Н. В. ЕФИМОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ВНЕШНИХ ФОРМ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1977

617.3
E 91
УДК 513.6
АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой краткое введение в
теорию внешних форм. Она состоит из трех глав:
1) Алгебра внешних форм. 2) Внешнее дифференци-
дифференцирование. 3) Интегрирование форм по цепям. Автор
ограничивается рассмотрением внешних форм и це-
цепей в конечномерном евклидовом пространстве. Но
на этом материале дается достаточное представление
об отношениях сопряженности между пространствами
форм и цепей и об основных парах сопряженных опе-
операторов. Книжка написана весьма просто и понятно.
Выкладки и рассуждения везде проведены без суще-
существенных пропусков.
Настоящая книга может быть полезной студен-
студентам математических специальностей университетов,
которые слушают курсы анализа и геометрии. Воз-
Возможно также, что его воспользуются механики и
физики, заинтересованные в методах тензорного
исчисления.
20203— 016 , © Главная редакция
Е пко/по\ 77 23-77 физико-математической литературы
VO?\yz)-U издательства «Наука», 1977

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
Глава!. Краткие сведения из алгебры внешних форм. . . 5
§ I. Условия по поводу обозначений. Альтернатор . . 5
§ 2. Сопряженные линейные пространства 7
§. 3. Разложение полилинейной формы в сумму произве-
произведений линейных форм 11
§ 4. Пространство полилинейных форм 12
§ 5. Альтернация полилинейных форм 15
§ 6. Второе выражение альтернации 17
§ 7. Альтернация тензоров 20
§ 8. Внешнее произведение внешних форм 20
§ 9.-Внешнее произведение базисных форм 22
§ 10. Пространство внешних форм данной степени и базис
в нем '. 23
§ П. Вычисление одночленных форм 25
§ 12. Координатное выражение внешней формы 26
§ 13. Специальные обозначения 26
§ 14. Преобразование внешней формы при переходе
к новым координатам 27
Глава II. Внешнее дифференцирование 29
§ 1. Касательные пространства 29
§ 2. Внешние дифференциальные формы 31
§ 3. Внешний дифференциал 34
§ 4. Основные свойства внешнего дифференциала .... 38
§ 5. Примеры внешнего дифференцирования 41
§ 6. Индуцированное отображение пространства внешних
форм 42
Глава III. Интегрирование внешних дифференциальных форм 51
§ 1. Интеграл от внешней формы по сингулярному кубу 51
§ 2. Понятие цепи. Интеграл от формы по цепи 58
§ 3. Граница цепи 64
§ 4. Доказательство формулы Стокса для цепи 66
§ 5. Оператор проектирования 68
§ 6. Теорема Пуанкаре и некоторые другие предложения 76
§ 7. Регулярное погружение. Комбинаторная поверхность 78
Списоклитературы 84
Предметный указатель , . . 85
1»

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книжка представляет собой краткое вве-
введение в теорию внешних форм. Она состоит из трех глав:
1) алгебра внешних форм, 2) внешнее дифференцирование,
3) интегрирование форм по цепям. Мы ограничиваемся
рассмотрением внешних форм и цепей в конечномерном
евклидовом' пространстве и цепи берем с коэффициентами
из R. Но мы старались на этом материале дать доста-
достаточное представление об отношениях сопряженности
между пространствами форм и цепей и об основных па-
парах сопряженных операторов. Одновременно мы стреми-
стремились к.максимальной простоте и понятности. Выкладки
¦и рассуждения везде проведены без существенных про-
пропусков. Исключением является последний параграф
'книжки (§ 7 главы III). Этот параграф следует рас-
рассматривать лишь как эскиз некоторых вариантов изло-
изложения интеграла по поверхности в рамках теории цепей.
Мы надеемся, что настоящая книжка может быть по-
полезной студентам математических специальностей уни-
университетов, которые слушают курсы анализа и геометрии.
Возможно также, что ею воспользуются механики и
физики, заинтересованные в методах тензорного исчис-
исчисления^ , .
Приношу благодарность А. Н. Колмогорову за цен-
ценные советы, которые использованы в этой книге (в части
общих понятий о тензорах).
20.10.1975 г. Н.Ефимов

ГЛАВА I
КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ АЛГЕБРЫ ВНЕШНИХ ФОРМ
§ 1. Условия по поводу обозначений.
Альтернатор
п°1. В дальнейшем нам часто придется записывать
суммы произвольного числа слагаемых. Поясним обозна-
обозначения, которыми мы будем пользоваться для краткости
таких записей.
Если все слагаемые занумерованы по порядку: аь
я2, ..., ап, то любое из них мы будем писать в виде at
(читается а с нижним индексом /). Сумма всех слагаемых
-в этом случае будет обозначаться ?а{\ таким образом:
2)fl; =ai+а> + ... +а„.
п°2. Далее мы будем иметь дело также с системами
величин, которые помечены несколькими индексами (на-
(например, а1^. Как правило, у нас будут встречаться суммы
таких величин с отождествленными индексами, которые
называют индексами суммирования; например,
или
Enlk У п\к _|_ V rflk _1_ _1- У ппк
Обычно один из индексов суммирования мы будем пи-
писать сверху, другой — снизу. Во втором из предыдущих
примеров имеются два индекса суммирования. Они не-
независимы, соответственно чему обозначены разными
буквами.
п° 3. Если индексов много, то их обозначают одной
буквой с подындексом. Например, а'1'2'" 'k (iu I,, ..., ik=
= 1,2, ..., n) есть краткое обозначение некоторой си-
системы величин в числе nk. Пусть bj^2 ... /fc — другая
2 Н. В. Ефимов К

аналогичная система величин. Тогда, например,
означает сумму всевозможных произведений а'1'2 '" 2*
на bi i ... ;. (в каждом слагаемом оба сомножителя имеют
один и тот же набор индексов).
п° 4. Кроме индексов суммирования, могут быть ин-
индексы, которые в суммировании не участвуют; их на-
называют свободными. Обозначение свободных индексов
должно быть унифицировано во всех членах соотношений,
включающих суммы, например,
?а? = 2>?. A)
Здесь свободный индекс и слева и справа обозначен
одной и той же буквой /. Соотношение A) означает на-
наличие нескольких равенств, общее число которых п. Они
получаются последовательно при г = 1, 2, ..., п.
п°5. В некоторых случаях мы будем писать суммы,
совсем не употребляя индексов. Например,
Такая запись означает, что нас интересует только сам
факт наличия некоторой суммы, одно из слагаемых ко-
которой обозначено буквой А.
п°6. Мы сразу же проиллюстрируем все сказанное
на примере сумм, в которых участвует так называемый
альтернатор.
Альтернатор обозначается символом 6J^2"' jfe, где
h, h, ¦¦-, h, h,h, • • •> h принимают значения 1, 2, . ..,n,
и определяется следующими условиями: 6J'|.2'"" Jfe = ± 1,
если ixi2 ... ik есть некоторая перестановка значений
индексов /i/2 ... /„, считая, что все эти значения раз-
различны; при этом берется + 1, если указанная переста-
перестановка четная, и — 1 —если нечетная. Во всех остальных
случаях б!1?2 "¦ ,fe = 0 (т. е. если среди значений i{, i2, ...
..., ik, или среди значений /!( /2, ..., }к есть одинако-
одинаковые, а также если среди значений /ь i2, ..., ik есть та-
такие, каких нет среди ju j2 ik, и наоборот).

Пример. Пусть А={ац) — квадратная «Х«-матрица.
При k = n = 2 рассмотрим сумму
D = 2j 6i22an a2^ = 6i2a:it«2i + б^ОпОгг + 612012021 + 612012022.
Имеем
D = апа22 — «12021 = det A.
Вообще при k = n имеем
Точно так же
v=detA
п°7. В частности, при А = 1 и при любом п альтер-
альтернатор представляет собой символ Кронекера: б/ = 1,
если / = /, б' = 0, если i=?j.B суммах этот символ
действует как тождественный оператор; например,
§ 2. Сопряженные линейные пространства
п° 1. Пусть L и L* — два действительных линейных
пространства.
Пусть с каждой парой элементов ое/,', х е L со-
сопоставлено действительное число; обозначим его через
(а, х). Определенную, тем самым на L*Y^L функцию мы
назовем сверткой, если соблюдены следующие условия.
1) Линейность по первому аргументу:
для любых а, р е R, аи а2 s V, j;si (R, как обычно,
обозначает множество действительных чисел).
2) Линейность по второму аргументу:
{а, ах{ + Р*2) = а (о, *i) + Р (о, х2)
для любых а, р <= R, a es /,*, хь л;2 е L.
3) Невырожденность по первому аргументу: если
(а, х) = 0 при данном а и при любом xei, то а = 9*
(где 0* — нулевой элемент в L*).
4) Невырожденность по второму аргументу: если
Jfi, х) = 0 при любом ее!' и при данном х, то ,v = 9
(где 9 — нулевой элемент в L).
2* 7

Если на L*y,L свертка задана, то линейные про-
пространства L и L* мы будем называть сопряженными
друг другу; легко видеть, что отношение сопряженности
двух линейных пространств является взаимным.
п°2. Предположим теперь, что L и V — конечномерные
пространства одной и той же размерности = «. Выберем
в L и L* какие-нибудь базисы, обозначим их соответ-
соответственно через ёь ..., ё„ и ё',..., ё". Для произвольных
элементов ае L*, xei напишем разложения
a-=fl,24- ... +fl«2", х = х%+ ... + хпё„. A)
Вследствие A) имеем следующее общее выражение
свертки:
(а, *) = ?(ё\ ёМ*'. B)
Из B) видно, что свертка будет определена на L*X^>
если мы зададим матрицу сверток базисных элементов,
т.е.- матрицу чиселJ^Je^.1). Легко усмотреть, что для
обеспечения обоих условий невырожденности 3) и 4)
п°1 необходимо и достаточно, чтобы эта матрица была
невырожденной; таким образом,
det(e\ ё,)Ф0. C)
п°3. В некоторых специальных базисах ё', ё/ ма-
матрицу (ё', ё/) можно сделать единичной. Вместе с тем
упростится выражение B). Именно, имеет место
Теорема. Пусть на L* X L как угодно задана
свертка (а,- х) и в V как угодно задан ^азас ё1 ё";
тогда в L найдется единственный базис eit ..., еп такой,
что
(ё', е,) = 6<, D)
где б' — символ Кронекера. Роли L* и L можно обменять.
Доказательство теоремы вытекает из следующего оче-
очевидного утверждения: для любого набора чисел а1, ..., а"
найдется единственный вектор «eL такой, что (ё1, и) =
= <х' (ё", и) — ап. Чтобы убедиться в этом, разложим
') Отсюда видно, что для данного L можно построить бесконечно
много различных сопряженных пространств L* (точнее говоря, по-
разному сопряженных с L). Однако можно естественным образом
определить понятие эквивалентности пространств, сопряженных с дан-
данным L так, что любые два пространства Ц, L% сопряженные с L,
окажутся эквивалентными. См., например, [5], гл. V, § 1, п. 14
В скобках указываются номера по списку литературы,
8

искомый вектор и по какому-нибудь базису: «=Я'ё1 + ...
... + А,"ё„. Мы получим для Я1, ..., %п систему уравне-
уравнений первой степени с главной матрицей (ё\ et); полу-
полученная система однозначно разрешима вследствие C).
Беря теперь в качестве а1, а2, ..., а" набор чисел
1, 0, ..., О, найдем по предыдущему вектор и. Положим
ех=и. Аналогично по набору 0, 1, 0, ..., О найдем е2
и т. д. Полученные векторы еи е2, ..., еп удовлетво-
удовлетворяют равенствам D). Из этих же равенств следует, что
векторы еи е2, ..., еп линейно-независимы.
Определение. Два базиса, из которых один при-
принадлежит пространству L, другой — пространству V,
называются взаимными или дуальными, если они удо-
удовлетворяют равенствам D). В дальнейшем мы будем
взаимные базисы обозначать более простым образом
без пометки тильдой. Соответственно имеем
(<?', е,) = 6/, где е1 е V, е, е= L. E)
п°4. Если разложения A) даны по взаимным бази-
базисам, то
(а, х) = <*,*'+ ... +апхп. F)
Доказательство. F) следует из B) и E).
п° 5. Будем исходить теперь из данного линейного
пространства L, предполагая его, как и раньше, дей-
действительным и n-мерным. Обозначим через а произволь-
произвольную линейную форму в пространстве L, т. е. дей-
действительную функцию точки «el, удовлетворяющую
условию линейности
а (ах' + р*") = <ха {х') + ра {х"), G)
для любых а, р е R, x', x" e L.
Во множестве всех линейных форм пространства L
естественно вводятся линейные операции. Именно, если
а, Ь — две произвольные формы, "к, ц — любые действи-
действительные числа, то в качестве формы ка + ф берется
функция, значение которой на произвольном векторе
xeL определяется равенством
(Xa+iib)(x) = Xa(x)+iib{x). (8)
Линейность такой функции непосредственно усматри-
усматривается из G) и (8).
На этот раз обозначим через L* линейное простран-
пространство, элементами которого являются всевозможные
9

линейные формы, данные на L, а линейные операции
определены согласно (8). Заметим, что нулевым элемен-
элементом в L* служит форма 6*, которая равна нулю на
любом jceL,
Легко показать, что L* имеет размерность п, равную
размерности L. Поэтому любая система линейно-неза-
линейно-независимых форм, взятых в числе п, составляет базис в L*.
п° 6. Назначим свертку двух произвольных элемен-
элементов не L* ихе1, полагая
(а,х) = а(х), (9)
т. е. в качестве (а, х) мы берем сейчас число, равное
значению формы а е L* на элементе х ^ L. Требования,
которые предъявляются к свертке согласно п° 1, при
этом соблюдены (проверка условий 1) —4) п° 1 не пред-
представляет труда).
Пространство L* является сопряженным простран-
пространству L согласно- определению п° 1. Далее на протяже-
протяжении ряда параграфов мы будем под__//_подразумевать
именно это конкретное сопряженное пространство, т. е.
состоящее из линейных форм пространства L.
п° 7. Из теоремы п° 3 и из выражения (9) непосред-
непосредственно следует, что каковы бы ни бъши линейно-неза-
линейно-независимые формы е1 (х), ..., е"(х), xeL,b пространстве L
найдется единственный базис еи ..., еп такой, что
е'(е,) = О/. A0)
Разумеется, справедливо также утверждение, что для
любого базиса еи ..., еп в L найдется единственная
линейно-независимая система форм е1 {х), ..., еп(х), под-
подчиненная условиям A0).
В дальнейшем через el{x) и et, или через е1 и е.
всегда обозначаются взаимные базисы в L* и L (для
которых соблюдено A0)).
п° 8. Пусть произвольный вектор xeL разложен по
базису еи ..., еп
х = х1ег+ ... +х"еп.
Тогда
е> (х) = х1е' (е,) + ... + х!е< (е,) + ... + хпе' (еп).
Отсюда и вследствие A0) имеем
е'ф^лЛ A1)
m

Это значит, что координатная запись форм в'(я) при
употреблении взаимного с ними базиса оказывается осо-
особенно простой: все коэффициенты форм е1 (х) равны нулю,
кроме одного, который занимает /-е место и равен еди-
единице. Вместе с тем можно сказать, что координаты
любого* вектора по базису еи ..., е„ суть значения на
этом векторе форм взаимного базиса. То же самое
выражается также равенством
* = *'(*)*,+ ... +еп(х)ёп. A2)
§ 3. Разложение полилинейной формы
в сумму произведений линейных форм
п° 1. Обозначим через Lk декартово 6-кратное произ-
произведение пространства L на себя: Lk = L)K.L'X, ... Х^
(k раз). По определению пространства Ьк его элемен-
элементами являются упорядоченные наборы векторов из L,
взятых в числе к; таким образом, (хи ..., хк) е Lk, если
каждый из векторов хи ..., хк принадлежит L. Поли-
Полилинейную форму от векторных аргументов определим
как действительную функцию а в Lk при условии линей-
линейности по каждому (векторному) аргументу
а (ах[ + $х'{, х2 xfe) =
•=аа(х[, х2 xk) -f ^а(х'{, х2 xk).
Здесь условие линейности записано для первого аргу-
аргумента.
п°2. Рассмотрим произвольную полилинейную форму а.
Возьмем любые линейные формы е\ ..., еп в числе п
при единственном условии их линейной независимости.
Теорема. Численное значение а {хи ..., xk) формы а
может быть представлено в виде
а{х{ xk)«¦ Еа/,... //
где ajt ... /ft — коэффициенты, которые определяются дан-
данной формой а, а также выбором системы линейно-неза-
линейно-независимых форм е1 еп.
Доказательство. Пусть еи ..., еп — базис в L,
взаимный с базисом е\ ..., в", в L*. Запишем каждый
11

