пользовались в гл.4, доказывая, что п! —это число пе-
перестановок из п объектов. Существует п вариантов выбора пер-
первого элемента последовательности, для каждого из них суще-
существует п — 1 вариантов выбора второго элемента и т.д., вплоть
до п — к + 1 вариантов выбора к-го элемента, что дает в ито-
итоге п(п — 1)... (п — к + 1) = п- вариантов выбора. А поскольку
каждое k-элементное подмножество может быть упорядочено к!
различными способами, это число последовательностей учи-
учитывает каждое подмноэюество ровно к! раз. Чтобы получить
Иначе известные
как к-членные
комбинации из
п членов без
повторения.
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 179
требуемое, мы просто делим на к!:
Так,
-6
2-1 '
что согласуется с нашим предыдущим перечислением.
Назовем п верхним индексом, а k—ниэюним индексом. В
соответствии с их комбинаторной интерпретацией эти индексы
ограничены неотрицательными целыми числами, так как мно-
множества не могут иметь отрицательное или дробное число эле-
элементов. Однако биномиальные коэффициенты полезны не только
своей комбинаторной трактовкой, а посему от некоторых ограни-
ограничений будем избавляться. Оказывается, что полезнее всего счи-
считать верхний индекс произвольным вещественным (или даже
комплексным) числом, а нижний — произвольным целым числом.
Соответственно, наше формальное определение принимает следу-
следующий вид:
г(т-1)...(т-1с+1) г* ...
ТсПс-П-П) = п ' ЦеЛ°е" * °' E.1)
0 , целое к < 0.
Это определение обладает рядом заслуживающих внимания
особенностей. Во-первых, верхний индекс обозначен через г, а не
через п — буква г подчеркивает, что биномиальные коэффициен-
коэффициенты сохраняют смысл и тогда, когда в этом месте оказывается лю-
любое вещественное число. Так, (^) = (—1)(—2)(—3)/C-2-1) = -1.
Несмотря на отсутствие комбинаторного смысла, случай г = — 1
оказывается одним из важнейших частных случаев. Некоторые
нецелые индексы, типа г = —1/2, также оказываются полезными.
Во-вторых, (?) можно рассматривать как многочлен k-й сте-
степени относительно г. Мы увидим, что такая точка зрения часто
бывает плодотворной.
В-третьих, мы оставили неопределенными биномиальные ко-
коэффициенты при нецелых нижних индексах. Можно дать прие-
приемлемое определение и в этом случае, но на практике такие коэф-
коэффициенты редко бывают нужны, поэтому мы отложим подобное
обобщение и займемся им позднее в этой главе.
И последнее. В правой части нашего определения приведены
ограничения (целое к ^ 0' и (целое к < 0'. Подобные ограниче-
ограничения будут приводиться во всех рассматриваемых соотношениях
с тем, чтобы была ясна область их применимости. Вообще-то,
чем меньше ограничений, тем лучше: самое лучшее — соотноше-
соотношение без ограничений; но уж если они присутствуют, то составляют
180 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
важную часть соотношения. При манипуляциях с биномиальны-
биномиальными коэффициентами проще на некоторое время забыть о трудных
для запоминания ограничениях, а затем проверить, не были ли
они нарушены. Но о проверке забывать нельзя.
Так, практически всякий раз, когда мы сталкиваемся с коэф-
коэффициентом (?), он оказывается равным 1, а потому можно впасть
в заблуждение, что он всегда равен 1. Но внимательное рассмо-
рассмотрение определения E.1) показывает, что (?) равен 1 только при
п ^ 0 (при условии, что п целое); если же п < 0, то (?) = 0. И
такие ловушки могут (и будут) подстерегать нас на каждом шагу.
Прежде чем приступить к тождествам, которыми мы будем
пользоваться для укрощения строптивых биномиальных коэф-
коэффициентов, бросим взгляд на несколько их начальных значе-
значений. Числа в табл. 180 образуют начало треугольника Паскаля,
названного так по имени Блеза Паскаля A623-1662), написавше-
Таблица
IT
0
i
2
3
4
5
6
7
8
9
10
W
1
1
1
180
/•пЛ
\ь
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Треугольник Паскаля
' W
1
3
6
10
15
21
28
36
45
UJ
1
4
10
20
35
56
84
120
(Л
W
1
5
15
35
70
126
210
W
1
6
21
56
126
252
1
7
28
84
210
\7J
1
8
36
120
/n\ M /п\
UJ W UJ
1
9 1
45 10 1
го о них основополагающий трактат [233]. Пустые места в этой
таблице на самом деле означают 0 из7за нуля в числителе (б-i);
к примеру, Q) = A -0)/B-1) = 0. Эти места оставлены пустыми
просто для того, чтобы выделить остальную часть таблицы.
Не мешает запомнить формулы для первых трех колонок:
О
они справедливы при любом вещественном г. (Вспомните, что
(П21) = 2П(П + 1) —это формула для треугольных чисел, кото-
которую мы вывели в гл. 1; эти числа сразу же бросаются в глаза
в колонке Q) табл. 180.) Неплохо также запомнить около пяти
первых рядов треугольника Паскаля: если в какой-нибудь задаче
встретится набор чисел 1, 4, 6, 4, 1, то мы можем предположить,
что где-то поблизости притаились биномиальные коэффициенты.
Биномиальные
коэффициенты
были хорошо
известны в Азии
за много веков до
того, как Паскаль
роАился [361], но
он никоим образом
не мог знать об
этом.
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 181
В Италии он назы-
называется треугольни-
треугольником Тартальи.
(А сам Паскаль на-
называл его triangle
arithmetique —
арифметическим
треугольником.
— Перев.)
„C'est une chose
estrange combien
il est fertile en
proprietez"
-В.Паскаль [233]
Числа в треугольнике Паскаля удовлетворяют практически
бесконечному числу тождеств, так что неудивительно, если при
его внимательном рассмотрении мы обнаружим ряд удивитель-
удивительных закономерностей. Вот, например, любопытное „свойство ше-
шестиугольника", которое иллюстрируется шестью числами 56, 28,
36, 120, 210, 126, окружающими число 84 в нижней правой ча-
части табл. 180. Два варианта перемножения чисел из этого шести-
шестиугольника через одно дают одинаковый результат: 56-36-210 =
28-120-126 = 423360. То же самое справедливо, если выделить
подобный шестиугольник из любой другой части треугольника
Паскаля.
А теперь — собственно тождества. Наша цель в этом разделе —
выучить сравнительно небольшое число простых правил, с помо-
помощью которых можно решать подавляющее большинство практи-
практически важных задач с биномиальными коэффициентами.
В обычном случае, когда верхним индексом г является неко-
некоторое целое п, большее или равное нижнему индексу к, определе-
определению E.1) может быть придана иная форма —в виде факториалов:
п!
k!(n-k)! '
целые n ^ k ^ 0.
E-3)
Для того чтобы получить эту формулу, просто умножаем числи-
числитель и знаменатель E.1) на (п — к)!. Порой бывает полезно вы-
выразить биномиальный коэффициент в подобной факториальной
форме (скажем, при доказательстве „свойства шестиугольника").
Но зачастую приходится действовать в обратном направлении,
заменяя факториалы биномиальными коэффициентами.
Факториальное представление указывает на симметричность
треугольника Паскаля: каждый ряд читается одинаково — как
слева направо, так и справа налево. Тождество, отражающее это
свойство,— соотношение симметрии — получается заменой к
на п — к:
п
п-к
целое n ^ 0, целое к.
E4)
Эта формула имеет комбинаторный смысл, ибо определяя к пред-
предметов, выбранных из п, мы тем самым определяем п — к невы-
бранных предметов.
Ясно, почему п и к в тождестве E4) ограничены целыми чи-
числами — потому что всякий нижний индекс должен быть целым
числом. Но почему п не может быть отрицательным? К примеру,
предположим, что п = — 1. Верно ли равенство
-1
к
-1-к
Увы. В частности, при к = 0 в левой части получается 1, а в
правой — 0. На самом деле при всяком целом k ^ 0 левая часть
182 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
равна
Y) к! v ' '
т.е. либо 1, либо —1, но правая часть равна 0, так как нижний
индекс отрицателен. А при отрицательном к левая часть равна О,
но правая часть равна
-1 \ =Mri-k)
-1 — к/
т.е. либо 1, либо —1. Так что равенство '(~]) = (jflj1 всегда
неверно!
Соотношение симметрии не выполняется и при прочих отри-
отрицательных целых п. Но, к сожалению, это ограничение легко
забывается, поскольку выражение в верхнем индексе порой бы-
бывает отрицательным лишь при некоторых малозаметных (но су-
существующих) значениях его переменных. Всякий, кто много раз
имел дело с биномиальными коэффициентами, попадался в эту
ловушку не менее трех раз.
Однако этот недостаток соотношения симметрии компенсиру-
компенсируется существенным его достоинством: оно выполняется при всех
значениях к, даже когда к < 0 или к > п (ибо в таких случаях
обе части равны нулю). В случае же, когда 0 ^ k ^ п, симметрия
немедленно следует из (б-3):
п!
п
п!
п
к! (п-к)! (п_(п_к))! (п-к)! \п-к
Следующее важное тождество допускает вынесение и внесение
из/под знака биномиального коэффициента:
г /г-1
klk-1
целое к ф 0.
E-5)
Данное ограничение на к предохраняет нас от деления на нуль.
Назовем тождество (б-б) правилом внесения, поскольку, как пра-
правило, мы пользуемся им для внесения под знак биномиально-
биномиального коэффициента некоторой мешающей переменной. Это равен-
равенство вытекает из определения (б-1)) так как г- = т{т — 1)^1 и
к! = к(к — 1)! при к > 0, а при к < 0 обе части равны нулю.
Если умножить обе части E.5) на к, то получим правило вне-
внесения, которое выполняется даже при к = 0:
целое к.
E-6)
У этого соотношения есть компаньон, который сохраняет нижний
индекс в неприкосновенности:
(г-к)
= г
целое к.
E7)
Ну, я-то наде-
надеюсь не попасть в
эту ловушку на
коллоквиуме.
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА
Тождество E.7) можно вывести, приготовив сэндвич из двух со-
соотношений симметрии и одного правила внесения между ними:
(г — к) ( 1 = (г — к) ( ) (в силу симметрии)
\к/ \т — к/
= r(rIk-l) (в силу E.6))
= т( ] . (в силу симметрии)
\ к /
Но постойте-ка! Мы уже объявили, что данное тождество
справедливо при любом вещественном г, а ведь проведенный
вывод справедлив, только когда г —целое положительное число.
(Если мы не собираемся использовать условие симметрии (б-4)
себе во вред, то верхний индекс г — 1 должен быть целым неотри-
(Ну, не здесь, так в цательным числом.) Может, мы смошенничали? Вовсе нет. Да,
другой месте.) это верно, что данный вывод справедлив при целом положитель-
положительном г, и, тем не менее, можно утверждать, что данное тождество
выполняется при всех значениях г в силу того, что обе части E.7)
являются многочленами степени к+ 1 относительно г. Ненулевой
многочлен степени d или меньшей может иметь самое большее
d различных нулей —следовательно, разность двух таких мно-
многочленов, которая также является многочленом степени d или
меньшей, не может обращаться в нуль более чем в d точках, если
только она не равна тождественно нулю. Иначе говоря, если два
многочлена степени ^ d совпадают более чем в d точках, то они
совпадают во всех точках. Нами показано, что (г — к) (?) = т(г~1)
является тождеством всякий раз, когда г —целое положительное
число, так что эти два многочлена совпадают в бесконечном чи-
числе точек, а значит, тождественно равны.
Способ доказательства из предыдущего абзаца, который мы
будем называть полиномиальной аргументацией, полезен при
перенесении многих соотношений, справедливых для целых чи-
чисел, на вещественные числа —мы неоднократно это увидим. Не-
Некоторые равенства, типа соотношения симметрии E4) > не явля-
являются тождествами для многочленов, так что мы не всегда сможем
применять этот способ. Тем не менее, многие соотношения имеют
нужный вид.
Вот, к примеру, еще одно полиномиальное тождество — воз-
возможно, самое важное из всех биномиальных тождеств — извест-
известное как формула сложения:
Если г —целое положительное число, то формула сложения по-
показывает, что каждое число в треугольнике Паскаля есть сумма
двух чисел предыдущего ряда —того, что непосредственно над
184 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
ним, и того, что рядом слева от него. Эта формула применима
также при отрицательном, вещественном или комплексном г с
единственным ограничением, чтобы к было целым (с тем, чтобы
биномиальные коэффициенты были определены).
Один из способов доказать формулу сложения — предполо-
предположить, что г —целое положительное число, и воспользоваться
комбинаторными соображениями. Вспомним, что (?) — это число
всевозможных k-элементных подмножеств, выбранных из г-эле-
ментного множества. Если у нас г яиц, среди которых одно тух-
тухлое, то имеется (?) способов выбора к яиц. Ровно в (г^1) случаях
результатом этих выборов будут только свежие яйца, а в (lZ\)
случаях среди них окажется тухлое яйцо, ибо результатом таких
выборов будет к — 1 из г — 1 свежих яиц. Складывая два этих чи-
числа, получаем (б-8). В этом выводе предполагается, что г —целое
положительное число и что k ^ 0. При к < 0 обе части данного
тождества равны нулю, а во всех остальных случаях справед-
справедливость тождества E.8) устанавливается путем полиномиальной
аргументации.
Тождество (б-8) можно также вывести, складывая два прави-
правила внесения-вынесения (б-7) и (б-6):
/т-1
Ч->
левая часть —это г(?), следовательно, можно разделить обе ча-
части на г. Этот вывод справедлив при всех г за исключением слу-
случая г = 0, который легко проверить отдельно.
Те из нас, кто не склонен отыскивать столь тонкие доказатель-
доказательства, или те, кому это, напротив, надоело, могли бы предпочесть
вывести E.8) путем непосредственного манипулирования с исход-
исходным определением. Если к > 0, то
к ) \k-]J к! (к-1)!
к! к!
к! к!
И опять случаи при к ^ 0 легко проверить отдельно.
Мы только что познакомились с тремя весьма различными
доказательствами формулы сложения. И это не удивительно: би-
биномиальные коэффициенты обладают большим разнообразием
свойств, различие которых обязано приводить к различным до-
доказательствам интересующего нас соотношения.
В сущности, формула сложения — это рекуррентность для чи-
чисел из треугольника Паскаля, и мы еще увидим, что она осо-
особенно полезна при доказательстве других тождеств по индукции.
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 185
А можно и немедленно получить новое тождество, развертывая
данную рекуррентность. Так,
зМзК
И',
Поскольку (Д) = 0, последний член пропадает и можно остано-
остановиться. Этот метод дает общую формулу:
+ П+1\
1 , целое п. E.9)
Обратите внимание, что нет необходимости ограничивать индекс
суммирования снизу, поскольку все члены суммы при к < О рав-
равны нулю.
Эта формула выражает один биномиальный коэффициент в
виде суммы других, верхний и нижний индексы которых оста-
остаются „равноудаленными". Мы нашли ее путем последовательного
разложения биномиальных коэффициентов с наименьшим ниж-
нижним индексом: вначале коэффициента C), затем коэффициента
B), потом коэффициента (^ и, наконец, коэффициента @). А
что случится, если развернуть другим способом — последователь-
последовательно разлагая коэффициенты с наибольшим нижним индексом? По-
Посмотрим:
5
3
©¦
186 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Теперь коэффициент (°) равен нулю (так же, как (°) и Q), хотя
они и придают данному соотношению некоторую привлекатель-
привлекательность), и можно уловить общую закономерность:
) , целые m,n ^ 0. (б-ю)
та+ I/
Это тождество, которое мы назовем формулой суммирования
по верхнему индексу, выражает один биномиальный коэффици-
коэффициент в виде суммы других, нижние индексы которых не изменяют-
изменяются. В данном случае сумма нуждается в нижней границе к ^> 0,
так как члены суммы с к < 0 не нули. К тому же та и п вообще
не могут быть отрицательными.
Тождество (б-ю) допускает интересную комбинаторную трак-
трактовку. Если нужно выбрать та + 1 из п + 1 билетов, пронумеро-
пронумерованных числами от 0 до п, то это можно сделать (^) способами,
если наибольший номер выбранного билета равен к.
Как соотношение (б-9)> так и соотношение (б-ю) можно дока-
доказать по индукции, используя формулу сложения, но можно так-
также получить одно соотношение из другого. Давайте, например,
получим E.9) из (б-ю): доказательство послужит иллюстрацией
некоторых стандартных операций с биномиальными коэффици-
коэффициентами. В общих чертах план действия таков: сначала преобразо-
преобразовать левую часть ^ (rtk) соотношения (б-9) таким образом, что-
чтобы она выглядела как левая часть Y. (™) соотношения (б-ю); за-
затем прибегнуть к помощи последнего соотношения, заменив всю
сумму одним-единственным биномиальным коэффициентом; на-
наконец, привести этот коэффициент к виду правой части (б-9)-
Для удобства предположим, что г и п —целые неотрицатель-
неотрицательные числа; в общем случае соотношение E.9) будет получаться из
этого частного случая в соответствии с полиномиальной аргумен-
аргументацией. Условимся писать m вместо г потому, что эта переменная
больше напоминает целое неотрицательно число. Теперь можно
приступить к систематическому воплощению нашего плана:
m
m+1
Шаг за шагом проследим за этим выводом. Решающий шаг сде-
сделан во второй строке, где мы применяем правило симметрии E4) >
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 187
„Когда ему
[Мориарти] испол-
исполнился двадцать
один год, он на-
написал трактат о
биномиальной те-
теореме, принесший
ему европейскую
известность. Это
позволило ему
получить кафедру
математики в
одном из наших
провинциальных
университетов"
-Ш.Холмс [163]
чтобы заменить
на
й
. А это можно сделать только при
та + к ^> О, так что первый шаг ограничивает область изменения
к, отбрасывая члены суммы с к < —та (что законно, поскольку
отброшенные члены равны нулю). Теперь мы почти готовы при-
применить (б-ю): третья строчка готовит почву для этого, заменяя
к на к — та и приводя в порядок диапазон суммирования. Этот
шаг, подобно первому,—просто заигрывание с ]Г-обозначением.
Но теперь к собственной персоной появляется в верхнем индексе,
да и пределы суммирования приведены в надлежащий вид, так
что в четвертой строчке применяется (б-ю). В завершение всего
еще раз используется правило симметрии.
Некоторые суммы, с которыми мы имели дело в гл. 1 и 2, на са-
самом деле являются либо частными случаями соотношения (б-ю),
либо скрытыми вариантами этого соотношения. К примеру, слу-
случай та = 1 доставляет сумму неотрицательных целых чисел до п
включительно:
0\ /1
Mi
= 0 + 1 +---+n
n+1
2
А общий случай эквивалентен правилу
m+1
целые та, u ^ 0,
из гл. 2, если разделить обе части этой формулы на та!. И в самом
деле, формула сложения E.8) указывает, что
х+1
та
х
т-1
если заменить тик соответственно на х + 1 и та. Следовательно,
методы из гл.2 обеспечивают нас удобной формулой неопреде-
неопределенного суммирования:
та
6х
m+1
+ С.
E-11)
Своим названием биномиальные коэффициенты обязаны би-
биномиальной теореме, которая имеет дело со степенями бинома
х + у. Вот простейшие случаи этой теоремы:
(х + уI =1хУ +W,
(х + уJ = 1х2у° +2хУ +1х°у2(
(х + уK = 1х3у° +ЗхУ +ЗхУ +1х°у3(
(х + уL = 1х4у° +4xV +6x2y2 +4х'у3 +1х°у4.
188 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Нетрудно понять, почему эти коэффициенты совпадают с числа-
числами треугольника Паскаля. Когда мы расписываем произведение
п сомножителей
каждый его член сам является произведением п сомножителей
х и -у. Число таких членов с к сомножителями х и п —к сомножи-
сомножителями у после приведения подобных членов становится коэф-
коэффициентом при xk-yn~k. А это в точности равно числу способов
выбора к из п двучленов, из которых в произведение войдет х,
т.е. это (?).
В некоторых учебниках величину 0° оставляют неопределен-
неопределенной, объясняя это тем, что функции х° и 0х имеют различные
пределы, когда х стремится к 0. Но это заблуждение. Необходи-
Необходимо определить
х° = 1 при любом х,
с тем чтобы биномиальная теорема была верна при х = 0, у = 0
и/или х = —у. Эта теорема слишком важна, чтобы ее произволь-
произвольно ограничивать! И, напротив, функция 0х совсем не важна. (См.
дальнейшие обсуждения в [152].)
А что именно представляет собой биномиальная теорема? Во
всем своем великолепии она выступает в обличий следующего
тождества:
Это сумма по всем целым к, но в действительности при целом
неотрицательном г это конечная сумма, поскольку все ее члены
равны нулю, за исключением членов с 0 ^ к ^ г. С другой сторо-
стороны, биномиальная теорема верна и при отрицательном г и даже
при произвольном вещественном или комплексном г. В таких слу-
случаях данная сумма действительно бесконечна и требуется, чтобы
\х/у\ < 1 для гарантии абсолютной сходимости суммы.
Два частных случая биномиальной теоремы заслуживают осо-
особого внимания, несмотря на то, что они исключительно просты.
Если х = у = 1 иг = п неотрицательно, то
Это равенство показывает, что сумма чисел п-го ряда треуголь-
треугольника Паскаля равна 2П. А если х вместо +1 равен —1, то
К примеру, 1—4 + 6 — 4+1 =0; если снабдить элементы п-го ряда
чередующимися знаками, то их сумма равна нулю, за исключе-
исключением верхнего ряда (когда п = 0 и 0° = 1).
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 189
(Смысл О-
обозначения разъ-
разъясняется в гл. 9.)
Таблица
п
-4
э
-2
—1
0
(Л
W
1
1
1
1
1
189
(Л
Ы
-4
э
-2
-1
0
Продолженный вверх
U
10
6
3
1
0
)Ы
-20
-10
-4
-1
0
лл
W
35
15
5
1
0
(Л (
W (
-56
-21
-6
-1
0
треугольник Паскаля.
а)
84
28
7
1
0
W
-120
-36
-8
-1
0
(Л
W
165
45
9
1
0
W
-220
-55
-10
-1
0
UJ
286
66
11
1
0
Если г не является неотрицательным целым, то биномиаль-
биномиальная теорема чаще всего используется в частном случае у = 1.
Сформулируем этот частный случай явно, заменив х на z, чтобы
подчеркнуть тот факт, что здесь может присутствовать произ-
произвольное комплексное число:
E-13)
Если подставить сюда z = х/у и умножить обе части на "у1*, то из
этой формулы вытекает общая формула (б-12).
Мы доказали, исходя из комбинаторной интерпретации, бино-
биномиальную теорему только для целого неотрицательного г. Мы
лишены возможности вывести формулу для общего случая из
случая целого неотрицательного г, используя полиномиальную
аргументацию, ибо в общем случае сумма бесконечна. Однако в
случае произвольного г можно воспользоваться теоремой Тейло-
Тейлора из анализа:
j f @) 1 f"@) 2
2!
k!
Производные функции f (z) = A +z)r легко вычисляются: в самом
деле, f(k)(z) =т-A +z)r~k. А подстановка z = 0 дает (б-13)-
Кроме того, нужно доказать, что бесконечная сумма сходится
при \z\ < 1. И это действительно так, поскольку (?) = Oik*)
согласно равенству E-83O которое приводится ниже.
А теперь займемся вплотную величинами (?) при целом от-
отрицательном п. Один из способов подступиться к этим величи-
величинам состоит в том, чтобы использовать правило сложения E.8)
для заполнения табл. 180 элементами, которые лежат выше имею-
имеющихся чисел, получая тем самым табл. 189. К примеру, ("^ = 1,
так как (°) - (-1) + (:]) и (:]) = 0; затем (-1) - -1, так как
(!) = (?) +Го1); * т.д.
Все эти числа нам уже знакомы. Действительно, ряды и ко-
колонки из табл. 189 оказываются колонками из табл. 180 (за выче-
190 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
том знака „минус"). Так что между величинами (?) при отрица-
отрицательных и положительных п должна существовать некая связь.
Общее правило таково:
целое к,
E-14)
что легко доказать, поскольку
при k ^ 0, а при к < 0 обе части равны нулю.
Особенно ценно то, что соотношение E-14) выполняется без
всяких ограничений. (Разумеется, нижний индекс должен быть
целым с тем, чтобы были определены биномиальные коэффици-
коэффициенты.) Преобразование E-14) называется обращением верхнего
индекса, или просто „верхним обращением"
Но как запомнить эту важную формулу? Если все соотноше-
соотношения, с которыми мы уже имели дело,—соотношения симметрии,
внесения, сложения и т. п.—были довольно бесхитростны, то это
соотношение выглядит весьма замысловато. Тем не менее, суще-
существует мнемоническое правило, что само по себе не так уж и пло-
плохо. Обращение верхнего индекса начинается с записи (—1)к, где
к —нижний индекс. (Нижний индекс не должен изменяться.) За-
Затем мы сразу же снова записываем к дважды: на места верхнего и
нижнего индексов. Потом обращается исходный верхний индекс
путем его вычитания из нового верхнего индекса. И в заверше-
завершение вычитается еще 1 (всегда вычитая, а не прибавляя, ибо это
процесс обращения).
Для закрепления материала два раза подряд обратим верхний
индекс. Имеем
k-r-1
к
^к-(к-т-1)-1
к
и мы вернулись к тому, с чего начали. Вряд ли это то, к чему
мы стремились, воссоздав данное соотношение,—но приятно со-
сознавать, что мы не сбились с пути.
Разумеется, имеются более полезные применения соотноше-
соотношения E-14)» чем это- Так, верхнее обращение можно использовать
для перемещения величин из верхнего на место нижнего индекса
и наоборот. Соответствующее соотношение имеет симметричную
форму:
-п-1
та
т-1
п
целые
, E.15)
Вы называете
это правило мне-
мнемоническим? Я
бы назвал его
пневматическим —
одно сотрясение
воздуха. Хотя оно
действительно по-
помогает запомнить.
(Самое время
размяться упр. 4.)
Но и неприятно,
если мы собира-
собирались попасть в
другое место.
ибо обе части равны (
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 191
(Здесь двойное
обращение ока-
оказывается содержа-
содержательным, посколь-
поскольку мы поместили
между ними дру-
другую операцию.)
Кроме того, верхнее обращение может быть использовано для
вывода следующей интересной формулы суммирования:
= мг
г-1
тп
m
целое та.
E-16)
Идея вывода этой формулы состоит в том, чтобы сперва обратить
верхний индекс, затем применить формулу E-9)> а потом снова
обратить индекс:
г
= L
-т-'
—r+ m
та
r-1
та
Эта формула дает частичную сумму т-го ряда треугольника Па-
Паскаля, при условии что элементам данного ряда приписаны че-
чередующиеся знаки. Так, при г = 5 и та = 2 эта формула дает
Обратите внимание, что при m ^ r формула E-i6) дает знако-
знакочередующуюся сумму элементов всего ряда, а такая сумма равна
нулю при целом положительном г. Это уже было доказано при
разложении A — 1)г в соответствии с биномиальной теоремой —
интересно то, что частичные суммы такого разложения могут
быть вычислены в замкнутой форме.
А как насчет более простой частичной суммы
n
n
¦ +
E-17)
Если мы умеем вычислять соответствующую знакочередующую-
знакочередующуюся сумму, то наверняка должны суметь вычислить и эту. А вот и
нет: для частичной суммы элементов ряда треугольника Паска-
Паскаля не существует замкнутого выражения. Мы умеем вычислять
суммы элементов в колонках —это формула E.10),—но не в ря-
рядах. Любопытно, однако, что можно вычислить частичные суммы
элементов ряда, если умножить их на расстояние от центра:
m+
г
m+ 1
целое та.
E-18)
(Эта формула легко проверяется индукцией по та.) Взаимосвязь
между этими частичными суммами — имеющими и не имеющи-
192 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
ми множитель (г/2 —к) в общем члене — аналогична взаимосвязи
между интегралами
хе х dx = — I
г
J-o
dx.
Явно более сложный интеграл слева с множителем х выражается
в замкнутой форме, в то время как более простой на вид инте-
интеграл справа без такого множителя —не выражается. Внешность
бывает обманчивой.
В конце этой главы мы разберем метод, с помощью которо-
которого можно определить, выражаются или нет в замкнутой форме
частичные суммы некоторого заданного ряда с биномиальными
коэффициентами —в достаточно общей постановке. Данный ме-
метод в состоянии обнаружить формулы (б-1^) и E-i8), а. также по-
позволяет выяснить, что нахождение формулы для (б-17) ~~ гиблое
дело.
Частичные суммы биномиального ряда приводят к другого
рода любопытному соотношению:
= V"
хкуш~к
—Г
m—k
целое та.
E-19)
Не составляет труда доказать это соотношение по индукции: при
та < 0 обе части равны нулю, а при m = 0 равны 1. Если обозна-
обозначить сумму в левой части через Sm, то, воспользовавшись фор-
формулой сложения (б-8), легко показать, что
та — 1 + г
к
k_
у
m—к
L
L
та— I
k-
та— 1 -
та
,m—к
-1
-1+Л kym-k
m - 1 + Л к m-k
к-1 )хкут
при та > 0. Следовательно,
Sm =
а правая часть (б-19) также удовлетворяет этому рекуррентно-
рекуррентному соотношению. По индукции, обе части должны быть равны —
чтд.
Но есть более тонкое доказательство. Если г —целое число из
промежутка 0 ^ г ^ —та, то биномиальная теорема показывает,
что обе части E.19) равны (х 4-"у)т+гу~г. А поскольку обе части
(Ну, на самом
деле он равен
\у/пС\ +erfa)-
константе плюс
величина, кратная
„функции ошибок"
от ос,—если мы
согласимся считать
это замкнутой
формой.)
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 193
(Имеется красивое
комбинаторное до-
доказательство этой
формулы [192].)
представляют собой многочлены относительно г степени та или
меньшей, то совпадения их только в та + 1 различных точках
достаточно (но только-только!) для установления равенства в об-
общем случае.
Вроде бы глупо обзаводиться соотношением, где одна сумма
равна другой. Тем более, что ни одна из них не выражается в
замкнутой форме. Но иногда вычислить одну сумму оказывается
проще, чем другую. К примеру, если положить х = — 1 и у = 1,
то получим альтернативную форму соотношения E-i6):
L{
А если положить х =
tl+1
к
целое та ^ 0.
= 1 и г = та + 1, то получим
В левой части просуммирована только половина биномиальных
коэффициентов с верхним индексом 2та +1, а эти коэффициенты
равны своим двойникам в правой половине, поскольку треуголь-
треугольник Паскаля обладает лево-правосторонней симметрией. Следо-
Следовательно, левая часть —это просто ^22m+1 = 22m, и мы получаем
формулу, которую никак не ожидали получить:
L
=2
целое m ^ 0.
E-2о)
f = 4-
Проверим ее при тп = 2: (о) + i (i) + Иг) = "¦ + I
Поразительно, но факт.
До сих пор мы рассматривали либо отдельные биномиальные
коэффициенты, либо суммы, в члены которых входило только
по одному биномиальному коэффициенту. Но многие из бросаю-
бросающих нам вызов задач включают в себя произведения двух и более
биномиальных коэффициентов, поэтому оставшуюся часть этого
раздела мы посвятим рассмотрению именно таких случаев.
Вот удобное правило, которое зачастую помогает упростить
произведение двух биномиальных коэффициентов:
целые та, к.
E-21)
Мы уже встречались с частным случаем к = 1 — правилом вне-
внесения (б-6). Хотя как одна, так и другая части E.21) суть про-
произведения биномиальных коэффициентов, зачастую одну из них
просуммировать проще, чем другую, благодаря взаимодействию
с другими частями формулы. Так, та встречается в левой ча-
части дважды, а в правой — лишь однажды. Поэтому при сумми-
суммировании по m мы, естественно, предпочитаем заменить (г)(т?)
194 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Равенство E-21) справедливо исключительно по причине вза-
взаимного сокращения та! в факториальных представлениях (^) и
(™). Если все переменные — целые числа иг^тп^к^О, то
г!
т!
m!(r-m)! k!(m-k)!
г!
k!(m-k)!(r-m)!
г! (г-к)!
к\{г-к)\ (m-k)!(r-
г-к
та —к
Здесь не было ничего сложного. К тому же, если m < к или
к < 0, то обе части E-21) равны нулю, так что данное соотноше-
соотношение выполняется при любых целых тик. Наконец, посредством
полиномиальной аргументации его можно распространить на все
вещественные г.
Биномиальный коэффициент вида (?)=г!/(г—к)! к! можно пе-
переписать в виде (a+b)!/a! b! после соответствующего переобозна-
переобозначения переменных. Аналогично, величину г!/к! (та — к)! (г — та)!
в середине предыдущей выкладки можно переписать в виде
(а + b + с)!/а! Ь! с!. Это „триномиальный коэффициент" который
возникает в „триномиальной теореме":
а+Ь+с=п
/а + Ь + с\ /b + cN
V b + c А с
а+Ь+с=п
Таким образом, (^) (™) — это на самом деле триномиальный ко-
коэффициент в другом обличий. Время от времени триномиальные
коэффициенты возникают в приложениях, и их обычно записы-
записывают как
i + b + c\ _ (a + b + c)!
а, Ь, с у а!Ь!с! '
чтобы подчеркнуть наличие симметрии.
Обобщением биномиальных и триномиальных коэффициен-
коэффициентов служат мультиномиальные коэффициенты, которые все-
всегда выражаются в виде произведения биномиальных коэффици-
коэффициентов:
= L
СИ
си,а2,.. .,ат,
ai!a2! ... ат!
а2
а2
ат_1
Истинно так.
„Excogitavi
autem olim
mirabilem regulam
pro numeris
coefficientibus
potestatum, поп
tantum a binomio
x + y, sed et a
trinomio x + y + z,
imo a polynomio
quocunque, ut data
potentia gradus
cujuscunque v.
gr. decimi, et
potentia in ejus
valore comprehensa,
ut *Vz2,
possim statim
assignare numerum
coefficientem, quem
habere debet, sine
ulla Tabula jam
calculata"
-Г. Лейбниц [187]
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 195
Таблица 195 Суммы произведений биномиальных коэффици-
коэффициентов.
Y(
4- V
(r)(
(r+s)
целые та,п. E.22)
S
п+к
1-т+пГ
_l]k_(_ni+m
целое I
целые та,п.
' E-23)
s—та\ целое
п—I) ' целые та,п.
1 E-24)
-m-1
целые
^
п /
целые 1,та ^ 0,
целые п ^ q ^ 0.
E-a6)
Загните уголок
этой странички,
чтобы потом бы-
быстренько найти
данную табли-
таблицу. Она вам еще
пригодится!
А потому, при встрече с подобным страшилищем, нам поможет
наше испытанное оружие.
Вот мы и добрались до табл. 195, в которой перечислены наи-
наиболее важные из числа испытанных нами тождеств. Это те то-
тождества, на которые мы опираемся в противоборстве с суммой,
включающей в себя произведение двух биномиальных коэффици-
коэффициентов. Каждое из этих тождеств представляет собой сумму по к
с одним к в каждом биномиальном коэффициенте; помимо это-
этого, в нее входит по четыре почти не зависящих друг от друга
параметра, обозначаемых через m, n, r и т. д.,—-по одному на ме-
месте каждого индекса. В зависимости от того, входит или нет к в
верхний или нижний индекс, а также от того, с каким знаком он
входит, мы имеем дело с разными случаями. А в некоторых слу-
случаях имеется и дополнительный множитель (—1)к, необходимый
для того, чтобы сумма вычислялась в замкнутой форме.
Таблица 195 слишком уж сложна для запоминания; она пред-
предназначена только для справок. Однако первое тождество из этой
таблицы запоминается гораздо легче остальных и его не следует
забывать. Оно устанавливает, что сумма (по всем целым к) про-
произведения двух биномиальных коэффициентов, в которых верх-
верхние индексы постоянны порознь, а нижние индексы постоянны в
сумме при любом к, равна биномиальному коэффициенту, полу-
полученному путем сложения как верхних, так и нижних индексов.
Данное тождество известно как свертка Вандермонда, посколь-
поскольку Александр Вандермонд написал по этому поводу в конце 18-
го века важную статью [45]; однако еще в 1303 г. оно было извест-
известно Чжу Ши-цзе из Китая. Все остальные тождества в табл. 195
можно получить из свертки Вандермонда, аккуратно выполняя
преобразования обращения верхнего индекса, применяя правило
196 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
симметрии и т. п.,—следовательно, свертка Вандермонда являет-
является „самым основным" из всех основных тождеств.
Правило свертки Вандермонда можно доказать, исходя из
замечательной комбинаторной интерпретации. Если заменить к
на к — m, a n на п - т, то можно считать, что m = 0; следова-
следовательно, требуется доказать тождество
целоеп-
E-27)
Пусть г и s — целые неотрицательные числа (общий случай по-
получается посредством полиномиальной аргументации). В правой
части (r^s) —это число способов выбрать п человек из г муж-
мужчин и s женщин. В левой части каждый член суммы — это число
способов выбрать к человек из г мужчин и n—k человек из s жен-
женщин. А суммирование по всем к учитывает каждую возможность
ровно по одному разу.
Как правило, эти тождества применяются слева направо, так
как упрощение идет именно в этом направлении. Но иногда
оправданно движение в обратном направлении, даже если прихо-
приходится временно идти на усложнение. При этом обычно образуется
двойная сумма, в которой можно изменить порядок суммирова-
суммирования и потом упростить.
Перед тем как двинуться дальше, посмотрим, как доказыва-
доказываются еще два тождества из табл. 195. Тождество E-23) доказать
легко: нужно всего лишь заменить первый биномиальный коэф-
коэффициент на (l_Jl_lc), а потом применить свертку Вандермонда
E-22).
Следующее тождество, E-24), несколько сложнее. Путем по-
последовательных преобразований его можно свести к свертке Ван-
Вандермонда, но можно доказать его столь же просто, если прибег-
прибегнуть к старому испытанному методу математической индукции.
Зачастую индукция —это первое, к чему мы прибегаем, если в
голову не приходит ничего другого, но здесь индукция по I под-
подходит как нельзя лучше.
Действительно, при 1 = 0 все члены суммы равны нулю, за
исключением члена с к = —та; так что обе части данного ра-
равенства равны (—1)m(s^m)- А теперь предположим, что данное
тождество справедливо при всех значениях, меньших некоторого
фиксированного I, где I > 0. Можно воспользоваться формулой
сложения для замены (п1+к) на (^J + (mlf~k1_1); тогда первона-
первоначальная сумма распадается на две суммы, каждую из которых
можно вычислить, исходя из предположения
s —
s-m+1
Женоненавистники!
Вы упомянули
мужчин первыми.
5.1 ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 197
А если еще раз применить формулу сложения, то это упрощается
и получается правая часть E-24)-
В этом выводе заслуживают внимания две вещи. Во-первых,
мы вновь убеждаемся в огромном преимуществе суммирования
по всем целым к, а не по к в определенных пределах, посколь-
поскольку не нужно беспокоиться по поводу граничных условий. Во-
вторых, формула сложения чудесно стыкуется с математической
индукцией, поскольку она представляет рекуррентную зависи-
зависимость для биномиальных коэффициентов. Биномиальный коэф-
коэффициент, верхний индекс которого есть I, выражается в виде сум-
суммы двух коэффициентов, верхние индексы которых суть I — 1, а
это именно то, что требуется для предположения индукции.
Пожалуй, хватит о табл. 195. А что можно сказать о сум-
суммах с тремя и более биномиальными коэффициентами? Если ин-
индекс суммирования разбросан по всем коэффициентам, то шан-
шансы отыскать сумму в замкнутой форме невелики: известно лишь
несколько сумм такого рода, которые выражаются в замкнутой
форме, и нужная нам сумма вполне могла не соответствовать
предъявленным требованиям. Одна из таких редкостей, доказан-
доказанная в упр. 43, это сумма
та —
^-V k Д п-к Дт + п
¦Ш-
целые т, n ^ 0.
А вот другой, более симметричный экземпляр:
(-nk
(а + Ъ + с)!
a + b\fb + c\fc + a\, ,л|е
целые а,Ъ,с ^ 0. E.29)
а!Ъ!с! '
У него есть двойник с двумя коэффициентами:
который, между прочим, не фигурирует в табл. 195. Аналогичная
сумма с четырьмя коэффициентами не выражается в замкнутой
форме, зато выражается другая подобная ей сумма:
(a+b+c+d)! (a+b+c)! (a+b+d)! (a+c+d)! (b+c+d)!
Ba+2b+2c+2d)! (a+c)! (b-Fd)! a! b! c! d!
целые a,b,c,d ^ 0.
198 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Это было обнаружено Джоном Дуголом [111] в начале двадцатого
столетия.
Является ли тождество Дугола самой лохматой из известных
сумм биномиальных коэффициентов? Вовсе нет! Чемпионом та-
такого рода до сих пор остается сумма
= 1 an), целые aba2,...,an ^0. E.31)
\аьа2,...,ап/
Это сумма по (п^]) переменным индексам Ц при 1 ^ i < j <
п. Равенство E.29) —всего лишь ее частный случай при п = 3;
в случае п = 4 ее можно переписать следующим образом, если
воспользоваться обозначениями (a,b,c, d) вместо (ai,a2, аз, сц)
и (i,j,k) вместо (к12)к13,к2з):
ж+к/а+ьуа+суь+су a+d V b+d V c+d \
(a + b + c + d)!
= a!b!c!d! '
Левая часть E.31) —это коэффициент при z^z^.-.z^, получаю-
получающийся после полного разложения произведения п{п — 1) дробей
п
"
по положительным и отрицательным степеням z. Предположение
о виде правой части (б-З1) было высказано Фримэном Дайсоном
в 1962 г. и вскоре после этого было доказано сразу несколькими
людьми. В упр. 95 приводится „простое" доказательство (б-З1)-
Заслуживает внимания еще одно тождество, включающее в
себя массу биномиальных коэффициентов:
= ( n )(m_nJ» целые 1,т,п;п^0. E.32)
У данного тождества, доказанного в упр. 83, даже есть шансы
встретиться в практических приложениях. Впрочем, мы уже от-
отклоняемся от нашей темы „основные тождества" так что лучше
остановиться и подвести итог пройденному материалу.
Мы убедились, что биномиальные коэффициенты удовлетво-
удовлетворяют такому разнообразию тождеств, которое способно сбить
5.2 НЕОБХОДИМЫЕ НАВЫКИ 199
Таблица 199 Десять самых главных тождеств с биномиальны-
биномиальными коэффициентами.
\k) k!(n-k)!'
r-1
Л /r-1
k/ \ к
+
Kk/ = w v^~
/ \ / \
kyT~k = (x + y)T,
/r + k\ __ /r-bn+Л
n-Y.) ~ \ n ) '
целые
целое n ^ О,
целое к.
целое к ф 0.
, целое к.
целое к.
целые та, к.
целое г ^ 0,
или \х/у\ < 1.
целое п.
целые
m,n ^ 0.
целое п.
факториальное
представление
свойство
симметрии
внесение/
вынесение
сложение/
разложение
верхнее
обращение
триномиальный
вариант
биномиальная
теорема
суммирование
по обоим индексам
суммирование
по верхнему индексу
свертка
Вандермонда
с толку. К счастью, некоторые из них легко запоминаются, и
мы можем воспользоваться этим обстоятельством для выведения
большинства других всего за несколько шагов. В табл. 199 сведе-
сведены десять наиболее полезных формул. Это именно те тождества,
которые следует хорошенько запомнить.
5.2 НЕОБХОДИМЫЕ НАВЫКИ
В предыдущем разделе мы вывели кучу тождеств, мани-
манипулируя с одними суммами и подключая другие тождества. Их
вывод не составлял особого труда — мы знали, что намерены до-
доказать, так что можно было без особых хлопот сформулировать
200 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
общий план и наполнить его конкретным содержанием. Одна-
Однако в „реальной действительности" мы обычно сталкиваемся не
с необходимостью доказать некоторое тождество — сталкиваемся
с необходимостью упростить некоторую сумму. К тому же мы
не знаем, как могла бы выглядеть сумма в упрощенной форме
(и существует ли таковая вообще). Разобравшись с множеством
подобных сумм в этом и следующем разделах, отшлифуем свое
мастерство в обращении с биномиальными коэффициентами.
Для начала испытаем свои силы на нескольких суммах, со-
содержащих по одному биномиальному коэффициенту.
Задача 1: сумма отношений
Нам хотелось бы выразить в замкнутой форме сумму
целые п ^ та ^ 0.
1с=0
С первого взгляда эта сумма вызывает замешательство, посколь-
поскольку нам еще не приходилось иметь дело с какими-либо тождества-
тождествами, которые бы содержали отношения биномиальных коэффици-
коэффициентов. (Более того, данная сумма содержит два биномиальных ко-
коэффициента, что вроде бы противоречит утверждению, предше-
предшествующему этой задаче.) Однако точно так же, как мы использо-
использовали факториальные представления, для того чтобы переписать
одно произведение биномиальных коэффициентов в виде друго-
другого произведения —именно так было получено тождество E.21),—
так же можно поступить и с их отношением. На самом деле мы
можем избежать факториальных представлений, положив г = п
и разделив обе части равенства E-21) на (?) (^), что дает
Таким образом, мы заменяем отношение слева на отношение спра-
справа, и сумма приобретает вид
Отношение по-прежнему остается, но биномиальный коэффици-
коэффициент в знаменателе уже не содержит индекса суммирования к, так
что его можно удалить из суммы. (Мы его восстановим потом.)
Можно также упростить граничные условия, суммируя по
всем k ^ 0: при к > та члены суммы равны нулю. Оставшая-
Оставшаяся сумма уже не столь страшна:
п-к
та —к
Она аналогична сумме из тождества E-9)» и^о индекс к присут-
присутствует в двух местах с одним и тем же знаком. Но здесь он —к,
Алгоритм
самообучения:
1 прочитать
задачу
2 попытаться
решить
3 пробежать гла-
глазами решение в
книге
4 if попытка не-
неудачна goto 1
else goto следую-
следующая задача
К сожалению, этот
алгоритм может
привести вас к
зацикливанию.
Предлагаемые
„заплаты":
0 set с <- 0
За set с <— с 4-1
ЗЬ if с = N
Roto ваш
преподаватель
— Э.Дейкстра
... Но этот раз-
раздел называется
НЕОБХОДИМЫЕ
навыки.
5.2 НЕОБХОДИМЫЕ НАВЫКИ 201
а в E-9) —наоборот. Поэтому следующий шаг напрашивается сам
собой —только так и надо действовать:
Z(n-k\ = у- /n-(m-k)\
Vm-k/ ~ ^- \т-(т-к))
m—к
n — та +
к
= у
Теперь можно воспользоваться формулой суммирования по обо-
обоим индексам (б-9):
/n-m + k\ /(n-m)+m-H
J = l m
И в заключение мы восстанавливаем в качестве знаменателя
тот самый биномиальный коэффициент (?), который ранее был
удален из суммы, и затем применяем соотношение E.7) c полу-
получением суммы в желаемой замкнутой форме:
/п+1\ /Лг\ п+1
\ та // \та/ п+1—та'
На самом деле этот вывод проходит при любом вещественном п,
если только не происходит деления на нуль; т. е. если п не явля-
является одним из целых 0, 1, ..., та — 1.
Чем сложнее вывод, тем важнее проверить результат. И хотя
этот вывод был не слишком сложен, все равно его проверим. При
небольших значениях та = 2 и п = 4 имеем
1 1 5
0/@¦ 0/G) -
что превосходно согласуется с величиной D + 1 )/D + 1 — 2), вы-
вычисленной по нашей замкнутой формуле.
Задача 2: из литературы по методам сортировки
Наша следующая сумма восходит к тем давним временам (к
началу 1970-х гг.), когда люди еще не приобрели навыков свобод-
свободного обращения с биномиальными коэффициентами. Одна ста-
статья, в которой предлагался улучшенный метод слияния [107], за-
заканчивается следующим замечанием: „Можно показать, что сред-
среднее число сэкономленных пересылок данных ... определяется вы-
выражением
т—г—1 ^-т—п—1
Величины та и п определены выше, а символом mCn обозначе-
обозначено число сочетаний из та элементов по п без повторений... Ав-
Автор признателен рецензенту за сведение более сложного выраже-
выражения для среднего числа сэкономленных пересылок к указанному
виду'/
202 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Нам предстоит убедиться, что это далеко не окончательный
ответ к задаче автора статьи — это даже не ответ на коллоквиуме.
Сперва следует превратить эту сумму в то, с чем можно рабо-
работать. Одного только ужасного обозначения m_r-i Cm_n_i доста-
достаточно, чтобы опустились руки у любого, за исключением пол-
полного энтузиазма рецензента (не стоит благодарности). В наших
обозначениях следует записать
Ь,
целые та > n ^ 0.
Биномиальный коэффициент в знаменателе не содержит индекса
суммирования, так что его надо удалить и иметь дело с иной
суммой
А дальше что? Переменная суммирования входит в верхний
индекс биномиального коэффициента, но не входит в нижний.
Так что если бы здесь не было другого Тс, то можно было бы
упростить данную сумму и применить формулу суммирования
по верхнему индексу (б-ю). Но с дополнительным Тс этого сде-
сделать нельзя. Если бы нам удалось каким-либо образом внести
это к под знак биномиального коэффициента, используя одно из
наших правил внесения, то потом можно было бы просуммиро-
просуммировать по верхнему индексу. К сожалению, и те правила здесь не
работают. Но если бы вместо Тс было та — к, то можно было бы
воспользоваться правилом внесения (б-6):
m
/m-k-1\ /m-k\
-к л)= m-n
Так вот где ключ к решению! Перепишем к в виде та— (та —к)
и разобьем сумму S на две:
v- /m-k-l\ v-
2_ Ч 1 = 2_
?г0 \m-n-1J ?г0
А /т-к-1
= 2_ т 1
(т ~ т -
1
m-n-i
/т-1с-1\
т~к 1
- Vm-k\
- \m-nj
= mA- (m-n)B,
где
Пожалуйста, не
напоминайте мне о
коллоквиуме!
5.2 НЕОБХОДИМЫЕ НАВЫКИ 203
Оставшиеся суммы Л и В — это не что иное, как наши старые
знакомые, в которых верхний индекс изменяется, в то время как
нижний остается неизменным. Начнем с суммы В, ибо она вы-
выглядит попроще. Для того чтобы привести общий член данной
суммы к виду левой части (б-ю), достаточно ее немножко пре-
преобразовать:
та — п
Ha последнем шаге в сумму включаются члены cO^k<m — n,
которые все равны нулю, поскольку их верхний индекс меньше
нижнего. Теперь, используя (б-ю), просуммируем по верхнему
индексу и получим
2- lm-Ti.) "" 2-
" ™_±^™ W-n) ~ J-^ \т-п) '
Другая сумма Л почти такая же, за тем исключением, что в
ней та заменено на та — 1. Отсюда получается выражение в зам-
замкнутой форме для суммы S, которое можно еще несколько упро-
упростить:
S = таЛ — (та — n)B = та( ) — (та — n)
- та-п)
та
А это дает нам выражение в замкнутой форме для исходной сум-
суммы:
п /та
nj та —n+I Vm~n// Vn
n
та —n+ 1
Даже рецензент не смог бы это упростить.
Для проверки результата опять воспользуемся небольшими
величинами. Если та = 4 и п = 2, то
что согласуется с полученной по нашей формуле величиной
2/D-2+1).
БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Задача 3: из одного старого домашнего задания
Поупражняемся еще с одной суммой, содержащей один-един-
один-единственный биномиальный коэффициент. Данная сумма, в отличие
от предыдущей, родилась в университетских стенах: это было
одно из домашних заданий. Предлагалось вычислить величину
Q юооооО) если
Qn=L
(-1 )к
целое п ? 0.
Эта задача потруднее других: ни одно из тождеств, которые
встречались до сих пор, применить нельзя. К тому же мы имеем
дело с суммой из 21000000 членов, так что их нельзя просто взять и
сложить. Переменная суммирования к фигурирует в обоих индек-
индексах — верхнем и нижнем, но с разными знаками. Обращение верх-
верхнего индекса также не помогает —оно удаляет множитель (—1)к,
но вводит 2к в верхний индекс.
Как известно, если ничего хорошего не получается, то лучше
всего рассмотреть крайние случаи —даже если не удастся обна-
обнаружить какую-нибудь закономерность и доказать ее по индук-
индукции, то, по крайней мере, у нас будет кое-какая информация для
проверки результата. Вот все ненулевые члены и их суммы для
первых четырех значений п:
n
0
1
2
3
Co)
0 - (\)
(o) ~ (i) -
(S) - @ -
Kl)-
=
=
=
© + 0 =
1
1 -1
1-3 +
1-7 +
1
15-
Qn
= 1
= 0
= -1
10 + 1 = 0
За следующий случай п = 4 лучше и не приниматься — слишком
велика опасность совершить арифметическую ошибку. (Вычисле-
(Вычисление членов суммы типа A42) и (У) порознь, не объединяя их с
другими, оправданно лишь в безвыходной ситуации.)
Итак, значения Qn начинаются с чисел 1, 0, —1, 0. Даже если
бы нам были известны один или два следующих члена, выра-
выражение Qn в замкнутой форме все равно бы не просматривалось.
Вот если бы была возможность найти и подтвердить рекуррент-
рекуррентное соотношение для Qn, тогда у нас, вероятно, появилась бы
возможность угадать и убедиться в правильности его решения в
замкнутой форме. А для того чтобы найти рекуррентность, не-
необходимо связать Qn с Qn-i (или с Qn-k при иных к), но для
этого необходимо связать член типа A2^13), который получает-
получается при п = 7 и к = 13, с членами типа F4^13). Это не сулит
ничего хорошего: нам не известны сколько-нибудь удовлетвори-
удовлетворительные соотношения между элементами треугольника Паскаля,
Умрут ли когда-
нибуАЬ старые
домашние задания?
5.2 НЕОБХОДИМЫЕ НАВЫКИ 205
О коварство
преподавателя,
составлявшего ту
контрольную!
отделенными друг от друга 64 рядами. Формула сложения — наш
основной инструмент при доказательствах по индукции— связы-
связывает элементы, которые отделены друг от друга только одним
рядом.
И тем не менее, именно это обстоятельство подводит к решаю-
решающему наблюдению: на самом деле нет необходимости иметь дело
с элементами, отделенными друг от друга 2П~1 рядами. Перемен-
Переменная п никогда не фигурирует сама по себе, а всегда в связи с 2П.
Так что 2П — случай только для отвода глаз! Если заменить 2П
на та, то все, что нам нужно сделать,—это отыскать замкнутое
выражение для более общей (но более простой ) суммы
= L
целое m ^ 0;
тем самым мы получим замкнутое выражение и для Qn = R2".
А надежда получить рекуррентность для последовательности Rm
возлагается на формулу сложения.
Значения Rm при малых m можно получить из табл. 180, если
поочередно сложить и вычесть те величины, которые простира-
простираются по диагонали с юго-запада на северо-восток. Вот они:
m
Rm
0
i
1
1
2
0
3
-1
4
-1
5
0
6
1
7
1
8
0
9
-1
10
-1
Судя по всему, дальше будет уйма сокращений.
А теперь обратимся к формуле для Rm и посмотрим, опреде-
определяется ли оно рекуррентно. Наш замысел состоит в применении
формулы сложения E.8) и нахождении сумм, имеющих вид R^ в
окончательном выражении — нечто вроде того, что проделывали
в методе приведения из гл. 2!
^rr,_-> \
k^m-
m - 2 - k'
k
-1
m-1
(-1)
m-1
= Rm-1 — Rm-2 •
БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
(На предпоследнем шаге мы воспользовались формулой (J) =
(—1)т, которая, как мы знаем, верна при та ^ 0.) А сам вывод
справедлив при та ^ 2.
С помощью этой рекуррентности можно быстро получать зна-
значения Rm и столь же быстро убедиться, что получающаяся после-
последовательность периодична. Действительно,
1
1
о
-1
-1
о
если та mod 6 =
Доказательство по индукции есть простая проверка. Но если тре-
требуется дать более высоконаучное доказательство, то можно раз-
развернуть данную рекуррентность на один шаг, получая
Это знает всякий,
кто выполнил раз-
миночное упр. 4.
когда та ^ 3. Следовательно, Rm = Rm_6, когда та ^ 6.
И, наконец, поскольку Qn = R2% можно установить Qn, опре-
определяя 2n mod 6 и используя замкнутое выражение для Rm. Если
п = 0, то 2° mod 6 = 1, а продолжая умножать на 2 (mod 6),
получаем повторения чисел 2 и 4. Таким образом,
{Ri = 1, если п = 0,
R2 = 0, если п > 0 нечетно,
R4 = —1, если п > 0 четно.
Это замкнутое выражение для Qn согласуется с теми первыми че-
четырьмя значениями, которые мы вычислили, начав решать дан-
данную задачу. Отсюда следует вывод, что Qioooooo = R4 = — 1.
Задача. 4: сумма с двумя
биномиальными коэффициентами
Наше следующее задание — найти замкнутое выражение для
суммы
целые та > n ^ 0.
к=0
Минуточку. А где же второй биномиальный коэффициент, обе-
обещанный в названии этой задачи? И зачем нужно упрощать сумму,
которую мы уже упрощали? (Ведь это сумма S из задачи 2.)
Ну, это сумма, упростить которую проще, если рассматривать
ее общий член как произведение двух биномиальных коэффи-
коэффициентов, а затем воспользоваться одним из основных тождеств,
5.2 НЕОБХОДИМЫЕ НАВЫКИ 207
„Прибегая к специ-
специализации, мы ста-
стараемся выделить
отдельную часть
задачи; прибегая
к обобщению, мы
пытаемся объеди-
объединить результаты,
полученные при
решении отдель-
отдельных задач"
-Д.Пойа[240*]
составляющих табл. 195. Второй биномиальный коэффициент ма-
материализуется, если переписать Тс в виде (^):
к=0
Тем тождеством, которым нужно воспользоваться, является то-
тождество (б-2б), поскольку в нем переменная суммирования вхо-
входит в оба верхних индекса, причем с разными знаками.
Однако наша сумма еще не совсем в нужном виде. Если нужно
полное соответствие формуле (б-2б), то верхним пределом сумми-
суммирования должно быть та — 1. Нет проблем: при п < Тс ^ та — 1 все
члены суммы равны нулю, так что можно произвести подстанов-
подстановку (I, m, n, q) <- (т - 1, т - п - 1,1,0) и ответом будет
S =
та
та —
Это аккуратнее по сравнению с ранее полученной формулой. А
воспользовавшись правилом (б-7)> ЭТУ формулу можно превра-
превратить в выведенную ранее:
( m ) = и ( m ).
\m — n + 1 / та — n + 1 \та — nj
Аналогичным образом можно получить интересные результа-
результаты путем подстановки определенных значений в другие извест-
известные нам тождества. Подставим, например, m = n = I nq = 0
в (б-2б). Тогда данное тождество принимает вид
..-.*-
Здесь левая часть есть l((l+l )l/2) -A2+22H hi2), что дает нам
еще один „фирменный" способ решения задачи о сумме квадратов,
которую мы до смерти замучили в гл. 2.
Мораль сей басни такова. Специальные случаи самых важных
сумм лучше всего сводить к общему виду. Изучив суммы в общем
виде, имеет смысл рассмотреть их простые специализации.
Задача 5: сумма с тремя сомножителями
А вот другая сумма, с которой неплохо разобраться. Жела-
Желательно упростить сумму
Тс, целое n ^ 0.
Переменная суммирования Тс встречается в обоих нижних индек-
индексах с одним и тем же знаком, так что тождество E-23) из табл. 195
весьма похоже на то, в чем мы нуждаемся. После небольших ма-
манипуляций, мы должны бы суметь им воспользоваться.
208 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Самое существенное различие между E-23) и тем, чем распо-
располагаем мы, это наличие дополнительного к в нашей сумме. Но
это к можно внести в один из биномиальных коэффициентов,
если воспользоваться одним из правил внесения:
к =
Нас не волнует, что когда исчезает к, то вылезает s, поскольку это
константа. Теперь пришло время воспользоваться соотношением
E.23) и получить сумму в замкнутой форме:
Если бы на первом шаге мы предпочли внести к в коэффициент
(?), а не в (?), то тем самым лишились бы возможности восполь-
воспользоваться тождеством E-23) непосредственно, ибо величина п — 1
могла бы оказаться отрицательной: данное тождество требует на-
наличия неотрицательной величины по крайней мере в одном из
верхних индексов.
Задача 6: сумма со многими трудностями
Следующая сумма выглядит более вызывающе. Требуется вы-
выразить в замкнутой форме сумму
'2k\(-1)k
Одним из наглядных показателей степени трудности той или
иной суммы служит число вхождений в нее переменной сумми-
суммирования. Но здесь этот показатель повергает нас в глубокий тра-
траур—индекс к встречается в шести местах! Более того, решаю-
решающий шаг, который оправдал себя в предыдущей задаче — внесение
чего-нибудь, находящегося за скобками биномиальных коэффи-
коэффициентов, в один из них,—в данном случае себя не оправдывает.
Если внести к+1, то вместо него все равно явится другое к. И де-
дело не только в этом: индекс к входит дважды с коэффициентом 2
в биномиальные коэффициенты. А мультипликативные постоян-
постоянные, как правило, удалять труднее, чем аддитивные.
И тем не менее, на этот раз нам повезло: переменные 2к нахо-
находятся именно там, где требуется, для того чтобы, воспользовав-
воспользовавшись тождеством E-2i), получить
i + k\/2k\
+1
%.
k+1
Две двойки исчезают, а с ними и одно к. Итак, одно к пропало,
пять — осталось.
Л может, похо-
похороним эту сумму
шесть раз?
5.2 НЕОБХОДИМЫЕ НАВЫКИ 209
Минуточку, яду-
маю, пора делать
ставки.
Из всех оставшихся затруднений наибольшее неудобство при-
причиняет к+1 в знаменателе, но теперь эту величину можно внести
в биномиальный коэффициент (?), используя тождество
(-I)"
к+1
п + ;
к
k+l/n+1
(Напомним, что n ^ 0.) Два к пропало, четыре —осталось.
Есть два перспективных варианта удаления еще одного к:
можно воспользоваться симметрией коэффициента (n?k) или же
обратить верхний индекс п + к, тем самым удалив к, а заодно и
множитель (—1 )к. Рассмотрим обе возможности, начав с варианта
с симметрией:
п +
= п + 1 4-
п
п+1
к+1
Три к пропало, три —осталось, и у нас появляется возможность
добиться большего успеха, подключив к делу E-24)- Заменяя
(I, та, n, s) на (п + 1,1, п, п), получаем
n
_
Как нуль? И это после такой работы? Давайте-ка проверим это
при п = 2: QOJ - Ш1 + 0BI = 1 - f + f = 0. В самом
деле нуль.
Просто ради интереса испробуем другой возможный вари-
вариант — с обращением верхнего индекса (n?k):
+
Дк+1
п~])(п+]
А теперь воспользуемся тождеством E.23) с заменой (I, та, n, s)
(n + l,l,0,-n-1):
т~т ^1
n+1
-п-1\ /п + 1
к JU+1
1
n+1 Vn
Подождите-ка! Это нуль при п > 0, но при п = 0 это единица.
А ведь при другом подходе к решению данная сумма равнялась
нулю во всех случаях! В чем же дело? На самом деле искомая
210 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
сумма оказывается равной 1 при п = 0, так что правильное реше-
решение 1[п = 0]\ Мы, должно быть, сделали ошибку в предыдущем
выводе.
Теперь быстренько переиграем этот вывод при п = 0 с тем,
чтобы понять, где впервые возникает подобное расхождение. Ну
да — мы попались в старую ловушку, упоминавшуюся ранее: опро-
опрометчиво воспользовались симметрией, в то время как верхний ин-
индекс мог быть отрицательным! Мы не имели права заменять (n?k)
на (n^k), когда к пробегает целые числа, поскольку это превра-
превращает нулевую величину в ненулевую при к < —п. (Простите нас
за это.)
Другой множитель в данной сумме, (?*]), оказывается рав-
равным нулю при к < —п, кроме п = 0 и к = — 1. Вот почему до-
допущенная нами ошибка не была выявлена при проверке случая
п = 2. В упр. 6 объясняется, как следовало поступить.
Задача 7: новое затруднение
Эта задача еще труднее: надо вычислить в замкнутой форме
сумму
'2k\(-l)k
, целые m, n > 0.
Если бы та было равным 0, то получили бы сумму из задачи, с
которой только что покончили. Но это не так, и мы оказываемся
в затруднительном положении — ничего из того, что использова-
использовалось в задаче б, здесь не годится (особенно решающий первый
шаг.)
Однако если бы удалось каким-то образом избавиться от та,
то можно было бы воспользоваться только что полученным ре-
результатом. Так что наш план действий таков: заменить (^^J
суммой членов вида (l+kk) при некотором целом неотрицатель-
неотрицательном I; тогда общий член суммы будет выглядеть как общий член
суммы из задачи б, и можно изменить порядок суммирования.
Но чем же заменить (^+kk) ? Скрупулезный перебор выведен-
выведенных ранее в этой главе тождеств выявляет только одну подхо-
подходящую кандидатуру, а именно равенство (б-2б) из табл. 195. При
этом один из способов воспользоваться им состоит в замене пара-
параметров (I, та, n, q, к) соответственно на (п + к — 1, 2к, m — 1,0,)):
?(.
2к\ (-1
к +
n
Тс— 1 —j
2k
(п + к - 1
. V 2к
2к\ (-1
к+1
2к\ (-
к
к+1
Попробуйте бинар-
бинарный поиск:
вначале пере-
переиграйте формулу
в середине, чтобы
выяснить, раньше
или позже была
допущена ошибка.
к^О
5.2 НЕОБХОДИМЫЕ НАВЫКИ 211
На последнем шаге мы изменили порядок суммирования, мани-
манипулируя граничными условиями под знаками YL в соответствии
с правилами из гл. 2.
Мы не можем просто так заменить полученную внутреннюю
сумму на результат решения задачи б, поскольку в ней имеется
дополнительное условие k ^ j — п + 1. Но данное дополнительное
условие не является излишним, только если j — п + 1 > 0, т. е.
если j ^ п. А если j ^ п, то первый биномиальный коэффициент
внутренней суммы равен нулю, ибо верхний индекс изменяется
от 0 до к — 1 и, таким образом, строго меньше нижнего индек-
индекса 2к. Следовательно, на внешнюю сумму может быть наложено
дополнительное ограничение j < n, не оказывающее влияния на
то, какие ненулевые члены в нее включены. Тем самым ограниче-
ограничение k ^ j — п+1 становится излишним, и можно воспользоваться
решением задачи 6. Полученная двойная сумма распадается на
две суммы:
k-1-j\/2k\(-1)k
2к Дк,/к+1
k-i-A/2kV-i)k
2к
- L
Внутренняя сумма обращается в нуль при всех j, кроме j = п —
1, так что в качестве ответа мы получаем простое выражение в
замкнутой форме.
Задача 8: еще одно затруднение
Расширим задачу б по-другому, рассмотрев сумму
2к
Если т = 0, снова получаем сумму, с которой имели дело рань-
раньше, но теперь та появляется в другом месте. И хотя эта задача
немного труднее, чем задача 7, мы (к счастью) уже гораздо луч-
лучше освоились с нахождением решений. Начать можно так же, как
и в задаче 6:
= т(п+к)(п)
*-\ к А к /
Теперь (как и в задаче 7), попробуем разложить ту часть, которая
зависит от та, на члены, с которыми мы знаем, как обращаться.
Когда та равнялось нулю, мы вносили к + 1 в (?); при та > О
можно проделать то же самое, если разложить 1 /(Тс -h 1 + та) на
212 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
допускающие такое внесение члены. Удача по-прежнему сопут-
сопутствует нам: в задаче 1 было получено подходящее тождество:
т\ /Л" _ г+1 целое т ^ 0, , ч
JbOx)JW "r+1-m' r?{0,1,...,m-1}. 18-33)
Замена г на —к — 2 дает желаемое разложение
Sm =
^ " ]^ )
А теперь, как и планировалось, величину (k+ I )-1 можно внести
в (?). В сущности, она могла быть внесена ив (~ Г )~]. Два ва-
варианта внесения наводят на мысль, что за кулисами могло спря-
спрятаться даже большее упрощение. Так оно и есть: представление
всего, что входит в наш новый общий член в виде факториалов и
возвращение к биномиальным коэффициентам дает выражение,
которое можно просуммировать по к:
m! n! v
Sm = ¦:———ТТп j!LS~^V ( _i_ I _i_ * ) Они полагают, что
[vn-f- -+- j. .^o \ n + +)/ мы проверим это
п + 1 + j\f-n - 1 ^ на клочке бУмаж
+ j + 1 /
m!n! ST, 1мУт + п+ЛЛ
(m + n+1)! ^v ; \n + ]+)J\n
А согласно E.24), сумма по всем целым j равна нулю. Следова-
Следовательно, —Sm это сумма по j < 0.
Для вычисления —Sm по j < 0 заменим j на —к — 1 и просум-
просуммируем по к ^ 0:
m!n!
(m + n+1)!
m!n! т— , u/m + n+Л/k-n-1
(m + n + 1)!^ ' V К Л п
m!-
* A n
im + n+lj
m!n! ^— . ,,t/m + n +1\/2n —
(m + n + 1)! ^^ ¦' у ic y^ n
Наконец, применяем E.25) и получаем ответ:
с ( 1 \п
Ът — [—4 ~
(m + n + 1)!
5.3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ 213
Ну и ну — это надо бы проверить! При п = 2 находим, что
1 6 6 m(m-l)
Sm -
m-
2)(m
Наш вывод требует, чтобы m было целым, однако полученный
результат справедлив при вещественных та, поскольку
(та + 1 )n+1 Sm — это многочлен относительно m степени < п.
На самом деле
это следова-
следовало бы назвать
приемом 1/2".
5.3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ
Теперь рассмотрим три технических приема, представля-
представляющих собой существенное развитие методов, изученных ранее.
Прием 1: выполовинивание
Многие из наших тождеств включают в себя произвольное ве-
вещественное число т. Если же г имеет специальный вид типа „целое
минус половина", то биномиальный коэффициент (?) может быть
записан в виде совершенно непохожего произведения биномиаль-
биномиальных коэффициентов. Это приводит к новому семейству тождеств,
с которыми можно обращаться с поразительной легкостью.
Один из способов понять, как это делается,—начать с форму-
формулы удвоения:
целое k ^ 0.
E-34)
Это соотношение становится очевидным, если разложить убыва-
убывающие степени и расположить в левой части множители в череду-
чередующемся порядке:
_ Bт)Bт-1)...Bт-2к+1)
2-2-...-2
Теперь можно разделить обе части на к!2, получая
("Л (ч — 1/2\ f2r\ /2к\ /7V
, , U L, L /22к, целое к.
Если положить к = г = п, где п — целое, то это дает
!п , целое п.
п
п
E-35)
E-36)
А обращение верхнего индекса доставляет еще одну полезную
формулу:
E-37)
214 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Так, при п = 4 получаем ... половшим.
'-1/2\ = (-1/2) (-3/2) (-5/2) (-7/2)
) 4!
1-2-3-4
_ /-П4 ЬЗ-5-7-2-4-6-8 _ /-1\4 /8\
V 4 / 1.2-3-4-1-2-3-4 ~ V 4 ) \4J '
Обратите внимание, как мы заменили произведение нечетных чи-
чисел на факториал.
Тождество (б-Зб) приводит к занятному следствию. Положим
г = \п и возьмем сумму по всем целым к. Тогда, согласно E-23),
получим следующий результат:
^°> E-38)
поскольку либо п/2, либо (п— 1 )/2 равно \ri/2\ —целому неотри-
неотрицательному числу!
Можно также воспользоваться сверткой Вандермонда E-27) и
получить формулу
Подстановка значений из E-37) Аает
- ЬТ f2k\ Пп - 2k
4n ^ k Д n - к
что в сумме равно (—1)п. Следовательно, установлено замеча-
замечательно свойство „средних" элементов треугольника Паскаля:
ЛкДп-к) (Б-39)
Например, @°) C6) + (?) (J) + Q (?) + C6) @°) = 1 -20+2.6+6.2+20.1 =
64=43.
Эти иллюстрации к нашему первому приему показывают, что
имеет смысл попробовать заменить биномиальные коэффициен-
коэффициенты вида B^) на биномиальные коэффициенты вида (п~^2), где
п —некоторое подходящее целое число (обычно 0, 1 или к): полу-
получающаяся формула может оказаться гораздо проще.
5.3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ 215
Прием 2: разности высших порядков
Ранее мы убедились в том, что частичные суммы ряда с об-
общим членом (?) (—1 )к вычислить можно, а ряда с общим членом
(?) — нельзя. Оказывается, что существует много важных прило-
приложений биномиальных коэффициентов с чередованием знаков —
коэффициентов (?)(—1)к. Одна из причин этого заключается в
том, что подобные коэффициенты тесно связаны с разностным
оператором А, определенным в разд. 2.6.
Разность Af функции f в точке х есть
Af(x) =f(x + l)-f(x);
если же применить оператор А еще раз, то получим вторую раз-
разность:
A2f(x)=Af(x+1)-Af(x)
-2f(x+1)+f(x),
которая подобна второй производной. Действуя аналогичным
образом, получим
A3 f (х) = f (х + 3) - 3f (х + 2) + 3f (х + 1) - f (х),
A4 f (х) = f (х + 4) - 4f (х + 3) + 6f (х + 2) - 4f (х + 1) + f (х),
и т. д. В эти формулы биномиальные коэффициенты входят с че-
чередующимися знаками.
В общем случае n-я разность есть
An f (х) = Y_ Q) H )n"kf (* + k) - Челое n ^ °- E-40)
Данная формула легко доказывается по индукции, однако имеет-
имеется красивый способ ее прямого доказательства с использованием
элементарной теории операторов. Вспомним, что в разд. 2.6 опе-
оператор сдвига Е определялся по правилу
Ef(x) =f(x+1);
следовательно, оператор А есть Е — 1, где 1 — тождественный опе-
оператор, определяемый по правилу 1f(x) = f(x). По биномиальной
теореме
Это равенство, элементами которого являются операторы, экви-
эквивалентно E-4°)> поскольку Ек — это оператор, который переводит
f(x)Bf(x + k).
Интересный и важный случай возникает при рассмотрении от-
отрицательных убывающих степеней. Пусть f (х) = (х — 1)— = 1/х.
216 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Тогда по правилу B.45) имеем Af(x) = (—1)(х - 1)—, A2f(x) =
(—1)(—2)(х — 1)—, а в общем случае
п!
Итак, равенство E4°) указывает, что
-1)k n!
х + k ()
-1
Например,
1 4
х х+1 х + 2 х + 3 х + 4
4!
х(х+1)(х + 2)(х + 3)(
Сумма в E41) представляет собой разложение п!/(х(х + 1)...
(х + п)) на элементарные дроби.
Важные результаты могут быть также получены из рассмо-
рассмотрения положительных убывающих степеней. Если f(x)—неко-
f(x)—некоторый многочлен степени d, то разность Af (х) — это некоторый
многочлен степени d— 1; следовательно, величина Adf(x) —это
константа, и An f (х) =0 при n > d. Этот исключительно важный
факт упрощает многие формулы.
Более детальное рассмотрение дает дополнительную инфор-
информацию. Пусть
f (х) = adxd + ad-ixd~1 + • • • + aix1 + aox°
— некоторый многочлен степени d. В гл. б мы увидим, что обыч-
обычные степени могут быть выражены в виде сумм убывающих сте-
степеней (скажем, х2 = х- + х-); следовательно, существуют коэф-
коэффициенты bd, bd-i, ..., bi, bo, такие, что
f(x) = bdx^- + bd_ix^l+.-- + bix1 + box^.
(Оказывается, что bd = ad и bo = cio, но находящиеся между
ними коэффициенты связаны более сложным образом.) Пусть
ск = к! Ь)с при 0 ^ к ^ d. Тогда
таким образом, любой многочлен может быть представлен в виде
суммы величин, кратных биномиальным коэффициентам. Подоб-
Подобное разложение называется рядом Ньютона для f (х) в силу того,
что оно широко использовалось Исааком Ньютоном.
5.3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ 217
Ранее в этой главе мы отмечали, что из формулы сложения
вытекает формула
Поэтому п-я разность ряда Ньютона очень просто определяется
по индукции:
Бели теперь подставить х = 0, то все члены С1<(к*п) в правой
части обращаются в нуль, за исключением члена с к — п = 0;
следовательно,
Anf^ _ j cn, еслип^ d,
, если n > d.
Поэтому рядом Ньютона для f (х) является
Например, предположим, что f (х) = х3. Легко вычислить, что
f @) = 0, fA) = 1, f B) = 8, f C) = 27;
Af(O) = l, AfA)=7, AfB) = 19;
A2f@) = 6, A2fA) = 12;
Д3 f @) = 6.
Таким образом, в этом случае ряд Ньютона имеет вид х3 = 6(j) +
«КЗ+ iG)+o(S).
Используя E.4°) с х — 0| можно переписать формулу An f @) =
сп следуюпщм образом:
ь
+ ci ( V | + с2( *
целое n ^ 0.
Здесь (со, ci, С2,...) — произвольная последовательность коэффи-
коэффициентов, однако бесконечная сумма Co(q) + Ci (^) + 02B) + • • • на
самом деле является конечной при любом к ^> 0, так что вопрос
о сходимости не стоит. В частности, можно получить важное то-
тождество
kn) - (-1)nn!an,
целое n ^ 0, E42)
ибо многочлен ao + ai k H \- апкп всегда может быть записан в
виде ряда Ньютона со (?) + Ci (\) H h cn (k) ccn=n! an.
218 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Многие суммы, которые на первый взгляд кажутся безнадеж-
безнадежными, в действительности могут быть просуммированы почти
тривиальным образом, если воспользоваться понятием п-х раз-
разностей. Например, рассмотрим соотношение
к
п\ (у - sic
к
(-1)к = sn, целое п ^ 0. E43)
)
Оно выглядит весьма необычно, поскольку совершенно отлично
от всего того, с чем мы встречались до сих пор. Но на самом деле
понять его просто, как только мы обратим внимание на проясня-
проясняющий дело множитель (?) (—1 )к в общем члене, ибо функция
f(k)=- n J-nV
представляет собой многочлен степени п относительно к со стар-
старшим коэффициентом (—1)nsn/n'- Таким образом, E.43) —это не
более чем одно из применений соотношения E.42).
Ряд Ньютона обсуждался в предположении, что f (х) —много-
—многочлен. Но, как мы видели, бесконечный ряд Ньютона
¦ci
также имеет смысл, поскольку подобные суммы всегда конеч-
конечны, если х —целое неотрицательное число. Наш вывод формулы
Anf@) = cn проходит для бесконечной суммы точно так же, как
и для конечной, так что общее соотношение таково:
f (x) = f @) (*\ + Af@) Г*) + A2 f @) (fj + A3 f@) C) + *"" ¦
целое х ^ 0. E44)
Эта формула справедлива для любой функции f (х), которая опре-
определена при целых неотрицательных х. Более того, если правая
часть этого соотношения сходится при других значениях х, то
она определяет некоторую функцию, которая „приближает" f (х) в
некотором естественном смысле. (Существует бесконечное число
способов приближения значений функции, так что нельзя утвер-
утверждать, что соотношение E44) справедливо при всех значениях
х, которые делают бесконечный ряд сходящимся. Так, если поло-
положить f(x) = sinGrx), то f(x) = 0 во всех целых точках, поэтому
правая часть E44) тождественно равна нулю; однако левая часть
отлична от нуля при всех нецелых х.)
Ряд Ньютона является конечно-разностным аналогом ряда
Тейлора из исчисления бесконечно малых. Точно так же, как ряд
Тейлора может быть записан в виде
(Поскольку
и Е*д(а) =
„Постольку, по-
поскольку эти чле-
члены возрастают
очень быстро, их
разности будут
образовывать
расходящуюся
прогрессию, что
препятствует
приближению ор-
ординаты параболы,
поэтому в этом
и подобных ему
случаях я интерпо-
интерполирую логарифмы
данных членов,
разности которых
составляют быстро
сходящийся ряд"
—Дж. Стирлинг
[286]
5.3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ 219
так и ряд Ньютона для f (х) = д(а+х) может быть записан в виде
L+-" • E45)
О!
1!
2!
(Это то же самое, что и (б44)> ибо Anf(O) = An g(a) при любом
п ^ О, если f (x) = g(a + x).) Как ряд Тейлора, так и ряд Ньюто-
Ньютона являются конечными, если g — многочлен или же х = 0; кроме
того, ряд Ньютона конечен, если х — целое положительное число.
В остальных случаях эти суммы могут сходиться или расходить-
расходиться при определенных значениях х. Если ряд Ньютона сходится,
когда х не является целым неотрицательным числом, то он может
в действительности сходиться к величине, отличной от g(a + x),
потому что ряд Ньютона E-45) зависит только от дискретных
значений функции g(a), g(a+ 1), g(a + 2), ....
Один из примеров сходящегося ряда Ньютона доставляет би-
биномиальная теорема. Пусть д(х) = A + z)x, где z— фиксиро-
фиксированное комплексное число, такое, что |z| < 1. Тогда Ад(х) =
A + z)x+1 - A + z)x = zA + z)x, следовательно, An g(x) = znA + z)\
В данном случае бесконечный ряд Ньютона
= d
сходится к „нужной" величине A + z)Q+x при любом х.
Джеймс Стирлинг пытался использовать ряд Ньютона для
распространения факториальной функции на нецелые числа.
Сначала он нашел коэффициенты Sn, такие, что
E46)
является тождеством при х = 0,х = 1,х = 2 и т.д. Однако
он обнаружил, что полученный ряд не сходится, за исключением
случаев, когда х является целым неотрицательным числом. Тогда
он предпринял новую попытку, записав на этот раз
ln*! = L *n Q) =
«2
E47)
Поскольку Д(Inх!) — ln(x+l)!—lnx! = 1п(х+1), то согласно E40)
sn - Andnx!)|x=0
Итак, искомые коэффициенты суть So = si = 0, S2 = In2, S3 =
1пЗ-21п2 = ln|, s4 =1п4-31пЗ + 31п2 = In § и т.д. На этом
220 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
пути Стирлинг получил ряд, который действительно сходится
(хотя он и не доказал этого); на самом деле найденный им ряд
сходится для всех х > — 1. Тем самым он оказался в состоянии
благополучно вычислить \\. Окончание этой истории —в упр. 88.
Прием 3: обращение
Частный случай только что выведенного правила E45) Аля
ряда Ньютона может быть переписан следующим образом:
f (n) =
• E48)
Это соотношение двойственности между f и g называется фор-
формулой обращения — она весьма похожа на формулы обращения
Мёбиуса D-5б) и D-6i), с которыми мы сталкивались в гл.4.
Формулы обращения позволяют разрешать „неявные рекуррент-
рекуррентности" в которых подлежащая определению последовательность
упрятана в сумму.
Так, известной могла бы оказаться функция g(n), а неизвест-
неизвестной—функция f (п), и можно было бы умудриться показать, что
ЯЫ) = Y-k (k)(~1)kf(k). Тогда формула E48) позволяет выра-
выразить f (n) в виде суммы известных величин.
Формулу E48) можно доказать непосредственно, с помощью
основных методов из начала этой главы. Если при любом n ^ 0
справедливо g(n) = ?k (?)(-! )kf(k), то
t)
-)=0] = f(n)
Доказательство в другую сторону, разумеется, такое же, посколь-
поскольку связь между f и g симметрична.
Проиллюстрируем формулу E48), применив ее к „задаче о по-
победе футбольной команды" Группа из п фанатов выигрывающей
футбольной команды на радостях бросает свои шляпы в воздух.
Шляпы возвращаются в случайном порядке — по одной к каждо-
каждому из п болельщиков. Сколько возможностей h(n,k) того, что
ровно к болельщиков получат назад свои собственные шляпы?
Так, если п = 4 и если шляпы и болельщики обозначены бу-
буквами А, В, С, D, то 4! = 24 возможных варианта приземления
(До девятнадцато-
девятнадцатого века доказывать
сходимость не
было принято.)
Обратите:
lzmb ppo\
(А потом загляни-
загляните в словарь.
5.3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ 221
шляп дают следующие количества их законных владельцев:
ABCD 4 BACD 2 CABD 1 DABC О
ABDC 2 BADC О CADB О DACB 1
ACBD 2 BCAD 1 CBAD 2 DBAC 1
ACDB 1 BCDA О CBDA 1 DBCA 2
ADBC 1 BDAC О CDAB О DCAB О
ADCB 2 BDCA 1 CDBA О DCBA О
Следовательно, КD,4) = 1, КD,3)=0, КD,2) = 6, hDfl)=8,
НD,0)=9.
Определить К(п, к) можно, заметив, что это число способов
выбора к счастливых обладателей шляп, а именно (?), помножен-
помноженное на число способов упорядочения оставшихся п — к шляп так,
что ни одна из них не попадает к законному владельцу, а имен-
именно на h{n — к, 0). Перестановка называется беспорядком, если в
ней переставлен каждый предмет, а само число беспорядков из
п предметов иногда обозначается символом 'nj', произносимым
как „п субфакториал'! Таким образом, К(п — к, 0) = (n — k)j, a
общая формула выглядит так:
H(n,k) = Wh(n-k,0) =
(Стандартного обозначения для субфакториала не существует, и
не ясно, насколько удачно наше; тем не менее, пока попробуем
использовать его — там будет видно, понравится ли оно нам. Если
'nj' нас не устроит, то всегда можно прибегнуть к 'Dn' или чему-
нибудь в этом роде.)
Задача оказалась бы решенной, если бы у нас было выраже-
выражение в замкнутой форме для nj, так что посмотрим, как его можно
найти. Поскольку сумма Н(п, к) по всем к —это общее число пе-
перестановок из п шляп, то можно легко получить рекуррентность:
п! =
j, целое n ^ 0. E-49)
(На последнем шаге к заменяется на п — к, а (п™к) —на (?)•)
С помощью этой неявной рекуррентности можно вычислить все
H(n,k), какие пожелаем:
п
0
1
2
3
4
5
6
Н(п,0)
1
0
1
2
9
44
265
Н(п, 1)
1
0
3
8
45
264
h(n,2)
1
0
6
20
135
Мп.З)
1
0
10
40
h(n,4)
1
0
15
h(n,5)
1
0
h(n,6)
1
222 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Вот, например, как можно вычислить строку для п = 4. Два
крайних справа элемента очевидны — имеется только один вари-
вариант того, что все шляпы попадут к своим владельцам, и ни од-
одного варианта того, что только три болельщика получат назад
свои собственные шляпы. (Чью шляпу поймал бы тогда четвер-
четвертый болельщик?) Если к = 2 и к = 1, то можно воспользоваться
нашим уравнением для h(n,k) и получить НD,2) = (^Н^О) =
6-1 = 6, и НD,1) = (*)НC,0) =4-2 = 8. Этим уравнением
нельзя воспользоваться для вычисления НD,0) —вернее, мож-
можно, но тогда получим hD,0) = (q)HD,0), что правильно, но бес-
бесполезно. Перестроившись, можно воспользоваться соотношением
НD,0) +8 + 6 + 0 + 1 =4! с выяснением того, что НD,0) = 9 — это
и есть значение 4j. Аналогичным образом п\ зависит от других
значений kj при к < п.
Но как разрешить рекуррентность типа (б-49)? Ну, это просто:
она имеет вид E48) с g(n) = п! и f (к) = (—1)kkj. Следовательно,
ее решением является
Однако это, на самом деле, еще не решение, а сумма, которую
следует выразить в замкнутой форме, если это возможно. Тем
не менее, это все же лучше, чем рекуррентность. Данную сумму
можно упростить, поскольку к! сокращается с к!, спрятанным в
(?), так что попробуем это сделать:
- Г
к! VO-U-У
Оставшаяся часть суммы быстро сходится к числу Цк>0(—1 )к/к\ =
е. Действительно, остальные члены в сумме дают
(_1)п+1
к>п
к!
п + 1
1-
; (к + п + 1)!
1 1
(п + 2)(п + 3)
где заключенная в скобки величина лежит между 1 и 1 — ^~j —
Щ^. Следовательно, абсолютная величина разности п\ и п!/е рав-
равна приблизительно 1/п — точнее, она лежит между 1/(п + 1) и
1/(п + 2). Но nj —целое число, поэтому оно должно быть равно
числу, которое мы получаем при округлении п!/е до ближайшего
целого при п > 0. Итак, получено искомое решение в замкнутой
форме:
I тх! II ,
П|= 7 + 2 + [П = 01' E-51)
Искусство мате-
математики, как и
жизни, состоит в
том, чтобы узнать,
какие истины
бесполезны.
5.3 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ 223
Бейсбольные бо-
болельщики: .367 —
это также коэф-
коэффициент бэттера
Тая Кобба за всю
его спортивную
карьеру—никем не
превзойденный ре-
рекорд. Неужели это
просто совпадение?
(Подождите-ка,
вы что-то пута-
путаете. Коэффици-
Коэффициент Кобба был
4191/11429 и
366699, тогда как
1/е « .367879.
Вот если бы Уэйд
Воггс провел
несколько по-
настоящему удач-
удачных сезонов... )
Это число вариантов того, что ни один из болельщиков не
получит назад свою собственную шляпу. При большом п более
существенно знать вероятность, с которой это происходит. Если
предположить, что каждый из п! исходов равновероятен — ибо все
шляпы взлетели очень высоко,—то данная вероятность равна
Щ
п!
п!/е
п!
- - .367.
e
Так что когда число п становится большим, вероятность того, что
все шляпы будут перепутаны, составляет почти 37%.
Между прочим, рекуррентность E49) Аля субфакториалов
точно такая же, как и E46) — первая рекуррентность, рассмо-
рассмотренная Стирлингом, когда он пытался обобщить факториаль-
ную функцию. Следовательно, S^ = kj. А эти коэффициенты на-
настолько велики, что неудивительно, что бесконечный ряд E46)
расходится при нецелом х.
Прежде чем покончить с этой задачей, рассмотрим вкратце
две интересные закономерности, которые так и смотрят на нас
из таблицы начальных значений H(n,k). Во-первых, судя по все-
всему, числа 1, 3, 6, 10, 15, ..., расположенные под диагональю из
нулей, являются треугольными числами. Это наблюдение лег-
легко проверяется, поскольку данные элементы таблицы суть числа
h(n,n-2), a
Кроме того, похоже, что числа в первых двух колонках от-
отличаются друг от друга на ±1. Всегда ли это справедливо? Да,
поскольку
Но инверсия—это
источник смога.
h(n,0)-h(nfl)=nj-n(n-1)j
k!
f—I
Другими словами, n\ = n{n — 1)j + (—1 )n. Это гораздо более про-
простая рекуррентность для числа беспорядков, чем та, с которой
мы имели дело раньше.
Теперь применим инверсию к чему-нибудь еще. Если приме-
нить инверсию к формуле
n\(-1)k
x + k
n
n
224 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
которая была выведена нами в E41)» то выяснится, что
-1
Это интересно, но в действительности не ново: если обратить
верхний индекс в (х?к), то мы просто-напросто снова получим
тождество ()
5.4 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Вот мы и добрались до самого важного — понятия произ-
производящей функции. Представляющую для нас интерес бесконеч-
бесконечную последовательность (ао, ai, о.2> • • •) удобно выразить в виде
степенного ряда относительно вспомогательной переменной z,
A(z) = a0
a2z2
= У akz".
E.52)
Использование буквы z для обозначения вспомогательной пере-
переменной объясняется тем, что зачастую под z подразумевается
комплексное число. Теория комплексного переменного традици-
традиционно использует 'z' в своих формулах, а степенные ряды (извест-
(известные также как аналитические или голоморфные функции) зани-
занимают в этой теории одно из центральных мест.
В последующих главах мы будем постоянно сталкиваться с
производящими функциями; в частности, им будет полностью по-
посвящена гл. 7. А пока наша цель состоит всего лишь в том, чтобы
ввести основные понятия и продемонстрировать уместность ис-
использования производящих функций при изучении биномиаль-
биномиальных коэффициентов.
Главное достоинство производящей функции заключается в
том, что одной ею можно представить всю бесконечную последо-
последовательность. Зачастую при решении тех или иных задач можно
сначала обратиться к производящим функциям, а затем изрядно
с ними повозившись и выудив массу информации, вновь вернуть-
вернуться к их коэффициентам. При известной доле везения мы узнаем
о функции достаточно, для того чтобы выяснить все, что нам
требуется знать о ее коэффициентах.
Если A(z) — некоторый степенной ряд Цк>о akzk> то нам будет
удобно записать его в виде
[zn]A(z) = an;
другими словами, [zn] A(z) означает коэффициент при zn в раз-
разложении A(z).
Пусть A(z) — производящая функция для последовательности
(ao, ai, Q2,...) как в (б-52)> и пусть B(z) — производящая функция
„Производящая
функция является
устройством, отча-
отчасти напоминающим
мешок. Вместо
того чтобы нести
отдельно много
предметов, что
могло бы оказаться
за труднительным,
мы собираем их
вместе, и тогда нам
нужно нести лишь
один предмет —
мешок"
-Д. Пойа,
[242, с. 123].
(Добавл. перев.)
(В [155] рассматри-
рассматривается история и
обсуждается поль-
(б-53) за этого понятия.)
5.4 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 225
для другой последовательности (bo, bi, Ъ2,...). Тогда произведе-
произведением A(z)B(z) является степенной ряд
(а0 + <nz + a2z2 + • • • )(b0 + biz + b2z2 + • • •)
= aobo + (aobi + aibo)z + (aob2 + aibi + 2
с коэффициентами при z11
aobn + aibn_i H Ь anbo =
Следовательно, если нужно вычислить сумму, которая имеет об-
общий вид
11
kbn-k , E-54)
и если известны производящие функции A(z) и B(z), то
cn = [zn]A(z)B(z).
Последовательность (сп), определенная по правилу (б-54)> на~
зывается сверткой последовательностей (an) и (bn) — две по-
последовательности „свертываются", образуя суммы произведений
всех тех элементов последовательностей, нижние индексы кото-
которых при сложении дают некоторую определенную величину. Суть
предыдущего абзаца состоит в том, что свертка последовательно-
последовательностей соответствует умножению их производящих функций.
Производящие функции обеспечивают нас действенными сред-
средствами обнаружения и/или подтверждения тождеств. Так, бино-
биномиальная теорема указывает на то, что A + z)r — это производя-
производящая функция для последовательности (Q > @ > G) > • • •):
Аналогично,
Если перемножить эти производящие функции, то получим дру-
другую производящую функцию:
А теперь наступает кульминационный момент: приравнивание ко-
коэффициентов при z11 в обеих частях этого равенства дает
k=0 v"' x ' ч
57)
E-2?)D'2?) и мы переоткрыли правило свертки Вандермонда E-27)-
C.27X2.2?) Так просто и славно — давайте попробуем еще. На этот раз вос-
(i.2?)(o.2?)!. пользуемся выражением A —z)r, которое для последовательности
226 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
((-1 )П (п)) = ((о) > ~~A) > (I) >' * •) является производящей функци-
функцией. Умножение на A + z)r дает другую производящую функцию,
коэффициенты которой нам известны:
Приравнивание коэффициентов при zn приводит теперь к равен-
равенству
f— \kj \n - ky \n/2
k=0 ч 7 ч y x
[п четное].
E-55)
Не мешало бы проверить это на одном-двух простых случаях.
Так, при п = 3 получаем
= 0.
Каждый положительный член сокращается с соответствующим
отрицательным членом. То же самое происходит всякий раз, ко-
когда п — нечетное число; в таком случае данная сумма не предста-
представляет особого интереса. Однако, когда п —четное, скажем п = 2,
получаем нетривиальную сумму, отличную от свертки Вандер-
монда:
0У V2
— г = —г.
Таким образом, при п = 2 равенство E-55) подтверждается как
нельзя лучше. Оказывается, что (б-З0) ~~ это частный случай но-
нового тождества (б-бб)-
Биномиальные коэффициенты появляются также и в некото-
некоторых других производящих функциях — особенно примечательны
следующие важные соотношения, в которых нижний индекс оста-
остается фиксированным, а верхний — изменяется:
целое n ^ 0.
E-56) Если у вас есть
маркер, то эти два
равенства заслужи-
t 7\ вают того, чтобы
Здесь второе соотношение — это всего лишь первое, умноженное
на z11, т.е. „сдвинутое вправо" на п. А первое соотношение — это
всего слегка замаскированный частный случай биномиальной те-
теоремы: если в соответствии с E.13) разложить A — z)~n~\ то ко-
коэффициентом при zk является (~"т]с~1) (—1 )к, который может быть
переписан в виде (k^n) или в виде (u^k) после обращения верх-
верхнего индекса. Эти частные случаи заслуживают явного упомина-
упоминания, поскольку они довольно часто возникают в приложениях.
их выделили.
5.4 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 227
... несчастного При п = 0 получаем частный случай этого частного случая —
случая... геометрический ряд
1 2 3
= 1 + z + zL + z* Л =
Это производящая функция для последовательности A,1,1,...),
и она особенно полезна потому, что свертка любой другой после-
последовательности с данной представляет собой последовательность
сумм: если Ък = 1 при любом к, то (б-54) сводится к
к=0
Поэтому, если A(z) —производящая функция для членов суммы
(do, си, Q2,...), то A(z)/A — z) — производящая функция для их
СУММ (С0,СЬС2,...).
Задачу о беспорядках, связанную с футбольными болельщи-
болельщиками и их шляпами, которую мы решили путем обращения, мож-
можно решить с помощью производящих функций еще одним инте-
интересным способом. Основная в этой задаче рекуррентность
может быть представлена в виде свертки, если выразить (?) через
факториалы и разделить обе части на п!:
i = f-l^Si
Производящая функция для последовательности (<|[> ут> ^ь • • ¦)
есть ez; следовательно, если положить
то данная свертка/рекуррентность указывает на то, что
Разрешая это относительно D(z), получаем
Приравнивание коэффициентов при zn показывает теперь, что
п\ А (-1)к
228 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
а это является той самой формулой, которая была выведена ранее
путем обращения.
До сих пор наши упражнения с производящими функциями
приводили к тонким доказательствам того, что мы и так уме-
умели получать более грубыми методами — мы не получили никаких
новых результатов, за исключением E-55)- Теперь мы намерены
установить нечто новое и даже удивительное. Существуют два
семейства степенных рядов, которые порождают особенно обшир-
обширный класс тождеств с биномиальными коэффициентами. Опреде-
Определим обобщенный биномиальный ряд 23t(z) и обобщенный экс-
экспоненциальный ряд ?t(z) следующим образом:
2t(z) = >~№—77
?t(z) =
77- E-58)
Мы покажем в разд. 7.5, что данные функции удовлетворяют со-
соотношениям
=z.
E-59)
В частном случае t = 0 имеем
B0(z) = 1+z, ?0(z) = ez;
это объясняет, почему ряды с произвольным параметром t назы-
называются „обобщенными" биномиальным и экспоненциальным ря-
рядами.
Следующие пары соотношений справедливы при любом веще-
вещественном г:
k!
4-1
?t(
-zt?t(z
it Z_
k!
(Если tk + r = 0, то нужно проявить некоторую осторожность
относительно того, как интерпретировать коэффициент при
zk — каждый такой коэффициент является многочленом относи-
относительно г. К примеру, постоянным членом ряда Et{z)r является
г@ + г)~1, а это равно 1 даже при г = 0.)
Поскольку уравнения (б-бо) и E-61) справедливы при любом г,
то можно получить весьма общие соотношения, если перемно-
перемножить ряды, которые соответствуют различным степеням гиб.
Обобщенный би-
биномиальный ряА
открыл в 1750 г.
Дж. X. Ламберт
[178, §38/, кото-
который несколькими
годами позже
заметил [179],
что его степени
удовлетворяют
первому тождеству
в E.60). В упр. 84
объясняется, как
из (s-6i) получить
EМ
5.4 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 229
Таблица 229 Общие соотношения свертки, справедливые при
целом n ^ 0.
v Лк+Л/
г\ к )[
к ^к'
'tn - tk + s\ r /tn + г + s\
Чп - tk + s\ r s
ч n-k / tk + r tn - tk + s
/tn + r + s\ r + s
V n ytn + r + s'
r)kftn tk 1 -Vl"k Г S
v ; tk + r tn-tk + s
, ,n r + s
tn + r + s'
E-63)
E-64)
5
Так,
-t + tBtlz)-1
к
/tk + r\ r /t(n - k) + s
7. > I 1 I
Этот степенной ряд должен быть равен
3t(zrs
следовательно, можно приравнять коэффициенты при zn и полу-
получить тождество
/t(n-k) + s\ r /tn + r
) ( n
справедливое при любых вещественных г, s и t. При t = 0 это то-
тождество сводится к свертке Вандермонда. (Если же в этой фор-
формуле tk + r случайно обращается в нуль, то множитель tk + г в
знаменателе следует рассматривать как сокращающийся с tk+r в
числителе биномиального коэффициента. Обе части данного со-
соотношения являются многочленами относительно г, s, и t.) Ана-
Аналогичные соотношения имеют место при умножении Ъх{ъ)т на
23t(z)s и т. д.—их сводка представлена в табл. 229.
230 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Мы уже научены тому, что вообще-то неплохо рассмотреть
частные случаи общих результатов. Например, что случится, если
положить t = 1? Обобщенный биномиальный ряд Si(z) весьма
прост — это всего лишь
1
так что Si (z) ничего не добавляет к тому, что нам уже известно
из свертки Вандермонда. Но ?1 (z) —это важная функция
125
E-66)
которая еще не встречалась,—она удовлетворяет основному соот-
соотношению
?(z) = ez?
E-67)
Эта функция, впервые изученная Эйлером [381] и Эйзенштей-
Эйзенштейном [362], возникает во многих приложениях [401, 229].
Частные случаи t = 2 и t = — 1 обобщенного биномиального
ряда представляют особенный интерес, поскольку их коэффици-
коэффициенты то и дело встречаются в задачах, имеющих рекурсивную
структуру. Поэтому имеет смысл воспроизвести эти ряды непо-
непосредственно — для последующих ссылок на них:
Aral Это итериро-
итерированная степенная
функция
о которой мне дав-
давно хотелось узнать.
ZzZzzz. . .
Степенной ряд
У
23-1 z) =
1+к
2к + 1\ zk
к ) 1 +2к
-к
тоже поучителен.
2z
E-68)
к Л-к
2к-1\ (-z)k _ 1 +V1 +4z
1 -2к ~ 2
к + Л г к
к '^—z *
г - к\ г
¦zk.
E-69)
E-7о)
E-71)
Ъг(гУ
3-iU)r+1
= L(* + r']zk
= L
5.4 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 231
E-72)
r-k
E-73)
Коэффициенты (^тг+т в ^(z) называются числами Катала-
на Сп, по имени Эжена Каталана, написавшего о них основопо-
основополагающую работу в 30-х годах прошлого столетия [127]. После-
Последовательность этих чисел начинается следующим образом:
п
0 12 3 4
8
10
1 1 2 5 14 42 132 429 1430 4862 16796
Коэффициенты в Ъ-\ (z) по существу те же самые, за исключе-
исключением дополнительной 1 в начале и чередования знаков у всех
остальных чисел: A,1,-1,2, —5,14,...). Таким образом, Ъ-\ (z) =
1 + z22(-z) или же Ф_т (z) = Ъг{-г)"\
Завершим этот раздел выводом важного следствия из (б-72)
и (б-73) — соотношения, выявляющего дополнительные связи ме-
между функциями 2_1 (z) и Ъ2[— z):
- (-z)n+1B2(-z)n+1
Данное соотношение справедливо потому, что в случае к > п
коэффициенты при zk в разложении (—z)n+1S2(— z)n+1/>/1 +4z
имеют вид
\n+}
k-n-1
k-n-1
,k/2k-n-1
n-k^
к
V1-+1
232 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Все члены чудненько сокращаются друг с дружкой. Теперь мож-
можно воспользоваться соотношениями (б-68) и (б-бд), чтобы выра-
выразить сумму в замкнутой форме:
_J /Л +УТТл?Уи
TT4iU 2 )
E.74)
(Частный случай z = —1 возникал в задаче 3 из разд. 5.2. По-
Поскольку числа j A ± \f—i ) являются корнями шестой степени из
единицы, то суммы вида ^Гк<тг (Пкк)(~Лк обнаруживают перио-
периодическое поведение, что наблюдалось нами в той задаче.) Анало-
Аналогично можно объединить E-7°) и E-71)) с тем чтобы избавиться
от громоздких коэффициентов, получая
t
k<7\
у
2 ) -
целое п > 0. E-75)
5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
Методы, которые мы применяли к биномиальным коэффи-
коэффициентам, весьма эффективны в тех случаях, когда они работают,
но необходимо иметь в виду, что зачастую они оказываются до-
довольно специфичными — это скорее приемы, нежели методы. За-
Занимаясь какой-нибудь задачей, мы часто движемся к решению
по многим направлениям, а порой можем обнаружить себя дви-
двигающимися по кругу. Биномиальные коэффициенты подобны ха-
хамелеонам, с легкостью изменяющим свою внешность. Поэтому
естественно задаться вопросом: а нет ли какого-нибудь унифици-
унифицирующего принципа, который бы систематизировал сразу все мно-
многообразие методов суммирования биномиальных коэффициентов.
К счастью, ответ положительный. Сей унифицируюпщй принцип
основан на теории определенных бесконечных сумм, называемых
гипергеометрическими рядами.
Начало изучению гипергеометрических рядов было положено
много лет назад Эйлером, Гауссом и Риманом, и до сих пор подоб-
подобные ряды остаются предметом обширных исследований. Однако
гипергеометрическая форма записи выглядит довольно устраша-
устрашающе—требуется некоторое время, чтобы к ней привыкнуть.
Обобщенный гипергеометрический ряд —это степенной ряд
относительно zcm + n параметрами, который выражается че-
„Так как этот ги~
пергеометрический
язык еще отталки-
отталкивает от себя многие
серьезные умы, я
буАУ употреблять
его редко"
—А.Пуанкаре
(Добавл. перев.)
Они еще более
изменчивы, чем
хамелеоны: их
можно расчленить,
а затем сочленить
разными способами.
То, что пережив
века, сохранило
такую страшную
форму записи,
наверняка должно
быть полезным.
5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 233
рез возрастающие факториальные степени следующим образом:
си, ..., am
bi, ..., bn
-• E.Г6)
Чтобы избежать деления на нуль, ни одно из Ъ не может быть
нулем или целым отрицательным числом. В остальном а и b
могут быть какими угодно числами. В качестве альтернативы
двухстрочной форме записи (б-7б) используется также запись
(F(ai,..., am; bi,..., bu; z)', поскольку запись в одну строку ино-
иногда более удобна из типографских соображений. Величины а на-
называются верхними параметрами — они входят в числитель
членов суммы F. Величины b называются нижними параме-
параметрами— они входят в их знаменатель. Последняя величина z
называется аргументом.
В стандартных руководствах для обозначения гипергеометри-
гипергеометрического ряда с та верхними параметрами и п нижними параме-
параметрами вместо Т' часто используется 1т?п'- Однако дополнитель-
дополнительные нижние индексы имеют тенденцию загромождать формулы
и отнимать у нас время, поскольку приходится без конца их пе-
переписывать. Проще подсчитать количество параметров, так что
зачастую нет необходимости в излишней никому не нужной пи-
писанине.
Многие важные функции получаются как частные случаи об-
обобщенной гипергеометрической —вот чем так сильны гипергео-
гипергеометрические функции. Так, простейший случай получается при
га = п = 0: в этом случае параметры вообще отсутствуют, и мы
получаем знакомый ряд
k:>0 K<
На самом деле, когда та или п равны нулю, эта запись выглядит
несколько обескураживающе. Для того чтобы этого избежать,
можно ввести дополнительно верхнюю и нижнюю единицы:
И вообще, данная функция не изменится, если мы удалим пара-
параметр, который входит как в числитель, так и в знаменатель, или
же добавим два одинаковых параметра.
Следующий простейший случай —это та = 1, си = 1 и п = 0,
но мы заменим параметры на та = 2, си = ai = 1, п = 1 и bi = 1,
так, чтобы было п > 0. Этот ряд также оказывается знакомым,
ибо 1* = к!:
1,1
1
z =
k*o '~z
234 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Это наш старый знакомый — геометрический ряд: функция
F(ai,..., am; bi,..., bn; z) названа гипергеометрической потому,
что она включает геометрический ряд FA,1; 1; z) в качестве сво-
своего весьма частного случая.
Важный случай m = 1 и п = 0 в действительности легко
суммируем в замкнутой форме, если использовать (б-5б)'
k
¦ • E-77)
А если заменить а на —а и z на —z, то получаем биномиальный
ряд
-а, 1
1
z =
Целое отрицательное число в качестве верхнего параметра дела-
делает конечным бесконечный ряд, поскольку (—а)к = 0 всякий раз,
когда к>а^0иа — целое.
Важный случай та = 0, п = 1 доставляет другой знаменитый
ряд, хотя он и не столь известен в литературе по дискретной
математике:
1
Функция Ib-i называется модифицированной бесселевой функ-
функцией" порядка b — 1. В частности, при b = 1 получается функция
Т{^ \z) = loBy/z)} которая интересна своим рядом ЦкХJ^/^2-
Специальный случай та = п = 1 носит название „конфлюэнт-
ного" (вырожденного) гипергеометрического ряда и зачастую обо-
обозначается буквой М:
z] =
E-79)
Эта функция, имеющая важные применения в технике, была вве-
введена Эрнстом Куммером.
Некоторых из нас, возможно, беспокоит вопрос, почему до сих
пор не обсуждалась сходимость бесконечного ряда (б-7б)- Дело
в том, что сходимостью можно пренебречь, если рассматривать
z просто как некий формальный символ. Нетрудно убедиться,
что формальные бесконечные суммы вида YLk>n akzk образуют
поле, если их коэффициенты а^ лежат в некотором поле. По-
Подобные формальные суммы можно складывать, вычитать, умно-
умножать, делить, дифференцировать и устраивать их композицию,
не беспокоясь о сходимости: любые соотношения, которые мы вы-
выводим, формально справедливы. Так, гипергеометрический ряд
Так ведь сходи-
сходимость E.56), E.57),
E-58)t ... тоже не
обсуждалась.
5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 235
F^1']»1^) = Цк>о^2'к не сходится при любом отличном от ну-
нуля z —тем не менее в гл. 7 мы увидим, что этот ряд вполне мож-
можно использовать для решения задач. С другой стороны, всякий
раз, когда z заменяется определенным числовым значением, у нас
должна быть уверенность в том, что данная бесконечная сумма
определена надлежащим образом.
Следующим по возрастанию степени сложности является са-
самый знаменитый из всех гипергеометрический ряд. В действи-
действительности он был собственно гипергеометрическим рядом при-
примерно до 1870 г., когда все было обобщено на произвольные та
и п. Этот же ряд имеет два верхних параметра и один нижний:
а,Ь
akbkzk
скк!
E.8о)
„Пожалуй 95%
(если не все 100%)
функций, изучае-
изучаемых в настоящее
время во многих
университетах
студентами-
физиками, инже-
инженерами и даже
математика-
математиками, могут быть
охвачены одним-
единственным
символом
F(a,b;c;x)"
-У.У.Сойер[277]
Его часто называют гауссовым гипергеометрическим, поскольку
многие из его тонких свойств впервые были доказаны Гауссом
в докторской диссертации 1812 г. [68], хотя уже Эйлеру [382] и
Пфаффу [249] были известны некоторые замечательные свойства
этого ряда. Одним из его важных случаев является ряд
= zF
—z
L
к! к! (-z)
к+1)! ~кГ
Заметим, что z lnA + z) представляет собой гипергеометриче-
скую функцию, но сама функция lnA + z) таковой не является,
поскольку величина гипергеометрического ряда всегда равна 1
при z = 0.
До сих пор гипергеометрические ряды фактически ничего нам
не дали, кроме повода для упоминания ряда громких имен. Но
мы увидели, что несколько весьма различных функций могут
рассматриваться как гипергеометрические ряды —вот что будет
основным предметом нашего интереса в дальнейшем. Мы увидим,
что обширный класс сумм может быть записан в виде гипергео-
гипергеометрического ряда некоторым „каноническим" способом — следо-
следовательно, мы будем располагать удобной системой учета фактов
о биномиальных коэффициентах.
Какие же ряды являются гипергеометрическими? На этот во-
вопрос легко ответить, если рассмотреть отношение последователь-
последовательных членов ряда
i,. ..,bn
z =
tic
236 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Первый член — это to = 1, а другие члены определяются отноше-
отношениями
tk+1 _ а1 • • • am &1 • • • Dn i^1 Z
^ Ч-..a^ b^+1 ...b?+1 (k+1)!
¦ai)...(k+am)z
Это рациональная функция по к, т. е. отношение двух многочле-
многочленов относительно к. По основной теореме алгебры любая рацио-
рациональная по к функция может быть разложена на множители над
полем комплексных чисел и приведена к подобному виду. Вели-
Величины а в числителе — противоположны корням одного многочле-
многочлена, а величины b в знаменателе — суть противоположные вели-
величины к корням другого многочлена. Если только в знаменатель
уже не входит отдельный множитель (к + 1), то его можно вве-
ввести как в числитель, так и в знаменатель. Остается постоянный
множитель, который можно обозначить через z. Таким образом,
гипергеометрические ряды —это в точности такие ряды, первым
членом которых является 1, а отношение членов tk+i /tk является
некоторой рациональной функцией от к.
Предположим, например, что бесконечный ряд задан с отно-
отношением членов
k2 + 7k+10
tk
являющимся рациональной по к функцией. Многочлен в числи-
числителе чудно распадается на два множителя (к + 2)(к + 5), а зна-
знаменатель представляет собой произведение 4(к + г/2)(к — г/2).
Поскольку в знаменателе отсутствует необходимый множитель
(к + 1), записываем отношение членов в виде
(к + 2)(к + 5)(к
=
tk (к + г/2)(к-г/2)(к+1) '
и можно считывать результат: заданный ряд —это
Таким образом, установлен общий метод нахождения гипер-
геометрического представления некоторой заданной величины S,
если такое представление возможно. Вначале S записывается в
виде бесконечного ряда, первый член которого отличен от нуля.
Выберем такие обозначения, чтобы это был ряд Цк^о *к с *о ?" 0- (Сейчас самое
Затем вычисляется tk-^i/tk. Если отношение членов не является время размяться
рациональной функцией, нам не повезло. В противном случае вы- УПР- Н-)
разим его в виде E-8i), что дает параметры си, ..., am, bi, ..., bn
и аргумент z, такой, что S = to F(ai,..., am; bi,..., bn; z).
5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 237
Гауссов гипергеометрический ряд может быть записан и в ре-
рекурсивной форме
1 аЬ / а+1Ъ+1 Л а+2Ъ+2 м
= 1 +--z 1 + — — z 1 + — —z 1 +
1 с V 2 с + 1 \ 3 с + 2
если требуется подчеркнуть важность отношения членов.
А теперь попробуем переформулировать гипергеометрически
те тождества с биномиальными коэффициентами, которые были
выведены ранее в этой главе. К примеру, давайте выясним, как
выглядит правило суммирования по диагонали
n
в гипергеометрической записи. Для этого надо записать данную
сумму в виде бесконечного ряда, который начинается с к = О,
поэтому заменим к на п — к:
/r + n-k\ _ ^ (r + n-k)!
fe n-k ; ferl(n-k)! ?/
Формально этот ряд бесконечный, а фактически —конечный, ибо
наличие (п — к)! в знаменателе сделает tk = 0 при к > п. (Позд-
(Позднее мы увидим, что 1/х! определено при любом х и что 1/х! = О
при целом отрицательном х. А пока махнем рукой на подобные
формальности до тех пор, пока не наберемся побольше гипергео-
гипергеометрического опыта.) В данном случае отношение членов имеет
вид
tk+i (r + n-k- l)!r! (n-k)! n-k
tk r! (n-k-1)! (r + n-k)! r + n-k
При этом to = (r^n). Следовательно, интересующее нас правило
суммирования эквивалентно гипергеометрическому тождеству
+ п
п / V—n—r
1] = 'r + n+1
n
Деление обеих частей на (г^п) приводит к несколько более про-
простому варианту:
рЛ.-п
\-n-r
г+1 ' V п
238 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Давайте попробуем еще. В тождестве E-i6),
отношение членов принимает вид
после замены к на та — к
(к-тп)/(т-т+к+1) =
следовательно, (б-1^) выражает в замкнутой форме функцию
1, —та
-та+т+1
В сущности, это совпадает с гипергеометрической функцией в
левой части E-82), но с та вместо п и т + 1 вместо —т. Поэтому
тождество E-i6) могло бы быть выведено из E.82)—гипергео-
E.82)—гипергеометрического варианта соотношения (б-9)- (Не удивительно, что
E.16) оказалось легко доказать, воспользовавшись E-9)-)
Прежде чем двинуться дальше, следует обсудить вырожден-
вырожденные случаи, поскольку гипергеометрические функции не опре-
определены, когда нижний параметр равен нулю или целому отри-
отрицательному числу. Тождество, соответствующее правилу сумми-
суммирования по диагонали, обычно применяется при целых положи-
положительных тип — но тогда —п — т есть целое отрицательное число
и гипергеометрический ряд (б-7б) не определен. Как тогда можно
считать законным тождество E.82)? Ответ в том, что мы можем
перейти к пределу F(_111'Jr^e| l) при е —> 0.
Позднее в этой главе подобные вещи будут рассмотрены бо-
более обстоятельно, а пока просто отдадим себе отчет в том, что
некоторые знаменатели могут быть „взрывоопасны" Интересно,
однако, что самая первая сумма, которую мы пытались выразить
гипергеометрически, оказалась вырожденной.
Возможно, другим больным местом в выводе E.82) является
то, что мы представляли (г*^к) в виде (т + п — к)!/г! (п — к)!.
Подобное представление не проходит при целом отрицательном
г, поскольку (—та)! должно быть равным оо, если следовать пра-
правилу
0! = 0-(-1)-(-2)-...
f—ml!
И вновь для достижения целочисленных значений необходимо
рассматривать предел т + е при е —> 0.
Однако факториальное представление (?) = г!/к! (г—к)! опре-
определено только для целого т. Если же мы хотим эффективно ра-
работать с гипергеометрическими представлениями, то необходима
такая факториальная функция, которая была бы определена при
всех комплексных числах. К счастью, такая функция имеется и
может быть определена несколькими способами. Вот одно из наи-
наиболее подходящих определений z!, точнее, определение 1/z!:
-- = lim
Z\ n—юо
n z,
J
E-83)
Сперва беспо-
беспорядки, теперь
вырождение!
(Сначала мы дока-
доказывали тождества
для целого г и
использовали
полиномиальную
аргументацию,
чтобы показать
их справедливость
в общем случае. А
теперь они доказы-
доказываются сперва для
иррационального г
и используется
предельная аргу-
аргументация, чтобы
показать их спра-
справедливость для
целых чисел!)
5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 239
Как вы записы-
записываете z в сте-
степени w, если
w — комплексно-
сопряженное с w ?
Как z(W).
Понятно, вторая
переменная до-
достигает своего
предела первой.
Вот почему (*)
обращается в
нуль при целом
отрицательном w.
Это значение бес-
бесконечно, когда z —
отрицательное
целое, a w не
является целым.
(См. упр. 21. Эйлер [363, 364, 102] обнаружил это определение,
когда ему было 22 года.) Можно показать, что данный предел
существует при любом комплексном z и что он равен нулю толь-
только тогда, когда z — целое отрицательное число. Другое употреби-
употребительное определение:
ъ\ =
если *Rz > —1.
E-84)
Этот интеграл существует только тогда, когда вещественная
часть больше —1, но можно воспользоваться формулой
z!=z(z-1)!,
E.85)
чтобы распространитьE.84) на все комплексные z (за исключе-
исключением целых отрицательных). Еще одно определение следует из
приближения Стирлинга для lnz! из E47)- Все эти подходы при-
приводят к одной и той же обобщенной факториальной функции.
Имеется весьма похожая функция, называемая гамма-функ-
гамма-функцией, которая связана с обычными факториалами примерно так
же, как возрастающие степени связаны с убывающими степеня-
степенями. В стандартных справочниках факториалы и гамма-функция
часто используются совместно, и при необходимости удобно пе-
переходить от одних к другим, исходя из следующих формул:
E-86)
E-87)
(-z)! Г(г) = -
7t
sin яг
Эти обобщенные факториалы могут быть использованы для
определения обобщенных факториальных степеней, когда z и w —
произвольные комплексные числа:
z- =
z =
z!
Z-'
E.88)
E.89)
Единственная оговорка состоит в том, что необходимо восполь-
воспользоваться соответствующими пределами, если эти формулы дают
оо/оо. (Данные формулы никогда не дают 0/0, поскольку факто-
факториалы и гамма-функции никогда не обращаются в нуль.) Бино-
Биномиальный коэффициент можно представить в виде
= lim lim
О)! (С —
E-90)
где z и w — какие угодно комплексные числа.
Вооружившись такими инструментами, как обобщенные фак-
факториалы, можно вернуться к нашему намерению выявить гипер-
гипергеометрическую сущность выведенных ранее тождеств. Биноми-
Биномиальная теорема (б-13)> как и следовало ожидать, оказывается ни
240 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
чем иным, как суммой (б-77)- Так что следующее наиболее ин-
интересное для испытания соотношение — это свертка Вандермонда
E-27):
n
Здесь к-й член —
т! s!
(т-к)!к! (s-n + k)!(n-k)! '
и больше нет нужды избегать использования в этих выражениях
обобщенных факториалов. Всякий раз, когда tk содержит мно-
множитель типа (ос + к)! со знаком плюс перед к, то в соответствии
с E-85) в отношении tk+i/tk мы получаем (а + к+ 1)!/(а + к)! =
к+ а+1; это дает 'а+1'в соответствующем гипергеометрическом
представлении — в качестве верхнего параметра, если (ot+k)! был
в числителе tk, или же в качестве нижнего параметра в против-
противном случае. Аналогично, множитель типа (а — к)! приводит к
(а — к— 1)!/(а — к)! = (—1)/(к — а); это дает 1—оС в другой сово-
совокупности параметров (с измененными ролями верхнего и нижнего
параметров) и меняет знак аргумента гипергеометрической фун-
функции. Множители типа г!, которые не зависят от к, появляются
в to, но исчезают из отношений. Используя такие уловки, можно
без дальнейших вычислений предсказать, что отношением членов
в E.27) будет
к—т к—п
tk k+lk+s-n+1'
помноженное на (—1 J = 1, и правило свертки Вандермонда при-
приобретает вид
Это равенство может быть использовано для определения
F(a, b; с; z) в общем случае, когда z = 1 и b — целое отрицательное
число.
Перепишем E-91) в такой форме, которая облегчит нам про-
просмотр таблицы в том случае, если потребуется вычислить неко-
некоторую новую сумму. В результате окажется, что
Г(с-а-Ь)Г(с) целое Ь^О
Г(с-а)Пс-ЪI
а,Ь
с
Свертка Вандермонда E-27) охватывает только тот случай, когда
один из верхних параметров, скажем Ь, является целым неполо-
5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 241
Всего несколько
недель тому назад
мы изучали то,
что Гаусс доказал
в детсадовском
возрасте. А теперь
нам дают матери-
материал, выходящий за
рамки его диссер-
диссертации. Нас хотят
деморализовать.
жительным числом, но Гаусс доказал, что (б-92) справедливо и
тогда, когда а, Ь, с — комплексные числа, вещественные части ко-
которых удовлетворяют неравенству 9\с > ?На + 9\Ъ. В остальных
случаях бесконечный ряд F(Qgb|l) не сходится. Если Ъ = — п, то
это соотношение может быть переписано в более удобном виде —
с факториалами вместо гамма-функций:
а, -п
1 =
[с-а)п (а-с)*
целое n ^ 0. (б-93)
Оказывается, что все пять соотношений из табл. 195 представля-
представляют собой частные случаи свертки Вандермонда —все они охваты-
охватываются формулой (б-93)> если уделить должное внимание выро-
вырожденным случаям.
Обратите внимание, что E.82) — это всего лишь частный слу-
случай соотношения (б-93) ПРИ а = 1. Поэтому на самом деле нет
необходимости запоминать соотношение E-82); более того, нам
совсем не нужно тождество E-9)> которое привело нас к E-82),
несмотря на то, что в табл. 199 его предлагалось запомнить. Ма-
Машинная программа для формульных преобразований, столкнув-
столкнувшись с задачей вычисления суммы Yik^n С^)» могла бы преобра-
преобразовать данную сумму в гипергеометрическую форму и подставить
в общее выражение для свертки Вандермонда.
В задаче 1 из разд. 5.2 спрашивалось о величине суммы
к^О ^
Для этой задачи естественно гипергеометрическое представление,
и, немного попрактиковавшись, любой гипергеометр сможет тот-
тотчас же выразить данную сумму в виде FA, —та; — п; 1). Ну да, та
задача была еще одним жалким подражанием Вандермонду!
Точно так же сумма из задачи 2 и из задачи 4 дает функ-
функцию FB,1 — п; 2 — та; 1). (Сначала нужно заменить к на к + 1.) А
„трудная" сумма из задачи б оказывается всего лишь функцией
F(n+1, — п; 2; 1). Так что же, помимо скрытых версий всесильной
свертки Вандермонда и суммировать больше нечего?
Положим, есть — задача 3 уже несколько иная. Она имеет дело
с частным случаем суммы общего вида J^k (Ukk)zk> рассмотрен-
рассмотренной в E-74)> и приводит к выражению в замкнутой форме для
-п
1/2
-г/4 .
Нечто новое было получено также в E-55)> когда мы рассма-
рассматривали коэффициенты функции A — z)rA + z)T:
1—с—2n, —2n
-1 =(-Г
n! (c + n-1)!'
целое n ^ 0.
242 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Будучи обобщенной на комплексные числа, эта формула называ-
называется формулой Куммера:
F[ Q>b
11+b-a
E.94)
(Эрнст Куммер [170] получил ее в 1836 г.)
Интересно сравнить две эти формулы. Заменив с на 1 — 2п— а,
выясняем, что данные результаты согласуются тогда и только
тогда, когда
при целом положительном п. Так, предположим, что п = 3: тогда
должно быть —6!/3! = 1ипх_»_зх!/Bх)!. Нам известно, что (—3)!
и (—6)! равны оо, но мы могли бы предпочесть проигнорировать
это затруднение и сделать вид, что (—3)! = (— 3)(— 4)(— 5)(—6)!,
так что два этих (—6)! сократятся. Однако таким соблазнам не-
нельзя поддаваться, поскольку они приводят к неправильному ре-
решению! Согласно (б-95)> пределом х!/Bх)! при х —* — 3 является
не (-3)(-4)(-5), а -6!/3! = (-4)(-5)(-6).
Правильный способ вычисления предела в (б-95) заключается
в использовании уравнения E.87), которое связывает факториа-
факториалы с отрицательным аргументом и гамма-функции с положитель-
положительным аргументом. Если заменить х на — п —ей положить е —* О,
то применение формулы (б-87) дважды дает
(— п — е)! Г(п+е) s
(-2п-2е)! ГBп + 2е) sin(n + e)rc
Поскольку sin(x + -y) = sin x cos-у + cos x sin-у, то полученное отно-
отношение синусов приводится к виду
co.2nn.m2en (
cos гиг sin en ч '
с помощью методов из гл. 9. Следовательно, согласно E-86),
(-п-е)! ГBп) ппBп-1)!
как и требовалось.
Завершим наш обзор тем, что установим заново все те соот-
соотношения, с которыми мы до сих пор имели дело в этой главе,
облачив их в гипергеометрические одежды. Сумма с тремя би-
биномиальными коэффициентами из (б-29) может быть записана
5.5 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 243
в виде
1-a-2n, 1-b-2n, -2n \
а, Ь )
•— =г= » целое п^О.
n!
Если обобпщть это на комплексные числа, то получится так на-
называемая формула Диксона:
а'ъ'с
1+c-a, 1+c-b
М =
с! (C_a-b)^ '
SRa + тъ < 1 + <Кс/2. E.96)
Одной из наиболее общих формул из числа встречавшихся
нам является сумма E.28) с тремя биномиальными коэффициен-
коэффициентами, которая приводит к тождеству Заалыиютца:
/ а, Ь, -п \ = (с-а)п(с-Ь)п
\с, а+Ь-с-п+1 ) с^с-а-Ь)^
(а-с)^(Ь-с)^ л ,
= (-с)*[а + Ъ-ф* Челоеп^°- E-97)
Эта формула дает при z = 1 величину обобщенного гипергеоме-
гипергеометрического ряда с тремя верхними и двумя нижними параметра-
параметрами при условии, что один из верхних параметров является целым
неположительным числом и что bi + b2 = ai + a2 + аз + 1. (Если
сумма нижних параметров больше суммы верхних параметров не
на 1, а на 2, то при помощи формулы из упр. 25 можно выразить
F(ai, a2, аз; bi, b2; 1) через две гипергеометрические функции, ко-
которые удовлетворяют тождеству Заалыыютца.)
Трудно давшееся нам соотношение из задачи 8 в разд. 5.2 сво-
сводится к
1 _ /х+1, п+1, -п
¦F
1+х V 1,х+2
,-н-1
Да-а..., это всего лишь частный случай при с = 1 соотношения
Заалынютца E-97)» так что можно было бы сберечь массу уси-
усилий, перейдя непосредственно к гипергеометрическому предста-
представлению!
А как насчет задачи 7? Та сверхтрудная сумма дает формулу
/
F
m-n, 1,
которая представляет собой первый случай, когда нам встрети-
встретились три нижних параметра. Так что выглядит это довольно но-
ново. Но на самом деле ничего нового здесь нет: если использовать
244 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
упр. 26, то левая часть может быть заменена на
'п, та—п—1, — А
и вновь получается соотношение Заальшютца.
Что ж, еще один опыт дефляции, но вместе с тем еще один
повод оценить силу гипергеометрических методов.
Соотношения свертки из табл.229 не обладают гипергеоме-
гипергеометрическими эквивалентами, ибо их отношения членов являются
рациональными по к функциями только тогда, когда t — целое.
Равенства E-64) и E-65) не являются гипергеометрическими, да-
даже когда t = 1. Но можно принять во внимание E.62) для случая,
когда t принимает небольшие целочисленные значения:
Г+1, -П-jS,
и =
1 о
2п
п
s + 2n\
V + s + 3n
п
3n
п
Первая из данных формул вновь дает решение задачи 7, если
заменить величины (г, s, п) на A, тп—2п— 1, n—m) соответственно.
И, наконец, „неожиданная" сумма (б-2о) доставляет неожидан-
неожиданное гипергеометрическое соотношение, которое оказывается весь-
весьма поучительным. Рассмотрим это не спеша. Сначала превратим
ее в бесконечную сумму:
L
2 =
та —к
Отношение членов Bта—к)! 2к/та! (та—к)! есть 2(к — та)/(к — 2т),
так что получается гипергеометрическое тождество с z = 2:
BГ)F (-2Г12)= 22m •
целое т
E-98)
Но взгляните на нижний параметр '—2т': целые отрицательные
числа запрещены, так что данное тождество не определено!
Вот самое время тщательно рассмотреть подобные предель-
предельные случаи, как и было обещано ранее, поскольку гипергеометри-
гипергеометрические функции в точках „вырождения" зачастую могут быть вы-
вычислены путем приближения к ним из ближайших „невырожден-
„невырожденных" точек. При этом необходимо проявлять осторожность, так
как если пределы берутся разными способами, то и результаты
могут получиться разные. Вот, к примеру, два предела, которые
(Историческая
справка: исклю-
исключительная умест-
уместность применения
гипергеометри-
гипергеометрических рядов к
тождествам с
биномиальными
коэффициентами
впервые была
отмечена Г. Эндрю-
сом в 1974 г. [384,
разд. 5].)
5.6 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 245
оказываются совершенно разными, если один из верхних параме-
параметров увеличен на е:
-2+е
(-1+e)(-3) | (-1+е)(е)(-3)(-2)
(-1+?)(?)(Ц-?)(-3)(--2)(-1)ч
-Г (_2+?)(_1+?)(?)з» )
-1.
Аналогично, нами определено ("]) = 0 = lim^o (~1|е)> а это не
то же самое, что lime_»o (ij+e) — 1- Чтобы правильно протракто-
вать (б-9^) как предел, следует понимать, что верхний параметр
—m используется для того, чтобы обратить в нуль все члены ряда
Y.k^o BT^-kk)^k ПРИ k > ml это значит, что данному соотношению
надлежит придать следующую более точную формулировку:
С:)
2) = 22т , целое т ? 0. E.99)
Каждый член этого предельного соотношения вполне определен,
так как множитель (—2m)k в знаменателе не обращается в нуль
до тех пор, пока к > 2т. Поэтому этот предел дает именно ту
сумму E.20), с которой мы начали.
5.6 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Теперь должно быть ясно, что база данных известных ги-
гипергеометрических представлений в замкнутой форме служит по-
полезным инструментом для суммирования биномиальных коэф-
коэффициентов. Мы просто приводим некоторую заданную сумму к
ее каноническому гипергеометрическому виду, а затем ищем по
таблице. Если она там есть, прекрасно — решение получено. Если
же нет, ее можно добавить к имеющейся базе данных, если ока-
окажется, что данная сумма выразима в замкнутой форме. Мож-
Можно было бы также включить в таблицу записи, которые гласят,
что „данная сумма вообще не выражается в замкнутой форме"
Например, сумма Jlk^m (k) соответствует гипергеометрической
функции
' ™1 "Ч» целые n^m^O; E.100)
\тг—га+1 /
которая выражается в простой замкнутой форме только тогда,
когда m близко к 0, \п или п.
246 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Но это еще не все, так как гипергеометрические функции под-
подчиняются и своим собственным тождествам. Это означает, что ка-
каждая замкнутая форма для гипергеометрической функции при-
приводит к дополнительным замкнутым формам и дополнительным
записям в базе данных. К примеру, тождества из упр. 25 и 26 пока-
показывают, как преобразовать одну гипергеометрическую функцию
в две другие с похожими, но отличными параметрами. В свою
очередь эти функции могут быть преобразованы вновь.
В 1797 г. И. Ф. Пфафф [249] открыл удивительный закон сим-
симметрии,
1
a,b
—Z
a, c-b
с
который служит примером преобразования другого типа. Это
формальное тождество относительно степенных рядов, если ве-
величина (—z)k/A — z)k+a заменена бесконечным рядом (—z)k x
A + (k+a)z + (k+2+1)z2 H )» полученным при разложении в ряд
левой части (см. упр. 50). Этот закон можно использовать для вы-
вывода новых формул из уже известных тождеств при условии, что
ъф\.
Например, формула Куммера E.94) может быть объединена
с законом симметрии E.101), если параметры выбраны так, что
применимы оба тождества:
-ар/ а, а
\1+Ь-а
a,b
(Ь/2)!
Ь!
(Ь-а
,b/2
E.102)
Теперь можно положить a = —n и перейти от этого равенства к
новому тождеству относительно биномиальных коэффициентов,
которое, быть может, в один прекрасный день нам понадобится:
k -j-k
к!
П\ -\
b!(b/2 + n)! '
К примеру, при п = 3 данное тождество утверждает, что
4 , 4-5 4-5-6
E-юз)
1-3
2D+ Ь)
+ 3
4D + b)E + b) 8D +
(b + 3)(b + 2)(b
Это почти невероятно — но это так при любом Ь. (Кроме случа-
случаев, когда какой-нибудь сомножитель в знаменателе обращается в
нуль.)
На самом деле, ги-
пергеометрическую
базу алчных сле-
следовало бы считать
„базой знаний"
(Истерическое
замечание: если
у вас получается
другой результат,
см. упр. 51.)
5.6 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 247
Забавно, попробуем еще. Может быть, нам удастся найти не-
некоторую формулу, которая и в самом деле удивит наших друзей.
Что нам даст закон симметрии Пфаффа, если применить его к
выражению в несколько странной форме E-99)> гАе z = 2? В этом
случае мы полагаем а = —та, b = 1 ис = —2та + е, получая
—та, 1
е^Го' V— 2та+е
2] = limF
—та, — 2т—1+е
-2т+е
= lim У
р if) L
2k
к!
Bт)*
(-2)k ,
поскольку ни один из предельных членов не близок к нулю. Это
приводит к другой „невероятной" формуле,
k<m
2m+1
2m+1-kl
2m
m
—1/2\ целое
m
E.104)
Например, при т = 3 данная сумма равна
а (~з/2) действительно равно — ^.
Когда мы рассматривали тождества с биномиальными коэф-
коэффициентами и приводили их к гипергеометрическому виду, мы
не придали значения соотношению (б-19)» поскольку это было со-
соотношение между двумя суммами, а не выражение в замкнутой
форме. Однако теперь E.19) можно рассмотреть как соотноше-
соотношение между гипергеометрическими рядами. Если продифферен-
продифференцировать его п раз по у, а затем заменить к на та — п — к, то
получим
у( m+T
n
n
Это приводит к следующему гипергеометрическому преобразова-
преобразованию:
а,-п
с
а,-
целое
248 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Обратите внимание, что при z = 1 это сводится к свертке Ван-
дермонда E-93)-
По-видимому, в дифференцировании что-то есть, если данный
пример сколь-нибудь показателен,— оно оказалось полезным и в
гл. 2 при суммировании х + 2х2 И \- пхп. Посмотрим, что слу-
случится, если продифференцировать обобщенный гипергеометри-
гипергеометрический ряд по z:
dz
аь...,(
z =
= у
§5
ai ...i
bi ...bn
E.106)
Параметры выносятся и увеличиваются на 1.
Дифференцирование может быть использовано также для то-
того, чтобы „отщипнуть" только один из параметров, оставляя в
покое остальные. Для этого используется оператор
.=4,
dz
который действует на функцию путем ее дифференцирования с
последующим умножением на z. Этот оператор дает
ai,...,am
bi,... ,bn
z =
Ь Ь 1
ka^...(
Как вы произноси-
произносите д?
("Гета-с-приветом',
однако в T[jjX'e
она называется
'vartheta'.)
что само по себе не представляет особой ценности. Однако если
умножить F на один из его верхних параметров, скажем, ai и
добавить #F, то получим
bk...b^k!
ai+1, CL2, ..., am
bi, ..., bn
При этом увеличивается на 1 лишь один параметр.
z .
5.6 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 249
Аналогичный фокус проходит и с нижними параметрами, но
в этом случае они уменьшаются на 1, а не увеличиваются:
bi,... ,bn
z =
„Что это вы все
время предлагаете
свои шутки?—
спросила Алиса.—
Эта, например, вам
совсем не удалась"
—Л Кэррол,
[174, с. 153],
(Добавл. перев.)
1-1, b2) ..., bu
Теперь можно объединить все эти операции и сыграть мате-
математическую „шутку", выразив одну и ту же величину двумя раз-
разными способами. А именно,
ь • • • > bn
и
си, ..., a
где F = F(ai,..., am;bi,... ,bn;z). Ho E.106) указывает на то, что
верхняя строчка является производной от нижней. Следователь-
Следовательно, обобщенная гипергеометрическая функция F удовлетворяет
дифференциальному уравнению
D(* + bi-1)...(* + bn-1)F=(« + a1)...(* + am)F, E.107)
где D — это оператор ^.
Это следует подтвердить примером. Подыщем дифференци-
дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет стандартная гипергео-
гипергеометрическая функция с двумя верхними и одним нижним пара-
параметрами F(z) = F(a,b;c;z). В соответствии с E-107) имеем
Что это означает в обычной записи? Ну, (•& + с — 1 )F — это zF; (z) +
(с — 1)F(z), а производная от этой величины дает левую часть,
В правой части имеем
(* + a)(zF/(z)+bF(z))
a(zF'(z)+bF(z))
250 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Приравнивание обеих частей дает
zA-z)F''(z) + (c-z(a + b + 1))F'(z)-abF(z) =0.
E.108)
Это уравнение эквивалентно E-107), записанному в форме про-
произведения.
Обратно, от дифференциального уравнения можно вернуться
к степенному ряду. Допустим, что F(z) = ^rk>oti<zk —степенной
ряд, удовлетворяющий уравнению E.107). Непосредственное вы-
вычисление показывает, что
tk+i = (к+си)...Aс + ат)
следовательно, функцией F(z) будет t0 F(ai,..., am; bi,..., bn; z).
Мы доказали, что гипергеометрический ряд E-7^) — единствен-
единственный формальный степенной ряд, который удовлетворяет диффе-
дифференциальному уравнению E.107) и имеет постоянный член 1.
Было бы здорово, если бы гипергеометрические функции по-
позволяли решать все на свете дифференциальные уравнения, но
это далеко не так. Правая часть уравнения E.107) всегда разла-
разлагается на сумму членов вида a]CzkF^k^(z), где F^k^(z)— k-я произ-
производная DkF(k), а левая часть всегда разлагается на сумму членов
вида C]Czk~1 F^ (z) при к > 0. Так что дифференциальное уравне-
уравнение E-Ю7) всегда имеет специальный вид
] (|3n -
> (z)
- ocoF(z) = 0.
Уравнение E.108) иллюстрирует это в случае п = 2. И обратно,
в упр. 6.13 мы покажем, что любое дифференциальное уравнение
данного вида можно разложить относительно -0-оператора так,
чтобы получить уравнение типа E.107). Таким образом, это диф-
дифференциальные уравнения, решениями которых являются сте-
степенные ряды с рациональными отношениями членов.
Умножение обеих частей уравнения E.107) на z позволяет
обойтись без D-оператора и дает примечательное выражение с
д во всех сомножителях:
д(д + bi - 1)... (¦& + bn - 1 )F=z(« + ai )...(* + am)F. E.109)
Первый сомножитель ¦& = (•&+1 — 1) слева соответствует сомножи-
сомножителю (к+ 1) в отношении членов E-8i), который, в свою очередь,
соответствует к! в знаменателе к-го члена обобщенного гипергео-
гипергеометрического ряда. Все остальные сомножители (•& + bj — 1) соот-
соответствуют сомножителям (k + bj) в знаменателе, которые, в свою
очередь, соответствуют bj^_B E-76). Справа же z соответствует zk,
а (•& + dj) соответствует ak.
Одно из применений подобной дифференциальной теории со-
состоит в нахождении и проверке новых преобразований. Так, легко
Функция
удовлетворяет
dT = z{d-r)T.
Это дает еще одно
доказательство
биномиальной
теоремы.
5.6 ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 251
(Внимание! Мы
не можем не-
непосредственно
использовать со-
соотношение E-ио)
в случае \z\ > 1/2,
если только обе
части соотношения
не многочлены;
см. упр. 53.)
убедиться в том, что обе гипергеометрические функции
F/ 2q,2b
/ а, Ь
4zA-z)
удовлетворяют дифференциальному уравнению
следовательно, должно быть справедливо тождество Гаусса
[68, соотношение 102]
/ 2a,2b
Va+b+^
В частности,
r ( 2a, 2b
a,b
4z(l-z)
*)"'(
a, b
E.110)
E.111)
всякий раз, когда обе бесконечные суммы сходятся. И на самом
деле эти суммы всегда сходятся, за исключением вырожденного
случая, когда a + b + \ есть неположительное целое.
Каждое новое тождество для гипергеометрических функций
влечет за собой новое тождество для биномиальных коэффици-
коэффициентов, и последнее соотношение не является исключением. Рас-
Рассмотрим сумму
n
Ее члены отличны от нуля при 0 ^ k ^ m — n, и, соблюдая,
как и ранее, известную осторожность при переходе к пределу,
эту сумму можно выразить в гипергеометрической форме:
lim
€->0
:ИП
—тгц — п—т— 1+схе
—т+е
Величина ос не влияет на предел, поскольку неположительный
верхний параметр n — vn раньше обрывает данную сумму. Можно
положить ос = 2, с тем чтобы применить E.111). Теперь данный
предел можно вычислить, поскольку правая часть этого соотно-
соотношения представляет собой частный случай (б-92)- Результат мо-
может быть выражен в упрощенном виде
n
n+1\ f-\_
2
/(m + n)/2\ целые , .
= 2 [m + n —четное, 7^ . л E.112)
252 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
как показано в упр. 54. К примеру, если m = 5 и п = 2, то полу-
чаем © (») - Q (»)/2 + ® @/4 - © ®/8 = 10 - 24 + 21 - 7 = 0;
если же та = 4 и п = 2, то обе части равны |.
Кроме того, можно указать случаи, когда соотношение (б-но)
при z — — 1 приводит к суммам биномиальных коэффициентов, но
эти суммы, право, сверхъестественны. Если положить а = \ — j
и b — —п, то получается чудовищная формула
=F
2_1
3 3П
Данные гипергеометрические функции являются невырожденны-
невырожденными многочленами, если пф2 (mod 3), а их параметры подбирают-
подбираются столь искусно, что левую часть выражения можно вычислить
по формуле (б-94)- Поэтому приходим к воистину умопомрачи-
умопомрачительному результату
2п
п
п
целое n ^ 0,
п ф 2 (mod 3).
E-113)
Это самое поразительное тождество с биномиальными коэффи-
коэффициентами из встретившихся нам. Даже начальные случаи тако-
такого соотношения не так просты, чтобы их можно было проверить
вручную. (Оказывается, обе части в действительности дают Ц-
при п = 3.) Разумеется, данное соотношение совершенно беспо-
бесполезно — наверняка оно никогда не возникнет ни в одной практи-
практической задаче.
Таково наше представление о гипергеометрических предста-
представлениях. Мы убедились в том, что гипергеометрические ряды
обеспечивают нас высоконаучным способом обращения с суммами
биномиальных коэффициентов. Масса дополнительной информа-
информации содержится в классической книге Улифреда Н.Бейли [17] и
ее продолжении, написанном Гаспером и Рахманом [66].
5.7 ЧАСТИЧНЫЕ
ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
СУММЫ
Большинство сумм в этой главе вычислялось по всему про-
промежутку изменения индекса k ^ 0, но иногда нам удавалось най-
найти такое выражение в замкнутой форме, которое работало и для
интервала общего вида 0 ^ к < Ь. Так, из (б-1б) известно, что
Е(Дм.'-м
k<m
целое m.
E.114)
Вероятно, един-
единственная поль-
польза тождества
E.113)- проде-
продемонстрировать
существование
абсолютно беспо-
бесполезных тождеств.
А также в обзоре
Ричарда Аски
[10* 33-76].
— Перев.
