I НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
В. Г. КОВАЛЕНКО
ДИДАКТИЧЕСКИЕ ИГРЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
КНИГА ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ 1990
ББК 74.262 К56
Рецензенты:
кандидат педагогических наук Б. А. Кордемский;
методист Севастопольского РУНО Москвы М. В. Троицкий
Коваленко В. Г.
К56 Дидактические игры на уроках математики: Кн. для учителя.— М.: Просвещение, 1990.—96 с.: ил.— ISBN 5-09-002716-1
В книге показано использование дидактических игр в процессе обучения и воспитания .школьников. В ней приведено большое число разнообразных по сюжетам дидактических игр.
4306010000—304 118_до	ББК 74.262
103(03)—90
ISBN 5-09-002716-1
© Коваленко В. Г., 1990
ПРЕДИСЛОВИЕ
• Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать у учащихся интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль школьников, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний^;
Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, насколько умело будет построена учебная работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно и, увлеченно, и использовать это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса. Это особенно важно в подростковом возрасте, когда еще формируются, а иногда и только определяются постоянные интересы и склонности к тому или иному предмету. Именно в этот период нужно стремиться раскрыть притягательные стороны математики.
Немаловажная роль здесь отводится дидактическим играм на уроках математики — современному и признанному методу обучения и воспитания, обладающему образовательной, развивающей и воспитывающей функциями, которые действуют в органическом единстве.
Как показывает педагогическая практика и анализ педагогической литературы, до недавнего времени игру использовали лишь на занятиях математического кружка, при проведении тематических вечеров, предметных сборов и др., а возможности использования дидактической игры в учебном процессе в известной мере недооценивались.
Сказывалось отсутствие методических разработок по данному вопросу и постоянная нехватка личного времени учителя для создания и режиссуры дидактических игр, требующих повышенного методического и профессионального мастерства. Думается, что именно поэтому учителя математики не так уж часто допускают игру
3
на уроке. Между тем опытные учителя выступают за привлечение в учебный процесс элементов игры.
Современная дидактика, обращаясь к игровым формам обучения на уроках, справедливо усматривает в них возможности эффективной организации взаимодействия педагога и учащихся, продуктивной формы их общения с присущими им элементами соревнования, непосредственности, неподдельного интереса.
Идея соревнования по балльной системе заложена во многих играх, которые мы смотрим по телевизору с большим удовольствием. Это и «КВН», и «Что? Где? Когда?», и «Делай как мы, делай лучше нас», и др.
Игра — творчество, игра — труд. В процессе игры у детей вырабатывается привычка сосредоточиваться, мыслить самостоятельно, развивается внимание, стремление к знаниям. Увлекшись, дети не замечают, что учатся: познают, запоминают новое, ориентируются в необычных ситуациях, пополняют запас представлений, понятий, развивают фантазию. Даже самые пассивные из детей включаются в игру с огромным желанием, прилагая все усилия, чтобы не подвести товарищей по игре.
Во время игры дети, как правило, очень внимательны, сосредоточенны и дисциплинированны.
Дидактические игры очень хорошо уживаются с «серьезным» учением. Включение в урок дидактических игр и игровых моментов делает процесс обучения интересным и занимательным, создает у детей бодрое рабочее настроение, облегчает преодоление трудностей в усвоении учебного материала. Разнообразные игровые действия, при помощи которых решается та или иная умственная задача, поддерживают и усиливают интерес детей к учебному предмету. Игра должна рассматриваться как могущественный незаменимый рычаг умственного развития ребенка.
Мы не считаем, что использование игровых ситуаций на уроке дает возможность учащимся овладеть математикой «легко и счастливо». Легких путей в науку нет. Но мы считаем необходимым использовать все возможности для того, чтобы дети учились с интересом, чтобы большинство подростков испытали и осознали притягательные стороны математики, ее возможности в совершенствовании умственных способностей, в преодолении трудностей.
Дидактическая игра — не самоцель на уроке, а средство обучения и воспитания. Игру не нужно путать с забавой, не следует рассматривать ее как деятельность, доставляющую удовольствие ради удовольствия. На дидактическую игру нужно смотреть как на вид преобразующей творческой деятельности в тесной связи с другими видами учебной работы.
В термине «дидактическая игра» подчеркивается ее педагогическая направленность, отражается многообразие применения. Поэтому есть основания утверждать, что использование дидактической игры в системе обучения математике в V—XI классах является ваЖ’ ным средством интенсификации учебной деятельности школьников, 4
осуществления преемственности между обучением в I—IV и V—XI классах. Наиболее существенными для учителей математики, на наш взгляд, являются следующие вопросы:
а)	определение места дидактических игр и игровых ситуаций в системе других видов деятельности на уроке;
б)	целесообразное использование их на разных этапах изучения различного по характеру математического материала;
в)	разработка методики проведения дидактических игр с учетом дидактической цели урока и уровня подготовленности учащихся;
г)	требования к содержанию игровой деятельности в свете идей развивающего обучения.
В настоящей’работе на основе опыта по организации дидактических игр на уроках математики делается попытка наметить некоторые пути и формы использования дидактических игр и игровых ситуаций на уроках математики, показать целесообразность их применения в определенных условиях.
§ 1. РОЛЬ И МЕСТО ДИДАКТИЧЕСКИХ ИГР В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Дидактические игры можно широко использовать как средство обучения, воспитания и развития. Основное обучающее воздействие принадлежит дидактическому материалу, игровым действиям, которые как бы автоматически ведут учебный процесс, направляя активность детей в определенное русло.
Возьмем к примеру, известную игру «Морской бой». Даже в этой элементарной игре развиваются внимание, наблюдательность, сообразительность. В процессе игры дети лучше и быстрее усваивают понятие декартовых координат, убеждаются, что положение точки на плоскости определяется с помощью двух ее координат (а не одной или трех). Они приходят к выводу, что если бы «корабль поплыл», то его движение можно было бы описать изменениями значений координат. Учащиеся VII класса убеждаются в том, что «система отсчета» для всех игроков должна быть одинаковой, так как без этого они просто не смогут играть. Наконец, игра учит быть выдержанным в самые трудные минуты «гибели эскадры», сражаться до конца, до последнего «снаряда» под обстрелом «неприятельских линкоров».
Дидактическую игру следует отличать от игры вообще и игровой формы занятий, хотя это деление условно.
Игровая форма занятий создается на уроках при помощи игровых приемов и ситуаций, которые выступают как средство побуждения, стимулирования учащихся к математической деятельности.
Реализация игровых приемов и ситуаций при урочной форме занятий происходит по следующим основным направлениям: дидактическая цель ставится перед учащимися в форме игровой задачи; учебная деятельность учащихся подчиняется правилам игры; учебный материал используется в качестве средства игры; в учебную деятельность вводится элемент соревнования, который переводит дидактическую задачу в игровую; успешность выполнения дидактического задания связывается с игровым результатом.
Так, например, после изучения раздела «Основные свойства простейших геометрических фигур» (VII класс) возникает необхо-6
димость повторить все аксиомы, проверить, как их усвоили учащиеся. Обыкновенный опрос не вызывает должного интереса. Поэтому используется игровая форма занятий при проведении «Конкурса геометров».
Учитель сообщает, что всем надо следить за изображениями на доске. Будут предлагаться рисунки к аксиомам одновременно для трех команд (рядов) учащихся класса. Задание состоит в том, чтобы уст а н овить, иллюстрацией к какой аксиоме является каждый рису-нок, а также заметить, .д^аких элементов (фигур) на каждом из них недостает (.например, точки, отрезка и т. д.). Необходимо нуж-ный элемент дорисовать, а потом сформулировать соответствующую аксиому.	~
Кодопозитивы с заданиями готовятся заблаговременно. Всего может быть подготовлено 3—4 задания. Причем рисунки к одной и той же аксиоме в различных заданиях должны отличаться. Приводим пример первого задания (рис. 1).
Игра начинается, как только на доске появляется изображение рисунков задания. Для ответа у доски вызываются ученики поочередно из каждой команды капитанами других команд. Капитанов к доске вызывает учитель. Ученик, ответивший правильно, приносит команде 5 очков, с недочетом — 3 или 4 очка, не сумевший разобраться в рисунке или неправильно сформулировавший аксиому лишает команду 3 очков. Игрок той же команды, внесший в ответ товарища дополнения, приносит команде I очко. Во время игры соблюдается дисциплина. За подсказку или выкрики с места у команды снимается 2 очка.
После того как все рисунки в каждом задании будут дополнены, аксиомы сформулированы, командам ставится второе условие:
Для I команды
Первое задание
Для # команды
Для Ш команды
Рис. I
7
сформулировать одну из аксиом, выполнить к ней рисунок и объяснить его. Отвечают по 2—3 ученика от каждой команды. Правильность ответов оценивается (в баллах) учителем, и в конце игры определяется команда-победитель. Многие учащиеся получают оценку в журнал.
Аналогичные задания с использованием игрового приема можно предложить учащимся при повторении таких понятий, как отрезок, полупрямая, дополнительная полупрямая, угол, биссектриса треугольника, биссектриса развернутого угла, равенство фигур и др.
Наблюдения показывают, что игровые приемы, использующие программный материал, и особенности игр школьников средних классов вызывают у них активизацию умственной деятельности, способствуют возникновению внутренних мотивов учения.
Игровую форму занятий можно использовать на различных этапах урока. Так, например, при усвоении в VIII классе теоремы «Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника» учитель предлагает игру «Диалог». Она направлена на повышение активности учащихся в процессе усвоения новых знаний.
Идея игры состоит в том, что учитель формулирует учебную проблему или создает проблемную ситуацию, а учащиеся стараются решить эту проблему. Они понимают, что для решения Проблемы им недостаточно имеющихся знаний.
По правилам игры каждая команда имеет право задать учителю минимальное число вопросов с тем, чтобы извлечь из его ответов максимум информации Для решения поставленной проблемы.
В игре учитель как бы не желает выдавать информацию, а ученики умело поставленными вопросами вынуждают его к этому. И если в таком диалоге при минимальном числе вопросов у учеников наступит «озарение», то можно сказать, что учитель выполнил задачу по развитию творческого мышления учащихся.
В рассматриваемом случае на доску проектируется рисунок, на котором изображены треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и т. д. Если через 5з, $4, Ss, «$6, ... обозначить сумму внутренних углов изображенных многоугольников, то возникает вопрос: чему равны S3, S4, S5, S6, ...?
Для треугольника и четырехугольника учащиеся записывают: S3=180°, S4 = 360°, а для пятиугольника, шестиугольника и т. д. соответствующих равенств они записать не могут. Создается проблемная ситуация (как результат несоответствия между имеющимися знаниями и тем, что необходимо найти). Учитель совместно с учащимися формулирует учебную проблему.
Класс разбивается на три команды. Избираются капитаны команд. Устанавливаются правила игры.
Учитель предлагает начертить в тетрадях первой команде — произвольный пятиугольник, второй — шестиугольник, третьей — семиугольник и с помощью транспортира найти градусную меру каждого внутреннего угла, а потом определить их сумму.
8
Результаты трех-четырех измерений вает на доске:
I команда И команда
55 = 539°	S6=72lo
S5 = 541°30'	56 = 719°30'
S5 = 539o30'	S6 = 719°30'
Среднее значение сумм:
S5 = 540°	S6 = 720°
каждая команда записы-
III команда
57 = 901°30'
57 = 898°30'
S7 = 900°
57=900°
Учащиеся убеждаются, что измерением практически невозможно найти точно сумму внутренних углов выпуклого л-угольника. Возникает потребность в теоретическом обосновании этой проблемы, в выводе формулы, которая даст возможность найти сумму внутренних углов любого л-угольника.
Сначала, используя изображения многоугольников на доске, учитель стремится подвести учащихся к обобщениям: в л-уголь-нике можно провести (л — 3) диагоналей, где л —число сторон, через одну вершину л-угольника можно провести л—3 диагонали. Поэтому, разбивая п-угольник на треугольники с помощью диагоналей, проведенных из одной вершины, всегда останавливаются на л—3 шаге.
К этому обобщению школьники приходят с помощью индуктивных рассуждений и таких вопросов учителю:
Вопрос первой команды. Можно ли записать формулу, выражающую связь между количеством диагоналей, проведенных из одной вершины л-угольника, и числом его сторон?
Ответ учителя. Да, если мысленно провести в каждом из л-угольников из одной вершины все диагонали, то количество их на одно и то же число меньше числа сторон.
Учащиеся каждой команды обдумывают диалог и, проконсультировавшись внутри команд, записывают формулу: л—3.
Правильность формулы оценивается баллами.
Вопрос второй команды. Можно ли записать формулу, выражающую связь между количеством диагоналей л-угольника и числом его сторон?
Ответ учителя. Проводя подсчет диагоналей, проведенных из каждой вершины л-угольника, следует учитывать, что начиная с некоторого момента произойдет повтор.
После обсуждения этого вопроса внутри команд капитаны несут свои записи учителю.
Вопрос третьей команды. Каким образом вывод формулы суммы углов л-угольника связан с количеством диагоналей, проведенных из одной вершины л-угольника?
Ответ учителя. Вопрос своевременный. Проводя диагонали из одной вершины многоугольника, мы разбиваем его на определенное число треугольников, сумма углов которых нам известна.
9
За оригинальность вопросов и правильность ответов команды получают очки.
На следующем, завершающем этапе работы учитель предлагает выполнить разбиение изображенных на доске многоугольников диагоналями, выходящими из одной вершины, на треугольники и записать формулу для нахождения суммы их внутренних углов.
Вопрос третьей команды. Существует ли закономерная связь между количеством треугольников, полученных при разбиении n-угольников, и числом сторон многоугольника?
Ответ учителя. Да, всегда при таком разбиении количество треугольников на одно и то же число меньше числа сторон.
После индуктивных рассуждений и- консультаций внутри команд капитаны приносят к столу записи:
S3=180°, S4=180°-2, S5=180o-3, S6 = 180°-4, ..., Sn = 180°(я-2).
Вопрос второй команды. Существует ли закономерная связь между количеством диагоналей разбиения, проведенных из одной вершины, и количеством полученных при разбиении треугольников?
Ответ учителя. Да, число треугольников всегда на один больше числа диагоналей разбиения.
После консультаций внутри команд капитаны представляют записи. Если число диагоналей разбиения п—3, то количество треугольников п—2, тогда £л=1.80°(и — 2).
Вопрос первой команды. Можно ли последовательно, шаг за шагом записать сумму внутренних углов многоугольника как сумму углов увеличивающегося числа треугольников?
Ответ учителя. Можно. Проводя последовательно разбиение n-угольника диагоналями из одной вершины, мы остановимся на п—3 шаге, после этого у нас останется еще один треугольник.
Команды представляют такие записи:
п-угольник
А iA-2-^з..-Ап— iAn
Сумма внутренних углов п-угольника
Sn= 180° + Sn_i Sn=180°.2 + S„_2 Sn = 180°  3-|-Sn-3 S„=180°-4 + S„_4 Sn= I80°-5 + Sn_5
Sn = 180°(n — 3)+S3=
== 180°(n — 3) + 180° = 180°(n - 2).
После подведения итогов работы учитель проводит выборочно опрос учеников из трех команд. Перед ответом предоставляется время для консультаций внутри команд.
Вопросы учителя. 1) Объясните, как была получена формула для нахождения числа всех диагоналей п-угольника. 2) Запишите формулу числа диагоналей, выходящих из одной вершины многоугольника. Объясните ее вывод. 3) Как получить формулу Sn = = 180°(я — 2) при подсчете треугольников в связи с числом диа-10
гоналей разбиения, выходящих из одной вершины? 4) Как получить формулу 5л=180°(п — 2) при подсчете треугольников в связи с числом сторон многоугольника? 5) Объясните процесс последовательного разбиения п-угольника на треугольники диагоналями, исходящими из одной вершины, и получения формулы Sn = = 180°(п — 3)4-180°.
Некоторые ученики за все виды работы получают оценку в журнал. В оставшееся время предлагается задача для самостоятельного решения.
Задача. На одной из сторон n-угольника дана точка, которая соединена с его вершинами. Учитывая такое разбиение многоугольника на треугольники, доказать, что Sn=180°(n — 2).
Решение задачи дает возможность подвести итог й определить команду-победителя, а также выделить лучших учащихся на данном уроке.
Отметим, что приведенные примеры игровых форм занятий имели обучающие и контролирующие цели. Так, в VII классе для участия в игре были достаточны знания об основных геометрических понятиях, определяемых понятиях, аксиомах. Цель игры состояла в обобщении, закреплении ранее полученных знаний и контроле.
В VIII классе игра носила обучающий характер. Участвуя в ней, школьники приобретали новые знания. Игровая деятельность способствовала созданию познавательного мотива, активизации мыслительной деятельности учащихся, усиливала их внимание к содержанию изучаемого материала, повышала работоспособность, а также чувство ответственности за успехи в обучении всего коллектива и за свои лично. Вместе с тем процесс игры, ее результаты заставляли задуматься некоторых учащихся о пробелах в знаниях и путях их ликвидации.
Во время дидактической игры важным моментом является дисциплина. По мнению многих учителей, урок математики считается идеальным с точки зрения дисциплины, если школьники сосредоточенны, внимательны, в меру активны, занимаются только индивидуальной самостоятельной работой. Они могут высказывать свое мнение или вносить предложения только при поднятии руки и при разрешении учителя.
Учитель, как правило, пресекает попытки ребят с ходу исправить замеченные ошибки, общаться между собой, оказывать друг другу посильную помощь. Это и понятно: хаотичное общение, подсказки, списывание приносят огромный вред.
Если же общение учеников сделать целенаправленным, таким, чтобы они почувствовали пользу от такого общения в процессе познавательной деятельности, то можно получить положительные результаты как в обучении, так и в формировании личности, поскольку в этом случае по-настоящему реализуется принцип воспитания в коллективе.
Взаимопомощь и взаимоконтроль одновременно и упрощают, и
11
усложняют работу учителя. Упрощают потому, что учитель получает возможность в ряде случаев перенести некоторые свои функции на школьников. Например, он может поручить ученику проконсультировать отстающих товарищей. Не секрет, что иногда отстающий школьник чувствует себя с товарищем более раскованно и занимается более успешно, чем с учителем.
Что же касается усложнения работы учителя, то оно связано с необходимостью гибкого руководства познавательной деятельностью во время дидактической игры, удачного подбора групп (команд) и их руководителей, организации эффективного общения на уроке.
Рассмотрим, в чем состоит специфика дидактической игры, ее существенный признак. Во-первых, дидактическая игра имеет свою устойчивую структуру, которая отличает ее от. всякой другой деятельности.
Основными структурными компонентами дидактической игры являются: игровой замысел, правила, игровые действия, познавательное содержание или дидактические задачи, оборудование, результат игры.
В отличие от игр вообще дидактическая игра обладает существенным признаком — наличием четко поставленной цели обучения и соответствующего ей педагогического результата, которые могут быть обоснованы, выделены в явном виде и характеризуются учебно-познавательной направленностью.
Остановимся более подробно на структурных компонентах дидактической игры. Игровой замысел — первый структурный компонент игры — выражен, как правило, в названии игры.'Он заложен в той дидактической задаче, которую надо решить в учебном процессе. Игровой замысел часто выступает в виде вопроса, как бы проектирующего ход игры, или в виде загадки. В любом случае он придает игре познавательный характер, предъявляет к участникам игры определенные требования в отношении знаний.
Каждая дидактическая игра имеет правила, которые определяют порядок действий и поведение учащихся в процессе игры, способствуют созданию на уроке рабочей обстановки. Поэтому правила дидактических игр должны разрабатываться с учетом цели урока и индивидуальных возможностей учащихся. Этим создаются условия для проявления самостоятельности, настойчивости, мыслительной активности, для возможности появления у каждого ученика чувства удовлетворенности, успеха.
Кроме того, правила игры воспитывают умение управлять своим поведением, подчиняться требованиям коллектива.
Существенной стороной дидактической игры являются игровые действия, которые регламентируются правилами игры, способствуют познавательной активности учащихся, дают им возможность проявить свои способности, применить имеющиеся знания, умения и навыки для достижения целей игры. Очень часто игровые действия предваряются устным решением задачи.
12
Учитель, как руководитель игры, направляет ее в нужное дидактическое русло, при необходимости активизирует ее ход разнообразными приемами, поддерживает интерес к игре, подбадривает отстающих.
Основой дидактической игры, которая пронизывает собой ее структурные элементы, является познавательное содержание. Познавательное содержание заключается в усвоении тех знаний и умений, которые применяются при решении учебной проблемы, поставленной игрой.
Оборудование дидактической игры в значительной мере включает в себя оборудование урока. Это наличие технических средств обучения, кодопозитивов, диапозитивов и диафильмов. Сюда также относятся различные средства наглядности: таблицы, модели, а также дидактические раздаточные материалы, флажки, которыми награждаются команды-победители.
Дидактическая - игра имеет определенный результат, который является финалом игры, придает игре законченность. Он выступает прежде всего в форме решения поставленной учебной задачи и дает школьникам моральное и умственное удовлетворение. Для учителя результат игры всегда является показателем уровня достижений учащихся или в усвоении знаний, или в их применении.
Все структурные элементы дидактической игры взаимосвязаны между собой, и отсутствие основных из них разрушает игру. Без игрового замысла и игровых действий, без организующих игру правил дидактическая игра или невозможна, или теряет свою специфическую форму, превращается в выполнение указаний, упражнений. Поэтому при подготовке к уроку, содержащему дидактическую игру, необходимо составить краткую характеристику хода игры (сценарий), указать временные рамки игры, учесть уровень знаний и возрастные особенности учащихся, реализовать межпредметные связи.
Сочетание всех элементов игры и их взаимодействие повышают организованность игры, ее эффективность, приводят к желаемому результату.
Приведем пример использования дидактической игры «Математический поединок» в процессе усвоения формул сокращенного умножения (VII класс).
Тема: «Произведение суммы и разности двух одночленов».
В процессе игры «Математический поединок» происходит приобретение новых знаний, поэтому игра проводится на этапах урока по усвоению и закреплению знаний. Основой ее является соревнование между командами при ответах на вопросы и решении упражнений, предложенных учителем, а также при доказательстве математических предложений. Такое название игры выбрано потому, что на равных условиях соревнуются две команды.
Игровой замысел состоит в том, чтобы на основе созданной проблемной ситуации и соревнования команд активизировать мышле
13
ние учащихся, превратить весь процесс обучения в процесс активной поисковой деятельности и самостоятельных открытий. Этапы игры совпадают с этапами урока. Это в большинстве случаев актуализация опорных знаний, изучение нового материала, закрепление изученного на уроке, проверка знаний учащихся по теме урока.