из векторов Xi xk согласно § 2:
*i =el{xl)e1+ ... +en
... +en(xk)en.
Подставим эти разложения в левую часть A) и вос-
воспользуемся линейностью формы а (х, хк) по каждому
аргументу. Мы получим правую часть выражения A),
где положено ¦
а/, .../» = а(е/, О- B)
Теорема доказана.
п° 3. Выражение A) само по себе, т. е. будучи уже
доказанным, не предусматривает использование какого-
либо базиса. Если же пользоваться базисом еи ..., еп,
который употребляется в доказательстве, то формы
е1 (•*). •••> e"(x) можно выразить в нем известным нам
специальным образом; именно,
где справа написана }-я координата вектора xk в базисе
еи ..., еп. В этом базисе выражение A) принимает вид
а(*„ .:., xk) = Y,ah_lkx[i ...#. C)
Миг получаем представление формы а(хи ..., хк) в ба-
базисе еи ..., еп. Этот базис в L можно взять заранее
и вполне произвольно. Взаимный с ним базис найдется,
но при употреблении записи C) может не использо-
использоваться.
п° 4. Из равенства B) следует, что для данной
формы а и для данных базисных форм е\ ..., еп, раз-
разложение A) единственно, т. е. численные значения коэф-
коэффициентов а^ ... fk однозначно определены индексами
/ь • • •, /а-
§ 4. Пространство полилинейных форм
п° 1. Полилинейные формы, определенные в прост-
пространстве Lk = LX. ¦ ¦ ¦ X.L, образуют линейное простран-
пространство, если для произвольных двух таких форм а и Ь
определить линейные операции согласно равенству
(аа + ДО)(*1, .... хк) = аа{хи .... xfe) + {M>(*t xk).
12

Это линейное пространство мы обозначим через T*(L)
или просто через Tfe и будем называть /г-кратным тен-
тензорным произведением Сопряженного пространства L*
на себя. Символически
Заметим, что само пространство L* есть Т1. Поэтому
Полилинейные формы как элементы пространства Т*
называются ^тензорами, подробнее, — ковариантными
тензорами валентности k в пространстве L. Линейные
'формы как элементы пространства T' = L* называются
одновалентными ковариантными тензорами, или кова-
ковариантными векторами, или ковекторами. Действительные
числа мы будем называть тензорами нулевой валент-
валентности. Действительную ось R обозначим соответственно
сказанному через Т°.
п° 2. Поменяв ролями L и L*, получим аналогично
предыдущему контравариантные тензоры валентности k,
как полилинейные формы, отображающие (L*)k в R.
п° 3. Тензорным произведением или просто произведг-
нием тензора а на тензор Ъ
oeT»(L), JeT'(L)
называется тензор, который обозначается а ® Ъ, при-
принадлежит пространству Tk+l(L) и определяется в виде
полилинейной формы равенством
(а®Ь)(хх xk, хк+и ..., xk+l) =
= а{хи ..., xk)b{xk+1 xk+l). A)
Здесь слева и справа написаны численные значения поли-
полилинейных форм при любом выборе векторов хи ..., xkf
xk+l xk+t^L, взятых независимо друг от друга.
п° 4. Тензорное произведение обладает следующими
свойствами:
{а{ -\- а2) ® b = at ® b -\- a2® b,
a®{bl-\-b2) = a®bl + a® b2,
(сш) ® b = а (а ® Ь),
Доказательство этих свойств тривиально.
3 II. В. Ефимов .13

Последнее свойство позволяет писать а®Ь®с без
указания ассоциаций. Вместе с тем определено тензор-
тензорное произведение любого числа любых тензорных со-
сомножителей.
п°5. Легко убедиться, что, вообще говоря, a®b не
совпадает с Ь®а (достаточно написать A) для Ь®а).
п° 6. Попутно заметим, что равенство тензоров а и Ъ
следует понимать как тождественное совпадение поли-
полилинейных форм a: Lk->R и b: L*-»-R. Равенство а = 0
означает отображение a: Lk->0. ...
п° 7. Пусть е\ ...,еп линейно-независимые линейные
формы в L. Мы рассматриваем их как одновалентные
тензоры, т. е. как элементы пространства Т1 = L*. Тогда
Т*. . B)
Имеет место
Теорема. Множество всех тензорных произведе-
произведений B), т. е. отвечающих всевозможным набором индек-
индексов /,,..., h (/i=l, 2 л; ...;' /t= 1, 2 п)
составляет базис Л'.
Доказательство. Теорема уже доказана в п° 2—5
§ 3. Установленные там предложения означают, что для
любого аеТ4 имеет место единственное разложение
(см. формулу A) § 3). А это и значит, что е'1® ... ®е'к[
составляют базис.
Следствие. Размерность пространства Tft равна и*.
Замечание. Коэффициенты а/, ... /ft разложения C)
называются координатами тензора а (по базису е ' ® .. ."'¦¦
.... ®e'k в Г*). :. .
п° 8. Итак, мы имеем счетную последовательность
пространств
то Т1 Т2 Т*
построенных по данному линейному пространству L.
В каждом Т& определены линейные операции, в каждой
паре Tfe, T.f (допуская k = l) определена операция тен-
з©рногоспройзведения: и®Ь, а Щ^к, Ь е,Т', а® Ь T*+f
14

¦Элементы этих пространств, как объекты указанных
операций, называются ковариантными тензорами (над L).
Если аеТ'у то а называется тензором валентности k.
Пространство Тй является л*-мерным.
§ 5. Альтернация полилинейных форм
п° 1. Альтернация полилинейной формы а обозначается
через [а] и определяется (независимо от базиса) следую-
следующим образом:
здесь справа участвует альтернатор, о котором говори-
говорилось в § 1. В частности, имеем при k = \, 2, 3 соот-
соответственно
[а] (дс,, х2) = -gj- (а {х,, х2) — а (х2, *t)),
[а] (дс,; х2, х3) = ж {а (хи х2, х3) + а {х2, дс3, xt) +
+ а {х3, хи х2) — а {х2, хи х3) — а (х, х3, х2) — а (а3, х2, х{))^
Равенство A) надлежит понимать с учетом следую-
следующего условия: если те же аргументы *,,, ..., xk слева
написаны в другом (не натуральном) порядке, то
в таком же порядке должны быть написаны нижние
индексы альтернатора справа.
1) Альтернация полилинейной формы сама есть поли-
полилинейная форма. Именно (для первого аргумента)
= а [а] (*;, х2 xk) + р 1а] (*;', х2, ..., xk).
2) Альтернация полилинейной формы кососимметрична
по любой паре аргументов. Например, для первой пары
аргументов
[а](хи х2, х3, .... xk) = —[a)(x2, xu х3, .... xk). B)
Эти свойства непосредственно вытекают из определе-
определения альтернатора, из равенства A) и -из высказанного
з* 14

выше условия: по поводу порядка расположения индексов
в левой и правой частях равенства {I).
п° 2. Полилинейная форма ю=ю(д;ь л^, ..., хк) назы-
называется косой или внешней, если [со] = ш. Косой является
всякаяГформа, имеющая не менее двух аргументов {k "^ 2)
и кососимметричная по любой паре своих аргументов.
В самом деле, в случае кососимметричности по любой
паре аргументов имеем
*!'.".¦**° (*v •••> xik)=a(xi О
для любого набора индексов ix ... ik. Таким образом,
все слагаемое суммы в правой части равенства A) в этом
случае одинаковы и равны а{х{ xk). Так как число
слагаемых равно k\, то
xk) = a(x1 xk). B0
Обратно, если ^2и форма косая (совпадает со своей
альтернацией), то она кососимметрична по любой паре
своих аргументов. Это утверждение сразу следует из
косой симметрии альтернации (см. равенства B) и B')).
Кроме этих форм, к числу внешних следует отнести
всякую линейную форму, т. е. всякую форму при k = I
(поскольку для всякой линейной формы [<о] = <о).
п° 3. Для любой формы повторная альтернация совпа-
совпадает с однократной
[ [а] ] (хь .... **) == [a] fa, .... хк).
Доказательство. Утверждение очевидно, так как
альтернация кососимметрична и полилинейна.
п° 4. Пусть k 2^2. Рассмотрим коэффициенты раз-
разложения полилинейной формы а по базису в Tfe, отве-
отвечающему некоторому базису е\ ..., e'ei'. Если
ех еп — взаимный базис в L, то
Если форма © косая, то при обмене местами любых
двух ее аргументов она меняет знак. Следовательно,
коэффициенты косой формы кососимметршны по любой
паре индексов; например, для первой пары индексов
ш'Л'я ••• '* == ~ Ш'У1гз ••• {k'
\ J, о К Z I 6 К
Обратно, если в каком-либо базисе коэффициенты, поли-
полилинейной формы, о) кососимметричны по любой паре
16

индексов, то форма & является косой (доказательство
предоставляем читателю).
п° 5. Имеют место следующие предложения; они легко
усматриваются, и мы приведем их беа доказательства.
1) Если у косой формы два аргумента принимают
одинаковые значения, то форма обращается в нуль.
2) Если аргументы косой формы линейно-зависимы,
то форма равна 0.
3) Если число аргументов k > n, то косая форма
тождественно равна нулю, т. е. равна 0 на любом наборе
своих аргументов. . -
п° 6. В дальнейшем нам потребуется следующая
Лемма. Если две формы, удовлетворяют тождеству
а(хи ..., xk, xk+u ..., xk^i) =
— b(Xk+i xk+u x{ Xk), C)
то ,. .
# u ..., xk). D)
Доказательство. Возьмем произвольный член
суммы, стоящей в левой част,и D)
ai ••¦ 4ak+i ¦¦• ak+ta Сх хх х \
+i k+ta Сх хх х
Для произвольного члена правой части имеем
... (k+l) 1 .
Установим взаимно однозначное соответствие между
членами сумм в левой и правой частях D), полагая
соответствующими члены, для которых
Вследствие C) соответствующие члены будут равны. Тем
самым лемма доказана.
§ 6. Второе выражение альтернации
п°1. Пусть имеются линейные формы щ, ..., uk.
Перемножим их тензорно в произвольном порядке. Мы
получим полилинейную форму «s. ® ... ®us.. Напишем
17

числовое значение альтернации этой"формы:
Д«5,® ... ®««J(*l, .-., **) =
Выражение A) неудобно для использования. Дело в том,
что оно представляет не альтернацию us, ® ... ® uS/c
по данным Ы[ uk, а ее численное значение на про-
произвольном наборе аргументов хи ..., хк. От этого на-
набора мы не можем отвлечься, поскольку в правой
части A) приходится следить за порядком расположения
аргументов в каждом слагаемом. Однако выражение
[м«, ® ••• ®«sfc](*i хк) легко освободить от этого
недостатка. Именно, имеет место тождество
Важно заметить, что суммирование в правой части B)
производится, не по номерам аргументов хи ..., хк, а по
номерам самих форм щ, ..., ик. В каждом слагаемой,
правой части B) сомножители записаны в натуральном
порядке аргументов хь ..., xk. Из A) и B) получаем
[uS]® ... ®USk](xu ..., xk) =
Доказательство тождества B). В сумме B)
слева достаточно учитывать лишь те слагаемые, в ко-
которых набор /ь ..., jk является перестановкой набора
1, ..., k. Будем считать слагаемые в сумме B) слева,
различными, если они отвечают различным расположе-
расположениям индексов /[, ..., \к (не обращая внимания на чи-
численные значения слагаемых). Аналогично определим
различные слагаемые суммы B) справа. Рассматри-
Рассматриваемые с такой точки зрения, все слагаемые этих сумм
должны считаться попарно различными, как слева, так'
и справа. ,
Возьмем в сумме B) слева слагаемое, отвечающее
некоторой перестановке ju .»., jk, и рассмотрим произ-
произведение , . . ,
Г8!

Сделаем здесь перемену мест сомножителей, распо-
располагая их в порядке номеров аргументов; получим
Очевидно, что
Таким способом с перестановкой ju ..., jk сопоста-
сопоставляется перестановка i\ iV Одновременно Mt>i со-
сопоставим со взятым слагаемым суммы B) слева то сла-
слагаемое суммы B) справа, которое отвечает перестановке
iu ..., ik. Установленное соответствие между слагае-
слагаемыми сумм A) и B) будет взаимно однозначным, по-
поскольку двум разным перестановкам }{,'..., jk сопо-
сопоставляются также разные перестановки iu ..., ik.
Легко убедиться, что
Из D) и E) следует, что в суммах B) соответст-
соответствующие слагаемые слева и справа численно совпадают.
Тем самым тождество доказано.
п° 2. Пусть имеется полилинейная форма с численным
значением
*(*„..., ^-^.../'(«О'-^Ы-
Из определения альтернации следует, что альтернация
суммы форм равна сумме их альтернации и что числовой
коэффициент можно выносить за знак альтернации.
Поэтому .
[а](хи ..., xk) =
=^1Х...аДеа'® ... ®*«*](*,, .... хк)<. F)
Здесь мы можем теперь считать, что
в ж Sб";:."." % ^' ® • • •
Выражение G) непосредственно следует из ¦ C); нужно
только учесть изменение обозначений (в частности, что
номера базисных форм поставлены сверху).
19

§ 7. Альтернация тензоров
п°1. Пусть тензор а есть полилинейная форма со
значением а(х{, .. .,xk). Тогда альтернацией [а] тензора а
мы назовем альтернацию формы а. Заметим, что при
этом мы не можем рассматривать тензор а формально,
т. е. просто как элемент пространства Т*, поскольку
альтернация определена путем перестановок аргументов
хи ..., Хь, таким образом мы вынуждены использовать
свойства формы как функции. Но, если выбрать ба-
базисные формы е\ ..., еп, то альтернацию тензора аеТ*
можно выразить с помощью тех операций, которые
введены в Т* и в парах Tk, Т1.
Именно, тензор а может быть записан в виде
/г,/ A)
Из A) и из формулы F) § 6 имеем
Ы = 1*%...,ЫУХ® ••• ®«Ч B)
где правая часть определена согласно G) § 6:
[У> ® ... ®е'*]=~-? ^;;; [k(efi ® ... ®в'*)- (з)
Замечание. В дальнейшем в записи произведения
тензоров мы позволим себе часто опускать знак ®-
В таком случае формула B), например, запишется
проще:
§ 8. Внешнее произведение внешних форм
п° 1. В этом параграфе мы определим некоторое
действие над внешними (косыми) формами, называемое
их внешним произведением. Условимся называть сте-
степенью внешней формы число ее (векторных) аргументов.
Таким образом, если дана внешняя форма (ь-=а{хх xk),
то ее степень = k. Внешнюю форму степени k часто
называют k-формой.
п° 2. Пусть дан-ы две внешние формы ©f, ю?, где
k, / — степени данных форм.
20

Определение. Внешним произведением формы ю\
на форму со| называется внешняя форма, которая обо-
обозначается и выражается согласно равенству
Внешнее произведение ©* Л ©^ есть внешняя (косая)
форма, поскольку в правой части A) произведение
oaf®«4 проальтернировано.
п° 3. Для альтернации имеют место соотношения:
Отсюда получаются соответствующие свойства внешнего
произведения:
а) (асо*) Л ©2 == ю? Л (аЦ) = а (ш* Л Ц),
b)" (oaf + а>?) Л Ц = Ч Л ©з + ®2 Л ®з-
Доказательства этих свойств сразу следуют из опре-
определения п° 1, и мы проводить их не будем.
с) . со*ЛЦ = (-1)*Цл<
Докажем это свойство. Очевидно, что
Отсюда и вследствие леммы п° 6 § 5
К Л<о2)(*Р •.., xk, хк+х, ..., хк+1) =
= (Ц Л cof) (xh+l, .... jcfc+l, *, xk).
Следовательно, ввиду кососимметричности правой части
предыдущего равенства
(со* Л Ц) (хх, .... хл, xk+l, .... xk+l) =
= (-1)*'(Ц Л ©*)(*„ .... х„ ж,+р ..., хг+й).
Следствие. Яслы l = k —нечетное и ©? = 0*, то
Частный случай. Для двух линейных форм и, v
имеем
{и Л о) (*i, Ха) = — (f Л и) (*i, лс2).
21

d) Свойство ассоциативности
(cof Л Ц) Л «™ = со* Л (Ц Л oof).
Доказательство этого свойства будет дано позже
(см. § 9). Сначала установим тождество
[[У- ... е1*] [У• ... е'*]\ = |У' ... еV' ... е'Ч B)
Здесь е\ ..., е'1, ... суть базисные формы.
Для доказательства тождества B) заметим, что
\е ... е j— fe|
Перемножая и применяя альтернацию, получим
При перестановке в правой части предыдущего ра-
равенства двух индексов среди аь ..., а* или Pi, ..., Р/
будет меняться знак альтернации. Но при этом будет
одновременно меняться знак соответствующего альтер-
альтернатора. Поэтому в каждом члене индексы ах, ..., ак,
рь..., Р; можно привести к стандартному располо-
расположению 1[ ... ik h ••¦ ii> "тогда все члены справа окажутся
одинаковыми и число их будет k\ /!. Таким образом,
правая часть примет вид [е'1 ... е'*е'' ... е>1\ Тожде-
Тождество B) доказано.
§ 9. Внешнее произведение базисных форм
п° 1,, Имеем для базисных форм (первой степени)
e'Ae' = 2l[eiel]. ' '' (if)
Отсюда. •.'...
= 3![[eV]efe] = 3![eVe*l B)
(см. тождество B) § 8). Аналогично

