517.1
Ф 15
УДК 512.8 @75.8)
Дмитрий Константинович Фаддеев
Илья Самуилович Соминский
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ВЫСШЕЙ АЛГЕБРЕ
М., 1977 г., 288 стр. с илл.
Редактор Ф. И. Кизнер
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод Корректор Н. В. Хрипунова
Сдано в набор 20.07.1977 г. Подписано к печати 22.11.1977 г.
Бумага 84Х 1081/8с. Физ. печ. л 9. Условн. печ. л. 15,12. Уч.-изд. л. 16,99.
Тираж 100 000 экз. Цена книги 60 коп. Заказ № 1795
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Революции и ордена Трудового Красного Знамени Первая
фия А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном
истров СССР по делам издательств, полиграфии и книжной
(торговли. Москва, М-54, Валовая, 28.
Главная редакция
физико-математичес
издательства «Наука», 1977, с изменениями
•77 физико-математической литературы

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Глава I. Простейшие сведения из теории чисел ¦¦.,.,, 7
§ 1. Целая часть, дробная часть, расстояние до ближайшего
целого ¦ . 7
§ 2. Наибольший общий делитель . , » 8
§ 3. Каноническое разложение на простые множители ¦ , ¦ 9
§ 4. Теория сравнений ¦».,,•,.. 11
§ 5. Числовые функции » 13
§ 6. Простейшие сведения о кольцах и полях 15
Глава II. Комплексные числа 17
§ 1. Действия над комплексными числами в компонентах . . 17
§2. Геометрическое изображение и тригонометрическая форма 18
§ 3. Уравнения третьей и четвертой степени .«•,,.,. 22
§ 4. Корни из единицы , 24
§ б. Показательная функция и натуральный логарифм ... 26
§ 6. Некоторые обобщения 27
Глава III. Действия над матрицами и определители 28
§ 1. Действия над матрицами 28
§ 2, Определители второго и третьего порядков 30
§ 3. Перестановки 32
§ 4. Определение и простейшие свойства определителя ... 33
§ 5. Вычисление определителей 36
§ 6. Применение умножения матриц к вычислению определи-
определителей 48
§ 7. Применение умножения матриц, разбитых на клетки, к
вычислению определителей 51
Глава IV. Системы линейных уравнений, матрицы, квадратич-
квадратичные формы 53
§ Ь Системы линейных уравнений, случай однозначной разре-
разрешимости 53
§ 2. Обратная матрица 55
3

§ 3. Ранг матрицы. Линейные системы общего вида .... 61
§ 4. Алгебра матриц 66
§ 5. Квадратичные формы и симметрические матрицы ... 72
Глава V. Алгебра полиномов 73
§ 1. Элементарные действия над полиномами. Простые и крат-
кратные корни 76
§ 2. Наибольший общий делитель полиномов 79
§ 3. Разложение на линейные множители и его применения 82
§ 4. Разложение рациональной дроби на простейшие .... 85
§ 5. Интерполяция 86
§ 6. Рациональные корни полиномов. Приводимость и неприво-
неприводимость над полем Q и над полем GF (р) 89
§7. Сравнения в кольце полиномов. Алгебраические расшире-
расширения 92
§ 8. Симметрические полиномы 94
§ 9. Результант и дискриминант 97
Глава VI. Распределение корней полиномов на вещественной
оси и на плоскости комплексной переменной . . . 102
§ 1. Теоретические основы 102
§ 2. Теорема Штурма 1С5
§ 3. Принцип аргумента и его следствия 107
§ 4. Различные задачи о распределении корней полиномов . 109
§ 5. Приближенное вычисление корней полинома 110
Глава VII. Теория групп 112
§ 1. Аксиомы полугруппы и группы, простейшие свойства,
примеры 112
§ 2. Подгруппа, нормальный делитель, факторгруппа, гомо-
гомоморфизм 114
§ 3. Свободная группа и свободное произведение 119
§ 4. Инвариантные полиномы. Применения к исследованию
уравнений низших степеней 120
Глава VIII. Линейная алгебра 122
§ 1. Базис, размерность, подпространства 122
§ 2. Линейные отображения и операторы. Образ, ядро, по-
полуобратный оператор 128
§ 3. Теоретические основы приведения матрицы оператора к
каноническому виду 132
§ 4. Собственные значения и собственные векторы, инвариант-
инвариантные подпространства, каноническая форма 136
§ 5. Элементарная геометрия я-мерного евклидова пространства 142
§ 6. Операторы в евклидовом и унитарном пространствах . . 146
4

Указания 151
Глава I 151
Глава II 153
Глава III 155
Глава IV 159
Глава V 163
Глава VI 168
Глава VII 170
Глава VIII 173
Ответы и решения 178
Глава I 178
Глава II 181
Глава III 193
Глава IV 201
Глава V 218
Глава VI 245
Глава VII 257
Глава VIII 266

ПРЕДИСЛОВИЕ
В основу настоящего сборника положен «Сборник
задач по высшей алгебре» Д. К. Фаддеева и И. С. Сомин-
ского, 2-е издание A949 г.), в дальнейшем издававшееся
стереотипно. Однако он существенно переработан. Вклю-
Включены два новых отдела — элементы теории чисел и эле-
элементы теории групп, сильно тематически расширены
отделы, посвященные линейной алгебре. Во все главы
включены примеры, связанные с полями и кольцами
вычетов. Много задач исключено. Изменена и плани-
планировка глав. По-прежнему сохранено два концентра в ли-
линейной алгебре: первый (главы III, IV) носит формально
калькулятивный характер, а второй (глава VIII) геомет-
геометрический. Сокращены подробные решения. Для задач,
снабженных указаниями (они отмечены звездочкой), текст
решения часто является непосредственным продолжением
текста указания.
Д. /С. Фаддеев

ГЛАВА I
ПРОСТЕЙШИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ
§ 1. Целая часть, дробная часть,
расстояние до ближайшего целого
1. Построить графики функций [х] (целая часть х),
{х} (дробная часть х), (х) (расстояние от х до ближай-
ближайшего целого) и функции / (х) = {х—а} — {х} + а, где
0<а< 1.
1
1
2. Доказать, что (*) = -.— {х} — -j
3. Исследовать функцию f (х, у)~[х + у] — [я]—[у]*
4. Вычислить [|/"Т] + [К2] + ... Ч-!}/"^17!].
*5. Доказать, что целая часть числа (|/ 4 2)п нечетна,
при любом натуральном п.
6. Пусть 1<а<Ь. Чему равен наибольший нату-
натуральный показатель /г, при котором ak^.b.
7. Доказать, что если / — неотрицательная функция,
определенная на отрезке [a, tr], то 2 [/ (п)] есть число
точек с целыми абсциссами nt a^n^b, я натуральными
ординатами, расположенных под графиком функции / (х)
(включая сам график).
*8. Пусть ф и я|)—две возрастающие неотрицательные
взаимно обратные функции, определенные на отрезках
[а, Ь] и [ос, р], где а = ф(а), C = ср(Ь). Доказать, что
2
а< т< Ъ
где Л^—число точек с целыми координатами на графике
функции ср на промежутке a<#^b.
*9. Пусть ф и ф—две убывающие неотрицательные
взаимно обратные функции, определенные на отрезках

[a, b] и [р, а], где а = ф(а), р = <р(Ь). Доказать, что
[ФИ]- S
|3 < ai<
10. Вычислить 2
k— 1
*11. Доказать теорему: для того чтобы последователь-
последовательности чисел [ах] и [рг/], а > 0, р >0, *=1, 2, 3, ...,
у=1, 2, 3, ..., заполняли натуральный ряд без про-
пропусков и повторений, необходимо и достаточно, чтобы
аир были иррациональны и связаны соотношением
§ 2. Наибольший общий делитель
12. Найти наибольший общий делитель пар чисел:
а) 321 и 843; Ь) 23521 и 75217; с) 6787 и 7194.
*13. Даны натуральные числа а0 и аг. Строится по-
последовательность чисел: а2 = \а0—aj, a3 = l#i— а21,
a4 = |a2— а3|, ... Доказать, что, начиная с некоторого
места, она имеет вид d, d, 0, d, d, 0..., где d = (a0, ax) —
наибольший общий делитель чисел а0 и аг.
14. Найти наибольший общий делитель чисел, запись
которых в десятичной системе состоит из т единиц и
из п единиц.
*15. Доказать, что если тип взаимно просты, то
2т—1 и 2п—1 тоже взаимно просты.
16. Найти наибольший общий делитель чисел ап—1
и ат—1. Здесь а—целое, т и п—натуральные числа.
*Л7. Найти наибольший общий делитель чисел а2+1
и 2а+ 3 (а—целое число).
18. Найти линейное представление наибольшего
общего делителя в примерах задачи 12.
*19. Доказать, что наибольший общий делитель d =
»= (au a2, ..., ak) нескольких целых чисел равен наиболь-
наибольшему общему делителю чисел ах и (а2, ..., ak) и делится
на любой общий делитель чисел а1У а2> ..., ak.
*20. Доказать, что наибольший общий делитель d
нескольких целых чисел а1У я2, ..., ак допускает линей-
линейное представление:
d = aYux + a2u2 + ... + akuk
при целых ult u21 . .., uk.
8

21. Доказать, что если q0, qlf ..., ^—-неполные ча-
частные в алгорифме Евклида для чисел а и Ь:
a =
то
(т. е. они определяют разложение а/b в так называемую
непрерывную дробь).
22. Числа Фибоначчи определяются формулами:
ио=1, Их—1, uk = uk_i + uk_2 (fe>2).
Доказать, что
+
§ 3. Каноническое разложение на простые множители
23. Написать каноническое разложение для чисел:
а) 1440; Ь) 1575; с) 111111.
24. Написать каноническое разложение наименьшего
общего кратного чисел 1, 2, ..., п.
25. Написать каноническое разложение числа п\.
26. Доказать, что знаменатель несократимой записи
^шсла 2п~г1п\ есть число нечетное. Может ли числитель
равняться 1?
27. Не пользуясь соображениями комбинаторики,
доказать, что число —г-, тт целое.
т\ (п—ту.
*28. Доказать, что число ^ 7/Г—^П! целое-

29. Пусть 5—некоторое множество вещественных чи-
чисел. Определим следующие два действия Мит над чи-
числами из S:
яМЬ=Мах(а, Ь)—большее из чисел аи 6;
= min(tf, b) — меньшее из чисел а и Ь.
Доказать, что эти действия коммутативны, ассоциативны
и связаны двумя распределительными законами:
(amb) Mc= (aMc) m (ЬМс),
(аМЬ) тс = (атс)М (Ьтс).
Доказать, что (атЬ) + (аМЬ) =а + Ь.
30. Пусть а = \\рар и b = \\Р^р—канонические разло-
разложения натуральных чисел а к Ь. Доказать, что наиболь-
наибольший общий делитель этих чисел (a, b) равен JJ_papm^p] а
наименьшее общее кратное [a, b] равно Лрарм^р.
31. Доказать (для натуральных аг> а2, а3):
(а19 а2)[аи а2]^аха2\
(а19 [а2> а3])=[(а1У а2), (а1У а3)]\
[а1э (а2, а3)] = ([а1У а2], [а1га3]).
32. Записать наименьшее общее кратное трех нату-
натуральных чисел, пользуясь действиями умножения и взя-
взятия наибольшего общего делителя.
*33. Пусть М — некоторое конечное множество нату-
натуральных чисел, Mt—все его непустые подмножества,
d(M{) — наибольший общий делитель чисел множества Miy
©f = 1 или —1, в зависимости отчетности или нечетности
числа элементов в М{. Доказать, что наименьшее общее
кратное чисел, составляющих множество М, равно
Нуту
34. Пусть п 2^5 — натуральное число. Доказать, что
п будет простым тогда и только тогда, когда (п—1)! не
делится на п.
*35. Доказать, что существует бесконечно много про-
простых чисел вида 4/г—1.
36. Доказать, что если произведение двух целых вза-
взаимно простых чисел равно квадрату целого числа, то оба
сомножителя — квадраты, с точностью до знака.
10

*37. Доказать, что если a, b — взаимно простые целые
числа и а2 + Ь2=с2 при целом с>0, то найдутся такие
целые числа тип, что а = т2—л2, Ь = 2тп, с = т2-{-пг
(или а = 2тп, Ь=т2—п2).
*38. Записать в общем виде решение в целых числах
уравнения x2 + y2 = 2z2, считая х и у взаимно простыми.
§ 4. Теория сравнений
39. Решить сравнения:
а) 2х+1=0 (mod 13); b) 5x^7 (mod21); с) l(k = 3
(mod 49).
40. Решить сравнения:
a) x2^—l (mod 13); b) х2 = — 1 (mod 11); с) х2 = 2
(mod 31).
41. Решить сравнения:
а) х2 + 2л;+14 = 0 (mod 17); b) х2 + Зл:+10 = 0
(mod 19); с) л;3 — Зх+1=0 (mod 19); d) х3^5 (mod 11);
е) л;3 =10 (mod 37).
42. Решить сравнения:
а) 6х = 8 (mod26); b) 15x^12 (mod33).
*43. Доказать, что наибольший общий делитель чи-
чисел а2 +/И и ka + l (a, m, k, I — целые) есть делитель числа
l k
*44. Пусть alt ..., аф(т> — наименьшие положительные
вычеты из примитивных классов. Доказать, что
ах+... +аф(т)=~тф(т).
45. Решить сравнение х2—1^=0 (modpm) (здесь
р — простое число, р > 2, т — натуральное число).
46. Решить сравнение х2—1=0 (mod2m).
47. Доказать, что если натуральные числа mi и т2
взаимно просты, а1 и а2 — произвольные целые числа, то
найдется один и только один класс чисел х по модулю
тхтъ такой, что х = аг (modm^, x = a2 (mod/n2).
48. Доказать, что если ml9 m2f ...,mk—попарно
взаимно простые, а а19а2,...,ак—произвольные целые
числа, то найдется число х = а{ (modm,.), однозначно
определенное по модулю тхт2 ... mk.
49. Доказать, что сравнение х2—1^0 (modn) при
п = 2тор™1 ... p™k (Px, ••¦,/??—нечетные простые числа,
тг ^ 1, ..., тк > 1, т0 ^ 0) имеет 2к решений при т0 == 0
или mo = l, 2k+1 решений при то=2 и 2k+2 решений при
11

50. Доказать, что произведение всех решений сравне-
сравнения х2—1з==0 (mod n) сравнимо с 1 по модулю я, если
число решений не равно 2, и сравнимо с —1, если число
решений равно 2.
51. Доказать, что сравнение х2 + 1 г 0 (mod р) не
имеет решений, если р = 3 (mod4).
*52. Доказать, что существует бесконечно много про-
простых чисел в прогрессии 4k + 1.
*53. Доказать, что (р—1)! + 1 = 0 (modp), если р —
простое число.
*54. Доказать сравнение (k\J + (—1)* = 0 (modp), где
р — простое число, p=2k+l.
*55. Пусть аи ..., аЛ, где k = ф (п),— приведенная
система вычетов по модулю п. Доказать, что ala..aft^
=— 1 (modл), если/г = 4, п=рт или п = 2рт (р — нечет-
нечетное простое число, т^ 1) и ах...0^=3 1 (modn) при
других значениях п.
56. Найти наименьший положительный вычет числа
З1000 по модулю 13.
57. Пусть т—натуральное число, не делящееся на 2
и на 5. Доказать, что десятичные разложения чисел а/т
при (а, т) = 1 имеют одинаковое число цифр в периоде
и это число есть делитель ср(т).
58. Какие вычеты по модулю 19 имеют числа 7п+ 11Л,
/1 = 1,2,3...
59. Решить сравнение 2п^п (mod 7).
*60. Решить сравнение 2п = п (modp), p—простое.
61. Решить сравнение 2" = /г2 (modp), p — простое.
62. Найти вычет по модулю 7 числа
в запись которого число 2 входит п раз.
*63. Доказать, что вычеты чисел ип по просто-
простому модулю р стабилизируются при достаточно боль-
большом п.
*64. Пусть а и Ъ — натуральные взаимно простые
числа. Доказать, что числа ах + by при целых неотри-
неотрицательных хну принимают все целые неотрицательные
значения, кроме некоторых меньших db> в количестве
(i)(Ei)
12

§ 5. Числовые функции
65. Функция \i со значениями |хA)=?1, \х (ргр2.. .pk) =
= (—\)к и ^(Р?1-. ./??*) =0, если хотя бы один показа-
показатель а{ больше единицы, называется функцией Мёбиуса.
Доказать, что 2 \i(d) = Q при д> 1.
*66. Доказать тождество ^ (ix (лг) — ==» 1.
1</г< д: ^ Л J
*67. Доказать следующую формулу обращения: если
/(«)=Е g(d), то «(«) = ? /(d)l* (-J) •
d\n d\n ч 7
68. Пусть функция f мультипликативна, т. е. / (п^)^
= / (п^ f (n2) при взаимно простых пг и /г2. Доказать,
что функции g(n)=^f (d) и Н(п) = ^1 (d) V> (-j) муль-
мультипликативны. d|rt d^n
69. Для мультипликативной функции / доказаты
a) ? a
b) S/ D) = П/i +/ (Pi) + ...+/ (p?0);
c) i
Здесь n^pi1 ... p^ft — каноническое разложение.
70. Исходя из формулы 2ф(^)=/г (здесь ср—функ-
d\ n
ция Эйлера), вывести формулу: ф (п) = м Г1 J ..»
(-l). Здесь п = р?...р*К
71. Пусть т(п)—число натуральных делителей
числа д. Доказать:
а) т(/1)-(а1+1) ... (а,+ 1); b)
с) % т (d) [i (d) = (-1)*;
d I n
Здесь n=p?' ... pj*.
13

72. Пусть 1(п) равно сумме натуральных делителей
числа п. Доказать:
b)?e<<*)ii(-3j-«;
d | n
*73. Доказать, что
n
у т№) = у Г«.1 и У
*74. Доказать, что
75. Пусть / (я)—функция, определенная при 0<л;<оо
и равная нулю при х < б. Положим ?(*)== 5^ / (-^г),
где а—вещественное число, а > 0. Доказать, что / (х) =*
(°бе суммы в действительности конечны).
i "Тг) И-
*76. Доказать, что число натуральных чисел, мень-
меньших М и свободных от квадратов (т. е. не делящихся
на квадрат простого), равно ^ ц (k) -p- .
*77. Доказать, что число точек с целыми взаимно
простыми координатами в квадрате 0
равно
k < М
*78. Пусть ft (n) — число простых делителей числа п.
Доказать, что ? 2*<*>= X т(тг) !*(»)• 3Десь
л:< М у<М К У J
т@= 2 т(г) (см- задачУ 73)-
2< t
Следующие задачи требуют знания элементов теории
бесконечных рядов. Введем в рассмотрение дзета-функ-
00
цию Римана ^(s)=X —. Ряд, которым задается ?(s),
п-\
14

сходится при всех вещественных s > 1 (он сходится и
при комплексных s при Res> 1).
79. Доказать, что (? (s)) = ? Й
00
80. Доказать, что щ = ? ^ •
81. Доказать, что ?(s) = H(l—5) *. Здесь р про-
бегает все простые числа (тождество Эйлера).
00
82. Выразить 2 щ~^ чеРез
83. Выразить ? (""^ГХ через S (s).
/г=1
Заметим, что этот ряд сходится, хотя и неабсолют-
неабсолютно, и при 0<s^l и его сумма является непрерывной
функцией от s, 0<s<oo.
84. Используя задачу 83 и учитывая, что 1—-к +
+ у—-j+ ... =1п2, найти lim (s—l)S(s).
85. Найти Hm -rj V |i(x)U- (этот предел мож-
но истолковать, как среднюю плотность чисел, свобод-
свободных от квадратов, в натуральном ряду).
*86. Найти среднюю плотность чисел, свободных от
квадратов, в прогрессиях 4k+1 и 46 + 3.
87. Найти среднюю плотность точек на плоскости с
взаимно простыми координатами среди всех точек с на-
натуральными координатами.
§ 6. Простейшие сведения о кольцах и полях
88. Доказать, что в любом кольце с конечным чис-
числом т элементов справедливо тождество: та =
0
т
89. Доказать, что кольцо (никаких предположений о
свойствах умножения, кроме распределительных зако-
законов, не делается), содержащее простое число р элемен-
элементов, либо изоморфно полю вычетов по модулю /?, либо
15

изоморфно аддитивной группе вычетов с нулевым умно-
умножением.
90. Доказать, что кольцо из четырех элементов 0, 1,
а19 а2 с правилами действий а\ = а2, а\ = аи ага2 = a2at = 1,
1 + 1=0, 1+аг = а2 образует поле.
91. Перечислить все кольца из четырех элементов,
содержащие 0 и 1 (не предполагая ассоциативности и
коммутативности).
92. Перечислить (с точностью до изоморфизма) ко-
конечные кольца с pq элементами, р и q — различные про-
простые числа.
93. Пусть т—данное натуральное число. Рациональ-
Рациональное число называется m-целым, если его знаменатель
взаимно прост с т.
Доказать, что множество m-целых чисел образует
кольцо (оно, очевидно, содержит кольцо целых чисел).
94. m-целое число называется обратимым или едини-
единицей, если обратное к нему тоже m-целое. m-целое число
называется простым, если его нельзя представить в виде
произведения двух m-целых необратимых чисел.
Доказать, что простыми m-целыми числами являют-
являются только простые делители числа т и произведения их
на обратимые числа.
95. Доказать однозначность разложения m-целых
чисел на простые множители.
96. Два m-целых числа называются сравнимыми по
модулю m-целого числа k, если их разность делится на
k в кольце m-целых чисел. Показать, что классы срав-
сравнимых по модулю k не изменятся, если заменить
число k некоторым натуральным числом, состоящим
только из простых* делителей числа т.
97. Доказать обычные свойства сравнений для m-це-
m-целых чисел: если a1^b1 (mod&) и a2 = b2 (modk), то
^-f ^ssbi + ba, a1—a2 = b1 — b2f a1a2 = b1b2 (mod&);
если а и b — обратимы в кольце m-целых чисел и
a = b (modfe), то a~1 = b~1 (mod&).
*98. Найти наибольший обший делитель чисел ат + Ьт
пап + Ьп, в предположении взаимной простоты чисел аи Ь.
*99. Доказать, что 1 +-2" + у+ • • • Л—— = 0 (modp);
здесь р>2—простое число.
* 100.Доказать,что 1+у +у+.. . +^ZT = 0(modp2);
здесь р^5—простое число.

ГЛАВА II
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Действия над комплексными числами
в компонентах
101. Вычислить B + 30D —50+ B —30D + 5/).
102. Вычислить
103. A+2/)*+ C — 50У = 1 — 3/. Найти х и у, счи-
считая их вещественными.
104. Решить систему, считая х> у, г, t вещественными:
C-0*+D-20
105. Вычислить:
а) A+206; Ь) B + 07 + B-07; с) ( ()
106. Выяснить, при каких условиях произведение
двух комплексных чисел чисто мнимо.
107. Выполнить указанные действия:
v 1+ttga. ы а±Ы. . A+202-B-03.НчA-0б-1
d; ; а — Ы% Ч
g @ +
108. Решить системы уравнений:
а) C — i)x + (A + 2i)y = 2 + 6i9 D + 2/)*— B + 30 У=
Ь)
с) y y
ix + 3iy—A+0 г = 30.
109. Вычислить:
17

1 / if 3
*110. Пусть (о=—-г-Н—^—. Вычислить:
a) (a + bo) + ceo2) (a + feco2 + ceo);
b) ( b) b b)
c) ( ) (
111. Доказать, что x2 + y2 = (s2 + t2)n, если
112. Вычислить:
a) j/2i; b)
e) |/"-ii+60f;
h) / ^
113. Решить уравнения:
a) **—B + 0 * + (-!+7*)=0;
b) x2—C—20л; + E—50=0;
c) B + 0 а:2 — E — 0 JC + B — 20=0.
* 114. Решить уравнения и левые части их разложить
на множители с вещественными коэффициентами:
а) х4 + 6*3 + 9л;2+ 100-0; Ь) *4 + 2л;2 — 24л: + 72 = 0.
115. Решить уравнения:
а) х4 — 3*2 + 4 = 0; Ь) л:4 —30л:2+ 289 = 0.
116. Составить формулу для решения биквадратного
уравнения л:4 + рл:2 + ? = 0 с вещественными коэффициен-
D2
тами, удобную для случая, когда —•—q<0.
*117. Доказать, что {±V a ± i V b)n при целых по-
положительных взаимно простых а и b не может быть ве-
вещественным, за исключением (±l±0w (я делится на 4),
(±l±iV~3)n (п делится на 3) и (±j/~3 ± i)n (n делится
на 6).
§ 2. Геометрическое изображение
и тригонометрическая форма
118. Построить точки, изображающие комплексные
числа:
1, -1, i, -i, —l+i9 2 — 3L
119. Представить в тригонометрической форме сле-
следующие числа:
а) 1; Ь) -1; с) i\ d) -i\ e) 1 + t; I) -l + i\
g) __i_t-; h) l-i; i) -l-*j/3; j) V3-L
*120. Представить в тригонометрической форме число
/
18

121. Представить в тригонометрической форме число
1 + cos(p + *sincp, считая —я<ф^л.
122. Пользуясь таблицами, представить в тригоно-
тригонометрической форме следующие числа:
а) 3 + /; Ь) 4 —г, с) -2 + 1.
123. Описать множество точек, изображающих комп-
комплексные числа:
а) модуль которых 1; б) аргумент которых-2-.
124. Описать множество точек, изображающих числа г,
удовлетворяющие неравенствам:
а) |г|<2; b)|2—J|<1; c)|z-l-*|<l.
*125. Доказать, что всякое комплексное число г,
отличное от —1, модуль которого 1, может быть пред-
представлено в форме 2 = 7^7^., где t—вещественное число.
*126. Пусть г проходит окружность |z| = l в поло-
положительном направлении. Представить наглядно переме-
перемещение точки Rz + pzny где 0<р<#.
127. Как перемещается точка—, когда z описывает
окружность с центром в точке а-\-Ы и с радиусом г.
128. Найти линию, по которой проходит точка г2,
если z обходит квадрат с вершинагми в точках —-1 — /,
2 — /, 2 + 2/, — l+2t.
*129. Найти линию, по которой проходит точка
2uR
2__ 2 р2, когда z пробегает окружность \z—а [ = 7?
(а—вещественное число).
130. Решить уравнение \z\ — 2 = а + Ь/ « выяснить
условие разрешимости.
131. Построить график функции | х +1/#2— 11 от ве-
вещественной переменной х, —оо<л:<оо.
132. Найти min|3 + 2r — г\, считая |г|^1.
133. Доказать тождество
какой геометрический смысл имеет это тождество?
134. z и zf—два комплексных числа, u — Vzz'. До-
Доказать, что
19

135. Показать, что если |z|<-5-> то
136. Выполнить действия:
a) (l + iK!)(l + 0(cos9 + isin<p);
« ч соэф + г sin(p # v (l — i У^З ) (cos ф + / sin ф)
' cosi|5 — tsinif ' ' 2 A — i) (cos ф — i siny) '
*137. Вычислить, пользуясь формулой Муавра:
а) (, + 0..; b) (i+i^P); с) (l-
и-
U/ (I—1J° "* A + 020
*138. Доказать, что:
a) A+0» = 2*
b) (}/3 — 0" =¦= 2" f cos -g— I sin -g- J;
целое число.
139. Доказать, что
1 — ttg/га
140. Доказать, что если z-\— = 2 cos 9, то
*141. Вычислить A+cosa-f-/sina)n.
142. Упростить A+co)", где со = cos-y + Jsin-^.
143. Извлечь корни:
a) v/1; b) j/2~^27; с) J/=4; d) УТ; e) /^
144. Пользуясь таблицами, извлечь корни:
а) \Z2-\-i\ b) j/3 — i\ с) ^/2 + 3^.
145. Вычислить:
T=T" к 8/ l+/ . , \/ \-i
i+t/з-
146. Выразить через cosx и sinx:
а) cos 5л:; b) cos 8^; с) sin 6x; d) sin lx,
147. Выразить tg 6ф через tgф.
148. Составить формулы, выражающие cos^a: и sin/гл:
через cos л: и sin л:.
20

*149. Представить в виде многочлена первой степени
от тригонометрических функций углов, кратных х:
a) sin3л;; b) sin4л;; с) cos5л:; d) cos6*; е) sin3хcos&x.
*150. Доказать, что:
m-i
a) 22Wcos2^ х = 2 2 Cin cos 2 (m—k) x + Cfm;
b) 22/я cos2*+** = 2 c2m+i cos Bm—
Ш-1
Ш1
c) 22Wsin2Wx = 2 % (—l)m+kC%mcos2 (m—k) x
/2 = 0
m
d) 2ая|8та/1И1л:
* 151- Доказать, что —— = Bcosjc)m~1 —
sin x
(
* 152. Выразить cGsmx через cos*.
*153. Найти суммы:
a) 1_C2+C^"-C«+...; b) C\-C* + C*-Cl+...
* 154. Найти сумму
ri L Г3 4- — Г5 L Г7 4-
^п з rt 9 я 97л'*'#
155. Доказать, что (х + а)т + (х + ао))т + (х + а(о2)т=
= Зхт + ЗС3тхт-3а3+ .. .+ЗС^хт'пап9 где co = cos^ +
о
+ i sin -тг, а л есть наибольшее целое число, кратное 3
и не превосходящее т.
156. Доказать, что
a)
b)
с) С
*157. Показать, что
. п +1
sin-~—
sin я + sin 2x + ... + sin па: =
sinT
158. Вычислить сумму ^- + cosa:+cos2a;+ .. .+cosaix.
21

159. Вычислить сумму
1 + a cos ф + a2 cos 2ф + • ¦ • + ak cos &q>.
160. Найти
lim A + у cos х + т cos 2л: + ... + щ cos nx).
161. Доказать, что если /г—целое положительное, а
в 1
8 — угол, удовлетворяющий условию sin — = — , то
cos -j + cos у + • • • + cos —y~ 9 == ^ sin nQ.
162. Доказать, что если х меньше единицы по абсо-
абсолютной величине, то ряды
a) 3)
b)
... +xnsm{
сходятся и суммы соответственно равны
cos a —хcos (a — ft) sina — #sin (a — ft)
+ x-2 ' 1— 2x cos
163. Найти суммы:
a) cos x + Cn cos 2x + ... + CJ cos (n + 1) jc;
b) sinA: + CAsin2A:+... +C^sin (^г+1) jc.
*164. Найти сумму
sin2 x + sin2 3* + ... +sin2B/2—1) a:.
165. Показать, что:
\ о . о о i i o n \ cos (/г+1)
a) cos2л: + cos22*+... +cos2nx = ^ 2з
iv. o I • «о i i • о n COS(/Z+ l)#Sin/lJC
b) sin2л: f sin22a: + - . +sm2nx = ^ l Jsi;nx .
* 166. Найти суммы:
a) cos x + 2 cos 2x + 3 cos 3x + ... + n cos nx\
b) sin a: + 2 sin 2x + 3 sin Зя + • • • + /i sin /гх.
§ 3. Уравнения третьей и четвертой степени
167. Решить по формуле Кардано уравнения:
а) Xs—6х + 9 = 0; Ь) х3+ 12л: + 63 = 0;
c) х3 + 9х2+18х + 28 = 0; d) 6
е) а:3 — 6а: + 4 = 0; f) a:3 + 6a:
g) a:3 + 3a:2—6a: + 4=-0; h) x* + 3x—2i = 0\
i) a:3 —6/a: + 4A —0=0; j) а:3 —ЗЬ
k) a:3 — fb 0
22

168. Доказать, что при решении кубических уравнений
с рациональными коэффициентами по формуле Кардано все
корни в формуле «извлекаются» в том и только в том случае,
если корни уравнения имеют вид 2а, —а±ЫУЗ при ра-
рациональных а и Ь.
* 169. Пользуясь таблицами, решить уравнения:
а) л:3—4л;—1=0; Ь) /3—4л; + 2 = 0.
*170. Пользуясь формулой Кардано, доказать, что
{хх-х2у (х.-х,J (*2-*зJ = -4р3-
если х1э х2У х3—корни уравнения + p q
(Выражение —4р3—27q2 называется дискриминантом
уравнения xs + px + q = Q-)
171. Доказать, что
а + oi
2а ]/а* + Ь2
гд$и—корень уравнения и3 — 3 (а2 + Ь2)и — 2Ь
*172. Вывести формулу для алгебраического решения
уравнения
хь
173. Решить уравнения:
a) хА — 2х3 + 2х2 + Ах—8 = 0;
b) x4 + 2x3 — 2х2 + 6л:—15 = 0;
c) х4—х3—х2 + 2х—2 = 0;
d) %4 — 4а:3 + Зл:2 + 2л;— 1-=0;
e) х* — Зх3 + х2 + 4х—6 = 0\
f) jc4—6л;3 + 6л;2 + 27л:—56 = 0;
g) л;4 —2л;3 + 4л;2 —2л; + 3 = 0;
h) л;4—л;3 — Зл;2 + 5л;—10 = 0;
)
j) л;4 + 6л;3 + 6л;2— 8 = 0;
к) л;4 —6л;3 + Юл;2 —2л;—3 = 0;
1) л;4 — 2л;3 + 4л;2 + 2х— 5 = 0;
т) л;4—л;3 —Зл;2 + л;+1=0;
п) л;4 —л;3 —4л;2 + 4л;+1 = 0.
174. Способ Феррари для решения уравнения чет-
четвертой степени л;4 + ал;3 + Ьх2 + ^ + ^= 0 состоит в том,
что левая часть представляется в виде
23

и затем к подбирается так, чтобы выражение в квад-
квадратных скобках было квадратом двучлена первой степени.
Для этого необходимо и достаточно, чтобы было
(*_е)-_4(-+*-»)(»_,)-о.
т. е. К должно быть корнем некоторого вспомогатель-
вспомогательного кубического уравнения. Найдя Я, раскладываем
левую часть на множители.
Выразить корни вспомогательного уравнения через
корни уравнения четвертой степени.
§ 4. Корни из единицы
175. Написать корни из единицы степени:
а) 2; Ь) 3; с) 4; d) 6; е) 8; f) 12; g) 24.
176. Выписать первообразные корни из единицы сте-
степени:
а) 2; Ь) 3; с) 4; d) 6; е) 8; f) 12; g) 24.
177. Показать, что число первообразных корней п-и
степени из единицы четное, если п > 2.
178. Для каждого корня а) 16-й; Ь) 20-й; с) 24-й сте-
степени из единицы указать показатель, которому он при-
принадлежит.
179. Выписать «круговые полиномы» Хп(х) для п,
равного:
а) 1; Ь) 2; с) 3; d) 4; е) 5; f) 6; g) 7; h) 8;
i) 9; j) 10; k) 11; 1) 12; m) 15; n) 105.
180. Написать полином Хр(х), где р — простое число.
*181. Написать полином Хрт(х)> где р— простое
число.
*182. Найти сумму всех корней /г-й степени из 1.
*183. Вычислить 1 +2б + 3е2+ ... + п&п~1, где е-ко-
е-корень п-й степени из 1.
*184. Пусть е—первообразный корень степени 2 п из 1.
Вычислить сумму 1
185. Найти суммы:
b) 8ln^ + 28ln^+..
*186. Определить сумму первообразных корней:
а) 15-й; Ь) 24-й; с) 30-й степени из единицы.
24

*187. Составить простейшее алгебраическое уравне-
уравнение, корнем которого является длина стороны правиль-
правильного 14-угольника, вписанного в круг радиуса 1.
188. Доказать, что
где ел = cos —^—|-1 sm —^— •
189. Показать, кто корни уравнения К (г—а)п +
+ |n(z—Ь)" = 0, где К, р,, а, Ь — комплексные, лежат на
одной окружности, которая в частном случае может
выродиться в прямую (п — натуральное число).
190. Решить уравнения:
а) (х+1)т—(х— \)т = 0; Ъ) {x + i)m — (x—i)m = 0\
с) хп--пахп'1 — С2па2хп-2— ... — ап = 0.
191. Доказать, что если А — комплексное число, мо-
модуль которого 1, то уравнение
имеет все корни вещественные и различные.
*192. Решить уравнение
cos (ср + 2а) х2+ ...
... + Спп cos (ф + па) хп = 0.
Доказать следующие теоремы:
193. Произведение корня степени а из 1 на корень
степени Ь из 1 есть корень степени ab из 1.
194. Если а и b взаимно просты, то все корни сте-
степени аЬ из 1 получаются умножением корней степени а
из 1 на корни степени b из 1.
195. Если а и Ъ взаимно просты, то произведение
первообразного корня степени а из 1 на первообразный
корень степени Ь из 1 есть первообразный корень сте-
степени ab из 1 и обратно.
196. Доказать, что ф (ab) = ф (а)ф (Ь), если а и b вза-
взаимно просты, пользуясь тем, что ф(п) есть число перво-
первообразных корней степени п.
*197. Доказать, что при п нечетном, большем 1,
х,„ (*) = *„(-*)•
198. Доказать, что если d составлено из простых
делителей, входящих в пу то каждый первообразный
корень из 1 степени nd есть корень степени d из перво-
первообразного корня /г-й степени из 1 и обратно.
.25

*199. Доказать, что если n==pj»pj« ... p%k, где
Ри Р29 •••> Pk—различные простые числа, то Хп (х) =»
= Х„* (*""), где
*200. Доказать, что коэффициенты полинома XPQ(x),
где /? и q—неравные нечетные простые числа, равны 0, 1
или —1.
201. Доказать, что все полиномы Хп(х) при м<104
имеют коэффициенты 0, 1, —1.
202. Пусть р—простое число, не делящее п. Дока-
Доказать, что
AP"W- Xn(x) •
203. Доказать, что сумма первообразных корней п-и
степени из 1 равна функции Мёбиуса |ы(м).
204. Доказать, что Xn(x) = J\ (xd—lf\T), где d
пробегает все делители п.
*205. Найти Хп(\).
*206. Найти Хп(— О-
*207. S=-l+e + e4 + e9+...+e("-1J, где е-перво-
е-первообразный корень степени п из 1. Найти \S\.
§ 5. Показательная функция и натуральный логарифм
Показательная функция от комплексной переменной z
определяется при помощи формулы Эйлера: ea+bi =
= еа (cos Ь + i sin b). Из нее следует: cos ср = -j (е'ф + e~i(p)t
sin9 = -2j- (fnp—e~i4)). Тригонометрическая форма комплекс-
комплексного числа: а = г (cos ср + i sin ф) превращается в а = ге^=
= е\пг+щ% Это делает естественным определение нату-
натурального логарифма: 1па = 1пг + ^'ф» Натуральный лога-
логарифм определен с точностью до целого кратного 2ni.
*208. Найти lim (^±Y
209. Во что превращается в свете формулы Эйлера
правило сложения аргументов при умножении комплекс-
комплексных чисел? Тот же вопрос для формулы Муавра.
——с
210. Вычислить: а) е™\ b) e 2 .
26

211. Вычислить: а) 1п(—1); Ь) 1пA+0-
212. Найти ln(x + iVl— х2), —1<*<1.
213. Выразить arctgx через логарифмическую функ-
функцию.
§ 6. Некоторые обобщения
214. Пусть К—поле и т?К не является квадратом
элемента из К- Рассмотрим множество пар (а, Ь) элемен-
элементов a, b ?Ку считая
1) (a, b) = (c, d)&a = c, b^d,
2) (atb) + (c,d) = (a + c,b + d),
3) (а, b)-(c, d) = (ac + mbd, ad + bc).
Доказать, что множество пар с таким определением
действий образует поле Кх (называемое квадратичным
расширением поля К), в котором т является квадратом,
именно т= (О, IJ. Пары (а, 0) образуют подполе, изо-
изоморфное /С, поэтому естественно не различать а ? К и
(я, 0)?/Ci. Любая пара записывается, при этом согла-
соглашении, в виде a + bj, где / = @,1), /а = т.
215. Показать, что в квадратичном расширении поля
GF(p), р^З, содержится ровно р2 элементов.
216. Показать, что конструкция, описанная в за-
задаче 214, при применении к полю GF (/?) приводит к изо-
изоморфным полям, независимо от выбора т.
217. Доказать, что все квадратичные расширения
(в смысле задачи 214) поля R вещественных чисел изо-
изоморфны полю С комплексных чисел.
218. Доказать, что поле рациональных чисел имеет
бесконечно много неизоморфных квадратичных, расши-
расширений.

ГЛАВА III
ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
§ 1. Действия над матрицами
219. Выполнить действия:
b) 3A,-1,0,3) + 2(-1,2,3,1)-A,1,6,11);
/1 2 —1\ / —1 3 1\ /241
CLU I i)+3( 2 i 2;-2(_1 з 2
220. Умножить матрицы:
/2 1\ /1 —1\_ ич /3 5\ f 2 1
/3 1 1\ /1 1 —1
c) 2 1 2
\1 2 3/ \1 О
/1 2 3\
d) 2 46
\3 6 9.
/1 2 1
e) ( 0 1 2
\3 1 1
/a b с
i) ( с b a
\1 1 1
/ 0 а
(-а О
84 -ft -d
\—с — в —/ О
28

221. Выполнить действия:
9 1 1
с>
2V
-4 —2 '
d)
0
/C0S<p —
e) \sinq>
г/
1 2Уп
*222. Найти lim | | , а—вещественное число.
223. Умножить матрицы:
2 1 1\ /3 Л /3 2
с) 1 ) и A2 3); d) A 2 3) и 4 J.
/3 2 1 2\
224. Вычислить ЛЛт, где Л = ( ), а Лт — мат-
матрица, транспонированная к А.
225. Проверить, что
*п
(с19 c2t ...,
12 ... аг
9'Л *». ^9
ak2 • • •
k k
= с1(а1и а12, ..., al
l, а22, ...,
«1
^1Я
'ап
«и
п
<*2т
29

226. Что представляют собой строки (столбцы) матри-
матрицы АВ в терминах строк А и строк В (соответственно,
столбцов А и столбцов В).
227. Что произойдет с матрицей, если ее умножить
слева (справа) на матрицу вида
П .
О ... 1
1 ... О
(О
228. Что произойдет с матрицей, если ее умножить
слева (справа) на матрицу вида
П
(О
229. Можно ли рассматривать действие «добавить
к первой строке матрицы все остальные» как умножение
(слева или справа?) на некоторую вспомогательную мат-
матрицу?
§ 2. Определители второго и третьего порядков
230. Доказать, что определитель второго порядка
с элементами из поля равен нулю в том и только в том
случае, если его строки пропорциональны.
30

231. Вычислить определители:
а)
d)
g)
j)
1)
2 3
1 4
a
с—di
; b)
cos a sin a
sin p cos p
cos ф + i sin ф
1
a + b a—b
2 1
— 1 2
;e)
h)
; c)
sin a cos a
—cos a sin a
a + bi c + di
—c + di a—bi
tga —1
1 tga
1
sin a cos a
sin p cos p
a—b a+b
соэф — /sin i
x—l
X* X*
; m)
1
-x+
a + b b + d
a + c c + d
1
; n)
e
j
»
1
8
:sin?.
где e = cos-^--
232. Вычислить определители:
1
— 1
j
а)
с)
е)
где co = cos —
1 1
0 1
-1 0
b)
0 1 1
1 0 1
1 1 0
a
—a
—a
1
— f
1 —t
a
a
—a
i 1
1
0
a
X
X
d)
+ i
0
1
; Ь
1
1
1
1
1
1
1 1
2 3
3 6
1
@
CO2
;
1
@
0)
/sin
2я
233. Определитель
5 3
3 7
с элементами из поля вы-
вычетов по модулю 13 равен 0. Пропорциональны ли его
строки?
234. Определитель
а Ь
с d
с элементами из кольца вы-
вычетов по модулю т равен нулю. Обязаны ли его строки
быть пропорциональными?
31

§ 3. Перестановки
235. Выписать транспозиции, посредством которых от
перестановки 1, 2, 4, 3, 5 можно перейти к перестановке
2, 5, 3, 4, 1.
236. Определить число инверсий в перестановках:
а) 1, 3, 4, 7, 8, 2, 6, 9, 5; Ь) 2, 1, 7, 9, 8, 6, 3, 5, 4;
с) 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1.
237. Подобрать I и к так, чтобы:
a) перестановка 1, 2, 7, 4, i9 5, 6, k, 9 была четной;
b) перестановка 1, i, 2, 5, к, 4, 8, 9, 7 была нечетной.
238. Определить, число инверсий в перестановке /г,
/г-1, ..., 2, 1.
239. В перестановке af, а2, ..., ап имеется /инвер-
/инверсий. Сколько инверсий в перестановке ая, o^.j,, ..., а2, ах?
240. Определить число инверсий в перестановках:
a) 1, 3, 5, 7, ..., 2/1—1, 2, 4, 6, ..., 2/г;
b) 2, 4, 6, 8, ..., 2/г, 1, 3, 5, ..., 2/1-1.
*241. Пусть м?—число перестановок множества W=,
= {1, 2, ..., /г}, имеющих ровно & инверсий. Доказать
что
п(п- 1)/2
242. Доказать, что число инверсий в перестановке
равно минимальному числу транспозиций соседних эле-
элементов, переводящих перестановку в натуральное располо-
расположение.
243. Умножить подстановки (первая действующая пи-
пишется слева и подстановки читаются сверху вниз):
/12345\ /12345s
a) \53142/Л31254
/123456 7\ /123456 7
b) \546732lJ Д4765321
244. Разложить следующие подстановки на циклы:
/123454 /12345674
а) \54 3 2lJ' Ь) V3ST2 1 67 4У '
c) A2) A3) A4) A5) A6).
32

245. Выполнить умножение
гал а,... аЛ
246. Разложить на циклы произведение
)()()
... Bм —4, 2п— 1) Bп — 2, 2л).
/1 2 ...л \
247. Сопоставим подстановке I t о = а (че-
\1а2а... па/ v
рез /га обозначается результат действия подстановки а на
элемент k) квадратную матрицу UG порядка /г, у которой
в /-й строке элемент/а-го столбца равен 1, остальные —
нули. Доказать, что
a) Uс
(г
»
b)
§ 4. Определение и простейшие свойства определителя
248. С каким знаком в определитель 6-го порядка
входят произведения:
а) а23ача^аЪйаыа6Ь\ Ъ) а32аАЗаыаЪ1авва2Ъ?
(Первый индекс—номер строки, второй — номер
столбца.)
249. Входят ли в определитель 5-го порядка произ-
произведения:
а) а13ама23апа5Ъ\ Ъ) а21а13а34а55а42?
250. Подобрать i и k так, чтобы произведение
аиа32а^ка2Ьаъз входило в определитель 5-го порядка со
знаком плюс.
251. Записать (пользуясь определением) определитель
четвертого порядка в развернутой форме.
252. Выписать все слагаемые, входящие в определи-
определитель 5-го порядка и имеющие вид u^a^a^ct^afi^^ Что
получится, если из их суммы вынести аыа23 за скобки?
253. С каким знаком входит в определитель д-го по-
порядка произведение элементов главной диагонали?
254. С каким знаком входит в определитель n-го по-
порядка произведение элементов второй диагонали?
33

255. Почему определитель
1 а2 а3 а4 а5
аг а2 О О О
х Ь2 0 0 0
сг с2 0 0 0
равен нулю?
256. Вычислить определители:
1 0 0 ... О
О 2 0 ... О
а)
О О
0 0 0
0 0 0
,. О 1
. 1 О
1 0 0 ... О О
с)
О О О ... п
Замечание. Во всех задачах, где из условия не
виден порядок определителя и не сделано специальной
оговорки, условимся считать его равным п.
*257. Доказать, что определитель n-го порядка, у ко-
которого каждый элемент aik является комплексно-сопря-
комплексно-сопряженным элементу akh равен вещественному числу.
258. Доказать, что определитель нечетного порядка
равен 0, если все элементы его удовлетворяют условию
равен А.
(кососимметрическии определитель).
259* Определитель
«U
«21
««1
«12
«22
• * ' 1/2
. . . п2п
Чему равен определитель
«21
«31
««1
«И
«22
«32
«»2
«12
... а2п
... а3п
... апп
• • • «in
34

260. Доказать, что если все элементы одной строки
(столбца) определителя равны единице, то сумма алге-
алгебраических дополнений всех элементов определителя равна
самому определителю.
261. Как изменится определитель, если все столбцы
его написать в обратном порядке?
262. Изменится ли определитель, если его матрицу
транспонировать относительно второй диагонали?
263. Что произойдет с определителем, если его ма-
матрицу повернуть на 90° против часовой стрелки?
264. Упростить запись алгебраического дополнения
A-j для унитреугольной матрицы общего вида:
1 а
0 1
12
0 0
1
*265. Числа 204, 527 и 255 делятся на 17. Доказать,
что
2 0 4
5 2 7
2 5 5
делится на 17.
266. Вычислить определители, разложив их по эле-
элементам строки (столбца), содержащей буквы:
а)
с)
267. Доказать, что
b+c c+a a+b a b
2
а
Ь
с
d
1
0
а
-1
1
0
1
1
0
-1
b
—1
1
1
0
1
—1
—1
с
1
1
1
1
0
*
J
1
d
0
>
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
X
У
z
t
35

268. Упростить определитель
ложив его на слагаемые.
269. Вычислить определители:
am + bp an + bq
cm +dp cn + dq
раз-
a)
1
3
1 О
4 О
6 10 О
9 14 1
О
О
О
1
5
Ь)
аг О Ъх О
О ct 0 dx
b, 0 о2 О
О d, 0 с,
5 15 24 1
О 24 38 1 25 81
270. Написать разложение определителя четвертого
порядка по минорам первых двух строк.
271. Вычислить определитель
2 10 0
12 10
0 12 1'
0 0 12
пользуясь разложением по минорам второго порядка.
272. Пусть А, В, С, D—определители третьего по-
порядка, составленные из матрицы
вычеркиванием соответственно первого, второго, третьего
и четвертого столбцов. Доказать, что
¦2 С?2
:з d3
а3 b3
О 0 ох Ьх
О 0 а2 Ь2
О 0 о, Ь.
О О
О О
О О
c2 d2
= AD—BC.
§ 5. Вычисление определителей
*273.
13547 13647
28423 28523
274.
246 427 327
1014 543 443
-342 721 021
36

275.
3 1
1 3
1 1
1 1
278.
280.
282.
284.
X
У
х + у
286.
288.
1 1
1 1
3 1
1 3
•
1 1 1
1 2 3
1 4 9
1 8 27
2 1 1
1 3 1
1 1 4
1111
1 1 1
0 111
1 0 а Ь
1 а 0 с
1 b с 0
1
1
1
1
1
4
16
64
1
1
1
1
•
1
1
1
1
6
У х + у
х + у
X 1
0 а
—а 0
-b —d
—с —е
х Q —\
1 х —1
1 0 х—1
0 1 —1
0 1 —1
к
1
1
1
0
X
0
b
d
0
-/
0
0
1
1
X
276.
1
2
3
4
283
с
е
f
0
1 1
3 4
6 1С
10 2С
279.
281.
к
[
) •
)
1
-2
3
4
5
1
0
0
0
bt Ьг
ь3 ь3
ь, ь7
Ь9 Ь9
285.
1+х 1
277.
1 2 3
2 3 4
3 4 1
4 1 2
2 3
1 -4
—4 —1
6
5
1
0
0
0
к
К
ь,
ья
1 1-х
1 1
1 1
287.
•
289.
1
X3
1
4х3
а
Ъ
с
d
X
3 -2
0 0 0
6 0 0
5 6 0
1 5 6
0 1 5
0 0
0 0
Ьв 0
b, bs
К ъи
1
1
1+2
1 1
bed
a d с
dab
с b a
л;2 Xs
X* X 1
2х Зхг 4д
3
х2 2х 1
4
1
2
3
¦
4
3
2
— 1
1
1
1
—
•
с3
z
•
37

*290
291.
1
1
1
1
1
*293
*294
1
1
1
1
*296
*297
1
2
3
л
СОЭф
соэ2ф
соэЗф
соэ4ф
к
2л;
4л;
i
«1
2
3
4
1
1
i
а
0
0
0
0
ь
+
а,
«1
1
1
1
1
3
4
5
2
X2
9л;2
У'
0
а
0
0
Ь
0
1-
• •
8Шф
зт2ф
зтЗф
8Ш4ф
(
Х>Эф
2 cos 2ф
3 cos Зф
4 cos 4ф
*29S
хъ х*
4х3 5%4
16л:3 25л:4
У" i
4у3 bi
0 ... 0
0 ... 0
а ... Ь
Ь ... а
0 ... 0
0 ... 0
аг
а2
а2 + Ь2 ..
а% ..
2 3 ...
1 1 ...
1 1 ...
-л 1 ...
л
. 1
2
л—1
•
/4
0 Ь
b 0
0 0
0 0
а 0
0 а
1
-1
-1
—1
sin
ф
2 sin 2ф
Зэ!пЗф
4 sin 4ф
•
>#
2 3 .
0 3 .
-2 0 .
—2 -3 .
(порядка 2л).
а„
¦ ап
. ап + Ь,
л —1
1
1—л
1
298.
xty2 х2
х1Уз xt
X
хУп
х2
*295.
2
¦
12 2.
2 2 2.
2 2 3.
2 2 2.
л
1—л
1
1
•
У* ххуъ ...
У2 2с/з * * *
Уз х3у3 ...
Уп
%зУп
.. л
.. л
.. л
.. 0
.. 2
.. 2
.. 2 .
.. л
*!</„

а
1
0
0
0
*299.
*300.
301.
ах —а.
0
0
0
1
*303.
*304.
*305.
а2
2а + Ь
1
0
0
*306.
а2
0
0
1
а
—а
0
0
X
j
0
0
, о
—а
а
0
1
1
-1
0
0
0
— 1
0
0
0
(а + Ь)
2а+ 31
0
0
a + h
а
—а
0
X
0
0
3
з
1
0
. • .
...
...
...
-ь
—1
1
2
)
а ар
1 а-
0
0
-и
1
0
0
0
ь%
a + 2h
0
а
0
0
0
X
— 1 л
0
0
0
. . .
• • •
сп
0п-г
0
0
0
an-i —ап
1 1
0
t К
1-6,
0
0
0
i-b2 b3
—1
0
0
0
(а +
0
0
а
+ ап
0
0
ь3
0
0
0
0
i-ft. ь,
0
. . »
• . .
2bJ ...
...
0
а8 ..
+ Р ••
0 ..
0
а+(п —
0
0
а
302.
•
х у
0 х
0 0
У 0
...
. * ¦
1-
...
, , ,
. . .
... 1-
0
0
0
2а + Bп—1N
. 0
. 0
. 0
. 1
1
0
0
0
а
+ Р
•
0
0
0
-ь
0
0
0
1)
0
У
0
0
1
ь,
h
•
... 0
... 0
... X
... 0
0
0
0
-1 bn
\—t
0
0
0
(a + nbJ
0
0
и
X
2а + Bп+\)Ь
39

*307.
а + р
1
0
0
*309.
310.
*311.
*313.
*314.
1 1
1 С\
1 pi
1 U3
1 спп-
ар
а + р
1
0
—
с
а,
1
0
0
0
2 cos9
1
0
X
1
0
0
1
1
1
1
1
а0
1
с
с
¦1
С
1
X
1
0
С1
cl
С1
Cl
с\
1
п—\
0
ар
* + Р
0
а%
2
— 1
0
0
1
...
—
2 cos 6
0
0 ...
1 ...
х ...
0 ...
pi
-1 С\
С2
Г2
0
а2
• *.
...
...
...
0
0
0
X
i
_х
-»
1
С1
Съ
0
0
0
1
а3
1
2
0
1
0
•
С
с
с
0
0
4-1
Qn-\
0
0
0
а+Р
а4
0
-1
_
... 0
... 0
308
2
1
0
0
...
• . •
1
0 —
0
0
... 1 2cos0
*312.
3
3
...
. . .
. . .
*315.
1
С1
С2
^т+п
с а
Ь с
0 Ь
0 0
0 0
ПП-1
СПп~Л
СТА
0
0
«л-2
1
Ст.
.
1
2
1
0
2
1
0
а
с
0
0
С
0 0 .
1 0 .
2 1 .
0 0 .
а„
0
0
—1
2
.
... 0
... 0
... 0
... с
... b
рп-1 о
0
0
0
0
1
рп
0
0
0
п -1 &п
*
...С)п
¦•¦Cm
... С
m
0
0
0
а
с
i
i
¦
1
0
0
0
2
1
40

*316.
11 0 0 ... О
1 С\ С\ О ... О
А
о
m
k+rn+i
1 С\
318.
*319.
1 0 0 ... О 1
Ci 0 ... О х
Г1 Г2 Л х2
1 pi p2 Ptl
'П-1 Ytl
321.
x a a
a x a
a a x
a a a
*323.
1+а2
*317.
->k
k pk+i pk+n
m+l ^ m-4-l • • • ^m+l
Ck
n
^m+rt
Jk+ 2m
*320.
0 1 1
1 0 1
1 1 0
1 1 1 ... 0
*322.
x a, a,
a, a, a.
324.
1
л: а2 л:
л: л: а,
... l+an
л:
325.
xx a2 a3 ... я^
at x» a» ... а„_.
t a2 a3 ... ^_x ^
^1 #2 a3 • ' * an-l Л
326. Доказать, что определитель суммы двух матриц
А и В порядка л равен сумме всех 2п определителей
матриц, получающихся из Л заменой части столбцов А
соответствующими столбцами из В (включая сами ма-
матрицы А и В).
41

*327. Вычислить
2at
аг + ап
2а2
2ап
*328. Пусть В = (Ь19 6Я, ...,ЬЯ), С = (??!, с2, ...,ся)т,
/I А
А А А
Л12 Л22 • * * лл2
<А1п Л2п .. . Апп/
взаимная с А матрица. Доказать, что det(i4 + C5) =
= det A + BAC.
329. Вычислить
+ схЬг с,Ь2 ... сгЪп
c2bx l + c2b2 ... c2bn
cnbx с
*330. Доказать, что
nbn
Здесь D—диагональная матрица порядка п, Г пробегает
все подмножества множества iV = {1, 2, ..., /г}, включая Af
и пустое множество, d?—произведение элементов D,
номера которых составляют Г (принимается, что произ-
произведение пустого множества сомножителей равно 1), Лг —
субматрица матрицы Л, получающаяся вычеркиванием
строк и столбцов с номерами, составляющими Г.
331. Записать &ei(A-\-xE) в виде полинома, распо-
расположенного по степеням х.
Вычислить определители:
аг + а2 ... с
\+2ао ... (
333.
2ап
Я1 + Х2
ап + хп
42

*334.
a2b1 a8&! ... anb1
a2b3 x3
апЬг
а„Ь,
афп "А афп ... хп
335.
336.
*337.
х
а\
а\
(x—aj*
ам„
а
—а х
—а —а
а
а
х
... (х-ап)*
(х—о2J ... агап
а2ап ... (х—апУ
338.
х у у
z х у
Z Z X
—а —а —а
339.
У а2
а
а
а
— а
а
а
а
X
У У У
*341.
у у
у у
у у
z z z .. х у
Z Z Z ... Z X
*340.
О а2 а3 ай ... aB_t а„
Ьх 0 а3 а4 ... а„_х а„
bx b2 0 а, ... ап_х ап
х b2 b3 b, .
\ b2 b3 bs .
О ап
Ъп_г О
*342.
1
О
1
О
ап
h —\ О
ft -1
hx h
hx" hx"-1 hx"'2
О
О
—I
О
... О
... О
... О
п~ъ ... h
43

1
Хп
*.l
х
а
1
"^22
х
а2
а
1
Хп3
а3 .
а2 .
а
Хп4
.. ап
.. а"
.. 1
*345. Доказать, что
1» Ух
гп У*
апп Уп
х„ г
344.
1 х х2 ... л;"-1
"'1 1 л: ... хп~2
х2
= г det Л — ХЛК,
1
где А=\ , А — взаимная с А матрица,
Вычислить определители:
346.
0 1 1
1 аг О
1 О а9
1 О О
*348.
12 3 4 5
112 3 4
1x12 3
1 х х 1 2
I X X X X
*350.
аох*
аох"-*
апхп
1
О
О
п
.. п—1
. rt—2
. n—3
1
347.
0 1 1
1 О 1
1 1 О
1 1 1
</i Уг Уз
*349.
12 3 4...
х 1 2 3 ...
х х 1 2 ...
х х л: 1 ...
х х х х .
О ... О
Ь, ... О
...О х„
•• Уп О
rt
rt—1
rt—2
rt—3
1
О
О
Ьп-г
... а„_2
44

351.
ап
а"~х
а
1
353
(а-1)»
(а—I)"
а—1
1
1
х\ + х
... (а — п)п
... (а-л)»-*
... а—п
1
1
х2+1
52.
wx
wn
1
ха+1
4 + ^3
«1
«я
af ... «Г1
al ... Яг"
в» ... а"-1
1
• Х» + х»
354.
Ф1
Фх
1
Ф1 (Хп)
где
(х) =xk + а^х*'1 + ... + akk.
355.
1
где
/2—1
л: (л:— 1
Х2
П—\
Хп
Л—1
Ь2.../г
*356. Доказать, что значение определителя
\ ах а\ ... а?
1 ая а! ... лГ
1 а а2 а*1-1
при целых аг, а29 ..., ап делится на \n~i2n
Вычислить определители:
357.
по
ат[
CLn>
a1u1
n un—i
ип
Do
an+lun-\i
45

358.
*1— 1*2 — 1
«я— 1
л2
2?»
a2
*359.
+ 1 a\n
.. a
i
Л+1
*360.
1 COS ф0 СОз2ф0
... COS (п—1)
... COS (Я—1)
sin
О5 2Ф,,.! ... COS(M—
sinna0 ... sin a0
sinnax ... sin аг
n-i
363.
X
1 1
x2
x2
Xn
::365.
l+xt l+xj ... 1+x»
s\r\(n+\)an smnan ... sinart
1 1 ... 1
*i(*i—1) x2(x2—\) ... xn(xn—l)
x\{x1—\) x\(x2—\) ... x\(xn—\)
1
Y2
X2
1
Y2
Xn
S-l yS-1
1 л2
rs-i
Л 2
46

