/
Теги: теория чисел
ISBN: 5-02-014900-4
Текст
И. Н. /МЕНИЦКИЙ, И. П. СПОРОВ
ЗЯБЯВНЯЯ
И. Н. ПМЕНИЦКИЙ
И. П. СИДОРОВ
ЗАВАРНАЯ
АРИФМЕТИКА
1 МОСКВА «НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
199Ъ
ББК 22.130
A6i
УДК 511.1 (023)
Аменицкий Н.Н., Сахаров И.П.
А61 Забавная арифметика. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.,
1992. -128 с. - ISBN 5-02-014900-4
Включено около 250 старинных занимательных задач, упражне-
ний, фокусов и шуток, принадлежащих перу замечательных русских
педагогов начала XX столетия. Задачи расположены по мере возра-
стания трудности, способствуют развитию у детей сообразительности,
логики, смекалки и нетривиального мышления. Ко всем упражнениям
даны подробные решения. Текст перепечатан с соблюдением правил
современной орфографии. Старинные русские меры сведены в
отдельную таблицу.
Для дошкольников и их родителей, учащихся школ, техникумов
и ПТУ, учителей, воспитателей детских садов-и всех любителей
занимательной математики.
ББК 22.130
1602030000-072
053(02)-92 *ьо-12-У1
ISBN 5-02-014900-4
©ЛНаукаг Физматлит, 1992
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие редактора............................................. 5
Предисловие к третьему изданию.................................... 7
Предисловие ко второму изданию.................................... 7
Старинные русские меры, встречающиеся в этой книге... 10
ДЛЯ ДЕТЕЙ МЛАДШЕГО ВОЗРАСТА............................. 11
I. Задачи-шутки.................... ................................. 11
IE Забавные исчезновения. Остроумный дележ. Затрудни-
тельные положения................................... 13
III. Игры со спичками................................................. 16
IV. Волшебные квадраты и волшебная таблица........................... 20
V. В часы досуга.................................................. 23
VI. Решения и ответы................................................. 25
ДЛЯ ДЕТЕЙ СРЕДНЕГО ВОЗРАСТА........................................... 32
I. Задачи-шутки..................................................... 32
II. Забавные исчезновения и остроумный дележ......................... 34
III. Затруднительные положения........................................ 38
IV. Задачи, требуюйще большей сообразительности и более
сложных вычислений........................................ 40
V. Ряды чисел, суммы которых можно получать, не произ-
водя сложения этих чисел.................................. 45
VI. Игры со спичками................................................. 48
VII. Игры и забавы................................................. 52
VIII. Решения и ответы.............................................. 56
ДЛЯ ДЕТЕЙ СТАРШЕГО ВОЗРАСТА........................................... 67
I. Задачи-шутки..................................................... 67
II. Забавные исчезновения и остроумный дележ......................... 70
III. Задачи, требующие большей сообразительности и более
сложных вычислений............................-........... 74
IV. Затруднительные положения........................... . 80
V. Любопытные особ_енности некоторых чисел и действий с
ними •••••••••••••••••••••••••••••••••••*(••••••••••••••••••• .. 83
VI. Ряды чисел, суммы которых можно получать, не произ-
водя сложения этих чисел....................... 86
VII. Волшебные квадраты............................. 91
VIII. Игры со спичками................:............. 92
IX. Разрезание и перекладывание фигур............. 96
X. Огромные числа................................. 99
XI. Решения и ответы............................... 105
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА
"Забавная арифметика" преподавателя московской женской
гимназии и видного деятеля "Кружка московских преподавателей"
Николая Николаевича Аменицкого и московского педагога, активно
участвовавшего в деятельности "Группы учащихся начальных школ"
Ивана Петровича Сахарова - произведение заметное даже в
обширном потоке литературы по занимательной математике. Де-
тская без инфантильности, научающая без дидактичности, забавная
без ложной занимательности, она при всей традиционности своего
содержания оригинальна и направлена на достижение важной и серь-
езной цели-пробуждение у подрастающего поколения самостоятель-
ности и оригинальности мышления, а заодно и любви к математике.
Простая, но замечательная по своей глубине и значимости идея о
том, что "человек разумный" есть в первую очередь "человек игра-
ющий" и поэтому обучать даже самым серьезным вещам следует по
возможности играя, приходила в голову выдающимся педагогам на
протяжении всей истории человечества - писавшим клинописью на
глиняных табличках в Древнем Вавилоне, водившим тростниковым
каламом по папирусу в Древнем Египте, их преемникам через много
веков в средневековонБвропе, записывавшим занимательные задачи
для любознательного юношества на драгоценном палимпсесте, не
ведая того, что смытый греческий текст таил в себе еще более давние
занимательные задачи древних греков. Но, разумеется, свое
открытие относительно "человека играющего" каждый педагог
реализовал в меру способностей, знаний и традиций своей страны и
эпохи.
Н.Н. Аменицкий и И.П. Сахаров создали свою "хрестоматию для
развития сообразительности и самодеятельности детей в семье и шко-
ле", опираясь на богатейшую европейскую и отечественную
традицию занимательной математики, насчитывающую не одно
столетие. Талант педагога и любовь к своему делу позволили им
превратить компиляцию в новаторское произведение, которое и было
по достоинству оценено читателями-современниками. Тщательно
отобрав 248 задач и расположив их в три концентра - для детей
младшего, среднего и старшего возраста, они искусно упорядочили
всю коллекцию и сделали ее доступной разумению своего
потенциального читателя.
"Забавная арифметика" - единственное совместное произведение
замечательных педагогов, хотя каждый из них написал и издал, один
или в сотрудничестве с другими, немало книг. Н.Н. Аменицкий изве-
стен как автор задачника по арифметике и составитель, редактор и
основной автор "Научно-забавной библиотеки для семьи и школы".
Перу И.П. Сахарова принадлежат "Краткая методика обучения
детей чтению, письму, рисованию и арифметике” (с программной
статьей "Что всегда нужно помнить народному учителю”),
"Практическое обучение правописанию". Он был редактором таких
сборников, как "Мир Божий. Земля, планеты и устройство Вселен-
ной", "Родной мир", "Рассказы из истории”, "Наши народные поэты,
их жизнь и произведения" (Ивана Петровича Сахарова, соавтора
Н.Н.Аменицкого по "Забавной арифметике", не следует путать с его
знаменитым абсолютным тезкой фольклористом, этнографом,
собирателем библиотеки и историком книги Иваном Петровичем Са-
харовым (1807 - 1863), жившим и работавшим в Петербурге).
Не будет преувеличением сказать, что у "Забавной арифметики"
Н.Н. Аменицкого и И.П. Сахарова был еще один соавтор - ее издатель
Иван Дмитриевич Сытин, которому столь многим обязана отечест-
венная культура и книгоиздательское дело. Любовь и тщательность,
с которой выпущены первые пять изданий "Забавной арифметику",
убедительно свидетельствуют о том, как близко к сердцу он принимал
нужды народного просвещения.
Настоящее переиздание воспроизводит текс!' наиболее полного
(второго) сытинского издания (остальные издания до пятого
включительно повторяли текст второго издания "без перемен").
Читатель получает в руки не стилизацию под старину, а подлинный
текст, перепечатанный с соблюдением правил современной орфог-
рафии и самой минимальной (бережной) правкой. Ни одна реалия не
заменена из опасения, будто она будет не понятна современному
читателю.
Для удобства последнего все старинные русские меры, встреча-
ющиеся в "Забавной арифметике”, сведены в отдельную таблицу,
Ю. Данилов
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
Третье издание "Забавной арифметики" печаталось без перемен
со второго, если не считать необходимых исправлений тех опечаток,
которые были допущены при печатании предыдущего издания.
Москва, 1 августа 1911 года.
Ник. Аменицкий
Ив. Сахаров
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Выпуская настоящую книгу, мьТ постарались, насколько это было
возможно, дать в ней такой материал, чтобы дети различного возраста
и умственного развития могли найти для себя живое й полезное
развлечение.
Развитие детской самодеятельности путем живого и забавного
рассмотрения различных практических задач и вопросов, раз-
решимых с помощью одной арифметики или первоначальных
понятий об элементарной геометрии, умение все окружающее нас по
возможности переводить на счет, меру и число, - вот принципы,
которыми мы руководствовались при составлении "Забавной
арифметики".
На Западе еще в средние века среди педагогов появилось стрем-
ление оживить и сделать более интересным преподавание "сухой"
математики. Одним из первых осязательных шагов в этом направ-
лении могут считаться "Арифметика школяра" Даниэля Адамса, "Иг-
ры и задачи, основанные на математике" Клода Гаспара Баше де
Мезериака (1624 г.).
В позднейшее время на французском и английском языках издано
немало превосходных сочинений, посвященных математическим за-
Русский перевод с 3-го издания,исправленного и дополненного
профессором математики АЛабоном, СПб- М., М.О.Вольд,
1877.
бавам.Особенно обращают на себя внимание "Математические раз-
влечения Эдуарда Люка и книги Роуза Болла ц Фурре .
Такое стремление педагогов вполне оправдывалось их собствен-
ным опытом, благодаря которому они не раз убеждались, насколько
важно облечь математический вопрос в интересную для учащихся
форму или внести в решение задачи такое незначительное, но любо-
пытное затруднение, которое могло бы приучить детский ум к само-
стоятельности, или, наконец, предложить трудную на первый взгляд
задачу, но решающуюся легко и неожиданным образом.
Дать детям и учащейся молодежи сборник математических разв-
лечений, сцособствующих развитию сообразительности, стремились
и у нас, в России. Не говоря о некоторых мало заслуживающих
внимания таких сборниках, появившихся в первой половине XIX
столетия, мы упомянем лишь о тех, которые по своей идее и содер-
жанию заслуживают внимания. К ним относятся издания киевского
"Журнала элементарной математики" профессора В.П. Ермакова,
"Задачи, вопросы и софизмыдля любителей математики (в пределах
курса средних учебных заведений)" А.М. Воронца и Д.Н. Горячева
(М. 1903.), "В царстве смекалки, или арифметика для всех" Е.И.
Игнатьева (Последнее переработанное издание: М., Наука, 1981.) и
ДР-
Отличительной особенностью вышеозначенных книг является то,
что они предназначаются для детей, более или менее развитых и
подготовленных к математическим развлечениям, или для лиц, обла-
дающих достаточным запасом знаний не только в арифметике, но и в
таких разделах математики, как алгебра, геометрия и тригонометрия.
Но вышеупомянутые книги часто, несмотря на свои заголовки
("Арифметика для всех"), не отвечают, как nd своему содержанию,
так и по своей высокой цене, тем требованиям, которые можно предъ-
явить к пособиям, предназначаемым, например, для учащихся на-
чальных школ иля -младших классов, средних учебных заведений. А
ведь именно такие дети наиболее нуждаются в том, чтобы их перво-
начальное и последующее знакомство с математическими истинами
♦ С подзаголовком "Приложения арифметики, геометрии и
алгебры к различного рода запутанным вопросам, забавам и
играм". Пер. с французского В.И.Обреимова, бывшего учителя
математики в Екатеринбургской гимназии.- СПб., Ф.Павленков,
1883.
♦ ♦ Болл У., Коксетер Г. Математические эссе и развлечения. - Пер.
с английского Н.И.Плужниковой, А.С.Попова, Г.М.Цукерман-
М., Мир, 1986.
* *♦ Фурре, Б. Геометрические головоломки и параллогизмы.
Одесса, из-во "Mathesis", 1912.
носило не сухой схоластический характер (а мнение о математике как
о науке сухой и мертвой живо в обществе и по сие время), а порождало
бы интерес и любовь к предмету, развивало бы в учащихся способ-
ность к правильному мышлению, острый ум и смекалку и тем самым
вносило бы оживление в преподавание предмета.
Второе издание "Забавной арифметики" отличается от первого
тем, что число задач и игр, развивающих детскую сообразительность,
увеличено более, чем вдвое. Вследствие этого мы сочли более целе-
сообразным разделить нашу книгу на три части "Для детей младшего
возраста", "Для детей среднего возраста" и "Для детей старшего воз-
раста", подобрав материал в каждой из них таким образом, чтобы он
соответствовал умственному развитию детей указанного возраста.
Кроме того, в выпуске"Для детей старшего возраста" более под-
робно разработана теория арифметической прогрессии, а для озна-
комления детей с геометрической прогрессией помещен особый X
раздел "Огромные числа", в котором читатели с помощью живых и
доступных детскому пониманию рассказов вводятся в область весьма
больших чисел.
Ник. Аменицкий
Москва, 10 февраля 1910 года Ив. Сахаров
Старинные русские меры,
встречающиеся в этой книге
Единицы массы
1 золотник = 4,266 г
1 фунт = 96 золотникам = 0,4095 кг
1 пуд = 40 фунтам = 16,38 кг
Единицы измерения
сыпучих и жидких тел
1 пуд = 40 фунтам
1 мера (четверик) = 26,24 л
Единицы длины
1 аршин = 16 вершкам = 71,12 см
1 верста = 500 саженям = 1,0668 км
1 вершок = j дюйма = 4,445 см
1 дюйм = ~ фута = 2,54 см
1 сажень = 3 аршинам = 7 футам = 48 вершкам = 2,1336 м
1 фут =12 дюймам = у сажени = 30,48 см
1 миля = 7 верстам = 7,4676 км
ДЛЯ ДЕТЕЙ
МЛАДШЕГО ВОЗРАСТА
I
Задачи-шутки
I у
>
1. Три мальчика Коля, Петя и Ваня отправились в лавочку. По
дороге у лавочки они нашли 3 копейки.
Сколько бы денег нашел один Ваня, если бы он отправился в
лавочку?
2. Шла баба в Москву и повстречала 3 мужиков. Каждый из них
нес по мешку, в каждом мешке по коту.
Сколько существ направлялось в Москву?
3. Длина бревна 5 аршин. В одну минуту от этого бревна отпилива-
ют по одному аршину.
Во сколько минут будет распилено все бревно?
Эта задача (в различных редакциях и с некоторыми
видоизменениями) встречается 1) в папирусах египтянина
Ахмеса (1700 г. до н.э.), 2) у Леонарда Пизанского (1202 г.), 3)
в ’’Школьной арифметике” Даниэля Адамса.
4. В комнате 4 угла. В каждом углу сидит кошка. Против каждой
кошки сидят по три кошки.
Сколько кошек всего в комнате?
5. Летело стадо гусей: один гусь впереди, а два позади; один позади
и два впереди; один между двумя и три в ряд.
Сколько было всех гусей?
6. Мальчик, придя в магазин, спросил себе грушу. Ему предложили
на выбор две груши: одну за 5 копеек, а другую за Юкопеек. Мальчик
выбрал более дешевую.грушу, заплатил торговцу 5 копеек и побежал
домой. Только что он собрался приняться за свою грушу, как ему в
голову пришла следующая мысль: ’’Ведь я уже заплатил торговцу 5
копеек, да у меня еще есть груша, которая стоит тоже 5 копеек.
Значит, если я отдам теперь эту грушу торговцу, то он получит от меня
всего 10 копеек. Тогда я могу взять из магазина ту лучшую грушу,
которая стоит 10 копеек. Это славно!" И мальчик побежал в лавку...
Сбылись ли его мечты о дорогой груше?
7. Какие числа при чтении не изменяются от их переворачивания?
8. В харчевню пришли 11 человек и потребовали подать им рыбы.
К сожалению, у хозяина оказалось всего три небольшие рыбы. Тем
не менее, хозяин не желал упустить случая поживиться: имея в своем
распоряжении три рыбы, он обещал гостям подать на стол одиннад-
цать. Гости заинтересовались этим и даже согласились уплатить
деньги вперед.
Как хозяин харчевни исполнил свое обещание?
II
Забавные
исчезновения.
Остроумный
дележ.
Затруднитель-
ные положения
• езе • •
2 „ 2 1
4 •
5Ф
бе
9. У одного человека был золотой крест, украшенный бриллиан-
тами. Этот человек никогда не интересовался тем,
сколько всего бриллиантов вставлено в крест. Он
знал лишь одно: если начать считать с одного из
боковых концов или с верхнего конца вниз до
основания креста, то всегда окажется 6 бриллиан-
тов. Однажды этот крест был отдан в починку
золотых дел мастеру. Мастер потерял два
бриллианта и, не вставляя на их место других,
вернул крест починенным, лишь расположив
бриллианты по-другому. Владелец пересчитал бриллианты "по-сво-
ему" и ничего не заметил.
Как мастер ухитрился расположить бриллианты?
10. Один господин встретил во время прогулки знакомую семью,
состоящую из деда, отца и сына. Поздоровавшись со всеми, он
спросил их в шутку, сколько им лет."Нам всем вместе Г00 лет,” -
ответил за всех дед и важно зашагал вперед. Тогда господин, продол-
жая интересоваться их возрастом, спросил отца: "Ну, скажите же,
сколько вам лет?” - "Мне вместе с сыном 45 лет," - отвечал отец, - "а
сын на 25 лет моложе меня.” Так любопытному господину и не
пришлось узнать, сколько лет каждому из них.
Не сообразите ли вы?
11. Два мальчика Коля и Петя стали расставлять по стенам беспо-
рядочно раскиданные стулья.Вскоре Коля остановился и сказал Пете:
"Стой, а расставь-ка ты все эти 12 стульев тремя рядами так, чтобы в
каждом ряду было по 5 стульев.” Петя сначала не сумел этого сделать,
но потом все же расставил стулья так, как просил его Коля. После
этого он сказал Коле:”А не расставишь ли ты теперь эти 12 стульев у
4 стен так, чтобы у каждой стены было по 4 стула."’ Коля два раза
ошибался при расстановке стульев, но в конце концов сумел это
сделать. /
Как расставлял стулья Петя? Как расставлял стулья Коля? /
12. Торговка, сидя на рынке, соображала:" Если бы к моим яблокам
прибавить половину их да еще десяток, то у меня была бы целая
сотня!"
Сколько яблок у нее было?
13. Брат и сестра получили в наследство 90 рублей. Если сестра
отдаст брату из своей доли 10 рублей, то брат окажется вдвое богаче
сестры.
Сколько денег в наследство досталось брату и сколько сестре?
14. У отца есть сын, который вдвое моложе отца. Сын родился
тогда, когда отцу было 24 года.
Сколько теперь лет сыну?
15. Маленький Коля пришел из школы домой и сказал папе: "А
меня сегодня учитель похвалил за решение задач. "Услыхала это его
сестра Шура (тоже ученица школы) и сказала Коле: "За что тебя
хвалят, не знаю, а вот я - первая ученица по арифметике. "Отец,
послушав их, сказал: "Вот что, ребятки, хвалиться может каждый,
было бы чем хвалиться. Раз вы такие знатоки арифметики, решите-ка
мне по задачке." И отец передал детям по записке. Коля прочитал
следующее: "Если к моим деньгам прибавить половину их то по-
лучится 81 копейка. Сколько у меня денег?"
А Шура прочитала вот что: "Если мама положит в свой кошелек
еще треть денег, находящихся в нем, то в кошельке станет 68 копеек.
Сколько денег в кошельке?"
Так как дети не отличались хорошими познаниями в арифметике,
и в школе их никто не хвалил (папу они обманули), тозадачи они не
решили, и им было очень стыдно перед папой.
Не поможете ли вы им в их затруднительном положении?
16. Петя, Коля и Шура прибежали из лесу и радостно сообщили
матери, что нашли 6 белых грибов. "Я нашла," - сказала Шура, - "три
гриба, Петя- один, а Коля - два." Мать поцеловала детейи, передавая
им 18 грецких орехов, сказала: "Вот вам, мои милые, орехи в награду.
Разделите их так, чтобы каждый из вас получил по заслугам."
По скольку орехов должно достаться каждому из детей?
17. Жила в реке большая прожорливая щука. Все рыбы боялись ее.
В особенности не было от нее житья маленьким рыбкам. Только они
превратятся из икринок в рыбок, а пасть зубастой щуки тут как тут.
\Трудно уберечься в одиночку маленьким рыбкам, вот и плавают они
целыми стаями - не заметит врага одна рыбка, усмотрит его другая.
Еще издали увидит в прозрачной воде хищную щуку какая-нибудь из
рыбок и закружится около подруг. Все тогда поймут, что враг близко,
разбегутся во все стороны и сию же минуту спрячутся. Так щуке
никто и не попадется в пасть.
Раз стая в 55 рыбок - плотва, окуньки и пескари - гуляла близ
осоки. Щука издали увидала этих рыбок и задумала полакомится
ими. Взмахнула хвостом и стрелой бросилась к осоке. Но сорвалось:
рыбки все-таки заметили ее и разбежались. Так никто и не попал к
ней на обед. Задумалась хищница. Ведь этакий с голоду погибнешь.
Всю ночь она продумала, на какую бы ей хитрость пуститься, и
додумалась. Рано утром она опять заметила близ осоки ту же стаю и
злорадно подумала:"Ну, погодите, вертушки, попадетесь сейчас!”
Хитрая щука стала тихонько мутить хвостом воду на дне, и вода
сделалась мутной. Мутит она воду, а сама незаметно подплывает к
рыбкам. Глупые рыбки лишь тогда заметили ее, когда хищница стрем-
глав бросилась на стаю. Через некоторое время испуганные рыбки
снова собрались в стаю и увидели, что их осталось всего лишь 42
рыбки, причем пескарей осталось вдвое меньше, чем окуньков, а
плотвы вдвое больше, чем окуньков. Рыбки заметили также, что они
лишились только одной плотвы, тогда как окуньков погибло в 8 раз
больше, чем плотвы.
Помогите рыбкам разобраться, сколько у них погибло и сколько
осталось в целости плотвы, пескарей и окуньков?
III
Игры
со спичками
18. Как сделать из двух спичек десять, не ломая их?
19. Нельзя ли из трех спичек сделать шесть, не ломая их?
20. Нельзя ли из четырех спичек сделать семь?
Параллельные прямые
Вертикальная прямая
Угол
квадрат
Горизонтальная прямая
21. К разложенным на столе пяти спичкам при-
ложите еще пять спичек так, чтобы получилось
три.
22. От разложенных на столе 30
спичек (их расположение показано
на рисунке) постарайтесь отнять 13 спичек и получить три.
23. К разложенным на столе четырем спичкам
прибавьте еще пять спичек так, чтобы получилось
сто.
24. От данных 5 квадратиков из спичек отнять
3 спички так, чтобы осталось три таких же квад-
ратика.
лось 3 таких Ж£ квадратика.
25. Семнадцать спичек составляют 6 одинако-
вых (в 2 ряда) прилегающих друг к другу квад-
ратиков.
Снимите 5 спичек так, чтобы после этого оста-
26. Из 18 спичек, составляющих 6 данных
квадратиков, отнимите 2 спички так, чтобы оста-
лось 4 таких же квадратика.
27. Девять квадратиков со-
ставлены из 24 спичек. Отни-
мите от них 8 спичек так, чтобы осталось два квад-
рата различной величины.
28. От 7 квадратиков, кото-
рые составлены из 22 спичек и образуют крест,
отнимите 6 спичек так, чтобы осталось 4 таких же
одинаковых квадратика.
29. От данных 24 спичек, расположенных ука-
занным образом, отнять 8 спичек так, чтобы оста-
лось шесть.
30 . Переложите 2 спички так, чтобы образова-
лось 5 равных квадратиков.