5.7 ЧАСТИЧНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 253
Изложенное в гл. 2 обеспечивает нас чудесным способом трактов-
трактовки формул, подобных этой. Если f(k) = Ag(k) = g(k + 1) — g(k),
то мы условились писать, что Y. f(k) 6k — g (k) + С и
b k
f (к) 6k = g(k) = g(b) — g(a).
a
Кроме того, если a и b — целые числа и a ^ b, то
к= ? f(k) = g(b)-g(a).
Поэтому тождество E.114) соответствует формуле вычисления
неопределенных сумм
и формуле вычисления разностей
Начав с функции g(k), можно легко вычислить Ag(k) = f (к) —
функцию, суммой которой будет g(k) + С. Но гораздо труднее,
начав с f(k), выяснить ее неопределенную сумму ^f(kNk —
g(k) + С —функция g может вообще не выражаться в замкнутой
форме. Так, по всей видимости, сумма Y. (?) 6к не выражается
в простой форме —иначе мы умели бы вычислять суммы типа
^k^n/з (к)> пеРеА которыми мы беспомощны. Но, может быть,
все же существует простая формула для Y. (k) Skf которую мы
просто еще не придумали; почему мы уверены, что ее нет?
В 1977 г. Р. У. Госпер [79] обнаружил замечательный способ
вычисления неопределенной суммы ]Tf(kNk = g(k) + С, если
только f и g принадлежат обширному классу функций, называе-
называемых гипергеометрическими членами. Обозначим через
F
си, ..., a
m
i\ ... a!i zk
k-й член гипергеометрического ряда F(ai,..., am; bi,..., bn; z).
Будем рассматривать F(ai,..., am; bi,..., bn; z)k как функцию к,
а не как функцию z. Оказывается, что во многих случаях суще-
существуют параметры с, Ai, ..., Am, Bi, ..., Bn и Z, такие, что
i, • • •, а„
ь ..., Am
zl+C
при заданных си, ..., am, bi, ..., bn и z. Будем говорить, что
заданная функция F(ai,..., am; bi,..., bn; z)k суммируема в ги-
гипергеометрических членах, если такие константы с, Ai,..., Ам,
254 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Bi, ..., Bn , Z существуют. Алгоритм Госпера либо находит такие
константы, либо доказывает, что их не существует.
В общем случае мы говорим, что t(k) есть гипергеометриче-
гипергеометрический член, если t(k+ l)/t(k) является рациональной функцией
от к, не равной тождественно нулю. Это значит, по существу, что
t(k) кратно с постоянным множителем члену вида E.115)- (Тут
возникают некоторые технические детали, связанные с нулями,
поскольку мы хотели бы, чтобы t(k) имело смысл для отрица-
отрицательных к, а также когда одно или более из значений в E.115)
нулевое или целое отрицательное. Строго говоря, наиболее общий
гипергеометрический член получится, если умножить E.115) на
ненулевую константу и на некоторую степень 0, а затем сокра-
сократить нули в числителе и знаменателе. Пример в упр. 12 поможет
прояснить это общее правило.)
Предположим, что мы хотим найти Y. f(lc) 61с, где t(k) —гипер-
—гипергеометрический член. Алгоритм Госпера состоит из двух шагов,
каждый из которых достаточно прямолинеен. Шаг 1 состоит в
том, чтобы выразить отношение членов в специальной форме
1) q(k)
t(k)
р(к)
где р, q и г суть многочлены, подчиняющиеся следующему усло-
условию:
(k+a)\q(k) и (к+Р)\т(к)
=> <х— C не целое положительное число. E-и8)
Данное условие легко достижимо: мы начинаем, предваритель-
предварительно положив р(к) = 1, a q(k) и г(к + 1) полагаем равными чи-
числителю и знаменателю значения членов и разлагаем их на ли-
линейные множители. Если, например, t(k) имеет вид E.115), то
начинаем с факторизации q(k) = (k + си)... (к + am)z и г (к) =
(k+bi — 1)... (k+bn — 1 )к. Затем проверяем, не нарушено ли усло-
условие E.118). Если q и г имеют сомножителями (к + ос) и (к+ C),
где a — C = N > 0, то выделяем их из q и г и заменяем р(к) на
-2)...(k+|3 + l). E.119)
Новые р, q и г по-прежнему удовлетворяют E.117)» и эта проце-
процедура повторяется до тех пор, пока не будет выполнено условие
E.118). Вскоре мы поймем, почему E.118) так важно.
Шаг 2 алгоритма Госпера завершает работу — он состоит в на-
нахождении гипергеометрического члена Т(к), такого, что
t(k)=T(k+1)-T(k),
E.120)
если это возможно. Однако совсем не очевидно, как добиться это-
этого; чтобы двигаться дальше, нам нужно развить какую-то тео-
(Делимость много-
многочленов аналогична
делимости це-
целых чисел. Так,
(k + a)\q(k)
означает, что отно-
отношение q(k)/(k +
a) является мно-
многочленом.
Ясно, что
(k + a)\q(k)
тогда и только
тогда, когда
q(-a)=O.j
5.7 ЧАСТИЧНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 255
(В упр. 55 объяс-
объясняется, почему
нам хотелось
бы выполнить
эту загадочную
подстановку)
Теперь я понимаю,
что Госпер пришел
к условию E-ii8),
чтобы это доказа-
доказательство работало.
рию. Госпер, проанализировав множество частных случаев, заме-
заметил, что разумно записать неизвестную функцию Т(к) в виде
Т(к) =
r(k)s(k)t(k)
E-121)
где s(к)—некоторая секретная функция, которую необходимо
каким-то образом раскрыть. Подставляя E-121) в E.120) и при-
применяя E.117), получаем
r(k+ 1)s(k+ 1)t(k+ 1) r(k)s(k)t(k)
q(k)s(k+1)t(k) r(k)s(k)t(k)
p{k)
t(k) =
так что мы должны иметь:
p(k)=q(k)s(k+1)-r(k)s(k). E.122)
Если мы сумеем найти функцию s(k), удовлетворяющую этой ре-
рекуррентности, то, тем самым, мы найдем и сумму Y. t(k) 6k; если
же нет, то члена Т не существует.
Мы предполагаем, что Т (к) — гипергеометрический член, а это
значит, что Т(к+ 1)/Т(к) является рациональной по к функци-
функцией. Поэтому, согласно E-121) и E.120), функция r(k)s(k)/p(k) =
T(k)/(T(k+ 1) — T(k)) является рациональной по к функцией, а
сама функция s(k) должна быть отношением многочленов:
s(k) =f(k)/g(k).
Но на самом деле можно доказать, что функция s(k) сама явля-
является многочленом. Действительно, если g(k) не константа и если
f (к) и д(к) не имеют общих множителей, положим N равным наи-
наибольшему целому, такому, что как (к+ |3), так и (k+13 + N — 1) вхо-
входят сомножителями в д(к) при некотором комплексном числе |3.
Величина N положительна, поскольку N = 1 всегда удовлетворя-
удовлетворяет данному условию. Уравнение E.122) может быть переписано
как
P(k)g(k+1)g(k) = q(k)f(k+1)g(k)-r(k)g(k4i)f(k),
а если положить к = — C и к = — C — N, то получим
C)=O = q(-C-N)fA-C-N)g(-C-N).
Теперь f(—C) ^ 0 и fA — C — N) ^ 0, потому что f ид не имеют
общих корней. К тому же дA — C) ф 0 и д(—C — N) ф 0, потому
что в противном случае функция д(к) содержала бы сомножитель
(к+C—1) или (k+C+N), вопреки допущению о максимальности N.
Поэтому
r(-|3) = q(-p-N) -0.
Но это противоречит условию E.118). Следовательно, функция
s(k) должна быть многочленом.
256 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Теперь нам осталось найти многочлен s(k), удовлетворяющий
уравнению E.122), если р(к), q(k) и г(к) —заданные многочлены,
или доказать, что такого многочлена не существует. Это легко
сделать, если s(k) имеет какую-либо определенную степень d, так
как можно положить
s(k) = otdkd + ocd^kd~'{ + • • - + <х0 , <xd ф О, E-123)
с неизвестными коэффициентами (схд,..., схо) и подставить дан-
данное выражение в основное рекуррентное соотношение E.122).
Многочлен s(k) будет удовлетворять данной рекуррентности то-
тогда и только тогда, когда все ос удовлетворяют линейным уравне-
уравнениям, получаемым в результате приравнивания коэффициентов
при каждой степени к в E.122).
Но как установить степень s? Оказывается, что в действи-
действительности имеются самое большее две возможности. Уравнение
E.122) может быть переписано в виде
2p(k) =Q(k)(s(k+1) +
где Q(k) = q(k)-r(k) и R(k) = q(k) +т(к). E.124)
Если многочлен s(k) имеет степень d, то сумма s(k+ 1) + s(k) =
2adkd + • • • также имеет степень d, в то время как разность
s(k-j-i) — s(k) = As (к) = dotdkd~] H имеет степень d— 1. (Мож-
(Можно считать, что нулевой многочлен имеет степень — 1.) Обозначим
через deg(p) степень многочлена р. Если deg(Q) ^ deg(R), то сте-
степенью правой части равенства E.124) будет deg(Q)+d, так что мы
должны получить d = deg(p) — deg(Q). С другой стороны, если
deg(Q) < deg(R) = d', то можно записать, что Q(k) = X'kd'~] H
и R(k) = Akd' + • • •, где Л ф 0, а правая часть уравнения E-124)
имеет вид
Ergo, две возможности таковы: либо 2А' + Ad ф 0 и d = deg(p) — Ни слова
deg(R) +1; либо 2А' + Ad = 0 и d > deg(p) -deg(R) +1. Второй слу- в простоте.
чай необходимо проверять только тогда, когда —2А'/А является
некоторым целым числом d, большим чем deg(p) — deg(R) + 1.
Итак, мы располагаем достаточным количеством фактов для
того, чтобы выполнить шаг 2 алгоритма Госпера: попробовав, са-
самое большее, два значения d, мы можем найти s(k), если только
уравнение E-122) имеет полиномиальное решение. Если s(k) су-
существует, то его можно подставить в E-i2i) и получить нашу
функцию Т. Если же нет, то тем самым доказано, что t(k) не
суммируемо в гипергеометрических членах.
Пора привести какой-нибудь пример: попробуем вычислить
частичную сумму E.114)- Методу Госпера должно быть под силу
установить величину
5.7 ЧАСТИЧНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СУММЫ 257
А почему не
т(к) = к + 1 ?
Впрочем, понятно.
при любом фиксированном п, так что мы будем искать сумму
членов
На шаге 1 мы должны представить отношение членов в требуе-
требуемом виде E.117):
t(k+1) (k-n) p(k+1)q(k)
t(k)
р(к)т(к+1)
т.е. мы просто выбираем p(k) = 1, q(k) = k — n и r(k) = k.
Подобный выбор p, q и г удовлетворяет условию E.118), если
только п не является целым отрицательным числом: предполо-
предположим, что п таковым не является.
Теперь переходим к шагу 2. Согласно E.124) нам следует рас-
рассмотреть многочлены Q(k) = — п и R(k) = 2k — п. А поскольку
R имеет степень большую, чем степень Q, то необходимо рассмо-
рассмотреть два случая: либо d = deg(p) — deg(R) + 1, что равно 0, либо
d = — 2Л'/Л, где Л' = — п и Л = 2, так что d = п. Первый слу-
случай предпочтительнее, поскольку он не требует, чтобы п было
целым положительным, так что займемся им в первую очередь;
нам надо будет рассмотреть вторую возможность для d, только
если первый случай не приведет к успеху. Если d = 0, то значение
s(k) есть просто ао и уравнение E.122) сводится к
1 = (к — п)осо — косо •
Следовательно, мы выбираем ао = — 1/п. Это удовлетворяет тре-
требуемым условиям и дает точно тот результат, который мы рас-
рассчитывали подтвердить:
Т(Ю =
r(k)s(k)t(Tc)
П
п
- • (-1)
к
-I)"
если п ф 0.
Если же применить тот же самый метод к вычислению не-
неопределенной суммы Л (?) 6к без (—1)к, то все будет почти тем
же самым, за исключением того, что функция q(k) будет равна
п—к; следовательно, Q(k) = n—2к будет иметь степень большую,
чем степень R(k) = n, и мы придем к заключению, что d имеет
невозможное значение deg(p) — deg(Q) = —1. (Многочлен s{k)
не может иметь отрицательную степень, поскольку он не может
быть нулем.) Значит, функция (?) не суммируема в гипергеоме-
гипергеометрических членах.
258 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Как бы то ни было, раз уж мы избавились от невозможного,
все, что бы ни осталось, обязано быть истинным, каким бы не-
невероятным оно не казалось (по утверждению Ш.Холмса [162]).
Когда мы определяли р, q и г, то решили пренебречь возмож-
возможностью того, что п могло быть целым отрицательным числом. А
что, если это так? Давайте положим п = —N, где N—положи-
N—положительное число. Тогда отношение членов для J^ (?) 6k есть
) q(k)
t(k)
Oc+1)
p(k) т(к
и, согласно E.119), его следует представлять при помощи р(к) =
(к + 1)N~\ q(k) = -1, r(k) = 1. Теперь шаг 2 метода Госпера
советует поискать многочлен s(k) степени d = N — 1 (а вдруг
повезет?). Так, при N = 2 рекуррентность E-122) дает следующее
уравнение, которое нужно решить:
Тсн-1 = -((k+l)ai +<xo)- (кои +оо).
Приравнивание коэффициентов при к и 1 показывает, что
1 = — ос} —ос]] 1 = — ои — <хо — «-о;
следовательно, s(k) = — ^k— \ является решением, а
Может ли это быть желаемой величиной суммы? Да, все получа-
получается: „Превосходно,
Холмс!"
k-1 2k + 1 _ , ^kn. , ^ _ f~2\ „Элементарно,
дорогой Ватсон"
Формулу суммирования можно записать в другом виде, с верх-
верхним пределом
к<тп
m
2 '
целое m ^ 0.
В этом представлении скрыт тот факт, что биномиальный ко-
коэффициент ("j^) суммируем в гипергеометрических членах, ибо
fm/2"| не является гипергеометрическим членом. (См. упр. 12.)
Со знаменателем E-i2i) могут возникнуть затруднения, если
рAс) =0 для некоторого целого к. Упражнение 97 помогает по-
понять, что можно сделать в такой ситуации.
5.8 МЕХАНИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ 259
Заметим, что нет никакой необходимости собирать каталог
А было бы инте- гипергеометрических членов, суммируемых в неопределенном ви-
ресно взглянуть. де, подобный базе данных определенных гипергеометрических
сумм, о которой мы говорили ранее в этой главе,—алгоритм Го-
Госпера дает быстрый и регулярный метод, который работает во
всех суммируемых случаях.
Марко Петковшек [236] нашел замечательный способ обобще-
обобщения алгоритма Госпера на более сложные задачи обращения. А
именно, он показал, как найти все гипергеометрические члены
Т(к), удовлетворяющие рекуррентности 1-го порядка
t(k) = Pl(k)T(k+
+Pl(k)T(k+ 1) +Po(k)T(k), E.125)
если даны гипергеометрический член t(k) и многочлены pi(k),
..., Pl(k), po(k).
А страница 199
исчезла.
5.8 МЕХАНИЧЕСКОЕ
СУММИРОВАНИЕ
Алгоритм Госпера замечателен сам по себе, однако он по-
позволяет найти выражение в замкнутом виде лишь для некоторых
биномиальных сумм из числа встречающихся на практике. Дорон
Зильбергер [120] сумел так расширить алгоритм Госпера, что он
стал еще замечательнее и теперь справляется с куда большим чи-
числом случаев. Используя расширение Зильбергера, мы можем не
только находить частные суммы, но и выполнять суммирование
по всем к, так что у нас появляется альтернатива гипергеометри-
гипергеометрическим методам из разд. 5.5 и 5.6. При этом вычисления, как и
в исходном методе Госпера, могут выполняться на компьютере
почти механически; нам не нужно рассуждать или полагаться на
УДачу.
Основная идея заключается в том, чтобы рассматривать наше
слагаемое как функцию t(n, k) от двух переменных п и к. (В алго-
алгоритме Госпера мы писали просто t(k).) Если неопределенная сум-
сумма t(n,k) по к не выражается в гипергеометрических членах —и
давайте считать, что так оно и есть, исключение составляют лишь
немногие суммы,—то, как заметил Зильбергер, часто удается так
видоизменить t(n,k), чтобы получить иные слагаемые, которые
уже суммируются в неопределенном виде. Например, на практике
часто оказывается, что |3oMt(n,k) + |3i(ri)t(ri-H,k) неопределен-
неопределенно суммируемо по к для подходящих многочленов &оЫ) и |3i (п).
А вычислив сумму по к, мы получаем рекуррентное соотношение
по п, которое и решает нашу задачу.
Чтобы познакомиться с общим подходом, начнем с рассмотре-
рассмотрения простого случая. Предположим, что мы забыли биномиаль-
биномиальную теорему и хотим вычислить ]Гк (?)zk. Как можно было бы
получить ответ, если мы не обладаем даром ясновидения и ника-
никакие догадки не приходят в голову? Ранее в этой главе, например в
задаче 3 из разд. 5.2, мы научились заменять (?) на (п~1) + (^Z-J)
260 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
и с легкостью получать требуемый результат. Но есть и более
систематический путь.
Пусть t(n,k) = (?)zk — суммируемая величина. Алгоритм
Госпера говорит, что мы не можем вычислить частные суммы
22ic<mt(n,k) в гипергеометрических членах для произвольно-
произвольного п, кроме случая z = — 1. Так что вместо этого рассмотрим
более общее слагаемое
t(n,k) = Po(n)t(n,k) + Pi(n)t(n+1,k). E.126)
Попробуем найти значения (Зо(п) и |3i (п), при которых алгоритм
Госпера сработает успешно. Во-первых, мы хотели бы упростить
E.126), применяя соотношение между t(n + 1,k) и t(n,k), с тем
чтобы исключить t(n + 1,k) из выражения. Поскольку
t(n+1,k) _ (n+1)!zk (n-k)!k!
t(n,k) f^
"n+i-k'
имеем
t(n,k)
t(n,k) =p(n,k)-
Wl-k'
где
p(n,k) = (n+i
Теперь применим алгоритм Госпера к t(n, k) с фиксированным п.
Сначала запишем
t(n,k+1) p(n,k+1) q(n,k) r
t(n,k) p(n,k) т(п,к+П' [
как в E.117). Метод Госпера нашел бы такое представление,
начав с p(n,k) = 1, но в расширении Зильбергера лучше на-
начать с p(n,k) = p(n, k) Заметим, что если положить t(n,k) =
t(n,k)/p(n,k) ир(п,к) =p(n,k)/p(n,k), то уравнение E.127) бу-
будет эквивалентно
t(n,k + 1) = p(n,k+1) q(n,k) , R,
t(n,k) p(n,k) T(n,k+D" [Б ]
Таким образом, мы получим р, q и г, удовлетворяющие E.127),
если найдем р, q, г, удовлетворяющие E.128), начав с у[п, к) = 1.
Это облегчает жизнь, поскольку t(n, k) не содержит неизвестных
величин Ро(тг) и Pi (п), которые входят в t(n,k). В нашем случае
t(n, k) = t(n, k)/(n + 1 - к) = n! zk/(n + 1 - к)! к!, так что
t(n,k+1) _ (n+1-k)z
t(n,k) ~ k+1
5.8 МЕХАНИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ 261
Теперь я уже за-
запомнил, почему
г(п,к) неравно
к+1.
Этот способ рас-
рассуждений „для
произвольного п"
обосновывается в
самом конце этого
раздела.
— Перев.
Здесь степень
deg(Q) означает
степень по к; п
считается констан-
константой.
и мы можем взять q (n, к) = (п+1 —k)z и г(п, к) = к. Предполага-
Предполагается, что эти многочлены удовлетворяют E.118). Если же нет, то
мы должны удалить из q иг некоторые множители и включить
соответствующие множители E-И9) в Р(п>к); но это нужно де-
делать, только если величина ос— |3 в E-и8) является целой поло-
положительной константой, не зависящей от п, поскольку мы хотим,
чтобы наши вычисления были справедливы для произвольного
п. (Формулы, которые мы выводим, будут в действительности
справедливы, даже когда п и к —не целые (при использовании
обобщенных факториалов E-&3)-)
Наши начальные q и г удовлетворяют (б-и8) в указанном
смысле, так что можно переводить прямо к шагу 2 в алгоритме
Госпера; мы хотели бы решить уравнение, аналогичное E.122),
с использованием E.127) вместо E.117)- Так что наша задача —
решить
p(n,k) = q(n,k)s(n,k+ 1) -r(n,k)s(n,k)
относительно секретного многочлена
s(n,k) = d d1
+ cxd_i(ri)kd-1 +--- + ot0(n). E.130)
(Коэффициентами s могут быть не константы, а функции от п.)
В нашем случае уравнение E-129) имеет вид
= (n + 1 - k)zs(n, к + 1) - ks(n, к),
и мы рассматриваем его как полиномиальное уравнение по к, где
коэффициенты зависят от п. Как и ранее, находим степень d мно-
многочлена s, рассматривая многочлены Q(n,k) = q(n,k) — r(n,k)
и R(n,k) = q(n,k) +r(n,k). Поскольку deg(Q) = deg(R) = 1
(в предположении z ^ =Ы)> имеем d = deg(p) — deg(Q) = 0 и
s(n,k) = cxo(n) не зависит от к. Наше уравнение превращается в
(n+ I -k)Po(n) + (n+ l)Pi (n) = (n + I -k)zao(n) -kao(n);
приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях к, мы по-
получаем эквивалентную систему уравнений, не содержащую к:
(п + 1)Ро(п) + (п + 1) Pi (п) - (п + 1 )zao(n)= 0,
-Ро(п) +(z+1)ao(n)=O.
Таким образом, мы имеем решение E.129) с
po(n) = z+1, Pi(n) =-1, ao(n) =s(n,k) = 1.
(По случайному совпадению п исчезло.)
Итак, мы установили, пользуясь чисто механическим методом,
что t(n, к) = (z + 1 )t(n, к) — t(n + 1, к) суммируемо в гипергеоме-
гипергеометрических членах. Иными словами,
t(n,k)=T(n,k+l)-T(n,k), (
262 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
где Т(п, к)-—гипергеометрический член относительно к. Чему
равно Т(п,к)? В соответствии с E-121) и E.128) имеем
_, r(n, k)s(n,k)t(n, к) - , ч
Т(п,к) = V, V/ = r(n,k)s(n,k)t(n,k), E-132)
поскольку p(n,k) = 1. (На практике p(n,k) почти всегда оказы-
оказывается равным 1.) Следовательно,
T(n-k) =
И, несомненно, концы с концами сходятся — равенство E-131) вы-
выполняется:
Но в действительности нам не требуется точно знать Т(п,к),
поскольку мы собираемся суммировать t(n,k) по всем целым к.
Все, что нам нужно знать,— это то, что Т(п, к) отлично от нуля
лишь для конечного множества значений к, когда п — произволь-
произвольное заданное неотрицательное целое. Тогда сумма T(n,k+ 1) —
T(n,k) по всем к должна свернуться в 0.
Пусть Sn = Hkt(n,k) = 22k Ck)zk» это сУмма» с которой мы
начинали и теперь готовы вычислить ее, поскольку уже много
знаем о t(n, k). Процедура Госпера—Зильбергера установила, что
?((z+l)t(n,k)-t(n+l,k)) =0.
Но эта сумма равна (z+1)
Sn+i. Следовательно,
Sn+1 = (z+1)Sn.
:t(n,k) — 2Zkt(n+1,k) = (z+1)Sn — На самом деле
E-133)
Ага! Эту рекуррентность мы умеем решать, если нам известно So-
Очевидно, однако, что So = 1. Поэтому мы заключаем, что Sn =
B + 1 )п для всех целых n ^ 0. чтд.
Посмотрим вновь на проделанное вычисление и подытожим
наши действия в такой форме, которую можно будет использо-
использовать и для других слагаемых t(n,k). Алгоритм Госпера—Зиль-
Госпера—Зильбергера записывается следующим образом (считаем, что t(n,k)
дано):
0 Положим I := 0. (Мы будем искать рекуррентность по п по-
порядка I.)
1 Пусть t(n,k) = po(n)t(n,к) + • • • + e>i(n)t(n +1,к), где C0(п),
..., Pi(n) —неизвестные функции. Используя свойства t(n, k),
найдем р(п, к) — линейную комбинацию |3о(тг), ..., (Ытг), ко-
коэффициентами которой являются многочлены от п и_к, та-
такую, что t(n,k) может быть записана в форме p(n,k)t(n,k),
lim T(n,k)=0
k-foo
при \z\ < 1
и произвольном
комплексном п.
Поэтому E-133)
справедливо при
всех п. В частно-
частности, Sn = (z+1)n
когда п —целое
отрицательное
число.
5.8 МЕХАНИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ 263
где t(n, к) является гипергеометрическим членом относитель-
относительно к. Найдем многочлены р(п, к), q(n, к), г(п, к), так чтобы от-
отношение членов t(n,k) выражалось в виде E.128) и при этом
q(n,k) и r(n,k) удовлетворяли условию Госпера E.118). По-
Положим р(п, к) = р(п,к)р(п,к).
2а Положим cIq := deg(q — г), dR := deg(q + г) и
d •= i deg^ " dQ' если dQ ^ d« »
\ deg(p) - dR + 1, если dQ < dR .
2b Если d ^ 0, то определим s(n,k) как в E.130) и рассмотрим
линейные уравнения относительно <хо, ..., ad, (Зо,..., Pi, по-
получаемые приравниванием коэффициентов при степенях к в
основном уравнении E.129). Если эти уравнения имеют реше-
решение, в котором все (Зо, ..., |3i не равны одновременно нулю,
то перейдем к шагу 4. Иначе, если dQ < dR и —1\'/Х есть це-
целое число, большее d (Л — коэффициент при kdR в q + г; Л' —
коэффициент при как-1 в q — г), то положим d := —1K'/X и
повторим шаг 2Ь.
3 (Слагаемое ^(п, к) не суммируемо в гипергеометрических чле-
членах.) Увеличим I на 1 и вернемся к шагу 1.
4 (Успех.) Положим T(n,k) := r{n)k)s{n)k)t(n)k)/'p(n)k). Ал-
Алгоритм нашел, что t(n,k) = Т(п,к+ 1) — Т(п,к).
Позднее мы докажем, что этот алгоритм завершается успешно
для всех t(n, k) из широкого класса выражений, называемых под-
подходящими членами.
Биномиальную теорему можно вывести многими способами,
так что наш первый пример применения алгоритма Госпера--
Зильбергера был скорее поучительным, нежели впечатляющим.
На этот раз попробуем справиться со сверткой Вандермонда.
Смогут ли Госпер с Зильбергером вывести алгоритмически, что
Ик (к) (н-к) JSMeeT простой вид? Алгоритм начинает с I = 0, что,
по сути, есть повторение исходного алгоритма Госпера, т. е. мы
пытаемся проверить, суммируемо ли (?) (n^k) в гипергеометри-
гипергеометрических членах. Тут нас ждет сюрприз: это слагаемое оказывает-
оказывается суммируемым, если a + b — некоторое специальное неотрица-
неотрицательное целое число (см. упр. 94). Однако нас интересуют произ-
произвольные а и Ь, и алгоритм быстро обнаруживает, что в общем
случае неопределенная сумма не является гипергеометрическим
членом. Так что I увеличивается с 0 до 1 и алгоритм теперь про-
пробует t(n,k) = Co(n)t(n,k) + Ci(n)t(n+ 1,k). На следующем ша-
шаге, как в нашем выводе биномиальной теоремы, мы записываем
t(n,k) = p(n,k)t(n,k), где p(n,k) получается путем сокращения
дробей в t(n + 1, k)/t(n, k). В этом случае — мы настоятельно ре-
рекомендуем читателю проверить все наши выкладки на листке бу-
бумаги; они не такие сложные, как кажется,— все происходит почти
так же, как и ранее, но с
t(n,k) = t(n,k)/(n+1 -k) = a!b!/(a-k)!k! (b-n+k)! (n+1 -k)!,
264 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
r(n,k) = (b-n+k)k.
Шаг 2а находит, что deg(q — г) < deg(q+r) и d = deg(p) -
deg(q +r) + 1 =0, так что s(n,k) опять не зависит от к. Основ-
Основное уравнение Госпера E-129) оказывается эквивалентным систе-
системе двух уравнений от трех неизвестных
(п + 1) (Зо(п) + (Ъ - n) Pi (n) - (п + 1)аоо(п) = 0,
-Ро(п) +Pi (n) + (а + b + 1 )ао(п) = 0,
которая имеет решение
Po(n) = a + b-n,
Pi(n) =-n-1, ao(n) =
Мы заключаем, что (a + b —n)t(n,k) —(n+1)t(n + 1,k) суммиру-
суммируемо no k; следовательно, если Sn = ?k (k)(n-k)> то имеет место
рекуррентное соотношение:
a + b-n
Принципиально
важно то, что
метод Госпера—
Зильбергера всегда
приводит к линей-
линейным уравнениям
относительно
неизвестных a
и C, посколь-
поскольку левая часть
E.12Q) линейна
относительно C,
а правая часть —
относительно ос.
(а*Ъ),
поскольку So = 1. Как все замечательно
и, значит, Sn =
получилось!
А что мы сможем сделать с тождеством Заальшютца (б-28),
содержащим три биномиальных коэффициента? Доказательство
E.28) в упр. 43 интересно, конечно, но оно требует некоторого
озарения. Преобразуя искусство в науку, мы стремимся заменить
озарение работой в поте лица; так что давайте посмотрим, в состо-
состоянии ли метод суммирования Госпера—Зильбергера обнаружить
и доказать (б-28) чисто механическим путем. Для удобства сде-
сделаем подстановки m = b + d, n = a, r = a + b + c + d, s = a + b + с,
так чтобы (б-28) приняло более симметричный вид
+ b + c + d + k)!
.-k)!(b-k)!(c + k)!(d + k)!k!
a! b! (a + c)! (a + d)! (b + c)! (b + d)!
E.134)
Чтобы сумма была конечной, будем полагать, что либо а, либо b
неотрицательное целое.
Положим t(n, k) = (n + b + c + d + k)!/(n - к)! (Ь - к)! (с +
k)!(d + k)!k! и?(п,к) = po(n)t(n,k) + Pi(n)t(n + 1,k)- Двигаясь
по проторенной дорожке, положим
p(n,k) = (п+ 1 — k)Po(n) + (тг+1 +b + c + d + k)Pi(n)
t(n к) = t(^k) = (n + b + c + d + k)!
{ ' ' n+1-k (n + 1-k)!(b-k)!(c + k)!(d + k)!k! '
Единственная
немеханическая
часть работы —
выбрать, какой
параметр будет
называться п.
5.8 МЕХАНИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ 265
Обратите внима-
внимание, что Л' не
есть старший
коэффициент Q,
несмотря на то что
Л есть старший
коэффициент R.
Число Л' является
коэффициентом
npnkdeg(Rbl в Q.
Пот течет, а то-
тождество вытекает.
q(n,k) =
т(п,к) =
(c + k)(d + k)k
+ c + d)b<xo(n) =0,
и попытаемся решить E-129) относительно s(n,k). Снова ока-
оказывается, что deg(q - г) < deg(q + г), но на этот раз deg(p) -
deg(q + r) + 1 = — 1, так что тут мы, кажется, застопорились.
Однако шаг 2Ь представляет на выбор для степени s важный
второй вариант d = —2k'/\\ не стоит отказываться от еще од-
одной попытки, так что испытаем сейчас этот выбор. Уже R(n, k) =
q(n,k) + r(n,k) = 2к3 Н , так что Л = 2, тогда как многочлен
Q(n,k) = q(n,k)—r(n,k) каким-то чудом имеет степень 1 относи-
относительно к — коэффициенты при к2 сокращаются! Следовательно,
Л' = 0; метод Госпера позволяет взять d = 0 и s(ny k) = cto(n).
Уравнения, которые нам предстоит решать, выглядят так:
=0;
и мы находим
po(n) = (n + 1 + b + c)(n + 1 + b + d)(n + 1 + b + с + d),
p1 (n) = -(n + 1 )(n + 1 + c)(n + 1 + d),
ao(n) =2n + 2 + b + c + d,
пролив совсем немного пота. Отсюда немедленно вытекает тожде-
тождество E-134)-
Можно получить аналогичное доказательство E-134)> если ра-
работать с n = d вместо п = а. (См. упр. 99.)
Подход Госпера—Зильбергера помогает вычислять не только
неопределенные суммы по всем к, но и определенные суммы по
ограниченному диапазону. Рассмотрим, например, сумму
E.135)
Для z = \ мы получили „неожиданный" результат (б-2о); может
быть для Госпера и Зильбергера здесь нет ничего неожиданного?
Обозначая t(n,k) = (n?k)zk, получаем
p(n,k) = (n + ])Mn) + (n+]+k)fa(n) =p(n,k),
t(n,к) = t(n,k)/(n + 1) = (п + к)! zk/lc! (n + 1)!,
q(n,k) = (n+1+k)z,
r(n,k) = к
и deg(s) = deg(p) — deg(q — г) = 0. Решением уравнения E-129)
будет |3о(п) = 1. Следовательно, мы находим
t(n,k)
=T(n,k+1)-T(n,k),
E.136)
266 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
гдеТ(п,к) = r(n,k)s(n,k)t(n,k)/p(n)k) = (?*k)zk. Теперь можно
просуммировать E-136) для 0 ^ к ^ п + 1, получая
Sn(z) + t(n,n + 1) + (z- 1 )Sn+1 (z) = T(n,n + 2) - T(n,0)
zn+2
Ho t(n,n + 1) = (^V*1 = Bnn+V+\ так что
Sn+1(z) = jl- (sn(z) + A -2z)^2nn+1)z"+1) . E.137)
Сразу ясно, что z = j действительно особый случай, и Sn+i (j) =
2Sn(i). Более того, можно упростить рекуррентное соотноше-
соотношение E«i37)i умножив обе части на суммирующий множитель
A — z)n+1; это приводит к общему тождеству
= 1 + ~ ?_ B.k) (zA - z))k, E.138)
которое мало кто мог ожидать до появления Госпера с Зильберге-
ром. Теперь же производство подобных тождеств — чисто рутин-
рутинная работа.
А вот похожая сумма
(k) EЛ39)
k=0 ^ '
встретившаяся нам в E-74)» Как быть с ней? Полные уверенности,
мы полагаем t(n,k) = (n^k)zk и затем вычисляем
t(n, k) = t(n, k)/(n + 1 - 2k) = (n - k)! zk/k! (n + 1 - 2k)!,
q(n,k) = (n+1-2k)(n-2k)z,
r(n,k) = (n+1 -k)k.
Но увы — уравнение E.129) не решается, если z ф — \, посколь- Sn(—J) равно
ку степень s должна бы быть равной deg(p) — deg(q — г) = — 1. (n+1 )/2n.
Никаких проблем; просто добавим еще один параметр (Ып) и
испытаем t(n, k) = Co(n)t(n,k) + Pi(
) = (n+1-2k)(n + 2-2k)C0(n)
+ 2-k)p2(n)=p(n,k),
5.8 МЕХАНИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ 267
t(n,k) = t(n,k)/(n + 1 -2k)(n + 2-2k)
= (n-k)lzk/kl[n + 2-2k)\,
q(n,k) = (n + 2-2k)(n + 1 -2k)z,
r(n,k) =
Теперь можно взять s(n,k) = Oo(ti) и E-129) имеет решение
Po(n)=z, Эт(п) = 1, Э2(п) = -1, ао(п) = 1
Мы обнаружили, что
) + t(n+l,k)-t(n + 2,k) =T(n,k+1)-T(n,k),
rAeT(n,k)paBHor(n,k)s(n,k)t(n,k)/p(Ti,k) = (n+1-k)kt(n,k) =
(nklTk)zk- Суммирование от к = 0 до к = п дает
= T(n,n+1)-T(nl0).
Но Ц^г11*1 = (?)zn+1 = ТA1,11+ 1) для любого п ? 0, так что
получаем
Sn+2(z) = Sn+i (z) + zSn(z), n ^ 0. EЛ4Р)
Мы будем изучать такие рекуррентности в гл. 6 и 7; методы этих
глав позволяют немедленно перейти от (б-14°) к замкнутой фор-
форме E-74) при условии So(z) = Si (z) = 1.
Еще один, знаменитый пример завершает картину. В 1978 г.
французский ученый Роже Апери решил проблему, которая долго
не поддавалась усилиям математиков, доказав, что число СC) =
1 + 2~3 + 3~3 + 4~3 Н иррационально [8]. Одна из важнейших
частей его работы включает вычисление биномиальной суммы
Рекуррентное соотношение для этой последовательности, которое
он объявил, другие математики в то время не могли проверить.
(С тех пор числа Ап стали известны как числа Апери; имеем
До = 1, Ai = 5, А2 = 73, Аз = 1445, А4 = 33001.) Наконец, Дон
Загиер и Генри Коэн [46] нашли доказательство предположения
Апери, и это их доказательство для одной (но трудной) суммы
стало впоследствии одним из важнейших соображений, привед-
приведших Зильбергера к открытию общего метода, который мы сейчас
обсуждаем.
268 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
Ну вот, мы увидели достаточно примеров, чтобы сумма E-141)
стала почти тривиальной. Полагая t(n, к) = (?J (n+kJ и t(n, к) =
Co(n)t(n,k) + Pi(n)t(n+l,k) + C2(n)t(n+2) к), попытаемся решить
E-129) с
kJp2(n)=p(n,k)>
t(n,k) = t(n,k)/(n + 1-k
= (n + k)!2/k!4(n + 2-k)!2,
q(n,k) = (n+1+kJ(n + 2-kJ,
r(n,k) =lc4.
(To обстоятельство, что q имеет множитель (к + n + 1), а г —
множитель к, можно проигнорировать; это не нарушает E.118),
поскольку мы рассматриваем п как переменную, а не как фик-
фиксированное целое.) Так как q(n, k) — г(п, к) = —2к3 Н , можно
положить deg(s) = ~2\'/Х = 2и возьмем
s(n,k) = <х2(п)к2 + <х1(п)к + <х0(п).
С таким выбором s рекуррентное соотношение E-129) превраща-
превращается в пять уравнений относительно шести неизвестных Ро(п),
Pi(n), (Ытг), схо(п), ai(n), <х2(п). Так, например, приравнивание
коэффициентов при к0 упрощается до уравнения
Ро + Pi + р2 - осо - ат - <х2 = 0;
уравнением для к4 будет
Ро + Pi + P2 + ai + F + вп + 2п2)ос2 = 0.
Три других уравнения более сложны. Но главное здесь то, что эти
линейные уравнения — как и вообще все уравнения, появляющие-
появляющиеся на этой стадии алгоритма Госпера—Зильбергера,— однородны
(их правая часть равна 0). Поэтому они всегда имеют ненулевое
решение, если только число неизвестных превышает число урав-
уравнений. В нашем случае решением оказывается
Ро(п) = (п + 1K,
Р2(п) = (п
ao(n) = -
ai(n) = -12Bn
a2(n) =8Bn + 3).
Следовательно,
(n + 1 Kt(n,k) - Bn
+ (n + 2Kt(n
(Сначала мы
попробовали
обойтись без |3г,
но эта попытка
провалилась.)
n2 + 51n + 39)t(n + 1,k)
=T(n,k+1)-T(n,k),
5.8 МЕХАНИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ 269
„Профессор Литл-
вуд, случись ему
использовать
какое-либо алге-
алгебраическое тожде-
тождество, никогда не
затруднял себя его
доказательством;
он утверждал, что
алгебраическое
тождество, если
оно справедливо,
может быть прове-
проверено в несколько
строк любым
сомневающимся,
который настолько
туп, что нуждается
в этой провер-
проверке. Моя цель на
протяжении сле-
следующих страниц—
опровергнуть это
утверждение"
-Ф.Дайсон[95]
Что произойдет,
если t(n,k) не
зависит от п ?
A(n,k) = k4s(n,k)t(n,k) = Bn+3)(8k2-12k-16(n+1)(n+2)) x
п+к)!2/(к—1 )!4(п+2—к)!2. Суммируя по к, получаем немыслимое
рекуррентное соотношение Апери,
+ 3)A7n2+51n + 39)An+1. E.142)
Неужели метод Госпера—Зильбергера работает со всеми сум-
суммами, которые встретились нам в этой главе? Нет. Он неприме-
неприменим в случае, когда t(n, k) равно (?) (к + 1 )к~* (п - к +1 )п~к~] из
E.65), поскольку отношение членов t(n, k+ 1)/t(n,k) не явля-
является рациональной функцией от к. Он также не справляется со
случаями вроде t(n,k) = (?)nk, поскольку здесь второе отноше-
отношение членов t(n+1, k)/t(n, k) не является рациональной функцией
от к. (Мы можем, однако, получить решение в этом случае, про-
просуммировав (?)zk и затем положив z = п.) И, наконец, этот метод
терпит неудачу для удивительно простого слагаемого, наподобие
t(n,k) = 1/(nk +1), даже несмотря на то, что оба отношения
t(n,k+ 1)/t(n,k) и t(n + 1,k)/t(n,k) — рациональные функции
от п и к; см. упр. 107.
Вместе с тем, алгоритм Госпера—Зильбергера с гарантией
приводит к успеху в огромном числе случаев, а именно, когда
слагаемое t(n, k) является так называемым подходящим членом,
т. е. может быть записано в виде
t(n,k)
'
E-143)
Здесь f(n,к) — многочлены от п и к; коэффициенты си, а{, ...,
ар, a'v, bi, b{, ..., bq, b^ — определенные целочисленные констан-
константы; параметры w и z ненулевые; остальные величины а", ..., а^,
Ь", ..., bq —произвольные комплексные числа. Мы докажем, что
если t(n, k) является подходящим членом, то найдутся такие мно-
многочлены (Зо(тг),...,(Ып),не все равные нулю, и подходящий член
T(n,k), что
Po(n)t(n,k) + -
+ Pi(n)t(n + l,k)
= T(n,k+1)-T(n,k).
E-144)
Следующее доказательство принадлежит Вильфу и Зильбергеру
[54].
Обозначим через N оператор, увеличивающий п на 1, а че-
через К —оператор, увеличивающий к на 1, так что, например,
N2K3t(n, k) = t(n+2, к+3). Мы будем изучать линейные разност-
разностные операторы от N, К и п, а именно операторные многочлены
вида
H(N,K,n) =
E-145)
i=0 j=0
270 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
где каждый коэффициент осу (п) есть многочлен от п. Первое на-
наше наблюдение состоит в том, что, если t(n,к)—произвольный
подходящий член и НAЧ, К, п)— произвольный разностный опе-
оператор, то H(N,К,n)t(n,к)—подходящий член. Допустим, t и Н
задаются, соответственно, равенствами E-143) и (б-145); тогда мы
определим „базовое слагаемое"
t(n,k)u
ПГ=1 (ащ
а{к+
сц")!
wnzk.
Если, например, t(n,k) есть (п~2к) = (п - 2к)!/к! (п - Зк)!, то
базовым слагаемым, соответствующим линейному разностному
оператору степеней I и J, будет t(n,k)ij = (п — 2к — 2J)!/(k +
J)! (n-3k + I)!. Главное то, что aijfnJN^KHfok) равно t(n,k)ij,
умноженному на некоторый многочлен от п и к, если 0 ^ i ^ I
и 0 ^ j ^ J. Конечные суммы многочленов — снова многочлены,
так что H(N,K,n)t(n,k) имеет требуемый вид E-143)-
На следующем шаге нам надо показать, что если -Цп, к) — под-
подходящий член, то всегда найдется такой линейный разностный
оператор H(N,K,n), что
H(N,K,n)t(n,k) =0.
Если O^i^InO^j^J, то сдвинутый член 1Ч{КЧ(п,к) есть
произведение t(n, k)i j и многочлена от п и к, имеющего степень
по к, самое большее,
Dij = deg(f) + |си Ц + |а{| J + ¦ • • + |ар|1 + |а?| J
Следовательно, требуемый оператор Н существует, если мы смо-
сможем решить систему из Dij + 1 однородных линейных уравне-
уравнений с (I + 1)(J + 1) переменными <ху(п), коэффициентами кото-
которых являются многочлены от п. Все, что нам требуется,— это вы-
выбрать настолько большие I и J, чтобы выполнялось неравенство
(I + 1 )(J + 1) > Dij + 1. Например, можно взять I = 2А' + 1, где
Интересно, суще-
существует ли сдвину-
сдвинутый подходящий
гипергеометриче-
ский член?
Последний шаг доказательства заключается в переходе от
уравнения H(N,K,n)t(n,k) = 0 к решению E.144)- Пусть Н вы-
выбран так, чтобы минимизировать J; иными словами, Н имеет наи-
наименьшую возможную степень по К. Можно записать
H(N,K,n) = H(NfbTi)-(K-1)G(N,K,Ti)
для некоторого линейного разностного оператора G(N,K,n).
Пусть H(N,1,n) = |3o(n) + Ci(n)N + • • • + Pi(n)Nl и T(n,k) =
G(N,K,n)t(n,k). Тогда T(n,k) —подходящий член и E-144) име-
имеет место.
Трюк, который
мы здесь приме-
применим, основан на
представлении Н
в виде многочлена
от К и затем за-
замене К на А 4-1.
5 УПРАЖНЕНИЯ 271
Доказательство почти завершено, но надо еще проверить, что
H(N, I ,n) не является просто нулевым оператором. Если это так,
то T(n,k) не зависит от к. Поэтому найдутся такие многочле-
многочлены (Зо(п) и |3i(n), что (|3o(n) + Ci(n)N)T(n,k) = 0. Но тогда
(Po(Ti) + Pi(n)N)G(N,K,n) является ненулевым разностным опе-
оператором степени J — 1, который аннулирует t(n,k); это проти-
противоречит минимальности J. Таким образом, наше доказательство
E.144) завершено.
Теперь, зная что E-144) выполнено для некоторого подходя-
подходящего члена Т, мы можем быть уверены, что алгоритм Госпе-
Госпера успешно найдет Т (или Т плюс константу). Мы обосновали
алгоритм Госпера только для случая гипергеометрических чле-
членов t(k), зависящих от одной переменной к, однако можно распро-
распространить доказательство на случай двух переменных следующим
образом. Существует бесконечно много комплексных чисел п, для
которых выполнено условие E.118), если мы разложим q(n,k)
и г(п, к) как многочлены от к, и для которых вычисление степе-
степени d на шаге 2 дает тот же результат, что в алгоритме Госпера
для одной переменной. Для всех таких п наше предыдущее до-
доказательство устанавливает существование нужного многочлена
s{n> k); следовательно, существует и требуемый многочлен s{n> к)
от двух переменных пик. чтд.
Мы доказали, что алгоритм Госпера—Зильбергера сможет най-
найти решение E-144) Для некоторого, как можно меньшего I. Это
решение дает нам рекуррентное соотношение по п для вычисле-
вычисления суммы по к любого подходящего члена t(n,k) при условии,
что t(n,k) отлично от нуля лишь для конечного множества зна-
значений к. И, разумеется, можно поменять ролями пик, поскольку
определение подходящего члена E-143) симметрично относитель-
относительно п и к.
Упражнения 98-108 дают еще несколько примеров примене-
применения алгоритма Госпера—Зильбергера, иллюстрируя его разносто-
разносторонность. Вильф и Зильбергер [54] существенно расширили эти
результаты и получили метод, который справляется с обобщен-
обобщенными биномиальными коэффициентами и кратными суммами.
Упражнения
Разминочные упражнения
1 Чему равно II4? Почему это число легко вычислить тому, кто
знаком с биномиальными коэффициентами?
2 При каком значении (значениях) к величина (?) максималь-
максимальна, если п — заданное целое положительное число? Обоснуйте
ваш ответ.
3 Докажите „свойство шестиугольника" (?1]) (k+i) О^1) =
/n-lwn+lw н \
V к Mk+1/Vk-i/*
272 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
4 Вычислите (~1), обращая (т.е. делая положительным) верх-
верхний индекс.
5 Пусть р—простое число. Покажите, что (?) modp = 0 при
О < к < р. Что следует отсюда относительно биномиальных
коэффициентов (р^])?
6 Подправьте решение задачи 6 в тексте разд. 5.2, правильно В случае,
применив правило симметрии. когда тождество не
- ~ , , ч , выполнено.
7 Справедлива ли формула E-34) и ПРИ к < О?
8 Вычислите
-1)кA -к/п)п.
Какова приблизительно величина этой суммы при очень боль-
большом п? Указание: эта сумма есть An f @) при некоторой фун-
функции f.
9 Покажите, что обобщенные экспоненциальные ряды из
подчиняются правилу
?t(z) =?(tzI/t, если t^ 0,
где ?(z) служит сокращением для ?i (z).
10 Покажите, что — 2(lnA — z) -fz)/z2 является гипергеометриче-
гипергеометрической функцией.
11 Выразите обе функции
smz-z 3!+5, 7,+""
1-z3 i-3-z5 ЬЗ-5-z7
arcsinz = z + —— + ¦
2-3 2-4-5 2-4-6-7
через гипергеометрические ряды.
12 Какая из приведенных ниже функций от к является „гипер-
геометрическим членом" в смысле разд. 5.7? Во всех случаях
обоснуйте свой ответ,
a nk.
b kn.
d Hk, т.е. y + i+ ••• + ?.
e ]/(l)
f t(k)T(k), если t и Т — гипергеометрические члены. (Здесь t и Т не
g t(k) -f T (k), если t и Т — гипергеометрические члены. обязательно свя-
h t(n — k), если t — гипергеометрический член. заны так> как в
i a t(k) -Ь b t(k -f 1) + с t(k -f 2), если t — гипергеометричес-
гипергеометрический член.
j P</21.
k k[k>0].
5 УПРАЖНЕНИЯ 273
Обязательные упражнения
13 Установите связь между суперфакториальной функцией Рп =
f]k=1 к! из упр. 4.55, гиперфакториальной функцией Qn =
Пк=1 ^к и произведением Rn = Пк=о (к)-
14 Докажите тождество E-25)» обратив верхний индекс в правиле
свертки Вандермонда (б-22). Затем покажите, что еще одно
обращение дает тождество E-26).
15 Чему равна сумма ?^к (к) (-1)к? Указание: см. E.29).
16 Вычислите сумму
2а \ ( 2Ь
к
при целых неотрицательных а, Ь, с.
17 Установите простую зависимость между ( п~ ) и Bп^1 )•
18 Найдите другое выражение, аналогичное E-35)» Аля произве-
произведения
19 Покажите, что обобщенные биномиальные ряды из (б-5^) под-
подчиняются правилу
Bt(z) = ^i-t(-z)-1 .
20 Определим „обобщенный инфрагеометрический ряд" форму-
формулой
/
аь...,а
используя убывающие степени вместо возрастающих в опре-
определении E-76)- Объясните, как ряд G связан с F.
21 Покажите, что эйлерово определение факториалов согласует-
согласуется с обычным определением, установив, что предел в опреде-
определении (б-8з) равен 1/т\, если z = га —целое положительное
число.
22 Воспользуйтесь определением E-83) Для доказательства фак-
Между прочим, ториальной формулы удвоения:
(~*)! = ^ х! (х - I)! = Bх)! {-\)\/21х .
23 Какова величина F(— n, 1;; 1)?
24 Найдите величину ?k (m^k) (n^kLk, воспользовавшись гипер-
гипергеометрическим рядом.
274 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
25 Покажите, что
(cn-bi)F
си, аг,..., ал
bi+l,b2,...,bn
/а1+1,а2,...,ат
= aiFU,+i,b2 ьп
¦)
Установите аналогичную зависимость между гипергеометри-
гипергеометрическими функциями
di, ci2, аз, ..., am
bb...,bn
F /ai-hi, a2, a3, ...,
V bi, ..., bn
р/аь A2 + 1, a3,...,
V bi,..., ьп
•)¦
am
26 Из уравнения
bn
выразите функцию G(Z) как кратное некоторому гипергеоме-
гипергеометрическому ряду.
27 Докажите, что
/ ab ai + j, ..., am, am + j f2m_n_1 ^2^
U /2ab...,2am \ /2ab...,2am
2^ V2bi,...,2bn 7+42b,,...,2bn
28 Докажите тождество Эйлера
применив дважды правило симметрии Пфаффа E.101).
29 Покажите, что вырожденные гипергеометрические функции
удовлетворяют соотношению
30 Какой гипергеометрический ряд F удовлетворяет уравнению
5 УПРАЖНЕНИЯ 275
31 Покажите, что если f (к) —любая функция, „суммируемая в
гипергеометрических членах", то сама функция f кратна не-
некоторому гипергеометрическому члену. Так, например, если
? f (lc) 5k = cF(Ai,..., Ам; Bi,..., Bn; Z)k + С, то существуют
константы си, ..., am> bi bn и z, такие, что f(k) крат-
кратна E.115).
32 Найдите величину ]Г к2 5к методом Госпера.
33 Воспользуйтесь методом Госпера для нахождения величины
?5к/(к2-1).
34 Покажите, что гипергеометрическая частичная сумма всегда
может быть представлена в виде предела обычных гипергео-
гипергеометрических функций:
если с — неотрицательное целое (см. E.115))- Используйте эту
идею для вычисления суммы Цк^т (?) (—1 )к.
Домашние задания
35 Запись Лк^п (?Jк~п двусмысленна в отсутствие пояснений.
Вычислите"это
а как сумму по к,
b как сумму по п.
36 Пусть рк —наибольшая степень простого числа р, которая де-
делит (m*n), если тип — целые неотрицательные числа. Дока-
Докажите, что к является числом переносов, которые происходят,
когда m складывается с п в системе счисления с основанием р.
Указание: здесь помогает упр. 4.24.
37 Покажите, что для факториальных степеней справедлив ана-
аналог биномиальной теоремы; т. е. докажите справедливость со-
соотношений
при любом целом неотрицательном п.
38 Покажите, что любое целое неотрицательное число п может
быть представлено единственным образом в виде п — (?) -f
B) ~^~ (з)» гАе а> b и с — целые числа, такие, что 0 ^ а < b < с.
(Это называется биномиальной системой счисления.)
276 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
39 Покажите, что если ху = ах + by, то
(anbn-lcxlc + an-kbnyk)
^у" = У Bп ~ ]
при любом п > 0. Установите аналогичную формулу для про-
произведения более общего вида хшуп. (Эти формулы полезны
при нахождении представления в простых дробях, например
при х = 1/(z — с) и у = 1/(z— d).
40 Выразите сумму
целые m,n ^ 0,
в замкнутой форме.
41 Вычислите J^k (к)к!/(тг-Н-}-к)! при целом неотрицательном п.
42 Найдите выражение для XI ((—1 )х/ (™)) бх и воспользуйтесь им
для вычисления суммы Ц?=о(—1)к/(?) в замкнутой форме.
43 Докажите трехчленное биномиальное тождество E*28). Ука-
Указание: вначале замените (r*k) на Т. ( ,г .) (к).
44 Воспользуйтесь тождеством (б-З2) A^H того, чтобы выразить
двойные суммы
/л\ /^,\ /г,\ А^ч / /^_
-4,-i_u/CL\ /ТП\ /D\ /Tt\ //TT
в замкнутой форме при заданных целых
45 Найдите выражение для суммы ]Гк<11 Bкк)^~к в замкнутой
форме.
46 Вычислите следующую сумму в замкнутой форме, когда п —
целое положительное число:
2тг - к у Bк - 1 )Dтг - 2к - 1) '
14.
Указание: снова прибегните к производящим функциям.
47 Сумма
L/rk + s\ /m - rk - s\
I k Д n-k ;
k
является многочленом по г и s. Покажите, что она не зависит
от s.
5 УПРАЖНЕНИЯ 277
48 Соотношение Цк^п (п*кJ~к = 2п может быть объединено с
соотношением Цк^0 (n*k)zk = 1/П — z)n+\ что приводит к
Hk>n (Unk)^~k = ^П* ^то пРеДСтавляет собой последнее соот-
соотношение в гипергеометрической форме?
49 Воспользуйтесь методом гипергеометрических функций для
вычисления
Y y+n-k
50 Докажите правило симметрии Пфаффа E.101), сравнивая ко-
коэффициенты при zn в обеих частях данного равенства.
51 Вывод формулы (б-104) показывает, что
lime_0 F(-m, -2m - 1 + е; -2m + е; 2) = 1 / (-Ц2) .
В этом упражнении мы увидим, что несущественно отлича-
отличающиеся предельные переходы приводят к существенно отли-
отличающимся ответам для вырожденного гипергеометрического
ряда F(—m, —2m — 1; — 2m; 2).
а Покажите, что lime_»o F(—та + e, —2m — 1; —2m + 2e; 2) = 0,
используя правило симметрии Пфаффа для доказатель-
доказательства соотношения F(a, —2ra— 1; 2а; 2) = 0 при любом целом
m ^ 0.
b Чему равен lime_»o F(—m -f e, —2га — 1; —2m + e; 2)?
52 Докажите, что если N —целое неотрицательное число, то
z =
V 1-ai-N,...,1-am-N
53 Если в тождестве Гаусса (б-но) положить Ь = — ^ и z = 1, то
левая часть сведется к —1, в то время как правая равна +1.
Почему это не доказывает, что —1 = +1?
54 Объясните, как была получена правая часть соотношения
55 Покажите, что z = Z и m-n = М — N, если гипергео-
гипергеометрические члены t(k) = F(ai,...,am; bi,...,bn; z)k и
T(k) = F(Ai,..., Am; Bi,..., Bn; Z)k удовлетворяют соотноше-
соотношению t(k) = c(T(k+1)-T(k)) при любом k ^ 0.
56 Используя метод Госпера, найдите общую формулу для
?(-3Nk. Покажите, что (-I)* [^J [^J также служит
решением.
278 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
57 Используя метод Госпера, найдите константу 8, такую, что
суммируема в гипергеометрических членах.
58 Если тип — целые числа, такие, что 0 ^ m ^ п, то положим
¦ m,n
/TV-
7
Выясните зависимость между ТЩ)П и Tm_i)Tl_i, а затем реши-
решите ваше рекуррентное соотношение, применив суммирующий
множитель.
Контрольные работы
59 Выразите в замкнутой форме
при целых положительных тип.
60 Воспользуйтесь приближением Стирлинга D*23) для вычи-
вычисления (m^n) при одновременно больших га и п. К чему сво-
сводится ваша формула при та = п?
61 Докажите, что если р —простое число, то
при любых целых неотрицательных та и п.
62 Установите величину (^) modp2 при условии, что р—про-
р—простое число и что тип — целые положительные числа. Ука-
Указание: при желании можно воспользоваться следующим об-
обобщением свертки Вандермонда:
63 Выразите в замкнутой форме
при заданном целом n ^ 0.
5 УПРАЖНЕНИЯ 279
64 Вычислите ^__ ( \[,) / \ " ^ | при заданном целом n ^ 0.
к=0
65 Докажите, что
^ ( v ) / —9—
66 Вычислите „двойную сумму Гарри"
как функцию от т. (Это сумма как по j, так и по к.)
67 Выразите в замкнутой форме
к=0
68 Выразите в замкнутой форме
(л.) min(k, n — к), целое n ^ 0.
к
69 Выразите в замкнутой форме
m j=1
kj+---+km=n
как функцию тип.
70 Выразите в замкнутой форме
к
71 Пусть
где m и п — целые неотрицательные числа, и пусть A(z) =
Х^ k — производящая функция для последовательности
а Выразите производящую функцию S(z) = YLn>0Snzn че-
через A(z).
b Воспользуйтесь этим приемом для решения задачи 7 из
разд. 5.2.
280 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
72 Докажите, что если га, п и к —целые числа и п > 0, то
г2к-л,(к) _цеЛ06)
где -v(к) —количество единиц в двоичном представлении к.
73 Воспользуйтесь репертуарным методом для решения рекур-
рекуррентности
Хо = ex; Xi = C ;
Xn = (n- 1)(Xn_i +ХП_2) прип> 1.
Указание: этой рекуррентности удовлетворяют как п!, так и
п\.
74 Эта задача связана с „нестандартным вариантом" треугольни-
треугольника Паскаля, стороны которого составлены из чисел 1, 2, 3, 4,
..., а не из единиц, хотя числа внутри по-прежнему удовле-
удовлетворяют формуле сложения:
1
2 2
3 4 3
4 7 7 4
5 11 14 11 5
Если ((?)) обозначает k-е число в n-м ряду при 1 ^ к ^ п,
» О = О = - и о = ((V)) + ((?)) при 1 < к < п.
Выразите величину ((?)) в замкнутой форме.
75 Установите зависимость между функциями
N - Z (?).
*"»-
к
и величинами |2n/3j и f2n/31-
76 Решите следующую рекуррентность для n, k ^ 0:
Qn.o = 1; Qo.k = [k =
при
5 УПРАЖНЕНИЯ 281
77 Какова величина
x._<ninm ("?')• еашт>1?
78 Выразите в замкнутой форме
Zm- / k mod та \
к_- VBk + 1) mod Bта + 1)/ '
считая, что та — целое положительно число.
79 а Чему равен наибольший общий делитель чисел B^), B]г),
..., B^i)? Указание: рассмотрите сумму всех этих тг чи-
чисел.
b Покажите, что наименьшее общее кратное чисел (?), (™),
..., (^) равно L(n+ 1)/(n+ 1), где L(n) =нокA,2,... ,п).
Полезно знать. 80 Докажите, что (?) ^ (en/k)k для любых целых k,n ^ 0.
81 Докажите неравенство
если 0<9< 1,0^х^ 1 и I, га, тг — целые неотрицательные
числа, причем та < п. Указание; попробуйте взять производ-
производную по х.
Конкурсные задачи
82 Докажите, что треугольник Паскаля при 0 < k < n обладает
еще более удивительным свойством шестиугольника, чем то,
что приводилось в тексте:
ноА(а:11), ш, rn) = hoA((V), к:]), ш) ¦
К примеру, нодE6,36J10) = нодB8,120,126) = 2.
83 Докажите поразительное соотношение с пятипараметрической
двойной суммой (б-З2)-
84 Покажите, что вторая пара правил свертки E-6i) вытекает из
первой пары E-6о). Указание: продифференцируйте по ъ.
85 Докажите, что
, .. . . . V тг
m=1 1^
(Левая часть является суммой 2П — 1 членов.) Указание: на
самом деле справедливо гораздо большее.
282 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
86 Пусть ai, ..., ап—целые неотрицательные числа, и пусть
С(си,..., ап) —коэффициент при постоянном члене z\... z^,
если n(n — 1) множителей произведения
ДО-У
полностью разложены по положительным и отрицательным
степеням комплексных переменных ъ\, ..., ъ^.
а Докажите, что С(аь...,ап) совпадает с левой частью
E-31).
b Докажите, что если zi, ..., z,t —различные комплексные
числа, то многочлен
тождественно равен 1.
с Умножьте исходное произведение из п(п— 1) сомножителей
на f @) и установите, что С(си, а2,..., ап) равно
- 1, а2,..., an) + C(ai, а2 - 1,..., ап)
(Данное рекуррентное соотношение определяет мультино-
мультиномиальные коэффициенты, так что С (си,..., an) должно со-
совпадать с правой частью (б-З1))
87 Пустып — целое положительное число и С = епх^ш. Покажите,
что
Е (п
(В частном случае при m = 1 это сводится к (б-74)-)
88 Докажите, что коэффициенты Sk в E47) равны
Jo t
при любом k> 1; следовательно, |sid < 1/(k— 1).
89 Докажите, что соотношение
логом
5 УПРАЖНЕНИЯ 283
обладает бесконечным ана-
анаL
если |х| < \y\ и |х| < |x + "y|. Продифференцируйте это соотно-
соотношение п раз по у и выразите в гипергеометрической форме;
какое соотношение вы получите?
90 В задаче 1 из разд.5.2 рассматривается сумма Ик^о (к)/(к)
при целых г и s, таких, что s ^ г ^ 0. А какова величина этой
суммы, если г и s не являются целыми числами?
91 Докажите тождество Уиппла
-4z
l-CL-b-C
I+CL-Ъ, 1+CL-C
показав, что обе его части удовлетворяют одному и тому же
дифференциальному уравнению.
92 Докажите правила произведений Клаузена
Ua+2b, a+b + I
Л.
7 '
1+a+b
1-a-b
1+a+b, 1-a-b
Какие тождества получаются, если приравнять коэффициен-
коэффициенты при гп в обеих частях этих формул?
93 Покажите, что при произвольной заданной функции f и кон-
константе а неопределенная сумма
имеет (довольно) простой вид.
94 Найдите Y. (k) d^k) ^ ПРИ положительном целом п.
95 Какие условия следует наложить в дополнение к E.118), что-
чтобы многочлены р, q, r из E-И7) стали однозначно опреде-
определены?
284 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
96 Докажите, что если алгоритм Госпера не находит решения
E-12о) при данном гипергеометрическом члене t(k), то и бо-
более общее уравнение
где ~П(к), ..., Tm(k) —гипергеометрические члены, также не
имеет решения.
Найдите все комплексные числа z, для которых выраже-
выражение k!2/ I~L=1 (j2 + jz+ 1) суммируемо в гипергеометрических
членах.
Какое рекуррентное соотношение дает метод Госпера—Зиль-
Госпера—Зильбергера для суммы Sn = ]Tk Qk)?
Используйте метод Госпера—Зильбергера, чтобы найти вы-
выражение в замкнутом виде для 2Ikt(n, к), где t(n,k) =
(u+a+b+c-fk)!/(u+k)! (с+к)! (Ъ-к)! (а-к)! к!, в предположе-
предположении, что а — неотрицательное целое.
100 Найдите рекуррентное соотношение для суммы
н
к
97
98
99
k=0
найдите другую формулу для Sn, воспользовавшись этим ре-
рекуррентным соотношением.
101 Найдите рекуррентное соотношение, которому удовлетворя-
удовлетворяют суммы
z =
тк.
b Sn(z)=Sn,n(z) =
102 Воспользовавшись процедурой Госпера—Зильбергера, обоб-
обобщите „бесполезное" тождество E.113): найдите еще какие-
нибудь значения a, b и z, для которых
|п —b
к
имеет простое выражение в замкнутом виде.
103 Пусть t(n,k) —подходящий член E-143)- Какие степени бу-
будут иметь многочлены -pin.k), q(n,k) и r(n,k) относительно
переменной к, когда процедура Госпера—Зильбергера приме-
применяется к t(n,k) = C0(n)t(n,k) + ••• + p^njtfn + l.k)? (Ред-
(Редкими, исключительными случаями можно пренебречь.)
Аля этого и не-
нескольких следую-
следующих упражнений
имеет смысл
использовать
компьютерную
алгебру
5 УПРАЖНЕНИЯ 285
104 Используйте процедуру Госпера—Зильбергера для проверки
замечательного тождества
J
п-кД-n-k-fi
Объясните, почему не найдена простейшая рекуррентность
для этой суммы.
105 Покажите, что если ш = е2яг/3, то
Целое
106 Докажите удивительное тождество (б-32)> положив t(r,j,k)
равным результату деления слагаемого на правую часть и
показав затем, что найдутся функции Т (г, j, к) и U(r, j, к), для
которых
107 Докажите, что 1/(nk + 1) не является подходящим членом.
108 Покажите, что числа Апери Ап из E.141)—это диагональ-
диагональные элементы АП)П числовой матрицы, определяемой как
Amn=* '^2/-42
/m\ /2m + n - j - k\
Докажите, что эта матрица симметрична и
/ . 1 \ 2 / I -л \ 2
V" /m- i tl—к\ /ttl + tl — Zk\
109 Докажите, что числа Апери E.141) удовлетворяют сравне-
сравнению
An = ALn/pJ An mod p (mod p)
для всех простых р и всех целых п ^ 0.
Исследовательские проблемы
110 При каких п справедливо B^) = (-1 )n (mod {2п + 1))?
286 БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ
111 Пусть q(n) —наименьшийнечетный простой множитель сред-
среднего биномиального коэффициента B^). Согласно упр. 36 не-
нечетными простыми числами, которые не делят B^г), являют-
являются те, для которых все цифры в представлении тг по основа-
основанию р равны (р — 1 )/2 или меньше. Машинные эксперименты
показали, что q(n) ^ 11 при любом 1 < тг < 1010000, за ис-
исключением qC160) = 13.
а Верно ли, что q(n) ^ 11 при любом тг > 3160?
b Достигается ли q(n) = 11 для бесконечно многих тг?
За решение любой из двух частей (а), (Ь) предлагается воз-
вознаграждение 7-11 -13 долларов.
112 Верно ли, что B^г) делится на 4 или 9 при каждом тг > 4, за
исключением тг = 64 и тг = 256?
113 Если t(n+ 1,k)/t(n,k) и t(n,k + 1)/t(n,k)~рациональные
функции пики если существует линейный разностный опе-
оператор H(N,K,n), такой, что H(N,K,n)t(n,k) =0, то следует
ли отсюда, что t(n, k) — подходящий член?
114 Пусть тп — положительное целое; определим последователь-
последовательность Сп рекуррентным соотношением
(т)
Являются ли числа Сп целыми?
6
„... par cette
notation, les
formules deviennent
plus symetriques"
-Й.Карамата[124]
Специальные числа
НЕКОТОРЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ чисел возникают в
математике столь часто, что их узнают с первого взгляда и
наделяют собственными названиями. Так, каждому изучающе-
изучающему арифметику известна последовательность квадратных чисел
A,4,9,16,...). В гл. 1 мы сталкивались с треугольными числа-
числами A,3,6,10,...), в гл.4 занимались простыми числами B,3,
5,7,...), а в гл. 5 промелькнули числа Каталана A,2,5,14,...).
В настоящей главе мы получим представление о некоторых
других важных последовательностях. Первым пунктом нашей по-
повестки дня будут числа Стирлинга {?} и [?] и числа Эйлера (?) —
эти числа образуют треугольники коэффициентов, которые по-
подобны биномиальным коэффициентам (?) из треугольника Па-
Паскаля. Потом мы обстоятельно ознакомимся с гармоническими
числами Нп и числами Бернулли Вп — эти числа отличаются от
других ранее рассматривавшихся числовых последовательностей
тем, что они являются дробными, а не целыми числами. И в за-
заключение мы повосторгаемся очаровательными числами Фибо-
Фибоначчи Fn и некоторыми их важными обобщениями.
6.1 ЧИСЛА СТИРЛИНГА
Начнем с довольно близких родственников биномиальных
коэффициентов — чисел Стирлинга, названных так по имени
Джеймса Стирлинга A692-1770). Эти числа выступают в двух
разновидностях, традиционно носящих незатейливые названия
„чисел Стирлинга первого и второго рода" Несмотря на свою по-
почтенную историю и многочисленные применения, для^них до сих
пор отсутствует общепринятое обозначение. Следуя Йовану Ка-
рамата, мы будем обозначать через {?} числа Стирлинга второго
рода, а через [?] — числа Стирлинга первого рода, ибо эти обо-
обозначения представляются более удобными в обращении по срав-
сравнению со многими другими предлагавшимися обозначениями.
В табл. 288 и 289 показано, как выглядят числа {?} и [?] при
малых пик. Задача, которая включает в себя числа „1, 7, 6, 1",
скорее всего должна быть связана с {?}, а задача, которая вклю-
288 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Таблица
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
W
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
288
{;}
i
i
i
i
l
l
i
l
i
Треугольник
{a}
1
3
7
15
31
63
127
255
{з}
1
6
25
90
301
966
3025
Стирлинга
й
i
10
65
350
1701
7770
1
15
140
1050
6951
для числа подмножеств.
) W 17/ \8/ \9/
1
21 1
266 28 1
2646 462 36 1
чает в себя числа „6, 11,6, 1" скорее всего с [?] —точно так же,
как мы предполагаем, что задача, которая включает в себя числа
„1, 4, 6, 4, 1" скорее всего должна быть связана с (?): это „фирмен-
„фирменные знаки" последовательностей, которые получаются при п = 4.
Числа Стирлинга второго рода возникают значительно чаще,
чем числа первого рода, так что вторые рассмотрим первыми.
Символом {?} обозначается число способов разбиения множества
из п элементов на к непустых подмножеств. Так, существует семь
способов разбиения четырехэлементного множества на две части:
следовательно, {^} = 7. Обратите внимание, что фигурные скоб-
скобки используются для обозначения как множеств, так и чисел {?}.
Подобное сходство помогает запомнить смысл обозначения {?},
которое может быть прочитано как „к подмножеств из п"
Давайте взглянем на малые значения к. Существует только
один способ помещения п элементов в одно-единственное непу-
непустое множество —следовательно, {"} = 1 при любом п > 0. С
другой стороны, {^} = 0, ибо 0-элементное множество пусто.
Случай к = 0 несколько запутан. Все разрешается как не-
нельзя лучше, если согласиться, что существует только один способ
разбиения пустого множества на нулевое число непустых частей;
следовательно, {§} = 1. Но для непустого множества нужна по
крайней мере одна часть, так что {?} = 0 при п > 0.
А что происходит при к = 2? Конечно же, {!J} =0. Если же
множество из п > 0 объектов разделено на две непустые части, то
одна из этих частей содержит последний объект и некоторое под-
подмножество из первых п — 1 объектов. Имеется 2П~~1 способов вы-
выбора последнего подмножества, ибо каждый из первых п — 1 объ-
объектов либо входит, либо не входит в него. Но нам вовсе не нуж-
нужно помещать в него все эти объекты, поскольку у нас должны
(И сам Стирлинг
в своей книге [286]
в первую очередь
рассмотрел этот
род чисел.)
6.1 ЧИСЛА СТИРЛИНГА 289
Таблица 289
п
0
1
2
3
4
5
б
7
8
9
Н
Ы
1
О
О
О
О
О
О
О
О
О
н
ы
1
1
2
6
24
120
720
5040
40320
Треугольник Стирлинга для
м
Ы
1
3
11
50
274
1764
13068
109584
Н
Ы
1
6
35
225
1624
13132
118124
н
ы
1
10
85
735
6769
67284
[5.
1
15
175
1960
22449
числа
1 Н
1 [в\
1
21
322
4536
циклов.
н
ы
1
28
546
Гп] Гп1
ы ы
1
36 1
остаться две непустые части. Поэтому вычтем 1:
целое п >0.
F.2)
(Это согласуется с приведенным выше перечислением способов
разбиения: {*} =7 = 23-1.)
Видоизменение подобного рассуждения приводит к рекуррент-
рекуррентному соотношению, с помощью которого можно вычислить {?}
при любом к. Если задано множество из п > 0 объектов, которое
должно быть разбито на к непустых частей, то мы либо поме-
помещаем последний объект в отдельный класс ({?l}} способами),
либо помещаем его в некоторое непустое множество из первых
п — 1 объектов. В последнем случае имеется k{n~1} возможных
вариантов, поскольку каждый из {п^ } способов распределения
первых п— 1 объектов по к непустым частям дает к подмножеств,
с которыми можно объединить п-й объект. Следовательно,
Это именно то правило, в соответствии с которым образуется
табл. 288; без множителя к оно свелось бы к формуле сложения
E-8), в соответствии с которой образуется треугольник Паскаля.
А теперь — числа Стирлинга первого рода. Эти числа отчасти
похожи на числа второго рода с тем отличием, что [?] подсчи-
подсчитывает число способов представления п объектов в виде к ци-
циклов вместо представления в виде подмножеств. Вслух обозначе-
обозначение * [?]' произносится как „к циклов из п"
Циклы —это циклические представления, аналогичные оже-
ожерельям, которые мы рассматривали в гл. 4. Цикл
D В
290 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
можно записать более компактно как '[A, B,C,D]', понимая при
этом, что
[А, В, C,D] = [В, C,D, A] = [C,D,A,B] = [D,A,B,C];
цикл „прокручивается", поскольку его конец соединен с началом.
С другой стороны, цикл [А, В, С, D] — это не то же самое, что цикл
[A,B,D,C] или цикл [D,C,B,A].
Существует одиннадцать различных способов составить два
цикла из четырех элементов:
[1,2,3] [4], [1,2,4] [3], [1,3,4] [2], [2,3,4] [1],
[1,3,2] [4], [1,4,2] [3], [1,4,3] [2], [2,4,3] [1],
[1,2] [3,4], [1,3] [2,4], [1,4] [2,3]; F.4)
следовательно, [J =11.
Единичный цикл (т. е. цикл, состоящий только из одного эле-
элемента) — это по существу то же самое, что и единичное множество
(множество, состоящее только из одного элемента). Аналогично,
2-цикл подобен 2-множеству, поскольку [А, В] = [В, А], точно так
же, как {А, В} = {В, А}. Однако существуют два различных 3-
цикла: [А, В, С] и [А, С, В]. Отметим, например, что одиннадцать
пар циклов в F.4) можно получить из семи пар множеств в F.i),
составив из каждого 3-элементного множества по два цикла.
И вообще, из любого п-элементного множества могут быть
составлены п\/п = (п — 1)! циклов, если только п > 0. (Всего
имеется п! перестановок, а каждый цикл соответствует сразу п
из них, поскольку отсчет цикла может быть начат с любого из
его элементов.) Поэтому
Г =(п-1)!, целоеп>0.
F.5)
= 1, которая была полу-
полуЭто значительно больше величины {^}
чена для числа подмножеств Стирлинга. И в самом деле, легко
убедиться в том, что число циклов должно быть по меньшей мере
таким же, как и число подмножеств:
целые п, k ^ 0,
F.6)
так как каждое разбиение на непустые подмножества приводит,
по меньшей мере, к одному представлению в виде циклов.
Равенство же в F.6) имеет место тогда, когда все циклы с
необходимостью являются либо единичными, либо двойными —в
силу того, что в таких случаях циклы эквивалентны подмноже-
подмножествам. А это случается при к = п и при к = п— 1; следовательно,
[п]={п}'
В самом деле, легко убедиться в том, что
„Существует девять
и еще шестьдесят
способов
сложить песню
племени,
и-каждый-из-них-
по<воему-хорош"
— Р. Киплинг
6.1 ЧИСЛА СТИРЛИНГА 291
(Число способов представления п объектов в виде п — 1 циклов
или подмножеств равно числу способов выбора двух объектов,
которые окажутся в одном и том же цикле или подмножестве.)
Треугольные числа Q) = 1, 3, 6, 10, ... обращают на себя внима-
внимание как в табл. 288, так и в табл. 289.
Рекуррентность для [?] можно вывести, видоизменив рассу-
рассуждение, которым мы пользовались при выводе рекуррентности
для {?}. Каждое представление п объектов в виде к циклов ли-
либо помещает последний объект в отдельный цикл ([?lj] спосо-
способами), либо вставляет этот объект в одно из р1] циклических
представлений первых п— 1 объектов. В последнем случае суще-
существует п — 1 различных способов подобной вставки. (Это требует
некоторой сообразительности, но нетрудно проверить, что всего
существует j способов поместить новый элемент в j-цикл, чтобы
получить (j + 1 )-цикл. Так, если j = 3, то цикл [Л, В, С] приводит
к циклам
[А, В, C,D], [A,B,D,C] или [A,D,B,C],
если вставляется новый элемент D, и других возможностей не
существует. Суммирование по всем j дает в итоге п — 1 способов
вставки п-го объекта в циклическое разбиение п — 1 объектов.)
Таким образом, требуемая рекуррентность имеет вид
Это аналог формулы сложения, с помощью которой образуется
табл. 289.
Сравнение рекуррентностей F.8) и F.3) показывает, что пер-
первый член в их правых частях умножен на его верхний индекс
(п—1) в случае числа циклов Стирлинга, а в случае числа подмно-
подмножеств Стирлинга — на его нижний индекс к. Поэтому, когда до-
доказательство проводится с помощью математической индукции,
можно осуществлять „внесение" в членах типа п[?] и к{?}.
Каждая перестановка эквивалентна некоторому множеству
циклов. Рассмотрим, например, перестановку, которая переводит
123456789 в 384729156. Для наглядности ее можно представить в
двух строках,
123456789
384729156,
откуда видно, что 1 переходит в 3, 2 переходит в 8 и т. д. Возни-
Возникает циклическая структура, ибо число 1 переходит в 3, которое
переходит в 4, которое переходит в 7, которое переходит обратно
в 1, т.е. это цикл [1,3,4,7]. Другим циклом в этой перестановке
является [2,8,5], еще одним— [6,9]. Таким образом, перестановка
384729156 эквивалентна циклическому представлению
[1,3,4,7] [2,8,5] [6,9].
292 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Если имеется некоторая перестановка щ пг ... пп множества
{1,2,..., п}, то каждый элемент входит только в один цикл. Дей-
Действительно, если начать с то = т и рассматривать тщ = пШо,
т2 = пШ] и т. д., то в конце концов мы должны будем вернуть-
вернуться к mic = mo- (Рано или поздно числа должны повториться,
и первым числом, которое появится вновь, будет то, поскольку
известно, что у других чисел тгц, тп,2, ..., mk-i имеются свои
собственные предшественники.) Таким образом, каждая переста-
перестановка определяет некоторое циклическое представление. Обрат-
Обратно, если перевернуть данное построение, то каждое циклическое
представление, очевидно, определяет некоторую перестановку, и
подобное взаимно однозначное соответствие показывает, что пе-
перестановки и циклические представления — это, в сущности, одно
и то же.
Следовательно, [?] —это число перестановок п объектов, ко-
которое содержит ровно к циклов. Если просуммировать [?] по
всем к, то мы должны получить общее число перестановок:
=n!, целое п^О. (б.д)
Так,6 + 11+6+1 =24 = 4!.
Числа Стерлинга полезны потому, что рекуррентные соотно-
соотношения (б.з) и F.8) возникают в целом ряде задач. Так, если мы
захотим выразить обычные степени хп через убывающие степени
х-, то обнаружим, что несколько первых случаев дают
х° = ха,
V1 — V1
Л, Л, ,
х3 = х^ + Зх1 + х1,
х4 =xi+6x^- + 7x^ + xi.
Эти коэффициенты подозрительно напоминают числа из
табл. 288, прочитанные не слева направо, а справа налево — поэто-
поэтому можно быть почти уверенными, что общая формула такова:
{?} ^°- F-ю) Лучшебылобы
к определить
И действительно, простое доказательство по индукции разреша- (пл _ m __ q
ет все сомнения: х-х- = x^il + kx-, так как х^- = х-(х — к); , п
следовательно х-xn-1 есть >о
6.1 ЧИСЛА СТИРЛИНГА 293
Другими словами, число подмножеств Стирлинга — это коэффи-
коэффициенты при факториальных степенях, которые дают обычные
степени.
Можно двигаться и в другом направлении, поскольку число
циклов Стирлинга — это коэффициенты при обычных степенях,
которые дают факториальные степени:
%1 = х1 ,
х2 = х2 + х1 ,
х3 = х3 + Зх2 + 2х] ,
х4 = х4 + 6х3 + 11х2 + 6х1 .
Действительно, (х + п — 1) -хк = xk+1 + (п — 1 )хк, так что доказа-
доказательство, подобное только что проведенному, показывает, что
А это приводит к доказательству по индукции общей формулы:
^= 21 fk
целое n ^ °- (б-11)
(Подстановка х = 1 вновь дает (б.д).)
Но постойте,— скажете вы,— это равенство содержит возраста-
возрастающие факториальные степени х11, в то время как формула (б.ю)
содержит убывающие факториальные степени х-. А что, если
требуется выразить х- через обычные степени или если требу-
требуется выразить хп через возрастающие степени? Ну, это просто:
достаточно добавить всего лишь несколько знаков минус и полу-
получить
[к] [~] )п~к%к > целое n ^ °- (б-13)
Это оправданно, например, потому, что формула
х1 = х(х - 1)(х - 2)(х - 3) - х4 - 6х3 + Их2 - 6х
почти такая же, что и формула
х4" = х(х + 1 )(х + 2)(х + 3) = х4 + 6х3 + 11х2 + 6х,
за исключением перемены знаков. Общее тождество
х*=(-1)п(-хГ F.14)
из упр. 2.17 превращает (б.ю) в F.12), а (б.и) в F.13), если из-
изменить знак х.
294 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Таблица 294 Основные тождества для чисел Стирлинга при
целом n ^ 0.
Рекуррентные соотношения:
Частные случаи:
Ш-
X =
к
Формулы обращения:
, WlmJ
Ш-Й-СО-'-
{к} = [к] = (к)=0- еслик>п-
Преобразования степеней:
6.1 ЧИСЛА СТИРЛИНГА 295
Также,
обобщение (б.д).
Гп+1
[m +
Таблица 295 Дополнительные тождества для чисел Стирлинга
при целых l,m,n ^ 0.
F.15)
F.16)
F.17)
F.18)
F.19)
F.20)
m
г-к
—k
=z(r)kn(-i)m"k
k=0
k=0
та
n + 1
m
n + k"
k
—k
—k
f П )
n
l + m.
F.21)
F.22)
F.23)
F.24)
F.25)
F.26)
F.28)
F.29)
296 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Нетрудно запомнить, когда надо вставлять множитель (—1 )п~к
в формулу типа F.12), поскольку при большом х имеет место
естественное упорядочение степеней:
хп > хп > х- при любом х > п > 1. F.30)
А поскольку числа Стирлинга [?] и {?} неотрицательны, зна-
знаки минус нужно использовать при выражении „малых" степеней
через „большие"
Формулу (б.и) можно подставить в F.12) и получить двойную
сумму:
Так как это справедливо при любом х, то все коэффициенты при
х°, х1, ..., хп~\ xn+1, xn+2, ... в правой части должны быть
равны нулю, и мы получаем тождество
-1)n"k = [m = n], целые m,n ^ 0. F.3i)
Подобно биномиальным коэффициентам, числа Стирлинга
удовлетворяют многим удивительным тождествам. Однако эти
тождества не столь гибки, как тождества из гл. 5, так что они ис-
используются далеко не столь часто. Поэтому лучше всего просто
перечислить простейшие из них — для будущих справок в тех слу-
случаях, когда потребуется раскусить какой-нибудь крепкий стир-
лингов орешек. В табл. 294 и 295 содержатся наиболее употреби-
употребительные формулы с повторением уже выведенных главных то-
тождеств.
Когда в гл. 5 мы изучали биномиальные коэффициенты, то
установили, что выгодно определить (?) и для отрицательного п
с тем, чтобы тождество (?) = (rL1^1) + (?Zi) выполнялось без
каких-либо ограничений. Используя это тождество для распро-
распространения биномиальных коэффициентов (?) за комбинаторные
рамки, мы обнаружили (в табл. 189), что треугольник Паскаля, в
сущности, воспроизводит себя в перевернутом виде при его про-
продолжении вверх. Попробуем проделать то же самое с треугольни-
треугольниками Стирлинга. Что случится, если предположить, что основные
рекуррентности
6.2 ЧИСЛА ЭЙЛЕРА 297
Таблица
n
-5
-4
-3
_2
—1
0
1
2
3
4
5
(-5
1
10
35
50
24
0
0
0
0
0
0
297 Треугольники
}{_П4}<
1
6
11
6
0
0
0
0
0
0
1
3
2
0
0
0
0
0
0
[-2J
1
1
0
0
0
0
0
0
[ Стирлинга
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
в тандеме.
1
1
1
1
1
1
3 1
7 6 1
15 25 10 1
справедливы при любых целых пик? Их решения определяют-
определяются однозначно, если ввести дополнительно разумные соглашения,
что
C-
= [к = 0] и
го-
= [п =
F-32)
В самом деле, вырисовывается удивительно приятная картина:
треугольник Стирлинга для циклов появляется над треугольни-
треугольниками Стирлинга для подмножеств, и наоборот! Оба рода чисел
Стирлинга связаны исключительно простым правилом [152, 153]:
-?}¦
целые к, п.
F-33)
Имеет место соотношение „двойственности" отчасти аналогичное
соотношениям между min и max, между [xj и |Y|, между х- и хп,
между нод и нок. Легко проверить, что при таком соответствии
оба рекуррентных соотношения [?] = (n-ljp1] + [?!}] и {?} =
kj11} + {?l{} сводятся к одному и тому же.
(Кнут [141, первое
издание] вместо
(?) использовал
6.2 ЧИСЛА ЭЙЛЕРА
Время от времени возникает еще один треугольник чисел,
которым мы обязаны Эйлеру [368, §13; 374, с. 485] и элементы ко-
которого мы обозначаем через (?). В данном случае угловые скобки
напоминают знаки „меньше" и „больше": (?) — это число переста-
перестановок 7ti7t2 ... 7tn множества {1,2,..., п}, имеющих к участков
подъема, а именно, к мест, где щ < щ+-\. (Предупреждаем: это
обозначение еще менее употребительно, чем наши обозначения
Ш» (к) ДЛЯ чисел Стирлинга. Однако мы увидим, что в этом
обозначении есть свой резон.)
298 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Таблица 298
тт
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
/П\ /П\
WW
1
1 0
1 1
1 4
1 11
1 26
1 57
1 120
1 247
1 502
Треугольник Эйлера.
/п\
\2/
0
1
11
66
302
1191
4293
14608
} \з/
0
1
26
302
2416
15619
88234
/п\
> \4/
0
1
57
1191
15619
156190
) \5/
0
1
120
4293
88234
\ /Л
} W
0
1
247
14608
W
0
1
502
/Л/Л
WW
0
1 0
К примеру, одиннадцать перестановок множества {1,2,3,4} со-
содержат по два участка подъема:
1324, 1423, 2314, 2413, 3412;
1243, 1342, 2341; 2134, 3124, 4123.
(В первой строке перечислены перестановки с щ <П2>щ<ти\
во второй строке перечислены перестановки с 7ti < пг < гсз > щ
и Я] > щ < 7Гз < 7t4.) Следовательно, (*) = 11. В табл.298
приведены начальные числа Эйлера — обратите внимание, что на
этот раз „фирменным знаком" данной последовательности слу-
служит 1, 11, 11, 1. При п > 0 может быть самое большее п — 1
участков подъема, так что мы имеем (*) = [п = 0] на диагонали
этого треугольника.
Треугольник Эйлера, подобно треугольнику Паскаля, симме-
симметричен слева-направо. Однако на этот раз правило симметрии
несколько иное:
п
n-1-k
целое п > 0.
F-34)
Перестановка щ ni... пп содержит п — 1 — к участков подъема
тогда и только тогда, когда ее „отражение" пп ... ПгЩ содержит
к таких участков.
Попробуем найти рекуррентность для (?). Каждая переста-
перестановка р = pi ... pn_i множества {1,..., п—1} приводит к п переста-
перестановкам множества {1,2,..., п}, если вставлять новый элемент п во
все возможные места. Предположим, что мы вставляем п на j-e
место, получая п = pi ... Pj_i n pj ... pn_i. Если j = 1 или если
Pj_i < pj, то число участков подъема в п такое же, как и число
участков подъема в р; если же pj_i > р, или же j = п, то оно на
единицу больше того же числа в р. Поэтому в целом перестанов-
перестановка я с к участками подъема получается (к + 1)(п^1) способами
из перестановок р, которые содержат к участков подъема, плюс
6.2 ЧИСЛА ЭЙЛЕРА 299
Западные ученые
недавно узнали о
выдающейся ки-
китайской книге Ли
Сянь-Ляня [194;
213, с. 320-325],
опубликован-
опубликованной в 1867 г., в
которой впер-
впервые упоминается
формула F.37)-
((п — 2) — (к — 1) + 1) (?_i) способами из перестановок р, которые
содержат к— 1 участков подъема. Итак, искомая рекуррентность:
целое п > 0. F.35)
А для „запуска" данной рекуррентности полагаем
= [к = 0], целое к,
F.36)
и считаем, что (?) = 0 при к < 0.
Числа Эйлера полезны главным образом тем, что обеспечи-
обеспечивают нас неожиданной связью между обычными степенями и по-
последовательными биномиальными коэффициентами:
F-37)
(Это „тождество Ворпицкого" [57].) Так,
'-G
K
и т.д. Тождество F.37) легко доказать по индукции (упр. 14).
Между прочим, тождество F.37) Дает еще один способ вычи-
вычисления суммы первых п квадратов: имеем k2 = B) Q) +(^) (к?1) =
B) + (к1
следовательно,
Эйлерова рекуррентность F.35) несколько сложнее рекур-
рентностей Стирлинга (б.з) и F.8), так что не следует рассчиты-
рассчитывать, что числа (?) будут удовлетворять такому же количеству
простых тождеств. Хотя кое-что есть:
F-38)
F-39)
F-40)
300 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Таблица
n
0
i
2
3
4
5
6
7
8
//n\\
w
1
1
1
1
1
1
1
1
1
300
//nN
\\Ъ
0
2
8
22
52
114
240
494
Треугольник
\\ //П\
/AW
0
6
58
328
1452
5610
19950
V //n
l\ //
У \\3
0
24
444
4400
32120
195800
чисел Эйлера второго порядка.
\\ //п\
// V/
0
120
3708
58140
644020
V //V
У \\5,
0
720
33984
785304
0
5040 0
341136 40320 0
Если умножить F.39) на zn m и просуммировать по т, то полу-
получим Lm{^}m!zn~m = Lie (?)(*+1)k- А замена z на z - 1 и при-
приравнивание коэффициентов при zk дает F.40). Таким образом,
два последних тождества, в сущности, эквивалентны. Первое то-
тождество F.38) доставляет отдельные значения (^) при малом т:
= 1
= 2n-n-l,
n
0
n
2
Более нет нужды задерживаться на числах Эйлера —впол-
—вполне достаточно просто знать об их существовании и располагать
сводкой основных тождеств, прибегая к ней по мере необходимо-
необходимости. Но прежде чем покончить с этой темой, следует взять на
заметку еще один треугольник коэффициентов, представленный
в табл.300. Эти коэффициенты ((?)) назовем „числами Эйлера
второго порядка" потому, что они удовлетворяют рекуррентно-
рекуррентности, подобной (б.35)) в которой, однако, в одном месте п заменено
на 2п — 1 :
п-1
к
Bп-1-к)
п-1
к-1
(б41)
Эти числа допускают любопытную комбинаторную интерпрета-
интерпретацию, впервые подмеченную Гесселем и Стенли [72]: если образо-
образовать перестановки мультимножества {1,1,2,2,..., п, п} с тем осо-
особым свойством, что все числа между двумя встречающимися m
больше этого m при 1 ^ m ^ п, то ((?)) является числом таких
перестановок, которые содержат к участков подъема. К примеру,
имеется восемь соответствующих „одноподъемных" перестановок
множества {1,1,2,2,3,3}:
113322, 133221, 221331, 221133,
223311, 233211, 331122, 331221.
6.2 ЧИСЛА ЭЙЛЕРА 301
Таким образом, ((^)) = 8. А всего имеется
Z//n\\ = Bn-l)Bn-3)...(l) = -Ц^1 F.42)
соответствующих перестановок мультимножества {1,1,2,2,...,
п,п}, поскольку оба появляющихся п должны быть смежными
и имеется 2п — 1 мест их вставки в перестановку мультимноже-
мультимножества {1,1,2,2,..., п — 1, п — 1}. К примеру, при п = 3 перестановка
1221 имеет пять мест для вставки, что дает 331221, 133221, 123321,
122331 и 122133. Рекуррентность F.41) может быть доказана пу-
путем перенесения на нее той аргументации, которая использова-
использовалась для обычных чисел Эйлера.
Числа Эйлера второго порядка важны, главным образом, в
силу своей связи с числами Стирлинга [74]: индукцией по п по-
получаем, что
Например,
*;>(;
x+1\
-GHw
х «
(Случай n = 1 уже встречался в F.7).) Эти тождества справед-
справедливы тогда, когда х —целое и п — неотрицательное целое число.
Поскольку правые части этих тождеств являются многочленами
относительно х, тождества F.43) и F-44) можно использовать для
определения чисел Стирлинга {х*п} и [x*J при произвольных
вещественных (или комплексных) х.
Если п > 0, соответствующие многочлены {х^п} и [х*п] рав-
равны нулю при х = 0, х = 1, ..., х = п; следовательно, они делятся
на (х—0), (х—1), ..., (х—п). Интересно взглянуть на то, что оста-
остается после деления на эти множители. Определим многочлены
Стирлинга ап(х) по правилу
ff*M = [х * J / (х(х - 1)... (х - п)). F.45)
302 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
k=0
n
k=0
Таблица 302 Формулы сверток Стирлинга.
п
F-46)
F-47)
F.48)
[m] = (^Tji^-™(П)
(Многочлен an(x) имеет степень п—1.) Несколько первых случаев
таковы:
ат(х) = 1/2,
а2(х) = (Зх - 1 )/24,
а3(х) = (х2-х)/48,
а4(х) = A5х3-30х2+5х
Они могут быть вычислены через числа Эйлера второго порядка;
например,
Оказывается, что эти многочлены удовлетворяют двум весьма
привлекательным тождествам:
zez
F.50)
F.51)
И, вообще, если степенной ряд St(z) удовлетворяет тождеству
то
F.52)
F.53)
Поэтому мы можем вывести общие формулы сверток для чисел
Стирлинга, как мы это сделали для биномиальных коэффициен-
коэффициентов в табл. 229,—результаты сведены в табл. 302. Если сумма чи-
чисел Стирлинга не соответствует тождествам из табл. 294 или 295,
то табл. 302 может оказаться как раз тем, что нужно. (Такой при-
пример приводится в этой главе —вслед за уравнением (б.юо). А в
упр. 7.19 обсуждаются общие принципы сверток, основанных на
тождествах типа F.50) и F.53)-)
Разве 1/х
многочлен?
(Жаль, что не
6.3 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 303
6.3 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
Теперь пришло время вплотную заняться гармоническими
числами, с которыми мы впервые встретились еще в гл. 2:
11 1 п 1
Н 1 + + + + Х
- = Хг> целое n ^ °'
L * n k=i K
Эти числа так часто возникают в анализе алгоритмов, что специ-
специалистам понадобилось для них специальное обозначение. Мы же
воспользуемся обозначением Нп —буква (Н' происходит от слова
„harmonic", при этом тон с длиной волны 1 /п называется n-й гар-
гармоникой тона, длина волны которого равна 1. Несколько первых
значений Нп выглядят так:
п
01234567 8 9 10
П11Д25Ш1?363761 7129 7381
u ' 2 6 12 60 20 140 280 2520 2520
Упражнение 21 показывает, что при п > 1 числа Нп никогда не
являются целыми.
Вот один карточный фокус, основанный на идее Р. Т. Шар-
Шарпа [351], который демонстрирует, насколько „гармонично" возни-
возникают гармонические числа уже в простых ситуациях. Положив
на стол п карт и сдвигая их относительно друг друга, нам хоте-
хотелось бы образовать как можно больший выступ над краем стола
с учетом действия силы тяжести:
карта 2 каРта !_
карта п , ¦ L d3 ¦
стол
Для большей определенности задачи потребуем, чтобы края карт
были параллельны краю стола,—в противном случае величину
выступа можно было бы увеличить, разворачивая карты так, что-
чтобы их уголки выступали немного дальше. А для того чтобы упро-
упростить ответ, предположим, что длина каждой карты равна 2 еди-
единицам.
Для одной карты максимальная величина выступа получается
тогда, когда ее центр тяжести находится ровно над краем стола.
А поскольку центр тяжести находится в центре карты, то мы
можем образовать выступ длиной в половину карты, т. е. длиной
в 1 единицу.
Для двух карт нетрудно убедиться, что максимальная величи-
величина выступа получается тогда, когда центр тяжести верхней карты
находится ровно над краем второй карты, а общий центр тяжести
обеих карт —ровно над краем стола. А поскольку общий центр
тяжести двух карт будет находиться посередине их совмещенных
304 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
частей, то мы в состоянии увеличить величину выступа еще на
пол- единицы.
Подобные обстоятельства подсказывают общий метод, в со-
соответствии с которым карты помещаются так, чтобы центр тя-
тяжести к верхних карт находился ровно над краем k -f 1-й карты
(которая положена под эти к верхних карт). Стол же играет роль
п + 1-й карты. Для того чтобы выразить это условие алгебраи-
алгебраически, можно обозначить через dk расстояние от выступающего
края самой верхней карты до соответствующего края k-й сверху
карты. Тогда di = 0, и нам нужно положить dk+i равным центру
тяжести к первых карт:
при 1 ^ к ^ п. F.55)
(Центр тяжести к предметов, которые имеют веса Wi, ..., Wk и
центры тяжести которых находятся соответственно в точках pi,
..., pk, находится в точке (wipi + h wkpk)/(wi -f h wk).)
А эту рекуррентность можно переписать в двух эквивалентных
формах:
kdk+1 = k + di + - • • + dk_i + dk , к ^ 0,
(k-1)dk = k-1+di+-.. + dk_1) к^1.
Вычитание одного уравнения из другого показывает, что
kdk+i-(k-1)dk = l+dk, k^i;
следовательно, dk+i = dk + 1/k. Вторая карта будет сдвинута на
половину единицы длины относительно третьей карты, которая
сдвинута на треть единицы длины относительно четвертой карты,
и т. д. Отсюда по индукции вытекает общая формула
dk+i = Hk . F.56)
А если положить к = п, то получим dn+i = Нп —полную вели-
величину выступа, когда п карт уложены так, как описано выше.
А нельзя ли получить большую величину выступа, воздержи-
воздерживаясь вначале от сдвига каждой карты на предельно возможное
расстояние и накапливая „потенциальную энергию силы тяжести"
для решающего сдвига? Нет, нельзя: всякое устойчивое располо-
расположение карт должно удовлетворять неравенству
, ^ A+d1) + A+d2) + --- + A+dk)
dk+i ^ , 1 ^ к ^ п.
К тому же d] — 0. Отсюда по индукции следует, что dk+i ^ Hk.
Заметим, что для того чтобы верхняя карта полностью высту-
выступала за край стола, вовсе не нужно очень много карт. Нам нужно
ровно столько карт, чтобы величина выступа немного превыша-
превышала длину одной карты, которая равна 2 единицам. А поскольку
6.3 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 305
Всякий, кто дей-
действительно пы-
пытается получить
максимальную
величину высту-
выступа с помощью
52 карт, по всей
видимости имеет
дело с неполной
колодой—или
же он настоящий
фокусник.
Метрическая си-
система придает этой
задачке большую
научность.
Пунктуальная
гусеница, да?
первым таким числом, которое превышает 2, является ЬЦ = у§,
то достаточно всего лишь четырех карт.
В случае же 52 карт мы получаем выступ величиной Н52 еди-
единиц, который оказывается равным Н52/2 « 2.27 длинам карт. (Мы
вскоре познакомимся с формулой, которая показывает, как вычи-
вычислять приближенное значение Нп при большом п, не складывая
целую кучу дробей.)
Еще одна занятная задачка, называемая „задачей о червяке
на резинке", демонстрирует гармонические числа в ином обли-
облике. Червяк W медленно, но верно двигается от одного конца по-
полоски резины метровой длины к другому, проползая по одному
сантиметру в минуту. По прошествии каждой минуты столь же
уверенно держащий полоску некто К — единственная цель жиз-
жизни которого состоит в расстройстве планов W —растягивает ее
еще на один метр. Таким образом, проползав одну минуту, W на-
находится в 1 сантиметре от начала и в 99 сантиметрах от конца
резинки, после чего К растягивает полоску на один метр. Про-
Процесс растягивания не изменяет относительного местонахождения
W (находящегося в 1 % длины резинки от начала и в 99% от кон-
конца), так что теперь W находится в 2 см от начала и в 198 см от
цели. Спустя еще минуту у W на счету 3 пройденных сантиме-
сантиметра и 197 впереди —но К растягивает резинку, и эти сантиметры
превращаются в 4.5 и 295.5. И так далее... Достигает ли когда-
нибудь червяк финиша? Чем дальше он двигается, тем больше
удаляется от него цель. (Предполагаются безграничное терпение
у К и W, беспредельная растяжимость резинки и бесконечная
крохотность червяка.)
Выпишем несколько формул. Когда К растягивает резиновую
полоску, та ее часть, которую прополз W, остается одной и той
же. Таким образом, за первую минуту он проползает 1/100 ее
часть, за вторую —1/200 ее часть, за третью —1/300 ее часть
и т. д. Часть резинки, которую он прополз за п минут, равна
1/1
100 Т
11
п
100
F-57)
Итак, червяк достигает цели, как только Нп превысит 100.
Вскоре мы узнаем, как оценивать Нп при большом п, а по-
пока просто проверим наш анализ, выяснив, как будет вести себя в
такой же ситуации гусеница. В отличие от червяка за минуту гу-
гусеница способна проползти 50 см, так что в соответствии с только
что приведенным рассуждением за п минут она проползет Нп/2
длины резинки. Если наше рассуждение правильно, то гусеница
должна будет добраться до цели, прежде чем п достигнет 4, по-
поскольку ЬЦ > 2. И это так: простой подсчет показывает, что по
истечении трех минут гусенице останется преодолеть всего лишь
33^ см —она финиширует через 3 минуты и 40 секунд ровно.
Гармонические числа появляются и в треугольнике Стирлин-
га. Попробуем выразить в замкнутой форме [^] — число переста-
306 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
новок п объектов, которые содержат ровно два цикла. Рекуррент-
Рекуррентность F.8) показывает, что
п + 1
2 Jl
= П 2 +^п"^! прип>0,
а достойным кандидатом для разрешения этой рекуррентности
служит метод суммирующего множителя из гл. 2:
Гп] 1
n![ 2 J (n-1)!|2J n
Развертывание этой рекуррентности показывает, что ^ [nJ'] =
Нп; следовательно
2 ]] =п!Нп. F.58)
В гл. 2 была доказана расходимость гармонического ряда
52k 1/k, которая означает, что Нп неограниченно возрастает при
п —* оо. Однако то доказательство было непрямым — мы просто
выяснили, что некоторая бесконечная сумма B.58) дает разные
результаты при перестановке ее членов, так что сумма ?к 1/к не
может быть ограниченной. Тот факт, что Нп —> оо, представля-
представляется противоречащим здравому смыслу, поскольку, помимо всего
прочего, означает, что достаточно большая стопка карт образует
над краем стола выступ величиной с милю и даже больше и что
в конце концов придет конец мучениям червяка W. Поэтому да-
давайте внимательнее разберемся с величиной Нп при большом п.
По-видимому, самый простой способ показать, что Нп —> оо,—
это сгруппировать члены ряда в соответствии со степенями 2.
Поместим один член в 1-ю группу, два члена —во 2-ю группу,
четыре члена — в 3-ю группу, восемь членов — в 4-ю группу и т. д.:
111111111
+ + + + + + +<
ГруппаЗ Группа4
Поскольку оба члена 2-й группы находятся между \ и \, то сумма
членов этой группы лежит между 2-^ = ^и2-| = 1. Посколь-
Поскольку все четыре члена 3-й группы лежат между \ и |, то их сумма
также располагается между j и 1. И вообще, каждый из 2к~1 чле-
членов к-й группы располагается между 2~к и 21~к; следовательно,
сумма членов каждой отдельной группы находится между \ и 1.
Подобная процедура группировки показывает, что если п-й
член принадлежит k-й группе, то должно быть Нп > к/2 и Hn ^ к
Тогда их следовало
бы называть чер-
червячными числами,
раз они такие
медлительные.
„Теперь я вижу так-
также способ, каким
образом можно
найти ... сумму
из уе членов гар-
гармонического ряда
... с помощью
логарифмов, но
[проделать] ув
вычислений для
нахождения этих
правил было бы
слишком затрудни-
затруднительно?
-И.Ньютон [230]
(доказывается индукцией по к). Таким образом, Нп
действительности
6.3 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧИСЛА 307
оо, а в
< Нп
+
F-59)
Итак, мы выяснили величину Нп с точностью до множителя 2.
Хотя гармонические числа и стремятся к бесконечности, они стре-
стремятся к ней всего лишь логарифмически —т. е. крайне медленно.
Приложив чуть больше усилий и добавив малую толику вы-
вычислений, можно получить более точные границы. Как мы вы-
выяснили в гл. 2, величина Нп служит дискретным аналогом не-
непрерывной функции Inn. А поскольку натуральный логарифм
определяется как площадь области под некоторой кривой, то на-
напрашивается следующее геометрическое сравнение:
Площадь области под данной кривой от 1 до п, которая равна
J1 dx/x = Inn, меньше площади указанных п прямоугольников,
которая есть 2Ik=i 1 А- = Нп. Таким образом, Inn < Нп; это более
точный результат по сравнению с тем, что мы имели в F.59)- A
размещая те же прямоугольники немного по-другому, мы полу-
получаем аналогично верхнюю границу:
О 1 2 3 ... п х
На этот раз площадь НТ1 этих п прямоугольников меньше, чем
площадь первого прямоугольника плюс площадь области под
данной кривой. Тем самым доказано, что
Inn < Hn < Inn + 1 при п > 1. (б.бо)
Итак, мы выяснили величину Нп с ошибкой, не превосходящей 1.
Гармонические числа „второго порядка" Н;г возникают тогда,
когда мы суммируем квадраты чисел, обратных натуральным,
вместо суммирования просто обратных натуральным чисел:
308 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Аналогично определяются гармонические числа r-го порядка пу-
путем суммирования (— г)-х степеней натуральных чисел:
п 1
н{г) - У —
F.61)
Если г > 1, то при п —> со эти числа стремятся к некоторому
пределу; в упр. 2.31 отмечалось, что этот предел обыкновенно на-
называют дзета-функцией Римана:
F.62)
Эйлер [367] обнаружил изящный способ использования обоб-
обобщенных гармонических чисел для приближения ими обычных
гармонических чисел Нп . Рассмотрим бесконечный ряд
In
k-1
1
1
1
1
F.63)
который сходится при к > 1. Левая часть —это Ink — ln(k — 1);
поэтому при суммировании обеих частей по 2 ^ к ^ п левая
сумма телескопируется и мы получаем
inn-mi =хA +A + _L + _L
После перестановки получается выражение для разности между
Нп и Inn:
При п —> со правая часть стремится к предельному значению
известному теперь как константа Эйлера и обыкновенно обо-
обозначаемому греческой буквой у. В действительности С(г) — 1 при-
приближено равно 1/2г, так что этот бесконечный ряд сходится до-
довольно быстро и можно вычислить десятичное значение
у = 0.5772156649... .
F.64)
Итак, эйлерово рассуждение позволяет установить предельное со-
соотношение
lim (Hn-lnn) = у;
п—>оо
F.65)
таким образом, на Нп приходится примерно 58% длины между
обеими границами из (б.бо) — мы постепенно приблизились к его
истинному значению.
„Huius igitur
quantitatis
const ant is C
valorem deteximus,
quippe est
С = 0,577218."
-Л.Эйлер[367]
6.4 ГАРМОНИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ 309
Как будет видно в гл.9, возможны дальнейшие уточнения.
Например, там будет доказано, что
Ну на самом деле
червяк не успе-
успеет добраться до
конца: конец света
наступит гораз-
гораздо раньше—как
только будет пол-
полностью перемещена
башня Брамы.
120п4 '
0<еп<1. (б.бб)
Эта формула позволяет, не прибегая к сложению миллиона дро-
дробей, заключить, что миллионное гармоническое число есть
Нюооооо ~ 14.3927267228657236313811275.
Помимо всего прочего, это означает, что стопка из миллиона карт
может выступать над краем стола на длину более чем семи карт.
А что формула (б.бб) позволяет сказать о червяке на резин-
резинке? Поскольку величина Нп не ограничена, то червяк безусловно
доберется до конца, как только Нп превысит 100. Наше прибли-
приближение к Нп утверждает, что это произойдет при п, примерно
равном
,100-у
„99.423
В действительности, в упр. 9.49 доказывается, что переломное
значение п есть либо [е100~у_|, либо |"eloo~Y]. Можно представить
себе ликование червяка W к большой досаде К, когда он, нако-
наконец, пересечет финишную черту, начав свой долгий путь около
287 децильонов B87 с 33 нулями.— Перев.) веков назад. (А ре-
резинка окажется растянутой в длину на более чем 1027 световых
лет —ее атомы будут значительно удалены друг от друга.)
6.4 ГАРМОНИЧЕСКОЕ
СУММИРОВАНИЕ
Рассмотрим теперь те суммы, которые содержат гармони-
гармонические числа, и начнем с небольшой сводки того, что мы узнали
в гл. 2: в B.36) и B.57) доказано, что
= пНп — п,
F.67)
F.68)
Давайте дерзнем и возьмемся за более общую сумму, которая
включает обе эти суммы в качестве частных случаев. Какова ве-
величина суммы
К
когда m — целое неотрицательное число?
310 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Метод, который лучше всего подходил для вычисления F.67)
и F.68) в гл. 2, назывался суммированием по частям. Мы запи-
записывали общий член суммы в виде u(k)Av(k) и применяли общее
правило
У Ъ u(x)Av(x) бх = u(x)v(x)|b - У Ъ v(x + 1 )Ди(х) бх. (б.бд)
Вспомнили? Сумма 2I0<k<n (m)^k> К0Т0Рая теперь перед нами,
также подходит для этого метода, поскольку можно положить
u(k) = Hk, ^
v(k) = ( \ W ( \)( Н
(Другими словами, гармонические числа имеют простую Л, а би-
биномиальные коэффициенты — простую Л, так что мы на верном
пути.) Подстановка этого в (б.бд) дает
VTLJ
бх
W+i
Н - У /"
А оставшаяся сумма вычисляется, поскольку (k+1 )-1 можно вне-
внести под знак биномиального коэффициента, полагаясь на наше
старое проверенное равенство E-5):
Таким образом, требуемый ответ таков:
(Это чудесно согласуется с F.67) и (б.68) при та = 0 и m = 1.)
В следующем примере вместо умножения фигурирует деле-
деление — попробуем вычислить сумму
S - V —
К
k
k=i К
Если представить Н^ по определению в виде суммы, то мы полу-
получим двойную сумму
s - У -L
*— i • к '
6.4 ГАРМОНИЧЕСКОЕ СУММИРОВАНИЕ 311
Но теперь нас выручает другой метод из гл. 2: равенство B.33)
подсказывает, что
Оказывается, что этот ответ можно было бы получить иначе, если
бы мы прибегли к суммированию по частям (см. упр. 26).
Теперь испытаем свои силы на более трудной задаче [304], ко-
которая не поддается суммированию по частям:
(п " к)П > целое
(Чтобы не было (В этой сумме и намека нет на гармонические числа, но кто знает,
намека и на ответ.) вдруг они появятся потом?)
Мы решим эту задачу двумя способами: в одном случае —с
трудом вымучивая ответ, а в другом — полагаясь на смекалку
и/или везение. Сперва мучительный способ. Разложим (п — k)n
по формуле бинома с тем, чтобы объединить мешающее нам к в
знаменателе с числителем:
л'-i
Не такая уж это путаница, как может показаться, ибо k* } во
внутренней сумме является многочленом по к, а равенство E4°)
подсказывает, что мы просто берем n-ю разность этого много-
многочлена. Так-то оно так, да не совсем — сначала нам нужно внести
ясность в ряд деталей. Прежде всего, к' не является многочле-
многочленом при j = 0; это вынуждает нас выделить сей член и иметь с
ним дело отдельно. Кроме того, нам не хватает члена при к = 0
из формулы для п-й разности; поскольку он отличен от нуля при
j = 1, то его следует восстановить (и тут же его снова вычесть).
В результате имеем
312 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
О'кей, теперь верхняя строка (единственная, в которой осталась
двойная сумма) есть нуль: это сумма величин, кратных п-м раз-
разностям многочленов степени меньшей п, а такие разности равны
нулю. И вторая строка есть нуль за исключением случая j = 1,
когда она равняется — пп. Так что единственное оставшееся за-
затруднение — это третья строка, но зато исходная задача свелась
к значительно более простой сумме:
Un = nw(Tn-l), где ТП = ?(?)Ц^-- F.72)
К примеру, U3 = (*)f - ©I = f, T3 =(?)}- ©^ + ©1 = ?;
следовательно, II3 = 27(Тз — 1), как и требовалось.
Но как же вычислить Тп? Один способ — заменить (?) на
^к1) "^ (k-i)» п0ЛУчая простую рекуррентную зависимость Тп от
Tn_i. Однако имеется более поучительный способ: в E41) была
получена похожая формула, а именно:
u\(-1)k n!
к) х + k х(х + 1).,
14.
Бели избавится от члена при к = 0 и положить х = 0, то получим
Тп. Давайте так и поступим:
1
X
(х-
х(хН
И)..
•(х
п!
...(х +
+ н)-
¦п)
х=0
х=0
:0 " п! [ 2
(Здесь использовано разложение (б.и) выражения (х + 1)...
(х + п) = хп+1Д> а в числителе можно выделить х потому, что
[п|]] = п!.) Из F.58) нам известно, что f71^1] = n!Hn; следова-
следовательно, Тп = Нп, и получаем такой ответ:
Un = nn(Hn-l). F.73)
Это один подход. Другой подход —попробовать вычислить
значительно более общую сумму
Un(x)V) = Г(Т)(Т V + kyr, целоеп^О; F.74)
величина исходной суммы Un будет тогда представлять ее част-
частный случай Un(n, — 1). (К приданию большей общности нас тол-
толкает то, что предыдущий вывод „проигнорировал" большую часть
6.5 ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 313
деталей данной задачи —так или иначе те детали не должны
иметь отношения к делу, ибо п-я разность ликвидирует их.)
Можно было бы с небольшими изменениями воспроизвести
предыдущий вывод и выяснить величину Un(x,y). Или можно
было бы заменить (х+ky )п на (х+ку)п~'1 (х+ку), а затем заменить
(?) на (п^1) + (?l])> что приводит к рекуррентности
Un(x,y) = xUn_i(xfy) +xn/n + yxn-1 , F.75)
которая благополучно решается с помощью суммирующего мно-
множителя (упр. 5).
Но проще всего воспользоваться другим приемом, который со-
сослужил нам добрую службу в гл. 2,—дифференцированием. Про-
Производная Un(x,y) по у привносит к, которое сокращается с к в
знаменателе, в результате чего получается тривиальная сумма:
= их71 .
(Снова п-я разность многочлена степени < п обратилась в нуль.)
Нами установлено, что производная от Un(x,y) по у есть
их11 независимо от -у. В общем случае, если f '{у) = с, то f[у) =
f@) + су; поэтому должно быть U7l(x,y) = Un(x,0) + nxn~^y.
Остается определить Un(x,0). Но Un(x,0)— это просто хп,
умноженное на сумму Тп = НП) которую мы уже рассмотрели
в F.72); поэтому общая сумма F.74) выражается в замкнутой
форме:
Un(x,y) = xllHn +nxny . F.76)
Ну, а в частности, решение исходной задачи —это Un(n,—1) =
nn(Hn-l).
6.5 ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ
Следующая в нашей повестке дня важная последователь-
последовательность чисел носит имя Якоба Бернулли A654-1705), который,
подбирая формулы для сумм m-ых степеней натуральных чисел,
обнаружил в них любопытные закономерности [22]. Положим
n-1
Sm('n) = Om + 1m H h (n— 1)™ = 2_
k=0
F.77)
314 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(Таким образом, Sm(n) = H^J^1 при m > 0 в обозначениях для об-
обобщенных гармонических чисел.) Рассматривая следующий ряд
формул, Бернулли уловил в них некую закономерность:
S0(n) =
Si(n)=
S2(n)=
S3(n}=
S4(n)
S5(n)
S6(n)
S7(n)
S8(n)
п
In2
In3
Jn4
In5
-in-
-In2
-In3
-In4
-In5
-In6
In2'
In3
fn7
fn9
- n7+
n5- In3
А видите ли вы закономерность? В формуле для Sm(n) коэффи-
коэффициент при nm+1 всегда равен 1/(т + 1). Коэффициент при nm
всегда равен —1/2. Коэффициент при nm-1 всегда ... давайте-ка
посмотрим ... равен та/12. Коэффициент при nm~2 равен нулю.
Коэффициент при nm~3 всегда равен ... давайте-ка посмотрим
... гм-м ... ну да, он равен — m(m — 1) (та — 2)/720. Коэффициент
при nm~4 всегда равен нулю. А если эту закономерность продол-
продолжить, то коэффициент при nm~k всегда будет иметь вид некото-
некоторой константы, умноженной на та-.
Именно это и обнаружил Бернулли. (Он не оставил доказа-
доказательства.) В современных обозначениях его формула записыва-
записывается в виде
Sm(n) =
1
m+1
Bonr
m+1
m
Bmn
Bkn
m+l-k
F.78)
„... в течение по-
половины четверти
часа я нашел
сумму десятых
степеней первой
тысячи натураль-
натуральных чисел"
—Я. Бернулли [22].
(Добавл. перев.)
Коэффициенты при степен51х n — числа Бернулли — опреде-
определяются неявным рекуррентным соотношением
| 1
= [m = 0] при любом та ^ 0.
F-79)
Так, (о)Во + (i)Bi =0. Несколько первых этих величин оказыва-
оказываются такими:
п
О 1 23456789 10 11 12
1 -
I 0
30 U 42 U 30 U 66
0
-691
2730
6.5 ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 315
На самом деле
рекуррентную
формулу, подобную
F.?8), установил в
1730 г. А. деМу-
авр, который
продолжил работу
над незавершен-
незавершенным Я. Вернулли
при его жизни
трактатом [22].
— Перев.
(Все надежды на простое выражение в замкнутой форме для Вп
рушатся при появлении странной дроби —691/2730.)
Формулу Бернулли F.78) можно доказать индукцией по та,
применяя метод приведения (один из тех способов, с помощью
которого мы нашли в гл. 2 сумму S2(n) = Пп):
п-1
Sm+1(n)+n™+1 = Jjk+1)
m+1
k=0
н-1 m+1
= 11
k=0 j=0
m+1
= z
j=0
m
kj
F.80)
Положим Sm(n) равной правой части F.78); мы намерены пока-
показать, что Sm(n) = Sm(n) в предположении, что Sj(n) = Sj(n) при
0 ^ j < m. Начнем, как мы делали в гл. 2 в случае та = 2, с
вычитания Sm+i (n) из обеих частей (б.8о). Затем представим ка-
каждое Sj(n) в форме F.78) и перегруппируем члены так, чтобы
коэффициенты при степенях п в правой части оказались рядом
и упростились:
nm+1 =
3=0
/m+l
j=o
)=0
k=0
- L
,k+1
n
k+1
k+1
m+1
/m+1-k'
/m+1-k
316 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
L
n
m+1
ТП+1
m
= Sm(u)-Sm(u).
(Подобный вывод представляет собой хорошее упражнение на те
стандартные действия, которыми мы овладели в гл.5.) Таким
образом, А = 0 и Sm(n) = Sm(n). чтд.
В гл. 7, используя производящие функции, мы докажем F.78)
значительно проще. Ключевая идея этого доказательства —пока-
—показать, что числа Бернулли являются коэффициентами степенного
ряда
F.81)
ez-1
Давайте пока просто примем на веру справедливость равенства
F.8i), с тем, чтобы можно было вывести ряд его поразительных
следствий. Если к обеим частям прибавить \ъ, избавляясь тем
самым от члена Biz/1! = — \z справа, то получим
z z z ez +1 z ez/2 + e~z/2 z ,, z ,„
—f + о = о —i—T = о ~Tn Til = о cth о • F-82)
ez — 1 2 2 ez-1 2 ez/2 — e~z/2 2 2
Здесь функция cth —это „гиперболический котангенс", по-
другому известный из книг по анализу как отношение chz/shz,
где
shz =
- е~
F.83)
Замена z на —z дает (-^) cth(-y) = |cth|; следовательно, ка-
каждый коэффициент с нечетным номером в разложении | cth |
должен быть равен нулю, и мы получаем
Кроме того, равенство F.82) приводит к выражению в замкнутой
форме для коэффициента разложения cth:
zcthz =
2z
e2z-1
2z
Bn)!
„2n
2nBn)!'
F.85)
Однако гиперболические функции не пользуются большим спро-
спросом — более популярны „действительные" тригонометрические
функции. Обычные тригонометрические функции можно выра-
Далее речь пойдет
о несколько более
тонких матери-
материях, с которыми
вы, вероятно, на
первый раз предпо-
предпочтете просто бегло
ознакомиться.
— Сочувствующий
ассистент
Начало
беглого
ознакомления
6.5 ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 317
зить через их гиперболические аналоги, исходя из правил
sinz = — ishiz, cosz = chiz; F.86)
соответствующие этим функциям степенные ряды выглядят так:
z1 z3 z5
= ТТ+3! +5!
z1
~ 1!
z°
z3
3!
z2
+
z5
5!
z4
Ясно: мы получаем Следовательно, ctg z = cos z/sin z = i ch iz/ shiz = i cth iz и
„действительные"
функции, исполь-
используя мнимые числа.
Г2п
Bп)!
(б.87)
Другая замечательная формула для zctgz была найдена Эйле-
Эйлером (упр. 73):
zctgz =
k27t2-z2'
А это можно разложить в ряд по степеням z2, получая
zctgz = 1 — '
F.88)
Приравнивание коэффициентов при z2n к таким же коэффициен-
коэффициентам в другой нашей формуле — формуле F.87) — делает нас обла-
обладателями почти что сверхъестественного выражения в замкнутой
форме для бесконечного числа бесконечных сумм:
п—1
—2ПГ?
К примеру,
п > 0. F.89)
=тг2/6, (б.до)
^ ^ = -тг4В4/3 = тг4/90. F.91)
Формула F.89) не только представляет собой выражение в зам-
замкнутой форме для чисел HJ» ¦— помимо этого, она сообщает
нам приблизительную величину чисел В2П, поскольку Ноо весь-
весьма близко к 1 при большом п. А еще она сообщает нам, что
318 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(—1)п~1В2н > 0 при любом п > 0; таким образом, отличные от
нуля числа Бернулли являются знакочередующимися.
И это еще не все. Числа Бернулли появляются также в коэф-
коэффициентах разложения функции тангенса,
tgz =
smz
cosz
„2n-1
•n Bn)! '
F.92)
и других тригонометрических функций (упр. 72). Формула F.92)
доставляет другой важный факт о числах Бернулли, а именно
то, что
T2n-i = (-l)
Например,
n 1 3
_ 4ПDП —
п
2п
В2п —положительное целое. F.93)
11
13
1 2 16 272 7936 353792 22368256
(Числа Т называются тангенциальными числами.)
Один из способов доказательства утверждения F.93) > следуя
Б. Ф. Логану,—рассмотреть степенной ряд
sinz + xcosz
cosz —xsinz
Текст
с этого места
можно вообще
пропустить.
F.94)
TL^O
где Tn(x)—многочлен относительно х. Подстановка х = 0 дает
Tn@) = Tn, n-e тангенциальное число. Если продифференциро-
продифференцировать F.94) по х> то получим
(cosz —xsinzJ
а если продифференцировать по z, то получим
1 + Х2 _ „п-1 __ „п
(cosz —xsinzJ
Попробуйте, и вы убедитесь, что
Тп+1(х) = A+х2)Т;г(х), То(х) =х.
F-95)
А из этой простой рекуррентности следует, что коэффициенты
Тп(х)-—целые неотрицательные числа. Кроме того, легко дока-
доказать, что многочлен Тп(х) имеет степень п + 1 и что его коэф-
коэффициенты попеременно то равны нулю, то больше нуля. Поэтому
Когда х = tgw,
это
Следовательно, по
теореме Тейлора,
п -я производ-
производная tgw равна
Tn(tgw).
6.5 ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 319
T2n+i@) = Т2П+1 являются целыми положительными числами,
как и утверждалось в (б.дз)-
Рекуррентность F.95) обеспечивает нас простым способом вы-
вычисления чисел Бернулли через тангенциальные числа, требую-
требующим только простых операций над целыми числами; по контра-
контрасту с этим определяющая числа Бернулли рекуррентность F.79)
содержит непростые арифметические операции с дробями.
Если мы пожелаем вычислить сумму п-х степеней натураль-
натуральных чисел от а до b — 1, а не от 0 до п — 1, то согласно соответ-
соответствующей теории из гл. 2
Ь-1
к=а
-ът а)
А это соотношение имеет интересные следствия, если рассматри-
рассматривать отрицательные значения к. Имеем
-1
п-1
к=-п+1
когда та > О,
к=0
следовательно,
(Иоганн Фаулхабер
неявно использо-
использовал F.Q7) в 1635 г.
[309], когда он
нашел простые
формулы, выра-
выражающие Sm(n) в
виде многочленов
от п(п + 1 )/2 аля
т^ O;см.[154].)
Sm@)-Sm(-n + l) = (-1)m(Sm(n)-Sm@)).
Но поскольку Sm@) = 0, получаем соотношение
m>0.
F-97)
Поэтому и SmA) =0. Если разложить многочлен Sm(n) на мно-
множители, то среди них всегда будут множители п и (п—1), ибо этот
многочлен имеет своими корнями 0 и 1. А вообще, Sm(n) явля-
является многочленом m + 1-й степени со старшим членом ~р\Пт+}.
Более того, можно подставить п = \ в F.97)» получая Sm(j) =
(_ 1)m+1Sm(j); если та —четно, то Sm(^) = 0, так что еще одним
множителем будет (п— \). Эти наблюдения объясняют, почему в
гл. 2 нам удалось найти столь простое разложение
S2(n) = ln(n-l)(n-1);
там можно было бы воспользоваться подобным рассуждением
для установления величины S2(n) без ее вычисления! Кроме то-
того, F.97) означает, что многочлен с остальными множителями,
Stu(ti) = Sm(n)/(n— 1), всегда удовлетворяет соотношению
— ti) = Sm(n), m четное, та > 0.
320 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Отсюда следует, что Sm(n) всегда можно записать в форме про-
произведения
1
Гш/21
Т П (n-^
к=1
т/2
нечетное т,
четное т.
F.98)
Здесь oti = j, а (Х2, ..., afm/2] —соответствующие комплексные
числа, величины которых зависят от т. Например,
S3(n)=n2(n-1J/4,
x(n-l-cx)/7,
где сх =
Если т нечетно и больше 1, то Bm =0; следовательно, многочлен
Sm(n) делится на п2 (и на (п — IJ). В противном случае корни
многочлена Sm (n), по-видимому, не должны подчиняться какому-
нибудь простому правилу.
Завершим изучение чисел Бернулли выяснением того, как они
связаны с числами Стирлинга. Один из способов вычисления сум-
суммы Sm(n) состоит в замене обычных степеней на убывающие, по-
поскольку убывающие степени просто суммируются. А после вычи-
вычисления подобных простых сумм можно опять вернуться к обыч-
обычным степеням:
Конец
пропускаемого
текста.
г-1
k=0
г-1
k=0
г-1
j^o
к^О
6.5 ЧИСЛА БЕРНУЛЛИ 321
Поэтому, приравнивая полученные коэффициенты при степенях
п к соответствующим коэффициентам в F.78), мы должны полу-
получить тождество
/m+1
Л к
к > 0. F.99)
Было бы здорово доказать это соотношение непосредственно, по-
получая тем самым другой способ определения чисел Бернулли.
Однако ни правила табл. 294, ни правила табл. 295 не дают нам
сколько-нибудь явного повода рассчитывать на доказательство
по индукции, что сумма слева в F.99) есть константа, умно-
умноженная на ттг^-. Если к = ттг + 1, то сумма слева есть просто
{™}[™+]]/(тп+1) = 1/(т+1), так что в этом случае все про-
просто. А если к = тгг, то сумма слева сводится к {^Т^} [^]тп-~1 —
Ш Гт1] (т + 1)~] = ^(т - 1) - ^т = -^ так что и этот случай
довольно прост. Но при k < m сумма слева выглядит устраша-
устрашающе. Вряд ли Бернулли открыл бы свои числа, если бы выбрал
этот путь.
Одно можно сделать — заменить {™} на l™^1} — (j + 1 ){•+]}•
Тогда (j + 1) чудно сокращается с мешающим нам знаменателем,
и левая часть становится равной
M)
Согласно же F.31) при к < m вторая сумма равна нулю. Это
оставляет нас наедине с первой суммой, которая требует смены
декораций: переобозначим все переменные так, чтобы индексом
суммирования было к и чтобы остальными параметрами были m
и п. Тогда тождество F.99) будет эквивалентно тождеству
)k~
m > 0. (б.юо)
Неплохо — мы получили нечто более привлекательное, несмотря
на то что табл. 295 по-прежнему не подсказывает ничего дельного
насчет следующего шага.
Но теперь на помощь приходят формулы сверток из табл. 302:
можно воспользоваться формулами F.49) и F.48) для того, чтобы
322 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
выразить общий член суммы через многочлены Стирлинга:
ЮН-<-»-*"¦
п!
(к-1)Гп-
к!
(m-1)!(
+1_т
п!
ffn-kl
к "( 1} (m-1)!
Дела принимают хороший оборот: свертка F.46) для t = 1 дает
k=0
m —n
o-n_m(m-n+ n-m ) .
Итак, формула (б.юо) подтверждена, и мы установили, что числа
Бернулли связаны с постоянными членами многочленов Стир-
Стирлинга:
"О
^7 = -тстт@). F.101)
та!
6.6 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
А теперь перейдем к особенной последовательности чи-
чисел—быть может, наиболее приятной из всех — последователь-
последовательности Фибоначчи (Fn):
n
0 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377
В отличие от гармонических чисел и чисел Бернулли, числа Фи-
Фибоначчи являют собой подкупающие своей бесхитростностью це-
целые числа. Они определяются рекуррентным соотношением
Ь -
= 1 ,
= Fn_i
¦ Fn_2 для п > 1.
F.102)
Бесхитростность этого правила —возможно, самого бесхитрост-
бесхитростного из всевозможных рекуррентных соотношений, в котором ка-
каждое число зависит от двух предыдущих,— служит объяснением
того, почему числа Фибоначчи встречаются в самых разнообраз-
разнообразных ситуациях.
Конец
беглого
ознакомления
6.6 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
Противоестествен-
Противоестественная природа этого
примера возмути-
возмутительна — эту книгу
надо запретить.
Наглядный пример естественного возникновения чисел Фибо-
Фибоначчи дают „родословные деревья пчел" Рассмотрим родослов-
родословную пчелы-самца. Каждый самец (называемый также трутнем)
появляется на свет непарным путем от самки (называемой также
маткой), однако каждая самка имеет двух родителей — самца и
самку. Вот несколько начальных уровней такого дерева:
сг-
9
cf-
9
9
(У
У трутня один дед и одна бабка, один прадед и две прабабки,
два прапрадеда и три прапрабабки. И вообще, как легко устано-
установить по индукции, у него ровно Fn+i прап-дедушек и Fn+2 прап-
бабушек.
Числа Фибоначчи часто обнаруживаются в природе —воз-
—возможно, по причинам, аналогичным закону образования родослов-
родословного дерева пчел. К примеру, семечки, плотно набитые в крупную
„корзинку" обыкновенного подсолнуха, располагаются по спира-
спиралям — обычно это 34 спирали, закручивающиеся в одном напра-
направлении, и 55 спиралей —в другом. Корзинки поменьше будут
иметь соответственно 21 и 34 или же 13 и 21 спираль, а однажды в
Англии демонстрировался гигантский подсолнух с 89 спиралями
одного направления и 144 —другого. Подобные закономерности
обнаруживаются и в некоторых видах сосновых шишек.
А вот пример другого рода [223]. Предположим, что друг на
друга наложены две стеклянные пластинки. Сколько существует
способов ап прохождения луча света через пластинки или отра-
отражения от них после изменения его направления п раз? Несколько
первых случаев таковы:
а3 =5
Когда п четно, получается четное число преломлений и луч про-
проходит насквозь; когда же п нечетно, луч отражается и выходит
с той стороны, с которой и вошел. По-видимому, ап будут чи-
числами Фибоначчи, и непродолжительное разглядывание рисун-
рисунка показывает почему: при п ^ 2 преломляющиеся п раз лучи
324 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
либо претерпевают свое первое отражение от внешней поверхно-
поверхности и продолжают прохождение an_i способами, либо начинают
с отражения от внутренней поверхности и затем снова отражают-
отражаются в обратном направлении, чтобы закончить прохождение an_2
способами. Таким образом, получается фибоначчиева рекуррент-
рекуррентность an = an-i + an_2. Начальные условия отличаются, но не
очень, поскольку do = 1 = F2 и си = 2 = F3; следовательно, все
просто сдвигается на два, так что an = Fn+2-
Эти числа ввел в 1202 г. Леонардо Фибоначчи, и математики
постепенно стали выяснять все больше и больше интересного о
них. Эдуард Люка, причастный к головоломке о ханойской баш-
башне, рассмотренной в гл. 1, активно занимался ими во второй по-
половине девятнадцатого столетия (в действительности, благодаря
именно Люка, название „числа Фибоначчи" стало общеупотреби-
общеупотребительным). Одно из его удивительных достижений состояло в ис-
использовании свойств чисел Фибоначчи для доказательства того,
что 39-значное число Мерсенна 2127 — 1 является простым.
Одним из самых первых фактов о числах Фибоначчи, обна-
обнаруженным в 1680 г. французским астрономом Жан-Домиником
Кассини [126], является соотношение
Fn+1 Fn_! - F2 = (-1 )п при n > 0.
F.103)
Так, при п = 6 соотношение Кассини справедливо утверждает,
что 13-5—82 = 1. (Этот закон был известен Иоганну Кеплеру [129]
еще в 1608 г.)
Многочленная формула, которая включает в себя числа Фи-
Фибоначчи вида Fn±ic при малых к, может быть преобразована в
формулу, которая включает в себя только Fn и FTl+i, если вос-
воспользоваться правилом
Fm = Fm+2 - Fm+i F.104)
для выражения Fm через большие числа Фибоначчи при та < п,
и если воспользоваться формулой
'та — 'та—2 Т" ' та —1
F.Ю5)
для замены Fm меньшими числами Фибоначчи при та > n+l. Так,
например, можно заменить Fn_i на Fn+i — Fn в F.103), получая
соотношение Кассини вида
Т^-Тп+}Тп-Т* = Н)\ (б.юб)
Кроме того, если заменить пнап+1, то соотношение Кассини
принимает вид
FT.
п+2 Гп
п+1 =
( -I
\п+1 .
J
это то же самое, что и (Fn+i +Fn)Fn — F2+1 = (—1 )n+1, а последнее
совпадает с (б.юб). Таким образом „Кассини(п)" справедливо то-
тогда и только тогда, когда справедливо „Кассини(п + 1)" так что
по индукции равенство F.103) справедливо при любом п.
„La suite de
Fibonacci possede
des proprietes
nombreuses fort
interessantes"
-Э. Люка [208]
6.6 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ 325
„Найти размеры
всех квадрат-
квадратных шахматных
досок, которые
можно разрезать
... и, переставив
части, получить
прямоугольник с
кажущимся прира-
приращением площади в
одну клетку1.1
—Л.Кэррол
[175; с. 388].
Этот парадокс
объясняется тем,
что .. .—впрочем,
волшебство объяс-
объяснять не принято.
Соотношение Кассини лежит в основе геометрического пара-
парадокса, который был одной из излюбленных головоломок Льюиса
Кэррола ([160], [352], [301]). Суть его в том, чтобы взять шахмат-
шахматную доску и разрезать ее на четыре части, как показано ниже, а
затем составить из этих частей прямоугольник:
Presto: первоначальные 8 х 8 = 64 клетки переставлены так, что
получилось 5 х 13 = 65 клеток! Аналогичная конструкция расчле-
расчленяет любой Fn х Fn-квадрат на четыре части с размерами сторон
Fn+i, Fn) Fn_i и Fn_2 клеток вместо соответственно 13, 8, 5, и 3
клеток в нашем примере. В результате получается Fn_i x Fn+r
прямоугольник, и в соответствии с F.юз) одна клетка либо при-
прибавляется, либо утрачивается — в зависимости от того, четно или
нечетно п.
Строго говоря, мы не можем применять правило F.105) кроме
как при m ^ 2, ибо нами не определены Fn при отрицательном п.
Мы обретем большую свободу действий, если избавимся от это-
этого ограничительного условия и воспользуемся правилами F.104)
и F.105) для доопределения чисел Фибоначчи при отрицатель-
отрицательных индексах. Так, F_i оказывается равным Fi — Fq = 1, a F_2 —
равным Fo — F_i = —1. Действуя таким образом, выписываем ве-
величины
n
О -1
-4 -5 -6 -7 -I
-10 -11
0 1-12-35
13 -21 34 -55 89
и вскоре становится ясно (по индукции), что
F_n = (-i
n-целое.
F.Ю7)
Если обобщить последовательность Фибоначчи подобным обра-
образом, то соотношение Кассини F.103) будет справедливым при
любых целых п, а не только при п > 0.
Процесс сведения Fn±i< к комбинации Fn и Fn+i по правилам
F.105) и F.104) приводит к последовательности формул
-f Fn ,
= 2Fn+i + Fn ,
= 3Fn+i + 2Fn ,
Fn+5 = 5Fn+1 + 3Fn ,
Fn-i
Fn-2
Fn-3
Fn-4
= Fn+i
= -Fn+i
= 2Fn+i
= -3Fn+
- Fn,
+ 2Fn,
- 3Fn ,
i + 5Fn,
326 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
в которой просматривается закономерность другого рода:
= FkFn+i+Fk_1Fn. F.108)
Это соотношение, которое легко доказывается по индукции, спра-
справедливо при любых целых кип (положительных, отрицательных
или равных нулю).
Если в (б.ю8) положить к = п, то выясняется, что
следовательно, ?2п кратно Fn. Аналогично,
F.109)
и можно заключить, что ?зп также кратно Fn. И вообще, по ин-
индукции
Fkn кратно
(б.ио)
при любых целых кип. Это объясняет, в частности, почему F15
(которое равно 610) кратно как F3, так и F5 (которые равны 2 и 5).
Фактически справедливо даже большее: в упр. 27 доказывается,
что
HOA(Fm,Fn) = FHOA(m>n) .
F.111)
К примеру, hoa(F12)F18) = нодA44,2584) =8 = Т6-
Теперь можно доказать обращение свойства F.но): если п > 2
и если Fm кратно Fn, то та кратно п. Действительно, если Fn\Fm,
то Fn\ HOA(Fm, Fn) = FHOA(m,n) ^ Fn. А это возможно только тогда,
когда FHOA(m>n) = Fn, и наше допущение о том, что п > 2 приводит
к необходимости того, что нод(ггг,н) = п. Следовательно, тг\ттг.
Обобщение подобных понятий делимости было использовано
Юрием Матиясевичем в его знаменитом доказательстве [214] то-
того, что не существует алгоритма, позволяющего выяснить, разре-
разрешимо ли в целых числах заданное полиномиальное уравнение от-
относительно многих неизвестных с целыми коэффициентами. Од-
Одна из лемм Матиясевича утверждает, что если п > 2, то число
Фибоначчи Fm кратно F^ тогда и только тогда, когда та кратно
пТп.
Докажем это, рассмотрев последовательность (F^ mod FT^)
при k = 1, 2, 3, ... и выяснив, когда же Ткп mod F^ = 0. (Мы
знаем, что та должно иметь вид кп, если Fm mod Fn = 0.) Вна-
Вначале имеем Fn mod F^ = Fn, что не равно нулю. Затем, согласно
F.ю8), получаем
F2n = ТпТп^ -i-Tn^Tn = 2FnFn+i (mod T?x),
поскольку Fn+i = Fn_i (mod Fn). Аналогично
F121+1+F^ = F,2l+1 (modF,2J.
„10. Решение про-
блемы разрешимо-
разрешимости для произволь-
произвольного диофантова
уравнения.
Пусть дано произ-
произвольное диофан-
тово уравнение
с произвольным
числом неизвест-
неизвестных и с целыми
рациональными
коэффициентами;
требуется указать
общий метод,
следуя которому
можно было бы в
конечное число ша-
шагов узнать, имеет
данное уравнение
решение в целых
рациональных
числах или нет1.1
-[246; с. 141].
6.6 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ 327
Это сравнение позволяет вычислить
= F2
= F721+1 Fn + BFnFn+1 )Fn+1 - 3F72l+1 Fn (mod F2),
= F*+i + BFnFn+1 )Fn = FT31+1 (mod F2).
И вообще, индукцией по к усталавливается, что
Fkn=kFnF?] и Fkn+1=F*+1 (modF2).
А поскольку Fn+i взаимно просто с Fn, то
Fkn = 0 (modF2) <^> kFn = O (modF2)
«=> k = 0 (modFn)
и лемма Матиясевича доказана.
Одно из наиболее важных качеств чисел Фибоначчи — это осо-
особый способ представления целых чисел с их использованием. Бу-
Будем писать
j > k «=Ф j ^ к + 2. F.112)
Тогда каждое целое положительное число имеет единственное
представление вида
n = Fkl + Fk2 + • • • + Fkr, ki » k2 » • • • » kr » 0. F.113)
(Это „теорема Цеккендорфа" [188], [342].) К примеру, представле-
представление одного миллиона оказывается таким:
1000000 = 832040 + 121393+46368 + 144+55
= Ьо + Ьб + Ьа +F12 +F10.
Подобное представление всегда может быть найдено с помощью
„жадного" подхода: в качестве Fkl выбирается наибольшее чи-
число Фибоначчи ^ п, затем в качестве Fk2 выбирается наиболь-
наибольшее число ^ п — Fkl, и т. д. (Более точно, предположим, что
Fk ^ n < Fk+1; тогда 0 ^ n - Fk < Fk+1 - Fk = Fk_!. Если п —
одно из чисел Фибоначчи, то представление F.113) справедливо
при г = 1 и ki = k. В противном случае индукция по п показыва-
показывает, что п — Ть имеет фибоначчиево представление Fk2 + • • • + Fkr,
и представление F.113) справедливо, если положить ki = k, ибо
неравенства Fk2 ^ n—Fk < Fk_i означают, что к ^> к2.) И обратно,
всякое представление вида F.113) означает, что
Fk, ^ n < Fkl+i ,
поскольку наибольшим возможным значением Fk2 H hFkr, когда
к > к2 > • • • > кг > 0, является
Fk-2 + ^к-4 Н h ^kmod2+2 = Fk-1 ~ 1 , 6СЛИ к ^ 2. F.И4)
328 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
(Эта формула легко доказывается индукцией по к —ее левая
часть обращается в нуль при к равном 2 или 3.) Поэтому ki — это
как раз описанная выше, „жадно" выбранная величина, и данное
представление должно быть единственным.
Любая система однозначного представления чисел является
системой счисления —следовательно, теорема Цеккендорфа при-
приводит к фибоначчиевой системе счисления. Всякое целое нео-
неотрицательное число можно представить в виде последовательно-
последовательности нулей и единиц, записав
п = (bmbm_i ... b2)F
Эта система счисления отчасти напоминает двоичное (с основа-
основанием 2) представление, за исключением того, что в ней никогда
не встречаются две 1 подряд. Вот, к примеру, числа от 1 до 20,
представленные по Фибоначчи:
1 = @00001 )F 6= @01001 )F 11 = @10100)f 16=A00100)f
2 = @00010)F 7 = @01010)F 12 = @10101)f 17=A00101)f
3 = @00100)F 8 = @10000)F 13 = A00000)f 18 = A01000)f
4=@00101)F 9 = @10001 )F 14 = A00001 )f 19=A01001)f
5 = @01000)f 10 = @10010)f 15 = A00010)f 20 = A01010)f
Фибоначчиево представление одного миллиона, указанное мину-
минутой ранее, может быть сопоставлено с его двоичным представле-
нием219+218+217 + 216 149 6
(ЮООООО)ю = A0001010000000000010100000000b
- A1110100001001000000J.