I х л;2 ... xn
1 2x Зх2 ... (n+ \)xn
1 24 32*2 ... (n + l)*xn
1 2n'1x З"-1^2 ... (n+1)"-1
Уг
Уп
*367.
*368.
69.
1
0
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
X
1
0
0
У
1
0
x2 ...
C\x ...
1 ...
0 ...
y2 ...
C\y ...
0 ...
X X2
2x 3x2
24 34
2*
X
—n
0
0
Hi У\
У* У\
1
x—2
— (n—
0
хп~г
C\^xn
/°2 уП-3
^^-1 У
... X"
... пхп~г
2 ... п2х»-^
X2 ... nk~1Xn~l
• • • f/Г1
... уГ1
0 0 ...
0
2 0 ... 0
I) x—4 3 ... 0
0 0
... —1
0
0
0
х—2/
370.
х 1 0 0 ... О О
п—\ х 2 0 ... О О
О и—2 х 3 ... 0 0
О
О О О ... 1 х
•17

*371.
372.
1
1
1
2
1
1
2
1
3
1
1
3
1
4 ••'
1
1
п
1
л-И
1
п п+1 п+2
2я—1
*373. Найти коэффициент при наименьшей степени х
в определителе
§ в. Применение умножения матриц
к вычислению определителей
374. Вычислить определитель Д посредством умноже-
умножения его на определитель б:
а) А =
Ь) Д =
с) Д =
1 2
— 1 0
— 1 1
2 3
— 1
— 5
— 12
9
a b с
bad
с d a
deb
3
—3
0
5
9
5
—6
0
d
с
b
a
»
4
—8
— 13
15
—2
>
3
3 —2
1
—2
6 =
1
1
1
1
1
1
8
1
1
— 1
— 1
1
0
0
0
6 =
1
— 1
1
—1
—2
1
0
0
1
—2
3
—3 -
1
— 1
— 1
1
0
1
2
i
•
-3
0
1
0
0
0
1
2
j
0
0
0
1
>
1
2
1
1
48

375. Вычислить квадрат определителя:
а)
с)
1111
1 1—1—1
1 —1 1 —1
1—1—1 1
abed
—Ь а —d с
—с d а —Ь
—d —с b a
Ь)
1—1 1—1
2 2 11
2 0—3—1
3—7—1 9
376.
Hi
hi
«О.Л-1
12
Чему равен
<Po(*i) Фо(*2) ... Фо(*я)
<Pi(*i) <Pi(*a) ••¦ <Pi(xn)
где
Фп-lC^l) Ф«-1
... +ап_и /Х*-1?
Вычислить определители:
*377.
378.
1 —
379.
2«-i 3*-i ... (/i+l)»-1
д" (/г + 1)^-1 ... Bn—l)n'1
49

*380.
S
2П-2
где Sfc =
*381.
1
8
e2
1
e2
1
8"
где 8 = cos H'sin —.
*382.
a0
an-i
at а2 а3 ... а0
(циклический определитель)
383. Применить результат задачи 382 к задачам 321,
302, 344.
Вычислить определители:
384.
1
1
1
i
п-г рп-1
п-1 °«-1
п-\ рп-г
385.
386.
С1
—1
1
1
С2„_,
—1
—1
1
с
р
...
...
"•3
—1
—1
—1
—1
—1
1
1
J
—1
1
п—р
1 ...
1 ...
—1 ...
1
1
1
_1 _1 ... —1111 .
cos 0 cos 26 ... cos n0
cos nQ cos 0 ... cos (n—1H
—1
cos 20 cos 30 ...
COS0
50

387. Доказать, что
а0 аг ах а2 аг а2
а2 а2
ах а2
а2 аг
а, а0.
а,
а, а,
аг
а, а,
и>2 и о it}
а2 а2 а0
а, а<ь а2
Вычислить определители:
388. at a2 а3
««-2
—а» —с
(косоциклический определитель).
389.
«1
*391. Доказать, что detL/
§ 7. Применение умножения матриц,
разбитых на клетки, к вычислению определителей
(А А> \
*390. Доказать, что определитель матрицы ( .% л3)»
где А—произвольная квадратная матрица, равен нулю.
/ F R\
L/* J = det (D—CB). Здесь
В и С—произвольные тхп- и яхт-матрицы, D — квад-
квадратная матрица порядка п.
*392. Доказать, что det (Ет + АВ) = det (?Я + 5Л).
Здесь Л — произвольная mxn-матрица, Б — произволь-
произвольная яхт-матрица.
*393. Доказать, что det (tEn+BA) = tn-mdet (tEm+AB).
*394. Доказать, что если матрицы А и В коммути-
(А В\
руют, то det (^ ) = det(DЛ — СВ).
51

395. Тензорным или кронекеровским произведением
двух матриц А и В называется матрица, составленная
из блоков а{/В, где А = (аи). Обозначим ее А®В. До-
Доказать:
а)
Ь)
c) сА®В =
d) (A^BJ-iA^BJ^.
(если указанные действия имеют смысл).
396. Вычислить det (А®В). Здесь А и В — квадрат-
квадратные матрицы порядков тип.
*397. Пусть матрица С порядка тп разбита на п2
равных квадратных клеток. Пусть матрицы Aik, обра-
образованные элементами отдельных клеток, попарно комму-
коммутируют при умножении. Из матриц Aik составляется
«определитель» 2 ± A10LlA2az... Апа,п = В. Этот «опреде-
«определитель» есть некоторая матрица порядка т. Доказать,
что определитель матрицы С равен определителю мат-
матрицы В.
fa b\
*398. Для матрицы второго порядка А = [ , по-
\с а)
( d ~b\
ложим Л' = ). Ясно, что А + А' == (a + d) E\
\—с а/
AA' = A'A = (ad—bc)E\ (A + B)' = А'+ В'\ (АВ)' = В'АГ.
Выполнить умножение матриц четвертого порядка
(А В\ (А1 С'\ (А В
\С DJ И \В' D') и ПОЛУЧИТЬ Ф°РМУЛУ Для det [г D
в терминах матриц Л, В, С, D.
*399. В обозначениях предыдущей задачи доказать,
что если сумма диагональных элементов матрицы
U — AC + BD' равна нулю, то
М В\ (А' С'\ (D C\ /D' В'
,С DJ \В' D')\B a)\C А'
'А В

ГЛАВА IV
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,
МАТРИЦЫ, КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Системы линейных уравнений,
случай однозначной разрешимости
Решить системы уравнений:
400. а) 2х1— х2 — х3 = 4, Ь) х1 + х2 + 2х3 = —1,
Зхх + 4х2 —2х3 =11, 2х1—х2 + 2х3=—4,
Зх3 — 2х2 + 4х3 = 11; 4хг + х2 + 4х3 = —2;
с) Зхх + 2х2 + xs= 5, d) ^ + 2 3,
+ х3= 1, 5xt+ х2 + 2а:з=:29,
3хя = 11; Зхх— л:2+ лг3 = 10;
е) *! + 2 4
х— х2— а:3 — 2л:4 = —4,
3^2— х3— х4 = —6,
2 33— л:4 = —4;
f) ^
^Xj — Х2 — ^-^з — ^-^4 == ^ >
2 2
! 2 3 4 ,
2х, — Зх2 + 2х3+ х4 = —8;
g) хх + 2х2 + Зх3 + 4х4 = 5,
2хх+ х2 + 2х3 + Зх4=1,
Зхх + 2х2+ х3 + 2х4=1,
4х1 + 3х2 + 2х3+ х4 = —5;
h) х2 —Зх3 + 4х4 = —5,
хх — 2х3 + 3х4 = —4,
Зхх + 2х2 — 5х4=12,
4х1 + 3х2—-5х3 =5;
53

2x1 —
Зхг +
Зхг— х2—
з
Зх3
6
1 2 34
хг + 4*а + 10х3 + 20*4 = 0;
к) хг+ х2+ х3+ х4 -- 0,
*2+ хз+ -^4+ хь = 0»
2 4 = —2,
х3 + 2л:4 + Зх5 = 2;
x1 + 2x2 —Злг3 + 4л:4— *в = —1,
2х1— *2 + 3*з —4*4 + 2*5 = 8,
0*]^+ *2 *3 + Z*4 *5 := О,
2xt + 2л:5 = —2,
*401.
402. }
*403. Решить систему уравнений
*1*2^3 == ^
считая *х, *2> ^з положительными.
404. Доказать, что система уравнений
в предположении, что сг ..., сп положительны и det {a(j
имеет единственное решение в положительных числах.
405. Доказать, что решение задачи 404 рационально,
если uyGZi det(a/y) = ±l и с19 ..., сп — положительные
рациональные числа.
54

Решить системы уравнений:
406. х± +х2 +... +хп «1,
где alf a2, ..., ап все различны.
** J *2 д L Хп
1
" + Г^Ьг+.--+3
где Ь1Э Ьа, ..., &и, р„ ра, ..., ря все различны.
408. а) 2х+ y—z^ 1,
:= 2, (mod 5);
b)
^3, (mod 17).
409. Доказать, что если определитель системы урав-
уравнений
a11x1+...+alnxn = blJ
anlx1+...+annxn^bn
(uy bi?Z) взаимно прост с натуральным числом m,
то система сравнений
(modm)
anlxt+ ... +annxn = bn
имеет единственное решение в кольце Zm вычетов по
модулю т.
§ 2. Обратная матрица
410. Обратить матрицы:
2\ (а
55

с)
411. Найти матрицу л из уравнения
с)
*412. Решить системы (в матрицах второго порядка)
а)
Ь)
2 1
3 —1
3 1
2 1
Y =
2
О 5
4
1
9\
1 -4/'
Г =
1 —1\ /1 1
1 I Ay | о
1 1/ \1 о
413. Обратить матрицу
'О 1 1
1 0 1
1 1 О
3 5
1 1
1 1
5 3
П
1
1
1 1
0
414. Известно, что невырожденную матрицу можно
преобразовать в единичную при помощи элементарных
преобразований над строками. Доказать, что если те же
преобразования выполнить над единичной матрицей, то
в результате получится обратная.
66

Обратить матрицы:
415.
1 —1 0 ... О
— 1 2 —1 ... О
0—1 2 ... 0
416.
0 0 0 ... 2—1
0 0 0 ... —1 2
2—1 0 ... 0
— 1 2 —1 ... 0
0—1 2 ... 0
417.
0
П 1
1 е
1 еа
где 8 = cos-
*418.
1 е" е2
2л ...
а
о2
а
1
а
а?
а
1
0 0 ... —1
1 ... 1
р(л-1>"
... п"
... ап~~2
... а1
7И-3
a»-i ая-2 а«-з ... 1
*419. /2 cos л: 1 0 ... 0
1 2 cos х 1 ... 0
0
*420. Я =
О 0 ... 1 2 cos ху
1 i
a1-\-b2
1
I
1
+ bi an + b2 *## an+bn)
*421. Матрица называется циклической, если все ее
строки получаются из первой круговой подстановкой,
смещающей элементы вправо. Доказать, что матрица,
обратная к циклической, тоже циклическая.
57

422.
*423
Обратить
( 1
2ft—1
2ft—3
3
. Матрица
/
матрицу
3
1
2га—1
5
вида
(ах t
\хап
5
3
1
7
Ч
7
5
3
9
... 2и— П
... 2ft —3
... 2«—5
... 1 j
««-1 \
\ш9
называется обобщенно циклической. Доказать, что мат-
матрица, обратная к обобщенно циклической, тоже обоб-
обобщенно циклическая.
424. Обратить матрицу
) а а ... а
Ь 0 а ... а
Ь Ь 0 ... а
КЬ Ь Ь ... О,
425. Доказать, что если Л —нильпотентная матрица,
т.е. такая, что Л/е = 0 при некотором натуральном k>
то (Е — А)'1 = Е + А + ... +Ак~1.
426. Найти последовательные степени матрицы
U =
и применить результат к обращению матрицы
'1 1 1 ... V
0 1 1 ... 1
0 0 ... 1,
'0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
... СП
... 0
... 1
... 0
58

Обратить матрицы:
427. [\ — 1 —1 .
О 1 —1 .
428. /а Ь Ь ... Ь\
О а Ь ... Ь
\0 0 0 ... 1
429. Доказать, что
'A
,0 D,
\0 0 0 ... at
A 0V
С D.
О D
А-1 О
430. Применить результат предыдущей задачи к обра-
обращению матриц
Ь)
1 1 1
О 1 1
О 0 1
0 0 0
0 0 0
з п
-1 2
2 1
1 О
1 1
с)
0 1
1 О
1 а а ... а
1 а а . . а
1
0
0
1 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
а
0
1
а
1
0
... а
... 1
... 1
О О
О 1 1
о
*431. Пусть В и С—соответственно пхт- и тхп-
матрицы. Доказать, что для матрицы Еп-\-ВС сущест-
существует обратная, если обратима матрица Ет-\-СВ, и
? ЯС) ЕВЕ СВ)С
(„ „( )
*432. Пусть А — квадратная матрица порядка п, для
которой А известна; В и С—соответственно пхт- я
mxn-матрицы. Доказать, что для матрицы А + ВС сущест-
существует обратная, если обратима матрица Ет + СА'1ВУ и
(A BQ^A'i — A-iB (Em + CA~1B)-iCA-K
59

Обратить матрицы:
*433, /1+а, а
а,
2
1+а2
*434.
*435.
-а, 1+2а2
1
1
1
1
436. Пусть А — квадратная матрица порядка га, для
которой обратная Л~1 известна; В, С и D — соответственно
(А в\~1
пхт-, тхга- и тхт-матрицы. Доказать, что ( ]
существует в том и только в том случае, если сущест-
существует T = (D — CA~1B)-1f и
'Л 5V1 (A-i + A-WTCA-i —А~гВТ^
ЧС DJ \ —ТСА-1 Т
Обратить матрицы:
437.
<\
С
С
с
*438.
0
) 1
) 0
) 0
'1 К
f п
га—1
2
1
0 ...
0 ...
1 ...
0 ...
ь3 ...
rt—1
га
3
2
0
0
0
1
Ъп
• t •
• • •
...
ci
сг
с3
с„
а)
2
3
га
п-
-1
1
2
га—1
га
60

*439. Доказать, что если матрицу повернуть на 90°,
то обратная матрица тоже повернется на 90° в обратную
сторону.
*440. Пусть xlt ,.., хп и ylt ..., уп— единственные ре-
решения систем линейных уравнений
1пхп = blt a11y1 +¦¦¦+ anlyn = clt
и
alnyx + ... + annyn = cn.
nnxn = bn
Доказать, что с^ + ... + cnxn = Ьхуг + ... + bnyn и запи-
записать это число в терминах определителей.
§ 3. Ранг матрицы.
Линейные системы общего вида
441. Как может измениться ранг матрицы, если к ней
приписать одну строку? Одну строку и один столбец?
442. Найти ранги матриц:
1—2 3—1 —1 —2
1 0—2—2
_2 —5 8—4 3 —1
6 0—1 2—7—5
— 1 —1 1 —1
1 5—8—5 —12
3—7 8 9 13
g)
3 1 3—9—1 6
3—1—5 7 2—7
61

h) ( 1—1 2 0 0П
0 1—12 0 1
1 0—10 2 1
1—1 0 0 12
2 0 0 1—11
ч -1 1 0 1 12.
Решить системы уравнений:
443.
о \ y i V* I у I у I _ -у
Х1—Х2 +
Ь) х,+
'1
1
0
0
0
0
1
1
0
1
4 5 ,
16*4 + 81*5 = 0;
*2 + 3*3=0,
C) *i — 2*2+ *3+ *4— *5
2*!+ *2— *3— *4+ *5
xx + 7*2 — 5*3 — 5*4 + 5*5
о*г *2 2*3+ *4 *5
d) 3*!+ 4*2— 5*3+ 7*4 =
2*!— 3*2+ 3*3— 2*4 =
4*x + 1 1*2— 13*3 + 16*4 =
7*x— 2*2+ *3+ 3*4 =
e) *! — 2*2 + *3— *4+ *5
2*г+ *2 —*3 + 2*4 —3*6
O*j 2*2 *з "T~ *4 2*5
2*x — 5*2 + *3 — 2*4 + 2*5
=0,
=0,
= 0,
= UJ
0,
0,
0;
= 0,
*!+ *2 —3*4— *5
*j *2 "T~ 2*3 *4
4*x — 2*2 + 6*3 + 3*4—4*5
2*з + 4*4 —7*б
з+ *4=1,
= U ,
0;
=0,
= U,
= 0,
=0.
444.
a) *!
! 2
j 2*2
*x —
Ь) *!+ *2 —3*3 = — 1,
2*j + *2 — 2*3 = 1,
2 + 3 э
2*2 — 3*3 ==¦-1;
1
о
1
1
о
0^
о
о
о
1.

c) 2хх — *2 + 3#3 = 3,
3*х + *2— 5a:3 = 0,
4*]_ *2 + Хъ = О,
^ + 3*2—13*3 = —6;
d) 2хг + х2 — х3+ *4 =
О*! + #2 ^3 "Г ^-^4 == * >
2>Х±— *2 г -^з — о^ —4',
е) *х — 2х2 + 3*з — 4*4 = 4,
*2 *3 Г Х± = О,
*! + 3*2 3*4 = 1 ,
~7*2 + 3*з+ *4 = —3;
f) 2*х+ *2— *3— *4+ Х5=1,
^1 ^2"Ь -^3+ #4 2*6 = 0,
3*х + 3*2—3*3 — 3*4 + 4*5 = 2,
4*! + 5*2 — 5*3 — 5*4 + 7*5 = 3;
g) 3*х+ *2 —2*3+ *4— *5=1,
2*х— *2 + 7*3 — 3*4 + 5*5 = 2,
*! + 3*2 — 2*3 + 5*4 — 7*5 = 3,
3 2 7 5 8 3
h) ^ + 3*2 + 5*3—4*4 == 1,
^ + 3*2 + 2*3 —2*4 +*5 = — 1,
*х 2*2+ -^3 ^4 -^5 == 3*
4+ *3+ *4 — *5= 3,
*3— *4 + *5 = — 1;
О *х —2*2+3*з —4*4 + 2*5 = — 2,
2 *3 *5 === О,
*2 #3+ ^4 2*5 ^ 5,
2*!+ 3*2— *3+ *4 + 4*5=^ 1;
]) ^ + 2*2 + 3*3 —*4=1,
3 2 Х3— *4=1,
1
з 4
^ 2 + 2*3—*4=1,
5*х+ 5*2+ 2*3 =2.
445. Система
ау + Ь* = с,
имеет единственное решение. Доказать, что abc^O9 и
найти решение.
63

446. Подобрать К так, чтобы система уравнений имела
решение:
2х± — *2 + *3 + #4=1,
хг + 2х2— *3 + 4*4 = 2,
*х + 7*2—4*3 + 11*4 = Я.
447. Решить и исследовать системы линейных урав-
уравнений (относительно неизвестных *, у, г):
а) А,* + у+ 2=1, b) ax+
х + Ху+ 2 = Л, х+
х+ у+*кг = Х2\
c) ах+ by+ z=l,
x + aby+ z = by
х+ by + az= 1;
d) (Х + 3)х+ у+
1К1)
()у
3 (Х+ 1) х+ Ку + (к + 3J = 5;
е)
f) ax+ by+ 22= 1,
ax+{2b—l)y+ 32=1,
bb 3) 2b
*448. Пусть линейные системы
И
0*i*i + ... + атпхп = Ьт а1пу1 + ... + атпут = сп
обе совместны и пусть л^, ..., х*п и у*1У ..., у^—какие-
либо решения этих систем. Доказать, что Ьгу\+...
• • • +Ьту^г = с1х1+ ... +спХп и что это число не зависит
от выбора решений систем.
449. Выписать фундаментальные системы решений для
систем линейных однородных уравнений:
а) 2х1 — х2 — 2х3 = 0, Ъ) х
*i + #2+ *з = 0; 2х1 — х2 — 2х3+ х4 = 0;
с) 3*1 + 2хя+ х3 =0, d) хг + х2+ х3+ л:4 = 0.
3*! — 4*2 — 3*3 — 2*4 = 0;
64

450, Для системы линейных уравнений
написать фундаментальную систему решений, полагая
по очереди одно из значений хт+1У ,,,, хп равным 1,
остальные нулю.
*451. Пусть В — квадратная матрица порядка п, ее
первые т строк составляют матрицу С ранга т, последние
п—т строк образуют фундаментальную систему решений
однородной системы с матрицей С. Показать, что миноры
m-го порядка, составленные из матрицы С, пропорцио-
пропорциональны своим алгебраическим дополнениям в матрице В.
452. Найти все решения матричного уравнения
2
2
453. Найти все решения уравнения
;: кЛ'"
454. Найти все решения задачи 453, удовлетворяющие
требованию
*455, Доказать, что каждая mxn-матрица А с эле-
элементами из Данного поля К может быть представлена
в виде PRQ, где Р и Q—невырожденные матрицы, a R
(Е 0\
(Ег 0\ Л
имеет вид ( Q 1, где г —ранг матрицы А.
*456. Доказать разрешимость матричного уравнения
АХА&А для любой прямоугольной матрицы А.
457. Доказать разрешимость системы матричных урав-
уравнений АХА^А, ХАХ=Х для любой прямоугольной
матрицы А. (Матрица Х> удовлетворяющая этим требо-
требованиям, называется полу обратной для А.)
65

458, Доказать, что каждая матрица ранга 1 имеет
вид
... btcn\
где В = (blf ..., bm), C=(clf ..., cn).
*459. Найти *все полуобратные матрицы для данной
матрицы ранга 1.
*460. Доказать, что для того чтобы прямоугольная
(А В\
матрица ( г ), где Л—квадратная невырожденная
\с и j
матрица порядка г, имела ранг г, необходимо и доста-
достаточно, чтобы ?) = СЛ~1В, так что
'А
461. Доказать, что если Л есть тхя-матрица ранга т,
то ее полуобратные матрицы и только они удовлетворяют
уравнению АХ = Ет (аналогично, для тхя-матрицы
ранга п полуобратные матрицы характеризуются равен-
равенством ХА =Еп).
*462. Пусть Л — прямоугольная матрица, Л - — ее по-
полуобратная. Доказать, что если система ЛХ = В совме-
совместна, то одним из решений является А'В.
*463. Доказать, что матричное уравнение АХВ = С
разрешимо, если разрешимы уравнения ЛУ = С и Z5 = С.
§ 4. Алгебра матриц
464. Доказать, что если ЛВ = ВЛ, то
a) (Л+бJ=гЛ2 + 2ЛВ + 52;
b) Л2—52 =(Л + В)(Л — В)\
» . п
465. Вычислить А В—В А, если:
a) Л:
b) A
66

*466. Пусть матрицы А и В таковы, что матрица
С — АВ—В А коммутирует с матрицами А я В. Дока-
Доказать, что (А + В)»~(А + В)п-Ш^1С(А + В)п.2 +
,,_4-... Здесь
2 СкпА"Вп-".
467. Вычислить ЛВ — В А, где
СО 1 0 ... <
О 0 1 ... О
А =
f
0
«i
0
0
» I
J ¦ •
< I •
I ¦
0
0
»
0
0
t •
0 0 0 ... 1
K0 0 0 ... 0,
468. Найти все матрицы, коммутирующие с матрицей А\
469. Доказать, что если АВ*=*ВА, то
470. Найти f(A)'.
/2 1 1
а) /(*) = *»- де—I. Л-C 1 2 ),
\1 —1 0
«/«-*- - - - ' 2-'
ч—3 Зу
471. Доказать, что каждая матрица второго порядка
р
А =' - ) удовлетворяет уравнению
\с иj
*472. Доказать, что матричное равенство АВ — ВА*=*Е
с элементами из числового поля невозможно.
*473. Построить пару квадратных матриц порядка р
с элементами из поля GF (р) так, чтобы АВ—ВА=*Е.
*474. Доказать, что если все диагональные элементы
матрицы С равны 0, то существуют матрицы А и В та-
такие, что АВ—ВА = С (предполагается, что поле содер-
содержит бесконечно много элементов).
67

475. Найти все матрицы второго порядка, квадраты
которых равны нулевой Матрице.
476. Найти все матрицы второго порядка, квадраты
которых равны единичной матрице.
477. Решить и исследовать уравнение Х2 = Л, где
А—данная и X — искомая матрицы второго порядка.
478. Установить изоморфизм поля комплексных чисел
/ а Ь\
и множества матриц вида г , ) при вещественных а, Ь.
( a + bi c-\-di\
479. Установить, что матрицы вида ( ,. « . )
при вещественных а, Ь, с, d образуют кольцо, не имею-
имеющее делителей нуля.
Л 2
480. Вычислить ф(Л), где <р(*)=-Л-, А =» 0 t
1-х \Z \J
481. Найти все вещественные матрицы второго по-
порядка, кубы которых равны единичной матрице.
482. Найти все вещественные матрицы второго по-
порядка, четвертые степени которых равны единичной мат-
матрице.
*483. Пусть А и В — соответственно тхп- и nxk-
матрицы. Доказать, что ранг АВ не меньше гА-\-гв—п%
где гА и гв — ранги матриц А и В.
*484. Найти все матрицы третьего порядка, квадраты
которых равны 0.
*485. Найти все матрицы третьего порядка, квадраты
которых равны единичной матрице.
*486. Доказать, что невырожденная квадратная мат-
матрица, все угловые (от левого верхнего угла) главные
миноры которой отличны от нуля, может быть представ-
представлена в виде произведения левой треугольной матрицы
с единичной диагональю на правую треугольную.
*487. Доказать, что любая невырожденная матрица А
может быть представлена в виде QPR, где Q—правая
треугольная матрица с единичной диагональю, Р—мат-
Р—матрица подстановки, R—тоже правая треугольная.
*488. Доказать единственность разложения, описан-
описанного в задаче 487.
489. Найти условие, которому должна удовлетворять
матрица с целыми элементами для того, чтобы все эле-
элементы обратной матрицы были целыми.
*490. Доказать, что каждая целочисленная униМоду-
лярная матрица второго порядка может быть представ-
68

r fOl\
лена в виде произведения матрицы С = ( i л I и степеней
/1Г
(положительных и отрицательных) матрицы А = \
491. Доказать, что каждая целочисленная унимоду-
лярная матрица второго порядка с определителем 1 мо-
может быть представлена в виде произведения степеней
(положительных и отрицательных) матриц
0N
492. Доказать, что каждая неособенная целочислен-
целочисленная матрица может быть представлена в виде PR, где Р —
целочисленная унимодулярная матрица, R —целочис-
—целочисленная правая треугольная матрица, диагональные эле-
элементы которой положительны, а элементы, лежащие выше
главной диагонали, неотрицательны и меньше диагональ-
диагональных элементов того же столбца.
*493. Объединим в один класс все целочисленные
матрицы, получающиеся одна из другой умножением
слева на целочисленные унимодулярные матрицы. Под-
Подсчитать число классов матриц п-то порядка с данным
определителем k > 0.
494. Доказать, что каждая целочисленная матрица
может быть представлена в виде PRQ, где Р и Q-*- це-
целочисленные унимодулярные матрицы, R — целочисленная
диагональная матрица.
(а\ bt сЛ
495. Умножить матрицу I а ^ с ] на транспониро-
транспонированную и применить теорему об определителе произве-
произведения.
496. Используя умножение прямоугольных матриц,
доказать тождество
Ф1 + Ы+ ...+Ь2п) —
497. Доказать тождество
i = 1 i = 1
Здесь ah Ь{ — комплексные числа, bt — числа, сопряжен-
сопряженные с Ь,-.
69

498. Доказать неравенство Коши — Буняковского
i=\
для вещественных а,-, bh исходя из тождества задачи 496.
499. Доказать неравенство
п
2
t=i
для комплексных а[у bt.
500. Выразить минор m-го порядка произведения
двух матриц через миноры множителей.
501. Чему равны главные миноры матрицы ЛТЛ.
502. Выразить сумму главных миноров порядка k
матрицы АТА (матрицы ААТ) через миноры матрицы А.
*503. Записать сумму квадратов всех миноров всех
порядков матрицы А (включая определитель «пустой
субматрицы», который считается равным 1) в виде опре-
определителя.
504. Пусть прямоугольная матрица разделена гори-
( В\
зонтальной линией на две субматрицы: А =( ] и пусть
строки матрицы С ортогональны строкам Б, т. е. выпол-
п
нено соотношение 2 bikC;k = O. Доказать, что det AA~r =
t
*505. Пусть А — вещественная квадратная матрица,
. Доказать, что (det ЛJ^ det BBT det«
*506. Пусть Л — вещественная прямоугольная матрица,
В\
. Доказать, что det А А т<^ det BBT det CCT.
\ /
507. Пусть А — прямоугольная вещественная матрица
(а1Х а12
А,аа а22
п п п
Доказать, что det АА^ < 2 alk- 2 а1ь - - - 2 <
70

*508. Распространить надлежащим образом неравен-
неравенства задач 505—507 на матрицы с комплексными эле-
элементами.
509. Доказать, что если \aik\^M9 то модуль опре-
определителя
*21
«1»
а„
не превосходит Мппп/2.
*510. Доказать, что если aik вещественны и лежат
на отрезке 0^aih^My то абсолютная величина опре-
определителя, составленного из чисел aik, не превосходит
п+1
Mn2'n(n+l) 2 .
511. Доказать, что для определителей с комплексными
элементами оценка, приведенная в задаче 509, точная
и не может быть улучшена.
512. Доказать, что для определителей с веществен-
вещественными элементами оценка, приведенная в задаче 509,
точная при п = 2т.
*513. Доказать, что максимум абсолютной величины
определителей порядка пу имеющих вещественные эле-
мейты, не превосходящие 1 по абсолютной величине, есть
целое число, делящееся на 2п~х.
514. Найти максимум абсолютной величины опреде-
определителей порядков 3 и 5, образованных из вещественных
чисел, не превосходящих 1 по абсолютной величине.
*515. Матрицей, ассоциированной с данной матри-
матрицей Л, называется матрица, элементами которой являются
миноры (п—1)-го порядка исходной матрицы в естест-
естественном расположении. Доказать, что матрица, ассоци-
ассоциированная к ассоциированной, равна исходной матрице,
умноженной на ее определитель в степени п—2.
*516. Доказать, что миноры т-то порядка матрицы Л
равны алгебраическим дополнениям соответствующих
миноров матрицы Л"г, деленным на detЛ.
517. Доказать, что миноры m-го порядка ассоцииро-
ассоциированной матрицы равны дополнительным минорам к соот-
соответствующим минорам исходной матрицы, умноженным
на А7"", где А — определитель исходной матрицы.
71

518. Доказать, что матрица, ассоциированная к про-
произведению двух матриц, равна произведению ассоцииро-
ассоциированных матриц в том же порядке.
519. Пусть каким-либо способом занумерованы все
сочетания из номеров 1,2, ...,п, взятых по т.
Дана квадратная матрица Л = (aik) порядка п. Пусть
Лар есть минор т-го порядка матрицы Л, номера строк
которого образуют сочетание с номером а, номера столб-
столбцов— сочетание с номером р. Тогда из всех таких миноров
можно построить матрицу Аш=(Аа$) порядка С%. В част-
частности А[1] = А, А[п~1] есть матрица, ассоциированная с Л.
Доказать, что (AB)[mi = A[m]Blm\ ?г'л1=?, (Л)^1 =*
520. Доказать, что если Л есть правая треугольная
матрица
/ап а12
\0 0
то при надлежащей нумерации сочетаний (см. задачу 519)
матрица АШ] будет также правой треугольной.
*521. Доказать, что det Аш = (det А)с™-к
522. Доказать, что любые наперед заданные числа
можно принять за алгебраические дополнения первой
строки некоторой квадратной матрицы.
*523. Доказать, что любая матрица ранга 1 является
ассоциированной для некоторой матрицы.
*524. Доказать, что любые целые числа можно при-
принять за алгебраические дополнения первой строки неко-
некоторой целочисленной квадратной матрицы.
*525. Доказать, что любая целочисленная матрица
ранга 1 является ассоциированной для некоторой цело-
целочисленной матрицы.
*526. Доказать, что любые целые взаимно простые
числа можно принять за первую строку целочисленной
матрицы с определителем 1.
§ 5. Квадратичные формы и симметрические матрицы
527. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные
формы:
a) xl + 2x±x2 + 2xl-
b) х\—Ахх>
72

С/ Х±Х% "т~ Х2Х$ I Х§Х±У
d) x\ — 2x1x2 + 2x1xz — 2x1
e) л:? + А*2 + *з*4-
528. Преобразовать квадратичную форму
к диагональному виду.
529. Преобразовать к диагональному виду квадра-
квадратичную форму
*530. Доказать, что положительно определенная
форма может быть приведена к каноническому виду
посредством преобразования с правой треугольной
матрицей.
*531. Доказать, что если к положительно определен-
определенной квадратичной форме добавить квадрат линейной
формы, то ее дискриминант увеличится.
*532. Пусть / (х1У х2У ..., хп) = #!!*?+ ...—положи-
...—положительно определенная квадратичная форма,
Ф(л:2, ..., xn)=f(O, x2, . .., хп),
Df и Dp — их дискриминанты. Доказать, что
533. Пусть
/ V^l> -^2» • • • » %
Df
/2 I/
где /1Э /2, ..., 1ру 1р+11 1р+2, ..., /^4..—вещественные ли-
линейные формы от х1У х2, ...,хп. Доказать, что число
положительных квадратов при каноническом представ-
представлении формы / не превосходит р, число отрицательных
квадратов не превосходит q.
*534. Если квадратичные формы
f = axlx\ + а12х±х2 + ... + а1пхгхп
+ a21x2xt + а22х\ + ... + а2пхгхп
... +аппх%
73

ф = Ь1Хх\ + Ь12хгх2 + ... + Ь1пх1хп
+ * + bl ++ Ь
bnnx%
положительно определены, то форма
(/» Ф) =aiAiX2i + a12blix1x2+ ... + alnblnx1xn
+ b + bl + a2nb2nx2xn
b x x 4- 4-/7 h x2
положительно определена.
535. Преобразовать к каноническому виду ортого-
ортогональным преобразованием квадратичные формы:
Я| *2.У 1 'У \Y У А У У *
d) 2х\ + 5x1 + 5x1 + 4xxx2—4x^3—8х2х3;
e) х\—2x1—2x1—4ххх2 + \х±хъ + 8х2х3;
Т1 ^i v* I - Р\ v 1 Л v __ A. v v —— 4.У v *
1/ сУЛХ ~р V-»A2 ~Т~ *^3 тгЛхЛ2 "~"~ ггЛ^Лз»
сЛ Я v2-I-fi у«-I-Я v« 4v у Ry y Л у у *
i) 2д;| + 2х\ + 2x1 + 2xl—4x1xl+2x1xt + 2х2х3—Axaxt;
j) 2x1x2
k) x\ + х
1) 2
х\ + х\ + х\ + 2ххх2 — 2ххх4—2х2х3 + 2х3х4;
1) 2x^2 + 2XiX3—2ххх4—2х2х3 + 2х2х4 + 2х3х4;
т) х\ + х\ + х\ + х\—2ххх2 + бх^з — 4ххх4 — 4х2х3 +
+ 6х2х4—2х3х4;
п) 8ххХз + 2x^4 + 2X2X3 + 8X2X4.
536. Преобразовать к каноническому виду ортогональ-
ортогональным преобразованием квадратичные формы:
п
а) 2 х\ + 2 х(хк; Ь) 2 ^Л-
i = 1 i < k i<k
537. Преобразовать к каноническому виду ортогональ-
ортогональным преобразованием форму
XiX2 + Х2Х3 + . . . + Хп _ iXn.
538. Доказать, что если все характеристические числа
вещественной симметрической матрицы А лежат на от-
отрезке [а, Ь], то квадратичная форма с матрицей А — ХЕ
отрицательно определена при X > Ь и положительно
определена при К < а. Справедлива и обратная теорема.
74

539. Доказать, что если все характеристические числа
вещественной симметрической матрицы А лежат на от-
отрезке [а, с] и все характеристические числа веществен-
вещественной симметрической матрицы В лежат на отрезке [b, d],
то все характеристические Числа матрицы А-\-В лежат
на отрезке [a + b, c + d].
540. Доказать, что всякая вещественная неособенная
матрица может быть представлена в виде произведения
ортогональной матрицы и треугольной вида
li Ь12 ... Ь1п\
с положительными диагональными элементами Ьи и такое
представление единственно.
*541. Доказать, что для любой положительно опре-
определенной матрицы А (т. е. матрицы положительно опре-
определенной квадратичной формы) существует арифмети-
арифметический квадратный корень, т. е. положительно опреде-
определенная матрица В, квадрат которой равен А.
542. Доказать, что всякая вещественная неособенная
матрица может быть представлена в виде произведения
ортогональной матрицы и положительно определенной
матрицы.
*543. Доказать, что вещественная неособенная мат-
матрица с ненулевыми угловыми главными минорами пред-
представляется в виде произведения симметрической положи-
положительно определенной матрицы и правой треугольной.
544. Доказать, что если А — вещественная кососим-
метрическая матрица, то матрица В = (Е — А)(Е-\-А)~1
ортогональна.
545. Преобразовать к каноническому виду уравнения
поверхностей второго порядка:
а)
b)
с)
d)
е)
f)
+ 2хгх2—
l 0
— 4xt—2х2—5 = 0;
—*i*2*3 = 0;
—2х2х3 + 3x1—
—4^ + 5*, +5х,+13 = 0;
\—2хг = 0;
—2х2х3

ГЛАВА V
АЛГЕБРА ПОЛИНОМОВ
§ 1. Элементарные действия над полиномами.
Простые и кратные корни
546. Выполнить деление с остатком:
a) 2л;4—Зл:3 + 4л:2 — 5л: + 6 на л;2—Зл:+ 1;
b) х*—Зх*—х—1 на Зх2—2х+1.
547. При каком условии полином x3 + px + q делится
на полином вида х2 + тх—1?
548. При каком условии полином x* + px2 + q делится
на полином x2 + mx+U
549. Выполнить деление с остатком:
a) х4—2л:3 + 4л:2 —6л:+ 8 на х— 1;
b) 2л;5—5л:3 — 8л: на х + 3;
c) 4л:3 + л:2 на х+1+г,
d) х3—х2—х на х—1+2/.
550. Пользуясь схемой Горнера, вычислить f (х0):
а) /(л:)=х4 — Зл;3 + 6х2 — Юл:+16, л:0=*4;
Ь)
551. Пользуясь схемой Горнера, разложить полином
f (х) по степеням х—х0:
а\ f I у\ . v4 | О у 3 Q y2 Л у 1 , 1 v .— 1 *
I I 1Л1 —— Л ^\ Z*A* ^^~ UA ~Л | 1 , Лц *~~* ~~^ 1 ,
b) / (x) = xb x •=¦ 1 *
c) /(x)=^4—8х3 + 24л;2—50х + 90, л:о = 2;
d) / (л:) в л:4 + 2/л:3—A +/)*2—Зх + 7 + f, хо=* — i;
— C3 — 20/)х + 7 + 18/, хо = —1+2/.
76

552. Пользуясь схемой Горнера, разложить на про-
простейшие дроби:
*553. Посредством схемы Горнера разложить по сте-
степеням х:
а) /(х + 3), где f(x)=x*—x*+l;
b) {х—2)* + 4(х—2)* + 6(х—2J+ 10(;с—2)+ 20.
554. Найти значения полинома / (х) и его производ-
производных при х = х0:
a) f(x)=x* — 4x* + 6x2 — 8x+ 10, *0 = 2;
b) /(x)=x4 —3/л:3--4л:2 + 5/л:—1, л:0 = 1 +2t.
555. Чему равен показатель кратности корня:
a) 2 для полинома хъ — 5л:4 + 7л:3 — 2л;2 + 4л:—8;
b) —2 для полинома хь + 7х* + 16л:3 + 8л:2— 16л:—16?
556. Определить коэффициент а так, чтобы полином
хь—ал:2—ал:+1 имел —1 корнем не ниже второй крат-
кратности .
557. Определить А и В так, чтобы трехчлен
Лл:4 + Вл:3+1 делился на (х—IJ.
558. Определить А и В так, чтобы трехчлен Ахп+* +
+ Вл:"+1 делился на (л:—IJ.
559. Доказать, что полиномы:
a) х2п — пхп+1 + пхп~1— 1;
b) х*п+1_Bп+\)хп+1 + Bп+1)хп— 1;
c) (п—2т)хп—пхп"т + пхт—(п—2т)
имеют число 1 тройным корнем.
560. Доказать, что полином
п(п+\)Bп+\)хП + 2 |
х |
(п-\)(п + 2) B/г+1) , n(n+\)Bn+i) rn-t
2 х "Г б X
делится на (л:—IM и не делится на (л:—1)в.
*561. Доказать, что для того чтобы полином
= аохп + а1хп~1 + ... +ап
77

делился на (л:—l)k+1, необходимо и достаточно выполне-
выполнение условий:
562. Определить показатель кратности корня а поли-
полинома
где f (х)— полином.
563. Найти условие, при котором полином хъ + ах3 + b
имеет двойной корень, отличный от нуля.
564. Найти условие, при котором полином хь-\- Юах3+
+5Ьх + с имеет тройной корень, отличный от нуля.
565. Доказать, что трехчленный полином хп + ахп~т-\-Ь
не может иметь корней, отличных от нуля, выше второй
кратности.
566. Найти условие, при котором трехчленный поли-
полином хп + ахп~т + Ь имеет двойной корень, отличный от
нуля.
*567. Доказать, что /г-членный полином
не имеет корней выше (k—1)-й кратности, отличных от
нуля.
*568. Доказать, что каждый отличный от нуля ко-
корень (k— 1)-й кратности полинома аххт* + а2хт* + • -.
... -\-akxmk удовлетворяет уравнениям а-^х171^'(т^) =¦
= a2xm*q>'(т2) = ... ^акхтьц)'(тк), где ф (t)*=(t—mj X
X(t — ma)...(/—тк).
*569. Доказать, что полином делится на свою произ-
производную в том и только в том случае, когда он равен
«о (х—хо)п.
570. Доказать, что полином
У У2 *П
14--—-4- —-I- -4---
не имеет кратных корней.
571. Доказать, что для того чтобы х0 было корнем
кратности k числителя дробной рациональной функции
78

f№~wT$> знаменатель которой w(x) не обращается в О
при х = х0, необходимо и достаточно, чтобы
/ (*о) - /' (*•) - ... - /(*~1} W - 0, /* (х0) Ф 0.
672. Доказать, что дробная рациональная функция
/ (х) = щ? может быть представлена в виде
где F (х) — полином. Предполагается, что ш(л:0)=т^0 (фор-
(формула Тейлора для дробной рациональной функции).
*573. Доказать, что если х0 есть корень кратности k
для полинома f1(x)f'2(x)—fi(x)f'1(x)f то я0 будет корнем
кратности k + 1 для полинома ft (х) f2 (х0)—/2 (х) /х (х0),
если этот последний не равен нулю тождественно, и
обратно.
*574. Доказать, что если / (я) не имеет кратных кор-
корней, то [f (х)]2—f (х) /" (х) не имеет корней кратности
выше п—1, где п—степень f (х).
*575. Построить полином f (x) степени п, для кото-
которого [Г (х)]2—f (x) f" (х) имеет корень х0 кратности п—1,
не являющийся корнем f(x).
*576. Пусть f (г) — полином с комплексными коэффи-
коэффициентами и f(x + yl) = и (х, у) + iv (xt у), где и (х, у) и
v (х> У) — полиномы с вещественными коэффициентами.
Выразить все решения (вещественные и комплексные)
системы уравнений u(x,y)=0, v(x,y)=0 через корни
§ 2. Наибольший общий делитель полиномов
577. Определить наибольший общий делитель поли-
полиномов:
a) х4 + х3—Зх2—4х— 1 и х3 + х2—х— 1;
b) хь + х*—х3—2х— 1 и Зх* + 2х* + х* + 2х—2;
c) л:6 — 7л:4 + 8л:3 — 7х + 7 и Зл:6—7х3 + 3х2—7;
d) хъ — 2х* + х* + 7х2— 12л:+10 и Зл:4 —6л:3 + 5х2+
+ 2л:—2;
e) л:6 + 2л:4 — 4л:3 — Зх2 + 8л:—5 и хъ + х2—х+1\
79

f) x5 + 3x4— 12x3—52xa—52л:—12 и x4 + 3x3—6x2 —
_22x—12;
g) хб + х4 —л:8—Зх2—Зх—1_ и х4 — 2л:3—х2—2х + 1;
h) х4—10х2+1 и х4—4V2x3 + 6x2 + 4V2x + 1;
i) х4 + 7х3+19х2 + 23х+10 и х4+7х3+18х2+22х+12;
j) ^4_4Ха+1 и х3—3jc2+ 1;
к) 2хв — 5х5— 14х4 + 36х3+86х2+12х—31 и 2х6—9х4 +
+2х3 + 37х2+Юх—14;
1) Зх6 — х5—9л:4— 14л:3— 11л:2—Зл:— 1 и Зл:б + 8л:4 +
+ 9л:3+15л:2+1Ол: + 9.
578. Пользуясь алгорифмом Евклида, подобрать по-
полиномы Мг (х) и М2 (х) так, чтобы /х (х) М2 (х) +
+ /2 (л:) Мг (х) = б (л:), где б (х) — наибольший общий дели-
делитель ft(x) и /2(л:):
a) /!(л:)=л:4 + 2л:3—л:2—4л:—2,
fi(x)=x* + x*—л:2 — 2л:—2;
b) /х(л:)=
c) /х (*)=,*• — 4л:5 +11л:4 — 27л:3 + 37л:2—35л: + 35,
/2 (л;) = л:5 — Зл:4 + 7л:3 — 20х2 + 10л:—25;
d) /!(л:)=3л:7 + 6л:в — Зхб + 4х4+14л:3 — 6л:2—4л:+ 4,
/2 (х) = Зл:6—Зл:4 + 7л:3 — 6л: + 2;
e) /х(л:) = Зл:5 + 5^4—16х3 —6л:2—5х—6,
/2 (Х) = Зх4—4^3—л:2—х—2;
f) /х(л;)=4л:4 —2л:3—16^2 + 5л: + 9,
/2(л:) = 2л:3—л:2—5л:+ 4.
579. Пользуясь алгорифмом Евклида, подобрать по-
полиномы Мг {х) и М2 (х) так, чтобы /х (х) М2 (х) +
f()M) l
а)
b)
с)
d)
е)
f)
/1 (x) =»
/iW =
/l (*) ^
/2 (*) =
/1(*) =
/2 (x) ^
/1W =
3x3 — 2x2 + x + 2, /2(x)==x2—x+1;
хб_5А;4_2Л:з+ 12х2—2х+ 12,
x3—5x2—3x+17;
2x4 + 3x3 — 3x2—5x + 2,
2x3 + x2—x—1;
3x4—5x3 + 4x2—2x+l,
Зхз_2х* + х— 1;
X5 ^_ 5X4 _|_ 9^3 _j_ 7^2 _(_ 5X _^_ 3 ^
80

580. Способом неопределенных коэффициентов подо-
подобрать Мг (х) и М2 (х) так, чтобы fx (x) M2 (x)-\-f2 (х) Мг (л:) — 1:
581. Пусть /х (л:) М (х) + /2 (л:) N (л:) = б (л:), где б (л:) —
наибольший общий делитель }г (х) и f2(x). Чему равен
наибольший общий делитель М (х) и N (х)?
582. Подобрать полиномы наименьшей степени Мг (л:),
М2 (х) так, чтобы
а) (л:4 —2л:3—4л:2+-6л:+1)Л11(х) +
~i (X — ОХ — О) /VI2 (X) =3 X \
и) (х^" 1"' 2х | х -4"~ 1) 7V1 (х) ¦ 1 ¦
583. Определить полином наименьшей степени, даю-
дающий в остатке:
a) 2х при делении на (х—IJ и За; при делении на
(*-2K;
b) х2 + х+1 при делении на х* — 2х3—2х2+ \0х—7
и 2л:2 —3 при делении на л:4—2л:3 — Зх2+ 13л:—10.
*584. Найти полиномы М (х) и N (х) так, чтобы
xmM(x) + (l— x)nN(x) = l.
585. Отделить кратные множители полиномов:
a) х6 — 6л:4 — 4*8 + 9л:2+12л: + 4;
b) хь— 10л:3—20х2— 15л:—4;
С) xe_ 15л:4 + 8л:3 + 51л:2—72л: + 27;
d) х6 — 6л:4+16л:3 — 24л:2 + 20л:—8;
e) х« — 2хь—л:4 — 2л:3 + 5л:2 + 4л:+ 4;
f) х7 — Зхв + 5л:5 — 7х4 + 7л:3—5л:2 + 3л:— 1;
g) л:8 + 2х7 + 5х6 + 6л:5 + 8х4 + 6л:3 + 5х2 + 2л: + 1.
586. Найти наибольший общий делитель и его ли-
линейное представление для полиномов fug над полем
GF<2):
a) /
b) f
c) f
d) f
81

§ 3. Разложение на линейные множители
и его применения
687. Разложить на линейные множители полиномы:
а) Xs—6х2+И*—6; Ь) х4 + 4;
с) х4 + 4л;8 + 4л;2-И; d) х4— 1(к2+1.
*588. Разложить на линейные множители полиномы:
a) cos(ftarccosAr);
b) (* + cos0 + isin0)" + (A; + cos0—*sin0)w;
c) хь-СЪ^^ + ОпХ"-*—...+ (-\)mCl%.
689. Построить полиномы наименьшей степени с ком-
комплексными коэффициентами по данным корням:
a) двойной корень 1, простые 2, 3 и 1 + /;
b) тройной корень —1, простые 3 и 4;
c) двойной корень i, простой —1 — i.
590. Разложить на неприводимые вещественные мно-
множители полиномы:
а) х4 + 4; Ь) л;6 + 27; с) х* + 4х* + 4х*+ 1;
d) х2п — 2*" + 2; е) л;4 —ах*+1, —2<а<2;
f) х
591. Найти полином наименьшей степени, корнями
которого являются все корни из 1, степени которых не
превосходят п.
592. Построить полиномы наименьшей степени с ве-
вещественными коэффициентами по данным корням:
a) двойной корень 1, простые 2,3 и 1+/;
b) тройной корень 2 — Зг,
c) двойной корень i> простой —1 — i.
593. Найти наибольший общий делитель полиномов:
a) (*-1K(* + 2J(х-3)(*-4) и (
b) {х—1)(*2— 1)(х3—1)(*4— 1) и
С) (^з — j) (X2—2а:+ 1) и (х2—IK.
*594. Найти наибольший общий делитель полиномов
хт—1 и хп—1.
595. Найти наибольший общий делитель полиномов
хт-\-ат и
82

*596. Доказать, что
п /лЛ (л:— 1) (х2— 1).. .(хп— 1)
* п%т \~/ (а:__ 1). . .(jc«— 1) (X— \)...(хп~т — 1)
есть полином от х с неотрицательными коэффициентами
и простыми корнями.
507. Найти наибольший общий делитель полинома и
его производной:
Ь) / (х) = (х- 1) (х2-1) (*3- 1)'(х*-1);
С\ f ( y\ ¦уШ Ч" fl ____ v"^ — V" I 1
/ / V / — — "• *
598. Полином f(x) не имеет кратных корней. Дока-
Доказать, что если х0 есть корень кратности k > 1 для урав-
уравнения f f^YJ==O, то уравнение / ( и,' , ] = 0 имеет х0
корнем кратности k—1.
Предполагается, что i>(#0)=?(), v' (хо)ФО.
599. Доказать, что x3m + xsn+l+xs^+2 делится на
600. Когда xzm — %з«+1 + ^+2 делится на х2—х+17
601. При каком условии хзт + хзп+1 + х3^+2 делится
на *4 + л:2+1?
602. При каком условии х2т + хт+1 делится на
1?
603. При каких значениях т полином / (х) = (х+ \)т —
— хт—1 делится на х2 + л: + 1 ?
604. При каких значениях т полином / (х) = (х+ \)т +
-\-хт+1 делится на х2-{-х-\-1?
605. При каких значениях т полином / (х) == (х+ \)т —
— хт—1 делится на (х2 + х+1J'?
606. При каких значениях т полином (х+ 1)т + хт+ 1
делится на (х2 + х + IJ?
607. Могут ли полиномы (х+\)т + хт+1 и (х+1)т —
— хт—1 делится на (л;2 + я+1K?
608. При каких значениях т полином Хп (хт) Делится
на Хп(х)? (Хп—круговой полином.)
Доказать теоремы:
609. Если f(xn) делится на л:- 1, то делится и на
хп—\.
610. Если f (хп) делится на (х—a)k, то делится и на
(хп—an)k при афО.
611. Если F(x)=f1(x3)+xf2(x3) делится на x2+x+lt
то fx (х) и /2 (х) делятся на х—1.
83

*612. Если полином f (х) с вещественными коэффици-
коэффициентами удовлетворяет неравенству f(x)^O при всех
вещественных значениях ху то /(а:) = [ф1(х)]2 + [ф2(а:)]2,
где ух(х) и ф2(л;)—полиномы с вещественными коэффи-
коэффициентами .
613. Полином f (х) «=двяя + а1х||~14-• • • +ап имеет
корни xlt ..., хп. Какие корни имеют полиномы:
a) аох«—а&^ + а^»-*— ...+(— \)пап\
b) апхп + ап_1хп-1+ ... +а0;
d) ao^ + a^
614. Определить X так, чтобы один из корней урав-
уравнения х3—7х + А, = 0 равнялся удвоенному другому.
615. Сумма двух корней уравнения
2х3—х2—7х+Х = 0
равна 1. Определить к.
616. Определить соотношение между коэффициентами
уравнения xs + px + q=^0, при выполнении которого х3=
617. Найти сумму квадратов корней полинома
хя + а1хя'1+...+ая.
618. Решить уравнение
зная коэффициенты at и а2 и зная, что корни его обра-
образуют арифметическую прогрессию.
619. Дана кривая
Найти прямую так, чтобы точки пересечения Mlt M2,
MS9 Л44 ее с кривой отсекали три равных отрезка: МгМг=
= М2М3 = Л13УИ4. При каком условии эта задача имеет
решение?
*620. Составить уравнение 4-й степени, корнями ко-
1 1
торого являются а, — , —а, ——.
84

*621. Составить уравнение 6-й степени, имеющее корни:
2 i_a 1 j L 1
а ' 1 — а' а ' ^__\_
а
622. Разложить на линейные множители полинома:*7—х
над полем GF(/?).
623. Сравнить свободные члены полинома хр~1—1 и
его разложения на линейные множители над полем GF (/?)¦
§ 4. Разложение рациональной дроби
на простейшие
*624. Разложить на простейшие дроби над полем С:
X2 ! Ч 1
"' (*— 1) (х—2) (х—3) (jc —4) '
4 (^—l)(^2 + i)t Ч ^4_! t V) X3_i f
f) 7q74 5 8) ^ZTi » h) J^qrr;
x(x— l)(x—2)...(x—/г) э
J; jc(at2— 1)(**—4)... (a:2—n2) ' ; cos (я arc cos x)'
*625. Разложить на простейшие дроби над полем С:
я^ х • Ы
я^ Ы rt
d> (л:2—IJ f U^ (л2~1J • ^ (jr—l)*(^+l)a(jc—2)#
d) (*»—i)T'» е) л:/яA_л)«' /) (Jt2_а2)я
ё; (х2 + a2)" J 11; [/ (*)]* •
где / (х) = (^—л:^ (л:—л:2) .. .(х—хп) — полином, не имею-
имеющий кратных корней, и#(лг) — полином, степень которого
меньше 2я.
*626. Разложить на простейшие дроби над полем R:
а) -^зиг; Ь) х^^Тб; с^ 1F+4 ; d^ F+27;
е)
f)
85

*2/я
, m < n\
627. Разложить на простейшие дроби над полем R:
\ х ич 2х— 1
а) \ 2 ^2 » Ь) S"
628. Пусть ф (х)=(
через ф (л:) суммы:
—jcx) (х—х2) .. . (х—хп). Выразить
*629. Вычислить следующие суммы, зная, что хи х2, ...
суть корни полинома ф(х):
а) ^ + ^ + Ф^ ^Зх1;
ь) —
с)
1
1
1
— ЗЛГ1+2 да—3jc2+2
1 , 1
1
-2*а + 1 *! —2*8
630. Разлох^ить р_ на простейшие дроби над по-
полем GF (р).
§ 5. Интерполяция
631. Пользуясь способом Ньютона, построить полином
наименьшей степени по данной таблице значений:
а)
с)
X
fix)
X
fix)
0
1
1
1
1
2
9
3
2
2 3
3 4
4
• 2
4
6
25
4
5
2
х
; Ь)
—10 123
, найти /B); d)
6 5 0 32
х I 1 23 46
f (x) j 5 6 1 — 4 10 '
86

632. Построить полином по заданной таблице значе-
значений, пользуясь формулой Лагранжа:
а)
л: I 1 2 3 4
У
2 14 3
b)
1 i — 1 — i
у
12 3 4
33. Найти / (х) по таблице значений:
х
f(x)
Ви = COS
12 3 ... п
h I Sin
634. Полином f(x), степень которого не превосходит
п—1, принимает значения у19 y2f ..., уп в корнях п-й
степени из 1. Найти /@).
*635. Доказать теорему: для того чтобы
для любого полинома f{x), степень которого не превос-
превосходит п—1, необходимо и достаточно, чтобы точки х19
х2, ..., хп были расположены на окружности с центром
в х0 и делили ее на равные части.
*636. Доказать, что если корни
полинома ф (х) все различны, то
637. Найти сумму
—ЧРГ
(обозначения такие же,
как и в задаче 636).
638. Вывести интерполяционную формулу Лагранжа
посредством решения системы уравнений:
87

Построить полином наименьшей степени по таблице
значений:
*639. х 0 1 2 ... л
*640. х
У
1 2 4
О 1 2 ... л
1 а а2 ... ап
*641. Найти полином степени 2я, дающий при деле-
делении на х(х—2) ... (х—2п) в остатке 1, а при делении
на (х—1)(л;—3) ... [х—Bп—1)] в остатке —1.
*642. Построить полином наименьшей степени по таб-
таблице значений
У
1 2 3
п
1 над
643. Решить предыдущую задачу при п = р-
полем GF (р).
*644. Найти полином не выше (п—1)-й степени, удов-
удовлетворяющий условию f (х) = \/(х — а) в точках х19 х29 ...
*»., хя, хгфа9 /= 1, 2, ..., л.
*645. Доказать, что полином степени k^n, принима-
принимающий целые значения при п+ 1 последовательных целых
значениях независимой переменной, принимает целые зна-
значения при всех целых значениях независимой переменной.
*646. Доказать, что полином степени п, принимающий
целые значения при # = 0, 1, 4, 9, ..., /г2, принимает
целые значения при всех квадратах натуральных чисел.
647. Определить полином первой степени, прибли-
приближенно принимающий таблицу значений
X
У
0
2,1
2
1
,5
2
3,0
3
3,6
4
4,1
так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наимень-
наименьшей.
648. Определить полином второй степени, прибли-
приближенно принимающий таблицу значений
х\ 0 1 2 3 4
У
1 1,4 2 2,7 3,6
так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наимень-
наименьшей.
88

§ 6. Рациональные корни полиномов.
Приводимость и неприводимость над полем Q
и над полем GF(p)
649. Доказать, что если ——несократимая рациональ-
рациональная дробь, являющаяся корнем полинома f(x) = ao#n +
+ а1л:"~1+ ... +ап с целыми коэффициентами, то:
1) q есть делитель а0;
2) р есть делитель ап\
3) р—mq есть делитель f (т) при любом целом т.
В частности, p — q есть делитель /A), p + q— дели-
делитель f (— 1).
650. Найти рациональные корни полиномов:
a) л:3 — 6jc*+15jc— 14;
b) л:4 — 2л:3 — 8л:2 + 13х—24;
c) хъ — 7х3— 12л;2+ 6*+ 36;
d) 6л:4 + 19л:3 — 7л:2 — 26л; + 12;
e) 24л:4—42л:3 — 77л:2 + 56х + 60;
f) л:5 — 2xi — 4л;3 + 4л;2 — 5л; + 6;
g) 24л;5+ Юл;4 — х3— 19л:2 — 5л: + 6;
h) 10л:4— 13л:3 + 15л:2— 18л:—24;
i) л;4 + 2л;3 — 13л:2 — 38л;—24;
j) 2л;3 + 3л;2 + 6л;—4; к) 4л:4—7л:2—5л:—1;
1) л:4 + 4л:3 — 2л:2— 12л: + 9;
т) л:5 + л:4—6л;3— 14л:2— Ил:—3;
п) х9 — 6л;6 + 11л:4—л:3— 18л:2 + 20л;—8.
*651. Доказать, что полином f (х) с целыми коэффи-
коэффициентами не имеет целых корней, если /@) и /A) — не-
нечетные числа.
*652. Доказать, что если полином с целыми коэф-
коэффициентами принимает значения ± 1 при двух целых
значениях хг и х% независимой переменной, то он не имеет
рациональных корней, если \хг — х2|>2. Если же
| xt—хг | ^ 2, то рациональным корнем может быть только
Доказать неприводимость над полем Q полиномов:
*653. а) л:4—8л:3+12л:2—6л; + 2;
Ь) л:6—12х3 + 36л;—12; с) л:4—л:3 + 2л;+1.
*654. Хр (х) = * ~{ , р—простое число.
хрк— 1
*655. X k(x)=—г , р—простое число.
89

*656. Доказать, что полином / (л;) ~аохп + а1хп~1 + ...
+ ап с целыми коэффициентами, не имеющий
рациональных корней, неприводим над Q, если сущест-
существует такое простое число /?, что а0 не делится на р\
а2, а3, ..., ап делятся на р и ап не делится на р2.
657. Пусть f (х) — полином с целыми коэффициен-
коэффициентами, для которого существует такое простое число /?,
что а0 не делится на р\ ak+1> ak+2, ..., ап делятся на р и ап
не делится на /?2, Доказать, что тогда / (х) имеет непри-
неприводимый над Q множитель степени ^п—k.
658. Составить таблицу неприводимых полиномов, до
пятой степени включительно, над полем GFB).
659. Составить таблицу неприводимых полиномов, до
третьей степени включительно, над полем GFC).
660. Доказать неприводимость полинома л:5 + 2л;3+
+3л;2 —6л;—5 над полем Q, воспользовавшись редукцией
по модулю 2.
*661. Доказать неприводимость полинома хь — 6л;3+
+2х2—4л; + 5 над полем Q, воспользовавшись редукцией
по модулям 2 и 3.
662. Доказать, что полиномы Xd(x) при d\p—1 раз-
разлагаются на линейные множители над полем GF(/?).
663. Доказать существование первообразного корня
(р—1)-й степени из 1 в поле GF (р).
664. Пусть f (х) — неприводимый полином над полем
GF(p). Доказать, что полиномы f(x)t f(x+l), ...
• '•9f(x + p—1) либо попарно различны, либо все сов-
совпадают.
*665. Доказать, что полином f(x)~x?—х—а при
афО (modp) неприводим над полем GF(p).
666. Методом разложения на множители значений
полинома при целых значениях переменной разложить
на множители полиномы или доказать их неприводи-
неприводимость над Q.
а) л;4—Зл:2Н-1; Ь) л4 + 5л;3—Зл;2 — 5л:+ 1;
с) л;4 + Зл:3 — 2x2--2*+l; d) л:4—л:3 —З
667. Доказать, что полином четвертой степени
4 Ьл;2 + ?к-г^ с целыми коэффициентами неприво-
неприводим над Q, если он не имеет целых корней и не делится
ни на один из полиномов вида
„ , cm —am2
90