31 .' а) Переложите 2 спички
так, чтобы получилось 7 оди-
наковых квадратов.
б) Из полученной фигуры отнимите 2 спички
так, чтобы осталось 5 квадратов.
32. Отнимите 8 спичек так,
чтобы из оставшихся образовалось 4 одинаковых
квадрата (2 способа решения).
33. Отнимите 4 спич-
ки так, чтобы образова-
лось 5 одинаковых и 5 различных по ве-
личине квадратов (2 способа решения).
34. Отнять 6 спичек так, чтобы из оставшихся
образовалось 4 различных по величине квадрата.
35. Три спички лежат на столе.
Как удалить среднюю спичку из се-
редины, не трогая ее?
36. Переложить 4 спички так, чтобы образовалось
3 одинаковых квадрата. А теперь переложите 3 спички
так, чтобы образовалось 3 квадрата.
37.. Этот дом составлен из 10 спичек. Требуется
повернуть его к нам другой стороной, переложив толь-
ко 2 спички.
38. У меня три спички. Если я к ним прибавлю еще
две, то'получу восемь. Как это может случиться?
39. Снять 2 спички и получить 4 квадрата.
40. Переложить 6 спичек так, чтобы из 2 рюмок
получился такой дом, какой изображен на рисун-
ке в задаче 37.
41. Отнять 4 спички
так, чтобы оставшиеся спички образовали 5
квадратов, причем квадраты могут быть и не
одинаковой величины.
42. Отнять 3 спички так, чтобы оставши-
еся спички образовали 5 одинаковых квад-
ратов.
изобразите „утку в
43. Спичками
клетке”.
44. Люба и Шура играли в спички.
Шура и говорит Любе:"Как доказать на спичках, что если отнять
пять от восьми, то ничего не останется?”
Люба сначала не сообразила, но, взглянув на стенные часы, улыб-
нулась и решила задачу. Потом она в свок> очередь задала Шуре
задачу: ?Как двумя спичками, не кладя одну поперек другой, изоб-
разить крест?”
Шура решила эту задачу .только на другой день, но зато она
предложила Любе подобную же задачу-шутку: "Как образовать
треугольник одной спичкой, не расщепляя и не ломая ее?”
Люба не сумела решить эту задачу, и Шура была очень довольна.
Дайте решение всех этих задач.
IV
Волшебные
квадраты
и волшебная
таблица
45. Расставьте цифры, помещенные в квадра-
тиках так, чтобы суммы чисел по любой горизон- тали, вертикали и диагонали (из угла в угол боль- 1 1 1
шого квадрата) были одинаковы. 2 2 2
1 1 1 1 1 46. Переместите 3 3 3
2 2 2 2 2 цифры, помещен- ные в квадратиках,
3 3 3 3 3 так, чтобы суммы чисел по любой гори- зонтали, вертикали и диагонали боль-
4 4 4 4 4 шого квадрата были одинаковы, но притом на каждой из названных пря-
5 5 5 5 5 мых не встречались две одинаковые цифры.
Математические или волшебные квадраты были известны еще
арабам и индусам. В Евроце они появились в XV веке благодаря
византийскому писателю Мосхопуло. Средневековые
звездочеты верили в магическую силу этих квадратов, которые 4
по их убеждению могли служить талисманом против чумы. Но и |
в наше время математики не пренебрегают вопросом о 1
магических квадратах [см., например, Постников М.М. :
Магические квадраты. - М., Наука, 1964; Гуревич Е.А. Тайна j
древнего талисмана. “М., Наука, 1969; Гарднер М. Путешествия J
во времени. - М., Мир, 1990, гл.7.] , ]
47. Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9 требуется
разместить в 9 клетках нарисованного здесь квад-
рата и притом так, чтобы суммы чисел по любой
его горизонтали, вертикали и диагонали были__________________
одинаковы и составляли каждый раз число 15.
48. Числа 2,3,4,5, 6,7,8,9
и 10 требуется разместить в 9 клетках нарисован-
ного здесь квадрата и притом так, чтобы суммы
чисел по любой, его горизонтали, вертикали и
диагонали были одинаковы и составляли каждый
число 18.
49. В 36 клетках поставьте по нулю, а затем
зачеркните 6 нулей так, чтобы в каждой из
четырех сторон осталось по 4 нуля.
-
Волшебная таблица*
Эта таблица, состоящая из чисел от 1 до 31, выписанных извест-
ным образом, отличается следующим ’’волшебным свойством": пред-
ложите задумать любое число от 1 до 31, и пусть вам только укажут,
в каких столбцах встречается задуманное число, и тогда вы имеете
возможность безошибочно назвать его.
Например, вам скажут, что задуманное число находится в 1-м,
3-м, 4-м и 5-м рядах. Подумав несколько секунд, вы заявляете, что
задумано число 23.
Чтобы угадать задуманное число, которое находится, как вам
сказали, в 1-м, 3-м, 4-м и 5-м рядах, сложите числа, стоящие в этих
рядах внизу (набранные жирным шрифтом), т.е. 1+2+4+16=23.
Таким же образом можно указать любое другое число. Такую же
волшебную таблицу вы можете составить, заменив числа от 1 до 31
столькими же именами (мужскими или женскими).
1-й РЯД 2-й ряд 3-й РЯД 4-й ряд 5-й ряд
16 8 4 2 1
17 9 5 3 3
18 10 6 6 5
19 11 7 . 7 7
20 12 12 10 9
21 13 13 И , 11
22 14 14 14 13
23 15 15 15 15
24 24 20 18 17
25 25 21 19 19
26 26 22 22 21
27 27 23 23 23
28 28 28 26 25
29 29 29 27 ' 27
30 30 30 30 29
31 31 31 31 . 31
16 8 4 2 1
’’Волшебная таблица’’ есть видоизменение игры ’’Таинственный
веер", описание которой дал в своих "Арифметических
развлечениях" французский математик Эдуард Люка.
В часы
досуга
1. Угадывание числа
Предложите кому-нибудь из товарищей написать (не показывая
вам) любое двузначное число, изображаемое различными цифрами,
а затем попросите переставить цифры этого числа и из большего
числа вычесть меньшее. Цифры полученной разности предложите
опять переставить и, наконец, сложить полученное число с этой раз-
ностью.
После всех этих действий вы можете смело заявить, что ваш
товарищ получил число 99.
Поясним это на примере.
Пусть задумано число 72.
Число, написанное теми же цифрами, но в обратном порядке, есть
27. Из 72 вычитаем 27: 72- 27=45 (разность). Складываем эту раз-
ность с 54 (т.е. с числам, изображенным цифрами 4 и 5, но в обратном
порядке): 45+54=99.
2. Игра в извозчика
Эта игра для двоих. Написав числа, например, от 1 до 9 или до 12
и т.д., игрок-седок приказывает игроку-извозчику ехать к какому-
нибудь номеру. Извозчик обозначает свой путь чертой. Своего пути
* Если разность изображается одной цифрой, например 6, или (что
все равно) 06, то число, изображаемое переставленными
цифрами, 60 (а не 6).
(начерченной линии) он не должен пересекать. Разумеется седок
старается делать такие концы, чтобы извозчику необходимо было
пересечь дорогу. Например, если извозчик поедет из 4-го пункта в
3-й, потом в 8-й, затем снова в 4-й и, наконец, в 5-й, то понятно, он
не попадет уже в пункты 1-й, 7-й й т.д., не нарушив условия (не
пересекать свой путь). В таком случае он проигрывает, уступая свое
место седоку.
3. Забавы маленького художника
Петя нарисовал
свинку (рисунок
слева). Его брат
Коля увидал рису-
нок Пети и го-
ворит:"Твоя свинка
грустная, а ты посмотри, какой веселой она станет на моем рисунке.”
И Коля нарисовал веселую свинку (рисунок справа).
VI
Решения
и ответы
1. Ваня нашел бы те же 3 копейки.
2. В Москву шла только одна баба.
3. В первую минуту отпиливается 1-й аршин, во вторую минуту
отпиливается 2-й аршин, в третью минуту отпиливается 3-й аршин, в
четвёртую минуту отпиливается 4-й аршин и 5-й аршин остается.
Следовательно, для распилки бревна потребуется четыре минуты.
4. Очевидно, только те 4 кошки, которые сидят по углам.
6. Конечно, нет! Если мальчик возвратит торговцу, грушу, то по-
лучит обратно 5 копеек. Чтобы получить 10-копеечную грушу, маль-
чик должен прибавить к этим 5 копейкам еще пять копеек.
7. 8, 69, 88 и др.
8. Хозяин подал гостям свои три
рыбы, сложенные так, как показано на
рисунке справа.
9.
1 •
• ге «
1 1
зе
4 •
5 •
6 •
10. Деду 55 лет, т.е. (100-45), отцу 35 лет, а его сыну 10 лет, т.е .
(45—25):2.
11. Первое О Второе О о О о
располо- ж е н и е О о располо- ж е н и е О О
стульев: о о стульев: О О
о о О О О О
О О О О О
12. Эту задачу надо решать с конца: отнимем излишек в 10 яблок,
тогда останется 90 яблок; в это количество входят 3 части (торговка
сказала: "Если бы к моим яблокам прибавить половину их"). Следо-
вательно, в числе 90 заключаются 2 части, да еще та часть (половина
всех яблок), которую старуха желает вновь прибавить. Разделив 90
на 3, мы узнаем, что половина всех яблок равна 30 яблокам. Значит, j
у торговки было 30x2, т.е. 60 яблок. 1
13. Эта задача похожа на предыдущую: в ней также деление на
части. Когда брат окажется вдвое богаче сестры, то количество денег
брата будет равно 2 частям, а сестры -1 части. Разделив 90 на 3 части, |
мы узнаем, что у сестры тогда будет 30 рублей, а у брата (он имеет л
вдвое больше денег) 60 рублей. Но ведь у брата потому стало 60 i
рублей, что сестра из своих денег дала ему 10 рублей. Значит, у брата
прежде было 50 рублей, а у сестры 40 рублей.
14. Теперь сын вдвое моложе отца (2части+1часть=3 части). Ког-
да же родился сын, отцу было 24 года, т.е. когда сыну будет 24 года,
а отцу 48 лет, отец по-прежнему будет вдвое старше сына. Следова-
тельно, теперь сыну 24 года.
15. Задача, данная Коле, решается так: в числе 81 заключены 3
части (2 половины да еще 1 половина). Узнаем, чему равняется 1
часть: 81:3=27. Две части (или 2 половины) по 27, т.е. 54 коп., и
составляют сумму бывших "у меня” денег.
Задача, данная Шуре, решается так: в числе 68 заключается 4
части (3 трети да еще 1 треть); узнаем, чему равна 1 часть: 68:4=17.
Три части (или 3 трети) по 17, т.е. 51 коп., и составляют сумму
бывших у мамы в кошельке денег.
16. Восемнадцать орехов нужно разделить на следующие части: 1
часть Пете, 2 части Коле и 3 части Шуре (всего 6 частей). Разделив
18 на 6, мы узнаем, что 1 часть Пети равна 3 орехам, которые он
получил. Коля получил вдвое больше Пети, т.е. 2x3=6 орехов, а
Шура втрое больше Пети, т.е. 3x3=9 орехов.
17. Прежде всего узнаем, сколько рыбок погибло: их было 55, а
осталось после нападения щуки 42, значит, погибло 13 рыбок. Из этих
13 рыбок погибли: 1 плотва, 8 окуньков и 13-9=4 пескаря. Осталось
42 рыбки. Из них приходится на долю пескарей 1 часть, на долю
окуньков (их вдвое больше, чем пескарей) 2 части и на долю плотвы
(ее вдвое больше, чем окуньков) 4 части. Всего 7 частей. Разделив
42 на 7, мы узнаем, что пескарей осталось 6 штук, окуньков (вдвое
больше) 12 штук, а плотвы ( ее вдвое больше, чем окуньков) 24
штуки.
18. Спички следует сложить так: X (римская цифра. Изображаю-
щая число 10).
19. Сложите спички в виде римской цифры VI (шесть).
20. Сложите спички в виде римской цифры VII (семь).
21.
22. (Отнятые спички
показаны пунктирными
линиями.)
32.
33.
34.
35. Одну из крайних спичек кладут рядом с другой крайней.
38.
36.
39.
40.
42.
43.
41.
44. Задача, данная Шурой Любе, решается очень просто: от числа
8, изображенного спичками римской цифрой, отнимите 5 спичек, и,
разумеется, тохда ничего не останется.
Задача, данная Любой Шуре, решается так: одну из двух спичек
немного обжигают на огне и обугленной стороной прикладывают к
бумаге, а на полученный оттиск кладут поперек его другую необуг-
ленную спичку. J
другая. задача, предложенная Шурой Любе, решается так: кладут
спичку на угол стола так, чтобы края стола образовали две другие
стороны треугольника.
47.
45.
2
7
3 2 4 5 1 ’
4 1 2 3 5
1 3 5 4 2
5 4 1 2
2 5 3 1
9
5
4
3
1
5 10 3
4 6 8
9 г 7
0 0 0 0 0 0
0 0 . 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 , 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
ДЛЯ ДЕТЕЙ
СРЕДНЕГО ВОЗРАСТА i
I
Задачи-шутки
1. В корзине 4 яблока. Разделите их между четырьмя лицами так,
чтобы каждое лицо получило по яблоку и одно яблоко осталось бы в
корзине.
2. Два отца и два сына съели за завтраком 3 яйца, причем каждому
из них досталось по целому яйцу.
Как это могло случиться?
3. Две богомолки отправились из Москвы в Троице-Сергиеву лав-
ру. Обе они прошли 60 верст.
Сколько верст прошла каждая, если шли они с одинаковой ско- '
ростью?
4. Сколько концов у 4 палок?
У 5 палок? А у 5 с половиной палок?
5. От двадцати отнять 88 так, чтобы осталось 22.
I
6. При решении задачи мальчику пришлось делить
40 на 8. Он расположил ход действия так, как пока-
зано справа.
Когда его сестра,
увидав такое неправильное
решение, заметила ему об
40 - 8
32| 41
8
____8_
0
Проверка: этом,- то он стал проверять
8.... делитель х 41;...частное деление, умножая делитель на частное, и, производя про- верку, как показано слева, получил делимое - число 40.
8 + 32 ?0....делимое
Указать неправильность в ходе действий
мальчика.
7. Какие числа (свыше ста) при чтении не
изменяются при перевертывании их?
8. Число 66 моментально увеличьте на половину этого числа.
9. Число 666 увеличьте моментально в полтора раза.
10. Разделите на бумаге число двенадцать на две равные части так,
чтобы половина этого числа была семь.
11. Как разделить 188 на две равные части, чтобы в каждой из них
получилось сто!
12. Четыре брата владели сообща одним ослом: каждому брату
принадлежала одна нога этого животного. Случилось, что осел
поранил ногу, принадлежавшую брату Ивану. Нога разболелась и
осел не мог более работать. Так как от этого страдали и три других
брата, то все четверо братьев решили лечить осла сообща, для чего
вздумали приложить к больной ноге паклю и поджечь ее. Когда они
это сделали, осел, испугавшись огня и почувствовав боль, вырвался и
бросился бежать, куда глаза глядят. Вскоре он очутился во владении
одного помещика, где были сложены снопы хлеба. От горевшей пакли
солома моментально вспыхнула, и весь сложенный хлеб сгорел. По-
мещик потребовал от братьев возмещения понесенных им убытков в
размере 300 рублей.
Кто из братьев и в каком размере должен уплатить эту сумму?
2. Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров
II
Забавные
исчезновения
и остроумный
дележ
13. У 'одного вельможи был крест, украшенный крупными
бриллиантами. Он никогда не интересовался
тем, сколько бриллиантов вставлено в крест.
Вельможа знал лишь одно: если он начинал
считать с одного из боковых концов или с 0 2
верхнего конца вниз до основания креста, то 03 $
всегда насчитывал 9 бриллиантов. Как-то 0 @ @ @40 @ @
раз понадобилось отдать крест в починку. —\ /-----
Вельможа призвал мастера и, отдавая ему у у
$рест, сказал: "Прошу вас, чтобы все ® 6
бриллианты были в целости. Давайте вместе 0 7
проверим их." И вельможа стал вслух "по- ф g
своему" считать бриллианты. Мастер за-
метил это и, так как он не отличался особой
честностью, при починке вынул два камня и
возвратил крест вельможе, не подменив, однако, настоящих камней
фальшивыми. Тот пересчитал камни и нашел, что они все целы.
как мастер ухитрился провести вельможу?
14. Шел бедный мужичок мостом, присел у перил и тяжко-тяжко
вздохнул. Шел мимо цыган и спросил его: "О чем, приятель, взды-
хаешь?" - "Эх, брат," - ответил мужичок, - "нужда заела. Нужно
сейчас долг платить, а я и половину его не имею в кармане. И как это
у других легко копейка к копейке прибавляется? Смотришь, сейчас
пятак, через пять минут вдвое, а еще через пять минут - вчетверо."
"Есть о чем вздыхать," - сказал цыган, - "я знаю секрет, как удваивать
деньги. Хочешь, научу?" "Научи, пожалуйста, сделай милость!" -
взмолился мужик. "Так и быть, услужу," - согласился цыган, - " но и
ты меня не забудь. Ну, а теперь делай так, как скажу. Ступай через
мост, потом обратно, а я за тобой пойду. Перейдешь мост, положишь
свои деньги в шапку, и будет у тебя денег вдвое больше, чем было. И
каждый раз, как будешь переходить мост, денег у тебя будет ровно
вдвое, чем было до этого." "Да, что ты!" - воскликнул мужик. "Ну,
вот еще, божиться, что ль тебе?" - самоуверенно сказал цыган. -
"Однако по рукам, приятель, а за мою услугу ты каждый раз, как
перейдешь мост, должен отдавать мне 8 копеек, иначе ничего не
выйдет." "Ну, что же! Ежели деньги будут удваиваться, то изволь,
буду каждый раз отдавать тебе 8 копеек."
Когда они уговорились, мужик перешел мост и высыпал деньги в
шапку. Цыган встряхнул их - и денег стало в шапке вдвое больше!
"Вот так диво!" - воскликнул мужик и отсчитал цыгану 8 копеек.
Перешел он мост второй раз - и денег в его шапке снова стало вдвое
больше, чем было перед этим. Мужик отдал цыгану 8 копеек и
перешел мост в третий раз. Денег стало опять вдвое больше, чем было
перед этим. Но - странное дело! - их оказалось ровно 8 копеек,
которые цыган и потребовал по уговору. Мужик, ошеломленный
таким исходом, отдал цыгану 8 копеек и остался без денег. Пока он
разводил руками, цыгана и след простыл.
Сколько денег было у мужика до встречи с цыганом?
15. У помещика в погребе был шкаф, похожий по форме на квад-
рат, разделенный на 9 ящиков (клеток). В среднем ящике была сло-
жена пустая посуда, а в остальных ящиках были
расставлены 32 бутылки вина так, что в каждом
угловом ящике было по 1 бутылке, а в каждом из
средних ящиков по 7 .бутылок. Словом, на каж-
дой стороне квадрата было по 9 бутылок.
Лакей помещика заметил, что скупой хозяин,
проверяя число бутылок, считает только бутылки
по сторонам квадрата. Для помещика важно
лишь, чтобы на каждой стороне квадрата было по
9 бутылок. На следующий день лакей унес 4 бу-
тылки, а остальные расставил так, чтобы на каждой стороне квадрата
шкафа получилось по 9 бутылок. Помещик вскоре пересчитал бу-
тылки по-своему и не догадался, что 4 из них украдены. Лакей был
Решение этой задачи основано на, так называемых, магических,
или волшебных, квадратах. Магические квадраты появились в
Европе в XV веке благодаря византийскому ученому Мосхопуло.
В средние века магическим квадратам придавали особое,
таинственное, значение: например, верили, что они могут
служить талисманом против болезней (чумы) и т.п.
рад этому и на следующей неделе снова унес 4 бутылки, а остальные
расставил так, что на каждой стороне шкафа было опять по 9 бутылок.
Помещик и тут не заметил пропажи. Тогда лакей и в третий раз украл
4 бутылки, а остальные расставил так, что на каждой стороне квад-
ратного шкафа по-прежнему оставалось по 9 бутылок.
Как лакей расставлял бутылки после каждой кражи?
16. Разделите 7 яблок между 6 мальчиками поровну.
17. Разделите 7 яблок между 10 мальчиками, а затем 9 яблок между
теми же мальчиками.
18. Двум братьям отец подарил несколько груш. Когда они раз-
делили эти груши между собой (не поровну), старший брат сказал
другому: "Дай мне еще одну грушу, я ведь старше тебя. Тогда у меня
будет груш вдвое больше, чем у тебя!” - "Ну, нет," - - ответил
младший, - "хотя ты и старше меня, но я так же,как и ты, люблю
груши. Дай лучше ты мне одну грушу, и тогда у нас будет груш
поровну, и никому из нас не будет завидно.”
Сколько груш было взято сначала каждым мальчиком?
19. Старший брат сказал младшему: "Дай мне 8 копеек, тогда у
меня денег будет вдвое больше, чем у тебя". А младший возразил:
"Дай лучше ты мне 8 копеек, тогда у нас будет денег поровну".
Сколько денег у каждого из братьев?
20. Дед, отец и сын во время прогулки встретили знакомого, кото-
рый спросил их, сколько им лет. "Нам 121 год," - ответил за всех дед
и важно зашагал вперед. Тогда знакомый, продолжая интересоваться
их возрастом, спросил отца: ”Ну, скажите же, сколько вам лет?" -
"Мне вместе с сыном 44 года," - отвечал отец, - "а сын на 28 лет
моложе меня". Так знакомому и не пришлось узнать, сколько лет
каждому из них.
Не сообразите ли вы?
21. Канат длиной 11 аршин рабочие разрезали на две части так, что
в одной из них оказалось столько вершков, сколько в другой дюймов.
Какой длины каждый кусок?
22. Девочки принесли лавочнику землянику. Лавочник дал им за
это несколько одинаковых медных монет. Девочки поблагодарили
лавочника и ушли. Дорогой они стали делить монеты. Оказалось, что
если девочки возьмут себе по одной монете, то одной из девочек не
хватит монеты, а если разделить монеты так, что любым двум девоч-
кам достанется по одной монете, то одна монета останется лишней.
Сколько было девочек и сколько монет дал* им лавочник?
23. Летели галки, видят - березы. Стали рассаживаться.Попробо-
вали сесть по одной на дерево - четырем галкам не хватило деревьев.
Стали садиться по две на березу - одна береза осталась незанятой.
Сколько было галок и сколько - берез?
24. Петя и Коля играли в шашки. Петя задумался над своим ходом,
а Коля от скуки сосчитал, что на доске (состоящей, как известно, из
64 клеток) пустых клеток втрое больше, чем занятых 5 и что у него
двумя шашками больше, чем у Пети.
Сколько шашек было у каждого из них в этот момент?
25. Два крестьянина расположились у лесной опушки закусить. В
это время к ним подошел путник и попросил поделиться завтраком,
пообещав уплатить, что следует. Те согласились и достали свой скуд-
ный завтрак: у одного крестьянина было 2 хлебца, а у другого такой
же один. Все втроем закусили, причем ели поровну. Уходя, путник
уплатил за свою долю 5 копеек.
