/
Автор: Морозов Е.М. Партон В.З.
Теги: общая механика механика твердых и жидких тел механика физика физика твердого тела
Год: 1985
Текст
В. 3. ПАРТОН, Е. М. МОРОЗОВ
МЕХАНИКА
УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
РАЗРУШЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего спег}иалъного образования СССР
в качестве учебного пособия
Эля студентов университетов и втузов
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТ У РЫ
1985
ББК 22.25
П18
УДК 531
П а р т о н В. 3., М о р о з о в Е. М. Механика упругопласти-
ческого разрушения.— 2-е изд., перераб. и доп.— М.: Наука,
Главная редакция физико-математической литературы, 1985.—
504 с.
Изложены современные представления и оригинальные ис-
исследования по теории магистральных трещин, способных рас-
распространяться в твердых деформируемых телах, приводя к час-
частичному или полному разрушению. Содержанием книги охваты-
охватывается широкий круг вопросов поведения тел с трещинами —
от критериев распространения трещины и до решения ряда
сложных задач механики разрушения. Рассматриваются пре-
предельные и допредельные состояния равновесия при однократ-
однократном, многократном, термическом и динамическом нагружеипях
в упругих, вязкоупругих, упругопластических и пьезоэлектри-
пьезоэлектрических телах с трещинами. Изложены методы эксперименталь-
экспериментального определения характеристик трещиностойкости материалов.
Предназначена для студентов, аспирантов по специально-
специальностям «механика твердого тела» и «динамика и прочность ма-
шип», а также для научных и инженерно-технических работни-
работников, занимающихся механикой разрушения.
Табл. 10, Ил. 268. Бпблиогр. 447 назв.
Рецензенты:
кафедра теории пластичности Московского государственно-
государственного университета им, М. В. Ломоносова;
кафедра строительной механики и прочности летательных
аппаратов Московского авиационного института им. С. Орджо-
Орджоникидзе
Аппоп-пппп (пп (О) Издательство «Наука»,
¦1703040000—109 ^ Главная редакция
sF— *'^—°D физико-математической литературы, 1975;
bo c изменениями, 1985
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие академика Ю. Н. Работнова к первому изданию ... 8
Ч Л С Т Ь I. ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Глава I. Условия роста трещины 13
§ 1. Механика разрушения и прочность твердых тел .... 13
§ 2. Поля напряжений и смещений в окрестности кончика тре-
трещины ... 20
§ 3. Концепция Гриффитса — Орована — Ирвина. Устойчивое и
неустойчивое развитие трещины 27
§ 4. Интегральный вариационный принцип теории трещин . . 37
§ 5. Модифицированный критерий Гриффитса 48
§ 6. Изменение полной энергии системы при малом приращении
длины трещины 50
§ 7. Модель трещины с тонкой пластической зоной (бк-модель) 55
§ 8. Инвариантный /-интеграл 61
§ 9, РГнвариантные Г-интегралы 66
§ 10- Условия локального разрушения пьезоэлектрнков (ПК-кри-
(ПК-критерии) 69
§ 11. Некоторые другие модельные представления 75
Глава И. Коэффициент интенсивности напряжений 79
§ 12. Коэффициент интенсивности напряжении как основная ха-
характеристика тела с трещиной 79
§ 13. Метод конечных элементов в механике разрушения ... 82
§ 14. Метод граничных интегральных уравнений в механике раз-
разрушения 100
§ 15. Примеры расчета коэффициента интенсивности напряжений
методом конечного элемента п граничных интегральных урав-
уравнений 110
§ 1<о, Метод сечений для приближенного расчета коэффициента ин-
интенсивности напряжений 121
§ 17. Некоторые характеристики материала, оценивающие сопро-
сопротивление распространению трещины 129
Глава III. Трешацы в линейно-упругих телах 143
§ 18. Решение некоторых плоских и пространственных задач 143
§ 19. Кручение и растяжение цилиндра с внешней кольцевой тре-
трещиной 149
| 20. Конструкционное торможение трещины (ребра жесткости)
§ 21. Конструкционное торможение трещин (ремонтные заплаты 161
и разгружающие отверстия) 169
§ 22, Система трещин 181
§ 23, Составные упругие тела ... . » 192
i 24. Методы расчета траектории трещины 198
Глава IV. Трещдны в упругогашетических телах 210
§ 25. Экспериментальные исследования пластической зоны у конца
разреза-трещины 210
§ 26. Расчет пласт пческой зоны 218
§ 27. Критическое состояние плоскости и пространства с трещиной 231
3
§ 28. Упругопластическая задача для плоскости с прямолинейными
щелями 239
§ 29. Докритический рост трещины 244
§ 30. Долговечность по числу циклов при малоцикловой усталости 258
§ 31. Результаты экспериментов при однократном и циклическом
нагружениях 263
§ 32. Расчет элементов конструкций на долговечность по числу
циклов '. 272
§ 33. Предел трещиностойкости 279
§'34. Метод расчета на прочность по пределу трещиностойкости 282
§ 35. Примеры расчета на прочность с допущением трещины . . 286
Глава V. Трещины в линейных вязкоупругих средах .... 299
§ 36. Вязкоупругий аналог задач Гриффитса гг Зака .... 299
§ 37. Вязкоуцругопластический аналог задач Гриффитса и Зака 302
§ 38. Учет чувствительности материала к скорости и частоте на-
гружения 307
§ 39. Длительное разрушение полимерных материалов .... 312
§ 40. Исследование роста трещин в полимере при растяжении . . 320
ЧАСТЬ II. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Глава VI. Воздействие внешних сред на рост трещин . . . 325
§ 41. Рост трещин в металлах при воздействии водорода . . . 325
§ 42. Влияние коррозионных сред на трещиностойкость металлов и
сплавов . 337
Глава VII. Температурные задачи механики разрушения . . . 347
§ 43. Основные соотношения теории теплопроводности и термоуя- .
ругости тел с трещинами 347
§ 44. Сведение задач теплопроводности и термоупругости для тела
с трещинами к интегральным уравнениям ^ 350
§ 45. Термоупругое состояние тела с полосовидной и дискообраз-
дискообразной трещилаага 359
§ 46. Осесимметрпчная задача термоупругости для цилиндра с раз-
разрезом 363
§ 47. Квазистациоиарная задача термоупругости для плоскости с
полубесколсчньш и конечным разрезами 369
Глава VIII. Механика разрушения при наличии электромагнитных
полей 384
§ 48. Произвольно ориентированная трещипа в пьезоэлектрической
среде 384
§ 49. Составные тела. Трещина па границе пъезоэлектрика и уп-
упругого проводника 388
§ 50. Пьезоэлектрическая среда с трещипой в плоскости симметрии 400
Глава IX. Динамические задачи механики разрушения . . . 404
§ 51. Поля напряжений и смещений в окрестности вершины дви-
движущейся трещины. Критерии разрушения 404
§ 52. Импульсное растяжение полубесконечной трещины . . . 409
§ 53. Импульсное кручение цилиндра с внешней кольцевой трещи-
трещиной 417
§ 54. Установившиеся колебания. Неограниченное тело с трещиной
конечной длины 426
§ 55. Установившиеся колебания. Полоса с трещиной я периоди-
периодическая система трещин 437
§ 56. Дифракция упругих волн на трещине и системе трещит! 454
§ 57. Численное определение коэффициентов интенсивности напря-
напряжений при установившихся колебаниях 471
П р и л о ж е н и е. Некоторые этапы развития мехапики разрушения 479
Список литературы 484
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
С древних времен человек сталкивается с проблемами разру-
разрушения и прочности. Однако долгое время знания о прочности и
разрушении материалов накапливались случайно, передавались
из поколения в поколение как секреты мастерства и относились
скорее к области искусства, с которым мы знакомы по ве-
великолепным архитектурным ансамблям, удивляющим пас и
сегодня.
Что же такое разрушение? Истинная природа этого хорошо
известного явления выяснена далеко не полиостью. Катастрофы
танкеров и судов, самолетов и ракет, вызванные внезапным рас-
распространением трещин, показали недостаточность существующих
классических расчетов, необходимость в новых характеристиках
разрушения. Таким образом, проблема разрушения приобрела в
наши дни первостепенное значение.
Явление разрушения изучается с разных позиций, отражаю-
отражающих те или иные взгляды ученых на эту проблему. В частности,
оно изучается с позиций механики сплошной среды. Для нее ха-
характерно стремление к описанию основных особенностей разру-
разрушения в рамках строго сформулированных и достаточно общих
моделей, применяемых к некоторым, классам материалов. Исполь-
Использование основных положений, законов н методов механики
сплошной среды при исследовании процесса разрушения опреде-
определило название новой науки— «механика разрушения».
Можно сказать, что механика разрушения в широком смысле
этого понятия включает в себя ту часть пауки о прочности мате-
материалов и конструкций, которая связана с изучением несущей
способности тела либо без учета, либо с учетом начального рас-
распределения трещин, а также с изучением различных закономер-
закономерностей развития трещин.
Основоположником механики разрушения по праву можно
считать Галилео Галилея. Он установил, что разрушающая наг-
нагрузка не зависит от длины растягиваемого бруса и прямо пропор-
пропорциональна площади поперечного сечения.
Вообще первый этап исследований по механике разрушения,
связанный с именами Галилео Галилея, Р. Гука, Ш. Кулона,
А. Сен-Вена'на, О. Мора, характеризуется широким исследовани-
исследованием деформативных свойств тел и построением (носящим феноме-
феноменологический характер) различных критериев разрушения, на-
называемых теориями прочности. Сущность этих теорий состоит в
5
том, что разрушение происходит в тот момент, когда в некото-
некоторой точке тела определенная комбинация таких параметров, как
напряжение, деформация и т. д., достигает своего критического
значения. При таком подходе сам процесс распространения раз-
разрушения по объему тела полностью игнорируется, что в некото-
некоторой степени оправдано лишь в тех случаях, когда развитие де-
дефектов, приводящих к потере несущей способности, происходит
в малой окрестности критической области. В настоящее время
при расчетах на прочность используются те или иные критерии
прочности (критерии наибольшего главного напряжения, каса-
касательного, октаэдрического напряжения и т. д.) в зависимости от
типа материалов и условий эксплуатации. При всей важности
проводимых в рамках такого подхода исследований по теории
прочности они являются недостаточными по целому ряду сооб-
соображений.
В связи с этим важное значение приобретают задачи равно-
равновесия упругих тел с трещинами. Однако решения этих задач, за-
зачастую связанные с большими математическими трудностями,
содержат гораздо больше информации, чем требуется. Главным
здесь является вопрос о том, обладает ли тело при рассматри-
рассматриваемой нагрузке несущей способностью или нет, т. е. представ-
представляет основной интерес не само решение сложной задачи равно-
равновесия тела с трещинами, а существование или несуществование
этого решения при рассматриваемой нагрузке. Поэтому с матема-
математической точки зрения разрушение наступает при реализации
такой ситуации, которая приводит к выполнению некоторых пре-
предельных условий, обеспечивающих несуществование решений со-
соответствующей задачи равновесия тела с трещинами. Эти условия
являются интегральными характеристиками процесса разруше-
разрушения, что созвучно с общей глобальной концепцией разрушения
твердых тел [243].
В рамках феноменологического подхода общим для различпых
моделей развития трещин в твердых телах является то, что в
начальный момент считается заданным некоторое конечное воз-
возмущение в виде начальных трещин, что хорошо согласуется с
экспериментальными данными о наличии несовершенств струк-
структуры материала, какой бы предварительной технологической об-
обработке он ни подвергался. Отсюда при выводе различпых кри-
критериев прочности с учетом процесса разрушения получают соот-
соотношения, совпадающие по форме с обычными критериями проч-
прочности; только входящие теперь в эти соотношения постоянные
зависят от координат, длин и геометрии начальных трещин.
В настоящее время значение исследований но механике раз-
разрушения выходит далеко за рамки вопроса о несущей способно-
способности. Исследование процесса разрушения представляет самостоя-
самостоятельный интерес. Управление процессом разрушения и знание
его закономерностей имеют огромное значение для практики.
Так, например, для конструкций и сооружений желательно за-
6
медлить процесс роста трещины, тогда как при обработке реза-
резанием, наоборот, необходимо всячески облегчить разрушение.
В предлагаемой читателю кпиге, состоящей из двух частей,
изложены как основы механики развития магистральных трещин
в сплошной среде, так и специальные задачи механики разруше-
разрушения повышенной математической сложности.
Часть I посвящена основным критериям и методам механики
упругого и упругопластического разрушения. На конкретных при-
примерах показаны результаты применения различлых критериев
разрушения для определения критических и допустимых длин
трещин как при статических, так и при циклических нагрузках.
Для самостоятельного изучения основ механики разрушения, а
также для чтения лекций в ограниченном объеме по этому пред-
предмету можно использовать материал §§ 1—3, 12, 16, 17, 25, 30,
33, 34.
В части II дапо систематическое изложение ряда специальных
вопросов механики разрушения, к которым относятся эффекты
водородосодержащей среды, коррозия под .напряжением, терми-
термическое и динамическое нагружепия, электромагнитные взаимо-
взаимодействия в пьезоэлектрических телах и др. Решения соответст-
соответствующих задач сопряжены со значительными математическими
трудностями, в связи с чем для понимания этих разделов требу-
требуется повышенная математическая подготовка.
Проблемы механики разрушения настолько широки, что не-
некоторые вопросы (например, разрушение пластин и оболочек,
методики экспериментального определения характеристик тре-
щиностойкости и др.), достаточно полно освещенные в соответ-
соответствующих изданиях, не охвачены содержанием книги.
Настоящая монография представляет собой второе издание
пашей книги, переработка и существенное дополнение которой
позволили утвердить ее в качестве учебного пособия для студен-
студентов и аспирантов университетов и втузов.
Авторы выражают глубокую благодарность 10. Н. Работнову,
Р. И. Мааингу и И. Ф. Образцову, чье внимательное рецензиро-
рецензирование способствовало улучшению содержания книги.
В. 3. Партой, Е. М. Морозов
ПРЕДИСЛОВИЕ АКАДЕМИКА Ю. Н. РАБОТНОВА
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
«Механика разрушения» — сам термин этот звучит еще для
многих непривычно. До сих пор было принято говорить о «проч-
«прочности», о «сопротивлении материалов». Заботясь о здоровье, мы
тщательно избегали слова «болезнь». Но для предотвращения
смертельного заболевания нужно знать его природу, симптомы и
характер протекания; для обеспечения прочности конструкции
нужно знать причины и характер ее возможного разрушения.
Проблема разрушения — это центральная проблема учения о
сопротивлении материалов в истинном и прямом значении этого
словосочетания. Однако механика разрушения как самостоятель-
самостоятельная ветвь механики деформируемого твердого тела возникла сов-
совсем недавно, буквально на наших глазах. Границы этой новой
научной дисциплины пока еще не определились достаточно чет-
четко, необходимость объединения усилий не только механиков и не
только физиков и физико-химиков для решения проблемы разру-
разрушения осознана и признана почти всеми (говорю «почти», ж
здесь, как всюду, существуют экстремисты), однако разница в
терминологии, привычной для представителей разных наук, вме-
вместе с естественной, но затрудняющей общение убежденностью в
том, что именно данный кусочек общей проблемы наиболее в.ашен
и служит ключом ко всему остальному, приводит нередко к то-
тому, что споры о понятиях заменяются спорами о слоивах.
В настоящее время, говоря о механике разрушения, обычно
понимают под этим изучение тех условий, при которых в теле
распространяется трещина или система трещин. Но трещины бы-
бывают очень разные и рассматриваются они в разных масштабах.
С одной стороны, разрушение кристаллического зерна начинается
с образования субмикроскопической трещины, расхождения двух
атомных слоев на такое расстояние, когда силы взаимодействия
между атомами преиебрежио малы. Другой крайний случай —
трещина в сварном роторе турбины или в котле атомного реакто-
реактора, длина и ширина которой измеряется сантиметрами. В первом
случае условие распространения трещины определяется конфигу-
конфигурацией атомов на конце (в вершине) трещины. Поскольку речь
идет уже не о сплошной среде, а о дискретной кристаллической
решетке, образованной атомами, самое понятие «конец трещины»
становится неопределенным. Изучение такого рода субмикроско-
пических трещин и взаимодействия их с другими дефектами
кристаллической решетки относится скорее к области физики
твердого тела, чем механики, хотя методы классической теории
упругости приложимы для задач подобного .рода в полной мере.
Конечно, граница между физикой и механикой очень условия, по
тем не менее провести ее где-то надо, хотя бы для того, чтобы
избежать терминологической путаницы.
Макроскопическая трещина — предмет изучения собственно
механики — имеет размеры, превышающие на несколько поряд-
порядков размер наибольшего структурного элемента, содержащего в
себе достаточное количество кристаллических зерен для того, что-
чтобы свойства его не отличались от свойства любого другого эле-
элемента тех же размеров, который можно выделить из материала.
Именно это условие позволяет решать задачу о трещине в рам-
рамках механики сплошной среды. Сформулированное условие отно-
относится к идеальной для применимости теории ситуации, в действи-
действительности это требоование может быть смягчено, что приводит к
известным натяжкам, но не делает теорию беспредметной. Но
считая материал сплошным, однородным, упругим и пользуясь
аппаратом классической линейной теории упругости, мы прихо-
приходим неизбежным образом к парадоксальному выводу о том, что
напряжения по мере приближения к концу трещины растут не-
ограниченно. Этот парадокс служит расплатой за простоту, свя-
связанную с распространением линейной теории упругости на об-
область, где она заведомо неверна.
Так называемая линейная механика разрушения приписыва-
приписывает физически невозможной сингулярности реальный смысл. По-
Подобная ситуация для механики сплошной среды не столь уж
необычна, достаточно вспомнить, например, вихревые нити с ну-
нулевым поперечным сечением и конечной циркуляцией. Как ока-
оказывается, работа продвижения трещины, которая совершается
либо в результате увеличения внешних сил, либо за счет умень-
уменьшения упругой энергии тела при увеличении размера трещины,
непосредственно выражается через коэффициент при сингулярном
члене в формуле для напряжений. Этот коэффициент называется
коэффициентом интенсивности и играет для всей теории фунда-
фундаментальную роль. Работа продвижения трещины может быть свя-
связана с преодолением сил поверхностного натяжения (концепция
Гриффиаса), с работой пластической деформации в малой обла-
области, примыкающей к концу трещины, либо с чем-нибудь еще.
Важно при этом одно: размеры той области, где соотношения ли-
линейной теории упругости так или иначе нарушаются, должна
быть весьма малой. Тогда способность трещины к дальнейшему
продвижению определяется единственной характеристикой — ра-
работой на едпштпу длины пути, илп критическим коэффициентом
интенсивности.
По если размеры той золы, в которой соотношения лштейиой
теории нарушаются, велики, мы вступаем в области нелинейной
•механики разрушения. Внешнее, формальное безразличие лиией-
9
ной механики разрушения к объекту и к масштабу, полная мате-
математическая эквивалентность задач, относящихся к совершенно
разным физическим явлениям, возбудили на первых порах на-
надежду на то, что и нелинейная механика может быть построена
подобным же единообразным способом. Оказалось, что это не
совсем так.
Основная, пожалуй, задача, на которой были сосредоточены
в последние годы усилия ученых-механиков, занимающихся
практическими приложениями механики разрушения к оценке
прочности крупногабаритных изделий,— это задача о нахождении
условий равновесия или распространения большой трещины в до-
достаточно пластичном материале. Пластическая зона впереди тре-
трещины велика настолько, что для нее можно считать справедли-
справедливыми соотношения макроскопической теории пластичности, рас-
рассматривающей среду как сплошную и однородную. Для плоского
напряженного состояния модель Леонова — Панасюка — Дагдейла,
заменяющая пластическую зону отрезком, продолжающим трещи-
трещину и не имеющим толщины, оказывается удовлетворительной.
В частности, это подтверждается приводимым в этой книге ана-
анализом соответствующей упругопластической задачи, которая ре-
решается численно: методом конечных элементов. С увеличением
числа элементов пластическая зона суживается и можно предпо-
предполагать, что в пределе, когда при безграничном увеличении числа
элементов решение стремится к точному решению, пластическая
зона действительно вырождается в отрезок. Заметим, что при
рассмотрении субмикроскопических трещин на атомном уровне
многие авторы принимают гипотезу о том, что нелинейность
взаимодействия между атомами существенна лишь в пределах од-
одного межатомного слоя, по аналогии с тем, как рассчитывается
так называемая дислокация Пайерлса. Опять-таки, как и в линей-
линейной теории, возникает формальная аналогия, но здесь она носит
уже искусственный характер, и суждения об относительной при-
приемлемости модели в разных случаях основываются на совершен-
совершенно различных соображениях; степень убедительности приводимой
в защиту ее аргументации оказывается далеко неодинаковой.
К сожалению, плоское напряженное состояние никогда не
реализуется в действительности, во всяком случае на расстоянии
от кончпка трещины порядка толщины лиета напряженное со-
стояпио существенно трехмерно и очень сложно для анализа.
В другом случае, при плоской деформации, очертание пластиче-
пластической зоны оказывается совершенно иным, она распространяется
не столько вперед, сколько в стороны, и модель пластического
отрезка, принятая для плоского напряженного состояния, ни в
какой мере не соответствует действительности.
Но положение конструктора обычно оказывается во много
раз худшим. Для современных конструкции из современных спла-
сплавов типична такая ситуация, когда размер пластической зоны
одного порядка с толщиной изделия, и, следовательно, всюду па-
10
пряженное состояние в пластической области существеппо трех-
трехмерное. С другой стороны, важнейшие конструкционные мате-
материалы — углеродистые и легированные стали — достаточно пла-
пластичны. Распространение трещины начинается тогда, когда пла-
пластическая деформация вблизи ее кончика становится большой,
порядка десятков процентов. Конец первоначально острой, на-
например, усталостной трещины затупляется, стороны ее, которые
первоначально смыкались, расходятся параллельно на конечное
расстояние, и дальнейшее разрушение происходит лишь тогда,
когда это расхождение достигает некоторого критического значе-
значения. Таким образом, теория распространения трещин в пласти-
пластических .материалах должна включать в себя по крайней мере два
элемента, а именно 1) решение упругопластической задачи с
учетом копечпости пластической деформации и с удовлетворени-
удовлетворением граничным условиям на деформированной грапице и 2) на-
нахождение условия образования макротрещины в материале, кото-
который претерпел значительную деформацию, сопровождающуюся
накоплением микродефектов.
Предлагаемая читателю книга В. 3. Партона и Е. М. Морозо-
Морозова — первая па русском языке монография по данному предмету,
построенная главным образом на оригинальных исследованиях
авторов,— затрагивает вопросы нелинейной механики разрушения
в том аспекте, который был отмечен выше. В ней рассматрива-
рассматриваются некоторые упругопластические задачи для тел, содержащих
трещпны. Но основное содержание книги — это линейная меха-
механика разрушения, а также некоторое ее развитие, которое приво-
приводит к определяющим уравнениям, могущим быть нелинейными.
Несмотря на определенную ограниченность липейной механи-
механики разрушения круг надежно решаемых с ее помощью задач до-
достаточно широк. Развитие этой теории в большой мере сводится
к накоплению фонда решенных задач теории упругости для тре-
трещин разной формы в различных телах. Количество соответствую-
соответствующих публикаций непрерывно растет как за рубежом, так и в на-
нашей стране, многие полученные иностранными авторами резуль-
результаты стали доступными благодаря переводам книг и сборников
статей. В частности, лачал публиковаться перевод семитомного
издания энциклопедического характера, вышедшего в США под
редакцией Г. Либовица и названного «Разрушение»1).
Авторы настоящей книги делают существенный вклад в этот
фонд. Предисловие не должно пересказывать содержание книги,
но некоторые результаты следует отметить. Это прежде всего
новый вариацпониый принцип, позволяющий приближенно ре-
решать многочисленные задачи, в частности, находить траекторию
распространения трещины в неоднородном поле напряжений. Не-
Несомненный интерес представляет простой приближенный метод
нахождения коэффициента интенсивности, дающий возможность
«) См. [247].
И
получить разумную оценку в тех случаях, когда точное решение
задачи теории упругости найти нельзя, а численное чрезвычай-
ло трудоемко. Отметим также серию вновь решенных динамиче-
динамических задач для тел, подверженных действию периодических на-
нагрузок.
Естественное развитие линейной механики разрушения состо-
состоит в приложении основных ее концепций к задачам кинетики ро-
роста трещин во времени или в зависимости от числа циклов, если
речь идет об усталостном разрушении. Важно при этом, что ки-
кинетика, линейная или (нелинейная, предполагается чисто локаль-
локальной, все процессы разрушения любой природы предполагаются
происходящими в концевой области весьма малых размеров, вне
этой области материал упруг. Тогда в любых кинетических урав-
уравнениях единственным представителем напряженного состояния
будет коэффициент интенсивности. Разделы книг, посвященные
усталостному разрушению, например, строятся именно таким
способом.
Заметим в заключение, что большие усилия и большие успехи
в области механики распространения трещин привели к тому,
что зачастую к ней сводится вся механика разрушения. На самом
деле предмет механики разрушения гораздо шире. В ряде случа-
случаев, например, в металлах под действием нагрузки при высокой
температуре, разрушение носит рабсеянный характер, во всем
объеме на границах-зерен накапливаются поры, сливаются меж-
между собой и наконец объединяются в макротрещину. Здесь макро-
макротрещина — это лишь последний, видимый результат скрытого
от невооруженного глаза, но хорошо видного даже под оптичес-
оптическим микроскопом процесса накопления повреждений. По-види-
По-видимому, аналогичный характер разрушения наблюдается в некото-
некоторых полимерах, но здесь для обнаружения микроповреждений
необходимы более тонкие методы.
Широко известно значение статистических методов для оцен-
оценки прочности конструкций. Статистическая теория разрушения
должна быть также отнесена к механике разрушения, -хотя сей-
сейчас, пожалуй, изощренность теоретико-вероятностного анализа
комбинируется с довольно примитивными механическими моде-
моделями, что объясняется трудностью предмета.
Этот перечень можно продолжить, но он будет иметь лишь
отдаленное отношение к предлагаемой читателю книге, которая
освещает одну чрезвычайно важную и интересную сторону проб-
проблемы и наряду с этим содержит много любопытных замечаний и
соображений, подчас эскизного характера, но дающих пищу для
размышлений и стимул для дальнейшей работы.
Академик Ю. Я. Работное
Ч а с т ь I
ОСНОВЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Глава I
УСЛОВИЯ РОСТА ТРЕЩИНЫ
§ 1. Механика разрушения и прочность твердых тел
Бурный расцвет сравнительно древней науки о прочности
твердых деформируемых тел в последнее время связан, прежде
всего, с новым взглядом ученых и инженеров на проблему хруп-
хрупкого разрушения, решение которой по современным представле-
представлениям может быть надежным только в тех случаях, когда учиты-
учитываются имеющиеся в теле начальные трещины.
Механика разрушения в широком смысле этого понятия вклю-
включает в себя ту часть науки о прочности материалов и конструк-
конструкций, которая связана с изучением несущей способности тела как
с учетом начальных трещин, так и без него, а также с изучени-
изучением различных закономерностей развития трещин.
Известно, что разрушепие представляет собой сложный, мно-
многоступенчатый процесс, который начинается задолго до появле-
появления видимых трещин. Ввиду отсутствия единой теории, процесса
разрушения изучают различные закономерности этого явления
на разных масштабных уровнях. Линейные масштабы явления
разрушения проиллюстрированы на рис. 1.1. В пределах каж-
каждой масштабной области разрушение должно изучаться в соот-
соответствии с моделью, адекватно отражающей строение материала
я учитывающей граничные условия со стороны как левых, так
л правых соседних (по масштабной шкале) обяастей.
В известных работах А. Ф. Иоффе с сотрудниками [64] была
поставлена серия опытов по изучению прочности кристаллов ка-
каменной соли при различных состояниях поверхности образца. Бы-
Было обнаружено, что прочность кристалла с растворенным в горя-
горячей воде поверхностным слоем во много раз превышает его техни-
техническую прочность, достигая в •некоторых случаях значения теоре-
теоретической прочности. Основная идея этих работ состоит в доказа-
доказательстве, что уменьшение реальной прочности по сравнению с
теоретической происходит из-за поверхностных несовершенств
13
Ионы и
электронный
газ
10~7см
Дислокации
> У
У
Граница/
субзерен,
выделения
СцГзерна,
полосы
скольжения
10
-**
hi
„ Зерна,
включения,
пустоты
большие
пластические
деформации
Упруго- Особая
пластическое точка
поле упругого поля
Номинальные
напряжения
10см
100 см
*Ф Ф ф ф
Плоское
деформированное
состояние
Плоское
напряженное состояние
Рис. 1.1. Схема явления разрушения с точки зрения масштабной шкалы (на-
(напряженное состояние оценено по отношению к плоской детали толщиной
1)
структуры кристалла. В опытах А. Ф. Иоффе наблюдалось повы-
повышение прочности с нескольких Н/мма до 2000 Н/мм2, что близко
к теоретическому значению прочности (~4000 Н/мм2). В 30-х го-
годах А. П. Александров и С. Н. Журков в опытах на стеклянных
нитях достигли прочности в 6000 Н/мм2, а на кварцевых нитях
до 1300 М/мм\ В нашей стране и в дальнейшем велись интен-
интенсивные экспериментальные исследования, связанные с поднятием
потолка прочное ги различных конструкционных материалов.
В 50-х годах в Физико-техническом институте им. А. Ф. Иоффе в
лаборатории А. В. Степанова изучались нитевидные кристаллы,
«усы», п прочностью 10000 Н/мм2, а под руководством Ф. Ф. Вит-
мана было получено упрочнение обычного стекла с 50 до
5000 Н/мм2. Высокая прочность на ориентированных полимерах
была получена в лаборатории С. Н. Журкова (до 6000 Н/ммг).
Таким образом, было наглядно показано, что соответствующее
изменение дефектной структуры кристаллов способствует увели-
увеличению их прочности на несколько порядков и приближает ее к
теоретическому значению.
Эффект увеличения прочности кристалла каменной соли, а
также экспериментально наблюдаемые многочисленные случаи
преждевременного разрушения конструкций и сооружений при
напряжениях, меньших условного предела текучести о*0,2, явились
прямым показателем недостаточности развитых представлений о
прочности как о постоянной материала. Поэтому при исследова-
исследовании прочности, начиная с работ А. А. Гриффитса, Дж. И. Тей-
Тейлора, Е. О. Орована, Дж. Р. Ирвина и др., появилось новое нап-
направление, в основе которого лежит детальное изучение самого
процесса разрушения. Так как разрушение происходит в резуль-
результате развития содержащихся в теле реальных дефектов, при
оценке прочности нужен учет имеющихся в теле трещин и опре-
определение их влияния на прочность.
До 40-х годов нашего века развитие идей в этом направлении
было незначительным. Это в основном связано с тем, что в тра-
традиционной схеме процесс распространения трещин оставался в
стороне. Кроме того, существовавшее мнение о том, что разруше-
разрушение наступает почти мгновенно, сразу указывало на ограничен-
ограниченность возможных построений таких критериев прочности, где
константы зависят от размера начальных трещин, имеющихся в
теле. В последующие десятилетия эта точка зрения была пере-
пересмотрена. Было установлено, что развитие трещины занимает
значительный период, предшествующий полному разрушению,
причем это относится не только к усталостжшу и пластическому,
но даже и к хрупкому разрушению. Так, например, для сили-
силикатных стекол, для которых процесс разрушения считался прак-
практически мгновенным, скорость .развития трещины в начале процес-
процесса в 10—100 млн. раз меньше, чем яа заключительном этапе.
В то же время экспериментальные факты свидетельствуют о том
153], что в правильно (по сопротивлению разрушению) спроекти-
15
рованных и изготовленных конструкциях в значительном диапа-
диапазоне изменения внешних нагрузок развитие трещин происходит
устойчиво, отдаляя момент наступления критического состояния.
Поэтому характеристики прочности в определенных пределах
могут не зависеть от начальных длин трещин и определяться не-
некоторыми структурными параметрами материала, такими, напри-
например, как величина зерна [190, 302].
Таким образом, здесь применим такой подход, который связан
с возможностью использования известных и апробированных тео-
теорий прочности после введения одного дополнительного внутрен-
внутреннего структурного параметра, не участвующего в формулиров-
формулировке реологической модели. Аналогичные идеи, связанные с введе-
введением дополнительных структурных параметров в уравнения сос-
состояния, получили широкое развитие в работах Л. И. Седова
[264—266].
Важнейшим моментом в теории трещин является формули-
формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке
контура трещины. Это так же важно при решении воп-роса о раз-
развитии трещины, как правильный выбор критерия наступления
пластического состояния в эле-менте объема.
Наиболее просто формулируется условие локального разруше-
разрушения в теории так называемых квазихрупких трещин, когда наи-
наибольший размер области необратимых деформации в рассматри-
рассматриваемой точке контура трещины мал по сравнению с длиной тре-
щизаы и расстоянием этой точки до ближайшей границы тела.
Простейший вариант этого условия на основе физических и мате-
математических идей А. А. Гриффитса [347, 348], Г. Нейбера [190] и
Г. М. Вестергарда [432, 433] был предложен Дж. Р. Ирвином
[354—358]. Он заключается в том, что коэффициент при особен-
особенности в выражении для напряжений в рассматриваемой точке в
момент локального разрушения (и продвижения трещины в этой
точке) считается равным «некоторой постоянной материала; при
этом (напряжения вычисляются в предположения, что тело иде-
идеально упругое. Поскольку указанный коэффициент представляет
собой некоторую функцию внешних нагрузок, длины трещины и
геометрии тела, находимую из решения упругой задачи в целом,
условие локального разрушения на контуре трещины в принципе
позволяет определить ее развитие и, ,в частности, отыскать ту ком-
комбинацию внешних нагрузок, которая разделяе/т области устойчиво-
устойчивости и неустойчивости (подробнее об этом будет сказано в следую-
следующих параграфах).
В дальнейшем были предложены различные модели механизма
разрушения в конце квазихрупкой трещины. Однако все извест-
известные модели, отличающиеся детальной схемой описания локально-
локального разрыва в конце хрупкой трещины, эквивалентны в том смыс-
смысле, что всегда приводят к условию Гриффитса—Ирвина [199,
306]. Появились и общие подходы к описанию развития трещин
в произвольных сплошных средах [248, 265, 306, 317].
16
Некоторые основополагающие идеи механики разрушения,
сформулированные на ранних этапах -становления этой науки,
собраны в Приложении.
Мы будем употреблять выражения «тело с разрезом» и «тело
с трещиной», понимая при этом, что разрез переходит в трещину
только тогда, когда применяется некоторое дополнительное ус-
условие разрушения, вытекающее из физических соображений и-не
вытекающее из классических уравнений равновесия и движения
теории упругости.
Механика развития трещин связана с изучением законов раз-
разделения кристаллического или континуального тела на части под
действием механических усилий или иных внешних причин. Да-
Далее будем иметь в виду континуальное тело, наделенное феноме-
феноменологическими свойствами, определяемыми экспериментально на
стандартных образцах.
Разрушение относится к одному из видов нарушения прочно-
прочности [158, 292], которые могут происходить в результате: 1) чрез-
чрезмерной (упругой или пластической) деформации, - 2) потери ус-
устойчивости, 3) разрушения.
Разрушение может быть частичным или полным. При частич-
частичном разрушении в теле возникают повреждения материала в виде
отдельных трещин или в виде распределенных по объему деф&к-
тов материала, приводящих к изменению (в неблагоприятную для
прочности сторону) механических
свойств материала. При полном раз-
разрушении происходит разделение тела
на части.
Существуют следующие основные
виды разрушения:
1. Пластическое разруше-
разрушение. Происходит при существенной
пластической деформации, протекаю-
протекающей по всему (или почти по всему)
объему тела. Разновидность пласти-
пластического разрушения — разрыв после Рис. 1.2. Температурные обла-
100%-го сужения шейки при растя- сти хрупких {/),- квазихруп-
жении, происходящий в результате
исчерпания способности материала
сопротивляться пластической де-
деформации.
2. Хрупкие разрушание.
Происходит в результате распрост- критерию равенства
ранения магистральной трещины при критического излома волокнис-
пластической деформации, сосредо- ТОМУ (в~доля волокна в из-
точенной в малой области действия ломе).
механизма разрушения.
Идеально хрупкое (упругое) разрушение происходит без пла-
пластической деформации, причем из осколков можно заново соста-
ких (//) и пластических (III)
состояний. Граница между об-
областями I ж II определяется
критической температурой
хрупкости Гкр2 по критерию
Ос = От, а между областями
//и ///—видом излома по
площади
2 В. 3. Партон, Е. М. Морозов
17
вить тело прежних размеров. Квазихрупкое разрушение предпо-
предполагает наличие пластической зоны перед краем трещины и на-
наклепанного материала1) у поверхности трещины (остальной, и
значительно больший по величине, объем тела находится при
этом в упругом состоянии). В технике квазихрупким называют
разрушение, при котором разрушающее напряжение в жетто-се-
чении выше предела текучести, но ниже предела прочности. На
рис. 1.2 показаны температурные области хрупких, квазихруп-
квазихрупких и вязких состояний.
3. Усталостное разрушение. Происходит при цик-
циклическом (повторном) нагружении в результате накопления не-
необратимых повреждений. Излом макроскопически хрупкий, одна-
однако, у поверхности излома материал существенно наклепан.
Различают усталость и малоцикловую усталость.
Усталость характеризуется номинальными напряжениями,
меньшими предела текучести, повторное нагружение макроско-
макроскопически происходит в упругой области, число циклов до разру-
разрушения велико.
Малоцикловая усталость (иначе повторно-статическое нагру-
нагружение) характеризуется номинальными напряжениями, больши-
большими предела текучести, при каждом цикле нагружения возникает
макроскопическая пластическая деформация, число циклов до
разрушения сравнительно невелико.
4. Разрушение при ползучести.
5. Коррозионное разрушение.
Как уже отмечалось, трещины начинают развиваться- задолго
до полного разрушения. Так, например, при однократном стати-
статическом растяжении гладкого образца первая обнаруживаемая
трещина соответствует точке А на диаграмме растяжения (рис. 1.3),
Р
в а
Рис. 1.3. Диаграмма деформирования «сила Р — смещение А».
причем чем чувствительнее метод дефектоскопии, тем ближе
точка А располагается к началу диаграммы. Отсюда следует, что
трещина возникает и даже распространяется до исчерпания кон-
конструкцией своей несущей способности. Поэтому знание законов
распространения трещины и сознательное их использование по-
') Состояние материала после предварительной пластической деформа-
деформации.
18
зволяет судить о несущей способности детали. Относительная
продолжительность «жизни» образца с трещиной показана на
рис. 1.4.
Наличие трещин в конструкциях и случаи их хрупкого разру-
разрушения, происходящие при средних напряжениях ниже предела
текучести (кажущихся инженеру-конструктору безопасными), по-
показали недостаточность классических методов расчета на проч-
прочность по упругому и пластическому состояниям. Возникла необ-
необходимость дополнить их новыми методами расчета на прочность,
учитывающими законы зарождения
и развития трещин, и новыми ха-
характеристиками материала, оценива-
оценивающими стадию разрушения.
В реальных условиях развитие
имеющихся в теле начальных тре-
трещин может зависеть от материала,
формы и размеров тела, способа
приложения внешней нагрузки, чис-
числа циклов нагрузки, температуры,
степени агрессивности внешней ере-
2 | Трвицины еще нет
А
У/Ш'//л
Рис. 1.4. Относительная про-
продолжительность процесса уста-
ды, скорости и предыстории дефор- лостного разрушения после
мирования, напряженности электро- возникновения трещины (за-
магнитного поля и др.
штриховано) в процентах по
¦»«- отношению к общей долговеч-
Можно выделить следующие за- ности образца: 1 ~ идеальный
дачи механики разрушения, решение
случаи однородного материала
нагружения
Ч Р д, д
кий обРазеЧ ^ 3%-м растворе
которых может быть связашю с од- и однородного
ним илл несколькими указанными ?без образования трещины),
j 2 — гладкий образец на возду-
выше параметрами. хе> 5-Г надрезанный образец
1. «Прочность тел с трещитааащ». на воздухе, 4 — гладкий обра-
Оцределение (зависимостей размеров зеЧ в пРесн°й воде, 5 — глад-
трещин от приложенных нагрузок. й б 3%
2. «Геометрия трещин». Опреде-
Определение уравнений траекторий криво-
криволинейных (поверхностных) трещин и поверхностей излома (обра-
(образующихся в результате развития внутренних трещин).
3. «Динамика трещин». Определение законов движения кон-
конца трещины и фронта поверхности излома для нахождения ско-
скорости и ускорения трещин.
Большая часть изложенного в книге материала относится к
проблеме вычисления предельных нагрузок для тел с трещинами,
т. е. первой из перечисленных задач механики хрупкого разру-
разрушения. Прежде всего это связано с ростом перегрузок разного
вида, которые приводят к необходимости считаться с наличием
трещин и вводить их в расчет при оценке запасов и надежности
сооружения. Кроме того, не малую роль играет прогресс в соз-
создании новых материалов и сплавов, обладающих все более высо-
высоким потолком прочности. Если для технического конструкцион-
конструкционного железа (литое железо) в течение XIX века предел прочности
2*
19
поднялся приблизительно с 300 до 400 Н/мм2, то в настоящий мо-
момент имеются сплавы с пределом прочности порядка 2000—
3090 Н/мм2. Уже сейчас можно с уверенностью сказать, что в
последующие десятилетия вполне достижимы прочности порядка
4000—6000 Н/мм2. При атом физические и меха1ндаоески.е теории
прочности и разрушения, к которым прежде всего относятся тео-
теория дислокаций и теория макроскопических трещин, оказывают
существенное влияние на выбор пути по созданию все более
прочных сплавов в металлургии и металловедении.
§ 2. Поля напряжений и смещений в окрестности-
кончика трещины
Прежде чем перейти к решению задачи, указанной в назва-
названии параграфа, напомним некоторые основные соотношения тео-
теории упругости, необходимые в дальнейшем.
Значительные математические трудности, связанные с реше-
решением общих уравнений теории упругости, привели к необходи-
необходимости построения решений для более или менее широких классов
частных случаев. Таковым, например, является класс «плоских
задач теории упругости», включающий в себя два практически
важных случая: а) деформация длинного цилиндра одинаковыми
во всех плоскостях усилиями, приложенными к его боковой по-
поверхности и лежащими в плоскостях, перпендикулярных образу-
образующим цилиндра, и б) деформация пластины усилиями, лежащи-
лежащими в ее плоскости и приложенными к ее периметру.
В курсах теории упругости дается вывод уравнений равнове-
равновесия плоской задачи теории упругости (в этом случае имеем три
уравнения равновесия в пренебрежении массовыми силами и
инерционными членами). Приведем полную систему, которая за-
замыкается законом Гука для изотропного тела при плоской де-
деформации:
?^Ел.?Ь1-0 д°У i dX*v -О
дх + ду "~и' ду + дх ~"и'
ох = Л6 + 2[хел, ау = кв + 2цеу, Хху = %уХ = цуху,
_ди ди _ ди ди B.1)
Iп ди , dv
{Q = Zx + By==-+-
Последние соотношения в B.1) получены в предположении
«малой деформации», т. е. таких изменений в теле, когда произ-
производные компонент смещения по х и у настолько малы, что
их квадратами и произведениями можно пренебречь.
Система пяти уравнений B.1) с частными производными пер-
первого порядка относительно пяти неизвестных функций о,, аУ1 xw,
20
и, v есть система основных уравнений плоской теории упру-
упругости1).
Пользуясь группой формул B.1), легко вывести как систему
уравнений, содержащих только смещения
^ + ^-O, B.2)
так и уравнения, содержащие только напряжения, для чего к
первым двум соотношениям B.1) нужно добавить еще одно урав-
уравнение
=О. B.3)
Если воспользоваться представлением компонент напряжений
и перемещений через функцию напряжений Шж, у)л введенную
в 1862 г. английским астрономом Эри,
д2и
то из B.3) следует, что U(x, у) — бигармоническая функция:
Любую бигармоническую функцию можно выразить через ана-
аналитические функции комплексного переменного. В частности,
Э. Гурса A898 г.) предложил следующее представление бигармо-
нитеской функции через две аналитические функции ф, % комп-
комплексного переменного:
U = 1( гф + zcp + X + ОС)- B-4)
Из приведенных выше соотношений и B.4) следует комплекс-
комплексное представление решений плоской задачи теории упругости,
что лежит в основе развитых Г. В. Колосовым и Н. И. Мусхе-
лишвили методов приложения ТФКП в теории упругости.
Приведем выражения для - комплексного представления сме-
смещений и напряжений, полученные Г. В. Колосовым в 1909 г.
[84, 187]:
ах + о, = 2[ФЫ + ФЫ], фЫ = %'(z\
y^2izO'(z) + W{z)l, ФЫ = ф'Ы, ?(*)-*'(*),
B.5)
2jui(i* + iv) = хфЫ — ztp'iz) —
') В случае длинного цилиндра присутствует еще компонента а* =
= Я6 = v(ox 4- Оу) (v — коэффициент Пуассона), которая, однако, сразу оп-
определяется после решения системы уравнений в целом. Кроне того, в слу-
2к
1* 2кУ
чае плоской пластины вместо а входит упругая постоянная А* = а ¦ rf- =
es.- з (л, ц — постоянные упругости Ламэ).
21
Здесь % =* *" ** =3 — 4v для илоской деформации, и = <х^\_^=
= . , для плоского напряженного состояния. Соотношения
B.5) в несколько измененном виде могут быть представлены так:
ах + ау = 2 [Ф (z) -!¦ Ф~Щ] = 4 Re [Ф(z)],
—г)Ф'B), B.5')
ii> = tj-[и<р (z) — (o(z) — (z —
Здесь введены следующие соотношения (с отражает смещение
тела как целого):
to (z) = J Q @ dl + с, с = а + *6.
о
Можно показать, что при любых значениях (pU) и i})(z) оп-
определяемые из B.5) функции ах, <JV, %ч,, и ж v удовлетворяют
основным уравнениям B.1). Другими словами, B.5) есть общее
решение плоской задачи B.1) теории упругости. Однако при
решении практически важных задач приходится налагать неко-
некоторые дополнительные условия на рассматриваемые величины па
границе области, что приводит к так называемым краевым за-
задачам, а соотношения B.5), несмотря на свою общность, не яв-
являются конкретным решением этих краевых задач.
Два специальных случая соотношений B.5) связаны с именем
Вестергарда [432, 433]. Если полошить, например, что
Ф B) = i-Z^*), ? (z) = - 4 zZ\ (Z), B.6)
то из соотношений B.5) получаем
ох + оу = 2 Re Zlt (Sv — ax-= 2y Im z[, xxy = — у Re Z[. B.7)
Доставляемое этими уравнениями решение обладает тем свой-
свойством, что при у = 0: хХу = 0 и ах — ау.
Если воспользоваться законом Гука и выразить из B.1) сме-
смещения м, и через напряжения, определяемые соотношениями
B.7), то получим следующие выражения для случая плоской
деформации (ег = 0) :
B.8)
Пусть теперь
ф (Z) = - ! tz2 (Z), T (*) - -|izZ'2
22
Тогда из тех же соотношений B.5) будем иметь
ах 4- Gy = 2 Im Z2, oy — ax = — 2 Im Za — 2# Re Z2f
тжу = Re Zt — у Im Za-
B.10)
Это решение обладает тем свойством, что вдоль линии у = 0
оу = 0. Аналогично предыдущему определяем смещения
Е
v —
Е
- v) ImZ°
[_ A - 2v) Re Z§ - у ImZ2].
Я.-Т7 ,
B.U)
Одной из важнейших особенностей при расчетах на прочность
элементов конструкций и сооружений с трещинами является
учет возникающего перераспределения напряжений в результате
образования щелей и трещин под действием внешних нагрузок.
У
I Ж Ж
Рис. 2.1. Основные виды смещении поверхности трещины.
При этом именно кончик трещины является местом создания наи-
наибольшей концентрации напряжений и исходной точкой вероят-
нейшего дальнейшего разрушения. Поэтому особое значение
приобретает вопрос исследования напряженного состояния у кон-
кончика (вершины) трещины. Самый общий случаи полей деформа-
деформаций и напряжений у кончика трещины можно получить путем
взаимного наложения напряжений следующих частных видов де-
деформаций (рис. 2.1). Первый вид Ш связан с отрывным смеще-
смещением, при котором поверхности трещины прямо расходятся одна
от другой во взаимно противоположных направлениях (симмет-
(симметрично относительно плоскостей ху и xz). Второй вид (//) соот-
соответствует перемещениям, при которых поверхности трещины
скользят друг по другу (симметрично плоскости ху, но кососим-
метрично относительно плоскости xz — поперечный сдвиг). Тре-
Третий вид (///) связан с антиплоской деформацией (разрезание
ножницами), при которой одна поверхность скользит по другой
параллельно направляющему фронту трещины (кососимметрич-
23
ная деформация относительно плоскостей ху и xz — продольный
сдвиг).
Вернемся теперь к решениям Вестергарда и выберем функ-
функцию Zu аналитическую во всей области, за исключением неко-
некоторого отрезка действительной оси, в следующем виде:
Это выражение в случае достаточно гладкой функции g(z) обес-
обеспечивает решение задачи о трещине, расположенной вдоль дей-
действительной оси а < х < Ь, у= О, так как на этом отрезке av =
= Taq, ~ 0. Отсюда следует, что
0 (а<х<Ь). B.13)
Например, функция, дающая решение задачи о трещине, растя-
растягиваемой на бесконечности нормальным напряжением р и сво-
свободной от напряжений на интервале — I < х < I, у = О, имеет вид
B.14)
pz
Сделаем теперь в выражении B.12) замену переменной | —
= z — Ь, тогда
(I/2. B.15)
В окрестности кончика трещины х = Ь, т. е. при малых зна-
значениях |||, из B.12) и B.13) следует, что функция /(^.доста-
/(^.достаточно гладкая, п ее при 111 -»-
-*• 0 можно заменить действи-
действительной ПОСТОЯННОЙ Zt I |!|_*о =
= Kj^2n\. Отсюда следует
¦уж
Подставим B.16) в B.7)
и перейдем в этих соотно-
соотношениях к полярным коорди-
координатам 1 = ге'9 (рис. 2.2). Тог-
Тогда, отбрасывая члены более
высокого порядка по сравне-
сравнению с г, легко получаем
формулы для полей напря-
напряжений, дающие хорошее приближение в области, где г мало по
сравнению, например, с длиной трещины *)
Рис. 2.2. Система координат и ком-
компоненты напряжений у кончика тре-
трещины.
') Все приводимые ниже формулы отвечают случаю плоской деформа-
деформации (w = 0). В случае плоского напряженного состояния (oz = 0) коэффл
циент Пуассона в смещениях заменяется соответствующей величиной
(а именно, v-»-v/(l — v)).
24
. e . зе
sm YsmT
_ . I 6 14 . ' 8 *
ry - :-7===rcos-2 ^l+sinysm-^;, B1?)
<rz = v (cyx + cfy),
Ki ¦ в е зе n
у 2лг ^ * ^
Смещения в окрестности кончика трещины получим в резуль-
результате подстановки B.16) в B.8) и перехода к полярным коорди-
координатам:
B18)
Соотношения B.16), B.17) и B.18) представляют собой асимп-
асимптотические выражения полей напряжений и деформаций в окре-
окрестности кончика трещины для первого вида деформаций, связан-
связанного с отрывным смещением.
Перейдем ко второму виду деформаций, при котором поверх-
поверхности трещины скользят друг по другу. Аналогично предыдуще-
предыдущему заключаем, что при ||| -*¦ 0 в окрестности кончика трещины
ZJ 161-и, в-?п/Т2я1, откуда
УЩ Z2. B.19)
Подставив B.19) в B.10), B.11), получаем в полярных ко-
координатах следующие асимптотические представления для этого
случая деформации:
ки . 0 (п , в 30\
^и в . 9 30
a v = —7= cos -5- sin -5- cos-^,
У2яг 2^2 B.20)
ог = у(ох + a v),
% в Л . 6 . Зв
== V,
25
Если рассмотреть плоскую задачу в целом и воспользоваться
соотношениями B.5'), то коэффициенты интенсивности 'напря-
'напряжений определяются следующим выражением:
iKu = lim [ У2пх(ау + ixxv)].
+
Последний из указанных выше частных случаев связан с ан-
антиплоской деформацией, при которой одна поверхность скользит
по другой параллельно фронту трещины. В этом случае w =
= w(x, у) — единственная отличная от нуля компонента смеще-
смещения (и = v = 0), а уравнения равновесия и закон Гука прини-
принимают следующий вид:
^Г + ^ = 0, B.22)
- р?. B.23)
откуда следует, что при подстановке B.23) в B,22) смещение
удовлетворяет уравнению Лапласа
Аш = 0. B.24)
Если выбрать w=w{x, у) в виде
w-llmZ,, B.25)
И1
то из B.23) получаем
%xz = Im Z'3, хщ = Re Z'3. B.26)
В окрестности кончика трещины (у = 0, х < 0) с вершиной
в точке х = у = 0 функция напряжений Z3 имеет вид Z31 цК0 =
= ?Ш/У2я1, откуда
/fZ8. B.27)
Подставив B.27) в B.25), B.26), получаем выражения для
смещений и напряжений у кончика трещины в случае антипло-
антиплоской деформации:
^ш . в ^ттт в
B.28)
w — Iliii I/ — «in — и — v — 0 B 2<)\
Полученные соотношения содержат величины Я^ /?п, Кпи
называемые коэффициентами интенсивности напряжений для
26
трех указанных выше видов деформаций. Эти коэффициенты
шграют исключительно важную роль в механике хрупкого раз-
разрушения (см. главу II).
Часто коэффициенты интенсивности напряжений обозначают
символом К без индекса вида деформаций, имея при этом в виду,
что вид деформации либо ясен из задачи, либо коэффициент мо-
может быть отнесен к любому виду.
§ 3. Концепция Гриффитса — Орована — Ирвина. Устойчивое
и неустойчивое развитие трещины
Для суждения о прочности тела недостаточно располагать
решением теории упругости или пластичности о концентрации
напряжений около надрезов или трещин. Необходимы еще так
называемые критерии прочности, которые устанавливают момент
(или процесс) исчерпания несущей способности материала в точ-
точке или же, в других трактовках, всего тела в целом. Формули-
Формулировка этих критериев такова, что соответствующие, соотноше-
соотношения обязательно содержат некоторые постоянные материала (или,
возможно, образца вместе с испытательным устройством), опре-
определяемые экспериментально. К этим постоянным прежде всего
относятся такие известные механические характеристики мате-
материала, как предел текучести, прочности, истинное сопротивление
разрыву и т. п., методика определения которых на гладких об-
образцах стандартизована.
Процесс разрушения складывается из двух стадий — зарож-
зарождения трещины и ее распространения, причем каждая из этих
стадий подчиняется своим законам. Естественно, что среди кри-
критериев прочности есть такие, которые описывают как условия
зарождения трещины, так и условия распространения трещины.
Первые из них фактически есть условия- наступления опасного
состояния в точке в рассматриваемый момент (классические тео-
теории прочности, о которых упоминалось в § 1). Вторые исходят
из наличия в теле трещины (им посвящены этот и следующий
параграфы главы).
Критерий начала распространения трещины (иногда называе-
называемый критерием разрушения), составляющий основу механики раз-
разрушения, не следует из уравнений равновесия и движения ме-
механики сплошной среды. Он является дополнительным (по от-
отношению к уравнениям теории упругости) краевым условием при
решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной.
Предельное состояние равновесия считается достигнутым, если
трещиноподобпый разрез получил возможность распространять-
распространяться. При этом разрез становится трещиной. Из последнего опре-
определения видно, что трещина — это есть тонкий разрез (щель),
который способен распространяться (увеличивая свою поверх-
27
ность) в объеме тела под действием внешних воздействий1). Роль
внешних воздействий, которые могут зависеть от времени, игра-
играют механические усилия, температурные напряжения, коррози-
коррозионное и поверхностно-активное воздействие окружающей среды,
изменение свойств материала.
Критерии начала распространения трещины могут быть по-
получены как на основе энергетических соображений, так и сило-
силовых. Исторически сложилось так, что сначала А. А. Гриффитсом
[347] в 1920 г. был предложен энергетический критерий разру-
разрушения, а силовой критерий был сформулирован Дж. Р. Ирвином
[355] лжшь в 1957 г. Ирвин также показал эквивалентность этих
двух критериев.
Сущность этих подходов состоит в следующем. Пусть имеется
идеально упругое тело с начальным разрезом. Для того чтобы
этот разрез стал распространяться, увеличивая свою поверхность,
требуется израсходовать энергию, равную по величине работе,
которую надо затратить, чтобы обеспечить целостность материа-
материала перед кромкой разреза. Эту.работу (с обратным знаком) мож-
можно назвать работой разрушения. Одновременно с образованием
новой поверхности, свободной от нагрузок, в некотором объеме
тела уменьшается деформация. Это приводит к соответствующе-
соответствующему выделению из тела упругой энергии, Таким образом, на ос-
основании закона сохранения энергии, в пренебрежении иными
возможными потоками энергии, при развитии трещины на вели-
величину 65 соблюдается энергетическое условие вида
5Г = G8S. C.1)
Здесь 6Г — работа разрушения, необходимая для образования
новой поверхности разрыва площадью 65, G — поток энергии в
вершину трещины, отнесенный к единице площади трещины или,
иными словами, интенсивность освобождающейся упругой
энергии.
Гриффите предполагал, что величина б Г есть поверхностная
энергия твердого тела, имеющая ту же физическую природу, что
и для жидкости. Однако впоследствии выяснилось, что затраты
энергии при создании новых поверхностей при развитии трещи-
трещины связаны главным образом с работой пластической деформа-
деформации объемов материала, расположенных перед фронтом трещины.
Если линейные размеры этих объемов малы сравнительно с дли-
длиной трещины, то поток упругой энергии по-прежнему можно вы-
вычислить, сообразуясь только с упругим решением, а затрату энер-
энергии на разрушение относить теперь к работе пластической
деформации. В этом состоит концепция квазихрупкого- разруше-
1) Часто трещиной именуют математический разрез в теле или дефект
в металле, для которого не соблюдаются условия предельного состояния рав-
равновесия. Это оправдано лишь соображениями краткости и, возможно, удоб-
удобства.
28
тш Е. О. Орована [382, 383] и Дж. Р. Ирвина [354, 355]. Эта
концепция явилась крупным вкладом в процесс перехода от иде-
идеального материала в схеме Гриффжтса к реальным металличе-
металлическим материалам. Благотворность этой концепции объясняется
тем, что разрушение реальных конструкций практически всегда
происходит квазихрупким образом — макрохрупкий излом содер-
содержит значительные остаточные деформации вблизи поверхности
разрушения. Таким образом был открыт путь применения теории
разрушения Гриффитса к решению инженерных проблем. Энер-
Энергия Г обеспечивает существование твердого тела как единого
целого, а при образовании новых поверхностей (из начального
разреза) можно считать, что энергия Г имеет поверхностную
природу и поэтому
6Г = 2-f 65. C.2)
Здесь у — интенсивность поверхностной энергии, затрачиваемой
на разрушение.
Балапс энергии C.1) имеет один и тот же вид, независимо
от способа приложения внешней нагрузки — будет ли это случай
фиксированных точек приложения внешних сил (захватов), слу-
случай фиксированного значения внешних сил или какой-то проме-
промежуточный случай *);
Если захваты фиксированы, не смещаются, то работа внеш-
внешних сил равна нулю, и отсюда непосредственно следует равен-
равенство C.1). Потенциальная энергия деформации тела W умень-
уменьшается иа величину G, целиком расходуемую на разрушение.
Если захваты в результате роста трещины смещаются при
постоянных внешних силах, то правая часть равенства C.1) есть
разность между работой внешних сил и энергией деформации.
Эта разность положительная и равна G [249]. Баланс энергии
по-прежнему сохраняет вид C.1).
В обоих экстремальных случаях величина G одинакова и
равна
G = ±dWM. C.3)
Здесь знак плюс относится к случаю постоянной силы, а знак
минус — к фиксированным захватам.
Поток энергии в вершину трещины можно вычислить, если
на продолжении рассматриваемого разрега ввести мысленный
разрез, на поверхностях которого действуют сильно меняющиеся
напряжения, возникающие в сплошной среде около кромки раз-
разреза от воздействия внешней нагрузки. При продвижении рааре-
за на единицу площади указанные поверхности мысленного раз-
разреза отходят одна от другой и работа сил Gydx на перемещениях
(') В случае жесткого нагрушения точки приложения внешних сил пег
смещаются при изменении самих сил, а в случае податливого нагружения
(при смещении точек приложения) внешние силы остаются постоянными.
29
v дает искомый поток энергии
G — — lim -тг \ oy2v dx.
C.4)
Схематично это продвижение разреза показано на рис. 3.1.
Асимптотическое выражение для напряжений и смещений в
окрестности конца неподвижного разреза, как следует из соотно-
_О ,
х
а>
Ряс. 3.1. Схематическое изображение конца трещины до ее продвижения на
отрезок а (а) и после (б).
шений B.17) при 6 = 0 и B.18) при 6 = я (г = а — х), имеет вид
К
]/2nx
v =
4A-Vя)
Е
К
— х
У 2я
C.5)
После подстановки C.5) в выражение C.4) и интегрирования
получаем в случае плоской деформации
G = (l -v^) ^,
a в случае плоского напряженного состояния
C.6)
C.7)
Отметим, что для идеального упругого тела коэффициент К
не зависит от степени стеснения поперечной (вдоль фронта тре-
трещины) деформации, поскольку значение G при плоской дефор-
деформации в A — v2) ,раз меньше, чем при плоском напряженпом со-
состоянии *).
Таким образом, приходим к двум эквивалентным формули-
формулировкам критерия разрушения. Трещина получает возможность
распространения в том случае, когда
1) интенсивность освобождающейся энергии G достигает кри-
критической величины Gc — б Г/65 = const;
') При плоской деформации перемещение меньше, чем при плоском на-
напряженном состоянии (при одинаковой нагрузке).
30
2) коэффициент интенсивности напряжений К достигает кри-
критической величины Кс = const.
Итак, энергетический критерий начала роста трещины имеет
вид
G = Ge. C.8)
Силовой критерий
К = КС. C.9)
Заметим, что соотношения C.6), C.7) справедливы также и
для критического состояния (Gc и KJ, где Gc — удельная (эф-
(эффективная), работа разрушения, а ^ — критический коэффици-
коэффициент интенсивности напряжений. Часто обе эти величины назы-
называют вязкостью разрушения*
Эти формулировки справедливы для идеального упругого раз-
разрушения (при ау -*- °° у конца трещины в линеаризованной по-
постановке задачи теории упругости) и ими, вообще говоря, исчер-
исчерпывается собственно линейная механика развития трещин.
В действительности для большинства реальных материалов в
малой области конца разреза из-за больших напряжений возни-
возникает зона проявления нелинейных свойств материала, в которой
распределения напряжений и смещений отличаются от упругого.
В схеме квазихрупкого- разрушения (Орован, Ирвин) принимает-
ся, что зона нелинейных эффектов мала по сравнению с длиной
трещины. Это позволяет считать, что и размер данной зоны,
и интенсивность пластических деформаций
в ней целиком контролируются коэффици-
коэффициентом интенсивности напряжений, пределом
текучести и коэффициентом упрочнения,
а поле напряжений вокруг пластической об-
области описывается асимптотическими фор-
формулами.
Следовательно, для квазихрупкого раз-
разрушения обе формулировки критерия раз-
разрушения сохраняются. В дальнейшем мы не
будем делать существенного различия меж-
между хрупким и квазихрупким (в указанном Рис 32 Растянутая
смысле) разрушением и для обоих случаев плоскость с одиноч-
будем пользоваться термином хрупкое раз- ной трещиной,
рушение.
Для иллюстрации концепции Гриффитса — Орована — Ирви-
Ирвина найдем критическое напряжение в задаче Гриффитса, кото-
которая ставится следующим образом.
Дапа неограниченная плоскость, ослабленная одиночной пря-
прямолинейной трещиной у = 0, \х\*^1 (рис. 3.2). Плоскость растя*
гивается равномерным на бесконечности напряжением а в на-
направлении оси у (перпендикулярно линии трещины). Предпола-
Предполагается, что растяжение в направлении линии трещины (вдоль
оси х) не оказывает влияния на условия распространения тре-
31
C
щины. Требуется установить, при каком значения внешнего на-
напряжения о трещина данной длины 21 станет неустойчивой, т. е.
начнет быстро распространяться при постоянной внешней на-
нагрузке.
Потенциальная энергия деформации пластинки без трещины
естественно больше потенциальной энергии пластинки с трещи-
трещиной, поскольку вокруг трещины существует зона уменьшенных'
напряжений (так как на свободных поверхностях трещины на-
напряжения равны нулю). Пусть точки приложения внешних сил
не смещаются с ростом трещины и, следовательно, работа внеш-
внешних сил при этом равна нулю.
В результате наличия трещины потенциальная энергия пла-
пластинки уменьшается на величину
2;2
уу = Wqq3 разреза "с разрезом — —^—• C.10)
Последний результат получен из решения Инглиса A912 г.)
о растяжении плоскости с эллиптическим отверстием.
Компоненты напряжений и перемещения при растяжении
поперек большой оси эллиптического отверстия можно получить,
зная потенциалы Мусхелишвили [187]
В решении была использована функция
отображающая внешность эллиптического отверстия на внутрен-
внутренность единичного круга. Здесь приняты обозначения
„ о-(- Ь а — Ъ 1 — к , Ь
2' c-f-61-Ьй' а'
а — угол наклона растягивающего напряжения а к оси х, совпа-
совпадающей с большой осью эллипса, а, Ъ — большая и малые полу-
полуоси эллиптического отверстия.
Из этого решения можно найти потенциальную энергию де-
деформации
W = j[^
v
Ч
v
Устремляя отношение полуосей Ь/а к нулю, получаем реше-
решение задачи теории упругости для растяжения плоскости с тон-
тонким разрезом.
32
Функции Мусхелшпвили в этом случае имеют вид
где Z = а — полудлина разреза.
При этом напряжения на линии разреза будут:
о-х = —о-, 0У — тху = 0 (ж < /).
Если пластинка с разрезом находится в поле равномерного
двухосного растяжения, то н# оси х
l1 (х>1), ах=оу=0 (
ах = ау = и f (х>1), ах=
?
Если пластяпка с разрезом нагружена, давлением, распреде-
распределенным по поверхности разреза, то на оси: х
Озг = Ои =
Перемещения на поверхности разреза (при х<1) во всех этих
трех, случаях равны между собой (при с^р), а именно:
Отсюда видно, что граница разреза в результате деформации
принимает форму эллипса
Формулу C.10) можно получить, воспользовавшись теоремой
Клапейрона:
Как отмечалось, Гриффите предложил для решения постав-
поставленной задачи энергетическую формулировку критерия разру-
разрушения на основе закона сохранения энергии: трещина начнет
распространяться, когда приращение поверхностной энергии (при
вариации длины трещины Ы > 0) компенсируется соответствую-
соответствующим выделением потенциальной энергии деформации (при от-
отсутствии других видов энергии):
0. (ЗЛО
3 В. 3. Партон, Е. М. Морозов 33
Для пластины единичной толщины
ft T1 ^* / f iv р 1 ж я « О Т^ГТ ** 1 3Ij w V I ft 7 мЗХО If О 7
^J_|_ L!_aai ^™~ I ?j I' fr I v if " * ^t f Up • (J r f S553 - I ' "~ ' ¦¦¦¦'¦'j11' ¦ I ^J fo " '¦» " " ™~™^"^J^^^~ ^J ? #
Здесь принято, что работа внешних .сил равна нулю, а тело с
трещиной — идеально упругое во всех своих точках. Левая часть
равенства C.11) представляет собой приращение внутренней
энергии тела. Приращение поверхностной энергии положитель-
положительно, так как внутренняя энергия увеличивается. Приращение по-
потенциальной энергии деформации отрицательно, так как внут-
внутренняя энергия уменьшается (вследствие релаксации напряже-
напряжений в связи с появлением новых, свободных от нагрузок, поверх-
поверхностей тела).
Условие C.11) перепишется в виде
Отсюда получаем формулу Гриффитса для критического папря-
жения при плоском напряженном состоянии
(ЗЛ2>
При плоской деформации
о" = л[ ,,2Дтаь. C-13)
Решим теперь эту же задачу с помощью силового критерия
Ирвина C.9). По определению (см. B.17)) коэффициент интен-
интенсивности напряжений для растянутой плоскости с одиночной
трещиной равен
К = Km /2л (х — I) (Ту (л:>*,у = О). C.14)
Подставив сюда выражения оу для любой из указанных трех
схем нагружения плоскости, находим
К = о lim /2я (х — /) гх _ = о /яг. C.15)
у х2 I*
Условие наступления критического состояния C.9) примет вид
откуда найдем критическое напряжение
Сопоставив критическое напряжение C.12) с напряжением C.16),
приходим к ранее полученному соотношению C.7) в случае кри-
критического состояния.
Выведем формулу для потока упругой энергии G в вершину
трещины (формула податливости Ирвина). Пусть дано упругое
тело, на которое действует внешняя сила Р, В связи с прира-
приращением длины трещины на dl точка приложения силы сместится
на величину dA, и сила Р произведет работу PdA. Энергия W
упругой деформации, накопленная к этому моменту, будет равна
7аРА, где полное смещение А определяется для тела с тре-
трещиной данной длины I. При этой длине трещины сила Р и сме-
смещение Д связаны линейной зависимостью А = кР, где А, — по-
податливость тела при заданной длине трещины. Поскольку W есть
функция рассматриваемого состояния, то ее можно вычислить
через величины, относящиеся к рассматриваемому моменту, т. е.
через Р и А (а значит и к при фиксированном I), несмотря на
то, что % есть функция длины трещины. Поток энергии в вер-
вершину трещины равен
Gdl ^
откуда поток на единицу толщины
r dW
dA
Подставив сюда W= -^PA
. G = — 44
= — Р*% и величину А = КР, получаем
ж
ж
ж -
Итак, метод податливости (вытекающий из формулы подат-
податливости Ирвина) заключается в измерении податливости образца
с разными длинами трещины % =
= ХA) и в последующем вычисле-
вычислении производной dX/dl (например
графически по кривой Ш)). Пос-
После этого поток энергии в вер-
вершину трещины на единицу тол-
толщины образца можно найти по
формуле
G*~-rs- C-17)
/¦¦
В качестве примера рассмот- *"• ЗД ^*~ш*Ъ обра-
рим образец в виде двухконсоль-
ной балки длиною Ь (ДКБ-образец, рис. 3.3). Конфигурация об-
образца такова, что оба его плеча можно рассматривать как кон-
консольные балки, нагруженные на свободном конце изгибающей
силой. Из сопротивления материалов [38] известно, что прогиб
такой балки равен Р1ЧШЗ). Отсюда находим перемещение верх-
3* 35
него конца относительно нижнего (сечение — прямоугольник)
Eth3 I Etk3
По формуле C.17) имеем
tT~~2t dl 2t* Ehr
Коэффициент интенсивности напряжений в ДКБ-образце по фор-
формуле C.7) будет
C.18)
Эта приближенная формула тем точнее, чем длиннее плечи об-
образца.
В заключение этого параграфа отметим, следующее. По до-
достижении телом предельного состояния равновесия рост трещи-
трещины может быть как устойчивым, так и неустойчивым.
В устойчивом состоянии трещина неподвижна при постоян-
постоянной внешней нагрузке, и для роста трещины на малую величину
площади (или длины) требуется также малое приращение ве-
величины параметра внешней нагрузки. Следовательно, если из
критерия разрушения найдена связь между параметром внешней
нагрузки Р и длиной трещины Z, то для устойчивой трещины
справедливы неравенства
f >0 или f<0. C.19)
Если коэффициент К растет с ростом и силы, и длины тре-
трещины, то из условия постоянства К в предельном состоянии,
следует второе неравенство в (ЗЛ9).
В неустойчивом состоянии равновесия т.рещина начинает дви-
двигаться по достижении нагрузкой критического значения, опре-
определяемого из критерия разрушения. В закритической области
трещина может распространяться при постоянной нагрузке. Об-
Область, неустойчивых состояний равновесия характеризуется нера-
неравенствами
f<0 или ^>0. C.20)
С точки зрения предотвращения полного разрушения важно
знать, к какому виду равновесия относится предельное состоя-
состояние. Если предельное состояние равновесия устойчиво, то нет
опасности немедленного полного разрушения детали. Если же
предельное состояние неустойчиво, то такую трещину допускать
нельзя, во всяком случае без дальнейшего более подробного ана-
анализа. Выбор допуска на размер начальной трещины в большой
мере зависит от вида предельного состояния равновесия.
3G
§ 4. Интегральный вариационный принцип теории трещин
Покажем возможность использования энергетического крите-
критерия равновесия для решения задач теории трещин в идеальном
упругопластическом теле [150, 156]. Рассмотрение проведем для
случая, когда пластическая деформация сосредоточена в узкой
зоне перед кромкой трещины [209, 328, 3423. Пусть толщина
У
Zu<x)
Q
Рис. 4.4. Трещина при плоском напряженном состоянии с пластической зо-
зоной у вершины; а) упругопластическая задача, б) упругая задача.
этой зоны порядка упругих смещений (рис. 4.1, а). Трещины с
тонкой пластической зоной перед кромкой рассматриваются для
удобства дальнейшего анализа1), при котором проблема сводится
к решению упругой задачи вместо упругопластической. Это све-
сведение основано на том, что тонкая пластическая зона может
быть в линеаризованной постановке схематически заменена до-
дополнительным разрезом, по берегам которого приложены усилия,
заменяющие собой действие пластически де-
деформированного материала (рис. 4.1, б).
Обратим внимание на то обстоятельство,
что в рассматриваемой модели область пла-
пластических нелинейных эффектов (размером
d, рис. 4.1, а) меняется с изменением внеш-
внешней нагрузки и представляет собой пла-
пластически деформированный материал, на-
напряженное и деформированное состояние в котором следует оп-
определять из решения унругопластической задачи. По предполо-
предположению в симметричной задаче толщина пластической зоны 2v(x)
достаточно мала для возможности линеаризоданной постановки
Рис. 4.2. Трещина с
пластической зоной,
не имеющей форму
полосы.
х) Возможен также более общий случай, когда пластическая зона перед
концом трещины не является тонкой (рис. 4.2). Здесь однако, этот случай
не рассматривается.
37
задачи, но в то же время она велика по сравнению с межатом-
межатомным расстоянием.
Подтверждением предложенной идеализации задачи является
то, что узкие и длинные пластические зоны (d ~ I) перед концом
трещины экспериментально наблюдались при растяжении пла-
пластин с трещиной (см. § 25) [29, 85, 119, 320]. Размер d пласти-
пластической зоны не ограничен какими-либо пределами, и при до-
достаточно малой длине трещины возможно наступление общей
текучести в данном сечении тела, при котором d-*-°°.
Критерий равновесия, выражающий собой закон сохранения
энергии при действительном или возможном приращении пло-
площади трещины, может быть записан в виде [171, 265]
Г = 8Л. D.1)
Здесь 6-4 — механическая работа внешних сил, 8W — объемная
потенциальная энергия упругой деформации тела, б Г — работа
разрушения. Поскольку рассматриваемая задача предполагается
квазистатической, то кинетическая энергия принята равной ну-
нулю. Кроме того, условие D.1) записано в предположении отсут-
отсутствия тепловых потоков и других видов энергии.
В рассматриваемом случае затрата энергии на создание новых
поверхностей разрыва, т. е. работа разрушения, фактически оп-
определяется работой пластической деформации 6WP, т. е. 6Г =
= 6WP. Эта работа разрушения отличается от работы разруше-
разрушения упругого тела тем, что здесь 6Г целиком определяется за-
затратой энергии на работу пластической деформации, в то время
как для хрупкого тела по определению d = 0. Поэтому, в отличие
от идельно упругого тела, плотность работы разрушения для
рассматриваемой модели нельзя, вообще говоря, считать посто-
постоянной материала: в этом случае величина f •= AWpf&S (работа
пластической деформации на. единицу площади вновь образую-
образующейся поверхности) зависит от способа приложения внешних
нагрузок, от формы и размеров тела, в частности, от размеров
трещины.
К вариационному условию D.1) следует добавить три допол-
дополнительных условия для 1) определения размера d пластической
зоны перед кромкой трещины (например, плавность смыкания
границ пластической зоны на ее конце или, что то же самое,
непрерывность напряжений на этом конце); 2) определения на-
напряжений aoi на поверхности дополнительного разреза (напри-
(например, либо решение самостоятельной упругопластической задачи
для окрестности кромки трещины с использованием известных
условий пластичности [378], либо задание этого напряжения, ко-
которое может быть разным, в частности, постоянным и равным
пределу текучести); 3) фиксации предельного значения 6tWp, что
необходимо для изучения трещин, способных распространяться,
ибо в противном случае будет упругопластическая задача для
неподвижного разреза (например, равенство наибольшего рас-
38
хождения между границами пластической зоны некоторой посто-
постоянной материала бс). -
Пусть дано тело с трещиной, находящееся в равновесии под
действием заданных нагрузок q% на поверхности тела 23 и на по-
поверхности трещины S = S'1' + S~. Работа внешних сил равна
2 S++S-
Здесь Ui — компоненты вектора перемещений. Цифровой индекс
указывает номер состояния введенного ниже, а верхние индексы
«плюс», «минус» отмечают противоположные берега трещины;
варьируется площадь трещины.
Не нарушая напряженного и деформированного состояния
упругой части тела, мысленно проведем разрез вдоль пластиче-
пластически деформированной области перед кромкой трещины (первое
состояние). Тогда останется упругое тело с разрезом, поверхность
которого включает в себя поверхность трещины S и поверхность
границы пластической зоны Q, на которой распределено постоян-
постоянное напряжение оо. При этом [346]
\o. D.3)
Q
Здесь перемещение z% определяется с учетом третьего из выше-
вышеуказанных дополнительных условий.
Для первого состояния имеем
= у j qibunda 4- у б J qiu^da + у 6 ] oQiun(k>. D.4)
6W
Для практических приложений удобно преобразовать интеграл
по 2. С этой целью введем согласно [333, 373] второе состоя-
состояние — такое же тело с нагрузками gf на S с разрезом S + Q,
на поверхности которого действуют напряжения /?*, обеспечиваю-
обеспечивающие деформацию тела как сплошного.
Очевидно, что р% есть компоненты тензора напряжений, по-
полученного из решения задачи теории упругости для сплошного
тела, располагающиеся на поверхности S + Q и имеющие обрат-
пый знак. Компоненты упругого решения, относящиеся к этому
состоянию, отметим верхним индексом «градус». Тела в обоих
состояниях одинаковые и упругие, что позволяет записать тео-
теорему Бетти [122]:
у J qnu°d0= J
2+S+Q 2+S+fl
Отсюда, учитывая, что ' (о^и°+ + ^iu{~)dx3 = 0 (так как
и\+ = щ~, a o-J = — о-^), q{ = gu = q\ на S и q° — рг на S + Q,
39
получаем полезное соотношение
* = J ЧгЩ&з + J (дг^°+ + яТщ~) da —
— J {ptufi + Pi"^ii) da ~ J (р+и? + рТщх) da.
S++S* Q++Q-
Варьированное состояние представляет собой тело с преж-
прежними внешними нагрузками, но с другой длиной (для плоского
тела) основного и дополнительного разреза. Для этого тела урав-
уравнения теории упругости остаются в силе. Применим опять опе-
операцию с теоремой Бетти и вычисляя соответствующую разность
энергий, получаем
6 1 QiUuda — 6 \ qiU°da — б J р{щ^а.
2 2+S S+Q
Это соотношение используем для приведения формул D.2) и D.4)
к другому виду, учитывая, что I PiUida = 0. Имеем
J
s++s-
s++
_1б j {otiufi + G^uTi) da. D.5)
+
Перемещения м,ч можно представить на основании принципа
суперпозиции линейной теории упругости в виде суммы пере-
перемещения щ тела без трещины, находящегося под воздействием
нагрузки д{ * на S (тело второго состояния), и перемещений щ
тела без нагрузки q{ на S, с трещиной, на поверхности которой
действуют напряжения gi<t причем
__ \Qi + Pi на S,
gi ~~ \croi + pi на Q.
Подставпв выражения D.3) и D.5) в условие D.1), получаем1)
J | орщ | da + 16 J [(Pi - qd+ut + (Pi
Q++Q- -S++S-
Q++Q-
- 6 J "(?<"+ ffD»> - \ \ QM'da = 0. D.6)
8++S- S
!) Напомним, что произведения ргщ и ащщ отрицательны.
40
В таком виде энергетический критерий равновесия в соче-
сочетании с уравнениями теории упругости пригоден для решения
конкретных задач теории трещин.
Укажем на следующие виды задач, решаемых с помощью ус-
условия D.6).
1. Определение предельного (критического) состояния равно-
равновесия тела с трещиной при варьировании площади трещины
с постоянной внешней нагрузкой. При этом отклоненное состоя-
состояние не является состоянием равновесия в том смысле, что
AWP< I— AA-t- AW\ при малом, но конечном Д5. Для двумер-
двумерной задачи
б = -щ Ы (qi = const, Ьщ — 0).
При этом оба последних слагаемых в уравнении D.6) равны нулю.
2. Определение медленного докритического роста трещины с
ростом нагрузки. Варьированное состояние совпадает с действи-
действительным состоянием равновесия, в. котором внешние нагрузки
имеют другое значение. Для двумерной задачи имеем
(q — параметр внешней нагрузки, q — qU)).
Очевидно, что в экстремальных случаях идеально податли-
податливого нагружения (bq = 0, 6щ = {dui/dq)^) ж идеально жесткого
(бщ = 0) интеграл по 2 в выражении D.6) при решении зада-
задачи 2 исчезает, так же как и при решении задачи 1. Поэтому в
дальнейшем полагаем этот член равным нулю. Кроме того, при
симметричной нагрузке qi на поверхность S, а также, если д,-
не появляется на 65 (при фиксированных точках приложения
д*), исчезает слагаемое б \ {qf + дТ)щс1о.
8
3. Определение числа циклов до достижения трещиной кри-
критического состояния при повторно статическом нагружениж.
4, Определение зависимости длины трещины от числа циклов
при повторно статическом нагружетш.
Энергетический критерий предельного равновесия в случае
идеально упругого разрушения можно получить из условия D.6),
полагая й = 0 и вводя в D.1) экспериментально определяемое
значение поверхностной плотности энергии разрушения у.
При этом первое слагаемое в уравнении D.6) приобретает
вид fF?+ + bS~), поэтому для упругого тела критерий разруше-
разрушения таков:
6 J [v + |(Pi-5'i)+W{' + 4{Pi-Q'ir«r]^ = O. D.7)
s++s~
Здесь pj ~ —Oijiti — компоненты тензора напряжений на площад-
41
ках, положение которых совпадает с поверхностью трещины; Оц —
тензор напряжений для напряженного тела, не содержащего тре-
трещину; щ — направляющие косинусы внешней нормали к поверх-
поверхности трещины; щ — компоненты вектора перемещений точек
поверхности трещины для тела, которое нагружено на поверхно-
поверхности трещины давлением pi + g*; qi — заданная симметричная на-
нагрузка на поверхности трещины'.
Для определения критического состояния равновесия в усло-
условии D.7) варьируется размер площади поверхности излома S
при постоянной нагрузке.
Уравнение D.6) пригодно также и для случая квазихрупкого
разрушения (Орован, Ирвин), в котором 2 к = Gc — вязкость раз-
разрушения.
Покажем теперь, как можно приближенно учесть наличие
пластической зоны с помощью соотношения D.6) и введения
разрыва смещений на краю трещины [156]. Запишем критерий
D.6) для случая симметричного нагружения плоскости, содер-
содержащей одиночную прямолинейную трещину (# = 0, j #| ^ Z, 6 =
с а
д С д Г
Tl J By—Uyv)dx— Щ(ау— о-0) vdz*= 0. D.8)
о i
Здесь <5У = Gy{x) — напряжение от заданной нагрузки, возникаю-
возникающее вдоль оси х в теле без трещины. Это напряжение входит
в D.8) с обратным знаком. Перемещение точек поверхности раз-
разреза v = v(x, у) возникает (в направлении оси у) от действия
раскрывающего трещину напряжения ау в области г/ = 0, Ы ^ Z
и напряжения (оу—оо) при /<|arl<a. Пластическая зона за-
занимает область у = 0, J =s? Ы =^ я, заменяемую для решения за-
задачи разрезом, берега которого притягиваются напряжением оо.
После дифференцирования уравнение D.8) станет
Теперь примем условие малости длины пластической зоны
(й — l), состоящее в том, что под интегралом в пределах от I
до a g(x) =» av(l). Кроме того, будем считать, что форма пласти-
пластической зоны не меняется, что выражается условием автомоделъ-
ности dv/dl = ~-dv/dx. Получаем (via, I) = 0)
а
1
К - *о) ш dT = &у (г> - а<>]v V> *>•
I
42
С учетом этого интеграла выражение D.8) примет вид
i
2y-oy(l)v(l, О- J4 |f dx = 0. D.9)
о
Если в этом уравнении производную dv/dl определять из уп-
упругого решения, то придем к энергетическому критерию
i
i
6 j By — ayv) dx =0, D.10)
о
совпадающему по внешнему виду *с условием D.6). Предполо-
Предположение v(l, ИФО в условии D.10) приближенно отражает суще-
существование пластической зоны в конце разреза.
Сделанные допущения эквивалентны концепции квазихруп-
квазихрупкого разрушения Орована — Ирвина о том, что в конце тре-
трещины может находиться пластическая зона, малая настолько^
что ее влияние сказывается существенно только на величинах
(перемещениях и их производных в нашем случае), непосредст-
непосредственно относящихся к концу трещины, и не отражается на эле-
элементах упругого решения в остальной* части тела.
Из сопоставления условий D.5) и D.7) можно записать вы-
выражение для потока энергии в конец трещины
Это соотношение справедливо в случае упругого разрушения.
Запишем краевые условия для внутренних и поверхностных
трещин, вытекающие из уравнения D.7). Пусть уравнение по-
поверхности трещины записано в явном виде z = z(x, у) и одина-
одинаково для обеих противолежащих поверхностей трещины. Пола-
Полагая, для сокращения записи, что перемещения щ на них равны,
перепишем выражение D.7) в виде (для случая qi = 0 на S)
[181, 2953
6/ = Ь j j M dx dy - 0, D.12)
D
р = z «; q = zrV; i, } = x, y, z\
M = Bу - йм,)У1+У + в*.
Здесь D — проекция области излома на координатную плоскость
хОу, & С — контур области D\ индекс после запятой означает
частное дифференцирование по переменной, стоящей после за-
запятой.
Для вычисления вариации функционала / варьируем коорди
паты точек контура области излома. Величина интеграла зависит
43
от формы линии контура области интегрирования, заданной урав-
уравнением Г (ж*, у*, z*) = 0, через функционал
, у*, Z*)},
где звездочка означает принадлежность точки к контуру области
излома. Этот функционал вводится для описания зависимости
перемещения от формы области излома, т. е. перемещение (на
поверхности трещины) может быть представлено в виде щ =
Запишем вариацию функционала
Ы = j J [MtU§uit9 (W,x*6x* + W,y.6y* + ?,z*6i~*)j dxdy +
+ J [(M,Pbz* + M dx*) dy* — (M>qEz* + M dy*) dx*]. D.13)
Здесь предполагается суммирование по повторяющему индексу
/, а черта над dz* означает вариацию z® для неварьированных
аргументов х*, у*. Интеграл по контуру С в формуле D.13) от-
отвечает классическому выражению вариации для вариационной
задачи с частными производными при переменной области ин-
интегрирования. Появление интеграла по области D обусловлено
зависимостью подынтегрального выражения в D.12) от контура
области интегрирования.
Первое необходимое условие экстремума принимает вид
J [Mdy*bx*~Mdx*by* + (MrPdy* — Мл0х*) dz*] +
с
+ И M.«iu*,v (^tx*dx* + ?,у*бг/* + 4^*67*) dx dy = 0. D.14)
Это уравнение служит для определения предельных нагрузок при
заданном законе распространения области излома посредством
задания вариаций 6х*, dy*, 6z*.
Вариации контурных точек, вообще говоря, связаны между
собой. Для получения соотношений между вариациями примем,
что при распространении трещины точка А контура перемеща-
перемещается перпендикулярно касательной к линии контура в этой точ-
ije, одновременно оставаясь в касательной плоскости к некоторой
поверхности S, проходящей через контур в точке А. Эта поверх-
поверхность г(ж, у) может быть заданной, и тогда 6z* = 0. В противном
случае dz* Ф 0.
Пусть уравнения линии контура Г и упомянутой поверхности
S представлены в параметрическом виде
И
5[?(и, I?), г\(щ v), |(и, v)] = 0
44
соответственно. Тогда перемещение точки А совпадает с векто-
вектором, образованным векторным произведением единичного векто-
вектора касательной к кривой Г в точке А и единичного вектора нор-
нормали к поверхности S в этой же точке. Компоненты этого век-
векторного произведения сх, cv, cz, пропорциональные проекциям
вектора перемещения точки А на координатные оси, будут
сх = y*t h — z*tH, h = "n.t&t» — ti,d?,ii»
Cy = Ztibl — Х,ф$, br\ — ?,u?,u — ?,
Точка поверхности S, определяемая независимыми переменными
«, у, совпадает с точкой А линии Г, определяемой независимой
переменной t.
Запишем искомую связь между вариациями контурных точек
(здесь поверхность S представлена в виде z = z(x, у)):
с
D.15)
Эти. соотношения позволяют в условии D.14) выразить все ва-
вариации через какую-либо одну, которую затем можно считать
независимой.
Полученное граничное условие D.14) отличается от изве-
известных тем, что вариации контурных точек* находятся под знаком
двух интегралов — по области и по контуру. Поэтому, чтобы
воспользоваться условиями D.14), например для определения на-
нагрузки, соответствующей наступлению предельного состояния
равновесия в каких-либо точках контура, следует задать в этих
точках некоторую мыслимую вариацию контура. При этом каж-
каждому частному виду вариации контура соответствует определен-
определенное значение нагрузки.
Рассмотрим, в частности, один случай вариации контура. Пе-
Перепишем уравнение D.14) в более компактном виде
y)h{s)dxdy = O4 D.16)
где Fix, у) и f(s) — непрерывные функции в области D и на ли-
линии С, охватывающей область D; his) — независимая вариация
некоторой координаты точек контура; s — дуга вдоль линии С,
Интересующий нас «частный случай вариации контура таков:
на отрезке O^s^a линии С функция /гЫ^О, на отрезке а<
^ s «S р функция his) монотонно растет от 0 до величины к —¦
= const, на отрезке {J =^ s «S f функция his) в к, на отрезке у ^
=^5^6 функция his) монотонно убывает от значения к до О,
а в остальном интервале интегрирования в D.16) функция
his) ^0. • .
45
Интеграл в D.16) можно записать так:
в v
» Р
Используя теорему о среднем для интегралов на отрезках [а, р]
ж [у, б] и переходя к пределу при стремлении этих отрезков к
нулю, получим
lim \f(s)h (s) ds = lim [(p4 — a) / (s*) h (s*) ] = 0.
Следовательно,
f
Пусть абсциссы концов р1 и у есть гс# иа:ФЧ.. Далее
2 2
§§F(x,y)dxdy.
Ж*
Здесь i/t(a;), у2(гс) — уравнения соответствующих отрезков линии
С, а Xi, xz — их крайние абсциссы.
Равенство D.16), таким образом, преобразуется к виду4
D.17)
Здесь область Do представляет собой некоторую часть области Z),
а С» — часть линии С, ограничивающей Do. Таким образом, по-
показана возможность скачкообразной вариации контура.
Используя это выражение, запишем условие D.14) для слу-
случая, когда Со есть ds вблизи некоторой точки s = sA контура С.
Область Д> станет равной ly2i.x) — ydx)]dx при х — хА. Одновре-
Одновременно учтем соотношение D.15) и в качестве независимой ва-
вариации выберем 6у*. Тогда условие наступления предельного со-
состояния равновесия в точке А контура Г примет вид
]х=хА
+
,Г-Г (**>*- (*.»)* J И* - 0. D.18)
46
Если полученную отсюда нагрузку минимизировать по дуге
контура, то можно найти точку начала распространения тре-
трещины.
Если трещина есть линия z (х), лежащая на координатной
плоскости zOx в пределах В < х ^ А, то для использования ус-
условия D.14) удобнее представить трещину в виде ленты постоян-
постоянной ширины dy. Считая, что трещина растет на одном конце А,
имеем, что Со есть dy при х = хА, Do = (хА — Xs)dy. В этом слу-
случае из уравнения D.14) получаем
[М 6** + М,Р (Sz* - (z,x)* дх*)]ХА +
- 0. D.19)
*в
Если трещина распространяется в направлении касательной
к линии z(x) в точке А, то
и уравнение D.19) перейдет в следующее:
А
p^*-0, D.20)
в
где I — длина трещины между точками А и В.
Таким образом, оказывается, что для трещин, лежащих на
плоской поверхности тела, функционал W представляет собой
длину трещины.
Уравнение D.20) можно переписать также для случая, когда
трещипа лежит на неплоской поверхности тела, посредством
представления ds через первую квадратичную форму поверхности
тела.
Итак, если известна поверхность трещины, то задача сводит-
сводится к нахождению контура области излома, соответствующего
состоянию предельного равновесия тела при данной нагрузке.
При этом контур области излома при известных вариациях кон-
контурных точек определяется из уравнения D.14). Кроме того, при
известных поверхности и контуре области излома можно найти
значения критических нагрузок, отвечающих разнообразным ва-
вариациям координат контурных точек в D.14), т. е. при распро-
распространении трещины заданным образом (или всеми своими кон-
контурными точками, или какой-то частью контура, вплоть до бес-
бесконечно малой).
Одновременно к указанным уравнениям требуется присоеди-
присоединить уравнения теории упругости для определения напряжений
и перемещений, входящих в условие D.14).
47
§ 5. Модифицированный критерий Гриффитса
Рассмотрим плоскую задачу и замкутый контур С, охватыва-
охватывающий вершину трещины и проходящий по любому пути. Контур
может быть незамкнут, но тогда его концы должны лежать на
свободной поверхности трещины или же на свободной границе
тела. Пусть квазистатическое решение задачи о\3-, в,,, щ в функ-
функции х, у, 2, t известно. Сформулируем критерий развития тре-
трещины на основе закона сохранения энергии [3993. В связи с
приращением длины трещины, скорость работы внешних сил,
действующих на контур С, равна скорости возрастания энергии
деформации, запасенной в объеме внутри контура С, плюс ско*
рость, с которой энергия поглощается в связи с расширением
трещины:
Левая часть этого равенства есть мощность постоянных сил
qty подсчитанная по скорости смещения точек контура С. Первое
слагаемое правой части есть мощность деформации, записанная
для неподвижной трещины по теореме Клапейрона через рабо-
работу сил <^, т. е.
Учитывая правила дифференцирования
~Ж~~дГд11\*~Тг)' dt ~~ at "*" et
запишем далее
или
ди, ди. • \ . \ Cldq. dqs; 5u.
Приводя подобные члены, получаем
с с
Второе слагаемое левой части пренебрежимо мало. Действитель-
Действительно, щ = Xqi (X — коэффициент податливости), следовательно,
? щ = 4 + q) щ ет
48
It = 4i Г It + dt qi) ~ щ
Величину дл/dt для упругого материала можно принять равпой
нулю и окончательно записать
дд
-
dl
-Ge.
E.2)
У/////////////////.
Это есть математическая запись модифицированного критерия
Гриффитса [399]. В левой части стоит по- у
ток упругой энергии G, который может
быть затрачен на разрушение, в правой
части — вязкость разрушения, или иначе,
удельная работа разрушения Gc (см. C.8)).
Рассмотрим пример. Пусть дана сим-
симметричная пластина единичной толщины
с центральной трещиной при растяже-
растяжении (рис. 5.1). Выберем контур по гра-
границе пластины. На верхней стороне пла-
пластины смещения равны нулю, ла боко-
боковых — усилия равны нулю, и интеграл
по этим сторонам пластины не дает вкла-
вклада в величину G. На нижней стороне
пластины <?* = 0, qv = o, ux = 0, щ — А.
Тогда поток энергии будет равен
О
X
Рис. 5.*. Пластина с цен-
центральной трещиной.
ди
— UxW^
0 *
Здесь введена сила Р (на единицу толщины), растягивающая
пластину. Для упругого тела Д *=*Ш)Р (или Р — Ш)А), где Ш) —
податливость пластины, постоянная при фиксированной длине
трещины, a kit) — жесткость пластины (Я= 1/к).
В случае закрепленных захватов дА/dl = 0 и
В случае постоянной нагрузки дР/dl — 0 и
—
В. 3. Партон, Е. М. Морозов
Здесь использовано соотношение
dl
dl
dl'
Таким образом, для любого нагружения поток энергии равен
— TrJr Й-ГГ, ИЛИ Or = zrA'rr:.
E.3)
Эти выражения справедливы при любой геометрической конфи-
конфигурации тела с трещиной и лежат в основе вычисления потока
энергии в вершину трещины с помощью
метода податливости. Измеряя податливость
образца с разной длиной трещины, можно
сообразно E.3) вычислить энергию, подво-
подводимую к вершине трещины и затрачиваемую
на разрушение.
Формулы E.3) можно вывести также и
из нескольких других соображений. Пусть
при упругом нагружении плоского тела тол-
толщиной t трещина продвинулась на dl. На
диаграмме деформирования «сила Р — сме-
смещение Д» начало движения трещины соот-
соответствует точке с координатами (Р, Д),
а конец — точке (P + dP, Д + йД) (рис. 5.2).
При разгрузке из этих двух точек соответ-
соответствующие прямые линии идут в начало ко-
координат, а площадь треугольника между ни-
ними представляет собой выделенную упругую
A+dA
Рис. 5.2. Диаграмма
деформирования уп-
р у
ругого образца при ЭНерГИЮ равную работе, затраченной на про-
длине трещины I и virjrtr r
l + di. движение трещины (при отсутствии других
источников и стоков энергии). Следователь-
Следовательно, выделенная упругая энергия G на единицу площади трещи-
трещины определяется из соотношения:
Gtdl = у
1 О
1 р
1 p + dp
О
ХР
Учитывая, что dX = ^fdlt приходим к формуле E.3).
§ 6. Изменение полной энергии системы
при малом приращении длины трещины
Покажем, как изменяется полная энергия системы «образец+
+ нагружающее устройство» в связи с малым приращением дли-
длины трещины [158]. Рассмотрим два состояния: до продвижения
трещины и после (в этом последнем случае элементы упругого
решения отметим штрихами).
50
При податливом нагружении внешняя нагрузка не меняется
с ростом перемещений точек ее приложения. Потенциальную
энергию упругой деформации можно записать по теореме Кла-
Клапейрона для обоих состояний в виде
1 ¦ 1 Г 1 Г
W = у А = j ] вцщщ da =y J дгщ $т,
W = j А' — — J в'цщщ da = -j j g^da.
2 2
Здесь 2 — поверхность тела, на которой заданы компоненты
внешней нагрузки qu Будем считать поверхность трещины сво-
свободной от нагрузок.
Следовательно, при распространении трещины потенциальная
энергия деформации изменится на величину
bW = W - W =yj(№ -qiUi)da = | f qi{u[ ~-Ui)da. F.1)
В последнем равенстве использовано принятое условие податли-
податливого нагружения, при котором q-% = qi. Вследствие роста трещины
нагружающее устройство вдоль траекторий смещающихся точек
совершает механическую работу
F.2)
s
При этом потенциальная энергия нагружающего устройства
уменьшается на такую же величину, т. е. она равна 8А со зна-
знаком минус.
Изменение полной энергии системы в связи с ростом трещи-
трещины будет
8W ~8А = -8W < 0. F.3)
При жестком нагружодии смещение точек приложения внешних
сил равно нулю, следовательно 6Л = 0, и изменение полной энер-
энергии системы будет равно
0. F.4)
Итак, для разных условий нагружения имеем
6П = ±бРТ = ±^67<0, F.5)
где знак «плюс» — для жесткого нагружения (заданы перемеще-
перемещения), «минус» — для, податливости (заданы усилия).
Из баланса энергии D.1) и условия F.5) вытекает выражение
для потока упругой энергии в конце трещины C.3):
hm-=-н-57>0. F.6)
г д1
4* 51
Знаки в обоих случаях дают положительную величину для G,
так как для заданных смещений dW/dl < 0, а для заданных сжл
dW/dl > 0.
При податливом нагружении согласно F.1) происходит уве-
увеличение энергии деформации, а согласно F.2) — уменьшение по-
потенциальной энергии нагружающего устройства на удвоенную
величину. В целом полная энергия системы уменьшается на 6W
(см. F.3)), а поток энергии в конец трещины, согласно F.6),
положителен.
При жестком нагружении полная потенциальная энергия си-
системы также уменьшается на 8W, и поток упругой энергии в
вершину трещины согласно F.6) по-прежнему положителен. По-
Покажем, что величина 6П при жестком нагружении уменьшается.
При задании смещения на границе тела при начальной длине
трещины выражение для энергии деформации имеет вид
W = "о" \ Qiui &*•
При новой длине трещины конечное состояние отвечает тем
же смещениям на границе тела, но другим внешним усилиям
at, т.е.
Поскольку податливость тела с большей длиной трещины
большая, то для создания тех же перемещений щ требуется мень-
меньшая нагрузка, поэтому gi<ZQi- Отсюда имеем
4
Таким образом, в этих двух крайних случаях, а также и в про-
промежуточных, потенциальная энергия системы в связи с ростом
трещины уменьшается ыа величину
= ± J J (qWi - Ягщ) &S- F.7)
Ш
Это соотношение может быть полезно при формулировке энерге-
энергетических критериев разрушения.
Из формулы F.7) можно получить модифицированный кри-
критерий Гриффитса (см. § 5). Действительно,
52
Подставив эти величины в формулу F.7) и далее в формулу
F.6), получим
что совпадает с уравнением E.2). Здесь знаки внесены под ин-
интеграл с учетом, что dujdl~>О, dqjdl<0 в зависимости от вида
нагружения. При этом оказывается, что величина G всегда по-
положительна.
Уточним разницу между принципом возможных перемещений
6A) и теоремой Клапейрона, записанной в вариациях
B8W0 =6А°). Будем считать, что формулировки этих теорем из-
известны, и поэтому остановимся только на трудно воспринимае-
воспринимаемом вопросе о вариациях.
В принципе возможных перемещений работа внешних сил б А
возникает на вариации перемещений Ьи. Этой работы нет при
отсутствии вариации перемещений, как нет и просто, работы А.
В принципе возможных перемещений отклоненное состояние не
есть состояние равновесия, так как при вариации только пере-
перемещений (при.постоянных силах) новые перемещения не нахо-
находятся в согласии с силами на основании линейной связи по Гу-
ку. Тем ие менее, для отклоненного состояния потенциальная
энергия деформации записывается по той же формуле, что и для
состояния равновесия, с тем, однако, условием, чтобы эта запись
производилась через внутренние усилия и перемещения (по-
(поскольку переход от внутренних факторов к поверхностным тре-
требует соблюдения линейной связи между перемещениями и уси-
усилиями, или, иначе, такой переход справедлив, если перемещений
вызваны приложенными силами).
При вариации энергий в теореме Клапейрона следует брать
не возможные, а действительные отклонения системы от данно-
данного положения равновесия. При этом новое положение также яв-
является положением равновесия с новыми значениями перемеще-
перемещений и сил. Следовательно, здесь вариации усилий и перемещений
зависят одна от другой. Они связаны в линейном теле законом
Гука.
Для иллюстрации сказанного рассмотрим защемленный на
одном конце однородный брус, растягиваемый силой Р, прило-
приложенной к другому его концу. Перемещение конца бруса в со-
состоянии равновесия и = PL/(EF). В отклоненном состоянии пе-
перемещение и + 6и = PL/iEF.) + Ьи, и это состояние не есть со-
состояние равновесия, так как этому новому перемещению не со-
соответствует по закону Гука сохранившаяся прежней сила Р.
Работа силы Р на вариации перемещения равна 6А = Рби. По-
Потенциальная энергия деформации равна SW = J <JttbexdVt где
v
бе* — деформация, вызванная вариацией перемещения. Пусть пе-
53
ремещения по объему бруса распределяются по закону и (х)
« х
= ow -j-, тогда
с du (ж) Ьи
О8 J
Получаем
= [~
Таким образом, 6A = 6W.
Равенство 26JF° = 6А° будет справедливо при одновременной
вариация силы и перемещения, связанных между собой законом
Гуна. Действительно, в данном примере работа силы на полном
перемещении А° — Ри. Энергия деформации на полных переме-
перемещениях, согласно теореме Клапейрона W° = l/2Pu, т. е. 2W°=A°.
Работа силы на вариации перемещения равна бА° = РЬи + иЬР —
~2Р5и (так как Р = ки и ЬР = к6и). Для энергии деформации
на вариации перемещения получим
V V
V V
Поскольку вариация функционала есть главная линейная
часть разности соответствующих величин, то
f
f f 2ex8ex dV^ ajbex dV = P
V V
Таким образом, получаем 25W° = 6^4°.
Теперь обратимся к телу с трещиной. При данной системе
внешних сил тело с -трещиной находится в равновесии, и для
него справедлива теорема Клапейрона, на основании которой
энергию деформации можно записать через поверхностные уси-
усилия и перемещения в виде
w = т J qiUi dxJ-
s+s
Если трещина получила приращение SS, то при этом под
действием прежних внешних сил возникают свои перемещения,
и полученное состояние есть опять состояние равновесия, для
которого энергия деформации также может быть выражена через
поверхностные интегралы:
= у j q{Ui da+ -j qiUi
W у
s+s
Разность Wf — W приводит к выражению типа D.4).
54
Наконец, отметим, что смысл понятия «отсутствие равнове-
равновесия» — разный при вариации перемещений в принципе возмож-
возможных перемещений и при вариации длины трещины в теории тре-
трещин. В последнем случае отсутствие равновесия может означать
нарушение баланса энергий (упругая энергия совместно с рабо-
работой внешних сил превышает работу разрушения), в то время
как все перемещения находятся в согласии с внешними силами.
§ 7. Модель трещины с тонкой пластической зоной
Fк-модель)
Линейная механика разрушения (точнее, механика развития
магистральных трещин) описывает хрупкое разрушение, проис-
происходящее в результате роста трещины при отсутствии заметных
пластических деформаций у вершины трещины. В этом случае
справедливы асимптотические формулы для напряжений и де-
деформаций (см. § 2), и задачу о распространении трещины можно
сформулировать в терминах коэффициентов интенсивности на-
напряжений. Таким образом, основной признак линейной механики
разрушения — возможность изучения поведения тела с трещи-
пой с помощью коэффициентов интенсивности напряжений, при-
причем само понятие этого коэффициента имеет физический смысл.
Если же характерный линейный размер пластической зоны
у вершины трещины начинает на 20% превышать длину трещи-
трещины, то понятие коэффициента интенсивности напряжений утра-
утрачивает смысл (из-за ограниченности области справедливости
асимптотических формул). В этом случае формулировка законо-
закономерностей тела с трещиной так или иначе связана со свойствами
сопротивления материала пластическим деформациям, и в такой
постановке задача относится к нелинейной механике разруше-
разрушения. Все модели нелинейной механики разрушения исходят из
наличия достаточно развитой пластической зоны перед вершиной
трещины 4).
Силовой критерий Ирвина и эквивалентный ему энергетиче-
энергетический критерий Гриффитса в линейной механике разрушения
полностью исчерпывают вопрос о предельном состоянии равнове-
равновесия континуального упругого тела с трещиной. В нелинейной
механике разрушения существует ряд формулировок, также уста-
устанавливающих предельно^ состояние равновесия упругого тела с
трещиной. Среди них наиболее известной является бк-модель
131, 116, 118, 209]. Суть этой модели состоит в том, что перед
концом существующего разреза вводится зона ослабленных свя-
связей в виде тонкого слоя. При этом тело обладает следующими
') Разумеется, что существует некоторая промежуточная область, где
обе механики разрушения могут быть использованы. Ориентировочная оцен-
оценка границы этой области по напряжениям такова:
55
свойствами: а) максимальное растягивающее напряжение нигде
не превосходит сопротивления отрыву д0; б) зависимость между
деформациями и напряжениями подчиняется закону Гука; в) си-
силовое взаимодействие между поверхностями разреза отсутствует;
г) противолежащие граничные поверхности слоя ослабленных
связей притягиваются одна к другой с напряжением, равным оо.
Следовательно, в пределах слоя ослабленных связей закон Гука
не соблюдается, что позволяет трактовать этот слой либо как
область действия сил Ван-дер-Ваальса при расщеплении атом-
атомных слоев'), либо как пластически деформированный материал
[342, 430]. В обоих толкованиях математическая формализация
модели одинакова; в частности, на линии трещины, свободной от
внешних нагрузок, соблюдаются следующие краевые условия:
(Ту = G, 2v (х) > бк при | х | < I,
ау = а0, о*к>2у(?)^0 при ?<C|#|s?^a,
% < <*о, v (x) = 0 при | х | > а.
Здесь 21 — длина трещины, d = a — I — длина слоя ослабленных
связей, ось у перпендикулярна линии трещины, а ось х совпа-
совпадает с ней; начало отсчета — в средней точке трещины (рис. 4.1),
Слой ослабленных связей заменяется дополнительным .разрезом
i/ = 0, Z=sM#l=S[a, на поверхностях которого действуют напря-
напряжения ау = оо. Смещение 2v(x, у = 0) в направлении оси у, при-
принимающее в точке х = I значение бк, называется разрушающим:
(или критическим) и полагается постоянной материала.
Предельное состояние равновесия определяется условием
6K. G.1)
Это условие вводится в модель как критерий развития трещины.
Для определения протяженности слоя ослабленных связей
требуется введение еще одного условия, которым может быть
плавность смыкания противоположных поверхностей, дополни-
дополнительного разреза на его конце.
Несмотря на одинаковое математическое выражение физиче-
физическое существо двух указанных трактовок совершенно различно:
в первом случае поверхности зоны ослабленных связей есть
атомные плоскости, во втором — границы пластической зоны. Сле-
Следовательно, в первом случае материал между поверхностями до-
дополнительного разреза отсутствует, а во втором случае этот про-
промежуток заполнен сплошной средой, находящейся в состоянии
пластического течения. Естественно, что и характеристика мате-
материала бк в этих случаях имеет как принципиальное, так и коли-
количественное различие. Это различие подчеркивается другим обо-
обозначением критического раскрытия в вершине трещины за счет
пластической деформации, а именно вместо бк пишут бс.
г) Область нисходящей ветви кривой силового взаимодействия при уве-
увеличении расстояния между атомами.
56
Особо следует подчеркнуть принципиальное отличие бк-моде-
ли от модели Ирвина, состоящее в том, что в последней длина
пластической зоны d (или зоны ослабленных связей) точно равна
нулю во всем диапазоне критических длин трещин. Как след-
следствие равна нулю и величина бс. В бк-модели длина пластической
зоны стремится к нулю только при стремлении к нулю критиче-
критического напряжения, или, что эквивалентно, критической длины
трещины к бесконечности. В процессе такого предельного пере-
перехода результаты расчета по обеим моделям начинают совпадать.
Аналитическое решение показывает, что пластическая зона
в виде тонкой линии перед концом трещины может существовать
при плоском напряженном состоянии. Разрыв упругих смещений
между противолежащими границами этой зоны трактуется как
шейка в тонком листе (утяжка или сужение вдоль линии тре-
трещины). Аналитическое и экспериментальное изучение пластиче-
пластических зон подобного типа позволило получить формулу для. опре-
определения длины пластической зоны при растяжении (напряже-
(напряжением о) плоскости с одиночной трещиной [118, 342]:
I по .— п\
т-сов ^. G.2)
Пластическое раскрытие трещины в вершине бс в виде харак-
характеристики материала, входящее в критерий роста трещины и
имеющее самостоятельное значение для оценки качества мате-
материала, было введено в работах [430, 431]. Была установлена так-
также связь между характеристиками материала Gc и бс в виде
Gc = 6сОт. G.3)
Аналогичное соотношение для плотности поверхностной энер-
энергии твердого тела 2^ в бк-модели записывается так:
2f = бкО-о. . G.4)
В качестве примера рассмотрим задачу Гриффитса в поста-
постановке бк-модели. Пусть дана растягиваемая плоскость с одиноч-
одиночной трещиной (см. рис. 3.2). Требуется найти критическое на-
напряжение для заданной длины трещины.
Граничные условия таковы:
(х, 0) = О при | х\^ оо;
при | х | <! I,
а при I <С | х | ^ а.
В бесконечно удаленных точках ov = p.
Воспользовавшись принципом суперпозиции, вычтем из на-
напряжения поставленной задачи напряжения однородного еапря-
57
женного состояния
ох = т1еу = 0 и ау(х, у) = р.
Получим вспомогательное напряженное состояние, при котором
напряжения исчезают на бесконечности. Для решения вопроса
У
о критическом напряжении доста-
достаточно рассмотреть полученную
вспомогательную задачу. Таким
образом, на поверхности разреза
I
<f,-0)
a x
Рис. 7.1. Трещина под действием ( р прд \x\^Ll
расклинивающих сил. =1 , « , ^ G.5)
\р — Со при г<|жКа1 v '
где q = —оу(х, 0) — давление на поверхность разреза в получен-
полученной вспомогательной задаче.
Для расчета перемещения v(x, 0) при \х\ ^а и напряжения
оу(х, 0) при \х\^а воспользуемся известным решением теории
упругости для плоского напряженного состояния. Расклиниваю-
Расклинивающая сила Р, действующая на берега разреза (рис. 7.1), вызывает
следующие перемещения точек, лежащих на поверхностях раз-
разреза [209]:
±хЛ), G.6)
где Г (а, х. §) = 1п г Напряжение вне
разреза будет
ai(ar,O)^—^f^ 6 • G.7)
¦ я К « — « I* —SI
Формулами G.6) и G.7) можно воспользоваться для получения
смещений и напряжений при любом законе распределения на-
нагрузки на поверхности разреза. Для этого положим P = g(|)d|
и проинтегрируем результат от действия одной силы по всей
поверхности разреза:
оу(х,0) = —-7==
Я У X1 — а2 ?а
Вследствие линеаризации задачи (снесения граничных условий
с деформированной поверхности тела на ось х) оу-*~°° при #-»-
->- а. Следовательно, должно выполняться условие непрерывности
58
или ограниченности (конечности) напряжений:
а
Д+о § 9(S)^-l"|a dl = °* G'9)
— а
Дифференцируя vix, 0) из формулы G.8) по х, получаем
v> (Ж, 0) = 71 I g(l)^a^g d|. G.10)
Сравнивая условие G.9) с формулой G.10), находим, что
v'(a)=0. G.11)
Это означает, что обе противоположные границы пластической
зоны сходятся плавно при х = а. Из формул G.8), G.9) и G.10)
следует также, что условия непрерывности напряжений и плав-
плавного смыкания пластической зоны в математическом отношении
эквивалентны.