Фибоначчиево представление требует несколько больше битов,
поскольку не допускаются две 1 подряд —но в остальном оба
представления аналогичны.
При прибавлении 1 в фибоначчиевой системе счисления воз-
возникают два случая. В случае, если „разряд единиц" есть 0, он
заменяется на 1 — тем самым прибавляется F2 = 1, ибо разряд
единиц связан с F2. В противном случае двумя наименее знача-
значащими цифрами будут 01, и они заменяются на 10 (тем самым при-
прибавляя F3 — F2 = 1). Наконец, мы должны „перенести" 1 столько
раз, сколько это необходимо, заменяя набор цифр '011' на '100'
до тех пор, пока в строке цифр имеются две рядом стоящие 1.
(Подобное правило переноса эквивалентно замене Fm+i + Fm на
^m+2-) Так, для того чтобы перейти от 5 = A000)f k6= A001 )f
или от 6 = A001 )f к 7 = A010)f, переносов не требуется, но для
того чтобы перейти от 7 = A010)F к 8 = A0000)f, необходимо
выполнить перенос дважды.
Несмотря на обилие рассмотренных нами свойств чисел Фи-
Фибоначчи, мы пока не сталкивались с какой-либо замкнутой фор-
формулой для них. И хотя выражения в замкнутой форме ни для
6.6 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ 329
„Sit I + х + 2хх +
Зх3 + 5х4 + 8х5 +
13х6 + 21х7 +
34х8 &с Series nata
ex divisione Unitatis
per Trinomium
1 -x-xx."
—Аде Муавр [99]
„Величины г, s, t,
показывающие
отношения чле-
членов, совпадают
с аналогичными
величинами в
знаменателе дро-
дроби. Г-н де Муавр
был первым, кто
применил это
свойство, каким
бы очевидным
оно ни казалось,
к решению задач
о бесконечных
рядах, решить ко-
которые по-другому
было бы весьма
затруднительно"
—Дж. Стирлинг
[286]
чисел Стирлинга, ни для чисел Эйлера или Бернулли найдены
не были, мы все же сумели обнаружить замкнутое выражение
Hn = [^j/n! для гармонических чисел. А нет ли какой-нибудь
связи между Fn и другими известными нам величинами? Можно
ли „разрешить" рекуррентность, посредством которой определя-
определяются числа Fn?
Ответ утвердительный: действительно, существует простой
способ решения этой рекуррентности, если воспользоваться по-
понятием производящей функции, вкратце рассмотренной в гл. 5.
Образуем бесконечный ряд
F(z)
F.116)
Если мы сможем найти простую формулу для F(z), то появят-
появятся шансы установить простую формулу и для его коэффициен-
коэффициентов Fn.
В гл. 7 мы полностью сосредоточимся на производящих функ-
функциях, но к тому времени, когда мы до них доберемся, полезно бу-
будет иметь в запасе этот пример. Степенной ряд T(z) обнаружива-
обнаруживает одно замечательное свойство, если посмотреть, что происходит
при его умножении на z и на z2:
F(z) = F
zF(z) =
z2F(z) =
:o + Fiz H
Foz H
- F2z2 •
- Fiz2 ¦
Foz2-
4- F3z3 H
¦f F2z3 H
4- F,z3 H
h F4z4 -
h F3z4 -
h F2z4 -
f-F5z5
bF4z5
f-F3z5
Если теперь вычесть два последних равенства из первого, то чле-
члены, включающие z2, z3 и большие степени z, пропадут —в силу
фибоначчиевой рекуррентности. К тому же постоянный член Fo
на самом деле никогда не оказывается первым, поскольку То =0.
Следовательно, все, что остается после вычитания,— это (Fi — Fq)z,
т. е. просто z. Другими словами,
F(z)-zF(z)-z2F(z) =z,
и решение T{z) получается в виде компактной формулы
,-, ч Z,
1
F.И7)
Итак, вся информация, содержащаяся в последовательности
Фибоначчи, свернута в несложное (хотя и непонятное) выраже-
выражение z/(l —z — z2). Хотите —верьте, хотите —нет, но это прогресс,
поскольку теперь знаменатель можно разложить на множители,
а затем воспользоваться элементарными дробями для получения
формулы, которую легко разложить в степенной ряд. А коэффи-
коэффициенты этого степенного ряда дадут выражение для чисел Фибо-
Фибоначчи в замкнутой форме.
330 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Быть может, план действия, который мы только набросали,
будет понятнее, если подойти к нему с другого конца. Если име-
имеется какая-нибудь более простая производящая функция —ска-
—скажем, 1/A — otz), где а —некоторая константа, то нам известны
коэффициенты при всех степенях z, поскольку
1
1-otz
= 1 + otz + <x2z2 + <x3z3 + • • • .
Аналогично, если имеется некоторая производящая функция ви-
вида А/A — otz) + В/A — Cz), то коэффициенты также легко вычи-
вычисляются, ибо
1 -
F.118)
Следовательно, все, что от нас требуется,—это найти константы
А, В, а и C, такие, что
В
1 -<xz 1-|3z 1-z-z2 '
и тогда будет получено выражение в замкнутой форме А<хп +
ВCП для коэффициента Fn при zn в разложении F(z). Левая часть
может быть переписана как
В
A-A|3z + B-Botz
1 -otz 1 - |3z
так что интересующие нас четыре константы являются решени-
решениями двух полиномиальных уравнений:
A-az)A-|3z) = 1-z
(A + B)-(AC
¦; F.119)
= z. F.120)
Мы хотим представить знаменатель F(z) в форме произведения
A — otz) A — |3z) — тогда появится возможность выразить T{z) в виде
суммы двух дробей, в которых сомножители A — ocz) и A — |3z)
удачно отделены друг от друга.
Обратите внимание, что сомножители в знаменателе уравне-
уравнения (б.ид) записаны в виде A— az)A—|3z), а не в более привычной
форме c(z— pi )(z— P2), где pi и р2 —некоторые корни. Дело в том,
что запись A — az)A — |3z) приводит к более привлекательным
разложениям в степенные ряды.
Величины а и C могут быть найдены несколькими способами,
в одном из которых используется тонкая уловка. Введем новую
переменную w и попробуем найти разложение вида
w2 —
wz —z
(w- az)(w- Cz)
Уж так повелось:
авторы не мо-
могут обойтись без
уловок.
В соответствии
с обширными
эмпирическими
наблюдениями
европейских ис-
исследователей [61]
отношение роста
человека к высоте
расположения
пупка составляет
примерно 1.618.
6.6 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ 331
Тогда мы сможем просто положить w = 1 и получить разложение
1 — z — z2. Корни уравнения w2 — wz — z2=0 могут быть найдены
по формуле решения квадратного уравнения — они равны
±л/5
¦z.
1+л/5
w —z
1-VS
w —z
Следовательно,
w2 — wz — z1 —
и искомые константы а и C получены.
Число A +у/Ъ)/2 «1.61803 играет важную роль во многих раз-
разделах математики, равно как и в мире искусств, где с античных
времен оно рассматривалось как эстетически самое благоприят-
благоприятное отношение. Поэтому оно имеет специальное название— отно-
отношение золотого сечения и обозначается греческой буквой ф в
честь Фидия, который, как утверждается, сознательно использо-
использовал его в своих скульптурах. Другой корень, A —а/5 )/2 = — 1/ф «
—.61803, обладает многими свойствами числа ф, поэтому и он
имеет специальное обозначение ф — „фи с крышкой" А оба эти
числа являются корнями уравнения w2 — w — 1 =0, так что
ф2 = ф + 1 , $2 = ф + 1. F.121)
(Ниже будет еще о числах ф и ф.)
Итак, найдены константы <х = ф и C = ф, необходимые в
F.119); теперь нужно лишь установить А и В в F.120). Подста-
Подстановка z = 0b это уравнение показывает, что В = —А, так что
F.12о) сводится к уравнению
решением которого является А = 1/(ф —ф) = 1/л/5. Следователь-
Следовательно, разложение F.117) на элементарные дроби имеет вид
F.122)
Неплохо: F(z) получено в той форме, что и хотелось. А разложе-
разложение дробей в степенные ряды, как в F.и8), доставляет выраже-
выражение в замкнутой форме для коэффициента при zn:
К -
1
F.123)
(Эта формула впервые опубликована Даниэлем Бернулли
в 1728 г., но о ней позабыли до 1843 г., пока она не была вновь
открыта Жаком Вине [25].)
Прежде чем замереть в восторге от нашего вывода, следует
проверить его правильность. При п = 0 данная формула пра-
правильно дает То = 0, а при п = 1 она дает Fi = (ф — ф)/л/5, что,
332 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
действительно, равно 1. При больших п уравнения F.121) пока-
показывают, что числа, определенные формулой F.123), удовлетво-
удовлетворяют фибоначчиевой рекуррентности, так что по индукции они
должны быть числами Фибоначчи. (Мы могли бы также разло-
разложить фп и $п в соответствии с биномиальной теоремой и изба-
избавиться от различных степеней \/5, но это приводит к изрядной
путанице. Смысл выражения в замкнутой форме не обязательно
состоит в том, чтобы обеспечить нас методом быстрого вычисле-
вычисления, а скорее в том, чтобы указать, как Fn связано с другими
математическими величинами.)
Проявив некоторую смекалку, можно было бы просто угадать
формулу (б.12з) и доказать ее по индукции. Однако метод про-
производящих функций является действенным способом именно ее
нахождения — в гл.7 мы увидим, что тот же самый метод при-
приводит к решению куда более трудных рекуррентных соотноше-
соотношений. Между прочим, мы нисколько не беспокоились, сходятся ли
бесконечные суммы в нашем выводе формулы F.123),—оказыва-
F.123),—оказывается, что большинство операций с коэффициентами степенного
ряда может быть строго обосновано независимо от того, сходятся
или нет данные суммы в действительности [336]. Тем не менее,
скептически настроенные читатели, подозрительно относящиеся
к действиям с бесконечными суммами, могут найти успокоение в
том факте, что после того, как уравнение F.123) найдено с ис-
использованием бесконечного ряда, оно может быть проверено пу-
путем надежного доказательства по индукции.
Одним из интересных следствий формулы F.123) является то,
что целое число Fn чрезвычайно близко к иррациональному чи-
числу фп/\/5 при большом п. (Поскольку $ по абсолютной величине
меньше 1, то величина $п убывает экспоненциально и ее влия-
влияние почти несущественно.) К примеру, числа Fio = 55 и Fn = 89
очень близки к
^= « 55.00364 и %=г « 88.99775.
л/5 V5
Этим наблюдением можно воспользоваться для вывода другого
выражения в замкнутой форме,
= —р, округленное до ближайшего целого, F.124)
v5
ибо |$п/\/5 | < \ при любом п ^ 0. Если п четно, то Fn немного
меньше, чем фп/\/5; в противном случае оно немного больше.
Соотношение Кассини F.103) может быть переписано как
Ь±1 _ Ли. =
Fn Fn_i Fn_i Fn
6.7 КОНТИНУАНТЫ 333
Если США когда-
нибудь перейдут
на метрическую
систему то наши
знаки ограничения
скорости изменят-
изменятся с 55 миль/час
на 89 км/час. А
может быть, до-
дорожная полиция
будет великодуш-
великодушна и разрешит
даже 90.
Правило „сдвига
вправо" заменяет
п на f(n/4>), a
правило „сдвига
влево" заменяет
п на f(n4>), где
1
При большом п величина 1/Fn_i Fn весьма мала, так что отноше-
отношение Fn+i/Fn должно быть почти тем же самым, что и отношение
Fn/Fn_i, a F.124) указывает на то, что это отношение приближает
ф. И в самом деле,
Fn+1 =
F.125)
(Это соотношение непосредственно проверяется при п = 0 и
п = 1, а при п > 1 доказывается по индукции; оно может
быть также доказано непосредственно подстановкой в формулу
F.123).) Отношение Fn+i/Fn весьма близко к числу ф, которое
оно приближает попеременно то с избытком, то с недостатком.
Кроме того, в силу простого совпадения, число ф довольно
близко к числу километров в одной миле. (Точное число равно
1.609344, поскольку один дюйм равен в точности 2.54 сантиме-
сантиметрам.) Это дает нам удобный способ перевода в уме километров
в мили и обратно, ибо расстояние в Fn+i километров равно (до-
(довольно близко) расстоянию в Fn миль.
Предположим, что мы хотим перевести некоторое число (не
являющееся числом Фибоначчи) километров в мили —сколько
будет 30 км по-американски? Это делается легко: мы просто при-
прибегаем к фибоначчиевой системе счисления и переводим в уме
число 30 в его фибоначчиевое представление 21+8 + 1 с помощью
объясненного выше „жадного" подхода. Теперь можно сдвинуть
каждое число на одну позицию вправо, получая 13 + 5 + 1. (Пер-
(Первоначальная *Г была числом F2, поскольку kr > 0 в F.113); новая
же 'Г —это Fi.) Сдвиг вправо практически равносилен делению
на ф. Следовательно, наша оценка— 19 миль. (Это довольно точ-
точная оценка: правильный ответ —около 18.64 миль.) Аналогично,
для перехода от миль к километрам можно осуществить сдвиг на
одну позицию влево: 30 миль — это примерно 34 + 13 + 2 = 49 ки-
километров. (Это уже не столь точная оценка: правильное число —
около 48.28.)
Оказывается, что подобное правило „сдвига вправо" дает пра-
правильно округленное число миль в п километрах при всех п ^ 100,
за исключением случаев п = 4, 12, 54, 62, 75, 83, 91, 96 и 99} ко-
когда оно отличается меньше чем на 2/3 мили. А правило „сдвига
влево" дает либо правильно округленное число километров в п
милях, либо на 1 км больше, при всех п ^ 113. (Единственный,
действительно нарушающий данное правило случай —это п — 4,
когда отдельные ошибки округления для п = 3 +1 накладывают-
накладываются друг на друга, вместо того чтобы компенсировать друг друга.)
6.7 КОНТИНУАНТЫ
Числа Фибоначчи обнаруживают важные связи с деревом
Штерна—Броко, которое мы изучали в гл. 4, и допускают важные
обобщения на последовательность многочленов, которую обстоя-
обстоятельно изучал Эйлер. Эти многочлены называются континуан-
334 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
тами или К-многочленами, поскольку служат основой изуче-
изучения континуальных (непрерывных) дробей — выражений вида
а0 + . F.126)
К-многочлен Kn (xi, хг,..., хп) содержит п переменных и опре-
определяется рекуррентно следующим образом:
Ко() = 1,
Ki(xi) = X] ,
Kn(xb...,xn) = Kn_i(xi,...,xn_i)xn
+ Кп_2(Хь...,Хп_2). F.127)
Например, три следующих за Ki (xi) случая таковы:
К2(Х1,Х2) = X1X2 + I ,
Кз(Х1,Х2,Хз) = XiX2X3 +Xi +Х3 ,
K4(Xi,X2,X3,X4) = X1X2X3X4+X1X2+X1X4+X3X4 + I .
Отсюда индуктивно легко убедиться, что число членов в Кп равно
(п + 1 )-му числу Фибоначчи:
KnA,1,...,1) =Fn+1. F.128)
Если число переменных ясно по смыслу, то вместо 1Кп' можно
писать просто (К' — точно так же, как можно было опускать число
параметров, имея дело с гипергеометрическими функциями F из
гл.5. Например, K(xi,X2) = K2(xi,X2J = X1X2 + 1. Конечно же, в
формулах типа F.128) нижний индекс п необходим.
Эйлер подметил, что многочлен K(xi ,Х2,... ,хп) может быть
получен, если начать с произведения Х1Х2 ... хп и затем вычерки-
вычеркивать соседние пары x^x^+i всеми возможными способами. Прави-
Правило Эйлера можно представить графически, образуя всевозмож-
всевозможные слова длины п из точек и тире в „азбуке Морзе", где каждая
точка дает длину 1, а каждое тире дает длину 2; вот слова дли-
длины 4 в азбуке Морзе:
Эти слова из точек и тире соответствуют членам K(xi,X2,*3,X4):
точка означает переменную, которая включена, а тире означает
пару переменных, которая исключена. Например, •-• соответ-
соответствует
6.7 КОНТИНУАНТЫ
Слово длины п в азбуке Морзе, которое содержит к тире, со-
содержит п — 2к точек, а всего n — k знаков. Эти точки и тире мо-
могут быть расставлены (\к) способами; поэтому, если заменить
каждую точку наг, а каждое тире — на 1, то получим
k=0
Кроме того, известно, что общее число членов в континуанте рав-
равно некоторому числу Фибоначчи. Следовательно, установлено то-
тождество
k=0
(Выражение в замкнутой форме для F.129), обобщающее фор-
формулу Эйлера—Вине F.123) для чисел Фибоначчи, приведено в
E-74).)
Связь между К-многочленами и словами в азбуке Морзе по-
показывает, что континуанты обладают зеркальной симметрией:
K(xn,...,x2)xi) = К(хьх2,...,хп). F.131)
Поэтому, в дополнение к правосторонней рекуррентности из опре-
определения F.127), они подчиняются рекуррентности, которая при-
пристраивает переменные слева:
Кп(х!,... ,xn)=xiKn_i (х2,...,хп) + Кп_2(х3, •.. ,хп). F.132)
А обе эти рекуррентности являются частными случаями более
общего правила:
¦^•та+п 1^1 > • ¦ • > ^m> ^m-f 1 > • • ¦ > ^m-fn J
= l4m(Xi , . . . , XmJ l4n(Xm-fi , . . . , Xm-|_nJ
+ Km_! (Xi, . . . , Xm_i) Kn_i (xm+2, • • • , Xm+n) . F.I33)
Это правило легко истолковать, исходя из аналогии с азбукой
Морзе: первое произведение KmKn дает те члены Km+n, в которых
нет тире в позиции [т, т + 1], в то время как второе произведе-
произведение дает те члены, в которых в этой позиции тире присутствует.
Если же положить все х равными 1, то данное тождество пока-
показывает, что Fm+n+i = Fm+iFn+i + FmFn; таким образом, F.ю8) —
это частный случай F.133)-
Эйлер [376] обнаружил, что континуанты подчиняются еще
более замечательному правилу, которое является обобщением со-
соотношения Кассини:
X Kn_ic_i (хт+1с+2, • • • ,Xm+n) . F.134)
336 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Это правило (доказанное в упр. 29) справедливо тогда, когда ин-
индексы при всех К неотрицательны. Так, при к = 2,т=Иип = 3
имеем
К(ХьХ2,Хз,Х4)К(Х2,Хз) = К(Х1,Х2,Хз)К(Х2,Хз,Х4) + 1 .
К-многочлены тесно связаны с алгоритмом Евклида. Предпо-
Предположим, например, что вычисление нод(та, п) оканчивается через
четыре шага:
нод(т,п) = нод(по,ги) п0 = т, гц = п,
= нод(тгьп2) rt2=nomodni =no-qin1,
= нод(п2,пз) пз = ги modri2 = Tii —
= нод(пз, П4) n4 = rt2 mod пз = П2 -
= нод(п4,0) 0 = пз mod гц = пз —
= п4
Тогда
пз = Ц4П4 — K(q4)n4 ,
n2 = q3n3 + n4 = K(q3, q4)n4 ,
ni = q2n2 + n3 = K(q2, q3,
n0 = qini +n2 =
И вообще, если алгоритм Евклида находит наибольший общий
делитель d через к шагов после вычисления последовательно-
последовательности частных qi, ..., q^, это означает, что начальными числами
были K(qi, q2,..., qk)d и K(q2,..., qi<)d. (Это обстоятельство бы-
было замечено еще в начале восемнадцатого века Тома Фанте де
Ланьи [183], который, по-видимому, был первым, кто непосред-
непосредственно рассматривал континуанты. При этом Ланьи отмечал,
что последовательные числа Фибоначчи, которые фигурируют в
качестве континуантов, когда q принимают свои минимальные
значения, являются теми наименьшими числами на входе, при
которых алгоритму Евклида требуется некоторое заданное число
шагов.)
Кроме того, континуанты тесно связаны с непрерывными дро-
дробями, от которых они получили свое название. К примеру,
F.13Б)
1 K(a,,a2,a3) "
CL3
Такая же картина наблюдается для непрерывных дробей любой
„глубины". Это легко доказать по индукции; так
К(ао,аьа2,аз,а4)
=
К(сц, а2, а3 + 1/а4) K(ai, а2, а3,
6.7 КОНТИНУАНТЫ 337
в силу соотношения
= Kn(xi,...,xn_i,xn) + Kn_i(xi,...,xn_i)y . F.136)
(Это соотношение доказано и обобщено в упр. 30.)
Сверх того, континуанты тесно связаны и с деревом Штер-
Штерна—Броко, которое обсуждалось в гл. 4. Каждый узел этого де-
дерева может быть представлен в виде последовательности L и R,
скажем, в виде
RaoLa, RQ2La3 Ran-2Lau_, ? F.137)
где a0 ^ 0, а] ^ 1, а2 ^ 1, а3 ^ 1, ..., an_2 ^ I, an_i ^ 0,
а п —четное. Используя 2 х 2-матрицы L и R из D-33)> нетруд-
нетрудно доказать по индукции, что матричным эквивалентом F.137)
является
b...,an_2) Kn_1(a1>...,an_2,an_1) , (g ^
n-1 (ao> ai,..., an_2) Kn(a0, ai,..., an-2, an_i
(Доказательство этого составляет часть упр. 87.) Например,
RaLbRcLd = / Ьс + 1 bed + b + d
у abc + a + с abed + ab + ad + cd + 1
В силу этого можно воспользоваться D-34)» чтобы записать, на-
наконец, выражение в замкнутой форме для дроби из дерева Штер-
Штерна—Броко, L-H-R-представлением которой является F.137):
f(R«....Lan_,} = К^Пао.аь...,^ , 1) з
(Это „теорема Халфена" [329].) К примеру, чтобы найти дробь
для LRRL, полагаем ао = 0, си = 1, а2 = 2, аз = 1 и п = 4; тогда
равенство F.139) дает
,1,2,1,1) КB,1,1) КB,2) 5
= =
КA,2,1,1) КA,2,1,1) КC,2) 7'
(Для поглощения единиц спереди и сзади в списках параме-
параметров мы воспользовались правилом Kn(xi,... ,xn_i,xn + 1) =
Kn+i (xi,...,xn_i,xn, 1) — это правило получается, если подста-
подставить у — 1 в F.136).)
Сравнение F.135) и F-139) показывает, что дробь, соответ-
соответствующая произвольному узлу F.137) B дереве Штерна—Броко,
допускает представление в виде непрерывной дроби
f (Rao ... !>-') = a0 + . F.140)
+
... +¦
1
an-i + у
338 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Таким образом, можно без проволочек переходить от непрерыв-
непрерывных дробей к соответствующим узлам дерева Штерна—Броко. К
примеру,
f (LRRL) = 0 + ]— .
2 +
В гл. 4 мы отмечали, что иррациональные числа определяют
бесконечные пути в дереве Штерна—Броко и что они могут быть
представлены в виде бесконечной строки букв L и R. Если такой
бесконечной строкой для числа а является Ra°LaiRa2La3 ..., то
ей соответствует непрерывная дробь
a = ao H . F.141)
а5 + —
Подобная бесконечная непрерывная дробь может быть получена
и непосредственно. Пусть ao = ос, а при k ^ 0 положим
a* = [оск\ , схк = aic + . F.142)
Otk+1
Числа ak называются „неполными частными" числа ос. Если ос —
рациональное число, скажем та/п, то этот процесс перебирает
находимые с помощью алгоритма Евклида частные и затем оста-
останавливается (при <Xk+i =00).
Рациональна или иррациональна эйлерова константа у? Это-
Этого никто не знает. Некоторую информацию об этой знаменитой А если и знает, то
нерешенной проблеме можно получить, поискав число у в дереве помалкивает.
Штерна—Броко: если оно рационально, мы найдем его, а если оно
иррационально, то мы найдем все наилучшие рациональные при-
приближения к нему. Непрерывная дробь для числа у начинается со
следующих неполных частных:
012345678
0 112 12 14 3
Поэтому представление Штерна—Броко для нее начинается с
таких букв LRLLRLLRLLLLRRRL... — никакой очевидной законо-
закономерности. Вычисления Ричарда Брента [39] показывают, что если
6.7 КОНТИНУАНТЫ 339
Ну число у долж-
должно быть ирраци-
иррациональным в силу
малоизвестного из-
изречения Эйнштей-
Эйнштейна: „Всевышний
не загроможда-
загромождает мироздание
огромными зна-
знаменателями"
у — рациональное число, то его знаменатель должен насчитывать
более 10 000 десятичных цифр. Поэтому никто не верит в то, что
число у рационально,—тем не менее до сих пор никто не смог
доказать, что оно таковым не является.
Завершим эту главу доказательством одного замечательного
тождества, которое связывает воедино многие из подобных поня-
понятий. В гл. 3 было введено понятие спектра — спектром числа а
называется мультимножество чисел [nocj, где а —заданное по-
постоянное число. Поэтому бесконечный ряд
может быть назван производящей функцией для спектра числа
ф, где ф = A + \/5)/2 — отношение золотого сечения. Тожде-
Тождество, которое мы докажем,—открытое в 1976 г. Дж. Л. Дейвисо-
ном [103] —представляет собой бесконечную непрерывную дробь,
которая связывает эту производящую функцию с последователь-
последовательностью Фибоначчи:
F.143)
1 +
1 +
Интересны обе части F.143)» H0 рассмотрим вначале числа
[пф]. Если фибоначчиево представление F.113) числа п есть
Fk, + • • • + FkT, то ожидается, что пф будет приблизительно рав-
равным Fkl +H bFkT+i ~~ числу, которое получается, если сдвинуть
фибоначчиево представление влево (как при переводе миль в ки-
километры). В действительности из F.125) известно, что
пф = Fkl +1 + • • • + Fkr+1 - ($kl + •
Поскольку ф = — 1/ф и ki > • • • :$> kr
0, то
ф"
О-кг
к-1
и фк] + ••• + фкг имеет тот же знак, что и (—1)кт,—рассуждая
аналогично. Следовательно,
[пф] = Fkl+1 + Ь FicT+i - [кг(п) четно] .
F.144)
Условимся называть число п фибоначчиево-нечетным (или,
для краткости, F-нечетным), если самый младший бит его фи-
боначчиева представления равен 1 —это все равно, что сказать
340 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
kr(n) = 2. В противном случае число п является фибоначчиево-
четным (F-четным). К примеру, наименьшими F-нечетными чи-
числами являются 1, 4, 6, 9, 12, 14, 17 и 19. Если кг(п) четно, то
число п — 1 является F-четным в силу F.114); аналогично, если
кг(п) нечетно, то число п — 1 является F-нечетным. Поэтому
кг(п) —четное 4==$ п—1 — F-четное.
Крометого, если kr(n) четно,то из F.144) следует, что кг(|пф]) =2;
если же кг(п) нечетно, то F.144) утверждает, что кг([пф_|) =
кг(п) + 1. Таким образом, кг([пф]) всегда четно, и доказано, что
[пф] — 1 всегда F-четное.
Обратно, если та —некоторое F-четное число, то можно провести
это вычисление в обратном порядке и найти п, такое, что т+1 =
[пф]. (Сперва прибавляется 1 в F-записи, как объяснялось выше.
Если переносов не происходит, то число п оказывается равным
числу (т + 2), сдвинутому вправо; в противном случае число п
равно сдвинутому вправо (тгг+1).) Поэтому сумма в правой части
F.143) может быть записана в виде
= z Y_ zm[m-F-четное]. F.145)
А как насчет дроби слева? Перепишем F.143) так> чтобы дан-
данная непрерывная дробь выглядела как F.141) —с 1 во всех чи-
числителях:
1 'zm. F.146)
(Это весьма тонкое преобразование! Числитель и знаменатель
исходной дроби, имеющей zFn в числителе, нужно поделить на
zFn.) Если оборвать эту новую непрерывную дробь на элементе
1/z~Fn, то ее величина будет равна отношению континуантов
Kn+1 (Z-F« , Z-F- , . . . , Z-Fn ) Kn+1 (Z-Ь , Z-F. , . . . , z-Fn ) '
как и в F.135). Вначале рассмотрим знаменатель, в надежде на
его податливость. Полагая Qn = Kn+i (z~F°,... ,z~Fu), находим,
что Qo = 1, Qi = 1 + 2Г1, Q2 = 1 + z~1 + z, Q3 = 1 + z~1 +
z~2 + z~3 + z~4, и вообще все продолжается как нельзя лучше и
получается геометрический ряд
Qn = 1 + z + z + • • • + z-(Fn+2-1} .
6 УПРАЖНЕНИЯ 341
Соответствующий этому знаменателю числитель Pn = Kn (z~Fl,...,
z~Fu) оказывается подобным Qn, но с меньшим числом членов. К
примеру, имеем
Р5 = Z + г + Z + Z + Z + z-9 + Z0 + z-12
в сравнении с Q5 = 1 +z~1 H hz~12. Более внимательное рассмо-
рассмотрение выявляет закономерность, определяющую, какие члены
присутствуют. Вот она:
г 5
= z
12
12 У" 2
тп=0
и вообще можно
Рп = z1
Поэтому
Рп -
"Fn + 2
Z12
!:m [та—F-четное];
доказать по индукции, что
Fn + 2-1
У~ zm [m — F-четное].
m=0
-1zm[m-F-четное]
Взяв предел при n —» со, получаем F.146) в силу F.145)-
Упражнения
Разминочные упражнения
1 Каковы [2] =11 перестановок множества {1,2,3,4}, содержа-
содержащих ровно два цикла? (Используйте обычную запись переста-
перестановки, наподобие 2314, а не разложение в циклы, как в F.4).)
2 Всего имеется mn функций, отображающих множество из
п элементов во множество из та элементов. Сколько из них
принимают ровно к различных значений?
3 Те, кто складывал стопку карт в „реальной действительно-
действительности", знают, что благоразумно это делать с небольшим запасом
прочности, с тем чтобы стопка карт не опрокинулась при лег-
легком дуновении. Предположим, что центр тяжести верхних к
карт должен находиться по меньшей мере в е единицах от
края (к+1 )-й карты. (Таким образом, первая карта, например,
может выступать над второй самое большее на 1 — е единиц.)
Можем ли мы получить сколь угодно большой выступ, если
располагаем достаточным числом карт?
4 Выразите 1/1 + 1/3 + ••• + 1/Bп+ 1) через гармонические
числа.
342 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
9
Объясните, как получить рекуррентность F.75) из определе-
определения F.74) величины Un(x,i/), и решите эту рекуррентность.
Некий исследователь оставил на острове пару крольчат. Если
крольчата становятся половозрелыми через месяц и если ка-
каждая пара половозрелых кроликов производит на свет пару
крольчат раз в месяц, то сколько пар кроликов будет в нали-
наличии через п месяцев? (Через два месяца будет две пары, одна
из которых —новорожденная.) Установите связь между этой
задачей и „родословным деревом пчел" в тексте главы.
Покажите, что тождество Кассини F.103) является (а) част-
частным случаем соотношения (б.ю8) и (Ь) частным случаем пра-
правила F.134)-
Воспользуйтесь фибоначчиевой системой счисления для пере-
перевода 65 миль/час в приблизительное число км/час.
Сколько примерно квадратных километров в 8 квадратных
милях?
10 Каково представление ф в виде непрерывной дроби?
Обязательные упражнения
11 Чему равна Цк(—1)к[?] —сумма знакочередующихся чисел
ряда треугольника Стирлинга для числа циклов, если п — це-
целое неотрицательно число?
12 Докажите, что числа Стирлинга обладают правилом обраще-
обращения, аналогичным правилу E48):
13 0 дифференциальных операторах D = ^ и д — zD шла речь
в гл. 2 и 5. Имеем
д2 = z2D2 + zD,
поскольку дЧ(z) = flzf '[z] = z±zf'{z) = z2f "(z) + zf (z), что
равносильно (z2D2 + zD)f (z). Точно так же может быть пока-
показано, что ?3 = z3D3 -f 3z2D2 -f zD. Докажите, что при любом
п ^ 0 имеют место общие формулы
(Эти формулы могут быть использованы для перехода от диф-
дифференциального выражения ?^k 0CkZkf(k) (z) к выражению вида
)> как это делалось в E.109).)
Если гармони-
гармонические числа —
червячные, то
числа Фибоначчи
следует называть
кроличьими.
6 УПРАЖНЕНИЯ 343
14 Докажите „степенное" тождество F.37) Для чисел Эйлера.
15 Докажите эйлерово тождество F.39), взяв та-ю разность фун-
функции F.37).
16 Каково общее решение двойной рекуррентности
Ап,о = ап [п ^ 0]; А0(к = 0, если к > 0,
Ап,к = kAn_i)k + An-ijc-i , целые к,п,
когда кип пробегают множество всех целых чисел?
17 Решите следующие рекуррентности, считая, что |?| есть нуль
при п < 0 или к < 0:
n-1
к
= (п-к)
п-1
к-1
п-1
к
п-1
к-1
п-1
к-1
при n,k ^ 0.
при п, к ^ 0.
„к 5:0.
18 Докажите, что многочлены Стирлинга удовлетворяют соотно-
соотношению
(х+1)стп(х+1) = (x-u)(Tn(x) + x(Tn_i(x).
19 Докажите, что обобщенные числа Стирлинга удовлетворяют
соотношениям
х —
к=0
^[х + к1Г х
х J\x-
(-D1
Н /
n +
х + к\
= 0, целое п > 0;
= 0, целое п > 0.
20 Выразите ]Г?=1 Н^ в замкнутой форме.
21 Покажите, что если Hn = an/bn, где an и Ьтг — целые, то
знаменатель Ьтг кратен 2l-lgnJ. Утсазапг/е: рассмотрите число
2LignJ-iHn_i.
22 Докажите, что бесконечная сумма
сходится при любом комплексном числе z, кроме случаев, ко-
когда z — отрицательное целое, и покажите, что она равна Нг, ко-
когда z — неотрицательное целое число. (Тем самым эту форму-
формулу можно использовать для определения гармонических чи-
чисел Hz при комплексном z.)
344 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
23 Коэффициенты разложения z/(ez — 1) по степеням z задают-
задаются равенством F.8i). А каковы коэффициенты разложения
z/(ez -Ь1)? Указание: рассмотрите тождество (ег +1)(ег — 1) =
е2г - 1.
24 Докажите, что тангенциальное число Т27г+1 кратно 2П. Указа-
Указание: докажите, что все коэффициенты ТгпМ и T2U+iM крат-
кратны 2тг.
25 Равенство F.57) показывает, что в конце концов червяк дости-
достигает конца резинки в некоторый момент времени N. Поэтому-
сначала должен наступить такой момент времени п, когда он
будет ближе к концу резинки по истечении п минут, чем он
был по истечении п — 1 минут. Покажите, что п < jN.
26 Воспользуйтесь правилом суммирования по частям для вычи-
вычисления суммы Sn = J^k=i Hfc/k- Указание: рассмотрите, кро-
кроме того, похожую сумму J2k=i Hk-i А-
27 Докажите нод-правило (б.ш) для чисел Фибоначчи.
28 Числа Люка Ln определяются как Fn+i -fFn_i • Таким образом,
согласно F.109), имеем F2n = FnLn. Вот таблица нескольких
их первых значений:
n
О 1 2 3 4 5 б 7 8 9 10 11 12 13
2 1 3 4 7 11 18 29 47 76 123 199 322 521
а Воспользуйтесь репертуарным методом, чтобы показать,
что решение Qn обобщенной рекуррентности
QO = CX, Qi=P, Qn = Qn-l + Qn-2 , П>1,
может быть выражено через Fn и Ln.
b Выразите Ln через ф и $ в замкнутой форме.
29 Докажите тождество Эйлера для континуантов — равенство
F.134).
30 Обобщите F.136) с тем, чтобы найти выражение для конти-
нуанта с приращением K(xi,... ,xm_i ,xm+i/,xm+1,... ,хп) при
1 ^ m ^ п.
Домашние задания
31 Найдите выражение в замкнутой форме для коэффициентов
|?| в представлении возрастающих степеней через убывающие:
п
к
х-, целое n ^ 0.
к.
(К примеру, х4 = х- 4- 12х- 4- Збх- + 24х-, следовательно |4| =
36.)
6 УПРАЖНЕНИЯ 345
Нашим студентам
задача про кир-
кирпичи известна по
Сборнику задач
по теоретической
механике И. В. Ме-
Мещерского, 1-е
издание которого
вышло в 1914 г.
— Перев.
Aral To были
простые года.
32 В гл. 5 мы получили формулы
и
т+1
п+1
развертывая рекуррентность (?) = (nk1) -f (?_]) двумя спосо-
способами. А какие получатся тождества при развертывании ана-
аналогичной рекуррентности {?} = kj11^1} -f {?Z-j}?
33 В табл.294 приведены величины [™] и {?}. Как выглядят вы-
выражения в замкнутой форме (не включающие в себя чисел
Стирлинга) для последующих величин [?] и {3}?
34 Чему равны (~1) и (Т2), если считать, что основное рекур-
рекуррентное соотношение F.35) справедливо при любых целых к
и п, и если (?) = 0 при любом к < О?
35 Докажите, что при всяком е > 0 существует целое п > 1 (за-
(зависящее от е), такое, что Hn mod 1 < е.
36 Можно ли сложить штабель из п кирпичей таким образом,
чтобы самый верхний кирпич полностью выступал над самым
нижним кирпичом; при этом человек, вес которого равен ве-
весу 100 кирпичей, мог бы балансировать на середине верхнего
кирпича, не обрушивая весь штабель?
37 Выразите ^LkTi (k mod m)/k(k-f-1) через гармонические числа,
считая, что тип — целые положительные числа. Какова пре-
предельная величина данной суммы при п —> оо?
38 Вычислите неопределенную сумму ]Г (?)(—1 )kHk 6k.
39 Выразите сумму
чеРез п и
40 Докажите, что 1979 делит числитель суммы
и укажите аналогичную сумму для 1987. Указание: восполь-
воспользуйтесь уловкой Гаусса для получения суммы дробей, числи-
числители которых равны 1979; см. также упр. 4.
41 Вычислите сумму
в замкнутой форме, если п —целое (возможно, отрицатель-
отрицательное) число.
42 Если S—некоторое множество целых чисел, то пусть S + 1
будет „сдвинутым" множеством {х + 1 | х G S}. Сколько под-
подмножеств множества {1,2,..., п} обладают тем свойством, что
346 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
43 Докажите, что бесконечная сумма
.1
+ .01
+ .002
+ .0003
+ .00005
+ .000008
+ .0000013
сходится к рациональному числу.
44 Обоснуйте обращение тождества Кассини (б.юб): если к и та —
целые числа, такие, что |тп2 — km — k2| = 1, то существует
целое и, такое, что к = ±Fn и та = ±Fn+i.
45 Воспользуйтесь репертуарным методом для решения обобщен-
обобщенной рекуррентности
Хо = а, Xi = Р , Xn = Xn_i + Хтг_2 + уп + 6 .
46 Чему равны cos36° и cos 72°?
47 Покажите, что
2n~1F =
и воспользуйтесь этим соотношением для установления вели-
величин Fp mod р и Fp+i mod р при простом р.
48 Докажите, что нулевые параметры К-многочленов могут быть
удалены путем стягивания их соседей:
Kn(xil...,xm_i,O,xm+b...,xn)
— K-n—2lXl,... ,X.m_2,Xm_i +Xm+i ,Xm-f2» • • • jXnJ»
1 < m < n.
49 Укажите представление числа 2Zn>i 2"'-71*-' в виде непрерыв-
непрерывной дроби.
50 Определим функцию f (п) при любом целом положительном
п рекуррентно:
f Bn) = f (n),
fBn + l) =f(n)+f(n + l).
а При каких п значение f (n) четное?
b Покажите, что f (n) может быть выражена через контину-
анты.
6 УПРАЖНЕНИЯ 347
Контрольные работы
51 Пусть р —простое число.
а Докажите, что {?} = [?] = 0 (mod р) при 1 < к < р.
b Докажите, что [р~]] = 1 (mod р) при 1 ^ к < р.
с Докажите, что {2р~2} = [2рр~2] = 0 (mod p) при р > 2.
d Докажите, что если р > 3, то [р] = 0 (mod p2). Указание:
рассмотрите р^.
52 Пусть число Нп записано в виде несократимой дроби ап/Ьп.
а Докажите, что 1р\Ъп <(==$ p\a|_n/pj, если р — простое.
b Найдите все п > 0, такие, что an делится на 5.
53 Выразите в замкнутой форме сумму 2ИГ=о (к) (~Лк^к при
О ^ та ^ п. Указание: такая сумма, без множителя Н^, со-
содержится в упр. 5.42.
54 Пусть п > 0. Цель этого упражнения —показать, что знамена-
знаменатель числа Bin является произведением всех простых р, таких,
что (р — 1)\Bп).
а Покажите, что Sm{x>) + [(р — 1)\тп] кратно р, когда р —
простое и m > 0.
b Воспользуйтесь результатом части (а), чтобы показать, что
B2n + у
^—р простое р
является целым числом.
Указание: достаточно доказать, что если р — некоторое
простое число, то знаменатель дроби В2П+ [(р — 1 )\Bп)]/р
не делится на р.
с Докажите, что знаменатель числа В2П всегда является не-
нечетным кратным шести и что он равняется б для бесконеч-
бесконечно многих п.
55 Выведите F.70) в качестве следствия некоторого более общего
тождества, вычисляя сумму
У П(х+к'
и дифференцируя затем по х.
56 Вычислите Цк^т (?) (-1 )ккп+1/(к-т) в замкнутой форме как
функцию целых чисел та и п. (Это сумма по всем целым к, за
исключением к = та.)
57 „Обернутые биномиальные коэффициенты порядка 5" опреде-
определяются как
348 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
и ((?)) = [к = 0]. Пусть Qn ~" разность между наибольшим и
наименьшим из этих чисел в n-м ряду:
Qn = max (( )) - min ((
Установите и обоснуйте связь между числами Qn и числами
Фибоначчи.
58 Выразите в замкнутой форме суммы YLn^o ^nzU и
Что вы можете сказать о величине F731+1 — 4F3 — F3^?
59 Докажите, что если m и п — целые положительные числа, то
существует целое х, такое, что Fx = та (mod 3n).
60 Укажите все целые положительные п, такие, что либо Fn -Ь 1,
либо Fn — 1 являются простыми числами.
61 Докажите тождество
П 1 , F2n_i
Ьп '
Делое
Чему равна сумма J^?=0 1 /Т"з-2к ?
62 Пусть Ап = фтг + ф~тг и Вп - фп - ф"п.
а Найдите константы а и |3, такие, что Атг = aAn_i + (ЗАП_2
и Bn = aBn_i + |ЗВтг_2 при любом п ^ 0.
b Выразите Атг и Вп через Fn и Ln (см. упр. 28).
с Докажите, что ^7кг=1 1/(F2k+i + 1) = Bn/An+i.
d Выразите в замкнутой форме сумму J^k=i V(^2k+i ~ !)•
Конкурсные задачи Конкурентные
задачи
63 Сколько перестановок П\Пг... 7tn множества {1,2,..., п} содер-
содержат ровно к индексов j, таких, что:
а Яг < 7tj при всех г < j? (Подобные j называются левосто-
левосторонними максимумами")
b щ > j? (Подобные j называются „превышениями")
64 Чему равен знаменатель дроби [1 J^-n] > если ее привести к не-
несократимому виду?
65 Докажите тождество
66 Чему равна Цк(—1 )кG^) — сумма чисел тг-го ряда треугольни-
треугольника Эйлера с чередующимися знаками?
6 УПРАЖНЕНИЯ 349
67 Докажите, что
68 Покажите, что (G|г)) = 2(^), и выразите (B)) B замкнутой
форме.
69 Найдите выражение в замкнутой форме для J2k=i k2Hn+i<.
70 Покажите, что обобщенные гармонические числа из упр. 22
разлагаются в степенной ряд Нг = Лп>2(—1 ^H^/z11.
71 Докажите, что обобщенный факториал из уравнения
может быть записан как
рассмотрев предел при п —> оо первых тг сомножителей данно-
данного бесконечного произведения. Покажите, что ^(z!) связано с
обобщенными гармоническими числами из упр. 22.
72 Докажите, что функция тангенс разлагается в степенной ряд
F.92), и найдите соответствующий ряд для z/sinz и
ln((tgz)/z).
73 Докажите, что zctgz равен
z z z z z/ z + kn z — kn
2^V g"^r" + Ctg~2^"
2^22 2V ^ 2
при любом целом п ^ 1, и покажите, что при фиксированном
к и п —> оо предел к-го общего члена равен 2z2/(z2 — k27t2).
74 Укажите связь между числами ТпA) и коэффициентами раз-
разложения 1/cosz.
75 Докажите, что тангенциальные числа и коэффициенты раз-
разложения 1/cos z располагаются по сторонам бесконечного тре-
треугольника, который начинается следующим образом:
1
О 1
1 1 О
0 12 2
5 5 4 2 0
О 5 10 14 16 16
61 61 56 46 32 16 О
Каждая строка содержит частичные суммы предыдущей
строки, поочередно слева-направо и справа-налево.
Указание: рассмотрите коэффициенты степенного ряда для
(sin z + cos z)/ cos(w + z).
350 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
76 Найдите выражение в замкнутой форме для суммы
к
и покажите, что она равна нулю при четном п.
77 При целых m и п, п ^ 0, формула F.48) дает значение О"п(тп)
при та < 0, формула F.49) — при т^пи формула F.ioi) —
при та = 0. Покажите, что в остальных случаях имеет место
равенство
та! (и-та)! ^— [та-к] и-к
78 Докажите следующее соотношение, которое связывает числа
Стирлинга, числа Бернулли и числа Каталана:
2n \(-1)k =Bj2n\ 1
79 Покажите, что в парадоксе „64 = 65й четыре части шахматной
доски могут быть переставлены и таким образом, что окажет-
окажется „64 = 63'!
80 Последовательность, определенная рекуррентно как Ai = х,
Л2 = yt Ап = An_i -Ь Ап_2, содержит Ат = 1000000 при неко-
некотором та. Какие целые положительные числа х и у приводят
к максимально возможному та?
81В тексте описан способ сведения формулы, содержащей числа
Fn±k, к формуле, содержащей только числа Fn и Fn+i. Поэтому
естественно поинтересоваться, могут ли две такие формулы
„сведения" быть равными, если они не совпадают по форме.
Пусть Р(х,г/) будет многочленом относительно х и у с цело-
целочисленными коэффициентами. Укажите необходимое и доста-
достаточное условие того, что P(Fn+i, Fn) =0 при любом п ^ 0.
82 Объясните, как складывать целые положительные числа, дей-
действуя исключительно в фибоначчиевой системе счисления.
83 Возможно ли, чтобы последовательность (Ап), удовлетворя-
удовлетворяющая фибоначчиевой рекуррентности Ап = An_i + Ап_2, не
содержала простых чисел, если Ао и Ai —взаимно простые
числа?
84 Пусть та и п —целые нечетные положительные числа. Выра-
Выразите в замкнутой форме
m>U ~~0 ^2mk+n + Fm т>П ~J Ьтк+n ~ Fm
Указание: суммы из упр. 62 —это S+3--Si~2n-f3 и S^~3 — Sf2n+3.
6 УПРАЖНЕНИЯ 351
85 Охарактеризуйте все такие N, что вычеты чисел Фибоначчи
Fn mod N для п^О образуют полное множество {0,1,..., N—1}.
(См. упр. 59.)
86 Пусть Ci, Сг,.. . — последовательность ненулевых малых чи-
чисел, такая, что
НОД(Ст)Стг) = СНОд(т,тг)
для всех положительных целых та и п. Докажите, что обоб-
обобщенные биномиальные коэффициенты
п
CnCn_i ... Cn_k+i
CkCk_i ... C]
все являются целыми числами. (В частности, „фибоначчиевы
коэффициенты", образованные этим способом из чисел Фибо-
Фибоначчи, целые ввиду (б.ш).)
87 Покажите, что К-многочлены представимы в виде произведе-
произведения матриц
О 1
0 1
1 х2
0 ]
и в виде определителя
*1 1
det
-1 *2
О -1
\ 0 0
0
1
-1
О \
0
1
88 Обобщая F.146), укажите непрерывную дробь, связанную с
производящей функцией YLn^i z^n<x^ если сх —некоторое по-
положительное иррациональное число.
89 Пусть а —некоторое иррациональное число из интервала @,1),
и пусть си, A2, аз, ... —неполные частные в его представле-
представлении в виде непрерывной дроби. Покажите, что |D(a,n)| < 2,
где п = К (си,..., am), а D — это отклонение, определенное в
гл. 3.
90 Пусть Qn — наибольший знаменатель на n-м уровне дерева
Штерна—Броко. (Таким образом, в соответствии со схемой
из гл.4 (Qo,Qi,Q2,Q3,Q4,...) = A,2,3,5,8,...).) Докажите,
что Qn = Fn+2-
Исследовательские проблемы
91 Каким способом лучше всего распространить определение {?}
на произвольные вещественные числа пик?
352 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
92 Пусть число Нп записано в виде несократимой дроби an/bn,
как в упр. 52.
а Бесконечно ли много таких п, что p\an при некотором
фиксированном простом р?
b Бесконечно ли много таких п, что bn = нокA,2,... , п)?
(Двумя подобными п являются п = 250 и п = 1000.)
93 Докажите, что числа у и гу иррациональны.
94 Разработайте общую теорию решения двухпараметрической
рекуррентности
n —
к
У J
1
n
к
-1
-1
= k = 0] прип,к ^ 0,
считая, что |?| =0 при n < 0 или к < 0. (Биномиаль-
(Биномиальные коэффициенты, числа Стирлинга, числа Эйлера и после-
последовательности чисел из упр. 17 и 31 —это все частные слу-
случаи.) Какие отдельные значения (а, C,-у, а', |3',у') образуют
„фундаментальные решения" через которые может быть вы-
выражено общее решение?
95 Найдите эффективный способ распространить алгоритм Го-
Госпера—Зильбергер а с гипергеометрических членов на члены,
содержащие числа Стирлинга.
7
Производящие функции
САМЫЙ МОЩНЫЙ на сегодняшний день метод работы с после-
последовательностями чисел — это преобразования бесконечных рядов,
которые „порождают" эти последовательности. Мы уже изучили
некоторое количество последовательностей и встречались с про-
производящими функциями; теперь самое время заняться более глу-
глубоким изучением производящих функций и убедиться в их ис-
исключительной полезности.
7.1 ТЕОРИЯ ДОМИНО И РАЗМЕН
Производящие функции настолько важны, а для многих из
нас они достаточно новы, чтобы оправдать некоторое расслабле-
расслабление перед тем, как заняться ими вплотную. Поэтому попытаемся
в начале главы развить нашу интуицию в отношении производя-
производящих функций на примере некоторых игр и забав. Мы рассмотрим
два приложения производящих функций —одно, связанное с до-
домино, и другое, связанное с монетами.
Как велико число Тп способов покрытия 2 х п-прямоугольника
костяшками домино размера 2x1? Мы будем считать, что все ко-
костяшки идентичны (потому, что лежат лицевой стороной вниз,
или, может быть, кто-то сделал их неразличимыми, например,
покрасив в красный цвет); следовательно, имеет значение толь-
только ориентация костяшки — вертикальная или горизонтальная: мы
можем представлять себе, что работаем с плитками в форме до-
домино. Например, существует 3 покрытия 2 х 3-прямоугольника,
а именно, СШ, ОВ и ED, так что Тз = 3.
Чтобы найти общее выражение для Тп в замкнутом виде, мы,
как обычно, обратимся к простым начальным случаям. Для п = 1
существует, очевидно, одно покрытие, D; когда п = 2 —имеется
два покрытия: Ш и В.
А что можно сказать про случай п = 0; сколько покрытий
возможно здесь? Сразу не ясно, как понимать этот вопрос, но
раньше нам уже встречались подобные ситуации. Так, имеется
одна перестановка нуля объектов (а именно, пустая перестанов-
354 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
ка), поэтому 0! = 1. Имеется один способ выбрать 0 предметов
из п (а именно, не выбрать ничего), поэтому (?) = 1. Имеется
один способ разбить пустое множество на нулевое число непу-
непустых подмножеств, но нет ни одного такого способа для непустого
множества; поэтому {?} = [п = 0]. Рассуждая аналогично, прихо-
приходим к выводу, что существует ровно один способ покрыть домино
2 х О-прямоугольник; способ состоит в том, чтобы не класть ни од-
одной костяшки; следовательно, То = 1. (Это противоречит простой
формуле Тп = п, справедливой для п = 1, 2 и 3; по-видимому,
такое простое предположение придется отвергнуть, поскольку, в
соответствии с логикой ситуации, То желает быть единицей.) Ча-
Часто оказывается, что тщательное изучение нулевого случая весь-
весьма полезно при решении задач перечисления.
Рассмотрим еще один простой случай, п = 4. Имеется две воз-
возможности расположения плиток на левом конце прямоугольни-
прямоугольника—можно положить там либо одну плитку вертикально, либо
две горизонтально. Если мы выберем вертикальную плитку, то
получим частичное решение [О и оставшийся 2 х 3-прямоугольник
можно покрыть плитками Тз способами. Если же выбрать две
горизонтальные плитки, то частичное решение ЕП можно завер-
завершить Т2 способами. Таким образом, Т4 = Тз + Тг = 5. (Вот эти
пять покрытий: ГГТП, ITR, ГТ=П, RTI, PR.)
Теперь нам известны первые пять значений Тп:
п
тп
0
1
1
1
2
2
3
3
4
5
Все это подозрительно похоже на числа Фибоначчи, и нетруд-
нетрудно понять почему. Рассуждения, с помощью которых мы дока-
доказывали, что Т4 = Тз + Тг, немедленно обобщаются на любое п:
Тп = Tn_i + ТТ1_2 для п ^ 2. Таким образом, здесь мы имеем то
же самое рекуррентное соотношение, что для чисел Фибоначчи,
только начальные значения То = 1 и Тт = 1 другие. Однако это —
последовательные члены ряда Фибоначчи Fi и F2, так что после-
последовательность чисел Т совпадает с последовательностью Фибо-
Фибоначчи, сдвинутой на одну позицию:
Tn = Fn+1 при n ^ 0.
(Мы считаем это выражением в замкнутом виде для ТП| по-
поскольку числа Фибоначчи достаточно важны, чтобы считаться
„известными" Кроме того, сами Fn имеют выражение в замкну-
замкнутом виде F.123) в терминах алгебраических операций.) Отметим,
что это уравнение подтверждает мудрость выбора То = 1.
Однако при чем здесь производящие функции? Мы как раз
приближаемся к тому, чтобы воспользоваться ими,— и это будет
еще один способ нахождения Тп. Этот способ основан на весьма
смелой идее. Рассмотрим „сумму" всех возможных расположений
плиток в 2 х n-прямоугольнике для всех п^Ои назовем ее Т:
Смело пойдем
вперед-туда,
где нет мощеных
дорог.
7.1 ТЕОРИЯ ДОМИНО И РАЗМЕН 355
Я нутром чую, что
эти суммы должны
сходиться, если
ТОЛЬКО КОСТЯШКИ
домино будут до-
достаточно малыми.
(Первое слагаемое Т в правой части означает пустое покрытие
2хО-прямоугольника.) Эта сумма Т содержит массу информации.
Польза ее в том, что мы можем доказать что-то относительно Т
в целом, вместо того чтобы вести доказательство (по индукции)
относительно индивидуальных слагаемых.
Слагаемыми в этой сумме являются покрытия, т. е. комбина-
комбинаторные объекты. Не будем задумываться о том, насколько до-
допустимо суммирование бесконечного числа покрытий; все можно
сделать совершенно строго, но сейчас наша цель — выйти в своем
сознании за рамки привычных алгебраических формул.
Мы уже сложили покрытия, но можем также и умножать их —
приписывая одно вслед за другим. Например, умножив D на В,
получим покрытие СВ. Заметьте, однако, что умножение неком-
некоммутативно—порядок сомножителей важен: [В отличается от ED.
При таком определении умножения, как легко понять, пустое
покрытие играет особую роль — это мультипликативная единица.
Например, I х В = В х I = В.
Теперь используем арифметику домино для манипулирования
с бесконечной суммой Т:
ВТ. G.2)
В правых частях этих равенств каждое правильное покрытие со-
содержится ровно по одному разу, так что сделанные нами преобра-
преобразования имеют смысл, даже несмотря на пренебрежение предо-
предостережением из гл. 2 об „абсолютной сходимости" Нижняя строка
этого уравнения говорит нам, что любое покрытие в Т есть либо
пустое покрытие, либо вертикальная плитка, за которой припи-
приписано что-то из Т, либо две горизонтальные плитки, за которыми
приписано еще что-то из Т.
Попробуем теперь решить это уравнение относительно Т. За-
Заменив Т в левой части на IT и вычтя два последних слагаемых из
обеих частей уравнения, получим
(I-D-B)T=I. G.3)
Для проверки раскроем скобки:
1 + 0 + Ш + В + СШ + [В + В]+---
— П — ГП — ГГП — ГП — ПТП — ГГН — П=П — •••
— В — В] — BU — ЕВ — ПТП — НИ — FFT1 — • • •
I
Каждый член верхней строки, за исключением первого, сокра-
сокращается с каким-либо членом второй или третьей строки, так что
наше уравнение правильно.
До сих пор было сравнительно легко находить комбинатор-
комбинаторный смысл в получаемых уравнениях. Но теперь, чтобы полу-
356 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
чить короткое выражение для Т, нам придется выполнить ком-
комбинаторное деление. Слепо доверяя алгебраическим преобразова-
преобразованиям, поделим обе части уравнения G.3) на I — 0 — В и получим
(Умножение некоммутативно, поэтому, не различая левое и пра-
правое деление, мы оказываемся на грани жульничества. Однако в
данном случае это неважно, поскольку I коммутирует с чем угод-
угодно. Но не будем слишком придирчивы, пока наши заумные идеи
не привели к парадоксу.)
Следующий шаг — развернуть эту дробь в степенной ряд, ис-
используя правило
= 1 + z + zl + z5 +
1-Z
Пустое покрытие I — мультипликативная единица в нашей комби-
комбинаторной арифметике — будет играть роль обычной мультипли-
мультипликативной единицы 1, а вместо z используем 0 + В. Получим раз-
разложение
I-D-B
= 1+ (D+B) + (Ш+Н+В]+Ш)
Это действительно Т, однако покрытия расположены в другом
порядке, чем мы записывали ранее. Каждое покрытие встречает-
встречается в этой сумме ровно один раз; так, ihhihiсодержится в (D+BO.
Чтобы извлечь из этой бесконечной суммы какую-нибудь по-
полезную информацию, мы можем сжать ее, проигнорировав дета-
детали, не представляющие интереса. Так, например, можно предста-
представлять себе, что отдельные плитки не склеены друг с другом и
коммутируют между собой; тогда покрытие ihhihi превратится
в О4о6, поскольку оно содержит 4 вертикальные и 6 горизонталь-
горизонтальных плиток. Приведение подобных членов дает ряд
Т =l+0 + D2 + a2 + D3+2Da2 + D4 + 3D2o2 + a4 + --- .
Здесь слагаемое 20 о2 представляет два члена старого разложе-
разложения СВ и ED, имеющих по одному вертикальному и по два гори-
горизонтальных домино; аналогично, 3D2о2 представляет три члена
ПН, ЕНиЕШ. По-существу, мы рассматриваем D и о как обычные
(коммутирующие) переменные.
Используя биномиальную теорему, можно выразить коэффи-
коэффициенты коммутативного варианта Т в замкнутом виде:
= 1+ (D + a1) + @ + a2J + @ + o2K +
= L
7.1 ТЕОРИЯ ДОМИНО И РАЗМЕН 357
kV°2k~2i
W™. G-5)
(На последнем шаге мы заменили к — j на та; это допусти-
допустимо, поскольку ф =0 при 0 ^ k < j.) Мы заключаем таким
образом, что (*+.т) есть число способов покрытия 2 х (j + 2та)-
прямоугольника с помощью j вертикальных и 2та горизонталь-
горизонтальных домино. Так, мы только что рассматривали покрытие ii-hihi
2 х 10-прямоугольника, включающее 4 вертикальные и б гори-
горизонтальных плиток; всего имеется D+3) = 35 таких покрытий,
следовательно, одним из членов в коммутативном варианте Т бу-
будет 35 О4 о6.
Мы можем отбросить еще некоторые детали, если перестанем
обращать внимание на ориентацию плиток. Не будем заботиться
о том, чтобы различать горизонтальные и вертикальные плитки,
мы хотим только узнать общее число 2 х n-покрытий. (Это есть
как раз число Тп, с которого мы начинали свое исследование.)
Требуемую информацию можно получить, просто заменив D и о
Сейчас я совсем на некоторую величину z. Можно также заменить I на 1, и в итоге
дезориентирован. получим
Т= 1_J_z2 ¦ G-6)
Это — производящая функция F.117) для чисел Фибоначчи, с той
только разницей, что в числителе отсутствует множитель z; по-
поэтому мы делаем вывод, что коэффициент при zn в Т равен Fn+i.
Найденные компактные представления для Т: 1/A —D —В),
1/A— D — п2)и1/A- z — z2), называются производящими функ-
функциями, поскольку из них можно получить (они производят) ин-
интересующие нас коэффициенты.
Помимо прочего, из нашего исследования можем заключить,
что число покрытий 2 х n-прямоугольника ровно та парами гори-
горизонтальных домино составляет (n^lm). (Действительно, в покры-
покрытии будет } = п — 2та вертикальных домино, следовательно, в
соответствии с нашей формулой найдется
п — та\
m J
способов осуществить покрытие.) В гл. 6 мы видели, что (n^1m)
есть число последовательностей азбуки Морзе длины п, содер-
содержащих та тире; и на самом деле нетрудно увидеть прямое соот-
соответствие между 2 х n-покрытиями и последовательностями аз-
азбуки Морзе. (Покрытие ihhihi соответствует '.--..-.'.) Таким
образом, покрытия с помощью домино тесно связаны с контину-
антами, которые мы изучали в гл. 6. Мир так тесен.
358 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Мы решили задачу вычисления Тп двумя способами. Первый
способ — угадать ответ и доказать его по индукции —проще; вто-
второй способ — использовать бесконечную сумму покрытий и из-
извлечь из нее интересующие нас коэффициенты — более изощрен-
изощренный. Почему же нам понадобился второй способ —не потому ли,
что с костяшками домино очень увлекательно играть, считая их
алгебраическими переменными? Нет; истинная причина его по-
появления в том, что метод бесконечных сумм обладает заметно
большими возможностями. Этот метод применим к значитель-
значительно более широкому кругу задач, поскольку он не требует от нас
сверхъестественных догадок.
Попробуем подняться еще на одну ступень, занявшись зада-
задачей, где угадать ответ будет выше наших сил. Сколько существу-
существует способов покрыть костяшками домино 3 х п-прямоугольник
(обозначим это число Un)?
Кое-что можно узнать, проанализировав начальные случаи.
Пустое покрытие дает Uq = 1. Для п = 1 не существует допусти-
допустимых покрытий, поскольку одна 2 х 1-плитка не заполняет 3x1-
прямоугольник, а для двух нет места. Следующий случай, п = 2,
легко анализируется вручную: имеется три покрытия Ш, й и §,
так что U2 = 3. (Мы на самом деле уже знали это, поскольку из
предыдущей задачи известно, что Тз = 3, а способов покрытия
3 х 2-прямоугольника ровно столько же, сколько и для 2x3-
прямоугольника.) Для п = 3, как и для п = 1, нет покрытий. В
этом можно убедиться, либо быстренько перебрав все варианты,
либо же взглянув на проблему с более высокого уровня: площадь
3 х 3-прямоугольника нечетна, так что его, наверное, не удастся
покрыть домино с четной площадью. (Очевидно, что те же рассу-
рассуждения применимы в случае любого нечетного п.) Наконец, когда
п = 4, имеется, вроде бы, около дюжины покрытий; чтобы найти
точное число, надо потратить изрядное время, проверяя полноту
списка.
Испробуем поэтому подход с бесконечной суммой, который
успешно сработал в прошлый раз:
и=| + ш + В + § + Ш + М + Ш + Еа + Ш+---. G-7)
Каждое непустое покрытие начинается с Ь, f или с §; но, к сожа-
сожалению, в первых двух из этих трех случаев нельзя просто выне-
вынести множитель и прийти снова к U. Однако сумму всех членов U,
начинающихся с Оз, можно записать в виде [1, V, где
есть сумма всех покрытий ущербного 3 х n-прямоугольника без
левого нижнего углового квадратика. Аналогично, члены U, на-
начинающиеся с ЕР, можно записать как ЕрЛ, где
7.1 ТЕОРИЯ ДОМИНО И РАЗМЕН 359
состоит из всех покрытий прямоугольника без левого верхнего
угла. Ряд А представляет собой зеркальное отражение V. Эти
разложения позволяют записать
u = i -
Точно так же разлагаются сами V и А, поскольку входящие в них
покрытия могут начинаться лишь двумя способами:
V = DU
Теперь мы имеем три уравнения с тремя неизвестными A1, Уи
А). Их можно решить, выразив сначала V и А через U и подставив
результаты в уравнение для U:
u=
gu.
Это последнее уравнение можно решить относительно U, получив
компактную формулу
Из другого курса
я узнал кое-что о
„регулярных" вы-
выражениях. Если я
не ошибаюсь, то на
языке регулярных
выражений можно
записать
поэтому должна
быть какая-то
связь между
регулярными
выражениями и
производящими
функциями.
U =
- F(I-e?)-1d - Ш'
G*)
Это выражение определяет U так же, как G-4) определяет Т.
Наш следующий шаг — использовать коммутативность. Все
замечательно упрощается, если мы разрешим домино свободно
перемещаться и запишем только степени 0 и ?:
U =
1
1 - D2c
A - о3) - 02оA - а3) - а3
A-а3J-202а
1-202cdA-d3)-2
1 202о ¦ 404о2
1 - а3 + A - а3K + A - а3M + A - а3O
к>0
2k02kok
A _аЗJк4
_ у
]2как+3т
(Этот вывод заслуживает тщательной проверки. На последнем
шаге использована формула A — w)~2k~] = YLm (т^2к)™т» то-
тождество (б-5б).) Посмотрим внимательно на нижнюю строку и
360 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
попытаемся понять, о чем она может рассказать. Во-первых, из
формулы следует, что любое 3 х n-покрытие использует четное
число вертикальных домино. Кроме того, если имеется 2к вер-
вертикальных домино, то горизонтальных домино должно быть не
менее к и общее число горизонтальных домино должно равнять-
равняться к + Зт для некоторого та ^ 0. И, наконец, число возможных
покрытий с 2к вертикальными и k+Зтп горизонтальными домино
равняется (т+2кJк.
Теперь мы в состоянии проанализировать 3 х 4-покрытия, что
вызвало затруднения в начале нашего исследования задачи 3 х п.
Если п = 4, то общая площадь равна 12, поэтому всего потре-
потребуется б домино. Из них будет 2к вертикальных и к + Зт го-
горизонтальных костяшек для некоторых к и та; следовательно,
2к + к + Зт = 6. Иначе говоря, к + т = 2. Если вертикальные
костяшки не использовать вообще, то к = 0 и та = 2; число ва-
вариантов равно B^°J° = 1. (Здесь мы учли покрытие Щ.) Если
мы используем две вертикальные плитки, то к = 1 и та = 1; всего
имеется A|2J1 = 6 таких покрытий. Если, наконец, использо-
использовать 4 вертикальные плитки, то к = 2 и та = 0; таких покрытий
@q4J2 = 4, а всего покрытий будет 1Ц = П. В общем случае
для четного п те же рассуждения показывают, что к + та = \п,
следовательно, (т*2к) = (n/2-k) и °бщее число 3 х п-покрытий
равно
Как и ранее, можно заменить оба символа D и а на z, полу-
получая производящую функцию без дискриминации домино по их
убеждениям. Результатом будет функция
1 1-z3
U= I -z3A -z3)-1 -z3A -z3)-1 -z3 = 1-4z3+z6 * G>10)
Раскладывая эту дробь в степенной ряд, получим
U = 1+U2z3 + U4Z6 + U6z9 + U8z12 + --- ,
производящую функцию для чисел U71. (Курьезное несоответ-
несоответствие индексов и показателей степеней в этой формуле легко объ-
объяснимо. Коэффициент при z9, например, есть 11б, отвечающий за
покрытия 3 х 6-прямоугольника. Это как раз то, чего мы хоте-
хотели, поскольку каждое такое покрытие включает девять костяшек
домино.)
Можно было бы продолжить анализ G-ю) и выразить коэф-
коэффициенты в замкнутом виде, но отложим это до лучших времен в
этой главе, когда наберемся опыта. Поэтому оставим пока домино
и обратимся к следующей объявленной задаче, „размену"
Сколько существует способов заплатить 50 центов? Мы счи-
считаем, что платить можно пенни ©, никелями ©, даймами ®,
7.1 ТЕОРИЯ ДОМИНО И РАЗМЕН 361
Ну да, я еще по-
помню те времена,
когда в ходу были
полудоллары.
Банковские
монеты.
четвертями © и полудолларами ©. Дьёрдь Пойа [243] популя-
популяризовал эту задачу, продемонстрировав поучительный способ ее
решения с помощью производящих функций.
Запишем бесконечную сумму, представляющую все возмож-
возможные способы размена, так же, как ранее в задаче про домино бес-
бесконечные суммы представляли все покрытия. Начать проще всего
со случая, когда имеется меньше разновидностей монет, поэтому
положим для начала, что у нас нет никаких монет, кроме пенни.
Сумму всех способов заплатить некоторое количество пенни (и
только пенни) можно записать в виде
Р=
©©©©
© + ®2 + ®3 + ®4
Первое слагаемое обозначает вариант не заплатить ничего, второе
слагаемое означает одно пенни, затем два пенни, три пенни и т. д.
Если теперь кроме пенни допускается использовать еще и никели,
то суммой всех возможных способов будет
N = Р
= (/ +
© + ©2 + ©3 + ©4 +
IP,
поскольку каждый вариант выплаты включает некоторое коли-
количество никелей, выбираемых из первого множителя, и некоторое
количество пенни, выбираемых из Р. (Заметьте, что N не равня-
равняется сумме /+® + © + (© + ©J + (® + ©K Н , поскольку эта
сумма включает многие виды выплат более чем по одному разу.
Например, член (® + ©J = ®® + ®© + ©® + ©© трактует
®© и ©®, как если бы они были различными, но мы хотим пе-
перечислить все множества монет по одному разу безотносительно
к их порядку.)
Аналогично, если допустить еще и даймы, то получим беско-
бесконечную сумму
D =
IN,
которая, если ее полностью раскрыть, будет содержать слагаемые
вида ®3©3®5 == ®®@©©©®®®®®. Каждое такое слагаемое
есть какой-то способ размена. Добавление к банку допустимых
монет четвертей и полудолларов даст
Q =
С =
+ © + ©2 + ©3 + ©4 + • • •) D ;
+ 0 + ©2 + ©3 + ©4 + • • •) Q .
Наша задача состоит в том, чтобы найти, сколько слагаемых в С
стоят ровно 50 центов.
Задача решается с помощью простого трюка. Заменим ® на z,
© на z5, ® на z10, © на z25 и © на z50. Каждое слагаемое тогда
заменится на zn, где п — стоимость исходного слагаемого в пенни.
Например, слагаемое ©®©@® превратится в z50+10+5+5+1 = z71.
Каждый из четырех возможных способов заплатить 13 центов, а
362 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
ч13
Г13.
именно, @©3, ©О8, ©2©3 и ©lj, сведется к zIJ; следовательно,
коэффициентом при z13 после z-подстановки будет 4.
Пусть Pn, Nn, Dn, Qn и Сп обозначают число способов за-
заплатить сумму в п центов, если можно использовать монеты не
старше, соответственно, 1,5, 10, 25 и 50 центов. Наш анализ пока-
показал, что эти числа суть коэффициенты при zn в соответствующих
степенных рядах
р = 1 + z + z2 + z3 +
N = (l+z5+z10 + z1
+
OP,
Q = A+z25
C = (l+z50
+ z100 + z150 + z200 +
•)D,
••)Q.
Очевидно, что Pn = 1 для всех n ^ 0. По кратком размышлении
легко доказать, что Nn = [п/5\ + 1: для того чтобы составить
сумму в п центов из пенни и никелей, мы должны взять 0, или
1, или ..., или |_n/5j никелей, после чего останется лишь един-
единственный способ выбрать требуемое число пенни. Итак, значения
Рп и Nn легко вычисляются, однако с Dn, Qn и Сп дело обстоит
гораздо сложнее.
Один из подходов к исследованию этих формул основан на
замечании, что 1 + zm + z2m -\ есть просто 1/A — zm). Следо-
Следовательно, мы можем записать
Р = 1/A-20,
N =P/(l-z5),
Q =D/(l-z25),
C = Q/(l-z50).
Умножая на знаменатель, получим
Сколько пенни су-
существует реально?
Если тг больше,
скажем, 1010, то
я готов поспорить,
что „в реальном
мире" ?п = 0.
A -Z5)N = Р,
(l-zlo)D = N,
(l-z25)Q = D,
(l-z50)C = Q.
Теперь, приравнивая коэффициенты при z11 в этих уравнениях,
получим рекуррентные соотношения, из которых желаемые ко-
коэффициенты легко вычисляются:
Рп = ?п^ + [п = 0]у
Nn = Nn_5 + ?п ,
Dn = Dn_io + Nn,
Qn = Qn-25 + Dn ,
Cn = Cn_50 + Qn •
(Не считая тако-
такого способа, как
заплатить чае-
чаевые кредитной
карточкой.)
7.1 ТЕОРИЯ ДОМИНО И РАЗМЕН 363
Например, коэффициент при zn bD = (I—z25)Q равен Qn—Qn-25;
поэтому должно быть Qn — Qn-25 — Dn, как и записано выше.
Можно было бы раскрыть эти соотношения и выразить Qn, на-
например, в виде Qn = Dn + Dn-25 + Dn_5o + Dn-75 H , где сумма
обрывается, когда индексы становятся отрицательными. Однако,
исходная, неитеративная форма удобна тем, что каждый коэф-
коэффициент вычисляется с помощью всего одного сложения, как в
треугольнике Паскаля.
Используем эти соотношения, чтобы найти Cso- Во-первых,
С5о = Со + Qso, так что нам нужно знать Qso- Далее, Qso =
Q25 + D50 и Q25 = Qo + О25; поэтому нас также интересует Dso
и D25- Эти значения Dn, в свою очередь, зависят от D40, D30,
D20, Di5, Dio и D5 и от Nso, N45, . • •, N5. Таким образом, чтобы
определить все нужные коэффициенты, достаточно выполнить
простые вычисления:
п
Nn
Dn
Qn
0
1
1
1
1
1
5
1
2
2
10
1
3
4
15
1
4
6
20
1
5
9
25
1
6
12
13
30
1
7
16
35
1
8
40
1
9
25
45
1
10
50
1
11
36
49
50
В самом низу таблицы находится ответ Cso' имеется ровно 50 спо-
способов дать 50 центов „на чай"
А что можно сказать о замкнутой форме для Сп? Перемноже-
Перемножение всех уравнений дает нам компактное выражение
С =
1
1
1
1
1
1-zi-z5 I -z10 1 -z25 1 -;
.50
однако сразу не очевидно, как извлечь отсюда коэффициенты при
zn. Это все же возможно; мы еще вернемся к этой задаче позднее
в этой главе.
Формулы в задаче размена получаются более элегантными в
стране, где чеканятся монеты любого положительного достоин-
достоинства (©, ©, ©, ... ), а не только те пять, с которыми мы работа-
работали раньше. Соответствующая производящая функция является
бесконечным произведением дробей,
1
и коэффициент при zn в этом выражении, если перемножить и
раскрыть все скобки, называется р(п) —число разбиений п. Раз-
Разбиение п — это представление п в виде суммы положительных
целых слагаемых без учета порядка. Например, имеется семь раз-
364 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
личных разбиений пятерки, а именно,
5=4+1 =3+2 = 3+1 + 1 =2+2+1 =2+1+1+1
= 1+1+1+1 + 1;
следовательно, рE) = 7. (Кроме того, рB) = 2, рC) = 3, рD) = 5
и рF) = 11; судя по началу, все р{п)—простые числа. Однако
рG) = 15, и замечательная гипотеза гибнет.) Для р{п) неизвест-
неизвестно выражение в замкнутом виде, однако теория разбиений пред-
представляет собой захватывающую область математики, в которой
было сделано немало замечательных открытий. Например, Ра-
мануджан, выполнив остроумные преобразования производящих
функций, доказал, что рEп+4) — 0 (mod 5), рGп+5) = 0 (mod 7)
ирA1п + 6) - 0 (mod 11) (см. Эндрюс [386, гл.10]).
7.2 ОСНОВНЫЕ МАНЕВРЫ
Сконцентрируем теперь свое внимание на методах, кото-
которые и позволяют говорить о степенных рядах в превосходной сте-
степени.
Сначала несколько слов о терминологии и обозначениях. Вся-
Всякая производящая функция может быть произведена из следую-
следующего общего выражения
G(z) = go + giz+g2z2 + ... = ]Г gnzn. G.12)
Мы говорим, что G(z) или, кратко, G является производящей
функцией последовательности (go, gi, 92> • • •), которую мы также
записываем как (дп). Коэффициент дп при zn в G{z) часто обо-
обозначается [zn] G{z), как в разд. 5.4.
Сумма в G-12) включает все n ^ 0, но иногда удобнее рас-
распространить диапазон суммирования на все целые п. Мы мо-
можем сделать это, просто положив g_i = g_2 = • • • = 0. В та-
таких случаях можно по-прежнему говорить о последовательности
(go, gi > Q2y • • •), как если бы дп не существовали для отрицатель-
отрицательных п.
При работе с производящими функциями можно говорить о
двух разновидностях выражений в „замкнутом виде" Возмож-
Возможно, мы выразим G(z) через z в замкнутом виде или же нам
удастся найти выражение gn через п. Например, производящая
функция для чисел Фибоначчи записывается в замкнутом виде
как z/(l — z — z2); сами же числа Фибоначчи выражаются как
(фп — $п)Д/5. Из контекста будет ясно, какой замкнутый вид мы
имеем в виду.
Теперь поговорим о перспективах. Производящая функция
G (z) может являться нам в двух ипостасях в зависимости от то-
того, как мы ее рассматриваем. Иногда это функция комплексного
переменного z, имеющая все стандартные свойства, доказывае-
доказываемые в учебниках анализа. В других же случаях производящая
7.2 ОСНОВНЫЕ МАНЕВРЫ 365
Если физики
преуспели в том,
чтобы считать свет
по обстоятельствам
волной или части-
частицей, то почему бы
математикам не
рассматривать
производящие
функции дву-
двумя различными
способами?
И даже если от-
отбросим всякие
условности.
функция — просто формальный степенной ряд, в котором z сто-
стоит потому, что ведь что-то надо написать. В предыдущем разде-
разделе, например, мы использовали вторую точку зрения; несколько
раз мы подставляли z в „сумму" комбинаторных объектов вме-
вместо каких-либо качеств этих объектов. После этого коэффициент
при zn отвечал числу комбинаторных объектов, имеющих это ка-
качество в количестве п.
Если мы рассматриваем G(z) как функцию комплексного пе-
переменного, то встает вопрос о сходимости ряда. Как мы опреде-
определили в гл. 2, бесконечная сумма Y-n^o 9n.zn сходится (абсолютно)
тогда и только тогда, когда существует константа Л, такая, что
конечная сумма ^0^Tl^N lgnZn| ни для каких N не превосходит Л.
Отсюда легко усмотреть, что если сумма Y.n>o 9nZn сходится для
некоторого значения z = zo, то она сходится и для всех z при
\z\ < \zq\. Кроме того, должно выполняться Цтп_юо Ig^z^l = 0;
следовательно, в обозначениях гл.9, gn = O(|l/zo|n), если име-
имеется сходимость в точке zq. Обратно, если gn = О(МП), то ряд
^п>о 9n.zn сходится для всех \z\ < 1/М. Это — основные факты о
сходимости степенных рядов.
Однако, как правило, сходимость не будет играть для нас су-
существенной роли, если только мы не изучаем асимптотическое
поведение коэффициентов. Почти всем операциям над произво-
производящими функциями, которые мы проделывали, можно дать стро-
строгое истолкование как операциям над формальными степенными
рядами, и такие операции являются корректными, даже если ряд
расходится. (Соответствующую теорию можно найти, например,
в работах Белла [19], Найвена [228] и Хенричи [336, гл. 1].)
С другой стороны, даже если мы отбросим все предосторож-
предосторожности и выведем какую-либо формулу без строгого обоснова-
обоснования, то обычно оказывается возможным просто взять оконча-
окончательную формулу и доказать ее по индукции. Например, про-
производящая функция для чисел Фибоначчи сходится лишь при
\z\ < 1/ф « 0.618, но нам совсем не нужно знать об этом при
доказательстве формулы Fn = (фп — $п)Д/5. Однажды обнару-
обнаружив эту формулу, мы можем доказать ее непосредственно, если
не доверяем теории формальных степенных рядов. Таким обра-
образом, в этой главе мы будем пренебрегать вопросами сходимости;
исследование сходимости было бы только помехой.
До сих пор речь шла о перспективах. А теперь рассмотрим
наш инструментарий, т. е. набор приемов преобразования произ-
производящих функций —их сложения, сдвига, замены переменных в
производящих функциях, дифференцирования, интегрирования
и перемножения. В последующем изложении мы примем, если
не оговорено противное, что F(z) и G(z)—производящие функ-
функции последовательностей (fn) и (gn). Будем также считать, что
fn и gn нулевые для отрицательных п, поскольку такое предпо-
предположение позволит в некоторых случаях не заботиться о пределах
суммирования.
366 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Вполне очевидно, что получится, если умножить каждую из
производящих функций F и G на константу и сложить результа-
результаты:
<xF(z) + |3G(z) = a
C ^ gnzn
G-13)
Мы получаем производящую функцию последовательности
(<xfn + f3gn).
Сдвиг производящей функции ненамного сложнее. Чтобы
сдвинуть G[z) вправо на та позиций, т.е. построить произво-
производящую функцию для последовательности @,..., 0, go, gi,...) =
(9n-m), начинающуюся с т нулей, просто умножим функцию
Hazm:
zmG(z) =
целое m ? 0.
G.14)
= X 9n-mZ
n n
Когда мы в гл. 6 искали выражение в замкнутом виде для чисел
Фибоначчи, то использовали (дважды) именно эту операцию, а
также сложение, чтобы вывести уравнение A — z — z2)F(z) = z.
Чтобы сдвинуть G(z) на m позиций влево, т. е. построить про-
производящую функцию последовательности (gm> gm+i, gm+2,...) =
(9n+m), из которой удалены первые та элементов, вычтем пер-
первые та членов и затем поделим на zm:
G(z)-go-giz gm-izm~1
G.15)
(Последнюю сумму нельзя распространить на все п, если только
не окажется д0 = • • • = дт_1 = 0.)
Еще один из наших трюков — это умножение z на константу:
G(cz) = Y_ 9n(cz)n =
G.16)
получили производящую функцию последовательности (cngn).
Особенно важен частный случай с = — 1.
Часто оказывается нужным добавить к коэффициентам мно-
множитель п. Сделать это позволяет дифференцирование:
G'[z) =
G.17)
Выполнив сдвиг на одну позицию вправо, получим формулу, ко-
торая иногда даже более полезна:
G.18)
Не нравится мне
это дифференци-
рование-разложе-
ние—разрушение.
производящими
созидающими
функциями.
7.2 ОСНОВНЫЕ МАНЕВРЫ 367
Это — производящая функция последовательности (ngn). Пов-
Повторное дифференцирование позволяет умножить gn на любой же-
желаемый многочлен от п.
Обратная операция, интегрирование, дает способ поделить
элементы последовательности на п:
G(t)dt = g0z+-giz2 + -g2z3 + ..- = ]T^gn-izn. G-19)
giz +
(Заметьте, что постоянный член равен нулю.) Если вместо
(gn_i/n) нужна производящая функция для (gn/"n), то следует
сначала выполнить сдвиг на одну позицию влево, заменив в
интеграле G(t) на (G(t) — go)/t.
И, наконец, продемонстрируем умножение производящих
функций:
F(z)G(z) = (f0 + fiz + f2z2 + • • • )(g0 -f- giz+ g2z2 + • • •)
= (fogo) + (fogi + f 1 go)z + (fo92 + f i gi + f2go)z2 + • • •
Как мы видели в гл.5, полученная сумма есть производящая
функция последовательности (Нп), свертки (fn) и (gn). Сум-
Сумму Нп = Hkfkgn-k можно записать и как Нп = Ик=о^дп-к,
поскольку fk — 0 при к < 0, а Qn-v. = 0 при к > п. Умноже-
Умножение/свертка немного сложнее других операций, однако очень по-
полезна— настолько полезна, что мы посвятим весь разд. 7.5 разбо-
разбору примеров ее использования.
Имеется ряд частных случаев умножения, которые заслужи-
заслуживают того, чтобы рассматривать их как отдельные операции.
Один из таких случаев мы уже видели: если F(z) = zm, то получа-
получаем операцию сдвига G-14)- В этом случае сумма Нп превращается
в один член gT1_m, поскольку все коэффициенты fk равны 0, за
исключением f m = 1.
Еще один полезный частный случай получается, когда F(z) —
хорошо знакомая нам функция 1/A — z) = 1 +z + z2H ; здесь
все fк (для к ^ 0) равны 1, и мы получаем важную формулу
. G.21)
Умножение производящей функции на 1/A — z) дает производя-
производящую функцию для последовательности частичных сумм исходной
последовательности.
В табл. 368 собраны все операции, которые мы рассмотрели.
Для эффективного использования этих операций полезно иметь
в запасе достаточно большой набор производящих функций. В
табл. 369 перечислены простейшие из них; используя для начала
их, мы уже сможем решить кое-какие задачи.
368 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Таблица 368 Преобразования производящих функций.
<xF(z) + CG(z) = 2_(«fn + Cgn)zn
П
zmG(z) = ]T gn_m zn , целое m ^ 0
G(z) - go - giz gm-iz™-1
= ^ gn+m zn , целое m ^ 0
G(cz) =
zG'(z) =
Каждая производящая функция, включенная в табл. 369, са-
сама по себе достаточно важна, чтобы ее стоило запомнить. Многие
функции здесь — частные случаи других, а некоторые могут быть
легко получены применением операций из табл. 368; таким обра-
образом, работа по запоминанию не очень велика.
Рассмотрим, например, последовательность A,2,3,4,...), про-
производящая функция 1/A — zJ которой часто бывает нужна. Эта
производящая функция находится примерно в середине табл. 369,
но, кроме того, это —частный случай та = 1 последовательно-
последовательности О,^1),^2),^3),...)» помещенной в таблице ниже; а
также частный случай с = 2 родственной последовательности
A,с, (с^1), (Сз2)> • • •)• Мы можем вывести нужную формулу из
производящей функции последовательности A,1,1,1,...), взяв ее
частичные суммы как в G-2i)i т-е- поделив 1/A — z) на A — z).
Или же можно вывести ее из A,1,1,1,...) дифференцированием,
воспользовавшись G-17)-
Подсказка: если
последователь-
последовательность состоит из
биномиальных
коэффициентов, то
ее производящая
функция обычно
содержит биномы
1 ±z.
Хорошо, хорошо,
убедили.
7.2 ОСНОВНЫЕ МАНЕВРЫ 369
Таблица 369 Простые
функции.
последовательность
A,0,0,0,0,0,..)
@,..,0,1,0,0,..)
A,1,1,1,1,1,..)
A,-1,1,-1,1,-1,..)
A,0,1,0,1,0,..)
A,0,..,0,1,0,..,0,1,0,
A,2,3,4,5,6,..)
A,2,4,8,16,32,...)
A,4,6,4,1,0,0,..)
(I.e.©,©,-..)
j \
. 2 з ч
{ ,с,с ,с ,..;
/i /m+1\ /т+г-у /tn+3\
\ ' V т )>\ т )> \ т )>"
@,1,1,1,1,..)
1 1 1
( . > 2>3» 4>-")
/11111 1 \
\•> •> 2> 6> 24» 120 >'"'/
последовательности и их
производящая
функция
^;
г.,
[n = m]zlv
г0
Zn
;o[2\n]zn
>Q[m\n]zn
(n + l)zn
2n zn
>-0 [nj Z
/c+n-l\
Д n JZ
cn zn
г0
/ ТП.+Т1 \ „
zn
¦-o\ m J
:1 П
Н)П+1.п
H П
1 n
производящие
замкнутый
вид
1
zm
1
1 -z
1
1 +z
1
1 -z2
1
1 -zm
1
A -zJ
1
1 -2z
l
A -z)c
1
1 -cz
1
A-Z)m+1
1л
m
1 —z
370 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Последовательность A,0,1,0,...) — еще один пример после-
последовательности, производящую функцию которой можно найти
многими способами. Ясно, что можно просто вывести формулу
Yinz2n = 1/A — z2), подставив z2 вместо z в тождество XLnzU "
1/A — z); можно также применить суммирование к последова-
последовательности A,-1,1,-1,...) с производящей функцией 1/A + z),
получив 1/A + z)(l — z) — 1/A — z2). Имеется и третий путь;
он основан на общем методе извлечения членов с четными номе-
номерами (до, 0, д2,0, д4,0,...) из любой последовательности: сложив
G(— z) и G(+z), получим
G(z) + G(-z) = J^ gn(l + (-1 )n)zn =
71
следовательно,
^ =2^92nZ2n. G.22)
11
Аналогично можно извлечь члены с нечетными номерами:
В частном случае gn = 1 и G(z) = 1/A — z) получаем, что про-
производящая функция для A,0,1,0,...) есть j(G{z) + G(— z)) =
^
1l + T^T
Попробуем применить этот прием к производящей функции
для чисел Фибоначчи. Мы знаем, что XLn^-2-11 ~ Z/H ~ z — zl)\
поэтому
Z-Z2
(l-z2J-z2 ) 1-3z2+z4'
Эта функция производит последовательность (Fq, 0, F2,0, F4, • •.);
таким образом, последовательность чисел Фибоначчи через один,
(Fo, F2, F4, ?б>...) = @,1,3,8,...), имеет простую производящую
функцию
7.3 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ 371
7.3 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ
СООТНОШЕНИЙ
Настало время заняться вплотную одним из самых важ-
важных применений производящих функций — решением рекуррент-
рекуррентных соотношений.
Для рекуррентного соотношения, которому удовлетворяет по-
последовательность (gn), нам интересно получить выражение gn
через п в замкнутом виде. С помощью производящих функций
эта задача решается в четыре шага, которые выполняются до-
достаточно механически и их почти можно запрограммировать на
компьютере:
1 Запишите одно уравнение, выражающее дп через другие эле-
элементы последовательности. Это уравнение должно оставать-
оставаться справедливым для всех целых п с учетом того, что g_i =
9-2 = • • • = 0.
2 Умножьте обе части уравнения на zn и просуммируйте по
всем п. В левой части получится сумма ]ГП gnzn, которая рав-
равна производящей функции G{z). Правую часть следует пре-
преобразовать с тем, чтобы она превратилась в какое-то другое
выражение, включающее G(z).
3 Решите полученное уравнение, получив для G{z) выражение
в замкнутом виде.
4 Разложите G(z) в степенной ряд и прочитайте коэффициент
при z11; это и будет замкнутый вид для gn.
Причина работоспособности этого метода в том, что единая фун-
функция G{z) представляет всю последовательность (gn) и это пред-
представление допускает многие преобразования.
Пример 1: снова числа Фибоначчи
Попробуем в качестве примера повторить вывод формулы для
чисел Фибоначчи из гл. 6. Там мы нащупывали путь, изучая но-
новый метод; теперь будем действовать более систематически. Вот
перед нами заданное рекуррентное соотношение:
9о = 0, gi = 1 ,
9п = gn-i + 9п-2 пРи п ^ 2.
Найдем выражение для gn в замкнутом виде, выполнив приве-
приведенные выше четыре шага.
Шаг 1 требует записать рекуррентное соотношение в виде
„одного уравнения" для gn. Мы могли бы записать
(О, если n ^ 0,
1, если п = 1,
9n-i +9п-2> еслип> 1,
но это самообман. В действительности на шаге 1 нужна форму-
формула, не содержащая конструкций с перечислением случаев. Одно
372 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
уравнение
9п = 9п-1 + 9п-2
имеет место для п ^ 2, и, кроме того, оно справедливо при n ^ О
(поскольку до = 0 и дОтРиц. = 0). Однако для п = 1 имеем 1 в
левой части и 0 —в правой. К счастью, это затруднение легко
преодолеть, достаточно просто прибавить [п = 1] к правой части;
это увеличивает правую часть на 1 при п = 1 и не изменяет ее
при п/1. Итак, мы имеем
9п = 9n-i +9n-2 + [n = 1];
это как раз то уравнение, которое требуется на шаге 1.
Теперь шаг 2 предлагает преобразовать уравнение для (gn) в
уравнение для G(z) = ^Гп gn.zn. Это несложная задача:
nzn = ?_ 9u-i zn Y,
n n
z
Шаг 3 в нашем случае тоже прост; имеем
G(z) = t^i.
что, конечно, неудивительно.
Вся загвоздка в шаге 4. В гл. б выполнить этот шаг помогло
внезапное озарение; теперь же будем двигаться медленнее, с тем
чтобы позднее без затруднений справиться с этим шагом в более
сложных задачах. Чему же равен
1 J 1-z-z2 '
коэффициент при zn в разложении z/A — z — z2) в степенной ряд?
Как в более общем случае, имея произвольную рациональную
функцию
где Р и Q — многочлены, определить коэффициент [z11] R(z)?
Имеется один вид рациональных функций с особенно хороши-
хорошими коэффициентами, а именно,
7.3 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ 373
(В табл. 369 содержится эта формула в случае р = 1; общую фор-
формулу, показанную здесь, можно получить подстановкой pz вме-
вместо z.) Коэффициенты конечной суммы функций вида G-25),
'A -
тоже неплохие:
•2 + '
m1
i- G-27)
Мы покажем, что любая рациональная функция R(z), такая, что
R@) ф со, может быть выражена в виде
R(z)=S(z)+T(z), G.28)
где S(z) имеет вид G-2б), a T(z) — многочлен. Таким образом, для
коэффициентов [zn] R(z) имеется выражение в замкнутом виде.
Нахождение S(z) и T(z) эквивалентно нахождению „разложения
в элементарные дроби" функции R(z).
Заметьте, что S(z) = со для значений z, равных 1/pi, ..., 1/рь
Следовательно, числа рк, которые нам надо найти, если мы хотим
представить R(z) в виде S(z) +T(z), должны представлять собой
обратные величины к числам ос^, для которых Q(cXk) = 0. (На-
(Напомним, что R(z) = P(z)/Q(z), где Р и Q —многочлены; поэтому
R(z) = со, только если Q(z) = 0.)
Допустим, что Q(z) имеет вид
Q(z) = qo + qiz+--- + qmzm, где q0 ф 0 и qm ф 0.
„Обращенный" многочлен
QR(z) = qozm + qizm-1+--- + qm
имеет важную взаимосвязь с Q(z):
QR(z) = qo(z-pi)...(z-pm)
Q(z) = qo(l-piz)...A-pmz).
Таким образом, корни QR обратны к корням Q и наоборот. Сле-
Следовательно, для нахождения нужных нам чисел рк достаточно
разложить обращенный многочлен QR(z) на множители.
Например, в случае последовательности Фибоначчи имеем
Q(z) = 1 -z-z2; QR(z) = z2-z-l .
374 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Корни QR можно найти с помощью общей формулы для кор-
корней квадратного уравнения (—Ь±\/Ь2 — 4ас)/2а, положив в ней
(а,Ь,с) = A,-1,-1); они оказываются равными
ф =
и
Следовательно, QR(z) = (z — ф){г— $) и Q(z) = A —
— $z).
Найдя числа р, можно перейти к построению разложения на
элементарные дроби. Сделать это проще всего в случае различ-
различных корней; поэтому рассмотрим сначала этот частный случай.
Мы можем сформулировать и доказать общий результат:
Теорема о разложении рациональных функций
в случае различных корней
Если R(z) = P(z)/Q(z), гАе Q(z) = qo(l - Piz)... A - Plz), и
числа (pi,..., pi) различны, a P(z) —многочлен степени меньше I,
то
[zn] R(z) = сц p?
сцр^ , ще ак =
Q'A/pO
G-29)
Доказательство: Пусть си, ..., сц — константы с указанными вы-
выше значениями. Формула G-29) будет справедлива, если R(z) =
P(z)/Q(z) равняется
S(z) = -^— + -
1
Мы можем доказать, что R(z) = S(z), если установим, что функ-
функция T(z) = R(z) — S(z) не бесконечна при z —> 1/pk- Отсюда будет
следовать, что рациональная функция T(z) вообще не обращает-
обращается в бесконечность; следовательно Т (z) — многочлен. Кроме того,
мы можем увидеть, что T(z) —> 0 при z —> 00; следовательно
T(z) должна быть нулем.
Пусть оск = 1/рк- Нам нужно доказать, что limz_>ak T(z) 7^ сю,
а для этого достаточно установить, что limz_>CX|c (z— ock)T(z) = О,
поскольку Т (z) — рациональная функция z. Таким образом, мы
хотим показать, что
lim (z— aic)R(z) = lim (z—
^ z—><xic
Предел в правой части равен limz_>aic ak(z — ?Xk)/A — pkz) =
-ak/pk, поскольку A - pkz) = -pk(z- ak) и (z- ak)/A - Pjz) -> 0
для j 7^ k. Предел в левой части равен
hm z- ak
= P ak lim
'Q(Z) "v~K'^k QB) Qi(
по правилу Лопиталя. Таким образом, теорема доказана.
Оставьте книгу
открытой на этой
странице — это
потрясет ваших
родителей.
7.3 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ 375
Вернемся к примеру с числами Фибоначчи. Здесь P(z) = z, a
Q(z) = 1 -z-z2 = A -фг)A -$z); следовательно Q'(z) = -1 -2z
и
-pPA/p) -1 P
Q'A/p) -1-2/p 9 + 2-
Значит, в соответствии с G-29), коэффициент, с которым фп вхо-
входит в [zn] R(z), равняется ф/(ф + 2) = 1Д/5; коэффициент при $п
равен $/($ + 2) = —1/л/5- Таким образом, теорема утверждает,
что Fn = (фп - $п)/\/5, как в F.123).
Если Q(z) имеет кратные корни, то вычисления становятся бо-
более сложными, но мы можем усовершенствовать доказательство
и установить справедливость следующего, более общего резуль-
результата:
Общая теорема о разложении
рациональных производящих функций
Если R(z) = P(z)/Q(z), гАе Q(z) = qo(l - Piz)d^ ... A -Plz)^ и
числа (pi,..., pi) различны, a P(z) —многочлен степени меньше,
чем dH h di, то
PA/Pk)
[zn] R(z) = f! (n)p1!1 + • • • + fi(n)p{x при любом п^0у G.30)
где все fk(ri) являются многочленами степени &\с — ] со старшим
коэффициентом
_
k
Этот результат можно доказать индукцией по max(di,..., сЦ), ис-
используя тот факт, что
pf ,
является рациональной функцией, в знаменателе которой стоит
многочлен, не делящийся на A — pkz)dk для любых к.
Пример 2: довольно произвольное
рекуррентное соотношение
Сейчас, познакомившись с более общими методами, мы готовы
взяться за новые задачи. Попробуем решить в замкнутом виде
рекуррентное соотношение
go = gi = 1,
9n = gn-i + 2дп-2 + (-1Г при n ^ 2. G.32)
376 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Всегда неплохо составить таблицу нескольких начальных значе-
значений, и рекуррентное соотношение позволяет легко сделать это:
n
(-1)n
9n
0
1
1
1
-1
1
2
1
4
3
-1
5
4
1
14
5
-1
23
6
1
52
7
97
Простой формулы не просматривается, и, более того, эта после-
последовательность отсутствует в справочнике по целочисленным по-
последовательностям Слоана [276]; так что нам никуда не деться от
четырехшагового процесса, если только мы действительно хотим
найти решение.
Шаг 1 прост; здесь требуется просто состряпать какие-то по-
поправочные члены, чтобы учесть случаи п < 2. Уравнение
выполняется для всех целых п. Теперь можно выполнить шаг 2:
n=1
= zG(z)+2z2G(z)
1+z
+ Z.
(В данном случае мы могли бы записать ( J) вместо (—1 )n[n ^ 0],
что дает ^Гп (~^)zn = A +z)~] по биномиальной теореме.) Шаг 3
требует лишь элементарной алгебры и дает
G(z)
A+z)(l-z-2z2)
Теперь нам остался только шаг 4.
Некоторую сложность представляет множитель в квадрате в
знаменателе, поскольку, как мы знаем, в случае кратных кор-
корней анализ труднее, чем в случае различных; но здесь встретился
именно этот случай. У знаменателя два корня, pi = 2 и р2 = — 1;
общая теорема о разложении G-3°) говорит нам, что
9n =
с некоторой константой с, причем
1 + 1/2 + 1/4 7
си =
A+1/2J 9'
а2 =
1-1+1
1
3*
(Когда знаменатель имеет простые множители, удобнее исполь-
использовать для вычисления а^ вторую формулу в G-31)» а не первую.
Замечание:
верхний индекс
в ?пв1 z" не
пропущен!
7.3 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Нам нужно всего лишь подставить z = 1/рк всюду в R(z), за ис-
исключением множителя, обращающегося в нуль, и поделить ре-
результат на (dk — 1)!; это даст коэффициент перед ndk~1pk-) Под-
Подстановка п = 0 показывает, что неизвестная пока константа с
должна быть равна |; таким образом, ответом будет
1)V G.33)
Не составит большого труда проверить случаи п = 1 и 2, про-
просто для того чтобы быть уверенными, что мы нигде не ошиблись.
Может быть стоит попробовать и п = 3, поскольку формула вы-
выглядит несколько странно. Но она правильна: все так и должно
быть.
Могли ли мы угадать формулу G-33)? Возможно, включив в
таблицу еще несколько значений, мы заметили бы, что gn+i « 2gn
для больших п. И, при большой удаче, мы, может быть, додума-
додумались бы до константы ^. Однако определенно проще и надежнее
использовать в качестве инструмента производящие функции.
Пример 3: взаимно рекуррентные последовательности
Иногда встречаются два или более рекуррентных соотноше-
соотношения, зависящие одно от другого. В таких случаях можно обра-
образовать производящие функции для обеих последовательностей и
решить их, слегка расширив наш четырехшаговый метод.
Обратимся в качестве примера к задаче о покрытии костяшка-
костяшками домино 3 х n-прямоугольника, которую мы исследовали ранее
в этой главе. Если мы хотим узнать только Un — общее число
вариантов покрытия домино 3 х п-прямоугольника, не разделяя
случаи вертикальных и горизонтальных домино, то нет необхо-
необходимости вдаваться в такие подробности, как раньше. Мы можем
просто записать рекуррентные соотношения
110 = 1, 11т =0; V0 = 0, Vi = 1;
Un = 2Vn_i + Un_2 , Vn = Un_i + Vn_2 при п ^ 2.
Здесь Vn — число покрытий З х n-прямоугольника без угла с ис-
использованием (Зп— 1 )/2 костяшек домино. Эти соотношения лег-
легко вывести, если рассмотреть возможные расположения домино
на левой стороне прямоугольника, как мы делали раньше. Здесь
выписаны значения Un и Vn для малых п:
G-34)
Найдем, в четыре шага, выражения в замкнутом виде. Снача-
Сначала (шаг 1) запишем
Un = 2Vn_1 + Un_2 + [П = 0] , Vn = Un-1 + Vn_2
n
Vn
0
1
0
1
0
1
2
3
0
3
0
4
4
11
0
5
0
15
6
41
0
7
0
56
378 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
при любых п. Следовательно (шаг 2),
U(z) = 2zV(z) + z2U(z) + 1 , V(z) = zU(z) + z2V(z).
Теперь (шаг З) нам требуется решить два уравнения с двумя не-
неизвестными; это легко сделать, получив из второго уравнения
V(z) = zli(z)/A — z2); далее находим
(Мы уже видели эту формулу для U(z) в G-ю), но там вместо z2
стояло z3. В тот раз п было числом костяшек, а здесь п —ширина
прямоугольника.)
Знаменатель 1 — 4z2 + z4 есть функция от z2; это обеспечивает
U2n+i = 0 и Ущ = 0, как и должно быть. Можно извлечь выго-
выгоду из этого свойства, сохранив z2 при разложении знаменателя
на множители: нам вовсе не обязательно разлагать 1 — 4z2 + z4 в
произведение четырех множителей вида A — p^z), поскольку двух
множителей вида A — p]<z2) будет достаточно для определения ко-
коэффициентов. Иными словами, если определить производящую
функцию
W(z)= ^_lzJrzl =W0 + W1z + W2z2 + --.) G.36)
то будем иметь V(z) = zW(z2) и U(z) = A -z2)W(z2); следова-
следовательно, V2n+i = Wn и U2n = Wn — Wn_i. Работая с более простой
функцией W(z), мы сэкономим силы и время.
Многочлен 1 — 4z + z2 разлагается на множители (z — 2 — \fb )
и [г — 2 + у/3 ), их можно также записать в виде A — B+\/3 )z) и
A —B—л/3 )z), поскольку этот многочлен обратен сам себе. Таким
образом, получаем
U2n = Wn - Wn_, = Ц^ B + V3 Г + Ц^ B -
Это и есть искомое выражение для числа 3 х п-покрытий.
В данном случае мы можем упростить формулу для U2n, если
заметим, что второе слагаемое всегда лежит между 0 и 1. Число
U2n —целое, поэтому
| при п 2 0. G-38)
7.3 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ 379
Полы тоже не
всегда надежны,
уж поверьте мне.
На самом деле, второе слагаемое [2—у/Ъ )п/(З+л/З ) исчезающе ма-
мало при больших п, поскольку 2 — у/З « 0.268. Это следует иметь в
виду при использовании формулы G.38) для расчетов. Например,
довольно дорогой карманный калькулятор, выпускаемый фир-
фирмой с хорошей репутацией, при вычислении B + \/3I0/C — л/3)
дал в ответе 413403.0005. Этот ответ точен до девятой значащей
цифры; однако точное значение чуть меньше 413403, а не чуть
больше. Следовательно, было бы ошибкой вычислять потолок от
413403.0005; точный ответ, U20 =413403, получается округлени-
округлением до ближайшего целого. Потолок может быть опасен.
Пример 4: замкнутое выражение для задачи размена
Мы оставили задачу размена, только лишь подсчитав число
способов выплаты 50 центов. А как вычислить то же число для
суммы в 1 доллар или в миллион долларов — размен производит-
производится по-прежнему пенни, никелями, даймами, четвертями и полу-
полудолларами?
Ранее мы вывели производящую функцию
C(z) =
1
1
1
1
1
1 -z 1 -z5 1 -z10 1 -z25 1 -z50 '
это рациональная функция от z, знаменатель которой имеет сте-
степень 91. Таким образом, мы можем разложить знаменатель на
91 множитель и выразить Сп — число способов дать п центов сда-
сдачи—в „замкнутом виде", состоящем из 91 слагаемого. Но такое
ужасное выражение не лезет ни в какие ворота. Нельзя ли в этом
частном случае найти что-либо лучшее, а не применять общий
метод?
А вот и первый проблеск надежды: оказывается, знаменатель
почти является функцией z5. Тот же трюк, который мы использо-
использовали для упрощения вычислений в случае знаменателя 1 —4z2+z4,
заметив, что это есть функция от z2, может быть применен и к
C(z), если заменить 1/A -z) на A + z + z2 + z3 + z4)/A -z5):
C(z) =
1 + z + z2 + z3 + z4
1
1
1
1
1-z5 1-z10 1-z25 1 -
50
C(z)
1-zi-zi-z2 1-z5 1 -z10 '
Степень знаменателя этой „сжатой" функции C(z) уже только 19,
так что эта функция гораздо лучше исходной. Новое выражение
для C(z) показывает, в частности, что Csn = Cs-n+i = Csn+2 =
Csn+з — С5П.+4; и действительно, это соотношение легко объяс-
объяснить: чаевые в 53 цента можно дать ровно столькими же спосо-
способами, как и чаевые в 50 центов, поскольку количество пенни по
модулю 5 заранее известно.
380 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Однако даже для C(z) не существует простого выражения, О сжатой функ-
основанного на корнях знаменателя. Вероятно, простейший спо- ции и рассуждать
соб вычисления коэффициентов C(z) получится, если заметить, будем сжато.
что каждый сомножитель в знаменателе является делителем
1 — z10. Следовательно, можем записать
СB
A(z)
где A(z) = Ло + Лтz + • • • + A3iz31. G.39)
A-z10M '
Вот, для полноты картины, развернутое выражение для A(z):
= 1 + 2z + 4z2 + 6z3 + 9z4 + 13z5 + 18z6 + 24z7
+ 31z8+ 39z9+ 45zlo+ 52zn + 57z12+ 63z13+ 67z14+ 69z15
+ 69z16 + 67z17+ 63z18+ 57z19+ 52z20 + 45z21 + 39z22+ 31z23
24z
24
18z25 + 13z
26
9z
27
6z28 + 4z29
2z30 + z
31
И, в завершение, воспользовавшись тем, что 1/A — z10M =
Hk^o (k44)zl°k> получаем следующее выражение для коэффици-
коэффициентов Cn = [zn] C(z), в котором n = 10q + г и 0 ^ г < 10:
г{ 4 ) ' Ат-+1(Ч 4 ) * ™-т+20\ 4 ) ' АтЧ-30^ 4 /*
G-40)
Здесь фактически содержится 10 различных случаев, по одному
на каждое значение г; но это все же неплохая замкнутая формула
в сравнении с альтернативами, включающими степени комплекс-
комплексных чисел.
Используя это выражение, можем узнать, например, значение
з. Здесь г = 0, и мы имеем
Число способов заплатить 50 центов составляет (;j) +45Q = 50]
для суммы в 1 доллар будет (^) + 45 Q) + 52 D) = 292 способа; а
для миллиона долларов это число составит
'2000004\ /2000003\ /2000002\ /2000001\
4/ V4/ \4yV4y
= 66666793333412666685000001 .
Пример 5: расходящийся ряд
Попытаемся теперь найти замкнутое выражение для чисел gn,
определяемых соотношениями:
9о = 1 >
9п = ngn_]
при п > 0.
7.3 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ 381
СегоАня го- Поразмышляв над ними несколько наносекунд, мы поймем, что
ворят уже о дп есть просто п!; метод суммирующих множителей, описанный в
фемтосекунАах. гл. 2, немедленно подскажет этот ответ. Однако попробуем найти
решение с помощью производящих функций хотя бы лишь для
того, чтобы увидеть, что получится. (Действительно мощный ме-
метод должен работать и для простых соотношений, наподобие это-
этого, равно как и в других случаях, когда мы не можем угадать
ответ.)
Уравнение
Qn = ngn_i + [тг = О]
справедливо для всех п; оно дает
G(z) =
n=0
Для завершения шага 2 надо выразить Hnn9n-i zn через G(z);
таблица основных маневров (табл. 368) подсказывает, что здесь
надо как-то использовать G ;(z) = YLn ngnzn~}. Поэтому подгоним
наше выражение к сумме требуемого вида:
G(z) = 1+2jn+1)gnz
п+1
,n+1
Проверим это уравнение, подставив значения gn для малых п.
Таким образом,
6z3+24z4 + ---,
G' = 1+4z
поэтому
z2G' =
z2 +4z3 + 18z4 + 96z5
zG = z + z2 + 2z3 + 6z4 + 24z5 + • • • ,
1=1.
Сложив эти три строки, получим G, так что пока все в порядке.
Кстати, часто будет удобнее писать 'G' вместо 'G(z)'; дополни-
дополнительное ((z)' просто загромождает формулу, если мы не меняем
z на что-нибудь еще.
Теперь предстоит сделать шаг 3, и он отличается от того, что
мы делали раньше, поскольку здесь требуется решить диффе-
дифференциальное уравнение. Однако с этим дифференциальным урав-
уравнением мы можем справиться при помощи гипергеометрических
рядов из разд. 5.6; так что наши методы не так уж плохи. (Если
382 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
вы не знакомы с гипергеометрическими функциями, не беспокой-
беспокойтесь— мы все сделаем очень быстро.) „Мы все сделаем
Во-первых, следует избавиться от константы Т; возьмем по- очень быстро" Так
говорил доктор,
втыкая в меня
) + (G + zG') BO'0-от такой
г гипершприц.
р у
этому производную от обеих частей:
G' =
По развитой в гл. 5 теории следует переписать это с использова-
использованием оператора д, а из упр. 6.13 мы знаем, что
dG =zG\ d2G = z2G" + zG'.
Следовательно, дифференциальное уравнение запишется так:
dG = zd2G + 2z#G + zG = z{d + 1 JG .
В соответствии с E.109), решением при до = 1 будет гипергеоме-
гипергеометрический ряд F( 1,1;; z).
Шаг 3 оказался сложнее, чем мы ожидали; но теперь, когда
мы знаем функцию G, шаг 4 очень прост — определение гипер-
гипергеометрического ряда (б-7б) дает требуемое разложение:
G(z)
1,1
Z] =
n!
- Y n! zn .
Мы подтвердили выражение, которое знали все время, gn = п!.
Обратите внимание, что метод производяпщх функций дал
правильный ответ даже несмотря на то, что G(z) расходится для
всех ненулевых z. Последовательность п! растет слишком быстро
и величина \nl zn\ стремится к оо при п —» оо, если только z^O.
Это показывает, что с формальными степенными рядами можно
выполнять алгебраические действия, не заботясь о сходимости.
Пример 6: рекуррентное соотношение с возвратом
к самому началу
В завершение этого раздела рассмотрим применение произво-
производящих функций к задаче из теории графов. Фан порядка п — это
граф с вершинами {0,1,..., п} и 2п — 1 ребрами, определяемыми
следующим образом: вершина 0 соединяется ребрами с каждой из
остальных п вершин, а вершина к соединяется с вершиной к + 1
для 1 ^ к < п. Ниже, для примера, нарисован фан порядка 4,
имеющий 5 вершин и 7 ребер.
Г4
Интересующая нас задача состоит в том, чтобы найти число fn
остовных деревьев в таком графе. Остовным деревом называет-
называется подграф, содержащий все вершины и такое количество ребер,
7.3 РЕШЕНИЕ РЕКУРРЕНТНЫХ СООТНОШЕНИЙ 383
чтобы этот подграф был связным, но не настолько много, чтобы
в нем появился цикл. Оказывается, что любое остовное дерево в
графе сп+1 вершинами имеет ровно п ребер. Подграф, менее
чем с п ребрами, не будет связным, а если число ребер превы-
превысит п, в подграфе появится цикл; это доказывается в книгах по
теории графов.
Существует Bпт~1) способов выбрать п ребер из 2п — 1, при-
присутствующих в фане порядка п, но не всякий такой выбор дает
остовное дерево. Например, подграф
г I2
0<
имеет четыре ребра, но не является остовным деревом; в нем есть
цикл, идущий из 0 в 4, затем в 3 и в 0, кроме того, вершины {1,2}
не имеют связи с остальными вершинами. Мы хотим подсчитать,
сколько из ( п~ ) вариантов все же дают остовное дерево.
Рассмотрим несколько начальных случаев. Можно легко пе-
перечислить все остовные деревья при п — 1, 2 и 3:
АЛЛА
Л Л Л Л
f 1 = 1 f 2 = 3 f з = 8
(Не понадобится указывать метки у вершин, если мы будем всегда
рисовать вершину 0 слева.) Что можно сказать про случай п = О?
На первый взгляд кажется разумным положить fo = 1; но мы
возьмем fo = 0, поскольку само существование фана порядка О
(который должен иметь 2п— 1 = — 1 ребро) вызывает серьезные
сомнения.
Наша четырехшаговая процедура предписывает найти рекур-
рекуррентное соотношение для fn, справедливое при любом п. Для
получения такого соотношения рассмотрим, как самая верхняя
вершина (вершина п) соединяется с остальным деревом. Если
она не соединена с вершиной 0, то должно быть соединение с
вершиной п — 1, поскольку эта последняя вершина должна со-
соединяться с остальным графом. В таком случае любое из fn_i
остовных деревьев для остающегося графа (фана с вершинами
от 0 до п — 1) вместе с новым ребром образует остовное дерево
для всего графа. В противном случае вершина п соединена с вер-
вершиной 0 и найдется некоторое число k ^ п, такое, что вершины
п, п— 1, ..., к непосредственно соединены между собой, но ребро
между вершинами к и к— 1 не входит в поддерево. Тогда в дереве
не может быть ребер между 0 и {п — 1,..., к}, иначе получился
384 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
бы цикл. Следовательно, для к = 1 остовное дерево полностью
определено. Если же к > 1, то для завершения остовного дерева
достаточно добавить любое из fk_i остовных деревьев на верши-
вершинах {0,1,... ,к — 1}. Вот, к примеру, что показывает этот анализ
для п = 4:
к = 2
А
к-1
Общее уравнение, справедливое для п
fn = fn_i + fn_i + fn_2 + fn-3 + • • •
1, имеет вид
(Выглядит все так, как будто Тв конце есть fo и нам следовало
бы взять f о = 1; но мы будем тверды в своем выборе.) Небольшое
изменение — и уравнение будет справедливо при всех целых п:
fn = fn-i
G41)
k<n
Это рекуррентное соотношение как раз и содержит „возврат к са-
самому началу" от fn_i через все предыдущие значения, и в этом
отличие от других рекуррентных соотношений, которые мы ви-
видели в этой главе. Чтобы избавиться от аналогичной суммы в
правой части рекуррентного соотношения B.12) для анализа ме-
метода быстрой сортировки, мы использовали в гл. 2 специальный
метод, а именно вычли один экземпляр соотношения из другого
(fn+i —fn). Здесь этот прием тоже годится; но, как мы увидим, ме-
метод производящих функций позволяет непосредственно работать
с такими суммами. (И это очень хорошо, поскольку вскоре нам
встретятся гораздо более сложные рекуррентные соотношения.)
Шаг 1 завершен; теперь, на шаге 2, нам придется применить
новый прием:
F(z) =
1c,ti
= zF(z) + У fkzk У [n > k]zn"k + -5
m>0
Ключевой трюк здесь — замена zn на zkzn~k; это позволяет вы-
выразить двойную сумму через F(z), как того требует шаг 2.
7.4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 385
Шаг 3 теперь сводится к простой алгебре и получаем
Тот, кто стремится все запоминать, узнает в этом выражении про-
производящую функцию G-24) Для чисел Фибоначчи с четными но-
номерами. Таким образом, шаг 4 не нужен; мы уже нашли несколь-
несколько неожиданный ответ для задачи об остовах фанов:
fn = hn при п ^ 0. G-42)
7.4 СПЕЦИАЛЬНЫЕ
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Шаг 4 нашей процедуры станет проще, если мы будем
знать коэффициенты многих различных степенных рядов. Разло-
Разложения из табл. 369 весьма полезны, если они применимы, однако
существует и много других типов выражений в замкнутом ви-
виде. Таким образом, следует дополнить эту таблицу еще одной,
в которую будут включены степенные ряды, соответствующие
„специальным числам" из гл. 6.
В табл. 386 содержится то, что нам нужно. Все эти тождества
нетрудно доказать, так что нет необходимости задерживаться на
них; предполагается, что мы будем обращаться к этой таблице,
когда столкнемся с какой-либо новой задачей. Есть, однако, кра-
красивое доказательство формулы G-43)> на котором стоит остано-
остановиться. Начинаем с тождества
и дифференцируем его по х. Выражение A — z)~x"] в левой ча-
части равняется e(x+1)ln(V(i-z))j так что &/&х внесет множитель
In A/A — z)). В правой части числитель (х^п) равен (х + п)...
(х + 1), и d/dx разобьет его на сумму п слагаемых, что эквива-
эквивалентно умножению (х*п) на
Н 1 —7 = Нх+п — Нх .
х+п х+ 1
Замена х на m дает G-43)- Заметьте, что Нх+п — Нх имеет смысл,
даже если х нецелое.
Кстати, при дифференцировании сложных произведений
обычно оказывается гораздо лучше оставлять их в виде произве-
произведений, чем записывать производную как сумму. К примеру, пра-
правая часть тождества
была бы куда менее наглядной, если записать ее в виде суммы.
386 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Таблица 386 Производящие функции для специальных чисел.
^ G.43)
i^T I>? G-44)
G45)
G.48)
ml n!
J
¦-w = v (nVm-
7.5 СВЕРТКИ 387
У общих тождеств из табл. 386 имеется много важных частных
случаев. Например, формула G-43) при та = 0 упрощается до
производящей функции для чисел Нп:
G-57)
— z 1 — z
Это уравнение можно вывести и другими способами; например,
можно взять степенной ряд для InA/A — z)) и поделить его на
1 — z, получая производящую функцию для частичных сумм.
Тождества G-51) и G-52) включают отношения {mT^n}/(mT^1)
и [mT!!1J/(mT^1) соответственно, которые для n ^ m превращаются
в неопределенности вида 0/0. Им, однако, можно придать смысл,
воспользовавшись многочленами Стирлинга из F.45)-
Действительно, имеем
I- 1\
= (-1)n+1n!man(n-m),
n /
= n! mffn(m).
G-58)
G-59)
m 1 /Ma-
/Malm-nj/ ^
Lm-nj/ V n
Так, например, для m = 1 формулу G.51) следует записывать не
как степенной ряд ZLn^o(zn/nO{iln}/(?)» a B следующем виде:
z
Тождества G-53), G-54), G-55) и G.56) представляют „дважды
производящие функции" или „суперпроизводящие функции", по-
поскольку они имеют вид G(w,z) = Jimn gm,n>vmzn. Коэффициен-
Коэффициентом при wm является производящая функция относительно пе-
переменной z; коэффициентом при zn является производящая фун-
функция относительно переменной w. Уравнению G-5^) можно при-
придать более симметричный вид
wez
= L
m.n^O
m + n + 1 \ wmzn
m
\
/ (m + n+ 1)!
G.60)
Я всегда считал,
что свертка —
это то, что про-
происходит с моими
мозгами, когда
я пытаюсь найти
доказательство.
7.5 СВЕРТКИ
Сверткой двух последовательностей (fo,fi,...) = (fn) и
(goi9ii...) = (9n) называется последовательность (fogo, foQi +
figo, • • •) = (Hkfkgn-k). Мы видели в разд.5.4 и 7.2, что сверт-
свертке последовательностей отвечает умножение их производящих
функций. Это наблюдение позволяет легко вычислить многие
суммы, с которыми было бы трудно справиться другими мето-
методами.
388 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Пример 1: фибоначчиевы свертки
Попробуем, для примера, подсчитать в замкнутом виде сумму
XLk=o^k^n-k. Это свертка последовательности (Fn) с самой со-
собой, поэтому интересующая нас сумма должна быть коэффици-
коэффициентом при zn в F(zJ, где F(z) —производящая функция для (Fn).
Все, что от нас требуется,—вычислить значение этого коэффици-
коэффициента.
Производящая функция F(z) есть z/A — z — z1) — отношение
многочленов; следовательно, как мы знаем из общей теоремы о
разложении рациональных функций, ответ можно получить, най-
найдя разложение в правильные дроби. Можно просто применить
общую теорему о разложении G-3°) и проделать требуемые вы-
вычисления; или же можно использовать представление
HzJ = -^
- $z
1)$nzn.
Вместо того чтобы записывать ответ через фиф, попробуем най-
найти замкнутое выражение через числа Фибоначчи. Вспоминая, что
ф -f $ = 1, получим
l-фг 1-$z,
2-(ф + $)г г „, 2-z
Следовательно,
F(zJ = 1 ? (n + 1 )BFn+, - Fn)zn - ^
и мы получаем желаемый ответ
Zn 2nFn+1 - (n+ 1)Fn
FkFn-k = = . G.61)
k=o
Например, для п = 3 формула дает F0F3 + F1F2 + F2F1 + F3F0 =
0 + 1+1+0 = 2в левой части и FF4 -4F3)/5 = A8 - 8)/5 = 2-в
правой.
7.5 СВЕРТКИ 389
Пример 2: гармонические свертки
Эффективность работы определенного компьютерного алго-
алгоритма, называемого „сортировка по образцу", определяется значе-
значением суммы
Tm,n = У ( ) г » целые m, n ^ 0.
г »
— к
В упр. 5.58 эта сумма вычисляется с помощью довольно хитроум-
хитроумной двойной индукции с использованием суммирующих множи-
множителей. Можно достичь результата гораздо проще, если заметить,
что Tm,n есть п-й член свертки <(?), (J, (?),...) с @,1, \%...).
Для обеих последовательностей в табл. 369 можно найти простые
производящие функции:
n
п>0
Следовательно, по G.43),
= (Нп-нт)( п
\n —m
В действительности имеется еще много сумм, сводящихся к
сверткам такого же вида, поскольку для любых г и s
1 1 ] ] I
Ш • -— ¦——7- = — —; -тг 1П -
A - z)r+s+2 1 - z
Приргшнивая коэффициенты при z11, получаем общее тождество
- Hr+S+1) . G.62)
И так Это тождество выглядит слишком уж хорошо, чтобы быть вер-
гармонично... ным. Но проверка, по крайней мере, для п = 2, проходит успешно:
J
+
r+s+27"
Частные случаи, например, s = 0, столь же замечательны, как и
общее тождество.
390 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Но это еще не все. Мы можем, воспользовавшись тождеством
для свертки
Z
r + k\ /s + n - k\ /r + s + n + 1
U
перенести Нг в другую часть, поскольку Нг не зависит от к:
+пп-к)Ит+к
Но и это не все! Если г и s — неотрицательные целые I и т, то
можно заменить (г+к) на A+к) и (s^"k) на (т+^"к); затем, заме-
заменив к на к — 1ипнап — та — I, получим
целые 1, m, n ^ 0. G*64)
Даже частный случай I = m = 0 этого тождества вызвал затруд-
затруднения в гл. 2! (См. B.36).) Мы прошли немалый путь.
Пример 3: свертки сверток
Если мы образуем свертку последовательностей (fn) и (gn), a
затем свернем результат с какой-то третьей последовательностью
(Нп), то п-й член полученной последовательности будет равен
j+k+l=n
Производящей функцией этой тройной свертки будет, разумеет-
разумеется, произведение F(z)G(z)H(z). Аналогично, тп-кратная свертка
последовательности (gn) с самой собой имеет n-й член вида
а ее производящая функция равна G(z)m.
Мы можем применить эти соображения к рассмотренной ра-
ранее проблеме деревьев в фане (пример б в разд. 7.3). Оказыва-
Оказывается, существует и другой метод вычислить fn — число остовных
деревьев в n-фане; он основан на анализе конфигураций ребер
дерева, соединяющих вершины {1,2,..., п}. Ребро между верши-
вершинами к и к+1 может быть или включено в поддерево, или же нет;
каждый способ выбора таких ребер задает разбиение множества Очень прочные
вершин на блоки соединенных соседних вершин. Например, если блоки.
7.5 СВЕРТКИ 391
n = 10, мы могли бы соединить вершины {1,2}, {3}, {4,5,6,7} и
{8,9,10}:
Т10
Is
7
6
t5
•3
0* *1
Сколько же можно получить остовных деревьев, добавляя ребра
в вершину 0? Нам нужно соединить вершину 0 с каждым из че-
четырех блоков; существует два способа соединения 0 с {1,2}, один
способ соединения с {3}, четыре способа—с {4,5,6,7} и три спо-
способа—с {8,9,10}, что дает в итоге 2-1 -4-3 = 24 способа. Сум-
Суммирование по всем способам разбиения на блоки дает следующее
выражение для общего числа остовных деревьев:
_ ..km. G-б5)
m>0 I
ki,k2,...,km>0
Например, f4= 4+3-1+2-2+1-3+2-1-1 + 1-2-1+ M-2+1-1-1-1 =21.
Это —сумма m-кратных сверток последовательности @,1,2,
3,...) для m = 1, 2, 3, ...; следовательно, производящей функ-
функцией для (fn> будет
F(z) = G(z) + G(zJ + G(zK + • • G(Z)
1-G(z)'
где G(z)—производящая функция последовательности @,1,2,
3,...), а именно z/A — zJ. Таким образом, имеем
F(z) =
A-zJ-z 1-3z + z2'
как и ранее. Такой подход к вычислению (fn) симметричнее и
привлекательнее хитроумного рекуррентного соотношения, с ко-
которым мы имели дело ранее.
Пример 4: рекуррентное соотношение со сверткой
Наш следующий пример особенно важен; это, на самом деле,
„классический пример", иллюстрирующий полезность производя-
производящих функций при решении рекуррентных соотношений.
Пусть имеется п+1 переменных хо, xi, ..., хп, и мы хотим вы-
вычислить их произведение при помощи п умножений. Сколько най-
найдется способов (Сп) расставить скобки в произведении xq-xi •.. .-хп
392 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
так, чтобы порядок умножений был полностью определен? На-
Например, для п = 2 существует два способа: xo-(xi -*>i) и (хо -xi) • х2.
Для п = 3 имеется уже пять способов:
Х0"(Хт(Х2-Хз)), *О-((ХТХ2)-Хз)> (х0 **1) • (х2 -Х3) ,
(xo-(xi -х2))-хз , ((xo-xi)-x2)-x3 .
Таким образом, С2 = 2, Сз = 5; имеем также Ci =1 и Со = 1.
Попробуем применить четырехшаговую процедуру из разд. 7.3.
Какому же рекуррентному соотношению удовлетворяет последо-
последовательность Ct? Ключевым моментом здесь является то наблю-
наблюдение, что для п > 0 ровно одна операция ' •' лежит вне всех ско-
скобок; это последнее умножение, связывающее все в единое целое.
Если эта операция располагается между ху и ху+1, то имеется С^
способов расстановки скобок в произведении Хо •...-х^ и Cn_k_i
способов —в Xk+i •.. .-хп; следовательно,
Cn = C0Cn_i + Ci Cn_2 + h Cn-i Со , если п > 0.
В этом выражении мы легко узнаем свертку, и формулу нетруд-
нетрудно подправить так, чтобы она оставалась справедливой при всех
целых п:
Сп - ]Г_ CkCn_i-k + [n = 0]. G-66)
k
Шаг 1 завершен. Шаг 2 предписывает умножить на zn и просум-
просуммировать:
C(z)=Y Cnzn
k,n n=0
k n
= C(z) • zC(z) + 1 .
И вот, подумать только,—произведением стала свертка! В мире Авторы прикалы-
производящих функций бывает и не такое. ваются.
Шаг 3 тоже прост. Функцию C(z) мы находим по формуле
корней квадратного уравнения:
Но какой знак следует выбрать, + или —? Обе функции удовле-
удовлетворяют уравнению C(z) = zC(zJ + 1, но лишь одна из них дает
решение нашей задачи. Всегда лучше действовать позитивно; так
7.5 СВЕРТКИ 393
может нам поэтому выбрать +? Однако мы быстро обнаружим,
что в этом случае С@) будет равно оо, что противоречит фактам.
(Для истинной функции C(z) должно быть С@) = Со = 1.) Итак,
мы приходим к выводу, что
C(z) =
Итак, рекуррент-
рекуррентное соотношение со
сверткой привело
нас к часто повто-
повторяющейся свертке.
2z
Наконец, шаг 4. Чему равен коэффициент [zn] C(z)? Биноми-
Биномиальная теорема говорит, что
следовательно, используя (б-37)> получаем
1 -л/1 -4z
2z
= у [-У2\ {-'
п
Число Сп способов расстановки скобок равно (*г) ^~у.
В гл.5 мы предвосхитили этот результат, введя последова-
последовательность чисел Катпалана A,1,2,5,14,...) = (Сп). Эта после-
последовательность встречается в десятках задач, которые, на первый
взгляд, не связаны друг с другом [37], поскольку во многих ситу-
ситуациях рекурсивная природа задачи отвечает рекуррентному со-
соотношению со сверткой G-66).
Рассмотрим, например, такую задачу: сколько последователь-
последовательностей (си, й2 ..., сцп), состоящих из +1 и — 1, обладают тем свой-
свойством, что
си + а2 + h am =0,
а все их частичные суммы
си, ai+a2, ..., сц+сцН + a2u
неотрицательны? В последовательности должно быть п элемен-
элементов +1 и п элементов — 1. Задачу можно представить графи-
графически, нарисовав график последовательности частичных сумм
sn = J2k=i ak как Функцию от п: пять возможных решений для
п = 3 суть
394 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Это „горные хребты" ширины 2п, которые можно изобразить при
помощи отрезков двух видов:/и\. Оказывается, что имеется
ровно Сп вариантов; при этом каждую из полученных последо-
последовательностей можно соотнести с некоторой расстановкой скобок:
добавьте к формуле внешнюю пару скобок, так чтобы получилось
и пар скобок, соответствующих п умножениям. Затем замените
каждый знак ' •' на +1 и каждую ()' на — 1, а все остальное удали-
удалите. Например, по этому правилу формуле хо*((хгХ2)-(хз*Х4)) соот-
соответствует последовательность (+1,+1,—1,+1,+1,—1,—1,—1).
Пять способов расстановки скобок в выражении хо -xi -Х2 -Хз со-
соответствуют пяти показанным выше горным хребтам для п = 3.
Небольшая переформулировка нашей задачи подсчета после-
последовательностей позволяет получить удивительно простое комби-
комбинаторное решение, не использующее производящих функций. Но-
Новая задача заключается в отыскании числа последовательностей
(ао, си, ci2,..., О-2п) из +1 и —1, обладающих свойством
do + СИ + CL2 Н h din = 1 ;
при этом все частичные суммы
ао> ао + си, а0 + ai + а2, ..., а0 + си Н Ь агп
должны быть положительны. Очевидно, что это есть в точно-
точности последовательности из предыдущей задачи, к которым спере-
спереди приписали элемент ао = +1. Однако последовательности в но-
новой задаче можно просто сосчитать, если воспользоваться замеча-
замечательным фактом, открытым Джорджем Рени [265] в 1959 г.: Если
(xi, Х2,...,хт) —любая последовательность целых чисел, сумма
которых равна +1, го ровно у одного из ее циклических сдвигов
\Xi, Х2) • • • > Хт), \Х2, . . . , Хт, Xi/, ..., \Хт, Xi, . . . , Хт_1)
частичные суммы все положительные. Рассмотрим, например,
последовательность C, —5,2, —2,3,0). Ее циклическими сдвигами
являются
C,-5,2,-2,3,0) (-2,3,0,3,-5,2)
(-5,2,-2,3,0,3) C,0,3,-5,2,-2)V
B,-2,3,0,3,-5) @,3,-5,2,-2,3)
и только отмеченная последовательность имеет сплошь положи-
положительные частичные суммы.
Для доказательства леммы Рени достаточно простых геоме-
геометрических рассуждений. Продолжим нашу последовательность
периодически до бесконечной последовательности
(xi, Х2,..., хт, xi, Х2,..., хт, xi, Х2,...);
таким образом, мы полагаем Хта+k = х^ для всех k ^ 0. Если те-
теперь нарисовать график частичных сумм sn = xi + • • • + хп как
функции от п, то этот график будет иметь „средний наклон" 1 /та,
Ах, как было бы
здорово, если бы
цены росли не
быстрее, чем на
этом графике.
(Специалисты
по информатике,
внимание! Частич-
Частичные суммы в этой
задаче показыва-
показывают изменение со
временем размера
стека при вычисле-
вычислении произведения
п + 1 сомножи-
сомножителей, поскольку
каждая операция
вталкивания в стек
операнда изменяет
его размер на +1,
а каждое умно-
умножение—на -1.)
7.5 СВЕРТКИ
поскольку sm+n = sn + 1. Например, для нашего примера последо-
последовательности C, —5,2, —2,3,0,3, —5,2,...) график начинается так:
Весь график может быть заключен между двумя прямыми на-
наклона 1/та, как показано; в этом примере та = 6. Эти граничные
прямые касаются графика ровно один раз на каждом периоде из
та точек, поскольку прямые с наклоном 1/та могут проходить че-
через точки с целыми координатами лишь один раз на та единиц.
Единственная нижняя точка касания есть как раз то единствен-
единственное место в цикле, начиная с которого все частичные суммы бу-
будут положительными, поскольку справа от любой другой точки
на расстоянии меньше та имеются точки касания.
С помощью леммы Рени мы можем легко сосчитать последо-
последовательности (ao,...,ci2n) из чисел +1 и —1 с положительными
частичными суммами и общей суммой +1. Имеется всего Bпп1~1)
последовательностей, содержащих п элементов —1 и п + 1 эле-
элементов +1, и из леммы Рени мы заключаем, что ровно 1 /Bп + 1)
часть из них имеет все положительные частичные суммы. (Выпи-
(Выпишите все N = B™*1) последовательностей и все 2п + 1 их цикли-
циклических сдвигов в виде массива N х Bп +1). Каждая строка со-
содержит ровно одно решение. Каждое решение встречается ровно
один раз в каждом столбце. Поэтому во всем массиве содержит-
содержится N/Bn + 1) различных решений, и каждое встречается Bп + 1)
раз.) Число последовательностей с положительными частичными
суммами равно
/2п+Л
V и ) 2п + 1
'2п
п
1
п+1
= СП.
Пример 5: рекуррентное соотношение
с m-кратной сверткой
Задачу, которой мы только что занимались, можно обоб-
обобщить, рассмотрев последовательности (do,..., amn) из чисел
+1 и A—та), частичные суммы которых все положительны,
а общая сумма равна -j-1. Такие последовательности можно
назвать m-последователъностями Рени. Если в последова-
последовательности элемент A — та) встречается к раз, а +1 встречается
396 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
mn + 1 — к раз, то
кA - тп) + (тпп + 1 -к) = 1
/mn+1\
и, следовательно, к = п. Всего имеется (|111п' ') последовательно-
последовательностей с и вхождениями A — та) и тап + 1 — п вхождениями +1, и
лемма Рени говорит нам, что количество таких последовательно-
последовательностей со сплошь положительными частичными суммами составля-
составляет ровно
/mn +1\ 1 _ /mn\ 1
V п ) mn +1 ~~ V п У (т - 1)
G-б7)
Это и есть число та-последовательностей Рени. Назовем его чи-
числом Фусса—Каталана Сп , поскольку последовательность (С^1 )
была впервые исследована Н.И.Фуссом [325] в 1791 г. (за много
лет до того, как сам Каталан вступил в игру). Обычные числа
Каталана суть Сп = Сп .
Теперь, зная ответ G-67), попробуем сформулировать вопрос,
ведущий к этому ответу. В случае та = 2 вопрос был такой:
„Какие числа Сп удовлетворяют рекуррентному соотношению
Cn = ?_k CkCn_i_k + [n = 0]?" Мы попробуем найти аналогичный
вопрос (аналогичное соотношение) в общем случае.
Тривиальная последовательность (+1) длины 1, очевидно,
является та-последовательностью Рени. Если поместить число
A —та) справа от любых та последовательностей, каждая из кото-
которых является та-последовательностью Рени, то мы получим сно-
снова m-последовательность Рени; частичные суммы остаются по-
положительными—сначала они возрастают до +2, +3, ..., +m, a
окончательная сумма равна +1. И обратно, можно показать, что
все та-последовательности Рени (ао,..., атп) при п > 0 полу-
получаются этим способом: последний член amn должен быть равен
A — та). Частичные суммы Sj = ao + • • • -f cij-i положительны для
1 ^ j ^ тап и smn = та, поскольку smn + amn = 1. Пусть ki озна-
означает наибольший индекс ^ тап, такой, что Sk, = 1; пусть к2—
наибольший индекс, такой, что Sk2 = 2; и т.д. Таким образом,
Sicj = j и Sk > j для 1^j^Tankj<k^ mn. Отсюда сле-
следует, что km = тап, и мы можем легко проверить, что каждая
из подпоследовательностей (а0,... ,akl-i)> (aki >... ,ak2-i), ...,
(akm_, > • • • > ukm-i) является та-последовательностью Рени. При
этом должно выполняться ki = mni + 1, k2 — ki = mn2 + 1,
..., km — km_i = mnm + 1 для некоторых неотрицательных це-
целых m, П2, ..., nm.
Следовательно,
/тп-И\
V n / mn+1
два интересных вопроса: „Чему равны числа
рекуррентным соотношением
является ответом на следующие
определяемые
(Специалисты по
информатике, вни-
внимание! Стековая
интерпретация
применима и здесь,
но с т -арными
операциями вместо
рассматривавшего-
рассматривавшегося ранее бинарного
умножения.)
= 0] G-68)
КП] -Н12+---+11т=П-1
7.5 СВЕРТКИ 397
при любом целом п?" и „Если G(z)— степенной ряд, удовлетво-
удовлетворяющий уравнению
G(z)=zG(z)m + l, G.69)
то какие коэффициенты [zn] G(z) он имеет?"
Заметим, что это непростые вопросы. В случае обычных чи-
чисел Каталана (та = 2) мы решили уравнение G-69) для G(z) и его
коэффициентов при помощи формулы корней квадратного урав-
уравнения и биномиальной теоремы; однако для та = 3 ни один из
стандартных методов не дает ни малейшего намека на то, как
решить кубическое уравнение G = zG3 + 1. Таким образом, ока-
оказывается проще сначала ответить на вопрос, а затем задать его.
Сейчас, однако, мы знаем уже достаточно для того, чтобы
поставить еще более сложные вопросы и получить ответы на
них. Вот такой, например, вопрос: „Чему равен коэффициент
[zn]G(zI, где I — положительное целое, a G(z) —степенной ряд,
определяемый G-69)?" Рассуждая подобно тому, как мы дела-
делали ранее, получим, что [zn] G(zI есть число последовательностей
длины тап + I со следующими тремя свойствами:
• Каждый элемент равен либо +1, либо A — та).
• Все частичные суммы положительны.
• Общая сумма равна I.
Действительно, все такие последовательности мы можем един-
единственным образом получить, приписав друг за другом I после-
последовательностей, имеющих свойство m-последовательности Рени.
Число способов выполнить это равно
L
Q{m) _
Доказанное Рени обобщение его леммы говорит нам, как под-
подсчитать эти последовательности: если (xi, xi,..., xm) — любая по-
последовательность целых чисел, такая, что х, ^ 1 для любых ) и
xi +Х2-\ Ь хт = I > 0, го ровно I из циклических сдвигов
(Х1,Х2,...,Хт), (Х2,...,Хт,Х1), ..., (xm,Xb...,Xm_i)
имеют сплошь положительные частичные суммы.
Например, можно проверить это утверждение на последо-
последовательности (-2,1,-1,0,1,1,-1,1,1,1). Ее циклические сдвиги
суть
(-2,1,-1,0,1,1,-1,1,1,1) A,-1,1,1,1,-2,1,-1,0,1)
A,-1,0,1,1,-1,1,1,1,-2) (-1,1,1,1,-2,1,-1,0,1,1)
(-1,0,1,1,-1,1,1,1,-2,1) A,1,1,-2,1,-1,0,1,1,-1) V
@,1,1,-1,1,1,1,-2,1,-1) A,1,-2,1,-1,0,1,1,-1,1)
A,1,-1,1,1,1,-2,1,-1,0) V A,-2,1,-1,0,1,1,-1,1,1)
398 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
и только две последовательности, помеченные V, имеют все по-
положительные частичные суммы. Эта обобщенная лемма доказы-
доказывается в упр.13.
Последовательность из элементов +1 и A —та) длины тп + 1 с
общей суммой I должна содержать ровно п элементов A —та). Об-
Обобщенная лемма говорит нам, что 1/(тап+1) из этих (тт1гг+1) после-
последовательностей имеют только положительные частичные суммы;
следовательно, наш трудный вопрос имеет удивительно простой
ответ:
г П1Л/ .1 /тап +1\ I , ч
fen]G(z)l= _ —ГТ7 G-70)
\ п J тап + I
для любых целых I > 0.
Читатели, не забывшие гл. 5, вполне могут подумать что-
нибудь вроде: „Эта формула выглядит знакомой, не встречалась
ли она раньше?" Да, действительно, встречалась; вот что записа-
записано в уравнении E.60):
Следовательно, производящая функция G(z) из G.69) должна со-
совпадать с обобщенным биномиальным рядом Ът(г). И действи-
действительно, из уравнения E-59) имеем
mlZJ — I>myZ) — Z,
а это эквивалентно
Sm(z)-1 =zEm(z)m.
Теперь, зная, что мы работаем с обобщенным биномиальным
рядом, перейдем к обозначениям гл. 5. В этой главе были сформу-
сформулированы без доказательства ряд тождеств. Сейчас мы отчасти
восполним этот пробел, доказав, что степенной ряд Bt(z), опре-
определяемый как
обладает следующим замечательным свойством:
если только t и г — положительные целые.
Можно ли распространить эти результаты на произвольные
значения t и г? Да, можно, поскольку коэффициенты (tn*r) ^~г;
7.6 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 399
являются многочленами от t и г. Общая r-я степень, определяе-
определяемая как
ul
имеет в качестве коэффициентов некоторые многочлены от t и г;
эти многочлены совпадают с (tnnbr) ^7 для бесконечно многих
значений t и г. Таким образом, эти две последовательности мно-
многочленов должны тождественно совпадать.
В гл. 5 упоминается также обобщенный экспоненциальный ряд
относительно которого формула (б-бо) утверждает не менее за-
замечательное свойство:
[z]?t(zr = .
Мы можем доказать это как предельный случай формулы для
!Bt(z), поскольку, как нетрудно показать,
?t(z)r= limSxtfz/x)".
X—>ОО
7.6 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ
ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Иногда производящая функция последовательности (gn)
весьма сложна, тогда как связанная с ней последовательность
(Эп/'П-О имеет простую производящую функцию. В таких случаях
мы, естественно, предпочтем работать с (gn/n!) и в самом конце
выполним умножение на п!. Этот трюк применяется достаточ-
достаточно часто и заслуживает специального названия: будем называть
степенной ряд
G(z) = Л 9u^j G.72)
экспоненциальной производящей функцией или ЭПФ последо-
последовательности (go» 9i 1 92»...)- Прилагательное „экспоненциальная"
употреблено потому, что функция экспоненты гг есть ЭПФ после-
последовательности A,1,1,...).