где т—делитель числа d. Полиномы с дробными коэф-
коэффициентами можно не принимать во внимание. Исклю-
Исключение могут представить полиномы, коэффициенты кото-
которых удовлетворяют условиям: d = k2, c = ak.
668. Доказать, что полином пятой степени хъ + ах*+
+bx* + cx2 + dx + e с целыми коэффициентами неприводим
над Q, если он не имеет целых корней и не делится ни
на один из полиномов с целыми коэффициентами вида
о , am3 — cm2 — dn + be ,
X2 A о o-i 1— X A-m,
где m—делитель е, /1 = -^-.
669. Разложить на множители полиномы или дока-
доказать их неприводимость над Q, пользуясь задачами
667, 668:
a) х4 — Зх3 + 2л;2 + Зл:— 9;
b) *4 — Ъхъ + 2х2 + 2х— 6;
c) *4 + 4л;3 — 6х2—23л:— 12;
d)
670. Найти все приводимые над Q полиномы вида
x*AraxsA-bxA~ 1 с целыми а и Ь.
671. Найти необходимые и достаточные условия при-
приводимости над Q полинома xx-\-px2 + q с рациональными
(быть может дробными) коэффициентами.
672. Доказать, что для приводимости над Q поли-
полинома четвертой степени, не имеющего рациональных
корней, необходимо (но не достаточно) существование
рационального корня кубического уравнения, получаю-
получающегося при решении по способу Феррари.
*673. Доказать неприводимость над Q полинома
f(x) = (x—a1)(x—a2) ... (я—ап) — 1; а1У а2, ...,а„—раз-
...,а„—различные между собой целые числа.
*674. Доказать неприводимость над Q полинома
f (х) = (х—ах) (л:—а2) ... (л;—ап) + 1 при различных между
собой целых #!, а2, ...,ап за исключениями
(х—а) (х—а— 1) (х—а—2) (х—а—3) + 1 ==
= [(*—а— 1){х—а—2)— I]2
(х—а) {х—а—2) + 1 = (х—а— IJ.
91

*675. Доказать, что если полином я-й степени с це-
лшми коэффициентами принимает значения ±1 более
чем при 2т целых значениях переменной (п = 2т или
2т+1), то он неприводим над Q.
*676. Доказать неприводимость над Q полинома
если al9 q2, ..., ап — различные между собой целые числа.
*677. Доказать, что полином / (х) с целыми коэффи-
коэффициентами, принимающий значение +1 более чем при
трех целых значениях назависимой переменной, не может
принимать значение —1 при целых значениях независи-
независимой переменной.
*678. Доказать, что полином n-й степени с целыми
коэффициентами, принимающий значения ±1 более чем
при я/2 целых значениях независимой переменной, непри-
неприводим над Q при при п^ 12.
*679. Доказать, что если полином с целыми коэффи-
коэффициентами ах2-\-Ьх-\-\ неприводим над С, то неприво-
неприводим и полином
где ф (х) = (а;—аг) (х—а2) ... (л:—ап) при п^ 7. Здесь
#i> яа» •••> ап — целые, различные между собой числа.
§ 7. Сравнения в кольце полиномов.
Алгебраические расширения
*680. Выполнить действия в кольце О[х]/ф (классов
вычетов кольца Q[x] по модулю ф):
а)
b)
681. Установить изоморфизм полей Q(^/3) и
Q[x]/(x*—3).
682. Установить изоморфизм кольца Q[x]/(x2—За:+ 2)
и кольца, образованного парами (а, Ь) рациональных
чисел, с покомпонентными сложением и умножением.
92

*
*683. Пусть f(x)=aoxn + a1x"-i+...+an. В кольце
^[*]/(/)• гДе /С—некоторое поле, выразить А.Д, линейно
через К„. Здесь Я0 = а0, K,=*a9xt+. ..+alt t=l,2, ...
..., п— 1.
*684. Исключить иррациональность в знаменателе:
d) l + yj+2yj' e>
0 T
*685. Составить уравнение с рациональными коэф-
коэффициентами, корнем которого является к:
a) А, = аа + а+1, а3 —а—1=0;
b) А,=а2+1, а3 + 2а2 + 2 = 0;
c) К = 2—а2, а3 —а2 —2а+1 =0;
d) Х = а3—-2, а4--а—2 = 0;
e) А, =
686. Составить уравнение с рациональными коэффи-
коэффициентами для А, и выразить а через X, если это возможно:
a) Ь=а2 + а, а3 —
b) А,=»а8 + а, а4 —За+1=0;
c) А, = а3 + 4аа +За— 1, а4 + 5а3 + 6а2—1 =0.
687. Пусть L—расширение поля /C = GF(p), содер-
содержащее рт элементов. Доказать, что все элементы поля L
удовлетворяют уравнению хРт—# = 0.
688. Пусть / (х) — неприводимый полином степени т
над полем /C = GF(p). Доказать, что он есть делитель
полинома хРт—х.
689. Пусть в некотором поле L характеристики р
полином хРт—х раскладывается на линейные множители.
Доказать, что все корни этого полинома попарно раз-
различны и образуют поле.
93

690. Пусть Xptn-i — круговой полином. Доказать, что
всякий его неприводимый множитель над полем /С = GF (p)
имеет степень /п.
691. Доказать, что существует одно и только одно
(с точностью до изоморфизма) поле из рт элементов
(оно обозначается GF(pm)).
692. Подсчитать число неприводимых над /C = GF(p)
полиномов данной степени.
§ 8. Симметрические полиномы
693. Выразить через основные симметрические поли-
полиномы:
а) х\ + х\ + xl—3x1x2x3\
и) Х^Х2 ~г Х\Х% -р Х±Х3 -р Х±Х3 -р Х2Х3 -р Х2Х3\
С) Х\ —р Х2 ~р Х3 /*Х]Х2 АХ2Х3 ZrX$X-±,
й) х^х2 -\- х±х2 -р х±х% -\- хХ -р хх -р хх\
е) (^i + х2) {хг + х3) (х2
g) Bx1—x2—xa) Bx2—x1—x3) Bx3—x1—x2);
h) (xt—x2Y(xx—x3y{x2-x3)\
694. Выразить через основные симметрические поли-
полиномы:
a) (х1 + х2) (хг + х3) {хг + х,) (х2 + х3) (х2 + хА) (х3 + хА)\
b) (хгх2 + х3Хь) {ххх3 + x2xj {ххх± + х2х3);
c) (^ + ^—^3—^4)^1—*2 + *з—^4)^1—^2—^3 + ^4)'
695. Выразить через основные симметрические поли*
номы моногенные полиномы:
a) х\+...\ h) ^?л:2л:з + ...; о) х\х\х3 + ...;
b) xl + ...\ i) x\xl+...\ p) x\xl+...\
c) х\х2х3-\-...; j) х\х2 +...; q) х\х2х3 +...I
d)x2xx22+...\ к)л?+...; г) х\х\+...\
еL*2 + --м X) x\x\x3Xi + ...\ s) x\x2 + ...;
f)xj+...; m) x\x\xl+...\ t)
g) xlx22x3 + ...; n) ф;2
696. Выразить через основные симметрические поли-
полиномы моногенный полином
Х\Х2 ... Х% -р . * ¦
94

697. Выразить через основные симметрические поли-
полиномы:
еЛ Х1 \ Х2 \ Х8 \ Х2 \ Х3 \ Х1 .
а/ т гт—г"Z—r~z гт—г"г>
#2 *3 *1 Х1 Х2 ХЯ
I уи>2 — -*з; | \
\ Xi Х2 Х3 J \ Х2 Х3 Xi J
698. Выразить через основные симметрические поли-
полиномы:
a) V-L; ь) у4-; с) у ^.
699. Вычислить сумму квадратов корней уравнения
х* + 2х—3 = 0.
700. Вычислить ^3 1^ з
от корней уравнения а:3—х2—4л;+1=0.
701. Определить значение моногенной симметрической
функции
Х^Х2Х3 -р . . .
от корней уравнения
х* + х9 — 2л:2—3jc+ 1 =0.
702. Вычислить значение симметрической функции
от корней уравнения /(л;)=0:
a) х}х8+..., /(л:)=Зл:3-~5х2+1;
b) xjjc|+...f
c) (х| + хха:2 + xi) (х\
/(л:) = 5л;3-6л:2 + 7д:—8.
703. Выразить через коэффициенты уравнения
а0х3 + ахх2 + а2х + а3 = 0
следующие симметрические функции:
a) а\ (х1—х2J {х1—х3J (х2—х3J\
b) а\ (х\—х2х3) (xl—xtx3) (х1—хгхж)\
"^ *1*з "Г"
d) аI (х\ + ххх2 + xl) (xl + х2х3 + xl) (xl + х3х± f xl).
95

704. Пусть хг, х21 ,.., хп — корни полинома
Доказать, что симметрический полином от х2, х3,
..., хп можно представить в виде полинома от хх.
*705. Пусть q>k{x^) есть k-й основной симметрический
полином отх2, .. .,хп. Вывести из формулы (см. решение
задачи 704)
формулу Ньютона ^--/Л-! + ...+(— 1)*"*/*-А +
+ (—1)ЛЛ/Л==0, связывающую степенные суммы s^ =
= Xi+ ... +х„ с основными симметрическими полино-
полиномами.
706. Найти выражение для s2, s3, s4, s5, s6 через ос-
основные симметрические полиномы, пользуясь формулами
Ньютона.
707. Выразить /2, /8, /4, /б, /в через степенные сум-
суммы sl9 s%9 ..., пользуясь формулами Ньютона.
708. Найти суммы sk от корней уравнения:
a) хв —4л:б + 3х3 —4л:2 + л:+1=0. Найти s6.
b) xA—хъ—1=0. Найти s8.
c) х3 —Зл:+1=0. Найти s10.
709. Найти slt s2, ..., sn от корней уравнения
710. Найти уравнения n-й степени, для которых
711. Найти уравнения n-й степени, для которых
*712. Выразить У\ (х, + х*)к через степенные суммы.
*713. Выразить 2 (*/—*/)** через степенные суммы.
ft\ 0 ... О
2/, Л 1 ... О
*714. Доказать, что sH^ 3/3 /2 /х ... О
96

716. Доказать, что fh =
k\
sl
s2
S3
Sft
Ib
1
Si
Sft-i
X"
Si
s2
0
2
Sl
SA-2
л;"
1
Si
-i
3 ..
xn-2
0
2
. 0
. 0
. 0
. Sl
*
• • •
•
1
0
0
716. Вычислить определитель
717. Найти sOT от корней уравнения Xn(x) = Q.
*718. Доказать, что /lf /2, /8, /4, /Б и /6 от корней
полинома Хп (х) могут принимать только значения 0 и ±1.
*719. Вычислить степенные суммы su s2
корней уравнения
su s2,
§ 9. Результант и дискриминант
*720. Доказать, что результант полиномов
«-*+ ... +ап и ф(х) = Ьвх«+.
равен определителю, составленному из коэффициентов ос-
остатков при делении <р(#), ^ф(^), ..., ^"""^(а:) на /(х).
Предполагается, что остатки расположены в порядке
возрастания степеней х (способ Эрмита).
Замечание. Остаток rk(x) при делении л^ф (х)
на f (х) равен остатку при делении xrk_t(x) на / (х).
*721. Доказать, что результант полиномов
равен определителю, составленному из коэффициентов
полиномов (п—1)-й степени (или ниже)
% (х) - (aQx*-* + a1xk-2+ ... +ап_г) ц> (х) —
97
k =* 1, ..., п (способ Безу).

Замечание.
*722. Доказать, что результант полиномов
при д > т равен определителю, составленному из ко-
коэффициентов полиномов не выше (п—1)-й степени %k(x),
определенных по формулам:
при 1<&О—т\
(полиномы Xft располагаются в порядке возрастающих
степеней я).
Замечание.
при fe> Аг—пг+ 1.
723. Вычислить результант полиномов:
a) д;з_Зл;2 + 2л;+1 и 2л:2—х— 1;
b) 2х3—3jc2 + 2jc+1 и x2 + * + 3;
c) 2л:3—Зх2—х + 2 и л:4 —2л;2—За:+ 4;
d) Зл:3 + 2л:2 + л:+1 и 2л:3 + *2—х— 1;
e) 2х4—х3 + 3 и Зл:3—л:2+ 4;
f) а0х2+а1х + а2 и
724. При каком значении X полиномы имеют общий
корень:
a) л:3 — Кх + 2 и л:2 + Ъ: + 2;
b) л:3—2U + X3 и х* + №—2;
c) *3 + Я%2—9 и х3 + >а—3?
725. Исключить л: из системы уравнений:
a) х2—ху +
b) х*—ху—
c) # = *3—2
98

726. Решить системы;
a) у2 — 7ху + 4л;2 + 13л;—2у—3 = 0,
у2 — 14ху + 9л;2 + 28л;—4 у — 5 = 0 \
b) (/2 + X2_f/_3JC==o,
*/2—6**/—л;2+11у + 7л;—12 = 0;
c) 5у2—6л# + 5л;2—16 = 0,
у2—ху + 2х2—у—х—4 = 0;
d) У2 + {х—4)у + х2—2х + 3 = 0,
У3 — 5у2 + (х + 7)у + х*—х2—Ъх—3 = 0;
e) 2у* — 4ху2—Bх2—12х + 8)у + х* + 6х2— ,
4#3— (За; + 10) у2— Dл;2—24л; + 16) у—Зл;3 +
+ 2л;2— \2х + 40 = 0.
727. Определить результант полиномов
и аохп
728. Доказать, что R (/, ф^ф.) = #(/, фх) •/?(/, Ф2).
*729. Найти результант полиномов Х„ и л;ш—1»
*730. Найти результант полиномов Хт и Хп.
731. Вычислить дискриминанты полиномов:
а) Х9_х%_2х+1; Ъ)
c) Зл;3 + Зл;2 + 5л; + 2; d) л;4—л;3—
е) 2л;4—л;3 — 4л;2 + л; + 1.
732. Вычислить дискриминанты полиномов
а) хъ—5ах* + 5а2х—Ъ\ Ъ) {х2—х+1K—к(х2—х)*\
С) ах*—Ьх* + {Ь — За)х + а;
d) л;4 — Хх* + 3(к — А)х2—2{К — 8)х—4.
733. При каком значении Я полином имеет кратные
корни:
а) л;3 —Зл; + Я; Ь) л;4 —4л; + Я;
c) л;3 — 8jc2 + A3—l)x—F + 2Я);
d) л;4—4л;3 + B—Я)л;2 + 2л;—2?
Вычислить дискриминанты полиномов!
734. хп + а.
*735.
*736. 0 г 2
737. Зная дискриминант полинома
99

найти дискриминант полинома
738. Доказать, что дискриминант полинома четвер-
четвертой степени равен дискриминанту его резольвенты Фер-
рари (сц. задачу 174).
739. Доказать, что
D((x-a)f(x))~D(f(x))[f(a)]\
*740. Вычислить дискриминант полинома
*741. Вычислить дискриминант полинома
-{-... -fa.
742. Доказать, что дискриминант произведения двух
полиномов равен произведению дискриминантов, умно-
умноженному на квадрат их результанта.
743. Найти дискриминант полинома
*744. Найти дискриминант кругового полинома Хп
Вычислить дискриминанты полиномов:
*746.
•747. Pn(x) = (—l)neTd"e(ixn (полином Эрмита).
*748. Рп (х) «- (— 1)" е*dn (xdyx) (полином Лагерра).
*749. 2 cos fnarccos ~\ (полином Чебышева).
*750. pm{x)=.
100

'751,
*752. Р„ (*)==(-
*753. Найти максимум дискриминанта полинома
х ~\-п-jpc -f~... -\- ппу
все корни которого вещественны и связаны соотношением
754. Зная дискриминант /(х), найти дискриминант
/ И-
755. Зная дискриминант f(x), найти дискриминант
756. Доказать, что дискриминант F (х) =/ (<р (х)) равен
[Я (/)]ЛД О (Ф (*)-*,),
где т —степень ф(х); х19 х2, ..., хя — корни f(x). Стар-
Старшие коэффициенты / и ф принимаются равными единице.

ГЛАВА VI
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КОРНЕЙ ПОЛИНОМОВ
НА ВЕЩЕСТВЕННОЙ ОСИ
И НА ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Теоретические основы
Пусть / и g—два полинома с вещественными коэф-
коэффициентами, не имеющие общих вещественных корней.
Вещественный корень х0 полинома / отнесем к первому
типу относительно g, если произведение fg меняет знак
с — на +, когда х, возрастая, проходит через х0. Ко-
Корень относится ко второму типу, если fg меняет знак
с + на —. Если fg не меняет знака при прохождении х
через корень /, то такой корень (необходимо четной крат-
кратности) не относится ни к первому, ни ко второму типу.
Пусть а < Ь, причем /(а)Ф0, f(b)=fcQ. Индексрм поли-
полинома / относительно g называется разность между чис-
числом корней полинома / первого и второго типа, заклю-
заключенных в интервале (а, Ь).
Рядом Штурма /i0, hl9 /i2, ..., hk с началом /, g
называется последовательность полиномов, в которой
Лв = /| h1 = g и выполнены требования: 1) hk не обра-
обращается в |;уль при а^х^Ь. 2) Если /i((a:0)=0 @ <
< / < k), то Л/_1 (х0) hi+1 {х0) < 0.
Имеет место теорема Штурма: индекс f относительно
g равен разности числа перемен знаков в значениях
полиномов ряда Штурма, вычисленных в начале и в конце
отрезка.
Для построения ряда Штурма можно применить алго-
алгорифм Евклида к полиномам /io = /, hx=-g, принимая за
hi+1 остаток от деления Л/в1 на hit взятый с обратным
102

знаком. Последним полиномом окажется константа или
полином, не имеющий вещественных корней.
757. Доказать, что если полином / не имеет кратных
корней и g = f, то все вещественные корни / будут кор-
корнями первого типа относительно g, так что индекс /
относительно /' в интервале (а, Ь) равен числу корней
в этом интервале.
758. Доказать, что если полином / не имеет кратных
корней, то вещественный корень х0 полинома /"будет
корнем первого типа относительно g, если f/*°\ > О,
и второго типа, если у?*\ < 0.
*759. Пусть последовательность полиномов /0, f19 ..., fn
такова, что степень fk равна k, старшие коэффициенты
положительны и fk{x)=ak(x)fk^1(x)—ck(x)fk_2(x), где
ак (х) и ck (x) — полиномы и ck (x) > 0 при всех веществен-
вещественных х для всех /?^2. Доказать, что все корни всех
полиномов вещественны и корни соседних полиномов
разделяются (т. е. между любыми двумя корнями поли-
полинома fh есть один корень полинома /Л-х).
*760. Дан полином / (г) с комплексными коэффициен-
коэффициентами и на плоскости комплексной переменной z дан
простой замкнутый контур (т. е. замкнутая линия без
самопересечений). Известно, что на этом контуре нет
корней полинома / (z). Доказать, что число корней поли-
полинома / (г) внутри контура (с учетом кратностей) равно
приращению аргумента f(z), деленному на 2jx, вычислен-
вычисленному в предположении, что z обходит контур один раз
в положительном направлении. Иными словами, число
корней внутри контура равно числу оборотов точки / (z)
вокруг начала (эта теорема называется принципом аргу-
аргумента).
*761. Пусть / (z) == fx (z) + f2 (z) — полином с ком-
комплексными коэффициентами и на плоскости комплексной
переменной дан простой замкнутый контур. Пусть изве-
известно, что для всех z на контуре имеет место строгое
неравенство | /i (г) | > | /2 (z) |. Доказать, что полиномы
/ (z) и /х (z) имеют одинаковое число корней внутри кон-
контура (теорема Руше).
*762. Пусть f (х) и g(x) — полиномы с вещественными
коэффициентами, не имеющие общих вещественных кор-
корней, и h(z)=f (z) + ig (z). Обозначим через пг число
корней (с учетом кратности) полинома Л (г) в верхней
103

полуплоскости, через п2—число корней в нижней полу-
полуплоскости. Ясно, что п1 + ^а:==п — степени полинома h(z),
ибо этот полином вещественных корней не имеет. Дока-
Доказать, что п1 — п2 = — Д arg/i (x). Здесь приращение аргу-
аргумента вычисляется в предположении, что х пробегает всю
вещественную ось от —оо до +оо.
*763. В предположениях задачи 762 допустим, что сте-
степень / не меньше степени g. Доказать, что пх — пг равно
индексу f (х) относительно g(x) в интервале (—оо, +оо).
764. Пусть f (x) = aQxn-{-alxn''lJr ...+ап имеет веще-
вещественные коэффициенты и его корни xlf ..., хп попарно
различны. Для квадратичной формы
п
F (tu .... tn) = S ViPi (*«•) + • • • + tnpn (Xf))*
вычислить дискриминант и связать знаки коэффициентов
ее канонического разложения с расположением корней
полинома f(x). Здесь
Pi(x) = Cu
Pi(x)=cn
Рп (х) =сн1+спшх+ ... +сппхп~\
причем С = (си) — вещественная невырожденная матрица.
765. Ответить на те же вопросы для квадратичной
формы
2
766. Ответить на те же вопросы для квадратичной
формы
где g(x) — полином с вещественными коэффициентами,
не имеющий общих корней с f(x).
767. Вычислить матрицу коэффициентов квадратичной
формы F задачи 764 при а0 = 1, pk {х) = xk~i, k = 1, . ¦., п.
768. Вычислить матрицу коэффициентов квадратичной
формы /ч задачи 765 при ао=1, ()k
104

*769. Пусть g(x) = boxn~1 + ... +&„_,. Показать, что
коэффициенты q>,y квадратичной формы Ф задачи 766,
при ао=1 и Pk(x)=xk~1y задаются формулами ф/у =
= Mi+y+i.-8+---+bM-iW/+y-2. гДе и*> ип и2> ...—по-
...—последовательность, строящаяся по рекуррентным соотно-
соотношениям ит+п + а1ит + „_!+•.. +апит = О при начальных
условиях «0 = ... =и„_2=0, ^л«!=1.
*770. Вычислить матрицу коэффициентов квадратич-
квадратичной формы задачи 764 при Pi(x) = l, p^(x)=a/"l+.,.
•771. Вычислить матрицу коэффициентов квадратич-
квадратичной формы задачи 765 при р± (х) =а0, рк (x) =a0xft"l4- • • >
fc>l
/kl
*772. Пусть g{x) = bQxn + b1xn"L+...+bn. Доказать,
что матрица квадратичной формы Ф задачи 766, при
/71(x)=u!0, Рь(х) =аохк~1+ ... +ак_г лишь порядком
столбцов отличается от матрицы метода Безу вычисле-
вычисления результанта (см. задачу 721).
§ 2. Теорема Штурма
Составить ряд Штурма и отделить корни полиномов:
773. а) х* — 3х— 1; Ь) х* + х* — 2х—
) 77 d)
) ) + ;
с) х9 — 7л:+ 7; d) *3—х + 5; е) х* + 3х—S.
774. а) х4— 12л:2— 16jc—4; b) л:*—л:— 1;
с) 2л:4 — 8л:3 + 8л:2— 1; d) x* + x*— 1;
е) х4 + 4х3— 12л: + 9.
775. а) л;4 — 2х3 — 4л:2 + 5л:+ 5;
b) л:4 —2л:3 + л:2—2л:+1;
c) л:4 —2л:3—Зл:2 + 2х+1;
d) л:4—л;3 + л:2—х— 1;
e) Х4_4х3 — 4л:2 + 4л:+1.
776. а) л:4 — 2х3 — 7х2 + 8л:+1; Ь) л:4 — 4л;* + *+ 1;
c) л:4—л:3—х2—х+1\
d) л:4 — 4х3 + 8л:2— 12л:+ 8;
e) л:4—х3 — 2x4-1.
777. а) х4 —6х2—4х + 2; Ь) 4х4—12х2 + 8х—1;
с) Зх4+12х3 + 9х2— 1; d) х4—х3—4х2 + 4х+1;
е) 9х4—126х2 —252х—140.
778. а) 2хб—10х3+10х—3;
b) х8 — Зх5 — Зх4 + 11х3 — Зх2—Зх+1;
c) хб + л:4 —4х3—Зх2 + Зх+1;
d) хб—5х3—10х2
105

779. Составить ряд Штурма, используя право делить
функции Штурма на положительные величины, и отде*
лить корни полиномов:
а) х* + 4х2— 1; Ь) х*—2х* + Зх2—9х+\\
c) л:4 — 2х3 + 2л;2—6х+1;
d) хъ + 5х'+Ш2—Ъх—3.
780. Пользуясь теоремой Штурма, определить число
вещественных корней уравнения x3 + px-\-q = 0 при ве-
вещественных р и q.
*781. Определить число вещественных корней урав-
уравнения
782. Определить число вещественных корней урав-
уравнения
хъ—
*783. Пусть f (х) — полином третьей степени, не имею-
имеющий кратных корней. Показать, что полином F(x) =
= 2f(x)f"(x)—[/' (х)]2 имеет два и только два веществен-
вещественных корня. Исследовать случаи, когда / (х) имеет двойной
или тройной корень.
784. Доказать, что если ряд Штурма содержит поли-
полиномы всех степеней от нулевой до n-й, то число перемен
знака в ряду старших коэффициентов полиномов Штурма
равно числу пар сопряженных комплексных корней
исходного полинома.
*785. Определить число вещественных корней поли-
полинома
В задачах 786—790 доказать вещественность корней
некоторых специальных полиномов, опираясь на теорему
задачи 759.
~ fin —2"
786. Рп(х) — (—\)пе2 —^п— (полиномы Эрмита).
787. Рп(х) = {— \)ne*dn(ed~*xn) (полиномы Лагерра).
106

789.
790.
§ 3. Принцип аргумента и его следствия
791. Пользуясь теоремой Руше, определить число кор-
корней полинома хь — 4а;2 — 2 в круге радиуса 1 и в круге
радиуса 2.
*792. Узнать, сколько корней в верхней полуплос-
полуплоскости имеет полином h(x)=f (х) + ig (x):
a) /(л:) = 6л;4 — 6х3— 15л;2 + 9л; + 8; g(x)=2x*—Зх;
b) /(х)=**-3; g{x)=#+U
c) f(x) = x* — 4х2+1; gr(л:) = — л;3 + Зл:— 1.
Доказать следующие теоремы:
*793. Пусть f (x) и g(x) — взаимно простые полиномы
с вещественными коэффициентами и степень g не пре-
превосходит степени f. Для того, чтобы все корни поли-
полинома h (х) = f (x) + ig (x) лежали только в верхней или
только в нижней полуплоскости, необходимо и доста-
достаточно, чтобы корни полиномов fug были все вещест-
вещественны и разделялись.
*794. Если корни взаимно простых полиномов f(x)
и g(#) вещественные и разделяются, то все корни поли-
полиномов %f (x) + \ig (x) вещественны при любых веществен-
вещественных К и [г.
*795. Пусть ф(г)—полином, имеющий корень г0 крат-
кратности ft. Тогда для произвольного достаточно малого р
существует такое б что, каков бы ни был полином г|>(г),
удовлетворяющий на окружности \z—zo| = p неравенству
|i|)(z)|<8, внутри круга \z—zo|<p полином <р(г)+г|)(г)
имеет ровно ft корней (теорема о непрерывной зависи-
зависимости корней полинома от его коэффициентов).
*796. Если ф(х) — полином или рациональная функ-
функция с вещественными коэффициентами, имеющая кратный
вещественный корень х0, то, при достаточно малом t > 0,
функция ф (x) + t или ф (х)—t имеет невещественные корни.
*797. Если f (х) и g(x)—взаимно простые полиномы
с вещественными коэффициентами и при любых вещест-
107

венных а и b все корни полиномов af (x) + bg(x) вещест-
вещественны, то корни полиномов f(x) и g(x) разделяются.
*798. Если (в прежних обозначениях) все корни пог
линома f (x)-\-ig(x) лежат в верхней полуплоскости, то
все корни полиномов (af + bg) + i (cf + dg) при ad—bc> 0
лежат в верхней полуплоскости, а при ad—Ьс<0 —
в нижней.
*799. Если все корни полинома f(z) лежат в верхней
полуплоскости, то и все корни его производной нахо-
находятся в верхней полуплоскости.
*800. Если все корни полинома f(x) расположены в
некоторой полуплоскости, то все корни производной рас-
расположены в той же полуплоскости.
*80Ь Корни производной полинома f(x) заключены
внутри любого выпуклого контура, содержащего внутри
себя все корни полинома f(x).
*802. Если корни полиномов fx (x) и /2 (х) все вещест-
вещественные и разделяются, то корни их производных раз-
разделяются.
*803. Для того чтобы «ещественные части всех корней
полинома
хп + а1хп+ ... +ап
с вещественными коэффициентами были одного знака,
необходимо и достаточно, чтобы корни полиномов
хп—а2хп
агхп~%—а3хп~*+ ...
были все вещественны и разделялись.
*804. Найти условия, необходимые и достаточные для
того, чтобы вещественные части всех корней уравнения
хъ + ах2 + Ьх+с =¦ 0 с вещественными коэффициентами были
отрицательными.
*805. Найти необходимые и достаточные условия для
отрицательности вещественных частей всех корней урав-
уравнения x*-\-ax3 + bx2 + cx + d = Q с вещественными коэф-
коэффициентами.
*806. Найти необходимые и достаточные условия для
того, чтобы все корни уравнения с вещественными коэф-
коэффициентами хд + ах2 + Ьх + с~0 не превосходили по мо-
модулю единицы.
108

§ 4. Различные задачи
о распределении корней полиномов
*807. Доказать, что полином f(x) = xn-{-alxn''l-j- ...
--+ат-1*п-я+1-ЬтХ»-~-...-Ьп приа,>0, &у>0,
Ьт > О имеет единственный положительный корень.
808, Доказать, что модули корней полинома аохп +
+ а1хп~1-{-... +ап не превосходят единственного поло-
положительного корня уравнения Ьохп — Ьххп~х— Ь2хп~2—...
& где 0<Ь0<|а0|, ^Ж), &,>!«,!, ...
|
«Ж|
809. Пусть f (х) =аохп+... +ат_1хп-т+1+атхп-т+...
...+аЛ — полином с вещественными коэффициентами,
причем ао>0, ах>0, ..., аЛ|.1^0> аот < 0. Доказать,
что вещественные корни полинома f(x) не превосходят
единственного положительного корня полинома, который
получится из f(x) выбрасыванием всех членов с поло-
положительными коэффициентами после атхп~т.
*810. Доказать, что если а^а^а^.. .^аи>0,
то все корни полинома / (х) =аохп + а1хп-1+ .. ,+ап не
превосходят по модулю единицы.
*811. Определить число вещественных корней полинома
пхп—jc"—хп~2— ... — 1.
812. Доказать, что если все корни полиномов f(x)—а
и f(x)—b вещественны, то все корни полинома f(x) — к
вещественны, если К заключено между а и Ъ.
813. Два коэффициента аг > 0 и а4 > 0 полинома
я4 + агх3 + а2х* + а3х + а4 заданы. Требуется определить
вещественные а2 и а3 так, чтобы все корни лежали в ле-
левой полуплоскости и ближайший к мнимой оси был бы
возможно дальше.
814. Доказать, что если все корни полинома / (х)
вещественны, то все корни полинома f (x) + kf (x) вещест-
вещественны при любом вещественном X.
*815. Доказать, что если все корни полинома f (x) веще-
вещественный все корни полинома g (x)=aoxn+alxn-i>+... +ап
вещественны, то все корни полинома
F (х) = aj (х) + axf' (x) + ...+ aj™ (x)
вещественны.
*816. Доказать, что если все корни полинома f{x) =
== aQxn + axxn~i + ... + ап вещественны, то все корни
109

полинома
аохп + агтхп~1 + а2т (т—1) хп~2+ ...
... +апт (т— 1)... (т—п+ 1)
вещественны при любом целом положительном т.
*817. Доказать, что если все корни полинома /(*) =
= аохп + а1хп~г + ... +ап вещественны, то все корни
полинома
G (х) = аохп + С^х»-1 + С%а2хп'2 +...+ап
вещественны.
818. Доказать вещественность всех корней полинома
*819. Доказать, что если все корни полинома
а0 + ахх + агх2 + ... + апхп вещественны и одного знака,
то все корни полинома
а0 cos ф + ах cos (ф + Э) х+
вещественны.
*820. Пусть f (г) — полином или дробная рациональ-
рациональная функция. Доказать, что если а является корнем
f (z) — f (а) кратности k и f(a)=?O, то при достаточно
малом р на окружности \z—а|==р найдется 2k точек,
в которых |f (z)| = |/(а)|.
*821. Доказать, что если а является корнем f (z)—/ (а)
кратности ky то при достаточно малом р на окружности
| z—а |=р найдется 2kточек, в которых Re (f(z)) = Re (/ (a)),
и 2k точек, в которых Im (/ (z)) = Im (/ (а)). Здесь / (z) —
полином или дробная рациональная функция.
*822. Доказать, что если f (х) — полином степени п
с вещественными корнями, то все корни уравнения
[f (x)]2 + k2[f (х)]* = 0 имеют мнимую часть, меньшую kn
по абсолютной величинеч
§ 5. Приближенное вычисление корней полинома
823. Вычислить с точностью до 0,0001 корень урав-
уравнения хг — Зх2—13л:—7 = 0, содержащийся в промежутке
(-1, 0).
824. Вычислить с точностью до 0,000001 вещественный
корень уравнения х3—2х—5 = 0.
ПО

825. Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные
корни уравнений:
а) л:3— Юл:—5 = 0; Ь) х* + 2х—30 = 0;
с) л;3 —Зл;2—4л:+1 = 0; d) л:3 — Зл;2 —
826. Полусферу радиуса 1 разделить на две равно-
равновеликие части плоскостью, параллельной основанию.
827. Вычислить с точностью до 0,0001 положительный
корень уравнения х3 — 5л:—3 = 0.
828. Вычислить с точностью до 0,0001 корень уравнения:
a) х* + 3х* — 9л:—9 = 0, содержащийся в премежутке
A, 2);
b) л:4—4л;3 + 4л;2—4 = 0, содержащийся в промежутке
(-1, 0);
c) л;4 + 3л;3 + 4л;2 + л;—3 = 0, содержащийся в проме-
промежутке @, 1);
d) л:4—10л:2—16л; + 5 = 0, содержащийся в промежутке
@, 1);
e) л:4—л:3—9л;2+10л;—10 = 0, содержащийся в проме-
промежутке (—4, —3);
f) л:4—6л:2 + 12л:—8 = 0, содержащийся в промежутке
A, 2);
g) л:4 — Зл;2 + 4л;—3 = 0, содержащийся в промежутке
(-3, -2);
h) л:4—л:3—7л:2 — 8л;—6 = 0, содержащийся в проме-
промежутке C, 4).
i) л:4—Зл;3 + 3л:2—2 = 0, содержащийся в промежутке
A, 2).
829. Вычислить с точностью до 0,0001 вещественные
корни уравнений:
a) л;4 + 3х3—4л:—1=0;
b) л:4 + 3л:3—л:2 —Зл:+1=0;
c) л:4—6л:3 + 13л:2— 10л: +1=0;
d) л:4—8л;3—2л:2 + 16л:—3 = 0;
e) л;4 —5л;3 + 9л;2—5л;—1=0;
{ 6 4 4 0
)
g) л;4 + 2л;3 + Зл;2 + 2л;—2 = 0;
h) л;4 + 4л;3—4л;2—16л;—8 = 0.

ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ ГРУПП
§ 1. Аксиомы полугруппы и группы,
простейшие свойства, примеры
*830. Правым (левым) нулем полугруппы называется
такой элемент г, что az = z (za = z) при любом а. Дока-
Доказать, что если в полугруппе имеются как правые, так
и левые нули, то все они совпадают, так что существует
единственный двусторонний нуль.
*831. Правой (левой) единицей полугруппы назы-
называется такой элемент м, что аи = а(иа = а) при любом а.
Доказать, что если в полугруппе, имеются как правые
так и левые единицы, то все они совпадают, так что
существует единственная двусторонняя единица.
832. Может ли элемент полугруппы быть одновре-
одновременно правым нулем и левой единицей?
833. Перечислить (с точностью до изоморфизма) все
полугруппы, состоящие из двух элементов.
834. Перечислить (с точностью до изоморфизма) все
полугруппы с одной образующей.
*835. Доказать, что конечная полугруппа с правыми
сокращениями (т. е из Ьа = са следует Ь = с) и хотя бы
с одной левой единицей есть группа.
836. Построить пример конечной полугруппы с пра-
правыми сокращениями, не являющейся группой.
837. Построить пример бесконечной коммутативной
полугруппы с единицей и с сокращениями, не являю-
являющейся группой.
838. Доказать, что квадратные невырожденные мат-
матрицы порядка п с элементами из данного поля К обра-
образуют группу (она называется полной линейной группой
степени п над полем К и обозначается GL (л, /С)).
112

839. Доказать, что квадратные матрицы порядка п
с элементами из поля /С, имеющие определитель, рав-
равный 1, образуют группу (она называется специальной
линейной группой и обозначается SL (я, /С)).
840. Доказать, что квадратные матрицы порядка л,
в каждой строке и в каждом столбце которых один эле-
элемент равен 1, а остальные нули, образуют группу (сим-
(симметрическая группа Sn.
841. Доказать, что квадратные матрицы порядка п,
в каждой строке и в каждом столбце которых имеется
не более чем один элемент, равный 1, а остальные нули,
образуют полугруппу.
842. Доказать, что для каждого элемента а полу-
полугруппы задачи 841 существует единственный элемент а+
такой, что аа+а = а, а+аа+=а+ (полугруппы с таким
свойством называются инверсными).
843. Доказать, что ортогональные матрицы порядка п
образуют группу (полная ортогональная группа GO (п)),
группу же составляют собственно ортогональные матрицы
(специальная ортогональная группа SO (я)).
844. Доказать, что целочисленные матрицы с опре-
определителями 1 образуют группу.
845. Доказать, что пересечение групп задач 843
и 844 есть конечная группа и найти ее порядок.
846. Доказать, что пары (а> Ь) элементов поля /(,
#=^0, составляют группу относительно умножения, оп-
определяемого формулой
847. Доказать, что линейные функции ах-\-Ь, а=Ф0,
образуют группу относительно суперпозиции, изоморф-
изоморфную группе задачи 846.
848. Доказать, что непрерывные строго возрастающие
на отрезке [0, 1] функции ф со значениями <р@)=О,
фA) = 1 составляют группу относительно суперпо-
суперпозиции.
849. Доказать, что комплексные числа, изображения
которых заполняют логарифмическую спираль r = eh{p,
кфО, образуют группу относительно умножения.
850. Доказать, что подстановки п элементов состав-
составляют группу, изоморфную группе задачи 840.
851. Установить изоморфизм группы вещественных
чисел относительно сложения и группы задачи 849.
113

852. Установить изоморфизм группы вещественных
чисел относительно сложения и группы положительных
чисел относительно умножения.
853. Доказать, что группа движений и отражений
плоскости, совмещающих с собой равносторонний треу-
треугольник, изоморфна группе S3 подстановок трех элемен-
элементов.
854. Доказать, что группа движений (без отражений)
трехмерного пространства, совмещающих с собой куб,
изоморфна группе S4 подстановок четырех элементов.
*855. Доказать, что группа, порожденная движениями
и отражениями трехмерного пространства, совмешаю-
щими с собой правильный икосаэдр, изоморфна группе 55
подстановок пяти элементов.
856. Чему равен порядок группы движений, совме-
совмещающих с собой плоскую пластину, имеющую вид пра-
правильного я-угольника (группа диэдра).
857. Пусть все элементы группы, кроме единицы,
имеют порядок 2. Доказать, что группа абелева.
§ 2. Подгруппа, нормальный делитель,
факторгруппа, гомоморфизм
858. Описать правые классы смежности при разложе-
разложении группы G по подгруппе Н:
a) G—циклическая группа Z8 восьмого порядка,
Н—ее подгруппа четвертого порядка;
b) G = 53, H — подгруппа, порожденная транспози-
транспозицией A2);
c) G—группа вращений куба, Н—ее подгруппа, сов-
совмещающая с собой одну из граней куба;
d) G—группа всех невырожденных вещественных
матриц, Н — подгруппа матриц с определителем 1.
859. Доказать, что в конечной группе нечетного по-
порядка любой элемент является квадратом другого, од-
однозначно определенного, элемента.
860. Чему равен наибольший порядок элемента сим-
симметрической группы S12?
861. Сколько подгрупп имеет группа S3. Которые
из них сопряжены?
862. Доказать, что если число правых классов смеж-
смежности в разложении бесконечной группы G по под-
подгруппе Н конечно, то и число левых классов смежности
конечно и равно числу правых классов.
114

863. Доказать, что подгруппа Н индекса 2 в группе G
является ее нормальным делителем.
*864. Доказать, что если Н — подгруппа конечного
индекса в группе G и К—промежуточная подгруппа, т.е.
такая, что HaKaG, то индекс К в G есть делитель
индекса Н в G.
*865. Доказать, что пересечение двух подгрупп #f
и Я2 конечного индекса в группе G есть подгруппа ко*
нечного индекса, не превосходящего произведения ий-
дексов Ht я Н2.
866. Центром группы называется множество всех эле-
элементов, коммутирующих со всеми элементами группы.
Доказать, что центр есть нормальный делитель.
*867. Доказать, что группа, порядок которой есть
степень простого числа р> имеет нетривиальный центр.
868. Доказать, что существуют две группы (с точ-
точностью до изоморфизма) порядка р2, где р—простое
число, обе абелевы.
869. Перечислить группы восьмого порядка.
870. Показать, что отображение <р—*cos(p + isin(p
есть гомоморфное отображение аддитивной группы ве-
вещественных чисел на мультипликативную группу комп-
комплексных чисел модуля 1. Найти ядро гомоморфизма.
871. Рассмотрим аддитивную группу G полиномов
с вещественными коэффициентами, степени которых не
превосходят п—1. Каждому полиному / ? G сопоставим
строку (/(a^), /(a:2),..., f(xn)), где х19 ха,..., хп — дан-
данные попарно различные числа. Доказать, что это отобра-
отображение есть изоморфизм.
872. То же отображение применить к аддитивной
группе всех полиномов над R, без ограничения степени.
Доказать, что это отображение есть гомоморфизм и найти
его ядро.
873* Пусть G — конечная группа, Я = ф (G) — ее го-
гомоморфный образ. Доказать, что порядок х ?G делится
на порядок ф (%)?#.
*874. Доказать, что если порядок конечной абелевой
группы делится на простое число р, то в группе най-
найдется элемент порядка /?.
*875. Доказать, что для конечной группы число эле-
элементов в любом классе сопряженных элементов есть де-
делитель порядка группы.
876. Что представляют собой классы сопряженных
элементов в симметрической группе Sn,
115

877. Пусть Н — абелева группа нечетного порядка.
Рассмотрим множество G = #U##, где а—новый сим-
символ, и определим в G умножение по правилам: х± • х2 = хгхг%
xl*x2a = x1x2a, x1a-xt = x1x^1a, x1a-x2a = xlx^1. До-
Доказать, что G есть группа и все элементы из На сопря-
сопряжены.
*878. Описать конечные группы G порядка 2т, в ко-
которых существует класс сопряженных элементов, содер-
содержащий половину элементов С
*879. Найти группы, имеющие три класса сопряжен-
сопряженных элементов.
*880. Найти группы, имеющие четыре класса сопря-
сопряженных элементов.
*881. Доказать, что если И—подгруппа группы G
конечного индекса /г, то существует лишь конечное число
подгрупп, сопряженных с Я, и это число делит п.
882. Доказать, что если группа G содержит под-
подгруппу Н конечного индекса, то содержит и нормальный
делитель конечного индекса.
*883. Доказать, что если подгруппа G содержит под-
подгруппу Н индекса п, то она содержит нормальный де-
делитель, индекс которого делит /г!.
884. Коммутатором элементов а и Ь группы G назы-
называется aba'ty. Подгруппа, порожденная коммутаторами,
называется коммутантом группы G. Доказать, что:
a) коммутатор а и b равен 1 тогда и только тогда,
когда а и b коммутируют;
b) конечные произведения коммутаторов составляют
коммутант;
c) коммутант является нормальным делителем;
d) факторгруппа по коммутанту абелева;
e) если G/H — абелева группа, то Н содержит комму-
коммутант G.
885. Доказать, что если А и В—нормальные дели-
делители группы G и а^Ау Ь?В, то а6а&€ А [\В.
886. Доказать, что если А и В — нормальные делите-
делители G и Лп5 = 1, то элементы из А коммутируют с эле-
элементами из В.
*887. Доказать, что если порядок конечной группы
делится на простое число р, то в ней существует элемент
порядка р (теорема Коши).
888. Дать описание групп порядка 2pf где р—про-
р—простое число.
Ив

*889. Перечислить группы порядка pq, где р и q —
простые числа.
*890. Пусть группа G = SL(n, Z) есть группа цело-
целочисленных матриц порядка п с определителем 1 и/и —
натуральное число. Переход от кольца Z к кольцу вы-
вычетов Zm по модулю т определяет, очевидно, гомомор-
гомоморфизм группы SL (я, Z) в группу SL (я, Zm) — группу
матриц с определителем 1 над кольцом Zm. Доказать,
что это отображение является эпиморфизмом.
*891. Пусть G— конечная группа целочисленных ма-
матриц и т — натуральное число, т^З. Доказать, что ре-
редукция по модулю т осуществляет мономорфное отобра-
отображение G в GL(rt, Zm).
*892. Что представляют собой классы сопряженных
элементов в группе SO C) вращений трехмерного про-
пространства (или, что то же самое, в группе собственно
ортогональных матриц третьего порядка).
*893. Доказать, что группа SO C) простая, т.е. она
не содержит нормальных делителей, кроме всей группы
и единичной подгруппы.
894. Пусть G— конечная группа. Каждому x?G со-
сопоставим подстановку ох: а—>ах элементов группы G.
Ясно, что произведению элементов групп соответствует
произведение сопоставленных им подстановок (если счи-
считать первым действующим левый множитель) и группа G
изоморфна так построенной группе подстановок. Сопо-
Сопоставление х—>ох называется регулярным представле-
представлением конечной группы подстановками.
Доказать, что любая подстановка ох регулярного
представления разбивается на циклы одинаковой длины,
равной порядку элемента х.
895. Для того чтобы среди подстановок регулярного
представления конечной группы G нашлась нечетная
подстановка, необходимо и достаточно, чтобы порядок п
группы G был четным числом и, если п — 2кп1, при не-
нечетном п19 чтобы в G существовал элемент порядка 2А.
*896. Доказать, что если в группе G четного поряд-
порядка п = 2кп1У при нечетном п1У имеется элемент порядка 2Л,
то элементы нечетного порядка составляют подгруппу
порядка п19 являющуюся нормальным делителем груп-
группы G.
*897. Показать, что симметрическая группа Sb под-
подстановок пяти элементов изоморфна некоторой транзи-
транзитивной группе подстановок шести элементов*
117

898. Пусть G— группа, Я—ее подгруппа конечного
индекса. Умножение справа всех правых классов смеж-
смежности G по Я порождает гомоморфное представление
группы G подстановками. Доказать, что ядро гомомор-
гомоморфизма есть пересечение группы Я со всеми сопряженными.
899. Найти группу автоморфизмов циклической
группы.
900. Найти группу автоморфизмов группы диэдра.
*901. Найти группу автоморфизмов элементарной
абелевой группы, т.е. прямого произведения конечного
числа циклических групп простого порядка.
902. Найти группу автоморфизмов группы кватернио-
кватернионов.
903. Даны две группы G и Я и дано гомоморфное
отображение группы G в группу автоморфизмов группы Я.
Показать, что множество пар (g, ft), где g?G, /*?Я,
с правилом умножения (glf hx). (g2, ft2) = (gxg2y h{2h2)
является группой. Здесь №—результат действия авто-
автоморфизма, сопоставленного g, на элемент ft (так постро-
построенная группа называется полупрямым произведением
групп G и Я).
904. Пусть F и Я—две подгруппы группы G, причем
Я—нормальный делитель. Доказать, что произведение
FH есть подгруппа в G, являющаяся гомоморфным
образом полупрямого произведения F и Я, при ft/ = /:"ft/.
*905. Даны группы G и Я. Рассматривается группа F
функций /, определенных на G со значениями в Я,
с естественным умножением. В группе F определены
автоморфизмы, сопоставляемые элементам G по форму-
формуле f&* (g2) ==/ (g"ig2)- Полупрямое произведение GF назы-
называется сплетением групп G и Я.
Доказать, что сплетение конечных групп допускает
изоморфное транзитивное представление подстановками
mk элементов, где т—порядок группы G, afe — порядок
группы Я.
906. Если группа Я абелева и G конечна, то любое
полупрямое произведение GH (т.е. при любом отображе-
отображении группы G в группу автоморфизмов группы Я) есть
гомоморфный образ сплетения.
*907. Подпрямым произведением групп Н1 и Я2 на-
называется подгруппа F их прямого произведения, проек-
проекции которой на Нг и Я2 заполняют Ях и Я2.
Что представляют собой пары (ftx, ft2), составляющие
подпрямое произведение?
118

§ 3. Свободная группа и свободное произведение
908. В свободной группе с k образующими взята
подгруппа, образованная словами, в которых сумма
показателей делится на т. Показать, что она является
нормальным делителем и найти факторгруппу.
909. В свободной группе G с k образующими взято
множество Н элементов, в которых сумма показателей
при каждом образующем равна нулю. Показать, что
это множество есть нормальный делитель, именно, ком-
коммутант группы G, и найти факторгруппу.
*910. Пусть G—свободное произведение п+\ групп
второго порядка. Доказать, что элементы четной длины
составляют нормальный делитель индекса 2, являющийся
свободной группой с п образующими.
*911. Доказать, что если образующие и19 ..., ик
группы Н связаны такими соотношениями, что из wtw2...
.. ,wm = 1 следует wm.. .w%w1 = 1 (здесь wt принимают
значения и19 ..., ик, и^1, ..., щ1), то группа Я может
быть вложена как подгруппа индекса 2 в группу G,
порожденную образующими vOi vly ..., vk второго по-
порядка.
*912. В трехмерном пространстве дана поверхность
с уравнением х2 + у2 + z2 = axyz, a > 0. Рассматривается
ее часть S, лежащая в октанте х > 0, у > 0, z > 0. Пре-
(W2 I 22 \
у ^ , уу г и очевидно, пре-
преобразует S на себя (геометрический смысл ох ясен:
прямые, параллельные Ох, пересекают S, вообще говоря,
в двух точках и ах переводит одну из этих точек в дру-
другую). Аналогично определяются оу и oz.
Доказать, что группа, порожденная ах, ауу az,
есть свободное произведение трех групп второго по-
порядка.
*913. Доказать, что неопределенное уравнение х2 +
+ y2 + z2 — axyz, при целом а>0, не имеет решений
в целых числах при аф\ и а^З, При а=1 все ре-
решения получаются из решения C, 3, 3), а при а = 3 —
из решения A, 1, 1) посредством применения преобразо-
преобразований из группы, порожденной преобразованиями оХУ
оу, az (см. задачу 912).
*914. Доказать, что множество целочисленных матриц
г Л элементы которых удовлетворяют условиям ad —
119

—6с =1, as?d= 1 (mod 4), & = ess0 (mod 2), составляет
(I 2\
0 1/ И
§ 4. Инвариантные полиномы. Применения
к исследованию уравнений низших степеней
915. Доказать, что если полином не меняется при
четных перестановках и меняет знак при нечетных, то
он делится на определитель Вандермонда, составленный
из переменных, и частное от деления есть симметриче-
симметрический полином.
916. Доказать, что каждый полином, неменяющийся
при четных перестановках переменных, может быть
представлен в виде
где Ft и F2—симметрические полиномы и А — определи-
определитель Вандермонда из переменных.
917. Доказать, что каждый полином от п переменных
#i> #а> •••» хп> не изменяющийся при круговых переста-
перестановках переменных, можно представить в виде
где гI, т|2, .. ., г\п_1 суть линейные формы:
*+ ...+хп9
2л ... 2я
8 = COS h I Sin ,
причем показатели а1У a2, ..., an_f удовлетворяют
условию: a! + 2a2+ ... +(n—l)ocn^1 делится на п.
918. Для рациональных функций, не меняющихся
при круговых перестановках переменных, указать п
основных (дробных и с нерациональными коэффициен-
коэффициентами), через которые все выражаются рационально.
919. Для рациональных функций от трех переменных,
не меняющихся при круговых перестановках, указать
три основные функции с рациональными коэффициентами.
120

920. Для рациональных функций от четырех пере-
переменных, не меняющихся при круговых перестановках,
указать четыре основные функции с рациональными ко-
коэффициентами.
921. Для рациональных функций от пяти переменных,
не меняющихся при круговых перестановках, указать
пять основных функций с рациональными коэффициен-
коэффициентами.
922. Пусть g(xu ..., хп)— полином, не меняющийся
при подстановках из группы Я, и / (л:) — полином сте-
степени п с корнями xj, .. ., х%. Доказать, что существует
полином, степень которого равна индексу Я в симметри-
симметрической группе, одним из корней которого является
g(xlf ..., *п)> а коэффициенты являются полиномами
от коэффициентов / и g, с коэффициентами из Z.
923. Найти уравнение, корнями которого являются
1 V3
где е=» — y + i-^y-» *i» xv хв—корни уравнения
924. Найти уравнение наименьшей степени с коэффи-
коэффициентами, выражающимися рационально через коэффи-
коэффициенты данного уравнения x*-\-ax*-{-bx* + cx-{-d***09
принимая за один из корней искомого уравнения:
а) Зд + ^Л; Ь) (*! + *! — х3—xj*.
*925. Написать формулу для решения уравнения
926. Составить уравнение, одним из корней которого
является
(г% ^3 9А лъ ъг) х
X (xtx9 4- х3х6 + хьх% + х^ + XtXj,
где xl9 x2, x3f xi9 хъ—корни уравнения

ГЛАВА VIII
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Базис, размерность, подпространства
927. Доказать, что множество всех функций со зна-
значениями в данном поле /С, определенных на множестве
из п элементов, составляет n-мерное векторное простран-
пространство над полем К по отношению к действиям сложения
функций и умножения на константу из /С.
928. В пространстве строк над числовым полем дана
система векторов ft, ..., fm. Выделить максимальную
линейно независимую подсистему и выразить остальные
векторы в виде линейных комбинаций векторов выде-
выделенной подсистемы:
a) /t = B, 2, 7, - 1), /, = C,-1, 2, 4), /, = A, 1, 3, 1);
b) ^ = C, 2, -5, 4), /,=.C, -1, 3,-3), /,=
= C, 5, -13, 11);
c) /х = B, 3, -4, -1), /, = A, -2, 1, 3), /,=
= E, -3, -1, 8), /4 = C, 8, -9, -5);
d) /г = B, 1,-1,1),/, = A,2, 1,-1),/, = A,1, 2, 1);
e) /х = B, 1), /, = C, 2), /, = A, 1), /4 = B, 3);
f) /х = B, 1, -3), /, = C, 1, -5), /, = D, 2, -1),
/4 = A, 0, -7);
g) /i = B, 3, 5, -4, 1), /, = A, -1, 2, 3, 5),
/8 = C, 7, 8, -11, -3), /4 = A, -1, 1, -2, 3);
h) /, = B, -1, 3, 4, -1), /, = A, 2, -3, 1, 2),
/3 = E, -5, 12, 11, -5), /4 = A, -3, б, 3, -3);
i) /2 = A, 2, 1, -2, 1), /, = B, -1, 1, 3, 2), /,=
= A, — 1, 2, -1, 3), /4 = B, 1, -3, 1, -2), /,=
= A, -1, 3, -1, 7);
j) /, = D, 3, — 1, 1, -1), /, = B, 1, -3, 2, -5),
/, = A, -3, 0, 1, -2), /4 = A, 5, 2, -2, 6),
122

929. В пространстве строк над числовым полем за-
заданы векторы/х, /2, f3 и /4. Можно ли принять {/lf f2, /3>Ы
за базис? Каковы координаты вектора х в этом базисе?
a) /, = A, 1, 1, 1), /2 = A, 1, -1, -1), fs =
*=A, -1, 1, -1), /4 = 0, -1, -1. 1);* = A,2, 1, 1).
b) /1==A, 1, 0, 1), f2 = B, 1, 3, 1), /3 = A, 1. О, 0),
f4 = @, 1, -1, -1); * = @, 0, 0, 1).
*930. Пусть е1% ..., еп—базис векторного простран-
пространства S и пусть еп + 1 = — ег—...—еп. Доказать, что лю-
любой вектор из S может быть представлен в виде а1е1 + ...
... +апеп + ап+1еп+1 с коэффициентами, удовлетворяю-
удовлетворяющими условию ах-\-... +ал + #Л+1=:0, и такое представ-
представление единственно.
*931. В условиях предыдущей задачи ясно, что каж-
каждая система векторов, получающаяся из е1У ..., еп+1
выбрасыванием одного из них, будет базисом. Допустим,
что S —вещественное пространство. Доказать, что любой
вектор может быть представлен в виде линейной комби-
комбинации с неотрицательными коэффициентами в одном из
перечисленных базисов и такое представление единст-
единственно. Дать геометрическое доказательство этого факта
при п = 2 и п = 3.
*932. Сколько существует базисов в n-мерном про-
пространстве над полем GF(q).
933. Найти базис и размерность подпространства
пространства строк, натянутого на данную систему век-
векторов:
a) /1==B, 1, 3, 1), /2 = A, 2, 0, 1), /, = (- 1, 1, -3, 0);
b) /х = B, 0, 1, 3, -1), /2 = A, 1, 0, -1, 1), /8 =
= @, -2, 1, 5, -3), /4 = A, -3, 2, 9, -5);
c) Л = B, 1, 3, -1), /2 = (-1, 1,-3, 1), /8 = D, 5,
3, -1), f4=(l, 5, -3, 1).
934. Найти базис и размерность суммы и пересе-
пересечения подпространств пространства строк, натянутых на
системы векторов {/,} и {gj}y и найти базисы этих под-
подпространств, включающие базис пересечения:
а) /х = A, 2, 1,0),/2 = (-1, 1, 1, 1);ёГ1 = B,—1, 0,-1),
g2 = (l,-l, 3,7).
Ъ)П = (и2,-и-2)У!2=C,1,1,1),П=(-1у0,1,-1);
?Х = B, 5, -6, -5), & = (-1, 2, -7, -3).
с) ^ = A, 1, 0, 0), /2 = A, 0, 1, 1); ^ = @, 0, 1, 1),
&'=(<>, 1, 1, 0).
123

d) /,=A. 1, 1, 1, 1), /a=(l, -1,1, -1, 1), /,=
= B,1,—1,1,2);^=(—1,2,1, l,O),ft=(l,0,4,0,1).
e) /1==A, 1, 1, 0), /2 = A, 1, 0, 1), /8 = A, 0, 1, 1);
& = A, 1, -1, -1), & = (!, -1, 1, -1), g3 =
= A,-1,-1, 1).
935. Что представляет собой сумма и пересечение сле-
следующих подпространств Р и Q пространства М квадрат-
квадратных матриц:
a) Р—пространство симметрических матриц, Q — про-
пространство верхних треугольных матриц;
b) Р—пространство симметрических матриц, Q — про-
пространство антисимметрических матриц (здесь характерис-
характеристика поля считается ф2)\
c) Р — пространство циклических матриц вида
а9. ая
Q — пространство верхних треугольных матриц.
936. Составить формулы преобразования координат
при переходе от базиса fb /2, /8, /4 к базису glf g2, g3J g4
(здесь рассматривается пространство столбцов):
а)
Ь)
124

937. Уравнение гиперповерхности в естественном ба-
базисе пространства столбцов имеет вид х\ + х\—х\—*| *= 1.
Найти уравнение этой поверхности относительно базиса
1 1 1
1 1-1-1
— 1 1—1
-1 -1
938. Указать какой-либо базис факторпространства S/P,
где S—четырехмерное пространство строк, Р натянуто
на систему векторов {//};
a) /,-A, 1, 1, 1), /, = A, 2, 3, 4);
b) fi = (l, -1, 2, -1), /, = A, 0, 0,1),/,=A,1,1,1)
*939. Сколько m-мерных подпространств существует
в л-мерном пространстве над полем GF (</)?
*940. Сколько m-мерных подпространств /г-мерного
пространства над полем GF (q) имеет нулевое пересече-
пересечение с данным fe-мерным йодпространством?
*941. Пусть Р1У Р2, Р3—ТРИ подпространства конечно-
конечномерного пространства S, причем /\ cz Р3. Доказать, что
*942. Доказать, что
(Р. + Ps) П (Р. + Pi) П (Рг + Р2) =
*943. Пусть Рх, Ра, Рд — три подпространства конечно-
конечномерного пространства S и пусть dk = dim (Р( + Ру) (]Pk+
+ dim (P/П Ру), здесь t, /, k — произвольная перестановка
чисел 1, 2, 3. Доказать, 4Tod1 = d2 = d3.
*944. Пусть Р1Э Р2, Р3 — подпространства конечно-
конечномерного пространства S. Доказать, что подпространство
(Ра П Р3) + (Ps П Pi) + (Pi П Р2) содержится в подпростран-
подпространстве (P2 + P3)n(P3 + Pi)n(Pi + P2) и разность размер-
размерностей этих подпространств есть четное число.
*945. Пусть O^t/oCL^ctf.c ... с Un^1c:Un^S —
полный флаг, т. е. последовательность вложенных под-
подпространств пространства S. Пусть, далее, Р—подпро-
Р—подпространство, dim Р ^ 1. Доказать, что найдется такой но-
номер k9 что UhczUk-i + P.
125