Следовательно, ¦ ¦. . . ¦ "
(в' Л е1) Л ek = е{ Л (е! Л ек) = е1 Л в7 Л в*.
Это равенство выражает ассоциативное свойство внеш-
внешнего произведения базисных форм. Но чтобы доказать
свойство ассоциативности в общем виде (см. § 8, свой-
свойство d)), т. е. для внешнего произведения трех любых
внешних форм, предыдущее равенство приходится обоб-
обобщить.
п° 2. Прежде всего, пользуясь тождеством B) и
применяя индукцию, мы получим
е'1 Л ... Л.е'* = k\ [У> ... е'*]. C)
Используя формулы B) § 8 и C), найдем
(ег' Л ... Л е'*) Л О'1 Л ... Л в7») =
= е> А ... Л в'* Л е1' Л ... Л А D)
Отсюда
(О'1 Л ... Л e'fc) Л (е'1 Л ... Л е'О) Л (е'1 Л ... Л eSm) =
= (в'«Л ... Л в'*) Л ((«'•Л ... Л е'О Л
Л(е5'Л ... Л в*»»)).- <5)
п° 3. Из. последнего равенства ассоциативное свой-
свойство d) § 8 вытекает непосредственно. Достаточно каж-
каждую форму ©*, Ц, ю™ разложить по надлежащему бази-
базису и- выполнить внешние произведения этих форм по-
почленно; тогда из E) получится нужное соотношение.
(ш\ Л ©0 Л of = ю* Л (Ц Л со^1). ,
Разложению внешних форм по базису посвящен
следующий параграф, . г .. ;. ..
§ 10. Пространство внешних форм данной степени
и базис в нем
п° 1. Внешние формы данной степени k (коротко:
fe-формы) составляют линейное пространство, которое
является подпространством в Т*. В самом деле, если
©ь <о2еТ* и
то
+ (Z2O2] =«1 [Щ] + «2 [Ojl^tX!©! + а2й2-
23

Линейное пространство /г-форм обозначим через А*;
имеем Л* cr T*. Элементы Л* называются также косыми
тензорами.
Отметим, что A' = TI = L*.
п°2. Пусть е\ ..., еп— базис в L*. Тогда, как мы
знаем, всевозможные произведения е'1® ... ®e'k со-
составляют базис в ТЛ Соответственно, для произволь-
произвольного /г-тензора, т. е. для произвольной формы иеТ4,
имеем
Здесь мы воспользовались договоренностью опускать
для краткости записи знак ®. Числа аг л суть ко-
коэффициенты разложения ()), или координаты тензора са.
Если тензор со — косой и k ^ 2, то его координаты
ю,. г обладают косой симметрией по любой паре
индексов; например
ai i i . i === — ®1 I I i •
Обратно, если сог { л кососимметричен по всем парам
индексов, то со — косой тензор (т. е. является косой
формой). Тем самым мы имеем характеристику подпро-
подпространства А* в пространстве Т* с помощью только таких
соотношений, которые специфичны для Tfe (точнее, с по-
помощью линейных операций в Iй и операции тензорного
перемножения). Заметим, что выбор базиса е1 еп
при этом безразличен.
п° 3. Теперь мы укажем, базис в подпространстве Л*.
Прежде всего, учтем, что если форма ш косая, то она
равна своей альтернации.
Поэтому из A) получается равенство
Пользуясь формулой C) § 9» форму B) можно пред-
представить в виде
или
24
г, ..л/1 Л ... А Л D)
1 К-

где звездочка перед знаком -суммы означает, что сум-
суммирование ведется по индексам /j ... /* при условии,
что г, < /2 < ... < ik-
Теорема. Всевозможные наборы внешних произве-
произведений е'1 Л ••• Л е k при условии, что ix < i2 < ... < ik,
составляют базис в Л*, т. е. в пространстве внешних
форм данной степени k.
Доказательство. Ввиду наличия разложения D),
достаточно доказать, что указанные наборы внешних
произведений линейно независимы. Допустим, что есть
-тождественное соотношение
* E<V.. i/1 Л ¦¦• Лв'* = 0, E)
где сог _ t — некоторые числа; при этом /, < ... < ik.
Заметим, что разложение вида A) всегда может быть
восстановлено по заранее данному разложению вида D).
Поэтому из E) имеем
Отсюда а>{ ш-1 =0. Таким образом, а>1 { =0 как
следствие E). Теорема доказана.
Следствие. Пространство всех внешних форм сте-
степени k имеет размерность С\-
Пример. Пусть k = 2. Тогда разложение внешней
формы со будет иметь вид
© =¦• Yi ©i.i/'1 Л eh =
= cfli2e' Л е2 + сй13е' Л е3 + ... + а1пе} Л еп +
+ щ3е2 Л е3 + ... + <о2пе2 Л еп +
+ ' ... +
+ <*>(п-1ье«-1 Аеп.
§ 11. Вычисление одночленных форм
п° 1. Разложим векторы хи ..., xk по базису е1г ..., еп:
xi ~х\е\ + • •
25

Базисные формы е1, ..., еп, как и раньше, возьмем так,
что е1 (х) равна t-й координате аргумента х.
п° 2. Пусть tj < t2 < • • • < ik\ тогда
i\:
'1 "¦ *fe
где У'1 "¦ *fe — минор &-го порядка матрицы X, составлен-
составленной из координат векторов хи ..., xk:
минор y'j'"'* определен столбцами, номера которых
суть i, ik.
Замечание. Если пространство евклидово и
еи ...., еп — ортонормированныи базис, то число V '"'JL
"есть Л-мерный ориентированный объем ^-мерного па-
параллелепипеда, который построен на проекциях векто-
векторов хи ..., xk на координатную 6-мерную плоскость
базисных векторов е{, ..., et .
§ 12. Координатное выражение внешней формы
п° 1. Из § 11 и из формулы D) § 10 следует коор-
координатная запись значения внешней формы:
A)
В более подробном виде
§ 13. Специальные обозначения
п° 1. Вернемся к разложению внешней формы со-
согласно D) § 10
со.= *2>, im e'iA ...ЛеЧ A)

Так какГ е'(х)=^х\ то символ х1 мы будем рассматри-
рассматривать как обозначение формы е{. Ввиду этого наряду
с формулой A) будем употреблять также форм.улу
Формулы A) и (Г) отличаются только способом за-
записи. Во избежание недоразумений еще раз подчеркнем, ,
что в равенстве A') xl\ ..., x'k надлежит понимать, как
обозначение линейных форм, которые могут быть взяты
от разных векторных аргументов (каждая от своего).
" Например, '
(*' Л х2) (хи х2) = (е1 Л е2) (*,, х2) =
- е2 (*,) ех (*2) - х\х\ - х\х\ =
ХХ X2
Х1 х\
X1 X2
2 2
здесь хх, л:2 —формы, х{, х2 — векторы, х* — их коорди-
координаты.
п°2. Отметим еще равенство, которое соответствует
разложению определителя l/'1"'** по элементам послед-
последней строки:
(х'х Л *'* Л ... Л *'*-' Л-*'*) (хи хг, ...,, xk-u хк) =
= (-1)*-'{(^ Л х{* Л ... Л ***)<' -
- (*'« Л а:'3 Л ... Л *'*)xj2 + .....
...+(-1)* (*'. Л :jcr« Л . .V Л х'*-«) <*} (я,/'...; л;,,,); B)
в правой части написаны внешние произведения ли-
линейных форм, которые в каждом слагаемом берутся
последовательно от векторных аргументов хи ..., хк-х;
коэффициенты х'^, ..., x*kk суть числа (координаты
вектора xk).
п° 3. Запись внешней формы в виде A') особенно
удобна при переходе х. новым координатам.
§ 14. Преобразование внешней формы при переходе
к новым координатам
п° 1. Пусть делается переход к новым координатам;
I
\ о
... +Ppxh';)
21

здесь хх, .-.., хп — координаты произвольного вектора х
в старом базисе, х1', ..., хп' — координаты этого век-
вектора х в новом базисе. Числа Р\> суть коэффициенты
преобразования. Однако согласно предыдущему пара-
параграфу можно считать, что написанные в этих равенствах
слева символы суть линейные формы е\ ..., е", взаим-
взаимные со старым базисом (т. е. удовлетворяющие усло-
условиям е1{х) = х1, где х1 есть /-я координата вектора х).
Аналогичным образом по отношению к новому базису
можно рассматривать члены правых частей. При такой
точке зрения на формулы A) приведение каждого члена
Xх Л ••• Л xik внешней формы A') § 13 к новым коор-
координатам можно выполнить путем почленного внешнего
умножения правых частнй формул A), беря из них по-
последовательно те, которые имеют номера iu ..., i^. Вы-
Выполняя указанное действие, получим
...Л*'
где
В конкретных случаях вместо применения этой гото-
готовой формулы удобнее непосредственно проводить дей-
действия по правилам внешней алгебры. Например, если
х = аи + ру,
у = y« +
то
х Л У = (аи -f Pt>) Л (Y« + 6») =
= oy (и А и) + а6(ы Л v) +
о Л и) + Р5(о Л о) =

ГЛАВА II
ВНЕШНЕЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
§ I. Касательные пространства
п° 1. Пусть Е— евклидово "«-мерное пространство,
т. е. линейное n-мерное пространство, в котором за-
задано положительно определенное скалярное произве-
произведение.
Зафиксируем какой-нибудь элемент х е Е и будем
рассматривать всевозможные пары (х, и), где и — произ-
произвольный элемент из Е. Во множестве этих пар введем
линейные операции:
{х, щ) + {х, и2) = (х, и, + и2), A)
а (х, и) = {х, аи). B)
Полученное тем самым линейное пространство пар (х, и)
обозначим через Тх. Первый (зафиксированный) эле-
элемент х пары (х, и) мы будем называть точкой. Пару (х, и),
как элемент Тх, будем называть вектором, приложен-
приложенным к точке х. Впрочем, мы позволим себе говорить
также, что вектор и приложен к точке х, если он
является вторым элементом пары (х, и).
Линейное пространство Тх назовем касательным про-
пространством к Е в точке х. Вследствие A) и B) биектив-
биективное отображение Е на Тх, при котором произвольному
вектору и^Е отвечает пара {х, и), является линейным
изоморфизмом. С помощью этого изоморфизма все
свойства Е, как линейного прссгранства, переносятся
на каждое касательное пространство Тх. Более того,
по тому же изоморфизму мы будем переносить из Е
в Тх и евклидовы свойства Е; впрочем, достаточно ска-
сказать, что скалярным произведением двух элементов [х, и)
и (х, v) пространства Тх мы назовем число, равное ска-
скалярному произведению элементов и, v e E.
п° 2. Все, что было сейчас определено формально,
можно высказать наглядным образом. Именно: 1) любой
4 Н, В, Ефимов ' 29

элемент х е Е можно зафиксировать и назвать точкой\
2) любой элемент и е Е можно сопоставить с точкой х
и назвать вектором, приложенным к точке х. Можно
также сказать, что точка х есть начало приложенного
к ней вектора и. Тогда точку у = х-\-и следует считать
его концом. 3) Линейное пространство Тх векторов, при-
приложенных к точке х, называется касательным простран-
пространством к Е в точке х.
п° 3. Согласно сказанному евклидово пространство Е
можно рассматривать как пространство точек; оно
является метрическим пространством с метрикой р (х, у) =
= IIУ — х 11'= У (У ~х, У — ¦*)¦ Соответственно в Е опре-
определены все понятия, относящиеся к метрическим про-
пространствам, в частности, в Е определено понятие от-
открытого множества и области.
п° 4. Пусть (приложенные) векторы {х, и)^.Тх и
{у, .и) ^-Ту отвечают одному и тому же (свободному)
вектору « е Е. Тогда говорят, что один из них (любой)
получен параллельным перенесением другого; например,
вектор (у, и) получен параллельным перенесением век-
вектора (х, и) из касательного пространства Тх в касатель-
касательное пространство Ту.
Очевидно, что приложенные векторы, получаемые во
всех касательных пространствах параллельным перене-
перенесением какого-нибудь одного вектора, удовлетворяют
обычным условиям отношения эквивалентности. Поэтому
их часто называют равными векторами (хотя они при-
принадлежат разным пространствам). Имея в виду возмож*
ность однозначно строить равные векторы в разных
касательных пространствах, говорят, что в евклидовом
пространстве Е имеет место абсолютный параллелизм
векторов.
п° 5. Вместе с линейным касательным простран-
пространством Тх определено сопряженное ему пространство Т*х;
ононазывается кокасательным пространством к евклидову
пространству Е в точке х. Кроме того, определено при
любом k линейное пространство
(справа — k сомножителей). В каждом Т* определено
подпространство Л*, аналогично тому, как в § 10-
главы I определено подпространство A.k пространства Тй.
30

п° 6. Заметим, наконец, что наличие евклидовой
структуры в Е нами, по- существу, не использовано.
Все сказанное относится и к аффинному пространству.
Мы предполагаем пространство Е евклидовым только
с той целью, чтобы в дальнейшем мы могли в нужных
случаях применять евклидовы понятия без специальных
оговорок.
§ 2. Внешние дифференциальные формы
п° 1. Обозначим через U некоторую область в евкли-
евклидовом пространстве Е. Пусть для любой точки х е U
в касательном пространстве Тх задана полилинейная
< форма а.
Тогда говорят, что дана форма в области U. Иначе
можно сказать, что с каждой точкой х и с каждым
упорядоченным набором векторов |ь ..., |ft e Тх сопо-
сопоставлено число из R, или, что дано отображение
где Тх есть fe-кратное произведение Тх на себя. Эле-
Элементами Тх можно считать упорядоченные наборы
(х, |ь ..., |fc). Отображение A) предполагается линей-
линейным по каждому векторному аргументу, т. е. по каж-
каждой составляющей набора (х, Z,lt ..., |ft), не считая
точки х.
Форму A) называют дифференциальной формой в об-
области U. В соответствии с § 3 главы I можно написать
а €= Т*.
п° 2. Если форма A) совпадает со своей альтерна-
альтернацией, то ее называют внешней дифференциальной k-фор-
мой в области U. Для обозначения внешних дифферен-
дифференциальных форм наиболее употребительна буква со.
Соответственно можно написать со е Л*.
п° 3. Разумеется, к дифференциальным формам при-
применимы все алгебраические понятия и методы, о кото-
которых говорилось в главе I. Достаточно считать, что
точка х зафиксирована, и рассматривать в качестве
пространства L касательное пространство Тх. В част-
частности, для внешней формы можно дать координатное
представление.
п° 4. Пусть в пространстве Е задана координатная
система с базисом еи ..., еп, пусть е\ ..., еп—линейные
4* 31

формы, которые составляют взаимный с ним базис
в сопряженном пространстве Е*. Будем считать, что
одновременно с этим в каждом касательном простран-
пространстве Тх задан базис, состоящий из векторов еь ..., еп,
приложенных к точке х (для этих приложенных векторов
мы сохраним обозначение символами еи ..., еп). Формы
е{, ..., еп будем рассматривать как элементы сопряжен-
сопряженного пространства Г*, для чего достаточно полагать,
что их аргументы приложены к точке х. Эти постоян-
постоянные, точнее говоря, не зависящие от х формы, мы будем
называть координатными (для данной координатной си-
системы) или проектирующими, поскольку по условию вза-
взаимности
eJ(l)=l', ¦ B)
"чтсГесть проекция вектора | на координатную ось с но-
номером /. Координатные формы принято обозначать
через dx1. Таким образом, наряду с записью B) можно
писать
dxJ(l) = lJ. C)
п° 5. Согласно § 10 главы I имеет место координат-
координатная запись внешней дифференциальной формы ш е Л*:
© = * Е «^ ..., (*) е1 Л ... Л е'*, D)
или
ю = * ]Г со . (х) dx ' Л • • • Л dxik. D')
Формулы D) и D') отличаются только способом записи
(подобно формулам D) § 10 и A0 § 13 главы I). Обе
эти формулы определяют со как внешнюю форму в ка-
касательном пространстве Тх. Коэффициенты а{ 2 (x)
суть числовые функции точки х (кроме того, они зави-
зависят, разумеется, от выбора координатной системы).
Обычную функцию точки (f: U—*-R) считают формой
нулевой степени. Для формы нулевой степени равен-
равенство D') имеет вид т = а(х).
п° 6. Рассмотрим примеры. Пусть Е — трехмерное
евклидово пространство, и пусть в нем дано поле век-
векторов: р — р {х), т. е. в каждой точке х е Е приложен
вектор р(х). Тогда в Е определены две внешние диф-
дифференциальные формы. Одна из них — линейная форма,
есть скалярное произведение: со1 — (р {х), |). Если р = р {х)
32