Как крестьяне должны разделить эти деньги между собой?
26. Два работника сели обедать. У одного было 4 лепешки, у дру-
гого только 3 лепешки. Стоимость лепешек была одинаковой. Подо-
шел к ним прохожий и попросил у них поесть, причем обещал
уплатить деньгами за ту часть лепешек, которая придется на его долю.
Работники согласились. После обеда, за которым все ели поровну,
прохожий отдал обоим работникам 7 копеек.
Не поможете ли вы разделить эти деньги работникам между со-
бой?
27. Две женщины варили кашу. Одна дала 2 фунта крупы, другая -
3 фунта. Только сварилась каша, как пришли еще две работницы. Все
четыре женщины сели за стол и съели всю кашу. По. окончании еды
каждая из пришедших женщин уплатила по 5 копеек.
Как должны женщины разделить полученные деньги, если все ели
поровну?
Ill
Затруднитель-
ные положения
28. На реке во время половодья оторвало от берега и унесло боль-
шую лодку, на которой перевозили через реку окрестных жителей. У
перевозчика осталась лишь одна маленькая лодка, на которой можно
переправить либо одного взрослого, либо двух мальчиков, которые
всегда помогали перевозчику переправлять народ. В это время к реке
подошла партия землекопов. Поразмыслив немного, все землекопы
ухитрились переправиться через реку именно на этой лодке.
Как им удалось это сделать?
29. Мужичку надо переправить через реку волка, козу и капусту.
Да вот беда: лодка так мала, что в ней может поместиться только
мужичок, а с ним либо волк, либо коза, либо капуста. Дело услож-
няется ещё тем, что при переправе волка нельзя оставить с козой, так
как он ее съест. Капусту также нельзя оставить с козой, так как коза
съест капусту. Мужичок думал-думал, но все-таки перевез всех на
другую сторону.
Как мужику удалось это сделать?
30. В одной из комнат было 12 табуреток. Два мальчика, Петя и
Ваня, стали расставлять по стенам беспорядочно раскиданные табу-
ретки. Вскоре Петя остановился и сказал Ване: "Постой, расставь-ка,
брат, все эти 12 табуреток тремя рядами так, чтобы 2 ряда содержали
по 4 табуретки, а один ряд - 6 табуреток”. Ваня не сумел сначала этого
Эта задача, вероятно, была известна еще Карлу Великому,
потому что в несколько измененной редакции встречается в
сборнике Алкуина ”3адачи для любознательных юношей".
сделать, но потом расставил табуретки так, как просил его Петя. "А
не расставишь ли ты теперь эти 12 табуреток у четырех стен так, чтобы
у каждой стены было по 4 табуретки?" - спросил Ваня Петю. Петя
дважды ошибался при расстановке табуреток. В это время в комнату
вошел отец и стал наблюдать за детьми. Наконец, Пете все же
удалось расставить табуретки. Тогда отец сказал детям: "Эка
невидаль! Дайте-ка мне две табуретки, я сяду на них посреди комна-
ты, а остальные вы расставьте у четырех стен так, чтобы у каждой
стены их оказалось поровну." Долго пришлось ждать отцу, но в конце
концов дети расставили табуретки так, как хотел отец, и получили за
это по вкусной груше.
Как Ваня расставил табуретки в первый раз? Как Петя расставил
табуретки во второй раз? Как они оба расставили табуретки в пос-
ледний раз?
31. Однажды лесничий поймал мужика, рубившего деревья в чу-
жом лесу, и, чтобы тот не убежал, пока он пойдет с докладом к
помещику, лесничий привязал мужика вот так: кисти рук он связал
одной веревкой, а другую веревку продел сквозь связанные руки и
прикрепил обоими концами к стене своего дома. Но мужичок был
хитер! Когда лесничий ушел, он тотчас же освободился, причем обе
веревки и узлы, завязанные лесничим, остались нетронутыми.
Как он это сделал?
Примечание. Решить задачу будет легче, если вы попросите ко-
го-нибудь связать вам руки, как показано на рисунке.
IV
Задачи,
требующие
большей
сообразитель-
ности и более
сложных
вычислений
32. Ваня купил себе игрушку, Петя - книгу с картинками, а Коля
приобрел столярный станок. Оказалось, что каждый из них истратил
впятеро больше, чем предыдущий, а все вместе израсходовали 2 рубля
48 копеек.
Сколько стоит каждая из покупок?
33. Помещик, рассчитав, что корова стоит вчетверо дороже собаки,
а лошадь вчетверо дороже коровы, захватил с собой в город 200
рублей и на все эти деньги купил собаку, две коровы и лошадь.
Сколько стоит каждое из купленных животных?
34. Из двух деревень шагают навстречу друг другу два работника.
От нечего делать они считают свои шаги (в аршин каждый). Один
насчитал в минуту 133 шага, другой - 167 шагов. Через 5 минут они
встретились.
Узнайте расстояние между деревнями.
35. Два родных брата, Карп и Поликарп, получили в‘наследство
240 рублей. Карп и говорит Поликарпу: "Дай мне из свой доли 25
рублей и я стану вдвое богаче тебя.” ”Нашел простачка", - подумал,
усмехнувшись, Поликарп и, разумеется, не дал брату 25 рублей.
Сколько денег досталось каждому из братьев?
36. Одного мужичка спросили, сколько у него денег. Он ответил:
"Мой брат втрое богаче меня, отец втрое богаче брата* дед втрое
богаче отца, а у всех нас ровно 1000 рублей. Вот и узнайте,, сколько
у меня денег." •
37. Мальчик добежал от деревни до школы в 15 секунд, пробегая в
секунду по 1 сажени 2 аршина.
Во сколько времени проползет это расстояние червячок, если в
минуту он может продвинуться лишь на 1 фут?
38. "Дедушка, сколько тебе лет?” - спросил деда внучек. "А вот
прибавь к каждому полному десятку моих лет по 2 года и получишь
84 года," - отвечал старик. Внучек насилу сообразил, сколько лет♦
дедушке. а
Сколько лет деду?
39. Жили-были два брата-близнеца. Один из них ежедневно спал
| суток, а другой i суток. Дожили они так до 72-летнего возраста.
Сколько лет за это время проспал каждый из них?
40. Сын втрое моложе отца.' Когда отцу было 37 лет, сыну было
только три года.
Сколько лет теперь каждому из них?
41. Дети играли в лото на орехи. Ване очень не везло: он сыграл 4
партии и, проиграв их все, отдал 255 орехов, при этом каждый раз
вчетверо больше, чем в предыдущий.
Сколько орехов проиграл Ваня в последнюю партию?
42. Деду 56 лет, а внуку 14.
Когда дедушка будет вдвое старше своего внука?
43. Коле так надоели мухи, что он решил их всех переловить. За 4
дня он наловил 216 мух, причем каждый день ловил столько мух,
сколько за все предыдущие.
Сколько мух Ваня ловил в каждый из четырех дней?
44. Часы отстают каждый день на 6 минут.
Через сколько дней они будут показывать опять верное время?
45. Отец роздал орехи поровну пятерым сыновьям. Трое Сыновей
съели по 5 орехов и увидели, что у них осталось столько орехов,
сколько дано двум другим сыновьям.
Сколько орехов роздал отец?
46. У 35-летнего отца 4 сына. Каждый моложе другого на два года,
причем старшему 8 лет.
Когда всем детям будет столько лет, скольку отцу?
47. Один работник получал в день столько копеек, сколько дней он
проработал, а другой получал в день на копейку больше первого, но
проработал днем меньше.
Кто из работников заработал больше денег?
48. Между школой и баней 33 сажени. Из бани в школу ползет
паук, а навстречу ему из школы двигается червячок. Пока червяк
проползает один дюйм, паук успевает продвинуться на целый вершок.
На каком расстоянии от бани они встретятся?
49. Когда Ваню спросили, сколько ему лет, он подумал и сказал:
”Я втрое моложе папы, но зато втрое старше Сережи.” Тут подбежал
маленький Сережа и сообщил, что папа старше его на 40 лет.
Сколько лет Ване?
50. Во время прогулки я и товарищ решили измерить длину буль-
вара шагами. Начав измерение от ближайшей липы, мы пошли от нее
в противоположные стороны. Я насчитал до конца бульвара 108, а
мой товарищ только 69 шагов. Кроме того, идя вдоль бульвара, мы
считали липы, мимо которых проходили. Я насчитал 37, а он 23
дерева. И я, и товарищ начали считать деревья с той липы, от которой
пошли.
Через сколько шагов друг от друга посажены липы?
51. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил:
"Если к половине моих лет прибавить 7, то узнаешь мой возраст 13
лет тому назад.”
Сколько лет дяде?
52. Однажды со мной произошел такой случай. Проснувшись ут-
ром, я увидел, что мои стенные часы стоят. Других часов у меня не
было, и я, чтобы узнать, который час, отправился к приятелю, живу-
щему на другой улице. Придя к нему, я немедленно справился о
времени моего прихода и посидев с ним немного, ушел домой, пред-
варительно взглянув на его часы. Придя домой, я правильно поставил
свои часы.
Каким образом мне удалось это сделать, если допустить, что на
дорогу к приятелю и от него к себе домой я потратил одинаковое
количество времени?
53. Из двух городов, Нижнего Новгорода и Вязников, расстояние
между которыми 300 верст, в один и тот же день, час и в одну и ту же
минуту выезжают два велосипедиста и мчатся навстречу друг другу
со скоростью 50 верст в час каждый. С велосипедистом, выехавшим
из Вязников, в момент его отправления вылетает муха и летит тоже
навстречу нижегородскому велосипедисту со скоростью 100 верст в
час. Встретив велосипедиста, она тотчас поворачивает назад и летит
навстречу первому. Повстречав того, муха все с той же скоростью
летит обратно, пока не встретит снова второго велосипедиста. Так
муха летала от одного велосипедиста к другому до тех пор, пока они
не встретились. Тогда она успокоилась и села на спину одного из них.
Сколько верст пришлось пролететь мухе до встречи ве-
лосипедистов?
Волшебные квадраты
54. Расположите все цифры, помещенные в данной фигуре, по
клеткам заштрихованного квадрата так, чтобы суммы чисел по лю-
бой его горизонтали, вертикали и диагонали
были одинаковы и каждая из них была равна
~П 15.
9
55. Расставьте в шести (из всех данных)
квадратах по кресту так, чтобы число пустых
квадратов, как по любой вертикали, так и на
любой горизонтали было четно .
Волшебная таблица
56. Эта таблица, состоящая из чисел от 1
до 31, выписанных известным образом,
отличается следующим "волшебным" свой-
ством: предложите задумать любое число, от 1 до 31, и попросите
указать, в каких рядах встречается задуманное число - вы бе-
зошибочно сможете назвать его.
Например, вам скажут, что задуманное число находится в 1-м,
2-м, 3-м и 5-м рядах, и вы, поразмыслив несколько секунд, заявите,
что задумано число 23!
Попробуйте догадаться, как находится это число (или любое дру-
гое)., Если это вам не удастся, то загляните в раздел "Решения и
ответы".
Четным называется число, делящееся на 2 без остатка
5-й РЯД. 4-й ряд. 3-й РЯД. 2-й ряд. 1-й _ РЯД.
16 8 4 2 1
17 9 5 3 3
18 10 6 6 5
19 11 7 7 7
20 12 12 10 9
21 13 13 11 11
22 14 14 14 13
23 15 15 15 15
24 24 20 18 17
25 25 21 19 19
26 26 22 22 21
27 27 23 23 23
28 28 28 26 25
29 29 29 27 27
30 30 30 30 29
31 31 31 31 31
16 8 4 2 1
Ряды чисел,
суммы кото-
рых можно
получать, не
производя сло-
жения этих
чисел
Пояснение. Если вы вздумаете узнать, чему равна сумма чисел 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, то вы легко можете найти ее, не складывая самих
чисел.
Возьмите 8 карточек и нарисуйте на одной из них 1 кружок, на
другой 2 кружка, на третьей 3 кружка и т.д. Затем разложите эти
карточки в ряд по порядку, начиная с той, на котрой нарисован 1
кружок. Сделав еще 8 таких же карточек, разложите их под первым
рядом в обратном порядке (т.е. под карточкой с 8 кружками
положите новую карточку с 1 кружком, под карточкой с 7 кружками
- новую карточку с 2 кружками и т.д.).
Нетрудно видеть, что наши два ряда образовали 8 столбиков по 2
карточки в каждом. Сосчитайте, сколько кружков в каждом таком
1-й ряд
2-й ряд
столбике. Оказывается, что какой бы столбик мы ни выбрали, в нем
всегда 9 кружков. Число 9 есть сумма кружков на первой и последней
карточках в верхнем (первом) ряду.
Наши два ряда состоят из 8 столбиков, и в каждом столбике на
двух карточках в сумме-9 кружков. Значит, повторив 9 кружков 8 раз,
вы узнаете, сколько всего кружков в обоих рядах:
9x8=72 кружка,
или (1 +8)х8=72 кружка.
Теперь уже совсем нетрудно узнать, сколько кружков в одном
ряду (первом или втором безразлично). Для этого стоит лишь раз-
делить 72 кружка на 2 части:
72: 2 = 36 кружков.
Следовательно,
1+2+3+4+5+6+7+8+9=36.
Посмотрим, что нам пришлось сделать для того, чтобы получить
сумму:
1) 8+1=9, т.е. сложить первое и последнее число нашего ряда;
2) 9x8=72, т.е. полученную сумму умножить на столько, сколь-
ко чисел в ряду;
3) 72:2=36, т.е. произведение разделить пополам.
Рассмотрим еще один пример.
Предположим, что вам надо поскорее сложить числа 2, 5, 8, 11,
14,17 и 20.
Этот ряд отличается от первого тем, что здесь каждое число
больше предыдущего на 3 единицы, а не одну, как было в первом
примере.
Не смущайтесь: и в этом случае можно воспользоваться уже изве-
стным вам приемом.
1) Сложите последнее число с первым:
2+20=22.
2) Умножьте эту сумму на 7 (в новом ряду семь чисел):
22X7=154.
3) Разделите полученное произведение на 2:
154:2 = 77.
Попробуйте теперь проверить полученный ответ, сложив все
числа нашего ряда, и вы убедитесь, что решили задачу правильно.
Ниже вы найдете несколько задач, для решения которых можете
употребить новый прием, с которым только что познакомились.
57. Сколько ударов в сутки делают часы с боем?
Примечание. Предполагается, что часы бьют только тогда, когда
показывают целое число часов.
,58. Журавли обыкновенно летают стаями так, что образуют треу-
гольник: впереди один -журавль (вожак), за ним два, потом три
журавля и т..д.
Сколько летело в стае журавлей, если в последнем ряду их было
15?
59. На Страстной неделе в Великую пятницу Петя захворал и
потому не мог идти к заутрене. Он очень сожалел об этом, так как
любил слушать чтение "Двенадцати евангелий". Когда большой ко-
локол ударил один раз, а спустя полчаса два раза, Коля понял, что
прочитано первое евангелие и вслед за ним второе. Ему пришла
мысль отмечать крестиками на бумаге число ударов колокола, возве-
щавших порядок евангелий. Так он и сделал. После заутрени пришел
из церкви старший брат Коля. Петя сказал ему: "Я не спал в заутреню
и отмечал крестиками число.ударов колокола. Сосчитай-ка, сколько
ударов прозвучало, начиная с первого и кончая последним, двенад-
цатым, евангелием." И Петя передал брату листок бумаги со своими
пометками. Коля улыбнулся и ответил: "Я могу сосчитать удары
гораздо быстрее." И, действительно, сообщил Пете, сколько было
всех ударов.
Сколько ударов колокола прозвучало во время чтения "Двенад-
цати евангелий”?
VI
Игры
со спичками
Прежде чем вы приметесь играть со спичками,не мешает позна-
комиться: (1) с положением линий, которые они могут иметь одна по
отношению к другой; (2) с формой некоторых фигур и углов и,
Параллельные прямые
Горизонтальная прямая
наконец, (3) с очертаниями
простейших геометрических
тел.
Линии, которые вы видите
на рисунке слева, сколько бы
вы их ни продолжали в обе сто-
роны, никогда не пересекутся.
Они называются параллель-
ными. Линии, которые вы
видите в середине на том же
рисунке, если их продолжить
вправо, непременно пересекут-
ся и образуют то, что называет-
ся углом.
А вот перечень наиболее ча-
сто встречающихся геометрических фигур.
Четырехугольник, у которого все стороны
одинаковы и все углы равны, называется квадратом
(рисунок справа). Такие углы, как у квадрата, на-
зываются прямыми.
У этого четырехугольника все стороны
тоже одинаковы, но углы, как видите, раз-
ные. Он называется ромбом (рисунок справа
внизу).
Прямоугольник
А у этой фигуры, наоборот, все углы одинако-
вые, а стороны (верхняя и боковая) имеют разную
длину. Стороны, находящиеся друг против друга,
равны. Такой четырехугольник называется пря-
моугольником (рисунок слева).
Этот четырехугольник называется
параллелограммом (рисунок справа). У не-
го углы разные, а стороны одинаковы только
те, которые лежат друг против друга.
Такой четырехугольник, у которого две
противоположные стороны параллельны, а
Параллелограмм
две другие - нет, называется трапецией
(рисунок слева).
Если в каком-нибудь из этих четы-
рехугольников проведете из одного уг-
ла в другой прямую линию, то она будет
называться диагональю.
А вот некоторые из геометрических
тел.
Кубом называется тело, у которого длина,
ширина и высота одинаковы.Ребра куба обра-
зуют между собой прямые углы.
Если основанием пирамиды служит треу-
гольник, то она называется треугольной. Если
же в основании пирамиды лежит че-
тырехугольник, то она называется
четырехугольной пирамидой.
Тело, изображенное на рисунке
справа внизу, называется призмой.
Каждое ребро верхнего основания
имеет параллельное себе в нижнем
основании призмы.
60. Расположите 6 спичек так, чтобы каж-
дая соприкасалась с четырьмя другими.
61. Из 10 спичек получите нуль.
Пирамиды
Призма
62. Доказать "на спичках", что 9 без 3 равно
четырем, all без 3 равно шести.
63. Переложить 5 спичек так, чтобы по-
лучилось два квадрата.
64. Переложить эти спички так, чтобы в каждом горизон-
тальном ряду было: а) по 4 спички; б) по 6 спичек.
65. При помощи двух спичек, не ломая и не разрезая их,
построить квадрат.
66. Из 9 целых спичек составить 5 квадратов.
67/Из 16 спичек составлено 4
квадрата. Как из тех же 16 спичек
составить 5 таких же квадратов?
68. Переложить 3 спички так, чтобы по-
лучилось 3 квадрата.
69. На этих весах, состав-
ленных из 9 спичек, требуется
переложить 5 спичек так, что-
бы весы оказались в равновесии.
7О. Был скучный осенний вечер. Дедушка соб-
рал вокруг себя внучат и сказал: "А не рассказать
ли вам, ребятки, сказочку о пастухах и разбойниках?" - "Расскажи,
милый дедуся, расскажи!" - запрыгали дети. "Ну, слушайте," - при
этих словах дедушка взял 5 спичек и положил их на стол так:
В каждую руку он взял еще по одной спичке и
начал: "Пять овец (дедушка показал на 5 спичек) 2 3 4 5
паслись на лугу, а в лесу находились два разбойника < • • . •
(он показал две спички в руках). Разбойники украли
овец одну за другой (с этими словами дедушка взял I I I I I
1-ю спичку левой рукой, 5-ю правой, 2-ю левой, 4-ю
правой и 3-ю левой). В это время пришел пастух и разбойники
отпустили овец обратно (дедушка выложил 1 спичку из правой руки,
1 спичку из левой, 1 спичку из правой, 1 - из левой, 1 - из правой).
Пастух удалился, и разбойники опять забрали одну за другой всех
овец (и дедушка начал брать спички, как и прежде, сначала левой
рукой). Но в это время пришли солдаты, и разбойники убежали,
оставив овец в лесу. "Дедушка открыл руки, и в самом деле: в одной
руке у него было 5 овец, в другой 2 разбойника. л
Как это случилось? :-
71. Переложить 15 спичек так, чтобы получилась сетка.
72. Отнимите от 7 спичек 5 спичек так, чтобы осталось пять.
73. Спички лежат в двух кучках. Если из первой кучки переложить
2 спички во вторую, то во второй спичек будет в 5 раз больше, чем в
первой. Если же из второй кучки переложить в первую 5 спичек, то
в первой будет в три раза больше, чем во второй.
Сколько спичек в каждой кучке?
VII
Игры
и забавы
А Б В
Детям эта забава очень пон-
74. Однажды дядя сказал детям: ’’Хотите, покажу вам, как в турец-
кую войну наши матросы взорвали турецкий мост и турецкую баш-
ню." Дети обрадовались и немедленно изъявили согласие. Дядя
составил ("сплел") из спичек мост
(А) и две башни (Б и В) и, переплетя
их, положил на пепельницу. Затем
он поджег сначала мост, а затем и
башни возле того места, где пересе-
кались концы спичек ( д, е). Как
только пламя достигло точки пере-
сечения, все спички взлетели вверх.
равилась, и они хотели попробовать зажигать спички сами, но дядя
им сказал: "Милые детки, пусть вам эту забаву показывают взрослые,
но сами вы никогда не играйте со спичками, так как может случиться
пожар, а вы знаете, какое это великое бедствие для всех."
Умные дети послушались дядю и никогда не баловались со
спичками.
75. Два мальчика придумали такую игру. Они поочередно
произносили произвольные числа (не больше 10). Эти числа склады-
вались, и победителем считался тот, кто первым произносил число
сто.
Спички для описываемого опыта удобнее брать плоские, а не
обычные, которые могут легко сломаться..
Поставьте себя на место одного из мальчиков. Как сделать так,
чтобы всегда оставаться победителем?
76. Мальчик, сидя за столом перед зеркалом, вздумал начертить на
бумаге фигуру, изображенную на рисунке слева.
При этом он мог видеть в зеркале только отражение
листа бумаги со своим рисунком, так как пишущая
рука была загорожена от глаз мальчика картонной
папкой. К великому изумлению мальчика, эта, каза-
лось бы, легкая затея удалась не сразу: он долго не
мог начертить желаемой фигуры. Попробуйте и вы
сами убедитесь в трудности затеи.
77. Вырезать из этой фигуры такую часть, что-
бы приложив ее к оставшейся части, вы получили
бы внутри фигуры полный квадрат.
78. Как зайцы нашли свои уши.
Однажды неведомо как зайки ушки потеряли.
Как же быть без ушек серым? Делать что в такой
печали?
Тотчас зайки побежали, только лапки засверкали, по про-
талинкам, по кочкам... Вдруг под низеньким кусточком часть про-
пажи отыскалась! Трое ушек перед ними, перед зайками моими.
Впрочем, зайки не тужили, трое ушек разделили и с ушами снова
стали: с парой ушек каждый зайка!
Как зайки разделили ушки? Не нарисуете ли вы трех заек так,
чтобы у каждого зайки было по два уха, а у всех трех вместе только
три уха?
79. Как собаки испугались
На лугу, у копны сена, лежали две собаки. Они то кувыркались,
то нежились на солнышке. В тот момент, когда они, играя, приняли
положение, изображенное на рисунке
справа, раздался оглушительный свист.