Многие из производящих функций в табл.386 есть на са-
самом деле ЭПФ. Например, уравнение G-5°) говорит нам, что
400 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
(in y~) m/m! есть эпф последовательности ([^], [JJ, [^],...).
Обычная производящая функция для этой последовательности
много сложнее (и, к тому же, она расходится).
Для экспоненциальных производящих функций имеются свои
собственные базисные маневры, аналогичные тем операциям, что
мы изучали в разд. 7.2. Так, если мы умножим эпф последова-
последовательности (gn) на z, то получим
zn ^- zn
это эпф последовательности @, go>2gi ,...) = (ugn_i).
Дифференцирование эпф последовательности (до, дь 92 >
по z дает
L
G-73)
это эпф последовательности (gi > g2, • •.)- Таким образом, диф-
дифференцирование эпф соответствует операции сдвига влево
(G(z) — go)/z для обычных производящих функций. (Мы исполь-
использовали это свойство эпф, когда занимались гипергеометрически-
гипергеометрическими рядами E.106).) Интегрирование эпф дает
п!
rn+1
(н+1)!
G-74)
т. е. сдвиг вправо, эпф последовательности @, go, gi,...).
Самая интересная операция над эпф, как и в случае обычных
производящих функций, это умножение. Если F(z) и G(z) —эпф
последовательностей (fn) и (gn), то F(z)G(z) = H(z) является эпф
для последовательности (Нп), которая называется биномиальной
сверткой (fn) и (gn):
G-75)
Не слишком ли
много удоволь-
удовольствия?
Биномиальные коэффициенты появляются здесь из-за того, что
(к) = "п.!/Тс! (п — к)!, следовательно,
"U П X
П-п V" 'к 9п-к
п!
п. V" 'к Ьт-к
Т = 2_п (п-к)!;
к=0
другими словами, (Нп/п!)— обычная свертка последовательно-
стей (fn/n!) и (gn/n!>.
7.6 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 401
Биномиальные свертки часто встречаются в приложениях.
Так, в F.79) мы определили числа Бернулли посредством неяв-
неявного рекуррентного соотношения
ТТ1 • | \
^ ( . jBj = [тп = 0] при любом та ^ 0;
j=0 ^ ' '
j=0
это соотношение можно переписать в виде биномиальной свертки,
если заменить та + 1 на п и добавить к обеим частям Вп:
V" f J В)с = Вп + [п = 1 ] при любом п ^> 0.
G-76)
Теперь можно перевести это соотношение на язык степенных
рядов (как было обещано в гл. 6), если ввести в рассмотрение
ЭПФ для чисел Бернулли, B(z) = Лп^0 Bnzn/nl. Левая часть
G.76) есть биномиальная свертка (Вп) с постоянной последова-
последовательностью A,1,1,...); таким образом, ЭПФ левой части равна
B(z)ez. Для правой части экспоненциальной производящей функ-
функцией является 11п^о(Вп + [тг = 1])гп/тг! = B(z)+z. Следовательно,
должно выполняться тождество B(z) = z/(ez — 1); мы доказали
равенство F.8i), которое встречается также в табл. 386 как фор-
формула G44)-
А теперь займемся вновь суммой, неоднократно появляющей-
появляющейся в этой книге:
Sm(n) =0m + lm+2m + -.. + (u-l)m=
На сей раз попробуем применить к этой задаче производящие
функции: вдруг это упростит дело. Будем считать п фиксиро-
фиксированным, а та —переменным; наша задача, таким образом,—разо-
образом,—разобраться с поведением коэффициентов степенного ряда
S(z) = S0(n) + Si (n) z + S2(n) z2 + • • • = ][ Sm(n) zm .
Мы знаем, что производящая функция последовательности A, к,
к2,...) равна
1-kz
следовательно,
402 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
если поменять местами порядок суммирования. Эту сумму можно
записать в замкнутом виде:
= 1(HZ_,-Hz-,_n); G77)
но мы абсолютно ничего не знаем о разложении подобной зам-
замкнутой формулы по степеням z.
На выручку приходят экспоненциальные производящие функ-
функции. Для последовательности (So(ti), Si (n), S2(n),...) ЭПФ равна
S(z,n) =S0(n) + S,(n)rjy + S2(n)^ + ?Sm(n)
Для получения коэффициентов Sm(n) воспользуемся известной
ЭПФ последовательности A,к,к2,...), а именно,
и найдем
Последняя же сумма есть сумма геометрической прогрессии, име-
имеющая замкнутый вид
Эврика! Все, что нам остается сделать,—это выписать коэффи-
коэффициенты этой сравнительно простой функции, и мы получим вы-
выражение для Sm(n), поскольку Sm(n) = та! [zm]S(z,n).
Здесь вступают в игру числа Бернулли. Совсем недавно мы
заметили, что ЭПФ для чисел Бернулли есть
следовательно, можно записать
pTLZ 1
S(z,n) =B(z)
zz w z°
7.6 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 403
Сумма Sm(n) равняется коэффициенту при zm в этой функции,
умноженному на та!. Например,
Таким образом, мы в очередной раз вывели формулу Пп =
S2(n) = jn(n — j)(n — 1), и это самый простой вывод из всех:
при помощи нескольких строк найдено поведение Sm(n) при лю-
любых т.
Можно записать общую формулу
Sm-!(n) = l(Bm(n)-Bm@)) , G.79)
где Bm(x) — многочлен Вернулли, определяемый как
kXm-k. G.8о)
Вот почему это так: многочлен Бернулли является биномиаль-
биномиальной сверткой последовательности (Во, В1, B2,...) с A,х,х2,...);
следовательно, экспоненциальная производящая функция для
(Bo(x),Bi(x),B2(x),...) есть произведение ЭПФ этих последова-
последовательностей,
—.ТТЛ. ~ «-ТП XZ
Bfcx) = lB() l ~
l_ x
Отсюда вытекает равенство G.79), поскольку ЭПФ для (O,So(ti),
2Si(n),...) есть, по G.78),
enz — 1
z——- =B(zfn)-B(z,0).
ez — 1
Обратимся теперь еще к одной задаче, где ЭПФ есть как раз то,
что нужно: сколько существует остовных деревьев в полном гра-
графе с п вершинами {1,2,..., п}? Обозначим это число tn. Полный
граф содержит \п{п— 1) ребер, по одному ребру, соединяющему
каждую пару различных вершин; так что мы, по существу, ищем
полное число способов соединить п данных объектов, проведя
п — 1 линий между ними.
Имеем ti = t2 = 1. Кроме того, t3 = 3, поскольку полный граф
с тремя вершинами есть фан порядка 2; мы знаем, что ii — 3. А
404 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
в случае п = 4 имеется 16 остовных деревьев:
ИП
ии кх nz и
Следовательно, ±4 = 16.
Опыт работы с аналогичной задачей для фанов подсказыва-
подсказывает, что наилучший способ справиться с этой задачей состоит в
том, чтобы выделить одну вершину и посмотреть на те связные
компоненты или блоки, на которые разобьется остовное дерево,
если проигнорировать все ребра, проходящие через выделенную
вершину. Если невыделенные вершины образуют та компонент
размеров ki, к2, ..., km, то их можно соединить с выделенной
вершиной kik2 ... km способами. Например, в случае п = 4, мож-
можно считать выделенной нижнюю левую вершину. В верхнем ряду
G.82) изображены 3t3 случаев, когда три остальные вершины со-
соединены между собой одним из t3 способов и затем соединены с
левой нижней вершиной одним из трех способов. В нижнем ряду
изображены 2 • 1 х t2ti x Q) решений, в которых остальные три
вершины разбиты на компоненты размеров 2 и 1 одним из B)
способов; там же показан случай [/^, где три остальные вершины
полностью изолированы.
Подобные рассуждения приводят к рекуррентному соотноше-
соотношению
й
тп>0
при любом п > 1. Действительно, имеется (к J* k ) спосо-
способов представить п — 1 элементов в виде последовательности из
та компонент размеров, соответственно, ki, k2, ..., km; имеется
tk] tk2 ... ticm способов соединить вершины внутри этих компонент
какими-то остовными деревьями; имеется ki кг ... кт способов со-
соединить вершину п с этими компонентами; и мы делим на та!,
поскольку не должны учитывать порядок компонент. Например,
для п = 4 это рекуррентное соотношение дает
Я л
= 3t3 + 6t2ti
Рекуррентное соотношение для tn выглядит на первый взгляд
устрашающе, на самом же деле оно не столь уж плохо, только
7.7 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ ДИРИХЛЕ 405
слегка свернуто. Обозначим
un = ntn
и тогда все существенно упростится:
J
n! ^- m! ^- , ki! k2! "¦" km! '
если n > 1. G.83)
Внутренняя сумма представляет собой коэффициент при z11 в
ЭПФ U(z), возведенной в та-ю степень; формула будет правильной
и для п = 1, если добавить слагаемое U(z)°, отвечающее случаю
та = 0. Итак,
H2L = [Zn-i Lu 2 2
при любом n > 0, и мы получаем уравнение
U(z)=zea<z>. G.84)
Это прогресс! Уравнение G.84) выглядит почти так же, как урав-
уравнение
?(z) =ez?W,
определяющее обобщенный экспоненциальный ряд ?(z) = ?i(z)
в (б-59) и G-71)) и действительно, имеется связь между этими
функциями:
U(z)=z?(z).
Таким образом, мы можем просто прочитать ответ к нашей зада-
задаче:
tn = Hjl = ^[zn]U(z) - {n-])\[zn-]]?(z) =nn~2. G.85)
При любом п > 0 полный граф с вершинами {1,2,... ,п} имеет
ровно п11 остовных деревьев.
7.7 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
ДИРИХЛЕ
Помимо рассмотренных, возможны многие другие способы
порождения последовательностей по рядам; здесь можно исполь-
использовать, по крайней мере, в принципе, любую систему „ядер" Kn(z),
обладающих тем свойством, что
9п Kn(z) = 0 => gn = 0 при любом п.
406 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
Для обычных производящих функций мы использовали ядра
Kn(z) = zn, а для экспоненциальных производящих функций
Kn(z) = zn/n\] можно попробовать также убывающие фактори-
альные степени z— или биномиальные коэффициенты z—/п! =
О-
Наиболее важная альтернатива производящим функциям и
ЭПФ получается, если использовать ядра 1/nz; они рассчитаны
на последовательности (gi, дг,•••)> начинающиеся с п = 1, а не с
п = 0:
Ъ- G-86)
Эта функция называется производящей функцией Дирихле
(пфд), поскольку немецкий математик Густав Дирихле A805—
1859) внес большой вклад в ее изучение.
Например, для постоянной последовательности A,1,1,...)
пфд равна
— = СЫ . G.87)
Это дзета-функция Римана, которую мы называли также обоб-
обобщенным гармоническим числом Н^ для z > 1.
Произведение производящих функций Дирихле отвечает спе-
специальному виду свертки:
F(z)G(z)= У ?^ = 7 Л
Таким образом, F(z)G(z) = H(z) есть ПФД последовательности
h-п — 2_ ^d ^n/d ' G-88)
d\7i
Например, мы знаем из D-55)> что Xld\n M-(d) = [п = 1]; это
свертка Дирихле последовательности Мёбиуса (|хA),|хB),
|хC),...) с последовательностью A,1,1,...), следовательно,
^1 = 1 . G.89)
Иначе говоря, ПФД последовательности (|хA), |хB), |хC),...) рав-
равна C(z).
Производящие функции Дирихле особенно полезны, когда
последовательность (gi,g2,---) является мультипликативной
функцией, т. е.
gmn = gm 9п При ТП ± П.
7 УПРАЖНЕНИЯ 407
В таких случаях значения дтг для всех п определяются значени-
значениями для п, являющихся степенями простых чисел, и мы можем
разложить ПФД в произведение по простым числам:
- П
р простое
Если, например, положить gn = 1 для всех тг, то получим пред-
представление дзета-функции Римана в виде произведения:
= П
р простое
Для функции Мёбиуса |х(р) = — 1 и \x(vk) = О при к > 1, следова-
следовательно, ее ПФД равна
A -P~z)> G-92)
р простое
что, разумеется, согласуется с G-89) и G-91)- Аля функции Эй-
Эйлера (р имеем (р(рк) = рк — рк-1, поэтому ее ПФД имеет вид
Ф(г) = П M+^-J= fj 1 "P1z . G.93)
р простое ^ ^ р простое ^
Отсюда мы заключаем, что Ф[ъ) = l\z— \)/l\z).
Упраж:нения
Разминочные упражнения
1 Один эксцентричный коллекционер покрытий при помощи
домино 2 х n-прямоугольника платит 4 доллара за каждую
вертикально расположенную костяшку и 1 доллар — за гори-
горизонтальную. Сколько покрытий будут оценены по этому спо-
способу ровно в та долларов? Например, для та = 6 имеем три
решения: И, ED и I
2 Выпишите в замкнутой форме производящую функцию и экс-
экспоненциальную производящую функцию для последователь-
последовательности B,5,13,35, ...) = BП + Зп).
3 Чему равна XI7^онп/1Оп?
4 Общая теорема о разложении рациональной функции
P(z)/Q(z) не вполне общая, поскольку степень Р в ней долж-
должна быть меньше степени Q. Что произойдет, если степень Р
окажется больше?
408 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
5 Найдите производящую функцию S(z), такую, что
-2k
Обязательные упражнения
6 Покажите, что рекуррентное соотношение G-32) можно ре-
решить репертуарным методом, не используя производящих
функций.
7 Решите рекуррентное соотношение
9о = 1 ;
gn = gn_! + 2gn_2 И h ng0 при п>0.
8 Вычислите [zn] (lnA - z)J/A - z)m+1.
9 Используйте результат предыдущего упражнения для вычи-
вычисления X^k=0 HkHn_k.
10 Положите в тождестве G.62) г = s = —1/2 и затем избавьтесь
от всех вхождений 1/2 с помощью трюков, подобных (б-З^)- К
какому замечательному тождеству вы пришли? От чего ушел, к
11 Эта задача, состоящая из трех независимых частей, позволяет тому и пРишел-
попрактиковаться в манипуляциях с производящими функци-
функциями. Пусть A(z) = Xln anzn, B(z) = ?n bnzn, C(z) = ?n cnzn,
причем все коэффициенты равны нулю для отрицательных п.
а Выразите С через Л и В, если сп = Xlj+2k^n aj^k-
b Выразите Л через В, если nbn = Xlk=o2kdk/("n — к)!.
с Выразите Л через В, если ап = Х1к=о Ск^п-к, где г""
вещественное число; затем используйте вашу формулу,
чтобы отыскать коэффициенты fkM, такие, что bn =
12 Сколько существует способов разместить числа {1,2,..., 2п} в
виде массива размера 2 х п так, чтобы и строки и столбцы
массива были упорядочены по возрастанию слева направо и
сверху вниз? Например, для п = 5 одним из решений будет
12 4 5 8
3 6 7 9 10
13 Докажите обобщенную лемму Рени, сформулированную непо-
непосредственно перед G-70)-
14 Используя экспоненциальную производящую функцию, реши-
решите рекуррентное соотношение
9о = 0, gi = 1 ,
Эп = — ^"П9п-1 + 2_ I v 19k9n-k при п > I.
7 УПРАЖНЕНИЯ 409
15 Число Белла CDn есть число способов разбиения п предметов
на подмножества. Например, СОз = 5, поскольку множество
{1,2,3} можно разбить на такие подмножества:
{1,2,3}; {
Докажите, что CDn+i = J^k (?)varpin_ic, и используйте это ре-
рекуррентное соотношение для нахождения в замкнутом виде
экспоненциальной производящей функции Р (z) = Y_n G>nZn/nl.
16 Две последовательности (an) и (bn) связаны между собой
формулой свертки
-Л/a2+k2-1\ /ап+кп-Г
Д к2 )"\ кп
кроме того, ао = 0 и bo = 1. Докажите, что соответствующие
производящие функции удовлетворяют уравнению lnB(z) =
17 Покажите, что экспоненциальная производящая функция
G(z) связана с обычной производящей функцией той же по-
последовательности соотношением
Что означает это
„в общем случае"?
Если f I = f2 =
••• = fm-l = 0,
то степень fn(x)
не превосходит
[n/mj.
если этот интеграл существует.
18 Найдите производящие функции Дирихле для последователь-
последовательностей
а gn = у/п,
Ъ gn=lnn,
с Qn = [тг свободно от квадратов].
Выразите ответы в терминах дзета-функции. (Свойство сво-
свободы от квадратов определено в упр. 4.13.)
19 Любой степенной ряд F(z) = ?ln>o^zn с fо = 1 определяет
последовательность многочленов fn(x) по правилу
при этом fnA) = fn и fn@) = [п = 0]. В общем случае fn(x)
имеет степень п. Покажите, что эти многочлены удовлетворя-
удовлетворяют формулам свертки:
k=0
п
k=0
(Тождества в табл. 229 и 302 —частные случаи этого приема.)
410 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
20 Степенной ряд G(z) называется дифференцируемо конеч-
конечным, если найдутся многочлены (в конечном числе) Po(z),
..., Pm(z), не все равные нулю и такие, что
Последовательность чисел (до, дъ 92, • • •) называется полино-
полиномиально рекурсивной, если найдутся многочлены (в конеч-
конечном числе) po(z), ..., pm(z), не все равные нулю и такие, что
Po(n)gn+Pi(n)gn+i +---+pm(n)gn+m = 0
для всех целых п ^ 0. Докажите, что производящая фун-
функция дифференцируемо конечна тогда и только тогда, когда
ее последовательность коэффициентов полиномиально рекур-
рекурсивна.
Домашние задания
21 Грабитель врывается в банк и требует 500 долларов десяти- и
двадцатидолларовыми банкнотами. Он также желает знать,
сколькими способами кассир может дать ему эти деньги. Най-
Найдите производящую функцию G(z), содержащую это число в
коэффициенте [z500]G(z), а также более компактную функ-
функцию G(z), в которой это число равно [z50] G(z). Используйте
для решения (а) элементарные дроби; (Ь) метод, аналогичный
G-39).
22 Пусть Р есть сумма всех возможных способов „триангуляции"
многоугольников:
(Первое слагаемое представляет вырожденный многоуголь-
многоугольник всего с двумя вершинами; все остальные слагаемые изо-
изображают многоугольники, разбитые на треугольники. Пяти-
Пятиугольник, например, можно триангулировать пятью способа-
способами.) Определите операцию „умножения" ЛЛВ триангулиро-
триангулированных многоугольников Л и В так, чтобы было справедливо
уравнение
Р = _ + ?АР.
Затем замените каждый треугольник на 'z'; что вы тогда смо-
сможете сказать о числе разбиений n-угольника на треуголь-
треугольники?
23 Сколько существует способов построить 2 х 2 х n-колонну из
кирпичей размера 2x1 х 1 ?
Не собирается
ли он сыграть в
домино 2хп?
(Дело в другом-
он боится обмена
сто- и пятиде-
сятидолларовых
купюр.
— Перев.)
Столько, сколько
вы сможете по-
позволить себе по
нынешним ценам,
и еще чуть-чуть.
7 УПРАЖНЕНИЯ 411
24 Сколько имеется остовных деревьев в n-колесе (т. е. графе с
циклом из п „внешних" вершин, каждая из которых соединена
с (п + 1 )-й вершиной „осью") при п ^ 3?
25 Пусть та ^ 2 —целое число. Выразите в замкнутом виде, как
функцию z и та, производящую функцию последовательно-
последовательности (n mod та). Используя эту производящую функцию, вы-
выразите ln mod та' в терминах комплексного числа си = e27Ul/m.
(Например, для та = 2 будем иметь си = — 1 и n mod 2 =
W(-nn.)
26 Числа Фибоначчи второго порядка ($п) определяются рекур-
рекуррентным соотношением
$о = О, 51=1,
Зп = Зп-1 + Зн-2 + Fn При П > 1.
Выразите #п через обычные числа Фибоначчи Fn и Fn+i.
27 Каждое покрытие 2 х n-прямоугольника костяшками домино
можно рассматривать также как некоторый способ нарисовать
п несоприкасающихся отрезков в массиве точек размера 2 х п:
Если наложить друг на друга две подобные схемы, то мы полу-
получим несколько циклов, так как с каждой точкой связаны два
отрезка. Если, например, приведенная выше картинка объеди-
объединяется с
I I Ш И! Ш Ш ,
то в результате получится
Такой же набор циклов получается при объединении
Однако мы сможем однозначно восстановить исходные схе-
схемы по результату их наложения, если припишем каждому
вертикальному отрезку некоторую ориентацию при помощи
стрелок. Стрелки расставим поочередно вверх/вниз/вверх/
вниз/- • • в первой схеме и поочередно вниз/вверх/вниз/
вверх/- • • — во второй. Например,
^шпшн + ншшшш = iii: i} = п.
Число таких ориентированных циклических схем должно
быть, следовательно, равно Т2 = FT21+1, и мы должны уметь до-
доказывать это с помощью алгебры. Пусть Qn будет числом ори-
ориентированных циклических схем размера 2 х п. Найдите ре-
рекуррентное соотношение для Qn, решите его с помощью про-
производящих функций и получите алгебраическое доказатель-
доказательство того, что Qn = F721+1.
412 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
28 Коэффициенты A(z) в G-39) удовлетворяют соотношению Аг+
Ar+io + Аг+20 + Аг+зо = 100 для 0 ^ г < 10. Дайте „простое"
объяснение этому факту.
29 Чему равна сумма фибоначчиевых произведений
m>0 ki+k2H f-km=n
kbk2>...>km>0
30 Если производящая функция G(z) = 1/A — az)A — |3z) имеет
разложение на элементарные дроби a/(l — ocz) + b/A — |3z),
то каким будет разложение на элементарные дроби функции
G(z)n?
31 Какая функция g(n), определенная на положительных це-
целых п, удовлетворяет рекуррентному соотношению
?g(d)<p(n/d) = 1?
d\n
Здесь (р — функция Эйлера.
32 Арифметическая прогрессия — это бесконечное множество
целых чисел
{an + Ъ} = {b,a + b,2a + b,3a + b,...}.
Множество арифметических прогрессий {ain+bi}, ..., {amn-f-
bm} называется точным покрытием, если всякое неотри-
неотрицательное целое встречается в одной и только в одной про-
прогрессии. Например, точное покрытие образуют три прогрес-
прогрессии {2п}, {4п + 1}, {4п + 3}. Покажите, что если {а-\п + bi},
..., {атп + Ьт} — точное покрытие, причем 2 ^ си ^ • • • ^ am,
то am_i = am. Указание: используйте производящие функ-
функции.
Контрольные работы
33 Чему равно [wmzn] (ln(l +z))/A -wz)?
34 Найдите замкнутое выражение для производящей функции
LG^(Z)Wn' еСЛИ
G.W- L
k^n/m
(Здесь та — фиксированное положительное целое.)
35 Вычислите сумму ^Г0<к<п 1/к(п — к) двумя способами:
а Разложите слагаемые в простейшие дроби.
b Представьте сумму как свертку и используйте производя-
производящие функции.
36 Пусть A(z) —производящая функция для (do, си, а.2, аз,...).
Выразите Y_n a[n/m\zn через A, z и та.
7 УПРАЖНЕНИЯ 413
37 Пусть ап обозначает число способов записать положительное
целое п в виде суммы степеней 2, без учета порядка. Напри-
Например, сц = 4, поскольку 4 = 2 + 2 = 2+1+1 =1+1+1+1. Поло-
Положим, по определению, ао = 1. Обозначим через Ъп = ]Г ?=0 Qk
частичные суммы последовательности а.
а Составьте таблицу чисел ап и Ъп до п = 10. Какое заме-
замечательное соотношение можно усмотреть в таблице? (Пока
не доказывайте его.)
b Выразите производящую функцию A(z) в виде бесконеч-
бесконечного произведения.
с Используйте выражение из части (Ь) для доказательства
результата части (а).
38 Найдите замкнутое выражение для двойной производящей
функции
M(w,z) = Y_ min(m,n)wmzn.
Обобщите ваш ответ так, чтобы для фиксированного та ^ 2
получить замкнутое выражение для
M(zb...,zm) = ?_ min(nb...,nm)z?1...z?lm.
ni,...,nm^0
39 Для заданных положительных целых тип найдите замкну-
замкнутые выражения для
k1k2...km и
(Например, для га = 2 и n = 3 суммы, соответственно, будут
1-2+ 1-3+ 2-3 и 1-1+1-2 + 1-3 + 2-2+2-3+ 3-3.) Указание:
какие коэффициенты при zm будут в производящих функциях
A + (hz) ... A + anz) и 1/A - aiz)... A - anz)?
40 Выразите ^Tk (?) (kFk_i — Fi<)(n — k)j в замкнутом виде.
41 Возрастающе-убывающей перестановкой порядка п назы-
называется перестановка си а.2 ... ап чисел {1,2,..., п}, которая по-
поочередно возрастает и убывает:
си < d2 > аз < ci4 > • • • .
Например, 35142 есть возрастающе-убывающая перестановка
порядка 5. Пусть Лп обозначает число возрастающе-убываю-
щих перестановок порядка п. Покажите, что экспоненциаль-
экспоненциальной производящей функцией (Лп) будет A + sinz)/cosz.
42 Космический зонд обнаружил, что органическое вещество на
Марсе имеет ДНК, в состав которой входят пять символов,
обозначаемых (а, Ъ, 0,A,6), вместо четырех символов в зем-
земных ДНК. Четыре пары символов —cd, ce, ed и ее —никогда
414 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
не встречаются в марсианских ДНК, однако любая цепочка,
не содержащая этих запрещенных пар, возможна. (Запреще-
(Запрещена, таким образом, цепочка bbcda, а bbdca вполне возможна.)
Сколько цепочек ДНК длины п может существовать на Мар-
Марсе? (Для п = 2 ответ 21, поскольку мы различаем левый и
правый концы цепочки.)
43 Производящая функция Ньютона последовательности (gn)
есть, по определению,
G(z) = ?9u(Z).
Найдите формулу свертки, которая устанавливает соотноше-
соотношение между последовательностями (fn), (gn) и (Кп) с произво-
производящими функциями Ньютона, удовлетворяющими уравнению
F(z)G(z) = H(z). Постарайтесь, чтобы ваша формула была воз-
возможно более простой и симметричной.
44 Пусть qn означает число возможных исходов при попарном
сравнении п чисел {xi,... ,хп}. Например, q3 = 13, поскольку
возможны следующие исходы
x2<xi=x3; x2<x3<xi; x2=
x3<xi<x2; x3<xi=x2; x3<x2<xi.
Найдите выражение в замкнутом виде для эпф Q(z) =
Y_n qnzn/nl. Найдите также последовательности (an), (bn),
(сп), такие, что
Пак = X. 1 v Гbk = Л \ v /Ск при любом п > °-
к ^К) к \К/
45 Вычислите ^mn>0[mln]/m2n2.
46 Вычислите
fe2V ic ){27)
в замкнутом виде. Указание: z3 — z2 + jj = (z + \){z — |J.
47 Покажите, что приведенные в G-34) числа Un и Vn из задачи
о покрытии домино 3 х n-прямоугольника, тесно связаны с
дробями в дереве Штерна—Вроко, сходящимися к \/3.
7 УПРАЖНЕНИЯ 415
48 Некоторая определенная последовательность (gn) удовлетво-
удовлетворяет соотношению
agn + bgn+i + cgn+2 + d = 0, целое п^0}
для каких-то целых чисел (а,Ъ, с, d) с нод(а, Ъ, с, d) = 1. Она
также имеет замкнутый вид
gn = [аA + V2 )п\ , целое п
для какого-то вещественного числа а между 0 и 1. Найдите а,
Ь, с, d и а.
Если о степенях, 49 Задача о степенях и четности.
то о почетных. а Рассмотрите последовательность (do, ai, d2>.. .)=B,2,6,...),
определяемую формулой
an = A
Найдите простое рекуррентное соотношение, которому удо-
удовлетворяет эта последовательность.
b Докажите, что [A -f л/2I1] = n (mod 2) для любых целых
п>0.
с Найдите число а вида (р + л/Ц)/2у где pnq- положитель-
положительные целые, такие, что |_ocnj = *ri (mod 2) для любых целых
п>0.
Конкурсные задачи
50 В продолжение упр. 22 рассмотрим сумму всех способов раз-
разбиения многоугольников на многоугольники:
Найдите символическое уравнение для Q и постройте с его по-
помощью производящую функцию для числа способов проведе-
проведения непересекающихся диагоналей в выпуклом п-угольнике.
(Дайте выражение в замкнутом виде для производящей фун-
функции как функции от z; не требуется находить замкнутое вы-
выражение для коэффициентов.)
51 Докажите, что произведение
^
n+
является производящей функцией для покрытий домино
га х n-прямоугольника. (Входящие в формулу mn сомножи-
сомножителей можно представлять себе выписанными в mn клетках
прямоугольника. Если mn нечетно, то средний сомножитель
416 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
нулевой. Коэффициентом при Q>ok является число способов
покрытия прямоугольника с помощью j вертикальных и к го-
горизонтальных костяшек домино.) Указание: это трудная за-
задача, выходящая за рамки данной книги. Возможно, вы огра-
ограничитесь простой проверкой справедливости формулы в слу-
случае m = 3, п = 4.
52 Докажите, что многочлены, определяемые рекуррентным со-
соотношением
= (
= (у --т) -
к=0
ИМеЮТ ВИД Vn(y) = Lm=0 |т|УП» ГДе Iml ""ЦеЛОв ЧИСЛО
m ^ п. Утсазапгхе: это упражнение очень поучительно, но не
очень просто.
53 Последовательность пятиугольных чисел A,5,12,22,...) яв-
является очевидным обобщением треугольных и квадратных чи-
чисел:
Пусть Тп = п(п + 1 )/2 есть n-е треугольное число; Рп =
пCп — 1 )/2 —n-е пятиугольное число; и, наконец, пусть Un
означает число покрытий домино 3 х п-прямоугольника,
определенное в G-3^)- Докажите, что треугольное число
T(u4u+2-i)/2 является также пятиугольным числом. Указа-
ние: Ъи\п = (V2n_, + V2n+1J + 2.
54 Рассмотрим следующую курьезную конструкцию:
1 2
1 2
1 3
1 3
1 4
1 4
1 5
1
1
3
3
6
6
10
4
4
10
5 6
6
16
16
26
26
31
31
32
7
7
23
23
49
49
80
8
8
31
31
80
9
9
40
10 11
11
51
51
131
131
211
211
243
12
12
63
63
194
194
405
13
13
76
76
270
14
14
90
15 16
16
106
106
376
376
781
781
1024
(Начните со строки, содержащей все положительные целые.
Затем удалите каждый та-й столбец; здесь та = 5. Затем за-
замените оставшиеся элементы на их частичные суммы. Затем
Что это —указание
или предостереже-
предостережение?
7 УПРАЖНЕНИЯ 417
удалите каждый (та— 1 )-й столбец. Затем вновь замените эле-
элементы на частичные суммы и т. д.) Используя производящие
функции, покажите, что в конце концов получится последова-
последовательность тп-х степеней. Так, для та = 5 получаем, как здесь
показано, последовательность A5,25,35,45,...).
55 Докажите, что если степенные ряды F(z) и G(z) обладают
свойством дифференцируемой конечности (определенным в
упр. 20), то тем же свойством обладают F(z) + G(z) и F(z)G(z).
Исследовательские проблемы
56 Докажите, что в некотором широком классе „простых замкну-
замкнутых выражений" не существует „простого замкнутого выраже-
выражения" для коэффициента при zn в A + z + z2)n, как функции
от п.
57 Докажите или опровергните: если все коэффициенты ряда
G(z) равны либо 0, либо 1 и при этом все коэффициенты G(zJ
меньше некоторой константы М, то бесконечно много из ко-
коэффициентов G(zJ равны нулю.
8
Дискретная вероятность
ЭЛЕМЕНТ СЛУЧАЙНОСТИ привлекается практически всегда,
когда мы пытаемся объяснить окружающий нас мир. Математи-
Математическая теория вероятностей позволяет вычислять вероятно-
вероятности сложных событий, если мы предположим, что эти события
подчиняются определенным аксиомам. Эта теория имеет важные
приложения во всех областях науки, и к тому же она тесно свя-
связана с методами, изученными нами в предыдущих главах.
Прилагательное „дискретная" означает, что вероятности всех
событий можно вычислить при помощи суммирования, а не ин-
интегрирования. Мы уже хорошо знакомы с суммами, поэтому нет
ничего удивительного в том, что наши знания можно приме-
применить к вычислению ряда интересных вероятностей и средних зна-
значений.
8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Теория вероятностей начинается с идеи вероятностного
пространства, которое представляет собой множество О. все-
всего, что может случиться в рассматриваемой задаче, в совокуп-
совокупности с правилом, приписывающим каждому элементарному со-
событию ш Е С1 его вероятность Рг(си). В любом дискретном ве-
вероятностном пространстве вероятность Рг(ш) должна быть нео-
неотрицательным целым числом и, кроме того, должно выполняться
условие
Рг(ш) - 1 .
(8.1)
Таким образом, все значения Рг(ш) должны быть заключены в
диапазоне [0, 1]. Мы называем Рг распределением вероятно-
вероятностей, поскольку функция Рг распределяет суммарную вероят-
вероятность 1 между событиями си.
Вот пример. Если мы бросаем пару игральных кубиков, то
множество С1 элементарных событий представляет собой D2 =
(Читатели, не зна-
знакомые с теорией
вероятностей, с
большой вероят-
вероятностью получат
пользу от изучения
классического
введения Феллера
в этот предмет
[310].)
8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ 419
Осторожно: начин-
начинка может оказаться
взрывоопасной.
Если бы все грани
кубика были абсо-
абсолютно одинаковы,
то как бы мы узна-
узнали, какая грань
выпала?
(??>
, где
— множество всех шести возможностей падения одного опреде-
определенного кубика. Два таких исхода, как 0E3 и (*3 Н» считаются
различными; следовательно, это вероятностное пространство со-
содержит всего б2 = 36 элементов.
Обычно мы предполагаем, что кубики „правильные", т. е. все
шесть вариантов для одного кубика имеют вероятности ^ и все
36 возможных исходов в О. имеют вероятность jg- Но можно рас-
рассмотреть также и кубики, содержащие в некоторых местах какую-
либо „начинку" из-за чего центр тяжести кубика перемещается и
распределение вероятностей меняется. Положим, например,
PriO =Pri([7|) = Pri(|Ol) =Pri([X|) = |-
Тогда ^Td€D Pri (d) = 1, так что Pri является распределением ве-
вероятностей на множестве D, и мы можем приписать вероятности
элементам О = D2 при помощи правила
= Pn(d)Pn(d').
Например, Prn(|Q||7]) = 1-1 = ?.
ние, поскольку
(8.2)
правильное распределе-
распределеPri(d)Pr,(d')
ш€П
dd'€D2
d,d'€D
d€D
d'GD
Можно рассмотреть также случай, когда один кубик правильный,
а другой — с начинкой,
(8-3)
Proi(dd') = Pro(d) Pn(d'), где Pro(d) = 1;
в этом случае Proi (?[][?]) = \' \ = jg- Разумеется, у реальных
„физических" кубиков грани выпадают не в точности одинаково
часто, поскольку любой кубик не вполне симметричен; однако
значение ^ обычно весьма близко к истинной вероятности.
Подмножество множества О называется событием. В игре в
кости, например, множество
11*11*1) [• И» |) |« \\т 1) 1» •]]• •[) |»%||1*1|) 1» i\\l t\ J
есть событие — „выпадение дублета" Индивидуальные элементы
си множества П называются элементарными событиями, по-
поскольку их нельзя разложить на меньшие подмножества. Один
элемент а> можно рассматривать как одноэлементное событие {си}.
420 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Вероятность события Л определяется формулой
Pr(cuGA) = ^Рг(ш); (8.4)
и, в общем случае, если R(tu) — любое утверждение относительно
ш, то будем писать Tr(R(cu))' для обозначения суммы всех тех
Рг(ш), для которых R(a>) истинно. Так, например, вероятность
дублета с правильными кубиками равна ? + ? + ?+?+? + ?
|; но если оба кубика несимметричны и имеют распределение
вероятностей Pri, то вероятность дублета будет у^ + ^ + -& +
^ + ^ + Тб ^ 1% > ^. Смещение центра тяжести кубиков делает
событие „выпадение дублета" более вероятным.
(Здесь мы использовали обозначение ]Г в более общем смысле,
чем было определено в гл. 2: суммы в (8.i) и (8.4) распространя-
распространяются на все элементы со произвольного множества, а не только
на целые числа. Однако это расширение в действительности не
вызывает никаких проблем; мы можем условиться использовать
под знаком YL специальное обозначение, когда подразумеваются
не целые числа, и никаких коллизий с нашими обычными согла-
соглашениями не будет. Остальные определения из гл. 2 сохраняются
в силе; в частности, определение бесконечной суммы в гл. 2 дает
подходящую интерпретацию для наших сумм в случае бесконеч-
бесконечного множества JQ. Все вероятности неотрицательны, а сумма их
всех ограничена, поэтому вероятность события Л в (8.4) коррект-
корректно определена для всех подмножеств ДСП.)
Функция, определенная на элементарных событиях си из ве-
вероятностного пространства, называется случайной величиной.
Если, например, Cl = D2, то можно определить S(a>) как сумму
очков на выпавших гранях для события ш, так что S([H][?]) =
6 + 3 = 9. Вероятность того, что сумма очков составит 7, есть
вероятность события S(cu) = 7, а именно,
+ Рг(ЕЗ[х]) +
Для правильных кубиков (Рг = Ргоо) это событие происходит
с вероятностью |; в случае смещения центра масс (Рг = Ргц)
вероятность будет Тб + б^ + б^ + б^ + б^ + т^^— та же, что мы
ранее нашли для дублета.
В рассуждениях о случайных величинах принято опускать
обозначение 1{ш)\ поскольку обычно в каждой конкретной за-
задаче имеется только одно вероятностное пространство. Так, мы
будем говорить просто lS = 7* для обозначения того, что выпало 7
очков, или CS = 4' для обозначения события {0ЕЗ> ЕЗЕЗ) [Х|Г*П }¦
Случайную величину можно охарактеризовать распределени-
распределением вероятностей ее значений. Так, например, S принимает 11 воз-
возможных значений {2,3,..., 12}, и мы можем выписать вероятность
8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ 421
события S = s для всех s из этого множества:
S
Proo(S = s)
Prn(S = s)
2
h
4
64
3
h
4
64
4
3
36
5
64
5
4
36
6
64
6
h
7
64
7
6
36
12
64
8
5
36
7
64
9
4
36
6
64
10
3
36
5
64
11
h
14
12
i
36
4
64
Если мы решаем задачу, включающую только случайную вели-
величину S, но не другие характеристики кубиков, то мы можем по-
получить ответ, основываясь только на этих вероятностях, не вни-
вникая в детальное строение множества О. = D2. Фактически мы
могли бы определить вероятностное пространство как меньшее
множество С1 = {2,3,..., 12} с желаемым распределением вероят-
вероятностей Pr(s). Тогда 'S = 4' будет элементарным событием. Таким
образом, мы часто можем игнорировать вероятностное простран-
пространство П и работать непосредственно со случайными величинами и
их распределениями.
Если на одном вероятностном пространстве Q. определены две
случайные величины X и Y, то, чтобы охарактеризовать их пове-
поведение, не зная ничего об П, нам требуется знать их „совместное
распределение"
для всех х в диапазоне изменения X и всех у в диапазоне измене-
изменения Y. Мы будем говорит, что X и Y — независимые случайные
величины, если
Рг(Х = хиУ = у) = Pr(X = x)-Pr(Y = ij) (8.5)
для всех х и -у. Интуитивно это означает, что значение X не ока-
оказывает влияния на значение Y.
Так, если С1 есть множество бросаний кубиков D2, то мы мо-
можем определить Si как число очков на первом кубике и S2 — как
число очков на втором. Тогда случайные величины S] и S2 будут
независимыми по отношению к каждому из рассмотренных ра-
ранее распределений вероятностей Ргоо, Ргц и Ргоь поскольку мы
определяли вероятность каждого элементарного события dd' как
произведение вероятностей событий Si=dnS2 = d'. Мы могли
бы определить вероятности иначе, так, чтобы, скажем,
Неравенством Рг(ЦШ / Рг(Н[П]) Ф Рг(ЕЭ|Й])/ РгЦТЦЦ) 5
костях' но мы так не сделали, поскольку обычно кубики не влияют
друг на друга. В наших обозначениях оба эти отношения равны
Pr(S2=5)/Pr(S2=6).
Мы определили S как сумму двух чисел очков, Si 4-S2. Рассмо-
Рассмотрим другую случайную величину Р: произведение S1S2. Явля-
Являются ли S и Р независимыми? Рассуждая неформально, нет; если
нам сказали, что S = 2, то мы знаем, что Р должно равняться 1.
Если действовать формально, снова нет, поскольку мы можем
эффектно опровергнуть условие независимости (8.5) (по крайней
422 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
мере для правильных кубиков): для всех допустимых значений
s и р имеем 0 < PrOo(S = s) -Proo(P =p) ^ \ • \, что не может
равняться значению Proo(S = snP=p), которое кратно ~.
Желая выяснить типичное поведение какой-либо случайной
величины, мы часто интересуемся ее „средним" значением. Одна-
Однако понятие „среднего" неоднозначно; обычно, говоря о последова-
последовательности чисел, подразумевают три разновидности средних:
• среднее арифметическое (это сумма всех значений, деленная
на их количество);
• медиана (это средний элемент последовательности, если упо-
упорядочить значения);
• мода (значение, встречающееся чаще других).
Например, среднее арифметическое значение последовательности
C,1,4,1,5) равно 34+з+1+5 = 2.8, ее медиана равна 3, а мода 1.
Однако объектами, с которыми имеет дело теория вероятно-
вероятностей, являются случайные величины, а не последовательности
чисел, так что нужно определить понятие „среднего" и для слу-
случайных величин. Предположим, что мы многократно повторяем
эксперимент, производя независимые испытания таким образом,
чтобы каждое значение X появлялось с частотой, приблизитель-
приблизительно пропорциональной его вероятности. (Например, мы могли бы
много раз бросать пару кубиков, наблюдая за значениями S или
Р.) Мы бы хотели так определить среднее значение случайной ве-
величины, чтобы последовательность чисел, полученная в резуль-
результате таких экспериментов, имела бы, как правило, приблизитель-
приблизительно те же значения среднего арифметического, медианы и моды,
что и соответствующие значения для случайной величины X, как
мы их определим.
Вот как можно этого достичь. Среднее случайной величины X
с вещественными значениями на вероятностном пространстве П
есть, по определению,
х-Рг(Х = х), (8.6)
х<ЕХ(П)
если эта, потенциально бесконечная, сумма существует. (Здесь
Х(П) обозначает множество всех значений, которые может при-
принимать X.) Медиана X определяется как множество всех х, для
которых
Рг(Х<Сх) ^ 1 и Pr(X^x) ^ 1. (8.7)
Наконец, мода X определяется как множество всех таких х, что
Рг(Х = х) ^ Рг(Х = х') для всех х' е Х(П). (8.8)
В нашем примере с парой кубиков среднее значение величины
S оказывается равным 2-j6+3-^ + --- + 12-3^ =7 для рас-
распределения Ргоо; для распределения Ргц оно также равняется 7.
Медианой и модой в обоих распределениях также оказывается {7}.
8.1 ОПРЕДЕЛЕНИЯ 423
Я понял: в среднем
можно ожидать,
что „среднее" озна-
означает „ожидаемое
значение".
Таким образом, S имеет одно и то же среднее значение по всем
трем определениям. С другой стороны, случайная величина Р при
распределении Ргоо имеет среднее арифметическое 42 = 12.25; ее
медианой является {10}, а модой {6,12}. При переходе к кубикам
с распределением Ргц среднее арифметическое Р не изменяет-
изменяется, однако медиана уменьшается до {8}, а модой становится един-
единственный элемент {6}.
В теории вероятностей используется специальное название и
обозначение для среднего арифметического случайной величины;
среднее арифметическое называют математическим ожида-
ожиданием и пишут
EX - У Х(ш)Рг(ш).
(8-9)
В нашем примере эта сумма содержит 36 слагаемых (по одному
для каждого элемента П), тогда как (8.6) есть сумма всего один-
одиннадцати чисел. Однако обе суммы имеют одинаковое значение,
поскольку обе они равны
хРг(ш)[х =
В приложениях среднее арифметическое случайной величи-
величины оказывается более полезным, чем другие виды средних, по-
поэтому мы впредь практически забудем о медианах и модах и до
конца главы будем употреблять термины „ожидаемое значение"
„математическое ожидание" и „среднее" как равнозначные.
Если X и Y — две произвольные случайные величины, опреде-
определенные на одном и том же вероятностном пространстве, то X + Y
также является случайной величиной на этом пространстве. По
формуле (8.д) среднее суммы случайных величин есть сумма их
средних:
Е(Х + Y) =
= ЕХ + EY •
Аналогично, если а —любая константа, то имеет место простое
правило
Е(схХ) = схЕХ.
(8.11)
Однако для умножения случайных величин соответствующее
правило в общем случае будет более сложным; математическое
ожидание определяется как сумма по элементарным событиям, а
сумма произведений обычно не имеет простого выражения. Не-
Несмотря на эту трудность, имеется прекрасная формула для мате-
математического ожидания произведения в специальном случае неза-
независимых случайных величин:
E(XY) = (EX)(EY),
если X и Y независимы.
(8.12)
424 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Мы можем доказать это равенство при помощи дистрибутивного
закона для произведений:
E(XY) = Y Х(ш)У(ш)-Рг(ш)
Например, мы знаем, что S = Si +S2 и Р = S1S2, где Si и S2 —
числа очков на первом и втором кубике. Мы знаем также, что
ESi = ES2 = |, следовательно, ES = 7; кроме того, Si и S2 не-
независимы и поэтому ЕР = \ • \ = 4?, как и утверждалось вы-
выше. Имеем также E(S + Р) = ES + ЕР = 7 + %. Однако S и Р
не являются независимыми, так что мы не можем утверждать,
что E(SP) = 7-^2 = 2|?. Фактически, ожидаемое значение SP
оказывается равным ^~ в распределении Ргоо, П2 (ровно)—в
распределении Ргц.
8.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ
И ДИСПЕРСИЯ
Следующим по важности свойством случайной величи-
величины вслед за математическим ожиданием является ее дисперсия,
определяемая как средний квадрат отклонения от среднего:
VX= E((X-EXJ).
(8.13)
Если обозначить ЕХ через ц, то дисперсия VX будет ожидаемым
значением (X — цJ. Это характеристика „разброса" распределе-
распределения X.
В качестве простого примера вычисления дисперсии предпо-
предположим, что нам только что сделали предложение, от которого мы
не в силах отказаться: некто подарил нам два сертификата для
участия в одной лотерее. Устроители лотереи продают каждую
неделю по 100 билетов, участвующих в отдельном тираже. В ти-
тираже выбирается один их этих билетов посредством равномер-
равномерного случайного процесса — каждый билет имеет равные шансы
быть выбранным — и обладатель этого счастливого билета полу-
получает сто миллионов долларов. Остальные 99 владельцев лотерей-
лотерейных билетов не выигрывают ничего.
V от английского
слова Variance —
дисперсия. В
отечественной
литературе при-
принято обозначать
дисперсию вели-
величины X как DX.
Для обозначения
математического
ожидания, наряду
с ЕХ, использует-
используется запись MX.
— Перев.
8.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ 425
(Тонкое место:
в зависимости от
нашей стратегии
мы должны ис-
использовать разные
вероятностные
пространства,
но EXi и ЕХ2
одинаковы в обоих
случаях.)
Интересно, что
дисперсия дол-
долларовых сумм
выражается в ква-
квадратных долларах.
Мы можем использовать подарок двумя способами: купить
или два билета в одной лотерее, или по одному для участия в двух
разных лотереях. Какая стратегия лучше? Попытаемся провести
анализ. Для этого обозначим через Xi и Хг случайные величины,
представляющие размер нашего выигрыша по первому и второму
билету. Ожидаемое значение Xi, в миллионах, равно
ЕХ, =$г
^.100 =
и то же самое справедливо для Х2. Ожидаемые значения адди-
аддитивны, поэтому наш средний суммарный выигрыш составит
E(Xi +X2) = EXi + EX2 = 2 миллиона долларов,
независимо от принятой стратегии.
Тем не менее, две стратегии выглядят различными. Выйдем за
рамки ожидаемых значений и изучим полностью распределение
вероятностей Xi + X2:
выигрыш (миллионы)
О 100 200
один тираж
разные тиражи
.9800 .0200
.9801 .0198
.0001
Если мы купим два билета в одной лотерее, то наши шансы не вы-
выиграть ничего составят 98% и 2% —шансы на выигрыш 100 мил-
миллионов. Если же мы купим билеты на разные тиражи, то цифры
будут такими: 98.01% —шанс не выиграть ничего, что несколько
больше, чем ранее; 0.01% —шанс выиграть 200 миллионов, так-
также чуть больше, чем было ранее; и шанс выиграть 100 миллионов
теперь составляет 1.98%. Таким образом, во втором случае рас-
распределение величины Xi +X2 несколько более разбросано; среднее
значение, 100 миллионов долларов, несколько менее вероятно, то-
тогда как крайние значения более вероятны.
Именно это понятие разброса случайной величины призвана
отразить дисперсия. Мы измеряем разброс через квадрат откло-
отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Та-
Таким образом, в случае 1 дисперсия составит
2;
.98@М-2МJ + .02A00М-2МJ = 196М2;
в случае 2 дисперсия равна
.9801 (ОМ-2МJ + .0198A00М-2МJ + .0001B00М-2МJ
= 198М2.
Как мы и ожидали, последняя величина несколько больше, по-
поскольку распределение в случае 2 несколько более разбросано.
Когда мы работаем с дисперсиями, то все возводится в ква-
квадрат, так что в результате могут получиться весьма большие чи-
числа. (Множитель М.2 есть один триллион, это должно впечатлить
426 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
даже привычных к крупным ставкам игроков.) Для преобразо-
преобразования величин в более осмысленную исходную шкалу часто из-
извлекают квадратный корень из дисперсии. Полученное число на-
называется стандартным отклонением и обычно обозначается
греческой буквой а:
a = \/VX. (8.14)
Стандартные отклонения величины Х1 + X2 для наших двух ло-
лотерейных стратегий составят \/196М2 = 14.00М. и л/198М2 «
14.071247М. В некотором смысле второй вариант примерно на
71247 долларов рискованнее.
Каким образом дисперсия помогает в выборе стратегии? Это
не ясно. Стратегия с большей дисперсией рискованнее; но что
лучше для нашего кошелька — риск или безопасная игра? Пусть
у нас есть возможность купить не два билета, а все сто. Тогда мы
могли бы гарантировать выигрыш в одной лотерее (и дисперсия
была бы нулевой); или же можно было сыграть в сотне разных ти-
тиражей, ничего не получая с вероятностью .99^°° « .366, зато имея
ненулевой шанс на выигрыш вплоть до 10 000 000 000 долларов.
Выбор одной из этих альтернатив лежит за рамками этой книги;
все, что мы можем сделать здесь,— это объяснить, как произвести
подсчеты.
В действительности имеется более простой способ вычисления
дисперсии, чем прямое использование определения (8.13). (Есть
все основания подозревать здесь какую-то скрытую от глаз мате-
математику; иначе с чего бы дисперсия в лотерейных примерах ока-
оказалась целым кратным М.2.) Имеем
Е((Х-ЕХJ) = Е(Х2-2Х(ЕХ) + (ЕХJ)
= Е(Х2)-2(ЕХ)(ЕХ)-
(8.15)
поскольку (ЕХ)—константа; следовательно,
VX = E(X2)-(EXJ.
„Дисперсия есть среднее значение квадрата минус квадрат сред-
среднего значения"
Например, в задаче про лотерею средним значением (Xi -f X2J
оказывается .98@МJ + .02A00МJ = 200М2 или .9801 (ОМJ +
.0198A00МJ + .0001B00МJ =202М2. Вычитание 4М2 (квадрата
среднего) дает результаты, которые мы уже получили ранее более
трудным путем.
Есть, однако, еще более простая формула, применимая, когда
мы вычисляем V(X + Y) для независимых X и Y. Имеем
E((X + YJ) =
= E(X2)+2(EX)(EY)
Еще один способ
снизить риск —
подкупить тираж-
тиражную комиссию. Я
думаю, это как
раз тот случай,
когда вероятность
из дискретной
превращается в
дискредитирую-
дискредитирующую.
(Замечание:
высказанные на
этих полях мнения
не обязатель-
обязательно совпадают с
точкой зрения
администрации.)
8.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ 427
поскольку, как мы знаем, для независимых случайных величин
E(XY) = (EX)(EY). Следовательно,
V(X + Y) = Е((Х + YJ) - (EX + EYJ
= E(X2)+2(EX)(EY) + E(Y2)
-(EXJ-2(EX)(EY)-(EYJ
= E(X2) - (EXJ + E(Y2) - (EYJ
= VX+VY. (8.16)
„Дисперсия суммы независимых случайных величин равняется
сумме их дисперсий" Так, например, дисперсия суммы, которую
можно выиграть на один лотерейный билет, равняется
Е(Х?)-(ЕХтJ = .99@МJ + .01A00МJ-AМJ = 99М2 .
Следовательно, дисперсия суммарного выигрыша по двум лоте-
лотерейным билетам в двух различных (независимых) лотереях со-
составит 2 х 99М2 = 198М.2. Соответствующее значение дисперсии
для п независимых лотерейных билетов будет n x 99М.2.
Дисперсия суммы S очков, выпавших на двух кубиках, может
быть получена по той же формуле, поскольку S = Si + S2 есть
сумма двух независимых случайных величин. Имеем
VS, = 1A2 + 22+32 + 42 + 52 + 62) (Jj =
для правильного кубика; следовательно, VS = Щ + Щ = Щ-. В
случае смещенного центра масс
1(
2 45
следовательно, VS = ^ = 7.5, если у обоих кубиков центр масс
смещен. Заметьте, что в последнем случае дисперсия S больше,
хотя S принимает среднее значение 7 чаще, чем в случае правиль-
правильных кубиков. Если наша цель — выбросить побольше приносящих
удачу семерок, то дисперсия —не лучший показатель успеха.
Ну хорошо, мы установили, как вычислить дисперсию. Но мы
пока не дали ответа на вопрос, почему надо вычислять именно
дисперсию. Все так делают, но почему? Основная причина за-
заключается в неравенстве Чебышёва ([43] и [345]), которое уста-
устанавливает важное свойство дисперсии:
Pr((X - EXJ ^ a) ^ VX/cx при любом а > 0. (8.17)
(Это неравенство отличается от неравенств Чебышёва для сумм,
встретившихся нам в гл. 2.) На качественном уровне (8.17) утвер-
утверждает, что случайная величина X редко принимает значения, да-
далекие от своего среднего ЕХ, если ее дисперсия VX мала. Доказа-
428 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
тельство необычайно просто. Действительно,
vx = Y. (х(ш) - ЕХJ Рг(ш)
(Х(ш)-ЕХJ Рг(ш)
схРг(ш) = сх-Рг((Х-ЕХJ^сх);
wen.
(Х(ш)-ЕХJ^сс
деление на а завершает доказательство.
Если мы обозначим математическое ожидание через щ а стан-
стандартное отклонение — через а и заменим в (8.17) ос на c2VX, то
условие (X — EXJ ^ c2VX превратится в (X — цJ ^ (саJ; следо-
следовательно, мы получим из (8.17)
Рг(|Х-ц|?са) <с 1/с2. (8.i8)
Таким образом, X будет лежать в пределах с-кратного стандарт-
стандартного отклонения от своего среднего значения за исключением слу-
случаев, вероятность которых не превышает 1/с2. Случайная вели-
величина будет лежать в пределах 2а от \i по крайней мере для 75%
испытаний; в пределах от ц— 1 Оо до [i+10а — по крайней мере для
99%. Это случаи а = 4VX и а = 100VX неравенства Чебышёва.
Если бросить пару кубиков п раз, то общая сумма очков во
всех п бросаниях почти всегда, при больших п, будет близка к 7п.
Причина этого следующая: дисперсия п независимых бросаний
составит ^п. Дисперсия в ^п означает стандартное отклонение
всего
Поэтому из неравенства Чебышёва получаем, что сумма очков
будет лежать между
Щп и 7п+
О
по крайней мере для 99% всех бросаний п правильных кубиков.
Например, итог миллиона бросаний с вероятностью более 99%
будет заключен между 6.976 млн и 7.024 млн.
В общем случае, пусть X —любая случайная величина на ве-
вероятностном пространстве П, имеющая конечное математическое
ожидание ц и конечное стандартное отклонение а. Тогда можно
ввести в рассмотрение вероятностное пространство Пп, элемен-
элементарными событиями которого являются п-последовательности
(tui, о>2,..., сип), где каждое си к Е П, а вероятность определяется
как
,..., шп) = Pr(o>i) Рг(ш2)... Рг(шп).
(То есть среднее
попадет в указан-
указанные границы по
крайней мере в
99% случаев, когда
мы наблюдаем
набор из п неза-
независимых реализа-
реализаций, для любого
фиксированного
значения п. Не
следует переносить
это утвержде-
утверждение на среднее
бесконечной после-
последовательности X],
Х2, Х3, ... при
меняющемся п.)
8.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ 429
Если теперь определить случайные величины Хк формулой
Хк(о>1, ш2,..., шп) =
то величина
будет суммой п независимых случайных величин, которая соот-
соответствует процессу суммирования п независимых реализаций ве-
величины X на П. Математическое ожидание Xi +Х2-\ hXn будет
равно пц, а стандартное отклонение — у/п а; следовательно, сред-
среднее значение п реализаций,
-(XX X
n n *
будет лежать в пределах от ц— 10аД/n до \i+1ОаД/n по крайней
мере в 99% временного периода. Иными словами, если выбрать
достаточно большое п, то среднее арифметическое п независимых
испытаний будет почти всегда очень близко к ожидаемому зна-
значению EX. (В учебниках теории вероятностей доказывается еще
более сильная теорема, называемая усиленным законом больших
чисел; но нам достаточно и простого следствия неравенства Че-
бышёва, которое мы только что вывели.)
Иногда нам не известны характеристики вероятностного про-
пространства, но требуется оценить математическое ожидание слу-
случайной величины X при помощи повторных наблюдений ее значе-
значения. (Например, нам могла бы понадобиться средняя полуденная
температура января в Сан-Франциско; или же мы хотим узнать
ожидаемую продолжительность жизни, на которой должны осно-
основывать свои расчеты страховые агенты.) Если в нашем распоря-
распоряжении имеются независимые эмпирические наблюдения Xi, Х2}
..., Хп, то мы можем предположить, что истинное математиче-
математическое ожидание приблизительно равно
ЕХ =
п
Можно оценить и дисперсию, используя формулу
VX =
п-1
(8.19)
(8.20)
Глядя на эту формулу, можно подумать, что (п — 1) в ней —ти-
—типографская ошибка; казалось бы, там должно стоять п, как в
(8.19), поскольку истинное значение дисперсии определяется в
(8.15) через ожидаемые значения. Однако замена здесь п на п— 1
позволяет получить лучшую оценку, поскольку из определения
(8.2о) вытекает, что
E(VX) = VX.
(8.21)
430 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Вот доказательство:
k=1
k=1 j=1 k=1
j=i k=i
= Е(Х2)-Е(ХJ = VX.
(В этой выкладке мы опираемся на независимость наблюдений,
когда заменяем Е(Х5Хк) на (EXJ[j ^k] + E(X2)[j =k].)
На практике для оценки результатов эксперимента со слу-
случайной величиной X обычно вычисляют эмпирическое среднее
ft = EX и эмпирическое стандартное отклонение а = V VX, после
чего записывают ответ в виде ' Д± g/у/п \ Вот, например, резуль-
результаты бросаний пары кубиков, предположительно правильных:
эмпирическое среднее суммы очков S равняется
A= G+11 +8 + 5 + 4 + 6+10 +8 + 8 +7)/10 = 7.4;
эмпирическая дисперсия равна
Таким образом, из этого эксперимента мы получаем оценку сум-
суммы очков для этих кубиков 7.4 ± 2.1/\/Т0 = 7.4 ±0.7.
Разберем еще один пример, чтобы показать, как вычислять
среднее и дисперсию теоретически, а не эмпирически. Одной из
задач, рассматривавшихся в гл. 5, была „задача о футбольной по-
победе"; в ней п шляп подбрасывалось в воздух, в результате чего
проистекала их случайная перестановка. Мы показали в (б-б1)»
что с вероятностью nj/n! « 1/е никто не получит обратно свою
шляпу. Мы вывели также формулу
вероятности того, что ровно к к болельщикам вернутся их шляпы.
Для переформулировки этих результатов с использованием
только что изученного формализма рассмотрим вероятностное
8.2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ 431
Не путать с числом
Фибоначчи.
пространство Пп, состоящее из всех п! перестановок п чисел
{1,2,... ,п}, при этом РгGг) = 1/п! для всех n € Пп. Случайная
величина
FnGr) = число неподвижных точек" в перестановке n Е Пп,
отвечает числу правильных „шляпопопаданий" в задаче о фут-
футбольной победе. Уравнение (8.22) дает Pr(Fn = k); но мы пока за-
забудем, что нам известны формулы вроде этой; мы хотим только
изучить ожидаемое значение величины Fn и ее стандартное от-
отклонение.
Вычислить ожидаемое значение, обойдя при этом все сложно-
сложности гл. 5, оказывается очень легко. Достаточно просто заметить,
что
FnGr) = Fn|1 (я) + Fn,2M + - ¦ • + Fn,nGt),
Fn,icGt) — [позиция k перестановки n — неподвижная точка],
Следовательно,
EFn = EFnJ + EFU|2
EFn,n .
Однако ожидаемое значение ?п^ есть просто вероятность собы-
события FU|k = 1, которая равна 1/п, поскольку ровно (п — 1)! из п!
перестановок п = П\пг ... пп Е Пп имеют п^ — к. Следовательно,
EFn = п/п = 1 при п> 0. (8.2з)
Средняя шляпа. В среднем одна шляпа попадет на свое место. „Случайная пере-
перестановка имеет в среднем одну неподвижную точку?
Теперь попытаемся найти стандартное отклонение. Этот во-
вопрос труднее, поскольку величины ?п^ не являются независимы-
независимыми друг от друга. Однако дисперсию можно вычислить, проана-
проанализировав их взаимозависимость:
k=1
j=1 k=1
j=1 k=1
FnJ Fn,k
(При выводе B.33) в гл. 2 мы уже использовали подобный трюк.)
Далее, F^ k = Fniic, поскольку FU|k равняется 0 или 1; следователь-
следовательно, E(F?>k) = EFn,k = IMi как и ранее. Кроме того, если j < k,
то EfFnjTn^) = Рг(в перестановке п точки j и к неподвижные) =
(п —2)!/п! = 1/п(п— 1). Следовательно,
(8.24)
432 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
(Проверим для п = 3: §02 + 1I2 + §22 + \Ъг = 2.) Дисперсия
равна E(F2) — (EFnJ = 1, поэтому стандартное отклонение (как
и среднее) равно 1. „Случайная перестановка n ^ 2 элементов
имеет 1 ± 1 неподвижных точек!'
8.3 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Если X —случайная величина, принимающая только це-
целые неотрицательные значения, то мы можем компактно пред-
представить ее распределение вероятностей, используя методы гл. 7.
Производящей функцией случайной величины (пфсв) X назы-
называется ряд
Gx(z) =^Pr(X = k)zk. (8.25)
k^O
Этот степенной ряд по степеням z содержит всю информацию о
случайной величине X. Его можно записать еще двумя способами:
Gx(z) = ? Рг(шJх(ш) = E(zx). (8.26)
cu€Q
Коэффициенты Gx(z) неотрицательны и их сумма равна 1;
последнее условие можно записать как
GxO) = 1. (8.27)
Обратно, любой степенной ряд G (z) с неотрицательными коэффи-
коэффициентами и со свойством GA) = 1 является пфсв для некоторой
случайной величины.
Самое приятное свойство производящих функций случайных
величин —то, что они обычно упрощают вычисление средних и
дисперсий. Вот как просто выражается, например, математиче-
математическое ожидание:
EX =
Надо просто продифференцировать ПФСВ по z и подставить z = 1.
Вычислить дисперсию лишь немногим сложнее:
Е(Х2) =
8.3 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 433
Следовательно,
VX=G?A) + GiA)-G^1J. (8.29)
Мы видим из уравнений (8.28) и (8.29), что для нахождения ма-
математического ожидания и дисперсии нам достаточно суметь вы-
вычислить значения двух производных, G^O) и GxO)- Нет необхо-
необходимости в замкнутом выражении для вероятностей; нам даже не
требуется знать саму функцию Gx(z) в замкнутом виде.
Удобно ввести обозначения
Mean(G) = G'A), (8.30)
Var(G) = G"A) + G'A)-G'AJ (8.31)
для произвольной функции G, поскольку нам часто придется вы-
вычислять именно эти комбинации производных.
Следующее хорошее свойство пфсв — то, что во многих важ-
важных случаях производящие функции оказываются относительно
простыми функциями z. Рассмотрим в качестве примера равно-
равномерное распределение порядка п, т. е. случайную величину, при-
принимающую каждое из значений {0,1,... ,п — 1} с вероятностью
1/п. В этом случае пфсв равна
lUz^lo+z+.-.+z-1) = 11Z^|TI? 1. (8.32)
Мы получили замкнутый вид для Un(z), поскольку это —геоме-
—геометрическая прогрессия.
Это замкнутое выражение, однако, несколько обманчиво: если
подставить в него z = 1 (наиболее важное для ПФСВ значение z),
то получится неопределенное отношение 0/0, хотя сама функция
Un(z) является многочленом и вполне определена для любых z.
То, что UnA) = 1, очевидно из исходного, незамкнутого выраже-
выражения A -Ь z + • • • + zn~1 )/n, хотя, по всей видимости, мы можем
определить UnA) и из его замкнутого выражения, обратившись
к правилу Лопиталя и вычислив с его помощью lim^i Un(z).
Вычисление U^A) по правилу Лопиталя будет еще сложнее, по-
поскольку в знаменателе окажется множитель (z — IJ; 11^A) со-
создаст еще большие трудности.
К счастью, есть простой выход из этого затруднения. Если
степенной ряд G(z) = Y.n>o 9^zU сходится по крайней мере для
одного z с |z| > 1, то тем же свойством обладает и ряд G'(z) =
Hn^o n9nZn~1, и то же верно для G "(z), G '"{z) и т. д. Поэтому по
формуле Тейлора можем записать
и все производные G(z) при z = 1 появятся в качестве коэффици-
коэффициентов, если разложить GA +1) по степеням t.
434 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Например, этим способом легко находятся производные для
равномерной ПФСВ Un(z):
Сравнение с (8.33) Аает
UnO) = l; U;0) = ^I; UirA) = (n-1K(n-2); (8.34)
и, в общем случае, щ A) = (п — 1 )—/(т + 1), однако для вычи-
вычисления среднего и дисперсии нам понадобятся лишь случаи та = 1
и та = 2. Математическое ожидание равномерного распределения
равно
U;d) = ^, (8.35)
а дисперсия равна
Третье место в реестре удобств занимает то свойство ПФСВ,
что произведение ПФСВ отвечает сумме независимых случайных
величин. В гл. 5 и 7 мы выяснили, что произведение производя-
производящих функций соответствует свертке последовательностей; однако
для приложений даже более важно то, что свертка вероятностей
отвечает сумме независимых случайных величин. Действительно,
если X и Y — случайные величины, принимающие только целочи-
целочисленные значения, то вероятность события X + Y = п составляет
Pr(X + Y = n) = ^Pr(X = k и Y = n-k).
k
Если X и Y независимы, то получаем
Pr(X + Y = n) = ]Г Pr(x = k) Pr(Y = n-k),
k
а это не что иное, как свертка. Следовательно, мы получаем эф-
эффектную формулу
Gx+y(z) = Gx(z) Gy(z) , если X и Y независимы. (8.37)
Ранее в этой главе мы видели, что V(X+Y) = VX + VY, если X и Y
независимы. Пусть F(z) и G(z) — пфсв для X и Y, a H(z) — пфсв
для X + Y. Тогда
H(z)=F(z)G(z),
8.3 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 435
и из формул (8.28)-(8.3i) для среднего и дисперсии мы можем
сделать вывод, что должны выполняться равенства
Mean(H) = Mean(F) + Mean(G); (8.38)
Var(H) = Var(F) + Var(G). (8.39)
Эти формулы, выражающие некоторые свойства производных
Меап(Н) = Н'A) и Var(H) = Н"A) + Н'A) - Н'AJ, не выполня-
выполняются для произведения произвольных функций H(z) = F(z)G(z);
вместо этого имеем
H'(z)=F'(z)G(z)+F(z)G'(z),
H"(z) = F"(z)G(z) + 2F'(z)G'(z) + F(z)G"(z).
Однако, подставив z = 1, можно увидеть, что (8.38) и (8.39) будут
справедливы в общем случае, если выполнено условие
FA) = GA) = 1 (8.40)
и требуемые производные существуют. Для справедливости этих
формул не требуется, чтобы „вероятности" лежали в диапазоне
[О, 1]. Чтобы удовлетворить условию (8.40) мы можем нормали-
нормализовать функции F(z) и G(z), поделив их всюду на FA) и GA), если
только FA) и GA) не равны нулю.
Математическое ожидание и дисперсия — это еще не все. Эти
характеристики всего лишь два первых члена из бесконечного ря-
ряда так называемых кумулянтов (или семиинвариантов), вве-
введенных датским астрономом Торвальдом Николаи Тиеле [293] в
1903 г. Первые два кумулянта Ki и к 2 случайной величины —это
то, что мы до сих пор называли математическим ожиданием и
дисперсией; вдобавок к ним имеются и кумулянты более высоко-
высокого порядка, выражающие более тонкие свойства распределения.
Если G(z) — пфсв, то ее кумулянты любого порядка выражаются
с помощью общей формулы
Приглядимся к кумулянтам внимательнее. Если G(z) — пфсв
для X, то
Gfe1) = ]Г Pr(X = k)ekt = J^
(8.42)
L
тп!
к.тп.^0
где
— : = k)=E(Xm). (8.43)
436 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Эта величина |im называется „тп-м моментом" случайной вели-
величины X. Мы можем взять экспоненту от обеих частей (8.41) и
получим другую формулу для С(е1):
Приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях t дает
следующий ряд формул:
К1 = М-1 .
К2 = М-2 - М-? ,
кз = м-з ~ Зц-1 М-2
к4 = М-4 -
К5 = М-5 ~
(8.44)
(8.45)
(8.46)
(847)
(8.48)
Эти формулы выражают кумулянты через моменты. Заметьте,
что К2 действительно совпадает с дисперсией Е(Х2) — (ЕХJ, как
утверждалось выше.
Из уравнения (8.41) ясно, что кумулянты, порождаемые про-
произведением F(z) G (z) двух пфсв, будут суммами соответствующих
кумулянтов F(z) и G(z), поскольку логарифм произведения есть
сумма логарифмов. Следовательно, все кумулянты суммы неза-
независимых случайных величин являются аддитивными, так же, как
математическое ожидание и дисперсия. Это свойство делает ку-
кумулянты более важными, чем моменты.
Если пойти несколько иным путем и записать
G(i+t) = 1+^ + 5^ + 1^ + ...,
то уравнение (8.33) показывает, что числа а —это „факториаль-
ные моменты"
,Для этих семиин-
семиинвариантов более
высокого порядка
мы не предлагаем
никаких специаль-
специальных имен"
-Т.Н.Тиеле[293]
,k-m I
1г=1
-к) = Е(Х^).
(8-49)
Кроме того,
¦) + ¦
8.3 ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 437
и мы можем выразить кумулянты через производные G(m) A):
К2 = 0i2 + (Xi - Oi] ,
кз = <*з + 3cx2 + ост - 3(x2(Xi - 3a? + 2a? ,
(8.50)
(8.51)
(8.52)
Эта последовательность формул порождает „аддитивные" тожде-
тождества, которые продолжают (8.38) и (8.39) на все кумулянты.
А сейчас спустимся с небес на землю и применим рассмотрен-
рассмотренные идеи к простым примерам. Простейшей случайной величиной
является „случайная константа": случайная величина X принима-
принимает одно фиксированное значение х с вероятностью 1. В этом слу-
случае Gx(z) = zx и lnGxte1) = xt; следовательно, математическое
ожидание равно х, а все остальные кумулянты — нули. Отсюда
следует, что операция умножения любой ПФСВ на zx увеличивает
ожидаемое значение на х, но оставляет неизменными дисперсию
и другие кумулянты.
Как применить производящие функции к кубикам? Распреде-
Распределению числа очков на одном правильном кубике отвечает ПФСВ
G(z) =
z + z2+z3+z4+z5
= zU6(z)
где U-6 — пфсв для равномерного распределения порядка 6. Мно-
Множитель (z' добавляет 1 к среднему, которое поэтому оказывается
равным 3.5 вместо ^- = 2.5, как записано в (8.35); вместе с тем,
этот (z' не влияет на дисперсию (8.36), которая равняется Щ.
Производящая функция Gs(z) суммы очков на двух независи-
независимых кубиках равна квадрату ПФСВ для одного кубика, т. е.
z2 +2z3 + 3z4 +4z5 + 5z6 + 6z7 + 5z8 +4z9 + 3z10 +2Z11 +z12
36
= z2ll6(zJ.
Если пару кубиков бросают п раз, то вероятность получить в
итоге к очков, аналогично предыдущему, равна
[zk]Gs(z)n = [zk]z2nU6(zJn = [zkn]U6(z
\2п
Распределение
шляп—это раз-
разновидность равно- вестна из (б49):
мерного распреде-
распределения.
В рассмотренной ранее задаче о подбрасывании шляп в честь
победившей футбольной команды, известной также как задача
подсчета неподвижных точек случайной перестановки, пфсв из-
(n-k)jZk
(n-k)!k!
(8-53)
438 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Следовательно,
(n-k)!(k-1)!
= Fn_,(z).
(n-1-k)jzk
(n-1-k)!k!
Даже не зная никаких подробностей о коэффициентах, из рекур-
рекуррентного соотношения F^(z) = Fn_i (z) заключаем, что F71m (z) =
Fn_m(z); следовательно,
=Fn-mO) = [n
(8-54)
Эта формула упрощает вычисление математического ожидания
и дисперсии; мы находим (как и раньше, но быстрее), что обе
характеристики равны 1 при n ^ 2.
На самом деле сейчас мы можем показать, что и та-й кумулянт
кт этой случайной величины равен 1 для любого n ^ та. Действи-
Действительно, та-й кумулянт зависит только от F/J1), F^A),..., FTl A),
а все эти производные равны 1; следовательно, ответ для та-го
кумулянта не изменится, если мы заменим Fn(z) на предельную
ПФСВ
,z-1
г(т)
(8-55)
такую, что Fj» ("I) = 1 для всех порядков производной. Кумулян-
Кумулянты же Fqo тождественно равны 1, поскольку
l + f
8.4 БРОСАНИЕ МОНЕТЫ
Обратимся теперь к процессам, имеющим ровно два ис-
исхода. Если мы ставим монету на стол и щелчком закручиваем
ее или подбрасываем монету с закруткой, то имеется некоторая
вероятность р, что выпадет решка, и вероятность q—что орел,
причем
p + q = 1.
(Мы считаем, что монета не останется стоять на ребре, не про-
провалится в щель и т.п.) На протяжении этого раздела числа р
и q всегда будут давать в сумме 1. Если монета правильная, то
р = q = 1; в противном случае монета называется несимме-
несимметричной.
Производящая функция случайной величины для числа вы-
выпадений решки в результате одного бросания монеты есть
Виртуозы по
подбрасыванию
монет знают, что
р и 0.1, если
закручивать новое
американское пен-
пенни на гладком сто-
столе. (Распределение
масс таково, что
голова Линкольна
перетягивает и
падает вниз.)
H(z) = q+pz.
(8.5б)
8.4 БРОСАНИЕ МОНЕТЫ
Решка —
я выигрываю,
орел — ты проигры-
проигрываешь.
Не идет? Ладно;
орел — ты проигры-
проигрываешь, решка—я
выигрываю.
Опять нет? Хорошо,
тогда решка —ты
проигрываешь,
орел —я выигрываю.
Если монета брошена п раз (мы всегда будем предполагать, что
различные бросания независимы), то число выпавших решек по-
порождается функцией
H(z)" = (q
k>0
(8-57)
в соответствии с биномиальной теоремой. Таким образом, ве-
вероятность выбросить ровно к решек в п бросаниях составляет
(?)pkqn~k. Эта последовательность вероятностей называется би-
биномиальным распределением.
Допустим, мы подбрасываем монету до тех пор, пока впервые
не выпадет решка. С какой вероятностью нам потребуется ровно
к бросаний? С вероятностью р мы будем иметь к = 1 (поскольку
это вероятность того, что в первый раз выпадет решка); событие
к = 2 произойдет с вероятностью qp (это вероятность того, что в
первый раз выпадет орел, а во второй — решка); и для произволь-
произвольного к вероятность равна qk~1p- Таким образом, производящая
функция есть
(8.58)
1-qz
Повторение этого процесса до получения п решек дает произво-
производящую функцию
(qz)k
Это случайно совпадает с умноженной на zn функцией
pnqkzk,
-qz,/
(8.59)
(8.60)
производящей функцией для отрицательного биномиального
распределения.
Вероятностное пространство в примере (8.59)) гАе мы бросаем
монету, пока не появится п решек, отличается от вероятностных
пространств, с которыми мы имели дело в этой главе ранее. От-
Отличие в том, что это пространство содержит бесконечно много
элементов. Каждый элемент-—это конечная последовательность
решек и орлов, содержащая всего п решек и оканчивающаяся на
решку; вероятность такой последовательности равна pnqk~n, где
к — п — количество орлов. Если, например, п = 3 и мы условимся
писать Р вместо решки и 0 вместо орла, то последовательность
0Р000РР является элементом рассматриваемого вероятностного
пространства и имеет вероятность qpqqqpp =p3q4.
440 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Пусть X — случайная величина с биномиальным распределе-
распределением (8.57)) a Y —случайная величина с отрицательным биноми-
биномиальным распределением (8.бо). Оба распределения зависят от па-
параметров пир. Математическое ожидание X равняется пН'A) =
пр, поскольку ее пфсв есть H(z)n; дисперсия равна
п(Н"A)+Н'A)-Н'AJ) =п@+р-р2) = npq. (8.61)
Таким образом, стандартное отклонение составляет \/npq : если
подбросить монету п раз, то можно ожидать выпадания решки
примерно np±y/npq раз. Математическое ожидание и дисперсию
Y можно найти аналогичным образом. Положим
pq
2pq2
Тогда имеем
G'(z) =
G"(z) =
следовательно, G'A) =pq/p2 = q/p и G"A) =2pq2/p3 = 2q2/p2.
Поэтому математическое ожидание Y равно nq/p, а дисперсия —
nq/p2.
Среднее и дисперсию Y можно получить более простым путем,
если ввести в рассмотрение обратную производящую функцию
(8.62)
и записать
= F(z)
(8.63)
Этот многочлен F(z) не является производящей функцией слу-
случайной величины, поскольку у него есть отрицательный коэффи-
коэффициент. Однако он удовлетворяет главному условию FA) = 1. Та-
Таким образом, F(z) формально есть бином, отвечающий монете, у
которой „вероятность" выпадания решки равна —q/p; a G(z) фор-
формально соответствует подбрасыванию такой монеты —1 раз(!).
Таким образом, отрицательное биномиальное распределение с па-
параметрами [п.р) можно рассматривать как обычное биномиаль-
биномиальное распределение с параметрами (п',?') = (— n, — q/p). Дей-
Действуя формально, получаем, что математическое ожидание долж-
должно быть п'р' = (— n)(—q/p) = nq/p, а дисперсия должна рав-
равняться n'p'q' = (— n)(—q/p)A+q/p) = nq/p2. Этот формальный
вывод, включающий отрицательные вероятности, тем не менее
справедлив, поскольку наши предыдущие рассуждения для обыч-
обычных биномиальных распределений были основаны на тождествах
для формальных степенных рядов, в которых нигде не использо-
использовалось предположение 0 ^ р ^ 1.
Вот уж точно
отрицательна
вероятность того,
что я становлюсь
моложе.
Неужели? Но тогда
вероятность того,
что вы стареете
или остаетесь в
том же возрасте,
больше 1.
8.4 БРОСАНИЕ МОНЕТЫ 441
Рассмотрим теперь другой пример. Вопрос будет формули-
формулироваться так: сколько раз понадобится подбросить монету, что-
чтобы решка выпала два раза подряд? В этой задаче вероятностное
пространство состоит из всех последовательностей букв Р и О,
оканчивающихся на РР, но не содержащих двух подряд Р ранее:
Q = {РР,ОРР,ООРР,РОРР, 000РР,ОРОРР,РООРР,...}.
Чтобы получить вероятность любой определенной последова-
последовательности, достаточно заменить Р на р и 0 на q; так, например,
последовательность ОРОРР встречается с вероятностью
Рг(ОРОРР) = qpqpp = p3q2 .
Теперь можно поиграть с производящими функциями, как мы
это делали в начале гл. 7, обозначив через S бесконечную сумму
S = РР 4- ОРР + ООРР 4- РОРР + ОООРР + ОРОРР + РООРР + • ¦ •
всех элементов из П. Если заменить каждую букву Р на pz, a
каждую букву 0 на qz, то мы получим производящую функцию
случайной величины для числа бросаний до появления двух по-
последовательных решек.
Имеется довольно неожиданная связь между S и суммой всех
покрытий домино
из уравнения G-i)- Оказывается, что можно получить S из Т,
если заменить каждое домино D на 0 и каждую пару В на РО, а
затем приписать в конце PP. He составляет труда доказать это.
Действительно, любой элемент из С1 имеет вид (О 4РО)ПРР для
некоторого п ^ 0, а любое слагаемое в Т имеет вид (D + В)п.
Следовательно, из G-4) имеем
S = A -О-РО)РР,
а производящая функция для нашей задачи равна
G(z) = A-qz-(pz)(qz))(pzJ
= 1 — 1' (8-б4)
1 — qz-pqz2
Наш опыт работы с отрицательным биномиальным распреде-
распределением подсказывает, что проще всего подсчитать математиче-
математическое ожидание и дисперсию функции (8.64), если записать
G{z) = W)'
где
и подсчитать „математическое ожидание" и „дисперсию" этой
псевдо-ПФСВ F(z). (Вновь введенная функция обладает свойством
442 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
FA) = 1.) Имеем
F'(l) = (-q-2pq)/p2=2-p-1-p-2;
F"A) = -2pq/p2=2-2p-1.
Теперь поскольку z2 = F(z)G(z), Mean(z2) = 2 и Var(z2) = 0, то
математическое ожидание и дисперсия G (z) таковы:
Mean(G) =2-Mean(F) =¦
Var(G) = -Var(F)
^-p-1
(8.6б)
(8.66)
Для V — \ математическое ожидание и дисперсия составляют,
соответственно, 6 и 22. (В упр. 4 обсуждается вычисление средних
и дисперсий путем вычитания.)
А теперь представим себе более хитроумный эксперимент: бу-
будем бросать монету до тех пор, пока первый раз не встретится
последовательность ОРООР. Сумма выигрышных позиций будет
теперь
S = ОРООР + РОРООР + ООРООР
+ РРОРООР + РООРООР + ОРОРООР + ОООРООР + • • • ;
эту сумму сложнее описать, чем предыдущую. Вспоминая, как
мы решали в гл. 7 задачи про домино, мы можем получить фор-
формулу для S, рассматривая множество слагаемых как „автоматный
язык", определяемый следующим „конечным автоматом":
Элементарными событиями в вероятностном пространстве явля-
являются такие последовательности символов Р и 0, которые пере-
переводят автомат из состояния 0 в состояние 5. Пусть, например,
только что выпало 0Р0; автомат оказывается в состоянии 3. Если
теперь выпадет орел, то автомат перейдет в состояние 4; решка,
выпавшая в состоянии 3, переводит автомат в состояние 2 (не в
самое начало, поскольку последние ОР могут быть продолжены
последовательностью OOP).
При такой постановке задачи мы можем обозначить через Sk
сумму всех последовательностей, ведущих в состояние к; тогда
So = 1 +
S^ = SOO
52 = S1P
53 = S2 0
54 = S3 0
55 =S4P
S1O +
S3P,
S4O,
„Да вы просто
автомат, вычисли-
вычислительная машина,—
воскликнул я —
Временами в
вас есть что-то
нечеловеческое1.1
-Дж.Х.Ватсон[162]
8.4 БРОСАНИЕ МОНЕТЫ 443
Искомая сумма S—-это Ss; мы можем найти ее, решая выписан-
выписанную систему шести уравнений с шестью неизвестными So, Si,
..., S5. Заменив Р на pz и 0 на qz, получим производящую фун-
функцию, причем коэффициент при zn в Sk равняется вероятности
попадания в состояние к после п бросаний.
Подобным же образом любая диаграмма переходов между со-
состояниями, в которой переход из состояния j в состояние к проис-
происходит с заданной вероятностью р^к, дает систему линейных урав-
уравнений, решениями которой являются производящие функции для
вероятностей состояний после п переходов. Объекты такого типа
называются марковскими процессами, и их теория тесно связа-
связана с теорией линейных уравнений.
Однако задачу о бросании монеты можно решить гораздо про-
проще, не прибегая к довольно сложной общей процедуре с построе-
построением конечного автомата. Вместо шести уравнений с шестью не-
неизвестными So, Si, ..., S5 для полного описания S достаточно все-
всего двух уравнений с двумя неизвестными. Трюк состоит в том,
чтобы ввести в рассмотрение сумму N = So + Si + S2 + S3 + S4
всех последовательностей результатов бросания, не содержащих
заданную подпоследовательность ОРООР:
--- + ОРОРО + 0Р000 + • • • .
Имеем
1+N(P + 0) =N+S, (8.67)
поскольку любое слагаемое из левой части либо оканчивается
на ОРООР (и тогда принадлежит S), либо нет (и тогда принад-
принадлежит N); обратно, любое слагаемое из правой части либо пусто,
либо принадлежит N Р или N 0. Кроме того, мы имеем еще одно
важное уравнение
N ОРООР = S + SOOP, (8.68)
поскольку любое слагаемое из левой части содержит в себе член S,
оканчивающийся на первую Р или на вторую, а любое слагаемое
из правой части принадлежит левой.
Эта система легко решается. Из соотношения (8.67) получаем
N = A - S)(l - Р - О), следовательно,
A - S)(l - 0 - Р)~1 ОРООР = S(l + OOP).
Как и ранее, для получения производящей функции G(z) для
числа бросаний монеты следует заменить Р на pz и 0 на qz.
Выполнив некоторые упрощения, проистекающие из тождества
р + q = 1, получим
444 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
следовательно, нашим решением будет
Заметьте, что GA) = 1, если pq ^ 0; мы с вероятностью 1 до-
дождемся когда-нибудь последовательности 0Р00Р, если только мо-
монета не настолько несимметричная, что выпадает всегда одной
стороной — всегда орлом или всегда решкой.
Чтобы вычислить математическое ожидание и дисперсию рас-
распределения (8.бд), мы, как делали раньше, обратим G(z), записав
G(z) = z5/T(z), где F —многочлен:
)Az)
Р Ч
Соответствующие производные равны
F'A) = 5-A+pq2)/p2q3,
F"A)=20-6pq2/p2q3;
и если X — требуемое число бросаний, то будем иметь
EX = Mean(G) = 5 - Mean(F) = pq H-p^q ; (8.71)
VX = Var(G) = -Var(F)
= -25 + P~2q~3 + 7V~] q + Mean(FJ
= (EXJ-9p-2q-3-3p-1q-1. (8.72)
Для V — \ среднее и дисперсия составят 36 и 996.
Попробуем действовать более общо: уже решенная задача до-
достаточно „произвольная", чтобы на ее примере можно было по-
понять метод анализа в общем случае, когда мы ждем появления
произвольной последовательности Л решек и орлов. Вновь обо-
обозначим через S сумму всех выигрышных" последовательностей
букв Р и 0, а через N —сумму всех последовательностей, в ко-
которых подпоследовательность Л еще не встретилась. Уравнение
(8.67) останется без изменений; уравнение (8.68) превратится в
АA)]), (8.73)
где та — длина А, а А^ и А^ обозначают, соответственно, по-
последние и первые к букв из А. Если, например, в качестве А взять
уже рассмотренную последовательность 0Р00Р, то будем иметь
АA)=Р, АB)=0Р, АC)=00Р, АD)=РООР;
A(i) = 0 , АB) = 0Р , А(з) = 0Р0 , АD) = 0Р00 .
Единственным точным совпадением здесь будет АB) = АB), по-
поэтому уравнение (8.73) сводится к (8.68).
8.4 БРОСАНИЕ МОНЕТЫ 445
Обозначим через А значение, которое получится, если в по-
последовательности А заменить все Р на р, а все Т на q~1. Тогда
нетрудно будет обобщить наш вывод уравнений (8.71) и (8.72) и
получить математическое ожидание и дисперсию в общем случае
(упр. 20):
k=1
VX = (ЕХJ - Y_ Bk- l)A(k) [A<k> = A(k)],
k=1
(8.75)
В частном случае V — \ имеется особенно простая интерпре-
интерпретация этих формул. Если дана последовательность А решек и
орлов длины та, то положим
(8.76)
k=1
„Чем больше пе-
периодов у нашего
слова, тем позже
оно появляется"
—А. Д. Соловьев
Очень легко выписать двоичное представление этого числа. Для
этого надо записать 'Г под каждой позицией, обладающей тем
свойством, что данная последовательность, если ее начало сдви-
сдвинуть в эту позицию, в точности совпадет с первоначальной по-
последовательностью в их общей части:
А= НТНТННТНТН
А:А = A000010101 J= 512+16+ 4+1 =533
РОРОРРОРОР V
РОРОРРОРОР
РОРОРРОРОР
РОРОРРОРОР
РОРОРРОРОР
РОРОРРОРОР V
РОРОРРОРОР
РОРОРРОРОР V
РОРОРРОРОР
РОРОРРОРОР V
Уравнение (8.74) утверждает, в сущности, что ожидаемое число
бросаний до появления подпоследовательности А есть в точно-
точности 2(А:А) для правильной монеты, поскольку А(к) = 2к для
р = q = \. Этот результат, найденный впервые советским ма-
математиком А. Д. Соловьевым в 1966 г. [278], выглядит на первый
взгляд парадоксально: несамосовмещающиеся последовательно-
последовательности появляются раньше, чем самосовмещающиеся! Появления по-
последовательности РРРРР нам придется ждать почти вдвое дольше,
чем последовательностей РРРРО или ОРРРР.
446 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Рассмотрим теперь забавную игру, которую изобрел Уолтер
Пенни [234] в 1969 г. Алиса и Билл бросают монету до тех пор,
пока не встретится РРО или Р00; Алиса выигрывает, если пер-
первой появится последовательность РРО, Билл выигрывает, если Р00
появится раньше. Эта игра —теперь ее называют „Penney ante" —
определенно выглядит справедливой, если используется правиль-
правильная монета, ведь обе последовательности РРО и Р00 имеют оди-
одинаковые характеристики, если рассматривать каждую из них по
отдельности. Производящая функция случайной величины для
времени ожидания последовательности РРО равна
G(z) =
z3-8(z-1) '
и точно такая же ПФСВ для последовательности Р00. Следова-
Следовательно, ни Алиса, ни Билл не имеют никакого преимущества,
если они будут играть каждый сам по себе.
Но если рассматривать обе подпоследовательности вместе, то
между ними возникает интересное взаимодействие. Обозначим
через Sa сумму конфигураций, выигрышных для Алисы, а че-
через Sb — сумму выигрышных позиций Билла:
SA = РРО + РРРО + ОРРО + РРРРО + РОРРО + ОРРРО + • ¦ • ;
SB = POO + 0Р00 + POPOO + 00P00 + OPOPOO + 000P00 + • • • .
Вспоминая наш трюк, использованный в случае одной подпосле-
подпоследовательности, снова обозначим через N сумму всех последова-
последовательностей, для которых пока ни один из игроков не выиграл:
N =
+ РР + РО + ОР + ОО + РРР + РОР + ОРР + -
Легко проверить справедливость следующих уравнений:
1+N(P + 0) = N + SA+SB;
N РРО = SA ;
NPOO = SAO + SB.
(8-77)
(8.78)
Если положить Р = 0 = j, то полученное значение Sа будет веро-
вероятностью выигрыша Алисы, a Sb — вероятностью выигрыша Бил-
Билла. Наши три уравнения сводятся к следующим:
1+N =N + SA + SB; IN =Sa; ^N ±
и мы находим Sa = f, Sb = 3. Алиса будет выигрывать примерно
вдвое чаще Билла!
В обобщенной игре Алиса и Билл выбирают образцы А и В —
некоторые последовательности решек и орлов — и бросают моне-
монету до тех пор, пока в последовательности результатов не встре-
встретится одна из подпоследовательностей Л или В. Эти две подпо-
подпоследовательности не обязательно равной длины, однако мы будем
считать, что А не входит в В и В не входит в Л. (В противном
случае игра вырождается. Если, например, Л = РО, а В = ОРОР,
Конечно, никако-
никакого! Перед кем же
они могут иметь
преимущество?
8.4 БРОСАНИЕ МОНЕТЫ 447
то бедный Билл никогда не сможет выиграть; если же Л = POP,
а В = OP, то, возможно, оба игрока одновременно издадут побед-
победный клич.) Тогда можно записать три уравнения, аналогичных
(8.73) и (8.78):
1+N(P + 0) =N + SA + SB;
k=1
min(l,m)
+ SB
k=1
min(l,m)
NB =SA Y_ B(m-k)[A(k'-B(lc)]
+ SB X.B(m-k^ [B^ =B(k)]. (8.79)
k=1
Здесь l —длина A, a m — длина В. Если взять А = РООРОРОР и
В = ОРОРООР, то последние два уравнения, зависящие от А и В,
запишутся как
N РООРОРОР = SA ООРОРОР + SA + SB OOPOPOP + SB OPOP;
N ОРОРООР = SA OPOOP + SA OOP + SB OPOOP + SB .
Для нахождения вероятностей победы при игре правильной моне-
монетой следует положить Р = 0 = \\ тогда два решающих уравнения
превратятся в
I
J-2k[A(^=Al
k=1
min(l,m)
min(l,m)
(k)i+sB y.
m
2k
= A(k)];
(8.80)
k=1 k=1
Для дальнейшего нам надо будет обобщить операцию А:А из
(8.76) на случай двух независимых последовательностей А и В:
min(l,m)
А:В= Y. 2k-1[A(k)=B(k)]. (8.81)
k=1
Уравнения (8.8о) упрощаются:
SA(A:A) + SB(B:A) = SA(A:B) + SB(B:B);
преимущество Алисы выражается отношением
SA B:B-B:A
Sb A:A-A:B
(8.82)
448 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
(Эта красивая формула обнаружена Джоном Хортоном Конвеем
[62].)
Если, как выше, Л = РООРОРОР иВ = ОРОРООР, то Л:Л =
A0000001J = 129, Л:В = @001010J = 10, В:Л = @001001 J = 9
и В:В = A000010J = 66] поэтому отношение Sa/Sb составляет
F6 — 9)/A29 — 10) = 57/119. Алиса будет выигрывать в среднем
57 раз из каждых 176.
В игре Пенни могут происходить странные вещи. Так, напри-
например, образец РРОР выигрывает у РОРР с преимуществом 3/2, а
РОРР выигрывает у ОРРР с преимуществом 7/5. Тогда образец
РРОР должен быть гораздо лучше, чем ОРРР. На самом же деле
ОРРР выигрывает у РРОР с преимуществом 7 /5\ Отношение между
образцами в этой игре нетранзитивно. В упр. 57 доказывается,
что какой бы образец Т] Т2 ... ч\ длины I ^ 3 ни выбрала Али-
Алиса, Билл всегда может добиться лучшего, чем чисто случайная
победа, если он выберет образец Т2Т1Т2 ... ti_i , где Т2 — противо-
противоположный к Т2 символ при замене решка f-> орел.
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ
Мы завершим эту главу приложением теории вероятностей
к программированию. Ряд важных алгоритмов хранения и вы-
выборки информации в ЭВМ основаны на методе, который называ-
называется „хеширование". Общая задача заключается в хранении неко-
некоторого множества записей, каждая из которых содержит значение
„ключа" К и некоторые данные D(K) об этом ключе; мы бы хотели
иметь возможность быстро находить D(K) по заданному К. Клю-
Ключами могут, например, быть фамилии студентов, а связанными с
ключами данными —оценки за домашнее задание.
Реально используемые компьютеры не настолько вместитель-
вместительны, чтобы можно было выделить по отдельной ячейке для ка-
каждого возможного ключа; всего возможны миллиарды ключей,
но в каждом конкретном приложении их присутствует не так уж
много. Одно из решений состоит в том, чтобы хранить две табли-
таблицы, KEY[j] —Для ключей и DATA[j] —для данных, 1 ^ j ^ N, где
N — общее число записей, которые могут быть размещены; еще
одна переменная, п, показывает фактическое число записей. То-
Тогда мы можем выполнять поиск заданного ключа К очевидным
способом, последовательно просматривая таблицу:
51 Установить j := 1. (Уже просмотрены все позиции < j.)
52 Если j > п, остановиться. (Безуспешный поиск.)
53 Если KEY[j] = К, остановиться. (Успешный поиск.)
54 Увеличить j на 1 и вернуться к шагу S2. (Попробуем еще.)
В случае успешного поиска нужное значение данных D(K) лежит
в DATA[j]. После безуспешного поиска можно вставить К и D(K)
в таблицу при помощи следующих установок:
n := j, KEY[n] := К, DATA[n] := D(K),
ОРРРигинально.
Как по волшеб-
волшебству, глагол
„хешировать11 в
середине 60-х годов
стал стандартным
термином для
преобразования
ключа, хотя ис-
использовать такое
недостойное сло-
слово в печати до
1967 г. никто не
осмеливался.
- Д Э. Кнут [141]
в предположении, что таблица еще не заполнена до предела.
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ 449
Значение h(K)
часто называ-
называют ,^сеш-кодом"
записи к.
— Перев.
Так увековечены
имена студентов,
которые на заняти-
занятиях по конкретной
математике сидели
в первых рядах и
предоставили свои
имена для этого
эксперимента.
Этот метод работает правильно, но его работа может быть
ужасающе медленной; при безуспешном поиске шаг S2 приходит-
приходится повторить п + 1 раз, а п может быть весьма большим.
Хеширование было придумано как раз для того, чтобы уско-
ускорить поиск. Основная идея, в одном из популярных вариан-
вариантов, состоит в использовании m отдельных списков вместо од-
одного огромного. „Хеш-функция" преобразует любой возможный
ключ К в номер списка Н(К), лежащий в диапазоне от 1 до т.
Вспомогательная таблица FIRST [г] содержит для каждого г, 1 ^
г ^ тгг, указатель на первый элемент в списке г; еще одна вспо-
вспомогательная таблица NEXT[j], I ^ j ^ N, указывает на запись,
следующую за записью j в том списке, которому эта запись при-
принадлежит. Будем считать, что
FIRST [г] = -1 ,
NEXT[j] = О,
если список г пуст;
если запись j последняя в своем списке.
Как и ранее, имеется переменная п, содержащая информацию об
общем числе хранящихся записей.
Пусть, например, ключами являются имена и имеются тгг = 4
списка, разделяемые по первой букве имени:
Н(имя) =
1 для букв A-F;
2 для G-L;
3 для M-R;
для S-Z.
Поначалу имеем четыре пустых списка и п = 0. Если ключом
первой записи будет, скажем, имя Nora, то h(Nora) =3и поэтому
Nora станет ключом первого элемента списка 3. Если следующи-
следующими двумя именами окажутся Glenn и Jim, то оба они попадут в
список 2. В этот момент таблица в памяти будет выглядеть так:
FIRST[1]=-1, FIRST[2]=2, FIRSTC3] = 1, FIRST[4] =-1.
KEY[1] =Nora, NEXT[1] =0;
KEY [2] = Glenn, NEXT [2] = 3;
KEY [3] = Jim, NEXT [3] = 0; n = 3.
(Значения DATA[1], DATA [2] и DATA[3] содержат секретную ин-
информацию и не показаны здесь.) После вставки 18 записей списки
могли бы содержать следующие имена:
список 1 список 2 список 3 список 4
Dianne
Ari
Brian
Fran
Doug
Glenn
Jim
Jennifer
Joan
Jerry
Jean
Nora
Mike
Michael
Ray
Paula
Scott
Tina
450 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
В массиве KEY те же имена будут записаны вперемежку, однако
значения NEXT позволяют разделить списки. Если мы теперь хо-
хотим найти имя John, то нам потребуется просмотреть шесть имен
из списка 2 (этот список оказался самым длинным); но это все же
не идет ни в какое сравнение с просмотром всех 18 имен.
Ниже приведено точное описание алгоритма, который ищет
ключ К в соответствие с этой схемой:
HI Установить i := h(K) и j := FIRST[i].
H2 Если j ^ 0, остановиться. (Безуспешный поиск.)
НЗ Если KEY[j] = К, остановиться. (Успешный поиск.)
Н4 Установить г := j, затем ) := NEXT [г] и вернуться к шагу Н2.
(Попробуем еще.)
Например, при поиске имени Jennifer в приведенном примере мы
установим на шаге HI г := 2 и j := 2; на шаге НЗ найдем, что
Glenn ф Jennifer; на шаге Н4 установим j := 3 и на шаге НЗ най-
найдем, что Jim ф Jennifer. Выполнив шаги Н4 и НЗ еще раз, мы
найдем Jennifer в таблице.
После успешного поиска искомые данные D(K) содержатся в
DATACj], как и в предыдущем алгоритме. В случае безуспешного
поиска мы можем вставить К и D(K) в таблицу, выполнив следу-
следующие операции:
п := п+ 1;
если j < 0, то FIRST [i] :=п, иначе NEXT[i]:=n;
KEY[n] := К; DATA[n] := D(K); NEXT[n] := 0. (8.83)
Теперь таблица вновь отвечает имеющимся данным.
Мы надеемся, что все списки будут иметь примерно одина-
одинаковую длину, поскольку в этом случае задача поиска будет ре-
решаться примерно в m раз быстрее. Обычно значение m гораз-
гораздо больше четырех, так что множитель 1/т —это значительное
улучшение.
Мы заранее не знаем, какие ключи будут в таблице, но обыч-
обычно возможно так выбрать хеш-функцию К, чтобы значения К(К)
можно было считать случайной величиной, равномерно распре-
распределенной в интервале от 1 до m и независимой от хеш-кодов дру-
других присутствующих ключей. В таких случаях вычисление хеш-
функции подобно бросанию кубика с та гранями. Может случить-
случиться, что все записи попадут в один список, точно так же, как на
кубике может все время выпадать [п]; однако теория вероятно-
вероятностей говорит нам, что списки почти всегда будут достаточно
хорошо сбалансированы.
Анализ хеширования: введение
„Анализ алгоритмов" — это раздел информатики, занимаю-
занимающийся выводом количественной информации об эффективности
компьютерных методов. „Вероятностный анализ алгоритмов" —
это изучение времени работы алгоритмов, рассматриваемого как
Держу пари, что
их родители в
восторге.
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ 451
случайная величина, зависящая от предполагаемых характери-
характеристик исходных данных. Хеширование особенно подходит для ве-
вероятностного анализа, поскольку метод хеширования исключи-
исключительно эффективен в среднем, хотя его наихудший случай про-
просто ужасен. (Наихудший случай здесь — когда все ключи имеют
одинаковый хеш-код.) Так что программисту, использующему хе-
хеширование, лучше всего поверить в теорию вероятностей.
Обозначим через Р количество выполнений шага НЗ при рабо-
работе предыдущего алгоритма. (Каждое выполнение шага НЗ назы-
называется ,;пробой" в таблице.) Зная Р, мы можем узнать, сколько раз
выполняется каждый шаг, в зависимости от успеха или неудачи
поиска:
Шаг
HI
Н2
НЗ
Н4
Безуспешный поиск
1 раз
Р + 1 раз
Р раз
Р раз
Успешный поиск
1 раз
Р раз
Р раз
Р - 1 раз
Таким образом, главная характеристика, определяющая время
работы процедуры поиска, есть число проб Р.
Чтобы представить себе работу алгоритма, можем вообразить,
что у нас есть адресная книга, организованная неким специаль-
специальным образом— на каждой странице размещается только одна за-
запись. На обложке книги мы находим номер страницы первой за-
записи в каждом из m списков; каждому ключу К соответствует
список Н(К), которому тот принадлежит. На каждой странице
книги содержится ссылка на следующую страницу в том спис-
списке, к которому эта страница относится. Число проб, требуемое
для поиска адреса в такой книге,— это число страниц, которые
нам придется просмотреть.
Если в таблицу помещено п элементов, то их расположение
зависит только от соответствующих хеш-кодов (Hi,h-2,... ,НП).
Все т11 возможных последовательностей (hi,h2,... ,КП) счита-
считаются равновероятными; случайная величина Р зависит от этой
последовательности.
Посмотрите под Случай 1: ключ отсутствует
ковриком у двери. Рассмотрим сначала поведение Р в случае безуспешного поис-
поиска в предположении, что в таблицу уже было помещено п запи-
записей. Вероятностное пространство, отвечающее данному случаю,
состоит из mn+] элементарных событий
a) = (Hi, Кг,..., НП) Hn+i),
где Hj есть хеш-код для j-ro ключа в таблице, a Hn+i —хеш-код
ключа, который не удалось найти. Мы предполагаем, что хеш-
функция Н была выбрана надлежащим образом, так что Рг(си) =
1/mn+1 для любого такого ш.
452 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Если, например, m = n = 2, то имеются восемь равновероят-
равновероятных возможностей:
hi I12 У13'. Р
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1 :
2:
1 :
2:
1 :
2:
1 :
2:
2
0
1
1
1
1
0
2
Если hi = Y12 = Нз, то мы сделаем две неудачные пробы, прежде
чем обнаружим, что новый ключ К не присутствует в таблице;
если hi = Ii2 Ф 1хз, то нам не придется делать ни одной пробы; и
т. д. Этот исчерпывающий список показывает, что для m = п = 2
распределение Р описывается ПФСВ (| + |z-f |z2) = {\ -f |zJ.
Безуспешный поиск требует по одной пробе для каждого эле-
элемента списка hn+i, поэтому мы приходим к общей формуле
р = [hi=ha+1] + [h2=hn+1] + ••• + [hn = hn+1]. (8.84)
Вероятность того, что hj = hn+i, составляет 1/та для 1 ^ j ^ п;
поэтому
ЕР = E[h] =hn+1] + E[h2 =hn+1] + • • • + E[hn =hn+1] = — .
та
Может быть, здесь нужно действовать медленнее. Пусть Xj — сле-
следующая случайная величина:
X,- =
Тогда Р = Xi Н ЬХП и EXj = 1/m для всех j ^ п; следовательно,
ЕР = EX] +--- + EXn =n/m.
Что же, неплохо. Как мы и ожидали, среднее число проб в m раз
меньше, чем без хеширования. Более того, случайные величины
Xj независимы и имеют одинаковую производящую функцию
следовательно, ПФСВ для общего числа проб в безуспешном по-
поиске будет
P(z) = X, (z)... Xn(z) = (m~J + Z)n • (8.85)
Это биномиальное распределение с р = 1 /та и q = (та—1 )/та; ины-
иными словами, число проб в безуспешном поиске ведет себя точно
так же, как число выпавших решек при бросании несимметрич-
несимметричной монеты с вероятностью выпадания решки 1/тп при каждом
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ 453
Где я уже видел
эту последователь-
последовательность?
Уравнение (8.43)
тоже моментальное
отвлечение.
бросании. Уравнение (8.6i) говорит нам теперь, что дисперсия Р
равна
npq =
n(m-l)
Если та велико, то дисперсия Р приблизительно равна n/m, так
что стандартное отклонение есть примерно i/n/m.
Случай 2: ключ присутствует
Обратимся теперь к успешным поискам. Вероятностное про-
пространство для этого случая несколько сложнее, в соответствии с
нашей задачей. Мы выберем в качестве П множество элементар-
элементарных событий
ш = (hb...,Hn;k),
(8.86)
где Hj представляет собой хеш-код для j-ro ключа, как раньше,
а к есть индекс искомого ключа (он имеет хеш-код Н^). Таким
образом, 1 ^ hj ^ m для 1 ^ j ^пи1 ^ k ^ п; всего имеется
mn • п элементарных событий.
Пусть Sj —вероятность того, что ищется j-й помещенный в та-
таблицу ключ. Тогда
Рг(ш) = sk/mn,
(8.87)
если ш — событие (8.86). (В некоторых приложениях чаще ищутся
ключи, вставляемые первыми, или, наоборот, последние ключи,
так что мы не будет предполагать, что все Sj = 1/n.) Заметим,
что ИшепРг(ш) = Lk=i sk == 1, следовательно, (8.87) определяет
корректное распределение вероятностей.
Число проб Р в случае успешного поиска равно р, если ключ К
является р-м ключом в своем списке. Следовательно,
Р(Нь...,Нп;к) = [ln=hk] + [h2=hk] + .-. + [hk=hk]] (8.88)
или, если обозначить через Xj случайную величину [\ц =Нк],
Р^Хт+Ха + .-. + Хк. (8.89)
Пусть, например, мы имеем тп=10ип = 16, и хеш-коды образо-
образовали следующую „случайную" последовательность:
(НЬ...,Н16) =3141592653589793;
(Pb...,Pi6) -1112111122312133.
Число проб Pj, требуемых для поиска j-ro ключа, показано под hj.
Уравнение (8.8д) представляет Р в виде суммы случайных ве-
величин, но мы не можем просто вычислить ЕР как EXi H Ь EXjc,
поскольку значение к само является случайной величиной. Како-
Какова же производящая функция случайной величины Р? Для ответа
на этот вопрос нам придется на один момент отвлечься от нашей
задачи и поговорить об условных вероятностях.
454 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Если Л и В — некоторые события в вероятностном простран-
пространстве, то будем говорить, что условная вероятность Л при усло-
условии В есть
Рг(шЕЛПВ) /о ч
PrtcueAlcueB)^ [pi(weB]l. (8.90)
Например, если X и Y —случайные величины, то условная веро-
вероятность события X = х при условии Y = у равна
Для любого фиксированного у в диапазоне изменения Y сумма
всех этих условных вероятностей по всем х в диапазоне изме-
изменения X составит Pr(Y = y)/Pr(Y = y) = 1; следовательно, (8.gi)
определяет распределение вероятностей, и мы можем опреде-
определить новую случайную величину 1Х\у', такую, что Рг(Х|у =х) =
Если X и Y независимы, то случайная величина Х|у в сущности
совпадает с X при любом у, поскольку Pr(X = x | Y = y) равняется
Рг(Х = х) в силу (8.5); это как раз условие независимости. Однако
если X и Y зависимы, то случайные величины Х|у и Х|у' могут
быть совершенно не похожи друг на друга при у ^ у'.
Если X принимает только целые неотрицательные значения,
то можно разложить ее пфсв в сумму условных пфсв по отно-
отношению к любой другой случайной величине Y:
Gx(z) = ?- Pr(Y = y)Gx)y(z). (8.92)
Это соотношение справедливо потому, что коэффициент при zx в
левой части есть Рг(Х = х) для всех х G Х(П), тогда как в правой
части он равен
= Pr(X = x).
Так, если Х есть произведение очков, выпавших на двух правиль-
правильных кубиках, a Y —сумма очков, то пфсв Х|6 будет
поскольку условные вероятности для Y = 6 содержат пять равно-
равновероятных событий {Q |X], ЕЗ@1,[7]|7],|П1ЕЗ»|К1[1]}- Уравнение
(8.92) в этом случае сведется к
Gx(z) = ^
+
Вот теперь я
понимаю, что
имеют в виду ма-
математики, говоря
„очевидно", ,рсно"
или „тривиально"
Это очевидно, и
я полагаю, что
хороший перво-
первокурсник может это
проделать, хотя
это не тривиально.
-П.Эрдёш[390]
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ 455
эту формулу достаточно один раз понять, и она станет очевидной.
(Конец отвлечения.)
Формула (8.92) позволяет выписать пфсв для числа проб в
успешном поиске, если положить в ней X = Р и Y = К. Для любого
фиксированного к от 1 до п случайная величина Р |к определяется
как сумма независимых случайных величин Xi + • • • + Х^; это в
точности (8.8д). Поэтому ее ПФСВ равна
GPIk(z) =
m- I
k~1
z.
Следовательно, пфсв для самой величины Р может быть записа-
записана как
п ( \ г г п V" /та — I -г z\K '
bp(Zj = 2ятяя Sk^piklZj = 2__ Ski ) Z
k=l k=l
'in— 1 +z>
m
= zS(
где
S(Z) = S! + S2Z + S3Z2
(8.93)
(8.94)
есть пфсв для вероятностей поиска Sk (поделенная для удобства
на z).
Очень хорошо. Мы имеем производящую функцию для слу-
случайной величины Р; теперь найдем математическое ожидание
и дисперсию путем дифференцирования. Вычисления несколько
упрощаются, если убрать множитель z, вычислив поначалу ма-
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Р — 1:
та \ та
Следовательно,
ЕР = H-Mean(F) = 1 +F'A) = 1+m Mean(S); (8.95)
VP = Var(F) = Т»Щ+Т'{})-Т'[]J
Var(S) +
-m-2)Mean(S).
(8.96)
Эти общие формулы выражают математическое ожидание и дис-
дисперсию числа проб Р через математическое ожидание и диспе-
дисперсию заданного распределения искомых ключей S.
456 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Пусть, например, Sk = 1/n для 1 ^ к ^ п. Это значит, что
мы выполняем полностью „случайные" успешные поиски с рав-
равной вероятностью для всех ключей в таблице. Тогда S(z) явля-
является равномерным распределением Un(z) из (8.32) и мы имеем
Mean(S) = (n- l)/2, Var(S) = (n2 - 1)/12. Следовательно,
^1 + 1; (8.97)
п2-1 , (m-1)(n-1) (n-1)Fm + n-5)
Вновь мы получили ускорение в желаемой пропорции 1 /т. Если
т « n/lnn ипч со, то среднее число проб при успешном поиске
будет примерно равно j Inn, а стандартное отклонение асимпто-
асимптотически равно Aпп)/л/12.
С другой стороны, мы могли бы принять sic = (kHn) для
1 ^ k ^ п; это распределение называется „законом Зипфа". То-
Тогда Mean(S) = n/Hn и Var(S) = {п{п + 1)/Нп - п2/Н2. Среднее
число проб для m и n/lnn при п —> со примерно равно 2 со
стандартным отклонением, асимптотически равным \/1пн/л/2.
В обоих случаях проведенный анализ позволяет спать спокой-
спокойно тем пессимистам среди нас, кто опасается наихудшего случая:
из неравенства Чебышева следует, что списки будут хорошими и
короткими, за исключением крайне редких случаев.
Случай 2, продолжение: разнообразные дисперсии
Мы только что вычислили дисперсию числа проб в случае
успешного поиска, рассматривая Р как случайную величину на
вероятностном пространстве из тнп-п элементов (hi,..., hn; k). Но
мы могли бы встать на другую точку зрения. Каждый набор хеш-
кодов (hi,..., hn) определяет случайную величину Р| (hi,..., hn),
представляющую число проб в случае успешного поиска в этой
конкретной хеш-таблице, содержащей п заданных ключей. Сред-
Среднее значение Р|(hi,...,hn),
n
A(hb...,hn) = ^P'Pr(pl(hb--->hn)-p), (8.99)
p=1
как можно считать, представляет время выполнения успешного
поиска. Величина A(hi,... ,hn) является случайной величиной,
которая зависит только от (hi,..., hn), но не от последней ком-
компоненты к; мы можем записать ее в форме
TL
A (hi,... ,hn) = У Sic P(hi,... ,hn; к),
где P(hi,...,hn; к) определенав (8.88), поскольку P|(hi,...,hn)=ip
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ 457
с вероятностью
n=1Pr(P(Hb...>hn;k)=p)
Всем известно,
что VP (вице-
президент) не
ноль только в год
выборов.
k=1
Ожидаемое значение A (Hi,..., hn), полученное суммировани-
суммированием по всем mn возможным наборам (hi,... ,hn) с последующим
делением на тпп, будет совпадать с ранее найденным в (8.95) ма-
математическим ожиданием. Однако дисперсия A(Hi,... , hn) бу-
будет отличаться; это — дисперсия тпп средних, а не mn-n отдель-
отдельных значений числа проб. Например, для m = 1 (так что у нас
имеется только один список) „среднее" значение A(hi,..., hn) =
АA,..., 1) есть на самом деле константа, и поэтому ее дисперсия
VA равна нулю; однако число проб в успешном поиске не посто-
постоянно, и его дисперсия VP не нулевая.
Для иллюстрации этой разницы между дисперсиями выпол-
выполним вычисления для произвольных тп и п в простейшем слу-
случае, sic = 1/тг для 1 ^ k ^ тг. Иными словами, мы предпо-
предположим временно, что ключи поиска распределены равномерно.
Любая данная последовательность хеш-кодов (hi,... ,hn) опре-
определяет m списков, содержащих, соответственно, (тц ,П2,... ,nm)
элементов для некоторых чисел rij, причем
ги + П2 Н Ь тгт = тг.
Успешный поиск, в котором любой из тг ключей в таблице равно-
равновероятен, потребует в среднем
A(h1)...,Hn) =
тг
+ тг2 (тг2
+ nm (nm +
2тг
,+n
2тг
проб. Наша цель — вычислить дисперсию величины A (hi,..., hn)
на вероятностном пространстве, состоящем из всех ттг11 последо-
последовательностей (hi,..., hn).
Как оказывается, проще вычислить дисперсию несколько иной
величины
B(Kb...,hn)= (*A-
Имеем
A(hi,...,hn) = 1+B(hi,...,hn)/n,
458 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
следовательно, математическое ожидание и дисперсия Л удовле-
удовлетворяют соотношениям
FR \/R
ЕЛ = 1 + — ; VA = —г . (8.Ю0)
п п2
Вероятность того, что размеры списков составят ги, П2, ..., nm,
равняется мультиномиальному коэффициенту
деленному на mn; следовательно, пфсв для В (hi,... ,НП) есть
Bn(z)= ]Г
Т11+П2+-"+Пт=П
Для неискушенного глаза эта сумма выглядит жутковато, одна-
однако наш опыт, приобретенный в гл. 7, позволяет распознать в ней
тп-кратную свертку. И действительно, если определить экспонен-
экспоненциальную суперпроизводящую функцию
G(w,z) =
то мы можем легко убедиться, что G(w,z) есть просто тп-я сте-
степень:
Для проверки подставим z = 1; мы получим G(w, 1) = (ew)m, так
что коэффициентом при mnwn/nl будет ВпA) = 1.
Если бы мы нашли значения В^A) и В^'П), то смогли бы вы-
вычислить Var(Bn). Возьмем поэтому частную производную G(w, z)
по z:
k \ та—1
\
= m|> zu,-^! 2_у^ й-,
m-2
k^O 7 k^O
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ 459
Ничего не скажешь, сложные выражения; они, однако, значитель-
значительно упростятся, если положить z = 1. Так, например,
n I
w1
^2(к-2)!
к+2
2к!
mw2e(m-i)w (mw)n+2 ^- n(n-1)mtlwn
2 ^ 2m n! ^ 2m n!
откуда следует, что
Выражение для ЕЛ в (8.юо) дает теперь ЕА = 1 -f (п — 1 )/2т, в
полном согласии с (8.97)-
Формула для ВТ'г'A) включает похожую сумму
k!
поэтому находим
к!
¦з
+ mew(m-1'(lw4+w3)ew
= mewm(Jmw4+w3);
Теперь можно собрать все вместе и вычислить искомую диспе-
дисперсию VA. Очень много членов сокращается и результат оказыва-
оказывается удивительно простым:
VA vb в;л1) + в;A)-в,;AJ
m n(n-
m
n2 V 4 + 2
460 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Встретив такое „совпадение", мы можем заподозрить наличие
какой-то математической причины; должен существовать другой
способ решения задачи, объясняющий, почему ответ так прост.
И действительно, такой способ имеется (в упр. 61), и он показы-
показывает, что в общем случае дисперсия среднего успешного поиска
имеет вид
¦1),
(8.104)
k=1
где Sk — вероятность поиска элемента, вставленного k-м по сче-
счету. Уравнение (8.103) является частным случаем Sk = 1/тг для
1 ^ к ^ п.
Помимо дисперсии среднего мы можем также рассмотреть
среднее дисперсии. Иными словами, каждая последовательность
(hi,..., hn), задающая хеш-таблицу, определяет также распреде-
распределение вероятностей для успешного поиска, и дисперсия этого рас-
распределения показывает, как сильно будет разбросано число проб
в различных успешных поисках. В качестве примера вернемся
вновь к ситуации, когда мы помещали п = 16 объектов в m = 10
списков:
(hb...,h16) =3141592653589793
(Pi,...,Pi6) =1112111122312133
Успешный поиск в результирующей таблице имеет пфсв
16
к=1
Только что мы занимались средним числом проб для успеш-
успешного поиска в этой таблице, а именно, АC,1,4,1,..., 3) =
Mean(G C,1,4,1,..., 3)). Но можно также рассмотреть дисперсию,
S16-32
+s2-1
Эта дисперсия является случайной величиной, зависящей от
(hi,..., hn), так что вполне естественно поинтересоваться ее сред-
средним значением.
Таким образом, имеются три разумных вида дисперсии,
которые могут быть полезны при изучении поведения успешного
поиска. Это общая дисперсия числа проб, вычисляемая по
всем (hi,...,Hn) и к; дисперсия среднего числа проб, где
среднее берется по всем к, а затем вычисляется дисперсия по
всем (hi,..., hn), и среднее дисперсии числа проб, где дисперсия
Где же я видел
эту последователь-
последовательность?
Где же я видел это
замечание?
Это я знаю и
помню
прекрасно,
пи многие знаки
мне лишни,
напрасны.
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ 461
(Сейчас самое
время выпол-
выполнить разминочное
упражнение 6.)
берется по всем к, а затем среднее —по всем наборам (hi,..., hn).
В символической записи общая дисперсия выражается как
VP=
k=1
k=l
дисперсия среднего — это
VA =
— B_skP(hb...,l
к=1
k=l
и среднее дисперсии—это
av =
1 / n
— Z. SkP(hi> • • ¦ >
U=1
Оказывается, что эти три величины связаны между собой про-
простым соотношением:
VP =
(8.1О5)
В самом деле, условные распределения вероятностей всегда удо-
удовлетворяют тождеству
VX = V(E(X|Y)) + E(V(X|Y)). (8.106)
Здесь X и Y — случайные величины на произвольном вероятност-
вероятностном пространстве, причем X принимает вещественные значения.
(Это тождество доказывается в упр. 22.) Уравнение (8.105) —это
частный случай, в котором X — число проб в успешном поиске, а
Y — последовательность хеш-кодов (hi,..., hn).
Общее уравнение (8.ю6) требует внимательного рассмотре-
рассмотрения, поскольку в нем скрыты несколько различных случайных
величин и вероятностных пространств, в которых надлежит вы-
вычислять математические ожидания и дисперсии. Случайная ве-
величина Х\у для каждого у из диапазона изменения Y была опре-
определена в (8.91), и эта случайная величина имеет ожидаемое зна-
значение Е(Х|у), зависящее от у. Далее, E(X|Y) обозначает случай-
случайную величину, принимающую значения Е(Х|у), когда у принима-
принимает все возможные для Y значения, a V(E(X|Y)) есть дисперсия
этой случайной величины по отношению к распределению веро-
вероятностей Y. Аналогично, E(V(X|Y)) есть среднее значение слу-
случайной величины V(X|y) при изменении у. В левой части (8.ю6)
462 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
стоит VX, безусловная дисперсия X. Поскольку дисперсии нео-
неотрицательны, мы всегда будем иметь
VX ^ V(E(X|Y)) и VX ^ E(V(X|Y)). (8.107)
Вновь случай 1: пересмотр безуспешного поиска
В завершение нашего микроскопического изучения хеширова-
хеширования проведем еще одно вычисление, типичное для анализа алго-
алгоритмов. На этот раз мы займемся более подробно общим вре-
временем работы в случае безуспешного поиска, в предположении,
что компьютер вставляет в таблицу дотоле неизвестный ключ.
В процессе вставки (8.83) возможны два случая, в зависимости
от того, отрицательно ли j или равно нулю. При этом j < 0 тогда
и только тогда, когда Р = О, поскольку отрицательное значение Р по-прежнему
может появиться только из элемента FIRST для пустого списка, обозначает число
Таким образом, если список был пуст, то Р = 0, и мы должны проб.
выполнить установку FIRST[Hn+i] := n + 1. (Новая запись будет
помещена в позицию п+1.) В противном случае Р > 0 и значение
п+1 следует установить в элемент NEXT. Выполнение алгоритма в
этих двух случаях может занять различное время; поэтому общее
время работы для безуспешного поиска можно записать в виде
Т = а+|ЗР + 6[Р = О], (8.108)
где а, C и 6— некоторые константы, зависящие от компьютера и
от того, каким образом алгоритм хеширования закодирован в ко-
командах внутреннего языка компьютера. Было бы неплохо найти
математическое ожидание и дисперсию случайной величины Т,
поскольку эти показатели более важны для практики, чем мате-
математическое ожидание и дисперсия величины Р.
До сих пор мы использовали вероятностные производящие
функции только для случайных величин, принимающих целые
неотрицательные значения. Оказывается, однако, что с выраже-
выражением
Gx(z) =
для произвольной вещественнозначной случайной величины X
можно работать ничуть не хуже, поскольку все существенные ха-
характеристики X зависят только от поведения Gx вблизи z = 1; а
в этой области все степени z корректно определены. Например,
время работы безуспешного поиска (8.ю8) является случайной
величиной, определенной на вероятностном пространстве из рав-
равновероятных последовательностей хеш-кодов (Hi,..., НП) Нп+1) с
1 ^ Hj ^ m; мы можем считать, что ряд
тП+ h,=i н„=1
h";bn+i)+6[P(hb...,hH;hn+,)=0]
8.5 ХЕШИРОВАНИЕ
является ПФСВ даже в тех случаях, когда а, C и 6 —не целые.
(Фактически, параметры <х, |3, 6 —физические величины, име-
имеющие размерность времени; это даже не совсем числа! Тем не
менее, их можно использовать в показателе степени при z.) Мы
можем по-прежнему вычислять математическое ожидание и дис-
дисперсию случайной величины Т, найдя GJA)hG}'A)h скомбини-
скомбинировав эти значения обычным образом.
Производящей функцией для Р (а не Т) будет
Следовательно, имеем
GT(z) =
Подсчет Mean(Gr) и Var(Gr) оказывается теперь рутинной опе-
операцией:
+ б(^!Л
(
та \ та
та та
Л ; (8.1Од)
/m-bnn
V та / та
та2 V та / та
+6((-йг) -(-иг) )¦ (8Л1О)
иг)
В гл. 9 мы научимся оценивать подобные величины при боль-
больших та и п. Если, например, та = пип—>оо, то с помощью
методов гл. 9 можно показать, что математическое ожидание и
дисперсия Т равны, соответственно, а + C + бе + 0{п~^) и
(З2 -грбе +62(е-] - е~2) + О(п~1). Если та = n/lnn + 0A)
и п —> оо, то соответствующие величины составят
Mean(GT) = C1nn+a+O((lognJ/n) ;
Var(G-r) = C2lnn + O((lognJ/n) .
464 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
Упражнения
Разминочные упражнения
1 Какова вероятность дублетов при распределении вероятно-
вероятностей РгО1 из (8.з), когда один кубик правильный, а у друго-
другого центр масс смещен? Какова вероятность выбросить сумму
2 Какова вероятность того, что в случайно перетасованной ко-
колоде карт и верхняя и нижняя карты окажутся тузами? (Все
52! перестановок имеют вероятность 1/52!.)
3 Студентов, изучавших конкретную математику в Станфорде в
1979 г., попросили подбрасывать монету до тех пор, пока два-
дважды подряд не выпадет решка, и записать потребовавшееся
число бросаний. В результате получилось:
3,2,3,5,10,2,6,6,9,2.
Студентов, изучавших конкретную математику в Принстоне
в 1987 г., попросили сделать то же, и они получили такие ре-
результаты:
10,2,10,7,5,2,10,6,10,2.
Оцените математическое ожидание и дисперсию, основываясь
(а) на Станфордских данных; (Ь) на данных из Принстона.
4 Пусть H(z) = F(z)/G(z), где FA) = G(l) = 1. Докажите, что,
по аналогии с (8.38) и (8.39)»
Mean(H) = Mean(F) - Mean(G),
Var(H) = Var(F)-Var(G),
если указанные производные существуют при z = 1.
5 Пусть Алиса и Билл играют в игру (8.78), используя кривую
монету, которая выпадает решкой вверх с вероятностью р. Су-
Существует ли значение р, для которого игра станет справедли-
справедливой?
6 К чему сведется закон дисперсии для условных распределений
(8.юб), если случайные величины X и Y будут независимы.
Обязательные упражнения
7 Покажите, что если у обоих кубиков смещен центр масс, при-
причем распределение вероятностей у них одинаковое, то вероят-
вероятность дубля всегда будет не меньше ~.
8 Пусть Л и В — события, такие, что Л U В = П. Докажите, что
Рг(ш е А П В) = Рг(ш е А) Рг(ш е В) - Рг(ш i А) Рг(ш i В).
9 Докажите или опровергните: если X и Y — независимые слу-
случайные величины, то таковыми являются также F(X) и G(Y),
где F и G — любые функции.
Почему только
десять чисел?
Остальные студен-
студенты или не были
эмпириками, или
просто забросили
все куда подальше.
8 УПРАЖНЕНИЯ 465
Под „элементами"
здесь следует по-
понимать значения,
которые может
принимать слу-
случайная величина.
— Перев.
10 Сколько элементов, самое большее, могут являться медиа-
медианами случайной величины X в соответствии с определением
(8-7)?
11 Постройте случайную величину, имеющую конечное матема-
математическое ожидание и бесконечную дисперсию.
12 а Пусть P(z) —пфсв случайной величины X. Докажите, что
Рг(Х
Рг(Х
г)
г)
гР(х)
тР(х)
для 0 < х
для х ^ 1.
1;
(Эти важные соотношения называются оценками хвоста.)
Ъ В частном случае P(z) = A + z)n/2n используйте первую
оценку хвоста для доказательства того, что Х^ат1 (?) ^
1/аапA - а)^-а)п для 0 < а < \.
13 Докажите, что если Xi, ..., Хгп — независимые случайные ве-
величины с одинаковым распределением, а а — произвольное ве-
вещественное число, то
Рг
(l;
2п
— а
п
— а
14 Пусть F(z) и G(z) —производящие функции случайных вели-
величин и пусть
H(z)=pF(z) + qG(z),
где р + q = 1. (Такая функция называется смесью F и G; со-
соответствующая ей случайная величина получается, если под-
подбросить монету и затем выбрать распределение F или G в за-
зависимости от того, какой стороной вверх упадет монета.) Вы-
Выразите математическое ожидание и дисперсию Н через р, q и
математическое ожидание и дисперсию F и G.
15 Если F(z) и G (z) — производящие функции случайных вели-
величин, то можно определить новую пфсв H(z) при помощи их
„композиции":
H(z)=F(G(z)).
Выразите Меап(Н) и Var(H) через Mean(F), Var(F), Mean(G) и
Var(G). (Уравнение (8.93) будет тогда частным случаем.)
16 Найдите замкнутую форму для суперпроизводящей функции
Hn^obi(z)wT\ где Fn(z) —футбольная производящая функ-
функция, определенная в (8.53)-
17 Пусть XTljP и Yn>p имеют, соответственно, биномиальное и
отрицательное биномиальное распределения с параметрами
[пу*р). (Эти распределения определены в (8.57) и (8.6о).) До-
Докажите, что Pr(YU)P^m) = Pr(Xm+n)P ^n). Какое тождество
для биномиальных коэффициентов отсюда вытекает?
466 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
18 Говорят, что случайная величина X имеет распределение
Пуассона с параметром ц, если Рг(Х = к) = е~ццк/к! Аля всех
к^ 0.
а Какова производящая функция такой случайной величи-
величины?
b Чему равны ее математическое ожидание, дисперсия и
остальные кумулянты?
19 Продолжая предыдущее упражнение, допустим, что случай-
случайная величина X] имеет распределение Пуассона с параметром
Ц1, а случайная величина Х2 независима от X] и имеет рас-
распределение Пуассона с параметром Ц2 •
а Какова вероятность того, что Xi + Х2 = п?
b Чему равны среднее, дисперсия и другие кумулянты слу-
случайной величины 2Xi + ЗХ2?
20 Докажите (8.74) и (8.75)~~°бщие формулы для математиче-
математического ожидания и дисперсии времени до появления заданной
последовательности решек и орлов.
21 Что выражает значение N, если в (8.77) положить оба символа
Р и 0 равными j7
22 Докажите (8.юб) —закон условного математического ожида-
ожидания и дисперсии.
Домашние задания
23 Пусть Ргоо ~ распределение вероятностей двух правильных
кубиков, а Ргц —распределение вероятностей двух неуравно-
неуравновешенных кубиков, определенное в (8.2). Найдите все такие
события Л, что Ргоо(А) = Ргц (Л). Какие из этих событий за-
зависят только от случайной величины S? (Вероятностное про-
пространство с D. = D2 включает 236 событий; лишь 211 из них
зависят только от S.)
24 Игрок J бросает 2п + 1 правильных кубиков и убирает куби-
кубики, на которых выпало gj]. Затем игрок К называет число от
1 до 6, бросает оставшиеся кубики и убирает те, на которых
выпало названное число очков. Этот процесс повторяется до
тех пор, пока в игре не останется ни одного кубика. Выигры-
Выигрывает игрок, убравший в совокупности большее число кубиков
(т. е. п + 1 или больше).
а Чему равно математическое ожидание и дисперсия обще-
общего числа кубиков, убранных игроком J? Указание: кубики
независимы.
b С какой вероятностью выигрывает J в случае п = 2?
25 Рассмотрим следующую азартную игру. Вы ставите опреде-
определенную сумму Л и бросаете правильный кубик. Если выпало
к очков, то ваша ставка умножается на 2(к — 1 )/5. (В частно-
частности, ставка удваивается, если выпадет [П], но вы проигрываете
8 УПРАЖНЕНИЯ 467
все, если выпадет [•]•) В любой момент вы можете остановить-
остановиться и потребовать текущую сумму ставки. Чему равно среднее
значение и дисперсия суммы ставки после п бросаний? (Пре-
(Пренебрегите эффектами округления суммы до целого числа.)
26 Найдите математическое ожидание и дисперсию числа циклов
длины I в случайной перестановке п элементов. (Задача о
победе футбольной команды, ответ на которую дан в (8.23),
(8.24) и (8.5з)> есть частный случай 1 = 1.)
27 Пусть X], Х2, ..., Хп — независимые значения случайной вели-
величины X. Уравнения (8.ig) и (8.2о) говорят, как оценить мате-
математическое ожидание и дисперсию X по результатам этих на-
наблюдений. Дайте аналогичную формулу для оценки третьего
кумулянта кз. (Ваша формула должна давать „несмещенную"
оценку в том смысле, что ожидаемое значение оценки должно
равняться кз.)
28 Какова средняя продолжительность игры в монету (8.78),
а при условии, что выигрывает Алиса?
b при условии, что выигрывает Билл?
29 Алиса, Билл и Компьютер бросают правильную монету до тех
пор, пока не появится одна из следующих последовательно-
последовательностей: Л = РРОР, В = РОРР, С = ОРРР. (Если в игре участвуют
только две из этих последовательностей, то, как мы знаем из
(8.82), Л, вероятно, выиграет у В, В, вероятно, выиграет у С и
С, вероятно, выиграет у Л; но в данной игре участвуют сразу
все три последовательности.) Каковы шансы каждого игрока
на выигрыш?
30 Мы рассматривали три вида дисперсии, связанные с успеш-
успешным поиском в хеш-таблице. В действительности есть еще два
вида: мы можем рассмотреть среднее (по к) дисперсий (по Hi,
..., Нп) числа проб P(Hi,..., Нп; к), а также дисперсию (по к)
средних (по Hi, ..., Нп). Вычислите эти величины.
31 В вершине Л пятиугольника ABCDE находится яблоко, а
на расстоянии двух ребер, в вершине С, находится червяк.
Каждый день червяк переползает в одну из двух соседних
редингеровскии вершин с равной вероятностью. Так, через один день червяк
окажется в вершине В с вероятностью |ив вершине D с ве-
вероятностью j. По прошествии двух дней червяк может вновь
оказаться в С, поскольку он не запоминает предыдущих поло-
положений. Достигнув вершины А, червяк останавливается пообе-
пообедать.
а Чему равны математическое ожидание и дисперсия числа
дней, прошедших до обеда?
b Какую оценку дает неравенство Чебышёва для вероятности
р того, что это число дней будет 100 или больше?
с Что позволяет сказать о величине р оценка хвоста (упр. 12)?
468 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
32 Алиса и Билл находятся в войсковых частях, дислоцирован-
дислоцированных в одном из пяти штатов: Канзас, Небраска, Миссури, Ок-
Оклахома и Колорадо. Первоначально Алиса находится в Не-
Небраске, а Билл — в Оклахоме. Каждый месяц каждого из них
переводят в соседний штат, причем любой из соседних штатов
выбирается с равной вероятностью. (Ниже нарисована диа-
диаграмма соседства:
\Небраска
Колорадо
Канзас\Миссури
Оклахома
Начальные штаты обведены кружком.) Например, Алиса че-
через один месяц будет переведена с вероятностью 1 /3 в любой
из штатов Колорадо, Канзас или Миссури. Найдите математи-
математическое ожидание и дисперсию числа месяцев, которое потребу-
потребуется Алисе и Биллу, чтобы встретить друг друга. (Возможно,
вы захотите прибегнуть к помощи компьютера.)
33 Независимы ли случайные величины Xi и Хг из (8.8д)?
34 Джина играет в гольф и на каждом ударе с вероятностью
р = .05 имеет „супер-шот" и выигрывает один удар, с вероят-
вероятностью q = .91 имеет обычный „шот" и с вероятностью г = .04
имеем „саб-шот" который стоит ей одного удара в сравнении
с расчетным числом ударов. (Для не играющих в гольф: На
каждом круге она делает 2, 1 или 0 шагов к цели с вероят-
вероятностями, соответственно, р, q и г. В игре с тп-ударной лункой
ее результат есть минимальное п, такое, что она продвигается
на m или больше шагов за п кругов. Маленький результат
лучше большого.)
а Покажите, что Джина выигрывает игру с четырехударной
лункой чаще, чем проигрывает, когда она встречается с
игроком, делающим всегда обычные удары. (Иными сло-
словами вероятность получения результата меньше четырех
должна быть больше, чем вероятность результата больше
четырех.)
b Покажите, что ее средний результат в игре с четырехудар-
четырехударной лункой больше четырех. (Таким образом, она в сред-
среднем проигрывает „стабильному" игроку по общей сумме оч-
очков, хотя она в среднем выигрывает в матче с зачетом по
лункам.)
Контрольные работы
35 Центр масс кубика смещен в соответствии с распределением
вероятностей
Нештатная штат-
штатная ситуация.
(Для проведения
расчетов в этой
задаче используйте
калькулятор.)
Pr(H)=Pi;
= vi\
8 УПРАЖНЕНИЯ 469
Пусть Sn означает сумму очков после n-кратного бросания
этого кубика. Найдите необходимые и достаточные условия
на распределение вероятностей, чтобы две случайные величи-
величины Sn mod 2 и Sn mod 3 были независимы друг от друга при
всех п.
36 На шести гранях некоторого кубика вместо обычных [•]»••• »[Щ
высечены следующие метки:
а Покажите, что можно так расставить очки на шести гра-
гранях второго кубика, чтобы сумма очков при бросании этих
двух кубиков имела бы то же самое распределение вероят-
вероятностей, что и при бросании пары обычных кубиков. (Счи-
(Считайте, что все 36 комбинаций граней равновероятны.)
b Обобщая предыдущий пункт, найдите все способы расста-
расстановки очков на 6п гранях п кубиков, такие, что распреде-
распределение суммы очков будет совпадать с распределением сум-
суммы очков у п обычных кубиков. (На каждой грани должно
быть целое положительное число очков.)
37 Пусть рп обозначает вероятность того, что правильную моне-
монету придется бросить ровно п раз, прежде чем два раза подряд
встретится решка, и пусть qn = ]Гк>пРк. Найдите замкнутое
выражение для рп и qn через числа Фибоначчи.
38 Чему равна производящая функция случайной величины для
числа бросаний правильного кубика, требуемых для выпада-
выпадания всех шести граней? Рассмотрите общий случай правиль-
правильного „кубика" с m гранями и дайте замкнутое выражение для
числа бросаний, требуемых для появления I из m граней. Че-
Чему равна вероятность, что потребуется ровно п бросаний?
39 Производящая функция Дирихле случайной величины
имеет вид
Таким образом, Р@) = 1. Пусть X —случайная величина с
рг(Х = п) = рп. Выразите Е(Х), V(X) и ЕAпХ) через P(z) и
ее производные.
40 Для биномиального распределения (8.57) та-й кумулянт кт
имеет вид nfm(p), где fm — многочлен степени т. (Например,
f 1 (р) = р и f2(p) = V~V2i поскольку математическое ожидание
и дисперсия равны пр и npq.)
а Найдите замкнутое выражение для коэффициента при рк
в fm(p).
b Докажите, что im[\) = Bm - 1)Bm/m + [m = 1], где Bm —
m-e число Бернулли.
470 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
41 Пусть случайная величина Хп равняется числу бросаний пра-
правильной монеты до появления в совокупности п решек. По-
Покажите, что EfX"^) = (-1)n(ln2 + H^n/2j — Нп). Используя
методы гл. 9, оцените это значение с абсолютной погрешно-
погрешностью О(п~3).
42 Один человек испытывает трудности с устройством на работу.
Если он является безработным утром любого дня, то с некото-
некоторой постоянной вероятностью ри (не зависящей от прошедших
событий) он нанимается на работу в течение дня; но если он
имеет работу в начале дня, то с постоянной вероятностью pf
его уволят к вечеру. Найдите среднее число вечеров, когда
его ожидает работа на следующий день в предположении, что
первоначально он принят на работу и что этот процесс про-
продолжается п дней. (Если, например, п = 1, то ответ равен
1 -Pf-)
43 Найдите замкнутое выражение для ПФСВ Gn(z) = Hi^oPM2^»
где рк)П есть вероятность того, что случайная перестановка п
объектов имеет ровно Тс циклов. Чему равны математическое
ожидание и стандартное отклонение числа циклов?
44 Атлетический клуб проводит среди своих членов турнир по
теннису с выбыванием. В турнире участвуют 2П игроков. В
первом круге игроки случайным образом разбиваются на па-
пары, так что любое разбиение равновероятно, и играется 2й
матчей. Победители переходят на следующий круг, где с по-
помощью такого же процесса выявляется 2п~2 победителей. И
так далее; в k-м круге играется 2п~к случайно выбираемых
матчей между 2п~к+] до сих пор не побежденными участни-
участниками. В n-м круге определяется чемпион. Хотя устроителям
турнира об этом неизвестно, все игроки в действительности
упорядочены по силе игры, так что xi играет лучше всех, хг —
лучше всех, кроме xi, ..., х^ играет хуже всех. Когда игрок
Xj играет с х^ и j < к, то с вероятностью р побеждает Xj и с ве-
вероятностью 1 — р побеждает Хк, причем результат их игры не Странные попа-
зависит от исходов других встреч. Мы считаем, что для всех лись игроки.
j и к имеется одна и та же вероятность р.
а С какой вероятностью игрок xi выиграет турнир?
b С какой вероятностью в n-м круге (финальной встрече)
будут участвовать два лучших игрока, х-\ и Х2?
с С какой вероятностью в k-м от конца круге B~^к~^-
финале) будут соревноваться 2к лучших игроков? (Преды-
(Предыдущие вопросы — это частные случаи к = 0 и к = 1.)
d Пусть N(n) обозначает число существенно различных ре-
результатов турнира; два турнира считаются по-существу со-
совпадающими, если в них все матчи играются между теми
же игроками и победители одни и те же. Докажите, что
N(n)=2nL
е С какой вероятностью xi выиграет турнир?
f Докажите, что если \ < р < 1, то вероятность выигрыша
8 УПРАЖНЕНИЯ 471
турнира игроком Xj строго больше, чем игроком Xj+i при
„Простые арифме-
арифметические прикидки
показывают, что
шерри всегда
имеет возраст,
по крайней мере,
три года. Если
же продолжить
расчеты, то мо-
может закружиться
голова"
— Обозрение
французских вин
(Ноябрь 1984)
А также для числа
спичек в пустой
коробке.
45 Настоящее шерри производят в Испании в строгом соответ-
соответствии с многостадийной системой, называемое „Солера" Для
простоты мы будем считать, что у винодела имеется всего три
бочки, Л, В и С. Каждый год третья часть вина из бочки С раз-
разливается в бутылки и замещается вином из В; затем бочку В
дополняют, переливая в нее третью часть вина из Л; наконец,
бочку Л доливают доверху новым вином. Пусть A(z), B(z) и
C(z) — пфсв, в которых коэффициентом при zn служит доля
вина выдержки п лет в соответствующей бочке сразу же после
переливаний.
а Пусть описанные операции выполняются с незапамятных
времен, так что мы достигли установившегося состояния,
в котором A(z), B(z) и C(z) одни и те же в начале каждого
года. Найдите замкнутое выражение для этих производя-
производящих функций.
b При тех же условиях найдите математическое ожидание и
стандартное отклонение возраста вина в каждой бочке. Ка-
Каков средний возраст вина, разливаемого в бутылки? Какая
доля вина имеет возраст ровно 25 лет?
с Теперь примите во внимание конечность времени. Пусть во
все три бочки в начале нулевого года залили новое вино.
Каким будет средний возраст вина, разливаемого в начале
года п?