Для проведения игры класс делится на две команды. Выбираются капитаны команд и их ассистенты. Капитаны следят за порядком и дисциплиной в команде и сами участвуют в игре. Ассистенты при необходимости дают консультации. Разрешаются консультации также между учениками одной команды. Работа с ассистентами весьма эффективна, она позволяет организовать на уроке индивидуальный подход к учащимся; кроме того, ассистенты стремятся к тому, чтобы их работа в роли учителя и помощника капитана приносила успех команде. Ассистенты не освобождаются от общей работы класса и от ответов на вопросы.
При проведении урока должны соблюдаться следующие правила игры:
1)	За правильный ответ команде начисляются очки; ошибка, допущенная в ответе, неправильный ответ, нарушение дисциплины приводят к штрафным очкам, т. е. к снятию определенного количества очков со счета команды.
2)	Каждый член команды может вновь отвечать только после того, как ответят все члены команды. Это исключает случаи, когда некоторые ученики за урок ни разу не опрашиваются.
3)	Вопросы и задания дает учитель. Счет соревнования записывается на доске.
4)	После постановки общего задания разрешаются консультации внутри команд.
5)	Все необходимые записи по указанию учителя заносятся в тетрадь.
6)	На определенном этапе работы сначала одна команда является «первопроходцем». Деятельность второй команды состоит в том, чтобы внимательно следить за правильностью ответов, выполнять по указанию учителя записи в тетрадях, а после завершения изучения некоторой части материала ответить на вопросы, предложенные учителем, и выполнить задания, аналогичные рассмотренным. Затем роли команд меняются.
7)	За правильные аргументированные дополнения ответов учащихся из другой команды каждый может получить дополнительно 2 очка.
Игровые действия состоят в том, чтобы быстро и без ошибок отвечать на вопросы учителя, выполнять нужные записи и построения в тетрадях, следить за правильностью ответов своих товарищей из своей и другой команды, решать примеры и задачи у доски, во время объявленной консультации консультировать соседей по парте или при необходимости самому брать консультацию, не нарушать дисциплину, быть внимательным и активным.
14
Познавательное содержание состоит в том, чтобы учащиеся усвоили формулу сокращенного умножения (а—6) (а+6)=о2 — Ь2 и могли применять ее при умножении чисел и двучленов определенного вида.
I.	Задания I команде.
1)	Выполнить устно умножение:
251-2; 8-^-6; 25-12; 496-125; 23-98.
2)	Найти числовое значение выражения:
18 -±-+39-7.
Объяснить используемые правила умножения.
Задания II команде аналогичны. Меняются только упражнения.
II.	Задания II команде.
1)	Выполнить устно умножение двучлена на одночлен: (c-J-d) m.
2)	Сформулировать распределительный закон умножения.
3)	Дать геометрическую интерпретацию распределительного закона.
Аналогичные задания предлагаются I команде.
III.	Задания I команде.
1)	Умножить двучлен на двучлен с введением новой переменной: (с + d) (tn 4- n).
2)	Дать геометрическую интерпретацию полученного тождества.
3)	Прочесть выражения: (а+ 6) (a — ft); tn (с—d).
Задания II команде аналогичны.
Выполнение приведенных подготовительных упражнений детерминирует мысль учащихся, ставит вехи на пути к решению основной учебной проблемы.
Подводятся итоги первого этапа игры.
IV.	Учитель предлагает задание обеим командам одновременно: найти устно произведения: 199-201; 102-98. Учащиеся не в состоянии выполнить вычисления. К удивлению класса, учитель быстро находит произведение записанных чисел. Учащиеся понимают, что имеющихся у них знаний недостаточно, чтобы справиться с поставленной задачей. Создается проблемная ситуация, связанная с желанием научиться устно находить произведение двух чисел.
Задание.II команде.
1) Используя правило умножения двучлена на двучлен, найти произведение 59-61.
Один из учеников II команды записывает процесс решения данного упражнения на доске, а все остальные в тетрадях:
59-61 =(60—1) (60+1) = 3600 + 60-60-1=3599.
Другой ученик выполняет записи для примера 199-201.
Аналогичные примеры выполняют учащиеся 1 команды.
15
Задание I команде.
Упростить записи в примерах данного вида. При умножении» например, 28*32 учащиеся приходят к записи
28*32=(30 - 2) (30 + 2) = 302 - 22.
Аналогичный пример II команде.
Задания I команде.
1)	Найти произведение двучленов: (а — 6) (а 4- Ь).
2)	Записать произведение суммы двух выражений на их разность, опустив промежуточные действия: (За—56) (За 4-56).
3)	Прочесть выражения: (а 4-6) (а — 6); а2—Ь2.
Аналогичные вопросы получает II команда.
Задания II команде.
1) Сформулировать правило сокращенного умножения суммы двух одночленов на их разность.
Такое же задание дается I команде.
Кульминационным моментом мышления в поисковой деятельности есть переход от конкретного примера 59*61 к общей формуле: (а —6) (а4-6)=а2 — Ь2.
Подводятся итоги второго этапа игры. Поощряются те ученики, которые дополняли ответы членов другой команды.
V. Дальше идет этап закрепления знаний.
Задание I команде.
I) Выполнить устно умножение: 43*37; (х4-3) (х—3); (т —п)Х X(m4-n).
Задания II команде.
1) Выполнить устно умножение: 31*29; (у4-5) (у — 5); (с — d)X Х(с4~^).
2) Записать произведение в виде разности квадратов двух одночленов: (10а — 36) (10а 4" 36); (а2 — 3) (а2 4~ 3); (а3 + х2) (а3 — х2).
Задание I команде.
2) Записать произведение в виде разности квадратов двух одночленов: (2x-r-1) (2x4-1); (12t/4~5z) (12у —5z); (/и2 4-у3) (т2 —у3).
Рис. з
16
Задание 1 команде.
3) Используя изображение на доске (рис. 2), объяснить геометрическую интерпретацию формулы: (а-}-Ь) (а — 6) = а2 — Ь2.
Используя рисунок 3, предлагается аналогичное задание П команде для формулы (т4-п) (tn — п) = т2 — п2.
Подводятся итоги игры. Учащиеся выигравшей команды, принесшие команде наибольшее число очков, получают поурочный балл. При наличии времени учитель продолжает опрос на оценку или проводит самостоятельную работу. Ученики обеих команд, выполнившие работу, получают оценки.
Результат игры. Учащиеся обогатились знаниями и умениями применять формулу сокращенного умножения для умножения чисел и двучленов.
Ценность дидактических игр заключается в том, что в процессе игры дети в значительной мере самостоятельно приобретают новые знания, активно помогают друг другу в этом. 1
При использовании дидактических игр очень важно следить за сохранением интереса школьников к игре. При отсутствии интереса или угасании его ни в коем случае не следует принудительно навязывать игру детям, так как игра по обязанности теряет свое дидактическое, развивающее значение; в этом случае из игровой деятельности выпадает самое ценное — ее эмоциональное начало. При потере интереса к игре учителю следует своевременно принять действия, ведущие к изменению обстановки. Этому могут служить эмоциональная речь, приветливое отношение, поддержка отстающих. При наличии интереса дети занимаются с большой охотой, что благотворно влияет и на усвоение ими знаний.
Очень важно проводить игру выразительно. Если учитель разговаривает с детьми сухо, равнодушно, монотонно, то дети относятся к занятиям безразлично, начинают отвлекаться. В таких случаях бывает трудно поддерживать их интерес, сохранять желание слушать, смотреть, участвовать в игре. Нередко это и совсем не удается, и тогда дети не получают от игры никакой пользы, она вызывает у них только утомление. Возникает отрицательное отношение к занятиям.
Учитель сам должен в определенной степени включаться в иг ру, иначе руководство и влияние его будут недостаточно естественными. Умение включаться в игру — тоже один из показателей педагогического мастерства. Интересная игра, доставившая детям удовлетворение, оказывает положительное влияние и на проведение последующих игр. При проведении дидактических игр забавность и обучение надо сочетать так, чтобы они не мешали, а наоборот помогали друг другу. Средства и способы, повышающие эмоциональное отношение детей к игре, следует рассматривать не как самоцель, а как путь, ведущий к выполнению дидактических задач.
Математическая сторона содержания игры всегда должна отчетливо выдвигаться на первый план. Только тогда игра будет вы-
2 В. Г- Коваленко
полнять свою роль в математическом развитии детей и воспитании интереса их к математике.
Дидактические игры в V—VII классах часто бывают связаны с определенными сюжетами. Сюжеты эти весьма просты, рассчитаны на детское воображение. Иногда сюжеты подсказываются названием игры: «Борьба за цифру», «Таблицу знаю» и др: В ряде игр сюжет связан с путешествиями: «Полет в космос» и др. Сюжеты героического поиска, романтики путешествий в этих играх питают воображение младших школьников.
Во многих играх взят принцип соревнования между группами ребят. Соревнования усиливают эмоциональный характер игр. При этом следует иметь в виду, что лучше, когда соревнование проводится не на личное первенство, а на первенство пионерского звена, команды учащихся, сидящих в одном ряду парт, чтобы дети не только сами стремились хорошо выполнить задание, но и побуждали к этому своих товарищей, помогали им. Мотив соревнования может быть выражен по-разному, в частности в названии игр: «Кто скорее, кто вернее», «Хоккей», «Телефон» и др.
Например, после изучения темы «Тождества сокращенного умножения» (VII класс) для закрепления и проверки знаний учащихся по данному материалу можно предложить игру «Смотри не ошибись!». Для проведения игры необходим кодоскоп или предварительные записи на доске. На доску проецируются 6—10 формул и примеров по данной теме. Например:
1.	□2-62=(а-а)(а-ЬП).
2.	(а+ С)2= П2 + 2О6 + Ь2.
3.	(□+Ь)2=а2 + 2аП + П2.
4.	(/п—□)2 = ги2—20т+О2
5.	(5+ О)2= □ + □ +81.
7.	472 — 372=(47—□) (□+ 37).
8.	(□-3)(П+3)=а2-а.
9.	612 = 360+а + 1.
10.	712 + 292 + 2-71 «29 = (П + D)2= D2.
Правила игры. Учитель вызывает поочередно по одному ученику из каждой команды и просит вместо квадратика написать букву или число так, чтобы выполнялось равенство. После окончания этой работы предлагается всем внимательно просмотреть и проверить записи. Дальше закрывается вначале правая часть тождеств и требуется воспроизвести левую, затем наоборот. Далее игра усложняется: закрываются все записи и требуется по памяти воспроизвести их. Для воспроизведения одной-двух записей вызывается один ученик. Желательно, чтобы записи выполнялись в той после-18
довательности, в которой они предлагались на доске. Чтобы в игре приняли участие все ученики, достаточно подготовить набор двух или трех кодопозитивов.
Эту игру можно проводить и при наличии откидных досок. Игру ведет учитель. К доске вызываются учащиеся поочередно из каждой команды. Выполнивший задание приносит команде 5 очков, не справившийся с заданием лишает команду 3 очков. Результаты соревнований записываются на доске. За нарушение дисциплины снимается 1 очко. Отдельным учащимся в конце игры выставляются оценки в журнал.
При организации дидактических игр с математическим содержанием необходимо продумывать следующие вопросы методики:
1.	Цель игры. Какие умения и навыки в области математики школьники освоят в процессе игры? Какому моменту игры надо уделить особое внимание? Какие другие воспитательные цели преследуются при проведении игры?
2.	Количество играющих. Каждая игра требует определенного минимального или максимального количества играющих. Это приходится учитывать при организации игр.
3.	Какие дидактические материалы и пособия понадобятся для игры?
4.	Как с наименьшей затратой времени познакомить ребят с правилами игры?
5.	На какое время должна быть рассчитана игра? Будет ли она занимательной, захватывающей? Пожелают ли ученики вернуться к ней еще раз?
6.	Как обеспечить участие всех школьников в игре?
7.	Как организовать наблюдение за детьми, чтобы выяснить, все ли включились в работу?
8.	Какие изменения можно внести в игру, чтобы повысить интерес и активность детей?
9.	Какие выводы следует сообщить учащимся в заключение, после игры (лучшие моменты игры, недочеты в игре, результат усвоения математических знаний, оценки отдельным участникам игры, замечания по нарушению дисциплины и др.)?
Целесообразность использования дидактических игр на различных этапах урока различна. Так, например, при усвоении новых знаний возможности дидактических игр значительно уступают более традиционным формам обучения. Поэтому игровые формы занятий чаще применяют при проверке результатов обучения, выработке навыков, формировании умений. В процессе игры, как уже говорилось, у учащихся вырабатывается целеустремленность, организованность, положительное отношение к учебе.
Определение места дидактической игры в структуре урока и сочетание элементов игры и учения во многом зависят от правильного понимания учителем функций дидактических игр и их классификации. В первую очередь коллективные игры в классе следует 2*	19
разделять по дидактическим задачам урока. Это прежде всего игры обучающие, контролирующие, обобщающие.
Обучающей будет игра, если учащиеся, участвуя в ней, приобретают новые знания, умения и навыки или вынуждены приобрести их в процессе подготовки к игре. Причем результат усвоения знаний будет тем лучше, чем четче будет выражен мотив познавательной деятельности не только в игре, но и в самом содержании математического материала.
Контролирующей будет игра, дидактическая цель которой состоит в повторении, закреплении, проверке ранее полученных знаний. Для участия в ней каждому ученику необходима определенная математическая подготовка.
Обобщающие игры требуют интеграции знаний. Они способствуют установлению межпредметных связей, направлены на приобретение умений действовать в различных учебных ситуациях.
При организации дидактических игр необходимо придерживаться следующих положений:
1.	Правила игры должны быть простыми, точно сформулированными, а математическое содержание предлагаемого материала — доступно пониманию школьников. В противном случае игра не вызовет интереса и будет проводиться формально.
2.	Игра должна давать достаточно пищи для мыслительной деятельности, в противном случае она не будет содействовать выполнению педагогических целей, не будет развивать математическую зоркость и внимание.
3.	Дидактический материал, используемый во время игры, должен быть удобен в использовании, иначе игра не даст должного эффекта.
4.	При проведении игры, связанной с соревнованиями команд, должен быть обеспечен контроль за ее результатами со стороны всего коллектива учеников или выбранных лиц. Учет результатов соревнования должен быть открытым, ясным и справедливым. Ошибки в учете, неясности в самой организации учета приводят к несправедливым выводам о победителях, а следовательно, и к недовольству участников игры. Особенно это бывает заметно, когда игра проводится с учениками VI—VIII классов. Они уже хорошо разбираются, где организаторы игр объективны, а где нет, и остро реагируют на несправедливость.
5.	Каждый ученик должен быть активным участником игры. Длительное ожидание своей очереди для включения в игру снижает интерес детей к этой игре.
6.	Если на уроке проводится несколько игр, то легкие и более трудные по математическому содержанию должны чередоваться.
7.	Если на нескольких уроках проводятся игры, связанные со сходными мыслительными действиями, то по содержанию математического материала они должны удовлетворять принципу: от простого к сложному, от конкретного к абстрактному. Это положение 20
необходимо последовательно и строго соблюдать при проведении логических игр.
8.	Игровой характер при проведении уроков по математике должен иметь определенную меру. Превышение этой меры может привести к тому, что дети во всем будут видеть только игру.
9.	В процессе игры учащиеся должны математически грамотно проводить свои рассуждения, речь их должна быть правильной, четкой, краткой.
10.	Игру нужно закончить на данном уроке, получить результат. Только в этом случае она сыграет положительную роль.
Многие дидактические игры как будто не вносят ничего нового в знания школьников, но они приносят большую пользу тем, что учат учащихся применять знания в новых условиях или ставят умственную задачу, решение которой требует проявления разнообразных форм умственной деятельности. Дидактическая игра является средством умственного развития, так как в процессе игры активизируются разнообразные умственные процессы. Чтобы понять замысел, усвоить игровые действия и правила, нужно активно выслушать и осмыслить объяснение учителя. Решения задач, поставленных играми, требуют сосредоточенного внимания, активной мыслительной деятельности, выполнения сравнения и обобщения.
В свою очередь, дидактические игры в зависимости от содержания материала, способа организации, уровня подготовки школьников, цели урока могут приобретать различный характер, например быть продуктивными, репродуктивными, творческими, конструктивными, практическими, воспитывающими.
Исходя из особенностей предмета математики, следует различать игры-состязания и игры-олимпиады. В первом случае победа обеспечивается в основном за счет скорости выполнения вычислений, преобразований, доказательства теорем, но без ущерба качеству выполнения задания, во втором — победа обеспечивается главным образом за счет качества решений задач повышенной трудности или доказательства сложных теорем. Первые полезны для выработки автоматизма действий, вторые — для воспитания серьезного^ отношения к математике.
Св конечном счете в игровых формах занятия реализуются идеи совместного сотрудничества, соревнования, самоуправления, воспитания через коллектив, приобщения детей к научно-техническому творчеству, воспитания ответственности каждого за учебу и дисциплину в классе, а главная — обучение математике.^/
§ 2. ИМИТАЦИОННЫЕ, ДЕЛОВЫЕ ИГРЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Как известно, играют не только дети, играют и взрослые. Существуют так называемые деловые игры, в процессе которых на. основе игрового замысла моделируется реальная обстановка, в ко-
21
торой выполняются конкретные действия, выбирается оптимальный вариант решения задачи и имитируется его реализация в практической жизни.
Более общим является определение деловой игры как модели взаимодействия людей в процессе достижения некоторых целей — экономических, производственных, политических.
В любом случае деловая игра — это модель процесса принятия решений в реальной ситуации с четко выраженной структурой.
Деловая игра позволяет создавать производственные ситуации, в ходе которых играющему необходимо найти правильную линию поведения, оптимальное решение проблемы, соответственно реальным обстоятельствам производства, имитированным в игре.
В ходе игры каждому участнику необходимо максимально мобилизовать все свои знания, опыт, воображение. Особенно ценно то, что здесь дело не сводится лишь к механическому использованию программного материала. В процессе игры вырабатывается умение мыслить системно, продуктивно, пробуждается стремление к поиску новых идей, а это уже шаг к творчеству.
Деловые игры получают в последнее время все большее распространение при обучении студентов. Однако они могут и должны применяться при обучении школьников. Ведь учащиеся VI—XI классов в условиях игры охотно перевоплощаются в тех или иных специалистов и выступают в адекватной роли в моделируемой обстановке.
Приведем пример деловой игры на уроке математики.
Целовал игра «Строитель»
Тема: «Площади многоугольников» (IX класс).
Цель урока: усвоение учащимися формул для вычисления площадей параллелограмма, треугольника, трапеции и применение гк>-лученных знаний к решению практических задач.
Воспитательная цель: ориентация учащихся на профессию строителя.
В начале урока учитель знакомит учащихся IX класса! со строительным производством и одной из наиболее распространенных строительных профессий — столяра.
I этап. Строительное производство сегодня — это1 механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает в строительно-монтажных организациях, на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских. Он выполняет различные операции на станках: на круглопильных — раскрой пиломатериалов, на фуговальных — строгание, на долбежных и шипорезных — выдалбливание гнезд и зарезание шипов у заготовок.
Непосредственно на строительном объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуа-22
тации деревообрабатывающих станков, знания технологии и организации строительного производства, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения.
Постановка задачи. Учитель объявляет, что сегодня все ученики будут выступать в роли строителей. Требуется выполнить работу по настилке полов строящегося детского еада. Предлагается произвести настилку паркетного пола в игровом зале размером 5,75X8 м. Паркетные плитки имеют форму прямоугольных треугольников, параллелограммов и равнобочных трапеций. Размеры плиток в сантиметрах указаны на рисунке 4.
Правила игры. Учащиеся разбиваются на три бригады. Избираются бригадиры.
Первая бригада — столяры. Им нужно изготовить паркетные плитки указанных размеров в таком количестве, чтобы после настилки пола не осталось лишних плиток и число треугольных плиток было минимальным, а плиток в форме параллелограммов н трапеций — одинаковое количество.
Вторая бригада — поставщики. Им нужно доставить необходимое количество плиток на строительную площадку. Они рассчитывают это количество.
Третья бригада — паркетчики. Чтобы проконтролировать доставку, надо наперед знать, сколько и каких паркетных плиток понадобится для покрытия пола.
Побеждает в игре та команда, которая первой выполнят правильный расчет. Для этого надо знать формулы для вычисления площадей вышеуказанных фигур. Учитель записывает на доске, какой материал следует изучить. Учащиеся приступают к работе с учебником. Внутри каждой команды разрешаются взаимоконсультации. При необходимости консультацию дает учитель.
После того как теоретический материал изучен, а формулы для вычисления площадей параллелограмма, треугольника и трапеции записаны в тетрадях, учитель проецирует на доску рисунки и формулы по проработанному материалу. Проводится проверка по-товности бригад. С этой целью каждой команде предлагается по два-три вопроса. Ответы учащихся оцениваются очками. Счет записывается на доске.
II этап. Каждая команда приступает к практическим вычисле
23
ниям. Паркет укладывается в ряды так, что параллелограммы и трапеции чередуются, а треугольников в одном ряду всего два. Подсчеты показывают, что в одном ряду по ширине укладывается по два треугольника и по восемь параллелограммов и трапеций.
Действительно, площадь одной полосы шириной 20 см и длиной 575 см будет 11500 см2. Если площадь двух треугольников 300 см2, а площадь параллелограмма или трапеции 700 см2, то в одной полосе по ширине игрового зала поместится по 8 параллелограммов и трапеций: (11500 — 300):700 =16. Таких полос в длине комнаты поместится 800:20 = 40. Следовательно, для настилки пола понадобится 80 треугольников и по 320 параллелограммов и трапеций. Проверкой устанавливается: площадь игрового зала 575X X800 = 460 000 см2, площадь одной полосы 575X20=11500 см2, а таких полос 40, поэтому 11500X40 = 460 000 см2 — площадь паркетного пола.
Это самый ответственный этап игры. Вычисляются площади плоских фигур, производятся расчеты.
В конце второго этапа игры учащиеся из каждой бригады дают объяснения около стола учителя, как они вычислили нужное количество паркетных плиток.
Идет разговор об экономии материала. На первый план выступает математическое содержание работы. Происходит процесс применения знаний на практике. На этом этапе игры команды получают определенное число очков, а правильно ответившие ученики — оценки в журнал. На заключительном этапе учитель проверяет, насколько глубоко усвоили ученики материал. Для этого им предлагаются контрольные вопросы, которые могут быть, например, такими:
1.	Дайте определение площади простых фигур.
2.	Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
3.	Докажите, что площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне.
4.	Докажите, что площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
5.	По какому принципу укладывали паркетные плитки в Один ряд?
6.	Как проводились вычисления площади одного ряда плиток?
7.	Дайте краткую характеристику профессии столяра.
В заключение подводятся результаты игры.
Заметим, что в менее подготовленных классах такую игру следует проводить с целью обобщения и применения знаний, после того как изучен материал о площадях плоских фигур. Число вопросов на заключительном этапе можно уменьшить.