Приведем более конкретные соотношения для рассматривае-
рассматриваемой задачи. Подставив значение q(x) из G.5) в формулы G.8),
получаем перемещения точек на поверхности разреза
v{x) =|
— (x+l)T(a, x7 — l) — A Ya* — x* arccos~] (\x|<a). G.12)
Напряжения вне разреза (Ы >a)
ау (x) = —f j я (p — a0) (x — У хг — a2) + 2cro arcsin —Ь
пух2 — л2 I a
G.13)
a" — xl
На основании условия G.9), приравнивая нулю числитель
в G.13), получаем формулу G.2) для определения длины пласти-
пластической зоны.
С учетом G.2) перемещение G.12) станет (Ы<а)
и (*> - ТЕ [{-х ~ Z) Г (** х> 0 - (^ + 0 Г {а, х, - I)). G.14)
Это перемещение для разреза, у которого длина пластической
зоны выбрана в соответствии с формулой G.2). Можно продиф-
продифференцировать v(x) по х, чтобы еще раз убедиться в том, что
Действительно,
vf (х) = ^,[Т (а,х,1) + Т (а,х,-
59
где было учтено, что
Г
Найдем критическое напряжение, из условия G.1). Перемеще-
Перемещение в конце трещины при х — ±1 равно
Ш пр GЛ5)
Условие наступления предельного состояния равновесия G.1)
приводит к равенству
— —= ZJncos^— — бс.
Это уравнение дает следующее выражение для критического на-
напряжения
рс = — о"о arccos exp
8во1
G.16)
Заметим, что при больших длинах трещин (и, следовательно, при
малых ре сравнительно с о0) фор-
формула G.16) переходит в следу-
следующую:
А
<з0
0,6
V
G.17)
которая совпадает с формулой
Гриффитса при соблюдении усло-
условия G.3). Ясно, что условия спра-
справедливости соотношения G.3) сов-
совпадают с условиями' перехода
от формулы G.16) к форму-
формуле G.17).
Критическое напряжение в
функции длины трещины, постро-
построенное по формуле G.16), показа-
показано на рис. 7.2. Там же приведена
критическая диаграмма Гриффитса. Заметное расхождение меш-
ДУ двумя кривыми начинается со значения напряжения
рс«0,6 ст0. При стремлении длины трещины к нулю, получаем
ограниченную величину разрушающего напряжения, что соот-
соответствует физическому смыслу.
Раскрытие трещины в центре (при х — 0) будет наибольшим,
и по формуле G.14) равно
10
Рис. 7.2. Критические диаграммы
разрушения растянутой плоскос-
плоскости с одной трещиной: 1 — по ус-
условию G.16), 2 — по условию
C.9).
1 — sin
2а,
60
Эта величина связана с раскрытием в вершине соотношением
которое позволяет вычислять пластическое раскрытие в вершине
трещины по измеренному раскрытию в середине.
Напряжение оо оказывается разрушающим при стремлении
длины трещины к нулю. Поэтому на основании эксперименталь-
экспериментальных данных можно принимать со равным пределу текучести ма-
материала от, но большее соответствие опыту дает равенство а0
пределу прочности а„ [51].
§ 8. Инвариантный J-интеграл
Воспользуемся законом сохранения энергии D.1) для окре-
окрестности вершины трещины, окруженной замкнутым контуром С
[248, 249, 303, 306]. На этом контуре действуют силы pt, заменя-
заменяющие действие отброшенной части тела. Работа этих сил равна
с-
Энергия деформации внутри контура С равна
Вариации энергии здесь возникают з связи с вариацией длины
трещины. Затрата энергии на образование новой поверхности те-
тела (в виде приращения поверхности трещины) равна
Следовательно, из D.1) получаем
Примем во внимание, что распространение трещины на Ы экви-
эквивалентно «надвижению» тела на трещину, т. е. dfdl = —д/дх.
Тогда
^62Л+ \\~Udxdy.
" "s
Введем понятие /-интеграла:
/ = бГ/б/.
61
с
Воспользуемся формулой Грина *) для замены интеграла по пло-
площади интегралом по контуру; получим
s с е
(8.1)
Таким образом 2),
ЬА-№
J $i . (8.2)
Учитывая формулу D,11), приходим к выводу, что для упругого
тела при симметричном нагружении
i
Кроме того, поскольку величина — (8А — &W) есть потенциальная
энергия системы П (при условии, что контур интегрирования С
совпадает с внешней границей тела), то получаем полезное для
практических целей представление [2491
J ~ tdv \ЬА)
где
Г (*
П = ) Wdxdy — ) д{щ ds,
A S
где Л — область, занятая телом; S — ее граница; t — толщина
плоского тела.
Покажем независимость /-интеграла от контура интегрирова-
интегрирования. Выберем контур интегрирования таким, что внутри него
нет вершины трещины. Тогда / = 0, Действительно, перейдем в
(8.1) с помощью формулы Грина к интегралу по площади
s
dut*
С С (dW
Второе слагаемое в подынтегральном выражении обращается в
нуль по условию равновесия B.1). Тогда
3W
Яд/ Г
-q^T dx dy = \ /«i ds.
S в
2) Приведенные рассуждения относятся к пластине единичной толщи-
толщины. В других случаях 7|=6Г/(Ш)-
62
Рассмотрим второе слагаемое в подынтегральном выражении.
°*> аГ дхг ~ 1Oii дх \дх{ + dxj — 2 \Oii дх дхг + Ui* дх дх
*
Поменяв теперь местами во втором слагаемом индексы г, /, учтя
симметрию тензора напряжений ац = а^ и деформацию 8^ =
^ / дих ди.\
= т1^ + ^]'лолучим
9 dui -
Таким образом,
дхЛдх{ ' дх-
ди-
дг..
Поскольку dW/дъц — Оц [273], то первое слагаемое /-интегра-
равно " у,
HdW
с
оц-gdxdy.
Рис. 8.1. Контуры интегрирования
при вычислении /-интеграла.
Подставив эти результаты в выра-
выражение (8.5), убеждаемся, что J-
интеграл в рассматриваемом слу-
случае равен нулю.
Теперь выберем контур интег-
интегрирования так, как показано на
рис. 8.1. Этот 'контур состоит из
отрезков вдоль берегов трещины,
вклад которых в /-интеграл равен нулю (dy — 0, р} = 0), и кон-
контуров С{ и С2, охватывающих вершину трещины и опирающихся
на ее берега.
Поскольку в целом по контурам 6\ и С2 /-интеграл должен
быть равен нулю, то необходимо, чтобы значения /-интеграла
вдоль Ci и С2 были взаимно равны (с учетом изменения знака
интеграла при изменении направления обхода контура). Таким
образом, доказана инвариантность /-интеграла:
ди.
(8.6)
63
где С — произвольный замкнутый контур, внутри которого долж-
должна располагаться вершина трещины; W — плотность энергии де-
деформации
Pi — вектор распределенных усилий, действующих на внешность
области, ограниченной контуром С (/>< = о#гар; щ-^ внешняя нор-
нормаль к С; щ — вектор перемещения на С.
Характерной особенностью /-интеграла является его незави-
независимость от формы и размеров контура С (контур может быть
как очень малым, так и совпадать с границей тела). При этом
контур С может оказаться внутри пластической зоны, пересекать
ее или же быть вне ее — во всех этих случаях значение «/
остается неизменным [165]. Заметим, что последнее доказано для
случая деформационной теории пластичности, не предполагаю-
предполагающей разгрузку материала по линейному закону Гука. Это экви-
эквивалентно тому, что материал является нелинейно упругим.
В § 3 было показано, что локальный критерий Ирвина свя-
связан с характеристикой сингулярности поля напряжений или де-
деформаций в окрестности вершины трещины. В упругом случае,
как отмечалось, такой характеристикой служит коэффициент ин-
интенсивности напряжений. Эта характеристика (или критерий)
должна быть одинаковой в предельном состоянии при переходе
от одной детали (со своей схемой нагружения) к другой детали
из того же материала (с другой схемой нагружения). Этому свой-
свойству вполне удовлетворяет коэффициент интенсивности напря-
напряжений при идеально хрупком разрушении. В случае же разви-
развитых пластических деформаций в части нетто-сечения инвариапт-
ными характеристиками могут служить коэффициенты при син-
сингулярных членах в выражениях напряжений или деформаций.
В частности, оказывается, что если диаграмма деформации ма-
материала может быть представлена в виде степенной зависимости
аэ =- Ае%, (8.7)
то компонента напряжения и деформации у вершины трещины
имеют вид [2471
т
—
-1 + ТО
(8.8)
Здесь оэ, 8РЭ — эквивалентное напряжение по энергетической тео-
теории прочности и эквивалентная пластическая деформация, т —
64
показатель упрочнения, Im — функция числа гп и вида раскры-
раскрытия трещины. Для большой области значений т и при плоской
деформации при растяжении 1т = Ъ [141]. Для I вида
мации трещины
Так как величина /, стоящая в числителях (8.8), отражает
некоторую среднюю характеристику поля напряжении и дефор-
деформаций в окрестности вершины трещины, то она может быть при-
принята за критериальный параметр, точно -также, как величина К
в формулах B.17).
Свойство инвариантности, а также сингулярность напряжений
и деформаций (согласно формулам (8.8)) позволили принять /-ин-
/-интеграл в качестве критериальной величины для формулировки
критерия разрушения. Его можно сформулировать следующим
образом. Трещина начинает распространяться, когда инвариант-
инвариантный /-интеграл достигает предельного значения /ic:
(8.9)
Предельное значение / обозначено /1е (аналогично К1с) по той
причине, что выражение (8.6) записано для условий плоской де-
деформации. При плоском напряженном состоянии Ег^О, и оно
разное в разных точках пластины, так как гг = — |f (°"« + оу).
Поэтому условие постоянства толщины, используемое при выводе
формулы (8.6), в плоском напряженном состоянии не соблюдается.
Кроме того, при плоской деформации обычно отсутствует докри-
тический рост трещины, который концепцией /-интеграла не до-
допускается во избежании разгрузки из пластической области.
В случае идеально хрупкого разрушения величина / пред-
представляет собой поток упругой энергии в вершину трещины и, сле-
следовательно, /ic = Gu. Тогда согласно C.6) можно записать
A-v2)#?c=?/ic (8.10)
Для бк-модели (в случае тонкой пластической зоны) /-интеграл
равен (контур интегрирования расположен вдоль границы пласти-
пластической зоны)
dx=ao6. (8.11)
В случае развитого пластического течения величина /-интегра-
/-интеграла уже не характеризует поток упругой энергии в вершину тре-
5 Е. 3. Партон, Е. М. Морозов 65
пщны и хотя, по-прежнему, критерий разрушения (8.9) сохраня-
сохраняется, тем не менее формула (8.10) становится не справедливой.
Для того чтобы воспользоваться критерием (8.9), необходимо
располагать значениями / в функции длины трещины. Для этого
можно применять численные методы расчета величины / по (8.6)
или вычислять / по (8.4). Из этой формулы видно, что для пласти-
пластически деформированного тела величина / представляет собой раз-
разность энергий двух систем со слабо отличающимися площадями
/трещин, отнесенную к разности этих площадей. Однако в силу
необратимости пластических деформаций формула (8.4) не дает
потока упругой энергии в вершину трещины (как это имеет место
при чисто' упругих деформациях), и поэтому становится неспра-
несправедливой формула (8.10).
В заключение заметим, что для использования условия (8.9)
необходимо иметь экспериментально определенное предельное
значение Лс. Эту величину иногда называют упругопластической
вязкостью разрушения [37]. Рассматриваемый здесь критерий ста-
становится эффективным при значительных пластических деформа-
деформациях, занимающих большой объем тела.
Основное достоинство /-интеграла — независимость от контура
интегрирования — позволяет считать (хотя и несколько произволь-
произвольно), что инвариантность по пути интегрирования означает также
и инвариантность при переходе от образца к "изделию. Иными
словами критическое значение /-интеграла (упругопластическая
вязкость разрушения /Гс), определенное на образце, считается та-
таковым же и для рассчитываемой детали.
§ 9. Инвариантные Г-интегралы
В работах [306, 307] были введены Г-интегралы, позволяющие
изучать многие физические и механические явления в сплошных
средах, содержащих особые точки, линии или поверхности. Эти
интегралы строятся на основе общих физических законов сохра-
сохранения с привлечением уравнений электромагнитного поля Макс-
Максвелла, уравнений движения Ньютона, кинематических условий
для малых деформаций с возможным обобщением на конечные
деформации. Функции, входящие в эти уравнения, предполагают-
предполагаются непрерывно дифференцируемыми необходимое число раз всюду,
за исключением особых точек, особых линий и особых поверхно-
поверхностей, где они утрачивают физический смысл.
Рассмотрим деформируемую сплошную среду в электромагнит-
электромагнитном поле в общем случае их взаимодействия (электромагнитное
поле вызывает деформацию среды и, наоборот, деформирование
среды генерирует электромагнитное поле). Соотношение электро-
электромагнитного поля характеризуется векторами напряженности элек-
электрического поля Е, электрической индукции D, напряженности
магнитного поля И,- магнитной индукции В (В = jj,0H, jn0 — коэф-
коэффициент магнитной проницаемости) и вектором плотности тока J.
66
Обозначим через 2 некоторую поверхность в пространстве
хи хг, х& и введем следующие интегралы по этой поверхности:
Г-интегралы первого рода
Гй « j [(э + F + 1 рщщ) nk + {DiEk + BiHft - 0Ли -
-^,ft)^]dS, (9.1)
Г-интегралы второго рода
Гы = J[C + F + \
— fc.*).i»i]«E: (9.2)
и т. д., применяя производные более высоких порядков. Здесь вве-
введены обозначения
г» tan
F = -
dt
(grad Р = -Щ -Кб- J X В), (9.3)
(P - В x D),
где p — плотность материальной среды, б — плотность заряда, Хг —
неподвижные координаты прямоугольной декартовой системы, t —
время, q — вектор некомпенсированного теплового потока, С —
скорость изменения внутренней энергии среды в единице объема.
При постоянной плотности заряда б справедливо равенство
В приведенных выражениях точка над символом означает полную
производную по времени; приняты обычные правила суммирова-
суммирования по повторяющимся индексам (например, WiWj = и\ + и\ +и\,
Щ,к=*дщ/дхк и т. д.); &iSS = е231 = е312= 1, еш = е321 = &%tb*=* -1,
а все другие гш равны нулю.
Можно доказать следующие теоремы.
Теорема 1. Если а) поверхность S замкнута; б) все функ-
функции, входящие в исходные уравнения, дифференцируемы всюду в
области F, охваченной контуром 2; в) р = const и б = const всюду
в области V, то Г-интегралы любого рода равны нулю.
Из этой теоремы вытекает инвариантность Г-интегралов.
Теорема 2. Г-интегралы не изменяют своего значения вдоль
любой замкнутой поверхности 2, охватывающей особую точку,
особою линию или особую поверхность. Поверхность 2 можно
5* 67
произвольно деформировать, не изменяя величины Г-интегралов,
если при деформировании поверхность 2 не пересечет особую
точку, особую линию или особую поверхность.
Теорема 3. Если незамкнутая поверхность 2 ограничена
пространственным контуром L, то Г-интегралы не изменяют свое-
своего значения при любом деформировании поверхности 2, если:
а) контур L фиксирован, б) поверхность 2 при деформировании
не пересекает особую точку, особую линию или особую поверх-
поверхность.
Эти теоремы справедливы для сплошной среды с любыми рео-
реологическими и электромагнитными свойствами. В случае отсут-
отсутствия электромагнитного поля (E = D = H — В = 0) для нелиней-
нелинейной теории упругости Г-интегралы принимают вид
Щ — <JijUi,kn3| <*2, (9.4)
Гы - j [(и + 1 ри4и4) nk - (aijUUh)tl щ] dZ (9.5)
2
и т. д.
Вычисление этих интегралов вдоль контуров, охватывающих
особые точки, приводит к величине с размерностью силы; вокруг
особой линии — с размерностью силы, деленной на длину; вокруг
особой поверхности — силыл деленной на квадрат длины.
В механике разрушения кромка трещины представляет собой
особую линию (линию сингулярности) упругого поля, и поэтому
можно воспользоваться соответствующими Г-интегралами для изу-
изучения закономерностей развития трещины.
Вычислим Г-иптеграл первого рода для полубесконечной тре-
трещины в плоскости в условиях плоского напряженного состояния
или плоской деформаций. Пусть кромка трещины совпадает с
линией Xi = х2 = О, а берега трещины вдоль х2 = 0, хх < 0 свобод-
свободны от внешних нагрузок. Вблизи фронта трещины упругое поле
описывается комплексными потенциалами [187, 307]
JC iff
^ О()
f
^ ()
С учетом этого вычисление по формуле (9.4) дает
Г = - *±i [(Kl + Kb) i + 2K1KIIil
Полученную величину можно трактовать как силу, стремящуюся
сдвинуть кромку трещины.
Рассмотрим некоторую точку О на особой линии (совпадаю-
(совпадающей с кромкой трещины). Выберем локальную подвижную систе-
систему координат с центром в точке О, направив ось х& вдоль этой
линии. Пусть при t > t0 особая линия в окрестности точки О
начала двигаться в пространстве со скоростью \(vit v2. 0). В по-
68
движной системе координат все Г-интегралы сохраняют свой вид,
если произвести замену неподвижных координат на подвижные,
а скоростей перемещений на Mi — vt. При продвижении точки О
особой линии на расстояние dt — \dt внешнее поле производит
работу dA. Величина этой работы связана с Г-интегралом первого
рода (который, как отмечалось, равен силе на единицу длины
особой линии):
dA — Tidxi (dxt = v4t), (9.7)
или
Г,_|?. (9.8)
Отсюда следует физический смысл Г-интеграла первого рода: зна-
значение Т{ равно необратимой работе внешнего поля при продви-
продвижении особой точки на единицу длины вдоль Xi. Скорость же дис-
диссипации в особой точке равна
(9.9)
Теперь аналогично рассуждениям, приведенным в § 3 (см., на-
например, C.1)), из (9.7) с учетом (9.6) можно записать условие
+ Kh)z + {2КгКиу = const, (9.10)
устанавливающее начало движения трещины в рассматриваемой
точке ее кромки.
§ 10. Условия локального разрушения пьезоэлектриков
(ПК-критерии)
Развитие электроники, электроакустики, измерительной тех-
техники привело в последние юды к интенсивному развитию новых
областей физики диэлектриков. Одно из таких направлений свя-
связано с изучением линейного взаимодействия электрических, ме-
механических и тепловых полей при пьезо- и пироэлектрическом
эффекте. В настоящее время существуют различные технические
устройства, в которых успешно используется явление пьезоэффек-
та. Пьезоэлектрические материалы широко применяются в дефек-
дефектоскопии, в электроакустических преобразователях, в радиотех-
радиотехнических устройствах типа резонаторов, полосовых фильтров,
ультразвуковых линий задержки и т. д. Особое внимание исследо-
исследователей к таким материалам, как пьезоэлектрики, связано с явле-
явлением пьезоэффекта, обнаруженным братьями Кюри в 1880 г. Это
явление состоит в том, что при деформировании кристаллов не-
некоторых кристаллографических классов на их поверхностях по-
появляются электрические заряды, пропорциональные величине де-
деформации. Термодинамический анализ показывает существование
обратного эффекта, который проявляется в возникновении меха-
механических напряжений в кристалле при действии электрического
поля. Характерной особенностью пьезоэффекта является его связь
со свойствами кристаллической решетки и, следовательно, с сим-
симметрией кристалла. Можно показать, что пьезоэлектрический эф-
эффект наблюдается только у кристаллов, не обладающих центром
симметрии и, таким образом, пьезоэлектрические материалы явля-
являются существенно анизотропными.
В начале 50-х гидов были созданы пьезоэлектрические мате-
материалы, представляющие собой поликристаллический твердый ра-
раствор монокристаллов, вектор поляризации которых ориентирован
сильным внешним электрическим^полем. Открытие пьезокерами-
ческих материалов, обладающих рядом преимуществ по сравне-
сравнению с традиционными монокристаллами, значительно повысило
интерес к исследованиям прочности и разрушения пьезоэлектри-
пьезоэлектрических материалов с использованием методов механики сплош-
сплошной среды, электродинамики и кристаллофизики.
К настоящему моменту достигнут существенный прогресс в
исследовании разрушения материалов при действии механических
и тепловых нагрузок. Однако разрушение материалов при нали-
наличии связанных полей различной природы (например упругого,
теплового и электрического) до сих пор не изучено. В связи с
этим представляет интерес обобщение методов механики разру-
разрушения на пьезоэлектрические материалы.
Как уже отмечалось в теории трещин, наиболее важным яв-
является формулировка условия локального разрушения в данной
точке контура трещины, которое
можно, например, получить в резуль-
результате определения потока энергии при
образовании трещины.
Рассмотрим два деформирован-
деформированных состояния пьезоэлектрического
тела, содержащего трещину произ-
вольной формы [104, 105, 385]. Бу-
т» лп, тт а дем предполагать, что объемные си-
Рис. 10.1. Деформируемое те- rt *
ло с растянутой трещиной. лы и свободные заряды отсутствуют.
Пусть crgJ,eS}\ и\°\ ф@)—компонен-
ф@)—компоненты тензоров напряжений и деформаций, вектора смещений, а так-
также электрический потенциал в некотором начальном состоянии
тела «0», а о$ j' )
$\
<рA)—соответствующие величины в со-
сой
стоянии «1», для которого часть двусторонней поверхности трещи-
трещины получает приращепие А2! (рис. 10.1). В согласии с линеаризо-
линеаризованной постановкой задачи граничные условия формулируются на
поверхности Е + AS. Запишем выражение для внутренней энергии
тела в состояниях «0», «1»:
Uih) = |
+
(к « 0,1). A0.1)
Здесь, как и раньше, Д —вектор электрической индукции, Et=±
— — фj — вектор напряженности электрического поля. Найдем
70
приращение внутренней энергии при переходе из состояния «О»
в состояние «1»:
AU = |] [MS>eg> - ojpij?) + (Bj'fcj» - EfDf)] dV =
V
1 IMP + "8') W -
V
Используем уравнения равновесия и уравнения Максвелла
<jg!i-O, D{3 = 0 (к = 0,1), (Ю.З)
а также уравнения состояния пьезоэлектрической среды
оц= с?шгы — eijkEh, Ог=екигш-\-г^Ек (ъ, /, М - 1, 2,3). A0.4)
Здесь cfjhi—модули упругости среды, e,jfc — пьезоэлектрические
модули, eift —адиабатические диэлектрические постоянные, Ek —
компоненты напряженности электрического поля, eftz — компонен-
компоненты тензора деформаций.
Подставив A0.4) в A0.3), получаем
С учетом этого соотношения преобразуем объемный интеграл
A0.2) в поверхностный, учитывая, что в силу непрерывности щ,
Gij, ф, Di в областиV справедливы равенства
J olfnjiifdS - 0, \ D^0)n^l<>)dS = 0. A0.6)
AS AS
В результате получим
, A0.7)
где ААх — приращение работы внешних сил и поля на поверхно-
поверхности 2, л4д2 — поток энергии при образовании ^разрыва.
При отсутствии внешней механической нагрузки и свободных
электрических зарядов на поверхности трещины
A0.8)
Здесь интегрирование совершается по двум поверхностям A2i,
АЕ2 дополнительного разрыва, а нормали на ASi, AS2 направлены
внутрь трещины.
Используя выражение C.2) запишем условие распространения
трещины:
A0.9)
71
где, как всегда, f — плотность поверхностной энергии. С учетом
формулы A0.8) условие A0.9) принимает вид
AS-t-»o ! J
AS,
Здесь [и?*] = "i1>+ — м$х)~» [фA)] — Ф<1)+ — ФA)~ — скачки вектора
смещений и электрического потенциала на поверхности A5V
В малой по сравнению с размерами тела и трещины окрестно-
окрестности произвольной точки контура трещины среда находится в ус-
условиях плоской задачи, и при изучении процесса деформирования
можно рассматривать трещину как полубесконечную и прямо-
прямолинейную. При этом для напряжений, смещений, электрического
потенциала и электрического поля можно использовать соответ-
соответствующие асимптотические распределения в малой окрестности
точки контура трещины.
Пусть пьезоэлектрическая среда отнесена к произвольно ори-
ориентированной прямоугольной системе координат хк (& = 1, 2, 3),
а прямолинейная трещина длиной 2Z(l;r1! < I) расположена в плос-
плоскости х& *= 0. Предполагая, что электроупругое состояние не за-
зависит от координаты х$ и па берегах трещины отсутствуют сво-
свободные заряды и механическая нагрузка, условие распростране-
распространения трещины запишем так (см. C.4)):
2т = 4 Hm i, f |a? (xlt 0, l) [щ (xlt 0,1 + M)] +
* AZ->0 Ai f
+ Dt (*lf 0, l) [Ф (*ь 0,1 + A/)]! **i. A0.il)
Здесь ot2(^i,0,l),D^ (хи0, I) — компоненты напряжений и нор-
нормальная составляющая вектора электрической индукции на
продолжении трещины; [и,], [ф]—скачок вектора смещений и
электрического потенциала на трещине длиной 2{1 + АО.
Из физических соображений можно утверждать, что край тре-
трещины является своеобразным энергостоком освобождающейся
энергии, распределенным вдоль контура трещины. Следуя работам
[306, 307], введем вектор плотности энергостока Г=(Г1? Г2, Г3)
для пьезоэлектрической среды в условиях статики. Компоненты
1\ (к = 1, 2, 3) этого вектора определяются по формулам
S (Л-1,2,3), A0.12)
где С — произвольный замкнутый контур, окружающий конец
трещины, Н =^и — EiD{ — электрическая энтальпия, пк — компо-
компоненты вектора единичной нормали к С. Легко показать, что ин-
интегралы 1\ не зависят от выбора контура С, если на поверхности
трещины выполняются условия Diriit=iO, 0
72
Действительно, с учетом уравнений равновесия A0.3) и ра-
равенств
*, A0.13)
имеем (см. рис. 10.2):
rile —IMd* § [Hn1-oiiniujj
c
ci+c
= j f
1^2 = 0.
Аналогичным образом можно показать независимость от выбора
контура С интегралов Г2, Г3.
Если развитие трещины в пьезоэлектрической среде происхо-
происходит в ее первоначальной плоскости xz = 0, то условие разрушения
принимает вид [3073
ЪГ-г-г A0.14)
где ii — орт оси хи Условие A0.14)
применимо для трещин, расположен-
расположенных в плоскости изотропии матери-
материала. В общем случае анизотропии ма-
материала величина 2"( зависит от по-
положения точки О и от ориентации
плоскости трещины в этой точке.
Для трещины, которая отклоняется
на угол 9 от своего первоначаль-
первоначального положения, величина энергостока равна проекции векто-
вектора Г на направление роста трещины, и тогда критерий, определя-
определяющий начало развития трещины, имеет вид
Рис' 102- Контуры интегриро-
вания, охватывающие верши-
ну трещины.
Г(9) = I\ cos в + Г2 sin 9 - 2<у(9),
A0.15)
где *{Ш — известная из эксперимента функция 0.
Обобщим теперь интегральный вариационный принцип теории
трещин, изложенный в § 4, на пьезоэлектрические среды. Пусть
в состоянии «1» в теле отсутствует трещина, а на поверхности
тела 2 заданы внешние нагрузки и электрический потенциал ф.
Данному состоянию соответствуют напряжения о§\ вектор сме-
смещений Ui\ потенциал <рA) и вектор электрической индукции D^K
В состоянии «2» будем рассматривать тело с теми же внешними
нагрузками и потенциалом на поверхности S, что и в состоянии
«1», но имеющее трещину S, на берегах которой задана нагрузка
и потенциал. Данному состоянию соответствуют напряжения $\
смещения щ
B потенциал ф<2) и индукция D? . Наконец, в со-
73
стоянии «3» рассмотрим тело с варьированной по длине и форме
трещиной при нагрузках и электрическом поле второго состояния.
Изменение энергии 6П при переходе из одного состояния в
другое имеет вид F.3).
При переходе из состояния «2» в состояние «3» из закона со-
сохранения энергии следует:
6Г0 = 6П2-.3, r.-Jv*. A0.16)
s
Здесь Го — приток энергии, связанный с поверхностной энергией.
Если теперь воспользоваться соотношением A0.5), записанным
для состояний «1» и* «2», то легко показать, что изменение внут-
внутренней энергии 6W при переходе из состояния «1»«в «2» опреде-
определяется равенством
]
+ у J (фB) + ФA)) W ~ »(П М*. A0.17)
у J
Здесь U — плотность внутренней энергии.
Работа поверхностных сил и поля при переходе из состояния
«1» в состояние «2» может быть записана в виде
6ЛМ -. С crg> (и? - и?) щ ds+ f ФA) {Df - DP) щ ds+
A0.18)
Используя F.3), A0.17), A0.18), получим изменение энергии при
переходе из состояния «1» в 2
- hJ«) щ
бП^ - -1Г J (oif + ag>) {
+ f (ФB) + ФA>)(^-- йР)щ ds\ A0.19)
Аналогичным образом можно получить изменение энергии при
переходе из состояния «1» в состояние «Зк
J
KS+6S
+ (9W4V H^S -#r + H#r-^;)JMs • (Ю.20)
>' I
s+t>s )
74
Из уравнений A0.16), A0.19), A0.20) с учетом равенства
6П2_3 = elli-s - 611,-2
следует основное вариационное соотношение, определяющее усло-
условие развития трещины в пьезоэлектрической среде
+ (фB) + ФA)) {Df— Df)\ щ) ds - 0. A0.21)
Если в состоянии «1» отсутствуют внешняя нагрузка и поле, то
условие A0.21) принимает вид
|( \ \ ) A0.22)
8
р. = -4?Ч-. »i-«4a), ф = фB), а,-
Здесь учтено внешнее к среде положительное направление норма-
нормали к границе 5.
§ 11. Некоторые другие модельные представления
Н заключение этой главы укажем некоторые критерии разви-
развития трещин, получившие известность в механике разрушения.
1. Своеобразная трактовка разрезов-трещин как нетривиаль-
нетривиальных форм равновесия упругих тел с физически нелинейными ха-
характеристиками, предложенная В. В. Новожиловым [195, 196],
помогает понять возможную причину образования щелевидных
областей или пустот. Известно, что при увеличении расстояния
между атомами твердого тела межатомное усилие возрастает до
максимума, а затем падает. Равновесие атомов, взаимодействую-
взаимодействующих по закону нисходящей ветви этой кривой, неустойчиво. Атом-
Атомный слой, находящийся между двумя другими фиксированными
слоями, имеет одно положение неустойчивого и два положения
устойчивого равновесия. Поэтому различные причины (тепловые
флуктуации, местные несовершенства кристаллической решетки,
растягивающие напряжения от внешней нагрузки) создают усло-
условия для преодоления потенциального барьера при переходе (через
максимум силового взаимодействия) от устойчивого состояния
равновесия к неустойчивому. Видимое проявление неустойчивости
сводится к перескоку атомного слоя (точнее, его части) в новое
положение, что характерно для явления, носящего название
устойчивости.«в большом».
При потере устойчивости расстояние между слоями атомов
становится настолько велико, что' можно говорить об образовании
щелеподобной полости. Вокруг этой полости атомы находятся в
75
устойчивом положении равновесия ж обеспечивают существование
тела как целого.
С учетом этих рассуждений был введен критерий прочности
оч<Оо. (ИЛ)
Здесь имеется в виду, что при бесконечно больших напряжениях
и их градиентах, получаемых из решений линейной теории упру-
упругости в некоторых точках тела, величиной, ответственной за проч-
прочность, будет осреднепное напряжение на площадке в пределах
одного межатомного расстояния D
п = —2 \
D J
D
Критерий разрушения A1.1) является необходимым для раз-
разделения одной пары атомов. Однако поскольку рядом находятся
соседние атомы, то для определения условия развития трещины
'одного этого критерия недостаточно.
2. Критерий разрушения Ф. А, Мак-Клинтока [365] можно
записать в виде
е = ес при г=рв. A1.2)
Здесь предполагается, что распространение трещины произойдет,
когда деформация е на некотором расстоянии р, перед концом
трещины достигнет предельной величины ес. Структурный пара-
параметр р, может определяться, например, величиной зерна, расстоя-
расстоянием между включениями, параметром решетки для упругого те-
тела и т. п. Полезное приложение этот критерий находит при раз-
развитой пластической зоне перед фронтом трещины. В частности,
он позволяет описать докритическое подрастание трещины для
неустойчивой в критическом состоянии схемы нагружения тела
с трещиной.
3. Интересны соображения, впервые высказанные К. Вейхард-
том [4291. Воспользовавшись формулами B,17) для ау при у = 0,
вычислим среднее напряжения ау перед вершиной трещины на
некотором расстоянии кг:
Дг Дг
Полезно отметить, что о„(% — Дг/4) = ау.
Приняв на основании первой теории прочности, что разруше-
разрушение материала перед вершиной трещины наступает при достиже-
достижении средним напряжением предельной величины, имеем
ov = ao. A1.4)
В то же время по критерию Ирвина
Кг = Ки. C.9)
76
Сопоставив формулы (И.З), A1.4) и C.9), получаем связь
между характеристиками материала, к которым можно причис-
причислить и длину Дг [190, 3791:
в0 (АгI/2 - К*с
Здесь напряжение оо следует трактовать как величину более близ-
близкую к теоретической прочности материала, нежели к обычному
пределу прочности гладкого образца.
4. В окрестности вершины трещины по известным асимптоти-
асимптотическим формулам Дж. Си [402] вычислил плотность энергии де-
деформации (т. е. удельную величину — энергию деформации в еди-
единице объема).
Энергия упругой деформации, запасенной в объеме (плоского
тела единичной толщины) dV = rdftdr в полярной системе коорди-
координат может быть найдена по формуле
Подставив сюда напряжения B.17) и перемещения B.18), по-
получим плотность энергии деформации
%- = 7 («iA2 + 2a18«! + aa2^!i) - f. A1.6)
Коэффициенты квадратичной формы, записанной в скобках и обо-
обозначенной 5, равны
а (* + cosе) (к ~ cose)»
A1-7)
— cos 9) + A + cose)Ccose — 1)].
Эти коэффициенты зависят от упругих свойств материала и и \i.
Плотность энергии деформации обратно пропорциональна расстоя-
расстоянию г от вершины трещины. Коэффициент S при 1/г в выражении
для dW/dV отражает интенсивность плотности энергии деформа-
деформации (аналогично тому, как коэффициент К при 1/У2лг в выраже-
выражении для напряжений отражает интенсивность напряжений).
Величина
S = аХ1К\ + 2a12#i#n + а^К\г (Ц.8)
называется коэффициентом плотности энергии деформации. Она
зависит от угла 0 через коэффициенты а^ и отражает плотность
энергии деформации на некотором малом фиксированном ра-
радиусе г.
77
Отсюда вытекает следующий критерий разрушения: трещина
начинает распространяться, когда величина, S достигает критиче-
критического значения, т. е.
atlKi ¦+- 2a12^i^Tn + «22^11 = Sc> A1.9)
Величина Se предполагается постоянной материала и может
быть определена экспериментально при несимметричном, относи-
относительно линии трещины, нагружении. В частности, при деформа-
деформации пластины с трещиной по типу I имеем Кп ™ 0 и Sc оказы-
оказывается связанной с вязкостью разрушения Ки соотношением
Следует, однако, заметить, что физическая основа критериев
Ирвина и Си различна, несмотря на только что записанную связь
между 5С и К1с.
Критерий Си позволяет исследовать предельное состояние
плоского тела с трещиной посредством построения области допу-
допустимых значений Кг и Кц, ограниченной линией предельных со-
состояний, уравнение которой дается условием A1.9).
Глава II
КОЭФФИЦИЕНТ ИНТЕНСИВНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ
§ 12. Коэффициент интенсивности напряжений
как основная характеристика тела с трещиной
Расчет тела на прочность неразрывно связан с определением
его напряженного состояния. Это необходимо не только в целях
нахождения опасной точки и компонент напряженного состояния
в ней, но и для суждения о прочности материала в этой точке,
так как большинство критериев наступления опасного состояния
выражается именно через компоненты напряжённого состояния.
Для многих тел и схем нагружения определение напряженного
состояния в опасной точке сводится к вычислению коэффициентов
концентрации напряжений. Эти коэффициенты представляют со-
собой отношение максимального значения какой-либо компоненты
тензора напряжений к соответствующему номинальному значению
и, таким образом, выражаются безразмерными числами.
При наличии в теле трещины для суждения о характере ее
распространения и тем самым для суждения о прочности также
необходимо знание напряженного состояния. Задача определения
панряженного состояния около конца трещины отличается от обыч-
обычных задач определения концентрации напряжений тем, что гео-
геометрически линеаризованная, постановка краевых условий и
физически линейная теория упругости приводят к бесконечным
напряжениям и бесконечным градиентам напряжений в конце
тонкого разреза. При этом понятие коэффициента концентрации
напряжений теряет смысл. Разумеется, можно было бы пытаться
сохранить числовое безразмерное выражение коэффициента кон-
концентрации напряжений посредством учета сложных детальных
особенностей деформации материала у конца разреза. Однако для
решения задач о трещине совсем не обязательно интересоваться
детальными процессами, идущими в весьма малой окрестности
конца разреза [155, 168]. Достаточно знать характер и интенсив-
интенсивность напряженного состояния в области, окружающей конец
разреза вместе с малым объемом, где сосредоточен механизм раз-
разрушения (рис. 12.1). Это означает отказ от использования коэффи-
коэффициента концентрации напряжений в пользу асимптотического
79
представления напряженного состояния у конца разреза. Радиаль-
Радиальное и угловое распределения для асимптотики напряженного со-
состояния не зависит (см. § 2) от длины трещины, формы тела и
схемы действующих нагрузок. Интенсивность же этого распреде-
распределения зависит только от одного сомножителя К, который, наобо-
наоборот, не зависит от координат точек вблизи конца разреза. Сле-
Следовательно, процессы разрушения материала инициируются и уп-
управляются интенсивностью (окружающего конец трещины) поля
напряжений, характеризую-
характеризующейся коэффициентом интен-
интенсивности напряжений К.
В отличие от коэффициента
концентрации коэффициент
интенсивности напряжений
есть размерная величина
(в технике кГс • см~3/2 =
= 0,31 МПамш).
Перед концом трещины
для большинства- реальных
материалов возникает более
или менее развитая пласти-
пластическая зона, причем даже ес-
если протяженность этой обла-
области будет доходить до 20%
Рис. 12.1. Распределение напряжений Длины трещины, то поле на-
наперед концом хрупкой трещины: /— пряжений вокруг пластиче-
область номинальных напряжений, Я— ской зоны все еще определя-
область справедливости асимптотиче- ется асимптотическими фор-
ских формул, ///^-область больших тт ^ *
нелинейных деформаций и реализации мулами. Поэтому и размер
механизма разрушения. пластической области, и ин-
интенсивность пластических де-
деформаций в ней целиком контролируются коэффициентом интен-
интенсивности напряжений К и свойствами материала. Надо только
оговорить, что для справедливости положений линейной механики
развития трещин при вычислении коэффициента К следует искус-
искусственно (фиктивно) увеличить длину (или полудлину) трещины
на половину длины пластической зоны. Эта процедура носит на-
название пластической поправки Ирвина [124].
Вследствие большой концентрации напряжений и деформаций
у конца разреза их значение не может быть определено с по-
помощью линейной теории упругости. В этом случае для определе-
определения напряжений и деформаций следует использовать, например,
методы теории пластичности. С ростом внешней нагрузки растет
и область, в которой начинают проявляться нелинейные эффекты.
Если размеры этой области малы по сравнению с длиной трещи-
трещины, то ее наличие можно учесть приближенно по Ирвину.
Пусть на расстоянии г = г„ от конца трещины (при 8 => 0) нап-
напряжение оу достигает предела текучести ат. Тогда из равенства
80
= о, находим радиус пластической зоны
где в критический момент Ki = Кс при плоском напряженном
состоянии. Плоская деформация при объемном напряженном
состоянии растяжения уменьшает долю касательного напряжения
и пластическая зона уменьшается — разрушение будет более
хрупким, а напряжения при разрушении более низкими.
При плоской деформации полагают, что радиус пластической
зоны примерно втрое меньше, чем при плоском напряженном
состоянии, т. е.
гу = Т^ или иногДа гу = ,-,/уС 2-
Из. условия равновесия следует, что длина пластической зоны
должна быть больше г„. Фактическая протяженность d пластиче-
пластической зоны в направлении трещины равна 2гу. Действительно, если
считать, что в пределах г„ напряжения релаксируют до нуля, то,
во-первых, это эквивалентно увеличению длины трещины на г„,
а во-вторых, при новой длине трещины I + гу напряжения вне ее
пластической зоны распределяются по такому же закону, что и
для трещины с длиной I. Таким образом, длина пластической
зоны равна
и, если считать, что пластическая область имеет форму круга, то
гу — его радиус.
Получаем, что для учета пластической зоны достаточно в фор-
формуле коэффициента интенсивности напряжений заменить полу-
полудлину трещины I на I + гу. В этом и состоит так называемая по-
поправка на пластическую деформацию при вычислении Ке по фор-
формуле для К. Эта поправка расширяет область справедливости ли-
линейной механики разрушения: по разрушающим напряжениям в
сторону их увеличения, по критическим длинам трещин — в сто-
сторону их уменьшения. При плоской деформации пластическую по-
поправку (в силу ее малости) можно не вводить.
Поскольку малая пластическая зона окружена упругим полем,
характеризующимся значением К, то размеры пластической зоны
и величина деформаций внутри этой зоны зависят от величины
коэффициента К, а также от сопротивления материала пластиче-
пластической деформации.
Размеры пластической зоны зависят также и от степени стес-
стеснения поперечной деформации (вдоль переднего края трещины).
В свою очередь степень стеснения деформации зависит от толщи-
толщины плоского образца, с увеличением которой напряженное состоя-
состояние изменяется от плоского (ог = 0) к объемному при плоской
деформации (az = v(ax + о„)).
6 в. 3. Партон, Е. М, Морозов 81
В результате пластического течения кончик трещины будет
затупляться. Полагая, что центр круговой (по Ирвину) пласти-
пластической зоны располагается в конце фиктивной длины трещины,
вычислим пластическое раскрытие б в вершине действительной
трещины.
Из формул B.18) при 6 = 0, г — (I + г„) — I — rv пластическое
раскрытие (затупление) при плоском напряженном состоянии
оказывается равным
о _ iv - т у Тп - я Еа^ = Еа^ - —. {\г.б)
Полученное раскрытие находится в согласии с соотношением
G.3).
Из сказанного выше видна определяющая роль коэффициента
интенсивности напряжений в механике разрушения, что связано
с рассмотрением коэффициента интенсивности напряжений как
объекта аналитического или экспериментального исследования.
Таблицы аналитических выражений коэффициентов интенсив-
интенсивности напряжений для тел различных конфигураций и схем на-
гружения приведены в книгах [1, 2, 12, 21, 22, 123, 140, 141, 198,
209, 214, 242, 247, 258, 298, 306, 443]. Изучению влияния этого
коэффициента на закономерности роста трещины, а также опре-
определению коэффициента интенсивности напряжений в разнообраз-
разнообразных новых задачах посвящена значительная часть излагаемого
в этой книге материала.
§ 13. Метод конечных элементов в механике разрушения
Решение задач механики деформируемого тела для областей
с разрезами (трещинами) связано с известными математическими
трудностями вследствие наличия особых (сингулярных) точек.
Большинство этих задач эффективно может быть решено только
с применением ЭВМ. Среди вычислительных методов в задачах
механики разрушения в настоящее время наиболее широкое рас-
распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). Про-
Произошло это вследствие универсальности метода, хорошо разрабо-
разработанной теории и наличия значительного количества вычислитель-
вычислительных программ, реализующих МКЭ. Немаловажным обстоятель-
обстоятельством является то, что конечный элемент представляет собой
объект хорошо понятный инженеру, что особенно полезно при
моделировании таких явлений, как развитие трещины.
Можно выделить различные аспекты использования МКЭ в
задачах механики разрушения [165, 1661. Первое — это расчет
тарировочных зависимостей параметров, контролирующих разру-
разрушение (коэффициентов интенсивности напряжений, контурного
/-интеграла и т. д.) для областей различной формы. Второе, весь-
весьма многообещающее направление применения МКЭ,— моделиро-
моделирование процессов разрушения или поведения тел с неподвижной
82
трещиной в таких условиях, для которых не построены еще
точные математические модели. Особенно полезны такие вычисли-
вычислительные эксперименты в сочетании с натурными экспериментами.
Третьей, чрезвычайно важной для практики, областью примене-
применения МКЭ является анализ прочности реальных конструкций с
точки зрения сопротивления хрупкому разрушению. .
1» Основные соотношения МКЭ. Метод конечных элементов
основан на предположении, что тело можно представить в виде
набора элементов, соединенных друг с другом только в узлах.
Связь узловых усилий с узловыми перемещениями задается с по-
помощью матрицы жесткости элемента. Объединение матриц же-
жесткости отдельных элементов в глобальную матрицу жесткости
тела позволяет записать условия равновесия тела. При заданных
действующих нагрузках или перемещениях и при известной гло-
глобальной матрице жесткости решение системы алгебраических
уравнений равновесия позволяет найти все узловые усилия, а по
ним — напряжения и перемещения в пределах каждого элемента.
Тем самым напряженно-деформированное состояние тела стано-
становится определенным [59].
Запишем теперь вышеперечисленные соотношения в матрич-
матричном виде. Определение упругих перемещений с помощью МКЭ
сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений
[?]{<?} = Ш, A3.1)
где [Ю — глобальная матрица жесткости, {Q) — глобальный век-
вектор перемещения узлов, {F} — глобальный вектор нагрузки, пред-
представляющий собой сумму реальной нагрузки {Р} и фиктивных
усилий вследствие наличия начальных (например температурных)
деформаций Ш):
{F) = (Р) + {#}.
Локальные матрицы и векторы для одного элемента также удов-
удовлетворяют уравнению равновесия
Здесь малыми буквами обозначены соответствующие локальные
величины.
Процесс перехода от набора локальных величин к глобальным
называют сборкой. После решения системы уравнений равновесия
A3.1) локальный вектор перемещений элемента iq) находят при
помощи операции выборки.
Знание перемещений дает возможность определить деформа-
деформации (е) и напряжения (а):
Здесь [В] — матричный дифференциальный оператор, [D] — мат-
матрица упругости, {ет} — вектор термических или других начальных
деформаций.
6* ' 83
Матрицу жесткости и фиктивную нагрузку от температурного
воздействия обычно вычисляют при помощи численного интегри-
интегрирования по объему элемента V (верхний индекс т означает
транспонирование):
[к] - f [B\T [D] [В] dV, [h] = f [В? [D] {eT} dV.
v v
При решении нелинейных задач уравнение A3.1) записывают
в форме приращений, а решение получают последовательным
суммированием ряда приращений, полученных на каждом шаге
счета.
Далее рассмотрим особенности применения МКЭ в линейной
и нелинейной механике разрушения.
2. Линейная механика разрушения. Одна из трудностей рас-
рассмотрения тел с трещинами состоит в том, что решение с исполь-
использованием обычных элементов обладает
весьма медленной сходимостью к точ-
точному. Поэтому обычно при построении
дискретной модели сингулярную точку
окружают некоторым количеством спе-
специальных элементов, интерполирующие
* функции которых построены с учетом
асимптотического решения в этой об-
2 ласти. Рассмотрим принципы построе-
построения этих элементов, а затем вопросы
расчета коэффициентов интенсивности
и другие аспекты применения МКЭ в
упругих задачах о трещинах.
Специальные элементы. Простейший
четырехугольный элемент показан на
рис. 13.1. Наиболее распространенный
выбор функции перемещений в пределах элемента состоит в их
параметрическом задании с помощью локальных координат — 1 ^
У
Рис. 13.1. Изопараметриче-
ский линейный элемент.
м
Кг
A3.2)
где q — вектор перемещений в произвольной точке элемента с
компонентами по осям их, щ; ^ — перемещения узлов; Л/< —ин-
—интерполирующие функции (функции формы). Если для интерпо-
интерполяции перемещений и глобальных координат х, у используются
одни и те же функции, то элемент носит название изопараметри-
ческого.
Для линейного четырехугольника, показанного на рис. 13.1,
функции формы равны
N, (I,
A - ЙО A -
A3-3)
84
где |i, Tj,- — локальные координаты узлов. В этом случае переме-
перемещения являются линейными функциями координат, а сам эле-
элемент называется линейным.
Перепишем выражения B.17)—B.21) для распределения нап-
напряжений о(, и перемещений щ в окрестности вершины трещины
в несколько ином виде:
« (9) + ЛГпЧЧ, (в)], Щ = Jj- Y± [KjFi(в) +
. A3.4)
Здесь г, 0 — полярные координаты точки; /«, q>«, F*, Ф< — комби-
комбинации тригонометрических функций. Сопоставление полей пере-
перемещений A3.2), A3.3), с перемещениями A3.4) показывает, что
при использовании линейных элементов трудно ожидать быстрой
сходимости к точному решению.
Совмещение узлов 1 и 4 четырехугольного элемента дает тре-
треугольник, изображенный на рис. 13.2,
для которого распределение переме-
перемещений при условии qt = qk будет
следующим:
Ч = A - р) Чх + |- р A - Л) Чг +
A3.5)
Рис. 13.2. Треугольный эле-
элемент, полученный вырожде-
Заменив здесь параметр р на рх нием четырехугольного.
(К — степень асимптотики перемещений в окрестности вершины),
получим
+ 4
я = A -
+ у
A — л)
~ г))(д, -
+
Ч) (9в -
Для описания распределения перемещений в вершине трещины
согласно A3.4) следует положить % = 1/2. При этом [329, 422]
'ф^*?. A3.7)
Здесь так называемые /^-координаты связаны ^ введенными ло-
локальными координатами соотношениями
о
Р
Р
Элементы с функциями общего вида A3.7) были ломимо однород-
однородного материала успешно использованы и для решения задач о
трещине, вершина которой располагается на границе раздела двух
85
материалов с различными упругими свойствами. Аналогичные
функции перемещений могут быть построены и для более слож-
сложных элементов, имеющих большее число узлов.
Требуемую в теории трещин асимптотику можно также полу-
получить введением промежуточных узлов квадратичного изопарамет-
рического элемента на четверти длины стороны по направлению
к вершине трещины (рис. 13.3). Проил-
Проиллюстрировать это можно следующим
образом. Для обычного регулярного эле-
элемента параметр р дается соотношением
A3.5), а локальная координата | и гло-
глобальная х, отсчитываемая вдоль сторо-
стороны элемента, связаны линейным соот-
соотношением (рис. 13.4, а).
Для сингулярного элемента типа
A3.6) с А,-1/2
Рис. 13.3. Квадратичный
изопараметрический эле-
рА, =
при условии линейной пропорциональ-
пропорциональности координат | и х. Сдвинем теперь
промежуточный узел квадратичного элемента в точку х = 0,25,
оставляя функции формы неизменными. Тогда, хотя р и |
связаны соотношением A3.5), но зависимость между | их ста-
становится нелинейной, вследствие чего график р в зависи-
зависимости от координаты х выглядит так, как показано на рис. 13.4, б.
Р
1
0,5
О
0,5
0,25
О
о-
6)
Рис. 13.4. Изменение параметра р в обычном (а) и сингулярном (б) квадра-
квадратичных элементах.
Поскольку перемещения q пропорциональны р, то достигнуто
желаемое распределение перемещений. Смещением промежуточ-
промежуточного узла можно продолжить моделирование асимптотики пере-
перемещений и в элементах, непосредственно не примыкающих к
вершине трещины [166].
Нетрудно аналогичным образом добиться нужного распределе-
распределения перемещений и в изопараметрических элементах более высо-
86'
ких порядков. Расположение промежуточных узлов для обеспече-
обеспечения сингулярности изопараметрических элементов третьего и чет-
четвертого порядков показано на рис. 13.5. Расчеты, выполненные
с применением специального элемента третьего порядка (куби-
(кубического) [390], показали, что с точки зрения времени вычислений
Рис. 13.5. Сингулярные изопараметрические* элементы третьего и четверто-
четвертого порядков.
его применение предпочтительнее, чем квадратичного элемента
со сдвинутыми узлами.
Еще один подход к созданию специальных элементов состоит
в использовании функций Колосова — Мусхелишвили для описа-
описания напряженно-деформированного состояния в элементе, вклю-
включающем вершину трещины (рис. 13.6) [47, 297]. В пределах поли-
полигонального элемента перемещения задаются функцией типа
-Уг
Т
-—гпв
2
спе
d«xe
-i-i(n-2)^
Коэффициенты с„, dn определяются перемещениями узлов эле-
элемента и, следовательно, число членов
разложения равно числу узлов эле-
элемента. Недостатком таких элементов
является несовместность перемеще-
перемещений при их стыковке с обычными
элементами, имеющими полиномиаль-
полиномиальные интерполирующие функции.
Преодолеть этот недостаток можно
с помощью матрицы жесткости, по-
получаемой на основе смешанного ва-
вариационного принципа, когда вводят-
вводятся независимые функции перемеще-
Рис. 13.6. Специальный син-
сингулярный элемент с вершиной
трещины.
ний внутри элемента и на границе [350].
При создании оптимальных дискретных моделей для расчета
коэффициента интенсивности напряжений выяснилось, что для
обеспечения точности результатов нужно сгущать сетку в области
87
вершины трещины. Заметим, что обычный прием оценки сопро-
сопротивления разрушению состоит в том, что вначале рассчитывается
тело без трещины, а затем вводятся трещины в разных местах
конструкции; перестроение же сетки — трудоемкая процедура.
Более эффективно такие расчеты могут быть выполнены с при-
применением макроэлементов, которые, например, могут быть ис-
использованы для замещения любого изопараметрического 8-узлового
элемента, как показано на рис. 13.7. При этом внутреннее
Рис. 13.7. Макроэлемент, включающий трещину.
построение макроэлемента не регламентировано и может быть
таким, чтобы отвечать целям расчета.
Процедура построения трехмерных сингулярных элементов
аналогична* двумерному случаю. При этом моделирование асимп-
асимптотики осуществляется в плоскости, перпендикулярной фронту
трещины, а элементы чаще всего имеют вид трехгранной призмы
[421].
Определение коэффициентов интенсивности напряжений, Все
известные способы вычисления коэффициентов интенсивности
напряжений можно разделить на асимптотические и энергетиче-
энергетические. Вначале рассмотрим способы вычисления Кг на примере
симметричной деформации берегов трещины, а в дальнейшем
обобщим эти методы на случаи плоских несимметричных трещин
и трехмерных задач.
2.1. Асимптотические методы. В асимптотических
методах для нахождения коэффициента интенсивности напряже-
напряжений Кг применяют выражения, дающие распределение напряже-
напряжений в малой окрестности Еершины трещины A3.4). Если в ре-
результате решения получены надежные значения напряжений и
перемещений точки (г, 0), близкой к вершине, то коэффициент Кг
можно вычислить так:
v У2яг к 2ц~\/2п а^о\
88
Расчет Кг с приемлемой точностью без использования спе-
специальных элементов предполагает такие мелкие сетки, что стано-
становится очевидной необходимость лучшего моделирования напря-
напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины. На
начальном этапе использования МКЭ в механике разрушения
предпринимались попытки обойтись без специальных элементов в
прямых методах (например, двухступенчатый расчет: на грубой
сетке определяются перемещения для всего тела, затем рассчиты-
рассчитывается малая область у вершины трещины с граничными условия-
условиями, полученными из первого расчета). Однако это не нашло ши-
широкого распространения из-за слож-
сложности достижения требуемой точ-
точности.
Поскольку обычно напряжения
вычисляют путем дифференцирова-
дифференцирования перемещений, то первая форму-
формула A3.8) дает большую погрешность
чем вторая. Поэтому почти всегда
асимптотические методы основывают
па перемещениях и стремятся повы-
повысить точность результата за счет раз-
различных процедур экстраполяции.
Если зафиксировать направление
6 = const и рассчитать Кх при раз-
различных координатах г, то можно по-
получить некоторое значение Кг при
г = 0. Эту операцию можно выпол-
выполнить линейным экстраполированием
вдоль линии узлов, принадлежащим
разным элементам, однако удобнее
эту экстраполяцию проводить в пре-
пределах одного сингулярного элемента рис. 13.8. Линейная (б) и ква-
при наличии в нем промежуточных дратичная (в) экстраполяция
узлов.
Если для квадратичного элемента
со сдвинутыми на четверть стороны
промежуточными узлами (рис. 13.8, а)
провести линейную экстраполяцию значений Ki вплоть до вер-
вершины трещины (рис. 13.8,6), то получим (L — длина стороны
элемента)
2A V'5Г
«=
коэффициента интенсивности
напряжений к вершине тре-
трещины.
В случае линейной экстраполяции по координате Уг будем
иметь (рис. 13.8, в)
A3.10)
89
Кг - 2Кг (L/4) -
В обоих соотношениях подразумевается, что перемещения отсчи-
тываются из вершины трещины. Экстраполяция по формуле
A3.10) совпадает с формулой, полученной в работе [421], в кото-
которой для вычисления Кг использован коэффициент при Уг в интер-
интерполирующей функции. ,
Другой способ улучшения точности расчета Кг по перемеще-
перемещениям Г 337] предполагает, что контур трещины в некоторой окре-
окрестности вершины может быть описан уравнением эллипса. Тогда
коэффициент интенсивности можно рассчитать по перемещениям
щ узлов на поверхности трещины:
1
V'
Здесь I — длина краевой трещины или полудлина внутренней
трещины. Поправка г/{21) позволяет улучшить значения Kh опре-
определяемые по перемещениям узлов, отстоящих на некотором рас-
расстоянии от вершины трещины.
2.2. Энергетические методы. В энергетических мето-
методах определения коэффициента интенсивности напряжений ис-
используют его связь с производной потенциальной энергии П по
длине трещины I
Е' ~" дГ
(Е' = Е для плоского напряженного состояния и Е' = Е/({ — v2) —
для плоской деформации).
Используя соотношения п. 1, выражение для потенциальной
энергии можно представить в двух следующих формах:
(i3.li)
П - 4 Ы Щ Ы - &ПЛ + Ег (ет = 4 j {гту [D] {eT \
A3.12)
Здесь потенциальная энергия записана для одного конечного эле-
элемента, а для всего тела ее можпо получить простым суммирова-
суммированием по элементам или переходом по правилам сборки от локаль-
локальных к глобальным величинам.
Продифференцировав выражение A3.11) по длине трещины,
получим
отбросив члены, отражающие изменение нагрузки и температур-
температурного поля с ростом трещины, и записав простейшую конечно-
конечного
разностную аппроксимацию производной, придем к выражению
5 = яг, «0*+*+ {?»*{/}.
гы
A3.13)
Вычисление Kt по A3.13) носит название метода податливости
в МКЭ. Знак суммирования по всем элементам здесь опущен. Этот
метод с успехом реализуется посредством решения двух задач для
трещин разной длины (I и 1 + А1).
Экономичная модификация метода податливости [23] основана
на том, что поле перемещений {Q}, для тела с длиной трещины
i
У
i У
l+Al
i
-i-
J
5
П
n
г
F
Рис. 13.9. Представление решения для тела с трещиной длиной I в виде су-
суперпозиции двух решений для тел с трещиной I + Ы,.
I можно представить в виде суперпозиции перемещений {Q)i+m
от исходной нагрузки Р и перемещений {Qjf+ы от нагрузки F,
закрывающей трещину (рис. 13.9):
{Qh = {Q}f+M + {«Г+д|.
Для нахождения неизвестной нагрузки F можно вначале найти
решение уравнений равновесия для тела с трещиной Л- AZ с Дву-
Двумя правыми частями — от действия исходной нагрузки Р и не-
некоторой силы Fi, приложенной в точке I перпендикулярно линии
трещины. Затем определяем F из условия
и находим нужное для суперпозиции поле перемещений
В дальнейшем при закрытии трещины перемещения тела будут
определяться суммированием исходного поля с полями переме-
перемещений от нескольких вспомогательных сил F,, величины которых
являются решением системы линейных алгебраических урав-
уравнений.
91
Если продифференцировать соотношение A3.12), то
Вычисление Кг по A3.14) носит название метода виртуального
роста трещины [351]. Такая, форма записи выражения для вы-
вычисления Кг не содержит производных перемещений и, следова-
следовательно, позволяет обойтись единствен-
единственным решением уравнений равновесия.
Производная матрицы жесткости эле-
элемента [дк/дп находится при помощи из-
изменения положения вершины трещины,
при котором меняется геометрия элемен-
элементов, окружающих вершину (рис. 13.10):
Рис. 13.10. Сдвиг узла в
вершине трещины.
[к]
1+М
Для вычисления коэффициента интенсивности напряжений
можно также использовать /-интеграл (см. (8.6)).
Известна модификация этого интеграла с целью обеспе-
обеспечения его инвариантности в случае термического воздей-
воздействия [436]
/*=/
ds.
Здесь S — площадь внутри контура,
а — коэффициент термического рас-
расширения, Т — температура.
Один из способов вычисления
/-интеграла для любых изопарамет-
рических элементов состоит в том,
что контур интегрирования проводит-
проводитРис. 13.11. Отрезок контура ин-
инся через точки интегрирования мат- тегрировэния в квадратичном
риц жесткости элементов. На элементе.
рис. 13.11 показан отрезок контура
в пределах одного квадратичного элемента. Интегрирование целе-
целесообразно выполнить по локальной координате 1
1 ^
, _ dv\dx]
-1
A3.15)
Производную dv/dx легко подсчитать с помощью матрицы
Якоби, используемой для перехода от локальных координат к
глобальным (производные dx/d^ Ayld\ прямо содержатся в мат-
матрице Якоби).
92
Заметим, что методика расчета /-интеграла вдоль сторон эле-
элементов посредством интегрирования по методу трапеций приводит
к меньшей точности, чем по формуле A3.15). Для получения же
высокой точности интегрирования вдоль сторон необходима ме-
методика, обеспечивающая малую погрешность приведения к узлам
Рис. 13/12. Последовательное усложнение дискретной модели из трех эле-
элементов при повышении степени полинома р.
напряжений и других величин, зависящих от производных пере-
перемещений.
2.3. Методы с применением адаптируемых ко-
конечных элементов. Под адаптируемым вариантом метода
конечных элементов понимают достижение лучшей точности ре-
решения посредством увеличения
степени интерполирующих по-
полиномов при неизменных очер-
очертаниях элементов. Это означает,
что на сторонах элементов вво-
вводятся повые промежуточные уз-
узлы, что и позволяет повысить
степень полиномов. Новые узлы
могут вводиться как всюду, так
и только в некоторых областях
модели, где необходимо повы-
повысить точность вычислений. По-
Поскольку интерполирующие фун-
функции более высокого порядка
#44
•6,6V-
3,4
3,2
Предельное значение
Рис. 13.13. Зависимость потока уп-
упругой энергии G от числа степеней
свободы дискретных моделей при
разных степенях (числа в скобках)
полинома р.
содержат функции более низко-
низкого порядка, то их можно ис-
использовать для экономии вычис-
вычислений при усложнении модели.
Рис. 13.12 иллюстрирует услож-
усложнение дискретной модели из
трех элементов (р — степень
полинома), примененной для идеализации четверти растягиваемой
пластины с внутренней трещиной в одну треть ширины. На
рис. 13.13 показана скорость освобождения упругой энергии G в
зависимости от числа степеней свободы N для сетки из трех и
93
пяти элементов [389]. При этом величина G вычислялась по ме-
методу виртуального роста трещины. Установлено, что сходимость
при увеличении степени полинома выше, чем при измельчении
сетки. Как видно из рис. 13.13, значение G линейно зависит от
1/N с коэффициентом пропорциональности, являющимся характе-
характеристикой сетки (очертаний элементов). Это позволяет оценить
точное значение G посредством экстраполяции
Г NpGP-NP-mGp-m
где индексами р и (р — т) помечены величины, полученные с ис-
использованием полиномов соответствующей степени, а 1 ^ т ^ р —
— 1. Таким образом, положительным свойством метода с приме-
применением адаптируемых элементов является легкость и естествен-
естественность экстраполяции по серии решений с усложняемой дискрет-
дискретной моделью.
2.4. Методы расчета коэффициентов интенсив-
интенсивности напряжений для несимметричных трещин.
Множество практических задач приводит к необходимости рас-
рассмотрения двумерных тел с трещинами, берега которых деформи-
деформируются несимметричным образом. Хотя нет единого мнения отно-
относительно критериев разрушения в этом случае, очевидно, что мо-
момент страгивания трещины в упругом теле может быть рассчитан
из условия
Ku)**0. A3.16)
Функция /, кроме коэффициентов интенсивности напряжений пер-
первого и второго типа Кг и Кп, включает некоторые константы ма-
материала, определяемые из эксперимента.
Таким образом, задача сводится к отысканию коэффициентов
Кг и Кц. Для этой цели пригодны в принципе все методы, упо-
упомянутые выше. Например, асимптотические методы обеспечивают
решение системы из двух уравнений для каждого узла или точки,
где вычисляются напряжения. Применимы и энергетические ме-
методы: для криволинейной трещины достаточно эффективен ва-
вариант метода ее закрытия, для прямолинейной — метод виртуаль-
виртуального роста трещины [24, 191]. Приведем выражения, вытекающие
из (9.6), (9.8) для вычисления компонентов потока энергии Л и /2:
j _ П(Ад:„0)-П@,0) _ АПд j^
1 1
- __ П@' Ах2)-П@,0) _ ДП2
Предполагается, что геометрия элементов в окрестности вер-
вершины трещины изменяется как показано на рис. 13.14. Потен-
94
циальная энергия П является функцией положения трещины при
сдвиге узла в вершине вдоль координатных осей на малые вели-
величины Axi и Агс2. Применение метода виртуального роста трещины
для отыскания коэффициентов KL и Ки в пластине с наклонной
Рис. 13.14. Смещение узла в вершине трещины для вычисления интегралов:
а) ~ J I» б) — ^ii! S — длина ребра элемента.
под 45° краевой трещиной с использованием сетки, состоящей все-
всего лишь из 68 квадратичных элементов (рис. 13.15, а) позволило
получить весьма точное решение. Сравнение рассчитанных значе-
значений Кг ж Кц с данными О. Бови дано на рис. 13.15, б.
Никаких принципиальных затруднений не вызывает и чис-
численное интегрирование по контуру с -целью определения Л и Jt.
Вычисление /-интеграла дает примерно такую же точность, что и
метод виртуального роста трещины [165, 1913.
Определенные трудности при решении несимметричных задач
возникают в том случае, если берега трещин начинают соприка-
соприкасаться друг с другом. Применение обычной методики МКЭ при-
приводит к тому, что конечные элементы перекрывают друг друга и
решение некорректно. Простая процедура приближенного реше-
решения такого рода контактной задачи описана, например, в работе
[394].
2.5. Методы расчета коэффициентов интенсив-
ности напряжений для пространственных зада ч.
В случае трехмерной трещины в упругом теле для прогнозирова-
прогнозирования разрушения рассчитывают коэффициенты интенсивности трех
типов, Kj, KIU Km, как функции положения точки на фронте
трещины. Основные трудности решения трехмерных задач на
ЭВМ по сравнению с двумерными возникают вследствие большого
объема перерабатываемой информации. Это ведет к усложнению
программного обеспечения, вызванному организацией эффектив-
эффективного обмена с внешними запоминающими устройствами. Необхо-
Необходимо также обеспечить эффективность вычислений, так как время
счета может быть значительным.
Очевидно, что возможно применение всех перечисленных ме-
методов определения коэффициентов интенсивности напряжений
95
(кроме того, обычно рассматривают такую геометрию трещины и
условия ее нагружения, что А"ш — 0).
Применение метода виртуального роста трещины дает возмож-
возможность вычислить коэффициенты интенсивности в месте располо-
расположения узлов, лежащих на границах элементов. Узел на фронте
j
Zfi
1,6
0,8
А
А
/
0.8
0,6
с
(
(
о
/
о
о,б
О 0,1 0,U 0,6 l/b
Рис. 13.15. Расчетная модель (а) для прямоугольной пластины с наклонной
трещиной и сравнение (б) коэффициентов интенсивности напряжений по
МКЭ (точки) с решением Бови (линии).
трещины можно сместить на некоторые расстояния Ахг и Ах2
(рис. 13.16), а компоненты потока энергии определить по форму-
формулам A3.17).
Для определения коэффициентов интенсивности напряжении
с помощью /-интеграла следует вести интегрирование по поверх-
поверхности цилиндра радиусом г и высотой h, где величины г и h
должны быть малы (рис. 13.16). При этом не удается использовать
свойство инвариантности /-интеграла. Если требуется оценка по-
потоков энергии, некоторым образом усредненных по фронту тре-
96
щины, то можно интегрировать по любой поверхности, охватыва-
охватывающей фронт трещины.
При решении трехмерных задач вначале можно использовать
крупную сетку элементов для воссоздания исходного напряженно-
деформированного состояния тела. Затем область вблизи фронта
трещины следует представить при помощи мелкой сетки и решать
задачу с нагрузкой, найденной из распределения узловых усилий
в первом случае. Привлечение же сингулярных элементов для
фронта трещины позволяет
достичь инженерной точности
на сетках с небольшим чис-
числом узлов. Повышение эф-
эффективности решения трех-
трехмерных задач о трещинах
может быть также достигнуто
за счет применения цетода
суперэлементов.
Трехмерные расчеты ста-
стали применяться даже для аи- рис. 13.16. Смещение узлов на фрон-
проксимированных выраже- те трещины в трехмерном теле,
ний коэффициентов интен-
интенсивности напряжений. В связи с важностью этой проблемы реко-
рекомендован ряд приемов (реперных геометрий) для верификации
вычислительных методов и программ [3303.
3. Нелинейная механика разрушения. В связи с тем, что не-
нелинейная механика разрушения далека от завершения, возрастает
роль вычислительных методов не только в расчетах на прочность
конкретных конструкций, но ив развитии представлений о раз-
разрушении тел при неупругих деформациях. В настоящее время
для описания процессов разрушения наиболее широко применя-
применяются два критерия локального разрушения — энергетический /-ин-
/-интеграл и раскрытие трещины в вершине б.
3.1. Моделирование зоны конца трещины. Пер-
Первые применения МКЭ в упругопластической механике разруше-
разрушения были направлены на изучение напряженно-деформированного
состояния в окрестности вершины острой трещины. С помощью
простейших треугольных элементов (методом локальных вариа-
вариаций) были приближенно определены контуры пластической зоны
для локализованного пластического течения у вершины трещины
(см. § 26).
Расположение вблизи трещины в идеальном упругопластиче-
ском материале элементов, обеспечивающих сингулярность де-
деформаций типа г, позволило с достаточной точностью определить
напряженно-деформированное состояние в этой зоне и наметить
некоторые принципы решения таких задач с помощью МКЭ [405].
Окружение вершины трещины изопараметрическими квадратич-
квадратичными элементами, у которых промежуточные узлы сдвинуты на
четверть длины стороны, а узлы в вершине трещины имеют воз-
7 В. 3. Партон, Е. М. Морозов 97
мояшость независимого перемещения (рис.13.17), дает распределе-
распределение деформаций вдоль линии 6 — const вида
е« = ctr
~i/z
с2.
Это позволяет правильно моделировать асимптотику решения у
вершины острой трещины как в упругом теле, так и в теле из
идеального упругопластического
материала. На рис. 13.18 пока-
показана пластическая зона у вер-
вершины трещины'при мало мас-
масштабном течении в условиях
плоской деформации [165].
3.2. Исследование кри-
критериев разрушения. Ме-
Методика расчета /-интеграла в
упругопластической задаче со-
Рис. 13.17. Специальные элементы вершенно аналогична описанной
р
выше, с той только разницей,
для трещины в упругоплаетическом
трещины). висит от истории нагружения.
Поэтому в процессе вычисления
приращений деформаций и напряжений следует накапли-
накапливать те слагаемые в интеграле A3.15), в которых присут-
присутствует W:
F Г
- {в,
Здесь индексами i, i +1 отмечены состояния, соответствующие
началу и концу приращения нагрузки. После окончания итера-
итерационного процесса значение интеграла подсчитывается по фор-
формуле A3.15) с использованием накопленной величины Jw.
Поток энергии в вершину трещины можно подсчитать также
методом виртуального роста трещины. Эта процедура аналогична
решению двух упругопластических задач с трещинами разной, но
близкой длины I и определению /-интеграла по формуле (8.6).
Заметим, что метод виртуального роста трещины более эффекти-
эффективен в смысле затрат машинного времени.
Исследование независимости от контура /-интеграла в упруго-
пластическом теле предпринималось неоднократно [165]. Боль-
Большинство исследователей пришло к выводу, что интеграл не зави-
зависит-от контура в рамках не только деформационной теории, но
и теории течения. На рис. 13.19 показаны значения /-интеграла
для разных контуров с эффективными радиусами г8ф (сначала при
нагружении полосы с краевой трещиной растягивающим напряже-
напряжением о, а затем трехточечным изгибом моментом) [165].
Выполненные с учетом конечности деформаций вблизи вер-
вершины трещины упругопластические расчеты [368] показали, что
98
область неинвариантности интеграла ограничена радиусом поряд*
ка шести раскрытий б в вершине трещины.
Многие работы [165, 278] посвящены вычислительным экспе-
экспериментам, направленным на совершенствование эксперименталь-
экспериментальной методики определения критических параметров разрушения,
-0,15 -0,10 -0,05,
Рис. 13.18. Пластическая зова у вершины трещины при маломасштабном
течении в условиях плоской деформации.
1,5
0,5
—— !
о-*'*'
о—о—о—
о-о-с—^
А
\
А
0,5
1J0
б)
Рис. 13.19. Рост пластической зовы у вершины трещины при последователь-
последовательном действии растяжения и изгиба (а) и значения /-интеграла (кружочки)-,
вычисленные по разным контурам (б). Треугольники — эффективные ради-
радиусы пластической зоны.
а также на обоснование критериев разрушения и выяснения взаи-
взаимосвязи между ними.
На примере компактного образца найдены тарировочные коэф-
коэффициенты для подсчета /-интеграла по площади под диаграммой
7* 99
деформирования образца [165]. Отмечены возможные погрешно-
погрешности при экспериментальном определении раскрытия трещины,
обусловленные влиянием отверстия под шпильку на профиль
трещины.
О раскрытии в вершине трещины б судят либо непосредствен-
непосредственно по перемещению узла в месте резкого изменения профиля
трещины, либо по данным4 экстраполяции более или менее пря-
прямолинейного участка берега трещины на координату ее вершины.
Установлена линейная пропорциональность между величинами
раскрытия б и /-интеграла. Эта взаимосвязь с учетом конечности
деформаций [369] описывается соотношением (несколько отли-
отличающимся от (8.11))
решение же трехмерной упругопластической задачи 1330] показы-
показывает, что
б - 0,61//ov
Полученный результат несколько отличается от идеализиро-
идеализированного расчета (8.11).
§ 14. Метод граничных интегральных уравнений
в механике разрушения
В последнее время все более широкое распространение в тео-
теории упругости получает метод граничных интегральных уравне-
уравнений (МГИУ). Эффективность метода позволяет применить его и
для решения задач механики разрушения. Сущность этого метода
заключается в сведении соответствующей задачи теории упругости
к решению интегрального уравнения, а основное его преимуще-
преимущество по сравнению с другими численными методами состоит в том,
что он понижает размерность задачи. Остановимся вкратце на
выводе интегральных уравнений основных пространственных за-
задач теории упругости и методах их решения [231]. Пусть S —
некоторая достаточно гладкая замкнутая поверхность, a D+ и
D~ — области, расположенные внутри и вне ее {D = D+JrD~).
Если однородное изотропное упругое тело занимает конечный
объем D+t то задача называется внутренней. Если же тело зани-
занимает бесконечный объем D"~, то задача называется внешней. Тре-
Требуется найти регулярное решение уравнения статики упругого
тела B.2)
= 0 A4.1)
при одном из следующих граничных условии:
щ\8 = Фг A4.2)
или
ouvi = h A4.3)
100
где Vj — компоненты внешней к S единичной нормали; /{— задан-
заданный на границе вектор напряжений; Ф* — заданный на границе
вектор перемещений. Как известно, задача A4.1), A4.2) называ-
называется первой основной задачей, а A4.1), A4.3) — второй основной
задачей теории упругости.
Если в некоторой точке q{yu Уг, Уз) бесконечного упругого
пространства действует сосредоточенная сила интенсивности
<p[<Pi(<?)r фг(<?), Фз(дЛ, то перемещение в некоторой другой точке
p{xt, хг, х3) будет определяться произведением матрицы Кельвина
Г(, д) на вектор ф(д):
где r(p, g) — расстояние между точками р и q. Пусть теперь на
S заданы усилия ф(д), тогда перемещения в некоторой точке р
будут
и (р) « V (р) - ) Г (pt g) Ф (g) ASe, A4.5)
s
где V(p) называется обобщенным упругим потенциалом простого
слоя. Он удовлетворяет уравнению A4.1) во всем пространстве,
кроме точек поверхности 5. Чтобы получить напряжения в точке
р на площадке с нормалью v, следует подействовать на V опера-
оператором напряжений 7\:
$ A4.6)
где Fi имеет вид
V
Г
ц j
Г (х -„их -v\l 2 ix*-
— тип + п 2 " ^
Пусть теперь точка р стремится к некоторой граничной точке
рй изнутри или извне (обозначим пределы изнутри знаком плюс,
извне — знаком минус). Как известно, если функция ц>(р) удов-
удовлетворяет условию Гельдера, то пределы Г-оператора от потен-
потенциала простого слоя существуют и равны:
(р0) - f 7\(ро)Г (pot q) Ф (q) dSq + <р (po)t
Sr A4-8)
(Po) = J Tv{Pq)T (pOf q) ф (g) dSq - Ф (pe).
101
Учитывая граничное условие A4.3), приходим к интегральному
уравнению относительно неизвестной функции ф(р) для задачи
A4.1)—A4.3):
Ф (р) - х J I\ (р, <?) ф (?) dSq - F (р), A4.9)
s
где и = —1, /? = / для внутренней- задачи и % = 1, F = ~/ для
внешней.
Образуем теперь с помощью сопряженной с 1\ матрицы Г2
интеграл
$ A4.10)
где ф(р) — некоторая функция, заданная на поверхности S. Про-
Произведение Г2(р, д)ф(д) как функция точки р удовлетворяет урав-
уравнению A4.1) во всем пространстве, кроме точек поверхности S.
Интеграл W называется обобщенным потенциалом двойного слоя.
Если функция ф(р) удовлетворяет условию Гельдера, то предель-
предельные значения потенциала двойного слоя существуют и равны
(р) = f Г2 (р, д) Ф (q) dSQ - Ф (p)f W (p) =
A4.11)
Решение первой основной задачи теории упругости будем ис-
искать в виде потенциала двойного слоя. Тогда, учитывая граничное
условие A4.2), получим относительно неизвестной функции ф(р)
интегральное уравнение
Ф (р) - х J Г2 (р, 9) ф (?) dSg = Фх (р), A4.12)
s
где % = 1, Oi = Ф в случае внутренней задачи, к = — 1, Ф4=-Ф
в случае внешней.
Уравнения A4.9) и A4.12) являются сингулярными интеграль-
интегральными уравнениями, так как матрицы 1\ и Г2 имеют особенности
второго порядка. Интегралы в них следует понимать в смысле
главного значения.
Применяются и иные интегральные уравнения, вывод которых
основан на использовании формул Бетти [2733. Приведем их без
вывода:
и (р) - X J Г2 (р, q) и (q) dSq _ Фо (р). A4.13)
s
Значению х =* 1 соответствует вторая внешняя задача, а % = — 1 —
вторая внутренняя задача, Ф0(р) = J Г(р, q)f{q)dSq.
s
102
Как правило, интегральные уравнения решают численна
методом последовательных приближений или методом механиче*-
ских квадратур [231]. Ясно, что в любом случае требуется чис-
численно вычислять сингулярные интегралы. Существуют два основ-
основных подхода к решению этого вопроса.
1. Сведение сингулярных интегралов к регулярным [231, 236].
Выполним тождественное преобразование
f Г* (Р, q) Ф (g) dSg - - Ф (р) + f Г, (р, q) [ф (?) - Ф (Р)} dSQ,
8 а '
A4.14)
J1\ (р, д) ф (?) dSq - - ф (р) + J И\ (р, ?) ф (?) - Г2 (р, д) ф (p)]dSg.
s s
В силу того, что функция ф(р) удовлетворяет условию Гельдера,
а также в силу структуры ядер 1\ и Г2, интегралы в правых ча-
частях являются обычными несобственными интегралами, для вы-
вычисления которых можно .применять известные кубатурные фор-
формулы.
2. Явное вычисление сингулярных интегралов. Если элемен-
элементарная^ область интегрирования есть плоский многоугольник, то
интегралы могут быть вычислены в явном виде, при этом поверх-
поверхность тела заменяется полиэдром. В настоящее время применяют-
применяются и более высокие степени аппроксимации поверхности и иско-
искомой функции.
Рассмотрим интегральное уравнение второго рода:
Ф(р) - у, \ К (р, д) Ф (?) dSq « / (р). A4.15)
в
Метод последовательных приближений заключается в следующем
[232]. Решение уравнения представим в виде ряда по степеням %:
Ф(р)= 2к%(р). A4.16)
п=о
Подставляя ряд A4.16) в A4.15), придем к рекуррентным соотно-
соотношениям
to e /. *» (Р) = \ К (р, д) ^п-! (?) dSq (л - 1, ...). A4.17)
8
Ряд A4.16) представляет собой разложение резольвенты интег-
интегрального уравнения по параметру % около точки и=0и будет
сходящимся до первой особой точки этой функции. Из спектраль-
спектральных свойств уравнений следует, что при х «1 (первая внутренняя
и вторая внешняя задачи) ряд A4.16) будет, вообще говоря, рас-
расходящимся, так как a — —i является полюсом резольвенты.
В этом случае решение можно представить, например, в виде сле-
следующего сходящегося ряда [731:
ф(р) = О,5^о-ЬО,5(^о + ^i) + 0,5(ф, + f2) +... A4.18)
103
Остановимся на второй внутренней задаче. Решение уравнения
посредством резольвенты запишем в виде
Ф (Р) = / (Р) + х С R (Р, ff. *) / (?) <#е- A4.19)
s
Как известно [271], резольвента имеет вид
R (P. <?,*) = ~ *=1и + 1 + Л (р, ?, х), A4.20)
^ ь
где Ъ и % —совокупность линейно независимых собственных функ-
функций исходного уравнения и сопряженного с ним; А — матрица,
голоморфная по параметру х в круге радиуса больше единицы.
Необходимые и достаточные условия разрешимости уравнения
на спектре имеют вид
Sp-0 (Л-1, ...t6). A4.21)
Перепишем A4.19) в развернутом виде
<р(р) = f(p) + ^rri2 hf)(P) §%(Q)fM*s* + x \a(p, g. *)№dsq.
k=l s 8
A4.22)
Согласно условиям разрешимости исходной задачи первый интег-
интеграл в правой части A4.22) пропадает, так как условие A4.21)
имеет ясный физический смысл: оно означает условие уравнове-
уравновешенности внешних сил, приложенных к телу.
Следует обратить внимание на следующее обстоятельство. При
численной реализации метода погрешность расчетной схемы мо-
может привести к нарушению условий ортогональности, и ряд
A4.16) разойдется. В этом случае можно поступить, например,
так. На'каждом шаге итерации произвести корректировку функ-
функций tyn таким образом, чтобы условие ортогональности A4.21) вы-
выполнялось при любой расчетной схеме [73, 232]:
4>п (Р) =* Уп (Р) - 2 V>n (P) f !>ц (q) % (<?) dSq, A4.23)
где три — собственные функции союзного уравнения, взятые в ор-
тонормированном виде.
Одна из возможных схем, реализующих метод последователь-
последовательных приближений, предложена в работе [236]. Поверхность тела
разбивается криволинейной сеткой на малые элементы (рис. 14.1).
Точки переселения линий разбиения называются основными точ-
точками, а точки, взятые в центрах тяжести элементов называются
опорными. На первом шаге из граничного условия находится зна-
значение функции как в основных, так и в опорных точках. Далее
104
определяется функция ^ в основнйх точках путем использования
какой-либо кубатурной формулы для вычисления несобственного
интеграла. После этого г^ в опорных точках находится интерпо-
интерполяцией по ее значениям в
близлежащих основных точ-
точках, и так далее. Вычислив
таким образом необходимое
количество функций я|)я,
можно построить ряд плот-
плотности.
Перемещения и напряже-
напряжения в области находятся ин-
интегрированием известных те-
теперь функций по поверхно-
поверхности, причем интегрирование
можно производить в той же
сетке разбиения поверхности,
при доторой решалось интег-
интегральное уравнение. Для на- рис# 14.1. Схема разбиения ловерхно-
хождения перемещений и на- сти тела сеткой малых элементов; р —
пряжений в точках, располо- основная точка, д — опорная точка,
женных близко к поверхно-
поверхности, следует ввести вторичную дискретизацию части поверхности,
отстоящей от них ближе диаметра элементов разбиения. Значение
плотности при этом в дополнительных точках находится интер-
интерполяцией. Напряжения на границе можно определить экстрапо-
экстраполированием из области, вычислив их значения в нескольких точ-
точках, расположенных, например, на нормали к поверхности на
различном от нее расстоянии. В случае второй основной задача
напряжения на границе можно определить, дифференцируя чис-
численно значения перемещений, вычисленных на границе. Если
использовать краевое условтие, то при этом не требуется вычис-
вычисления перемещений в области.
При решении интегрального уравнения методом механических
квадратур задача сводится к решению системы SN линейных ал-
алгебраических уравнений (N — число элементов, на которое раз-
разбивается поверхность)
A4.24)
Решение этой системы производится с помощью стандартных
матричных преобразований.
Реализация метода механических квадратур менее предпочти-
предпочтительна по сравнению с методом последовательных приближений.
Для второй внутренней задачи получается вырожденная система,
для которой требуется разработка специальных методов решения.
Кроме того, вопрос о сходимости метода механических квадратур
остается открытым, тогда как сходимость метода последователь-
последовательных приближений доказана.
105
В настоящее время применение метода потенциала развито
для областей, ограниченных гладкими поверхностями, однако сле-
следует иметь в виду, что аппарат плоской задачи теории упругости
неприменим для решения пространственных задач. В принципе
решение задачи посредством.потенциала двойного слоя сводится
к решению функционального уравнения, однако оно трудно раз-
разрешимо, если тело отлично от полного пространства [73, 232].
Заметим, что для полупространства уравнение строится, исходя
из решения Миндлина для сосредоточенной силы в полупростран-
полупространстве, при этом на границе полупространства граничные условия
выполняются точно [603.
Для плоской задачи в случае наличия одной прямолинейной
трещины с помощью функции Грина можно построить интеграль-
интегральное уравнение, записанное лишь по внешней границе тела. При-
Приведем результаты решения некоторых задач [92]. В таблице 14.1
Таблица 14.1
Безразмерные коэффициенты интенсивности, рассчитанные разными ме-
методами
Тип задачи
Центральная попереч-
поперечная трещина
Краевая трещина
Центральная наклон-
наклонная трещина
Ki/iaVna)
метод ГИУ
1,185
2,794
0,712
метод кол-
локаций
1,1.87
2,828
0,730
Ки!{аГт)
метод ГИУ
0,0
0,0
0,590
метод кол-
локаций
0,0
0,0
0,600
приведены численные результаты решения задач о растяжении
прямоугольной пластины с различно расположенными в ней тре-
трещинами. Результаты сравниваются с аналогичными, полученными
методом коллокаций. Видно, что МГИУ обеспечивает точность,
сравнимую с методом коллокаций. В таблице 14.2 приведено срав-
сравнение результатов расчета этих задач МГИУ и МКЭ (использо-
(использовались сингулярные элементы в концевой области трещины).
В МГИУ сопоставимая точность достигается при меньших затра-
затратах машинного времени.
В том случае, когда разрез является частью плоскости симмет-
симметрии задачи, ставятся смешанные граничные условия: на поверх-
поверхности разреза — условия для вектора напряжений, а на про-
продолжении его — нулевые касательные напряжения и нулевые
нормальные перемещения. В такой постановке решен ряд про-
пространственных модельных задач по определению коэффициента ин-
интенсивности напряжений [921. Интегральное уравнение решалось
методом механических квадратур [231, 271]. В таблице 14.3
106
Таблица 14.2
Сравнительные результаты решения задач разными методами
Метод
решения
-
МГИУ
мкэ
МГИУ
мкэ
Метод
решения
МГИУ
мкэ
Разбиение (число
степеней свободы)
аУпа
Пластина с центральной
48
30
16
12
8
546
1,1865
1,1845
1,1815
1,1767
1,1673
1,2150
Погреш-
Погрешность, %
Время работы централь-
центрального процессора, с.
поперечной трещиной
+0,02
+0,19
+0,44
+0,84
+1,63
—2,38
Пластина с краевой трещиной
90
50
26
20
546
Разбиение {число
степеней свободы)
2,818
2,794
2,779
2,776
. 2,845
-
Q TlTkQ TT
о, град.
Пластина с центральное
122
80
64
1336
45
45
45
45
0,35
1,20
1,70
1,80
0,60
^ а У па
¦
1
уж
кп
о Узю
[ наклонной трещиной
0,7154 .
0,7121
0,7106
0,7408
0,5839
0,5904
0,5921
0,5968
65
25
8
4
2
9
127
41
12
6
11
Время рабо-
работы централь-
центрального процес-
процессора, с
120
50
30
50
Таблица 14.3
Вычисленные значения Кг в задаче о внутренней трещине в форме
эллипса с отношением осей 2:1 (а — угол, - отсчитываемый от большой
¦Kj ' — вычислено по значениям локального перемещения;
— вычислено с учетом скорости освобождения упругой энергии.
полуоси)
а, град *
0
15
30
45
41}
Kj (точное)
0,92
0,92
0,92
0,92
Kj (точное)
0,95
0,96
0,96
0,96
«, град
•60
75
90 •
Kj (точное)
0,93
0,93
0,94
Щ (точ-
(точное)
0,96
0,96
0,97
107
приведены результаты расчетов коэффициента интенсивности на-
напряжений Кг вдоль контура внутренней эллиптической трещины
по раскрытию трещины и по скорости освобождения упругой
энергии. Величина относительной ошибки по всему контуру не
превосходит для второго способа 5%.
Отметим, что применение общего подхода, связанного с мето-
методом потенциала, к решению задач для тел с трещинами невоз-
невозможно из-за вырожденности задачи. Для того чтобы получить
решение этой задачи, трещина заменяется полостью конечной ши-
ширины (соответствующим образом преобразуются и краевые усло-
условия на берегах трещины). Если имеется совокупность полостей,
охватывающих трещину и стремящихся в пределе к ее поверх-
поверхности, то решая ряд задач, внешних по отношению к полостям,
в пределе получим решение исходной задачи. Естественно, это
возможно, если справедлив предельный переход. Дело в том, что
при решении задачи методом потенциала на границе задается
плотность потенциала простого слоя, представляющего собой
перемещения. При вырождении полости в разрез потенциал про-
простого слоя вырождается в потенциал двойного слоя; при этом
значение плотности бесконечно возрастает. Поэтому следует ожи-
ожидать плохую сходимость метода последовательных приближений,
а при решении задачи методом механических квадратур — ухуд-
ухудшение структуры системы линейных алгебраических уравнений.
Будем моделировать разрез полостью конечной ширины б с
радиусом 6/2 в конце разреза. Решение такой приближенной за-
задачи вне некоторой окрестности кромки, начиная с некоторого
б0, перестанет зависеть от б, т. е. будет практически совпадать
с решением исходной задачи.
Это обстоятельство и использу-
используется далее для определения ко-
коэффициента интенсивности на-
напряжений.
Как известно, напряжения в
теле с разрезом можно пред-
представить в виде
V—1/2
Рис. 14.2. Равномерное всестороннее
растяжение плоскости с тонким эл-
эллиптическим вырезом (г = х — а).
\
У///////,,.
..., A4.25)
где Ci = К/У2п, К — коэффициент интенсивности напряжений, г,
в — координаты системы, связанной с кромкой. Для достаточно
точного определения коэффициента К с использованием лишь
корневой асимптотики напряжений, требуется вычисление напря-
напряжений в непосредственной близости от кромки, что весьма за-
108
труднительно. Однако если учесть следующие члены разложения
A4.25), то коэффициент К можно определить, не приближаясь
близко к кромке разреза^ Проиллюстрируем это на примере о
всестороннем растяжении плоскости с тонким эллиптическим вы-
вырезом, имитирующим прямолинейный разрез (рис. 14.2). Напря-
Напряжение на продолжении разреза имеет вид (см. § 3)
A4.26)
2rl
Умножим обе части на У г и: разложим по степеням г:
<j,Vr*Ci+<v, A4.27)
где сх = lim о"у У г .
Соотношение A4.27) представляет в координатах_aviг, г пря-
прямую линию. Отклонение от истинного значения Oj/TV есть
ft -
A4.28)
Из таблицы 14.4 видно, что величина Gyllr как функция г хорошо
Таблица 14.4 Таблица 14.5
Til
А, %
0,1
0,14
0,3
1,05
0,5
2,40
rll
А, %
0,02
1,5
од
7.3
0,3
21,2
Таблица 14.6
аппроксимируется прямой на достаточно большом расстоянии от
кромки. Экстраполяция ее в точку г=»0 дает значение искомого
коэффициента К. Для сравне-
сравнения в таблице 14.5 приведены
величины относительного откло-
отклонения Л напряжений оу, вычис-
вычисленных по асимптотике B.17).
Видно, что коэффициент К ха-
характеризует напряженное со-
состояние в очень малой окрест-
окрестности кромки.
Приведенный выше анализ напряженного состояния впереди
на продолжении разреза позволяет сделать вывод, что коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений можно найти путем экстрапо-
экстраполяции.
Пусть теперь вместо разреза имеется эллиптическая полость
с полуосями а и Ъ (рис. 14.2). В этом случае напряжения на
109
г/B«)
-?
0,1
1,829
1,809
0,3
1,285
1,281
0,5
1,157
1,155
продолжении большой полуоси имеют вид [187];
A4.29)
В таблице 14.6 приведены значения напряжений о*„ для раз-
разреза К) и для эллипса (а*) при Ь/а-1/iO. Видно, что напря-
напряжения практически совпадают при г > Ь.
§ 15. Примеры расчета коэффициента
интенсивности напряжений методом конечного элемента
и граничных интегральных уравнений
Численные методы решения задач механики деформируемого
твердого тела успешно используются как в научных исследова-
исследованиях так и в инженерных расчетах в связи с широким разви-
развитием быстродействующих ЭВМ. С их помощью можно проводить
Л1ИИ1
Рис. 15.1. Часть ротора газовой турбины.
вычислительные эксперименты (вместо, например, натурных) и
получать сведения о необходимых при расчете величинах для
конструкций с такой геометрией и схемой нагружения, которая
для аналитических методов недоступна.
110
В качестве одного из подобных примеров приведем расчет
коэффициентов интенсивности напряжений в роторе газовой
турбины у вершины трещины, находящейся в зоне придисковой
галтели (рис. 15.1). Действующая нагрузка состоит из внешнего
давления, центробежных сил и термических напряжений. Ясно,
в
(
л
fri
—/
Рис. 15.2. Конечноэлементная модель области ротора, выделенной кружком
на рис. 15.1.
что аналитически подобную задачу решить, если и возможно, то
лишь ценой заметных упрощений, которые непредсказуемым об-
образом могут отразиться на результатах расчета, расчет же коэф-
коэффициентов Ki и Ки на ЭВМ не представляет особых сложно-
сложностей. Решение методом конечного элемента начинается с идеа-
идеализации объекта. На рис. 15.2 показана конечноэлементная мо-
модель осесимметричного ротора с трещиной. По мере приближения
к вершине трещины сетка элементов сгущается, что для нагляд-
наглядности на этом рисунке отражено последовательными вставками.
Последняя из них окружает вершину трещины.
Итоговый результат представлен на рис. 15.3, где даны зна-
значения 1) коэффициентов интенсивности напряжений первого и
второго типа Ki и Кп [165]. Далее при необходимости эти коэф-
коэффициенты можно использовать в расчетах на прочность.
Другой пример иллюстрирует возможности МКЭ для пост-^
роения .йГ-тарировки2) для образцов с разным отношением вы-
высоты к ширине на внецентренное растяжение силами Р. Образцы
такого вида часто используют в испытаниях на вязкость разру-
разрушения, однако в нормативных документах [144—146] предусмот-
') Эти значения вычислены по созданному в МИФИ программному ком-
комплексу AIDA — NEPTUN — COMPAS. _
2) Так называется поправочная функция Г в формуле К = a^nlY.
Ill
рены образцы с отношением высоты 2h к ширине 6, равным 1,2.
В то же время в исследовательской практике возникает потреб-
потребность в испытаниях образцов с другим отношением 2Mb. Для
/(Н/мм3/г этих случаев и рассчитана на ЭВМ
" с помощью МКЭ Х-тарировка, ко-
которая представлена в табл. 15.1
[183]. Обозначения размеров и схе-
схема образца показаны на рис. 15.4.
1600
о s
К
/
10
Кг
10
4мм
юоо
-200
-400
Рис. 15.3. Коэффициенты
интенсивности напряжений
для кольцевой трещины
в роторе.
р t
р'
\
1
h-g^-
ъ
¦С;
СМ
Рис. 15.4. Схема двухконсоль^
ного образца.
Коэффициент интенсивности напряжений определяется по
формуле
K
Погрешность вычислений не превышает 6%.
Приведем теперь результаты решения задач по определению
коэффициента интенсивности напряжений экстраполяционным
методом ГИУ (см. § 14). Для численной реализации были на-
написаны программы решения плоских и пространственных задач
теории упругости методом интегральных уравнений A4.9), полу-
полученных на основе решения Кельвина [77]. Решение уравнения
осуществлялось методом последовательных приближений с пред-
предварительной регуляризацией сингулярного интеграла по форму-
формуле A4.14).
1. Растяжение полуплоскости, ослабленной разрезом, перпен-
перпендикулярным к границе (рис. 15.5). При решении этой задачи
разрез моделирования U-образным вырезом с отношением
ширины выреза к длине 1:10. Интегрирование по границе
полуплоскости распространялось на отрезки длины 6J по обе
стороны от разреза глубины I и ширины б. Граничное значение
напряжений было снесено на берега полости посредством на-
наложения тривиального решения. На половине контура было
взято 80 точек, из них: на криволинейном участке границы
112
Таблица 15.1
Значения функции Y, подученные при МКЭ-решениях
lib ^\^
0,025
0,075
0,125
0,175
0,225
0,275
0,325
0,375
0,425
0,475
0,525
0,575
0,625
0,675
0,725
0,775
0,825
0,875
0,925
lib ^\
0,025
0,075
0,125
0,175
0,225
0,275
0,325
0,375
0,425
0,475
0,525
0,575
0,625
0,675
0,725
0,775
0,825
0,875
0,925
0,05
14,327
28,181
41,487
54,765
68,06
81,348
94,637
107,93
121,22
134,5
147,8
161,09
174,37
187,66
200,96
214,25
227,59
241 ,*М
274,37
0,6
1,2151
2,4395
3.268S
3,9646
4,6123
5,2566-
5,9357
6,6920
7,5793
8,6686
10,059
11,898
14,414
17,983
23,292
31,702
46,367
76,337
161,76
0,0833
8,9278
16,941
23,79
30,49
37,251
44,011
50,767
57,523
64,280
71,035
77,792
84,548
91,305
98,062
104,82
111,60
118,80
130,53
180,23
0,8
1,0256
2,0592
2,77jO
3,3876
3,9906
4,6220
5,3175
6,1164
7,0675
8,2367
9,7177
11,650
14,255
17,905
23,275
31,725
46,404
76,367
161,77
0,1
7,4455
14,129
19,534
24,703
29,924
35,158
40,390
45,621
50,850
56,082
61,311 •
66,542
71,773
77,006
82,237
87,485
93,479
107,78
183,04
1,0
0,97081
1,9441
2,6158
3,2083
3,7985
4,4290
5,1341
5,9515
6,9279
8,1266
9,6385
11,601
14,233
17,902
23,285
31,740
46,418
76,378
161,78
0,2
8,6930
7,114
9,5457
11,576
13,478
15,367
17,266
19,175
21,086
22,999
24,914
26,&47
28,86
31,158
34,327
39,871
51,552
80,116
173,21
1,2
0,92476
1,9007
2,5606
3,1439
3,7288
4,3553
5,0597
5,8777
6,8551
8,0530
9,560
11,510
14,115
17,734
23,022
31,284
45,509
74,138
153,20
0,4
1,7574
3,5218
4,7127
5,6831
6,5343
7,3174
8,0755
8,8525
9,6975
10,675
11,880
13,459
15,652
18,861
23,805
31,900
46,348
76,232
161,69
1,3
0,85576
1,8257
2,5159
3,0972
3,6769
4,2978
4,9938
5,8010
6,7633
7,9396
9,4148
11,316
13,845
17,338
22,400
30,221
43,464
69,386
137,13
20 точек, а на прямолинейном участке полости 30 точек. На
рис. 15.6 приведена зависимость а„Уг от г впереди, на продолже-
продолжении полости. Видно, что при 0,2 < г/1 < 0,5 эта зависимость хоро-
хорошо аппроксимируется прямой, экстраполяция ее в г = 0 дает зна-
значение коэффициента интенсивности напряжений Кг = У2лс1 — 4,40.
8 В. 3. Партон, Е. М. Морозов 113
Аналитическое me решение [242] дает Кг — 1,12Уя2 = 4,46. Таким
образом, численное решение отличается от аналитического на 0,5 %.
Рис. 15.5. Растяжение полуплоскости с краевое трещиной: а) исходная за-
задача, б) модель (Ь/1 = 1/10).
0,75
0,1
Рпс. 15.6. Зависимость безразмерного коэффициента ауУг/(а«,У0 от безраз-
безразмерного расстояния от .вершины трещины до точки на ее продолжении rjl.
-*—
ег
\ \
у
h
о
1
i
—*¦
Рис. 15.7. Растянутая пластина с краевой трещиной (l/b = 1/3, 6/Я = 1/2).
2.- Растяжение плоской прямоугольной пластины с односто-
односторонним разрезом (рис. 15.7). При моделировании этой задачи
были рассмотрены три отношения ширины полости к длине:
114
6/1 = 1/6, 6/1 =1/8, 6/1 —1/10. Для последних двух отношений
найденные значения коэффициентов К практически совпали.
На рис. 15.8 представлена зависимость а„Уг от г впереди, на
продолжении полости, при 6/1 = 1/10. Зависимость хорошо ап-
аппроксимируется прямой на отрезке 0,2 < г/1 < 0,7, экстраполяция
же ее в г = 0 дает значение коэффициента К* = У2пс1 =* 6,77.
Рис. 15.8. Зависимость безразмерного коэффициента
мерного расстояния г/1.
г/1
от безраз-
Эта величина отличается от решения Исиды [242] для бесконеч-
бесконечной полосы с односторонним разрезом на 4%. Для контроля
точности определения напряжений был вычислен интеграл от
растягивающих напряжений в нет-
то-сечении, разница составила
0,77%.
3. Задача о растяжении пло-
плоскости, ослабленной отверстием
с исходящими из него двумя
разрезами, расположенными под
прямым углом друг к другу
(рис. 15.9). На рис. 15.10 показана
зависимость ау1/г от г на продол-
продолжении горизонтального разреза
A) и под углом 90° к нему B).
Для второго случая значение
функции, зависящей от 0 (см.
A4.25)) равно 1,25. Экстраполя-
ция прямых в г = 0 приводит к
коэффициентам интенсивности на- Рис. 15.9. Растяжение плоскости
пряжений, практически совпадаю- с двумя трещинами, выходящи-
щим с аналитическим решением ми из кругового отверстия (г==
(отличие не больше 1 %). Значение ***x — l — R).
коэффициента К сравнивалось
с приведенным в работе [72] для одного разреза,— отличие мень-
меньше 2%, следовательно, второй разрез (вертикальный) мало
влияет на величину коэффициента интенсивности напряжений.
8* 115
1 ,L L I I i
г F т Г f т
4. Задача о растяжении пространства, ослабленного цилиндри-
цилиндрической выемкой с кольцевым разрезом (рис. 15.11). Разрез моде-
моделировался полостью с отношением ширины к длине 1:10, ци-
цилиндрическая полость замыкалась на расстоянии 12R по обе
0,8
1 ~
~
— —
., ~- "
2
|
_-
———¦
_.——е
о
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5 г/1
Рис. 15.10. Зависимость безразмерных коэффициентов а^тНр^Щ от без-
безразмерного расстояния от вершины трещины до точки перед ней г/1 A —
горизонтальная трещина на рис. 15.9, 2 — вертикальная).
стороны разреза. Граничные условия посредством наложения
тривиального решения сносились на берега полости. На рис. 15.12
показана зависимость агУг от г на продолжении полости. Для
Ч
B,6 s™
х
0,5
О 0,1 0,2 r/l
Рис. 15.12. Зависимость безразмерного ко-
Рис. 15.11. Растяжение прост-
ранства с кольцевой трещи- эффициента агУг/(а«,уЛ) от безразмерного
ной, выходящей из цилиндри- расстояния т\1.
ческой полости (I = Л/2).
данной длины разреза коэффициент интенсивности напряжений
Кг = 1,09.
В заключение этого параграфа приведем таблицу 15.2 коэф-
коэффициентов интенсивности напряжений для наиболее часто
116
я
е
-СО
«
м
Я
Ш
а
О
8*5
а
I
II
¦ a
4
s I?
о
e
I
re
ел
о
о
о
1Л
00
со"
оо
со
5 <<
о
I
OS
СП
to
117
г
a
2. ?L
5* Es|
«
"" И
151 5
a S
о &4
о
О!
On
ой
и
2
V
со
СИ
в
а
О
е
о
00
о
со
^<
оо
00
I
се
1е
ъ
to
а
1
¦Я
,=. ft
tlf
it
00
CM
о
со"
I
со
О5
\.<
>
118
CM
о
о.
см
S
и
г
ю
g
ПО)
Н
ш
КМ
КС
м
о
s
г
«а
to
II
СО
о
I
t
со
о
№
"«-I "в
со
cf
и
ф
о
fed
Ьс!
V
-E-R
00
a»
119
S
ea
M
a
a
о
I-
1st <m
о
И
O
о
e
«и
Е
а
о
е
120
0,40 ~
o,zo-
Рис. 15.13. Параметр Q для полуэллиптической поверхностной трещины в
растянутой дластинке. Линия 1 — ala-r — 1; 2 — а/от — 0,8; 3 — о/стт = 0,6;
4 — afdt < 0,4.
используемых схем нагружения (.^-тарировка для растягиваемой
полосы с лолуэллиптической поверхностной трещиной, предстдв-
ленной в п. 10 таблицы, дана на рис. 1543).
§ 16. Метод сечений для приближенного расчета
коэффициента интенсивности напряжений
Как уже отмечалось, одна из основных задач, стоящих перед
механикой разрушения в связи с расчетом на прочность по ста-
стадии разрушения, состоит в определении коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений.
Покажем возможность применения широко известного в
строительной механике метода сечений для вычисления коэф-
коэффициента интенсивности напряжений [153, 1801.
Рассмотрим плоскую задачу о трещине. Выделим часть тела
воображаемым сечением (которое может быть ломаным) таким
образом, чтобы это сечение проходило через конец трещины.
Далее запишем условия равновесия внешних и внутренних сил,
действующих на оставшуюся часть тела. При составлении этих
условий учтем асимптотические выражения для напряжений
B.17) или C.5).
Дополнительное 5гсшгае, возникающее у конца трещины в ре-
а
зультате повышения напряжений, равно J o^dr, где размер а
о
можно определить из условия, что величина о9 при г = а равна
номинальному напряжению.
121
Таким образом, условие равновесия сводится к тому, что
усилие, не передающееся через линию трещины, компенсируется
дополнительным усилием от концентрации напряжений у верши-
вершины трещины. Приведем примеры вычислений коэффициента
интенсивности с помощью метода сечений.
Пример 1. Задача Гриффитса. Бесконечная пластина с оди-
одиночной трещиной длины 21 растягивается равномерно распреде-
распределенным напряжением о перпендикулярно линии трещины (см.
рис. 3.2). Усилие, не передающееся через трещину, равно 2alt
а возросшее напряжение у концов трещины создает дополнитель-
а
нов усилие, равное 2 J афт. Размер а находим из условия
откуда
= а) = а, т. е.
а=*Я7Bло2).
Условие равновесия примет вид
а
2al — 2 J a6dr «. 0.
Подставив сюда напряжение ае = К/у2пг, находим коэффициент
интенсивности напряжений
который совпадает с точным
его значением.
Заметим, что полученное
здесь совпадение приближен-
приближенного решения с точным — не
более, чем удача. Действи-
Действительно, полагалось бы вместо
? а
J a^dr записать J (ae — a)drf
о
/г
2 он/1 поскольку силу gI уравнове-
Рис. 16.1. Точное A) и асимптотическое ншвает усилие, определяемое
B) решение для ау перед вершиной через напряжение, превыша-
трещины, ющее номинальное. Объяс-
Объяснение этому эффекту можно
найти, если вспомнить, что ов — К/У2пг есть асимптотическая
оценка, а точное решение для Ое в этом случае дается формулой
(в-0, г>1).
-?
Из сопоставления эпюр этих напряжений (рис. 16.1) видно, что
122
асимптотическая оценка напряжений на расстоянии порядка а
занижает напряжения, что и приводит к необходимости добавле-
добавления усилия на величину аа.
Пример 2. Растяжение пластины конечной ширины с цент-
центральной трещиной. Оценим протяженность поля напряжений,
возмущенного наличием трещины. Для бесконечной пластины
размер возмущенной зоны перед концом трещины равен а = 2/2.
Следовательно, если ширина пластины &2*2/Н-2л = 3^ то ко-
конечность ее ширины не влияет на коэффициент интенсивности
/
0,5
0
(
г
. ¦
22
1
t,Z5
1,5
Рис. 16.2. Критическое напряжение при растяжении полосы с центральной
трещиной: I —по формуле «тангенса» Ирвина, 3 — по формуле метода се-
сечений.
Если Ъ < 31, то из условия равновесия
Gb — o(b — 2l) — 2
0
находим коэффициент интенсивности
Известная формула Дж. Р. Ирвина [357], учитывающая конеч-
конечность ширины, имеет вид *) (см. табл. 15.2)
Эти две зависимости приведены на рис. 16.2, из которого
видно, что приближенный метод дает завышенный результат
сравнительно с формулой Ирвина.
]) Сопоставление различных формул для коэффициента интенсивности
напряжений при растяжении полосы конечной ширины с трещиной- имеет-
имеет[242]
р р р
ся, например, в книге [242].
123
Пример 3. Бесконечная пластина с трещиной нагружена
двумя равными и противоположно направленными силами Pf
расстояние между точками приложения которых равно 2L.
Прямолинейная трещина расположена вдоль линии симметрии.
Сечение проводим по прямой, совпадающей с линией трещины.
Уравнение равновесия имеет вид
-I
Здесь
j p (х) dx = 2 J (К/ /2^F) dr. A6.1)
— напряжение на месте трещины в сплошном теле [187]. Верх-
Верхний предел интегрирования находим из равенства К/1/2па *=»
= рA). После интегрирования получаем (c = l/L)
к—/* м (М1 + -тЬ^-г +(* + v>^-
Коэффициент интенсивности напряжений, соответствующий точ-
точному решению, имеет вид [7]
Из сопоставления приближенного и точного решений (рис. 16.3)
видно, что приближенное решение дает для усилий (при дан-
данном с) заниженный примерно на 20% результат, в то время как
качественная картина одинакова — до некоторого значения длины
(определяемого минимумом кривой) состояние равновесия тела
с трещиной неустойчивое (падающая ветвь кривой), а с увели-
увеличением с тело с трещиной переходит в устойчивое состояние
(восходящая ветвь). Силы для предельного состояния равнове-
равновесия получены из обычного условия К — Ке.
Пример 4. Бесконечная плоскость, ослабленная двумя тре-
трещинами, расположенными вдоль действительной оси. Длина тре-
трещин равна Их и 21г. Равномерное растягивающее напряжение
направлено перпендикулярно линии трещин. Проводим сечение
вдоль этой линии и записываем условия равновесия отдельно для
каждой половины трещины.
124
Для внешних концов имеем
а2 =
2яаг
.2*
Отсюда получаем коэффициенты интенсивности напряжений
Для внутренних концов трещин
а
Коэффициент интенсивности напряжений зависит от расстоя-
расстояК ^
ния с между внутренними концами
величины ui ж а2 находим из
условия ae(i) = а&B) или
^A)/У2яа,=Л:B)/У2яа2. Отсю-
Отсюда получаем at = cljdi + ^2).
При этом коэффициенты ин-
интенсивности напряжений
равны
трещин. Когда с =
Трещины начнут расти
из той вершины, где коэф-
коэффициент интенсивности на- „ ,„о т.
шшжеттий 6vnPT наибольшим PpCl 16>3> кРитическая сила ПРИ
пряжении оудет наиоольшим жении плоскости двумя сосредоточен-
из четырех. ными силами: 1 — точное решение, 2 —
Если расстояние между приближенное по методу сечений.
трещинами велико, а именно
с > 0,5{/i + J2), то трещины оказываются независимыми друг от
друга.
При одинаковых длинах трещин li — lz = l точное решение
дает [209] (штрих по-прежнему соответствует внешним концам)
I(c/2+2гJ ~
/2 + 2lf[F(k)-E(k)}
V
125
Здесь к — модуль эллиптических интегралов первого и второго
рода IF, ?), равный
Пример 5. Балка прямоугольного сечения единичной тол-
толщины изгибается моментом М. Трещина находится на растя-
растянутой стороне и перпендикулярна оси балки. Если трещина це-
целиком находится внутри растянутой зоны (не выходит на по-
поверхность и не касается нейтральной оси), то условие отсутст-
отсутствия продольной силы имеет вид
М , V K\i)dy , С
—— у a v = J —j — + I
J - J V2n(y—y.\ J
Здесь уи уг — расстояние от нейтральной оси до верхнего и ниж-
нижнего концов трещины соответственно, / — момент инерции не-
неослабленного поперечного сечения балки относительно нейтраль-
нейтральной оси.
Размеры а и Ь определяем из условий
Коэффициент интенсивности напряжений у ближайшего к сво-
свободной поверхности балки конца трещины будет
В то же время точное решение имеет вид [209, 210]
Дальнейшее развитие идеи применения метода сечений для
определения коэффициентов интенсивности напряжений состоит
в том, что в условие равновесия вводится напряжение в ослаб-
ослабленном сечении, полученное из решения для неограниченного
тела, причем полное, а не только асимптотическое [201. При этом
коэффициент /?°% входящий в это решение для неограниченного
тела, заменяется искомым в ограниченном теле, и необходимость
в определении расстояния возмущенной зоны а отпадает. Приве-
Приведем здесь два примера [20].