Собаки моментально приняли другое
положение (бегущих собак ) и
бросились бежать.
Изобразите бегущих собак, до-
полнив несколькими черточками рису-
нок и стерев некоторые из имеющихся
на этом рисунке линий.
80. Птичка и егоза-мушка
Под крылышко птичка головку свернула:
Уставши летать, она сладко заснула.
Как вдруг зажужжала вблизи стрекоза;
Пичужка открыла спросонья глаза.
К пичужке приблизилась мушка-плутовка,
Пичужка проснулась, подняла головку.
А мушка летала, как будто дразня:
"Хоть ты и ловка, а не словишь меня!"
И долго вкруг птички шалунья летала,
♦ Рисунки, подобные тем, которые приложены к этому рассказу,
по утверждению археологов, встречаются на весьма древних
памятниках персидской архитектуры.
А птичка следила и глаз не спускала.
"Постой же, я шуток таких не люблю, -
Не тронувшись с места тебя изловлю!" -
Подумала птичка - и цап! Через миг
Несчастную мушку час смертный постиг!
"За шутки ты мне головой заплатила," -
Сказала ей птичка и вмиг проглотила.
И так, егозу наказавши достойно,
Заснула пичужка опять преспокойно.
1) Нарисуйте птичку спящую.
2) Нарисуйте птичку проснувшуюся.
3) Нарисуйте птичку в тот мо-
мент, когда она следит за мушкой.
4) Нарисуйте птичку в тот мо-
мент, когда она готовится
схватить мушку.
5) Нарисуйте птичку в тот мо-
мент, когда она схватывает мушку
и проглатывает ее.
6) Нарисуйте птичку опять за-
снувшую.
VIII
Решения
и ответы
1. Это легко сделать, если одно лицо возьмет свое яблоко вместе с
корзиной.
2. Дело в том, что завтракали только три лица: дед, его сын и внук,
т.е. два отца и два сына.
3. Каждая богомолка прошла 60 верст.
4. У 4-х палок 8 концов, у 5-ти палок 10 концов, у 5-ти палок с
половиной 12 концов, так как у половины палки два конца.
5. Напишите римскими цифрами 20 (XX), под ними - арабскими
цифрами 88 и произведите вычитание:
XX
-88
22
6. Ошибка в делении: неверно взята цифра частного- вместо 4 надо
было взять 5, так как остаток делится на 8; ошибка в проверке
деления, т.е. в умножении: цифра, показывающая число десятков
(32), написана под цифрой, выражающей число единиц (8).
7. 111, 619, 689, 818,888,986 и др.
8. Переверните данное вам число и вы получите 99 - число, равное
сумме прежнего числа 66 и его половины 33. «
9. См. предыдущее решение.
10. Изобразив число 12 римскими цифрами (XII) и "разрезав" его
пополам горизонтальной черточкой по возможности на две равные
части, вы получите в верхней половине запись числа 7 римскими
цифрами (VII).
11. Задача решается так же, как и задача 10: разделите число 188
пополам горизонтальной черточкой.
12. Сумму 300 рублей должны заплатить помещику те три брата,
которым принадлежали три здоровые ноги осла, потому что осел
бежал только на здоровых ногах.
2
0 13. Мастер взял два крайних камня от попереч-
ной перекладины креста и кроме того переставил
2 3 4 3 2 вниз верхний камень (1).
0 0 0 0 0
0 5 14. Эту задачу надо решать с конца. После
Q g третьего перехода у мужичка было 8 копеек, а до
третьего перехода 4 копейки (8:2=4). Но перед
® 7 этим он отдал цыгану 8 копеек. Следовательно,
0 8 после второго перехода через мост у мужика было
д 12 копеек (4+8=12), а до второго перехода - 6
копеек (12:2=6). Перейдя мост в первый раз,
®1 мужик отдал цыгану 8 копеек. Следовательно,
после первого перехода через мост у него было 14
копеек (6+8=14), а до первого перехода (т.е. первоначально) у
мужика было 14:2=7 копеек.
После 1-й, 2-й и 3-й кражи лакей расставлял бутылки так, как пока-
зано на рисунке.
16. Дайте каждому мальчику по яблоку, а одно яблоко разрежьте
на 6 равных частей и дайте каждому мальчику по одной дольке
разрезанного яблока.
17. Пять яблок замените 10-ю половинками, а каждое из 2 осталь-
ных яблок разрежьте на 5 равных частей. Таких частей получится
всего 10. Каждый мальчик получает по половинке и по j яблока.
18. У старшего брата на две груши больше, чем у младшего, так как
в задаче сказано, что если старший отдаст 1 грушу младшему, то у
обоих братьев груш станет поровну. Если же младший брат отдаст из
своей доли 1 грушу старшему брату, то у старшего брата будет на 4
груши больше (у него было на 2 груши больше, да еще 1 грушу дал
ему младший, но у младшего стало на 1 грушу меньше, стало быть
разница будет 2 +1 +1 = 4), чем у младшего. Но известно, что в этом
случае у одного из братьев груш окажется вдвое больше, чем у друго-
го. Следовательно, эти 4 груши и есть одна из половин груш старшего
брата, или | всех груш. Значит, у старшего брата стало 8 груш, а у
младшего 4 груши. Но последний отдал 1 грушу своему брату. Сле-
довательно, прежде у младшего брата было 4+1 =5 груш, а у старшего
брата 5+2=7 груш.
19. Младший брат просит у старшего брата 8 копеек, утверждая,
что тогда денег у них будет поровну. Следовательно, у младшего брата
на 2x8=16 копеек меньше, чем у старшего брата. Если же младший
брат не только не получит 8 копеек от старшего брата (чтобы у них
было поровну), но еще отдаст 8 копеек старшему брату, то у послед-
него денег станет вдвое больше, т.е. уже не на 16 копеек, а на 32
копейки. Следовательно, одна половина денег старшего брата нам
известна. Значит, у старшего брата было 56 копеек, а у младшего 40
копеек.
20. Деду 121 - 44 = 77 лет. Так как отец на 28 лет старше сына, то
сыну (44 - 28): 2 = 8 лет. Следовательно, отцу 44 - 8 = 36 лет.
21. Напомним, что 1 аршин =16 вершков = 28 дюймов. Выразив
длину бревна, равную 11 аршинам, в вершках (16x11=176 вершков)
и разделив эти 176 вершков на общее число вершков и дюймов в 1
аршине (16+28=44), получим, что меньшая часть бревна равняется 4
аршинам.
22. Четыре девочки и 3 монеты.
23. Десять галок и 6 берез.
24. Занятых клеток было втрое больше, чем незанятых. Узнаем,
сколько у Коли и Пети было шашек на доске, для чего делим 64 на 4
(части). Полученное число 16 и есть общее количество шашек. У
Коли было двумя шашками больше, чем у Пети. Следовательно, если
бы не эти 2 шашки, то шашек у мальчиков было бы поровну (16 - 2 =
14, 14 : 2 = 7) - по 7 шашек.. Но у Коли на 2 шашки больше, т.е. у
него 7+2=9 шашек, а у Пети 7.
25. Трое съели 3 хлебца. Следовательно, каждый съел по 1 хлебцу.
Поэтому тот крестьянин, у которого был 1 хлебец, не получает ниче-
го, а все 5 копеек должны достаться другому крестьянину, у которого
было 2 хлебца.
26. Весь запас лепешек, съеденный двумя работниками и про-
хожим, стоит 7x3=21 копейку. Значит, каждая лепешка стоит 21: 7
= 3 копейки. Работник, у которого было 4 лепешки, израсходовал
3x4=12 копеек, из них 7 копеек на себя, а остальные 5 копеек он
должен получить из уплаченных прохожим денег. Другой работник,
у которого было 3 лепешки, израсходовал 3x3=9 копеек, из них 7
копеек на себя, а остальные 2 копейки он должен получить с прохо-
жего.
27. Десять копеек следует разделить так же, как в предыдущей
задаче. Одна женщина должна получить 3 копейки, а другая 7 копеек.
28. Сначала переправились через реку оба мальчика. Один из них
остался на том берегу, а другой пригнал лодку назад. Затем переп-
равился через реку 1 землекоп, а бывший на том берету мальчик
пригнал лодку обратно, взял другого мальчика, и они оба переп-
равились через реку. Обратно вернулся только один мальчик и вы-
шел на берег, а через реку переправился второй землекоп.
Так переправа продолжалась до тех пор, пока все землекопы не
оказались на другом берегу.
29. Переправа совершается так:
1) туда - мужик и коза, обратно - один мужик;
2) туда - мужик и волк, обратно - мужик и коза;
3) туда - мужик и капуста, обратно - один мужик;
4) туда - мужик и коза.
/ О О О О О О
30. Вот как расставил в первый раз табу- О О
ретки Ваня: О О
О О
О О О О
Вот как расставил табуретки во второй раз О О
Петя: О О
О О О О
А вот как они расставили табуретки в
последний раз:
ООО
О
0 О
О Q
О
ООО
31. Если нижнюю руку продеть сквозь петлю А, то тогда, потянув
руки назад, можно освободиться от веревки, прикрепленной к стене.
32. Покупка Вани заключает в себе 1 часть, покупка Пети 5 частей,
а покупка Коли 25 частей. Всего получается 31 часть. Узнаем, чему
равна 1 часть (Вани). Для этого разделим 2 рубля 48 копеек на 31.
Полученное число (8 копеек) и есть стоимость покупки Вани. Петина
покупка стоит 8 х5 =40 копеек, а Колина - 40 Х5=200 копеек =2 рубля.
33. Если стоимость собаки принять за 1 часть, то стоимость коровы
надлежит принять за 4 части, стоимость 2 коров - за 8 частей, а
стоимость лошади - за 16 частей. Узнаем, чему равна 1 часть. Для
этого разделим 200 рублей на (1 +8 +16)=25 частей. Полученное число
(8 рублей) и есть сумма, затраченная на покупку собаки. На покупку
коровы было затрачено вчетверо больше, т.е. 8x4=32 рубля, а на
покупку лошади вчетверо больше, чем на покупку коровы, т.е.
32x4=128 рублей.
34. 1 верста.
35. 105 рублей и 135 рублей.
36. 25 рублей.
37. За 2 часа 55 минут.
38. В числе 84 заключается столько же полных десятков, сколько
и двоек ( по одной двойке на каждый десяток). Поэтому для того,
чтобы узнать, сколько лет деду, надо 84 разделить на 10+2=12. По-
лученное число 7 означает 7 частей (т.е. 7 десятков и 7 двоек), или 70
+ 14 лет. Значит, деду 70 лет.
39. Один спал j суток, или- года, т.е. проспал треть своей жизни:
72:3 = 24 года. Другой спал i суток, или | года, т.е. проспал четверть
своей жизни: 72: 4 = 18 лет.
40. В момент рождения сына отцу было 34 года. Теперь отец втрое
старше сына, т.е. число лет сына составляют 1 часть, а число лет отца
3 части, т.е. 34 года составляют 2 части, одна же часть составляет 17
лет. Следовательно, отец только тогда станет втрое старше сына,
когда ему исполнится 17x3=51 год, а сыну 17 лет.
41. Узнаем, скольким частям равняется проигрыш в каждой
партии. В первой партии проигрыш равен 1 части, во второй - 4
частям, в третьей - 16 частям и в четвертой - 64 частям (всего
1+4+16+64=85 частей).
Выясним теперь, чему равна 1 часть проигрыша. Для этого раз-
делим 255 на 85. Полученное число (3 ореха) и есть проигрыш в
первой партии. Узнать проигрыш в остальных партиях не составляет
труда.
42. В момент рождения внука деду было 42 года. Вдвое старше
своего внука дед будет тогда, когда число его лет удвоится, т.е. когда
деду исполнится 42x2=84 года, а внуку 42 года. Теперь внуку 14 лет
и до 42 лет ему недостает 28 лет. Значит, дед будет вдвое старше внука
через 28 лет.
43. В первый день Коля поймал 1 часть мух, во второй тоже 1 часть,
в третий день 2 части и в четвертый день - 4 части. Разделив 216 на
1+1+2+4 =8 частей, мы узнаем, что в первый день Коля поймал 27
мух.
44. Часовая стрелка станет на старое ( правильное) место, когда
отстанет на 12 часов (на циферблате 12 часовых делений). В одном
часе 60 минут, в 12 часах 720 минут. Следовательно, сколько раз 6
частей содержится в 720, через столько дней часовая стрелка вернется
на старое место, т.е. 720 :6 = 120 дней.
45. Всё сыновья получили орехов поровну. После того как три сына
съели вместе 15 орехов, оставшееся у них количество орехов стало
равно всему количеству орехов у двух остальных сыновей. Следова-
тельно, съеденная часть (15 орехов) равнялась числу орехов, пред-
назначенных одному сыну. Значит, у пяти сыновей было всего 75
орехов (15x5).
46. Старшему сыну 8 лет, второму сыну 6 лет, третьему 4 года и
четвертому 2 года, а всем вместе 20 лет. Через каждый-год количество
лет, прожитых отцом, увеличивается только на 1 год, а количество
лет, прожитых четырьмя детьми, на 4 года. Нетрудно подсчитать, что
через 5 лет отцу исполнится 40 лет, а всем детям вместе - столько же.
47. Возьмите произвольное число, обозначающее количество
дней, отработанных первым работником, и решайте далее в соот-
ветствии со сказанным в задаче, и у вас всегда будет получаться в
ответе, что первый работник заработал 1 копейкой больше второго.
48. В то время как червячок проползет 28 дюймов (или 16 верш-
ков) , паук пробежит 28 вершков, вдвоем же они пройдут одновремен-
но 28+16=44 вершка. Разделив 33 сажени, или 1584 вершка, на 44,
мы узнаем, что червячок проползет до момента встречи 36 аршин (12
саженей) и до бани он не доползет 21 сажень.-
49. Возраст Сережи (в годах) содержит 1 часть, возраст Вани - 3
части, а возраст папы - 9 частей. Значит, возраст папы на 8 частей
больше возраста Серёжи. В задаче сказано, что папа на 40 лет старше
Сережи. Разделив 40 на 8, узнаем, что Сереже было 5 лет, Ване 15
лет, а папе 45 лет.
50» Длина бульвара равна 108 +69 =177 шагам. Число насчитанных
деревьев равно 37+23=60. Число деревьев на расстоянии 177 шагов
составляет 60 - 1 = 59 (одну и ту же липу, от которой начали отсчет,
мы сосчитали дважды). Следовательно, расстояние между двумя со-
седними липами равно 177 :59 = 3 шагам.
51. Двадцать лет назад (13+7) дядя был вдвое моложе, чем теперь.
Следовательно, теперь дяде 40 лет.
52. Уходя из дому, я завел свои стенные часы и пустил их. Благо-
даря этому я смог узнать, сколько времени был в отсутствии. Если из
этого времени вычесть то время, которое я пробыл у товарища (а оно
известно), то получится время, потраченное на ходьбу в оба конца.
62
Разделив его пополам, я узнаю, сколько времени мне понадобилось,
чтобы добраться от товарища до своего дома. После этого остается
только прибавить это время к тому, когда я вышел от приятеля.
53. Каждый час велосипедисты сближались на 100 верст. Следова-
тельно, они встретились через 3 часа (300 : 100 = 3). Так как муха
вылетела одновременно с велосипедистами и летала, пока они не
встретились, ясно, что она летала в продолжении 3 часов, пролетая
каждый час по 100 верст. Всего она пролетела 300 верст.
56. Чтобы "угадать” задуманное число, которое находится, как вам
сообщили, в 1-м, 2-м, 3-м и 5-м рядах, сложите числа, набранные под
каждым из этих рядов, т.е. 1 +2+4+16=23. Таким же образом можно
угадать любое другое задуманное число. Вы можете составить "вол-
шебную таблицу", заменив числа от 1 до 31 различными (мужскими
или женскими) именами.
57. Сумма ударов часов равняется удвоенной сумме чисел ряда 1,
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 и 12. Вычисляем эту сумму по выведенному
правилу: 1+12=13,13x12=156. Делить эту сумму на 2 в этой задаче
не следует, так как результат все равно пришлось бы удвоить. Таким
образом, за сутки часы пробьют 156 раз.
58. Число журавлей в стае равно сумме чисел ряда 1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8, 9, 10, 11, 12,13, 14 и 15. Эта сумма равна [(1+15)Х15]:2=120.
59. 78 (см. решения предыдущих задач).
60. Шесть спичек следует расположить следу-
ющим образом: сначала из 3 спичек построить тре-
угольник, затем из 3 других спичек сложить другой
треугольник и наложить второй треугольник на пер-
вый так, чтобы получилась фигура в форме
шестиугольной звезды.
я- ПУЛА
“• IV IV VI VI
1Л Л1
“• I 64IV VI
— IV VI
IV VI
а б
65. Две спички следует положить на угол стола так, чтобы края
стола были двумя сторонами квадрата.
66.
70. После того, как дедушка выложит 1 спичку из правой руки, 1
из левой, 1 из правой, 1 из левой и 1 из правой (разбойники отпустили
овец), зрители полагают, что в каждой руке у него находится по одной
спичке. На самом деле в этот момент у дедушки в левой руке нахо-
дятся 2 спички. В этом и заключается весь фокус задачи.
71.
7 спичек
73. 4 и 8 (см. решение задачи N 19).
75. Вы выиграете, если, называя очередное число, постараетесь
сделать так, чтх>бы назвать число 89 выпало вам. А для этого вам
необходимо постараться устроить так, чтобы вы, а не ваш соперник,
называли числа 12,23,34,45,56,67,78 и, наконец, 89. В этом случае,
какое бы число (не больше 10) ни прибавил ваш товарищ к 89, вы
будете иметь возможность закончить игру торжествующим возгла-
сом: "Сто!"
76. Если ваша попытка нарисовать фигуру, изображенную на
рисунке, с соблюдением всех условий не увенчается успехом, то
воспользуйтесь следующим советом: рисуя фигуру, старайтесь за-
поминать направление проведенных вами линий и, глядя в зеркало,
не руководствуйтесь тем, что оно вам показывает.
3.Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров
77. Из фигуры А вырезается
часть а и прикладывается к
оставшейся части так, что полу-
чается квадрат Б (с квадратной
дырой посередине).
ДЛЯ ДЕТЕЙ
СТАРШЕГО ВОЗРАСТА
I
Задачи-шутки
1. Сколько концов у 5 палок?
У 5с половиной палок?
Убе четвертью палок?
2. а) Разделите полсотни на половину.
б) Разделите рубль на гривенник на
3. На лугу близ рощи паслись в течение 1 часа 2 одинаковые по
своим достоинствам лошади с совершенно одинаковым аппетитом.
Отличались они друг от друга только тем, что у одной из них хвост
был вдвое короче, чем у другой.
Какая из лошадей съела больше травы, если они начали и кончили
есть одновременно?
4. Захватив с собой несколько орехов, встаньте посреди комнаты и
очертите вокруг себя мелом круг лишь такой величины, чтобы вы
могли в нем поместиться, а затем попробуйте положить в каждый из
углов комнаты по ореху, не выходя из начерченного вами круга.
5. Три брата жили в одной комнате. Каждый из них имел свой
висячий замок и ключ, подходивший только к этому замку.
Как братья должны были запирать дверь своей комнаты, чтобы
каждый из них мог войти к себе в комнату, имея только свой ключ?
6. Как можно получить 4, отняв от девяти половину девяти?
7. Как разделить 1888 на две равные части, чтобы в каждой из них
получилась тысяча?
8. Богач, умирая, завещал все свое состояние лому монастырю,
который возьмется отслужить по нему столько заупокойных обеден,
чтобы число их составляло половину числа лет, которые остались
монастырю существовать после смерти завещателя. Один монастырь
взялся исполнить волю умершего.
Как он это сделал?
9. Из гавани французского города Гавра ежедневно ровно в пол-
день отправляется в Нью-Йорк почтовый пароход. Из Нью-Йорка
ежедневно и тоже ровно в полдень в Гавр отправляется такой же
почтовый пароход. На переход через Атлантический океан как в одну,
так и в другую сторону требуется ровно 7 суток.
Сколько пароходов встретит на своем Пути пароход, отплывший
из Гавра в понедельник 7 июля строго по расписанию, ровно в пол-
день?
10. а) Изобразите число 31 шестью (или пятью) тройками.
б) Изобразите число 100 четырьмя одинаковыми цифрами.
11. На лесопильном заводе машина отпиливает каждую минуту от
бревна кусок длиной в одну десятую аршина.
За сколько минут такая машина распилит бревно длиной в 1
аршин?
12. Двум чудакам-американцам надоело играть на бегах, и они
вздумали держать друг с другом следующее пари: их прекрасные
скакуны должны пробежать от дома 2 версты до берега реки, но
выигрывает пари тот, чья лошадь придет к реке не первой, а послед-
ней. Приготовившись, владельцы сели на своих лошадей, но никто
из них не решался тронуться с места из боязни проиграть. Долго
стояли они так, не зная, как выйти из этого затруднительного поло-
жения. Видя их беспомощность, один из стоявших поблизости зрите-
лей подошел к ним и что-то шепнул каждому из них. Владельцы
слезли с лошадей, потом снова сели в седла и во весь дух помчались
к реке. После этого один из них выиграл пари.
Что посоветовал владельцам лошадей зритель и как могло быть
выиграно пари при соблюдении изложенных выше условий?
II
Забавные
исчезновения
и остроумный
дележ
13. Однажды хитрый цыган предложил бедному мужичку легкий
способ быстро разбогатеть. Мужичок поверил цыгану и поплатился
за это: он не только не разбогател, но и лишился даже тех денег,
которые у него были. Спустя некоторое время наш мужичок случайно
встретил около того же моста цыгана и задумал перехитрить его.
"Знаешь," - сказал мужик,-" я хочу еще раз попытать счастья, только
теперь давай условимся иначе: каждый раз, когда я перейду мост, я
буду отдавать тебе только 4 копейки." "Ладно," - согласился цыган,
-" но тогда и твои деньги будут увеличиваться не вдвое, как прежде,
а лишь в полтора раза." Мужик согласился и пошел через мост, а
цыган стал его дожидаться. Каждый раз, когда он возвращался к
цыгану, его деньги увеличивались в полтора раза, и мужичок акку-
ратно уплачивал цыгану обещанные 4 копейки. Перейдя мост в пятый
раз и отдав цыгану 4 копейки, он решил посмотреть, сколько денег у
него стало. Подсчитав наличность^ мужичок увидал, что у него на 4
копейки больше половины того, что было первоначально.
Сколько денег было у мужика вначале? Получил ли он на этот раз
прибыль или остался в убытке?
14. Две торговки принесли на базар яблоки и решили, сложив их
вместе, торговать сообща. У каждой из них было по 30 яблок. Первая
собиралась продавать за копейку пару яблок, вторая - за копейку 3
яблока. Первая рассчитывала выручить от продажи 15 копеек, вторая
-10 копеек, а обе вместе - 25 копеек. Сложив яблоки в одну корзину,
они решили продавать 5 яблок за две копейки, рассуждая, что если
одна продаст на копейку 2 яблока, а другая на копейку 3 яблока, то
это вее равно, что продать за две копейки 5 яблок. Распродав яблоки
по две копейки за пяток, торговки стали подсчитывать выручку. Они
очень удивцлись, когда насчитали всего 24 копейки. Торговки стали
проверять яблоки по пяткам и насчитали 12 пятков (т.е. 5x2 = 60
яблок, как и было), сосчитали 12 раз по 2 копейки. "Куда же девалась
копейка?" - думали они.