истолковать как силу, приложенную в точке х, то ю1
означает элементарную работу, которую производит
сила р при перемещении точки приложения из х в конец
вектора х + %. Другая — внешняя дифференциальная
форма второй степени, есть смешанное произведение
Форме ю2 часто дают гидродинамическое истолкование,
полагая, что ю2 есть потох вектора р (х) через элемен-
элементарную площадку (|ь ?2). Отметим, наконец, внешнюю
"дифференциальную форму третьей степени —
Эта форма есть ориентированный объем параллелепипеда,
построенного на векторах ?,, |2, ?3 <= Тх.
Нетрудно написать координатные представления форм
©', со2, со3. Именно, если р{х) = {Р(х), Q(x), R(x)}, то
=Pdxx + Qdx2 + R dx3,
= Rdxl Л dx2 + \—Q)dxl A
= dx1 A dx2 A dx3.
Л dx3,
Первое из этих равенств усматривается с очевидностью:
о1 (|) = П1 + Q;2 + Rl3 = (P dx1 + Qdx2 +
Чтобы понять второе и третье, достаточно написать
общеизвестные выражения смешанного произведения:
p
и
ll
Q
1?
ll
R
1?
ll
= /
ll
1?
ll
+ (-Q)
ll
I?
ll
+ P
ll
1?
ll
ll
li
ll
If
ll
l!
I!
ll
13з
ь U, h) =
Отсюда сразу получается предыдущая запись ю2, ©3
й символике внешних форм, если использовать § 13
главы I.
зз

§ 3. Внешний дифференциал
п° 1. Внешний дифференциал формы нулевой степени,
т, е, функции, по определению есть ее обычный диф-
дифференциал.
Пусть в области U а Е задана (действительная)
дифференцируемая функция
/: ?/-*R. A)
Тогда в каждой точке хе(/ существует дифференциал
функции
dy = f'-(x)l. B)
Здесь f (х)— линейная форма, которая определена в ка-
касательном пространстве Тх; dy — ее значение на векторе
|еГх. Сама форма f {х) есть производная данной
функции в точке х; ее обозначают также через Df (x).
Мы имеем в виду сейчас функции с числовыми зна-
значениями. Соответственно этому, считая действительную
ocbR линейным пространством, вместо B) можно написать
подразумевая, что это отображение линейно.
п° 2. Напомним определение производной. Будем
считать, что данная функция / определена в области
U{f: f/->R). Пусть Л—некоторое линейное отображение
Tx-+R (точка х зафиксирована при условии x^U).
Обозначим через z произвольную (переменную) точку
области U. Имеем z — x еГя; следовательно, определен
образ A {z — х) вектора z — x при отображении А. Данная
функция / называется дифференцируемой в точке х, если
существует такое линейное отображение A: Tx-+R, что
f(z)-f{x) = A{z-x) + o(z-x); C)
здесь «о малое» от z — х понимается как обычно: оно.
удовлетворяет неравенству
||o(z-*)||<iKz, *)||z-*||f D)
где г|з (z, x) — некоторая неотрицательная функция, кото-
которая стремится .к нулю при z->x. В данном случае
о (г — х) есть функция с числовыми значениями; ее норма
|| о (z — *) || есть просто модуль \o(z — х)\.
Линейное отображение A: TX-*R, удовлетворяющее
условию C), называется производной функцией / в точке jc
символически А = Df (х) или А = f (х). ~.:
34

п° 3. Поскольку линейные отображения в; R мы.назы-.
ваем формами (с числовыми значениями), то производная
функции в данной точке есть форма.
Очевидно, f (х) е Л^, где АХ=ТХ есть кокасательное
пространство в точке х. Соответственно можно сказать,
что производная есть ковектор.
Значение производной на произвольном векторе 1<^ТХ
называется дифференциалом функции: dy = Df{x)%, или
d] = Df {х) |; можно писать также dy = /' (х) | или df =
=^/'(л:)|. Впрочем, дифференциалом часто называют'
•производную.
п° 4. Как видно из определений, данных в п° 2, про-
производная и дифференциал инвариантны, т. е. не зависят
от выбора координат. Однако.их координатные пред-
представления от выбора координатной системы зависят.
Пусть в Е введена система координат с базисом
еи ..., еп. Тогда в каждом касательном пространствеТЛ
будет введен базис, состоящий из векторов eit ..., еа,
приложенных к точке х. Тем самым произвольный век-
вектор \^ТХ получает координатное представление
Одновременно получает координатное представление диф-
дифференциал функции
df = fA1+...+fxnla- E)
и производная (как ковектор из Тх)
f'(x)*={fx>(x), .... ^,(*)}Г F)
Здесь fх\ (х), ..., fxn{x) — частные производные в.точке х.
Они зависят от выбора системы координат, что ясно по
их определению и усматривается также из очевидной
формулы ...... . , ¦
fxt(x) = f'(x)et. . F')
или
fxi(x) = Df(x)et.
Последняя формула дает основание писать вместо fxi
символ Dtf или просто Dt.
Замечание. Заметим, что правая часть E) есть
свертка элемента | касательного пространства Тх с эле-
элементом f {x) сопряженного пространства Тх.
35

Замечание. Уже сейчас можно понять, что рас-
рассматривать и различать касательные пространства имеет
смысл, хотя, казалось бы, они не отличаются от исход-
исходного пространства Е. В самом деле, например, произ-
производная f (х) по нашему определению есть линейное
отображение TX->R. Можно было бы определить f {х)
как линейное отображение Е—>R, но все равно тогда
мы должны были бы указать, что оно зависит и как,
именно, зависит от точки х. А это, по существу, и озна-
означает, что мы имеем дело с парами (л:, и), и е Е или,
наглядно говоря, с приложенными векторами.
п° 5. Для данной системы декартовых прямоугольных
координат зададим систему функций п1 {х), ..., пп(х)
от (переменной) точки х^Е условиями л1(х) = х\ где
х\ ..., х11 — координаты точки х. По очевидным при-
причинам эти функции называются проектирующими. Легко
понять, что
<*«'(*) = Ля'(*)! = ;'= <&*(?) G)
(см. § 2 п° 2). Таким образом, производные проектирую-
проектирующих функций суть проектирующие формы: Dnl{x) = dxl.
Обратим внимание, что формулу E) можно написать
в виде
d/ = (D,dx'+ ... +Dndxn)(t),
где справа D{ Dn можно рассматривать как коэф-
коэффициенты разложения формы Df по формам dx\ ..., dx11.
Можно написать также
df = Dldnl{x)+ ... +Dndnn(x),
поскольку dn1 {x) = dx1 (?). Пишут очень часто еще
df = Didxl+ ... +Dndxn.
Однако, поскольку dx1, ..., dx" означают формы, а не
значения форм, то последняя запись на самом деле
выражает не дифференциал функции, а ее производную *).
Соответственно этой записи имеем вместо G)
dn1 (х) = dx' = е1. Gа)
п° 6. Теперь мы определим дифференциал полилиней-
полилинейной формы; тем самым, в частности, будут определены
') Употребление символа d для обозначения производной (вместо
дифференциала) вошло в традицию.
36

высшие дифференциалы функции, так как ее первый
дифференциал есть линейная форма.
Пусть в некоторой области U дана дифференциаль-
дифференциальная полилинейная форма с числовыми значениями.
а = а{х, 1Ь ..., U), (8)
где x^U, |ь ..., |fe e Tx. Иначе говоря, для любого
х е U дано полилинейное отображение а: Г*->Й.
Зафиксируем 1Ь ..., |^ в области U. Это значит,
что мы выбираем как-нибудь |ь ..., \ъ в некоторой
.точке х ^U, а в остальных точках области U берем
в качестве ?ь ..., |fe векторы, которые получаются парал-
параллельным перенесением выбранных (см. п° 4§ 1). Если при
любых фиксированных ?ь ..., |fe форма а становится
дифференцируемой функцией в области U (т. е. диф-
дифференцируемой функцией переменной точки х е ?/), то
говорят, что эта форма дифференцируема в области U.
Предполагая форму а дифференцируемой, рассмотрим
дифференциал функции, которая получается из формы а
путем фиксирования ?ь ..., |fe:
r\^Tx. (9)
Позволим теперь векторам х\, |ь ..., |ц принимать
любые значения; тогда правая часть (9) будет полили-
полилинейной формой от векторов т|, |ь ..., |ft> число кото-
которых = k-\-l. Эта форма называется дифференциалом
данной формы а.
п° 7. Пусть теперь дана внешняя дифференциальная
форма
© = «(*, |ь ..., У. A0)
Ее дифференциал будет полилинейной формой, которая
обладает косой симметрией по аргументам |ь ..., |fe,
являющимся аргументами самой формы со, т. е. без
участия tj.
п° 8. Внешним дифференциалом k-формы. со называется
альтернация ее дифференциала, который определен в п° 6,
взятая с коэффициентом k-\-U
. A1)
Вследствие этой альтернации форма da> обладает косой
симметрией по всем своим векторным аргументам
вместе с т\.
37

Если форма задана своим координатном представ-
представлением
со = * ? «>/,... /¦* № <***' Л ... Л йх\ A2)
то из A1), A2) и из определения внешнего произведения
двух форм получаем
dco =» * Xdtoi,... /д, (х) Л Лс'1 Л ... Л dx\ A3)
Здесь
ik
(x) = ? />„©,,... /fc (х) rfxa; A4)
a=l
Datoi^... ik(x) — частные производные.
п° 9.* Следует заметить, что согласно принятой сим-
символике dxa, dx'\ ..., dx'k суть формы, а не значения
форм. Поэтому в силу равенства A3) da точнее следо-
следовало бы называть внешней производной, а не внешним
дифференциалом. Производной является также dan ...\.{x).
Внешний дифференциал мы получим, если подсчитаем da>
на произвольном наборе векторов tj, |ь ..., %k^Tx.
При этом d(Ott... ik(x) подсчитывается на векторе х\.
Однако мы сохраним традиционную терминологию.
п° 10. Из определения внешнего дифференциала сог-
согласно. п° 8 непосредственно следует, что внешний диф-
дифференциал в евклидовом пространстве определен нами
инвариантно (поскольку в его определении вообще коор-
координатная система не участвует). Координатное пред-
представление da> от выбора системы координат, разумеется,
зависит.
§ 4. Основные свойства внешнего дифференциала
п° 1. Из определения внешнего дифференциала или
из его координатного представления (9) § 3 непосред-
непосредственно следует, что операция внешнего дифференциро-
дифференцирования является линейной. Именно, если юь со2 — любые
дифференциальные -Уе-формы, дифференцируемые в об-
области U, и а, р — любые числа, то &-форма ao)i + Pco2
также дифференцируема в U, причем
d (aa>i + Ри2) = a rfcoj + р d(u2. A)
Доказательство этого утверждения и только что
написанного тождества мы предоставим читателю.
38

¦ п° 2. Далее, имеет место следующее свойство: если «в,
а — любые внешние дифференциальные формы, диф-
дифференцируемые в области U, то внешнее произведение
со Л о есть внешняя дифференциальная форма, которая
также дифференцируема в области U, причем
d{a>Ao)=da>Ao + {-l)k<i>Ade, B)
где k — степень формы со.
Доказательство формулы B) проведем при помощи
Какого-нибудь координатного представления (тем са-
самым B) будет доказано вообще, поскольку сами формы
и их внешние дифференциалы инвариантны). Имеем:
со = * Y,®i1...ikdxii Л ... Adx'k,
^¦Ес;,...?,^'1 Л ... Adx!',
Отсюда
d((o Л o) = d(*E«>/1...ffea/i...;jdx'1 Л ...
.-.. Л Ах1* A dx'y Л ... Л dx'i) =
A dxlt Л ... Л dxlk a dxfi Л ... <dx'< =
... i» Л die'1 Л ... Л Же'*) А
Л (* ? аУ[... /, dx'i Л ... Л dx'') +
Л (* Е Аг/,.../, Л d*'1 Л ... Л йл:/г)- C)
В правой части равенства C) перед вторым членом
пришлось поставить (— l)k, поскольку линейную форму
doil.../l нужно было переставить с /г-формой dx'1 Л ¦ • •
... Л dx'k (см. § 8 главы I). Вместе с равенством C)
доказано и равенство B).
п° 3. Лемм а> Если f — дважды дифференцируемая
в некоторой области U функция (рассматриваемая как
форма нулевой степени), то внешний дифференциал
d(df) = O.
39

Доказательство. По определению внешних диф-
дифференциалов имеем
^Jdx\
дх1 '
¦dx1 Adxi = 0.
дх1
Эта сумма равна нулю потому, что вторая частная
производная не меняется при перестановке индексов /, /,
а внешнее произведение dx1 Л dx1 при такой перестановке
меняет знак.
п° 4. Теорема. Какой бы ни была дважды диф-
дифференцируемая в области U внешняя форма со, всегда
d2a> = 0. D)
Здесь d2a> = d(da).
Доказательство. Воспользуемся координатным
представлением формы со в какой-нибудь системе коор-
координат
Ем 1. , , и
i ... lu\ ' ' * *'* ' > e »
1 At
где e\ ..., en — проектирующие формы, соответствующие
выбранной координатной системе. Согласно пп° 5 и 7 § 3
el=--dnl{x), E)
где я' (л;) — проектирующие функции. Из E) и вследствие
предыдущей леммы
del = d {dnl {x)) = 0. F)
С другой стороны, по той же лемме
:,...14(*)) = 0. G)
Применяя (многократно) правила дифференцирования,
которые даны в пп° 1 и 2, и пользуясь равенствами F),
G), получим с?2© = 0.
п° 5. Сама формулировка доказанной теоремы пока-
показывает ее фундаментальное значение для внешнего диф-
дифференцирования (хотя бы уже потому, что в силу этой
теоремы все дифференциальное исчисление внешних форм
сводится только к первым дифференциалам). Дальше
мы покажем роль этой теоремы во вполне конкретных
и весьма принципиальных вопросах.
40

§ 5. Примеры внешнего дифференцирования
п° 1. Рассмотрим сначала линейную дифференциаль-
дифференциальную форму на евклидовой плоскости
со = р dxl + Q dx2;
здесь Р и Q —функции точки х. Имеем
da = dP Л dx1 + d
В связи с этими выражениями со, d<a полезно вспомнить
известную в элементарном анализе формулу Грина.
п° 2. Теперь рассмотрим линейную дифференциальную
форму в пространстве
со = Р dx1 + Q dx2 + R dx3; (I)
здесь P, Q, R — также функции точки х. Можно считать,
что эти функции определяют вектор
p(x) = {P(x),Q{x),R{x)}.
Имеем:
d«> = dPA dx1 + dQA dx2 + dR A dx3 =
л
Введем в рассмотрение ротацию вектора р {х):
Т0Хр~\~д? дх3 ' дх* дх1 ' 5л:1 йл;2 ]'
Тогда
B)
41

т. е. dco(|b |2) представляет собой поток ротации через
элементарную площадку (|,, |2) (см. п° 6 § 2). В связи
с выражениями A) и B), полезно вспомнить известную
в элементарном анализе формулу Стокса.
п° 3. Пусть теперь со — внешняя дифференциальная
форма второй степени
a> = Rdxl Adx2 — Q dx1 Л dx3 + Р dx2 Л dx3. C)
Согласно п° 6 § 2 <a(tu g2) есть поток вектора р{х)
через элементарную площадку (|ь |2), Имеем:
( Jf- dx' + j^'dx* + -fj- dx3) Л dJ A dx2 -
а*г -т- dx* ¦ ^f; Jxl л d*2 л'
Введем в рассмотрение дивергенцию поля р(х):
Тогда
da = div p dx1 Л dx2 Л dx3. D)
Форма dco(li, g2, 1з) есть дивергенция поля р(х) в эле-
элементарном объеме (|ь |2, ^з).~В связи с выражениями C)
и D) полезно вспомнить известную формулу Гаусса —
Остроградского.
п° 4. В третьей главе будет установлена некоторая
общая интегральная формула, включающая как свои
весьма частные случаи все три интегральные формулы,
которые упоминались нами в конце каждого из пп° 1,
2 и 3. Ее называют общей формулой Стокса.
% 6. Индуцированное отображение пространства
внешних форм
п° Г. Пусть задано линейное пространство Z,, и не-
некоторое линейное отображение его в линейное про-
пространство L2:
*: 1,->12. A)
42