1. Осесимметричное растяжение цилиндра с круглой трещи-
ной. Цилиндр радиуса Ь растягивается напряжением а, радиус
трещины I (рис. 16.4). Для растягиваемого пространства с тре-
126
щиной напряжение в плоскости трещины при т>а равно [271]
~с-ЩшюЛа± + К
-
A6.2)
где К" — 2аУ1/п — коэффициент интенсивности напряжений у
круглой трещины в растянутом пространстве.
Далее полагаем, что в цилиндре с тре-
трещиной напряжение в ослабленном сечении
А
1**
'1
J
/
1
/
f
О
а
Рис. 16.4. Цилиндр с
внутренней круговой
трещиной при растя-
растяжении.
44 48
Рис. 16.5. Коэффициент интенсивности на-
напряжений для внутренней трещины в ци-
цилиндре. Сплошная линия — метод сечений»
штриховая — точное решение.
выражается такой же формулой, но с другим, искомым, коэф-
коэффициентом интенсивности напряжений К. Составляем уравнение
равновесия сил, действующих на половину цилиндра:
ъ ь
J a2nr dr — J аг (г) 2яг dr — 0.
о i
Подставив сюда напряжение вг(г) из A6.2), получаем
+ V J arcsin (i) r tfr - if
I
J
0 I
После интегрирования находим
к =
= 0.
A6.3)
где р = 4-
агсзш а
а
_
ь '
На рис. 16.5 приведена зависимость коэффициента § от а,
рассчитанная по формуле A6.3) и по данным точного решения
127
[412] при v =* 0,25. Различие между точным и приближенным
решением не превышает 4%.
2. Растяжение пластины конечной ширины с несимметрично
расположенной трещиной (рис. 16.6). Напряжение на линии
трещины при растяжении плоскости определяется по форму-
формуле C.15)
а |*|
(от = К°°1Уя1).
Напряжение в пластине конечных размеров будем считать
таким же (при у — 0), но с другими значениями коэффициентов
K{i) и К{г) (в соответствии с обозначе-
обозначеУ
f
нием вершин трещины):
у и у~
ТП
A6.4)
Условия равновесия для верхней
половины пластины имеют вид (&t =
J У*%-1г \ Vx2-l2
r
J
Рис. 16.6. Растягиваемая
полоса с эксцентрично рас-
расположенной трещиной.
Решая эту систему уравнений относительно коэффициентов ин-
интенсивности, получаем
К11} = аУлТУA), Я{а)=аУя1У{2), A6.5)
где обозначено
128
Поскольку конец трещины 1 ближе к свободной кромке полосы,
то коэффициент интенсивности здесь больше, чем в точке 2.
Отличие от точного решения [359] при б = 0,5, % ^ 0,6 не пре-
превышает 6%.
Из этих примеров видно, что предложенный метод может
быть с успехом применен к расчету прочности тел с разнооб-
разнообразным расположением трещин и действующих нагрузок.
Учитывая возрастающую потребность современной техники в
оценке прочности тел с трещинами, следует признать, что слож-
сложные методы математической теории трещин должны быть допол-
дополнены (пусть менее точными, но зато более простыми) приемами
вычислений, в которых пониже рная точность расчета оправды-
оправдывается малой трудоемкостью.
§ 17. Некоторые характеристики материала, оценивающие
сопротивление распространению трещины
В настоящее время для качественной оценки способности
материала тормозить развитие магистральной трещины сущест-
существует достаточно большой набор экспериментальных методов и со-
соответствующих характеристик материала (точнее, образца из
него). Здесь будут рассмотрены несколько таких характеристик,
представляющих не только качественный (для сравнения и вы-
выбора материалов и технологий), но и расчетный интерес. Послед-
Последнее означает, что по такой характеристике возможно, на основа-
основании соответствующих критериев разрушения, вести расчеты на
прочность с определением требуемых коэффициентов запаса. Эти
характеристики (называемые характеристиками трещиностойг
кости): Ке, К1с — критические коэффициенты интенсивности на-
напряжений при плоском напряженном состоянии и объемном рас-
растяжении (в случае плоской деформации); бе — критическое рас-
раскрытие трещины в вершине (разрушающее смещение); /ic —
упругопластическая вязкость разрушения; 1е — предел трещино-
стойкости.
Вязкость разрушения Gt (или Gu) пропорциональна крити-
критическому коэффициенту интенсивности напряжений Ке (или Ки)
(см. формулы C.8) и C.9)). Поэтому в дальнейшем Gc (или Glc)
как самостоятельные характеристики не обсуждаются, хотя и
надо признать, что полного соответствия между Ge и Ке может
и не быть.
Характеристики трещиностойкости определяют на образцах с
трещинами, и они дополняют сведения о материале, полученные
на гладких образцах.
При идеальном хрупком разрушении и К^ и Кс, естественно,
не зависят от характеристик сопротивления материала пласти-
пластической деформации. При квазихрупком разрушенжи указанные
коэффициенты уже зависят от этих характеристик. Как отмеча-
9 в. 3. Партон, Е. М. Морозов 129
лось выше (см. A2.1)),.эта зависимость [357] находит свое ана-
аналитическое отражение в том, что при вычислении К длина тре-
трещины искусственно увеличивается на величину гу (половина
длины пластической зоны в направлении трещины), равную
(плоское напряженное состояние) и
(объемное напряженное состояние при плоской деформации). При
такой увеличенной фиктивной длине трещины 1 + гу элементы
упругого и упрутопластического решения совпадают в упругой
области.
Экспериментально определенные значения Кс относятся к
квазихрупкому разрушению, и, следовательно, эти значения от-
отражают зависимость Кс от пластических свойств материала. Это
нельзя упускать из виду при расчете детали с трещиной, и по-
поэтому длину трещины (иногда прлудлину) в аналитическом вы-
выражении для К следует увеличивать на гу. Указанная поправка
более важна при однократном статическом нагружении в усло-
условиях плоского напряженного состояния и менее важна при
усталости, так как в последнем случае размер пластической зоны
сравнительно невелик. Поправкой можно пренебречь и при
объемном напряженном состоянии в условиях плоской дефор-
деформации.
При расчетах деталей с трещинами (которых может и не
быть, но существование которых мысленно допускается) необ-
необходимо иметь некоторый запас надежности на случай их воз-
возникновения. Если, например, имеется материал с Яс=?
= 2000 Н/мм3/-, и он надежно работает при запасе прочности
п = Ов/отах = 3, то применение другого материала, имеющего Ке =
= 4000 Н/мм3/2, дает возможность снизить запас прочности (ав —
предел прочности или временное сопротивление). До какой ве-
величины он может быть снижен, зависит от условий работы: на-
например от числа повторений нагрузок и их уровня, величины
запаса упругой энергии системы, наличия коррозионных сред
и других факторов. Количественное определение степени сни-
снижения запаса прочности должно явиться задачей методов рас-
расчета на прочность по стадии разрушения, один из возможных
вариантов которого представлен в § 34.
Экспериментально величину Ке можно определить на испы-
испытуемом образце по деформации у вершины трещины, измерен-
измеренной при помощи делительной сетки с шагом ~0,1 мм или с по- .
мощью малобазных @,5—2 мм) датчиков, наклеенных перед
растущей трещиной или рядом с ней. Можно также, измерив
130
критические нагрузки и длину трещины, воспользоваться фор-
формулой для К в теле, имеющем форму испытуемого образца.
Первый способ обычно применяют для исследования конструк-
конструкций, второй же способ более распространен для определения
механических: свойств материала образца.
Простое визуальное наблюдение процесса разрушения пока-
показывает, что перед наступлением критического состояния трещина
медленно растет с ростом нагрузки (так называемый докритиче-
ский рост трещины). В связи с этим добавим, что эксперимен-
экспериментальное определение Ка обычно связано с измерением длины
трещины, растущей в докритическом интервале.
Значительное докритическое подрастание трещины возможно
только в том случае, если толщина образца достаточно мала по
сравнению с его шириной, деформация по толщине не запреще-
ва полностью и в процессе докритического разрушения происхо-
происходит усиленная пластическая деформация приповерхностных слоев
плоского образца. Интенсивность и область распространения этой
деформации существенно меняются с толщиной материала, вслед-
вследствие чего даже для данной среды и температуры величина КВл
определенная на образцах различной толщины, будет существен-
существенно различной.
Для правильного экспериментального определения Ке (или
Gc) необходимо, чтобы пластическая деформация не была чрез-
чрезмерной. Так, при сквозной пластической деформации по всей
толщине, пластически деформированный объем в вершине тре-
трещины оказывается настолько велик, что уже нельзя пользоваться
асимптотическими формулами. На основании экспериментальных
было ориентировочно установлено, что допустимая
деформация в вершине трещины имеет место, если
б
фр р р ,
разрушающее напряжение в нетто-сечении образца не превосхо-
превосходит 0,8 предела текучести материала, определенного на гладких
образцах. Критическая длина трещины, используемая для под-
подсчета Кс, в этом случае будет равна не экспериментально опре-
определенному значению, а несколько большему — на упомянутую
выше величину гу. Для приемлемой точности определения зна-
значения Ке длина пластической зоны не должна превышать 20%
полудлины трещины, иначе вне этой зоны нельзя пользоваться
асимптотическими формулами линейной механики разрушения.
Уменьшение пластической деформации путем увеличения
толщины образца ведет к снижению значения Кс до некоторого
предела, к которому она асимптотически приближается (рис. 17.1).
Это есть именно то значение Ке для объемного напряженного
состояния при плоской деформации, для которого (благодаря
достаточной для данного материала толщине) практически за-
запрещается макропластическая деформация перед краем трещины
и разрушение происходит по типу «прямого» излома без боковых
скосов. Эта величина носит название критического коэффициента
интенсивности напряжений при плоской деформации и обозна-
9* 131
чается К1С1 поскольку разрушение осуществляется здесь по пер-
первому виду деформаций — путем отрыва (рис. 2.1), а диаграмма
деформации в координатах «сила Р — смещение У» практически
треугольной формы (рис. 17.2, диаграмма /). При этом расчет
К1е ведется по максимальной силе Рс, и его значение уже зна-
значительно ближе к получаемому из чисто упругой задачи, по-
поскольку пластически деформи-
[_. J рованный объем в этом случав
меньше и поправку на длину
трещины вводить не надо.
Экспериментальное опреде-
определение Ки не требует измере-
измерения длины растущей трещины,
так как она практически не
растет, и для подсчета пользу-
пользуются ее исходной длиной. Тем
не менее определение Кю ока-
оказывается более сложным, чем
Ке, поскольку нельзя знать за-
заранее, будет ли получен при
Рис. 17.1. Зависимость вязкости раз- ДанноЙ т^пщне прямой излом.
рушения Ке от толщины t плоского Кроме того, зачастую толщина
образца. Показано сечение образцов t имеющегося материала ока-
разной толщины по излому. зывается недостаточной для
оценки Ки (так как зависи-
зависимость Ke — t еще не вышла на асимптоту, где К = Ки). В этих
случаях иногда помогает метод скачка [21J.
Метод скачка основан на испытании образца с центральной
или боковой трещиной на растяжение или изгиб с записью диаг-
диаграммы «нагрузка — смещение», причем смещение V определяет-
определяется на малой базе между противолежащими берегами трещины.
Замечено, что для многих материалов диаграмма «нагрузка —
смещение» имеет скачок — резкий прирост смещения без роста
или даже при спаде нагрузки (диаграмма //). Этот скачок обычно
сопровождается треском1) и образованием участка прямого из-
излома в виде треугольника в центре толщины, непосредственно у
вершины исходной усталостной трещины. Образование прямого
участка излома, судя по его форме, происходит в условиях плос-
плоской деформации, что дает право принять нагрузку, соответствую-
соответствующую его образованию, для определения напряжения при под-
подсчете значения Кц..
Если скачок отсутствует (диаграмма ///), то можно опреде-
определять нагрузку, проведя секущую под углом р, тангенс которого
на 5% меньше тангенса угла наклона прямой упругого нагру-
жения а. Точка пересечения секущей с линией диаграммы
«нагрузка — смещение» дает искомое значение нагрузки Ря. При
') Этот факт положен в основу акустических методов анализа трещин»
132
этом необходимо убедиться в том, что смещение от точки Ptt до
точки Ря происходило за счет прироста трещины, а не за счет
пластической деформации. Иногда удается зафиксировать на-
нагрузку старта трещины Ро (диаграмма IV). Тогда Рд = Рь. Во
Рис. 17.2. Основные типы диаграмм испытания образцов с исходными тре-
трещинами.
всех этих четырех случаях по формулам для К и силе Ря пред-
предварительно вычисляется коэффициент интенсивности напряже-
напряжений KQ. Силу Ре, как уже говорилось, принимают в соответствии
с видом диаграмм испытания (рис. 17.2).
Теперь надо убедиться, что нелинейность диаграмм испытания
есть следствие роста трещины, а не развития пластической дет
формации. Для этого следует проверить условия достоверности
определения Ки, которые ограничивают размеры пластической
зоны у вершины трещины.
Размеры пластической зоны у вершины трещины к моменту
начала роста трещины для достаточно толстых образцов мини-
минимальны. Толщину образцов для соблюдения условий плоской
деформации приходится подбирать в ходе опытов. Достаточная
толщина t плоского образца, на основании [1441, устанавливается
условием
A7л)
где р = 2,5 для малоуглеродистых и низколегированных сталей,
алюминиевых и титановых сплавов; 0,6 для чугунов и 5 для
аустенитных сталей. Помимо этого должны выполняться условия,
накладываемые на усилия,
PJPQ< 1,1
A7.2)
133
z на утоныпение образца (по измерениям толщины до и после
испытания в зоне разрушения)
A7.3)
В свою очередь A7.3) может быть заменено на условие под-
подрастания трещины от начальной до длины, соответствующей
силе Ря,
^ A7.4)
Условие A7.1) есть не что иное, как условие, налагаемое на
величину 2гу = ЛГ|с/(яа},а) (см. 12.1) пластической зоны впереди
растущей трещины. Сопоставление этой формулы с выражением
A7.1) при (J = 2,5, показывает, что для достоверного определе-
определения Ки толщина образца должна превышать длину пластической
зоны в 8 раз.
Условие A7.2) также относится к размерам пластической зо-
зоны, так как ограничивает нелинейную область диаграммы Р — V
по ординате. При соблюдении этого требования, даже если нели-
нелинейность диаграммы вызвана аппаратурными причинами, ошибка
в определении Ки ве превысит 10%.
Если хотя бы одно из этих трех условий не выполнено, то
для правильного определения величины Kie данного материала
следует взять образцы большей толщины. Если же выполнены все
три условия, то KQ = Кге.
Существует другая система критериев достоверности опреде-
определения Ки. Она состоит из A7.2) и условия аналогичного вида,
но записанного не для сил, а для соответствующих смещений
берегов трещины:
Ve/VQ<1,2. A7.5)
Этот критерий ограничивает область нелинейности диаграммы
«нагрузка — смещение» по абсциссе, т. е. по-прежнему ограничи-
ограничивает пластическую зону перед вершиной трещины. Значение,
равное 1,2 в условии A7.5) установлено экспериментально [131].
Одно из достоинств критериев A7.2) и A7.5) состоит в том,
что отношение Ve/VQ после проведения эксперимента подтверж-
подтверждается диаграммой испытания.
Два вида ограничений A7.2) и A7.5) на соотношение между
линейной и нелинейной частями диаграммы требуются потому,
что пластическая зона может увеличиваться не пропорциональ-
пропорционально росту силы, т. е. рост пластической зоны может опережать
рост силы. Это последнее обстоятельство выражается в растяже-
растяжении диаграммы вдоль оси смещений, а не вдоль оси усилий.
Зависимость раскрытия (или длины трещины) от нагрузки
можно получить либо методом электрического потенциала, либо
(что более удобно) методом смещения (податливости). В послед-
последнем случае применяются упругие элементы с наклеенными на
134
а)
них датчиками сопротивления 1—4, как показано на рже. 17.3.
Сигнал от датчика подается на тензометрический усилитель,
а испытательная машина должна быть оборудована месдозой —
упругим элементом с. наклеенными на нем датчиками сопротив-
сопротивления. Сигнал от этих датчиков также подается на тензометри-
тензометрический усилитель, а затем на
двухкоординатный самописец,
на второй ввод которого подает-
подается сигнал датчика смещения.
Испытание можно проводить
как на изгиб, так и на внецент-
ренное растяжение.
В Методических указаниях
Госстандарта СССР [144] пред-
предлагается для испытания на из-
изгиб образец, показанный на
рис. 17.4, а на внецентренное
растяжение — на рис. 17.5. Об-
Образец для испытаний на изгиб
характеризуется шириной 6,
толщиной ? = 0,56, длиной тре-
трещины I = @,45—0,55N (вместе
с надрезом). Длина надреза
Л=*@,25—0,45N. Образец для Рис. 17.3. Схема измерения смеще-
испытания на внецентренное ния ПРИ раскрытии трещины с по-
пягтяжрнир хяБактрпич^тгя MOn*bl° упругих элементов с датчи-
растяжение характеризуется ками с6противления: а) схема уста-
шириной о, длиной трещины НОвки датчика смещения в образце,
I«f @,45—0,55N, толщиной ?И б) электросхема моста из датчиков
¦** 0,5Ь, полной шириной с =¦ сопротивления; Ь — расчетная шири-
-F 1,256. Диаметр отверстий d= на обрааца, Z - расчетная длина тре-
= 0,256, расстояние между цент- щ
рами отверстий .F = 0,556, оста-
остаточная ширина образца в надрезе G ^ 0,556, полная длина (вы-
(высота) образца Н— 1,26.
При изготовлении образцов исходная усталостная трещина
должна быть получена в строго регламентированных условиях:
максимальный коэффициент интенсивности напряжений цикла
при изготовлении исходной трещины на конечном ее участке
длиной не менее 0,3 всей длины усталостной трещины не должен
превышать 0,6?ic.
Подсчет величины Кя ведется по формуле п. 7 для внецен-
тренного растяжения и по формуле п. 6 для изгиба (табли-
(таблица 15.2).
В последнее время находит применение и характеристика бс,
определяемая величиной пластического раскрытия в конце тре-
трещины. Малая окрестность конца трещины является сильно пере-
перенапряженной. Если деталь в целом считать многократно статиче-
статически неопределимой системой, то ее надежность существенно за-
135
висит от способности материала перераспределять напряжения
за счет локальной пластической деформации. Если добавить сюда
возможность аналитического расчета раскрытия трещины в вер-
вершине, то станет ясной причина повышенного внимания, которое
уделяется характеристике бс.
Значение бс можно либо измерить непосредственно, с помощью
соответствующих приспособлений, либо на основании бк-модели
найти из аналитического решения раскрытие 8 для об-
образца данной формы. Раскры-
Раскрытие бе является некоторой кон-
константой локальной пластично- I I-^CE?— '
сти материала (для данной его А\ | | у
толщины) в вершине неподвиж- *— ь '——;—"^ ¦— "
ной трещины в момент перехо-
перехода к началу ее роста.
А-А
А-А
\L/Z~Zb ^
?</2-26+4Щ
f
2b+0,25b y
с
г
¦*?
\)
< l ^
с1 -..._ >
1 •
*¦*¦
Рис. 17.4. Стандартный образец с
трещиной для испытания на из-
изгиб; I — длина надреза с трещи-
трещиной.
Рис. 17.5. Стандартный образец с тре
щиной для испытания на внецентрен
ное растяжение.
В случае разрушения при возрастающей нагрузке измерение
критического значения F, обозначаемого Vet производится в точ-
точке, соответствующей максимальной нагрузке, при наличии скач-
скачка — в момент максимальной нагрузки при скачке. Когда кривая
проходит через максимум, в качестве первого приближения бе-
берется величина Ус при максимуме нагрузки. Однако в этот мо-
момент может быть движение докритической трещины, вследствие
чего рекомендуется, доведя образец до максимума нагрузки, раз-
разрезать его и по шлифу на плоскости, проходящей через середину
толщины образца, определить наличие или отсутствие прироста
трещины. Если прирост есть, то следует испытать образец при
меньшей нагрузке, найти ту максимальную нагрузку, при кото-
которой еще нет роста трещины и для этой нагрузки определить Ус.
Определенное тем или иным путем значение V пересчитывается
в истинное раскрытие б в вершине трещины (для изгиба и вне-
центренного растяжения) по формуле (см. рис. 17.3)
136
где bi — полная ширина образца; 1% — полная длина исходной
трещины (вместе с надрезом); z — расстояние, от поверхности
образца до основания призмы тензометра; п — доля расстояния
(bi — h), определяющая положение центра поворота стенок тре-
трещины при ее раскрытии (они принимаются прямыми) [51, 144].
Обычно считается п = 2, т. е, это расстояние равно
h-h
2
(или точка поворота находится посредине ширины нетто-сече-
ния). Значение п для разных классов материалов может быть
уточнено путем микроисследования продольного центрального
сечения образца, снятого с испытания перед самым моментом
достижения раскрытием трещины значения бс.
Необходимо, однако, отметить, что описанное определение б
по экспериментально найденному значению V предполагает два
допущения: а) кромки трещины остаются прямолинейными и
б) значение п остается постоянным в пределах данного класса
материала. Оба допущения не являются строго обоснованными,
и поэтому количественно величина б на основании эксперимен-
экспериментальных диаграмм нагрузка — смещение, вероятно, не поддается
точному расчету. Однако для применения бс как характеристики
сравнительной оценки материалов этой точности вполне доста-
достаточно.
Отметим, что в случае, если последующее движение трещины
(после определения 6С) является докритическим (медленным), то
бе будет докритической характеристикой [292]. Если же 6С опре-
определяется в начале быстрого роста трещины (при максимальной
нагрузке или в момент скачка), то характеристика бс является
критической. Подобная двойственность 6С может осложнить оцен-
оценку поведения материала.
Сопоставим обе механические характеристики, имея также в
виду и соответствующие критерии разрушения.
1. Оценка материала по Ке предполагает идеально упругое
разрушение, в то время как бс этого не предполагает. Для оценки
квазихрупкого разрушения с помощью Ке в упругое решение
приходится извне, в виде дополнительных предположений, вво*
дить область пластических деформаций с целью учета свойств
материала при пластическом течении и его реального поведения
у вершины трещины. В то же время учет пластичности органи-
органически присущ теории критического раскрытия трещины бс.
2. При проведении расчетов по двум критериям (с целью
определения Рс, Q необходимо иметь в виду следующее. При
расчете по Ке с уменьшением длины трещины критическая на-
нагрузка неограниченно возрастает, и это обстоятельство обуслов-
обусловливает применение теории только в области достаточно больших
длин трещин и малых уровней критических напряжений по срав-
сравнению с Оо.2 (что обеспечивает малые размеры пластической зо-
зоны). При расчете по бс даже в области малых длин трещин на-
напряжение может стать близким к пределу текучести или к пре-
137
делу прочности (см. § 31), а пластическая зона перед концом
трещины может значительно превысить длину трещины.
3. Интенсивность работы разрушения 2у по критерию Ирви-
Ирвина принимается (для данного материала и толщины) постоянной,
не зависящей от критической длины трещины (ввиду малости
зоны пластической деформации). Вычисление интенсивности ра-
работы разрушения с привлечением 6к-модели показывает, что эта
величина меняется с изменением критической длины трещины,
причем при уменьшении длины величина 2 у неограниченно воз-
возрастает, а при увеличении — стремится к ао6е. Это следует из об-
общего выражения интенсивности работы разрушения [150, 346,
437] (см. также § 27)
2Y = 2ao$e*l*'l)-dx- 2| J<70i/* {г, 1)dx
Здесь v*(xt I) — перемещение точек поверхности трещины при
соблюдении условия 2иA, I) = бс. В этой формуле интегральное
слагаемое обусловлено изменением формы и размеров пластиче-
пластической зоны с изменением длины трещины, т. е. неавтомодель-
ностью задачи. Одновременно предполагается постоянство 6С с
изменением критической длины трещины.
4. Зависимость A2.3) в критическом состоянии (?с = ообс мо-
может быть получена из сравнения решений для критических на-
напряжений при растяжении плоскости с трещиной с использова-
использованием обоих критериев. По критерию Ирвина
по бк-модели при I
Отсюда видна указанная связь между Ge и бс, однако существен-
существенно, что эта связь справедлива только при 1-*-<х>^ т. е. при малых
критических напряжениях по сравнению с а0.
Итак, из проведенного сопоставления следует, что при боль-
больших длинах трещин и малой локальной пластичности материала
наблюдается полное совпадение результатов расчета по обоим
критериям. Обе характеристики материала в этом случае также
полностью совпадают:
Kl = EGC= ЕооЪе. A7.7)
При малых длинах трещин расчет критических нагрузок по
обоим критериям приводит к значительному расхождению. Не-
Несмотря на это, с точки зрения оценки материала,-характеристики
Ке и бс формально по-прежнему равноценны в рамках рассмот-
рассмотренных теорий, так как по предположению они не зависят от
критической длины трещины.
138
Можно расширить рамки теории за счет рассмотрения пласти-
пластических зон другой формы. Пластическая зона перед краем тре-
трещины может отличаться от тонкой полосы ж распространяться
в области, находящиеся по бокам от направления распростране-
распространения трещины. Такое расширение рамок коснется определения бе,
а не Ке, так как последний случай ограничен только линейными
размерами пластической зоны, а не ее формой.
Наконец, для понимания различия характеристик Ки и 8< и
их возможностей в оценке материалов полезно провести следую-
следующую аналогию. Так же, как ав, SK, б (или ф) оценивают проч-
прочность и пластичность гладкого образца'), так и Ке, К1в и бе се-
ответственно оценивают прочность и пластичность особых точек
.образца с трещиной. Эта аналогия помогает понять разницу в
поведении материала, оцениваемую величинами К1е и бе.
Изложим один из способов экспериментального определения
/-интеграла [325]. Этот интеграл можно рассматривать как про-
производную от потенциальной энергии по длине трещины при еди-
т 1 BП г
ничнои толщине, т. е. J = —Г"лГ> Для неупрутого тела / равен
энергии, необходимой для роста трещины в момент начала ее
движения. Целесообразно испытывать серию образцов с различ-
различной глубиной начальной трещины. При этом записывается диаг-
диаграмма «нагрузка Р — перемещение V по линии действия силы»
или «нагрузка Р — прогиб V в точке приложения силы» и опре-
определяется поглощенная работа А при различном перемещении
для образцов с разной исходной длиной трещины (равная площа-
площади под диаграммой). Затем строится семейство зависимостей
«поглощенная энергия -~ длина трещины» (при разных переме-
перемещениях), см. рис. 17.6, а.
Наклоны этих кривых дают нужные производные, т. е. /; да-
далее строят зависимость / от перемещения V (рис. 17.6, 6*).. Зна-
Значение Ju находится из этой последней зависимости в момеш
начала распространения трещины (при V=*VC). Если же отсут-
отсутствует прибор, фиксирующий начало движения трещины, то /г.
предлагается устанавливать при V = V(Pmxi) == Fm«.
По данным работы [360], диаграмма J— V .может быть по-
получена не экспериментально, а с помощью расчета. Для этого
в упругом состоянии используется известная зависимость / =*»
= K%{P)/Ei где Р = V/X. Податливость % образца с трещиной оп-
определяется из экспериментальной диаграммы Р — V. Для уточ-
уточнения получаемой отсюда кривой J — V предлагается вводить
известную пластическую поправку Ирвина rv. Далее, с ростом
- нагрузки диаграмма Р — V приобретает тенденцию к горизон-
горизонтальному расположению. Это отвечает случаю предельного со-
состояния идеального жестко пластического тела. Предельная на-
г) SK — истинное сопротивление разрыву, й — пластичность, $—суже-
$—сужение шейки [292].
139
грузка для случая плоской деформации известна из решения за*
у dP
дачи теории пластичности, а / = тр^. Уверенность в на-
наличии плоской деформации основывается на совпадении экспери-
экспериментальных значений Ртах при разных длинах трещин с
предельными нагрузками, полученными по расчету для плоской
деформации.
Таким образом, согласно этому методу, диаграмма Р — V
нужна только для того, чтобы получить податливость X при
/,Н-м/см2
15
110
90
70
50
W
10
\
0,38
\
0,25
?4 мм
\
V
20
15
10
J
1
/
1
5,5
а)
0,1
0,3 0,5 V,mm
0)
Рис. 17.6. Схема определения /-интеграла по Бигди и Ландесу: а) площадь
А диаграммы в функции длины трещины при данном смещении, б) /-инте-
/-интеграл в функции перемещения. При V я Fmax = 0,61 мм, / = /хс =
= 16,5 Н«м/см2, материал — роторная сталь (Ni, О, Mo, V) [325J.
начальной длине трещины и перемещение V, соответствующее
Началу ДВИЖеНИЯ ТреЩИНЫ (ИЛИ При Рщах).
В работе [413] было предложено вычислять 7 через площадь
диаграммы Р — V по формулам, выведенным для каждого типа
образца. Например, для компактного образца на внецентренное
растяжение и на изгиб
где А — площадь диаграммы Р —V, область которой ограничена
по абсциссе величиной Ve (или FmaJ; ot — коэффициент (а = 2
при изгибе и а = 2,44 при внецентренном растяжении).
В случае диаграммы испытания четвертого типа (рис. 17.2)
первый образец следует довести до разрушения с замером макси-
максимальной силы, а последующие, не доводя до максимальной силы,
разгружать, снимать и окрашивать имеющуюся в образце тре-
140
щину *). Затем образцы разрушают и измеряют на изломе сред-
средний подрост трещины Л1 (от исходной до той, которая образова-
образовалась к моменту разгрузки), длину фронта трещины L (как пра-
правило трещина имеет форму языка, углубленного в середине
толщины образца) и площадь подроста трещины AF. Далее пла-
планиметрированием для каждого образца измеряют площадь диа-
диаграммы до точки разгрузки, вычисляют по формуле A7.8) /-ин-
/-интеграл и строят график J — М. Экстраполируя этот график на
нулевой подрост трещины (т. е. до пересечения с осью ординат),
находят /ю-
В случае значительного искривления фронта трещины сле-
следует воспользоваться уточненной формулой
J = (б-г)* + 2А^* A7'9)
Упругопластическая вязкость разрушения he в этом случае на-
находится аналогично.
Экспериментальное определение предела трещиностойкости
проводится путем доведения до разрушения серии однотипных
образцов с разными длина- 1.~пь
ми трещин [144,164]. Пре-
Преимущественно используют
растягиваемые плоские
образцы с одной краевой
трещиной (рис. 17.7); до-
допускаются также образцы,
показанные на рис. 17.4,
17.8, 17.9. Диапазон длин
трещин выбирается та-
таким; 0 < I < 0,86 для плос-
плоских и 0,2D^d^D для
цилиндрических образцов.
Г л
Рис. 17.7. Плоский образец для испытаний
на растяжение с одной краевой трещиной;
Ь = B — 4)*, 1= @,2 — 0,6N, d — 0,65 Ь.
Из эксперимента требу-
требуется только установить
разрушающую нагрузку Рс независимо от вида диаграммы раз-
разрушения (для гладких образцов, при I = 0, разрушающая на-
нагрузка обозначается Рс0). По этим нагрузкам вычисляют коэф-
коэффициент интенсивности напряжений по формулам, соответствую-
соответствующим типу образца,— это будет величина /с. Для каждой длины
трещины получается свое значение предельного коэффициента
интенсивности напряжений и этот результат удобно отразить в
виде графика Ic~ l в исследованном диапазоне длин трещин I.
Для последующих расчетов удобнее, однако, полученный резуль-
результат отразить в виде графика /с — ос/осо. Здесь разрушающие но-
') Стальные образцы нагревают до 300 *С или же нагружают цикличе-
циклической нагрузкой, приводящей к усталостному росту трещины, что позволяет
определить статический подрост трещины.
141
минальные напряжения ае определяют по максимальной нагруз-
нагрузке, выдерживаемой образцом Ре, по формулам сопротивления
материалов, а именно при растяжении ас — PJF-, при изгибе ас =
— PeL/DW); здесь площадь F — nD*/4 — для цилиндрического
образца (рис. 17.9), F = bt — для плоских растягиваемых образцов
Рис. 17.8. Плоский образец для ис-
испытаний на растяжение с цент-
центральной трещиной; I = @,15 —
- 0,25) Ъ, В — A,25 - 1,6) Ъ, t =
— @,15 — 0,25N.
Рис. 17.9. Цилиндрический образец
для испытаний на растяжение или
изгиб; d = @,6—0,7H, Di = 1,5 Z>,
L ==Б D при растяжении, L =
= 10 В при изгибе.
(рис. 17.7, 17.8) и момент сопротивления W — 16V6 — для плос-
плоских изгибаемых образцов (рис. 17.4). По этим же формулам опре-
определяют также и разрушающие напряжения ос0 образцов без
трещин с заменой Рс на Рео. Для растягиваемых образцов до-
допустима замена ос0 на временное сопротивление (предел проч-
прочности) Од, определяемое на гладких образцах в соответствии со
стандартом (ГОСТ 1497—61).
Глава III
ТРЕЩИНЫ В ЛИНЕЙНО-УПРУГИХ ТЕЛАХ
§ 18, Решение некоторых плоских и пространственных задач
Приведем сначала решение некоторых плоских задач об опре-
определении длины трещины, соответствующей критическому значе-
значению нагрузки при известной линии распространения трещины,
которая предполагается фиксированной [149, 156, 167, 1723.
1. Бесконечная плоскость с прямолинейной трещиной, под-
подверженная действию равномерного одноосного растяжения напря-
напряжением о на бесконечности. Требуется определить критическое
значение напряжения оС7 при котором трещина начнет распрост-
распространяться при постоянной внешней нагрузке (задача Гриффитса).
Трещина расположена вдоль оси х, \х\ ^ Z, у = 0.
Воспользуемся соотношением D.20), которое для рассматри-
рассматриваемого случая принимает вид
г
§^?dx~Q, A8.1)
Здесь, как и раньше, р(х) — напряжение на линии трещины в
сплошном теле, взятое с обратным знаком, v =» v(x, I) — переме-
перемещение точек поверхности трещины в направлении оси у от дей-
действия на поверхность трещины напряжений р(х).
В нашем случае
--о(-1)-а, v(x, 0- 2(l2)
Из этого выражения, а также из A8.1) следует, что введенный
в § 4 функционал W в плоской задаче равен длине трещины.
Подставляя значения р(х), v(x, l) в уравнение A8.1) и полошив
перемещение v(l, l) равным нулю, получаем формулу Гриффитса
или, в безразмерном виде,
A8.2)
143
ос *(i-v2)q*
v * —щ
Здесь
Теперь остановимся на роли второго слагаемого в условии
A8.1), которое согласно теории упругости равно нулю и было
отброшено при выводе выражения A8.2). Как видим, принятие
условия v(l, I) ==* 0 приводит к известному результату о равно-
равновесии тела с трещиной. В то же время многочисленные экспери-
экспериментальные и теоретические работы свидетельствуют о наличии
ненулевого раскрытия в кончике трещины в результате пласти-
пластического течения материала. Размеры области, охваченной пласти-
пластическим течением, зависят от свойств материала, схемы и усло-
условий нагружения. В связи с этим, как указывалось выше (§ 3),
существует концепция квазихрупкого разрушения Орована —
Ирвина, одним из простейших следствий которой является то,
что пластическая зона мала до сравнению с длиной трещины.
Эта концепция позволяет считать, что ненулевое смещение в
кончике трещины существенно влияет на напряженно-деформи-
напряженно-деформированное состояние только в окрестности кончика трещины,
причем размеры этой окрестности порядка значения ненулевого
раскрытия. Вне этой малой окрестности поля деформаций, сме-
смещений ж напряжений по-прежнему описываются линейной тео-
теорией упругости.
Таким образом, использование концепции Орована — Ирвина
позволяет, с одной стороны, сохранить решение теории упругости,
с другой — получить^ новые эффекты, не описываемые при ну-
нулевом смещении в конце трещины. Учет второго слагаемого в
A8.1) обеспечивает конечность прочности тела при отсутствии
трещины.
Рассмотрим два случая. Первый — скачок упругих перемеще-
перемещений есть постоянная величина, 2у* — бе — const. Тогда уравнение
A8.1) примет вид
А ЛA-У2)?а2
При отсутствии трещины разрушение наступает при а = сГо, сле-
следовательно, бс/2 = 2у/а0. Отсюда получаем критическое напря-
напряжение
Второй случай — скачок упругих перемещений пропорциона-
пропорционален напряжению а. Тогда уравнение A8.1) примет вид
Здесь а — 2y/ol — коэффициент, определенный из условия а = 0»
144
при 1 = 0. Критическое напряжение будет
На рис. 18.1 линии 1, 2, 3 соответствуют зависимостям A8.2),
A8.3) и A8.4).
2. Плоская задача для тела с прямолинейной трещиной,
растягиваемого двумя равными и противоположно направленны-
направленными сосредоточенными силами Р (рис. 18.2), симметричными от-
относительно линии разреза [167]. Распределение напряжений'
0,8
0,6
0,4
0,1
v 1 2 3 4 5 l#
Рве 18,1. Критическое напряжение при растяже- Рис. 18.2. Плоскость с
пяи плоскости с трещиной: 1—решение Гриф- трещиной, раскрывае-
фитса, 2«—раскрытие в конце трещины есть ве- мой двумя сосредото-
личина постоянная, 3 — раскрытие в конце тре- ченными силами,
щины пропорционально критическому напряже-
напряжению.
У
-
р(х) вдоль линии трещины в сплошном теле дается фор-
формулой A6.1).
Для определения перемещения v(x, l) считаем напряжения
р(х) приложенными к кромкам трещины — I *S х < I так, что
трещина раскрывается. В этом случае решение задачи сопряже-
сопряжения дает [187]
2niVZ2-l2 Jj
—z
A8.5)
10 в. З. Партон, Е. М. Морозов
145
Входящие в уравнение A8.1) слагаемые имеют вид
2a ^
о
dp 4A-у)т_5ф A-у)РаC + у)? + 2г] -
=__L Г p(t)(tz + l2)dt Pl[(B +
2jci Jl г /B«_#«)(г*-И) 4яг //2 -
dl
Подставляя .соотношения A6.1), A8.6) в A8.1) и полагая
v(l, I) =» 0, получаем
Этот результат совпадает с решением, получаемым из силового
критерия Ирвина C.9).
Из A8.7) видно, что при 1-+0 сила Рс-*00. Бесконечная
прочность материала при отсутствии трещины указывает на
определенную ограниченность критерия Ирвина рамками идеаль-
идеальной упругости.
Для дальнейшего удобно соотношение A8.7) переписать в
следующем виде:
(А)«\ A8.8)
р _^1_ _1
где 0о — разрушающее напряжение сплошного материала. На
рис. 18.3 соотношению A8.8) соответствует линия 2. Величина
eel для силикатного стекла с характеристиками y ~
е 2,1-10-* Дж/мм2, ? = 6,7-10* Н/мм2, ао^3,6 Н/мм2 соответст-
соответствует расстоянию от трещины до точки приложения силы L^
^22 мм [209].
Из A8.1), которое записываем в виде
A8.9)
следует, что при I -*• 0 предельная нагрузка остается конечной и
равной
Ре |г=о — Л> — v*f@)' A8.10)
146
Далее сравнение с результатом A8.7) проведем по двум на-
направлениям. Во-первых, будем считать, что v* есть постоянная*
материала бс/2. На основании первой теории прочности примем»,
что при I = 0 предельное напряжение равно максимальному зна-
значению О| на линии разрушения,
т. е. <Ji = /КО) = Р„/@) = Go. Тогда из
A8.10) получаем и* = 2f/oo, и ра-
равенство A8.9) дает связь силы с дли-
длиной трещины в виде
у
_
A8.11)
Линия 2 (рис. 18.3), соответству-
соответствующая A8.11), начинается на оси ор-
ординат от значения прочности, рав-
равного
Ро *= 2яХо\ДЗ + v).
Во-вторых, можно предположить,
что величина у* пропорциональна
напряжению рШ, нормальному к
линии трещины. Поэтому v* = ap(l)
и из A8.10), следует, что 2/j
Рис. 18.3. Критическое усилие*
при растяжении плоскости со-
сосредоточенными силами (с =
s I, v == 0,25); 1 — решение-
для идеально упругого тела,
2— раскрытие в конце трещи-
m /jo t\v, " ны — постоянная величина,.
ТОЩ. условие A8.9Г перепишется 5-раскрытие в конце трещи-
_ ¦ « ны пропорционально напря-
2"« IPf(l)]2 Р2 \ f(x)—~dx — 0 жению на месте конца трещи-
оя JV'9I " ныв сплошном теле.
0 о
С учетом этого получаем для нашей задачи такое соотношение:
tf —• VCrl T^ ?J J . \ 10.1л/
Линия 5 (рис. 18.3), соответствующая A8.12), также указы-
указывает на конечность прочности бездефектного материала. При
I -*- с» все три линии совпадают.
Теперь приведем решение некоторых пространственных задач;
об определении критической нагрузки при известном контуре
области излома [167].
3. Задача о растяжении пространства равномерным на беско-
бесконечности напряжением о. Пусть трещина плоская и имеет в пла-
плане форму круга радиуса R (задача Зака [397]). Воспользуемся
полярной (г, 9) системой координат с полюсом в центре круга.
Перемещение точек поверхности трещины от действия на нее
равномерно распределенного давления о имеет вид
„, = i{l-f)a YW=?. A8.13}
!()¦
14Т
В силу симметрии задачи положим, что трещина растет в на-
направлении радиуса. Соотношение D.14) примет вид
f [2-у — aw (Я)] (dy*6x* - dx*8y*) -
H- A814>
В этой задаче ?> —область трещины (здесь круг) с контуром С;
я*, у* —значения аг, у на контуре, *Р — яДа, i?a = (z*)8+(y*J,
«ж* => бЛ/cos в, бу* = бЯ/sin 0, М = 2? — aw(R). Функционал W
в пространственной задаче есть площадь поверхности трещины.
Из уравнения A8.14), положив шШ) =0, получаем
Этот результат совпадает с полученным ранее [3973. Однако,
как уже отмечалось, взаимное расхождение противоположных
берегов трещины 2ш(#) на ее кромке не равно нулю. Если это
так, то получаем конечное значение прочности сплошного тела.
В самом деле, положим в уравнении A8.14) на контуре М =
=* 2f — аош*, где w(R) — ш* — постоянная величины. При этом
прочность тела в отсутствие трещины определяется напряжени-
напряжением oo~2"l/w* (теоретическая прочность). Тогда уравнение A8.15)
перепишется так:
яЕ(у-(уа/а0))
Решая это уравнение относительное* == oV^o» получаем
Если положить, что взаимное расхождение противоположных
берегов трещины пропорционально напряжению на этих площад-
площадках в сплошном теле, то прочность при отсутствии трещины
определяется напряжением а0 = Bу/сI/в, что соответствует М =»
^2^ — сог. Аналогично предыдущему
с» = 1//1 + 2Я„. A8.17)
На рис. 18.4 приведены линии 1, 2, 3, соответствующие зави-
зависимостям A8.15), A8.16) и A8.17).
Таким образом, применение вариационного принципа теории
трещин может расширить постановку и возможности получения
решений различных задач механики разрушения, а приведенные
примеры дают физически более естественные результаты, чем
в случае применения концепции Гриффитса — Орована — Ирвина.
148
0,5
Наконец, следует сделать заключение о раскрытии: в конце
трещины. Ясно, что для реальных материалов в результате пла-
пластического течения раскрытие больше нуля и может считаться
как постоянной материала, так и величиной, зависящей от внеш-
внешней нагрузки. Причем рассчитанные примеры показали, что и в
том, и в другом случае расхождение между критическими со-
состояниями невелико (линии 2 и 3 на рис. 18.1, 18.3, 18.4). Более
того, начиная с некоторого
значения размера трещины, 1*5
предположение о нулевом
раскрытии практически так-
также не изменяет критическое
состояние. Отсюда можно
сделать вывод, что принятие
той или иной гипотезы о
степени постоянства раскры-
раскрытия в конце трещины можно
скорее обосновать удобст-
удобством расчета, нежели сообра-
соображениями его точности. К это-
этому можно добавить, что дета-
детали деформации, отражающие-
отражающиеся на раскрытии в малой
окрестности конца трещины,
сильно зависят от размера
зерна, его анизотропии и не-
неоднородности (а также и от
других причин), что вносит
в экспериментальное измерение раскрытия некоторую долю не-
неопределенности, позволяющую относиться к результатам непо-
непосредственного измерения малых значений раскрытия в конце
трещины с известной осторожностью [51]. Поэтому при хрупком
разрушении достаточно знать плотность работы разрушения 2"у,
измеренную на образцах с достаточно большой трещиной, и тех-
техническую прочность а о гладкого образца (в отсутствие трещины).
Этих параметров достаточно для построения области предельного
состояния тела с трещиной и с ограниченной прочностью при
Z 0
s
-
V
ч
*——
—
*-—
-
R*
0,5
Рис. 18.4 Критическое напряжение при
растяжении пространства с дисковид-
ной трещиной; 1 — задача Зака, 2—•
раскрытие в конце трещины постоянно,
3 — раскрытие в конце трещины про-
пропорционально критическому напряже-
напряжению.
§ 19. Кручение и растяжение цилиндра
с внешней кольцевой трещиной
Займемся теперь определением напряженного состояния в
окрестности кольцевого разреза на поверхности сплошного беско-
бесконечного цилиндра и найдем коэффициенты интенсивности напря-
напряжений в случае чистого кручения и растяжения вдоль оси ци-
цилиндра [99]. Актуальность анализа напряженного состояния для
надрезанного круглого образца, работающего в условиях круче-
149
ния и растяжения, определяется тем, что форма образца оказы-
оказывается важной для стандартных испытаний на разрушение.
1. Пусть сплошной круговой цилиндр единичного радиуса
(J? =я 1)( имеющий кольцевой надрез с внутренним диаметром
2а, скручивается моментами М (рис. 19.1);
Цилиндр отнесен к цилиндрической система
координат (г, G, z) с центром в плоскости раз-
разреза. Предполагается, что боковая поверхность
цилиндра и поверхность разреза свободны от
напряжений.
Касательные напряжения в элементарном
решении задачи о кручении сплошного вала
единичного радиуса имеют следующие выра-
выражения:
(о)
б
0.
Для того чтобы поверхность разреза была
свободна от напряжений, необходимо рассмот-
Рис. 19.1. Круто- реть дополнительное напряженное состояние^
внепгаимЛИкадьце- которое не зависит от угловой координаты &
вым разрезом. и характеризуется единственной отличной от
нуля компонентой перемещения ио — к(г, z)+
удовлетворяющей уравнению равновесия
1 ди
д\
дг*
Касательные напряжения определяются по формулам
A9.0
A9.2)
Рассмотрим полубесконечный цилиндр
решение уравнения A9.1) в виде
и представим?
A9.3)
Здесь JiCknz) — функция Бесселя первого рода, К — корни урав-
уравнения
-0.
Касательные напряжения на боковой поверхности равны
нулю, а на торце, в соответствии с A9.2), A9.3), определяются
следующим образом:
150
Граничные условия в плоскости z = 0 будут иметь следую-
следующий вид:
()
и (г, 0) = 0, 0<г<а,
Удовлетворяя этим граничным условиям и используя соотно-
соотношения A9.3), A9.4), получим парные рядовые, уравнения
гАМ = 0 @ < г < я), A9.6)
2 ЯпЛ (Япг) - ^ г (а < г < 1). A9.7)
Следуя работе [4143, положим
Тогда на основании равенств A9.7), A9.8) найдем
а а
Вп - 2/Г* (Я„) J g (и) sin (Х„и) ^, - ^ = 8 J ug (и) da. A9.9)
J ^ J
о о
Функция g(u) удовлетворяет интегральному уравнению
Фредгодьма второго рода с симметричным ядром [4141:'
О О
A9.10)
К (щ t) - A J ^. [8и*/2 (у) - sh (iy) sh {uy)\ dy.
Здесь 1п(у), Кп(у)—модифицированные функции Бесселя соот-
соответственно первого и второго рода.
Используя разложения в степенные ряды для функций sh(fy)f
shiuy) и 12(у), представим ядро уравнения A9.10) в виде
К (и, *) - - 2 t*k+%k+1 (и), A9.11)
fe=o
Ц2"
1 ^ ч^.-' .
П=2
151
Т^У*4» (« = 2,3,...). A9.12)
С учетом разложения A9.11) решение интегрального уравне-
уравнения A9.10) будем искать в виде
g{t)-C(a) 2 Л»+/п+1. A9.13)
771=0
Постоянные Р2Я1+1 в A9.13) определяются из решения беско-
бесконечной системы алгебраических уравнений
00
р _ vi p rj i g9- (m
Здесь
¦ С
= J
1 V» а m a
(и) du — Bm + 1) i
« - 1)! (п +1)!
2fe+2Tl~1
( + 1)| (
0 n-2
о ii,
==0,1,2,...; ттг=1,2,3,...; 6m=n
Постоянная C(a) определяется из второго равенства A9.9)
и разложения A9.13):
2°°
_2тп+8
тп=о
Покажем, что система A9.14) является квазирегулярной. Вна-
Вначале докажем, что функции blm+i(u) стремятся к нулю при тп-*-
->°о и 0^a< 1. Подставим выражение для коэффициентов а„
в ряд, определяющий fc2m+i(w), и изменим порядок суммирования
и интегрирования. Тогда получим
о
Используя асимптотические разложения для модифицирован-
модифицированных функций Бесселя, можно получить при больших т сле-
следующее представление:
2 \л 15 B - и) , 225 B-иJ
15B + »)
) ' 32B^
152
Отсюда следует, что
lim b2m+1 (и) - 0 @<и<1).
т-*ао
Отметим, что значения ос„ при больших п также могут быть
определены по асимптотической формуле
15 2
4 In
225
32
¦1)Bя)
A9.16)
В таблице 19.1 приведены значения aw в соответствии с A9.12)
<первая строка) и A9.16) (вторая строка). Сравнение показывает,
Таблица 19.1
Значения коэффициентов ап для ряда значений п
п
«я
п
«п
2
117.10-1
80,1.10-»
9
235-10*
23740е
3
297-10-1
274-10-1
10
212.10м
216-1O10
4
276
267
11
235-10х8
241-10»
5
498-101
489 ДО1
12
312.10"
323-10"
б
142-103
141-Ю3
13
490-lO"
511-10*«
7
587-10*
584-10*
14
894-1018
946-10"
8
326.10е
327-106
15
189-10й
202-10»
что при п">Ъ точные значения а„ мало отличаются от асимп-
асимптотических.
Оценивая коэффициенты бесконечной системы A9.14), найдем
I C2ft+i,2m+i! < I hm+1
Следовательно,
@ < Ях < Я < 1).
Из последнего соотношения и A9.16) получим
S2m+i < 1, ТП "> 7П'.
Таким образом, система A9.14) является квазирегулярной
при 0 < а < 1.
Для определения касательных напряжений на продолжении
разреза воспользуемся соотношениями A9.4), A9.8):
Q)—
153
Если сюда подставить выражения A9.13), A9.15), то можно
показать, что касательное напряжение твг на продолжении раз-
разреза будет иметь особенность следующего вида:
... (г<а). A9.17)
а —
С учетом A9.17) найдем коэффициент интенсивности напря^
жении в вершине разреза:
Кт - Нт [ V2я {а -г) тв2 (г, 0)] = - 2ц ]/-? ? (л) (г < а).
т-*а
A9.18)
Используя разложения A9.13), можно записать
На рис. 19.2 линией 1 согласно C.9) представлена зависи-
зависимость величины М* — 3/4Л/я ~1/2Я~~ъ/*Кта от безразмерного ра-
радиуса а = а//? вершины трещи*
ны (Л —радиус цилиндра,
денный вместо единичного).
м*
/
7
/
•
се
а?
Рис. 19.3. Полу-
Полуплоскость с
краевым разре-
разрезом.
и ОЛ 0,4 0,5 0,3
Рис. 19.2. Зависимость критического
крутящего момента от радиуса нет-
то-сечения (линия I); 2 —решение
Невбера задачи о кручении тела вра-
вращения, содержащего внешнюю вы-
точку, 3 —решение для мелких вы-
выточек на поверхности цилиндра.
Легко видеть, что при малых а (глубокая кольцевая трещи-
трещина) Pi~l, P2k+i~0 (fc —1, 2, ...). Тогда из A9.19) следует
Km - 3ЛД/я-1/2а-5/2.
A9.20)
154
Этот результат (линия 2 на рис. 19.2) вытекает из известного
решения Г. Нейбера [1901 задачи о кручении тела вращения,
содержащего внешнюю выточку.
Наоборот, для мелких выточек на поверхности цилиндра
можно рассмотреть полуплоскость с разрезом, выходящим на ее
границу, в условиях антиплоской деформации (рис. 19.3). Гра-
иичные условия в этом случае таковы:
A9.21)
— — A — х), у = 0,
Последнее условие соответствует выбору напряжений (с об-
обратным знаком), возникающих на месте мелкой выточки, при
кручении сплошного цилиндра единичного радиуса. В этом случае
имеем
Представим компоненты смещений и напряжений в следую-
следующем виде:
да
и (х, у) = J А (Я) tr** cos (Я*) dK
б
ер
х JA J Ы (к) е-** sin (kx) d%,
о
zy == — и J Ы (Я) е-ъ-v cos (%x) d%.
о
Удовлетворяя краевым условиям A9.21), получим
00
J %A (Я) cos (kx) d%=~ (i — x) @ < х < 1 — а),
о
00
J А (Я) cos (Яж) d% = 0 (х > 1 — a) t
0
или после интегрирования
А (Я) cos (Kx) d% = 0 (зг > 1 — а).
155
Введем новую неизвестную функцию Lit)
1-е
=* j L(t)J0(Xt)dt.
Тогда
LH)dt 2M
1—a
Jjo(tt)sin(X*)<OL U-- ^-A-*)-
. _5_
С учетом двух последних зависимостей выражение для касатель*
ных напряжений на продолжении разреза имеет следующий вид5
A9.22)
Здесь отброшены члены, ограниченные при х -*• 1 — а. Коэффи-
Коэффициент интенсивности напряжений с учетом A9.22) равен
Кш= lim /2я[я!- A -о)] тгу{х, 0) = 2Af
A9.23)
Отсюда в предельном случае из C.9)
ЪМ 3
81/П^ [1 - 2п~1 A - а)]1
Соотношению A9.24) соответствует линия 3 на рис. 19.2.
Объединяя все три решения — точное A9.18), для случая глу-
глубокого разреза A9.20) и решение для мелкой выточки A9.23),
представим коэффициент интенсивности напряжений в следую-
следующем виде:
Кт - wVS/^a). A9.25)
156
Здесь тт« = 2Мп~*сг* — максимальное напряжение в нетто-сече*
нии, a==a/R,
F (а) = 3/8а3 (М*)~г — для точнопГрешения, A9.26)
F (а) = FN (а) = э!ва^2 — для глубокого разреза, A9.27)
F(a) = FA (a) - а*A -a)^[l —1-A -«)] -
для мелкой выточки. A9.28)
В таблице 19.2 представлены значения F(a) в соответствии:
с A9.26); A9.27) и A9.28).
Таблица 19.2:
0,1
0,2
0,3
0.4
0,5
0.6
0,7
0,8
0,85
0,9
0,95
ио-
0,119
0,1185
0,206
0,236
0,264
0,167
0,167 0,205 0,236 0,265 0
0,288 0,236
,29
0,274 0,243 0,231
0,21
0,313 0,336
FAa)
0,221
0,2185 0,207
О
2. Рассмотрим случай осевого растяжения силой F =
цилиндра единичного радиуса Л== 1 с кольцевым разрезом
(рис. 19.1). Найдем приближенное решение данной задачи в пред-
предположении, что поверхность разреза свободна от нагрузки, а на
боковой поверхности цилиндра равны нулю касательные напря-
напряжения я радиальные перемещения. Данная задача является осе-
симметричной, и напряженное состояние в окрестности разреза
можно получить из рассмотрения полубесконечного цилиндра
zX), для которого на торце выполняются следующие условия!
т„(г, 0)*=
г, 0) = 0,
az(r, 0) = —g,
1 A9.29)
В этом случае компоненты перемещений и напряжений можно
выразить через одну гармоническую функцию [273]
fa*
2^2;
С учетом условий при z
функцию выбираем в виде
оо
ip \rt Z) = ^j >
3r5z*
гармоническую осесимметричную-
, (Кг) ехр (— Xns).
157
Здесь Л(я) — функция Бесселя первого рода, А,» —корни урав-
яения /0 (Яп) = 0.
На боковой поверхности цилиндра должны выполняться сле-
следующие условия:
Удовлетворяя условиям A9.29), получаем парные рядовые
уравнения вида
2 Л^ЧЛ М = 0 Ф < г < а)
71-1 «, • A9.30)
п=1 ^
Для решения этой системы полагаем [414]
-*+2^.(М—^Jf^i @<г<а).
^ n=i г П -Г
A9.31)
Из второго уравнения A9.30) и A9,31) следует
а а
Ап - 2/0~2 (К) J * @ cos (M Л, J *(*)#-- ^-. A9.32)
о о
Подставляя выражение A9.32) для коэффициентов Ап в пер-
первое уравнение A9.30) и учитывая зависимости, полученные в
1414], находим
g (t) = f g {u) K(u,t)du-\--~^g (и) du. A9.33)
о о
-Здесь
00
к ("-. *) = -т ) ~ТТ) ^^! to)"'у сЬ ^иу^сЬ (^ d5f-
О Ь
Таким образом, равенство A9.33) представляет собой инте-
интегральное уравнение Фредгольма второго рода для определения
функции git). Для решения этого уравнения воспользуемся пред-
представлением ядра A9.33) в виде степенного ряда [4111:
158
Здесь
2m W *=—-^Zi Bm)! B5 - 2)!
(т = 1,
а числовые значения Тп приведены в [411].
Разыскивая решение уравнения A9.33) в виде ряда
g (*) - С (a) S <?2т^т, A9.34)
т=0
получим для определения коэффициентов Qtm бесконечную си-
систему алгебраических уравнений
-0, 1, 2, . ..). A9.35)
ft=0
Здесь
аы-а /' ^i T a2h+uS+1
2к + 1) (^=0,1,2, ...),
а ^ Bт)! B5 _ 2)! Bfc + 25-
(А = 0,1,2,...; т«= 1,2,3, ...).
Система A9.35) является квазирегулярной при 0'<а'<1. Это
следует из асимптотических выражении для функций b2m(u) при
больших тп
3 2-й ; 9 B-йJ
+ я B + ufm+1
и оценок
L1 + ~~2^Г + ,2 Bт-1) 2т + * " |
a2ft+l
@<Л!<в<
In YITb
Таким образом,
00
- 2 \C2hl2m\<i
h=Q
Укажем здесь же асимптотическую формулу для определения
коэффициентов Тп при больших п:
пп\ Г 3 2
l1 +
(л-!)»
При ге > 8 значения Гп» вычисленные по данной формуле, отли-
отличаются от точных значений меньше чем на 1,1%.
Постоянную С(а) определим так, чтобы выполнялось второе
условие A9.32). В результате получим
\»n=0
Нормальные напряжения в плоскости z = 0 на продолжении
разреза будут определяться по формуле
Подставим сюда A9.34) ж выделим особенность для напряжений
в вершине разреза. Тогда получим
U2 ^Г, \J) = у = ^?j V2тп' i • • • V ^- a)' \1ош01)
Здесь отброшены слагаемые, ограниченные при г -*¦ а.
Формула A9.37) позволяет определить коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений
Нт [ /^Г7о-г (г, 0)] - - 2|i ]/^- g (а) (г<а)
A9.38)
и величину
пропорциональную критической нагрузке.
С учетом выражения A9.36) для постоянной С(а) коэффици-
коэффициент интенсивности напряжений в случае цилиндра радиуса R
имеет вид
160
При малых значениях а, QQ ~ 1, Q%m~0 (m«l, 2, ...) и из со-
соотношения A9.39) следует, что
Этот результат вытекает из решения Г. Нейбера [190] задачи
о растяжении пространства с внешней щелью.
Рис. 19.4. Зависимость критического
напряжения от радиуса нетто-сече-
ния. Кружки — результат Париса,
треугольники — данные Бюкнера.
%о
0,5
0
0,8
На рис. 19.4 показана зависимость величины Qi от расстоя-
расстояния до вершины трещины a = a/R. Для сравнения здесь же при-
приведены результаты П. Париса и X, Бюкнера [215]. Полученный
выше результат является промежуточным по сравнению с этими
данными.
§ 20. Конструкционное торможение трещины
(ребра жесткости)
Одной из важнейших характеристик сопротивления материала
трещинообразованию является величина предельной нагрузки,
связанная с началом развития трещины, которое зачастую отож-
отождествляется с понятием полного разрушения. Однако это спра-
справедливо только в случае лавинообразного неустойчивого распро-
распространения. Во многих случаях взаимодействия трещин с препят-
препятствиями и границами, а также в задачах взаимодействия систем
трещин, как показывают эксперименты и расчеты [98, 185, 216,
219, 309, 326, 331, 395], на значительном участке изменения на-
нагрузки развитие трещины протекает устойчиво. Очевидно, что
наличие устойчивых трещин в конструкциях и сооружениях, ра-
работающих зачастую в определенных режимах изменения внеш-
внешних нагрузок, гораздо менее опасно, а искусственное усиление
таких сооружений (за счет постановки заклепок, пластин ж
стрингеров, высверливания отверстий на пути распространения
трещин и т. д.) может значительно продлить их «жизнь».
Для предотвращения катастрофического развития трещины и
разрушения конструкций и сооружений трещины подкрепляют
ребрами жесткости, препятствующими их распространению
(рис. 20.1). Возможна следующая простейшая схематизация этой
задачи [185, 2191. Бесконечная пластина единичной толщины
11 В. 3. Партон, Е. М. Морозов 161
с трещиной длины 21 растягивается на бесконечности однородным
напряжением р0 (рис. 20.2); действие подкрепляющих ребер за-
заменяются четырьмя симметрично расположенными сосредоточен-
сосредоточенными силами Р, приложенными в местах расположения ближай-
ближайших к трещине заклепок; величина сил Р считается заданной.
f
Рис. 20.1. Панель с
приклепанными реб-
ребрами жесткости.
Рис. 20.2. Схематизация задачи о
трещине в листе с ребрами жест-
жесткости.
Возможно и дальнейшее усложнение предложенной здесь схема-
схематизации, так как величина сил Р вполне определяется упругими
и геометрическими характеристиками рассматриваемой задачи и
величиной растягивающей нагрузки р0. В дальнейшем значение
сил Р определяется в зависимости от параметров задачи. Однако
для простоты будем в первом приближении считать силы Р за*
данными. Как показывают оценки, действием более удаленных
заклепок можно пренебречь. Такая же схематизация (рис. 20.2)
может быть применена и к задаче о пластине, подкрепленной
парой проволочных петель, в которых отсутствуют начальные
напряжения и которые продеты в просверленные в пластине от-
отверстия [7, 216].
Дадим решение поставленной таким образом задачи в пред-
предположении, что имеет место плоская деформация.
Суммируя известные фундаментальные решения Буссинеска
1122], получаем выражение для распределения нормальных на-
напряжений в теле без трещины под действием заданных нагрузок
Po-
Poll A + v)
И- <20л)
Для изолированной трещины, в силу симметрии задачи, вос-
воспользуемся следующим соотношением [357, 408]:
i
Л/ 1 Г
V Т }
B0.2)
1E2
Если подставить B0.1) в B0.2) и воспользоваться критери-
критерием Ирвина C.9), получим следующее выражение [185] в безраз-
безразмерных параметрах:
У»пЛ
АУА—В+2
2 A + v) BB — А — 4)
|
12 A + v)
2
Здесь
Л2 (А+ В — 2) уЛ - В + 2
1 + 3^1-^
B0.3)
_ 2)"[/Л — 5+2
На рис. 20.3 дана зависимость р* = p°WL) согласно B0.3)
для v«0,25, Р°***0,2 и различных значений параметра в. Здесь
- - ^-^ -*« - ¦ ¦ ¦
4*
3
Им
Т
^ 1
VKV
\
\'
Ki
s'
Чх
ч
/
к
ч
•
--
к"
,—-
>*-
-^
»—
_
^»*•
---
—*¦¦
-5
-4
-?
1,0-
1/L
Рис. 20.3. Зависимость критического напряжения от длины трещины для
различных положений точек приложения сосредоточенных сил (имитирую-
(имитирующих действие заклепок). Линия 1 соответствует решению Гриффитса. Ве-
Величина yo/L равна: для линий 2 — 0,15; 3 — 0,25; 4 — 0,4; 5—0,5; 6—0,75.
же построена кривая Гриффитса i, соответствующая отсутствию
подкрепляющих ребер. Очевидно, что трещина устойчива, если
напряжение, необходимое для ее поддержания в критическом
состоянии, возрастает с увеличением длимы трещины. Как видно,
для каждого значения безразмерного параметра Р°, характеризую-
характеризующего силу заклепок, существует критическое значение е0 (в на-
нашем случае е0» 0,45) безразмерного параметра 8 такое, что при
11* 163
е > е0 кривая B0.3) не имеет участков возрастания, так что тре-
трещина всегда неустойчива, а при е < е0 имеется участок возраста-
возрастания, на котором трещина устойчива (см. § 3).
Решение для бесконечного ряда подкрепляющих ребер
(рис. 20.4), расположенных в точках ±nL (п = 1, 2,...) получается
f f f 1L \ 1 \ \Р°
ь
\ f \ \
тг~г
Рис. 20.4. Схематизация задачи о трещине в листе с двумя парами ребер
жесткости.
из B0.3) заменой L на nL. На рис. 20.5 приведены кривые
для двух пар подкрепляющих ребер при тех же значениях
Р°ш v.
Вернемся к задаче о подкреплении трещины одной парой
ребер жесткости, в которой для упрощения сила Р, характери-
характеризующая действие заклепок, считалась постоянной. На самом деле
2,5 1/L
Рис. 20.5. Зависимость критического напряжения от длины трещины для
различных положений точек приложения сосредоточенных сил. Величина
yolL равна: для кривых 1 — 0,15; 2 — 0,25; 3 — 0,5; 4 — решение Гриффитса.
величина сил Р вполне определяется упругими и геометрическими
характеристиками рассматриваемой задачи, а также величиной
растягивающей нагрузки р0 [309]. Для определения этих сил
применяется метод «склеивания» двух асимптотик искомого ре-
164
шения. Согласно закону Гука величина силы Р, действующей
на каждую заклепку со стороны ребра жесткости, равна
EqF
Р^Л-Av. B0.4)
Здесь Es — модуль Юнга материала ребра, F — площадь попереч-
поперечного сечения ребра, 2уй — расстояние между заклепками. Av —
взаимное смещение заклепок, равное удлинению ребра.
Обозначим через г радиус заклепки. Будем считать далее, что
сосредоточенные силы, заменяющие на схеме действие заклепок
на пластину, приложены строго в точках z~±:L± iy0, где z =
= х ¦+¦ iy — комплексная переменная, 2L — расстояние между реб-
ребрами жесткости.
Примем естественное допущение о том,, что взаимное упругое
смещение точек % = + ? + ?(у0 — г) и z = + L •— ъ(уй — г) в рассмат-
рассматриваемой задаче теории упругости равно указанному выше вза-
взаимному смещению заклепок Av. Это дополнительное условие
представляет собой принимаемое условие «склеивания» двух
асимптотик строгого решения и позволяет эффективно найти
приближенное решение поставленной задачи.
Используя метод Мусхелшпвили и принцип суперпозиции,
взаимное смещение Av указанных точек можно найти в следую-
следующем виде:
f
х) t f Ш (r _ 2yQf [4Ll+ By0 - rf] +
) 1.
/7C " Г -°
о '
Здесь 4 = V52 + 4L2(i/0-rJ, В = L2-(i/0-rJ - Z2, C =
+ B — г), ^ — толщина пластины.
165
Искомая сила Р легко определяется по формулам B0.4),
B0.5). Перепишем соотношение B0.3) для случая плоского на-
напряженного состояния (пластина толщины t):
Ро 2 ТТгЕ
A + н) L
2L
FQ — 2L2) Vd - Fo-f-2L2
4?>3 (D _j_ j?o _ 2L2) /д - FQ + 2L2 J =
"%• B0-6)
1/21
l\ D= V К -
Здесь ^0 = yl +
При помощи соотношений B0.4)—B0.6) исключим Р и запи-
запишем окончательно зависимость длины трещины I от внешней
нагрузки р0;
Г jj j A + п) L
AD Vd — F0+2L
- ^ [L
- г) Ya=
Здесь
г^^-Ш- B0-7)
Се*
я*
xln
(г ^ 2ig2 [4I
+
G-x)yo(yo-r)»
qjl^Lbi _A5-«)]
X
X
(y0 -
166
Z>2
На рис. 20.6 представлена зависимость безразмерной предель-
предельной нагрузки о* = р0 У^Ь/Кс от безразмерной длины трещины
1ф «= Z/L для следующих параметров:
Яв = Я = 2 • 107 Н/сма; е - уЛ — 0,2;
Здесь же нанесена кривая Гриффитса
соответствующая отсутствию подкрепляющих ребер. Участок
устойчивого роста трещины на рис. 20.6 обозначен сплошной
линией,- а неустойчивый участок — штриховой линией.
^.
•mas
утш
rat
Рис. 20.6. Зависимость критиче- Рис. 20.7. Два вида критических диа-
ского напряжения от длины, тре- грамм разрушения: 1 — без устойчивого
щины для листа с ребрами (кри- участка, 2 — с устойчивым участком,
вая 1) и без ребер B).
Таким образом, при достаточно частом расположении заклепок
(е < е0) действие подкрепляющих ребер сказывается в появлении
нового качественного эффекта — стабилизации трещин.
Сделаем в B0.2) замену переменной х = Щ и положим /Vе
= Кр (К — безразмерный параметр нагружения, р — постоянная
с размерностью напряжения). Тогда B0.2) перепишется:
B0.8)
При возрастании параметра "К распространение имеющейся
в теле начальной трещины длины 210 может происходить по одно-»
167
му из следующих вариантов (рис. 20.7). Если зависимость длины
трещины от приложенной нагрузки не имеет устойчивого участка
(линия 1)г то с увеличением Я длина трещины 2lQ не меняется,
пока трещина не достигнет критического состояния равновесия
(в точке А). По достижении соответствующего этому состоянию,
значения параметра нагружения Я трещина начинает катастро-
катастрофически распространяться, и тело разрушается. Если же зависи-
зависимость Ш) имеет устойчивый участок (линия 2), то при U <
< /тт(Я > Ятах) и при U > /тах(Я < Ящ^) развитие начальной* тре-
щипы происходит так же, как в первом случае. Если lmin < 10 < 18,
то размер трещины не меняется,, пока трещина не достигнет кри-
критического равновесия (в точке В), и тогда при малейшем превы-
превышении равновесной нагрузки трещина скачком переходит в дру-
другое, устойчивое состояние (в точке С), соответствующее тому же
значению Я, после чего устойчиво развивается с ростом параметра
нагружения до величины Яша*. После этого трещина начинает
катастрофически распространяться, и тело разрушается. При
h <! ^о < ^тах размер трещины не меняется, пока трещина не
достигает критического состояния равновесия (в точке Е), затем
с увеличением Я трещина устойчиво развивается, пока параметр
нагружения не достигает значения Яшах» после чего тело раз-
разрушается.
В последних случаях при Ятщ < Я < Яти на концах трещины
выполняется условие B0.8), определяющее длину трещины как
непрерывную функцию параметра нагружения. Здесь, несмотря
на рост трещины, полное разрушение не происходит, и тело спо-
способно воспринять возрастающую нагрузку. Предельное значение
параметра нагружения Ятзх, определяющее прочность такой кон-
конструкции, одинаково для всех значений начальных длин трещины
в диапазоне lmia < U < Jmax. Поэтому, если начальная длина тре-
трещины ненагруженнои пластины меньше 24м*, то приложение
нагрузки, меньшей ро^КшжРч не приводит к разрушению (случай
U > ?тах означает, что трещина проскочила подкрепляющие ребра
жесткости).
Этот пример является показательным в том отношении, что
разрушение тела определяется общим интегральным условием
несуществования решения в целом задачи равновесия тела с тре-
трещинами (а не локальным напряженным состоянием в отдельных
точках тела). Механика разрушения позволяет получить универ-
универсальную характеристику прочности конструкций и сооружений,
не зависящую от начальной длины трещины, которую желательно
вводить при расчетах на прочность.
Изложенный выше анализ решения может быть использован
для построения поверхностей локального разрушения, потери
устойчивости и полного разрушения в пространстве Я4, Я2, ..., Яп
(кривая в этом пространстве Я^ЯД*), Яг'=Я2Ш, ..., ЯП = ЯП(^);
проходящая через начало координат Xi'— Яг '==... = 0 при t — 0
определяет путь нагружения тела) (см. также [7, 242]).
168
Например, наиболее важная характеристика прочности — по-
поверхность полного разрушения, определяющая «безопасную» об-
область значений параметров нагружения, для которых не проис-
происходит разрушения, может быть определена так. Поверхностью
полного разрушения назовем такую поверхность (см. (9.10),
A3.16))
i) Лг, . . ., An) s= 0, B0.9)
для внутренних точек которой при подходе по любому активному
пути нагружения, лежащему внутри этой поверхности, существует
решение задачи для тела с трещиной. Для точек же, внешних
к этой поверхности, такого решения не существует. Для рассмат-
рассматриваемой задачи уравнение поверхности полного разрушения
Я-Ята* = О. B0.10)
§ 21. Конструкционное торможение трещин
(ремонтные заплаты и разгружающие отверстия)
Постановка. ребер жесткости может производиться как при по-
постройке конструкции, так и после непосредственного обнаруже-
обнаружения трещин, появившихся в процессе ее эксплуатации. В послед-
последнем случае в качестве ребра, наряду с обычными стрингерами
могут применяться и ребра в виде полос или заплат-дублеров,
приваренных, приклеенных или приклепанных к конструкций.
В отдельных случаях такие ребра, помимо торможения трещин,
могут обеспечивать также герметичность, местную прочность
конструкции, защиту от коррозии и т. п., т. е. могут выполнять
несколько функций. Перспективными в этом отношении пред-
представляются заплаты, выполненные из армированных пластиков,
наклеенных на трещину. Вообще, приварка или приклейка ребер
жесткости часто являются не только более технологичными опе-
операциями по сравнению с использованием заклепок, но нередко
и более целесообразными, так как не ослабляют смежные с тре-
трещиной участки конструкции.
Эффективность использования ребер жесткости определяется
различными факторами как физического (величины Ки, KJ, так
и силового и геометрического характера (через коэффициент ин-
интенсивности напряжений К, значение которого зависит от гео-
геометрии трещины, схемы приложения усилий, жесткостных пара-
параметров ребер и условий их закрепления и т. п.). Так, в работе
[341] рассмотрено влияние ремонтных заплат на коэффициент
интенсивности напряжений прямолинейной трещины в пластине
толщиной t, растягиваемой на бесконечности усилиями, перпен-
перпендикулярными трещине. При расчетах прямоугольная заплата
размерами 2Н X 2Ъ заменялась полосами шириной 6/10, работаю-
работающими только на растяжение и прикрепленными к пластине в N
равномерно размещенных точках с шагом h, как показано на
169
рис. 21.1. Коэффициент интенсивности напряжений нормального
отрыва вычисляется при этом по формуле
20 N
Кг
Pm,ng(Zm,n),
B1.1)
m=l n=
A A A 0 Л т
где g(zWiJ — функция Грина для коэффициента интенсивности
напряжений от действия пары противоположно направленных
единичных сил, перпендику-
перпендикулярных линии трещины и_при-
ложенных в точках zi>h ziyh a
Рт, п — величина сосредоточен-
сосредоточенной силы, действующей в п-й
точке скрепления nt-й полосы
заплаты. Эти силы определяют-
определяются из решения некоторой ал-
алгебраической системы урав-
уравнений [341], которая строится
исходя из условия, заключаю-
заключающегося в том, что смещение в
пластине и заплате равны в
каждой точке скрепления (урав-
(уравнение совместности перемеще-
перемещений на участках между точка-
точками п и п+1 в пг-й полосе):
Рис. 21.1, Лжет с трещиной и прикле-
приклепанной заплатой. &v%,n +
B1.2)
где слагаемые представляют собой приращения перемещений в
результате действия сил скрепления в пластине (а), однородного
напряжения в пластине (Ь\ сил скрепления в полосе (с) и де-
деформации в самой точке скрепления id).
Результаты численных расчетов, выполненные в работе [341],
можно разделить на три части: влияние на К формы заплаты,
упругости заклепок и коэффициента жесткости элементов» на ко-
которые разбивается заплата. На рис. 21.2 показано изменение
коэффициента интенсивности напряжений в функции отношения
длины трещины I к ширине заплаты Ъ для трех размеров заплаты
(отношение высоты Н к ширине Ь равно 0,6, 1 и 2). Заплата
имеет относительную жесткость S = tE/tJEa равную единице,
а заклепки жесткие (t; E; ts; 2?3 —толщина и модуль упругости
пластины и заплаты). Видно, что коэффициент интенсивности
напряжений сначала (по мере увеличения длины трещины)
уменьшается, пока вершины трещины не достигнут края заплаты.
Когда вершины трещины находятся под заплатой, коэффициент
интенсивности напряжений также уменьшается с уменьшением
размера заплаты. Когда же трещина выходит за пределы запла-
170
ты, коэффициент интенсивности напряжений быстро увели-
увеличивается.
На рис. 21.3 показан коэффициент интенсивности напряжений
в функции отношения длины трещины I к ширине заплаты Ъ для
различных коэффициентов упругости скрепления Q'=qEtt где
q = ta/(\iab3h). Здесь коэффициент податливости точки скрепле-
скрепления q выражен с использованием аналогии со склеивающим ве-
веществом: ta, \ia — толщина и модуль сдвига связующего вещества,
2.0
Рис. 21.2. Коэффициент интен-
интенсивности напряжений в листе
с трещиной и заплатой; 1 —
Я/6 = 0,6; 2 — Н1Ь = 1; 3 —
Н/Ь = 2.
0,45
0,30
0,15
0,0
г/ь
1,0
2,0
Рис. 21.3. Коэффициент интен-
интенсивности напряжения в листе
с заплатой при разной жест-
жесткости заклепок; 1 — Q = 0;
2 —(? = 5; 3 — (? = 10; 4 —
<?5
Ь3 — ширина полосы заплаты, h — шаг соединения. Результаты,
приведенные на этом рисунке, относятся к квадратной заплате
с 10 точками скрепления по одну сторону от трещины на каждой
полосе. Как и раньше, заплата представлена 20-ю полосами, а от-
относительная жесткость заплаты S = 1. Коэффициент интенсивно-
интенсивности напряжения для Q — 0 характерен для жесткого связующего
вещества, a Q = 5, 10 и 15 соответствует его увеличивающейся
упругости. Быстрое увеличение К, когда вершина трещины
находится за пределами заплаты, аналогично представленному на
рис. 21.2. Видно, что упругость связующего вещества ослабляет
упрочняющее влияние заплаты, и коэффициент интенсивности
напряжений растет. Для типичных значений коэффициента по-
податливости заклепки коэффициент интенсивности напряжений
171
i/ь
OJO
1,0
2,0
(для l/b<: 1) приблизительно в два раза больше» чем в случае
жесткого связующего вещества (Q = 0).
Коэффициенты интенсивности напряжения были также рас-
рассчитаны для двух значений относительно жесткости (S — 0,5 и 2)'.
Расчеты проводились для той же самой квадратной заплаты, но
только с жесткими скреплениями (Q = 0). На рис. 21.4 коэффи-
коэффициент К есть функция от IIЬ для
двух жесткостей. Видно, что более
жесткая заплата (с меньшей S)
уменьшает коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений.
Результаты расчетов указывают
на то, что жесткость заплаты явля-
является основным фактором (по сравне-
сравнению с размерами заплаты и числом
точек ее скрепления с пластиной),
определяющим ее влияние на коэф-
коэффициент интенсивности напряжений.
Следует заметить, однако, что
использование приведенных выше
результатов и выводов существенно
ограничивается принятым при реше-
решении предположением о возможности
сноса сил взаимодействия пластин
и ребер жесткости в срединную пло-
плоскость пластин. Такой подход,
строго говоря, правомерен лишь для случая симметричного отно-
относительно срединной плоскости пластин, расположения ребер, а
также для упомянутой ранее задачи подкрепления проволочными
петлями. В противном случае изгибные напряжения, действующие
в пластине, могут не только уменьшит^ подкрепляющий эффект
ребер жесткости, но и привести к увеличению коэффициента ин-
интенсивности напряжений в кончике трещины. Может возникнуть
ситуация, подобная таковой при внецентренном растяжении, ха-
характерном для растягиваемой пластины, подкрепленной наклад-
накладным листом. С этой точки зрения наиболее достоверные резуль-
результаты получены для методов конструкционного торможения тре-
трещин, основанных на использовании разгружающих отверстий.
Такие отверстия не вносят нежелательный эксцентриситет и за-
зачастую более просты в исполнении и не требуют дополнительных
затрат металла. На рис. 21.5 приведена зависимость коэффици-
коэффициента интенсивности напряжений для трещины, распространяю-
распространяющейся между двумя отверстиями, от геометрии трещины и от-
отверстий [302].
Достигаемое в рассмотренном случае семидесятипроцентное
снижение коэффициента интенсивности напряжений способству-
способствует переходу неравновесной трещины (или трещины усталости)
в равновесную. Однако увеличение коэффициента интенсивности
172
Рис. 21.4. Коэффициенты ин-
интенсивности напряжений для
двух разных жесткостей ре-
ремонтной заплаты; 1 — S = 0,5;
2 — 8=*2.
напряжений при приолижении трещины к отверстию приводит
к разгону развивающейся трещины, что не позволяет надежно
использовать такую схему торможения.
При распространении реальных трещин возможно также от-
отклонение ее траектории от прямолинейной вплоть до захвата
трещины отверстием. В ряде работ удалось выявить характерные
этапы процесса задержания трещины [419]. В одной из экспе-
экспериментов инициирование трещины из первоначального надреза
к
Рас. 21.5. Схема остановки трещины.
11 1/а
образца (рис. 21.6) производилось с помощью динамического на-
гружения падающим грузом. При этом на первом этапе происхо-
происходит постепенное исчезновение сингулярности напряжений в вер-
вершине трещины при достижении отверстия. Второй этап — вто-
вторичное появление области сингулярности напряжений и появле-
появление трещины на противоположной стороне отверстия. И хотя
вторая стадия значительно продолжительнее первой, полной оста-
остановки трещины не наблюдается.
Влияние отверстий на развитие усталостных трещин состоит
в следующем [22]. Если на пути развивающейся усталостной тре-
трещины встречается круглое отверстие, то тормозящий эффект
этого отверстия, проявляющийся после входа в него трещины
(независимо от размера и расположения отверстия), практически
компенсируется ускорением роста трещины при ее приближении
к отверстию (за счет увеличения коэффициента интенсивности
напряжений) и увеличением размера повреждения (за счет при-
присоединения к повреждению самого отверстия). Ускоренному по-
появлению вторичной трещины из такого рода отверстий может
способствовать, по-видимому, предварительная интенсивная на-
наработка в зоне отверстия.
173
Ф10
Ж
100
Иначе обстоит дело, если разгружающее отверстие просверлено
8 кончике трещины после ее обнаружения. Эффективность такого,
известного практикам, приема определяется различного рода фак-
факторами: устранением сингулярности напряжений и наиболее
поврежденного материала в кончике трещины; появлением оста-
остаточных сжимающих напряжений в процессе холодной обработки
и уменьшением чувствительности материала к концентрации на-
м пряжений и т. п. Количественная оценка
столь многофакторного явления не менее
сложна, чем оценка скорости распростра-
распространения трещины при использовании. для
ее торможения ребер жесткости, отверстий
под заклепки, отверстий — «ловушек» и
т. п. Можно предложить следующий ин-
инженерный - подход к оценке эффективно-
эффективности торможения трещин с помощью за-
сверливания ее концов, основанный на
принципе равнопрочности. Учитывая, что
элементы конструкции содержат, как
правило, концентраторы напряжений,
представляется возможным выбрать из
них те, которые работают в условиях,
аналогичных элементам, содержащим тре-
трещину. Тогда можно считать, что доста-
достаточный эффект торможения засверленной
по концам трещины достигнут, если тео-
теоретический коэффициент концентрации
напряжений для образовавшегося при
засверловке концентратора, не больше чем для концентраторов
в элементах-аналогах (выполненных из одинакового материа-
материала с той же наработкой)', т. е., когда достигнута равнопрочность
элементов. Такой подход дает ошибку в безопасную сторону для
большинства практически реализуемых случаев, когда эффек-
эффективный коэффициент концентрации напряжений не больше тео-
теоретического. И хотя оценка получается относительной, и на во-
вопрос о времени появления вторичной трещины следует ответ:
«Практически не раньше, чем у концентратора-аналога»,— дан-
данный подход представляется наиболее целесообразным на сегод-
сегодняшний день. Качество изготовления разгружающего отверстия
может быть значительно выше, чем конструктивного отверстия.
Таким образом, в первом приближении задача может быть све-
сведена к определению коэффициента концентрации напряжений
при статическом нагружении.
Известно, что коэффициент концентрации напряжений опре-
определяется в основном длиной концентратора и радиусом кривизны
его контура в точке действия максимальных напряжений. Это
позволяет в ряде случаев при определении концентрации напря-
напряжений изучаемый концентратор заменить на эквивалентный, ре-
174
Рис. 21.6. Схема об-
образца.
шение для которого имеется. Можно ввести понятие «эквивалент-
«эквивалентного эллипса» (эквивалентный эллиптический вырез), позволяю-
позволяющее определить максимальный коэффициент концентрации на-
напряжений для концентратора в виде трещины с отверстиями в ее
концах в бесконечной (полубесконечной) пластине при растяже-
растяжении. Около концентратора описывается эллипс (полуэллипс) с
большой осью (полуосью), равной длине концентратора, и мини-
минимальным радиусом в вершине, равным радиусу отверстия. На
рис. 21.7 приведены коэффициенты концентрации напряжений
ъ/а-г
10
о)
0,6 b/i
Рис. 21.7. Коэффициенты концентрации напряжений у разгружающих от-
отверстий; а) внутренняя трещина, б) краевая трещина. Здесь и на следую-
следующих трех рисунках сплошная линия — расчет по методам теории упруго-
упругости; пунктирная — по методу эквивалентного эллипса.
на контуре разгружающего отверстия, полученные решением со-
соответствующих задач методами теории упругости и по формуле
«эквивалентного эллипса», имеющей вид
¦т-1 + 2-yV i + i-
B1.3)
Представленные графики указывают на приемлемую в прак-
практических расчетах аппроксимацию Кг по формуле B1.3).
Понятие «эквивалентный эллипс» приемлемо и для двухосного
растяжения пластины с засверленной трещиной [76, 77]. Резуль-
Результаты решения данной задачи методом упругого потенциала и с по-
помощью «эквивалентного эллипса» приведены Has рис. 21.8. Фор-
Формула для определения К? *= ow/ai имеет вид
B1.4)
175
Геометрия локализуемых трещин может быть различна. Уста-
Усталостные трещины обычно распространяются по нормали к на-
направлению максимальных растягивающих напряжений и берут
свое начало от концентраторов. Трещины же, возникшие при дей-
действии случайных, кратковременных (не типичных для конструк-
конструкция) нагрузок, могут иметь самую различную ориентацию, форму
-0,5
О
0,5 t3z/<5f
Рис. 21.8. Коэффициенты концентрации напряжений у разгружающих от-
отверстий при двуосном растяжении.
и место образования. Влияние на Кт ориентации прямолиней-
прямолинейной наклонной трещины в растянутой пластине показано на
рис. 21.9. Решение, найденное с помощью метода упругого
l/R
•^
3
***
1
<^
<^
, -—¦*]
,——
a0
30
60
90
Рис. 21.9. Коэффициенты концентрации напряжений у разгружающих от-
отверстий для наклонной трещины.
потенциала, в большом диапазоне изменения угла а, хорошо
описывается зависимостью
LT
B1.5)
Из вида формулы ясно, что под «эквивалентным эллипсом» здесь
можно понимать эллипс, описанный около воображаемой трещи-
трещины, длиной и направлением совпадающей с проекцией действи-
действительной трещины на ось, нормальную к оси действия нагрузки,
и засверленной по концам отверстиями радиусом R.
176
Рассмотрим взаимодействие круглого отверстия — инициатора
трещины и разгружающего отверстия [76, 77] (рис. 21.10). Мак-
Максимальный коэффициент концентрации напряжений в точке кон-
контура разгружающего отверстия можно определять по формуле
Кт - 0,5 A + |i) + 2
± + 1.
B1.6)
При Ri — Ri = R и OY— 0 выражения B1.6) и B1.4) совпадают.
Отсюда видно, что при больших отношениях 1/R засверлива-
ние концов трещины малоэффективно, так как коэффициент
Рис. 21.10. Коэффициенты концентрации напряжений у разгружающих от-
отверстий разного диаметра.
концентрации напряжений может принимать достаточно большое
значение. Уменьшение Кт может быть достигнуто за счет замены
формы разгружающих отверстий, например, на эллиптические
(см. рис. 21.7). Однако изготовление такого отверстия трудоемко.
Поэтому более целесообразным представляется использование
системы основных и дополнительных (деконцентраторов) разгру-
разгружающих отверстий, эквивалентных заменяемому эллиптическому
отверстию [761. Некоторые такие возможные схемы» исследован-
исследованные методом фотоупругости, приведены в таблице 21.1. Значение
N указывает на отношение максимального коэффициента кон-
концентрации напряжений в контурных точках основного или допол-
дополнительного разгружающих отверстий к значению Кт для основ-
основного отверстия при отсутствии дополнительных. Практически
тридцатипятипроцентное уменьшение К? засверленной по концам
трещины определяется сглаживанием траектории главных на-
напряжений растяжения в районе разгружающих отверстий. Причем
предпочтительным является случай, когда эффект снижения кон-
концентрации напряжений на контуре основного разгружающего
отверстия за счет «затенения)) его дополнительным, не компенси-
компенсируется значительным увеличением концентрации напряжений на
12 В. 3. Партон, Е. М. Морозов 177
контуре дополнительных разгружающих отверстий. Такой случай
может быть достигнут, например, за счет изменения относитель-
относительного расположения основных ж дополнительных разгружающих
Таблица 21.1
Варианты разгружающих отверстий у вершины трещины
1е
Геометрические пара-
параметры (В/г==2)
Я
Геометрические пара-
параметры (Д/г»2)
N
0,775
0,775
0,89
0,89
0,775
0,66
0,66
отверстий. Так, для схемы, указанной на рис. 21.11, такой случай
достигается для угла ф, характеризующего относительное рас-
расположение отверстий, равного 83°. При этом снижение концент-
концентрации напряжений составляет 38%. Значение Nt посчитанное
с использованием формулы B1.3) для случаев а —2& и а = Ь
(т. е. для эллиптического разгружающего отверстия, описанного
около основного, и проникающих в него дополнительных разгру-
жанмцих' отверстий, и для основного кругового разгружающего
отверстия радиусом Ь при отсутствии дополнительных), равно
0,615. Из этого следует, что эффект снижения коэффициента кон-
концентрации напряжений, эквивалентный применению эллиптиче-
эллиптического разгружающего отверстия с полуосями а = 26, может быть
достигнут за счет использования системы основного и допол-
178
нитедьных круговых разгружающих отверстий по схеме 21.11 при
ip = 83°. При этом обеспечена равнопрочность основного и допол-
дополнительного отверстий.
На рис. 21.12 приведены результаты изучения эффективности
использования разгружающих схем № 1 и № 7 таблицы 21.1 для
N
0,1
30' 4/0 50 60 70 80
в
Рис. 21.11. Относительный коэффициент концентрации напряжений в систе-
системе отверстий: 1 — в первой точке, 2 — во второй точке, черные точки — экс-
эксперимент на фотоупругой модели.
случая произвольно ориентированной трещины. Результаты ука-
указывают на то, что относительное снижение коэффициента кон-
концентрации N практически не зависит от ориентации трещины,
характеризуемой углом а.
N
(
<
1
о
•
<
о
•
о
1
ЪО UD 50 80 70 80 <ес
Рис. 21.12. Снижение относительного коэффициента концентрации напряже-
напряжений для наклонной трещины. Светлые точки — для схемы № 1 в табл. 21.1,
черные точки — для схемы № 7.
Приведенные выше количественные данные исследования
систем разгружающих отверстий относятся к случаю Z/JR = 2,5.
С уменьшением этого отношения значение N уменьшается. И на-
наоборот, при значении 1/R > 2,5 рассмотренный эффект все более
12* 179
теряет свое значение. Поэтому в последнем случае наряду с раз-
разгружающими отверстиями необходимо использовать ребра жест-
жесткости (рис. 21.13). Особенно эффективным является использова-
использование таких ребер, позволяющих исключить изгиб (для длинных
трещин, берущих начало на границе пластины). Некоторой мо-
моделью такой схемы может быть пластина, содержащая трещину,
¦ I I
Рже. 21.13. Схема расчета Рис. 21.14. Расчетная схема для определения
коэффициента концентра- коэффициента К7 при: торможении трещин с
ции напряжений в точке А помощью системы «ребро — разгружающее от-
для системы «ребро — раз- верстие».
гружающее отверстие».
выходящую из круглого отверстия. При этом максимальное зна-
значение Кт для контурной точки разгружающего отверстия может
быть подсчитано по формуле [76]
Я,-0,44^ + 2,56.
B1.7)
Данная зависимость может быть использована также и для оцен-
оценки Ят в случае применения ребер жесткости для торможения
длинных трещин по схеме, представленной на рис. 21.14.
Принципиальное различие в работе ребра и его модели опре-
определяется различием закона распределения напряжений в ребре
и модели. Исследования показали, что для l/R ^ 3 закон распре-
распределения напряжений растяжения, действующих в ребре, не влия-
влияет на максимальное значение отах напряжений в точках контура
разгружающего отверстия. При этом значение КТ может быть
уменьшено с 5 до 3. Для случая же 1/R > 3 возможность рас-
рассматриваемого моделирования определяется малым различием за-
законов распределения усилий, действующих в ребре и модели, из-
за их большой протяженности.
В ряде случаев наряду с засверловкой целесообразна допол-
дополнительная специальная обработка разгружающего отверстия, ис-
использование специальных расширительных устройств, а также
стопперов в виде заклепок или болтов, установленных в отвер-
отверстие с натягом [22].
Очевидно, что эффективное использование систем разгружаю-
разгружающих отверстий и ребер жесткости возможно лишь для торможе-
180
нжя равновесных трещин. Для торможения же быстроразвиваю-
щихся хрупких трещин наиболее перспективным является при-
применение стогшеров в виде пластин или полос из стали с повы-
повышенными вязкостными характеристиками, вваренных в основную
конструкцию. Способность стоппера тормозить трещину зависит
как от характеристик его материала, так и от размеров стоппера,
его расположения относительно места зарождения трещины и на-
направления ее распространения [291, 292]. Отметим лишь, что
использование стопперов предполагает знание слабых мест кон-
конструкции, подверженных трещинообразованто, и предусматрива-
предусматривается, как правило, еще на стадии проектирования конструкций
или в проектах модернизации. Поэтому такая мера может рас-
рассматриваться, по-видимому, как дополнительная к основным ме-
мерам по конструированию, выбору материала и подкреплению
наиболее «слабых» мест конструкции.
При непосредственной же эксплуатации сооружений предпоч-
предпочтительными, а в ряде случаев единственными, методами тормо-
торможения лавиноразвивающейся трещины могут оказаться методы
физического ее торможения [286].
§ 22. Система трещин
Значительный интерес представляют задачи взаимного влия-
влияния хаотически или определенным образом ориентированных тре-
трещин, так как при любой предварительной обработке реальные
материалы содержат большое число микродефектов различного
рода, развитие которых под действием внешних нагрузок приво-
приводит тх. появлению целых систем трещин. В этом направлении де-
детальному изучению подверглись задачи, связанные с взаимодей-
взаимодействием трещин одинаковой и различной длины, расположенных
вдоль одной оси [7, 169, 355, 357]. Например, в случае системы
трещин разной длины, параллельных некоторому направлению,
наибольшую опасность представляет та из них, движение которой
начинается первой [169]. Во всех этих случаях механизм разви-
развития трещин подобен одиночной, развитие которой при равномер-
равномерном растяжении плоскости происходит неустойчиво. Однако
экспериментальные данные указывают на то, что для систем тре-
трещин в определенных условиях возможно упрочнение плос-
плоскости [53].
Проведем исследование этого вопроса, предварительно решив
первую основную задачу теории упругости для двоякопериоди-
ческой системы разрезов [98].
В классе двоякопериодических задач теории упругости ис-
исследовались главным образом задачи равновесия пластин и обо-
оболочек с круговыми или эллиптическими отверстиями (перфориро-
(перфорированные пластины и оболочки). Однако для приложений в меха-
механике разрушения представляют основной интерес аналогичные
задачи для прямолинейных или дуговых разрезов [216].
181
1. Рассмотрим неограниченную упругую плоскость, ослаблен-
ослабленную двоякопериодической системой разрезов, параллельных дей-
действительной оси. Предположим, что основной параллелограмм пе-
периодов имеет форму ромба и основные периоды ©i и ю2 — ком-
комплексно сопряженные числа. Внутри параллелограмма периодов
имеется два разреза одинаковой длины, расположенные вдоль
диагонали симметрично относительно центра ромба (рис. 22.1).
Пусть аь bu a2, b2 — координаты концов разреза, причем
Wl = a — ib, «2 = a + *&•
Будем считать что на берегах разрезов задана нормальная
нагрузка р, а напряженное состоя-
состояние плоскости симметрично отно-
относительно осей ж, у.
Компоненты напряжений внут-
внутри основного параллелограмма пе-
периодов определим с помощью
функций Ф(г) и Q(z) [1873, удов-
удовлетворяющих соотношениям B.5),
B.5').
В силу самой постановки зада-
задачи функции Ф(г) и Q(z) должны
удовлетворять некоторым дополни-
дополнительным условиям, которые обес-
обеспечивают двоякопериодический ха-
характер напряженного состояния.
Из условий двоякой периодично-
периодичности компонент напряжений и со-
соотношений B.5) и B.5') следует,
что Ф(г) является двеякопериодической функцией, a.Q(z) должна
удовлетворять условиям
Рис. 22.1. Упругая плоскость, ос-
ослабленная . двоякопериодической
системой трещин.
Q(z ¦+ <o2) - Q(*) = (©, - ЙФ' (a). B2.2)
Кроме того, из условий симметрии напряженного состояния
относительно осей х, у получим
ф(г)« ф(_,), Q(z) «Q(-Z). B2'3)
На основании второй формулы B.5') граничные условия для
функций Ф(г) и Q(z)' принимают вид
р на Д B2.4)
на I. (?2.5)
Зпясь L — линия скачков в основном параллелограмме периодов,
состоящая из отрезков afii и агЪг действительной оси.
182
При решении краевых задач B2.4), B2.5) воспользуемся
представлением двоякопериодических функций в виде интегралов
типа Коши с двоякопериодическим ядром [312].
Рассмотрим четную двоякопериодическую функцию
Здесь P(z) — функция Вейерштрасса. Учитывая известные соот-
соотношения для функций Вейерштрасса [58]
-PB) 2 P {t) — P B) '
pB) + 2P(i)-P(z)'
можно показать, что предельные значения интеграла B2.6) при
стремлении точки z слева и справа к контуру L связаны равен-
равенствами, которые аналогичны формулам Сохоцкого — Племеля:
B2.7)
?&• B2-8)
Точно так же можно установить, что для нечетной двоякоперио-
дической функции
справедливы соотношения
L
Будем искать функции Ф(г) и Q(z) в виде
Q (Z) = ф (Z) + ^ J / (t) A: (z, t) dt. B2.10)
L
Здесь
? —дзета-функция Римана, a Q(z) — специальная мероморф-
ная функция [189], для которой справедливы соотношения [44]
QU + ©i) - Q(z) = ®iP(z) + Yi, (?U + <o2) - (Hz) = g>2P(z) + Y2.
На основании этого установим, что для функции AKz, t) имеют
место следующие равенства:
к{? + <Dlf 0 = к (Z, t) + К -шг) Р' (z) [р(^(<I„
к (z + соа, f) = к (г, г) + (а>2 -Ш2)Р' (г)
-,
Л(г, t) = k(— z, О-
Таким образом, условия B2.2) и B2.3), которым должна удов-
удовлетворять функция Q(z), выполнены. Легко видеть, что функция
Mz, t) не имеет особенностей в точках z = t и, следовательног
последний интеграл в B2.10) непрерывно продолжим через
контур L.
Подставляя B2.9) и B2.10) в B2.4) и B2.5), убедимся, что
условие B2.5) удовлетворяется тождественно, а равенство B2.4)
принимает вид
ф+ (t) _j_ ф~ (t) = n-~ J^\f(x)k (t, t) d% на L. B2.11)
L
Предполагая известной правую часть B2.11), будем искать
решение краевой задачи B2.11) в классе четных двоякопериоди-
ческих функций.
Рассмотрим, следуя [312] каноническую функцию однородной
краевой задачи B2.11)
a (z — А Л а (z — Ал
X0(z) к it \ "*> B2.12)
Ya(z^a1)a(z-b1)a(z-a2)a(z^b2)
Здесь о(и) — сигма-функция Вейерштрасса, Ai и А2 — вещест-
вещественные постоянные, не лежащие на I и удовлетворяющие соот-
соотношению
А\ "г А%|== ©i \ @а« B2.13):
Легко видеть, что X0(z)—четная эллиптическая функция, имею-
имеющая в параллелограмме периодов два простых нуля в точках At
и Az, Для предельных значений X0(z) на контуре L справедливо
равенство
Хо+ (t) + Х- (t) = 0 на L. B2.14)
Преобразуем выражение B2.12) с учетом B2.13), B2.1) и:
184
следующих формул [581:
— Р Ь) - — а (и + v) G (" ~" v)
о (и + во,) - - eT6i (M+wi/2)a (и), о (и + щ) = - е-62(«+«У % (и),
В результате получим
°
/[Р (в,) -
Если положить j4i = 0 и отбросить постоянный множитель, то
каноническую функцию однородной краевой задачи; B2.11) мож-
можно принять в виде
X(z)« *
Значения X(z) на верхнем берегу разреза будут определяться
следующим образом:
X+(x)^-i{[Hal)~P(x)][P(x)-P(bi)\yi/z при at<x<bit
Х+(х) = i{[P(at) - Р(х)][Р(дг) - Ш>)]}-т при а2 < х < 6,.
С помощью канонической функции X{z) найдем общее решение
однородной задачи B2.11) для четной двоякопериодической
функции Ф0(г), которая удовлетворяет уеловию
Ф„(г)=Ф0Ы B2.15)
и не имеет полюсов внутри параллелограмма периодов с разре-
разрезом L. Таким решением будет
Здесь pnpi- произвольные постоянные. В силу условия B2.15)
и равенства P(z) = P(z) постоянные р и р, являются действи-
действительными величинами.
Используя B2.14), запишем условие B2.11) в следующем
виде:
() () () 2Я1 х+ (() .
На основании формул B2.6) и B2.7) получим решение этой
краевой задачи
Ф (Z) = Ф* (Z) -
f ^^Г^ f ] B2.16)
185
--Lx(z) f — ^-^ Гп^ f f(T)k(t, т) ^т]^.
2т к ' J х+ (*) [Р (*) -1> G)] 2.Щ J w v '
Здесь
причем в случае постоянной нагрузки, приложенной1 к берегам
разреза,
Ф* (*) -1 - i [Р Ы + Р (bi) - 2Р (Z)] Ж (*) + 1 №
Согласно выражениям B2.9), B2.6) и B2.7) граничные значения
Ф(г), принимаемые слева и справа от L, удовлетворяют соот-
соотношению
<?+(*)-Ф~(О=/Ш.
Подставляя в это соотношение предельные значения B2.16),
найдём
В последнем слагаемом правой части в виду непрерывности
kit, т) возможна перестановка порядка интегрирования. Совер-
Совершив эту перестановку-, получим интегральное уравнение Фред-
гольма для определения функции fit):
f (и) = [ФJ (и) -Ф7(и)]+ f / (т) К (и, т) d%.
Здесь
+<*)[р)
По формулам B.5'); B2.9), B2.10) определим компоненты
напряжений на действительной оси:
К - КХу)у=о - 2Ф ix) + ^ J / (t)k ix, t) dt. B2.17)
Для нахождения постоянных р и pt рассмотрим главный вектор
всех сил, действующих вдоль некоторой дуги ЛВ, соединяющей
две конгруэнтные точки. Выражение для главного вектора име-
имеет вид [187]
X + iY - - ig (z) |5 i [Ф (z) + (z - i) Org) + со (i)]J.
Здесь, как обычно» ф'(г) = Ф(г), (u'iz)' — Qiz). При условии са-
самоуравновешенности внешней нагрузки на каждом из разрезов,
186
главный вектор всех сил вдоль дуги АВ равен нулю, т. е.
g(z + (Dt) — g{z) =
— ф(г) + (d{z-
B2.18)
— g(z) =
= ф(г 4- аь) — срЫ + u)(z +¦ g>2) — <o(z) + (uJ — а>2)Ф(г) = О.
Так как функция ФЫ — четная ж двоякопериодическая, то для
функции ф(г) справедливы соотношения
ф(г +6>i) —ф(г) =Ci, <p(z + юг) — <p(z) = c2. B2.19)
Здесь
Аналогично для функций <a(z) получим из равенств B2.2) сле-
следующие условия:
6)(z + w2) - »(z) ¦=> («j ~ ю2)Ф(г) + dlj.
Здесь
dK= 2co (^) - (tol - oJ) Ф C1), i2 - 2o) ft) + (o)t - a>2) Ф (»2).
С учетом B2.19) и B2.20) условия B2.18) принимают вид
с4 4- й '= 0, сг + d% = 0. ,
Подставляя сюда значение постоянных си с2, dt и &г, найдем
Следовательно, постоянные р и ^t должны быть выбраны так,
чтобы выполнялись равенства B2.21).
Укажем теперь несколько иной путь решения краевых задач
B2.4) и B2.5). Будем искать функции Ф(г) и ЧЧг) в виде
Ф(*)«Фв(*) + 2Ф*(*). B2.22)
ф0 (Z) + 2 (фл (*) + ы§М-1 (о - фг-1 (*)] ft <», *) 4
B2.23)
Здесь Ф^ (/ = 0, 1,. 2, ...)—четные двоякопериодические функ-
функции. Очевидно, условия B2.4) и B2.5) будут выполняться, если
187
<E>j (/ = 0, 1, 2, .. J удовлетворяют на контуре L следующим со-
соотношениям:
t{t) + ^{t)=P на L,
Ф* (*) + ФГ (*) = - gin j [фЬ1 СО - ФГ-1 (*)] А (*, т) <2т на L
(/-1,2,...).
Таким образом, имеем последовательность краевых задач для
четных двоякопериодических функций. Определяя отсюда функ-
функции Ф,Ы (/ = 0, 1,2, ...), получим в случае постоянных по длине
разреза нагрузок
ф°B)=&
(/-1,2...).
Условия равенства нулю главного вектора всех сил можно
записать так:
) ) ^) (/-1.2,3,...).
Здесь
Z
<PiW- l«I>i(*i)&i (/ = 0,1,2,...),
«* (г) = Фо (г), <о* (z) = j Qj (г,) &! (/ = 1, 2, ...),
о
Qi (Z) = Ф; (*) + гЬ J [Ф;+-1 W ~ ФГ-1 (*)] Л (Z, t) dU
L
Полученные соотношения позволяют последовательно определить
постоянные ?@), §f, 0(Л и р{/}.
Для получения численных результатов было использовано
приближенное решение задачи с учетом первых членов в разло-
разложениях B2.22) и B2.23). Нормальные напряжения на действи-
188
тельной оси при х < at определяются при этом следующим об-
образом:
ОЛ , ч р 2Р И - Р (а) - Р (ЪЛ
G
ft@) i a@)p ф
н ^Hi v; . B2.25)
p(e)][PnPF)l
Из условий B2.24) найдем
W + Р (»
[- 7 (Щ +
"u' B2.26)
... / ел \
h) + p(&i)l ~\
Здесь
y) = /o + ^= J
О
г" г /
Из уравнений B2.26) получаем значения постоянных [5@)
Р(о) = -1- р IP Ы + Р (Ш + j Р fj, +_ % ,
'0*1
1
Здесь
В соответствии с B2.25) найдем приближенное значение коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений в точке at:
= lim | уг2д (ax — x) oy (x, 0) \x<ui
-p'(ai)[p(ei)-p(*i)
189
Применение условия разрушения C.9) дает возможность свя-
связать длину трещины и приложенные нагрузки. Расчеты по фор*
муле B2.27) были произведены для случая bt = а2 (внутри па-
параллелограмма периодов расположен один разрез; см. рис. 22.2).
На рис. 22.3 показана зависимость величины р* = рУ2па/Кс от
6,0
2,0
0,6
0,8
Рис. 22.2. Упругая плоскость, ос- Рис. 22.3. Зависимость критического на-
лабленная двоякопериодической пряжения от длины трещин. Значения
системой разрезов при Ь] = а2. Ыа равны 0,5; 0,45; 0,4; 0,35; 0,3 для ли-
линий 1, 2, 3, 4, 5 соответственно.
относительной длицы разреза 1/а. Из приведенного решения сле-
следует, что при некоторых значениях отношения Ыа возможно
устойчивое развитие системы трещин (их взаимное упрочнение).
Таким образом, данное решение подтверждает полученный
ранее приближенный численный результат [216] об устойчивом
развитии системы трещин, образующих двоякопериодическую
решетку.
2. Рассмотрим еще одну задачу взаимодействия трещин, но
теперь параллельных некоторой оси. Как уже указывалось, в слу-
случае системы трещин разной длины, параллельных некоторому
направлению, наибольшую опасность представляет та из них,
движение которой начинается первой. Приведем пример одной
из таких задач, в ходе решения которой удается дать ответ на
поставленный вопрос [169].
Рассмотрим задачу о взаимодействии трех трещин, располо-
расположенных вдоль действительной оси. Пусть внешняя нагрузка та-
такова, что она приводится к двум одинаковым равнодействующим
силам Рг приложенным в центре перемычек между разрезами
(рис. 22.4). Разрезы занимают области у = 0:
1)
2) -
Если использовать известную аналогию задач о трещинах
и штампах, то можно показать, что напряжение ау на обоих
190
перемычках между трещинами
одинаково и равно [3981
л
B2.28)
b
Для определения критического значения напряжения, соот-
соответствующего росту трещин
из точек х = ± а или х =
= ±Ь, используем условие о
предельном коэффициенте
интенсивности напряжений с
поправкой на конечное зна-
значение прочности при от-
отсутствии трещины (см. § 18). Если трещина растет из точек
х = zta, то
Г
Ряс. 22.4. Координатная система для
плоскости с разрезами.
откуда получаем
PI
яХ +
Здесь i3* = Р/<т0, X = Yjib/crJ A — v), к = а/fe, о*0 —
щее напряжение при отсутствии трещины.
Если трещина растет из точек х — ± Ь, то
B2-29)
разрушаю-
разрушаюоткуда получаем
К .= УЩяХ +
B2.30)
Зависимости B2.29) и B2.30) приведены на рис. 22.5 при
пХ — 1; из которых видно, что при такой конфигурации первыми
начинают расти крайние полубесконечные трещины.
Пусть теперь для рассматриваемой плоскости с разрезами
внешняя нагрузка такова, что она приводится к двум равным, но
противоположно направленным равнодействующим силам Р,
приложенным в центре перемычек. Напряжение между перемыч-
перемычками в этом случае [398] (у = 0) равно
B2.31)
К'{к)
Здесь К'{к) =АХУ1 — к2)-—полный эллиптический интеграл пер-
первого рода.
191
Если трещина растет из точек х ¦— ± а, то аналогично рас-
рассмотренному выше получаем предельное значение нагрузки
Ра =
кс
B2.32)
Рост трещины из точек х — ± b начинается при значении на-
нагрузки, равном
р1 =
B2.33)
На рис. 22.6 приведены эти зависимости (для Я==1), которые
показывают, что в отличие от предыдущего случая, первой на-
начинает расти внутренняя трещина. Это естественно, так как здесь
Р*
N
—
2
1
0,8
0,6
о,и
0,1
и 0,2 ОА 0,6 0,8 к
Рис. 22.5. Зависимость предельных
нагрузок от относительных размеров
перемычки между трещинами. Внеш-
Внешняя сила сводится к двум одинако-
одинаковым силам на перемычках. 1 — рост
трещины начинается в точках х =
= ±Ь; 2 —-рост трещины начинает-
начинается в точках х = ±а.
0,%
0,6
1 \
/
1
I
г
/
л:
N
0,1
и OLZ QA 0.6 48 к
Рис. 22.6. Зависимость предельных
нагрузок от относительных размеров
трещины. Внешняя нагрузка аводит-
ся к паре сил. 1 — рост трещины на-
начинается в точках х = ±Ь; 2 — рост
трещины начинается в точках х =
= ±а.
характер нагружения перемычки между трещинами подобен
действию ножниц.
Исследование знака производных дР%/да и дР*/дЬ под-
подтверждает, что для рассматриваемых здесь случаев рост трещины
является неустойчивым.
§ 23. Составные упругие тела
Изложим решение двумерной задачи теории упругости для
трещины Ы < ?, у = 0, расположенной на границе между двумя
связанными друг с другом полуплоскостями, состоящими из раз-
разных материалов согласно [62]. Предположим, что верхняя по-
192
луплоскость 5+ представляет собой среду с упругими константа-
константами [Xi и Xi, нижняя полуплоскость S~— среду с константами
\хг и и2, а к поверхностям трещины приложена нормальная на-
нагрузка р(х). Очевидно, что при у~0 должны выполняться сле-
следующие условия:
<% — *тад1-— р(х), у=+0, 1ж|<г,
-
Gy2~irx,J2 = —p(x), у 0, |х
ut + ivx = и2 + iv2t У = ®1 \х\^1, B3.2)
оу1 — ixxyl = <ту2 — 1Тад2, у = 0, | ж ( > Z. B3.3)
Основные уравнения плоской теории упругости B.5) для обеих
сред можно записать в несколько измененном виде:
х^! (z) — zQi (z) —
- 4 [; 37
CTyi — Uxyi = 2 [Q[ (z) + Qh (z) + zQj (z) + <»i (z)],
и
?*2^a = fia (из + w2) — кДа (г) — zQg (z) — ©a (z),
m t B3.5)
— iTxj/2 = 2 [Qa (z) + Q'a (z) + zQg (z) + щ (z)].