46 Стефан Банах имел обыкновение носить с собой две коробки
спичек; в каждой из коробок первоначально находилось по
п спичек. Когда ему был нужен огонь, он выбирал одну из
коробок случайным образом, с вероятностью jt независимо от
предыдущего выбора. Взяв спичку, он клал коробку обратно в
карман (даже если в ней не оставалось ни одной спички — так
поступают все великие математики). Если выбранная коробка
оказывалась пустой, Ванах выбрасывал ее и доставал другую.
а Однажды он обнаружил, что и вторая коробка пуста. Ка-
Какова вероятность такого события? (При п = 1 это происхо-
происходит в половине случаев, а при п = 2 — с вероятностью 3/8.)
Для ответа на этот вопрос найдите замкнутое выражение
для производящей функции P(w,z) = Lm,uPm,nWmzn, где
1рШ}П есть вероятность, начав с m спичек в одной коробке
и п — в другой, получить обе пустые коробки, когда впер-
впервые выбирается пустая коробка. Затем найдите замкнутое
выражение для *рп,п-
b Обобщая ваш ответ в п. (а), найдите замкнутое выражение
для вероятности того, что в момент выбрасывания первой
пустой коробки в другой будет ровно к спичек.
с Найдите замкнутое выражение для среднего числа спичек
в этой другой коробке.
472 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
47 Несколько физиологов в сотрудничестве с несколькими физи-
физиками открыли недавно две разновидности микробов, для ко-
которых характерен очень странный способ размножения. Муж-
Мужской микроб, называемый дифагом, имеет на своей поверхно-
поверхности два рецептора; женский микроб, трифаг, имеет три реце-
рецептора:
дифаг:
трифаг:
рецептор: ?
Когда культуру дифагов и трифагов облучают пси-частицами,
то каждая частица поглощается ровно в одном рецепторе од-
одного из фагов; при этом все рецепторы равновероятны. Если
частица попадает в рецептор дифага, то этот дифаг превраща-
превращается в трифаг; если же частица попадает в рецептор трифага,
то трифаг делится на два дифага. Так, если в начале экспе-
эксперимента имеется один дифаг, то первая пси-частица вызовет
его превращение в трифаг, вторая частица разделит трифаг
на два дифага и третья частица превратит одного из дифа-
дифагов в трифаг. Четвертая частица попадет либо в дифаг, либо
в трифаг; в результате получается либо два трифага (с веро-
вероятностью |), либо три дифага (с вероятностью |). Найдите
замкнутое выражение для среднего числа дифагов, если мы
начали с одного дифага и облучили культуру п раз одиноч-
одиночными пси-частицами.
48 Пять человек стоят в вершинах пятиугольника и бросают друг
другу диски Фрисби (разновидность летающей тарелки).
\
У
Или, возможно,
они перебрасыва-
перебрасываются ракетами,
если этот пяти-
пятиугольник на самом
деле Пентагон.
У них имеется два диска, первоначально расположенные в со-
соседних вершинах, как показано на рисунке. В очередной отре-
отрезок времени каждый диск бросают либо влево, либо вправо с
одинаковой вероятностью. Этот процесс продолжается до тех
пор, пока в одного человека не бросят сразу два диска одновре-
одновременно, и в этом случае игра кончается. (Все броски не зависят
от предыдущих.)
а Найдите математическое ожидание и дисперсию числа пар
бросков.
b Найдите замкнутое выражение через числа Фибоначчи для
вероятности того, что игра продлится более 100 шагов.
8 УПРАЖНЕНИЯ 473
49 Люк Снегоход проводит зимний отпуск в своей горной хижи-
хижине. На передней веранде хижины стоит m пар ботинок, а на
задней веранде —п пар. Каждый раз, собираясь на прогул-
прогулку, Снегоход бросает (правильную) монету и решает, с ка-
какой веранды он отправится —с передней или задней. На вы-
выбранной веранде он надевает ботинки и выходит из дому.
Возвращается он к любой веранде с вероятностью 1/2 неза-
независимо от того, откуда он вышел, и оставляет ботинки на
этой веранде. Так, после первой прогулки на передней ве-
веранде будет т+ [—1,0,или+1] пар ботинок, а на задней —
п — [—1>0,или+1]. Если все ботинки соберутся на одной ве-
веранде, а Люк решит выйти на прогулку из другой, то он идет
без ботинок, обмораживает ноги и на этом его отпуск кон-
кончается. Считая, что он продолжает свои прогулки до такого
печального конца, обозначим через Рн(т,п) вероятность за-
завершения ровно N прогулок без обморожений, если сначала
на передней веранде было m пар, а на задней — п. Тогда, если
оба числа тип положительные, имеем
PN(m,n) = lpN_i(m-1,n+1) + ±PN-i(m,n)
поскольку первая прогулка является передне-задней, передне-
передней, задне-задней или задне-передней с вероятностью ^
в каждом случае, и еще остается N — 1 прогулок.
а Дополните рекуррентное соотношение для Рм (т, п), выпи-
выписав формулы для случаев т = 0 или п = 0. Используя это
соотношение, найдите уравнение, связывающее пфсв
b Продифференцируйте ваши уравнения и положите в них
z = 1, получая тем самым соотношения относительно ве-
величин g^nA). Решите полученные уравнения и найдите
среднее число прогулок до обморожения.
с Покажите, что для дт(П имеет место следующее замкнутое
выражение, если выполнить замену z = 1/cos2 0:
/ 1 \ _ sinBm+1H + sinBn +1)9
9m'nWeJ " sinBm
50 Рассмотрим функцию
H(z) = l + !^(z-3 )
Цель этого упражнения —доказать, что H(z) = k0
является производящей функцией случайной величины", и вы-
выяснить основные ее свойства.
474 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
а Положим A — zK/2(9 — zI/2 = ^к 0CkZk. Докажите, что
со = 3, ci = -14/3, с2 -37/27 и c3t i 3?k (?)O(f)k+3
при любом 1^0. Указание: воспользуйтесь тождеством
(9-zI/2 = 3A -ZI/2A + |z/A _Z))V2
и разложите последний множитель по степеням z/[\ — z).
b Используя п. (а) и упр. 5.81, покажите, что все коэффици-
коэффициенты функции H(z) положительны.
с Докажите следующее любопытное тождество:
9-H(z)
d Чему равны математическое ожидание и дисперсия Н?
51В государственной лотерее в Эльдорадо используется распре-
распределение выигрышей Н, описанное в предыдущей задаче. Ка-
Каждый лотерейный билет стоит один дублон, а выплата по это-
этому билету составляет к дублонов с вероятностью Нк- Ваши
шансы на выигрыш по каждому билету абсолютно не зависят
от выигрыша по другим билетам; иными словами, выигрыш
или проигрыш по одному билету не оказывает влияния на ве-
вероятность выигрыша по любому другому билету, который вы,
возможно, приобрели для участия в том же тираже.
а Допустим, вы начинаете играть в эту игру, имея один ду-
дублон. Если вы выигрываете к дублонов, то во второй раз
вы покупаете к билетов; затем вы берете весь выигрыш во
второй игре и целиком вкладываете его в третий тираж
и т. д. Если ни один из ваших билетов не выигрывает, то
вы разоряетесь и вынуждены прекратить игру. Докажите,
что пфсв вашей суммы денег после п кругов такой игры
дается выражением
Пусть gn —вероятность того, что вы впервые проигрывае-
проигрываете все деньги на п-й игре, G(z) = giz+g2Z2H . Докажите,
что GA) = 1. (Это означает, что, рано или поздно, вы все
равно проиграете с вероятностью 1, хотя до того вы може-
можете получить от игры немало удовольствия.) Чему равны
математическое ожидание и дисперсия G?
Сколько в среднем билетов вы купите, если продолжите
играть до полного разорения?
Чему равно среднее число игр до разорения, если в начале
у вас не один дублон, а два? Дублондубль.
8 УПРАЖНЕНИЯ 475
Конкурсные задачи
52 Покажите, что определецные в тексте медиана и мода слу-
случайных величин соответствуют в некотором разумном смы-
смысле медиане и моде последовательностей, если вероятностное
пространство конечно.
53 Докажите или опровергните: если X, Y и Z —случайные ве-
величины, обладающие тем свойством, что все три пары (X,Y),
(X, Z) и (Y, Z) независимы, то X + Y и Z независимы.
54 Уравнение (8.2о) показывает, что среднее значение VX равня-
равняется VX. Чему равняется дисперсия VX?
55 В обычной колоде игральных карт 52 карты, по четыре кар-
карты каждого из возможных значений {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,В,
Д, К}. Обозначим через X и Y значения, соответственно, верхней
и нижней карты в колоде и рассмотрим следующий алгоритм
тасования:
51 Перемешать колоду случайно, так чтобы любая переста-
перестановка появлялась с вероятностью 1/52!.
52 Если X ф Y, подбросить несимметричную монету с веро-
вероятностью р выпадания решки и, если выпадет решка, вер-
вернуться к шагу S1. В противном случае остановиться.
Все бросания монеты и все перемешивания колоды предпола-
предполагаются независимыми. При каком значении р после останов-
остановки описанной процедуры значения X и Y будут независимыми
случайными величинами?
56 Обобщите задачу о дисках Фрисби из упр. 48 на случай
m-угольника вместо пятиугольника. Чему равняется в общем
случае математическое ожидание и дисперсия числа бросаний
без коллизий, если первоначально диски находятся в соседних
вершинах? Докажите, что если m нечетно, то пфсв для числа
бросаний можно записать в виде произведения распределений
для бросания монеты:
GmM=
. 2 Bк-1)я 2 Bк-1)я
где рк = sin , qk = cosz .
2m 2m
Указание: попробуйте выполнить подстановку z = 1/cos2 0.
57 Докажите, что в игре Пенни последовательность ti T2 ... Ti_i ti
всегда уступает последовательности тгх^г .. . Т[_1, если 1^3
и монета правильная.
58 Существует ли последовательность А = т\Хг.. .Ti_iTi из
1^3 решек и орлов, такая, что обе последовательности
PtiT2 .. .Ti_i и 0tiT2 .. .Ti_i дают одинаковые результаты при
сравнении с А в игре Пенни?
476 ДИСКРЕТНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
59 Существуют ли последовательности Л и В из решек и орлов,
такие, что Л длиннее В, однако Л более чем в половине слу-
случаев встречается раньше В, если подбрасывать правильную
монету?
60 Пусть к и п — фиксированные положительные целые и к < п.
а Найдите замкнутое выражение для пфсв
1 тп тп
G(w,z) = — Т ¦¦¦ У wp(hl h-k>zp<h' h'^>,
тп А— z—
выражающей совместное распределение числа проб, тре-
требуемых для поиска k-го и п-го элементов, вставленных в
хеш-таблицу с m списками.
b Хотя случайные величины P(Hi,..., Нп; к) и P(Hi,..., Нп; п)
зависимы, покажите, что они в каком-то смысле независи-
независимы:
E(P(H1)...,Hn;k)P(H1>...>Hn;n))
= (EP(Hb...>Hn;k))(EP(H1>...>Hn;n)).
61 Используя результат предыдущего упражнения, докажите
(8.Ю4).
62 Продолжая упр. 47, найдите дисперсию числа дифагов после
облучения п частицами.
Исследовательская проблема
63 Нормальное распределение — это недискретное распределе-
распределение вероятностей, характеризуемое тем свойством, что все
его кумулянты равны нулю, за исключением математиче-
математического ожидания и дисперсии. Имеется ли простой способ,
позволяющий по заданной последовательности кумулянтов
(ki , К2, кз,...) узнать, не происходит ли эта последователь-
последовательность из дискретного распределения? (Все вероятности в дис-
дискретном распределении должны быть „атомарными*!)
9
Асимптотика
ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ, если их удается получить,—это замеча-
замечательно: окончательный ответ вызывает чувство глубокого удо-
удовлетворения. Но и приближенное значение иногда оказывается в
цене. Если нас интересует какая-либо сумма или рекуррентная
последовательность, не представимая (насколько мы можем су-
судить) в замкнутом виде, то мы бы предпочли все же получить
какую-нибудь информацию о ее поведении; принцип —все или
ничего — в данном случае совсем неуместен. Даже если мы рас-
располагаем ответом в замкнутом виде, наши знания все же могут
быть неполными, поскольку не всегда ясно, как сравнить наш
ответ с другими формулами.
Так, вероятно, не существует замкнутого выражения для сум-
суммы
к=0
Приятно, однако, узнать, что
Sn ~ 2( 1 при п —> со;
мы говорим, что сумма имеет „асимптотику" 2C^). Еще приятнее
получить более детальную информацию, наподобие формулы
дающей „относительную ошибку порядка 1/п2" Но даже этого не-
недостаточно, чтобы сказать, как велико Sn в сравнении с другими
величинами. Что больше, Sn или число Фибоначчи F4n? Ответ:
имеем S2 = 22 > Fs =21 при п = 2; но в конце концов F4n ста-
становится больше, поскольку ?4п ~ ф4п/\/5 и ф4 « 6.8541, тогда
как
Наша цель в этой главе — научиться понимать и получать подоб-
подобные результаты без чрезмерных усилий.
478 АСИМПТОТИКА
Слово асимптотика имеет греческое происхождение и бу-
буквально означает „никогда не соединяющиеся" Изучая кониче-
конические сечения, древнегреческие математики рассматривали,
в частности, гиперболы, такие, как график функции у = л/1 + х2,
имеющий прямые у = х и у = — х своими „асимптотами*! При
х -4 оо кривая приближается к асимптотам, но никогда не сопри-
соприкасается с ними. В наши дни слово „асимптотика" используется
в более широком смысле для обозначения любой приближенной
величины, которая становится все более точной по мере прибли-
приближения некоторого параметра к предельному значению. Для нас
„асимптотика" означает „почти соединяющиеся".
Вывод некоторых асимптотических формул очень сложен и
не укладывается в рамки этой книги. Мы удовлетворимся вве-
введением в предмет, полагая, что на этом базисе можно будет по-
построить более сложные методы. В особенности нас будут интере-
интересовать определения символов *~\ 'О' и им подобных; мы также
изучим основные способы преобразования асимптотических соот-
соотношений.
Того же проис-
происхождения еще
несколько слов, на-
например, 'симптом'
и 'птомаин'.
9.1 ИЕРАРХИЯ
Встречающиеся на практике функции от п имеют различ-
различную „асимптотическую скорость роста"; некоторые функции стре-
стремятся к бесконечности быстрее других. Мы формализуем это по-
понятие с помощью определения
f(n) -< g(n)
= 0.
(9-3)
n->oo g(n)
Введенное отношение транзитивно: если f(n) -< g(n) и g(n) -<
h{n), то f(n) -< h(n). Можно также писать g(n) >- f(n), если
ffa) -< 9(п)- Эти обозначения ввел в 1871 г. Поль Дюбуа-Рай-
мон [113].
Например, п -< п2; неформально мы говорим, что п растет
медленнее, чем п2. В действительности
а
C
(94)
для произвольных вещественных а и C.
Разумеется, существует много функций, помимо степеней п.
Отношение -< можно использовать, чтобы расставить множество
Бее функции,
большие и малень-
маленькие.
9.1 ИЕРАРХИЯ 479
функций по порядку; одна функция будет „клевать" другую в
соответствии со своим асимптотическим ростом. В этой цепочке
встретятся, например, такие члены:
1 -< loglogn -< logn •< ne -< nc -< nlogn -< cn -< nn -< ccU.
(Здесь е и с —произвольные константы, удовлетворяющие усло-
условию 0 < е < 1 < с.)
Все перечисленные выше функции, за исключением 1, стре-
стремятся к бесконечности при п, стремящемся к бесконечности. Та-
Таким образом, пытаясь вставить в эту иерархию новую функцию,
мы не будем стараться определить, стремится ли она к беско-
бесконечности; вместо этого нас будет интересовать, как быстро она
стремится.
Занимаясь асимптотическим анализом, не следует мелочить-
мелочиться: представляя себе переменную, которая стремится к бесконеч-
бесконечности, надо думать о главном. Так, например, из приведенной
выше иерархии получаем logn -< п00001; это может показаться
неверным, если мы ограничимся совсем малюсенькими числами
вроде одного гугола, п = 10100. Действительно, в этом случае
logn = 100, тогда как п00001 есть всего лишь 10°°1 « 1.0233. Но
если подняться до числа гуголплекс, п = 1010 , то logn = 10100
бледнеет в сравнении с п00001 = Ю10'6.
Даже если е чрезвычайно мало (меньше, скажем, 1/1010 ),
величина logn будет значительно меньше, чем пе, если только
п достаточно велико. Действительно, если положить п = 1010 ,
где к выбрано так, чтобы е ^ 10~к, то будем иметь logn = 102к,
но пе ^ 1010 . Таким образом, отношение (log n)/ne стремится к
нулю при п —> со.
Рассмотренная выше иерархия касается функций, стремящих-
стремящихся к бесконечности. Нередко, однако, нас интересуют функции,
стремящиеся к нулю, так что было бы неплохо иметь аналогич-
Логиерархию? ную иерархию и для таких функций. Мы построим ее, перейдя к
обратным величинам, ибо если f (n) и д(п) никогда не обращают-
обращаются в нуль, то
f(nMg(n) «=, _L_^_L_. (9.5)
Так, все следующие функции (за исключением 1) стремятся к
нулю:
_L _L _L 1 J_ J_ _L i
ccU * nn ^ с11 ~* п1обп ^ rU ^ rU ^ logn ^ loglogn ^
Рассмотрим еще несколько функций и попробуем вставить их
в иерархию. Число п(п) простых чисел, не превосходящих п,
как известно, равно приблизительно n/lnn. Поскольку 1/пе -<
1/1пп -< 1, умножение на п дает
п1~е -< п(п) -< п.
480 АСИМПТОТИКА
Соотношение (9.4) можно обобщить. Например,
nai(logn)a2(loglogn)a3 •< n
(ai,a2)a3) < (|3Ь|32, C3). (9.6)
Здесь '(<хъа2>аз) < (Ci, (З2, Эз)' означает лексикографический
порядок (порядок слов в словарях); иначе говоря, это неравен-
неравенство означает, что ai < Ci или ai = Ci и а2 < (З2 или же ai = (З1
и а2 = |32 и аз < Рз-
А как обстоят дела с функцией ev logn; где ее место в ие-
иерархии? Ответ на подобные вопросы можно получить с помощью
правила
еПп) ^ eg(n) ^ Um (f (n) _ д(п)) = _OQ y (д7)
которое в два шага получается из определения (9.3) путем лога-
логарифмирования. Следовательно,
1 -< f(n) -< g(n) => eif(n)i -< е|9(п)|.
А поскольку 1 -< log logn -< >/logn -< elogn, получаем logn -<
Если две функции f (n) и д(п) имеют одгш u mom otce порядок
роста, мы будем писать (f(n) x gfn)'. „Официальное" определение
таково:
f(n)xg(n) <^Ф |f(n)| ^ C|g(n)| и |g(n)| ^ C|f(n)|,
для некоторого С и всех достаточно больших п. (д.8)
Это имеет место, если, например, f(n)—константа, а д(п) =
cosu + arctgn. Мы вскоре докажем справедливость этого соот-
соотношения во всех случаях, когда f (п) и д (п) — многочлены одина-
одинаковых степеней. Существует и более сильное отношение, опреде-
определяемое правилом
f(n) ~ g(n) <^ lim !?4 = 1 • (9-9)
п->оо д(п)
В таких случаях будем говорить, что „f (n) есть асимптотика для
д(п)'!
Г. X. Харди [333] ввел интересное и важное понятие — класс
логарифмически-экспоненциальных функций, определяемый
рекурсивно как наименьшее семейство ? функций, удовлетворя-
удовлетворяющее следующим условиям:
• Постоянная функция f (n) = а лежит в ? для всех веществен-
вещественных а.
• Тождественная функция f (n) = n лежит в ?.
• Если f (п) и д(п) из ?, то и f(n) — д(п) лежит в ?.
• Если f(n) из ?, то ef(n) лежит в ?.
9.2 СИМВОЛ О 481
• Если функция f (п) из ? является „по-существу положитель-
положительной", то lnf(n) лежит в ?.
Функция f (п) называется „по-существу положительной*! если су-
существует число по, такое, что f (п) > 0 для всех n ^ По-
Используя эти правила, можно, например, показать, что
f (п) + д(п) лежит в ?, если f (п) и д(п) находятся там же. Дей-
Действительно, f(n) 4- g(n) = f(n) - @ - g(n)). Если f(n) и g(n)
по-существу положительные элементы ?, то их произведение
f(n)g(n) = elnf(n)+h^(n) и частное f(n)/g(n) = elnf(n)~ln9(n)
также лежат в ?; то же верно для функций вроде y/f[n) =
eIinf(n) и т д Харди доказал, что всякая логарифмически-
экспоненциальная функция является по-существу положитель-
положительной, по-существу отрицательной или тождественно равна нулю.
Следовательно, произведение и частное любых двух ?-функций
лежат в ?, за исключением случая деления на тождественно
нулевую функцию.
Главная теорема Харди о логарифмически-экспоненциальных
функциях заключается в том, что эти функции образуют асим-
асимптотическую иерархию: если f(п) и g(n) —любые функции из ?,
то либо f(n) -< g(n), либо f(n) у g(n), либо f(n) x g(n). В по-
последнем случае найдется константа а, такая, что
f(n) ~ ag(n).
Доказательство теоремы Харди выходит за рамки этой книги; но
полезно просто знать о существовании этой теоремы, поскольку
почти все функции, с которыми нам придется встретиться, лежат
в ?. На практике мы в большинстве случаев сможем без особого
труда вставить данную функцию в данную иерархию.
„... wenn wir
durch das Zeichen
0(n) erne Grosse
ausdru'cken, deren
Ordnung in Bezug
auf n die Ordnung
von n nicht
iiberschreitet; ob sie
wirklich Glieder von
der Ordnung n in
sich enthalt, bleibt
bei dem bisherigen
Schlussverfahren
dahingestellt!'
-П.Бахман[15]
9.2 СИМВОЛ О
В 1894 г. Пауль Бахман придумал замечательное обозна-
обозначение для асимптотического анализа. В последующие годы его
популярности способствовали Эдмунд Ландау и др. Мы встреча-
встречаем это обозначение в формулах наподобие
Нп = 1пп+у + 0A/п), (9-10)
которая говорит нам, что п-е гармоническое число равно нату-
натуральному логарифму п плюс константа Эйлера плюс некоторая
величина, которая составляет „О большое от 1 на п" Эта послед-
последняя величина точно не определена, однако, какой бы она ни была,
обозначение 'О' позволяет утверждать, что она не превосходит
константу, умноженную на \/п.
Красота символа 'О7 в том, что он скрывает несущественные
детали и позволяет сконцентрироваться на главных особенностях
поведения: величину 0A/п) можно считать пренебрежимо ма-
малой, если только нас не интересуют величины, отличающиеся
от 1 /п лишь постоянным множителем.
482 АСИМПТОТИКА
Более того, символ 'О' удобно использовать внутри формул.
Если мы захотим выразить соотношение (g-ю) с использованием
обозначений, введенных в разд. 9.1, то нам придется перенести
11пп + У в левую часть и сформулировать результат в более сла-
слабой форме, например,
Hn -Inn-у -<
log log n
n
или же в сильной форме:
Символ 'О' позволяет нам указывать нужное количество деталей
на месте, без перестановки членов.
Можно пояснить идею не полностью определенной величины,
рассмотрев некоторые другие примеры. Мы иногда пишем '±1*
для обозначения чего-то, что есть +1 или —1; мы не знаем (или
нам не важно), чему именно равна величина, тем не менее мы
можем манипулировать ею в формулах.
Н.Г. де Брейн начал свою книгу Асимптотические методы в
анализе [97] с рассмотрения обозначения „Эль большое", которое
помогает понять смысл „О большого". Если мы запишем LE) для
обозначения числа, чья абсолютная величина меньше 5 (не гово-
говоря, однако, что это за число), то мы сможем выполнять кое-какие
вычисления, даже не зная всей правды. Так, можно вывести не-
некоторые формулы, например, 1 + LE) = LF); LB) + LC) = LE);
LB)LC) = LF); eL^5^ = L(e5) и т.д. Однако отсюда нельзя заклю-
заключить, что LE) — LC) = LB), поскольку левая часть может, напри-
например, равняться 4—0. Фактически, лучшее, что можно утверждать,
этоЦ5)-ЦЗ)=Ц8).
Обозначение „О большое" Бахмана аналогично обозначению „L
большое", но оно еще менее определенно: О (а) обозначает число,
абсолютная величина которого не превосходит константу, умно-
умноженную на |сх|. Мы не говорим, что это за число и даже не го-
говорим, что это за константа. Разумеется, понятие „константы"
бессмысленно, если нет чего-либо меняющегося; поэтому мы ис-
используем символ 'О' только в тех случаях, когда имеется хотя
бы одна величина (скажем, п), значение которой меняется. Тогда
формула
f(n) = О(д(п)) для всех п
означает, что существует такая константа С, что
|f(n)| ^ С|д(п)| для всех п;
(9-11)
(9-12)
а если обозначение О(д(п)) использовано внутри формулы, то
оно означает функцию f(n), удовлетворяющую (9.12). Значения
функции f (п) неизвестны, однако мы все же знаем, что они не
слишком велики. Аналогично, введенная ранее функция L(n)
Оно не бессмы-
бессмысленно, оно не
нужно.
9.2 СИМВОЛ О 483
Л вот и
маленький список,
маленький список,
Противных
терминов и деталей:
Их можно бы
похоронить,
Но никогда
нельзя забыть —
Их никогда
нельзя забыть.
представляет собой неопределенную функцию f (п), значения ко-
которой удовлетворяют неравенству |f(n)| < |п|. Главное различие
между L и О в том, что символ 'О' включает неопределенную
константу С; каждое вхождение О может подразумевать различ-
различные С, но каждая из этих констант не зависит от п.
Так, например, мы знаем, что сумма первых п квадратов рав-
равна
?п = ^n(n+^)(n+i) = 1тг3 -Ь In2 + ^тг.
Мы можем записать
?н = О(тг3),
поскольку |1п3 + \п2 + \п\ ^ 1|п|3 + 1|п|2 + \\п\ ^ \\пъ\ + 1|п3| +
1|п3| = |п3| для всех целых п. Аналогично, можно получить более
точную формулу
?п = 1П3 + О(п2);
можно также небрежно отбросить часть информации и записать
Определение О отнюдь не заставляет нас давать наилучшую
оценку.
Но минуточку. Что, если переменная п —не целочисленная?
Как быть с формулой вроде S(x) = \хъ + \х2 + ^х, где х —ве-
—вещественное число? Здесь уже нельзя сказать, что S(x) = О(х3),
поскольку отношение S(x)/x3 = \ + \х~^ + \х~2 неограниченно
растет при х —» 0. Нельзя также сказать, что S(x) = О(х), по-
поскольку отношение S(x)/x = \х2 + \х + \ неограниченно растет,
когда х стремится к со. Так что мы, судя по всему, вовсе не можем
использовать символ СО' для оценки S(x).
Эта дилемма разрешается благодаря тому, что на переменные,
используемые с О, обычно накладываются какие-либо ограниче-
ограничения. Если, например, мы поставим условие, что |х| ^ 1, или что
х ^ е, где е — произвольная положительная константа, или что
х —целое число, то мы сможем записать S(x) = О(х3). Если же
наложено условие |х| ^ 1 или |х| ^ с, где с — произвольная поло-
положительная константа, то в этом случае S(x) = О(х). „О большое"
зависит от контекста, от ограничений на используемые перемен-
переменные.
Эти ограничения часто задаются в виде предельных соотно-
соотношений. Например, мы могли бы сказать, что
f(n) = O(g(n)) при п —> со.
(9-13)
Такая запись означает, что условия, накладываемые обозначени-
обозначением О, предполагаются выполненными, когда п „близко" к со; нас
не волнует, что происходит при не слишком больших п. Более
484 АСИМПТОТИКА
того, мы даже не определяем точно, что означает „близко"; в та-
такой ситуации каждое вхождение О подразумевает существование
двух констант С и по, таких, что
)• (9-Ч)
|f(n)| ^ C|g(n)| при всех n
Значения Сипо могут быть разными для разных О, но они не
зависят от п. Аналогично, запись
f(x) = O(g(x)) прих->0
означает, что существуют две константы Сие, такие, что
|f(*)| ^ C|g(x)|, если только |х| ^ е. (9.15)
Предельное значение не обязательно равно оо или 0; справедлива
запись
lnz = z- 1 +O((z- 1J) npnz-> 1,
поскольку, как можно доказать, |lnz — z + 1| ^ \ъ — 1|2, если
|z-1|^.
Мы постепенно, на протяжении нескольких страниц, развили
наше определение О, начав со вполне очевидных вещей, и полу-
получили в итоге нечто, представляющееся ужасно сложным; теперь
у нас О представляет неопределенную функцию и одну или две
неопределенные константы, зависящие от контекста. Все это мо-
может показаться слишком сложным для сколько-нибудь разумного
обозначения, но это еще не все! Еще одна тонкость пока ускольз-
ускользнула от нашего внимания. А именно, следует осознавать, что за-
запись
Ты изумительная
девушка,
Позволь мне быть
твоим рыцарем;
Я люблю тебя как
единица на х,
Когда х стремится
к нулю.
Сверху
вполне корректна, но в этом равенстве ни в коем случае нельзя
менять местами правую и левую части. В противном случае мы
можем прийти к нелепым выводам, наподобие п = п2, исходя из
верных тождеств п = О(п2) и п2 = О(п2). Работая с символом 'О'
и другими формулами, включающими не полностью определен-
определенные величины, мы имеем дело с односторонними равенствами.
Правая часть уравнения содержит не больше информации, чем
левая, и фактически может содержать меньше информации; пра-
правая часть является „огрублением" левой.
Если говорить строго формально, то запись O(g(n)) обозна-
обозначает не какую-то одну функцию f(n), а сразу все множество
функций f(n), таких, что |f(n)j ^ C|g(n)| для некоторой кон-
константы С. Обычная формула g(n), не включающая символа О,
обозначает множество, содержащее одну функцию f(n) = g(n).
Если S и Т суть множества функций от п, то запись S + Т обо-
обозначает множество всех функций вида f(n) + g(n), где f(n) 6 S
и g(n) 6 Т; другие обозначения вроде S — Т, ST, S/T, л/S, es,
lnS определяются аналогично. Тогда „равенство" между двумя
t)And to auoide the
tediouse repetition
of these woordes:
is equalle to: I will
sette as I doe often
in woorke use, a
pake of paralleles,
or Gemowe lines of
one lengthe, thus:
=====, bicause
noe .2. thynges, can
be moare equalle"
-P. Рекорд [257]
9.2 СИМВОЛ О
„Очевидно, что
знак = не под-
подходит для та-
таких отношений,
поскольку он
подразумевает
симметрию, ко-
которой на самом
деле нет. ... Од-
Однако после такого
предупреждения
использование
знака = не при-
принесет большого
вреда, и мы будем
его использовать
потому лишь, что
это принято"
-Н.Г.деБрейн[97]
такими множествами функций есть, строго говоря, теоретико-
множественное включение; знак *=' в действительности озна-
означает СС\ Эти формальные определения подводят под все наши
манипуляции с О твердую логическую основу.
Так, „уравнение"
1п3 + О(п2) = О(п3)
означает, что Si С S2, где Si есть множество всех функций ви-
вида ^п3 + fi(n), для которых найдется константа Ci, такая, что
|fi(n)| ^ Ci|n2|, a S2 есть множество всех функций f2(n), для
которых найдется константа d, такая, что |f2(n)| ^ С2|п3|. Мы
можем строго доказать это „равенство", если возьмем произволь-
произвольный элемент из левой части и покажем, что он принадлежит
правой части: пусть ^п3 + fi(n) таково, что |fi(n)| ^ Ci|n2|,
нам следует доказать, что существует такая константа С2, что
||п3 + fi(n)| ^ С2|п3|. Константа Сг = \ + Ci решает проблему,
поскольку п2 ^ |п3| для всех целых п.
Но если '=' в действительности означает 'С', то почему бы
helm не писать явно 'С' вместо превратного использования знака
равенства? Тому есть четыре причины.
Во-первых, традиция. Начали использовать символ О со зна-
знаком равенства теоретико-числовики, и эта практика получила
распространение. Мы давно убедились, что пытаться изменить
привычки математического сообщества — дело безнадежное.
Во-вторых, традиция. Программисты вполне привыкли ви-
видеть знак равенства не на месте — многие годы в программах на
Фортране и Бейсике мы писали присваивания вида (N = N + 1 \
Одной неправильной трактовкой больше, одной меньше — какая
разница!
В-третьих, традиция. Мы часто произносим знак '=' словом
'есть'. Например, формулу Hn = O(logn) можно произнести как
„Аш энное есть О большое от лог эй*! Но слово 'есть' несимметрич-
несимметрично. Мы говорим, что птицы есть животные, но не можем сказать,
что животные есть птицы; „животное" — это огрубление понятия
„птица"
И, в-четвертых, для наших целей такое обозначение весьма
естественно. Если мы ограничимся лишь ситуациями, где символ
О целиком занимает правую часть формулы —как в аппрокси-
аппроксимации гармонических чисел, Hn = O(logn), или в оценке вре-
времени работы алгоритма сортировки, Т(п) = О(nlogп),—то не-
неважно, какой знак используется, *=' или какой-либо еще. Однако
если символ О использовать внутри выражений, как мы часто
делаем в асимптотическом анализе, то нашей интуиции отвечает
трактовка знака с=* как равенства, а величины вроде 0A/п) как
чего-то очень маленького.
Поэтому мы и дальше будем использовать '=' и будем счи-
считать О(д(п)) не полностью определенной функцией, имея в ви-
486 АСИМПТОТИКА
ду, что в случае необходимости мы всегда сможем вернуться к
теоретико-множественным определениям.
Всесторонне рассматривая определение, мы обязаны отметить
еще одну техническую деталь. Если в формуле используется не-
несколько переменных, то символ О представляет множество функ-
функций от двух или более переменных, а не только от одной. В
область определения каждой функции входят все переменные,
которые в данном контексте „свободны" для изменения.
Тут есть некоторая тонкость ввиду того, что переменные мо-
могут иметь смысл лишь в части выражения, если они связаны зна-
знаком YL или подобным. Посмотрим внимательно, например, на со-
соотношение
(к2 + О(к)) = In3 + О(п2), целое п ? 0.
(g.i6)
к=0
Выражение к2 + О (к) в левой части отвечает множеству всех
функций от двух переменных вида k2 + f (к, п), для которых най-
найдется константа С, такая, что |f(k,n)| ^ Ck для 0 ^ к ^ п.
Сумма таких множеств функций для 0 ^ k ^ n есть множество
всех функций д(п) вида
k=0
= 1п3 + In2 + ?n + f@,n) +fA,n) + • • • + f(n,n),
где f удовлетворяет сформулированному условию. Поскольку
|1п2 + \п + f @,п) + f A ,п) + • • • + f (п,п)|
^ jn2 + ln2 + C-0 + C-] +--- + С-П
< п2 + С(п2+п)/2 < (С + 1)п2,
то все такие функции д(п) принадлежат правой части (g.i6);
следовательно, (g.i6) справедливо.
Иногда О-обозначения понимают неправильно, считая, что 'О'
дает точный порядок роста; символ О используется так, как буд-
то он определяет наряду с верхней границей также нижнюю. Так,
можно услышать, что некий алгоритм сортировки п чисел неэф-
неэффективен, „поскольку его время работы составляет О(п2)" Одна-
Однако время работы О(п2) вовсе не означает, что это время не есть
также О(п). Для указания нижней границы имеется другое обо-
обозначение — „большая Омега":
f(n) = Q(g(n)) <=^ |f(n)| ?C|g(n)|
для некоторого С > 0. (д. 17)
Мы имеем f(n) = fl(g(n)) тогда и только тогда, когда g(n) =
O(f(n)). При достаточно больших п алгоритм сортировки с вре-
временем работы fl(n2) неэффективен в сравнении с алгоритмом,
время работы которого есть O(nlogn).
(Теперь самое
время сделать
разминочные
упражнения 3 и 4.)
9.2 СИМВОЛ О 487
О. и G —заглав-
—заглавные греческие
буквы, но тогда и
символ О должен
быть заглавной
греческой буквой
Омикрон.
Как-никак, именно
греки придумали
асимптотику.
f (n) = в(д(п))
*|g(n)|
И, наконец, символ „большая Тета" указывает точный порядок
роста:
f(n) = O(g(n)) ,
и f(n) = Q(g(n)). (9'l8)
Мы будем иметь f(n) = B(g(n)) тогда и только тогда, когда
f (п) х g(n) в обозначениях, введенных ранее, в (9-8).
Эдмунд Ландау [180] изобрел символ „о малое",
f(n) = o(g(n))
для всех п ^ по(е) и , >
: константы е > 0.vy' y;
g(n) из (9.3). Имеем
f(n) - д(п) 4=> f(n) = g(n) + o(g(n)) . (9.20)
Многие авторы используют в асимптотических формулах 'о',
однако почти всегда предпочтительнее более явное выражение
с 'О'. Например, среднее время работы алгоритма, называемо-
называемого „сортировка методом пузырька", зависит от асимптотическо-
асимптотического значения суммы Р(п) = Лк=о^п~1с^с'/П'# Элементарные мето-
методы асимптотического анализа позволяют доказать тот факт, что
?{п) ~ у/тт/2] это означает, что отношение Р(п)Д/7пг/2 стре-
стремится к 1 при п —> со. Однако для того, чтобы лучше понять
поведение ?{п), следует рассмотреть не отношение, а разность
Это есть, по-существу, отношение f(n)
также
п
1
10
20
30
40
50
Р(п)А/тпг/2
0.798
0.878
0.904
0.918
0.927
0.934
Р(п) - V^V2
-0.253
-0.484
-0.538
-0.561
-0.575
-0.585
Значения в среднем столбце не очень убедительны; это едва
ли может считаться аргументом в пользу быстрой сходимости
Р(п)Д/7Гп/2 к 1, да и есть ли вообще сходимость? Однако пра-
правый столбец показывает, что значение Р[п) действительно весьма
близко к y/7xn/2. Таким образом, мы гораздо лучше охарактери-
охарактеризуем поведение ?{п), если сможем вывести формулы наподобие
?(П) = Д/7ГП/2+О0)
или даже более точную оценку вида
Р(п) =
488 АСИМПТОТИКА
Для доказательства результатов с О требуются более сильные ме-
методы асимптотического анализа, однако дополнительные усилия,
потраченные на изучение этих методов, многократно окупаются
лучшим пониманием асимптотики, которое дают О-оценки.
Более того, время работы многих алгоритмов сортировки име-
имеет вид
Т(п) = Anlgn + Bn + O(logn)
для некоторых констант Л и В. Если наш анализ останавливает-
останавливается на оценке T(n) ~ Anlgn, то мы узнаем далеко не все; выбор
алгоритма сортировки на основе только значения Л оказывается
плохой стратегией. Хорошее СЛ' в алгоритмах часто достигает-
достигается ценой ухудшения 'В'. Поскольку nlgn растет лишь немного
быстрее п, алгоритм, более быстрый асимптотически (т. е. с не-
несколько меньшим значением Л) может оказаться быстрее лишь
для таких значений п, которые никогда не встретятся на прак-
практике. Таким образом, чтобы сделать правильный выбор, нам не-
необходим метод асимптотического анализа, позволяющий пойти
дальше первого члена и оценить В.
Прежде чем продолжить изучение О большого, поговорим не-
немного об одном маленьком элементе математического стиля. В
этой главе используется три различных обозначения логарифма:
lg, In и log. В связи с компьютерными методами мы часто исполь-
используем (lg', поскольку в таких случаях двоичный логарифм ока-
оказывается наиболее подходящим; в чистой математике часто ис-
используется Чп', поскольку формулы с натуральным логарифмом
просты и изящны. Но что такое 'log'? Неужели это „обычный** де-
десятичный логарифм, изучаемый в старших классах — „обычный"
логарифм, который оказывается очень необычным как для ма-
математики, так и для информатики? Да, это так; вместе с тем,
многие математики вносят путаницу в этот вопрос, используя
'log' для натурального или двоичного логарифма. Здесь нет еди-
единого соглашения, однако можно вздохнуть с облегчением, если
логарифм встречается внутри О-обозначения, поскольку для О
несущественны мультипликативные константы. При п —> со ме-
между O(lgn), О (Inn) и O(logn) нет никакой разницы; аналогично,
нет разницы между O(lglgn), О (In Inn) и О (log log n). Мы можем
выбрать, что нам больше нравится; вариант 'log' представляется
привлекательным, поскольку его удобнее произносить. Поэтому
мы, как правило, будем использовать 'log' во всех тех случаях,
когда это способствует благозвучию, не приводя к двусмыслен-
двусмысленности.
Заметьте, что
log log log n
яеопределеядля
n? 10.
9.3 ОПЕРАЦИИ С О
Как и для любого математического формализма, в слу-
случае О-обозначений имеются правила оперирования с ними, осво-
освобождающие нас от обращения к громоздкому определению. До-
Доказав один раз, с использованием определения, справедливость
9.3 ОПЕРАЦИИ С О 489
Открою вам се-
секрет, как стать
занудой,— говорите
обо всем.
—Вольтер
(Замечание. Фор-
Формула O(f(n)J
обозначает не
множество всех
функций g(nJ,
где g(n) лежит
в O(f(n)); такие
функции g(nJ не
могут принимать
отрицательных
значений, тогда
как множество
O(f(n)J содер-
содержит отрицатель-
отрицательные функции. В
общем случае, если
S —множество,
то S2 обозначает
множество всех
произведений
SiS2, ГДе S] И S2
лежат в S, а не
множество всех
квадратов s2 для
этих правил, мы можем в дальнейшем подняться на более высо-
высокий уровень и забыть о проверке включения одного множества
функций в другое. Нам даже не придется вычислять константы
С, подразумеваемые каждым О, поскольку мы будем применять
правила, гарантирующие существование таких констант.
Например, мы можем доказать раз и навсегда, что
nm = O(n
т
(9-2i)
0(f(n)) + O(g(n)) = 0(|f(n)| + |g(n)|) . (9.22)
Тогда мы сможем сразу сказать, что ^п3 + \п2 + \п = О(п3) +
О(п3) + О(п3) = О(п3), без трудоемких вычислений из предыду-
предыдущего раздела.
Вот еще несколько правил, с легкостью получаемых из опре-
определений:
(9-23)
(9-24)
если с — константа;
f(n) = O(f(n));
cO(f(n)) = O(f(n)),
O(O(f(n))) =O(f(n)); (9.25)
O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n)) ; (9.26)
O(f(n)g(n)) =f(n)O(g(n)). (9.27)
В упр. 9 доказывается (9.22); доказательства остальных правил
аналогичны. Можно всегда заменять что-либо, имеющее вид од-
одной из левых частей на то, что записано справа, безотносительно
к ограничениям на переменную п.
Соотношения (9-27) и (9.23) позволяют доказать тождество
O(f(nJ) = O(f(n)J. Это свойство позволяет иногда сэкономить
скобки, поскольку мы теперь можем писать
O(lognJ вместо O((lognJ).
Оба этих варианта предпочтительнее записи fO(log2n)\ кото-
которая двусмысленна из-за того, что некоторые авторы используют
(O(log2n)' для обозначения 'O(loglognI.
А можно ли также писать
O(logn)~1 вместо O((logn))?
Нет! Это некорректно, поскольку множество функций 1/O(logn)
не является ни подмножеством, ни „надмножеством" для
OA/logn). Правильно будет заменять O((logn)~1) HaQ(logn),
но это выглядит нелепо. Так что мы будем использовать „возведе-
„возведение О в степень" только в тех случаях, когда показатель степени
является целой положительной константой.
Степенные ряды дают нам одну из самых полезных операций.
Если сумма
490 АСИМПТОТИКА
сходится абсолютно для некоторого комплексного числа z =
то
S(z) = 0A) для всех |z| ^ |zo|.
Это очевидно, поскольку
\n = С
со.
В частности, S(z) = 0A) при z-^Ои SA/n) = 0A) при п —> со
при том только условии, что S(z) сходится хотя бы для одного не-
ненулевого значения z. Мы можем использовать этот принцип для
того, чтобы, отбросив хвост степенного ряда, начиная с любого
удобного места, оценить этот хвост через О. Так, например, не
только S(z) = 0A), но и
S(z) =
S(z) =
O(z)
и т. д., поскольку
S(z) =
а последняя сумма, как и сама S(z), абсолютно сходится при
z = zo и есть 0A). В табл.491 приведены самые полезные асим-
асимптотические формулы, половина из которых получена просто пу-
путем отбрасывания членов степенного ряда в соответствии с этим
правилом.
Аналогичным образом можно укорачивать ряды Дирихле,
представляющие собой суммы вида Y-\&-\ akAz: если ряд Дири-
Дирихле сходится абсолютно для некоторого z = zo, то мы можем
отбросить его хвост, начиная с любого члена, и получим аппрок-
аппроксимацию
справедливую для 9lz ^ 9lzo. В табл. 491 этот принцип иллюстри-
иллюстрируется асимптотической формулой для чисел Бернулли Вп.
С другой стороны, асимптотические формулы для Нп, п! и
п(п) в табл. 491 не являются начальными отрезками сходящихся
рядов; если неограниченно продолжить эти формулы, то полу-
полученные ряды будут расходиться при всех п. Особенно легко про-
просматривается это в случае я(п), поскольку, как мы уже видели
в разд. 7.3, пример 5, степенной ряд Hk>o^'/^nn)k ВСЮАУ Рас~
ходится. И тем не менее эти отрезки расходящихся рядов дают
полезные аппроксимации.
Говорят, что асимптотическая аппроксимация имеет абсо-
абсолютную погрешность O(g(n)), если она имеет вид f(n) +
O(g(Ti)), где f(n) не включает О. Аппроксимация вида
Напомним, что
9\ означает
„вещественную
часть"
9.3 ОПЕРАЦИИ С О 491
Таблица 491 Асимптотические аппроксимации, справедливые
при п —> со и z —> 0.
1 1
1
In 12n2 120п4
п! = л/2яп
пугЛ
139
п!
(9.30)
п п
+
2!п 3!п
+
+
1-z
(9-32)
(9-33)
(9-34)
(9-35)
(Отяосительяая
погрешность удоб-
удобна при вычислении
обратных вели-
величин, поскольку
1/A+0(е)) =
f("n)A+0(g(n))) имеет относительную погрешность O(g(n)),
если f(n) не включает О. Например, аппроксимация Нп в
табл.491 имеет абсолютную погрешность 0(п~6); аппрокси-
аппроксимация п! —• относительную погрешность 0(п~4). (Правая часть
(9.29) не такая, как требуется,—f(n)(i +0(n~4)), но ее можно
при желании переписать как
аналогичное преобразование рассматривается в упр. 12.) Абсо-
Абсолютная погрешность этой аппроксимации есть O(nn~35e~n). Аб-
Абсолютная погрешность соотносится с числом верных десятичных
цифр справа от десятичной точки, которые сохраняются после
отбрасывания члена О; относительная погрешность связана с чи-
числом верных „значащих цифр"
Воспользовавшись сокращением степенных рядов, мы можем
доказать общие правила
=O(f(n)),
eO(f(n))
если f (n) -« 1; (9.36)
если f(n)= 0A). (9.37)
492 АСИМПТОТИКА
(Здесь мы предполагаем, что п —» со; аналогичные формулы для
lnA+O(f (х))) и e°(f(x^ имеют место прих —> 0.) Пусть, например,
lnA + g(n)) —какая-то функция, лежащая в множестве, описы-
описываемом левой частью (9-3^)• Тогда найдутся константы С, По и с,
такие, что
|g(n)| ^ C|f(n)| ^ с < 1 для всех п ^ по.
Отсюда следует, что бесконечная сумма
lnA + g(n)) = g(n) • A - lg(n) + lg(nJ - • • •)
сходится при всех п ^по и ряд в скобках ограничен константой
1 +^с+^с2Н . Это доказывает (g-Зб), формула (9-37) доказыва-
доказывается аналогично. Объединив (д-Зб) и (9-37)>мы получим полезную
формулу
A+O(f(n)))OC-W) = 1+O(f(n)fl(n)), f(n"(n)lUn). (9-38)
Задача 1: снова колесо Фортуны
Попробуем теперь попытать счастья в некоторых асимптоти-
асимптотических задачах. В гл. 3 мы вывели уравнение (з-З-З) Для числа
выигрышных позиций в одной игре:
W= [N/Kj + -l
Мы обещали, что асимптотическое значение W будет вычислено
в гл. 9. Сейчас мы как раз в главе 9; так что попробуем оценить W
при N —> со.
Основная идея — избавиться от скобок '[' и 'J', заменив К на
]4ji/3 _|_ 0A). Далее, мы можем записать
К = N1/3A+O(N-1/3));
это называется „вынести за скобки главную часть" (Мы еще неод-
неоднократно воспользуемся этим приемом.) Теперь, из (9-3^) и (9-26)
имеем
К2 =N2/3A+O(N/3)J
= N2/3A+O(N-1/3)) = N2/3 + O(IM1/3).
Аналогично,
|N/KJ = N1/3A +O(N/3))-1 +0A)
= N2/3 A + O(N/3)) + 0A) = N2/3 + O(JM1/3).
Отсюда следует, что число выигрышных позиций есть
W = N2/3 + O(N1/3) + ? (n2/3 + ofN1/3)) + O(N1/3) + 0A)
= 3
Обратите внимание, как члены с О поглощают друг друга, пока
не останется только одно О; это —типичная ситуация и еще одна
иллюстрация полезности символа О внутри формул.
9.3 ОПЕРАЦИИ С О 493
Задача 2: метаморфозы формулы Стирлинга
Аппроксимация Стирлинга для п! есть, без сомнения, самая
знаменитая асимптотическая формула. Мы докажем ее позднее в
этой главе; пока же попробуем лучше познакомиться с ее свой-
свойствами. Мы можем записать один из вариантов аппроксимации в
виде
п! = л/2ттп(-У ( 1 +- + —г + О(гГ3) ) прип-> оо (9.40)
\ е / \ п у\г )
для некоторых констант а и Ь. Поскольку эта аппроксимация
имеет место при всех больших п, она должна остаться в силе,
если заменить пнап-1:
(94Х)
Мы знаем, разумеется, что (п— 1)! = п\/п\ следовательно, правая
часть последней формулы должна приводиться к правой части
(94°)> поделенной на п.
Попробуем поэтому упростить (9-41)- Из первого сомножителя
можно вынести главную часть:
у/2п[п-1) = л/2ттA
Здесь использовано соотношение
Аналогично имеем
-1)) =О(п-3A-п-1)) =О(гГ3).
Единственная часть (9-41)) преобразование которой требует не-
некоторой изобретательности,—это множитель (п — 1 )п~}, который
равняется
пп-1A -пO1 = пп~\] -п)п
(Мы выписываем члены до тех пор, пока не получим относитель-
относительную погрешность О(п~3). Дело в том, что относительная погреш-
погрешность произведения равна сумме относительных погрешностей
сомножителей и все члены О(п~3) объединяются.)
494 АСИМПТОТИКА
Чтобы раскрыть A — пг1 )п, мы сначала вычислим 1п( 1 — пг1 ]
и затем образуем экспоненту, enInA~n ':
A -n-1)n= exp(nlnA -n))
= exp(n(-n-1 - \r\r2 - In + 0(n-4)))
= exp(-1 - in-1 - in-2 + 0(п~3))
= exp(—1) -exp(—jn) -exp(—\п~г) -exp(O(n-3))
= exp(-l) • A - in + In-2 + 0(n-3))
x A - in-2 + O(n-4)) • A + 0(n-3))
Здесь мы вместо ez используем обозначение ехр z, поскольку это
позволяет записывать сложный показатель степени в основной
строке, а не в позиции верхнего индекса. Чтобы получить в окон-
окончательном итоге относительную погрешность О(п), нам прихо-
приходится раскрывать 1пA — п) с абсолютной погрешностью О(п),
поскольку этот логарифм умножается на п.
Итак, мы привели правую часть (941) K виду „\/27пг умножить
на nn~Ven умножить на произведение нескольких членов":
Перемножая скобки и включая все асимптотически малые члены
в О(п~), получим
1 + an + (a + b - ^)n + O(n).
Н-да-а, мы надеялись прийти к 1 + ап~] + bn~2 + O(n), по-
поскольку именно это требуется для соответствия с правой частью
(9.40). Мы где-то ошиблись? Нет, все правильно; следовательно,
a + b-^ =b.
Это рассуждение не доказывает справедливость аппроксима-
аппроксимации Стирлинга, но кое-что все-таки доказано, а именно то, что
формула (9-4°) не может иметь места, если а не равно jj. Если
заменить О(п) в (94°) на сп + О(п) и проделать все вы-
вычисления с относительной погрешностью О(п~), то можно за-
заключить, что b = 2^3, в соответствии с табл.491. (Этот способ
определения а и b не самый простой, но он работает.)
Задача 3: п-е простое число
Соотношение (9-31) есть асимптотическая формула для п(п),
числа простых, не превосходящих п. Заменяя п на р = Рп, п-е
9.3 ОПЕРАЦИИ С О 495
простое число, мы получаем п{р) = п; следовательно
(942)
П = !+ОGГ^
lnp V(logp)
при п —> оо. Попробуем „решить" это уравнение относительно р;
тогда мы найдем приблизительную величину n-го простого чи-
числа.
Первый шаг состоит в упрощении члена О. Поделив обе ча-
части на р/lnp, мы обнаружим, что nInр/р —> 1; следовательно,
р/lnp = 0(п) и
V(logpJ/ \logp/ \logn/
(Имеем (logp) ^ (logn), так как р ^ п.)
Второй шаг — переставить две части (9.42), исключая О. Эта
процедура допустима ввиду общего правила:
ап = Ъп + 0(f (п)) <=> bn = ап + 0(f (п)) . (9.43)
(Любое из этих соотношений следует из другого, если умножить
обе части на —1 и прибавить ап + bn.) Следовательно,
-В- =п + 0(-^—) =nA+O(l/logn))
lnp Vlogn/ v ;
и, значит,
p = nlnp(i +OA/logn)) . (944)
Это уравнение — „приближенное рекуррентное соотношение" для
тр = РП1 выражающее его через самого себя. Наша цель — преобра-
преобразовать его в „приближенную замкнутую форму", и мы сможем сде-
сделать это, раскрывая рекуррентное соотношение асимптотически.
Итак, попробуем раскрыть (944)-
Прологарифмировав обе части, получим
lnp = lnn + lnlnp + OA/logn). (945)
Это значение можно подставить вместо lnp в (944)> однако хо-
хотелось бы, прежде чем выполнять подстановку, полностью изба-
избавиться от р в правой части. Где-то в ходе преобразований послед-
последнее р должно исчезнуть; но от него нельзя избавиться обычным
для рекуррентных соотношений способом, поскольку в (944) не
определены начальные условия для малых р.
Один из подходов к решению состоит в том, чтобы сначала
доказать более слабый результат р = О(п2). В этом можно убе-
убедиться, если возвести в квадрат (944) и поделить на рп2,
_Р_ =
п2
поскольку и правая часть стремится к нулю при п —> оо. Пре-
Прекрасно, мы теперь знаем, что р = О(п2); следовательно, logp =
496 АСИМПТОТИКА
O(logn) и log log p = О (log log n). Теперь мы можем получить из
(945)
lnp = 1пп + О (log log п);
имея в руках эту оценку, мы можем заключить, что In lnp =
lnlnn + O(loglogn/logn), и, наконец, (945) Дает
lnp = lnn + lnlnn + O(loglogn/logn).
Это выражение можно подставить в правую часть (944)» и мы
получим
р = nlnn + nlnlnn + O(n).
Это и есть приближенная величина n-го простого числа.
Эту оценку можно улучшить, использовав вместо (942) бо-
более точную аппроксимацию п(п). Следующий член (9-31) говорит
нам, что
^ ^(^) (946)
действуя, как раньше, получим рекуррентное соотношение А теперь, &ети,
снова выбрось-
-i\-1/-! г^<л /л л2\ / \ те исписанный
]) A + O(l/lgJ) (97)
р = Шпр A + (lnp) ]) A + O(l/lognJ) , (947)
ЛИСТ(Ж.
имеющее относительную погрешность 0A /lognJ вместо Шум, свист
О A /log n). Логарифмируя и сохраняя члены до нужной точности
(но не слишком много), получим
lnp = lnn + lnlnp + OA/logn)
Inn V logn /
Наконец, мы подставляем эти результаты в (947) и вот он) ответ:
Pn = nlnn + nlnlnn-n + n Пл ПП + 0G-"—) . (948)
Inn Vlogn/
Если, например, п = 106, то это выражение дает 15631363.6 +
O(n/logn); в действительности миллионное простое число равно
15485863. Упражнение 21 показывает, что можно получить еще
более точное приближение к Рп, если вместо (946) начать с более
точного приближения к 7t(n).
9.3 ОПЕРАЦИИ С О 497
Задача 4: одна сумма из старого итогового экзамена
Когда в 1970-71 г. в Станфордском университете началось пре-
преподавание конкретной математики, студентам предлагалось най-
найти асимптотическое значение суммы
S^ = ^TT + ^T2 + -- + ^ (949)
с относительной погрешностью О(п 7). Представим, что мы сда-
сдаем итоговый (домашний) экзамен и нам только что предложили
именно эту задачу; какой будет наша первая инстинктивная ре-
реакция?
Конечно же, мы не ударимся в панику. Первой нашей реакцией
будет подумать о главном. Если положить п равным, скажем,
10100 и посмотреть на сумму, то мы увидим, что она состоит из
п слагаемых, каждое из которых несколько меньше 1/п2; сумма,
следовательно, несколько меньше 1/п. Вообще, можно получить
неплохую отправную точку для асимптотического анализа, если
оглядеть ситуацию в целом и получить оценку ответа „на глазок"
Попробуем улучшить нашу грубую оценку, выписав в каждом
слагаемом его главные члены. Имеем
1 1 1 / V. V2 V3
п2+к n2A+k/n2) n
вполне естественно попытаться просуммировать все эти оценки:
1 1 2 22
п2+2 п2 п*^п<> n8+ In1"
п2 n4 + n6 n«
п гфг + 1)
п2 Ivc
Мы как будто приближаемся к результату Sn = n — \п~2 +
О(п~3), полученному из суммы первых двух столбцов, но вычи-
вычисления что-то уж очень разрастаются.
Если упорно следовать этим путем, то мы в конце концов до-
достигнем цели; однако мы не станем заниматься суммированием
остальных столбцов по двум причинам: во-первых, в последнем
столбце появляются члены порядка О(п~6) при n/2 ^ k ^ п, так
что сумма будет иметь погрешность О(п~5); это чересчур много,
и нам придется добавить еще несколько столбцов. Неужели экза-
экзаменатор такой садист? Наверное, должен быть лучший метод. И,
498 АСИМПТОТИКА
во-вторых, такой лучший метод, и много лучший, действительно
есть, причем он находится прямо у нас перед глазами.
Действительно, нам известно выражение Sn в конечном виде,
это просто НП2+П — НП2. Кроме того, мы знаем хорошую аппрок-
аппроксимацию для гармонических чисел; применим ее дважды:
нпЧп = Ш(п2 + п) + + } J
пЧп
u[J+n]2
Теперь можно вынести главный член и произвести упрощения,
как мы делали при анализе аппроксимации Стирлинга. Имеем
In(n2+n) =lnn2+ln(i +-) = Inn2 + - - тг-^ + т-т ;
V п/ п 2п2 Зп3
1
1
1
~ П4
дачных
-К2
1
п3"
2
n5
1
f TL4
3
n6
сокращений
гз +
4
МЫ
-4 +
-4 _
+
получим
In-5
in
in-
-K6
+ In-6
~ 4П
n2+n
1
RT^j2
>еле ряда у
Sn = n
плюс члены вида O(n~7). Чуть-чуть арифметики — и можно идти
гулять:
Sn=n-1-ln-2-ln-3 + ^n-4-1|n-5 + ^n-6 + O(n-7). (9.50)
Было бы совсем хорошо, если бы мы смогли проверить ответ
численно, как это было в предыдущих главах при выводе точ-
точных результатов. Асимптотические формулы труднее проверять;
в О-члене может скрываться произвольно большая константа, по-
поэтому любая числовая проверка не дает окончательного ответа.
Однако на практике у нас нет оснований считать, что нам про-
противостоит противник, специально пытающийся сбить нас с тол-
толку, так что можно надеяться, что неизвестная константа в О до-
достаточно мала. С помощью карманного калькулятора вычислим
54 = у7 + у? + у9 + 2?= 0.2170107; наша асимптотическая оценка
для п = 4 дает
iO+i(-i + i(-* + W + i(-6 + i-u)))))= 0.2170125.
Если мы сделали ошибку, скажем на ^ в коэффициенте при п~6,
то разность в ^ ^g проявится в пятой десятичной цифре; так что
наша асимптотическая формула, видимо, правильна.
9.3 ОПЕРАЦИИ С О 499
Задача 5: бесконечная сумма
Теперь обратимся к одному вопросу об асимптотике, поста-
поставленному Соломоном Голомбом [78]: чему равно приближенное
значение
^ = ?щ^1. (9-51)
где Nn (к) — число цифр, требуемых для записи числа Тс в системе
счисления с основанием п?
Первым делом попытаемся снова найти грубую оценку. Число
цифр Nn(k) приблизительно равно lognk = logk/logn; так что
слагаемые примерно равны (lognJ/k(logkJ. Суммирование по к
дает « (logпJ ^к>2 1 /k(log кJ, а эта сумма сходится к константе,
поскольку ее можно сопоставить с интегралом
dx 1
x(lnxJ lnx
1
In2
Поэтому мы ожидаем, что Sn есть примерно C(lognJ для неко-
некоторой константы С.
Подобный быстрый анализ полезен для ориентации, однако,
чтобы решить задачу, нужна лучшая оценка. Одна из возможных
идей — выразить Nn(k) точно:
Nn(k) = UognkJ + 1. (9.52)
Так, например, для записи к по основанию п требуются три ци-
цифры, если п2 ^ к < п3, и ровно в этих случаях |_logn kj = 2.
Таким образом, Nn(k) > lognk, значит, Sn = Цк>1 1/kNn(kJ <
^2
Действуя как в задаче 1, мы можем попробовать записать
Nn(k) = lognk + 0A) и подставить это выражение в формулу
для Sn. Слагаемое, записанное здесь как 0A), всегда лежит ме-
между 0 и 1 и в среднем близко к \, так что оно себя ведет, наверное,
очень хорошо. Но, тем не менее, эта аппроксимация недостаточ-
недостаточно точная, чтобы сказать что-нибудь о Sn; она дает нуль знача-
значащих цифр (т. е. большую относительную ошибку) при малых к,
а именно эти слагаемые вносят основной вклад в сумму. Нужна
новая идея.
Ключ к решению (как в задаче 4) — применить наше искусство
преобразования выражений и, прежде чем переходить к асимпто-
асимптотическим оценкам, привести сумму к более удобному виду. Мож-
Можно ввести новую переменную суммирования та = Nn(k):
v [m = NnAc)] r [nm-
A km2 "A, km2
500 АСИМПТОТИКА
Это выражение может показаться еще худшим, чем исходная сум-
сумма, но в действительности сделан шаг в направлении к цели,
поскольку мы располагаем очень хорошей аппроксимацией для
гармонических чисел.
Однако пока мы придержим ее при себе и попытаемся еще
кое-что упростить. Не надо спешить с переходом к асимптотиче-
асимптотическим оценкам. Суммирование по частям позволяет сгруппировать
члены с одинаковыми значениями Hnm_i, которые нам придется
аппроксимиров ать:
Например, HTL2_1 умножается на 1/22 и затем —на —1/32. (Мы
воспользовались также тем, что Нпо_-| — Но = 0.)
Теперь мы готовы подставить выражение для гармонических
чисел. Наш опыт оценки (п — 1)! подсказывает, что проще будет
аппроксимировать Hnk, а не Hnk_1; в последнем случае появится
много дополнительных членов из-за '—Г. Итак, мы пишем
=lnn4Y+
Теперь наша сумма сведется к
= (Inn)!! + yl2 - Il3(n) + O(l3(n2)) .
Осталось расписать четыре суммы: I], I2, L$[n) и 1з(п2), что
уже просто.
Начнем, пожалуй, с 1з, поскольку 1з(п2) входит в О; таким
образом, сразу будет видно, какую погрешность мы получим.
(Нет смысла выполнять остальные вычисления с высокой точно-
точностью, если эти члены будут все равно поглощены О.) Эта сумма Большим О.
есть просто степенной ряд О-Очень большим.
и этот ряд сходится при х ^ 1, так что мы можем оборвать его в
любом желаемом месте. Если оставить от 1з(т12) только слагае-
слагаемые с Тс = 1, то получим 1з(п2) = О(п~2); следовательно, (9.53)
имеет абсолютную погрешность О(п~2). (Чтобы уменьшить эту
погрешность можно было бы использовать более точную аппрок-
аппроксимацию для Hnk; однако сейчас нам вполне достаточно точности
9.3 ОПЕРАЦИИ С О 501
О(п~2).) Если оборвать L${n) на слагаемом с к = 2, получим
1з(п) = |п-1+0(п-2);
это как раз та точность, что нам нужна.
Совсем просто вычислить I2:
Это телескопический ряд A — \) + [\ — ^) + [^ — js)-\ = 1.
Наконец, Ii дает главный член суммы Sn, коэффициент при
Inn в (9.53):
Это есть A-?) + (§-§) + C_^) + ... = } + 1 + 1 + ... =
НЬо = п2/6. (Не примени мы раньше суммирование по частям, мы
бы непосредственно увидели, что Sn ~ ^ic>i(lnn)/lc2l посколь-
поскольку Hnk_i — Hnk-i_i ~ Inn; так что суммирование по частям не
помогает в оценке главного члена, однако оно упрощает кое-что
другое.)
Итак, мы оценили каждую из сумм в (д.53)> и теперь можно
объединить все и выписать ответ к задаче Голомба:
Заметьте, что это выражение растет медленнее, чем наша ис-
исходная прикидочная оценка C(lognJ. Случается, что дискрет-
дискретные суммы не соответствуют интуиции, основанной на непрерыв-
непрерывности.
Задача 6: Ф большое
В конце гл. 4 мы нашли, что число jFn дробей Фарея составля-
составляет 1 +Ф(п), где
Ф(п) =
в D.62) мы показали, что
Ф(п) = W ^(k)[n/kj [I -f n/kj . (9.55)
Попробуем теперь оценить Ф(п), когда п велико. (Именно сум-
суммы такого вида, в первую очередь, привели Бахмана к введению
символа О.)
Размышление о главном приводит нас к выводу, что Ф(п),
вероятно, пропорционально п2. Действительно, если последний
множитель был бы равен [ri/kj вместо [1 +n/kj, то мы имели бы
502 АСИМПТОТИКА
i Lk?i |n/KJ2 ^ 1 L^i (™АJ = ?п\ поскольку фун-
кция Мёбиуса ц(к) принимает значения только —1, 0 или +1. Сла-
Слагаемое Ч + ' в последнем множителе добавляет ^Ik^i i-t(lc) [rt/kj;
но для к > п это нуль, так что сумма не может быть" больше чем
nHn = O(nlogn) по абсолютной величине.
Этот предварительный анализ показывает, что, вероятно,
удобно будет записать
Ф(п) = 2
®+о.,
= 1|>.((!J + о(=))
к=1
Таким образом, мы убрали функцию пол; остается оценить сум-
сумму \ XLk_i \±{k)n2/k2 с точностью O(nlogn); иными словами, мы
хотим оценить XLk=i ц(кI/к2 с точностью 0{п~] logn). Но это
уже легко; можно просто распространить сумму на все значения
к до оо, добавляемые при этом члены составят
у
к2
к>п
-) = о
]2)
к>п
к>н
Мы доказали в G.89), что
Xlk^i И-МА2 =
ф(п) = -y
O(nlogn).
1 |a(k)/kz = 1/C(z). Следовательно,
= 6/я2, и мы получаем ответ:
(9-56)
9.4 ДВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ
ПРИЕМА
Теперь, приобретя некоторую легкость в обращении с О,
попробуем взглянуть на сделанное, имея в виду более далекую
перспективу. Тогда наш арсенал асимптотических методов попол-
пополнится новыми важными боевыми средствами, которые понадобят-
понадобятся нам для борьбы с более трудными задачами.
(Как было показа-
показано Салтыковым
в 1960 г. [266],
погрешность
этой формулы
не превосходит
O(n(lognJ/3x
(loglognI+e).
С другой сторо-
стороны, она не есть
o(n(loglognI/2)
согласно Монт-
Монтгомери [224].)
9.4 ДВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРИЕМА 503
Трюк 1: раскрутка
При оценке n-го простого числа Рп в задаче 3 из разд. 9.3 мы
решали асимптотическое рекуррентное соотношение вида
Pn =nlnPnA+O(l/logn)).
Мы доказали, что Pn = nlnn + O(n), сначала использовав ре-
рекуррентное соотношение для получения более слабого результа-
результата О(п2). Это частный случай общего метода, называемого рас-
раскруткой (bootstrapping), в котором для нахождения асимптоти-
асимптотического решения рекуррентного соотношения мы начинаем с гру-
грубой оценки и подставляем ее в рекуррентное соотношение; таким
способом часто удается получать все лучшие и лучшие оценки,
как бы „поднимая себя за волосы"
Следующая задача очень хорошо иллюстрирует метод рас-
раскрутки: каково асимптотическое значение коэффициента дп =
[zn] G(z) в производящей функции
(9-57)
при n —> оо? Продифференцировав это выражение по z, найдем
G'(z) = J^ngnzn-] =
n=0
приравнивание коэффициентов при zn-1 в обеих частях дает ре-
рекуррентное соотношение
-~z • (9-58)
Наша задача эквивалентна нахождению асимптотической фор-
формулы для решения (9-5^) с начальным условием д0 = 1. Первые
несколько значений
п
0
1
•
2
3
4
3
19
36
4
107
288
5
641
2400
6
51103
259200
мало что дают для выявления закономерности, а целочисленная
последовательность (n!2gn) не встречается в справочнике Сло-
ана [276], так что о нахождении gn в замкнутой форме, видимо,
не может быть речи, и лучшее, на что можно надеяться,—это
вывод асимптотики.
Нашим первым шагом на пути решения задачи будет наблю-
наблюдение, что 0 < gn ^ 1 для всех n ^ 0; это легко доказать по
индукции. Итак, имеем для начала:
504 АСИМПТОТИКА
Это уравнение можно использовать в качестве отправной точки
для раскрутки: подставляя его в правую часть (д-5^), получим
П9п= У -^=Hn
o^k<nn~IC
следовательно,
) дляп>1.
п
Можно сделать еще один шаг раскрутки:
1 o((i+logk)/k)
пдп = - + > — ; -
п *— n-k
0<k<n
]_ у- O(lQgn)
n+ Z- k(n-k)
0<k<
n — к/ п
0<k<n
12 1
= —I—Hn_iO(logn) = —O(lognJ ,
n n n
что дает
/logn\2
Продолжится ли это до бесконечности? Может быть, мы получим
дп = 0{п~^ logn)m для всех та?
На самом деле нет; мы уже достигли поворотного пункта. По-
Попытка продолжить раскрутку приведет к сумме
_1
"П
2
k2(n-k) "
0<k<n V } 0<k<n
которая есть jQfn); так что мы не сможем получить для дп
оценку, меньшую чем Q.{n~2).
В действительности, сейчас мы уже знаем о дп достаточно
для того, чтобы применить наш старый прием выделения главной
части:
L
9.4 ДВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРИЕМА 505
Первая сумма здесь G(l) = ехр({+ \ + \ Н ) = е71^6, поскольку
G (z) сходится для всех \z\ ^ 1. Вторая сумма — это „хвост" первой;
можно получить верхнюю оценку, воспользовавшись (9-59):
Последняя оценка справедлива потому, например, что
^2 _ _ (lognm+1J
г- к2
к>п
L L
1J(lognJ
Пп
(В упр. 54 рассматривается более общий способ оценки остатков
подобных рядов.)
Третья сумма в (9.60) равна
/ у (lognJ\ = Q/(lognKу
это устанавливается с помощью уже знакомых аргументов. Итак,
доказывает, что
nz
(9.61)
Наконец, мы можем вновь подставить эту формулу в рекуррент-
рекуррентное соотношение, выполнив еще один шаг раскрутки; в результате
получим
+ О (log п/п3
(9-62)
(Этот метод был
впервые применен
Лапласом [184].)
(Упражнение 23 „заглядывает внутрь" оставшегося О.)
Трюк 2: смена ,рсвостов"
Вывод (9-62) был в чем-то такой же, как вывод асимптоти-
асимптотического значения (9-5^) для Ф(п): в обоих случаях мы начинали
с конечной суммы, но к асимптотическому выражению приходи-
приходили через рассмотрение бесконечной суммы. При этом нельзя бы-
было просто получить бесконечную сумму, добавив О к слагаемым;
вместо этого приходилось действовать аккуратно и использовать
один подход для малых к и другой —для больших.
Эти наши рассуждения суть частные случаи важного трех-
шагового асимптотического метода суммирования, который мы
сейчас и обсудим с большей общностью. Если нам нужно оценить
значение ?^k ai<(n), то можно попробовать следующий прием:
1 Сначала разбить весь диапазон суммирования на два непе-
непересекающихся диапазона Dn и Тп. Сумма по Dn должна быть
506 АСИМПТОТИКА
„подавляющей" частью, в том смысле, что она включает доста-
достаточно членов, чтобы верно представлять наиболее значащие
цифры всей суммы при больших п. Сумма по другому диапа-
диапазону, Тп, должна составлять всего лишь „хвостик", вносящий
незначительный вклад в общий итог.
2 Найти асимптотическую оценку
сис(п) = bk(n) + O(ck(n)) ,
справедливую при к ? Dn. Не требуется, чтобы эта оценка
имела место при k ? Тп.
3 Наконец, доказать, что каждая из трех сумм
Zu{n) =
Ic(n)
|Ck(n)|
k€T,v
(9.63)
мала.
Если все три шага успешно завершаются, то получаем в итоге
хорошую оценку:
k€DnUTu
Вот как это можно обосновать. Мы можем „обрубить" хвост у
данной суммы, получив хорошую оценку в диапазоне Dn, там
где это действительно нужно:
bk(n) + O(ck(n)))
k€Dn
Хвост же можно заменить другим, даже весьма плохо аппрокси-
аппроксимирующим первый, поскольку ни один из них не играет заметной
роли:
X CMc(n) = Л (bk(n) - bk(n) + ak(n))
k€Tn k€Tn
bk(n) + O(Zb(n)) + O(lQ(n)) .
k€Tft
Например, когда мы оценивали сумму в (д.бо), имели
ak(n) = [0^k<n]gk/(n-k),
bk(n) = gk/n,
ck(n) = kgk/n(n-k);
анализ-это искус-
ство;искусствоB
Том, чтобы знать,
когда можно быть
небрежным а
когда требуется
ТОЧНОСТЬ.
9.4 ДВА АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПРИЕМА 507
диапазоны суммирования были
Dn ={0,1,...,п-1}, Tn = {n,n+1,...}
и мы нашли, что
Lain) = 0, Ib(n) = O((lognJ/n2), Ic(n) = O((lognK/n2).
Это дало (9-6i).
Аналогично, оценивая Ф(п) в (9-55)» мы взяли
2/к2, ск(п)=п/к;
Мы вывели (9.56), заметив, что Ia(n) = 0,1ь(тг) = О(п)и1с(п) =
O(nlogn).
Рассмотрим еще один пример, где эффективно такое „перебра-
Еще пример: сывание хвоста". (В отличие от предыдущих примеров, этот иллю-
лошади часто раз- стрирует рассматриваемый трюк в его максимальной общности, с
махивают хвостом La(n) ф 0.) Мы хотим найти асимптотическое значение величины
в предчувствии
кормежки. т
к!
Основной вклад в эту сумму вносят малые к ввиду наличия в
знаменателе к!. В диапазоне малых к имеем
2 2 /2\
1п(п + 2к) =1пп+ — -Т_ + О(-Т).
n In1 \ п3/
n
3к
Т
п3
(9-б4)
Мы можем доказать эту оценку для 0 ^ k < [_lg n\, поскольку
члены, включенные в О, ограничены сходящимся рядом
23к
23к
11
23к
(В рассматриваемом диапазоне 2k/n ^ 2'-lgn-'~1/Tl ^ 2-)
Следовательно, мы можем применить описанный трехшаго-
вый метод, положив
ak(n)=ln(n + 2k)/k!,
bk(n) = (Inn + 2k/n-4k/2n2)/k!,
ck(n)=8k/n3k!;
Dn={0,1,...,LlgnJ-l},
Все, что остается сделать,—это найти хорошие оценки для трех
величин! в (9.63), и мы установим, что ^к^0 ак(п) « Х!к>о ^к(п)-
Погрепшость, допущенная в главной части суммы, Lc(n) —
8k/n3k!, очевидным образом ограничена суммой
508 АСИМПТОТИКА
^]c>08k/n3k! = е8/п3> так что ее можно записать как О(п~3).
Погрешность, вносимая новым хвостом, составляет
|Zb(n)| =
F = 0(irin)-
III \l ~Г Z.1- " J ~T *tL " J T— *t _ / I "*
Поскольку [_lg nj! растет быстрее любой степени п, эта малень-
маленькая погрешность поглощается слагаемым Zc(n) = О(п~3). Хвост „... для ма-
исходного ряда, ленькой такой
компании..."
k^ Llgnj
еще меньше.
И наконец, можно легко вычислить сумму Х^о^кМ в за-
замкнутом виде, и мы получаем желаемую асимптотическую фор-
формулу:
y (9-б5)
Из использованного метода совершенно ясно, что, на самом деле,
к^О к=1
для любого фиксированного та > 0. (Это начальный отрезок
ряда, который расходится для любого фиксированного п, если
устремить та к оо.)
В нашем решении есть только один недостаток: мы были че-
чересчур осторожными. Мы вывели (9-64) в предположении к <
Llgnj, тогда как в упр.53 показывается, что эта оценка в дей-
действительности справедлива для всех значений к. Знай мы этот
более сильный результат, нам не пришлось бы использовать трюк
с двумя хвостами; мы могли бы сразу прийти к окончательному
результату! Однако позднее нам встретится задача, где смена хво-
хвостов является единственным разумным приемом.
9.5 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ
ЭЙЛЕРА
А теперь, в качестве следующего трюка —и это, на самом
деле, последний важный прием в этой книге,—мы обратимся к
общему методу аппроксимации сумм, который был впервые опу-
9.5 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА 509
бликован Леонардом Эйлером [365] в 1732 г. (Идею метода иногда
связывают с именем Колина Мак-Лорена, профессора математи-
математики в Эдинбурге, открывшего этот метод независимо чуть позд-
позднее [211, с. 305].)
Вот основная формула:
(9-67)
k=1
целые a ^ b; целое та ^ 1. (9.68)
Слева находится типичная сумма, оценка которой нам может по-
понадобиться. В правой части — другое выражение для той же сум-
суммы, включающее интегралы и производные. Если f (х) — доста-
достаточно „гладкая" функция, то она будет иметь та производных
f'(х), ..., f(m^(x) и эта формула окажется тождеством. Выраже-
Выражение в правой части зачастую оказывается превосходной аппрок-
аппроксимацией суммы в левой части, в том смысле, что остаток Rm
мал. Так, например, мы увидим, что аппроксимация Стирлинга
для п! есть следствие формулы суммирования Эйлера; то же са-
самое справедливо для нашей асимптотической аппроксимации для
гармонических чисел Нп.
Числа В]с в (9-67) —это числа Бернулли, встречавшиеся нам в
гл. 6; функция Вт({х}) —многочлен Бернулли из гл. 7. Запись {х}
обозначает дробную часть, х — [_х_|, как в гл.З. Формула сумми-
суммирования Эйлера сводит все эти понятия вместе.
Вспомним значения нескольких первых чисел Бернулли; все-
всегда удобно иметь этот список неподалеку от общей формулы Эй-
Эйлера:
Во = 1, Bi = -±, В2 = \, В4 = -зб» В6 = 4l> В8 = ~з^;
В3 = В5 = В7 = В9 = Вц = • • • = 0.
Якоб Бернулли открыл эти числа, когда он изучал суммы сте-
степеней целых чисел, и формула Эйлера говорит нам, почему
так произошло: если мы положим f (х) = х™, то будем иметь
f(m)(x) = 0; следовательно, Rm = 0 и (9.67) сведется к
—к
k=1
510 АСИМПТОТИКА
Так, для та = 3 получим наш любимый пример подсчета суммы:
(Это — последнее место в книге, где мы выводим эту замечатель- Все хорошее когда-
ную формулу.) нибудь кончается.
Прежде чем доказывать формулу Эйлера, рассмотрим сообра-
соображения высшего порядка (принадлежащие Лагранжу [177]) о том,
почему такая формула должна иметь место. В гл. 2 был опре-
определен разностный оператор А и объяснено, что оператор Y. —
обратный к А, точно так же, как / является обратным к операто-
оператору дифференцирования D. Можно выразить А через D, восполь-
воспользовавшись формулой Тейлора:
л „ л f'(x) f"(x) 2
f (x + е) = f (х) + -у^е + -^е2 + • • • .
Подстановка е = 1 дает
Af(x)=f(x + 1)
= (D/1! + D2/2! + D3/3! + • • •) f (x) = (eD - 1) f (x). (9.69)
Здесь eD обозначает дифференциальный оператор 1 + D/1! +
D2/2! + D3/3! + • • •. Поскольку A = eD — 1, обратный оператор
I = I/A должен выражаться как 1/(eD — 1); а мы знаем из
табл.386, что z/(ez — 1) = XLk>o ВkzVk! — степенной ряд, вклю-
включающий числа Бернулли. Таким образом,
k^i
Применив это операторное уравнение к f (х) и добавив пределы,
получим
а это — в точности формула суммирования Эйлера (9-67) без оста-
остаточного члена. (Ни Эйлер и никто другой не рассматривали
остаток до тех пор, пока С. Д. Пуассон [248] не опубликовал в
1823 г. важную работу о приближенном интегрировании. Оста-
Остаточный член играет важную роль, поскольку бесконечная сум-
сумма 22k>1 (Bic/k!)f(k~1) (x)|^ часто оказывается расходящейся. Наш
9.5 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА 511
вывод (g-7i) был чисто формальным, мы не касались вопросов
сходимости.)
Теперь докажем формулу (9-67), включающую остаточный
член. Достаточно провести доказательство только для случая
а = 0, b = 1, т. е. доказать, что
f@)
Г1
=
поскольку затем можно заменить f (х) на f(x + I) для любого це-
целого I, получив
-г
k=1
¦1+1
1+1
1 m!
Общая формула (9.67) есть просто сумма этих тождеств по диапа-
диапазону а ^ I < b, поскольку промежуточные члены благополучно
сокращаются.
Доказательство в случае а = 0иЬ = 1 будем вести индукцией
по та, начиная с та = 1:
f@)
= [ f(x)dx-l(fA)-f(O)) + f (x-I)f'(x)dx.
Jo z Jo
(В общем случае многочлен Бернулли определяется уравнением
/ ч /та\ ™ /та\ т 1 /та\ л
Вт(х) = . Вохт+ , В,хт-1+•••+( Втх°, (9.72)
в частности, Bi (x) = х — \.) Иными словами, мы хотели бы дока-
2
зать, что
= f f(x)dx+ f (x-l)f;(x)dx.
Jo Jo
Но это есть просто частный случай формулы интегрирования по
частям
u(x)v(x)|J = [ u(x)dv(x) + f v(x)du(x) (9-73)
Jo Jo
для u(x) = f(x) и v(x) = x — \. Итак, случай та = 1 оказался
2
несложным.
512 АСИМПТОТИКА
Чтобы перейти от та — 1 к та и тем завершить индукцию для
та > 1, нам достаточно доказать, что Rm_i = (Bm/m!)f(m~~1)(x)|J +
Rm, т.е. установить справедливость равенства
m f Bm-
Jo (m"
Bm (
m!
Оно приводится
(-l)mBmf(m"
f1
= m В
Jo
m-1)fY)
1
0
к уравнению
1](x)
1
0
r(m-1)(x)
1
Jo m!
dx+f Bm(x)f(m)(x)dx.
Jo
И снова к этим двум интегралам применимо соотношение (9.73) Неужели авторы
с u(x) = f (m~1^ (х) и v(x) = Вт(х), поскольку производная много- пикона не перей-
члена Бернулли (9.72) есть J* *а ™Р™ный
=mZ (T1)BkX-'-'-^mBn,-, (x). (9.74)
(Здесь полезно тождество поглощения (б-7H Таким образом, тре-
требуемая формула будет иметь место в том и только в том случае,
когда
Иначе говоря, нам требуется, чтобы
(-l)mBm = BTOA) =Bm@) длят>1. (9.75)
Это может слегка смутить, ясно ведь, что Вт@) равно Вт, а
не (—1)тВт. Но на самом деле здесь все в порядке, поскольку
т > 1; как мы знаем, Вт есть нуль для нечетных та. (Тем не
менее, мы чуть было не влипли.)
Для завершения доказательства формулы суммирования Эй-
Эйлера осталось показать, что ВтA) = Вт@), что эквивалентно
1* = Вт длят>1.
Но это есть в точности определение чисел Бернулли F.79)) так
что доказательство завершено.
9.5 ФОРМУЛА СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА 513
Тождество В^(х) = mBm_i (x) означает, что
а теперь мы заключаем, что этот интеграл равен нулю для та ^ 1.
Следовательно, в остаточном члене формулы Эйлера
Rm = ^ j Bm({x})f'm'(x)dx
множителем при f(m^(x) стоит функция Вт({х}) с нулевым сред-
средним значением. Это означает, что Rm может оказаться довольно
малым.
Посмотрим внимательнее на функции Вт(х) для 0 ^ х ^ 1,
ведь Вт(х) управляет величиной Rm. Здесь приведены графики
Вт(х) для первых двенадцати значений та:
та=1 та = 2 та = 3 та = 4
Вт(х)
Хотя многочлены от Вз(х) до В9(х) достаточно малы, в конеч-
конечном итоге многочлены и числа Бернулли сильно растут. К сча-
счастью, Rm содержит компенсирующий множитель 1/та!, помогаю-
помогающий усмирить стихию.
Когда та ^ 3, график Вт(х) становиться очень похож на вол-
волну синуса; в упр. 58 доказывается, что и на самом деле функция
Вт(х) может быть аппроксимирована отрицательным кратным
cosB7Tx— \пт) с относительной погрешностью 1/2т.
В общем случае, функция B4k+i (х) отрицательна для 0 < х < \
и положительна для j < х < 1. Следовательно, ее интеграл
B4k+2(x)/Dk + 2) убывает при 0 < х < \ и возрастает при
\ < х < 1. Более того, имеет место равенство
B4k+i A-х) = -B4k+i (х) для 0 ^ х ^ 1,
откуда следует
В4к+2П - X) = В4к+2(х) ДЛЯ 0 ^ X ^ 1.
514 АСИМПТОТИКА
Постоянное слагаемое В4к+2 обеспечивает нулевое значение ин-
интеграла Jo В41С+2М dx, следовательно, В4к+2 > 0. Интегралом от
В4к+2М будет функция В4к+зМ/Dк + 3), которая, следователь-
следовательно, положительна для 0 < х < \ и отрицательна для \ < х < 1;
кроме того, В4к+зП - *) = -В4к+зМ, так что В4к+зМ облада-
обладает всеми свойствами, постулированными для В4к+1 М, но с про-
противоположным знаком. Следовательно, В4к+4М имеет свойства
функции В4к+2М с противоположным знаком. Следовательно,
В4к+5М имеет свойства функции B4k+1 М и мы завершили цикл,
устанавливающий индуктивно сформулированные свойства для
всех к.
В соответствии с результатами нашего анализа, максимальное
значение В2т(х) должно достигаться либо при х = 0, либо при
х = \. В упр. 17 доказывается, что
; (9.76)
поэтому имеем
|B2m({x})|^|B2J. (9-77)
Отсюда получается полезная верхняя оценка остаточного члена
в формуле суммирования Эйлера, поскольку, как мы знаем из
F.89).
Следовательно, формулу суммирования Эйлера (9-67) можно пе-
переписать так:
f(k) =
+ O(Btt)-2iu) [ |fBm)(x)|dx. (9.78)
Если, например, f(x) = ex, то все производные совпадают, и
последняя формула говорит нам, что Ца<к<ь ек = (еЪ ~ eQ) x
О - I + В2/2! + В4/4! + ¦ ¦ • + B2m/Bm)!) +Ъ(Bтг)-2т). Разуме-
Разумеется, эта сумма есть сумма геометрической прогрессии, равная
(еь - еа)/(е - 1) = (еь - еа) ^^о Bk/k!-
Если fBm)(x) ^ 0 для а ^ х ^ b, то интеграл J^ |fBm)(x)| dx
есть просто f^2m~~^(x)|k, поэтому
|R2
B2m
Bm)!
fBm-1)(x)|
9.6 ЗАВЕРШАЮЩЕЕ СУММИРОВАНИЕ 515
иначе говоря, в этом случае остаточный член ограничен вели-
величиной последнего члена (члена непосредственно перед остаточ-
остаточным). Можно дать даже лучшую оценку, если известно, что
fBm+2)(x) ^ 0 и fBm+4)(x) ^ q ддя Q ^ X ^ b. (9.79)
Оказывается, что отсюда вытекает соотношение
для некоторых 0 < 9т < 1; (9-8о)
здесь остаточный член лежит между 0 и первым отброшенным
членом в (9.78) — т. е. членом, который мы добавили бы вслед за
последним членом в случае увеличения та.
Вот доказательство. Формула суммирования Эйлера справед-
справедлива для всех та, и В2т+1 = 0 для та > 0; следовательно, R2m =
R2m+i и первый отброшенный член равен
Поэтому нам надо доказать, что R2m лежит между 0 и R2m—R2m+2*>
а это имеет место тогда и только тогда, когда R2m и R2m+2 имеют
противоположные знаки. Мы утверждаем, что
fBm+2)(x) ^Одляа^х^Ь влечет (-1)mR2m ^ 0. (g.8i)
С учетом (9.79) это доказывает, что R2m и R2m+2 имеют противо-
противоположные знаки, поэтому доказательство (д.8о) на этом заверша-
завершается.
Доказательство (дЯг) оказывается нетрудным, если вспом-
вспомнить определение R2m+i и доказанные нами факты о графике
B2m+i М- Действительно, имеем
причем f^2m+1^(x) возрастает ввиду положительности производ-
производной fBm+2)(x). (Более точно, fBm+1^(x) не убывает ввиду неотри-
неотрицательности ее производной.) График B2m+1 ({*}) выглядит как
синусоида, умноженная на (—1)m+1, поэтому из геометрических
соображений ясно, что вторая половина каждой волны синусои-
синусоиды, будучи умноженной на возрастающую функцию, оказывает
большее влияние на интеграл. Это обеспечивает (—1 )mR2m+i ^ 0,
что нам и нужно. Формально этот результат доказывается в
упр. 16.
9.6 ЗАВЕРШАЮЩЕЕ
СУММИРОВАНИЕ
Под конец этой книги настало время просуммировать все и
подвести итоги. Мы рассмотрим несколько интересных и важных
примеров и применим к ним формулу Эйлера.
516 АСИМПТОТИКА
Сумма 1: слишком простая
Сначала рассмотрим, хотя и интересный, но не важный при-
пример, а именно сумму, которую мы уже умеем вычислять. По-
Посмотрим, что скажет нам формула Эйлера, если применить ее
к „телескопической" сумме
s _ у _!__ у (i M-1--
тГ
Не помешает, наверное, предварить серьезные приложения фор-
формулы Эйлера анализом асимптотического аналога матрешки.
Для начала можно разложить функцию f(x) = 1/х(х + 1) на
простейшие дроби,
X Х+ 1
так как это упрощает интегрирование и дифференцирование.
Имеем f (х) = -1/х2 + 1/(х + IJ и f"(x) = 2/х3 - 2/(х + IK;
в общем случае
Далее,
fnf(x)dx = lnx-ln(x + 1)|? = ln-*L..
Ji ' n+1
Подставляя эти выражения в формулу суммирования (9.67), по-
получаем
Например, для m = 4 правая часть равна
2п 1/1 1 1\ 1 / 1 1 3\
Пп + 1 2Vn n + 1 2/ 12\п2 (п + 1J 4У
1 ( 1 1 15\
+ 120 U4 ~ (п + 1L " Тб J + 4(П)'
Что-то тут не так; это определенно не похоже на правильный
ответ 1 — п~1. Но все же пойдем дальше и посмотрим, что мы по-
получили. Мы знаем, как расписать слагаемые правой части через
9.6 ЗАВЕРШАЮЩЕЕ СУММИРОВАНИЕ 517
отрицательные степени п до, скажем, 0(п~~5):
In -ILj- = -n-1 + \п-* - in + In + О(п~5),
1 n-1_ n-2+ n-3_ n-4.
П+1
-!—> = тг - 2n-3 + 3n~4 + O(n-5),
n-4 + O(n).
(n + 1L
Следовательно, сумма членов в правой части аппроксимации дает
= In2 + ^ - п + R4(n) + О(тг-5).
Коэффициенты при тг~2, тг~3 и тг~4 благополучно сократились,
как им и положено.
Если с этим миром все в порядке, то мы должны бы суметь
доказать, что R4(n) асимптотически мало, может быть, О(п~~5), и
в результате мы получим аппроксимацию нашей суммы. Но до-
доказать это, по всей видимости, невозможно, поскольку, как мы
знаем, постоянное слагаемое равно 1, а не In 2 + Щ§ (что есть при-
примерно 0.9978). Таким образом, R4(n) в действительности равно
j^ — In 2 + О(п~4), но формула суммирования Эйлера ничего не
говорит нам об этом.
Иными словами, мы потерпели неудачу.
Попытаемся исправить положение. Заметим, что постоянное
слагаемое в аппроксимации, по мере роста та, следует схеме:
Может быть, мы покажем, что этот ряд сходится к 1, когда чи-
число слагаемых становится бесконечным? Но нет; числа Бернулли
возрастают очень быстро. Например, В22 = нз^р > 6192; следо-
следовательно, |R22(ti)| будет гораздо больше, чем |R4(n)|. Мы оконча-
окончательно зашли в тупик.
Тем не менее, путь к спасению существует, и этот обходной
путь, оказывается, очень полезен и в других приложениях форму-
формулы Эйлера. Ключевой момент здесь — заметить, что R4(n) стре-
стремится к некоторому пределу при п —> оо:
R4(n) = -f В4({х})(^ - j-1-) dx = R4(oo).
518 АСИМПТОТИКА
Интеграл J^° B4 ({х}) f(m^ (x) dx будет существовать, если f ^m^ (x) =
О(х~2) при х —» со, и это несомненно так для f ^ (х). Далее, имеем
R4(n) = R4(oo) + [°° В4({х}) A - {х1]]5) dx
= R4(oo) + '
Итак, мы доказали, с помощью формулы Эйлера, что
= C-n + 0(n)
для некоторой константы С. Мы не знаем, что это за констан-
константа — для ее нахождения нужны другие методы,— однако формула
суммирования Эйлера позволила нам установить, что константа
существует.
Допустим, мы выбрали значительно большее значение та. То-
Тогда те же рассуждения покажут, что
Rm(n) =Rm(oo) + O(n-m-1),
и мы приходим к формуле
С~1+ "
для каких-то констант С2, сз, ... . Мы знаем, что в нашем слу-
случае все константы с оказываются нулевыми; тем не менее, до-
докажем это, хотя бы для того, чтобы восстановить репутацию
(если не свою, то формулы Эйлера). Член ln^f вносит в ст
слагаемое (—1 )т/т; вклад члена (—1 )т+1 (Вт/т)гГ~т в ст соста-
составляет (—l)m+1Bm/m; а вклад члена (—l)k(Bic/k)(n + l)~k равен
Hrftr^Bic/k. Следовательно,
m
та та
та
Совершенно ясно, что это нуль для та > 1. Мы доказали, что
1
= С - п + 0(п~т-]) для всех га ? 1. (9.82)
9.6 ЗАВЕРШАЮЩЕЕ СУММИРОВАНИЕ 519
Формулы (9.82) недостаточно, чтобы доказать, что сумма точно
равна С — гГ; она может равняться С — п + 2~п или чему-либо
в этом роде. Но формула суммирования Эйлера все же дала нам
точность O(n~m~1) для произвольно большого та, даже несмотря
на то что мы не оценивали явно ни одного остаточного члена.
Снова сумма 1: выводы и обобщения
Прежде чем разделаться с нашим тренировочным примером,
попробуем вновь взглянуть на сделанное в более широком аспек-
аспекте. Мы начинали с суммы
f(k)
и, воспользовавшись формулой суммирования Эйлера, получили
Sn = F(n) - FA) + ^(Tk(n) - Tk(l)) + Rm(n), (9.83)
где F(x) есть Jf(x) dx, a Tk(x) — определенное выражение, вклю-
включающее B)c и f(k~~1)(x). Мы заметили также, что существует кон-
константа с, такая, что
f(m)(x)=O(xc~~m) при х—>оо для всех достаточно больших та.
(А именно, у нас было f(k) = 1/k(k+ 1); F(x) = ln(x/(x + 1));
с = -2 и Tk(x) = (-1 )k+1 (Bk/k) (x"k - (x + 1 )-k).) Это означает,
что для всех достаточно больших та остаточные члены имеют
маленький хвост,
Rm(n) = Rm(oo)-Rm(n)
= (_!)!»+! Г MMf(m)(x) dx = O(nC+1-m) . (9.84)
Jn m!
Следовательно, мы можем заключить, что существует констан-
константа С, такая, что
Tk(n)-R;(n). (9.85)
k=1
(Заметьте, что С счастливым образом вобрала в себя неприятные
члены Tjc(l).)
Мы можем сэкономить усилия в будущих задачах, сразу утвер-
утверждая существование константы С в тех случаях, когда Rm(oo)
существует.
Предположим теперь, что fBm+2)(x) ^ 0 и fBm+4)(x) ^ 0 для
1 ^ х ^ п. Мы доказали, что отсюда следует простая оценка
(9.80) остаточного члена:
R2m(n) = 9m)U(T2m+2(n) -T2m+2A)) ,
520 АСИМПТОТИКА
где 9m)TL лежит между 0 и 1. Но на самом деле нас не интере-
интересует оценка, содержащая R2m(Tt) и Тгт+гО); мы, в конце концов,
избавились от ТкA) путем введения константы С. Что нам дей-
действительно нужно, так это оценка вида
при 0 < фт,п < 1; она позволила бы вывести из (9.85) соотноше-
соотношение
Sn = F(n) + С + Ti (n) + JT T2k(n) + фт,пТ2т+2(п), (9.86)
k=l
и здесь остаточный член будет действительно лежать между 0 и
первым отброшенным членом.
Незначительная модификация наших предыдущих рассужде-
рассуждений полностью исправляет положение. Допустим, что
fBm+2)(x) ? 0 и fBm+4)(x) ^ 0 прих->оо. (9.87)
Правая часть (9-85), если рассматривать только остаточные чле-
члены, имеет точно такой же вид, как формула суммирования Эй-
Эйлера (9-67) для а = тг и b = 00, взятая с обратным знаком, и по-
последующие остаточные члены получаются индукцией по та. Сле-
Следовательно, в этом случае можно применить наши предыдущие
рассуждения.
Сумма 2: гармония гармонических чисел
Теперь, научившись столь многому на тривиальном (но на-
надежном) примере, мы легко справимся с нетривиальным. Исполь-
Используем формулу суммирования Эйлера для вывода аппроксимации
чисел Нп, уже объявленной ранее.
В этом случае f (х) = 1/х. Вычисляя сумму 1, мы уже изучили
интеграл и производные f; как и ранее, f^m^(x) = O(x~m~1) при
х —> оо. Поэтому можно сразу же использовать формулу (9-85)'
для некоторой константы С. Сумма слева есть Hn_i, а не Нп; од-
однако оказывается удобнее работать с Нп_1 и позднее добавить
1/п, чем возиться с (п + 1) в правой части. Тогда Bin пе-
перейдет в (Вт + 1 )тг~1 = 1/Bтг). Обозначим константу буквой у
вместо С, поскольку константа Эйлера у определяется ровно как
С помощью развитой только что теории можно хорошо оце-
оценить остаточный член, поскольку fBm^(x) = Bm)!/x2m+1 ^ 0 для
всех х > 0. Следовательно, из (9-86) получаем
9.6 ЗАВЕРШАЮЩЕЕ СУММИРОВАНИЕ 521
где 9m)TL—некоторая дробь между 0 и 1. Первые члены этой об-
общей формулы приведены в табл. 491. Например, для та = 2 будем
иметь
±^^^ (9.89)
Это уравнение, оказывается, дает неплохое приближение к у уже
при п = 2:
у = Н2-1п2-1 + ^-Т91о+е = 0.577165... + е,
где е лежит между 0 и j^jE' Если взять п = Ю4 и та = 250, то
можно вычислить значение у с 1271 верной десятичной цифрой,
начинающееся так:
у = 0.57721 566490153286060 65120 9008240243.... (9.90)
Однако константа Эйлера встречается и в других формулах, что
позволяет вычислять ее еще эффективнее [290].
Сумма 3: аппроксимация Стирлинга
Если f(x) = lnx, то f (x) = 1/х, и мы можем оценить сумму
логарифмов, используя практически те же вычисления, что и для
суммы обратных величин. Формула суммирования Эйлера дает
Li I I Inn m
Ink = nmn — n+G —
где а есть определенная константа, „константа Стирлинга", и
0 < фт,п < 1. (В данном случае fBm)(x) не положительна, а от-
отрицательна; но мы можем по-прежнему утверждать, что остаточ-
остаточный член подчинен первому отброшенному, поскольку мы могли
бы начать с функции f(x) = —lnx вместо f(x) = lnx.) Добавление
к обеим частям In n приводит при та = 2 к соотношению
1ПП 1 1 Ф2п
lnn!=nlnn-n+ — + „+_-___ + _?_. (9'9l)
Аппроксимацию из табл.491 можно теперь получить, взяв 'ехр'
от обеих частей. (Значение ест оказывается равным л/2я, но до-
доказательство этого мы пока отложим. В действительности сам
Стирлинг не знал точного значения константы еще несколько лет
после того, как де Муавр [99] доказал ее существование.)
Если та фиксировано, а п стремится к оо, то общая формула
дает все лучшие и лучшие аппроксимации для Inn! в смысле абсо-
абсолютной погрешности, следовательно, эти приближения являют-
являются все улучшающимися приближениями п! в смысле погрешности
относительной. Но если п фиксировано, а та возрастает, то оценка
погрешности |В2т+21/Bта + 2)Bта+ l)n2m+1 убывает лишь до не-
некоторого предела, а затем начинает расти. Таким образом, у этой
522 АСИМПТОТИКА
аппроксимации имеется некоторый порог точности, переступить Здесь не проходил
который мешает что-то вроде принципа неопределенности. ли Гейзенберг?
В соотношении E-83) из гл. 5 мы обобщили факториалы на
произвольные вещественные числа а с помощью определения,
предложенного Эйлером:
1 /п + а\ _а
— = lim n а.
а! n-юо \ п /
Пусть а —большое число; тогда
In a! = lim (alnn + lnn! - У ln(a + к))
п—юо \ *•— /
k=1
и для оценки этой суммы можно использовать формулу сумми-
суммирования Эйлера с f (х) = 1п(х + а):
•ос) = Fm(cx,n)-Fm(a,0) + R2m(a,n),
k=1
Fm(a,x) =
-I
+
nB2m({x}) dx
2m (x + aJm
(Здесь мы воспользовались (9.67) для а = 0иЪ=пи затем
добавили ln(n + a) — In а к обеим частям.) Если вычесть эту ап-
аппроксимацию суммы JLk=i ln(k+a) из аппроксимации Стирлинга
для Inn!, добавить a Inn и перейти к пределу при п —> оо, то по-
получим
In a
In a! = a In a — a H—-—h a
?2 f
-1)a2"-i J(
B2m({x}) dX
о 2m (x + aJm '
ибо alnn+nlnn—n+^lnn—(n+a)ln(n+a)+n—^ln(n+a) —> —аи
остальные, не показанные здесь члены, стремятся к нулю. Таким
образом, аппроксимация Стирлинга для обобщенных факториа-
факториалов (и для гамма-функции Г(а+ 1) = а!) выглядит точно так же,
как и для обычных факториалов.
Сумма 4: колоколообразные слагаемые
Обратимся теперь к сумме совершенно иного характера:
-k2/- (9.92)
к
= • • • + е~9/п + е~4/п + е-1/п +1 + е~1/п + е~4/п + е~9/п + ¦¦¦.
9.6 ЗАВЕРШАЮЩЕЕ СУММИРОВАНИЕ 523
Это бесконечная в обе стороны сумма, члены которой достигают
максимального значения е° = 1 при к = 0. Мы назвали сумму Gn,
поскольку это степенной ряд, содержащий величину е~1//п в сте-
степени р(к), где р(к) —многочлен степени 2; такие степенные ряды
традиционно называются „тета-функциями". Если п = 10100, то
?-к2/н _ J 1
е--01 « 0.99005 дляк = 1049,
е «0.36788 для к = 1050,
-юо<1о-43
Таким образом, слагаемые остаются очень близки к 1, пока к не
достигнет значений порядка у/п; в этот момент слагаемые умень-
уменьшаются и становятся очень близки к нулю. Мы можем предполо-
предположить, что Gn будет пропорциональна у/п. Ниже изображен гра-
график e~k2/n дляп = 10:
При больших значениях п график просто растянется по горизон-
горизонтали в у/п раз.
Чтобы оценить Gn с помощью формулы суммирования Эйле-
Эйлера, можно взять f (х) = е~х /п и а = —оо, b = +оо. (Если беско-
бесконечности страшат вас, то возьмите а = —Л и b = +В, а затем
перейдите к пределу при Л, В —> оо.) Интеграл от f(x) можно
вычислить при помощи замены х на /
p + OO p + OO
e~x /n dx = Vn e~u du = ,/nC.
J—oo J—со
u
Значение J_^ e u du хорошо известно, но мы пока обозначим его
буквой С с тем, чтобы вернуться к нему после того, как закончим
разбирательство с формулой суммирования Эйлера.
Следующее, что нам нужно знать,—это последовательность
производных f M, f"M, •••; Для их нахождения удобно будет
воспользоваться заменой
Тогда правило замены переменной из дифференциального исчи-
исчисления говорит нам, что
df(x) = dg(y) dy „ = —
dx dy dx J V y/n J
а это означает просто
f(x) = lg
По индукции получаем
524 АСИМПТОТИКА
Так, вычислив д'[х) = —2хе~х2 и д"{х) = (Ах2 - 2)е~х , получим
f (х) 1 (-2 * )e-Vn, f»(x) = l
Чтобы было легче увидеть, что произойдет в дальнейшем, лучше
работать с более простой функцией д(х).
Нам не понадобится точно вычислять производные д(х), по-
поскольку нас интересуют только предельные значения при х =
±оо. Но тогда достаточно заметить, что любая производная фун-
функции д(х) есть произведение е~х и некоторого многочлена от х:
g(k)(x) = Pk(x)e~x , где Р^ — многочлен степени к.
Это доказывается по индукции.
Экспонента е~х стремится к нулю при х —* ±оо гораздо бы-
быстрее, чем РкМ стремится к бесконечности, поэтому мы делаем
вывод, что
f(k)(+oo) = f<k>(-oo) =0
для всех k ^ 0. Следовательно, все члены в
к=1 '
исчезают и остается лишь слагаемое с Jf(x)dx и остаточный
член:
(X =
A
Выписанная О-оценка остаточного члена вытекает из того, что
| Bm ({uy/n}) | ограничено и интеграл J^ |P(u) | e~u du существу-
существует, если Р — многочлен. (Константа в этом О зависит от та.)
Мы доказали, что Gn = Сл/п+О{п~м) для сколь угодно боль-
большого М; разность между Gn и Су/п „экспоненциально мала" Зай-
Займемся теперь определением константы С, играющей столь важ-
важную роль в значении Gn.
Можно очень просто определить С, найдя нужный интеграл в
таблице; но мы предпочтем самостоятельно получить это значе-
значение, чтобы в будущем суметь подсчитать также и те интегралы,
9.6 ЗАВЕРШАЮЩЕЕ СУММИРОВАНИЕ 525
которых нет в таблицах. Для вычисления С достаточно элемен-
элементарного анализа, если только мы догадаемся рассмотреть двой-
двойной интеграл
р + ОО р+ОО р + ОО р+ОО
С2 = е~х dx е"у dy = е"(х +у } dxdy.
J—oo J—oo J—oo J— оо
—oo J—oo J—oo
Переход к полярным координатам дает
_ Г* Г°° _r2
Jo Jo
= i d0 e"u«
2 Jo Jo
C2 = | | e-r rdrde
du
o
27t
Jo
Следовательно, С = у/п. Тот факт, что х2+у2 = г2 есть уравнение
окружности длины 27гг, в какой-то мере объясняет, откуда здесь
берется 7Г.
Можно вычислить С иначе, выполнив замену х на y/i и dx на
Jrt-^dt:
р + ОО рОО рОО
С = е"х dx = 2 е"х dx = t/2e"t dt.
J-oo Jo Jo
Этот интеграл равен Г(^), поскольку, в соответствии с E-84),
Г (а) = J^°ta~1e~t dt. Следовательно, мы показали, что Г(^) =
Итак, наша окончательная формула такова:
вп = ]Г e"k2/n = V^K+ O(n~M)
k
для любого фиксированного М. (9-93)
Константа в О зависит от М; именно поэтому мы говорим о
„фиксированном" М.
Если, например, п = 2, то бесконечная сумма @i равняет-
равняется 2.506628288; это уже превосходное приближение к \f7rk «
2.506628275, несмотря на малость п. Значение 0юо совпадает с
1 Оу/п до 427-й десятичной цифры! В упр. 59 при помощи более со-
совершенных методов получается быстро сходящийся ряд для Gn;
оказывается, что
Sn/V^i = 1 + 2е-п*2 + О(е~4™2). (9.94)
Сумма 5: завершающий удар
Сейчас займемся нашей последней суммой, которая позволит
нам найти значение константы Стирлинга а. Эта последняя сум-
сумма также иллюстрирует многие другие методы из этой последней
АСИМПТОТИКА
главы (и из всей книги), так что это вполне уместный пример в
завершение нашего исследования конкретной математики.
Последняя задача выглядит абсурдно простой: мы попытаем-
попытаемся найти асимптотическое значение суммы
Ап =
с помощью формулы суммирования Эйлера.
Здесь мы вновь встречаемся с ситуацией, когда заранее изве-
известен ответ (так ли?); однако всегда интересно попробовать новые
методы в старых задачах, чтобы можно было сравнить результа-
результаты и, может быть, открыть что-нибудь новое.
Итак, мы думаем о главном и обнаруживаем, что основной
вклад в Ап вносят средние члены вблизи к = п. Почти всегда
удобно выбрать такие обозначения, чтобы основной вклад в сум-
сумму происходил вблизи к = 0; затем мы сможем применить прием
замены хвоста, чтобы избавиться от членов с большим |к|. Соот-
Соответственно, заменим к на п + к:
Bп)!
Дела выглядят неплохо, поскольку мы знаем, как аппроксимиро-
аппроксимировать (п ± к)! в случае больших п и малых к.
Теперь мы собираемся применить трехшаговую процедуру,
подразумеваемую приемом замены хвоста. Именно, мы хотим за-
записать
(п + ЦЦп-к)! = Qk(n) = Ък(п) + °(Ск(п)) Аля к G Dn
с тем, чтобы получить оценку
Ап = Xbk^+0(Z Mn))+0(^ bk(n))
k kgD gD
O(ck(n)).
Попробуем поэтому оценить (ПД) в области малых |к|. Можно
было бы использовать аппроксимацию Стирлинга, как она пред-
представлена в табл.491, но проще работать с ее логарифмическим
эквивалентом в виде (g.gi):
lnak(n)=lnBn)!-ln(n+k)!-ln(n-k)!
=2nln2n-2n+lln2n+a+O(n-1)
-(n+k)ln(n+k)+n-bk-lln(n+k)-a+O((n+k)-1)
-(n-k)ln(n-k)+n-k-lln(n-k)-a+O((n-k)-1).
(9-95)
9.6 ЗАВЕРШАЮЩЕЕ СУММИРОВАНИЕ 527
Хотелось бы преобразовать это в простую и красивую О-оценку.
Метод замены хвоста позволяет использовать оценки, спра-
Но я не из тех, кто ведливые только для к из „доминирующего" множества Dn. Но
доминирует как нам выбрать Dn? Мы должны взять Dn достаточно малым,
чтобы можно было получить хорошую оценку; так, например,
не стоит допускать приближения к к п, в этом случае член
О((п — к)) в (9-95) „взрывается1! С другой стороны, Dn долж-
должно быть достаточно большим, чтобы остаточные члены (члены с
к ? Dn) были пренебрежимо малы в сравнении со всей суммой.
Обычно для определения подходящего множества Dn требуется
действовать методом проб и ошибок; в данной задаче вычисления,
которые мы вскоре проделаем, покажут, что разумно определить
множества следующим образом:
к б Dn 4=*> |к| ^ п]/2+е. (9.96)
Здесь е — небольшая положительная константа, значение кото-
которой мы выберем позже, после того как лучше изучим местность.
(Наши О-оценки будут зависеть от е.) Уравнение (д-9б) можно
теперь сократить до
(9.97)
(Мы вынесли основную часть логарифмов, записав
ln(n ± k) = Inn + lnA ± к/п),
в результате чего многие члены, содержащие Inn, сократились.)
Теперь нужно разложить члены ln(l ± к/п) асимптотически,
так, чтобы погрешность стремилась к нулю при п —> оо. Мы умно-
умножаем 1пA ± к/п) на (n ± k+ 1); значит, требуется разложить ло-
логарифм до членов о(п~]) с учетом предположения |к| ^
n/
Умножение на п ± к + \ дает
ъ2 ь2
±к-^ + -
2п п
плюс другие члены, которые поглощаются слагаемым
О(п~}/2+3е)
). Таким образом, (д-97) превращается в
lnak(n) = Bn+i)ln2
Взяв экспоненту, получим
22п+1/2
ak(n) = -k/-(
528 АСИМПТОТИКА
Это и есть наша аппроксимация с
?2п+1/2
bk(n) = = e"k /n , ck(n) = 22n n+3e e"k /n .
естп
Заметьте, что к входит в bk(n) и CiJn) очень простым образом.
Это явная удача, ведь суммировать мы будем по к.
Трюк замены хвоста говорит нам, что JTr aic(n) приближенно
равна Z^biJn), если мы грамотно выполнили аппроксимацию.
Вычислим поэтому
(И снова удача: можно использовать сумму вп из предыдущего
примера.) Это радует, поскольку, как нам известно, исходная сум-
сумма равна в действительности
Похоже, таким образом, что ест = \/2я, как и было объявлено.
Но не торопитесь радоваться. Надо еще доказать, что наши
оценки достаточно точны. Посмотрим сначала на погрешность,
вносимую Cic(n):
Ic(n) =
22nn-1+3ce-
/n
Хорошо; эта величина асимптотически меньше предыдущей сум-
суммы, если Зе < \.
Теперь следует проверить хвосты. Имеем
e~k2/n < ехр(-[п1/2+е]2/п)A + e/n + e/n + • • •)
bic(n) асимпто-
асимпто= O(e-n2t)-O(n),
а это есть O(n~M) для любого М; тгж что
тически пренебрежимо мала. (Мы выбрали границу п1//2+е как
раз так, чтобы е~к /п было экспоненциально малым вне Dn. Впол-
Вполне подошли бы и другие выражения, наподобие n1//2 logn, и оцен-
оценки были бы тогда несколько точнее, зато формулы оказались бы
сложнее. Нам совсем не обязательно находить наиболее точную
Какое удивитель-
удивительное совпадение.
Я так устал, про-
продираясь через
длинные, тяже-
тяжелые книги, и нив
одной не встретил
хотя бы слова одо-
одобрения от автора.
А как было бы
приятно прочесть:
„Благодарим до-
дошедших до этого
места, надеемся,
что вы потратили
время не зря",—
вместо того, чтобы
в конце длинного,
сухого доказатель-
доказательства обнаружить
холодную картон-
картонную обложку Вы
понимаете меня?
9 УПРАЖНЕНИЯ 529
Благодарим до-
дошедших до этого
места, надеемся,
что вы потратили
время не зря.
—Авторы
оценку, поскольку главная наша цель — найти значение констан-
константы а.) Точно так же другой хвост
2п
ограничен 2п-кратным максимальным слагаемым, получаемым
в разделительной точке к « п1/2+е. Это слагаемое, как известно,
приближенно равно b|<(n), что, в свою очередь, экспоненциаль-
экспоненциально мало в сравнении с Лп; экспоненциально малый множитель
перевешивает множитель 2п.
Итак, мы успешно применили трюк замены хвоста и доказали
оценку
если 0 < е < \.
(9-99)
Можем выбрать е = | и сделать вывод, что
а = jln2n.
чтд.
Упражнения
Разминочные упражнения
1 Докажите или опровергните: если f 1 (п) -< g^(п) и f2(n) -<
g2(n), то f! (n) + f2(n) -< gi (n) + g2(n).
2 Какая из функций растет быстрее:
a n(lnn) или (lnn)n?
b n(lnlnlnn) или (Inn)!?
с (п!)! или ((n-l)!)!(n-l)!nf?
d F^Hn-| или HFn?
3 Что неверно в следующих рассуждениях? „Поскольку п =
О(п) и 2п=0(п) и т.д., то заключаем Льн ^n =Zlk=i0(n) ^
4 Приведите пример верного соотношения, содержащего символ
О в левой части, но не в правой. (Не используйте умножение
на нуль; это слишком просто.) Указание: рассмотрите пере-
переход к пределу.
5 Докажите или опровергните: O(f(n) + g(n)) = f(n)-f O(g(n)),
если f (n) и g(n) положительны для всех п. (Сравните с (9.27).)
6 Умножьте Aпп+у+0A/п)) на (п+О(\/п)) и выразите ответ
в 0-обозначениях.
7 Оцените Jlk^o ^~k//n с абсолютной погрешностью Oln).
530 АСИМПТОТИКА
Обязательные упражнения
8 Приведите пример функций f(n) и g(n), таких, что ни одно
из трех отношений f(n) -< g(n), f(n) у g(n), f(n) x g(n) не
выполняется, несмотря на то что обе эти функции монотонно
стремятся к оо.
9 Строго докажите (9.22), показав, что левая часть являет-
является подмножеством правой части в соответствии с теоретико-
множественным определением О.
10 Докажите или опровергните: cosO(x) = 1 + 0(х2) для всех
вещественных х.
11 Докажите или опровергните: О(х-\-уJ = О(х2) + 0(у2).
12 Докажите, что
1 + ^ + O(n-2) = A + i)(i+0(n-2))
при п —* оо.
13 Вычислите (п + 2 + С^п ))п с относительной погрешностью
14 Докажите, что (n+<x)n+p = nn+PeaA+a(|3-^a)n-4O(n-2)).
15 Дайте асимптотическую формулу для „среднего" триномиаль-
триномиального коэффициента (n3^n), верную с относительной погреш-
погрешностью 0(п~3).
16 Предполагая, что ВA — х) = —В(х) ^ 0 для 0 < х < \, дока-
докажите, что
f B({x})f(x)dx^O
при дополнительном условии f ;(х) ^ 0 для а ^ х ^ Ь.
17 Используя производящие функции, покажите, что Вт(^) =
Bi-™ _ 1 )вт для всех т ^ 0.
18 Найдите YLk Ск)" Аля a > ® с относительной погрешностью
Домашние задания
19 Сравните с помощью компьютера левую и правую части ап-
аппроксимаций из табл.491, положив п = 10, z = a = 0.1 и
O(f(n))=O(f(z))=0.
9 УПРАЖНЕНИЯ 531
20 Докажите или опровергните следующие оценки при п —> оо:
а
b eA+OA/n)J =
21 Уравнение (9-4$) дает n-е простое число с относительной
погрешностью O(logn)~2. Улучшите относительную погреш-
погрешность до O(logn), использовав в (9.46) еще один член (9-31)-
22 Улучшите (9.54) А° О(п~3).
23 Сделайте еще один шаг в улучшении (9-62), достигнув абсо-
абсолютной погрешности О(п~3). Указание: пусть дп =
c/(n + 1)(n + 2) + Hnj какому рекуррентному соотношению
удовлетворяет Нп?
24 Предположим, что an = O(f(n)) и bn = O(f(n)). Докажи-
Докажите или опровергните то, что свертка ХЦс=о Q-kbn-k также есть
O(f(n)) в следующих случаях:
a f(n) = п~а, а> 1.
b f(n) = а"п, а> 1.
25 Докажите формулы (9.1) и (9-2), с которых начиналась эта
глава.
26 Уравнение (д-91) показывает, как вычислить In 10! с абсолют-
абсолютной погрешностью < 126odoooo- Следовательно, перейдя к экс-
экспонентам, мы получим 10! с относительной погрешностью, ко-
которая меньше, чем е1/12600000° — 1 < 10~8. (Фактически эта ап-
аппроксимация дает 3628799.9714.) Если теперь, зная, что 10! —
целое число, округлить результат до ближайшего целого, то
получим точный ответ.
Всегда ли возможно вычислить п! подобным методом, взяв до-
достаточное количество членов аппроксимации Стирлинга? Оце-
Оцените значение та, дающее наилучшее приближение к Inn! для
фиксированного (большого) целого п. Сравните абсолютную
погрешность этой аппроксимации с самим значением п!.
27 С помощью формулы суммирования Эйлера найдите асимпто-
асимптотическое значение Н^~л' = Xlk=i ka, гАе сх —любое фиксиро-
фиксированное вещественное число. (Ваш ответ может включать кон-
константу, значение которой в замкнутом виде вам неизвестно.)
28 В упр. 5.13 определена функция гиперфакториал: Qn =
V22 ...пп. Найдите асимптотическое значение Qn с относи-
относительной погрешностью О(п~^). (Ваш ответ может включать
константу, значение которой в замкнутом виде вам неиз-
неизвестно.)
532 АСИМПТОТИКА
29 Оцените функцию ]]^2^2 .. .п1/п как в предыдущем упраж-
упражнении.
30 Найдите асимптотическое значение YLk^o^e~k /n c абсолют-
абсолютной погрешностью О(п~3), если I — фиксированное неотрица-
неотрицательное целое.
31 Вычислите YLk^o V(ck + cm) с абсолютной погрешностью
О(с~3та), если с > 1, a m — положительное целое.
Контрольные работы
32 Вычислите еНп+Нп с абсолютной погрешностью OtrT).
33 Вычислите Лк>0 (?)Мк с абсолютной погрешностью О(п~3).
34 Определите значения коэффициентов от А до F, такие, что
A + 1/п)пНп равняется
п п
35 Вычислите ??=1 1/кНк с абсолютной погрешностью 0A).
36 Вычислите Sn = Лк=1 1/("п2+к2) с абсолютной погрешно-
погрешностью 0{п~5).
37 Вычислите Л?=1 (n mod к) c абсолютной погрешностью
O(nlogn).
38 Вычислите J2к^окк(^) с относительной погрешностью О (п).
39 Вычислите Zio^k<nln(u —k)(lnu)k/k! с абсолютной погрешно-
погрешностью 0{п~]). Указание: покажите, что членами с k ^ 10Inn
можно пренебречь.
40 Пусть m — положительное целое (фиксированное). Вычислите
J2k=1 (—1 )kH]^ с абсолютной погрешностью 0A).
41 Вычислите „факториал Фибоначчи" Пк=1 ^к с относительной
погрешностью 0{п~}) или лучшей. Ваш ответ может вклю-
включать константу, значение которой в замкнутой форме вам не-
неизвестно.
42 Пусть а — константа в диапазоне 0 < а < j. Как мы видели в
предыдущих главах, не существует общего выражения в зам-
замкнутой форме для суммы Цк^ап (к). Покажите, однако, что
имеется асимптотическая формула
где Н(а) — alg ^ + A — a)lg(y^). Указание: покажите, что
(^!) < т^ (к) Для 0 < к ^ <хтг.~
9 УПРАЖНЕНИЯ 533
43 Покажите, что Сп, число способов размена п центов (рассмо-
(рассмотренное в гл. 7), асимптотически равно сп4 + О(п3) для неко-
некоторой константы с. Чему равна эта константа?
44 Докажите, что
L1/2J " L-1/2J
прих —> со. (Вспомнитеопределениех— = х!/(х—^)! из E-88)
и определение обобщенных чисел Стирлинга из табл. 302.)
45 Пусть а —иррациональное число от 0 до 1. В гл. 3 рассматри-
рассматривалась величина D( а, п), измеряющая максимальное отклоне-
отклонение множества {кос} для 0 ^ к < п от равномерного распреде-
распределения. В (з-З1) было доказано рекуррентное соотношение
D(<x,n) ^ D({a~'}, [anjj + a~ +2;
кроме того, имеются очевидные границы
0 ^ D(a,n) ^ п.
Докажите, что 1ш1п_юо D(a,n)/n = 0. Указание: в гл. б обсу-
обсуждаются непрерывные дроби.
46 Покажите, что числа Белла Qn
асимптотически равны
= е
^- из УПР-
где m(u) lnm(n) = п— \. Оцените относительную погрешность
этой аппроксимации.
47 Пусть m — целое число ^ 2. Проанализируйте две суммы
k=1 k=1
Какая из них асимптотически ближе к logm п! ?
48 Рассмотрим таблицу гармонических чисел Нк для 1 ^ к ^ п
в десятичной записи. В этой таблице к-й элемент Н^ округлен
до dk значащих цифр, где d^ выбрано как раз таким, чтобы
можно было отличить этот элемент от H)c_i и Hk+i. Здесь в
качестве примера приведены 5 строк из этой таблицы в том
месте, где Н^ преодолевает рубеж 10:
12364
12365
12366
12367
12368
нк
9.99980041-
9.99988128+
9.99996215-
10.00004301-
10.00012386+
нк
9.9998
9.9999
9.99996
10.0000
10.0001
5
5
6
6
6
Оцените общее число цифр в таблице, ?Ik=i
погрешностью О(п).
с абсолютной
534 АСИМПТОТИКА
49 В гл. 6 мы рассмотрели историю червяка, который допол-
доползет до конца растягивающейся ленты через п секунд, где
Hn_i < 100 ^ Нп. Докажите, что если п — положительное
целое число, такое, что Hn_i ^ a ^ Hn, то
Le"-^J <; и <; \e«-v].
50 Рисковые капиталисты из Кремниевой долины получили пред-
предложение, дающее шанс на экспоненциально большую прибыль
по их инвестициям: консорциум ГКП обещает в случае вклада
в размере п миллионов долларов, где n ^ 2, выплатить че-
через год сумму, соответствующую N миллионам долларов, где
N = 10п. Разумеется, существует некоторая доля риска; на са-
самом деле ГКП платит к миллионов долларов с вероятностью
1/(к2Н^ ) для целых к в диапазоне 1 ^ к ^ N. (Все платежи
осуществляются в мегадолларах, т. е. целых кратных 1000000
долларов; выплата определяется истинно случайным процес-
процессом.) Обратите внимание, что вкладчик всегда получает назад
по крайней мере один миллион долларов.
а Чему равен асимптотически ожидаемый результат через
год, если было вложено п миллионов долларов? (Другими
словами, каково среднее значение выплаты?) Ваш ответ
должен быть точен в пределах абсолютной погрешности
0A0~п) долларов.
b С какой асимптотической вероятностью вы будете иметь
прибыль, вложив п миллионов? (Другими словами, како-
какова вероятность того, что вы получите назад больше, чем
вложили?) Здесь допускается абсолютная погрешность от-
ответа до О(п~3).
Конкурсные задачи
51 Докажите или опровергните: J^°O(x~)dx=O(n~1) прип—>оо.
52 Покажите, что существует степенной ряд A(z) = ]Tk>0 anzn,
сходящийся для всех комплексных z, и такой, что
Л(п) у
„.¦¦¦¦>.
53 Докажите, что если производные функции f (х) удовлетворяют
неравенствам
для всех х ^ 0, то
f'@)
Названный по
первым буквам
фамилий его осно-
основателей — Грэхема,
Кнута, Паташника
— Перев.
Как-то раз я
заработал
ОA(ГП)
долларов.
xm4-O(xm) длях^О.
В частности, в случае f(x) = — ln(l 4-х) получаем доказатель-
доказательство (9.64) для всех k,n > 0.
9 УПРАЖНЕНИЯ 535
54 Пусть f(x) —положительная, дифференцируемая функция,
причем xf (х) -< f (х) при х -» оо. Докажите, что
Указание: рассмотрите величину f(k— |)/(k — |
|)a
55 Улучшите (9-99)» уменьшив относительную погрешность до
О(п-3/2+5е).
56 Величина Q(n) = 1 + *=1 + ^^ + • • • = Lic^i nVnk встре-
встречается при анализе многих алгоритмов. Найдите ее асимпто-
асимптотическое значение с абсолютной погрешностью о A).
57 В (9-54) получена асимптотическая формула для суммы Го-
ломба ]Tk>1 1/k[1 -hlognkj2. Найдите асимптотическую фор-
формулу для'" аналогичной суммы без округления до целых,
Hk>i VM1 + l°gnkJ. Указание: рассмотрите интеграл
-htlnkJ.
58 Докажите, что
Вт({х}) = -2-^ L ^Н Аля т ^ 2.
Для этого вычислите с помощью теории вычетов интеграл
_1_ Г 2nie2nizQ dz
2тг1 J e2?riz - 1 z^
по квадратному контуру z = х + uj, где тах(|х|, |у|) = М. + ^,
устремив затем целое М. к оо.
59 Пусть Gn(t) = 22ке~(к+1J/п~"пеРи°Аическая функция t. По-
Покажите, что разложение Bn(t) в ряд Фурье выглядит следую-
следующим образом:
Gn(t) = 22
(Эта формула дает быстро сходящийся ряд для суммы Эп =
вп@) из уравнения (9-93)-)
60 Объясните, почему у всех коэффициентов в асимптотическом
разложении
1 5 21
Bп\ 4- / 1
\ n J у/тт \ 8п
знаменатели являются степенями 2.
536 АСИМПТОТИКА
61 В упр. 45 доказывается, что отклонение от равномерного рас-
распределения D(a, п) есть о(тг) для любого иррационального
числа ос. Предъявите иррациональное а, такое, что D(a, п)
не является О(п]~?) ни для какого е > 0.
62 Для данного п пусть {т?п)} = тах^ {?} —максимальный эле-
элемент строки п треугольника Стирлинга (для числа подмно-
подмножеств). Покажите, что для всех достаточно больших п выпол-
выполняется одно из равенств т(п) = [m(n)J или т(п) = |"m(n)~|,
где
m(n)(m(n) + 2) ln(m(n) + 2) = n(m(n) + 1).
Указание: это трудно.
63 Докажите, что самоописывающиеся последовательности
С. В. Голомба из упр. 2.36 удовлетворяют соотношению f (п) =
ф2-ФпФ-1 +O(n*-7logTi).
64 Дайте доказательство тождества
Lcos2ппх -у, 7 IV
—— =тг2(х2-х+1) для0<Сх<С1,
использующее только „Эйлерову" математику (т. е. то, что бы-
было известно в восемнадцатом столетии).
65 Чему равны коэффициенты асимптотического ряда:
1 ++ + + а + + ^ + ?
п-1 (п-1)(п-2) (п-1)! п п2
Исследовательские проблемы
66 Найдите „комбинаторное" доказательство аппроксимации
Стирлинга. (Обратите внимание на то, что пп есть число ото-
отображений множества {1,2,..., п} в себя, тогда как п! — число
отображений того же множества на себя.)
67 Рассмотрим решетку точек размера п х п, п ^ 3, в ко-
которой каждая точка имеет четырех соседей. (На краях мы
„перескакиваем" на противоположную сторону по модулю п.)
Пусть Хп означает число способов раскрасить эти точки в три
цвета—красный, белый и синий, так чтобы никакие две со-
соседние точки не были окрашены в один цвет. (Так, хз = 12.)
Докажите, что
68 Обозначим через Qn минимальное целое та, такое, что Нт > п.
Найдите наименьшее целое п, для которого Qn ф [еп~у + \\, Ребята
или докажите, что такого п не существует. это коне-е-ец!
A
(Нашедшему
первым всякую
ошибку в этой
книге причитается
вознаграждение в
2.56 доллара.)
Это утверждение
относится и к
русскому переводу?
(На опечатки в
русском переводе
это не распростра-
распространяется.)
А как же понять,
кто ошибся?
(Гм-м... По-
Попробуйте, а там
посмотрим.)
Ответы к упражнениям
КАЖДОЕ УПРАЖНЕНИЕ сопровождается (по крайней мере,
кратким) ответом, а некоторые из этих ответов выходят за рамки
того, что спрашивалось. Читатели извлекут наибольшую пользу,
если предпримут серьезную попытку найти свои собственные от-
ответы, прежде чем заглянуть в данное приложение.
Авторам будет интересно узнать о любых (хотя бы частич-
частичных) решениях исследовательских проблем или же о любых бо-
более простых (или более правильных) способах решения других
задач.
1.1 Доказательство безупречно за исключением случая п = 2.
Если все пары лошадей состоят из лошадей одинаковой масти,
данное утверждение справедливо для любого числа лошадей.
1.2 Если Хп — требуемое число перекладываний, то Хо = 0 и
Xn = Xn_i +1 +Xn_i +1 +Xn_i при п > 0. Отсюда следует (если,
например, прибавить 1 к обеим частям), что Хп = Зп — 1. (По-
(После jXn перекладываний оказывается, что башня целиком будет
находиться на среднем колышке — перевалочный пункт!)
1.3 Всего существует Зп возможных размещений, ибо каждый
диск может оказаться на любом колышке. Мы обязательно столк-
столкнемся с каждым из них, поскольку самое короткое решение требу-
требует Зп — 1 перекладываний. (Подобная конструкция эквивалентна
„троичному коду Грея" который пробегает все числа от @... 0)з
до B... 2)з, изменяя каждый раз только одну цифру.)
1.4 Нет. Если самый большой диск не перекладывать, то будет
достаточно 271 —1 перекладываний (доказывается по индукции);
в противном случае будет достаточно BП~1 — 1) + 1 + BП~1 — 1)
перекладываний (также по индукции).
1.5 Нет. Произвольно расположенные окружности могут пере-
пересечься самое большее в двух точках, так что добавление четвер-
четвертой окружности сможет увеличить число областей самое боль-
большее до 14. Однако данное задание можно выполнить с помощью
538 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
овалов:
„Число точек пе-
пересечения" может
послужить сюже-
сюжетом целой истории,
в которой выпу-
выпуклость играет роль
„отвлекающего
момента"
Венн [51] утверждал, что случай пяти множеств невозможно про-
проиллюстрировать эллипсами, однако такое построение было най-
найдено Грюнбаумом [92].
1.6 Если новая n-я прямая пересекает прежние прямые в к> О
различных точках, мы получаем к — 1 новых конечных областей
(в предположении, что ни одна из прежних прямых не парал-
параллельна никакой другой) и 2 новые бесконечные области. Следо-
Следовательно, максимальное число конечных областей равно (п — 2) +
1.7 Мы не доказали базу индукции; и в самом деле, НA)
1.8 Q2 = О + Р)/а, Q3 = A+а+Р)/аР, Q4 = A+а)/Р, Q5 = а,
Qg = C, так что данная последовательность периодична!
1.9 (а) Утверждение Р(п — 1) мы получаем из неравенства
¦ • ¦ Xn_i = ^
V п-1 ) V
п-1
(Ь) X] .. .xnxn+i .. .x2n^ (((xi + • • • +xn)/n)((Xn+i + • • • +x2n)/n))n
в силу Р(п); произведения внутри ^ ((xi И ЬХ2П)/2пJ в силу
РB). (с) К примеру, РE) следует из Р(б) , РF)-из РC), РC)-
изРD), аРD)-из РB).
1.10 Вначале покажите, что Rn = Rn_i + 1 + Qn_i + 1 + Rn_i
при п> 0. Между прочим, методы гл. 7 позволяют показать, что
Qn = (A + у/%)n+1 - A - у/Ъ )п+1)/Bх/3) - 1.
1.11 (а) Мы не можем сделать ничего лучшего, чем переместить
вначале двойную (п— 1 )-башню, затем переложить (с изменением
порядка) два самых больших диска, а на них снова поместить
двойную (п — 1 )-башню; следовательно, Лп = 2An_i + 2 и Лп =
2Tn = 2n+1 — 2. Это решение меняет местами два самых больших
диска, но сохраняет исходный порядок других 2п — 2 дисков.
(Ь) Обозначим через Вп минимальное число перекладыва-
перекладываний. Тогда Bi = 3, и можно показать, что нет лучшей стратегии,
чем Вп = Лп-1 + 2 + An_i + 2 + Bn_i, когда п > 1. Следователь-
Следовательно, Вп = 2П+2 — 5 для всех п > 0. Как ни странно, но это про-
просто 2АП — 1, и мы также имеем Bn = An_i +1 + A71-i +1 + An_i +
Здесь предполага-
предполагается, что п > 0.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 539
1.12 Если все так > 0, то А(тщ,..., mn) = 2А(тги,..., mn_i) +
mn. Это уравнение является уравнением „обобщенного иосифова"
типа с решением (mi ... mnJ = 2n~~1mi + Ь 2mn_i + mn.
К тому же соответствующее обобщение упр. lib приводит
к рекуррентности
В(ттц,.. .,тпп) =
' A(mi,...,mn), если mn = 1,
2mn — 1, если п = 1,
2A(mi,...,mn_i)+2mn
+ B(mi,...,mn-i), если п > 1
и mn > 1.
1.13 Зная, что п прямых разбивают плоскость на Ln областей,
мы можем заменить их исключительно узкими зигзагами с на-
настолько длинными отрезками, что каждая пара зигзагов имеет
девять пересечений. Это показывает, что ZZn = ZZn_i + 9n — 8
при всех п > 0; следовательно, ZZn = 9Sn — 8n+l = §n2 — |n+1.
1.14 Число новых трехмерных областей, образованных новым
разрезом,—это число двумерных областей, образованных на но-
новой плоскости линиями ее пересечений с прежними плоскостями.
Следовательно, Pn = Pn_i +Ln_i, откуда выясняется, что Ps = 26.
(С помощью шести разрезов кубической головки сыра можно по-
получить 27 кубиков сыра или же до 42 кусков сыра неправильной
формы.)
Между прочим, решение этого рекуррентного соотноше-
соотношения приобретает привлекательный вид, если выразить его через
биномиальные коэффициенты (см. гл. 5):
Держу пари—я
знаю, что будет
в случае четырех
измерений!
¦•-СКИЭ-
Здесь Хп—наибольшее число одномерных областей, на которые
прямая делится п точками.
1.15 При п > 1 функция I удовлетворяет тому же самому ре-
рекуррентному соотношению, что и функция J, однако при п = 1
функция 1A) не определена. Поскольку 1B) = 2, а 1C) = 1, не
существует значения 1A) = а, которое позволило бы использо-
использовать наш общий метод: „исход" развертывания зависит от двух
старших битов в двоичном представлении п.
Если п = 2m+2m~1 +k, где 0 ^ k < 2m+] +2m--Bm+2m-1) =
2m + 2m~1, то решением является 1(п) = 2к + 1 при всех п > 2.
540 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Другой способ записи решения в случае, когда п = 2т +1, таков:
If )= fJ(n)+2m-\ еслиО^Кг™-1,
I J(n) - 2m, если 2m~] ^ I < 2m.
1.16 Пусть g(n) = a(n)a+b(n)C0 + c(n)Ci +d(n)y. Из (i.i8) из-
известно, что a(n)a + b(n)(Jo + c(n)Pi = (a(Jbm_, Pbm_2 - • • Рь, Ръо)з
при n = A bm_i ... bi boh; это определяет a(n), b(n) и с(п). Под-
Подстановка g(n) = n в наше рекуррентное соотношение означает,
что a(n) -f-c(n) — d(n) = п, так что ним все известно. [Подстановка
g(n) = 1 дает дополнительное равенство a(n)— 2b(п) — 2с(п) = 1,
которое может быть использовано для определения Ъ(п) через
более простые функции a(n) и a(n) + с(п).]
1.17 В общем случае Wm ^ 2Wm_k + Tk при 0 ^ k ^ та. (Данное
соотношение соответствует перемещению верхних m — к дисков с
последующим использованием только трех колышков для пере-
перекладывания к дисков и завершающим перекладыванием верхних
п — к дисков.) Установленное соотношение оказывается основан-
основанным на единственном значении к, которое минимизирует правую
часть данного общего неравенства при m = п(п + 1 )/2. (Однако
мы не можем утверждать, что имеет место равенство, поскольку
для перемещения подобной башни приемлемы многие другие спо-
способы.) Если мы положим Yn = (Wn(n+1)/2 — 1)/2n, то обнаружим,
что Yn ^ Yn_i + 1; следовательно, Wn(n+1)/2 ^ 2n(n- 1) + 1.
1.18 Достаточно показать, что обе линии, выходящие из точки
излома (п2), 0), пересекают другие такие же линии, выходящие из
точки (п2к,0), и что все они пересекаются в различных точках.
Линия, выходящая из точки (xj , 0) и проходящая через точ-
КУ (xj ~- aj>l)> пересекает линию, выходящую из точки (xjc,O) и
проходящую через точку (xjc — ajc,l), в точке (xj — taj,t), где
t = (xjc—Xj)/(ak — aj). Пусть Xj = n2) и aj = п* + @илигГ"п). Тогда
величина отношения t = (n2k — u2> )/(nk — rO + (—n~n или О или
n~n)) находится строго между n)'+nk—1 и nL-nk+1; следователь-
следовательно, ордината точки пересечения определяет j и к единственным
образом. К тому же четыре точки пересечения с одинаковыми j
и к различны.
1.19 Не могут, когда п > 5. Ломаная линия, полупрямые кото-
которой образуют при вершине углы 0 и 0 + 30°, может пересечься
четыре раза с другой ломаной, полупрямые которой образуют
углы ф и ф + 30°, только если 30° < |0 — ф| < 150°. Невозмож-
Невозможно выбрать более 5 углов, удаленных друг от друга на требуемое
расстояние. E углов выбрать можно.)
1.20 Пусть Н(п) = a(n)a+b(n)(Jo + c(n)(Ji+d(n)Yo + e(n)yi. Из
(i.i8) известно, что a(n)a + b(njC0 + c(n)|3i = (a(Jbm_, Pbw_2 •••
Ры РьоL при n = A bm_] ...bi boJj это определяет а(п)} b(n)
и c(n). Подставляя h(n) = n в нашу рекуррентность, имеем a(u)+
с{п) — 2d(n) — 2e(n) = n; а подставляя h(n) = n2, имеем а(п) +
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 541
Я однажды катал-
катался на [мото]цикле
де Брейна (когда
гостил у него дома
в Нейене, что в
Нидерландах).
с(п) + 4е(п) = п2. Итак, d(n) = (За(п) + Зс(п) - п2 - 2п)/4,
е(п) = (п2-а(п)-с(п))/4.
1.21 Можно положить m равным наименьшему (или любому
другому) общему кратному чисел 2п, 2п — 1, ..., п + 1. [Нестро-
[Нестрогое рассуждение наводит на мысль, что „случайное" значение m
подойдет с вероятностью
п п— 1
1
2п 2п - 1 ' *' п + 1
= 1
п
поэтому можно было бы ожидать, что удастся найти та, мень-
меньшее 4П.]
1.22 Возьмите правильный многоугольник с 2П сторонами и по-
пометьте каждую из сторон элементами „цикла де Брейна" длины
2П. (Это циклическая последовательность нулей и единиц, в ко-
которой все наборы из п смежных элементов различны; см. [139,
упр. 2.3.4.2-23] и [140, упр. 3.2.2-17].) Затем добавьте к каждой
стороне, которая помечена единицей, очень тонкий „довесок" Тре-
Требуемые множества представляют собой п таких многоугольников,
повернутых „на длину" к сторон при к = 0, 1, ..., п — 1.
1.23 Да. (Нам потребуются основные понятия элементарной те-
теории чисел из гл. 4.) Пусть 1_(п) = нокA,2,..., п). Можно пред-
предположить, что п > 2; тогда, согласно постулату Бертрана, между
п/2 и п имеется простое число р. Можно также предположить,
что j > п/2, поскольку q' = L(n) + 1 — q оставляет в живых
у = п + 1 — j тогда и только тогда, когда q оставляет в живых j.
Выберите q так, что q = 1 (mod L(n)/p) и q = j + 1 — n (mod p).
Тогда люди выбывают в порядке 1,2, ..., п — тр,) +1, j +2, ..., п,
п-р + 1, ..., j-1.
1.24 Единственно известные примеры: Xn = 2isin7rr + 1/Xn_i,
где г — рациональное число, 0 ^ г < \ (при изменении г все пе-
периоды имеют длину ^ 2); рекуррентность Гаусса с периодом 5
из упр. 8; еще более замечательная рекуррентность Тодда [196]
Хп = A + Xn_i + Хп_2)/Хп_з с периодом 8; а также рекуррент-
рекуррентности, полученные из них путем замены Хп на XmrL, умноженное
на константу. Мы можем считать, что первый ненулевой коэф-
коэффициент в знаменателе равен единице и что первый ненулевой
коэффициент в числителе (если таковой имеется) имеет неотри-
неотрицательную вещественную часть. Как легко показать при помо-
помощи компьютерной алгебры, при к = 2 нет никаких других реше-
решений с периодом ^ 5. Частичная теория была разработана Линес-
сом [196, 197] и Куршаном и Гопинатом [172].
Интересным примером иного сорта, когда начальные зна-
значения вещественны, служит рекуррентность Хп = |Xn_i| — Хп_2
с периодом 9, обнаруженная Мортоном Брауном [34]. Получение
нелинейных рекуррентностей с любым желаемым периодом ^ 5
может быть основано на „континуантах" [164].
542 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
1.25 Если через Т^к^(п) обозначить наименьшее число перекла-
перекладываний, необходимых для перемещения п дисков с к добавоч-
добавочными колышками (так что т'^(п) = Тп и 1^{п) = Wn), то
Т^НО1^)) ^ 2T(kH(^)+T(k-^((k^)). He известно примеров пар
(п, к), для которых это неравенство не является на самом деле ра-
равенством. Если к мало по сравнению с п, то формула 2п+1~~к(?111)
дает приемлемую (но не оптимальную) верхнюю границу для
1.26 Перестановка „порядка экзекуции" может быть вычислена
за O(nlogn) шагов при всех тип [141, упр.5.1.1-2 и 5.1.1-5].