Распределение времени при этом может быть таким. Рассказ учителя о профессии строителя — 5 мин. Постановка задачи с помощью ТСО — 3 мин. Работа с учебником (повторение формул площадей плоских фигур) — 8—10 мин. Вычисление количества 24
плиток — 16—18 мин. Проверка глубины знаний учащихся — 8 мин. Сообщение домашнего задания — 3 мин.
Как видим, деловые игры представляют собой непрерывную последовательность учебных действий в процессе решения поставленной задачи. Этот процесс условно расчленяется на такие этапы: знакомство с профессией строителя; построение имитационной модели производственного объекта; постановка главной задачи бригадам и выяснение их роли в производстве; создание игровой проблемной ситуации; овладение необходимым теоретическим материалом; решение производственной задачи на основании математических знаний; проверка результатов; коррекция; реализация принятого решения; анализ итогов работы; оценка результатов работы.
Основная идея игры состоит в том, чтобы создать производственную ситуацию, в которой учащиеся, поставив себя на место человека той или иной специальности, смогут увидеть и оценить значение математических знаний в производительном труде, самостоятельно овладеть необходимым теоретическим материалом и применить полученные знания на практике.
Благодаря соревновательному характеру деловой игры активизируется воображение участников, что помогает им находить решения поставленной задачи.
Деловая игра «Проектировщик»
Тема: «Примеры решения задач с помощью движений» (IX класс).
В начале урока учитель сообщает, что сегодня каждый ученик должен представить себя в роли инженера-проектировщика. Будем строить дороги. Полезно знать, что 1 км дороги с асфальтовым покрытием обходится государству от 700 000 до 1 000 000 р. Задание
Рис. 5
25
состоит в том, чтобы, используя свои знания по теме «Движения», выполнить вполне реальную инженерную задачу.
На доску проецируется рисунок 5 без проведенных участков дороги. Учитель объясняет задание. На плане местности, в недрах которой найдены полезные ископаемые, необходимо спроектировать шоссейную дорогу, которая связала бы город А с железной дорогой (пункт С), дальше пункт С через реку с городом В. Город В находится вблизи уже существующей шоссейной дороги, вдоль которой надо спроектировать погрузочно-разгрузочную платформу DE длиной т и после этого конец платформы, пункт В, соединить вновь через реку асфальтированной магистралью с городом А. По ходу дороги на реке надо спроектировать мосты. Строительство мостов производить только перпендикулярно берегам реки. Длина замкнутой дороги ACMyMBDENyNA должна быть кратчайшей. У мостов М|М и MW со временем будут построены порты М и N, первый со стороны города В, другой со стороны города Л.
Класс делится на три проектных бюро (ПБ). Во главе каждого из них ставится капитан команды. Он условно наделяется полномочиями начальника ПБ, а каждый ученик становится инженером-проектировщиком. Каждой команде выдается план местности без ломаной ACMyMBDENiNA в нескольких экземплярах и сообщается задание: первой команде спроектировать участок АСМуМВ, второй — участок BDE, третьей — участок ENyNA.
Учитель сообщает, что игра будет проходить в несколько этапов. В конце каждого этапа работники ПБ должны отвечать на контрольные вопросы, решать предложенные задачи, обосновывать принятые инженерные решения. В каждом ПБ разрешаются взаимопомощь и консультации. Правильные ответы по теории, решению задач, проектированию дороги приносят очки команде и оценки в журнал учащимся. Нарушение дисциплины, невыполнение правил игры, подсказки приносят штрафные очки. Учитываются не только знания, но и организация работы ПБ, трудовая дисциплина коллектива, скорость и оптимальный вариант решения инженерной задачи.
На первом этапе игры происходит изучение каждой командой плана местности, на котором изображены города А и В, река, полотно железной и шоссейной дорог. Возникает необходимость перевести задание с инженерного языка на язык математики.
Для этого каждый ученик перерисовывает план в тетрадь, заменяя железную и шоссейную дороги прямыми линиями, а берега реки — параллельными прямыми. Железнодорожный мост построен перпендикулярно берегам реки.
Создается некоторая математическая модель — чертеж к задаче. За выполнение предварительных чертежей каждой команде проставляется число очков, равное числу учеников, правильно выполнивших чертеж. Решение данной инженерной задачи предъявляет к учащимся определенные требования в отношении знаний: чтобы работать в ПБ, надо знать математику. Необходимость в этих знаниях придает дидактической игре познавательный характер.
26
На втором этапе игры следует создать ориентировочную основу действий, используя имеющиеся знания. Для этого каждой команде предлагается одна из трех задач, решенных на предыдущих уроках. Условия и рисунки к задачам проецируются на доску.
Задача I команде. Две точки Р и Q размещены по одну сторону от прямой а. На данной прямой найти точку X, такую, чтобы сумма растояний PX+XQ была наименьшей.
Задача II команде. По разные стороны реки с параллельными берегами а и b расположены два пункта К и L. В каком месте нужно построить мост, чтобы участок дороги, соединяющий пункты К и L, был кратчайшим?
Задача III команде. По одну сторону дороги размещены два пункта R и 5. Где нужно построить у дороги платформу DE длиной т, чтобы участок дороги RDES был кратчайшим?
После того как в каждом ПБ учащиеся ознакомились с задачей, учитель предлагает, если это необходимо, повторить по учебнику: свойства осевой симметрии, параллельного переноса, равнобедренного треугольника и параллелограмма. По истечении отведенного времени подводится итог повторения. Счет записывается на доске. Во время повторения разрешаются консультации как внутри команд, так и со стороны учителя всему классу.
Третий этап работы — решение предложенных задач в каждом ПБ и переосмысливание его соответственно общему заданию. Через 8—10 мин каждый ученик должен уметь объяснить решение своей задачи. Поэтому внутри каждой команды идет напряженная работа — решить первыми и правильно.
Для ускорения изложений решений задач используются рисунки 6, 7, 8, спроецированные на доску. Для объяснения решения задачи из каждой команды вызываются 3—4 ученика, которые продолжают объяснение один за другим. Приводим примерное решение сформулированных задач.
Задача 1. Рассмотрим точку Q' — зеркальное отражение точки Q от прямой а (рис. 6). Тогда для любой точки F прямой а будем иметь FQ = FQ' и поэтому PF-[-FQ = PF-\-FQ'. Таким образом, сумма PF + FQ равна длине ломаной PFQ'. Следовательно, наименьшую длину сумма расстояний PF+FQ будет иметь в том случае, когда наименьшую длину будет иметь ломаная PFQ'. Но ломаная PFQ' будет иметь наименьшую длину, если она обратится в отрезок прямой, т. е. если роль точки F будет играть точка X пересечения прямой а с отрезком PQ'. Эта точка X и является искомой.
Задача 2. Представим себе, согласно рисунку 7, что берега реки слились. Это произошло вследствие параллельного переноса полуплоскости а, ограниченной прямой а, на ширину реки вдоль перпендикуляра к прямой b (рис. 7). Точка К переместилась вдоль направления моста на расстояние КК', равное его длине. Если считать, что река «исчезла», то задача стала проще. Мост строить уже не нужно, а для построения дороги достаточно соединить точку
27
Рис. 6
Рис. 8
К' с точкой L. Точку пересечения отрезка K'L с берегом реки, прямой Ь, обозначим буквой Е. Если теперь выполнить параллельный перенос в противоположном направлении на длину отрезка К'К, то точка К' возвратится в исходное положение, а точка Е займет положение Е' на другом берегу реки. Отрезок К'Е займет положение КЕ'. Ломаная KE'EL будет кратчайшим расстоянием от точки К до точки L. Длина пути равняется сумме отрезков K'L и Е'Е.
При любом другом положении моста, например при положении CD, путь из точки К в точку L будет длиннее (рис. 7), так как длина ломаной K'D-j-DL больше отрезка K'L, следовательно, путь KCDL через мост CD будет длиннее, чем через мост Е'Е.
Задача 3. Перенесем точку R на расстояние RR' = m параллельно прямой а (рис. 8). Построим точку 7?|, симметричную точке R' относительно а. Соединим R\ с S. Получим точку Е пересечения отрезка RiS с прямой а. Тогда на основании первой задачи сумма R'E-j-ES будет наименьшей. Выполним параллельный перенос точки R' в сторону R на расстояние ED = m. Тогда RD = = R'E и RD-\- DE-\-ES будет кратчайшим расстоянием от точки R до точки 5 с заездом на платформу DE.
Подводятся итоги объяснения решений задач. После рассмотрения трех задач создается ориентировочная основа будущих действий по проектированию дороги.
В зависимости от того как отвечали члены, команд, каждая команда получает то или иное количество очков.
Задача учителя состоит в том, чтобы сохранить работоспособность и сплоченность внутри ПБ, учесть индивидуальные особенности в творчестве, направить работу отделов на выполнение основного задания.
На четвертом этапе учащиеся, обогащенные опытом решения частных задач и вооруженные ориентировочной основой действий, приступают к выполнению задания своего отдела. Учитель напоминает, какие участки дороги должны быть спроектированы каждым отделом (рис. 5). После того как учащиеся каждой команды выполнят построения в тетрадях, происходит защита проектов. В большинстве случаев работу защищает «главный инженер» со своими 28
ассистентами. Проектирование участка дороги, грамотность защиты оцениваются главным арбитром — учителем.
После создания проекта дороги и проведенной защиты подводятся итоги игры.
В общей сложности процесс решения инженерной задачи — проектирование дороги — расчленился на следующие этапы:
1)	постановка инженерной задачи;
2)	построение математической модели этой задачи;
3)	актуализация необходимых знаний, решение задач, составляющих элемент общей задачи;
4)	решение общей задачи на модели, составление проекта дороги;
5)	проверка и корректировка решения, защита проекта;
6)	реализация проекта в связи с другими ПБ;
7)	оценка результатов решения (определение команды-победителя, выставление оценок в журнал);
8)	анализ итогов работы.
В ходе деловой игры ученики не только повторяли пройденный материал, воспроизводили знания, но и творчески работали над созданием проекта дороги.
Специфическая форма игровой деятельности способствовала активизации учебного процесса по выработке навыков решения задач с помощью геометрических преобразований, выработке необходимой мотивации математической и инженерной деятельности.
Деловая игра «Конструктор»
На данном уроке учащиеся восьмых классов будут выступать в качестве конструкторов роботомеханизмов.
Тема: «Преобразование фигур на плоскости. Симметрия в природе и технике. Геометрические места точек» (VIII класс).
Учитель рассказывает, что детали роботомеханизма имеют форму геометрических фигур. В процессе выполнения роботом отдельных операций его детали перемещаются в пространстве и некоторых плоскостях. При создании роботов важно знать, какие траектории будут описывать определенные точки некоторых деталей при заданном движении других точек.
Организационная работа: класс делится на две команды — конструкторские бюро (КБ). Во главе каждого КБ стоит «главный инженер» (капитан команды), который выбирается участниками по согласованию с учителем.
Общие этапы игры:
1)	Подготовительный этап. Проводится актуализация опорных знаний, которые будут использованы в процессе решения технической задачи.
2)	Ознакомление учащихся с условием задач. После постановки задачи разрешаются консультации внутри КБ для выяснения подхода к решению задачи. Консультации могут быть групповыми и индивидуальными.
29
3)	Первый этап решения задачи. На этом этапе каждый член КБ может решить предложенную математическую задачу для частных положений гипотенузы АВ (рис. 9) и отрезка PD (рис. 10).
4)	Второй этап решения задачи. Теперь каждый ученик может решить задачу для общего положения отрезков АВ (рис. 11) и PD (рис. 12).
5)	Обмен задачами и объяснение их решения. Для ответа у доски учащиеся вызываются «главными инженерами». Кандидатуры предлагаются не из своего КБ.
6)	Подведение итогов работы. Побеждает то КБ, которое наберет наибольшее количество очков, и каждый «конструктор», который сможет аргументированно решить техническую задачу на базе математической.
Данный урок проводится в конце изучения темы «Преобразование фигур на плоскости» (VIII класс). К этому времени учащиеся уже знакомы с примерами преобразования фигур и их свойствами. На уроке повторяется понятие ГМТ как фигуры, состоящей из всех точек плоскости, обладающих определенными свойствами. С помощью кодопозитива на доску проецируются простейшие ГМТ. Повторяются свойства равнобедренного треугольника, средней линии треугольника, признаки равенства прямоугольных треугольников. Решаются следующие задачи (без записи в тетрадях):
1. Построить точку М, равноудаленную от сторон данного угла и от данных двух точек А и В.
2. Найти ГМТ середин всех хорд данной окружности, которые выходят из одной точки этой окружности.
Учитель подводит итоги работы двух команд в процессе актуализации опорных знаний и решения задач. Итоги подготовительного этапа в баллах записываются на доске.
Далее для каждого КБ формулируется конструкторская задача.
Задача для I КБ. Основанием подвижной части робото-механизма является равнобедренный треугольник ABC (Z_ACB=^= =90°), который перемещается в плоскости так, что его вершины А
30
и В скользят по сторонам прямого угла MON (Z.MON = 90°). Известно, что АС = ВС = а и МО —ON — АВ. Какую траекторию опишет точка С, вершина прямого угла треугольника АВС, если точка А опишет отрезок ОМ, а точка В — отрезок ON (рис. 9) ?
Задача для II КБ. Концы Р и D отрезка переменной длины подвижной части роботомеханизма скользят по сторонам равнобедренного треугольника АВС (АС=ВС) так, что расстояния АР и CD все время одинаковы. Найти фигуру, которую опишут середины всех отрезков PD (рис. 10).
Первый этап решения задачи. Учащиеся каждой команды изучают условие задачи, выполняют рисунки. Капитаны команд следят за тем, чтобы каждый ученик сделал рисунок в тетради и мог объяснить его для определенных положений треугольника АВС (рис. 9) и отрезка PD (рис. 10). В это время возможны консультации внутри КБ, а также консультации со стороны учителя.
Через некоторое время «главные инженеры» КБ объявляют о возможности начать опрос. К доске идут отвечать ученики из первого КБ по предложению «инженеров» второго КБ и наоборот. Это значит, что руководитель и все члены КБ должны быть уверены за своего «сотрудника» и знать, что он их не подведет. А это, в свою очередь, требует внимательности и ответственности от каждого ученика в период подготовки и умения ответить на вопрос.
Дополнительно два балла засчитывается тому КБ, которое первым дало согласие на фронтальный опрос и опрос у доски.
Вызванные к доске ученики выполняют рисунки для отдельных положений детали роботомеханизма (треугольника АВС в первой задаче и отрезка PD — во второй).
Приводим примерный ответ ученика из первого КБ;
Пусть Ci — положение вершины С в момент, когда точка А совпадает с точкой М, а точка В — с точкой О, имеем треугольник AiCiBi (рис. 9). Понятно, что точка С лежит на биссектрисе угла MON. Аналогичную картину имеем, когда треугольник АВС занимает положение А2С2В2. Если ОВ3 — ОА3, то вершина С треугольника АВС займет положение Сз на биссектрисе угла MON. Остается рассмотреть общий случай, когда ОА=А=ОВ (рис. 11).
Примерный ответ ученика из второго КБ:
Если концы отрезка переменной длины PD совпадают с вершинами А и С (Pi с A, D\ с С), то серединой отрезка PD будет точка Ei (EiA=EiC) (рис. 10). Аналогично: если концы отрезка PD совпадают с вершинами В и С (Р2 с С, D2 с В), то серединой PD будет точка Е2,(СЕ2=BEfi.
В случае когда Р совпадает с Ei и D с Е2, серединой отрезка PD будет точка Е3- Остается рассмотреть общий случай, когда AP=CD, AP^G, CD^Q и AP = CD=£AE! (рис. 12).
Учащиеся обоих КБ следят за ответами товарищей, так как по правилам игры произойдет обмен задачами между КБ.
Второй этап решения задач. В обоих КБ выполняются рисунки для общего положения треугольника АВС (рис. 11) и отрезка PD 31
(рис. 12). Обсуждаются идеи решения задачи. Возможны консультации внутри команд. Через некоторое время «главные инженеры» докладывают о готовности КБ к ответу. Отвечающие у доски ученики выбираются по тому же принципу.
Примерный ответ ученика из первого КБ:
Пусть теперь треугольник АВС занимает произвольное из допустимых его положений (рис. 11). Опустим из точки С перпендикуляры CF и СЕ на ON и ОМ соответственно, тогда ABCF— А АСЕ, как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Кроме того, АС = ВС по условию. Отсюда следует, что Д.АЕС = = £\BCF, и поэтому CE = CF, так что точка Сив этом случае лежит на биссектрисе угла MON. Получаем, что ГМТ вершины С будет отрезок С1С3 (рис. 9).
Примерный ответ ученика из второго КБ:
Пусть отрезок PD занимает одно из допустимых его положений (рис. 12). Через точки PhD проведем DM||РУУЦЛВ. Тогда CM=CD = PA=NB и PEi=EiM. Средняя линия E\Ez треугольника АВС совпадает со средней линией треугольника PMD. Получаем, что середина отрезка PD в любом его положении лежит на средней линии Е1Е2 треугольника АВС. Следовательно, ГМТ середины отрезка PD будет средняя линия Е1Е2.
Если из обеих команд последовали существенные дополнения, они, как и прежде, оцениваются дополнительными баллами. Подводятся итоги второго этапа решения задач. Результаты записываются на доске.
После этого ведущий игры предлагает обменяться задачами. Повторно зачитываются условия для каждого КБ. Вйовь акцентируется внимание на конструировании робототехники. На обдумывание задачи, выполнение рисунков и записи решения отводится минимум времени. Возможны консультации внутри команды. Только после того как у руководителя КБ появляется уверенность в том, что каждый ученик сможет объяснить задачу, дается согласие на ответ. Дополнительные баллы получает то КБ, которое первым пришло 32
к готовности. Как и в первом случае, объяснение решения задачи проходит в два этапа. Дополнения к ответам приносят командам дополнительные баллы. Подводятся итоги работы. Учитель проверяет записи в тетрадях. Учитываются хорошо проведенные индивидуальные консультации. Ученики, отвечавшие у доски и с места, получают оценки в журнал. На заключительном этапе работы высказываются также предположения о возможности применения рассмотренных роботомеханизмов на производстве.
На основании рассмотренных примеров отметим, что для проведения деловых игр в классе существенными являются следующие факторы: математическая подготовка учащихся класса, понимание ими цели и механизма игры, заинтересованность их в получении результатов, оперативность проведения игры, возможность оценки учениками своих действий, а также наличие опытного и понимающего нюансы игры ведущего — учителя математики.
Перечислим основные требования, на которые следует ориентироваться при подготовке и проведении деловой игры в классе:
1.	Описываемые производственно-технические задания или ситуации должны соответствовать задаче исследования и быть достаточно простыми, чтобы учащиеся хорошо понимали цель игры и способы достижения результатов.
2.	Учитель математики — ведущий игры — должен четко представлять все особенности моделируемой ситуации, уметь быстро проверять полученные при решении задач результаты и интерпретировать их согласно производственной задаче.
3.	Игра должна проводиться оперативно. Нельзя допускать потери интереса к игре и утомления учеников. Для поддержания интенсивной работы во время игры надо предусмотреть способы стимулирования учащихся, отмечать в процессе игры наиболее отличившихся, подбадривать отстающих.
4.	В процессе игры нужно учитывать факторы, порождающие конкретные ситуации, а также то, что на «выигрыш» команды или ученика оказывают влияние действия не только отдельных учеников, но и всего коллектива.
Применение дидактических игр и имитаций в процессе обучения математике осуществляется в различных формах. Одной из них является математическое моделирование. Математическое моделирование, как правило, предполагает имитацию различных ситуаций математическими средствами.
Вспомним известную игру в «магазин». В процессе купли-продажи дети манипулируют некоторыми предметами, вкладывая в каждый из них определенный смысл.
Таким образом, без всякого принуждения извне они совершают чрезвычайно важную операцию: придают предметам различные значения.
Дидактическая особенность этой способности детей становится понятной, если учесть, что при построении различных моделей аксиоматической теории также приходится отвлекаться от обыч-
3 В. Г. Коваленко	33
ного смысла, вкладываемого в исходные понятия теории, перестраиваться на новый смысл этих понятий, соответствующий той или иной конкретной модели.
Приведем примеры имитаций при математическом моделировании.
Тема: «Логическое строение геометрии и аксиоматический метод в математике» (IX класс).
Вначале учащимся разъясняются отмеченные выше особенности игры в «магазин». По аналогии с этой игрой предлагается игра математического содержания.
Точками в рамках этой игры будем считать цифры 1, 2, 3. Под прямыми будем понимать пары, составленные из двух цифр: (1 ; 2), (1 ; 3), (2 ; 3). Отношение «точка принадлежит прямой» будет означать наличие цифры в паре цифр. Например, точка 1 принадлежит прямой (1;3) и не принадлежит прямой (2;3). Цель задания заключается в том, чтобы проверить, будут ли выполняться аксиомы принадлежности при таком истолковании точек и прямых (Погорелов А. В. Геометрия, 7—11 класс.— М.: Просвещение, 1989).
Основные свойства принадлежности точек и прямых:
Ii. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие ей, й точки, не принадлежащие ей.
1г. Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Выполнение первой аксиомы в нашей модели очевидно. Для прямой (1 ; 2) точки 1 и 2 принадлежат ей, а точка 3 не принадлежит. Вторая аксиома тоже справедлива. Точкам 1 и 2 соответствует прямая (1;2), и только одна. Точкам 1 и 3 соответствует прямая (1 ; 3), точкам 2 и 3 — прямая (2 ; 3).
Формулировки аксиом h и 12 в рассматриваемой модели будут такими:
Ii. Для любой пары цифр (1 ;2); (1;3); (2; 3) существуют цифры, взятые из тройки цифр (1 ; 2; 3), принадлежащие этим парам и не принадлежащие им.
12. Для любых двух цифр из тройки цифр (1;2; 3) существует одна, и только одна, пара цифр, содержащая их.
Рассмотрим еще один пример имитации. Возьмем квадрат. Под прямыми будем понимать стороны квадрата и его диагонали, под точками — вершины квадрата. В данном случае моделью будет совокупность четырех вершин квадрата А, В, С, D и шести отрезков АВ, AC, AD, ВС, BD, CD. Точка О пересечения диагоналей квадрата в пределах данной модели не является точкой.
Проверим выполнение аксиом.
Ii. Для любой стороны и диагонали квадрата существуют вершины квадрата, принадлежащие и не принадлежащие им.
12. Через две любые вершины квадрата можно провести его сторону или диагональ, и притом только одну.
Рассмотрим одну из теорем в нашей теории.
34
Теорема. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке.