946. Пусть /j и /2—взаимно простые полиномы из К[х]
степеней тх и т2 и ScK[x]—пространство полиномов,
степени которых не превосходят тх-\-т2—1. Доказать,
что S*=SX(BS2, где 5Z-—пространство полиномов из S,
делящихся на fh t = l, 2.
947. Пусть S = P1©P2 и Q — одномерное подпрост-
подпространство 5, имеющее нулевое пересечение как с Р1У так
и с Р2. Найти размерность (Рг + Q) П (Р2 + Q) и указать
какой-либо базис этого пространства.
948. Обобщить предыдущую задачу на случай, когда
Qfe>l
*949. Пусть S = P1(BP2—пространство над полем
GF(q)> dithPj^^m^ dimР2 = т2. Найти число ^-мерных
подпространств Q, имеющих нулевое пересечение как
с Р19 так и с Р2.
950. Доказать, что пространство вещественных не-
непрерывных функций на отрезке [0, 1] есть прямая сумма
пространства констант и пространства функций, обра-
обращающихся в 0 в данной точке х0У 0^а:0^1.
951. Доказать, что пространство непрерывных функ-
функций на [0, 1] есть прямая сумма пространства полино-
полиномов, степень которых не превосходит k—1 и простран-
пространства функций, обращающихся в 0 в данных точках
xif ..., xk\ 0^хг<х2< ... <xft<l.
952. Доказать, что пространство полиномов К [х] есть
прямая сумма пространства полиномов, делящихся на
данный полином срёКМ, и пространства полиномов,
степени которых меньше степени ср.
В следующих задачах рассматриваются линейные
многообразия, т. е. «сдвинутые» подпространства л:0 +Я,
где х0 — фиксированный вектор, Р — подпространство.
Одномерные линейные многообразия называются прямыми,
двумерные—плоскостями, более высокой размерности —
гиперплоскостями. Нульмерные линейные многообразия
(т. е. векторы) в этом контексте удобно называть точками.
953. Доказать, что Для того, чтобы многообразия
х1 + Р1 и х2+Р2 совпадали, необходимо и достаточно, чтобы
Pt = P2 и х2—х1^Р1.
954. Доказать, что через две несовпадающие точки
х± и х2 проходит одна и только одна прямая, именно
множество {A—cjx^cx^.
*955. Доказать, что для того, чтобы множество М
точек было линейным многообразием, необходимо и до-
126

статочво, чтобы вместе с точками хх и х2 множеству М
принадлежали все точки A—с)х1 + сх2 (т. е. вся прямая,
проходящая через хг и х2). Предполагается, что поле К
содержит больше двух элементов (т. е. не является
полем GFB)).
956. Найти пересечение линейных многообразий хо + Р
и Уо + Q в пространстве S, в предположении, что5=Р ф Q.
957. Найти необходимое и достаточное условие для
того, чтобы многообразия хо + Р и у0 + Q имели непустое
пересечение.
958. При выполнении условия предыдущей задачи
найти пересечение многообразий хо + Р и t/0 + Q.
959. Что можно сказать о размерности наименьшего
линейного многообразия, содержащего две данных пря-
прямые в п-мерном пространстве.
960. В четырехмерном пространстве найти прямую,
проходящую через начало координат и пересекающую
прямые:
*2 = 1 —1% x3 = —1+2/, #4 = 3—2t
xt^7ty *2 = 1, x3 = l + t, л;4 = —1+2/.
Найти точки пересечения этой прямой с данными прямыми.
961. Исследовать в общем виде условие разрешимости
задачи 960 для двух прямых в n-мерном пространстве.
962. Найти наименьшее линейное многообразие, со-
содержащее многообразия хо + Р и yo + Q. Что можно ска-
сказать о его размерности?
963. Известно, что в трехмерном пространстве (и, в силу
результата задачи 959, в л-мерном при п^З) имеются
четыре возможности взаимного расположения двух пря-
прямых—они могут совпадать, быть параллельными, пере-
пересекаться в точке и скрещиваться. Описать возможные
расположения двух плоскостей хо + Р и yo + Q в пяти-
пятимерном пространстве. В основу классификации положить
размерность k наименьшего линейного многообразия,
содержащего обе плоскости.
964. Дать аналогичную классификацию взаимного рас-
расположения двух линейных многообразий хо + Р nyo + Q
размерностей т1 и т2, т1^тг.
965. Найти наименьшее линейное многообразие, со-
содержащее векторы xlf xa> ..., xk.
127

§ 2. Линейные отображения и операторы.
Образ, ядро, полуобратный оператор
В дальнейшем термины «линейное отображение» и «ли-
«линейный оператор» будут рассматриваться как синонимы,
однако первому термину будет отдаваться предпочтение,
если речь идет об отображении из одного пространства
в другое, второму—для отображений из пространства
в себя. Отображение (оператор) А: 5—>Г задается мат-
матрицей из координат образов базиса пространства S отно-
относительно базиса пространства Т. Если базисы зафикси-
зафиксированы, мы не будем различать в обозначениях оператор
и соответствующую ему матрицу.
966. Линейное отображение из пространства столб-
столбцов 5 в пространство столбцов Т задается умножением
слева на матрицу Л. В следующих примерах найти ядро
отображения:
а) А
f) A =1-1 1 -2 2 ;
8) А =
967. Для тех же примеров найти базис образа.
968. Для тех же примеров найти невырожденные мат-
(Е 0\
рицы С и D такие, что С~М?) = ( q q J, где Е—единич-
Е—единичная матрица, порядок которой равен рангу Л, а 0—ну-
0—нулевая матрица.
969. Доказать изоморфизм пространств AS и S/ker Л.
128

970. Отображение пространства 5 в пространство R
называется эпиморфным, если образом является все R\
отображение пространства R в пространство Т назы-
называется мономорфным, если его ядро состоит только из
нуля. Доказать, что ранг матрицы эпиморфного отобра-
отображения равен числу ее строк, ранг матрицы мономорф-
ного отображения равен числу ее столбцов.
971. Доказать, что линейное отображение A: S—>Т
можно представить в виде произведения эпиморфного ото-
отображения S—+R и мономорфного R—+T, где R — неко-
некоторое пространство, размерность которого равна рангу
отображения Л.
972. Дать истолкование результата предыдущей задачи
в алгебраических терминах.
973. Отметив, что в качестве первой матрицы в ответе
к предыдущей задаче можно взять любой базис простран-
пространства, натянутого на столбцы данной матрицы (т. е. базис
образа), а в качестве второй — матрицу коэффициентов
в выражении всех столбцов через выбранные базисные,
выполнить разложение для примеров а)—g) задачи 966.
974. Пусть A: S—>Г —линейное отображение и Р —под-
—подпространство S. Доказать, что dim АР = dim Р — dim Р П Q,
где Q = ker A.
975. Пусть Р — подпространство пространства Г,
dimP = p, dim !Г = т и Л: Г—+S — линейное отображение
ранга г. Доказать, что р + г—m^dim АР^.min (/?, г).
*976. Пусть Аг\ S—>7 и Л2: T-+R — линейные ото-
отображения рангов гг и r2, dim T = m> p = dim A2A±S. Дока-
Доказать, что rt + r2—m^p^min^!, r2).
977. Пусть A: S—>Т— линейное отображение, Ри Q —
два подпространства S. Найти, в терминах пространстваS,
необходимое и достаточное условие для выполнения ра-
равенства AP = AQ.
978. Пусть А: 5—>Т — линейное отображение, Р и
Q—два подпространства S, причем PaQ. Доказать, что
dim AQ — dim АР < dim Q — dim P.
979. Пусть 5, (/, T—векторные пространства и даны
линейные отображения С: S—>Г и В: U—>Т. Когда
существует такое линейное отображение Y: S—>[/, что
980. Пусть S, Uу Т — векторные пространства и даны
линейные отображения С: S—+T и A: S—+U. Когда су-
существует такое линейное отображение X: U—>Т1, что
С ХА?
129

981. Пусть S, ?/, V, Т — векторные пространства
и даны линейные отображения Л: S—+U, В: V—+T и
С: S—*T. Когда существует такое линейное отображе-
отображение Z: ?/-*К, что C = BZ^.
*982. Пусть S и Т—векторные пространства размер-
размерностей пит над полем GF (q):
a) сколько существует линейных отображений S—> 7;
b) сколько существует мономорфных линейных отоб-
отображений S—>Т\
c) сколько существует эпиморфных линейных отобра-
отображений S—+T\
d) сколько существует линейных отображений S—>T
ранга г.
983. Пусть векторное подпространство S—прямая
сумма подпространств Р и Q: S = P0Q. Тогда каждый
вектор z?S однозначно представляется в виде х + у, где
х?Р, y(zQ- Отображение A: z—>-х есть, очевидно, ли-
линейный оператор, называющийся оператором проектиро-
проектирования S на Р параллельно Q. Доказать, что оператор А
идемпотентен, т.е. А2 = А, и указать его ядро и образ.
*984. Доказать, что любой идемпотентный оператор
есть оператор проектирования.
985. Пусть A: S—>Т—эпиморфное линейное отобра-
отображение и пусть Р — какое-либо дополнительное к кегЛ
подпространство (т.е. такое, что 5 = кегЛФР). Рассмот-
Рассмотрим линейное отображение В: T—>S, отображающее
векторы из Т на их прообразы (единственные, почему?)
S Р. Что представляют собой операторы АВ и ВА и
отображения ABA и ВАВ?
986. Пусть A: S—>Г — мономорфное линейное отоб-
отображение и Q—какое-либо дополнение AS в Т. Рас-
Рассмотрим отображение В: Т—»-S, сопоставляющее каж-
каждому вектору из Т прообраз его проекции на AS (па-
(параллельно Q). Установить линейность В и выяснить,
что представляют собой операторы АВ и В А и отобра-
отображения ABA и ВАВ.
987. Пусть A: S—>Т — произвольное линейное отоб-
отображение, Р — какое-либо дополнение к кегЛ в S и Q —
какое-либо дополнение AS в Т. Рассмотрим отображе-
отображение В: Т—>5, сопоставляющее каждому вектору у?Т
вектор из 5, являющийся прообразом в Р проекции у
на AS параллельно Q. Выяснить, что представляют
собой операторы АВ и ВА и отображения ABA
и BABt
130

*988. Для оператора Л: S—>Т полуобратным (реф-
(рефлексивно полуобратным) называется оператор В: 71—*S,
удовлетворяющий требованиям АВА — А и ВАВ = В.
Доказать, что любой полуобратный оператор может быть
получен посредством конструкции, описанной в преды-
предыдущей задаче.
989. Доказать существование полуобратного опера-
оператора, исходя из задачи 981.
*990. Оператор А{~1): S—»-5 называется коммути-
коммутирующим полуобратным для данного оператора A; S--+S,
если ЛЛ<-1) = Л(-1)Л, АА^1)А^А и А^^АА^^^Л(-*>.
Выяснить условие существования Л(~1), установить
при этом условии единственность А{~1) и соотношение
(А{~»у-»=*А.
991. Если тхп-матрица Л ранга г равна произве-
произведению mxr-матрицы В на гхя-матрицу С (обе ранга г),
то произведение их полуобратных в обратном порядке
дает одну из полуобратных матриц для Л.
992. Пусть D—оператор дифференцирования в прост-
пространстве полиномов (характеристика поля констант равна
нулю) степени, не превосходящей п, Убедиться в несу-
несуществовании D{~1) и построить какой-либо полуобрат-
полуобратный оператор.
993. В пространстве тригонометрических полиномов
{ ао + 2 я* cos kt + bk sin kt \ степени п задан оператор
^ km 1 J
дифференцирования. Найти D{~u.
994. Пусть Л — квадратная mxm-матрица ранга г.
В пространстве mxn-матриц рассмотрим оператор ле-
левого умножения на Л. Найти размерность его* ядра.
993. Пусть Л — квадратная mxm-матрица. Пусть Q —
подпространство верхних треугольных матриц в прост-
пространстве всех mxm-матриц. Чему равна размерность
пространства ?л<3,где LA—оператор умножения слева
на Л.
996. Система подпространств Рг,,ч,РкпространстваS
называется эквивалентной системе подпространств Qf,...
• ••, Qk> если существует невырожденный оператор At
S—>S, который переводит Pt в Qj,.,., Pk в Q^. Найти
условие эквивалентности пар подпространств (Pv Рй)
и (Qx, Q2).
997. Даны два флагаО = Рос Рхс ,,. czPk — S и0 —
= Qo с Qx с ... с Qi=*S (не предполагается, что раз-
131

мерности идут подряд, допускаются пропуски и повто-
повторения). Найти условия эквивалентности этих двух флагов.
*998. Доказать, что полной системой инвариантов
пары флагов F:0 = /)ocP1c...cPft = S и Ф: 0 =
= Qo с Q1cz .. .с Qi = S является матрица Ь /у), i =
= 1, ..., k\ / = 1, ...,/, из неотрицательных чисел
fr^dimP,. n Qj— dim({P{ П Q/.1) + (P,.1 П Qy)), т. е.
пары флагов F, Ф и f, Ф' эквивалентны, если совпада-
совпадают их инварианты.
*999. Найти полную систему инвариантов для тройки
(Р19 Р2, Р3) подпространств пространства S.
1000. Аффинным преобразованием пространства S на-
называется преобразование F: S—+S, действующее по фор-
формуле F (х) = х0 + Ах, где А—линейный оператор, х0 —
фиксированный вектор. Доказать, что аффинное преоб-
преобразование обратимо в том и только в том случае, если
оператор А невырожден, и найти обратное преобразо-
преобразование.
1001. Доказать, что невырожденные аффинные преоб-
преобразования образуют группу, имеющую нормальным дели-
делителем группу параллельных переносов Тх = хо + х.
1002. Подмножества L и М в S называются аффинно
эквивалентными, если существует невырожденное аффин-
аффинное преобразование, отображающее L на М.
Доказать, что любые две симплициальные системы
точек х0, х19 ..., хп и у0, у1У ...9упв /г-мерном про-
пространстве аффинно эквивалентны (система точек х0,
х1У ..., хп называется симплициальной, если векторы
хг—х0, ..., хп—х0 линейно независимы).
1003. Доказать, что любые два линейных многообра-
многообразия одинаковой размерности аффинно эквивалентны.
1004. Доказать, что любые две тройки прямых «обще-
«общего положения» в трехмерном пространстве (т. е. попарно
скрещивающихся и не параллельных одной плоскости)
аффинно эквивалентны.
§ 3. Теоретические основы приведения
матрицы оператора к каноническому виду
*1005. Пусть A: S—+S — линейный оператор и x?S.
Аннулятором вектора х назовем такой полином /(/), что
f(A)x = 0. Доказать, что все аннуляторы данного век-
вектора делятся на минимальный аннулятор, т. е. на анну-
лятор наименьшей степени.
132

1006. Пусть А—линейный оператор некоторого век*
торного пространства S, векторы х, Ах, ..., Ak~xx (х?5)
линейно независимы, Akx является их линейной комби-
комбинацией: Акх = с1Ак~1х +... +скх. Тогда подпространство
Р, натянутое на х, Ах, ..., Ак~гх, инвариантно, а
полином tk—с^—...—ск есть минимальный аннуля-
тор вектора х. Доказать это. Так построенное подпрост-
подпространство Р называется циклическим подпространством
относительно оператора Л, порожденным вектором х.
*1007. Доказать, что характеристический полином
оператора на всем пространстве делится на характерис-
характеристический полином на инвариантном подпространстве.
*1008. Вычислить характеристический полином опера-
оператора на циклическом подпространстве, порожденном
вектором х.
*1009. Доказать, что оператор является корнем своего
характеристического полинома (теорема Гамильтона —
Кэли в терминах операторов).
* 1010. Доказать, что если пространство есть прямая
сумма двух или нескольких инвариантных подпрост-
подпространств, то характеристический полином на всем про-
пространстве равен произведению характеристических поли-
полиномов на прямых слагаемых.
*1011. Пусть пространство S есть сумма двух инва-
инвариантных подпространств Рг и Р2. Связать характеристи-
характеристический полином на всем пространстве с характеристичес-
характеристическими полиномами на данных инвариантных подпростран-
подпространствах и на их пересечении.
*1012. Пусть пространство S есть сумма инвариантных
подпространств Р1У ..., Pk. Доказать, что характерис-
характеристический полином на S делит произведение характерис-
характеристических полиномов на Р1У ..., Pk.
* 1013. Если система векторов г19 .,., гк простран-
пространства S такова, что Рг+ .,. +Pk = Sf где Р1У ..., -Ре-
-Рецикл ические относительно оператора А подпространства,
порожденные векторами zlf ..., гк, то эта система назы*
вается системой операторных образующих для S (напри-
(например, системой операторных образующих является любой
базис S). Доказать, что характеристический полином
оператора А на всем пространстве есть делитель произ-
произведения минимальных аннуляторов системы образующих.
* 1014. Пусть оператор А действует в векторном
пространстве S над полем /С. Если все векторы имеют
аннуляторами степень одного и того же неприводимого
133

в К полинома ср, то и характеристический полином есть
степень ср. Доказать это. Такое пространство 5 назовем
примарным относительно А.
*1015. Доказать, что ядро и образ оператора /(Л),
где / — любой полином, инвариантны относительно А.
* 1016. Доказать, что если аннулятор / (t) векторах
равен произведению взаимно простых полиномов ft (t)
и /2@» то х однозначно представляется в виде суммы
хг + х2 векторов, аннулируемых полиномами f1(t) wf2(f).
* 1017. Распространить утверждение задачи 1016 на
случай, когда аннулятор f (t) вектора х равен /^(f) /2@- • •
. ../fc@» c попарно взаимно простыми /lf /2, ..., fk.
* 1018. Пусть характеристический полином опера-
оператора Л, действующего в пространстве S над полем /С,
имеет каноническое разложение ф™'ф?2. . .ф™*, гДе Ф*—
неприводимые полиномы. Доказать, что 5 расклады-
раскладывается в прямую сумму Р1 Ф Р2 Ф ... Ф Pk примарных
подпространств, векторы которых аннулируются, соот-
соответственно, полиномами ф™*, ф'2"«, . ¦., ф™*.
^1019. Доказать, что в условиях предыдущей задачи
характеристические полиномы оператора А на подпро-
подпространствах Р( равны ф™<, / = 1, ,.., k.
1020. Пусть Q — примарное циклическое относительно
оператора А пространство с аннулятором ц>т. Доказать,
что кег у1 (А) = (pm~l (A) Q.
* 1021. Доказать, что примарное пространство разла-
разлагается в прямую сумму циклических примарных под-
подпространств.
1022. Пусть Q — примарное циклическое относительно
оператора А пространство с аннулятором фт@> ф @ =
= tk + a1tk~x+ ...+ak- Записать матрицу оператора А в
базисех,Ах9 ..., Ak~xx, у{А)х, Ау(А)х, .. ,уАк~1ц)(А)ху ...
.*., q>m~l(A)x, Лф"-1^)*, ,.., Ak'1(pm-1(A)x.
1023. Специализировать результат задачи 1022 для
*1024. Доказать, что для оператора, действующего в
комплексном пространстве, существует базис, в котором
матрица оператора квазидиагональна и состоит из канони-
канонических жордановых блоков (каноническая форма Жордана).
1025. Перенести предложения, сформулированные
в задачах 1005, 1007, 1008, 1010—1013, 1015—1020 в тео-
теорию конечных абелевых групп, используя следующий
«словарь»:
134

пространство с оператором конечная абелева группа
векторы элементы группы
полином целое число
характеристический поли- порядок группы
ном
инвариантное подпростран- подгруппа
ство
факторпространство по ин- факторгруппа
вариантному
минимальный аннулятор порядок элемента
вектора
циклическое подпростран- циклическая подгруппа
ство
система образующих система образующих
неприводимый полином простое число
примарное подпространство р-подгруппа
1026» Доказать, что если минимальные аннуляторы
векторов х19 ..., xk попарно взаимно просты, то мини-
минимальный аннулятор вектора хг+ ...+хк равен их про-
произведению.
*1027. Минимальным полиномом для оператора (или
матрицы) А называется полином / наименьшей степени,
аннулирующий оператор, т. е. такой, что /(Л)=0.
Доказать, что:
a) минимальный полином оператора есть наименьшее
общее кратное минимальных аннуляторов векторов про-
пространства;
b) существует вектор х0, минимальный аннулятор
которого равен минимальному полиному.
1028. Пусть пространство S циклично и характерис-
характеристический полином его равен / (/) =^/х (t) /2 (/)¦ Доказать,
что kevf1{A)^f2{A)S.
*1029. Доказать, что пространство S над К с опе-
оператором А можно представить в виде прямой суммы
циклических подпространств, аннуляторы f19 ..., fh кото-
которых связаны соотношениями: /х делится на /2, /2 делится
на /8, ..., /v.j делится на fk.
1030. Показать, что система образующих простран-
пространства S предыдущей задачи минимальна.
1031. Перенести предложения задач 1026—1030 в тео-
теорию конечных абелевых групп, используя «словарь»
задачи 1025.
135

§ 4. Собственные значения и собственные векторы,
инвариантные подпространства»
каноническая форма
1032. Найти собственные значения и собственные
векторы матриц, рассматриваемых как операторы умно-
умножения слева в пространстве столбцов над полем С:
/2 5 —6
j) | 4 6 -9
,3 6—8
Найти собственные значения матриц порядка п:
*1033.
Го 1 о
1 0 1
а)
01
о
0 0 0 ... 10 1
0 0 0 ... 0 1 0
Ь)
0
—1
0
0
1
0
0
0
0 ...
1 ...
0 ... -
0 ...
-1
0
0
—1
0^
0
1
0
1034.
Г—1 1 0
1 0 1
О 1 О
0 0 0
0 0 0
0 1
1 О
1035.
@ х х ... х
у 0 х ... х
у у 0 ... х
У У У
0
136

1036. Найти собственные значения и собственные век-
векторы матрицы ранга 1
1037. Зная характеристические числа матрицы Л,
найти характеристические числа матрицы Л2.
1038. Доказать, что все собственные векторы матри-
матрицы Л являются собственными векторами матрицы /(Л),
где / — полином.
1039. Зная характеристический полином F (X) матри-
матрицы Л (порядка п), найти определитель матрицы / (Л), где
/ (х) =bo(*-6i) (*-Б.) • • • (*-U-
1040. Зная характеристические числа матрицы Л,
найти определитель матрицы /(Л), где f (х) — полином.
1041. Зная характеристические числа матрицы Л,
найти характеристические числа матрицы /(Л).
*1042. Найти собственные значения матрицы
а2 а3
 • • • ип-1/
*1043. Найти собственные значения матрицы
'1 1 1 ... 1
1 е е2 ... 8"
1 е2
Р2(п-1)
где е = cos b*'sin—,
*1044. Найти сумму
1 — 1) &кп~~1
ь — нечетное число.
(см. предыдущую задачу).
1045. Пусть Л — вырожденный оператор и ср (/) =
*= ^ + а1/п"'1+ ... Jrun-ktk = tk'ty(t) его характеристичес-
характеристический полином, ап_к-фЬ. Доказать, что для того, чтобы
существовал коммутирующий полуобратный оператор
137

А{'х\ необходимо и достаточно, чтобы Ло|; (Л) =0. При
выполнении этого условия найти Л**.
1046, Найти собственные значения и собственные
векторы оператора дифференцирования, действующего
в пространстве тригонометрических полиномов {#0 +
+ ах cos t + Ьг sin /+••¦+ ап cos n* + bn sin nt} с комплекс-
комплексными коэффициентами.
1047. Привести к жордановой канонической форме
матрицы, т. е. установить каноническую форму и найти
матрицу, осуществляющую преобразование (столбцами
преобразующей матрицы являются компоненты собствен-
собственных и корневых векторов, составляющих канонический
базис):
4 6 0
—3 —5 0
—3 —6 1
3 0 8
138

1048, Установить жорданову каноническую форму для
матриц
3
4
7
-17
0 1
0 0
0 0
1 0
1
—1
1
—6 -
0 .,
1 ..
0 ..
0 ..
0
0
2
-1
¦
0
0
1
0
о,
0
1
с)
1049. В пространстве полиномов второй степени от х
и у действует оператор А: / (х, у) ~->f (х + 1» у+ !)• Найти
его жорданову каноническую форму.
1050. В пространстве полиномов от х ну, степени
которых По х и по у не превосходят 2, действует опе«
ратбр А\ f (х, y)-+f {x-r J, у+ 1). Найти его жорданову
каноническую форму»
1051. Доказать, что периодическая матрица А (т. е.
матрица, удовлетворяющая уравнению Ат=*Е при неко-
тором т) приводится к диагональной жордановой кано-
канонической форме в поле С.
1052. Найти жорданову каноническую форму матрицы
оператора дифференцирования, действующего в прост^
ранстве полиномов ограниченной степени над полем С.
*1053. В пространстве полиномов степени, не превос-
превосходящей п—1, от х, у над полем С действует оператор
3=~4-т-, Найти его жорданову каноническую мат-
матрицу.
*1054. В пространстве полиномов от х, у над полем С,
со степенями по х и у, не превосходящими т—1 и
п—1, действует оператор 5 = ^- + ^-. Найти его жорда-
жорданову каноническую форму.
* 1055. Пусть S — циклическое пространство относи-
относительно оператора А. Доказать, что все операторы, ком-
коммутирующие с Л, являются значениями полиномов от Л.
*1056. Доказать, что любая квадратная матрица
подобна транспонированной и преобразующая матрица
может быть взята симметрической.
139

*1057. Доказать, что любая матрица может быть
представлена в виде произведения двух симметрических,
из которых одна невырождена.
1058. Для того чтобы две вещественные квадратич-
квадратичные формы с матрицами Вг и В2, из которых вторая
невырожденная, можно было одновременным веществен-
вещественным преобразованием привести к каноническому виду,
необходимо и достаточно, чтобы матрица В21В1 имела
вещественные собственные значения и приводилась к
диагональной форме.
*1059. Доказать, что матрица A=*BtB2> где Вг и
В2 — вещественные симметрические матрицы и В2 положи-
положительно определена, имеет вещественные собственные зна-
значения и может быть приведена к диагональной форме.
1060. Доказать, что в пространстве 5 над полем С
существует конечное число инвариантных относительно
оператора А подпространств тогда и только тогда, когда
пространство 5 циклично.
1Q61. Пусть характеристический полином олера-
тора Л, действующего в пространстве S над С цикли-
циклически, равен (t — h^mi ... (t — ^)m*. Обозначим через cv
число инвариантных подпространств размерности v (счи-
(считая со = \). Вычислить полином F (и) =со + ?1м+ ...
1062. В пространстве S над полем С действует опе-
оператор А. Доказать, что существует полный флаг
0 = Р0сР1с ... czPn^1c:Pn^Si dimPk — k, составленный
из инвариантных подпространств.
1063. Какой вид имеет матрица оператора А в базисе
инвариантного флага (т. е. в базисе, первые к векторов
которого составляют базис Pk, k = \, ...,n).
1064. Пусть А — оператор, действующий в векторном
пространстве S над полем/С. Инвариантное подпростран-
подпространство называется неприводимым, если оно не содержит
инвариантных подпространств, кроме себя и нуля. Дока-
Доказать, что неприводимое инвариантное подпространство
циклично и характеристический полином на нем непри-
неприводим над К- В частности, при /С = С неприводимы
только одномерные подпространства, при /С = К—одно-
К—одномерные и те двумерные, характеристические полиномы
которых имеют невещественные корни.
1С65. Пусть в пространстве S над полем К действуют
операторы Аи ...,Ат. Подпространство Я, инвариант-
инвариантное для А1У ..., Ат, называется неприводимым, если оно
140

не содержит инвариантных для Alf...,Am подпрост-
подпространств, отличных от 0 и Р. Доказать, что если Л1Э ..., Ат
попарно коммутируют, то минимальные аннуляторы
любого вектора х?Р неприводимы над К для всех опе-
операторов At и не зависят от вектора х.
1066. Поле С комплексных чисел рассматривается
как двумерное пространство над полем R вещественных
чисел. Написать матрицу оператора умножения на
а = а + Ы в базисе 1, i.
1067. Пусть двумерное пространство 5 над R непри-
водимо для оператора Л, имеющего характеристические
числа а±Ы. Доказать, что существует базис, в кото-
(а —Ь\
ром матрица оператора равна (, ), т. е. матрице
оператора умножения на а + Ы в базисе 1, i (см. за-
задачу 1066).
1068. Доказать, что для попарно коммутирующих опе-
операторов А1У ..., Ат в пространстве S над С существует
общий собственный вектор.
*1069. Доказать, что для попарно коммутирующих
операторов Лх, ..., Ат в пространстве S над R сущест-
существует общий собственный вектор или инвариантное дву-
двумерное подпространство, на котором матрицы операторов
имеют вид ( * () (некоторые bt могут равняться
\и ? CLi/
нулю).
*1070. Доказать, что если матрицы А и В коммути-
коммутируют, то их можно одновременно преобразовать к верх-
верхним треугольным матрицам (над С).
1071. В пространстве Т верхних треугольных матриц
действует оператор умножения слева на данную верх-
верхнюю треугольную матрицу Л. Как узнать жорданову
каноническую форму этого оператора?
1072. Зная собственные значения Л и В, найти соб-
собственные значения их кронекеровского произведения
А® В (см. задачу 395).
1073. Найти собственные значения Л ® Em + En ® В,
зная собственные значения для матриц А я В порядков
лит.
1074. Зная собственные значения а19 ..., ап мат-
матрицы Л, найти собственные значения ее антисимметри-
зованной тензорной степени А^ (см. задачу 519).
141

*1075. В пространстве S антисимметрических матриц
действует оператор FA по формуле FA (X) = АТХ + ХА,
где А—данная матрица. Зная собственные значения
матрицы Л, найти собственные значения оператора FA.
§ 5. Элементарная геометрия
/^-мерного евклидова пространства
В примерах этого параграфа рассматривается евкли-
евклидово пространство строк с естественным скалярным
умножением (кроме двух последних задач).
1076. Определить скалярное произведение векто-
векторов X и Y:
a) Х = B, 1, -1, 2), F = C, -1, -2, 1);
b) X = (l, 2, 1, -1), К=(-2, 3, -5, -1).
1077. Определить угол между векторами X и К;
a) Х-B, 1, 3, 2), Г = A, 2, -2, 1);
b) Х = A, 2, 2, 3), K = Cf 1, 5, 1);
c) Х = A, 1, 1, 2), К=C, 1, -1, 0).
1078. Определить косинусы внутренних углов тре-
треугольника ABC, заданного координатами вершин:
Л--=A,2, 1,2), В = C, 1,-1,0), С«A, 1,0,1).
1079. Определить косинусы углов между прямой
#1==.tf2= ... =л;л и осями координат.
1080. Найти длины диагоналей я-мерного куба со
стороной, равной 1.
1081. Найти число диагоналей я-мерного куба, орто-
ортогональных к данной диагонали.
1082. Найти в я-мерном пространстве п точек с не-
неотрицательными координатами так, чтобы расстояния их
друг от друга и от начала координат равнялись 1.
Первую из этих точек расположить на первой оси коор-
координат, вторую — в плоскости, натянутой на первые две
оси, и т. д. (Эти точки вместе с началом координат
образуют вершины правильного симплекса с длиной
ребра, равной 1.)
1083. Определить координаты центра и радиус сферы,
описанной вокруг симплекса задачи 1082.
1084. Нормировать вектор C, 1, 2, 1).
1085. Найти нормированный вектор, ортогональный
к векторам A, 1, 1, 1); A, —1, —1, 1); B, 1, 1, 3).
142

1086. Построить ортормированный базис пространства,
приняв за два вектора этого базиса векторы
1 1 1 1 \ Mil 5
2 ' 2 • 2 ' 2 ) И V 6 ' 6 ' 2 ' 6
1087. Посредством процесса ортогонализации найти
ортогональный базис пространства, порожденного векто-
векторами A, 2, 1, 3); D, 1, 1, 1); C, 1, 1, 0).
1088. Приписать к матрице
'11 12 Г
10 0 1—2
ч2 1 —1 0 2у
еще две строчки, ортогональные между собой и ортого-
ортогональные к первым трем строчкам.
1089. Интерпретировать систему линейных однородных
уравнений
ЯхЛ + я 12*2 + • • • + а1пхп = 0,
а21х± + а22х2 + ... + а2пхп = 0,
Я«1*1 + атЛ + . . . + птпХп = 0
и ее фундаментальную систему решений в пространстве п
измерений, считая коэффициенты каждого уравнения
координатами вектора.
1090. Найти ортогональную и нормированную фун-
фундаментальную систему решений для системы уравнений
оХ^ — Х2 — Х$ ~\~ Х^ ==z U,
хг + 2х2 — х3 — хй = 0.
1091. Разложить вектор X на сумму двух векторов,
один из которых лежит в пространстве, натянутом на
векторы А19 А2, ..., Ат, а другой ортогонален к этому
пространству (ортогональная проекция и ортогональная
составляющая вектора X):
a) Х = E, 2, -2, 2), Лх = B, 1, 1, -1),
Л2-A, 1, 3, 0);
b) Х = (-3, 5, 9, 3), Лх-A, 1, 1, 1),
Л2 = B, -1, 1, 1), Л3-B, -7, -1, -1).
143

1092. В предположении линейной независимости век-
векторов Alf Л2, ...,Ат дать формулы для вычисления
длин составляющих вектора в задаче 1091, поставленной
в общем виде.
1093. Доказать, что из всех векторов данного про-
пространства Р наименьший угол с данным вектором X
образует ортогональная проекция вектора X на про-
пространство Р.
1094. Найти наименьший угол между векторами про-
пространства Ру натянутого на векторы А1У . .^Л^, и век-
вектором X:
a) Х = A, 3, -1, 3), Аг=*A, -1, 1, 1),
Л2 = E, 1, —3, 3);
b) Х = B, 2, -1, 1), Л1 = A, -1, 1, 1),
Л2 = (-1, 2, 3, 1), Л3 = A, 0, 5, 3).
1095. Найти наименьший угол, образованный векто-
вектором A, 1,...,1) с векторами какого-либо /п-мерного
координатного пространства.
1096. Доказать, что из всех векторов X — Y, где X —
данный вектор, a Y пробегает данное пространство Ру
наименьшую длину имеет вектор X — X', где X' есть
ортогональная проекция X на Р. (Эта наименьшая длина
называется расстоянием от точки X до пространства Р.)
1097. Определить расстояние от точки X до линей-
линейного многообразия A0 + t1A1+ ... +tmAm:
a) Х = A, 2, -1, 1), Л0 = @, -1, 1, 1),
Л1==@, -3, -1, 5), Л2 = D, -1, -3, 3);
b) Х = @, 0, 0, 0), Ло = A, 1, 1, 1),
Л> = A, 2, 3, 4).
1098. Дать способ определения кратчайшего расстоя-
расстояния между точками двух линейных многообразий Хо + Р
и Fo + Q.
1099. Вершины /г-мерного правильного симплекса (см.
задачу 1082), длина ребра которого равна 1, разбиты
на две совокупности из /п+1 и п—т вершин. Через
эти совокупности вершин проведены линейные многооб-
многообразия наименьшей размерности. Определить кратчайшее
расстояние между точками этих многообразий и опре-
определить точки, для которых оно реализуется.
144

*1100. В четырехмерном пространстве даны две пло-
плоскости, натянутые на векторы А19 А2 и В19 В2. Среди
углов, образованных векторами первой плоскости с век-
векторами второй плоскости, найти наименьший:
a) Лх = A, 0, 0, 0), Л2-@, 1, 0, 0),
Вх = A, 1, 1, 1), ?2 = B, -2, 5, 2);
b) Лх = A, 0, 0, 0), Ла = @, 1, 0, 0),
Вг = A9 1, 1, 1), Вя = A, -1, 1, -1).
*1101. Четырехмерный куб пересекается трехмерной
«плоскостью», проходящей через центр куба и ортого-
ортогональной к диагонали. Определить форму тела, полу-
получающегося в пересечении.
*1102. Дана система линейно независимых векторов
В19 Б2, ..., Вт. Множество точек, являющихся конца-
концами векторов /1В1 + *аВа + ... +tmBm, 0<^^l, ...
..., 0 ^ tm ^ 1, называется параллелепипедом, постро-
построенным на векторах Ви B2J ..., Вт. Определить объем
параллелепипеда индуктивно как объем «основания»
[В19 В2, ..., 5^-х], умноженный на «высоту», равную
расстоянию конца вектора Вт до пространства, натяну-
натянутого на основание. «Объем» одномерного «параллелепи-
«параллелепипеда» [SJ считается равным длине вектора Вг.
a) Составить формулу для вычисления квадрата объ-
объема и убедиться в том, что объем не зависит от нуме-
нумерации вершин.
b) Доказать, что
V[cB19B%9 ...,BM] = \c\-V[B19Btf...,BM].
c) Доказать, что
Bt9 ..., В„]<
V[B;B2, ..., Bm] + V[B"ly 52, ..., SJ,
и выяснить, когда имеет место знак равенства.
1103. Доказать, что объем n-мерного параллелепи-
параллелепипеда в n-мерном пространстве равен абсолютной вели-
величине определителя, составленного из координат порож-
порождающих векторов.
*1104. Пусть С1У С2, ..., Ст суть ортогональные
проекции векторов В1У 52, ..., Вт на некоторое под-
подпространство. Доказать, что
1, Bt, .... Вш].
145

*П05. Доказать, что
V[AU А2, .... Ат, В, ?,]<
<V[At Ая].У[Ви ..., Вк]
(ср. с задачей 506).
1106. Доказать, что
V[Alt A2, ..., Л
(ср. с задачей 507).
1107. Найти объем я-мерного шара, пользуясь прин-
принципом Кавальери.
1108. Рассматривается пространство полиномов, сте-
степени которых не превосходят п. Скалярное произведение
полиномов /х, /2 определяется как J ft (х) f2 (х) dx. Найти
о
расстояние от начала координат до линейного многооб-
многообразия, состоящего из полиномов хп-\-а1хп"х-\- ¦ ¦»+#„.
1109. Рассматривается пространство полиномов, сте-
степени которых не превосходят п. За скалярное произ-
произведение принимается j fx (x) f2 (x) dx. Найти объем парал-
о
лелепипеда, образованного векторами того базиса, отно-
относительно которого координатами полинома являются его
коэффициенты.
§ 6. Операторы в евклидовом
и унитарном пространствах
1110. В пространстве тригонометрических полиномов
над R
{а0 + #i cos х + bt sin х + ... + ап cos nx + bn sin nx\
введено скалярное умножение
— Л
Показать, что 1/]/*2, cos xy sin x, ¦ .., cosnx, sin мл: об-
образуют ортонормированный базис этого пространства.
1111. В пространстве функций {a0 + b0A:-}-a1cosA:4-
+ Ъ1 sin х + ... + ап cos nx + Ьп sin nx} найти ортогональ-
ортогональную проекцию вектора л: на подпространство {<
146

-\-b1s\nx+ ... + ancosnx + bns\nnx}\ скалярное произ-
произведение определяется как раньше.
1112. Что представляет собой оператор, сопряжен-
сопряженный с оператором дифференцирования D, действующим
в пространстве задачи 1110.
1113. Записать матрицу оператора, сопряженного с
оператором, заданным матрицей в некотором базисе,
который не предполагается ортонормированным.
1114. В пространстве полиномов {а0 + аг х+... +ап хп)
введено скалярное произведение по формуле
(f,g) ~-±=- j e~~ f (х) g (х) dx.
— 00
Для базиса, составленного из полиномов Эрмита Pk{x)^
il Ah ~?L
= (—l)ke 2 jjke^ 2 > * = 0, 1, ..., n> вычислить матри-
матрицу G = ((P,, Pj)).
1115. Что представляет собой оператор, сопряжен-
сопряженный с оператором дифференцирования D в пространстве
предыдущей задачи.
1116. Записать матрицу оператора D* в базисе из
полиномов Эрмита.
* 1117. Доказать, что если Ли В—самосопряженные
операторы, действующие в пространстве S, то из равен-
равенства (Ах, х) = (Вх, х) при всех x?S следует Л=В.
1118. Для того чтобы оператор А был нормальным,
необходимо и достаточно, чтобы | Ах \ =* | А *х \ при всех х.
Доказать это.
1119. Доказать, что если С—квадратная или прямо-
прямоугольная комплексная матрица и Sp СС* ~ 0, то
С = 0.
(ТУ /~>\
г) q) с квад-
квад(
ратными клетками В и D нормальна.
*1121* Доказать, что ортогональное дополнение к ин-
инвариантному подпространству для нормального опера-
оператора тоже инвариантно. Инвариантное подпространство
вместе с ортогональным дополнением инвариатны и для
сопряженного оператора.
1122. Доказать, что для нормального оператора в
унитарном пространстве существует ортонормированный
базис из собственных векторов.
147

1123. Сформулировать и доказать теорему в терми-
терминах теории матриц, эквивалентную результату предыду-
предыдущей задачи.
* 1124. Доказать, что собственный вектор нормального
оператора в унитарном пространстве есть собственный
вектор сопряженного оператора, соответствующий ком-
комплексно-сопряженному собственному значению.
1125. Доказать ортогональность собственных векто-
векторов нормального оператора в унитарном пространстве,
принадлежащих различным собственным значениям.
*1126. Найти вид нормальных вещественных матриц
второго порядка, не имеющих вещественных собствен-
собственных значений.
1127. Доказать, что евклидово пространство, в кото-
котором определен нормальный оператор Л, раскладывается
в прямую ортогональную сумму инвариантных одномер-
одномерных и двумерных неприводимых подпространств.
1128. Сформулировать и доказать теорему, эквива-
эквивалентную результату предыдущей задачи, в терминах
теории матриц.
*1129. Доказать, что попарно коммутирующие нор-
нормальные матрицы приводятся к диагональной форме од-
одним и тем же унитарным преобразованием подобия.
* 1130. Доказать, что попарно коммутирующие веще-
вещественные матрицы одновременно приводятся к канони-
канонической форме задачи 1128 преобразованием подобия по-
посредством ортогональной матрицы.
1131. Какую каноническую форму имеет унитарный
самосопряженный оператор.
1132. Какова каноническая форма и геометрический
смысл вещественной ортогональной симметрической мат-
матрицы.
1133. Может ли ортогональная матрица быть анти-
антисимметрической.
* 1134. Пусть Р и Q—подпространства одинаковой
размерности евклидова (или унитарного) пространства.
Доказать, что существует ортогональный (унитарный)
оператор, переводящий Р в Q.
1135. В евклидовом пространстве 5 дан полный флаг
O^PoCPiC:... cP/2-.1cPw==S. Доказать существование
ортонормированного базиса пространства S, включаю-
включающего базисы подпространств Р1У Р2, ..., Рп. Сколько
таких базисов можно построить?
1136. Та же задача для унитарного пространства.
148

1137, Показать, что для двух данных полных флагов
существует ортогональный (унитарный) оператор, пере-
переводящий один флаг в другой.
* 1138. Доказать, что для любого оператора в уни-
унитарном пространстве найдется ортонормированный базис,
в котором матрица оператора — верхняя треугольная, и
сформулировать эту теорему в терминах теории матриц.
* 1139. Существует ли унитарная матрица, для каж-
каждого столбца которой имеется комплексно-сопряженный
столбец.
*1140. Пусть даны базисы е1У ..., еп и gly ..., gn
евклидова (или унитарного) пространства. Доказать, что
для существования ортогонального (или унитарного) опе-
оператора, переводящего е( в gh t = l, ..., /г, необходимо
и достаточно совпадение матриц Грама ((eif ej)) и ((gh gj)).
1141. Пусть даны две системы векторов е1% ..., ет
и ё\у •••» ёт (не обязательно базисы). Доказать, что
теорема предыдущей задачи остается справедливой.
* 1142. Доказать существование ортогональной (уни-
(унитарной) матрицы, имеющей заданные k первых строк
и т первых столбцов, удовлетворяющих необходимым
условиям ортогональности и нормированности.
* 1143. Показать, что все ортогональные матрицы вида
при данных столбцах и и v получаются при R=P —
— A +cosa)vuT, где Р — ортогональная матрица, пере-
переводящая и в v.
* 1144. Что представляют собой унитарные симмет-
симметрические матрицы.
1145. Доказать, что унитарная симметрическая матрица
представляется в виде ВТВ, где В — унитарная матрица.
* 1146. Доказать, что любая унитарная матрица U
представляется в виде Р±АР2У где Рг и Р2 — веществен-
вещественные ортогональные, Л—унитарная диагональная матрица.
1147. Доказать, что нормальный идемпотентный опе-
оператор самосопряжен. Каков геометрический смысл таких
операторов?
1148. Для данного базиса е19 е2У ,,., еп в евклидо-
евклидовом (или унитарном) пространстве доказать существова-
существование и единственность базиса /х, /2, ...,/„ такого, что
(ei> /i) = l» (et> //)=0 лРи 1Ф\- (Такой базис назы-
называется дуальным с е1У ..., еп, а пара взаимно дуальных
149

базисов называется также биортогональной системой век-
векторов.)
1149. Чему равны координаты вектора х в дуальном
базисе в терминах исходного базиса.
1150. Составить матрицу преобразования координат
при переходе от исходного базиса к дуальному.
1151. Как связаны объемы параллелепипедов, натяну-
натянутых на пару дуальных базисов в евклидовом пространстве.
1152. Когда базис совпадает со своим дуальным.
Напоминаем, что для линейного отображения Л ев-
евклидова (или унитарного) пространства 5 в евклидово
(унитарное) пространство Т существует сопряженное
отображение Л*: T—+S, такое что (Ах, у) = (я, А*у)
для любых векторов x?S, у?Т. В ортонормированных
базисах матрица отображения Л* транспонирована (тран-
(транспонирована и комплексно сопряжена) с матрицей ото-
отображения Л.
1153. Доказать, что ядро оператора A: S—>Т есть
ортогональное дополнение к образу Л* (соответственно,
образ Л есть ортогональное дополнение к ядру Л*).
1154. Каков геометрический смысл отображения
Л: S —>7\ матрица которого (по отношению к ортонор-
мированным базисам) имеет ортогональные и нормиро-
нормированные столбцы.
1155. Каков геометрический смысл отображения
Л: S—>Т> матрица которого (по отношению к ортонор-
мированным базисам) имеет ортогональные и нормиро-
нормированные строки.
* 1156. Дано отображение Л евклидова пространства S
в евклидово пространство Т. В S задана единичная сфе-
сфера (х, х) = 1. Что представляет собой ее образ в 7?
* 1157. Пусть оператор Л: 5—>Т отображает евкли-
евклидово пространство S в евклидово пространство Г. Дока-
Доказать существование и единственность оператора Л + ,
обладающего свойствами: АА+А = Л, А+АА+ = Л + , АА +
и А+А самосопряжены. (Такой оператор называется
обобщенным обратным.)

УКАЗАНИЯ
ГЛАВА I
5. B+ /з")" + B- Уз)п четное число, а 0 < 2—]/У< L
8. Если поменять ролями оси абсцисс и ординат, то график ф
превратится в график of.
9. См. указание к предыдущей задаче.
11. Для доказательства необходимости подсчитать, сколько
имеется целых чисел, не превосходящих /г, в последовательностях
[а*] и [&х]. Для доказательства достаточности занумеровать на луче
у—(а-— \) х, х>0 точки, у которых одна из координат целая, и
подсчитать номера точек с целыми абсциссами и с целыми ордина*
тами.
13. Установить: 1) если ##_! и а% не превосходят М, то и все
последующие члены не превосходят М\ 2) если а^\ Ф 0, а^ ф О и
я*-1 Ф ak> то max (ak+1, ak+2) < max {ak-i, ak)\ 3) если ак-г и ak
делятся на натуральное число, то и все предшествующие члены на
него делятся.
15. Рассмотреть разность.
17. 4(а2-М) = Bа + 3)Bя — 3) + 13.
19. Применить метод индукции.
20. Применить метод индукции, используя первое утверждение
предыдущей задачи.
28. Умножить числитель на 1 — п — (п—\).
33. Подсчитать показатель, с которым данное простое число р
входит в JJ (d(Mfj) l\ расположив элементы гъ ..., гп множества М
в порядке невозрастания показателей при р и подсчитать вклад от
подмножеств М/, содержащих элемент z# и не содержащих следую-
следующие за Zft числа.
35. Рассмотреть число N = 4(p1p2...pm)—19 где plt ..., рт -»
простые числа, и показать, что N делится по крайней мере на одно
простое число вида 4п—1.
151

37. Доказать, что одно из чисел a, b четное. Положив a = 2aj,
с—Ь c-\-b i
записать уравнение в виде • ' =ai и воспользоваться пре-
предыдущей задачей.
38. Принять во внимание, что х и у оба нечетные и ( ^ J +
43. Рассмотреть сравнения ka-\-l==Q (modd) и a?-{-m = Q
(mod d) и вывести из них /2 + /п/г2^0 (mod d).
44. Если а принадлежит примитивному классу, то т—а тоже
принадлежит примитивному классу.
52. Рассмотреть 4 (р1#. .р/лJ+ 1, где pi, ..., pw— простые числа,
и воспользоваться результатом предыдущей задачи.
53. Разбить числа, кроме 1 и р— 1, на пары взаимно обратных,
что возможно, ибо если a^± I (mod р), то а^а-* (modp).
54. Следует из (р—-1)! + 1=0 (modp).
55. Разбить вычеты, отличные от решений сравнения я2—-1==0
(mod n) на пары взаимно обратных и воспользоваться результатом
задачи 50.
60. Положить п = а-{-(р — \)Ь<
63. Провести индукцию для любого модуля m = 2km', (m\ 2)=1,
учитывая, что вычет ип (modm) стабилизируется, как только стаби-
стабилизируется вычет ип_1 (тойц>(т')У и ип~г станет больше k.
64. Для данного п > 0 ввести х0, у0—наименьшие неотрицатель-
неотрицательные решения сравнений ах?==п (mod b) и by==n (mod а). Если
n^ab, то п—ах0—Ьу0 >—ab и п—ах0—byo = O (modab). Если
п < ab и п не делится ни на а, ни на Ь, то среди таких чисел п
реализуется в виде ах + by ровно половина, так как из двух чисел п
и ab—п реализуется одно.
66. Сначала установить, что V^ р, (п)\ — = V* ja(az).
1 < п < х пт < х
67. Подставить / (d) в правую часть для g (n) и изменить поря-
порядок суммирования.
73. Ясно, что 2 тй= 2 S 1= 2 Ь т- е- это
число равно числу точек с целыми координатами (я, #) под гипер-
гиперболой ху = п.
74. 2 ? (^)== 2 *» Ti e* эта сУмма равна сумме абсцисс
1 < k < л *у < п
точек с целыми координатами под гиперболой ху — п. Группировка
слагаемых по вертикалям и по горизонталям приводит к требуемым
формулам.
152

76. Воспользоваться тем, что любое натуральное число одно-
однозначно представляется в виде произведения полного квадрата к а
число, свободное от квадратов, и воспользоваться формулой преды-
предыдущей задачи.
77. Решается аналогично предыдущей задаче.
78. 2Л("> есть число разложений числа п на взаимно простые
множители* Поэтому, 2 %k(x) есть число точек под гиперболой
лг< М
ху = М с целыми взаимно простыми координатами.
86. Воспользоваться тем, что квадрат нечетного числа сравним
с 1 по модулю 4.
98. Наибольший общий делитель k двух данных чисел взаимно
прост с а и с Ь. Поэтому при переходе к сравнениям по модулю k
допустимы отрицательные показатели. Ввести для d = (my n) линей-
линейное представление.
99. Соединить слагаемые, равноотстоящие от начала и конца.
100. Начать, как в предыдущей задаче, удвоить после вынесе-
вынесения р и обосновать возможность замены слагаемых на обратные.
ГЛАВА II
ПО. См. задачу 109.
114. Воспользоваться тем, что левые части легко представляются
в виде суммы двух квадратов.
117. Разложить по формуле бинома Ньютона, приравнять мнимую
часть к нулю и показать, что всякий простой делитель 6, кроме 3,
входит во все слагаемые в более высокой степени, чем в пер-
первое. То же имеет место, если Ь делится на З2. Аналогично для а.
120. Напоминаем, что cos 15°= У6 + У2 C0S2 15°==2+/ 3 ,
4 4
125. Выразить t через г и доказать, что t = t.
126. Rz — планета, Rz-{-pzn — ее спутник.
129. Написать уравнение в полярных координатах*
137. В примере с) вспомнить cos 15° и sin 15°.
138. Перейти к тригонометрической форме.
141. Перейти к половинному углу.
149. Положить cos* + Zsin# = a. Тогда cos# = —^ »
a—a-1 , а* + а~* . и ak — a~k
; cos&a; -z , sin /гд? = -
2i
150. Положить cos#-|-^§in* = a. Тогда cos2m x= i-
и т. д.
153

151. Так как sin (/г+ 1) лг + sin (^— 1)^ = 2 cos д; sin ^л:, имеем
sin kx
= tUk — Uk-ъ где Uk = -~.— , * = 2cos*. Применить метод
sinx
индукции.
162. Так как sin*cosmA; = -j (sin (m+ 1)# —sin(m— l)x), можно
воспользоваться формулой предыдущей задачи.
153. Воспользоваться разложением по формуле бинома Ньютона
A + 0".
/
154. Разложить по формуле бинома Ньютона ( 1+/
\
I *
/
n^ +
... -f sin ял: и S = cos#+c°s2*+ ,. # -f-cosn*. Тргда
X X
157. Ввести а = cos-5- + 1' sin-j . Положить r = si
а —а-1
164. Воспользоваться тем, что sin2a = -^ „—,
166. Для вычисления сумм вида l + 2a + 3a2+... -\-пап-г их
полезно умножить предварительно на 1—а.
а2 р3
169. Здесь -*т—Yf < 0. Формулу Кардана удобно преобразо-
преобразовать к виду * = 2r cos 3^—-^ , где г= у LO. f C0S(p ==_?_.,
170. jf1==a + P; л-2=лсо + Рсо2; л-3 = а(
1 1/"з"
= — р, где со=: —~ + i-у-»
172. Положить ^ = а + р..
181. Доказать, что все корни хРт~г — 1 и только они не яв-
являются первообразными корнями хр —1.
.Dft г 2я . . . 2я
182. Если 8 = cos \-i sin , то искомая сумма может быть
записана так: 1 + е + е2-)- ... -(-б"-1.
183. Умножить на 1—8. 184. Показать, что ?« = —1.
186. Из суммы всех корней 15-й степени из 1 вычесть сумму
корней, принадлежащих показателям 1, 3 и 5.
187. Длина стороны искомого правильного 14-угольника равна
2sinjb=-2cos4^- = -2(8 + e-^)) где e = cos^+if sini^
один из первообразных корней 7-й степени из 1.
192. гсозф^Я+Л-1, 2cos(9 + ?a) = V* + X-1fi-*, где
A, = cos(p + /sin(p, fx = cosa + / sin a.
154

197. Показать, что если п — нечетное, то для получения всех
первообразных корней степени 2п из единицы достаточно все перво-
первообразные корни степени п умножить на —1.
199. Использовать задачу 198.
200. Проще всего воспользоваться элементами теории степенных
v . ч A— хЫ)(\— х)
рядов, именно, деление в формуле ^pq{^)= p) .__ q заме-
заменить умножением на A +#р + *2/?+ ...) A -]-л:^-j-л:2^-f-...).
205. Рассмотреть случаи: 1) п — степень простого числа; 2) п —
произведение степеней различных простых. Для случая 1) использо-
использовать задачу 181, для 2) задачи 199 и 202.
206. Рассмотреть случаи: 1) п — нечетное, большее 1; 2) п — 2к\
3) п = 2пъ п1 — нечетное, большее 1; 4)n = 2kn1) где k > 1, «х-нечет-
«х-нечетное, большее 1.
207. Умножить сумму S на сопряженную и принять во внима-
внимание, что гх не меняется при замене х на х-\-п.
208. Записать ип—\-\ ! в тригонометрической форме и
искать отдельно предел модуля и предел аргумента числа и^.
ГЛАВА III
222. Воспользоваться результатом задачи 221 е).
241. Рассмотрев различные возможности расположения эле-
элемента 1, установить формулу и^ = ^^_1 + w^iJ+ ¦.. -\~и%~Ц+1> считая
и[1_1 = 0 при / < 0.
257. Транспонировать.
265. К последнему столбцу прибавить первый, умноженный
на 100, и второй, умноженный на 10.
273. Из второго столбца вычесть первый*
290. Ввести x = cos(p + t sinq).
292. Первую строку прибавить ко всем остальным.
293. Разложить по элементам первой строки и показать, что
294. Первую строку вычесть из всех остальных.
295. Вторую строку вычесть из всех остальных.
296. Все столбцы прибавить к первому.
297. Из каждой строки вычесть предшествующую.
299. Все столбцы прибавить к первому.
300. К первой строке прибавить последующие, умноженные на
х, х2, ...,хп~х соответственно или разложить по элементам первой
строки.
303. Первую строку прибавить ко второй*
155

304. A==A/ —&i6, где А'— определитель задачи 303, б —минор
левого верхнего элемента.
305. Из первой строки вынести а и из второй вычесть первую*
306. Вынести а из первой строки и вычесть первую строку из
второй.
307. А„ = Д'' + РАл-1> где Л' —определитель предыдущей задачи.
309. Разложить по элементам первого столбца.
311. Положить х = 2 cos 0 и применить результат задачи 310.
312. Применить результаты задач 307 и 311.
313. Воспользоваться тем, что 1— С\-\-С\— ... =A — 1)* = 0.
314. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть преды-
предыдущий. Затем из каждой строки вычесть предыдущую. Доказать,
что АП = АП„!. При вычислении иметь в виду, что &п= c?-i + Cn-\.
315. Из каждого столбца вычесть предыдущий.
316. Из каждой строки вычесть предыдущую. Доказать, что
А„==АП_3.
317. Вынести из 1-й строки т, из 2-й т+1 и т. д., из послед-
последней т-\-п. Из 1-го столбца вынести -г , из 2-го , , , и т. д. Это
к k-\-1
снизит на 1 оба индекса.
318. Из каждого столбца вычесть предыдущий. В полученном
определителе из каждого столбца вычесть предыдущий, сохраняя
первые два без изменения. Вновь из каждого столбца вычесть пре-
предыдущий, сохраняя без изменения первые три столбца, и т. д.
319. Из каждой строки вычесть предыдущую и показать, что
Ая+1«=(*-1)Дя.
320. Добавить все строки к первой.
322. Добавить веб столбцы к первому и вычесть первую строку
из всех остальных.
323. Представить в виде суммы двух определителей и показать,
что A — a2as ... aw-j-aiA', где А' — минор левого верхнего элемента.
327. Представить матрицу в виде суммы двух матриц, каждая
из которых имеет пропорциональные столбцы.
328. Применить результат задачи 326, учитывая, что столбцы
матрицы CB — (cibj) пропорциональны.
330, Применить результат задачи 326.
332. Рассмотреть как det (A + E), где А — матрица задачи 327.
334. Матрица определителя равна diag (*/ — а/6/) J- В А, где
А = (аъ .... ап), В = (ЬЪ ..., Ьп)Т.
337. Положив в левом верхнем углу х~(х-\-а) — а — (х—а) + а,
связать А„ и Аи-х двумя способами.
340. Записать в левом верхнем углу 0 = &г — Ьг и свести задачу
к вычислению определителя меньшего порядка.
156

341. Из каждой строки вычесть первую, умноженную последова-
последовательно на а1у а2, ..., ап. Из каждого столбца вычесть первый, умно-
умноженный последовательно на а±, a2> ..., ап.
342. Из первого столбца вынести h\ первый столбец прибавить
ко второму.
343. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть пред-
предшествующий столбец, умноженный на а.
345. Разложить по элементам последнего столбца, а затем все
миноры (кроме det А) разложить по элементам последней строки*
348. Из каждой строки вычесть предшествующую.
349. В левом верхнем углу положить 1=л; + A — х). Определи-
Определитель представить в виде суммы двух определителей. Использовать
результат задачи 348.
350. Умножить первую строку на хп~гь вторую на хп~2 и т. д.,
затем вынесги из первого столбца хп, из второго хп~х и т. д.
352. Разложить по элементам первого столбца.
356. Воспользоваться результатом задачи 355.
359. К первому столбцу прибавить второй, умноженный на С\п\
третий, умноженный на С\п, и т. д.
360. 2 cos Щ = B cos ср)* + ...
sin(fe+l)9== ft
sincp v T
362. В первой строке положить 1 = ^ — (х1—~ 1)=.. ,=хп— (хп— 1).
364. Определитель равен минору, соответствующему элементу zs
в определителе
1 1 ... 1
г хг ... хп
z» xl ... хпп
365. Приписать первую строку 1, 0, ..., 0 и первый столбец
1, 1, 1, ..., 1. Вычесть первый столбец из всех последующих.
366. Разложить по элементам последней строки (или следовать
указанию к задаче 368).
367. Из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть пред-
предшествующий, умноженный на х.
368. Сначала из каждого столбца, начиная с последнего, вычесть
предшествующий, умноженный на х. Затем, после понижения по-
порядка и вынесения очевидных множителей, преобразовать первые
строки (зависящие от х), используя соотношение
157

869. К каждой строке прибавить все последующие, из каждого
столбца вычесть предыдущий. Доказать, что
Дя+1 (х) = (х — п) Дя (л;— 1)*
371. Из каждой строки вычесть первую, из каждого столбца вы-
вычесть первый.
373. Одна из возможностей — раскрыть определитель:
где о = + 1 или — 1 в зависимости от четности или нечетности пере-
перестановки (аг . ¦. ап). Учесть, что 2 bfy ¦ • • b^n (— 1)а = О,
(aj ...ап) * ап
если среди показателей есть равные, и что биномиальные коэффи-
коэффициенты являются полиномами от ba f . »,» Ьа , Подсчитать коэффи-
циент пр?
377. Рассмотреть
1 ^1 f>2 2
1 /-> 1 /о2 '2
1 Спа„ Cnart
880. Рассмотреть
1 1 ,»,
...
. . .
1
*п
4
а?
«S
Ь^
Ьа
1
1
X»
1
1
1
0
1
х± ...
х2 ...
*/, ...
0 ...
I . . Ufl
... 1
дгГ1 0
^Г1 о
0 1
881. Возвести в квадрат. Преобразовать как определитель Ван-
дермонда и каждую разность преобразовать к синусу некоторого
угла. Таким образом определится знак.
882. Умножить справа на
11 ... 1
... ej}li
2kn
/г
890, Умножить справа на ( Л _ )
168