Помогите найти недостающую копейку.
15. Три торговца, не желая отбивать друг у друга покупателей,
решили продавать свои апельсины по одинаковой цене. У одного
торговца было 50 апельсинов, у другого 30, у третьего только 10.
Торговцы условились, что цену можно изменять, лишь бы продажа
одновременно производилась у всех трех торговцев по одной и той же
цене. Когда весь товар был распродан, то оказалось, что каждый из
торговцев выручил за свои апельсины одинаковую сумму, а именно
50 копеек.
Как и по какой цене они должны были продавать апельсины?
16. Как разделить поровну 5 яблок между шестью мальчиками, не
разрезая ци одного яблока на 6 и более равных частей?
17. Дед, отец и сын встретили во время прогулки знакомого, кото-
рый спросил, сколько каждому из них лет. "Нам 131 год и 10 месяцев,"
- ответил за всех дед и важно зашагал вперед. Тогда их знакомый,
продолжая интересоваться их возрастом, спросил отца: "Ну, скажите
же, сколько вам лет?" "Мне вместе с сыном 57 лет и 2 месяца," -
отвечал отец, - "а сын на 19 лет и 10 месяцев моложе меня." Так
знакомому и не пришлось узнать, сколько лет каждому из них.
Сколько лет деду, отцу и сыну?
18. *Охотник, проголодавшись на охоте, обратился к двум пасту-
хам с просьбой покормить его. Посоветовавшись, пастухи приняли
его обедать. Один пастух имел три кушанья, а другой - два. По
окончании обеда, во время которого все ели поровну, охотник, поб-
Задачи, подобные этой и следующим задачам ( № 19-21 и 23),
встречаются в рукописи XIII столетия, где рассказывается про
двух веселых немецких юношей Фирри и Тирри, которые
предлагают друг другу для решения, например, такие задачи: "В
Кельне было 3 брата, у которых было 9 сосудов вина различной
вместимости. Первый содержал 1 кварту (атат), второй - две
кварты, третий - три кварты, четвертый - 4 кварты и т.д. Раздели
вицо поровну между братьями, не смешивая содержимого
сосудов". Такая задача имеет большое сходство с задачами №
21 и 23, и все они могут быть сведены к одному из магических
квадратов.
лагодарив пастухов, дал им 50 копеек и ушел. Пастухи стали было
делить полученные деньги, но у них ничего не вышло. Пришлось
вернуть охотника, который, узнав, в чем дело, разделил между пас-
тухами 50 копеек так, что каждый из них получил ту долю, которая
ему причиталась.
Как охотник произвел дележ?
19. Однажды двое арабов сидели под пальмой и собирались обе-
дать. К ним подошел третий араб и предложил присоединить к обеду
свои припасы. Всю провизию разделили поровну на троих. У первого
араба был кувшин молока, у второго - один хлеб и у третьего - 6
фиников. По окончании трапезы третий араб сказал: "Так как каж-
дый из вас внес больше меня, вот вам 20 одинаковых медных монет,
разделите их между собой."
Как арабы разделят полученные деньги, если известно, что 4
кувшина молока стоя!1 столько же, сколько 3 хлеба, а один кувшин
молока ценится так же, как 36 фиников?
20. Ехали два крестьянина и нашли 3 бочонка: один восьмиведер-
ный с вином, другой - пятиведерный пустой, и третий - трехведерный
- тоже пустой. Крестьяне задумали поделить вино поровну тут же, на
месте, с помощью этих трех бочонков, не прибегая к иной посуде.
Как они разделили вино?
21. Сельский виноторговец призвал трех своих сыновей и велел
поделить им поровну между собой 7 полных бочонков с вином, 7
таких же бочонков, наполненных вином наполовину, и 7 таких же
бочонков, но пустых.
Как сыновья могут поделить вино и бочонки, чтобы каждому
досталось и одинаковое количество вина, и одинаковое число бочон-
ков, если переливать вино из одного бочонка в другой нельзя?
22. На скотном дворе гуляли гуси и поросята. Хозяин двора и его
сын вышли на двор, посмотрели на живность и пошли в поле. По
дороге сын и спрашивает: "Папа, сколько у нас на скотном дворе гусей
и сколько поросят?" "А вот угадай-ка сам. Если считать по головам,
то на дворе 25 голов, а если по ногам, то 70 ног."
Сколько было гусей и сколько поросят?
23. Хозяйка в продолжение поста накопила два горшка масла: один
в 8 фунтов, другой в 3 фунта, а третий горшок в 5 фунтов остался у
нее пустым. Перед праздником хозяйке понадобилось одолжить 6
фунтов масла соседке.
Как она это сделала, если меркой могли служить только те же три
горшка?
24. Помещик нанял две партии крестьян и обещал по окончании
работы дать каждой партии по 5 мер овса. Когда работа была окон-
чена, помещик велел отдать в распоряжение работавших крестьян 3
мешка: один мешок с 10 мерами овса, а два других, вместимостью 7
мер и 3 меры, пустые. Других мешков или других емкостей у крестьян
не было, однако они разделили овес так, что каждая партия понесла
в деревню по 5 мер овса.
Как крестьяне произвели этот дележ?
25. В сельской школе учится столько мальчиков, сколько и дево-
чек. Однажды учитель принес в класс 234 ореха и разделил их:
каждому мальчику досталось по 5 орехов, а каждой девочке - по 4
ореха. Но так как девочки обиделись на такую несправедливость,
учителю пришлось еще раз принести с собой орехи и разделить их так,
чтобы в конце концов всем досталось поровну, а именно по 6 орехов.
Сколько орехов принес учитель во второй раз?
Ill
Задачи,
требующие
большей
сообразитель-
ности и более
сложных
вычислений
А) Целые числа
26. В школе учатся 13 детей. У мальчиков столько зубов, сколько
у девочек пальцев на руках и на ногах.
Сколько в школе мальчиков и сколько девочек?
27. Колокольня высотой в 40 аршин состоит из двух ярусов. В
нижнем ярусе столько аршин, сколько в верхнем футов.
Какова высота каждого яруса?
28. Дорога длиной 2 версты от лесной сторожки до сельской церкви
шла сначала лесом, а потом открытым полем. Два сына лесника
Сергей и Николай вздумали измерить длину этой дороги с разных
концов. Сергей шел от сторожки и мерил палкой длиной в 1 сажень,
а Николай шел от церкви и мерил палкой длиной в 1 фут. На опушке
леса они встретились и к своему удивлению обнаружили, что у каж-
дого из них палка уложилась одинаковое число раз.
На каком расстоянии дорога тянется лесом?
29. К Володе на именины собрались гости - все его товарищи, и
каждый из них пришел со своей сестрой. Если бы три девочки
остались дома, то мальчиков (не считая самого Володи) было бы вдвое
Предполагается, что у каждого мальчика и каждой девочки по 32
зуба (как у взрослых людей).
больше, чем девочек. А если бы трое товарищей не пришли бы в гости,
то было бы наоборот.
Сколько гостей собралось у Володи?
30. У мальчика столько сестер, сколько и братьев, а у его сестры
сестер вдвое меньше, чем братьев.
Сколько всего братьев и сколько всего сестер в этой семье?
31. В один прекрасный воскрестный день, ровно в 6 часов утра,
гусеница вздумала взобраться с земли на вершину дерева высотой 12
футов. За день она успевала подняться на 4 фута, а ночью во сне
сползала вниз на 3 фута.
Когда гусеница достигнет вершины дерева?
32. Найти двузначное число, которое в 7 раз больше, чем число его
единиц.
33. Два массивных колеса, большое и маленькое, наглухо скрепле-
ны между собой и надеты на одну ось. Оба колеса поставлены на
особый двойной рельс. Известно, что когда колесо совершает один
оборот, оно проходит расстояние, равное длине окружности самого
колеса. Большое колесо, катясь по своему рельсу, совершило один
оборот и, стало быть, прошло расстояние от А до Б. Маленькое
колесо, наглухо скрепленное с большим, также должно совершить
только один оборот и пройти за это время расстояние от В до Г. Эти
Эта задача известна под названием "Баллада ретроградной
улитки" и помещена, в частности, во французском издании
"Математических развлечений" Эдуарда Люка.
расстояния, как видно из прилагае-
мого справа чертежа, совершенно
одинаковы. Но расстояние АБ -
длина окружности большого колеса,
а ВГ - длина окружности маленького
колеса! Выходит, что большая длина
равна меньшей?!
Где ошибка в наших рассуж-
дениях?
Б) Дробные числа
34. Племянник спросил дядю, сколько тому лет. Дядя ответил:
"Если к половине прожитых мной лет прибавить еще 10 лет, то по-
з
лучится число, которое составит j моего возраста."
Сколько лет дяде?
35. Отец привел сына на приемные экзамены в школу. Тот успешно
справился с вопросами по всем предметам. Осталась одна
арифметика. Учитель спросил: "Можешь ли ты сказать, сколько
учеников будет в твоем классе? Известно, что, если к числу учеников
прибавить еще столько, да еще полстолько, да четверть столько, да
тебя самого, получится 100 учеников."
Сколько учеников в классе?
36. Рассказывают, что некто при встрече с греческим философом
и математиком Пифагором спросил того: "Который час?" Пифагор
ответил: "До конца суток осталось дважды две пятых того, что уже
прошло от начала." Спрашивавший не сразу сообразил, в котором
часу произошла встреча.
Который был час?
37. Торговка продавала цыплят. Одна кухарка купила у нее
половину всех цыплят и еще полцыпленка. Другая кухарка купила
половину всех оставшихся цыплят и еще полцыпленка. Наконец,
третья кухарка купила половину всех оставшихся цыплят и еще пол-
цыпленка, после чего у торговки не осталось ни одного цыпленка.
Сколько у нее было цыплят, если все купленные кухарками цып-
лята были живыми!
38. Во время прогулки по бульвару я и мой товарищ решили
измерить длину бульвара Шагами, условившись считать наш шаг за
аршин. Начав измерение от ближайшей липы, мы пошли* от нее в
противоположные стороны. Я намерил до конца бульвара 51 аршин,
а мой товарищ - 48 аршинов. Кроме того, идя по бульвару, мы
считали липы, мимо которых проходили. Я насчитал 35 лип, а мой
товарищ - 33 липы. И он, и я начали считать с той липы, от которой
пошли.
На каком расстоянии друг от друга посажены липы?
39. Два крестьянина Петр и Иван пришли покупать избу, за кото- v
рую хозяин просил 38 рублей. Ни у того, ни у другого таких денег не
было. Тогда Петр, шутя, сказал Ивану: "Если бы ты дал - своих денег,
то я смог 0ы купить избу." Иван возразил на это: "Лучше ты, Петр,
3
дай мне твоих денег, тогда я смогу сделать эту покупку."
Сколько денег было у каждого из крестьян?
40. Араб, чувствуя близкую свою кончину, призвал трех своих
сыновей и сказал им: "Когда я умру, разделите между собой мое стадо
х „ 1 „1
верблюдов. Пусть старшин из вас возьмет всего стада, средний-р а
младший |." Когда араб умер, сыновья хотели разделить стадо, как
завещал отец, но у них ничего не вышло, так как в отцовском стаде
оказалось 19 верблюдов. На их счастье мимо проходил мулла,
слывший за умного человека. Узнав, в чем дело, он предложил
сыновьям занять у соседа на короткое время одного верблюда. Когда
этот верблюд был приведен, мулла спросил: "Сколько у вас теперь
верблюдов?" "Двадцать," - отвечали сыновья. Тогда мулла приказал
старшему сыну взять половину стада, т.е. 10 верблюдов, среднему -
четвертую часть, т.е. 5 верблюдов, а младшему - пятую часть, т.е. 4
верблюда. "Сколько верблюдов вы разобрали?" - спросил мулла.
Братья сосчитали и ответили: "Девятнадцать." "Ну, а оставшегося
верблюда верните соседу," - сказал мулла.
Все ли участники дележа рассуждали правильно и не заблуждался
ли кто-нибудь из них? . _
41. Три брата пришли на постоялый двор и спросили себе кар-
тошки. В ожидании, пока поспеёт ужин, братья заснули. Первым
проснулся старший брат и, увидав на столе блюдо с картошкой, съел
свою долю и опять лег спать. Немного спустя проснулся средний брат
и, не подозревая, что старший уже поужинал, а думая, что он начинает
есть первым, съел свою долю и тоже лег спать. Наконец, проснулся
младший брат и, рассуждая так же, как и второй, отсчитал свою долю,
съел ее и лег спать. После него на блюде осталось еще 24 карто-
фелины.
Сколько всего было сварено картошки и каким образом должны
разделить братья оставшиеся картофелины?
42. В Нью-Йорке каждые два часа происходит несчастный случай
со смертельным исходом и через каждую часа кого-нибудь аресто-
вывают.
Определите число несчастных случаев в Нью-Йорке за год и число
арестованных за сутки.
43. Когда о ком-нибудь хотят сказать, что он мало ест, говорят:
"Он ест, как птичка” Но такое сравнение весьма неудачно. В этом
можно убедиться на таком примере. Птичка (малиновка), которая
весит 21 золотник, в течение дня способна съесть такое количество
земляных червей (каждый из которых длиной в 1 дюйм, весит
золотника), что все они, будучи разложены на земле, вытянулись бы
на 2 сажени.
Каков вес червей, съедаемых птичкой за день?
Сравните его с весом самой птички.
44. Борода у человека растет, удлиняясь в неделю на у дюйма.
Предположим, что борода растет с постоянной скоростью на протя-
жении всей жизни человека.
Какой длины достигла бы борода у мужчины, который не брился
в течение 30 лет?
45. Сына спросили, сколько ему лет. Он ответил: "Когда отцу было
28 лет, то мне исполнилось лишь того числа лет, которые я прожил
теперь, когда стал вдвое моложе отца."
Сколько лет сыну теперь?
з
46. Ягодное решето весит фунта и стоит 16 копеек.
Почем за фунт следует заплатить за ягоды, чтобы покупатель не
потерпел убытка, принимая решето в общий вес с ягодами, т.е. платил
за решето не дороже, чем за ягоды?
47. Три брата разделили между собой 24 яблока так, что каждый из
них получил столько яблок, сколько ему лет. Младший брат, кото-
рому досталось меньше всех яблок, остался недоволен и предложил
братьям следующее: "Я оставлю себе только половину своих яблок,
а остальные разделю между вами поровну, а затем пусть сначала
средний, а потом и старший братья поступят также, как и я”. Братья,
не подумав, согласились... и прогадали: яблок у всех в результате
оказалось поровну. ♦
Сколько лет было каждому из братьев?
48. Ученик при решении задачи должен был умножить некоторое
число на 0,5 и к полученному произведению прибавить 3. Вместо *
этого ученик по ошибке разделил число на 0,5 и от полученного
частного отнял 3. Несмотря на такие ошибки он получил правильный
ответ.
Какое число встретилось ученику в задаче?
49. Даны два числа: 2 и 3. Какой знак следует поставить между
ними, чтобы получить число, большее двух, но меньшее трех?
50. В понедельник з час дня от берегов Камчатки к берегам Аляски
отправился пароход, делающий пр 25 верст в час. В 7 часов вечера
того же дня вслед за ним отошел парусник, развивавший среднюю
скорость, на меньшую скорости парохода. На полпути на пароходе
случилась поломка в машине. Простояв 2 часа без движения, он
двинулся дальше, но уже вдвое медленнее.
В какой день и час парусник догнал пароход, если весь путь до
Аляски и обратно пароход с исправной машиной мог бы пройти за 32
часа?
> 51. Из двух городов, Нижнего Новгорода и Вязников, расстояние
между которыми 330,66 верст, в один и тот же момент выезжают д$а
велосипедиста и мчатся навстречу друг другу, один со скоростью 5(F,7
верст в час, другой - 49,5 верст в час. С велосипедистом, выехавшим
из Вязников, в момент его отправления вылетает муха и летит тоже
навстречу нижегородскому велосипедисту со скоростью 100 верст в
час. Встретив велосипедиста, муха тотчас поворачивает назад и летит
навстречу первому. Повстречав того, она (все с той же скоростью)
летит обратно, пока не встретит снова второго велосипедиста. И так
муха летает от одного велосипедиста к другому до тех пор, пока
велосипедисты не встречаются. Тогда муха преспокойно садится на
спину одному из них.
Сколько верст успела пролететь муха до встречи велосипедистов?
52. Из деревни, расположенной у шоссейной дороги, выехал в го-
род крестьянин, проезжавший в час 6^ верст. Одновременно с ним в
том же направлении из другой деревни, отстоящей от первой на 9
верст, вышел его брат, который проходил за час 4^ версты. У одного
из братьев была собака, которая начала бегать от одного брата к
другому со скоростью 15 верст в час и продолжала так бегать до тех
пор, пока ехавший крестьянин не догнал брата.
Сколько верст успела пробежать собака? Зависит ли это рассто-
яние от того, кому из двух братьев (едущему или пешеходу) принад-
лежала собака?
53. Во время охоты собака погналась за зайцем, который находился
от нее на расстоянии 100 саженей. Зайцу удалось спастись от пресле-
дования. Во время завтрака на открытом воздухе охотники разго-
ворились, и один из них заявил, что ничуть не жалеет об убежавшем
зайце, так как, по его соображениям, собака все равно никогда не
догнала бы зайца, даже если бы бежала в 10 раз быстрее его. ’’Как
так?” - воскликнули в один голос его собеседники. - ’’Этого не может
быть!” - "Нет, все обстоит именно так, как я сказал," - возразил
охотник. - "Судите сами. Собаку отделяло от зайца расстояние в 100
саженей. Когда собака пробежит это расстояние, заяц, который бе-
жит в 10 раз медленнее собаки, успеет пробежать 10 саженей. Когда
собака пробежит и эти 10 саженей, заяц успеет продвинуться еще на
1 сажень. Когда собака пробежит эту сажень, заяц успеет пробежать
сажени и, стало быть, опять окажется впереди собаки на ~ сажени.
Рассуждая далее таким же образом, вы убедитесь в том, что заяц
всегда, хотя бы на очень небольшое расстояние, будет находиться
впереди собаки!"
Слушавшие охотники были поражены явной несообразностью, и
у них начался оживленный спор по этому поводу.
Правильно ли рассуждал охотник и, если нет, то почему?
1912
IV
Затруднитель-
ные положения
54. Дело было в Америке. Как-то раз подошли к реке англичанин,
негр и индеец, каждый со своей женой. Всем нужно было переп-
равиться на другой берег. В их распоряжении была только одна лодка
(да и то без гребца), способная вместить лишь двоих. Договорившись
между собой, мужчины решили было приступить к переправе, как
вдруг выяснилось, что ни одна из жен не желает переправляться в
лодке с чужим мужем или оставаться на берегу в мужском обществе
без своего мужа. Мужья призадумались, но все же сумели догадаться,
как выполнить желание своих жен.
Как они сумели переправиться через реку?
55. Товарный поезд из 26 вагонов приближается к станции желез-
ной дороги. Его нагоняет по тому же пути пассажирский поезд из 14
вагонов, который необходимо пропустить вперед. На станции в сто-
рону от главного пути отходит боковая ветка (тупик), который может
вместить только 13 вагонов. Хотя тупик и не вмещал целиком товар-
ный поезд, начальник станции сумел пропустить пассажирский поезд.
Как он это сделал?
Примечание. Поезда могут давать и задний ход.
56. По одноколейной железной дороге идут навстречу друг другу
2 поезда. В каждом из них по 18 вагонов. Разъезд, около которого они
встретились, может вместить только 9 вагонов и паровоз. Вследствие
А
’азъез,
такого затруднения у разъезда поезда остановились, так как
машинисты сначала не знали, как им быть. Но потом, маневрируя,
сумели разъехаться благополучно.
Как им это удалось? ’
57. По бурному морю мчится парусное судно. На нем несколько
пассажиров, среди которых два скотопромышленника - христианин и
турок. Скотопромышленники везут с собой по 15 быков каждый;
христианин везет быков бурой масти, а турок - черной. Вдруг
поднимается буря. Волны захлестывают судно и грозят потопить его.
Значительную часть груза необходимо срочно сбросить в море. Пас-
сажиры решают выкинуть за борт половину своего имущества. Каж-
дому скотопромышленнику необходимо расстаться с половиной
быков. Переговорив между собой они решают предоставить выбор
случаю: поставить всех быков в ряд и, отсчитывая по порядку от 1 до
9, бросать в воду каждого девятого быка до тех пор, пока на корабле
не останется только 15 быков. Скотопромышленник—христианин
исхитряется и расставляет быков так, что за бортом оказываются все
15 быков черной масти, а 15 быков бурой масти (т.е. его собственных)
остаются на судне.
Как были расставлены быки?
58. На полотне железной дороги стоят паровоз (П) и два вагона А
и Б в таком порядке, как это показано на рисунке. Требуется пере-
формировать этот короткий состав так, чтобы вагоны поменялись
местами (т.е. чтобы вагон А оказался справа, а вагон Б - слева). Для
этого имеется запасной путь. Но дело в том, что через запасной путь
перекинут неудачно построенный мост, под которым вагоны прохо-
дят свободно, а паровоз пройти не может из-за трубы, которая не
снимается и не наклоняется.
59. Железнодорожные ветки расположены так, что образуют с
главным путем треугольник. В одном из углов этого треугольника
имеется тупик, в котором может поместиться один вагон (начальное
расположение паровоза и двух вагонов А и Б показано на рисунке).
Вагон А
Тупик
Паровоз
Вагон Б
Главный путь
Требуется сцепить два вагона с паровозом так, чтобы они стояли на
главном пути в следующем порядке: вагон Б - паровоз - вагон А.
60. По шоссейной дороге ехали вместе домой два велосипедиста,
каждый со скоростью 15 верст в час. Когда им оставалось проехать
всего 40 верст, у одного из них сломался велосипед, и он вынужден
был отдать его в починку. Не желая прерывать своего путешествия,
они решили выйти из затруднительного положения следующим обра-
зом: отправиться дальше - один на велосипеде, другой пешком.
Спустя некоторое время велосипедист остановится, спрячет ве-
лосипед у шоссе и, оставив условную метку, отправится дальше пеш-
ком. Его товарищ, дойдя до того места, где спрятан велосипед,
продолжит свой путь на велосипеде и догонит пешехода, тут они снова
поменяются ролями и, продолжая в том же духе, закончат свой путь.
Каждый путешественник способен проходить пешком по 5 верст в час.
Где следует оставить велосипед в последний раз, чтобы оба путе-
шественника добрались до дома одновременно? Дает ли описанный
способ выигрыш во времени (если да, то какой) по сравнению с
передвижением пешком? Когда путешественники доберутся до дома,
если после поломки велосипеда они отправились в путь ровно в
полдень?
V
Любопытные
особенности
некоторых
чисел
и действий
с ними
61. Возьмите число 123456789 (которое, как видите, запомнить
совсем не трудно) и попробуйте умножить его (а) сначала на 9; (б)
потом его же на 18; (в) на 27; (г) на 36; (д) на 45; (е) на 54; (ж) на 63;
(з) на 72 и, наконец, (и) на 81. Умножив 123456789 на приведенные
выше девять чисел, вы получите девять произведений, которые
отличаются тем, что (1) Легко запоминаются; (2) каждое из них
получается из первого произведения другим, более простым спосо-
бом, чем непосредственное умножение.