Если ввести обозначение
lim Q (z) = Q+ (x), lim Q^) = Q" (x),
у-»—о
то из B3.2), B3.4) и B3.5) следует непрерывность смещений
вдоль у = 0, \х\ >1, если
^
— щ~ {х)\
что можно переписать в виде
~
при \х\^1. B3.6)
Таким образом, если положить
(z) + HiZ^a (z) + № (z) = ^ (z), z e 5+,
5,
(z) + ц2г0х(z) + H2»i(z) = ^(z), ze5 ,
где F(z) — голоморфная функция во всей плоскости, разрезанной
вдоль отрезка (—I, I), то уравнение B3.6) обращается в тожде-
тождество. Аналогично из уравнений B3.3) — B3.5) следует непрерыв-
непрерывность нормальных напряжений при у=07 \х\ ^ I, если комплексные
13 в, 3. Лартон, Е. м, Морозов 193
потенциалы выражены в виде
i(z) — -2(z) — 2_s(z)-©2W-- «. ге ^, ^^
где /(z) — функция, голоморфная во всей плоскости, разрезанной
вдоль отрезка (—I, I).
Решение уравнений B3.7) и B3.8) можно представить в виде
где (Oj (z) и со2 (z) даются в соответствующих областях выра-
выражением B3.7). Таким образом, выражение B3.7) и B3.9) пол-
полностью удовлетворяют условиям непрерывности смещений и нор-
нормальных напряжений вдоль границы двух сред.
Если теперь предположить, что напряжения и вращения убы-
убывают на бесконечности, то необходимо потребовать, чтобы Qi (z),
щ (z), Qa (z) и (о2 (z) имели при больших \z\ порядок CKl/z2).
Отсюда и из уравнений B3.7) и B3.9)
F'(z)=:OWz2), f(z)^O(l/zz) при Ы-ч-оо.
Остальные граничные условия B3.1) касаются напряжений
на краях трещины. Используя выражения B3.7) и B3.9), можно
привести эти условия к виду
B3.10)
Если вычесть друг из друга уравнения B3.10), то можно увидеть,
что /(z) является функцией, голоморфной во всей плоскости,
включая всю действительную ось, и, следовательно, благодаря
условиям на бесконечности тождественно равна нулю. Таким
образом, рассмотренная задача сводится к задаче сопряжения
вида
F'+(x) + aF'-(x) = -?±±^p(x)t \x\^l, B3.11)
где
^1 + ^2*1 B3Л2)
H + JVV
а функция F(z) голоморфна в соответствующей области.
194
Далее будет рассмотрена одна прямолинейная трещина, хотя
описанный метод можно распространить и на случай, когда обе
среды связаны друг о другом вдоль части L действительной оси
х, а дополнение V множества L является объединением прямо-
прямолинейных разрезов. Если предположить, что к верхним и нижним
краям трещин приложены заданные (одинаковые) давления, то
задача сведется к определению кусочно-голоморфной функции
F(z), удовлетворяющей условию
/+ (х) + а?- (х) = - h±l^l р {х) B3.13)
на контуре Z/, где а имеет вид B3.12).
Решение задачи сопряжения B3.13), где V — объединение
конечного числа отрезков прямой линии, было дано Мусхелшп-
вили [187]. Применение этого результата к случаю одной прямо-
прямолинейной трещины, дает:
F* (Z) =
где
до (»>-?-!. R{z) = z*-l\ B3.15)
2jtY = lna 1B3.16)
и P(z) — многочлен по степеням z. Под знак интеграла в выра-
выражении B3.14) входят значения [R(t)]i/Z ш [RQ(t)]n функций
[R(z)]i/Z и [/?0(z)]iT при у — +0, \х\ < I, а вместо х подставлена
переменная интегрирования t. Функции [R(z)]i/Z и [H0(z)]iT явля-
являются ветвями, голоморфными во всей плоскости, разрезанной
вдоль интервала (—I, I) и такими, что z~l[R{z)]in -*-1, [R0(z)]n -*¦ 1
при |zl-^a>. Кроме того, P(z)sO, поскольку для больших Ы
Ft()O(l/z)
Перейдем теперь к случаю расширения трещины при постоян-
постоянном давлении р{х)=Т. Если заменить интеграл по отрезку в
уравнении B3.14) интегралом по замкнутому контуру и провести
интегрирование, то
р' ю - * [i - (* - ад) (^Г ута]1 B3Л7)
где
Из выражения B3.17) следует, что
T^Tl B3.19)
13* 195
где постоянная интегрирования представляет собой смещение
тела как жесткого целого.
Теперь перейдем к вычислению смещений и напряжения. Так
как /(г)»о, то из уравнений B3.4), B3.7) и B3.9) получается:
k^(*)' 9~°- <2а20)
Из уравнений B3.19) и B3.20) можно найти нормальные
смещения при у = 0
', 0-0, |х|<
B3.21)
у = 0, |ж|>/, B3.22)
где верхний знак соответствует д; 5* Z, а нижний —х ^ —Z. Из
уравнения B3.22) можно видеть, что при \х\ -*¦ °°
\ 1 2 л ' /OQ
1 »¦ —L- II —L- it v -J— II v * *
и это смещение обращается в нуль, если обе среды одинаковы
а = 1, ^ == 0. Аналогично
B3.24)
v*=*Vi, у*=0, \х\>1.
Таким образом, в пределах разреза раскрытие между берега-
берегами трещины равно
B3.25)
Из физической и математической формулировки задачи вытекает
требование, чтобы.это раскрытие было больше или равно нулю.
Однако у концов трещины знак раскрытия из B3.25) изменяется
бесконечное число раз. Это значит, что верхний и нижний края
трещины изгибаются и заходят друг за друга, что физически не-
невозможно.
В связи с этим напряжения при у =¦ 0 согласно уравнениям
B3.4), B3.7), B3.9) и B3.17) равны
ovl - *тад - о» - *тху2 - 2 [j^Tjl^ F'+ (*) + -Ц^П^ F'~ {X)]
B3.26)
196
и, следовательно,
х + 1
= oyi =
B3.27)
= =F
# sin (v In —^ И — 2tycos[Yln
при y = 0t где верхний и нижний знаки относятся соответственно
к х>1 в. х< —I. Аналогичные выражения были получены в [104,
112, 126]. Заметим, что в дополнение к сингулярности энак на-
напряжений вблизи конца трещины изменяется бесконечное
число раз.
Можно оценить размер областей, в которых берега трещины
перехлестываются. Для обобщенного плоского напряженного со-
состояния
Можно показать, что а — монотонно возрастающая функция
E2/Elf заключенная в пределах (l + v2)/C — va) и C —vt)/(l+Vi),
откуда
1/3<а<3. B3.29)
Аналогично, для плоской деформации а лежит в тех же преде-
пределах. Используя эти пределы для а (которые достигаются лишь
при Уг^О, Ег/Ех = 0 или Vi = 0, EJEX = <»), можно оценить мак-
максимальные размеры области, в которой происходит указанное
перекрытие. Как следует из уравнения B3.25), края трещины
соприкасаются в первый раз при
Таким образом, первая точка контакта расположена на расстоя-
расстоянии б от концов трещины, где
_2
4v6
откуда максимальное значение б равно
B3.30)
¦?-1,26.10-*, B3.31)
причем этот максимум достигается при а ~ 1/3 или a = 3. Оче-
Очевидно, для реальных материалов б должно быть значительно
меньше этого предельного значения. Аналогично, рассматривая
нормальное напряжение ау при у = 0, нетрудно показать, что
197
длина областей вблизи концов трещины, где <т„ начинает осцил-
осциллировать, приблизительно равна б.
Таким образом, можно видеть, что при а, заключенном в пре-
пределах B3.29), нерегулярности решения сконцентрированы
в весьма малых областях вблизи концов трещины. В частности,
при а = 1' решение почти полностью совпадает с соответствую-
соответствующим решением для трещины в однородной среде,
§ 24. Методы расчета траектории трещины
Проблема отыскания траектории трещины (пути, в направ-
направлении которого трещина растет) не привлекла пока достаточного
внимания в механике разрушения. Тем не менее очевидно, что
определение траектории трещины может быть полезным в прак-
практическом отношении. В теоретическом плане решение этой зада-
задачи дает возможность взаимного сопоставления различных кри-
критериев разрушения. Более того, появляется возможность расчета
на прочность с использованием найденной траектории трещин.
Известные методы расчета траектории трещины можно раз-
разбить на две группы: дифференциальные (или пошаговые) мето-
методы, основанные на локальных критериях разрушения, и инте-
интегральные (или глобальные), основанные на критериях, выражен-
выраженных через интегралы вдоль искомой линии трещины1).
Дифференциальные методы основаны на определении у вер-
вершины трещины угла между начальным и последующим направ-
направлениями роста трещины. Считается, что каждое малое прираще-
приращение нагрузки сопровождается малым приращением длины тре-
трещины, и при помощи локального критерия разрушения
рассчитывается угол, определяющий линию, вдоль которой тре-
трещина увеличивает свою длину. Нагрузка, при которой трещина
получает приращение длины (критическая нагрузка), также на-
находится из критерия разрушения. Шаг трещины (приращение ее
длины) должен находиться из дополнительного условия, в то
время как известные локальные критерии, как правило, опреде-
определяют только критическую нагрузку и угол распространения
трещины.
Структура дифференциальных методов допускает возможность
использования динамического программирования: заданный путь
нагружения разбивается на достаточно малые этапы и на каж-
каждом последующем этапе в качестве начальных условий прини-
принимаются результаты, полученные на предыдущем этапе (при этом
легко учесть смену условий нагружения). Многократное (поша-
(пошаговое) применение дифференциальных методов позволяет рас-
рассчитать всю траекторию трещины.
') Или иных критериях, позволяющих однократным расчетом иайти
уравнение всей линии, вдоль которой распространяется трещина.
198
Интегральные методы предполагают определение уравнения
линии распространения трещины путем однократного анализа
напряженного состояния тела с трещиной (или без трещины).
Рассмотрим различные крите-
критерии разрушения, используемые
при расчетах траектории трещины.
1. Локальные критерии разру-
разрушения.
1. Критерий максимальных рас-
растягивающих окружных напряже-
ний Ое [210, 316]. Распространение Рис 241 Полярная система коор_
трещины происходит в плоскости, дИнат и компоненты напряже-
для которой нормальные растяги- ний у вершины трещины,
вающие напряжения а в (рис. 24.1)
имеют максимальное значение. Угол 60, определяющий направле-
направление роста трещины, находится из условия
=0. B4.1)
е=е0
Для нахождения критического значения внешней нагрузки,
при которой трещина получает приращение длины, можно вос-
воспользоваться уравнением (см. C.9))
где О0 — напряжение, соответствующее критической нагрузке
при распространении трещины в направлении 90.
2. Критерий максимума интенсивности освобождения упругой
энергии G [57, 333]. Трещина развивается в направлении, вдоль
которого освобождающаяся упругая энергия будет максимальной:
dG
dd
0, G = К [К\ + *М, B4.2)
где Е' = \/Е для плоского напряженного состояния, и Е' =
— A — v2)/E для плоского деформированного состояния.
Заметим, что если прирост длины трещины на малое значение
не изменяет напряженного состояния, то второй критерий сво-
сводится к первому.
Критическая нагрузка определяется из условия равенства ин-
интенсивности освобождающейся упругой энергии ее критическому
значению (см. C.8))
Это условие можно использовать и для определения началь-
начального угла роста трещины [57].
3. Критерий наименьших затрат энергии на разрушение [339L
Трещина растет в направлении минимальной разности работы
199
разрушения щ освобождающейся упругой энергии:
где р^ щ — компоненты напряжения и перемещения на поверх-
поверхности отклоненного на угол 9 кончика трещины малой длины.
Схема1 получения величин pi и щ та же, что и при выводе фор-
формулы Ирвина, связывающей G и Кг (см. § 3).
Для определения критической нагрузки можно использовать
критерий Ирвина C.9).
4. Критерий локальной симметрии [306]. Трещина распрост-
распространяется в направлении оси симметрии напряженного состояния,
измененного в связи с малым приращением длины трещины
<*»-* B4.4)
Здесь dKlx — приращение Кц в вершине трещины, соответствую-
соответствующее небольшому увеличению внешней нагрузки при фиксирован-
фиксированной длине трещины. Второе соотношение определяет радиус кри-
кривизны гладкой трещины в любой точке (dl — приращение длины
трещины, dQ — угол роста трещины). Этот критерий следует из
условия максимума окружных напряжений.
Как и в предыдущем случае, для определения критической
нагрузки используется критерий Ирвина C.9).
5. Критерий минимума плотности энергии деформации [402].
Трещина растет в том направлении (вдоль радиуса из вершины),
в котором величина S принимает стационарное (минимальное)
значение, т. е.
а =0. B4.5)
о
6. Критерий максимальных окружных напряжений на линии
постоянной плотности энергии деформации ?426]
7. Критерий Jr-интеграла [420]. Трещина растет в направле-
направлении максимума величины
Jr = J (Wnr — oijTijUis) ds. B4.7)
с
Здесь, как и в § 8, С —контур, охватывающий вершину трещи-
трещины; W — плотность энергии деформации; пГ — косинус угла меж-
между нормалью к С и радиусом из вершины трещины г; о\ъ щ —
компоненты напряжения на С по i-ы. направлениям; uiT — част-
частные производные компонентов перемещения по г. на С.
200
На рис. 24.2 показана полярная эпюра векторов /г в вершине
трещины для растяжения с чистым сдвигом и угол распростра-
распространения трещины 80.
Из B4.7) следует критерий
= 0 (ов>0).
B4.8)
8. Критерий потока энергии [3061. Трещина растет в направ-
направлении, при котором компонента .s
вектора потока энергии равна т
удельной работе разрушения I
(рис. 24.3, а):
r(9) = 2f@) при в = 0о- B4.9)
Здесь компоненты вектора потока
энергди равны (см. § 9)
X
jy_ \ qF-ux bdx J ^ИС- ^* Полярная эпюра векто-
J К » »|А hji p0B jr у вершины трещины и угол
^ распространения трещины во.
р — массовая плотность материа- г г *- г -л
ла, F< — объемная сила.
Для изотропного материала 2f не зависит от угла 6, п на-
направление роста трещины будет определяться направлением век-
вектора Г(Гв; Г„) (рис. 24.3, б).
Рис. 24.3. Вектор потока энергии в вершину трещины в случаях анизотроп-
анизотропного (а) и изотропного (б) сопротивлений разрушению.
Результаты расчета 90 по некоторым локальным критериям
для случая трещины поперечного сдвига приведены в табл. 24.1
[446].
201
Как следует из таблицы, расчет траектории трещины по раз-
различным критериям дает полосу вероятного расположения трещи-
трещины в элементе конструкции. Выбор же того или иного критерия
Таблица 24.1
Угол начального распространения трещины по разным критериям
Угол распро-
распространения тре-
трещины
е„, град
Критерий
a0max
60,5
smin
v=0
70,5
V=0,3
88,3
v=0,5
90
Gmax
77,4
на основе соответствующего расчету эксперимента довольно ус-
условен, поскольку результаты эксперимента содержат большой
естественный разброс.1
2. Глобальные критерии разрушения.
1. Траектория трещины располагается вдоль траектории глав-
главных напряжений. Это пример глобального критерия в терминах
напряженного состояния» не искаженного трещиной (например,
при кручении цилиндрического вала круглого сечения хрупкая
трещина идет по винтовой линии — траектории сжимающих: на-
напряжений).
2. Трещина растет вдоль такой траектории главного напря-
напряжения (определенной с учетом трещины), которая имеет общую
касательную с линией трещины в ее вершине [339].
3. Уравнение траектории трещины определяется из условия,
что коэффициент интенсивности напряжений Кц равен нулю
[362]. Критерий является родственным предыдущему и критерию
локальной симметрии B4.4).
4. Траектория определяется как обобщенная геодезическая
линия [179] и находится из условия
i
«O, B4.10)
где варьируется линия трещины, а агя — главные напряжения.
Подходящий выбор функции /До™) позволяет получить урав-
уравнение траектории трещины. Так, например, на основании первой
теории прочности можно положить, что L ~ а±. Тогда чем боль-
больше Oi, тем больше элемент длины трещины aids и, соответствен-
соответственно, меньше длина трещины между двумя фиксированными точ-
точками тела (в долях aids). Отсюда следует возможность графиче-
графического построения траектории трещины по известным линиям
равных напряжений d для тела без трещины [322] — трещина
будет расти в направлении наибольших расстояний между изо-
изолиниями Oi (рис. 24.4),
202
5. Уравнение траектории трещины находится из вариацион-
вариационного принципа теории трещин (§ 4), Этот принцип использует
функционалы, построенные на искомых функциях, описывающих
траекторию трещины. В квазистати-
квазистатическом: случае на определенном клас-
классе траекторий сравниваются между
собой значения интеграла энергии /.
Траектория трещины разыскивает-
разыскивается как линия, на которой функ-
функционал / принимает экстремальное
значение [103, 121, 159, 177,
178, 260].
Рассмотрим это более подробно.
Предполагая поверхностную плот-
плотность работы разрушения f постоян-
постоянной, а длину трещины, на которой определен функционал, задан-
заданной, запишем вариационное условие для плоской задачи в виде
(см. D.10))
Рис. 24.4. Траектория трещаньг
как обобщенная геодезическая
линия.
б/ == б( yl — ~ ]pMids ].- 0.
B4.11)
Здесь варьируется траектория трещины при некоторых допол-
дополнительных условиях. Одним из таких условий является требова-
требование постоянства длины трещины. Это отвечает случаю специаль-
специальных вариаций, при которых работа разрушения 2 J yds постоян-
о
на. Тем самым получаем задачу на условный экстремум, при
этом первое слагаемое в равенстве B4.11) может быть отброшено.
Второе дополнительное условие состоит в требовании равно-
равновесности процесса роста трещины. Иными словами, весь поток
энергии, возникающий в связи с возможным приращением длины
трещины, целиком затрачивается только на разрушение. При
этом трещина при медленном возрастании или падении внешней
нагрузки будет медленно и устойчиво распространяться вдоль ис-
искомой траектории. Важно, чтобы внешняя нагрузка соответству-
соответствующим образом уменьшалась в области падающей зависимости
внешнего, усилия от длины трещины в предельном состоянии
равновесия. Итак, это дополнительное условие может быть пред-
представлено в виде dl/dl = 0. Вместе с тем в изопериметрической
задаче вариационного исчисления при наличии условия типа
J ds = l = const известно, что множитель Лагранжа % представ-
о ""
ляет собой скорость изменения экстремального значения функ-
функционала при изменении величины Z, т. е. % = dUdl. В силу вто-
второго дополнительного условия X = 0, что позволяет переписать
203
теперь равенство B4.11) в виде
O. B4.12)
б J p^i
Одновременно со сказанным можно добавить, что данную за-
задачу вообще можно было рассматривать без введенных дополни-
дополнительных условий. Действительно, функционал I определен на
отрезке линии фиксированной длины. Варьирование траектории
изменяет величину подынтегрального выражения на элементе
длины, однако, поскольку интервал интегрирования остается
прежним, то получаем задачу с подвижными концами при за-
закрепленных «абсциссах».
Обратим внимание на связь условия B4.12) с вариационным
принципом Лагранжа теории упругости. В § 4 (см. D.5)) было
установлено, что
г
— 6Л + 6TF = - -|" 6 j (p?u? + рТщ
Нужная в принципе Лагранжа (—6А + 8W = 0) вариация пере-
перемещений может быть осуществлена посредством вариации траек-
траектории, от которой перемещения зависят. Следовательно, условие
B4.12) по существу есть видоизмененный принцип Лагранжа.
При aiS = const из B4.12) следует, что на действительной тра-
траектории объем, занимаемый полостью раскрытой трещины, ста-
стационарен.
На известной траектории трещины положение ее концов, соот-
соответствующих разным значениям параметра нагрузки, найдем из
уравнения D.10)
Таким образом, задачи отыскания пути, вдоль которого рас-
распространяется трещина, и соотношения, связывающего параметр
внешней нагрузки с длиной трещины, разделяются.
Для того чтобы воспользоваться уравнениями B4.12) и B4.13),
необходимо знать перемещения на поверхности искомой трещи-
трещины. Для определения перемещений щ удобно воспользоваться ме-
методом Н. И. Мусхелишвили с применением отображающей функ-
функции ш(?), переводящей границу берегов трещины в окружность
единичного радиуса, а внешность трещины во внешность круга.
Предположим, что уравнение траектории определяется зави-
зависимостью
у-/(ж). B4.14)
204
Тогда функция
ю(?)~Л(г, G) + iPa(r, 0)
удовлетворяет условиям
Л(г, e)«/LP,(r, 9)] при г=1. B4.16)
Каждая точка (г, 0) на круге переходит в точку траектории (х, у)
посредством соотношения x = Pi(r, 6), у = P2(r, J9).
Из условия B4.15) следует, что Pi (г, 8) удовлетворяет задаче
Дирихле
PiCr, в)-0, РМ, 0)=Р@), B4.17)
решение которой известно [32] для любой непрерывной функции
Р(в):
Л (г, в) - ^- f Aа-г2)Р(фМФ , B4.18)
^ » ' 2п .) 1 + га —2rcos(9 —ф)
а Ра(г, 0) выражается через Р&, 0) (го> 1):
0
Изложим теперь один из возможных методов решения этой
задачи. Для эффективного использования численных методов рас-
расчета будем траекторию трещины аппроксимировать ломаной, со-
состоящей из 2п +1 звеньев, причем каждое к-е звено характери-
характеризуется длиной lk и углом' наклона ак к оси х. Точка, из которой
начинает расти в обе стороны трещина, совпадает с началом
координат хОуг):
i k-i \ k-i
у = я— 2 Jpcosctp tgaft + 2 Ipsinap,
\ Р=0 / Р=0
А-1 ft
2 /р cos ар< я <; 2 ?pcosap B4.20)
(у = 0, ±1, ±2, ...).
J) Выбор исходной точки в центре разыскиваемой траектории упрощает
выкладки, так как это связано с применяемой в дальнейшем формулой Жу-
Жуковского.
205
В качестве РF) возьмем
k-i
Р (9) = Ln (cos 9 — cos Qk~i) cos ak + 2 h cos ap> B4.21)
COS 0A ^ COS 0 ^ COS 6fr_i,
ft-1
i cos ®k-i =
Такой выбор функции РF) диктуется конформным отображе-
отображением линии трещины сначала на прямолинейный разрез, который
в свою очередь отображается на единичный круг. Отображение
одного первого наклонного звена трещины при переходе к раз-
разрезу, совпадающему с некоторой новой осью $, дает x = scosa0.
Отображение берегов этого разреза на единичный круг по фор-
формуле Жуковского приводит к соотношению s = Ln cos 6. Отсюда
следует первая строка формулы B4.21).
Подставляя выражение B4.21) в формулу B4.18), находим
функцию Pi(r, 0), а затем из B4.19) получаем Р2(г, 9). Итак,
отображающая функция ю(?) определена. Можно показать, что
она удовлетворяет условиям B4.16), причем в узловых точках
значение производной равно среднеарифметическому.
Далее известными методами находится перемещение щ =
= щ(рз, сс0, «1, ..., an, Ln). Подставляя их в функционал энергии
B4.11), получаем функцию многих переменных
F(p., а0, a^..., ап, Ln) = j [27 — р^щ (ря а0, «i, •. •, «л, Ln)] ds.
8
B4.22)
Таким образом, вариационная задача свелась к нахождению
экстремальных точек функции многих переменных, т. е. к реше-
решению системы уравнений
^ = 0 (/ — 1.2 л), |^ = 0. B4.23)
Здесь последнее уравнение есть уравнение B4.13), Если восполь-
воспользоваться условием B4.12), то можно ввести функцию
n P+l
-2 J
при этом все (кроме последнего) уравнения системы B4.23) бу-
будут неизменными, а последнее уравнение станет d?JBLn = 4,
Ограничимся случаем простого нагружения, для которого спра-
справедливо соотношение р- = tp] (t — параметр нагружения, р] —
заданная нагрузка). Параметр tn-> характеризующий предельную
нагрузку, при которой образовалось новое звено и, определяется
206
из последнего уравнения системы B4.23). Это уравнение пере-
перепишется в виде
B4.24)
Желаемый учет изменения поля напряжений с ростом тре-
трещины осуществляется тем, что система B4.23) выписывается не
одновременно для всего множества значений углов <х«, а последо-
последовательно, начиная с нулевого. Этим учитывается «путь разру-
разрушения», который в отличие от пути нагружения, не всегда мож-
можно задать заранее.
Последовательное решение задачи сначала только для п = О,
затем для п = 1 (при фиксированном а0), затем для и = 2 (при
фиксированном а0 и а4) и т. д. дает все значения углов ап и
параметров tn- В результате можно построить траекторию тре-
трещины и зависимость длины трещины от нагрузки.
Для иллюстрации метода рассмотрим следующую задачу.
Пусть пластина сжимается на бесконечности нагрузкой интен-
интенсивности tp0, параллельной оси у. В пластине имеется исходная
прямолинейная трещина длиной 2/0, ориентированная под углом
а0 к оси х. Найдем траекторию трещины, развивающуюся из
концов исходного разреза, а также координаты концов трещины
в зависимости от параметра нагрузки t*.
Решая задачу изложенным выше методом, получаем функ-
функцию fl в виде
п х
F (t, aOt alt ..., ап, In)=2S {(т^ +
г=« i=o
4- NtNj [bij A + я) cos (оц — a,) — a{i A — и) sin (a* — a,)] +
ц sin (a{ — щ) A + ус) + a^ A — x) cos (at — a.j)\}—
2кЕу
<l+0,ln)J0(H-v)
Здесь tj = —t sin aj cos a}, JVj = —t cos2 a3-. Длина звена принята
равной ?а = 0,14. Коэффициенты приведенного разложения
таковы:
а# = (cos вг_! — cos 8^) (sin 9j_! — sin Qj — &;-_j cos д^± +
+ 6; COS Qj) — (б^2 COS 9^_! — 0г COS 6j) (COS 0^_x — COS 8 j)t
-L [(Sin 2вЬ1 - sin 29i) (9*-! - 9j
+ (sin 29^-! — sin 29^) (9bl — 0J)] +
207
+ 2 cose^J (cos %_! —
cos 0
In
sm-
4- (cos 64 — cos Qj^x) In
2 cos 8
j (cos 9j -—
sin
cos 8$) In
sin
4- (cos 8i_i — cos 0j) In
sin
— (cos 0^_! — cos 8j) (cos 8,_! — cos В]).
Экстремальные точки функции F будем искать в области, где
нормальные перемещения берегов трещины положительны.
Результаты численного рас-
расчета, выполненные на ЭВМ для
нескольких углов ориентации
исходного разреза, представлены
15
10
рЯ~о
Ко
z
/
/
/
/
0,3
Рис. 24.5. Связь, сжимающих напря- Рис. 24.6. Вычисленные траектории
жений с длиной трещины в предель- трещин при сжатии плоскости для
разных углов наклона исходного
разреза. Ось сжатия вертикальна,
ном состоянии равновесия для раз-
разных углов наклона исходного разре-
разреза: 1 — 50°, 2 — 60°, 3 — 70°, 4 — 80°.
на траектории приведены углы на-
наклона отдельных звеньев а.
на рис. 24.5, 24.6. Задача решалась для силикатного стекла в
предположении, что нормальные перемещения берегов исходного
разреза отсутствуют. Из приведенных рисунков видно, что рас-
208
пространение трепщны происходят по криволинейной траектории
при непрерывно возрастающей нагрузке. По мере роста трещина
стремится выравниваться в направлении оси сжатия. Наимень-
Наименьшая нагрузка, нужная для начала движения трещины, оказыва-
оказывается для разреза, ориентированного под 45°. С увеличением угла
Рис. 24.7. Трещина при сжатии стеклянной пластины, содержащей наклон-
наклонный исходный разрез. Ось сжатия вертикальна.
ориентации предельная нагрузка возрастает, и в еще большей
степени увеличивается темп ее нарастания.
Результаты соответствующих экспериментов на образцах из
силикатного стекла показывают, что параметр нагрузки tn, от-
относящийся к моменту начала лавинного роста трещины, в пять
раз больше величины параметра t0 в момент страгивания ис-
исходного разреза [247]. Из рис. 24.7 видно, что траектория тре-
трещины качественно подобна расчетной. Количественные различия
между экспериментальными и расчетными результатами можно
объяснить влиянием границ образца на поле напряжений вокруг
растущей трещины.
14 в. 3. Партон, В. М. Морозов
Глава IV
ТРЕЩИНЫ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛАХ
§ 25. Экспериментальные исследования
пластической зоны у конца разреза-трещины
Особенности и детали пластического течения у конца разреза
определяют условия превращения его в трещину1) и законы ее
дальнейшего развития. Поэтому очень важно иметь правильное
представление о форме и размерах пластической зоны, об интен-
интенсивности деформаций в ней и об эволюции этих величин в про-
процессе роста внешней нагрузки и распространения трещины.
Указанные характеристики пластической зоны у конца .тре-
.трещины служат обоснованием для введения некоторых моделей
трещин. Таковой, например, является рассмотренная выше (§ 7)
о>модель для плоского напряженного состояния.
Развитие области пластических деформаций можно изучать
как экспериментально, так и теоретически. Взаимное сопостав-
сопоставление полученных при этом результатов представляет известный
интерес ж будет сделано в конце следующего параграфа. Сейчас
рассмотрим результаты экспериментального наблюдения [320,
396] пластических зон, не останавливаясь на подробностях изго-
изготовления образцов и техники их испытания.
Ясно, что развитие пластической зоны у конца разреза зави-
зависит от многих факторов, из которых основными можно считать
свойства материала, форму детали и условия: нагружения.
Для экспериментального изучения пластических зон удобны
плоские образцы малоуглеродистой стали. Изменяя их толщину,
можно варьировать условия протекания деформации от плоского
напряженного состояния до плоской деформации.
Плоская деформация в малой окрестности конца трещины
осуществляется при малых уровнях напряжения сравнительно
с пределом текучести. Травление полированной поверхности об-
образца показывает, что пластическая зона распространяется в на-
направлении растяжения (вверх и вниз) нормально к плоскости
трещины (рис. 25.1).
]) В том смысле, в котором трещина определялась в § 1.
210
На этой стадии растяжения образца длина пластической зоны
(в одну сторону от трещины, по направлению приложенной на-
нагрузки) меньше толщина образца.
По нормали к лицевой поверхности плоского образца дефор-
деформация незначительна; если поверхность не протравить, то пла-
пластическую зону не видно. В средней по толщине части образца
Рис. 25.1. Пластическая зона у конца разреза (просвет 0,15 мм) на поверх-
поверхности плоского стального образца @,04% С, 3,31% Si; oT = 40 Н/мм2, ij) =
=* 70%). Длина образца 200 мм, ширина 64 мм, толщина 5 мм, одна краевая
трещина, l/t = 1,3. Уровень напряжения в нетто-сечеяии: а) — 0,44; б) — 0,6;
в) — 0,8; г) — 0,9. На рис. (б) показана высота пластической зоны dv, на
рис. (г) — длина пластической зоны d и толщина образца L
в плоскостях, параллельных лицевой поверхности, форма пласти-
пластической зоны в основном остается без изменения. Вместе с тем
заметна тенденция к загибанию концов пластической зоны впе-
вперед так, что образуется как бы шарнир или петля.
Рис. 25.2. Пластическая зона на поверхности образца (сталь та же, что и
на рис. 25.1); а) разрез (радиус основания надреза ~0,07 мм), 6) усталост-
усталостная трещина. Ни в форме, ни в размерах пластической зоны различия не
обнаруживается.
С повышением уровня напряжений условия развития пласти-
пластической области приближаются к плоскому напряженному со-
состоянию. Этому способствует увеличение размера пластической
зоны по отношению к толщине.
14*
211
На поверхности образца из концов вертикальных пластиче-
пластических областей (образовавшихся на ранней стадии нагружения)
начинают развиваться сужающиеся пластические области в на-
направлении исходного разреза. Причем две области. отстоят одна
от другой на величину толщины образца (рис. 25.1, 25.2). Сече-
Сечения вдоль образца плоскостями, параллельными лицевой, пока-
показывают, что эти две пластические области сближаются и совпа-
совпадают в середине толщины. Из рис. 25.2 и 25.3 видно, что форма
Рис. 25.3.Пластическая зова на поверхности стальных образцов (f = 1,52 мм,
о/От = 0,8) по данным интерферометрии. В случае (а) сталь (та же, что
и на рис. 25.1) имеет площадку, текучести; в случае (б) площадка текуче-
текучести отсутствует (сталь та же, отпуск 120 °С, Оо,2 = 380 Н/мм2). Числа око-
около линий означают деформацию в процентах по нормали к поверхности.
Рис. 25.4. Вид на пластическую зону спереди на лицевую поверхность (а),
по поперечному сечению (б) и на поверхность образца сзади (в). Сталь та
же, что и на рис. 25.1, ? = 0,5 мм, а/ах = 0,9.
развитой пластической зоны на поверхности образца не зависит
(в определенных пределах) от остроты разреза и наличия (или
отсутствия) площадки текучести. Однако интенсивности пласти-
пластических деформаций в конце разреза и трещины, вообще говоря
должны сильно отличаться.
Изображения в сечениях, проведенных поперек направления
трещины свидетельствует о том, что пластическая зона имеет вид
двух пересекающихся полос под углом 45° к поверхности образца
(рис. 25.4). В этом направлений, как известно, возникают наи-
212
большие касательные напряжения при растяжении тонкой пла-
пластины. На поверхности образца наблюдается значительная де-
деформация в направлении толщины, выражающаяся внешне в ви-
виде утяжки (или местной шейки).
Вместе с тем, следует указать на сложность конфигурации
пластической зоны, которая дает себя знать при более деталь-
детальном анализе. Эта сложность состоит в том, что одновременно
можно наблюдать и конфигурацию в виде шарнира и в виде на-
наклонных полос. Наблюдения
показывают, что при малых
уровнях напряжения, в част-
*ш вости, для коротких трещин
1
I
с, . с)
Рис. 25.5. Трехмерная модель пластической зоны при растяжении плоского
образца; а) область пластического течения для малоуглеродистой стали
@,22% С, 0,36% Мп; <ь = 255 Н/мм2, $ — 63%); б) то же для стали, оха-
охарактеризованной на рис. 25.1; в), е) объемные модели пластических обла-
областей с одной и двумя наклонными полосами.
и толстых пластин шарнирная форма пластической зоны является
преобладающей. Для соответствующего сочетания высоких уров-
уровней напряжения, длинных трещин и тонких пластин преоблада-
преобладающей является форма пластических зон в виде наклонных слоев.
Переход от плоской деформации к плоскому напряженному
состоянию происходит перманентно, вследствие чего граница
раздела трудно определима. По-видимому, шарнирная форма пла-
пластической зоны будет преобладать в случае затрудненного раз-
развития наклонных пластических полос, когда последние окруже-
окружены упруго-деформированным материалом. Наклонные пластиче-
пластические полосы разовьются на всю толщину t образца после того,
как размер йу пластической области в виде шарнирной петли на
поверхности образца достигнет величины 0,5f с каждой стороны
от плоскости трещины. Можно полагать, что это есть оценочный
критерий, ограничивающий сверху по напряжениям область, пло-
плоской деформации.
Вклад в объем пластической зоны наклонных полос будет
преобладающим, когда длина полос d превышает 4?. Эта величи-
величина может служить оценкой, ограничивающей снизу по напряже-
напряжению область плоского напряженного состояния.
213
С ростом уровня напряжения как dy, так и d также растут.
Следовательно, переход от плоской деформации к плоскому на-
напряженному состоянию в толстых образцах происходит при бо-
более высоких напряжениях. Например, при толщине образца
п)
6)
3J
Рис. 25.6. Схематическое изображение процесса развития пластических зон,
обнаруживаемых на поверхности плоского образца с центральной трещи-
трещиной при растяжении; с), б), в) вторая стадия, г), д) третья стадия.
0,43 мм переход от плоской деформации к плоскому напряжен-
напряженному состоянию происходит при а/о7 = 0,4, а для толщины 5 мм —
при""*0,9.
Приведенные исследования позволяют схематически изобра-
изобразить трехмерную модель пластической зоны (рис. 25.5). В на-
начальной ее части преобладает петлеобразная форма, которая за-
затем сменяется одной или
¦* 2&Ш1^шшшшшштшшшмшш11М двумя наклонными полосами.
Пластические области в
виДе слоя, продолжающего
трещину, при растяжении
тонкого листа (из мягкой
стали) наблюдались в экспе-
экспериментах [278, 3421. Изуча-
Изучались также пластические об-
области около концов трещины
при плоском напряженном
состоянии в прямоугольных
B00 X 360 мм) образцах с
центральным разрезом при
растяжении. Использовался
материал Ст 08 (от =
-=200 П/им2) и СтЗ (ат = 234 Н/мм2) толщиной 1; 1,5; 2; 2,5 мм
и длиной разреза 14,8; 18,7; 29,3 мм. Предел текучести здесь
определялся в виде отношения нагрузки к площади ослабленно-
ослабленного сечения при полном его переходе в пластическое состояние.
В процессе исследования поверхности образца обнаружены сле-
следующие стадии развития пластических областей [31, 85, 320].
1. Инкубационная стадия без видимых признаков пластиче-
пластической деформации на поверхности образца. Оканчивается при
о/0т = 0,37 для Ст 08 и о7ат = 0,51 для Ст 3 (а — напряжение
в ослабленном сечепии).
214
Рис. 25.7. Фотография образца в конце
второй стадии. Направление нагруз-
нагрузки — вертикальное. Видно, что длина
пластической зоны примерно в два ра-
раза больше длины разреза.
2. Появляются матовые пятна у концов разреза (рис. 25.6, а),
ориентированные перпендикулярно к горизонтальному разрезу
(по 0,5 мм). Затем они вытягиваются в направлении разреза,
приобретая форму узких клинообразных полос (рис. 25.6, б).
Одновременно эти полосы расширяются, достигая ширины 4—
6 мм (рис. 25.6, в). Вторая стадия заканчивается при о/ат = 0,76
для СтО8 и при а/ат = 0,92 для СтЗ*). Вид образца этой стадии
показан на рис. 25.7.
3. Третья стадия начинается с быстрого появления тонких
полос пластичности под углом 47,5е—51" к линии разреза
(рис. 25.6, г). С увеличением нагрузки число их возрастает до
Рис. 25-8. Фотография правого
конца разреза на третьей стадии.
Основная пластическая зона мно-
много толще исходного разреза. Хо-
Хорошо видны наклонные полосы
пластичности.
Рпс. 25.9. Большие треугольные
области пластической деформа-
деформации по обеим сторонам разреза.
четырех (по две на каждом конце трещины), причем увеличива-
увеличиваются их длины вплоть до кромок образца (рис. 25.6, д). Вид кон-
конца разреза на этой стадии показан на рис. 25.8.
4. Полосы быстро растут в ширину с одновременным появле-
появлением новых, параллельных первоначальным. Пластическая об-
область приобретает треугольную форму (рис. 25.9). Края трещины
расходятся, и она начинает расти.
1) Эти и предыдущие численные значения для о/ат получены в виде
средних арифметических по данным большого числа образцов. Однако от-
отклонения отдельных значений от средних довольно большие и сильно за-
зависят от длины разреза, толщины и т. п.
215
Области нагрузок, отвечающие разным стадиям, естественно,
ориентировочные и меняются как от материала к материалу, так
и от детали к детали для одного и того же материала. В част-
частности, при достаточно хрупком состоянии четвертой, третьей и
даже второй из наблюдаемых ста-
стадий может и не быть. '
Рис. 25.10. Микрофотография поверх-
поверхности шлифа вблизи очага разруше-
разрушения у внутренней поверхности кор-
корпуса ракеты [123]. Видны две тре-
трещины около коррозионной язвины.
Рис. 25.11. Микрофотография кон-
конца трещины в образце, имеющем
форму обода турбинного колеса
[123]. Хрупкое межзеренное раз-
разрушение в условиях ползучести.
Из изложенного выше видно, что картины деформации, полу-
полученные разными авторами, согласуются между собой: при стес-
стеснении поперечных упругих деформаций пластические зоны стре-
стремятся расти поперек линии трещины, а при отсутствии такого
стеснения — вдоль линии трещины.
Следует отметить, что конец магистральной трещины в реаль-
реальных металлических материалах только схематически и очень ус-
условно можно аппроксимировать гладкой или кусочно-гладкой
линией, следующей из упругого или упругопластического реше-,
ния. Степень соответствия результатов решения, полученных из
континуальных теорий, с реальной ситуацией, зависит от степени
локальности рассмотрения объекта. Углубление в детали строе-
строения поверхности трещины и ее конца неизбежно приведет
к отказу от результатов решения континуальных теорий. Для
этого достаточно взглянуть на ряд фотографий трещин, обнару-
обнаруживаемых в элементах различных конструкций и возникших по
разным причинам в эксплуатационных условиях (например,
рис. 25.10, 25.11). Однако это не означает, что решение конти-
континуальных теорий неверны. Нет, они верны, но для своего мас-
масштаба, для соответствующей степени локальности рассмотрения
объекта. Например, если принимать во внимание структуру ма-
материала, то область справедливости континуальных теорий мо-
может быть отражена с помощью диаграммы структурной неодно-
неоднородности Я. Б. Фридмана [2903.
Экспериментальные наблюдения показывают, что конец тре-
трещины вообще не обязан быть острым. Трещина затупляется по
разным причинам. Это может быть коррозия (рис. 25.12), интен-
216
сивная пластическая деформация и др, В случае интенсивной
пластической деформации величина расхождения берегов тре-
трещины в ее конце, определяемая в момент начала роста трещины,
принимается в качестве характеристики материала [430, 431]!
•*•* v
вого ?плиВяК0^?°л^ TPen^Ha П°Д напряжением образца из алюминие-
алюминиевого сплава (типа Д16Т), находившегося в трехпроцентном растворе пова-
поваренной соли 1000 ч.
Предполагается, что эта характеристика оценивает локальную
пластичность, а через нее и чувствительность материала к тпе-
щине [513 (см. § 7, 17).
В результате пластического течения конец трещины может
даже раздваиваться. Вот, например, как выглядит процесс
деформации конца трещины по
данным интерферометрии на
поверхности плоского растяги-
растягиваемого образца- из алюминиево-
алюминиевого сплава (типа В95-Т1) [380].
На рис. 25.13 изображен конец
усталостной трещины в образ-
образце, вынутом из машины после
42 тысяч циклов (а = ат + аа =
= 135 ± 114 Н/мм2). Полосы ин-
интерферометрии отражают одина-
одинаково углубленные точки поверх-
поверхности образцов. Видна значи- Рис. 25.13. Остаточные полосы интер-
интертельная остаточная деформация ференции у конца усталостной тре^
У поверхности трещины, причем шины. Увеличено в 36 раз.
можно также заметить, что
внутрь материала трещина углубляется косо (не перпендикулярно
поверхности). Это есть следствие пластического сдвига малых
217
объемов материала, примыкающего к трещине под углом 45° к ли-
лицевой поверхности образца. Затем этот же образец был подвергнут
растяжению. Картины интерференционных полос представлены на
рис. 25.14, 25.15. Из них видна тенденция к затуплению и к боко-
боковой утяжке в вершине. Трещина сначала распространяется в на-
направлении наибольшей боковой утяжки, а затем раздваивается.
Быстрое распространение трещины происходит в одном из этих
Рис. 25.14. Та же трещина, что и на Рис. 25.15. Та ясе трещина при высо-
лредыдущем рисунке, но при малой кой нагрузке перед быстрым разру-
величине статической растягиваю- шением.
щей нагрузки.
двух направлений. Методом интерферометрии для усталостной
трещины обнаружено, что при постоянном нетто-напряженпи
цикла боковая утяжка (выемка у конца трещины) постоянна и
по глубине, и по ширине. При постоянной нагрузке нетто-напря-
жение растет* с уменьшением сечения от роста трещины, и это
приводит к тому, что выемка заметно возрастает. В этом случае
глубина и ширина выемки у конца усталостной трещины может
служить характеристикой скорости ее роста.
§ 26. Расчет пластической зоны
Материал предыдущего параграфа наглядно свидетельствует
о том, что в подавляющем числе случаев разрушение сопровож-
сопровождается образованием пластических областей. Поэтому значитель-
значительный интерес представляют исследования закономерностей разви-
развития трещин в упругопластических телах, имеющих некоторые
специфические особенности. Во-первых, хорошо известный экспе-
экспериментаторам медленный устойчивый рост трещин в докритиче-
ском состоянии связан с условиями протекания пластических
деформаций у вершины трещины. Во-вторых, определяемые ме-
ханическде характеристики на образцах с предварительно соз-
созданными трещинами зависят от особенностей упругопластиче-
ского деформирования в окрестности вершины трещины, причем
эти особенности не могут игнорироваться при толковании резуль-
результатов экспериментов. В-третьих, особенности упругопластическо-
218
го поведения материала в малой окрестности вершины трещин
могут способствовать пониманию причин роста трещины, и вве-
введению новых механических свойств материала и новых критери-
критериев разрушения. В-четвертых, размеры пластической области
у вершины трещины зависят не только от способа нагружения,
но и от длины трещины, что существенно усложняет упрутошга-
стическую задачу, особенно в случае растущей трещины.
В связи с этим важное значение приобретают задачи, где
в ходе решения, помимо определения возникающих напряжений
и деформаций, должна быть определена (без предварительных
ограничений) граница, отделяющая упругую и пластическую
зоны [202, 203, 405].
Изложим решение задачи об определении формы пластиче-
пластической зоны в окрестности вершины трещины отрыва.
1. Для определения напряженного и деформированного со-
состояния идеального упругопластического тела с трещиной вос-
воспользуемся деформационной теорией пластичности. Известно
[1941, что действительные перемещения и*, соответствующие со-
состоянию равновесия, реализуют минимум полной энергии
n=*[Wdv — A. B6.1)
Здесь W — работа деформации, А — работа внешних сил.
Будем полагать, что связь между интенсивностью касатель-
касательных напряжений Т = CASySaI/2 и интенсивностью деформаций
сдвига Г = Be,?efJI/2 определяется соотношением вида
Г = ?(Г)Г. B6.2)
Здесь g(T) — некоторая положительная функция, характерная
для данного материала, $ц = Оц — б,;о — девиатор напряжений,
€ti = е{5 — 7збу8 — девиатор деформаций, е = ечбч, о = 73Сц6«.
Для случая идеального упругопластического материала будем
иметь
~=~ при _ ^ _и
г Р и I*' B6.3)
(х при Г<Г0.
Если положим g(T) — т^/Г, то получим условие текучести Мизе-
са. Работа деформации, соответствующая выражениям B6.2),
B6.3), принимает вид
&к
~2~ А , Х --* Хф5
B6.4)
т1 о,, j
где fc = A — 2v)/?' — коэффициент объемного сжатия.
219
Дифференциальные уравнения равновесия в смещениях могут
быть получены из системы
= 0, B6.5)
причем они будут различными для состояний упругости и теку-
текучести.
Пусть деформируемое тело занимает объем F, ограниченный
поверхностью S, причем в состоянии равновесия этот объем со-
состоит из упругой Vt и пластической У2 частей, разделенных по-
поверхностью 2. Тогда, при условии непрерывности на 2 компо-
компонент смещений, деформации и напряжений, вариационный, прин-
принцип теории малых упругопластических деформаций можно сфор-
сформулировать в виде [202, 203]
-^)^-л1=6, B6.6)
причем для области Fa должно выполняться неравенство
Г > тт/м-
Для исследования напряженного состояния в вершине полу-
полубесконечной трещины, находящейся в условиях плоского напря-
напряженного состояния или плоской
деформации, выделим в плоско-
плоскости ху квадрат с центром
в точке О и стороной 2 а
(рис. 26.1). В дальнейшем бу-
будем считать, что трещина пред-
представляется разрезом вдоль по-
i ложительной полуоси х.
Воспользуемся асимптотиче-
асимптотическими выражениями B.17),
B.18) для распределения на-
напряжений и смещений вблизи
конца трещины. В решаемой
здесь задаче параметром нагру-
жения является коэффициент
О
9
Рис. 26.1 Область, в которой строит-
строится решение упругопластической за-
задачи.
интенсивности напряжении, за-
задающий распределение напря-
напряжений и смещений в бесконеч-
бесконечно удаленной точке. Зададим
на границе рассматриваемого нами квадрата смещения, опре-
определяемые по формулам B.18). Поскольку варьируются пе-
перемещения, то при их задании на "границе в выражении B6.6)
имеем 6А = 0. Размеры квадрата будем выбирать так, чтобы
была возможной замена бесконечной области конечной, а компо-
компоненты перемещений, деформаций и напряжений в конце трещи-
трещины незначительно зависели бы от граничных условий, задавае-
220
мых теперь на сторонах квадрата. Очевидно, из условий симмет-
симметрии следует, что можно рассматривать только одну половину
квадрата (—а < х < а, 0 < у < а).
а) Рассмотрим случай плоского напряженного состояния. Бу-
Будем полагать, что материал тела несжимаем (v = 0,5) и характе-
характеризуется пределом текучести тт при чистом сдвиге. Учитывая,
что края трещины свободны от нагрузки," а на продолжении
разреза равны нулю касательные напряжения и перемещения
по оси у, получаем, что истинные перемещения в прямоуголь-
прямоугольной области S (—а*S a; «? а, О^у <а) реализуют минимум функ-
функционала
/ = -*- Е { J T2dx dy + тт j J (г - ^§) dx dy. B6.7)
Здесь деформации определены в B.1),
Г = 2 (el 4- бу -f гхгу + 1/47^I2»
St — область упругих деформаций, 52 — пластическая область
Граница С раздела областей Si и 5г определяется из условия
Г = Го = Зт,/Я. " B6.8)
Смещения B.18) (для плоского напряженного состояния и
разреза вдоль положительного направления действительной оси)
на участках границы х = ±а, 0<у^а и у = а, — а^х^а пред-
предполагаются заданными и в случае v = 0,5 представляются фор-
формулами
B69)
Введем безразмерные величины
е—S-- ч—§¦. "* = !-• "* = т- р-7. B6-10>
где
Тогда функционал B6.7) преобразуется к виду
/o=^=4-fG-й2<*?^+ fU4--4-)^dr\. B6.И)
221
Здесь
17V fV Iди*)idv*
тт
Граница, отделяющая пластическую область от упругой, оп-
определяется из условия
Г = Г„ = Зто.
Относительные величины смещений на участках границы | —
= ±a/d, 0<rj < a/d и -л = e/d, —aid < 1 < й/d находятся из
равенств
3 ¦,/-( 7.9 . 36 \ 3 1/~/l3 6 , 36N
« = -—тоVp(-rsinT-+ sm-/' v== irXoV9\tcost +costj-
B6.12)
Таким образом, в случае плоского напряженного состояния и
несжимаемости материала единственным параметром, определя-
определяющим решение задачи, является величина т0 = tJE.
б) Аналогичным образом для состояния плоской деформации
устанавливаем, что действительной форме равновесия области S
соответствуют такие компоненты смещений и, v, которые сооб-
сообщают минимальное значение следующему функционалу1):
B6.13)
8
Здесь
Г = 2/3/з(е^ + е;-
Условие Г = Го = тт/|А определяет границу раздела областей
aj 4 ЕЕ iJg*
Минимум функционала B6.13) разыскивается в классе функ-
функций и, v, удовлетворяющих на границе области условиям
v — 0, у = 0, — а < х < 0;
при х =
= 0, —a
') Для сохранения единой расчетной схемы численного решения ука-
указанных задач а) и б) в случае плоской деформации условие несжимаемо-
несжимаемости материала не используется, а применяется значение коэффициента Пу-
Пуассона v = 0,46.
222
Вводя безразмерные величины B6.10) в выражение B6.13),
получим
т-т)**"- <2(Ш>
Здесь
-р Z 1 /аи,*\* (ov \* [ди*\ Iоу* \ о Iди* dv*\*jl/«
¦^ == -1 /?г I ~я1~ I • I ~яГГ J ' ( ~де 1 I я„ ' "~л"~ I ~я^ I НЕ" I I »
Т =
Границе пластической области будет соответствовать значение
Относительные смещения на участках границы Ъ, = dca/d, 0
<[ aid и т) = a/d, —a/d < | < а/й имеют
следующие выражения:
30
w* = — Зя-1т l^p E — 8v) sin -^- + si« „ ,
L ^ ^ j
у* = Зя-^^р G — 8v) cos -5- + cos -к- .
J
а
В данном случае искомое решение бу-
будет зависеть от коэффициента Пуассона v
и параметра т — TT/C(i). " *
2. Для решения поставленных выше Рис. 26,2. Схема разби-
задач воспользуемся методом конечных ения рассматриваемой
элементов (см. § 13). Исходная область ^??хна ™Ж
рассматривается как система дискретных элементов.
треугольных элементов (рис. 26.2), име-
имеющих заданную форму распределения
перемещений и удовлетворяющих условиям совместности в узло-
узловых точках (а, р — узлы элемента на границе тела, показанной
штриховой линией).
Будем предполагать, что в пределах m-го элемента смещения
и V(m) изменяются линейно:
и^т) = di + а2 с, + о,3 т), цт) = а4 + аь
Тогда для компонент деформаций получим
91
04
(т)
д<т)
.(")
ач
+
B6.15)
B6.16)
223
Постоянные aV**» . ..,а[т) выразим через величины смещений
в вершинах /га-го треугольного элемента:
(тп) (т) t(m) (т)\ * ,
ft ц. _^. цк )uim +
.+(ё-ч-» - &ч") щт+cr v™' - й-'чго«у,
B6.17)
Am) 1 r/?<m) t(m)\,* , /Игл) _t(™>\,.• , fg(m) _ g(m)\ ¦
Здесь (от — площадь т-го треугольника, lim), цГ*— координаты
г-й вершины.
Выражения для постоянных а™ , а™, а™ можно получить
яз B6.17) заменой Щ,$,ч,т на ^i.j.ft.m.
Используя представления B6.16), B6.17), заменим функцио-
функционалы B6.11), B6.14) следующими выражениями:
для плоского напряженного состояния
= 2 tVIt-
т=1 L \0
т
= 2[(an2 + UrK + 4m)«r + 4-DW) + «rJ| , B6.18)
для плоской деформации
м
— — 11 <*>т +
т <
М / \2
V Х^ (гт) _ (ш) , (та)
пг \^itn» • • •» Uhmy Vim,.. . . , V)un) —
2 Г/ («П2 , / (W)^ JfflLC») , i
Суммирование в формулах B6.18), B6.19) происходит по всем
треугольным элементам области Ш — общее число элементов).
Величины Хт и к2т определяются так:
Xim = 1, Km = 0, если Тт < Го,
224
'Km = 0, Яш = 1, если Тт > Го. B6.20)
Значение Го равно Зтт/2? для плоского напряженного состояния
и %JE для плоской деформации.
Перейдем к определению относительных перемещений в уз-
узловых точках, которые сообщают минимальное значение дискрет-
дискретным функционалам B6.18) и B6.19). Воспользуемся численным
методом локальных вариаций [3111. Алгоритм решения с по-
помощью этого метода состоит в следующем. Зададим начальное
приближение для компонент смещений м*, у* во всех внутренних
узлах области я для тех граничных точек, где смещения подле-
подлежат определению. В качестве начального приближения можно
принять распределение перемещений, полученное из решения
упругой задачи. Выбирая достаточно малый шаг А, произведем
варьирование смещений во всех внутренних точках. Отметим,
что изменение перемещений в одной точке приводит к измене-
изменению только части слагаемых в суммах B6.18) и B6.19), а имен-
именно тех, которые связаны с элементами, окружающими дан-
данный узел.
Процесс варьирования осуществляется следующим образом.
Вычисляется та часть дискретного аналога функционала B6.18)
или B6.19), которая связана с рассматриваемым узлом, при зна-
значениях перемещений, равных ит ± Л, vm ± h. Из данной комби-
нации выбирается то значение величин кт, ггт±Л, vm, vm±:n
которое приводит к уменьшению указанной суммы • слагаемых
-2,0
Рис. 26.3. Линии равных значений Г/т0 около конца трещины при плоском
напряженном состоянии.
в B6.18) или B6.19). После этого осуществляется переход
к варьированию следующей точки. Выполняя обход всех точек
в соответствии с заданными геометрическими связями, получим
первое приближение для значений перемещений в узлах. Если
по окончании п-ш итерации окажется, что для всех точек сохра-
сохранилось значение величин и*, v* предыдущего приближения, то
производим уменьшение шага варьирования, выбирая hn+1 =
15 в. 3. Партой, В, М. Морозов 225
я(л<1). Далее весь процесс повторяется с меньшим шагом.
Варьирование прекращается, когда hn становится меньше неко-
некоторого достаточно малого числа. По окончании итераций получа-
получаем приближенные значения перемещений в узловых точках.
Рис. 26.4. Линии равных значений Г/т при плоской деформации.
Компоненты деформаций, постоянные для пг-го треугольного эле-
элемента, могут быть определены по формулам B6.16), B6.17). За
Рис. 26.5. Картина смещений рассматриваемой области при плоском напря-
напряженном состоянии; 1% 2 — контуры трещины до и после приложения на-
нагрузки.
величину деформаций в узловой точке можно принять средне-
среднеарифметическое значение этих компонент из всех треугольников,
для которых данный узел является вершиной.
С использованием этого алгоритма было получено решение на
ЭВМ. На рис. 26.3 и 26.4 показаны линии равных интенсивно*
226
степ деформаций сдвига при плоских напряженном и деформи-
деформированном состояниях. Картина поля смещений вблизи вершины
трещины представлена на рис. 26.5 и 26.6. Раскрытие в кончи-
кончике трещины (рис. 26.7) таково, что касательная к контуру тре-
трещины вертикальна (до деформации та же касательная .распола-
.располагалась горизонтально). Заметим, что для плоской деформации
i
L
г|
ц
1
»m ¦ *¦
A
—i-
-?
ЛШ4-Ц-
ii i
4 ! 1
, L 1, \.
i'
•
' Г
!
4
IE
1
I
4
4
4
4
A
A
1
4
4
4
i
4
ii
Л
A
r
t
4
4
5
i
Г
r—
'"I
1
J
11 j
——H-—'.
4
f "Ь I
. i!
- —
-2.0
1,0
Рис. 26.6. Картина смещений рассматриваемой области при плоской дефор-
деформации; 1,2 — контуры трещины до и после приложения нагрузки.
V
a
0,5
1,0
Рис. 26.7. Контур конца трещины
при плоской деформации (линия
1) и при плоском напряженном
состояния (линия 2).
~0,5
Рис. 26.8. Распределение на'
пряжений на продолжении
разреза при плоской деформа-
деформации.
раскрытие (на равных расстояниях от конца трещины) больше,
чем в случае плоского напряженного состояния. Эпюры напря-
напряжений ву и деформаций ъу для плоской деформации перед тре-
15* 227
шиной на ее продолжении показывают ограниченность напряже-
напряжений, максимальные значения которого, однако, значительно пре-
превышают предел текучести, а деформация имеет максимум не на
-о,д
Рис. 26.9. Распределение де-
деформаций на продолжении
разреза при плоской деформа-
деформация.
-0,25
Рис. 26.10. Форма пластической
зоны, полученная численным рас-
расчетом; 1 — плоское напряженное
состояние, 2 — плоская деформа-
деформация.
самой поверхности трещины, а чуть впереди (рис. 26.8, 26.9).
Найденная форма пластической зоны (рис. 26.10) подтверждает
правомерность применения б„-мо-
дели в случае плоского напряжен-
напряженного состояния. Заметим, что по-
полученные результаты находятся
в согласии с § 25 — при плоском
напряженном состоянии пластиче-
пластическая зона вытянута вперед по
направлению роста трещины,
а при плоской деформации, наобо-
наоборот, пластическая зона вытянута
поперек линии трещины. Соглас-
Согласно этому можно дать (рис. 26.11)
аппроксимирующие выражения
границы пластических зон (р,
Рис. 26.11. Форма пластической
зоны, аппроксимированная урав-
уравнением B6.1) (линия 1) и урав-
уравнением B6.2) (линия 2).
6 —полярные координаты с полюсом в вершине трещины):
р = 0,25 6 + 0,15 cos -у- (плоское напряженное состояние) B6.21)
х\ = 0,55 /cos 14| (плоская деформация) B6.22)
Если отвлечься от асимптотических представлений напряженно-
деформированного состояния у вершины трещины и определять
228
*А
Рис. 26.12. Развитие пластических зов при растяжении полосы с краевой
трещиной; а), б) ЩЬ = 0,5; в), в) — I/ft = 0,25; л), в) плоская деформация,
б), г) — плоское напряженное состояние (числа около границ пластических
аов — значения 0а/о«)«
Рис. 26.13. Развитие пластических зон при растяжении полосы с централь-
вой трещиной; а) плоская деформация, lib = 0,5; 6) плоское напряженное
состояние, IJb = 0,25 (числа около границ пластических зон — значения
)
пластическую зону из решения задачи для тела в целом,
то можно [46] найти границу пластической зоны из соотношения
о< = Я,от а<1), B6.23)
где Gt — интенсивность напряжений при упругих деформациях.
В этом случае получается, что форма пластической зоны совпа-
совпадает с линией равного значения интенсивности напряжения, най-
найденному по упругому решению, но это значение не равно преде-
пределу текучести, а несколько меньше. Например, из эксперименталь-
экспериментальных данных [43] следует, что при растяжении в случае плоской
деформации и неупрочняющегося материала к = 0,94.
Приведем здесь результаты расчета с помощью метода конеч-
конечных элементов формы и размеров пластической зоны при растя-
растяжении полосы с краевой трещиной (рис. 26.12) и с центральной
Рис. 26.14. Развитие пластических зон в компактном образце (*/6 = 0,5);
а) плоская деформация, б) плоское напряженное состояние.
(рис. 26.13) из идеально пластического материала (в силу сим-
симметрии показана четверть пластины) [165]. Динамика развития
пластических зон в компактном образце с ростом номинального
напряжения он в ослабленном сечении представлена на рис. 26.14.
230
Диаграмма деформации аппроксимирована соотношением (сталь
12Х2МФА, а, = 637 Шиш2)
Относительная глубина трещины l/b = 0,5. Числа на границах
пластических зон указывают силу на единицу толщины образца
(в кН/мм) при ширине Ь — 100 мм.
Из этого расчета видно, что в отверстиях под шпильками
пластическая зона образуется не вдоль линии действия силы,
а в стороне, примерно под 45—50° к вертикали.
При плоской деформации возникает пластически продеформи-
роваиная петля вокруг упругого ядра, что способствует взаимно-
взаимному повороту половинок образца. Трещина начинает распростра-
распространяться (по данным эксперимента) при нагрузке около
6000 Н/мм.
Экспериментальное и теоретическое исследования пластиче-
пластических зон необходимо для понимания условий, сопровождающих
начало роста трещин, и правильного суждения о вводимых кри-
критериальных характеристиках материала.
Столь подробное экспериментальное и теоретическое исследо-
исследование пластических зон в §§ 25, 26 связано с необходимостью
подчеркнуть роль пластического деформирования, в процессе ко-
которого происходит накопление повреждений и микроразрушений,
подготавливающих макроскопическое разрушение.
§ 27. Критическое состояние плоскости и пространства
с трещиной
Как уже упоминалось, наличие пластической деформации
у конца трещины приводит к увеличению затрат работы на ее
продвижение. Эта работа должна быть определена эксперимен-
экспериментально, но иногда ее можно вычислить аналитически, пользуясь
некоторой моделью трещины и небольшим числом эксперимен-
экспериментальных данных. В частности, как отмечалось выше (§ 26), для
плоского напряженного состояния пластическая область (работа
пластической деформации в этой области отождествляется с ра-
работой разрушения) имеет удобную для расчета форму в виде уз-
узкой зоны перед краем трещины. Остальной объем тела находится
в упругом состоянии. Используем энергетическое условие D.6)
для определения критических состояний равновесия. В дальней-
дальнейшем это условие будет использовано для расчета докритических
состояний (§ 29) и долговечности при повторном нагружении
(§ 30).
Приведем сначала решение некоторых плоских задач теории
трещин с использованием условия D.6) [172].
1. Одноосное растяжение напряжением р неограниченной
плоскости, содержащей одиночную прямолинейную трещину
231
jf»O, \z\*?l. Пластические зоны занимают отрезки # = 0, Z*5
<UI<a. Положим, что (Jo = const и равно пределу прочности
(это следует из приведенных ниже экспериментов).
Перемещение v(x) точек разреза у = 0, \х\ <а от нагрузки р
при [х\ <1 и — о0 + р при Z< \x\ ^а имеет вид [1741
°\ 2 /а2 — хЧл- — 2 arccos -
0о а
(x,-l). B7.1)
Здесь
T(x, Z) = ln
' а2 - xl-
Размер пластической зоны может быть исключен с помощью
известного соотношения G.2), которое в принятых здесь обозна-
обозначениях имеет вид
Оно вытекает из первого дополнительного условия (§ 4) — плав-
плавности смыкания границ разреза, т. е. из условия
при х = а.
Введем безразмерные параметры
\ р х l r l -- пЕб°
сг„э г а а с 8 A — Vs) ао
'о
Тогда с учетом B7.2) перемещение равно
где под символом m подразумевается его зависимость от X со-
согласно B7.2).
В дальнейшем будут использоваться следующие выражения:
пЕ
1 / а\
J^р в ^Ц^ г[4cosf In cosf + яЯsin f ].
m
С учетом этого условие D.6) запишем
~ tg ^ + In cos Щ =. *1Л (arccos e-i/t) /l-e-2/? ^_. B7.3)
232
В этом выражении X — критическое значение безразмерного на-
напряжения, зависимость которого от безразмерной длины трещины
? показана кривой 1 на рис. 27.1.
Перемещение v*(x), входящее
в D.6), вычислено с учетом треть-
третьего дополнительного условия (§ 4),
а именно
2vU) = 6с
B7.4)
Следовательно, v*(x) есть переме-
перемещение при нагрузке р = р*, опре-
определяемой из B7.4). Эта нагрузка
равна
я
B7.5)
и представляет собой критическое
напряжение по бк-модели. Отме-
критические B) диаграммы раа-
тим, что оно тождественно совпа- р5ш"еНия"при "расмпкений плос-
дает с критическим напряжением, кости с трещиной, имеющей тон-
следующим из энергетического кие пластические зоны,
условия B7.3).
Приведем выражение для плотности работы разрушения
в этой задаче. Поскольку
то величина плотности работы разрушения будет [437, 4381
.r»<*)<fc + -§-«'A. B7.6)
1 I
или, после интегрирования и подстановки Я ~ X*
(arccos e
—«-«rt - l]. B7.7)
Отсюда видно, что работа разрушения не является постоянной
материала. Это результат неавтомодельности задачи, так как при
распространении трещины контур ее головной части деформиру-
деформируется и не остается неизменным. Плотность работы разрушения
становится постоянной и равной 2f — ообс при достаточно малых
внешних нагрузках и длинных трещинах, т. е, при Х> ~* °°' Ука-
Укажем, что если ввести величину f, то условие D.6) можно
записать
B7.8)
233
2. Неограниченная плоскость ослаблена одиночной прямоли-
прямолинейной трещиной, в полости которой действует давление р. Для
решения задачи необходимо знать перемещение v(x) на поверх-
поверхности трещины от нагрузки р при \х\ < I и а0 при ?*^Ы«5а.
Это перемещение имеет вид [2091
J ф/2 2[Я —2A
+ A + %) [(* -l)Y {х, 1)-(х + 1)Г (х, - I)]}. B7.9)
Аналогично предыдущей задаче размер пластической зоны
может быть исключен с помощью соотношения
2
Основное соотношение D.6) с введением величины ^ прини-
принимает вид
1 ар
2? — Р -Ji \ v dx — а0 -щ- J v dx e 0,
иди
jty1
\ 0 '
Входящие сюда интегралы будут равны
С , l_v!
}"*--хг
J уФ= 'пЕ qo4Jt^si
Я
4 A + Я) cos j^g- In cos
2 I
па - i uv'tW
т
о
Плотность работы разрушения по формуле B7.6) будет
234
Здесь Я* определяется из условия B7.4), которое приводится
к уравнению
: *.. B7.13)
Это значение %* является критическим согласно oV-моделя
(кривая 2 на рис. 27.2).
Основное соотношение B7.11) принимает вид
B7.14)
Критическому значению Я по B7.14) соответствует кривая 1
на рис. 27.2.
В этой задаче критические напряжения по энергетическому
методу и по бк-модели не совпадают друг с другом (по бк-модели
критическое напряжение выше, чем
по энергетическому критерию). Не-
Несовпадение результатов по разным
критериям происходит вследствие
существования двух видов критериев
наступления критического состоя-
состояния — необходимых и достаточных
[123, 195, 438]. К первым относится
энергетический критерий, а ко вто-
вторым — бк-модель, а также теория,
основанная на достижении макси-
максимальным напряжением (или средним
напряжением в пределах характер-
характерного интервала, см. § 11) у вершины
трещины значения теоретической
прочности. Предполагается, что для
движения трещины необходимо соот-
соответствующее перераспределение
энергии, при котором выделяющаяся
энергия, перекрывает поглощение
энергии на разрушение. В то же
время может оказаться, что этого
условия недостаточно, так как для осуществления перехода энер-
энергий и движения трещин должно осуществиться или соответствую-
соответствующее раскрытие трещины, или достижение максимальным напря-
напряжением у вершины трещины предельного значения.
Таким образом, в одних случаях необходимое и достаточное
условия дают одинаковые результаты, в других — разные, причем
необходимое условие дает меньшее значение критической нагруз-
нагрузки, чем достаточное.
Теперь воспользуемся условием D.6) для определения кри-
критической нагрузки в пространственной осесимметричной задаче.
2Э5
у.
2
k /
\1
ч
мм»
5
1—¦—
0,6
0,2
и 2 л f H С
Рис. 27.2. Критические B и 2)
и докритические C) диаграм-
диаграммы разрушения для плоско-
плоскости с трещиной, в полости
которой действует давление;
1 — энергетический критерий,
2 — бк-модель,.
3. Одноосное (на бесконечности) растяжение пространства,
содержащего дисковидную (плоскую и круглую в плане) трещи-
трещину радиуса I. Тонкая пластическая зона занимает область у = О,
l^r^a (ось у перпендикулярна плоскости-трещины). Переме-
Перемещение vir) точек разреза от нагрузки р при 0 < г < I и —оо + Р
при Кг^а имеет вид [437]
B7.15)
Здесь % = г—, т = —, р = — ,fij = arcsin
о и о,
f \ п°"
= arcsm I/ ^—*-5, F(a, p), i'ta, ^)—эллиптические интегралы
первого и второго рода.
Размер пластической зоны определяется соотношением
m-Vi-Л,2, B7.16)
которое в дальнейшем учитывается в формуле B7.15).
Основное соотношение D.6) приводится к виду
р \ vr dr 4- (ao 4- р) J vr dr = О,
- о I J
или
Соответствующие интегралы
m
236
Плотность работы разрушения до B7.6) будет
ао 1
шли
B7.18)
Здесь при вычислении величины v*, соответствующей предель-
предельному раскрытию трещины, исполь-
использовано условие B7.4), из которого
следует, что
я* e -k_±|—1. B7.19)
Уравнение B7.17) приводится
к виду
ao4(l-v2)aol
1*
Отсюда получаем условие наступ-
наступления критического состояния
1 л_ V 1-х2
I = _J— } B7.20)
которое совпадает с условием
(
/
-
2
(Р
и
Рис. 27.3. Критическая A) и до-
критическме B) диаграммы раз-
рушения при растяжении прост-
ранства с дисковждной трещиной,
й
р у ранства с дисковждной трещиной,
B7.19), следующим из <5н-модели. имеющей тонкую пластическую
Н 273 1
зону.
у д
На рис. 27.3 кривая 1 построена
по формулам B7.20) и B7.19).
4. Пространство содержит дисковидную трещину, в полости
которой действует давление р. Перемещение v(r) от нагрузки р
при 0 ^ г < I и — 0О при l^r^a имеет вид [437]
A + Я)
B7.21)
v(p)-
4(i-v2)o
пЕ
237
Размер пластической зоны определяется соотношением
Основное уравнение D.6) принимает вид
I а л
§) = 0. B7.23)
Плотность работы разрушения равна
в случае предельного раскрытия трещины, т. е. при нагрузке
"" B7.24)
определяемой из условия B7.4).
Выпишем выражения для следующих интегралов:
Следовательно,
^Кк> <27-25>
и основное уравнение B7.23) принимает вид
1 1-R + T/2T 1 + я - я2 - A - я2
Кривая критических нагрузок Я, построенная по этому урав-
уравнению, показана линией 1 на рис. 27.4, а значение Я* по 6к-мо-
дели (формула 27.4) — линией 2,
Итак, в случае действия давления внутри трещины (в ее по-
полости) и в плоской, и в пространственной задаче критические
давления по необходимому и достаточному условиям отличаются
друг от друга. Если же внешняя нагрузка не приложена к по-
поверхности трещины, то критические нагрузки по этим критериям
в рассмотренных примерах совпадают.
238
Взаимное сопоставление значений плотжостн работы разруше-
разрушения 2f в задачах о растяжении тела с трещиной и о давлении
в полости трещины показывает, что в последнем случае значение
2у меньше (при фиксированной длине ?), Поэтому уменьшение
Рис. 27.4. Критические B и 2) в
докритические C) диаграммы
разрушения пространства с дис-
ковидной трещиной, в полости
которой действует давление; 1 —
энергетический критерий, 2—
бк-модель.
2 4 S 8 С
критической нагрузки по энергетическому критерию (но сравне-
сравнению с критерием предельного раскрытия) в задачах о давлении
в далости выглядит естественно.
§ 28. Упругопластическая задача для плоскости
с прямолинейными щелями
Рассмотрим одну упругопластическую задачу [108] (пласти-
(пластическая область представляет собой линию нулевой толщины на
продолжении разреза), в которой можно получить точное анали-
аналитическое решение. Возможность применения такой гипотезы
о форме пластической зоны подтверждается тем, что, как уже
отмечалось (§ 26), для плоско-напряженного состояния пластин
из идеально упругопластического материала характерна тенденция
формирования пластических областей в узкие полосы скольже-
скольжения (физическая реализация в виде плоскости скольжения, на-
направленной под 45° к плоскости пластины). Так, например, даже
при двухосном растяжении пластины из упругопластического
материала с круговым отверстием [301] уже при отклонении на-
напряженного состояния на бесконечности от всестороннего на 0,1
(До/о»0,1) круговая пластическая область превращается в вы-
вытянутую с приблизительным отношением ширины к длине один
к четырем.
Пусть бесконечная тонкая пластина ослаблена периодической
системой разрезов длиной 21, расположенных вдоль действитель-
действительной оси х, с центрами в точках х = ±2nL, где п — целое число
(рис. 28.1). Будем считать материал пластины идеальным упруго-
239
пластическим и удовлетворяющим условию пластичности Тре-
Треска — Сен-Венана. Берега разрезов свободны от нагрузки, а пла-
пластина подвержена на бесконечности действию однородного растя-
растягивающего напряжения а:
ЛГ ¦—¦ ¦ Л /т ¦ ¦- *ч* -~~> I I ?*1 ТЪТТ 7 - V ЛЛ f7 . i* , | jft\
ау = тХ|, = 0 при ^ = 0, |^|<г, B8.1)
ау = ат, тЖу = 0 при I < j х \ < г + в,.
Максимальное касательное напряжение в каждой точке рас-
рассматриваемого упругопластического тела, согласно условию Тре-
Треска — Сен-Венана, не может превышать предела текучести на
сдвиг ттBтт = ат, ат — предел текучести при растяжении).
С помощью преобразования
w^sin^ B8.2)
перейдем от плоскости z на параметрическую плоскость комп-
комплексного переменного w. При этом внешность периодической
У
2L
шш:
-il+d) -I 0
Рис. 28.1. Плоскость с периодической системой разрезов при наличии тон-
тонких пластических зон.
системы разрезов плоскости z переходит на бесконечнолпстную
риманову поверхность с разрезом | — sin ^, sin ^ ] •
Воспользуемся известными соотношениями Н. И. Мусхелиш-
вили [187] и результатами, полученными в работе [3043 для слу-
случая одиночной трещины в неограниченной плоскости. Тогда
с учетом преобразования B8.2) решение нашей задачи можно
записать в следующем виде:
ах + оу = 4 Re ФЫ, ov~ax + 2itxy = о — 4гуФЫ,
[(sin а + .) ( Vl^^~a VT~^ - А + в) J'
l (I + d)
Здесь Л = u?sma, В = sin «i,a =2!» ai ——2Z
1
J
Функция У В — ivz считается положительной на верхнем бере-
/ stZ . nl \
гу разреза I — sm^;, sm^j. Пластическая область представ-
представляет собой отрезок длины d на продолжении каждой трещины.
240
С учетом B8.2) величина d связана с длиной 21 трещины и дей-
действующей нагрузкой о следующим соотношением:
= cos p, p = к—. B».4>
2*т
Можно показать, что главные напряжения, соответствующие
решению B8.3), удовлетворяют условию Треска — Сен-Венана
—о ^ Oi, 2 ^ от, причем знак равенства имеет место лишь при-
у = О, I < х - nL < I + d, -I — d < x — nL < — I,
Вычислим смещение v при # = 0, используя зависимости
B8.3):
пЕ a
X
(t — 1) (sin p Vi — tz cos2 ft + t cos2 ft + l)
(t + 1) (sin p Vi — *2 cos2 p — i cos2 ft + l)
dt
B8.5>
w sin \nxlBL)]
sin a sin a
Интегрируя по частям, получим
.. /~ 7 a\ i ^атг sin a a resin (ca sin a) „
t" (x, t, p) = zb —rr 1 r -. X
v ' 'ri — лЕ a j sm a
I Г(т — 1) (sin ft ^1 — со2 cos2 ft + ю cos8 p + l)"|
[(сй + 1) (sin ft Kl — ша cos2 ft — ш cos2 p + l)J
seep
f arcsm(fSina)
sma
Нетрудно видеть, что последний интеграл B8.6) берется в ко-
конечном виде при a ->¦ 0, что соответствует одиночному раз-
разрезу [304].
Воспользуемся разложением функции arcsinUsina) и преоб-
преобразуем выражение B8.6) к виду
2G J fl
^ Р) = d=-^g-J2" arcsin (оз sin a) X
I ((о— 1) (sin p V I — (o2cos2 ft + tacos2ft + l)
L (m + 1) ( sin ft Vi — «в2 cos2 ft — to cos2 ft + 1) J
— In (со2 — 1) + 2 In (sin p + Vi — <u2cos2p) — 2 In cos P
arccos(xo cos p)
2_sinJ у B/f)?(sinaJfe+1 Г (cos2bg — cos2bft) A
a ^ 22h (Щ* Bk + 1) (cos pJfe J cos g (cos21 + cos2 ft) 5j
B8.7)
16 B. 3. Партон, Е. M. Морозов 241
Решение B8.3) зависит от одного произвольного параметра I.
Поэтому для установления зависимости длины трещины от при-
приложенной нагрузки применим закон сохранения энергии, кото-
который в совокупности с модифицированными физическими пред-
представлениями о работе разрушения Гриффитса — Орована — Ир-
Ирвина может быть приведен к следующему выражению [3041:
*-2* B8-8)
Подставляя B8.7) в B8.8), получаем
2
СС
о sin «у Bfc)!(smaJ*VP)
« ?~ 22ft(fc!JBfe + l)
. sin a
-] cos a
а
V 2»*W)g(exn«)f4№I
4» |Щ] .
ft—l j
Здесь 2f = const — работа разрушения,
Дифференциальное уравнение B8.9) служит для определения
безразмерной длины трещины ? в зависимости от безразмерной
нагрузки Р при монотонном нагружегаш.
242
Ц5
На рис. 28.2 (линии 1) представлено семейство интегральных
кривых уравнения B8.9), полученных на ЭВМ. Интегральные
кривые считались лишь в устойчивой области, так как переход
в неустойчивую область связан с полным разрушением. Как вид-
видно, в рассматриваемой задаче сохраняются качественные особен-
особенности, присущие процессу
роста трещины в упругопла-
стических телах, которые со-
состоят в наличии участка ус-
устойчивого роста трещины.
Однако из-за влияния грани-
границы соответствующие значе-
значения предельных нагрузок
меньше, чем в случае оди-
одиночной трещины.
Таким образом, развитие
трещины в упругопластиче-
ском материале всегда внача- Рис 28 2 д0КриТичес1ше A) и крнтэте-
ле протекает устойчиво и су- ские B, 3) диаграммы разрушения для
ществует граница раздела плоскости с периодической системой
(линия 2) устойчивой области разрезов.
d$/dt,>Q и области неустой-
неустойчивости, в которой dfy/dt, < 0. Легко показать, что в области
неустойчивости все интегральные кривые при больших ?
асимптотически стремятся к кривой Дж. Р. Ирвина (линия 3)
?P2 = a/tga,; B8.10).
которая представляет собой решение соответствующей упругой
задачи для системы периодических
трещин одинаковой длины.
Полученная картина хорошо от-
отвечает известным эксперименталь-
экспериментальным данным по построению диа-
диаграмм разрушения [50, 54], о чем
подробнее будет сказано - ниже.
Основное уравнение B8.9) мо-
может быть использовано также для
решения задачи о развитии рас-
рассматриваемых трещин вплоть до
полного разрушения при любом
пути нагругкения и, в частности,
при циклической нагрузке, если
пренебречь влиянием остаточных
напряжений, как это принималось ранее [123, 2473. Рост
трещины при этом происходит на каждом этапе нагруже-
ния, а при разгрузке длина трещины остается постоянной. На
рис. 28.3 приведены результаты численных расчетов для одного
случая циклического нагружения. Наличие достаточно густой
16* 24а
fi
Рис. 28.3. Циклический рост тре-
трещины.
сетки интегральных кривых уравнения B8.9) позволяет также
непосредственно графически определить число циклов до разру-
разрушения при заданных характеристиках цикла.
Полученные результаты можно рассматривать как первое при-
приближение в задаче о растяжении пластины шириной 2L из
идеального упругопластического материала, имеющей симметрич-
симметричную центральную трещину длины 21.
§ 29. Докрптпчссшш рост трещины
При растяжении плоских образцов с центральной сквозной
трещиной перед наступлением критического состояния равнове-
равновесия (когда трещина начинает быстро лавинообразно распростра-
распространяться при постоянной внешней нагрузке) почти всегда наблю-
наблюдается стадия медленного устойчивого докритического роста тре-
трещины. Это медленное подрастание трещины, хорошо известное
экспериментаторам, приводит к тому, что критическая длина
трещины 1С превышает исходную длину t0 на 30, 50, а то и на
100% в зависимости от свойств материала и длины исходной тре-
трещины. Зависимость напряжения в неослабленном сечении образца
от длины устойчивой трещины принято называть докритпческой
диаграммой разрушения. Стадии медленного роста трещины при-
придается настолько большое значение, что при исследовании меха-
механических свойств материалов предлагается дополнять диаграммы
деформации диаграммами разрушения [50, 109, 110, 140, 205, 315J.
Докритическая диаграмма разрушения представляет собой ха-
характеристику материала данпой толщины, оценивающую способ-
способность материала тормозить трещину. Эта диаграмма отражает
процесс разрушения, в то время как на обычных диаграммах
деформации стадия разрушения отмечается только координатами
концевой точки. Этой информации недостаточно для оценки та-
такой важной стадии процесса сопротивления материала воздей-
воздействию внешней нагрузки, как' стадия разрушения. Вместе с тем
стадия медленного роста трещины не описывается теориями,
рассмотренными ранее (§§ 37 7). Остановимся вкратце на суще-
существующих теориях докритического роста трещины.
1. Первая попытка математического описания докрптпческого
роста трещины была предпринята Дж. Р. Ирвпным [242]. Идея
состояла в том, что с ростом длины трещины меняется также и
сопротивленце этому росту в виде работы разрушения R').
В каждый текущий момент освобождаемая энергия G в устойчи-
устойчивом состоянии равна работе R.
') Работа разрушения R измеряется работой, которую надо затратить
для продвижения трещины на единицу длины в образце данной толщины
t. Полезно заметить, что Л отличается от известной интенсивности работы
разрушения (или вязкости разрушения) 2у = Gc, поскольку последняя оп-
определяется в момент начала быстрого распространения трещины. При этом
справедливо неравенство 0 ^ R < 2у?.
244
Выражение для плотпостп работы разрушения
Здесь показатель степени п < 1 определяется экспериментально,
причем, когда длина трещины достигает значения Г\ R = G[c,
а когда / = /с, то наступает быстрый рост трещины, и R = GC.
Освобождающаяся энергия, например, для растянутой пласти-
пластины с центральной трещиной, по известной «формуле тангенса»
и с учетом пластической поправки по Дж. Р. Ирвину равна
(табл. 15.2, п. 4)
B9.2)
Здесь 10 начальная полудлина трещины, Ъ — ширина образца,
q — искомый множитель, учитывающий медленное докритическое
подрастание трещины.
В критический момент (I — 1С) соблюдается условие
*-?, B9.3)
из которого следует уравнение, позволяющее вычислить длину,
па которую трещпна подрастает:
4()%. B9.4)
Здесь С = 4,7(Р — 0,43)^/6, показатель в формуле B9.1) равен
п —1/2, Р — доля губ среза в части сечения между линиями,
находящимися на расстоянии t n It от края начальной трещины.
Сообразно этому уравнению можно ограничиться только вы-
вычислением сомножителя q, который позволяет при эксперимен-
экспериментальном получении характеристики Ge учитывать (без измере-
измерения) медленное подрастание трещины. Смысл: таких построений
состоит в том, чтобы исключить экспериментальное измерение
критической длины трещины, которое может быть не достаточно
надежным.
Дальнейшее развитие этою метода состоит в предположении
[22, 2421, что Л-кривая есть характеристика материала, причем
вид этой кривой зависит от подрастания трещины (но не от ее
начальной длины). Форма экспериментальной Л-кривой опреде-
определяет характер докритического роста трещины. На рис. 29.1 пока-
показано, как по Л-кривой можно получить докритическую диаграм-
диаграмму разрушения или, наоборот, как по известной пз опыта диа-
диаграмме разрушения получить плотность энергии разрушения
в функции прироста длины трещины.
Каждой точке /?-кривой, в которой G(o, I) — R(l — la), отвеча-
отвечает соответствующая точка (о, Л диаграммы разрушения. В кри-
245
тнческом состоянии условие B9.3) «отрезает» диаграмму разру-
разрушения в точке (ос, 1С). В этом момент G = GCf R — Gc = 2f.
Ф. А. Мак-Клинток [123] на основании введенного им крите-
критерия разрушения (см. § 11) получил интегральное уравнение, чис-
численное решение которого есть докритическая диаграмма разру-
разрушения. В соответствии с этим кри-
критерием механический смысл докри-
тического роста трещины состоит
в следующем. Пусть в точке г = р,
(9 = 0) перед концом трещины удов-
удовлетворяется условие разрушения
A1.2). Тогда трещина продвинется
на малую величину dl. В связи
с этим напряжение в соседней точке,
лежащей на расстоянии р4 от конца
трещины, увеличенной длины I + dl,
повысится, однако, недостаточно для
того, чтобы соблюдался критерий
A1.2). Для выполнения этого крите-
критерия (при котором трещина продол-
продолжает расти) надо повысить нагруз-
нагрузку. А это и приводит к устойчивому
докритическому росту трещины, ха-
характеризуемому докритической диа-
диаграммой разрушения.
Если воспользоваться [302, 3031
локальным энергетическим критери-
критерием разрушения и гипотезой Орова-
на — Ирвина о квазихрупком разру-
разрушении, то можно получить упомя-
упомянутое ранее уравнение B8.8), из ко-
Р 291 Г R " ( ТОРОГО вытекает докритическая диа-
сИдокритичеВскоЬй 'дтагрТммой грамма разрушения ? = рШ. Пример
разрушения (б). такого расчета был приведен в пре-
предыдущем параграфе (аналогичный
вид имеет уравнение в работах [439, 441], которое одновременно
распространяется и на случай вязкоупругих тел).
Следует указать на особенность диаграммы разрушения, рас-
рассчитанной по уравнению B8.8). Она состоит в том, что подра-
подрастание трещины от начальной длины до критической очень ма-
мало. Так, например, при начальной безразмерной длине ^0 = Ю
длина трещины вырастает на 14,5%, при ?0 = 100 — на 0,4%
(здесь %й = 1й/с, с = л?6еЛ8A — vz)a0)h Столь малый прирост тре-
трещины характерен для толстых образцов при незначительной об-
области пластических деформаций у кромки трещины.
2. Докритические диаграммы разрушения можно также вы-
вычислить с помощью энергетического критерия развития треши-
ны D.6). Для этого следует считать, что варьированное состоя-»
246
нне является действительным и представляет собой новое со-
состояние равновесия, в котором величина внешней нагрузки отли-
отличается от таковой в неварьироваеном состоянии. Отсюда имеем,
что вариация в условии D.6) возникает как за счет приращения
длины, так и за счет приращения внешней нагрузки, т. е. для
двумерной задачи оператор
oi dp ^
Здесь бр = (dp/dl)&l, p — параметр внешней нагрузки (например
щ pj
Используя этот оператор, получаем из D.6) обыкновенное
дифференциальное уравнение первого порядка относительно
функции р = рA) при граничном условии I = U при р = 0. В бо-
более общем случае краевые условия можно записать в виде I = 10
прн р = ра, где нагрузка р0, соответствующая началу движения
конца трещины, должна задаваться на основании эксперимен-
экспериментальных данных. Например, уравнение B8.8) в атом случае при-
примет вид
2V - [ж + Ъ1) (J *» «* + J °ov dxj = 0, B9.5)
причем значение 2f определяется соотношением B7.7). Здесь,
в отличие от критерия B8.8), плотность работы разрушения 2f
является переменной величиной, зависящей от длины трещины.
Для dp/dl = O имеем критическое состояние равновесия, а значе-
значение р в этот момент равно критическому ре (т. е. тому значению,
которое получается из D.6) с помощью более простого опера-
оператора 8 = -Qj-Ы).
Запишем соответствующие дифференциальные уравнения для
четырех случаев, рассмотренных в § 27.
1. Растяжение плоскости с трещиной
arccos
- \ -^-Ч^-- In cos4} B9.6)
2. Плоскость с трещиной под действием внутреннего давления
,- -я- А* — -у — -й- А — (l — Я2) In cos
247
где
t л_ лЯ .« . лЯ*
"tg 2A+ >.*)*
3. Растяжение пространства с джсковидной трещиной
— Я2
B9.8)
4. Пространство с дисковидной трещипой, находящейся под
действием внутреннего давления
dk _ 3A + ЩУГ+2Х
г, [21 A + 2Л) уТ+га, _ я - зя2]
X
Я ~ Яа -
i" L B9.9)
Докритпческие диаграммы разрушения, построенные по этим
уравнениям для разных начальных размеров трещин, показаны
на рис. 27.1—27.4.
Отметпм, что при малой пластической зоне (что пмеет место
при р>1 п соответственно X -*¦ 0) уравнение B9.6) можно за-
записать в внде
2 ' ( }
Интеграл этого уравнения с учетом краевого условия
пмеет впд
Л (Г Т \ к — Г2>2 /OQ | \\
* \ъ — Ьо/ ' 4 ° 0# \i-y.ii/
Полученпое выражение описывает докритическую диаграмму
разрушения. Если считать, что пластическая зона мала для всей
области длин трещины и соответственно 2f = const всюду, то
приходим к обобщенному критерию Гриффитса (см. примечание
на стр. 254). В критическом состоянии dk/d^ — O, откуда крити-
критическая нагрузка
==iry т
и критическая длина трещины
B9.13)
Отсюда видно, что увеличение нагрузки инициирования X,, при-
приводит к уменьшению докрптического подрастания длины
трещины.
248
Наконец, можно остановиться на физическом смысле размера
с, который принят в качестве масштабной единицы для полу-
получения безразмерной длины трещины ?. При ? > 1 из B7.2) (в ко-
которой cos (лХ/2) заменен на два первых члена соответствующего
ряда) следует
2}2
С учетом зависимости ?„(?) в критическом состоянии получаем
1)] «с. B9.15)
Следовательно, размер с есть длина пластической зоны в слу-
случае очень длинных трещин, когда критическое состояние насту-
наступает прп напряжении, малом сравнительно с пределом текучести.
Выразим исходное уравнение D.6) через коэффициент интен-
интенсивности напряжений. С этой целью учтем известные соотноше-
пня C.7) и D.11). Положим также (§ 18)
^l B9.16)
Тогда из уравнения D.6) получаем:
для критической диаграммы разрушения
a2 ml /r2
Г a ml /r
27 U--^1 -^ = 0, B9.17)
для докритическон диаграммы разрушения
П2 /П 1 v%
dp
Если известно выражение для коэффициента интенсивности на-
напряжений К, то соотношения B9.17), B9.18) позволяют по-
построить соответствующие диаграммы разрушения.
Приведем эти уравнения к безразмерному виду (здесь
Су(ог) = р = const)
1 _ Я,2 — #; =-0, B9.19)
Здесь введены обозначения
249
Интегро-дифференциальное уравнение B9.20) можно свести
к системе двух дифференциальных уравнений введением новой
функции 1@ = ] %g (Q dZ,, ъ которой g(?)=.F2(?), а безразмер-
безразмерный коэффициент интенсивности напряжений Kt — XFiQ. Полу-
Получаем [262, 2631
йХ
» 2
1 1-//-W0
B9.21)
Укажем еще на одну возможность аналитического решения
уравнения B9.5). Принимая во внимание оценку
I а
J оу (х) v (х, l)dx*> ) {(Уу (х) — aQ) v (х, I) dx
о i
а также формулы B9.16), A7.7) и C.7), и переходя к безраз-
безразмерным величинам, можно записать
dX 1 - Х\ it)
2Х J Ф (t) dt
B9.22)
где введены обозначения Oy(l)/Gs = ^f(V, ф(?) /? ?
Решение уравнения в полных дифференциалах B9.22) полу-
получим в виде
B9.23)
Здесь безразмерные нагрузка и длина трещины Я,о и ^0 связаны
начальным условием. Это условие по аналогии с уравнением кри-
критической диаграммы разрушения B9.19) можно записать в виде
1
к
Khc
B9.24)
Линия па плоскости о — /, определяемая этим уравнением,
отделяет область неподвижных трещин от медленно растущих.
Рассмотрим далее, в качестве примера, цилиндрическую тон-
тонкостенную трубку, нагруженную внутренним давлением. В одном
случае будем считать, что трубка содержит сквозную трещину
вдоль образующей, в другом — не сквозную, а поверхностную,
в виде полуэллипса (тоже вдоль образующей). Выпишем коэф-
коэффициенты интенсивности напряжений.
Для сквозной трещипы длины 21 [214]
250
где р — внутреннее давление, R, h — радиус и толщина трубки,
¦а — параметр трубки с трещиной,
а = I (Rh)-1/Z ^12A — v») @ < а < 8),
, A + 0,2454а2 @<а<1)
(а) ~" 10,6907 + 0,4762а A<а<8).
Множитель У(а) учитывает отличие трубки от растянутой пла-
пластинки (для которой Ко = jtA,V?/8). Поэтому, по аналогии, коэф-
коэффициент интенсивности напряжений для короткой цилиндриче-
цилиндрической трубки длиной 2L можно получить, умножив на Y(a) ко-
коэффициент К растянутой полосы шириной 2L с центральной тре-
трещиной (см. табл. 15.2, п. 4).
Для несквозной трещины глубиной I и длиной 2с на внешней
поверхности вдоль образующей (//с^1) коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений (см. табл. 15.2, п. 10) равен
A- = oVVrnZ^[sm2e + -^-cos2e) . B9.26)
Здесь 0 — угол, определяющий положение точки на контуре тре-
трещины (далее полагаем 6 = л/2, что соответствует точке на кон-
конце малой полуоси трещины, т. е. наибольшей глубине I), ct —
поправочный коэффициент на толщину, сс — поправочный коэф-
коэффициент на кривизну трубки:
+ 1.
=(но,шA4))('-(!)Г.
= @,481а + 0,386 ехр (— 1,25а) — 0,386)
292
На рис. 29.2 показаны критические диаграммы разрушения,
построенные по уравнению B9.19) для растянутой плоскости,
полосы конечной ширины, длинной и короткой цилиндрических
трубок. Для всех этих случаев были использованы соответствую-
соответствующие выражения для коэффициентов интенсивности напряжений.
Влияние кривизны трубки на критическое напряжение мож-
можно видеть из рис. 29.3, на котором приведены критические ди-
диаграммы разрушения для плоскости и длинной цилиндрической
трубки при разных параметрах цилиндрической оболочки с тре-
трещиной Ь = У Rh/c. С увеличением Ъ (например, с увеличением ра-
радиуса R при постоянной толщине) окружное критическое напря-
напряжение о0с для трубки стремится к критическому напряжению для
плоскостн.
Докритические диаграммы разрушения для сквозной трещины
в длинной трубке, рассчитанные по уравнениям B9.21), показа-
показаны на рис. 29.4. Система уравнений B9.21) решалась при на-
начальных условиях
251
Критические диаграммы разрушения, следующие из докритд-
ческих при dl/dt, — 0, совпадают с приведенными на рис. 29.3.
На рис. 29.4 пунктиром показана только одна из них — при Ъ = б.
Для несквозной поверхностной трещины докритические диаг-
диаграммы разрушения, построенные по уравнениям B9,21), приводе-
N
N
1
1 ,'
i
- :
s
,7,
Рис. 29,2. Критические диаграммы разрушения для растянутой плоскости
B), полосы B — ^ = 7; 3 — р = 5), длинной цилиндрической оболочки D-—
Ъ = 1) и короткой цилиндрической оболочки F = 1; 5— ^ = 7; 6— р = 5).
0,6
0,4
/ft,
/и
¦~^-—,
N
———.
¦—¦—
—————
Рис. 29.3. Критические диаграммы разрушения для растянутой плоскости
A) и длинной цилиндрической оболочки при разных параметрах оболочки
B — 6 = 8; 5— &=6;4 — Ь = 4;5— b = 2; 6 — b = I; 7 — Ь = 0,5). Здесь
EJ/B)
ны на рис. 29.5. Эти диаграммы построены для некоторых зна-
значений начальной глубины трещины т]о и начальной длины ?0
на поверхности (при 6 = 1, v = 0,3 и Ус = 0,4). Из полученных
диаграмм следует, что в случае трещин малой начальной глуби-
глубины (т]0 = 0,05 и 0,1) возможно наступление критического состоя-
252
пня до прорастания трещнны через стенку трубки. В остальных
случаях трещина растет устойчиво, вплоть до ее превращения
в сквозную (с потерей герметизации трубки). Критические диаг-
диаграммы разрушения для этих же случаев даны на рис. 29.6 в
координатах Яс — ?<,. Здесь же приведена критическая диаграмма
А
Рис. 29.4. Докритические диаграммы разрушения для длинной цилиндриче-
цилиндрической оболочки A — b = i;2— Ь = 2; 3 — Ъ = 4; 4—6 = 6).
для сквозных трещин, которая оказывается границей двух об-
областей: ниже штриховой линии — область несквозных критиче-
критических трещип, выше — сквозных. Область несквозных критических
А-
0,8
0,8
0,1
\ _
\
А.
\
—-
¦—i
-—
—-—
— /
— 2
i
0,1 o.j л о ОЛ $
Рис. 29.5. Докритический рост полу-
эллиптической трещины поперек
стенки в цилиндрической оболочке
давления {1 — U = 0,5; 2 — Со = 2;
t
Рис 29.6. Критические диаграммы
разрушения для цилиндрической
оболочки с поверхностной полуэл-
лпптической трещиной A — t]Q =
= 0,05; 2 — Т]о = 0,1; 3 — щ = 0,2;
4 —1}0 = 0,3) и для оболочки со
сквозной трещиной (штрихпунктир).
трещин является опасной, так как перед наступлением критиче-
критического состояния (перед полным разрушением) нет утечки внут-
внутреннего заполнителя трубки. Выше штриховой лпнип — область,
в которой поверхностные трещины в процессе докритического
роста пересекают стенку трубки и перед наступлением полного
253.
8
/I
разрушения дают о себе знать посредством течи трубки. Такие
состояния являются предпочтительными с точки зрения безопас-
безопасной эксплуатации.
3. Существует возможность описания докритического роста
трещины посредством обобщения известной б„ модели [154].
Согласно бк-модели с ростом нагрузки исходная трещина
(у = 0, \х\ <10) раскрывается при неизменной длине до тех пор,
пока разрыв упругих смещений 2v(l0) — б у основания пласти-
пластической зоны (при х — /о) не достигнет
предельной величины б = бс, что озна-
означает достижение предельного (крити-
(критического) состояния. Только после это-
этого возможно распространение трещины.
Принимается, что одной из характери-
характеристик материала служит кривая, изобра-
изображенная на рис. 29.7, а. Таким обра-
образом, критический рост трещины в эту
схему не заложен.
Предположим теперь, что раскрытие
° h lc l трещины происходит одновременно с
V ростом трещины, т. е. характеристикой
Рис. 29.7. Зависимость рас- материала будет кривая, изображенная
на рис. 29.7, б. Вид зависимости б =
= 6@ при условиях 6@ =0, 6AС) = бс,
О ^ б < бс, вообще говоря, должен быть
определен экспериментально. При от-
отсутствии экспериментальных данных эту зависимость можно под-
подходящим образом аппроксимировать на основе некоторых общих
соображений и косвенных экспериментальных результатов.
Для иллюстрации предлагаемого метода примем, что 6A)
представляет собой отрезок параболы
,. \ 9. 1
B9.27)
Это условие удовлетворяет требованию дб/dt, = 0 при ? = ?с, что
вытекает из физического смысла задачи. Величину ?с, входящую
в B9.27), можно найти исходя из следующих соображений. Из-
Известно [124], что с увеличением U величина подрастания тре-
трещины h — h увеличивается до L-h = h при очень больших
V). Поэтому в условии B9.27) можно считать
B9.28)
крытия в вершине трещи-
трещины от ее длины; а) бк мо-
модель, б) ее обобщение.
1) Как известно, в пределе при la-*-со из бк-модели следует теория
Гриффитса с постоянной плотностью работы разрушения (эффективной).
В этом сжучае h — h = h. Действительно, рассматривая докритическое сос-
состояние, в котором каждому значению р — рA) соответствует устойчивое сое-
254
Уравнение диаграммы разрушения получаем из условия
6. B9.29)
Остановимся на частных случаях.
а) Неограниченная плоскость с одиночной прямолинейной
трещиной подвержена действию напряжения р перпендикулярно
линии трещины.
Воспользуемся известным выражением v(l) из G.8). Тогда
условие B9.29) может быть записано в виде
Здесь
X = — arccos е~Л.
B9.30)
Диаграммы разрушения, построенные для разных значений
показаны на рис. 29.8 липиями 1. Мак-
Максимумы этих диаграмм ложатся на ли-
нию предельных напряжений 2. ^д
б) Неограниченная плоскость с пря- '
молинейной трещиной, в полости кото-
которой действует внутреннее давление р.
Перемещение vil) определяется изве- 0,6
стными методами. При этом из уравне-
уравнения B9.29) получаем
B9.31) о,2
о
Диаграммы разрушения для этого
случая приведепы на рис. 29.8 ли-
линиями 3. Предельные нагрузки — ли-
линией 4.
в) Неограниченное пространство с
дисковидной (круглой в плане) трещи-
трещиной, находящейся в поле растягиваю-
растягивающих напряжений р, перпендикулярных
плоскости трещины. На основании равенств
с учетом G.8) найдем
у
s
Ч
\
\
f 0
if
. /
ft
—ц-
8
Рис. 29.8. Диаграмма раз-
разрушения по обобщенной
бк-модели; 1 и 2 — растя-
растяжение плоскости с трещи-
вой, 3 и 4 — давление в по-
полости трещины.
B9.27), B9.29),
B9.32)
тоянпе равновесия, можем записать (несколько обобщая идею Гриффитса)
81
д dp
dp dl
Отсюда при условии, что р = 0 при I = lz, получаем аналитическое выра-
выражение для диаграммы разрушения р = 4aoic(l — k)l(nl). Видно, что при
любой начальной длине 10 подрастание трещины до конечной длины 1С сос-
составляет 100%.
255
На рис. 29.9 линиями 1 изображены диаграммы разрушения,
а кривой 2 — предельные папряжеиия.
г) Пространство с дисковидной трещиной, в полости которой
действует внутреннее давление р [378J. Уравнение диаграмм раз-
разрушения B9.29) дает
А Л- \ Tfi 4-9) — Л (OQ Q41
I i Л — I1T <?Л — L\. \6dO.OQ}
Диаграммы разрушения показаны на рис. 29.9 линиями 3,
предельпое давление — линией 4. Отметим, что полученные ди-
диаграммы для случаев 1 и 3 достаточно
хорошо совпадают (в выбранном мас-
масштабе) с диаграммами, следующими
из вариационного принципа (рис. 27.1,
27.3).
4. Остановимся, наконец, на воз-
возможности расчета Л-кривой по диаг-
диаграмме разрушение р = рA), получаемой
аналитически из интегрального вариа-
вариационного принципа D.6) [173, 175, 1761.
Диаграммы разрушения для растя-
растяжения плоскости с трещиной представ-
4 6 <? ?" ляют собой интегральные кривые X =
Рис. 29.9. Диаграмма раз- =Я,(?^ Уравнения B9.6) при условии
рушения по обобщенной m?oJ =0.
Из вариационного принципа D.7)
следует, что для рассматриваемой за-
задачи о растяжении плоскости с трещи-
трещиной энергия, выделяемая упругим
телом при продвижении трещины на
равна
\
1
к
•л
/ПК г>^ л
jf
\
L
to
г r
¦ff.2
О
руения по обобщенной
бк-модели; 1 и 2 — растя-
растяжение пространства с дис-
дисковидной трещиной, 3 и 4—
давление в полости тре-
трещины.
единицу площади,
G
-^- J pv dx + J (or0 + p) и dx ,
или, после преобразований,
B9.34)
При X = const величина G прямо пропорциональна безразмер-
безразмерной длине трещины ?. Для построения /?-кривой используем ус-
условие G = R, причем в этом случае входящие в B9.34) значения
X и ? следует брать из диаграммы разрушения, определяемой
уравнением B9.6). Графики функций G и R приведены для раз-
различных начальных длин трещин на рис. 29.10. Линии G пред-
представляют собой однопараметрическое семейство кривых с пара-
параметром р. Напомним, что критическое значение R = Gc опреде-
определяется из условия dG/dl = dR/dl.
256
Геометрическое место точек касания линий G с линиями R
(на основании указанного выше условия нестабильности) опре-
определяет зависимость вязкости разрушения Ge от длины трещины
(рис. 29.10), которая записывается также в виде
а
Л. = ± f
ffo6c 6C J
dl
dx
arccos e
-*: __ 1. B9.35)
При вычислении интеграла в B9.35) перемещение v*{x) вы-
выбиралось удовлетворяющим условию G.1). При уменьшении дли-
длины трещины Gc неограниченно воз-
возрастает, а при больших длинах тре-
трещин Gc = cfo6c = const.
Л-кривая может служить меха-
механической характеристикой материа-
материала, оценивающей его способность к
докритическому росту трещины. Чем
более полога линия Л-кривой, тем
„ „Л <Л т> л Рис. 29.11. Раскрытие в вер-
Рпс. 29.10. Выделяемая G и по- шпне трещиныР при мон?_
глощаемая R энергпи при рас- тонном росте нагрузки,
тяжении плоскости с одиноч- ^ rj
ной трещиной. Линия Gc со-
соединяет точки касания линий
G и Я (& = G/(ac6e), i? =
= Д/(оебс)).
выше эта способность (т. е. тем больше подрастание трещины
1 — 10). Однако эта характеристика зависит не только от свойств
материала, но и от геометрии образца, характера приложения
нагрузки и длины трещины.
Полученное выражение для Л-кривой можно использовать для
вычисления раскрытия трещины б = 2v{l) при ее медленном
17 В. 3. Партой, Е М. Морозов 257
росте. Действительно
R я 2 lo*-wdx " 2ж
и соответственно
JL
B9.36)
После некоторых преобразований это соотношение может быть
приведено к виду
^l } <29-37>
Зависимость B9.37) для различных начальных длин трещин при-
ведепа на рис. 29.11.
§ 30. Долговечность по числу циклов
при малоцикловой усталости
Известный интерес представляет оценка долговечности по чис-
числу циклов переменного нагружения на стадии роста трещины
(т. е. определение числа циклов при увеличении длины трещины от
начального значения 1й до критического h). С теоретической точки
зрения изучение параметров, ответственных за процесс роста
трещины и входящих в расчетные уравнения, позволяет глубже
вникнуть в механическую природу процессов, происходящих в
окрестности растущей трещины. С практической точки зрения
оценка долговечности важна для приложений, например, при рас-
расчете ресурса изделий.
Для оценки скорости роста усталостных трещин использова-
использовались эмпирические формулы, в которые не входили параметры
мехапики разрушения. Однако только введение в число пара-
параметров (влияющих на распространение трещины) коэффициента
интенсивности напряжений позволило судить об общих законо-
закономерностях роста трещины при повторном (циклическом) нагру-
жении. И это естественно, так как рост трещины усталости
происходит на фоне упругих деформаций, когда справедливы
критерии линейной механики разрушения.
С учетом этого было получено довольно много различных за-
зависимостей для скорости роста трещин [45, 198, 247]. Все эти
зависимости практически следуют из формулы П. Париса, ко-
которая основана на том, что все явления в кончике трещины,
а также и скорость dll dN ее распространения зависят от коэф-
коэффициента интенсивности напряжений. Эта формула записывается
258
в следующем виде:
C0.1)
Здесь А и п — эмпирические коэффициенты, АК = Кт&к — Кт1л —
перепад (размах) коэффициента интенсивности напряжений за
один цикл пагружения, N — число циклов. Многочисленные экс-
экспериментальные исследования хорошо подтверждают эту фор-
формулу, причем показатель степени п для разных материалов рас-
располагается в интервале от 2 до 7 (чаще всего п = 4). Чем боль-
больше показатель степени п, тем более хрупкое состояние материала
наблюдается при испытании.
Более удобной следует считать модификацию записи формулы
Париса в следующем виде [146, 3211:
dN
мм
цикл*
C0.2)
Удобство состоит в более ясной размерности эмпирических коэф-
коэффициентов. Формула Париса описывает средний (линейный) уча-
участок полной диаграммы усталост-
усталостного разрушения, которая в боль-
большинстве случаев имеет S-образ-
ный вид (рис. 30.1). Наблюдаю-
Наблюдающиеся отклонения диаграммы от
этой формы обычно связаны с не-
непростыми условиями нагружения
(активные среды). Для описания
полной диаграммы усталостного
разрушения можно предложить
зависимость [321]
dl
_*-,\?
. C0.3)
Здесь Со, q — эмпирические вели-
величины, Kth — пороговый коэффи-
коэффициент интенсивности напряже-
напряжений '), К{с — вязкость разрушения
при доломе (полном разрушении).
Предполагается, что если
Ктвх ^ K,h то трещина не растет.
Поскольку в процессе циклического нагружения возможно изме-
изменение механических свойств материала (даже вдалеке от вер-
вершины трещины), то вообще Ktc<KIC (пли Кс). Однако в связи
с усложнением методов экспериментального определения этих
Рпс. 30.1. Диаграмма усталостно-
усталостного разрушения в логарифмиче-
логарифмических координатах (схема); 1
3 — области низких и высоких
скоростей роста трещины, 2 — об-
область справедливости формулы
Париса.
]) Обозначение Km связано с английским словом threshold (порог),
а К]с — со словом fatique (усталость).
17* 259
характеристик допустимо считать, что Kfe = Kjc (или Кс для дан-
данной толщины).
Формула C0.3) записана для пульсирующего цикла, при ко-
коэффициенте асимметрии цикла R —KmiJKm&yi = 0.
Заметим, что в формуле C0.2) С « ^KihKfc.
Из многих механических факторов, влияющих на скорость
роста усталостных трещин, наибольшая роль принадлежит ко-
коэффициенту асимметрии цикла. Известно, что при постоянном
АК величина dl/dN растет с ростом R, причем тем в большей
степени, чем в более хрупком состоянии находится материал
(и чем меньше АК).
Для учета эффектов, связанных с коэффициентом асимметрии
цикла, возможно следующее обобщение формулы Париса:
C0.4)
т
(С, т — эмпирические величины). При f(R) = l — R выражение
C0.4) переходит в исходную
формулу C0.1).
На рис. 30.2 показаны
некоторые варианты коррек-
корректирующих функций /(Л).
Наилучшее приближение к
результатам эксперимента па
изгиб алюминиевого сплава
дает выражение [261J
f(R) = 1-0,5 R -0,5 RK
Кроме того получила еще
распространение зависимость
[1981
ц
1,0
0,5
0,1
(Р)
L
i
•
N
Ч
•0А 0 0,4 0,8 R
Рис. 30.2. Варианты корректирующих
функций f(R): l — j{R) =У1-Д; 2 —
f(R) ^ 1 — 0,2 Л —0,8 Л2; 3 — f(R) =
= 1-0,5й-0,5 Л2; 4 — f(R) = i-R.
Точки — данные эксперимента.
dl__r
(l~R)Kfc — АК
C0.5)
Заметим, что при R ^ 0 кинетика распространения трещины
слабо зависит от R, что дало повод игнорировать полуцикл
сжатия и принимать в расчетах АК = Ктах-
Анализ медленного докритического роста трещины позволил
установить следующую зависимость [306]:
ii- В
dN ~ — р
Lc Лтах
C0.6)
где коэффициент ^ определяется эмпирически. В случае, когда
Ятт<0, в выражении C0.6) принимается КШп = 0.
260
Формулы C0.1)—C0.6) применяются как для малоцикловой
усталости, так и для обычной (многоцикловой) усталости. Разу-
Разумеется, это удобно, но в то же время необходимо проявлять осто-
осторожность при обращении с эмпирическими коэффициентами. Де-
Дело в том, что закономерности механизма усталостного явления
различны при малоцикловой и многоцикловой усталости. Эти раз-
различия могут даже привести к разрыву кривой Веллера (зависи-
(зависимость Omar цикла от N) в области ограниченной выносливости.
При этом в одном случае трещина идет по телу зерна, в дру-
другом — по его границе. Отсюда также видно, что характеристики
усталостной прочности должны зависеть от структуры материала..
Поэтому надо учитывать возможную зависимость эмпирических
коэффициентов от уровня максимальных напряжений цикла.
Из уравнений, описывающих докритические диаграммы раз-
разрушения, также можно получить характеристики долговечности
при повторной статической нагрузке, или, согласно современной
терминологии, при малоцикловой усталости. Для этого на первом
цикле диаграмма разрушения строится до нагрузки, отвечающей»
максимальному напряжению цикла ow- При этом длина трещи-
трещины увеличивается, и эту новую длину следует считать начальной*
при расчете докритической диаграммы на следующем цикле.
Следовательно, краевое условие для расчета интегральной кривой
дифференциального уравнения докритической диаграммы разру-
разрушения на г-м цикле будет o = amin при 1 = U-^
Семейство докритических диаграмм разрушения в области из-
изменения напряжений цикла от amin до отах позволяет рассчитать
длину трещины в функции числа циклов.