391. Умножить справа на
392. Рассмотреть матрицу (
VO Ej '
Em A\
p и, умножая ее на под-
подходящие множители, убедиться в том, что ее определитель равен
обоим исследуемым определителям.
393. Воспользоваться задачей 392.
394. Сперва допустить, что А невырождена и умножить справа
(Е ***В\
на ( 0 j. J , Чтобы избавиться от этого предположения, добавить
к А матрицу tE, воспользоваться отсутствием делителей нуля в
кольце многочленов и затем положить /==0.
397, Провести доказательство по индукции, сначала разобрав
случай, когда Ац есть неособенная матрица. Общий случай свести
к этому, добавив к матрице KEt
398. Умножение дает ( гтг ас,) , где а.-= det А + det J3, Р —
\и ph J
D, U^AC'-\-BD\ Воспользоваться результатом зада-
задачи 394 (или задачи 391) и тем, что
А . (А В\ , , (Аг Сг
det ^ D)«det^r D,
399. Воспользоваться тем, что если сумма диагональных эле-
элементов матрицы U равна нулю, то ?/' = — (Js
ГЛАВА IV
401. Сложить уравнения.
402. Вычесть из каждого уравнения следующее, в последнем'
сгруппировать слагаемые левой части по два, начиная с последнего.
403. Исключить неизвестные мультипликативно или перейти
К логарифмам.
412. Найти X из первого уравнения и подставить во второе*
418. Умножить справа на
П —а 0
0 1 —а
0 0 1
\)
419. Вычислить миноры.
420. Вычислить миноры.
421. Уравнения для вычисления строк обратной матрицы полу-
получаются из первого из них круговой перестановкой неизвестных.
159

423. Сравнить системы уравнений для определения элементов
двух соседних строк.
431. Проверяется посредством умножения.
432. А-\-ВС = А~1(Еп + (А-1В)С). Применить формулу преды-
предыдущей задачи.
433. Данная матрица равна Еп-\-ВС, где В = A, 1, • .», 1)'*
С=(аъ а2, ..., ап).
434. Данная матрица равна Еп-\-ВС, где
(аг а2 ... вя\Т /1 1 ...
\\ 1 ... 1 ) ' \п! а2 ...
/1 1 \
435. Л=diag I-т—, ..., Х")"^1' *' ***' ^^'
438. Умножить справа на
1
1
0
0 ...
1 ...
— J ...
0
0
0
0
0
0
5=--=!
О 0 ... — 1 1,
и слева на ST. Затем воспользоваться формулой задачи 437.
439. Матрицы, получающиеся из А поворотом на 90° в обе сто-
стороны, суть ЛТУ и /Лт, где /-—матрица, имеющая единицы на вто-
второй диагонали, а на остальных местах нули.
440. Записать решение систем с помощью обратной матрицы.
448. Записать равенства, в которые превращаются уравнения
системы после подстановки решений, в матричной форме.
451. Без нарушения общности можно считать, что левая квад-
квадратная субматрица С± матрицы С невырождена. Умножив С слева
на Сг1, придем к равносильной системе того же вида, что и в пре-
предыдущей задаче. Все миноры порядка т умножатся на det СГ • Миноры
матрицы, строки которой образуют фундаментальную систему реше-
решений, тоже изменяются пропорционально, при переходе от одной
фундаментальной системы к другой.
455. Любую матрицу можно привести к требуемому виду эле-
элементарными преобразованиями над строками и столбцами, что равно-
равносильно умножениям слева и справа на невырожденные матрицы.
456. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
459. Из требования ХАХ = Х следует, что ранг матрицы X ра-
равен 1.
460. Умножить слева на
160
/ л-* о\
V— А-К Е)

462. Воспользоваться совместностью, т. е. существованием та-
такой Хо, что АХ0 = В.
463. Воспользоваться существованием полуобратной матрицы
для С.
466. Сначала доказать формулы BkA = ABk — kCB11-1 и
(А + В)п (А + В) = (А + В)п+х — пС (А + ?)„ _ х. Затем применить метод
индукции.
472. Рассмотреть сумму диагональных элементов.
473. Воспользоваться результатом задачи 467.
474. Взять в качестве А диагональную матрицу с попарно раз-
различными элементами.
483. Воспользоваться результатом задачи 455.
484. Воспользоваться результатами задач 483 и 458.
485. Одна из матриц Е-\-А, Е — А должна иметь ранг Ь
486. Если
О ... О \ /сп с12 ... с1п
Ъ22 ... О j / 0 с22 ..
\ап1 ... annJ \ь% ' / ' ' ' ' и / \0# *0*
\оп1 оп2 * • • °пп / \и и * •
то для левых верхних блоков Л# матриц Ап будет
Поэтому естественно вести доказательство по индукции*
487. Для доказательства достаточно установить, что матрицу А
можно умножить слева и справа на треугольные матрицы с единич-
единичной диагональю так, чтобы получилась матрица, имеющая в каждой
строке и в каждом столбце по одному ненулевому элементу. Такое
умножение слева равносильно добавлению к строкам линейных ком-
комбинаций строк, лежащих ниже, умножение справа равносильно до-
добавлению к столбцам линейных комбинаций столбцов, лежащих левее.
488. Достаточно доказать, что из R1D1R2 = D2i где R± и R2~
правые треугольные матрицы с единичной диагональю, a D± и D2
имеют по одному ненулевому элементу в каждой строке и в каждом
столбце, следует D! = D2, R1 = R2 = E. Нужно сравнивать элементы в
том же порядке, как получать нули в предыдущей задаче, т. е. начать
с самого низкого ненулевого элемента первого столбца, затем сравнить
лежащие от него выше и правее. Затем обратиться ко второму столбцу
и т. д.
161

490. За счет умножения слева на матрицу С можно добиться
того, чтобы больший по модулю элемент первого столбца находился
в первой строке. За счет умножения слева на Л±г = 1 ) можно
уменьшить модуль левого верхнего элемента.
493. Установить единственность разложения задачи 492. Обозна-
Обозначив через Fn (k) искомое число, доказать мультипликативность функ-
функции Fn {k). Наконец, подсчитать Fn (pm).
503. Воспользоваться результатом задачи 502.
505. Воспользоваться теоремой Лапласа и неравенством Коши —
Буняковского (задача 498).
506. Пусть п — порядок матрицы Л, т— число строк матрицы В>
k — число строк матрицы С. Интересен только случай m-\-k < п.
Дополнить матрицу Л до квадратной, присоединив n—m — k линейно
независимых строк, ортогональных к строкам матрицы Л, и восполь-
воспользоваться задачей 505.
508. В формулировках и доказательствах следует заменить Лт
да А* = (А)~Т. Ортогональность строк (Ь1} , ,5, Ьп) и (съ .»., сп) по-
понимать, как выполнение равенства 6^+ .. * -\-Ьпсп = О.
510. Приписать к определителю слева столбец, все элементы
М
которого равны -^- , и сверху строчку, все элементы которой (кроме
углового), равны 0, затем вычесть первый столбец из всех остальных.
513. Убедиться, что максимум реализуется на матрице, все эле-
элементы которой равны ± 1. Добавив первую строку ко всем остальным,
увидим, что он делится на 2я.
515. Установить связь ассоциированной матрицы с обратной.
516. Пусть A"l = (aiJ). Для подсчета левого верхнего минора
рассмотреть произведение матриц
и его определитель. Для общего случая переставить надлежащим
образом строки и столбцы, учитывая, что строки и столбцы ма-
матрицы Л переставляются так же, как строки и столбцы Лт,
a det Л приобретает множитель, на который алгебраическое допол-
дополнение отличается от дополнительного минора.
521. Всякая матрица может быть представлена в виде произве-
произведения диагональных и треугольных матриц, например, матриц эле-
элементарных преобразований. В силу результата задачи 519, достаточно
ограничиться доказательством для треугольных матриц.
162

623. Воспользоваться результатом задачи 518 й тем, что любая
матрица ранга 1 есть произведение
524. Без нарушения общности можно считать, что данные числа
fli, ..., ап отличны от нуля. Строки следует взять ортогональными
к строке #1, ,,*, аПУ выбрав их наиболее «экономно».
526. См. указание к задаче 623.
520. В силу взаимной простоты данных чисел а^, аа, »•«> #/*
найдутся целые иъ и2, *ч,ип такие, что a1Mi+fl!2w2+ •»« +йп«па* 1*
Воспользоваться результатом задачи 524.
530. Все главные миноры матрицы положительно определенной
формы положительны, как определители матриц положительно опре-
определенных форм. Поэтому можно применить результат задачи 486.
531. Принять линейную форму, квадрат которой добавляется
к квадратичной форме, за новую независимую переменную.
532. Выделить из формы / один квадрат и воспользоваться
результатом задачи 531*
534. Разложить / и ф на сумму квадратов и воспользоваться
дистрибутивностью операции (/, ф).
541. Воспользоваться ортогональным преобразованием к канони-
каноническому виду,
543. Воспользоваться результатом задачи 486*
ГЛАВА V
553. Разложить f (х) по степеням х — 3, затем заменить х на
561. Ввести в рассмотрение полиномы
ft (х) = nf {х) - xf' (х)\ h (*)» nft (x) -xfi (x)
и т. д.
567. Доказывать способом математической индукции.
568. Отличный от нуля корень (k— 1)-й кратности полинома
f (х) есть корень (k — 2)-й кратности полинома xf (x) и т, д.
569. Дифференцировать равенство, показывающее, что полином
делится на свою производную.
573. Рассмотреть функцию *) \ или / /х ¦
/2 \Х) /1 W
163

574. Связать задачу с рассмотрением корней
(p(x) = f(x)f'(xo)-f'(x)f(xo),
где лго-корень If'(x)]*-f(x)f* (х).
575. Использовать решение предшествующей задачи и разложить
f (х) по степеням х — х0.
576. Ввести в рассмотрение полином f (z), коэффициенты которого
комплексно сопряжены с коэффициентами f(z).
584. Поделить на (\—х)п и дифференцировать т— 1 раз, полагая
после каждого дифференцирования # = 0. Воспользоваться тем, что
степень N (х) меньше т, степень М (х) меньше п.
588. Найти корни полиномов и учесть старшие коэффициенты
[в задачах а) и Ь)]. В задаче с) для разыскания корней целесообразно
положить д; = tg2 6.
594. Найти общие корни.
596. 1. Построить рекуррентное соотношение типа «треугольника
Паскаля». 2. Подсчитать кратности корней числителя и знаменателя.
612. Доказать предварительно, что / (я) не имеет вещественных
корней нечетной кратности.
620. Воспользоваться тем, что уравнение не должно изменяться
1
при замене х на — х и х на —.
х
621. Уравнение не должно меняться при замене х на — и х на
х
1-х.
624. Проще всего по формуле Лагранжа
п
(x-xtw (xk) (Х*' **' ¦¦¦' *«-к°Р»и знаменателя).
625. е) Использовать задачу 584. f) Положить aJ~*= у.
d, h) Искать разложения способом неопределенных коэффициентов.
Часть найти подстановкой х — хъ х2, ...,#„ после умножения на
общий знаменатель. Затем продифференцировать и снова положить
х = х±, х2, ..., хп.
626. Разложить сперва по формуле Лагранжа, затем объединить
комплексно сопряженные слагаемые.
629. Использовать задачу 628. В примере Ь) разложить-^
на простейшие дроби.
633. Воспользоваться формулой Лагранжа. Произвести деление
в каждом слагаемом результата и привести подобные члены, исполь-
используя результат задачи 183.
164

635. Выразить /(*0) через /(*x), f(x2), llit f (xn)9 пользуясь
интерполяционной формулой Лагранжа, и сравнить результат с усло-
условием задачи, принимая во внимание независимость /(#i), /(лг2), ...
..., / (хп). Затем изучить ф (х)=(х—х1) (х—х2) *.. (х—хп)> разложив
его по степеням х—х0.
636. Полином Xs представить через свои значения посредством
интерполяционной формулы Лагранжа.
639, 640. Составить интерполяционный полином по способу
Ньютона.
641. Найти значения искомого полинома при х = 0, 1,2,3, ...,2/г.
642. Можно решить задачу, пользуясь способом Ньютона.
Короче рассмотреть полином F(x) = xf(x)—1, где f{x) — искомый
полином.
644. Рассмотреть полином (х — ci)f(x)—1.
645. Составить полином по способу Ньютона, вводя для удобства
вычислений в знаменателе каждого слагаемого факториал.
646. Рассмотреть полином /(л;2), где f(x) — искомый полином.
651, 652. Воспользоваться задачей 649.
653. В примере с) разложить полином по степеням х—1.
654. Разложить по степеням х—1 (или положить х = у-{-1).
655. Положить х = у-\-\ и методом математической индукции
доказать, что все коэффициенты делимого и делителя, кроме старших,
делятся на р.
656. 657. Доказывается, как теорема Эйзенштейна.
661. Разложить на неприводимые множители по модулям 2 и 3.
665. Воспользоваться тем, что f (х) не имеет корней в поле
GF(p) и f(x+l) = f(x).
673, 674. Допустив приводимость / (х), положить х — аъаъ * *., ап
и сделать заключение о значениях делителей.
675. Подсчитать число равных значений предполагаемых дели-
делителей.
676. Воспользоваться тем, что f (х) не имеет вещественных корней.
677. Доказать, что полином, имеющий более чем три целых
корня, не может иметь своим значением простое число при целом
значении независимой переменной, и применить это к полиному
f(x)-\.
678. 679. Воспользоваться результатом задачи 677.
680. Примеры Ь) и с) можно решить способом неопределенных
коэффициентов или при помощи линейного представления наиболь-
наибольшего общего делителя.
683. Воспользоваться соотношениями A,/* = A,/+i —fl/ + i и Я/Ху =
684. Примеры а) — е) лишь формой записи отличаются от при-
примеров типа Ь), с) задачи 680.
165

685. а) Из Х = а2+а+1 получим А,а = а3 + а2 + а = а2 + 2а + 1 и
+2а+1, откуда
1-Х 1 1
1 2-Х 1
1 2 2-Х
= 0,
Аналогично могут быть решены и другие примеры^
705. Сложить ф? (xi)t i=l, 2, ..., п. Формула остается верной
и при к > п, если считать /„+1 = /„+2= ... =0. Чтобы в этом убе-
убедиться, достаточно присоединить к^, ...,хп числа хп + 1 = хп + 2 — .*.
712. Сначала вычислить сумму
затем подставить x = Xf и просуммировать по / от 1 до п. Наконец,
удалить лишние слагаемые и поделить на 2.
713. Решается, как задача 712.
714. Второй столбец умножить на —sx, третий —на s2, ..., k-u —
на (—l)^-1 Sk и добавить к первому; затем воспользоваться форму-
формулами Ньютона.
718. Достаточно рассмотреть случай п = р1 ... /?&, где plt ..., р^—
попарно различные нечетные простые числа. В этой ситуации
|Sl| = |s2| = |s4| = l, |ss|<2, |s5|<4, |s6|<2. Пользуясь фор-
формулами Ньютона, последовательно оценить сверху | /# | для /г=1,2,
3, 4, 5, 6.
719. Задача легко решается посредством формул Ньютона или
посредством представления степенных сумм через основные симме-
симметрические функции в виде определителей (задача 714). Однако еще
проще умножить уравнение на (х — а)*(х—Ь) и подсчитать степенные
суммы для нового уравнения.
720. Считать корни полинома f (х) независимыми переменными.
Умножить определитель из коэффициентов остатков на определитель
Вандермонда.
721. Полиномы ур(х) суть остатки от деления полиномов ф(л:),
ху(х), ..., хп-г(р(х) на f(x). Задача решается так же, как предше-
предшествующая.
722. Решается, как задача 721.
729. Воспользоваться тем, что т-е степени первообразных корней
я-й степени из 1 пробегают все первообразные корни степени -7 из 1,
где d есть наибольший общий делитель тип*
730. Воспользоваться результатом задачи 729 и тем, что
R(Xm, Хп) есть делитель R(Xm, хп— 1) и R(Xn, xrn—l).
166

735, 736. Вычислить R (/', /).
740. Умножить на *— 1.
741. Умножить на х—1 и воспользоваться результатом зада-
задачи 736.
744. Вычислить R (Хп, Х'п). При вычислении значений Х'п в кор-
корнях Хп представить Хп в виде
(*»-1)П(^-1)" .
считая d пробегающим собственные делители п. Принять во внима-
внимание, что при корнях Хп (х) обращается в нуль только первый мно*
житель, что sd пробегает множество корней Х„,, каждый ¦ \ раз,
когда е пробегает множество корней Хп. Подсчитать раздельно
модуль дискриминанта и его знак.
745. Воспользоваться соотношением Е'п = Еп—хп.
746. Воспользоваться соотношением
(nx-x-a)Fn-x{x+\)F'n+ (п~Х) ^ (й~П) =0.
747. Воспользоваться соотношениями:
748. Воспользоваться соотношениями:
749. Воспользоваться соотношениями:
750 Воспользоваться соотношениями:
751. Воспользоваться соотношениями:
752. Воспользоваться соотношениями:
753. Решить задачу методом множителей Лагранжа. Записать
результат приравнивания производных нулю в виде дифференциаль-
167

ного уравнения относительно полинома, дающего максимум, и ре-
решить уравнение методом неопределенных коэффициентов. Принять
во внимание, что ^^^тгт~т» гДе D = П (*/ — xjJ> / (*) =
—xj ... (л:—xn)t
ГЛАВА VI
759. Применить теорему Штурма к полиному /& для промежутка
(—оо, +оо), что возможно, ибо последовательность /#, fk-i, . •¦> /о
удовлетворяет требованиям ряда Штурма.
760. Разложить полином на линейные множители и воспользо-
воспользоваться тем, что аргумент произведения равен сумме аргументов
сомножителей.
761. Применить принцип аргумента, записав
762. Доказывается так же, как принцип аргумента.
763. Привлечь наглядно-геометрические соображения, отталки-
отталкиваясь от геометрического смысла — A arg h (x) как числа полуобо-
полуоборотов (с учетом направления) точки f (x)-\-ig (х), когда х пробегает
вещественную ось от — оо до + оо.
V^ xP
769. Воспользоваться тем, что 2и тп—Г = ^ ПРИ О^т^/г —2,
п п_г п
X /%^=1 (см-задачи 636'637) и S У^ =0.
770. Воспользоваться результатом задачи 683.
771. Воспользоваться результатом задачи 683 и принять во вни-
внимание, что xpk(x) = pk + 1(x) — ak.
772. Доказать, что ^ Xif?^-=l, если m + k = n, и
п m
7, \^ Х =0, если 0<щ<п—1 и т-\-кфп. Показать, что
i=l f {Xi)
элементы соседних строк матрицы квадратичной формы связаны
такими же соотношениями, как коэффициенты соседних полиномов
в способе Безу.
781. Составить ряд Штурма и рассмотреть порознь случаи чет-
четного и нечетного п.
168

783. Воспользоваться тем, что F' (х) = 2/ (х) fin (х) и что /"' (#)•—
постоянная.
785. Достаточно построить ряд Штурма для отрицательных х,
ибо полином Еп (х) положительных корней не имеет.
792. Воспользоваться результатом задачи 763 и теоремой Штурма.
793. Применить результат задачи 763.
794. Пусть степень / (х) равна я, степень g (x) не превосходит п.
Ясно, что индекс / (х) относительно Я/ (я) + № (х) равен индексу
/ (х) относительно g (х) при \i > 0 и отличается от него знаком при
[I < 0, т. е. равен ± л, следовательно, корни kf (x)-\-\ig (х) вещест-
вещественны и разделяются с корнями / (х).
Поучительно и прямое доказательство, основанное на рассмот-
рении поведения функции г|з (х) =
795. Воспользоваться теоремой Руше, взяв за главное слагаемре
первый член разложения <р (г) по степеням г — г0.
796. Пусть Ф (х) =^ , / (х) = (*-*„)* h (х), /i (*о) Ф 0. Геомет-
f (х) f (х)
рически очевидно, что уравнения LLJr-\-t ==0 и ^-т4 — ^ = 0 имеют
при нечетном k один вещественный корень в окрестности х0. При
четном к одно из этих уравнений имеет два вещественных корня
в окрестности х0, другое — ни одного. Сопоставить это с результа-
результатом предыдущей задачи.
797. Доказать от противного, воспользовавшись теоремой Ролля
и результатом задачи 796.
798. Легко выводится из результата задачи 794. Можно обра-
обратиться и к следующим соображениям «по непрерывности»: матрицу
I Ac ad—be > 0 можно связать с единичной непрерывным путем
с сохранением положительности определителя. Как легко видеть,
полиномы a/ + pg+i* (yf + &g) при аб — ру ф 0 не могут иметь веще-
вещественных корней. Поэтому, двигаясь непрерывно, они не могут пе-
переходить из верхней полуплоскости в нижнюю и обратно.
/' (г)
799. Исследовать мнимую часть v , разложив эту дробь на
простейшие.
800. Сделать замену переменной так, чтобы данная полуплоскость
преобразовалась в полуплоскость Im (x) > 0.
801. Связать с задачей 800.
802. Применить результаты задач 794 и 797.
803. Положить x = yiu воспользоваться результатами задачи 793.
804. 805. Воспользоваться результатом задачи 803.
169

806. Положить х*х(\-\-у)/A--у) и воспользоваться результатом
задачи 804,
807. Разделить на хп~т<
810, 811. Умножить на х — U
815. Разложить g (x) на множители и применить несколько раз
результат задачи 814.
816. Применить результат задачи 815 к полиному хт.
81?. Воспользоваться тем, что если все корни полинома аохп-\-
+ й3л:"~1+ ... +а„-1;с + а„ вещественны, то все корни полинома
anxn-\-an^iXn-\-... +а0 вещественны*
819. Рассмотреть
, где
Ф (х) = а0 cos ф + * *. + ап cos (ф + пб) xnt
-ф (л:) = b0 sin ф + ., * -f-6w sin
820, 821. Представить функцию в виде:
822. Разложить утт на пРостейшие дроби и оценить мнимую
часть,
ГЛАВА VII
830. Рассмотреть Zyt^ где Zx —какой-либо левый нуль, z2 —
правый нуль.
831. Рассмотреть Uiii2, где иг — какая-либо левая единица, и2 —
правая единица.
835. Рассмотрев Gat где G —данная полугруппа, показать, что
Ga = G, т. е. уравнение ха = Ь разрешается в G при любых а и Ь.
В частности, ха — е, где в —левая единица. Однозначность очевидна.
855. Показать, что имеется пятнадцать плоскостей симметрии
икосаэдра и их можно разбить на пять троек попарно ортогональ-
ортогональных плоскостей.
864. Классы смежности по К разбиваются на одинаковое число
классов смежности по Я.
865. Установить, что всякое непустое пересечение классов смеж-
смежности по #! и #2 есть класс смежности по Я и всякий класс по Н
есть пересечение классов смежности по Нг и Я2.
867. Рассмотреть ее разложение на классы сопряженных эле-
элементов.
874. Для циклической группы доказывается непосредственно.
Для нециклической'—применить метод индукции, рассмотрев цикли-
циклическую подгруппу и факторгруппу по ней4
170

875. Множество таких x?G, что х~1ах = а, есть подгруппа Za
(она называется централизатором элемента а). Если х~1ах = у-1ау,
то х и у принадлежат одному классу смежности по Za.
878. Убедиться, что все элементы этого класса имеют порядок 2,
их попарные произведения принадлежат G\/C и H = G\K есть под-
подгруппа группы G, а К — класс смежности по этой подгруппе. Уста-
Установить, что Я —абелева группа нечетного порядка.
879. Положим п— 1 -{-h2-\-h3. Здесь п — порядок группы, h2^h3—
порядки классов, делители п. Неравенство /^^"тг возможно толь-
о
ко при п = 3, /г2 = й3=1. Поэтому h2 = — и можно воспользоваться
задачей 878.
880. /г = 1+62 + ^3 + ^4» h2^h3^h^ Если /г2<-т-, то п = 4,
h2 = h3 = h/k=\. Если /i2 = y, можно применить задачу 878. Остает-
Остается h2 = — . Если /zg^-p, то /г <:6. Остается /г3 = ---, /г4 = ——1.
Но /г4 будет делителем п только при п=12 и п = б,
881. Множество Л/# таких x?G> что х-гНх = Н есть подгруппа
(она называется нормализатором Я), HaNfjClG. Остается приме-
применить результат задачи 864.
883. Рассмотреть отображение группы G в группу подстановок
классов смежности Яа/ группы G по Я, индуцированную умноже-
умножением всех классов справа на элементы из G.
887. Доказательство провести методом математической индукции
по порядку. Базу индукции дают абелевы группы (задача 874). Рас»
смотреть отдельно случаи, когда группа имеет нетривиальный центр
и когда он отсутствует. Во втором случае обратиться к рассмотре-
рассмотрению классов сопряженных элементов.
889. Если подгруппы порядков р и # —нормальные делители,
то они коммутируют, и группа циклична. Если подгруппа порядка q
не является нормальным делителем, то имеется р сопряженных под-
подгрупп порядка q и столь много элементов порядка q, что подгруппа
порядка р — единственная и потому нормальный делитель.
890. Нужно убедиться, что любая матрица из SL (я, %т) может
быть представлена в виде произведения матриц элементарных пре-
преобразований. Их прообразы в SL (п, %) очевидны.
891. Ядро отображения состоит из матриц вида Е-\-тЛ. Нужно
установить, что матрица этого вида при А Ф 0 не может быть перио-
периодической.
892. Каждое вращение трехмерного пространства есть поворот
вокруг некоторой оси на некоторый угол.
171

893. Пусть Я —нормальный делитель SO C) и А?Я — вращение
на угол, отличный от 0. Рассмотреть САС-гА~1?Н при всех
C?SOC) и воспользоваться соображениями непрерывности.
896. Для такой группы имеется гомоморфизм на группу второго
порядка, именно, элементу группы сопоставляется + 1 или —1
в зависимости от четности или нечетности соответствующей подста-
подстановки в регулярном представлении.
897. Воспользоваться тем, что группа линейных функций х—>-
—>ах-\-Ь, действующая в GF E), имеет индекс 6 в 55. Подстановки
классов смежности по этой подгруппе, индуцированные умножением
на элементы из S5, дают искомое представление.
901. Выяснить, каким образом можно изменять минимальную
систему образующих.
905. В сплетении Ф взять подгруппу ?/, состоящую из пар A, /),
причем /A)=1. В качестве переставляемых элементов взять классы
смежности по этой подгруппе.
907. Рассмотреть множества пар (хг, 1) и A, л:2), входящих
в подпрямое произведение.
910. Пусть a, bl9 ...y bn—образующие группы G. Показать, что
аЬъ ..., abn можно принять за образующие группы, составленной
из элементов четной длины и эти образующие свободны.
911. Убедиться в существовании такого автоморфизма а группы
Я, что а2=1 и a (lift ^щ1. Затем построить полупрямое произве-
произведение G = Z2H, считая, что образующий v0 группы Z2 индуцирует
автоморфизм а в Я. За образующие G можно взять vOi vlt ..., vk,
где Vi = votii. Все они имеют порядок 2.
912. Воспользоваться тем, что из трех преобразований ох, оу,
о2 два всегда увеличивают одну из координат. Если же точка лежит
в области х2-\-у2 > z2, */2 + z2 > x2, z*-\-x2 > у2, то все три преоб-
преобразования увеличивают изменяемую координату. (Можно доказать,
что область х2-\-у2^г2, */2 + z2^=*2, z2-\-x2^y2 есть фундаменталь-
фундаментальная область для группы.)
913. 1) Показать, что всякое целочисленное решение может быть
переведено преобразованиями из группы, порождаемой ох, о^, о2
и последующей перестановкой координат в область на поверхности,
характеризуемую неравенствами x^y^z, x2-\-y2^z2, y2 + z2^x21
z2-\-x2^y2. 2) Вычислить границы проекции этой области на пло-
плоскость хОу и убедиться, что в ней нет точек с целыми координатами
при аф \ и а Ф 3 и есть только одна при а=\ и при а = 3.
914. Проверить, что если А—[ ^—вещественная
матрица
с определителем 1, то из четырех матриц Ао, Ла*1, А% и Ах~г три
имеют большее, чем Л, значение функции у (А) — \ ху-{-zt |. Если же
172

выполнены неравенства ф (А) < #2 + z2 и ф (Л) < #2 + /2, то все че-
четыре матрицы имеют большее, чем Л, значение функции ф.
Дальнейшие рассуждения аналогичны решению задачи 912.
Вместо точки Мо можно взять единичную матрицу.
925. Решить способом Эйлера.
ГЛАВА VIII
930. Представив вектор в виде Ьхех-\--. ¦. *-\-ЬпеПУ добавить
t (<?i+ • • • +en + en+i)> положив t =— (&i+ ... +bn)/(n+\). Единст-
Единственность обеспечивается тем, что в соотношении с^-}- , *» +спеп +
+ сп+1еп + 1 = 0 необходимо Сх = ... =сп = сп+1.
931. Представить вектор в базисе еъ itif en и, если есть от-
отрицательные координаты, добавить t (ег-\-. > >-\-еп-\-еп+1), где t —
наибольший из модулей отрицательных координат. Единственность
доказывается аналогично предыдущей задаче.
932. Первый вектор —любой отличный от нуля. Второй—-любой,
не являющийся линейной комбинацией первого, третий —любой не
являющийся линейной комбинацией первых двух и т. д.
939. Подсчитать число базисов и воспользоваться задачей 932.
940. Объединение базисов данного подпространства и допустимого
m-мерного подпространства является линейно независимой системой*
941. 942. Непосредственно проверить, что каждый вектор, вхо-
входящий в левую часть, входит и в правую и обратно.
943. Рассмотреть пространство троек векторов (xlt x2f х3)> %i ? Р/,
связанных соотношением х1-\-х2 + л:3 = 0.
944. Включение тривиально. Далее, переходя к факторпростран-
ству по (Р2 П ^з) + (^з П Pi) + (Pi П ^г), свести задачу к случаю,
когда Р1} Р2, Рз попарно имеют нулевые пересечения. Наконец,
воспользоваться результатами двух предыдущих задач.
945. Рассмотреть последовательность подпространств Vi~U/ + P
и убедиться, что Vk—Vk-i ПРИ некотором к.
949. Использовать результат предыдущей задачи для построения
всех базисов всех допустимых подпространств Q.
955. Линейное многообразие очевидно обладает указанным свой-
свойством. Для доказательства обратного утверждения нужно доказать,
что если х0 ? М, то Р = М— х0 есть векторное подпространство,
т. е. если уъ у2 б ^> то ci#i+c2!/2 € ?- ^то УД°бно провести в три
этапа. 1) Доказать, что если у± ? Р, то суг ? Р. 2) Если уг ? Р
и у2 € р> т0 A — с)У1 + сУ2 € Р- 3) Если Уг ё р и У2 € р» то cilh +
+ с2У2 е р.
976. Воспользоваться результатом предыдущей задачи, положив
P^AtS.
982. d) Воспользоваться результатом задачи: 939 и результатом
пункта с).
173

984. Показать, что в качестве Р можно взять образ, в каче-
качестве Q — ядро.
988. Установить, что оператор ВА есть оператор проектирова-
проектирования S на некоторое подпространство Р параллельно ker А и опера-
оператор АВ есть оператор проектирования Т на ЛЯ параллельно некото-
некоторому подпространству Q и затем показать, что полуобратный опера-
оператор, построенный при помощи этих подпространств, совпадает с В.
990. Показать, что АА^-1^ есть олератор проектирования, его
ядро и образ совпадают с ядром и образом оператора А.
998. Необходимость очевидна, нужно доказать достаточность,
Для этого следует построить базис 5 так, чтобы из него можно было
построить по определенному закрну базис всех подпространств, со-
составляющих флаги.
999. Для решения этой трудной задачи нужно, как и в преды-
предыдущей, найти некоторый канонический базис 5. Без нарушения
общности можно считать S = Pi + P2 + ^V Удобно применить метод
элементарных преобразований, записав исходные координаты базис-
базисных элементов в виде матрицы, разделенной на три вертикальных
полосы. Ранг каждой полосы равен числу ее столбцов. Замену базиса
в S можно рассматривать как цепочку элементарных преобразований
над строками всей матрицы. Заменам базисов Р{ соответствуют це-
цепочки элементарных преобразований над столбцами, но в каждой из
полос раздельно. Эти дреобразования позволяют привести матрицу к
некоторой канонической форме.
1005. Если /(/) —минимальный аннулятор и F (/)•— какой-либо
другой, поделить F (/) на / (/) с остатком и подставить А вместо t.
1007. Записать матрицу оператора в базисе, включающем базис
инвариантного подпространства.
1008. В качестве базиса езять х, Ах, ..,, Ak-1x.
1009. Достаточно показать, что характеристический полином
делится на аннулятор любого вектора. Для этого нужно воспользо-
воспользоваться результатами задач 1007 и 1008.
1010. Взять в качестве базиса объединение базисов прямых
слагаемых.
1011. Взять базис пространства, включающий базисы пересече-
пересечения и обоих данных подпространств.
1012. Для k = 2 — следует из задачи 1011. Дальше — индукция.
1013. Воспользоваться задачами 1012 и 1008.
1014. Следует из предыдущей задачи.
1015. Воспользоваться коммутативностью значений полиномов
от оператора.
1016. Воспользоваться существованием таких полиномов g1 (/)
и g2 @> что /i @ gi @+ /2 (t) g2 @=1- Подставив вместо t оператор,
применить к вектору х обе части полученного операторного равенства.
174

1017. Применить индукцию. При доказательстве единственности
разложения учесть, что если /2 (А) аннулирует у2, .,., fk (Л) анну-
аннулирует ук, то Уъ+...+Vk аннулируется оператором ft(A)...fk(A)t
1018. Применить результат задачи 1017.
1019. Произведение этих характеристических полиномов равно /.
Каждый является степенью ф/ в силу результата задачи 1014.
1021. Провести индукцию по размерности. Применить индук-
индукционное предположение к факторпространству по циклическому под-
подпространству Qb порожденному вектором гъ имеющим аннулятор
максимальной степени. За векторы, порождающие циклические пря-
прямые слагаемые, принять Zi и прообразы векторов факторпространств,
порождающих его циклические прямые слагаемые. Каждый из этих
прообразов г/, i = 2, 3, ..., «подправить» за счет слагаемых из Qt
так, чтобы его аннулятор совпадал с аннулятором его образа в фактор-
пространстве, используя результат предыдущей задачи.
1024. Следует из результатов задач 1023, 1021 и 1018.
1027. Для примарного пространства утверждение очевидно. Для
общего случая воспользоваться результатами задач 1018 и 1026.
1029. Применить метод индукции. В качестве /j взять мини-
минимальный полином оператора и в качестве первой образующей —вектор,
минимальный аннулятор которого равен f±. Дальше —как в за-
задаче 1021.
1033. а) Положить A, = 2cosO; b) выразить характеристический
многочлен через характеристический многочлен примера а).
1042. Умножить матрицу на вектор wft = (l, eA, ..., е^"*1I"
2kn . . . 2kn , , ,
0^6^ я— 1, где 8/j. = cos \-i sin и при гкФ ±1 рассмотреть
подпространство, натянутое на вещественную и мнимую части
вектора ик.
1043. Прежде всего найти характеристические числа для квад-
квадрата матрицы. Затем для определения знаков при извлечении квад-
квадратного корня воспользоваться тем, что сумма характеристических
чисел равна сумме элементов главной диагонали и что произведение
характеристических чисел равно определителю. Применить резуль-
результаты задач 207 и 381.
1044. Применить результат задачи 1043.
1053. Оператор д обладает свойствами оператора дифференци-
дифференцирования (д (uv) = du-v-\-u-dv), а бином х—у для него является кон-
константой (д(х—у) = 0).
1054. Выяснить число блоков. Оно равно размерности ядра
оператора д, т. е. числу линейно независимых констант. Далее, по-
положив т^.п, среди однородных многочленов степеней п-\-т — 2,
п-\-т — 3, ,,«, л—1 найти полином, аннулируемый возможно мень-
175

шими степенями д. Установить, что их можно принять за образующие
циклических подпространств, дающих каноническое разложение.
1055. Пусть В коммутирует с Л, хо~-вектор, порождающий S.
Тогда все векторы из 5 равны / (Л) х0 и поэтому, если известно
значение В на векторе лг0, то оно известно и на всех других векторах*
1056. Если Ат =МАМ~1, то
так что если оба утверждения верны для Л, то они верны и для
любой матрицы, подобной А. Поэтому предложение задачи доста-
/0 0 ... -ая
точно доказать для матриц вида Л =
\0 ... ' 1 -fll
ибо любая матрица подобна квазидиагональной, составленной из та-
таких блоков. Преобразующую матрицу удобно искать из уравнения
АТМ=МА.
1057. Если A = BiB2t Bj = Blt Bj = B2 и В2 невырождена, то
АТ=В2В1 = В2АВ21.
1059. Можно сослаться на теорему об одновременном приведе-
приведении пары квадратичных форм, из которых одна положительно оп-
определена. Формально короче— доказать, что Л подобна некоторой
симметрической матрице.
1069. Нужно погрузить пространство 5 в комплексное прост-
пространство S и применить результат предыдущей задачи.
1070. Применяя задачу 1068 к пространству S и его фактор-
пространствам, установить существование общего инвариантного пол-
полного фланга.
1075. Положим Gc(X) = С^ХС. Легко проверяется, что
G'c'Fjfic{X)=^FQAC^t (Х)у так что подобным матрицам А соответ-
соответствуют подобные операторы Fa.
1100. Наименьший угол следует искать среди углов, образо-
образованных векторами второй плоскости с их ортогональными проекциями
на первую плоскость.
1101. Задать куб в системе координат с началом в центре
и с осями, параллельными ребрам. Затем принять за оси четыре
взаимно ортогональных диагонали.
1102. Использовать результат задачи 1092.
1104. Доказывать по индукции.
1105. Воспользоваться тем, что V [Аъ ..., Ат, Въ ..., В^\ =
= V[Ai> •••> Am\-V[Bly ..., Bk\, если Л/ _L#/, и результатом
предыдущей задачи.
1117. Рассмотреть (А(х + у), х + у) = (В (х + у), х + у).
176

1120. Составить А А* и А* А и сравнить следы левых верхних
блоков.
1121. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
1124. Пусть Ах~Кх и А нормален. Вычислить (А*х—*л,
А*х—1х).
1126. Вычислить А^А — АА^, положив А=(, , ] и рассмот-
рассмотреть порознь случаи Ь = с и Ь Ф с.
1129. Воспользоваться существованием одномерного подпрост-
подпространства, инвариантного для попарно коммутирующих операторов
(задача 1С68).
ИЗО. Воспользоваться существованием одномерного или двух-
двухмерного подпространства, инвариантного для попарно коммутирующих
операторов (задача 1С69).
1134. Взять ортонормированные базисы Р и Q и каждый из них
дополнить до ортонормированного базиса всего пространства.
1138. Рассмотреть флаг, составленный из инвариантных под-
подпространств (см. задачу 1С62).
1139. Прежде всего выяснить, что такое пара комплексно-со-
комплексно-сопряженных ортогональных столбцов.
1140. Для доказательства достаточности составить оператор Л,
переводящий е/ в g/, /= 1, iie, n, и проверить, что он сохраняет
скалярные произведения.
СО -г -г т
1142. Пусть е/ = @, ..., 1, ,.., ОI, и[ , ..., uj— данные
первые строки, vlt ..., vm—данные первые столбцы, Л —искомый
оператор. Принять во внимание, что Лы/ = е/, *=1, ..., /г, и Aej=vjy
/=1, ..., /л, и воспользоваться предыдущей задачей.
1143. Положив В = Р — A +cos a) vuT> показать прямым вы-
вычислением, что для ортогональности матрицы Л необходимо и до-
достаточно, чтобы матрица Р была ортогональна и Pu = v.
1144. Положить U = A-\-iI)t где Л и В — вещественные сим-
симметрические матрицы, и выяснить, что дает равенство U*U = E.
1146. Составить UTU, представить ее в виде B~^B, где В = ЛР,
и доказать вещественность UB-1.
1156. Взять в качестве базиса 5 нормированные собственные
векторы самосопряженного оператора A*A: S—>-5, выделив среди
них те, которые отвечают ненулевым (и, следовательно, положитель-
положительным) собственным значениям |л|, t=l, .*., k.
1157. Первые два требования обозначают, что Л+ принадлежит
к числу полуобратных операторов (задача 988). Последние два —что
операторы А + А и АА+ являются операторами ортогонального про-
проектирования.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
ГЛАВА I
-/ О
f 2 3
/ 2 3
... -/ о
ЛДААА
/22
х
Рис. 1.
Л////, ,
х
Рис. 2.
Рис. 3.
г
—о
1
0
i i
Ljl
3
i
4 ,,. x
Рис. 4*
178

3. Функция периодична с периодом 1 по обеим переменным,
f(x,y) — 0B треугольнике 0<*, 0<(/, х + у < 1 и /(*, #)=1в
треугольнике лг+г/^s \; х < \\ у < I.
4. -
10.
6
пFт — 2п2 —
12. а) 3; Ь) 1; с) 11.
14. Число, запись которого состоит из d единиц, d~(m, n).
16. ad—\> где d — (m, n).
17. 13, если а — Ъ делится на 13; если нет, то 1.
18. а) 3 = 8-843-21.321; Ь) 1 =2249-75217-7192.23521; с) 11 =
=-53-6787-50-7194.
23. а) 25-32.5; Ь) 32-52-7; с) 3-7.1Ы3.37,
24.
26
ко при
. п— \— j U- -jU-...^Ои равенство имеет место толь-
тольn = 2k.
27. — — —- • ^0. Поэтому все простые числа
lPk\ lPk\ V Pk \
п\
входят в —г-. гг- с неотрицательными показателями.
tni {П — /72)!
31. Непосредственно следует из двух предыдущих задач.
abc (а, Ь, с)
* (а, ft) (а, г) (Ь% с)'
35. Если бы все простые множители числа Л^ = 4р1.. .рт—1
имели вид 4я+Ь то такой же вид имело бы и число N. Таким
образом, для любого конечного множества простых чисел найдется
простое число вида An— 1, не входящее в это множество.
38. х = т2 + 2тп — п2, у=± {т2 — 2тп — п2).
39. а) *н=6 (mod 13); b) x^ 14 (mod 21); с) л;^ 15 (mod 49).
40. a) #se=±5 (mod 13); b) решений нет; с) л: = ±8 (mod 31).
41. а) Лх=1, *2 = — 3(mod 17); b) *x = — 7, х2 = 4(mod 19);
с) *! = 3, ^ = 7, л:3 = 9 (mod 19); d) # = 3 (mod 11);
е) л:1 = — 3, л-2 =—4, дг3 = 7 (mod 37).
42. a) a:i s 10, х2 = 23 (mod 26); b) *i=3, дг2= 14, ^3=25 (mod33).
45. При рф2 одно из чисел х— 1, *+1 взаимно просто с />.
Поэтому Л"=:Ь 1 (mod pm).
46. При т— 1 — единственное решение л: ss I (mod 2). При m = 2—
_у I ] _^ J
179
два решения *н==±1 (mod 4). При т^З одно из чисел

нечетное, другое делится на 2^-2. Поэтому имеется четыре реше-
решения: x^±l±2m'1 (mod 2^).
47. Сравнение a1-\-m1t^a2 (modm2) имеет единственное реше-
решение t0 по модулю т2 и л: =э д^ + т^0 есть единственное решение по
модулю т1т2>
48. Доказывается методом индукции.
49. Следует из результатов задач 45, 45, 48.
50. При п > 2 решения разбиваются на пары противоположных,
произведение каждой пары сравнимо с —1. Число пар равно 1,
если решений два, или четному числу, если решений больше двух*
Ezl
51. Если 4^—1 (mod р), то 1 е= л^ез (— 1) 2 (modp), отку.
р — 1
да —— четное.
56. 3.
57. Наличие k цифр в периоде в десятичном разложении рацио-
рационального числа г, начиная с (/+1)-й цифры, обозначает, что 10* + */'—
— Wr есть целое число. При /- = -г- , (т, 10)= 1, (т, а) = 1 это рав-
равносильно \01а A0*— 1)^=0 (modm), причем & —минимальное из
возможных. Следовательно, k не зависит от а и является делителем
Ф(т).
58. 2 при /г==0 (mod 3) и —1 при п==±\ (mod3).
59. Так как 23 = 1 (mod 7), ответ следует искать по модулю 21;
п е== 11, 15, 16 (mod 21).
60. п^ра— (р— \Jа (modp (р—Щ а = 0, 1, ..., р —2.
61. Если существует такое с, чтос2=2 (mod p), то п^ра±(р— \)са
(mod р(р— 1)), а = 0, 1, ..., р —2; если же такого с не существует,
то п = ра±(р— 1) 2 2 (mod р(р— 1)), я = 0, 2, 4, ..., р — 3.
62. 22*she4 (mod 6), так что 22 *^2 (mod 7) и ип=2 (mod7) при
68. Если (пъ я2)= 1, то g(ni^2)= 2 2 f(did2)
dx \ nt d2 \ n2
Аналогично, для ft (n).
70. Следует из формулы обращения и формулы d) предыдущей
задачи.
/2= 1 / к ' п
82- (
180

84. 1. 85.
6 4
=~2- 86. —
8
=^. 87.
91. 1) кольцо вычетов по модулю 4; 2) поле предыдущей задачи;
3) 0, 1, а, а+1 при 1 + 1=0, а2 = а, а(а+1) = 0, (а + 1J = а +1;
4) 0, 1, а, а+1 при 1 + 1=0, а2 = 0, (а+1J=1, а(а+1) = а. Все
эти кольца коммутативны и ассоциативны.
92. Кольцо состоит из элементов {та}; т = 0, 1, ..., pq—\.
Элемент а можно выбрать так, что имеет место один из четырех
случаев: 1) а2 = а (кольцо изоморфно кольцу вычетов по модулю pq)\
2) а2=0 (нулевое умножение); 3) а2 = ра; 4) a2 — qa.
98. d=(m,n)\ m = dmlt n — dn±. Если тъ п± оба нечетные,
(am-\-bm, an + bn) = ad + bd, в противном случае (ат-\-Ьт,
равен 1 или 2.
• • •+
—1) 1
= — [j2+ 22+ • • • +
22
(p_1J
(raod P)- Вычеты чисел,
обратных к числам 1, 2, ..., (р—1), отличаются от них лишь по-
порядком. Поэтому -1 ^l+Y+---+p^
О
ГЛАВА II
101. 46. 102.
4. ЮЗ. * = —А; г/ = -^-.
104. х = —2; г/=-|; г = 2; ^ = -~.
105. а) 117 + 44*; Ь) —556; с) —76/.
106. В том и только в том случае, когда: 1) ни один из сомно-
сомножителей не равен нулю; 2) сомножители имеют вид (а-\-Ы) и X F + at),
где А,—вещественное число.
107. а)
Ь)
108. а) *=1 + *, у = «; Ь) д: =
—3 — 9г, 2=1 — 7f.
/ = 2 — /; с) jc = 3—11/,
181

109. a) ~*~{2li; b) 1.
110. a) a2 + 62 + c2 — {ab-\-bc-\-ac)\ b) as-\-bs; c)
; (a2b + a*c + b2a + 62c + c2a + ca6) + 12abc.
112. a) ±(l + i); b) ±B-2f); c) ±B-0; d) ±A + 40;
e) ±E+60; 0 ±A-30; g)
h) .±(l/4--i-)/±.);i)
113. a)xi = 3 —t; дгя = —1+2/; Ъ) x1 = 2 + i; x2=\—3i; с) xt=\—i
114. a) 1±2*; —4±2t; (л:2-2jc + 5) (^2 + 8л; + 20); b) 2±t/2;
115. a) ^=±^±y; b) ±4± *.
119. a) cosO + /sinO; b) cos n + i sin я; с) cos -^- + j sin ~;
d) Cos3^+/sin3^; e) ^2 (cos « +f sin |) ;
f) /2(cos^ + tsin^); g) /^
h)
120. (V2+V 6)^cos-^+tsin^).
121. 2 cos |-(cos-|+* sin-2.
122. a) КТ0(со5 18°26'6/r + isin 18°26'6");
b) VW (cos 345°5748'/ + i sin 345°57/48//);
c) / (cos 153°26'6" + /sin 153°26r6").
123. a) Окружность радиуса 1 с центром в начале координат.
Ь) Луч, выходящий из начала координат под углом -^- к поло-
положительному направлению вещественной оси.
182

124. а) Внутренность круга радиуса 2 с центром в начале коор-
координат.
b) Внутренность и контур круга радиуса I с центром в точке @, 1).
c) Внутренность круга радиуса 1 с центром в точке A, 1).
126. Планета вращается по круговой орбите радиуса R. Спутник
вращается вокруг планеты по круговой орбите радиуса р, совершая
п оборотов, пока планета делает один оборот.
127. Если г2 = а2-\-Ь2, т. е. если окружность проходит через на-
начало координат, то 2-1 = а + ш проходит прямую 2а« — 26^=1. Эта
прямая перпендикулярна вектору, исходящему из начала координат
в центр и отстоит от начала на расстоянии -^-. Если же г*фа2-\-Ъ2%
то 2~J описывает окружность с центром в точке
^—~—
и с ра-
диусом у
128.
Рис. 5.
Образы точек 1 — / и — 1 + i сливаются и дают самопересечение*
129. г = ^ f коническое сечение с фокусом в начале
а
координат, с эксцентриситетом — и параметром 1 J ,
130. Для разрешимости необходимо и достаточно, чтобы выпол-
Ь2—а2
нялось а > 0 или а = 0, 6 = 0. В первом случае г=—— Ы, во
втором г > 0.
183

131.
а:
Рис. 6.
132. /ТЗ— Ь
133. Тождество выражает известную теорему геометрии: сумма
квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его
сторон.
134. Положив z = t2, z' = t'2, У~гг' = М\ сведем задачу к пре-
предыдущей.
136.
b)
137. а) 212A + 0; Ь) 29A—
141. 1 + cos a-\-i sina =
]
\ с) B—]/~3I2; d) —64.
= 2cos2y+2t sin-j-cosy=2cosy f cos у+г sin — J ;
A + cos a + i sin a)" = 2" cos" у f
-^- + t sin —
142. cos -o- + « sin-5- .
о о
143. a) —ft
-Va+i
+
c) 1 + ft 1 —ft —
d) 1; -1; -1+*
2
— 1 —ft
2 ' 2~1~t~2~~'
1 / .
184

e)
2
144. a) ^I5(cos8o3ri8'' + tsin8°5ri8'')eb
где e* = cos 120°/fe + /sin 120°^, k = 0, 1, 2;
b) ?/T6(cos ИЗ^Г^ + ^т
где ek = cos 120° 6 +i sin 120° k, k = 0, 1, 2;
c) ^/13 (cos llo15'29" + isinllo15'29")e*,
где e^ = cos7206 + /sin72°6, /j = 0, 1, 2, 3, 4.
1ле . 1 / 246+19 , . . 246+19
145- a) 127=^ (cos 72 « + /sin 72 я
где /5 = 0, 1, 2, 3, 4, 5;
1 / 24^ + 5 , . . 24^ + 5
} yi (cos-^6 *+isin
где Л = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7;
1 / 24^+17 , . . 2Ak+\7
C) W C0SЯИ5Ш
где Л = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
146. a) cos6*—10 cos3 л; sin2 л:+ 5 cos л: sin4*;
b) cos8 x— 28 cos6 x sin2 x+70 cos4 x sin4 a; —28 cos2 x sin6 A;+sin8*;
c) 6 cos6 x sin x—20 cos3 л;sin3# + 6 cos x sin5*;
d) 7 cos6 x sin *— 35 cos4* sin3* +21 cos2* sin5*—sin7*.
2Ctg9-10tg39 + 3tg59)L
iq ' l-15tg2q>+15tg4(p-tg6(p #
148. cos nx — cos" x — C%cosn~2x sin2 * + C^cos/2-4* sin4*— ...
sin n* = Cicos"-1* sin x — C\ cos"-3* sin3 *+ ...
3 sin * —sin 3* t M cos 4* —4 cos 2*-[-3
14У. а) -г ; d) ;
ч cos 5*+ 5 cos 3*+ 10 cos *
c) re ;
.. cos 6л:+ 6 cos Ax+ 15cos2x+ 10
d) ш ;
e) ttto (sin 8* + 2sin6* —2 sin 4*—6 sin 2*).
Izo
152.
/21
185

153. а) 22 cos-^i; b) 2TsiniHI.
4 4
ои sin
154. r-sin 158
3 2 2slnT
159. 5= 1+асоэф + а2соз 2ф+
Составим 71 = аз1Пф +
... + ak (cos kcp + i sin
Положив а=^со$Ф + ^ sln(pt имеем
__
_ o a^+2cos k(p — ak + 1cos (k-\-1) ф — a cos Ф+ 1
Отсюда S== а2 ~
16°- 5-4cos* '
163. a) 2" cos" ~ cos ^i^ jc; b) 2» cos" ~ sin 2±
«64. --
166. а)
2 4 sin 2л; *
(n-f 1) cos /г^ —я cos (n+ 1) ^— 1 a
4sin2~
(n+\) smnx—ns'm (n Jr\) x
,
sin- -j
167. a) —3, ^ , b) — d,
c)-7, -1±//1; d)-l, ~5±25t^3 ; e) 2, -1 ±
h) — 2t, г, /; i) — 1 — i, — 1 — i, 2 + 2t;
j) -(a + b), ?+*±Ц1(а-6); к) -
186

168. Если оба кубических радикала а и р в формуле Кардана
имеют рациональные значения, то корни равны 2а, — а ± Ы У~3 при
а= ' ' t Ь = —jj-2- . Обратно, если корни равны 2а, —а±Ь{Уз,
то уравнение есть х3 — 3 (а2 — Ь2) х — 2а (а2 + 362) = 0 и все корни
в формуле Кардана извлекаются.
169. а) 2,1149, -0,2541, -1,8608; Ь) 1,5981, 0,5115, -2,1007,
=-_27 ((сс3+Р3J— 4ос3Р3) = — 27а2 — Ар3.
172. Левая часть представится в виде
Положив сф = а, получим # = а + Р, где
а = л/ ь -
173. а) ± У~2, 1 ± iV; Ъ) - 1 ± /"б, ± i У~3; с) ±
¦ Л\ ' ± У 5 3 ±]/ 5 • е^ ' х f •" 1 + г
i) ± i, -1 ± t/; j)-2 ± 2]/, -1 dz i; k) 1,3, 1 ± /~2; 0 1,
. 1+ У~Ъ ±V 22-\-2
•— 1, 1 ± 2i; m) 3
ч \+У5±УзО-бУ5 1- T/" 5 ±1/30 + 61/" 5
n)
4
174.
тт +— л: + ~~тЛ:—/г ;
откуда *i*2 = -j+n Х +
1 VW
175. а) ± 1; Ь) 1, -у ± ^-^-; с) ± 1, ± г,
d) ± 1, ±~± /-^; е) ± 1, ±/, ±^A ±0;
о ±i ±* ±1±^ ±i^±i-
i;zci, ict, 3i2::I:t 2 ' 9 2'
УТ _, yT-
4
176. а) -1; Ь) -у± С-^-; с) ± ft d) I ± /
187

е) ±f(\ ±Ц\ f) ± l
^ i ^ ' ± 4 ± 4 '
177. Если е— первообразный корень степени п из 1, то и ё,
сопряженное с е,-—тоже первообразный корень степени п из 1. При
этом е Ф ± 1, так как п > 2.
2&я 2?я
178. а) Обозначая ek = cos-rrr-{-i sin -r^- , получаем:
показателю 1 принадлежит е0;
показателю 2 принадлежит е8;
показателю 4 принадлежат е4, е12;
показателю 8 принадлежат е2, еб, е10, е14;
первообразные корни 16-й степени еь е3, еб, е7, е9, 8ц, е13, 8i5.
1 ч ^ 2^я . . . 2&я
Ь) Обозначая ey^cos-^Tj—j-isin-^r-, получаем:
показателю 1 принадлежит е0;
показателю 2 принадлежит е10;
показателю 4 принадлежат е5, е15;
показателю 5 принадлежат е4, 88, 8i2, 816;
показателю 10 принадлежат е2, еб, е14, 8i8;
первообразные корни 20-й степени еь 83, е7, 89, 8ц, е13, е17, е19.
ч ы 2fat . . . 2^я
c) Обозначая e^ = cos-27—risln"oT"» получаем:
показателю 1 принадлежит е0;
показателю 2 принадлежит е12;
показателю 3 принадлежат е8, е16;
показателю 4 принадлежат е6, е18;
показателю 6 принадлежат е4, е20;
показателю 8 принадлежат е3, е9, 8i5, e2i*,
показателю 12 принадлежат s2, 810, 814, е22;
первообразные корни 24-й степени ei, e5, е7, 8ц, 8i3, e17, е19, е23.
179. а) Х1(х) = х— 1; Ь) Х2 (х) = х+ 1; с) Х3 (х)=
d) X4(x) = x2+1; е) Х5(
f) X9(x) = x*-x+\\ g)
h) Xs(x)
k) Хп(л:) = а:1О + л;9 + л;8 + д:7
1) X12(x) = x*-x*+U m)
n) Х105(х)
188

180. Хр
181. x м
182. 0, если п > 1. 183. —
184. ? 4
-г—
1 — 8
. 185. а) -4' b) ~4
, если ъ Ф \\
—, если е=1.
• 186' а) ^ Ь) °' с) ~Ь
187. Разделим обе части уравнения xG-\-xb-\-x4:-{-x9-\-x2-\-x-{-l=0
на х2. После очевидного преобразования получим
Уравнению гэ + г2 — 2z— 1=0 удовлетворяет z = 2 cos -у. Отсюда
t = 2 sin jr=— 2 cos -^- удовлетворяет уравнению ts — t2 — 2t-\-1=0.
~ 1 *, i ^ i
/2—1/2—1
пП
b0s=0
1 /2-1 /2-1 r / \ П 1 Л~1 Л-1
4 fe = 0s=0 L Vbft ' J * k=0s=0
ii
n
s=0
z-6
/z1
=11 [^-(e*-l)»].
189. Если z удовлетворяет данному уравнению, то
Множество всех точек, расстояния от которых
до двух данных точек находятся в данном отношении, есть окруж-
окружность (в частном случае — прямая при |Х| = ||и|).
190. а)Имеем^±1 еь где 8* = cos —+isin —, k=l
х— i m m
2, ..., /72—1. Отсюда х = ——-г . Преобразование последнего выра-
жения дает xk = i ctg— , k= 1, 2, . .., т— 1;
b)
c)
= ctg-^, *=1, 2, ...,/n-l;
^ft =
где eft =
2, ..., «— 1,
189

1 I /у
> Тогда .,"г ,
1 *"~~ 1Л
0, 1, ...fm— 1, Отсюда
Ч|-1 %-У <p + 2fe»
8 2/п
192. Следуя указанию, получим
откуда
?|п
B*+1)я-2ф
t
8in
_
193. Пусть сьв=х1, рд=1, Тогда (аР)вЬ = (ав)*.(Р*)«== 1,
194. Существуют целые и и v такие, что au-\-bv*a\t Пусть 8-—
корень степени ab из 1. Тогда E = eau + bv^Eau'ebv, Первый множи-
множитель есть корень из 1 степени 6, второй—-степени а.
195. Пусть а и Р — первообразные корни степеней а и Ъ из 1.
Пусть (арM=1. Тогда abs=* I; Pfl<F= 1, так что fcs делится на я, as
делится на Ь. Следовательно, s делится на а, на 6 и на ab, т. е. ар
есть первообразный корень степени ab из 1. Если, скажем, а при-
принадлежит показателю а± < а, р — показателю b^^b, то ар принад-
принадлежит показателю афг < ab и не может быть первообразным.
196. Непосредственно следует из задачи 195.
198. Пусть e^^cos—^—|—t sin —-^—первообразный корень сте-
степени nd из 1, т. е. k и п взаимно просты. Разделим
k на л, получим k^nq + r, где 0 < г < п, Отсюда
?? = cos -j И sln 2 * т' е* 8Л~-°ДНО из значений
2т . . . 2гп
корня степени d из т]г = cos 1—tsin—; r\r—-первообразный ко-
корень степени п из 1, так как всякий общий делитель run есть
общий делитель k и п.
_ 2гя . . . 2пт _, „
Пусть теперь r)r = cos \~t sin первообразный корень
степени п из 1, т. е. г и п взаимно просты.
о . 2гп о . 2гя
2^яЧ 2qn -\ о / . ч
Составим e^ = cos -т 1—t sin ^ = cos -——к—:и--\-
[^ где ? = 0, 1, 2, ..., d— 1, и покажем, что е^~
190

первообразный корень степени nd из 1. Действительно, если бы
r-\-nq и nd делились оба на некоторое простое р, то на р делились
бы п и г, а это невозможно.
00
200. jp-Tj jr^S а(п)х?г> гДе а (я) —число представ-
представлений числа я в виде pu-\-qv, ы^эО, t/^О. Поэтому
со
. — =14-> (а (п) — а (я—\))хп. Полином Хоп полу-
чается из этого ряда умножением на \—хрA и степень его равна
(р—1) (?— 1). Следовательно, Xpq=l + 2 (a(n)—a(n—\))xn.
/2=1
Далее, при n < pq а(я) = 0 или 1, ибо равенство n = pu-\-qv воз-
возможно только в том случае, если и и v равны наименьшим неотри-
неотрицательным решениям сравнений puz=n (mod?) и qv^n (modp).
201. Из результатов предшествующих четырех задач следует,
что коэффициенты Хп(х) равны 0, 1, —1, если п делится на одно
или два простых нечетных числа. Наименьшее число, имеющее три
простых нечетных делителя, есть 105 = 3-5-7.
202. Корнями Хп (хр) являются все первообразные корни сте-
степени пр и первообразные корни степени п.
203. Сумма первообразных корней мультипликативна, равна 0
для n — pky k ^ 2, и равна —1 для п = р.
204. хп— 1 = JJ Xd {x). Остается применить мультипликативный
d | п
аналог формулы обращения (задача 67)>
205. Если п = ра, где р —простое, то ХпA)—р. Если п =
= р"х ... р%, то Хп{\) =Хп, A), где n'=p1.i.pk. Если п =
2, то Хп(\)= ? v ; = 1. Здесь n' = p2..iPk.
206. 1) Пусть д— нечетное, большее единицы. Тогда (задача 197)
а.
2) Пусть л = 2*. тогда ДГВ= ^"" L =x2 +1 и Х„ (—1) равно
0, если &=1, и равно 2, если ^ > 1*
3) Пусть n = 2nlf где % —нечетное, большее единицы. Тогда
(задача 197) Хп (—1) = Хт A) и, следовательно, Х„ (—1) или равно р,
если пх — ра (р —простое), или равно 1, если пх Ф ра,
191