В чем состоит этот более легкий способ?
62. Умножив одно и то же число 142857 на 2,3,4,5 и 6, вы получите
произведения, в которых легко заметите одну интересную особен-
ность .
В чем состоит эта особенность?
63. Число 2519 обладает любопытным свойством, которое вы легко
обнаружите, разделив это число на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
64. Напишите число, изображаемое первыми девятью цифрами,
начиная с 9 и до 1, и вычтите из него число, написанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Полученная разность обладает
таким же свойством, как уменьшаемое и вычитаемое.
В чем заключается это свойство?
При умножении на 7 получается произведение, не обладающее
этой особенностью, но тоже весьма любопытное.
65. Напишите любое трехзначное число (первая и последняя
цифры которого должны быть различными). Подпишите под ним
число, изображенное теми же цифрами, но в обратном порядке.
Вычтите из большего числа меньшее. Полученная разность обладает
такими свойствами, которые дают возможность угадать ее, не только
не зная первого числа, но и не глядя на самый ход действий: стоит
узнать лишь последнюю цифру этой разности. Поупражняйтесь на
нескольких примерах и постарайтесь подметить вышеупомянутые
свойства получающихся разностей.
Пояснение. 1) Возьмем, например, число 652. Число, изобража-
емое теми же числами, но в обратном порядке, есть 256. Вычитаем из
большего числа меньшее: 652 - 256 = 396. Зная последнюю цифру 6
(которую вы можете спросить у того, кто задумал число и производил
с ним действия), но не зная самого числа 652, вы должны угадать
полученную разность, т.е. 396.
2) Возьмем еще одно число, например, 580. Вычитать из него
придется число 085:580 - 85=495. Каким образом, зная только цифру
5, узнать всю разность 495?
66. Напишите любое трехзначное число (первая и последняя циф-
ры которого должны быть различными). Переставьте цифры этого
числа в обратном порядке и из большего числа вычтите меньшее.
После этого переставьте цифры в обратном порядке в полученной
разности, и сложите разность и ее "зеркальное отражение”.
Проделав несколько таких упражнений, постарайтесь подметить
любопытную особенность суммы, получаемой от таких действий с
любым трехзначным числом.
67. Произведите указанные действия:
12 х 9 + 3 =
123 X 9 4- 4 =
1234 х 9 + 5 =
12345 х 9 4- 6 = ИТ.Д.
Результат, который вы получите в каждом из этих случаев, отли-
чается особенностью, которая бросается в глаза.
68. Близкую (хотя и не совсем такую же) особенность вы обна-
ружите, выполнив следующие действия:
9 X 9 4- 7 =
98 х 9 + 6 =
987 X 9 + 5 =
9876 X 9 + 4 = ИТ.Д.
69. В старинных итальянских рукописях встречается любопытный
способ умножения многозначных чи-
сел, который известен под названием
мусульманского (или индусского)
метода . Предположим, что нам надо
перемножить числа 9347 и 258. Для
этого начертите на клетчатой бумаге
три ряда по четыре клетки в каждом.
Наверху напишите слева направо
цифры множимого 9, 3, 4 и 7, а слева
снизу вверх цифры множителя 2, 5 и
8. Проведя диагонали, как показано
на рисунке, можете начинать умно-
жение с любой цифры множимого на любую цифру множителя. По-
лучающееся произведение (двузначное число) следует вписывать в
соответствующий квадрат так, чтобы цифра десятков стояла в левом
отделении квадратика, а цифра единиц - в правом. Когда все клетки
окажутся заполненными, остается произвести сложение по направ-
лению диагоналей. В нашем примере получается произведение
2411526 (читай слева направо и вверх).
В настоящее время для школьников этот метод представляет инте-
рес как экскурс в прошлое.
Итальянский монах Лука Пачоли(около1445-1517гг.) в своем
сочинении ’’Сумма арифметики, геометрии, пропорций и
пропорциональности’’ приводит восемь методов умножения, из
которых первый (так называемый, берикуоколи - рубленная
котлета) теперь вошел во всеобщее употребление. Пятый метод
называется квадрилатеро, или умножением посредством
квадрата, приведен в этой 'задаче и, как и большинство
арифметических приемов, заимствован у индусов.
VI
Ряды чисел,
суммы которых
можно
получать,
не производя
сложения этих
чисел
Пояснение. Если вы вздумаете узнать, чему равна сумма чисел,
стоящих в ряду 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, то вы легко можете найти ее, не
складывая самих чисел.
Возьмите 8 карточек и нарисуйте на одной из них 1 кружок, на
другой 2 кружка, на третьей 3 кружка и т.д. Затем разложите эти
карточки в ряд по порядку, начиная с той, на которой нарисован 1
кружок. Сделав еще 8 таких же карточек, разложите их под первым
рядом в обратном порядке (т.е. под карточкой с 8 кружками
положите новую карточку с 1 кружком, под карточкой с 7 кружками
- новую карточку с 2 кружками и т.д.)
Нетрудно видеть, что наши два ряда образовали 8 столбиков по
две карточки в каждом. Сосчитайте, сколько кружков в каждом таком
столбике. Оказывается, что какой бы столбик мы ни выбрали, в нем
всегда 9 кружков. Число 9 есть сумма кружков на первой и последней
карточках в ряду.
Наши два ряда состоят из 8 столбиков, и в каждом столбике на
двух карточках в сумме 9 кружков. Значит, повторив 9 кружков 8 раз,
2-й ряд
9x8=72 кружка,
или (1 +8)х8=72 кружка.
Теперь уже совсем нетрудно узнать, сколько кружков в одном
ряду (первом или втором, безразлично). Для этого стоит лишь раз-
делить 72 кружка на две части:
72 : 2 = 36 кружков.
Следовательно,
1 +2+3 +4+5+64-7 +8 +9=36.
Посмотрим, что нам пришлось сделать для того, чтобы получить
сумму:
1) 8+1=9, т.е. сложить первое и последнее числа нашего ряда;
2) 9x8=72, т.е. полученную сумму умножить на столько, сколь-
ко чисел в ряду;
3) 72 : 2 = 36, т.е. произведение разделить пополам.
Все, что сейчас было сказано д складывании чисел такого ряда,
как 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7, можно легко
представить себе наглядно, если вос-
пользоваться клетчатой бумагой.
Возьмите на такой бумаге 7 рядов по 8
клеток в каждом и разделите такой пря-
моугольник на две {совершенно одина-
ковые ) части А и Б так, как показано на
рисунке жирной линией.Посмотрите
повнимательнее сначала только на
часть А, и вы увидите, что в ней в верх-
нем ряду находится 1 квадратик, во вто-
ром ряду - 2 квадратика, в следующем
ряду - 3 квадратика и т.д., а в последнем (нижнем) ряду - 7 квад-
ратиков. Таким образом, в части А содержится всего
1+2+3+4+5+6+7 квадратиков, т.е. как раз сумма чисел нашего
ряда. Чтобы узнать, чему равна эта сумма, можно, конечно, сложить
все эти числа, и тогда мы получим 28 Но сделать это не всегда бывает
легко и вот почему.
Представьте себе, что в нашем ряду находились бы числа от 1 до
500. Тотда пришлось бы складывать 500 чисел, а это, разумеется, и
долго, и скучно. Вместо этого проще поступить так: на нашем чер-
теже имеется 7 рядов по 8 Клеток, т.е. 7x8=56 клеток. В части А
клеток вдвое меньше (так как части А и Б совершенно одинаковы),
т.е. 56 : 2 = 28 клеток.
Такие числа, как 28, называются треугольными. Французский
математик Эдуард Люка приписывает происхождение этих чисел
наблюдению над полетом некоторых птиц (см. задачу 58 в
разделе "ДЛЯ ДЕТЕЙ СРЕДНЕГО ВОЗРАСТА").
Точно таким же образом можно узнать и сумму чисел от 1 до 500.
Для этого надо только выполнить следующие действия:
(500Х5О1):2=25250.
Это, конечно, гораздо короче, чем выполнять сложение.
Рассмотрим еще один пример.
Предположим, что вам надо поскорее сложить числа 2, 5, 8, 11,
14,17 и 20.
Этот ряд отличается от первого тем, что здесь каждое число
больше предыдущего на 3 единицы, а не на одну, как было в первом
примере.
Не смущайтесь: и в этом случае можно воспользоваться уже изве-
стным вам приемом.
1) Сложите последнее число с первым:
2+20=22.
2) Умножьте эту сумму на 7 (в новом ряду 7 чисел):
22x7=154.
3) Разделите полученное произведение на 2:
_154 |2_
14 77
14
-14
0
Попробуйте теперь проверить полученный ответ, сложив все
числа нашего ряда, и вы убедитесь, что решили задачу правильно и
притом достаточно быстро.
Решим теперь другую задачу.
Возьмем опять ряд чисел
2, 5,8, 11, 14, 17, 20, 23 и т.д.
В этом ряду числа идут, увеличиваясь на 3 единицы:
2-е число 5=2+3,
3-ё число 8=2+3+3,
4-е число 11=2+3+3+3,
5-е число 14=2+3+3+3+3
ит.д.
Отсюда видно, что любое число нашего ряда можно составить из
первого числа и одной, двух, трех и т.д. троек.
При этом заметьте следующее.
Чтобы получить, например третье число, надо к первому числу
прибавить 2 тройки. Чтобы получить четвертое число, надо к перво-
му числу прибавить 3 тройки. Чтобы получить пятое число, надо к
первому числу прибавить 4 тройки. Одним словом, чтобы получить
какое-нибудь число из нашего ряда, надо к первому числу прибавить
столько троек, сколько чисел находится в ряду перед этим числом.
Например, узнаем тринадцатое число в нашем ряду.
Для этого к первому числу, т.е. к 2, прибавим 12 троек, т.е. 36:
13-е число 2+36=38.
Или 24-е число:
24-е число 2+23x3=2+69=71.
Ниже вы найдете несколько задач, для решения которых можете
употребить новый прием, с которым только что познакомились.
70. Узнайте сумму всех целых чисел от 1 до 20. |
71. Узнайте сумму всех целых чисел от 1 до 100. *
72. Узнайте сумму всех целых чисел от 4 до 50.
73. Узнайте сумму всех целых чисел от 10 до 70.
74. Найдите сумму чисел 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15,17 и 19.
75. Найдите сумму чисел 7, 10,ЛЗ, 16, 19, 22, 25, 28 и 31.
76. Сколько ударов делают часы с боем с часу дня до 12 часов ночи?
77. Наводнение продолжалось ровно сутки. В первый час вода в
реке поднялась на 1 дюйм, во второй - на 2 дюйма, в третий - на 3
дюйма и т.д.
На сколько прибыла вода в реке за сутки?
78. Пароход, отойдя от пристани, прошел за первый час 25 верст.
Но так как ветер был попутный, пароход ускорял свой ход каждый
час на версту. На восьмом часу пути он шел уже со скоростью 32
версты в час.
Какое расстояние прошел пароход за 8 часов?
79. В крупных городах дома теперь различаются не по фамилиям
их владельцев, а по номерам, стоящим на каждом владении, причем
номера домов, находящихся, например, на левой стороне, все нечет-
ные (т.е. 1-й, 3-й, 5-й и т.д.), а номера домов на правой стороне -
четные (т.е. 2-й, 4-й, 6-й и т.д.).
Какова будет сумма номеров домов по левой стороне и сумма
номеров по правой стороне улицы, если всего домов на этой улице
200? (Номера домов начинаются с 1-го.)
80. Однажды умный бедняк попросил у скупого богача приюта на
две недели, причем сказал: "За это я тебе в первый день заплачу 1
рубль, во второй день - 2 рубля, в третий день - 3 рубля и т.д. Словом,
каждый день я буду прибавлять тебе по одному рублю, так что за один
89
четырнадцатый (последний) день я заплачу тебе 14 рублей. Ты же
будешь мне подавать милостыню: в первый день 1 копейку, во второй
- 2 копейки, в третий день - 4 копейки и т.д., увеличивая каждый день
свою милостыню вдвое." Богач с радостью согласился на такие ус-
ловия, которые ему показались выгодными.
Сколько барыша принесла эта сделка богачу?
Примечание, Сумму, которую должен заплатить богач, вы
вычислите, сложив милостыню, подаваемую за все дни (см. также
рассказ "Богач и бедняк" в разделе X).
81. Найдите двадцать пятое число в таком ряду, который начина-
ется с 3, а каждое последующее число в нем на 1 больше предыдущего.
82. Найдите двадцать первое число в таком ряду, который начина-
ется с 5, а каждое последующее число в нем на 2 больше предыдущего.
83. У меня в комнате окно было отворено с 2 часов дня. Я заметил,
что за первый час в комнату влетело 3 комара, за второй час - 5
комаров, за третий час - 7 комаров и т.д. В 9 часов вечера я закрыл
окно и хотел уснуть, но комаров в комнате оказалось так много и
кусались они так больно, что это оказалось невозможным.
Сколько комаров налетело в мою комнату?
VII
Волшебные
квадраты
84. В помещенном справа квадрате расставьте
цифры (по одной в каждой клетке) 0,1, 2,3, 4,5,
6,7 и 8 так,чтобы суммы чисел по любой горизон-
тали, вертикали и диагонали были одинаковы и
чтобы каждая из этих сумм равнялась 12.
85. В помещенном здесь квадрате
расставьте числа (по одному в каждой
клетке) 0, 1, 2, 3 и т.д. до-24
включительно так, чтобы суммы чисел
по любой горизонтали, вертикали и
диагонали были одинаковы и каждая из
этих сумм равнялась 60.
86. Волшебный квадрат, который
получился в предыдущей задаче (см.
"Ответы и решения" к задаче 85), поп-
робуйте разрезать на две части по любой вертикальной и горизонталь-
ной линии, и у вас в каждом случае получится новый магический
квадрат.
VIII
Игры
со спичками
87. Положите в ряд 10 спичек на одинаковом расстоянии друг от
друга. Требуется в пять приемов пере- h
ложить спички в кучки из 2 скрещен-
234 56789 10 ных спичек, наподобие римской
| I I I I I I I цифры X, перенося всякий раз очерёд-
I I I I I I I I ную спичку через две спички (уже
перекрещенные спички считаются за
две).
88. Пятнадцать спичек разложены в ряд. Требуется собрать их в 5
групп по 3 спички в
каждой, причем,
перекладывая по одной
спичке, каждый раз
переносить очередную
спичку через 3 спички.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
По мнению авторов ’’Забавной арифметики’’, прежде чем
приступать к решению задач этого раздела, не лишне
познакомиться со сведениями Сили освежить их в памяти),
приведенными в начале раздела ’’Игры со спичками’’ раздела
’’ДЛЯ ДЕТЕЙ СРЕДНЕГО ВОЗРАСТА” / - Примеч. ред.
89. Переложите эти 12 спичек так, чтобы вдоль
каждой стороны четырехугольника их лежало не
четыре, как сейчас, а пять штук.
90. Изображенные на рисун-
ке слева двенадцать спичек тре-
буется переложить так, чтобы
вдоль каждой стороны их было
(а) по 5; (б) по 6 штук.
91. Составьте из 6 спичек, 4 одинаковых равносторонних треу-
гольника.
92. Составьте из 9 спичек 3 полностью замкнутых равных четы-
рехугольника.
93. Составьте из 12 спичек 3 равных четырехугольника и два рав-
ных треугольника.
94. Составьте из 20 спичек два квадрата
так, как показано на рисунке справа. Затем
с помощью 10 спичек разделите внутрен-
ность большого квадрата (незаштрихован-
ную часть)
|на 5 частей,
одинако-
z2 21 — вых по
> ' 2 20 форме и ве-
-----з 19 - личине.
17--------
•---------5
16
8 9 10 11 12 13 14«
НИШ
95. Сосчитайте 22 спички, разло-
женные так, как показано на рисунке
слева, выбрасывая каждую седьмую
спичку. Начинать счет нужно с та-
кой спички, чтобы выброшенными
оказались все спички кроме той, которая лежит отдельно.
96. Сложите из спичек фигуру, изображенную на
рисунке слева, и отнимите 5 спичек так, чтобы оста-
лось 5 треугольников.
г 97. Разложите в ряд 8
спичек и, перекладывая одну спичку через
две, составьте в 4 приема 4 группы по 2
спички в каждой.
1 2 3 4 5 6 7 8
98. Петя и Ваня имеют перед собой на столе 30 спичек и играют
следующим образом. Каждый поочередно берет по нескольку (не
более 6) спичек. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку.
Игру всегда начинает Ваня.
Как он должен играть, чтобы выигрыш всегда оставался за ним?
99. Составьте из 18 спичек 6 равных четырехугольников и один (в
2 раза меньший) треугольник.
100. Положите и поднимите 15 спичек с помощью одной спички,
не прикасаясь рукой к поднимаемым спичкам.
101. Переложите у этой 12-конечной звезды 4
спички так, чтобы получился 4-конечный ге-
оргиевский крест.
102. В полученном георгиевском кресте (см. зада-
чу 101) переложите 8 спичек так, чтобы получился
крест, состоящий из 4 крестов.
103. Во вновь полученном кресте (см. задачу 102) переложить 8
спичек так, чтобы получилось 4 квадрата.
104. В звезде, изображенной на рисунке справа,
переложите 6 спичек так, чтобы получилось 3 рав-
ных и одинаково расположенных четыреху-
гольника.
105. В коробке находится несколько спичек.
Если раскладывать их по 3 спички в ряд, то останется
1 спичка. Если раскладывать по 4 спички в ряд, то
останется 2 спички. Если раскладывать по 5 спичек в ряд, то останется
3 спички. Наконец, если раскладывать по 6 спичек в ряд, то останется
4 списки.
Сколько спичек в коробке?
106. Вставьте по бокам коробка две спички, как
показано на рисунке справа, а между ними в рас-
порку поместите третью спичку, на которую над-
еньте переломленную пополам спичку.
Какая (правая или левая) спичка загорится
скорее, если поджечь надломленную спичку?
107. Поднимите 3 спички с помощью одной, не
прикасаясь рукой к поднимаемым спичкам.
108. В "памятнике”, составлен-
ном из 12 спичек (рисунокслева),
требуется переложить 5 спичек так, чтобы получилось
3 квадрата.
109. Переложите 6 спичек так, что-
бы получилось 6 равных
симметрично (одинаково) располо-
женных четырехугольников.
110. В спирали на
рисунке слева, составленной из 35
спичек, переложите 4 спички так, чтобы
получилось 3 (неравных) квадрата.
111. Изображенная на
зигзагообразная фигура
спичек. Переложите 8 спичек так, чтобы по-
лучилось 2 (неравных) квадрата.
рисунке справа
состоит из 24
L
IX
Разрезание
и переклады-
вание фигур
112. Кусок картона (или бумаги), имеющий форму прямоу-
гольника длиной 9 вершков и шириной 4 вершка, разрежьте на 2
равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
113. Кусок картона (или бумаги),имеющий форму прямоу-
гольника длиной 1 аршин и шириной 9 вершков, разрежьте на 2
равные части так, чтобы из них можно было сложить квадрат.
114. Разрезать данный треугольник
(рисунок слева) на 3 неравные части, из
которых можно было бы составить 2
равных квадрата.
115. Из данного квадрата сделайте
два меньших, равных по величине,
квадрата. Решите обратную задачу.
116. Разрежьте квадрат на 4 части так,
чтобы каждая часть прикасалась к 3 осталь-
ным частям.
117. Четыре брата после смерти отца по-
лучили в наследство сад, имеющий форму
квадрата. Посреди сада росли 4 дерева (д), у
каждой из 4 сторон ограды было выстроено по оранжерее, а в каждом
из углов сада возведено по беседке (Б). Братья разделили свой сад на
4 равные (по форме и величине) части
так, что в каждой из них оказались и
дерево, и оранжерея, и беседка.
Как братья провели в саду границы
своих владений?
б
| Оранжерея^
3 •
Б
б
05
• 0
[оранжерея[
Б
118. Вырежьте из бумаги или картона 4
такие одинаковые фигуры и сложите из них
крест.
119. Разрежьте данный квадрат на 5 час-
тей - 4 равных треугольника и 1 квадрат - и
сложите их так, чтобы всего получилось три
квадрата.
120. Двор персидского шаха имел форму квадрата и был вымощен
плитами в Г квадратную сажень каждая. Сторона двора, составляет
8 саженей.
Однажды придворный звездочет сообщил шаху, что тот проживет
на свете всего столько лет, сколько плит пошло на замощение его
двора. Шах тотчас же послал приближенных сосчитать, сколько плит
на его дворе. Разумеется, оказалось, что двор имеет 64 квадратные
сажени (8 x8), т.е. покрыт 64 плитами. А шаху шел уже 64-й год! Не
желая скоро умирать, шах объявил по всему Государству, что выдаст
огромную награду тому, кто возьмется перемостить его двор, не
прибавляя и не убавляя плит, но так, чтобы цлощадь двора (т.е. число
квадратных саженей) стала больше. Все математики персидского
государства принялись за работу, и вот через день к шаху является
один перс и просит позволения перемостить'двор, обещая выполнить
поставленные условия. И он сделал это следующим образом: раз-
Квадрат со стороной в 1 сажень.
4 . Н.Н. Аменицкий, И.П. Сахаров
5 саженей 3 сажени
делил двор шаха линиями на 4
части - две одинаковые тра-
пеции А и Б и два одинаковых
треугольника В и Г (рисунок
слева). Затем рабочие по его
указаниям переместили эти
части так, как показано на
нижнем рисунке, и двор при-
нял форму прямоугольника
длиной 8+5=13 саженей и
шириной 5 саженей. Площадь
перемощенного двора стала
равна 13x5=65. саженей.
Благодаря изобретательности
перса, шах получил возмож
ность прожить не 64 года,
а 65 лет!
то
в перемощении двора
Но одна и та же площадь не может быть равна то 64,
65 квадратным саженям. Следовательно,
что-то не так.
Что именно?
Огромные
числа
В VI разделе этого выпуска вы познакомились с такими рядами
чисел, в которых каждое следующее число больше предыдущего
на одно и то же число.
Взгляните теперь на такой ряд чисел:
3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768 ит.д.
Этот ряд совершенно другого рода и замечателен тем, что в нем
каждое следующее число вдвое больше предыдущего.
Если вы сравните два таких ряда:
1-й ряд: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17,19 (каждое следующее число
на 2 единицы больше предыдущего);
2-йряд: 3,6,12,24,48,96,192,384,768 (каждоеследующее число
вдвое больше предыдущего),
то заметите, что во. 2-м ряду числа растут гораздо быстрее, чем в
1-м. Например, восьмое число 2-го ряда равно 384, а восьмое число
1-го ряда равно только 17.
При помощи таких рядов, как 2-й, иногда приходится решать
интересные задачи. При этом результаты нередко получаются до-
вольно неожиданные.
Ниже вы найдете несколько любопытных рассказов, в которых
вам встретятся такие большие числа, что вы и назвать-то их не суме-
ете. Но это не беда!