Учитывая идеализированиость рассматриваемой модели и по-
появление остаточных сжимающих напряжений при разгрузке, сле-
следует считать, что при снятии нагрузки (и уменьшении расстоя-
расстояния между поверхностями трещины) приращение трещины так-
также уменьшается. Таким образом, если приращение длины тре-
трещины на г-м цикле по докритической диаграмме разрушения
составит величину Д^, то длина трещины на U+D-м цикле
будет li+t = U + ahh (рис. 30.3). Коэффициент снижения прира-
приращения длины а < 1 определяется эмпирически по эксперимен-
экспериментальным кривым I — N для данпого материала данной толщины.
Не исключено, что этот коэффициент меняется с длиной трещи-
трещины, т. е. с ростом числа циклов и коэффициента асимметрии цик-
цикла (в следующем параграфе, на основании экспериментов, будет
показано, что это действительно так).
За каждый цикл получаем определенное приращение длины
трещины, и в конце концов на каком-то номере цикла диаграмма,
разрушения достигнет кривой критических нагрузок, в резуль-
результате чего произойдет быстрое лавинообразное разрушение при
соответствующем постоянном напряжении.
В виде примера на рис. 30.4 показапы (по результатам чис-
численного решения уравнения B9.6)) докритические диаграммы
разрушения при повторном статическом нагружении пласти-
пластины с трещиной. Пластина растягивалась сначала с большим мак-
максимальным напряжением цикла, а затем режим нагружения был
изменен и максимальное напряжение цикла стало меньше, од-
однако коэффициент асимметрии цикла был сохранен прежним.
О
Рпс. 30.3. Схематическое изображение подрастания трещины при цикли-
циклическом нагружении от начальной длины /0 до критической /с; 1 — докритпче-
ские диаграммы разрушения, 2 — критическая диаграмма разрушения.
На первом режиме пластина работала три цикла, остальные че-
четырнадцать циклов до разрушения пластина простояла на вто-
втором режиме, перейдя в критическое состояние на пятнадцатом
цикле. Эти кривые могут быть перестроены в координатах I — N,
0,5
О
Рис. 30.4. Рост трещины в пластинке при циклическом растяжении с коэф-
коэффициентом асимметрии цикла .R=A,minAmax = 0,7. На первом режиме на-
нагружения Хшах = 0,7; на втором — 0,45, Пунктиром показано состояние пло-
плоскости с трещиной на одном первом режиме нагружения.
поскольку именно в этих координатах обычно получают экспери-
экспериментальные кривые при испытании образцов с трещинами на
малоцикловую усталость.
Воспользуемся уравнением докритического роста B9.22) для
расчета диаграммы усталостного разрушения. Интеграл этого
262
"ft*
тлл
уравнения B9.23) перепишем в виде [161]
k = 1{-х + plax JФ (/) dl - An j Ф (I) dl, C0.7)
где обозначено
Пусть параметр нагрузки меняется в пределах рты < р
и длина трещины на ?-м цикле подрастает на величину
= aU< — li-i). Заметим, что приращение длины трещины за один-
цикл и есть скорость роста трещины dl/dN.
Эмпирический коэффициент а можно определить двояким об-
образом. В одном случае — из условия совпадения значений скоро-
скорости роста трещины (при некоторых I или АК) из эксперимента.
и из уравнения C0.7)
ЫШЮаксп = аМи C0.8)
В другом — из условия совпадения числа циклов в проводимом
эксперименте и из расчета, связаппого с достижением трещины
некоторой, наперед заданной, величины lo^l^lc:
C0.9)
Расчетное число циклов, за которое трещина выросла от
до I, находим из формулы
^=Hf [М = Ш Co.io>
'о
Если длина трещины вырастет до критического значения I —
= 1С, определяемого из уравнения B9.17), то из C0.10) опреде-
определяется долговечность по числу циклов.
§ 31. Результаты экспериментов при однократном
и циклическом нагруженнях
Сравним теоретические данные (§§ 27—30) решения задачи
о растяжении плоскости с трещиной при однократном нагруже-
пии с результатами соответствующих экспериментов [3151.
Исследовалось поведение трещин в листовых образцах из алю-
алюминиевых сплавов Д16-Т1, АК4-1, САП, В-95, ВАД-23 и титано-
титанового сплава ВТ-14. Механические свойства при статическом рас-
растяжении гладких образцов приведены в таблице 31.1.
Исходная трещина получалась следующим образом: в центре
плоского образца сверлилось отверстие диаметром 2 мм и рас-
распиливалось в обе стороны до получения надреза определенной
длины. Затем образец подвергался циклическому нагружению с
26а
Таблица 31.1
Материал
Д16Т-1
АК4-1
В-95
САП
ВАД-23
16ОЭС, 12 ч
200°С, 10 ч
ВТ-14
я
- S
370
364
480
292
500
440
1190
Механические
446
399
547
325
555
497
1300
в, %
7
5,7
7
5,7
7,6
6,25
2
; свойства материалов
я
«Рй
8
¦3,6
—
0,9
2,12
11
Е, Н/мм*
7-Ю4
7-Ю4
7-104
7-Ю4
7,3-104
7,3-10*
11,5.10*
|
2520
2950
2010
2450
1020
1250
2000
s
. о
906
1240
578
855
1424
214
—
о
я
"о
о
20,3
31,1
10,55
26,3
2,57
4,3
с, см
1,25
2,15
0,53
2,22
0,132
0,248
0,093
Сплав Д16Т-1 в состоянии закалки и искусственного старения в течение
12ч прп температуре 190°С.
В-95 и САП — в состоянии поставки.
АК4-1 в состоянии закалки и искусственного старения 12 ч при 190эС.
частотой 200 цикл/мин (па пульсаторе ГРМ-1) до получения:
на концах надреза усталостных трещин длиной до 2 мм с каж-
каждой стороны. Разная длина исходных трещин в образцах по-
получалась за счет разной длины исходного пропила. Максималь-
Максимальное напряжение цикла прп выращивании усталостных трещин
достигало 150 Н/мм2.
Длина образца из сплавов Д16Т-1, АК4-1, В-95 составляла
500 мм, ширина 200 мм. Толщина всех образцов из указанных
сплавов, за исключением образцов из сплавов В-95, была 1,4 мм,
образцы из сплава В-95 имели толщину 1,8 мм. Ширина образ-
образцов из сплавов ВАД-23 (состаренного при двух режимах) со-
составляла 100 мм при толщине образцов 1,8 мм.
Для экспериментального исследования процесса устойчивого
распространения трещины был применен метод автоматической
записи длины трещины с использованием вихревых токов и раз-
разности электропотенциалов [14, 130], а образцы, содержащие тре-
трещины различной исходной длины, растягивались па 50-тонной
гидравлической машине. При испытаниях регистрировались одно-
одновременно нагрузка и приращение длины трещины (в одну сто-
сторону от оси образца) вплоть до достижения трещиной критиче-
критической длины. Под критической длиной в экспериментах понима-
понимается такая длина трещины, по достижении которой дальнейшее
разрушение образца происходит только за счет накопленной в
образце (ив системе нагружопия) упругой энергии.
Результаты экспериментов использовались также для опреде-
определения характеристик разрушения Кс, Gc, 6C и с, которые также
приведены в таблице 31.1. Параметр с = пЕЬс/(.8оо) с помощью
.формулы A7.7) может быть записан так: с = nKi/(Sol) Крити-
Критический коэффициент интенсивности напряжений Ко определялся
.264
по результатам испытания (методом последовательных прибли-
приближений) по известной формуле Дж. Р. Ирвина (см. табл. 15.2,.
п. 4)
Г Г / fc-2 \ 1
C1.1)
где ос — критическое напряжение в неослабленном сечении об-
образца. Второе слагаемое под знаком тангенса представляет собой
пластическую поправку Ир-
Ирвина A2.1) (см. также § 17).
400
100 V
400
200
•
10
?,ММ
Рис, 31.1. Критические диаграм-
диаграммы разрушения сплава Д16Т-1:
1 — для растянутой полосы, ji =
= 16 по уравнению B9.17); 2 —
для плоскости по уравнению
B7.3).
Рис. 3L2. Критические диаграм-
диаграммы разрушения сплава АК4-1:
1— для растянутой полосы, $ = 16;
по уравнению B9Л7); 2— для пло-
плоскости по уравнению B7.3).
Во всех расчетных формулах в качестве напряжения оо при-
принимался предел прочности Ов на основании известного положе-
положения о том, что напряжение на ~~_
границе пластической зоны перед
концом трещины выше предела
текучести при одноосном растя-
растяжении, особенно при наличии ^
поперечного стеснения деформа-
деформации и деформационного упроч-
упрочнения.
На рис. 31.1—31.5 показаны zoo
критические диаграммы разруше-
разрушения, построенные по формуле
B9.17) для материалов, указан-
указанных па рисунках. Каждая точка 0 20
на рисунке - это эксперпмен- Рис. 31.3. Критическая диаграмма
тальныи результат, полученный разрушения сплава В-93.
на одном образце.
На рис. 31.6—31.9 показаны докритические диаграммы раз-
разрушения, построенные по уравнению B9.18) для материалов,
265=
/CjH/mm2 i
К
Ч
•
• •
0-95'.В)
i
•
•
указанных на рисунках. Каждый образец представлен одной ди-
диаграммой разрушения. Штрих-пунктиром показаны критические
диаграммы в соответствии с рис. 31.1—31.5.
Сопоставляя расчет с экспериментом, можно заметить, что
для критических диаграмм разрушения имеется достаточно хоро-
хорошее соответствие между расчетом и опытом, несмотря на доволь-
яо условную форму пластической зоны перед концом трещины,
400
400
100
/,мм
'Рис. 31.4. Критическая диаграмма
разрушения сплава ВАД-23 (ста-
(старение 160°, 12 ч).
р,Н/мм
6АЛ-23
0 10 20 *,мм
Рис. 31.5. Критическая диаграмма
разрушения сплава ВАД-23 (ста-
(старение 200°, 10 ч).
300
$>ис. 31.6. Докритические диаграммы разрушения сплава Д16Т-1. Здесь и на
рис. 31.7—31.9 сплошные линии — эксперимент, пунктир — расчет.
принятую в расчете. В действительности задача о пластическом
течении перед кромкой трещины в условиях плоского напряжен-
напряженного состояния по существу является трехмерной, поскольку пло-
плоскости действия максимальных касательных напряжений состав-
составляют угол 45° с направлением растяжения и лицевой поверх-
поверхностью пластины. В условиях плоской деформации возникающее
266
гидростатическое напряжение приводит к увеличению напряже-
напряжения на границе пластической и упругой областей по сравнению
с пределом текучести при одноосном напряженном состоянии-
Форма пластической зоны отличается от узкой полосы, и пла-
пластическое деформирование распространяется в стороны (вверх.
и вниз) от направления (горизонтального) трещины (см. § 25).
J
300-
200-
100-
0 4 8 12 J. мм
Рис. 31.7. Докритпческпе диаграммы разрушения сплава АК4-1.
|/7,Н/г
ММ
zoo
zoo
100V
u 4 8 12 ^,mm
Phc. 31-8. Докритические диаграммы
разрушения силава В-95.
ВАД-Zt
12 г, мм
Рис. 31.9. Докритические диаграммы
разрушения сплава ВАД-23 (старе-
(старение 200°, 10 ч).
Среди докритических диаграмм разрушения наблюдается мень-
меньшее соответствие между расчетом и экспериментом. Возможной"
причиной этого может быть большая чувствительность процесса
медленного роста трещины к свойствам материала и особенно-
особенностям его строения [53, 54].
26?
Приведем результаты расчета и эксперимента па трубах с
несквозными поверхностными трещинами (рис. 31.10). Расчет
проведен по уравнениям B9.19) п B9.21) с учетом B9.26), а экс-
эксперимент — на стальных трубах радиуса R = 380 мм и толщи-
яой стенки h = 9,5 мм. Механические свойства стали, из которой
400
200
О
>
• -4
л>~5
•
"
"а "—
__ 1 _.
2
^
L ' *J
•
50
100
150
Рис. 31.10. Расчетные и экспериментальные критические (разрушающие)
напряжения для цилиндрических трубок с поверхностными трещинами (ли-
(линии и точки 1, 4 — lQ — 3,8 мм; k/h = 0,4; 2, 5— lQ = 5,7; lQ/h = 0,6; 5, 6 —
Iq = 7,6 мм, lofh = 0,8). Область ниже штрихпунктирной линии — течь че-
через трещину перед разрушением.
изготовлена труба, марки API5L Х-52, даны в табл. 31.2 (сталь
легирована ниобием и ванадием для повышения прочности и
сопротивления развитию трещин). Черные точки на рис. 31.10
соответствуют полному разрушению трубы, светлые — появлению
Таблица 31.2
Механические свойства материалов
Матери ал
Х-52
Х-60
А106В
2014-Т6
20°С
—196°С
Н/мм8
560
590
518
570
750
ст0,2'
Н/ммг
427
478
300
505
650
Н/ммЗ/2
8 750
10150
5 920
1 560
1750
0О,2
1,31
1,23
1,73
1,13
1,15
к1с
1,3
1,6
—,
—
с, мм
94,2
116,2
51,3
2,94
2,14
течи. Расчетная критическая диаграмма разрушения трубы со
сквозной трещиной (по уравнению B9.19) с учетом B9.25)) дана
штриховой линией- Видно, что течь соответствует точкам, лежа-
лежащим ниже этой штриховой линии [262, 263].
268
Для труб со сквозной продольной трещиной сопоставление
расчетов (по уравнениям B9.19) и B9.21) с учетом B9.25)) дано
на рис. 31.11 и 31.12. На рис. 31.11 представлены эксперименталь-
экспериментальные результаты, полученные на трубах из стали API5L Х-60 ра-
радиуса R = 380 мм и толщиной стенки h — 8,3 мм, а также из
.2
/ММ'
Ш
100
100
о
N
'ММ , ;
1
\ i
V :
X
\j
Г"
"*¦"¦—.
L
k—
1
40
120
200
10,1е
400
wo
zoo
100
0
\ о
\ О
Д о
\\о
\\
\
\
2 ^—
10
20
Рис. 31.11. Критические диаграммы разру-
шения цилиндрической трубки давлегшя
со сквозной трещиной: 1 — сталь Х00 в ко-
ординатах вес, ?с, 2 — сталь А106В в коор-
динатах аес, На-
НаРис. 31.12. Критические диа-
граммы для трубы со сквозной
трещиной A — при 20 °С; 2 —
при —196 °С).
стали ASTMA106B при Я =162 мм, Д = 17,8 мм (эта сталь
обычно используется для труб в первичных охлаждающих кон-
контурах атомных электростан-
электростанций). На рис. 31.12 приведе-
приведены такие же эксперимен-
тальные результаты для труб
из алюминиевого сплава
2014-Т6 при R = 760 мм, h =
= 1,5 мм. Механические
свойства этих материалов
сведены в табл. 31.2.
Приведем теперь резуль-
результаты расчета и эксперимен-
эксперимента, полученных по цикличе-
циклическому нагружению пластин
с центральной трещиной из
сплава А. В табл. 31.3 и 31.4
Рис. 31.13. Зависимость коэффициента
а. от длины трещины. Сплошная ли-
линия — формула C0.8), штриховая —
формула C0.9); 1 — R = 0,06; 2 — Я —
= 0,12; S — R = 0,2.
приведены механические
свойства этого сплава и эм-
эмпирические постоянные фор-
формул C0.1) и C0.3). Эти формулы достаточно точно описывают
экспериментальные данные. Поэтому сопоставление результатов
расчета по формулам C0.7) произведем с диаграммами устало-
усталостного разрушения, построенными по формулам C0.1) и C0.3),
269
а диаграмму I — N получим интегрируя выражение C0.3). Сна-
Сначала, однако, покажем как коэффициент а зависит от той длины
трещины, при которой он определяется согласно C0.8) и C0.9).
На рис. 31.13 представлена зависимость а от длины трещпны.
Коэффициент а был найден по формулам C0.8) и C0.9), в кото-
которые подставлялись экспериментальные значения скорости dl/dN
Таблица 31.3 Для тРех разных коэффици-
%ж . ентов асимметрии цикла R.
Механические свойства сплава A Q практическо^ точки зре_
ния удобнее определять эм-
эмпирический коэффициент а
по скорости роста трещины,
принимая его постоянным
для данного R [161]. Вычис-
Вычисление а из условия C0.8)
при AK=l/KihAKfc и из ус-
условия C0.9) дает практически одинаковую величину а
(отмеченную крестиком на рис. 31.13). Оценка разброса
скоростей и долговечностей, если выбирать а (при дан-
данном R) наименьшим и наибольшим (из тех, которым соответ-
соответствует сплошная линия на рис. 31.13), дает разброс скоростей
Таблица 31.4
Эмпирические коэффициенты для сплава А, оценивающие его сопротивления
усталостному росту трещины
Состояние
материала
Состояние 1
Состояние 2
«Б.
Н/мм2
600
410
а0,2*
Н/мм*
440
280
6, %
12
35
Состояние
материала
Состояние 1
Состояние 2
МКМ
ЦИКЛ
4,95-
4,75-
А,
/М3/2\п
\МН )
10
10-4
п
2,4
ЗД
МН/м3/2
3,1"
4,75
Ж/о
МН/м»/*
124
93
„ МКМ
цикл
16,8
11,35
1
1
я
,75
,7
и долговечностей, вполне укладывающийся в обычную полосу
разброса экспериментальных данных. Итоги расчета (при а =
= const) представлены на рис. 31.14 и 31.15.
Сопоставим далее' с экспериментом теоретические зависимо-
зависимости, полученные в §§29, 30 и относящиеся к расчету длины
трещины с ростом числа циклов. Для эксперимента использова-
использовались такие же образцы, что и для статического нагружения
(табл. 31.1). В процессе испытаний записывалась длина трещи-
трещины в зависимости от числа циклов. Соответствующие экспери-
экспериментальные кривые показаны на рис. 31.16 сплошной линией
(материал образцов указан на рисунке). Теоретические кривые,
построенные по уравнению B9.20) для соответствующего мате-
материала, показаны штрих-пунктирной линией на том же рисунке.
При построении теоретических кривых принимался во внимание
270
s
Лш.
5
о
с.
10°
5
2
0
5
dl мкм
еМГцичл
1-2
¦ - 3
i
.?
т_
I
7
¦
it
15 ZQ 45 GO BO
//2
• 3 J
Рис. 31.14. Диаграмма усталостного
разрушения сплава А в состоянии 1
{см. табл. 31.3 и 31.4). Сплошная ли-
линия—формула Яремы C0.3), штри-
штриховая— формула Париса C0.1); 1 —
а =* 0,868- Ю-3, R = 0,2; 2 — а =
= 1,11 • 10, R = 0,12; 3 - а =
= 1,28-Ю-3, R = 0,06.
2
5
2
10°
5
2
to-4
5
dl
dN
мкм
цикл
¦ -3
/}
/
/'
/
7
/1
t
i
!
i
304560 3Q
1/z
Рис. 31.15. Диаграмма усталостного
разрушения сплава А в состоянии 2
(см. табл. 31.3 и 31.4). Сплошная ли-
линия—формула Яремы C0.3), штри-
штриховая— формула Париса C0.1); 2 —
0488.10-3, R = 0,12; 3 — а =
= 0,522-Ю-3, Д = 0,06.
1-10
N, цикл
Рис. 31.16. Рост трещины при повторно-статическом нагружении. Сплошные
линии — эксперимент, штрих-пунктир — расчет.
271
коэффициент уменьшения приращения длины трещины а. Под-
Подбором установлено, что этот коэффициент зависит от числа цик-
циклов (или, что тоже, от длины трещины) в основном на заключи-
заключительной стадии роста трещины (рис. 31.17).
w
10
о
7LWT-1
вт-ш
/
САП
I
Рис. 31.17. Коэффициент умень-
уменьшения подрастания длины тре-
трещины в функции числа циклов.
• лп 3
1-10° 2-10° 3-ГО6 N,\imn
В заключение отметим, что расчет скорости трещины при
циклическом нагруженни по уравнениям докритического роста
трещины приводит к тому, что используется только один эм-
эмпирический коэффициент, а не два, как в формулах C0.1)
и C0.3).
§ 32. Расчет элементов конструкций на долговечность
по числу циклов
Рассмотрим условия, определяющие долговечность элемента
конструкции на стадии развития трещины. Как указывалось,
число циклов, соответствующее росту трещины от начальной дли-
длины U до критической 1С, определяет долговечность данного эле-
элемента конструкции по числу циклов. Чтобы обеспечить прочность
конструкции, "долговечность должна быть больше числа перемен
заданной нагрузки. Таким образом, наряду с оценкой материала
по классической кривой Велера, существенную информацию о
поведении элемента конструкции с трещиной в условиях устало-
усталости должна дать механика разрушения. Следовательно, в данном
случае, как обычно, надо исходить из того, что начальный тре-
щиноподобпый дефект существует в конструкции с момента ее
изготовления (несмотря на дефектоскопический контроль, ко-
который, как известно, имеет определенный допуск на размер не-
обпаруживаемых дефектов). К сварным конструкциям это отно-
относится в большей мере, и в этом случае желательно иметь кри-
критические значения коэффициентов интенсивности напряжений
{Кс или К1с) для основного материала, материала шва и мате-
материала переходной, термически поврежденной, зоны. Кроме этого*
для сварных конструкций желательно в области сварного шва
знать величину и распределение остаточных напряжений. Все
это вместе взятое способствует уточнению расчетов.
Число циклов, за которые появляется трещина, достаточно не-
неопределенно, что схематично показано на рис. 32.1 (область /).
272
Эти начальные дефекты могут быть дислокациями, микротрещи-
микротрещинами, порами и прочими дефектами структуры, определение ко-
которых затруднено. Область // соответствует дефектам, которые
могут быть обнаружены инженерными методами (конкретная ве-
величина обнаруживаемого дефекта зависит от разрешающей спо-
способности аппаратуры). В этой области расположена граница, от-
отделяющая зону начальных ^
трещин от распространи- „ п
ттгг ттг \ Зарождение , Рапппаатранение
ющихся. Для области /// |-— •--*+- -
рост трещины наблюдает- !
ся визуально,
Рекомепдуется придер-
придерживаться следующего по-
порядка расчета на долго- Л „
врчногтт, по 4vwnv ititkttor Рис- 321- Схематическое изображение об-
вечность по числу циклов ластей зарождения и распространения тре-
в связи с ростом трещи- шины
ны[261]:
1. Выявить на основе количественной оценки возможностей
дефектоскопического контроля максимальную длину (глубину)
начальной трещины, существующей в элементе конструкции,
и подобрать наиболее подходящее выражение (формулу) для ко-
коэффициента интенсивности напряжений К.
2. По вязкости разрушения Кс или К1С (в зависимости от
предполагаемой степени стеснения деформации вдоль фронта тре-
трещины) и номинального эксплуатационного (расчетного) напряже-
напряжения атах в сечении трещины, найти (по критерию Ирвина C.9))
критическую длину трещины 1С.
3. Рассчитать параметры цикла АК = Кт&х — Ктп, R =
= Кт1п/Ктйх по известным напряжениям цикла от9Х и отт-
4. Экспериментально получить соотношение для циклической
скорости роста трещины dl/dN в функции параметров задачи,
которую затем можно представить одной из зависимостей
C0.1) —C0.7):
А
C2.1)
Вид функции /(ДА*, С, т) п значения постоянных материала С,
т определяются при лабораторных испытаниях на усталость с
регистрацией кривых роста трещины I — N в образцах, для ко-
которых известно решение для коэффициента интенсивности на-
напряжений:
( Z, 6, г), C2.2)-
где АР — размах нагрузки. Схема, иллюстрирующая получение
эмпирической зависимости C2.1) по результатам эксперимента,
приведена на рис. 32.2.
5. В соответствии с требованиями, предъявляемыми к данпому
элементу конструкции, решить одну из следующих задач прог-
прогнозирования роста усталостной трещины:
18 В. 3 Партон, Е. М. Морозов 273-
а) определить кривую роста трещины I — N в элементе кон-
конструкции, нагружаемом циклически изменяющимися силами ДР.
Для этого аналитическое выражение коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений, выбранное для данного элемента конструкции
= F2(AP, J, Ъ, t), C2.3)
ужно подставить в найденное эмпирическое соотношение C2.1).
Тогда
I, Ь, t), С, т]. C2.4)
Интегрируя это уравнение, получим кривую I — N роста уста-
усталостной трещины;
О
Рис. 32.2. Схематическое изображение последовательности получения скоро-
скорости dlfdN по результатам эксперимента.
б) найти (см. C0.10)) число циклов (циклическую долговеч-
долговечность), за которое известная исходная трещина или дефект /0
в элементе конструкции достигнет критической (заданной) ве-
величины 1С- Для этого выражение для АК C2.3) нужно подста-
подставить в формулу C2.1) и полученное соотношение проинтегриро-
проинтегрировать по длине трещины:
'с
dl
N
~) f
В частности, если скорость роста усталостной трещины опреде-
определяется формулой Париса C0.1) и коэффициентом интенсивности
напряжений в виде обобщенного соотношения ПК = AoVMl, лег-
легко получить следующее выражение для циклической долговеч-
долговечности:
274
^ ~~ ^iH J
для
для иг = 2
Здесь М — параметр, характеризующий геометрию элемента кон-
конструкции и форму трещины; До — размах приложенного напря-
напряжения за один цикл нагружения.
Рассмотрим теперь некоторые примеры расчета на долговеч-
долговечность по числу циклов.
Пример 1. Полоса с одной краевой трещиной подвергнута
циклическому растяжению. В этом случае размах коэффициента
интенсивности напряжений (см. табл. 15.2, п. 2) равен АК =
= 1,12 ДоУзх^ или, в обобщенном виде, ДХ = ДоУ.Ш (Af =
= 1,122 п = 3,94). Материал полосы — мартенситностареющая
сталь А514 (от = 700 Н/мм2, К1С = 5300 Н/мм3/?). Начальная дли-
длина трещины 10 = 7,6 мм; параметры цикла нагружения ow =
= 320 Н/мм2, Omin = 175 Н/мм2, До = ow ~ Отт = 145 Н/мм2.
Обработка результатов усталостных испытаний образцов из
данной стали в соответствии с формулой Париса C0.1) дает сле-
следующие значения постоянных С и п = т:
С = 1,0039 • Ю-11 мм • цикл • (Н/мм)-3", т = 2,95.
Критическую длину трещины определяем в соответствии с
критерием Ирвина (К1Т:,Х— К1с):
Используя формулу C2.6), получаем, что па распространение
трещины от U = 7,6 мм до 1е = 70 мм нужно 82 000 циклов.
Если требуется, чтобы конструкция выдержала, например,
100 000 циклов, то в распоряжении конструктора есть следующие
пути обеспечений данной долговечности.
1. Увеличить критическую длину трещины 1е, применив ма-
материал с более высоким значением К1с или снизив расчетное на~
пряжение ашах.
2. Уменьшить размах напряжений До для уменьшения ДЯ"
и, следовательно, для уменьшения скорости роста трещины. Это
вызывает соответствующее увеличение числа циклов при подра-
подрастании трещины от 16 до 1С. Скорость dl/dN связана с Да не-
нелинейно, и пебольшое изменение До вызывает достаточно большое
изменение dl/dN.
3. Изменить технологию и контроль конструкции с тем, чтобы
уменьшить начальную длину трещины 1й. Из рис. 32.1 видно,
что больший вклад в долговечность дает область малых длин
18* 275
трещин. Поэтому небольшое уменьшение начальной длины тре-
трещины должно дать значительный прирост долговечности.
В рассматриваемом примере уменьшение начальной длины
трещины до 10 — 4,7 мм приводит к увеличению долговечности на
20 700 циклов, в течение которых трещина растет от 4,7 до
7,6 мм. Суммарная долговечность при этом оказывается равной
102 700 циклов.
Прпмер 2. Рассмотрим толстостенный цилиндр давления,
работающий при комнатной температуре и отсутствии агрессив-
агрессивного воздействия среды. Предположим, что материал содержит
дефекты только одного вида, а именно полуэллиптические по-
поверхностные трещины, ориентированные так, что плоскость тре-
трещины перпендикулярна окружным напряжениям. Определим
циклическую долговечность данного элемента конструкции при
различных значениях исходной глубины трещины /0, считая, что
эта глубина не должна превышать заданной 1С = 20 мм.
Материал цилиндра — литая сталь Ст20 (о02 = 297 Н/мм2;
<7В = 498 Н/мм2; 6 = 23,8%). Обработка результатов усталостных
испытаний образцов из данной стали в соответствии с формулой
Париса C0.1) приводит к следующим значениям постоянных
С и п = т:
С = С, = 4,95 -Ю-36; m = ml = ii при
= 750 Н/мм*";
С = С2 = 7,912-10-15; т = mt = 3,6 при
= 750 Н/мм32.
Для полуэллиптической трещины (см. табл. 15.2, пп. 2, 10)
- Лет у ^Р, C2.7)
где Q — параметр формы трещины, зависящий от отпошения глу-
глубины трещины I к ее длине вдоль образующей цилиндра 1с
и отношения Да/а02. Принимая, например, //Bс) = 0,25 и
ДоУа0,а = 0Д из рис. 15.13 находим Q = 1,4. Преобразуя формулу
C2.7) к обобщенному виду &К = Aali'Ml, получаем М =
= 1,21 л/Q = 2,7.
Использование соотношения C2.5) позволяет записать:
dl
1
? C2 (Да
После интегрирования
2
Здесь 1% определяется из уравнения Ао у Ml* — Д/?* и в
соответствии с выбранными исходными данными равна 6,4 мм.
Зависимость долговечности N от глубины исходной трещины
U, построенная в соответствии с формулой C2.8), приведена на
рис. 32.3.
Пример 3. Требуется установить периодичность дефекто-
дефектоскопического контроля плоской растягиваемой детали» имеющей
форму широкой полосы с центрально
расположенной трещиной. Материал
детали — сталь А588 (от = 350 Н/мм2,
Gb = 490 Н/мм2), толщина детали * =
= 38 мм. Вязкость разрушения прини-
принимаем равной Ке = 6400 Н/мм3/2 (при
заданЕой толщине), вязкость разруше-
разрушения при плоской деформации К1с —
= 3900 Н/мм3/2. Пусть нагрузка цикли-
циклически изменяется с периодом, равным
одному часу. Максимальное напряже-
напряжение цикла примем равным omax=
= 0,8от = 280 Н/мм2, коэффициент асим-
асимметрии цикла R = 0.
Для ориентировочной оценки дли-
длины начальной трещины можно считать,
что если наличие трещины контроли-
контролируется при изготовлении детали, то
2k — 3 мм; если во время эксплуата-
эксплуатации неразрушающими методами, то
21и = 8 мм; если во время эксплуата-
эксплуатации визуально, то 2U=i2 мм. При-
Примем, что наличие трещин контроли-
контролируется визуально и, следовательно, 21й = 12 мм на поверхности
детали.
Определим критические размеры трещины для двух вариан-
вариантов: сквозной трещины длиной 21 и поверхностной трещины полу-
полуэллиптической в плане Bс — длина на поверхности полосы, I —
глубина).
В первом случае К = оУл/, и, соответственно, критическая
полудлина трещины, определенная из условия КШ№ = КС, будет
N
Ч
.7
4-
т
\
\
\
¦him
ч
ч
s
N
\
10
10
10
О U 8 12. /,7,мм
Рис. 32.3. Зависимость дол-
долговечности от глубины ис-
исходной трещины в цилин-
цилиндрическом сосуде при дей-
действии внутреннего давле-
давления.
'max
= 166 ММ.
C2.9)
Во втором случае К = oinl М^Мг, где Мг и М2 — поправочные
множители для учета свободной лицевой поверхности, толщины
полосы и формы трещины (рис. 32.4). Заметим, что вдоль фронта
полуэллиптической трещины значение К меняется и достигает
максимума в наиболее глубокой точке трещины при 1/Bс) <
277
< 0,375. При I/Bс) > 0,375 значение К оказывается максималь-
максимальным в точках трещины у свободной лицевой поверхности.
Используя формулу для К, находим
v \2
7 _ *
1>с — ——
C2.10)
Зададимся отношением глубины трещины к ее длине на по-
поверхности //Bс) = 0,33. Отношение глубины трещины к толщине
полосы lit определим, приняв 2с = 210 = 12 мм. В этом случае
5Л = 0,11, и тогда из рис. 32.4 следует, что Л/4 = 0,75, Л/2 = 1,0,
а критическая глубина трещины, определенная по формуле
1,0
N
Ч
%
l/t-0,9
«
'"¦¦¦¦¦
0,6
О 0,1 O,Z 0,3 l/(lo) 0 0.1 0,Ъ 1/Bс)
Рис, 32.4. Поправочные коэффициенты М\ и Mi для полуэллвптической по-
поверхностной трещины.
C2.10), равна 294 мм. Использование соотношения C2.7) при
Ш2с) = 0,33, а/о0J = 0,8 и определяемом из рис. 15.13 значении
B=1,7 дает ?с=234 мм. Эта глубина значительно превышает
толщину, и, следовательно, поверхностная полу эллиптическая
трещина прорастает па всю толщину еще в докритическом со-
состоянии и критической будет сквозная трещина, рассмотренная
в первом варианте.
Таблица 32.1
Результаты испытания детали на долговечность
г, мм
6
12
24
48
Л/, мм
6
12
24
N, 10*
цикл
0,96
0,68
0,48
Время,
сут
400
283
200
1, мм
96
166
А1, мм
48
70
-
N, 10*
цикл
0,34
0,19
2,65-10*
Время,
сут
142
81
1106
Определим число циклов и время, необходимые для подраста-
подрастания сквозной трещины от начального размера до критического,
интегрируя полученпую из эксперимента зависимость для ско-
скорости распространения трещины:
i| = 2,06.10-13(A?K, ДЯ ==Ятах = о-та1/д/. C2.11)
Результаты приведены в табл. 32.1, откуда следует, что дол-
долговечность рассматриваемой детали составляет 1106 суток (при
длительности одного цикла нагружения равной одному часу)
278
и что трещина удваивает свою длину (по отношению к началь-
начальной) за время, равное примерно одной трети долговечности. По-
Поэтому имеет смыел назначить шестикратный запас по долговеч-
долговечности для осмотра конструкции ы проводить дефектоскопический
контроль два раза в год A106 : 6 = 184 суток).
§ 33. Предел трещиностойкости
Все изложенное ранее приводит к необходимости создания
инженерных методов расчета на хрупкую прочность элементов
конструкций, содержащих трещины. Расчет на прочность по ста-
стадии хрупкого разрушения, дополняющий обычный расчет на
прочность, признан способствовать мерам по защите конструк-
конструкций от преждевременного хрупкого разрушения и устанавливать
допуск на безопасные размеры начальных трещин.
В связи с этим необходимо разработать метод расчета, осно-
основанный на таком критерии наступления состояния предельного
равновесия, который сочетал бы относительную простоту кри-
критерия предельного коэффициента интенсивности C.9) с пригод-
пригодностью критерия о предельном раскрытии G.1) к малым длинам
трещины (в пределе к нулевым). Таким условиям будет удов-
удовлетворять критерий, основанный на приближенном учете пласти-
пластического раскрытия в вершине трещины (§§ 4, 18, 27). Обсудим
эту возможность [157, 163].
Уравнение вида A8.1) позволяет определять критическую на-
нагрузку для всего диапазона изменения длины трещины. В пре-
предельных случаях результаты, полученные для критической на-
нагрузки, совпадают с таковыми, полученными по обоим указанным
критериям разрушения, а именно, при неограниченном увели-
увеличении длины трещины результаты, получаемые по всем трем
критериям, одинаковы. С уменьшением длины трещины крите-
критерий C.9) исключается, а два других при 1 = 0 дают совпадающий
результат iac = aB)- Поэтому предлагаемый критерий разрушения,
представленный пока уравнением вида A8.1), следует рассмат-
рассматривать как удачную возможность объединения достоинств двух
известных критериев, с исключением их недостатков. В то же
время в пределе (/ ^- 0, /-*-«>) рассматриваемый критерий пере-
переходит в известные.
Придадим уравнению A8.1) (или D.9)) более универсальную
форму. Для этого выразим слагаемые уравнения A8.Г через
коэффициенты интенсивности. Умножив левую часть уравнения
A8.1) на J?/(l — v2) и воспользовавшись соотношениями C.6),
C.8), C.9), получим
i
ди-
1 К*{11A)?}. C3.1)
Здесь были использованы результаты § 4 и принято, что пла-
279
стическое смещение в вершине трещины пропорционально на-
напряжению (в сплошном теле па месте конца трещины) рA),
отрывающему берега трещины друг от друга.
Если в области будущей трещины напряженное состояние в
сплошном теле однородное (или близкое к нему), то рA) = ах
(например, в образце с трещиной при испытании на растяжение).
Наибольшее главное напряжение Oi па месте предполагаемой
вершины трещины выбрано ташке и потому, что нарушение
хрупкой прочности в опасной точке обычно связывают с первой
теорией прочности. Извлекая корень из обоих частей равенства
C3.1) и учитывая соотношения C.6), D.11), получаем
К = 1С. C3.2)
Здесь /с — механическая характеристика, называемая пределом
трещиностойкости [157, 163, 164].
Из приведенных рассуждений следует, что предел трещино-
трещиностойкости можно выразить аналитически через а4, ов и Кс в виде
L = KjT^ToJaI)\ C3.3)
Однако эта функциональная зависимость может получить иное
выражение, если воспользоваться результатами соответствующих
экспериментов. Выполнение равенства C3.2) означает наступле-
наступление критического состояния, следовательно, напряжение а4 в фор-
формуле C3.3) становится разрушающим.
Если воспользоваться поправкой Ирвина, то коэффициент ин-
интенсивности напряжений для растянутой плоскости будет запи-
записан в виде
В предельном состоянии К = Кс, о — ос, и, следовательно,
f \ ДОD /
где радиус гу представлен через предел прочности вместо преде-
предела текучести. Возводя обе части равенства в квадрат и замечая,
что осУя/ есть /с (так как это формула для К, содержащая ре-
реальное разрушающее напряжение стс), приходим к выражению
C3.3) [283.
Запишем выражение C3.3) в более общем виде:
Ic = Kc1i -(eMq- C3.4)
Эту формулу можно получить из соотношения A8.0, положив
в нем смещение в вершине трещины равным aoq~l. Тогда урав-
уравнение D8.1) перепишется в виде
280
или, учитывая, что 2уЕ = Кс, а = КЦЕа% (это следует из ус-
условия а = с в при I = 0),
^q-K^Q. C3.5)
Механический смысл понятия предела трещиностойкости мож-
можно еще пояснить следующим образом. Пусть имеется критическая
диаграмма р — /, отвечающая случаю отсутствия пластических
деформаций у вершины трещины (т. е. концепция коэффициента
интенсивности справедлива). Однако эта диаграмма является тео-
теоретической и не совпадает с реальной рс — I из-за развития пла-
пластической зоны у вершины трещины, причем всегда р>рс при
данной длине /, так как в силу пластической¦релаксации напря-
напряжений несущая способность образца падает (сравнительно со
случаем идеальной упругости, когда такого падения напряжения
нет). Тогда можно записать, что
рс = Ф^, ф ^ 1, C3.6)
и сомножитель ф есть функция длины трещины. Поскольку дли-
длина трещины однозначно связана с разрушающим параметром
нагрузки р, для удобства расчетов сомножитель ф можно пред-
представить в виде функции р или рс- В области длин трещин, при
которых концепция интенсивности напряжений справедлива, име-
имеем ф = 1, и разрушающие параметры нагрузки, рассчитанные из
условия Ирвина, совпадают с экспериментом.
В области длин трещин, при которых концепция коэффициен-
коэффициента интенсивности несправедлива, имеем ф < 1. Тогда, учитывая,
что К = poVnlY(l/b) и при разрушении К = Кс для данного об-
образца, перепишем формулу C3.6) в виде
Кс
Рс = ф 7=
У /
л/ Y
Здесь а — номинальное напряжение в брутто-сечении при еди-
единичном значении параметра нагрузки р\ YWb) — функция фор-
формы и размеров.
Если теперь это равенство переписать в виде
то его можно трактовать следующим образом. Слева стоит фор-
формула коэффициента интенсивности напряжений, в которую при
дайной длине подставлен реальный разрушающий параметр на-
нагрузки, хотя концепция коэффициента интенсивности не соблю-
соблюдается. Справа — предельное значение коэффициента интенсив-
интенсивности напряжений, зависящее от длины трещины. Следователь-
Следовательно, искомую величину уКс (которая обозначена 1С) можно опре-
делить экспериментально, через обычный коэффициент интенсив-
адсти напряжений, куда подставлены реальные разрушающие
1агрузки. Тогда расчет этих нагрузок может быть выполпен с
счетом условия, что коэффициент интенсивности напряжений
{ля заданной длины трещины не превышает предела трещино-
трещиностойкости, т. е. из условия C3.2). Отсюда можно вычислить ре-
шьный разрушающий параметр нагрузки (входящий в известную
формулу для К) по экспериментально найденному пределу тре-
циностойкости /с. Можно также считать что h представляет со-
юй зависимость Кс от безразмерного разрушающего параметра
^грузки рс/ро (р0 — разрушающее значение параметра нагрузка
/ 0)
Приведенные рассуждения показывают, что по существу пре-
{ел трещиностойкости определяется критической диаграммой раз-
)ушения рс—1с. Поэтому расчет по уравнению C3.2) можно за-
денить условием [137]
рАП. C3.7)
)днако зависимость параметров нагрузок от длины трещины ана-
штически обычно выражается через коэффициент интенсивности
гапряжений, в связи с чем удобнее использовать формулу C3.2).
§ 34, Метод расчета на прочность
по пределу трещиностойкости
Для расчета по стадии разрушения, как было показано, надо>
шать коэффициент интенсивности напряжений и его предельную
{вличину, характерную для данного материала и условий нагруже-
шя. Поскольку коэффициент интенсивности может изменяться
<ак за счет нагрузки, так и за счет длины трещины, то в даль-
шйшем потребуется ввести коэффициенты запаса, отличающие-
отличающиеся два возможных случая. В частпости, обычный коэффици-
'нт запаса по пределу прочности п = (b/ai входит в аналитиче-
кое выражение коэффициента интенсивности К. Это означает,,
[то коэффициент К вычислен для эксплуатационного уровня иа-
тряжений а,, возникающих от заданных нагрузок. Иными сло-
слоями, при расчете на прочность вводят нагрузки, полученные из
предварительно проведенного обычного расчета, т. е. в п ра.з
меньше тех, которые для опасной точки детали удовлетворяют
(авенству 04 = ств. Следовательно, коэффициент интенсивности за-
шсит от коэффициента запаса по пределу прочности: К — К(п).
)днако поскольку при наличии трещины следует установить до-
[ускаемую и предельную длину трещины, то предельную в?ли-
!ину коэффициента интенсивности при данном уровне напря-
напряжений (предел трещиностойкости) также следует уменьшить в
[екоторое число раз.
82
На стадии разрушения при наличии макроскопической трещи-
трещины расчетное уравнение на прочность принимает вид [162]
C4.1)
В правую часть этого уравнения входит коэффициент запаса
по пределу трещиностойкости. При т = 1 длина трещины, вхо-
входящая в выражение К, будет критической при рабочем уровне
напряжений. Увеличение коэффициента т приводит к уменьше-
уменьшению длины трещины. Каждому т > 1 отвечает определенная дли-
длина трещины, меньшая критической (при Oi = const). При неко-
некотором значении т > 1 полученную длину трещины можно счи-
считать допустимой.
Величипа коэффициента запаса п устанавливается расчетом
и практикой эксплуатации. При этом коэффициент т (устанавли-
(устанавливающий допустимую длину трещины) еще нуждается в обоснова-
обосновании. После расчета допустимой длины трещины U с помощью
критической диаграммы разрушения можно установить коэффи-
коэффициент запаса по критическому напряжению п„ = ac/Oi (при I —
= /0). Поскольку обычно п0 < п7 то, устанавливая нижний предел
п0, можно установить и коэффициент т, а тем самым и /0.
Запас по пределу трещиностойкости — это число, показываю-
показывающее, во сколько раз надо увеличить коэффициент интенсивности
напряжений за счет увеличения длины трещины при неизменных
нагрузках п запасе прочности, чтобы он (коэффициент интенсив-
интенсивности) достиг предельной величины (для данного запаса проч-
прочности). ;
Достоинство расчетного уравнения C4.1) состоит в том, что
при отсутствии трещины это уравнение переходит в обычное
условие прочности. Действительно, пусть / ->- 0, тогда К ->¦ 0, и из
уравнений C4.1) и C3.3) имеем а = ав. Это условие совпадает
с классической первой теорией прочности, описывающей момент
наступления хрупкого разрушения. Для предотвращения этого
момента в обычном расчете допускают максимальное напряже-
напряжение, равное ajn. Поскольку это допускаемое напряжение вве-
введено в коэффициент интенсивности и предел трещиностойкости,
то получаем синтез условий прочности по первой теории и при
паличии трещины.
Для расчета на статическую прочность при паличии трещины
в условиях однократного нагружения след, .т:
1) Провести обычный поверочный расчет на статическую проч-
прочность по первой теории прочности с установлением коэффициента
запаса и положения опасной точки.
2) Вычислить коэффициент интенсивности напряжений для
трещины, введенной в опасной точке. -Трещина мыслится выхо-
выходящей из опасной точки по любому направлению, из которых
желательно выбрать то, которое представляется наиболее веро-
вероятным. После вычисления коэффициента интенсивности из вво-
283
денных направлений распространения трещины выбирается одно,
соответствующее его наибольшему значению. Коэффициент ин-
интенсивности должен быть аналитически или графически пред-
представлен в виде функции длины трещины.
3) Определить механическую характеристику — предел тре-
щиностойкости (§ 17). При экспериментальном определении пре-
предела трещиностойкости форму и размеры образца желательно
согласовать с конструкцией рассчитываемой детали.
4) Рассчитать критическую длину (глубину) трещины из
уравнения C4.1) при т—1 и при расчетной нагрузке, т. е. с
учетом известного коэффициента запаса п.
5) Установить коэффициент запаса т > 1 из дополнительных
соображений.
6) Определить допускаемую длину трещины по уравпеншо
C4.1) при выбранном т.
7) Найти коэффициент запаса по критическому напряжению*
п0 = ос/а,. из уравнения C4.1), заменив в нем п на щ (при т = 1
и допускаемой длине трещины).
В расчет детали вводится напряжение, действующее перпен-
перпендикулярно плоскости трещины. Остальные компоненты напря-
напряженного состояния пе принимаются во внимание.
С помощью предела трещпностойкости можно оценить мате-
материал по его способности тормозить трещину и можно рассчиты-
рассчитывать детали с трещинами на прочность, независимо от вида
возможного разрушения (вязкое или хрупкое). Здесь, однако,
следует повторить уже известное соображение, что для оценки
материалов и проведения расчетов предел трещипостойкостп следу-
следует определять па образцах, наиболее приближающихся по своим
основным параметрам к рассчитываемой детали. Такими пара-
параметрами, прежде всего, являются размеры и форма пластической
зоны у вершины трещины, но поскольку практически это не под-
подлежит контролю, то приходится говорить о равенстве толщин
и о схожести напряженных состояний в расчетных сечениях.
Если характер протекания пластической деформации в нетто-
сечении образца и детали одинаков, то можно предположить, что-
в этом случае разрушение происходит при одинаковых формальпо
вычисленных коэффициентах пнтенсивностей, т. е. при соблюде-
соблюдении условия C3.2). В этом случае коэффициент К может быть
вычислен для данной детали, а величина /с независимо опреде-
определена на образце (с другой формулой для К).
Если же такое предположение неправомерно, то можно ввести
поправочный мпожитель i?(?), позволяющий перейти от образца
к детали [34, 137, 163]
/fT=^(L)/co6p. C4.2)
Здесь L — характерный размер образца. В первом приближении
множитель \|)(L) можно установить как частное от деления К-
тарировок детали и образца.
284
Относительно коэффициента запаса т следует заметить, что
в общем случае он может оказаться функцией длины трещины.
Отношение т = Ic(l)/K(l) не есть постоянная величина, и оно
может служить основой для назначения подходящих величин
коэффициентов запаса т. Такой способ назначения коэффициен-
коэффициента т позволит учесть и скомпенсировать различие в тарировках
образца и детали *). Коэффициент т уменьшает предел трещияо-
стойкости и длину трещины (на критической диаграмме) при
постоянном напряжении. При этом получают допустимый предел
трещиностойкости и допустимую диаграмму разрушения,
С учетом C4.2) критериальное соотношение C4.1) принима-
принимает вид
К^Кп/т. C4.3)
Подставив в левую часть C4.3) значение К для детали (с пло-
площадью брутто-сечения F), а в правую — экспериментальные ве-
величины, снятые с образца, имеем [137]
Здесь величины без индекса относятся к детали, а с индексом —
к образцу. Разрушающая сила для детали (при т = 1 и одина-
одинаковых длинах трещин) равна
P = pJ$j- Ф№). C4.4)
о
Проиллюстрируем эффективность применения этой формулы
на примере расчета разрушающей нагрузки балки при изгибе
по данным, взятым из эксперимента на внецентренное растяже-
растяжение компактного образца. Стандартный образец, выполненный из
стали 15Х2МФА имел толщину U — 20 мм, 10 = 20 мм, Ьо = 40 мм,
У0 = 13,3. Экспериментально полученная разрушающая сила для
образца равна Ро — 58 кИ.
Для балки сечением 100 X 100 мм и трещиной длиной Zo =
= 20 мм, при Y = 10,5 разрушающая сила согласно формуле
C4.4) будет
р = 58шта * W - 92°* ЮкН-
Если корректирующий множитель ty(L) не вводить (т. е. поло-
положить i|}(fc) = 1), то рассчитанная разь шающая нагрузка для де-
детали оказывается 920 кН, в то время как для образца она равна
58 кН. Эксперимент, проведенный с балкой, дает разрушающую
нагрузку порядка 1400 кН, что пе совпадает с расчетом.
') Ориентировочный учет такого отличия можно провести считая, что
между образцом и деталью такое же отличие, что и между образцами при
растяжении и изгибе. Это можно использовать для построения поправочных
функций ijp(L).
285
Введем корректирующую функцию в виде [39]
Поскольку материал образца и детали одинаков, то
C4.5)
Тогда i|)(L) = 1,58 иР = 1450 кН, что хорошо соответствует опыту.
Рассмотрим другой пример. Пусть в качестве образца взята
балка сечением 50 X 50 мм, 10 = 25 мм, Ьа = 50 мм, Yo = 15, при
этом из эксперимента Ро = 140 кН. По этим данным пересчи-
пересчитаем разрушающую нагрузку для балки сечением 100 X 100 мм,
I — 25 мм, Ъ = 50 мм, У = 10,8. По формуле C4.4) получаем
С учетом корректирующей функции C4.5) i|)(L) = 1,4 расчетная
разрушающая нагрузка станет 1100 кН. Эксперимент же для
этой балки дает Р = 1230 кН.
§ 35. Примеры расчета на прочность
с допущением трещины
Проследим вначале ход расчета на простейшем примере. Наи-
Наиболее эффективным является графоаналитический метод расче-
расчета (рис. 35.1). Рассмотрим растяжение плоскости с трещиной
С !0 lc I 0 1/п 1 1/п
Рис. 35.1. Схема графоаналитического расчета на прочность с учетом тре-
щин. Слева — коэффициент интенсивности напряжений в функции длины
трещины при разных запасах прочности. Справа — предел трещиностой-
костп.
напряжением о\. В этом случае коэффициент интенсивности равен
Предел трещиностойкости согласно формуле C3.3) равен
286
Имея величину п и задаваясь определенным запасом т на
трещину*), с помощью равенства C4.1) находим допускаемую
длину трещины 2/0. Критическую длину найдем, полагая т = 1
как показано на рис. 35.1.
При т = 1 из условия
получаем критическую длину трещины
При этом оказывается, что допустимая и критическая длина тре-
трещины связаны друг с другом соот-
соотношением ?0 = 1с/т>г.
При длине трещины, равной Zo,
запас прочности тела будет меньше,
чем п, а именно п0 = ac/Gi, где ос —
критическое напряжение при нали-
наличии трещины допускаемой длины /0
(рис. 35.2).
С целью определения величины
щ введем коэффициент снижения
прочности а = Ов/Ос. При разрушаю-
разрушающем напряжении, равном ос, допу-
допустимая длина трещины становится
критической, поэтому запасы прочности будут п= а, т = 1. Коэф-
Коэффициент интенсивности обратно пропорционален числу п, поэтому
линия ОА (рис. 35.3), соответствует этой функциональной зависи-
зависимости при l = lo~ const. Отсюда следует показанный на рис. 35.3
графический прпем для установления коэффициента а. Очевидно,
что Од/а = ос = оап0/п. Отсюда получим искомый запас прочности
по критическому напряжению
О t0 L
Рис. 35.2. Схематическая связь
разрушающего напряжения с
длиной трещины.
п
0 а
C5.1)
Это запас прочности тела, содержащего трещину допустимых
размеров. Он выражается числом, показывающим, во сколько раз
должна быть увеличена внешняя нагрузка, чтобы допускаемая
трещина стала критической.
Воспользуемся этой схемой расчета для установления допу-
допускаемых длин трещины и запасов прочности для некоторых эле-
элементов конструкций.
:) Запас по пределу трещнностойкости т можно также называть запа-
запасом на трещину, поскольку его значение влияет на допустимый размер тре-
трещины.
28?
Пример 1. Рассмотрим осевое сечение фланца трубопро-
трубопровода, в котором трещина перпендикулярна его внешней поверх-
поверхности. Схема действующих усилий представлена на рис. 35.4.
Предполагается, что за раскрытие трещины ответственны
только те напряжения, которые действуют перпендикулярно пло-
плоскости трещины. Поэтоглу окружные и радиальные напряжения
/7 = '
Рас. 35.3. Схема, поясняющая метод определения коэф- Рис. 35.4. Схема
фициента снижения прочности а. Абсцисса точки пе- нагружения флан-
ресечения луча ОА с кривой /с при т = I дает значе- ца с трещиной
ние коэффициента 1/а. (продольное сече-
сечение).
в расчет не принимаются; тем самым задача сводится к плоской.
Определим коэффициент интенсивности напряжений с помощью
метода сечений. Номинальное напряжение равно
(А = Р/B/г), В = 24
где учтено, что момент равен М = P{L — /г/4) и принято L =
= 2,25 h.
Уравнение равновесия имеет вид
ft/2
1
h'2-1
I ¦
0
Величина а определяется условием
ах(у = /г/2 - /) = КП'2па.
Из последних двух уравнений находится коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений
= я
В ^
\А1 + B(h-l)R C5.2)
288
Нагрузка, соответствующая достижению предела прочности
напряжением ах в точке появления трещины, равна Ро = Рп (так
° в V
как п =
gx (ij = Л/2) Р
Коэффициент интенсивности напряжений представлен па
рис. 35.5 для запасов прочности п = 1 и п = 2. Справа на этом
т=2
/77=4
I
I
V
>
<\
л
.O,Q8l/h О 0,1 O,U 0,6 0,8 1/п
Рпс. 35.5. Зависимость коэффициента интенсивности от длины трещины для
фланца и предел трещиностойкости стали ВЛ1-Д.
же рисунке представлеп предел трещиностойкости для материала
трубопровода ВЛ1-Д.
Расчетные данные: h = 40 мм, ов = 1200 Н/мм2, Ро = аД/12,5 =
= 3240 Н/мм. Для т = 2 графически получаем допускаемую дли-
длину трещины 1д — 0,032 ¦ 40 = 1,28 мм, коэффициент снижения
прочности а =1,45, по C5.1) окончательный запас прочности
ио = л/а = 1,38.'Для т = 4 допускаемая длина трещины равна
1а = 0,014 • 10 = 0,56 мм, а = 1,15, п0 = 1,74. Следовательно, на-
наличие трещины глубиной в полмиллиметра снижает статический
запас прочности на 7,7%.
Пример 2. Сварная цилиндрическая емкость диаметром
508 мм со стенкой толщиной 1,02 мм подвержена действию внут-
внутреннего давления [75]. Материал сосуда — сталь с 20% никеля,
отпущенная на мартенсит; предел текучести ао2 = 2149 Н/мм2,
предел прочности ов = 2156 Н/мм2. При однократном гидравличе-
гидравлическом нагружешш сосуд разрушился при давлении 59,9 ат, что
соответствует окружному напряжению ав = 1344 Н/мм2. Отноше-
Отношение этого напряжения к пределу прочности равно 0,62, т. е.
прочность стали недоиспользована почти вдвое.
Из разрушенного сосуда были вырезаны по два образца в
продольном и поперечном направлениях. Для этих образцов бы-
были получены следующие значения критических коэффициентов
интенсивности: в продольном направлении Кс = 3370 и
3640 Н/мм3/2; А:ге = 2530 и 2480 мм3/2; в поперечном Кс = 1960
и 1450 Н/ммэ/а; К1с = 1780 и 1320 мм3/а.
19В. 3. Партон, Е. М. Морозов
Для дальнейшего полезно напомнить оценочные характери-
характеристики. Вид излома можно предсказать по отношению длины пла-
пластической зоны d перед кромкой трещины к толщине h плоского
образца или плоского элемента конструкции. По Ирвину при
плоском напряженном состоянии d = КЦпо*^ При [3 = d/h < 1,
излом преимущественно прямой (разрушение происходит путем
отрыва), при р > 1 излом преимущественно косой (разрушение
происходит путем среза). Введем коэффициент ао = Ке/К1с. Если
а0 < 2, то в расчет вводится характеристика KJC, если аа > 2,
то расчет ведется по величине KQ, характерной для данной тол-
толщины плоской детали. В нашем случае параметр р, оценивающий
условия разрушения по типу прямого или косого излома, будет:
для продольного направления J3 = 0,8, для поперечного р = 0,2
(по средним значениям Кс). Поскольку это отношение меньше
единицы, то разрушение происходит в условиях, близких к пло-
плоской деформации при объемном напряженном состоянии (по типу
отрыва). В этих условиях конструкция чувствительна к тре-
трещинам. Коэффициент а0 (показывающий превышение коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений при плоском напряженном
состоянии над его значением при объемном растяжении) для
продольного направления равен 1,33, для поперечного — 1,1. По-
Поскольку а0 < 2, то расчет следует проводить по предельному ко-
коэффициенту К1С1 а не по Кс.
Обследование сосуда после разрушения показало наличие ис-
исходного дефекта в виде трещины на внешней поверхности, ори-
ориентированной перпендикулярно направлению прокатки листа. Эта
трещина и послужила причиной снижения прочности бака. По-
Поскольку длина трещины более чем в 10 раз превышала ее глу-
глубину I, то для коэффициента интенсивности воспользуемся фор-
формулой для пластнпы с боковым надрезом: К = 1,12 овУп1 (см.
табл. 15.2, п. 2). В этой формуле стоит окружное напряжение,
так как бак сварен по винтовой линии под углом 79° к образу-
образующей цилиндра, и поперечное направление трещины на листе
является осевым для бака. Обнаруженная глубина трещины со-
составляла /о = 0,76 мм.
Найдем разрушающую глубину трещины расчетным путем.
Предел трещиностойкости запишем в виде C3.3), куда подставим
среднюю величину Ки. = 2510 Н/мм3'2 для продольного направ-
направления. Из равенства C3.2) при разрушающем напряжении а9 =
= 1344 Н/мм2 находим критическую глубину трещины /с = 0,58 мм
(рис. 35.6). Сравнивая эту величину с экспериментальным значе-
значением 0,76 мм, делаем вывод о том, что расчет дает страховочные
(в запас прочности) значения критического размера трещины.
Проведем аналогичный расчет, для которого предел трещино-
трещиностойкости возьмем в другом виде [157]. Пусть функция, отража-
отражающая предел трещшюстойкости, имеет вид ломаной линии —
один отрезок этой линии записывается уравнением /с = К1с (при
0^1/тг<1), другой 1/ге=1 @<1е<К1с) (рис. 35.6). Тогда для
290
расчета критической глубины трещины условие C3.2) дает за-
зависимость вида К = Kic. Из этой зависимости получаем 1С =
= 0 91 мм, что превышает экспериментальную величину на 20%.
Следовательно, приведенная упрощенная зависимость недооце-
недооценивает способность материала к преждевременному хрупкому раз-
разрушению.
гооо -
юоо -
2510 fcXlc
о,б о,в 1/п
Рис. 35.6. Зависимость коэффициента интенсивности от длины трещины
{К = ],1.1344уяг) и предел трещиностойкости.
Фактический запас прочности при наличии трещины равен
п0 — ас/ов. Его можно определить, как уже указывалось, с по-
помощью коэффициента снижения прочности а — ав/ас посредством
соотношения C5.1). На графике предела трещиностойкости ко-
коэффициент а определяется с помощью прямой, выходящей из на-
начала координат в точку с заданными координатами Aс/т, 1/п).
Координата точки пересечения этой прямой с графиком предела
трещиностойкости при т = 1 определяет величину а.
Укажем на этом примере, каким должен быть запас т на
трещину, чтобы при заданном запасе п не было бы уменьшения
прочности бака из-за преждевременного хрупкого разрушения.
Если из начала координат на графике /с (рис. 35.6) провести
луч в точку с координатами /с = К1с, п = 1, то значения т и п
из треугольной области, лежащей ниже этого луча, дают а = 1
и, следовательно, по — п. В этой области w > n, что следует из
уравнения луча К1с/т = К1с/п.
Таким образом, при соблюдении условия т>п фактический
запас прочности при наличии трещины равен исходному, и сни-
снижение прочности бака из-за наличия трещины не происходит.
Однако такой вывод справедлив только для случая, когда ко-
коэффициент К1с (пли Кс) постоянен с изменением критического
напряжения вплоть до предела прочности. В действительности Ко
зависит от критической длины трещины и, начиная с некоторого
значения напряжения, сильно падает. Это означает, что график
предела трещиностойкости имеет вид, показанный пунктиром на
рис. 35.6, п луч, определяющий коэффициент а, будет пересекать
19* 291
кривую предела трещииостойкости в точке а > 1, и поэтому
По < П.
Если график предела трещиностойкости имеет вертикальный
участок при п = 1, то конец этого вертикального участка, соеди-
соединенный с началом координат, отсекает нижнюю треугольную об-
область (заштрихованную па рис. 35.6) значений т пп, для кото-
которых не будет уменьшения прочности бака из-за наличия трещины.
Определим область значений фактического запаса прочности
п0 и запаса на трещину т при фиксированных значениях обыч-
обычного запаса прочности п и предела трещиностойкости, выражен-
выраженного функцией C3.3). В рассматриваемом случае при заданном
числе п критическая длина трещины согласно равенству C3.2)
определяется так:
1,12°*
Допустимая длина трещины в соответствии с условием C4.1) на-
находится из уравнения
С другой стороны, эта допустимая длина трещины 1а является
критической, если п = а, и, следовательно, удовлетворяет также
уравнению
Из этих трех соотношений находим искомую связь между ве-
величинами п, т и nQ = п/а:
то2 п3_
или т = Y(ril — 1)/(а2 — 1). C5.3)
Кривые, построенные по этой зависимости, приведены на
рис. 35.7. Видно, что малое уменьшение запаса прочности дости-
достигается за счет больших запасов на трещину.
Приведем также величины фактического запаса прочности па
при некоторых вариантах выбора числа т:
"о
«0
п
(«=»¦)
1,5
1,2
1,36
1
1
2
,51
,84
2,5
1,85
2,38
2
2
3
,18
,88
292
Заметим, что иногда удобно задавать уменьшение запаса проч-
прочности п. Так, для п = 2 условие 7г0 = 0,9 п будет реализовано при
т — 5,2, а условие щ = 0,8 п достигается при величине т = 2,3.
Можно также, не задаваясь величиной т, определять допу-
допускаемую длину трещины, исходя из докритическбго роста трещи-
трещины lc — k (при этом коэффици-
коэффициент т определяется величиной
1С — 1О). Запас на докритический
рост необходим при длительном
статическом нагружении, в аг-
агрессивных средах, при эффектах
ползучести и замедленного раз-
рушения, коррозии под напря-
жением, повторном цикличе-
циклическом нагружении и др. В этих
777
Рис. 35.7. Зависимость коэффициента
запаса по критическому напряже-
напряжению щ (при наличии трещины) от
коэффициента запаса по пределу
трещиностойкости т при заданном
коэффициенте запаса п.
случаях расчет на однократ-
однократное нагружение должен до-
дополняться расчетом на долго-
долговечность.
Для выбора величины т мож-
можно дать ориентировочную реко-
рекомендацию, состоящую в следующем [162]. Если потребовать, что-
чтобы при допускаемой длине трещины разрушение было квази-
квазихрупким, то разрушающее напряжение должно быть не ниже
предела текучести. Следовательно величина т, удовлетворяющая
условию ос = от при 1 = 1%, может быть найдена из уравнения,
определяющего допустимую длину трещины
и из критического условия на границе хрупкого и квазихрупкого
состояний
K(a7ll*) = /с(ав/ат).
Поделив первое равенство на второе и учитывая, что К про-
пропорционально напряжению, получаем
°? т1с
Умножив левую и правую части этого равенства на предел
прочности, окончательно находим:
0%
= п —
C5.4)
Полученное значение т = т% служит ориентиром при назна-
назначении запаса по пределу трещиностойкости. Если т >• т^, то до-
допустимая длина трещины оказывается малой настолько, что раз-
разрушение будет квазихрупким. Если т<С?п%, то разрушение при
наличии трещины допустимой длины будет происходить хруп-
293
ким образом (при дайной температуре нагружения п определяе-
определяемых ею мехапических свойствах).
Значительный интерес представляет определение таких значе-
значений тга, при которых деталь с трещиной оказывается б области
нечувствительности к трещине (при этом п = пй, а ~ 1, разруше-
разрушение пластическое). На примере испытания малоуглеродистой ста-
стали при комнатной температуре можно показать возможность по-
появления области нечувствительности материала к трещипе и
определить пороговые значения т [35]. Оказалось, что при т<п
прочность тела с трещиной падает, а при m > n прочность тела
не зависит от длины трещины (при условии, что она меньше или
равна допускаемой согласно расчету). Таким образом, был полу-
получен ответ на непростой вопрос о допускаемой длине трещины при
пластическом разрушении без потери несущей способности. Сле-
Следует, однако, не забывать о возможности изменения условий на-
нагружения, приводящих к охрупчиванию. В этом случае желатель-
желательно проводить расчет по Ирвину с введением вязкости разрушения
Kic. Допустимая длина трещины, полученная из пластического
расчета, должна быть меньше критической, следующей из условия
К = К1с.
Пример 3. Приведем результаты испытаний крупногабарит-
крупногабаритных модельных образцов, имеющих форму диска со срезанными
сегментами. Если такой диск нагружать центробежными силами,
вращая его в своей плоскости, то в центральной части диска (где
располагалась заранее созданная трещина) возникает двухосное
растяжение с отношением главных напряжений один к двум, как
это имеет место в стенке цилиндрического сосуда давления. Диски
толщиной 150 мм были изготовлены из стали 24Х2НМФА, (ов =
'=800 Н/мм2, а? = 660 Н/ммг) и имели трещину — в одном случае
прямоугольную, а в другом — полуэллиптическую (//Bс) прини-
принимает значения в диапазоне от 1/3 до 1/4). Результаты так назы-
называемых разгонных испытаний приведены на рис. 35.8. Критиче-
Критические напряжения вычислялись через разрушающее число оборо-
оборотов диска по известным формулам сопротивления материалов,
а предел трещиностойкости — по C3.3). Из уравнения C3.5) на-
находим зависимость разрушающих напряжений от длины трещины
для разных показателей степени q. На рис. 35.8 даны критические
диаграммы и пределы трещиностойкости для разных значений q.
Видно, что наилучшее совпадение с опытом дает q = 4 (здесь
Кс = 7800 Н/мм3/2). Отметим, что значения пределов трещиностой-
трещиностойкости, подсчитанные по разрушающим напряжениям для трещин
разной формы совпали между собой [27].
На рис. 35.9 показаны результаты расчета (линии) и экспери-
эксперимента (точки) с дисками из титанового сплава средней прочности
(ов ~ 675—815 Н/мм2). Диски толщиной 75 мм испытывались
при вращении, содержали центральное отверстие и две радиаль-
радиальные трещины по обе стороны от отверстия вдоль диаметра [26].
Вязкость разрушения, полученная на компактных образцах той
294
же толщины при внецентренном растяжении (определенная по
Ртах), оказалась в пределах Кс = 4560—5600 Н/мм2. Критические
диаграммы и пределы трещиностойкости вычислялись по мини-
минимальным и максимальным значениям ов и Кс при q = 4. Соответ-
Соответствующие поля разброса заштрихованы на рис. 35.9. Видно, что
экспериментальные точки лежат в пределах этих полей. Предел
Ы00
Рис. 35.8. Критические диаграммы разрушения п предел трещиностойкости
стали 24Х2НМФА. Результаты расчета ос и 1С даны линиями: 1 — q = 1;
2— g = 2; 3 — g = 3, 4 — q = 4. Результаты эксперимента для ас даны точ-
точками: 5 — прямолинейная трещина, 6 — полуэллиптическая трещина, нет-
нетто — напряжение, 7 — полуэллиптпческая трещина, брутто — напряжение,
8 — пределы трещиностойкости.
трещиностойкости вычислялся по формуле для коэффициента ин-
интенсивности напряжений, полученной методом сечений. Приведем
этот вывод [26, 115].
Вращающийся диск с центральным отверстием содержит ра-
радиальную трещину, возникшую на поверхности отверстия. Усло-
Условие равновесия при использовании метода сечений запишем в
виде
r+l a
, С Kdx
d 1/2ЯЖ
о
295
J
где Л, г — внешний и внутренний радиусы диска, р — текущий
радиус, координата х отсчитывается вдоль радиуса от вершины
трещины.
Окружное напряжение от сил инерции в равномерно вращаю-
вращающемся диске без трещины дается выражением
,2 »
где y — массовая плотность, со — угловая скорость вращения.
/г,Н/ммз/2
Рис. Зь.9. Критическая диаграмма разрушения и предел трещиностойкости
титанового сплава; 1 — разрушающие брутто-напряжения диска, 2 — предел
трещпностойкостк, 3 — результаты испытаний на Кс. Линии — расчеты оо
и /с по крайним точкам разброса ав и Кс.
Подставляя ав в условие равновесия и почленно интегрируя,
получаем
Здесь размер а определяется из условия равенства напряжения
а9 при р = г + I величине К/12па\
296
Из двух последних соотношений получаем
JF = по (I) Ц* ^ [(Л- + Н) ^ - з^ [(г + /)- - г-1 -
C5.5)
Отсюда рассчитываем предел трещиностойкости 7С = К- подставив
разрушающее число оборотов диска. Подчеркнем, что результаты,
приведенные на рис. 35.8—35.9, показывают, что можно вести
расчет ¦ критических напряжений по неослабленному сечению
(бруттс-напряжение) в соответствии с уравнением C3.5) и пре-
предела трещиностойкости — по формуле C3.4), полагая в них 9 = 4,
а характеристики материала ов, Е и Кс можно определять неза-
независимо, но на образцах той же толщины, что и деталь (и разуме-
разумеется при той же температуре). Если отношение ширины образца
к его толщине меньше трех, то критические напряжения вычис-
вычисляются по ослабленному сечению (нетто-напряжение).
Пример 4. Приведем результаты испытаний и расчетов со-
сосудов применительно к корпусам реакторов АЭС [27, 4171. В со-
соответствии с программой HSST (Heavy-section Steel Technology),
контролируемой Оук-Риджской национальной лабораторией
(США), были испытаны большие модели цилиндрических сосу-
сосудов давления № 1 и № 2, внутреннего радиуса 343 мм и с тол-
толщиной стенки 152 мм (сталь А-508-2). Снаружи, вдоль образую-
образующей, имелись несквозные полуэллиптические трещины глубиной Z,
длиной 2с. Геометрически подобные им малые модели сосудов
№№ 3—8 (из той же поковки) имели радиус 48,9 мм и толщину
21,6 мм. Параллельно испытывали также компактные образцы
толщиной 21,6 и 101,6 мм. Их разрушение носило квазихрупкий
характер, а величина Кс определялась по максимальной нагрузке,
выдерживаемой образцом.
Для сосудов №№ 1, 2 расчет разрушающего давления по раз-
различным критериям механики разрушения (общим числом 12)
дает полосу разброса результатов от —17,5% до +6,25%. Резуль-
Результаты экспериментов и расчетов представлены в табл. 35.1. Расчет
разрушающего давления для всех восьми сосудов по формулам
C3.4), C3.5) дал полосу разброса разрушающих давлений по срав-
сравнению с экспериментальными значениями от —2,65% до +3,1%.
При расчете коэффициент интенсивности напряжений вычислялся
по формуле Kj = веМтУл1/0, в которой мембранное окружное
брутто-напряжение ае = pR/t. Этот результат свидетельствует о
больших возможностях концепции предела трещиностойкости.
Предел трещиностойкости может служить и для ранжировки
материалов и их состояний по сопротивлению росту трещины при
однократном статическом нагружении, и для расчета элементов
конструкций с допущением исходных трещин. Отличительная чер-
черта этой концепции состоит в простоте подготовки исходных дан-
данных для расчета (нужен только коэффициент интенсивности на-
297
пряжений в упругой области) за счет соответствующего усложне-
усложнения экспериментальной характеристики /с.
Условия работы инженерных сооружений иногда приводят к
тому, что возникновение и развитие пластической деформации
оказывается затрудненным. Это может быть вызвано различными
причинами, среди которых можно назвать радиационный наклеп
и охрупчивающее влияние наводораживания (насыщения металла
Таблица 35.1
Результаты испытаний и расчетов сосудов давления
Условия опы-
опыта и данные
расчета
Место вырез-
вырезки в поковке
Номера сосудов
Полная толщина
обечайки
Середина
Поверхность
Сере-
Середина
Поверхность
t, мм
Л, мм
Т, °С
ав, Н/мм2
Кс, Н/мм3/2
Z, мм
2С, мм
Q
2»расч,Н/мм»
152,4
343
+54
654
7160
65
209,6
0
688
6530
64,6
210,8
+54
654
3600
„18
660
4040
8,13
2
1,6
48,9
+54
654
3700
+54
654
3600
8,38
—37
670
3550
7,87
35,6
1,5
1,16
АР, Н/мм2
АР, %
204,5
202
+2,5
+1,25
192
196
—4
-2,05
228
228,5
-0,5
—0,22
1,21
1,19
239,5
246
-6,5
—2,65
230,5
226,5
+4
+1,77
1,23
1,195
226,5
227
—0,5
—0,22
1,19
1,185
225
218
+7
+ЗД
+54
654
3700
8,13
1,21
1,19
230,5
229,5
+2
+0,8
водородом), типичные для реакторостроения. В результате подав-
подавления способности материала пластически деформироваться устра-
устраняется возможность благоприятного перераспределения напряже-
напряжений и деформаций по объему тела и по его отдельным структур-
структурным 'составляющим. Отсюда возникают местные перенапряжения,
начальные микротрещины и проявляется тенденция к их дальней-
дальнейшему развитию, которая в итоге заканчивается макроскопическим
хрупким разрушением.
Изложенный метод расчета позволяет определить степень не-
недоиспользования прочности конструкции, т. е. установить факти-
фактический (окончательный) запас прочности в случае хрупкого раз-
разрушения. Одновременно устанавливается и безопасный размер
трещины, который не приводит к немедленному разрушению де-
детали. Таким образом, проведение расчета с учетом наличия тре-
трещины, опирающегося на соответствующий эксперимент, дает уве-
уверенность в защите конструкции от хрупкого разрушения.
Глава V
ТРЕЩИНЫ В ЛИНЕЙНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ
СРЕДАХ
§ 36. Вязкоупругий аналог задач Гриффитса п Зака
Практика эксплуатации современных машин и сооружений
при экстремальных условиях их работы, происходящих зачастую
при высоких уровнях напряжений и температуры, свидетельству-
свидетельствует о наличии ярко выраженной временной зависимости процесса
разрушения. Во многих случаях полному разрушению тела пред-
предшествует длительное устойчивое развитие трещины, причем вели-
величина этого периода может составлять значительную часть долго-
долговечности элемента конструкции. Такое длительное разрушение,
происходящее нередко при постоянных внешних нагрузках, осо-
особенно характерно для полимеров, композитных материалов и ме-
металлов при высоких температурах. Причиной медленного роста
трещины в таких случаях обычно являются ползучесть материала
и накопление рассеянных повреждений.
В механике разрушения наметились два подхода к анализу
медленного роста трещин. При первом (микроструктурном) под-
подходе главное внимание уделяют кинетике микроразрушений в ма-
малой концевой зоне трещины, описывая ее либо уравнениями хи-
химической кинетики, либо кинетической теорией прочности
С. Н. Журкова. При этом считают, что реологические свойства ма-
материала проявляются только в малой концевой зоне трещины,
а вне трещины материал упругий. Во втором (феноменологиче-
(феноменологическом) подходе к изучению кинетики роста трещин во времени
с учетом реологических характеристик материала методами меха-
механики сплошной среды исследуют развитие трещины или в вязко-
упругой среде, или в материале с накапливающимися малыми
повреждениями.
Исследования напряженно-деформированного состояния вяз-
коупругого тела с трещиной, ведутся, как правило, с применением
принципа Вольтерра, состоящего в том, что решение таких задач
получают из соответствующих решений для упругого тела заме-
заменой упругих постоянных временными операторами (операторами
наследственной теории упругости).
Рассмотрим возможность использования критериев разрушения
(§ 4) для решения задач о трещинах в линейных вязкоупругих
299
средах. Приводимые ниже решения основываются на упомянутом
принципе Вольтерра, который справедлив для монотонно расту-
растущих трещин.
Пусть среда линейно вязкоупругая во всех своих точках,
и пластическая деформация у краев трещины не возникает. Тогда
для идеально хрупкого разрушения медленный докритический
рост трещины при постоянных внешних нагрузках отсутствует
[70, 89, 306]. Критическое состояние (начало быстрого роста тре-
трещины) наступает спустя некоторое время t* после приложения
нагрузки, причем, чем больше величина приложенной нагрузки,
тем меньше время до начала хрупкого разрушения t*.
Для изучения роста трещин в средах такой реологии восполь-
воспользуемся, например, интегральным вариационным принципом для
упругого тела D.10).
В качестве примера рассмотрим задачу о растяжении равно-
равномерно распределенной нагрузкой р плоскости с одиночной прямо-
прямолинейной трещиной у = 0, !^!^Z и пространства с дисковидной
(круглой в плане) трещиной радиуса I. Нагрузка направлена
вдоль оси у перпендикулярно поверхности трещины.
Для плоского напряженного состояния
1f = Y- / + Ji?(*-T)/(T)dT L
v = 2Ё~1р У?=7\ E~1f = Y- / + Ji?(*-T)/(T)dT L C6.1)
Здесь Е — линейный временной оператор с ядром ползучести
Rit—т); Ео — Е{0) — мгновенный модуль упругости [244].
. Решение уравнения D.10) относительно напряжения р (после
предварительного интегрирования по ж и варьирования по I) при-
приводит к следующей зависимости [174]:
t*
1 + | R (t* — т) di
0
= 1 - J Г (*• - т) dr. C6.2)
Здесь Tit — t) — ядро релаксации, ра = У2Е0^/Ы1) — критическое
напряжение по Гриффитсу с мгновенным модулем упругости Ео.
Для растяжения пространства с круглой в плане трещиной
(при V —v = 0,5) из D.10) получаем соотношение, аналогичное
C6.2):
t*
r(**~T)tfT. C6.3)
Здесь р° = УпЕ0ч/[2A — v2Hl—критическое напряжение по Заку.
Из уравнений C6.2) и C6.3) можно получить время до начала
хрупкого разрушения для каждого -значения внешней нагрузки.
Задержку разрушения здесь можно трактовать как время сниже-
300
ния критического напряжения, соответствующего заданной длине
трещины, за счет уменьшения модуля упругости. При этом с те-
течением времени происходит
также раскрытие трещины
(без увеличения ее длины).
Как уже отмечалось, реше-
решение задач о предельном рав-
равновесии линейных вязкоупру-
гих тел с трещинами можно
получнть из упругого реше-
решения для предельной (крити-
(критической) нагрузки простой за-
заменой упругих характеристик
материала соответствующими
временными операторами.
Известно, что для описа-
описания вязкоупругих деформа-
m(tyr)
Рис. 36.1. Зависимость долговечности t*
плоскости с трещиной от уровня напря-
напряженности р для разных материалов;
1 — полимер; 2 — медь: 3 — сталь; 4 —
ций некоторых материалов тело Максвелла,
пригодна теория упруго-на-
упруго-наследственных сред с дробно-экспоненциальными ядрами. Вос-
Воспользовавшись этим, представим C6.2) в виде [245, 251]
1 |- [1 - ехр (- сор (i*)i+a)].
C6.4)
Здесь G) = (l + a)I+a, a а, р\ х — параметры, характеризующие
реологические свойства материала.
Учтем, что для параметров р и х справедливы соотношения
Г2511
J3 = Т , х = —р Т ,
о
Ео, ?« — мгновенный п установившийся модули упругости, Т —
время релаксации. .
Для тела Максвелла (а = 0, $ = к — 1/Т) из C6.4) имеем
Для меди при t = 165 °С
(р/роJ - 1 - 0,53[1 - ехр (-0,697(г*/Я0-3)].
Для стали (С-0,35%) при ? = 454°С
(р/ро)г = 1 - 0,851[1 - ехр ((-0,697U*/rH'3)].
Для термореактивного полимера
(р/Роу = 1 - 0,434[1 - ехр (-0,
Эти соотношения представлены на рис. 36.1. Отсюда видно, что
для реальных материалов, в отличие от тела Максвелла, суще-
существует такое значение нагрузки, ниже которого трещина не рас-
301
крывается со временем и критическое состояние не наступает.
Это напряжение можно определить из C6.4) при t* ->• °°.
Критерий разрушения в интегральной форме D.10) удобен для
использования, так как не требует детального анализа напряже-
напряжений у конца трещины, дает нужный результат для разности уп-
упругой энергии при малом квазистатнческом приращении длины
трещины, и тем самым учитывает эффекты, приводящие к началу
роста трещины.
§ 37. Вязкоупругопластический аналог задач
Гриффитса и Зака
Пусть трещина распространяется в линейной вязко-упругой
среде при наличии тонкой пластической зоны перед краем тре-
трещины. Эту пластическую зону заменяем в дальнейшем дополни-
дополнительным разрезом, на поверхности которого действуют напря-
напряжения О0.
Для изучения докритического роста трещины будем использо-
использовать уравнение D.6), которое в случае плоской задачи перепишем
в виде [156, 172, 174]
[I a "I
2yl — J ay (х) v (х, l)dx — \ (<7у (х) - а0) v {х, l)dx\ = 0. C7.1)
о I Л
Будем считать, что внешняя нагрузка не зависит от времени
(/> = const), и докритический рост трещины происходит только
из-за вязкости материала. В этом случае
C7.2)
и уравнение C7.1) может быть записано в виде
C7.3)
где обозначено ;
I a
ф = Г о (х) v (x, l)dx+ (Оу (х) — а0) v (ж, I) dx. C7.4)
О I
Уравнение C7.3) позволяет рассчитывать зависимость длины
трещины и скорость движения ее концов от времени при постоян-
постоянной нагрузке. Другими словами, это уравнение определяет докри-
тическое состояние тела с трещиной, заданной начальной длины,
или же докритическую диаграмму разрушения I = lit). Долговеч-
Долговечность тела с трещиной определяется временем, при котором ско-
скорость движения концов трещины становится бесконечно большой.
Этот момент времени соответствует критическому состоянию —
трещина подрастает до длины, при которой заданная нагрузка
является критической в упруговязкой среде, окружающей трещи-
302
ну вместе с примыкающей к ней пластической зоной (и с модулем
упругости, равным мгновенному). Расчет докритических диаграмм
разрушения для трещин различной начальной длины позволяет
построить критическую диаграмму разрушения.
Выразим величину Ф из C7.4) через коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений К. Запишем Ф в виде [259]
i
dl.
C7.5)
Преобразуя C7.5) с учетом малости пластической зоны, а также
соотношений. C.7) и D.11), получаем
) C7.6)
Использование полученного соотношения для Ф в уравнении
C7.3) позволяет записать его в виде
Ж О I (a* W vQ,l) + ?P)dl = 0. C7.7)
Поскольку получение аналитических решений для перемещений
точек поверхности трещин затруднительно, величину ауA)и{1,1)
представим следующим образом:
^{^ C7.8)
С учетом этого уравнение C7.7) примет вид
(F+l)dl^0. C7.9)
Для дальнейшего определения слагаемых уравнения C7.9) вос-
воспользуемся принципом Вольтерра, заменяя упругую постоянную
Е~х на линейный временной оператор Ё~1 C6.1).
Решив C7.9) относительно /, получаем:
I t . Г1(т) ]
R @) | K2dl + | R (t - т) { K2ai dx
i = —°- °-—j—Ь J-. C7.Ю)
о
Приведем это уравнение к безразмерному виду с помощью
параметров
x-bif>, с—L, *. = ?, с = ^
303
Тогда
z e
о = ' j i \ и
_
dQ — е »
(F (Я) + I)" - K\ - J Лх F - ej A'J ^
о
Интегрирование уравнения C7.11) при начальном условии
) = ?0 определяет временной рост трещины от заданной на-
начальной длины до критической при постоянной внешней нагрузке
X в вязкоупругом теле, характеризуемом ядром ползучести i?i(9),
при наличии тонкой пластической зоны перед вершиной трещины.
Для удобства численного решения интегро-дифференциалыюе
уравнение C7.11) представим в виде системы дифференциальных
уравнений первого порядка. Обозначим
0
PT(e) = -Jj?1(e-e1)^Jd91. C7,12)
о
Продифференцировав это соотношение, получим
в
^ - R, @) Kl (? F)) - j R± (9 - QJKl Юх.
о
Будем считать, что для Rt справедливы соотношения
Л1 = -Д„ #,=/?,. C7.13)
В этом случае полученное выражение для dW/dQ можно перепи-
переписать в виде
^ = _ R% @) Kl E(9)) - W. C7.14)
Рассмотрим теперь первое слагаемое в числителе уравнения
C7.11), введя обозначение
е / l \
Z F) = J Rx (9 - 92) j Kldt, dBlt C7.15)
о \о /
Дифференцируя выражение C7.15) но 0 и учитывая соотношения
C7.13), получаем
C7.16)
о
Таким образом, уравнение C7.11) можно записать в виде сле-
следующей системы дифференциальных уравнений [259]:
'МО)*©^ C7.17)
304
с начальными условиями
^. C7.18)
Интегрировать систему уравнений C7.17), C7.18) необходимо при
заданном параметре нагрузки X, известных функциях ядра ползу-
ползучести Ri(Q) и коэффициенте интенсивности напряжений Ко(?,).
0,10 3
Рис. 37.1. Докритический рост
трещины в растягиваемой плас-
пластине.
0,5
Рис. 37.2. Докрптпческпй рост
трещин в стальной растягива-
растягиваемой пластине для разных на-
начальных длин трещин (?о =
= 0,5; 1,0; 1,5).
Функция F(X) может быть выбрана либо в виде F(X) = Я2, как это
было сделано в § 18, либо, например, в виде
лХ . 8 -, я>, ,
C7.19)
Выбор F(k) в форме C7.19) предпочтительнее, так как асимпто-
асимптотически приводит к решению аналогичной задачп, рассмотренной
в § 27.
В качестве примера рассмотрим растяжение пластины с оди-
одиночной прямолинейной трещиной равномерно распределенной на-
нагрузкой р, перпендикулярной линии трещины. В этом случае
СуA) = /> = const, 'К — р/оо. Коэффициент интенсивности напряже-
напряжений для растягиваемой пластины с трещиной определяется извест-
известной формулой Я = оУя?, или, в безразмерном виде, K0(t,) =
= лА,У?/8. В качестве реологической модели примем тело Кельви-
Кельвина, для которого Ri(Q) = —ae~Q.
Сравнение результатов расчета докритического подрастания
трещин в растягиваемых пластинах из различных материалов при-
приведено на рис. 37.1 (кривая 1 — сталь, а = —5,67; кривая 2 —
медь, а = —1,39; кривая 3 — полиуретан, а = —5,02).
На рис. 37.2 показан докритический рост трещин различной
начальной длины при растяжении пластины из стали (а = —5,67).
20 в. 3. Партсн, Е. М. Морозов 305
Как уже отмечалось, докритдческая диаграмма разрушения
определяет долговечность тела с трещиной как время О*, за кото-
которое скорость движения концов трещины становится бесконечной.
Поэтому, построив докритическпе диаграммы разрушения для раз-
различных начальных длин трещин, легко перейти к критической
диаграмме ?0 = ?0 (О*). На Р11С- 37.3 показаны критические диа-
диаграммы разрушения для
растягиваемой пластины с
трещиной для различных
материалов. Нумерация
кривых на этом рисунке
соответствует рис. 37.1.
Докритический рост
продольной сквозной тре-
трещины в длинной цилинд-
цилиндрической трубке из вязко-
упругого материала под
действием внутреннего
давления р определим в
соответствии с уравнения-
уравнениями C7.17), принимая коэффициент интенсивности напряжений в
виде B9.25), а в качестве реологической модели, так же как п в
задаче о растяжении пластины,— тело Кельвина.
Результаты расчета докритического роста продольной сквозной
трещины в длинной цилиндрической стальной трубке (b — Q) для
различных начальных длин трещин (?0 = 0,5; 1,0; 1,5) показаны
0 0,1 0,2 0,3 O,U 0.5 0,6
Рис. 37.3. Критические диаграммы разру-
разрушения для материалов, показанных на
рис. 37.1.
1,0
0,5
О
Кь
о, и в-
Рис. 37.4. Докрнтпческий рост
трещины в трубке (вдоль об-
образующей) и пластине.
0,1 0,2 0,5 0,4 ff.
Рис. 37.5. Критические диа-
диаграммы разрушения в трубке
(сплошная линия) и в пласти-
пластине (пунктир).
сплошными линиями на рис. 37.4 (пунктиром показаны соответ-
соответствующие кривые для пластины). На рис. 37.5 приведены крити-
критические диаграммы для трубки (сплошная линия) и пластины
(пунктир) пз того же материала.
Из приведенных расчетов следует, что в трубке скорость роста
трещины выше, а долговечность меньше, чем в пластинке.
306
§ 38. Учет чувствительности материала
к скорости и частоте нагружеиия
Реологические характеристики материала определяют его ре-
реакцию на скорость деформации. Для понимания этого вопроса
весьма полезным является введенные Я. Б. Фридманом [292]
понятия упругой и диссипативной составляющих сопротивления
материала механическому воздействию. Последпяя в свою очередь
состоит из суммы членов, связанных со скоростью деформирова-
деформирования (вязкое сопротивление) и с величиной остаточной деформа-
деформации (пластическое сопротивление). Бесконечно медленное прило-
приложение внешней нагрузки приводит к равновесию ее с силой упру-
упругого сопротивления образца. С ростом уровня внешней нагрузки
сила упругого сопротивления постепенно переходит в упругопла-
стическое. В этом случае, если материалу и присуще вязкое со-
сопротивление, то оно себя не проявляет.
Высокая скорость нагружения сопровождается тем, что часть
внешней нагрузки воспринимается силами вязкого сопротивления.
Эту силу для качественных прикидок можно считать пропорцио-
пропорциональной скорости деформации. Такое явление иллюстрируется
известным фактом роста пределов текучести и прочности на диа-
диаграммах деформации при повышении скорости нагружения.
Чем больше доля сопротивления материала, приходящаяся
на диссипативную часть, тем чувствительнее материал к скорости
и длительности нагружения. Все кинематические характеристики
материала, его временные зависимости прочности и пластичности,
целиком определяются силами вязкого сопротивления материала,
которые зависят от. его структуры, строения и особенностей. От-
Отсутствие сил вязкого сопротивления приводит к нечувствитель-
нечувствительности материала к скорости нагружения и влиянию времени.
С точки зрения механики разрушения чувствительность мате-
материала к скорости нагружеиия оценивалась Краффтом и Ирвиным
[65, 242]. Ими получено простое соотношение (выполняющееся на
некотором расстоянии перед краем трещины) между Ки при ис-
испытании с возрастающей нагрузкой, показателем деформационного
упрочнения материала п (в степенном законе диаграммы дефор-
деформации) и скоростью деформации е:
_К *i_
К1С~ п •
Следует также не упускать из вида эквивалентность между
скоростью деформации материала перед краем трещины для рас-
распространяющейся трещины (при постоянной нагрузке) и ско-
скоростью деформации при увеличении скорости нагружения (при
постоянной длине трещины).
Эти рассуждения помогают установить взаимное соответствие
между критическими коэффициентами интенсивности ыапряже-
20* 307
ний, определенными двумя методами — при остановке быстрой
трещины и в момент начала быстрого движения трещины в ис-
испытаниях с возрастающей нагрузкой.
Можно предложить следующее уравнение, описывающее до-
критическую диаграмму разрушения (см. § 29) [441, 442]:
Здесь М — оператор медленного роста трещины, который в крити-
критический момент (при do/dl = 0) становится равным нулю, и урав-
уравнение C8.1) сводится к условию Гриффитса — Ирвина G = GC
C.8).
Для тонкой пластической зоны у конца трещины можно запи-
записать (v% — смещение в вершине):
1 а C8<2)
д С
G = 2сгтг# + о"т л \ и(х, a, I) dx.
i
Краевое условие запишется в виде о = а0 при I = 10.
Применим уравнения C8.1), C8.2) к задаче о растяжении
плоскости с трещиной в случае малой пластической зоны. Послед-
Последнее достигается разложением левой части уравнения C8.1) в ряд
Маклорена в окрестности а = 0. Получаем
dp 3 2 — gft
Здесь, как и раньше,
п ЛСТ с. I
f* I
Если трещина вместе с малой пластической зоной находится
в вязкоупругой матрице, то перемещения (и их приращения), вхо-
входящие в выражения М и G, можно представить в виде произведе-
произведения перемещений, соответствующих упругому решению v°(.x, a, I)
и «функции ползучести» i|)U):
v(x, а, 1)^и*{х, а, l)ty(bt),
Здесь bt = Д// — время пересечения концом трещины некоторой
области длины Д. Интервал 8t достаточно мал, и функцию ty
можно считать постоянной в этом интервале. Поэтому данная
теория относится к трещинам с малой пластической зоной, а ско-
скорость деформирования в нужной мере ограничена. Величина про-
308
тяженности «внутреннего разрыва» А считается характеристикой
материала и с учетом малости Ы должна быть много меньше ха-
характерной длины с. Эти упрощающие предположения позволяют
записать уравнение C8.1) в виде
тг ж \гЛ (*>а'z>dx
dl ol J
^ (д П)
Если тело не содержит пластической зоны (а — 1 = 0) или если
достигается критическое состояние (do/dl = 0), то имеет место
критерий Грпффитса — Ирвина G = GC/^(A//), распространенный
на вязкоупругое тело.
Разложим далее функцию ^Ff) в ряд Тейлора в окрестности
точки 8t = 0, предполагая, что / > 0, т. е. что трещина движется,
и, следовательно, приложенная нагрузтка выше начальной. Имеем-
Поскольку б^ = — = -^, то можно записать
I о dl
Подставляя в C8.4) известное упругое решение для перемеще-
перемещений, получаем
Здесь т) = 1 для плоского напряженного состояния и ц = 1 — v2
для плоской деформации.
Полученное уравнение можно линеаризовать, если пренебречь
членами, содержащими (da/dlJ и (da/dlK по сравнению с теми,
куда входит da/dl. Тогда получим, что
1 + '-^- + В ^ Р? =
Е ^ " ' ) dl G(a, I)'
Учитывая, что для плоскости с трещиной G = nr\laz/E, перехо-
переходя к безразмерным обозначениям, окончательно получаем
Здесь С = чр\^0— характеристика чувствительности матери-
материала к скорости деформирования. Постоянная А определяется экс-
экспериментально.
309
Из уравнения C8.5) получаем две крайние ситуации. Для ма-
материала, не чувствительного к скорости нагружения, С — О,
и уравнение C8.5) переходит в уравнение C8.3). Наоборот, для
материала, очень чувствительного к скорости нагружения, урав-
пение C8.5) может быть приведено к виду
С
ИЛИ
Последнее уравнение интегрируется для заданной истории нагру-
нагружения $(t) и приводит к соответствующему закону распростране-
распространения трещины во времени.
Рис. 38.1. Докритический рост трещины на экране аналоговой машпны На-
Начальные условия: So -=50,5, ft, = 0,1. Стрелками отмечены максимумы'кри-
максимумы'кривых, т. е. точки, соответствующие критическому состоянию. Верхняя кри-
кривая — Cli = 0; средняя — С ft = 1; нижняя — Г/р = 2.
На рис. 38.1 показаны докритическпе диаграммы разрушения,
полученные по уравнению C8.5) на аналоговой машине.' Видно,
что повышение чувствительности к скорости нагружения (повы-
(повышение* величины С/§) приводит к увеличению медленного под-
подрастания трещины в докритическом состоянии.
Закон распространения трещины при циклическом нагружении
получается из уравнения C8.5) с помощью последовательного по-
построения сетки докритических диаграмм в области заданного из-
изменения нагрузки с новой начальной длиной трещины на каждом
цикле. Интегрируя правую и левую части уравнения C8.5) по ?
310
в пределах от fJ[1Ull до ?raas (принимая ? постоянной в течение
цикла), получаем
^тах Ртах
dl 2 <., Г p3dp с (* R2d8
iJmm
C
mm
Здесь <<}> — средняя скорость нагружения за цикл.
Заметим, что для плоскости критическое состояние наступает
при ^ = 2. В начальной стадии многоцикловой усталости длина
Рис. 38.2. Рост трещины при циклическом нагружении на экране аналоговой
машины (заключительная стадия). Начальная длина трещины ?о=1, об-
область нагружения ОД < р <; 0,3. Критическая длина трещины %с =22,2;
а) С1ф = 0, Л' «= 426, б) С/<р> = 2,5, N = 132.
трещины много меньше критической, и поэтому в интегралах ве-
величиной t,$z можно пренебречь по сравнению с числом 2. Следо-
Следовательно, последнее уравнение может быть переписано так:
~
Й) + А- (Р
6^
'шах
Й).
C8.6)
Первое слагаемое в правой части этой формулы отражает извест-
известную зависимость Париса C0.1), в которой коэффициент интен-
интенсивности напряжений входит в четвертой степени. Второе слагае-
слагаемое отражает дополнительный вклад в скорость роста трещины
вследствие чувствительности материала к скорости нагружепия.
Средняя скорость нагруженпя за цикл может быть выражена че-
через частоту нагружения /:
311
Здесь Ар = ртах при рт1п =р0 = 0 для пульсирующего цикла. Учи-
Учитывая, что 2(АК/КсJ = (ApJt, уравнение C8.6) можно переписать
в виде
'А?Т. C8.7)
dN~ 3 [KJ ' 12 /
Из этого уравнения следует, что с увеличением размаха нагрузки
Лр и чувствительности материала к скорости нагружения С/<р>
число циклов до полного разрушения падает. Например, при цик-
цикле Ртах = 0,2, Ртт —0,1 и коэффициенте чувствительности С/<р> ==
= 0; 0,5; 1; 1,5 долговечность по числу циклов соответственно
будет 6471, 2301, 1423, 1040.
Рис. 38.2, а и рис. 38.2, б показывают, что существует эффект
увеличения скорости роста трещины с увеличением С/($У, что
эквивалентно увеличению чувствительности материала к скорости
нагружения или уменьшению частоты нагружения.
§ 39. Длительное разрушение полимерных материалов1)
Разрушение полимерных материалов име*ет свои специфиче-
специфические особенности, которые осложняют моделирование сложного
процесса трещинообразования и кинетики роста трещин в таких
материалах. Вблизи вершины трещины, где процесс разрушения
Рцс. 39.1. Концевая зона трещины в полимерном материале.
локализован в зоне предельно высоких напряжений, в материале
могут образовываться пустоты, субмикротрещины и т. п., которые
затем растут и сливаются (рис. 39.1).
') Параграфы 39 и 40 написаны при участии А. А. Каминского.
312
Недостаток знаний о характере разрушения в концевой зоне
трещины может компенсироваться разумным моделированием
структуры края трещины. Из рис. 39.1 видно, что нелинейно де-
деформированный, частично разрушенный материал сосредоточен в
узкой области перед вершиной трещины. Это позволяет при мо-
моделировании края трещины заменить концевую область разрезом
на продолжении трещины, находящимся под действием равномер-
равномерно распределенных самоуравновешенных напряжений (см.
рис. 4.1), т. е. использовать уже изложенную в § 7 бк-модель.
Напомним, что в бк-модели напряжения а0 в концевой области
считаются постоянными и равными либо сопротивлению отрыва,
либо пределу текучести материала. Однако это предположение
будучи справедливым для упругих и упругопластических материа-
материалов, не выполняется для ряда вязкоупругих материалов из-за
реономности их свойств. Например, при разрушении полимеров,
таких как полпметилметакрилат (ПММА), напряжения в конце-
концевой области существенно меняются с ростом трещины, однако
размер концевой зоны меняется при этом незначительно (а в до-
довольно широком диапазоне скоростей роста трещины практически
постоянен). Более того, как следует из экспериментов, и форма
концевой области для трещины, растущей в ПММА, не зависит
от длины трещины, т. е. имеет место автомодельность.
С учетохМ. сказанного будем исследовать развитие трещины в
вязкоупругой среде, следуя бк-модели при следующих предполо-
предположениях [71].
1. При развитии трещины размер концевой области d остается
постоянным id — const), а напряжение со изменяется с ростом
трещины и определяется из условия
'(я) = 0, C9.1)
где б(х) — раскрытие берегов трещины, a = l + d. Это условие
ограниченности напряжений на краю копцевой зоны приводит к
тому, что если один из этпх параметров (оо или d) положить
постоянным, то другой обязательно должен зависеть от длины
трещины lit) (а следовательно, неявно от времени). Действитель-
Действительно, это видно, например, при одноосном растяжении распределен-
распределенной нагрузкой р плоскости с трещиной (аналог задачи Гриффитса,
см. § 7). Полагая d = const, получаем из C9.1)
- <39-2>
Отсюда следует, что с ростом длины трещины напряжения в
концевой области растут (такая тенденция наблюдается, папри-
мер. при разрушении полнметплметакрилата).
Если же предположить, что и d и ао не зависят от времени, то
не будет выполняться условие плавности смыкания берегов тре-
трещины на концах, а, следовательно, напряжения в тупиковой части
313
могут быть бесконечно большими, что противоречит основным по-
положениям бк-модели.
2. В качестве критерия разрушения примем критерий крити-
критического раскрытия трещины, полагая, что этот критерий справед-
справедлив в каждый момент времени для растущей трещины:
)!:,=,@ = би. ' C9.3)
Заметим, что такое обобщение 6к-модели на вязкоупругие сре-
среды приводит к новой кинетической модели разрушения, которая
отлична от статической.
Развитие трещины в полимерах можно условно разбить на
три периода: инкубационный (подготовительный), период медлен-
медленного квазистатического роста трещины и, наконец, период дина-
динамического развития трещины.
1. Инкубационный период развития трещины в полимерах.
Во время инкубационного периода происходит раскрытие берегов
трещины без ее роста.
Согласно принципу Вольтерра уравнение контура трещины в
вязкоупругой пластине можно во многих случаях представить так:
b(x,t) = T*SG(x,t), C9.4)
где Т% — интегральный оператор теории • вязкоупругости,
Ь0(х, t) — функция силовых п геометрических параметров. Для
прямолинейной трещины в бесконечной пластине, находящейся
под действием самоуравновешенных напряжений р'х, /), эта функ-
функция согласно G.8) имеет вид
а
80 (х, t) = - j q (?, t) Го (а, я, |) dt, C9.5)
где
p(x,t), \x
Рост трещины согласно критерию C9.3) начнется тогда, когда
раскрытие берегов трещины при x = l0 Uo — начальная длина тре-
трещины), достигнет предельного значения.
Далее будем рассматривать операторы теории вязкоупругостп
разностного вида:
Г Г 1
T*g (t) = T0\g(t)+\R(t-T)g (т) ^т . C9.6)
о
Тогда из условия C9.3) с учетом соотношений C9.4) и C9.6), пола-
полагая, что внешняя нагрузка приложена мгновенно1) в момент t = 0,
') Под этим термином понимается время приложения нагрузки, значи-
значительно меньшее времени релаксации Т.
314
приходим к уравнению для определения длительности инкубаци-
инкубационного периода i*
t*
60 A0) + Г Д (fA — Т) б0 [р (т), lQ] dx = -/. C9.7)
о
В том случае, когда внешняя нагрузка не изменяется во вре-
времени, т. е. pix, t) = pix). уравнение C9.7) упрощается:
t*
R F) de-^r-1, C9.8)
1
где б(/) = Тоб(Х1) —упругое раскрытие берегов трещины при х = 1.
Как известно, различают два типа вязкоупругих сред: среды,
кривые ползучести которых имеют горизонтальную асимптоту1),
и среды с квазивязким течением (тела типа Максвелла). В связи
с этим отметим, что если при монотонно возрастающей нагрузке
решение уравнения C9.7) всегда существует, то при постоянной
внешней нагрузке решение уравнения C9.8) будет существовать
только для вязкоупругих тел типа Максвелла (и, следовательно,
разрушение имеет место при сколь угодно малых нагрузках).
Пусть внешняя нагрузка представима в виде pfix, у), где
р — параметр иагруження, имеющий размерность напряжения,
fix, у) — некоторая функция координат. Тогда для вязкоупругих
тел первого типа решение уравнения C9.8) существует только для
параметров р, больших некоторого предела р5 (безопасная нагруз-
нагрузка). Другими словами, при р < р5 величина 6(x = l0it) не дости-
достигает бк даже за сколь угодно большое время и, следовательно,
трещина не растет.
С учетом C9.4) в общем случае величины безопасных нагру-
нагрузок определяются соотношением
WTisj= ~г' C9'9)
где Т'» и Го — соответственно длительное it = <x>) и мгновенное
(t = 0) значения функции Г* • 1.
Выражение C9.9) для вязко упругой пластины можно пред-
представить в виде
^, C9.10)
41'Pa) EJ
где Е?, Ее* — мгновенный и длительный модули упругости.
Для трещин с малой концевой зоной (d < I) упругое раскры-
раскрытие берегов при х — lit) можно выразить через коэффициент
') Деформирование таких вязкоупругих тел описывается ограниченны-
ограниченными интегральными операторами [244].
315
интенсивности напряжений К в виде A2.3):
• C9.11)
Тогда коэффициент интенсивности напряжений, соответствующий
безопасной нагрузке К6, определяется из C9.10):
5s = -5*, C9.12)
где К* — критический коэффициент интенсивности напряжений,
соответствующий критическому параметру нагрузки />#, которая
вызывает рост трещины в теле с мгновенными характеристиками.
Во многих случаях К можно представить в впде
K = p-f(l,r\J, C9.13)
где т)к — некоторые геометрические параметры. Тогда из C9.12)
^ = ^, C9.14)
Отметим, что для вязкоупругих тел, деформирование которых
описывается ограниченными интегральными операторами, суще-
существует безопасный размер трещины Z6, такой, что при I ^ /; тре-
трещина не развивается. Эта безопасная длина определяется в общем
случае из уравнения C9.9), а для вязкоупругой пластины — вы-
выражением C9.10), которые можно переписать в виде
бк , Г~ бк . Ео ПО 1^
В качестве примера исследуем случай, когда ядром интеграль-
интегрального оператора C9.6) является дробно-экспоненциальная функция
д а - т) - >дя (р, t - х) - ut - т)
)-«
П = 0
C9.16)
где а, р, X — реологические параметры материала, определяемые
из эксперимента; Г — гамма-функции Эйлера.
Отметим, что в этом случае EJEX = \ + X/^. В таблице 39.1
приведены значения Рб/р* для некоторых полимерных вязкоупру-
вязкоупругих материалов.
Подчеркнем, что знание величин р5 и /„ имеет практическую
ценность, так как позволяет с помощью соответствующего подбора
конструкционных материалов (или их реологических свойств)
уменьшить докритический рост трещин.
2. Основной период развития трещины в полимерном мате-
материале. После инкубационного периода при докритпческих внеш-
внешних нагрузках начинается основной период, связанный с медлен-
316
вым ростом трещины. Аналогично упругому случаю, здесь могут
возникать как устойчивые, так и неустойчивые трещины. Если
рост устойчивых трещин при постоянных нагрузках является
затухающим, то развитие неустойчивых трещин происходит с
Таблица 39.1
Реологические свойства полимеров
Материал
Эпоксидная смола
ЭД-6
Полиуретан
Температура, °С
20
20
а
0,5
0
?а-1
0,052
13,55
ра-1
0,12
2,7
0,7
0,17
мало возрастающей скоростью вплоть до достижения трещиной
критической длины I = /# (когда начинается ее быстрый динами-
динамический рост). Эксперименты показывают, что в течение основного
периода трещина развивается со скоростью, близкой к постоянной.
Это позволяет исследовать такие задачи в квазпстатпческой поста-
постановке, т. е. полагать движение настолько медленным, что можно
пренебречь инерционными членами в уравнениях движения и
использовать в дальнейшем соотношения статики упругонаслед-
ственных тел.
Заметим, что вершина трещины, начиная свое движение, про-
проходит расстояние, равное начальному размеру концевой зоны
(ввиду малости которой, этим периодом пренебрегают). В даль-
дальнейшем неустойчивые трещины медленно подрастают до крити-
критического размера (когда начинается спонтанное развитие). В связи
с этим выделим две последовательные фазы разрушения. Вначале
элемент сплошной среды переходит в некоторое промежуточное
состояние (концевая зона), а затем трещина, попадая в концевую
зону, производит окончательное разрушение элемента. Детали
этого процесса таковы, что на начальном этапе трещина двигает-
двигается по уже сформированной концевой зоне (предполагается, что
к моменту i = 0 в теле уже существует трещина /0 с концевой
областью d0), и поэтому берега разреза уже пмеют дополнитель-
дополнительное раскрытие за время инкубационного периода. На последую-
последующем основном этапе развития трещины такой ситуации уже нет.
Трещина разрывает сплошной материал, формируя перед этим
концевую область. Раскрытие берегов разреза в концевой области
начинается с момента попадания вершпны в соответствующую
точку вязкоупругой среды (обозначим этот момент через ?').
Тогда уравнение медленного роста трещины на этом этапе полу-
получим, полагая, что в любой момент выполняется условие C9.3):
f fl(*-
, l(t)]dT , C9.17)
317
где
ttxjti)] =T060[x,l(t)].
Уравнение C9.17) есть нелинейное интегральное уравнение
сложной структуры. Проведем анализ этого уравнения. Ввиду то-
того, что развитие устойчивых и неустойчивых трещин на этом
этапе имеет качественное различие, исследуем отдельно эти
случаи.
Развитие устойчивых трещин при длительном действии посто-
постоянной внешней нагрузки происходит с убывающей скоростью,
и через некоторое время трещина останавливается. В связи с
этим для поддержания незатухающего движения трещины необхо-
необходим рост внешней нагрузки со временем.
При распространении неустойчивой трещины, начиная с мо-
момента tu которому соответствует litj =lo~^ d, скорость движения
трещины близка к постоянной, за исключением небольшого ин-
интервала времени перед окончанием этого периода, когда трещина
переходит на динамический режим развития. Поскольку оба сла-
слагаемых в правой части C9.17) — положительные, причем 60[l(t)]
увеличивается с ростом lit), то, очевидно, что при Т0Ь0ИШ\ > б«
уравнение C9.17) не будет иметь решения.
Итак, условие
Tobo[l(t) = l*] = b« C9.18)
совпадает по форме с обычным критерием предельного раскрытия
G.1), отличаясь от него тем, что вместо упругих постоянных ма-
материала здесь стоят мгновенные упругие постоянные. Длина тре-
трещины l(t = t%%) = Zjj. и время t**, в течение которого эта длина
достигается, называются критическими, a Г* = ?.,; + ?#*=?## оп-
определяет долговечность вязкоупругого тела с трещиной.
Отметим, что развитие неустойчивых трещин представляет
наибольший интерес (по сравнению с устойчивыми трещинами),
поскольку они более опасны и в ряде случаев могут привести к
полному разрушению.
В заключение преобразуем уравнение C9.17) заменяя т = 0 +
+ t' и t' = t-q:
$R(q-BN0[l{GIl(t)]dQ\. C9.19)
Здесь q — время, за которое конец трещины проходит расстояние,
равное d.
3. Дифференциальные уравнения роста трещин в полимерном
материале. Исследуем рост трещин, имеющих малые концевые
зоны (d -С I) под действием медленно растущих (или постоянных)
внешних нагрузок в вязкоупругих телах.
318
Упругое раскрытие берегов полу бесконечной трещины в плос-
плоскости можно представить в следующем виде [210, 306]:
б[х, I(*)] = ^во(t) J2 Vd[d-(x-l(t))] + \x-l(t)\ X
o0(t) = X^, C9.20)
-[x-l(t)])
Разлагая Кх) вблизи точки t в ряд Тейлора и оставляя в нем
(вследствие малости d) только два члена, получим
-г). C9.21)
Параметр нагружения р(%) также представим вблизи % = t в виде
отрезка ряда Тейлора
-t). C9.22)
Исходя пз соотношений C9.20) —C9.22), преобразуем уравнение
роста трещины C9.19) для случая, когда внешние нагрузки мед-
медленно меняются со временем. Оставляя в уравнении C9.19) толь-
только члены порядка не выше d/l, с помощью замены S— (i/d)(t — г)
преобразуем его к виду
1
\() C9.23)
i о [
где
Уравнение C9.23) является дифференциальным уравнением, опи-
описывающим квазистатический рост трещин нормального отрыва
в вязкоупругоп среде, и устанавливает связь между коэффици-
коэффициентом интенсивности напряжений движущейся трещины и ско-
скоростью ее роста.
Преобразуем уравнение C9.23) для некоторых известных ядер
операторов наследственной теории упругости н представим зави-
зависимость К от I, определяемую этим уравнением, в более компакт-
компактной форме.
а. Материал Максвелла. В этом случае
Д(*-т)=Л, C9.24)
где >, = 1/(Зл), п — коэффициент вязкости. Уравнение C9.23) пре-
преобразуется к виду
% = 1 + | ?-¦ C9.25)
Ь
б. Пусть Hit — т) — ядро Абеля в форме
319
где к и а — реологические постоянные материала. Подставляя
C9.26) в выражение C9.23), получаем
К
в. Представим i?(f — т) в виде дробно-экспоненциальной функ-
функции C9.16). В этом случае допустимо почленное интегрирование
ряда R(qS)F(S), поскольку этот ряд сходится при t~ т>0 абсо-
абсолютно и непрерывно [245]. Исходя из этого, представим уравне-
уравнение C9.23) в виде
71=0 " 0
Вычисляя входящие сюда интегралы, окончательно получаем
2JL = i 4- К * Д > t~ Р) Я.
^ 2 ^
§ 40. Исследование роста трещин в полимере
при растяжении
Уравнение роста трещины C9.23) в ряде случаев допускает
решение в квадратурах [71].