Вместо A) можно написать: o = i|)(«), гДе иеА,
v — образ элемента и в пространстве L2{v e L2). Обо-
Обозначим через T*(L,) и T;s(L2) линейные пространства
/г-тензоров, определенных соответственно в L] и L2. Как
и раньше, будем представлять себе й-тензоры как
полилинейные формы.
Для дальнейшего важно, что отображение (I) инду-
индуцирует по определенному стандарту некоторое линейное
отображение Tft(L2) в T*(L,). Это индуцированное ли-
линейное отображение мы обозначим через г|з* (следовало бы
писать г|з*)
tf: T*(L2)->T*(L,). B)
Отображение \f>* определяется следующим образом. Пусть
a{vu ..., vk) — данная полилинейная форма в Tk(L2),
где yI( ..., iijeij. Пусть теперь щ, ..., щ — любые
векторы в Lj («ь ..., ик е L]). С этими векторами мы со-
сопоставим число а(^(щ), ..., ty{uk)). Так как a(vu ..., иА)—
полилинейная форма иа = ф(«) — линейное отображение,
то а (г|з (г^,), ..., я|з («А)) линейно зависит от каждого
из аргументов щ, ..., ый. Тем самым с каждой формой
aeT'(L2) сопоставлена форма в T*(L,); ее и обозна-
обозначают через г|з*а; я|з*а е Т* (/.!). Согласно сказанному
значение формы \<р* (а) для набора векторов «,, ..., ик е L,
определяется равенством
W>*a) («1 и*) = a (* ("О, • • •, ¦Ф ("*))• C)
Легко проверить, что для любых форм a, jGTt(L'j)
и для любого aeR имеют место равенства:
-ф* (а + Ь) = г|э*а + ty*b, г|>* (аа) = аф*а. D>
Тем самым отображение B) действительно язляется
линейным. Отметим еще равенство
Va = a, D0
которое мы принимаем как определение г|з* для форм
нулевой степени.
п° 2. Пусть теперь а и Ь — две формы с любым
числом аргументов: eeT'(L2), беТ'^). По опре-
определению тензорного произведения, имеем:
vk, vk+i, ...
= a(vi vk)b{vk+u
43

здесь vt^L2 (/==1 k, k + \, ..., & + /). Отсюда
для любых Uj e Lx следует:
¦ф*(а®&Ж •••, tik, uh+u ...,
= {a®b)(ф(щ) ф(uk),
= (Va®**6)("i uk, uk+l, ..., uk+i). E)
Кроме того, из C) непосредственно получается равен-
¦ ство альтернаций
Wa] (и,, ..., и») = [а] (Ц> (и,) -ф (и*)). F)
Числовые тождества E) и F) сразу приводят ~к соот-
соответствующим тензорным равенствам:
ty*{a®b) = ty*a®ty*b, G)
Wa] = tf[a]. (8)
п° 3. Следствие. Если а — внешняя форма в Tft (L2),
то -ф* (а) — внешняя форма в T&(L,).
Доказательство. Пусть [а] = а. Тогда
что и утверждалось.
п° 4. Доказанное утверждение можно выразить еще
следующим способом: если аеЛ'(L2), то а|э*а е Afe(L^.
Иначе говоря, линейное отображение ф индуцирует
линейное отображение
(9)
Отображение (9) является, очевидно, сужением отобра-
отображения B) на Ак (Ц) с Tft (L2); мы сохранили для него
символ of*.
Далее мы рассматриваем внешние формы и поэтому
вместо а и Ь пишем со и ст.
п° 5. Из G) и (8) следует также равенство
¦ф* (со Л ст) = ili*o) Л 1|Ат- A0)
В самом деле, если юеЛ'(Ц aeA'(L2), то
^ТГ ] = **(о Л
44,

Кроме того, если aeR, то согласно D)
¦ф* (аш) = сгф* (со).
п° 6. Теперь мы займемся внешними дифференциаль-
дифференциальными формами. Изложенные сейчас вещи мы перенесем
из алгебры внешних форм в дифференциальное исчис-
исчисление.
Пусть в области U е ? задана функция у = / {х), хе{/,
значения которой суть элементы некоторого евклидова
пространства Е{у е?). Иначе говоря, дано отображе-
отображение области U евклидова пространства Е в евклидово
пространство Е:
f; U->E. (II)
Размерности Е и Е могут быть любыми; мы обо-
обозначим их соответственно через /гит.
Предположим, что отображение / дифференцируемо
в каждой точке области U. Тогда в произвольной точке
x^U существует производная отображения /, которая
представляет собой линейное отображение Тх в Е. На-
Напомним, что Тх обозначает касательное пространство
к ? в точке х (см. § 1). Через Ти мы будем иногда
обозначать касательное пространство к ? в точке y=f (x).
Производную отображения / в точке х будем обо-
обозначать через /' (х). Что кесается определения произ-
производной, то мы ограничимся отсылкой к п° 2 § 3, где
дано определение производной функции с числовыми
значениями. Оно почти без изменений переносится на
случай производной общего отображения: достаточно
всюду в п° 2 вместо отображений U—*-R и Тх—>R подра-
подразумевать соответственно отображения U->E и Тх-^>-Е.
Дифференциал отображения / в точке х пишется
в виде
ч = /'(*)?• . (Ю
Здесь | — произвольный вектор из Тх, г) (дифференциал
отображения)— его образ в Ту.
Производная и дифференциал отображения являются
инвариантными объектами (их определения не исполь-
используют координатных систем). Но допустим, что в ? и ?
введены координаты (будем считать — декартовы пря-
прямоугольные, хотя это не везде существенно). Тогда
45

производная и дифференциал получат координатное пред-
представление. Прежде всего, вместо A1) можно написать
координатное представление самого отображения f:
*/' = № *"), .... *Л = Р(*< А A3)
• Отсюда хорошо известным путем выводится коорди-
. натное представление дифференциала A2):
\ (И)
где
A\ ..., !") = |, (V лт) = л,
fj(jc)~частная производная функции /' (х)=}'(х\ ...,хп)
по х1, вычисленная в точке х.
Равенства A4) дают координатное представление
производной в виде функциональной (якобиевой) матрицы
' \(х) ... /i(x)\
• A5)
f?(x) ... fZMj
Далее символ f'{x) (или просто /') в равной мере
употребляется как для обозначения самих отображений,
так и для их координатных представлений, т. е. для
матриц. В случае т,= п символ det/'(*) будет обозна-
обозначать определитель якобиевой матрицы, квадратной, по-
поскольку т = п.
п° 7. Согласно п° 4 линейное отображение /' (х) инду-
индуцирует линейное отображение внешних дифференциаль-
дифференциальных форм из пространства Л* (fy), y=f {x), в пространство
Ак(Тх). Его следовало бы (в соответствии с п° 4) обо-
обозначать через /". Однако в целях упрощения записи
принято писать /*. Подведем итог.
п° 8. Итак, данное (вообще говоря, нелинейное) диф-
дифференцируемое в области U отображение
/: ?/->?
определяет в каждой точке х е U в качестве своей
производной линейное отображение f'(x) касательного
пространства Тх в касательное пространство fy (y=f (*)):
f'(x):Tx->fy.
46

Это последнее отображение индуцирует (при любом k
и в любой точке х) линейное отображение простран-
пространства Л*^) в пространство Ak(Tx): . .
Г: Ak(Ty)-+A*(Tx).
Таким образом,, с каждой fc-формой йеЛ*(Гв) сопо-
сопоставляется форма /*ш е Л* (Тх).
п° 9. Из пп° 1— 5 вытекают следующие алгебраиче-
алгебраические свойства отображения /*:
1) /W)-/{(*)<&'+ ••• +fin(x)dx". A6)
В самом деле, обозначая /'(*)? через т](?), имеем
согласно A4):
Г№/') (I) = dy1 (л (?)) = л? = П
что и означает A6).
Вместо A6) можно писать коротко
. Пйу1) = й!1{х); A7)
здесь df (х) — производная функции /' (д;).
Ясно, что A6) и A7) определяются не только ото-
отображением у = f (х), но и выбранными в Е, Е коорди-
координатными системами.
Следующие три свойства отображения /* записы-
записываются в виде инвариантных соотношений:
2) />1 + Сй2) =
соь со2
3) Г(«Ло)
4) f'(?)^gof,
Запись g^A°(U) означает, что g есть форма нулевой
степени, т.е. функция, заданная в области UczE.
Свойства 2) и 3) верны, поскольку они не отли-
отличаются от соотношений D) и A0); см. пп° 1 и 5. Свой-
Свойство 4) не отличается от соотношения D') в п° 1.
В самом деле, значение g°f в точке х равно значе-
значению ,g в точке у = f (x).
Из 3) и 4), в частности, имеем
5) ГЫ = (§о/)Гсо.
47

п° 10. Операция f* определена инвариантно. Указан-
Указанные выше свойства этой операции позволяют легко
получить ее координатное представление. Пусть дано
координатное представление формы иеЛ* (Гу):
(й = *2>г1 ... lk(y)dyl*A ... Ady\ A8)
Тогда на основании свойств 2) — 5) получаем
f*co = *ZК ...tko f)(f* №) Л ... Л f (dy**)). A9)
Отсюда и вследствие A7) имеем координатное предста-
представление f*co.
Указание. Формула A9) означает, что координат-
координатное представление /*со получается простой формальной
подстановкой. Именно, нужно в правой части выраже-
выражения A8) заменить у1, ,.., ут их выражениями A3) и
записать f*(dyl), ..., f*(dym) по формуле A7).
п° 11. В частности, если т = п и k — п, то матрица f
является квадратной, а форма имеет одночленный вид
A ... Adyn, . B0)
где g = g{y). В этом случае
f\o = (g о /) (det f) dxl Л ... Л dxn. B1)
п° 12. Имеет место важная
Теорема.
n<fo) = d(f%). B2)
Доказательство сначала проведем для форм нулевой
степени. Пусть g — функция, заданная в области О cz Ё.
Имеем
f(g) = g°7.
Отсюда
df (g) = dg°df = dg-f' = r (dg). B3)
Пусть теперь ю — произвольная &-форма, заданная
в?/с?:
(й = *2юг1 ... ikdy'1 Л ...Ady'k.
Тогда
f\ = * Z (f\ ... ij f (^'0 Л ... Л Г {dy%
Вследствие A7)
48

Отсюда и на основании B3)
*(^'0A ... A
)A ... Л/* Gty'*) =/*
Теорема доказана.
п° 13. Пусть, как и раньше, f: U ->E,U <=?; пусть U
обозначает образ области U в пространстве Ё. Пред-
Предположим, что т = п и что отображение f: U-+U диф-
феоморфно. Допустим, что в Е и Е введены декартовы
прямоугольные координаты. Тогда / получает коорди-
координатное представление: yl = fl(x[, ..., хп) (г = 1, ..., п).
Тем самым набор чисел (х\ ..., x") = jte[/ определяет
точку у = (г/1, ..., yn) = f(x)e=U. Числа (х\ ...,_ а.")
называют криволинейными координатами точки у е ?/.
Пусть в области U <=Е задана форма со и дано ее
координатное представление в координатах у1, ..., ут.
Тогда координатное представление формы f*co в про-
пространстве Е в координатах {х\ ..., хп) называется за-
записью формы со в криволинейных координатах (я1 хп)
в пространстве Е.
п° 14. Пример. Пусть роль Е играет двумерная
плоскость с декартовыми координатами (у1, у2). Роль
Е — двумерная плоскость с декартовыми координа-
координатами (р, 0) и отображение f дано формулами
у1 = р cos 8, у2 = р sin 8 (р > 0).
Тогда (р, 0) — криволинейные (полярные) координаты
в плоскости Е. Рассмотрим . форму со = dyl Л dy2. Ее
запись в криволинейных (полярных) координатах будет
/*со = (cos 0 dp — р sin 8 d8) Л (sin 8 dp + Р cos 8 dQ) =
= p(dpA dQ).
n° 15. Пусть в декартовых координатах даны форма со
и ее внешний дифференциал dco. Их записи в криволи-
криволинейных координатах будут соответственно f*co и f* da>.
Но /* da> = df*(n. Поэтому вычисление внешнего дифферен-
дифференциала в криволинейных координатах *можно проводить
в пространстве Е непосредственно по координатной
записи формы /*со, не обращая внимания на криволиней-
криволинейный характер координат, в которых она, записана.
49

п° 16. В заключение этой главы мы рассмотрим ко-
координатное представление индуцированного отображе-
отображения /*, причем для любых тензоров (т. е. для любых
полилинейных форм, не обязательно внешних).
Пусть, как и в п° 13, дано f: ?/->? (m = n), или
yl = fl{x\ ...,*") (г = 1,2, ..., /г). Вместе с f опреде-
определена производная f' как линейное отображение t\ = f%
векторов из касательного пространства Тх (| е Тх) в каса-
касательное пространство Ty{y = f (x)): | ^-> г\ <^ТУ. В коор-
координатной записи имеем; ,
частные производные подсчитаны в точке х.
Можно написать также
где dx\ ..., dxn — координатные формы в Тх, dyl,..., dyn—
координатные формы в Ту.
Пусть в Ту задан fe-тензор, т. е. полилинейная
форма е Ту:
а = S «г, ... ik dy ' ® ... ® dyik.
Отсюда и из предыдущего
Таким образом, если положить '
1 * * * h .
то f* представится в координатах формулами
Еще раз подчеркнем, что f зависит от k (ясно, что <п: к,
зависит и число формул B4) и число слагаемых в ИХ;
правых частях).
Заметим, наконец, что f можно рассматривать не как*
отображение точек, а как преобразование координат.
Тогда формулы B4) выражают «ковариантный закон»
преобразования координат тензора при переходе к новои^
координатной системе.

ГЛАВА III
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ВНЕШНИХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ
§ 1. Интеграл от внешней формы
по сингулярному кубу
п° 1. Пусть R*— декартово координатное представле-
представление ^-мерного евклидова пространства. Будем обозначать
произвольную точку в R* буквой t, а координаты
ее — той же буквой t с надлежащими индексами
t = (tl, ..., tk)e=Rk.
Обозначим через h так называемый стандартный куб
в R*, т. е. единичный координатный куб [О, 1J*
h = [0,1]*.
По определению
[0, 1]*#ф0</*<1 (/ = 1,2 '*).
Рассмотрим произвольную область U, U e R*, содер-
содержащую куб h, и допустим, что в области U задана
внешняя дифференциальная форма а степени k. Коорди-
Координатная запись &-формы в ^-мерном пространстве имеет
одночленный вид
o = g(tl,.:'.,i*)'dt1A'...Adtk. A)
Предположим, что а непрерывна в U; это равносильно
предположению непрерывности функции g(tl, ..., tk).
При этом условии функция g(tl,\..t th) заведомо интег-
интегрируема в h.
п° 2. Интеграл по кубу h = [0, 1]* от формы а, задан-
заданной в пространстве R", определяется равенством
= \ g(/\ ..... tk)dtl...dtk,- B)
[о, и*
51

где справа написан обычный fe-кратный интеграл по
h = [O,\f.
п° 3. Пусть теперь со — внешняя дифференциальная
&-форма, заданная и непрерывная в некоторой области V
пространства Е. Обозначим размерность Е через п, счи-
считая n~^k.
Рассмотрим непрерывно-дифференцируемое отображе-
отображение
с: U-+VczE.
Вместе с ним определено его сужение на h, которое мы
обозначим той же буквой с:
с: h->V. C)
Отображение C) называется k-мерным сингулярным кубом
в пространстве Е, или в области V сЕ. Подчеркнем,
что сингулярный куб с представляет собой не образ
куба h в пространстве Е, а само отображение C). Можно
сказать, что сингулярный куб с представляет собой мно-
множество пар вида (х, t), где <е/г, х = с (t) e E; две
пары {xi, ti) и {х2, t2) считаются различными, если раз-
различны хотя бы только /i и t2. Название сингулярного
куба (именно, прилагательное: «сингулярный») связано
с тем, что отображение C) может иметь особенности;
например, не исключается, что h отобразится в одну
точку.
Вместе с сингулярным кубом с определено для каждой
точки <еА линейное отображение
с': Tt~>Tx, D)
т. е производная от с; здесь Tt = Tt (Rft) — касательное
пространство к Rk в точке t, Тх = Тх (Е) — касательное
пространство к ? в точке x = c(t). Отображение D)
в свою очередь индуцирует известное нам линейное ото-
отображение
с*: Ak(Tx)^Ak(Tt)- E)
Таким образом, с каждой ^-формой со в области VczE
сопоставляется /г-форма -с*а> на стандартном кубе h с: Rk.
Форма с*© определена инвариантно в том смысле, что
ее определение не использует координатных систем в Е.
Ее координатное представление в Rfe является одночлен-
одночленным (см. A) в п° 1).
52

п° 4. Интегралом от внешней дифференциальной
k-формы. со по сингулярному ^-мерному кубу с в об-ч
ласти V называется число, которое обозначается и опре-
определяется согласно следующему равенству:
S-J
с*со. F)
к
Правая часть этого равенства уже определена равенст-
равенством B); в данном случае 0 = с*со. Для сохранения стан-
стандарта терминологии можно считать, что в правой части F)
буква h обозначает сингулярный куб /: h —> h, где
/ — тождественное отображение. Определение интеграла
от со по с, как мы видим, инвариантно. В частном слу-
случае k = О нульмерным сингулярным кубом называется
отображение в Е стандартного куба нульмерного про-
пространства, состоящего из одной точки
• с: {0}^Е.
Пусть с @) — образ точки {0} в Е {с @) е Е). Если to —
нульмерная форма в Е, т. е. функция со = со(л:), ^
то по определению
п° 5. Допустим, что в пространстве Е введены декар-
декартовы прямоугольные координаты; будем для точки про-
пространства Е я для ее координат употреблять букву х: х =
= (*>, .... хп).
Тогда отображение с получит координатное пред-
представление:
xl = c4t\..., tk),
xk = ck{? tk),
xk+1=ck+1(t1, ..., tk),
V=cn(*', ...', tk).
G)
Теперь все сказанное выше мы сведем в один (простой)
рецепт для вычисления с*а> и интеграла от со по с. Для
простоты записи возьмем в Е одночленную й-форму
= G(*' xn)dxl/\ ... Adx\ (8)
53