Бьерном Пооненом доказано, что неиосифовы множества с ров-
ровно четырьмя „гадкими парнями" существуют при любых п = О
(mod 3) и n ^ 9; в действительности таких множеств имеется
по меньшей мере е^) при некотором е > 0. Путем обширных
вычислений им также найдено, что единственным среди других
п < 24 с неиосифовыми множествами является п = 20, которое
имеет 236 таких множеств при к = 14 и два при к = 13. (Одно
из последних — множество {1,2,3,4,5,6,7,8,11,14,15,16,17}, дру-
другое—его отражение относительно 21.) При п = 15 и к = 9 име-
имеется единственное неиосифово множество, а именно множество
{3,4,5,6,8,10,11,12,13}.
2.1 По этому поводу нет общего согласия — приемлемы три
ответа. A) Можно считать, что 2Ik=m Чк всегда эквивалентна
Hm<k^nJ Т0ГАа указанная сумма равна нулю. B) Можно было бы
считать, что данная сумма есть q4 + q3 + Цг + qi + qo — сумма по
убывающим значениям к. Но это противоречит общепринятому
соглашению, что 2Ik=i Чк = 0 при п = 0. C) Можно также счи-
считать, что Z.k=m 4k = Zk^n 4k - Lk<m 4kJ тогда указанная сумма
есть —qi — q2 — Чз- Это соглашение может показаться странным,
но оно удовлетворяет удобному правилу Y.l=a + Ц?=ь+1 = Ц?=а
при всех а,Ь,с.
Лучше всего использовать обозначение Y. ь=т только когда
п — m ^ —1; тогда оба соглашения A) и C) дают одинаковый
результат.
2.2 Это |х|. Величина ([х > 0] - [х < 0]) часто называется
„знаком х" и обозначается 'sgn(x)': она равна +1 при х > 0, 0
при х = 0 и —1 при х < 0.
2.3 Первая сумма, разумеется, есть ао + си + аг + аз + сц + as,
вторая а4 + ai + ао + ai + а4, так как это сумма по элементам
к € {—2, — 1,0, +1, +2}. Переместительный закон в данном случае
не выполняется, ибо функция ip{k) = к2 не является перестанов-
перестановкой. Некоторым значениям п (например, п = 3) не соответствует
ни одного к, такого, что р(к) = п; другим (например, п = 4)
соответствуют два таких к.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 543
j
((CL123 + 0.124) + CI134) + CL234-
/v\ г-4 г-к— 1 г—j —I v—4 г—к—1 r-j—1
(b) Lk=i Lj=i Li= a LL Li
(ai24 + (a.i34 + CI234)).
2.5 Один и тот же индекс Чс' использован для обозначения
двух разных переменных суммирования, хотя к связан с вну-
внутренней суммой. Это широко распространенная ошибка в мате-
математике (и программировании). Результат будет правильным, если
dj = aic при всех j и k, I ^ j, к <J n.
2.6 Это [1 ^ j ^ п] (п — j -f I). Здесь первый множитель необхо-
необходим потому, что при j < 1 или j > n должен получиться нуль.
2.7 Это тих™". Поэтому вариант разностного исчисления, ос-
основанный на V, а не на Л, особо выделил бы возрастающие
факториальные степени.
2.8 Это равно 0, если m ^ 1, и 1/|тп|!, если m ^ 0.
2.9 xm+rL = xm (x -f ттг)п при целых тип. Полагая т = —п,
получаем, что х~ = 1/(х - п)" = 1/(х - 1 )^.
2.10 Другой возможный вариант записи правой части: Eu Av -f
vAu.
2.11 Разбейте левую часть на две суммы и во второй из них
замените к на к + 1.
2.12 Еслир(к) =п,топ+с = к+((-1)к + 1)си((-1)к + 1) четно;
следовательно, (-1)п+с = (-1)кик = п- (-1)п+сс. И обратно,
это значение к дает 1р(к) = п.
2.13 Пусть Ro = а и Rn = Rn_i + (-1)п(Р + пу + п26) при п >
0. Тогда R(n) = A(n)a + B(n)C + C(n)y + D(nN. Подстановка
Rn = 1 дает A(n) = 1. Подстановка Rn = (—1)n дает A(n) +
2B(n) = (-1)n. Подстановка Rn = (-l)nn дает -B(n) +2C(n) =
(-l)nn. Подстановка Rn = {-])nn2 дает B(n) -2C(n) +2D(n) =
(—1)nn2. Следовательно, 2D(n) = (—1)n(n2-f n) и искомая сумма
равна D(n).
2.14 Предложенное переписывание справедливо, поскольку мы
имеем к = Jli^j^k ^ ПРИ ^ ^ ^ ^ п- Просуммируем вначале по к;
тогда кратная"сумма сводится к
Bn+1 -2j) = n2n+1 - Bn+1 -2).
2.15 На первом шаге заменяем к{к + 1) на 2?i^j^icJ- Второй
шаг дает ®п + Пп = (Lk=i kJ + Dn-
2.16 х^(х - mI1 = xi2d^- = x^(x - n)^ согласно B.52).
544 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
2.17 Воспользуйтесь индукцией для доказательства первых
двух равенств и правилом B.52) — для третьего. Вторая формула
вытекает из первой.
2.18 Используйте те факты, что (9tz)+ ^ |z|, (9tz)~ ^ |z|,
Cz)+ <: |z|, Cz)- ^ \z\ и \z\ ^ (<Hz)+ + Ete)- + Cz)+ + Cz)~.
2.19 Умножьте обе части на 2п~~]/п\ и положите Sn = 2nTn/n!=
Sn_! Н-З-г11 - 3Bn-^l ) + S0. Решением будет Tn = 3-nl + nl/2n-\
(Как выяснится в гл. 4\ТП является целым числом только тогда,
когда п равно 0 или степени 2.)
2.20 Метод приведения дает
HkJ+n+1.
SI I . -i \\\ С _|_
П I I. И, ~f~ I Jlln+l — d-\x ~T
2.21 Выделение последнего члена суммы Sn+i дает Sn-j-i
Sn; выделение же первого члена дает
Sn+l = (-1)П + ' +
= (-1)п+1 +
= 1 —
n—k
Следовательно, 2Sn = 1 + (—l)n и Sn = [n четно]. Точно так же
устанавливается, что
Тп+1 -
k=0
Следовательно, 2Tn = n -f 1 — Sn и Tn = \(n + [n нечетно]). На-
Наконец, тот же прием дает
Un+1 = (n + 1J-Un = U
= Un + n -f [n нечетно] + [п четно]
- Un + n + 1 .
Итак, Un — это треугольное число \{n-f 1 )n.
2.22 Удвоенная общая сумма дает „ванильную" сумму по 1 ^ j,
k ^ n, которая раскладывается и дает (^Гк cikAk) (X!k
2.23 (а) Этот подход дает четыре суммы, вычисление которых
приводит к 2п+Нп— 2n-f (Hn-f n-pf — 1 )• (Проще было бы заменить
общий член на 1/k+1/(k+1).) (Ь) Пусть и(х) =2х + 1 и Av(x) =
1/х(х+1) - (х-1)^; тогда Au(x) =2hv(x) = -(х-1)^1 = -1/х.
Ответ: 2^-^.
„Глубоко ошибоч-
ошибочный трюизм, кото-
который повторяется
во всех прописях
и речах почтен-
почтенных ораторов,
сводится к тому,
что мы должны
иметь привычку
обдумывать свои
поступки. В дей-
действительности
имеет место как
раз обратное. Про-
Прогресс цивилизации
выражается в
умножении числа
поведенческих
актов, которые
мы совершаем
необдуманно.
Мыслительные
же акты подобны
кавалерийским
атакам, число
которых весьма
ограничено,—они
требуют свежих
лошадей и долж-
должны совершаться
лишь в решающие
моменты битвы"
-А.Н.УайтхеА
[298]
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 545
2.24 Суммируя по частям, ?>^Нх6х = x^±lHx/(m + 1) -
х2И±1/(т + 1J + С; следовательно, Lo<;k<nкжн* = n^±lx
(Hn-1/(m+1))/(m + 1) + (№±l/(m + 1J. В нашем случае
тп = —2, поэтому данная сумма сводится к 1 — (Нп + 1 )/(п + 1).
2.25 Вот некоторые основные аналоги:
кек
кек
= Иак+И1
кек кек
ек
кек
= П
р(к)ек
p(k)€K
jej
к
J6J
кек
кек
: = С*К
кек
кек
2.26 Р2 = (П1^,к^па)ак)(Пк)==к^па)ак)- Первый сомножи-
сомножитель равен (Пк=г1 ак) » a ВТ0Р°^~"Пк=1 ак- Следовательно, Р =
/t-tTI \Т1+1
(Пк=1ак) •
2.27 А(с-) = с-(с — х — 1) = с^-/(с — х). Подстановка с = —2 и
уменьшение х на 2 дает А(—(— 2)*=^) = (— 2)-/х} так что искомая
сумма равна (-2)^1 - (—2)lbzii = (-1 )*п! - 1.
2.28 Незаконно изменение порядка суммирования при перехо-
переходе от второй к третьей строке: члены этой суммы не сходятся
А бывает еще абсолютно. Все остальное абсолютно правильно, за исключением
не абсолютно того, что промежуточный результат Лк>} [k = j — 1 ] k/j следовало
правильно. бы, наверное, записать в виде [j - 1 ^ 1 ](j — 1 )/j и упростить.
2.29 Воспользуйтесь элементарными дробями для получения
равенства
к _ 1 / 1 1
4к2-1 ~ 4 V2k+1 + 2к-
Тогда множитель (—1)к заставит обе половинки каждого члена
суммы сократиться с их соседями. Следовательно, ответом будет
546 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
2.30
= l(bi~ ai) = l(b - Q)(b + a- 1)- Поэтому
(b-a)(b + a-l) =2100 = 22-3-52.7.
Существует одно решение нашей задачи для каждого способа за-
записи 2100 в виде произведения х-у} где х —четное, а у —нечетное
число: мы полагаем а = \\х — у\ + \тя.Ъ = \{х+л)) + \. Поэтому ис-
искомое число решений равно числу делителей 3-52 -7, а именно 12.
В общем случае имеется Пр>2(пр + ^) способов представления
Пр PUpi гАе произведения берутся по простым числам.
2-31 Х^2Гк = Hm VJ2A -1/j) = L^2 Vj(j-D. Аналогич-
ным образом вторая сумма равна 3/4.
2.32 Если 2п ^ х < 2п + 1, то данные суммы суть ОН Ь n -f
(х - п - 1) + • • • + (х - 2п) = п(х - п) = (х - 1) + (х - 3) + • • • +
(х — 2п + 1). Если же 2п — 1 ^ х < 2п, то аналогичным образом
обе суммы равны п(х — п). (Забегая вперед, в гл. 3, отметим, что
оба случая охватываются формулой [j (х + 1 )J (х — [^ (х + 1 )J).
2.33 Если множество К пусто, то Дкек а^ = °°- Вот основные
аналоги:
kGK
kGK
kGK
= min
p(k)GK
Дак= Д
k€K p(k)GK
JGJ
kGK
= У Y Qbk
jGjkGK
kGK
JGjkGK
kGK
kGK
2.34 Пусть K+ = {k | ak ^ 0} и К" = {к | ak < 0}. Тогда, если
например п нечетно, мы выбираем Fn равным Fn_i U En, где под-
подмножество Еп С К" настолько большое, что 5Zke(F1x_inK+) ak ~~
2.35 То, что сумма Гольдбаха равна
1 _
m(m—1)
Перестановка, по-
поглощающая члены
одного знака бы-
быстрее, чем другого,
может сделать
сумму равной
какому угодно
значению.
При подобном
самоописании по-
последовательности
Голомба вряд ли
кто захочет с ней
познакомиться.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 547
можно показать следующим образом. Если развернуть каждый
ее член в сумму геометрической прогрессии, то она равна
HkGP i>i k~l» П0ЭТ0МУ доказательство будет завершено, как толь-
только мы установим взаимно однозначное соответствие между упоря-
упорядоченными парами (m,n) с m,n ^ 2 и упорядоченными парами
(k,l) с к е Ри1 ^ 1, где mn = к1 в случае соответствия этих
пар. Если m ^ Р, мы полагаем, что (m,n) <—» (mn,1), а если
m=QbGP, полагаем, что (m,n) <—» (an,b).
2.36 (а) По определению, g(n) — g(n— 1) = f(n). (b) Согласно
части (а), g(g(n)) — д(д(п— 1)) = Х^ f (к) [д(п — 1)<к^ д(тг)] =
^(9(n) ~~ д(тг ~" 1)) = пЧп) (с) И снова, согласно части (а),
g(g(g(Ti))) -д(д(д(тг-1))) есть
Колин Мэллоуз заметил, что данная последовательность может
быть также определена рекуррентно:
2.37 (Р. Л. Г. полагает, что, вероятно, нельзя; Д. Э.К. считает,
что, вероятно, можно; О. П. предпочитает не компрометировать
себя.)
3.1
3.2
3.3
m=[lgnj, l = n-2m=n-
(а) |x+-5J;(b) Гх-,51.
Это [тггп — {ma}n/aj = mn — 1, поскольку 0 < {ma} < 1.
3.4 Нечто, где требуется не доказательство, а только счастли-
счастливая догадка. (Угадали?)
3.5 Имеем [nxj = |n|xj +n{x}J = n|xj + [n{x}\ согласно C.8)
и (з.б). Следовательно, [nxj = n[x\ <$==$ [n{x}\ = 0 4=^> 0 ^
n{x} < 1 <=> {x} < 1/n, если n —целое положительное число.
(Заметьте, что в этом случае n[xj ^ LnxJ ПРИ любом х.)
548 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
з.б |f(x)j = Lf(M)J-
3.7 Ln/mJ + n m°d m-
3.8 Если в каждом из ящиков содержится < [n/та] предметов,
то п ^ (fn/ттг] — 1)ттг, откуда n/m-f 1 ^ |"тг/ттг], что противоречит
() АРУГое доказывается аналогично.
3.9 Имеем та/п - 1/q = (n mumble m)/qn. Данный процесс
должен завершаться, поскольку 0 ^ n mumble та < та. Знамена-
Знаменатели подобных дробей строго возрастают, а потому они различны,
ибо qn/(n mumble та) > q.
3.10 Выражение \х + j] — [{2х -f 1 )/4 — не целое] — это ближай-
ближайшее целое к х, если {%} ^ \\в противном случае —это ближайшее
четное целое число. (См. упр. 2.) Таким образом, данная формула
дает „несмещенный" способ округления.
3.11 Если п —целое число, то а < п < C 4=^ LaJ < п < ГР1-
Когда а и b — целые, количество целых чисел, удовлетворяющих
условию а < п < Ь, равно (Ь — а — 1)[Ь > а]. Поэтому, если бы
было а = C = целое, мы получили бы неправильный ответ.
3.12 Вычтем [n/mj из обеих частей в соответствии с (з-б), по-
получая Г(п mod та)/та] = [(n mod та + та — 1 )/mJ. Тогда обе части
становятся равными [n mod та > 0], так как 0 ^ n mod та < m.
Более краткое, не столь прямое доказательство сводится
просто к наблюдению, что первый член в C-24) должен равняться
последнему члену в C-25)-
3.13 Если они образуют разбиение, то формула для N(<x,n) из
текста влечет за собой, что 1/<х + 1/C = 1, поскольку коэффици-
коэффициенты при п в уравнении 1М(а,п) + 1М(|3,п) = п должны быть со-
согласованы так, чтобы данное уравнение было справедливым при
большом п. Следовательно, числа а и C либо оба рациональ-
рациональны, либо оба иррациональны. Если они оба иррациональны, то
мы действительно получаем разбиение, как и показано в тексте.
Если же они оба могут быть записаны с числителем та, то вели-
величина m — 1 не встретится ни в одном из спектров, тогда так та
встретится в обоих. (Тем не менее, Голомб [77] обнаружил, что
множества {[па) | п ^ 1} и (ГпР1 — 1 I n ^ 1} всегда должны
образовывать разбиение, если 1/ot-f 1/C = 1.)
3.14 Если тгу = 0, то это очевидно из (з-22); в противном случае
это справедливо на основании C.21) и (з-6).
3.15 Подставьте [тах] вместо п в C-24), получая \тх] = \х\ +
Гх_±1 + ... + Гх_л^11.
3.16 Можно убедиться в справедливости формулы nmod3 =
1 + j((cu- l)cun -(cu + 2)tu2n), проверив ее при 0 ^ п < 3.
Общая формула для п mod та при любом целом положи-
положительном та приводится в упр. 7.25.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 549
3.17 ?j
= m[Y| - |m([Y| -x)] = -f-mx] = [ttlxJ.
3.18 Имеем
s=
Члены с j ^ not — 1 ^ na — v не существенны, поскольку
(j -f v)a-1 ^ п. Следовательно, j = [noc\ "~ единственный су-
существенный случай, и искомая величина в этом случае равна
[¦([naj+vja-1]-^ (vor1"|.
3.19 Необходимо и достаточно, чтобы b было целым. (Если Ъ —
целое число, logb x — непрерывная возрастающая функция, кото-
которая принимает целочисленные значения только в целых точках.
Если b — нецелое число, то это условие нарушается при х = Ь.)
3.20 Имеем 2Ikkx[cx^kx^|3] = x^kk[fa/x] ^k^ LPAJ]. что
в сумме дает \x{[fi/x\ LP/x + 1J - Га/х] \ос/х -11).
3.21 Если 10п ^ 2м < 10n+1, то имеется ровно п + 1 таких
степеней 2, поскольку для каждого к имеется ровно одна такая
степень 2 из к цифр. Ответ, поэтому, 1 + [Mlog2J.
Замечание: найти число степеней двойки с первой цифрой I
для I > 1 труднее, оно равно ?0^n<.M([nlog2-loglJ - [nlog2-
log(l+UJ).
3.22 Все члены при пип-1 одинаковы, за исключением к-го,
гдеп = 2k"}q и q—нечетно;имеем Sn = Sn_i-f 1 иТп = Tn_i-f2kq.
Следовательно, Sn = п и Tn = п{п + 1).
3.23 Xn=m 4=Ф lm(m-1) < n ^ |m(m+1) 4=^> m2-m +
^<2n<m2 + m+^ <=> m-\ < V^n < m+^.
3.24 Пусть C = a/(a -f 1). Тогда число вхождений целого нео-
неотрицательного числа m в Spec(C) ровно на единицу превышает
число его вхождений в Spec(a). Почему? Потому что 1М(C,п) =
N(a,n)+n+1.
3.25 Если бы, продолжая предпринятое в тексте, мы сумели
найти тп, такое, что Km ^ т, то мы нарушили бы указанное
неравенство для n-f 1, когда n = 2m-f 1 (а также когда п = ЗттгН-1
и n = 3m-f 2). Но для существования такого m = n' +1 требуется,
чтобы 2K^n//2j ^ п' или 3K^n//3j ^ п', т.е. чтобы
KLn'/2J ^ L^72J или KLn73j ^ Ln73J .
Ага. Это уводит все дальше и дальше, приводя к тому, что Ко ^ О,
однако Ко = 1.
550 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Что нам действительно нужно доказать, так это то, что Кп
строго больше п при каждом п > 0. А это уже легко доказать
по индукции, несмотря на то что это более сильный результат,
чем тот, который мы не смогли доказать!
(Данное упражнение преподает важный урок — это в боль-
большей степени выяснение сущности индукции, нежели свойства
функции пол.)
3.26 \ Доказательство по индукции с использованием более силь-
сильного предположения
q-1
n+1
-1
при n ^ 0.
3.27 Если Dn] = 2mb-a, где а равно 0 или 1, то DJ^ = 3mb-a.
3.28 Ключевым моментом является то, что an = m2 влечет за
собой an+2k+i = (m + kJ + m - k и an+2k+2 = (m + kJ + 2m при
0 ^ k ^ m; отсюда an+2m+i = BmJ. Поэтому искомое решение
может (следуя Карлу Уитти) быть записано в виде
I,
3.29 Величина D(a\ [осп\) не превышает максимума абсолют-
абсолютного значения выражения
s(a\|na|,v')
= -s(a,n,v) -
v'-{0hah 1}.
3.30 Хп = ос2" + а' (доказывается по индукции), и Хп — целое
число.
„Когда вы пыта-
пытаетесь придумать
доказательство с
помощью матема-
математической индукции,
вам оно может не
удаваться по двум
противоположным
причинам. Оно
может вам не
удаваться и потому,
что вы пытаетесь
доказать слиш-
слишком много: ваше
Р(п+1) —слишком
тяжелый груз.
Оно может вам не
удаваться и потому,
что вы пытаетесь
доказать слишком
мало: ваше Р(п) —
слишком слабая
опора. Вообще, вы
должны уравнове-
уравновесить утверждение
вашей теоремы так,
чтобы опора была
как раз достаточна
для груза'.1
-Д. Пойа [242]
3.31 Вот „элегантное", „впечатляющее" доказательство, но о том,
как оно было обнаружено, остается только догадываться: Это аргументация
на уровне пола.
Ш + lv\ + Iх + У\ = [х + LvJ J + Iх + У\
Но существует также простое графическое доказательство, осно-
основанное на том наблюдении, что достаточно рассмотреть только
случай 0 ^ хуу < 1. Тогда данное соотношение графически вы-
выглядит вот как:
1
0
2
1
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 551
Возможен и несколько более сильный результат, а именно
но это является усилением только при {х} = 1. Если же заменить
[х,у) на (—х,х + у) и применить рефлексивный закон C4)» то
получим
[У\
|xJ
3.32 Обозначим интересующую нас сумму через f (х). Посколь-
Поскольку f(x) = f(— х), то можно считать, что х ^ 0. Члены суммы
ограничены величиной 2к при к —> —оо и величиной х2/2к при
к —> +оо, так что данная сумма существует при любом веще-
вещественном х.
Имеем fBx) = 2?k2k-1||x/2k-1||2 = 2f(x). Пусть f(x) =
l(x) + r(x), где l(x) — исходная сумма при к ^ 0 и т(х) — исходная
сумма при к > 0. Тогда 1(х + 1) = 1(х) и l(x) ^ 1/2 при любом х.
Если 0 ^ х < 1, то г(х) = х2/2 + х2/4 + • • • = х2 и г(х + 1) =
(х - 1 J/2 + (х + 1 JЛ + (х + 1 J/8 + • • • = х2 + 1. Следовательно,
f(x + 1) = f(x) + 1, еслиО^х< 1.
Теперь можно доказать по индукции, что f (x+n) = f (х)+п
при любом целом п ^ 0, если 0 ^ х < 1. В частности, f(n) =
п. Поэтому в общем случае, f(x) = 2~mfBmx) = 2~т[2тх_| +
2-mf({2mx}). Но f({2mx}) = 1({2тх}) +r({2mx}) ^ \ + 1, поэто-
поэтому |f(x) - х| ^ |2~mL2mxJ - х| + 2~т • f ^ 2~т • f при любом
целом т.
Неизбежный вывод состоит в том, что f (х) = |х| при любом
вещественном х.
3.33 Пусть г = п— j —радиус окружности, (а) Между клетка-
клетками доски 2п — 1 горизонтальных прямых и 2п — 1 вертикальных
прямых, причем окружность пересекает каждую из этих прямых
дважды. Поскольку г2—не целое число, то по теореме Пифаго-
Пифагора окружность не проходит через угол никакой клетки. Следова-
Следовательно, окружность проходит через столько клеток, сколько име-
имеется точек ее пересечения с прямыми, а именно 8п — 4 = 8г. (Это
то же самое, что и число клеток по краям доски.) (b) f(n,k) =
4[Vr2-k2J.
Из (а) и (Ь) вытекает, что
Си. также книгу
Серпинского [272*
часть 2, с. 42-43].
—Перев.
-2r
0<k<r
Задача получения более точных оценок этой суммы представляет
собой знаменитую проблему теории чисел, которой занимались
Гаусс и многие другие; см. Диксон [109, том 2, гл. 6].
552 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
3.34 (а) Пусть та = [lgn]. Можно добавить еще 2т — п членов,
чтобы упростить вычисления в граничных точках:
m
k=1
Y_2j-' =2m(m-1) + 1.
i=i
Следовательно, f (n) = run — 2m + 1.
(b) Имеем [n/2] = [(n+1 )/2J, откуда следует, что решение
рекуррентности общего вида д(п) = а(п) + д([п/2]) + g([n/2J)
должно удовлетворять соотношению Ад(п) = Аа(п) + Ag([n/2J).
В частности, если а(п) = п — 1, то соотношению Af(n) = 1 +
Af (Ln/2J) удовлетворяет число битов в двоичном представлении
п, а именно flg(n + 1)]. Остается перейти от А к I.
Более прямое решение может быть основано на соотноше-
соотношениях [Tg2jl = fig Я + 1 и flgBj - 1I = flgjl + [j > 1] для j ? 1.
3.35 (n
(n+1Jn! (n+1Jn! , (n+1Jn!
О! ' 1!
кратно n, a
(тх + 1Jтх! (п+1Jтх!
(n + 2)! + (п + 3)!
п + 1/ , 1 . 1
n+1 / 1 1
+ +
(n + 3)(n + 3)
меньше 1. Следовательно, ответ 2 mod п.
3.36 Эта сумма равна
]Г 2-l4-m[m= LlglJ] [l= LlekJ][1 <k<22U
k,l,m
k,l,m
=2A -
Несмотря на фор-
формулировку, на
самом деле это
всего лишь задача
уровня 4.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 553
3.37 Сначала рассмотрите случай та < п, который распадается
на подслучаи в зависимости от того, меньше ли та, чем \п, или
нет; затем покажите, что обе части изменяются одинаково, когда
та увеличивается на п.
3.38 Самое большее одно х^ может быть нецелым числом. От-
Отбросим все целые х^ и предположим, что осталось п чисел. Если
{х} ф О, то среднее значение {тах} при та —> оо лежит между \ и
j] следовательно, {mxi}H Ь{тахп} — {mxi H Ьтахп} не может
иметь нулевое среднее значение при п > 1.
Только что проведенное рассуждение основано на трудной
теореме о равномерном распределении. Однако возможно элемен-
элементарное доказательство. Вот его набросок при п = 2. Пусть Рт —
точка ({тах},{тоу}). Разделим единичный квадрат 0 ^ х,у < 1 на
треугольные области А и В, для которых х + у< 1 их+Ц ^ 1.
Мы хотим показать, что Рт € В при некотором та, если {х} и {у}
отличны от нуля. Если Pi € В, то показывать нечего. В против-
противном случае найдется круг D радиуса е > 0 с центром в Pi, такой,
что D С А. По принципу ящиков Дирихле последовательность
Pi, ..., Pn должна содержать две точки с |Pfc — Pj| < е и k > j,
если N достаточно велико.
Отсюда следует, что Pk-j-i лежит в е-окрестности точки A,1) —
Pi; следовательно, Pr-j-i € В.
3.39 Замените j на Ъ—) и добавьте к этой сумме член с j = 0, так
что для вычисления суммы по та можно воспользоваться упр. 15.
В результате члены
Гх/ък1-Гх/ък+11+ъ-1
телескопируются при суммировании по к.
3.40 Пусть [2у/п\ = 4к + г, где —2 ^ г < 2, и пусть m = [у/п\.
Тогда по индукции могут быть установлены следующие зависи-
зависимости:
Сегмент
wk
Sk
Ek
Nk
г
-2
-1
0
1
та
2k-1
2k-1
2k
2k
X
m(m-fi)— n—k
-k
n—m(m+1) + k
k
У
k
m(m+1)— n+k
-k
n—m(m+1)— k
тогда и только тогда, когда
Bk-1)Bk-1) ^ n ^ Bk-1)Bk)
Bk-1)Bk) <n< Bk)Bk)
Bk)BkKn^Bk)Bk+1)
Bk) Bk+1) < n < Bk+1) Bk+1)
554 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Таким образом, если к ^ 1, то Wk является сегментом длины 2к
там, где путь идет нк запад и у[п) = к; S^ —сегментом дли-
длины 2к — 2 там, где путь идет на юг и х(п) = —к; и т. д. (а) Поэтому
требуемая формула имеет вид
у(п) = (-1)m((n-m(m+1))-[lA/HJ нечетное] - Г^
(Ь) На всех сегментах к = max(|x(n)|, |"у(п)|). На сегментах W^ и
Sic имеем х<-уип + х+у= m(m + 1) = BкJ — 2к; на сегментах
Е)с и Nk имеем х^уип-х-у= m(m + 1) = BкJ + 2к.
Следовательно, знак определяется по формуле (—1)(х(п)<у(п)).
3.41 Поскольку 1/ф + 1/ф2 = 1, то указанные последовательно-
последовательности действительно разбивают все целые положительные числа. А
поскольку условие g(n) = f (f (n)) +1 определяет f и g единствен-
единственным образом, то нужно лишь показать, что |_|_ПФ]Ф] + 1 = 1_ПФ2]
при любом п > 0. Это вытекает из упр. 3 при а = ф и п = 1.
3.42 Нет. Рассуждение, подобное проведенному в тексте и
упр. 13 анализу случая с двумя спектрами, показывает, что раз-
разбиение на три части имеет место тогда и только тогда, когда
1 и
'1П+1|'
при любом n > 0. Однако по теореме о равномерном распреде-
распределении среднее значение последовательности {(п + 1)/ос} равно
1 /2, если а иррационально. Все параметры не могут быть рацио-
рациональны, а если у = m/п, то среднее значение равно 3/2 — 1/Bп).
Следовательно, у должно быть целым числом, но это тоже не
годится. (Имеется также доказательство невозможности, в кото-
котором используются лишь простые соображения — без теоремы о
равномерном распределении; см. [84].)
3.43 Один шаг развертывания рекуррентности для чисел Кп да-
дает минимум из четырех чисел 1 + а + а-b•K|_(n_1_a)/(a.b)j, где ка-
каждое из чисел а и b равно либо 2, либо 3. (Подобное упрощение
требует применения правила (з«и) Для удаления „полов" внутри
„полов" вместе с тождеством x+min(i),z) = min(x+"y, x+z). Следу-
Следует опустить члены с отрицательными индексами, т. е. с индексами
n-I -a < 0.)
Продолжая в таком духе, мы приходим к следующей ин-
интерпретации: Кп — наименьшее число > п в мультимножестве S
всех чисел вида
1 + си + си а2 + ai a2a3 H + си a2a3 ... am ,
где та ^ 0 и каждое а^ равно либо 2, либо 3. Так, в мультимно-
мультимножестве
S ={1,3,4,7,9,10,13,15,19,21,22,27,28,31,31,...}
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 555
число 31 встречается „дважды", поскольку оно имеет два пред-
представления 1+2 + 4 + 8+16 = 1+3 + 9+18. (Майкл Фредмен
[318] показал, что linin^oo Кп/п = 1, т. е. между элементами S не
бывает слишком больших промежутков).
3.44 Пусть d\?] = DJ^ mumble (q - 1), так что d\?] = (qD^ +
ctf'j/fq - 1) и а\?] = \D{nql,/(q - 1)]. Тогда D^ $ (q - 1)n «=>
a{^ ^ n, откуда вытекает требуемое. (Это решение найдено Эй-
Эйлером [380], который устанавливал and последовательно, не до-
догадываясь, что достаточно одной последовательности Dn .)
... такомупрос- 3.45 Пусть a > 1 удовлетворяет условию а+ 1/а = 2та. Тогда
Т0МУ- выясняется, что 2Yn = a2' + a', и отсюда следует, что Yn =
К/2].
3.46 Данное указание вытекает из (з-9)> так как 2п(п + 1) =
l1
Vll)m} где 0 ^ 9,8' < 1. Тогда 8' = 29 mod 1 = 29 - d, где
d равно 0 или 1. Мы хотим доказать, что п' = [\/2(п+ j)J, а это
равенство справедливо тогда и только тогда, когда
0 ^ 9'B-\/2) + \/2A-d) < 2.
Относительно решения рекуррентности отметим, что
SpecA + 1/>/2) и SpecA + \/2) образуют разбиение всех целых
положительных чисел, следовательно, любое целое положитель-
положительное число а может быть записано единственным образом в виде
a = [(л/2 + л/l )mj, где I и т —целые числа, причем т —не-
—нечетное и I ^ 0. Отсюда вытекает, что Ln = \[y/l +л/2 )mj.
3.47 (а) с = — \\ (Ь) с —целое; (с) с = 0; (d) с — произвольное чи-
число. Относительно более общих результатов см. ответ к упр. 1.2.4-
40 в [139].
3.48 Положим х:0 = 1 и х:(к+1) = x|XkJ, а также ak = {^:k}
и bk = \км\\ тогда наше тождество запишется как х3 = Зх:3 +
3aia2 + a3 — 3bib2 + b3. Поскольку a^ + b^ = x:k = xbk-1 для
k ^ 0, имеем A -xz)A + biz +b2z2 + • • •) = 1 - aiz- a2z2 .
Следовательно,
1 — xz 1 — ai z — a2z2 '
Возьмем логарифм от обеих частей, чтобы отделить а от Ь. Диф-
Дифференцируя затем по z, получаем
х cii + 2a2z + 3a3Z2 H bi + 2b2z + 3b3Z2 H
—xz 1—aiz—a2z2
556 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Коэффициент при zn~] в левой части равен хп; в правой части
для этого коэффициента имеем формулу, совпадающую с напшм
тождеством при п = 3. Можно вывести аналогичные тождества
и для более общего произведения xoxi • • -Xn-i [340].
3.49 (Решение Генриха Ролечека.) Можно заменить (а,|3) на
({C}, а + [CJ) без изменения [пос\ + [nCJ. Следовательно, условия
а = {C} является необходимым. Оно же является и достаточным.
Действительно, пусть m = [|3J —наименьший элемент заданно-
заданного мультимножества, и пусть S —мультимножество, полученное
из заданного вычитанием mn из n-го в порядке возрастания эле-
элемента при всех п. Если а = {C}, то последовательные элементы S
отличаются либо на 0, либо на 2; следовательно, мультимноже-
мультимножество jS = Spec (а) определяет а.
3.50 Согласно неопубликованным заметкам Уильяма А.Вича,
достаточно, чтобы а|3, C и 1 были линейно независимы над мно-
множеством рациональных чисел.
3.51 Как замечает Г. С. Вильф, функциональное уравнение
f (х2—1) = f (хJ определяло бы f (х) при любом х }> ф, если бы
функция f (х) была задана на некотором интервале (ф, ф + е).
3.52 Существует бесконечное количество способов разбиения
всех целых положительных чисел на три или более обобщенных
спектра при иррациональных а^; например,
SpecBa; 0) U SpecDa; -a) U SpecDa; -За) U Spec(C; 0).
Но суть в том, что все такие разбиения возникают в результате
„расширения" основного спектра Spec(a) U Spec(C); см. [87]. Все
известные примеры с рациональными <Хк, например
SpecG; -3) U Spec(^; -1) U Spec(|; 0),
используют параметры как в сформулированном предположении,
которое принадлежит А. С. Френкелю [322].
3.53 Частичные результаты обсуждены в [391, с. 30-31]. Жад-
Жадный алгоритм, вероятно, не заканчивается.
4.1 Это 1,2,4,6, 16, 12.
4.2 Заметьте, что mp +np = min(mp, пр) +тах(тПр, пр). Рекур-
Рекуррентность нок(т,п) = (n/(n mod m)) нок(п mod m, т) право-
правомерна, но вычислять с ее помощью величины нок нецелесообраз-
нецелесообразно; наилучший из известных способов вычисления HOKlm^n) —
сначала вычислить нод(та, п), а затем разделить mn на этот нод.
4.3 Это верно, если х-—целое число, однако функция 7т(х)
определена при всех вещественных х. Правильная формула
Более интересная
(еще не решенная)
задача: выяснить,
когда заданное
мультимноже-
мультимножество определяет
неупорядо ченную
пару {а, C}, если
как а, так и C
меньше 1.
я(х) — 7т(х — 1) = [[xj — простое число]
легко проверяется.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 557
В конечном счете,
в записи 'mod у1
как бы подра-
подразумевается, что
претензии у игре-
игрека равны нулю" А
если это уже так,
то и претендовать
не на что.
4.4 Между дробями ^ и ^ оказалось бы отраженное слева на-
направо дерево Штерна—Броко с отрицательными знаменателями
у всех дробей и т. д. Так что результирующее дерево содержит
все дроби та/п с та _L п. Условие m'n — тап' = 1 остается спра-
справедливым в процессе всего построения. Подобную конструкцию
называют венком Штерна—Броко, поскольку для удобства по-
последнюю дробь у можно считать идентичной первой дроби у,
соединяя тем самым наверху деревья в венок. Венки Штерна—
Броко имеют интересные применения в машинной графике, по-
поскольку с их помощью представляется любое рациональное на-
направление на плоскости.)
4.5 Это Lk = (I*) и Rk = A°})} что справедливо и при к < 0.
(В гл. 6 будет установлена общая формула для произведения лю-
любого числа матриц L и R.)
4.6 Это означает а = Ъ. (В гл. 3 было определено х mod 0 = х
главным образом для того, чтобы это было так.)
4.7 Для этого необходимо, чтобы та mod 10 = 0, та mod 9 = к
и та mod 8 = 1. Но та не может быть одновременно как четным,
так и нечетным числом.
4.8 Надо, чтобы 10х + 6у = 10х + у (mod 15); отсюда имеем
5у = 0 (mod 15); откуда -у = 0 (mod 3). Должно быть: -у = 0 или
3 и х = 0 или 1.
4.9 Так как 32k+1 mod 4 = 3, то C2k+1 -I )/2 нечетно. Указанное
число делится на (З7 — 1 )/2 и на (З11 — 1 )/2 (и на другие числа).
4.10 999A-1)A-^)= 648.
4.11 Это функция (х@) = 1, аA) = — 1, а(п) = 0 при п > 1.
(Обобщенные функции Мёбиуса, определенные на произвольных
частично упорядоченных множествах, обладают интересными и
важными свойствами, впервые установленными Вейснером [50] и
развитыми многими другими, особенно Джан-Карло Ротой [264].)
4.12 Согласно формулам D.7) и D.9) Zd\m Lk\d M-(d/k) g(k) =
4.13 (a) Tip ^ 1 при любом р; (b) \i[n) Ф 0.
4.14 Эти правила правильные, если к > 0. Воспользуйтесь
D-12), D.14) и D.15).
4.15 Нет. К примеру, en mod 5 = [2илиЗ], a enmod11 =
4.16
4.17 Имеем fnmodfm = 2; следовательно, HOA(fn,fm) =
нодB, fm) = 1. (Между прочим, соотношение fn = fof 1 ... fn-i +2
весьма напоминает рекуррентность, посредством которой опреде-
определяются числа Евклида еп.)
558 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
4.18 Если n = qm, a q нечетное, то 2П + 1 = Bm + 1)Bn"m -
2^-2т + 2т + 1).
4.19 Первая сумма равна я(п), так как ее общий член есть
(к + 1 — простое). Внутренняя сумма во втором равенстве есть
H1<)c<m[k\m], т^к что она больше 1 тогда и только тогда, ко-
когда та — составное число; и снова мы получаем я(п). Наконец,
[{та/п}] = [п\та], так что третья сумма—упражнение на при-
применение теоремы Вильсона. Но, разумеется, вычислять п(п) по
любой из этих формул — полнейшая глупость.
4.20 Пусть р 1 = 2 и пусть рп — наименьшее простое число, боль-
большее, чем 2Рп-1. Тогда 2Vn~] < pn < 2Pll-I+1, откуда следует, что
надо взять Ъ = linin^oolg^n) pn, где lg(n^ —это функция lg, прои-
терированная п раз. Указанное числовое значение получается из
Р2 = 5 и рз = 37. Оказывается, что р4 = 237 + 9, и это дает более
точное значение
Ъ « 1.2516475977905
(но не дает ключа к значению ps).
4.21 В силу постулата Бертрана Рп < 10п. Пусть
К = ]Г 10"k2Pk = .200300005....
Тогда 10п2К = Рп + дробь (mod Ю271).
4.22 (bmn -1 )/(Ъ-1) = ((bm-1 )/(b-1))(bmn~m + • • • +1). [При
p < 2000 простые числа вида A0р — 1 )/9 встречаются только для
р = 2, 19, 23, 317, 1031.] Числа такого вида называют „repunits"
4.23 Это рBк +1) = 0 и рBк) = р(к) + 1 при к ^ 1. Можно
показать по индукции, что р(п) = р(п — 2т), если п > 2т и
та > р(п). На k-м шаге перекладывается р(к)-й диск ханойской
башни, если диски перенумеровать номерами 0, 1, ..., п— 1. Бели
к —степень 2, то ясно, что это так. А если 2m < k < 2m+1, то
р(к) < т; к-е и к — 2т-е перекладывания соответствуют друг
другу в последовательности перекладываний, перемещающей тп+
1 дисков за Тт + 1 + Тт шагов.
4.24 Цифра, которая вносит вклад dpm в п, вносит вклад
dpm-i + ^d = d^pm _ ^^p _ 1) в ер(п!), следовательно,
4.25 Поскольку m\\n 4=^ тпр = 0 или тр = пр при всех р, то
отсюда следует, что утверждение (а) верно. Однако утверждение
(Ь) неверно уже для нашего излюбленного примера m = 12 и
п = 18. (Это широко распространенное заблуждение.)
4.26 Верно, так как последовательность 9n определяет некото-
некоторое поддерево дерева Штерна—Броко.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 559
4.27 Дополните более короткую строку символами М. (исходя
из того, что в алфавите М. находится между L и R) так, чтобы обе
строки стали одинаковой длины, а затем воспользуйтесь словар-
словарным упорядочением. К примеру, самые верхние уровни дерева
упорядочены так: LL < LM < ММ < RL < RM < RR. (Другое
решение заключается в присоединении бесконечной строки сим-
символов RL°° к обоим входам, после чего сравнение производится
до установления L < R.)
4.28 Достаточно воспользоваться лишь началом этого предста-
представления:
RRRLLLLLLLRRRR R R
1 2 3 4 7 10 13 16 19 22 25 47 69 91 113 135
Т»Т»Т»Т»2»Т»Т»Т»Т»Т»Т»Т5»22»29»1б"»3"» "•• "
Дробь у появляется потому, что оценивает сверху лучше, чем
дробь J, ане потому, что она оценивает лучше, чем дробь у.
Аналогично, дробь ^ —лучшая оценка снизу, чем дробь у. Здесь
присутствуют все простейшие оценки сверху и все простейшие
оценки снизу, но ближайшее действительно хорошее приближе-
приближение не должно встречаться до тех пор, пока строка символов R
не перейдет обратно в строку символов L.
4.29 Число 1/а. Чтобы получить 1 — х из х в двоичной системе
счисления, мы меняем местами 0 и 1, а чтобы получить 1 /ос из а в
системе Штерна—Броко, мы меняем местами L и R. (Кроме того,
следует обратить внимание на случаи с конечным числом знаков,
но с ними должно быть все в порядке, так как данное соответствие
сохраняет упорядочение.)
4.30 Поскольку m целых чисел х Е [А, А + т) различны по
mod та, то их остатки (х mod тги,... ,х mod mr) пробегают все
тги ... mr = та возможных значений, одним из которых должно
быть (си mod mi,..., ar mod mr) согласно принципу „голубиных
гнезд".
4.31 Вообще, число, записанное в системе счисления с основа-
основанием Ъ, делится на d тогда и только тогда, когда сумма его цифр
делится на d при условии, что b = I (mod d). Это вытекает из
того, что (am ... ao)b = ambm + Ь aob° = am + Ь a0.
4.32 Система cp(m) чисел {kn mod m | к_1_ти0^к< та}
представляет собой систему чисел {к | к 1 m и 0 ^ к < т},
взятых в некотором порядке. Перемножьте их и поделите на
4.33 Очевидно, что НA) = 1. Если та ± п, то Н(тап) =
Ld\mn f № 9(ma/d) = Lc\m,d\n f (cd) g((m/c)(n/d)) =
Ic\m Id\n f (c) 9(m/Q)f (d) 9(n/d), a это P^110 Mm) H(n), так как
cldB каждом члене этой суммы.
560 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
4.34 Действительно, g(m) = Ld\mf(d) = Zd\mf(m/d) =
^d>i f(m/d), если\функция f(x) равна нулю, когда х не явля-
етс? целым числом!
4.35 Начальные условия суть
1@,п) =0; I(m,0) = 1.
А при та, п > 0 имеются два правила:
I(m, n) = I(m, n mod m) — [тг/mj I(n mod m, m),
I(m, n) = 1(та mod n, n),
первое из которых тривиально при та > п и второе тривиально
при та < п.
4.36 Разложение любой из заданных величин на необратимые
множители должно содержать т2 — 10п2 = ±2 или ±3, а это
невозможно по модулю 10.
4.37 Пусть an = 2-nln(en - 1) и Ъп = 2-nln(en + \). Тогда
еп =
1J <^-> ап ^ 1пЕ < bn
Но an_i < ап < bn < bn_i, так что можно взять Е = Итп_юо eQu
На самом деле оказывается, что
— произведение, которое быстро сходится к числу
A.264084735305301 ПJ. Однако эти наблюдения не позволяют
выяснить, чему равно число еп, если мы не сможем найти другое
выражение для Е, которое не зависело бы от чисел Евклида.
4.38 Пусть т = nmodm. Тогда ап - Ъп = (ат - Ът) х
(ап-тЪ° + anmbm + • • • + arbn"m"r) + bmLn/mJ (ar - br).
4.39 Если ai ...at и bi . ..bu-— полные квадраты, то таковым
будет и число
ат ...atbi ...bu/c2...c2,
где {ai,..., at} П {bi,..., bu} = {ci,..., cv}. (На самом деле можно
показать, что последовательность (SA), SB), SC),..., ) содержит
любое не простое целое положительное число ровно один раз.)
4.40 Пусть f(n) = ГЬ^п.рХк* = n!/pl*/PJ|n/pJ! и g(n) =
nl/vep{nl]. Тогда
g(n) = f(n)f(Ln/pJ)f(Ln/p2J)... = f(n)g(Ln/pJ).
Кроме того, f(n) = ao!(p - ])\^\ = ao\{-^[n/v^ (mod p), и
ep (n!) = [n/pj + ep ([тг/pj!). Эти рекуррентности позволяют лег-
легко доказать требуемое по индукции. (Возможны и другие реше-
решения.)
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 561
John .316
— такой флаг
можно было
увидеть на
чемпионате мира
1993 г.,
когда Джон Крук
вступил в борьбу.
4.41 (а) Если п2 = -1 (mod р), то (п2)(р~1)/2 = -1, но теорема
Ферма говорит, что это +1. (Ь) Пусть п = ((р — 1)/2)!, тогда
п = (-1 )(р~1)/2 П^к<Р/2(Р ~к) = (Р - 1 )!/п, следовательно, п2 =
(р-1)!.
4.42 Вначале заметим, что к _1_ I <=^ к -L I -f- ак для любо-
любого целого а, так как нод(к,1) = нод(к, I + ак) в соответствии с
алгоритмом Евклида. Итак,
m -L п и п' ± п <?=> mn' ± п
4=> mn' + nm' _L n.
Аналогично,
m' ± n' и n _L n' 4=> mn' + nm'ln'.
Следовательно,
та _L n и та' _L n' и n ± n'
mn'+nm' Inn'.
4.43 Надо умножить на L R, затем на R L RL, затем на L R,
затем на RL-1 RL2 и т. д.; n-м множителем будет R-p^L RLp(n),
поскольку мы должны сократить р(п) матриц R. A R"™!."^!.111 =
(О -1 ч
4.44 Мы можем найти простейшее рациональное число, которое
лежит в интервале
[.3155, .3165) =
Ш
просматривая представления Штерна—Броко дробей ^щ и Шо
и останавливаясь непосредственно перед тем, как в первой из них
встречается символ L, а во второй — символ R:
(тьтц,т2,т12) := F31,2000,633,2000);
как только mi > ти или таг < гц исполнять
если таг < П2
то (выводA1); {ъу,ъг) :=(nbn2)-(mi,m2))
иначе (bhboa(R); (mi,m2) := (mbm2) - (ni ,n2)).
Искомый результат LLLRRRRR = ^ « .3158. Между прочим, ко-
коэффициент .334 означает по меньшей мере 287 ударов.
4.45 Имеем х2 = х (mod 10n)
( ( )
х(х - 1) = 0 (mod 2n)
[ ]
( ) ( ) и
х(х - 1) = 0 (mod 5n) 4=Ф х mod 2n = [Оили 1] и х mod 5n =
[Оили 1]. (Последний шаг оправдан, поскольку х(х — 1) mod 5 = 0
означает, что либо число х, либо число х — 1 кратно 5, в случае
чего другой множитель взаимно прост с 5П и может быть выделен
из данного сравнения.)
Поэтому существует самое большее четыре решения, два
из которых (х = 0 и х = 1) не достойны имени „n-значного числа",
кроме случая п = 1. Два других решения имеют вид х и 10п +1 — х,
и по меньшей мере одно из этих чисел ^ 10й. Если п = 4, то
562 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
другое решение 10001 — 9376 = 625 не является четырехзначным
числом. Мы надеемся получить два n-значных решения примерно
для 90% всех п, но это предположение еще не доказано.
(Подобные самовоспроизводящиеся числа называют „авто-
„автоморфами")
4.46 (а) Если j'j - k'k = нодО,к), то пк'кпноА(,-,к) = ПП = \ и
пк'к = 1. (Ь) Пусть n = pq, где р —наименьший простой дели-
делитель числа п. Если 2п = 1 (mod п), то 2п = 1 (mod р). К тому
же 2р=1 (mod р), следовательно, 2НО^~]^ = 1 (mod р). Но
нод(р—1,п) = 1 по определению р.
4.47 Если п™ = 1 (mod та), то должно быть n _L т. Если
пк = тО при некоторых 1 ^ j < k < m, то nk~i = 1, посколь-
поскольку можно разделить на тО. Поэтому если числа n1 mod m, ...,
nm-i mocj m не все различны, то имеется некоторое k < m — 1,
для которого nk = 1. Наименьшее из таких к делит m — 1, со-
согласно упр.4б(а). Но тогда kq = (m — 1)/р при некотором про-
простом числе р и некотором целом положительном числе q, что
невозможно, так как nkq ^ 1. Поэтому все числа n1 mod m, ...,
nm-i mocj m различнЬ1 и взаимно просты с m, а потому числа
1, ..., m — 1 взаимно просты с т, и число т должно быть про-
простым.
4.48 Объединяя числа с обратными к ним попарно, произведе-
произведение (mod m) можно свести к произведению ГЬ^ткт.п* mod т=1 n-
А теперь можно воспользоваться нашим умением решать уравне-
уравнения п2 mod m = 1. С помощью модулярной арифметики выясня-
выясняется, что искомый результат равен т— 1, если т = 4, рк или 2рк
(р > 2); в остальных случаях он равен +1.
4.49 (а) Либо m < n (O(N — 1) случаев), либо m = n (один
случай), либо m > п (вновь ФAМ — 1) случаев). Следовательно,
R(N) = 2O(N - 1) + 1. (b) Из D.б2) получаем, что
2<D(N) - 1 = -1 + Y_ ^d)LN/dJ U + N/dJ ;
следовательно, требуемый результат справедлив тогда и только
тогда, когда
^i(d)[N/dJ =1 npzN ^ 1.
А это частный случай правила D-6i), если положить f(x) =
4.50 (а) Если f — некоторая функция, то
X. Л f(k)[d = HOA(k,m)]
d\m
d\m
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 563
„Die ganzen Zahlen
hat der Hebe Gott
gemacht, alles
andere 1st
Menschenwerk'.'
—Л. Кронекер [48]
d\m
f(kd)[k-Lm/d]
fN/d)[lcld].
d\m
С частным случаем этого вывода мы знакомы по выводу форму-
формулы D.63). Аналогичный вывод проходит и при замене П на II-
Таким образом, имеем
zm-1=
П (z-
d\m
k_Ld
-it
d\m
ибо cum/d = e2ni/d.
Пункт (b) следует из пункта (а) по аналогии с принци-
принципом D*56) для произведений вместо сумм. Кстати, эта формула
показывает, что многочлен 4/m(z) имеет целочисленные коэффи-
коэффициенты, так как ^(z) получается путем умножения и деления
многочленов со старшим коэффициентом 1.
4.51 Имеем (х1+...+хп)р = Lkl+...+kn=pp!/(ki!...kn!)x^ ...хткЛ
где коэффициент при иксах делится на р, если только некото-
некоторое kj не равно р. Следовательно, (xi Н Ь хп)р =х^ -\ Ь х?
(mod p). А теперь можно положить все иксы равными 1, получая
пр =п.
4.52 Если р > п, то доказывать нечего. В противном случае х J_
р, так что xk^p~^ = I (mod p); это означает, что по меньшей мере
|_(n— 1)/(p — 1)J заданных чисел кратны р. А (п—1)/(р —1) ^п/\),
поскольку п^\).
4.53 Вначале покажите, что если та ^ 6 и та —не простое чи-
число, то выполняется условие (та —2)! = 0 (mod та). (Если та = р2,
то произведение для (та — 2)! включает р и 2р; в противном слу-
случае оно включает d и та/d, где d < та/d.) Затем рассмотрите
следующие случаи:
Случай 0, п < 5. Данное условие выполняется только при
п = 1.
Случай 1, п ^ 5 и п простое. Тогда (п — 1 )!/(п + 1) — целое
число и оно не может быть кратным п.
Случай 2, п ^ 5, п составное и п + 1 составное. Тогда п и
п + 1 делят (п — 1)! и п _L п +1; следовательно, п{п + 1 )\(п — 1)!.
Случай 3, п ^ 5, п составное, а п + 1 простое. Тогда
(п—1)! = 1 (mod n + 1) по теореме Вильсона и
составное
а это число делится на п.
Итак, ответ такой: либо п = 1, либо п
число.
564 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
4.54 Поскольку е2A000!) > 500, а е5A000!) = 249, то 1000! =
а-10249 при некотором четном целом а. А так как 1000 = A300M,
то упр. 40 говорит, что а-2249 = 1000I/5249 = -1 (mod 5). Кроме
того, 2249 = 2, следовательно, и а = 2, а значит, a mod 10 = 2
или 7, и, следовательно, ответ такой: 2 • 10249.
4.55 Один из способов доказательства — доказать по индукции,
что Р2п/Рт4г(тг + 1)—целое число; этот более сильный резуль-
результат обеспечивает дальнейшее проведение индукции. Другой путь
основан на доказательстве того, что каждое простое число делит
числитель по меньшей мере столько же раз, сколько оно делит и
знаменатель. А это сводится к доказательству неравенства
2п п
k=1 k=1
которое следует из неравенства
[Bп - 1)/mJ + [2n/mJ ? 4Ln/mJ .
Обе части последнего неравенства, справедливого при 0 ^ n < m,
увеличиваются на 4, когда п увеличивается на та.
4.56 Пусть f(m) = YillV min(k, In- k)[m\k], g(m) =
Z^kZi Btl — 2k — 1) [m\Bk + 1)]. Число раз, которое р делит чи-
числитель указанного отношения, равно f (р) + f (р2) + f (р3) Н , а
число раз, которое р делит его знаменатель, равно д(р) + д(р2) +
д(р3)Н .Но f(m) = g(m) всякий раз, когда m нечетно, согласно
упр. 2.32. Следовательно, согласно упр. 3.22, указанное отношение
сводится к 2п(п"^.
4.57 Указание предполагает обычное изменение порядка сумми-
суммирования, поскольку
[d\m] =
Обозначая сумму в указании через 1(п), получаем
I(m + п) - I(m) - I(n) = ^ (р{&).
d€S(m,n)
С другой стороны, из D-54) известно, что I(n) = 2Ti(n+ 1). Сле-
Следовательно, I(m + тг) — I(m) — I(n) = mn.
4.58 Функция f (та) мультипликативна, а когда та = рк, она рав-
равна 1 +ip-\ Ьрк. А это равно степени 2 тогда и только тогда, когда
р — простое число Мерсенна и к = 1. Действительно, к должно
быть нечетным, и в таком случае данная сумма есть
и (к — 1 )/2 должно быть нечетно и т. д. Требуемое необходимое и
достаточное условие состоит в том, что та должно быть произве-
произведением различных простых чисел Мерсенна.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 565
„Человек создал
целые числа,
все остальное —
Дьёдонне'.'
-Р.К.Ги
(Или „от бога"
если переводить
фамилию извест-
известного французского
реформатора мате-
математики Dieudonne
буквально.
—Перев.)
4.59 Доказательство указания. Если п = 1, то xi = <х = 2 и нет
проблем. Если п > 1, можно считать, что xi ^ • • • ^ хп. Случай 1:
1 1 1
р
-1
_| ^ х-1^ + (хп — 1 )-1 ^ 1 и хп > хп_1. Тогда можно найти
C ^ хп - 1 ^ xn_i, такое, что xf] Н Ь х"^ + Р = 1; следова-
следовательно, хп ^ C +1 ^ еп и xi ...хп ^ X! ...хп_1 (C +1) ^ ei ... еп —
по индукции. Существует целое положительное число т, такое,
что а = Xi ... xn/m; следовательно, а ^ е-\ ... en = en+i — 1,
и имеем х\ ...хп(а + 1) ^ ei ...enen+i. Случай 2: xj + • • • +
x'^+frn-i) ^ 1 ихп =хп_ь nycTba^XnHQ-^ta-i)-1 =
(a —2)~1 +C. Тогда можно показать, что а^4и(а — 2)(С + 1) ^
а2. Так что существует некоторое C ^ С, такое, что х^ + • • •
+ >с~12 + (а — 2) + C~1 = 1; отсюда по индукции следует, что
XL..xn ^ xi...xn_2(a-2)(C + 1) ^ xi...xn_2(a-2)(C + l) <:
ei ... еп, и можно закруглиться, как и раньше. Случай 3: х^1 -\
1
Можно показать, что (а— 1 )(C + 1) > а(а+1), ибо это соотношение
эквивалентно соотношению
¦ era +
> О,
которое является следствием неравенства aa(a— a) + A + a) a ^
A + a)a > a2 — a. Следовательно, хп и a можно заменить на a— 1
и C, повторяя подобное преобразование до тех пор, пока не будут
применимы случаи 1 или 2.
Другим следствием данного указания является то, что
1/xi Н Ь 1/хп < 1 влечет за собой 1/xi + • • • + 1/xn ^ 1/ei +
h V^n; см. упр. 16.
4.60 Суть дела в том, что 9 < |. В таком случае можно выбрать
pi достаточно большим (с тем, чтобы удовлетворить указанным
ниже условиям), а рп — наименьшим простым числом, большим
рп_-|. При таком определении рп положим an = 3~nlnpn и
bn = 3~nln(pn + 1). Если нам удастся показать, что an_i ^
an < bn ^ bn_i, то мы сможем взять Р = 1ппп_юо ea'v, как в
упр. 37. Но это предположение эквивалентно тому, что рт3г_1 ^
Vn < (Рп-1 + 1 K. Если в этих пределах не найдется простого чи-
числа рп, то должно быть некоторое простое число р < рт3г_1, такое,
что ip +ipe > (ртг-1 + IK. Но это означает, что ре > Зр2/3, а это
невозможно, если р достаточно большое.
Можно почти наверняка выбрать pi = 2, так как все име-
имеющиеся данные указывают на то, что известные оценки для про-
промежутков между простыми числами много слабее по сравне-
сравнению с истинными промежутками (см. упр. 69). В таком случае
р2 = И, рз = 1361, р4 = 2521008887 и 1.306377883863 < Р <
1.306377883869.
4.61 Обозначим через тип правые части; заметим, что име-
имеет место равенство mn' — m'fi = 1, следовательно, m _L n.
Кроме того, m/n > m'/n1 и N = ((п + NO/n^n' — n ^> n >
566 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
((n + N)/n; - 1)п' - п = N - п' ^ 0, так что m/n ^ m"/n".
Если же равенство не имеет места, то получаем, что n" = (mn' —
m'n)n" = n'(mn" - m"n) + n(m"n' - m'n") ^ n' + n > N -
противоречие.
Между прочим, из этого упражнения следует равенство
(та + m")/(n + n") = т'/тг7, хотя первая из этих дробей не все-
всегда несократима.
4.62 Это число 2~л + 2~2 + 2
в виде
•, которое может быть записано
1
-4k2-6k-3
Между прочим, эту сумму можно выразить в замкнутой форме,
используя „тета-функцию" 0(z,A) = Y.ke~nXk +2lzk:
4.63 Всякое число п > 2 либо имеет нечетный простой делитель
d > 2, либо делится на d = 4. В любом случае разрешимость урав-
уравнения с показателем п влечет за собой разрешимость уравнения
(an/d)d + (bn/d)d = (cn/d)d с показателем d. А так как при d = 4
уравнение неразрешимо, то d должно быть простым числом.
Указание проистекает из биномиальной теоремы, посколь-
поскольку (ар + (х — а)р)/х = pap-1 (mod x), если р нечетно. В наимень-
наименьшем контрпримере если D46) неверно, то должно быть a _L x.
Если х не делится на р, то х взаимно просто с ср/х. Это означает,
что всякий раз, когда простое q обладает свойством qe\\x и qf \\c,
мы будем иметь е = fp. Следовательно, х = тр при некотором т.
Если же х делится на р, то ср/х делится на р, но не делится на
р2, и ср не имеет других общих с х множителей.
4.64 Одинаковые дроби в последовательности
„порядке органных труб":
появляются в
2т 4т
2тГ* 4^'
rm
3m m
3n' ti'
Предположим, что описание 7^ корректно; надо доказать, что и
описание ?n+i корректно. Это означает, что если kN нечетно, то
нужно показать, что
к-1
«J,kN
N + 1
а если kN четно, то нужно показать, что
Я нашел пои-
поистине чудесное
доказательство
последней
теоремы Фер-
Ферма, однако поля
слишком малы,
чтобы оно здесь
уместилось.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 567
В обоих случаях полезно знать число дробей в
дроби (к — 1 )/(N + 1); их число равно
строго меньших
„Ни один квадрат,
меньший 25x10й,
не делит никакое
число Евклида"
—План Варди
2L г m Тс— 1 п "Г(к-1)п1
n=1 m п=1 ' '
Д -1)n + N| = (k-2)N
N + 1 J" 2
¦?4*1
согласно (з-32)> гАе & = нод(к — 1,N + 1). Это сводится к
j(kN — d + 1), поскольку N mod d = d — 1.
Кроме того, число дробей в ?n, равных (к — 1)/(N + 1),
которые должны предшествовать ей в JPn+ъ равно ^(d — 1 —
[d —четное]) —в соответствии с порядком органных труб.
Если kN нечетно, то d четно и (k— 1)/(N + 1) предше-
предшествуют ^(kN — 1) элементов 7ц: это именно то число, которое
нужно. Если kN четно, то d нечетно и (k— 1)/(N + 1) предше-
предшествуют j(kN) элементов 7^. Если d = 1, ни один из них не ра-
равен (к— 1)/(N + 1) и JV^kN есть символ '<'; в противном случае
(к — 1)/(N + 1) оказывается между двумя равными элементами
и ^N.kN есть символ *=\ (Ч. С. Пирс [238] независимо обнаружил
дерево Штерна—Вроко примерно в то же время, когда он обна-
обнаружил последовательность IV)
4.65 Аналогичный вопрос для (аналогичных) чисел Ферма fn —
одна из знаменитых нерешенных проблем. Наш же вопрос может
оказаться полегче, а может — и потруднее.
4.66 Известно, что ни один квадрат, меньший 36 х 1018, не де-
делит никакое число Мерсенна или число Ферма. Однако до сих
пор не доказано предположение Шинцеля о том, что существу-
существует бесконечно много чисел Мерсенна, свободных от квадратов.
Не известно даже, существует ли бесконечно много р, таких, что
р\\(а ± Ь), где все простые множители чисел а и b ^ 31.
4.67 М. Сегеди доказал это предположение для всех больших п;
см. [267], [391, с. 78-79] и [326].
4.68 Это предположение гораздо слабее по сравнению с резуль-
результатом из следующего упражнения.
4.69 Правдоподобность этого предположения показана Краме-
Крамером [166] из вероятностных соображений и подтверждена вычи-
вычислительными экспериментами: Брентом [38] показано, что Рп+1 —
Рп ^ 602 для Pn+i < 2.686 х 1012. Однако гораздо более сла-
слабые оценки из упр. 60 —это наилучшее из того, что было из-
известно к 1994 г. [205]. Упражнение 68 имеет ответ „да", если
Рп+1 —Рп < 2Рп при любом достаточно большом п. По утвержде-
утверждению Ги [73, проблема А8], Пауль Эрдёш предлагает 10 000 долла-
долларов за доказательство того, что существует бесконечно много п,
568 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
таких, что
Рп+1
Рп>
с In n In In n In In In In n
(In In InnJ
для всех с > 0.
4.70 В соответствии с упр. 24 это имеет место тогда и только то-
тогда, когда ^2(п) = л'з(тг)- Методы из [392] могут помочь расколоть
этот орешек.
4.71 Если к = 3, то наименьшим решением является п =
4700063497 = 19 • 47 • 5263229; другого решения в этом случае не-
неизвестно.
4.72 Известно, что это справедливо для бесконечно многих зна-
значений а, включая —1 (само собой разумеется) и 0 (не столь оче-
очевидно). Лемеру [191] принадлежит знаменитое утверждение о
том, что (р{п)\{п — 1) тогда и только тогда, когда п — простое
число.
4.73 Известно, что это эквивалентно гипотезе Римана (согласно
которой комплекснозначная дзета-функция C(z) отлична от нуля,
если вещественная часть z больше 1 /2).
4.74 Экспериментальные данные дают основание предполагать,
что существует около рA — 1/е) различных величин —- точно так
же, как если бы факториалы были беспорядочно распределены
по модулю р.
5.1 A1)? = A4641 )г в любой системе счисления с основанием
г ^ 7 согласно биномиальной теореме.
5.2 Отношение (^-[)/(J?) — (п —k)/(k + 1); это число ^ 1, если
k ^ Ln/2J, и ^ 1, если к < [п/2], так что максимум достигается
при k = [n/2J и при к = \п/1\.
5.3 Выразите через факториалы. Оба произведения равны
f(n)/f(n - k)f(k), где f(n) = (n + 1)! n! (n - 1)!.
5.4 (-1) = (-I)^(^-1) = (-1)k(k) = (-1)k[k^0].
5.5 Если 0 < k < p, то в числителе дроби (?) имеется р, ко-
которое ни с чем не сокращается в знаменателе. Поскольку (?) =
(V) + (kIi)>то Должно быть (p~]) = (-1)k(modp)npn0^ k < p.
5.6 Решающим шагом (после избавления от второго к) должен
быть следующий:
Лг + к>
V К
1 г-Лг + к>
_2_
п+1
п + 1
1
L
1 /п-1\/
п+^\ п )\
п +
о
Яри этом, как
утверждает Грэ-
Грэхем, возможна
замена на марки,
золото, бриллиан-
бриллианты или нефть—
кто что предпочи-
предпочитает.
— Перев.
А что такое 114 по
основанию 11 ?
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 569
Но не бессильной.
Любое значение ги-
гипергеометрического
члена t(k) может
быть записано в
BwOe(k)v(k),
где е(к) —целое
jfv(k) ф 0.
Допустим, что
отношение членов
t(k+1)/t(k) есть
p(k)/q(k) и v и q
полностью факто-
ризованы в ком-
комплексных числах.
Тогда для любого к
е(к +1) равняется
е(к) плюс число
нулевых множите-
множителей в разложении
р(к) минус число
нулевых множите-
множителей в разложении
q(k); v(k+1) есть
v(k), умноженное
на произведение
ненулевых мно-
множителей р(к) и
деленное на произ-
произведение ненулевых
множителей q(k).
В первоначальном выводе был забыт этот дополнительный член,
который представляет собой [п = 0].
5.7 Да, поскольку г— = (—1 )k/(—r ~ 1 )-• Кроме
!ТОГО,
rk(r+l)k = Br)
5.8 Функция f (k) = (k/n — 1 )n является многочленом степени
n со старшим коэффициентом n~n. Согласно E-4°) > данная сум-
сумма равна n\/nn. При большом п в соответствии с приближени-
приближением Стирлинга это примерно у/2тхп/еп. (Это совершенно отлично
от величины A — 1/е), которая получается, если воспользоваться
приближением A — k/n)n ~ e~k, справедливым при фиксирован-
фиксированном к и п —> оо.)
5.9 fitfz)* = L^otftk + t^zVW = L^o(^+ IJ^tzjVk! =
?i (tz), в соответствии с E.60).
5.10 Lk>02zk/(k + 2) = FB,1;3;z), поскольку tk+1/tk =
(k + 2)z/(k + 3).
5.11 Первая функция является бесселевой, а вторая — гауссо-
гауссовой:
)! =FA;1,§;-z2/4),
5.12 (а) Является, если п ф 0, поскольку отношение членов
равно п. (Ь) Является, если п — целое число; отношение чле-
членов равно (k + ])n/kn. Заметьте, что для получения этого чле-
члена из E-Иб) мы полагаем m = n + , ai = - - - = am = 1,
b] = • • • = bn = 0, z = 1 и умножаем на Оп. (с) Является —
отношение членов равно (к + 1 )(к + 3)/(к + 2). (d) He является —
отношение членов равно 1 +1 /(к+1 )Нк и Нк ~ In к не рациональ-
рациональная функция, (е) Является — обратное к любому гипергеометри-
гипергеометрическому члену есть снова гипергеометрический член. Тот факт,
что t(k) = 00 при к<0ик>пне исключает t(k) из гипергео-
гипергеометрических членов, (f) Да, конечно, (g) He всегда —например,
при t(k) = 2k и T(k) = 1 не является, (h) Да; отношение членов
t(n — 1 — k)/t(n — 1 — (k + 1)) —рациональная функция (обратное
к отношению членов для t при замене к на п — 1 — к) при произ-
произвольном п. (i) Является — отношение членов может быть записа-
записано как
at(k + 1)/t(k)+bt(k + 2)/t(k) + ct(k + 3)/t(k)
a + bt(k+1)/t(k) + ct(k + 2)/t(k)
и t(k + m)/t(k) = (t(k + m)/t(k + m - 1)) ... (t(k + 1 )/t(k))
является рациональной по к функцией, (j) Нет. Если две ра-
рациональные функции pi(k)/qi(k) и P2(k)/q2(k) равны для бес-
бесконечно многих значений к, они равны для всех к, посколь-
поскольку pi(k)q2(k) = qi(k)p2(k)— полиномиальное тождество. Поэто-
570 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
му отношение членов [(к + 1)/2]/[к/2] должно было быть рав-
равным 1, если это рациональная функция, (к) Нет. Отношение чле-
членов должно было быть равным (к + 1)/к для всех к, поскольку
это так для всех к > 0; но тогда t(—1) может быть нулем, только
если t@) кратно О2, тогда как tA) может быть равно 1, только
если1;@) =01.
5.13 Rn = n\^/?i = Qn/?n = Q2/n!n+1.
5.14 Первый сомножитель в тождестве E-25) — это (lJ'^m) при
k ^ I, а это есть (-1I"к"тA1^Г71г)- При к ^ I данная сумма
представляет собой сумму по всем к, поскольку m ^ 0. (Условие
тг ^ 0 на самом деле необязательно, хотя переменная к должна
принимать отрицательные значения при тг < 0.)
Чтобы перейти от E.25) к (б-2б), сначала замените s на
—1 —тг — q.
5.15 Если тг нечетно, то данная сумма равна нулю, поскольку к
можно заменить на п — к. Если же п = 2т, то в соответствии с
E.29) при а = Ь = с = та данная сумма равна (—1 )mCm)!/m!3.
5.16 Это всего лишь Bа)! BЬ)! Bс)!/(а + Ъ)! (b + с)! (с + а)!, по-
помноженное на E-2д), если выразить слагаемые через факториа-
факториалы.
5.17 Поскольку B^2) = (?)/2* * f ^/2) = (?)/2"\ ™еем
Bn-1/2)=22nBn-1/2)
5-18 (Ш\)/*3к-
5.19 Ei_t(-z)-1 =Zk>o(k~tkk~1)H/(fc-tlc-l))(-zIc согласно
E.6о), а это есть Z^o (\k)(V(tk-k+ 1))zk - St(z).
5.20 Этот ряд равен F(-a, -am; -bi,..., -bn; (-1 )m+nz);
см. упр. 2.17.
5.21 limn^ojn + m)^/nm = 1.
5.22 Умножение и деление отдельных значений (б-8з) А^ет
(-1/2)!
v /2n + 2x\ _2v
n-юо у 2n /
согласно E.34) и E.36). К тому же
1/Bх)! = lim
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 571
Следовательно, и т.д. Между прочим, гамма-функциональным
эквивалентом этой формулы является
Г(х)Г(х+ \) = Щ
5.23 Это (-1 )пп\, см. E-5о)-
5.24 Согласно E.3б) и E.93) сУ**ма равна (*) F(mT)>2"m|l) =
5.25 Это эквивалентно легко доказуемому соотношению
(b + 1)k (b+1)k bk
или, в операторной форме, a — b = {д + a) — [д + b).
Аналогично,
,a3,...,am
..,bn
поскольку ai —а2 = (ai +k) — (a2+k). Если ai —bi —целоенеотри-
—целоенеотрицательное число d, то второе соотношение позволяет выразить
функцию F(ai,..., am; bi,..., bn; z) в виде линейной комбинации
функций F(a2 + j, a3)..., am; b2,..., bn; z) при 0 ^ j ^ d, тем са-
самым удаляя один верхний параметр и один нижний параметр.
К примеру, таким образом получаются выражения в замкнутой
форме для F(a,b; a— 1;z), F(a,b; a —2;z) и т.д.
Гаусс [68, §7] вывел аналогичные соотношения между
F(a,b;c;z) и любыми двумя „смежными" гипергеометрическими
функциями, в которых один из параметров изменен на ±1. Рей-
нвиль [255] обобщил их на случай нескольких параметров.
5.26 Если отношение членов в исходном гипергеометрическом
ряду есть tk+i/tk = г (к), то отношение членов в новом ряду есть
tk+2/tk+i = г(к + 1 )• Следовательно,
...amz
1 _1_ ' *'" m "с
bi ...bn
5.27 Сумма четных членов ряда FBai,..., 2am; 2bi,..., 2bm; z)
Имеем Ba)IkTI/Ba)Ik=4(k+a)(k+a+i)HT.A.
572 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.28 F(Q-b|z) = A -
|1^) = A
(Эйлер доказал это тождество, показав, что обе части удо-
удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению.
Правило симметрии зачастую приписывается Эйлеру, но оно, ка-
кажется, не встречается в опубликованных им работах.)
5.29 В соответствии с правилом свертки Вандермонда коэффи-
коэффициенты при zn равны. (Первоначальное доказательство Куммера
было другим: он рассматривал lim™-^ F(m, b — a; b; z/vn) в пра-
правиле симметрии E.101).)
5.30 Продифференцируйте еще раз, получая z(l — z)F"(z) +
B-3z)F'(z)-F(z)=0. Поэтому, согласно E.108), F(z)=F(l, 1;2;z).
5.31 Условие f(k) = cT(k+l)-cT(k) означает, что f(k+l)/f(k) =
(T(k + 2)/T(k+l)-l)/A-T(k)/T(k+l)) является рациональной
по к функцией.
5.32 При суммировании многочлена относительно к метод Го-
Госпера сводится к „методу неопределенных коэффициентов" Име-
Имеем q(k) = г (к) = 1 и пытаемся найти решение соотношения
р(к) = s(k+ 1) — s(k). В этом методе предполагается, что s(k)
является многочленом, степень которого d = deg(p) -f 1.
5.33 Решением соотношения к = (к — l)s(k + 1) — (к -Ь l)s(k)
служит s(k) = —к+^; следовательно, ответ: A — 2к)/2к(к—1L-С.
5.34 Предельное соотношение выполняется, ибо все члены при
к > с стремятся к нулю, а при вычислении предела остальных
членов е — с сокращается с —с, т. е. вторая частичная сумма
есть lim?_>oF(— m, — п; е —та; 1) = lime_).o(e + n — m)m/(e — m)m =
Приравнивая
коэффициенты
при zn, получаем
формулу Пфаф-
Пфаффа—Заальшютца
E-97)-
5.35 (aJ-n3n[nJ>03. (b) A - ^
=2k+1[lc^0].
5.36 Сумма цифр числа m + n является суммой цифр числа m
плюс сумма цифр числа п минус р — 1, умноженное на число
переносов, поскольку каждый перенос уменьшает сумму цифр
на р — 1. [См. в [158] расширение этого результата на обобщенные
биномиальные коэффициенты.]
5.37 Деление первого соотношения на п! дает свертку Вандер-
Вандермонда (х^у) = ?Lk (?) {п\)- Второе соотношение вытекает, к при-
примеру, из формулы хк = (—1 )к(— х)-, если обратить как х, так и "у.
5.38 Выберите с как можно большим так, чтобы C) ^ п; тогда
0 ^ п ~ (з) < (Сз1) ~ (з) = (i)' Замените пнап-(;)и про-
продолжайте в том же духе. И наоборот, любое такое представление
получается тем же способом. (Можно проделать то же самое с
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 573
Заключенное
в рамку
утверждение
на обороте
этой страницы
истинно.
представлением
<
< CL2 <
при любом фиксированном та.)
5.39 Индукция по m + п: хшуп = ?^в1 {ш+^~к
Lk=i (m+mIi"k)an"kbmWk ЯР* любых т > 0 и п > 0.
.40 (-1) 2-k=i2-j=UjJv m-j j-i-') 2-k=i(( m )-
в1 (^11-lc)anbm-kxk +
5.41 Lk^on|/(n-k)!(n + k+l)! = (n!/Bn + 1)!) ?k>n Bnk+1),
что равно 22nn!/Bn + 1)!.
5.42 Будем рассматривать п как неопределенную вещественную
переменную. При q(k) = k+1 и r(k) = k—1 —п метод Госпера дает
решение s(k) = 1/(n + 2) —следовательно, требуемое выражение
для неопределенной суммы есть (—1 )х~1 ^$^/(Пх1) • И
п+1
к=0
= 2
п
[п — четное].
п + 2
Между прочим, из этого упражнения вытекает формула
1 1 1
)'
„двойственная" основной рекуррентности
5.43 После подсказанного первого шага можно применить пра-
правило E-2i) и просуммировать по к. Затем правило E.21) при-
применяется еще раз и завершает дело свертка Вандермонда. (Ком-
(Комбинаторное доказательство этого тождества было дано Эндрюсом
[385]. Способ быстрого перехода от этого тождества к доказатель-
доказательству соотношения E-29) объяснен в [139, упр. 1.2.6-62].)
5.44 Сокращение факториалов показывает, что
т + п\ _ /т + п - j - k\ /j + k\ /m + n\
m У " V m-j Д
так что вторая сумма —это дробь V(m^n)> умноженная на пер-
первую сумму. А первая сумма есть просто частный случай (б-З2)
для 1 = 0, п = Ь, г = a, s = m + п — Ь, так что она равна
/a+b\ /m+u-a-b\
V a M n-a /'
тп\ Л
5.45 Согласно E.9), L^n {к~1П) = {П+У2)- Если же это вы-
выражение недостаточно „замкнуто" то можно применить (б-Зб) и
получить Bп + 1) B^L"п.
574 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.46 По формуле E-69) эта свертка противоположна к коэффи-
коэффициенту при z2n в разложении B_i(z)B_i(—z). Далее, BB_i (z) —
1)BB_i(-z) - 1) = л/1 -16z2; следовательно, B_i(z)B_i(-z) =
|\/1 — 16z2 -f ^B-i (z) + |B_i (—z) — ^. По биномиальной теореме,
пУ2п-1 '
так что ответ такой: B^Lп~1/Bп - 1) + {4^)/[4п - 1).
5.47 Согласно E-6i), это коэффициент при zn в разложении
2, где Qr(z) = 1 - г +
Заключенное
в рамку
утверждение
на обороте
этой страницы
ложно
5.48 Это FBn + 2, l;n + 2; 1) = 22п+1/B1^1), частный случай
соотношения E.111).
5.49 Тождество Заалынютца (б-97) Аает
У
-х, -п, -п-у
п ) у + п у-х-п, 1 —п—у
5.50 Левая часть есть
1 -
ak
ГТ)
а по правилу свертки Вандермонда (б-92) коэффициент при z11
равен
/п + а-1\/а,Ь,-п \ а^
V п у V с, а / п!
(c-b)n
5.51 (а) Согласно правилу симметрии имеем F(a,— n;2a;2) =
(—1)nF(a,—n;2a;2). (Между прочим, из этой формулы вытека-
вытекает замечательное соотношение Д2т+1 f@) = 0, когда f(п) =
)
(b) Почленный предел равен
(")
1
0^п ()fe
плюс некий дополнительный член при к = 2тп — 1; этот дополни-
дополнительный член есть
= (-1)
m+1
m! ml 22m+1
Bm)!
_2
следовательно, согласно E.104), искомый предел равен—1/("
противоположному значению того, что мы имели.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 575
5.52 При к> N члены обоих рядов равны нулю. Это тождество
соответствует замене к на N — к. Заметьте, что
5.53 Если b = —j, то независимо от а левая часть E.110) равна
1 — 2z, а правая часть равна A — 4z + 4z2I/2. Правая часть —это
формальный степенной ряд
который может быть расписан по степеням z и переупорядочен
так, чтобы получить 1 — 2z 4- Oz2 4- Oz3 4 ; однако подобное пе-
переупорядочение включает, в качестве промежуточного шага, рас-
расходящийся при z = 1 степенной ряд, так что оно незаконно.
5.54 Если та 4- п нечетно, скажем, 2N — 1, то нужно показать,
что
,4=0-
е->о \ —та4-е I /
Равенство (б-92) применимо, поскольку —та 4- е > —та — \ 4- е,
а сомножитель Г (с — Ь) = ГAЧ — та) в знаменателе бесконечен,
поскольку N ^ та; все остальные сомножители конечны. В про-
противном случае та 4- п четно; подставляя п = та — 2N, получаем
iim/_N)N_m_1+e|i^(N_1/2)N
V -m+e
согласно E-93)- Остается показать, что
/m-N\
/
m \(N-1/2)!(m-N)! /m-N\ 2N
(-1/2)! m! Vm-2N,
а это случай х = N из упр. 22.
5.55 Пусть Q(k) = (k + A,)...(k + AM)ZHR(k) = (k + B,)...
(k + BN). Тогда t(k+1)/t(k) = P(k)Q(k-1)/P(k-l)R(k), где
P(k) = Q(k) — R(k) —ненулевой многочлен.
5.56 Решением соотношения —(k+1)(k + 2) = s(k+l) + s(k) слу-
служит s(k)=-ik2-k-l; следовательно, ? () 6k=l(-1)k-1 Bk2 +
4k + 1) + С. К тому же
1
Bk2+4k+1) + -
576 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.57 Имеем t(k+l)/t(k) = (k-n)(k+I+8)(-z)/(k+1)(к + 8).
Поэтому можно взять р(к) = к + Э, q(k) = (к — n)(—z), r(k) = к.
Секретная функция s(k) должна быть константой ао, и мы нахо-
находим
к + е - (-z(k - п) - к) а0 ;
следовательно, ао = —1/A -\-z) и в = —nz/(l -f z). Сумма равна
I Л-z \lc —
(Формула E.18) соответствует частному случаю z = 1.)
5.58 Если m > 0, то можно заменить (^) на ^(^"Ij) и выве-
вывести формулу Tm>n = ^Tm_i )П_1 - ± (п~1). Следовательно, уместен
\—1
суммирующий множитель (^) :
lm,n I m—1,n—1 j_
~7~пГ\~ — in 1 \ *
А это можно развернуть, получая
(n \ — * 0,n—та "m ~г "n "n—m •
m/
Наконец, Т0)П-т = Hn_m, так что Tm>n = (^)(Hn - Hm). (Этот
результат можно также получить, воспользовавшись производя-
производящими функциями; см. пример 2 в разд. 7.5.)
5.59 Ljr>O,k;>1 (?)[):
что равно Xli>o (?)
5.60 В случае m = n приближение
\ п J V 2гс Vm n/V п/\ та/
сводится к B^) и 4пД/7пг
5.61 Пусть Ln/pJ = q и nmodp = г. Полиномиальное тожде-
тождество (х + 1 )р = хр -f I (mod p) означает, что
(x+1)pq+r = (x+1)r(xp + 1jq
Коэффициент при xm слева равен (^). Справа же он равен
LkL-pkKk). что Равняется всего лишь (m mrod p) (Lmq/pJ), по-
скольку 0 ^ г < р.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 577
Заключенное
в рамку
утверждение
на обороте
этой страницы
не является
утверждением.
5.62
= E
kl+...+kn«mp
• • • (I) = С) (mod P2), посколь-
ку все члены данной суммы кратны р2, за исключением (^) чле-
членов, для которых ровно та из ki,... ,kn равны р. (Стенли [282,
упр. 1.6(d)] показывает, что данное сравнение в действительности
выполняется по модулю р3 при р > 3.)
5.63 Это Sn = n=o(-4)kra = Lk=o(-4)n-kBTk)- Знамена-
тель в (б-74) обращается в нуль при z = —1/4, так что мы не
можем просто так осуществить подстановку в эту формулу. Ре-
Рекуррентное соотношение Sn = —2Sn_i — Sn_2 приводит к решению
5.64 Это
равно
n + 2
что
п + 2\ 2п+2-2
+ 27 п + 2 "
5.65 Умножая обе части на nn 1 и заменяя к на п - 1 — к, по-
получаем
(Частичные суммы на самом деле могут быть установлены с
помощью алгоритма Госпера.) С другой стороны, (^)кпп~1"кк!
можно интерпретировать как число отображений множества
{1,...,п} в само себя при условии, что f A), ..., f (k) различны,
a f (k + 1) Е {fA),..., f (k)}; суммирование по к должно дать nn.
5.66 Это задача о „прогулке по аллее парка" где имеется только
один „очевидный" способ продолжения на каждом шаге. Сперва
заменяем к — j на I, затем заменяем |_лЛ J на к, получая
m
2)
Бесконечный ряд сходится, поскольку все его члены при фикси-
фиксированном j не превосходят некоторый многочлен относительно j,
деленный на 2'. Теперь просуммируем по к, получая
21 ¦
Внося в скобки j + 1 и применяя E-57)» получаем ответ: 4(та + 1).
578 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.67 Согласно E.26), это 3B^+52), ибо
5.68 Исходя из того факта, что
l — четное I
получаем nB-1-(L^2j)).
5.69 Поскольку (к+1) + A21) ^ B) + B) ^ к < 1> то минимум
достигается при как можно более одинаковых к. Следовательно,
согласно формуле разбиения на как можно более равные части
из гл. 3, минимум равен
(n mod та)
Гп/тГ
2
I + (n — (n mod m)J
= n(^)+(nmodm)S.
2
Аналогичный результат справедлив при любом нижнем индексе
вместо 2.
5.70 Это F(-n^;l;2), но это также (-2)-nB*)F(-n,-n;l-n;l),
если сделать замену к на п — к. Однако F(—п,—п; 1 — п; 1) =
F(—7»"~7i \ ~ П51) согласно тождеству Гаусса E.111). С другой
стороны, F(—n, -n; 1 - п; ^) = 2~nF(—п, 1; \ — п; -1) по правилу
симметрии E.101), а формула Куммера E-94) сводит это к E-5б)-
Ответ: 0, если п нечетно, и 2~п(п^2), если п четно. (См. [82, §1.2]
по поводу другого вывода. Эта сумма возникает при изучении
одного простого алгоритма поиска [123].)
5.71 (а) Заметьте, что S(z) = X^o akzm+k/A - z)m+2k+1
(л/1 + 4z — 1)/2z, так что мы имеем A(z/A — zJ) = 1 — z. Таким
образом, Sn = [z4 (z/A - z))m = CrD-
5.72 Указанную величину можно представить как m(m — n)...
(та — (k — 1 )п)пк~у^/к\. Любой простой делитель р числа п де-
делит числитель самое меньшее k — -v(k) раз и делит знаменатель
самое большее к—-v(k) раз, так как именно столько раз 2 делит к!.
Простое число р, которое не делит п, должно делить произведе-
произведение m(m — п)... (та — (к — 1 )п) по меньшей мере столько же раз,
сколько оно делит к!, ибо m(m — п)... (m — (рг — 1 )п) кратно рг
при любом г^1 и любом та.
Заключенное
в рамку
утверждение
на обороте
этой страницы
не заключено
в рамку
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 579
5.73 Подстановка Хп = п! дает а = C = 1, подстановка Хп = п\
дает а = 1, C = 0. Поэтому общее решение таково: Хп = осп\ +
Р(Ш-тч).
5.74 Это (nJ1)-(kI11) при1 ^k^n.
5.75 Рекуррентность Sk(n+1) = Sic(n)+S()c_1) mod 3(n) дает воз-
возможность индуктивно подтвердить, что два из чисел S совпадают
и что S(_n) mod з(п) отличается от них на (—1)п. Три этих вели-
величины разбивают свою сумму So(n) + Si (n) + S2(ti) = 2П как можно
более поровну, так что здесь должно быть 2n mod 3 вхождений
величины |П/31 и 3 — Bn mod 3) вхождений величины |_2n/3J.
5.76 Решением является Qn>k = (п + 1) (?) - (к^).
5.77 Все члены суммы равны нулю, за исключением случая
ki ^ • • • ^ km, когда данное произведение представляет собой
мультиномиальный коэффициент
М > К-2 М > • • • > К-т K-ttl
Следовательно, сумма по ki, ..., km_i равна mkm, а последняя
сумма по km дает (mn+1 — 1 )/(m — 1).
5.78 Расширьте область суммирования до k = 2m2 -f m — 1,
тогда новые члены суть (\) + B6) + • • • + (™~1) = 0. Поскольку
та ± Bт + 1), то пары (k mod т, к mod Bт-f1)) различны. Кро-
Кроме того, числа Bj -f I) mod Bm + 1), когда j изменяется от 0 до
2m,— это числа 0, 1, ..., 2т, взятые в некотором порядке. Сле-
Следовательно, данная сумма —это
L (¦)= Z
5.79 (а) Эта сумма равна 22п~1, так что искомый НОД должен
быть степенью 2. Если n = 2kq, где q нечетно, то B^) делится
на 2k+1 и не делится на 2к+2. А поскольку каждое из чисел B^)
делится на число 2k+1 (см. упр. 36), то это число должно быть их
НОД. (Ь) Если pr ^ n + 1 < pr+1, то наибольшее число переносов
при сложении к с п—к по основанию р получается при к = рг—1. В
этом случае число переносов равно г— ер(п+1), иг = ep(L(n+1)).
5.80 Сначала докажите по индукции, что k! ^ (к/е)к.
5.81 Обозначим через fi,m,n(x) левую часть. Достаточно пока-
показать, что fi,m,n(l) > 0 и что f{mnW < 0 при 0 ^ х ^ 1. Величи-
на fi,m,nA) равна (-1)n~m-1 (l+t^9) согласно E.23); эта величина
положительна, поскольку данный биномиальный коэффициент
имеет ровно п — m — 1 отрицательных сомножителей. По той же
580 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
самой причине данное неравенство справедливо и при I = 0. А
если I > 0, то fi)m>n(x) = -Ifi-i.mji+i (x), и по индукции эта вели-
величина отрицательна.
5.82 Пусть ер(а)—показатель степени, в которой простое чи-
число р делит а, и пусть m = n — к. Тождество, которое требуется
доказать, сводится к
min(ep(m)-ep(m+k),ep(m+lc+l)-ep(k4-l))ep(k)-ep(m+l))
=min(ep(k)-ep(m+k),ep(m)-ep(k+1 ),ep (m+k+1 )-ep (m+1)).
Для краткости запишем это как min(xi)'yi)zi) = min(x2,1^2,2:2).
Обратите внимание, что xi + у 1 -Ь ъ\ — %2 + у 2 + zi. Общее соот-
соотношение
ср(а) < ер(Ь) ==> ер(а) = ер(|а±Ъ|)
позволяет заключить, что xi ф %2 ==Ф min(xi ,X2) = 0; то же самое
справедливо также для (уъУг) и (zi,Z2). Теперь не составляет
труда завершить доказательство.
5.83 (Решение П. Пауле.) Пусть г — неотрицательное целое. Дан-
Данная сумма есть коэффициент при х1уш в
\s+n
ясно поэтому, что она равна (—l)l(?+[) (^"^Lj- (См. также
упр. 106.)
5.84 Следуя указанию, получаем
и аналогичную формулу для ?t(z). Таким образом, формулы
(ztB^[zK[[z) + l)Bt(z)T и (ztfi-^zjfi^z) + l)?t(z)r дают соот-
соответствующие правые части формул E-6i). Поэтому необходимо
доказать, что
'"'"""' ' > ХУ ' ~ 1-zt?(z)*'
а это вытекает из E.59).
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 581
Заключенное
в рамку
утверждение
на обороте
этой страницы
опирается
само на себя.
5.85 Если f (x) = anxn 4 \- сих 4- ао является некоторым мно-
многочленом степени ^ п, то можно доказать по индукции, что
= (-1)nn!anx1...xn.
Предложенное в упражнении соотношение является частным слу-
случаем данного при an = 1/п! и х^ = к3.
5.86 (а) Сперва представьте с п(п — 1) переменными индексами
Uj при всех i ф j. Подстановка к^ = \ц — 1д при 1 ^ i < j < n
и использование ограничений ?^A^ — Ц) = 0 при всех i < п
позволяет вычислить суммы по ljn при 1 ^ j < п, а затем по \^
при 1 ^ i < j < n по правилу свертки Вандермонда. (b) f (z) — 1
является многочленом степени < п, который имеет п корней, так
что он должен быть равным нулю, (с) Рассмотрите постоянные
члены в
п
п
5.87 Согласно E-6i), первый член —это ^k (nkk)zmk. А слага-
слагаемые во втором члене — это
1
k>n
ПОСКОЛЬКУ
сумме
k>n/m
k-n-1
= m(—1)l[k = ml], эти члены дают в
mk — n — 1
-z"
k>n/m
k>n/m
Между прочим, функции !Bm(zm) и C2j+1z!B1+l/m(t2Hlz)l/m суть
m -f 1 комплексных корней уравнения wm+1 — wm = zm.
5.88 Воспользуемся теми фактами, что
— e
~nt
) dt/t =
Inn и A -e-*)/t ^ 1. (Согласно E.83), (*) = O(k~x-1) при k -> 00,
так что эта оценка означает, что ряд Стирлинга ]Г k sk (J^) сходится
при х > —1. Эрмит [395] показал, что его сумма равна In ГA 4-х).)
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.89 В силу биномиальной теоремы, сложение этого соотноше-
соотношения с (б^э) Аает "У~г(х + "у)т+г в обеих частях. Дифференцирова-
Дифференцирование же дает
m + Л /т-к\ v т_к_п
ЛТП—к—71
и можно заменить к на к + та + 1 и применить E-15)» получая
m + r \ f-n-V
~?(m+1T+lc.
(-х)т
-п-1
—1—к—7
^т+Т+кг
-1-к-п
В гипергеометрической форме это сводится к
w -71-1
m+2
m+2
что является частным случаем правила симметрии E.101) при
(а,Ъ,с,z) = (п + 1,та + 1 + г,та + 2, —х/у) (Таким образом, пре-
преобразование (б-Юб) связано с правилом симметрии и формулой
из упр. 52.)
5.90 Если г —целое неотрицательное число, то данная сумма
конечна, и вывод в тексте справедлив постольку, поскольку ни в
одном из членов этой суммы при 0 ^ k ^ r не содержится нуля
в знаменателе. В противном случае данная сумма бесконечна, и,
согласно (б-8з), ее k-йчлен (к~к~1)/(к~к~1) приблизительно равен
ks~r(-s - 1}!/(—т- 1)!. Поэтому необходимо условие г > s +1 для
того, чтобы данный бесконечный ряд сходился. (Если г и s — ком-
комплексные числа, то этим условием будет !Hr > !Hs + 1, поскольку
|kz| = k^z.) Согласно (б-92)> искомая сумма равна
-г, 1
-S
1 =
r(r-s-1)r(-s)
r(r-s)r(-s-1) s + 1-т1
а это та же формула, что и установленная для целых г и s.
5.91 (В этой задаче лучше всего прибегнуть к помощи компью-
компьютера.) Между прочим, ввиду правила симметрии Пфаффа, при
с = (а+ 1 )/2 это сводится к тождеству, которое эквивалентно то-
тождеству Гаусса E.110). Действительно, если w = — z/A — z), то
4wA -w)=-4z/A-zJ,H
la,
1+a-b
4wA-w) = F
a, a+1-2b
1+a-b
—z
а,Ъ
1+а-Ъ
Заключенное
в рамку
утверждение
на обороте
этой страницы
не опирается
само на себя.
Карточка
Журдена
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 583
5.92 Эти правила можно доказать так, как их доказал Пфафф
более 150 лет назад, показав, что обе части удовлетворяют одно-
одному и тому же дифференциальному уравнению. Один из способов
записать получающиеся равенства между коэффициентами при
zn —запись через биномиальные коэффициенты:
CB) (Л) (Л) _ (п)СГ)Bп) .
к V
/T+s-1/2Wr+s-1/2\
V Д n-k /
/2r+2sWr+s-1/2\
\ п J\ n )
/-1/4+гЧ /-1/4+s\ /-1/4-П / —1/4—s\
l k M k )\ n-k / V n-k )
/-1+r+s\ /-1-r-s\
V k J\ n-k /
Другой способ — выразить их в гипергеометрической форме:
Л BоГ
) Bа
а, Ь,\ — а—Ь—п, — п
^ + а+Ъ,1-а-п,1-Ъ-п
i + a.l+b.a+b-n.-n
+ a+b, l+a-n, |+Ь-п
A/2)^A/2 +а-
b)nBb)n
5.93
5.94 Алгоритм Госпера находит ответ —(°~])Aг'^.1)а/т1+С. Сле-
Следовательно, если та ^ 0 — целое, получаем
-а /а-
U
5.95 Старпше коэффициенты многочленов риг должны быть
единицей, р не должен иметь общих множителей с q или г. Эти
дополнительные условия легко выполнимы при помощи переста-
перестановки множителей из одного многочлена в другой.
Теперь предположим, что p(k + 1)q(k)/p(k)r(k +1) =
Р(к+l)Q(k)/P(k)R(k+1), причем обе тройки многочленов
(р, q, г) и (Р, Q, R) удовлетворяют новому критерию. Пусть Ро(к) =
р(к)/д(к) и Р0(к) = Р(к)/д(к), где д(к) = нод(р(к),Р(к)) являет-
ся произведением всех общих множителей р и Р. Тогда
Po(k+1)q(k)Po(k)R(k+1)=po(k)r(k+l)Po(k+1)Q(k).
Допустим, что ро(к) ф 1. Тогда найдется комплексное число а,
такое, что ро(сх) = 0; отсюда следует q(a) / 0, r(a) / 0 и
584 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Р0(а) Ф 0. Таким образом, мы должны иметь ро(сх+1) R(a+1) =0
иро(а—1)Q(a—1) =0- Пусть N —положительное целое, такое,
что ро(сх + N)/0h Ро(<х — N) ^ 0. Повторяя те же рассуждения
N раз, получаем R(a+1).. .R(a + N) = 0 = Q(a-1} ...Q(a-N),
что противоречит E.118). Аналогично, po(k) = 1. Следователь-
Следовательно, Po(k) = 1, так что р(к) = Р(к). Далее, q(a) = 0 влечет за
собой r(a+ 1)/0в силу E.118); следовательно, q(k)\Q(k). Ана-
Аналогично, Q(k)\q(k); так что q(k) = Q(k), поскольку у этих мно-
многочленов одинаковый старший коэффициент. Это влечет за собой
и r(k) = R(k).
5.96 Если г (к) — ненулевая рациональная функция и Т (к) — ги-
пергеометрический член, то r(k)T (к) — тоже гипергеометрический
член, который называется подобным Т(к). (Мы допускаем обра-
обращение r(k) в со, а Т(к) — в 0, или наоборот, для конечного мно-
множества значений к.) В частности, Т(к+ 1) всегда подобен Т(к).
Если Т](к) и Т2(к)—два подобных гипергеометрических члена,
то Ti(k)+T2(k) есть снова гипергеометрический член. Если Ti(k),
..., Tm(k) взаимно неподобны и m > 1, тоТт(к)Н hTm(k) не мо-
может быть нулем для всех к, кроме конечного множества. Действи-
Действительно, если бы это было возможно, мы взяли бы контрпример
с минимальным m и положили г,(k) = Tj(k+ 1)/Tj(k). Посколь-
Поскольку Ti(k) + • • • +Tm(k) = 0, то Tm(k)Ti(k) + • • • +rm(k)Tm(k) = 0 и
r1(k)T1(k) + -.. + rm(k)Tm(k)=T1(k+l) + ...+Tm(k+l) =0; следо-
следовательно, (rm(k)-r1(k))T1(k) + ---+(rm(k)-rm_1(k))Tm_1(k) =0.
Не может быть rm(k) —Tj (k) = 0 для всех j < m, поскольку Tj и Tm
неподобны. Но m было выбрано минимальным, так что выбран-
выбранный набор не может быть контрпримером; отсюда следует, что
m = 2. Но тогда Ti (k) и Т2(к) должны быть подобными, посколь-
поскольку они оба равны нулю для всех к, кроме конечного множества.
Пусть теперь t(k) —любой гипергеометрический член, та-
такой, что t(k+ 1)/t(k) = r(k), допустим также, что t(k) = (Ti(k +
1 ) + •••+ Tm(k + 1)) — (Тт(Тс) Н hTm(k)), где m — минимально.
Тогда Ti, ..., Тт должны быть взаимно неподобны. Пусть г,(к) —
такая рациональная функция, что
Допустим, что m > 1. Так как 0 = r(k)t(k) -t(k+ T) = л (k)Ti (к) +
••• + Tm(k)Tm(k), мы должны иметь г,(к) = 0 для всех j, за
исключением, возможно, одного. Если Tj(k) = 0± то функция
t(k) = Tj(k+1) — Tj(k) удовлетворяет соотношению t(k +1 )/t(k) =
t(k+ 1)/t(k). Поэтому алгоритм Госпера найдет решение.
5.97 Примем сначала, что z не равно —d — 1/d ни для како-
какого целого d > 0. Тогда имеем в алгоритме Госпера р(к) = 1,
q(k) = (к + IJ, т(к) = к2 + kz + 1. Поскольку deg(Q) < deg(R)
и deg(p) — deg(R) + 1 = — 1, то единственным возможным выбо-
выбором будет z = d + 2 для некоторого неотрицательного целого d.
Попытка взять s(k) = aakd H Ь <хо терпит неудачу при d = О,
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 585
Заметьте, что
любая конечная
последователь-
последовательность суммируема
тривиальным
образом, поскольку
всегда можно най-
найти многочлен, со-
совпадающий с t(k)
для 0 ^ к< d.
но оказывается успешной при любом d > 0. (Система линейных
уравнений, получаемая приравниванием коэффициентов при kd,
kd-1, ..., к1 в E.122), выражает ctd-i, ..., ао как положительные
кратные ad, и тогда оставшееся уравнение 1 = осд Н Ь аи опре-
определяет ad.) Например, для z = 3 неопределенная сумма равна
Если, напротив, z = —d — 1/d, то указанные члены t(k)
бесконечны для k ^ d. Есть два разумных способа действий в
этой ситуации. Можно убрать нули из знаменателя, переопреде-
переопределив t(k):
t(k) =
к!2
(d-1/d)!k!2
(к- 1/d)! (к- d)!
Тем самым мы делаем t(k) нулевым для 0 ^ к < d и поло-
положительным для к ^ d. В этом случае алгоритм Госпера да-
дает р(к) = к-, q(k) = к + 1, г(к) = к — 1/d и мы можем ре-
решить E-122) относительно s(k), поскольку коэффициент при \0
в правой части равен (j + 1 + 1/d)a> плюс кратные {aj+i,..., ad}.
Например, для d = 2 неопределенная сумма равна C/2)! k! x
Действуя по-другому, мы можем суммировать исходные
члены, но только в диапазоне 0 ^ к < d. Тогда можно заменить
р(к) =к^-на
Эта замена допустима, поскольку E-И7) по-прежнему выполнено
для 0 ^ k < d - 1; имеем р'(к) = lime_,0((^ + е)^ - Щ/е =
lime->o(^+?)-/€) так что этот трюк по существу сокращает нули в
числителе и знаменателе E.117)) как в правиле Лопиталя. После
этого метод Госпера вычисляет неопределенную сумму.
5.98 nSn+i = 2nSn. (Будьте осторожны: мы не имеем информа-
информации относительно Si /So.)
5.99 Пусть p(n,k) = (n+i+kJPoW + fn+i+a+b+c+kJP! (n) =
p(n,k), t(n,k) = t(n,k)/(n+ 1 +k), q(n,k) = (n + l+a + b +
c + k)(a-k)(b-k), r(n,k) = (n + 1 +k)(c + k)k. Тогда решением
E.129) будет Po(n) = (n+l+a + b + c)(n + 1 + a + b), Рт (n) =
-(n+1+a)(n+l +b), ao(n) = s(n,k) = -1. Мы находим E.134),
заметив, что это равенство выполнено для п = —а, и используя
индукцию по п.
5.100 Алгоритм Госпера — Зильбергера легко находит, что
п + 2 2п + 2 n-k n + 1-k
о crru ю
0 ^ к < п.
586 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
В результате суммирования от к = 0 до п — 1 получаем
(n + 2)(Sn - 1) - Bn-f 2}(Sn+i - 1 - ^-) = -п. Следовательно,
Bn+2)Sn+i = (n+2)Sn+2n+2. Теперь применение суммирующего
множителя приводит к выражению Sn = (п + 1 J~n~1 YLk=] 2кД.
5.101 (а) Если зафиксировать та, то алгоритм Госпера—Зиль-
бергера обнаруживает, что (п + 2)Sm)n+2(z) = (z—1)(n+1)x
Sm,n(z) + Bn+3—z(n—m+l))Sm)n+i (z). Можно также применить
тот же метод к слагаемому
$оЫ,ъIЫ>ъ,к) + (Зт (m,n)t(m+ l,n,k)
+ [32(m,n)t(m,n+1,k),
получая в этом случае более простое рекуррентное соотношение
(m+ 1}Sm+1|U(z) - (n+ 1)Sm>n+i (z)
= A -z)(m-n)Sm>n(z).
(b) Здесь нам достается чуть больше работы — пять уравнений с
шестью неизвестными. Алгоритм находит
2 / . -,\ 2
2
) zk=T(n>k+1)-T(nlk),
s(n,k) = (z-l)k2-2((n + 2)z-2n-3)k
+ (n + 2)((n + 2)z-4n-5).
Следовательно, (n+l)(z - 1JSn(z) - Bn + 3)(z+1)Sn+i (z) +
(n + 2)Sn+2(z) = 0. Оказывается, что это соотношение выполняет-
выполняется и для отрицательных п, и мы имеем S_n_i (z) =
21
Сумму Sn(z) можно рассматривать как некую модифика-
модификацию многочлена Лежандра Pn(z) = ?k (kJ(z- l)n"k(z+ l)k/2n,
поскольку можно записать Sn(z) = A — z)nPn(|^). Аналогично,
Smn(z) = A — z)nPn 'm~n (yzf) является модификацией много-
многочлена Якоби.
5.102 Эта сумма есть F(a— ^п, —п; Ъ — |n; —z), так что можем не
рассматривать случай z = — 1. Пусть п = Зтп. Мы ищем решение А как насчет
E.129) для z = 0?
p(m,k) =
q(m,k) = Cm + 3-k)(m+l -a-k)z,
r(m,k) =kDm+l-b-k),
s(m,k) = 2
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 587
Получающиеся в результате пять однородных уравнений имеют
ненулевое решение (ао, аи, <Х2, (Зо> Pi) тогда и только тогда, ко-
когда матрица коэффициентов имеет нулевой определитель; этот
определитель, многочлен от та, обращается в нуль только в вось-
восьми случаях. Один из этих случаев есть, конечно, E.113); однако
теперь мы можем вычислить сумму для всех неотрицательных
целых п, а не только для п ^ 2 (mod 3):
Здесь запись [со, ci, C2] обозначает одно значение cn mod з- Другой
случай, (a,b,z) = (^,0,8), приводит к тождеству
(Удивительным образом эта сумма оказывается нулевой, если п
не кратно 3; в последнем случае получаемое тождество
Cm)!Bm)!
Dm) !m!
может даже оказаться полезным.) Остальные шесть случаев по-
порождают еще более таинственные суммы
г - b
к
Un/3J Д K3j Г
= [CO>C1,C2]-
{ n ){ [n/3j J V Ln/3J
где значения (a,b)z)co,Ci,C2, a^b'jX) равны, соответственно:
l&l 8,1,-1, 0,1,0, 64); A,0, 8,1,2, 0,^,1, 64);
(?,§, 8,1, 0,-3,1,0, 64); (^,1, 8,1,3, 0, f,0, 64);
A,0,-4,1, 2, 0,1,1,-16); A,1,-4,1,0,-3,1,0,-16).
5.103 Мы будем считать, что все а[ и Ь{ ненулевые, так как в
противном случае соответствующие множители не окажут вли-
влияния на степени относительно к. Пусть t(n, к) = p(n, k)t(n,k),
где
-, „ nLi(iii[i] i) k
t(n,k) = zK .
П?=1 М + Ь-к + btl[bi > 0] + b/')!
588 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Тогда deg(p) = deg(f) + max^, bt[bi>0] - П=1 сц[аг<0],
Н |bq|), за теми исключениями, когда в старшем коэффициен-
коэффициенте происходит сокращение. Кроме того, deg(q) = XX=i О-[1о-[ > 0] —
Z?=i ОД < 0], deg(r) = 2Xi WtW > 0] - ZU <Ч'К < °1. опя^-
таки кроме исключительных случаев.
(Используя эти оценки, можно непосредственно показать,
что с увеличением I степень р в конце концов становится до-
достаточно большой, чтобы обеспечить существование многочлена
s(n,k), а число неизвестных ctj и Cj в конце концов становит-
становится больше числа однородных уравнений в решаемой системе. Так
что мы получаем еще одно доказательство сходимости алгоритма
Госпера—Зильбергера, если, как в тексте, прибегнем к аргумен-
аргументу о существовании решения, в котором не все (Зо(тг), ..., Pi(n)
нулевые.)
5.104 Положим t(n,k) = (-1)k(r-s-k)! (r-2k)!/((r-s-2k)! x
(т-п-к+1)!(п-к)!к!). Тогда po(n)t(nlk) + Pi(Ti)t(n+1llc) не
суммируемо в гипергеометрических членах, поскольку deg(p) =
1, deg(q-r) = 3, deg(q+r) = 4, Л = -8, Л' = -4; но po(n)t(n,k) +
Pi(n)t(n + 1,k) + C2(n)t(n + 2,k) уже суммируемо, в основном
потому, что Л' = 0 при q(n,k) = —(г — s — 2k)(г — s — 2k— 1) х
(п+2-к)(г-п-к+1)иг(к) = (r_s_ic+1)(r-2k+2)(r-2k+l)k.
Решением является
Ро(п) = (s-n)(r-n+1)(r-2u+1),
2 2n2-2r + 2n)(r-2n-l),
1)(n + 2)(r-2n-3),
oto(n) = т —2n— 1 ,
и мы можем заключить, что Co(n)Sn + [3i(n)Sn+i + P>2{n)Sn+2 =
0, где Sn обозначает требуемую сумму. Этого достаточно, чтобы
доказать тождество по индукции, проверив случаи п = 0 и п = 1.
Однако Sn удовлетворяет и более простому рекуррентно-
рекуррентному соотношению Po(Ti)Sn + Pi (n)STl+1 = 0, где Ро(тг) = (s -n) x
(г - 2тг + 1) и Pi (п) = —(п + 1 )(т — 2тг — 1). Почему же наш ме-
метод не обнаружил это соотношение? Во-первых, никто не утвер-
утверждал, что такая рекуррентность с необходимостью влечет за со-
собой неопределенную суммируемость членов Ро^Мтг, k) + [3i (п) х
t(n + 1, к). Удивительно, однако, то, что метод Госпера—Зильбер-
Госпера—Зильбергера и во многих других случаях не находит простейшего рекур-
рекуррентного соотношения.
Заметим, что найденное нами рекуррентное соотношение
второго порядка может быть факторизовано:
= ((r-n+1)N + (r-s-n-1))
где N — оператор сдвига, как в E.145)-
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 589
5.105 Положите а = 1 и сравните коэффициенты при z3n в обеих
частях тождества Хенричи — „дружественного монстра",
f (a, z) f (а, tuz) f (а, cu2z)
\а-\у fa, fa+^г, а
где f (a, z) = F(l; а, 1; z). Это тождество может быть доказано, если
показать, что обе части удовлетворяют одному и тому же диф-
дифференциальному уравнению.
Петер Пауле нашел еще один интересный способ вычи-
вычислить эту сумму:
использовав биномиальную теорему, свертку Вандермонда и тот
факт, что [z°]g(az) = [z°]g(z). Мы сейчас можем положить N = Зп
и применить алгоритм Госпера—Зильбергера к этой сумме Sn,
получая волшебным образом рекуррентное соотношение первого
порядка (п + 1 JSn+i = 4Dn + I)Dn + 3)Sn; результат Пауле сле-
следует отсюда по индукции. Если заменить Зп на Зп + 2, то данная
сумма обращается в нуль. В самом деле, Hk+i+m=N *(^, I, m)tul~m
всегда равно нулю, когда N mod 3 Ф 0 и t(k, I, m) = t(l, m, k).
590 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.106 (Решение Шалоша В. Эхада.) Положим
T(t,j,1c) =
U(rJ,k) =
(I-m + n-r + s)(n + r+1)(j-r-1)(j+к)
xt(r,j,k);
Проверка сформулированного тождества является чисто рутин-
рутинной работой, а (б-З2) получается суммированием по j и к. (Мы
суммируем Т (г, j +1, к) — Т (г, j, к) сначала по j, затем по к; другой
член U(r, j, к + 1) — U(r, j, к) суммируем сначала по к, затем по j.)
Однако надо еще проверить (б-З2) Аля т = 0. В этом
случае, после триномиальной перестройки оно приводится к ви-
АУ Ы-ПЧп^етГГЧ = (-WJUl-i)- Мы считаем,
что I, m и п — целые числа ип^О. Обе части, очевидным обра-
образом, нулевые, если не выполнено n + I ^ 0. Если же это нера-
неравенство выполнено, то можно заменить к на п — к и использо-
использовать (б-24)-
5.107 Если бы это был подходящий член, то должен был найтись
линейный разностный оператор, аннулирующий 1/(пк+ 1). Дру-
Другими словами, мы бы имели тождество с конечными суммами:
i J
=0,
i=0 j=0
где а —некоторые многочлены от п, не все нулевые. Выберем
целые числа i, j и п так, чтобы было п > 1 и ау(п) ф 0. Тогда
при к = — 1/(п + г) — j член суммы с индексами (г, j) становится
бесконечным, тогда как все остальные члены конечны.
5.108 Заменим к на та —к в двойной сумме, затем воспользуемся
E.28) и просуммируем по к, получая
т
¦о1»
затем триномиальная перестройка (б-21) дает одну из требуемых
формул.
Оказывается, довольно трудно найти прямое доказатель-
доказательство того, что две симметричные суммы для Am>n равны. Мы
можем, однако, доказать равенство косвенным путем, применяя
алгоритм Госпера—Зильбергера, чтобы показать, что обе суммы
удовлетворяют рекуррентному соотношению
(п + 1 KAm,n - f (m, u)Am,n+i + (n + 2KAm,n+2 = 0,
Заметьте, что
1 /пк — подхо-
подходящий член, по-
поскольку он равен
п! к!. Также
1/(п2-к2)-
подходящий член.
А вот
1/(п2 + к2)-нет.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 591
гдет*(т,п) = Bn + 3)(u2+3n + 2m2+2m + 3). Полагая ti (п, к) =
(ЙЙГЛЮ и *2(п,к) = ГГкJ(тГ-"к2кJ> находим
(п + 1 Jtj (п, к) - f (m, n)t, (n + 1, к) + (n + 2Jtj (n + 2, к)
где Ti(п, к) = -2Bn+3)k4ti (п, к)/(п+1 -к)(n+2-k) и Т2(п, к) =
— ((п + 2) Dmn + п + Зт2 + 8т + 2) — 2Cтп + п + т2 + 6т + 2)к +
Bm+l)k2)k2(m + n+l-kJt2(n,k)/(n + 2-kJ. Это доказывает
соотношение, так что осталось только проверить равенство для
п = 0 и п = 1. (Можно было бы также использовать более простое
рекуррентное соотношение
m3Amin_i -п3Ат_1)П = (т-п)(т2+п2-тп)Ат_1)П_1,
к которому можно прийти методами из упр. 101.)
Тот факт, что первое выражение для Ат)П равно третьему,
влечет за собой замечательное тождество между производящими
ФУНКЦИЯМИ Lm.n Am,nWmZn:
WkSk(zJ _ /2k\2 Wk Zk
1_wJk+1 (]_
14. IS.
где Sk(z) = Y.) Q) z'- На самом деле оказывается, что
wkSk(x)Sk(y) ^-/21с
У A -
k
l^\- "j \ ¦ zr j k4
это частный случай тождества, открытого Вейли [18].
5.109 Пусть Xn = ?k (I)ao (n+k)Ql ... (n+klk) Qlxk для любых поло-
положительных целых чисел ао, си, ..., щ и для любого целого х.
Тогда для 0 ^ m < p будем иметь
v _ \ \ Лп + рп
лтп+рп —
l(j+plc)\01 j+pk
"Л i^ J
j=0 к
Соответствующие члены сравнимы (mod p), поскольку из упр. 36
следует, что они кратны р при lj + m ^ р, из упр. 61 следует,
что биномиальные коэффициенты сравнимы при lj + та < р, а
из D48) следует, что хр = х.
592 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
5.110 Сравнение, несомненно, выполняется, если 2п+ 1 простое.
Стивен Скиена нашел пример п = 2953, где 2п + 1 = 3 • 11 • 179.
5.111 Относительно частичных результатов см. [392]. Машинные
эксперименты были выполнены В. А. Высоцким.
5.112 Если п — не степень 2, то B^) кратно 4 согласно упр. 36. В
противном случае А. Гранвиль и О. Рамаре проверили это свой-
свойство для n ^ 222000; они также усилили теорему Шаркёзи [350],
показав, что B^) делится на квадрат простого числа для всех
п > 222000. Это доказывает давно выдвинутое предположение,
что B^) никогда не свободно от квадратов при п > 4.
Аналогичные предположения для кубов таковы: B*г) де-
делится на куб простого числа при любом п > 1056 и на 23 или
З3 при любом п > 229 + 223. Это было проверено для любых
п < 210000. Поль Эрдёш выдвинул предположение, что на самом
деле тахр ер (B^)) —> оо, при п —» оо; это должно быть справед-
справедливо, даже если мы ограничим р значениями 2 и 3.
5.113 Теорема о производящих функциях из упр. 7.20 может по-
помочь в ответе на этот вопрос.
5.114 Штрел [359] показал, что с|2) = Lk (?K = Lk (?JBnk)
суть так называемые числа Фрейнела [321], он также показал,
что Cn3) = Z!k (kJBickJ(n2-k)- Двигаясь в другом направлении,
Г. С. Вильф показал, что с^ —целые для всех та, когда n ^ 9.
6.1 2314, 2431, 3241, 1342, 3124, 4132, 4213, 1423, 2143, 3412,
4321.
6.2 Ровно {?}тгг-, поскольку область определения всякой та-
такой функции разбивается на к непустых подмножеств, а для ка-
каждого разбиения имеется та- способов приписать функции зна-
значения. (Суммирование по к дает комбинаторное доказательство
формулы (б.ю).)
6.3 В этом случае имеем dk+i ^ (центр тяжести) — е = 1 —
е + (di + Ь die)А- Эта рекуррентность подобна F.55), но с
1 — е вместо 1; следовательно, оптимальным решением являет-
является dk+i = A — e)Hk. А эта величина не ограничена, поскольку
е< 1.
6.4 H2n+i - iHn. (Точно так же, ??, (-1 )к~'/к = Н2п - Нп.)
6.5 Величина Un(x,-y) равна
Илан Варди за-
заметил, что это
условие выполнено
для 2п + 1 = р2
при простом р
тогда и только
тогда, когда
Это дает еще два
примера:
п = A0932-1)/2;
2
и первая сумма есть
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 593
Фибоначчиева
рекуррентность —
аддитивного типа,
а кролики почему-
то множатся.
Это щетинное
значение" соот-
соответствует 65 ме-
международным
милям, но между-
международная миля
составляет лишь
.999998 американ-
американской (уставной)
мили. 3937 аме-
американских миль
содержат ровно
6336 километров;
метод Фибоначчи
преобразует 3937 в
6370.
Липшее к 1 может быть внесено в биномиальный коэффициент,
и мы получаем, что
lCY
ky)
n-1
n-1
+1
n-1
= X
n-1
Тем самым соотношение F.75) доказано. Пусть Rn(x,-y) =
x-nUn(x,-y); тогда R0(x,y) = 0 и Rn(x,y) = Rn-1 (х,у) + 1/n + y/x,
следовательно, Rn(x,-y) = Hn +ny/x. (Между прочим, первона-
первоначальная сумма Un = Un(n, — 1) не приводит к рекуррентности,
подобной этой,— поэтому проще вычислить индуктивно более об-
общую сумму, которая лишена зависимости х от п, нежели ее част-
частный случай. Вот еще один поучительный пример, когда сильное
индуктивное предположение существенно меняет исход дела.
6.6 Каждая пара крольчат ьь, принесенных в конце одного
месяца, становится парой половозрелых кроликов <Ш в конце
следующего месяца; каждая пара аа становится парой аа и ьь.
Таким образом, каждая пара ьь ведет себя наподобие трутня в
родословном дереве, а каждая пара аа ведет себя наподобие мат-
матки, за тем исключением, что родословное дерево пчел обращено
в прошлое, в то время как кролики обращены в будущее. Че-
Через п месяцев имеется в наличии Fn+i пар кроликов, из которых
Fn —половозрелые, a Fn_i —крольчата. (Именно в таком контек-
контексте Фибоначчи ввел в употребление свои числа.)
6.7 (а) Положите к = 1 — п и воспользуйтесь F.107). (b) Поло-
Положите та = 1, к = п — 1 и воспользуйтесь F.128).
6.8 55 + 8 + 2 превращается в 89 + 13 + 3 = 105; истинное зна-
значение: 104.607361.
6.9 21. (При возведении единиц измерения в квадрат мы пере-
переходим от Fn к Fll+2- Истинное значение: приблизительно 20.72.)
6.10 Все неполные частные ао, си, а.2, ... равны 1, поскольку
ф = 1 + 1/ф. (Поэтому представление Штерна—Броко для этой
величины имеет вид RLRLRLRLRI .)
6.11 (-1)* = [п = 0]-[п = 1];см. (б.и).
6.12 Это следствие F.31) и двойственной формулы в табл. 294.
6.13 Согласно упр. 12, эти две формулы эквивалентны.
Можно воспользоваться индукцией. Или же можно заметить,
что znDn применительно к f(z) = zx дает x-zx, в то время
как дп применительно к той же самой функции дает xnzx;
поэтому последовательность (•9°,-91,-92,...) должна быть свя-
связана с (z°D°,z1D1,z2D2,...) так же, как последовательность
(х°,х1,х ,...) связана с (х-, х-,х-,...).
594 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
6.14 Имеем
п
поскольку (n+1)x = (k-M)(x-fk—n) + (n—k)(x+k+1). (Последнее
тождество достаточно проверить при к = О, к = — 1 и к = п.)
6.15 Поскольку Д((х+к)) = (^^), то общая формула такова:
Положите х = 0 и обратитесь к F.ig).
6.16 Это АПIс = Y.j>o Qj{nk^}i Данная сумма всегда конечна.
6-17 (а) |*| = ЦТ!к]. (Ь) \Ц = пД=± = n![n^k]/k!. (с) |*| =
6.18 Это эквивалентно правилу (б.з) или рекуррентности F.8).
6.19 Воспользуйтесь табл. 302.
6-20 2 2 2)
6.21 Указанное число —это сумма дробей с нечетными знаме-
знаменателями, так что оно имеет вид a/b с нечетными Ъ. (Между
прочим, постулат Бертрана означает, что Ъп также делится, по
меньшей мере, на одно нечетное простое число, когда п > 2.)
6.22 |z/k(k + z)| ^ 2|z|/k2 при k > 2|z|, так что эта сумма опре-
определена, когда ее знаменатели не равны нулю. Если z = n, то
ZkLi (]/к - V(k + п)) = Нт - Нт+П + Нп, что стремится к Нп
при та —> оо. (Величина Hz_i —у часто называется пси-функцией
6.23 z/(ez + 1)-z/(ez-l)-2z/(e2z-l)=i;n^0(l-2^)Bnz7n!.
6.24 Если п —нечетное число, то Т71(х) является многочленом
относительно х2, следовательно, когда мы берем производную
и вычисляем Tn+i(x) по формуле F.95), его коэффициенты
умножаются на четные числа. (На самом деле можно дока-
доказать даже большее: согласно упр. 54, в знаменателе числа
Бернулли Ъщ всегда содержится 2 в первой степени, следо-
следовательно, 22n~k\\T2U+i <=^ 2к\\(п + 1). Целые нечетные
положительные числа (n + 1)T2n+i/22n называются числами
Дженокки A,1,3,17,155,2073,...) в честь Дженокки [106].)
6.25 100n-nHn < 100(п- 1)- (п- 1)Hn_i 4=^ Hn_i > 99.
(Наименьшее такое п приблизительно равно е"~у, хотя червяк
затрачивает на свой путь N « е100~у минут — примерно в е раз
больше. Так что он приближается к цели на протяжении послед-
последних 63% своего пути.)
I—п
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 595
6.26 Пусть u(k) = Hk_i и Av(k) = 1/к, так что u(k) = v(k).
Тогда Sn - Hn2) = П=1 H^-i/k = Hk-11Г1 " Sn = Hn ~ Sn.
6.27 Заметьте, что если та > п, то HOA(Fm, Fn) = HOA(Fm_n, Fn),
согласно (б.ю8). Это позволяет доказать требуемое по индукции.
6.28 (a) Qn = a(Ln - Fn)/2 + PFn. (Это решение может быть
записано также в виде Qn = aFn_i + |3Fn.) (b) Ln = фп + $n.
6.29 При k = 0 это правило F.133). При к = 1 это, в сущности,
соотношение
,..., xn)xm = K(xi,..., xm) K(xm,..., xn)
— K(X1, . . . ,Xm_
на языке азбуки Морзе второе произведение справа отбрасывает
те случаи, где первое произведение содержит накладывающие-
накладывающиеся тире. При к > 1 достаточно индукции по к с использованием
F.127) и F.132). (Это тождество справедливо также и в тех слу-
случаях, когда один или более индексов при К становится равным —1,
если условиться, что К_1 = 0. Когда умножение некоммутативно,
то тождество Эйлера остается в силе, если записать его в виде
+ (-1)kKm-i(xi,...,xm_i)Kn_k_1(xm+n,... ,
К примеру, несколько неожиданные некоммутативные разложе-
разложения
(abc + a + c)A +ba) = (ab + 1)(cba+ a + c)
мы получаем в случае к = 2, та = 0, п = 3.)
6.30 Производной K(xi,..., xn) no xm является
,...,xm_i J K(xm_(-i,...,xn),
а вторая производная равна нулю; следовательно, ответ таков:
K(xi,..., хп) + K(xi,..., xm_!) K(xm+1,..., xn)У •
6.31 Поскольку х* = (x + n - 1 )* = ?k A)хЦп - 1 JЬ=?, имеем
l = (k) ^n "" ^ )^~^- Эти коэффициенты, как оказывается, удовле-
Ikl
"k| творяют рекуррентному соотношению:
П
= (п - 1 + к)
п-1
п-1
к-1
целые п, к > 0.
6.32 Тождества Lk,m Ч'Л = (Ш+Г'} и
(та + 1 )п к = {^i}, они оба приводятся в табл. 295.
6.33 Еслип> 0, то согласно F.71), [3] = ^(n-i)! (Hn-1 -H^,),
а согласно F.19), {3} = ^Cn -3-2n +3).
596 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
6.34 Имеем (~]) = 1/(к+1), (~2) = Н^, и вообще при любом
целом п величина (?) задается соотношением F.38).
6.35 Выберите в качестве п наименьшее целое > 1/е, такое, что
LHnj > LHn_ij.
6.36 В этом случае dk+i = (l00+A+di) + --- + (H-dk))/A00+k),
и решением является dk+i = Н^+юо — Ню1 + 1 при k ^ 1. Это
превышает 2 при к ^ 176.
6.37 Суммирование (по частям) дает Hmn — (^ -f- j^ + • • • +
J2L.) — Hmn—Hn. Поэтому бесконечная сумма равна In m. (Отсюда
следует, что
поскольку <vm(k) = (m— 1) X!j^i(^niod m'j/m'.)
6.38 Суммируя по частям и используя E-i6), получаем
6.39 Запишите ее в виде ^1^^nj~1 Lj^k^n Н^ и' ИСХ0Дя из
F.67), просуммируйте вначале по к, получая
?-Bn+l)Hn + 2n.
6.40 Если число 6п — 1 —простое, то числитель суммы
к=1 К
делится на вп — 1, поскольку эта сумма есть
4п—1 1 Зтг—1 / 1 -. v Зп—1
k " ^- Vk + бтг-l-kj " ^- кFтг - 1 - к) '
k=2n k=2n x 7 k=2n v ;
Аналогично, если вп + 1 — простое число, то числитель суммы
Z!k=i (~1 )к~1А — Н4п — Н2п кратен 6п + 1. Для 1987 надо сумми-
суммировать до к = 1324.
6.41 Sn+1 = Zk(L<n+1k+k)/2J) = Lk(L(\+-T2J). следовательно,
Sn+, +Sn = Lk (L(^+k'/2+1J) = Sn+2. Ответ: Fn+2.
6.42 Fn.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 597
6.43 Положите z = -^ в YLn^o^^ = z/[\ — z — z2), получая
Щ. Данная сумма представляет собой периодическую десятичную
дробь с длиной периода 44:
0.112359550561797752808988764044943820224719101 1235955+ .
6.44 При необходимости замените (та, к) либо на (—та, —к), либо
на (к,—та), либо на (—к, та) так, чтобы было та ^ k ^ 0. Если
та = к, то все ясно. Если же та > к, то можно заменить (та, к) на
(та — к, та) и воспользоваться индукцией.
6.45 Xn = А(п)а+В(п)|3 + С(п)у + О(пN,гдеВ(п) = Fn, A(n) =
Fn_!, A(n) + B(n) - D(n) = 1 и B(n) - C(n) + 3D(n) = n.
6.46 Это ф/2 и ф~1/2. Пусть и = cos 72°, a v = cos 36°; тогда
u = 2v2 — 1 и v = 1 — 2sin2 18° = 1 — 2u2. Следовательно, u + v =
2(u + v) (v — u), и 4v2 — 2v — 1 =0. Продолжая, можно найти пять
комплексных корней пятой степени из единицы:
1
„Let p be any old
prime"
(см. [341], с. 419.)
(Русский перевод
[341] можно не
смотреть.
—Перев.)
6.47 2nV5Fn = A + л/5)п - A - л/5)п и четные степени л/5 со-
сокращаются. Пусть теперь р —некоторое нечетное простое число.
Gk+i) = ° за исключением случая, когда к = (р-1 )/2, и (jj^) = 0
за исключением случая, когда к = 0 или к = (р — 1 )/2; следова-
следовательно, Fp = 5{р)/2 и 2FP+1 = 1 + 5(р)/2 (mod p). Можно пока-
показать, что 5{р)/2 = 1, когда р имеет вид 10k ± 1, и 5(р)/2 = -1,
когда р имеет вид 10k ± 3.
6.48 Положите Ку = Kj_t+i (xi,... ,Xj). Повторным применени-
применением F.133) обе части сводятся к (Ki>m_2(xm_1 +xm+1) + K1>m_3) x
6.49 Положите z = \ в F.146); неполные частные —это 0, 2F°,
2Fl, 2?2, ... . (Как отмечал Кнут [138], это число является транс-
трансцендентным.)
6.50 (а) Цп)— четное <?=> 3\n. (b) Если двоичное пред-
представление п имеет вид Aai0Q2 . ..1a™-10amJ, где та —четное, то
f(n) =
6.51 (а) Комбинаторное доказательство. Представление множе-
множества {1,2, ...,р} в виде к подмножеств или циклов делится на
„орбиты" из 1 или р представлений каждая, если к каждому эле-
элементу прибавить 1 по модулю р. К примеру,
{1,2,4}U{3,5} -> {2,3,5}U{4,1} -> {3,4,1}U{5,2}
-> {4,5,2}U{1,3} -> {5,1,3}U{2,4} -» {1,2,4}U{3,5}.
Орбита размера 1 получается только тогда, когда это преобразо-
преобразование переводит представление само в себя; но тогда к = 1 или
598 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
к = р. С другой стороны, можно дать алгебраическое доказатель-
доказательство: имеем хр = х^+х- и х^ = хр —х (mod p), поскольку, согласно
теореме Ферма, хр — х делится на (х — 0) (х — 1)... (х — (р — 1)).
(b) Этот результат следует из части (а) и теоремы Вильсо-
Вильсона, или же можно воспользоваться тем, что хр-1 = хр/(х — 1) =
(хр - х)/(х - 1) = хр~] + хр~2 + • • • + х.
(c) Имеем {р^} = [р+]] = 0 при 3 ^ к <: р, затем {р+2} =
[р+2] = 0 при 4 <: к <: р и т. д. (Аналогично [2р-]] = -j^} = 1.)
(d)p!=Pp = i;k(-i)p^P^p]=pp[p]-pp-i[pp1]+...+
Т3 [з] ~ Т>2 0 ¦*¦ Т1 [?] • Но р [^] = р!, поэтому величина
л:
+Р
Р-2|Р
кратна р2. (Это называется теоремой Волыптенхольма.)
6.52 (а) Заметьте, Нп = Н;+Н[п/р]/р, где Н; = П=1 (k
(b) Действуя по mod 5, получаем Нг = @,1,4,1,0) при 0 ^ г ^ 4.
Таким образом, первым решением служит п = 4. Из части (а)
известно, что 5\an =y> 5\a^n/5j, поэтому следующим возмож-
возможным интервалом служит п = 20 + г, 0 ^ г ^ 4, где мы имеем
Нп = Н; + 1Щ - Що + 1И4 + НТ + Х;;=1 Ю/к{20 + к). Числитель
дроби Н^о, как и числитель дроби ЬЦ, делится на 25. Следователь-
Следовательно, в этом интервале есть только два решения: п = 20 и п = 24.
Следующим возможным интервалом является п = 100 +г; в этом
случае Нп = Н^+^Нго, что равно ^Н2о+Нг плюс некая дробь, чи-
числитель которой кратен 5. Если ^20 = та (mod 5), где та — целое,
то гармоническое число Нюо+r будет иметь числитель, который
делится на 5 тогда и только тогда, когда га + Нг = 0 (mod 5),—
следовательно, га должно быть = 0, 1 или 4. Действуя по мо-
модулю 5, находим, что 1Н20 = ^Н*о + ^Н4 = ВН4 = Т2 = 3>
следовательно, при 100 ^ n ^ 104 решений нет. Точно так же нет
решений и при 120 ^ n ^ 124 —нами найдены все три решения.
(Согласно упр. 6.51(d), мы всегда получаем, что p2\ap_i,
p\ap2_p и р\ар2_], если р —некоторое простое число ^ 5. Только
что приведенное рассуждение показывает, что этим исчерпыва-
исчерпываются все решения для p\an тогда и только тогда, когда не суще-
существует решения для р~2Нр_1 + Нг = 0 (mod р) при 0 ^ г < р.
Последнее условие справедливо не только при р = 5, но и при
р = 13, 17, 23, 41 и 67, а возможно, и для бесконечного числа
простых чисел. Числитель числа Нп делится на 3, только когда
п = 2, 7 и 22; он делится на 7, только когда п = 6, 42, 48, 295,
299, 337, 341, 2096, 2390, 14675, 16731, 16735 и 102728. См. ответ к
упр. 92.)
6.53 Суммирование по частям дает
(Вниманию про-
программистов: вот
интересное условие
для проверки на
стольких простых
числах, сколько
вам по силам.)
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 599
(Числители чи-
чисел Вернулли
играли важную
роль в ранних
исследованиях
последней теоремы
Ферма; см. Рибен-
бойм [259].)
(См. также [5*
гл.15].
—Перев.)
6.54 (а) Белит ^ р, то Sm(p) = Sm_(p_1)(p) (modp), поскольку
kp~1 = 1 при 1 ^ к < р. Кроме того, Sp_i (р) = р — 1 = —1. Если
же 0 < та < р — 1, то можно записать, что
Sm(p) =
(b) Обстоятельство, содержащееся в указании к упражнению,
означает, что знаменатель числа lin не делится ни на какое про-
простое р,— следовательно, число 12П должно быть целым. Для до-
доказательства утверждения из указания можно считать, что п> 1.
Тогда число
2п-2
[(Р-ПМ2П)]
v L—
V k=0
'2n+1
k
¦2n +
— целое, согласно F.78), F.84) и п. (а). Поэтому нужно убедить-
убедиться в том, что ни один из знаменателей Bn^l~1)Bicp2n~k/Bn + 1) =
Bj^)BicP2n~k/Bn — к + 1) не делится на р. Знаменатель числа
B|^)ВкР не делится на р, поскольку в знаменателе Вк не содер-
содержится р2 (по индукции), а знаменатель p2n~k~1/Bn — к + 1) не
делится на р, поскольку 2п — к + 1 < р2п~к при к ^ 2п — 2. чтд.
(Числа 12п затабулированы в [156]. Вплоть до числа lie их вычи-
вычислил в 1875 г. Эрмит [393]. Оказывается, что I2 = I4 = 1б = Is =
110 = 112 = 1; следовательно, воспроизведенные в тексте числа
Бернулли, включая число jf^O), на самом деле подчиняются
„простой" закономерности. Однако при 2п > 12 числа 12П, по-
видимому, не обладают сколько-нибудь примечательными свой-
свойствами. Так, В24 = -86579 ~ \~ \~ \ ~ \ ~ т$,ъ ЧИСА0 86579 "
простое.)
(с) Числа 2—1 и 3 — 1 всегда делят 2п. Если п — простое,
то делителями числа 2п являются только 1,2, пи 2п, поэтому
при простом п > 2 знаменатель числа В2П будет 6, если толь-
только число 2п + 1 также не является простым. В последнем слу-
случае можно попробовать 4п + 3, 8п + 7, ..., до тех пор пока в
конце концов не попадется непростое число (поскольку п делит
2п~1п + 2П~1 — 1). (Для этого доказательства не требуется более
трудная, но справедливая теорема о том, что существует беско-
бесконечно много простых чисел вида 6к + 1.) Число 6 также может
быть знаменателем В2П и для непростых значений п, скажем, 49.
6.55 По правилу свертки Вандермонда указанная сумма есть
x^t|i (Xnn)(m+i)- Аля получения F.7о) продифференцируйте и
положите х = 0.
6.56 Сперва замените kn+1 на ((к — та) + m)n+1 и разложи-
разложите по степеням к — та; результат упростится, как при выводе
F.72). Если та > п или та < 0, то в результате получится
600 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
(—1)пп! — тпп/(п~т)- В противном же случае необходимо взять
предел E-41) пРи х ~^ ~~т заувычетом члена при к = та; в резуль-
результате получается (-1)nn! + (-1)m+1 (^)mn(n+1 + mHn_m-mHm).
6.57 Сначала докажите по индукции, что в n-м ряду содер-
содержится самое большее три различные величины Лп ^ Вп ^ Сп;
если п —четное, то они располагаются в циклическом порядке
[Cn,Bn, An,Bn,Cn], а если п —нечетное, то они располагаются в
циклическом порядке [Сп, Вп, Ап, Ап, Вп]. Кроме того,
Сщ = B2n-i + Сгп-i •
Отсюда следует, что Qn = Ап — Cn = Fn+i. (Относительно обер-
обернутых биномиальных коэффициентов порядка 3 см. упр. 5.75.)
6.58 (aJIn.
3z + z2) —2/A +z)). (Возведите в квадрат формулу Вине F.123),
просуммируйте по п, затем сгруппируйте члены так, чтобы ф и
$ исчезли.) (Ь) Аналогично,
i n zA-2z-z2) 1 / 2z 3z
-4z-z2)A +z-z2) 5 VI -4z-z2
Отсюда следует, что F^+1 —4F^ — F^_-| = 3(—1 )nFn. (Соответствую-
(Соответствующая рекуррентность для та-х степеней включает фибоначчиевы
коэффициенты из упр. 86, она была обнаружена Джарденом и
Моцкином [105].)
6.59 Пусть та —фиксированное число. Индукцией по п можно
доказать, что и в самом деле можно найти такое х с дополнитель-
дополнительным условием х ф. 2 (mod 4). Если х является таким решением,
то можно перейти к решению по модулю 3n+1, поскольку
F8.3n-, = 3n , F^-,^ ее 3" + 1 (mod 3n+1);
подойдет либо х, либо х + 8 • Зп~1, либо х + 16 • Зп~1.
6.60 Единственно возможные случаи: Fi +1, F2 +1, F3 +1, F4 — 1 и
Fg — 1. В противном случае в разложениях возникают числа Люка
из упр. 28:
m-1 ] ^2m+1 + ( — 1)m = LmFm+i ;
— (—1 )m = Lm_i Fm+i ; F2m+1 — (—1 )m = Lm+i Fm .
(В общем случае, Fm+n - (-1)nFm_n = LmFn.)
6.61 1/F2m = Fm_i/Fm - F2m-i/F2m, если m — четное и положи-
положительное. Вторая сумма равна 5/4 — F3-2n-i/F3-2n при n ^ 1.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 601
6.62 (а) Ап = у/5 Ап_1 - Ап_2 и Вп = л/5Вп_1 - Вп_2. Между
прочим, кроме того, л/5 Ап + Вп = 2Ап+1 и у/Ъ Вп — Ап = 2ВП_1.
(b) Выписывание начальных значений показывает, что
Г1_п, п четно, /л/5Ьг, тг четно,
tV5Fn, п нечетно, t Ln, n нечетно.
(c) Bn/An+i - Bn_!/An = 1/(F2n+i + Л, поскольку BnAn -
Bn_iAn+i = л/5 и AnAn+i = л/5 (F2n+1 + 1). Обратите внимание,
что Bn/An+i = (Fn/Fn+1)[n —четное] + (Ln/Ln+i )[n — нечетное].
(d) Аналогично, П=1 V(hk+1 - 1) = (A0/B1 - Ai/B2) +
V (An_i /Bn — An/Bn+i) = 2 — An/Bn+i. Это можно также вы-
выразить как EFn/Ln+i)[n — четное] + (Ln/Fn+i)[n —нечетное].
6.63 (а) [?]. Всего имеется [?"]] перестановок с пп = п и
(п — 1)[п^1] перестановок с яп < п. (b) (]J). Каждая переста-
перестановка pi ... рп-1 множества {1,..., п — 1} приводит к п переста-
перестановкам щ я2 ... яп = р! . . . pj — l TL pj-Ы ...pn-1Pj. ЕСЛИ рт . . . ртъ—1
содержит к превышений, то имеется к + 1 значений j, кото-
которые дают к превышений в перестановке ix.\ix.i... яп, а остальные
п — 1 — к значений дают к + 1. Следовательно, общее число спо-
способов получения к превышений в перестановке п<\ я2 ... пп равно
V '
6.64 В соответствии с доказанным в упр. 5.72, знаменатель дро-
дроби A/п2) равен 24n"V2(n). Согласно F.44), дробь [J/^J имеет такой
же знаменатель, поскольку ((о)) = 1 и ((?)) четно при к > 0.
6.65 Это равносильно утверждению, что (?)/п! является веро-
вероятностью того, что |_*1 + • • • + xnj = к, если х\, ..., хп — незави-
независимые случайные величины, равномерно распределенные между
0 и 1. Пусть ijj = (xi Н h Xj) mod 1. Тогда у<[, ..., yn незави-
независимы и равномерно распределены, a |_xi + • • • + xnj — это число
спадов в последовательности у. Перестановка у также случайна
и вероятность к спадов такая же, как и вероятность к подъемов.
6.66 Это 2n+1Bn+1 - l)Bn+i/(n+ 1), если п > 0. (См. G.56) и
F.92); требуемые числа являются, в сущности, коэффициентами
разложения 1 — thz.)
6.67 ^
(п_щ_1) ввиду (б.з) и F.40). Теперь примените F.34)- (Это тожде-
тождество допускает и комбинаторное истолкование [348].)
6.68 Имеет место общая формула
2n+
l\ fn + m+1-kl,
602 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
аналогичная формуле F.38). При m = 2 это равно
//п\\ fn + 31 /n + 21 /2п + 1\/п+П
= \Зп+2 - Bn + 3Jn+1 + 1Dп2 + 6п + 3).
6.69 Это 1п(п+^)(п+1)BН2п-Нп)-з!бПA0п2+9п-1). (Было
бы неплохо автоматизировать вывод формул, подобных этой.)
6.70 1 /к — 1 /(к + z) = z/k2 — z2/k3 H , этот ряд сходится при
6.71 Заметьте, что ПьнП + z/k)e~z/k = (*+*)n-Vlnn-H«K
Если f(z) = ?(z!), то f(z)/z! +7 = Hz.
6.72 Для разложения tgz можно воспользоваться тождеством
tg z = ctg z — 2 ctg 2z, которое равносильно тождеству из упр. 23).
Кроме того, z/sinz = zctgz + ztg \z разлагается в степенной ряд
tgz sinz
In = In In cos z
J Bn)Bn)! ^ J Bn)Bn)!
4"D"-2)B2nz2"
" J Bn)Bn)! У
ПОСКОЛЬКУ ^ In Sin Z = Ctg Z И т? In COS Z = — tg Z.
6.73 Поскольку ctg(z+7t) = ctgznctg(z+^n) = — tgz, то данное
тождество равносильно тождеству
2U—1
1 т— . z + кя
k=0
которое получается по индукции из случая п = 1. Указанный
предел справедлив потому, что zctgz —> 1 при z —> 0. Можно
показать, что допустим почленный переход к пределу, так что
справедлива формула F.88). (Между прочим, имеет место и об-
общая формула
п-1 ,
ctgz = — У ctg .
n L— п
к=0
Она может быть установлена либо из формулы F.88), либо из
формулы
= у
enz _ ] n Z_ ez+2k7ti/n _
к=0
эквивалентной разложению 1/(zn—1) в элементарные дроби.)