В качестве примера рассмотрим задачу Гриффптса, для кото-
которой коэффициент интенсивности напряжений представим в виде
C.15). Для этого случая уравнение C9.23) можно записать так
Yf D0.1)
где
1
Q(g)^i\R(qS)F(S)dS, q = %.
1
Поскольку в рассматриваемом случае развитие трещины не-
неустойчиво и существует критическая длина I = /%, при которой
К* = р У л1% и начинается ее закритическое развитие, справед-
справедливо следующее соотношение:
'**
-«-Jf, D0.2)
где t%* — время достижения трещиной критической длины /#.
Вычисляя из D0.1) дифференциал dl и переходя к переменной q,
320
запишем решение уравнения C9.23) в виде
f gg<g)+gV(g) rf D0>3)
где % = d/l0, a p* — критическое значение внешней нагрузки.
Связь параметра q с длиной трещины I устанавливается соотно-
соотношением D0.1). Долговечность вязкоупругого тела с трещиной оп-
определится из соотношения
. е< *„ - 2к(*)* Г «<?(«>+ «8<Н«> dq. D0.4)
т
Учитывая соотношение
D0.5)
из уравнения D0.1) установим связь между параметром q0 и
внешней нагрузкой />:
?* = 1 + go<2 (g0). D0.6)
Рассмотрим теперь задачу Гриффитса для тел различных рео-
реологии. Для тела Максвелла C9.24)
R(qS) =K = const, Q(q) = Я/3, D0.7)
и из уравнения D0.3) можно получить зависимость длины тре-
трещины от времени
I И) - h j^f {/(у-1/-6']' D0'8)
где Ъ = ЫЕ0/Ш0). Скорость движения трещины в этой среде
D0-9)
Отсюда следует, что при стремлении внешней нагрузки р к
нулю скорость трещины также стремится к нулю, а когда р = p*f,
скорость трещины бесконечно велика. Когда 0 <Ср <!/>*, то всег-
всегда существует время ?##, при достижении которого скорость
трещины стремится к бесконечности, т. е. наступает быстрый ди-
динамический рост трещины. Из D0.9), а также из более общего
соотношения D0.4), следует выражение для долговечности
D0.10)
21 В. 3. Партой, Е. М. Морозов 321
Отсюда видно, что при р = р% разрушение происходит мгновенно.
При уменьшении р долговечность Т% неограниченно растет.
Рис. 40.1. Зависимость приведен-
приведенной длины трещины от времени
в задаче Гриффитса для тела
Максвелла.
0,0225
0,0150
0,0075
- !
1
j
/
10,7
1
"J0
150
Рис. 40.2. Зависимость приведен-
приведенной скорости роста трещины от
времени в задаче Гриффитса для
тела Максвелла.
На рис. 40.1 и 40.2 показаны зависимости приведенной длины
трещины l(t)/U и приведенной скорости роста трещины l(t)/{lDb)
от времени t при различных значе-
значеX
р
ниях параметра X = pip*.
Для тела Кельвина
стандартное тело)
(линейно
е
-Р?«-*>
D0.11)
700
1500
Из соотношения D0.3) для полиуре-
полиуретана Solithane-113 (см. табл. 39.1)
численным методом получена зависи-
зависимость безразмерной длины l(t)/l0 от
безразмерного времени 6 = t/T (T =
Рис. 40.3. Зависимость безраз- =0,369 с - время релаксации рас-
мерной длины трещины от без- сматриваемого полимера),
размерного времени в зада- На рис. 40.3 приведена эта
че Гриффитса для тела Кель- зависимость при d/U = Ю-3-
"Г (СпДунГнрЯнаЛя-ИаЯк7пеРраяС: (сплошная линия), пунктиром обо-
мент). зпачена соответствующая экспери-
экспериментальная кривая.
Все определяющие уравнения роста трещин, приведенные
выше, основываются на общей зависимости D0.1), а поэтому
формально справедливы не только для плоской задачи, но также
и для пространственных трещин нормального разрыва.
322
Рассмотрим вязкоупругое пространство, ослабленное плоской
круговой дискообразной трещиной радиуса Z, перед кромкой кото-
которой имеется тонкая зона предразрушения шириной d. Простран-
Пространство подвержено действию растягивающих напряжений /?, нор-
нормальных плоскости трещины. Заменяя концевую зону концевым
разрезом, находящимся под действием равномерно распределен-
распределенных самоуравновешенных напряжений о0, приходим к бк-модели.
П. Or
У///
¦'±^u
2Ъ
и ;
>
Г-
\
у}
\l
-1
Рис. 40.4. Схема экспери-
эксперимента в а длительную
прочность.
Рис. 40.5. Длительная прочность по-
полиуретана в задаче Гриффитса
(сплошная линия — расчет, точки —
эксперимент).
Раскрытие берегов трещины в этом случае также представляется
соотношением D0.1), в котором интегральный оператор вязко-
упругости имеет вид
8[l-(v*J]
а функции б0 равна (см. [42, 209])
Здесь
arcsin(Z/a)
(я/2,
3 — r2 sin2 a da
0<r</,
D0.12)
.a). D0.13)
Условие конечности напряжений имеет вид
pa-oja2-? = 0. D0.14)
Раскрытие берегов трещины при г == / определится из соотно-
соотношения
8(!,0)вГ*1AоA-1/а). D0.15)
21* 323
При d<.l справедливо уравнение роста трещин C9.23), в котором
(см. табл. 15.2, п. 9)
. D0.16)
Развитие трещины в этом случае также определяется соотноше-
соотношениями D0.3) и D0.4), а для тела Кельвина остаются справедли-
справедливыми выражения D0.8) —D0.10).
Были проведены экспериментальные исследования по опреде-
определению долговечности тонкой пластины из полиуретана Solitha-
пе-113 со сквозной центральной прямолинейной трещиной
(рис. 40.4). Деформирование описывается интегральным операто-
оператором с экспоненциальным ядром вида D0.11) и с реологическими
характеристиками, приведенными в табл. 39.1. Длина трещины
значительно меньше ширины пластины, и поэтому для вычисле-
вычислений можно брать коэффициент интенсивности напряжений для
неограниченной пластины C.15).
На рис. 40.5 представлена зависимость долговечности Т*
полиуретана Solithane-ИЗ от безразмерного параметра (р/р*J
при к = 10~2'7. Сплошная линия соответствует численному реше-
решению по формуле D0.4), а экспериментальные данные взяты из
[442].
Часть II
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Глава VI
ВОЗДЕЙСТВИЕ ВНЕШНИХ СРЕД
НА РОСТ ТРЕЩИН
§ 41. Рост трещин в металлах при воздействии водорода1)
Как известно, водород широко применяется во многих отраслях
техники и промышленности. Вместе с тем, обусловленное водо-
водородом повреждение металлов считается в настоящее время при-
причиной многих аварий и катастроф, приносящих значительный
ущерб. Среди разнообразных проявлений вредного влияния во-
водорода на механические свойства (предел прочности, пластич-
пластичность, характеристики усталости, ползучести и т. п.) особого
внимания заслуживает обусловленное водородом облегчение за-
зарождения и роста трещин в металлах. Связано это с тем, что
независимо от того, насколько совершенны технология и качество
изготовления, практически все конструкционные материалы и
изделия из них содержат дефекты (или врожденные, или возник-
возникшие в процессе эксплуатации). При этом Ёодород, воздействую-
воздействующий на металлы, значительно увеличивает их чувствительность
к трещинам и увеличивает вероятность разрушения конструкций,
обладающих при обычных условиях достаточной несущей спо-
способностью. Таким образом, эксплуатация металлов в атмосфере
водорода приводит к необходимости оценки их трещиностойкости,
а исследование закономерностей роста трещин в таких условиях
приобретает большое значение.
В качестве одного из главных положений теории роста третий
в металлах при воздействии водорода примем концепцию коэф-
коэффициента интенсивности напряжений. Анализируя феноменологию
влияния водорода на разрушение металлов, можно сформулиро-
сформулировать некоторые аксиомы теории роста трещин. Во-первых, для
осуществления акта локального разрушения при данной интен-
интенсивности механического воздействия (определяемой коэффициен-
') Это г параграф написан при участии А. Е. Андрейкива и В. С. Харина.
325
том интенсивности напряжений К) необходимо наличие опреде-
определенного количества водорода в некоторых локализованных микро-
микрообъектах металла. Во-вторых, к моменту достижения определен-
определенного уровня нагрузки в микрообъектах перед вершиной трещины
может не содержаться необходимое количество водорода, которое,
однако, может накопиться там по истечении некоторого времени
в процессе установления равновеспого состояния в системе ме-
металл — водород. Таким образом, рост трещин в металлах при
воздействии водорода контролируется не только свойствами ма-
материала, но и особенностями для данной системы процессов
переноса и накопления водорода в локальных областях. Этим
обуславливается отличие рассматриваемого процесса роста трещин
от хрупкого разрушения при статическом нагружении в обычных
условиях.
Из приведенных рассуждений вытекают следующие выводы.
В случае водородного роста трещин можно выделить три состоя-
состояния, которым отвечают три интервала изменения коэффициента
К [374, 435]. Первое состояние характеризуется тем, что физико-
химические процессы в данной системе металл — водород не
обеспечивают выполнение условий начала роста трещины. Этому
состоянию соответствует интервал изменения К ^ Kth, где Kth —
пороговый коэффициент интенсивности. Второе состояние ха-
характеризуется медленным докритическим подрастанием трещин
при Kth < К < /Си, когда рост трещины тормозится процессами
доставки водорода в очаг разрушения. Здесь КсК — критический
коэффициент интенсивности в условиях водородного охрупчива-
ния материала. Наконец, третье связано с закритическим ростом
трещины при К > Ксц, обеспечиваемым при данном распределе-
распределении водорода в системе чисто механическим фактором — уровнем
нагружения. В последнем случае развитие трещины по своему
характеру (но не по микромеханизму роста) близко ее развитию
при статических испытаниях в обычных условиях. При этом па-
параметр трещиностойкости по физическому смыслу наиболее
близок к характеристике обычной вязкости разрушения К1с (хотя,
вообще говоря, ей не тождествен).
Рассмотрим теперь задачу определения параметров сопротив-
сопротивления материала росту трещин при наличии водорода, позволяю-
позволяющих установить связь между поведением лабораторных образцов
в процессе испытаний и поведением материалов в конструкциях
при тех же условиях. Заметим, что обычные методы механики
разрушения [144] при изучении водородного охрупчивания метал-
металлов не являются корректными. Так, анализируя типичные резуль-
результаты опытов по оценке влияния водорода на кратковременную
статическую трещиностойкость металлов [200] (рис. 41.1), не-
нетрудно установить, что определяемый стандартным методом па-
параметр трещииостойкости Kq, будучи весьма чувствительным к
воздействию водорода [83, 200, 319, 334], является лишь одним
значением коэффициента К из интервала Kth < К < Кси, в кото-
326
ром рост трещины возможен. При этом он однозначно характе-
характеризует, строго говоря, лишь поведение отдельного образца с тре-
трещиной, но не может претендовать на роль параметра, описываю-
описывающего поведение материала в данных условиях. В самом деле^ для
хрупкого материала, описываемо-
описываемого липейной механикой разруше-
разрушения, при кратковременном стати-
статическом испытании с постоянной
скоростью нагружения при воз-
воздействии водорода получается не-
нелинейная (вследствие докритиче-
ского подрастания трещины) диаг-
диаграмма «нагрузка Р — раскрытие
трещины и». Обрабатывая эту ди-
диаграмму по методу 5%-й секущей
(см. § 17), т. е. фактически по
методу 2%-го прироста трещи-
трещины [276] (рис. 41.1), определяем
значение Кяи. Эта величина ока-
зывается зависящей не только от ^обра^Ттре^ТХ
условии нагружения (скорости из- дуХе и в атмосфере водорода; 1 —
менения коэффициента интенсив- исходная усталостная трещина,
ности А, пропорциональной СКО- 2—медленный подрост трещи-
рости подвижного захвата; сред- ны' ^ - зона лолома на изломе
ней скорости lcv подрастания тре-
трещины на промежутке от I до Z+AZ), но и от расчетного приро-
прироста трещины Д? = 0,02г, т. е. от размера образца. Зта зависи-
зависимость в первом приближении может быть представлена так:
Выражение D1.1) ставит под сомнение возможность сопоставле-
сопоставления разных материалов по значению КЯц.
Таким образом, к числу инвариантных параметров пока мож-
можно отнести лишь пороговый коэффициент Kth [48, 4351.
При исследовании закономерностей роста трещины в метал-
металлах, взаимодействующих с водородом, большое распространение
приобрел подход, связанный с изучением зависимости скорости
роста трещины / = dl/dt от коэффициента К, называемой кине-
кинетической диаграммой растрескивания. В этих диаграммах обна-
обнаруживаются такие качества, которые позволяют считать их основ-
основными для систем металл — водород, несущими наиболее полную
и сопоставимую информацию о трещиностойкости материалов.
По-видимому, все определяемые экспериментально параметры и
зависимости (характеризующие трещиностойкость системы ме-
металл — водород) прямо содержатся в кинетической диаграмме
(Kth, КсП) или могут быть рассчитаны на ее основе. Например,
можно построить диаграмму замедленного разрушения в коорди-
327
натах «приложенная нагрузка (или начальный коэффициент ин-
интенсивности К{) — время до разрушения tp> с помощью соотно-
соотношения
к,
dl {K)ldK
dK
D1.2)
где U — время до начала подрастания трещины (инкубационный
период, рис. 41.2).
Дальнейший анализ роста трещины в металлах при воздей-
воздействии водорода связан с разра-
разработкой количественной модели,
устанавливающей связи этого ро-
роста с интенсивностью механиче-
механического воздействия на металл в
зоне предразрушения (т. е. К), ки-
кинетикой перераспределения водо-
водорода и его накопления в ответст-
ответственных за разрушение микрообъе-
микрообъемах [4, 212].
1. Анализ накопления водорода
в зоне предразрушенпя. Первым
этапом создания теории при
водородном охрупчивапии явля-
является установление зависимости
Окончательное
разрушение
Зарождение
или начало
роста
трещины
К;
Рйс. 41.2. Диаграмма замедленно-
замедленного разрушения (ИП — инкубаци-
инкубационный период, МРТ — медленный С* = C±(t, я*), D1.3)
рост трещины).
где С* — количество водорода в
предполагаемом очаге разрушения, а» — параметры материала,
среды, нарружения.
Ввиду сложности и многостадийности физико-химических про-
процессов взаимодействия водорода с металлами построение зави-
зависимости вида D1.3) уже само по себе может составить предмет
отдельной теории. Поэтому в дальнейшем ограничимся рассмот-
рассмотрением лишь той стадии, которая предполагается определяющей
для роста трещины. Однако вопрос о природе этой стадии пока
не может считаться решенным. Действительно, существуют две
гипотезы о кинетике перераспределения водорода (и кинетике
роста трещины); согласно этим гипотезам перенос водорода к оча-
очагам разрушения контролируется или диффузией внутри металла,
или (в случае воздействия водородосодержащих сред) поверхност-
поверхностными процессами адсорбции молекул среды и хемосорбщш без
участия диффузии водорода внутрь металла [361, 364, 374, 375,
381]. Имеющиеся результаты показывают, что диффузионная ги-
гипотеза представляется достаточно достоверной. На основе уточ-
уточненных данных о напряженно-деформированном состоянии у
вершины трещины [392] установлено соответствие расчетного
328
-lSn
времени диффузии водорода в зону максимальных напряжений
у вершины трещины экспериментально наблюдаемому периоду
подготовки акта ее продвижения, что может служить основой для
определения коэффициента диффузии водорода в металле.
Кроме того, при исследовании определяющего влияния на рост
кинетики поверхностных процессов (в системе металл — водородо-
содержащая среда) отсутствуют
данные, позволяющие исклю-
исключать диффузию водорода в ме-
металле из числа стадий, необхо-
необходимых для подготовки подра-
подрастания трещины [404]. Эти экс-
экспериментальные результаты по-
позволяют предположить, что по-
поверхностные взаимодействия,
контролирующие проникнове-
проникновение водорода в металл, являют-
являются той стадией накопления во-
водорода в очагах разрушения,
-0,20
0
Рис. 41.3. Распределение нормально-
нормального напряжения Оу и интенсивности
пластических деформаций сдвига
ер в окрестности вершины трещины
в неупрочняющемся материале.
которая определяет граничные
условия для диффузии водоро-
водорода в металле.
Результаты детальных ис-
исследований упругопластическо-
го напряженного состояния
вблизи вершины трещины показали, что в плоскости трещины
у = 0 достигаются весьма высокие растягивающие напряжения о„
и гидростатические напряжения а (рис. 41.3) [392,3931. При этом
существенным для описания диффузии водорода в металле явля-
является то, что максимальные значения напряжений достигаются не
на границе пластической зоны при х = ry ~- К21а%, как считалось
ранее, а гораздо ближе к вершине трещины — на расстоянии хт,
примерно равном удвоенной величине раскрытия трещины в ее
вершине б ~ К2/{ЕоТ). Это обуславливает наличие высоких гра-
градиентов напряжений вблизи вершины трещины, оказывающих
влияние на диффузию водорода, что описывается уравнением
DV-
Н
RT
CVo\
D1.4)
Здесь С — концентрация водорода в объеме металла, I — поток
водорода, D — коэффициент диффузии, FH — парциальный мо-
молярный объем водорода в металле, Л — газовая постоянная, Т —
абсолютная температура, — оператор градиента.
Аппроксимируем гидростатическое напряжение при 0 < х < хт
линейной зависимостью aix) — о0 + (от — о0)х/хт, где о0 = а@),
от = о0гт). Будем пренебрегать влиянием на диффузию водорода
градиента гидростатического напряжения da/dx в области х ^ хт
который примерно на порядок меньше соответствующего значе-
329
ния при О^х^хт [368, 369, 392]. Тогда с учетом этого и со-
соотношения D1.4) для описания диффузии водорода в окрестности
вершины трещины можно предложить следующие уравнения:
дх
D1.5)
и условия непрерывности потока и концентрации при | = 1:
ЯГ (V- т\
. 1 ч=" /
D1.6)
(С\ ж С % — концентрации водорода в соответствующих интерва-
интервалах |). Здесь введены безразмерные переменные
UL yH(g""g) D17)
?_.?. %^UL w.
хт х2т* 2RT '
Полагая, что физико-химические условия наводораживания ме-
металла в вершине трещины обеспечивают постоянство концентра-
концентрации водорода в поверхностном слое, т. е. задавая граничное
условие для диффузии в виде
С,@, т7 = Со, D1.8)
определим распределение концентрации водорода в окрестности
вершины трещины из решения задачи D1.5), D1.6), D1.8) при
начальном условии
СД1, 0) = С2A, 0)-0. D1.9)
Применив к соотношениям D1.5), D1.6), D1.8) преобразова-
преобразование Лапласа по времени т, получим для изображений С,-(|, р)
функций С,(|, т) И — 1,2) выражение
С е
°
о)]
D1.10)
2a -aT(|-1)/ir
e
а0 = }'т2 + р,
где /> — параметр преобразования Лапласа. Точный переход к
оригиналам от выражений D1.10) связан с выполнением весьма
громоздких преобразований и вычислений.
Для приближенного решения задачи диффузии применим ме-
метод асимптотически эквивалентных функций [271], который
330
обеспечивает хорошее соответствие точных и приближенных зна-
значений оригиналов во всем диапазоне изменения т.
Учитывая асимптотики выражения D1.10)
Су (I, р) ~ С^тШ (р -> 0); Сх (I, p) ~ CQe^-^)lp-\ (p -+ оо),
получим приближение
С1A, р, a) =CQe^-W)l ( /р *-«* + а) [р ( /р + а)].
Здесь а = а(т, ?) ~ свободный параметр, который следует вы-
выбирать, обеспечивая минимальную относительную погрешность
аппроксимации Ci(?, р) при всех р > 0:
max
= min. D1.11)
Так как функция Cj(?, p, ее) допускает точный переход к ори-
оригиналам, то приближенное решение задачи диффузии водорода
в поле механических напряжений у вершины трещины таково:
С, (|, т) = Сое*"* Terfc (I) + (*-"* - 1) ealW% erfc (-^= ,+ а /
Таким образом, для определения концентрации водорода в зоне
предразрушения при любых значениях безразмерного времени х
имеем
erfc (^ф + /
D1.12)
где
D1.13)
а Жа:) — функция Хевисайда.
При выполнении расчетов нулевое приближение для пара-
параметра а находится из условия
1(p)-Cl(p,a)]dp = O, D1.14)
эквивалентного уравнению типа exp (a|) Ei (—а?) = const. (Ei —
интегральная показательная функция), явный вид которого по-
получается без затруднения, однако ввиду громоздкости здесь не
выписан. Дальнейшее уточнение а осуществляется численна на
основе выражения D1.11) методом прямого поиска [4].
На рис. 41.4 приведены результаты расчетов, выполненных по
формулам D1.12) — D1.14) при значениях параметров, соответ-
соответствующих сталям различных уровней прочности, т. е. при Ун —
= 1,96 см7моль, Т = 295 К, от = 869 Н/мм2, m = 0,632 (сталь 4147)
331
и от = 1581 Н/мм2, т = 1,15 (сталь 4340) [3811. При этом
принималось, что ст ~ 2,4от [301], а оо = от/УЗ в соответствии
с условием пластичности Мизеса. Существенная роль градиента
механических напряжений в накоплении водорода в зоне пред-
разрушения очевидна, тем более, что при расчетах использова-
использовались данные для неупрочняющегося материала [368], обеспечи-
обеспечивающие меньший эффект.
?~ 11.1 18,1 ZU,1 60 U t,c ?,/?
го ъо ио юоо г
а)
0,1
1,0
Рис. 41.4. Концентрация диффундирующего водорода в окрестности верши-
вершины трещины: а) при | = 1; б) в момент т = 10; 1—сталь 4340, 2—сталь 4147.
Для оценки реальности масштаба времени диффузии на
рис. 41.4, а дана шкала t при хт = 1,22#7(?ст) для К = 135 Н/мм3/2,
В = Ю-10 mVc, Е => 2 • 105 Н/мм2, аТ = 1581 Н/мм2. Уже в течение
нескольких секунд в зоне предразрушения достигается концент-
концентрация, существенно превышающая поверхностную.
2. Анализ роста трещин в металлах при наводораживании.
Вторым этапом создания теории водородного роста трещин явля-
является построение условия, позволяющего по данным о распреде-
распределении водорода в зоне предразрушения определить момент ло-
локального разрушения, т. е. построение критерия локальной не-
неустойчивости металла у вершины трещины. Это условие в общем
виде таково:
С(хС1 t)=CMc, Ю, D1.15)
где Ссг — критическая концентрация водорода, достаточная при
х = хс для осуществления локального разрушения при данном
значении К. Имея критериальную зависимость
Сг-СеЛлГ, *). D1.16)
на основе данных о распределении водорода в зоне предразруше-
предразрушения D1.12) — D1.14) ж соотношения D1.15) можно описать кине-
кинетику роста трещины. При наличии способа прямого эксперимен-
экспериментального определения зависимости D1.16) теоретическую модель
роста трещин в металлах при водородном охрупчивании можно
было бы считать построенной. Однако средства контроля содер-
содержания водорода в микрообъемах металла у фронта трещины при
332
нагружении образца отсутствуют. Поэтому возникает потреб-
потребность в разработке модели локального разрушения у вершины
трещины наводораживаемого металла, которая на базе тех или
иных физических представлений позволила бы получить зависи-
зависимость D1.16) с использованием данных, легче поддающихся пря-
прямому экспериментальному определению.
Для этого проведем анализ ситуации в окрестности вершины
трещины по методологии комбинированной микро- и макромеха-
макромеханики разрушения и данным о напряженном состоянии в окрест-
окрестности вершины трещины [368] (рис. 41.3, рис. 41.5). Так, осно-
основываясь на понятии о критических локальных растягивающих
Рис. 41.5. Ситуация в окрестности вершины трещины к моменту локального
разрушения; а) нормальное напряжение, интенсивность пластических де-
деформаций сдвига и эффективное критическое локальное растягивающее на-
напряжение разрушения; б) критическая локальная концентрация Ссг и дей-
действительная концентрация водорода С.
напряжениях разрушения, условие осуществления элементарного
акта разрушения в микрообъеме можно представить в виде [55]
О%/ — Gnd + Gni =^ One D1.17)
Здесь Gef — эффективное решение, определяющее прочность рас-
рассматриваемого микрообъема, ond и ani — локальные напряжения
в нем, вызванные соответственно скоплением дислокаций и на-
наличием трещины, опе — теоретическая прочность кристаллической
решетки (или поверхности раздела) в микрообъеме (индекс п
указывает, что напряжения направлены нормально к плоскости
скола). Как следует из моделей разрушений сколом Стро, Смита
и др. [55, 198], обусловленная скоплением дислокаций концент-
концентрация напряжений пропорциональна мощности скопления дисло-
дислокаций в конце полосы скольжения п±:
cnd~n±. D1.18)
Если же принять, что мощность скопления дислокаций пропор-
циопальна их плотности р, которая в первом приближении про-
пропорциональна интенсивности пластических деформаций сдвига ер,
333
то можно записать
D1.19)
где а — некоторая константа. Из соотношений D1.17), D1.19)
найдем критерий разрушения микрообъема металла при у = 0:
a.f{x) = аеР(х) + ау(х) > ае[С(х)]. D1.20)
Здесь предполагается, что предельное критическое напряжение
сс зависит от концентрации водорода С в данном микрообъеме
[381]. Расчет напряженно-деформированного состояния в окрест-
окрестности вершины трещины [368] (рис. 41.3) показывает, что при
х > б эффективное напряжение ое/ определяется практически
растягивающим напряжением о„, имеющим- максимум при х =
=^хт~ 26, а при х ^ б в зависимости от значения параметра а
в соответствии с D1.20) доминирующим фактором для напряже-
напряжения Оа может оказаться интенсивность деформаций . ер (см.
рис. 41.5, а). Это, в частности, означает, что в отсутствие водорода,
когда ос можно считать константой, критическое условие D1.20)
может быть выполнено при достижении в окрестности вершины
трещины предельных деформаций ер или напряжений ау. В связи
со сказанным известные микромеханическне критерии вязкости
разрушения [253], основанные на понятиях критической деформа-
деформации или критического напряжения, можно считать предельными
случаями более общего критерия, получающегося из условия
D1.20). Однако, если в отсутствие водорода соответствие какой-
либо микромеханической модели вязкости разрушения (деформа-
(деформационной или силовой) данному материалу достаточно стабильно
и определяется преимущественно свойствами самого сплава, то
при водородном охрупчивании реализация этого соответствия
существенно зависит от распределения водорода вблизи вершины
трещины и его влияния на значение аа.
Для построения кинетической диаграммы ограничимся дефор-
деформационным критерием разрушения. Предположим, что акт ло-
локального разрушения произойдет тогда, когда на границе области
интенсивной пластической деформации у вершины трещины х =>
= хс (хс ~ б) будет достигнуто некоторое критическое значение
концентрации Ссг. Это значение определяется величиной дефор-
деформации впереди вершины трещины:
Ссг = о--1[аер^с)]. D1.21)
Деформация ер, в свою очередь, при автомодельности зоны пред-
разрушения однозначно связана с уровнем К. Здесь о^Г1 (х) —
функция, обратная ае(х). При этом будем учитывать (установ-
(установленную в рамках деформационных моделей механики разруше-
разрушения) связь между предельной локальной деформацией у фронта
трещины, соответствующим значением К и деформацией при раз-
разрушении стандартного образца е/= —In A —-ф), где г|э — относи-
334
тельное сужение при разрыве [1, 252]. Тогда для функции D1.21)
можно получить явный вид обратной ей функции
Ксг = ф(С) за ydEaTef(C) = V-dEo,ln[l -ф(СI, D1.22)
где d — параметр, зависящий от структуры материала и жест-
жесткости напряженного состояния в вершине трещины.
Теперь, установив критериальную зависимость D1.16) в виде
обратной функции D1.22), момент t = t# начала подрастания
трещины найдем из соотношения
С (^, *„) - Ссг (К) ^ ф-1 (К). D1.23)
Здесь функция в левой части определяется формулами D1.12) —
D1.14), а раскрытие трещины в ее вершине связано со значе-
значением К соотношением [368]
6=»0,61Я7(Яат). D1.24)
Для вывода на основе выражения D1.23) уравнения кинети-
кинетической диаграммы разрушения I = /(Ю необходимо заметить сле-
следующее. Если при данном К моменту разрушения соответствует
ниспадающая ветвь кривой С = С(х, ?*), СКх^б, то в качестве
длины элементарного скачка трещины естественно принять А/ —
= хс = б. Если же этому моменту соответствует восходящая ветвь
(рис. 41.5, б), то зона предразрушения при подрастании трещины
пересечет область, достаточно насыщенную водородом, а длина
элементарного скачка трещины увеличится до границы, от кото-
которой начинается резкое убывание функции С(х, t%), т. е. до А1 =
=> хт = 26. Таким образом, в качестве длины скачка трещины
следует принять А1 — >с(т)б, где величина 1<х(т)<2 учитывает
характер распределения концентрации впереди вершины тре-
трещины.
Теперь, учитывая, что функция С(т, ?, т) из D1.12) есть
функция безразмерных переменных D1.7), из соотношений
D1.12) —D1.14) и D1.22) —D1.24) можно получить уравнение
кинетической диаграммы разрушения
СТте, 1/2, (к2хтеи)~Ч=СсгШ, D1.25)
где к~К/КсП, U=*xt/D, хте = 2Ьс, а бс. определяется по формуле
D1.24) при К = КсЯ~К1с.
Итак, соотношения D1.12) — D1.14), D1.22) и D1.23) по дан-
данным о механических свойствах металла (Е, ат), константам пере-
переноса водорода в металле и константам взаимодействия металла
с водородосодержащеи средой (т. е. Со), позволяют расчетным
путем построить кинетическую диаграмму разрушения металла,
если экспериментально установлена зависимость относительного
сужения (предварительно однородно наводороженного) стандарт-
стандартного образца от концентрации водорода в наименьшем сечении
в момент разрушения ij? = ty(C%). Указанная концентрация, во-
335
обще говоря, отличается от концентрации водорода Сп, однородно
распределенного по объему образца при предварительном насы-
насыщении. Связано это с тем, что образование шейки в образце обус-
обуславливает возникновение в нем градиента напряжений и соответ-
соответствующий приток водорода в зону наименьшего сечения согласно
уравнению D1.4). Дополнительный вклад в перераспределение
водорода в пластически деформируемом образце может внести
также перенос его дислокациями посредством атмосфер Коттрел-
ла. Действие этих факторов отчетливо проявляется в хорошо
10'
-^
0,5 iG
V
I.
c/c0
10
10
10
10
10
~5
0,2 С Л 0,6 0,8 ,K/Kl0
Рис. 41.6. Кинетическая диаграмма разрушения, построенная с помощью
соотношений D1.12)—D1.14), D1.22) —D1.25): а) критериальная зависи-
зависимость ty = г|)(С) (сплошные линии) и зависимость D1.22) (пунктир); б) ки-
кинетическая диаграмма для сталей 4340 и 4147; 2 — для стали 4340; 2 — для
стали 4147 (точки — усредненная экспериментальная кривая (для 1) и не-
непосредственные экспериментальные данные (для 2), сплошные линии— ре-
результаты расчета,
известном эффекте чувствительности пластичности наводорожен-
ного образца к таким параметрам испытания, как скорость и
длительность нагружеыия [406]. Достоверное определение концент-
концентрации водорода в наименьшем сечении в момент разрушения
образца весьма затруднительно. Что касается использования для
теоретического построения кинетической диаграммы разрушения
зависимости пластичности наводороженного образца от средней
концентрации в нем водорода ¦ф = 1ф(С„), то на основании неслож-
несложного анализа можно заключить, что в этом случае расчетные
значения скорости роста трещины окажутся завышенными по
сравнению с результатами, которые получились бы при использо-
использовании более корректной зависимости "ф = ty(C*).
Вычисления, выполненные при характерных для сплавов же-
железа значениях параметров1), показали, что при выборе зависи-
зависимостей /ф = т|?(С'4.) в виде, представленном на рис. 41.6, а для
]) ? = 2-105 Н/дш2, Ун = 1,96 см3/моль для стали 4147 (D — Ю1 м2/с,
от = 869 Н/мм2, Кю = 480 Н/мм3'2, ф@) = °-61) и стали 4340 (D = 10~10 м^с»
<тт = 1450 Н/мм2, Ки = 210 Н/мм3/2, ф@) = 0,44) при Т = 295 К [364, 404].
336
различных условий опыта (сталь 4340 при давлении водорода
0,1 Н/мм2, а сталь 4147 —при 21 Н/мм2), соответствующие кри-
критерии типа D1.22) и соотношения D1.12) — D1.14), D1.24),
D1.25) обеспечивают получение расчетных критических диаграмм,
хорошо совпадающих с экспериментальными данными
(рис. 41.6, б) [364].
§ 42. Влияние коррозионных сред на трещиностойкость
металлов и сплавовJ)
В начале 70-х годов началось интенсивное развитие специаль-
специального раздела механики разрушения, посвященного вопросам
трещиностойкости металлов и сплавов в условиях совместного
воздействия коррозионных сред и длительных нагрузок. Первые
исследования сопротивления росту коррозионных трещин с при-
применением коэффициентов интенсивности напряжений касались
длительного статического нагружения (коррозионного растрески-
растрескивания). Было показано; что такие традиционно считающиеся
мало активными среды, как вода, спирты, масла и т. п. вызывают
докритический рост трещин в высокопрочных сталях при значе-
значениях коэффициента интенсивности напряжений К, существенно
меньших вязкости разрушения Kjc. В дальнейшем кардинальное
воздействие коррозионных сред на докритический рост трещин
было подтверждено и для ряда других высокопрочных сплавов.
Исключение составляет рост трещин в условиях ползучести при
повышенных температурах, а также в высокоуглеродистых низко-
отпущенных сталях с мартенситной структурой. В последнем
случае фактором замедленного разрушения может быть водород,
оставшийся в металле после металлургического передела.
Коррозионные среды оказывают сильное влияние и на цикли-
циклическую трещиностойкость конструкционных материалов, что
проявляется в первую очередь в ускорении распространения тре-
трещины. Это свидетельствует о необходимости учета влияния рабо-
рабочих сред на усталостный рост трещин при инженерном конструит
ровании.
1. Исходные положения механики коррозионного разрушения.
На первых этапах развития механики коррозионного разрушения
длительную статическую трещиностойкость обычно оценивали по
зависимостям долговечности образцов с искусственными трещи-
трещинами от значений коэффициента интенсивности напряжений в
начальный момент испытания (Ко или Ки). При понижении Ко
время до разрушения образцов увеличивается. На основании та-
такой диаграммы определяется значение Ksca или Klscc, ниже кото-
которого докритический рост трещин отсутствует. Величина Кисс —
важный параметр системы материал — среда2), позволяющий
1) Этот параграф написан при участии Г. Н. Никифорчина.
2) Обозначение Kiscc связано с английскими словами stress corrosion
cracking.
22вЁ 3, Партон, Е. Ы. Морозов 337
рассчитывать допускаемые напряжения в конструкции, содержа-
содержащей трещиновидные дефекты определенных размеров и подвер-
подвергаемой совместному воздействию длительных статических нагру-
нагрузок и коррозионных сред. Эта величина является структурно
чувствительным параметром, низкие его значения характерны
для высокопрочных низкопластическпх материалов (для которых
Kiicc может быть в несколько раз меньше значения К1с). Со
снижением прочности и повышением пластичности KItec повыша-
повышается (рис. 42.1) и достигает значе-
значения Kie, что свидетельствует о не-
нечувствительности материала к воз-
воздействию коррозионной среды.
Долговечность образцов состоит
из инкубационного периода и перио-
периода докритического роста трещин.
Инкубационный период — это время
от приложения к образцу нагрузки
до начала докритического роста тре-
трещины, когда скорость превышает
4 • 10~10 мм/с. Этот период, наблю-
наблюдаемый, например, при испытаниях
пластичных материалов, зависит от
начального коэффициента интенсив-
Рис. 42.1. Зависимость Kic (ли- ности напряжений и увеличивается
ния 1) и Kltcc (линия 2)I от с его понижением. Природа инкуба-
предела текучести стали AISI r L n_
4340 при испытаниях в мор- ционпого периода различна. Это мо-
ской воде (на рисунке показа- жет быть время, необходимое для
ны экспериментальные точки)* растворения коррозионной средой
окисной пленки в вершине трещины
или время, необходимое для проникновения водорода в металл
и диффузии его в зону предразрушения.
Другой важной характеристикой коррозионно-статической тре-
щиностойкости является кинетическая диаграмма разрушения —
зависимость скорости роста трещины v от коэффициента интен-
интенсивности напряжений К.
Коррозионная трещиностойкость металлов и сплавов при ци-
циклическом нагружении оценивается, как правило, на основании
кинетических диаграмм усталости, на которых, как и в случае
испытаний в инертных средах, скорость распространения трещины
выражается как функция амплитудных значений коэффициента
интенсивности напряжений АК (иногда максимального значения
коэффициента интенсивности напряжений за цикл нагружения
Ктбх). Из начального участка кинетической диаграммы опреде-
определяют амплитудное пороговое значение kKthc исследуемой пары
металл — среда для определенных условий испытания (коэффи-
(коэффициент асимметрии, частота и форма цикла нагружения).
Оценка коррозионной трещиностойкости в значительной сте-
степени осложнена спецификой роста коррозионных трещин, которая
338
проявляется в их ветвлении и затуплении, а также в различии
электрохимических параметров среды в вершине трещины и на
поверхности образцов. Для коррозионных трещин в связи с изби-
избирательным характером их роста характерно ветвление, которое
рассматривается в качестве универсального явления докритиче-
ского роста трещин для большинства конструкционных сплавов.
Различают микро- и макроветвление коррозионных трещин.
Рис. 42.2. Примеры микро- и макроветвления трещин: а) увеличение
в 200 раз; б) увеличение в 70 раз.
Микроветвление является следствием межзеренного роста трещин,
когда отклонение вторичной трещины от магистральной соизме-
соизмеримо с размером зерна. Как правило, вследствие одновременного
охрупчивания объема материала, содержащего несколько границ
зерен, магистральная трещина на стыке трех зерен разделяется
на две. Одна из них по мере дальнейшего развития становится
продолжением магистральной, а другая или прекращает свой
рост и становится тупиковой или смыкается с магистральной
(рис. 42.2, а). Макроветвление проявляется в наличии нескольких
равноценных, одновременно распространяющихся ветвей на рас-
расстояния, превышающие по крайней мере на порядок величину
зерна (рис. 42.2, б). Характер и интенсивность ветвления зависят
от структуры материала, типа среды, температуры испытаний,
величины нагрузки и типа напряженного состояния [127, 254—
256]. Ветвление трещин приводит к уменьшению напряжений в
22* 339
их вершине, о чем свидетельствует тот факт, что вязкость раз-
разрушения, рассчитанная по сечению долома образца, подвергну-
подвергнутого испытанию на коррозионное растрескивание, обычно сущест-
существенно выше Ки, определенного традиционными методами. Ветвле-
Ветвление трещин можно учитывать при оценке коэффициентов интен-
интенсивности напряжений теоретически [336] или экспериментально
[127]. К релаксации напряжений приводит также затупление
коррозионных трещин вследствие локального анодного растворе-
растворения металла в их вершине. Учет ветвления п затупления трещин
при оценке напряженного состояния особенно важен при исполь-
использовании кинетических диаграмм как инструмента выяснения
физико-химической природы разрушения материалов. Примене-
Применение для этой цели кинетических диаграмм основано на сравни-
сравнительной оценке скорости роста трещины при определенном зна-
значении коэффициента интенсивности напряжений {Ктях или АК)
для различных условий нагружения (температура, среда, нало-
наложение внешнего потенциала, частота и асимметрия цикла и т.п.)
или для различных материалов и их состояний.
Другой важной особенностью роста коррозионных трещин
является то обстоятельство, что состав (в частности^ водородный
показатель среды рН) и электродный потенциал системы металл —
среда в трещине и на гладкой поверхности значительно отлича-
отличаются. А поскольку наряду с коэффициентом интенсивности на-
напряжений скорость роста трещины определяется электрохимиче-
электрохимической ситуацией в вершине трещины, то представляется особенно
важным ее изучение. Имеется несколько методик оценки электро-
электрохимического состояния в вершине трещины [114, 213, 256]. Ре-
Результаты последних исследований указывают на его зависимость
от уровня коэффициента интенсивности напряжений, длины тре-
трещины, внешней поляризации и частоты циклического нагруже-
нагружения [213, 257].
Особое место в механике коррозионного разрушения занимает
вопрос об условиях инвариантности параметров коррозионной
трещиностойкости. Ранее считалось, что известный критерий гео-
геометрической инвариантности вязкости разрушения по толщине
образца t и длине трещины /
?, 1>А(К1с/а0>2)г (i^A^b) D2.1)
пригоден в качестве условия, обеспечивающего получение пара-
параметров коррозионной трещиностойкости, не зависящих от разме-
размеров образцов и длины трещины, т. е. характеристик системы
металл — среда. Однако интенсивность ветвления и затупления
трещин, а также состав среды сложным образом изменяются в
образцах различной геометрии. Характер этого изменения зави-
зависит от структуры сплава и механизма воздействия среды. На-
Например, для высокопрочных низкоотпущенных сталей с мартен-
ситной структурой, испытанных в дистиллированной воде, условие
340
инвариантности параметра Klscc принимает следующий вид:
t> Ж(Кисс/с02J. D2.2)
Сравнение уравнений D2.1) и D2.2) свидетельствует о гораздо
более жестком условии инвариантности параметра коррозионной
трещиностойкостн по сравнению с таковым для К1с.
В некоторых случаях склонностью к коррозионному росту
трещин обладают п сравнительно низкопрочные конструкцион-
конструкционные материалы, для которых рекомендуется оценивать трещишь
стойкость с позиций нелинейной механики разрушения. В на-
настоящее время в качестве такого подхода для изучения корро-
коррозионного растрескивания корпусных сталей применяется метод
/-интеграла [192]. Использование метода заключается в построе-
построении кривых длительной трещиностойкости в координатах «на-
«начальный уровень /ю — время до разрушения». По аналогии с
Kjscc на основании такой зависимости определяется пороговое
значение /-интеграла /ГяСс, под которым подразумевается макси-
максимальный уровень /10 при отсутствии докритического роста тре-
трещины. Недостаточная распространенность нелинейных подходов
механики разрушения при исследовании коррозионного растрес-
растрескивания объясняется, по-видимому, ограниченностью класса ма-
материалов, склонных к докритическому росту трещин при совмест-
совместном воздействии активной среды и длительного ыагружения в
упругопластической области.
2. Особенности кинетических диаграмм разрушения. В первых
исследованиях, касающихся оценок кинетики докритического
роста трещин -при длительном статическом нагружении в водных
средах, рассматривались преимущественно закаленные низкоот-
пущенные стали с пределом текучести выше 1500 Н/мм3. Было
показано, что скорость распространения трещины прямо про-
пропорциональна коэффициенту интенсивности напряжений расту-
растущей коррозионной трещины. Дальнейшее распространение под-
подходов линейной механики разрушения на более широкий круг
высокопрочных материалов и коррозионных сред выявило более
сложный характер зависимости v(K). Типичная кинетическая
диаграмма коррозионного растрескивания в координатах \g v — К
представлена на рис. 42.3. На участках I и III скорость роста тре-
трещины увеличивается с повышением К, а в пределах участка II,
охватывающего значительный диапазон значений К, наблюдается
стабилизация скорости. Существуют различные суждения о при-
причинах четко выраженных участков диаграммы коррозионного
растрескивания. Их связывают с влиянием в пределах каждого
участка доминирующего механизма воздействия среды. Второй
горизонтальный участок часто связывают с релаксацией напря-
напряжений в вершине трещины вследствии ее интенсивного ветвления.
Характер зависимости v{K) во многом зависит от структуры
сплава и типа среды. Для высокопрочных сталей с мартенситной
структурой с пределом текучести 1500 Н/мм2 и выше на кине-
341
.: 'J
тических диаграммах отсутствует второй участок. Повышение
пластичности стали приводит к снижению скорости роста тре-
трещины и появлению горизонтального
плато, при этом могут исчезать отдель-
отдельные участки.
К числу характерных особенностей
роста трещин при коррозионном рас-
растрескивании следует отнести неодно-
неоднозначность зависимости v(K) для ряда
систем металл — среда, обусловленную
начальными условиями нагружения
[254]. Как следует из рис. 42.4, для
системы «сталь 50Х — изобутиловый
спирт» расположение кинетической
Рис. 42.3. Зависимость ско-
скорости докритического роста ^
трещин от коэффициента диаграммы обусловлено значением ко-
интенсивности напряжений эффициента интенсивности напряже-
(схема). ний Ко (при котором начинается до-
критический рост трещин); при этом с
повышением Ко выход на стабилизированный участок достигается
при более высоких значениях скоростей. Как показали фракто-
графические исследования, такая неоднозначность кинетических
диаграмм во многом обусловлена ветвлением трещин, интенсив-
интенсивность которого зависит от начальных условий нагружения.
1С
2!_ и, мм /с
10'
Рис. 42.4. Кинетика докритического роста трещин для стали 50Х (отпуск
2*00 °С) в взобутиловом спирте. Каждой кривой соответствует свое значе-
значение Kq.
Основные типы кинетических диаграмм коррозионно-усталост-
ного роста трещин представлены на рис. 42.5. Из рисунка видно,
что коррозионные среды могут существенно менять конфигура-
конфигурацию диаграмм, присущую испытаниям в инертной среде. Для
сплавов, не склонных к коррозионному растрескиванию, кинети-
кинетическая диаграмма имеет S-образный вид (рис. 42.5, а), а пони-
342
экение частоты .нагружения сдвигает ее в сторону более высоких
скоростей роста. На диаграммах сплавов, чувствительных к воз-
воздействию длительных статических нагрузок и коррозионных сред,
при Кт&% = Klsce наблюдается резкое ускорение роста трещины с
последующим выходом на пологий или даже горизонтальный
участок, в зависимости от" того, какой вид диаграммы характерен
для статического растрескивания данной системы. И если принять
max *~
О) б) в) ¦
Рис. 42.5. Основные типы диаграммы коррозионно-усталостного разрушения.
Пунктирными линиями обозначены диаграммы в случае испытаний в
инертной среде.
за основу модель, согласно которой интенсификация усталостного
роста трещины при воздействии коррозионной среды является
лишь отражением склонности сплавов к коррозионному растрески-
растрескиванию [427], то кинетическая диаграмма должна выглядеть, как
показано на рис. 42.5, б. В самом общем случае, когда влияние
среды проявляется и ниже уровня Ki,cc, диаграммы приобретают
вид, изображенный на рис. 42.5, в. Следует отметить, что пред-
представленные здесь типичные диаграммы не отражают всего много-
многообразия диаграмм коррозионно-усталостного роста трещин, ско-
скорость которых зависит от многих факторов, таких как частота,
асимметрия и форма цикла нагружения, температура испытания,
структура материала п механизм воздействия среды. В некото-
некоторых случаях скорость роста трещин в коррозионной среде даже
понижается в сравненни с инертной средой. Это может дости-
достигаться за счет затупления коррозионной трещины вследствии
проявления механизма анодного растворения металла, или так
называемого закрытия усталостной трещины, вызванного клино-
клиновым эффектом продуктов коррозии в вершине трещины и при-
приводящего к уменьшению эффективного амплитудного коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений.
3. Механизм воздействия коррозионных сред. Различают три
основных механизма влияния коррозионных сред на трещино-
стойкость конструкционных материалов: адсорбционное пониже-
понижение прочности, водородное охрупчивание и локальное анодное
343
растворение. Адсорбция поверхностноактивыых веществ на по-
поверхности высоконапряженного материала в кончике трещины
приводит к понижению поверхностной энергии п облегчению раз-
разрушения (эффект Ребиндера) [250]. Адсорбционное воздействие
среды влияет на трещиностойкость только высокопрочных низко-
низкопластичных сплавов. В этом случае оно даже приводит к сущест-
существенному падению вязкости разрушения К1с [255]., а при длитель-
длительном нагружении является доминирующим при значениях коэф-
коэффициента интенсивности напряжений, близких к К1с, когда
в связи с высокими скоростями докритического роста трещин нет
условий для реализации остальных механизмов.
Понимание физико-химической природы коррозионного разру-
разрушения наиболее важно в случае роста трещин при низких
значениях коэффициента интенсивности напряжений, кинетика
которых определяет долговечность изделий с трещиной. Здесь до-
доминирующим является либо водородное охрупчивание, либо ло-
локальное анодное растворение. Механизм водородного охрупчива-
ния (см. § 41) характеризуется тем, что независимо от состава
среды и приложенного потенциала в вершине трещины вследствие
гидролиза продуктов коррозии устанавливаются всегда такие зна-
значения рН и потенциала, при которых термодинамически воз-
возможен процесс разряда ионов водорода
Н+ + е" = Надс,
с последующей его адсорбцией на внутренних поверхностях тре-
трещины1) [407]. Адсорбированный атомарный водород частично
рекомбинируется в молекулы водорода и десорбируется, а частич-
частично растворяется в решетке металла. Этот растворенный водород,
согласно наиболее распространенной модели водородного охрупчи-
вания [425], дифундирует в зону трехосного напряженного со-
состояния, расположенную впереди вершины трещины и вызывает
понижение теоретической прочности металла. При накоплении
определенной, критической, концентрации водорода образуется
сепаратная микротрещина, которая впоследствии сливается с ма-
магистральной. Доказательством водородного механизма влияния
среды является скачкообразный рост трещин. Поскольку диф-
диффузия водорода по границам зерен значительно облегчеиа, что
вызвано повышенной дефектностью их строения, то докритиче-
ский рост трещин происходит преимущественно межзереыно.
В связи с этим для выяснения механизма влияния коррозионной
среды часто привлекаются фрактографические исследования.
В частности, межзереннын характер распространения трещин в
высокопрочных низколегированных конструкционных сталях по-
позволяет рассматривать водородное охрупчивание как механизм,
ответственный за ускорение роста трещины.
') Кстати, это может обусловить докритическпй рост трещин по меха-
механизму адсорбционного понижения прочности.
344
10 -
К водородному охрупчивапию наиболее чувствительны высоко-
высокопрочные низкопластпчные сплавы, для которых характерна вы-
высокая степень трехосности напряженного состояния и высокий
градиент напряжений впереди вершины трещины, являющийся
причипой проникновения водорода в зону предразрушения. С дру-
другой стороны, дефектная неравновесная структура таких сплавов
является наиболее уязвимой с точки зрения водородного охруп-
чивания. При переходе к более пластичным и менее прочным
материалам снижается объемность напряженного состояния, его
зона смещается дальше от верши-
вершины трещины, при этом падает гра-
градиент напряжений. Все это сказы-
сказывается на условиях переноса водо-
водорода в зону предразрушения и на-
накопления там критической кон-
концентрации, необходимой для об-
образования сепаратной микротре-
микротрещины.
В связи с этим низкопрочные
сплавы менее подвержены водо-
водородному охрупчиванию.
Если задержка водородного ох-
рупчивания связана не с перено-
переносом водорода в зону предразруше-
предразрушения, а с его проникновением в ме-
металл сквозь барьерную окисную
пленку, образовавшуюся в резуль-
результате взаимодействия металла со средой, то кинетика коррозион-
коррозионного роста трещины будет определяться условиями их образова-
образования и разрушения. Это в первую очередь касается циклического
нагружения, когда от уровня коэффициента интенсивности напря-
напряжений и частоты нагружения будет зависеть плотность защит-
защитных пленок, препятствующих проникновению водорода в металл.
Для некоторых систем металл — среда в результате высокой
коррозионной активности у вершины трещины происходит изби-
избирательное анодное растворение металла и, таким образом, уве-
увеличение длины трещины. Роль напряжений в этом случае со-
состоит в активизации металла у вершины трещины. Поскольку
границы зерен могут являться местом наибольшей коррозионной
активности, то, строго говоря, зернограничное распространение
трещины не может служить доказательством проявления только
механизма водородного охрупчивания.
В последнее время развит метод индикации механизма воз-
воздействия коррозионных сред, основанный на сравнении скоростей
роста трещин прп испытаниях с отсутствием п наложением ка-
катодной поляризации [128L Считается, что если внешняя поля-
поляризация приводит к усилению кинетики роста трещины, то
доминирующим механизмом является водородное охрупчивание.
345
?./,,, мм/с
Рис. 42.6. Зависимость отношения
Vxilvs (скоростей роста трещин
после ж до катодной поляризация
на 500 мВ) от исходной скорости
роста трещин vn при потенциале
коррозии для стали 40Х,
И наоборот, снижение скорости роста трещины свидетельствует о
проявлении в качестве основного механизма влияния среды — ло-
локального анодного растворения. На рис. 42.6 схематически пред-
представлено изменение скорости роста трещины va в результате
наложения катодной поляризации в зависимости от исходной (без
поляризации) скорости роста трещины иа. Существует крити-
критическая скорость роста трещины i?Kp, до которой поляризация
не влияет на кинетику разрушения. При v > гир преобладает ме-
механизм водородного охрупчивания, при v < vKp — локального анод-
анодного растворения.
В большинстве случаев коррозионного роста трещин процессы
адсорбции, водородного охрупчивания и коррозионного растворе-
растворения взаимосвязаны между собой и протекание одних обуславли-
обуславливает проявление других. Взаимосвязь этих процессов усложнена
еще и влиянием структуры металла, вида напряженного состоя-
состояния, внешних условий нагружения. Изучение этой взаимосвязи
составляет предмет коррозионной механики разрушения — науч-
научного направления на стыке механики разрушения, металловеде-
металловедения и химического сопротивления материалов.
Глава VII
ТЕМПЕРАТУРНЫЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
РАЗРУШЕНИЯ
§ 43. Основные соотношения теории теплопроводности
и термоупругости тел с трещинами')
Многие элементы конструкций в процессе эксплуатации на-
находятся в условиях неравномерности нагрева, приводящего к воз-
возникновению напряжений, которые при наличии в теле трещин
могут привести к их распространению даже при отсутствии внеш-
внешних механических нагрузок. В отдельных случаях температурные
напряжения могут привести к полному или частичному снятию
в окрестности трещнн напряжений, обусловленных внешними
механическими нагрузками, т. е. создать в теле условия тормо-
торможения трещин (это явление может быть существенно использо-
использовано на практике для понижения концентрации напряжений).
При неравномерном нагреве тел с трещинами последние ока-
оказывают некоторое сопротивление распространения тепла в теле.
Это сопротивление обусловлено нарушением сплошности среды,
причем между противоположными поверхностями трещин не
всегда имеют место идеальные условия теплообмена. Поэтому
функцию температуры Т(х) в теле с трещинами можно предста-
представить в виде суммы двух составляющих:
D3.1)
где х — точка тела с координатами (xt, х2, х3) в декартовой си-
системе координат OxlXzXs, выбранной в произвольной точке тела;
to(x) — температура, которая имела бы место в сплошном теле,
т. е. в аналогичном теле при отсутствии в нем трещин; t(x) —
температура возмущения, обусловленная наличием в теле трещин.
Фупкция ta(x) характеризует нагрев сплошного тела и в не-
некоторых случаях может быть определена обычными методами
решениями задач теплопроводности для сплошных тел. Поэтому
в дальнейшем to{x) будем считать известной.
Температурное поле, обусловленное сопротивлением трещин
распространению тепла в теле, имеет локальный характер, и по-
') Параграфы 43—45 написаны при участии Г. С. Кита.
347
этому функция t(x) должна стремиться к нулю при удалении
точки х от поверхностей трещин.
При стационарном тепловом режиме и отсутствии в теле
источников тепла Т(х) удовлетворяет уравнению теплопровод-
теплопроводности
+ +
и определенным граничным условиям на границе тела и поверх-
поверхностях трещин.
На границе тела обычно различают три условия, характери-
характеризующие теплообмен тела с внешней средой [82].
Граничное условие первого рода
T(x)=TL(x), x&SL D3.3)
означает, что на граничной поверхности тела SL задана темпера-
температура TL.
Граничное условие второго рода
1^ = -^ьИ, z^SL, D3.4)
т. е. на SL задана плотность теплового потока QL. Здесь Kt —
коэффициент теплопроводности, п — внешняя нормаль к поверх-
поверхности тела SL.
Граничное условие третьего рода
D3.5)
т. е. через поверхность SL осуществляется теплообмен по закону
Ньютона с внешней средой, нагретой до температуры Тс. Здесь
ht — коэффициент теплообмена.
Уравнению D3.2) и одному из граничных условий D3.3) —
D3.5) должна удовлетворять также функция tu(x), поэтому t(x)
есть решение уравнения D3.2) при граничных условиях D3.3) —
D3.5).
Граничные условия, которым удовлетворяет функция Т(х) на
поверхности трещины, зависят от сопротивления распространению
тепла в теле, которое оказывают трещины. Если же через их
поверхности происходит нагрев тела (нагреваемые трещины), то
на поверхностях трещин известна температура Tq . Поэтому гра-
граничные условия на противоположных S± поверхностях трещины,
занимающей область 5, могут быть представлены в виде
Г± (х) = Го± (х), же S*. D3.6>
348
Если же на поверхностях трещины известна плотность тепло-
теплового потока <?*, то функция Т(х) на S± удовлетворяет условиям
где п* — нормали к поверхностям S±, причем п+ — —гг. Если
Qf = 0,то такие трещины называют теплоизолированными.
В теории теплопроводности различают и другие граничные
условия на поверхностях трещин. Математически они выражают
собой условия неидеального теплового контакта между противо-
противоположными ?* поверхностями трещин, а физически — сопротив-
сопротивление, которое трещины оказывают распространению тепла [78].
В случае плоских трещин эти условия можно представить в
виде [238, 239]
- Г") - 12АГ (Г+ - Т-) + 6Х, [{§-f + (Щ =
где "к* и 1ц — коэффициенты, которые характеризуют теплопро-
ницаемость трещины в продольном и поперечном направлениях,
%t — коэффициент теплопроводности тела, Д — двумерный опера-
оператор Лапласа переменных (хи х2), причем система координат
Ох^хгхъ выбрана таким образом, что плоскость xt0x2 совпадает
с плоскостью расположения трещины. В D3.8) индексами ±
обозначены значения соответствующих величин на верхней S+ и
нижней S~ поверхностях трещины при xs =¦ ±0. Трещины, на
поверхностях которых температура Т(х) удовлетворяет условиям
D3.8), называют теплопроводящими. Если >** =0, kt ^=0,то тре-
трещины называются теплопроницаемыми, если же Xt~ht = 0, то —
теплоизолированными.
При неравномерном нагреве тела с трещинами возникающие
в нем напряжения равны сумме напряжений обусловленных тем-
температурой to(x), t(x), а также внешними заданными механически-
механическими нагрузками. Возникающие на месте расположения трещин сум-
суммарные усилия должны равняться заданным внешним усилиям на
трещинах. Компоненты тензора напряжений, обусловленных
внешними механическими нагрузками и температурой Т(х), опре-
определяются через компоненты щ{х) (/ = 1, 2, 3) вектора переме-
перемещений и Т(х) соотношениями
°Н = ^Щ + 2^-№+ 2|i) ЩТ (х) (/ = 1, 2, 3),
) A23) e^ J ^
где а* — коэффициент линейного теплового расширения.
349
Компоненты вектора перемещений удовлетворяют уравнениям
равновесия термоупругости
^ щ (/ = 1,2,3). D3.10)
Таким образом, для решения задачи термоупругости для тел
с трещинами необходимо определить температурное поле, а за-
затем найти решение уравнений D3.10) при определенных гранич-
граничных условиях на поверхностях трещин и границе тела.
Частное решение уравнения D3.10) может быть определено
с помощью объемного ньютоновского потенциала, для чего не-
необходимо знать температуру Т(х) во всем объеме тела. Однако
при решении задач термоупругости для тел с трещинами удобно
располагать более простыми частными решениями (избегая ин-
интегралов по объему). Если Т(х) — гармоническая функция, то
частное решение уравнений D3.10) можно представить в виде
Щ=0, (/=1,2), иъ(х) = ~2а0] T(xux2,x3)dxs, D3.11)
где осо = аД1 + v).
Известны различные формы представления решения однород-
однородной системы уравнений D3.10). При решении задач термоупру-
термоупругости наиболее часто используется решение в форме Папковнча —
Нейбера [120]
и(х) = 4A - v)W - grad (Ч^г + ?0), D3.12)
где г — радиус-вектор с координатами (ж1? х2, ж3), Ч*", 4f0—гар-
4f0—гармонический вектор и скаляр.
Решение уравнений D3.10) в форме D3.12) обладает неко-
некоторыми преимуществами в случае, когда необходимо удовлетво-
удовлетворить граничным условиям на плоских поверхностях. Тогда задача
об удовлетворении граничных условий может быть сведена к
смешанной задаче теории гармонического потенциала (задача
Буссинеска — Черрути).
При наличии в теле плоских трещин гармонические функции,
входящие в решение D3.12), можно представить в виде комби-
комбинации гармонических потенциалов с плотностями, характеризую-
характеризующими раскрытие трещин в процессе деформации тела. Если же
раскрытие трещины известно, то по соответствующим формулам
легко определить возникающие при этом напряжения в теле.
§ 44. Сведение задачи теплопроводности и термоупругости
для тела с трещинами к интегральным уравнениям
Пусть бесконечное тело, ослабленное Лг произвольно распо-
расположенными плоскими трещинами, подвержено действию темпера-
температуры to(x). Определим температурное поле, когда на поверхностях
350
трещин известны температура D3.3) (первая задача), плотность
теплового потока D3.4) (вторая задача) и когда на поверхностях
трещин имеет место условие D3.5)
(третья задача).
Для решения задачи воспользуемся
методикой [79]. Выберем локальные
системы координат OnxinxZnxin^ связан-
связанные с п-й трещиной (рис. 44.1) таким
образом, чтобы плоскость xin0nx2n сов-
совпадала с плоскостью расположения к-й
трещины, а противоположным поверх-
поверхностям Sn этой трещины соответство-
соответствовали значения х3п = ±0. Обозначим че-
через eikn направляющие косинусы век-
вектора dhn, соединяющего точки Ок и Оп 'ziK
(в к-й локальной системе координат), Рис. 44.1. Системы коорди-
а через dhn — длину этого вектора. На- нат гей и &-й трещин,
правляющие косинусы осей к-й ло-
локальной системы координат в тг-й задаются следующей таблицей:
X9h
хт
hhn
mihn
nlhn
хгп
hhn
m2hn
П2кп
4hn
m3hn
n3hn
В п-й локальной системе координат температуру представим
в виде
D4.1)
где \ihiW и 7*(?)—произвольные плотности потенциалов, хкп —
точка Хп с координатами (x*hn, x2hn, xahn) в к-й локальной систе-
системе координат.
Между
и
3
2j
3=1
имеет место зависимость
3
3
3=1
351
В дальнейшем точку хп с координатами (х1п, хгп, 0) будем
обозначать через хп, a x*hn при хш — 0 — через xjhn.
Заметим, что функция D4.1) удовлетворяет уравнению D3.2)
При ПРОИЗВОЛЬНЫХ |Ll,4 И 7й-
Из D4.1) следует, что влияние трещин на распределение тем-
температуры в теле можно заменить влиянием источников и диполей
тепла, размещенных в теле на месте расположения трещин.
Для определения функций \ih и ^к воспользуемся граничными
условиями на поверхностях трещин. В случае первой задачи
теплопроводности имеем
- Tt* (arn), xn^Sn (« = 1,2,..., N), D4.3)
где Г** (хп) = ff (xn) + rj (жп), ^(Г — заданная на S? темпе-
ратура, а штрих возле знака суммы означает, что в ней опущен
член с номером к —п.
Для второй задачи теплопроводности функции ^п и цп должны
удовлетворять уравнениям
«-l?2f ....Л1), D4.4)
Для третьей задачи теплопроводности пмеем
Vn W =F
зп
j J r^Zf
» D4.5)
352
[ дхп J
Из D4.3) — D4.5) следует, что для каждой из рассмотренных
задач теплопроводности цп(хп) или ^п{хп) известны, а оставшиеся
неизвестными функции удовлетворяют соответствующей системе
сингулярных интегро-дифференциальных уравнений.
Для первой задачи теплопроводности уп = {Тп" — Г*+)/Dд;),;
а функции jire удовлетворяют интегральным уравнениям
f f г^Дп d%S + 2' f f H (I) ^ F. *п) d^S = Ф (Хп), D4.6)
xn<=?n (W = l, 2, ..., Л7),
где
4я
- Г Г
JJ
F) -
Для второй задачи теплопроводности jin = (<?*+ + <?* )
а функция *у™ удовлетворяет интегро-дифференциальным урав
нениям
D4.8)
где
2?ч
X [(Жи„ — ij) Z3to + (x-2kn — l2) m3/m + ХзкпПжп] ^S. D4.9)
23 в. З. Партон, Е М. Морозов 353
В случае третьей задачи теплопроводности jwn = О, а
удовлетворяет интегральным уравнениям второго рода
N
N
= U (ж»), *u s ?n (« = 1,2,..., .V). D4.10)
Из приведенных выше формул следует, что температура t(x),
обусловленная наличием в теле трещин, определяется лишь
через потенциалы двойного слоя в случае термоизолированных
\Qn = О) и тешшпроницаемых трещин. Если же на трещине
задана температура, причем ТХ = Тп * то t(x) определяется
лишь через потенциалы простого слоя.
Из соотношений yn = {tn—*п)/Dя) следует, что *{п равня-
равняется нулю для значений а:„, принадлежащих контуру трещины.
Цоэтому при решении уравнений D4.8) — D4.10) необходимо опре-
определить лишь обращающееся в нуль на контуре областей Sn ре-
решение.
Задача об определении температурных напряжений в теле
с трещинами также может быть сведена к интегральным урав-
уравнениям, из которых определяются функции, характеризующие
раскрытие трещин. С этой целью ограничимся первоначально
случаем, когда в теле имеется лишь одна к-я трещина [80]. В к-ш
локальной системе координат представим решение задачи термо-
термоупругости в виде суммы решений D3.11) и D3.12), т. е.
) - 4 A - v) [
у- [«ifttift Ы) + x2k^2h (x*h) + x3k (ijjgft — Л/к)
oo
- 2ao8j3 \ Th (xlh, x2h, i!) dr\ (/«1, 2, 3). D4.11)
X
3k
Здесь tyjh(x*) (/ = 1,2,3) и tyOh(zh) — произвольные гармониче-
гармонические функции, 6j3 — символ Кронекера,
00
Mh{xt) = \ \JLylk(Xlh, x2h, ц) + r?- ip2ft(^ift. хы, 4]\di\, D4.12)
^ \axih ° 2h J
\.ih 2h
X3k
Tk{%k) —известная функция температуры.
Решение D4.11) можно привести к виду, более удобному
для удовлетворения граничных условий. С этой целью вместо
функции ij?*ft введем в рассмотрение функции tyoki которые
354
определяются через г|?Ой соотношениями
ол = "Фол — (zih^ih 4-
оо
— A — 2v) | ^3ft (zlft, x2h, Tj) drj. D4.13)
С учетом D4.13) решение D4.11) преобразуем к виду
ЩнD) - 4 A - v)
г3л (tsft — 2МА) + %k — A — 2v) i|)Sft (a?ib, г2Ь, т]) dr\ —
X3ft
oo oo
- 2ao6j3 j* j" rft (xlk, x2ht ц) dx\ dxz (/=1,2,3). D4.14)
*3h хг -"
Тогда компоненты тензора напряжений определяются через 1))Л
(/ = 1, 2, 3) соотношениями
X3k
° J r
(/ = 1, 2, 3), D4.15)
ihOX3k
[
A — 2v)
X3h
Решение D4.14) содержит четыре произвольные гармониче-
гармонические функции. Оно является удобным в тех случаях, когда не-
необходимо удовлетворить граничные условия на плоскости
Хгъ = 0.
23* 355
Если температурное поле в бесконечном теле, ослабленном
лишь к~и трещиной, описывается функцией
3ft
6) , о D4-*6)
а поверхности /с-й трещины находятся под действием самоурав-
самоуравновешенных внешних усилий Njh, то из граничных условий задачи
термоупругости легко установить вид гармонических функций
%а, входящих в решение D4.14). С этой целью воспользуемся
тем, что если Tk(xh) = Fk\xh), а к поверхностям трещин
приложены лишь нормальные усилия N3h, то перемещения и$к
равны нулю в области Sk, которая дополняет Sk до полной
плоскости. Если же Tk (х^) = j~~Fk (zk), а к поверхностям
охзк
трещины приложены лишь сдвигающие внешние усилия Nih
(/ = 1, 2), то w& = 0 G=1, 2) в области 5ft. Кроме того, в
первом случае в плоскости расположения трещпны оЛ = 0 (; =
= 1, 2), а во втором о3й = 0. Эти условия будут выполняться
тождественно, если положить
оо ос
= «о j j Th (^ift, X2k, Ч) dr\ dx
3,
X3hx3
00
[
д-^Ёг + a°6j31Fn {Xlh'
X3h
-I
xtk,y\)dr\\ (/=1,2,3), D4.17)
где Ч1"jft — гармонические функции, допускающие представление
в виде потенциалов
ПЛ D4Л8)
Функции aJft характеризуют смещение противоположных то-
точек поверхностей трещины, т. е. раскрытие трещины в про-
процессе деформации тела (поэтому ajh(xk) = 0 для xk, принадле-
принадлежащих контуру трещины).
356
Компоненты напряжений определяются через эти функции
ajk соотношениями
3k
д2ф
D4.19)
_ v)
-2v)-
ihaXjh axihoxik
j
(/¦; - f
Формулами D4.19) определяются напряжения, обусловлен-
обусловленные функциями, характеризующими раскрытие трещины, а так-
также источниками и диполями тепла, размещенными на месте рас-
расположения к-й трещины с иптенсивностями jift и f h.
Если же имеется Л^ плоских трещин, то каждую из них мож-
можно рассматривать как двухстороннюю поверхность, на которой
размещены источники и диполи тепла соответственно с плот-
плотностями цк п "fft, а перемещения имеют скачок при переходе
через эту поверхность. Тогда напряжения и перемещения в теле
с трещинами равны сумме напряжений и перемещений, обуслов-
обусловленных всеми источниками и диполями тепла, а также скачками
aSk на каждой из трещин.
Если направляющие косинусы координатных систем по-преж-
по-прежнему задаются таблицей 44.1, то суммарные нормальные Y3n и
касательные Yin, Yln усилия на площадке с нормалью, которая
совпадает с осью 0„х3п, определяются через а,Л по формулам
N
D4.20)
357
аул определяются формулами D4.19), а
h h^ + rrih D4.21)
Так как усилия Firi(^*) на поверхностях гс-й трещины
должны равняться заданным внешним усилиям, то, используя
эти условия, получим интегральные уравнения для определения
функций ajA:
д
V (
+ Тл (I) X
(я-1,2,...,Л0, (J- 1,2,3), D4.22)
») = ^ ^ (xn) - сг*з М, D4.23)
причем o*3 (xn) — напряжения на месте расположения п-ж тре-
трещины, обусловленные температурой to(xn); Nin — заданные на
поверхностях трещин внешние усилия; Д„ — двумерный опера-
оператор Лапласа переменных xin, хгп', \ih и ч*. ~~ известные функции,
входящие в решение D4.1) задачи теплопроводности;
21 + K [
( \
— Xshn -^г21 + Kishn [
oxskn I \
skn I \ | xhn
y*ihn (b) Xn) — — T"j^ L-'ihn \\ %hn Ъ \)i
* 14- \Г "? О/ ,7\^1
Kxhn \bi "*-п) — I •l-3kn-Llikn — ^ V-iSkn ~r Чзкп) з i
L 3ftn
35 8
В этих формулах Likn и Кикп — дифференциальные операторы
y'lZhn I д \r43kn 1 д
D4.25)
где коэффициенты KjUkn зависят лишь от упругих постоянных
материала и геометрических параметров, характеризующих рас-
расположение в теле трещин. Они определяются так:
— A — 2v) 63S
— A — 2v) 83Sm
b2smi3kn + 63S [2v (li3kn + iohn) + тпЬ
(r . e \ /л о \ jt 7 (ы4.2о)
= — v lA + ) A ^) /
262S (vZi3fen + mi3hn) + A — v) 8s
261S (li3kn + V/ni3?in) + A — v) 8s
Из интегральных уравнений D4.22) следует, что если плоские
трещины находятся в одной плоскости, а на их поверхностях
задана температура, причем Tt = Тп¦, то при решении инте-
интегральных уравнений задачи термоупругости нет необходимости
в предварительном решении задачи теплопроводности. В инте-
интегральные уравнения D4.22) в рассматриваемом случае входят
значения заданной температуры на поверхностях трещин, кото-
которая по условию задачи теплопроводности известна.
§ 45. Термоупругое состояние тела с полосовидной
и дискообразной трещинами
1. Пусть бесконечное тело, ослабленпое плоской термоизолж-
рованной трещиной, имеющей вид полосы, находится под дей<-
ствием однородного теплового потока интенсивности q = const,
перпендикулярного плоскости расположения трещины (рис. 45.1),
Выберем декартову систему координат QxiXiX3 таким образом,
что ось 0х2 — направлена вдоль полосы, а 0х3 — перпендикуляр-
перпендикулярно к ней. Противоположным поверхностям трещины соответст-
соответствуют значения хА = ±0. Обозначим через 21 ширину полосы, по-
поэтому область трещины [х^ ^1.
Так как рассматриваемое тело нагревается однородным теп-
тепловым потоком, то в выбранной системе координат функция,
359
характеризующая нагрев сплошного тела, легко определяется:
to(x*) « qx3/lt. D5.1)
Задача об
определении температуры возмущения
к определению функций \i(
t \ \
w
сводится
) и
удовлетворяющих соответствующим
двумерным уравнениям. Для рас-
рассматриваемой задачи ц.(|) = 0, а
функция ч(%) удовлетворяет инте-
интегральному уравнению (см. D4.9))
х
D5.2)
Так как правая часть уравнения
D5.2) не зависит от переменной ха,
то и функция if(?) не зависит от пе-
переменной |2, и уравнение D5.2)
приводится к одномерному интегральному уравнению вида
Рис. 45.1. Плоская трещина в
пространстве при действии
теплового потока.
и>Ъ1 — о *
D5.3)
Функция ^(^i) должна удовлетворять также условию ^(±1)~0.
С учетом этого условия, интегрируя по частям D5.3), получим
интегральное уравнение с ядром Коши, решение которого имеет
вид
Y К) = - ?:
D5.4)
Для решения задачи термоупругости необходимо определить
напряжения, обусловленные температурой to(x*), подставить у{х)
в уравнения D4.22) и решить эти уравнения относительно функ-
функций aj(|) (/ == 1, 2, 3), характеризующих раскрытие трещины.
Для рассматриваемой задачи а3(|) = 0; определение at(^) и а2(?)
сводится к решению интегральных уравнений
— 26,,
v \xt\<l (J-l, 2). D5.5)
360
Из этих уравнений следует, что а2(?) = 0, а задача нахожде-
нахождения ai(?) приводит к решению интегрального уравнения
^Ц-dSx, \хг\<1. D5.6)
Учитывая, что ai(±Z) = O, убеждаемся в том, что решение этого*
уравнения удовлетворяет выражению
i
, С --I" J V (Si) Й1- D5.7)
р
Зная 7^1) и ссД1), определим искомые напряжения. В част-
частности, в плоскости расположения трещины компоненты напря-
напряжений о,-з определяются соотношениями
D5.8)
ai3 (х) = г=л;
Если воспользоваться выражением для a4(|i) и ¦yC^i), то из
D5.8) получим
а,, (ж) = •+- г^ /- 1 хл > ^ D5.9)
где знак «—» соответствует положительным, а « + » отрицатель-
отрицательным значениям Xi.
Коэффициенты интенсивности напряжений определяются со-
соотношениями
D5.10)
LfE ~\/п „,„
*'1
2. Пусть бесконечное тело с дискообразной трещиной радиу-
радиуса I нагревается через поверхности трещины тепловым потоком
q = const так, что поток на верхней и нижней поверхностях
трещины имеет противоположное направление (рис. 45.2).
Выберем в центре трещины декартову систему координат
Ох^г^з таким образом, что противоположным поверхностям тре-
трещины соответствуют значения хг = ±0. Так как нагрев тела про-
происходит через поверхности трещины, то функция to(x) в рас-
рассматриваемом случае равна пулю. Функции ц(|) и ^A) опреде-
определяются соотношениями
7 (I) = 0, tu (I) = ^ = д0 = const. D5.11>
361
Для решения задачи термоупругости определим функции а,(|),
через которые определяются напряжения по формулам D4.15).
Для рассматриваемой задачи at(|) — а2(|) =0, а неизвестная
- функция ocs(|) согласно D4.22) удовлетво-
удовлетворяет интегральному уравнению
х
D5.12)
Рис. 45.2. Дискообраз*
4ная трещина в прост-
пространстве при действии
теплового потока че-
через ее поверхности.
где S — круговая область радиуса I.
Учитывая, что
J J \x — si
где Е(х) — эллиптический интеграл второго рода, который не
зависит от угловой координаты, преобразуем двумерное инте-
тральное уравнение D5.12) к одномерному. С этой целью пред-
представим \х — Ь,\~1 в виде интеграла [42]
_L_
D5.13)
Подставляя D5.13) в D5.12) и учитывая при интегрирова-
интегрировании, что а3(|) не зависит от угловой координаты, преобразуем
интегральное уравнение D5.12) к виду
/0
r < lt D5.14)
где iV(|) — неизвестная функция, которая определяется через
<х,3(р) соотношением
i
j D5.15)
N (I) = 2я j pa3 (р) /0
70(|) — функция Бесселя.
Учитывая, что Nib,) можно представить также в виде ин-
интеграла
/ i
^ (I) = \п {t) cos {It) dt, n(t)=*\ "r^L dp, D5.16)
интегральное уравнение D5.14) преобразуем к виду
. D5.17)
362
Для вычисления D5.16) с помощью D5.15) необходимо вос-
воспользоваться интегральным представлением для 70A) и прави-
правилами перестановки порядка интегрирования в повторных инте-
интегралах [42].
Интегральное уравнение D5.17) приводится к уравнению
Абеля и поэтому решается в замкнутом виде [2831:
»• (г) = - 8i^-» U» dp —
0 К г —р
Найдем коэффициенты интенсивности напряжений, которые
определяются непосредственно через n'U). Для рассматриваемой
задачи
_ _ D5.19)
*<0 - -r^v V-т»' «> = ^kb
Если же бесконечное тело с дискообразной трещиной, по-
поверхности которой нагружены внутренним давлением р = const,
нагревается температурой То = const через поверхности трещи-
трещины, то задача об определении в теле напряжений сводится к
решению интегрального уравнения
^р-а0Т0. D5.20>
Решая это уравнение по изложенной выше методике, опреде-
определим функцию п'(г), а затем по формулам D5.19) — коэффици-
коэффициенты интенсивности напряжений
(^)У±. D5.21)
Отсюда следует, что соответствующим нагревом тела, содержа-
содержащим дискообразную трещину, можно понизить интенсивность
напряжений в окрестности трещины, нагруженной внутренним
давлением, т. е. создать в теле условия физического торможения
трещины.
§ 46. Осесимметричная задача термоупругости
для цилиндра с разрезом
Рассмотрим цилиндрическую систему координат г, <р, г, ось
z которой совпадает с продольной осью бесконечного сплошного
цилиндра с внешним кольцевым разрезом (b^r^R) в плос-
плоскости z = 0. Пусть на части поверхности разреза (a^r^Rr
a>b) действуют равномерно распределенные источники тепла
с интенсивностью q (рис. 46.1). Предполагается, что боковая по-
363;
жерхность цилиндра теплоизолирована, свободна от касательных
напряжений и закреплена так, что точки ее не изменяют ра-
радиальных перемещений. Учитывая условия симметрии относитель-
относительно плоскости 2 = 0, рассмотрим действие ис-
источников тепла, распределенных равномер-
равномерно по кольцевой области (а < г < /?, 2 = 0)
[94]. В данном случае температура, удов-
удовлетворяющая условию
W
0,
D6.1)
Рис. 46.1. Цилиндр с
внешним кольцевым
разрезом.
является решением уравнения
1 д
D6.2)
Здесь через бЫ обозначена б-функция,
ц(г — а) = 1 (г>а), ц(г — а) —0 (г<а)
Используя интегральное представление б-функции
оо
б (z) = —- cos (kz) dl
ш разложение по функциям Бесселя
" n=l KJq(K)
яайдем решение уравнения D6.2) в виде
D6.3)
D6.4)
п=1
Здесь а = -^-, о = -^-, | = -^-, Хп {п — 1, 2, 3, ...) — положц-
Н К п
тельные корни уравнения /0 (Хп) = 0» расположенные в поряд-
порядке возрастания величины.
Напряжения o\f и перемещения щ1* в полубесконечном
цилиндре @<"^<«», 0<г</?), обусловленные данным темпе-
температурным полем D6.4), могут быть пайдены с помощью термо-
термоупругого потенциала Ф, удовлетворяющего уравнению [194]
ДФ = тТ,
D6.5)
где
М I
для случая плоской деформации,
1A + v) cff для случая плоского напряженного состояния.
С учетом D6.4) запишем решение уравнения D6.5) в виде
Ф (г, z) = *?. а, 2 /l("r1'0(""P) «"М d + U). D6.6)
Компоненты напряжений и смещений, соответствующие тер-
термоупругому потенциалу D6.6), будут удовлетворять следующим
условиям на боковой поверхности г —# и торце 2 = 0 цилиндра:
<#>(#, 2) = 0, u?{R,z) = 0 @<s<oo); D6.7)
<#> (г, 0) «= 0, аЙ} (г, 0) = - цотГ (г, 0) @ < г <Д). D6.8)
Для того чтобы берега кольцевого разреза {b^r^R, 2 = 0)
были свободны от нагрузки, необходимо на напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние o"ij\ u\ наложить состояние с компо-
B) B)
нентами Оц , щ , которые удовлетворяют условиям
42)(г, 0) = 0 @<г<Ь), D6.9)
u^ir, 0) = 0 @<г<Л), D6.10)
сЙ}(Я, z) = 0, и(г2)(^,Ю=0 @<z<oo). D6.11)
При этом oif^r, 0) = —о[\\г, 0) (b^.r<.R). Так как касатель-
касательные напряжения GrV равны нулю в плоскости 2 = 0, то переме-
перемещения и напряжения могут быть выражены через одну гармо-
гармоническую осесимметрпчную функцию ф(г, z) [2711:
ы?> = z Й + A - 2v) % a(r? - 2И2 ^-9. D6.12)
г dr dz к ' Or drdzz
Выбрав гармоническую функцию <p(r, z) в виде
ф (г, г) = 2(i_v) 2j т" 5n/0 (h?) e ' D6.13)
п
найдем, что условия D6.10) и D6.11) тождественно выполняют-
выполняются. Удовлетворяя условиям D6.9), получаем парные рядовые
уравнения
= -S". D6.14)
n=i
n=i l-n" о V'bn/
(P<p<l). D6.15)
365
Найдем решение парных уравнений вида *) D6.14), D6.15)
[411, 414]. Используя соотношение
?b^+<' D6.16)
представим уравнения D6.14), D6.15) в виде
2 f ни* (м—(i - v) у 2 Л (Х;Х: У} ¦
S BUo (Kp) = 0 ф < p < 1). D6.18)
Положим далее
1 i | у|^
По формуле, определяющей коэффициенты разложения Ди-
ни, находим
Р
В*п = -^— f g (t) cos (Ы) Л. D6.20)
Подставляя выражение для 5П в уравнение D6.17) и учи-
учитывая, что
-t2 + -^] ^щ ch (tl) [21, (I) - Ц, (p
о x
получаем после соответствующих преобразований интегральное
уравнение Фредгольма второго рода для определения функ-
функции git)-/
n=l ^-n-7 0 \An)
D6.22)
= T + ^ J ^§[2A E)"g ch m ch
0
') К аналогичным уравнениям сводится также задача о вдавливании
штампа в торец полубесконечного цилиндра [18].
366
Здесь Л(?), ^i(l) — модифицированные функции Бесселя соот-
соответственно первого и второго рода.
Для вычисления суммы, стоящей в правой части уравнения
D6.22), умножим равенство D6.3) на pU2 — p2)~1/a и проинте-
проинтегрируем по р в пределах от 0 до t. Получим
^tf (t>ah
Интегрируя по t последнее выражение, найдем
^ Яз7а/Я = Л (а) g-,
D6.23)
n=i
Следовательно, уравнение D6.22) принимает вид
g @ = J ^ (и) К (и, t) du - A - v) -if- [A (a) - -f ]. D6.24)
о
Ядро К(и, t) уравнения D6.24) может быть представлено
в. форме
т=о L *=1 J
1_
зт (щ — — ^2 ^ B) (& )
D6.25)
Численные значения коэффициентов Тп приведены в [4111.
С учетом разложения D6.25) решение интегрального уравне-
уравнения D6.24) можно искать в виде
*(*)- S<?2mf2", D6.26)
где коэффициенты Q2m определяются из бесконечной системы
Qw = 2 <?*С*л* - A - v) ш -^ [Л (a) dt - 4" в«
367
4 / т A p2fe+1
= тг 1^1 + 7Г/ЖТ"! ""
(Л-0,1,2, ...), D6.27)
S—1
'Bm)]Bs —
(Л-0, 1,2, ..., те = 1,2, ...),
О, тф].
Используя формулы D6.12), D6.16) и D6.19), находим нор-
нормальные напряжения в плоскости z=0:
С помощью выражений D6.8), D6.26), D6.28) определяем
к*
Рис. 46.2. Зависимость коэф-
коэффициента интенсивности на-
напряжений от радиуса пере-
перемычки при разной протяжен-
протяженности области нагрева: 1 —
а = 0,4; 2 — а — 0,6; 3 —
а = 0,8.
коэффициент интенсивности напряжений для кольцевого разреза
-П2В/
2m
Здесь
368
На рис. 46.2 представлена зависимость величины К* от ft =
= Ъ/R при различных значениях а = a/R. Результаты показыва-
показывают, что при определенных соотношениях между величинами а и
Р возможно возникновение сжимающих (К* < 0) нормальных на-
напряжений на продолжении кольцевого разреза.
§ 47. Квазистационарная задача термоупругости
для плоскости с полубесконечным
и конечным разрезами
Изложенные в §§ 43—46 результаты связаны с решением
статических температурных задач механики разрушения. Однако
наметившаяся тенденция скачкообразного повышения рабочих
температур различных агрегатов и установок, развитие таких
отраслей современного машинострое-
машиностроения, как газотурбостроение, реактостро- У
ение, двигателестроение, ракетная тех-
техника и многих других требует реше-
решения квазистатпческнх и динамических
температурных задач механики разру-
разрушения. Исследование закономерностей
развития трещин в условиях скачкооб- Рис. 47.1. Плоскость с полу-
полуразного изменения температуры имеет бесконечным разрезом, на
г - г j г части которого мгновенно
также большое значение для создания возникла температура,
теоретических основ электросварки,
прочности сварных швов и соединений.
Поэтому представляет интерес определение характера напряжен-
напряженного состояния в окрестности дефекта типа трещины в случае
нестационарного температурного поля.
1. Рассмотрим неограниченную плоскость с полубесконечным
разрезом вдоль действительной полуоси (рис. 47.1) [97]. Будем
полагать, что берега разреза свободны от внешней нагрузки.
Пусть плоскость находится под воздействием нестационарного
температурного поля, удовлетворяющего на оси у — 0 условиям
(а>0)
Т (х, 0, t) = То = const при ж>а, *>0, D7.1)
=0 при х<а, *>0. D7.2)
Определим неустановившееся температурное поле и вызванное
им термоупругое квазистациопарное состояние неограниченной
плоскости без разреза при граничных условиях D7.1), D7.2)"
и однородных начальных условиях. Рассмотрим мгновенный то-
точечный источник тепла интенсивности #, действующий в точк&
х = t>i у ~0. В этом случае температура Т(х, у, t) и квазистати-
квазистатическое распределение напряжений в плоскости определяются
24 в. 3. Партон, Е. М. Морозов 36$
формулами [194]
Tix v t) — q с
l [x, у, t) - 4яхг е
iKt-
<jy (xt y, t) =
D7.3)
D7.4)
1 —
У-*)-
x — j) у
Здесь x — коэффициент температуропроводности, г = У (х — |J + у2.
С помощью выражений D7.3), D7.4) можно определить тем-
температуру и напряжения для источников q(%, т), распределенных
по оси у = 0, х > а с переменной по времени интенсивностью.
Для функции температуры получим [1941
о о
Компоненты напряжений находим по формулам
00 t
их = J d? J q (?, т) ax (x — a — g, y, t — x) ¦
о о
у(х — а — |, у, f—т) с?т,
D7.6)
xiy = j d| J g(g, t) Txy (x — a^l,y,t — t)dr,
о о
Выражение для температуры, определяемое формулой D7.5),
удовлетворяет условию D7.2). Для выполнения условия D7.1)
необходимо, чтобы плотность <?(?, т) являлась решением урав-
уравнения
4k(«-x)
D7.7)
370
Применяя к уравнению D7.7) преобразование Лапласа — Карсона
по t и используя теорему о свертке, получим
00
J q(t p)K0[\x1-l\ ]/-?-) dl = 2яхГ0 (хх>0). D7.8}
о
Здесь q(%, р) — изображение по Лапласу — Карсону плотности
тепловых источников, распределенных по оси у — 0, х > а,
К0(х) — модифицированная функция Бесселя второго рода.
Решение интегрального уравнения D7.8) известно [193] и
может быть представлено в виде
to „ - *г. (/I«, [(^" VI] + f, (fГ ^
2
где erf (г) = —= \ e~u2du, erf с (z) = 1 — erf (z).
Подставляя D7.9) в левую часть равенства D7.8) и выпол-
выполняя интегрирование при х^ < 0, получим выражение для изобра-
изображения по Лапласу — Карсону функции температуры на оси
У = 0:
[±WxfA) l%°0] D7.10)
Для вычисления оригинала D7.10) воспользуемся известной
формулой операционного исчисления [49]
/ ( Vp) ^ -ф=1 е-^Щ (и) du D7.11)
и соотношением
12 Г t
—arctgl/ 1, f>a,
О,
На основании {47.10) —D7.12) получим
D7.12)
О, t < a.
оо ,х |2Т2
D7.13)
Интегрируя по частям, преобразуем равенство D7.13) к виду
24* 371
Компоненты напряженного состояния, определяемые по D7.6),
удовлетворяют следующим условиям на границе у = 0:
т'ху(х,0, t) = 0, D7.15)
п п 1 — ехр — ~7—71 Z\—
Я J
exp
о о
см f
exp | — -Т7ГП. it— I
;. D7.16)
о о
Принимая во внимание D7.5) п учитывая равенство
Г (Ж_а_|J]
1-expl-4x(i-x) I
запишем D7.16) в виде
а^(ж, 0, *) = nmj т(х1л 0, ^jdoL — 2\xmT {хх, 0, t). D7.17)
Очевидно, напря/кеиное состояние плоскости не изменится,
если заменить функцию Т(х, у, t) выражением Т(х, у, t) — То,
так как компоненты напряжений, соответствующие равномерному
нагреву плоскости и исчезающие на бесконечности, тождественно
равны нулю. Поэтому формулу D7.17) можно записать так:
и'у{х, 0, t) = цтпТ0 + \*,т^т{хъ 0, ¦?-) da— 2\xmT{xv 0, t). D7.18)
о
Подставив D7.14) в D7.18), получим
' / л *\ I w PmTo \ dr t Г(в — х) т
а, С 0, t) |.,<а = мн.7. - ^J jerfc [^
о v
(g-xJt2 r(a-^Tll
T7=f« r\T ^a t12t2 2 1/^Ti I» D7ЛУ)
Oy \X, U, t^ |х>а — "• ^ *' •la))
Чтобы берега полубесконечного разреза были свободны от
напряжений, рассмотрим напряженное состояние с компонента-
компонентами ох, Оу, ххи, подобранными так, чтобы удовлетворялись
-372
условия
т" (г 0 f\ 0 а' (г О f\ 4- п" (г О t) Г) (r>>0) (A1 9\\
Для нормального напряжения оу на продолжении разреза
получим выражение [187]
оо
а?(л, 0, t) = _* ] у "' ' du (ж<0). D7.22)
о
На основании D7.19) и D7.22) находим коэффициент интен-
интенсивности напряжений для полубесконечного разреза
К = Km [ /2я (— ж) о-у (ж, 0, *)] = 2 }/— [гтГ0 /л—
оо i 1
— I/ — umГпУ а — \ —t \ \ eric -— \\ , +
1 V K0
<_ 1 D7.23)
Здесь tt = 2 y^t/a, ay(x, 0, ?) = a^ (ж, 0, ?) + aj (ж, О, t).
На рис. 47.2 представлен график зависимости величины
к т/тГ
К* =—,_ ——т= от t%. Как видно, наиболее опасными с
2^/2 Jr у а
точки зрения распространения трещины являются начальные мо-
моменты времени.
2, Рассмотрим случай, когда плоскость с полубесконечным
разрезом у = 0, х > 0 находится под воздействием температур-
температурного поля, удовлетворяющего на оси у = 0 условиям
Т7 (tT, 0, *) = Го при fl<#<a + Z,
T(x,O,t) = Q при .г>а+г, D7.24)
-г- =0 при ж <С я.
В данном случае приближенное выражение для температуры
может быть получено следующим образом. К решению D7.5),
D7.14) добавим слагаемое аналогичного вида, в котором заменим
То на (—То) и а на а + 1. Тогда на оси у = 0 получим
— Т
— 1 о
1 С( , Г)от — а 1x1 . fix —в —г 1x11 dx . D7.25)
— erfc1 jJr- —erfcU ,_. ' I _, , x<.a v
я J t L 2yxf J [ 2у>а Jjxyx — i
373
Для коэффициента интенсивности напряжений, соответствую-
соответствующего данному температурному полю, получим выражение
К =
Здесь
0)]. D7.26)
Я) —
erf -L
К У я
— от ^ приведена на рис. 47.3.
Зависимость if* =
Температурное поле, удовлетворяющее условиям D7.24), приво-
приводит к возникновению сжимающих нормальных напряжений на
продолжении разреза.
О 5 10
Рис. 47.2. Зависимость ко-
коэффициента интенсивности
напряжений от времени.
О' 5 10
Рлс. 47.3. Зависимость коэффи-
коэффициента интенсивности напря-
напряжений от времени: 1 — 'к =
= 0,5; 2 — Я = 1.
3. Рассмотрим теперь плоскую задачу термоупругости для
внешней части прямолинейного разреза \х\ <1 */=0, на участке
которого \х\<а ia^l) в начальный момент времени возникает
постоянная температура T0(t). Найдем приближенное квазиста-
квазистационарное решение этой задачи [97].
В силу симметрии сначала определим температурное поле в
верхней полуплоскости при следующих граничных и начальных
374
условиях:
T(x,O,t) = To(t)t \x\<dt
ду
. . . Т(х,у,О)=*О. D7.27)
У=0 * 11^»
Задача сводится к нахождению функции Г(#, у, i), удовлетво^
ряющей уравнению
ДГ — А^^О fA = ~ + iij D7.28)
и условиям D7.27).
Применяя преобразования Лапласа — Карсона по времени,
приходим к следующей краевой задаче:
ДГ —-^-Г = 0, D7.29)
f(x,0,p) = T0(p) (\x\<o)t f[=Q = 0 (\х\>а). D7.30)
Функцию fix, у, р), удовлетворяющую уравнению D7.29), бу-
будем искать в виде
<» l/" V
Т(х, у. р) = ) ф (X, р)е~' h +*v cos (Xx) dX. D7.31)
о
Тогда из соотношений D7.30) получим для определения величи-
величины ф(Я, р) следующие дуальные (парные) интегральные урав-
уравнения:
00
) ф (X, р) cos (Xx) dX = 71,, (р) (х < а),
со °_ D7.32)
\ у Я,2 + — ф (X, р) cos (A,x) dX = 0 (х >• о),
о
Дифференцируя первое уравнение D7.32)' по я: и вводя новую
функцию
Ф*й, р) = фй, р)УА,2 + р/х, D7.33)
получаем
Г У^'^ sin М <й =- О (а; < а),
*** + ** D7.34)
J -<Р* (^i Р) cos (^) ^*0 {х > а).
о
375
Решение парных уравнений D7.34) будем теперь искать
в виде
Ф* (X, p) = )L (t) Jo (Xt) dt + QQJ0 (Xa), D7.35)
0
где Joix) — функция Бесселя; Qo — некоторая постоянная, подле-
подлежащая определению; Lit) — искомая функция.
Учитывая соотношения
/0 (Xt) cos ()
О (ж
Л (Xf) sin (Xx) dX = |, , ,2ч ,,„ , .
0 ц* *; ^- -,7
находим, что при подстановке решения D7.35) в D7.34) второе
уравнение удовлетворяется тождественно, а первое принимает вид
х а р оо -|
Г L(*l ^ dt== 1 ^ (т) J /1 г } ) /0 (Хт) sin (Лл;) <й Ьт +
оо
+ <?0 f (l -r^=^) J0(Xa) sin(Xx)dX (x<a). D7.36)
Рассматривая выражение D7.36) как уравнение Шлемильха
[282] относительно неизвестной функции Lit), записываем его
решение в виде
+ tQ0[x(l г .V ) /0 (И /0 (ХО <&. D7.37)
О \ f A +W
В дальнейшем используем приблия^енные равенства [226]
h(i-,J: \ъЪ^«\, : D7.38)
1 К )&№-?- 2 К , D7.39)
где Ь2 — некоторый параметр, который необходимо подбирать из
условия наилучшего выполнения этих равенств.
376
На рис. 47.4 и 47.5 представлены зависимости
у i
5 Г»
I1 VpW
при различных значениях параметра Ъг.
Рассмотренный приближенный прием решения парных инте-
интегральных уравнений применялся в работах [226, 232].
У2A)
/2A):
62 =
Принимая во внимание аппроксимацию D7.38) и учитывая
значение интеграла
(
Рис. 47.4. Графики функции y\(Q Рис. 47.5. Графики функции
(линия 1) и ее аппроксимации (линия 1) и ее аппроксимации
gr,(|): 2-Ь2 = 0.4; 5-62 = 0,5; 5 - &2 = 0,4; 3— Ъ* = 0,5; 4-
4 б^ о45 — 0,45.
I ч о " ==:
J Я ~Н t Pi' 3^
Го Tb/X
преобразуем уравнение D7.37) к виду
г
L (t) = &JL t \к9 (tb Y^) j L (т) /0 (тЬ ]/-f) dx +
«- о
"f) dT +
"f) j L
где Koix) — функция Макдопальда; Ia{x)
функция Бесселя.
модифицированная
377
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что вы-
выражение
Qo u-i/r~~p~K0(al
а ' к К,
t
D7.41)
является решением интегрального уравнения D7.40). На осно-
основании соотношений D7.35), D7.41) и D7.33) получаем
Ф
D7.42)
Таким образом, это выражение точно удовлетворяет уравне-
уравнениям D7.32), а значение постоянной Qo может быть найдено из
условия приближенного удовлетворения первого уравнения
D7.32).
Предварительно вычислим интегралы
Ро (а, х) =
о
00
cos
Дифференцируя по х эти выражения, получаем
(а, х)
оо оо
— /0 (Xa) sin (Аж) дХ + [ 1 — , ОХ )
d2Px (а, х)
D7.43)
/0 (Ь) sin
-л»
= — I Jx {%a) cos
Используя теперь аппроксимацию D7.39), находим
dPQ(a,x)
dx
Ь2
р С JQ (Яя) sin (Ax)
if
« J
о
378
cos
2 °° 2 °°
d Рл {а, х) С 'к J, (Яа) cos (\х) ' л Г Я/, (Яя) sin (tac)
ds3 J Я2 + Ь*р/к dx J Я,2 + Ь2р/и
о о
Значения интегралов в правых частях этих равенств при
х < а известны
00 I
2—"~ dX =
X -\-Ъ р/к
о
оо
Интегрируя по ^, получаем приближенные выражения для
интегралов D7.43)
Ро (а, х) « [ch [хЬ ]/|-j _ l] Ко {аЪ /"^-) + Ро (а, 0) (* < а),
_ ___ D7.44)
+ Р1{а,0) (x<a)
где
- т['.(т/1}^. (т /|
Подставляя D7.42) в первое уравнение D7.32), находим с уче-
учетом соотношений D7.44)
(?0 = То (р) кЛаЬ у —J | Ъ у — Ко ( аЬ у — \ Рг (а, 0) +
+ Кг [аЪ У^) Ро (а, О)}"'. D7.45)
Выражение D7.42) значительно упрощается, если рассматри-
рассматривать случай больших значений р/к, что соответствует малым
временам.
Воспользовавшись асимптотическими формулами для функ-
функций Бесселя и Макдональда, получим из выражений D7.42) и
<47.45)
' Т Г П"" . D7.46)
379
(А,, р)« т0 (р) /2 h ]/Z. j^L^- + yJ~^—K
Согласно соотношениям D7.31) и D7.46) находим приближенное
выражение для трапсформанты по Лапласу — Карсопу темпера-
температуры на оси х
Т (*, 0, р) « То (р) /2 [b j/f Рх (а, х) + Ро (а, *)]. D7.47)
Перейдем теперь к определению напряженного состояния
в неограниченной плоскости, соответствующего данному распре-
распределению температуры. Для этого воспользуемся представлением
термоупругих напряжений в квазистационарном случае посред-
посредством потенциала Ф, удовлетворяющего уравнению
АФ = тТ. D7.48)
Компоненты перемещений и напряжений определяются по
формулам
0 _дФ 0__?Ф ° ,9 Гд2ф
, дУ D7.49)
п д2Ф п о д"Ф К
Термоупругий потенциал Ф из условий симметрии должен
удовлетворять соотношению
т°
ху
У=0
= 0 (— оо<я<оо). D7.50)
Применим в уравнении D7.48) преобразование Лапласа — Кар-
сона по времени. Тогда, учитывая выражения D7.29), D7.50),.
а также D7.31) и D7.42), получаем
X х cos (tec) dl—\ ——% cos (kx)
d%
/2 i
"л (Яй) С
=^ COS
о
-1
1
Согласно соотношениям D7.49), D7.51) находим трапсформанты:
380
нормальных напряжений на действительной оси
aj (х, 0, р) =
00 -|
\ Я f 1 , Х ] /0 (^а)cos (to)d^
X cos (Кх) dX
Вводя аппроксимацию D7.39), записываем последнее выраже-
выражение в виде
а*(х% 0, р) =
= — 2amb2Q0
Можно показать, что интегралы, входящие в правую часть
этого соотношения, равны
J
S= ch fЖ& l/^) ^ fab /Z
р/х V ^ x У Ч ?
0 (x«l)
ОС
Г Я/о (Ка) соз (Кх)
1 is 2 1 t^^^/.л
D7.53)
Воспользуемся асимптотическими представлениями для функ-
функций Макдопальда при больших значениях р/х и будем полагать
[хЪ Y
381
Тогда из выражений D7.52), D7.53) получаем
5J (хг 0, р) «
0 (p)
/—;— "г п„ &
Vp/X
(х>а); D7.54)
(р) —Ц= (я: < а).
а у ргл
Если Т0(р) = Т0 = const, то возвращаясь к оригиналам в соот-
соотношениях D7.54), находим
aj (х, 0, г) «
О
где
D7.55)
erfc
00
(г) = —т=г ] e~
Т/я J
Пусть теперь вдоль действительной оси имеется разрез дли-
длиной 21 U>0), симметричный относительно начала координат.
Найдем напряженное состояние для внешности этого разреза, на
берегах которого действует нагрузка —al(x, 0, t).
Согласно [187] нормальные напряжения на продолжении раз-
разреза определяются следующим образом:
оу (х, 0, t) = / 5 f V(zf < (S. Ot *) dg. D7.56)
Тогда коэффициент интенсивности напряжений равен
Кт = Hm /2я (х — I) оу (х, 0, t) =
2f* 1 I
— -7= arcsin — t D7.57)
у я a J
где Л - —,
382
На рис. 47.6 согласно D7.57) представлена зависимость вели-
, кгУл
чины Л1 = zrj=— от длины трещины л для различных мо-
моментов времени t*. График позволяет сделать следующий вывод.
Очевидно, существует некоторое критическое значение X* (%* «
~ 2,94) отношения длины трещины к длине температурного
Рис. 47.6. Зависимость коэффициента интен-
интенсивности напряжений от длины трещины для
разных моментов времени: 1 — t* = 0,04;
2 — t* = 0,1.
«заполнителя», при котором бесконечные напряжения в конце
трещины отсутствуют. Только в том случае, когда длина равно-
равновесной трещины в три раза и более превосходит длину тем-
температурного заполнителя (А,>Х*), происходит развитие тре-
трещины, носящее гриффитовский характер. При А, -*~ °о, что
соответствует мгновенному точечному приложению температуры
в центре, Т* -*¦ 2/УяЯ?*. При X < X* возникают сжимающие па-
пряжения, и развития трещины не происходит.
Глава VIII
МЕХАНИКА РАЗРУШЕНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
§ 48. Произвольно ориентированная трещина
в пьезоэлектрической среде
Рассмотрим пьезоэлектрическую среду, отнесенную к прямо-
прямоугольной системе координат xk (/c=l, 2, 3) [229]. Пусть в пло-
плоскости х2 = 0 расположена прямолинейная туннельная трещина
шириной 21 (\х1\<1), у которой края ориентированы в направ-
направлении оси х3, а на бесконечности заданы компоненты вектора
механического смещения и электрический потенциал
и^ = 40>*1 + М°Ч. Ф(о) = ?o*i + А)**- D8.1)
Здесь А^\ В(к°\ Co, Do — известные постоянные. Формулы
D8.1) определяют однородное на бесконечности электроупругое
состояние, для которого тензор напряжений и вектор электриче-
электрической индукции соответственно равны
+ e2ajDQ,
42D0 (a, /=1,2,3).
Искомое электроупругое состояние пьезоэлектрической среды
с трещиной представим в виде суммы однородного решения D8.1)
и величин uk {к — 1, 2, 3), ф, которые обеспечивают соответству-
соответствующие граничные условия в плоскости трещины. Предполагая,
что компоненты uh (к = 1, 2, 3) и электрический потенциал ср не
зависят от координаты х3, запишем уравнения равновесия и
электростатики (см. A0.3))
d~uh д"ик д'ик
dI
1а1 -^ + (е1ал + еш1) —
= Ъ, D8.3)
- ей ^ - 24 ,-?? _ е;, |t = 0. D8.4)
384
Тогда компоненты тензора напряжений и вектора электрической
индукции определяются (см. A0.4)) по формулам
+ C
1
_ k , d
duk , duk
+ e
""-1 0Хг OXl OX2
При формулировке условий в плоскости трещины х2 — 0 необхо-
необходимо учесть, что в общем случае анизотропии напряженное со-
состояние и электрическое поле в окрестности трещины не обла-
обладает симметрией относительно плоскости х% = 0, и поэтому ре-
решения уравнений D8.3), D8.4) необходимо рассматривать от-
отдельно для Ij>0h для хг < 0. Применяя преобразование Фурье
по #i, получим из решений D8.3), D8.4) следующие выражения
для смещений и электрического потенциала:
2 «ыС? (Ь) е~ "Ps ХЫХ (к = 1, 2,3), D8.6)
= 2 Re J
Ф± (xlt хй) = 2 Re Г е~**1 2 a^Cf (к) еТ^*ЧХ, D8.7)
где w+, ф+(м~, ф~)—решения в области хг > 0 (л:2<0),/>а = ps=
= Р«1} + Ы2)» РГ = jo^ (р?} > 0, ^ = 1, 2, 3, 4) — корни характе-
характеристических уравнений системы
[ + ( + C<i2kl) ip + Ca2fe2p2] пк —
— (eiai + «201) ip — ^2a2p2] «4 = 0 (a, /г = 1, 2, 3),
( + e2fel) Ф + ^2fe2P2l «ft —
- [—eli + 2es12ip + 8s23/>2] й4 = 0, D8.8)
aiS — значения ak, a4, удовлетворяющие соотношениям D8.8)
при p = /»s, «4S = «4S, «Is =«4S'i cs(^)—искомые функции, опре-
определяемые из граничных условий задачи.
Перейдем к формулировке граничных условий в плоскости
х2 — 0. Очевидно, что вне трещины (^, = 0, \xv\ >l) должны быть
непрерывны компоненты смещений, напряжения, а также состав-
составляющие Ei(xl, 0) и D2(xu 0). Кроме того, будем считать, что на
берегах трещины отсутствуют свободные электрические заряды
и механическая нагрузка. Таким образом, условия при х2 = 0
с учетом выражений D8.2) принимают вид
otk fa, 0) - сы fa, 0) = 0 (к = 1, 2, 3),
Dt fa, 0) - DJ fa, 0)=0, |^|<oo,
ar? (*!, 0) = - ag?, Z)+(x1,0) = -JOl20)T I^KZ, D8.10)
25 в. З. Партон, Е. М. Морозов 385
ut (*lf 0) - щ (*lf 0) - 0, Et («!, 0) - ?Г (*x, 0) - 0,
. D8.11)
Введем вспомогательные функции
4
Л"т (X) - 2 [Ct (к) ams - CT (к) атй],
'-1 _ __ D8.12)
Мт {к) =» 2 [Ct (к) amips + CT {к) amsPs] (m-U 2, 3, 4).
Тогда с помощью формул D8.6), D8.7) из условий D8.9) получим
Мп (к) - - ? 2 tm*Ns (к) (т - 1, 2, 3, 4). D8.13)
Здесь tms — элементы матрицы Т = Тх гТ2, где
^232
С2212 С2222
С1212 С1222
^222
С2322 С2332
— 8
21
С2211
С2231
С12Ц С1221 С1231
С2311 С2321 С2331
Из равенств D8.12) с учетом формул D8.13) можно выразить
функции Cf (к) через Ns(k) (s= I, 2, 3, 4):
Ct (к) = 2 pVVi (к), С7 (к) = - .2 P^V; ik). D8.14)
Здесь pej — элементы матрицы
A = l\amJ, P = diag \\plt ..., pjl (m, n ~ 1, 2, 3, 4).
Используя равенства D8.14) и представления D8.6), D8.7), по-
получим из условий D8.10) и D8.11) систему парных интеграль-
интегральных уравнений
4 °°
.2 f X[StjNj {к)e~ilxy + SkiWJ{k)e<
Ho
dk = -
00
J X [- iNh (л)
= 0,
(к = 1,2, 3,4),
D8.15)
D8.16)
где Sw —элементы матрицы S = -iT2AB - TtAPB, F[o) = D{?\
Ff =
386
F30)
off,
Заметим, что на основании
равенств АВ + АВ = Eit АРВ — АРВ = —iT элементы матрицы S
являются действительными числами (?4 — единичная матрица
4X4). Решение парных уравнений D8.15), D8.16) имеет вид
/4 \
Nk {%) = - i- 2 StiFf* -^. D8.17)
Здесь I Shj j| — матрица, обратная к матрице 5; Л Ы — функция
Бесселя первого рода.
Тогда функции С? (X) (s = 1, 2, 3, 4) определим по
формулам
/в, С7 (Я) = — -
где /, — элементы вектора-столбца ЦТ2А + ТхАР)~'Р{й) = —BS~vF{0\
Fw={Ff\ ...,Fi0)]. Подставляя выражения D8.18) в форму-
формулы D8.6), D8.7) и D8.5), найдем компоненты смещений, элект-
электрический потенциал, напряжения и вектор электрической
индукции:
4-Re 2
4
— Re 2
4-Re 2
c2) = ф(°) (,
4
ahsfs [Vl2-
*u«,)+
f _ {T\ If* _ I _ 7 O'1 J— ._._ / П *У" [ / /¦
4^ ( 71 */* —^~ ? 7™ 1 -1 . ( тл, * ^^~ /
Ci)j.
.„
D8.19)
D8.20)
— Re 2 a
4
i (^1, ^2) = ffaj — Re 2 (катана + Cajh^^p, + ielajais +
s=l
+ e2aiaisps) /, [l — (psr2 4- tei)/ К^3 + (ps^2 4- i^K
(«„/ = 1,2,3). D8.21)
4
z (^1, ^2) = ^a — Re 2 (
s)U[ 1 — (p^a + *«i)//^2 + (P^2 + ^iJ] (a =1, 2, 3)
D8.22)
25* 387
Из выражений. D8.19) — D8.21) находим скачок вектора смеще-
смещений и электрического потенциала в плоскости трещины:
4
ut (xlt 0) — ип (хг, 0) = 2 Re 2 ahsfs ]//2 — х\,
Т D8.23)
Ф+ (а?!, 0)- ф- (xt, 0) = 2 Re 2 aisfs Yl% - ХЬ \%i\< U
s=l
а также напряжения aj (xlt 0) и составляющую Df(xu0)
вектора электрической индукции на продолжении трещины:
-p). D8.24)
С учетом равенств D8.23), D8.24) условие разрушения A0.11)
принимает вид
Re 2 W- + ^20) Re 2 a^fs , D8.25)
ид
L
2 a^fs ,
=l J
причем элементы fs E=1, 2, 3, 4) линейно зависят от величин
() @) @) п@)
23 )
Представленное здесь решение задачи получено при условии
отсутствия свободных электрических зарядов на берегах трещи-
трещины. Однако из выражения D8.20) следует, что составляющая
Ei(xu 0) вектора напряженности электрического поля внутри
трещины имеет особенность типа (/2 — #i) 2 при Xi^>~±.l. Та-
Таким образом, в окрестности вершины трещины возникает силь-
сильное неоднородное поле, которое может быть причиной иониза-
ионизационного пробоя, находящегося в трещине воздуха [268]. В ре-
результате произойдет снижение напряженности поля в трещине,
обусловленное появлением индуцированных электрических заря-
зарядов на ее поверхностях. Очевидно, при этом изменится и харак-
характер распределения электрического поля в окрестности трещины,
так как последняя станет проводящей вблизи своих вершин.
§ 49. Составные тела. Трещина на границе
пьезоэлектрика и упругого проводника
1. Рассмотрим неограниченное полупространство z ^ 0 из
пьезоэлектрического материала. Прямолинейный разрез располо-
расположен в плоскости изотропии z — 0 поперечно-изотропной среды
(текстуры класса °о»г, кристаллы гексагональной сингонии клас-
класса 6mm) на границе с упругим изотропным проводником (z^0),
причем берега трещины — I < х < I, —°° < у < <» свободны от
нагрузки. На бесконечности задано постоянное и параллельное
388
оси z напряжение о0. Задача рассматривается для случая пло-
плоской деформации.