Согласно § 7 главы II имеем
е\о = (G о с) с* {dxl Л ... Л dxk) =
= (G о с) с* dx1 Л ... Ac*dx\ (?)
с* dx' = (?>,V) d/1 + ... + {Dkcl) dtk. A0)
Таким образом, получение c*at фактически сводится
к подстановке в (8) вместо х1,..., хп их выражений
из G).
п° 6. Из (9) и A0) .
с* со = (G ° с) det( *'• • • •' **) dtl A ... Л dt" A1)
(см. § 14 главы I в частном случае n = k; см. также
п° 11 § 6 главы II).
Из A1) получаем для одночленной формы (8)
= \ G (*' @, ...,*" @) det
|0, I]
A2)
Формула A2) написана с полной подробностью и может
быть положена в основу фактического вычисления инте-
интегралов от внешних форм по сингулярному кубу.
п° 7. Отметим простейший случай применения фор-
формулы A2) для интеграла от линейной формы
где Р = Р (х\ х2, х3). В данном случае интегрирование
должно вестись по одномерному сингулярному кубу с,
который обычно называют ориентированной дугой
* = с3 {t).
Если мы для удобства записи положим Р {t) =
— P{c[(t), c2(t), с3 (t)), то ' формула A2) в этом частном
случае дает .....
с [0, 1]
п° 8. Формуле A2) можно придать более краткую
запись. С этой целью обозначим через t отображение,
Ы

которое состоит из с и последующего проектирования
образа на координатное ^-мерное подпространство
первых по счету осей. Мы будем рассматривать это
подпространство, отвлекаясь от остальных осей. Тогда
для отображения с имеем координатное представление
(см. G)):
Для краткости напишем
Отсюда из A2)
J= J (G <= с) (det «*'); 03)
с [0, l]fe
здесь снова полезно вспомнить п° 11 § 6 главы И.
Равенство A3) и есть та формула, которую мы имели
в виду написать. В ней, как часто делается, не написан
элемент объема.
Замечание. Если одночленная &-форма имеет
вид
то в правой части A3) в качестве с следует брать ото-
отображение
xik==cik(t\ ...( tk).
Замечание. Интеграл от формы общего вида
вычисляется согласно A3) почленно (с учетом преды-
предыдущего замечания).
п° 9. Для дальнейшего нам нужно вспомнить тео-_
рему и формулу замены переменных в кратном инте-
интеграле ')¦
Пусть U — некоторая область в R" и у = s (х) (х е U,
у е R") непрерывно-дифференцируемое отображение ?/->
') В связи с приводимой здесь формулировкой этой теоремы
см. [3].
55

>-»-K , инъективное, т. е. взаимно однозначное на
образ s(U):
у. -.1 л1 /VI vtl\
I У — * v* , • - •, х ),
s: s
(. yn = sn(xl Xя).
Тогда, если dets'{x)^0 в области U, то для любой
интегрируемой функции f(у), jes(?/), имеет место
равенство
J f(y)dy* ... dyn= \f(s(x))\dets'(x)\dxl ... dx11.
s(U) U
В более короткой записи:
s'l= \f.
Нам эта формула потребуется в частном случае, когда
s(U) совпадает с U. В этом случае.
$$f. A4)
и и
п° 10. Пусть с и с —два fe-мерных сингулярных куба:
с: h~>E, с: h->E.
Предположим, что существует взаимно однозначное
гладкое отображение р стандартного куба h на себя,
которое имеет положительный определитель (detp'>0)
и для которого с ==с о р. В таком случае говорят, что с
получен из с изменением параметризации. Мы будем
говорить также, что с эквивалентен с и будем писать:
с~с.
Замечание. Так как с = с° р, то образ с (Л) куба h
совпадает с его образом с (/г). Тем самым переход от с
к с означает только смену прообразов произвольной
точки нес (/г)=с (/г). Пусть х=с (t), t^hnx = c (t), i e h.
Если t — {t\ ..., tk), то числа t1, ..., tk можно назвать
криволинейными координатами точки х в координатной
системе с: h-+E (см. п° 13 § 7 главы II); если t =
= (?', ..., tk), то числа i\ ..., tk являются криволиней-
криволинейными координатами той же точки х в другой коорди-
координатной системе с: h->E. Тем самым, дело заключается
в преобразовании криволинейных координат по формуле
t — p(t). Криволинейные координаты часто называют
56

параметрами. Отсюда — выражение, которое мы употре-
употребили выше: с получен из с изменением параметризации.
п° 11. Легко показать, что 1) с~с; 2) если с~с,
то с~с; 3) если с~с, с~с, то с~с.
п° 12. Будем говорить, что сингулярный куб с экви-
эквивалентен сингулярному кубу с после изменения ориен-
ориентации, и писать с~— с, если существует отображение р,
для которого с=сор и detp'<0 при сохранении
остальных условий.
п° 13. Имеют место следующие предложения:
1) Если с~с, то для любой k-формы со
Дока зательство. Возьмем для простоты в каче-
качестве формы со одночленную форму (8). Имеем согласно
формуле A3)
\ со = \ со = \ (с ° р)" со = \ (G ° (с ° р)) det (с ° р)' =
h h
сор
= jj ((G ° с) о р) (det с' о р) det p'.
Здесь учтено, что р = р. Теперь, поскольку det p' > О,
имеем по теореме о замене переменных
со = jj ((G о с) о р) det с' о р) | det p' 1 =
Л
jj (G о с) det ?'= J с*со = \ со.
A ft
j
A ft
2) Если с~ — с, то для любой k-формы со
Доказательство легко усматривается из предыдущего
с учетом условия detp'<0.
п° 14. Только что доказанные теоремы выражают
особую роль косой симметрии формы для ее интегри-
интегрирования. Именно косая симметрия формы вызывает
появление определителя в правой части формулы A3),
что вместе с теоремой о замене переменных обеспечи-
обеспечивает инвариантность интеграла относительно изменения
параметризации.
57

I 2. Понятие цепи. Интеграл от формы пэ цепи
п° 1. В качестве наглядного источника общего по-
понятия цепи в евклидовом пространстве Е можно ука-
указать дугу АОАР, составленную из нескольких ориенти-
ориентированных дуг АаАи АХАЪ ..., Ар-хАр. Каждая ориен-
ориентированная дуга Ai-\Ai представляет собой некоторый
одномерный сингулярный куб; обозначим его для крат-
краткости через ct. Тогда дугу АОАР можно рассматривать
как набор одномерных сингулярных кубов с,, с2, ..., ср.
По некоторым •соображениям, смысл которых выяснится
чуть дальше, этот набор обозначают в виде суммы
с! + с2+ ... + ср. Такую сумму назовем формальной
(поскольку пока это лишь символ, обозначающий набор
си ..., Ср). Порядок записи слагаемых в формальной
сумме для нас безразличен. Это естественно. В самом
деле, переставляя в записи суммы, например, сх и с2,
мы в действительности никаких изменений с этими син-
сингулярными кубами не делаем; поэтому сх + с2 + ... + ср
и с2 + Cj + • • • + ср обозначают одну и ту же дугу А0Ар.
Формальная сумма с1. + с2 + ... + ср представляет
собой пример одномерной цепи. Общее понятие одно-
одномерной пепи легко уяснить себе, хотя бы в главных
чертах, исходя из этого примера путем некоторых обоб-
обобщений. Прежде всего, мы допустим, что одномерные
сингулярные кубы сь ..., ср могут быть выбраны про-
произвольно (не обязательно в виде ориентированных дуг,
которые в пространстве последовательно приложены
друг к другу). Затем мы будем брать сингулярные кубы
с, + ... -f- ep с произвольными действительными коэф-
коэффициентами ки ..., Хр; эти коэффициенты пока будут
писаться также формально. Таким образом, одномерной
цепью мы назовем любую формальную сумму %\СХ + ...
... + Хрср (любую в том смысле, что одномерные син-
сингулярные кубы сь ..., ср и действительные числа Яь ...
..., Яр могут быть выбраны как угодно). Содержатель-
Содержательный смысл этих понятий выяснится путем их связи
с теорией интегрирования.
п° 2. Теперь мы будем рассматривать цепи любой
размерности. Пусть сь ..., ср — некоторый набор /г-мер-
ных сингулярных кубов в Е, Яь ..., Хр — набор дей-
действительных чисел; при этом мы считаем, что число K-t
58

сопоставлено с кубом сг (i=l, 2, ..., р). Совокупность
таких двух наборов мы назовем k-мерной цепью в про-
пространстве Е. Обозначая цепь буквой С, запишем ее
в виде формальной суммы
Пусть даны две цепи:
Определим линейные операции следующими равенствами:
С + С = Х1с1+ ... +Vp+HA+ ••• -
аС = (аЛО Ci + ... + (оЛр) ер.
Очевидно, что
Здесь всюду знак равенства употреблен в смысле тож-
тождественного совпадения объектов.
п° 3. Пусть ш — внешняя дифференциальная форма
степени к, определенная в области U е ?; пусть с, —
сингулярный куб (cj: h-*E) такой, что образ cx(h)
лежит в U; пусть С — специальная ^-мерная цепь вида
С = 1 • сх. ¦ •
Интеграл от со по этой цепи определяется равенством
Вспомним, что интеграл по сингулярному кубу нами
уже определен раньше. В общем случае, если
положим, по определению,
= Я, ^ CD + ... + Лр ^ СО.
С ct ср
Б9

п° 4. Определение. Две ^-мерные цепи С и С
будем называть равными, если
S-S
(О
с
для любой внешней дифференциальной формы со степени k.
Замечание. Отсюда и далее равенство
С=С
будет пониматься в смысле только что высказанного
определения. Отметим, что равенства, которые были на-
написаны в п° 2, остаются в силе.
Теорема. Пусть сие — два k-мерных сингулярных
куба, С и С — две k-мерные цепи: С =1 • с, С = 1 • с.
Тогда, если с~с, то С = С, если с с, то С = (— 1)С.
Замечание. Знак ~ означает эквивалентность
в смысле определений п° 10 и 12 параграфа § 1.
Доказательство теоремы непосредственно вытеказт
из п° 13 § 1.
п°5. Определение. Назовем /г-мерную цепь 0
нулевой, если
для любой 6-мерной формы со.
Теорема. Если 9 — нулевая k-мерная цепь и си ...
..., ср любые k-мерные сингулярные кубы, то
0 = 0 • с, + ... + 0 • ср.
Обратно, цепь, написанная здесь справа, является
нулевой.
Доказательство очевидно.
п° 6. Теперь легко убедиться, что fe-мерные цепи,
точнее, их классы эквивалентности, образуют линейное
пространство.
Для этого следует проверить пять аксиом линейного
пространства, остающиеся после трех аксиом, которые
проверены в конце п° 2.
Им:ем
60

как прямое следствие определения п° 4. Далее^ •
что следует из теоремы п° 5.
Наконец,
Чтобы установить эти соотношения, достаточно убе-
убедиться в равенстве соответствующих интегралов от про-
произвольной формы со степени k.
п° 7. Обозначим линейное пространство ^-мерных
цепей в Е через S*. Легко убедиться, что простран-
пространство Sk бесконечномерно. В самом деле, пусть р — любое
натуральное число. Построим /г-мерные сингулярные
кубы си ..., ср любым образом при соблюдении сле-
следующих двух условий:
1) Ci{h), .,., Ср.(ft) лежат соответственно в попарно
непересекающихся областях Ux, ..., Up;
2) цепи Ci = 1 • сь ..., Ср=1'Ср являются ненуле-
ненулевыми.
Тогда цепи Си ..., Ср линейно-независимы. Чтобы
доказать это, заметим, что существуют формы <о1( ...
k
.., Юр степени k такие, что
0 = 1, ..., р).
с/
Существование таких форм прямо следует из второго
условия. Обозначим через г^ гладкую функцию в Е, ко-
которая равна единице на образе ct(h) и равна нулю
вне области Ut. Положим at = ^}a]. Тогда
0 (/=! Р).
Но при любом s^j будет
Допустим, что имеет место соотношение
р = в,
61

где Э — нулевая цепь. Тогда
li \ о} + ... +1р \ а, = \ а, — О,
ci ср 6
где /=1, 2 р. Отсюда и из предыдущего следует,
что ^ = 0. Тем самым линейная независимость цепей
Cj Ср доказана.
п° 8. Обозначим через Wk линейное пространство
всех внешних дифференциальных форм степени к, опре-
определенных и гладких (бесконечно дифференцируемых)
в евклидовом пространстве Е. Таким образом, мы теперь
предполагаем, что область, в которой даны объекты
наших рассмотрений, совпадает со всем пространством
(по сути дела, это ограничение существенно лишь
в §§ 5 и 6). Легко убедиться, что пространство W4
бесконечномерно. В самом деле, пусть р — любое нату-
натуральное число. Построим формы СО[, ..., а>р степени k
как-нибудь при соблюдении следующих двух условий:
Ц форма со;.(/= 1, 2 jo) не равна тождественно
нулю; ..-' -
., 2) форма ©у (/==1, 2, ..., р) равна нулю во всех
точках, лежащих вне некоторой области Uj, причем об»
'ласти Uu ..., ир попарно не пересекаются.
: Тогда формы ш1( ..., Ир линейно-независимы. Это
очевидно, так как в силу двух указанных условий из
соотношения
йёйосрёдственно следует, что К{ = ... = Кр = 0.
п° 9. Если евлслидово пространство Е имеет размер-
размерность п, то определен набор бесконечномерных линейных
пространств S°, S1 5", а также W°, W1 Wn.
Согласно предыдущему Sk имеет в качестве своих эле-
элементов классы эквивалентности ^-мерных цепей в Е\
элементами Wk являются формы степени k. Если k>n,
то Wk состоит только из одной формы, тождественно
равной нулю. Отсюда следует, что 5* при k > п со-
содержит только один класс эквивалентности, состоящий
из Нулевых цепей.
Замечание. Если С —некоторая 6-мерная цепь,
то мы позволим себе писать C^Sk (хотя следовало бы
писать С е {С} & Sk, где {С} — класс эквивалентности).1

п° 10. Зафиксируем k, считая O^k^n, и рассмотрим
линейные пространства Sk и Wk. Пусть CeS', со с= Wk.
Будем обозначать через (со, С) интеграл от формы со по
цепи С:
(со, С) =5 со.
с
Имеем для любых аь ct2eR, со, со,, a>2^Wk, С, Си
C2<=Sk:
1) (ctiCOj-(-а2со2, С) = ct| (®i, С) ~\- ct2 (co2( С);
2) (со, ctjC, -\- а2С2) = а[ (со, С{) -\- а2{<а, С2).
Доказательство очевидно.
Далее:
3) Если (со, С) = 0 для любой цепи C^Sk, то cos=O.
Доказательство от против но г о. Пусть
и хотя бы один коэффициент этой формы в какой-ни-
какой-нибудь точке отличен от нуля. Для определенности будем
считать <oi...k{x0) > 0, где х0 — нулевая точка @, ..., 0).
Возьмем ^-мерную координатную плоскость Ек: хк+1 = ...
..ч. =^" = 0 и обозначим через h стандартный куб
в ?*, через с — преобразование подобия пространства Ек
с центром х0 и с коэффициентом А,(Л, >> 0). Имеем ,.,
где xg?*. При достаточно малом Я, для лее Л будет
> 0. Поэтому, беря цепь С=1-с, получим
(и, с)=Гс*со>о, , ..'. :
что противоречит предположению.
4) Если (со, G)=0 для любой формы' coeW*,-то
С«0. .
Последнее утверждение справедливо^ поскольку имени0
так мы и определили, равенство нулю А-мерной цепи.
п° 11. Свойства 1) и 2) означают билинейный характер
функции (<й, С), свойства 3) и 4) означают ее невыро-
невырожденность. Невырожденная билинейная функция (со, С)
называется сверткой элементов со и C(coelFfej CgSj).
63