Пересекающимися прямыми в нашей модели будут АВ и AD, ВС и CD, ВС и АС и т. д. Непересекающим ися будут АВ и CD, AD и ВС. Необходимо обратить внимание учащихся на прямые АС и BD. В данной интерпре
тации они не пересекаются. Полезно также обратить внимание
на следующий факт: если какое-либо предложение не выполняется в рамках данной модели, то это предложение не может быть получено как следствие из аксиом данной теории. Так, например, предложение «Существуют вершины квадрата, через которые проходит по крайней мере одна сторона, параллельная данной стороне» не может быть доказано на базе аксиом 1|, Ь. В дальнейшем построении теории возможны две ситуации: либо это предложение принять за аксиому, либо пополнить список аксиом такими предложениями, на основе которых можно было бы осуществить доказательство данного предложения. Таким образом, рассмотрение данной игры послужило
важным эвристическим средством, подсказывающим направление дальнейшего развития теории.
Рассмотрим еще один пример.
Тема: «Декартовы координаты на плоскости» (VIII класс).
Под точками будем понимать пары чисел (х; у). Под расстоянием от точки А (х>; yi) до точки В (х2: у?) будем понимать наибольшее из чисел |х2—Х|1 и I1/2—f/il; ЛВ = тах(|х2 — xd, lf/г —£/d)-Убедимся в том, что такая имитация расстояний возможна. Рассмотрим аксиомы расстояний (Погорелов А. В. Геометрия, 7— 11 класс.— М.: Просвещение, 1989).
III|. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.
Выполнение аксиомы Illi можно проследить на рисунке 13. В данном случае расстоянием между точками А и В (длина отрезка АВ) будет |х2—Х||, большее из чисел lx2—xd и |t/2—yil. Разобьем отрезок АВ на две части точкой С. Тогда
АС —тах(|х3—Х||, |{/3—уА)= 1хз—х»|.
СВ = тах(|х2—Хз1, I//2—#3|)= |х2—х3|.
АС-+-СВ= |х3—xd + |х2 — х31 = |х2 — xd = АВ.
Большой интерес учащихся вызывают имитации некоторых геометрических образов: отрезка, луча, прямой. Рассматривая эти случаи, учащиеся убеждаются в том, что отрезок может быть имитирован произвольным прямоугольником. (За длину отрезка принимается площадь прямоугольника. Тогда каждому отрезку-прямо
3
35
угольнику соответствует определенная длина-площадь. И сумма длин частей отрезка-прямоугольника, на которые он разбивается любой его точкой-прямой, равна длине-площади самого отрезка-прямоугольника.)
Приведенные примеры различных моделей отрезков, удовлетворяющих аксиомам метрики, вынуждают учащихся «посмотреть» на понятие отрезка с позиции аксиоматического метода. Учащиеся убеждаются в том, что отрезки, удовлетворяющие аксиомам метрики, могут значительно отличаться по своему «внешнему» виду и по своим свойствам от обычных отрезков. Естественно, напрашивается мысль, что необходимо введение дополнительных ограничений (посредством аксиом), которые позволили бы исключить такие «необычайные» случаи. Так что введение новых аксиом становится мотивированным. Примечательно, что выяснение особенностей рассмотренной модели не только оправдывает введение новых аксиом, но и подсказывает их содержание.
Систематическое применение различных моделей отдельных групп аксиом в процессе выполнения заданий-игр позволяет подвести учащихся к пониманию сущности полуформальной аксиоматической теории в отличие от содержательной, в которой понятия об основных ее объектах получают однозначное, конкретное истолкование. При этом обычные наглядные представления учащихся об исходных понятиях геометрии остаются. Новые истолкования основных понятий действуют лишь в процессе игры и не выходят за ее рамки.
Итак, деловые игры следует использовать при изучении математики. Важное условие их эффективности — профессиональная направленность решаемых задач и их проблемность, а также рациональное сочетание коллективных и индивидуальных действий участников игры.
§ 3. ПРИМЕРЫ ДИДАКТИЧЕСКИХ ИГР НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Приведенные здесь игры даны по классам в соответствии с определенной темой урока. Но идею каждой из них можно использовать в различных классах. Тема и класс указаны согласно тематическому планированию учебного материала по математике на 1989/90 учебный год.
В отличие от деловых игр, которые в большинстве случаев занимают весь урок, предложенные дидактические игры используются лишь на отдельных этапах урока, выступая в виде игровых моментов.
Игра для детей является одной из самых привлекательных форм деятельности, поэтому нужно искать возможности применения ее в подготовке школьников к усвоению важных математических идей, т. е. обучать математике в процессе игры.
36
МАТЕМАТИКА
V КЛАСС
«Магические» квадраты. Тема: «Сложение и вычитание натуральных чисел».
«Магическим» квадратом обычно называют квадратную таблицу, построенную из чисел (выражений) такий образом, что суммы чисел (выражений) в каждой строке, в каждом столбце и в каждой из двух диагоналей равны одному и тому же числу (выражению), называемому «магической» суммой. Например,
2	2
2	2
0	1	2
3	1	— 1
0	1	2
1	12	15	6
14	7	4	9
8	13	10	3
11	2	5	16
а2	ЗЬ2	— 4а.2
д2-6а2	Ь2 — а2	62 + 4а2
2Ь2 + 2а2	— Ь2 — 2а2	2Ь2 — За2
Число строк или столбцов «магического» квадрата будем называть его порядком.
Составление «магических» квадратов имеет четко выраженный игровой характер и вызывает большой интерес у учащихся. Числа и выражения, записываемые учителем в клетках «магического» квадрата, зависят от изучаемого материала.
Рассматривая «магические» квадраты третьего порядка (примеры б, г) нетрудно заметить, что число (выражение), стоящее на пересечении диагоналей, равно «магической» суммы (это можно доказать). Такой вывод позволяет строить «магические» квадраты третьего порядка по следующему алгоритму:
1)	В первую строку или столбец квадратной таблицы третьего порядка вписать три произвольных числа (выражения).
2)	Найти «магическую» сумму S.
3)	Найти -|-S. Это число (выражение) записать на пересечении диагоналей «магического» квадрата.
4)	Найти и записать остальные числа (выражения) «магического» квадрата.
37
Пусть требуется составить «магический» квадрат из 4X4 клеток. Возьмем 16 последовательных членов арифметической прогрессии: a; a-\-d; a-j-2d; a + 3d; a-}-4d; a+5d; a-j-6d; a-j~7d; a-f-8d; a-f-9d; a-f-lOd; a+ -Hld; a4-12d; a+13d; a+14d; a4-15rf. Их сумма равна S16=16a4-+ 120d. Если обозначить суммы в строках через Si, S2, S3, S4, суммы в столбцах S5, S6, S7, S8 и по диагоналям S9 и Sr0, то по условию Si = S2=S3=... = S9=Si0. Тогда сумма чисел в столбце, строке или диагонали равна (16a+ 120J):4 = = 4a + 30d. Составляем квадрат. На концах диагонали должны быть
числа а и a+15d или a-f-lOd и a-j-5d. Другими числами первой диагонали могут быть числа a-j-6d и a+9d, второй — o-|-12d и а-}-3d, так как сумма по диагонали должна равняться 4o-|-30d.
Остальные числа по клеткам квадрата распределяются так: a	a-f-lld	a-|-14d	a + 5d
a-|-13d	a-\-6d	a-\-3d	a4-8d
a^-ld	a-j-12d	a-}-9d	a-}-2d
a+10d	a-|-d	a-j-4d	a-j-lSd
Лабиринт сомножителей. Тема: «Делимость натуральных чисел».
В воротах лабиринта стоят делители числа 432 (рис. 14). Поочередно члену каждой команды надо войти в лабиринт и дойти до центра, получив в произведении число 432. Движение можно выполнить и в обратном направлении. Побеждает та команда, у которой будет наибольшее число правильных ответов.
Викторина. Тема: «Арифметические действия с натуральными числами».
Викторина — это игра, во время которой учащиеся отвечают на вопросы. Выигрывает тот, кто дает больше правильных ответов. Викторины можно проводить в начале урока — при отработке навыков устных вычислений, в середине урока — при проверке усвоения нового материала, в конце урока — при проверке знаний и умений учащихся. Хорошо организованная викторина способствует активизации умственной деятельности школьников на уроке.
Задания викторины обычно проецируются с помощью кодоско-ча на доску или выполняются на листах бумаги в виде таблиц, чертежей. Ответ на предложенную задачу учащиеся дают сразу. При оценке ответа учитывается не только правильность, но и то, как быстро учащийся справился с заданием. Отвечают ученики поочередно из каждой команды. В конце викторины подводятся итоги, при этом учитывается число решенных заданий, качество их обоснований, оригинальность решений.
38
Триведем пример викторины по указанной теме.
Задачи	Способ восприятия	Способ решения	Используемый теоретический материал
1. Найти два таких числа, произведение которых равно 63 и частное от деления большего числа на меньшее также равно 63	На слух	Устный	Умножение и деление на I
2. Вместо звездочек написать пропущенные цифры *0** ~~ 2*05 4123	Зрительный	Письменный	Правила вычитания чисел, содержащих нули
3. Вместо звездочек написать пропущенные цифры сомножителей ♦ *♦ *3 *73 ♦*2 6*93	Зрительный	Письменный	Правило умножения чисел
4. Один из сомножителей равен 27 Как изменится произведение, если второй сомножитель уменьшить на 5 единиц?	На слух	Устный	Уменьшение данного числа на определенное количество единиц
5. Выписаны подряд числа от 1 до 99. Сколько раз при этом будет написана цифра 3?	Зрительный	Устный	Установить, сколько раз будет написана цифра 3 при записи числа от а до а +10
6. Найти произведение чисел 7*24-125	На слух	Устный	Умножение чисел на 100, 1000
7 Найти значение числового выражения: (16-17):8 25-3-4 174-28 + 43 34 — 15—14	Зрительный	Устный	Применение сочетательного закона
Волшебное число. Эту игру можно предложить после изучения |рифметических действий с натуральными числами для отработки гавыков решения линейных уравнений. Игра ведется на основе казки об Иване-царевиче и Кощее Бессмертном
Класс делится на 3 команды.
19
Учитель начинает рассказ: «В некотором царстве, в некотором государстве жил-был Иван-царевич. И было у него три сестры: Марья, Ольга, Анна. Отец и мать у них умерли. Отдал Иван-царевич сестер своих замуж за царей медного, серебряного и золотого царства. Целый год жил без сестер, и сделалось ему скучно. Решил он проведать сестриц и отправился в путь. По дороге повстречал Елену Прекрасную. Они полюбили друг друга. Но злой Кощей Бессмертный похитил Елену.
Иван-царевич взял верных воинов и поехал выручать свою любимую. Вышли они к реке, а там огромный камень закрыл дорогу на мост. На камне написаны 3 уравнения (с указанием номера команды) :
{у — 371)4-546 = 277 (I),
(1274-tri)-98 = 32 (II),
(х4-379)- 197= 183 (III).
Если их правильно решить, то камень повернется и освободит дорогу». К доске вызываются по одному ученику от каждой команды, которые решают уравнения.
Иван-царевич, капитан одной из команд, решает уравнение вместе с членом своей команды. На следующем этапе пути его сменит капитан другой команды.
Преодоление первой преграды приносит очки командам. Учитывается скорость и правильность решения. Учащиеся на местах решают уравнения своей команды и могут помочь при необходимости своему игроку, только при условии, что представят учителю решения уравнений и двух других команд.
Учитель продолжает: «Долго ехали они по лесу, пока дорога не привела их к избушке Бабы Яги. Она давно враждовала с Кощеем и согласилась помочь Ивану-царевичу, но только в том случае, если его воины решат шесть уравнений, написанных на стенах избушки».
Первые четыре ученика садятся на место, а семь других (по два из каждой команды и один из капитанов) идут к доске.
На доску проецируются уравнения:
654-2х = 59,	24 — Зх = 21,	,1П 75 — 5х—15=30, /ттп
у(58-27)=62. w	(254-8)х = 99.	92-3f/ = 392-311.
Подводятся итоги работы на втором этапе.
«Прощаясь с Иваном-царевичем, Баба Яга рассказала ему о силе корней уравнения. Коль нужно тебе какой запор отпереть или закрыть накрепко, произнеси вслух корни уравнения. Мигом исполнится.
Черный ворон подслушал этот разговор и рассказал обо всем Кощею. Тот подстерег Ивана-царевича и его воинов, схватил их и бросил в глубокое подземелье. Замкнул на шесть замков».
К доске идут новые семь учеников. На доску проецируются новые 6 уравнений. «Узники подземелья» решают их. Заняты работой и члены команд, готовые прийти на помощь своим «воинам»
40
35 :х — 20=15,	/Тх	у: 2 4- 35 = 36,	/1П
(5—х)*3 = 4х—3*2. W	(3-f-х)-5 = 3x4-57. U J
т: 12*2 = 72,
(74-х)*5 = 7*54-3*5. U11J
Подводятся итоги третьего тура.
«Иван-царевич произнес «волшебные слова», назвал корни всех уравнений. Двери подземелья открылись. И стали воины перед воротами Кощеева дворца, на которых написано уравнение: //4-12705:121 = 105. Устно решил его Иван-царевич. Ворота открылись. Освободили воины Елену Прекрасную и в тот же день сыграли свадьбу. После этого Иван-царевич вместе с Еленой проведали его сестриц, приехали домой и стали жить-поживать и добра наживать».
Подводятся итоги всей игры. Устанавливается команда-победитель. Часть учеников получают оценки в журнал.
Индивидуальное лото. Тема: «Десятичные дроби».
В специальном конверте учащимся предлагается набор карточек. Обычно их больше, чем ответов на большой карте, которая тоже вложена в конверт. Например, на большой карте нарисовано 6 прямоугольников, а у ученика 7—8 карточек таких же размеров с записанными на них упражнениями. Ученик достает из конверта карточку, решает пример и накрывает ею соответствующий ответ. Карточки накладываются лицевой стороной вниз. Если все примеры решены правильно, то обратные стороны наложенных карточек составляют какой-то условный шифр: рисунок, чертеж, букву. Учитель, проходя по рядам, легко определяет результаты работы.
Приведем пример карточек и большой карты.
7,86х—2,86х, если х=0,4.
13,56x4-6,44*, если х = 0,6.
Большая карта
7	24	36
2	22,4	12
41
.Лучший счетчик. Темы: «Сложение и вычитание десятичных дробей», «Умножение и деление десятичных дробей».
Учитель объявляет, что на следующем занятии будет проходить игра под названием «Лучший счетчик». Дома каждый ученик должен подобрать по данной теме три-четыре примера для устного счета. Класс делится на 3 команды. В каждой команде выбирается «счетчик», который будет защищать честь своего коллектива. Примеры для устного счета предлагают «счетчику» члены других команд до тех пор, пока он не собьется. Затем его сменяет другой ученик из той же команды, и игра продолжается. Число «счетчиков» для одного тура определяется по договоренности. Побеждает команда, в которой было наименьшее число «счетчиков», решивших наибольшее количество примеров. Среди «счетчиков» устанавливается также личное первенство. Такая игра проводится обычно в начале урока и служит своеобразной разминкой для дальнейшей работы.
Эту игру можно проводить и в последующих классах. Так, например, в VII классе при изучении тем «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел», «Арифметические действия с обыкновенными дробями» и др.
Кодированные упражнения. Тема: «Сложение и вычитание десятичных дробей».
Вычислить значения:
I
1)	27,3—(—2,6)=а;
2)	— 3,3—а+С—3,4)=6;
3)	—13 —6—(—Ц,2) = с;
4)	(a + b) — c=g.
II
1)	-5,6-3,7 = а;
2)	31,2 —а+(—2,5)=Ь;
3)	— 12 — ( — 6,1) — Ь~с\
4)	(Ь+с) — a=g.
Кодированные ответы: 1) —41,5; 2) —36,6; 3) —43,9; 4) 3,4; 5) —9,3; 6) 29,9; 7) 38; 8) 34,8.
В чем суть игры? Выполнив первое упражнение, ученик ищет полученное число среди ответов. Если его там нет — допущена ошибка. Выполнив все упражнения своего варианта, ученик подает учителю работу с кодированным ответом. Например, 6281. Это означает, что а = 29,9; Ь = —36,6; с = 34,8; £ = —41,5. Таких заданий учитель готовит столько, чтобы обеспечить работой каждого ученика и исключить списывание.
Класс делится на 6—& групп по количеству вариантов. Побеждает та группа, которая раньше всех выполнила задание с наименьшим количеством ошибок. Учитывается также аргументированное обоснование решения упражнений каждым членом группы.
VI КЛАСС
При изучении темы «Прямоугольная система координат на плоскости Абсцисса и ордината точки» можно использовать следующие игры
42
Поражение цели. На магнитной доске рисуется система координат. Магнитами к доске крепятся «точки» (фигуры самолетов, танков, подводных лодок или просто условные цветные кружочки).
Правила игры. Чтобы снаряд попал в цель, орудийный наводчик должен назвать координаты цели. Первая команда уничтожает вражеские самолеты, вторая — танки и т. д. Указкой показывается фигурка, выбранный «наводчик» называет ее координаты, а «орудийный расчет» — остальные ученики данной команды — «стреляют». Тот, кто согласен с названными «наводчиком» координатами, поднимает зеленую карточку, а кто нет — красную. Цель считается пораженной, если все члены команды дадут правильный ответ (фигурка снимается с доски). Если хотя бы один ученик не согласен с координатами «наводчика», фигурка остается на доске до выяснения. Побеждает та команда, у которой лучшие «наводчики» и «стрелки».
Следующую игру рекомендуется предлагать учащимся, когда они хорошо усвоили понятие координат точки на плоскости.
Из поля в лес. В игре участвуют две команды. Одна команда выступает за лесничего, другая — за волка. Используется координатная доска (рис. 15), игральная кость (кубик, на гранях которого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6), две фишки (разные по цвету картонные кружки).
К доске выходят поочередно по одному ученику от команды. Игру начинает «лесничий». Он подбрасывает кость 2 раза и после этого передвигает фишку по горизонтали на столько единиц, сколько содержит цифра на верхней грани кубика при первом броске, и по вертикали на столько единиц, сколько единиц содержит цифра на верхней грани кубика при втором броске. Двигаться вправо или влево, вверх или вниз — решает сам «лесничий».
В начале игры оба находятся в начале координат. «Волк», учитывая передвижение, которое выполнил лесничий, должен сделать прыжок в точку, алгебраическая сумма ^соординат которой равна сумме координат точки, в которую стал лесничий. «Волк» выигрывает, если убежит с поля в лес, «лесничий» — если поймает «волка»,
т. е. станет в ту точку координат, что На рисунке изображены кружочки. Это ловушки, которые расставил «лесничий» на «волка». Если «волк» попадет в такую ловушку, выигрывает также «лесничий». Ловушки расставлены вдоль прямой у =—х, т. е. находятся в точках, в которых сумма координат равна нулю. Если «лесничий» хочет загнать «волка» в ловушку, он должен переместиться так, чтобы сумма координат в этой точке равнялась О, например в точке (—3; 3). Это возможно, если оба раза при подбра-
и «волк».
Рис. 15
43
сывании получить одну и ту же цифру. Невнимательный «лесничий» может не учесть такую ситуацию. Для одного хода выполняется два броска.
За игрой следит весь класс. Для очередного хода вызываются новые «волк» и «лесничий» из каждой команды.
Соревнование художников. На доске записаны координаты точек. Например: (0;0), (-1;1), (-3;1), (-2;3), (-3;3), (~4;6), (0;8), (2;5), (2;11), (6; 10), (3;9), (4;5), (3;0), (2;0), (1;-7), (3; —8), (0;-8), (0;0). Если на координатной плоскости каждую точку последовательно соединить с предыдущей отрезком, то в результате получится определенный рисунок (рис. 16).
Ребятам эта игра очень нравится. Можно предложить обратное задание: нарисовать самим любой рисунок, имеющий конфигурацию ломаной, и записать координаты вершин (рис. 17).
Игру «Соревнование художников» можно использовать на уроках алгебры в VII классе, например при изучении тем: «Функция, область определения функции», «Функция y = kx-\-b и ее график». По виду отрезков, составляющих фигуру, школьники могут составлять уравнения прямых, которым принадлежат отрезки, а также записывать область определения функции на отрезке.
Фишка. Тема: «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел».
Цель игры — отработать навыки сложения и вычитания целых чисел, а также их сравнения. Первоначально фишка стоит на любой клеточке на линии старта. Ученик двигает фишку по таблице с числами. За один ход по правилам игры он может продвинуть ее на ближайшее соседнее поле по вертикали или по диагонали. При переходе из одной клетки в другую надо прибавить число, записанное 44
в клетке, на которую поставили фишку. Выигрывает тот, кто на линии финиша получит наибольшее число.
Пример таблицы:
9	8	7	6	5	4	3	2	3	4	5	6	финиш
— 10	— 9	-8	-7	— 10	-9	— 8	— 7	-10	-9	-8	-7	
47	45	50	42	39	37	50	35	52	40	38	35	
— 7	— 6	-4	-5	-6	-9	— 7	-8	— 9	— 7	-8	— 9	
23	24	25	26	24	28	29	30	22	31	32	33	
100 /	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	100	старт
В ходе игры школьники, кроме вычислений, учатся выбирать наибольшее среди отрицательных и положительных чисел. Можно составить таблицу с более сложными заданиями, использовать действия с обыкновенными дробями, а в VII классе — с алгебраическими выражениями.
Кто быстрее. Тема: «Арифметические действия с положительными и отрицательными числами».
Каждый школьник заготавливает табличку (рис. 18). По команде учителя ученики ставят по одной точке в каждом ряду таблицы. После этого соседи по парте обмениваются табличками. Учитель предлагает выполнить определенное (одно и то же) действие над числами, стоящими против точки. Учащиеся записывают ответ в клеточке с точкой.
Через 2—3 минуты таблички возвращаются обратно и школьники проверяют результаты вычислений друг друга. Проверяющий может поставить оценку, подписать свою фамилию. После проверки задания учитель собирает таблички, подводит итог. Задание можно усложнить, если в крайних левых и верхних клетках поместить дробные числа или алгебраические выражения.
45
Цветок, солнышко. Тема: «Арифметические действия с обыкновенными дробями».
Учитель проецирует на доску цветки (рис. 19) (число цветков равно числу команд). На листике помещено число, которое надо сложить (вычесть, умножить) с числами, записанными на лепестках цветка. Аналогичное задание предлагается для рисунка солнышко (рис. 20). Выигрывает та команда, которая для каждого рисунка получит быстрее ответы. Результаты вычислений для проверки записываются на доске. У учителя должны быть заблаговременно подготовленные результаты вычислений. Упражнения можно усложнять, записывая на лепестках или лучах солнышка более сложные задания.
Кто быстрее достигнет флажка. Тема: «Арифметические действия с обыкновенными дробями».