1. Догадливый индус
Одной из трудных, но вместе с тем увлекательных игр издавна
считается игра в шахматы. Трудно сказать, кто изобрел эту игру, так
как существует она уже не одну тысячу лет. По этому поводу у
индусов есть старинная легенда.
Когда-то очень давно жил на свете индийский царь. Все ему в
жизни удавалось, всего у него было вдоволь, народ его жил счастливо,
но странное дело: с некоторых пор придворные стали замечать, что
их государь тоскует. Чтобы развлечь царя, каждый из них старался
придумать какое-нибудь средство, но ничто не помогало. Царь ску-
чал и тосковал по-прежнему.
Однажды пришел к царю индус и попросил позволения показать
новую придуманную им игру. Царь нехотя согласился. Но игра ока-
залась настолько интересной и так понравилась государю, что он в
восторге воскликнул:
- Если твоя голова могла придумать такую игру, то она заслужива-
ет величайшей награды! Проси у меня, чего хочешь!
- Великий государь, - отвечал индус, - я много не прошу. Повели
твоим царедворцам положить 1 зерно пшеницы на первую клетку
моей шахматной доски, 2 зерна на вторую, 4 зерна на третью и т.д.,
увеличивая чисдо зерен вдвое до тех пор, пока не дойдут до послед-
ней, шестьдесят четвертой клетки.
- Немного же ты просишь, - сказал царь, усмехнувшись при
мысли, как прост и наивен бедный индус.
Но всемогущий повелитель индусов не был силен в математике!
Когда приближенные по приказанию царя приступили к выплате
награды, они скоро убедились, что это невыполнимая задача.
Дело в том, что число зерен, которое попросил индус, есть сумма
64 чисел, стоящих в ряду: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024,
2048,4096, 8192 и т.д.
Мы выписали здесь только 14 чисел, сумма которых равна количе-
ству зерен, которое должно быть положено на первые 14 клеток
шахматной доски. Остальные 50 клеток еще предстоит заполнить!
Стоит лишь посмотреть, как быстро растут эти числами вы поймете,
с какими огромными числами пришлось бы иметь тут дело.
Легенда гласит, что придворные математики занялись подсчетом
того числа зерен пшеницы, которое пришлось бы выдать изобретате-
лю шахмат. Оказалось, что если бы возможно было засеять пшеницей
всю поверхность земного шара и собирать урожай от такого посева
ежегодно в течение 8 лет, то и тогда не хватило бы пшеницы, чтобы
выплатить индусу ’’скромное” вознаграждение.
Вот это число зерен: 18446744070709551615. В нем 20 цифр!
Рассказывая такие легенды, индусы как большие любители мате-
матики, по-видимому, пытались возбудить такую же любовь к этой
науке и в других людях и для этого придавали своему рассказу такую
занимательную форму.
2. Богач и бедняк
В огромном красивом доме жил очень богатый человек. Кругом
себя он видел много бедных людей, но не считал нужным облегчить
их жалкое существование.
Проведал про того богача один умный бедняк, который, должно
быть, знал легенду об изобретателе шахмат, и решил попытать сча-
стья.
Он отправился в дом богача и объяснил слуге, что пришел к
хозяину по очень важному делу. Бедняка повели в роскошные покои,
где он встретил и самого хозяина.
- Что угодно? - сухо спросил тот, подозрительно оглядывая бед-
ного человека.
- Я слышал, - отвечал бедняк, - что вам нужен конторщик. Я
хорошо знаю эту работу и согласился бы выполнять ее за дешевую
плату.
- А сколько вы желаете? - спросил богач.
- Сущие пустяки. Заплатите мне за первый день работы 4 ко- -
1 *
пейки, за второй день копейки, за третий день 1 копейку, и, так как
я уверен, что вы останетесь довольны моей работой, пусть плата за
каждый день идет, увеличиваясь вдвое до тех пор, пока не пройдет
месяц.
Богач, известный своей скупостью, был очень удивлен скром-
ными требованиями молодого человека и решил, что иметь такого
служащего - дело весьма выгодное.
- Хорошо, я согласен. С завтрашнего дня вы можете приниматься
за работу. Ступайте в контору и подпишите контракт на тех условиях,
которые вы предложили, а я принял.
Прошла неделя. Хозяин только руки потирает от удовольствия.
Еще бы! Новый конторщик работает чуть ли не целый день, а платить
ему приходится какие-то гроши. Например, последний раз (за седь-
мой день работы) он получил с хозяина всего 16 копеек!
Но не долго пришлось так торжествовать богачу. Скоро кошелек
его стал пустеть быстрее, чем он ожидал: ведь по условию плата
конторщику с каждым днем должна была увеличиваться вдвое. И вот
по прошествии двух недель, на пятнадцатый день службы, богач
убедился, что за один только этот день конторщику придется уп-
латить 40 рублей 96 копеек!
С каждым днем хозяин убеждался, что бедняк его перехитрил, но
платить приходилось столько, сколько следовало по контракту.
Когда прошел месяц, и конторщик подсчитал, сколько он зарабо-
тал, то оказалось, что его месячное жалованье составило солидную
сумму в 2684354 рубля 55^ копейки!
Когда этот счет представили хозяину, последний был страшно
поражен, а торжествующий конторщик сказал ему:
- С вас, хозяин, причитается 2684354 рубля 55^ копейки, но я с
удовольствием уступлю вам для круглого счета 5б| копейки и доволь-
ствуюсь остальной суммой .
3. Превращения копейки
Чтобы понять то, о чем пойдет здесь речь, надо иметь в виду
следующее.
Известно, что банк за помещенный в него капитал платит владель-
цу капитала проценты (%), т.е. прибыль на этот капитал. Если
капитал в 5000 рублей положен в банк под 5%, то это значит, что на
каждую сотню рублей по прошествии года нарастает 5 рублей
прибыли. Следовательно, на весь капитал в 5000 рублей (в котором
50 сотен) получится (5х50)=250 рублей прибыли. В нашем примере
каждые 100 рублей через год превращаются в 105 рублей. Если эту
годовую прибыль (5 рублей) не брать из банка, то в течение следую-
щего года прибыль будет насчитываться уже не на каждую сотню, а
на каждые 105 рублей. В таком случае проценты называются слож-
ными.
Интересно, что когда число лет значительно, то прирост капитала,
отданного под сложные проценты, делается невероятно большим.
Представьте себе такой случай.
Мы живем теперь в XX веке. Если бы кто-нибудь из самых
далеких наших предков, живших ровно 1000 лет тому назад, вздумал
бы положить в банк одну копейку под 5% (сложных), то оказалось
бы, что теперь эта копейка превратилась бы в огромный капитал.
Чтобы судить о величине этой суммы, представьте себе миллиард
шаров из чистого золота, каждый величиной с земной шар.
Стоимость их и есть эта сумма.
Возьмем другой, более вероятный случай.
Если бы во времена Ивана Грозного, например в 1532 году, кто-
нибудь догадался бы поместить в банк (если бы таковой существовал!)
1 копейку под 5%, то через 378 лет наследник стал бы обладателем
целого миллиона рублей.
Из этих примеров видно,как невероятно сильно может увеличится
капитал, положенный под сложные проценты.
Сравните этот рассказ с задачей 80 в разделе "ДЛЯ ДЕТЕЙ
СТАРШЕГО ВОЗРАСТА" .
4. Китайские церемонии
Дело происходило в одном из китайских городов.
Богатый местный сановник устроил званый обед, на который были
приглашены не только знатнейшие мандарины, но и некоторые из
европейцев, проживавших в этом городе.
Стол был накрыт на 12 персон (по числу приглашенных) и обиль-
но уставлен всевозможными изысканными китайскими кутпяттьями-
Когда хозяин пригласил гостей садится за стол, произошло неко-
торое замешательство. Дело в том, что нигде не придается столь
большого значения различным церемониям и размещению гостей за
столом, как у китайцев. Среди присутствующих начался вежливый
спор о том, где кому сидеть, и так как каждый из китайских са-
новников не желал уступить другому в вежливости и знакомстве с
правилами приличия, эти пререкания грозили затянутся надолго, что
никак не устраивало изрядно проголодавшихся европейцев.
Желая положить конец спорам, гостеприимный хозяин предло-
жил:
- Господа, я предлагаю попробовать разместиться за столом не-
сколько раз различными способами, и когда мы испытаем все возмож-
ные способы размещения, нам будет легче выбрать жз них
какой-нибудь один.
Предложение было принято, и гости стали рассаживаться за сто-
лом и меняться друг с другом местами.
Получилась невообразимая толчея и путаница, а время все ухо-
дило!
Среди приглашенных на обед европейцев находился один, кото-
рый особенно выказывал нетерпение и недовольство по поводу про-
исходившего. Это был профессор математики одного из французских
университетов.
Так как пересаживания с места на место все продолжались и гости
находили все новые и новые способы размещения, профессор, нако-
нец, не выдержал и сказал:
- Милейший и гостеприимнейший хозяин и вы, мои добрые дру-
зья! Последуйте моему искреннему совету, который осмеливаюсь вам
дать только потому, что обладаю некоторыми математическими поз-
наниями. Сядем за стол, как придется, и прежде.всего удовлетворим
настоятельные требования наших желудков, а тем временем я поста-
раюсь доказать вам, что выполнить предложение нашего любезного
хозяина, не садясь за обед,- дело весьма рискованное для каждого из
нас!
Присутствующие согласились, и обед начался при большом
оживлении, которое объяснялось, с одной стороны, хорошим ап-
петитом всех гостей, а с другой - обещанием профессора.
Когда обед подходил к концу и подали десерт, профессор
обратился к присутствующим с вопросом:
- Не может ли кто-нибудь из вас, господа, сказать мне, хотя бы
приблизительно, сколько времени понадобилось бы нам, чтобы со-
вершить все пересаживания, даже если бы мы на каждое наше пере-
мещение тратили только одну секунду!
Общество было удивлено вопросом и молчало.
- Если бы мы, - продолжал профессор, - твердо решили довести
это занятие до конца и занимались пересаживанием непрерывно день
и ночь, то все эти прекрасные и вкусные кушанья, которые мы видели
на столе, не только остыли бы и засохли, но и успели бы совершенно
истлеть, а мы давно погибли бы от голода и истощения. Дело в том,
что мы могли бы размещаться за столом 479001600 способами, и
каждое из этих размещений чем-нибудь отличалось бы от другого.
Поймите, господа, что мы были бы обречены на это занятие в течение
479001600 секунд, а это составляет не более, не менее, как 15 лет и 2
месяца с лишком.
Профессор умолк, а присутствовавшие, пораженные таким сооб-
щением, недоверчиво молчали.
- Как же так? - спросил, наконец, хозяин. - На днях обедали у
меня трое моих друзей, и мы с успехом и очень быстро проделали все
возможные пересаживания.
- В том-то и дело, - отвечал профессор, - что четверо могут
разместиться лишь 24 различными способами, и, следовательно, на
это потребуется меньше полминуты. Если же вы хотите узнать, каким
образом я узнал это, то потрудитесь перемножить все последователь-
ные числа от 1 до числа, равного числу человек, сидящих за столом.
Если бы нас было четверо, то число пересаживаний было бы
1x2x3x4=24.
Если бы обедало семь человек, то им пришлось бы пересаживаться
1x2x3x4x5x6x7=5040 раз.
Вы видите, господа, как неимоверно быстро растет число пере-
саживаний по мере увеличения числа гостей.
Гости поняли, в чем дело, и были весьма благодарны профессору
за разъяснение, которое, как они потом шутили, спасло их от голо-
дной смерти.
Составьте таблицу числа всех возможных перемещений для слу-
чая, кохда за столом сидят 2, 3,4, 5 и т.д. до 12 лиц.
Последовательными называются числа, которые идут,
увеличиваясь на единицу, например, 5, 6,7, 8,9 и т.д.
XI
Решения и
ответы
1. У пяти палок 10 концов, у пяти с половиной палок 12 концов, у
шести с четвертью палок 14 концов.
2. а) 100; б) 3 рубля; 50 копеек.
3. Лошадь с длинным хвостом съела больше, так как имела возмож-
ность отгонять мух и оводов, мешающих лошадям утолять голод.
4. Очертите мелом круг прямо по себе, тогда исполнить требуемое
будет легко, так как вы получите возможность передвигаться, куда
вам угодно, оставаясь внутри очерченного вами круга.
5.
6. Изобразив число 9 римскими цифрами (IX) и разделив пополам
горизонтальной чертой, вы получите в верхней части запись числа 4
римскими цифрами (IV).
7. Разделите изображение числа 1888 горизонтальной чертой, про-
ходящей через точки самопересечения восьмерок, вы получите то,
X (1000>
что требовалось .
I1UUU I
8. Для исполнения воли завещателя монастырь должен служить
обедни через год: в первый год по смерти богача не служить вовсе, во
второй год отслужить одну обедню, в третий год опять не служить
обедни, в четвертый год снова отслужить одну обедню и т.д. Тогда
число обеден, отслуженных монастырем, будет вдвое меньше числа
лет, которое суждено просуществовать монастырю. Возможно, что
число обеден окажется на 1 больше или меньше половины этого числа
лет. При каком условии это может случиться?
9. Задача с первого взгляда может показаться вам совершенно
простой и понятной , и вы, быть может,решили ее так: если пароход
находится в пути 7 дней, а навстречу ему каждый день отплывает по
одному пароходу, то очевидно, что наш пароход встретит на своем
пути 7 пароходов. Но если вы так думаете, то жестоко ошибаетесь!
Дело в том, что вы учитываете только те пароходы, которые отплыли
из Нью-Йорка за то время, когда гаврский пароход был в пути, но
совершенно забываете о тех пароходах, которые уже плыли в Европу,
пока* наш пароход еще не вышел из Гавра. Например, вы забыли о
пароходах, отправившихся из Нью-Йорка в воскресенье 6 июля, в
субботу 5 июля, в пятницу 4 июля и т.д. Все они также попадутся
навстречу тому пароходу, который вышел из Гавра в понедельник 7
июля. Примите во внимание это обстоятельство, и вы увидите, что
Эта задача была предложена на одном из научных конгрессов
французским математиком Эдуардом Люка. Большинство
присутствовавших, среди которых было немало известных
математиков, было озадачено таким вопросом, и кое-кто даже
дал неверный ответ ’’7”. Другие просто молчали. Э.Люка с
замечательной ясностью и очевидностью показал графическое
решение задачи, чего мы, однако, делать не решаемся, имея в
виду малолетних читателей.
всех встреч будет не 7, а 14 (считая тот пароход, который отправля-
ется из Нью-Йорка в момент прибытия туда гаврского парохода.
10. a) 3x3x3+3+|; 33-3+|; 33-^*.
б) 99+1.
11. За 9 минут, так как работа заканчивается после того, как
отпилен девятый кусок.
12. Совет, данный каждому из американцев, состоял в следующем:
"Поменяйтесь лошадью с вашим приятелем." Ясно, чго, последовав
такому совету, каждый из наездников гнал изо всех сил чужую лошадь
(на которой он ехал), чтобы его собственная лошадь(на которой ехал
его соперник) отстала как можно больше. Так zoдна из лошадей и
выиграла это странное пари.
13. У мужика первоначально было 8 копеек. После пятого пере-
хода через мост у него должно оказаться также 8 копеек, т.е. от
заключенной сделки он не выиграл и не проиграл. При решении этой
задачи следует помнить, что увеличить какое-нибудь число в полто-
ра раза все равно, что прибавить к этому числу его половину.
14. Дело в том, что торговки упустили из виду одно обстоятельство:
сложив яблоки, предназначавшиеся к продаже по двум разным ценам
и продавая их сообща, они продавали яблоки уже по другой цене, чем
прежде. В самом деле, каждое яблоко первой торговки стоило
копейки, а каждое яблоко второй торговки ~ копейки. Когда же они
стали продавать яблоки сообща (5 яблок за 2 копейки), то каждое
яблоко шло за ~ копейки, а не за и не за i копейки. Из-за этого
торговки и недовыручили 1 копейки.
15. Сначала торговцы решили продавать свои апельсины по 5 ко-
пеек за каждые 7 штук.
Первый торговец продал 7 х7 =49 апельсинов и выручил 35 копе-
ек.
Второй торговец продал 7 х4 =28 апельсинов и выручил 20 копеек.
Третий торговец продал 7 XI =7 апельсинов и выручил 5 копеек.
С введением в арифметику понятия о степени, число решений
для этой задачи увеличивается и становится практически
неограниченным.
После этого у первого торговца остался 1 апельсин, у второго -2
апельсина, у третьего - 3 апельсина. Оставшиеся апельсины торговцы
решили продать по 15 копеек за штуку.
Первый торговец выручил 15 копеек, а всего 15+35=50 копеек.
Второй торговец выручил 30 копеек, а всего 20+30=50 копеек.
Третий торговец выручил 45 копеек, а всего 45 + 5 = 50 копеек.
16. Три яблока надо разрезать на половинки. Получится 6
половинок. Каждое из остальных двух яблок разрезать на три равные
части. Таких частей (третей яблока) будет тоже 6. Следовательно,
каждый мальчик должен получить по половинке и еще по одной трети
яблока.
17. Деду - 74 года и 8 месяцев, отцу - 38 лет и 6 месяцев, сыну -18
лет и 8 месяцев.
18. Так как охотник съел третью часть всего обеда и уплатил за это
50 копеек, то весь обед, т.е. все 5 кушаний, стоят 1 рубль 50 копеек
(50x3). Следовательно, одно кушанье стоит 30 копеек (1 рубль 50
копеек: 5). Пастух, у которого было 3 кушанья, стоившие 90 копеек,
сам съел на 50 копеек, а 40 копеек должен получить с охотника.
Пастух, у которого было 2 кушанья, стоившие 60 копеек, сам съел на
50 копеек, а 10 копеек должен получить с охотника.
19. Кувшин молока, имевшийся у одного из арабов, можно за-
менить 36 финиками, а один хлеб другого араба - 48 финиками (так
как 4 кувшина молока или 144 финика стоят столько же, сколько 3
хлеба). Прибавив к этому 6 фиников третьего араба, мы видим, что
у всех как будто было 90 фиников, т.е. на долю каждого приходится
как бы по 30 фиников. Стало быть, первый араб должен дополучить
за 36 - 30 = 6 фиников, а второй - за 48 - 30 = 18 фиников. Иначе
говоря, второй араб должен получить втрое (18 : 6 в 3) больше, чем
первый. Следовательно, первый араб должен взять себе 5 монет, а
второй -15 монет.
20. Крестьяне поделили вино с помощью 2 пустых бочонков в
результате 7 переливаний, получив по четыре ведра вина каждый.
(Существует и другой способ переливания-в 8 приемов.)
8- 5- . 3-
ведерный
До переливания 8 0 0
После 1-го переливания 3 5 0
После 2-го переливания < 3 2 3
После 3-го переливания 6 . 2 0
- После 4-го переливания 6 0 2
После 5-го переливания
После 6-го переливания
После 7-го переливания
1 5 2
1 4 3
4 4 0
21. Каждый из сыновей должен получить по 7 бочонков. Все же
вино можно представить себе так:
7 полных бочонков равны 14 полным наполовину бочонкам,
плюс 7 полных наполовину бочонков, т.е. всего 21 полный напо-
ловину бочонок. Следовательно, каждый из сыновей должен по-
лучить по 7 полных наполовину бочонков вина. Это можно сделать,
не переливая вино из одного бочонка в другой, следующим образом:
Полных бочонков Полных наполовину бочонков Пустых бочонков
Первый сын 2 3 2
Второй сын 2 3 2
Третий сын 3 1 3
22. Так как голов 25, всех гусей и поросят 25 штук. Если бы на
дворе гуляли только одни гуси (т.е. 25 гусей), то у них было бы 50
ног. На самом же деле ног у всех обитателей скотного двора 70.
Следовательно, "лишние” 20 ног принадлежат гулявшим на дворе
поросятам, у каждого из которых на 2 ноги больше, чем у гуся.
Значит, поросят было 20 : 2 = 10, а гусей 25 - 10 = 15.
23. Хозяйка поступила так
8- 3- 5-
фунтовый горшок
Первоначально 8 3 0
После 1-го перекладывания 8 0 3
После 2-го перекладывания 6 0 5
(т.е. в 5-фунтовый горшок хозяйка доложила масла из 8-фунто-
вого горшка, в котором осталось такое количество масла, которое
требовалось).
24. Чтобы добиться желаемого крестьяне должны пересыпать овес
(с помощью имеющихся у них мешков) за 7 приемов следующим
образом:
мешок в
10 7 3
№ геры
Первоначально 10 0 0
После 1-го пересыпания 7 0 3
После 2-го пересыпания 7 3 0
После 3-го пересыпания 4 3 3
После 4-го пересыпания 4 6 0
После 5-го пересыпания 16 3
После. 6-го пересыпания 17 2
После 7-го пересыпания 8 0 2
После 8-го пересыпания 8 2 0
После 9-го пересыпания 5 2 3
После 10-го пересыпания 5 5 0
После 10-го пересыпания в двух мешках окажется по 5 мер овса.
25. Первый раз каждый мальчик и каждая девочка получили от
учителя вместе по 9 орехов. Следовательно,как мальчиков, т^с и
девочек в школе было по 234:9=26 человек, а общее число учащихся
26x2=52 человека. Поэтому всего учитель должен был принести
6x52=312 орехов. Следовательно, во второй раз учитель принес
312-234=78 орехов.
26. Мальчиков 5, а девочек 8.
27. Высота нижнего яруса 28 аршин, а высота верхнего -12 аршин.
28. Дорога тянется лесом на расстоянии 875 саженей.
29. Всех гостей было 12 человек.
30. 4 брата и 3 сестры.
31. К концу первых суток гусеница подвинется на 1 фут, к концу
вторых суток - еще на 1 фут, т.е. всего на 2 фута. К концу третьих
суток она окажется на высоте 3 футов, к концу четвертых суток - на
высоте 4 футов и т.д., к концу восьмых- на высоте 8 футов. Далее, с
6 часов утра до 6 часов вечера (на девятые сутки) гусеница взберется
еще на 4 фута, т.е. окажется на высоте 8+4=12 футов, и достигнет
вершины дерева. Стало быть, это произойдет на девятые сутки, т.е. в
понедельник на следующей неделе в 6 часов вечера.
32. Искомое число 35.
33. Дело в том, что когда большое колесо сделает один оборот,
маленькое колесо, действительно, должно пройти расстояние ВГ,
равное расстоянию АБ (см.рисунок), но расстояние ВГне равно длине
окружности малого колеса потому, что,достигнув точки Г, малое
колесо вынуждено было не только катиться по рельсу, но и сколь-
зить по нему, и, следовательно, за один оборот прошло путь боль-
ший, чем длина окружности малого колеса.
34. 40 лет.
35. Так как в целом классе 4 учеников, в половине класса -4
учеников, смысл сказанного учителем сводится к следующему:
общего числа учеников в классе составляют 100 - 1 = 99
учеников. Следовательно, ^искомогочисла есть99 учеников, отсю-
да | составляет 9 учеников, a j - 9x4=36 учеников.
36. Встреча произошла в 1 час 20 минут пополудни.
37. У торговки всего было семь цыплят. Первая кухарка купила
з|+|=4 цыпленка. Осталось 3 цыпленка. Вторая кухарка купила 1|+| =2
цыпленка. Остался 1 цыпленок. Третья кухарка купила^+^=1 цып-
ленка (последнего).. Все кухарки покупали целое число цыплят.