Пространства W^ и Sk, называются сопряженными отно-
относительно свертки {&>, С); см. § 2 главы I.
п° 12. Выше мы определили линейный _ оператор
внешнего дифференцирования d. Именно, если со —
внешняя дифференциальная форма степени k, то при
известных условиях определен ее внешний дифферен-
дифференциал fifco, который является внешней дифференциальной
формой степени Jfe-fl. Если со е= Wk, то da^Wk+i.
Таким образом, мы имеем отображение
d: Wk->Wk+l. A)
Наряду с этим существует линейный оператор д, ко-
который с произвольной ^-мерной цепью С сопоставляет
некоторую k—1-мерную цепь дС,"называемую границей
цепи С. Если C^Sk, то dCeS*. Таким образом, мы
имеем отображение
д: Sk->Sk-\ B)
Для удобства сравнения с соотношением A) можно
вместо B) написать также
д: Sk+1->Sk. C)
Согласно A) и C) операторы d и д действуют в сопря-
сопряженных пространствах. Более того, эти операторы ока-
оказываются сопряженными. Именно, для любой формы
со е Wk- и для любой цепи C^Sk+l справедливо ра-
равенство
(rfe), С) = (со, дС), D)
которое и означает сопряженность операторов d и д.
Равенство D) называется формулой Стокса. Мы докажем
ее чуть позднее. Сначала определим границу цепи, т. е.
оператор д.
§ 3. Граница цепи .
п° 1. Прежде всего определим границу сингулярного
куба, точнее, границу цепи С = 1 •с, где с — сингу-
сингулярный куб.
Пусть в «-мерном евклидовом пространстве Е задан
^-мерный сингулярный куб с: h->E, где h, как обычно,,
стандартный куб в R*. Буквой t мы по-прежнему обо-
64

значаем произвольную точку -пространства Rk: t==
= {t\..., /ft)eR*. Рассмотрим в Rft координатную
гиперплоскость, в которой лежат точки вида 1=
= (t\.,., tl~\ О, ti+\ ..., tk). Обозначим ее черезR*~o
и введем в ней коордиватную систему, в которой числа
t\ ..., tl~\ ti+\ ..., tk суть координаты точки /eRfo1.
Тем самым R*!I становится k — 1-мерным евклидовым
пространством с данным координатным представлением.
Одновременно в R^o1 определится стандартный куб,
который мы обозначим через huo. Аналогичным обра-
образом рассмотрим гиперплоскость R*"/, содержащую точки
вида t = (tl, ..., tl~x, I, ti+\ ..., tk)\ в качестве коор-
координат /sR*!1 примем числа tl ?~\ ti+l, ..., tk.
Определяемый „ при этом, в JR^r стандартный куб обо-
обозначим через hi,x. Ясно,, что hi>a, hUi есть пара проти-
противоположных k— 1-мерных граней куба h. Обозначим
через с1>0 и сгл отображение с: h-+E, суженное на
грани hii0 и ht,{•
Таким путем одновременно е fe-мерным сингулярным
кубом с определены k— 1-мерные сингулярные кубы с/|0
и citX (i=l, 2, ..., k). Их можно назвать k— 1-,мер-
ными гранями сингулярного куба с.
Граница дс сингулярного куба с
(точнее, цепи 1 • с) определяется; как
k— 1-мерная цепь, составленная из
его k — 1-мерных граней с коэффи-
коэффициентами по следующему правилу:
A) Рис. 1.
Если (—1) сго и (— 1)'+1с,-, 1 назвать ориентированными
(k— 1-мерными) гранями сингулярного куба с, то можно
сказать, что граница дс есть сумма ориентированных
граней куба с. При k — 2 наглядная иллюстрация опре-
определения границы дается рис. 1, где ориентированные
одномерны© трави изображены в виде внутренних стре-
стрелок (на рис 1 сингулярный куб с есть тождественное
отображение стандартного куба h на себя). Говоря
65

о сингулярном кубе с, мы здесь всюду имеем ,в виду
цепь 1 • с (как элемент линейного пространства Sk). Для
произвольной ft-мерной цепи
... +Кср B)
граница определяется формулой
дС = К1дс1 + ... +крдср. C)
п°2.' Из определения дС непосредственно следует,
что для любых Си C2^Sk, au a2^R
a2C2)— ai дС\ ~Ь
Таким образом, д есть линейный оператор, отображаю-
отображающий Sk в 5*~'. Основные свойства оператора 5 будут
изложены дальше (в частности, в § 4 будет показано,
что равные цепи имеют равные границы).
§ 4. Доказательство формулы Стокса для цепи
п° 1. Мы должны доказать формулу
rfce - S (о, A)
ас
где ие?4, CeS*. Достаточно рассмотреть цепь
С = 1 • с, где с — некоторый ^-мерный сингулярный куб
в Е. Мы имеем отображение с: h-^-E, /rcrR*. Как
обычно, обозначим через t точку в Rft: f ==(*', ..., tk).
Поскольку ве^', то
c*v> = a(tl, ...,Jk)dt2A ... Adtk+ .... B)
где многоточие обозначает члены, содержащие dt1. По-
Положим. '
©*'>=« о (Л ...,<*) Л* Л'... ЛИ4. C)
Аналогично оббз^начим через соB), ..., и(й) остальные
(обозначенные многоточием) члены в правой части B)
так, что ,саA' представляет, собой некоторую : функцию
от ^,...,i*, умноженную на внешнее произве;дение
66

дифференциалов dt1, ,.., dtk, где пропущен сомножи-
сомножитель dt1. Тогда взамен B) получаем
Согласно теореме § 6 главы II (см. п° 12)
с* {da) = d (с'ш) = dco<» + ••• + dco<*>. E)
Напишем подробно dco(I):
Отсюда
tk)dP...dtk-
Л», G)
где Л[ — проекция куба h на координатную плоскость,
содержащую оси Ot2 Otk (А, рассматривается как
область интегрирования). ., ,
Равенству G) можно придать вид
fti.o
где А,, о и /г1и определены в предыдущем параграфе.
В общем случае, как легко проверить,
= (—I)' f (— I) \
\ hlfi
(8)
Множитель (—1-)' ' появляется потому, что в общем
случае в правой части формулы, аналогичной F), на
первом месте будет стоять dt1; его придется переместить
на j'-e место. - Заметим, далее, что на hitQ и на hjA
67

{т.е. при- dtl =*0) значения <o(i!) и с*со со»надают. По-
Поэтому из (8)
h ft«,o
= (-1)' J (o + (-i)W 5 ш- (9)
С*. О Ci 1
Из E) и (9) "
lft
ш. A0)
Последнее равенство в соотношениях A0) имеет место
согласно формуле A) § 3. Тем самым формула Стокса
доказана для сингулярного куба. После этого она три-
тривиально переносится на произвольную цепь.
п° 2. Из формулы Стокса сразу следует важное
утверждение: равные цепи имеют равные границы.
Доказательство. Пусть ^-мерные цепи Сь С2
равны.друг другу, пусть © — произвольная форма сте-
степени k— 1. Так как С2 = Си то
\ da = \
с с
с,
Отсюда по формуле Стокса имеем
X ©= \ со.
дСг дС,
.Следовательно, дС2=дС1.
§ 5. Оператор проектирования
п° 1. Пусть с: h ->E — какой-нибудь ^-мерный син-
сингулярный куб в Е. Будем рассматривать h как стан-
стандартный куб в Rk, считая при этом, что R* есть коор-
координатная гиперплоскость в Rk+1. Произвольную точку
в Rk+1 запишем в виде ? = (*', ..., tk, и), стандартный
куб в Rk+l обозначим через h. В таком случае перво-
'68

начально данный стандартный- куб h в Rk следует пред-
представлять себе в виде нижней грани куба й (при и ==<}¦).
Возьмем в евклидовом пространстве Е произвольную
точку О. По данному сингулярному fe-мерному кубу с
и по данной точке О определим некоторым специаль-
специальным образом k-\- 1-мерный сингулярный куб с. Именно,
если для произвольной точки t = {tl, ...,tk, 0) е ft
дано х = c(t) e E, то для произвольной точки t =
— {t\ ..., tk, и)<шИ мы определим x = c{t) равенством
Ох = A — и) Ох,
где Ох — вектор в ?, идущий из точки О в точку х.
Заметим, что при отображения с вся верхняя грань
куба й (определяемая равенством и=1), отображается
в одну точку О.
Будем говорить, что k+ 1-мерный сингулярный куб с
проектирует из точки О данный ft-мерный сингулярный
куб с; будем обозначать с также символом Оу^ с.
Пусть дана ^-мерная цепь
Будем говорить, что к+ 1-мерная - цель
C«M,+ ... +Vp B)
проектирует из точки О данную ^-мерную цепь С; будем
обозначать С также символом О X С.
а0 2. Имеет место следующая теорема?
Если
С2 = С, (С,, C2eS'),
то
охс2=охси
Цначе говоря, равные цепи проектируются равными це-
цепями.
Из определения О ХС е помощью равенств A) и B)
следует, что
OX(C, + C2) = OXCi + OXC2 C)
ОХ(«С)=«(ОХС), «sR. D)
Ввиду этих соотношений сформулированная теорема
равносильна следующему утверждению: если С = 8 е Sk,
69

то 0XC = 6e5WI, т. е. если С является ^-мерной
нулевой цепью, то ОХС будет k-\- 1-мерной нулевой
цепью.
Замечание. Не следует думать, что последнее
утверждение вытекает из равенства D) при <х = 0. В са-
самом деле, чтобы воспользоваться равенством D), нужно
в его левой части произвольную 6-мерную нулевую
цепь 9 заменить цепью 0 • С, которая равна Э. Но то,
что после этой замены левая часть D) будет равна
своему первоначальному значению, как раз и требуется
•доказать.
п° 3. Доказательство теоремы будет проведено после
некоторых предварительных конструкций. Прежде всего
введем в Е декартовы координаты с начальной точкой О.
Тогда отображения с я с представятся в координатах:
с:
¦с'
(I-h)c'(^, ..., f),
» (*' f)
= (l-u)cn(t\ .... f). ,
Рассмотрим произвольную форму степени
j . (X)dx^ Л ... Л
I AS ~г~ 1
Нам достаточно показать, что если С — нулевая ^-мер-
^-мерная цепь и С = ОХ С, то
[ 0^+1 = 0.
с
К этому и будут направлены наши выкладки. Чтобы
упростить запись дальнейших соотношений, возьмем
сначала в качестве ©fc+1 форму одночленного вида'
«,fe+I = g (x) dx{> Л ... Л dx* Л rfjc'*+'.
Здесь
g(x) = g(x\..., хп).
Прложим . -,.-..
g(x,u) = g((l-u)x\ ..., A-и)хп)
т

и рассмотрим форму <о*(ц) степени k, которая зависит
от параметра и и определяется равенством
<aft («) = g (х, и) dx'i Л •.. A dx'f Л e'A+l (*), F)
где ек+х — известная нам базисная форма в касатель-
касательном пространстве точки х. Запись е'*+1 вместо сим-
символа dxk+l означает, что при подсчете внешнего произ-
произведения dx*x Л • • • Л dx'k Л е'*+1 (х) последний сомножи-
сомножитель берется йа векторе, который равен радиус-вектору
точки х. Полное объяснение этой записи дает фор-
формула B) ,§ 13 главы I, согласно которой
= (-1)* {(dx** Л dx1* Л ... Л dJcf*+O *'« -
- (кл;'> Л dxl* Л ... Л Лс1**1)*'* + • • •
*'' Л d*'» Л ... Л Ле'*)*'*+1
Здесь (..., х'1,...., х*к+',...) — координаты радиус-вектора
точки х (те самые координаты, которые являются аргу-
аргументами функции g{xl, ..., *")). Введем для произволь-
произвольного Л-мерного сингулярного куба, с функцию ...
*(U). (8)
Покажем, что имеет место равенство
(@*+', О X с) = - J A -^ «)* /с (и) d«. (9)
•в
Из него мы легко получим интересующую нас теорему.
Имеем
, О X с) == J
ОХС
* 'Г"• У )dt ¦•• dt dU'

Из формул E)
V t\..., tk,u J
dt1
,.. A-й)
il
...¦A-е)-
(~l\ /. 1
f-Пг»
(i_B)?l--... A-е)
3c'
¦ft+l
.1*+-1
. A1)
Отсюда и из A0)
X П (- if к (х, и) *'i (л^« л ... л
П
- ...}]du.
A2)
В правой части A2) мьГнаписали внутри фигурных
скобок только один член. Остальные легко получаются
из A1); легко усмотреть, что внутри фигурных скобок
находится правая часть G), умноженная на g(x, и).
Таким образом, равенство (9) вытекает из G) и A2).
Вернёмся к случаю, когда co*+I — произвольная форма
степени ?+1. Положим
<в*(в) —
> u^dxii Л ... Л Лс'* Л в'*+> (л:), A3)
где
, (х, и) =
1 t {{\—и)х) и снова опреде-
1 Л т 1
лим fc(u) по формуле (8), беря теперь в качестве а>к(и)
выражение A3). Формула (9) сохранит силу. Это ясно,
поскольку левая часть (9) линейна относительно a>k+l,
73

а правая — относительно a>k(u). Рассмотрим цель
Введем функции
fcj{u)= J со* («),
f («) = hfc,
= $<oft(«) = (a>*(«), С),
с
Тогда из C), D) и (9) имеем
(ш*+1, О X С) = Л, (©*+', ОХ с,) + ... +
1 1
= -K\{\-uffCi{u)du-\.. -%p\{\-u)kfCp{u)du =
о о
1
= -\{\-u?f{u)du. A5)
о
п° 4. Докажем теорему п° 2 во второй формулировке.
Пусть С —нулевая ^-мерная цепь. Возьмем произ-
произвольно (ofe+1. Из A4) имеем f {и) = 0 при любом и, 0^ы<; 1
(поскольку С — нулевая). Отсюда и из A5) имеем
(wfe+I, 0X0 = 0. Следовательно, ОХ С—нулевая
k-{-1-мерная цепь. Теорема доказана.
п° 5. Положим
U{C) = (-l)k+l(OXC). (Щ
Из равенств C), D) и из только что доказанной тео-
.ремы следует, что П(С) есть линейный оператор, опре-
определенный на всех /г-мерных цепях, зависящий от выбора
точки О. Его значением является k -\- 1 -мерная цепц
которая разве лишь знаком отличается от проектируе-
проектируемой цепи О X С- Таким образом,
П: S*-
Заметим, что Sk и Sk+1 по точному смыслу своего
определения имеют в качестве элементов не цепи,
а классы их эквивалентности. Поэтому (довольно длин-
длинное) доказательство теоремы п° 2 играет фундаменталь1-
ную роль для определения оператора П. Только на
73

основании этой теоремы П определен как оператор, ото-
отображающий Sk в Sk+l. Мы назовем линейный оператор П
оператором проектирования.
п° 6. Имеет место следующее тождество:
A7)
где д — оператор, который дает границу цепи.
Доказательство с очевидностью усматривается для
одного сингулярного куба с. В самом деле, применяя
обозначения § 3 этой главы, получаем по формуле A) § 3:
g-I)'2(.o + (-l)'+l2/.i}, A8)
где при /— 1, 2, .. 4, k
Ci,o = OXci,0, Ci,i = OXciA.
При'i = k-\-l имеем ck+li0 = c (т. е. первоначально дан-
данный ^-мерный сингулярный куб), a ck+ut представляет
собой нулевой 6-мерный куб. Таким образом, из фор-
формулы A8) с учетом C) и D) следует, что
д(ОХс) =
= t ((-I)''(OX Q.o) + (-l)'+I(OXc,-.,)} + (-l)*+'c =
-l)k+lc. A9)
Теперь, если дана произвольная цепь ,
C = Vi+ ••• +Кср, ¦
то из A9) стандартным образом получаем для цепи
(-l)k+lC. B0)
Поскольку
то A7) доказано как следствие B0) и A6).
п° 7. Теперь мы введем в рассмотрение некоторый
линейный оператор
который во многих отношениях аналогичен оператору П.
Именно, пусть во всем пространстве R" дана форма
a^Wk+l. Как и раньше, рассмотрим зависящую от па-
74

раметра и форму , со* (и) е Wk, определяемую равен-
равенством A3). Оператор / задается формулой
1—н)*®*(и)А|. B1)
Согласно этому определению /(ю) есть внешняя форма
в R" степени к (/(ш) е= IT*).
Замечание. Для определения /(©) нет необходи-
необходимости иметь <в во всем пространстве R"; достаточно,
чтобы форма ш была задана в какой-нибудь области,
звездной относительно точки О (поскольку в>к (и) опре-
определяется по лучам, исходящим из точки О). В такой
области будут верны и дальнейшие выводы.
п° 8. Теорема. Операторы П и I являются сопря-
сопряженными,
В самом деле, имеем для цепи С е Sk и для а
(/((oj, C)=5 5E
с о ( с
= (r-l)*5(l-«)ftf(«)rfa. B2)
о
Но по формуле ($)
i
(®,OXC)>=-[(i-uff(a)du.
о
Отсюда
(/(в), С) = (-l)k+l (ш, О X С). B3)
Из B2) и A6) имеем для любых (u<=lFft+1, Ce=Sk
(/(ffi), С) = (о,.П(С))) B4)
что и означает сопряженность операторов
п°9. Вследствии B4) следующие два тождества равно-
равносильны:
B5)
' ¦ ¦¦¦• ;B6)
75