На доску проецируется набор примеров на четыре действия с обыкновенными дробями и с таблицей ответов (рис. 21). В таблице один или два ответа неправильные. Из каждой команды вызываются к доске по одному ученику, которые ведут устный счет с нижней ступеньки. Решивший один пример отмечает ответ в таблице. Дальше его сменяет другой член команды. Происходит движение вверх — к заветному флажку. Соревнуются две команды. Учащиеся на местах устно проверяют результаты своих игроков. При неправильном ответе к доске выходит другой член команды, чтобы продолжать решение заданий. Вызывают для работы у доски учеников капитаны команд. Выигрывает та команда, которая при наименьшем количестве учащихся первой достигнет флажка.
Числовая мельница. Тема: «Арифметические действия с рациональными числами».
В кружках мельницы (рис. 22) записаны рациональные числа. На стрелках, соединяющих кружки, указаны действия. Задание состоит в том, чтобы выполнить последовательно действия, продвигаясь по стрелке от центра к внешней окружности. Выполняя последова-
46
Рис. 22
Рис. 23
тельно действия по указанному маршруту, ученик найдет ответ в одном из кружков внизу.
Числовой фейерверк. Тема: «Арифметические действия с обыкновенными дробями».
Каждой команде предлагается свой рисунок. К доске вызываются капитанами команд поочередно учащиеся. Требуется выполнить действия по стрелке над числами в круж
ках (рис. 23). Выполняя действия, следует идти от центрального кружка к периферии. Можно к одному рисунку вызвать сразу трех школьников. Если у учителя заготовлены ответы по маршрутам, то проверка результатов не вызывает затруднений. Побеждает та команда, у которой самая высокая результативность.
Математические ребусы. Тема: «Решение линей х уравнений».
На доску для каждой команды проецируются рисунки (рис. 24). Задание играющим: вместо переменных вписать числа, которые являются корнями уравнений, записанных по вертикали и горизонтали. Большой набор диапозитивов дает возможность вовлечь в игру всех учащихся. Выигрывают те ученики и та команда, которые больше всего решат ребусов.
Математический феномен. Тема: «Раскрытие скобок и заключение в скобки».
В начале игры «математическим феноменом» выступает учитель. Он предлагает каждому из учеников задумать любое число; приба
47
вить к нему какое-то число, умноженное на 2, например 8, умноженное на 2. Найденную сумму разделить на 2, из частного вычесть то число, которое умножали на 2, т. е. 8. Учитель выборочно спрашивает у учащихся их результат и называет задуманное ими число.
Результат всегда составляет половину задуманного числа. Действительно: (а-\-2Ь):2 — Ь = а:2. Выигрывает та команда, которая первая найдет ключ к отгадке и запишет ее в общем виде.
АЛГЕБРА VII КЛАСС
Круговые задания. Тема: «Решение линейных уравнений с одной переменной».
Эту игру можно проводить как эстафету. В одну команду входят все ученики, сидящие на первых партах, во вторую — сидящие на вторых партах и т. д.
Учитель готовит 18 (21) карточек, если в ряду 6 (7) парт; на каждой карточке записано 6 заданий. Ученики одной парты получают карточку и решают по одному уравнению. После этого передают карточку на соседнюю парту игрокам той же команды. Получается, что первые парты обмениваются своими карточками, вторые — своими и т. д. Решивший уравнение записывает карандашом найденный корень и ставит свои инициалы. Получается, что в одной горизонтали парт каждый ученик решает три уравнения. Выигрывает та команда, ученики которой раньше всех решат все уравнения.
Приводим образец одной из карточек.
1)	2000: (2x4-510) = 2;
2)	61— (3x4-51)= 1;
3)	(8х —12)15 — 200:4=10;
4)	(49x4-11)5 — 293 = 7;
5)	(5x4-70): 1204-2 = 3;
6)	(6х-35)35 = 245.
Все эти примеры связаны между собой так, что корень любого из уравнений есть среди чисел, записанных в правой части уравнений. Поэтому учителю легко проверить, кто допустил ошибку.
Приведем пример игры с более сложными заданиями. Тема: «Формулы сокращенного умножения».
Примерное задание на карточке может быть таким: представить в виде произведения:
1)	х2 —2xt/4-t/2—1;
2)	у2 — х2 — 4х—4;
3)	х24-6х4-9—16у2;
4)	х2—8х-|-16 — у2\
5)	25 — у2 — 4х24~4ху;
6)	\—х2—\2ху — 3>Ьу2.
48
В каждом из разложений есть число, модуль которого совпадает с порядковым номером задания.
Математические турниры. Тема: «Произведение одночлена на ‘многочлен».
Закрепление материала или проверку навыков в решении примеров и задач по определенной теме можно провести в виде турнира.
Математические турниры проводятся в конце урока, когда учащиеся уже немного устали. На проведение турнира отводится 15—20 мин. Класс делится на две команды. Каждой команде предлагаются две-три несложные задачи или пять-шесть примеров.
Через определенное время (6—8 мин) каждый ученик должен записать в тетрадь решение задач или примеров своей команды и уметь их объяснить. Допускаются консультации внутри команды. Затем начинается турнир.
Капитан первой команды называет учеников из второй команды для участИ|Я в турнире. То же самое делает капитан второй команды. Первая пара названных учеников обменивается задачами или примерами своей команды (по выбору), идет к доске и начинает решение. Если позволяет площадь доски, можно сразу вызвать три пары. По окончании объяснений к доске идут следующие три пары и т. д.
Побеждает та команда, которая правильно решит и объяснит большее количество задач или примеров другой команды. За ответами следят все ученики. Арбитром выступает учитель.
Приводим пример заданий одной из команд.
Преобразуйте произведение в многочлен: 462(562—364-2).
Решите уравнение: 5х(2%4~3)—10х(х—2) = 30.
Вынесите общий множитель за скобки: 5п/и — 5п.
4)
5)
Разложите на множители: За2 — 15a2b-l-5ab2.
,,	За —3b
Упростите выражение: —
Зх3 55 —5а *
Количество заданий определяется многими факторами: целью турнира, наличием времени, содержанием заданий, составом играющих.
Очевидно одно: если бы эти задания были предложены просто в виде самостоятельной работы в конце урока, то вряд ли бы все ученики решили предложенные им пять примеров и прослушали бы внимательно решение еще пяти аналогичных.
Во время игры учебная деятельность активизируется, появляется стремление узнать и победить. Учащимся, участвовавшим в решении примеров или задач у доски, выставляется оценка в журнал. При "этом учитывается выполнение заданий своей команды.
Молчанка. Сигнальные карточки (красная, зеленая) очень помогают учителю дисциплинировать учеников и одновременно получать информацию об усвоении материала. Например, при устном опросе: если ученик за партой согласен с отвечающим, то он подни-'мает зеленую карточку, а если нет — красную. Таким образом, каждый ученик имеет возможность высказаться.
49
Если условиться, что зеленая карточка соответствует утверждениям: «да», «истинно», «вверх», «вправо», «+»; красная: «нет», «ложно», «вниз», «влево», «—» и т. д., то можно провести очень много устных упражнений. Занятия будут проходить в форме игры.
Ниже приведем некоторые из таких упражнений.
Тема: «Понятие прямой и обратной пропорциональности величин».
1)	За 8 мин наполнили бензином 0,28 цистерны. Успеют ли за 3 ч 30 мин наполнить бензином 7 таких же цистерн?
2)	Какое из равенств можно назвать пропорцией:
а) 17:12=7:5; б) 5:20=^-:^-?
3)	При каком значении а верно равенство:
а) 2а:3,7=8:7,4;	б)	?
4)	Существует ли треугольник, стороны которого пропорциональны числам: а) 2, 3, 7; б) 2, 3, 4?
Тема: «Степень с натуральным показателем».
1)	Больше или меньше нуля: (—2)3, (—I)4?
2)	Что больше 23 или З2?
3)	Какое из чисел 2, —2, 3 или —3 является корнем уравнения: а) х3=— 8; б) х4 = 81?
4)	При каком значении х верно равенство:
а) (35)х = 310; б) (5*)4 = 512?
Тема: «Многочлены».
1)	Назовите старший член многочлена:
а) — 5х+0,0О1х8 + 300х6+1;	б) 0,8(/2 —г/,04-1.
2)	Какова степень многочлена:
a) x4r/24-f/6 — 2х6 — Зх#5; б) 8а2Ь 4- ЗаЬ2 — 64?
3)	Какие одночлены надо подставить вместо звездочек, чтобы получить тождество:
а)	»(462 —7Ь4-8)=28Ь3 —49b24-56fe;
б)	*(3/4-8£/—7)=36(/54-*4-*?
4) Можно ли трехчлен представить в виде суммы двух двучленов:
а) х24-6х4-1; б) р2 —р— 1?
Тема: «Система линейных уравнений».
1)	Есть ли среди пар (1; 1), (—1; — 1), решения системы уравнений:
а) ( х+у=— 2, бч Г ху=\,
I Зх — 2у= — 1; I 2х—i/=l?
(0,5; 2), (—0,5; -2)
50
2)	Найдите подбором два решения системы уравнений:
а) Г т + л=7,	б) f m4-n=ll,
lmn = 12;	I mn = 10.
3)	Имеет ли система уравнений решение:
а) ( 2х4-3// = 7,	б) ( 3x4-4/;=—2,
\х—у=6;	I 9x4-12/;= 11?
4)	При каком значении с система имеет бесконечное множество решений:
а) Г Зх —//=10,	б) Г 4-х4-4ч/ = с,
I 9х—3t/=c;	I е I о о*»
а	\5х4-2//=3?
К теме «Система линейных уравнений с двумя переменными» можно предложить такую игру:
На доске имеются три записи:
a)^//=Dx4-D; б)| у— Пх4-□ ; в)|//=Пх4-о.
От каждой команды (ряда) выходят по ученику и задают линейную функцию, т. е. вписывают в пустые клеточки значения а и Ь. Затем выходят поочередно другие ученики из каждой команды и приписывают к данному уравнению такое, которое с ним образует систему, имеющую заданное количество решений. Записи проверяются с помощью сигнальных карточек, после чего задания каждой команде меняются.
Заполни таблицу. Тема: «Арифметические действия над одночленами и многочленами».
Учащимся раздаются карточки, в клетках которых записаны одночлены.
4а4	а2Ь*	4
1		4aW
aW	4а2с2	c2b6
Кроме того, им дается набор маленьких карточек из плотной бумаги, на которых записаны одночлены. Участник игры должен выбрать такой одночлен, чтобы, поместив его в пустую клетку, получить на внутренней вертикали, горизонтали и диагоналям квадраты двучленов.
Требуется найти такой одночлен, при подстановке которого на свободное место первой строки бланка можно было бы получить в сумме с другими одночленами этой строки квадрат двучлена. То же надо выполнить и для других строк. Задача усложняется, если потребовать этого одновременно и для столбцов.
5)
а2Ь*		4
1 6 4 а	а3	
а2		Ь4
Математическое лото. Тема: «Тождественное преобразование многочленов».
Настоящую игру можно использовать при закреплении изученной темы и повторении материала. При этом создается активное участие школьников в выполнении предложенных заданий.
Правила игры. Учителю нужно подготовить 5—6 больших карт, разделенных на прямоугольники с записанными в них ответами, и соответственное количество маленьких карточек с примерами. Большие карты раздаются группам играющих. Ведущий вынимает карточку, читает пример. Учащиеся решают его устно или письменно. Та группа, которая обнаружила на-большой карте ответ и считает его правильным, забирает карточку у ведущего и накрывает ею соответствующую клеточку. Выигрывает та группа, которая раньше всех накрыла все клетки своих карт.
Само собой разумеется, что одни и те же числа или выражения в ответах повторяться не должны. Когда игра закончена, играющие переворачивают маленькие карточки и тогда, если все ответы верны, должна получиться картинка, которую предварительно рисуют на каждом комплекте перевернутых маленьких карточек.
При наличии комплектов карточек на каждую тему в данном классе игру можно проводить систематически.
Приведем пример большой карты для одной группы из 3—4 учащихся, а также упражнения к ней, которые должны быть записаны на отдельных карточках.
Карта ответов.
। м сл | ’ <3*	6(с —у)(2г —у)	За5 (За3 4-2)
(у —3)(х + у)	6(&2 —а2)	1 3
2Ь а	У(х — у)	баб (2а — ЗЬ — 5b2)
52
Упражнения к данной карте. j
1)	Выполнить умножение: 12a(b——a\-j-6b(b— 2а).
2)	Вынести общий множитель за скобки: ху — у2.
3) Сократить дробь:
5х 4* 20у
15 (х 4-41/)	*’
4)	Разложить на множители: 9а8 4-6а5.
5)	Вынести общий множитель за скобки: 12а26— 18а62— ЗОаб3.
6)	Вынести общий множитель за скобки: 12с (с — у) — бу (с — у).
7)	Представить выражение в виде произведения двух множителей: X (у — 3)—у (3—у).
8)	Сократить дробь:	•
9)	Упростить выражение:	• а^_аЬ •
Условия примеров можно проецировать на доску. Решения их в большинстве случаев выполняются устно. В сильных классах упражнения можно усложнить.
Занимательнее задачи. Тема: «Преобразование многочленов».
Пронумеруем дни недели так: понедельник — первый день, вторник — второй и т. д. Задумайте какой-либо день недели, умножьте его номер на 2, прибавьте к произведению 5, умножьте сумму на 5, допишите к найденному числу справа нуль и назовите результат.
Ведущий из названного результата вычитает 250. Эта разность всегда содержит круглые сотни. Цифра сотен дает номер задуманного дня.
При проведении игры на уроке каждый ученик задумывает свой день недели и выполняет все предложенные учителем вычисления. Потом школьники по очереди называют результаты, а учитель отгадывает задуманные дни. После этого дети должны объяснить секрет фокуса: 1^а<7; (а-24-5).5-10= 100а 4-250; 100а4-250 — 250 = 100а. Побеждает та команда, которая первая разгадает секрет и даст ему математическое обоснование.
Учитель может отгадать число и месяц рождения всех учеников. Для этого нужно число своего дня рождения умножить на 2, а потом на 10, к произведению прибавить 73, найденную сумму умножить на 5, к результату прибавить порядковый номер месяца своего дня рождения и назвать результат.
Ведущий из названного результата вычитает 365. Первые две цифры разности дают число дня рождения, последние две — порядковый номер месяца. (Вычисления проводятся устно или с помощью микрокалькулятора.) Учащимся предлагается раскрыть секрет, т. е. установить и записать закономерность, определяющую получение ответа.
Пусть b — номер месяца, а — число дня рождения. Тогда (а-2-104-73).54-6= 100а4~3654-Ь; (100а4-3654-6)—365 = 100а4-+ Ь.
53
ГЕОМЕТРИЯ
VII КЛАСС
Вычислительный лабиринт. Тема: «Сумма углов треугольника».
Для проверки умения учащихся решать задачи по данной теме составляются упражнения на карточках так, что каждое следующее задание выполняется с использованием ответа предыдущего. Наборы карточек готовятся для каждого ученика одной команды (8—10 наборов) и под копирку размножаются в двух-трех экземплярах (рис. 25) для остальных команд, только в карточки для других команд вписываются иные значения углов. Последовательность карточек для одного ученика нумеруется 1, 2, 3. Контрольные числа (ответы к последней задаче) сообщаются капитану каждым учеником команды. Сумма контрольных чисел всех участников является контрольным' числом команды. Правила командной игры накладывают большую ответственность на каждого ученика, ибо ошибка, допущенная одним, отражается на результате всей команды. Из двух или трех команд побеждает та, которая первая правильно записала контрольное число. Учитель внимательно следит за самостоятельной работой учащихся. Тем из них, кто не обращался за консультацией и подал правильное контрольное число, выставляется оценка в журнал с учетом домашнего задания и других видов работ на уроке. Контрольные числа учитель выписывает на отдельной карточке с учетом вариантов команд.
Аналогичные вычислительные лабиринты можно составлять по другим темам курса геометрии VII класса.
Экстренная инвентаризация. Эта игра, помимо знания геометрии, требует большой внимательности.
На столе сложены и накрыты салфеткой модели плоских фигур: различного вида треугольники и трапеции, параллелограммы, квадраты и др. Всего может быть 12—15 моделей.
Дано: D3B3~B3C3
А3В3 = В3С3 LC3A31)3=L 8262^1
Найти: LB3C3B3
54
Вызванным к доске ученикам, по два человека от каждой команды, предлагается осмотреть набор моделей. Осмотр продолжается не более минуты. Поэтому играющие должны быть очень внимательны. После осмотра набор моделей вновь накрывается. Играющие должны выполнить «экстренную инвентаризацию», т. е. записать на доске названия фигур и выполнить от руки их изображения. На составление списка и выполнение изображений отводится 2—3 мин. Чтобы выиграть соревнование, необходим не только перевес на лишнюю запись или рисунок, но и знание определений и свойств каждой из фигур. К доске поочередно могут быть вызваны до 6 учеников от каждой команды. Класс выступает в качестве арбитра, следит за правильностью ответов.
Такую игру можно с успехом проводить после изучения многих тем в различных классах.
Конкурс геометров. Тема: «Окружность. Вписанные углы. Касательная к окружности и ее свойства».
Для игры необходим плакат, на котором цветной или черной тушью нарисованы геометрические фигуры по пройденной теме. Изображение фигур можно также, спроецировать на доску при помощи кодоскопа.
Учитель предлагает присмотреться к рисункам и установить, каких элементов на них не хватает, чтобы доказать ту или иную теорему или дать определение какого-либо понятия. Недостающий элемент выбирается на столе и прикалывается (или прикрепляется магнитом) на место.
Приводим пример рисунков к вышеуказанным темам (рис. 26).
Геометрический аукцион. Игра проводится после изучения очередной темы.
Учитель объявляет: «Сейчас проведем игру по принципу чайнворда». Задание состоит в том, чтобы составить цепочку геометрических терминов по такому принципу: каждый следующий термин начинает-
Рис. 26
55
ся с той буквы, какой оканчивается предыдущий. Буква «мягкий знак» во внимание не берется, в этом случае начальной считается предпоследняя буква. Если некоторые буквы в конце термина появляются повторно, то и в этом случае берется предпоследняя или буква, стоящая перед предпоследней. Учитель напоминает основное условие: принимаются только те термины, которые имеют прямое отношение к изученному материалу. Если на одну букву будет предложено несколько терминов, то в чайнворд пойдет тот термин, который назовут последним.
Например, аукционист называет термин «перпендикуляр». От. каждой из команд начинают поступать предложения: «радиус», «равнобедренный» и т. д. Когда запас таких терминов исчерпается, аукционист произносит: «Раз... два... три!..» С третьим ударом аукцион на данную начальную букву приостанавливается. Термин принят. Дальше идет борьба за следующий геометрический термин и т. д. Если на последнюю букву названного термина не находится предложений, то берется предыдущая буква в этом слове и т. д.
Соревнование заканчивается, когда на доске записана цепочка геометрических терминов и следующих предложений нет. В процессе записи терминов над каждым из них ставят номер соответствующей команды. Побеждает та команда, у которой набралось наибольшее число терминов.
В конце игры учитель может внести коррективы в записи терми--нов, но они не влияют на результаты игры.
АЛГЕБРА
VIII КЛАСС
Круговые задания. Тема: «Действия с алгебраическими дробями».
В работу включены несколько заданий (например, 5). Примеры составлены так, что ответом каждого из них является одно из чисел, служащее порядковым номером какого-либо другого примера. Следовательно, ответы должны выражаться цифрами: 1, 2, 3, 4, 5.
Учитель разбивает класс на пять групп. Учащиеся первой группы начинают решение с примера № 1. Получив в ответе 4, школьники переходят к решению примера № 4. Учащиеся второй группы начинают работу с примера № 2 и т. д.
Во всех вариантах обеспечена самостоятельность работы, так как последовательность решений будет различна. Если учащийся получит в ответе число, отличное от 1, 2, 3, 4, 5, то он будет вынужден тут же искать ошибку.
Приведем один из примеров задания.
Упростить и найти числовые значения выражений:
/	1___6	\ / п — 3.	6/1	\
\ л + 3	9 —л2 ) \ и2+ 9	‘ л3 — Зл2 + 9л — 27 ) ПРИ П~
Зл-{-2 ./_18л_।_6л	1	\ 6л+ 8	I
Зл-2 А 27л3 —8 “Г 9л2 + 6л + 4	Зл-2/ Зл-2ПРИ”~3
56
/ 4________2______1	\
\П2 + л 1—п2 п2— п)
при п~4,5.
л2—л 1	88
4\	”	-( п~х
л3х4-2л2х24-лх3 \ лх-}-х2
л-|-*
9 п —пх
при п = 3,5; х = 2,5.
5) \ х24*2л% + л2 л2 —2ихЦ-х2
при п = 2, х=1.
Последовательность выполнения заданий:
I группы: № 1, 4, 2, 3, 5;	П группы: № 2, 3, 5, 1, 4;
III группы: № 3, 5, 1, 4, 2;	IV группы: № 4, 2, 3, 5, 1.
Математическая эстафета. Тема: «Тождественные преобразования выражений».
Заблаговременно готовятся карточки с условием примера в несколько действий. Если в классе три ряда парт по пять парт в каждом ряду, то для организации одновременной работы всех учеников необходимо подготовить несколько вариантов карточек с аналогичными примерами. Так, например, если подготовить 18 карточек, то сразу можно предложить работу учащимся, сидящим за первыми, третьими, пятыми партами в каждом ряду. Действий в составленных примерах должно быть столько, сколько парт в одном ряду.
Учащийся каждого ряда выполняет одно действие, записывает ответ и передает карточку учащемуся, сидящему за ним. Тот, в свою .очередь, после выполнения второго действия передает карточку следующему и т. д. Карточка с последней парты передается на первую парту. Каждому школьнику в этом случае придется выполнить три действия. От правильности выполнения действий зависит успех всей группы. Побеждают учащиеся того ряда, в котором раньше решат три примера и получат правильные ответы.
Приведем примеры заданий.
1) [(0,125 • 0,63 • 8+0,37): 0,125 + 8,4]: 0,08 -0,1:0,25.
Г А а	1 а \	a-j-b _.1	а2 — Ь2 .	а + Ь
J|_\a — b	а + & /	2а	J ab * 5а ‘
:(а-|-6)2-а£>.
а
К
а>0. 6>0.
jab ~2~
1 1
а2— Ь2 ' 5 (а — Ь) *
57
Карточка к упражнению 2 выглядит так:
Выполнить действия: Г/ а	а \ a-j-b j а2 — Ь2.а-|-Ь |_\ а—b a-t-b) 2а J ab ' 5а	
Действия	Запись ответов
4 а — Ь 1 а-Н	
а + 6 21 Х 2 а	
3) -1	
а2—Ь2 4» X аЬ	
5> 5а	
Если карточки выполнены из плотной бумаги, то примеры и их решения следует выполнять карандашом, записи потом легко снять резинкой.
Соревнование-эстафета. Тема: «Вычисления с помощью таблиц и микрокалькулятора».