Следуя [104, 105] можно уравнения состояния A0.4) перепи-
переписать в матричной форме, если осуществить замену индексов по
следующей схеме:
22
33
¦1,
2,
3,
23 = 32
13 = 31
12 = 21
Матрицы модулей упругости с^, пьезоэлектрических моду-
модулей е», диэлектрических проницаемостей B*hl(i, j = I, 2, ,.,, 6;
к, I = 1, 2, 3) для рассматриваемых текстур и кристаллов име-
имеют вид
Е
Е
11
Е
12
13
0
0
'5
<?
0
0
съз
0
0
0
0
0
«f.
0
0
0
0
0
св
0
0
0
0
0
ооооо т(^-^2)
0
0
0
0
1
15
0
0
0
0
е.
15
0
0
е
е
е
33
0
0
0
D9.1)
На основании A0.4), D9.1) уравнения состояния пьезоэлект-
пьезоэлектрической среды для случая плоской деформации, определяемой
вектором смещений и+{и+(х, z), 0, w+(x, z)} (z^0) и потенциа-
потенциалом ф(я, z) будут
.Е
+
и+
Е dw
cl3 7O
сзз J7
dw+
dtp
D9.2)
dz
~ °П дх '
dw+ $ да>
jjz = е9х -д h ?33 ~л езз "д •
Из уравнений равновесия и уравнений Максвелла A0.3)
с учетом D9.2) получим следующие основные уравнения для
389
исследования задачи электроупругости (z>0):
Лг + с F + с1?" + *17" + е^Т
d2w+ s д2ф s
D9.3)
. Для изотропной проводящей среды (г ^ 0) со смещением то-
точек среды и~{и~(х, z), 0, ш~(ж, z)} имеем
о^ = (X + 2ц) -^ + Я -1Г, о-гг = (X + 2М) ^_ + ?, —,
D9.4)
_ (dw~ ди\
причем компоненты тензора D9.4) удовлетворяют уравнениям
равновесия A0.3).
В силу линейности уравнений A0.3), D9.2) — D9.4) решение
поставленной статической задачи можно искать в виде суммы
решений двух следующих задач: задачи (А) об определении на-
напряженного и деформированного состояния, компонент электри-
электрического поля и индукции в сплошной пьезоэлектрической среде,
скрепленной всюду на плоскости с изотропной средой, под дей-
действием постоянного растягивающего напряжения о0 на бесконеч-
бесконечности и задачи (В) об определении состояния среды со щелью,
когда на ее берегах действуют внешние поверхностные силы
и поле.
Легко проверить, что решение задачи (А) таково:
U+ = U~ = О^х = etz = Gocx = Gxz = Ex = Dx = 0
<*tz = o7z = oQ, w+ = ^-j ^ o0z, D9.5)
1 ЯЯ ™ 41 14
с?
,„- P__ ^ _ ^_31 p-ffo2,
u, т е с ее
^ e31 33 33 13
? l~
33 C33 13
390
Решение задачи (В) можно получить при следующих усло-
условиях на границе двух сред:
О"^ = О"~, Oxz = O*xz? ф = О, Z = 0, — ОО <^ X <С ОО,
w+ = u?~, z = О, |#|>»Z,
,,^, D9.6)
и+ = и~,
а? = —ст0, а? = 0, z = 0, |я|<
оо.
Будем искать решение уравнений D9.3) при z^O с помощью
интегрального преобразования Фурье
и+ (х, z) = j U (|, lz) sin (lx) d%,
0
ОС
W (? &) cos (
D9.7)
oo
Ф (x, z) = j Ф (g, gz) cos (|a:
0,
!2 — ('33"' ^44»
Подставляя D9.7) в D9.3), получим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений для определения функций U, W, Ф.
Частные решения этой системы для z > 0, удовлетворяющие
условиям на бесконечности, запишем в виде
U = ае~*\ W = $e~hz, Ф = fe~*\
Здесь А; — корень с положительной действительной частью бику-
бикубического характеристического уравнения
det HaJI=O, D9.8)
а — с±4к2 — с?и а = — а = (сЕ + сЕ)к,
S 12 в
Анализ уравнения D9.8) показывает, что для известных пье-
зокерамик, относящихся к рассматриваемым классам сред, оно
имеет два действительных корня ±к± и четыре попарно сопря-
сопряженных комплексных корня ±6 ± ш, причем kt, б, о) > 0. По-
Постоянные а(&), f>(k), j(k), являющиеся решением однородной
системы уравнений с матрицей !!awll, определим по формулам
п | 2
Ot ^12^23 ^13^22) р — ^Н$23 — ^12^13» ^f — ^11^22 ' ^ 12*
Таким образом, общее решение для U, W, Ф можно предста-
представить в виде
L'U
Ахе hl* + Re
22
, D9.9)
391
a21 + ta22 = aF + ?ю), p2i + Ф22
Здесь ЛД|), #i(?), Ci(|) — функции, подлежащие определению
из граничных условий.
Используя D9.7) и D9.9), получим следующие выражения
для смещений и потенциала:
и+ (х, z) =
оо
= J [а1Л1 (g) e~hilz + (ая А (g) - a22C, (g)) е"б|г cos (со^г) +
+ (a^B, A) + a2A F)) e-*6« sin (ю^г)] sin
)
= j" [Mi ffi) e~fe^2 + (P^i (S) - P. A (D) е-б?г cos ((o|z)
© 6| (б) g g
(я A () х © sin (шба)] cos (g«) dg, D9.10)
Ф(x, z) =
oo
= j [VA F) e"*!6* + (Y,iBi (i) - ТзгСх (S)) e-*18 cos (cogz) +
+ G22^! (g) + Va A (?)) «-«• sin (a)|z)] eos (gar) dg.
На основании D9.2) и D9.10)
oo
u+ (x, 0) = J [Mt (?) + a%xBx (I) - аиС! (g)] sin (ga:) dg,
0
oo
arf 0) = J [Mi (Б) + Р. А (Б) - P22^i EI cos (gar) dg,
0
oo
Ф {x, 0) = j [y^, (g) + y2A (I) - 722^! (g)] cos (gar) dg,
ff+ (ar, 0) = J [mr4 (g) + m^! (g) - m3Cx (g)] | sin (gx) dg,
aj(x, 0) =
Z>+ {x, 0) =
о
392
Здесь введены обозначения
mi = *ieYi — с?4 (*!«! + р\), «1 = —
™2 = г15?21 — cf4 (а21б — а22(о + р21),
^ — е15 (а21б — а22(о
— cf4 (а22б + а21ю + 0
els (а22б + а21(й
т\ Е Е
ca С
и использованы равенства
т
1
-JT-
1
- е33
Решение уравнений равновесия A0.3) при 2^0 представим
в виде
ОС
и- {х, z) = j [Л2 F) + В2 (I) lz\ e^sin (Ь) dl, D9.12)
о
оо
W- (X, Z) = J [- Л2 (?) + 52 (I) (A±iE _ |Z) j е%г cos (
Здесь 42(|), 52(|) — функции, подлежащие определению из гра-
граничных условий D9.6).
На основании D9.4), используя D9.12), получим
оо
и- (х, 0) = j Аг (I) sin Цх) dl,
о
393
иг (x, 0) = J [~ A2 A) + #2 (?) |±^] cos (?*) 4,
D9.13)
«? (*, 0) = J 2^ [- 4, (E) + B, (I) )±^} I cos (E*) d?,
о
оо
*t 0) = j 2fx [л2 (g) - 52 (g) ^] Isin (g«) dE.
Удовлетворяя же «сквозным» условиям D9.6) на границе двух
сред 2 = 0, найдем
•22
Здесь
61 = 77i1v22 —m3Yi, б2 = т.2у22 — m3Vai.
(ю26 + ^з^) У22~ (тзб ~
Г1>
О + О) О + (О
Вводя функции
w{x) = w+(xt 0) - иг(х, 0), и{х) = и+{х, 0) — и~(х, 0),
и, удовлетворяя остальным условиям D9.6), получим систему
парных интегральных уравнений для функций At{\), Bi(%):
00
— Oxz (х% 0) = — \ \ЬЛАХ (|) + 62В1 (|)] cos (|я) dfc = О,
Y22 dlC J '
ОО
a+'fo 0) - -^-4 f t63^i © + б A (E)]sin (?*) dg = - a01
У22 *" ^
0<z<Z, D9.16)
00
Ы = J-_ Г [g.^! (?) + 6e5, (g)] cos (ga:) dE = 0, x> lt D9.17)
I 99 v
^22
00
= 0, x>l. D9.18)
394
Здесь
6i У*+ 20
P22Y21
А _ б
°8 - «21V22 - «22Y21 -
Покажем, что система парных интегральных уравнений
D9.15)—D9.18) может быть сведена к системе сингулярных ин-
интегральных уравнений с ядрами Коши.
Представим соотношение D9.17), D9.18) в виде
i ffi) + V?! (Б)] cos (lx) Я - n ' , D9.19)
1°7Л1(У + <VMs)Jsm(?
о
Воспользуемся следующими формальными представлениями
обобщенных функций:
sin(|f)sin
— J si
s (|t) cos (gar) d| = 6 (a: — t),
0
00
О
оо
t + X
t — x
ИЛИ
ос
г
sin (Ы) cos
ОС
\ si
) (l) l ^^
t — x
0
Выразим -4i(?) и 5i(|) из D9.19) и преобразуем D9.15),
D9.16) к виду
D9.20)
395
где Со — постоянная, которая будет определена ниже, а
(М M) ? (ss 66)
= -д- (S7S4 — 6863), ?22 = -д- (б6б3 — 65б4), Д = 65б8 — б6б7.
Из формул D9.19) видно, что w{—x) = w(x), и(—х)——и{х) и,
следовательно,
i i i i
w (t) х dt _ Г w (t) dt 9 Г и (t) t dt _ Г и jt) dt
О —l О —I
Подставив эти выражения в D9.20), получим следующую си-
систему сингулярных интегральных уравнений с ядрами Копш от-
относительно функций w(x), u(x):
i
/ \ , i С и (t) dt n //п о .
gxlw (х) + g12 — J -j±-? = Со, D9.21)
—i
D9.22)
Для решения этой системы умножим второе уравнение на ?gt
и, сложив с первым, получим одно сингулярное интегральное
уравнение
D9.23)
Отметим, что для реальных пьезоэлектрических и упругих сред
gjgl2 > 0, gzJgzZ > 0, g > 1.
Например, для композиции пьезокерамики PZT — 4 [284] и стали
(? = 20-1010 Н/м2, v-0,25)
gtl = 0,14 ¦ 1010 Н/м2, giz = 6,1 • 1010 Н/м2,
gal = 2,9 ¦ 1010 Н/м2, g22 = 0,18 • 1010 Н/м2,
gt-1,6, ^ = 26.
Следуя [1871, для решения D9.23) введем функцию
396
аналитическую в комплексной плоскости с разрезом вдоль отрез-
отрезка —I < х ^ I действительной оси. Граничные значения непре-
непрерывного продолжения F(z) на отрезок —l^x^l слева и справа
определяются по формулам Сохоцкого — Племеля
i
'" 'l7, F+(x)-F-(x)=f(t). D9.24)
После подстановки D9.24) в D9.23) получаем краевую задачу
Римана
F- (,) - ^ (? + th.„„). D9.25)
Определим частное решение однородной задачи Римана, ог-
ограниченное вблизи концов х = ±.1 и обращающееся на них в нуль,
в виде
X (z) = (z + 01/2"i>c (^ - 01/2+ix- x = ^ In
Тогда решение задачи D9.25), ограниченное вблизи концов,
будет
* fS i)*. D9.26)
Здесь X+(x) — значение X(z) на верхнем берегу разреза. По-
Поскольку в рассматриваемой задачи разности смещений и, w об-
обращаются в нуль на бесконечности, следует потребовать, чтобы
F(°o) =0, что приводит к условию
Используя известные методы вычисления интегралов [42, 2831,
получим
bh D9.28)
а из D9.26) с учетом D9.28) — общее решение краевой задачи
D9.25) в виде
F(z) = — iT-±-a0[X(z) — z+i2lx]. D9.29)
Подставляя это значение в D9.24), найдем
f(x) = w (х) + iglu {x) = -il^ [X+ (x) - X' (х)], D9.30)
397
(л:) = X- (x) = /F^
Таким образом, напряжения, смещения и компоненты элект-
электрического поля можно получить в каждой точке среды в явном
виде. В частности, разность смещений берегов трещины w(x) и
нормальные напряжения огг(х, 0) представимы следующими вы-
выражениями:
х\<1,
D9.32)
~ сг0, \х | < I,
(ж — 1)а
2
Полученное решение показывает, что смещение, напряжения
и другие физические величины имеют осциллирующий характер
и изменяют знак бесконечное число раз при стремлении х к кон-
концам разреза (х = ±1).
Для пьезокерамик, приведенных в [284], участки изменения
знака расположены в весьма малых окрестностях концов разреза
1х| sS I. Значения параметра d= (g + l)/(g— 1) в D9.25) для зна-
значительного числа композиций пьезокерамик с проводниками
меньше трех (например, для составной среды пьезокерамшш
PZT — 4 со сталью rf = 1,08, с медью d = 1,03). Для окрестности,
в которой значения физических величин носят осциллирующий
характер, следует оценка \1~ х\ < 5 • 10~4Z.
Таким образом, перемена знака рассматриваемых величин
происходит в той малой окрестности вблизи концов разреза, в ко-
которой полученное решение не отражает действительного напря-
напряженного состояния из-за отступления от линеаризованных зако-
законов пьезоэлектрической среды. Для определения величины кри-
критической нагрузки воспользуемся условием A0.11), которое
можно переписать в виде
1 1 1
J 4>oDinjdx + J ф (Dj — Djo) щйх ,
о о J
D9.33)
398
где параметры с индексом нуль определены из решения задачи
электроупругости, но для тела без разреза, а интегрирование
ведется по обоим берегам разреза.
Приняв во внимание, что
J г
J
получим выражение, связывающее критическую длину трещины
и приложенную нагрузку
- <49-34>
2. Точно так же можно построить и решение аналогичной за-
задачи для составного тела с дискообразной трещиной радиуса I
[105]. Смещения берегов трещины и напряжения на продолже-
продолжении разреза в этом случае таковы:
D9.35)
p(t) t ^h
x " ' ~* D9.36)
~dT
0
В этих выражениях
p (t)=*!rr=i [f cos (x ln Ы) -хг sin (*ln
2а„ f ( l-t\ I ¦ ¦" D9-37)
I cos к ln r-^^ 4- t sin x In
Для определения величины критической нагрузки, действую-
действующей на берегах дисковидной трещины, можно воспользоваться
условием A0.22), которое в рассматриваемом случае принимает
вид
i i
399
Изменяя порядок интегрирования в этом выражении, получим
y = iiiilp{t)tdt' D9-38)
о
Нетрудно показать, что
i
Тогда выражение критической нагрузки для дисковидной тре-
трещины имеет вид
D9.39)
v
§ 50. Пьезоэлектрическая среда с трещиной
в плоскости симметрии
Рассмотрим электроупругое состояние в окрестности туннель-
туннельной трещины в неограниченной среде из поляризованной пьезо-
керамики (текстура класса °°т) [229]. Пусть прямолинейная
трещина располагается в плоскости z = 0 на участке Ы < я,
|г/1<°°, причем ось z совпадает с осью симметрии среды. Ком-
Компоненты вектора смещений и = {и: 0, w) и электрический потен-
потенциал ф являются функциями х, z, а уравнения состояния для
данного класса симметрии описываются соотношениями D9.2).
Подставляя, как обычно, эти соотношения в уравнения рав-
равновесия и электростатики D9.3), получим систему трех диффе-
дифференциальных уравнений относительно uix, z), w(x, z), q>(x, z).
Пусть на бесконечности заданы постоянные напряжения
o« = во, oi0* = 0, которые в силу равенств D9.2), D9.3) соответ-
соответствуют следующим значениям электрического потенциала, сме-
смещений и электрической индукции:
Ф(О)
D{0) = ст0 (^3^31 + с?р13)/(с%3е31 — с?3е33) = d0oo. E0.1)
Решение уравнений D9.3) для неограниченного пространства
|г|<оо с трещиной в плоскости z = 0 (\х\<1) при условии от-
отсутствия на берегах трещины свободных электрических зарядов
и механической нагрузки можно представить в виде D9.10) для
z > 0 (выражения для z < 0 имеют аналогичный вид, отличаясь
лишь знаками слагаемых и показателей экспонент). Значения
400
смещений, потенциала, напряжений и электрической индукции
в плоскости z = 0 определяются соотношениями D9.11) и им
аналогичными.
Граничные значения в плоскости z = 0 имеют вид
Dz (х, О) — Dz (x, 0) = 0, —оо<С#<Соо,
aiz{x, 0) = 0, о+ {х, 0) = 0, />+(*, 0)= О, \х\<1, E0.3)
и+(я, 0) = и~{х, 0), u?+(z, 0) = иг (я, 0),
[5ф+(а:, 0)/5ж] — [с>ф"(д;, 0)/^ж]==0, U1>Z. E0.4)
Удовлетворяя этим условиям, получаем соотношения
Лг (I) --Аг (I) В, (I) = - Вг (S), ^ (Е) - - Сх (S),
и систему парных интегральных уравнений
I lsnAt (I) + s12B+ (I)] cos Цх) dt = ~ao, I x I < /,
E0.6)
J I h^t (I) + gl2Bt (I)] sin (lx) dl = 0,
? [а.И? (i) + s^Bt (g)] cos(^)^ =-
E0.7)
j I [?21^1+ (g) + ?e25f ©] Sill (^) Jg = 0, I ^ I > /,
0
где
i mi К6 - т2Ю) . __
B 3) ^ 12"
\
21 Л
<o
Решение уравнений E0.6), E0.7) можно представить в следую-
следующем виде:
At (I) = W/Ax) (- ^22 + d0s12) [J, (U)/l],
Bt (?) = Ы/Ьг) (sn - <W) [^x (S^/51. E0.8)
All = 5ц522 Si2521«
26 В. З. Партон, Е. M. Морозов 401
Формулы E0.8), E0.5) позволяют определить напряженно-дефор-
напряженно-деформированное состояние и электрическое поле в окрестности тре-
трещины. В частности, при z = 0 получим:
U± (X, 0) = OoU0 [х-Ц(х-
w± (х, 0) = ± aQWor\ (I - x) Y?=
Ф± (x, 0) = ± (ТоФоЛ (I - x) /P^?, E0.9)
a+ (x, 0) = o-o {Щ {x - I))I Vx2 - l\
Dt (a:, 0) = Mo И (* -
Здесь т](а;) — единичная функция,
0 = (— A
На основании E0.9) с учетом критерия разрушения A0.11) или
D9.33) можно найти условие распространения трещины
2у = (я/2) lol (Wu + d0O0) E0.10)
и определить величину критической нагрузки
М. E0.11)
Заметим, что в силу обратимости явления пьезоэффекта равен-
равенство E0.10) позволяет также определить критическую величину
напряженности электрического поля, заданного на бесконечно-
бесконечности. Действительно, если при хг + zz -*¦ °° вектор напряженности
электрического поля равен Е = {0, ?@)}, где Е{0) = — [(cf3a0/
/(ci8<?33 — c33^3i)L то из формулы E0.11) получим
+ W(^зз - D/4)^iJ]- E0.12)
В случае равномерного растяжения на бесконечности пьезо-
керамической среды с прямолинейной трещиной, расположенной
в плоскости симметрии, электрический потенциал при переходе
через линию трещины изменяется скачкообразно, а компоненты
вектора напряженности электрического поля имеют в окрестно-
окрестности вершины особенности порядка г~1/2 (г — расстояние от вер-
вершины трещины). При г-»-0 асимптотические формулы для Е%%
402
t имеют следующий вид:
t {x, z) = [ool (s22 - dQs12)/(^/2l?)]{27^@, к1чп-В)-
— y22 (mjm3) [F (to, 8, л — 9) + F (— <o, б, я — 9)] +
+ Y.i (%/"»,) [f (со, б, 6) - F (- o), 6, 9)]} -
- [do* (s21 - dQsn)/(Лх /2l?)] {(?22/™3) [f («о, 6, n - 0) +
F (- со, б, я-9)] + (y22 + v21 (w2M3)) I*1 (©, ^ e) -^(-©, в
+ O(r°), E0.13)
У2Гг)] {- 2^7^ @, 6, 9) +
(— @, 6, Д — 9) ~ ^ (@, 6, П — 9)] +
+ (тх/щ) (Y21co + 7226) [F (со, 6, 9) + F (- со, 6, 9)]} -
— [ool (s21 — dos11)/(A1 /2lr)] {[(w3co + wi26) Y22/™3 —
- </тг3б - m,<D) y21/m3] [F (to, 6,9) + ^ (- ©, 6, 9)] +
— m2(o) Y22M3] [F (— со, 6, Jt — 9) —
-f(co, 6, Jt-9)]} + 0(r°), E0.14)
„ . „ p. _ _J {[(cos 9 + to sin 0J + 62 sin2 9]1/2 + (cos 6 + to sin 6)}1/2
1@' ' ;l/2- [(
В частности, характер изменения Е% (х, 0), ?^" (х, 0) в плоско-
плоскости трещины для пьезокерамики типа PZT — 4 определяется
формулами
?+ (я, 0) = ± ст0.0,0395 [хц (I — ж)/ Ylz — х2], E0.15)
?z+ (ж, 0) = О,О21660О A - [хг\ (х - 1I Ухъ— Р]} - 0,04319(то.
E0.16)
Здесь числовые коэффициенты подразумевают, что ао имеет раз-
размерность Н/мм2.
26*
Глава IX
ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ МЕХАНИКИ
РАЗРУШЕНИЯ
§ 51. Поля напряжений и смещений в окрестности
вершины движущейся трещины. Критерии разрушения
Решение динамических задач механики разрушения в силу
их чрезвычайной сложности, стало возможным только в самое
последнее время, благодаря развитию численных методов.
Необходимость учета инерционных эффектов при расчете кон-
конструкций и сооружений с трещинами приводит к рассмотрению
следующих основных динамических задач механики разрушения.
1. Определение зависимости коэффициентов интенсивности
напряжений (или других характеристик) от времени для непод-
неподвижной трещины под действием импульсных нагрузок.
2. Определение зависимости коэффициентов интенсивности
напряжений от частоты гармонической нагрузки, действующей на
тело с неподвижной трещиной.
3. Определение зависимости коэффициентов интенсивности
напряжений от времени и скорости распространения трещины.
4. Определение закона движения трещины при известной за-
зависимости удельной работы разрушения от скорости трещины.
При решении поставленных выше задач применяются как
численные, так и аналитические методы в сочетании (в некото-
некоторых случаях) с результатами соответствующих экспериментов.
Аналитические методы применяются, как правило, для плоских
конструкций (бесконечная плоскость с полубесконечной или ко-
конечной трещиной, полоса с полубесконечной или конечной тре-
трещиной, а также пространство с круговой в плане (дисковидной)
трещиной). Аналитические решения задач динамической меха-
механики разрушения в случае трещин нормального разрыва, попе-
поперечного сдвига и продольного сдвига позволяют сделать важней-
важнейшие качественные выводы о процессах, предшествующих хрупко-
хрупкому разрушению при динамическом нагружении, и о распростра-
распространении фронта разрушения.
В то же время при решении конкретных динамических задач
механики разрушения, выдвигаемых практикой, возникает необ-
необходимость определения коэффициентов интенсивности напряже-
напряжений в телах конечных размеров с трещинами. Как правило, для
этого привлекаются различные численные методы и строятся
численные алгоритмы решения указанных выше задач.
404
При численном решении второй задачи в случае тела конечных
размеров коэффициенты интенсивности напряжений определяют-
определяются при помощи форм и частот свободных колебаний, которые
могут сильно зависеть от конфигурации и длины дефекта. В свя-
связи с этим можно считать относящимися к динамической механи-
механике разрушения и исследование влияния трещин на формы и ча-
частоты свободных колебаний (такие исследования важны и для
диагностики дефектов неразрушающими методами контроля).
К динамической механике разрушения относятся также раз-
разнообразные задачи ветвления п определение траекторий движу-
движущихся трещин, которые, однако, здесь не рассматриваются.
При математическом описании явления распространения тре-
трещин важнейшим моментом является выявление общих законо-
закономерностей распределения полей напряжений и смещений в окре-
окрестности вершины трещины. Оказывается, что если вершина
трещины перемещается вдоль некоторой гладкой кривой с про-
произвольной скоростью, то в локальной системе координат, связан-
связанной с вершиной трещины, угловое распределение напряжений
зависит только от текущей скорости этой вершины. Компоненты
тензора напряжений могут быть представлены в виде:
в случае нормального отрыва и поперечного сдвига
охх = ^?LsL:(O, v) + ^1^2" (е, v) + О A),
1/2лг у2п
лг
ovv =
т„ = ^1SJ, @, v) + ^S Sg (9, и) + 0A);
у 2nr y2nr
в случае продольного сдвига
тв = К^~ 21" F, v)+0 A), хуг _-^! IJ? (8, v) + О A).
у2пг у 2лг
E1.2)
Здесь v — скорость распространения вершины трещины; г, 0 —
движущиеся полярные координаты с мгновенным центром в
вершине трещины,
Zjj, @, v) = 2S@, v) = 2JJ1 (О, P)S1, E1.3)
a Ki(t), Ku(t) и Kni(t)—динамические коэффициенты интенсив-
интенсивности напряжений, определяемые, как и в случае стационарной
трещины, при помощи предельных соотношений C.14)
^@ = lim Vb^oyy (r, 0, *), Ku(t) = Km /2^тх{/(г, 0, f),
_ E1.4)
^га @ = lim V2nrxxz{r, 0, f).
405
Впервые распределение напряжений в окрестности вершины
было найдено для трещины постоянной длины, движущейся с по-
постоянной скоростью [447J. Оказалось, что максимальное значение
растягивающего напряжения смещается из плоскести распростра-
распространения трещины, когда скорость превышает некоторое критиче-
критическое значение, и может произойти ветвление трещины.
В дальнейшем [313, 332, 376] было показано, что если трещи-
трещина движется с переменной скоростью, меньшей скорости волы
Рэлея, и наложено условие конечности энергии деформации тела,
то в пределе при г -»¦ 0 угловое распределение напряжений пмеет
такой же вид,. как_ и для трещины, движущейся с постоянной
скоростью. Следовательно, в случае переменной скорости трещи-
трещины в формулах E1.1), E1.2) под v следует понимать мгновенное'
значение скорости в данный момент времени.
Приведем выражения для перемещений в окрестности верши-
вершины распространяющейся трещины.
Нормальный отрыв:
e 26j62 1/2 8
Uy = _ ,—
Поперечный сдвпг:
1*.тс _ /
Продольный сдвиг:
= ", ci~(——-) — скорость волн расширения (продоль-
(продольных), с2 = (ц/рI/2 — скорость волн сдвига (поперечных), р —
плотность матернала. Функция i?* (б1, б2) называется функцией
Рэлея и выражается через 6i и б2 в виде
Л^ (о15 о2) = 4о1о2 — \1 + о3>) . E1.6)
406
Соотношениям E1.1) и E1.2) соответствуют следующие функции
5, зависящие от полярного угла и скорости движения трещины:
4бхб2 со5(92/2)-|
|
У
Bin(8,/2)\
> п = 20 + ё2)Уг/2 Г _ 1 + 261-б22 *™(М2) *™(У2)'
Jxx R* (8,- ба) ! -) _i_ л2 г1/3 г1/2
,11 A + ^)гШ Г 4«Л C0S (У2) / , , с1Ч C0S (e2/2) ]
Jt* ^Oj^, OgJ M -j- fig Г^ Г"
sin F^2) sin(82/2)l
rl/2 rI/2
Г2 / 2 * yl V Г2 У 2 '
Можно показать, что при v -^ 0 получаются статические
асимптотические выражения B.17), B.18).
Наиболее существенные результаты в динамической механи-
механике разрушения получены в рамках линеаризованной теории,
в которой предполагается, что зона проявления нелинейных эф-
эффектов мала по сравнению с длиной трещины, а поле напряже-
напряжений вокруг пластической области описывается асимптотическими
формулами, полученными из решения упругой задачи. Это поле
напряжений сингулярно, и главный член его разложения по сте-
степеням расстояния от конца трещины г, как и в статике, имеет
вид К/Vr. Угловое же распределение напряжений и перемеще-
перемещений в окрестности вершины стационарной трещины одинаково
при статическом и динамическом нагружении, а влияние инер-
инерционного эффекта заключается в том, что коэффициент интен-
интенсивности напряжений становится зависящим от времени. Кроме
того, исследования показывают, что спустя некоторый период
времени после приложения нагрузки характер зависимости коэф-
коэффициентов интенсивности напряжений и импульсных нагрузок
от времени идентичен. Однако в течение этого периода времени
коэффициент интенсивности напряжений достигает своего пико-
пикового значения, иногда значительно превышающего статическое
(аналогичный вывод можно сделать и в случае гармонического
нагружения тела с трещиной).
407
Обратимся теперь к критериям разрушения. Можно восполь-
воспользоваться зависимостью C,1), в которой для динамического случая
интенсивность освобождения энергии G равна [891
В пределе при v -*- 0 получаем известное статическое соотношение
л-2
G = ~2T^ I+ IIJ+^*
Равенство E1.8) является динамическим аналогом соотноше-
соотношения, связывающего силовые и энергетические характеристики
процесса разрушения и оно может служить уравнением (если
положить 2^ = G =¦ GJ для определения зависимости скорости
распространения трещины от времени.
Анализ выражения для потока энергии в конец трещины
E1.8) позволяет сделать ряд полезных выводов. В интервале ско-
скоростей 0 < v < cR (cR — скорость волн Рэлея) для трещин нор-
нормального отрыва и поперечного сдвига G > 0, а в интервале
cR < v < с2 имеем G < 0. Поскольку эффективная удельная рабо-
работа 2f положительна, то распространение трещин со скоростью,
большей скорости волн Рэлея, невозможно. Если же cR < и < с2,
то при наличии растягивающих напряжений на берегах они на-
налегают друг на друга. Очевидно, что для трещины продольного
сдвига скорость распространения не может превышать с%.
Отметим, что на практике скорость распространения трещины
ограничивается не скоростью волн Рэлея, а меньшей величиной,
колеблющейся для различных материалов от 0,2 до 0,5 скорости
волн сдвига [5, 123], что объясняется влиянием теплового расши-
расширения на напряженное состояние и связанным с этим образова-
образованием пластической зоны, окружающей вершину трещины. Кроме
того, если скорость распространения трещины 0<v<cR (в слу-
случае продольного сдвига 0 < v < с2), то уравнения эластодинамики
для произвольного закона движения вершины трещины имеют
не более одного решения [344].
Покажем на простейших примерах, каким образом из E1.8)
можно определить закон движения трещины. Рассмотрим распро-
распространение полубескоиечной трещины продольного сдвига в поле
равномерного сдвигающегося напряжения. При этом [87]
ш (О
Здесь и далее q(i) (i = 1, 2, 3) — нагрузка, соответствующая трем
типам деформации. Подставляя E1.9) в E1.8) при Кг = Ки =
= 0, получим
(??. E1,10)
408
Поскольку левая часть этого равенства ограничена при t -*- °°,
то скорость трещины при t -*- °° асмиптотически приближается к
скорости волн сдвига.
Рассмотрим теперь случай приложения сосредоточенных им-
импульсных нагрузок q{d)${x + xo)H{t) к трещине продольного сдви-
сдвига. В этом случае [87]
^ grfs) г/_2 A_Л_) при c2t^x0 E1.11)
и из E1.8) найдем:
г (з)|2
2г 7
v[c
+ v/c2 J v '
Ясно, что если q{S) меньше некоторого критического значения, то
трещина вообще не начнет распространяться, так как при ее
распространении правая часть равенства E1.12) может только
уменьшиться. Если же трещина начала распространяться, то она
остановится после прихода вершины в некоторую точку х%, в ко-
которой правая часть E1.12) становится меньше 2у.
Аналогично можно исследовать распространение полубеско-
полубесконечной трещины в поле растягивающего напряжения qw. В этом
случае при t -*¦ °° скорость трещины асимптотически приближает-
приближается к скорости воли Рэлея.
§ 52. Импульсное растяжение полубесконечной трещины
Рассмотрим полубесконечную трещину, нагружаемую в мо-
момент времени t импульсными сосредоточенными силами q(i\ как
показано на рис. 52.1. Эти силы приложены на расстоянии / от
вершины трещины и стремятся раскрыть ее. Определим зависи-
зависимость коэффициентов интенсивности от времени для этой задачи
[344J. Вследствие симметрии относительно оси абсцисс можно
рассматривать задачу для полуплоскости у 5? О с граничными
условиями
оуу(х, 0, t) = —q(»6(x+l)H{t), x<0 E2.1)
rxy(x,O,t) = O, — оо<л:<оо E2.2)
Uy(x,0.t) = 0, я>0, E2.3)
где, как обычно, б — дельта-функция Дирака, Я — функция Хе-
висайда (#U) = 0 при t < 0, Hit) = 1 при t>0). Решение будет
основано на том, что если условия E2.2) и E2.3) распространить
на всю границу у = 0, —°° < х < °°, то задача сводится к класси-
классической задаче Лэмба (см., например, [232]). Принимая во внима-
внимание E2,3), можно считать, что рассматривается задача Лэмба с
сосредоточенными силами (приложенными в точке х = —I) и ну-
нулевыми вертикальными смещениями (при х>0). Решение та-
409
кой задачи можно строить при помощи суперпозиции известных
фундаментальных решений.
Рассмотрим тело с полубесконечной трещиной, берега кото-
которой свободны от напряжений. Предположим, что в момент време-
времени т = 0 дислокация интенсивности 2Д начинает перемещаться
.— с постоянной скоростью v из верши-
: ны трещины в положительном на-
направлении оси х. Можно и по-друго-
по-другому сформулировать эту задачу, но
уже для полуплоскости у 7* 0 с нуле-
7 , выми начальными условиями и с та-
\ кими граничными условиями:
Ь.
, 0, т)=0,
E2.4)'
L___ j
Рис. 52.1. Импульсное нагру- т-(ж' 0, т) - 0, -« < х < », E2.5)
жение полубесконечной тре- щ(х, 0, %) = АН(ит - х), х>0.
E2.6)
Последнее условие эквивалентно требованию, чтобы градиент
иу в направлении оси х был равен — А6(;г — их). Применим к этим
уравнениям одностороннее преобразование Лапласа по времени
и двустороннее преобразование Лапласа по х:
Ф
, Pi) =
00
где р и pi — соответственно параметры преобразования, причем
параметр pi веществен, достаточно велик и положителен. Приме-
Применяя преобразования E2.7) и исключая параметры интегрирова-
интегрирования, получим уравнение Винера — Хопфа стандартного типа:
(р +
+
(p) = рЛ (р) Г (р), E2.8)
где неизвестные функции G+(p)/pi и /~ (p)/[pl (р + г;)]являются
двойными преобразованиями от оуу(х, 0, т) и щ(х, 0, т). Анало-
Аналогично можно показать [193], что G+(p) и J~(p) являются анали-
аналитическими функциями комплексной переменной р в полуплоско-
полуплоскостях Re (р) >> — с± и Re (p) <С сх соответственно. Входящая в
уравнение E2.8) функция Рэлея равна
R (р) - 4р2 V^17? V^2-P2 + Bp2 - сГ2J. E2.9)
Проведем разрезы так, чтобы действительные части |/ сг" — р1 и
у с%2 — р2 были положительны в разрезанной плоскости р. Заме-
Заметим, что коэффициенты G+(p) и J~(p) в E2.8) аналитичны в об-
общей области аналитичности — полосе, так что E2.8) действитель-
410
но является стандартным уравнением Винера — Хопфа. Наконец,
поскольку щ(х, 0, т) имеет скачок Д прп х = vt, to двойное пре-
преобразование от функции иу(х, 0, т) должно иметь простой полюс,
пропорциональный Д, при р = v~\ Можно легко показать, что
точное условие есть J'i—v1) = Д.
Решение уравнения Винера — Хопфа основано на факториза-
факторизации функции Рэлея [1931. Введем новую функцию М(р), связан-
связанную с R(p) равенством
R (р) = 2М (р) (с~2 — с'2) (сд2 — р2). E2.10)
Эта функция не имеет нулей и полюсов в разрезанной плоскости
р, и М{р) -> 1 при \р\ ->- оо. функции (с^2 — Р~У~1% и М(р) могут
быть факторизованы в произведения а+сс~" и М+М~ соответствен-
соответственно (здесь индексы «+» и «—» обозначают область аналитично-
аналитичности), причем
а±(р) = (с71 + рI/2? E2.11)
М± (р) = ехр
С'2С Г4 2/ 2_с-2Л1/2/с-2_12\1/2
dr\
E2.12)
Соотношение E2.8) может быть переписано в виде
^-1) ct+ (р) G+ (р) (с-1 - Р) М- (р) J- (р)
а (р)
-. E2.13)
Применяя понятие аналитического продолжения, получаем,
что справа и слева в последнем равенстве стоит одна и та же
непрерывная функция. Учитывая, что перемещения должны
быть непрерывными, а плотность энергии деформации — функ-
функцией, интегрируемой при х = у = 0, заключаем, что эта функция
является постоянной, которую обозначим через Л. Подставляя
р = —и~* в правую часть E2.13), находим, что Л = (сд1 + у~1)х
ХМ (v~1)/a+ (f). Таким образом, преобразованные граничные
напряжения и перемещения полностью определены.
Напряжения на границе определяются при помощи обратного
преобразования
К
где Li и Ьг — обычные пути интегрирования для одностороннего
и двустороннего преобразований Лапласа соответственно. Чтобы
вычислить здесь интегралы при х > 0, деформируем путь ин-
интегрирования L2 в левой полуплоскости так, чтобы он охватывал
411
разрез, проведенный вдоль отрицательной действительной полу-
полуоси от р —— с^1 до р = °°. Поскольку путь интегрирования не со-
содержит сингулярностей для подынтегрального выражения, то вы-
выполняются условия леммы Жордана [231]. Таким образом, инте-
интеграл вдоль L2 эквивалентен линейному интегралу. Порядок ин-
интегрирования по pi н р можно поменять; при этом интеграл по
Pi является дельта-функцией 6(рт + т). «Фильтрующее» свойство
дельта-функции [232] приводит к результату
а,, {х, О, т) = ± Im [g+ G Х/Х)] Н (т - с^х), E2.14)
причем G+ вычисляется на стороне разреза, где Im (p) = О4". На-
Напряжения E2.14) будут использованы для нахождения коэффи-
коэффициента интенсивности напряжений искомой задачи.
Будем ее решать, полагая, что это — задача Лэмба для сосре-
сосредоточенной силы при х = —1, !/ = 0п вертикальных перемещений,
равных нулю при х > 0. В принятых обозначениях вертикальное
перемещение поверхности для задачи Лэмба равно
. E2Л5)
—l
Нормальная нагрузка величины дA) мгновенно прикладывается в
точке х = — I в момент t = 0. Первая волна, прибывающая при
t = IICi в точку х = 0, у = 0, является цилиндрической продоль-
продольной волной, исходящей из точки приложения нагрузки, при этом
= * — сГхг = 0.
Можно заметить, что иу — однородная функция нулевого
порядка переменных (х + I) и t, зависящая только от отношения
t/(x + l). Это означает, что любой заданный уровень перемещений
распространяется вдоль оси абсцисс с постоянной скоростью.
В частности, перемещение Uy ) ((х + l)/t) распространяется со
скоростью (х + 1I1 при t > 0. Величина скорости изменяется в
интервале от нуля до скорости распространения продольных
волн. Выберем некоторое значение скорости из этого промежут-
промежутка, равное v. Время, в течение которого соответствующее пере-
перемещение иу ' (v) реализуется в точке х = 0, равно т0 = A —
— cilv) l/v. Как было отмечено ранее, перемещение иу (с^)
реализуется при т0 = 0. Скорость перемещений, реализующихся
в точке х — 0 в любой момент времени т и равных i?t=Z/(t + C[xl),
можно определить, полагая т = т0 = A — сх 1v) l/v. Теперь можно
выписать интеграл суперпозиции, значение которого в точности
равно нормальному перемещению E2.15) в задаче Лэмба, но
имеет противоположный знак.
412
Пусть Aqix, у, т, v) — любой скалярный элемент фундамен-
фундаментального решения (например компонента напряжения). В про-
процессе построения фундаментального решения было принято, что
дислокация вертикальной компоненты перемещения интенсивно-
интенсивности 2А начинает распространяться от вершины трещины в мо-
момент т = 0 со скоростью v. Если же дислокация начинает распро-
распространяться в момент т = т0 (а не в момент т = 0), то, очевидно,
решением будет функция q(x, у, т. — То, v). Предположим далее,
что интенсивность дислокаций равна 2u~1iiy , а не 2А. Решение
такой модифицированной задачи есть q(x, у, т — т0; i^v-^u^.
Наконец, если иу — функция скорости i?, то результат мо-
может быть просуммирован в некотором интервале измене-
изменения v. Обозначая через Q(i) и Q{L) соответствующие элементы ре-
решений искомой задачи и задачи Лэмба, запишем конечный ре-
результат
»т (L)
Q{i) (х, у, t) = QiL) (х, у, t) + J q (x, у, т - т0; v) ^^ dv. E2.16)
В частности, если рассматривается вертикальное перемещение
поверхности при ж > 0, то д = 1, п интеграл в E2.16) равен
что Q°Kx, 0, t)=0 для х>6, что
и требовалось согласно E2.6).
Ансамбль волновых фронтов в
задаче Лэмба состоит из цилинд-
цилиндрических волн расширения и сдви-
сдвига вместе с головной поперечной
волной, распространяющихся от
точки нагружения [232]. Дости-
Достигая вершины трещин, они отража-
отражаются и появляются новые волны,
ансамбль волновых фронтов кото-
которых (для момента времени после
этого отражения) показан на ?пс' 52-2' Ансамбль волновых
г о о i фронтов, распространяющихся от
рис. 52.2 (первоначальные волны точки ^Л0Жения импульсной
расширения и сдвига ооозначены нагрузки q.
через Р и S соответственно, а
сдвиговая волна, образовавшаяся в результате дифракции Р-вол~
ны,— через SP и т. д.).
Соотношение E2.16) характеризует упругое поле поставлен-
поставленной задачи, но главный интерес для задач механики разрушения
представляет определение коэффициента интенсивности на-
напряжений.
Нормальные напряжения на линии у = 0 перед вершиной тре-
трещины найдем, полагая Aqix, у, т) в E2.16) равным a?J,U, 0, т)
из E2.14). Обозначив полное напряжение через о^(х, 0, ?),
413
запишем выражение для коэффициента интенсивности на-
напряжений
КгA) = lim У2пхо(у11(х, 0, t). E2.17)
Поскольку в задаче Лэмба нормальное напряжение регулярно
при х — О, то коэффициент интенсивности определяется инте-
интегральным членом решения E2.16). Заменим в интеграле пере-
переменную интегрирования v на h = i/v, тогда после подстановки
точных выражении для ауу и иу в интеграл и перемены поряд-
порядка интегрирования получим выражение
. E2.18,
о
Можно показать, что при х -*¦ 0+
E2Л9,
Умножая последнее равенство на У2яж и устремляя д; ->• 0+,
найдем, что коэффициент интенсивности равен
У
а~ (/г)
E2.20)
Здесь использовано явное выражение для A(h). Для моментов
времени %<ic^xl или т<0 в вершину трещины еще не успевают
прийти волны напряжений, и поэтому Кг^) = 0 при t<Cct I.
Интеграл в E2.20) является вещественным, однако его удобно
рассматривать как линейный интеграл в комплексной й-плоско-
сти. Подынтегральное выражение имеет простой полюс при
h = Сд1 и точки ветвления h = с^1, с^, (т + с^г1){1. При с^1 <С
<С(т -\-Схг1I1 к^с^1 подынтегральное выражение аналитично в
/г-плоскости, имеющей разрезы вдоль линий c^<;Re (h) <C2»
Im (h) = 0, за исключением простого полюса в h = Сд1. При с^1^
<С(т + сх Z)// подынтегральное выражение аналитично во всей
/^-плоскости, разрезанной вдоль ^г<. Re (^^(т+с^1 l)jl, Im(/i) = 0,
за исключением простого полюса в h = Сд1. В последнем случае
414
(т +
"^1
с2 , и можно показать, что
а~ (h) ah
1/2
М~ (h) (e — h)
•, E2.21)
где С — замкнутый контур, охватывающий разрез вдоль действи-
действительной оси от точки h = Ci1 до h =(т -\-с\~г1)Ц и обходимый по
ходу часовой стрелки.
Для случая ^1<;(T + ^1i)/Z<;cB1 при помощи теоремы Коши
можно показать, что величина интеграла в E2.21) равна величи-
величине интеграла, взятого вдоль замкнутого контура бесконечно боль-
большого радиуса плюс вычет в точке h = Cr1. С другой стороны, при
1
О
-1
-2
-3
j
I
I ;
i i
" i ! ^
i
I
i
-
\
\
1>O
1,8 2,2 Ct-,
Рис. 52.3. Зависимость от времени коэффициента интенсивности напряжений
при импульсном нагружении.
(т+ сх /)//> сR полюс не вносит дополнительного вклада, и ин-
интеграл вдоль С равен интегралу вдоль контура бесконечно боль-
большого радиуса. С учетом этого запишем окончательный результат
+ сгЧ)/1 :
при
—]
I/ •"''' * v ' 4
"~ V " „A) "
cr\ "О
E2.22)
Первое слагаемое в правой части E2.22) обусловлено вычисле-
вычислением интеграла вдоль окружности бесконечного радиуса, а вто-
второе — наличием полюса при h = Cr1. При с^1 <; (т + c^fj/lKic^1
не удается применить простую вычислительную процедуру к ин-
интегралу, входящему в E2.21), и поэтому для этого интервала вре-
времени он определяется численно. Результаты представлены на
рис. 52.3 для коэффициента Пуассона, равного 0,25. Когда про-
продольная волна достигает вершины трещины при t = c^l, коэффи-
коэффициент интенсивности непрерывно изменяется от нуля до малой
415
отрицательной величины. Этот относительный минимум соответ-
соответствует значению t = 1,07c]/. Коэффициент интенсивности остает-
остается достаточно малым и отрицательным до момента времени
t — l,732c7'1Z, пока выражение E2.22) остается корректным.
С этого момента коэффициент интенсивности быстро убывает и
при ? = 1,884е]~1/ (время прихода волны Рэлея в вершину) стре-
стремится к минус бесконечности. При t > 1,88Ас^11 он принимает
постоянное значение, равное коэффициенту интенсивности для
статического аналога рассматриваемой задачи. Это наиболее ин-
интересная особенность полученного решения, график которого
1,0
0,5
О
-0,5
-1,0
1
i
/
i
/
/
1
Сft/
I
л ,
ь
2 3
1,0
1,8
г,б
Рис. 52.4. Зависимость от времени коэффициента интенсивности напряже-
напряжений при схеме нагруженпя, показанной на вставке.
показан на рнс. 52.3. С практической точки зрения это означает,
что через некоторый промежуток времени, отсчитываемый от
начала действия сосредоточенных сил, коэффициент интенсивно-
интенсивности напряжений изменяется пропорционально приложенным на-
нагрузкам. Тот факт, что коэффициент интенсивности убывает до
прихода волны Рэлея, означает, что берега трещины вблизи вер-
вершин в первоначальные моменты времени стремятся сомкнуться
вследствие мгновенного приложения разрывающих нагрузок на
удалении от вершины трещины. Очевидно, что полученное реше-
решение рассмотренной задачи является фундаментальным решением
для различных задач о полубескопечной трещине под действием
произвольно распределенных на берегах и произвольно завися-
зависящих от времени нагрузок. Пусть, например, зависимость прило-
приложенных сосредоточенных сил от времени выражается функцией
fo(t) = t/(cixl) при 0<^<сГ1/ и fc(t) = 1 при t^c^l. Обо-
Обозначим коэффициент интенсивности напряжений для этой задачи
через Ki (t), а коэффициент интенсивности для задачи, в кото-
которой зависимость сосредоточенных сил от времени выражается
416
функцией Хевисайда,— через Ki(t). Тогда
1(t~s)f(t{s)ds. E2.23)
Результаты численных расчетов этого интеграла при v = 0,25 по-
показаны на рис. 52.4.
§ 53. Импульсное кручение цилиндра
с внешней кольцевой трещиной
Как известно, при динамическом нагружешш деталей и кон-
конструкций, содержащих трещину, образующиеся волны отражают-
отражаются и преломляются на трещине, вызывая более высокие напря-
напряжения, чем в случае статического нагружения. Решение динами-
динамической задачи для цилиндра полезно сопоставить с результатами
§ 19 (которые должны получаться в результате предельного пе-
перехода) для выявления влияния импульсного характера нагру-
нагружения на динамический коэффициент интенсивности напряжений.
Заметим, кроме того, что найденное в этом параграфе решение
эквивалентно решению задачи о внезапном появлении трещины в
бесконечном цилиндре в случае приложения статического крутя-
крутящего момента.
Выберем цилиндрическую систему координат, приняв за ось
z ось симметрии однородного изотропного кругового цилиндра.
Для удобства г и з будут рассматриваться как безразмерные ве-
величины, отнесенные к радиусу цилиндра Д = 1 (рис. 19.1).
Компоненты вектора смещений вдоль осей г, 9 и z обознача-
обозначаются через ит, ие и uz соответственно. В случае кручения
Ur~Uz — 0, Ue = Ma(r, 2, ?), E3.1)
где t — время. Соответствующее поле напряжений имеет вид
тг9 (г, z,t)***p (мв,г — ив/г), E3.2)
t&z (r, z, t) = u.«e,z, E3.3)
где запятая в индексе обозначает частное дифференцирование по
координатам. Все прочие компоненты напряжений обращаются
в нуль.
Два уравнения движения удовлетворяются тождественно,
а третье отличается от A9.1) наличием инерционного члена
Пусть круговой цилиндр вначале находится в состоянии по-
покоя, а на берегах трещины при t > 0 задано напряжение те* =
= — тог (т0 — имеет размерность .напряжения), т. е. при Ы = °°
внезапно прикладывается крутящий момент Мо — лто/2. Тогда
27 в, 3. Партон, Е. М, Морозов
граничные условия в задаче рассеяния трещиной нормально па-
падающей на нее ударной волны кручения будут следующие:
тгВA,2, t) = Q, E3.5)
тВ7 (г, 0,0 V*// (t), а < г < 1, E3.6)
uQ(r, 0,0== 0, 0<г<а, E3.7)
где а = 1 — с, с — «длина» кольцевой трещины, Hit) — функция
Хевисайда.
Для решения поставленной таким образом задачи [324] вос-
воспользуемся преобразованием Лапласа по времени
E3.8)
Br
Интегрирование во втором интеграле производится по траекто-
траектории Бромвича, представляющей собой прямую, параллельную
мнимой оси и лежащую в правой полуплоскости переменной р.
Применяя первое из соотношений E3.8) к уравнению E3.4), по-
получим уравнение в трансформантах
Ч j_4 Lu*-l — = Z-U* E3 9}
дг2 г | dr r2 dz с*
Для верхнего полупространства % > 0 решение этого уравнения
может быть записано в виде
и*
оо оо
— j Л (а, р) Jx (ar) e-^da. + j В (а, р) I± (yr) sin (az) da +
г1 E3.10)
где Jnix) и In(x) — соответственно функция Бесселя л-го порядка
и модифицированная функция Бесселя первого рода; Л (а), В{а)
и Со — неизвестные функции и коэффициент, определяемые
ниже, a
7 = (а2 + /J/4I/2. E3.11)
Из граничных условий E3.5) и уравнений E3.2) и E3.10) с
помощью преобразования Лапласа и синус-преобразования
Фурьо определяется следующее соотношение между неизвестны-
неизвестными функциями:
yl2 (у) В (а, р) = a J —а2 + р32 dr]. E3.12)
418
Аналогично из граничных условий E3.6) и E3.7) получается си-
система дуальных интегральных уравнений вида
ос оо
— J A (a, p) yJx (аг) da + j В (а, р) /х (уг) a da =
о о
= -^ + Q-^, а<г<1, E3.13)
(а, /?)/1(аг)йа + Сог~ = О, 0<г<а. E3.14)
Для того, чтобы решить эти уравнения, вводом следующую1
вспомогательную функцию, определяемую через смещения точек
поверхности трещины:
/ Л E3Л5)
r-f ( — щ =0, 0<г<а.
С помощью этой функции решение для А(а, р) представляется
в виде
1
А (а, р) = - j gq>* (|, р) /2 (а|) rf|. E3.16)
а
Подстановка E3.16) в E3.13) и использование E3.12) приводит
к сингулярному интегральному уравнению первого рода
[186, 231]
1
?Ф* (?, Р) [Ло (г, I) + Л, (г, |) + Л2 (г, |)] dl =
= -^ + ^^ а<г<1, E3.17)
где
E3.18)
27* 419
00
Ri (r, g) - J (v - a) /2 (a%) Jx (or) dec,
E3.19)
, I) = - -f
f
/2 (YD K2 (y) I, (yr) da. E3.20)
Здесь К n E — полные эллиптические интегралы первого и вто-
второго рода, а Кп обозначает модифицированную функцию Бесселя
га-го порядка второго рода. Аналогично из уравнения E3.14) не-
неизвестный коэффициент Со определяется в виде
1
E3.21)
Ядро /?о(г, \) в уравнении E3.17), содержащее логарифмическую
особенность и особенность типа Коши, может быть записано
(после выделения этих особенностей) в следующем виде
%Rq [г, I) ~ я (| _ г)
***^~ *7? *" 1 JJL
1 —а
Mr,g). E3.22)
Здесь L0(r, ?) — регулярное ядро Фредгольма вида
1
я 11F
2A-г)
1-й
E3.23)
2F-0
1 —а
Для удобства дальнейшего анализа выполним следующую заме-
замену переменных и функций:
Р = р/с2,
^ ф5И ( }
, E3.24)
E3.25)
E3.26)
С учетом этого уравнение E3.17) запишется в виде
-1
0|^, E3.27)
420
где
к
— а
я [Mr, 6)
Ci<r,
.(г, I)]. E3.28)
Исследуем теперь ядра /?t(r, |) и /?2(г, ?). Отметим сначала, что
i?i(r, |) представлено соотношением E3.19) в виде плохо сходя-
сходящегося интеграла. Для того чтобы точ-
точно вычислить данный интеграл рас-
рассмотрим контурные интегралы
IC1 =§L (у, k) J2 (Щ Н[1} (кг) dk, I < г,
С\ Линия
E3.29) "
et
где
[2)
(У, к) /2 № Н[2) (кг) dk,
E3.30)
E3.31)
В соотношениях E3.29) и E3.30)
контуры С1 и С2 определены на рис. 53.1. Контуры интегри-
рис. 53.1, a #i и Яг являются функ- рования С1 и С2.
циями Ханкеля первого порядка пер-
первого и второго рода соответственно. Интегралы в E3.29) и E3.30)
удовлетворяют на неограниченно расширяющихся четвертях
окружностей условиям леммы Жордана [231, 232] так, что
= J (а - у)
о
оьг) da +
+ f (ia - ivf) /2 (ial) H^ (iar) i dr +
00
О
+ \(ia — v)J2(ial)H[1}(iar)ida, E3.32)
р
^ (аг
р
+ f (— i
00
О
ia
[2)
— Ы) Н[2) (— iar) (— i) da
+ J (- ia - iv) /2 (- ia|) Я{!2) (- iar) (- i) da, E3.33)
28 в. З. Партон, Е. М. Морозов
421
где
v = {р* - „»)!/*, v' = (а« - p»)i/*. E3.34)
Поскольку /ci+/c2 = 0, ядро 7?i(r, |) может быть окончательно
записано так:
Я1 (г, Э = |« i>2 J а/2 (аР© АГХ (аРг) da +
+ J [« - (а2 - 1I/2] h (а^Б) ^i (а^) <*« , Б < г, E3.35)
1
2
00
J [а - (а2
+
1 I
E3.36)
где интегрируемые функции обладают полюсами первого поряд-
порядка так, что
е
7J в lim \l (y, е^б) ЯB1} (|w«) J^ree^ize^dQ = ^, E3.37)
1
= lim f L(v, ^е)ЯB2)(|ее19)/1(г8е^)гее^0 = ^-. E3.38)
Ядра, записанные в виде соотношений E3.35) и E3.36), можно
оценить численно с высокой точностью.
Для удобства вычислений, перепишем выражение E3.20)
в виде
Л* (а, г, g) «to, E3.39)
о
где
А* (а, г, I) = awj-d-r-Ba + 1 [e-(«-r-t)a _ е-ба]? E3.40)
00
А* (а, г, ?)**« —^ + а3 lnf^-i-^]. E3.41)
в
422
Выражения для а4 и аг получаются выделением главных членов
в асимптотическом разложении аг1г^л{%)Кг{'{I1{к1г)/{к11г{л[)) при
1
а/2'
, E3.42)
Кроме того, необходимо искусственное включение е~ва для того,
чтобы сходился интеграл, содержащий член uJol. Выберем б та-
таким, чтобы оно оказывало наименьшее влияние на значение ин-
интеграла при больших а; принимаем в расчетах 6 = 2.
Для решения уравнения E3.27) представим неизвестную
плотность Ф*(т) в виде [343]
ф*(т)=
E3.43)
«=о
где Рп/2' 1/2) (т) — полиномы Якоби. Подставляя E3.43) в урав-
уравнение E3.27), получим
(S) + Wn (s) + pn (*)] = - 1 + у A - a) BonP.
E3.44)
Вп[
Здесь
3 A -
-1
2), »
3A-а)Bв)|Г1
l
—1
E3.45)
E3.46)
где Г„E) в уравнении E3.45) — полиномы Чебышева n-го поряд-
порядка первого рода. Из уравнения E3.44) и соотношений ортого-
ортогональности для полиномов Якоби получаются следующие урав-
уравнения:
«=0
Chn] Bn = dh\ 1 - |A - а) Во
28*
= 0, 1, 2, ..., E3.47)
423
где
' h
0 ' h A + 2k) (Щ* (к + 1)!
н = J /></2'1/2> (*) ^ (*) (i±iI/2 ds, E3.48)
(s) Pn (s) (^) ds, dk = n8k0,
a 6ft0 — символ Кронекера. Входящие в E3.48) интегралы можно
легко вычислить с использованием следующей квадратурной
формулы Гаусса —Якоби [3431:
1 N
f
J
J lj 2лгТТ
E3.49)
'1
ti) / (Ч). т, - cos
Для определения локального поля динамических напряжений
надо применить обратное преобразование Лапласа к выражениям
тге(г, 2, р) и TQZ(r, z, р), получаемым подстановкой E3.10) в
E3.2) и E3.3). Сингулярные напряжения получаются в резуль-
результате разложения при больших а подынтегральных функций в
интегралах для тге (г, z, p) и Xqz (r, 2, р). Используя теорему
[186] о поведении интегралов Коши вблизи концов контура ин-
интегрирования при выполнении обратного преобразования Лапла-
Лапласа, определим динамические сингулярные напряжения вблизи
вершины трещины по формулам E1.2), E1.7)
где динамический коэффициент интенсивности напряжений
Kui(t) определяется следующим выражением:
Кт (t) - lim [2я (а — г)]1/2 т9г (г, 0, t) =
= т0 Bcf* а -ф- f i-Ф* (- UP) ePc^dP. E3.50)
* Br
В этих выражениях pt, 9i обозначают полярные координаты
Р! = [(г - а? + 2211/2, 6X - arctg (^
424
В E3.50) можно использовать численное обращение преобразо-
преобразования Лапласа с помощью формулы
F*
% N
-) = f F (?) e-VfW'd? = p 2 WjxJ^F (- p In ^
), E3.51)
где р определяет масштаб по времени, х} (/ = 1, 2, ..., iV) —
корни уравнения PN(i — 2x) = 0 для полиномов Лежандра по-
порядка п, а И^ обозначают весовые функции вида
1
~2 J (x — хЛ \Р' A — 2.
E3.52)
В последнем интеграле Ру A — 2а:) обозначают производную
dPN(l~2x)/d(l~2x).
Решая бесконечную систему линейных алгебраических урав-
уравнений E3.47) и совершая численное обращение преобразования
Рнс. 53.2. Измепевие динамического коэффициента интенсивности напряже-
напряжений со временем (штриховые линии — статическое решение).
Лапласа, определим динамический коэффициент интенсивности
напряжений при импульсном закручивании бесконечного цилин-
цилиндра с круговой краевой трещиной. Зависимость безразмерных
величин Kmlxn от То показана на рис. 53.2 для случая с = 0,3;
0,5; 0,7. Здесь тп = 2Мд/Ыа3) — номинальное напряжение, аГ« =
= c2t/c — безразмерное время. Соответствующие статические ве-
величины для случая Р = 0 в уравнении E3.47), показанные на
этом же рисунке пунктиром, находятся в хорошем соответствии
с результатами § 19. Решение показывает, что динамический ко-
коэффициент интенсивности напряжений увеличивается (проходя
через точку перегиба для некоторых с) и достигает значения,
близкого к статическому, с увеличением времени.
425
§ 54. Установившиеся колебания. Неограниченное
тело с трещиной конечной длины
Работа современных конструкций и сооружений, имеющих
трещинообразные дефекты, часто протекает в условиях много-
многократного статического и циклического нагружения и вибрацион-
вибрационных нагрузок. При рассмотрении такого рода явлений важно вы-
выяснить влияние чисто инерционного эффекта на распространение
трещин. Если внешняя нагрузка приложена не на берегах разреза,
то ее воздействие на трещину передается неполностью из-за ре-
релаксации напряжений и осуществляется с некоторым запаздыва-
запаздыванием по времени. Поэтому при рассмотрении, например, задач
об установившихся колебаниях для тел, содержащих трещины,
будем задавать нагрузку непосредственно на берегах разреза.
1. Пусть в неограниченной плоскости имеется трещина длины
21, лежащая вдоль оси абсцисс. Рассмотрим установившийся вол-
волновой процесс, считая, что зависимость от времени всех величин
выражается множителем ехр (—i<at), где ы — частота колебаний,
t — время [224].
Предположим, что к берегам разреза приложена нормальная
нагрузка #A)(8)е~'и', и введем эллиптическую систему координат
х + iy = Ich. (p + id).
Контуру разреза соответствует значение р = 0 @^0^ 2л).
Уравнения движения и соотношения упругости относительно
амплитудных значений напряжений и перемещений в выбран-
выбранной системе координат имеют вид
Эр (Я(Тр) + Щ (Я(Т) + V
#6 <*<*> +
где IP = 72J2(ch 2p — cos 20), р„ — плотность материала.
Выразим обычным образом компоненты перемещений и напря-
напряжений через две функции (потенциалы) ф и "ф:
Up ~ Н др + Н dQ » Щ ~~ Н дв Н др '
426
причем ф и ij) есть решения уравнений
V"«p + 2Mch2p-cos2e)(p = 0 (У3 = ^ + Jji).
V> + 2k2 (ch 2p — cos 29) г|) = 0.
Здесь kt = co2Z8/Dcf), &2 = oPP/Dcl) — безразмерные величины.
При таком представлении напряжения E4.2) принимают вид
я dp/ h*9pW ю) 2с2
2
_LTe±2(± +
2ц тре ~ я ae U op + n
2
J_ 1 а М эу 1 dj\ 1 ^я/Эф М _ Ag>2m
2р. СТв ~ Я дв\Н дв Н др) + Н* др \др + dQ j 2р с2 ^'
Разделяя переменные в уравнениях E4.3), получаем обыкнбвен
ные дифференциальные уравнения, решениями которых являют-
являются функции Матье [125].
Пусть на контуре щели р = 0 (—я ^ 8 ^ я) заданы напряже-
напряжения 0(р} и т($ = 0; тогда из первых двух равенств E4.4) с уче-
учетом дН/др\р^» = 0, #!Р=в = I sin 0 получим
Я/2
9
^sine j sin9.aJ0)[„=0d9, E4.5)
Я/2
6
Соотношения E4.5) получены с учетом граничных условии
ир |р=в,е=:в = 0, we |р=о,е=я/а = 0.
Используя симметрию напряженного состояния и условия на
бесконечности, представим решения E4.3) в виде
Ф (р, б) = 2 Ст Fek2m (p, kx) ce2m (9, /О,
7°
. 9) = 2 i>
427
Здесь Cm, Dm — постоянные, ee2m (9, кг), se2w+2 (9» k2) ~~ периоди-
периодические решения Матье, Fek2ro(p, &i), Gek2m(p, k2) — вторые реше-
решения уравнения Матье.
Периодические функции Матье могут быть представлены в
виде ряда [125]
ео
оо
se2w+2 (в, к2) = 2 ^2r?J2) sin [Br + 2) 0].
В этих рядах Л^гт\ B^t — функции от Art и Ла; способ их
вычисления указан в [125].
Отметим поведение функций Fek2m(p, kt) и Gek2m+2(p, к2) при
больших значениях р. Имеем при р—ь оо (#2т(-?)— функция
Ханкеля)
Fek2m (p, h) ~+ у (— i)m Pi
\i) B ' -^ E47)
L»eK2mJ-2 (p, /C2) ~->- -7Г- ( 1) S27n_j,2/2 2W+2 I ~7~ К "-2 Г It
Z \ I )
se8m+2 (Я/2'
B
С учетом E4.7) потенциалы ф и f, определяемые соотноше-
соотношением E4.6), удовлетворяют известным условиям излучения [231]
E4.8)
В общем случае функции Fek2m(p, к,) и Gek2m+2(p, k2) — комп-
комплексные функции и могут быть представлены в виде
Fek2m (р, А,) = __Fey2m (p, AJ + у Се27И (р, /cj),
(р^ А2) = — — Gey2m+2 (р, к2) + ~ Se2m+2 (p, к2),
E4.9)
(р, ^) = 2 АТ] ch Brp),
(р, к2) - 2 ^'+J2)sh [Bг + 2) р],
г=--в
428
Fey2m (p, кг) = Щт{*Ш; M 2 (- l)r АТУ* Bk, ch p),
Gey2m+2 (P» k2) =
2 (- Dr «J2) [J
r=o
Здесь Ce2m(p, At), Se2m+2(p, /c2) — модифицированные функции
Матье первого рода, /2г, Угг — функции Бесселя первого и вто-
второго рода.
Подставляя E4.6) в граничные условия E4.5), получим
S CmFek2TO@, к^
«1=0
оо
— 2 DnGek'2n+2@, &2)se2n+2F> К) =
= - 2к2 2 Сп Fek2m @, к,) sin 9 | sin 0 се2т F, ftj dO -
в
^ f sm6.(jp|p=orf0, E4.11)
*>
Я/2
П=0
2 C«
оо
+ 2 Dm Gek2m+2 @, к2) se2m+3 @, /с2) =
Г Г
= — 2&2 2 ^т Gek2m+2 @, к2) sin9 sin6se2m+2 (в,
т=* L 0
E4.12)
Умножим равенство E4.11) на se2rH.2@, к2), а равенство
E4.12)— на се2„@, к{) и проинтегрируем по 6 в пределах от 0
до 2л; получим, с учетом ортогональности периодических реше-
решений Матье, две бесконечные системы уравнений для определения
Ст и Dm:
оо
Сп Fek2n @, к,) + 2 Dm Gek2ra+2 @, к2)атп = 0, E4.13)
оо оо
^ч ' I" 'f A)
«1=0 ' ТП=0
E4.14)
429
Здесь q$ — коэффициенты разложения нормальных напряже-
нжй на контуре в ряд по четным функциям Матье
2Я
-If cr
n J f
|p=o
(9, kj) dQ,
(Тр |р=о =
т—о
2Л
= — J se2m+2 (9, h) се2п (9, kt)
^ U sin в се2П (9, kj J sin Ox se2m+a (91? k2) d^ dQ,
о L о J
E4.15)
2Я
sin 9 se2n+2 F,
j sin 0i
Я/2
2Я
Prim = — j ce2m (9, fci) se2n4-2 (9, &2) с?в +
0
ЗЯг 9 т
2fe. f f
-\ ] sin 9 se2n+2 (9. k2) ] sin 9X ce2m (9j_, «j) rf9L c?0.
0 L я/2 J
Таким образом, <хпт, $пт, fam являются коэффициентами следую-
следующих разложений:
в
ce2m(9, кг) + 2/e2sin9 J sin9ce2m(9, kx)dQ = 2 §nmse2n+2 (9, k3),
Я/2 П~°
se2m+2 \"i ™2/ ~\~ ^л2 Sin и j Sin 0 Se2jj2-f-2 (."» 'i2/CtD — /i O-7imCe2n(W, A?j^,
sin 9 I sin0ce2m(9, kx
Я?2
2 /ш se2n+2 @, /г2).
Используя разложения в ряды Фурье для функций ce2n(9,
430
и se2n+2(9, кг), можно показать, что
о*
« _ V Or лBП)пBт+2) ,
А;
Ь дBт + 2)
Т 2 BГ + У1 + 8) [<2' + 3>
Рпт == ^
Таким образом, при заданной на контуре разреза нормальной
нагрузке задача сводится к определению постоянных Cn, Dn {n —
= 0, 1, ...) из двух бесконечных систем E4.13) и E4.14).
Определим нормальные напряжения в точках действительной
оси на продолжении разреза
Тогда с учетом E4.16) коэффициент интенсивности напряжений
К равен as = }'2fsh (р/2)):
Подставляя выражения для ф и ij) и переходя к пределу, получим
@, /с2)]. E4.17)
Принимая во внимание соотношение [125]
' @, кг) = {2кх — а%т) се2т @, кг),
@, к2) = (&2т+2 — 2&2) Gek2m+2 @, &2),
можно записать выражение E4.17) в виде
оо
^ 2- (°' ki) Bki - a2m) ce2m @, Ас^) -
@, Af) F2m+2 - 2A;2) se;m+3 (О, Л,). E4.18)
431
Здесь й2т, &2т+2 — собственные значения функций Матье ce2m(9, ftu),
se2m+2F, к2) соответственно.
При вычислении, например, коэффициента интенсивности на-
напряжений в соответствии с E4.18) основная трудность заключа-
заключается в решении систем E4.13) и E4.14). Однако при малых зна-
значениях к{ и к2 решение упрощается [224].
Для реальных материалов значения аргументов ки кг функ-
функций Матье, через которые представляется решение, таковы:
.2,2,
Таким образом, требование малости &, и кг все равно дает
возможность исследовать большой и наиболее важный (в отличие
от задач дифракции) диапазон рассматриваемых здесь частот (по
крайней мере до со/ ~ 105).
Для малых значений кг и к2 можно воспользоваться асимпто-
асимптотическими формулами для вычисления функций Матье, а также
известными соотношениями:
Fek2m @, *!> 4*
S2ffl+2Se2m4-2
2 2
@, kj) - - у Fey2m (О, AJ + -1 се2т @, кх)
+ 4 се2т @, Aj),
Gek2W+2 @, /с2) = — -^- Gey'2m+2 @, к2) + у se2m+2 @, к2) «
» - ^ 24т+31Bт + 2)! 1'jlj. + J. se;m+2 (О, А2).
Результаты численного расчета безразмерной величины
K/{q{1)l/nl) в зависимости от (?>l/ct представлены на рис. 54Л для
q{i)(Q) = q(i) — const. Полученный результат подтверждается в ра-
работе [403J для моментов времени, соответствующих отраженной
от трещины гармонической волне (рассматривалась задача о
падении из бесконечности на трещину гармонической волны).
2. Рассмотрим теперь упругое изотропное бесконечное тело с
тонкой внутренней «туннельной» трещиной (рис. 54.2), подвержен-
432
ное действию динамических сдвигающих усилий x(x)elwt. В дан-
данном случае сдвиг происходит в направлении, перпендикулярном
возможному распространению трещины (чистый сдвиг или анти-
антиплоская деформация). Очевидна целесообразность аналитическо-
аналитического изучения поведения тел с трещиной при таком виде де-
деформации.
к
/
/
\
\
0,1
0,6
Рис. 54.1. Зависимость коэффици-
коэффициента интенсивности напряжений
от волнового числа (allci при v =
= 0,3.
Рис. 54.2. Схема нагружешш тела с
трещиной.
Приведем решение этой задачи в эллиптических координатах
(как и в предыдущем пункте) в рядах по функциям Матье [191;
отметим, что решение аналогичной статической задачи извест-
известно [215].
Итак, предположим, что к берегам трещины \х\ ^1, у = 0 при-
приложено сдвигающее усилие %{х)еш (для упрощения задачи при-
примем, что т(х) — четная функция х).
В случае чистого сдвига
их = щ ~ 0, их = w = w(x, у, t), E4.19)
н при отсутствии объемных сил перемещение w удовлетворяет
уравнению
дх2
ду
дГ
Не равные нулю компоненты тензора напряжений определяются
соотношениями
dw dw
Рассматривая установившиеся периодические колебания с
круговой частотой со, полагаем
w(x, у, t) = w*{x, у)е™1.
Тогда уравнение E4.20) примет вид
W i w i 12,,,* Л I 12 ® I /КЛ 0О\
433
Граничные условия при у = 0 будут следующими:
т?(я,О)- —т(ж), \х[<1; w*(x,0) = 0, |х|>* E4.23)
(тгу (аг, у, t) = т% (ж, у) е*»*).
Кроме условий E4.23) должны быть удовлетворены также ус-
условия излучения (условия на бесконечности) E4.8), которые, как
известно, состоят из требования, чтобы поле (перемещений, на-
напряжений) на бесконечности представляло собой расходящуюся
волну. Таким образом, рассматриваемая задача сводится к на-
нахождению решения уравнения E4.22), удовлетворяющего гра-
граничным условиям E4.23) и условиям излучения E4.8).
Введем, как и в п. 1, эллиптические координаты, определяе-
определяемые соотношением
iy = Ich (p + i9),
где трещина |х| < J, у = 0 в эллиптических координатах харак-
характеризуется тем, что для нее р == 0. Уравнение E4.22) в этих ко-
координатах будет иметь вид E4.3) Bк~%1)
о о
^ ^ 2к2 (ch 2Р - cos 2Э)w* = °' E4.24)
Т + т +
решение этого уравнения представим в виде
•о
w* (р, в) = 2 Сп Neg!+1 (p, g) se2n+1 (9, q). E4.25)
Здесь q = k2, se2n+iF, q) — периодические фупкции Матье цело-
целого порядка, Ne2B+i(p, q) — модифицированные функции Матье
[125], Сп — постоянные.
Используя свойства функции Матье, убеждаемся в том, что
решение E4.25) удовлетворяет уравнению E4.24), условиям из-
излучения E4.8), а также второму граничному условию E4.23).
Кроме того, оно удовлетворяет условиям симметрии и периодич-
периодичности. Первое условие E4.23) в эллиптических координатах при-
примет вид
г*у = —t(/cos6) при р = 0. E4.26)
С учетом формулы E4.25) можно вычислить напряжения т1и
в любой точке тела. В частности, при р = 0 имеем
'е)=т?в 2 Сп Ne«»+i <0'q^ se*»+i @' ^)- E4-27>
Теперь можно удовлетворить граничному условию E4.26).
Поскольку функция tZ!/@, 0) известна, запишем следующее
434
разложение:
сю
1*у @, 6) sin 9 = S Тл se2n+1 (9, д). E4.28)
Здесь
ЦП
Ти = JL j т*у (о, 0) sin в se2u+1 (в, q) dQ. E4.29)
о
Сравнивая E4.27) и E4.28), находим
С учетом этого соотношения решение E4.25) принимает вид
оо
(Р. е) - 4 2 „цДп , Ne?i-i (P' «) ^^n+i (9, g). E4.30)
Далее понадобится выражение хгу при 9 = 0. Используя
E4.30), получаем
. (Р. 0) - ЯГр 2 '• Й^; N«+1 (Р. »). E4.31)
Коэффициент интенсивности напряжений в случае продоль-
продольного сдвига равен
KUI(t)= lim У2л(х — l)Tzy(x, 0, t),
Xl + O
причем для установившихся периодических колебаний
Kul(t) = Кте™,
где Кц\ — комплексная амплитуда коэффициента интенсивно-
интенсивности напряжений.
Поскольку расстояние от конца трещины (вдоль оси х) равно
х\9=0 — I = IсЪ. р — I — 21 sh2 (р/2),
то
К*и = 2 УШ lira [sh (р/2) х*у (р, 0)]. E4.32)
Подставляя в E4.32) выражение %*у (р, 0) из E4.31) и рас-
раскрывая неопределенность, получаем
2йз^ E4.33)
Здесь
435
sean+i (°> g) se2n+i
где 2?<2nfl) — коэффициент при первом члене разложения
функции se2n+i(9, q) в ряд по синусам.
Так как К* — комплексная величина, положим
Km = Я1Й + iKfti = Кое~*, E4.34)
где
У У, 6 = - arctg (tf
Таким образом,
Klll(t)=K0ei(<at-6). E4.35)
С помощью последней формулы можно определить коэффици-
коэффициент интенсивности напряжений для упругого бесконечного тела
с трещиной рассматриваемого вида при установившихся колеба-
колебаниях. Если к берегам трещины приложены сдвигающие усилия
т(х) cos o>t, то коэффициент интенсивности напряжений будет
i?"ocos ((at — б).
Учитывая, что
Ne&Vi'Cp, q) = Se2n+i (p, q) — iGey2n+i (p, q),
и используя E4.33), E4.34), находим
\ , E4.36)
Здесь
(q) = [Se'2n+1 @, q)Y + [Gey^+i @,
При выполнении расчетов по этим формулам необходимо
пользоваться таблицами для вычисления функций Матье [277].
Рассмотрим численный пример, иллюстрирующий полученные
результаты. Пусть
т(х) = х = const при 0 < 6 < 2л
и на основании E4.29)
2Л
тп = — -^ J sin 9 se2n+i (9> Я) ^е-
о
Вычисляя этот интеграл, находим
Т« = — Т#,
436
Формулы E4.36) в данном случае принимают вид
,1/2
tj=O
'2П+1
(Я)
LlII = _ л \ —
(О,?)
й
'2п+1
По этим формулам были подсчитаны величины
для ряда значений безразмерного
параметра q = <o2J2/Dc|) (как отме-
отмечалось, на практике, обычно 0 «? q <
< 2). Затем в соответствии E4.34)
были найдены значения Ко и б.
Формулу для Ко в данном случае
целесообразно представить так: 0,5
A) „
ш и
'
1,0
/л
/
—
Ко =
На рис. 54.3 приведены зависимости
ее — q и б — qr (значения б даны в
радианах). При со -> 0 и, следова-
следовательно, q ->¦ 0 получаем известные
результаты, относящиеся к статиче-
статической задаче. Видно, что изменение
амплитуды коэффициента интенсив-
интенсивности третьего рода от частоты име-
имеет такой же характер, как и в случае коэффициента интенсив-
интенсивности первого рода (см. рис. 54.1).
и 0,5 1,0 1,5 q
Рис. 54,3. Изменение парамет-
параметров а и б (характеризующих
коэффициент интенсивности
напряжения) в зависимости
от квадрата волнового числа
q = Л'2.
§ 55. Установившиеся колебания. Полоса
с трещиной и периодическая система трещин
1. Рассмотрим, следуя [221], полосу —оо<^<оо7 Ы^?
с симметричным относительно оси у разрезом длиной 21 вдоль
действительной оси. К берегам разреза приложена периодически
меняющаяся во времени нормальная нагрузка
= g ихр
— const прп
Амплитудные значения перемещений и напряжений в декар-
декартовой системе координат х, у определяются с помощью функций
Ф и if) но общим формулам § 54 при Н = 1:
дх
ду '
ии =
дх
дх '
со2
437
со2
а сами функции ср и ф удовлетворяют уравнениям
2 / -,2
2
Учитывая симметрию напряженного состояния и условия на
бесконечности, представим функции ф и i|? в виде
Ф (¦*', У) = ^л лп охр — I а» — -—- ) г/ cos (anx),
) г/ siu (а„а:), E5.1)
art = B/г -г-1) njL.
При этом па прямолинейных границах полосы выполняются сле-
следующие условия:
,y) = 0, их(±Ь,у)ф0, -оо<г/<оо, E°)
которые ]>еалп.чуются в случае, если края полосы подкреплены
нерастяжимымн ребрами с нулевой жесткостью на изгиб. Ана-
Аналогичные условия возникают при решении задачи о штампе, дей-
действующем на полосу, когда размеры площадки контакта не малы
по сравнению с шириной полосы [18].
Коэффициенты Ап и Вп в разложениях E5.1) найдем из кра-
краевых условий на контуре разреза
тху(х, 0)=0, Oyixj 0) = — q при \х\<1,
E5.3)
иу(х, 0) = 0 при K\x\<L
Удовлетворяя E5.3), получим
Лп = - ВпBа1 - coVcJ) [2а„(а;2( - ^14)т\~\ E5.4)
оу (х, 0) =
E5.5)
x<zL). E5.6)
"V2 П=1
438
Пусть частота действующей нагрузки такова, что удовлетво-
удовлетворяются следующие условия:
<1
ас ас
и, следовательно, пмеют место разложения
где
С учетом E5.7) равенства E5.5), E5.6) запишем в виде
)
2 2 ^я [ "ТТ ) &пВ* cos (а»ж) = "ЖГ ~Т @ < .т
2 Й cos (ana;) = О .B<?<L).
Здесь обозначено ^п = Вп/Ып* Коэффициенты Вп будем искать
в виде ряда
Bl = <_!)(с?/©») + 5;@) + <1}(ш2/^2) + .. . E5.9)
Подставляя E5.9) в E5.8) и сравнивая коэффициенты при оди-
одинаковых степенях (о2/с\, получим последовательность дуальных
тригонометрических рядов для нахождения #л(-1), #n(o)i
2 Bи - 1) <-d cos [B/г - 1). Ц = (^1ф- (О < g < у
2 В^-1) cos ГBтг - 1) i-1 = 0 (I, < I < я);
T!=l L J
оо -
2 B« - 1) в;@) cos [Bи - 1) -|J =
* cos [Bн-1) Б/21
Bn{-i) 2^Z1
n=i
439
2B»-
_
*w cos Bя -1)^=0 F0
1) B*{1) cos ГBп - 1) -J-] =
я);
|Bn -
tt=O
cos fBn —
< So),
Г si
B/г-1)-|-U
E5.12)
O
Здесь I = яж/L, |o —
В дальнейшем ограничимся рассмотрением трех членов ряда
E5.9). Тогда согласно E5.5), E5.7) и E5.9) нормальные напря-
напряжения па продолжении ра.чреза определяются формулой
~
ву (х, 0) = - В, (^-
- 1) cos [B« - 1) -L] -
х
E5.13)
Рассмотрим дуальные тригонометрические ряды вида
00 '
2 Bл - 1) Bj(j) cos ГBл - 1) 4 = /i E) @ < Б < g0).
77 = 1
})?0) LOi5 ^я А/ о — и ^п ^ 5 ^ jL^
(У =-1,0, 1,2, ...)
E5.14)
440
Согласно [423] коэффициенты Впф определяются следующим
образом:
1
В*пф = 2 sin -|- J F (п, 1-7г; 1; s2 sin2-^) X/ (s) ds. E5.15)
о
Здесь Fin, 1 — n; 1; я) — гипергеометрическая функция,
Чтобы найти значение суммы первого из рядов E5.14) при
| > go, поступаем следующим образом. Согласно [423]
О©
2 ^ (», 1 - «; 1; s2 sin2 Ь.) sin [B/г - 1) -I] =
[
О,
E5.17)
sin2 \¦- s2 sin2 -|-)/, sin i- > ^ sin -|-.
Дифференцируем теперь E5.17) по |, умножаем полученный ре-
результат на Xjis) и интегрируем по s в пределах от 0 до 1; тогда
Bд - 1) ДЛу, cos [Bл - 1) -|1 =
E5.18)
Из этого равенства следует, что сумма ряда E5.18) имеет при
1 -*- go + 0 особенность вида
2
l>sn
1 sin'
2 sin(V2) [?in2(,/2)-sm'E0/2)
-, E5.19)
Учитывая, что ряды
В*
29 в 3. Партон, Е. М. Морозов
Л = 1,2,3,...) E5.20)
441
являются непрерывными функциями при ? = ?0, находим соглас-
согласно E5.13) и E5.19) следующее выражение для коэффициента
интенсивности напряжений:
К = lim /2л (х — I) av (х, 0) =
2 (ir) E5-21>
Коэффициенты ХД1) (/ = —1, 0, 1, 2, ...) последовательно опре-
определяются по формуле E5.16), где /Д|) — правая часть соответ-
соответствующих дуальных рядов E5.10)—E5.12). Ряды вида E5.20),
которые входят в выражения для /0(|), Д(?), ..., могут быть
просуммированы на основании равенства E5.18). Например, зна-
значение суммы E5.20) при к = 1 найдем интегрированием E5.18)
по | в пределах сначала от 0 до |, а затем от л до |.
Приведем окончательное выражение для коэффициента ин-
интенсивности напряжений в точке 1 = ?0 с учетом трех членов в
разложении E5.21)
= -?-(Using1'2 {# (sin |-
Ш G* & Ы]• E5.22)
,1ft
( p) [ _ р»
Здесь обозначено
f [2arcsm(psiii(E,/2))]2*dp
* J (s2 — e2I/^ fi _ o2sin2 /? /2\WZ ~ '
0
if 1 о
Д1 *" 2 [Ml ^ W — (л — W #i (У + 2 й Djt —
442
П
2 J A _
M (S, |0) = r-fsm %-\sF[a (s)t b (s)] N (ssin -|-) ds,
cos-|-f
cos-|-fl — s2sin2-^-
[a
а ^(ф, x) — эллиптический интеграл первого рода, Fix) =
= F(n/2, x). На рис. 55.1 приведена зависимость коэффициента
интенсивности напряжений представленного через К* = K/iqlfL)
от длины трещины IIи при различных частотах ©* =
q
{— I
Л
ко-
колебания внешней нагрузки
согласно E5.22) (v = 1/3).
Линия 1 соответствует ста-
статическому случаю «о* == 0.
Построенное решение пока-
показывает, что в большом диа-
диапазоне частот инерционный
эффект сводится к уменьше-
уменьшению разрушающей нагрузки
при данной длине трещины.
Нетрудно _вндеть из E5.22),
что KttqfL)*™ при Z/L-*-
-*• 1, что соответствует пол-
полному разрыву полосы.
2. Рассмотрим теперь за-
задачу об установившихся ко-
колебаниях неограниченной
плоскости с периодической
системой разрезов вдоль оси.
Впервые эта задача была ре-
решена в [96] после того, как было получено решенже дуальных три-
тригонометрических рядов специального класса, используемых в пре-
предыдущем параграфе. Чтобы познакомжть читателя с различными
29* 443
Рис. 55.1. Зависимость коэффициента
интенсивности напряжений от длины
трещины для различных частот: 2 —
а* == 0 (статический случаи); 2 — ш* =
=0,274; 3— (о* = 0,316.
математическими методами, используемыми при решении динами-
динамических задач механики разрушения, приведем изящное решение
этой задачи, предложенное в [353], где используется простая схе-
схема возмущения, позволяющая получить решение соответствующей
системы нулевого порядка (статический случай). Статическая зада-
задача для коллинеарных трещин изучалась многими исследователями,
полный обзор этой проблемы можно найти в [270, 409]. Применя-
Применяемый ниже метод базируется на решении системы пулевого
порядка, и основывается на некотором искусственном преобразова-
преобразовании, предложенном Швингером [363] для задач о распростране-
распространении волн. В отличие от обычных схем возмущения точного реше-
решения [322J, данная схема не требует решения ряда последователь-
последовательных систем. Для некоторого фиксированного порядка возмущения
должны решаться только парные ряды. Метод обладает до-
достаточной общностью и может быть использован в других зада-
задачах математической физики, сводящихся к парным тригономет-
тригонометрическим рядам.
Получаемый на основе этого метода динамический коэффици-
коэффициент интенсивности напряжений может быть выражен через ста-
статический коэффициент интенсивности напряжений путем умно-
умножения на некоторый коэффициент, зависящий от постоянных
материала, длины трещины ж частоты циклической нагрузки п
определяемый из матрицы iV-ro порядка. С увеличением N этот
множитель можно сделать сколь угодно близким к точному зна-
значению, Численным расчетом установлено, что хорошую точность
можно получить и для небольших значенпй JV.
Пусть на берега каждой из коллинеарных трещин действует
нагрузка cy~—qe~iat. Предположим, что « мала по сравнению
со скоростью продольпых и поперечных волн с, и с2 и что края
каждой трещины не контактируют (из-за возможности приложе-
приложения постоянных растягивающих напряжений). Это допущение
уже обсуждалось ранее и используется во многих работах, в ча-
частности в [218, 3661. С учетом симметрии относительно действи-
действительной оси рассмотрим полубесконечную плоскость у < 0.
Пусть u = iux + }Uy — вектор смещения. Уравнения плоской
деформации (см. § 2) запишем в виде
pu. E5.23)
Краевые условия прп у = 0, t > 0
тА-у (х, 0, t) = чху (х + 2Ы, 0,0 = 0 @ < | х|< я),
оу (х, 0, t) = Gy(x + 2kn, 0,0==— $е~ш @ < | х |< Z), E5.24)
uv (xr 0, t) = ау (х + 2Ьх, 0,t)«0 (I < | х К я4
к= ±1, ±2, ...).
Предполагая, как обычно, что
uU, у, t) = u4x, у)е~ш,
444
получаем, что амплитудные значения их, иу удовлетворяют урав-
уравнениям
2A
1-
2A
1-
-V)
-2v
-V)
-2v
Я2 *
д Ux
дх2
Я2 *
1
1 »*•
5 иу
1 ^
1
1 1
+ :
1 А
1 — 2v dx i
1 *2.
1 — 2v 5ж
*
ду
со2
tt2
4
E5*25)
Введением конечного преобразования Фурье
U =U (п, у) — \ и* (х, у) sin (noc) dx,
E5.26)
V = V (п, у) — J «* (л% j/) cos [nx) dx
о
уравнения E5.25) сводятся к обыкновенным дифференциальным
уравнениям
Здесь
Уравнения E5.27) могут быть представлены так:
W
решение этой системы запишем в виде
U (п, у) « anlenQ^ + an^\ Qt = (l - сог2I/2 (i = 1, 2),
У(п, г/) = fl01cosT^-+ G02sm-~ йщО^ г — amQ2 e \
где ап1 и ап2 — констапты.
Обращение E5.26) приводит к следующим выражениям:
оо
С/* (Я, у) = А 2 (a^i* + flnaen0^) sin (иж),
n=i
F* (ж, г/) = ~ | aOi cos -±- + п02 sin -
?г=1
445
Амплитудные напряжения равны
во
[ ] ^и - 2v) amenQ*v} n cos (nz)f
E5.28)
ас
Т 2 1[- A - v)Qj + v]anlenV + (- 1 + 2v)o»1elie«1'} псовях,
С
Из граничных условий E5.24) и E5.28) находится
з = — ап2 A —g" ю')» E5.29)
Используя E5.29) и E5.28) и полагая i/ ~> 0, можно получить
краевые условия для нормальных напряжений и смещений
тг 5 ^^cos fn;c)>
"=l E5.30)
о*
тг 5 ^^cos
хЛ 0) =: а01 + '2 ^
71=1
где
тг>1.
E5.31)
Удовлетворение смешанных условий E5.24) приводит к пар-
парным рядам для нахождения неизвестных dn (/гЭ51)? aOi и aOi:
•о
U-^Г- а°* + g + IT 2 dA C°S ^ ^ 0 (°<I*K^
1 n=1 E5.32)
«oi + 2 dncos(rt^) = 0 (/<|а:|<л).
n=i
Вследствие сложности выражений функций Fn данные рядо-
рядовые уравнения не удается разрешить в общем случае в замкнутой
форме. При со -*¦ 0 получается статический случай, и задача может
быть решена точно.
446
Простые действия показывают, что условия ограниченности
смещений удовлетворяются, если со Ф cR, где св — скорость волн
Рэлея. Разложение Fn по степеням co2/(«2^i) и (H2/(n2cl)t при-
приводит к приближенному равенству
Wf) {jr) <55-33>
Следовательно,
b E5'34)
причем в статическом случае ря -* 0.
Решение для статического случая можно найти методом
Швингера [363], с одновременным построением схемы возмуще-
возмущения. Следует заметить, что в E5.33) используется разложение Ря
для получения нулевого приближения (статика). Схема возмуще-
возмущения не потребует дальнейших разложения Fn или р„.
При р„ = 0
E5.35)
Tl=l
Пусть
cos (и;г) = до (*) (KW<"), E5.36)
гДе п—.,л^ 'h \х) — Я есть неизвестная функция напряжении
)
оу (д;, 0) на участке Z< UI < п.
Обращение E5.36) дает
E5-37)
dn = — | h0 (t) cos (тг?) rff. E5.38)
Подстановка E5.38) в E5.35) и перемена порядка суммирова-
суммирования и интегрирования дает следующее интегральное уравнение
для ho(t):
at \ 1~ / л\ ^^ 1>ОЭ \7ir3* I C/OS \ "* I 7_* Л /7 J»-- l ! ^** \ уг*г" пп\
, I _ ^^_ I Й | Г 1 ^ ¦ /7Т -^= II I / <^ I 'Y1 I <Z TTl iKS ЧМ1
Q1 ч^ ^^ I ""О V / ^^ ^** — V* ^^: ! *^ I ^^: **¦/* t*Jtl«OJ7^
n=i
447
Ядро данного уравнения может быть просуммировано:
У cos ^ С03 {nt) = - i- In 21 cos x ~ cos 11. E5.40)
n=l
Уравнение E5.39) есть сингулярное интегральное уравнение
с логарифмическим ядром E5.40) и может быть решено обычным
способом [186, 231]. В общем случае данной задачи соответствую-
соответствующее пптегральное уравнение не может быть сведено к такой
простой форме. Поэтому приходится применять упомянутый метод
Швингера.
'Пусть
cosx — Ъ + Ъ' cos?, cos? = Ь + Ь' cos?. E5.41)
Здесь Ъ и Ъ' — постоянные такие, что новые переменные Ъ, и ?
изменяются в области от 0 до jt, тогда как ж, t изменяются от I
до п. Следовательно,
Ь = (cos I - 1)/2, У = (cos I + 0/2.
Если подставить E5.41) в E5.40) получается:
оо со
2 COS (ПХ) СОЗ (fit) 1 1- 7' , "V C0S ("') C0S (nQ 1^
nT
?г=1 n—1
Из E5.41) следует
d? 1 (COS i— COS fI /2
Неизвестные папряжения имеют особенность порядка 1/2 при
t-+1. Следовательно, из E5.43) вытекает, что h^it^iidt/dt)
удовлетворяет условиям Дирихле в области 0 < ? < я, п, учиты-
учитывая симметрию задачи, можно написать [231]
со
-§• - 2 а- cos [(те - *) SJ @ < S < я). E5.44)
ТП=1
Подстановка E5.42) и E5.44) в интегральное уравнение E5.39),
приводит к уравнению
5 \m=i
— cosmt) cos
n=i
448
Учет условий ортогональности позволяет привести E5.45) к виду
а01 - аг In V + 2 an+i22V^ = 0 @ <S <я). E5.46)
71=1
Следовательно,
ее, = ao,/lnb', а„+1 = 0 Ы>1). E5.47)
Подстановка E5.43), E5.47) в E5.44) дает
а01 У 2 sin
ln b' (cos I — cos f)iy2
E5.48)
Неизвестный коэффициент aoi определяется подстановкой E5.48)
в E5.37)
_ A — v) я In У
«01 |1 Ь
Нормальные напряжения
(cos I — cos хI'2 J
Коэффициент интенсивности напряжений будет равен
Кг = lim У2п(х-1)о*у {ху 0) = q /2«tg(Z/2). E5.50)
Это известный результат [242].
В приведенном методе решения парных рядов получены путем
сведения их к алгебраическому уравнению. Простота этого метода
становится особенно очевидной, если его сравнить с методом
Трантера [423,424].
Из E5.33) и E5.34) очевидно, что р„«ОA/гс2) для больших п
00
и ряд 2 ndnPn cos {nx) может рассматриваться как возмущение
1
точного решения, приведенного выше. Ограничиваясь первыми
N членами в уравнении E5.32) для возмущенного ряда,, можно
получить
оо
я A — v) Г 2 A — v) jlioj "] ^у
+ 2 ndnPn cos (nx) = 0 (О^.х^.1). E5.51)
Решение парных уравнений, которые образуют E5.51) и вто-
второе уравнение E5.32), будет являться приближением W-ro поряд-
порядка к решению уравнений E5.32). С увеличением N приближен-
приближенное решение может быть сделано сколь угодно близким к точно-
449
му. Как и прежде, пусть неизвестная функция hAx) для Z5^
гйЫ^л; обозначает левую часть ряда E5.51). Условие равно-
равновесия дает
я
"A~v) q = — ( hN (x) dx. E5.52)
Коэффициент flO2 равен нулю, как это следует из сравнения меж-
между собой уравнения E5.52) и обращения E5.51). Обращение
E5.51) дает
л
2 Г
dn = — \ hN (t) cos (nt) dt (n > N)x
E5.53)
(\ ?»
1 — -frr" I On i hn (f) cos (nt)dt (n ~ 1» 2,...., N).
Подстановка E5.52) и E5.53) во второе уравнение E5.32) при-
приводит к интегральному уравнению для неизвестной функции &л{х):
I 2 I 7 /.V "V °оз (пх) cos {nt) j.
«ox + тг J hN (*) 2i — д— dt —
I n=l
N Я
- 2 ГХ7Г c^^-^- f /tjv (*) cos (nt) Л - 0 (Z < | x |< я). E5.54)
Использование тех же переменных» определяемых по E5.41), и
замена cosinx) в конечных рядах E5.54) на
п+1
cos [пх (I)} = 2 Йп; cos [{к —
cos [irf (Q] = 2 ЙП> cos [(ft - 1) И,
позволит эффективно провести дальнейшие выкладки. Полагаем
?о
hN (t) -^ = 2 а^} cos к& -1) а E5.56)
m=l
Подстановка E5.56) и E5.55) в интегральное уравнение
iE5.54) и использование процедуры, примененной выше (см.
450
E5.45) и E5.46)), дает
«oi- 2 Я*»*0 COS [(Л—1) gi-
giN /n+l \ /n+l \
- 2 tt? it 2 гcos № -1) si 2 «iP^f> - о
n=l ^" \i«l / \i=l /
@<?<n)t E5.57)
где
j^-lnb', Si = 2, вл---±-, 6ft = lr k=2,3f...
Так как левая часть E5.57) равна нулю для всех значении |
в интервале @, я), то каждый коэффициент при cos(A;|) для
к = 0, 1, 2„ ... в E5.57) должен быть равен нулю. Следовательно,
а2°=0 для 1л>ЛГ+1, E5.58)
и а^} для т —1, 2, ..., 7V+1 могут быть определены из следую-
следующих N Н- 1 обыкновенных уравнений:
{¦UjOij + Ajj) Ct} = it^ (J = 1, Z, . . . , iv + 1)», (OO.Dyj
i=i
где 6,j — символ Кронекера и
t»)e(»)±_?»_ E5'60)
Из E5.55), очевидно, следует
Подстановка ctm из E5.58) и E5.59) в E5.56) определяет не-
неизвестную функцию
Х+1
hN [х A)] = 2 а^} cos [("* — !) I] %t E5.61)
771=1
где
dx L A + cos 1) A — соз I) J *
Нормальные напряжения на границе у = 0 можно записать в виде
аГ [х (Е), 0] - щ^ hN [х (I)] - q «
/iV+l \
( ^^
E5.62)
451
В E5.62) использовано следующее соотношение:
дл A^~ v) = ~ j" МО Л = if J hN (*) -Jr dS = «Iм. E5.63)
г о
Динамический коэффициент интенсивности напряжений равен
N+1
Кх = lira /2jt (л; — I) а* (х, 0) = /2я ? у tg Z/2 (a^) 2 am'
a:-»Z m=i
E5.64)
или
Kl ( <1V)\-1 V Г Л')
I» m=\
где Кц — статический коэффициент интенсивности напряжений.
Обратимся к численным расчетам. В качестве первого при-
приближения можно рассмотреть один член. «возмущенного» ряда.
Сравнение E5.55) и E5.41) дает
fi^^ab, ffi—b'. E5.65)
Коэффициент a\1) известен из E5.63); оставшиеся два неизвест-
ных коэффициента а\' и aOi определяются из уравнении
где pt дается формулами E5.34) и E5.31) при п = 1. Из E5.66)
и E5.64) можно получить численные значения динамического
коэффициента интенсивности напряжений для данных v, а>, /.
Для сравнения выбираем (оМ — 0,214; 0,224; 0,316, v=l/3. Чис-
Численные результаты хорошо совпадают с данными, получен-
полученными в [96].
Увеличивая число членов в ряде, найдем второе, третье и чет-
четвертое приближения. Можно ограничиться iV = 4; тогда пять
неизвестных коэффициентов aOi п а\ (i = 2, 3, 4,, 5) можно найти
из уравнений
5
V4 D) о / • 4 0 ?\\ /^.^ч А7\
где элементы матрицы ту определяются из E5.59) и E5.60):
m = In b' + 26ANA) Pl + 6BNB) р2 +
4- — R^3^6^3' рз i J_ ftf4^4^ р4
452
1»„ = P?}tf
Pi
+ т
p?>p?>
l22
— 1 I
=« — 1 +
a P2
= 463 - 36 + 6b {Ъ')\ Й3) = 36'
(б'J - 1],,
4 (б'J (8Ь2 - 1) + 3 (&'L>
Й4)
4)
Й4) = 86&' [462 -2 + 3 (б'J], Й4) = 4 {Ъ'У [862 + (б'J - 1]
На рис. 55.2 приведены численные результаты, полученные
из E5.67) и E5.64) для случая плоской деформации при v =* l/3fl
4 8
v\
\
1
\
\
i
к
\
s
Рпс. 55.2. Динамический коэффи-
коэффициент интенсивности напряжений
в функции относительной длины
трещины; 1 — N = 0; 2 — N ¦=
= 1; 3 — Л7 = 4. Крестиками от-
отмечены значения решений из
[96].
'0,1 0,4 0,6 l/n
g> = 0,316ci при N = 0 (статика), N~l и 4, а также результат
(отмеченный крестиками) решения, полученного в [96] другим
методом.
Динамический коэффициент интенсивности напряжений уве-
увеличивается с ростом частоты нагрузки. Отношение динамическо-
453
го коэффициента К\ интенсивности напряжений к статическому
Ки как функция со/с2 показано на рис. 55.3 для различных длин
трещин. Это отношение монотонно увеличивается с ростом оо/с2.
О 0,1 0,4 0,6 6>/cz
Рис. 55.3. Зависимость отношения
динамического коэффициента ин-
интенсивности напряжений к стати-
статическому от частоты нагруженяя
при различных относительных
длинах трещины.
yfbt
0
1
1
1,2'
1,0
0,8
0 j,2 0,4 v
Рис. 55.4. Зависимость динами-
динамического коэффициента интен-
интенсивности напряжений от коэф-
коэффициента Пуассона (со =
= 0,2 с,); J-J/ji-6,6; 2-
1/я = 0,4.
При 1/п = 0,6 инерционный эффект достигает максимума. Влия-
Влияние коэффициента Пуассона v на динамический коэффициент
интенсивности показано на рис. 55.4. Как известно, полученное
здесь решение может быть использовано в качестве приближен-
приближенного решения рассмотренной в п. 1 этого параграфа задачи
о трещине в полосе.
>§ 56. Дифракция упругих волн на трещине
и системе трещин
1. Рассмотрим дифракцию плоской сдвиговой волны на жест-
жестком цилиндрическом включении, которое скреплено с материалом
УПРУГОЙ СреДЫ ВСЮДУ ПО КОНТУРУ Г = Д, |9i>OC, — oo<z<oo;
ось z совпадает с осью цилиндра (рис. 56.1). Цилиндрическое
включение неподвижно, а участок контура г = а, 161 <а является
границей среды, свободной от напряжений. Решим динамическую
задачу механики разрушения для трещины, расположенной вдоль
дуги окружности на границе раздела упругой среды п жесткого
включения [228].
Для неограниченного пространства, находящегося в условиях
антиплоской деформации, единственная отличная от нуля компо-
компонента вектора смещеиий ut — w удовлетворяет волновому уравне-
уравнению E3.4), а ненулевые компоненты тензора напряжений — соот-
соотношениям E3.2), E3.3): xrz — u. dw/dr, т»е = Ц dw/r <5G.
454
Рассмотрим плоскую гармоническую волну,, которая распро-
распространяется в отрицательном направлении оси х
wa *= w6e-iat-ikx, к = ш/сг. E6.1)
В полярных координатах, связанных с центром цилиндрического
включения, амплитудное значение
падающей волны
хт; in o-rikr cos в
E6.2)
Соответствующее амплитудное зна-
значение касательного напряжения
определяется выражением
т^ = [л dwnjdr =
— — ik\iiv0 cos 9 е~гкгсОйвф E6.3)
Рис. 56.1. Плоскость с круго-
С учетом симметрии напряжен- вым включением ж трещиной
ного состояния относительно оси х по границе включения,
и гармонической временной зависи-
зависимости поле возмущенной волны, удовлетворяющее уравнению
-k2w = 0 E6.4)
0 (ha)]'1 cos (ив),
E6.5)
и условиям излучения E4.8), будет иметь вмд
w = AJB™ (кг) [Я(о1} (ка)]'1 + 2 АпН%
n=l
где Нп}(^) —функция Ханкеля; Ап (л = 1, 2, ...) —постоянные,
определяемые из граничных условий.
Цилиндрическое включение предполагается неподвижным,
в связи с чем на контуре г = а должны выполняться следующие
условия:
w(а, 6) 4-
= 0 при а
= 0 при 0<9<а.
E6.6)
E6.7)
Здесь
j? «»(г, 9) = - AJs
¦) [Я(о15 (ка)]-1 +
cos (ив). E6.8)
455
Удовлетворяя условиям E6.6) и E6.7), получаем парные рядовые
уравнения вида
— А,
= ikaw0e~ihacos\ 0<9<cc, E6.9)
Л + 2 An cos тг0 = - u;0e~ifeaco8e, a < 0 < я. E6.10)
n=i
Для решения этих парных уравнений применим приближен-
приближенный метод, изложенный в п. 2 § 55. Обозначим левую часть урав-
уравнения E6.9) при a < 6 < л через
Здесь т@) — касательные напряжения на контуре г = а, а < 0 ^
^ я, соответствующие полю возмущенной волны. Равенство E6.9)
заменим приближенным выражением вида (N — некоторое задан-
заданное число)
каН™ (ка)
Ао
пАп cos (пЩ + 2i М „(У/
Г^\(ка) 1
cosQe-ikacOB\ O<0<a,,
1 /п\ -7 а ~~гйосовв ^^ л ^- @0.11)
— Т @) — IKCLWq COS об , 0L <^ и ^. Jt,
Отметим, что
lim
1
J
Из равенства E6.11) следует:
пил 1 \ки) д, I _ _.
ЛЛ —А = — kawnJi (ка) — — \ тг @) сто, (ob.12)
Ln = _ -HL- A — /гп) f т @ cos (и*) d* —
JX Li Yl щ)
a
_ Щка — (- I)" in/n {ka) A - /г„), w = 1, 2, ..., N E6.13)
456
Ап = — — f x (t) cos(nt) dt — w9ka — (— I)" inj'n {ka), n>N.
E6.14)
Здесь обозначено
К = ^~ ?——. E6.1;
При определении коэффициентов Ап использовалась формула [9]
я
J cos t cos (л*) e-ikacGstdt - я (- If i"~ V; (fto).
Здесь /„(^) — функция Бесселя первого рода п-то порядка. Под-
Подставляя E6.13), E6.14) в E6.10) и учитывая разложение [10)
оо
= /0 (ка) + 22 (— 0" Jn {ka) cos (^0), получим
п—1
a Vn=i
N
N / \
_ _^_ У ^!L I Г T (^) cos (W^) rfj I CoS (ив) = Ло + w0J0 (ka)
ОС
+ 2»;0Ь У (- ^)П ^T^- cos <яв) ~
"IT //ri <fca)cos
Следуя E5.41), введем новые переменные | и <р но формулам
cos г = |3 + P'cosl, cos9 = p +р'сойф,
. , E6.17)
р = -L(cosoc — 1), Р' =*• -j (coscc + 1).
Очевидно, что при изменении ? и ф в интервале @„ л) перемен-
переменные 2 и G изменяются в интервале (а, я). Из E6.17) следует
dt __ (cos cc — cos tI/2 dQ _ (cos a — cos 6I/2
1/2sin (г/2) ' йф" ~ V2sin@/2)
Функция TtK|)]df/d| может быть представлена в виде ряда
Фурье в интервале 0 < | < Jt:
00
COS \(П —
т(о| = ц 2
30 в. 3. Партон, Е. М. Морозов 457
С учетом E6.18) получим
'(9) |е~ " " (сГ-Те'^ 2 «-«о.К» - 1)91, 1E6.20,
где
/cos 8 — В\
Ф = arccosl —дт—-/.
Используя разложение E6.20) и равенство
00
2С09 (nl)'cos (п9) lii j. л,
1—I !—L = _ in cos t — cos 9 =
2
СОЗ (ng) СОЗ (rt(p)
можно представить первое слагаемое в левой части E6.16) в виде
n=l
— a 21 6mam cos [(m — 1) q>], E6.21)
m=i
где Ь4 = -In p', 6m = ^j^, те = 2, 3, ...
Для преобразования второго слагаемого в левой части E6.16)
применим следующие выражения;
п+1
cos {nt) = cos [nt (i)] = 2 C?J cos l(m — 1) ?],
"^ E6.22)
cos (w9) = cos [тгб (ф)] = 2 ^ cos [(w — 1) ф].
Так как
cos (nG) =- cos (rafarccos (p + P' cos ф)]} = Г„(р + p' cos ф),
где Ти(х) — полином Чебышева,, то коэффициенты С$ могут
быть легко определены с помощью соответствующих выражений
для полиномов Тп{х). В частности, для п = 1 и п — 2 получим
458
Таким образом, с учетом E6.22) и E6.19) будем иметь
л л
¦— J т @ cos {nt) & .=, |L j x [* ®] i» cos
а
n+l
= я Ц ея^я), «h = 2, gj = 1 при 7 — 2, 3, .., E6.23)
Подставляя E6.21) ж E6.23) в E6.16) и используя E6.22),
запишем уравнение E6.16) в виде
<» N+l /N+1 \
2 6maTOcos[(m— 1)<р]— 2 ( 2 otj?jm I cos [(m — 1) ф] =
- V [Л° + шо^о (Ь)] 4- -± 2л рт cos [(те — 1) ф] —
i
cos [^m—
Здесь обозначено
К Мп)Мп) D V/ Л"А« Г /7*„\Г&)
'т 9,
-п—1 " п=1
n—i
Так как переменная ф изменяется в пределах от 0 до я, то из
равенства E6.24) получаем систему N + 1 уравнений для опреде-
определения постоянных ат:
X* о
то
3
-1,2,...,ЛГ + 1; 6П « 1; 6im = 0; m = 2, 3, ...; E6>25)
Подставив E6.19) в E6.12), получим
4-—/''У"-' У д.- E6.26)
30» 459
С учетом последнего выражения для Ло система E6.25) принима-
принимает вид
N+1
2 it®™ ""
Здесь
(ко)
{коI
-JL /0 (ка)
Um — Vtn —
(fta)
]
E6.27)
m—V
К
Построенное таким образом решение парных уравнений E6.9),
E6.10) является приближенными
зависит от числа N. Очевидно, с
увеличением N это приближенное
решение может быть сделано
сколь угодно близким к точному
решению.
Определим динамический ко-
коэффициент интенсивности напря-
напряжений в вершине трещины, прохо-
проходящей по границе раздела жест-
жесткого включения и упругой среды.
Легко видеть, что сингулярная
часть выражения для полного
поля напряжений определяется со-
соотношением E6.20). Следователь-
Следовательно, искомый динамический коэф-
коэф/
"Ч
0,8
0,4
0 С,5 1,С 1,5 ка
Рис. 56.2. Зависимость безразмер-
безразмерных коэффициентов интенсивно-
интенсивности напряжений от волнового
числа.
фициент интенсивности напряжений равен
Кш = K'1U + гКш - УъГа, lim [ /б - а т (9)] =
= u. /2natg(a/2) 2 «п- E6.28)
71—1
На рис. 56.2 представлены результаты расчета величины
IК \
— ~—11Т' — в функции от безразмерного волнового числа ка
р у2па ^
2па 0
при cci — я/А и а2 — Jt/18. Особенностью данной зависимости яв-
является наличие максимума К* при ка « 1,25 (а = л/4), что харак-
характерно для задач такого класса [353, 284].
2. Рассмотрим теперь бесконечное упругое изотропное тело,
содержащее периодическую систему разрезов одинаковой длины,
расположенных вдоль оси (рис. 56.3).
В декартовой системе координат х, у, z плоскость трещин
совпадает с плоскостью xz, и фронты трещин параллельны оси z.
460
Как и в п. 1 этого параграфа, рассмотрим случай антиплоской
деформации, при которой имеется единственное отличное от нуля
смещение вдоль осп z. Компоненты тензора напряжений, отлич-
отличные от нуля, равны
т«-ц^, т,г = и-^* E6.29)
где w — компонента смещения, удовлетворяющая волновому
уравнению
к
Aw =
d2w
1?
1 d"w
E6.30)
Будем считать, что деформации в теле вызваны гармониче-
гармоническими поперечными волнами (ЗЯ-волны) wa, приходящими из
> <
ZL
21
О
21
21
Рис. 56.3. Плоскость с периодической системой разрезов,
бесконечности (вдоль оси у):
-tat-iky
где w{1) = wQe~ikyy к = со/с2, w0 — амплитуда волны.
Решение уравнения E6.30) будем искать в виде
', у)]е~ш.
E6.31)
E6.32)
Подставим E6.32) в E6.30), после чего получаем уравнение
Гельмгольца относительно w(x, у):
E6.33)
E6.34)
Функцию w представим в виде суммы двух функций
w = ww
причем w -*¦ w{i) при у -*¦ °°f a w{Z) соответствует полю возмуще-
возмущений волны и удовлетворяет уравнению E6.33).
Для касательных напряжений получаем
Здесь
V = Re [(т$?
С = V-
dy
yz
B)
461
Поле возмущений ww будем искать при условии, что поверхность
трещин свободна от напряжений, и функция wi2) является нечет-
нечетной по у.
С учетом периодичности напряженного состояния по х и усло-
условия E6.34) представим искомую функцию w{2) в виде ряда
то
= ± 2 An cos {nl) exp (=F /и2 — а?ц). E6.35)
l
Здесь
n=l
r 2 2
// со яг/
2 2' "П = "Г"»
Верхние знаки в выражении E6.35) соответствуют у ^ 0.
Удовлетворим условию
Тогда с учетом непрерывности w при ^ = 0, 1<х<. L получаем
парные рядовые уравнения следующего вида:
E6.36)
1„ cos (nl) = 0,: ?0 < I < я, (t0 =
3. Перейдем к решению парных уравнений E6.36), предвари-
предварительно записав их в виде
E6.37)
2 Aj cos (nl) = Ojs ?o<K"-
Здесь
a+ /n2_a2 2n^ 2n(n+/^^?)a»
Следуя работе [414], полагаем
2 An cos (nl) = cos 4 f g(f)df ж 0< I < i0. E6.38)
й=1 ^ ^ У COS |— COS«
Тогда коэффициенты Ап будут определяться по формул©
«о
An = -^= f g (t) yn (cos 0 at. E6,39)
462
Здесь 2/«(cos t) =* Pn(cos t) + Рп-Дсоз t\ где Рп(х) — полином
Лежандра.