4) Пусть я = 2*яь где k > 1, a n1 = pj1p^2 ... pf* (ръ p2f ...
..., ps — различные нечетные простые числа). В этом случае (задача
199) Хп (x)~X2piPi _Ps (/), где l = 2k- 1p^'1... /Л. Отсюда
следует, что Хп (—1) = Х„A)=1.
п— 1 у + п— 1 /г— 1
207. S— ^ 8х2 = 2 е-^2 = 2е(^+5J при любом целом г/
х=0 х=у s=0
/г-1 /г-1 /г-1 / /г-1 \
/г-1 /г-1 /г-1/ /г-1 \ /г-1 /г-1
y=0s=0 s=o\ f/=0 / s=l y = 0
при /г нечетном;
при п четном i так как Уе?^ = 0 при 2s, не делящемся на п ) .
\ ^=о /
_
, и|5|= У ^Ll + (-~lJJ,
Итак, 15 |= ^"л, если л —нечетное
если п — четное.
i n i / 2а а2 + 62\«/2 «
208. Г/1 = | Ил I = ( 1-| 1 k—) —*e<z> av&un~n<Pni ГДб
„= >0. Считая фп—>0, получим пцп = —• —~ > Ь.
nrn rn sin (рп
Итак, lim u% = ea (cosb + isinb).
209. (cos ф1+/ sin фх) (cos <pa+i' sin ф2) = cos (Ф1+Ф2) +i sin (Ф1+Ф2)
превращается в et4>1 - еЩ2 = el ^1~^ч>!\ т. е. в правило сложения по-
показателей при умножении степеней с одинаковым основанием. Ана-
Аналогично, формула Муавра превращается в (et(i))n — et(pn*
210. а) —1; b) — i.
211. а) ш' + 2*ш; b) -^-^
212. tarccos*
213. 1ёф = ^^=-4^Т?^' ПуСТЬ tg(P = ^ Тогда
созф t e^-\-e 1*
l + ix 1
215. В формуле а = а + 6/ коэффициенты а и 6 независимо при-
принимают по р значений.
192

216. В поле GF (р) отличных от нуля квадратов имеется ^~—,
именно, (±1J, (±2J, ..., ( ± ?—?—J . Остальные -^— элемен-
элементов—не квадраты. Если т—один из них, то все остальные суть тс2,
=1, 2,
/7-1
. Пусть j2 = m и /*! = /71! = тс2. Тогда отображе-
отображение a-\-b\i—>a-\-bcj будет, очевидно, изоморфизмом.
217. Неквадратами в R являются все отрицательные числа и они
отличаются от —1 положительным множителем, т. е. квадратом в R.
218. Любые два числа, частные которых не являются квадратами
рациональных чисел, порождают неизоморфные квадратичные рас-
расширения.
D,
ГЛАВА III
4,0, 1); Ь) @,0,0,0); с)
Ь)
-3 9 —3>
16 1 6;
'—9
0
0
.0
2
15
0
0
0
13V
°\
0);
о/
62 + 2ос
\
f 1
—5
Ч 12
9
5
26
15
9
32
\ g) (af—be+cd)E.
a+b+c J
15 20 \ /3 — 2\
У (
8
20 35
{ COS, ПЦ) —
cos «фу
— sin ф совф/ '
cos nq> sin яф\
COS /1ф/
Предел первого множителя равен 1,
lim шр = а lim
IX —> со ф —> 0
JL-,
193

Поэтому
/ f a\n
cos a sina\
— sin a cos a/
223. a) (^ ^]; b) ( ^ ) ; c) A 2 3 ); d) 13.
чЗ 6 9/
224. f18 2Г
226. Строки ЛВ суть строки Л, умноженные справа на матрицу В.
Строки матрицы АВ суть линейные комбинации строк В с коэффи-
коэффициентами, составляющими соответствующие строки матрицы Л.
Столбцы ЛВ суть столбцы В, умноженные слева на матрицу Л.
Столбцы ЛВ суть линейные комбинации столбцов Л с коэффициен-
коэффициентами, составляющими соответствующие столбцы В.
227. При умножении слева переставятся местами строки с номе-
номерами i и /. При умножении справа —переставятся столбцы.
228. При умножении слева к i-й строке добавится /-я, умножен-
умноженная на а. При умножении справа к /-му столбцу добавится t-й,
умноженный на а.
229. Да, нужно умножить слева на
V 0 ...
231. а) 5; Ь) 5; с) 1; d) об —с2 —d2; e)
f)sin(a-P); g)cos(a + P); h) -4-; 1) 0; j) 0; k) (b-c) (d-a);
LOS Сл
1) 4ab; m) —1; n) e.
232. a) 1; b) 2; c) 2a2 (a-lrx)\ d) 1; e) —2; f) —3/]Лз.
233. Да, E, 3) = БC, 7).
234. Если m—составное число, то не обязательно, например,
12 2
== 0 (mod 4). Если хотя бы один элемент взаимно прост с т,
то да.
235. Число транспозиций нечетное. 236. а) 10; Ь) 18; с) 36.
237. a) f = 8; /г = 3; Ь) *' = 3; Л = 6. 238. С*. 239. С„—/.
240. a) ifi^zii; b)
242. Транспозиция соседних элементов меняет число инверсий
на одну единицу и, если инверсии есть, можно уменьшить их число
на одну единицу.
Г1234 5\ |х /1 2 3 4 5 6
243-а> U S з в TJ• ь> U 5 2 Г S 6г !)•
194

244. а) A5) B4) C); b) A325674); с) A23456).
245. (PiPa.-Pn).
246. При п = 4т: A, 5, ..., 4m — 3, 4m, 4m —4, ..., 4).
.C, 7, ..., 4m—1, 4m —2, 4m—6, ..., 2), при л==4т + 2: A, 5, ...,
4/Я+1, 4m, 4m — 4, ..., 4).C, 7, ...,4m—1, 4m + 2, 4m—2, ..., 2).
248. а) со знаком +; b) со знаком +.
249. а) не входит; b) входит. 250. i = 1; k = 4.
ал Ьг сг
251.
a2 b2 c2
a3 b3 cs
252. —
«si #32 a35
«52 «55
253. Со знаком +. 254. Со знаком (—1) п,
255. Каждое слагаемое определителя содержит три сомножителя
из последних трех строк и хотя бы один из них равен 0.
П (П-1)
256. а) п\\ Ь) (—1) 2 ; с) п\.
257. При транспонировании определитель не изменится и пре-
превратится в сопряженное комплексное число.
258. От замены строк столбцами определитель: 1) не изменится;
2) умножится на —1.
259. (—1)«-1Д.
260. Суммы алгебраических дополнений всех строк, кроме одной,
равны нулю.
п {п-1)
261. Умножится на (—1) 2 . 262. Нет,
п (п-1)
263. Умножится на (—1)
264. Л/у- = 0 при i < /, Л/
«/+1, /
«У+2, /
при t > /.
266. а) За—
«у, /41 «/, /+2 ••
i
0 0 ... 1 a/-it/
; b) 4/— х—у — г; с) 2а—6 — с —d.
195

268. (mq-np) 1**1. Ш. 8) 128; b)
i I
271.5. 273. —1487 600. 274. —29 400 000. 275.48.
276. 1. 277. 160. 278. 12. 279. 900.
280. 394. 281. 665. 282. a2 + b2 + c2 — 2 (bc + ca \-ab).
283. (*!-*,) F3-^4) Фь-h) (b7b10-bsb9).
284. —2(jc3 + ^3). 285. x2z2. 286. (af — be + cdJ.
287. (a + 6 + c+d) (a + 6 — c—cf) (a — 6+c — d) (a — b —
288. (jc+ 1)(a:2 —лг-f- IJ. 289. л:2(а:2— IL. 290. 4sin4q>.
291. 2x*y(x —y)*.
292. «!. 293. \a2 — b2)n. 294. M2 >.. bn. 295. — 2(n — 2)!
m. M^?^Lhii. 297. (_,
298. JClSrn П (х1+1У1-х,у;+1). 299. 22II.1 [2a+(«- 1) A].
(=1
300.
302. *" + (— l)»-1^. 303. 1.
304. 1-Ь1 + Ь1Ьг-Ь1Ь2Ь3+ ...+(-!)" bxb3 ...bn.
305. a(a + b)(a+2b) ... [a+(n + \)b]. 306. a". 307. ^^
308. n+1. 309. /г^-Ня— l)ae+...+2а„_1 + ая.
3io. "п(«+0е. зп. ^_cU^-2+cL2jc«-^...
sin U
n
313. (—1) 2 [ao-aj+a2—...+(—l)«an]. 314. 1.315. 1.316. 1.
rn+l rn+l rti+l m(m + l)
зп Ст+??*?:У' m
320. (—1)я-1.(д_1), 321. [x-\-(n—l)a] (x — a)»-1.
322. (A: + a! + a2+ ... +а„) (х —ах) (л:-а2).. .(* —an).
324. .(a,-
325. (^-a!) (^2-a2) ... (xn-an)
327. Д1==2аь Л2 = —(at —a2J; Дл = 0 при
196

328. Пусть А/—определитель матрицы, полученной из А по-
посредством замены /-го столбца на /-й столбец матрицы СБ. Тогда
п
det {А + СВ) = det А + 2 А/ = det л + 2 ^'/^/ ^ det Л + В^С
;= 1 *. /
329. 1+с1Ь1 + с2Ьг+...+спЬп.
330. rfr det Лг равно определителю матрицы, которая получится
из Л, если ее столбцы с номерами, составляющими множество Г,
заменить на соответствующие столбцы матрицы D.
331. det (А+хЕ) = хп -J- s,xn~1+ ... +snt где s^= У\ detAr\
|Г|=Л
/г
в частности, s,, = de^, «1^=5рЛ = 2 aii-
332. 2
333. 1+2 (*/ + */)+ 2 («I —«Л)(*А —^/) =
t = l t > /г
334. Jl(Xi-aib "
335. л:л-1ТТ(х-
337. g . 338. —
339. xf^-yf(*\ Где /W= П (ак-х).
х У k-\
340. (—\)n~1(b1a2a3 ... а^ + ^Мз ••• <*п+--•+Ь1Ь%.ш.Ъп-1ап)л
/г
342. Л(л + Л)«. 343. ЦA—а*ЛрЛ). 344. (l-^)«-i.
346. - (+++)
197

347. (-1)» (xi+ ... +х„
348. (_i)n-ixn-2, 349, (_1)п[(Ж_1)п_жп].
350. aoxn(a! —6x) .,. (а„ — &„). 351. 11 2! ... rat.
352.
где /(*) = (x — <ц) ... (* — а„).
353. П (*,-**). 354. П (**-**)•
t > /г i > fe
355- II 2! ..Ict-Oill (*¦-**)•
п
357. П
П Фк<Ч-"кЬ(). 358. Пт^Ч П (*/-**)¦
/г > t i= 1 ^/~ х t > /г
359. Д (а/—ал)(а/ал—1).
Д
</?
(/г— 2) (Ai~l)
360. 2 2 И (совф,—совфл).
п (п +1)
361. 2 2 sina0 sin ах ... sin ап Ц (cos а/ —cos а^).
i < /г
362. [^...Хя —(Д?!—1) ... (*„— 1)] П (Х(—Хк).
i>k
363. (Xi+ш..+Хп) Д (л:/—^л).
i >к
364. /„«.у Д (л:/—аг^), где fm обозначает сумму всевозможных
i > k
произведений чисел хъ х2, ..., хП1 взятых по т.
365. [2жх ... «„ — (jcx— 1).. .(хЛ— 1)] П**'-**)-
i > к
п (п-1)
366. 1! 2! 3! ... (п—1)\х 2 (у — х)п. 367. (y—x)k (я-Л).
Mfc-i)
368. 11 2! 3! ... (Л—1)!^ 2 (У1—л)Л(у2--*)Л...
,..(«/Л_й-л:)Л Д (У1-У/).
n-k >i > I > 1
369. (х — п)п + 1.
370. (а;2 — I2) (х2 — З2) ... [а:2 — Bт — IJ], если л = 2т;
^(л:2—22)(л:2 — 42) ... (л:2 —4т2), если я = 2т+1.
371.
Д (а,-аЛ). Д F,-^).-
где /(*) =
198

372 П!2! ... (/i-l)l]
* п\ (я+1)! ... Bл— 1)!'
373. —i-i— д "'— . L-~^, где А — определитель
ВандермонДа.
374. а) 24; Ь) 18;
с) (a + b + c + d) (a ±b—c—d) (a — b + c—d) (a — b—c+d)*
375. а) 256; b) 78 400; с) (a2 + 62 + c2 + d2L. 376. D TT {Xi—xk)<
ik
377.
п (я~1)
378. Ц (az-a^tP/-РЛ). 379. (-1) 2 [(я-1I]*.
*> k
380. П>-Х/)-Ц (*/-хЛJ,
i= 1 1 > /г
381. Обозначим искомый определитель через А. Возведение
п
в квадрат дает, что | А | = л2 * С другой стороны,
А= JJ (8*-^).
/г- 1 > к > s > 0
Полагаем e1 = cos—f-/sin— . Тогда e = 8i и
f
/г- 1 > Л > s > 0
/г (/i-l)
- И ei+s • «'"^~ П
Далее, sin^ >0 при всех /г, s. Следовательно,
п
ТТ 2 sin*
= П 2 sin (-tzfU! , Поэтому,
П
п ft(n-l) /г (Ai-lK /г /г(/г-1) ji_ (n-l) (я+2)
«=n2t 2 в1 2 ==n2i 2 " =п2Г а
я- 1
382. JJ (a0 + «хе^ + a2e2k + .. * + <*п - i^) >
/г = 0
2kn . . . 2kn
где 6^ = cos f-t sin .
384. 2n~1, если п — нечетное; 0, если п — четное.
199

385. (—2)п-1(п — 2р), если (л, р)=1; 0, если (л, р) Ф 1.
386. 2"-2sin«-2-^-
л-1
388. JJ
гДев. = соз^+')Я+^1п^+1^,
я
389. Ша1 + ааР<-
Н1
где рь р2, »»*, Рп—корни п-й степени из |л.
396. {detA)m(detB)n.
397. Для п=1 теорема тривиальна. Допустим, что теорема до-
доказана для матриц, «порядка» п— 1 и в этом предположении докажем
ее для матриц «порядка» п.
Сначала рассмотрим случай, когда Ли есть неособенная матрица:
Умножим матрицу С справа на матрицу D, где
fE —
Тогда С =CD будет иметь вид
и О ...О
С'=[ A2i А22 ... Л|
\Ап1 Afn2 ... And
где A'ik = Aik—AnAuAlk.
Все матрицы, находящиеся в клетках матриц С, D и С, комму-
коммутируют друг с другом. Легко убедиться в том, что при выполнении
этого условия теорема об определителе произведения двух матриц
верна также и для формальных определителей.
Матрица D имеет формальный определитель ?, настоящий опре-
определитель D равен 1.
Следовательно, detC= detC = det Ац. det
а для формального определителя В будем иметь В = Ац*В',
200

где В' есть формальный определитель матрицы
В силу индукционного предположения
det Я'= det
и, следовательно, det В = det Ац . det Br = det С, что и требовалось
доказать.
Для того чтобы избавиться от ограничения det А1г Ф 0, моэкно
поступить следующим образом. Введем в рассмотрение матрицу
С(Л)=( Лп
и обозначим через В (к) ее формальный определитель.
Ввиду того что det (Ап + кЕт) = кт + .,. ф 0, det С (к) = det В (к).
Оба эти определителя являются полиномами от к. Сравнивая их сво-
свободные члены, получим det С— det В. Этим завершается доказа-
доказательство.
398. det (Л р\ = (det A +det В) (det С + det D) -det 6/, где
ГЛАВА IV
400. а) #1 = 3, *а = х8=1; Ь) ^=1, а:2 = 2, аг3 = —2; с) ^ = 2,
*2 = — 2, х8 = 3; d) л:1==3, лг2 = 4, л:8 = 5; е) jc! = a:2 = -~ I, a:3 = 0,
лг4 = 1; f) *!=1, л:2 = 2, х3 = — 1, л:4 = —2; g) ^ = — 2, ^2 = 2,
^з = —3, х4 = 3; h) лг!= 1, лг2 = 2, х3= 1, х^ = — 1; i) ^i = 2, дс2 = х3==
= л:4 = 0; j) Xt = л:2 = х3 — х± = 0; k) #i = 1, л:2 = — 1, х3 = 1, л;4 = — 1,
хв=1; О ^i = 2, д:2 = 0, х3 = —2, л;4 = —2, лгб=1.
401. Хг=~1+\.
402. Xi =
403. лг1= 1, дс2 = 4, ^з-=у •
406' Xi=s(t — al)f'(ai)9 ГД6 /W^^-^H^-aa) ... (х-ап).
201

24 13\
—34 —18/ *
413.
414. Элементарные преобразования над строками эквивалентны
умножению слева на некоторые матрицы. Из ВА = Е следует Л-*»
= ?==??.
п п— 1 п — 2 .,.
/г—1 л— 1 п — 2 ... 1
415. I /г —2 п — 2 п — 2 ... 1
1 1 1 ...
l./i L(n-l) b(n-2) ... Ы>
l.(n-l) 2.(w—1) 2-(n-2) ... 2-1
416. —Ц-l b(n —2) 2-(n-2) 3.(n —2) ... 3-1
n+1 \
Ы 2-1 3-1 ... n.\A
1 1 *.. 1
417. i-
il 1 е-2
е-1 е-2
8-2«+2 >#> е-<«-1J
202

418.
419.
1-я2
' 1 —а
—а 1+а2
О -а
О
— а
1 + а2
у/
sin jc sin (я + 1) л;
/sin л: sin/гл:
1+а2
—а
sin д: sin (я — 1) л:
vJ sin л: sin (/г —1) л: sin 2л: sin (п — 1)
х
sin2* \
sin 2л: sin x \
/f I \ '
426.
у
0 1
427. @011
428.
0 0 0 0
-ban~2 —b (a — b) a"-8
0 a
"-1
—6a"-2
430.
203

1
(я— })С —аС
с>-?+(^Го"~ («~-С.)с)'ГАеС=
П 1 ... Р
1 1 ...
Л 1 ... 1,
433. Еп —
где d = a — b-ic1 — b2c2 — ... — 6„сл.
-fl/J—(n—1) (s2—a?),
/г 0 ... О —1
О О ... О О
О О ... О
— 1 О ... О
0
n
aln
det A
441. В первом случае может увеличиться не более чем на одну
единицу, во втором —не белее чем на 2.
442. а) 2, Ь) 2, с) 3, d) 3, е) 4, f) 3, g) 3, h) 6, i) 5.
у у у у П. U\ у
— 13*4
443. а
„\ „ у у f\ у ^_ у . Л\ у
е) Xi = g , *2 =
f\,-lr-r ,-!¦
/ X — "л "^6 *^3' *^2 — /¦* •
x2--
'•——;
17
-4*4 + 5*б
8
• _ ^б
17
_ 4*4 — 5*5
3~ 8 ;
204

444. a) x9 — 2x2 — xlt лг4=1; b) система решений не имеет;
с) *i=l, #2 = 2, х3=\; d) система решений не имеет; е) ^=—8,
g) система решений не имеет; h) л:1 = — ~-, лг2==— 1—$-,*з = 0,
#4 = — 1 «р ; i) система решений не имеет; j) хх = fi 4 ,
Л2 —
6 ' лз~ 6^
-а2
_
446. 31 = 5.
447. а) Еслк (к- 1)(Х + 2) Ф 0, то * = - -Ш- , У =
г— \Т"о • ЕслиХ=1, тох=1— у — г. Если X — —2, система
решений не имеет.
Ъ) Если 6(а—1) ^ 0, то л: = -
Еслиа=1, 6 = -^-, то х = 2—г, у = 2. Во всех остальных случаях
система решений не имеет.
c) Если 6 (а—1)(а + 2) Ф О, то jc = z= -. гт— 9 ,
У- б(а-1)(а + 2)- ЕСЛИ а^-2' 6 = -2» Т0 * = г = -1-2У.
Если а=1, 6=1, то дс = 1 — у—г. Во всех остальных случаях си-
система решений не имеет.
^2 _!_ 4^, 15
d) Если к Ф 0, к Ф 1, то д: = —^-р ,
-. ЕслиХ=1,тол: = 2 — г,у= —
система решений не имеет.
е) Если X Ф 0, то х= 1— X, у = Х, г = 0. Если А, = 0, тол:=1,
z = 0t у любое.
О Если а^О, 6^±1, то ж =
2^ 2
г = . . Если 6=1, то г = 0, у=\— ах. Если а = 0, 6 = 5, то
у=—^-, г = -^-, jc любое. В остальных случаях система решений
о о
не имеет.
205

448. Пусть
{xl, ..., 4)т, Y = (yl .... у*т)Т, B = (blt .... Ьт)Т,
fill ... <
1 ••• Я/ил
Тогда АХ = В, ЛТГ = С, Ьгу{ + ... +Ьту'т = B^Y = XJЛТК =
= ХтС = с1лг* + • • • -\~спхп » Независимость тривиальна.
449. а) A, —4, 3); Ь) A, —4, 3, 0), (—1, —1, 0, 1);
c) A, -6, 9, 0), B, -3, 0, 9);
d) (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (-1, 0, 0, 1).
450. Матрица, строками которой являются указанная фундамен-
фундаментальная система решений, есть (—Лт, Еп~т), где
i, m+i •.. «
\ат,т + 1 ••• а
451. В силу сказанного в указании и результата предыдущей
задачи, достаточно рассмотреть связь между минорами и их алге-
( Е А \
браическими дополнениями для матрицы \ Л Р ) • Непо-
средственное вычисление дает, что каждый минор из первых т
строк здесь равен своему алгебраическому дополнению.
453. (* *у где
454. Х = (а, 1 — а)Т.(Ь, 1 — Ь).
456. Положив A^PRQ (бм. задачу 455), придем к уравнению
= R. Одно из решений: X^Q-1RTP-X.
457. Если АХ-^А — А, то X^t=XxAXi удовлетворяет обоим урав-
уравнениям системы. Приведенное выше решение задачи 455 тоже удов-
удовлетворяет обоим уравнениям.
459. X = BjCu причем CBj^dB1'^!.
461. Если АХ = Ет, то АХА = А, ХАХ = Х. Обратно, если
(АХ) А —А и Аг — невырожденная квадратная субматрица А поряд-
порядка т, то (АХ) Ai = Ai, откуда АХ — Ет.
462. А(А-В) = АА-АХ0 = АХ0 = В.
463. Пусть ЛК0 = С, ZqB — Cj C~ — полуобратная для С. Тогда
К0С~20 — одно из решений задачи, ибо AYqC"Z0B = CC'C = C.
464. а)
Ъ)
с) Доказывается по индукции.
206

/—10 —4 —7\ /0 0 0\
465. а) ( б 14 4 ); Ь) ( 0 0 0 ).
\ —7 5 —4/ \0 0 0/
467. diag (аъ аг — а\, ..., ап~\ — an-2t —ап-
468. а) С\Е-\-с%А\ b) CiE-\-c%A\
/ * У 0\
с) ( и v 0
\3t — 3x--u t — Zy — v
469. Достаточно умножить равенство АВ — ВА справа и слева
на Л.
470. а) ( 8 0 3 ]; Ь) (° °) .
\ —2 1 —2 / VU U/
471. Проверяется непосредственным вычислением^
472. Суммы диагональных элементов матриц АВ и В А равны.
/0 1 0 ... 0\ /0 0,., 0\
О 0 1 ... 0\ /10... О
473. А=[ ........ , В = \ 0 2 ... О
475. (
\ с —а
,0 0 0 ... О/ \0 0 ... р-1 0>
476
477. Пусть А = |
1) Если Л 5^ 0, но a + d = 0, ad—be —0, то решений не суще-
существует;
2) если a-\-d Ф 0, (а—с?J-Ь46с==0, (a — d), b, с не равны нулю
одновременно, то существует два решения:
/За + d 2b
\ 2с
1 /За + Л 26 \
2 1^2(fd) V 2 + 3d/ *
3) если a-f-d Ф 0, ad — bc — Oy то существует два решения:
1 /а
чс
4) если ad— be Ф 0, (a — dJ + 46c 5^ 0, то существует четыре ре-
решения:
/12 1 ^ А
b
— a + d
"\ с ~
где К =:
207

5) если а — d — b = c = Ot то существует бесконечно много ре-
г— (х У\
шений: Х= ± у а Е a X = i ) , где д:, у, z связаны соотно-
соотношением x2-\-yz = a.
478. (? ^=fl? + ft/, где/=(J J). Тогда /2 = -?и,
следовательно, соответствие а?-f- Ы —> а+Ы есть изоморфизм.
479. Положим ( а~1'Ь!. С + С!1.) =aE + bI + cJ + dK, где / =
\с + ш a — oij
IJ — —У/=/С, У/С = —/СУ = /, /(/ = —//( = «/. Отсюда следует,
что произведение двух матриц вида а + bl + cJ + cf/C есть матрица
такого же вида. То же самое имеет место для суммы и разности,
так что рассматриваемое множество матриц есть кольцо. Далее,
a-\-bi c-\-di
det Л= . ..
— c-\-di a — bi
О,
как только Л Ф 0. Следовательно, каждая отличная от 0 матрица
имеет обратную, и из равенства ЛхЛ2 = 0 (или Л2Л! = 0) при Агф0
следует Л2 = 0. Рассматриваемое кольцо матриц реализует так на-
называемую алгебру кватернионов.
480. (-J ГГ
481. Если Л8 = ?, то | Л |3= 1 и, в силу вещественности, |Л|=1.
Положим Л=( , ) . Тогда, приравняв Л и Л2, легко получим,
что А — Е или a + d = — 1, ad — bc—\.
482. Л = ±? или А^(ас Ь\ , причем
483. Пусть Л = Р1#1С21, B — P2R2Q2 (в обозначениях задачи 455).
Ранг Л? равен рангу ^iQi/52^2=(q q) > гДе С—матрица разме-
размеров гАХгв, полученная из невырожденной матрицы QiP2 вычерки-
вычеркиванием п — гА строк и п—гв столбцов, каждое же вычеркивание
строки или столбца уменьшает ранг не более, чем на единицу.
484. Л = (&ь Ь2, Ь3)т (сь с2, с8), причем ^1^ + ^202 + ^3 = °-
485. Л=± (—? + (&ь ^2» ^з)Т (сь с2, f8))» причем
486. Для п==1 утверждение тривиально. Пусть доказано, что
1 = Bk-1Cfi-1. Полежим
и bj> С^[ 0 c
208

Тогда Bk-Iv = g, uCk-1 = h, откуда определятся и и v. Положив
?Л?=з:1, найдем ckk = akk — uv. Ясно, что ckk •? О, иначе detv4fe —
487. Пусть tffc,! — самый нижний отличный от нуля элемент пер-
первого столбца. За счет добавления /ггй строки с подходящими мно-
множителями к лежащим выше, получим нули в первом столбце, кроме
позиции /?1} 1. За счет добавления первого столбца с подходящими
множителями к лежащим правее, получим нули в krft строке. Затем
возьмем самый нижний ненулевой элемент второго столбца, и т. д.
489. Определитель равен ±1.
490. Следуя указанию, в конечное число шагов придем к матрице
(
о 4-1 ) ' затеМ} за счет левого умножения на А^ь, аннулируем
правый верхний угол. Наконец, f j =CACA~JCA, ( ) =
49L Разложение матрицы с определителем 1 в произведение
матриц С и Ak (задача 490) содержит четное число множителей С.
Но СА*С = ВЪ.
492. За счет целочисленных элементарных преобразований над
строками уменьшаем наименьший по модулю ненулевой элемент пер-
первого столбца до тех пор, пока все элементы не поделятся на наи-
наименьший по модулю. Перенесем его в первую строку, сделаем поло-
положительным и аннулируем все остальные элементы первого столбца.
Затем, не трогая первой строки, обработаем второй столбец и т. д
Наконец, за счет добавления подходящих кратных нижележащих
строк добьемся выполнения требований к элементам, лежащим выше
диагонали.
493< F" if>)= (р_ !)(„.-1)... (p-i-1) •
494. Посредством целочисленных элементарных преобразований
уменьшать наименьший по модулю ненулевой элемент до тех пор,
пока все элементы матрицы не будут делиться на наименьший по
модулю. Перевести его в левый верхний угол, сделать положитель-
положительным и аннулировать все элементы первой строки и первого столбца.
Затем повторить процесс для матрицы без первой строки и первого
столбца и т. д.
495. В результате получится тождество Эйлера:
209

496. Получается в результате применения теоремы об опре-
определителе произведения двух матриц к произведению матрицы
(ах а2 *.. ап\
\b b b J на тРанспониРованнУю-
497. Получается в результате применения теоремы об опреде-
определителе произведения к
fli а2 ... ап\
bi Ь2 ... bn)
498. Непосредственно следует из тождества задачи 496. Знак
равенства возможен только в том случае, если ранг матрицы
(аг а2 ... ап
и и и ) меньше двух, т. е. если строки (а*, а2, ..., пп) и
\о1 о2 .«. оп/
Фъ Ьъ ..., Ьп) пропорциональны.
499. Непосредственно следует из тождества задачи 497, с заме-
заменой Ь( на Ъ{. Знак равенства возможен только при пропорциональ-
пропорциональности строк (at ап) и F,, ..., Ъп).
600. Минор равен сумме произведений всех миноров m-го по-
порядка, составленных из выбранных т строк первой матрицы на
соответствующие миноры второй матрицы, составленные из выбран-
выбранных т столбцов.
501. Каждый главный минор матрицы А~^А равен сумме квад-
квадратов миноров матрицы Л, вырезанных из столбцов с номерами,
равными номерам столбцов (и строк) рассматриваемого минора.
502. Сумма главных миноров порядка к матрицы А^А (матри-
(матрицы ЛЛ"^") равна сумме квадратов всех миноров порядка k матрицы Л.
603. Сумма равна 1+ sx+*..+sn, где s& — суммы главных ми-
миноров порядка к матрицы Л "ГА. Такая сумма равна det (E-\-А~^ А)
(см. задачу 330).
V о сст
505. (detЛJ=/'2 ± ВгСгЛ2<25г 2СГ' ==det BfiT detccT
V г / г г'
(здесь Г пробегает множество m-элементных подмножеств множества
N = {1, ..., п\, Г' = #\Г, п — порядок Л, т — число строк матрицы В).
506. Однородная система ЛХ = 0 имеет n — m — k линейно неза-
независимых решений (быть может, больше). Примем их за строки
матрицы D и положим At = ( ~ J . Тогда (det ЛхJ = det AA~^ det
210

(С \ (С \ Т
J =
= det ВВТ det CCT det DDT, Следовательно, det AAT <
<det??TdetCCT.
507. Непосредственно следует из результата задачи 506, приме-
примененного к матрице Лт.
608. Если матрица A— ( ~ ] квадратная, то | det А \2<^
< det ?В* det СС*. Если Л = (с J прямоугольная, то det AA* <
/«и • •« «1» \
< det ВБ* det СС*. Если Л = ( ), то det>li4*<
609. Из 508 следует, что | det А
п
511. Граница п2 Мп достигается, например, для модуля опре-
определителя
11 ... 1
18
2л . . 2л
где е = cos И sin—
п 1 п
512. Построим матрицу порядка п — 2т следующим образом.
Прежде всего построим матрицу ( ) . Затем каждый ее элемент,
равный 1, заменяем матрицей f J , а каждый элемент, равный
) = f j . Получим матрицу
4-го порядка
'1 1 1 1\
-1 1 ~1 \
С ней поступаем таким же образом, получим матрицу 8-го порядка
и т. д.
514. 4 для п = 3; 48 для п = 5.
515. Результат тривиален, если det>4 = 0. Если же det А Ф О,
то матрица AT\ транспонированная к ассоциированной, равна
AC^-2C, где A = det>4, C = diag(l, —I, 1, „,). Поэтому
det A = Дя-i, 1=А«-1С(А-1СЛС)С = А«-2Л.
211

516. Имеем
... aln
/Ет ... О
/ am + l, 1 • •• am + l,n
517. Непосредственно следует из результата задачи 516, ибо
А//=(—1 )'+/«/* det/4.
518. Непосредственно следует из теоремы об определителе произ-
произведения двух прямоугольных матриц.
519. Непосредственно следует из теоремы об определителе про-
произведения двух прямоугольных матриц.
520. Упорядочим сочетания лексикографически, т. е. будем счи-
считать сочетание *\ < t2 < ... < im предшествующим сочетанию ]\ <
< /а < • • • < im* если первая отличная от 0 разность в ряду /х — /ь
h — j\f ..• отрицательна. Тогда каждый минор треугольной матри-
матрицы, номера столбцов которого образуют сочетание, предшествующее
сочетанию из номеров строчек, равен 0.
521. В силу результата задачи 520 имеем для треугольной
матрицы А:
det Д&»' =
П
А =
522. Пусть alt a2,
I 0 ... 0
— а2 I ... 0
ап — данные числа. Если
имеет обратную Л-1 — !
± = 1, матрица
1 о ... oN
а2 I ... 0
,-an 0 ... 1/ ча„ О ... 1,
и поэтому алгебраические дополнения элементов первой строки
А суть 1, а2, ..., ап. Общий случай легко сводится к этому.
523. Из решения задачи 522 легко построить матрицы, ассоции-
ассоциированные к которым равны сомножителям, описанным в указании.
524. Положим
«3
0
А =
212

При таком выборе алгебраические дополнения пропорциональны
Oii • • •» ап и коэффициент пропорциональности равен —z22 . •. 5гЯЛ= 1.
ai
526. Сконструировать целочисленную матрицу, алгебраические
дополнения первой строки которой равны «lt ..., ип, и принять за
ее первую строку (alt ..., ап).
528. #i2 + -тхъ2 + "? *з2 + .. • Н—J—х'п2. Переменные х[, х2у ...
*.., х'п выражаются через хъ х2, ..., хп линейно с матрицей
529.
531. Пусть /—некоторая линейная форма от переменных дгь
х2, ..., хп. Преобразуем форму / посредством преобразования с рав-
равным единице определителем, приняв форму / за последнюю из новых
переменных. Затем сделаем треугольное преобразование формы / к
каноническому виду.
Форма / примет вид
причем хп= I.
Дискриминант формы / равен
Дискриминант формы /+/2 равен а2а2 ... a«-i (ая + 1). Он
больше дискриминанта формы /, так как все коэффициенты аь
а2, ..., аи_ь ос„ положительны.
532. /(*ь *2, ..., хп) =
213

Df
Форма /i положительно определена, и ее дискриминант равен—— , где
ап
Df
Dt— дискриминант/* На основании результата задачи 531, Df ^ ,
что и требовалось доказать.
533. Доказывается так же, как закон инерции.
534. Операция (/, ф), очевидно, дистрибутивна. Поэтому доста-
достаточно провести доказательство для квадратов линейных форм.
Пусть
J» ф = (Pi*i + Рг*2 + • * • + Рл*иJ<
Тогда (/, ф) = (axPi*! + a2p2*2 + ,н+ алрп*йJ^0.
с г ч л '2 . '2 о '2 '2 2 1
535. a) 4#i -+- х% — 2х$ , Х\ = -тг #i —о~ -^2 ~г "тг -^з»
о о о
*3 ~ з * -*" з 2 + з *3'
,2 ,2 ,2 ,__ 2 J_ 2
О О О
'- — х А- — Х Л- —
3 3 3
'_ х _ 2 -1-2
Хз — "о" Х\ о #2 -р "тг" ^о»
С) О О
>г А 'г '2 '1 2 2
' 2 ,1 ,2
2 2 . 1
#3 = оГ ^1 Т" "о" V2 I "о"
/•122
d) 10^I2 + ^22 + X?, xri = —xl+—x2 — jx3,
г 2 Vb VE
Л2 ,- Л1 w Л2,
2 |/5 , 4 |/5 ,
е) - Ул:!'2*^- 2л:а2 + 2^з2, *i = у *i + у
, 2 ^5
2 /5 , 4 |А5 , У"Ъ
is" ^Н Г5~^2Н 3~~
214

f)
' 1,2 2
#2 = "q" *1 "Г 'g" *2 "g" X3*
g) 7x[2-2x?+7x'3\ x\
3
2_

/2
X3 — "o" Xl K~ X2 o~
2 2
T*2~
2 1
V2
X3t
X2 = "g" #1 + "g" ^2 + "g" X3>
2 /2
h)
2 I J . 2
"g" ^1 "T "g" X2 "T "q" -
1
2 '2
^з
V 2
2
/2
,1
IT
2— x%>
к)
-^;
215

п
т) л:12-а
536. а)
где
1 1.1 1
у xi ~~ ~2 х* + у *з —2"
1 1 1,1
у xi —2 *2 ~~  *3 ~г" "
у -^i +y*2 +у ^з +у
1,1 1 1
у *i -f- у д:2 — у *з —^
1 1,1 1
1 1 1,1
у ^1 2*^2—у^З+у
ул:! +уа:2 +ух3 +у
1,1 1 1
у -^1 . у ^2 —2"^з —2"
1 1,1 1
у ^1 2* -^2 ~Г у -^8 9*
! ! ! ,1
у Х\ —2" -^2 —2*х* '—о"
(a/i, а,'2. . ..,а/л) — любая ортогональная и нормированная фунда-
фундаментальная система решений уравнения
537. д^2 cos — —\-х%2 cos ——:—h • •» + #«2cos ——7- 1
n-\-1 rt +1 я+1
538. Если все характеристические числа матрицы А лежат на
отрезке [а, Ь], то все характеристические числа матрицы А — ХЕ
216

отрицательны при X > b и положительны при X < а. Следовательно,
квадратичная форма с матрицей А—ХЕ отрицательно определена
при X > Ь и положительно определена при X < а. Обратно, если
квадратичная форма Л"" (А—ХЕ) X отрицательно определена при
X > b и положительно определена при X < а, то все характеристи-
характеристические числа матрицы А — ХЕ положительны при X < а и отрица-
отрицательны при X > Ь.
Следовательно, все характеристические числа матрицы А лежат
на отрезке [а, Ь].
539. Следует из предыдущей задачи, ибо сумма положительно
определенных форм положительно определена, сумма отрицательно
определенных форм отрицательно определена*
540. Пусть Л—вещественная неособенная матрица; тогда ДТЛ
есть матрица положительно определенной квадратичной формы, ко-
которая может быть приведена к каноническому виду посредством пре-
преобразования переменных с треугольной матрицей В, имеющей поло-
положительные диагональные элементы. Следовательно, А^А = В^В,
откуда (АВ)Т ЛВ-1 = ?, т. е. АВ-г = Р ортогональна и А = РВ.
Если P1Bi = P2^2» то треугольная матрица В2Вг1 с положительной
диагональю равна ортогональной матрице Р~% Рх» что еозможнэ
только при В2ВТ1 = Е.
541. Пусть А = Р-гАР, где Р — ортогональная матрица, Л —
диагональная с положительными элементами. Тогда В = Р~Х У^ЛР,
где У А—диагональная матрица, составленная из арифметических
значений квадратных корней из элементов Л.
542. Положим А~^А = В2, где В — положительно определенная
симметричная матрица. Тогда АВ~1 — Р ортогональна и А = РВ.
543. Пусть A = LRy где L — левая, R — правая треугольные
матрицы. Поэтому A = LLT (LT)~1 R = ВС, где В = LLT — положи-
положительно определенная матрица, С = (LT)~1 R — правая треугольная.
544. ВтВ
545. a) 4#i + #2 — 2г/| — 8 = 0,
к /-1 -2 -2ч/*1\
1 +т(~2 ~' 2 ("* :
-1/ \—2 2 ~[J\yJ
217

с)
Х2 | =
Х8.
2
J_
2;
!-ь-о.
4Ci
е) yl
-yl
y$ =
1
1
1
71"
Г
1
71
о —
1
К?
1
Кб
2
1
/6
1
1
71
1
/2
1
/3
1
Уз
1
Кб
1
Кб
71°
i !_ о
- К2
V2
1
К2
О
О
К2
У2 )!
1/2
ГЛАВА V
646. а) Частное 2*2 + Зл+11, остаток 25лг—5.
Оу п ——26jt 2
b) Частное —^— , остаток ^ ¦
218

547. q = m, p = — m2— 1.
548. Если m = 0, то q — p — 1; если m ^ 0, то р = 2 — m2, <7=1
549. а) (a:—1)(a:3—a:2 + 3a: —3) + 5;
b) (x + 3) Bл:4 —6л:3 + 13л:2 — 39* + 109) —327;
c) (^+1+0 [4a:2— C + 4/)*+(— l+7/)] + 8 — 6/;
d) (a:— 1+2/) [a:2 — 2ix— 5 — 2/] — 9 + 8/.
550. a) 136; b) —1 — 44/.
551. а) (л:+1L-2(л:+1K-3(а:+1J + 4(л:+1)+1;
b) (jc- 1M + 5 (a:- 1L+ 10 (x— 1)8+ 10 (x— lJ + 5(*— 1
c) (л:—2L— 18 (л:—^
d)
e)
1
(^-^
1 (x + IJ"
553. а)
b)
654. a) /B)= 18, /'B) = 48, f" B) =124, /'"<2) = 216,
/IV B) = 240, /VB)=120;
b) /(l+2t)== —12-2/, /'A+2/) = —16+8/, /"A+2/) = — 8+30/,
/'"A+20 = 24 + 30/, /iv (l+2/) = 24.
555. a) 3; b) 4. 556. a = —5.
557. A = 3, B = — 4. 558. A=n, B = — (л+1).
561. Для того чтобы / (х) делилось на (*— l)ft+1, необходимо
и достаточно, чтобы / (l) = #o + ai + * • * +ал==0 и /' W делилось на
(л:—1)^, для чего, в свою очередь, при выполнении условия /A) = 0
необходимо и достаточно, чтобы /х (x) — nf (x)-~xf (x) делилось на
(л:—\)k. Рассматривая fi(x) формально как полином п-й степени,
повторяем то же рассуждение k раз.
562. а есть корень (& + 3)-й кратности, где & —показатель крат-
кратности а как корня /'" (х).
563. 312562+
564. 6 = 9а2,
565. Производная хп-т[пхт + (п — т) а] не имеет кратных
корней, кроме 0.
566. Положив наибольший общий делитель тип равным d,
m = dmi, n — dtix, получим условие в виде
568. Если хх ф 0-— корень (/г — 1)-й кратности полинома
i+... + акх k> то числа a1xr^1i ч.,акх™к составляют решение
219

однородной системы
х + т2г2 + ... + mkzk = О,
А Л
и, следовательно, пропорциональны числам —77—т, ..., —-, , где
<р (mi) ф (mk)
А— определитель Вандермонда.
569. Если / (х) делится на /' (*), то частное есть полином пер-
первой степени со старшим коэффициентом 1/л, где п — степейь / (х).
Поэтому nf(x) = (x — x0) f (*). В результате дифференцирования
получаем (п— 1) /' (х) — (х — х0) /" (х) и т. д., откуда
/(*) = {X~Jt)n /<»> (х) = а0 (х-хо)п.
Обратное очевидно.
570. Кратный корень полинома /(*)= 1 +4-+... -\-— должен
быть также корнем его производной
V \П — 1 уП
Следовательно, если / (х0) = /' (х0) = 0, то хо = О, но 0 не является
корнем / (х).
571. Если f (x) = (x—xo)k fiix), где /j (x)— дробная рациональ-
рациональная функция, не обращающаяся в 0 при х = х0, то непосредственное
дифференцирование дает:
/ (х0) = /' (х0) =...=/(*-D (х0) = 0, /<*> (*о) ^ 0.
572. Функция
удовлетворяет условию
Следовательно, ty (x) = (x—xo)n + 1 F (х), где .F (#) —полином, что и
требовалось доказать.
573. Если /х (х) /2 (Jfo) — /2 W /1 (*о) не равно 0 тождественно, то
можно считать, что /х (х0) Ф 0. Рассмотрим дробную рациональную
функцию *, ! — I2, °v . Она не равна тождественно нулю и имеет
/1 Кх) /1 (^о)
корнем л:0. Кратность этого корня на единицу выше кратности х0
как корня производной, равной г/ < dV » откуда
1/11^Л
справедливость доказываемого утверждения следует непосредственно.
220

574. Пусть *0 — корень кратности k для [/' (х)]2 — f (x) /" (х)„
Тогда / (*0) Ф О, ибо иначе х0 было бы общим корнем для f (x)
и /'(*)• По предыдущей задаче х0 будет корнем кратности k-\-\ для
полинома f(x)fr (xo) — f (x0) /' (x), степень которого не превосходит п.
Следовательно, fc+l^n, k^n— 1.
575. Полином f{x)f' (*0)-=-/ (*о) Г (x) должен иметь х0 корнем
л-й кратности, т. е. должен равняться Л (х—#o)w» где А — постоян-
постоянная. Разложение по степеням х—х0 после замены х—*0 = z дает
(а0 + агг + а2г2 + ... + anz») ax —
- (^ + 2а2г + За3г2 + ... + папг» ~ *) а0 = ^г",
причем
9* 0.
Отсюда а2 = —-, а3 = —^—, *.., ап--^ц—• Заменив — = а,
получим
576. Так как и(х9 y) = j(f(x+yi)+'f(x-yi)) и v[x, у) =*
= -гГ"(/(л:+^О — f{x—yi))t заключаем, что система и = 0, v — 0
равносильна системе f (x-\-yi)=*Oy f(x—yi) = Ot откуда х-\-yi = Zfff
x-yi = z~m Hx=:it±iSL,y = i*Zl?«.. Здесь г*,Ь 1,2, ...,я,-
корни полинома /(г), индексы k и т меняются независимо от 1 до п;
677. а) л:+ 1; Ь)ха-|-1; с)**+1, d) х2 — 2л: + 2; е) л3 — х+\;
Л1 х (jc) = —Зл:2 — л: -| -1;
— Зл: — 2;
л:4 —2х2 —2
221

8+ 14л:2 + 15л:+7.
кол ч лл / л —16*2 + 37* + 26 16*3—53*«—37* —23;
580. a) M2(x) = - ! , Mt(x) =
b) M2 (x) = 4 — 3*, Mi (*) = 1 + 2л: + За:2;
c) М2 (^=35 —84л: + 70л;2 —20л;3, Мг (*)=1 + 4л;+
581. 1.
682. а) М1(х) = 9х2 — 26л:—21, М2 М=— 9л^ + 44л;2—39л;—7;
Ь) М1(л-) = 3л:3 + 3л:2 —7л: + 2, М2 (jc) = — Зл;3 —
583. а) 4л:4 — 27*3 + 66л:2 — 65л:-f-24;
b) — 5л:7+ 13*6 + 27х5- 130л:4 + 75л:3 + 266л2 -440*+ 197.
584. Л/(,)=1+|^+1^±1),2+..8
/|(л+1)...(/1 + т-2) 1#
#""г Ь2...(т—1)
W=l + —A-
п—1) т (т + 2)., .(т + м— 1)
(л—1)! 1 (/г — 2)!
+ Ь2 (л —3)! *2 ••'
...-М i; (п—1)!
585. а) (л:+1L(*-2J; b) (j^+ IL (*-4);
с) (^-1K(^ + 3J(^-3); d) (jc-2)(^-
е) (х3 — л:2—л: — 2J; f) (x2-\-lJ (x—\K;
g)
586. a) d =
b) ^=:^+l=
c) d=l=
587. a) (jc— 1) (jc — 2) (x — 3);
b) (л:- 1 - i) (x- 1 + 0 (x+ 1 - 0 (x+ 1 + /);
x
222

d) (х- у 3- V 2) (х- \f 3+ У 2) {x+ V 3- V 2)x
uxoTTf ,sinr4 Tn М 4fr/ i Mk-\)n
ЪJШКХ+ . H-1U );C)H>-tg2L-^T-
589 а) (л:—lJ (л:—2) (л: — 3) (x— 1 — 0 =
==л:5— (8 + i) a:4+ B4 + 7/) a:3 — C4+ 170 *2 + B3+ 170 a: — F-} 60;
b) (a:+1K(a:—3)(л: —4) = a:&—4a:4 —б
590. a) (x2
b) (*2
c) (
d) П
e) (a:2—A:|^a + 2+l) (x2+xVa + 2+\)\
691. n
592. a) (*— IJ (jc—2) (л: —3) (л:2—2д: + 2)=^6 — 9л5+33^4—65л:3+
-f-74v2 — 46л:+12;
Ь) (^- 4^+13K = л:6— 12л:6 + 87*4 — 376*8 + 1 131jc2 —
—2028а;+ 2197;
С) (л:2 + 1J(а;2 + 2а: + 2) = а:6 + 2а:6 + 4а:4 + 4^3 + 5л:2 + 2а: + 2.
593. а) (д;-1J(л; + 2); Ь) (*+ IJ (^2+ 1); с) (л:—1K.
594. xd—1, где d—наибольший общий делитель тип.
595. xd-\-ady если числа -^- и -^-—нечетные; 1, если хотя бы
одно из них четное; d обозначает наибольший общий делитель т и п,
596. 1) Fnfm(x)^xnFn-.lt/n (x) + Fn^ltm^1{x). Отсюда заклю-
заключаем, по индукции, что Fnt m {х) есть полином с неотрицательными
коэффициентами.
2) Пусть е—некоторый корень числителя, он есть корень из
единицы показателя k^.n. Его кратность для числителя равна
223

[л "I Г т I , Г/г —ml т. ^ , х
•т-1 , а для знаменателя — + " < • Кратность для Fn> т(х)
^¦J-L"^J~L~^~J=0
JLJLJ
597. а) (ж— IJ (дг+ 1); Ь) (х— 1K(*+0; с) xd— 1, где d = (m, л).
598. Обозначим Хо — v 0/ и разложим / (х) на линейные множите-
множители: / (х) = (*—Яо) (*—Xx)... (х—Хи-!). Тогда X/ ^ К при / ^= 0. Далее,
В силу условия задачи и того, что и (х0)—Xjv (xo) = v(xo) (Хо—
полином и (*)—^oyW имеет х0 корнем кратности k > 1. Следова-
Следовательно, и7 (х) — Xov' (х) имеет х0 корнем кратности k—1. Далее,
(' ()~ x°v> (Х)У • -("' w-^-i°'w>-
Все w; (л:) — Xjv' (x), j Ф 0, очевидно, не обращаются в 0 при х — х0.
Следовательно, / ( , . J имеет .t0 корнем кратности k—1, что и
требовалось доказать.
599. Если w — корень полинома х2-\-х-\-\, то йУ3=1. Следова-
Следовательно, W3m+W*n + 1 + W3P + 2=\-\-W + W2 = 0.
600. Корень X полинома х2—х-\-1 удовлетворяет уравнению
к3 — — 1. Следовательно,
= (— \)т — (— 1)»Х + (— 1
Последнее выражение может равняться нулю только в случае
(—1)/л = (—\)Р — (— 1)я, т. е. если т, я, р — одновременно четные
или одновременно нечетные числа.
601. х*-\ х2-\-\ = (х2 + х-\-\)(х2—х-\-\). Множители эти взаимно
просты, х2-\-х-\-\ всегда является делителем х3т-\-х3п + 1-\-х3Р + 2
(задача 599). Остается выяснить, когда имеет место делимость на
х2 — *+1. Подстановка корня к этого полинома дает
В результате получится 0 только в случае (—\)т = (— \)Р = —(—1)и,
т.е. числа /я, р и п-\-\—одновременно четные или нечетные.
602. Если т не делится на 3.
603. Делимость f (х) на х2 + х-\-\ имеет место при т = 6л+1 и
т = б/г + 5.
604. При т = 6/г + 2 и т = 6я + 4.
605. При т = 6/г+1. 606. При т = 6& + 4.
607. Нет, так как первая и вторая производные не обращаются
в 0 одновременно.
608. При т, взаимно простых с п.
224

609. Если f(xn) делится ьа х— 1, то /A) = 0 и, следовательно,
f(x) делится на х—1, откуда следует, что / (хп) делится на хп — 1.
610. Если F(x) = f(xn) делится на (х—а)*, то F' (x) = f (x^nx"-1
делится на (х — я)*-1, откуда следует, что /' (хп) делится на
(х—а)*-1. Таким же образом, /" (хп) делится на (л:—а)к~2,.. .,/(Л~1)(л/|)
делится на х—а. Отсюда заключаем, что / (ап) = 1' (ап)= ...
... =j<k-i) (Л^) = о и, следовательно, / (х) делится на (х—an)kt f (хп)
делится на (хп — ап)к.
611. Если F (x) = f1(x3)+xf2(x3) делится на х2 + х + 1, то F(w)=*
откуда /i(l) = 0, /2(l) = 0.
612. Полином j (х) не имеет вещественных корней нечетной крат-
кратности, так как иначе он менял бы знак. Следовательно, / (х) =
— [/i Wla/a W> гДе /2 W —полином, не имеющий вещественных кор-
корней. Комплексные корни полинома /2 разделим на две группы, от-
относя комплексно сопряженные в разные группы. Произведения ли-
линейных множителей, соответствующих корням каждой группы, обра-
образуют полиномы с сопряженными коэффициентами % (х)-НФг (*) и
tyi (х) — **ip2 (*)• Следовательно,
/2 (х) = Гг (х) + Ц (х) и / (*)
613. а) —*ь — х2, ..., — хп\ Ь) --, т, ..., —•;
Xi Х2 Хп
с) *! —а, х2 — а, ...ухп — а\ d) bxly bx2t ... bxn.
614. Я=±6. 615. X = — 3. 616. <?3 + p<7 + <7 = 0. 617. aj~
618. jr, = -gl+2<-*~4 /=1, 2, ..., n, где,
/X2—1
619. Пусть у = Ах-\-В — уравнение искомой прямой. Тогда кор-
корни уравнения *4-f ах3-\-bx2-{-ex-\-d — Ах-]-В образуют арифметичес-
арифметическую прогрессию. Находим их, согласно задаче 618:
где
Отсюда
16 4" У 2~ ** '
d-B = Xlx2x3x, = ^C6b -Ma2) Db + а2).
225

Следовательно,
1
1600
Точки пересечения будут вещественными и не сливающимися,
если За2—8Ь > 0, т. е. если вторая производная 2 F*2 + Зшс-)-&) ме-
меняет знак при изменении х вдоль вещественной оси.
620. ж4—а*2+1=0, где а«~±1.
621. (jc2—х+1)8—a(x2—#J*=0, с
"> " (а2-а)*
622. хР—х = х(х— 1).. .(л:—(р— 1)).
623. (р— 1) ! ?3—1 (modp) (см. задачу 53).
1 4 , 9
12 (л:—1)"
1
«94
с)
/г=1
^ »
(_,)*-! sin
±Z
625. a)
b)
c)
226
2k— 1
С— COS-r; Я
J
L
1
_J L_ !
4(*+l) 4 (л;—1) "T~ 4 (д:— IJ "^ 4 (л;-f-1 J '
3 41l2
x+ 1 1Z2 •

2kn . . . 2foi
Hsin \
n ' л
—2)
_
e) 7^+ y/n-i H Y^
;
h
т т(т-{-1)
—2)
1-х
n-\
k n(n+\)...(n+k-\)
?.11) , . /\
x
h)
626. a)
b)
, V ?'fa)
/''fa)
1
x + 2
3(лг—1) 3(
1 1,1
—2)
I
1 x—2
4 8 a;2 + 2a:+2 8 л;2 —
e)
18 \х2
2n+\
2n+l
i
*
J 2_V
2 j'
2/г(/п+1)я 2кя-1
_^L *cos 2/1+1 cos^
k — 1
1 . o Л ^ C0S 2n+\ t— 2МП
f-cos
*+l
/г=1
227

/i-l # COS 1
_J 1_
л:—1 x-V-
Bk — 1) тл Bk— l)Bm+l) л
n cos - л: cos- Цг—r 7
n 2n
I I Bft —1) я , f
jc2—2л: cos -—J5— \-1
(-1)**
627. a) — •
a:— 1 , x+1
c)
d)
л: » лг-f-
1
3 6л:+ 2
16 (лг— IK 16 (*— 1) "^ 16 (*+ IJ" 16 (jc+ t)
13
*+ IJ" 16
1
4(л:2+1J
i —I , 2м —I
с_1)»Т(*+1I ^_J T-
-J sin2 [ 1 —2л: cos —
к2 — 2л: cos 1-1
/?TT / 1
«-1 AZ —Sin2 [ П— 7Г 1 ** C°S
a,_i л:2 — 2л: cos \-l
я-i n i
8- а)
fl=0
631. а) / (х) =лг
b) /(*)=
c) /w=
1 + Jj * (jc— 1) (х —2) (х —3);
A:4 + 4t3—л:2—
= 1,4142
228

d) f(x)=x>—9*2 + 21x — 8.
632. a)y=-l(x-2)(x-3)(x-
-\-l(x-\)(x-3)(x-4)-2(x~\)(x-2)(x-4) +
+-!(*-1) (x-2) (x_3)=—i^
b) j/=-^[5-(l-0*-*2-(l + 0*3]-
4
634 fM- V Ук
635. Положим ф (*) = (*—Jti) (#—x2). . .(*—^и). Пусть / (х)
произвольный полином не выше (п-* 1)-й степени, f/i, y2, ... </w
его значения при х = хъ х2, ..., ^Л. Тогда
+---+Уп _У
В силу произвольности уъ у2, ..., «/«,
Рассмотрим полином
F (*) = л [ф (*0)-ф (х)] — (хо—х) ф; (л:).
Степень его меньше л, и он обращается в 0 при x = xlf x2, ..., хп.
Следовательно, F(x) = 0. Разложим ф(х) по степеням {х—хо):
п
Имеем 2^ (п — k) с^(х—xo)k=O. Следовательно, с1~с2=... =с„_1=0;
/г=1
п
. ,—г . Сравнение коэффициентов при хп~1
дает
У *' -О
229

л 1
637. xn~l = z\t--*-—? ,} к» Сравнение коэффициентов при*"-*
дает
f=l
638. я/=д-2и Уь*к(> гДе д =
Х% . . . Аз
I Лп i : i Лл
/ — алге-
браическое дополнение элемента k-ft строки и (i~{-\)-YO столбца
определителя А.
п— 1 п п — \ п
/(*)=
= О
"ЗГ
t=0
где А^ — определитель, получающийся из А заменой элементов k-&
строки на 1, дг, ..., дс"-1.
Вычисление определителей А^ и А как определителей Вандер-
монда дает
Afe _ (лс—Xi)...(jc—^-i)(>r—
где ф(*) = (*—Xi){x—x2)...(x—хп).
—г
Отсюда
—xk)q> {xk)
» что и требовалось доказать*
«4Q f/H-1 I * 1 ^-i) I х(Х-\)...{Х-П+\)
1! Z1 ill
640. /W=
, (a—l)"*(x—l)...(x—n+1)
B71I
642. /W=i-
. / ,,,(*-l)(*-2)-¦•(*-«+0
__nl —A—x)B—х)...(я—j
n! дс
230

643. f(x)=xP~*.
644. /W=?ifb±^, где
645. Ищем f (x) в виде
(x—m)(x—m—l)
j7
(x—m) (x—m—\). ..(x—m —
где m, m+1, ,,,, m + n— целые значения *, при которых по усло-
условию f (x) принимает целые значения.
Полагая последовательно # = m, m+1, *«», т-\-п, получим
равенства для определения Ло, Alt ..., Ап:
n
k=l, 2, ,.., л,
из которых следует, что все коэффициенты Ak — целые. При целых
значениях х все слагаемые / (х) обращаются в биномиальные коэф-
коэффициенты с целыми множителями А^ и потому являются целыми чи-
числами. Следовательно, / (х) принимает целые значения при целых
значениях х, что и требовалось доказать.
646. Полином F(x) — f(x?) степени 2л принимает целые значения
при 2п+1 значениях х = — п, —(п—1), ..., —1, 0, 1, ..., п
и в силу предыдущей задачи принимает целые значения при всех
целых значениях х.
647. 0,51^ + 2,04. 648. #=у [0,55л:2 + 2,35* + 6,98].
649. Подставив — в / (*), получим после умножения на qn
откуда аорп делится на q, anqn делится на р. Числа р и q взаимно
просты. Следовательно, а0 делится на q, an делится на р.
Расположим теперь f (х) по степеням х—т:
Коэффициенты съ ..., сп — целые числа, так как т — целое; cn — f (my
Подставив дс = — , получим
а0 {p — mq)n + cx (p — mq)"-1 q+... +сп-г (p — mq) qn~1 + cnqn=:0,
откуда заключаем, что cnqn делится на p — mq, следовательно,
cn — f(tn) делится на p — mq, ибо q и p — mq взаимно просты.
650. Для примера а) даем подробное решение.
Возможные значения для р: 1, —1, 2, —2, 7, —7, 14, —14.
Для q только 1 (знак считаем присоединенным к числителю).
231

—4. Следовательно, р—1 должно быть делителем 4,
Отбрасываются возможности р=1, —2, 7, —7, 14, —14. Остается
испытать — 1 и 2.
д—1) ф 0; /B) = 0. Единственный рациональный корень *1 = 2.
Ь) *! = — 3; с) #! = —2, дг2==3; d) *i = —3, л:2 = -у;
е)|, --J; 0 1. -2.3; g)|, --1, |;
h) рациональных корней нет; i) —1, —2, —3, +4;
j) -j; k) *i«=*a = — -*¦; 1) ^ = ^2=1, ^з = ^4 = —3;
m) *! = 3, *2=x3 = *4 = X5*=-—1; n) ^ = ^2 = ^3 = 2.
651. По задаче 649 p и p— q— одновременно нечетные числа.
Следовательно, q— четное число и не может равняться единице.
652. По задаче 649 р — xtq = ± 1, р — x2q = ± 1, откуда
{х2 — Xi) </== ±2 или 0. Значение 0 отпадает, так как q > 0, лг2 ^ дсх-
Положив для определенности х2 > хъ получим (#2 —a^) ? = 2. Это
равенство невозможно при дг2—xt > 2. Положим теперь, что
х2—Х!=1 или 2. Единственно возможные значения для р и q, при
которых возможно равенство (x2 — x1)q = 2, есть р = од _|_ 11
2
лпя 9 откуда единственная возможность для рационального
*2 —*1
р , 1 xt4-x2 ^
корня — =*Xi-\—=~^— » что и требовалось доказать
663. Выполнен признак Эйзенштейна:
а) для р = 2; Ь) для р==3; с) для р = 3, после разложения по-
полинома по степеням х—1.
654. *,(*) = (*-l)/'-l+Jl(*-l)/'-2 +
Все коэффициенты Ск = Р (Р,~{) ¦¦¦ (P~k+\) ^ fe < р _ , ( де.
1 • tL * . » ft
лятся нар, ибо^1 Ck = p (р—1).. .(р—&+1) делится на р, а^! взаимно
просто с р. Таким образом, для Хр(х) после разложения по сте-
степеням х— 1 выполнен признак Эйзенштейна для простого числа р.
656. По индукции, (y+l)p —\ssyp (modp), откуда урШ =s
^ (modp) и ^(tz+l)^^-^ (modp),
т. е. все коэффициенты, кроме старшего, делятся на р. Свободный
член равен X т A)==р.
232