Игра состоит в том, что школьникам предлагается выполнить одно и то же действие, но над различными числами. Например, с помощью таблиц или микрокалькулятора вычислить —для числа п. Чтобы привлечь к активной работе всех учащихся, класс делят на 4—6 команд (по количеству рядов) и игра идет в виде эстафеты. Школьникам первых парт задается число п: первому 3,75, второму 0,43, третьему 15,7, четвертому 1,73, пятому 12,7, шестому 135. Получив результат, учащийся первой парты передает его сидящему сзади, который должен найти -^-для этого результата, и т. д.
Для такой игры могут быть использованы следующие задания:
1)	Вычислить п2 для п, равного:
1—13,7; II—7,83; III—27,7; IV—0,813; V—31,7; VI—0,283.
2)	Вычислить п3 для п, равного:
1—2,43; II—0,321; III—5,73; IV—2,51; V—3,81; VI—12,7.
3)	Извлечь корень квадратный из числа и, равного:
1—17,3; II—0,729; III—9,81; IV—0,231; V—84,57; VI—2,87.
4)	Извлечь корень кубический из числа п, равного:
5»
1—152,4; II—2,781; III—31,72; IV— 4,723; V—0,2781; VI—413,7.
Данная игра, кроме выработки умений и навыков по какой-либо теме, воспитывает чувство ответственности перед товарищами (конечный результат будет правильным только в случае правильных промежуточных результатов).
Кто быстрее сядет в ракету. Тема: «Решение квадратных уравнений».
Учащиеся класса делятся на две команды. Каждой команде предлагается серия заданий.
Рис. 27
II
1)	Найти значение выражения —х24-2х—2 при х==— 1.
2)	Решить уравнение х2+х —2 = 0.
3)	При каком значении k урав-
" некие 16х2-|-&х4-9 = 0 имеет один корень?
4)	Уравнение х2-|-6*4-24 = 0 имеет корень Xi = 8. Найти Х2 и коэффициент Ь.
1)	Найти значение выражения 2х2-|-5х—2 при х=1.
2)	Решить уравнение х2—Зх + 2 = 0.
3)	При каком значении k уравнение 25х2 + kx+2 = 0 имеет один корень?
4)	Уравнение х2 — 7х-|-с = 0 имеет корень xj = 5. Найти Х2 и коэффициент с.
На доску проецируется рисунок 27 (без ответов).
К доске вызываются два ученика — представители двух команд. Выполнив первое задание, они записывают ответ на первую ступеньку ракеты, потом их сменяют другие участники команды. Побеждает та команда, которая быстрее сядет в ракету.
Цепочка. Тема: «Решение квадратных уравнений».
Каждый учащийся ряда получает карточку с небольшим заданием — решить уравнение, неравенство и т. д. Выполнив задание, учащийся передает карточку сидящему сзади. Ученик с последней парты приносит к столу учителя все карточки данного ряда. Побеждает тот ряд, который дал наибольшее число правильных ответов за
самое короткое время.
Пример заданий для первой команды.
Решите уравнения:
1) 9Х2_ 1 =0;
4) (2х + 7)2 = 100;
2) 1-4у2 = 0;	3) (х + 3)(х-4)= - 12;
5)	4х2-Зх=0;	6) — 5х*4-7х=0.
За каждое правильно решенное уравнение начисляется определенное количество очков. Очки снимаются за нарушение дисциплины. Это повышает ответственность каждого члена команды за свою работу. Лишние очки команде могут принести те учащиеся, которые
59
успеют решить дополнительно еще несколько уравнений, предложенных учителем на доске.
Составь уравнение. Тема: «Составление и решение квадратных уравнений».
Класс делится на 3 команды. На доску проецируются записи квадратных уравнений, у которых вместо коэффициентов пустые клеточки:
1) □№-!-□%+ □ =0;	2) Пг2+□£+□=();
3) □i/2+Dt/+n=0.
По одному ученику из каждой команды подбирают в уме один из корней квадратного уравнения и соответственно коэффициенты, помещают их в пустые клетки так, чтобы после выполнения действий получить верное равенство. Следующие три ученика решают их. Остальные ученики решают уравнения в тетрадях и правильность ответов подтверждают сигнальными карточками. Затем следующая тройка учащихся составляет новые уравнения.
Конь. Темы: «Сложение целых чисел», «Степень с целым показателем».
Цель игры — отработка учениками простейших вычислительных навыков и тождественных преобразований. Игра индивидуальная. Каждый ученик получает таблицу, подобную приведенной ниже, и «коня» (им может быть пуговица, монета, картонный кружок и т. п.). Играющему нужно провести «коня» от линии старта к линии финиша. Ход можно начинать с любого места на старте. «Конь» двигается так, как на шахматной доске. Но здесь нужно соблюдать условие: число, записанное в клетке старта или там, где стоит «конь», сложенное с числом из клетки, где «конь» делает поворот, должно дать число, которое записано в клетке, куда «прыгает» «конь». Некоторые клетки могут оказаться «фальстартом».
Таблица для сложения целых чисел:
-7	8	18	-7	— 5	14	23	3	финиш
21	— 18	-9	11	— 7	3	2	— 2	
15	16	4	3	12	9	— 2	5	
3	5	— 23	4	7	3	— 4	6	
9	— 1	— 13	5	— 10	— 9	-1	-7	
2	-7	2	3	11	2	10	5	
10	10	12	— 5	— 1	— 1	2	-3	старт
60
Аналогичное задание можно предложить для таблицы умножения степеней с целыми показателями:
о-2	а5	а13	а7	а-4	а'2	а	а’°	а®	а~3	финиш
а29	а2	а~1	о7	а~3	а5	а*	а-4	а3	а~3	
а'30	а-3	а*	а	а'8	а~22	а3	а7	а°	а*	
а-3	а-6	а*	О“10	а4	а~3	а”1	а	а4	а6	
а24	а”27	а-4	а7	а2	а25	а12	а5	а-8	а~5	
‘а4	а15	а28	а18	а10	а*	а3	а~3	а5	а	
а3	а3	а"	а8	а-1	а3	а7	а3	а3	а7	
а°	а2	а2	а10	а®	а	а4	а*	а	а2	
а"5	а®	а"‘°	а3	а7	а-4	а	а-2	а1	а3	старт
Таблицы такого вида можно использовать в V—IX классах, изменяя только записи в клеточках. Если спроецировать таблицу на доску, го можно вовлечь в работу сразу 3—4 учащихся.
Турнир. Требуется написать восемь математических терминов на одну букву.
На доску проецируются записи заданий для двух или трех команд.
Предлагаем пример для двух к Команда № 1. Буква «П».
1) Сотая часть числа.
2) График квадратичной функции.
3) Взаимное положение двух прямых.
4) Сумма длин всех сторон многоугольника.
5) Отрезок, образующий прямой угол с данной прямой.
6) Знак для обозначения дейст-
вия сложения.
Команда № 2. Буква «Р».
1)	Знак операции извлечения корня.
2)	Единица измерения углов.
3)	Отрезок в круге.
4)	Вид числа.
5)	Форма записи.
6)	Уравнения, имеющие одни и те же решения.
61
7)	Геометрическое преобразо- 7) Плоский четырехугольник, вание.
8)	Плоский четырехугольник. 8) Вид уравнений.
Выигрывает та команда, которая быстрее справится с работой.
Этот турнир можно усложнить, предложив учащимся вписать математические термины в сетку рисунка так, чтобы всё они начинались на одну букву, например «с», а другие — чтобы оканчивались на эту же букву. Такое задание следует предлагать в конце VIII класса или в IX и X классах, когда запас математических терминов достаточно велик.
Задание можно видоизменить так: на доску проецируется заранее нарисованная на пленке сетка определенной формы (рис. 28, 29), в клетки которой надо вписать математические термины, которые начинаются и заканчиваются определенной буквой. Ответом в данном случае является: для левой таблицы — плюс, синус, минус, радиус, секанс, градус, косинус, тангенс, косеканс, котангенс, для правой таблицы — сантиметр, симметрия, сегмент, секунда, степень, сектор, символ, скаляр, сумма, сфера.
После заполнения таблицы учащимся предлагается дать определения некоторых математических понятий и рассказать об их свойствах. Для ответа вызываются учащиеся поочередно из каждой команды. Хорошее знание свойств математических понятий может существенно изменить счет в пользу одной из команд.
ГЕОМЕТРИЯ
VIH КЛАСС
Внимательный геометр. Тема: «Движения: осевая и центральная симметрии, поворот».
Учащимся каждой команды предлагается:
Рис. 28	Рис. 29
62
1)	выбрать из набора фигур две одинаковые по размерам и форме и закрепить их при помощи магнитов на доске так, чтобы:
а)	две выбранные фигуры были симметричны относительно заданной на доске прямой (оси);
б)	одна фигура получалась из другой поворотом вокруг данной точки;
2)	выбрать фигуры, имеющие ось симметрии; расположить шнур (указку) так, чтобы он стал осью симметрии данной фигуры.
Мозаика геометрических фигур. Тема: «Четырехугольники».
На доску проецируется мозаика квадратов трех различных размеров (рис. 30). Поочередно командам предлагаются задания:
1)	Сколько всего квадратов в мозаике?
2)	Найти сумму периметров всех квадратов, если длину стороны меньшего из них принять за 1.
3)	Найти сумму площадей всех квадратов, если длину стороны меньшего из них принять за 1.
4)	Сколько единичных квадратов можно уместить в каждом из больших квадратов?
Геометрический поиск. Тема: «Следствия теоремы Пифагора. Сравнительная длина наклонных, проведенных из одной точки к прямой».
Эта игра рассчитана на весь урок. Основой ее является соревнование между командами в правильности ответов и быстроте решений предложенных по ходу урока задач и доказательств теорем.
На уроке предусмотрены следующие этапы: актуализация опорных знаний, изучение нового материала, закрепление изученного на уроке, проверка знаний учащихся по теме урока, задание на дом.
Класс делится на две команды. Выбираются капитаны команд и их ассистенты. Капитаны следят за порядком и дисциплиной в классе и сами участвуют в игре. Ассистенты при необходимости консультируют.
Работа ассистентов весьма эффективна, она позволяет организовать на уроке индивидуальный подход к учащимся. В свою очередь, ассистенты стремятся как можно больше принести пользы в роли помощника учителя.
Приводим примерный ход урока и перечень вопросов, заданий и задач к нему.
I.	Актуализация опорных знаний.
1)	Как называются элементы прямоугольного треугольника (рис. 31)?
2)	Дайте определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника.
3)	От чего зависит величина косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике АВС?
4)	Из вершины прямого угла С опущен перпендикуляр CD на гипотенузу. Какими отношениями можно записать cos А и cos В (рис. 31)?
5)	Назовите компоненты сумм и сравните каждое слагаемое с суммой: 17 + 13=30; а + 6 = с; а2-\-Ь2=с2 (а>0, 6>0, с>0).
63
6)	Назовите компоненты разностей и сравните уменьшаемое и вычитаемое:
23—13=10; т— n = k\ т2— n2 — k2 (m>0, п>0, fc>0).
II.	Изучение нового материала.
1)	Докажите, что в прямоугольном треугольнике АВС гипотенуза больше любого катета.
2)	Докажите, что для косинуса острого угла а выполняется неравенство cos а<1.
3)	Покажите проекции наклонных АС и ВС на гипотенузу АВ (рис. 31). (Понятия наклонной и ее проекции вводятся учителем на этом уроке.)
4)	Докажите, что наклонная АС больше перпендикуляра CD и ее проекции AD.
5)	Докажите, что равные наклонные, проведенные из одной точки к прямой, имеют равные проекции.
6)	Докажите, что из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.
III.	Закрепление изученного на уроке.
3 а д а ч а. В треугольниках KLM и КЕМ Z_E= А £ = 90° и KL = — ЕМ. Доказать, что LM = KE.
IV.	Проверка знаний учащихся по теме урока.
1)	Дано: АВ = ВС, BDA-DC. Доказать: AD = DC (рис. 32).
2)	Дано: BKZ>BC, BDJ-AK. Доказать: DK>DC (рис. 32).
3)	Докажите, что сумма всех высот треугольника меньше его периметра.
4)	Докажите, что сумма всех медиан треугольника меньше полусуммы его сторон.
Решение задач записывается в тетради. Подводится итог работы команд. Устанавливается личное первенство, проставляются оценки в журнал.
V.	Задание на дом.
В чем преимущества урока, проведенного в виде игры «Геометрический поиск», перед обычным уроком? Прежде всего в том, что каждый ученик отвечает за успехи команды, стремится побольше узнать, правильно ответить. За дисциплиной следят капитаны команд, при нарушении ее снимаются очки.
64
Кроссворды. Тема: «Геометрические фигуры и их свойства».
При создании кроссворда по математической тематике необязательно добиваться симметрии в размещении клеточек для вписывания слов. Важно использовать идею этой игры для включения учащихся в активную умственную деятельность.
После того как на доску спроецирована фигура кроссворда, учитель читает поочередно для каждой команды характеристику геометрических терминов по горизонтали, а потом по вертикали. Задача играющих каждой команды — правильно назвать и вписать нужные термины. При этом игрок команды может вписать только один термин. После двух неверных попыток ход считается потерянным. Выигрывает та команда, которая вписала наибольшее число слов и охарактеризовала соответствующие свойства фигур.
Приведем пример кроссворда (рис. 33).
I команда. По горизонтали: 1. Фигура, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от одной точки. 2. Часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными ее точками. 3. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
По вертикали: 1. Фигура, состоящая из двух различных полупрямых с общей начальной точкой. 2. Расстояние от точки окружности до ее центра. 3. Фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки. 4. Единица измерения длины.
II команда. По горизонтали: 1. Хорда, проходящая через центр окружности. 2. Углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. 3. Часть прямой, состоящая из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону от данной ее точки.
По вертикали: 1. Прямая, проходящая через точку окружности
65
перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку. 2. Перпендикуляр, проведенный из данной вершины к прямой, содержащей противоположную сторону треугольника. 3. Отрезок, соединяющий две точки окружности. 4. Единица измерения углов.
ГЕОМЕТРИЯ
IX к Л А С С
Геометрический лабиринт. Тема: «Векторы на плоскости».
Основная цель игры — проверить теоретические знания учащихся по данной теме и умение решать задачи. Поэтому эта игра начинается за 15—20 минут до конца урока. Лабиринт рассчитан на самостоятельное решение заданий. Однако он выгодно отличается от известных форм самостоятельных работ тем, что здесь имеется дополнительный стимул, побуждающий к активности мыслительной деятельности учащихся,— участие в игре.
Лабиринт дает возможность предлагать задания с учетом индивидуальных особенностей учащихся. Каждый участник имеет право на консультацию. Консультацию проводят учащиеся из соревнующихся команд. Так, например, учащийся из первой команды консультирует учащихся из второй команды. Первая консультация не изменяет счет команд, а вторая снимает 2 очка.
Составление лабиринта не представляет особых трудностей. Наиболее простой способ построения системы заданий состоит в том, что на отдельных карточках выписывается набор задач из дидактических материалов по данной теме. Для каждого ученика в отдельный конверт кладется 3—5 карточек. Задачи в каждом наборе располагаются по нарастающей трудности. В игре обычно участвуют две или три команды. Задачи команд мало отличаются друг от друга.
Ученик берет из конверта первой ту карточку, код которой указал учитель. Код второй карточки соответствует ответу первой задачи. Поэтому вторую карточку можно выбрать только после решения первого задания. Код первой карточки — это ответ к задаче на последней карточке, т. е. правильность решения последней задачи проверяется по коду первой карточки.
Приводим пример заданий одному ученику:
1)	При каком значении п > 0 векторы а (2п; 3) и b (6; п) коллинеарны? (Код 12.)
2)	Даны векторы а (3; 2) и b (0; — 1). Найдите абсолютную величину вектора — 2a-j-4b. (Код 3.)
3)	Определить абсциссу х>0 точки N (х; 5), с которой совпадает конец вектора а (5; — 1), если его начало совпадает с точкой М (3; 6). (Код 10.)
4)	Определить длину радиуса-вектора точки М (х; 6), если он составляет с осью абсцисс угол в 30°. (Код 8.)
Наличие кода подкрепляет уверенность ученика в правильности решения задачи. Таким образом получается цепочка чисел, по кото-66
рым, как по ориентиру, ученик выходит из лабиринта. Перечень таких цепочек-чисел для каждого конверта должен быть записан у учителя. -Это позволяет следить за успешностью прохождения лабиринта отдельными учащимися или командой.
Смешанные викторины. Темы: «Решение треугольников», «Площади фигур».
Викторину составляют из вопросов, относящихся к изученному материалу по 2—3 темам. Приведем пример смешанной викторины по геометрии для IX класса, которую можно предложить в конце года.
Задачи
1) Ширина кольца, образованного двумя концентрическими окружностями, равна 2. Хорда большей окружности, касательная к меньшей, равна 8. Найти радиусы окружностей (рис. 34)
2) Как изменяется в треугольнике АВС разность между а2+&2 и с2 при изменении угла С в интервале от 0° до 180°
Рис. 35
3) Квадрат и ромб имеют равные периметры. Площадь какой фигуры больше?
4) Доказать, что в любой трапеции треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами, равновелики (рис. 36)
Способ восприятия	Аргументация
Проекция на доску	Ширина кольца равна длине CD
Проекция на доску	Записать теорему косинусов
На слух	
Проекция на доску	Условие равенства площадей двух треугольников
67
Задачи
Способ восприятия
Продолженш
Аргументация
Рис. 36
5)	В круг радиусом R вписан прямоугольник ABCD. Найти периметр четырехугольника EFRM с вершинами на серединах сторон данного прямоугольника (рис. 37)
Проекция на доску
Рис. 37
6) Полупериметр прямоугольника, каждая сторона которого выражается целым числом, содержит столько единиц, сколько квадратных единиц содержит его площадь. Найти длину периметра прямоугольника
7) Построить квадрат, равновеликий данному параллелограмму
На слух
Проекция на дос-«У
Надо решать уравнение в целых числах
Выполнить построение
Мозаика геометрических фигур. Тема: «Площади многоугольников».
На доску проецируется мозаика равносторонних треугольников (рис. 38).
Вопросы учащимся:
1)	Сколько всего равносторонних треугольников в мозаике?
2)	Найти сумму периметров всех треугольников, если длину стороны меньшего из них принять за единицу.
3)	Найти сумму площадей всех треугольников, если длину стороны меньшего из них принять за единицу.
Тема: «Длина окружности и площадь круга».
68
. На доску проецируется система вписанных и описанных квадратов и окружностей (рис. 39).
Вопросы учащимся:
1). Сколько всего квадратов и кругов в мозаике?
-	2) Найти сумму периметров
Рис. 38
Рис. 39
всех квадратов и сумму длин всех
окружностей, если радиус меньшей окружности равен г.
3)	Найти площади всех квадратов и кругов, если радиус большей окружности равен R.
§ 4. ИГРОВЫЕ СИТУАЦИИ В ПРОЦЕССЕ ИЗУЧЕНИЯ И ЗАКРЕПЛЕНИЯ НОВОГО МАТЕРИАЛА
Возможность и целесообразность использования игровых ситуаций на уроках математики в процессе изучения и закрепления нового материала различны в зависимости от дидактических целей урока.
В большинстве случаев они применяются в качестве вспомогательного средства для возбуждения познавательного интереса и создания проблемных ситуаций. Это настраивает учащихся на изучение определенного материала и, в отличие от дидактических игр, не требует дополнительного времени для разъяснения правил игры.
Для создания игровых ситуаций на уроках математики используются исторические экскурсы, жизненные факты, занимательные Задачи, научно-популярные рассказы, отрывки из литературных произведений, в математическом содержании которых содержатся противоречия научных фактов с привычными жизненными представлениями учащихся, противоречия между необходимостью выполнить .определенное задание и невозможностью осуществить его.
Рассмотрим примеры использования игровых ситуаций при отработке математических понятий.
Игровая ситуация создается в процессе выполнения практических заданий.
Геометрия, VII класс. Тема: «Теорема о сумме углов треугольника и ее следствия».
Учитель предлагает всем учащимся первого ряда построить треугольник по трем сторонам АВ= 7, АС = 2, ВС = 3; второго ряда — по сторонам АВ=4, ВС = 3, АС=7\ третьего ряда — по сторонам АВ = 3, ВС = 2, ДС = 8.
Выполняя задание, ребята убеждаются в невозможности такого построения. Как следствие этого, актуализируются знания об условии существования треугольника.
69
Дальше учащимся каждого ряда предлагается построить треугольник по заданным углам:
а) Л = 37°, В = 28°,	С = 90°; б) Л=72°, В = 50°, С =
= 110°; в) Л = 23°, В = 50°, С = 38°.
В данном задании не выполняется условие о сумме внутренних углов треугольника. Создается проблемная ситуация. Учитель уси-
6)
Рис. 42
70
Рис. 43
ливает проблемность вопросами: зависит ли сумма внутренних углов треугольника от его размеров, положения на плоскости, формы? Предлагается начертить два треугольника, измерить с помощью транспортира внутренние углы и найти их сумму. После размышлений учащиеся выдвигают гипотезу: треугольник можно построить, если сумма внутренних углов его равна 180°. Доказывается соответствующая теорема.
Игровые ситуации с использованием задач-рисунков.
При закреплении изученного материала целесообразно создавать игровые ситуации с помощью ТСО, проектируя на доску задачи-рисунки.
На первом этапе закрепления материала подбираются более простые рисунки, в которых отчетливо выступает закономерность, о которой идет речь на данном уроке. Если же для закрепления материала отводится весь урок, то здесь нужно соблюдать последовательность перехода от простого к сложному.
При работе с задачами-рисунками учитель легко определяет степень усвоения учащимися материала, выявляет пробелы в знаниях.
Так, например, при закреплении темы «Сумма углов треугольника» (VII класс) каждому ряду предлагаются соответственно задачи-рисунки 40, 41, 42. Задание состоит в том, чтобы найти величину угла. Набирает большее количество очков тот ряд, где наибольшее число учащихся правильно ответили на вопрос задачи. Рисунки поочередно предлагаются каждому ряду. Ответы подаются к столу учителя капитанами с указанием фамилии ученика.
При закреплении темы «Понятие об иррациональном числе» (VIII класс) учащимся можно предложить задачи-рисунки (рис. 43) и предложить ответить на вопрос: в каком из случаев корни иррациональные?
Геометрия, VII класс. Тема: «Вписанные углы и их свойства». Каждому ряду предлагаются соответственно задачи-рисунки 44, 45, 46 и к ним задание: найдите градусную меру углов, обозначенных знаком «?».
71
Геометрия, VIII класс. Тема: «Теорема Пифагора». После доказательства теоремы Пифагора для устного решения каждому ряду предлагаются соответственно задачи-рисунки 47, 48, 49. Ответы к рисункам подаются на стол учителя в письменном виде. По истечении определенного времени происходит обмен рисунками. Выигрывает тот ряд, у которого больше правильных ответов.