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 603
6.74 Поскольку tg2z + sec2z = (sinz + cosz)/(cosz — sinz), то
подстановках = 1 в F.94) дает ТпA) = 2ПТП, если п — нечетное, и
ТпA) = 2П|ЕП|, если n-четное, где 1/cosz = ?_п>о lE2nk27'Bn)!.
(Числа |ЕП| — секансные числа; с чередующимися знаками
они называются Эйлеровыми числами —не путать с числами
Эйлера (I). Имеем (Е0,Е2)Е4,...) = A,-1,5,-61,1385,-50521,
2702765,...).)
6.75 Положим G(w,z)=sinz/cos(w+z) hH(w,z)=cosz/cos(w+z),
и пусть G(w,z) + H(w,z) = ?_ШуП Am,nWmzn/Ta! n!. Тогда из урав-
уравнений G(w,0) = 0 и (¦§?— g^)G(w,z) = H(w,z) получаем Am>o = 0
при нечетном m, Ат)П+1 = Am+i)TL + АШ)П, если т + п —четное; а
из уравнений H@,z) = 1 и (^ — ^)H(w,z) = G(w,z) получаем
Ао.п = [п = 0] при четном п,Ат+1)П = Am>n+i +Am>71, если т+п—
нечетное. Следовательно, п-й ряд треугольника содержит числа
АП)о> Ап-1,1, ..., АоO1. Число АП)о слева есть секансное число |Еп|;
справа имеем Ао|П = Т71 + [п = 0].
6.76 Пусть Ап обозначает требуемую сумму. Заглянув вперед, в
G49) мы видим, что ?nAnz7n! = ?n|k(-1)k{k}2n-klc!z7n! =
^k(-1)k2-k(e2z - 1)k = 2/(e2z + 1) = 1 -thz. Следовательно,
воспользовавшись упр. 23 или 72, находим:
An = Bn+1-4n+1)Bn+1/(n + 1) = (-1)(n+1)/2Tn+[n = 0].
6.77 Формула доказывается индукцией по m с использованием
рекуррентности из упр. 18. Можно также доказать ее, отправля-
отправляясь от F.50) и использовав тот факт, что
Zm Г m 1 dm k ] 1
л л m v i -;—Т> целое m > 0.
ь_л K~kJ dz™-* ez-1
k=0
Последнее уравнение оказывается эквивалентным следующему:
dm I , ,,mv" fm+1'
к
6.78 Если р(х) —некоторый многочлен степени ^ п, то
+ п\
.-к)'
поскольку это равенство справедливо при х = 0, — 1, ..., —п. Ука-
Указанное в упражнении тождество является частным случаем этого,
когда р(х) = хап(х) и х = 1. Между прочим, более простое вы-
выражение для чисел Бернулли через числа Стирлинга получается
604 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
при подстановке к = 1 в (б.дд):
,v к!
6.79 Сэм Лойд [202, с. 288 и 378] привел конструкцию
и утверждал, что еще в 1858 г. он придумал (но не опублико-
опубликовал) конструкцию „64=65" (Аналогичные парадоксы восходят, по
крайней мере, еще к восемнадцатому веку, однако Лойд обнару-
обнаружил более удачные способы их представления.)
6.80 Можно ожидать, что Am/Am_i « ф, так что попробуем
Am_i = 618034+г и Ат-2 = 381966-т. Тогда Ат_3 = 236068+2г и
т. д., и мы выясняем, что Ат_is = 144—2584r, Am_i9 = 154+4181г.
Следовательно, г = 0, х = 154, у = 144, m = 20.
6.81 Если P(Fn+i,Fn) = 0 при бесконечно многих четных зна-
значениях п, то Р(х,у) делится на U(x, у)—1, где Ufoy) = х2—ху— у2.
Действительно, если t —совокупная степень многочлена Р, то
можно записать, что
Р(х,у) =
<lic*V~k
k=0
j+k<t
Тогда
P(Fn+1)Fn)
k=0
Fn+1
OA/Fn),
и, переходя к пределу при n —> оо, получаем Yik=o Чкфк = 0.
Следовательно, Q(x,y) кратно \1{х)у)} скажем, А(хуу)\1(х>у).
Но U(Fn+i,Fn) = (—1)п и п —четное, так что Ро(х,у) =
Р(^)У) ~ (U(x,y) — 1)А(х,у)— другой многочлен со свойством
Po(Fn+i,Fn) = 0. Совокупная степень многочлена Ро меньше t,
поэтому индукцией по t получаем, что Ро кратен U — 1.
Аналогично, многочлен Р{х,у) делится на U(x,-y) + 1, если
P(Fn-|_i,Fn) =0 при бесконечно многих нечетных значениях п.
Объединение двух этих фактов дает требуемое необходимое и до-
достаточное условие: Р{х,у) делится на U(x,'yJ — 1.
См. также [121 * за-
задача 339]
— Перев.
„Говорят, что
последний том
„Начал" Евкли-
Евклида был целиком
посвящен гео-
геометрическим
заблуждениям
такого рода... К
несчастью, этот
том утерян, но,
без сомнений, это
была величайшая
из написанных
автором книг1.1
— С. Лойд,
[203* с. 38].
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 605
Упражнение:
m о n = mn +
L(m+1)/ct>Jn +
(Ср. с работой
Ю. В. Матиясевича
в [116* с. 132-144].
— Перев.)
6.82 Сперва складываем цифры без переноса, получая цифры
О, 1 и 2. Затем используем два правила переноса
Ide,
1dO(e + 1),
0(d+2He
выполняя всегда крайний слева допустимый перенос. Этот про-
процесс завершается, поскольку двоичная величина (bm .. .ЪгЬ» по-
получаемая при чтении (bm ... ЪгЬ, увеличивается при каждом пе-
переносе. Но перенос мог бы распространиться вправо от „фибо-
наччиевой точки" —например, A)F + A)F становится A0.01 )р. По-
Подобное распространение вправо захватывает самое большее две
позиции, и эти две цифровые позиции при необходимости вновь
могут быть „обнулены", используя алгоритм „прибавления 1" из
текста главы.
Между прочим, имеется соответствующая операция „умно-
„умножения" целых неотрицательных чисел. Если m = Fj, H Ь Fjq и
n = Fiq H hFkT в фибоначчиевой системе счисления, то положим
mon = Hb=i Hc=i Fjb+kc no аналогии с умножением двоичных
чисел. (Это определение означает, что топ» у/5 тп при боль-
больших тип, хотя 1 о п « ф2п.) Сложение по Фибоначчи приводит
к доказательству сочетательного закона I о (та о п) = (I о та) о п.)
6.83 Возможно; к примеру, можно взять
До = 331635635998274737472200656430763;
Ат = 1510028911083401971189590305498785.
Получающаяся последовательность обладает тем свойством, что
делится на рк (не равняясь им) при n mod так = т^, где числа
(Рк>так>т\) соответственно принимают 18 следующих значений:
C,4,1)
G,8,3)
D7,16,7)
B207,32,15)
A087,64,31)
D481,64,63)
B,3,2)
A7,9,4)
A9,18,10)
E3,27,16)
A09,27,7)
E779,54,52)
E,5,1)
A1,10,2)
F1,15,3)
C1,30,24)
D1,20,10)
B521,60,60)
Каждому целому п соответствует одна из этих троек — к приме-
примеру, все нечетные п содержатся в одной из шести троек в первой
колонке, а тройки в средней колонке включают все четные п, ко-
которые не делятся на 6. Оставшаяся часть доказательства основана
на том факте, что Am+n = AmFn_i + Am+iFn, а также сравнениях
До = Fmk_rk modpk,
Ai = Fmk_rk+i modpic
для каждой из троек (р^, так, т*к)- (Возможен также „улучшенный"
вариант решения, в котором Ао и Ai являются числами, состоя-
состоящими „всего лишь" из 17 цифр каждое [150].)
606 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
6.84 Последовательности из упр. 62 удовлетворяют соотношени-
соотношениям А_т = Ат, В_т = -Вт и
АтАп = Ат+п ~г Ат_п ,
АтВп = Вт_|_п — Вт_п ,
"т"п = Ат+п Ат_п .
Пусть fk = Bmk/Amk+l и gk = Amk/Bmk+i, где I = i(n - m). Тогда
fk+i-fk=AlBm/(A2mk+7i+Am)Hgk-gk+1 =А1ВтЛА2тк+п - Am);
следовательно,
r+ V^ .. . л/5
S llm(ff)
V5
6.85 Данное обстоятельство имеет место тогда и только тогда,
когда N имеет одну из следующих семи форм: 5к, 2-5к, 4-5к,
3j-5\ 6-5\ 7-5к, 14-5к.
6.86 Для любого целого положительного та пусть г(та) будет
наименьшим индексом j, таким, что Cj делится на та; если такого
j не существует, положим г (та) = со. Тогда имеет место следую-
следующая цепочка эквивалентностей: Сп делится на та тогда и толь-
только тогда, когда нод(Сп, Cr(m)) делится на та, тогда и только то-
тогда, когда СНОд(п,г(т)) Делится на та, тогда и только тогда, когда
нод(п)г(та)) = г (та), тогда и только тогда, когда п делится на
г(га).
(Верно и обратное; сформулированное нод-условие
Ci, C2, ..., как легко видеть, вытекает из существования фун-
функции г (та), возможно бесконечной, такой, что Сп делится на та
тогда и только тогда, когда п делится на г (та).)
Положим теперь П{п) = Ci C2 ... Сп, так что
/та + п\ _ П(та + п)
V та Уе " П(та)П(п) "
Если р — простое, то кратность, с которой р делит Uin), равна
fp(n) = Лк>1 Ln/r(Pk)J> поскольку Ln/PkJ есть "число элементов
{Сь ..., Сп}, делящихся нарк. Поэтому fp(m + n) ^ fp(m) + fp(n)
при любом р, и число (m^n)e —целое.
6.87 Данное произведение матриц равно
Kn_i(xbx2)...,xn_i) Kn(xbx2,...)xn_i)xn)
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 607
Это же относится и к произведениям L и R, таким, как в F.137)>
ибо
Ra
0 1
1 0
0 1
1 а
0 1
1 0
La.
Определитель же равен Kn(xi,... ,хп), а более общий трехдиаго-
нальный определитель
det
хл 1 0 ... О \
У2 *2 1 О
О уз х3 1 :
1
V О О ... уп хп 1
удовлетворяет рекуррентности Dn = xnDn_i — tjnDn_2.
6.88 Пусть a = ao + l/(ai + 1/(а2Н )) —представление а
в виде непрерывной дроби. Тогда
— +
Z
1
1 -Z
>«J
A0(z)
Ai(z)
A2(z) +
где
Am(z) =
= Km(ai,... ,am)
В доказательстве, аналогичном доказательству F.146) в тексте, ис-
используется обобщение теоремы Цеккендорфа (Френкель [323, §4]).
Если z = 1/Ь, где целое b ^ 2, то это дает представление в виде
непрерывной дроби трансцендентного числа (Ь—1) 2Ln>i b~l"naJ,
как в упр. 49.
6.89 Пусть р = К@, си, CL2,.. •, am), так что р/n —это m-я под-
подходящая дробь к данной непрерывной дроби. Тогда ос = ip/n +
(-1 )m/nq, где q = К(си,..., am, C) и C > 1. Поэтому точки {кос}
при 0 ^ k < n могут быть записаны в виде
О 1 (-l)m7ti TL-1 (-1)т7Г„_1
п п nq
П
nq
где П]... 7Tn_i — перестановка множества {!,..., п— 1}. Пусть f (v) —
число таких точек < v; тогда как f(v), так и vn увеличиваются
на 1 при увеличении v от к/п до (к+1 )/п, за исключением случая,
когда к = 0 или к = п — 1, так что они никогда не различаются
более чем на 2.
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
6.90 Согласно F.139) и F.136), нам нужно максимизировать
К (си,..., ат) по всем последовательностям целых положитель-
положительных чисел, сумма которых ^ п+1. Данный максимум достигается
тогда, когда все а равны 1, ибо если ) ^> 1 и а ^ 1, то
,... ,bk)
, a,bi,... ,bk)
(Моцкин и Штраус [226] решают более общие задачи максимиза-
максимизации, связанные с континуантами.)
6.91 Один из кандидатов для случая n mod I = j представлен
в [145, §6], хотя, может быть, лучше всего умножить обсуждае-
обсуждаемые там целые числа на некоторую константу, включающую в
себя у/п. С другой стороны, Ренцо Спруньоли заметил, что мож-
можно определить {^} = ?k (™)kn(-1)m~k/m! для целого m ^ 0 и
произвольного n ^ 0; в этом случае F.3) выполняется при лю-
любом п ^> 1.
6.92 (а) Дэвид Бойд показал, что существует только конечное
число решений при любом р < 500 за исключением, возможно,
р = 83, 127, 397. (Ь) Поведение bn довольно-таки странно: с од-
одной стороны, bn = нокA,... ,п) при 968 ^ n ^ 1066; с другой
стороны Ьбоо = нокA,..., 600)/C3 -52 -43). Эндрю Одлыжко от-
отмечает, что р делит нокA,..., п)/Ьп тогда и только тогда, когда
крш ^ n < (k+1 )pm при некотором m ^ 1 и некотором к < р, та-
таком, что р делит числитель числа Н^. Поэтому бесконечно много
таких п существует в том случае, когда, к примеру, может быть
показано, что почти все простые числа имеют только одно такое
значение к (именно к = р — 1).
6.93 (Брент [39] обнаружил у числа еу удивительно большое
неполное частное 1568705, но, по-видимому, это просто случай-
случайное стечение обстоятельств. К примеру, Госпер обнаружил еще
большие неполные частные у числа п: 453 294-е равно 12996958,
а 11 504 931-е равно 878783625.)
6.94 Рассмотрите производящую функцию Y-mn^o |mT^n|wmzrL,
которая имеет вид X[n(wF(a)b)c)+zF(a/)b/)c/))n, где F(a,b,c) —
дифференциальный оператор a + b-&w + c&z.
6.95 Получить окончательный результат здесь может быть
трудно или вовсе невозможно, поскольку числа Стирлинга не
являются „голономными" в смысле [119].
7.1 Подставим в производящую функцию z4 вместо D и z вме-
вместо ? . Получим функцию 1/A — z4 — z2). Это похоже на произво-
производящую функцию для Т, однако z заменено на z2. Следовательно,
ответом будет 0 для нечетных m и Fm/2+i —для четных.
Еще один повод
запомнить 1066?
A066 —это год
завоевания Англии
норманнами. А чем
знаменит год 968?
— Перев.)
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 609
7.2 G(z) = 1/A-2z) +1/A-3z); G(z) = e2z + e3z.
7.3 Положим z = 1/10 в производящей функции и получим
Бьюсь об заклад,
что у сомнительно-
сомнительного „фана порядка
нуль" все же есть
одно остовное
дерево.
7.4 Поделим P(z) на Q(z) и найдем частное T(z) и остаток
Po(z), степень которого меньше степени Q. Коэффициенты T(z)
следует добавить к коэффициентам [zn] Po(z)/Q(z) с малыми зна-
значениями п. (Это как раз многочлен T(z) из G.28).)
7.5 Это свертка A + z2)T и A + z)r, так что
S(z) =
Для коэффициентов этой производящей функции не известно ни-
никакого простого выражения; следовательно, указанная сумма, ве-
вероятно, не может быть выражена в достаточно простой замкну-
замкнутой форме. (Производящие функции пригодны и для получения
отрицательных результатов.)
7.6 Запишем решение соотношений go = a, gi = C, gn = gn-i +
2дп_2 + (-1 )пу в виде gn = А(п)а + В(п)|3 + С(п)у. Функция 2П
подходит в качестве решения при а = 1,Р=2,у=0; функция
(—1)п—при а = 1, C = -1, у = 0; функция (—1)пп —при а = 0,
Р = -1, у = 3. Следовательно, А(п) + 2В(п) = 2П, А(п) - В(п) =
(-1 )п и -В(п) + ЗС(п) = (-1 )пп.
7.7 G(z) = (z/A - zJ)G(z) + 1, следовательно,
G(z) =
2z + z2
= 1+-
1-3z +
поэтому имеем gn = F2n + [тг = 0].
7.8 Дважды продифференцировав A — z)~x~] по х, получим
n
Теперь положим х = та.
7.9 (п + 1)(Н2-Н<,2))-2п(Нп-1).
7.10 Из тождества Нк_1/2 - Н_1/2 = -^ Н + f = 2Н2к - Нк
вытекает, что ?к Bк) (^if) BН2к - Нк) = 4*Hn.
7.11 (a) C(z) = A(z)B(z2)/A - z). (b) zB'(z) = ABz)ez, следова-
следовательно, A(z) = §e-z/2B'(§). (c) A(z) = B(z)/A -z)r+1, следова-
следовательно, B(z) = A — z)T+1A(z) и поэтому fk(r) = (rk')(—1)k.
610 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
7.12 Сп. Числа в верхнем ряду соответствуют позициям плюс
единиц в последовательности из (+1' и '—1', определяющей „гор-
„горную гряду"; числа нижнего ряда отвечают позициям минус еди-
единиц. Например, приведенный в упражнении массив соответствует
7.13 Продолжим последовательность периодическим образом
(положим xm+ic = Xk) и определим sn = xi + • • • + хп. Имеем
sm = I, S2m = 21 и т. д. Должен существовать максимальный ин-
индекс kj, такой, что s^ = j, skj+m = 1 + ) и т.д. Эти индексы кь
..., ki (modulo m) определяют требуемый циклический сдвиг.
Например, для последовательности (—2,1, —1,0,1,1, —1,1,
1,1) стп= 10 и 1 = 2 имеем к] =17, к2 =24.
7.14 Уравнение G(z) = —2zG(z) + G(zJ + z (будьте внимательны
с последним слагаемым!) с помощью формулы для корней ква-
квадратного уравнения приводит к
Следовательно, дщ+} =0и дщ = (—1 )nBn)! Cn_i для всех п > 0.
7.15 Существует {^G)-^-^ разбиений, в которых подмножество,
включающее п + 1, содержит еще к других предметов. Следова-
Следовательно, P'(z) = ezP(z). Решением этого дифференциального урав-
уравнения будет P(z) = ее*+с, причем с = — 1, поскольку Р@) = 1.
(Этот результат можно также получить суммированием G49)
по тп, поскольку G)n = ?_т {?}•)
7.16 Один из способов состоит в том, чтобы прологарифмиро-
прологарифмировать соотношение
B(z) =
затем использовать формулу для In j~ и поменять порядок сум-
суммирования.
7.17 Утверждение следует из того, что J^° t^-e dt = п!. Име-
Имеется также и обратная формула:
7.18 (а) C(z-l); (b) -C{z)] (с) C(z)/CBz). Любое положитель-
положительное целое однозначно представляется в виде m2q, где q свободно
от квадратов.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 611
7.19 При п> 0 коэффициент [zn] exp(xlnF(z)) является много-
многочленом степени п от х, который кратен х. Первая формула сверт-
свертки получается из приравнивания коэффициентов при zn в равен-
равенстве F(z)xF(z)y = F(z)x+y. Вторая формула выводится, если при-
приравнять коэффициенты при z11 в равенстве F'(z)F(z)x~1F(z)y =
F'(z)F(z)x+y-\ поскольку
(Взяв производную Э/Эх, как в G43)> можно получить последу-
последующие свертки.)
Как показано в [153], можно утверждать даже большее, а
именно
у =
?^ x + tk y+t(n-k) x + y+tn
для произвольных х, у и t. В действительности последователь-
последовательность многочленов xfn(x + tn)/(x + tn) дает коэффициенты фун-
функции Jt [z]x, где
Jt(z) = F(zJt(z)t) .
(В (б-59) и (б-52) мы встречались с частными случаями этого то-
тождества.)
7.20 Пусть G(z) = ?П?0 9nZn. Тогда
для всех к, I ^ 0, если положить gn = 0 для п < 0. Следова-
Следовательно, если Po(z), ..., Pm(z) —многочлены с максимальной сте-
степенью d, не все равные нулю, то существуют многочлены ро(тг),
..., Pm+dW, такие, что
m+d
Po(z)G(z) + • • • + Pm(z)G(m>(z) = X Z Pj(n)gn+j-d2:n .
Поэтому из условия дифференцируемой конечности функции
G(z) следует, что
m+d
^ Pj (n + d) gn+j = 0 при любом п^ 0.
Обратное утверждение доказывается аналогично. (Одно из след-
следствий: производящая функция G(z) дифференцируемо конечна
тогда и только тогда, когда дифференцируемо конечна соответ-
соответствующая экспоненциальная производящая функция G(z).)
612 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
7.21 Это есть задача размена с номиналами монет 10 и 20, поэто-
поэтому G(z) = 1/A -z[°)(] -z20) = G(z10), где G(z) = 1/A -z)A -z2).
(а) Разложением G(z) на элементарные дроби будет ^A — z)~2 +
1A -z)-1 +1A +z)~\ так что [z-]G(z) - 1 Bп + 3 + (-1Г). Под-
Подстановка n = 50 дает 26 способов произвести выплату, (b) G(z) =
A + z)/A - z2J - A + z)A + 2z2 + 3z4 + • • •), поэтому [zn] G(z) =
[n/2J + 1. (Сравните со значением Nn = [n/5\ + 1 в задаче о
размене монет в тексте. Задача грабителя эквивалентна задаче
размена при помощи пенни и „двушек".)
7.22 У каждого многоугольника есть „основание" (отрезок вни-
внизу). Для триангулированных многоугольников А и В положим,
что АД В получается, если приклеить основание А к левой верх-
верхней стороне Д, а основание В — к правой верхней. Так, например,
(Исходные многоугольники, возможно, придется слегка искри-
искривить, чтобы придать результату нужную форму.) Таким спосо-
способом можно получить любую триангуляцию, поскольку основание
входит ровно в один треугольник, при этом слева и справа от него
лежат некоторые триангулированные многоугольники А и В.
Заменив каждый треугольник на z, получим степенной
ряд, в котором коэффициентом при zn служит число триангу-
триангуляции с п треугольниками, а это есть число разбиений на тре-
треугольники (п + 2)-угольника. Функция Р удовлетворяет уравне-
уравнению Р = 1 +zP2, следовательно, это производящая функция чисел
Каталана Со + C-|Z+ C2Z2 Н ; число триангуляции п-угольника
равно Cn_2-Bnn_-4)/(n-1).
7.23 Обозначим искомое число атг, а через Ъп обозначим число
разбиений колонны с выемкой размера 2x1x1 вверху. Рассма-
Рассматривая различные варианты расположения видимых сверху кир-
кирпичей, получим
ап = 2ап_т +4bn_! + аТ1_2 + [тг = О];
Ъп = ап_1 + bn_i .
Следовательно, производящие функции удовлетворяют уравне-
уравнениям А = 2zA + 4zB + z2A + 1, В = zA + zB, откуда находим
A(z)
1 -z
4z + z2)
Последняя формула имеет отношение к задаче о покрытии
костяшками домино 3 х n-прямоугольника; имеем ап =
1 | | }
что есть просто B+\/3 )п+1/6, округленное до ближайшего целого.
7.24 n]T1Cl+...+1Cm=n ki •.. .-km/m = F2u+i +hn-i -2. (Рассмотри-
(Рассмотрите коэффициент [z*-1] ?ln(i/A -G(z))), где G(z) =z/A -zJ.)
Этот медленный
путь к ответу
как раз позволит
кассиру протянуть
время до прихода
полиции.
В США существу-
существует монета в два
цента, но она не
чеканится с 1873 г.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 613
7.25 Производящей функцией будет P(z)/A — zm), где P(z) =
z-f 2z2 4- h (m- Ijz™" = ((m— 1)zm+1 - mzm + z)/A -zJ.
В знаменателе стоит многочлен Q(z) = 1 — zm = A — tu°z) x
A — cu1z)... A — cum~1z). По теореме о разложении рациональ-
рациональных функций для случая различных корней получаем
л т—1
т— I т- о)
n mod т = —
7.26 A -z-z2K?(z) = F(z) влечет ?n - B(n + l)Fn + nFn+1)/5,
как в уравнении G.61).
7.27 Любая ориентированная циклическая схема начинается с f
или ° или 2 х k-цикла (для некоторого k ^ 2), ориентированного
одним из двух способов. Следовательно,
Qn = Qn-i + Qn-2 + 2Qn_2 + 2Qn_3 + • • • + 2Q0
для n ^ 2; Qo = Qi = 1. Производящей функцией будет, следо-
следовательно,
Q(z) = zQ(z) + z2Q(z) + 2z2Q(z)/A - z) + 1
= 1/A-z-z2-2z2/A-z))
A-z)
A-2z-2z2 + z3)
ф2/5 , ф~2/5 , 2/5
1 - ф2г 1 - ф-2г 1 + z
nQn = (Ф2п+2+ф-2п-2+2(-1Г)/5 = ((фп+1-фп
7.28 В общем случае, если A(z) = A +zH hzm)B(z), будем
иметь Аг + Ar+m + Ar+2m -\ = BA) для 0 ^ r < m. В нашем
случае m = 10 и B(z) = A +z + - • - + z9)A +z2+z4 + z6 + z8)A +z5).
7.29 F(z) + F(zJ + F(zK + • • • = z/A - z - z2 - z) = 1/A - A +
л/2 )z) —A/A —A -y/2 )z))/y/&, ответом поэтому будет (A+\/2)п-
7.30 Из упр. 5.39 получаем
k=1
7.31 Производящая функция Дирихле будет равна C,(zJ/C{z—])'}
следовательно, мы находим, что g(n) является произведением
(k-Н —кр) по всем степеням простых чисел рк, делящим нацело п.
7.32 Можно считать, что все b^ ^ 0. Множество арифметиче-
арифметических прогрессий будет точным покрытием тогда и только тогда,
когда
1 _ zbl zb™
1 ~Z " 1 -ZQ' +'"+ 1 _ZQm *
614 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Вычтем zbm/0 — zQm) из обеих частей и положим z = e27n/Qm.
Левая часть обратится в бесконечность, а правая останется ко-
конечной, если только am_i не будет равно am.
7.33 (-1 )n"m+1 [n > m]/(n - m).
7.34 Можно также записать
Gn(z) =
ki+(m+1)km+i=n
В общем случае, если
Gn= Г (\+к,2 + '\+кгк'42
то Gn = z\ Gn_i + z2Gn_2 Л VzrGn-r + [n = 0], и производящей
функцией будет 1/A — ziw—Z2*w2 zrwr). В рассматриваемом
частном случае ответом является 1/A — w — zmwm+1). (Частный
случай m = 1 см. в E-74H
7-35 (а) 1 Иоос<пОА+1/(н-1с)) = 1нп_ь (b) [z*] (ln^J =
ulH = п^ из G-5°) и F.58). Второй способ действий в ча-
части (Ь) состоит в том, чтобы использовать правило [z11] F(z) =
2
7.36 -b^A(zm).
7.37 (а) В таблице выполняется замечательное соотношение
= Ьп:
п
Ьп
0
1
1
1
1
2
2
2
4
3
2
6
4
4
10
5
4
14
6
6
20
7
6
26
8
10
36
9
10
46
10
14
60
(Ь) A(z) - 1/(A - z)A - z2)A - z4)A - z8)... ). (с) B(z) =
A(z)/A — z), а мы хотим доказать, что A(z) = A +z)B(z2). Это
следует из того, что A(z) = A(z2)/A — z).
7.38 A-wz)M(w,z)= ^ (min(m,n)-min(m-1,n-1))wmzn =
wz/A — w)A — z). В общем случае,
Zi . . . Zm
M(Zi,...,ZmJ =
7.39 Ответами на вопросы из указания будут, соответственно,
Li^k1<k2<...<km^na^, Qlc2..-Clkm И LKk1^k2^-^km^na^iak2"-akm-
Следовательно: (а) Нам нужен коэффициент при zm в произве-
произведении A + z)A + 2z)... A + nz). Этот многочлен является зер-
зеркальным к (z+ 1 Г, поэтому он равен [?+]] + р1^1]^ • • • + р1]]^
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 615
и ответом будет [n+1+_lm]- (b) В силу G47) коэффициент при z
в 1/(A -z)A -2z)... A -nz)) равен {m+n}.
7.40 ЭПФ для (nFn_i - Fn) будет (z - l)F(z), где F(z) =
Ln^nzn/n\ = (e*z - e^)/V5. Для (nj) ЭПФ равна е"УA - z).
Их произведение равно
5-1/2 (е(ф-1)г _ е(ф-1)г) = 5-1/2(е-фг _ е-фг) .
Имеем F(z)e~z = — F(— z). Ответом, следовательно, будет (—1)nFn.
7.41 Число возрастающе-убывающих перестановок с макси-
максимальным элементом п в позиции 2к равняется О]^) A21C-1 Ап_2к-
Аналогично, число возрастающе-убывающих перестановок с наи-
наименьшим элементом 1 в позиции 2к + 1 есть (П2^1)А2кАп_2к-ь
поскольку убывающе-возрастающих перестановок столько же,
сколько возрастающе-убывающих. Суммирование по всем воз-
возможностям дает
2АП =
k
Следовательно, ЭПФ А удовлетворяет уравнению 2Ar(z) =
A(zJ + 1 и А@) = 1; указанная функция является решением это-
этого дифференциального уравнения. (Следовательно, Ап = |ЕП|+ТП
совпадает с коэффициентом в разложении секанса при четном п
и тангенса —при нечетном.)
7.42 Пусть ап — число цепочек марсианских ДНК, которые не
заканчиваются на с или е, а Ъп — число цепочек, заканчивающих-
заканчивающихся этими символами. Тогда
ап = Зап_1 +2bn_i + [п = 0], Ьп = 2an_i +bn_i »
A(z) = 3zA(z) + 2zB(z) + 1 , B(z) = 2zA(z) + zB(z),
B(z)=
и общее число цепочек равно [zn]A + z)/A — 4z — z2) =
7.43 Из E45) имеем gn = AnG@). Мы можем записать n-ю
разность произведения в виде
AnA(z)B(z) - Y- (k
к ^
где Еп~к = A + A)n"k = Hj (n7k)AJ- Следовательно, находим
616 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Это — сумма по всем триномиальным коэффициентам; ее можно
привести к более симметричному виду
7.44 Каждое разбиение на к непустых подмножеств может быть
упорядочено к! способами, поэтому bi< = к!. Следовательно, В пустом множе-
QW = Ln.^0 {?}W zVn! = ?^0(е* - 1)k - 1/B - ez). Это есть стве нет ничего.
также сумма геометрической прогрессии 2Ik>o ekz/2k+1, следова-
следовательно, ак = 1/2k+1. И наконец, с^ = 2к; рассмотрите все пере-
перестановки для случая различных х, замените каждое отношение
(>' между индексами на (<', а если индексы связаны отношением
'<', то для значений допускается любое из двух отношений: '<'
или '=\ (Например, перестановка Х1Х3Х2 породит два варианта
сравнения: xi < Х3 < %г и xi = Х3 < Х2, поскольку 1 < 3 > 2.)
7.45 Эта сумма равна ]ГП>1 т{п)/п2, где г(п) есть число спосо-
способов записать п в виде произведения двух взаимно простых сомно-
сомножителей. Если п делится на t различных простых, то г(п) — 2х.
Следовательно, г(п)/п2—мультипликативная функция и инте-
интересующая нас сумма равна
=п
v
7.46 Пусть Sn = Lo^kW2 (Wk- Тогда Sn = Sn_i + aSn_3 +
[n = 0] и производящая функция равна 1/A — z — ocz3). Для
ос = — jj, как подсказывает указание, эта функция имеет хорошее
разложение на множители 1/A + \z)[\ — |zJ. Общая теорема о
разложении дает теперь Sn = (fn+c)(|)n + ^(—^)n, и константа с
оказывается равной |.
7.47 Представление Штерна—Броко для у/3 есть R(LR2)°°, по-
поскольку
Сами дроби равны у, у, |, |, |, Ц-, уу, Щ} ...; начиная с некоторо-
некоторого момента они задаются поочередно следующими выражениями:
V2n-1 + V2n+1 ^2u + V2u+1
u2n у v2n+1 '
U*2n+2 + V2n-1 V2n+1 + V2n+3
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 617
7.48 Имеем до = 0, и, если gi = та, производящая функция
удовлетворяет уравнению
aG (z) + bzG (z) + cz~2 (G (z) - mz) + y^ = 0 .
Следовательно, G(z) = P(z)/(az2 + bz + c)A — z) для некоторого
многочлена P(z). Пусть pi и р2 — корни cz2 + bz+ a, причем |pi | ^
|p2|. Если b2 — 4ac ^ 0, то |pi|2 = pip2 = a/c — рациональное
число, что противоречит тому факту, что ^д^ стремится к 1 +у/1.
Следовательно, p^ = (—b + \/b2 — 4ca)/2c = 1 + yfl\ а отсюда
следует, что a = —с, b = —2с, Р2 = 1—\/2- Производящая функция
теперь принимает вид
G(z) =
(l-2z-z2)(l-z)
-r+(m + 2r)z т
+
где г = d/c. Поскольку g2 —целое, г также целое. Имеем также
gn - aA+V2)n + aA->/2)n + ±r = [осA + л/2 )^J ,
а это может иметь место, только если т =—1, поскольку A — \/2 )п
стремится к нулю, чередуясь в знаке. Следовательно, (a, b, с, d) =
±A,2,-1,1). Теперь находим a = ?A + л/2 та), что лежит ме-
между 0 и 1 только при 0 ^ та ^ 2. Каждое из этих значений
в действительности дает некоторое решение; соответствующие
последовательности (gn) суть @,0,1,3,8,...), @,1,3,8,20,...) и
@,2,5,13,32,...).
7.49 (а) Общим знаменателем выражения A/A — A + \/2)z) +
1/A — A —\/2)z)) является 1 — 2z—z2; следовательно, an = 2an_i +
an_2 для n ^ 2. (b) Это верно ввиду того, что an четно и — 1 <
1 — у/2 < 0. (с) Положим
Нас устроило, если бы bn было нечетным для всех п > 0 и —1 <
(Р — у/Ц)/^ < 0- Действуя как в п. (а), мы находим bo = 2, bi = р
и bn = pbn_i + ^(q — p2)bn_2 для n ^> 2. Одно из возможных
решений получается для р = 3 и q = 17.
7.50 Расширяя идею умножения многоугольников из упр. 22,
будем иметь
618 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Заменим каждый п-угольник на zn 2. Такая замена правильно
сочетается с умножением, поскольку операция склейки преобра-
преобразует та- и n-угольник в (та + п — 2)-угольник. Таким образом,
производящая функция равна
Q = 1 +
z2Q3
3Q4
z2Q3 + z3Q
и формула для вычисления корней квадратного уравнения да-
ет Q = A + z — \/1 — 6z + z2 )/4z. Коэффициент при zn~~2 в этом
степенном ряду равняется числу способов провести непересекаю-
непересекающиеся диагонали в выпуклом n-угольнике. Эти коэффициенты,
по-видимому, не имеют простого замкнутого выражения через
другие величины, которые мы обсуждали в этой книге. Однако
их асимптотическое поведение изучено [139, упр. 2.2.1-12].
Кстати, если заменить каждый n-угольник в Q на wzn~2,
то мы будем иметь
Q =
1 + z - у/1 - Dw + 2)z
2A +w)z
формулу, в которой коэффициент при wmzn 2 дает число спо-
способов разбить n-угольник пересекающимися диагоналями на та
многоугольников.
7.51 Ключевой первый шаг состоит в наблюдении, что ква-
квадрат интересующего нас числа способов есть число циклических
схем определенного вида, обобщающих упр. 27. Эти схемы могут
быть подсчитаны посредством вычисления определителя некото-
некоторой матрицы, для которой несложно найти собственные значе-
значения. В случае та = 3 и п = 4 оказывается полезным тот факт, что
cos 36° = ф/2 (упр. 6.46).
7.52 Несколько начальных случаев таковы: ро(у) = 1, Pi (у) =У,
Р2.(у) = У2 +У, РзЫ = У3 + Зу2 + Ъу. Пусть Vn{y) = Я2нМ,
где у = хA — х); мы ищем производящую функцию, которая
подходящим образом определит q^i+ifx). Одна такая функ-
функция—это Y-n ЧпМг"/™! = 2elxz/(elz + 1), откуда следует, что
qn(x) = inEn(x), где Еп(х) называется многочленом Эйле-
Эйлера. Имеем ]Г(—1)ххп5х = \{—1)х+1Еп(х), поэтому многочле-
многочлены Эйлера аналогичны многочленам Бернулли, и они рас-
раскладываются на множители, аналогичные (б.д8). Из упр. 6.23
получаем nEn_i (x) = Yl=o (?)BkXn~kB - 2k+1); этот много-
многочлен по упр. 6.54 имеет целые коэффициенты. Следовательно,
коэффициенты многочлена q2nM> со знаменателями в виде
степеней двойки, также должны быть целыми. Следователь-
Следовательно» Vn(y) имеет целые коэффициенты. Наконец, соотношение
Dу - 1 )v"iy) + 2-Vniy) = 2nBn - 1 )pn_i (у) показывает, что
2mBm - 1)
n
m+1
2nBn-l)
n-1
m-1
Дайте мне много-
многочлены Лежандра
и я найду вам
замкнутое выра-
выражение.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 619
а отсюда вытекает, что числа |^| положительны. (Подобное до-
доказательство позволяет установить, что аналогичная величина
(—1 )nBn+2)E2n+i (х)/Bх—1), если ее выразить в виде многочлена
n-й степени от у, имеет положительные целые коэффициенты.)
Как можно показать, |™| —число Дженокки (—1 )п~] B2n+1 —2)В2П
(см. упр.6.24) и |^| = Q), |n*2| =2(*J') +3(J) и т.д.
7.53 Это число есть P(i+v4n+i+v4n+3)/6- Так, например, Т2о =
Pi2 = 210; T285 = Pi65= 40755.
7.54 Пусть Eic означает операцию над степенными рядами, со-
состоящую в обнулении всех коэффициентов при z11, за исключе-
исключением случаев n mod та = к. Тогда описанная конструкция экви-
эквивалентна операции
Ео S Ео S (Ео + Ет) S ... S (Ео 4- Ет + • • • + Ет_т),
примененной к 1/A — z), где S означает „умножить на 1/A — z)"
Это выражение содержит га! членов
Ео S Ек, S E)c2 S ... S E]cm .
Здесь 0 ^ kj < j, и каждый такой член дает zrm/(l - zm)m+1, где
г —число таких j, что kj < kj+ь Имеется ровно (™) слагаемых
с данным значением г, поэтому коэффициентом при zmn будет
LTJo (T)(n+m~r) = (n+ l)m no F.37). (Тот факт, что операция
Eic выражается через комплексные корни из единицы, по всей
видимости, нисколько не помогает в решении этой задачи.)
7.55 Пусть P0(z)F(z) + ... + Pm(z)F^(z) = Q0(z)G(z) + • • • +
Qn(z)G(n)(z) = 0, где Pm(z) и Qn(z) -ненулевые, (а) Пусть
H(z) = F(z) + G(z). Тогда найдутся рациональные функции Rk,i(z)
для 0 ^ I < тп + п, такие, что H(k)(z) = RM(z)F@)(z) + •'•• +
Векторы (R^ofz),. ..,Ric>m+n_i(z)) в количестве m + n + 1 ли-
линейно зависимы в (m + п)-мерном векторном пространстве ра-
рациональных функций; следовательно, существуют рациональные
функции Si(z), не все равные нулю, такие, что So(z)H(o)(z) H h
Sm+n(z)H{m+n](z) = 0. (b) Аналогично, положим H(z) = F(z)G(z).
Имеются рациональные функции Rk,i(z) для 0 ^ I < mn, такие,
что HM(z) = L?^Lw*Kni+iW{i4z)GM{z), следовательно,
S0(z)H@) (z) + • • • + Smn(z)H(mn) (z) = 0 для некоторых рациональ-
рациональных Si(z), не все из которых нулевые. (Аналогичным образом
можно доказать, что если (fn) и (gn) полиномиально рекурсивны,
то таковы и последовательности (fn + gn) и (fngn). Для частных
нет аналогичного результата; например, cosz является диффе-
дифференцируемо конечной функцией, тогда как 1/cosz —нет.)
7.56 Эйлер [377] показал, что это число есть также
[z4 l/Vl-2z-3z2, и дал формулу tn^ V
620 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Исследуя эти числа, он обнаружил „достопамятное фиаско ин-
индукции": хотя 3tn — tn+i равняется Fn_i (Fn-i + 1) для 0 ^ n ^ 8,
этот эмпирический закон таинственным образом нарушается, ко-
когда п равно 9 или больше! Георг Эндрюс [387] снял покров тайны;
он показал, что сумма J2k[zn+1Ok] (I + z + z2)n может быть выра-
выражена в замкнутом виде через числа Фибоначчи.
Г. С. Вильф заметил, что [zn] (a+bz+cz2)n= [zn] 1/f (z), где
f (z) = y/\ - 2bz + (b2 - 4ac)z2 (см. [53, с. 159]); отсюда следует,
что коэффициенты удовлетворяют соотношению
(п + 1 )Ап+1 - Bп + 1 )ЪАп + n(b2 - 4ac)An_i = 0.
Применяя алгоритм Петковшека [236], можно доказать, что это
рекуррентное соотношение имеет решение в замкнутом виде в
том и только в том случае, когда abc(b2 —4ас) = 0. В част-
частности, поэтому средний триномиальный коэффициент не имеет
такого выражения в замкнутом виде. Следующий шаг должен,
вероятно, заключаться в расширении этого результата на более
широкий класс замкнутых выражений (включая, например, гар-
гармонические числа и/или числа Стирлинга).
7.57 (На данный момент Поль Эрдёш предлагает 500 долларов
за решение.)
8.1 h + h + ~k + ~k + ~k + 1л =\- (Мы, на самом деле, всегда
получим дублет с вероятностью |, если хотя бы один из кубиков
правильный.) Любые две грани с суммой 7 имеют одинаковую
вероятность в распределении Pri, поэтому событие S = 7 имеет
ту же вероятность, что и выпадение дублета.
8.2 Имеется 12 способов задать верхнюю и нижнюю карты и
50! способов для остальных; поэтому вероятность равна
12-50I/52! = 12/E1-52) = ^ = ^.
8.3 ^C+2+- • - + 9+2) - 4.8; |C2+22 + - • -+92+22-10D.8J) =
^, что приблизительно равно 8.6. Истинные математическое
ожидание и дисперсия для правильной монеты составляют 6 и 22,
так что группе в Станфорде необычайно везет на решки. Соот-
Соответствующие цифры для Принстона равны 6.4 и Щ « 12.5. (Это
распределение имеет К4 = 2974, что весьма много. Следовательно,
стандартное отклонение этой оценки дисперсии также довольно
велико для п = 10, ^/2974/10+ 2B2J/9 «20.1 в соответствии с
упр. 54. Студентов нельзя обвинить в жульничестве.)
8.4 Это следует из (8.38) и (8.39)) поскольку F(z) = G(z)H(z).
(Аналогичные формулы имеют место для всех кумулянтов да-
даже несмотря на то, что F(z) и G(z) могут иметь отрицательные
коэффициенты.)
Дайте мне много-
многочлены Лежандра
и я найду вам
замкнутое выра-
выражение.
8.5 Замените Р на р и 0 на q = 1 — р. Если Sa = Sb = \
то должно быть p2qN = j и pq2N = \q + \\ решением будет
р-1/ф2, q = 1/ф.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 621
8.6 В этом случае Х\у имеет для всех у то же распределение,
что и X, поэтому E(X|Y) = EX есть константа и V(E(X|Y)) = 0.
Также и V(X|Y) —константа и совпадает со своим ожидаемым
значением.
8.7 Имеем 1 = (pi + р2 + • • • + VeJ ^ 6(р? + vj + ' *' + v\) no
неравенству Чебышёва для сумм из гл. 2.
8.8 Пусть р = Рг(о)ЕАПВ), q = Pr(cu^A) и г = Рг(ш^В).
Тогда р + q + г = 1 и требуется доказать тождество р = (р + г) х
(p + q)-qr.
8.9 Это верно (при очевидном условии, что F и G определены
на областях изменения случайных величин X и Y), поскольку
Pr(F(X)=fnG(Y) = g) =
x€F-'(f)
= Pr(F(X)=f)-Pr(G(y) = g).
8.10 Два. Пусть xi < X2 —медианы; тогда 1 ^
Pr(X^X2) ^ 1, следовательно, имеют место равенства. (Некото-
(Некоторые дискретные распределения вовсе не имеют медианы. Пусть,
например, С1 будет множеством всех дробей вида ±1/п, с вероят-
вероятностями Pr(+1/n) = Pr(-1/n) = f^n.)
8.11 С вероятностью 4/(k+l)(k + 2)(k + 3) положим, например,
К = к для всех целых к ^ 0. Тогда ЕК = 1, однако Е(К2) =
оо. (Аналогично можно построить случайную величину со всеми
конечными кумулянтами вплоть до кт, но с кт+т = оо.)
8.12 (а) Пусть рк = Рг(Х = к). Если 0 < х ^ 1, то имеем
Рг(Х^г) = Ц^гРк ^ L^r*k-rPk *S L^k~rPk = x-P(x).
Другое неравенство доказывается аналогично. (Ь) Положим х =
ос/ A — ос) с целью минимизации правой части. (Более точная оцен-
оценка указанной суммы дается в упр. 9.42.)
8.13 (Решение Бориса Питтела.) Положим Y = (ХН Ь Хп)/п
и Z = (Xn+i + • • • + Х2п)/п. Тогда
= Pr(|Z-o|
\-
622 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Последнее неравенство фактически можно заменить на *>' для
любого дискретного распределения вероятностей, поскольку
Pr(Y = Z) >0.
8.14 Mean(H) = pMean(F) + qMean(G); Var(H) = pVar(F) +
q Var(G) + pq(Mean(F) — Mean(G)J. (Смесь есть на самом деле
частный случай условного распределения: пусть Y отвечает бро-
бросанию монеты, Х|Р порождается функцией F(z), а Х|0 — функци-
функцией G(z). Тогда VX= EV(X|Y) +VE(X|Y), где EV(X|Y) = pV(X|P) +
qV(X|O),aVE(X|Y) есть дисперсия функцииpzMean(F)+qzMean(G\)
8.15 По правилу дифференцирования сложной функции,
H'(z) = G'(*)F'(G(z)); H"(z) = G"(z)F'(G(z)) + G'(zJF"(G(z)).
Следовательно,
Mean(H) = Mean(F)Mean(G);
Var(H) = Var(F) Mean(GJ + Mean(F) Var(G).
(Случайную величину, отвечающую распределению Н, можно
описать следующим образом: определим неотрицательное целое п
в соответствии с распределением F; затем сложим п независи-
независимых случайных величин, имеющих распределение G. Тождество
для дисперсии из этого упражнения является частным случаем
(8.юб), в котором X имеет распределение Н, a Y — распределе-
распределение F.)
8.16 e^
8.17 Pr(Yn>p^m) = Pr(Yn>p+n^m + n) = вероятность того,
что для выпадания п решек потребуется ^ m + n бросаний =
вероятность того, что m + п бросаний дадут ^ п решек =
Pr(Xm+n,p ^n). Следовательно,
а это есть тождество E-19) с п = г, х = q, у = р.
8.18 (a) Gx(z) = e^z~]K (b) Для всех m ^ 1 m-й кумулянт
равен ц. (В (8.55) случай ц = 1 назван F^.)
8.19 (a) GXl+x2(z) = GxAz)GX2(z) = е^+^)(*-1). Следователь-
Следовательно, вероятность равна е~Ц1~Ц2(ц1 + Ц2)П/"П-!; сумма независимых
пуассоновских случайных величин снова пуассоновская. (Ь) В об-
общем случае, если КтХ обозначает m-й кумулянт случайной ве-
величины X, то для а,Ъ ^ 0 имеем Km(aXi +ЪХг) = am(KmXi) +
bm(KmX2). Ответом, следовательно, будет 2m|j,i +ЗтЦ2-
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 623
8.20 В общем случае пфсв равна G(z) = zm/F(z), где
F(z) = zm + A -z)Y_ A(k)[A(k) =A(k)]z
к=1
m-k
k=1
k=1
8.21 Это значение есть XLn^o 4^, rAe qlx — вероятность того, что
игра Алисы и Билла еще не закончилась после п бросаний. Пусть
рп означает вероятность окончания игры на n-м бросании; тогда
Pn + c|n = c|n-i. Следовательно, среднее время игры равняется
Ln^i nVn = (qo - qi) + 2(q! - q2) + 3(q2 - qs) + • • • = qo + qi +
q2 + • • • = N, поскольку limn_^oo nqn = 0.
Другой способ получить тот же ответ состоит в том, чтобы
заменить Р и 0 на \ъ. Тогда, продифференцировав первое урав-
уравнение в (8.78), получим NA) + N'A) = N'A) + SJJ1) + S?A).
Между прочим, N = -у.
8.22 Имеем, по определению, V(X|Y) = E(X2|Y) - (E(X|Y)J
и V(E(x|Y)) = E((E(X|Y)J) - (E(E(X|Y))J; следовательно,
E(V(X|Y)) + V(E(X|Y)) = E(E(X2|Y)) - (E(E(X|Y))J. Однако
E(E(X|Y)) = Zv Pr(Y = y)E(X|y) = Zxy Pr(Y = y) Pr((X|y) =x)x =
EX и E(E(X2|Y)) = E(X2), поэтому в результате получается про-
просто VX.
8.23 Пусть а0 = (И» Ш2> Qi = {Ц3> [Zl> & Ш}2> а П2-
множество из остальных 16 элементов П. Тогда Ргц(си) —
Ргоо(си) = Щ, ^, ^, если си G По, Пь ^2- Следова-
Следовательно, при выборе событий А следует взять Ц элементов
из Oj, где (ko,ki,k2) — один из следующих наборов: @,0,0),
@,2,7), @,4,14), A,4,4), A,6,11), B,6,1), B,8,8), C,8,15),
C,10,5), C,12,12), D,12,2), D,14,9), D,16,16). Имеется, напри-
меР> (г) С в) С]) событий типа B,6,1). Всего нужных нам собы-
событий будет [z°]A +z20LA +z-7I6A +z2I6, это число составляет
1304872090. Если ограничиться событиями, зависящими только
от S, то мы получим 40 решений S G А, где А = 0, {^2> Д, |},
{Л.5,9}, {2,12,^,1,5,9}, {2,4,6,8,10,12}, {,3, ,7, 59,4,10} или А
есть дополнение до одного из этих множеств. (Здесь (^2' означает
2 или 12, но не оба вместе.)
8.24 (а) Любой кубик окажется в конце концов во владении
игрока } с вероятностью р = | + (|JР5 следовательно, р = ^-.
Пусть q = y\. Тогда пфсв для общего числа кубиков у J будет
(q +pzJn+1 с математическим ожиданием Bп+1 )р и дисперсией
624 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
[In + 1)pq, как следует из (8.61). (b) (з)р^2 + (^P4^ + Qv5 =
94176 ^ coc
161051 ~ •JOJ<
8.25 Производящая функция для суммы ставки после п броса-
бросаний будет равна Gn(z), где
Go (г) = zA
Gn(z) = L
при n > 0.
(Нецелые показатели степеней не вызывают трудностей.) Отсюда
следует, что Mean(Gn) = Mean(Gn_i) и Var(Gn) + Mean(GnJ =
y|(Var(Gn_i) + Mean(Gn_iJ). Таким образом, математическое
ожидание все время равно А, в то время как дисперсия возра-
возрастает до значения ((f|)n — 1)А2.
8.26 Производящая функция случайной величины Fi>TL(z) удо-
удовлетворяет уравнению F{n(z) = Fi)Tl_i(z)/l; следовательно,
Mean(Fl>n) - F[nA) = [n^l]/l и ?[[п[}) = [n^2l]/l2; дисперсия
легко вычисляется. (Фактически мы имеем
у.
I
что стремится при п —> оо к распределению Пуассона с параме-
параметром 1/1.)
8.27 Величина (n2l3-3nl2li + 2lf )/n(n- 1)(n-2), где Ik =
X\ + • • • + X? имеет желаемое ожидаемое значение; это вытекает
из тождеств
Е13 = пцз ;
= пцз + п{п — 1 )ц2М-1 J
= пцз +3п[п-])\12м +п[п- 1)(п-2)ц3 .
Оказывается, что третий кумулянт равен Кз = Е((Х — ЕХK), но
уже для четвертого кумулянта столь простое соотношение не вы-
выполняется; имеем к4 = Е((Х - EXL) - 3(VXJ.
8.28 (В упражнении подразумевается случай р = q = j} однако
ниже для полноты дан ответ в общем случае.) Замена Р на pz и
0 на qz дает SA(z) = p2qz3/A -pz)A - qz)A -pqz2) и SB(z) =
pq2z3/A — qz)A —pqz2). Для условной вероятности выигрыша
Алисы после п-го бросания, при условии, что она выигрывает,
получаем следующую пфсв:
SaA)
з
1 -pq
1 — pz 1 — qz 1 —pqz2 '
Это произведение псевдо-ПФСВ и математическое ожидание для
этой функции равно 3 +p/q + q/p + 2pq/A — pq). Формулы для
Билла отличаются только отсутствием множителя q/A — pz),
Вероятно, эту за-
задачу проще решать
без применения
производящих
функций, чем с
ними.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 625
поэтому математическое ожидание для Билла равно 3 + q/p +
2pq/A — pq). Если р = q = \> то ответом в случае (а) будет
¦у; в случае (Ь) — -у. Билл выигрывает в два раза реже, но если
ему случается выиграть, то это происходит быстрее. Общее сред-
среднее число бросаний составит | • Ц- + \ • -у = -у, что согласуется
с упр. 21. При игре в одиночку для любой последовательности
время ожидания равняется 8.
8.29 Подстановка Р = 0 = |в
N РОРР = SA (ОРР + Р) + Sb (OPP +1) + Sc (OPP)
N OPPP = SA (PP) + SB (P) + Sc
дает вероятности выигрыша. В общем случае будет иметь место
Sa + Sb +Sc = 1 и
В нашем частном случае уравнения 9Sa +3Sb +3Sc = 5Sa
Sc = 2SA + 4SB + 9SC дают SA = ^ > sb = й> Sc = ^•
8.30 Дисперсия P(hi,..., hn; k) |k есть дисперсия сдвинутого би-
биномиального распределения ((m— I +z)/m)k~1z, равная (k — 1) х
(^)A — ^) в силу (8.6i). Следовательно, среднее дисперсий будет
равно Mean(S) (m— I )/m2. Дисперсия средних — это дисперсия ве-
величины (k— I )/m, а именно Var(S)/m2. В соответствии с (8.ю6),
сумма этих двух чисел должна равняться VP, и это действитель-
действительно так. Фактически мы в слегка замаскированном виде повторили
вывод (8.д6). (См. упр. 15.)
8.31 (а) Действуя напролом, мы получаем систему из пяти урав-
уравнений с пятью неизвестными:
А = \гЪ + \zE; В = \zC ; С = 1 + \zB + ^zD ;
D = izC + izE; E = izD •
Однако позиции С и D равноудалены от цели, и то же самое спра-
справедливо в отношении В и Е, поэтому их можно объединить друг
с другом. Пусть X = B + EhY = C + D; остается три уравнения:
A=^zX; X = izY; Y=1 + ^zX+lzY.
Следовательно, А = z2/D — 2z — z2); отсюда находим Mean(A) = 6
и Var(A) = 22. (Слышите звон? Эта задача фактически эквива-
эквивалентна подбрасыванию правильной монеты до появления двух
решек подряд: решка означает „сделать шаг к яблоку", а орел
означает „шаг назад") (Ь) Неравенство Чебышёва показывает, что
Pr(S^IOO) = Pr((S-6J^942) ^ 22/942 « .0025. (с) Вторая
626 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
оценка хвоста показывает, что Pr(S ^ 100) ^ 1/х98D —2х —х2) для
всех х ^ 1; подставив х = (л/49001 — 99)/100, получаем верхнюю
оценку 0.00000005. (В действительности эта вероятность равна
приблизительно 0.0000000009 в соответствии с упр. 37.)
8.32 Из соображений симметрии ситуацию в каждом месяце
можно свести к одной из следующих четырех возможностей:
Д, два штата расположены по диагонали;
С, штаты соседние и среди них нет Канзаса;
К, два штата —это Канзас и какой-то другой;
О, два штата одинаковы.
Рассматривая переходы в полученной цепи Маркова, получим че-
четыре уравнения
„У меня такое чув-
чувство, Тото, что мы
уже не в Канзасе"
—Дороти
сумма которых дает Д + К + С
будет
81z-45z2-4z3
= 1+ г(Д + С + К). Решением
243 - 243z + 24z2 + 8z3 '
но простейший, по-видимому, способ найти среднее и дисперсию —
это подставить z = 1 + w и разложить по степеням w, игнорируя
кратные w2:
_ 27
— 16
J593
512
9 , 2115,,. i
256
W
Тлттлтл-^ «-¦va^ttw C\i (Л\ 27|^9i^15 75
1еперь находим U(IJ — Тб + 8 + Т~Тб
\11(л\
С ¦ J =
1593 _j_ 2115
_j_
+
156"
б
Цм ~ TF- Математическое ожидание равно у|, а дисперсия —
^. (Есть ли путь проще?)
8.33 Первый ответ: очевидно, да, поскольку хеш-коды hi,..., hn
независимы. Второй ответ: конечно, нет, даже несмотря на
то, что хеш-коды hi, ..., hn независимы. Имеем Pr(Xj=O) =
()
L?=1sk[k>2](m - 1J/m2 = A - Sl - s2)(m - 1J/m2 ф
Pr(Xi=0)Pr(X2 = 0).
8.34 Пусть [zn]Sm(z) есть вероятность того, что Джина про-
продвинется менее, чем на та шагов за п кругов. Тогда SmA)— ее
средний результат в m-ударной игре; [zm] Sm(z) —вероятность ее
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 627
проигрыша в игре со стабильным партнером; а 1 — [zm-1] Sm(z) —
вероятность выигрыша. Имеем рекуррентное соотношение
So(z) =0;
Sm(z) = A+pzSm_2(z) + qzSm_i(z))/A-rz) при m > 0.
Для решения п. (а) достаточно вычислить коэффициенты для
ггг, тг ^ 4; удобно заменить z на 100w с тем, чтобы в вычислениях
участвовали только целые числа. Получаем следующую таблицу
коэффициентов:
50 0 0 0 0 0
51 1 4 16 64 256
52 I 95 744 4432 23552
53 1 100 9065 104044 819808
54 1 100 9975 868535 12964304
Следовательно, Джина выигрывает с вероятностью 1 — .868535 =
.131465; она проигрывает с вероятностью .12964304. (Ь) Для на-
нахождения среднего числа ударов вычисляем
s m 25. с m 4675- s m 667825
5,A) = и, S2(D = 2304' S3A) =
8513447
S4A) =
22U84'
85134475
21233664-
(Оказывается, что SsA) ~ 4.9995] она выигрывает по обоим кри-
критериям — лункам и ударам в игре с пятиударной лункой, но про-
проигрывает обоими способами в игре, рассчитанной на три удара.)
8.35 Требуемое условие будет выполняться для всех п тогда и
только тогда, когда оно выполняется для п = 1; это следует из
китайской теоремы об остатках. Одно необходимое и достаточное
условие — тождество многочленов
но это есть лишь незначительная переформулировка исходной за-
задачи. Более простым критерием является
{V2 +Р4 +Рб)(РЗ +V6) = V6 , (Pi +РЗ +Р5)(Р2 +Р5) = Р5 ,
что требует проверки всего двух коэффициентов в предыдущем
произведении. Общее решение имеет три степени свободы: пусть
= bo+bi +b2 = 1, тогда можно взять pi =aibi, рг
8.36 (а) [Т] [73 ИЗ ЕЗ ЕЗ ИЗ • (ь) Если на гранях к-го
кубика нанесено si, ..., se очков, то положим Pk(z) = zSl +
••• + zS6. Мы хотим найти такие многочлены р^, для которых
628 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Pi(z).. .pn(z) = (z+z24-z34-z4+z5+z6)n. Разложением этого мно-
многочлена в произведение неприводимых множителей с рациональ-
рациональными коэффициентами будет zn (z + 1 )n (z2 + z + 1 )n (z2 — z + 1 )n;
следовательно, Pk(z) должен иметь вид zQk (z + 1 )bk(z2 + z + 1 )Ck x
(z2 — z + 1 )dk. При этом должно быть ak ^ 1, поскольку pk(O) = 0;
и, более того, а^ = 1, поскольку си + • • • + an = п. Далее, усло-
условие РкA) = 6 означает, что Ьк = Ск = 1. Теперь легко понять,
что 0 ^ dk ^ 2, поскольку dk > 2 дает отрицательные коэффи-
коэффициенты. Для d = 0 и d = 2 мы получаем два кубика из п. (а);
следовательно, все решения исчерпываются к парами кубиков из
п. (а) плюс п — 2к обычных кубиков для некоторого к ^ \п.
8.37 Число последовательностей длины п, описывающих воз-
возможные результаты бросания монеты, равняется Fn_i для всех
п > 0, ввиду связи между укладками домино и бросания-
бросаниями монеты. Следовательно, вероятность того, что потребует-
потребуется ровно п бросаний, составляет Fn_i/2n, если монета пра-
правильная. Кроме того, qn = Fn+i/211, поскольку Hk^n^zn =
(Fnzn + Fn_izn+1 )/A — z — z2). (Разумеется, возможно и система-
систематическое решение с использованием производящих функций.)
8.38 После появления к граней задача выбрасывания еще од-
одной эквивалентна бросанию монеты с вероятностью успеха рк =
(та — к)/т. Следовательно, пфсв равна Пк=оРк2/О
Пк=о(т~~ k)z/(m — kz). Среднее значение равно Xl
m(Hm - Hm_0; дисперсия равна m2(H^)-H^l)-'nT'(Hm-Hm_l);
и уравнение G47) Аает замкнутое выражение для требуемой ве-
вероятности, а именно m~TLm!{1lL~l1}/(m — I)!. (Обсуждаемая в этом
упражнении задача традиционно называется „задачей сбора ку-
купонов".)
8.39 Е(Х)=Р(-1); V(X) = P(-2)-P(-1J; E(lnX) =-Р;@).
8.40 (а) Из G49) имеем кт=п@!{?}р-1!{™}р2+2!{™}р3--• •).
Как оказывается, третий кумулянт равен npq(q — p), а четвер-
четвертый— npqA — 6pq). Тождество q+pe1 = (p + qe^Je* показывает,
4Tofm(p) = (—1)mfm(q) + [m= 1]; следовательно, можно записать
fm(p) = 9m(pq)(q -р)№нечетн°], где gm —многочлен степени
|_m/2J, если только та > 1. (Ь) Положимр = j и F(t) = ln(^ +^е*).
Тогда J^m^i Kmtm-V(m-1)! =F'(t) = 1 -1/(е* + 1), и мы можем
воспользоваться упр. 6.23.
8.41 Если G(z) —производящая функция случайной величины
X, принимающей только целые положительные значения, то
fl G(z) dz/z - ?k^ Pr(X = k)/k = E1X-1). Если X - распределе-
распределение числа бросаний до получения п + 1 решек, то из (8.59) имеем
G(z) = (pz/A — qz))n и выписанный интеграл можно преобра-
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 629
зовать:
wn dw
1 + (q/p)w '
если выполнить замену w = pz/A — qz). Для р = q подынтеграль-
подынтегральное выражение можно записать как (—1)n(A +w)~1 —I +w—w2 +
• • • + (-1 )nwn), поэтому интеграл равен (-1 )n (in2- 1 + \ - \ +
• • • + (-1 )п/п). Имеем из (9.28) Н2п - Нп = 1п2 - ^п + ^п +
О(п~4); отсюда следует, что EfX"^) = ^п - \п~2 + О(п~4).
8.42 Пусть Fn(z) и Gn(z) будут пфсв для числа рабочих вечеров,
если человек первоначально был, соответственно, безработным
или имел работу. Пусть qn = 1 — Vn и 4f — 1 ~~ Pf• Тогда Fq(z) =
G0(z) = 1 и
Fn(z) = PhzGn-i (г) + qhFn-i (г);
Gn(z) = pf Fn_! (z) + qf zGn_i (z).
Решение дается суперпроизводящей функцией
G(w,z) = ^Gn(z)wn = A(w)/A -zB(w)) ,
где B(w)=w(qf-(qf-ph)w)/A-qKw) и A(w)=A-B(w))/A-w).
Теперь получаем In^0Gi(l)wn = aw/A-wJ + C/A-w)-C/(i-
(qf-pK)w), где
Vh a Pf(qf-Ph)
a = , 3 = — r-=- ;
Рн + Pf (Ph+PfJ
следовательно, G^A) = an + CA — (qf —ipuV1)- (Аналогично,
G^A) = a2n2 + O(n), так что дисперсия равна O(n).)
8.43 В силу (б.и) Gn(z) = X;k^0 Hzk/n! = z^/n!. Это-произ-
Это-произведение биномиальных пфсв, Пк=1 {(к— 1 +z)/k), где k-я функ-
функция имеет математическое ожидание 1/к и дисперсию (к— 1 )/к2;
следовательно, Mean(Gn) = Нп и Var(Gn) = Нп — Нп .
8.44 (а) Чемпион должен пройти без поражений п кругов, по-
поэтому в ответе получаем рп. (Ь,с) Игроки xi,..., x2v. должны быть
случайно „рассеяны" в различные подтурниры, и они должны вы-
выиграть все 2к(п—к) своих встреч. Игроков можно расположить по
2п листьям дерева турнира 2П! способами; чтобы обеспечить нуж-
нужное рассеивание имеется 2к!Bп~кJ способов размещения 2к луч-
лучших игроков и Bn — 2k)! способов размещения остальных. Следо-
Следовательно, искомая вероятность равна BрJ (п~кУ QO- Аля ^ — 1
это выражение упрощается до Bр2)п~УBп — 1). (d) Каждый ре-
результат турнира соответствует некоторой перестановке игроков:
630 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
обозначим через у<\ чемпиона; через у 2 — второго финалиста; че-
через уз и у4 — двух игроков, проигравших yi и у2 в полуфинале;
через (У5,---)У8) обозначим игроков, проигравших в четверть-
четвертьфинале игрокам (у 1,... ,у4)» и т. д. (Действуя по-другому, можно
показать, что на первом круге может быть Т^Х/!^^! существенно
различных результатов; на втором —I11 !/2n~2! и т. д.) (е) Пусть
Sk есть множество всех 2к~1 потенциальных противников Xi в
k-м круге. Условная вероятность того, что xi выиграет турнир
при условии, что xi принадлежит Sk, равняется
Pr(xi играет с Х2)-рп~1 A—р) + Pr(xi не играет с хг) -рп
Вероятность того, что xi G Sk, равна 2k~VBn — 1); суммирование
по к дает ответ:
k=1
(f) Любой из 2П! результатов турнира имеет определенную веро-
вероятность; вероятность выигрыша Xj есть сумма этих вероятностей
по всем BП — 1)! результатам, в которых Xj —чемпион. Переста-
Переставим во всех этих турнирах Xj и Xj+i; эта перестановка не повлияет
на вероятность, если Xj и Xj+i не встречаются между собой, од-
однако в случае их встречи вероятность победы Xj умножится на
8.45 (a) A(z) = 1/C -2z); B(z) - zA(zJ; C(z) = z2A(zK. Про-
Производящая функция для разливаемого в бутылки шерри равна
z3A(zK, что есть произведение z3 на отрицательное биномиаль-
биномиальное распределение с параметрами п = 3, р = \. (Ь) Меап(А) = 2,
Var(A) = 6; Меап(В) = 5, Var(B) = 2Var(A) = 12; Mean(C) = 8,
Var(C) = 18. В среднем, шерри имеет возраст 9 лет. Доля два-
двадцатипятилетнего вина составляет B2) (~ 2J23~25 = B2J223~25 =
23- (|J4 « .00137. (с) Пусть коэффициентом при wn будет пфсв
на начало года п. Тогда
A = A + jw/(l -
В = A + lzwA)/A-fzw);
С = A + izwB)/A-fzw).
Продифференцируем по z и подставим z = 1; это дает
с, = 8 _ 1/2 3/2 6_
1-W A-|WK A-|WJ 1_|w-
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 631
Средний возраст разливаемого в бутылки шерри через п лет по-
после начала процесса на 1 больше коэффициента при wn-1, имен-
именно, он равен 9— (|)пCп2 +21п + 72)/8. (Он превышает 8 лет уже
при п = 11.)
8.46 (a) P(w,z) = 1 +1(wP(w,z)+zP(w,z)) = A - \{w + z))"\
следовательно,pmn =2-m"n(m+n). (b) Pk(w,z)=?(wk+zk)P(w,z);
следовательно,
. + n - k\ /m + n — k'
m ) + V n
сумму можно вычислить с помощью (б-2о):
= Bn + 1)-(u +1J-^2-'-2- w + 1
2n + 1 i --> i -
(Методы гл. 9 показывают, что эта величина есть 2л
8.47 После поглощения п частиц имеется п+2 равноправных ре-
рецепторов. Пусть случайная величина Хп обозначает число имею-
имеющихся дифагов; тогда Xn+i = Xn + Yn, где Yn = — 1, если (п + 1 )-я
частица попадает в рецептор дифага (условная вероятность —
2Хп/(п + 2)); в противном случае Yn = +2. Следовательно,
EXn+1 = EXn + EYn
= EXn - 2EXn/(n + 2) + 2A - 2EXn/(n + 2)) .
Рекуррентное соотношение (п + 2)EXn+i = (n — 4)EXn + 2n + 4
можно решить, если умножить обе его части на суммирующий
множитель (п + 1)-; или же можно угадать ответ и доказать его
по индукции: ЕХП = Bп + 4)/7 для всех п > 4. (Оказывается,
после пятого шага всегда образуется два дифага и один трифаг,
независимо от состояния после четвертого шага.)
8.48 (а) Расстояние между дисками (измеряемое так, чтобы все-
всегда получалось четное число) составляет 0, 2 или 4 единицы, пер-
первоначально 4. Соответствующие производящие функции А, В, С
(где, скажем, [zn] С равняется вероятности расстояния 4 после п
бросков) удовлетворяют соотношениям
А = izB , В = izB + \ъС , С = 1 + izB
4^ы , ь» — 2^^ i 4^^ ) ^—'14^
ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Отсюда следует, что Л = z2/(6 — 20z + 5z2) = z2/F(z), и мы по-
получаем Меап(Л) = 2 - Mean(F) = 12, Var(A) = - Var(F) = 100.
(Более сложное, но и более занимательное решение основано на
следующем разложении Л:
A — PiZ P2Z _ P2 PiZ Pi P2Z
1-qiz 1-q2z
где Pl = ф2/4 = C + V5)/8, p2 = $2/4 = C - л/5 )/8 и Pl + 4l =
p2 -f q2 = 1. Таким образом, игра эквивалентна бросанию двух
монет с вероятностями выпадания решки pi и р2; монеты броса-
бросаются по одной, пока обе они не выпадут решками вверх. Суммар-
Суммарное число требуемых бросаний будет иметь то же распределение,
что и число бросков дисков Фрисби. Математическое ожидание
и дисперсия времени ожидания для этих двух монет будут, со-
соответственно, 6 =р 2у/Е и 50 =р 22л/5, следовательно, для общего
математического ожидания и дисперсии получаем 12 и 100, как
и ранее.)
(Ь) Разложение производящей функции в правильные дро-
дроби дает возможность просуммировать вероятности. (Заметьте,
что \/5/Dф) + ф2/4 = 1, поэтому ответ можно выразить че-
через степени ф.) Игра будет длиться п шагов с вероятностью
5(н-1)/24-п(фп+2 _ ф-п-2). для четного п это р^^ 5n/24-nFn+2#
Ответ, таким образом, равен 5504~100Fi02 « .00006.
8.49 (а) Если п > 0, то PN@,n) = l[N=0] + ?PN-i@,n) +
^Pn-i A,тг — 1); для PN("ra,0) имеет место аналогичная формула;
PN@,0) = [N =0]. Следовательно,
9m,n =
go,n = \ + lzQ0>n + \^,ъ^ И Т.Д.
(Ь) 9'т,п = 1 + ?9m-1,n+1 + I9m,n + ?9m+1,n-i; 9o,n = \
lg{n_-, и т. д. Индукцией по т получаем g^ n = Bт+1 )д^т+п -
2т2 для всех т,п ^ 0. А поскольку д'т0 = д'о т, то мы должны
иметь д^п = m + n + 2mn. (с) Для mn > d данная формула
удовлетворяет рекуррентному соотношению, поскольку
sin 2m + 1 в =
/sinBm-1)9
cos2 9 V 4
sinBm + 1)9 sinBm + 3)9
это следует из тождества sin(x—-y)+sin(x+-y) = 2 sin x cos у. Таким
образом, остается только проверить граничные условия.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 633
8.50 (а) Используя указание, получаем
1
далее следует посмотреть на коэффициент при z3+l. (b) H(z) =
I + Т1Ъ+ lli^oc3+iz2+l- (c) Пусть г = y/[\ -z)(9-z). Мож-
но доказать, что (z — 3 + r)(z — 3 — г) = 4z, и, вследствие этого,
(r/A -z) +2J = A3-5z + 4r)/A -z) = (9-H(z))/A -H(z))\
(d) Вычисление первой производной при z = 1 показывает, что
Меап(Н) = 1. Вторая производная расходится при z = 1, поэтому
дисперсия бесконечна.
8.51 (а) Пусть Hn(z) —пфсв ваших денег после п кругов игры;
Ho(z) = z. Для п кругов имеется распределение
Hn+i(z) = Hn(H(z)),
поэтому требуемый результат получается индукцией (с использо-
использованием любопытного тождества из предыдущей задачи), (b) gn =
Hn@) -Hn_i@) = 4/п(п+ 1)(п + 2) = 4(п-1)Д Математиче-
Математическое ожидание равно 2, а дисперсия бесконечна, (с) Среднее чи-
число билетов, которые вы купите в n-м круге, равно Меап(Нп) = 1,
согласно упр. 15. Поэтому общее число билетов бесконечно. (Та-
(Таким образом, вы почти наверняка проиграетесь в конце концов,
и можно ожидать проигрыша уже после второй игры, но в то
же время вы приобретете, как можно ожидать, бесконечно много
билетов.) (d) В этом случае пфсв после п игр равняется Hn(zJ,
и метод из п. (Ь) дает математическое ожидание 16 — |я2 « 2.8.
(Здесь появляется сумма 2Ik^i 1 А2 = я2/6.)
8.52 Если си и си' —такие события, что Рг(си) > Рг(си'), то в
последовательности из п независимых экспериментов с большой
вероятностью си будет встречаться чаще чем си', поскольку чи-
число появлений си будет очень близко к пРг(си). Следовательно,
при п —> оо со стремящейся к 1 вероятностью медиана и мода
значений X в последовательности независимых испытаний будут
медианой и модой случайной величины X.
8.53 Мы можем опровергнуть данное утверждение даже в том
частном случае, когда каждая случайная величина принима-
принимает всего два значения: 0 или 1. Пусть ро = Pr(X = Y = Z = O),
Pl =Pr(X = Y = Z = O), ...,р7 =Pr(X = Y = Z = O), гдеХ = 1 - X.
Тогда ро+Р1+---+Р7 = 1,и случайные величины попарно не-
независимы тогда и только тогда, когда
(Р4+Р5+Р6+Р7)(Р2+РЗ+Р6+Р7) =V6+V7>
(р4 + Р5 + Рб + Р7)(Р1 + РЗ + Р5 + р7) = Р5 + V7 ,
(Р2+РЗ+Рб+Р7)(Р1 +РЗ+Р5+Р7) = РЗ+Р7-
634 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Вместе с тем, Pr(X + Y = Z = 0) ф Pr(X + Y = 0) Pr(Z = 0)
Ро ф (Ро + pi )(ро + Vi + Р4 + Рб). Вот одно из решений:
Ро = Рз = Р5 = V6 = 1/4; Pi = Р2 = Р4 = Р7 = 0.
Эквивалентное определение этих случайных величин: подбросить
две монеты и положить X = (первая монета упала решкой вверх),
Y = (вторая монета упала решкой вверх), Z = (монеты упали по-
разному). Другой пример, в котором все вероятности ненулевые,
может быть таким:
Ро = 4/64, р! = р2 = р4 = 5/64,
Рз = V5 = V6 = Ю/64, V7 = 15/64.
По этой причине мы говорим, что п случайных величин Xi, ...,
Хп независимы, если
Pr(Xi=xi и ••• иХп=хп) = Рг(Х1=х1)...Рг(Хп=хп);
для выполнения этого свойства попарной независимости недоста-
недостаточно.
8.54 (Обозначения см. в упр. 27.) Имеем
+п{п-
+ n(n-1)(n-2Wi,
E(Z?) =
отсюда следует, что V(VX) = К4/П + 2к\/{п — 1).
8.55 Всего имеется Л = jj • 52! перестановок с X = Y и В =
Щ • 52! перестановок с X / Y. После описанной процедуры лю-
любая перестановка с X = Y будет встречаться с вероятностью
jj/(C\ — ||р)А), поскольку мы возвращаемся к шагу S1 с веро-
вероятностью ||р. Аналогично, любая перестановка с X / Y будет
встречаться с вероятностью ||A — р)/(A — Цр)В). Выбор р = ^
делает Рг(Х = хиУ = "у) = j^ для всех х и у. (Можно, следова-
следовательно, дважды бросить правильную монету и вернуться к ша-
шагу S1, если оба раза выпадет решка.)
8.56 Если m четно, то диски всегда остаются на нечетном рас-
расстоянии друг от друга и игра продолжается до бесконечности.
Если m = 21 + 1, то соответствующие производящие функции
задаются так:
Gm = ^
Ak = ^ ^ ^
^i_i + fzAi + 1 .
И снова тригоно-
тригонометрия победила.
Не связано ли это
с бросанием мо-
монет вдоль сторон
vn-угольника?
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 635
(Коэффициент [zn] Ak равняется вероятности того, что диски по-
после п бросков окажутся на расстоянии 2к.) Вспоминая похожие
уравнения из упр. 49, положим z = 1/cos29 и Ai = Xsin29, где
X надлежит определить. По индукции получаем (не используя
уравнение для Ai), что Ak = Xsin2k9. Следовательно, нам надо
выбрать X так, чтобы
О ~ А 3 -У Л Х S111219 = ^ + Л ] 1* Х SlllB1 - 2)9 '
\ 4cos29/ 4cos29
Оказывается, что X = 2cos2 9/sin9 cosBl + 1 N и, следовательно,
cos 9
Gm =
cosm9
Знаменатель обращается в-нуль, когда 0 является нечетным крат-
кратным 7t/Bm); таким образом, 1 — q^z —корень знаменателя для
1 ^ k ^ I, и указанное в упражнении представление в виде произ-
произведения обязано иметь место. Чтобы найти математическое ожи-
ожидание и дисперсию, можно записать
= 1 + 1 (m2 - 1 N2 + ^ Em4 - 6m2 + 1 H4 + • • •
= 1 + l(m2 - 1 )(tg6J + ^Em4 - 14m2 + 9)(tg6)
поскольку tg 9 = z— 1 ntg9 = 9 + ^93 + ---. Поэтому имеем
Mean(Gm) = ^(m2-1) и Var(Gm) = ^m2(m2-1). (Обратите вни-
внимание, что отсюда вытекают тождества
ТП2-1
m2(m2-1)
(m-1)/2
1с=1
1с=1
(i /sin-
Bк-1)я
m
- L
к=1
Bк-1)тг
2m
Bк-1)я\2
2m / '
Третий кумулянт этого распределения равен ^т2(та2 — 1)х
Dт2 — 1); но на этом кончаются кумулянты с хорошим разложе-
разложением. Математическое ожидание можно получить гораздо проще.
Действительно, Gm + Ai H Ь Ai = z(Ai H h АО + 1, следо-
следовательно, для z = 1 будем иметь G^ = Ai + • • • + Ai. Поскольку
Gm = 1 при z = 1, простая индукция показывает, что Ak = 4k.)
8.57 Имеем А:А ^ 21, В:В < 21 +21 и В:А ^ 21; следова-
следовательно, В:В — В:А ^ А:А — А:В возможно лишь, если А:В > 21~3.
Это означает, что Т2 = тз, т-\ = Т4, ^i = T5, ..., ^х-ъ = ть Но тогда
А:А » 21 +214- ¦ •, А:В « 21-3+21-6+- • •, В:А » 21+21-5 + - • •
636 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
и В:В « 21 + 21 + • • •; следовательно, В:В — В:Л меньше, чем
Л:Л — Л:В, во всех случаях. (Гюиба и Одлыжко [94] получили
более сильные результаты; они показали, что в любом случае
шансы Билла максимизируются одной из последовательностей
Pti ... ti_i или Oti ... Ti_i. На самом деле у Билла имеется един-
единственная выигрышная стратегия; см. следующее упражнение.)
8.58 (Решение Я.Цирика.) Если Л есть Р1 или О1, то одна из
двух сравниваемых последовательностей совпадает с Л и, сле-
следовательно, не может быть использована. В противном случае
положим А = Ti . ..Ti_i, H = РА, Т = ОА. Нетрудно прове-
проверить, что Н:А = Т:А = А:А, Н:Н + Т:Т = 21 + 2(А:А) + 1 и
А:Н + А:Т = 1 + 2(А:А) — 21. Поэтому из уравнения
Н:Н-Н:А _ Т:Т-Т:А
А:А-А:Н " А:А - А:Т
следует, что обе дроби равны
Н:Н-Н:А + Т:Т-Т:А 21 + 1
A:A-A:H + A:A-A:T 2l - 1 '
Далее можно записать дроби по-другому и доказать, что
Н:Н-Н:А _ А:А - А:Н _ р
Т:Т-Т:А ~ А:А - А:Т " q '
где р J_ q и (р + 1)\нодB1 + 1,21 - 1) = нодC,21 - 1); так что
мы можем считать, что I четно и р = 1, q = 2. Отсюда следует
А:А- А:Н = B1 - 1)/3 и А:А-А:Т = Bl+1 -2)/3, следовательно,
А:Н - А:Т = B1 - 1)/3 ^ 21. Мы имеем А:Н ^ 21~2 тогда и
только тогда, когда А = @РI//2. Но в этом случае Н:Н — Н:А =
А:А - А:Н, так что 21 + 1 = 21 - 1 и I = 2. (Цирик [343] пошел
дальше; он показал, что для 1 ^ 4 у Алисы нет лучшего выбора,
чем играть Р01Р2. Но даже при этой стратегии Билл выигрывает
с вероятностью около |.)
8.59 В соответствии с (8.82), нам требуется, чтобы В:В — В:А >
А:А - А:В. Одно из решений: А = ООРР, В = РРР.
8.60 (а) Возможны два случая: Н^ ф Нп или Н^ = Нп:
л, . та — 1 /та — 2~h w -Ь z\ /та — 1 -Ь z\n~
Gw,z = w z
та V та / V та /
+ _/m ±™z\ wz/m j-zy ^
та \ m / \ m /
(b) Мы можем обосновать это соотношение алгебраически, вы-
вычислив частные производные G(w,z) no w и z и положив w =
z = 1; возможно также комбинаторное обоснование. Какими бы
ни были значения hi, ..., hn_i, ожидаемое значение P(hi,...,
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 637
hn_i,hn;n) (усреднение по hn) постоянно, поскольку последо-
последовательность хеш-кодов (hi,..., h^-i) определяет последователь-
последовательность длин списков (ги, П2,..., nm) и указанное среднее значение
равняется ((ги + 1) + (п2 + 1)Н h(nm + 1))/m = (n-1 +m)/m.
Следовательно, случайная величина EP(hi,..., hn; n) не зависит
от (hi,..., hn_i) и, следовательно, не зависит от P(hi,..., hn; k).
8.61 Если 1 ^ k < I ^ n, то, как следует из предыдущего
упражнения, коэффициент при s^Si в дисперсии среднего равен
нулю. Поэтому остается только рассмотреть коэффициент при s?,
который равен
та11
P(h,
L
т. е. дисперсии функции ((m— 1 + z)/m)k~1z; она, в свою очередь,
равняется (к — 1 )(т — 1 )/т2, как в упр. 30.
8.62 ПФСВ Dn(z) удовлетворяет рекуррентному соотношению
D0(z)=z,
Dn(z)=z2Dn_1(z)+2A-z3)D;_1(z)/(n+1) для n > 0.
Отсюда выводим соотношение
которое имеет решение -^ (п + 2)B6п + 15) для всех п ^ 11 (не-
(независимо от начальных условий). Следовательно, дисперсия ока-
оказывается равной || (п + 2)B12п + 123) для п ^ 11.
8.63 (Можно поставить другой вопрос: получается ли предпо-
предполагаемая последовательность кумулянтов хоть из какого-нибудь
распределения? Так, в последовательности кумулянтов К2 дол-
должен быть неотрицательными К4 + ЗК2 = Е((Х — цL) должно быть
не менее, чем (Е((Х — М-J)J = к^, и т.д. Необходимые и доста-
достаточные условия для этого варианта задачи найдены Гамбургером
[11], [59].)
9.1 Это верно, если все функции положительны. В противном
случае можно, например, взять fi(n) = пъ +п2, f2(n) = — п3,
gi(n) =n4+n, g2(n) = -п4.
9.2 (а) Имеем nlnn -< cn -< (lnn)n, поскольку (InnJ -< nine -<
n In In n. (b) nlnlnlnn -< (Inn)! -< nlnlnn. (с) Прологарифмируйте
и покажите, что (п!)! растет быстрее, (d) F?H -. ж ф21пп = n21n({);
Нрп ~ п1пф растет быстрее, поскольку ф2 = ф + 1 < е.
638 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
9.3 Замена кп на О(п) подразумевает различные С для разных
к; а нужно, чтобы все О имели общую константу. В действитель-
действительности, в данном контексте требуется, чтобы О обозначало множе-
множество функций двух переменных, кип. Правильно будет записать
9.4 Например, Ншп-^оо ОA/п) = 0. ОA/п) из левой части есть
множество всех функций f (п), для которых найдутся константы
С и по, такие, что |f(n)| ^ С/п для всех п ^ uq. Предел любой
функции из этого множества равен 0, поэтому левая часть пред-
представляет собой одноэлементное множество {0}. В правой части нет
переменных; 0 представляет {0}, множество (из одного элемента)
всех „функций без переменных, имеющих нулевое значение" (По-
(Понимаете ли вы логику этого высказывания? Если нет, вернитесь
к этой задаче через год; вы, вероятно, сможете обращаться с 0-
обозначениями, даже если ваша интуиция не приемлет строгий
формализм.)
9.5 Пусть f(n) = n2, a g(n) = 1; тогда п принадлежит лево-
левому множеству, но не принадлежит правому, так что утверждение
ложно.
9.6
9.7 A - е^) = пВ0 - Вт + В2п^/21 + • • • = п + \ + О(п~}).
9.8 Пусть, например, f(n) = [n/2j!2 + n, g(n) = {\n/l\ - 1)! x
[n/2]! -f п. Эти функции, как оказывается, удовлетворяют соот-
соотношениям f(n) = O(ng(n)) и g(n) = O(nf(n)); разумеется, воз-
возможны и примеры с более резким различием.
9.9 (Для полноты мы предположим наличие граничных усло-
условий п —> оо, так что каждое О подразумевает две константы.)
Любая функция из левой части имеет вид а(п) + Ь(п), причем
существуют константы то, В, по, С, такие, что |a(n)| ^ B|f(rt)|
для n ^ то и |b(n)| ^ C|g(n)| для n ^ щ. Следовательно, фун-
функция в левой части не превосходит max(B, C)(|f (п)| + |д(тг)|) для
n ^ max(mo,no), и, значит, она принадлежит правой части.
9.10 Если д(х) принадлежит левой части, так что g(x) = cosy
для некоторого у, причем |у| ^ С\х\ для некоторой константы
С, то 0 ^ 1 — g(x) = 2sin2(-y/2) ^ \у2 ^ ^С2х2. Следовательно,
множество из левой части содержится в правой, и формула верна.
9.11 Утверждение верно. Действительно, если, скажем, |х| ^ |у|,
то (х + уJ ^ 4у2. Таким образом, (х + уJ = О(х2) + О(у2).
Следовательно, О(х + уJ = О((х + уJ) = О(О(х2) + 0{у2)) -
О(О(х2)) + О(О(у2)) - О(х2) + О(у2).
9.12 1+2/n + O(n-2) = A-f2/n)A+O(n-2)/A+2/n)) по (9.26),
кроме того, 1/A -j-2/п) = 0A); теперь используйте (9.26).
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 639
9.13 nnA + 2П + 0(n))n = nnexp(nBn-1 + 0(п))) =
9.14 Это nn+t exp((n+ C)(а/п- \ос2/п
(Интересно срав- 9.15
нить эту формулу так что ответом будет
с аналогичным
результатом
Аля среднего
биномиального
коэффициента,
упр. 9.60.)
ЗЗп+1/2
2тсп
9.16 Если I —любое целое число в диапазоне а ^ I < b, то
1 1 1/2
Г Г Г
B(x)f(l + x)dx = B(x)f(l + x)dx- | B(l-x)f(l + x)dx
j j
0 1/2
1
= B(x)(f(l + x)-f(l + 1-x))dx.
1/2
Поскольку l+x ^ 1+1 —x при x ^ j, этот интеграл положителен,
если f (x) не убывает.
9.18 Вывод в тексте для а = 1 можно обобщить, получив
2Bп+1/2)а _^2 /
bk(n) = ——гттт-е
ответом будет 22па(яп)A-^/2а-1/2A +
9.19 Н10 =2.928968254 «2.928968256; 10! =3628800^3628712.4;
В10 = 0.075757576 « 0.075757494; яA0) = 4 « 10.0017845;
е01 = 1.10517092 » 1.10517083; Ы.1 = 0.0953102 « 0.0953083;
1.1111111 « 1.1111000; 1.1°-1 = 1.00957658 « 1.00957643. (Аппрок-
(Аппроксимация я(п) дает больше верных цифр при больших п; так,
7tA09) = 50847534 « 50840742.)
9.20 (а) Верно; левая часть есть о(п), тогда как правая эквива-
эквивалентна О(п). (Ь) Верно; левая часть равна е- е0A/п^. (с) Неверно;
левая часть примерно в у/п раз превосходит верхнюю границу
для правой части.
9.21 Имеем Pn =p = n(lnp- I - 1/lnp-fOA/lognJ), при этом
lnp=lnn+lnlnp-
lnlnn (lnlnnJ lnlnn
lnlnp=lnlnn+
Inn 2(lnnJ (InnJ
+ О 1/logn2.
640 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
Отсюда следует, что
рп =п[ lnn + lnlnn— 1
,lnlnn-2 (lnlnn)V2-31nlnn + oA/logn
(Можно несколько улучшить аппроксимацию, заменив здесь А что нам ска-
OA/lognJ величиной -5.5/(lnnJ + O(loglogn/lognK; в этом жетутопающий
случае получаем Р1Оооооо » 15480992.8.) специалист по
аналитической
9.22 Заменим в разложении Hnk член О(пГ2к) на --^пГ1^ + теории чисел?
O(nk); в результате ОA3(п2)) в (9.53) перейдет в —^I3(n2) + log log log log...
ОA3(п4)). Имеем
I3(n) = зп-1+^п-2 + 0(п-зь
следовательно, член О(п) в (9.54) может быть заменен на
9.23 nhn = ?0^k<nW(n-k)+2cHn/(n+l)(n + 2). Выберем
c _ en/6 _ ^k^ogkj так что ?Ik^0Hic = 0 и hn = O(logn)/n3.
Развертывание ?I0^k<n Hic/(n—k), как в (д.бо), дает теперь nhn =
2cHn/(n+ 1)(n + 2) + О(п~2), следовательно,
9.24 (а) Если Hk^0|f(k)| < oonf(n-k) = O(f(n)) для 0 ^ k ^
п/2, то
п тг/2 п
^akbn_k = ^O(f(k))O(f(n))+ ^ O(f(n))O(f(n-k)),
k=0 k=0 k=n/2
что составляет 2O(f(n)^k^0 |f(k)|), так что в этом случае все
доказано. (Ь) В случае an = bn = ос~п свертка (n + 1 )a~n не есть
O(a"n).
9.25 Sn/C^) = Lk=on-/Bn + 1)E. Диапазон суммирования
можно сузить до, скажем, 0 ^ k ^ (lognJ. В этом диапазоне
т^ = пкA - Q)/n + O(k4/n2)) и Bтг+ 1)к = Bn)kA + {k+2])/2n +
О(к4/т12)), поэтому слагаемые равны
2kV 4n
Следовательно, суммирование по к дает 2 — 4/n -f OA/n2). Те-
Теперь для доказательства (9.2) можно применить аппроксимацию
Стирлингак C^) = Cn)!/Bn)!n!.
В частности,
С(О) = -1/2
*«-п) =
-Bn+i/(n + l)
для целого тг > 0.
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 641
9.26 Минимум достигается на члене B2m/Bm) Bm—I )n2m~^, ко-
когда 2m « 2гсп+|, и этот член приблизительно равен 1 /'{пе2пп\/п).
Следовательно, абсолютная погрешность в Inn! слишком велика
для определения точного значения п! путем округления до цело-
целого, если п превышает примерно на е27Г+1.
9.27 Можно считать, что а ф — 1. Положим f(x) = ха; ответом
будет
к=1
,<x+1
а+1
k=l
0(na-2m-1
a
2k-1
П
а-2к+1
(Оказывается, что константа Са есть С(—ос), и, на самом деле,
Ц—ос) определяется посредством этой формулы для а > —1.)
9.28 В общем случае положим в формуле суммирования Эйлера
f(x) = xalnx, где осф —]. Действуя, как в предыдущем упражне-
упражнении, находим
'Inn
n
а+1
nalnn
k=1
a+1
как можно показать [97, §3.7], константа Са равна —С(—ос). (Мож-
(Можно исключить множитель logn из О-слагаемого, когда а —поло-
—положительное целое ^ 2т; в этом случае мы также заменяем к-й
член суммы в правой части на В2ка! Bк—2—а)!(—1 )апа~2к+1/Bк)!
при а < 2к — 1.) Чтобы получить решение поставленной задачи,
положим a = 1 и та = 1, возьмем экспоненту от обеих частей и
получим
Qn =
1.2824271291 -,^онстанта Глейшера4!
где Л = е1/12"^"
9.29 Положим f (х) = х lnx. Небольшая модификация вычи-
вычислений из предыдущего упражнения дает
Ink (InnJ
Inn
0(n
-2m-l
logn),
k=1
642 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
где Yi « -0.07281584548367672486 —константа Стилтьеса (см. от-
ответ к 9.57). Взятие экспоненты дает
оУ\<
п
V2
9.30 Положим д(х) = х1е~х и f(x) = д(хД/п). Тогда n~l/2 x
У-.л kle~k /n есть
^
k!
k=i
Поскольку g (x) = xl - x2+l/1! + x4+l/2! - x6+l/3! H , производные
g(m)(x) следуют простой схеме, и ответом будет
Bl+3n-1_Bl+5n-2 3)
(l+3)!1! (l+5)!2!+Ul h
2 У
9.31 Несколько неожиданное тождество l/(cm~k + cm) +
l/(cm+k + cm) = l/cm показывает, что сумма членов для 0 ^ k ^
2т равна (т + \)/сш. Остальная сумма равна
у- 1 1-/1 1.1
^2т+к _|_ ^т
1 1
- С2т ^Зт+2 ^Зт '
и этот ряд можно оборвать в любом месте, получив погрешность,
не превышающую первого отброшенного члена.
9.32 Нп = я2/6—1/п+0(п~2) по формуле суммирования Эйле-
Эйлера, поскольку мы знаем константу; Нп задается формулой (g-8g)-
Ответ, следовательно, таков: В этом ответе
встречаются все
пеУ+п /6h — ^п" -f О(п~2)) . ТРИ мировые кон-
константы: е,7Г,у.
9.33 Имеем п-/пк = 1 —k(k— IJn + ^k2(k— 1Jn" + O(k6n~3);
деление на к! и суммирование по к ^ 0 дает е — en + |en~2 +
О(п-3).
9.34 А = гу\ В = 0; С = -\еу\ D = Vn -у); Е = ley; F =
9.35 Поскольку 1/k(lnk + OA)) = 1/klnk+OA/k(logkJ), дан-
данная сумма равна Л к=2 ^ /^ ^п ^+ 0A). Эта последняя сумма равна,
по формуле суммирования Эйлера, lnlnn + 0A).
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 643
9.36 Здесь замечательно работает формула суммирования Эй-
Эйлера:
1
¦ +
к2 ' П2+Х2
n dx 11
о
2п2
п , В2 -2х
о
2!
П
+ О(п
-5)
О
Следовательно, Sn = ^яп ] — \гГ2 — ^п 3 + О(п 5).
9.37 Эта сумма равна
= П2 _ у
qJ + Л /|n/(q + DJ + 1
Оставшаяся сумма подобна (9.55)» но без множителя M-(q). Ис-
Использованный нами метод работает и здесь, но вместо 1/СB) мы
получим СB), так что ответом будет A — j^)™,2 + O(nlogn).
9.38 Заменим к на п—к и положим 0^A1) = (п—к)п~к (^). Тогда
In ak(n) = nlnn—Ink!—k+Olkn) и можно использовать замену
хвоста с bk(n) = n^e-k/W, ck(n) = kbk(n)/n, Dn = {к | к <: Inn},
получая в итоге Х.к=о ak(n) = nTLe1/e(l + Oln™1)).
9.39 Замена хвоста с Ьк(п) = (Inn - к/п - 1к2/п2)Aпп)к/к!,
Ск(п) = n-3(lnn)k+3/k!, Dn = {к | 0 ^ к ^ lOlnn}. Для
к « lOlnn имеем к! х л/к(Ю/е)кAпп)к, поэтому к-й член есть
0(n-ioin(io/e)logn) B ответе получаем
nlnn-lnn- -(lnn)A +lnn)/n + O(n~2(lognK) .
9.40 Объединяя члены попарно, получим Н^ - (Н2к — 2^)т =
^Н^ плюс еще члены, сумма которых по всем k ^ 1 составляет
0A). Пусть п четно. Из формулы суммирования Эйлера
Y Н5Г1 _ V Aп2еУк)т~^ +O(k-1(logk)m-2)
h h
h k h k
+
m
следовательно, сумма равна ^Н^1 + 0A). В целом ответ —
644 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
9.41 Положим ос = ф/ф = —ф~. Имеем
п
= ]ГAпфк-1п\/5 + 1пA-ак
к=1 к=1
1пП - оск) - J1пA - <хк).
к^1 к>п
Последняя сумма есть Цк>п О(ак) = О(ап). Следовательно, по-
получаем ответ
где С = A - а)A - <х2)A - а3)... « 1.226742 .
9.42 Утверждение в указании вытекает из того, что (кг^1)/(У?) =
< lh- ПУСТЪ m = LanJ = wi- e. Тогда
а / а
+ (
Следовательно, Лк<ап (к) = (т)^(^ и остается оценить
Из аппроксимации Стирлинга имеем In (^) = — ^
(an-e)ln(a-e/n) - ((l-a)n + е) lnA - <х + e/n) + 0A) =
^-O -a)nlnA -a)+ 0A).
9.43 Знаменатель содержит множители вида z—w, где ш — ком-
комплексный корень из единицы. Из них только множитель z — 1
входит с кратностью 5. Из G-31) поэтому следует, что только
один корень имеет множитель О(п4) и этот коэффициент есть
с = 5/E!-1-5-10-25-50) =1/1500000.
9.44 Аппроксимация Стирлинга позволяет утверждать, что для
ln(x~ax!/(x — а)!) имеется асимптотический ряд
-а - (х + \ - а) 1пA - а/х) - ^ (х - (х - а))
в котором каждый коэффициент при х~к является многочленом
от а. Следовательно, х~ах!/(х — а)! = со(а) + ci (а)х + • • • +
сп(а)х~п + О(х~п~1) при х —> со, где сп(а) —многочлен от а. Мы
знаем, что cn(a) = [а"п] (—1 )п, если а — целое, и [a!5n] есть много-
многочлен от а степени 2п; следовательно, cn(a) = [a"n] (—1 )п для всех
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 645
(Дальнейшее овсу- вещественных а. Другими словами, асимптотические формулы
ждение см. в [152].) п
П
обобщают формулы F.13) и (б.и), имеющие место в целочислен-
целочисленном случае.
9.45 Пусть неполными частными при разложении а в цеп-
цепную дробь будут (си, <i2,...); обозначим через <хт цепную дробь
V(am + <xm+i) для т ^ 1. Тогда D(a,n) = D(ai,n) <
D(a2)LainJ) + ai +3 < D(a3) L<X2|_ainJJ) + en + a2 -f 6 < • • • <
D(am+bLamL---LainJ --JJ) +ai +--- + am + 3m< ai ...amn +
ai _j_ ... + am + зт ддЯ всех -щ^. Поделим на п и устремим п к
со; предел будет меньше, чем ои ... <хт для всех та. И, наконец,
имеем
1 1
¦
., am_i, am + amj
1
... <xm = — ¦ <
i+ j
9.46 Для удобства будем вместо m(n) писать просто та. Из ап-
аппроксимации Стирлинга получаем, что kn/k! достигает макси-
максимального значения при к « та w n/lnn, поэтому заменим к на
та + к и найдем, что
. (m + k)n л л \n2nm
In г- = nlnm- татта + та —
(та + к)! 2
-2i a
а 2logn).
На самом деле мы хотим заменить к на [т\ + к; это добавит
еще О(кта~1 logn). Метод замены хвоста с |к| ^ та1//2+е позво-
позволяет выполнить суммирование по к и найти довольно хорошую
асимптотическую оценку через величины G из (9.93)
em~1mn""m
Отсюда вытекает требуемая формула с относительной погрешно-
погрешностью O(loglogn/logn).
9.47 Пусть logm n = 1+0, где 0 ^ 0 < 1. Нижняя сумма (сумма с
функцией пол) равна 1(п+1)+1 — (та1 —1)/(та—1); верхняя сумма
(с функцией потолок) равна (I + 1 )п — (ml+1 — 1 )/[т — 1); точная
сумма есть (I + 0 )п — п/ln та + О (log n). Если пренебречь членами
порядка о(п), то разность между верхней и точной суммой будет
646 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
равна A — f (9))п, а разность между точной и нижней суммой
будет f @)n, где
та — 1 In та '
Максимальное значение этой функции есть f@) = fA) =
та/ (та — 1) — 1/lnm, a ее минимальное значение In In та/In та +
1 — Aп(та— 1))/1пта. Верхнее значение ближе к точному, когда
п близко к степени та, а нижнее точнее, когда 0 лежит где-то
между 0 и 1.
9.48 Пусть dk = а^ + bk, где a^ — число цифр перед десятичной
точкой. Тогда а^ = 1 + [logHjJ = log log k + 0A); здесь 'log* озна-
означает log10. Чтобы оценить bk, найдем число десятичных цифр,
требуемое для различения некоторого числа у от близких к нему
чисел -у — е и -у + е;. Обозначим через б = 10~ь длину диапазо-
диапазона чисел, округляемых до г). Тогда имеем \у — у\ ^ ^6, а также
у — е <у — ^Ьиу + е' > y + lb. Следовательно, е+е' > 6. С другой
стороны, если б < min(e, eO, то округление позволяет отличить у
от обоих чисел-у —е иу+е'. Таким образом, 10~~bk < 1/(k—1) + 1/k
и 101"bk ^ 1/k; получаем поэтому b)c = logk+OA). Окончательно
находим YLk=} ^к = Hk=i (log k + log log k+0A)), что по формуле
суммирования Эйлера есть nlogn + nloglogn + 0(n).
9.49 Мы имеем Hn > Inn + у + ^n — ^n" = f(n), причем
f (x) возрастает для всех х > 0; следовательно, если п ^ ea~y, то
Hn ^ f(ea~Y) > ос. Кроме того, Hn_i < lnn + y — ^n = д(п), где
g(x) возрастает для всех х > 0; следовательно, если п ^ еос~у, то
Hn_i ^ g(ea~y) < а. Таким образом, Hn_i ^ a ^ Нп означает,
что ea~"Y + 1 > n > ea+Y — 1. (Более точные результаты были
получены Боасом и Ренчем [28].)
9.50 (а) Ожидаемый результат равен ]
, а нам нужно асимптотическое значение с точностью
-1'
+O(N~2)
0 6у 361n10 n
Коэффициент F In 10)/я2 « 1.3998 говорит, что мы ожидаем при-
приблизительно 40% дохода.
(Ь) Вероятность получения прибыли равна
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 647
и, поскольку Нп2) = ^— п + \п~2 + 0(п~3), эта вероятность
равна
\2 ) _ 6 _! 3 _2 _3
~^П ~^П +Utn J>
т. е. убывает с ростом п. (Ожидаемое значение в п. (а) велико
потому, что оно включает такие огромные выплаты, которые по-
повлияли бы на всю мировую экономику, если бы когда-нибудь при-
пришлось бы их выплачивать.)
9.51 Строго говоря, это неверно, поскольку функция, предста-
представляемая О(х~2), может оказаться неинтегрируемой. (Это может
быть, например, функция ([xGS]/x2', где S — неизмеримое мно-
множество.) Но если предположить, что f(x)— интегрируемая фун-
функция, такая, что f(x) = О(х~2) при х —» со, то |J°°f(x)dx| ^
JT|f(x)|dx^JTCx-2dx = Cn-'.
9.52 Цепочку возведений в n-ю степень можно на самом деле за-
заменить любой функцией f (n), сколь угодно быстро стремящейся
к бесконечности. Определим последовательность (тао ,таьта2 >...),
положив тао = 0 и взяв в качестве так наименьшее целое число
> mic_i, такое, что
(Ь±1)~
Пусть теперь A(z) = Hk^i(z/k)mk. Этот степенной ряд сходится
для всех z, поскольку члены для k > \z\ ограничены геометриче-
геометрической прогрессией. С другой стороны, А(п+ 1) ^ ((n + 1)/n)mu ^
f(n + IJ, следовательно, Нп^-юо f(n)/A(n) = 0.
9.53 По индукции, О-член есть (та - 1 )Г] J* tm~4^ (x - t) dt.
Поскольку f^m+1^ имеет знак, противоположный f(m^, абсолют-
абсолютная величина этого интеграла ограничена |f^m) @)| J^ tm~~} dt; так
что погрешность ограничена абсолютной величиной первого от-
отброшенного члена.
9.54 Пусть g(x) = f(x)/xa. Тогда д'(х) <хд(х)/х при х -> со.
Звучит как По теореме о среднем д(х - j) - д(х + {) = —д'(у) ~ а9(у)/У
„теорема о сквер- ддЯ некоторого -у в диапазоне от х — j до х + j. Далее, д(-у) =
Я0М" д(х)A+ОA/х)),такчтод(х-1)-д(х+1) - ag(x)/x = af(x)/x1+a.
Следовательно,
9.55 Оценка величины (n + k + j) ln( 1 + k/n) + (n — k + \) x
lnA — k/n) расширяется до k2/n + k4/6n3 + O(n~3//2+5e), так что
нам, по-видимому, придется добавить в bk(n) множитель е~к /6п
648 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
и взять Cic(n) = 22пп~+5ее~к /п. Лучше, однако, не трогать bk(n)
и положить
ck(n) = 22п
заменяя тем самым e~k4/6n3 на 1 + О(к4/п3). Сумма ?кк4е-к2/п
есть О(п5/2), как показано в упр. 30.
9.56 Если k ^ п1/2, то из аппроксимации Стирлинга получа-
получаем ln(nVnk) = -Ik2/n+ jlc/n- |k3/n2 + O(n-1+4e), следователь-
следовательно,
nVnk = e"k2/2nA + к/2п- |k3/BnJ + O(n+4e)) .
Просуммируем, учтя тождество из упр. 30 и не забывая опускать
члены с к = 0, и получим -1 + в2п + 6^ - §6^ + О(п-1/2+4е) =
9.57 Если воспользоваться указанием, то данная сумма пре-
превратится в J?° ue~"uCA + u/lnn) du. Одно из определений дзета-
функции — ряд
СA +z)= г
где -уо = у, a ym — константа Стилтьеса [284, 131]
(lnk)m __ (lnn)m+
k m+1
Следовательно, наша сумма равна
lnn + y — 2yi(lnn)~^ -f Зу2Aпп)~2 .
9.58 Пусть 0 ^ 9 ^ 1 и f (z) = e27tiz0/(e27tiz - 1). Имеем тогда
е-2пув
If (z)| = =— ^ 1 , если x mod 1 = \:
Следовательно, |f(z)| ограничен на контуре и интеграл есть
OfM111). Вычет функции 2mf(z)/zm в точке z = k ^ 0 равен
е2тггк9 дт. вычет в точке z = 0 есть коэффициент при z~] в раз-
разложении
e2nizQ
тпг+1
А ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ 649
а именно, B7ri)mBm@)/mL Следовательно, сумма вычетов вну-
внутри контура равна
^адч
m!
mm/2
— 7гт/2)
k=l
Эта сумма равняется интегралу по контуру, т. е. О(М} т), и, сле-
следовательно, стремится к нулю при М. —> оо.
9.59 Если F(x) —достаточно хорошая функция, то имеет место
общее тождество
Еще дальше в ре-
решении этой задачи
продвинулся Жан-
Люк Реми, Journal
of Number Theory,
vol. 66 A997), 1-28.
где G(y) = J^~ e~iyxF(x) dx. (Это „формула суммирования Пуас-
Пуассона", и ее можно найти в стандартных учебниках, например, в
Хенричи [336, Теорема Ю.бе].)
9.60 Согласно упр. 5.22 рассматриваемая формула эквивалент-
эквивалентна
8п 128п2 + 1024п3 32768п4
+ О(п
-5
Следовательно, нужный результат вытекает из упр. 6.64 и 9.44.
9.61 Основная идея —сделать а „почти" рациональным. Пусть
die = 22 — k-е неполное частное в разложении ос. Положим п =
тат+1Чт, где qm = К(аь...,ат), причем т четно. Тогда 0 <
(Чт<х}< 1/K(ai,...,am+i) < 1/Bп), и если взять v = am+i/Dn),
то получим отклонение от равномерности ^ ^ат+ь Если бы это
было меньше, чем п1, то мы имели бы a^+1 = O(q]^e), но на
самом деле am+i > q^.
9.62 См. Кэнфилд [173]; в работе Дейвид и Бартон [101, гл. 16]
можно найти асимптотику чисел Стирлинга обоих родов.
9.63 Положим с = ф2~ф. Оценка сп* +о(пф~1) доказана Фай-
ном [76]. Илан Варди заметил, что сформулированную более точ-
точную оценку можно вывести из приблизительного рекуррентно-
рекуррентного соотношения сфп2~фе(п) « — ?^ е(к)[1 ^ к< сп* ], которому
удовлетворяет остаточный член e(n) = f (п) — сп*. Этому соот-
соотношению асимптотически удовлетворяет функция
Inn '
если и(х + 1) = —и(х). (Варди высказал гипотезу, что
650 ОТВЕТЫ К УПРАЖНЕНИЯМ
для какой-то из таких функций и.) Вычисления для малых п
показывают, что f(n) равняется ближайшему целому к сп*
для всех 1 ^ п ^ 400 за одним исключением: f B73) = 39 >
с • 273Ф~1 « 38.4997. Однако эта малая погрешность постепенно
возрастает из-за результатов, аналогичных упр. 2.36. Так, напри-
например, еB01636503) « 35.73; е(919986484788) « -1959.07.
9.64 (Из этого тождества для В2М легко выводится при помо-
помощи индукции по та тождество из упр. 58.) Если 0 < х < 1, то мож-
можно записать интеграл Jx sinN7Ttdt/sinnt в виде суммы N инте-
интегралов, каждый из которых есть O(N~~2), так что весь интеграл
есть C^N); константа в этом О может зависеть от х. Интегри-
Интегрируя тождество ??=1 cos2n7Tt = <H(e27rit(e2N7rit - 1)/(e27tit - 1)]| =
— \ + ^sinBN + IOrt/sin7rt и устремляя N к со, получаем
22n>i(sin2ri7Tx)/n = | — ях —соотношение, известное Эйлеру
([371] и [374, Part 2, §92]). Еще одно интегрирование дает же-
желаемую формулу. (Это решение было предложено Э.М.Э. Вер-
Вермутом [52]; собственное решение Эйлера не удовлетворяет совре-
современным критериям строгости.)
9.65 Поскольку ао + din + агп~2 + ••• = 1 + (п — I)" x
(ао + ai (n — 1)~~} + а.2(п — 1 )~2 Н ), имеем рекуррентное соот-
соотношение am+i = 5Zk (™)ak, которое совпадает с соотношением
для чисел Белла. Следовательно, am = G)m.
Несколько более длинное, но и более информативное до-
доказательство основывается на том факте, что, в силу G47))
9.66 Ожидаемое число различных элементов в последователь-
последовательности 1, fA), f(fA)), ..., когда f является случайным отображе-
отображением множества {1,2,...,п} в себя, есть функция Q[n) из упр. 56,
и ее значение равно j^/bm + 0A); это может как-то помочь в
установлении множителя \/27Гп.
9.67 Известно, что lnxn ~ §n2ln|; константа е~"я/6 проверена
эмпирически с точностью до восьми значащих цифр.
9.68 Равенство будет нарушено, если, например, еп~"у = та+ \ +
е/та для некоторого целого та и некоторого 0 < е < \\ однако не
известно ни одного контрпримера.
„Сейчас уже твердо
установлен тот
парадоксальный
факт, что самые
крайние абстрак-
абстракции как раз и
представляют
орудия нашего по-
познания конкретных
фактов"
—А.Н.Уайтхед
[300]
в
„Эта статья вос-
восполняет досадный
пробел в литера-
литературе"
— Math. Reviews
686.
61, 68.
687.
42, 88, 685.
599.
19.
687.
Список литературы
ВОТ ТЕ РАБОТЫ, которые цитировались в книге. Цифры на
полях соответствуют номерам страниц, где помещены цитаты.
Ссылки на опубликованные задачи в основном указывают
места, где можно найти решения, а не исходные постановки задач.
По возможности фамилии авторов и названия работ при-
приводятся на языке оригинала или в транслитерации. [Сведения,
добавленные при переводе, заключены в квадратные скобки; ра-
работы, добавленные при переводе, отмечены знаком *.— Ред.]
1 Абель Н.Х. (N.H.Abel). Letter to В. Holmboe A823), в его
(Envies Completes, first edition, 1839, volume 2, 264-265. Вос-
Воспроизведено в second edition, 1881, volume 2, 254-255. [Вы-
[Выдержки из этого письма приведены в книге Оре О. Замеча-
Замечательный математик Нильс Хенрик Абель. — М.: Физматгиз,
1962, 84-85.]
2 Абрамович М., СтиганИ. (Milton Abramowitz and Irene
A. Stegun, editors). Handbook of Mathematical Functions.
United States Government Printing Office, 1964. Воспроизведе-
Воспроизведено Dover, 1965. [Имеется русский перевод: АбрамовицМ.,
СтиганИ. (ред.) Справочник по специальным функциям.—
М.: Наука, 1979.]
3 Адаме У. У., Дейвисон Дж. Л. (William W. Adams and J. L. Da-
vison). „A remarkable class of continued fractions", Proceedings
of the American Mathematical Society 65 A977), 194-198.
4 АйверсонК. Э. (Kenneth E. Iverson). A Programming Lan-
Language. Wiley, 1962.
5* АйерлэндК., РоузенМ. Классическое введение в современ-
современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
6 АллардисР. Э., Фрейзер А. Й. (R. E. Allardice and A. Y. Era-
Eraser). „La Tour d'Hanoi", Proceedings of the Edinburgh Mathe-
Mathematical Society 2 A884), 50-53.
7 Андре Д. (Desire Andre). „Sur les permutations alternees" Jour-
Journal de Mathematiques pures et appliquees, series 3, 7 A881),
167-184.
652 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
8 АпериР. (Roger Apery). „Interpolation de fractions continues 267, 686.
et irrationalite de certaines constantes" в Mathematiques, Min-
istere des universites (Prance), Comite des travaux historiques
et scientifiques, Section des sciences, Bulletin de la Section des
Sciences 3 A981), 37-53.
9 Арене В. (W. Ahrens). Mathematische Unterhaltungen und 25.
Spiele. Teubner, Leipzig, 1901. Second edition, in two volumes,
1910 and 1918. [Имеется русский перевод первого издания:
Аренсъ В. Математичестя игры иразвлечетя. — Петроград:
Физика, 1914.]
10* АскиР. „С. Рамануджан. Гипергеометрические и базисные 252.
гипергеометрические ряды", Успехи математических наук, 45
A990), 33-76.
11 Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые 637.
вопросы анализа, связанные с нею. — М.: Физматгиз, 1961.
Английский перевод: The Classical Moment Problem and Some
Related Questions in Analysis, Hafner, 1965.
12 Ахо А. В., Слоан Н. Дж. (А. V. Aho and N. J. A. Sloane). „Some 685.
doubly exponential sequences", Fibonacci Quarterly 11 A973),
429-437.
13 БарлоуП. (Р. Barlow). „Demonstration of a curious numerical 686.
proposition", Journal of Natural Philosophy, Chemistry, and the
Arts 27 A810), 193-205.
14 Барр С. A. (S. A. Burr). „On moduli for which the Fibonacci 687.
sequence contains a complete system of residues", Fibonacci
Quarterly 9 A971), 497-504.
15 БахманП. (Paul Bachmann). Die analytische Zahlentheorie. 481.
Teubner, Leipzig, 1894.
16 Бейер У. (William H. Beyer, editor). CRC Standard Mathemati- 61.
cal Tables and Formulae, 29th edition. CRC Press, Boca Raton,
Florida, 1991.
17 БейлиУ. H. (W. N. Bailey). Generalized Hypergeometric Se- 252,686.
ries. Cambridge University Press, 1935; second edition, 1964.
[См. также [10*].]
18 Бейли У. Н. (W. N. Bailey). „The generating function for Jacobi 591.
polynomials" Journal of the London Mathematical Society 13
A938), 243-246.
19 БеллЭ.Т. (Е. Т. Bell). „Euler algebra", Transactions of the 365.
American Mathematical Society 25 A923), 135-154.
20 Белл Э. Т. (Е. Т. Bell). „Exponential numbers", American Math- 687.
ematical Monthly 41 A934), 411-419. [См. также БеллЭ.Т.
Творцы математики. — М.: Просвещение, 1979.]
21 Бендер Э. A. (Edward A. Bender). „Asymptotic methods in enu- 688.
meration", SIAM Review 16 A974), 485-515.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 653
313, 314, 315. 22 ВернуллиЯ. (Jacobi Bernoulli). Ars Conjectandi, opus posthu-
mum. Basel, 1713. Воспроизведено в Die Werke von Jakob
Bernoulli, volume 3, 107-286. [Имеется русский перевод че-
четвертой части („числам Бернулли" посвящена вторая часть):
Вернулли Я. Искусство предположения(й). — Спб: Ими. Ака-
Академия наук, 1913; воспроизведено в сборнике: ВернуллиЯ.
О законе больших чисел. — М.: Наука, 1986. Этому тракта-
трактату посвящены с. 69-87 книги НикифоровскийВ. А. Великие
математики Вернулли. — М.: Наука, 1984.]
685. 23 Бертран Ж. (J. Bertrand). „Memoire sur le nombre de valeurs
que peut prendre une fonction quand on у permute les lettres
qu'elle renferme" Journal de VEcole Roy ale Polytechnique 18,
cahier 30 A845), 123-140. [См. также: Башмаков М. И. „О
постулате Бертрана", Квант, 1990, № 1, 59-62.]
685. 24 Вине Ж. (J.Binet). „Memoire sur un systeme de Formules
analytiques, et leur application a des considerations geometri-
ques" Journal de VEcole Polytechnique 9, cahier 16 A812), 280-
354.
331. 25 БинеЖ. (J.Binet). „Memoire sur Integration des equations
lineaires aux differences finies, d'un ordre quelconque, a coef-
coefficients variables", Comptes Rendus hebdomadaires des seances
de Г Academic des Sciences (Paris) 17 A843), 559-567.
685. 26 БиттиС. (Samuel Beatty). „Problem 317?; American Mathe-
Mathematical Monthly 34 A927), 159-160. [См. задачу 38 в [121*]. В
этом сборнике можно найти другие задачи из Американского
математического ежемесячника, на которые есть ссылки в
настоящей библиографии.]
688. 27 ВломГ. (Gunnar Blom). „Problem E3043: Random walk until
no shoes", American Mathematical Monthly 94 A987), 78-79.
646,688. 28 БоасР. П., мл., РенчДж.У., мл. (R. P. Boas, Jr. and
J.W. Wrench, Jr.). „Partial sums of the harmonic series",
American Mathematical Monthly 78 A971), 864-870.
685. 29 БоллУ. У. Р., КоксетерГ. CM. (W. W. Rouse Ball and
H. S. M. Coxeter). Mathematical Recreations and Essays, twelfth
edition. University of Tor onto Press, 1974. (Представляет собой
переработку книги W. W. R. Ball Mathematical Recreations
and Problems, first published by Macmillan, 1892.) [Имеется
русский перевод: БоллУ., КоксетерГ. Математические эссе
и развлечения. — М.: Мир, 1986.]
НО. 30 Боль П. (P. Bohl). „Uber ein in der Theorie der sakularen
Storungen vorkommendes Problem", Journal fur die reine und
angewandte Mathematik 135 A909), 189-283. [Имеется рус-
русский перевод: Боль П. Г. „Об одной проблеме в теории ве-
вековых возмущений1! Собрание трудов. — Рига: Зинатне, 1974,
338-453.]
654 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
31 Борель Э. (Emile Borel). Legons sur les series a termes positifs. 688.
Paris, 1902. [Об Эмиле Бореле см.: ПолищукЕ. М. Эмиль
Борель. —Л.: Наука, 1980.]
32 Боруэйн Дж. М., Боруэйн П. Б. (Jonathan M. Borwein and Pe- 687.
ter В. Borwein). Pi and the AGM. Wiley, 1987.
33 Брат Альфред [Бруссо] (Brother U.Alfred [Brousseau]). 685.
„A mathematician's progress" Mathematics Teacher 59 A966),
722-727.
34 Браун М. (Morton Brown). „Problem 6439: A periodic sequence" 541.
American Mathematical Monthly 92 A985), 218.
35 Браун Т. (Т. Brown). „Infinite multi-variable subpolynormal
Woffles which do not satisfy the lower regular Q-property (Pif- (Такие статьи
fles)" в A Collection of 250 Papers on Woffle Theory Dedicated to в этой книге не
R. S. Green on His 23rd Birthday. Цитировалось в А. К. Austin, цитировались.)
„Modern research in mathematics", The Mathematical Gazette
51 A967), 149-150.
36 Браун Т. К. (Thomas С. Brown). „Problem E 2619: Squares in a 685.
recursive sequence", American Mathematical Monthly 85 A978),
52-53.
37 Браун У. Г. (William G. Brown). „Historical note on a recur- 393.
rent combinatorial problem", American Mathematical Monthly
72 A965), 973-977.
38 БрентР. П. (Richard P. Brent). „The first occurrence of large 567.
gaps between successive primes" Mathematics of Computation
27 A973), 959-963.
39 БрентР. П. (Richard P. Brent). „Computation of the regular 338,608.
continued fraction for Euler's constant", Mathematics of Com-
Computation 31 A977), 771-777.
40 БрилартДж. (John Brillhart). „Some miscellaneous factoriza- 685.
tions" Mathematics of Computation 17 A963), 447-450.
41 БрокоА. (Achille Brocot). „Calcul des rouages par approxi- 140.
mation, nouvelle methode" Revue Chronometrique 6 A860),
186-194. (B 1962 г. он также опубиковал 97-страничную
монографию с тем же названием.)
42 Брук М., Уолл К. P. (Maxey Brooke and С. R. Wall). „Problem 686.
В-14: A little surprise" Fibonacci Quarterly 1,3 A963), 80.
43 БьенэмеЖ. (J. Bienayme). „Considerations a Tappui de la 427.
decouverte de Laplace sur la loi de probabilite dans la methode
des moindres carres" Comptes Rendus hehdomadaires des
seances de VAcademie des Sciences (Paris) 37 A853), 309-324.
44* Вагстафф С. С. (S. S. WagstafI). „Some Uses of Microcomputers
in Number Theory Reseach" Computers in Mathematics with
Applications 19 A990), 53-58.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 655
195,686. 45 ВандермондА. (A. Vandermonde). „Memoire sur des irra-
tionnelles de differens ordres avec une application au cercle"
Histoire de VAcademie Royale des Sciences A772), part 1, 71-72;
Memoires de Mathematique et de Physique, Tires des Registres
de VAcademie Royale des Sciences A772), 489-498.
267. 46 Ван дер Портен A. (Alfred van der Poorten). „A proof that Euler
missed ... Apery's proof of the irrationality of CC), an informal
report", The Mathematical Intelligencer 1 A979), 195-203.
685, 688. 47 ВардиИ. (Пап Vardi). „The error term in Golomb's sequence",
Journal of Number Theory 40 A992), 1-11.
563. 48 ВеберГ. (H.Weber). „Leopold Kronecker" Jahresbericht der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung 2 A892), 5-31. Воспро-
Воспроизведено в Mathematische Annalen 43 A893), 1-25.
110. 49 ВейльГ. (Hermann Weyl). „fiber die Gibbs'sche Erscheinung
und verwandte Konvergenzphanomene" Rendiconti del Circolo
Matematico di Palermo 30 A910), 377-407. [См. также рус-
русский перевод статьи Г. Вейля 1916 года „О равномерном рас-
распределении чисел по модулю один" в: Вейль Г. Избранные
труды. — М.: Наука, 1984, 58-93, а также Вейль Г. Математи-
Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.]
557. 50 ВейснерЛ. (Louis Weisner). „Abstract theory of inversion of
finite series", Transactions of the American Mathematical Society
38 A935), 474-484.
538, 685. 51 Венн Дж. (J. Venn). „On the diagrammatic and mechanical rep-
representation of propositions and reasonings", The London, Edin-
Edinburgh and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Sci-
Science, series 5, 9 A880), 1-18.
650. 52 Вермут Э.М.Э. (Edgar M. E. Wermuth). „Die erste Fourier-
reihe" Mathematische Semesterberichte 40 A993), 133-145.
620,686. 53 ВильфГ. С. (Herbert S.Wilf). Generatingfunctionology. Aca-
Academic Press, 1990; second edition, 1994.
269,271,686. 54 ВильфГ. С, ЗильбергерД. (Herbert S.Wilf and Doron Zeil-
berger). „An algorithmic proof theory for hyper geometric (ordi-
(ordinary and (q') multisum/integral identities", Inventiones Mathe-
maticae 108 A992), 575-633.
687. 55 ВоФ. В., МаксфилдМ.У. (Frederick V. Waugh and Mar-
Margaret W. Maxfield). „Side-and-diagonal numbers", Mathematics
Magazine 40 A967), 74-83.
687. 56 Волыптенхольм И. (J. Wolstenholme). „On certain properties of
prime numbers", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathe-
Mathematics 5 A862), 35-39.
299. 57 Ворпицки Ю. (J. Worpitzky). „Studien uber die Bemoullischen
und Eulerschen Zahlen" Journal fur die reine und angewandte
Mathematik 94 A883), 203-232.
656 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
58 Вуд Д. (Derick Wood). „The Towers of Brahma and Hanoi re- 685.
visited", Journal of Recreational Mathematics 14 A981), 17-24.
59 Гамбургер Г. (Hans Hamburger). „Uber eine Erweiterung des 637.
Stieltjesschen Momentenproblems" Mathematische Annalen 81
A920), 235-319; 82 A921), 120-164, 168-187.
60* Гарднер М. Математические новеллы. — М.: Мир, 1974. 128.
61 Гарднер М. (Martin Gardner). „About phi, an irrational number 331.
that has some remarkable geometrical expressions", Scientific
American 201,2 (August 1959), 128-134. Воспроизведено с
дополнениями в его книге The 2nd Scientific American Book
of Mathematical Puzzles & Diversions, 1961, 89-103. [Имеется
русский перевод: Гарднер М. Математические головоломки
и развлечения. — М.: Мир, 1971.]
62 Гарднер М. (Martin Gardner). „On the paradoxical situations 448.
that arise from nontransitive relations", Scientific American
231,4 (October 1974), 120-124. Воспроизведено с дополне-
дополнениями в его книге Time Travel and Other Mathematical Bewil-
Bewilderments, 1988, 55-69. [Имеется русский перевод: Гарднер М.
Путешествие во времени. — М.: Мир, 1990.]
63 Гарднер М. (Martin Gardner). „From rubber ropes to rolling 686.
cubes, a miscellany of refreshing problems", Scientific American
232,3 (March 1975), 112-114; 232,4 (April 1975), 130, 133.
Воспроизведено с дополнениями в его книге Time Travel and
Other Mathematical Bewilderments, 1988, 111-124. [Имеется
русский перевод: Гарднер М. Путешествие во времени. — М.:
Мир, 1990.]
64 Гарднер М. (Martin Gardner). „On checker jumping, the amazon 688.
game, weird dice, card tricks and other playful pastimes", Sci-
entiuc American 238,2 (February 1978), 19, 22, 24, 25, 30, 32.
Воспроизведено с дополнениями в его книге Penrose Tiles to
Trapdoor Ciphers, 1989, 265-280. [Имеется русский перевод:
Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надежным шифрам. — М.:
Мир, 1991.]
65 ГарфункельДж. (J. Garfunkel). „Problem E1816: An in- 688.
equality related to Stirling's formula", American Mathematical
Monthly 74 A967), 202.
66 ГасперДж., РахманМ. (George Gasper and Mizan Rahman). 252.
Basic Hyper geometric Series. Cambridge University Press, 1990.
[Имеется русский перевод: ГасперДж., РахманМ. Базисные
гипергеометрические ряды. — М.: Мир, 1993.]
67 Гаусс К. Ф. (С. F. Gauss). Disquisitiones Arithmetics. Leipzig, 148, 685.
1801. Воспроизведено в его Werke, volume 1.
68 Гаусс К. Ф. (Carolo Priderico Gauss). „Disquisitiones generales 235, 251, 571, 686.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 657
circa seriem infinitam
оф а(а+1)Р(р + 1)
1 + 1.у 1.2.Y(Y + D
+ 1.2.3.y(y
Pars prior", Commentationes societatis regiae scientiaxum Got-
tingensis recentiores 2 A813). (Опубликовано Королевским
Гетингенским научным обществом 20 января 1812.) Воспро-
Воспроизведено в его Werke, volume 3, 123-163, вместе с ранее
неопубикованной частью на с. 207-229. [Имеется русский пе-
перевод: Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. Арифметические
исследования. —М.: Изд. АН СССР, 1959, 15-583.]
685. 69 Гаусс К. Ф. (C.F.Gauss). „Pentagramma mirincum" написано
примерно в 1836. Опубликовано в его Werke, volume 3,
480-490.
25. 70 ГерштейнИ. Н., КапланскиИ. (I. N. Herstein and I.Kaplan-
sky). Matters Mathematical. Harper & Row, 1974.
686. 71 Гессель И. (Ira Gessel). „Some congruences for Apery numbers",
Journal of Number Theory 14 A982), 362-368.
300. 72 Гессель И., Стенли Р. П. (Ira Gessel and Richard P.Stan-
P.Stanley). „Stirling polynomials", Journal of Combinatorial Theory,
series A, 24 A978), 24-33.
567. 73 Ги P. K. (Richard K. Guy). Unsolved Problems in Number The-
Theory. Springer- Verlag, 1981.
301. 74 ГинсбургДж. (Jekuthiel Ginsburg). „Note on Stirling's num-
numbers", American Mathematical Monthly 35 A928), 77-80.
688. 75 Глейшер Дж. У. Л. (J. W. L. Glaisher). „On the product
11.22.33 .. .nn, Messenger of Mathematics 7 A877), 43-47.
649, 685. 76 ГоломбС.У. (Solomon W. Golomb). „Problem 5407: A nonde-
creasing indicator function", American Mathematical Monthly
74 A967), 740-743.
548. 77 Голомб С. У. (Solomon W. Golomb). „The 'Sales Tax' theorem",
Mathematics Magazine 49 A976), 187-189.
499. 78 ГоломбС.У. (Solomon W. Golomb). „Problem E2529: An ap-
application of "ф(х)" American Mathematical Monthly 83 A976),
487-488.
253, 686. 79 Госпер Р. У, мл. (R. William Gosper, Jr.). „Decision procedure
for indefinite hypergeometric summation", Proceedings of the
National Academy of Sciences of the United States of America
75 A978), 40-42.
658 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
80 Гранди Г. (Guido Grandi). Letter to Leibniz (July 1713), в Leib- 78.
nizens mathematische Schriften, volume 4, 215-217. [Об этом
хрестоматийном письме профессора Пизанского университе-
университета Гвидо Гранди см., например: Юшкевич А. П. (ред.) Исто-
История математики. — М.: Наука, 1970]
81 Грейтцер С. Л. (Samuel L. Greitzer). International Mathemati- 685.
cal Olympiads, 1959-1977. Mathematical Association of Amer-
America, 1978.
82 ГринД. X., Кнут Д. Э. (Daniel H.Greene and Donald 578,688.
E. Knuth). Mathematics for the Analysis of Algorithms.
Birkhauser, Boston, 1981; third edition, 1990. [Имеется русский
перевод второго издания: ГринД. X., Кнут Д. Э. Математи-
Математические методы анализа алгоритмов. — М.: Мир, 1987.]
83 Гросс О. A. (Oliver A. Gross). „Preferential arrangements", 687.
American Mathematical Monthly 69 A962), 4-8.
84 Грэхем Р. Л. (R. L. Graham). „On a theorem of Uspensky" Amer- 554.
ican Mathematical Monthly 70 A963), 407-409.
85 Грэхем Р. Л. (R. L. Graham). „A Fibonacci-like sequence of com- 687.
posite numbers", Mathematics Magazine 37 A964), 322-324.
86 Грэхем Р. Л. (R. L. Graham). „Problem 5749", American Mathe- 686.
matical Monthly 77 A970), 775.
87 Грэхем Р. Л. (Ronald L. Graham). „Covering the positive inte- 556.
gers by disjoint sets of the form {[not + |3] : n = 1,2,...}",
Journal of Combinatorial Theory, series A, 15 A973), 354-358.
88 Грэхем Р. Л. (R. L. Graham). „Problem 1242: Bijection between 685.
integers and composites", Mathematics Magazine 60 A987), 180.
89 Грэхем Р. Л., КнутД. Э. (R.L.Graham and D. E. Knuth). 685.
„Problem E2982: A double infinite sum for |x|" American
Mathematical Monthly 96 A989), 525-526.
90 Грэхем Р. Л., КнутД. Э., ПаташникО. (Ronald L.Graham, 126.
Donald E. Knuth, and Oren Patashnik). Concrete Mathemat-
Mathematics: A Foundation for Computer Science. Addison-Wesley, 1989;
second edition, 1994. [Имеется русский перевод второго изда-
издания: Грэхем Р. Л., КнутД. Э., ПаташникО. Конкретная ма-
математика. Основание информатики. — М.: Мир, 1998.]
91 Грэхем Р. Л., ПоллакХ. О. (R.L.Graham and H. O.Pollak). 685.
„Note on a nonlinear recurrence related to \fll\ Mathematics
Magazine 43 A970), 143-145.
92 Грюнбаум Б. (Branko Griinbaum). „Venn diagrams and indepen- 538.
dent families of sets", Mathematics Magazine 48 A975), 12-23.
93 Гуд И. Дж. (I. J. Good). „Short proof of a conjecture by Dyson", 686.
Journal of Mathematical Physics 11 A970), 1884.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 659
636, 687, 688. 94 ГюибаЛ. Дж., Одлыжко А. М. (L. J. Guibas and A. M. Odlyz-
ko). „String overlaps, pattern matching, and nontransitive
games" Journal of Combinatorial Theory, series A, 30 A981),
183-208.
198,269. 95 ДайсонФ.Дж. (F.J.Dyson). „Some guesses in the theory of
partitions", Eureka 8 A944), 10-15.
23. 96 Даннингтон Г. У. (G. Waldo Dunnington). Carl Friedrich Gauss:
Titan of Science. Exposition Press, New York, 1955. [На русском
языке см. также: Бюлер В. Гаусс (биографическое исследо-
исследование).—М.: Наука, 1989.]
482, 485, 641, 688. 97 Де Брейн Н. Г. (N. G. de Bruijn). Asymptotic Methods in Anal-
Analysis. North-Holland, 1958; third edition, 1970. Воспроизведено
Dover, 1981. [Имеется русский перевод первого издания:
де Брейн Н. Г. Асимптотические методы в анализе. — М.: ИЛ,
1961.]
687. 98 Де Брейн Н. Г. (N. G. de Bruijn). „Problem 9" Nieuw Archief
voor Wiskunde, series 3, 12 A964), 68.
329,521. 99 Де МуаврА. (Abraham de Moivre). Miscellanea analytica de
seriebus et quadraturis. London, 1730.
161. 100 ДедекиндР. (R. Dedekind). „Abrifi einer Theorie der hoheren
Congruenzen in Bezug auf einen reellen Primzahl-Modulus"
Journal fur die reine und angewandte Mathematik 54 A857),
1-26. Воспроизведено в его Gesammelte mathematische Werke,
volume 1, 40-67.
649. 101 ДейвидФ. Н. БартонД. Э. (F.N.David and D. E. Barton).
Combinatorial Chance. Hafner, 1962.
239. 102 Дейвис Ф. Дж. (Philip J. Davis). „Leonhard Euler's integral: A
historical profile of the Gamma function", American Mathemat-
Mathematical Monthly 66 A959), 849-869.
339,686. 103 ДейвисонДж. Л. (J. L. Davison). „A series and its associated
continued fraction" Proceedings of the American Mathematical
Society 63 A977), 29-32.
686. 104 Дейкстра Э. У. (Edsger W. Dijkstra). Selected Writings on Com-
Computing: A Personal Perspective. Springer-Verlag, 1982. [См. так-
также: Дейкстра Э. Дисциплина программирования. — М.: Мир,
1978.]
600. 105 ДжарденД., МоцкинТ. (Dov Jarden and Theodor Motzkin).
„The product of sequences with a common linear recursion for-
formula of order 2" Riveon Lematematika 3 A949), 25-27, 38 (на
иврите с аннотацией на английском языке). Dov Jarden, Re-
Recurring Sequences, Jerusalem, 1958, 42-45; second edition, 1966,
30-33.
594. 106 ДженоккиА. (Angelo Genocchi). „Intorno all'espressione gen-
erale de'numeri Bernulliani" Annali di Scienze Matematiche e
Fisiche 3 A852), 395-405.
660 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
107 Джонс Б. (Bush Jones). „Note on internal merging", Software— 201.
Practice and Experience 2 A972), 241-243.
108 Диксон А. К. (А. С Dixon). „On the sum of the cubes of the 686.
coefficients in a certain expansion by the binomial theorem",
Messenger of Mathematics 20 A891), 79-80.
109 ДиксонЛ. Э. (Leonard Eugene Dickson). History of the Theory 551.
of Numbers. Carnegie Institution of Washington, volume 1,1919;
volume 2, 1920; volume 3,1923. Воспроизведено Stechert, 1934,
и Chelsea, 1952, 1971.
110 Дирихле Г. Л. (G. Lejeune Dirichlet). „Verallgemeinerung eines 685.
Satzes aus der Lehre von den Kettenbruchen nebst einigen
Anwendungen auf die Theorie der Zahlen" Bericht iiber die
Verhandlungen der Koniglich-PreuQischen Akademie der Wis-
senschaften zu Berlin A842), 93-95. Воспроизведено в его
Werke, volume 1, 635-638.
111 ДуголДж. (John Dougall). „On Vandermonde's theorem, and 198.
some more general expansions", Proceedings of the Edinburgh
Mathematical Society 25 A907), 114-132.
112 Дьюдени Г. Э. (Henry Ernest Dudeney). The Canterbury Puz- 685.
zles and Other Curious Problems. E. P. Dutton, New York, 1908;
4th edition, Dover, 1958. (Свое первое обобщение ханойской
башни Дьюдени опубликовал в The Weekly Dispatch 25 May
1902 и 15 March 1903.) [Имеется русский перевод четвертого
издания: Дьюдени Г. Э. Кентерберийские головоломки. — М.:
Мир, 1979.]
113 Дюбуа-РаймонП. (P. du Bois-Reymond). „Sur la grandeur rel- 478.
ative des infinis des fonctions", Annali di Matematica pura ed
applicata, series 2, 4 A871), 338-353.
114 ДюбнерХ. (Harvey Dubner). „Generalized repunit primes", 685.
Mathematics of Computation 61 A993), 927-930.
115 ЗаалыпютцЛ. (Louis Saalschutz). „Eine Summationsformel" 264.
Zeitschrift fur Mathematik und Physik 35 A890), 186-188.
116*Записки научных семинаров ЛОМИ 8 A968). 605.
117 ЗейвД. A. (Derek A. Zave). „A series expansion involving the 687.
harmonic numbers", Information Processing Letters 5 A976),
75-77.
118 ЗилверманД. (David L. Silverman). „Problematical Recreations 687.
447: Numerical links", Aviation Week & Space Technology 89,10
A September 1968), 71. Воспроизведено как Problem 147 в
Second Book of Mathematical Bafflers, edited by Angela Fox
Dunn, Dover, 1983.
119 ЗильбергерД. (Doron Zeilberger). „A holonomic systems ap- 608.
proach to special functions identities", Journal of Computational
and Applied Mathematics 32 A990), 321-368.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 661
259. 120 Зильбергер Д. (Doron Zeilberger). „The method of creative tele-
telescoping" Journal of Symbolic Computation 11 A991), 195-204.
604, 653. 121*Избранные задачи из журнала. — М.: Мир, 1977.
25. 122 Иосиф Флавий (Flavius Josephus). IETOPIA ЮТЛАЖОТ
ПОЛЕМОТ ПРО!] РПМАЮГЕ. Английский перевод: His-
History of the Jewish War against the Romans, by H. St. J. Thack-
Thackeray, в Loeb Classical Library edition of Josephus's works,
volumes 2 and 3, Heinemann, London, 1927-1928. („Задача
Иосифа" взята, возможно, из более ранней рукописи, сохра-
сохранившейся только в древнерусском варианте.) [См.: История
иудейской войны Иосифа Флавия в древнерусском переводе
Н. А. Мещерского. -М.: Изд. АН СССР, 1958.]
578. 123 Йонассен А., Кнут Д. Э. (Arne Jonassen and Donald E. Knuth).
„A trivial algorithm whose analysis isn't" Journal of Computer
and System Sciences 16 A978), 301-322.
287. 124 КараматаИ. (J. Karamata). „Theoremes sur la sommabilite ex-
ponentielle et d'autres sommabilites rattachant" Mathematica
(Cluj) 9 A935), 164-178.
687. 125 КарлитцЛ. (L. Carlitz). „The generating function for
тах(ги,П2, • • • ,TLk), Portugaliae Mathematica 21 A962), 201-
207.
324. 126 КассиниЖ.-Д. (Jean-Dominique Cassini). „Une nouvelle pro-
progression de nombres" Histoire de l'Academie Roy ale des Sci-
Sciences, Paris, volume 1, 201. (В этой работе Кассини собраны
математические результаты, представленные Королевской
академии наук в 1680 г. Издание вышло в 1733 г.)
231. 127 Каталан Э. (Е. Catalan). „Note sur une Equation aux differences
finies" Journal de Mathematiques pures et appliquees 3 A838),
508-516.
687. 128 КауцкиИ. (I. Kaucky). „Problem E 2257: A harmonic identity",
American Mathematical Monthly 78 A971), 908.
324. 129 Кеплер И. (Johannes Kepler). Letter to Joachim Tancke A2 May
1608), в его Gesammelte Werke, volume 16, 154-165.
685. 130 КёртисД. P. (D. R. Curtiss). „On Kellogg's Diophantine prob-
problem", American Mathematical Monthly 29 A922), 380-387.
648. 131 КиперДж. Б. (J. В. Keiper). „Power series expansions of Rie-
mann's ?, function" Mathematics of Computation 58 A992),
765-773.
132*КлайнМ. Математика. Утрата определенности. — М.: Мир,
1984.
685, 686. 133 КламкинМ. С. (Murray S. Klamkin). International Mathemati-
Mathematical Olympiads, 1978-1985, and Forty Supplementary Problems.
Mathematical Association of America, 1986.
662 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
134 КлаузенТ. (Th. Clausen). „Ueber die Falle, wenn die Reihe von 686.
der Form
a C a.a+1 C.C + 1 2 ,
У = 1 + T • - X + —— —г X1 + etc.
1 у 1.2 у.у + 1
ein Quadrat von der Form
1 a' [3' 6' , a;.a41 [3'.[3'+1 S'.6'+1
Journal fur die reine und angewandte Mathematik 3 A828),
89-91.
135 КлаузенТ. (Th. Clausen). „Beitrag zur Theorie der Reihen", 686.
Journal fur die reine und angewandte Mathematik 3 A828), 92-
95.
136 КлаузенТ. (Th. Clausen). „Theorem", Astronomische Nachrich- 687.
ten 17 A840), columns 351-352.
137 КноппК. (Konrad Knopp). Theorie und Anwendung der un- 688.
endlichen Reihen. Julius Springer, Berlin, 1922; second edition,
1924. Воспроизведено Dover, 1945. Fourth edition, 1947; fifth
edition, 1964. Английский перевод: Theory and Application of
Infinite Series, 1928; second edition, 1951.
138 Кнут Д. Э. (Donald Knuth). „Transcendental numbers based on 597.
the Fibonacci sequence", Fibonacci Quarterly 2 A964), 43-44,
52.
139 Кнут Д. Э. (Donald Б. Knuth). The Art of Computer Program- 10, 541, 555, 573,
ming, volume 1: Fundamental Algorithms. Addison-Wesley, 618, 685, 686, 687,
1968; third edition, 1997. [Имеется русский перевод первого 688.
издания: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ,
том 1: Основные алгоритмы. — М.: Мир, 1976.]
140 Кнут Д. Э. (Donald Б. Knuth). The Art of Computer Program- 133, 134, 153, 541,
ming, volume 2: Seminumerical Algorithms. Addison-Wesley, 685, 686, 687, 688.