656. Допустим, что полином приводим: /(*) = ф (х) г[5 (*). Тогда
оба множителя имеют целые коэффициенты и степени их больше 1,
так как f(x) по условию не имеет рациональных корней. Пусть
я|> (х) = сохт + с1хт~1 + ... +ст,
k + m~n. Так как bkCm = an делится на р и не де-
делится на р2, можно принять, что Ь^ делится на р, ст не делится
на р.
Пусть Ъ{ — первый с конца коэффициент ф (*), не делящийся на р,
t^O. Такой найдется, так как ao = bQco не делится на р. Тогда
am+i = biCm + bi+1cm-1+... не делится на р, так как bicm не де-
делится на р, a 6/+i, &/+2> i»» делятся на р. Это противоречит усло-
условию, ибо m-\-i^3.
657. Разложив / (*) на неприводимые множители с целыми коэф-
коэффициентами, рассмотрим неприводимый множитель ф (х)у свободный
член которого делится на р. Такой найдется, так как ап делится
на р. Частное от деления / (х) на ф (х) обозначим ty(x). Пусть
Ф(*)=^'я+М'я-1+...+^,
г|? (x) = coxk + c1xb-1+ ... +ch
и b(—первый с конца коэффициент ф (х), не делящийся на р; с^ не
делится на р, так как an = bmCfl не делится на р2.
Поэтому afl + i = biCh-\-bi+1ch-1-\-... не делится на р, откуда сле-
следует h-\-i^k. Следовательно, m^m-\-h-\-i — k = n-\-i — k^sn—k.
658. x, x+\,
659. x, x+1, x— 1, л:2+1, x2 + x— 1, x2 — x— 1, л;3 —
661. x5 — 6*3 + 2*2 — 4л; + 5 = (л:+1)(л4 + л;3 + д:2 + а;+1) (mod 2),
лб__6л:3 + 2а:2 — 4л: + 5 = (л:2+1) (x3 — х— 1) (mod3).
Сомножители неприводимы по соответствующим модулям, их степени
различны.
662. хР-1— \ = YLXd(x)=s (x—\) (jc—2) ... (*— (р— 1)) (mod p).
d|p-i
В силу однозначности разложения на неприводимые множители, все
полиномы Xd(x) при d\p— 1, разлагаются на линейные множители.
663. Первообразным корнем будет любой корень полинома
р
664. Если f(x+a) = f(x+b), to f(x) = f(x + c) = f(x+2c)= ...
,,, ==/(х+(р— 1) с), где с = & — а. Если 6 ^а (mod р), то 0, с,
233

2с, ..., (р—\)с составляют все элементы поля вычетов, так что
665. Пусть ф (х) — неприводимый множитель /(*). Его степень
больше 1. Полиномы ф (я), ф(*+1), ..., ф(* + р—1) все неприво-
димы и делят / (х). Они не могут быть попарно различны, так как
f(x) не может делиться на их произведение, степень которого ^»2р.
Следовательно, ф (л:) = ф (* + 1)= ., * =ф (х-\-р-~ 1). Поэтому ф (х)—
— ф@) = 0 при * = 0, 1, ,,i, p— 1, так что степень ф (х) не меньше
р и f(x)*=y(x).
666. а) /@)«1, /A) = -1, /(-1) = -1.
Если / (лг) = ф (х) я|? (л:) и степень ф(#)*^2, то ф@)=±1, фA)=
*= dhl, Ф(—1)=±1, т. е. ф (х) задается одной из таблиц:
X
—1
0
1
фМ
1
1
—1
1
—1
—1
1
J
1
1
1
1
—1
—1
1
1
1
1
—1
1
—1
—1
—1
Последние 5 таблиц можно выбросить из рассмотрения, так как
последние 4 определяют полиномы, отличающиеся только знаком от
полиномов, заданных первыми четырьмя таблицами, четвертая же
определяет полином, тождественно равный единице. Первые три дают
следующие возможности:
<р(*) = — (х2 + х-\)\ ц(х)=х2-х-\; ф(х) = 2л:2-1.
Испытания посредством деления дают:
Ь) Неприводим; с) неприводим; d) (х2 — х-— 1) (я2 — 2).
667. Полином x*-\-axSjrbx2-{-cx-\-d, не имеющий рациональных
корней, может быть разложен, в случае приводимости, только на
i*нoжитeли второй степени с целыми коэффициентами:
Число т, очевидно, должно быть делителем d\ mn — d< Сравнение
коэффициентов при х3 и х дает к-\-\х = а, nX-\-m\.i — c.
с—am cm — am2
Если т Ф п, то Я =
п — т d—m2
что и требовалось до-
доказать.
Если же т — п, то d — m2, c = am. В этом случае Я и jli опре-
определяются из системы A,-|-jn — а, к\л-{-2т = Ь.
668. В случае приводимости необходимо, чтобы
Коэффициенты множителей должны быть целыми,
234

Сравнение коэффициентов даёт тп = е, откуда следует, что т
есть делитель е. Далее,
т + ХХ' +Х" ^b,
п + XX" + trik' = с,
откуда
mX" — rik* = d—an,
и, следовательно, (d—ari)X-{-m2Xr — nX" = cm — bn. Решая это урав-
уравнение совместно с %-\-Х'=а, пХ + тХ"= d, получим
- am3—cm2—dn -\-be
m3—n2-\-ae—dm *
что и требовалось доказать
669. а) (х2—2х + 3)(х2—х—3); Ъ) неприводим;
с) (х2—х—4)(х2 + 5х + 3); d) (л:2 — 2jk + 2) (*3 + 3*+3).
670. 1) хъ + тхъ — тх+\ =
= (х+ 1) (х*-Хз+ (т+ 1) х2-(т+ 1) х+ 1;;
2)
3)
4) хб — 2л:3—JC+1 =(л;2 + л;—1)(х3—л;2— 1);
5) л:6 + 2а:3 + а:+1 =(x2—x+\)(xs~\-x2-^2x+\)\
6) д;5__4л:3-г3^+1 = (д;2—л;—1){л:3 + а:2 —2л:—1).
671. Для приводимости полинома л:4 + рл:2 + <7 необходимо и до-
достаточно выполнение одного из двух условий:
я) р2—4# есть квадрат рационального числа;
b) q есть квадрат рационального числа |л, 2[г — р есть квадрат
рационального числа X.
672. Если x* + ax* + bx2 + cx + d = (
то, так как р1 + Р2 = я> можно записать:
где X = qt-\-q2. Отсюда следует, что вспомогательное кубическое
уравнение имеет рациональный корень X = <7i + tfs-
673. Пусть / (л:) = ф (л:) г|з (л:) и ф (л:), я|; (л:) имеют целые коэффи-
коэффициенты. Так как /(а/) = — 1, то должно быть ф(а/)=1, г|? (а/) = —1
или ф(а/) = — 1, -ф (а/) = 1 и, следовательно,
ф(в/) + Ф(я/) = 0, /=1, 2, ..., п.
Если ф (х) и -ф (д:) оба непостоянные, то степень ф(*) + \|5(дО меньше
п, откуда следует, что ф (л:) -f г)) (л:) = 0 тождественно. Итак, должно
235

быть f(x) = —[<р(*)]2. Это невозможно, так как старший коэффи-
коэффициент f (х) положителен.
674. Если / (х) = ф (х) -ф (*), то ф (я/) = я|) (а/) = ± 1, так как
/(а/)=1. Следовательно, если ф и а|) непостоянные, ф (*)=s\|)(#) тож-
тождественно и
Это возможно только при четном п.
Итак, единственное возможное разложение есть
(х-ах) (х-а2) ... (х-ап)+ 1 «= [Ф (*)]».
Отсюда выводим, считая старший коэффициент ф (х) положитель-
положительным, что
Ц)(х)+1^(х—а1)(х~а9) ... (х—ап-.г).
q>(x)—\ = (x—a2)(x—at) ... (х—ап).
(Для того чтобы иметь право записать эти равенства, нужно изме-
изменить нумерацию чисел аъ а2, ..., ап.) И, наконец,
(x—ai) (х—а3).. .(*—an-i) — (х—а2) (х—аА).. .(х—ап)*=2.
Положим аг> а8> ... > an-v Подставив в последнее равенство
x = a2k> ^=1. 2» •••» у» получим
т. е. число 2 должно раскладываться на -^- целых множителей, рас-
расположенных в порядке возрастания, -д- способами. Это возможно
только при ¦к' — Яу 2 = —2-(—1)=1-2, и при -^-= 1. Эти две возмож-
возможности и приводят к двум случаям приводимости полинома / (*), упо-
упомянутым в условии задачи.
675. Если полином п-й степени f (х) при п = 2т или л=г2/л+1
приводим, то степень одного из его множителей ф (х) не превосходит
т. Если f (х) принимает значения ±1 более чем при 2т целых зна-
значениях переменной, то ф (х) тоже принимает значения ± 1 при тех
же значениях переменной. Среди этих значений для ф (х) найдется
более чем т равных +1 или — 1. Но в таком случае ф (лг) = +1
или —1 тождественно.
676. Полином f (х) не имеет вещественных корней. Следовательно,
если он приводим, его множители ф (х) и г|? (х) не имеют веществен-
вещественных корней и потому не меняют знака при вещественных значениях х.
Можно считать, что ф (х) > 0, -ф (л:) > 0 при всех вещественных зна-
значениях х. Так как /(аЛ)=1, то ф (яЛ) = г|)(аЛ)= 1, &=1, 2, ..., п.
Если степень <р (х) [или \|) (л:)] меньше л, то ф(*)=1 [или -ф(л;)=1]
тождественно. Следовательно, степени ф (х) и ty(x) равны п. Тогда
236

(р(х)=\+аГ(х—а1)...(х-- ап)у ty (*) = l + $ (х — aj.. .(х—ап), где а
и E — некоторые целые числа. Но тогда
Сравнение коэффициентов при х2п и при хп дает систему уравнений
оф=1, а + C = 0, не имеющую целых решений. Следовательно, / (х)
неприводим.
677. Пусть f (х) принимает значение 1 более трех раз. Тогда
f (х)—1 имеет по крайней мере четыре целых корня, т. е.
f(x)—l=(x—a1) (х—а2) (х — а3) (*—a4) h (x),
где а1у a2t а3, а4 и коэффициенты полинома h (x) суть целые числа.
При целых значениях х выражение (х—аг) (х—а2) (х—а3) (х—а4)
является произведением различных между собой целых чисел. Два
из них могут равняться +1 и —1, остальные два отличны от ±1.
Следовательно, их произведение не может равняться простому числу,
в частности —2. Итак, f (х) — 1 Ф—2 при целых значениях х и,
следовательно^ f (х) Ф—1.
678. Пусть / (х) = ф (х) я|? (я). Один из множителей ф (х) имеет сте-
пень^-^- и принимает значения ±1 более чем при -^ целых значе-
значениях х. Так как -^-^6, то +ф(я) или — ф (х) принимает значение 1
более трех раз и, в силу результата задачи 677, не может принимать
значения —1. Итак, ф (х) или — ф (я) принимает значение +1 более
чем — раз и, следовательно, у (х) или -ф(х) равно 1 тождественно*
Следовательно, / (х) неприводим.
Уточняя рассуждение, можно доказать справедливость результата
при п ^8.
679. Пусть
а[
Один из множителей имеет степень ^ п; г|) (х) принимает значения ± 1
при * = ai, a2, ..., ап и, ввиду того, что /г^7, все эти значения гр (л:)
должны быть одного знака. Следовательно,
<ф(*) = :Ы+а(* — аг) (*—а2) ... (х—ап)= ± 1+осф (х).
Если а^О, то w(x) тоже имеет степень п и w (х) = ±1 +рф (х).
Но равенство.
невозможно, так как полином ах2-{-Ьх-{-\ по условию неприводим.
680. а) 9 (*2 + *+l);
b) _lD*> + 8x+9); c)yjB*« + a*-l);
237

681. Изоморфизм Q fjt]/(jc3—3)
нием *—> у 3.
682. /<*)-*tf(l), /B)).
vk з) задается отображе-
отображе683. Я/Яу =
= 0 при /е^/г и ak = 0 при
684. а) a2~
с) — За3 + 8а2—Юа + 3;
е)
считая
b) 17а2—За+ 55;
—3 + 7 {/" —
d)
23
2+
685. а) л:3—5x2 + 4x— 1=0;
b) х*—7*2 + Зл:— 1=0;
c) х3— *2 — 2лт +-1 = 0
(здесь а и X = 2—а2 оказываются корнями одного и того же поли-
полинома);
d) *4 + 6*3+9x2+7*—6 = 0; е) *4—12х3+ 43а;2—49а: + 20 = 0.
686. а) *3-
b) л;4_
..*, a m —все отличные от нуля
от отличаются от ах, ,.., а т
с) (л:2 + ^—1J = 0, а не выражается через Я/, т. е, поля Q (а)
и Q (Я) не совпадают.
687. Пусть К ? L, X 7^ 0,
элементы поля L. Тогда Хаь *.. Да
только порядком и их произведения совпадают. Следовательно,
Кр  = 1 и кр =Я. Последнее равенство верно и для Л = 0.
688. Поле L = K[x]/(f) содержит рт элементов. В силу резуль-
результата задачи 687, все элементы поля L, в частности класс х, являются
корнями полинома хр —я. Но /(д;) = 0 в L. Следовательно, хр —х
делится на / (х).
689. Пусть F (х)=хрт^-х. Тогда F'(x)= — \ и F (х) не может
иметь кратных корней. Далее, если ар =а и Рр = р, то (а + р)р =
238

= ар $р =з ар и, если а Ф 0, то
ар ~2=а~"*«
690. Пусть /(*) — неприводимый множитель X т (х). Класс
JT в поле К [x]/(f) является первообразным корнем из 1 степени
рт—1, ибо, в противном случае, / был бы делителем одного из
полиномов xd— 1 при d < pm—\, d\pm— 1 и одного из круговых
полиномов с индексом, меньшим рт — 1. Поэтому поле К (x) — K[x]/(f)
содержит все корни из 1 степени рт—\ и все корни полинома
хр —х. Так как они образуют поле, К (х) с ним совпадает. Следо-
Следовательно, степень / равна т.
691. Всякое поле из рт элементов состоит из корней полинома
хр —х и изоморфно L = K [x)/(f), где /—некоторый неприводимый
полином степени т. В этом поле#р —х разлагается на линейные мно-
множители (задача 688). Поэтому все неприводимые полиномы степени т
порождают изоморфные расширения /С.
692. Неприводимые множители полинома хр —х порождают
поле GF (рт) и его подполя, которыми являются GF (pd) при d \ т.
Обозначим через h (n) число неприводимых полиномов степени гц
Тогда 2 dh(d) = pmt откуда, по формуле обращения (задача 67)
d\ m
mh(m)=
2
dim
693. Приводим подробное решение примера f):
Старший член полинома F равен х\-х\.
Выпишем показатели в старших членах полиномов, которые бу-
будут оставаться после последовательного исключения старших членов
посредством вычитания подходящих комбинаций основных симметри-
симметрических полиномов. Эти показатели:
D, 2, 0); D, 1, 1); C, 3, 0); C, 2, 1) и B, 2, 2).
Следовательно, F = f21fl + Aflf3 + Bfl + Cf1f2f3 + Dfl где Л, В, С,
D — численные коэффициенты. Определяем их, задавая частные зна-
значения ДЛЯ Xi, Х2, Х3.
хх
1
2
1
1
х2
1
— 1
2
— 1
*з
0
— 1
—2
— 1
h
2
0
—3
— 1
h
1
—3
0
—1
/з
0
2
4
1
F
2
50
200
8
239

0*3
*9I *I0Z SS— '00L 'V— 669
, V ui
'• up-ufe_x-Uj (Я : jzjq (B "869
s^ гуту у
'Я :(в '?69
к-ЧУ (а
A-Vy (I
|/Vs+гУ8т/9 - J/ (ч
ЧУ-УЧ?-ЧУ «
ЧЧ-*№-уЧ (F
'¦4s+44-44z-4y (ч '-Чя+ЧЧъ-ЧЧ <?
'Ч*-ЧЧ*+Уг+ЧУ*-1! О 'fit+yz-44-4y (»
l-4z+44z-y (P s'A-VV (»
!8/e+'/Vs-jy (я :s/5-'/ (« -S69
Чя+ЧЧь-ll (э ЧЧь-у + ЧУ (я -У-ЧУ-ЧЧЧ (в 'W9
¦\lLZ-el442\ +У*-ЧУ*-УУ (ч
¦4iz+446-yz (8 :8/-«/V (»
'•8/Vz - 8/l/s+8/V'/9+I/Vs - 8/J/s - !/?/ (p
'442+4\h-]l l? -Ч2-ЧЧ (я '.We-J/ (»
laodawndu хинч1гв!эо Kiftf ихэаю
's—=к 'i——a *s——fir
4C79t+K80I — = 003
иинэиявс1Х iCwaiDiiD HirnhXirou (j '^ *g Y кинэ1тэ1Гэ<1110

703. а) а\а\ — 4а*а8 — 4c&zQ+\8a0aia&a — 27а\а\\
Ь) а\а3 - flJfl0; с) ^ -9; d) а\а\ - а\а3-а1а0.
а0а3
704. Достаточно доказать для основных симметрических поли-
полиномов. Пусть ф^ —основная симметрическая функция степени к от
х2, *з> •••> х„\ fk — основная симметрическая функция от хъ х2) ...,
хп. Очевидно, что <рА = /А—ХхЩ-ъ откуда следует:
706. s2=:/?-2/2
s4 = /t - 4/J/. + 2/5 + 4/Л - 4/4;
707. 2/2 = s? —s2;
6/3 = s? —
24/4 = st—6sfs2 + 8«is3 + 3s2 — 6s4;
120/6 = s?— 10sfs2 + 20s?S3+15s1s2 — 20s2s3—
— \bs\-
— 90si2s4 + 40s^ + 90s2s4 + 144Sls6 — 120se
708. a)s6 = 859; b) s8 = 13; c) slo = 621.
709. S!== — 1, s2 = s3= ... =sw = 0. 710. xn—a = Q.
n k
712. 2 (*+*<)*= 2
t = 1 m = 0
*/)*= S
m=0
*
2k
i < j m = 0
716. n\ (Xn — f\Xn-
717. -^-и(|), Wd=(m. n)
241

718. Оценки дают последовательно: | 2f2|«^ 2, | 3f3 | ^ 4,
4f4|<5. |5f§|<9f I6/.KH, откуда |/,К1р f = 2t 3t 4. б, 6.
719.
(л:—а) (х—Ь) [хп-\-(а + Ь) хп-1+ ... + (а* + ап-1Ь + ,,. + &")] =
= (х—а) [xn+i + axn + a2xn-i+ , *, +апх—Ь (ап+ап~1Ь-\-.. .+6«)]=*
Степенные суммы аь а2, .»., оп для нового полинома, очевидно,
равны нулю. Но Ok = Sk-{-ak-\-bk. Следовательно, s^ = — (ak-\-bk)
для \< к < я.
720. Пусть f(x) = (x—xj (х—х2).*.(х—хп), где xlt x2t .,., хп—
независимые переменные. Пусть, далее,
xk - 1ф (х) = / (х) qk (x) + rk (х) и rk (x) = с
Коэффициенты c^t ^ суть, очевидно, некоторые полиномы от
хи х2 хп. Далее,1
Cm
с12 ...
^22 • * *
С2п i » *
Cln
C2n
cnn
Ф
/'I
r2
rn
[Xl
=
1
Г1
O^i)
(^i)
>
>
i
x2 ...
Л*2 . • t
ri (x2) • • •
r« (*2) •..
Tn \X2) » i »
Ф (^2/ • • •
T\ (x2) ...
)ф(*2).*.ф(*,
1
'"г
''л
ч)
1 1
^1 ^2
-1
4"
1
Хп
откуда следует
CU C12 in Cirt
с21 с22 *.. сгп
= ф
) . . . ф (Хп) = /? (/, ф).
Последнее равенство есть тождество между полиномами от неза-
независимых переменных *i, x2, ,*., хп и потому остается верным при
всех частных значениях этих переменных.
723. а) —7; Ь) 243; с) 0; d) —59; е) 4854;
f) (M2—MoJ--(Mi—Mo) (Ма—Mi).
242

724. а) При 1 = 3 и % = — 1;
с) х=± /=3, х=± ^=12.
726. a) t/e — 4?/4 + 3f/2— 12t/+ 12 = 0;
b) 5?/5 —7^4+6i/3 —2i/2—г/— 1 =0; с)
726. a) *i=l, *2 = 2, *3 = 0, х4 = —2,
1/1 = 2; #2 = 3; Уз = — и *У4=1-
b) *г = 0, *2 = 3, *3 = 2, ^4 = 2»
«/1=1; 1/2 = 0; «/8 = 2; 04 = -- *•
c) дг1==д>а=1> ^з==—It ^4 = 2»
«/i=«/2=—1; ^з=1; 04=2'
d) ЛГ! = 0, Х2 = 0, Х9 = —1, *4 = — 1, JC5 6 = 2,
«/1=1; 1/2 = 3; 1/3 = 2; у4 = 3; ^б.в = 1±'
e) *1 = 0, ^2=0, ^з = 2, ^4 = ^б = 2, хв = — 4,
#i = 2; t/2 = — 2; t/3 = 0; #4 = г/б = 2; t^e = 2;
^7 = 4, ^8==~6, ^9 = —2/8;
#7 = 6; i/8 = 4; #о = 4/з-
727. eje»-1.
728. Пусть /M = M*—*i)(*—*2)...(*—*л);
Ф1 (х) = М* + • • • +bk\ ф2 W =со*л+ ... +ст1
Тогда
Л (/• Ф1 • Фа) = «Г*
= fl? Цф1 (*/) в{ Д Фа(*/) =/?(/, Ф1)'Л(/. Ф2).
729. Интересно рассмотреть только случай, когда п > 2 и т не
делится на л. Тогда
R (Хп, хт—1)=1 во всех остальных случаях.
730. Положим т^п. Тогда
Хп) = 0 при т = п\
R(Xmt Х„)=рФ<я) при т==лр^;
R (Хт, Х„)=1 в остальных случаях.
731. а) 49; Ь) —107; с) —843; d) 725; е) 2777.
732. а) 3125 (б2—4а5J; Ь) X4 DХ — 27K;
с) F2-3а6 + 9а2J; d)
213

733. а) к =±2; b) Xi = 3, k2t 3 = 3 ( —I ±
c) A,i = O, X2 = — 3, Я3=125;
d)*i = -l, *.= -¦|, Аз,4 = у±-|<
734. / = *» + a; f =nxn~1\ /?(/', /)
D(/) = (-l) 2 ««a»-1.
/г (/г-1) (/г-1) (/г-2)
735. D (/)=(—1) 2 Ля^-1 + (— 1) 2 (rt_l)/i-lp*.
736. Пусть наибольший общий делитель тип равен d. Введем
обозначения: т1 = —г, п^^—г.
(т + п) (т + п— 1)
(—1) 1 аГ1 й?1 [(/я+ «)«! +«ю?« а^ +
4-(_1)«1 + л1-1/Лт'я1 a^1+/IlJrf.
737. Дискриминанты равны.
738.
з—ЧЧ—W4 = (хг — х3) (х4—х2).
Возведя эти равенства в квадрат и перемножив их, получим тре-
требуемый результат.
739. Пусть f(x)=ao(x—x1)(x — x2)...(x—xn). Тогда
D(f(x)(x-a)) =
= а»Ца-хд*(а-Х1)*...(а-хп)* Ц (xi-xk)* = D (f(x))lf(a)}*.
i <k
(n-l) (n-2)
740.
741. Пусть ц(х) = хп-\-ахп-1-{-ахп-2-\-... +a. Тогда
m m-l —Pm~l(P-\)
743. D(X m\
744.
п
р\п
п(п- 1)
745. D (?„) = (—1) 2 (л!)».
746. D(Fn) =
п(п-\)
^lJ(
244

747.
748. Л(Ря)=Ь28.Зв...п2«-1. 749. D (Pn) = 2"~1
750.
751.
752.
753.
Легко видеть, что
где Рп — полином Эрмита..
Это и есть искомый максимум дискриминанта.
754. 22" (-1)" aoan[D (/)]2.
т (т- 1) п
755. m«»(—1) 2 с? a? [D (/)]».
п
756. F (х) = JJ (ф (#) —*/)• Следовательно,
t = l
D (^) = П D № W-*') f II ^ <Ф М-*/. Ф
Очевидно далее, что
/? (ф (х)—лг/, ф (х) — *л) = (х/—xtf
Поэтому
/>(/7)=nD№W-*'> П (xi-xkJm = [D(f)lmf
что и требовалось доказать.
ГЛАВА VI
757. Имеем
/ (х) Г (х) = (х-х0) [(/' (*0)J + (х-х0) F (х)].
Второй сомножитель положителен при х, близких к xOt а первый
меняет знак с — на +.
758. / (х) g (х) = (х-хо) [Г (х,) g (лго) + <*-*e) F W1-
759. Индекс /^ относительно fk^t равен /г, ибо при —со число
перемен знаков в значениях /д, /^-i, -«^/о равно /г, а при -\- оо
число перемен знаков равно нулю. Следовательно, все корни fk ве-
вещественны и все они первого типа относительно /^-j. Поэтому в
промежутке между соседними корнями /д имеется корень полинома
245

/ft-ь ибо вблизи левого конца такого промежутка полином fk-ifk
положителен, а вблизи правого—отрицателен.
760. Пусть f(z)=*ao{z—zt)...(z—zn). Тогда
Д arg/(*) = A arg (г—жг)+ .,, + Д arg (г—гп).
Если г/ лежит внутри контура, то Aarg(z—г/) = 2л, если zj вне
контура, то A arg (г — гу)=О. Это очевидно из геометрических сообра-
соображений. Поэтому, -jr- Д arg / (г) равно числу корней (с учетом кратно-
сти) полинома /(г) внутри контура.
761. Все значения функции l+i^T""! при г, изменяющемся
вдоль данного контура, находятся внутри круга с центром в точке 1
с радиусом 1, ибо
т~г{\ < Ь Поэтому приращение аргумента
/1 К*) I
l+{-j|| равно
762. Д arg h (x) = Д arg (x—z±) + ... + Д arg (x— zn), где гъ ...
».., zn — корни полинома h (z). Далее, Aarg(*—Zi) = jx, если z/ ле-
лежит в верхней полуплоскости, и Aarg(*—zj) — —я, если z/ лежит
в нижней полуплоскости. Следовательно, Д-arg/*(*) = я fai—п2).
763. Ассимптотическое направление точки f(x) + ig(x) при
л;—>±оо имеет угловой коэффициент lim 1^, равный нулю
или конечному числу, т. е. оно не параллельно мнимой оси. Поэтому
число полуоборотов точки f(x) + ig(x) равно числу переходов через
мнимую ось против часовой стрелки минус число переходов через
мнимую ось по часовой стрелке. Первое число равно числу кор-
корней / первого типа относительно g, второе—числу корней вто*
рого типа.
764. Дискриминант равен a*-2nD (f) (detCJ. Число отрицатель-
отрицательных коэффициентов в каноническом разложении равно числу пар
комплексно сопряженных корней полинома ft ибо (и-\-viJ-{-(и — wJ=
= 2u2—2v2.
765. Дискриминант равен aj-2rt/ (Я) D (/) (det СJ. Число отрица-
отрицательных квадратов равно числу пар сопряженных комплексных кор-
корней полинома /, сложенному с числом вещественных корней, боль-
больших К.
п (п-1)
766. Дискриминант равен (—1) 2 ^"(detCJ^*!).. ,g{xn).
Разность числа положительных и числа отрицательных коэффициен-
коэффициентов в каноническом разложении равна индексу / относительно g на
промежутке (—<х>, -f- oo).
246

767. F(tlt ,.,, /„) = 2«/+у_2////, где sk обозначает сумму k-x
степеней корней полинома /.
768.
769. <р/у =
где ит =
п т
ит = 2^ >, fe Реккурентные соотношения и начальные усло-
*=1 ' (**'
вия следуют из сказанного в указании.
770. F^^Cijtitj, где с,у=с//, <?
при 1 < Ktj
(здесь, как обычно, считается а^ = 0 при k^O или k"^я+1).
771. /\(/lf ..,, tn) = Hj(tetj—dij)Utj> где при /</
с,7= —(/+1—0 Ч-га;— (/ + 3 — 0 fl/..afly+1— ...
773. a) / = *3-3a:-1, /1==л;2~1, /й = 2*+1, /8= + 1 Три ве-
щественных корня в интервалах (—2, —1), (—1, 0), A, 2).
b) / = *» + *»-2*-1, /! = Зл:2 + 2^-2, /, = 2*+ 1, /8= + 1. Три
вещественных корня в интервалах (—2, —1), (—1, 0), A, 2).
c) / = *3 — 7х + 7, /1==Зд:2-7, /2 = 2*—3, /8=+1. Три вещест-
вещественных корня в интервалах (—4, —3), A, 3/2), C/2, 2).
d) 1 = х*-х + 5, /1 = Зх2--1, /2==2лг—15, /3 =—1. Один вещест-
вещественный корень в интервале (—2, —1).
e) f = xs-\-3x—5, /1==^2+1. Один вещественный корень в интер-
интервале A, 2).
774. а) / = *4-12*а_ 16л:—4, /1=^_6^_4, /2==з^2 + 6л: + 2,
^з == л: + 1» /4= 1« Четыре вещественных корня в интервалах (—3, -—2)
(-2, -1), (-1, 0), D, 5).
b) / = *4-*-l, /1==4^-1, /2==3* + 4, /3=4-1. Два вещест-
вещественных корня в интервалах (—1, 0) и A, 2).
С) f=,2x* — 8х* + 8х2— 1, /1=^_Зл:2 + 2л;, /2 = 2*2 — 4х + 1, /8=s
— х—1, f±=\. Четыре вещественных корня в интервалах (—1, 0),
@, 1), A, 2), B, 3).
d) / = *« + **-. 1, /! = 2*» + *, /2=-д;2 + 2, /3=~^ /4 = -1.
Два вещественных корня в интервалах (—1, 0) и @, 1).
e) / = *Н-4*8-12* + 9, /1==^з + 3д;2_з, /2 = ^2 + Зл;--4, /3 =
= — 4л: -[- 3, /4=1. Вещественных корней нет,
247

775. a) f = x*—2л:3 — 4л:2 + 5л: + 5, f1^4x3 — 6x2—8x + 5, /2 =
= 22л:2—22л:—45, /3 = 2л:—1, f&=l. Четыре вещественных корня
в интервалах A, 2), B, 3), (—1, 0), (—2, —1).
b) f = x*— 2х* + х2 — 2x+\,fl = 2x* — Зл:2 + л:— 1, /2 = л:2 + 5л:—3,
/з = —9л:+5, /4 — — !• Два вещественных корня в интервалах @, 1),
A. 2).
c) / = *4 — 2л:3-Зл:2+ 2^+Ь h = 2л:3 — Зл:2 — Зл: + 1, /2 = 9л:2 —
— За: — 5, /3 = 9л: + 1 г /4= + 1. Четыре вещественных корня в интер-
интервалах (—2, —1), (—1, 0), @, 1), B, 3).
d) f = x*—j<* + x2 — x—\, /1 = 4л:3 — Зл:2 + 2л:— 1, /2 = —5л:2 +
+ 10*4-17, f3 = —8x—5, /4 =— 1. Два вещественных корня в интер-
интервалах A, 2), (¦—1, 0).
e) / = Л4_4л;з_4л:24-4^4-1. /i = *3 — Зл:2 — 2л:+ 1, /2 = 5л:2—х—2,
/з — 18x4*1» /4=4~1' Четыре вещественных корня в интервалах
(-2, -1), (-1, 0), @, 1), D, 5).
776. a) f = x*—2л:3-7л:2 4-8л:4-1, h = 2л:3 — Зл:2 - 7л: + 4, f2 =
= 17л:2— 17л:—8, f3 = 2*—I, fi=U Четыре вещественных корня
в интервалах (—3, —2), (—1, 0), A, 2), C, 4).
b) / = *4—4*2 + *+lf /1 = 4ri-8;c-L-l, /2 = 8л:2—Зх-4,
/3 = 87л: — 28, /4 = 4~ !• Четыре вещественных корня в интервалах
(-3, -2), (-1, 0), @, 1), A, 2).
c) / = *4—х* — х2—х+\9 fi-4*3 — Зл:2 — 2л:— I, /а= !1л:2+ 14х—
—15^ f3 = —8л:+ 7, /4 =—1. Два вещественных корня в интервалах
@, 1) и A, 2).
d) / = ^_4л:34-8л:2—12jc + 8, /i = *3- Зл:2 + 4л:—3, h = — x2+
-f-бл:—5, f3 = —9л:4-13, /4 = — 1. Два вещественных корня л*1 = 2,
1 < х2 < 2.
e) / = х*—х8 —2jc+1, /i=---4*я — Зл:2 — 2, /2 == Зл:2 +24л:—14, /3 =
— — 56л; -(-31, /4 =—1. Два вещественных корня в интервалах @, 1)
и A, 2).
777. а) / = л:4 —6л:2 —4л:4-2, /i = *3 — Зл:— 1, /2 = 3л:2 + 3л:—2,
/3 = 4л:4-5, /4=1- Четыре вещественных корня в интервалах
И "У)' ("У' -l) . @. 1>, B. 3).
Ь = вх*-6х+\, /3-
= 2x— 1, /4=1. Четыре вещественных корня в интервалах (—3, —2),
0.1). (|.1)иA, 2).
с) / = Зл:44-12л:34-9л:2-1, h = 2л:3 + 6л:24-Зл:, /2 = 9л:24-9л:4-2,
/4=1- Четыре вещественных корня в интервалах
(-4,-3), (-1, -f), (-¦§.. -1),@. 1).
248

d) [ = х*—х*-4х* + 4х+\, /1 = 4*3-3*2-8* + 4, /2 = 7*2-8*—
__4t /3=Я?4^—5, /4=1. Четыре вещественных корня в интервалах
f) (| ), (-2, -1), (-1,0).
е) / = 9*4— 126*2 — 252*— 140, /i = *3 — 7*—7, /2 = 9*2 + 27* + 20,
s = 2x-\-3t /4=1. Четыре вещественных корня в интервалах D, 5),
778. а)/ = 2*б-10*3+10*-3,/г==*4-3*2+1, /2=*4*3-8*+3,
а —4, /4 = *, /Б= 1. Пять вещественных корней в интервалах
Ь) /=*в-3*6-3*4+11*3-3*2 —3*+1, /! = 2*»-5*4-
-f- 1 Ijc2 — 2*— 1, /2 = 3*4 —б*3 —*2 + 4*—1, /3=«4*3—6*2-{-1, /4==
=» 26*2 — 26*+5, /б = 2* — 1, /в = 1. Шесть вещественных корней
в интервалах (-2, -1), (-1, 0), (о, -I) , A, 1^ , A, 2), B, 3).
с) /=Я:а;6 + *4—4*3 —3*2 + 3*+1, /! = 5к4 + 4*3— 12*2 —
2-6*-2, /3 = 3*2 + 2*-2, /4 = 2*+1, /5=,1. Пять
вещественных корней в интервалах
(—2, —^"J , (—¦?>"» —1) .
(-1, 0), @, 1), A, 2).
d) / = *6 — 5*3— 10*2 + 2, /1 = *4_з*2—4*, /2 =
^3 = —2*2 + *+1, /4 = — 3*—-1, /б = —1- Три вещественных корня
в интервалах (—1, 0), @, 1), B, 3).
779. а) / = *4 + 4*2—1, /i = *, /2=1. Два вещественных корня
в интервалах (—1, 0), @, 1).
b) / = *4 — 2*3 + 3*2 — 9*+1, /1 = 2*—3, ft=l. Два веществен-
ных корня в интервалах @, 1) и B, 3).
c) / = *4 —2*3+2*2—6*+1, /i = 2*—3,/:2=l. Два вещественных
корня в интервалах @, 1) и B, 3).
d) / = д;5 + 5*4+10*2-5*-3, /1==*2 + 4*-1, /2 = 5*-1, /3=1.
Три вещественных корня в интервалах @, 1), (—1, 0), (—6, —5).
780. Ряд Штурма образован полиномами xs-{-px-\-qy 3*2 + p,
—2px—3qt —4р3—27?2. Если — 4р3 — 27?2 > 0, то р < 0. Все стар-
старшие коэффициенты полиномов Штурма положительны и потому все
корни *3 + р* + <7 вещественны. Если —4ps — 27q2 < 0, то независимо
от знака р ряд Штурма имеет при—оо две перемены знака, при+оо
одну перемену. В этом случае xs-{-px-\-q имеет один вещественный
корень.
781. Ряд Штурма образован полиномами xn-{-px-{-qt nxn~l-$-p,
—nq \n-l
)
-{n-\)px-nq, -p-n [{n_l)p )
249

При нечетном п знак последнего выражения совпадает со знаком
А = —(п—1)»-1р»_Л»^л-1. Если А > 0, то необходимо р < 0.
В этом случае полином имеет три вещественных корня. Если А < 0,
то независимо от знака р полином имеет один вещественный корень.
При четном п при А > 0 полином имеет два вещественных корня,
при А < 0 вещественных корней нет.
782. Ряд Штурма образован полиномами f — xh— Ьахь + Ъа2х-\-2Ь,
flZS>x*-3ax2 + a2, f2 = ax*-2a2x—bt fa = a(a*x*-bx—a*), /4 =
= a(a*-b*)x, /б=1.
Если А = аб — Ь2 > 0, то а > 0, и все старшие коэффициенты
полиномов Штурма положительны. В этом случае все пять корней
полинома / вещественны. Если А < 0, то полином / имеет один
вещественный корень.
783. Функции F(x),Ff (x)u[f (х)]2 образуют ряд Штурма для/7.
Старшие коэффициенты ряда Зао, \2а% и 9al положительны. Следо-
Следовательно, число потерь перемен знака при переходе х от — оо
к -f- оо равно 2.
Если / имеет двойной корень, то/7 имеет один тройной корень
и один простой. Если / имеет тройной корень, то F имеет четырех-
четырехкратный.
784. Пусть /^ и /^+1—два соседних полинома «полного» ряда
Штурма. Если их старшие коэффициенты имеют одинаковые знаки,
то их значения при + оо не образуют перемены знака, а значения
при — оо дают перемену знака, так как степень одного из полино-
полиномов четная, степень другого нечетная. Если же старшие коэффициенты
имеют противоположные знаки, то значения /^ и/^+1 при+оо дают
перемену знака, а при — оо не дают. Поэтому, обозначив через vx и v2
число перемен знака в ряду Штурма при — оо и + °°> имеем, что
= rt. С другой стороны, vx — v2 равно числу N вещественных
п а^
корней полинома. Следовательно, v2 = —^— , что и требовалось
785. ?« = ?„-!• Далее, Еп=Еп^1—( ) . Поэтому полиномы
доказать.
pi—F . ТТя лрр F —F . I
п\
хп
ЕПУ Еп-г и р образуют ряд Штурма для Еп на интервале
(— со, —8) при сколь угодно малом 8. Распределение знаков дается
следующей таблицей:
— оо |(— 1)» (—1)я-1(—1)я-1
- 8 | + + (-1)»-1'
Следовательно, при четном п полином Еп не имеет отрицательных
корней, при нечетном п полином Еп имеет один отрицательный
корень. Далее, при #^>0 полином Еп(х) > 0.
250

786. Замена n-кратного дифференцирования (п— 1)-кратным
дифференцированием первой производной и применение формулы
Эйлера для производной от произведения приводят к соотношению
Рп^хРп^1 — (п — 1) Рп-2» которое обеспечивает доказательство поло-
положительности старших коэффициентов и применимость результата
задачи 759.
787. Полиномы связаны соотношением Prt = (*— 2/t-f- 1) Pn-i—
— (л—1JР„_2> из которого следует положительность старших коэф-
коэффициентов и примененимость теоремы задачи 759.
788. Подсчитывая двумя способами
dxn dxn
получим
Старший коэффициент Рп равен я+1, в чем легко убедиться по
индукции.
789. Развернув по формуле Эйлера тождество
dn *2+l йПштЛ х
Ул2+1 = У'х*+\
dxn dxn~l
получим
Старший коэффициент Рп равен п\.
790. Преобразуем посредством формулы Эйлера тождество
\хЧх) __d"[ Bл:— l)g*
dn+1
"" dxn
Получим
Рп = {2пх + 1) Pn-i—n (п — 1
Старший коэффициент Рп равен (л+1)!.
791. В круге радиуса 1 два корня, в круге радиуса 2 все пять
корней.
792. а) 4; Ь) 3; с) 0.
793. Индекс f (х) относительно g(x) должен быть равен ±п,
где п — степень f(x). Поэтому все корни / вещественны и одинако-
одинакового типа. В силу этого (см. решение задачи 759) между соседними
корнями / должен находиться по крайней мере один корень g. Если
степень g равна п—1, то все корни g этим исчерпываются. Если
степень g равна я, то л-й корень g тоже вещественный и должен
находиться вне интервала между наименьшим и наибольшим кор-
251

нями /, так как иначе в одном из интервалов между соседними кор-
корнями / окажутся два корня g, что невозможно.
794. Пусть т — п, хх < х2 < ... < хп—корни полинома /(*),
Уг < #2 < • • • < #л—корни полинома g (x). Без нарушения общности
можно считать, что
Xi < У1 < Х2 < у2 < ... < */„_! < *„ < уп.
Перепишем уравнение VW + |igW = 0 в виде:
Ясно, что г|э (#) меняется:
от -j-S- до —оо при — оо <х < f/x, обращаясь в 0 при лс =
от+оо до —оо при tjk < х < yk+ъ обращаясь в 0 при х =
от + оо до -~ при */„ < х < + оо.
Здесь а0 и 60 — старшие коэффициенты f(x) и q> (x)y которые мы
считаем положительными.
Вследствие непрерывности ty(x) в каждом из рассмотренных ин-
интервалов, уравнение г|з(#) = —--- имеет п вещественных корней,
если —-р Ф -~-, и п—1 вещественный корень, если—-tt.=—SL. Та-
ким образом, число вещественных корней уравнения Я/ (х)-\-цу(х)
равно его степени.
Аналогично рассматривается случай, когда т = п—1.
795. Пусть ФB) = с(г —го)ЛA + (г —zo)co(z)). Найдем 8 > 0 так,
что | (г — г0) со (г) | < -=- при | г—г0 | < е, и будем предполагать, что
р < е. Тогда, если | г|) (г) | < — срЛ на окружности |г — го| = р, то,
положив ф! (г) —сB—го)Л, ф2(г) = ф(г) + \|)B) —ф!(г)э получим, что
на окружности | г —г0 | = р будет | ф2 (г) | < cpk — \ ф2 (г) |. Остается
применить теорему Руше.
/ (х)
796. Пусть ф (х) = ' у ' t Полином /(*) — /#(*) имеет, при до-
достаточно малом t, k корней в окрестности х0. Среди них при
имеются комплексные при одном из знаков t.
797. Очевидно, что все корни f (х) и g(x) вещественны. Пусть
между двумя соседними корнями Xi и х2 полинома / (х) нет корня g (x).
f (х)
Тогда функция ф (х) = - v 7 непрерывна при X!^x<jta и равна
^ к*)
нулю на концах. Найдется точка х0, -в которой ф'(ло) = О и, сле-
252

довательно, ф (х)—ф (х$) имеет кратный корень. Тогда ф (#)— ф (д:0)—t
при подходящем / имеет комплексную пару корней, что противоре-
противоречит условию.
п
799. J-Jfl—У —!—, где zk — корни /(г). Пусть z = a—bi,
b > 0. Тогда
Im
Следовательно,
/' (a-W) Ф 0.
801. Любая выпуклая область есть пересечение содержащих ее
полуплоскостей.
802. A/i (*) + М/2 (*) имеет все корни вещественные при любых
вещественных постоянных ^иц ; задача 794). Следовательно, в силу
теоремы Ролля, Ц\ (х) + н/'г (х) имеет все корни вещественные. От-
Отсюда следует (задача 797), что корни f\(x) и /?(*) разделяются.
803. Если вещественные части корней полинома f(x) — xn -}-
+ diX71'1-^ ... -\-ап имеют одинаковые знаки, то мнимые части кор-
корней полинома
inj (— ix) = хп -\ ia\Xn -1—а2хп ~2—ia3xn ~ 3 + ..,
тоже имеют одинаковые знаки, и обратно.
В силу результата задачи 793, для этого необходимо и доста-
достаточно, чтобы корни полиномов хп — а2хп~2 + а&хп~~4—... uaixn~l—•
— авхп-3-\-аъхп-ь—... были вещественны и разделялись.
804. Нужно, чтобы было а > 0 и чтобы корни полиномов х3—Ьх
и ах2—с были вещественны и разделялись. Для этого необходимо
и достаточно условие 0 < — < b или с > 0, ab—с > 0.
Итак, для отрицательности вещественных частей всех корней
уравнения
необходимо и достаточно выполнение неравенств а > 0, с > 0, ab—c>0.
805. а > 0, с > 0, d > 0, abc—c2—a2d > 0.
806. Положим x=j^-. Легко видегь, что если |*| < 1, то ве-
вещественная часть у отрицательна, и обратно.
Следовательно, для того чтобы все корни хъ х2, xs уравнения
( = 0 были по модулю меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы
корни уравнения /f-j-i^-j=O имели отрицательные веществен-
\ * У J
253
все

ные части. Это уравнение имеет вид
у*(\-a + b-c) + y* C-a-b+3c)+y C + a-b-
Легко видеть, кроме того, необходимость условия
Ha основании результата задачи 804 получаем необходимые и доста-
достаточные условия:
\^а + Ь—с>0; 1+а + & + с>0; 3—а—Ь + Зс> 0;
1— b + ac—с2 > 0.
807 /М
+ ... fa^*^... ^г .
При х, меняющемся от 0 до оо, первая группа слагаемых возрастает
от 0 до оо, bm=*const, следующие слагаемые возрастают от —оо
до 0. Сумма возрастает от — оо до + оо или от —Ьт до +00-
808. Пусть р — единственный положительный корень полинома
Ьохп—М11"*— • • • —ьп и | х | > р. Тогда
809. Пусть ф (*)=--=ао*»+... +а/я-1*
где 6/ = — а/ при а,- < 0 и 6/ = 0 при а/^0. Если х > р, где р — един-
единственный положительный корень ц>(х), то / (*) ^ ф (*) > 0.
810. (дс—1)/(^) = аодС« + 1«(ао-а1)ля— ... -(а^—а,,)*—ая,
Этот полином имеет единственный положительный корень (задача 807),
равный 1. Остается применить результат задачи 808.
811. Полином / (х) — пхп—xn~x—лс"-2—.*. — 1 имеет веще-
вещественный корень 1. Далее, пусть F (л:) = (л: — 1) / (х) = пхп + 1 —
— (п+\)хп-\-\. Тогда F' {х) = л (п+\) (х— l)^"-1. При нечетном п
полином F (х) имеет единственный минимум при #=1 и, следова-
следовательно, не имеет корней, кроме двойного корня х=\. При четном п
полином F (х) возрастает от — оо до 1 при — оо < #«^0, убывает
от 1 до 0 при 0<:л;^1 и возрастает от 0 до оо при 1^#< оо.
Поэтому F (х) в этом случае имеет единственный корень, кроме
корня х=\.
812. Все корни /' (х), очевидно, вещественные. Обозначим их
6i> ?2» •••» ?/*-!• Далее, обозначим через уъ у2, ..», уп корни поли-
полинома f(x) — b9 через хъ х2, ..., хп — корни полинома f(x) — a. Тогда
уг < Ei < 02 < h < *• • < Уп-i < Ея-1 < Уп>
Хх < li < Х2 < 12 < ... < Хп-х < 1п-1 < *п-
Из этих неравенств следует, что интервалы, ограниченные точ-
точками Xj, у;, не пересекаются, ибо они заключены в непересекающихся
254

интервалах
(-оо, Si): F1. U); ...; (?„-1, +00).
Полином /(*) принимает на концах каждого из рассмотренных ин-
интервалов значения а и Ь и проходит внутри интервала через все про-
промежуточные значения. Следовательно, f (х)—X обращается в 0 на
вещественной оси п раз, что и требовалось доказать.
813. Если 256а4<аь нужно устроить так, чтобы все корни были
отрицательны и один из них был трехкратным (или четырехкратным,
если 256a4 = ai). Если 256я4 > я?» то корни должны составлять две
пары сопряженных с одинаковыми вещественными частями (одна из
них может вырождаться в двойной корень). Это можно сделать бес-
бесконечным множеством способов.
814. Если / (я) не имеет кратных корней, то задача есть частный
случай задачи 794. Если d (х) = (/ (*), /'(*)), то утверждение верно
для •ту-тН'А' А(\* Остается присоединить корни d(x).
815. Пусть g(x) = ao(x + ll)(x + K2) ...(х + к„), Fo(x) = aof (x)t
Fx {х) = Fo (x) + Х^'о (x) = aof (x) + e0X,/' (*), F2 (x) = F, (x) + X2F[ (x) =
= aof {x) + a0 (ki +12) f (x) + aoKikif" (x) и т. д. Тогда Fn (x) =
x)+ ... +anf<n) {x)i где ^
aif ..., а„ — коэффициенты g* В силу результата задачи 814 все
корни всех полиномов Fo, Fit ..., Fn вещественны.
817. Полином апхп + пап-1хп-1-{-п (п— 1) ап-2хп~2-{-.,. +aon!
имеет только вещественные корни. Следовательно, все корни аоп\хп+
+ ахп (п—1) ... 2x"-l+ . *. +nan-ixJran вещественны. Применив
еще раз результат задачи 816, получим, что все корни полинома
aotilxn + ain-nin— 1).. Лхп+а2п(п— \)-п{п— 1).. .За"-2+. . .+anti\
вещественны. Остается поделить на л!,
818. Все корни пблинома
вещественны. Остается применить результат задачи 817.
819. Обозначим через хъ х2у ..., хп корни полинома flo + fli* +
+ ,..-\-апхп. Без нарушения общности их можно считать положи-
положительными. Тогда |Ф(*)| = Д ax~~Xi
i=
ах—;
a = cos0 + ^sin0. Пусть лг = p (cos X-\-i sin X). Легко видеть, что
ах—;
ах—
4pXj sin 8 sin X
\ах-х{\*
Отбросим неинтересный случай sin 0 = 0.
255

Если sin X Ф 9, то все
ах—xt
одновременно больше единицы
ах—>
или одновременно меньше единицы и их произведение не может рав-
равняться 1. Следовательно, ф (х) Ф 9.
820. Пусть
1 /(Л> (а)
77Т ' м ==г (cos ф + * sin ф), г—a = p(cos 9 + t sin 9).
Возьмем р настолько малым, что | ф (г) \ < 1, rpk < 1. Тогда |/(г)|==
где I ЯI < 1.
При 9 = Bт~^)Я~У, т=1, 2, .... /г, | / (г) |< |/ (а) |.
При е = 2т"~ф> т=1, 2, .... Л, |/(г)| >|/(а)|.
Таким сбразом, при изменении 9 от ——*• до ^-\-2п функция
|/B)| — |/(а)| меняет знак 2k раз. Вследствие непрерывности \f(z)\—
— | / (а) | как функции от 9, | / (г) |— | / (а) \ обратится в нуль 2k раз,
что и требовалось доказать.
821. Так же, как в предыдущей задаче, покажем, что Re (/(г))—
— Re(/(a)) и Im(/(z)) —Im(/(a)) при г = р (cos 9 -ft sin 9) меняют
знак 2k раз при изменении 9 на 2я, если только р достаточно мало.
По формуле Тейлора, положив -гг f{k) (a) — r (cosф + i sinф), получим
/(г)-/(а) = ФЛ1со8(ф + Л9) + 18т(ф + Лв)][1 + ф(г)], ф(а) = 0. Вы-
брав р так, чтобы | ф(г) | < 1, получим, положив Ф(г) = ф1B)+'фгB):
Re (/ B)) - Re (/ (a)) = rpk [ cos (ф + /г9) A + ф1 (г)) - sin (ф + ^6) ф2 (г) ];
1ш (/ (z))-Im (/ (а)) = rp* fsin (ф + ^9) A + ф1 B)) + cos (ф + Щ ф2 (г)\.
Положив ф + ^9==тл, т = 9, 1, 2, ..., 2/г, получим
Re (/ (г)) - Re (/ (а)) = rp* (-1)* A + в*),
где гт — соответствующее значение фх (г), \гт\ < 1.
Отсюда следует, что Re (/ (г)) — Re (/ (а)) меняет знак 2т раз при
обходе г окружности |г — а\ — р. Аналогичный результат получим для
Im(/(z)) —Im(/(a)), положив ф + &9=—-|-/7?я, т = 9, I, ..., 2k.
822. Уравнение разбивается на два:
П?)+_!__о „ ?J?)Lo
п
Разложение на простейшие дроби дает V1 ± —г = 9, Jf^ —кор-
^¦¦^ х—Хь ki
k=l R
ни / (jc), по предположению вещественные. Пусть х~а-\-Ы\ югда
j_\ ь A __j__<_n_
256

Для корней каждого из уравнений должно быть -г <ттт» откуда
к \о\
\b\<kn>
823. —0,6618. 824. 2,094551.
825. а) 3,3876, —0,5136, —2,8741; Ь) 2,8931;
с) 3,9489, 0,2172, —1,1660; d) 3,1149, 0,7459, —0,8608.
82в. Задача сводится к вычислению корня уравнения я3—3# +
+ 1=0, содержащегося в интервале @, 1). * = 0,347 (с точностью
до 0,001).
827. 2,4908.
828. а) 1,7320; Ъ) —0,7321; с) 0,6180; d) 0,2679;
е) —3,1623; f) 1,2361; g) —2,3028; h) 3,6457; i) 1,6180.
829. a) 1,0953, —0,2624, —1,4773, —2,3556;
b) 0,8270, 0,3383, —1,2090, —2,9563;
c) 1,4689, 0,1168;
d) 8,0060, 1,2855, 0,1960, —1,4875;
e) 1,5357, —0,1537;
f) 3,3322, 1,0947, —0,6002, —1,8268;
g) 0,4910, —1,4910;
h) 2,1462, —0,6821, —1,3178, —4,1463.
ГЛАВА VII
832. Да, только в полугруппе, в которой произведение равно
правому сомножителю.
833. 1) Произведение равно правому сомножителю; 2) произве-
произведение равно левому сомножителю; 3) {0, а}, а2 = 0; 4) {0, 1}$
5) {1, а}, а«=1.
834. 1) {а, а\ а», ...}; 2) {а, а2, ..., а\ а**1, ..., <**+'-*},
причем ak + l — ak\ если / = 1, то ak есть нуль полугруппы; если k=\t
то а1 единица и полугруппа является группой.
836. Полугруппа, в которой произведение равно левому сомно-
сомножителю.
837. Полугруппа натуральных чисел относительно умножения.
842. В качестве а+ можно взять только транспонированную
матрицу.
845. Порядок равен 2пп\.
847. f1(x)^a1x+bit f2(x) = a2x+b2. Тогда
/2 (/i (х)) = %а2х + (axb2 + Ьг).
852. Изоморфизм осуществляется показательной функцией*
853. Каждое такое преобразование осуществляет подстановку
вершин треугольника.
257

854. Каждое такое движение осуществляет подстановку пар про-
противоположных вершин и обратно, любая подстановка пар противо-
противоположных вершин может быть осуществлена движением куба.
856. Порядок равен 2п.
857. (abJ=l влечет ab = (ab)-1 = b-1a-1 — ba.
858. а) Я={1, а2, а4, а6}, На={а, а8, а5, а7}, где а образующая,
b) Я={1, A2)}, Яа = {A23), A3)}, Яа2 = {A32), B3)}, а = A23).
c) Я—циклическая группа порядка 4. Элементы, составляющие
один класс смежности, — вращения, переводящие исходную грань
в какую-либо другую.
d) Классы смежности — множества матриц с фиксированным опре-
определителем.
859. Пусть т — порядок группы. Тогда а = ат + 1 = Ь2, где
т + 1 т+1
Ь*=а 2 . Обратно, если а — Ь2, то b~bm + 1 = a 2 .
860. Наибольший порядок 60 имеет подстановка, составленная
из циклов 3-го, 4-го и 5-го порядков.
861. Вся группа, единичная подгруппа и циклическая подгруппа
третьего порядка — нормальные делители. Три подгруппы второго
порядка сопряжены.
862. Переход к обратным элементам осуществляет взаимно одно-
однозначное соответствие между правыми и левыми классами смежности.
863. Я и б\Я являются одновременно правыми и левыми клас-
классами смежности.
864. Имеет место формула (G:H) = (G:K) (К:Н), где (G:H) обоз-
обозначает индекс подгруппы Я в группе G.
865. Если z^Htfi П Я2г2, то Я1г1 = Я1г, H2z2 = H2z и Я^х f|
П Hiz2^H1z П H2z = (H1 П Я2) 2. Индекс (G:H) равен числу не-
непустых пересечений Я^х П Я2г2.
866. Если а принадлежит центру и с—любой элемент группы,
то сас = а.
867. Число элементов в классе сопряженных равно 1 для эле-
элементов центра, в частности, для единицы, и является степенью^ для
нецентральных. Следовательно, центр нетривиален, иначе число
элементов группы не делилось бы на р.
868. Если группа содержит элемент порядка р2, то она цикли-
циклическая. Если нет, то имеется центральный элемент а порядка р.
Если fe — элемент, не входящий в циклическую подгруппу, порожден-
порожденную а, то ЬР= 1, ab = ba и все элементы однозначно записываются
в виде akbm, 0<^<p—I, 0<m^p—1.
869. 1) Циклическая группа. 2) Группа с коммутирующими об-
образующими а, Ь, с; 42 = &2 = с2= 1. 3) Группа с коммутирующими
образующими а, Ъ\ а*=1, 62=1. 4) Группа диэдра: а4=1, 62=1,
ЪаЬ — аъ. 5) Группа кватернионов: а4=1, &2=»а2, b-1ab = a3.
258

870. Следует из правила умножения комплексных чисел. Ядро —
аддитивная группа целых кратных 2зх.
871. Ясно, что сумме полиномов соответствует сумма строк.
Изоморфизм следует из существования и единственности интерполя-
интерполяционного полинома.
872. Ядром является аддитивная группа полиномов, делящихся
на (*—*i) (*—*a) • • • (*—*л)«
873. Если д/я=10, то (ф (#))"* = 1/f.
875. Число элементов в классе сопряженных элементов равно
индексу централизатора любого из них.
876. Подстановки, имеющие одинаковые разложения на циклы.
877. Групповые аксиомы легко проверяются (коммутативность//
используется при проверке ассоциативности G). В силу задачи 861,
всякий элемент из Н есть квадрат другого* Поэтому ха = у2а — уау1.
878. Пусть а?/С. Централизатор элемента а имеет порядок 2,
а следовательно совпадает с {1, а}, причем а2=1. Если b ^ а и
b?Kt то из (abJ=l следует bab — a, т* е* b принадлежит центра-
централизатору, что невозможно. Поэтому aK = G\K. Если допустить,
что abiab2 = b3?K (при Ьъ Ь2?К), то (Ьф2J—\> что невозможно*
Следовательно, Н = аК есть подгруппа и нормальный делитель*
Ее порядок нечетный, так как в ней нет элементов второго по-
порядка. Далее К = аН. Поэтому, при любом х?Н будет (ахJ = 1,
так что аха — х*1, следовательно, x1x2xTlx21 = XiX2axiaax2a =
= XiX2(x1x2)mml=\1 т. е. Н—абелева группа*
879. Циклическая группа 3-го порядка и симметрическая груп-
группа 53,
880. Две группы 4-го порядка, группа диэдра порядка 10 и зна-
знакопеременная группа /44.
882. Существует конечное число подгрупп, сопряженных с Н
(задача 881), и их пересечение имеет конечный индекс (задача 865),
883. Отображение, данное в указании, гомоморфно, его ядро
является нормальным делителем, образом—группа подстановок п
элементов, порядок которой есгь делитель п!«
884. а) Если aba-1b'1=lf то ab = ba и обратно*
b) Достаточно показать, что элемент, обратный к коммутатору,
есть коммутатор. Но (aba~1b~i)~i = bab~1a~1.
c) с-1 (аЬа-Ч-1) с = (с^ас) (сЧс) (с^ас)-1 (с-Чс)-К
d) Образы всех элементов после факторизации по коммутанту
коммутируют, ибо их коммутаторы обращаются в единицу*
e) Если G/H абелева, то все коммутаторы попадают в ядро при
факторизации по Я*
885. aba-1b-1=(aba-*)b-1?B; аЬа-Ц-г^афа-Ч-Ц^А*
886. Непосредственно следует из предыдущей задачи.
259