Так как тождество B5) уже доказано, выведем из
него тождество B6).
Доказательство тождества B6). Имеем со-
соB4) для любой цепи С е Sk+i и для любой
Wk+l
гласно
формы со
B7)
Отсюда и по формуле Стокса
(I(da),C) = (a,dH(C)).
Далее
(dl («), С) = (-/ (со), дС) = (со, П (дС>). B8)
Из B7) и B8)
(со - rf/ (со) — / (da), С) = (со, C — U (дС) — дЛ (С)).
Правая часть этого равенства равна нулю в силу B5).
Отсюда и вследствие произвольности С е Sk+1 полу-
получаем B6).
§ 6. Теорема Пуанкаре и некоторые другие нредложения
п° 1. Теорема. Для любой цепи С <= Sk граница
границы есть нулевая цепь:
а . ofe-2
Доказательство. Возьмем произвольно ®&W 2.
Имеем по формуле Стокса
(со, д дС) = (da, дС) = (d da, С) = О,
поскольку dda> = 0. Теорема доказана.
Замечание. В случае трехмерного
стандартного куба эта теорема иллюстри-
иллюстрируется рис. 2.
п°2. Определение. Цепь CeSs
Рис. 2. называется замкнутой цепью или циклом,
если <ЭС = 8 (9 — нулевая цепь в Sk+l).
Теорема. Каждая граница есть цикл.
Доказательство. Пусть С = дС. Тогда
п°3. Определение. Цикл называется гомологич-
гомологичным нулю, если он является границей.
Теорема. В евклидовом пространстве каждый цикл
гомологичен нулю.
76

Доказательство. Пусть дС = Э. Тогда из фор-
формулы B5) § 5 имеем
С-дП(С),
т. е. цикл С гомологичен нулю, поскольку он является
границей цепи П(С).
п°4. Определение. Форма юе^* называется
замкнутой формой, или коциклом, если dco = 0.
Определение. Форма веУ» называется точной
формой, или формой, когомологичной нулю, если она
является внешним дифференциалом некоторой формы.
Теорема (Пуанкаре). В евклидовом пространстве
всякая замкнутая форма является точной.
Доказательство. Пусть dco = 0. Тогда из фор-
формулы B6) § 5 имеем ю = с?ц, где ц = / (©).
Замечание. Можно сказать, что в евклидовом
пространстве замкнутая форма <о е Wk имеет потенциал
/Замечание. Мы имеем сопряженные отображения:
д: Sft+1-*Sft, d: Wk~*Wk+i.
Можно, однако, написать более содержательные соот-
соотношения:
д: S^-^dS*), A)
d: Wk-+C(Wk+i), B)
где С (Sk) — линейное подпространство циклов в Sk,
С (Wk+l) — линейное подпространство замкнутых форм
в Wk+1. Теорема Пуанкаре и предыдущая ей теорема
утверждают, что оба отображения в евклидовом про-
пространстве сюръективны (являются отображениями «на»).
Утверждение Пуанкаре и приведенное доказательство
остаются в силе, если объекты даны в звездной области
евклидова пространства (не обязательно во всем евкли-
евклидовом пространстве).
п°5. Теорема. В евклидовом пространстве инте-
интеграл от замкнутой формы степени k no любому k-мер-
ному циклу равен нулю.
77

Доказательство. Пусть со e.Wk, С е Sk и dco = О,
дС = 0. Так как дС = 0, то по теореме п° 3 найдется
цепь С такая, что С=дС. Тогда по теореме Стокса имеем
(со, С) = (со, дС) = (dco, С) = О,
поскольку dco = O.
Замечание. Доказательство можно провести также
с помощью теоремы Пуанкаре. Именно, так как dco = 0,
то найдется форма со такая, что co = dco. Тогда
(со, C) = (d&, С) = {&,дС) = 0,
поскольку дС = 0.
§ 7. Регулярное погружение.
Комбинаторная поверхность
п° 1. Регулярным погружением ^-мерного стандарт-
стандартного куба h {h с Rk) в пространство R", п>&, называется
отображение
ф: Л-^R"
при условии, что производная отображения ср во всех
точках куба h имеет ранг = k. Регулярное погружение
Ф (/г -> R") мы будем называть также регулярным кубом
в R".
Очевидно, что регулярный куб является частным слу-
случаем сингулярного. Поэтому к регулярным кубам при-
применимы все понятия и утверждения, высказанные в пре-
предыдущих параграфах.
п°2. Пусть дано гладкое отображение ф: h—>Rn.
Обозначим через Н образ куба h в R". Пусть t — про-
произвольная точка куба h, * = ф(/) — ее образ. Не исклю-
исключено, что имеется еще точка t' e h, отличная от точки t,
образ которой также есть точка х (не исключено, что
имеется даже бесконечное множество таких точек).
Иначе говоря, не исключено, что отображение куба h
на его образ Н не является взаимно однозначным. Это
обстоятельство в равной мере относится и к случаю,
когда ф: A—*Rn есть сингулярный куб, и к случаю ре-
регулярного куба. Ввиду этого обстоятельства ни сингу-
сингулярный, ни регулярный куб нельзя определять как
образ Я(Я"=ф(/г)); и тот и другой определяются как
отображение /г на Я (с последующим установлением
условий, при которых два отображения h-+H и h{-*-H
78

считаются одним и тем же сингулярным или одним и
тем же регулярным кубом.
Допустим, что отображение ср: A->R" является регу-
регулярным кубом. В этом случае любая точка t^h имеет
окрестность [/<, которая отображается на свой образ
в R" взаимно однозначно. Таким образом, куб А ло-
локально гомеоморфно отображается на свой образ Я.
п° 3. При к = 1 регулярный или сингулярной куб
называют ориентированной дугой (т. е. направленной
дугой, соответственно регулярной или сингулярной).
Ориентированная дуга с есть глад-
гладкое отображение в R* ориентире- 4 5?
ванного отрезка h. Если дуга с
регулярна, то отображение ло-
локально гомеоморфно и образ Л
не имеет локальных особенностей
(точек возврата, угловых точек
и т. п.). Однако в целом отобра-
отображение может не быть гомеоморф-
ным, т. е. для образа возможны
самопересечения. Например, воз-
м"ожна картина, которая изобра-
изображена на рис. 3. Здесь tx и i2— Рис. 3.
две точки отрезка Л, которые
отображаются в одну точку х; вместе с тем каждая
из точек tu *2 имеет окрестность, которая отображается
на свой образ взаимно однозначно. На рис. 3 эти окрест-
окрестности в их образы изображены жирными линиями.
п° 4. Важный пример сингулярного куба при k = 2,
п = 2 дает отображение
х = ar cos bQ, у = ar sin bQ,
считая, что куб (квадрат) h задан в осях Or, 00 нера-
неравенствами 0<1г<11, 0<I6<;i (рис. 4). Здесь мы
имеем именно сингулярный куб, поскольку вся сторона
г = 0 отображается в одну точку @, 0) плоскости (х, у).
Образом к в плоскости (х, у) является круговой сектор Я;
внутренние стрелки на Л и на Я указывают ориента-
ориентацию границы рассматриваемого сингулярного куба (квад-
(квадрата, поскольку k = 2).
Заметим, что получить круговой сектор в качестве
образа регулярного куба невозможно. Тем самым уже
этот пример поясняет целесообразность рассмотрения
сингулярных кубов.
79

п° 5. Мы подробно изложили интегрирование формы
по цепи. В задачах анализа, однако, интегрируют также
по кривой или по поверхности (что можно не различать,
имея в виду ^-мерную поверхность). Для конкретных
задач анализа (и его приложений) может быть доста-
достаточным понятие, которое мы назовем комбинаторной
х
Рис. 4.
поверхностью. Ее можно рассматривать как частный
случай цепи с коэффициентами ±1, сингулярные кубы
которой не как угодно набросаны в пространстве,
а приложены друг к другу с соблюдением некоторых
условий. Мы не станем пере-
перечислять эти условия и огра-
ограничимся отсылкой читателя
к рис. 5. На рис. 5 изобра-
изображена двумерная поверхность
с краем; будем ее пред-
представлять себе как некото-
некоторый сферический сегмент Н.
Рис. 5. Он составлен из шести сфе-
сферических треугольников, ко-
которые мы представим себе в качестве образов шести
двумерных сингулярных кубов: си с2, с3, с4, с5, с6 (см.
п° 4). Стрелки показывают ориентацию их границ. Для
каждого С/ граница состоит из двух внутренних одно-
одномерных граней (к каждой из которых примыкает со-
соседний сингулярный куб) и одной краевой одномерной
грани (вдоль которой соседнего куба нет). Рассмотрим,
цепь
С —
-г
80

считая Xj = ± 1. Существенно следующее обстоятельство:
судя по рисунку, в данном случае Xt можно выбрать
так, что все внутренние одномерные грани попарно
уничтожатся. Именно так будет, например, при А,/=1.
Тогда граница С будет одномерной цепью
образ которой есть край Я (с заданной ориентацией,
показанной стрелками). В таком случае мы скажем, что
цепь С есть комбинаторная поверхность, представляющая
сегмент Я. Если в пространстве дана 2-форма со, то
в качестве интеграла от со по поверхности Я примем
интеграл от со по представляющей Я комбинаторной
поверхности, т. е. по цепи С.
Однако ясно, что наряду с Л,/ = + 1 в равной мере
пригодны Я,/ = — 1 (при всех /). Таким образом, Я пред-
представляется также комбинаторной поверхностью — С.
Таким образом, интеграл от со по Я определен с точ-
точностью до знака. Выбор С или —С есть выбор ориен-
ориентации Я; после этого выбора интеграл определен вполне,
поскольку при любом другом выборе А,/ = ±1 не будет
происходить попарного уничтожения всех внутренних
одномерных граней кубов ct. Следовательно, при данном
наборе С\,..... с6 существуют только две комбинаторные
поверхности, представляющие сегмент Я: С и —С.
К сожалению, так обстоит дело лишь для заданного
набора сингулярных кубов. Возможно бесконечное мно-
множество других наборов других сингулярных кубов
в любом числе, с помощью которых Я также можно
представить в виде комбинаторной поверхности. Можно
обойтись, например, всего одним сингулярным кубом.
Но доказать, что во всех этих случаях мы будем полу-
получать с точностью до знака одно и то же значение инте-
интеграла формы со, трудно даже в частном примере сфери-
сферического сегмента Я. Для общего изложения теории
интеграла формы по поверхности проще оказывается
другой путь, идущий через понятие многообразия
(см. [1]); см. также [2] - [4].
п° 6. В заключение еще несколько слов по поводу
одного класса в некотором смысле элементарных по-
поверхностей. Обычно именно их имеют в виду в элемен-
81

тарном анализе, когда рассматривают интеграл по по-
поверхности.
Пусть Я = с (И) — образ в n-мерном евклидовом про-
пространстве Е некоторой области h a Rk, k^n, при ото-
отображении с: Rk-+E. Обозначая здесь и далее той же
буквой с сужение с на h, предположим, что отображе-
отображение С- h->H взаимно однозначно. При этом условии
мы можем Я назвать fe-мерной поверхностью в Е. За-
Заметим, что на этот раз буква h обозначает не Стан-
Стандартный куб, а произвольную область в R*. Поэтому
класс поверхностей, о котором идет речь, довольно
широк (но, конечно, не исчерпывает всего, что называют
/г-мерными поверхностями в Е).
Пусть в?в окрестности Я задана внешняя форма со
степени k. Для простоты записи будем считать, что со
имеет в Е одночленное координатное представление
с коэффициентом G. Тогда мы можем определить инте-
интеграл от со по Я так же, как в свое время определяли
интеграл по сингулярному кубу. Именно,
A)
Мы сохранили обозначения, которые применялись в § 1,
п°8, главы III (см. формулу A3)); изменен только
смысл h. Справа в A) h обозначает область ^-кратного
интегрирования в Rk.
Естественно поставить вопрос об инвариантности этого
определения: если H = c{{hy), где си h{— другое ото-
отображение и другая область, подчиненные тем же усло-
условиям, что с и Л, будет ли
B)
верным равенством? На этот вопрос можно ответить
утвердительно, если с, и с имеют одинаковую ориентацию
относительно Rk, именно, если композиция с~х°с имеет
производную с положительным определителем. (Напом-
(Напомним, что с и с, обозначают отображения, суженные
82

на h и h\.) В этом случае
J с;© = J (G о с,) det t\ =
ft, ft,
= \ (((G о с,) det с',) ° (cf' о c)) ((det cj) ° (c~> о с)) det с' =
л
= \ (G о с) det с' = \ c*co.
ft ft
Тем самым равенство B) доказано.
Если пренебречь условием насчет ориентации, то
интеграл будет определен с точностью до знака.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ж. де Рам. Дифференцируемые многообразия. М., ИЛ, 1956.
2. С. М., Никольский. Курс математического анализа, т. II,
М., «Наука>, 1973.
3. С. С п и в а к. Математический анализ на многообразиях. М.,
«Мир», 1968.
4. Ф. Ф а м. Введение в топологическое исследование особенно-
особенностей Ландау. М., «Мир», 1970.
5. Н. В. Ефимов, Э. Р. Розендорн. Линейная алгебра и мно-
многомерная геометрия. М., «Наука», 1974.
6. В. И. Арнольд. Математические методы классической меха-
механики. М., «Наука», 1974.
7. Э. К а р т а н. Риманова геометрия в ортогональном репере.
М., МГУ, 1960.
8. С. П. Фиников. Метод внешних форм Картана в дифферен-
дифференциальной геометрии. М. — Л., Гостехиздат, 1948.
9. В. Бляшке. Введение в дифференциальную геометрию. М.,
Гостехиздат, 1957.
10. X. Уитни. Геометрическая теория интегрирования. М., ИЛ, 1960.
11. П. К. Рашевский. Геометрическая теория уравнений с част-
частными производными. М. — Л., Гостехиздат, 1947.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Альтернатор 6
Альтернация
формы 15
— тензора 20
полилинейной
Базис 8
Базисы взаимные 9
— дуальные 9
Вектор 29, 30
—¦ ковариантный 13
—, приложенный к точке 30
Выражение внешней формы ко-
координатное 26
Вычисление одночленных' форм
. 25
Граница цепи 64
Грань (k—1)-опорная 65
ориентированная 65
Дивергенция поля 42
Дифференциал внешний 34
— полилинейной формы 36
— ft-формы внешний 37
— функции 35
Дуга направленная 79
— ориентированная 54, 79
Изменение параметризации 56
Индекс свободный 6
— суммирования 5
Интеграл от внешней диффе-
дифференциальной й-формы 53
формы 51
— по кубу 51
Ковектор 13, 35
Конец вектора 30
Координаты тензора 14
Коцикл 77
Куб .регулярный 78
— сингулярный 52
й-мерный 52
нульмерный 53
— стандартный 51
Метрика 30
Множество действительных чи-
чисел 7
Начало вектора 30

Оператор проектирования 68,
74
Параллелизм векторов абсо-
абсолютный 30
Параметры 57
Перенесение параллельное 30
Поверхность комбинаторная 80
Погружение регулярное 78
Поток вектора 33
Преобразование внешней фор-
формы 27
Произведение внешнее 20, 21
базисных форм 22
внешних форм 20, 21
— скалярное 29
— тензорное 13
пространств 13
Производная 34
Пространства сопряженные 8,
„ 64
линейные 7
Пространство внешних форм 23
— касательное 29, 30
— кокасательное 30, 35
— линейное 12 :
— полилинейных форм .12
Равенство векторов 30
Разложение'внешних форм 23
— полилинейной" формы 14
Ротация вектора 41
Свертка 7, 64
Свойства альтернации 15
— внешнего дифференциала 33
произведения 21—22
—' косой формы 17
— тензорного произведения 13
Символ Кронекера 7
Степень внешней формы 20
Сумма 5
— формальная 58
т
Тензор 13
— валентности k (ft-тенэор) 13,
15
— ковариантный 13, 15
— контравариантный 13
— косой 24
— нулевой валентности 13
Теорема Пуанкаре 77
Точка 29, 30
) Форма (й-форма) 20
— внешняя 16
дифференциальная 31
— дифференциальная 31
—, дифференцируемая в обла-
области 37
— замкнутая 77
—, когомологичная нулю 77
— координатная 32
— косая 16
— линейная .9
— полилинейная 11
— проектирующая 32
— точная 77
Формула Грина 41
— Стокса 14
— — общая 42
Функции проектирующие 36
Функция, дифференцируемая в
точке 34
Цепи равные 60
Цепь замкнутая 76
— ^-мерная 59
— нулевая А-мерная 60
— одномерная 58
Цикл 76
—, гомологичный нулю 76
Элемент нулевой 7

® 13
Л 21
D[(x) 34
E 29
R 7
Tx 29
•1
e
Tk
r*(L)
to
'ft
/ft
7
6
7
13
13
31

Николай Владимирович Ефимов
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВНЕШНИХ ФОРМ
М., 1977 г., 88 стр. с илл.
Редактор А. Ф. Лапко
Техн. редактор К. Ф. Брудно
Корректоры В. А. Белицкая, Л. С. Сомова
Сдано в набор 1.09.1976 г. Подписано к печати 6.01.1977 г.
Бумага 84Х108'/ю тип. № 1. Физ. печ. л. 2,75. Усл. печ. л. 4,62.
Уч.-изд. л. 4,17. Тираж 24 000 экз. Т-03406.
Цена книги 15 коп. Заказ № 297.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли.
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29