1969; third edition, 1997. [Имеется русский перевод первого
издания: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ,
том 2: Получисленные алгоритмы. —М.: Мир, 1977.]
141 Кнут Д. Э. (Donald Б. Knuth). The Art of Computer Program- 297, 448, 542, 686,
ming, volume 3: Sorting and Searching. Addison-Wesley, 1973; 687, 688.
second edition, 1998. [Имеется русский перевод первого изда-
издания: Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ, том 3:
Сортировка и поиск. —М.: Мир, 1978.]
142 Кнут Д. Э. (Donald Б. Knuth). „Problem Б 2492: Some sum", 686.
American Mathematical Monthly 82 A975), 855.
143 Кнут Д. Э. (Donald Б. Knuth). Manages stables et leurs rela- 688.
tions avec d'autres problemes combinatoires. Les Presses de
l'Universitede Montreal, 1976. Переработанное и исправленное
издание, 1980. Английский перевод, 1997.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 663
685. 144 Кнут Д. Э. (Donald E. Knuth). The TtfCbook. Addison-Wesley,
1984. Воспроизведено как volume A, Computers & Typeset-
Typesetting, 1986. [Имеется русский перевод: Кнут Д. Э. Всё про
TfeX.- Протвино: АО RDTeJX, 1993.]
608. 145 Кнут Д. Э. (Donald E. Knuth). „An analysis of optimum
caching", Journal of Algorithms 6 A985), 181-199.
685. 146 Кнут Д. Э. (Donald E. Knuth). Computers & Typesetting, vol-
volume D: METRFONT: The Program. Addison-Wesley, 1986.
685. 147 КнутД. Э. (Donald E. Knuth). „Problem 1280: Floor function
identity" Mathematics Magazine 61 A988), 319-320.
685. 148 Кнут Д. Э. (Donald E. Knuth). „Problem E 3106: A new sum for
n2", American Mathematical Monthly 94 A987), 795-797.
687. 149 КнутД. Э. (Donald E. Knuth). „Fibonacci multiplication", Ap-
Applied Mathematics Letters 1 A988), 57-60.
605. 150 КнутД. Э. (Donald E. Knuth). „A Fibonacci-like sequence of
composite numbers", Mathematics Magazine 63 A990), 21-25.
686. 151 Кнут Д. Э. (Donald E. Knuth). „Problem E 3309: A binomial co-
coefficient inequality", American Mathematical Monthly 97 A990),
614.
42,188, 297, 645. 152 КнутД. Э. (Donald E. Knuth). „Two notes on notation", Amer-
American Mathematical Monthly 99 A992), 403-422.
297, 611, 687. 153 КнутД. Э. (Donald E. Knuth). „Convolution polynomials" The
Mathematica Journal 2,4 (Fall 1992), 67-78.
319. 154 КнутД. Э. (Donald E. Knuth). „Johann Faulhaber and sums of
powers" Mathematics of Computation 61 A993), 277-294.
224. 155 КнутД.Э. (Donald E. Knuth). „Bracket notation for the
coefficient-of operator", в A Classical Mind} essays in honour
of С A. R. Hoare, edited by A. W. Roscoe, Prentice-Hall, 1994,
247-258.
599. 156 КнутД.Э., БукгольцТ. (Donald E. Knuth and Thomas
J.Buckholtz). „Computation of Tangent, Euler, and Bernoulli
numbers", Mathematics of Computation 21 A967), 663-688.
688. 157 КнутД.Э., ВардиИ. (Donald E. Knuth and Ilan Vardi).
„Problem 6581: The asymptotic expansion of the middle bino-
binomial coefficient", American Mathematical Monthly 97 A990),
626-630.
572, 687. 158 Кнут Д. Э., Вильф Г. С. (Donald E. Knuth and Herbert S. Wilf).
„The power of a prime that divides a generalized binomial coef-
coefficient", Journal fur die reine und angewandte Mathematik 396
A989), 212-219.
12. 159 КнутД.Э., Цапф Г. (Donald E. Knuth and Hermann Zapf).
„AMS Euler—A new typeface for mathematics", Scholarly Pub-
Publishing 20 A989), 131-157.
664 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
160 КоллингвудС. Д. (Stuart Dodgson Collingwood). The Lewis 325.
Carroll Picture Book. T. Fisher Unwin, 1899. Воспроизведено
Dover в 1961г. под новым названием Diversions and Digres-
Digressions of Lewis Carroll.
161 КомтеЛ. (Louis Comtet). Advanced Combinatorics. Dordrecht, 688.
Reidel, 1974.
162 Конан-Дойль A. (A. Conan Doyle). „The sign of the four; or, 258, 442.
The problem of the Sholtos" Lippincott's Monthly Magazine
(Philadelphia) 45 A890), 147-223. [Имеется русский пере-
перевод: Конан Дойль А. „Знак четырех" Собрание сочинений,
том 1. —М.: Правда, 1966, 151-264.]
163 Конан-Дойль A. (A. Conan Doyle). „The adventure of the final 187.
problem", The Strand Magazine 6 A893), 558-570. [Имеется
русский перевод: Конан Дойль А. „Последнее дело Холмса"
Собрание сочинений, том 2. —М.: Правда, 1966, 221-240.]
164 Конвей Дж. X., Грэхем Р. Л. (J. H. Conway and R. L. Graham). 541.
„Problem E 2567: A periodic recurrence", American Mathematical
Monthly 84 A977), 570-571.
165 КошиО.-Л. (Augustin-Louis Cauchy). Cours d1 analyse de 685.
l'Ecole Royale Poly technique. Imprimerie Royale, Paris, 1821.
Воспроизведено в его (Euvres Completes, series 2, volume 3.
[Имеется русский перевод: КошиО.-Л. Краткое изложение
уроков о дифференциальном и интегральном исчислении. —
Спб: Имп. Академия наук, 1831.]
166 Крамер Г. (Harald Cramer). „On the order of magnitude of 567,686.
the difference between consecutive prime numbers", Acta Arith-
metica 2 A937), 23-46.
167 КрампК. (С. Kramp). Elemens d'arithmetique universelle. Co- 135.
logne, 1808.
168 Крелль А.Л. (A. L. Crelle). „Demonstration elementaire du 685.
theoreme de Wilson generalise" Journal fur die reine und
angewandte Mathematik 20 A840), 29-56.
169 КроуД.У. (D.W.Crowe). „The n-dimensional cube and the 685.
Tower of Hanoi", American Mathematical Monthly 63 A956),
29-30.
170 КуммерЭ.Э. (Б. Е. Kummer). „Uber die hypergeometrische 242,686.
Reihe
Journal fur die reine und angewandte Mathematik 15 A836),
39-83, 127-172. Воспроизведено в его Collected Papers, vol-
volume 2, 75-166.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 665
686. 171 КуммерЭ.Э. (Е. Е. Kummer). „Uber die Erganzungssatze zu
den allgemeinen Reciprocitatsgesetzen" Journal fur die reine und
angewandte Mathernatik 44 A852), 93-146. Воспроизведено в
его Collected Papers, volume 1, 485-538.
541. 172 КуршанР. П., ГопинатБ. (R. P. Kurshan and B. Gopinath).
„Recursively generated periodic sequences", Canadian Journal of
Mathematics 26 A974), 1356-1371.
649, 688. 173 КэнфилдЭ.Р. (Е. Rodney Canfield). „On the location of the
maximum Stirling number(s) of the second kind", Studies in
Applied Mathematics 59 A978), 83-93.
49, 93, 249. 174 КэрролЛ. (Lewis Carroll [C. L. Dodgson]). Through the Look-
Looking Glass and What Alice Found There. Macmillan, 1871. [Име-
[Имеется русский перевод: Кэрролл Л. Приключения Алисы в
Стране чудес. Сквозь зеркало и что там увидела Алиса, или
Алиса в Зазеркалье. — М.: Наука, 1979.]
325. 175*КэрролЛ. История с узелками. — М.: Мир, 1973.
687. 176 Лагранж Ж. Л. (de la Grange [Lagrange]). „Demonstration d'un
theoreme nouveau concernant les nombres premiers", Nouveaux
Memoires de VAcademie royale des Sciences et Belles-Lettres,
Berlin A771), 125-137. Воспроизведено в его (Euvres, vol-
volume 3, 425-438.
510. 177 Лагранж Ж. Л. (de la Grange [Lagrange]). „Sur une nouvelle
espece de calcul relatif a la differentiation & a l'integration
des quantites variables", Nouveaux Memoires de VAcademie
royale des Sciences et Belles-Lettres, Berlin A772), 185-221.
Воспроизведено в его CBuvres, volume 3, 441-476. [См. также:
Тюлина И. А. Жозеф Луи Лагранж. — М., Наука, 1977.]
228. 178 Ламберт И. Г. (I. H. Lambert). „Observations variae in Mathesin
puram" Acta Helvetica 3 A758), 128-168. Воспроизведено в его
Opera Mathematical volume 1, 16-51.
228. 179 Ламберт И. Г. (Lambert). „Observations analytiques" Nouveaux
Memoires de VAcademie royale des Sciences et Belles-Lettres,
Berlin A770), 225-244. Воспроизведено в его Opera Mathe-
matica, volume 2, 270-290.
487,688. 180 Ландау Э. (Edmund Landau). Handbuch der Lehre von der
Verteilung der Prirnzahlen, two volumes. Teubner, Leipzig, 1909.
686. 181 Ландау Э. (Edmund Landau). Vorlesungen uber Zahlentheorie,
three volumes. Hirzel, Leipzig, 1927.
126. 182*Ландау Э. Основы анализа. — M.: ИЛ, 1947.
336. 183 Ланьи Т. Ф., де (Thomas Fantet de Lagny). Analyse generale
ou Methodes nouvelles pour resoudre les problemes de tous les
genres et de tous les degres a Vinfini. Опубликовано в Memoires
de VAcademie Royale des Sciences, volume 11, Paris, 1733.
666 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
184 Лаплас Р. С. (P. S. de la Place [Laplace]). „Memoire sur les 505.
approximations des Formules qui sont fonctions de tres-grands
nombres", Memoires de l'Academie royale des Sciences de Paris
A782), 1-88. Воспроизведено в его (Euvres Completes 10, 207-
291.
185 ЛахИ. (I. Lah). „Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften 686.
und Anwendung in der mathematischen Statistik", Mitteilungs-
blatt fur Mathematische Statistik 7 A955), 203-212.
186 Лежандр А.-М. (Adrien-Marie Legendre). Essai sur la Theorie 685.
des Nombres. Paris, 1798; second edition, 1808. Third edition
(новое название Theorie des Nombres, in two volumes), 1830;
fourth edition, Blanchard, 1955.
187 Лейбниц Г. В. (G. W. Leibniz). Letter to Johann Bernoulli (May 194.
1695), в Leibnizens mathematische Schriften, volume 3,174-179.
[См. также: ПогребысскийИ. Б. Лейбниц. — М.: Наука, 1971.]
188 ЛеккеркеркерК. Г. (С. G. Lekkerkerker). „Voorstelling van na- 327.
tuurlijke getallen door een som van getallen van Fibonacci",
Simon Stevin 29 A952), 190-195.
189 Лемер Д. X. (D. H. Lehmer). „Tests for primality by the converse 685.
of Fermat's theorem", Bulletin of the American Mathematical
Society, series 2, 33 A927), 327-340. Воспроизведено в его
Selected Papers, volume 1, 69-82.
190 Лемер Д. X. (D. H. Lehmer). „On Stern's diatomic series", Amer- 687.
ican Mathematical Monthly 36 A929), 59-67.
191 Лемер Д. X. (D. H. Lehmer). „On Euler's totient function", Bui- 568.
letin of the American Mathematical Society, series 2, 38 A932),
745-751. Воспроизведено в его Selected Papers, volume 1, 319-
325.
192 ЛенжиельТ. (Tamas Lengyel). „A combinatorial identity and 193.
the world series", SIAM Review 35 A993), 294-297.
193 Ленжиель Т. (Tamas Lengyel). „On some properties of the series 687.
2Ik^o kn*k апс* the Stirling numbers of the second kind" Discrete
Mathematics 150 A996), 281-292.
194 Ли Сянь-Лянь (Li Shan-Lan). Duo Ji Bi Lei [Sums of Piles 299.
Obtained Inductively]. В его ZeguxTZhalSuanxue [Classically
Inspired Meditations on Mathematics], Nanjing, 1867.
195 ЛибЭ.Х. (Elliott H. Lieb). „Residual entropy of square ice" 688.
Physical Review 162 A967), 162-172.
196 Линесс P. K. (R. С Lyness). „Cycles", The Mathematical Gazette 541.
29 A945), 231-233.
197 Линесс P. K. (R. C. Lyness). „Cycles", The Mathematical Gazette 541.
45 A961), 207-209.
198*Литлвуд Дж. Математическая смесь. — М.: Наука, 1973.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 667
161. 199 Лиувилль Ж. (J. Liouville). „Sur l'expression <р(п), qui marque
combien la suite 1, 2, 3, ..., n contient de nombres premiers
a n" Journal de Mathematiques pures et appliquees, series 2, 2
A857), 110-112.
685. 200 ЛоганБ. Ф. (В. F. Logan). „The recovery of orthogonal polyno-
polynomials from a sum of squares", SIAM Journal on Mathematical
Analysis 21 A990), 1031-1050.
687. 201 ЛоганБ. Ф. (В. F. Logan). „Polynomials related to the Stirling
numbers", AT&T Bell Laboratories internal technical memoran-
memorandum, August 10, 1987.
604. 202 ЛойдС. (Sam Loyd). Cyclopedia of Puzzles. Franklin Bigelow
Corporation, Morningside Press, New York, 1914.
604. 203*ЛойдС. Математическая мозаика. — M.: Мир, 1980.
686. 204 Лонг К. Г., ХоггатЭ., мл. (Calvin Т. Long and Verner Б. Hog-
gatt, Jr.). „Sets of binomial coefficients with equal products",
Fibonacci Quarterly 12 A974), 71-79.
567. 205 Лу С, Яо К. (Shituo Lou and Qi Yao). „A Chebychev's type of
prime number theorem in a short interval-П", Hardy-Ramanujan
Journal 15 A992), 1-33.
685,686. 206 ЛюкаЭ. (E.Lucas). „Sur les rapports qui existent entre la
theorie des nombres et le Calcul integral", Comptes Rendus
hebdomadaires des seances de VAcademie des Sciences (Paris)
82 A876), 1303-1305.
686. 207 ЛюкаЭ. (Edouard Lucas). „Sur les congruences des nom-
nombres euleriens et des coefficients differentiels des fonctions
trigonometriques, suivant un module premier", Bulletin de la
Societe mathematique de France 6 A877), 49-54.
324,686. 208 ЛюкаЭ. (Edouard Lucas). Theorie des Nombres, volume 1.
Paris, 1891.
17. 209 ЛюкаЭ. (Edouard Lucas). Recreations mathematiques, four
volumes. Gauthier-Villars, Paris, 1891-1894. Воспроизведено в
Albert Blanchard, Paris, I960. (Ханойская башня обсуждается
в томе 3, ее. 55-59.) [На русском языке см.: ЛюкаЭ.
Математические развлечения. — Спб.: 1883.]
687. 210 МайерсБ. Р. (В. R. Myers). „Problem 5795: The spanning trees
of an n-wheel", American Mathematical Monthly 79 A972), 914-
915.
509. 211 Мак-ЛоренК. (Colin MacLaurin). Collected Letters, edited by
Stella Mills. Shiva Publishing, Nantwich, Cheshire, 1982.
164. 212 Мак-Магон П. А. (Р. A. MacMahon). „Application of a theory of
permutations in circular procession to the theory of numbers",
Proceedings of the London Mathematical Society 23 A892),
305-313.
668 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
213 МарцлоффЖ.-К. (J.-C. Martzloff). Histoire des Mathema- 299.
tiques Chinoises. Paris, 1988. Английский перевод: Springer-
Verlag, 1997.
214 МатиясевичЮ. В. „Диофантовость перечислимых мно- 326,686.
жеств", Доклады АН СССР 191 A970), 279-282. Англий-
Английский перевод с дополнениями автора: „Enumerable sets are
diophantine" Soviet Mathematics 11 A970), 354-357.
215 Мёбиус А. Ф. (A. F. Mobius). „Uber eine besondere Art von 163.
Umkehrung der Reihen" Journal fur die reine und angewandte
Mathematik 9 A832), 105-123. Воспроизведено в его Gesam-
melte WerJce, volume 4, 589-612.
216 МелзякЗ.А. (Z. A. Melzak). Companion to Concrete Mathe- 9.
matics. Volume 1, Mathematical Techniques and Various Ap-
Applications, Wiley, 1973; volume 2, Mathematical Ideas, Modeling
& Applications, Wiley, 1976.
217 Мендельсоны. С. (N.S.Mendelsohn). „Problem E2227: Divi- 686.
sors of binomial coefficients", American Mathematical Monthly
78 A971), 201.
218 МерсеннМ. (Marini Mersenni). Cogitata Physico-Mathematica. 133.
Paris, 1644.
219 МертенсФ. (F. Mertens). „Ueber einige asymptotische Gesetze 164.
der Zahlentheorie" Journal fur die reine und angewandte Math-
Mathematik 77 A874), 289-338.
220 Мертенс Ф. (F. Mertens). „Ein Beitrag zur analytischen Zahlen- 41.
theorie" Journal fur die reine und angewandte Mathematik 78
A874), 46-62.
221 МеснерА. (A. Moessner). „Eine Bemerkung uber die Poten- 687.
zen der naturlichen Zahlen", Sitzungsberichte der Mathematisch-
Naturwissenschaftlichen Klasse der Bayerischen Akademie der
Wissenschaften, 1951, Heft 3, 29.
222 МилсУ. X. (W. H. Mills). „A prime representing function", Bui- 685.
letin of the American Mathematical Society, series 2, 53 A947),
604.
223 МозерЛ. (Leo Moser). „Problem B-6: Some reflections", Fi- 323.
bonacci Quarterly 1,4 A963), 75-76.
224 МонтгомериX. Л. (Hugh L. Montgomery). „Fluctuations in the 502.
mean of Euler's phi function", Proceedings of the Indian Academy
of Sciences, Mathematical Sciences, 97 A987), 239-245.
225 Монтгомери П. Л. (Peter L.Montgomery). „Problem E2686: 686.
LCM of binomial coefficients", American Mathematical Monthly
86 A979), 131.
226 МоцкинТ. С, Штраус Э. Г. (Т. S. Motzkin and E.G.Straus). 608.
„Some combinatorial extremum problems" Proceedings of the
American Mathematical Society 7 A956), 1014-1021.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 669
685. 227 Наивен И. (Ivan Niven). Diophantine Approximations. Inter-
science, 1963.
365. 228 Наивен И. (Ivan Niven). „Formal power series", American Math-
Mathematical Monthly 76 A969), 871-889.
230. 229 Нобель P. A. (R. Arthur Knoebel). „Exponentials reiterated",
American Mathematical Monthly 88 A981), 235-252.
307. 230 Ньютон И. (Isaac Newton). Letter to John Collins A8 Febru-
February 1670), в The Correspondence of Isaac Newton, volume 1,
27. Отрывки помещены в The Mathematical Papers of Isaac
Newton, volume 3, 563. [Русский перевод части писем см. в:
Ньютон И. Математические работы.—-М. -Л.: ОНТИ, 1937;
упомянутого письма там нет.]
104. 231 Одлыжко Э. М., Вильф Г. С. (Andrew M. Odlyzko and Herbert
S. Win"). „Functional iteration and the Josephus problem", Glas-
Glasgow Mathematical Journal 33 A991), 235-240.
685. 232 Паскаль Б. (Blaise Pascal). „De numeris multiplicibus" предста-
представлено в Academie Parisienne в 1654 г. и опубликовано вместе
с его Traite du triangle arithmetique [233]. Воспроизведено в
CEuvres de Blaise Pascal, volume 3, 314-339.
180,181, 669. 233 Паскаль Б. (Blaise Pascal). „Traite du triangle arithmetique", в
его Traite du Triangle Arithmetique, avec quelques autres pe-
tits traitez sur la mesme matiere, Paris, 1665. Воспроизведено
в CEuvres de Blaise Pascal (Hachette, 1904-1914), volume 3,
445-503; латинские издания от 1654 г. в volume 11, 366-
390. [О математических работах Паскаля В., в том числе
о его „Трактате об арифметическом треугольнике", см.: Кля-
ус У. М., Погребысский И. В., Франкфурт У. И. Паскаль. —
М.: Наука, 1971.]
446. 234 Пенни У. (Walter Penney). „Problem 95: Penney-Ante", Journal
of Recreational Mathematics 7 A974), 321.
687. 235 Перкус Дж. К. (J. К. Percus), Combinatorial Methods. Springer-
Verlag, 1971.
259,620,686. 236 ПетковшекМ. (Marko Petkovsek). „Hypergeometric solutions
of linear recurrences with polynomial coefficients", Journal of
Symbolic Computation 14 A992), 243-264.
686. 237 Пирс Ч. С. (С. S. Peirce). Letter to Б. S. Holden (January 1901).
Воспроизведено в The New Elements of Mathematics, edited by
Carolyn Eisele, Mouton, The Hague, 1976, volume 1, 247-253.
(см. также с. 211.)
567. 238 Пирс Ч. С. (С. S. Peirce). Letter to Henry B. Fine A7 July
1903). Воспроизведено в The New Elements of Mathematics,
edited by Carolyn Eisele, Mouton, The Hague, 1976, volume 3,
781-784. (См. также „Ordinals", неопубликованная рукопись
приблизительно 1905 г., в Collected Papers of Charles Sanders
Peirce, volume 4, 268-280.)
670 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
239*ПойаД. Как решить задачу. — М.: Учпедгиз, 1961. 34, 63.
240*ПойаД. Математическое открытие. — М.: Наука, 1970. 36, 207.
241 ПойаД. (G. Polya). „Kombinatorische Anzahlbestimmungen 687.
fur Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen" Acta
Mathematica 68 A937), 145-254. Английский перевод с
комментариями Р.Рида (Ronald С. Read): Combinatorial
Enumeration of Groups, Graphs, and Chemical Compounds,
Springer-Verlag, 1987.
242 ПойаД. (George Polya). Induction and Analogy in Mathemat- 9, 21, 33, 224, 550,
ics. Princeton University Press, 1954. [Имеются два издания 685.
русского перевода: ПойаД. Математика и правдоподобные
рассуждения. — М.: ИЛ, 1957; М.: Наука, 1975.]
243 ПойаД. (G. Polya). „On picture-writing", American Mathemati- 361, 687.
cal Monthly 63 A956), 689-697.
244 ПойаД., Сегё Д. (G. Polya and G. Szego). Aufgaben und 83,688.
Lehrsatze aus der Analysis, two volumes. Julius Springer,
Berlin, 1925; fourth edition, 1970 и 1971. Английский перевод:
Problems and Theorems in Analysis, 1972 и 1976. [Имеются
несколько изданий русского перевода: Полна Г., СегеГ.
Задачи и теоремы из анализа, в 2-х томах. — М.: Наука,
1937-1938; 1956; 1978.]
245 ПохгаммерЛ. (L. Pochhammer). „Ueber hypergeometrische 68.
Functionen nter Ordnung" Journal fur die reine und ange-
wandte Mathematik 71 A870), 316-352.
246*Проблемы Гильберта. — M.: Наука, 1969. 326.
247 Пуанкаре А. (Н. Poincare). „Sur les fonctions a espaces lacu- 688.
naires" American Journal of Mathematics 14 A892), 201-221.
248 Пуассон С. Д. (S. D. Poisson). „Memoire sur le calcul numerique 510.
des integrates definies" Memoires de VAcademie Royale des Sci-
Sciences de Vlnstitut de France, series 2, 6 A823), 571-602.
249 Пфафф И. Ф. (J. F. Pfaff). „Observations analytical ad L. En- 235, 246, 686.
leri institutiones calculi integralis, Vol. IV, Supplem. II & IV",
Nova acta academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 11,
Histoire section, 37-57. (В этом томе, опубликованном в
1798 г., большинство работ относятся к 1793 г., хотя статья
Пфаффа на самом деле была написана в 1797 г.) [Об этой
статье И.Ф. Пфаффа см.: Ожигова Б. П. Математика в
Петербургской академии наук. — М.: Наука, 1980.]
250 ПэтилГ. П. (G. P. Patil). „On the evaluation of the negative 687.
binomial distribution with examples" Technometrics 2 (I960),
501-505.
251 Радо Р. (R. Rado). „A note on the Bernoullian numbers" Journal 687.
of the London Mathematical Society 9 A934), 88-90.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 671
685. 252 Райт Э. М. (E.M.Wright). „A prime-representing function"
American Mathematical Monthly 58 A951), 616-618; список
опечаток см, в 59 A952), 99.
686. 253 Рам Ж., де (Georges de Rham). „Un peu de mathematiques a
propos d'une courbe plane", Elemente der Mathematik 2 A947),
73-76, 89-97. Воспроизведено в его CEuvres Mathematiques,
678-689.
685. 254 РаоД. P. (D. Rameswar Rao). „Problem Б 2208: A divisibility
problem", American Mathematical Monthly 78 A971), 78-79.
571. 255 РейнвильЭ.Д. (Earl D. Rainville). „The contiguous function
relations for pFq with applications to Bateman's JJJ>V and Rice's
Hn(C,p,v)" Bulletin of the American Mathematical Society, se-
series 2, 51 A945), 714-723.
688. 256 Рейч С. (Simeon Reich). „Problem 6056: Truncated exponential-
type series" American Mathematical Monthly 84 A977), 494-
495.
484. 257 Рекорд P. (Robert Recorde). The Whetstone ofWitte. London,
1557.
686. 258 Редеет Э. @ystein R0dseth). „Problem Б 2273: Telescoping Van-
dermonde convolutions", American Mathematical Monthly 79
A972), 88-89.
599, 686. 259 РибенбоймП. (Paulo Ribenboim). 13 Lectures on FermaVs Last
Theorem. Springer-Verlag, 1979. [На русском языке см. также:
Эдварде Г. Последняя теорема Ферма. — М.: Мир, 1980.]
685. 260 РиманБ. (Bernhard Riemann). „Ueber die Darstellbarkeit einer
Function durch eine trigonometrische Reihe" Habilitations-
schrift, Gottingen, 1854. Опубликовано в Abhandlungen der
mathematischen Classe der Koniglichen Gesellschaft der Wis-
senschaften zu Gottingen 13 A868), 87-132. Воспроизведено в
его Gesammelte Mathematische Werke, 227-264. [Имеются рус-
русские переводы: БернштейнС. Н. (ред.) Разложеше функцш
в тригонометричесте ряды. — Харьков: Харьковское мате-
математическое общество, 1914, 25-90; РиманБ. Сочинения.—
М.-Л.: ГИТТЛ, 1948, 225-261.]
685. 261 Роберте С. (Samuel Roberts). „On the figures formed by the
intercepts of a system of straight lines in a plane, and on analo-
analogous relations in space of three dimensions" Proceedings of the
London Mathematical Society 19 A889), 405-422.
686. 262 Рой P. (Ranjan Roy). „Binomial identities and hypergeometric
series" American Mathematical Monthly 94 A987), 36-46.
134. 263 РоссерДж. В., ШёнфельдЛ. (J. Barkley Rosser and Lowell
Schoenfeld). „Approximate formulas for some functions of prime
numbers", Illinois Journal of Mathematics 6 A962), 64-94.
672 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
264 РотаГ.-К. (Gian-Carlo Rota). „On the foundations of combi- 557.
natorial theory. I. Theory of Mobius functions", Zeitscbrift fur
Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete 2 A964),
340-368.
265 Рэни Дж. Н. (George N. Raney). „Functional composition pat- 394, 687.
terns and power series reversion", Transactions of the American
Mathematical Society 94 (I960), 441-451.
266 Салтыков А.И. „О функции Эйлера", Вестник Московского 502.
государственного университета, серия 1, Математика, меха-
механика (I960), № б, 34-50.
267 СегедиМ. (M.Szegedy). „The solution of Graham's greatest 567.
common divisor problem", Combinatorica 6 A986), 67-71.
268 СедлачекЙ. (J. Sedlacek). „On the skeletons of a graph or di- 687.
graph", в Combinatorial Structures and their Applications, Gor-
Gordon and Breach, 1970, 387-391. (В этом томе представлены
труды конференции Calgary International Conference on Com-
Combinatorial Structures and their Applications, 1969.)
269 СерпинскиВ. (W. Sierpinski). „Sur la valeur asymptotique d'une 110.
certaine somme", Bulletin International de l'Academie Polonaise
des Sciences et des Lettres (Cracovie), series A A910), 9-11.
270 СерпинскиВ. (W. Sierpinski). „Sur les nombres dont la somme 685.
de diviseurs est une puissance du nombre 2" Calcutta Mathe-
Mathematical Society Golden Jubilee Commemorative Volume A958-
1959), part 1, 7-9.
271 Серпински В. (Waclaw Sierpinski). A Selection of Problems in 686.
the Theory of Numbers. Macmillan, 1964. [На русском языке
см.: Серпински В. 250 задач по элементарной теории чисел. —
М.: Просвещение, 1968.]
272*СерпинскийВ. Сто вопросов арифметики. — М.: Госучпедиз- 551.
дат, 1961.
273 Силвестер Дж. Дж. (J.J.Sylvester). „Problem 6919" Mathe- 685.
matical Questions with their Solutions from the 'Educational
Times' 37 A882), 42-43, 80.
274 Силвестер Дж. Дж. (J.J.Sylvester). „On the number of frac- 157.
tions contained in any 'Farey series' of which the limiting number
is given", The London, Edinburgh and Dublin Philosophical Mag-
Magazine and Journal of Science, series 5, 15 A883), 251-257. Вос-
Воспроизведено в его Collected Mathematical Papers, volume 4,
101-109.
275 Скорер Р. С, Гранди П. М., Смит К. А. В. (R. S. Scorer, 685.
P. M. Grundy, and С. А. В. Smith). „Some binary games" The
Mathematical Gazette 28 A944), 96-103.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 673
61, 376, 503. 276 Слоан Н. Дж. A. (N. J. A. Sloane). A Handbook of Integer Se-
Sequences. Academic Press, 1973. Sequel, with Simon Plouffe,
The Encyclopedia of Integer Sequences, Academic Press, 1995.
http://www.research.att.com/~njas/sequences.
235. 277 СойерУ.У. (W. W. Sawyer). Prelude to Mathematics. Balti-
Baltimore, Penguin, 1955. [Имеются два издания русского перево-
перевода: Сойер У. У. Прелюдия к математике. — М.: Просвещение,
1965; 1972.]
445. 278 Соловьев А. Д. „Одно комбинаторное тождество и его при-
применение к задаче о первом наступлении редкого события",
Теория вероятностей и ее применения, 11 A966), 313-320.
Английский перевод: „A combinatorial identity and its appli-
application to the problem concerning the first occurrence of a rare
event", Theory of Probability and its Applications 11 A966),
276-282.
8. 279 СпонУГ., мл. (William G. Spohn, Jr.). „Can mathematics
be saved?" Notices of the American Mathematical Society 16
A969), 890-894.
687. 280 Стенли Р. П. (Richard P.Stanley). „Differentiably finite power
series", European Journal of Combinatorics 1 A980), 175-188.
687. 281 Стенли Р. П. (Richard P. Stanley). „On dimer coverings of rect-
rectangles of fixed width", Discrete Applied Mathematics 12 A985),
81-87.
577, 687, 688. 282 Стенли Р. П. (Richard P. Stanley). Enumerative Combinatorics,
volume 1. Wadsworth & Brooks/Cole, 1986. [Имеется русский
перевод: Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. — М.:
Мир, 1990.]
148. 283 СтилГ., Вудс Р., ФинкельР. А., КриспинМ. Р., Стол-
манР. М., Гудфеллоу Дж. С. (Guy L. Steele Jr., Don-
Donald R. Woods, Raphael A. Finkel, Mark R.Crispin, Ri-
Richard M. Stallman, and Geoffrey S. Goodfellow). The Hacker's
Dictionary: A Guide to the World of Computer Wizards. Harper
& Row, 1983.
648. 284 Стилтьес Т. Дж. (Т. J. Stieltjes). Letters to Hermite (June
1885), в Correspondance d'Hermite et de Stieltjes, volume 1,
146-159.
685. 285 Стилтьес Т. Дж. (Т. J. Stieltjes). „Table des valeurs des sommes
Sk = ИГ n~k" Acta Mathematica 10 A887), 299-302. Воспро-
Воспроизведено в CEuvres Completes, volume 2, 100-103.
219,288,329. 286 СтирлингДж. (James Stirling). Methodus Differentialis.
London, 1730. Английский перевод: The Differential Method,
1749.
99. 287 СтреттДж. В. (John William Strutt). Third Baron Rayleigh,
The Theory of Sound. First edition, 1877; second edition,
674 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1894. (Цитируемый материал относительно иррациональ-
иррационального спектра взят из разд. 92а второго издания.) [Имеется
русский перевод: Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука,
в 2-х томах. — М.: Гостехиздат, 1955.]
288*Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. — М.: На- 118, 158.
ука, 1978.
289 Су Л. К. (L. С. Hsu). „Note on a combinatorial algebraic identity 686.
and its application" Fibonacci Quarterly 11 A973), 480-484.
290 Суини Д. У. (Dura W. Sweeney). „On the computation of Euler's 521.
constant" Mathematics of Computation 17 A963), 170-178.
291 Танни С. (S. Tanny). „A probabilistic interpretation of Eulerian 687.
numbers", Duke Mathematical Journal 40 A973), 717-722.
292 Тейзингер Л. (L. Theisinger). „Bemerkung iiber die harmonische 686.
Reihe" Monatshefte fur Mathematik und Physik 26 A915), 132-
134.
293 Тиеле Т. Н. (Т. N. Thiele). The Theory of Observations. Charles 435, 436.
& Edwin Layton, London, 1903. Воспроизведено в The Annals
of Mathematical Statistics 2 A931), 165-308.
294 ТитчмаршЕ. К. (Е. С. Titchmarsh). The Theory of the Rie- 688.
mann Zeta-Function. Clarendon Press, Oxford, 1951; second
edition, revised by D. R. Heath-Brown, 1986. [Имеется русский
перевод: ТитчмаршЕ. К. Теория дзета-функции Римана.—
М.: ИЛ, 1953.]
295 Трикоми Ф. Г., Эрдейи A. (F. G. Tricomi and A. Erdelyi). „The 688.
asymptotic expansion of a ratio of gamma functions", Pacific
Journal of Mathematics 1 A951), 133-142.
296* Труды по теории чисел. — M.: Изд-во АН СССР, 1959. 133.
297*Уайтхед А. Н. Введение в математику. — Петроград (Пгд): 77.
1916.
298 УайтхедА. Н. (Alfred North Whitehead). An Introduction to 544.
Mathematics. London and New York, 1911.
299 УайтхедА. Н. (Alfred North Whitehead). „Technical education 114.
and its relation to science and literature" chapter 2 в The Or-
Organization of Thought, Educational and Scientific, London and
New York, 1917. Воспроизведено как глава 4 в The Aims of Ed-
Education and Other Essays, New York, 1929. [Имеется русский
перевод: УайтхэдъА. Н. Введение въ математику. — Петро-
Петроград: Физика, 1916.]
300 Уайтхед А. Н. (Alfred North Whitehead). Science and the Mod- 650.
era World. New York, 1925. Глава 2 воспроизведена в The
World of Mathematics, edited by James R. Newman, 1956, vol-
volume 1, 402-416.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 675
325. 301 УиверУ. (Warren Weaver). „Lewis Carroll and a geometrical
paradox" American Mathematical Monthly 45 A938), 234-236.
[См. также задачу 339 в [121*].]
685. 302 Уильяме X. К., ДюбнерХ. (H.C.Williams and Harvey Dub-
ner). „The primality of R1031" Mathematics of Computation 47
A986), 703-711.
686. 303 Уиппл Ф. Дж. У. (F. J. W. Whipple). „Some transformations of
generalized hyper geometric series" Proceedings of the London
Mathematical Society, series 2, 26 A927), 257-272.
311. 304 УнгарП. (Peter Ungar). „Problem E3052: A sum involving
Stirling numbers", American Mathematical Monthly 94 A987),
185-186.
686. 305 УоллисДж. (John Wallis). A Treatise of Angular Sections. Ox-
Oxford, 1684.
687. 306 УорингЭ. (Edward Waring). Meditationes Algebraicae. Cam-
Cambridge, 1770; third edition, 1782.
687. 307 Уотерхауз У. К. (William С. Waterhouse). „Problem E3117:
Even odder than we thought", American Mathematical Monthly
94 A987), 691-692.
685. 308 Успенский Я. В. (J. V. Uspensky). „On a problem arising out of
the theory of a certain game", American Mathematical Monthly
34 A927), 516-521.
319. 309 Фаулхабер И. (Johann Faulhabern). Academia Algebras, Darin-
nen die miraculosische Inventiones zu den hochsten Cossen weit-
ers continuirt und profitiert werden, ... bifi auff die regulierte
Zensicubiccubic Cofi durch oftnen Truck publiciert worden.
Augsburg, 1631.
418, 688. 310 Феллер У. (William Feller). Ал Introduction to Probability The-
Theory and Its Applications, volume 1. Wiley, 1950; second edition,
1957; third edition, 1968. [Имеется перевод третьего издания:
Феллер У. Введение в теорию вероятностей и ее приложения,
том 1. —М.: Мир, 1984.]
156. 311 Ферма П., де (Pierre de Fermat). Letter to Marin Mersenne
B5 December 1640), в (Euvres de Fermat, volume 2, 212-
217. [См. также: Correspondance du P. Marin Mersenne, Paris,
CNRS, 1960. Одно из писем П. Ферма преподобному М. Мер-
сенну (июнь 1638 г.) помещено в книге: Декарт Р. Геоме-
Геометрия. -М.-Л.: ГТТИ, 1938, 170-181]
685, 686. 312 ФибоначчиЛ. (Leonardo Fibonacci [Pisano]). Liber Abaci.
First edition, 1202 (now lost); second edition, 1228. Воспро-
Воспроизведено в Scritti di Leonardo Pisano, edited by Baldassarre
Boncompagni, 1857, volume 1.
43. 313 ФинеттиВ., де (Bruno de Finetti). Teoria delle Probability.
Turin, 1970. Английский перевод: Theory of Probability, Wiley,
1974-1975.
676 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
314 Фишер М. Э. (Michael E. Fisher). „Statistical mechanics of 687.
dimers on a plane lattice" Physical Review 124 A961), 1664-
1672.
315 Фишер Р. A. (R. A. Fisher). „Moments and product moments of 687.
sampling distributions", Proceedings of the London Mathemati-
Mathematical Society, series 2, 30 A929), 199-238.
316 ФоркадельП. (Pierre Forcadel). L'arithmeticque. Paris, 1557. 686.
317 Франческа П., делла (Piero della Francesca). Libellus de 686.
quinque corporibus regularibus. Vatican Library, manuscript
Urbinas 632. Переведено на итальянский Лукой Пачоли:
Pacioli's Diuine Proportione, Venice, part 3, 1509. [Об этой
работе и книге Луки Пачоли см.: Юшкевич А. П. (ред.)
История математики, том 1. —М.: Наука, 1970.]
318 ФредменМ.Л. (Michael Lawrence Fredman). Growth Proper- 555.
ties of a Class of Recursively Defined Functions. Ph.D. thesis,
Stanford University, Computer Science Department, 1972.
319 Фрейзер У. Д., Мак-Келлар А. Ц. (W. D. Frazer and А. С. McKel- 686.
lar). „Samplesort: A sampling approach to minimal storage tree
sorting", Journal of the Association for Computing Machinery
27 A970), 496-507.
320 Фрейм Дж. С, Стюарт В. М., Данкель О. (J. S. Frame, 685.
В. М. Stewart, and Otto Dunkel). „Partial solution to problem
3918", American Mathematical Monthly 48 A941), 216-219.
[См. также [121*].]
321 Фрейнел Дж. (J. Franel). Solutions to questions 42 and 170, в 592.
VIntermediate des Mathematiciens 1 A894), 45-47; 2 A895),
33-35.
322 Френкель А. С (Aviezri S. Fraenkel). „Complementing and ex- 556, 685.
actly covering sequences" Journal of Combinatorial Theory, se-
series A, 14 A973), 8-20.
323 Френкель А. С (Aviezri S. Fraenkel). „How to beat your 607.
Wythoff games' opponent on three fronts", American Mathemat-
Mathematical Monthly 89 A982), 353-361.
324 Фурье Ж. (J. Fourier). „Refroidissement seculaire du globe ter- 40.
restre" Bulletin des Sciences par la Societe philomathique de
Paris, series 3, 7 A820), 58-70. Воспроизведено в (Euvres de
Fourier, volume 2, 271-288.
325 Фусс Н. И. (Nikolao Fuss). „Solutio quaestionis, quot modis poly- 396.
gonum n laterum in polygona m laterum, per diagonales resolvi
quaeat" Nova acta academiae scientiarum imperialis Petropoli-
tanae 9 A791), 243-251. [Об этой и других работах Н. И. Фус-
са в области полигонометрии см.: Лысенко В. И. Николай
Иванович Фусс — М.: Наука, 1975.]
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 677
567. 326 Хаймович М., ФрейманГ., Шонхейм Й. (М. Chaimovich,
G. Preiman, and J. Schonheim). „On exceptions to Szegedy's
theorem", Acta Aritbmetica 49 A987), 107-112.
9,15. 327 ХалмошП.Р. (P. R. Halmos). „How to write mathematics"
L'Enseignement mathematique 16 A970), 123-152. Воспроиз-
Воспроизведено в How to Write Mathematics, American Mathematical
Society, 1973, 19-48. [Имеется русский перевод: ХалмошП. Р.
„Как писать математические тексты", Успехи математических
наук, 26 A971), 243-269.]
8. 328 Халмош П. P. (Paul R. Halmos). I Want to Be a Mathematician:
An Automathography. Springer-Verlag, 1985. Воспроизведено
в Mathematical Association of America, 1988.
337. 329 ХалфенДж. X. (G. H. Halphen). „Sur des suites de frac-
fractions analogues a la suite de Farey" Bulletin de la Societe
mathematique de France 5 A876), 170-175. Воспроизведено в
его CEuvres, volume 2, 102-107.
8. 330 Хаммерсли Дж. M. (J. M. Hammersley). „On the enfeeblement
of mathematical skills by 'Modern Mathematics' and by similar
soft intellectual trash in schools and universities", Bulletin of
the Institute of Mathematics and its Applications 4,4 (October
1968), 66-85.
687. 331 Хаммерсли Дж. M. (J. M. Hammersley). „An undergraduate ex-
exercise in manipulation", The Mathematical Scientist 14 A989),
1-23.
61. 332 Хансен Э. P. (Eldon R. Hansen). A Table of Series and Products.
Prentice-Hall, 1975.
480,688. 333 Харди Г.Х. (G. H. Hardy). Orders of Infinity: The 'Inunitai-
calcu'V of Paul du Bois-Reymond. Cambridge University Press,
1910; second edition, 1924.
687. 334 Харди Г. X. (G. H. Hardy). „A mathematical theorem about golf,
The Mathematical Gazette 29 A944), 226-227. Воспроизведено
в его Collected Papers, volume 7, 488.
135, 685. 335 Харди Г. X., Райт Э. М. (G. H. Hardy and E. M. Wright). Ал In-
Introduction to the Theory of Numbers. Clarendon Press, Oxford,
1938; fifth edition, 1979.
332, 365, 649, 688. 336 ХенричиП. (Peter Henrici). Applied and Computational Com-
Complex Analysis. Wiley, volume 1, 1974; volume 2, 1977; volume 3,
1986.
686. 337 ХенричиП. (Peter Henrici). „De Branges' proof of the Bieber-
bach conjecture: A view from computational analysis", Sitzungs-
berichte der Berliner Mathematischen Gesellschaft A987), 105-
121.
686. 338 Хиллман А. П., Хоггат В. Э., мл. (А. Р. Hillman and V. Е. Hog-
gatt, Jr.). „A proof of Gould's Pascal hexagon conjecture" Fi-
Fibonacci Quarterly 10 A972), 565-568, 598.
678 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
339 Хоар К. А. Р. (С. A. R. Hoare). „Quicksort" The Computer Jour- 46.
nal 5 A962), 10-15. [На русском языке см. алгоритм 646
в: Агеев М. И. и др. Библиотека алгоритмов 516-1006. — М.:
Советское радио, 1976, 31.]
340 ХоландИ. Й., Кнут Д. Э. (Inger Johanne Haland and Donald 556, 685.
E. Knuth). „Polynomials involving the floor function" Mathe-
matica Scandinavica 76 A995), 194-200.
341 ХоллМ., мл. (Marshall Hall, Jr.). The Theory of Groups. 597.
Macmillan, 1959. [Имеется русский перевод: ХоллМ. Теория
групп. — М.: ИЛ, 1962.]
342 ЦеккендорфЭ. (Е. Zeckendorf). „Representation des nombres 327.
naturels par une somme de nombres de Fibonacci ou de nombres
de Lucas", Bulletin de la Societe Royale des Sciences de Liege 41
A972), 179-182.
343 ЦирикЯ.А. (Janos A. Csirik). „Optimal strategy for the first 636.
player in the Penney ante game", Combinatorics, Probability and
Computing 1 A992), 311-321.
344 ЧебышёвП.Л. (Р. L. Chebyshev). „Memoire sur les nombres 685.
premiers", Journal de Mathematiques pures et appliquees 17
A852), 366-390. Воспроизведено в его (Euvres, volume 1, 51-
70. [Имеются русские переводы: Чебышев П. Л. „О простых
числах" Сочинешя П. Л. Чебышёва, томъ 1. — Спб: Имп. Ака-
Академия Наукъ, 1899, 51-70. См.также ЧебышёвП.Л. Полное
собрание сочинений, том 1. —М.-Л.: Изд. АН СССР, 1944,
191-207.]
345 Чебышёв П. Л. „О средних величинах" Математический сбор- 427.
ник 2 A867), 1-9. Воспроизведено в: ЧебышёвП.Л. Полное
собрание сочинений, том. 2. — М.-Л.: Изд. АН СССР, 1944,
431-437. Французский перевод: „Des valeurs moyennes" Jour-
Journal de Mathematiques pures et appliquees, series 2, 12 A867),
177-184; воспроизведено в его (Euvres, volume 1, 685-694.
346 ЧебышёвП.Л. „О приближенных выражениях одних инте- 57.
гралов через другие, взятые в тех же пределах", Сообщения
и протоколы заседаний математического общества при Им-
Императорском" Харьковском" Университете 4, 2 A882), 93-98.
Воспроизведено в: ЧебышёвП.Л. Полное собрание сочине-
сочинений, том. 3.-М.-Л.: Изд. АН СССР, 1944, 191-207, 128-131.
Французский перевод: „Sur les expressions approximatives des
integrates definies par les autres prises entre les memes limites"
в его (Euvres, volume 2, 716-719.
347 ЧейсА. В. (Arnold Buffum Chace). The Rbind Mathematical 685.
Papyrus, volume 1. Mathematical Association of America,
1927. (Работа снабжена великолепным списком литературы
египетских математиков, подготовленным Р. Арчибальдом.)
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 679
[О „математическом папирусе Райнда" см., например: Юшке-
Юшкевич А. П. (ред.) История математики..., том 1. — М.: Наука,
1970, 18-20.]
601, 687. 348 Чжун Ф. Р. К., Грэхем Р. Л. (F. R. К. Chung and R. L. Gra-
Graham). „On the cover polynomial of a digraph", Journal of
Combinatorial Theory, series B, 65 A995), 273-290.
686. 349 ШаллитДж. О. (J. О. Shallit). „Problem 6450: Two series"
American Mathematical Monthly 92 A985), 513-514.
592. 350 Шаркёзи A. (A. Sarkozy). „On divisors of binomial coefficients,
Г, Journal of Number Theory 20 A985), 70-80.
303. 351 Шарп P. T. (R. T. Sharp). „Problem 52: Overhanging dominoes",
Pi Mu Epsilon Journal 1,10 A954), 411-412.
325. 352 ШлёмильхО. (О. Schlomilch). „Ein geometrisches Paradoxon"
Zeitscbrift fur Matbematik und Physik 13 A868), 162.
687. 353 Шредер Э. (Ernst Schroder). „Vier combinatorische Probleme"
Zeitscbrift fur Mathematik und Physik 15 A870), 361-376.
687. 354 Шрётер Г. (Heinrich Schroter). „Ableitung der Partialbruch- und
Produkt-Entwickelungen fur die trigonometrischen Punktionen",
Zeitscbrift fur Matbematik und Physik 13 A868), 254-259.
687. 355 ШтаудтК.Г. Ц., фон (К. G. С. von Staudt). „Beweis eines
Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen betreftend" Journal fur
die reine und angewandte Matbematik 21 A840), 372-374.
21, 685. 356 ШтейнерЯ. (J. Steiner). „Einige Gesetze iiber die Theilung der
Ebene und des Raumes" Journal fur die reine und angewandte
Mathematik 1 A826), 349-364. Воспроизведено в его Gesam-
melte Werke, volume 1, 77-94. [На русском языке см. также:
ШтейнерЯ. Геометрические построения. — М.: Госучпедиз-
дат, 1939.]
140. 357 Штерн М. А. (М. A. Stern). „Ueber eine zahlentheoretische
Funktion" Journal fur die reine und angewandte Matbematik
55 A858), 193-220.
685. 358 ШтикельбергерЛ. (L. Stickelberger). „Ueber eine Verall-
gemeinerung der Kreistheilung" Mathematische Annalen
37A890), 321-367.
592, 686. 359 ШтрелФ. (Volker Strehl). „Binomial identities—combinatorial
and algorithmic aspects" Discrete Mathematics 136 A994), 309-
346.
131. 360 Эвклид. STOIXEIA. Старинный манускрипт, впервые напе-
напечатан в Базеле в 1533 г. Школьный учебник (на греческом
и латинском) в 5-ти томах Гейберга (J. L. Heiberg). Teub-
ner, Leipzig, 1883-1888. [Имеется русский перевод: Начала
Евклида, книги I—VI, VII-X, XI-XV. — М.-Л.: Гостехиздат,
1948-1950.1
680 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
361 Эдварде А. У. Ф. (A. W. F. Edwards). Pascal's Arithmetical Tri- 180.
angle. Oxford University Press, 1987. [На русском языке
см. также: Успенский В. А. Треугольник Паскаля. — М.: На-
Наука, 1966.]
362 Эйзенштейн Г. (G. Eisenstein). „Entwicklung von а"" " Journal 230.
fur die reine und angewandte Mathematik 28 A844), 49-52.
Воспроизведено в его Mathematische Werke 1, 122-125.
363 Эйлер Л. (Leonhard Euler). Letter to Christian Goldbach 239,686.
A3 October 1729), в Correspondance Matbematique et Physique
de Quelques Celebres Geometres du XVIIIeme Siede, edited
by P. H. Puss, St. Petersburg, 1843, volume 1, 3-7. [См. также:
Leonhard Euler und Christian Goldbach, Briefwechsel 1729-
1764, Berlin, Akademie-Verlag, 1965, 19-23.]
364 Эйлер A. (L. Eulero). „De progressionibus transcendentibus seu 239.
quarum termini generales algebraice dari nequeunt" Commen-
Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 5 A730),
36-57. Воспроизведено в его Opera Omnia, series 1, volume 14,
1-24.
365 Эйлер A. (Leonh. Eulero). „Methodus generalis summandi pro- 509.
gressiones" Commentarii academiae scientiarum imperialis Pet-
Petropolitanae 6 A732), 68-97. Воспроизведено в его Opera Om-
nia, series 1, volume 14, 42-72.
366 ЭцлерА. (Leonh. Eulero). „Observationes de theoremate quo- 156.
dam Fermatiano, aliisque ad numeros primos spectantibus"
Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 6
A732), 103-107. Воспроизведено в его Opera Omnia, series 1,
volume 2, 1-5. Воспроизведено в его Commentationes arith-
meticae collectae, volume 1, 1-3.
367 Эйлер A. (Leonh. Eulero). „De progressionibus harmonicis ob- 308.
servationes", Commentarii academiae scientiarum imperialis Pet-
Petropolitanae 7 A734), 150-161. Воспроизведено в его Opera
Omnia, series 1, volume 14, 87-100.
368 Эйлер A. (Leonh. Eulero). „Methodus universalis series sum- 297.
mandi ulterius promota" Commentarii academiae scientiarum
imperialis Petropolitanae 8 A736), 147-158. Воспроизведено в
его Opera Omnia, series 1, volume 14, 124-137.
369 Эйлер A. (Leonh. Euler). „De fractionibus continuis, Dissertatio" 146.
Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9
A737), 98-137. Воспроизведено в его Opera Omnia, series 1,
volume 14, 187-215.
370 Эйлер A. (Leonh. Euler). „Variae observationes circa series infini- 685.
tas" Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropoli-
Petropolitanae 9 A737), 160-188. Воспроизведено в его Opera Omnia,
series 1, volume 14, 216-244.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 681
650. 371 Эйлер Л. (Leonhard Euler). Letter to Christian Goldbach
D July 1744), в Correspondance Mathematique et Physique de
Quelques Celebres Geometres du XVIIIeme Siecie, edited by
P. H. Puss, St. Petersburg, 1843, volume 1, 278-293.
687. 372 Эйлер Л. (Leonhardo Eulero). Introductio in Analysin Infinito-
rum. Tomus primus, Lausanne, 1748. Воспроизведено в его
Opera Omnia, series 1, volume 8. Переведено на французский,
1786; немецкий, 1788; английский, 1988. [Имеются русские пе-
переводы: Эйлер Л. Введение в анализ бесконечных, том 1.—
М.-Л.: ОНТИ, 1936; 2-е изд.: М.: Физматгиз, 1961.]
687. 373 Эйлер Л. (L. Eulero). „De partitione numerorum" Novi commen-
taiii academiae scientiarum imperialis Petropolitanad 3 A750),
125-169. Воспроизведено в его Comment at iones arithmetics
collectae, volume 1, 73-101. Воспроизведено в его Opera Om-
nia, series 1, volume 2, 254-294.
68,297,650,687. 374 Эйлер Л. (Leonhardo Eulero). Institutions Calculi Differen-
tialis cum eius usu in Analysi Finitorum ac Doctrina Serierum.
St. Petersburg, Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae,
1755. Воспроизведено в его Opera Oizmia, series 1, volume 10.
Переведено на немецкий, 1790. [Имеется русский перевод: Эй-
Эйлер Л. Дифференциальное исчисление. —М-Л.: Гостехиз-
дат, 1949.]
158. 375 Эйлер Л. (L. Eulero). „Theoremata arithmetica nova methodo
demonstrata" Novi commentarii academiae scientiarum imperi-
imperialis Petropolitanae 8 A760), 74-104. (Выло представлено также
в Берлинскую академию наук в 1758.) Воспроизведено в
его Commentationes arithmetical collectae, volume 1, 274-286.
Воспроизведено в его Opera Omnia, series 1, volume 2, 531-
555.
335. 376 Эйлер Л. (L. Eulero). „Specimen algorithmi singularis" Novi
commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae
9 A762), 53-69. (Было представлено также в Берлинскую
академию наук в 1757.) Воспроизведено в его Opera Omnia,
series 1, volume 15, 31-49.
619, 687. 377 Эйлер Л. (L. Eulero). „Observations analytical, Novi commen-
commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 11 A765),
124-143. Воспроизведено в его Opera Omnia, series 1, vol-
volume 15, 50-69.
23,687. 378 Эйлер Л. (Leonhard Euler). Vollstandige Anleitung zur Al-
Algebra. Erster Theil. Von den verschiedenen Rechnungs-Arten,
Verhaltnissen und Proportionen. St. Petersburg, 1770. Воспро-
Воспроизведено в его Opera Omnia, series 1, volume 1. Переведено
на голландский, 1773; французский, 1774; латинский, 1790;
английский, 1797. [Имеются издания на русском языке:
Универсальная арифметика Леонарда Ейлера, том 1. —С.-
Петербург: 1768, 2-е изд., 1787; Основания алгебры Леонарда
Ейлера} том 1. —С.-Петербург: 1912.]
682 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
379 Эйлер Л. (L. Eulero). „Observationes circa bina biquadrata quo- 155.
rum summam in duo alia biquadrata resolvere liceat" Novi
commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 17
A772), 64-69. Воспроизведено в его Comment ationes arith-
arithmetics collectae, volume 1, 473-476. Воспроизведено в его
Opera Omnia, series 1, volume 3, 211-217.
380 Эйлер Л. (L. Eulero). „Observationes circa novum et singulare 555.
progressionum genus", Novi commentarii academiae scientiarum
imperialis Petropolitanae 20 A775), 123-139. Воспроизведено
в его Opera Omnia, series 1, volume 7, 246-261.
381 Эйлер Л. (L. Eulero). „De serie Lambertina, plurimisque eius 230.
insignibus proprietatibus", Acta academiae scientiarum imperialis
Petropolitanae 3,2 A779), 29-51. Воспроизведено в его Opera
Omnia, series 1, volume 6, 350-369.
382 Эйлер Л. (L. Eulero). „Specimen transformationis singu- 235,686.
laris serierum" Nova acta academiae scientiarum imperialis
Petropolitanae 12 A794), 58-70. Представлено в 1778 г..
Воспроизведено в его Opera Omnia, series 1, volume 16(B),
41-55.
383 Элькис Н. (Noam D. Elkies). „On Л4 + В4 + С4 = D4", Matbe- 155.
matics of Computation 51 A988), 825-835.
384 ЭндрюсГ. Э. (George E.Andrews). „Applications of basic hy- 244, 686.
pergeometric functions", SIAM Review 16 A974), 441-484.
385 ЭндрюсГ. Э. (George E.Andrews). „On sorting two ordered 573.
sets", Discrete Mathematics 11 A975), 97-106.
386 ЭндрюсГ. Э. (George E.Andrews). The Theory of Partitions. 364.
Addison-Wesley, 1976. [Имеется русский перевод: Эндрюс Г.
Теория разбиений. —М.: Наука, 1982.]
387 ЭндрюсГ. Э. (George E.Andrews). „Euler's 'exemplum memo- 620.
rabile inductionis fallacis' and q-trinomial coefficients", Journal
of the American Mathematical Society 3 A990), 653-669.
388 Эндрюс Г. Э., Утимура К. (George E. Andrews and К. Uchimu- 687.
га). „Identities in combinatorics IV: Differentiation and harmonic
numbers", Utilitas Mathematica 28 A985), 265-269.
389 ЭрдёшП. (Erdos Pal). „Az — H H H = ? egyenlet
*i x2 xn b bJ 685.
egesz szamu megoldasairol" Matematikai Lapok 1 A950), 192-
209. Аннотацию на английском языке см. на с. 210.
390 ЭрдёшП. (Paul Erdos). „My Scottish Book 'problems'" в The 455.
Scottish Book: Mathematics from the Scottish Cafe, edited by
R. Daniel Mauldin, 1981, 35-45.
391 ЭрдёшП., Грэхем Р. Л. (P. Erdos and R. L. Graham). Old and 556, 567, 686, 687.
New Problems and Results in Combinatorial Number Theory.
Universite de Geneve, L'Enseignement Mathematique, 1980.
В СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 683
568,592. 392 ЭрдёшП., Грэхем Р. Л., РужаИ.З., Штраус Э. Г. (P. Erdos,
R. L. Graham, I. Z. Ruzsa, and E. G. Straus). „On the prime fac-
factors of Bт^)" Mathematics of Computation 29 A975), 83-92.
599. 393 ЭрмитШ. (Charles Hermite). Letter to C. W. Borchardt (8
September 1875), в Journal fur die reine und angewandte Math-
ematik 81 A876), 93-95. Воспроизведено в его CBuvres, vol-
volume 3, 211-214.
686. 394 ЭрмитШ. (Charles Hermite). Cours de M. Hermite. Faculte
des Sciences de Paris, 1882. Third edition, 1887; fourth edi-
edition, 1891. [Имеется русский перевод четвертого издания:
ЭрмитШ. Курс анализа.-М.-Л.: ОНТИ, 1936.]
581,686. 395 ЭрмитШ. (Charles Hermite). Letter to S. Pincherle A0 May
1900), в Annali di Matematica pura ed appiicata, series 3, 5
A901), 57-60. Воспроизведено в его (Euvres, volume 4, 529-
531. [О переписке Эрмита см.: Ожигова Е. П. Шарль Эр-
мит. — Л.: Наука, 1982.]
687. 396 ЭсваратасанА., ЛевайнЭ. (Arulappah Eswarathasan and Eu-
Eugene Levine). „p-integral harmonic sums", Discrete Mathematics
91 A991), 249-257.
685. 397 ЭткинсонМ. Д. (M. D. Atkinson). „The cyclic towers of Hanoi"
Information Processing Letters 13 A981), 118-119.
687. 398 ЭткинсонМ. Д. (M.D.Atkinson). „How to compute the series
expansions of secx and tanx" American Mathematical Monthly
93 A986), 387-389. [См. также: A. J. Kempner, „On the shape
of polynomial curves", Tohoku Math. J. 37 A933), 347-362;
R. C. Entringer, „A combinatorial interpretation of the Euler and
Bernoulli numbers", Nieuw Archief voor Wiskunde 14 A966),
241-246.]
687. 399 ЮнгенР. (R. Jungen). „Sur les series de Taylor n'ayant que des
singularites algebrico-logarithmiques sur leur cercle de conver-
convergence", Commentarii Mathematici Helvetici 3 A931), 266-306.
85. 400 ЯкобиК. Г. (С. G. J. Jacobi). Fundamenta nova theorise func-
tionum ellipticarum. Konigsberg, Borntrager, 1829. Воспроиз-
Воспроизведено в его Gesammelte WerJce, volume 1, 49-239.
230. 401 ЯнсонС, Кнут Д. Э., ЛучакТ., ПиттелВ. (Svante Janson,
Donald E. Knuth, Tomasz Luczak, and Boris Pittel). „The birth
of the giant component", Random Structures and Algorithms 4
A993), 233-358.
с
Первоисточники упражнений
УПРАЖНЕНИЯ для этой книги подбирались из многих источ-
источников. Авторы книги старались проследить происхождение всех
задач —исключение составляют случаи, когда упражнение столь
элементарно, что придумавший его, вероятно, и не помышлял
что-либо придумать.
Многие упражнения заимствованы из станфордских экзаме-
экзаменационных задач по курсу конкретной математики. Зачастую но-
новые задачи для этих экзаменов предлагались самими преподава-
преподавателями и ассистентами — вот подходящий повод перечислить их
имена.
Ассистенты
Воган Пратт
Лео Гюиба
Хенсон Грейвс, Луи Жуайек
Скот Драйсдейл, Том Портер
Марк Браун, Луи Траб Пардо
Марк Браун, Лайл Рэмшоу
Йосси Сило
Йосси Сило
Фрэнк Лианг,
Крис Тонг, Марк Хайман
Андрей Бродер, Джим Мак-Грат
Орен Паташник
Джоан Фейгенбаум, Дэйв Хелмболд
Анна Карлин
Орен Паташник, Алекс Шаффер
Пан Чжень, Стефан Шаркански
Ариф Мёчант, Стефан Шаркански
Помимо перечисленных специалистов, свой вклад в данный курс
внесли Дэйвид Кларнер A971), Боб Седгевик A974), Лео Гюи-
Гюиба A975) и Лайл Рэмшоу A979), каждый из которых принял
приглашение прочитать шесть и более лекций. Подробные записи
лекций, которые каждый год составлялись ассистентами и редак-
редактировались преподавателями, послужили основой этой книги.
ГоД
1970
1971
1973
1974
1975
1976
1977
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
Преподаватель
Дон Кнут
Дон Кнут
Дон Кнут
Дон Кнут
Дон Кнут
Энди Яо
Энди Яо
Фрэнсис Яо
Рон Грэхем
Энди Яо
Рон Грэхем
Эрнст Мэйр
Эрнст Мэйр
Дон Кнут
Андрей Бродер
Дон Кнут
Практические
занятия были
очень ценными, я
бы даже сказал —
бесценными.
Оставьте на сле-
следующий год того
же преподавателя
и тех же ассистен-
ассистентов.
Практические
пособия весьма
удачны и полезны.
Практически я ни-
никогда не „получал"
чисел Стирлинга.
С ПЕРВОИСТОЧНИКИ УПРАЖНЕНИЙ 685
1.1
1.2
1.5
1.6
1.8
1.9
1.10
1.11
1.14
1.17
1.21
1.22
1.23
1.25
2.2
2.3
2.5
2.22
2.23
2.26
2.29
2.30
2.31
2.34
2.35
2.36
2.37
3.6
3.8
3.9
3.12
3.13
3.19
3.21
3.23
3.28
3.30
3.31
3.32
3.33
Пойа [242,
с. 120].
Скорер, Гранди и Смит [275].
Венн [51].
Штейнер [356]; Роберте [261].
Гаусс [69].
Коши [165, замечание 2 к
теореме 17].
Эткинсон [397].
Идея Вуда [58].
Штейнер [356]; Пойа [242, гл.З];
Врат Альфред [33].
Дьюдени [112, головоломка 1].
Волл [29] приписывает автор-
авторство В. А. Суидену.
Основано на идее Питера
Шора.*
Вьорн Поонен.*
Фрейм, Стюарт и Данкель [320]
Айверсон [4, с. И].
[139, упр. 1.2.3-2].
[139, упр. 1.2.3-25].
Вине [24, §4].
Выпускной экзамен 1982 г.
[139, упр. 1.2.3-26].
Коллоквиум 1979 г.
Коллоквиум 1973 г.
Стилтьес [285].
Риман [260, §3].
Эйлер [370] дал ошибочное
„доказательство" используя
расходящиеся ряды.
Голомб [76]; Варди [47].
Лео Мозер.*
Эрнст Мэйр, домашнее задание
1982 г.
Дирихле [110].
Чейс [347]; Фибоначчи [312,
с. 77-83].
[139, упр.1.2.4-48(а)].
Витти [26]; Наивен [227,
теорема 3.7].
[139, упр. 1.2.4-34].
Коллоквиум 1975 г.
[139, упр. 1.2.4-41].
Враун [36].
Ахо и Слоан [12].
Грейтцер
решение 2
81, задача 1972/3,
[89].
Коллоквиум 1984 г.
3.34 Коллоквиум 1970 г.
3.35 Коллоквиум 1975 г.
3.36 Коллоквиум 1976 г.
3.37 Коллоквиум 1986 г; [147].
3.38 Коллоквиум 1974 г.
3.39 Коллоквиум 1971 г.
3.40 Коллоквиум 1980 г.
3.41 Кламкин [133, задача 1978/3].
3.42 Успенский [308].
3.45 Ахо и Слоан [12].
3.46 Грэхем и Поллак [91].
3.48 Холанд и Кнут [340].
3.49 Р. Л. Грэхем и Д. Р. Хофштад-
тер.*
3.52 Френкель [322].
3.53 Ш.К.Стейн.*
4.4 [146, §526].
4.16 Силвестер [273].
4.19 [144, с. 148-149].
4.20 Бертран [23, с. 129]; Чебышёв
[344]; Райт [252].
4.22 Бриларт [40]; Уильяме и
Дюбнер [302].
4.23 Крау [169].
4.24 Лежандр [186, второе издание,
введение].
4.26 [140, упр. 4.5.3-43].
4.31 Паскаль [232].
4.36 Харди и Райт [335, §14.5].
4.37 Ахо и Слоан [12].
4.38 Люка [206].
4.39 [88].
4.40 Штикельбергер [358].
4.41 Лежандр [186, §135]; Харди и
Райт [335, теорема 82].
4.42 [140, упр. 4.5.1-6].
4.44 [140, упр. 4.5.3-39.
4.45 [140, упр. 4.3.2-13.
4.47 Лемер [189].
4.48 Гаусс [67, §78]; Крелль [168].
4.52 Коллоквиум 1974 г.
4.53 Коллоквиум 1973 г., идея Рао
[254].
4.54 Коллоквиум 1974 г.
4.56 Логан[200], ф-лаF.15)].
4.57 Частный случай представлен в
[148].
4.58 Серпински [270].
4.59 Кёртис [130]; Эрдёш [389].
4.60 Миле [222].
4.61 [139, упр. 1.3.2-19].
686 ПЕРВОИСТОЧНИКИ УПРАЖНЕНИЙ
4.63 Барлоу [13]; Абель [1]. 5.76
4.64 Пирс [237].
4.66 Рибенбойм [259]; Серпин- 5.77
ски [271, задача Р?о]. 5.78
4.67 [86]. 5.79
4.69 Крамер [166].
4.70 П. Эрдёш.* 5.81
4.71 [391, с. 96].
4.72 [391, с. 103]. 5.82
4.73 Ландау [181, том 2, ф-ла 648]. 5.85
5.1 Форкадель [316]. 5.86
5.3 Лонг и Хоггат [204]. 5.88
5.5 Курсовой выпускной экзамен 5.91
1983 г. 5.92
5.13 Коллоквиум 1975 г. 5.93
5.14 [139, упр. 1.2.6-20]. 5.95
5.15 Диксон [108]. 5.96
5.21 Эйлер [363]. 5.98
5.25 Гаусс [68, §7]. 5.102
5.28 Эйлер [382]. 5.104
5.29 Куммер [170, ф-ла26.4]. 5.105
5.31 Госпер [79]. 5.108
5.34 Бейли [17, §10.4]. 5.109
5.36 Куммер [171, с. 116]. 5.110
5.37 Вандермонд [45]. 5.111
5.38 [139, упр. 1.2.6-16]. 5.112
5.40 Редеет [258]. 5.113
5.43 Пфафф [249]; [139, упр. 1.2.6-31]. 5.114
5.48 Раньян Рой.*
5.49 Рой [262, ф-ла3.13]. 6.6
5.53 Гаусс [68]; Ричард Аски.* 6.15
5.58 Фрейзер и Мак-Келлар [319]. 6.21
5.59 Станфордский общеобразова- 6.25
тельный экзамен по информа-
информатике (зимний семестр 1987 г.). 6.27
5.60 [139, упр. 1.2.6-41]. 6.28
5.61 Люка [207]. 6.31
5.62 Коллоквиум 1971 г. 6.35
5.63 Коллоквиум 1974 г. 6.37
5.64 Коллоквиум 1980 г. 6.39
5.65 Коллоквиум 1983 г. 6.40
5.66 Коллоквиум 1984 г. 6.41
5.67 Коллоквиум 1976 г. 6.43
5.68 Коллоквиум 1985 г. 6.44
5.69 Лайл Рэмшоу, лекция по 6.46
приглашению, 1986.
5.70 Эндрюс [384, теорема 5.4]. 6.47
5.71 Вильф [53, упр. 4.16]. 6.48
5.72 Эрмит [394]. 6.49
5.74 Коллоквиум 1979 г. 6.50
5.75 Коллоквиум 1971 г.
[139, упр. 1.2.6-59 (исправлен-
(исправленное)].
Коллоквиум 1986 г.
[142].
Мендельсон [217]; Монтгомери
[225].
Выпускной экзамен 1986 г.;
[151].
Хиллман и Хоггат [338].
Су [289
Гуд [93]
Эрмит
Уиппл
395
303
Клаузен[134],[135].
Госпер [79].
Петковшек [236, следствие 3.1
Петковшек [236, следствие 5.1
Ира Гессель.*
Г. С. Вильф.*
Фолкер Штрел.*
Хенричи [337, р. 118].
Апери [8].
Гессель [71].
Р. У. Госпер, мл.*
391, с. 71
;391, с. 71
Вильф и Зильбергер [54].
Штрел [359] указывает в
качестве автора А. Шмидта.
Фибоначчи [312, с. 283].
[141, упр. 5.1.3-2].
Тейзингер [292].
Гарднер [63] приписывает
авторство Денису Уилкину.
Люка 206].
Люка 208, гл.18].
Лах [185]; Л.У.Флойд.*
Коллоквиум 1977 г.
Шаллит [349].
[139, упр. 1.2.7-15].
Кламкин [133, задача 1979/1].
Коллоквиум 1973 г.
Брук и Уолл [42].
Матиясевич [214].
Франческа [317]; Уоллис [305,
гл.4].
Люка [206].
[140, упр.4.5.3-9(с)].
Дейвисон [103].
Коллоквиум 1985 г.; Рам [253];
Дейкстра [104, с. 230-232].
С ПЕРВОИСТОЧНИКИ УПРАЖНЕНИЙ 687
6.51 Уоринг [306]; Лагранж [176]; 7.19
Вольштенхольм [56]. 7.20
6.52 Эсваратасан и Левайн [396].
6.53 Кауцки [128] излагает частный 7.22
случай. 7.23
6.54 Штаудт [355]; Клаузен [136]; 7.24
Радо [251]. 7.25
6.55 Эндрюс и У Тимура [388].
6.56 Коллоквиум 1986 г. 7.26
6.57 Задача коллоквиума 1984 г., 7.32
предложенная Р. Флойдом.*
6.58 [139, упр. 1.2.8-30]; коллоквиум
1982 г. 7.33
6.59 Барр [14]. 7.34
6.61 Выпускной экзамен 1976 г. 7.36
6.62 Д. Боруэн и П. Боруэн [32, §3.7]. 7.37
6.63 [139, разд. 1.2.10]; Стенли [282,
предложение 1.3.12]. 7.38
6.65 Танни [291]. 7.39
6.66 [141, упр. 5.1.3-3]. 7.41
6.67 Чжун и Грэхем [348]. 7.42
6.68 Логан [201]. 7.44
6.69 [141, упр. 6.1-13]. 7.45
6.72 Эйлер [374, часть 2, гл. 8]. 7.47
6.73 Эйлер [372, гл. 9 и 10]; Шрётер 7.48
[354]. 7.49
6.75 Эткинсон [398]. 7.50
6.76 141, ответ 5.1.3-3]; Ленжиель
193]. 7.51
6.78 Логан [201].
6.79 Boston Herald, от 21 августа 7.52
1904 г., раздел юмора 7.53
6.80 Зилверман и Дан [118].
6.82 [149]. 7.54
6.83 [85], по модулю ошибки вычи- 7.55
сления. 7.56
6.85 Барр [14]. 7.57
6.86 [158].
6.87 [140, упр. 4.5.3-2 и 3]. 8.13
6.88 Адаме и Дейвисон [3]. 8.15
6.90 Лемер [190]. 8.17
6.92 Часть (а) из работы Эсварата- 8.24
сана и Левайна [396].
7.2 [139, упр. 1.2.9-1].
7.8 Зейв [117]. 8.26
7.9 [139, упр. 1.2.7-22]. 8.27
7.11 Выпускной экзамен 1971 г. 8.29
7.12 [141]. 8.32
7.13 Рэни [265]. 8.34
7.15 Белл [20].
7.16 Пойа [241]; [139, упр. 2.3.4.4-1].
[153].
Юнген [399, с. 299] указывает в
качестве автора А. Гурвица.
Пойа [243].
Домашние задания 1983 г.
Майерс [210]; Седлачек [268].
[140, доказательство Карлитца
леммы 3.3.3В].
139, упр. 1.2.8-12].
391, с. 25-26] указывает в
качестве авторов Л. Мирского и
М. Ньюмена.
Выпускной экзамен 1971 г.
Томас Фидер.*
Выпускной экзамен 1974 г.
Эйлер [373, абзац 50]; выпуск-
выпускной экзамен 1971 г.
Карлитц [125].
[139, упр. 1.2.9-18].
Андре [7]; [141, упр. 5.1.4-22].
Выпускной экзамен 1974 г.
Гросс [83]; [141, упр. 5.3.1-3].
де Брейн [98].
Во и Максфилд [55].
Выпускной экзамен 1984 г.
Уотерхауз [307].
Шредер [353]; [139, упр. 2.3.4.4-
31].
Фишер [314]; Перкус [235,
с. 89-123]; Стенли [281].
Хаммерсли [331].
Эйлер [378, часть 2, раздел 2,
гл.6, §91].
Меснер [221].
Стенли [280].
Эйлер [377].
В [391, с. 48] имеется ссылка на
П. Эрдёша и П. Турана.
Томас М. Ковер.*
[139, упр. 1.2.10-17].
Пэтил [250].
Джон Кнут (в возрасте 4-х лет)
и Д. Э. К.; выпускной экзамен
1975 г.
[139, упр. 1.3.3-18].
Фишер [315].
Гуиба и Одлыжко [94].
Выпускной экзамен 1977 г.
Харди [334] ошибся в анализе
этой ситуации и пришел к
противоположным выводам.
6SS ПЕРВОИСТОЧНИКИ УПРАЖНЕНИЙ
8.35
8.36
8.38
8.39
8.41
8.43
8.44
8.45
8.46
8.47
8.48
8.49
8.50
8.51
8.53
8.57
8.58
9.1 .
9.2
9.3
9.6
9.8 :
9.9 .
9.14
9.16
9.18 ]
9.20 ]
9.24
Выпускной экзамен 1981 г.
Гарднер [64] указывает в
качестве автора Джорджа
Сичермана.
140, упр. 3.3.2-10].
143,упр.4.3(а)].
Феллер [310, ynp.IX.33].
139, разд. 1.2.10 и 1.3.3].
Выпускной экзамен 1984 г.
Выпускной экзамен 1985 г.
Феллер [310] указывает в каче-
качестве автора Гуго Штейнгауза.
Выпускной экзамен 1974 г.;
задача возникла при анализе
2-3-деревьев.
Выпускной экзамен 1979 г.
Влом [27]; выпускной экзамен
1984 г.
Выпускной экзамен 1986 г.
Выпускной экзамен 1986 г.
Феллер [310] указывает в каче-
качестве автора С. Н. Бернштейна.
Аайл Рэмшоу.*
пюиба и Одлыжко [94].
Карди [333, 1.3(g)].
Часть (с) взята из Гарфункель
65].
139, упр. 1.2.11.1-6].
139, упр. 1.2.11.1-3].
Карди [333, 1.2(iv)].
Ландау [180, том1, с. 60].
139, упр. 1.2.11.3-6].
Кнопп [137, издание ^ 2, §64С].
Вендер [21, §3.1].
Зыпускной экзамен 1971 г.
[82, §4.1.6].
9.27
9.28
9.29
9.32
9.34
9.35
9.36
9.37
9.38
9.39
9.40
9.41
9.42
9.44
9.46
9.47
9.48
9.49
9.50
9.51
9.52
9.53
9.57
9.58
9.60
9.62
9.63
9.65
9.66
9.67
9.68
Титчмарш [294].
Глейшер [75].
де Брейн [97, §3.7].
Выпускной экзамен 1976 г.
Выпускной экзамен 1973 г.
Выпускной экзамен 1975 г.
Семинары 1980 г.
[140, ф-ла4.5.3-21].
Выпускной экзамен 1977 г.
Выпускной экзамен 1975 г.,
идея Рейча [256].
Выпускной экзамен 1977 г.
Выпускной экзамен 1980 г.
Выпускной экзамен 1979 г.
Трикоми и Эрдейи [295].
де Брейн [97, §6.3].
Домашнее задание 1980 г.; [141,
ф-ла 5.3.1-34].
Выпускной экзамен 1980 г.
Выпускной экзамен 1974 г.
Выпускной экзамен 1984 г.
[82, §4.2.1].
Пуанкаре [247]; Борель [31,
с. 27].
Пойа и Сегё [244, часть 1,
задача 140].
Эндрю М. Одлыжко.*
Хенричи [336, упр. 4.9.8].
[157].
Кенфилд [173].
Варди [47].
Комте [161, гл. 5, упр. 24].
М. П. Шюценберже.*
Либ [195]; Стенли [282,
упр.4.37(с)].
Боас и Ренч [28].
* Неопубликованное личное сообщение.
Указатели
(Здесь должны
быть ссылки и на
граффити.)
В СЛУЧАЕ, КОГДА УКАЗАТЕЛЬ отсылает к странице, содер-
содержащей соответствующее упражнение, из ответа к этому упраж-
упражнению (в приложении А) можно извлечь дополнительную инфор-
информацию; при этом номера страниц с ответами не указываются, если
только указатель не отсылает к понятию, которое не фигуриру-
фигурирует в формулировке соответствующего упражнения. Некоторые не
представленные здесь обозначения (типа х-, |_xj и (?)) перечи-
перечислены на ее. 15 и 16 в разделе „Значения обозначений*! [В именной
указатель вошли также и ссылки на авторов добавленной при пе-
переводе литературы.]
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абель (Abel, Niels Henrik) 651, 686
Абрамовиц (Abramowitz, Milton) 61, 68, 651
Агеев Михаил Илларионович 678
Адаме (Adams, William Wells) 651, 687
Айверсон (Iverson, Kenneth Bugene) 42, 88, 651,
685
Айерлэнд (Ireland К.) 599, 651
Аллардис (Allardice, Robert Edgar) 19, 651
Альфред, см. Bpycco
Американское математическое общество
(American Mathematical Society) 12
Андре (Andre, Antoine Desire) 651, 687
Апери (Apery, Roger) 267, 652, 655, 686
Арене (Ahrens, Wilhelm Brnst Martin Georg) 25,
652
Армагеддон (Armageddon) 108
Армстронг (Armstrong, Daniel Louis
(= Satchmo)) 103
Арнольд Владимир Игоревич 7
Аронсон (Aaronson, Bette Jane) 13
Аски (Askey, Richard Allen) 252, 652, 686
Ахиезер Наум Ильич 637, 652
Axo (Aho, Alfred Vaino) 652, 685
Банах (Banach, Stefan) 471
Варлоу (Barlow, Peter) 652, 686
Bapp (Burr, Stefan Andrus) 652, 687
Вартон (Barton, David Blliott) 649, 659
Вахман (Bachmann, Paul Gustav Heinrich) 481,
652
Башмаков Марк Иванович 653
Вейер (Beyer, William Hyman) 61, 652
Вейли (Bailey, Wilfrid Norman) 252, 591, 652,
686
Велл (Bell, Brie Temple) 365, 652, 687
Вендер (Bender, Edward Anton) 652, 688
Вернулли И. (Bernoulli, Johann (= Jean)) 666
Вернулли Я. (Bernoulli, Jakob (= Jacobi
= Jacques = James)) 7, 313, 314, 315, 331,
509, 653
Вернштейн Сергей Натанович 688
Бертран (Bertrand, Joseph Louis Frangois) 170,
653, 685
Вине (Binet, Jacques Philippe Marie) 331, 335,
653, 685
Витон (Beeton, Barbara Ann Neuhaus Friend
Smith) 12
Витти (Beatty, Samuel) 653, 685
Блом (Blom, Carl Gunnar) 653, 688
Boac (Boas, Ralph Philip, Jr.) 12, 646, 653, 688
Borrc (Boggs, Wade Anthony) 223
Волл (Ball, Walter William Rouse) 653, 685
Воль (Bohl, Piers Paul Felix (= ВоГ, Pirs
Georgievich)) 110, 653
Ворель (Borel, Bmile Felix Bdouard Justin) 654,
688
690 УКАЗАТЕЛИ
Воруэйн Дж. (Borwein, Jonathan Michael) 654,
687
Воруэйн П. (Borwein, Peter Benjamin) 654, 687
Врат Альфред, см. Вруссо
Враун Марк (Brown, Mark Robbin) 684
Враун Мортон (Brown, Morton) 541, 654
Враун P. (Brown, Roy Howard) 13
Враун Томас (Brown, Thomas Craig) 654, 685
Враун Т. (Brown, Trivial) 654
Враун У. (Brown, William Gordon) 393, 654
Брауна университет (Brown University) 13
Врент (Brent, Richard Peirce) 338, 567, 608, 654
Вриларт (Brillhart, John David) 654, 685
Вродер (Broder, Andrei Zary) 12, 684
Вроко (Brocot, Achille) 140, 654
Врук (Brooke, Maxey) 654, 686
Bpycco (Alfred [Brousseau], Brother Ulbertus)
654, 685
Вукгольц (Buckholtz, Thomas Joel) 599, 663
Вьенэме (Bienayme, Irenee Jules) 427, 654
Вюлер (Bulwer-Lytton, Edward George Earle
Lytton, Baron) 659
Вагстафф (Wagstaff S. S.) 654
Валлис, см. Уоллис
Ван дер Портен (van der Poorten, Alfred
Jacobus) 267, 655
Вандермонд (Vandermonde, Alexandre
Theophile) 195, 655, 686
Варди (Vardi, Ilan) 567, 592, 649, 655, 663, 685,
688
Ватсон (Watson, John Hamish) 258, 442
Вебер (Weber, Heinrich) 563, 655
Вейль (Weyl, Claus Hugo Hermann) 110, 655
Вейснер (Weisner, Louis) 557, 655
Венн (Venn, John) 538, 655, 685
Вермут (Wermuth, Edgar Martin Emil) 650, 655
Вильф (Wilf, Herbert Saul) 104, 269, 271, 556,
572, 592, 620, 655, 663, 669, 686, 687
Вич (Veech, William Austin) 556
Bo (Waugh, Frederick Vail) 655, 687
Вольтер (Voltaire, de (= Arouet, Frangois
Marie)) 489
Вольштенхольм (Wolstenholme, Joseph) 655,
687
Ворпицки (Worpitzky, Julius Daniel Theodor)
299, 655
Вуд (Wood, Derick) 656, 685
Вудс (Woods, Donald Roy) 148, 673
Вульф (Woolf, William Blauvelt) 12
Высоцкий (Vyssotsky, Victor Alexander) 592
Гамбургер (Hamburger, Hans Ludwig) 637, 656
Гарднер (Gardner, Martin) 128, 331, 448, 656,
686, 688
Гарфункель (Garfunkel, Jack) 656, 688
Гаспер (Gasper, George) 252, 656
Гаусс (Gaufi (= Gauss), Johann Friedrich Carl
(= Carl Friedrich)) 7, 11, 23, 48, 136, 148,
232, 235, 241, 251, 541, 551, 571, 656, 657,
659, 685, 686
Гейберг (Heiberg, Johan Ludvig) 679
Гейзенберг (Heisenberg, Werner Karl) 522
Гельфанд Израиль Моисеевич 7
Герштейн (Herstein, Israel Nathan) 25, 657
Гессель (Gessel, Ira Martin) 300, 657, 686
Ги (Guy, Richard Kenneth) 565, 567, 657
Гильберт (Gilbert, William Schwenck) 483
Гинсбург (Ginsburg, Jekuthiel) 301, 657
Глейшер (Glaisher, James Whitbread Lee) 657,
688
Голомб (Golomb, Solomon Wolf) 87, 499, 535,
536, 547, 548, 649, 655, 657, 685
Гопинат (Gopinath, Bhaskarpillai) 541, 665
Гордон (Gordon, Peter Stuart) 13
Госпер (Gosper, Ralph William) 253, 259, 608,
657, 686
Готшалк (Gottschalk, Walter Helbig) 10
Гранвиль (Granville, Andrew James) 592
Гранди Г. (Grandi, Luigi Guido) 78, 657
Гранди П. (Grundy, Patrick Michael) 672, 685
Грейвс (Graves, William Henson) 684
Грейтцер (Greitzer, Samuel Louis) 658, 685
Грин (Greene, Daniel Hill) 578, 658, 688
Гросс (Gross, Oliver Alfred) 658, 687
Грэхем Р. (Graham, Ronald Lewis) 2-4, 9, 13,
126, 541, 547, 554, 556, 568, 592, 601, 658,
664, 672, 679, 682-685, 686, 687
Грэхем Ш. (Graham, Cheryl) 13
Грюнбаум (Griinbaum, Branko) 538, 658
Гуд (Good, Irving John) 658, 686
Гудфеллоу (Goodfellow, Geoffrey Scott) 148, 673
Гурвиц (Hurwitz, Adolf) 687
Гюиба (Guibas, Leonidas Ioannis (= Leo John))
636, 659, 684, 687, 688
Дайсон (Dyson, Freeman John) 198, 269, 658,
659
Дан (Dunn, Angela Fox) 660, 687
Данкель (Dunkel, Otto) 676, 685
Даннингтон (Dunnington, Guy Waldo) 23, 659
Де Врейн (de Bruijn, Nicolaas Govert) 482, 485,
641, 659, 687, 688
Де Муавр (de Moivre, Abraham) 329, 521, 659
Дедекинд (Dedekind, Julius Wilhelm Richard)
161, 659
Дейвид (David, Florence Nightingale) 649, 659
Дейвис (Davis, Philip Jacob) 239, 659
Дейвисон (Davison, John Leslie) 339, 651, 659,
686, 687
Дейкстра (Dijkstra, Edsger Wybe) 200, 659, 686
Декарт (Descartes Rene) 675
Дерет (Durst, Lincoln Kearney) 12
Джарден (Jarden, Dov) 600, 659
Дженокки (Genocchi, Angelo) 594, 659
Джонс (Jones, Bush) 201, 660
Диксон A. (Dixon, Alfred Cardew) 660, 686
Диксон Л. (Dickson, Leonard Eugene) 551, 660
Дирихле (Dirichlet, Johann Peter Gustav
Lejeune) 7, 406, 409, 660, 685
Драйсдейл (Drysdale, Robert Lewis (Scot)) 684
Дугол (Dougall, John) 198, 660
Дьёдонне (Dieudonne, Jean Alexandre) 565
УКАЗАТЕЛИ 691
Дьюдени (Dudeney, Henry Ernest) 660, 685
Дюбнер (Dubner, Harvey) 660, 675, 685
Дюбуа-Раймон (du Bois-Reymond, Paul David
Gustav) 478, 660
Дюпре (Dupre, Lyn Oppenheim) 13
Евклид (Euclid (= ЕйкЫбщ)) 131, 679
Жуайек (Jouaillec, Louis Maurice) 684
Заальшютц (Saalschutz, Louis) 264, 660
Загиер (Zagier, Don Bernard) 267
Зайльбергер, см. Зильбергер
Зейв (Zave, Derek Alan) 660, 687
Зилверман (Silverman, David L.) 660, 687
Зильбергер (= Зайльбергер) (Zeilberger, Doron)
13, 259, 267, 269, 271, 608, 655, 660, 661,
686
Зипф (Zipf, George Kingsley) 456
Иосиф Флавий (Josephus, Flavius) 25, 36, 661
Йонассен (Jonassen, Arne Tormod) 578, 661
Каххлански (Kaplansky, Irving) 25, 657
Карамата (Karamata, Jovan) 287, 661
Карлин (Karlin, Anna Rochelle) 684
Карлитц (Carlitz, Leonard) 661, 687
Кассини (Cassini, Gian (= Giovanni = Jean)
Domenico (= Dominique)) 324, 661
Каталан (Catalan, Eugene Charles) 231, 396, 661
Кауцки (Kaucky, Josef) 661, 687
Кенфилд (Canfield, Earl Rodney) 688
Кеплер (Kepler, Johannes) 324, 661
Кёртис (Curtiss, David Raymond) 661, 685
Кипер (Keiper, Jerry Bruce) 648, 661
Киплинг (Kipling, Joseph Rudyard) 290
Клайн (Kline M.) 661
Кламкин (Klamkin, Murray Seymour) 661, 685,
686
Кларнер (Klarner, David Anthony) 684
Клаузен (Clausen, Thomas) 283, 662, 686, 687
Клуб любителей конкретной математики
(Concrete Math Club) 96
КляусУ.М. 669
Кнопп (Knopp, Konrad) 662, 688
Кноэбл, см. Нобель
Кнут Джилл (Knuth, Nancy Jill Carter) 13
Кнут Джон (Knuth, John Martin) 687
Кнут Дональд (Knuth, Donald Ervin) 2-4, 8-10,
12-13, 42, 126, 133, 134, 153, 188, 224, 230,
297, 319, 448, 541, 542, 547, 555, 572, 573,
597, 599, 611, 618, 645, 658, 661-663, 678,
683-688
Кобб (Cobb, Tyrus Raymond) 223
Ковер (Cover, Thomas Merrill) 687
Коксетер (Coxeter, Harold Scott Macdonald)
653, 685
Коллингвуд (Collingwood, Stuart Dodgson) 325,
664
Коллинз (Collins, John) 669
Колумб (Colombo, Cristoforo (= Columbus,
Christopher)) 95
Колумбийский университет (Columbia
University) 13
Комте (Comtet, Louis) 664, 688
Конан-Дойль (Doyle, Sir Arthur Conan) 187,
258, 442, 664
Конвей (Conway, John Horton) 448, 541, 664
Коши (Cauchy, Augustin Louis) 664, 685
Коэн (Cohen, Henri Jose) 267
Крамер (Cramer, Carl Harald) 567, 664, 686
Крамп (Kramp, Christian) 135, 664
Крелль (Crelle, August Leopold) 664, 685
Криспин (Crispin, Mark Reed) 148, 673
Кронекер (Kronecker, Leopold) 563
Kpoy (Crowe, Donald Warren) 664, 685
Крук (Kruk, John Martin) 561
Куммер (Kummer, Ernst Eduard) 234, 242, 572,
664, 665, 686
Куршан (Kurshan, Robert Paul) 541, 665
Кэнфилд (Canfield, Earl Rodney) 649, 665, 668
Кэррол (= Кэрролл) (Carroll, Lewis
(= Dodgson, Rev. Charles Lutwidge))
49, 93, 249, 325, 664, 665, 675
Лагранж (Lagrange (= de la Grange), Joseph
Louis, comte) 510, 665, 687
Ламберт (Lambert, Johann Heinrich) 228, 665,
682
Ландау (Landau, Edmund Georg Hermann) 126,
481, 487, 665, 686, 688
Ланьи (de Lagny, Thomas Fantet) 336, 665
Лапко Ольга Георгиевна 14
Лаплас (Laplace, Pierre Simon, marquis de) 505,
654, 666
Лах (Lah, Ivo) 666, 686
Левайн (Levine, Eugene) 683, 687
Лежандр (Legendre, Adrien Marie) 618, 666, 685
Лейбниц (Leibniz, Gottfried Wilhelm, Freiherr
von) 7, 11, 194, 658, 666
Леккеркеркер (Lekkerkerker, Cornelius Gerrit)
327, 666
Лемер (Lehmer, Derrick Henry) 568, 666, 685,
687
Ленжиель (Lengyel, Tamas Lorant) 193, 666, 687
Лешифр (LeChiffre, Mark Well) 173
Ли Сянь-Лянь (Li Shanlan Renshu (= Qiuren))
299, 666
Лианг (Liang, Franklin Mark) 684
Либ (Lieb, Elliott Hershel) 666, 688
Линесс (Lyness, Robert Cranston) 541, 666
Линкольн (Lincoln, Abraham) 438
Литлвуд (Littlewood, John Edensor) 269, 666
Лиувилль (Liouville, Joseph) 161, 667
Логан (Logan, Benjamin Franklin) 318, 667, 685,
687
Лойд (Loyd, Samuel) 604, 667
Лонг (Long, Calvin Thomas) 667, 686
Лу (Lou Shituo) 567, 667
Лучак (Luczak, Tomasz Jan) 230, 683
Лысенко Валентин Иванович 676
Люка (Lucas, Francois Edouard Anatole) 17, 324,
667, 685, 686
692 УКАЗАТЕЛИ
Майерс (Myers, Basil Roland) 667, 687
Мак-Грат (McGrath, James Patrick) 684
Мак-Келлар (McKellar, Archie Charles) 676, 686
Мак-Лорен (MacLaurin, Colin) 509, 667
Мак-Магон (MacMahon, Maj. Percy Alexander)
164, 667
Максфилд (Maxfield, Margaret Waugh) 655, 687
Мак-Элис (McBliece, Robert James) 93
Марцлофф (Martzloff, Jean-Claude) 299, 668
Матиясевич Юрий Владимирович 326, 668, 686
Маховая Ирина Анатольевна 14
Мелзяк (Melzak, Zdzislaw Alexander) 9, 668
Мендельсон (Mendelsohn, Nathan Saul) 668, 686
Мерсенн (Mersenne, Marin) 133, 156, 668, 675
Мертенс (Mertens, Franz Carl Joseph) 41, 164,
668
Меснер (Moessner, Alfred) 668, 687
Мёбиус (Mobius, August Ferdinand) 160, 163,
668
Мёрдок (Murdock, Phoebe James) 12
Мёчант (Merchant, Arif Abdulhussein) 684
Миле (Mills, William Harold) 668, 685
Минковский (Minkowski, Hermann) 146
Мир, издательство З, 4, 14
Мирский (Mirsky, Leon) 687
Мозер (Moser, Leo) 323, 668, 685
Монтгомери П. (Montgomery, Peter Lawrence)
668, 686
Монтгомери X. (Montgomery, Hugh Lowell) 502,
668
Моцкин (Motzkin, Theodor Samuel) 600, 608,
659, 668
Мэйр (Mayr, Ernst) 13, 684, 685
Мэллоуз (Mallows, Colin Lingwood) 547
Наивен (Niven, Ivan Morton) 365, 669, 685
Национальный научный фонд (National Science
Foundation) 13
Никифоровский В. А. 653
Нобель (= Кноэбл) (Knoebel, Robert Arthur)
230, 669
Нью-Йоркский университет (CUNY (= City
University of New York)) 13
Ньюмен (Newman, James Roy) 674, 687
Ньютон (Newton, Sir Isaac) 7, 216, 307, 669
Одлыжко (Odlyzko, Andrew Michael) 104, 608,
659, 669, 687, 688
Ожигова Елена Петровна 670, 683
Ope О. 651
Отделение военно-морских исследований
(Office of Naval Research) 13
Пале (Palais, Richard Sheldon) 12
Паскаль (Pascal, Blaise) 180, 181, 669, 685
Паташник О. (Patashnik, Oren) 2-4, 10, 13, 126,
547, 658, 684
Паташник Э. (Patashnik, Amy Markowitz) 13
Пауле (Paule, Peter) 580, 589
Пачоли (Pacioli, Luca) 676
Пенни (Penney, Walter Francis) 446, 475, 669
Перкус (Percus, Jerome Kenneth) 669, 687
Петковшек (Petkovsek, Marko) 259, 620, 669,
686
Пирс (Peirce, Charles Santiago Sanders) 567, 669,
686
Питтел (Pittel, Boris Gershon) 230, 621, 683
Погребысский Иосиф Венедиктович 666, 669
Пойа (= Полна) (Polya, George (= Gyorgy)) 9, 21,
33, 34, 36, 83, 207, 224, 361, 550, 670, 685,
687, 688
Полищук Ефим Михайлович 654
Поллак (Pollak, Henry Otto) 658, 685
Поонен (Poonen, Bjorn) 542, 685
Портер (Porter, Thomas К.) 684
Похгаммер (Pochhammer, Leo) 67, 68, 670
Походзей Борис Борисович 3, 4, 14
Пратт (Pratt, Vaughan Ronald) 684
Принстонский университет (Princeton
University) 13, 464
Пуанкаре (Poincare, Jules Henri) 670, 688
Пуассон (Poisson, Simeon Denis) 510, 670
Пфафф (Pfaff, Johann Friedrich) 235, 246, 582,
670, 686
Пэтил (Patil, Ganapati Parashuram) 670, 687
Радо (Rado, Richard) 670, 687
Райе (Rice, Stephan Oswald) 13, 671
Раиса университет (Rice University) 13
Райт (Wright, Sir Edward Maitland) 135, 671,
677, 685
Рам (Rham, Georges de) 671, 686
Рамануджан (Ramanujan Iyengar, Srinivasa)
364, 652
Рамаре (Ramare, Olivier) 592
Pao (Rao, Dekkata Rameswar) 671, 685
Рахман (Rahman, Mizanur) 656
Рейнвиль (Rainville, Earl David) 571, 671
Рейнгольд (Reingold, Edward Martin) 91
Рейч (Reich, Simeon) 671, 688
Рекорд (Recorde, Robert) 484, 671
Реми (Remy, Jean-Luc) 649
Рени, см. Рэни
Ренц (Renz, Peter Lewis) 12
Ренч (Wrench, John William, Jr.) 646, 653, 688
Редеет (R0dseth, 0ystein Johan) 671, 686
Рибенбойм (Ribenboim, Paulo) 599, 671, 686
Рид (Read, Ronald Cedric) 670
Риман (Riemann, Georg Friedrich Bernhard) 86,
232, 308, 406, 568, 671, 685
Роберте (Roberts, Samuel) 671, 685
Рой (Roy, Ranjan) 671, 686
Ролечек (Rolletschek, Heinrich Franz) 556
Poccep (Rosser, John Barkley) 134, 671
Российский Фонд Фундаментальных Исследо-
Исследований (РФФИ) 4
Рота (Rota, Gian-Carlo) 557, 672
Роузен (Rosen M.) 599, 651
Ружа (Ruzsa, Imre Zoltan) 568, 592, 683
Рэлей, см. Стретт
Рэмшоу (Ramshaw, Lyle Harold) 95, 684, 686,
688
Рэни (= Рени) (Raney, George Neal) 394, 397,
408, 672, 687
УКАЗАТЕЛИ 693
Салтыков Альберт Иванович 502, 672
Свенсон (Swanson, Ellen Esther) 12
Сегеди (Szegedy, Mario) 567, 672, 677
Cere (Szego, Gabor) 83, 670, 688
Седгевик (Sedgewick, Robert) 684
Седлачек (Sedlacek, Jifi) 672, 687
Серпински (= Серпиньский) (Sierpinski,
Wadaw) 110, 551, 672, 685, 686
Сивер (Seaver, George Thomas (= 41)) 25, 117,
129, 377
Силвестер (= Сильвестр) (Sylvester, James
Joseph) 157, 672, 685
Сило (Shiloach, Joseph (= Yossi)) 684
Сичерман (Sicherman, George Leprechaun) 688
Скиена (Skiena, Steven Sol) 592
Скорер (Scorer, Richard Segar) 672, 685
Слоан (Sloane, Neil James Alexander) 61, 376,
503, 652, 673, 685
Словински (Slowinski, David Allen) 133
Смит (Smith, Cedric Austen Bardell) 672, 685
Снегоход (Snowwalker, Luke) 473
Сойер (Sawyer, Walter Warwick) 235, 673
Соловьев Александр Данилович 445, 673
Спон (Spohn, William Gideon, Jr.) 8, 673
Спруньоли (Sprugnoli, Renzo) 608
Станфордский университет (Stanford
University) 13, 464
Стейн (Stein, Sherman Kopald) 685
Стенли (Stanley, Richard Peter) 300, 577, 657,
673, 687, 688
Стиган (Stegun, Irene Anne) 61, 68, 651
Стил (Steele, Guy Lewis) 148, 673
Стилтьес (Stieltjes, Thbmas Jan) 648, 656, 673,
685
Стирлинг (Stirling, James) 219, 223, 239, 287,
288, 329, 493, 521, 673
Столман (Stallman, Richard Matthew) 148, 673
Стоун (Stone, Marshall Harvey) 9
Стретт (Rayleigh, John William Strutt, 3rd
Baron) 99, 673, 674
СтройкД.Я. 118, 158, 674
Стюарт (Stewart, Bonnie Madison) 676, 685
Cy (Hsu, Lee-Tsch (= Lietz = Leetch)
Ching-Siur) 674, 686
Суиден (Swinden, Benjamin Alfred) 685
Суини (Sweeney, Dura Warren) 521, 674
Сунь Цзы (= Сунь Тзу = Сунь Цю) (Sun Tsu
(= Sunzi, Master Sun)) 150
Сянь-Лянь, см. Ли Сянь-Лянь
Танни (Tanny, Stephen Michael) 674, 687
Тейзингер (Theisinger, Ludwig) 674, 686
Тейлор (Taylor, Brook) 189, 318
Тиеле (Thiele, Thorvald Nicolai) 435, 436, 674
Титчмарш (Titchmarsh, Edward Charles) 674,
688
Тодд (Todd, Horace) 541
Тонг (Tong, Christopher Hing) 684
Тото (Toto) 626
Траб Пардо (Trabb Pardo, Luis Isidoro) 684
Трикоми (TVicomi, Francesco Giacomo Filippo)
674, 688
Туран (Turan, Paul) 687
Тюлина Ирина Александровна 665
Уайтхед (= Уайтхэдъ) (Whitehead, Alfred
North) 77, 114, 544, 650, 674
Уивер (Weaver, Warren) 325, 675
Уидден (Whidden, Samuel Blackwell) 12
Уилкин (Wilquin, Denys) 686
Уильяме (Williams, Hugh Cowie) 675, 685
Уигшл (Whipple, Francis John Welsh) 283, 675,
686
Уитти (Witty, Carl Roger) 550
Унгар (Ungar, Peter) 311, 675
Уолл (Wall, Charles Robert) 654, 686
Уоллис (= Валлис) (Wallis, John) 675, 686
Уоринг (Waring, Edward) 675, 687
Уотерхауз (Waterhouse, William Charles) 675,
687
Успенский Яков Викторович (Uspensky, James
Victor) 658, 675, 680, 685
Утимура (Uchimura, Keisuke) 682, 687
Файн Г. (Fine, Henry Burchard) 669
Файн Н. (Fine, Nathan Jacob) 649
Фаулхабер (Faulhaber, Johann) 319, 675
Фейгенбаум (Feigenbaum, Joan) 684
Феллер (Feller, William) 418, 675, 688
Ферма (Fermat, Pierre de) 155, 156, 675
Фибоначчи (Fibonacci, Leonardo) 7, 118, 324,
593, 675, 685, 686
Фидер (Feder, Tomas) 687
Фидий (Phidias) 331
Финетти (Finetti, Bruno de) 43, 675
Финкель (Finkel, Raphael Ari) 148, 673
Фишер М. (Fisher, Michael Ellis) 676, 687
Фишер Р. (Fisher, Sir Ronald Aylmer) 676, 687
Флавий, см. Иосиф Флавий
Флойд (Floyd, Robert W) 686, 687
Форкадель (Forcadel, Pierre) 676, 686
Фрай (Frye, Roger Edward) 155
Франкфурт У И. 669
Франческа (Francesca, Piero della) 676, 686
Фредмен (Fredman, Michael Lawrence) 555, 676
Фрейзер A. (Fraser, Alexander Yule) 19, 651
Фрейзер У (Frazer, William Donald) 676, 686
Фрейм (Frame, James Sutherland) 676, 685
Фрейнел (Franel, Jerome) 592, 676
Фрейман Григорий Абелевич 567, 677
Френкель (Fraenkel, Aviezri) 556, 607, 676, 685
Фурье (Fourier, Jean Baptiste Joseph) 40, 676
Фусс Николай Иванович (Fuss, Nicolao) 396,
676, 680, 681
Хайман (Haiman, Mark) 684
Хаймович (Chaimovich, Mark) 567, 677
Халмош (Halmos, Paul Richard) 8, 9, 15, 677
Халфен (Halphen, Georges Henri) 337, 677
Хаммерсли (Hammersley, John Michael) 8, 677,
687
Хансен (Hansen, Eldon Robert) 61, 677
Харди (Hardy, Godfrey Harold) 135, 480, 677,
685, 687, 688
694 УКАЗАТЕЛИ
Хелмболд (Helmbold, David Paul) 684
Хенричи (Henrici, Peter Karl Bugen) 332, 365,
589, 649, 677, 686, 688
Хиллман (Hillman, Abraham P) 677, 686
Xoap (Hoare, Charles Antony Richard) 46, 95,
663, 678
Хоггат (Hoggatt, Verner Bmil, Jr.) 667, 677, 686
Ходулёв Андрей Борисович 3, 4, 14
Холанд (Haland, Inger Johanne) 556, 678, 685
Холл (Hall, Marshall) 597, 678
Холмс (Holmes, Thomas Sherlock Scott) 187, 258
Хофштадтер (Hofstadter, Douglas Richard) 685
Цапф (Zapf, Hermann) 12, 663
Цеккендорф (Zeckendorf, Edouard) 327, 328,
607, 678
Цирик (Csirik, Janos Andras) 636, 678
Чебышёв Пафнутий Львович 57, 170, 427, 678,
685
Чейс (Chace, Arnold Buffum) 678, 685
Чех (Cech, Eduard) 9
Чжень (Chen, Pang-Chieh) 684
Чжу Ши-цзе (Chu Shih-Chieh (= Zhu Shijie))
195
Чжун (Chung, Fan-Rong King) 601, 679, 687
Шаллит (Shallit, Jeffrey Outlaw) 679, 686
Шаркански (Sharkansky, Stefan Michael) 684
Шаркёзи (Sarkozy, Andras) 592, 679
Шарп (Sharp, Robert Thomas) 303, 679
Шаффер (Schaffer, Alejandro Alberto) 684
Шёнфельд (Schoenfeld, Lowell) 134, 671
Шинцель (Schinzel, Andrzej) 567
Шлёмильх (Schlomilch, Oscar Xaver) 325, 679
Шмидт (Schmidt, Asmus Lorenzen) 686
Шонхейм (Schonheim, Johanen) 567, 677
Шор (Shor, Peter Williston) 685
Шредингер (Schrodinger, Erwin) 467
Шредер (Schroder, Ernst) 679, 687
Шрётер (Schroter, Heinrich Eduard) 687, 679
Штаудт (Staudt, Karl Georg Christian von) 679,
687
Штейнгауз (Steinhaus, Hugo Dyonizy) 688
Штейнер (Steiner, Jacob) 21, 679, 685
Штерн (Stern, Moritz Abraham) 140, 679
Штикельбергер (Stickelberger, Ludwig) 679, 685
Штраус (Straus, Ernst Gabor) 568, 592, 608, 668,
683
Штрел (Strehl, Karl Ernst Volker) 592, 679, 686
Шюценберже (Schutzenberger, Marcel Paul) 688
Эвклид, см. Евклид
Эдварде (Edwards, Anthony William Fairbank)
180, 671, 680
Эддисон-Уэсли, издательство (Addison-Wesley)
2, 4, 13
Эйзенштейн (Eisenstein, Ferdinand Gotthold
Max) 230, 680
Эйлер (Euler, Leonhard) 7, 8, 11, 14, 23, 68, 146,
155, 156, 158, 230, 232, 235, 239, 273, 297,
308, 317, 333, 335, 509, 510, 555, 572, 619,
650, 652, 655. 659, 668, 680-682, 685-687
Эйнштейн (Einstein, Albert) 94, 339
Элькис (Elkies, Noam David) 155, 682
Эндрюс (Andrews, George W. Eyre) 244, 364,
573, 620, 682, 686, 687
Эратосфен (Eratosthenes) 135
Эрдейи (Erdelyi, Arthur) 674, 688
Эрдёш (Erdos, Pal (= Paul)) 7, 455, 556, 567,
568, 592, 620, 682, 683, 685-687
Эрмит (Hermite, Charles) 581, 599, 673, 683, 686
Эсваратасан (Eswarathasan, Arulappah) 683, 687
Эткинсон (Atkinson, Michael David) 683, 685,
687
Эхад (Ekhad, Shalosh B.) 590
Юнген (Jungen, Reinwald) 683, 687
Юшкевич Адольф-Андрей Павлович 658, 676,
679
Якоби (Jacobi, Carl Gustav Jacob) 85, 683
Янсон (Janson, Carl Svante) 230, 683
Яо Ки (Yao, Qi) 567, 667
Яо Ф. (Yao, Foong Frances) 13, 684
Яо Э. (Yao, Andrew Chi-Chih) 13, 684
УКАЗАТЕЛИ 695
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
0°_188
1.41421) 123
1.73205L14
I, см. Комплексное число, мнимая часть
?, см. Логарифмически-экспоненциальная
функция
1Я, см. Комплексное число, действительная
часть
у (« 0.57722), см. Константа Эйлера
Г, см. Гамма-функция
5 66-76
А, см. Оператор разностный
€р(п), см. Наивысшая степень р, делящая п
C, см. Дзета-функция
S248
в, см. Большая Тета
9-функция, см. Тета-функция
кт, см. Кумулянты
ц, см. Функция Мёбиуса
-v, см. Ню-функция
7Т (« 3.14159), см. Константы канонические
7т(х), см. Пи-функция
сг, см. Стандартное отклонение, Константы
Стирлинга
(Тп(х), см. Многочлены Стирлинга
ф (« 1.61803), см. Отношение золотого сечения
ср, см. Фи-функция
Ф, см. Сумма функций ср
П, см. Большая Омега
У~-обозначение, см. Сигма-обозначение
И-операция, см. Операция произведения
Д-обозначение 86
4==>, см. Тогда и только тогда
=Ф, см. Влечет за собой
\, см. Деление
\\, см. Деление напросто
_1_, см. Взаимная простота
-<, см. Растет медленнее, чем
>-, см. Растет быстрее, чем
х, см. Растет так же быстро, как
~ 480
«, см. Приблизительно равно
=, см. Отношение сравнимости
#, см. Мощность множества
!, см. Факториалы
j, см. Субфакториал
..., см. Многоточие
Вп, см. Числа Бернулли
D, см. Дифференциальные операторы
е(« 2.71828), см. Константы канонические
еп, см. Числа Евклида
E, см. Математическое ожидание
E, см. Оператор сдвига
Еп, см. Числа эйлеровы
F, см. Гипергеометрические функции
Fn, см. Числа Фибоначчи
Нп, см. Гармонические числа
г40
К-многочлены, см. Континуанты
Ln, см. Числа Люка
mod 104-108
о малое 487
О большое, см. Большое О
Тп, см. Тангенциальные числа
ТЙС 248, 703
V7 см. Дисперсия
Абсолютная погрешность 490
- сходимость 80
Абсолютно сходящиеся суммы 81
Автомат конечный 442
Автоматный язык 442
Автоморфы 562
Азбука Морзе 335, 357
Айверсона нотация, см. Нотация Айверсона
Алгоритм Госпера 577
- Госпера—Зильбергера 259, 352
- Евклида 126, 147, 336
- жадный 124
- Фибоначчи 118, 124
Алгоритмы самоподтверждающие 127
Алчность 424
Анализ алгоритмов 450
- - вероятностный 450
Аналитические функции 224
Антиразностный оператор 68
Антиразность 74
Апери числа, см. Числа Апери
Аппроксимация Стирлинга 531
Аргумент 233
Аргументация полиномиальная 183
Арифметика модулярная 148
Арифметическая прогрессия 44, 49, 412
Асимптотика 477-536
- два приема 502-508
- завершающее суммирование 515-529
- иерархия 478-481
- операции с О 488-502
- символ О 481-488
- формула суммирования Эйлера 508-515
Асимптотически 138
- равно 134
Асимптотическое раскрытие рекуррентных
соотношений 495
- суммирование 505
База индукции, см. Базис индукции
Базис индукции 20, 353
Базовое слагаемое 270
Башня Брамы, см. Ханойская башня
Бейсбол 94, 173
Белла числа, см. Числа Белла
Бернулли многочлен, см. Многочлен Бернулли
- числа, см. Числа Бернулли
Бертрана постулат, см. Постулат Бертрана
Бесконечная в обе стороны сумма 523
Бесполезные тождества 252, 284
Беспорядки 221, 227
Бесселева функция 234
Биекция 58
Бинарное дерево 141
Бинарный поиск 210
Биномиальная свертка 400
- система счисления 275
- теорема 187, 250
Биномиальное распределение 439, 469
- - отрицательное 439
Биномиальные коэффициенты 178-286
- - гипергеометрические преобразования 245-252
функции 232-245
- - механическое суммирование 259-271
- - необходимые навыки 199-213
- - обернутые 347
- - обобщенные, см. Обобщенные биномиальные
коэффициенты
- - основные тождества 178-199
- - производящие функции 224-232
- - специальные приемы 213-224
696 УКАЗАТЕЛИ
- - частичные гипергеометрические суммы
252-259
Биномиальный коэффициент средний 286, 535
- ряд 234
- - обобщенный 228, 282
Ближайшее целое 117
Большая Омега 486
- Тета 487
Большие числа, испытание на простоту 133
Большое О 481-502
Булыжная мостовая 54
Быстрая сортировка 46
Вандермондасвертка, см. Свертка Бандермонда
Ваниль 54
Венна диаграмма, см. Диаграмма Бенна
Венок Штерна—Броко 557
Вероятностей теория 418
Вероятностное пространство 418
Вероятностный анализ алгоритмов 450
Вероятность 223
- дискретная 418-476
- - бросание монеты 438-448
- - дисперсия 424-432
- - математическое ожидание 424-432
- - определения 418-424
- - производящие функции случайных величин
(ПФСВ) 432-438
- - хеширование 448-464
- условная 453
Верхнее обращение 190
Верхние параметры 233
Верхний индекс 179
Взаимная простота 139-148
Вильсона теорема, см. Теорема Вильсона
Вино 471
Влечет за собой 93
Внесение 291
Вознаграждение 13, 286, 567
Возрастающе-убывающая перестановка 413, 615
Возрастающие факториальные степени 67
Война 108, 472
- иудейская 25
Волшебство 325
Волыптенхольма теорема, см. Теорема
Вольштенхольма
Вопросы 118
- уровни 93
Время работы 462
Все или ничего 477
Вталкивание в стек 395
Выборка информации 448
Выполовинивание 213
Выпуклая область 22
Выражение в замкнутом виде 364. См. также
Замкнутая форма, Замкнутое выражение
Вырожденный гипергеометрический ряд 277
Гамма-функциональный эквивалент 571
Гамма-функция 239, 242, 522, 571
Гармоники суммы 60
Гармоническая сходимость 82
Гармонические числа 47, 74, 303-309, 520
- - аналоги логарифмов 73
- - делимость 347
- - делители 352
- - комплексные 343
- - обобщенные, см. Обобщенные гармонические
числа
- - приближенные значения 308
- - производящая функция 387
- - суммы 60
- - второго порядка 307
Гаусса тождество, см. Тождество Гаусса
Геометрическая прогрессия 51
Гильберта проблема 670
Гиперболические функции 316
Гипергеометрическая функция, смежная 571
Гипергеометрические преобразования 245-252
- ряды 232
- суммы, частичные 252-259
- функции 232-245
- члены 253, 254, 272
Гипергеометрический ряд вырожденный 277
Гиперфакториал 531
Гиперфакториальная функция 273
Гипотеза Римана 568
Глейшера константа 641
Головка сыра 36
Голоморфные функции 224
Гольдбаха теорема, см. Теорема Гольдбаха
Гольф 468
Горные хребты 394
Госпера алгоритм, см. Алгоритм Госпера
- метод, см. Метод Госпера
Госпера—Зильбергера алгоритм, см. Алгоритм
Госпера—Зильбергера
Граничные условия 97, 109
Граф 383, 411
- полный 403
Граффити 79
Грея код 537
Даймы, см. Домино и Размен
Двоичная система 176
Двоичное представление 28
- разложение 28
Двоичный поиск 145
Двойная сумма 52, 128
- - Гарри 279
Двойственность 297
Де Брейна цикл 541
Дедекинда—Лиувилля правило 162
Действительные тригонометрические функции
316
Деление 125
- напросто 171
Делимость многочленов 254
Дельта Кронекера 42
Дерево 141, 382
- бинарное 141
- Штерна-Броко 140, 337, 414, 567
Дженокки числа, см. Числа Дженокки
Дзета-функция 86, 267, 308, 406, 568
Диаграмма Венна 34, 37
Диксона формула, см. Формула Диксона
Дирихле принцип ящиков, см. Принцип ящиков
Дирихле
- производящая функция, см. Производящая
функция Дирихле
- ряды 490
Диски Фрисби 472, 475
Дискретное распределение 476
Дисперсия 424-432, 457, 460
- средняя 460
Дифаг 472, 476
Дифференциальное исчисление 52
- уравнение 249
Дифференциальные операторы 66, 342
Дифференцируемая конечность 410, 417
ДНК марсианская 414
Доказательство по индукции 24
Домино 353, 411, 415
Дроби континуальные, см. Дроби непрерывные
- непрерывные 334, 336
УКАЗАТЕЛИ 697
- основные 118
- правильные 159, 163
- представление Штерна—Вроко 561
- элементарные 85, 276
Дробная часть 91
Дробь 159
Дружественный монстр 589
Думать ни о чем 76, 353
Думать о главном 18, 479, 497, 526
Евклида алгоритм, см. Алгоритм Евклида
- числа, см. Числа Евклида
Египетские математики 118
Единица 172
Единственное разложение 129
Жадность 96
Жадный алгоритм 124
- подход 327
Заалынютца тождество, см. Тождество
Заалыпютца
Зависимость рекурсивная 19
Задача Иосифа 25-33, 102, 117, 123, 169
- - рекурсия 30
- - победе футбольной команды 220, 430
- - разрезании пиццы 21-25
- - ханойской башне 17-21
Задачи возвратные 17-38
- уровни 93
Закон больших чисел 429
- взаимности 117
- Зипфа 456
- Мерфи 95
- симметрии 246
- сочетательный 48, 81, 85
- транзитивности, нарушение 448
Замкнутая форма 19, 24
Замкнутое выражение 618
Замкнутый интервал 95
Зиг 24, 37
Зигзаг 539
Зигзагообразные линии 36
Зипфа закон, см. Закон Зипфа
Знак х 542
Игра Пенни 475
Игральный кубик 418
Иерархия 478-481
Инвариантное условие 141
Индекс верхний 179
- - обращение 190
- нижний 179
- переменный 40
- суммирования 40
Индуктивный скачок 21
Индукции базис 20, 353
- фиаско 620
Индукция 20, 24, 28, 34, 35, 62, 550
- обратная 35
Интегралы 64, 192
Интегрирование по частям 511
Интервал 95
- замкнутый 95
- открытый 95
- полуоткрытый 95
Информации выборка 448
Иосифа задача, см. Задача Иосифа
- числа, см. Числа Иосифа
Иосифово подмножество 38
Иррациональные числа 110, 146, 267
Испытания Бернулли, см. Монеты бросание
Исчисление бесконечно малых 66
- дифференциальное 52
- конечных разностей 66
Иудейская война 25
Кавычки 16
Каламбур 13
Калькулятор 88, 379
Карты, стопка 303
Кассини соотношение, см. Соотношение
Кассини
Каталана числа, см. Числа Каталана
Квадратные пирамидальные числа 61
Кегли 23
Километр 333, 342
Кирпичи 345
Китайская теорема об остатках 150, 172
Кнута числа, см. Числа Кнута
Код Грея 537
Колесо 96, 411
- большое 97
- Фортуны 492
Комбинаторная интерпретация 178, 184, 186,
196
Комбинации 178
Комплексное число 84
- - действительная часть 84
- - мнимая часть 84
- - модуль 84
Композиция 465
Конечные разности 66
Конечный автомат 442
Константа Глейшера 641
- Стилтьеса 642, 648
- Стирлинга 521
- Эйлера 308
- - вычисление 521
Константы канонические 92
Континуальные (непрерывные) дроби 334
Континуанты 333-340
Корень из единицы 174, 644
Крайние случаи 18, 21
Кратное соотношение 125
Крибедж 86
Кролики 342
Круговой многочлен 174
Кубик 418, 464
- несимметричный 419
- правильный 419
Куммера формула, см. Формула Куммера
Кумулянт 435, 467
Лагранжа тождество, см. Тождество Лагранжа
Левосторонние максимумы 348
Лежандра многочлен 586
Лексикографический порядок 480
Линеечная функция 137, 171
Линейные разностные операторы 269
Ловушка 180, 182, 210, 251
Логарифм 307
- обычный 488
Логарифмически-экспоненциальные функции
480-481
Логарифмы натуральные 74
Лопиталя правило, см Правило Лопиталя
Лотерея 424, 474
Лошади 34, 507, 544
Максимумы левосторонние 348
Малая теорема Ферма 155
Малое о 487
Марковские процессы 443
Марсианская ДНК 414
Массив треугольный 55
698 УКАЗАТЕЛИ
Математики египетские 118
Математическая индукция, см. Индукция
Математическое ожидание 422, 423, 424-432,
461
Медиана 422, 475
Медианта 140
Мерсенна простое число, см. Простое число
Мерсенна
- числа, см. Числа Мерсенна
Мерфи закон 95
Метод Госпера 253, 275
- приведения 50, 63, 84, 205, 315 ^
- суммирования асимптотический 505
Мёбиуса функция, см. Функция Мёбиуса
Миля 333, 342
Минимальное из чисел 86
Многоточие (...) 39, 70, ...
Многоугольник 415
Многочлен 216
- Вернулли 403, 509, 511
- круговой 174
- Лежандра 586
- обращенный 373
- Эйлера 618
- Якоби 586
Многочлены Стирлинга 301, 322, 343, 387
Множества разбиение 288
Множество обратимое 172
Мода 422, 475
Модуль 105
Модулярная арифметика 148
Момент 436
Монета несимметричная 438
- правильная 438
Монеты бросание 438-448
Морзе азбука, см. Азбука Морзе
Мошенничество 183
Мощность множества 58
Мультимножество 99
Мультиномиальный коэффициент 194, 614
Мультипликативная функция 158, 406
Мю-функция 154-168, 170. См. также Функция
Мёбиуса
Наибольшая нижняя грань 86
Наибольшее целое 88
Наибольший общий делитель (НОД) 115, 126,
- - множитель 126
Наивысшая степень р, делящая п 136-138
Наименьшее общее кратное (НОК) 126, 131
- целое 88
Натуральные логарифмы 74
Начальные значения 180
- случаи 353
Независимые случайные величины 421
Необходимое и достаточное условие 94
Неожиданный результат 265
Неопределенная сумма 68, 253
Неподвижная точка 29, 431
Непрерывные дроби 336
Неравенство Чебышёва 57, 427, 467
Несимметричная монета 438
Несимметричный кубик 419
Несмещенная оценка 467
Нетранзитивный парадокс 448
Неявная рекуррентность 220, 314
Нижние параметры 233
Нижний индекс 179
НОД, см. Наибольший общий делитель
НОК, см. Наименьшее общее кратное
Нормальное распределение 476
Нотация Айверсона 50, 52, 97
Нулевое очень сильно 43
Нулевой случай 353, 383, 609
Ньютона ряд 216
- производящая функция 414
Ню-функция 596
Обернутые биномиальные коэффициенты 347
Области 35
Область выпуклая 22
Обобщение 28, 30, 33
Обобщенные биномиальные коэффициенты 351,
572
- гармонические числа 314, 349, 406
Обозначай и властвуй 18, 164
Обозначение 18, 40, 42, 68, 88, 89, 104, 125, 135,
139, 221, 287, 481, 485
- произведения 85
- распространение 72
Обозначения, необходимость обновления 105
Обратная индукция 35
Обратные числа 157
Обращение 172
- верхнее 190
Обращения формула 220
Обращенный многочлен 373
Общий член 40
Обычный логарифм 488
Односторонние равенства 484
Ожерелье 164, 289
Ожидаемое значение, см. Математическое
ожидание
Оператор антиразностный 68
- разностный 66, 510
- - линейный 269
- сдвига 75, 215
Операторы 66, 75, 215
Операция замены переменной суммирования 57
- произведения 85
Оптический обман 323
Органных труб порядок 566
Основание р 171
Основная теорема алгебры 236
- - арифметики 129
- - дифференциального и интегрального
исчисления 68
Основные дроби 118
Остатки независимые 151—154
Остаток 104
Остовное дерево 382, 390, 403, 411
Отклонение 110, 120, 351, 533, 536
Открытый интервал 95
Относительная погрешность 491
Отношение делимости 125-131
- золотого сечения 331
- сравнимости 148-151
- членов 235
- эквивалентности 148
Отрицательное биномиальное распределение
439
Отрицательные убывающие степени 72, 215
- факториальные степени 83
Оценка несмещенная 467
- хвоста 465, 467
Очевидно 455, 626
Ошибок функция 192
Парадокс 448
- нетранзитивный 448
Параллельное суммирование 185
Параметры верхние 233
- нижние 233
Паскаля треугольник, см. Треугольник Паскаля
УКАЗАТЕЛИ 699
Пенни игра 475
Пентагон 472
Переменная суммирования 57
Переменные свободные 40
- связанные 40
Переменный индекс 40
Переместительный закон 48, 81, 85
- - ослабление 49
Перенос 91
Периодичное решение 37
Периодичность 37
Персональный компьютер 133
Пирса последовательность 176
Пифагора теорема, см. Теорема Пифагора
Пицца 21, 460
Пища 55
Плоскости сечение 36
Плоскость 21
Погрешность абсолютная 490
- относительная 491
Подобный член 584
Подсолнух 323
Подтверждение правильности 127
Подход жадный 327
Подходящий член 269, 285, 286
Поиск бинарный, см. Поиск двоичный
- в таблице 448
- двоичный 145, 210
Показателей правило 72
Показатель степени трудности 208
Пол 88
- определения 88-91
- применения 91-101
- рекуррентности 101-104
- суммы 108-117
Полиномиальная аргументация 183
- рекурсивность 410
Полный граф 403
Полуоткрытый интервал 95
Порядок лексикографический 480
- органных труб 566
Последняя теорема Ферма 155, 176, 599
Последовательности Рени 395
Последовательность Пирса 176
- Фарея 142, 159, 162, 176, 177
Постулат Бертрана 170, 541, 594
Потолок 88
- определения 88-91
- применения 91-101
- рекуррентности 101-104
- суммы 108-117
Правило внесения 182
- Дедекинда—Лиувилля 162
- замены переменной 523
- Лопиталя 585
- обращения 163
- показателей 72
- симметрии Пфаффа 277
- суммирования по диагонали 237
- цепочки 74
Правильная монета 438
Правильные дроби 163
Правильный кубик 419
Превышения 348
Предок 141
Представление в виде показателей 130
- Штерна—Вроко 338, 593
- с основанием р 173
Приближение 98
Приближенное суммирование по интегралу 64
Принцип голубиных гнезд 154
- неопределенности 522
- обращения 161
- ящиков 118
- - Дирихле 118, 154
Проблемы Гильберта 670
Прогрессия 412
- геометрическая 51
Произведение 85
- нечетных чисел 301
- последовательных нечетных чисел 214
- пустое 67, 129
Производная 52
Производящая функция Дирихле 405-407, 409
случайной величины 469
- - Ньютона 414
- производящих функций 387
- - случайной величины (ПФСВ) 432
Производящие функции 224-232, 329-332,
353-417
- - основные маневры 364-371
- - решение рекуррентных соотношений 371-385
- - свертки 387-399
- - специальные 385-387
- - теория домино и размен 353-364
- - экспоненциальные 399-405
Простое число 129, 495
- - Мерсенна 152, 564
- - наибольшее из известных 133
Простые делители 41
- числа 129-131
Процедура Госпера—Зильбергера 284
Процессы марковские 443
Прямые на плоскости 21
Пуассона распределение вероятностей, см.
Распределение вероятностей Пуассона
- формула суммирования, см. Формула
суммирования Пуассона
Пустая сумма 42, 67
Пустое произведение 67, 129
Пустой случай 353, 383, 609
Пфаффа правило симметрии 277
Пчелы, родословные деревья 323
Пятиугольник, см. Пентагон
Пятиугольные числа 416
Равенства односторонние 484
Равномерное распределение 110, 433
Равномерность 177
Разбиение 99, 363
- множества 288
Развертывание рекуррентности 23, 123
Разделяй и властвуй 101
Разложение 106, 133, 135
- в элементарные дроби 373, 602
- единственное 129
- на простые числа 129
Разматывание рекуррентности 23
Размен 353-364, 379
- большие суммы 380, 533
Размер стека 395
Разности конечные 66
Разностный оператор 66
Разность вторая 215
- п-го порядка 215
Разрушение 366
Разумность 42
Раскрутка 503
Распределение вероятностей 418
- - Пуассона 466, 624
- нормальное 476
- равномерное 110, 433
- совместное 421
Распределительный закон 48, 54, 81, 85, 106
700 УКАЗАТЕЛИ
Растет быстрее, чем 480
- медленнее, чем 480
- так же быстро, как 480
Расходящийся ряд 575
Рациональная функция 236, 372
Резинка 305, 309
Результат неожиданный 265
Рекуррентное соотношение 19
- - приближенное или асимптотическое 495
Рекуррентности развертывание 23, 123
Рекуррентность 17, 19, 43, 45, 61, 101, 120, 123,
124
- неявная 160, 162, 163, 314
Рекуррентные соотношения, см. Рекуррентность
- - асимптотическое раскрытие 495
- - решение 371-385
периодичное 37
Рекурсивная зависимость 19
- - полиномиальная 410
Рекурсия в задаче Иосифа, обобщение 30
Рени последовательности 395
Репертуар 64
Репертуарный метод 32, 36, 37, 44, 84, 280, 344,
346, 408
Репликативная функция 123
Рецензент 201
Решето 135
- Эратосфена 135
Римана гипотеза 568
Рисковые капиталисты 534
Родословные деревья пчел 323
Рулетка 96, 492
Ряд биномиальный 234
- инфрагеометрический 273
- Ньютона 216
- обобщенный биномиальный 228, 282
- расходящийся 575
- Тейлора 218
- Фарея 501
- Фурье 535
Ряда сходимость 365
Ряды гипергеометрические 232, 254, 272
- Дирихле 490
Самовоспроизводящиеся числа, см. Автоморфы
Самоописательная последовательность 87
Самоподтверждающие алгоритмы 127
Сбор купонов 628
Свертка 225, 367, 387, 409
- биномиальная 400
- Вандермонда 195, 214, 225, 229, 240, 263, 278
- Стирлинга 321
Сверхтрудная сумма 243
Свободно от квадратов 592
Свободные переменные 40
Свойство шестиугольника 181, 271, 281
Связанные переменные 40
Сдвиг циклический 29
Секансные числа 603
Семиинвариант, см. Кумулянт
Сечение плоскости 36
Сигма-обозначение 40
Сила тяжести 303
Симметрии соотношение 181
Система представления (каноническая) 130
Система счисления 143, 275, 328
- - биномиальная 275
- - в остатках 151, 169
- - с основанием п 499
- - фибоначчиева 328, 342, 350
- - Штерна—Вроко 146, 171
Скачок индуктивный 21
Скептицизм 92
Скобки 394
Скрипка 47
Слияние 201
Словарь 97
Сложения формула 183
Случайные величины 420
- - независимые 421
Смесь 465
Событие 419
Совершенные степени 87
Совместное распределение 421
Соотношение Кассини 324, 325, 332, 335
- рекуррентное 19
- симметрии 181
Сортировка 46, 201, 389, 487
- быстрая 46
- методом пузырька 487
- по образцу 389
Составные числа 129
Сочетательный закон 48, 81, 85
Спектр 99, 119, 122, 124, 339
Специальные числа 287-352
- - гармонические 303-309
- - гармоническое суммирование 309-313
- - континуанты 333-341
- - числа Вернулли 313-322
Стирлинга 287-297
Фибоначчи 322-333
- - - Эйлера 297-303
Спиральная функция 122
Спорт, см. Теннис, Гольф, Диски Фрисби,
Кубик, Бейсбол 470
Справочник 61
Сравнимость 148
Среднее, см. Математическое ожидание
- арифметическое 422
- обратных 470
Средний биномиальный коэффициент 286
Средняя дисперсия 460
Стандартное отклонение 426
Стек, вталкивание 395
Стека размер 395
Степени возрастающие факториальные 67
- совершенные 87
- убывающие отрицательные 72
- - разность 68, 73
- - факториальные 67
Степенной ряд 224
- - формальный 234, 365, 575
Стилтьеса константа, см. Константа Стилтьеса
Стирлинга аппроксимация, см. Аппроксимация
Стирлинга
- константа 521
- многочлены, см. Многочлены Стирлинга
- свертка 321
- треугольники, см. Треугольники Стирлинга
- формула, см. Формула Стирлинга
- числа, см. Числа Стирлинга
Стопка карт 341
Ступенчатые функции 110
Субфакториал 221
Сумм исчисление 39-87
- обозначения 39-43
- преобразование 48-52
Сумма абсолютно сходится 80
- бесконечная в обе стороны 79, 120, 523
- гипергеометрически вырожденная 238
- двойная, см. Двойная сумма
- неожиданная 193, 244
- первых квадратов 483
УКАЗАТЕЛИ 701
- последовательных квадратов 60, 71, 207, 315,
319, 403, 510
- - кубов 71, 84, 314, 403
- - целых чисел 63, 86
- - тп-степеней 314
- пустая 42, 67
- расходится 80
- сверхтрудная 243
Суммирование асимптотическое 505
- гармоническое 309-313
- завершающее 515-528
- изменение порядка 53, 210
- механическое 259-270
- неопределенное 187, 253
- общие методы 60-66
- параллельное 185
- по верхнему индексу 186
- - интегралу приближенное 64
- - частям 74, 75, 84, 310
- последовательных целых чисел 23
- снизу 185
Суммирования индекс 40
Суммирующий множитель 45, 84, 306
Суммы 39
- абсолютно сходящиеся 81
- бесконечные 76-83
- кратные 52-60, 81
- неопределенные 68
- определенные 69
- по делителям 406
- последовательных квадратов 299
- телескопические 70
- частичные 191
Суперпроизводящие функции 387
Суперфакториальная функция 273
Сходимость 234, 575
- абсолютная 80
- гармоническая 82
- ряда 365
- условная 80
Сэндвич 183, 191
Тангенс 318, 349
Тангенциальные числа 318, 349
Тейлора ряд 218
Тейлора формула, см. Формула Тейлора
Теннис 470
Теорема алгебры основная 236
- арифметики основная 129
- биномиальная, см. Биномиальная теорема
- Вильсона 156, 173, 174, 558
- Волыптенхольма 598
- Гольдбаха 86
- дифференциального и интегрального
исчисления основная 68
- о среднем 647
- об остатках китайская, см. Китайская теорема
об остатках
- Пифагора 551
- Ферма 166, 173, 175
- - обратная 174
- - последняя, см. Последняя теорема Ферма
- Цеккендорфа 327
- Эйлера 158, 166, 172
Теоретико-множественное включение 485
Теория вероятностей 418
- домино 353-364
- чисел 125
- - дополнительные примеры 154
- - простые примеры 131-135
Тета-функции 523, 566
Тогда и только тогда 89
Тождества для чисел Стирлинга 294
Тождество Гаусса 251, 582
- Заальшютца 243
- Кассини, см. Соотношение Кассини
- Лагранжа 85
- Эйлера 274
Тотиента 157
Точное покрытие 412
Треугольник Паскаля 180
- - продолженный вверх 189
- Стирлинга 296
- Эйлера 298, 348
Треугольные числа 23
Треугольный массив 55
Тривиально 455
Тригонометрические функции 316
Триномиальная перестройка 590
Триномиальные коэффициенты 194, 616
Трифаг 472
Трутень 323
Турнир по теннису с выбыванием 470
Убывающие степени, отрицательные 72
- - разность 68, 73
- - факториальные 67
Уловка Гаусса 345
Упражнения 11
Уравнение дифференциальное 249
Уравнения однородные 268
Уровень 553
Уровни 93, 118
Условие 42, 52
Условие инвариантное 141
Условная вероятность 453
- сходимость 80
Участки подъема 297
Фаги 472
Факториал Фибоначчи 532
- обобщенный 219, 239, 242, 349
Факториалы 135-139, 273
Факториальная функция 136
Факториальные степени 67, 84, 293
- - комплексные 239
- - отрицательные 73, 83
- - убывающие 67
Фан 382
Фанаты 220
Фарея последовательность, см Последователь-
Последовательность Фарея
- ряд 501
Ферма теорема, см. Теорема Ферма
- числа, см. Числа Ферма
Фи-функция 154-168, 175, 177
- Эйлера 175
Фибоначчи алгоритм, см. Алгоритм Фибоначчи
- факториал, см. Факториал Фибоначчи
- числа, см. Числа Фибоначчи
Фибоначчиева система счисления, см. Система
счисления фибоначчиева
Фибоначчиевы коэффициенты 351, 600
Философия 28, 33, 66, 92, 93, 97, 114, 196, 208,
222, 364, 506, 544, 550, 650
Формула Диксона 243
- Куммера 242, 246
- обращения 220
- сверток 302
- сложения 183
- Стирлинга 136
- суммирования по верхнему индексу 186
- - Пуассона 649
- - Эйлера 508
- Тейлора 433, 510
702 УКАЗАТЕЛИ
- удвоения 213, 273
Фортран 485
Фрейнела числа, см. Числа Фрейнела
Функции аналитические 224
- гиперболические 316
- гипергеометрические, см. Гипергеометриче-
Гипергеометрические функции
- голоморфные 224
- действительные тригонометрические 316
- логарифмически-экспоненциальные 480-481
- производящие, см. Производящие функции
- ступенчатые 110
- суперпроизводящие 387
- тригонометрические 316
- целочисленные 88-124
Функция бесселева 234
- гиперфакториальная 273
- линеечная 137, 171
- Мёбиуса 160, 170, 174, 407, 501, 502
- мультипликативная 158
- ошибок 192
- рациональная, см. Рациональная функция
- репликативная 123
- смежная гипергеометрическая 571
- спиральная 122
- суммируемая в гипергеометрических членах
- суперфакториальная 273
- факториальная 136
Фурье ряд 535
Фусса—Каталана число, см. Число Фусса—
Каталана
Хакер 148
Ханойская башня 17, 21, 44, 133, 171, 309
- - разновидности 34
Хеширование 448-464
Цвета 536
Цеккендорфа теорема, см. Теорема Цеккендор-
фа
Целая часть 91
Целое наибольшее 88
- наименьшее 88
Цепочки правило 74
Цикл 164, 289
- де Врейна 541
Циклический сдвиг 29
Частичные суммы 191
Частное 104
- неполное 608
Чебышёва неравенство, см. Неравенство
Чебышёва
Червяк 305, 309
- и яблоко 467
- на ленте 534
Числа 287
- Апери 267, 285
- Белла 533, 650
- Вернулли 314, 347, 350, 402, 509
- - вычисление 319
- - обобщенные, см. Многочлены Стирлинга 301
- взаимно простые 132, 139
- гармонические, см. Гармонические числа
- Дженокки 594
- Евклида 131, 170, 177
- замкнутая форма 132
- Иосифа 104, 120
- иррациональные, см. Иррациональные числа
- Каталана 208, 350, 393
- квадратные пирамидальные 61
- Кнута 101, 120, 123
- Люка 344
- Мерсенна 133, 177
- многократной точности 152
- обратные 157
- по основанию d 33
- представление в виде показателей простых
140
- пятиугольные 416
- свободные от квадратов 170, 177
- секансные 603
- составные 129
- Стирлинга 287-297, 320, 350, 352, 533, 649
- - как суммы произведений 614
- - первого рода 289
- - производящие функции 386
- - обобщенные 301
- - свертки 302
- тангенциальные, см. Тангенциальные числа
- треугольные 23
- Ферма 156
- Фибоначчи 322, 364, 620
- - второго порядка 411
- - производящая функция 371
- Фрейнела 592
- Эйлера 299, 619
- - второго порядка 300
- - обобщенные 345
- - производящая функция 386
- эйлеровы 603, 619
Число, деление напросто 171
- просто с 139
- фибоначчиево-нечетное и фибоначчиево-
четное 339
- Фусса—Каталана 396
Член 39
- общий 40
- подобный 584
Шерри 471
Шляпы 220, 227, 430
Штерна—Вроко венок 557
- дерево, см. Дерево Штерна—Вроко
- представление, см. Представление Штерна—
Вроко
- система счисления, см. Система счисления
Штерна—Вроко
Шутка 249
Эйлера константа, см. Константа Эйлера
- многочлен 618
- теорема, см. Теорема Эйлера
- тождество, см. Тождество Эйлера
- треугольник, см. Треугольник Эйлера
- фи-функция, см. Фи-функция Эйлера
- формула суммирования, см. Формула
суммирования Эйлера
- числа, см. Числа Эйлера
Эйлеровы числа, см. Числа эйлеровы
Эквивалент гамма-функциональный 571
Экспоненциальная производящая функция 399
Экспоненциальный ряд, обобщенный 228
Элементарные дроби 85
- события 419
Элементы теории чисел 125
Эратосфена решето 135
Ядро 405
Язык автоматный 442
Яйца 184
Якоби многочлен 586
Ясно 455
Ящиков принцип 118
УКАЗАТЕЛИ 703
УКАЗАТЕЛЬ ТАБЛИЦ
Суммы и разности 75
Треугольник Паскаля 180
Продолженный вверх треугольник Паскаля 189
Суммы произведений биномиальных коэффициентов 195
Десять самых главных тождеств с биномиальными коэффициентами 199
Общие соотношения свертки, справедливые при целом п ^ 0 229
Треугольник Стирлинга для числа циклов 289
Треугольник Стирлинга для числа подмножеств 288
Основные тождества для чисел Стирлинга при целом п ^ 0 294
Дополнительные тождества для чисел Стирлинга при целых
l,m,n ^ 0 295
Треугольники Стирлинга в тандеме 297
Треугольник Эйлера 298
Треугольник чисел Эйлера второго порядка 300
Формулы сверток Стирлинга 302
Преобразования производящих функций 368
Простые последовательности и их производящие функции 369
Производящие функции для специальных чисел 386
Асимптотические аппроксимации, справедливые при п—> оо и z —> 0 491
Оригинал-макет американского издания подготовлен в Станфордском
университете при помощи издательской системы T^jX для научно-
технических текстов, разработанной Д. Э. Кнутом. Для набора матема-
математических формул использовано новое семейство шрифтов AMS Euler
Германа Цапфа, которое он создал по заказу Американского математи-
математического общества. Текст набран шрифтами Concrete прямого и курсив-
курсивного начертания — новая версия семейства Computer Modern Дональда
Кнута, гармонирующая с математическими шрифтами AMS Euler.
[При подготовке оригинал-макета русского перевода был использован
исходный ТцХовский файл, любезно предоставленный проф. Кнутом.
Кириллический аналог шрифтов Concrete CM-LH, которым набран
текст русского издания, изготовили О. Г. Лапко и А. В. Ходулёв. — Ред.]
Учебное издание
Роналд Грэхем, Дональд Кнут, Орен Паташник
Конкретная математика
Основание информатики
Заведующий редакцией академик В.И.Арнольд
Зам. зав. редакцией А. С. Попов
Ведущий редактор И. А. Маховая
Художественный редактор Н. В.Дубова
Технический редактор О. Г. Лапко
Корректор Б. Д. Веломытцева
Оригинал-макет подготовлен О. Г. Лапко в пакете Plain
с использованием шрифтов AMS Euler и Concrete CM
с кириллическим расширением LH
Лицензия ЛР №010174 от 20.05.97 г.
Подписано к печати 15.10.98. Формат 70x100/16.
Гарнитура Concrete CM-LH. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Объем 22,00 бум. л. Усл. печ. л. 57,20. Уч.-изд. л. 49,03.
Изд. № 1/1017. Тираж 12 000 экз. (второй завод 5001-12000 экз.
Заказ 832. С016
Издательство „Мир"
Государственного комитета Российской Федерации по п<
129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Диапозитивы изготовлены в издательстве „Мир"
Отпечатано в полном соответствии с качеством предо
диапозитивов в ОАО „Можайский полиграфический комби]
143200, Можайск, ул. Мира, 93.