887. Если группа G имеет нетривиальный центр Z, то либо Z,
либо G/Z содержит элемент порядка р. Во втором случае берем
элемент Q из класса смежности G/Z порядка р. Он порождает ци-
циклическую группу, порядок которой делится на р. Таким образом,
в обоих случаях задача сводится к случаю абелевой группы.
Если же центр состоит только из единицы, то найдется класс
сопряженных элементов, число элементов которого не делится на р.
Централизатор любого элемента этого класса есть подгруппа 0, по-
порядок которой делится на р, и можно применить индукцию.
888. В группе порядка 2р имеется подгруппа порядка р и по-
порядка 2 (задача 887). Группа порядка р есть нормальный делитель
(задача 863). Если а—образующий этой группы и b — элемент по-
порядка 2, то bab — ak, b2ab2 = a — aki, откуда &2s==l, uss^l (modp).
Если fcssl — циклическая группа, если &ss—1 — группа диэдра.
889. Если pr^rl (mod q), то существует только циклическая
группа. Если р=1 (mod q), a—элемент порядка р, b—элемент
порядка q, /—первообразный корень степени q в поле вычетов GF (р),
то группа задается образующими a, b и соотношениями ар = 1, bq = 1,
b"mlab = aK Замена образующего b влечет замену / на другие перво-
первообразные корни.
891. Если (Е+тА)п = Е, то пА + п(<п~^ тА* + ...=»0. Если т
делится на простое р^З или на р2, р = 2, то нетрудно убедиться,
что для некоторой позиции it j все слагаемые, начиная со второго,
делятся на более высокую степень р, чем первое.
892. Сопряженными являются все повороты на один и тот же
угол.
893. Очевидно, что центр SO C) тривиален и среди САС-гА~х
имеются вращения на угол ф0, отличный от 0. Если С — Е> то
САС~1А~1 = Е. В силу непрерывной зависимости угла поворота от С
элементы С АС-1 А-1 реализуют вращения на все углы от 0 до ф0, а
их квадраты, кубы и т. д. реализуют вращения на все возможные
углы. Таким образом, Н содержит все классы сопряженных эле-
элементов и совпадает с SO C).
894. Такие циклы образованы элементами а, ах, ..., ах-1, где
т—порядок х.
895. Пусть т—порядок элемента х, тогда n^md. Подстановка,
соответствующая х, распадается нд d циклов длины т и ее четность
или нечетность определяется четностью или нечетностью числа
d (m— 1). Для четности подстановки необходимо и достаточно, чтобы т
было четным и d нечетным. Если /i = 2*/Zi при нечетном пъ т должно
делиться на 2k. Пусть m = 2^m1. Тогда # = х"ц есть элемент по-
порядка 2k. Подстановка, соответствующая элементу у, тоже будет
нечетной.
260

896. Из решения задачи 895 следует, что ядро Gi упомянутого
в указании гомоморфизма состоит из элементов, порядки которых
не делятся на 2Л. Группа G± снова удовлетворяет условию и для
нее имеется гомоморфизм на {±1} с ядром G2, состоящим из эле-
элементов, порядки которых не делятся на 2Л~1 и т. д. В качестве G^
получим подгруппу, состоящую из элементов нечетного порядка.
Все группы Glt G2, ..., G^ — нормальные делители G, ибо они ха-
характеризуются порядками элементов, а порядки не изменяются при
сопряжении.
898. Если Нах = Нау то аха^Н и х^а"хНа. Элементу #
отвечает единичная подстановка, если Нах = На при всех а, т. е. если
х?Г\а~1На. Обратно, если х?Г\а~1На, то Нах = На при всех а,
т. е. элементу х соответствует единичная подстановка.
899. Группа автоморфизмов бесконечной циклической группы
имеет порядок 2, ибо она содержит только один нетривиальный
автоморфизм а—>а*1. Группа автоморфизмов конечной циклической
группы порядка т изоморфна мультипликативной группе кольца
вычетов по модулю т.
900. Обозначим порядок группы диэдра через 2т. Группа авто-
автоморфизмов изоморфна группе линейных функций х—>ах + Ь с коэф-
коэффициентами в кольце вычетов по модулю т, причем а взаимно
просто с т.
901. Группа автоморфизмов изоморфна полной линейной группе
GL (m, К) над полем /C = GF(p). Здесь через т обозначено число
прямых слагаемых.
902. Группа автоморфизмов изоморфна группе вращений, совме-
совмещающих куб, и, следовательно (см. задачу 854), симметрической
группе 54 подстановок четырех элементов.
903. Ассоциативный закон легко проверяется, пара A,1) является
единицей и (gt h)-1 = (g-\ (W1)-1).
904. Сопоставление (/, h) —> fh есть гомоморфизм полупрямого
произведения на FH, ибо (fv hj (/2, Л2) = (У2, Л{^2) и /ДДД, =
905. Порядок Ф равен mkmt порядок U равен /г**-1, так что
(Q):U) = km. Подгруппы, сопряженные с V, состоят из пар A, /),
где /—функции, принимающие значение 1 на фиксированном аргу-
аргументе. Поэтому пересечение подгрупп, сопряженных с U, есть A, 1),
и представление подстановками классов смежности изоморфно.
906. Пусть автоморфизм h—> h& при h?Ht g?G задан. Сопо-
Сопоставим элементу (g, /) сплетения элемент fg9 JJ (/(*))* \ П0ЛУ-
прямого произведения GH. Легко проверяется, что это отображение
есть гомоморфизм на GH,
261

907. Элементы х±у входящие в пары (xlf 1)?F, составляют нор-
нормальный делитель Мг группы Ях. Соответственно, элементы х2у
входящие в пары A, x2)?F, составляют нормальный делитель М2
группы Яа. Прямое произведение МгМ2 есть нормальный делитель F
и HilMx ?* F/M1M2 ^ H2fM2. Таким образом, между группами HJMi
и Н2/М2 имеется изоморфизм и пары (уъ y2)?F составлены из
элементов, принадлежащих соответствующим в силу этого изомор-
изоморфизма классам смежности Н^Мх и Н2/М2.
908. Указанная подгруппа есть ядро гомоморфизма свободной
группы на аддитивную группу вычетов по модулю т. Этот гомо-
гомоморфизм сопоставляет каждому слову сумму показателей при обра-
образующих.
909. Сопоставим каждому элементу строку из сумм показателей
при образующих. Это отображение есть гомоморфизм на свободную
абелеву группу с к образующими. Ядро этого гомоморфизма совпа-
совпадает с Я. Так как G/H абелева, Я содержит коммутант. Но все
коммутаторы содержатся в Я, следовательно, Я совпадает с комму-
коммутантом.
910. Так как длина произведения элементов G отличается на
четное число от суммы длин, сопоставление элементу длины k числа
(—\)k есть гомоморфизм и его ядро Я составлено из всех элементов
четной длины. Далее, &/а = (а&/)-\ bibj = (abi)-1abj> так что с/ = а^~
образующие Я. Для установления их свободы достаточно показать,
что в несократимом слове из с/ и обратных, после замены С( на аб/
ни один образующий 6/, /=1, ..., п, не сокращается, в чем легко
убедиться методом индукции по длине слова.
911. Если *?Я, x = at ... am = bx ... bm где ai% bj суть обра-
образующие и им обратные, то а~* ... а-^Ь-1 ... Aj1, в силу свойства
соотношений в Я. Поэтому отображение а (х) = а-1 ... or* не за-
зависит от представления х через образующие и является автомор-
автоморфизмом второго порядка.
912. Ясно, что а? = а| = аг=1. Пусть апап^г ...ai=l, где а/
принимают значения ох, оу> oz, причем оц и а/+1 различны,
1 = 1 п—1. Возьмем точку Ж0 из области x2-\-y2>z2, t/2+z2>#2,
z2 + x2 > у2 (например, точку х = у = г = — J и положим Ж 1
М2 = а2Мг, ..», Мп = оспМп-1. Тогда Мп = М0, Мп_г = апМ0. Пусть
Мь — точка с наибольшей суммой координат. Тогда k > 0 и k < я,
ибо сумма координат точки Мо меньше чем для точек Мг и Мп-г.
Далее, М^ + 1 = ал + 1М^ и М^_1 = а^М^. В силу первого замечания
в указании должно быть а^ = ал + 1, и мы пришли к противоречию.
915. Пусть F (хъ х2, ..., хп) — полином, меняющий знак при
нечетных перестановках переменных. Так как F (*2, х2, *3> • • •, хп) =
262

= — F (x2, x2i ..., *„) = 0, F (лгь x2, ..., xn) делится на хг — хг. Анало-
Аналогично доказывается, что F (хъ хъ ..., хп) делится на все разности
Xi—Xk- Следовательно, F (хъ х2, ..., хп) делится на А =» JT (#/—•*Л),
равное определителю Вандермонда. Ввиду того, что определитель А
F
меняет знак при нечетных перестановках переменных, -г—сим-
-г—симметрический полином.
916. Пусть ф (xi, x2, -..., хп) — полином, не меняющийся при чет-
четных перестановках переменных. Обозначим через <р (хи х2, ..., хп)
полином, получающийся из ф (хъ х2у ..., хп) посредством какой-либо
определенной нечетной перестановки.
Нетрудно проверить, что при каждой нечетной перестановке ф
переходит в ф, ф в ф. Следовательно, ф + Ф не меняется при всех
перестановках, ф-—ф меняет знак при нечетных перестановках.
Далее,
где А —определитель Вандермонда. На основании результата задачи
915 F2 есть симметрический полином; Fi — тоже симметрический
полином, так как не меняется при всех перестановках переменных.
917. Переменные хъ хъ ..., хп можно выразить линейно через /ь
Ль Л2» •••» Лл-i' Следовательно, каждый полином от хъ х2, . *., хп
можно представить в виде полинома от flt r\i> rJ, ..., "n^.i:
F (*i, xtf .... xn) = 2Aftfg4\** ... Ti«i-*-
При круговой перестановке переменных xlf хъ «.., хп одночлен
Л/?0*]?1^2' • • 'Пл-!1 приобретает множитель 8~<а1 + 2СХ8+-+(Л-1)а«-*>.
Следовательно, для того чтобы F (хъ х2, .*., хп) не менялся при
круговых перестановках переменных, необходимо и достаточно, чтобы
ai + 2a2+ . *. -\~(п—1)а„^1 делилось на п.
918. Можно взять fv тЦ, r\2v\~2, **«, Лд-^Г (л)«
919. Пусть <ц1~х1-\-х2г-\-Хъг2\ r\2 = x1 + x2&2+x3et где е =
= —рг+^-'т;—• Тогда — = ф1 + г}^3ф2, где фх и ф2 —некоторые
г г ц2
рациональные функции от хъ х2< х3 с рациональными коэффициен-
коэффициентами, не меняющиеся при круговой перестановке хъ х2, xs. Легко
видеть, что через /i=*i+*2+*3> Ф1 и Фа рационально выражается
каждая рациональная функция от хъ х2, x3i не изменяющаяся при
круговой перестановке переменных.
263

Достаточно это доказать для адГ* и г\\. Но
з = х1— ix2—
920. При я =
Положим бутить; е2 + ^3 = -2^; Q2-iQ3 = ^^-. 0Ь 02, 03 суть
"Пз Л1
рациональные функции с рациональными коэффициентами от xit х2,
Х3> х±, не меняющиеся при круговых перестановках. Легко видеть,
что они вместе с / = хг-\-х2 + х3 + х^ образуют систему основных
функций. Действительно,
^г — ^з , „ „-з 02 — *вз „4 01 (92
=—еГ"' ад1 = 0!@2+ю3) • Ч1Я еа
921. Пусть
+хь.
Рассмотрим рациональную функцию Pi1 = -i^ и расположим ее
"Пз
по степеням е, заменив 1 на —е — е2—е3 — е4:
Хх = еф! + е2ф2 + е3фз + е4ф4.
Коэффициенты ф1( ф2, ф3, Ф4 суть рациональные числа. Заменяя е
на е2, е3 и е4, получим:
За «основные функции» можно взять /, <рь ф2, ф8, ф4. Дейст-
Действительно, через них выражаются рационально Xi, k2, к3, Я4« Далее,
264

922. Пусть Sn=z()Hoj—разложение Sn по Я, и пусть gai—по-
gai—полином, который получается из g подстановкой а/. Искомый поли-
полином есть
923.
924. a) t/3 —
(резольвента Феррари);
Ь) уЗ_(За? —86) у2 + (За4—
(резольвента Эйлера).
925.
—Ш)=0
ас—64а*) </—
— (а3 —
(а
± |/ 4а+ |*А
4а+ е j
62—64а3
8 = —^--| ^—. Знаки квадратных корней выбираются так, чтобы
их произведение равнялось —Ь.
926. (г/ + aL (t/2 + бау + 25а2) + 312564г/ = 0.
Корнями искомого уравнения являются:
(^2^4
Искомое уравнение, очевидно, имеет вид
) = 0,
где съ с2, ..., с8 — абсолютные постоянные. Для их определения
положим а = —1, 6 = 0 и а = 0, 6 =—1. Получим
а
— J
0
Ь
0
—1
хг
i
1
^2
/
8
^3
— 1
82
а:4
—/
е3
0
е4
Уг
1
0
У*
3 — 4/
—5
Уз
1
—5е4
У*
1
—5е3
У5
3 + 4/
—5е2
Уа
1
—58
265

В первом случае искомое уравнение имеет вид:
Во втором случае #6 + 312бг/ = 0. Отсюда мы определим все коэф-
коэффициенты, кроме с8. Легко проверить, что с8 = 0. Для этого можно
взять, например, а — —5, 6 = 4. В этом случае x1 = x2—U а осталь-
остальные корни удовлетворяют уравнению #34-2#2 + 3# + 4 = 0, и все
необходимые вычисления проводятся без труда.
ГЛАВА VIII
927. Множество функций ничем, кроме способа описания, не
отличается от арифметического пространства конечных последователь-
последовательностей, которое тоже можно рассматривать, как пространство функ-
функций на множестве УУ = {1, 2, ..., п).
928. a) fit /2 и /з линейно независимы; b) fi и /2 линейно неза-
независимы, /3 = 2/х — /2; с) fi и /2 линейно независимы, /з = /1 + 2/г,
f^ = 2f1 — /2; d) fi, /2 и /3 линейно независимы; е) /i и /2 линейно
независимы, /3 = — /1 + /2» /4 = — 5/i + 4/2; f) fu /2 и /3 линейно
независимы, /4==/1 + /2—/3; g) /ь /2 и /4 линейно независимы,
/з = 2/х — /2; h) /х и /2 линейно независимы, /3 = 3/1 — /2, /4 = /i— /2'»
О /ь /г> /з и /4 линейно независимы; j) /lf /2, /3 линейно независи-
независимы, /4 = /! — /2 — /3.
929. В обоих случаях можно, a)
-j-'T» ~~Т' —4")'
Ь) A, 0, —1, 0).
931. При п = 2: плоскость может быть разбита на три угла,
стороны которых проходят через еъ е2, е3. При п = 3: пространство
разбивается на четыре трехгранных угла, с ребрами, проходящими
через еъ еъ е3, еА.
п(п-\)
932. {qn^r){qn^q)i_(qn_qn^) = q 2 to
933. В примерах а), Ь) и с) размерность равна 2, в качестве
базиса можно взять fx и /2.
934. а) Размерность пересечения равна 1, базисный вектор есть
Л = E, —2, —3, —4) = /!—4/2 = 3g1—g2. Базисы подпространств:
h, /1 и Л, git базис суммы h, flt gx.
b) Пересечение совпадает со вторым подпространством. Подхо-
Подходящий базис первого: glt g2, fi. Он же есть базис суммы.
c) Пересечение состоит из нулевого вектора, сумма — все четы-
четырехмерное пространство.
d) Пересечение одномерно. Базисный вектор: gr2 = 2/1 + /2—/3-
Базисы подпространств: /ь /2, g2 и glt g2f базис суммы /а, /2, gt, g2.
266

е) Базис пересечения: h1=g2—g1*m2f8--2f2 и h2=g3—gi=m
= 2/з — 2/i. Базисы подпространств: h±9 h2i /1 и къ h2i gv Сумма —
все четырехмерное пространство.
935. а) P-f Q = M; Pf|Q— пространство диагональных матриц;
b) P + Q^M; PflQ = 0;
c) P + Q состоит из матриц, имеющих равные элементы на ли-
линиях, параллельных главной диагонали и расположенных под ней.
Pf)Q состоит из скалярных матриц пхЕ.
936.
939-
940. qkm-— ;"~й ¦ '—т-г при k+m^n. Иначе решения нет.
946. Каждый полином из S однозначно представляется в виде
fiul-\~f2u2 со слагаемыми из 5.
947. dim(Pi + Q)n(^2 + Q) = 2. В качестве базиса можно взять
компоненты в разложении базисного вектора Q по подпространствам
Рг и Р2.
948. dim(Pi + Q)n(^>2 + Q)I=2^- B качестве базиса можно взять
объединение компонент базисных векторов Q по подпространствам
Рх и Р2.
949. j т~г^ гт^—TTi ПРИ л< mm (mi, m2).
Иначе задача не имеет решения.
953. Если ^i + Pi = x2-(-P2» то я2ё#1 + Ръ что влечет *2--#
и Р2 = х1—х2 + Р1 = Р1. Если а;2—A:1gP1=P2, то
954. {(\—с)х1 + сх2}^{х1-{-с(х2—х1)} есть прямая, содержа-
содержащая Х\ и jc2. Если прямая 1 = л;0 + Р содержит xlf то хх—хо?Р и
hL = Xi + P. Тогда x2?L влечет х2—хг^Р. Поэтому Р = {с(х2—х1)}
и L = {xl+c(x2—x1)}.
955. 1) yi?P означает, что yi — xx—х0, где xv xo?M. Тогда
2) i/i€^ и У2$Р означает, что i/i = x1—х0, у2 — х2—х0 при
. Тогда A—с)у1 + суа = A—cJ^ + Ofa—^о€^-
267

3) Возьмем с Ф 0 и сф 1. Имеем: с1у1-\-с2У2 — (^—с) т—^- Ух +
1 ~-~ с
956. Пересечение состоит из единственной точки х0—u = yo-\-v,
где xo—yo = + ?P ?Q
957. xo-*
958.
959. Не больше 3.
960. Точка пересечения е первой прямой имеет координаты
00 второй D2' lf 7' П)'
961. Для разрешимости задачи для прямых X0-\-tXj, Y0-\-tY%
необходимо и достаточно, чтобы векторы XOt Ko, Xi, Yx были ли-
линейно зависимы. Это равносильно тому, что прямые можно заклю-
заключить в трехмерное подпространство, содержащее начало координат.
962. xQ-\-P -\-Q-\-L, где L — одномерное подпространство, натяну-
натянутое на вектор у0—х0. Размерность равна dim(P + Q), если Пересе-
чение не пусто, и равна dim(P + Q)+l, если пересечение пусто.
963. к = 5. Тогда пересечение пусто, PflQ — О. Плоскости скре-
скрещиваются.
/г = 4 и пересечение пусто. Тогда 6\mPf]Q=\. Плоскости скре-
скрещиваются параллельно прямой.
/г = 4 и пересечение не пусто. Тогда P(]Q = 0. Плоскости пере-
пересекаются в точке.
/е = 3 и пересечение пусто, P = Q. Плоскости параллельны.
ЫЗи пересечение не пусто, dim Pf|Q = 1. Плоскости пересе-
пересекаются по прямой.
/е = 2. Плоскости совпадают.
964. 1) k = m1-\-m2+\\ многообразия скрещиваются.
2) k = mit Уо + Q содержится в хо + Р.
3) 1+т1^/г^т1 + т2. Здесь две возможности. Если пересе-
пересечение пусто — многообразия скрещиваются параллельно подпрост-
подпространству размерности тх-\-т2 — k-\-\. Если же пересечение не пусто,
то оно имеет размерность Шх-^-т^ — к. Имеется всего 2т2 + 2 воз-
возможностей.
965. *i + P, где Р—подпространство, натянутое на векторы
Х2—*ъ •••> xk—xi- Иными словами, оно составлено из линейных
комбинаций Ci*i + c2*2+- • • -\~ckxk> причем С! + са+...+с^= 1.
966. а) кегЛ = 0; Ь) базис ядра: (—1, 3, 5)т; с) базис ядра:
A, 1, 1)т; d) базис ядра: A7, —5, 2, 9)т; е) кегЛ = 0; f) базис
ядра: A, 3, 1, 0)Т и (-3, -5, 0, 1)Т.
268

967. В примерах а) и d) образом является все пространство Г,
в примерах Ь), с), f), g) за базис образа можно взять два первых
столбца матрицы Л, в примере е) — все столбцы.
968. В качестве матрицы D можно взять матрицу, последние
п—г столбцов которой составляют базис ядра, первые — произ-
произвольное дополнение до базиса пространства 5. Первые столбцы мат-
матрицы С—образы первых столбцов матрицы D, остальные—произ-
остальные—произвольно дополняют их до базиса пространства Т. Можно получить
матрицы D и С как произведения матриц элементарных преобра-
преобразований, переводящих матрицу А в матрицу ( 1 . Не приводим
численных ответов из-за их неоднозначности.
969. Дополним базис ker А до базиса S. Образы дополняющих
векторов линейно независимы и составляют базис AS.
971. В качестве R можно взять AS. Отображение 5 на AS эпи-
морфно, естественное вложение AS в Т мономорфно.
972. Любая тхя-матрица ранга г есть произведение
рицы ранга г на лхя-матрицу ранга г.
973. а) А
f) Л =
—2 (о 1 4j (ответы не однозначны).
У
974. P()Q есть ядро Л на Р.
975. dim АР ^ dim ЛГ = r\ diir^P = dimP — dim(Pf|ker A)^,p\
dim (Pfl кег Л) «^ dim ker А — т—г. Из этих трех неравенств следует
р-\-г — т «^ dim АР ^ min (р, г).
977. PcQ+кегЛ, QcP-f кег Л.
978. Положим Q=P0/?. Тогда Л<2=ЛР+ЛЯ и diiTMQ<diirMP-f-
+dim AR < dim АР + dim /? = dim AP + dim Q — dim P.
979. Необходимое и достаточное условие: BUaCS.
980. Необходимое и достаточное условие: кег Лскег С.
981. Необходимое и достаточное условие: BUczCS и кег Лскег С
(сравнить с задачей 463).
n(n-i)
9 Ф/Я (Я)
982. a) qmn\ Ъ) q а ^г т-г (при т^п);
269

983. ker/l = Q; AS = P;
— Ax = x = Az при любом
985. А В — единичный оператор на 7\ В А— оператор проектиро-
проектирования S на Р параллельно кегЛ, ABA —А, ВАВ = В.
986. В А — единичный оператор на S, А В — оператор проектиро-
проектирования Т на AS параллельно Q, АВА=А, ВАВ — В.
987. ВА — оператор проектирования 5 на Р параллельно кегЛ,
АВ — оператор проектирования Т на AS параллельно Q, ABA— А,
989. Пусть, в обозначениях задачи 981, ?/ = 7\ V = S, C = B = A.
Тогда уравнение АХА = А всегда разрешимо и ХХ = ХЛХ есть полу-
полуобратное отображение для А.
990. Необходимое и достаточное условие существования Л(~1):
кегЛГМ5 = 0. При выполнении этого условия Л(-1) есть полуобрат-
полуобратный оператор при P = AS, Q =кег Л. Отсюда следует единственность
Л*-1* и соотношение (Л(-1))() = Л.
991. Пусть В- и С- — полуобратные для В и С. Тогда В"В и
СС- равны единичным матрицам. Поэтому ВС (С~В~) ВС — ВС и
с-в-всс-в-=с-в~.
992. Константы принадлежат и к ядру и к образу. Поэтому D(-x>
не существует. В качестве полуобратного можно взять оператор
интегрирования /* -» Vl7** + 1> О^^^я — 2, с дополнительным со-
к-\-1
глашением tn -> 0 (ответ не однозначен).
993. D() есть оператор интегрирования с дополнительным со-
соглашением D(-1)c = 0 (с—константа).
994. n{m — r).
995. Г1 + /-2+ •. • +rm> где гл —ранг матрицы, составленной из
первых к столбцов матрицы Л.
996. dimP1 = dim Qu dimP2 = dimQ2, dimP1nP2 = ciim QiflQ2-
997. к —l и совпадение размерностей Р,- и Q/, /=1, ..., к.
998. Легко видеть, что Ь// = ^/—d/-i, у—d/,/-i + d/-ity-i, где
dl-y=dimPl-nQy. Через В/у обозначим систему векторов, которую
нужно присоединить к базису (Р/П Qy-i) + (^/-iflQ/)» чтобы полу-
получить базис P/DQy- Число векторов Б/у равно 6/у. По индукции до-
доказывается, что U ?/у составляет базис PaOQp и, в частности,
*<а,
/О
базис Pa= U Я/у» базис Qe = U ^//, базис 5= (J В.-,. Таким
*<а |'</г i</e
270

образом, из базиса, составляющего объединение всех ?/у, строятся
по определенному закону базисы всех подпространств, составляющих
флаги. Если для пар флагов F, Ф и F'f Ф' матрицы (Ьц) и (&,.)
совпадают, то найдется оператор, переводящий B(j в B\j при всех /,
/ и он переведет пару F, Ф в пару F', Ф\
999. Каноническая форма получается следующая:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Е2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Es
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Еь
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ев
0
0
Ei
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Е2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
?4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ее
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Е8
0
Ег
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Еа
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Е,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Е,
0
0
0
(Г
0
0
0
0
0
0
Ев
Е*
0
Здесь ?/—единичные матрицы. Их порядки и составляют полную
систему инвариантов.
1000. Если А вырожден, то xQ+AS Ф S и F не может быть
обратимым. Если А невырожден, то F-*(y) =—Л-^ + Л*1*/.
1002. В силу линейной независимости систем векторов хг—х0, ..•
..., хп — х0 и yi—y0, ..., Уп—Уо существует линейный оператор А
такой, что А (х(—хо) = у[—у0, t = l, ..., п. Тогда F(x)=y0— Axo+
-\-Ах осуществляет искомое аффинное преобразование.
1003. Пусть L = xo + P, M = yo + Qt dimP = dimQ. Тогда суще-
существует невырожденный оператор А такой, что AP=Q. Искомое пре-
преобразование: F(x) = y0—Ахо-{-Ах.
1004. Векторы на тройке прямых общего положения линейно
независимы и за счет оператора их можно совместить для обеих
троек. Если их (после совмещения) принять за базис, уравнения
прямых примут вид:
Li- У = Уъ г = гг\ L2: х = х2, г = г2; Ц: х = *3, у = у3;
При этом х3 Ф хъ ух Ф у3, гх Ф г2, *з Ф xL у[ ф у'г, г\ Ф г2. Но еще
остается возможность сделать аффинное преобразование, не меняю-
меняющее направлений прямых: х = ог1а;' + &1; y — a2y' + b2\ z — a3zf-\-b3t
причем йха2а^ Ф 0. Это преобразование и позволяет перевести L\ в Lu
L2 в L2 и L3 в Lz.
1008. Характеристический полином равен минимальному анну-
лятору вектора х.
271

1011. '\'2 t где /i, f2 и /з—характеристические полиномы на
/з
Рь Р* и
1016. Следуя указанию, получим x=ft (Л) gt (A) x-\-f2 (A)g2(A)x.
Первое слагаемое х2 аннулируется оператором g2(A), второе хг — опе-
оператором g1 (А). Однозначность следует из того, что если х = хг-\-х2=
=*i + #2» то у — х\—*i = #2—х2 аннулируется полиномами fx и f2 и
минимальный аннулятор для у равен константе, в силу взаимной
ПРОСТОТЫ /i И f2. ПОЭТОМУ #! = #! И Х2 = Х2.
1020. yl(A)q>m-l(A) Q = <pm (A) Q=0. Поэтому, ут-1 (A) Qc
СкегфЧЛ). Пусть г?кегф'(Л). Имеем, г = /(Л)г0, где г0 — вектор,
порождающий Q. Из tpl (A)F (А) го = О следует, что F (t) делится
на фт-/@» откуда ker фг (Л)Сф/л~/ (A) Q.
/F 0 ... 0\ /0
«022. rf.v....° Ь - f- \
\0 0 ... Я F/ \0
Я—матрица, состоящая из нулей, только с одной 1 в правом верхнем
углу.
А 0 ... 0\
1023. I ...'."....I (канонический жорданов блок).
\0 0 ... IV
1026. Для к = 2: пусть /t и /2—минимальные аннуляторы х± и
д:2 и /—аннулятор их суммы. Тогда fif2 делится на /. Далее, f(A)x1-\-
+f(A)x2 = 0. Применив /2 (Л), получим /2 (Л) /(Л) % = 0, откуда
полином /2 @ / @ делится на /t (/) и, следовательно, / (/) делится
на fi (t)\ аналогично, / (/) делится на /2 (/) и, следовательно, /(/) —
= /i@M0- Дальше—индукция.
1028. Любой вектор из 5 есть г = Р(Л)^0» где F—некоторый
полином. Если f1(A)z = O, то fi(t) F (t) делится на /2@, откуда/7^)
делится на /2 (/), так что г?/2(ЛM и ker /i (Л)с/2 (Л) S. Обратное
включение тривиально.
1030. Пусть #!, ..., л:^ — система образующих предыдущей за-
задачи, ф (/) — неприводимый множитель fk (/), гъ ...,г^ — какая-либо
другая система образующих. Рассмотрим 5х = 5/ф (Л) S. Это — пря-
прямая сумма к циклических подпространств с аннуляторами ф (t) и
характеристический полином на 5Х равен Фл@- Образы гь ..., zt
в S1 являются образующими с аннуляторами ф (t) или 1. Поэтому
1032. а) Я1г=1, ^! = сA, —1)т; Я2 = 3, Х2 = сA, 1)т;
b) Я1==7, Xi = c(l, 1)Т; Я2=-2, Х2 = сD, -5)т^
c) Xi = a/, Хг = с(\, 0Т; Я2 = ~ш, Л2 = сA, -0Т5
272

d) Я1 = 2, Х1 = г1A, 1, 0, 0)т + с2A, О, 1, 0)Т + с8A, О, О, 1)Т;
>.а = —2, Х2 = сA, -1, —1, —1)т;
e) Х = 2, Х = с1(-2, 1, 0)т + с2A,0, 1)т;
f) Х = —1, Х = сA, 1, — 1)т;
g)X1=1,X1=c1(l,O,l)T+C2(O, 1,0)т;А,2 = —1,Х2=<?A, О,—1)т;
h) Я!==0, ^! = сC, —1, 2)т; Я2,3=± Т^М,
X2j3==cC ± 2 I^H, 13, 2=F 3 уГИТ4)т;
i) Ях-1, Х1 = сC, —6, 20)т; Ха = --2, Х2 = с@, О, 1)Т;
j) Я1==1, Хх = сA, 1„ 1)ТД2 = 8, Х2 = сC + 2е, 2 + Зе; 3 + 3е)т;
2 + Зе2, 3 + 3е2)т,
1
где 8 = — —
к) Ял =
1 . « /3"
2kn , . . 2^я
где 8^ = cos ]— i sin
kit
1033. a)Xft = 2cos-^T, *=1, 2,
ft=l, 2,
1034. Xft = 2cos^pj, Л=1, 2, ..., я.
1035. Положим — = an. Тогда
к
2Ы . . . 2Ы , Л , ,
где 8b = cos \-i sin , /г = 0, 1, . *., /г— 1.
/г А2
1036. Нуль кратности п—1 и ajPi+ ... +ос„рл. Собственные
векторы: любые линейно независимые векторы на гиперплоскости
Pi*i + Рг#2 + . * * + Р/Л = 0- Если оьхрх + *.. + апРп 5^ 0, то имеется
еще собственный вектор (а1? а2, *.., а«)^", соответствующий нену-
ненулевому собственному значению.
1037. Характеристические числа матрицы А2 равны квадратам
характеристических чисел для А. Действительно, пусть
det М-Щ = (Х,-Х) (Х.-Я)... (Яя-Х).
Тогда
Перемножив эти равенства и заменив Я2 на Я, получим
det (Л2-Я?)= (Я! —X) (Xl — X) ... (ЯЙ —X).
1038. Пусть X есть собственный вектор матрицы у4, соответст-
соответствующий характеристическому числу X. Тогда f (A) X = f (к) X, т. е,
273

X есть собственный вектор /(Л), соответствующий характеристи-
характеристическому числу f (к).
1039. f(A)=*bo(A — 1гЕ) ... (A — \mE)t следовательно,
det / (Л) = ЪЪ det (Л -?!?)... det (Л -tmE) = bn0F fa) ... F &т),
т. е. равен результанту / и F.
1040. Пусть F (Я) = det (Л — ХЕ) = (Kt — Я) (Я2 - Я) ... (Яп - Я) и
/(*) = &<> (*—Ei) (*—12) ... (x—lmh Тогда
1041. Положим ф(^) = /(л:) —Я и применим результат предыду-
предыдущей задачи. Получим det (/ (Л) — Я?) = (/ (Я,) — Я) *.. (/(Я„) —Я), от-
откуда следует, что характеристическими числами матрицы / (А) явля-
являются /(Я!), ..., /(Ял).
1042. ai + a2+ • •• Jram ai—а2+ * •* +an-i — ап (только при чет-
ном л), ±\a1 + a2zk+iii+anek |, где eft=cos-j- + i sin —,
1043. Собственные значения для Л2 равны /г и —по. кратнос-
тями, соответственно, "Г и . Следовательно, собственными
значениями для Л являются }Л*, <—-Vn, i Vn , —/ У~п. Пусть
а, Ь, су d — их кратности. Тогда a-\-b= ~t , c-\-d= . Сумма
их [(а—&) + (?—d) i] Y^n равна 1 +e + 64+ *, * +е("-1J. Модуль
правой части (задача 207) равен У^п. Следовательно, (а — ЬJ +
+ (с—dJ—\. Если n — 4k-\-lf то c = d = k; a = k-{-l, b — k или
a = k, b = k+{. Если же я = 4/г + 3, то а = 6 = ^+1; с = ^+Ь ^ = ^
или c — k, d — k-\-\. Произведение собственных значений равно опре-
определителю. Из результата задачи 381 получим, что при /г =
будет a = k-{-1, b — k, а при я = 4& + 3 будет c — k-\-\, d — k.
1044. i+e + e4+..,+e<«-1)f = +l/n" при /г
l_|_8_)_84-l-*.8+e(w-1J = +i ^Я" при
1045. Если поставленное условие не выполнено, найдется пока-
показатель /^1 такой, что ЛЧ|)(Л) ^0 и Л^ + 1г|5(Л) = 0. Тогда
Л^ф (Л) S Ф 0 и это подпространство входит в ядро и образ Л.
Тем самым условие необходимо. Если оно выполнено, то / =
= —ая!^ (Л"-л + *. .-\-an~k-.iA) обладает свойством AJ = JA = A,
/¦ = / и ЛС-1)«-аЙ|к(Л»-л-1+..1+а|1.л.1Д + ая.А-1/), что
легко проверяется.
274

1046. Собственные значения равны kit
собственные векторы равны e*'*
= — n, ..,, 0, ,..,
1047
Каноническая
форма
2 0 0
0 10
0 0 —1
с)
d)
е)
—2 0 0
0 1 0
0 0 1
—3 0 0
0 1 0
0 1 1
—1 0 0
1 -1 0
0 0—1
2 0 0
1 2 0
0 1 2
f) /2 О
G~ 0 0\
О 0 ],
О —1/
g).
\
h)
i)
j)
к)
1)
0
КО
/0
0
\0
0
2
0
on
0
2>
0
—1
/-1
(
\
/0
A
\0
/1
A
\0
/1
1°
\0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
/
0
-1
0
0
1
0<
0
0,
0>
0
1,
/
0
0
—1
°\
°)
0/
\
).
/
\
).
°\
°)
-и
Ь) /-2 0 Оч /
( 0 1 0 , (
\ 0 0 1/ \
Преобр азующая
матрица
2 1 0\
1 0 0 ;
-2 —1 1/
— 1 2 0\
1 -1 0);
1 0 1/
—2 1 —4
1 0 1
1 —1 2.
1 4 On
О 3 1
0 —2 0>
1 —б — 2\
О -4 -1 h
,0 —3 —1/
2 4 1
1 3 1
-1 —4 —2
1 —1 2
1 1 1
-1 —2 О
2 0 3
1 —1 3
-1 2 —4
1 0 1
1 -5 -3 ];
-1 6 4/
О -5 1 ;
0 -6 1/
1 3 К
О -2 -1Ь
О —1 —1/
—2 —l + 2i —1—2/
1 1 — i 1 + /
1 2 2
/
(
/
275

m) /-2
¦2 0 0\
0 -1 0).
0 0 3/
n)
о)
1048. a)I
c)
2
0
0
0
I
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0\
0
0>
°\
°]
o)
I
1
0
1
<i
g/I-J
1049. Собственное значение A,= l. Канонические блоки поряд-
порядков 1, 2, 3.
1050. Собственное значение А,= 1. Канонические блоки поряд-
порядков 1, 3, 5.
1051. Нетривиальный жорданов блок не может быть периоди-
периодическим.
{0 0 ,«* 0
I 0 ... 0 0
1052. ( 0 1 .,, 0 0
Канонический базис, например:
\0 О
0>
1 ' '
1053. Порядки блоков: /г, п—1, «•** 1. Образующие цикличес-
циклических подпространств: хп~1; хп~2(х—у), ..., (х—^)и~1.
1054. Порядки блоков: п-\-т—1, n-f-m—Зл ••«, п—т-\-1.
Образующие циклических подпространств:
xn-iym-it (х—у)хп-2ут-*л ,,,4 (jc— y)m~ixn-m.
276

1055. Пусть Вх0 =ф (Л) х0. Для любого *?S, х = /(Л)*0, будет
(В —Ф (Л)) х= (В — ф (Л)) / (Л) *0 = / И) (Я—Ф И)) *о = О, так что
/6ц ... bln\
1056. Пусть М = 1 ]. Сравнение элементов матриц
\Ьп\ **• Ьпп)
и МЛ во всех позициях, кроме последней строки и последнего
столбца, приводит к равенствам элементов, лежащих на параллелях
ко второй диагонали, так что матрица М должна иметь вид
Приравнивая элементы последней строки, а также последнего столбца
матриц ЛТМ и МЛ, получим одно тождество и дважды повторенные
равенства сп+1 + а1сп+ ... +апсг = 0, сл+2 + вЛ|+1+ • • * +Д/А =
= 0, . * *, с2„-1 + а1с2л_2+ •«• +fl/jcn-i=s=0- Задавшись произвольны-
произвольными значениями для сх, .«., с„, найдем с„+1, ..., c2n-i. В частности,
можно взять сг= ..* =сп-1=0, с„=1. Тогда М невырождена.
1057. Найдем (задача 1056) невырожденную симметрическую мат-
матрицу В$ так, что Ат = В2АВ2\ Тогда (ЛВ^1)Т = В^1ЛТ = ЛВ^1,т. е.
матрица В1 = ЛВ^ симметрическая, Л = В]В2.
1058. Пусть СТВ1С = Л1, СТ?2С = Л2, где Лх и Л2 —веществен-
—вещественные диагональные матрицы. Тогда СВГ1В1С = Л2Л1 диагональна и
вещественна. Необходимость доказана.
Докажем достаточность. Пусть CBJ'1B1C = A диагональна и ве-
вещественна. Тогда Аг=;А2А, где Аг = Ст ВгС, А2 = СТ В2С. Из At=Aj ,
Л2 = Л^, Л = ЛТ следует, что А2А = АА2. Следовательно, Л2 квази-
диагональна и составлена из блоков, отличающихся численными мно-
множителями от блоков, составляющих Аг. Поэтому формы с матрицами
Ах и Л2, а с ними и исходные, могут быть приведены к каноничес-
каноническому виду одновременным преобразованием.
1059. Существует С такая, что В2 = ССТ. Тогда C^fC1")-^
= С~ГВХС— симметрическая матрица.
1060. Если пространство 5 не циклично, то найдется собственное
значение, для которого существует система из двух или больше ли-
линейно независимых собственных векторов и число одномерных инва-
инвариантных подпространств бесконечно. Если S циклично с образующим
х0 и Р инвариантно, выберем в Р вектор *1 = ф(Л)#0 так, чтобы сте-
степень ф(/) была минимальна. Пусть x2 = F(A)x0?P и г @ — остаток от
деления F (t) на ф(/). Тогда x3 = r(A)xo = F(A)xo—q(A)y(A)xo~x2—
277

и, следовательно, r(t) = O, В частности, характеристи-
характеристический полином /(/) делится на ф@> ибо 0 = /(Л)#0?Р. Итак, Р
циклично и порождается вектором ф(Л)#0, где ф(/)—делитель /(*).
Число делителей f(t) конечно.
1061. F(u) = (l+« + h«m0 *•* A +«-h *.. +атл).
1062. Достаточно доказать существование Рп-ц Пусть ф (/) =*
= (/ — X1)mi **» (/—Xft)mfc—минимальный полином для Л, i|)@ =
ф@. Положим Q = keri|)(i4). Для любого *?S будет: Л* =
* ~~~ j
= A,i#+*/» #€Q- Поэтому, любое подпространство, содержащее Q,
инвариантно. Среди них можно выбрать Ря-1.
1063. Верхняя треугольная матрица.
1065. Если минимальный аннулятор вектора х?Рг относительно
оператора А1 имеет нетривиальное разложение }-$ъ то кег/^Лх) от-
отлично от 0 и Р и инвариантно (в силу коммутирования) для всех
Аъ Л2, *¦«, Лж* Если фх, ф2 неприводимы, ф! ^ ф2 и существуют
ненулевые векторы х19 х^Р такие, что ф1(Л1)х1=аО и фа(Лх) д:2 = 0,
то минимальный аннулятор вектора х1-}-х2 равен
1066
• с -:) ¦
1067. Таким базисом будет х0, -г-(Лд;0—ах0), где xo?St x0 ^0.
1068. Любой вектор х0 Ф 0 из неприводимого инвариантного под-
подпространства аннулируется многочленом первой степени, т. е. являет-
является собственным вектором для всех операторов. Тем самым и само
неприводимое инвариантное подпространство одномерно.
1069. Если для общего собственного вектора го^^ собственные
значения всех операторов вещественны, то можно взять 20?S (напри-
(например, действительную или мнимую часть г0). Если хотя бы одно из них
комплексное, то zo = xQ-\-iyo, хь, yo?S, х0 Ф 0, у0 Ф 0. Пусть Хк =
= ад — ibk — собственное значение оператора Л^. Тогда
1071. Каноническая матрица есть квазидиагональная матрица,
составленная из канонических форм верхних левых субматриц Ак
матрицы Л, &=1, .*4, /г.
1072. а/Ру, где а/—собственные значения Л, Ру— собственные
значения В.
1073. Собственные значения равны а/+Ру, где а/—собственные
значения Л, Ру—собственные значения В.
1074. Собственные значения Ам равны a^at-...a^ , где
0 < fi < 1
1075.
278

1076. а) 9; b) 0. 1077. а) 90е; b) 45°; с) coscp.
5
1078. cosy4= .
/39
1079. созф= *
/л
, cos
8
_ , cosC=* Цг
/78 3
1080. /7Г.
1081. При нечетном п ортогональных диагоналей нет. При/г = 2т
число диагоналей, ортогональных к данной, равно C^rn^i-
1082. Координаты точек даются строчками матрицы
/10 0... 0 0
1 /I о_... о
/Т2 /24
'•«- /та
("
/2п(п—1)
Координаты центра:
1 1
!
2л
1084'
2' /12 ' ""' /2/1^—1)'
1086. За остальные два вектора можно взять, например,
^
@,-4,3, .) и
(-13, 5, 6, 2).
1087. A, 2, 1, 3), A0, —1, 1, —3), A9, —87, —61, 72).
1088. Например,
1089. Система интерпретируется как задача об отыскании векто-
векторов, ортогональных к системе векторов, изображающих коэффициенты
уравнений. Множество искомых векторов есть пространство, орто-
ортогонально дополнительное к пространству, порожденному данными
векторами. Фундаментальная система решений есть базис простран-
пространства искомых векторов.
1090. Например, у-О, 0, 2, -1), -р=|0> 12, 8, 17),
279

1091. а) Х' = C, 1, —1, — 2)?Р, Ь) Х' = A, 7, 3,
Х" = B, 1, —1, 4) J_P; Х" = (-4, -2, 6, 0) J_P,
1092. Пусть Ль Л2, ..., Ат линейно независимы, Р — натяну-
натянутое на них пространство. Далее, пусть X = K + Z» Y?Pt Z^Pt
Положим
К = с]Л1 + с2Л2+ ... +стАт.
Составим систему уравнений для определения clf с2, ..., ст, умно-
умножив скалярно последнее равенство на Л/, /=1, 2, . *., т, и прини-
принимая во внимание, что (К, Л/) = (Х, Л/).
Получим
ь Л2) +...+ся(Аи Л/Я) = (Л1, X),
2, Л2) +...+cm(At, Л|Я) = (Л2, X),
В силу линейной независимости Аи А2> ..*, Ат, определитель Д
этой системы отличен от 0.
Найдем Си с2, .,., ст и подставим их в выражение для К.
Получим
0 —Лх —Л2 ... -
(ЛЬХ) (Ль Лх) (ЛьЛ2) ... (Л;
(Л2, X) (Л2, Лх) (Л2, Л2) .*. (Л5
, X) (АшАг) (Ат, Л2) ... (Am,AJ
X
(Л17 X)
(Л2, Л
, X) (Ат>
Ла ... Лл
(Ль Л2) ... (Ль Ая)
(Л2, Л2) ... (Л2, Ат)
{Ami
(Ая, Ат)
Эти равенства следует понимать в том смысле, что векторы У и Z
являются линейными комбинациями векторов, находящихся в первой
строчке с коэффициентами, равными соответствующим алгебраическим
дополнениям.
Отсюда получаем, наконец, что
0 *-(Х, Лх) —(X, Л2) ... — (X, Ат)
(Аи X) (Alt Лх) (Л1э Л2) ... (Лх, Ат)
(Л2, X) (Л2, Лх) (Л2, Лг) ... (Л2т Ат)
Ил»
280

(Z, Z) = (X-Y,Z) = (X, Z) =
(X, X) (X, At) (X, A2) ... (X, Am)
(Alt X) (Au At) (At, A2) ... (At, A,n)
(A2,X) (A2,At) (A,,A2) ... (A2,Am)
(Am,X) (Am, At) (Am, A2) ... (An,Am)
1093. Пусть Y—какой-либо вектор пространства Р, а X'—орто-
X'—ортогональная проекция вектора X на Р.
Тогда
M,(v к. (X, Y) __ (X',Y) \X'\.\Y\.cos(X', Y)
cos (Л, г)--щ-щ- |Х|.|К| \X\-\Y\ —
г\ У),
откуда следует, что наибольшее значение cos (Xy Y) достигается
для тех Y, для которых cos (X\ Y) = 1, т. е. для Y =аХ' при а > 0.
1094. а) 45°; Ь) 90°.
1095. if H
1096. | х—к 12=1 (X—х')+(Х'—к) р = | х:—х'\2-
\Х — X' |2, причем равенство возможно только при
1097. a) VT\ b) l/A
1098. Искомое кратчайшее расстояние равно кратчайшему рас-
расстоянию от точки Хо — Yo до пространства P + Q,
1099. Пусть одна из вершин лежит в начале координат и пусть
Хъ Х2, «»., Хп—векторы, исходящие из начала в остальные вер-
вершины. Легко видеть, что |Х/|2=1, (Х{, Ху) = -^-. Многообразие,
проходящее через первые т-\-\ вершин, есть пространство
... +tmXm. Многообразие, проходящее через остальные п—т вершин,
есть Xn + tm+1(Xm+1—Xn)-\- ...+*„-!(Х,,-! — Хп). Искомое крат-
кратчайшее расстояние есть расстояние от Хп до пространства Р,
порожденного векторами Хъ Х2, «*., Хт, Хп—Xm+i, tet
*¦•» Хп—Хя-1.
Пусть
(Xn—
где Y _J_Р* Составляя скалярное произведение Хй с Xi »,*, Хт,
Хп — Хт+Ъ ..., Хп—Хп~ъ получим для определения tu ¦»., /„-!
281

систему уравнений
^ + ^+ + ' ^ + ^ + + ^
-2"^i"b у ^2+• • •+^ = "y » у^/я + г + у ^/л + 2 + • • • +^п-1 — ~
откуда t1 = t2= • *. =tm t t ^
Следовательно,
Таким образом, общим перпендикуляром является вектор, со-
соединяющий центры выбранных граней. Кратчайшее расстояние равно
длине этого вектора
1-1/ "+1
1 V 2(п—т)(п
1100. а) Проекция вектора (*i + 2/2, t1—2t2, t1-\-bt2, t1-\-2t2) на
первую плоскость есть (t\ + 2t2, tx — 2t2, 0, 0). Следовательно,
i+J + ^ а
COS2 ф=—т o^/iia i 1и^ i о? > гДе А=:-^-. сУТО ВЬфа
жение достигает максимума, равного 8/9, при Х = —4.
Ь) Угол между любым вектором второй плоскости с его ортого-
ортогональной проекцией на первую плоскость остается неизменным и ра-
равен я/4.
1101. Куб есть множество точек, координаты которых удовлет-
удовлетворяют неравенствам —-g-<*/<•—, f= 1, 2, 3, 4. Здесь а есть
длина ребра куба. Перейдем к новым осям, приняв за координатные
1 1 1 1 \ / / 1 1 1
ез~[2 * 2* 2' TJ И f4="V2' 2* 2"' T; '
Эти векторы ортогонально нормированы, и их направления совпа-
совпадают с направлениями некоторых диагоналей куба. Координаты
точек куба в этих осях удовлетворяют неравенствам
282

Интересующее нас пересечение получим, положив *i = 0. Оно
представляет собой тело, расположенное в пространстве, натянутом
на е2, е'%, е\, и координаты точек которого удовлетворяют неравен-
неравенствам ± х'2 ± х'3 ± *4<а.
Это есть правильный октаэдр, ограниченный плоскостями, отсе-
отсекающими на осях отрезки длины а.
1102. V*[Blt
и В,) (Въ В2)
2У Вг) (В21 В2)
(Ви Вт)
(Вл, Вт)
(Вп, BJ (Вт, В2) ... (Bmt Вт)
Эта формула легко устанавливается по индукции, если принять
во внимание результат задачи 1092. Из формулы непосредственно
следует, что объем не зависит от нумерации вершин и что
V[cBlt B2t .... Вт] = \с\.У[Въ Bt9 .... Вт].
Пусть теперь В1 = В[ + в1, Сг) С[, С\—ортогональные проек-
проекции векторов В±, В[ и В\ на пространство, ортогонально дополни-
дополнительное к (?2, •»•> &т)- Очевидно, 4ToCi = Ci+Ci, По опреде-
определению, V [Въ В29 ..., Вт}=\ С3 |.К [В2 Вт], V [В'ъ В2, ..., Дя]в
^\Сл\-У[Вш Вя]. V[Bl В2, ,.., Bm) = \Cl\.V[B2 Вт\.
Так как | Ст |< | С\ |+| & |, то К [Въ В2, ..., Вт] <У[В[, В2у ..., Вт]+
+ V[Bi, B2, «к, Вт]. Знак равенства возможен только в случае,
если С[ и Cj коллинеарны и одинаково направлены, что, в свою
очередь, имеет место в том и только в том случае, если В[, В'[ лежат
в пространстве, натянутом на B±t B2, ..,, Вт, и коэффициенты при
Вг в выражениях В\, В"\ через Bft В2, ,,*, Вт имеют одинаковые
знаки, т.е. В\> В\ лежат «по одну сторону» от пространства (В2, ,it, Bm)
в пространстве (Въ В2, «,., Вт)*
\m.V*[BltB2ti..yBn]=
(Bi,B1)(B2,B.2),.,(Bi,Bn)
n, Bi) (Bni B2) ..« (Вю Bn)
:(det
где В — матрица, столбцами которой являются координаты векторов
въ в2, ..., вп.
1104. Непосредственно из определения получаются еще следую-
следующие два свойства объема:
283

d) V[Bi + X, B2t .... В/Я] = 1/[В1, B2i ..., Bm] при любом Xt
принадлежащем пространству (B2i ..., Bm),
ибо точки Bj, Bi + ^ имеют одинаковые расстояния от (В2, . ..,?w).
e) V[Blf В», ...• B^KIBil-KlB,, .... Вт].
Это следует из того, что «высота», т. е. длина ортогональной
к (?2, ..I, Вт) составляющей вектора Blt не превосходит длины
самого вектора Bv
Пусть теперь Сх, С2, ..., Ст суть ортогональные проекции век-
векторов Bit B2t ¦ •», ^от на пространство Р. Предположим, что нера-
неравенство V [С2> ,.., COT]^1/[B2» •••> ^я»1 Уже доказано. Обозначим
через В[ ортогональную к (В2, ..., Вт) составляющую вектора Въ
через С\ — ее проекцию на Р. Ввиду того, что В[ — #i?(?2, ...,BW),
заключаем, что С[—C?(C2t •.., Ст) и, следовательно, будет
V[Cb C2, ..., Cm) = V[Ci, C2, ..., СЯ]<|Й|.И[С2, ,.., Ст).
Но очевидно, что | С[ \ < | В[ \ и, по индукционному предположению,
V[C2> .**, CW]^K[B2, ..., ВЛ]. Следовательно,
К[СЬ С2, ..., C.KIBt'1-VIB,, .... Bm] = V[Bu B2i ..., Вя].
База для индукции имеется, ибо для одномерных параллелепипедов
теорема очевидна»
1105. Из формулы для вычисления квадрата объема следует, что
V[At Ат, Вг Bk) = V[Al9 ..., An].V[Blt ..., ВЛ], если
каждый вектор Л/ ортогонален к каждому вектору Bj. В общем
случае заменим векторы Въ .*., Bk их проекциями Съ ..., С^ на
пространство, ортогонально дополнительное к (Аъ ..., Ат). В силу
результата предыдущей задачи, V [Съ ..., СЛ]<;У [Вь ..., ^^],
откуда
Содержание этой задачи совпадает с содержанием задачи 506*
1106. Непосредственно следует из неравенства V [Аъ ,...Ат]*^
^| Аг \*V [Л2, »»», Ат], которое, в свою очередь, непосредственно
следует из определения объема.
По своему содержанию эта задача совпадает с задачей 507.
1107. Подобное преобразование тела в /г-мерном пространстве
влечет за собой изменение объема, пропорциональное п~и степени
коэффициента подобия. Для параллелепипеда это непосредственно
следует из формулы для объема, а для всякого другого тела объем
есть предел суммы объемов параллелепипедов. Следовательно, объем
Vn(R) я-мерного шара радиуса R равен Vn(\)Rn.
Для вычисления Vn(l) разобъем шар системой параллельных
(п—1)-мерных «плоскостей» и воспользуемся принципом Кавальери.
284

Пусть х есть расстояние секущей ^плоскости» от центра. Сече-
Сечение есть (л —1)-мерный шар радиуса >^1 — х2*
Следовательно,
1 1 п-\
Ml) = 2 W«-i(J^b^)d* = 2^i-i(O^(l--*2) 2 dx-
Отсюда следует, что Vn(l) ==-
„П/2
1108.
/г!
A+0'
1109. Базисом являются полиномы 1, х, t.., хп. Квадрат объема
соответствующего параллелепипеда равен
1
1112. D*=x— D.
1113. Пусть gi/ = (eif ej)y G = (g,y). Матрица сопряженного опе-
оператора равна G~M*G, где Л— матрица исходного оператора.
1114. G=diag(l, II, 21, ..., л!).
1115. 0*(g) = —?г+Л?-а0(#Ря+1(*). Здесь^=aofe)A:«+...
1116. D*(Pk) = Pk+1 при k<n и D*(PW) = O.
1117. Из (Л (д?+ У). *+#) = (?(* + #)> л;+^) следует, в силу
самосопряженности, что 2 (Ах, у) = 2(Вх, у) при любых х и у, от-
откуда Ла: = В^ при всех х, т. е. Л = 5.
1118. |Лл:| = |Л**| равносильно (АА*х, *) = (Л*Л*, х), выпол-
выполнение чего при всех х равносильно АА* = А*А.
1119. Если С«(с/у), то Sp CC* 2
Ь /
285

1120 AA*-(BB* + CC* CD*) A*A-(B*B B*C
SpBB* = SpB*fi. Следовательно, если ЛЛ* = Л*Л, ToSpCC* = 0,
откуда С = 0 и Л=(~ ~ J с нормальными клетками В и D.
1121. Матрица нормального оператора в ортонормированном
базисе, включающем базис инвариантного подпространства, распа-
распадается на два блока, соответствующих инвариантному подпространству
и его ортогональному дополнению. Матрица сопряженного оператора
имеет такой же вид.
1122. Инвариантное подпространство для нормального оператора
инвариантно и для сопряженного и ограничение нормального опера-
оператора на инвариантном подпространстве нормально. Поэтому, простран-
пространство можно разбивать в прямую ортогональную сумму инвариантных
подпространств до тех пор, пока не придем к одномерным подпрост-
подпространствам.
1123. Для любой нормальной матрицы А существует унитарная
матрица С такая, что С АС диагональная Именно, в качестве С мож-
можно взять матрицу преобразования от исходного базиса к ортонорми-
рованному базису из- собственных векторов.
1125. Пусть Axi = k1xlt Ах2 = Х2х2. Тогда (Axlt x2) = kt(xit х2) и
(AxXi x2) = (xlt A*x2) = (xlt 1к2*2) = к2(х1, х2). Следовательно,
(ki—K) (*ъ *а) = 0.
1126. Л = {, ] , & 5* 0. Собственные значения: а ± Ы.
\Ь а)
1127. Доказательство ничем не отличается от доказательства в за-
задаче 1122.
1128. Для любой вещественной нормальной матрицы А сущест-
существует ортогональная матрица С такая, что С АС состоит из блоков
первого и второго порядков, последние имеют вид f , J.B каче-
качестве С можно взять матрицу преобразования координат от исходного
базиса к базису, являющемуся объединением ортонормированных ба-
базисов взаимно ортогональных неприводимых инвариантных подпрост-
подпространств.
1131. ( * Р ), где Еь и Ет — единичные матрицы.
1132. ( * д, ). Матрица является матрицей оператора отраже-
ния от fc-мерного подпространства.
1133. Да, при четной размерности. Ее каноническая форма со.
ставлена из блоков ( ~ ] (повороты на 90° в инвариантных пло-
плоскостях).
S86

1135. Взять нормированный вектор из Ръ ортогональный к нему
нормированный вектор из Р2> ортогональный к Р2 нормированный
вектор из Р3 и т. д. Существуют 2п базисов, ибо каждый вектор опре-
определен с томностью до множителя ±1.
1136. То же решение, но базисные векторы определены с точно-
точностью до комплексных множителей с модулем 1.
1137. Оператор, преобразующий ортонормированный базис перво-
первого флага в ортонормированном базисе второго, дает решение задачи.
1138. Ортонормированный базис флага из инвариантных подпро-
подпространств решает задачу. Матричный эквивалент: любая матрица уни-
унитарно подобна верхней треугольной.
1139. Да. Они лишь порядком столбцов могут отличаться от мат-
матриц PL, где Р — ортогональная матрица, L—квазидиагональная,
1
составленная из единиц и блоков . . .
1140. Пусть А переводит в{ в g{, i—\, ,»», п, и взяты произволь-
произвольные векторы я = 2*/б1 и 0 = 2^'' ТогДа Л* = 2*/?*» Л# = 2#гё7»
(Ах, Ay) = ^xiyj(gi, g/) = 2*#/(*/• е/) = (х> У)-
1141. Пусть Р и Q подпространства, натянутые на е1( ,,., ет и
?i> • • •» gm> и пусть k — dim P ^ dim Q. Без нарушения общности мож-
можно считать, что ег, ..., еЛ —базис Я. Тогда система glt * *., gk вместе
се1( ..., ek имеет ненулевой определитель Грама и потому линейно
независима и образует базис Q. Координаты ej в базисе ех, . .*, е^ и
gj в базисе gv ..., gk совпадают, ибо совпадают скалярные произве-
произведения и базисные матрицы Грама. Поэтому достаточно ограничиться
линейно независимыми системами еъ ««*, еь и gu «.., gk- Теперь
можно совместить посредством ортогонального (унитарного) оператора
подпространства Р и Q и применить результат предыдущей задачи.
1142. Матрица Грама для системы векторов (ulf *.., щ,
ei> •••» ет) и (€ъ •»*» ek> vu •••> vm) совпадают, ибо обе равны
(Ек
\В* Е„
и столбцов.
1144. U = Р"^АР, где Р—вещественная ортогональная матрица,
Л —унитарная диагональная, ибо А и В коммутируют и одновременно
приводятся к диагональной форме посредством ортогональной матрицы.
1145. Достаточно положить Л = Л? в ответе предыдущей задачи
и взять В^АхР.
1146. Следуя указанию, найдем В. Положим V=UB-"K Она уни-
унитарна и VTV = E, так что VT =V-1 = V*f откуда V=F, т. е. V—орто-
V—ортогональная матрица.
1147. Самосопряженность следует из вещественности собственных
значений идемпотентного оператора. Самосопряженный идемпотентный
287
) , где В—матрица, находящаяся в пересечении данных строк

оператор есть оператор ортогонального проектирования на подпро-
подпространство, ортогональное к ядру*
1148. Возьмем базисный вектор gt ортогонального дополнения
к подпространству, натянутому на е2, »»t, еп. Тогда (gu ех) ф 0 и
/i =  7 gi удовлетворяет требованиям при /=1. Аналогично
\§i> ег)
строятся /2, ..., fn- Если cxfx +.*. +cnfn = O, то ^• = (с1/1+.«.
••• +cifi+iii+cnfm <7) = 0. Поэтому flt ..., /„—базис.
1149. Координаты вектора х равны (х, в/),
1150. Я, где Я=((//, ff)) = ((ei9 ej))-\
1151. Объемы взаимно обратны.
1152. Ортонормированный базис*
1153. Если Ах = 0, то при любом г?Т 0 — (Ах, г) — (ху А*г), и
обратно, если при любом z?T (х, Л*г) = 0, то (Ах, г) = 0 и Ах = 0*
1154. Мономорфное и изометричное отображение 5 на некоторое
подпространство AS пространства Т.
1155. Ортогональное дополнение к ядру отображается изоморфно
и изометрично.
1156. Пусть Их, ».., Щ — собственные векторы оператора А*А
соответствующие положительным собственным значениям, vlt ..., v^ —
их нормированные образы. Образом единичной сферы в S является
эллипсоид в подпространстве пространства Г, натянутом на vlt ».., v^.
Эти векторы лежат на главных осях эллипсоида и длины полуосей
равны ц1э ..., \хь-
1157. Всем поставленным требованиям удовлетворяет полуобрат-
полуобратный оператор, построенный с помощью подпространств Р и Q (задача
987), ортогональных к ядру и образу А, и только такой полуобратный
оператор,