Геометрия, VIII класс. Тема: «Гомотетия и подобие фигур». Каждому ряду предлагается по 5 заданий из 15-ти, изображенных на рисунке 50. Обосновать: равны, подобны или гомотетичны две данные фигуры.
Игровая ситуация создается тем, что при разительной неверности результата ошибка, приводящая к нему, более или менее хорошо замаскирована.
Рис 45
Рис. 46
Алгебра, VIII класс. Тема: «Числовые неравенства и их свойства».
Очень удобно при изучении свойства: если а~>Ь и с<0, то ас<.Ьс—проиллюстрировать учащимся математический софизм «Положительное число меньше нуля». Учитель поочередно вызывает к доске учащихся и предлагает им записать и выполнить действия.
Дано: а>6>0(1).
1)	Умножить обе части неравенства (1) на b — а:
а(Ь — а)>Ь (Ь — а);
ab — a2>b2 — ab.
2)	Преобразовать данное выражение так, чтобы в левой части был нуль: 0>а2 — 2ab-}-b2\ 0>(а-6)2 (2).
3)	(а — 6)2, где а=#6, есть число положительное. Получили, что положительное число меньше нуля.
В этой ситуации учащиеся задумываются, Где в преобразованиях допущена ошибка, которая привела к неверному результату?
Подведение учащихся к необходимости вывода общей формулы, создания математической
72
Рис. 49
модели реальных явлений и процессов на основе индуктивных рас-суждений.
Алгебра, IX класс. Тема: «Геометрическая прогрессия».
В виде игровой ситуации учащимся предлагается задача, которая содержит жизненные факты, но при решении которой возникает необходимость в выводе новой формулы.
Так, перед выводом формулы суммы п членов геометрической прогрессии школьникам предлагается, например, такая жизненная ситуация.
73
Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе по 100 000 р. А ты мне в первый день за 100 000 р. дашь 1 к., во второй день за 100 000 р.— 2 к. и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем».
Купец обрадовался такой удаче. Он подсчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 р. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.
Создается проблемная ситуация. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец? Учащиеся составляют последовательность чисел: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; .... Убеждаются, что эти числа составляют геометрическую прогрессию со знаменателем q = 2, первым членом а\ — 1 и количеством членов я = 30. Большинство школьников стремятся составить всю последовательность, чтобы потом найти ее сумму. Но видят, что это громоздкая работа, которая требует времени. Обращаются с вопросом к учителю: «Возможно ли вывести формулу суммы п членов геометрической прогрессии в общем виде?» Учитель дает утвердительный ответ и при этом усиливает проблемность, рассказывая историю о награде изобретателя шахматной игры: «По преданию, индийский принц Сирам, восхищенный
Рис. 50
74
остроумием игры и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе ее изобретателя, ученого Сету, и сказал ему: «Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твое желание». Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую — 2 зерна, на третью — 4 зерна и т. д. Возникает необходимость найти S64, где a, = I, q = 2, п==64. Под руководством учителя учащиеся выводят
~а* • Убеждаются, что купец проиграл.
Особого внимания заслуживает бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, где |<у| С 1, и формула суммы членов такой последовательности. При сознательном и глубоком изучении математики у учащихся может возникнуть вопрос: каким образом сумма бесконечного числа слагаемых может быть конечным, вполне определенным числом? Это лучше всего объяснить на примерах. Рассмотрим один из них.
Учитель предлагает игровую ситуацию. Один из учеников, вызванный к доске, должен идти от стола учителя к двери по прямой по такому закону. Первый шаг он делает длиной 1 м, второй — — м, третий -мит. д.— так, что длина следующего шага в 2 раза меньше длины предыдущего. Возникают вопросы: дойдет ли ученик к двери, если расстояние от стола до двери по прямой 3» м? Какой путь пройдет ученик, если представить себе его движение бесконечным? Делается замечание, что каким бы маленьким ни был отрезок, всегда можно найти и записать числовое значение его половины.
Школьники записывают последовательность: 1‘4—^-4-...-f-4~"2^г4~»> • Как найти сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии? Создается проблемная ситуация. Возможно ли практически найти сумму членов* такого вида последовательности?
Если' обозначить через Sn сумму длин п первых отрезков, то Sn—14-4“Но формуле суммы п членов геометри-ческой прогрессии находим:
(1' (*)“) =2-2^ 
1	2
При п—► оо	тогда Sn -> 2.
Таким образом, естественно считать, что сумма длин бесконечного числа отрезков в рассматриваемой задаче равна 2.
Второй пример. В равнобедренный треугольник вписаны окруж-
75
ности так, что первая касается основания и боковых сторон, следующая касается боковых сторон и первой окружности и т. д. Таким образом, треугольник АВС (рис. 51, а) заполняется последовательностью окружностей все меньшего радиуса. Число окружностей не ограничено.
Если из центра каждой окружности провести радиусы к боковой стороне в точки касания, то получим ряд подобных треугольников: ВО\С\, ВО2С2, ВО3С3,..., ВОпСп. Из подобия треугольников находим, что OiCr.O2C2 = = О2С2' О3С3 =... = ОпСп * Оя+1Ся+1. Это отношение постоянно и больше единицы. Теперь вопрос: какая получится величина, если последовательно сложить диаметры кругов, т. е. чему равна сумма такого бесконечного ряда? Это нетрудно выяснить. Нужно диаметры DiCi, D2C2, D3C3 всех кругов повернуть так, чтобы они были расположены на высоте BD. Бесконечная сумма оказывается равной вполне конечной величине — высоте треугольника АВС (рис. 51,6).
Для вывода формулы бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ai=/=0, I*?] <1) используется формула суммы Sn первых членов прогрессии (а„):
al—aiqn__ at aiqn
l—q ~ 1 — q I— q ’
В нашем случае число членов п как угодно большое и | q | < 1. Учащиеся выдвигают гипотезу. Так как при достаточно большом
п qn стремится к нулю, то естественно принять, что дробь
aiqn 1—9
тоже
стремится к нулю. Отсюда следует, что сумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии будет равна 5=7-3—.
Игровые ситуации, основанные на имитации процессов реальной
жизни.
Алгебра. X класс. Тема: «Исследование свойств функции».
Отправимся в путь на автомобиле по шоссе из города А в город В. Будем внимательно приглядываться к рельефу дороги. Ровный участок дороги естественно ассоциируется с термином «константа». Дорога идет под уклон — это монотонное убывание. Кончился спуск, и водитель включает газ, отмечая тем самым точку минимума. Дорожный знак указывает подъем, а у математика наготове свой термин — монотонное возрастание. Перевалили через гребень холма — пройдена точка максимума. И снова началось монотонное убывание, т. е. спуск. На холмах дорога выпукла, в ложбинах вогнута. Не отмеченные дорожными знаками стыки таких участ
76
ков дороги математик отметит про себя как точки перегиба.
Математические понятия, о которых шла речь в этом описании, естественным образом делятся на две группы. Одни описывают поведение функции в окрестности некоторых характерных точек (максимум, минимум, перегиб), другие — в некоторых промежутках (выпуклость, вогнутость, возрастание, убывание).
Чтобы в общих чертах воспроизвести профиль дороги, достаточно описать поведение функции сначала в окрестностях характерных точек, а затем в промежутках между этими точками.
Игровая ситуация состоит в том, что «водитель» из каждой команды должен «проехать» дорогу и объяснить все ее участки языком водителя и математика.
Использование занимательных задач.
Алгебра, X класс. Тема: «Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значений».
В начале урока учитель знакомит учащихся с рассказом Л. Н. Толстого «Много ли человеку земли надо». О том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрал наконец желанную сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 р. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал утром Пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром Р = 40 км (рис. 52).
Р=АВ + ВС + CD+AD, Р=24-13+Ю+15 = 40,
13 = 78 (км2).
Наибольшую ли площадь при данном периметре получил Пахом? Трем учащимся от каждого ряда предлагается выйти к доске и начертить четырехугольник с Р = 40 и наибольшей площадью. Учащиеся пробуют начертить известные им четырехугольники: трапецию, ромб, прямоугольник, квадрат. Побеждает тот ряд, представитель которого нашел ключ к разгадке задачи. Для подкрепления
77
щадей прямоугольников с различными длинами сторон. К доске вновь выходят представители каждой команды и составляют примерно такую таблицу:
Периметр Р	40	40	40	40	40	40
Стороны а	1	2	5	6	8	10
b	19	18	15	14	12	10
Площадь S	19	36	75	84	96	100
Вывод. Из всех прямоугольников данного периметра наибольшую площадь имеет квадрат. Пахом, например, мог бы пройти всего 36 км (Р = 9-4 = 36 км) и иметь участок площадью $ = 9«9 = = 81 км2.
После этого учащиеся составляют функцию и исследуют ее на экстремум. Если стороны прямоугольника х и у, то х+у=20; S = xy\ $=х (20 —х)= —х24-20х; $'=—2x4-20; $'=0, х=10.
Использование ситуаций, приведенных в пословицах.
Чтобы проиллюстрировать характерные свойства функции, можно обратиться к пословицам. Ведь пословицы — это отражение устойчивых закономерностей, выверенных многовековым опытом народа. Аналогия с пословицами позволит учащимся лучше понять и запомнить определенные свойства функции и будет служить своего рода опорным сигналом для запоминания свойств функций.
«Чем дальше в лес, тем больше дров», гласит пословица. Изобразим графиком, как нарастает количество дров по мере продвижения в глубь леса. Горизонтальная ось графика — это лесная дорога. По вертикали будем откладывать количество дров на данном километре. График представляет собой количество дров как функцию пути (рис. 53).
Согласно пословице, эта функция неизменно возрастает. Какие две точки на оси абсцисс ни взять, для более дальней (чем дальше в лес...) значение функции будет больше (...тем больше дров). Такое свойство функции называется монотонным возрастанием. Математически это записывается так: х> <х2 =>f(xj)<f(x2) для всех х, входящих в область определения.
Необходимо прочувствовать отличие между монотонным возрастанием ' и монотонным неубыванием. Возрастание — это движение
только вверх. Неубывание — движение либо вверх, либо ни вверх ни вниз.
Возрастание — частный случай неубывания. Например, всюду постоянная функция принадлежит к числу неубывающих, хотя она ни на одном участке своей области определения не возрастает.
78
Пословица «Выше меры конь не скачет». Если изобразить траекторию скачущего коня графически, то высота скачков в полном соответствии с пословицей будет ограничена сверху некоторой «мерой» (рис. 54). Это свойство присуще функциям sin х и cos х. Здесь тоже есть своя «мера», за пределы которой не вздымаются волны синусоиды и косинусоиды. Графики этих функций находятся в полосе между прямыми у= — 1 и у—\-
Пословица «Пересев хуже недосева». Вековой опыт свидетельствовал: урожай лишь до некоторой поры растет вместе с плотностью посева, дальше он снижается, потому что при чрезмерной густоте ростки начинают глушить друг друга. Эта характерность станет особенно наглядной, если изобразить ее графически, где урожай представлен как функция плотности посева (рис. 55). Урожай максимален, когда поле засеяно в меру. Максимум — это наибольшее значение функции по сравнению с ее значениями во всех соседних точках. Это как бы вершина горы, с которой все дороги ведут только вниз, куда ни шагни. Максимум здесь локальный. Математически это значит: существует некоторая (а — 6, а + 6)-окрестность точки х — а такая, что для всех х из области определения функции, входящих в эту окрестность, выполняется условие: |х—а| <6^f(x)<f(a).
Есть у максимума антипод — минимум. Минимум — это как бы впадина, из которой куда ни шагни — все дороги ведут только вверх, т. е. для всех x£D(f) (D(f) — область определения функции) выполняется условие: |х—а| <6 =>f(x)>f(a). Все значения функции из 26-окрестности точки х=а больше по сравнению с минимумом (рис. 56). Правда, если шагать все дальше, возрастание где-то сменится спадом. Про минимум говорят тогда, что он в точке х — а собственный. Значение абсолютного минимума получаем лишь тогда, когда это наименьшее значение функции для всей области определения.
Использование примеров окружающей жизни.
Периодичностью в обыденной жизни называют чуть ли не всякую повторяемость. Но повторяемость может быть более или менее строгой. Строгим можно считать выражение «периодическая пе-
Рис. 55
Рис. 56
79
4aioz>. I ьь.лл-,.;/ дс;.ь- Зе. Д;.е:л. yk\j piia.tbi нечага&ися из месяца в месяц, из недели в неделю. Однако абсолютной строгости понятие периода тут не достигает. Оно было бы здесь лишь тогда, если бы время выхода соблюдалось с абсолютной точностью, а тексты полностью совпадали.
Функции, любые значения которых начинают в точности повтор ряться через вполне определенный промежуток изменения аргумента в одной и той же последовательности для всех х ££)(/), относят к периодическим.
Безупречные примеры периодичности способна дать только математика. Функция f называется периодической, если существует такое число Т#=0, что для любого х из области определения f значения этой функции в точках х и х+Т равны, т. е. f (х + Г) = f (х), где Т называется периодом. Для периодической функции нет меньшей по сравнению с Т величины аргумента того же свойства. Тригонометрические функции являются примерами периодических функций.
Командам предлагается привести примеры природных явлений, работы предприятий, примеры из жизни и техники, в которых отчетливо проявлялась бы периодичность. Выигрывает та команда, которая приведет больше примеров.
Переформулировка задач.
Важнейшим средством активизации самостоятельной творческой деятельности учащихся, развития их умственных способностей является решение задач.
В учебной литературе задачи, как правило, формулируются предельно кратко, четко и определенно. В такой математически корректной, лаконичной редакции не всегда улавливается практическая направленность задачи, отсутствуют моменты, возбуждающие любознательность, интерес учащихся.
Фабула большинства школьных задач формальна и не вводит школьников в условия жизненных ситуаций, где нужно принимать решения, выполнять определенные действия. Поэтому условия некоторых задач иногда полезно переформулировать так, чтобы получить проблемные задачи. Следует в них включать также и элементы, вызывающие у учащихся чувство удивления, сомнения, доставляющие эстетическое удовлетворение. Иначе говоря, учителю так следует изменить условие задачи, чтобы появилась возможность обратить на задачу внимание всех учащихся класса, вызвать интерес к ней и продолжить беседу о задаче после ее решения.
Рассмотрим ряд задач, переформулированных в практические.
1.	Дан равнобедренный треугольник АВС, АВ = ВС. На стороне ВС взята точка D. Какой отрезок — AD или CD — меньше?
1ь Два села А и С находятся на равных расстояниях от города В. По дороге ВС между В и С находится одинокий домик D. К какому селу — А или С — домик ближе?
2.	По данной хорде а кругового сегмента и его высоте h определите диаметр и площадь соответствующего круга.
80
2i. Горизонтально размещенная цилиндрическая цистерна почти целиком вкопана в землю. Как определить объем цистерны и той ее части, которая находится в земле? Какой размер цистерны еще нужно знать?
3.	При каких значениях х производная функции f (х) = 3х2 — 	7х равна нулю?
Зь Тело движется по закону S = 3t —-—7t. Определить время «J
остановки тела.
1	1	2
4.	Доказать неравенство:	(х'>У>>0):
4ь Самолет пролетел от А до В по ветру и возвратился из В в А против ветра, причем ветер дул все время с одинаковой силой. Затем самолет совершил этот же маршрут в безветренную погоду. В каком случае на весь маршрут ушло меньше времени?
В тех случаях когда задача для учащихся не является достаточно проблемной, необходимо заменить ее вопрос более полезным, интересным. Необходимо соответственно изменить и условие задачи.
5.	Под каким углом к горизонту следует тянуть сани, чтобы величина приложенной силы была наименьшей?
51.	Замечено, что если сила трения саней о грунт велика, то ^тянуть сани легче за короткую веревку, а если эта сила незначительна — за длинную. Как это объяснить математически?
6. Внучка с собачкой увидела своего дедушку на расстоянии 300 м от себя и побежала ему навстречу. Дедушка в тот же момент также увидел свою внучку и направился к ней. Собачка все время бегала между дедушкой и внучкой до тех пор, пока они не встретились. Какой путь пробежала собачка, если ее скорость 30 км/ч, скорость дедушки 3 км/ч, а внучки 6 км/ч?
7. Определить вид четырехугольника, который получится от последовательного соединения середин сторон любого выпуклого четырехугол ьн и ка.
Пусть каждый учащийся построит произвольный четырехугольник. При аккуратно выполненном построении ребята заметят, что получается параллелограмм (постановка гипотезы). Возникает проблемная ситуация: обосновать эту гипотезу.
Исключение из текста задачи ее вопроса значительно повышает проблемность задачи: учащиеся вынуждены самостоятельно выдвигать гипотезы, проводить исследования.
Большое значение при изучении математики имеет интерес, являющийся, в свою очередь, следствием увлекательности самой математики, ее идей, логического построения, практических применений. Поэтому так важны занимательные упражнения, требующие 'смекалки. Приведем примеры таких упражнений:
1.	Каким условиям должны удовлетворять две алгебраические ,дроби, чтобы их произведение равнялось 1?
81
2.	Две противоположные стороны квадрата увеличили, а две другие уменьшили на 5 см каждую. Как изменится площадь квадрата?
3.	Вычесть из числа 2 такое число, чтобы разность была:
а) числом, противоположным уменьшаемому; б) числом, противоположным обратному уменьшаемому.
4.	С помощью цифр 2 и 3, не употребляя знаков действия, записать возможно большее число.
5.	Что больше: 3111 или 1714?
6.	Дан равносторонний треугольник АВС. Выполняются последовательно три поворота плоскости в положительном направлении около вершин А, В, С на углы 60°. Какая точка плоскости в результате этих трех поворотов вернется в исходное положение?
7.	Докажите, что число д/б+д/б--|-д/бЧ-Л^б + л/б меньше трех.
8.	Существует ли треугольник, высоты которого равны 1, 2, 3 м?
9.	У какого прямоугольника периметр численно равен площади, а стороны выражены целыми числами?
К занимательным задачам можно отнести старинные исторические задачи.
10.	Задача Ариабхатты (476 г. до н. э.).
Два лица имеют равные имущества, причем каждое состоит из известного числа вещей одинаковой ценности и известного числа монет. Однако как число вещей, так и сумма денег у них различна. Какова стоимость вещи?
11.	Задача Аполлония Пергского (III—II в. до н. э.).
Прямой, проходящей через данную точку Я, требуется отсечь на двух пересекающихся прямых ОР и OD два отрезка ОМ и ON, находящиеся в данном отношении т‘.п.
12.	Задача ал-Караджи.
Найти площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру.
13.	Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а сумма их квадратов — 208.
14.	Найти стороны прямоугольника, зная их разность и площадь прямоугольника.
Игровая ситуация может быть создана и при контроле знаний учащихся.
Суть организации контроля знаний при этом состоит в следующем. Учащимся раздаются дидактические материалы, содержащие задания трех степеней сложности. Например, по теме «Четырехугольники» предлагаются следующие задания первому ряду.
I уровень сложности.
1)	Доказать, что сумма углов, прилегающих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.
2)	Если углы у основания трапеции равны, то трапеция равнобочная.
3)	Доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
82
II уровень сложности.
1)	Доказать, что каждая диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
2)	Доказать, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба.
3)	Основания трапеции относятся как 3:4, а средняя линия равна 7 см. Найти основания.
III уровень сложности.
1)	Доказать, что угол между высотами параллелограмма равен его острому углу.
2)	Найти основания трапеции, если диагональ делит среднюю линию на отрезки 3 и 7 см.
3)	Чему равны углы равнобочной трапеции, если известно, что разность противоположных углов равна 40°?
Каждый учащийся должен вначале решить одно из заданий I уровня сложности по собственному выбору. Решение подается учителю или ассистентам учителя в письменном виде. На столе учителя находятся образцы решений и ответы ко всем заданиям, предложенным командам. За правильное решение задания I уровня сложности ученик получает 1 балл в счет оценки и 1 игровой балл, который идет в счет личного первенства и всей команды (ряда). Баллы заносятся в специальные списки, находящиеся на столе учителя. Ученик, справившийся с первым заданием, выбирает дальше одно из заданий II уровня сложности, о котором сообщает учителю. За верное его решение ученик получает 2 балла в счет оценки и 2 игровых балла. За выполнение выбранного задания III уровня сложности ученик получает соответственно 2 балла в счет оценки и 3 игровых балла.
Выполнив три задания всех уровней сложности, ученик получает 5 баллов в счет оценки и 6 игровых баллов. При наличии времени каждый учащийся имеет право по выбору решать задания любой сложности, увеличивая при этом количество игровых баллов. При двух неудачных попытках решить задание I уровня сложности учащийся имеет право попросить консультацию у ученика своей команды, который уже справился с заданием. Если ученик справился с заданием I уровня сложности и не может решить задачи II уровня сложности, то ему разрешается решить все три задачи I уровня сложности и получить при этом 3 балла в счет оценки и 3 игровых балла. Если ученик решил задание II уровня сложности и не может решить задачи III уровня сложности, то ему разрешается решить все задачи II уровня сложности. При решении трех задач II уровня сложности оценка ученику должна быть не ниже четырех. В игровом контроле предусмотрена и система «штрафов». Если ученик не смог решить выбранную задачу, то он «штрафуется» на один игровой балл.
Таким образом, строгий учет работы каждого ученика и каждой команды дает возможность поставить оценку ученику за знание фактического материала, установить первенство в команде и определить команду-победителя.
83
§ 5.	УРОКИ МАТЕМАТИКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ДИДАКТИЧЕСКИХ ИГР
Рассмотрим на конкретных примерах организационную и содержательную стороны построения уроков математики, содержащих элементы игры как форму взаимодействия учителя с учащимися, в процессе которой через систему игровых действий реализуются учебно-воспитательные возможности, заложенные в содержании учебного материала.
Алгебра, IX класс.
Тема: «Определение арифметической и геометрической прогрессий».
Цель урока: усвоение учащимися понятий арифметической и геометрической прогрессий.
Оборудование: кодоскоп, диапозитивы, содержащие дидактический материал (количество заданий четное, поровну для I и II команд), указка.
На доске написано:
I команда	II команда
Ниже ведется запись полученных очков.
Правила игры.
1)	Класс разбивается на две команды:
I команда — ученики первого ряда и половины второго ряда;
II команда — ученики третьего ряда и половины второго ряда.
2)	Выбираются капитаны команд.
3)	Капитаны команд назначают консультантов. Они должны помогать школьникам из другой команды отвечать на вопросы, предложенные учителем в ходе урюка. Их работа приносит дополнительные очки своей команде. Плохо проведенная консультация или отказ от проведения консультации наказывается очками в пользу команды противника.
4)	После слов «Консультация окончена» школьники занимают свои места. В противном случае команда наказывается штрафными очками.
5)	Для участия во всех видах работы ученики вызываются к доске капитанами команд.