38. Длина бульвара составляет 51+48=99 аршинов. Число
сосчитанных деревьев равно 35+33=68. Поскольку самую первую
липу сосчитали дважды, на расстоянии 99 аршинов посажено 67 лип,
а число промежутков между ними равно 66. Следовательно, рассто-
яние между соседними липами равно 99:66=1^ аршина.
39. У Ивана было 19 рублей, у Петра 25 j рубля.
40. Заблуждался сам завещатель: отказывая в своем завещании
сыновьям || и | всего стада, он упустил из виду, что эти доли не
составляют в сумме единицу, т.е. всего стада. Действительно, или
всего стада должен получить первый брат; |, или —прлучит
второй брат и |, или ± всего стада достанется третьему брату. Сле-
•> 10 5 4 19 1
довательно, все три брата получат стада: 20’ как мы
видим, не хватает. Это и понял мулла и приказал добавить к стаду
одного верблюда, т.е. недостающую часть стада.
41. Всего была сварена 81 картофелина. Из оставшихся карто-
фелин старшему брату не причитается ничего, средний брат должен
получить 9 картофелин, а младший - 15.
42. 4380 несчастных случаев в год, 480 арестов за сутки. •
43. Вес червяков, съедаемых птичкой за день,'составляет 42 зо-
лотника, что вдвое больше, чем вес самой птички.
44. 3 сажени и 5 футов.
45. Сыну 21 год, отцу 42 года.
46. Ягоды должны быть не дешевле 10 копеек за фунт.
47. Младшему 4 года, среднему 7 лет, старшему 13 лет.
48. Число 4.
49. Поставив между данными числами запятую, вы получите
число 2,3 (две целых и 3 десятых), которое меньше 3, но больше 2.
50. Путь от Камчатки до Аляски пароход покрывает за
16 часов. Следовательно, за 1 час он проходит расстояния от
Камчатки до Аляски. Скорость же парусника составляет 4 скорости
14 1
парохода, т.е. за 1 час парусник проходит Х5=2о того же Расст0-
яния. До остановки, продолжавшейся 2 часа, пароход шел в течение
8 часов. Стало быть, пароход возобновил свое движение по про-
шествии 10 часов, а парусник вышел в море на 6 часов позднее.
Поэтому, когда пароход, преодолевший 4 всего расстояния, снова
z 1 1
двинулся в путь, парусник успел пройти всего рассто-
яния. Следовательно, их отделяет всег0 ПУТИ* При новой
скорости парохода расстояния в час) парусник с каждым часом
приближается к пароходу на всег0 расстояния. Следова-
хи ох юи
3 3
гельно, он догонит пароход через -jq:-j^=16 часов. За эти 16 часов
пароход пройдет ^Х16=| пути, т.е. прибудет в порт на Аляске, где и
произойдет встреча (через 10+16=26 часов после отплытия парохода
из порта на Камчатке). Иными словами, эта встреча произойдет во
вторник в 3 часа дня.
Примечание. Скорость парохода (25 верст в час), приведенная в
условии задачи, как нетрудно видеть, - условие совершенно
излишнее, и умышленно введено только для усложнения задачи.
Более того, эта величина (25 верст в час) несообразна с действитель-
ностью, так как при такой скорости расстояние от Камчатки до Аляски
было бы равно 25x16=400 верстам. На самом же деле оно гораздо
больше. В действительности скорость парохода в этой задаче не
играет роли, и с изменением ее ответ и решение никак не изменятся.
51. Задача решается гораздо проще, чем может показаться с пер-
вого взгляда. Каждый час велосипедисты приближаются друг к другу
112
на расстояние 50,7+49.,5=100,2 верст. Следовательно, их встреча
произойдет через 330,66 : 100,2 = 3,3 часа. Так как муха вылетела
одновременно с велосипедистами и летала до их встречи, она летала
в продолжении 3,3 часов, пролетая каждый час по 100 верст. Всего
она пролетела 100x3,3=330 верст.
52. Крестьянин в течение часа может, приблизиться к идущему
впереди брату на 6^-4^=2^- версты. Следовательно, встреча братьев
произойдет через 9:2|=4 часа после отправления. Собака пробежит
за эти 4 часа 15x4=60 верст, и это расстояние, очевидно, совершенно
не зависит от того, Хому из братьев принадлежит собака, т.е. от кого
она начнет свое путешествие.
53. Охотник безусловно заблуждался. Попробуем сложить пути,
пробегаемые зайцем, т.е. Юсаженей, 1 сажень, ^сажени,сажени,
сажени и т.д., то в результате такого сложения мы получим
11,1111..., т.е. 11сажени*. Разумеется, собака, пробежав это рассто-
яние, поравняется с зайцем, а затем и оставит его позади себя.
54. Чтобы выйти из такого затруднительного положения, надо
переправляться на тот берег так (А - англичанин, а - его жена, И -
индеец, и - его жена, Н - негр, н - его жена):
"Этот берег" "Тот берег"
1) А И Н -
а и н - -
2) А И Н -
а - - и Н
3) Негритянка возвращается и бёрет англичанку.
А И Н
а и н
4) Негритянка (или другая женщина) возвращается
и остается со своим мужем:
Н А И -
н а и
5) Англичанин возвращается с женой,а обратно
переправляется с негром:
♦ Периодическая дробь 11,1111..., или 11,(1), обращается в
простую по следующему правилу: числителем ставят периодах.
1, а знаменателем цифру 9, записанную столько раз, сколько
цифр в периоде, т.е. один раз.
- А И Н
а - н - и -
6) Жена индейца возвращается и берет англичанку:
— — — А И н
н а и -
7) Негр едет за своей женой:
— — — А И н
- а и н,
55. Путевое хозяйство в районе станции имеет вид, показанный на
рисунке.
По главному пути в направлении, указанном стрелкой, идет
товарный поезд, а за ним следует пассажирский поезд, который
требуется пропустить вперед, используя для этого запасную ветку,
вмещающую лишь 13 вагонов. Нагнав товарный поезд, пассажирский
поезд останавливается. Товарный поезд идет по главному пути и
проходит весь за начало запасной ветки. Затем он останавливается и
задним ходом заходит на боковую ветку, где останавливает 13 вагонов
и отцепляет их, а сам проходит вперед. Затем пассажирский поезд
проходит вперед за начало ветки, к последнему своему вагону
прицепляет оставшиеся в тупике 13 товарных вагонов поезда и
уводит их на главный путь вправо. Затем пассажирский поезд подают
задним ходом по главному пути за начало ветки и оставляют там 13
товарных вагонов. Другая половина товарного поезда вместе со
своим паровозом идет задним ходом и заходит на запасную ветку,
открывая свободный путь пассажирскому поезду. После того, как тот
уходит, товарный поезд (13 вагонов и паровоз) выходит на главный
путь и, прицепив 13 оставшихся сзади товарных вагонов, следует за
пассажирским поездом.
56. Поезда разъезжаются так: один из них, например, идущий спра-
ва, дает задний ход и отходит на такое расстояние, чтобы между ним
и разъездом свободно мог поместиться другой поезд. После этого он
отцепляет 9 задних вагонов, а с остальными входит на ветку А разъ-
езда. Поезд, идущий слева, проходит разъезд по ветке Б и оста-
навливается справа от разъезда. Паровоз и 9 вагонов, стоящих на
ветке А, проходят разъезд и останавливаются на таком расстоянии
слева от него, чтобы между нидеи и разъездом хватило места для
другого поезда.
После этого поезд, шедший слева и стоящий теперь справа от
разъезда, дает задний ход и возвращается на то место, где стоял
сначала. Паровоз отцепляет свои вагоны, идет за оставшимися справа
от разъезда 9 вагонами и ставит их на любую из веток А или Б. Затем,
прицепив свои вагоны, уходит по свободной ветке и главномупути по
назначению. Паровоз с 9 вагонами, стоящий слева от переезда, дает
задний ход, прицепляет остальные 9 вагонов, оставленных на разъез-
де, а затем продолжает свой путь (налево).
57. Быков следует расставить так ("б” - бурая масть, "ч" - черная
масть): бббб-ччччч-бб-ч-ббб-ч-б-чч-бб-ччч-б-чч-бб-ч. Чтобы за-
помнить это решение, рекомендуется следующее: (1) выучите
наизусть фразу "От бурь есть защита, спасенье, избавленье нам!" (2)
запомните гласные русской азбуки а, е, и, о, у. Пусть а означает 1, е
-2, и-3, о-4иу-5.
Поставьте теперь на место гласных букв в приведенной выше
фразе соответствующие им числа, и вы получите ответ в виде ряда ч
чисел, указывающих, в каком количестве и порядке надо ставить
быков той или другой масти, начиная с бурой (б).
58. Первое положение: А + П + Б.
Сцепка А + П + Б (положение 1) подходит к мосту слева и вагон
А проталкивается под мост (поло-
жение 2), а паровоз с вагоном Б
подъезжает к А с другой стороны
(положение 3). В комбинации П + Б
+ А состав переезжает в положение 4
и оставляет вагон А справа от запас-
ного пути, а оставшийся короткий
состав Б + П подходит к мосту справа
и проталкивает вагон Б налево от
моста (положение 5). Затем паровоз
(5)
5 + П
(1) П + 5 + А
А + П+б (4)
подходит к вагону Б с другой
стороны и в сцепке П + Б возвращается в положение 1, в котором
теперь вагоны поменялись местами и состав будет Б + П + А.
59. Паровоз (П) в сцепке с вагоном Б (положение 1) отправляется
по главному пути и останавливается
у въезда на запасной путь в поло-
жении (2). Здесь к вагону Б
прицепляют вагон А, и паровоз
оставляет сцепку вагонов Б-А в поло-
жении (3), а сам, отцепив вагоны,
подходит к ним с другой стороны
(положение 4) и двигает оба вагона в
положение (2), где оставляет вагон Б, а сам отправляется вместе с
вагоном А на запасной путь в положение (5). Отцепив вагон А в
положении 1, паровоз возвращается к вагону Б и ставит его на требу-
емое место. В результате вагоны А и Б меняются местами, и паровоз
может занять свое место между ними.
60. Так как путешественники передвигаются, как на велосипеде,
так и пешком, оба с одинаковой скоростью и должны добраться до
дома одновременно, каждый из них должен половину пути (20 верст)
проехать на велосипеде, а другую половину пути пройти пешком.
Следовательно, простейшее из решений - оставить велосипед на пол-
дороги, т.е. в 20 верстах от места отправления. Действительно, ве-
лосипед преодолеет 20 верст за 1 час 20 минут, а остальные 20 верст
он пройдет пешком за 4 часа. Следовательно, он прибудет домой в 5
часов 20 минут. Его спутник сначала идет пешком в течение 4 часов,
а потом 1 час 20 минут едет на велосипеде, т.е. прибудет домой
одновременно с путешественником.
Так как путь в 40 верст проделан за 5 часов 20 минут, скорость
такого передвижения (7у верст в час) больше скорости пешехода (5
верст в час).
Эта задача имеет и другие решения, причем следует заметить, что
скорость такого передвижения увеличивается по мере того, как число
пересадок становится больше.
61. Первое произведение равно 1111111101. Из него легко полу-
чается второе произведение (2222222202) с помощью умножения на
2 (ибо 18=9x2). Третье произведение (3333333303) получается при
умножении первого произведения на 3 (ибо 27=9x3) и т.д.
62. Особенность произведений, получаемых от этого умножения,
состоит в том, что они все изображаются одними и теми же цифрами
(1,4, 2, 8, 5 и 7), располагающимися в различном порядке. Кроме
того, если’’разрезать’’данное число 142857 посередине, то сумма двух
трехзначных чисел 142 и 857 окажется равной 999. Тот же самый
результат получится, если разрезать таким же образом и любое из
пяти полученных произведений.
63. Остаток от каждого из делений получается на единицу меньше
делителя.
64. Сумма цифр как каждого из двух данных чисел, так и их
разности равна 45: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.
65. Поупражнявшись на нескольких примерах такого рода, вы,
вероятно, заметите, что средняя цифра получаемой разности всегда 9.
Последнюю цифру вы знаете. Первую же цифру вы получите, если из
средней цифры отнимите последнюю. В приведенных примерах име-
ем: 9 - 6«3, 9 - 5 = 4.
66. Сумма, получаемая от указанных действий, всегда равна 1089.
Вы можете воспользоваться этим любопытным свойством, например,
следующим образом. Напишите заранее, на бумажке число 1089 и
положите ее в конверт, который для большего эффекта можете запе-
чатать. Затем; отдав этот конверт своему приятелю, попросите его
задумать любое трехзначное число и проделать с ним указанные
действия. Когда он исполнит вашу просьбу, попросите вскрыть ваш
конверт. Каково же будет изумление вашего товарища, когда он
прочтет там то самое число, которое только что получил.
67. Числа, получающиеся от указанных действий, состоят только
из повторяющейся цифры 1.
68. Числа, получающиеся от указанных действий, состоят только
из повторяющейся цифры 8.
69. Преимущества следующие: (1) не надо запоминать или
записывать "на стороне" (т.е. держать "в уме") цифру десятков каж-
дого отдельного произведения; (2) умножение можно производить в
каком угодно порядке, заботясь лишь о том, чтобы клетки были
заполнены все и надлежащим образом. Недостаток того же метода
состоит в том, что много времени тратится на подготовительную
работу (черчение квадратиков и проведение диагоналей), хотя при
некотором навыке и наличии готовой клетчатой бумаги "мусуль-
манский метод" может оправдать свое название "способа молнии", как
его называли индусы.
70. Сумма первого и последнего числа равна 21, сумма всех чисел
равна 20. Следовательно, искомая сумма равна (21 х20):2=210.
71. (1 +100)х100=10100; 10100:2=5050.
72. 4+50=54; так как всех чисел 46, искомая сумма равна
(54Х46):2=1242.
73. (80х60):2=2400.
74. 99.
75. 171.
76. 78 ударов.
77. На 300 дюймов, или на 3 сажени 4 фута.
78. 228 верст.
79. Для нечетных номеров: (1+199)х100=20000; 20000:2=10000. ।
Для четных номеров: (2+200)х100=20200; 20200:2=10100. j
80. Бедняк заплатит богачу: [(1+14)х14]:2=105 рублей, а богач
бедняку - 163 рубля 83 копейки. Следовательно, богач не только не
получил барыша, но и сам вынужден был доплатить бедняку 58
рублей 83 копейки.
81. Двадцать пятое число равно 3+(24х1)=27.
82. Двадцать первое число равно 5+(20х2)=45.
83. Окно было открыто 7 часов. В последний (седьмой) час в окно /
влетело 3+(6х2)=15 комаров. Следовательно, всего влетело
[(3+15)х7]:2=63 комара.
3 8 1
2 4 6
7 0 5
85.
0 19 8 22 11
23 12 1 15 9
16 5 24 13 2
14 3 17 6 20
7 21 10 4 18
87. Спички надо перекладывать в
порядке, указанном стрелками с номе-
рами (рисунок справа).
88. Спички надо перекладывать
так:
2 на 6
1 на 6
8 на 12
7 на 12
9 на 5
10 на 5
4 между 5 и 6
3 между 5 и 6
11 между 5 и 6
13 на 11
14 на 11
15 на 11
89.
90.
91. Расположите 6 спичек так, чтобы они образо-
вали треугольную пирамиду, причем основание-
треугольник должен лежать на столе, а остальные
треугольники - в воздухе, сходясь в верхней
вершине.
92. Два четырехугольника (б и в) стоят
под прямыми углами друг к другу и к четы-
рехугольнику а, лежащему на столе, образуя
угол как пол и две стены, сходящиеся в углу
комнаты.
93.
9?. Счет следует начать с 16-й
спички сначала вниз, а потом налево (т.е.
16-я, 15-я, 14-яит.д.).
96. Задачу можно решить двумя
способами: рисунок справа.
97. Перекладывать спички следу-
ет так:
5-ю ко 2-й
3-ю к 7-й
94.
4-ю к 1-й
6-ю к 8-й.
,98. Ваня всегда должен брать столько спичек, чтобы число их
вместе со всеми уже взятыми им и Петей спичками, было равно 2, 9,
16 и 23.
119
Например, Ваня берет 2 спички; Петя берет 4 спички; Ваня должен
взять 3 спички (уже взято было 2+4=6 спичек; 9-6 = 3), Петя - 6
спичек. Ваня берет 1 спичку (уже было взято 6+3+6=15 спичек; 16 -
15=1), Петя берет 5 спичек.
Ваня берет 2 спички (уже было взято 15+1+5=21 спичка, 23 - 21
= 2), Петя берет 6 спичек. Ваня берет остальные спички и выигрывает.
105. 58 спичек.
106. Прежде чем загорится какая-нибудь из боковых спичек, сред-
няя спичка вместе с надломленной взлетит на воздух.
107. Одна из спичек на конце расщепляется, и врасщелину встав-
ляется другая спичка. Обе спички подпираются третьей спичкой так,
чтобы все три спички стояли на столе в виде пирамиды. Четвертую
спичку (держа ее в руке) надо просунуть между третьей и первыми
двумя и постараться двинуть спички так, чтобы верхний конец третьей
спички попал под соединение первых двух. После этого поднять все
три спички не составит труда.
112.
Прямоугольник, разре-
занный на две равные части
Квадрат, состав-
ленный из двух
равных частей
114. К данному треугольнику вдоль гипотенузы приложите такой
же треугольник и обрисуйте его
пунктиром, а затем разделите получен-
ный квадрат на четыре равных квад-
ратика. После этого отбросьте
пристроенный (пунктирный) треу-
гольник, и вы увидите, что исходный
треугольник разделен на 3 неравные
части, одна из которых квадрат, а две
другие - половинки квадрата.
Приложив одну, половинку квадрата к
другой, вы получите решение задачи.
115. Данный квадрат разделите на
четыре равные части диагоналями, а за-
тем приложите часть а к части А, а затем
часть б-к части Б вдоль гипотенузы.
119. Соединив середины сторон квад-
рата линиями, вы получите четыре рав-
ных треугольника и один квадрат. Из
полученных четырех треугольников
легко составить два квадрата (каждый
из двух треугольников). Площадь этих
двух квадратов (взятых вместе) равна
площади полученного квадрата.
120. Разрезав картонный квадрат,
изображающий двор шаха и приложив одну фигуру к другой, как это
сделал перс, мы увидим, что приложенные стороны этих фигур не
будут образовывать прямых линий (они лишь кажутся прямыми, а в
действительности имеют излом). Между ними после перемещения
образуется просвет, на долю которого и придется 1 ’’лишняя" квад-
ратная сажень.
Издание для досуга
АМЕНИЦКИЙ Николай Николаевич
САХАРОВ Иван Петрович
ЗАБАВНАЯ АРИФМЕТИКА
Заведующий редакцией Н, А. Носова
Художник М. Л. Храмцов
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор А. П. Колесникова
Корректор В. П, Сорокина
ЙБ № 41518
Компьютерный набор. Подписано в печать с оригинал-макета
19.06.92. Формат 84 х 108/32. Бумага тип. № 2. Гарнитура
Таймс. Печать офсетная. Усл.печ.л. 6,72. Усл. кр. отт. 7,14.
Уч. изд. л. 6,5. Тираж 57 430 экз.
Заказ № 274 • С-072
Издательско-производственное и книготорговое объединение
«Наука». Главная редакция физико-математической литературы.
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в Новосибирской типографии № 4 ВО «Наука».
ИПКО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 МОСКВА В-71, ЛЕНИНСКИЙ ПРОСПЕКТ, 15
ГОТОВИТСЯ К ИЗДАНИЮ В 1992-1993 гг.
ЭПШТЕЙН Л. К. Физика в размышлениях. — 2-е изд.
/Пер. с англ. В. К. Игнатовича: В 2 кн. —30 л.
Образец педагогического мастерства в изложении
многочисленных проблем физики. Охватывает практичес-
ки все разделы физики. Каждой проблеме отведена при-
мерно одна страница, причем проблема формулируется в
виде вопроса, часто пародоксального. Например:
«Силач растягивает пружину. Действует ли на пружину
сила?» или «Что общего у мисс Америки и пары брюк?»,
после чего следует конструктивный, во многих случаях
полный юмора ответ, который для знающих забавен, а
для незнающих— поучителен. Русское издание выпуска-
ется в двух книгах.
Для учащихся средней школы, особенно тех, кто хо-
чет укрепить свои знания перед поступленим в вуз;
полезна преподавателям физики и математики, посколь-
ку даст им возможность обогатить свой педагогический
арсенал.
Заказывайте перечисленные выше издания
в магазинах Союзкниги и Академкниги,
распространяющих литературу данной тематики
ИПКО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 МОСКВА В-71, ЛЕНИНСКИЙ ПРОСПЕКТ, 15
ГОТОВИТСЯ К ИЗДАНИЮ В 1992-1993 гг.
Для школ, гимназий, лицеев
с углубленным изучением
физико-математических дисциплин
. БУТИКОВ Е.И., КОНДРАТЬЕВ А.С. Физика. Учеб.:
В 4 кн. —95 л.
Учебник принципиально нового типа. Последователь-
ность изложения материала соответствует логической
структуре физики как науки и отражает современные
тенденции ее преподавания. Материал разделен на
обязательный и дополнительный, что позволяет строить
процесс обучения с учетом индивидуальных способнос-
тей учащихся, включая организацию их самостоятельной
работы. Задачи служат как для получения новых зна-
ний, так и для развития навыков исследовательской
деятельности. Курс (кн. 1-3) включает специальное
дополнение «Компьютер в физике» (кн. 4), которое
призвано обеспечить эффективное применение персо-
нального компьютера в процессе изучения физики.
Для школ, гимназий, лицеев с углубленным изучени-
ем физико-математических дисциплин, а также для
самостоятельной подготовки к конкурсным экзаменам в
вузы.
Заказывайте перечисленные выше издания
в магазинах Союзкниги и Академкниги,
распространяющих литературу данной тематики
ИПКО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 МОСКВА В-71, ЛЕНИНСКИЙ ПРОСПЕКТ, 15
ГОТОВИТСЯ К ИЗДАНИЮ В 1992.-1993 гг.
Для школ, гимназий, лицеев
с углубленным изучением
физико-математических дисциплин
ПРАСОЛОВ В. В. Три классические задачи на построе
ние: удвоение куба, трисекция угла и квадратура
круга. —4 л.
Содержится история и решения знаменитых задач
древности, сыгравших важную роль в становлении мате-
матики. Изложение сопровождается интересными сведе-
ниями о развитии и методах математики в Древней
Греции.
Для школьников старших классов, преподавателей и
любителей математики.
ПОТАПОВ М. К., ОЛЕХНИК С.Н., НЕСТЕРЕНКО Ю.В. Кон
курсные задачи по математике: Справ, пособие. —30 л.
Приведены задачи, предлагавшиеся на вступительных
экзаменах в вузы. Основное внимание уделено методам
решения уравнений и неравенств, систем уравнений.
Для учащихся и учителей старших классов школ и
лиц, готовящихся к вступительным экзаменам в вузы.
Будет полезной учащимся подготовительных отделений
вузов, а также всем, кто ведет преподавательскую
деятельность в области элементарной математики.
Заказывайте перечисленные выше издания
в магазинах Союзкниги и Академкниги,
распространяющих литературу данной тематики