Ход урока
I этап — консультация. Актуализируются знания учащихся по таким вопросам: определение последовательности, возрастающие и убывающие последовательности, способы задания числовых последовательностей, рекуррентный способ задания последовательности, построение графика последовательности, среднее арифметическое и среднее геометрическое двух чисел.
На консультацию отводится 10—12 минут. Консультируют учеников представители других команд. Разрешаются и взаимоконсульта-84
ции. При необходимости консультирует учитель. За консультации команды получают очки.
II этап — учебно-познавательная работа учащихся по самостоятельному приобретению новых знаний.
Предлагается разделить страницу тетради на две части и слева написать «Арифметическая прогрессия», а справа — «Геометрическая прогрессия». На доску (слева) проецируется задача, приводящая к арифметической, а справа — к геометрической прогрессии. К ним проецируются вопросы и задания, которые необходимо выполнить.
Задача 1. Вертикальные стержни фермы имеют такую длину: наименьший а = 5 дм, а каждый следующий на 2 дм длиннее. Записать длину семи стержней (рис. 57).
Задача 2. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за 7 мин (рис. 58).
1) Записать последовательность в соответствии с условием задачи.
2) Записать эту же последовательность с помощью таблицы.
3) Найти разность d между предыдущим и последующим членами последовательности в первой задаче и частное q от деления последующего члена на предыдущий во второй задаче.
4) Задать эти последовательности рекуррентным способом.
5) Дать определение арифметической (геометрической) прогрессии.
6) Найти среднее арифметическое (геометрическое) чисел 2 и 8. Записать найденное число с данными в порядке возрастания. Образуют ли эти числа арифметическую (геометрическую) прогрессию?
7) Справедлива ли такая зависимость для трех последовательных членов рассматриваемых последовательностей?
8) Доказать, что для членов арифметической прогрессии спра-
ведлива закономерность ап+1 = ~~а”	1 2 3 4 5 6 7 8~ > а Для членов геометри-
ческой прогрессии — закономерность bn+i=-\Jbn‘bn+2.
Сначала школьники проделывают всю работу на доске и в тетрадях для арифметической прогрессии, а потом — для геометрической или для обеих сразу.
85
Записи ответов учащихся, доске от каждой команды:
1) 5; 7; 9; И; 13; 15; 17.
которые поочередно вызываются к
1) 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64.
п	1	2	3	4	5	6	7
ап	5	7	9	11	13	15	17
п	1	2	3	4	5	6	7
bn	1	2	4	8	16	32	64
3) а2 — «1 = 2, аз — а2 = 2, .... 0/14- 1 “ O/J -cl.
4) O2 = Oi-}"2, Оз=ОгЦ-2, ..., cin+1 = о« 4“ d.
3)	62^61 = 2; 6з:6г = 2, ..., bn 4- (• bn q.
4)	b2 — b\-2, 6з = 62-2, ..., 6„+i = = bnq.
5)	Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией.
6)
5)	Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же, не равное нулю число, называется геометрической прогрессией.
6)	л^8==4; 2, 4, 8.
5 + 9
2
= 5; 2, 5, 8.
7)	Vb4 = 2, -^8=4, ...
8) Оп-f-1	Оп '— О« + 2 ” Оя+I,
2О/г+ 1 =О/г-|-2“Ь0п;
On -f- 2 + On
+ 1—-------------
8) 6rt+i:6«=6rt+2:6n+i;
6n+i =6rt-6n+2;
6/i -f-1	уЬп ' bn-j-2 •
В процессе игры учащиеся следят за ответами товарищей, записывают все в тетради и готовятся ответить на предложенный вопрос. Учитель предлагает вопрос, а капитаны команд называют для ответов учащихся из других команд. Подводятся итоги первых двух этапов игры.
III этап — работа школьников по решению упражнений и самостоятельному составлению задач, приводящих к записи арифметической и геометрической прогрессией. За образец взять задачи № 380, 401*.
Решить упражнения:
.1 команда
№ 433 (а), 446 (а)
II команда
№ 433 (б), 446 (б)
* Упражнения даны из учебника: Алгебра: Учебник для 9 класса средней школы / Под ред. С. А. Теляковского.— М.: Просвещение, 1990.
86
IV этап — подведение итогов работы. Выигравшая команда объявляется победительницей, а многие учащиеся получают оценку.
Задание на дом.
Алгебра, IX класс.
Тема: «Квадратичная функция, ее свойства и график».
Цель урока: применение знаний об исследовании квадратичной функции при решении производственных задач.
Оборудование: диапозитивы с изображением желоба прямоугольного сечения (рис. 59), а также с графиками квадратичной функции у =; ах2-j-Ьх + с при а>0 и а<0 (рис. 60).
Ход урока
I э т а п — вступительная беседа.
Учитель рассказывает об использовании отводного желоба прямоугольного сечения, открытого сверху, для стока воды в очистных сооружениях. Он строится из железобетона и внутри облицован плиткой.
При проектировании строительства этого сооружения необходимо учитывать принцип экономичности и выбрать минимальные размеры при максимальной пропускной способности. Для решения этой практической задачи в классе создаются два отдела (две команды), возглавляемые «главными инженерами». Все «сотрудники» отдела (члены команды) подчиняются непосредственно «главному инженеру» своего отдела, а также «руководителю строительного участка» — учителю математики.
II эт>а п — актуализация опорных знаний.
Данный урок проводится в конце изучения темы «Квадратичная функция». К этому времени ученики умеют строить график функции у = ах2-\-Ьх-^-с. Учитель демонстрирует кодопозитивы (рис. 60) и обращает внимание учащихся на то, что функция у = ах24~ Ьх + с при значении хо= — приобретает наибольшее или наименьшее значение. Значение Хо можно получить и другим способом: Хо = *'	, где Xi, Хг — корни квадратного трехчлена. Но построение
графика функции у — ах2 -\-bx-\rC часто занимает много времени, и графическим способом экстремумы функции могут быть найдены лишь приближенно.
Для решения общей задачи отыскания экстремума квадратич-
Рис. 59
87
ной функции
у = ах2 + бх-f-с {а =£ 0)
ее представляют в виде суммы двух / h \ 2	«2 Ал г
выражении: У~а\х^~2^} ___ ~
Если а>»0, то первое слагаемое
/ ь \2
alx+— 1 полученной суммы не
отрицательно и будет иметь наименьшее значение при условии х-|--~=
=0, т. е. при х	Второе
2а
Ь2 же слагаемое с---------постоянно,
4а
поэтому функция у=ах2 + Ьх-[-с в этом случае будет иметь наимень-ь2
шее значение, равное с—2
Если же а<0, то первое слагаемое + отрицательно и будет иметь наибольшее значение при	=0, т. е. при х~ —
А так как второе слагаемое постоянно, то в этом случае квадра-ь2 тичная функция будет иметь наибольшее значение, равное .
Часто среди практических задач, особенно в строительстве, встречаются задачи, решение которых сводится к отысканию наибольшего или наименьшего значения функции вида у = ах2-{-Ьх. Тогда у=ах2 + Ьх = а(х2+^х\ = а(х2 + 2х^+-^2—-^ =
Исследование аналогично первому случаю.
III этап — формулировка задач.
Задача I отдела.
Необходимо построить открытый желоб прямоугольного сечения для стока воды. Длина периметра поперечного сечения желоба должна равняться 6 м (рис. 59). Какой высоты должны быть стенки желоба, чтобы получился максимальный слив?
Задача II отдела.
Заготовленной плиткой нужно облицевать 6000 м2 боковых стенок и дна желоба прямоугольного поперечного сечения длиной 1000 м. Каковы должны быть размеры сечения, чтобы пропускная способность желоба была наибольшей?
Учитель показывает, что при одном и том же периметре желоба высота боковых стенок и ширина желоба могут быть разными, а это, в свою очередь, влияет на пропускную способность желоба. Надо найти оптимальный вариант.
88
Задача I отдела приводит к функции, выражающей через х площадь поперечного сечения желоба 3(х)=(6— 2х) х= —,2х24~6х, где х — высота боковых стенок желоба. Чтобы найти ответ на вопрос задачи, необходимо установить, при каких значениях х полученная функция S(х)=—2х24-6х принимает наибольшее значение. Корни уравнения — 2х2-|-6х = 0 равны Xi= 0 и х2 = 3. Так как коэффициент а= —2<0, то функция 3 (х) принимает максимальное значение при х0=^-~-=1,5. Следовательно, высота сте
нок должна быть равна 1,5 м.
Рассуждения можно вести и так. Выполним преобразование:
3 (х)= -2х2+6х= —2 (х2 —Зх)= —2(х2-2-х-|-+-|—-0 =
з
а — — 2<0; следовательно, S (х) будет максимальным при хо=-^-.
Задача II отдела приводит к такому решению. Если х — высота боковых стенок желоба, a b — его ширина, то, учитывая, что поверхность желоба равна 6000 м2, получим уравнение:
(2x-f-^) 1000 = 6000 или 2х-|-& = 6; /> = 6—2х, тогда К(х) = = 1000х(6 — 2х).
Поскольку корни уравнения ЮООх (6 —2х)=0 равны Xi =0, х2=3, а коэффициент а=— 2000 <0, то функция У(х) принимает максимальное значение ири х0 = Х| Х2 = 1,5.
Рассуждение можно провести и так. Выполним преобразование
V (х)= — 2000х2+6000х=—2000 (х2— Зх)=— 2000( х2— 2х~+
+ 4—	“ 2000 ( х —+4500.
4	4 /	\	2 }
а=—2000 <0, следовательно, V (х) будет максимальным при Хо — 1,5.
Работа каждого отдела (команды) оценивается баллами по результатам таких этапов работы:
а)	ответы на вопросы учителя при актуализации знаний по вопросам исследования квадратичной функции. Каждая команда получает равное число вопросов;
б)	уяснение условия задачи;
в)	составление математической модели задачи и выполнение преобразований;
г)	исследование функции и получение результата;
д)	применение полученных результатов к конкретным условиям строительства и объяснение экономической выгоды.
. Решение практических задач, связанных с исследованием функции на максимум и минимум, способствует развитию интереса к математике.
89
В частности, такие задачи помогают осознать, что функция, заданная формулой, представляет собой математическую модель реальной задачи. Решение задачи основано на применении изученной теории. При этом учащиеся получают возможность увидеть как, казалось бы совсем отвлеченные математические формулы, помогают решать практические задачи. Ответ к задаче дает экономическую интерпретацию полученного решения.
Геометрия, IX класс.
Тема: «Решение задач на отыскание площадей плоских фигур».
Цель урока: выработка у учащихся навыков решения задач на доказательство.
Оборудование: чертежные и измерительные инструменты.
Известно, что индуктивные рассуждения во многих случаях предшествуют дедуктивному доказательству. Индуктивными методами следует пользоваться для наведения учащихся на ту или иную догадку. Поэтому при выявлении некоторых закономерностей в геометрии первым этапом должен быть эксперимент, проведенный непосредственно на уроке или дома. Он помогает установить связь между элементами фигур путем рассмотрения отдельных случаев, измерений, сравнений.
Класс разбивается на 3 команды, и им предлагается задание. На клетчатой бумаге (странице тетради) в пересечении линеек выбрать произвольно две точки и принять их за вершины треугольника (рис. 61). Построить равносторонний треугольник так, чтобы его третья вершина тоже находилась в пересечении линеек тетрадной страницы.
Первые попытки построить равносторонний треугольник указанным образом с помощью чертежных инструментов не приводят к успеху.
Создается проблемная ситуация. В результате эксперимента учащиеся выдвигают гипотезу о невозможности такого построения. Формулируется задача: доказать, что, соединяя вершины квадратов тетрадного листа отрезками, невозможно построить равносторонний треугольник.
Доказательство. I с пособ. Предлагается сравнить площади треугольника АВС, вычисленные различными способами.
Способ от противного. Пусть нам удалось построить такой равносторонний треугольник АВС (рис. 61). Найдем его площадь как
90
разность между площадью некоторого прямоугольника и суммой площадей прямоугольных треугольников.
Каждая из команд выполняет рисунки. Через вершины треугольника АВС проводим прямые, которые совпадают с прямыми клетчатого листка. Пересекаясь, они образуют прямоугольник KLCM, внутри которого находится искомый треугольник АВС. Дальше учащиеся устанавливают, что все стороны прямоугольника выражаются целыми числами, если за единицу длины принять сторону квадрата. Площади прямоугольных треугольников АМС, BLC, КАВ выражаются рациональными числами, так как длины их катетов — целые числа. Тогда площадь треугольника АВС, равная разности площадей прямоугольника KLCM и суммы площадей трех прямоугольных треугольников, должна выражаться рациональным числом.
Все это последовательно объясняют члены команд. Чем больше правильных ответов дают члены команды, тем больше очков идет на ее счет.
Кроме того, площадь треугольника АВС можно найти по известной формуле	где АВ = а, а а2 — число рациональное,
потому что равно сумме длин квадратов катетов, которые выражены целыми числами. Тогда площадь треугольника АВС, вычисленная по этой формуле, будет числом иррациональным.
Таким образом получили, что площадь одного и того же треугольника выражается рациональным и иррациональным числом. Это противоречие доказывает утверждение задачи. На доске подводятся итоги соревнований команд.
II способ. По условию задачи /14=60°. Представим его в виде суммы двух углов, тогда Z.4=a + 0. Из треугольников ABD и ЛЕС имеем: tga=eZ>:4D и tg 0 = С£‘:4£‘. Отрезки BD, AD, ЕС и АЕ содержат целое число единиц, поэтому tg а и tg 0 — рациональные числа. Отсюда tg (a + 0)	— тоже число рацио-
нальное. С другой стороны, tg (a-|-0) = tg 60°=д/3 — иррациональное число. Полученное противоречие доказывает, что наше допущение оказалось неправильным.
Учитель предлагает только идею решения. Дальше команды воплощают его в жизнь, получая за правильные ответы очки.
На этом же уроке можно предложить еще такую задачу: внутри данного треугольника АВС найдите точку О, такую, что площади треугольников BOL, СОМ и AON равны (точки L, М, N лежат на сторонах АВ, ВС, СА, причем OL\\BC, ОЛ1||ДС, ON\\AB).
Подводятся итоги игры. Многие учащиеся получают зачетные баллы и в счет оценки в журнал, и в счет своей команды.
На дом учитель может предложить такую задачу. Треугольник АВС описан около окружности. Найти площадь треугольника, если сторона АС делится точкой касания на отрезки т и п, а противолежащий стороне А С угол равен 60°.
91
Геометрия, VIII класс.
Тема: «Прямоугольник и его свойства».
Цель урока: усвоение учащимися понятия «прямоугольник», доказательство теоремы 6.4. (Здесь и ниже ссылки на книгу: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 классов средней школы.— М.: Просвещение, 1989.)
Оборудование: кодоскоп (эпидиаскоп), указка, цветные мелки.
Ход урока
I этап — актуализация опорных знаний.
Ученики разбиваются на две команды.
1)	Ученики обеих команд должны в начале урока в тетрадях для самостоятельной работы воспроизвести опорный конспект по материалу предыдущего урока «Параллелограмм и его свойства» (теоремы 6.2; 6.3).
2)	Капитаном каждой команды становится ученик, который воспроизвел опорный конспект первым. Дальше он следит за работой учеников своей команды. Если ученик поднял руку, это означает, что работа окончена и тетрадь можно положить на стол учителя. Если ученик поднял ручку, это означает, что он нуждается в консультации. Каждая консультация лишает команду двух очков. Число консультаций в обеих командах записывается на доске.
3)	На написание опорных конспектов отводится 8—10 мин. Капитан собирает тетради у учеников своей команды и в развернутом виде приносит на стол учителя. Если команда не успела сделать работу за 10 мин, то она теряет 2 очка за каждую лишнюю минуту; если она выполнила задание меньше чем за 8 мин, то получает по 2 очка за каждую сэкономленную минуту. За этим следят учитель и капитаны команд.
4)	Тетради каждой команды просматриваются учителем во время консультаций и самостоятельной работы учащихся, результаты проверки сообщаются в конце урока. Побеждает та команда, у которой больше сумма оценок.
II этап — консультация.
На доску проецируются задания. Например:
1)	Какая фигура называется четырехугольником?
2)	Что называется параллелограммом?
3)	Какие прямые называются перпендикулярными?
4)	Сформулируйте следствие из теорем 4.2 и 4.3.
5)	Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.
От каждой команды выделяются 1—2 консультанта, которые переходят в другую команду и консультируют в случае необходимости по данным вопросам. Консультантов назначают капитаны команд. За хорошо проведенную консультацию и отсутствие вопросов со стороны учащихся команда получает 3 очка. Во время консультации разрешается пользоваться учебником. На консультацию отводится 5—6 мин.
92
Рис. 62
HI этап — изучение нового материала.
На доску проецируются рисунки и вопросы. Поочередно капитаны вызывают учеников из другой команды для ответа на вопросы:
1)	Среди предложенных четырехугольников выбрать прямоугольник (рис. 62).
2)	Что можно сказать о градусной мере каждого угла прямоугольника?
3)	Доказать, что у прямоугольника A2B2C2D2 стороны А2В2 и C2D2’, A2D2 и В2С2— параллельны.
4)	Можно ли утверждать, что прямоугольник — параллелограмм?
5)	На рисунке 63 назвать все прямоугольные треугольники.
6)	Найти равные прямоугольные треугольники и обосновать их равенство.
7)	Какое заключение можно сделать о диагоналях прямоугольника?
8)	Сформулируйте свойства, относящиеся одновременно и к параллелограмму, и к прямоугольнику, и свойства, относящиеся только к прямоугольнику (10^-12 мин).
Результаты работы обеих команд (каждая команда отвечает на 4 вопроса) записываются на доске.
IV этап — составление опорного конспекта.
Учащимся предлагается прочесть рассмотренный материал по учебнику (теорема 6.4). Далее учебники убираются, и ученики составляют опорный конспект. Капитаны команд садятся за парты и тоже составляют конспект в рабочих тетрадях.
На четвертый этап урока отводится до 8 мин. Вновь, как и на I этапе, команда получает очки за вовремя выполненную работу.
V этап — решение задач.
Первой команде предлагается решить задачу: докажите, что если у параллелограмма все углы равны, то он является прямоугольником.
Второй команде предлагается решить задачу: докажите, что если у па* раллелограмма диагонали равны, то он является прямоугольником.
Для ответа по решению этих задач вызываются самые слабые ученики.
93
Затем подводятся итоги, называется команда-победитель. Отдельным ученикам выставляется оценка в журнал.
VI этап — домашнее задание.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном пособии мы рассмотрели особый вид игр — дидактические игры, особую форму занятий — игровую форму.
Из изложенного можно сделать вывод, что дидактическая игра отличается от обыкновенной игры тем, что участие в ней обязательно для всех учащихся. Ее правила, содержание, методика проведения разработаны так, что для некоторых учащихся, не испытывающих интереса к математике, дидактические игры могут послужить отправной точкой в возникновении этого интереса.
Основным в дидактической игре на уроках математики является обучение математике. Игровые ситуации лишь активизируют деятельность учащихся, делают восприятие более активным, эмоциональным, творческим.
Поэтому использование дидактических игр дает наибольший эффект в классах, где преобладают ученики с неустойчивым вниманием, пониженным интересом к предмету, для которых математика кажется скучной и сухой наукой.
Создание игровых ситуаций на уроках математики повышает интерес к математике, вносит разнообразие и эмоциональную окраску в учебную работу, снимает утомление, развивает внимание, сообразительность, чувство соревнования, взаимопомощь.
Систематическое использование дидактических игр на разных этапах изучения различного по характеру математического материала является эффективным средством активизации учебной деятельности школьников, положительно влияющим на повышение качества знаний, умений и навыков учащихся, развитие умственной деятельности. Словом, дидактические игры заслуживают право дополнить традиционные формы обучения и воспитания школьников.
Рекомендуемая литература
1.	Антонович Н. X. Математические игры для учащихся пятых классов //Математика в шк.— 1965.— № 5.— С. 55.
2.	Б а л к М. Б., Б а л к Г. Д. Поиск решения.— М.: Детская литература, 1983.
3.	Васильев В. Г. и др. Математические соревнования.— М.: Наука, 1974.
4.	Г а й ш т у т А. Г. Приемы интенсификации обучения математике в IV—V классах.— К.: Радянська школа, 1980.
5.	Данилов И. К. Об игровых моментах на уроках математики // Математика в шк.— 1965.— № 1.— С. 95.
94
6.	Дышинский Е. А. Игротека математического кружка.— М.: Просвещение, 1972.
7.	3 и м н и й А. И. Элементы игры на уроках // Математика в шк,— 1977.—№ 6.—С. 33.
8.	Козлова О. В., Р а з у Л. М. Деловые игры и их роль в повышении квалификации кадров.— М.: Знание, 1978.
9.	Кордемский Б. А. Увлечь школьников математикой.— М.: Просвещение, 1981.
10.	Л о п о в о к Л. М. Математика на досуге.— М.: Просвещение, 1981.
11.	Минкин Е. М. От игры к знаниям.— М.: Просвещение, 1982.
12.	П у х н а ч е в Ю. В., П о п о в Ю. П. Математика без формул.— М.: Знание, 1978.
13.	Спиваковская А. С. Игра — это серьезно.— М.: Педагогика, 1981.
14.	Щ е г л о в Г. Н. Развитие навыков исследовательской работы в математической игре // Математика в шк.— 1967.— № 2.— С. 60.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие............................................................. 3
§ 1.	Роль и место дидактических игр в процессе обучения математике 6
'§ 2. Имитационные, деловые игры на уроках математики..............21
§ 3.	Примеры дидактических игр на уроках математики...............36
§ 4.	Игровые ситуации в процессе изучения и закрепления нового материала..................................................... .	69
§ 5.	Уроки математики с применением дидактических игр .	.	84
Заключение.......................................................... .	94
Рекомендуемая литература .	.	.	....	.	—
УЧЕБНОЕ ИЗДАНИЕ
Коваленко Владимир Гаврилович ДИДАКТИЧЕСКИЕ ИГРЫ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Зав. редакцией Т. А. БУРМИСТРОВА Редактор Л. М. КОТОВА
Младший редактор
О. В. АГАПОВА Художники О. В. ГОНТАРЬ, С. В. РОМАНОВСКИЙ Художественный редактор Ю. В. ПАХОМОВ
__ Технический редактор Н. А. ВАСИЛЬЕВА Корректор
О. Н. ЛЕОНОВА
ИБ № 12648
Сдано в набор 03.11.89. Подписано к печати 05.02.90. Формат 60X 90’/i6. Бум. типограф. № 2. Гарнит. литерат. Печать высокая. Усл. печ. л. 6,0. Усл. кр.-отт. 6,25. Уч.-изд. л. 6,16. Тираж 640 000 экз. Заказ № 655. Цена 15 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 129846, Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат Государственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59.
Школьные учебники (((Р
SHEBA.SPB.&U/SHKOLA