Интегрируя первое из уравнений E6.37) по | в пределах от
О до | и подставляя в него выражение E6.39), получим
?О Г оо
I Л wa
(cos t) sin (nl
p.
1
J ^
E6.40)
С учетом разложения [6, 4143
1 cos F/2) Я (g-
" (cos *) sin W)
cost — cos g
равенство E6.40) можно записать в виде
/ cos t — cos ?
h
oo -1
1 V F (») / «\ • / e\ I jj ^ . e /со
. ^д —i—i- yn (COS t J S1Q (/IS) I Ctt "nb* IDD,
Предполагая известной правую часть E6.41), разрешим это урав*
нение относительно g(t):
ы\ЪР(п)9 (cost)у (со1*Iл-
% Lei "Vn C0ST Уп cos J
j|g|-. E6.42)
Обозначим
о
Тогда получим
J ^ (^) Уп (cos t) dt = an.
g W - у *812 F (д) a«^ (cos f) - ^ гто ^2 tg 1. E6.43)
463
2
Функции уЛсов t) являются ортогональными с весом tg (t/2)
в интервале 0 < t < я и образуют полную систему в классе
?2@, л) [63. Любую функцию, принадлежащую классу L2i0, л),
можно представить в виде ряда
/ @ = tg-j 2 ^n (cos 0» ?*= у 1 / (*) yn (cos
n=l 0
Записав такое разложение в ряд для функции
получим бесконечную систему уравнений
ап = 2 «тСяи - ~ iT0 /2 Ьп. E6.44)
m=i ^
Здесь
С г
+ тп (bo/ == 1 *? 2 Уп (COS t) Ут \
О
пу (cos i ) 2 (cos Eft) ¦—
(io) = 4{2
4 cos
n-~ l 4
+ 4 S Pk (cos So) [-Рл-а (cos So) — cos So Pk (cos |0)] L
fei )
Zn (COS So) = i'n-l (COS So) — Pn (COS So),
So
Г f l
bn = J tg T Уп ^cos 0 л = -^ 3n (cos у.
0
Можно показать [6J, что система E6.44) квазирегу-
лярна, т. е. начиная с некоторого номера,, имеет место неравенство
| (лг >> тг0).
4. Укажем другой, менее трудоемкий способ решения парных
уравнений E6.37). Предварительно проинтегрировав по % первое
464
уравнение E6.37),, запишем систему E6.37) в виде
л °°
и E6.45)
—а
Положим
1Г g[t)dt _
2 J T/cos ^ — cos f
cos (w&) = cos
«/ 1/ cos |o — cos t
На основании этого равенства и второго уравнения E6.45) коэф-
коэффициенты Лп будут определяться по формуле
Уп (cos t] dt - wj Ig {t) dt- E6-46)
Подставляя E6.46) в первое равенство E6.45),, получим
\ g(t) —= 2 Уп (cos t) sin (nl) dt =
I V * „=1 J
=j7f 2 ^r- у» (cos f)sin № I
2 ™ • ( *\ Г Г
' П/о" ^d 2™ n J 6 W at л„*10*' ^JD.t/;
«=i о
Здесь
p / \ _ i. j_ о ft + ci2/Bn2))
n3 n(«+ V^n2 —a2J *
465
Выполняя такие же преобразования, как изложенные выше,
из равенств E6.47) получим интегральное уравнение Фредгольма
второго рода для определения функции git):
Jo
+ T flo ^ т 2 F* № V* (cos *) ~ 41iT* ^2 ** T* E6'48>
ao= jg(*)*r E6.49)
о
ее
^ (i, t) = tg -j 2 ^i (n) Уп (cos f) г/п (соя т).
Так как Fiin) при п -*¦«» стремится к нулю, как # f -gjf и, кро-
кроме того, при больших п
2
~уп
то ряд E6.49) быстро сходится, и, следовательно, ядро выражения
E6.49) можно заменить на вырожденное, ограничиваясь некото-
некоторым числом N слагаемых
KN {tx x) = tg ™ 2 ^i (п) Уп (cos t) yn (cos т). E6.50)
Применяя известную процедуру метода решения интегральных
уравнений с вырожденным ядром [113, получим следующее вы-
выражение для функции g(t):
_ ? tg 12 ^i W У»(cos *> + Т йоФ @ - ^ {
E6.51)
Здесь
ап
466
= j g (T) Уп (COS T) dX.
Постоянные ап(п — 0, 1, 2, ...) определяются из решения си-
системы N + 1 уравнений вида
«о *= Y Poao + J 2i "^~ г" (cos S#-
n=i
Л'
?- sto2 /2 In (cos |), E6.52)
/v
n=i
n\i
Здесь
^1,2,...,^. E6.53)
. E6.54)
n=i
Найдем амплитудные значения касательных напряжений на
оси у = 0. С учетом E6.35) получим
cos
E6.55)
Для определения коэффициента интенсивности напряжений
необходимо отсюда найти выражение с выделенной особенностью
в вершине разреза при 1-»-?о". Используя E6.46), можно пока-
зать, что
B Уп
cos (nl)
s>i
= | [~2 (
l - Щ An sin
cos -5-
— соз? •
G^ \dt-
467
Выделив особенность этого выражения при |->|о",. получим
, n\i ,~ ч sin \ cos (|/2) ._-, ,
^ sin g ]/ cos | cos I
sin gQ ]/ cos |0 — cos
Здесь отброшены члены,, ограниченные при | -*¦ |0.
С учетом последнего соотношения найдем коэффициент пн-
тенсивности напряжений
К (t) = Hm Y2n (х — а:0) ryz j,J=0 =
Здесь i* = nc2t/L — безразмерное время, a = Ь(о/Ыс2), как ш
раньше,— безразмерное волновое число.
Последнее выражение можем записать так:
Re\g(L, a)
2) [ ° }
У
что после очевидных подстановок приводит к соотношению
К VI 1
Re
"'о
1
Для выполнения численных расчетов необходимо предвари-
предварительно определить р0 и рт по формулам EG.54), для чего полезно
выделить медленно сходящиеся ряды
Рй= Zd n %n ^C0S S°' = Po ~~ 2л ^з (п) ,;
я=1
со оо
Рт = 2 ^2 (п) 1-тп (?о) — Р?п — 2 ^з (ге)
П=1 71=1
2 4
ОО С5О
0 = V Z«(CQS Sp) О V Jmn (^o)
В дальнейшем используем следующие равенства:
\ I х - — -~—, b/n(cosi)tg— d* = — zn(cos;
{t\ Wt ii (тЛ
468
Следовательно,
С t 1 / * ч
I tg tj- г/,г (cos t)dt = — sn (cos g0),
0
j ctg у zn (cos f) dt — ^ [2 — г/п (cos g0)].
Вычислим необходимые в дальнейшем выражения
-2, *,(!)-О,
n (COS
г
t
^°m
= — 2 tg -j In sin -j ym (cos i) o!? =
__2f
m J
In
. t
m
[Zm (COSi)] dt =5
m
i Г /
(cos i0) + - J ctS Sm ^C0S ^ dt =
= In
m
,Jo
n
Zm (COS g0) H j- [2 — Z/m (COS 1
^_rt ,
yn (cos
dt =
L»=i
Ha pnc. 56.4 и 56.5 с использованием этих соотношений при-
приведены зависимости коэффициента интенсивности напряжений
от времени для различных значений безразмерного волнового
числа а.
469
%о
0,6
0,1
п
и
-о}г
-*
/
1
/
/
if
/
'2
Ч
1 «*^
у-9,5
6,1
Рис. 56.4. Коэффициент интенсивности напряжении в функции времени для
разных волновых чисел а (|а = я/Д, = 0,2).
0,8
-0,3
\
=2
- 1/ ^
7»"
—^
а
о,»
=0,5
—¦—-.
0 1
1
Рис. 56.5. Коэффициент интенсивности напряжении в функции времени для
разных волновых чисел а, (|0 = nl/L = 0,4).
§ 57. Численное определение коэффициентов
интенсивности напряжений
при установившихся колебаниях
Приведем метод расчета динамических коэффициентов интен-
интенсивности напряжений в пластинах с трещинами при установив-
установившихся колебаниях [15, 16, 247], основанный на представлении
коэффициентов интенсивности в виде суперпозиции «условных»
коэффициентов интенсивности, соответствующих нормированным
формам свободных колебаний, с некоторыми весовыми мно-
множителями.
Конечноэлементные уравнения движения упругого тела без
затухания при действии гармонической нагрузки имеют вид
[11Ш + 1ЙЫ - {1)еш. E7.1)
Здесь [Ml — матрица массы, [К] — матрица жесткости, {х} —
вектор перемещений;, {/} — вектор нагрузок. При © = О уравне-
уравнения E7.1) переходят в уравнения равновесия:
E7.2)
Обозначив через <о? собственные числа в порядке возрастания»
>} — собственные векторы из обобщенной задачи о собствен-
собственных значениях, запишем
E7.3)
E7.4>
Тогда частное решение E7.1) с частотой возмущающей силы ф
примет вид
^{^Щ E7.5)
of — <в
Следовательно, статическое решение может быть представлено
в виде суперпозиции форм собственных колебаний:
E7.6)
Пусть, как и ранее, К, — статический коэффициент интенсив-
интенсивности напряжений, соответствующий {xU)\ K{i) — коэффи-
коэффициенты интенсивности, соответствующие ixw), Kit) — динамиче-
сквй коэффициент интенсивности напряжений. Размерность K{i)
определяется с учетом нормировки E7.4). Так как вектор пере-
перемещений с помощью линейного функционала однозначно пред-
представляет коэффициенты интенсивности напряжений, то
Щеш E7.7)
о
471
и
К5 = %Кш{х{г)}1{П- E7.8)
Вводя безразмерные коэффициенты
А ^^"' E7l9)
получим из E7.6) и E7.7), что
К (t) - Ks 2 *t m* „ <?*»', E7.10)
i to? — to
2^ = 1. E7.11)
i
Последнее равенство служит критерием точности расчета ди-
динамического коэффициента интенсивности напряжений, если вхо-
входящий в выражение для z* статический коэффициент интенсивно-
интенсивности напряжений учитывать не в соответствии с E7.8), а непосред-
непосредственно из статической системы уравнений равновесия E7.2).
Кроме того, в области частот 0 «s; со < coj из равенства E7.11)
определяется необходимое число учитываемых в E7.10) форм
колебаний.
Таким образом, погрешность нахождения динамических коэф-
коэффициентов интенсивности оценивается разностью Zi%\—¦ 1 \. Ина-
Иначе говоря, для оценки погрешности нахождения Kit) сравниваются
динамический коэффициент интенсивности при нулевой частоте
и статический коэффициент интенсивности, вычисленный из урав-
уравнений равновесия.
Безразмерные коэффициенты z,-, при помощи которых опреде-
определяется Kit), в плоском случае не зависят от размеров пластины,
толщины и модуля Юнга, однако, оин зависят от соотношения
длин сторон, пластины, ее конфигурации, относительной длины
трещины п коэффициента Пуассона.
Указанное представление динамического коэффициента интен-
интенсивности в форме E7.7) основано па использовании первых ча-
частот и форм свободных колебаний упругой системы, т. е. на
частичном решении обобщенной задачи о собственных значе-
значениях E7.3).
Наиболее эффективным и удобным для решения обобщенной
задачи о собственных значениях в случае высоких порядков мат-
матриц является метод одновременных итераций [338]. Основные
достоинства метода следующие: одновременно в итерационном
процессе находится группа наименьших собственных чисел п век-
векторов, алгоритмы быстро сходятся, результат может быть получен
без каких-либо эвристических соображений, в случае близких
собственных чисел не требуется особый анализ.
472
Для применения алгоритма одновременных итераций необхо-
необходимо сначала свести задачу E7.3) к виду1):
ШШ^Их}. E7.12)
Пусть
E7.13)
E7.14)
где IL] — нижняя треугольная матрица. Тогда имеем вместо
E7.3)
со
E7.15)
что совпадает по виду с E7.12). При этом умножение
[L]~iiM][L\~'r{x} выполняется в три этапа:
[L? {и} = {х}, {{и} = [L]~T{x}\ E7.16)
{У} = [М] {и}, ({у} = [М] [Ц~т{х\), E7.17)
v) = {у}, ({v} = [ЬГ^М] [L\-\x}). E7.18)
Собственные значения задачи E7.12) находим по следую-
следующему алгоритму. Упорядочим собственные числа в порядке
убывания
Если необходимо найти т0 первых собственных чисел, то вы-
вычисления проводятся с матрицей [?/], состоящей из т векторов,
где mo<-ni<- N Ш — порядок задачи):
[ЕЛ = [{иA)}, {и{2)}, ..., {и1т)}}. E7.19)
Итерационный процесс состоит из шести этапов:
T (ортогонализацияI E7.20)
E7.21)
E7.22)
4) tl = 2bij - E7.23)
5) im = [V\[T*], E7.24)
6) [?Л = [Ш. E7.25)
') В отличие от требований классических методов, здесь приведение
можно выполнить без обращения матрицы масс.
31 В. 3. Партон, Е, М. Морозов 473
Здесь итерационное перемножение на втором этапе теоретически
должно приводить к появлению на месте [V] искомых собствен-
собственных векторов, а на третьем этапе — к появлению на месте [В]
диагональной матрицы с элементами, равными собственным чис-
числам. Применение матрицы [Т*] на пятом этапе значительно
ускоряет этот процесс. Если для каких-либо г, j на четвертом эта-
этапе отношения (Ьц—*Ьм)/Ьн и Ьц/Ь^ вместе не превосходят задан-
заданную точность вычислений, то необходимо положить t^ = 0 (этот
случай соответствует близким собственным значениям). После
нахождения в результате этапа E7.22) диагональных элементов
матрицы [В] они сортируются по величине, и,, соответственно,
меняются местами векторы в массивах [U] и [V]. Погрешность
вычисления i-ro вектора оценивается скалярным произведением
({w{i)} — {в(°})т({ш@} — iu(i)}). Скорость сходимости метода одно-
одновременных итераций существенно зависит от количества исполь-
используемых в итерационном процессе векторов т. Чем больше оно по
сравнению с числом искомых векторов, тем меньше требуется
итераций. Однако при этом возрастает объем вычислений впутрп
каждой итерации,, поэтому при выборе т необходимо учитывать
оба фактора.
Для использования метода одновременных итераций необхо-
необходима, согласно E7.13), невырожденность матрицы жесткости. По-
Поскольку для незакрепленных систем матрица жееткостЕт вырож-
вырождается, то используется следующий искусственный прием. К ле-
левой и правой'частям равенства E7.13) добавляется aiM]{x}, где
а — пекоторая константа:
([Ю + аШ1 )Ы = (ю2 + а)ШПх}. E7.26)
Матрица ([ffl+alM])— невырождена, и после решения новой
задачи о собственных значениях нахождение частот исходной
задачи не вызывает затруднений.
Для учета сингулярности поля напряжений окружим вершину
трещины специальным конечным элементом
в виде многоугольника с разрезом (рис. 57.1)
с аппроксимацией поля перемещений, исхо-
исходя из решения Вильямса для плоскости
с трещиной [434].
Введение таких элементов позволяет по-
побежать измельчения сетки элементов в ок-
окрестности вершины трещины. При этом
определение коэффициентов интенсив-
Рис. 57.1. Сингуляр- ности напряжений по найденному полю
ный конечный але- перемещений представляет даже более про-
мент" стую задачу, чем нахождение напряжений
в обычных конечных элементах. Несмотря на разрывность пере-
перемещений при переходе через границу сингулярных элементов,
их применение отличается высокой точностью даже па весьма
грубых сетках конечных элементов.
474
Аппроксимация полей перемещений в элементе имеет вид
(_ 1)'г гп [(— 4 A — х) — п) cos («9) + га cos ((п — 2) В)] а2п +
x) +Я-4") sm((и-4-) 9
+ (- л + -i) sm ((и ~тH
+ (- 1)" гп К— 4 A - к) - п + 2) sin («9) + п sin ((« — 2) в)]
E7.27)
X cos ( (л — 4)в) + (w - у) cos ((Л ~ т
+ (— 1)п г71 [D A-х) — п) cos (ив) + /г cos ((/г — 2) 9)] 62П}, E7.28)
где г, 9 — система полярных координат с началом в вершине тре-
трещины; аь, bi — неопределенные коэффициенты, x=v/(l + v) (при
плоской деформации х = v).
Коэффициенты интенсивности напряжений вычисляются, ис-
исходя из предельных соотношений (см. § 2):
Кг — iKu = lira Улг (ауу — пху) = — /2л (at + idj. E7.29)
Слагаемые а0 и 60 в E7.27), E7.28) вводятся для того, чтобы
аппроксимации могла отражать смещения элемента как жесткого
целого. Очевидно,, что главные члены разложений, соответствую-
соответствующие коэффициентам at и Ь1? совпадают с —qii}l/l/2.
Использование 9-узлового сингулярного элемента (рис. 57.1)
в задаче о растяжении плоскости с центральной трещиной позво-
позволяет получить коэффициент интенсивности напряжений отрыва
с погрешностью 0,5% для схемы, состоящей всего из 58 узлов
И5, 47].
Построение матриц жесткости и массы сингулярных конечных
элементов выполняется после введения аппроксимаций E7.27),
31* 475
E7.28) в соответствии с общей процедурой метода перемещений.
Для иллюстрации изложенной методики приведем результаты
расчета динамических коэффициентов интенсивности напряжений
в квадратной пластине с наклонной центральной трещиной
(рис. 57,2) при гармоническом растяжении — сжатии. Угол накло-
наклона трещины был равен 45°, а нагрузка единичной интенсивности
приложена на горизонтальных краях. Разбивка на конечные эле-
элементы показана на рис. 57.3.
i
?ЗиЛ
jutz:
L
r : ; (
Рис. 57.3. Разбивка пластины
на конечные элементы.
t * f f f f I 1
Рис. 57.2. Квадратная пла-
пластина с наклонной трещи-
трещиной B1 — 4J~м; а = 22 м;
v = 0,3; Е = 1 Н/м2, плот-
плотность ро = 0,1 кг/м3).
В схеме содержатся два специальных сингулярных элемента
с пятью узлами. Треугольные элементы являются элементами
с постоянной деформацией, а в прямоугольных перемещения по-
получены исходя из функции напряжений в виде
X =
сгху + ску2
с5уэ.
E7.30)
При нахождении собственных значений определялось 30 форм
колебаний. Параметр а из уравнения E7.26) был принят
равным 0,01.
Статические коэффициенты интенсивности напряжений отрыва
и сдвига в рассматриваемой задаче, приведенные к безразмерному
виду, равны
%?= 0,548,
= 0,626.
Значение Кц записано для правой верхней вершины трещины
(в левой нижней вершине оно имеет противоположный знак).
В таблице 57.1 для всех форм, начиная с четвертой (первые три
формы — это смещения пластины как жесткого целого, им соот-
соответствуют нулевые частоты), приведены: квадраты частот,
коэффициенты интенсивности напряжений отрыва и сдвига
476
Таблица 57.1
Численные значения параметров уравнений E7.9), E7.10)
1
4
5
6
7
8
9
10
И
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
-!
0,1073
0,1287
0,1440
0,1449
0,2004
0,2348
0,3466
0,3469
0,5022
0,6026
0,6459
0,6477
0,6843
0,7318
0,9228
0,9317
0,9682
1,1322
1,1579
1,1588
1,2116
1,3615
1,4133
1,4731
1,4844
1,7670
1,8574
ЖО..0.,
Отрыв
-2,14575
0
0,5862Л
0
0
-2,27705
0
0,8607Л
0
3,31995
0
0,4136Л
0
—1,47065
1,91154
0
0
—4,02665
—0,5230Л
0
0
0
3,22875
2.7060Л
0
5,17064
0
Сдвиг
0
2.5458Л
0
—0,13975
0 ,8271Л
0
0,88075
0
—0,16844
0
1,12285
0
0,8941Л
0
0
0,25805
5,1982Л
0
0
1,56475
—1Д626Л
—5Д880Л
0
0
—1,08595
0
—1,48875
—1,0887
4,6591
0
0
—4,9346
—5,4804
0
0
0,0060
—0,6101
0
0
—0,0733
1,6933
0
0
—0,5776
2,2270
0
0
0,1502
0,8784
—2,5822
0
0
0.
0
2
Отрыв
0,4231
0
0
0
0
0,9695
0
0
0
—0,0613
0
0
0
—0,0621
0
0
0
—0,1445
0
0
0
0
—0,1076
0
0
0
0
¦J
Сдвиг
0
1,4839
0
0
—0,3253
0
0
0
0
0
0
0
—0,0015
0
0
0
—0,0495
0
0
0
-0,0023
—0,0541
0
0
0
0
0
477
K(t)
2,8
2,0
l Б
q "iff/
1
•
о
•
*
I
(соответствующие нормированным формам колебаний1)), скаляр-
скалярные произведения форм на вектор нагрузки и безразмерные
коэффициенты z,-. Перейти от приведенных значений частот к без-
безразмерным частотам можно по формуле
со? = (й*Е/(роаЬ),
где сем — безразмерные частоты. Из таблицы 57.1 следует, что для
коэффициента интенсивности напряжений отрыва 2 ^=1,017„
я для коэффициента интенсивности напряжений сдвига ^Z; —
= 1,051. Следовательно, по опи-
описанной выше оценке погрешности
расчета, K^t) определен с погреш-
погрешностью 1,7%, a K^it) — с по-
погрешностью 5,1%. Графики ам-
амплитудных значений этих коэф-
коэффициентов интенсивности напря-
напряжений в интервале частот 0 ^
s? оэ < (Hi показаны на рис. 57.4.
Видно, что коэффициенты интен-
интенсивности напряжений монотонно
возрастают от статических значе-
значений при о) = 0 п стремятся к бес-
бесконечности при приближении к
основной частоте колебаний.
Расчеты с увеличенным чис-
числом форм были сопряжены с вы-
высокой стоимостью проводимых
работ. Поэтому, чтобы убедиться
в том, что z, -** 0 при i > 30, была
взята разбивка исходной пласти-
пластины приблизительно вдвое мень-
меньшей густоты (однако определя-
определялось 60 форм колебаний). Уста-
Установлено, что при i > 30 коэффициенты z* весьма малы и не ока-
оказывают существенного влияния на характер изменения коэффи-
коэффициентов интенсивности напряжений.
Найденные зависимости свидетельствуют о повышении опас-
опасности хрупкого разрушения с увеличением частоты колебаний.
0,8r
OA
о
от
0,G- 0.05 0,0 В и>г
Рис.. 57.4. Зависимость ампли-
амплитудных коэффициентов интен-
интенсивности напряжений отрыва
(светлые точки) и сдвига (тем-
(темные точки) от безразмерной
частоты.
') Эти значения приведены для правой верхней вершины трещины;
в том случае, когда в противоположной вершине коэффициент интенсивно-
интенсивности имеет тот же знак, справа от числа стоит знак «5», в случае, когда он
меняет знак, стоит знак «Л».
Приложение
НЕКОТОРЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Год
1907
1909
1917
1920-1924
1924
1930
4933
Автор
К. Weighardt
P. Ludwik
А. М. Драго-
мирув
A. A. Griffith
А. Ф. Иоффе
И.В. Обреимов
А. П. Алек-
Александров,
С. Н. Журков
А. К. Дымов
Основные положения и результаты
Получены асимптотические формулы для на-
напряжений около острого разреза. Трещина
распространяется, когда усредненное (на не-
некотором расстоянии перед вершиной трещи-
трещины) напряжение достигает предельного зна-
значения
Введение схемы, поясняющей переход от вяз-
вязкого состояния к хрупкому с увеличением
скорости нагружения
Установлена связь между видом излома и ха-
характером снижения нагрузки после макси-
максимума при изгибе надрезанных образцов
(кристаллические участки в изломе соответ-
соответствуют срывам нагрузки)
Самопроизвольный рост трещины начинает-
начинается в тот момент, когда освобождающаяся уп-
упругая энергия тела, отнесенная к единично-
единичному приращению площади трещины, станет
равной удельной поверхностной энергии те-
тела (критерий хрупкого разрушения)
Снятие поврежденного поверхностного слоя
образца приводит к .повышению его прочно-
прочности. Предложена схема, поясняющая пере-
переход вязкого разрушения в хрупкое с пони-
понижением температуры. Введено понятие кри-
критической температуры хрупкости
Создан метод измерения поверхностного на-
натяжения твердых тел
Прочность при хрупком разрушении зависит
от структуры материала. Роль трещины мо-
могут играть концентраторы напряжений
Введение схемы, поясняющей зависимость
вида разрушения от напряженного состояния
479
Продолжение
Год
1933
1934—1938
3937
1939
1941
1946
1948
Автор
Н. И. Мусхе-
лишвили
Н. Osoliatz .
Н. Н. Дави-
денков
С. Б. Серенсен
Н. М. Wester-
gaard
Я. Б. Фридман
Б. А. Дроздов-
ский
R. A. Sack
I. N. Sneddon
И. Л. Шимеле-
вич
Е. Orowan
G. R. Irwiu
N. F. Mott
Основные положения и результаты
Предложен метод решения плоской задачи,
пригодный для тел с прямолинейными и кри-
криволинейными трещинами.
Усталостные трещины развиваются перпен-
перпендикулярно направлению наибольших растя-
растягивающих напряжений
Определение критической температуры хруп-
хрупкости но сериальным испытаниям на удар-
ударный изгиб. Введение понятия хрупкого и:
вязкого отрыва. Работа разрушения (после
максимума нагрузки при испытании на из-
изгиб) с уменьшением темдературы падает бы-
быстрее, чем работа зарождения разрушения
(до максимума нагрузки)
Введение понятия конструкционной прочно-
прочности
Полуобратный метод решения плоской зада-
задачи, пригодный для тел с прямолинейнымд
трещинами
Введение понятий о сопротивлении отрыву
и срезу й схемы, поясняющей различие в
пластичности материала в зависимости от ви-
вида разрушения и напряженного состояния
Разделение всей работы при испытании об-
образца на три основные части: 1) пластиче-
пластической деформации; 2) возникновения очага
разрушения и 3) распространения трещины.
Новые методы испытания для более досто-
достоверной оценки третьей части
Критическое напряжение по Гриффитсу при
растяжении пространства с дисковидной тре-
трещиной
Определение поля напряжений в растянутом
бесконечном теле с дисковидной трещиной
Критерий Гриффитса распространен на слу-
случай квазихрупкого разрушения посредством
добавления затрат энергии на пластическую
деформацию поверхностного слоя трещины
Определение скорости закритического роста
трещины в растянутой плоскости
dt ту I J
(ст — максимально возможпая скорость рас-
распространения трещины в упругой среде)
480
Продолжение
Год
1950
1951
1955
1956
1957
1957—1960
Автор
Г. В. Ужик
J. D. Eshelby
Е. Н. Yoffe
L. Wasiutin-
skie
J. Hult, F. Mac-
Clintock
B. Jl. Ипден-
бом
H. П. Щапов
F. A. MacClin-
tock
Ы. L. Williams
G. R. Irwin
Основные положения и результаты
Создание метода определения сопротивления
отрыву
Расчет силы, действующей на точечную осо-
особенность в упругой среде, с помощью инва-
инвариантного интеграла
Найдено распределение напряжений у вер-
вершины движущейся трещины в плоском теле,
показывающее, что максимальное нормаль-
нормальное напряжение смещается в сторону от на-
направления движения вершины трещины тем
больше, чем, выше скорость движения конца
трещины
Трещины распространяются таким образом,
что они не попадают в зоны релаксации на-
напряжений от соседних трещин
Расчет пластической зоны у вершины трещи-
трещины при продольном сдвиге для полубесконеч-
полубесконечного тела
Изучение кристаллографии разрушения — ог-
огранка ячеек разрушения определяется требо-
требованием максимума поверхностной энергии
при данной степени использования запасов
упругой анергии и при заполнении ячейка-
ячейками всего пространства
Критерий соответствия лабораторного испы-
испытания и эксплуатационного разрушения: вид
излома образца и натуральной детали должен
быть идентичным
Критерий разрушения в виде достижения
деформацией на некотором расстоянии перед
вершиной трещины предельной величины
Представление напряжений у вершины тре-
трещины в виде ряда по степеням расстояния
I от конца трещины
Критерий разрушения в виде достижения
интенсивности напряженного состояния у
вершины трещины предельной величины.
Длина пластической зоны (входящая в «пла-
«пластическую поправку») у вершины трещины
в ее направлении равна
2гу = КЧ(яо12).
Введение механической характеристики Кс —
вязкости разрушения, оценивающей сопро-
сопротивление материала развитию в нем трещи-
трещины при плоском напряженном состоянии, и
Kic — при плоской деформации
481
Продолжение
Год
1958
1959
1960
1961
Автор
Н. F. Bueckner
Г. И. Барен-
блатт,
С. А. Христиа-
нович
М. Я. Леонов,
В. В. Панасюк
D. S. Dugdale
J. L. Sanders
Г. И. Барен-
блатт,
Г. П. Черепа-
Черепанов
В. 3. Партон
Е. М. Морозов,
Я. Б. Фридман
A. A. Wells
Основные положения и результаты
Сведение (на основе принципа суперпози-
суперпозиции) задачи теории трещин к расчету тела
с нагрузкой, действующей на поверхность
трещины
Модель трещины с малой концевой зоной
Формулировка бк-теории разрушения в виде
- 2u(i0, г, р) = 5К,
где v — перемещение точек поверхности тре-
трещины; h — длина реальной трещины (без си-
силового взаимодействия м,ежду берегами тре-
трещины) ; A — ?о) — длина, на которой проти-
противоположные берега трещины притягиваются
некоторым напряжением ао(аобк = 2у); р —
параметр внешней критической нагрузки;
Y — удельная поверхностная энергия
Расчет длины d пластической зоны перед
концом трещины в предположении, что тол-
толщина пластической зоны равна нулю:
1 па
, | j = Cos т;—
l-f-d zaT
Обобщение критерия Гриффитса: скорость, с
которой производится работа внешними си-
силами, действующими на контур С, равна ско-
скорости, с которой возрастает энергия деформа-
деформации, запасенная в объеме, ограниченном С,
плюс скорость, с которой энергия поглощает-
поглощается на создание новой поверхности
Принцип локальной симметрии: трещина рас-
распространяется в направлении оси симметрии
напряженного состояния, измененного в свя-
связи с малым распространением трещины
Доказательство возможности устойчивого
развития трещины и систем трещин в опре-
определенных, диапазонах критических нагрузок.
Введение характеристики прочности, не за-
зависящей от начальной длины трещины
Вариационный принцип теории трещин: тре-
трещина распространяется в направлении опре-
определенного сочетания малого поглощения
энергии Y и большого ее выделения qp
6/(т-ф)^ = о
Пластическое раскрытие вершины трещины
бс как мера локальной пластической дефор-
деформации у вершины трещины и критерий раз-
разрушения в нелинейной механике разруше-
разрушения:
б<бс
482
Продолжение
Год
1962
1963
1964
1966
1967
Автор
P. R. Paris
В. Bilby,
A. Cottrell,
К. Swinden
F. Erdogan
G. С. Sih
Л. Т. Береж-
ницкий,
В. В. Папасюк
Е. М. Морозов,
Я. Б. Фридман
Г. П. Черепа-
Черепанов
В. Cotterell
М. Wnuk
Г. П. Черепа-
Черепанов,
J. Шее
Основные положения и результаты
Определение скорости роста усталостной тре-
трещины dl/dN = САКп, где N — число циклов
нагружения, Д? = Kmaii— ?mm — размах ко-
коэффициента интенсивности напряжения, С в
п — эмпирические величины
Представление трещины в виде непрерывно
распределенных дислокаций
Трещина растет в плоскости, перпендику-
перпендикулярной направлению наибольшего растягива-
растягивающего напряжения. Трещина развивается в
направлении, вдоль которого освобождаю-
освобождающаяся упругая энергия максимальна. Рост
трещины начнется, когда эта энергия достиг-
достигнет критической величины
Начальное направление распространения
трещины совпадает с направлением, вдоль
которого нормальные растягивающие напря-
напряжения достигают мдкеимально возможной
интенсивности
Метод сечений для приближенного расчета
коэффициента интенсивности напряжений.
Предел трещиностойкости /с как характери-
характеристика материала и критерий разрушения в
хрупком и пластическом состояниях: К ^ /г
Энергетический критерий разрушения, осно-
основанный на балансе энергий около вершины
трещины
Коэффициенты ряда в формуле для напряже-
напряжений у вершины трещины определяют (поми-
(помимо критического состояния) устойчивость на-
направления и распространения трещины
Энергетический критерий разрушения джя
дисковидной трещины с пластической зоной
перед ее кромкой
Инвариантный контурный /-интеграл как
мера упругопластического состояния у вер-
вершины трещины и критерий разрушения в
нелинейной механике разрушепия:
В таблипе содержится краткая характеристика основных ре-
результатов работ, имеющих существенное значение для развития
механики разрушения. Список (не претендующий на исчерпыва-
исчерпывающую полноту) ограничен 1967 годом.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андрейкив А. Е. Разрушение квазихрупких тел с трещинами при слож-
сложном напряженном состоянии.— Киев: Наукова думка, 1979.— 144 с.
2. Андрейкив А, Е. Пространственные задачи теории трещин.— Киев: На-
Наукова думка, 1982.— 345 с.
:3. Андрейкив А. Е., Харин В. С. Распределение диффундирующего водо-
водорода в окрестности вершины трещины в деформируемом металле.—
ФХММ, 1982, № 3, с. 113—115.
4. Андрейкив А. Е., Панасюк В. В., Харин В. С. Теоретические аспекты ки-
кинетики водородного охрупчивания металлов.— ФХММ, 1978, № 3, с. 3—23.
5. Бабкин Л. Б., Морозов Е. М. Закритическая скорость распределения
трещины в растянутой полосе.— В кн.: Физика и механика деформации
и разрушения. Вып. 6.— М.: Атомиздат, 1979, с. 9—17.
6. Баблоян А. А. Решение некоторых парных уравнений, встречающихся
в задачах теории упругости.— ПММ, 1967, т. 31, № 2, с. 678—689.
7. Барснблатт Г. Л. Математическая теория равновесных трещин, образую-
образующихся при хрупком разрушении.— ПМТФ, 1961, № 4, с. 3—56.
8. Баренблатт Г. И., Черепанов Г. П. О хрупких трещинах продольного
сдвига.—ПММ, 1961, № 6, с. 1110—1119.
9. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие трансцендентные функции. Функции
Бесселя, функции параболического цилиндра, оргональные многочле-
многочлены.— М.: Наука, 1966.— 295 с.
10. Бейтмен Г., Эрдейн А. Таблицы интегральных преобразований. Т. 1—
М.: Наука, 1969.— 343 с.
11. Березин И. С, Жидков Н. П. Методы вычислений. Т. 2.— М.: Физматгиз,
1962.— 639 с.
12. Бережницкий Л. Т., Делявспий М. В.. Панасюк В. В, Изгиб тонких плас-
пластин с дефектами типа трещин.— Киев: Наукова думка, 1979.— 331 с.
13. Билек 3. Изучение волн напряжений при страгивании трещины мето-
методом конечных элементов.— Проблемы прочности, 1980, № 6, с. 23—25.
14. Бобринский А. П., Марпочев В. М. Кинетика роста усталостных трещин
в стали 15Х2МФА при температуре 290—720 К.— В кн.: Физика и ме-
механика деформации и разрушения. Вып. 10.— М.: Энергоиздат, 1981.-—
с. 11-16.
15. Борисковский В. Г. Анализ коэффициентов интенсивности напряжений
в колеблющейся пластине с трещиной методом конечных элементов.—
ПММ, 1979, т. 43, № 4, с. 763—768.
16. Борисковский В. Г., Партон В. 3. Расчет коэффициента интенсивности
в квадратной пластине с центральной трещиной при вибрационном на-
груженин методом конечных элементов,— В кн.: Совершенствование
конструкций машин и аппаратов химических производств.— М.: МИХМ,
1982, с. 20—22.
17. БороОачев Н. М. Термоупругая задача для бесконечного тела с осе-
симметричной трещиной.— Прикладная механика, 1966, т. 2, № 2,
с. 91—99.
18. Бородачев Н. М. О вдавливании штампа в торец полубесконечного уп-
упругого цилиндра.— Прикладная механика, 1967, т. 3, J\° 9, с. 83—89.
19. Бородачев II. М. Динамическая задача о трещине в случае деформации
продольного сдвига.— Проблемы прочности, 1973, № 4, с. 23—25.
484
20. Бородачев П. М., Кулий М. Я. Обобщение метода плоских сечений для
определения коэффициента интенсивности напряжений.— Проблемы
прочности, 1982, № 2, с. 23—27,
21. Браун У., Сроули Дж. Испытания высокопрочных металлических мате-
материалов на вязкость разрушения при плоской деформации/Пер, с англ.
под ред. Б. А. Дроздовского и Е. М. Морозова.—М.: Мир, 1972.—246 с.
22. Броек Д. Основы механики разрушения.— М.: Высшая школа, 1980.—
368 с.
23. Вайншток В. А. Сравнение двух численных методов расчета коэффици-
коэффициентов интенсивности напряжений.— Проблемы прочности, 1977, № 9,
с. 80—82.
24. Вайншток В. А. Способ численного определения коэффициентов интен-
интенсивности напряжений вдоль траектории трещины.— Проблемы прочно-
прочности, 1979, № 6, с. 40—43.
25. Васильченко Г. С, Кошелев П. Ф. Практическое применение механики
разрушения для оценки прочности конструкций.— М.: Наука, 1974.—
147 с.
26. Василъченко Г. С, Лакеев Б. Н. Прочность вращающихся надрезанных
дисков при квазнхрупком разрушении материала.— ФХММ, 1979, № 1,
с. 78—80.
27. Васильченко Г. С, Ривкин Е. Ю. Опыт расчетов на прочность с исполь-
использованием характеристик механики разрушения.— В кн.: Унификация
методов испытаний металлов на трещиностойкость. Вып. 2.— М.: Изд-
во стандартов, 1982, с. 64—72.
28. Васютин А. Н. Опыт определения предела трещиностойкости материала
для расчета разрушающего напряжения.— В кн.: Унификация методов
испытаний металлов на трещпностойкость. Вып. 2.— М.: Изд-во стан-
стандартов, 1982: с. 59—64.
29. Витвицкий П. М., Леонов М. Я. Полосы скольжения при неоднородной
деформации пластинки.— В кн.: Вопросы механики реального твердого
тела. Вып. 1,— Киев: Изд-во АН УССР, 1962, с. 13—28.
30. Витвицкий П. М., Полина С. Ю. Прочность и критерии хрупкого разру-
разрушения стохастически дефектных тел.— Киев: Наукова думка, 1980.—
186 с.
31. Витвицкий П. М., Панасюк В. В., Ярема С. Я. Пластические деформации
в окрестности трещин и критерий разрушения (обзор).— Проблемы
прочности, 1973, № 2, с. 3—18.
32. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М.: Наука,
1971.— 512 с.
33. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.— М.: Фпзматгпз, 1963.—639 с.
34. Георгиев М. Н. Использование характеристик трещиностойкости для
обоснования выбора материалов и расчета на прочность.— В кн.: Уни-
Унификация методов испытаний металлов на трещиностойкость. Вып. 2.—
М.: Изд-во стандартов, 1982, с. 76—81.
35. Георгиев М, П., Морозов Е. М. Предел трещиностойкостп и расчет на
прочность в пластичном состоянии.— Проблемы прочности, 1979, № 7,
с. 45—48.
36. Георгиев М. П., Морозов Е, М. Вязкость разрушения п размеры пласти-
пластической зоны у вершины трещины.— В кп.: Проблемы разрушения ме-
металлов. Вып. 3,— М.: МДНТП им. Дзержинского, 1980, с. 22—28.
37. Георгиев М. Н., Морозов Е. И. О достоверности определения К1с с по-
помощью /-интеграла.— Заводская лаборатория, 1980, № 3, с. 273—277.
38. Глушков Г. С, Синдеев В. А. Сопротивление материалов.— М.: Высшая
школа, 1965.— 768 с.
39. Голъцев В. Ю., Морозов Е. М. Предел трещиностойкости п несущая спо-
способность листовых материалов с трещинами.— В кн.: Физика и меха-
механика деформации и разрушения конструкционных материалов. Вып.
5.—М.: Атомиздат. 1978, с Л 8—29.
40. Гордеева Т, А., Жегина И. П. Анализ пзломов при оценке надежности
материала.— М.: Машиностроение, 1978.— 200 с,
485
41. Гордон Дж. Почему мы не проваливаемся сквозь иол/Пер, с англ. под
ред. Ю. Н. Работнова,— М.: Мир, 1971.— 272 с.
42. Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и про-
произведений.— М.: Наука, 1971.— 1108 с.
43. Греков М. В. О пластических зонах у вершины трещины при плоской
деформации.— ФХММ, 1978, JVs 5, с. 75—82.
44. Григолюк д. И., Филыитинский Л. А. Перфорированные пластины и обо-
оболочки.— М.: Наука, 1970.— 556 с.
45. Гуревич С. Е., Едидович Л. Д. О скорости распространения трещины и
пороговых значениях коэффициента интенсивности напряжений в про-
процессе усталостного разрушения.— В кн.: Усталость и вязкость разру-
разрушения металлов.— М.: Наука, 1974, с. 36—79.
46. Даль Ю. М. Об оценке размеров пластических зон в пластине у верши-
вершины трещины.—Изв. АН СССР, МТТ, 1970, № 5, с. 114—120.
47. Дашевский Е. М. Решение плоской задачи линейной механики разру-
разрушения численным методом конечных элементов.— В кн.: Численные
методы, алгоритмы и программы,— Труды ЦНИИСК им. Кучеренко.
Вып. 20.—М.: 1971, с. 135—139.
48. Джонсон Г. Влияние среды на разрушение высокопрочных материа-
материалов.— В кн.: Разрушение.— М.: Мир, 1976.— Т. 3, с. 729—775.
49. Диткин В. А., Прудников А. П. Справочник по операционному исчисле-
исчислению.— М,: Высшая школа, 1965.— 466 с.
50. Дроздовский В. А., Маркочев В. М., Фридман Я. В. Диаграммы разру-
разрушения твердых тел.— ДАН СССР, 1967, т. 174, № 4, с. 807—810.
51. Дроздовский Б. А., Морозов Е. М. О двух механических характеристи-
характеристиках, оценивающих сопротивление разрушению.— Заводская лаборато-
лаборатория, 1971, № 1, с. 78—89.
52. Дроздовский Б, А., Морозов Е. М. Методы оценки вязкости разруше-
разрушения.— Заводская лаборатория, 1976, № 8, с. 995—1004.
53. Дроздовский Б. А., Фридман Я. Б. Влияние трещин на механиче-
механические свойства конструкционных сталей.— М.: Металлургиздат, I960,—
260 с.
54. Дроздовский Б. А., Маркочев В. М., Голъцев В. Ю. Диаграммы разру-
разрушения листовых материалов,— В кн.: Деформация и разрушение при
термических и механических воздействиях. Вып. 3.— М.: Атомиздат,
1969, с. 101—114.
55. Екобори Т. Физика и механпка разрушения п прочности твердых тел.—
М.: Металлургия, 1971.— 264 с.
56. Екобори Т. Научные основы прочности и разрушения материалов.—
Киев: Наукова думка, 1978.— 358 с.
57. Ершов Л. В., Ивлев Д. Д. Об условиях квазпхрупкого разрушения.—
ПММ, 1967, №¦ 3, с. 537—542.
58. Журавский А. М. Справочник по эллиптическим функциям.— М.: Ин-
Институт механики АН СССР, 1941.— 235 с.
59. Зенкечич О. К. Метод конечных элементов в технике.— М.: Мир, 1975.—
541 с.
60. Зиновьев Б. М. Один приближенный метод расчета тел с разрезамп.—
В кн.: Механика твердого деформируемого тела и расчет сооружений.—
Новосибирск: Изд. НИЖТ, 1972, с. 105—125. (Труды Новосибирского пн-
та ж. д. транспорта. Вып. 137.)
61. Ивлев Д. Д. О теории трещин квазихрупкого разрушения.— ПМТФ, 1967Т
№ 6, с. 88—128.
62. Инглепд А. Г. Трещина между двумя разными средами.— Прикладная
механика, сер. Е, 1965, т. 32, № 2, с. 165—168.
63. Инденбом В. Л. Некоторые наблюдения за разрушением тел под воздей-
воздействием внутренних напряжений.— В кн.: Некоторые проблемы прочно-
прочности твердо"™ тела.— М.— Л.: Изд-во АН СССР, 1959, с. 357—366.
64. Иоффе А. Ф., Кирпичееа М. В., Левитская М. А.~ Деформация и проч-
прочность кристаллов.— Журнал русского физико-химического общества.
Часть физическая, вып. 56, 1924, с. 489—503.
486
65. Ирвин Дж. Испытание на вязкость трещины материалов, чувствитель-
чувствительных к скорости деформации.— Энергетические машины и установки,
сер. А, 1964, т. 86, № 4, с. 71—80.
66. Каминский А. А. О медленном росте трещин в вязко-упругих телах.—
ДАН УССР. Сер. А, 1975, № 5, с. 424—427.
67. Каминский А. А. Докритический рост трещины с немалой пластической
зоной в вязко-упругой среде.— Прикладная механика, 1978, № 10,
с. 82—89.
€8. Каминский А. А. О долговечности вязко-упругих тел с трещинами.—
ДАН СССР, 1979, т. 248, № 4, с. 819—821.
69. Каминский А. А. Докритический рост трещин в вязко-упругих телах
при переменных нагрузках.— Прикладная механика, 1980, № б, с. 71—78.
70. Каминский А. А, Исследования в области механики разрушения вязко-
упругих тел,— Прикладная механика, 1980, № 9, с. 3—26.
71. Каминский А. А. Механика разрушения вязко-упругих тел.— Киев: На-
укова думка, 19S0.— 160 с.
72. Каминский Л, А. Хрупкое разрушение вблизи отверстий.— Киев: Нау-
кова думка, 19S2.— 158 с.
73. Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего ана-
анализа.— М.: Физматгиз, 1962.— 708 с.
74. Карзов Г, П., Леонов В. П., Тимофеев Б. Т. Сварные сосуды высокого
давления.— Л.: Машиностроение, 1982.— 287 с,
75. Карман К. М., Армиенто Д. Ф., Маркус X. Связь ударной вязкости с ра-
рабочими параметрами сосудов давления.— Энергетические машины и ус-
установки, сер. А, 1964, т. 86, № 4, с. 100—109.
76. Карпов Г. Н. Задачи конструкционного торможения трещин. Авторефе-
Автореферат канд. дис...— М.: МИХМ, 19S2.— 16 с.
77. Карпов Г. Н., Курносое Н. В., Партон В. 3. О применении метода потен-
потенциала к двумерным задачам упругого равновесия области с нерегуляр-
нерегулярной границей.—Проблемы прочности, 1982, № 7, с. 3—5.
78. Кит Г. С, Подстригай Я. С. Плоское температурное поле в бесконечном
теле с инородным цилиндрическим включением.— Пнж.-физ. журнал,
1966, т. 11, № 3, с. 338—344.
79. Кит Г. С, Хай М. В. Интегральные уравнения пространственных задач
теплопроводности для тел с трещинами.— ДАН УССР. Сер. А, 1975, Л° 8,
с. 704—707.
80. Кит Г. С, Хай М. В. Интегральные уравнения пространственных задач
термоупругости для тел с трещинами.— ДАН УССР. Сер. А, 1975, № 12,
с. 1108—1112.
81. Кишкина С. И. Сопротивление разрушению алюминиевых сплавов.— М.:
Металлургия, 1981.— 280 с.
82. Коваленко А. Д. Основы термоупругости.— Киев: Наукова думка, 1970.
83. Колачев Б. А., Мальков В. И., Седов В: И. Применение линейной меха-
механики разрушения при изучении водородной хрупкости титановых спла-
сплавов,— ФХММ, 1975, № 6, с. 7—12.
84. Колосов Г. В. Об одном приложении теории функций комплексного пе-
переменного к плоской задаче математической теории упругости.— Юрь-
Юрьев: Типогр. Маттпсена, 1909.— 187 с.
85. Корнилов Г. И., Ярема С. Я. Плоские образцы с трещиновидным кон-
концентратом для экспериментального исследования полос пластичности.—
В кн.: Вопросы механики реального твердого тела. Вып. 1.— Киев: Изд-
во АН УССР, 1962, с. 29—36.
86. Костров Б. В. Осесимметрпчная задача о распространении трещины
нормального разрыва.— ПММ, 1966, т. 28, № 4, с. 644—652.
87. Костров В. В. Неустановившееся распространение трещины продольно-
продольного сдвига.— ПММ, 1966, т. 28, № 6, с. 1042—1049.
88. Костров Б. В. Распространение трещин с переменной скоростью.— ПММ,
1974, т. 38, № 3, с. 551—560.
89. Костров Б. В., Никитин Л. В., Флитман Л. М. Механика хрупкого раз-
разрушения.— Изв. АН СССР, МТТ, 1969, № 3, с. 112—125.
487
90. Красовский А. Я. Хрупкость металлов при низкпх температурах.— Ки-
Киев: Наукова думка, 1980.— 337 с.
91. Красовский А, Я., Вайншток В. А. Критерий разрушения материалов,
учитывающий вид напряженного состояния у вершины трещины.—
Проблемы прочности, 1978, № 5, с. 64—69.
92. Круз Т. Метод граничных интегральных уравнений в механике разру-
разрушения.— В кн.: Метод граничных интегральных уравнений.— М.: Мир,
1978, с. 46—67.
93. Кудрявцев В. А. Квазистационарная задача термоупругостя для плос-
плоскости с полубесконечным разрезом.— В кн.: Динамика сплошной среды.
Вып. 6.— Новосибирск: Институт гидродинамики СО АН СССР, 1970,
с. 24—31.
94. Кудрявцев В. А. Осесимметричная задача термоупругостп для цилинд-
цилиндра с разрезом.— ПМТФ, 1971, № 6, с. 154—158.
95. Кудрявцев В. А. Механика пьезоэлектрических материалов.— В кн.:
Механика деформируемого твердого тела.— М.: ВИНИТИ, 1978, с. 5—66.
(Итоги науки и техники, т. 11.)
96. Кудрявцев В. А., Партон В, 3. Дуальные тригонометрические ряды в за-
задачах о щелях и штампах.— ПММ, 1969, т. 33, № 5, с. 844—849.
97. Кудрявцев Б. А., Партон В. 3. Квазистатическая температурная зада-
задача для плоскости с разрезом.— Проблемы прочности, 1970, № 2, с. 46—
51.
98. Кудрявцев В. А., Партон В. 3. Первая основная задача теории упруго-
упругости для двоякопериодической системы разрезов.— В кн.: Механика
сплошных сред и родственные проблемы анализа.— М.: Наука, 1972,
с. 251-258.
99. Кудрявцев В. А., Партон В. 3. Кручение и растяжение цилипдра с
внешним кольцевым разрезом.— ПММ, 1973, т. 37, № 2, с. 316—325.
100. Кудрявцев Б. А., Партон В. 3. Магпитотермоупругость.—В кн.: Механи-
Механика деформируемого твердого тела.— М.: ВИНИТИ, 1981, с. 3—59. (Итоги
науки и техники, т. 14.)
101. Кудрявцев Б. А., Паргон В. 3. Об установившихся колебапиях в элект-
электроупругости.— В кн.: Современные проблемы механики и авиации.—
М.: Машиностроение, 1982, с. 159—172.
102. Кудрявцев В. А., Ракитин В. И. Трещина Гриффптса в пьезоэлектриче-
пьезоэлектрической среде.— Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 1, с. 125—132.
103. Кудрявцев Б. А., Морозов Е. М., Партон В. 3. К расчету траекторий
криволинейных трещин.— Инж. журнал, МТТ, 1968, № 3, с. 185—187.
104. Кудрявцев В. А., Партон В. 3., Ракитин В. И. Механика разрушения
пьезоэлектрических материалов. Прямолинейная туннельпая трещина
на границе с проводником.— ПММ, 1975, т. 39, № 1, с. 149—159.
105. Кудрявцев В. А., Партон В. 3., Ракитин В. И. Механика разрушения
пьезоэлектрических материалов. Осесимметричная трещина на границе
с проводником.— ПММ, 1975, т. 39, № 2, с. 352—362.
106. Кудрявцев Б. А., Партон В. 3., Рубинский Б, Д. Магнитотермоупругое
поле в теле с полубесконечным разрезом.— ПММ, 1980, т. 44, № 5,
с. 916—922.
107. Кудрявцев В. А., Партон В. 3., Рубинский Б. Д. Электрическое и термо-
термоупругое поле в проводящей пластипке с разрезом конечной длины.—
Изв. АН СССР, МТТ, 1982, № 1, с. 110—118.
108. Кудрявцев Б. А., Партон В. 3., Черепанов Г. П. Упруго-пластическая
задача для плоскости с прямолинейными щелями.— Изв. АН СССР,
МТТ, 1969, т. 33, № 3, с. 174—176.
109. Кудряшов В. Г. Вязкое и хрупкое разрушение.— В кн.: Металловедение
и термическая обработка.— М.: ВИНИТИ, 1978, с. 27—85. (Итоги науки
и техники. Т. 12.)
110. Кудряшов В. Г., Смоленцев В. И. Вязкость разрушения алюминиевых
сплавов.— М.: Металлургия, 1976.— 296 с.
111. Кузгинов В. И., Морозов Е. М. Определение вязкости разрушения на об-
образцах с поверхностной трещиной.— ФХММ, 1976, № 6, с. 21—23.
488
112. Кулиев В. Д., Каплун А. Б. Трещина продольного сдвига в кусочно-од-
кусочно-однородной упругой среде,— Механика композитных материалов, 1981,
№ 4, с. 579—584.
ИЗ. Куркин С. А., Сильвестров Ю. Г. Оценка сопротивления разрушению
стенки трубы или сосуда от сквозного надреза.— Изв. вузов, Машино-
Машиностроение, 1976, № 12, с. 19—23.
114. Куров О. В., Мелехов Р. К. О потенциале и рН в вершине развивающей-
развивающейся коррозионной трещины.— Защита металлов, 1979, т. 15, № 3, с. 314—
316.
115. Лакеев Б. Н., Василъченко Г. С, Мотуэенко А. И. Исследование несу-
несущей способности вращающегося диска с трещиной из титанового спла-
сплава средней прочности.—ФХММ, 1978, № 3, с. 100—104.
116. Леонов М. Я. Элементы теории хрупкого разрушения.— ПМТФ, 1961,
№ 3, с. 85—92.
117. Леонов М. Я. Мехапика деформаций и разрушения.— Фрунзе: Илим,
1981.— 236 с.
118. Леонов М. Я., Панасюк В. В. Развпток найдр1бншглх тршгян в твердому
тш.— Прикладная механика, 1959, т. 5, Д° 4, с. 391—401.
119. Леонов М. Я., Витвицкий П. М., Ярема С. Я. Полосы пластичности при
растяжении пластин с трещиновидным концентратором.— ДАН СССР,
1963, т. 148, № 3, с. 541—544.
120. Лурье А. И. Теория упругости.— М.: Наука, 1970.— 940 с.
121. Любимов А. К. К возможности решения задачи о движении равновес-
равновесной трещины.— В кн.: Методы решения задач упругости и пластично-
пластичности. Вып. 8.— Горький: ГГУ, 1974, с. 36—42.
122. Ляв А. Математическая теория упругости.— М.: ОНТИ, 1935.— 674 с.
123. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов/Пер, с
англ. под ред. Б. М. Струнина и Е. М. Морозова.— М.: Мир, 1970.—
443 с.
124. Макклинток Ф. А., Ирвин Дж. Р. Вопросы пластичности в механике раз-
разрушения.— В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения.— М.:
Мир, 1968, с. 143—186.
125. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье.— М.: ИЛ,
1953.— 475 с.
126. Максудов Ф. Г., Искендер-заде Ф. А., Кулиев В. Д. К проблеме разру-
разрушения биупругой среды.— ДАН СССР, 1982, т. 264, № 6, с. 1349—1352.
127. Маричев В, А. Ветвление трещин при коррозионном растрескивании
высокопрочных материалов.— ФХММ, 1975, N° 2, с. 14—17.
128. Маричев В. А., Розеифелъд И. Л. Современное состояние исследований
в области коррозионного растрескивания высокопрочных материалов.—
В кн.: Коррозия и защита от коррозии.— М.: ВИНИТИ, 1978, с. 5—41.
(Итоги науки и техники, т. 7.)
129. Маричев В. А., Розенфелъд И. Л., Лунин В. В. Субкритическпй рогт
трещин в титановых сплавах на воздухе.— Защита металлов, 19S0, № 1,
с. 14—20.
130. Маркочев В. М. Экспериментальные методы псследовапия процессов
разрушения.— М.: МИФИ, 1982.— 94 с.
131. Маркочев В. М., Морозов Е. М. О критериях достоверности эксперимен-
экспериментального определения вязкости разрушения.— ФХММ, 1976. № 2, с. 21 —
23.
132. Маркочев В. М., Морозов Е. М, Метод разгрузки в экспериментальной
механике разрушения.— ФХММ, 1978, № 1, с. 12—22.
133. Маркочев В. М., Морозов Е. М. Работа разрушения и работа пластиче-
пластической деформации в испытаниях на вязкость разрушения.— ФХММ, 1978,
№ 6, с. 71—74.
134. Маркочев В. Л/., Морозов Е. М. Условия целесообразности определения
вязкости разрушения.— Заводская лаборатория, 1980, № 3, с. 258—261.
135. Маркочев В. М., Морозов Е. М. Энергетические соотношения при дефор-
мированип образца с трещиной.— Проблемы прочпости, 1980, № 5,
с. 66—70.
32 в. 3, Партон, Е. М. Морозов 489
136. Маркочев В. М., Морозов Е. М. Энергетические соотношения при дефор-
деформировании образца с трещиной.— Проблемы прочности, 1982, № 4,
с. 60—64
437. Маркочев В. М., Морозов Е. Ы. Предел трещиностойкости в системе кри-
критериев прочности тел с трещинами.— В кн.: Исследование хрупкой
прочности строительных металлических конструкций.— М.: ЦНИЙПро-
ектстальконструкция, 1982, с. 102—112.
138. Маркочев В. М. Морозов Е, М., Москвичев В. В. Особенности экспери-
экспериментального определения величины /-интеграла как характеристики
трещиностойкостп при упругопластичном разрушении.— В кн.! Унифи-
Унификация методов испытаний металлов на трещиностойкость. Вып. 2.— М.:
Изд-во стандартов, 1982, с. 37—43.
139. Марк у зон И. А. Обратная задача теории равновесных трещин.—ПМТФ,
1961, № 6, с. 93—98.
140. Махутов Н. А. Сопротивление элементов конструкций хрупкому разру-
разрушению.— М.: Машиностроение, 1973.— 200 с.
141. Махутов Н. Л. Деформационные критерии разрушения и расчет элемен-
элементов конструкций на прочность.— М.: Машиностроение, 1981.— 272 с.
142. Махутов Н. А., Морозов Е. М. Методы испытаний в механике разруше-
разрушения.— Заводская лаборатория, 1982, № 2, с. 105—109.
143. Махутов Н. А., Москвичев В. В. Достоверность характеристик трещино-
трещиностойкости при испытаниях цилиндрических образцов с кольцевой тре-
щипой.— ФХММ, 1979, № 5, с. 70—77.
144. Методические указания. Расчеты и испытания на прочность в машино-
машиностроении. Методы механических испытаний металлов. Определение ха-
характеристик вязкости разрушения (трещиностойкости) при статиче-
статическом нагружепии. РД 50—260—81.— М.: Изд-во стандартов,1982.—56 с.
145. Методические указания. Расчеты и испытания на прочность. Методы
механических испытаний металлов. Определение характеристик вязко-
вязкости разрушения (трещиностойкостп) при динамическом нагружении.
РД 50—344—82.— М.: Изд-во стандартов, 1983.— 52 с.
146. Методические указания. Расчеты и испытания на прочность. Методы
механических испытаний металлов. Определение характеристик сопро-
сопротивления развитпю трещины (трещиностойкости) при циклическом на-
нагружении. РД 50—345—82.—М.: Изд-во стандартов, 1983.—96 с.
147. Методы испытания, контроля и исследования машиностроительных ма-
материалов. Т. 2./Под ред. А. Т. Туманова.— М.: Машиностроение, 1974.—
320 с.
148. Микляев П. Г., Нешпор Г. С, Кудряшов В. Г. Кинетика разрушения.—
М.: Металлургия, 1979.— 280 с.
149. Морозов Е. М. Вариационный принцип в механике разрушения.— ДАН
СССР, 1969, т. 184. № 6, с. 1308—1311.
150. Морозов Е. М. Энергетическое условие роста трещин в упругопластиче-
ских телах.— ДАН СССР, 1969, т. 187, № 1, с. 57—60.
151. Морозов Е, М. О расчете на прочность по стадии разрушения.— В кп.:
Деформация и разрушение при термических и механических воздей-
воздействиях. Вып. 3.— Атомиздат, 1969, с. 87—90.
152. Морозов Е, М. Некоторые методы решения динамических задач в тео-
теории трещин.— В кн.: Деформация и разрушение при термических и ме-
механических воздействиях. Вып. 3.— М.: Атомиздат, 1969, с. 141—147.
153. Морозов Е. М. Метод сечений в теории трещин.— Изв. вузов. Строи-
Строительство и архитектура, 1969, Л» 12, с. 57—63.
154. Морозов Е. М. Об одном обобщении бк-теории трещин.— Прикладная
механика, 1970, т. 6, № 4, с. 128=—131.
155. Морозов Е. М. О соответствии между энергетическим критерием разру-
разрушения и математическим моделированием явлений деформаций в конце
разресов-трещин.— ПММ, 1970, т. 34, № 4, с 768—776.
156. Морозов Е. М. Распространение трещин в упругопластическом и наслед-
ственноупругом телах.— В кн.: Механика деформируемых тел и кон-
конструкций.— М.: Машиностроение, 1975, с. 304—312.
490
157. Морозов Е. М. Расчет на прочность при наличии трещин.— В кн.: Проч-
Прочность материалов и конструкций.— Киев: Наукова думка, 1975, с. 323—333.
158. Морозов Е. М. Введение в механику развития трещин.— М.: МИФИ,
1977— 91 с.
159. Морозов Е. М. Метод расчета статической траектории трещины.— В кн.:
Физика и механика деформации и разрушения конструкционных мате-
материалов. Вып. о.— М.: Атомиздат, 1978, с. 67—75.
160. Морозов Е. М. Об одной возможности расчета траектории трещины.—
В кн.: Физика и механика деформации и разрушения. Вып. 10.— М.:
Энергоиздат, 1981, с. 60—61.
1С1. Морозов Е. М. Расчет диаграмм усталостного разрушения с учетом
эффективного коэффициента интенсивности напряжений.— В кн.: Фи-
Физика и механика деформации и разрушения. Вып. 10.— М.: Энергоиз-
Энергоиздат, 1981, с. 02—68.
162. Морозов Е. М. Расчет на прочность конструкционных элементов с тре-
трещинами.— М.: Машиностроение, 1982.— 48 с.
163. Морозов Е. М. Понятие предела трещиностойкости и возможности его
использования при расчетах на прочность.— В кн.: Унификация мето-
методов испытаний металлов на трещиностойкость. Вып. 2.— М.: Изд-во
стандартов, 1982, с. 51—54.
164. Морозов Е. М. Продел трещиностойкости в нелинейной механике раз-
разрушения.— В кн.: Современные проблемы механики и авиации.— М.:
Машиностроение, 1982, с. 203—215.
165. Морозов Е. М., Никишков Г. П. Метод конечных элементов в механике
разрушения.— М.: Наука, 1980.— 254 с.
166. Морозов Е. М., Никишков Г. П. Применение метода конечных элемен-
элементов в механике разрушения.— ФХММ, 1982, № 4, с. 13—29.
167. Морозов Е. М., Йартон В. 3. Применение вариацпоипого принципа в за-
задачах теории трещин.— Ишк. журнал, МТТ, 1968, № 2, с. 173—177.
168. Морозов Е. М., Партон В. 3. Об одном обосновании критерия Ирвина
на конце трещины,— Инж. журнал, МТТ, 1968, № 6, с. 147—152.
169. Морозов Е. М., Партон В. 3. Некоторые задачи механики разрушения
для плоскости с разрезами.— В кн.: Прочность и деформация материа-
материалов в физических полях. Вып. 2.— М.: Атомиздат, 1968, с. 272—275.
170. Морозов Е. М., Партон В. 3. О скорости закритического распростране-
распространения трещпны.— МТТ, 1971, № 4, с. 174—176.
171. Морозов Е. М., Полак Л. С. Об энергетических критериях разрушения.—
В кн.: Прочность и деформация материалов в неравномерных физиче-
физических полях. Вып. 2.— М.: Атомиздат, 1968, с. 254—259.
172. Морозов Е. М., Сапунов В. Т. Развитие трещин в упруго-пластическом
тело.— В кн.: Деформация и разрушение при термических и механиче-
механических воздействиях. Вып. 3.— М.: Атомиздат, 1969, с. 49—58.
173. Морозов Е. М., Сапунов В. Т. О кривых сопротивления разрушению.—
ФХММ. 1972, № 4, с. 71—74.
174. Морозов Е. М., Сапунов В. Т. Применение вариационного принципа к
решению задач теории трещин в упруго-вязких средах.— Прикладная
механика, 1972, т. 8, № 6. с. 33—38.
175. Морозов Е, М., Сапунов В. Т. О расчете дпаграмм разрушения,— ПМТФ,
1973, Л 2. с. 172—176.
176. Морозов Е. М., Сапунов В, Т. Докритический рост трещипы,— В кн.:
Материалы атомной техники. Вып. 1.— М.: Атомиздат, 1975, с. 76—82.
177. Морозов Е. М., Сапунов В, Т. Об одном методе расчета линии распрост-
распространения трещины.— В кн.: Материалы атомной техники. Вып. 1.— М.:
Атомиздат, 1975, с. 82—86.
178. Морозов Е. М., Сапунов В. Т. Некоторые методы расчета траектории тре-
трещины.— В кн.: Физика и механика деформации и разрушения. Вып. 8.—
М.: Атомиздат, 1980, с. 62—71.
179. Морозов Е. М., Фридман Я. Б. Траектории трещин хрупкого разрушения
как геодезические линии на поверхности тела.— ДАН СССР, 1961, т. 139,
№•1. с. 87—90.
32* 491
180. Морозов Е. М., Фридман Я. Б. Анализ трещин как метод оценки харак-
характеристик разрушения.— Заводская лаборатория, 1966, № 8, с. 977—984.
181. Морозов Е. Ы., Фридман Я. Б. Некоторые закономерности в теории тре-
щип.— В кн.: Прочность и деформация материалов в неравномерных фи-
физических полях. Вып. 2.— М.: Атомнздат, 1968, с. 216—253.
182. Морозов Е. М., Фридман Я. Б., Полак Л. С. О вариационных принципах
развития трещин в твердых телах,—ДАН СССР, 1964, т. 156, № 3,
с. 537—540.
183. Морозов Е. М., Черныш Т. А., Воробьева Л. Ю. МКЭ-расчет коэффици-
коэффициента интенсивности напряжений для ДКБ-образцов.— В кп.: Прочность
и долговечность материалов и конструкций атомной техники.— М.: Энер-
гоатомиздат, 1982, с. 72—75.
184. Морозов Н. Ф. Математические вопросы механики трещин.— М.: Наука,
1984.— 256 с.
185. Морозова Е. А., Партон В. 3. О влиянии подкрепляющих робер на рас-
распространение трещин.— ПМТФ, 1961, № 5, с. 112—114.
186. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения.— М.: Физ-
матгиз, 1962.—599 с.
187. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической тео-
теории упругости.-— М.: Наука, 1966.— 707 с.
188. Мухамедиев Ш. А., Никитин Л, В., Юнга С. Л. Применение модифици-
модифицированного метода локальных вариаций к задачам нелинейной механики
разрушения,— Изв. АН СССР, МТТ, 1976, № 1, с. 76—83.
189. Натанзон В, Я. О напряжениях в растягиваемой пластпне, ослабленной
отверстиями, расположенными в шахматном порядке.— Математнч. сб.,
1935, т. 42, № 5, с. 617—636.
190. Нейоер Г. Концентрация напряжений/Пер, с нем. под ред. А. И. Лурье.—
М.: Гостехиздат, 1947.— 204 с.
191. Никишков Г. П., Вайншток В. А. Метод виртуального роста трещины
для определения коэффициентов интенсивности напряжений Ki и
Кц.— Проблемы прочности, 1980, JV° 6. с. 26—30.
192. Нипифорчин Г. П., Студент А. 3. Использование нелинейпой механики
разрушения для оценки сопротивления росту коррозионных трещин.—
В кн.: Методы и средства оценки трещиностойкости конструкционных
материалов.— Киев: Наукова думка, 1981, с. 258—262.
193. Нобл Б. Применение метода Винера — Хопфа для решения дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных.— М.: ИЛ, 1962.— 279 с.
194. Новацкий В. Теория упругости.— М.: Мир, 1975.— 872 с.
195. Новожилов В, В. О необходимом и достаточном критерии хрупкой проч-
прочности.—ПММ, 1969, т. 33, № 2, с. 212—222.
196. Новожилов В. В. К основам теории равновесных трещин в хрупких те-
телах.— ПММ, 1969, т. 33, № 5, с, 797—812.
197. Новые методы оценки сопротивления металлов хрупкому разрушению/
/Пер. с англ. под ред. Ю. Н. Работнова.— М.: Мир, 1972.— 439 с.
198. Нотт Дж. Основы механики разрушения.— М.: Металлургия, 1978,—
25C с,
199. Об условии в конце трегциньт/Галпн Л. А., Фридман Я. В.. Черепа-
Черепанов 'Г. П., Морозов Е. М., Партоа В. 3.— ДАН СССР, 1969, т. 187, Д° 4,
с. 754—757.
200. О влиянии газообразного водорода на трещиностойкость и характер
разрушения стали 40Х/Чапля М. Э.. Сморода Г. П., Зима М. Н., Ха-
рин В. С.— В кн.: Материалы IX конф. молодых ученых ФМИ АН УССР,
Секция фпз.-хпм. механики полимеров.— Львов, 1979, Депопир.
ВИНИТИ, № 4423—80 деп., с 208—210.
201. О двух особенностях оценки коррозионной трещиностойкости конструк-
конструкционных сплавов/Романив О. Н., Ннкифорчин Г. Н., Студент А. 3.. Ци-
рулышк А. Т.— ФХММ, 1982. № 1, с. 35—37.
202. О локальной пластической зоне вблизи конца щели/Кудрявцев Б. А.,
Партон В. 3.. Песков Ю. А., Черепанов Г. П.— Изв. АН СССР, МТТ, 1970,
№ 1, с. 61—64.
492
203. О локальной пластической зсше вблизи конца щели: Плоская деформа-
деформация/Кудрявцев Б. А., Партон В. 3., Песков Ю. А., Черепанов Г. П.—
Изв. АН СССР, МТТ, 1970, Лг 5, с. 132—138.
204. Определение /^-тарировки для деталей сложной формы/Георгиев М. Н.,
Межова Н. Я., Минаев В. Н., Морозов Е. М.— ФХММ, 1980, № 3, с 110.
205. Оценка материалов по их способности к торможению разрушения/Фрид-
разрушения/Фридман Я. Б., Зилова Т. К., Дроздовский Б. А., Гордеева Т. А.— Заводская
лаборатория, 1907, № 10, с. 1316—1328.
206. Оценка механических характеристик с учетом кинетики деформации и
разрушения/Фридман Я. Б., Зилова Т. К., Дроздовский Б. А., Петрухи-
на Н. И.— Заводская лаборатория, 1960, № 11, с. 1267—1283.
207. Оценка сопротивления развитию трещин в сварных соединениях из
теплоустойчивой стали при длительном статическом нагрушеяии в кор-
коррозионной среде/Андрусив Б. Н., Никифорчин Г. Н., Тимофеев Б. Т.,
Федорова В. А.— В кн.: Вопросы судостроения, сер. Сварка, выл. 33,
1982, с. 16—22.
208. Оценка эффекта закрытия усталостных трещин/Никифорчин Г. Н.,
Андрусив Б. Н., Вольдемаров А. В., Куцын М. А.— ФХММ, 1982, № 5,
с. 100—102.
,209. Панасюк В. В. Предельное равновесие хрупких тел с трещинами.—
Киев: Наукова думка, 1968.— 246 с.
210. Панасюк В. В., Бережницкий Л. Т. Определение предельных усилий
при растяжении пластины с дугообразной трещиной.— В кн.: Вопросы
механики реального твердого тела. Вып. 3.— Киев: Наукова думка,
1964, е. 3—19.
211. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Ковчик С. Е. Методы оценки трещино-
стойкости конструкционных материалов.— Киев: Наукова думка, 1977.
212. Панасюк В. В., Андрейкив А. Е., Харин В. С. Теоретический анализ ро-
роста трещин в металлах при воздействии водорода.— ФХММ, 1981, № 4,
с. 61—75.
213. Панасюк В. В., Ратыч Л. В., Дмытрах И. Н. К вопросу определения
электрохимического состояния в развивающейся трещине при исследо-
исследовании трещпностойкости материала в коррозионной среде.— ФХММ,
1982, № 3, с. 42—49.
214. Панасюк В. В., Савруп М. П., Дацышин А. П. Распределение напряже-
напряжений около трещины в пластинках и оболочках.— Киев: Наукова думка,
1976.— 445 с.
215. Парис П., Си Дж. Анализ напряженного состояния около трещины.—
В кн.: Прикладные вопросы вязкости разрушения.-— М.: Мир, 1968,
с. 64—142.
216. Партон В. 3. Об одной оценке взаимного упрочнения трещин при их
шахматном расположении.— ПМТФ, 1965, № 5, с. 94—67.
217. Партон В, 3. Осесимметричная задача теорип консолидации насыщен-
насыщенных жидкостью пористых сред.— ДАН СССР, 1965, т. 160, № 4, с. 785—
788.
218. Партон В. 3. Вариационный принцип п его применение к решению ста-
статических задач механики разрушения.— Проблемы прочности, 1970,
№ 1, с. 50—55.
219. Партон В. 3. Задачи взаимодействия п инерционный эффект в механике
разрушения.— Проблемы прочности, 1970, Л° 1, с. 55—63.
220. Партон В. 3. Осеснмметричная температурная задача для пространства
с дискообразной трещиной,— ПММ. 1972, т. 36, № 1, с. 117—124.
221. Партон В. 3. Плоская задача об установившихся колебаниях для поло-
полосы с разрезом.— В кн.: Прикладная математика и механика.—Тр.
МИХМ, № 45.— М.: МПХМ, 1973. с. 84—92.
222. Партон В. 3. Механика разрушения.— Наука и жизнь, 1974, № 12,
с. 51—59.
223. Партон В. 3., Борисковский В. Г. Динамическая механика разруше-
разрушения.— В кн.: Механика деформируемого твердого тела.— М.: ВИНИТИ,
1984, с. 1—82. (Итоги науки и техники, т. 16.)
493
224. Партон В. 3., Кудрявцев Б. А. Динамическая задача для плоскости с
разрезом.— ДАН СССР, 1969, т. 135, с. 541—544.
225. Партон В. 3,, Кудрявцев Б. А. Контакная задача механики деформации
пористых вязко-упругих сред.— В кн.: Проблемы механики твердого
тела,— Л.: Судостроение, 1970, с. 329—339.
226. Партон В. 3., Кудрявцев Б. А. Об одном приеме решения задач о тре-
трещине и штампе в моментной теории упругости.— Проблемы прочности,
1971, № 3, с. 78—81.
227. Партон В. 3., Кудрявцев В. А. Динамическая антиплоская задача для
пьезоэлектрической среды.— В кн.: Теория функций, прикладная ма-
математика и механика.— Труды МИХМ, вып. 56.— М.: МИХМ, 1974,
с, 3—13.
228. Партон В. 3., Кудрявцев Б. А. Динамическая задача механики разруше-
разрушения для плоскости с включением.— В кн.: Механика деформируемых тел
и конструкций.— М.: Машиностроение, 1975, с. 379—384.
229. Партон В. 3., Кудрявцев Б. А. Механика разрушения при паличии
электромагнитных полей.— ФХММ, 1982, N° 5, с. 3—15.
230. Партон В. 3., Морозов Е. М. Механика ynpyro-пластпческогэ разруше-
разрушения.— М.: Наука, 1974.— 416 с.
231. Партон В. 3., Перлин П. И. Интегральные уравнения теории упруго-
упругости.— М.: Наука, 1977.— 312 с.
232. Партон В. 3., Перлин П. И. Методы математической теории упругости.—
М.: Наука, 1981.— 688 с.
233. Партон В. 3., Кудрявцев Б. А., Рубинский Б. Д. Распространение тре-
трещины под действием электромагнитного поля.— ДАН СССР, 1930, т. 250,
№ 5, с. 1096—1100.
234. Партон В. 3., Седов Л. И., Черепанов Г. П. Моделирование явлений раз-
разрушения в твердых телах.— В кн.: Избранные проблемы прикладной
механики.— М.: ВИНИТИ, 1974, с. 543—55S.
235. Партон В. 3., Черепанов Г. П. Механика разрушения.—В кн.: Механи-
Механика в СССР за 50 лет.— М.: Наука, 1972, с. 365—467.
236. Перлин П. И. Применение регулярных представлений сингулярных ин-
интегралов к решепию уравнений второй основной задачи теории упруго-
упругости.— ПММ, 1976, т. 40, № 2, с. 366—371.
237. Писаренко Г. С, Науменко В. П., Волков Г. С. Определение трещино-
стойкости материалов на основе энергетического контурного интегра-
интеграла.— Киев: Наукова думка, 1978.— 124 с.
238. Пгдстригач Я. С. Умови теплового контакту твердих ил.— ДАН УССР,
сер. A., J963, № 7, с. 872—874.
239. Подстригая Я. С. Температурные поля в системе твердых тел, сопря-
сопряженных с помощью тонкого промежуточного слоя.— Инж. физ. журнал,
1963, т. 7, № Ю, с. 76—83.
240. Положий Г. П. Уравнения математической физики.— М.: Высшая шко-
школа, 1964.— 559 с.
241. Пригоровский Н. П., Злочевский А. Б., Маркочев В. М. Исследование
процессов деформирования и разрушения при механических испытани-
испытаниях.— Заводская лаборатория, 1982, № 2, с. 96—105.
242. Прикладные вопросы вязкости разрушепня/Пер. с англ. под ред.
Б. А. Дроздовского.— М.: Мир, 1968.— 552 с.
243. Работное Ю. П. Механика твердого тела и пути ее развития.—Изв.
АН СССР. Мех. и машиностр., I960, № 2.
244. Работное Ю. Н. Ползучесть элементов конструкций.— М.: Наука, 1966.—
752 с.
245. Работное Ю. Н. Элементы наследственной механики твердых тел.— М.:
Наука, 1977.— 383 с.
246. Работное Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела.— М.: Наука,
1979.—744 с.
247. Разрушение. ТТ. 1—7/Под ред. Г. Либовица. Т. 1.— М.: Мир, 1973.— 616 с,
т. 2.— М.: Мир, 1975.— 764 с; т. 3.— М.: Мпр, 1976.— 797 с; т. 4.— М.:
Машиностроение, 1977.— 400 с; т. 5.— М.: Машиностроение, 1977.—
494
463 с; т. 6.— М.: Металлургия, 1976.— 496 с; т. 7.— М.: Мир, 1976; ч. I—
633 с; ч. И— 469 с.
248. Райе Дж. Независящий от пути интеграл и приближенный анализ
концентрации деформаций у вырезов и трещин.— Прикладная механи-
механика, сер. Е, 196S. т. 35, Jns 4, с. 340—349.
249. Райе Дж. Математические методы в механике разрушения.— В кн.: Раз-
Разрушение. Т. II.— М.: Мир, 1975, с. 204—335.
250. Ребиндер П. Л. О влиянии изменения поверхностной энергии на стой-
стойкость, твердость и другие свойства.— В кн.: Материалы VI съезда рус-
русских физиков.— М.: Госиздат, 1928, с. 3—14.
251. Розовский М. И. О некоторых особенностях упруго-наследственных
сред.—Изв. АН СССР. Мех. и машиностр., 1961, № 2, с. 30—36.
252. Романив О. Н. Вязкость разрушения конструкционных сталей.— М.: Ме-
Металлургия, 1979.— 176 с.
253. Романив О. Н., Ткач А. Н. Микромеханическое моделирование вязкости
разрушения металлов и сплавов.—ФХММ, 1977, № 5, с. 5—22.
254. Романив О. Н., Никифорчин Г. Н., Деев Н. А. Кинетические эффекты
в механике замедленного разрушения высокопрочных сплавов.—
ФХММ, 1976, № 4, с. 9—24.
255. Романив О. П., Никифорчин Г, Н., Кукляк Н. Л. К вопросу об адсорбци-
адсорбционном снижении трещиностойкости стали при статическом нагруже-
нагружении.— ФХММ, 1976, № 1, с. 25—31.
256. Романив О. Н,, Никифорчин Г. Н., Петрина Ю. Д. О влиянии воды и
влаги на трещиностройкость конструкционных сталей при кратковре-
кратковременном нагружении.— ФХММ, 1974, № 1, с 16—20.
257. Романив О. Н., Никифорчин Г. Н., Студент А. 3. Об условиях инвариант-
инвариантности характеристик коррозионной трещиностойкости.— ФХММ, 1981,
№ 3, с. 24—33.
258. Саврцк М. П. Двумерные задачи упругости для тел с трещинами.—Ки-
трещинами.—Киев: Наукова думка, 1981.— 324 с.
259. Сапунов В. Т., Манукян К. М, Докритический рост трещины в вязкоуп-
ругой среде.— В кн.: Физика и механика деформации и разрушения.
Вып. 10.— М.: Энергоиздат, 1981, с. 77—82.
260. Сапунов В. Т., Морозов Е. М. Одна задача о траектории трещины в по-
полуплоскости.— В кн.: Физика и механика деформации и разрушения
конструкционных материалов. Вып. 5.— М.: Атомиздат, 1978, с. 90—95.
261. Сапунов В. Т., Морозов Е. М. Сопротивление материалов распростране-
распространению трещины при циклическом нагружении.— М.: МИФИ, 1978.— 69 с.
262. Сапунов В. Т., Манукян К. М., Аверин С. И. Расчетное построение диа-
диаграммы разрушения для цилиндрической оболочки с трещиной.— В кн.:
Физика и механика деформации и разрушения. Вып. 10.— М.: Энерго-
Энергоиздат, 1981. с. 72—77.
263. Сапунов В. Т., Манукян К. М., Аверин С И. Расчет диаграмм разруше-
разрушения для цилиндрической оболочки давления с продольной поверхно-
поверхностной трещиной.— В кн.: Прочность и долговечность материалов и кон-
конструкций атомной техники.— М.: Энергоатомиздат, 1982, с. 62—67.
264. Седов Л. И. Модели сплошных сред с внутренними степенями свобо-
свободы'.— ПММТ 1968, т. 32, № 5, с. 771—785.
265. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 2.— М.: Наука, 1984.— 560 с.
266. Седов Л. П., Эглит М. Э. Построение неголономных моделей сплошных
сред с учетом конечности деформаций и некоторых физико-химических
эффектов.— ДАН СССР, 1962, т. 142, № 1, с. 54—57.
267. Си Дж. О сингулярном характере температурных напряжений у вер-
вершины трещины.— Прикладная механика, сер. Е, 1962, т. 28, № 3, с. 157—
159.
268. Сканави Г. И. Физпка диэлектриков: Область сильных полей.— М.: Физ-
матгиз, 1958.—907 с.
269. Скорость роста усталостных трещин в боковинах рам локомотива
2ТЭ-116/Георгиев М. Н., Данилов В, Н., Межова Н. Я., Морозов Е. М.,
Цкипуришвили В. Б.— Проблемы прочности, 1977, № 5, с. 46—51.
495
270. Слепян Л, И. Механика трещпн.—Л.: Судостроение, 1981.—295 с.
271. Слепян Л. И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестацио-
нестационарных задачах механики.— Л.: Судостроение, 1980.— 344 с.
272. Снеддон И. Преобразования Фурье.— М/. ИЛ, 1966.— 667 с.
273. Снеддон И. //., Берри Д. С. Классическая теория упругости.—М.: Физ-
матгиз, 1961.— 219 с.
274. Солнцев С. С. Анализ разрушения стекол по траекториям трещин и
строение пзломов.— Заводская лаборатория, 1965, № 6, с. 730—734.
275. Солнцев С. С. Морозов Е, М. Разрушение стекла.— М.: Машинострое-
Машиностроение, 1978.— 152 с.
276. Сроули Дж, Е. Вязкость разрушения при плоской деформации,— В кн.:
Разрушение. Т. 4.— М.: Машиностроение, 1977, с. 47—67.
277. Таблицы для вычислений функций Матье.— М.: ВЦ АН СССР, 1967.—
279 с.
278. Теоретические и экспериментальное изучение поведения плоских тел
с трещинами в упругой и упруго-пластической областях. Сообщение 1.
Анализ напряжений и деформаций методом конечных элемситов/Ку-
на М., Билек 3., Кнесл 3., Шмидт Ф.—Проблемы прочности, 19S0, Л» 11,
с. 28—34.
279. Термоупругость тел при переменных коэффициентах теплоотдачи/Под-
стригач Я. С, Коляно Ю. М., Громовых В. И., Лобзень В. Л.— Киев: На-
укова думка, 1974.— 158 с.
280. Трехмерные задачи математической упругости и термоупругости/Куп-
радзе В. Д., Гегелиа Т. Г., Башелейшвпли М. О., Бурчуладзе Т. В.—
М.: Наука, 1976.— 664 с.
281. Ударные испытания металлов/Пер, с англ. Под ред. Б. А. Дроздовского
и Е. М. Морозова.—М.: Мир, 1973.—318 с.
282. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.— М.: Физ-
матгиз, 1962, ч. 1.— 343 с.
283. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в задачах теории упруго-
упругости.— М.— Л.: Наука, 1968.— 402 с.
284. Физическая акустика. Т. 4/Пер. с англ. под ред. У. Мэзона.— М.: Мир,
1970.— 440 с.
285. Финкелъ В. М. Физика разрушения.—М.: Металлургия, 1970.—376 с.
286. Финкелъ В. М. Физические основы торможения разрушения.— М.: Ма-
Машиностроение, 1977.— 366 с.
287. Финкелъ В, М, Портрет трешины.— М.: Металлургия, 1981.— 160 с.
288. Финкелъ В. М., Головин Ю. И., Слетков А. А. О возможности торможе-
торможения быстрых трещин импульсами тока.— ДАН СССР, 1976, т. 227, № 4,
с 848—851.
289. Финкелъ В. М., Головин Ю. И., Слетков А. А. Разрушение вершины тре-
трещины сильным электромагнитным полем,— ДАН СССР, 1977, т. 237, № 2,
с. 325—327.
290. Фридман Я. В. Диаграмма относительной структурной неоднородности
материалов.— ДАН СССР, 1956, т. 106, № 2, с. 258-261.
291. Фридман Я. Б. Оценка опасности разрушения машиностроительных ма-
материалов.— В кн.: Теоретические основы конструирования машин.— М.:
Гос. научно-технич. изд-во машиностр. литературы, 1957, с. 257—281.
292. Фридман Я, Б. Механические свойства металлов.— М.: Машиностроение,
1974, т. 1.— 472 с; т. 2.— 368 с.
293. Фридман Я. В., Морозов Е. М. Механические свойства биметаллов.—
В кн.: Вопросы прочности материалов п конструкций.— М.: АН СССР,
1959, с. 114—157.
294. Фридман Я. Б., Морозов Е. М. Применение принципа Гамильтона —
Остроградского для изучения закономерностей разрушения твердых
тел.— ДАН СССР, 1962, т. 114, № 2, с. 330—333.
295. Фридман Я. Б., Морозов Е. М. О вариационных принципах для механи-
механического разрушения.— Изв. вузов, машиностроение, 1962, № 4, с. 56—71.
296. Фридман Я. Б., Морозов Е. М., Солнцев С. С. О некоторых закономер-
закономерностях развития трещин в стеклах.— Стекло, 1963, № 4, с. 44—54.
496
297. Хархурим П. Я. Специальный конечный элемент с трещиной для реше-
решения задач линейной механики разрушения.— В кн.: Метод конечных
элементов в строительной механике.— Горький: ГТУ, 1975, с. 31—40.
298. Хрупкие разрушения сварных конструкций/Холл У. Дж., Кихара X.,
Зут В., Уэллс А. А.— М.: Машиностроение, 1974.— 320 с.
299. Черепанов Г. П. Упругопластическая задача в условиях антиплоской
деформации.— ПММ, 1962, т. 26, № 4, с. 697—708.
300. Черепанов Г. П. О влиянии импульсов на развитие начальных тре-
трещин.— ПМТФ, 1963, № 1, с. 97—103.
301. Черепанов Г. П. Об одном методе решения упруго-пластической зада-
задачи.—ПММ, 1963, т. 27, № 3, с. 428—435.
302. Черепанов Г. П. О прочности композитов.—ПМТФ, 1967, № 2, с. 77—79.
303. Черепанов Г. П. О распространении трещин в сплошной среде.— ПММ,
1967, т. 31, № 3, с. 476—488.
304. Черепанов Г. П. О квазихрупком разрушении.— ПММ, 1968, т. 32, № 6,
с. 1034—1042.
305. Черепанов Г. П. Дифракция упругих волн на разрезе.— В кн.: Механи-
Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа.— М.: Наука, 1972,
с. 615—622.
306. Черепанов Г. П. Механика хрупкого разрушения.— М.: Наука, 1974.—
640 с.
307. Черепанов Г. П. Инваринтные Г-интегралы и некоторые их приложе-
приложения.— ПММ, 1977, т. 41, № 3, с. 399—412.
308. Черепанов Г. П., Ершов Л. В. Механика разрушения.— М.: Машино-
Машиностроение, 1977.— 224 с.
309. Черепанов Г. П., Мирсалимов В. М. О воздействии ребер жесткости на
развитие трещины.— Изв. АН АзССР, сер. физ.-техн. и мат. наук, 1969,
№ 1, с. 7—11.
310. Черепанов Г. П., Смолъский В. М. К оптимальному проектированию
многослойных панелей.— Изв. АН АрмССР, 1978, т. 31, № 3, с. 43—48.
311. Черноусько Ф. Л., Баничук Н. В. Вариационные задачи механики и уп-
управления,— М.: Наука, 1973.— 238 с.
312. Чибрикова Л. И. О краевой задаче Римана для автоморфных функций.—
В кн.: Уч. зап. Казанск. ун-та.—Казань: КГУ, 1956, т. 116, № 4, с. 59—
НО.
313. Шер Е. Н. Об энергетическом условии в носике нестационарной трещи-
трещины.— ПМТФ, 1969, № 3, с. 175—178.
314. Шъюмон П. Диффузия в твердых телах.— М.: Металлургия, 1966,— 196 с.
315. Экспериментальное и теоретическое изучение разрушения листовых
материалов при наличпп трещпн/СоСюлев Н. Д., Морозов Е. М., Марко-
чев В. М., Гольцев В. Ю., Сапунов В. Т., Бобринский А. П.—Проблемы
прочности, 1972, № 7, с. 45—50.
316. Эрдоган Ф., Си Дж. О распространении трещины в пластинах при плос-
плоском нагруженип и поперечном сдвиге.— Теор. основы инж. расчетов.
Сер. Д, 1963, т. 85, № 4, с. 49—59.
317. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций/Пер, с англ, под ред.
Б. Я. Любова.— М.: ИЛ, 1963.— 247 с.
318. Яблонский Я. С. О расчете коэффициента интенсивности напряжений
в растянутой подкрепленной панели с трещиной.— В кн.: Физика и ме-
механика деформации и разрушения конструкционных материалов.
Вып. 5.— М.: Атомпздат, 1978, с. 123—138.
319. Яблонский И. С. Зависимость сопротивления разрушению стали от сте-
степени наводороженности.— ФХММ, 1979, № 6, с. 47—56.
320. Ярема С. Я. Исследование полос пластичности при растяжении пластин
с концентратором.— В кн.: Вопросы механики реального твердого тела.
Вып. 2,— Киев: Наукова думка, 1964, с. 177—190.
321. Ярема С. Я., Микитишин С. И, Аналитическое описание диаграмм ус-
усталостного разрушения материалов.— ФХММ, 1975, № 6, с> 47—55.
322. Altiero N. I. On the edge-fracture problem of rock mechanics.— Mech. Res.
Comra., 1976, v. 3, No 5, p. 345—352.
497
323. Ames W. F. Nonlinear partial differential equation in engineering.—
N. Y.: Acad. Press, 1965.—-511 p.
324. Atsumi A., Shindo Y. Torsional impact response in an infinite cylinder
with a circumferential edge crack.— J. Appl. Mech., 1982, v. 49, p. 531—
535.
325. Begley J A , Landes J. D. The /-integral as a fracture criterion.— ASTM
STP 514, 1972, p. 1-23.
326. Benbow J. J. Cone cracks in fused silica.— Proc. Phys. Soc, ser. B, 1960,
v. 75, p. 697. ¦
327. Berry J. P. Some kinetic consideration of the Griffith criterion for frac-
fracture. Pt, I, II.— J. Mech. and Phys. of Solids, 1960, v. 8, No 3, p. 194—
91 ft
328. Bilby B, A., Cottrell A. H., Swinden К. Н. The spread of plastic yiefd
from a notch.—Proc. Roy. Soc. London, ser. A, 1963, v. 272, No 1348/1351,
p. 304—309.
329. Blackburn W. S. Calculation of stress intensity factors at crack tips
using special finite elements.— In: The Mathematics of Finite Elements
and Applications.—London, N. Y.: Acsd. Press, 1972, p. 327—336.
330. Blackburn W. S., Hellen Т. К. Deti-rn-j.ation of stress intensity factors
for Battelle Benchmark geometries.— Int. J. Fract, 1980, v. 16, No 5,
p. 411—429.
331 Bloom J M, Sanders J, L. The effect at a riveted stringer on the stress
in cracked sheet.— J. Appl. Mech., 1966, v. 33, No 3, p. 561—570. .
332. Broberg К В. The propagation of a brittle crack.— Arkiv for Fysik, 1960,
Bd. 18, H. 10, p. 159—192.
333. Bueckner H. F. The propagation of cracks and the energy of elastic de-
deformation.—Trans. ASME, ser. D, 1958, v. 80, No 6, p. 111—116.
334. Capaletti T. L. Effect of hydrogen on the fracture toughness of 17—4PH
stainless steel.— In: Proc. 2nd Int. Conf. Mech. Behav. Mater.— Boston,
1976, p. 1489—1492.
335. Cherepanov G. P. Crack in solids.— Int. J. Solids Structures, 1968, v. 4,
No 6, p. 811.
336. Cherepanov G. P., Kuliev V. D. On crack twinning.—Int. J. Fract., 1978,
v. 14, No 1, p. 29—38.
337. Chow С L., Lan K. J. On crack surface displacement approaches of fi-
finite element analysis in evaluating stress intensity factors,— Int. J. Fract.,
1976, v. 12, No 3, p. 488—490.
338. Corr R. В., Jennings A. A simultaneous iteration algorithm for symmet-
symmetric eigenvalue problems.—Int. J. Num. Meth. Engng, 1976, v. 10, No 3,
p. 647—663.
339. Gotterell B. On brittle fracture paths.— Int. J. Fract. Mech., 1965, v. 1,
No 2, p. 96—103.
340. Cruse T. Numerical solutions in three dimensional elastostatics.— Int. J.
Solids and Struct., 1969, v. 5, p. 1259—1274.
341. Do wrick G., Cartwright D. J., Rooke D. P. The effects of repair patchas
on the stress distribution in a trached sheet. — Proc. 2nd Int Conf. Nu-
mer. Meth. Fract. Mech., 1980, p. 763—775.
342. Dagdale D S. Yielding of steel sheets containing slits.— J. Mech. and
Phys. Solids, 1960, v. 8, No 2, p. 100-108.
343. Erdogan F., Gupta G. D., Cook T. S. Numerical solution of singular in-
integral equation.— Mech. Fracture. 1. Methods of Analysis and Solution/Ed.
G. C. Sih.—Leyden: Noordhoff Int. Publ. Co., 1973, p. 368—425.
344. Freind L. В., Clifton R. J. On the uniquenees of plane elastodynamic so-
solution for running cracks.— J. Elast., 1974, v. 4, No 4, p. 293—299.
345. Greij R., Sanders J. L. The effect of a stringer on the stresses in a crac-
cracked sheet.—Trans. ASME, ser. E, J. Appl. Mech., 1965, v. 32, No 1,
p. 59-66.
346. Goodier J. N., Field F. A. Plastic energy dissipation in crack propaga-
propagation.— In: Fracture in Soiids.— N. Y.: Interscience Publ., 1963, p. 103—
118.
498
347. Griffith A. A. The phenomenon of rupture and flow in solids.— Phil.
Trans. Hoy. Soc, ser. A, 1920, v. 221, p. 163—198.
348. Griffith A. A. The theory of rupture.— In: Proc. 1st Int. Congr. Appl.
Mech.— Delft, 1924, p. 55—63.
349. Hahn G. Т., Rosenfield A. R. Local yielding and extention of a crack
under plane stress.— Acta metallurgica, 1965, v. 13, No 3, p. 293—306.
350. Hall C. A., Raymund M., Palusamy S. A macro element approach to com-
computing stress intensity factors for three dimensional structures.— Int. J.
Fract., 1979, v. 15, No 3, p. 231—245.
351. Hellen T. K. On the method of virtual crack extensions.—Int. J. Numer.
Meth. Eng., 1975, v. 9, No 1, p. 187—207.
352. Hilton P. D., Hutchinson J. W. Plastic intensity factors for cracked pla-
plates.—Eng. Fracture Mech., 1971, v. 3, No 4, p. 435—451.
353. Hussain M. A., Pa S. L. Dynamic stress intensity factor for an unboun-
unbounded plate having collinear cracks.— Eng. Frac. Mech., 1972, v. 4, No 4,
p. 865—876.
354. Irwin G. R. Fracture dynamics. Fracturing of metals.— ASM, Cleveland,
1948, p. 147-166.
355. Irwin G. R. Relation of stresses near a crack to the crack extension for-
force.— In: Proc. 9th Int. Congr. Appl. Mech., Brussels, 1957, v. 8, p. 245—
251.
356. Irwin G. R. Analysis of stresses and strain near the end of a crack tra-
traversing a plate.—J. Appl. Mech., 1957, v. 24, No 3, p. 361—364 (Discus-
(Discussion.— J. Appl. Mech., 1958, v. 25, No 2, p. 299—303).
357. Irwin G. R. Fracture.— Handbuch der Physik.— Berlin: Springer-Verlag,
1958, Bd. 6, p. 551—590.
358. Irwin G. R. Plastic zone near a crack and fracture toughness.— 7th Sa-
Sagamore Ardance Materials Research Conference.— Syracuse: Syracuse
Univ. Press, 1960.
359. Isida M. Method oi Laurent series expansion for internal crack prob-
problems.— In: Methods of analysis and solutions of crack problems/Ed.
G. C. Sih.— Leyden, 1973, p. 56—130.
360. J-integral estimation procedure/Bucci R. J., Paris P. C, Landes J. D.,
Rice J. R.— ASTM STP 514, 1972, p. 40—69.
361. loknson H. H., Willner A. M. Moisture and stable crack growth in a
high strength steel.—Appl. Math. Res., 1965, v. 4, p. 34—40.
362. Leevers P. S., Radon F. C, Culver L. E. Fracture trajectories in a bia-
xially stressed plate.—Mech. Phys. Solid, 1976, v. 24, p. 381—395.
363. Lewin L. Advanced theory of waveguides.— Iliffe, London, 1951. (Рус-
(Русский пер.—Современная теория волноводов.— М.: ИЛ, 1954.— 215 с.)
364. Loginov Л. W., Phelps E. Я. Steels for seamless hydrogen preccure ves-
vessels.— Corrosion, 1975, v. 31, No 11, p. 404—412.
365. MacClintock F. A. Ductile fracture instability in shear.— J. Appl. Mech.,
1958, v. 25, No 4, p. 582—587.
306. Mai A. K. Interaction of elastic waves with a penny-shaped crack.— Int.
J. Eng. ScL, 1970, v. 8, p. 381—388.
367. Malyshev В. М., Salganik R. L. The strength of adhesive joints using the
theory of cracks,— Int. J. Fracture Mech., 1965, v. 1, No 2, p. 114—128.
368. McMeeking R. M. Finite deformation analysis of crack tip opening in
elastic-plastic materials and implications for fracture.— J. Mech. Phys.
Solids, 1977, v. 25, No 4, p. 297—306.
369. McMeeking R. M. Finite deformation analysis of crack tip opening in
elastic-plastic materials and implications for fracture.— J. Mech. Phys.
Solids, 1977, v. 25, No 5, p. 357—381.
370. Morgan P. G, The geometry of surface crack.— Appl. Scientific Rese-
Research. Ser. 9, 1960, v. 9, No 2—3, p. 148—152.
371. Morozov E. M. Limit analysis for structures with flaws,— Eng. Fracture
Mech., 1974, v. 6, No 2, p. 297—306.
372. Morozov E. M. Some problems in experimental fracture mechanics.— Eng.
Fracture Mech., 1980, v. 13, No 3, p. 541—561.
499
373. Murrele S. A. F. The theory of the propagation of eleptical Griffith cracks
under various conditions of plane strain or stress.™ British J. Appl. Phys.,
1964, v. 15, No 10, p. 1211—1233.
374. Nelson II. G. Testing for hydrogen environment embrittlement: Primary
and' secondary influence.— In: Hydrogen Ernbrittlement Testing. ASTM
STP 543.- Philadelphia, 1974, p. 152-169.
375. Nelson H. G., Williams D. P., Tetelman A. S. Embrittlement of ferrous
alloy in a partially dissotiated hydrogen environment.— Met. Trans., 1971,
v. 2, No 4, p. 953—959.
376. Nilsson F. A. A note on the stress singularity at a nonuniformly moving
crack tip.—J. Elasticity, 1974, v. 4, No 1, p. 73—75.
377. Nye J. F. Physical properties of crystals.— Oxford: Clarendon Press, 1964.
(Русский пер,— Най Дж. Физические свойства кристаллов и их описа-
описание при помощи тензоров и матриц.— М.: Мир, 1967.— 385 с.)
378. Olesiak Z., Wnuk M. Plastic energy dissipation due to a penny-shaped
crack.— Int. J. Fract. Meek, 1968, v. 4, No 4, p. 383—396.
379. On the relationship between notch stress analysis and crack fracture mec-
mechanics/Fischer K. F., Goldner H., Gunther W., Sorgel W.— Z. angew. Math,
und Mech., 1982, v. 62, No 7, p. 345—348.
380. Op-pel G. U., Hill R. W. Strain measurements at the root of cracks and
notches.—Experimental Mechanics, J. SESA, 1964, v. 4, No 7, p. 206.
381. Oriani R. A. Hydrogen embrittlement of steels.— In: Annual Review of
Materials Sciences.—Palo Alto, 1978, v. 8, p. 327—357.
382. Orowan E. 0.— In: Trans. Inst. Eng. Shipbuild.— Scotland, 1945, v. 89,
p. 165.
383. Orowan E. 0.— In: Proc. Symposium on internal stresses in metals and
alloys.— London: Institute of Metals, 1948. p. 451.
384. Paris P. C, Erdogan F. A critical analysis of crack propagation
lows.— Trans. ASME, ser. Д J. Basic Eng.. 1963, v. 85, No. 4, p. 528—534.
385. Parton V. Z. Fracture mechanics for piesoelectric materials.— Acta Ast-
ronautica, 1976. v. 3, No 9—10. p. 671—683.
386. Parton V. Z., Morozov E. M. Elastic-plastic fracture mechanics.— Moscow:
Mir, 1978.—427 p.
387. Parion V. Z., Perlin P. I. Applications of the method of potentials in
problems of fracture mechanics.—Acta Astronautica, 1977, v. 4, No 11—12,
p. 1171—1176.
388. Parton V. Z.; Perlin P. I. Strength of solids of complex shape.— In: Proc.
12th Int. Symp. Space Technol. Sci.— Tokyo, 1977, p. 987—991.
389. Peano A. G., Szabo B. A., Mehta A. K. Self-adaptive finite elements in
fracture mechanics.— Computer. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1978, v. 16,
No 1, p. 69—80.
390. Pu S. L., Hissain M. A., Lorensen W. E. The collapsed cubic isoparamet-
isoparametric element as a singular element for crack problems,— Int. J. Numer.
Meth. Eng., 1978, v. 12, No 11, p. 1727—1742.
391. Rice J. R. The elastic-plastic mechanics of crack extension.— Int. J.
Fracture Mech., 1968, v. 4, No 1, p. 41—47.
392. Rice ]. R., Johnson M. A. The role of large crack tip geometry changes
in plane strain fracture.— In: Inelastic Behaviour in Solids.— New York:
McGraw-Hill, 1970, p. 641—672.
393. Rice J. R. Some mechanics research topics related to the hydrogen emb-
embrittlement of metals.— Corrosion, 1976, v. 32, No 1, p. 22—26.
394. Richards T. H., Wood P. C. Fracture analysis data for partially opened
cracks.— In: Proc. 2nd Int Conf. Numer. Meth. Fract. Mech., Swansea,
1980.— Swancea, 1980, p. 179—193.
395. Romualdi J. P., Sanders P. N. Fracture arrest by riveted stiffeners.— In:
Proc. 4th Midwestern Conf. Solid Mech.—Univ. Texas Press, 1959/1960,
p. 74—90.
396. Rosenfield A. R., Dai P. K., Hahn G. T. Crack extension and propagation
under' plane stress.— In: Proc. Int. Conf. on Fract., Sendai, Japan, 1965,
No 1, p. 179—226.
500
397. Sack R. A. Extension of Griffith theory of rupture of three dimension.—
Proc. Phys. Soc, 1946, v. 58, p. 729—736.
398. Sadowsky M. Stress concentration caused by multiple punches and
cracks.— J. Appl. Mech., 1956, v. 23, No 1, p. 80—84.
399. Sanders J. L. On the Griffith ~ Irwin fracture theory.—Trans. ASME,
ser. E, J. Appl. Mech., 1961, v. 27, No 2, p. 352-353.
400. Schmitt W., Keim E. Numerical aspects of clastic-plastic fracture mec-
mechanics including 3D-applications.— In: Adv. Elasto-Plast. Fracture Mech.
Proc. Semin., Varese, 1979.—London: Appl. Sci. Publ., 1980, p. 385—416.
401. Shindo Y. The plain problems of diffraction of garmonie magneto-elastic
waves cracks locate in a pare or demagnetic elastic condacter.— Trans.
Japan Soc. Mech., ser. A, v. 45, 1979, No 393, p. 498—504.
402. Sih G. С Strain-energy-density factor applied to mixed mode crack pro-
problems.—Int. J. Fracture, 1974, v. 10, No 3, p. 305—321.
403. Sih G. C, Loeber J. F. Wave propagation in an elastic solid.— Quart. Appl.
Math., 1969, v. 27, No 2, p. 193.
404. Simmons G. W., Pao P. S., Wei R. P. Fracture mechanics and surface
chemistry studied of subcritical crack growth in AISI 4340 steel.—Met.
Trans., ser. A, 1978, v. 9, No 8, p. 1147—1158.
405. Small scale yielding near a crack in plane strain: A finite element ana-
analysis/Levy N., Marcal P. V., Ostergren W. J., Rice J. R.— Int. J. Fracfc.
Mech., 1971, v. 7, No 2, p. 143—156.
406. Smialowski M. Hydrogen in steel.— Oxford: Pergamon Press. 1962.—
452 p.
407. Smith J. A., Peterson M. H., Brown B. F. Electrochemical conditions at
the tip of an advancing stress corrosion crack in AISI 4340 steel.— Cor-
Corrosion, 1970, v. 26, No 12, p. 539—542.
408. Sneddon I, N. The distribution of stress in the neighbourhood of a crack
in an elastic solid.— Proc. Roy. Soc, ser. A, 1946, v. 187, p. 229—260.
409. Sneddon I. N., Lowengrub M. Crack problems in the classical theory of
elasticity.— N. Y.: John Wiley, 1969.— 22'1 p.
410. Sneddon I. N., Srivastav R. P. The stress in the vicinity of an infinite
row of collinear cracks in an elastic body.— Proc. Roy. Soc. Edin., sect. A,
1963—1965, v. 67, pt. 1. p. 39—49.
411. Sneddon I. N., Tait R. J. The effect of a penny-shaped crack on the dist-
distribution of stress in a long circular cylinder.— Int. J. Eng. Sci., 1963,
v. 1, No 3, p. 391—409.
412. Sneddon I. N., Welch J. T. A note on the distribution of stress in a cy-
cylinder containing a penny-shaped crack.— Int. J. Eng. Sci., 1963, v. 1,
No 3, p. 411—419.
413. Some further results of J-integral analysis and estimates/Rice J. R., Pa-
Paris P. C, Merkle J. C— ASTM STP 536, 1973, p. 231—245.
414. Srivastav R. P., Sneddon I. N. Dual series relations. II. Dual relations
involving Dini series.— Proc. Roy. Soc. Edinburgh, sect. A, 1962—63, v. 66,
pt 3, p. 161—172.
415. Stress corrosion cracking of high strength steels and titanium alloys in
chloride solutions at ambient temperature/Peterson M. H., Brown B. F.,
Newbegin R. L., Croover R. E.— Corrosion, 1967, v. 23, No 5, p. 142—148.
416. Strifors H. C. A generalized force measure of conditions at crack tip.—
Int. J. Solids Structures, 1974, v. 10, No 12, p. 1389—1404.
417. Test of 6-inch-thick pressure vessels. Ser. I: Intermediate test vessels
V-l and V-2/Derby R. V., Robinsoh G. C, Mercl I. G., Witman G. D.,
Witt F. I.— In: ORNL-4895, February.— Oak Ridge, 1974.— 233 p.
418. Tetelman A. S-. MacEvlly A. J. Fracture of structural materials.— N. Y.:
John Wiley, 1967.- 697 p.
419. Theocaris P. S., Milios J. Crack arrest modes of a transverse crack going
through a longitudinal crack of a hole.— Trans. ASME, J. Eng. Meter,
and Techool., 1981, v. 103, No 2, p. 177—182.
420. Tirosh J. Incipient fracture angle, fracture loci and critical stress for
mixed mode loading.— Eng. Fracture Mech., 1977, v. 8, No 3, p. 607—613.
501
421. Tracey D. M. Discussion of «On the use of isoparametric finite element
in linear fracture mechanics by R. S. Barsoum».— Int. J. Numer. Meth.
Eng., 1977, v. 11, No 2, p. 401—402.
422. Tracey D. M., Cook T. S. Analysis of power type singularities using fi-
finite elements.— Int. J. Numer. Meth. Eng., 1977, v. 11, p. 1225—1233.
423. Tranter С J. Dual trigonometrical series.— Proc. Glasgow Math. Associa-
Association, 1959, v. 4, pt. 2, p. 49—57.
424. Tranter C. J. A further note on dual trigonometrical series.— Proc. Glas-
Glasgow Math. Association, 1960, v. 4, pt. 4, p. 198—200.
425. Trojano A. R. The role of hydrogen and other interstitials in the mecha-
mechanical behavior of metals.—Trans. ASM, 1960, v. 52, p. 54.
426. Wang Т. С Fracture criteria for combined mode cracks.— Scientia Sini-
ca, 1978, v. 21, No 4, p. 457—474.
427. Wei R. P., Landes J. D. Correlation between sustained load and fatigue
crack growth in high-strength steels.— Math. Res. and Stand., 1969, v. 2,
No 7, p. 25—46.
428. Wei R. P., Novak S. Д., Willans D. P. Some important considerations in
the development of stress corrosion cracking test methods.— Mather. Res.
and Stand., 1972, v. 12, № 1, p. 25—30.
429. Weighardt K. Uber das Spalten und Zerressen elastischer Korper.—
Zeitschr. fur Math, und Phys., 1907, Bd. 55, No 1/2, S. 60—103.
430. Wells A. A. Critical tip opening displacement as fracture criterion.— In:
Proc. Crack Propagation Symp., Cranfield, 1961,—Cranfield, 1961, v. 1,
p. 210—221.
431. Wells Л. A. Application of fracture mechanics at and beyond general
yielding.—Brit. Yielding J., 1963, v. 10, No 11, p. 563—570.
432. Westergaard H. M. Stresses at a crack size of the crack and the bending
of reinforced concrete.— J. Amer. Concr. Inst. 1933, v. 5, No 2, p. 93—103.
433. Westergaard H. M. Bearing pressures and cracks.— J. Appl. Mech., 1939,
v. 6, No 2, p. A49-A53.
434. Williams M. L. On the stress distribution at the base of a stationary
crack.— Trans. ASME, J. Appl. Mech., 1957, v. 24, No 1, p. 109—114.
435. Williams D. P. A new criterion for failure of materials by environment-
induced cracking.— Int. J. Fract, 1973, v. 9, No 1, p. 63—74.
436. Wilson W. K., Yu I. W. The use of the J-integral in thermal stress
crack problems.—Int. J. Fract., 1979, v. 15, No 4, p. 371—387.
437. Wnuk M. Criteria of ductule fracture initiated by pressurired penny-sha-
penny-shaped cracks.—Trans. ASME, ser. F, 1968, v. 90, No4.
438. Wnuk M. The nature of fracture in relation to the total potential ener-
energy.— Brit. J. Appl. Phys., ser. 2> 1968, v. 1, No 2, p. 217—236.
439. Wnuk M. P. Energy criterion for initiation and spread of fracture in
viscoelastic solids.— Eng. Experiment Station. Bulletin 7.— Brookings: Ed.
South Dakota State Univ., 1968.— 78 p.
440. Wnuk M. P. Effects of time and plasticity of fracture.—Brit. J. Appl.
Phys., ser. 2, 1969, v. 2, p. 1245—1259.
441. Wnuk M. P. Prior-to-failture extension of flows under monotonic and
pulsating loading.— Ann. Progr. Rep. NASA, NGR 42-003-006, 1971, May.
442. Wnuk M. P. Initiation of fracture in viscoelastic solids, experiment vs.
theory,— In: Proc. Int. Symp. Waterloo, 1972, p. 673—684.
443. Wnuk M. P. Podstawy mechaniki pekania.— Krakow: Acad. Gorniczo-
Hutnicza, 1977.—356 p.
444. Wnuk M. P. Occurrence of catastrophic fracture in fully yielded com-
components.— Int. J. Fracture. 1979, v. 15. No 6, p. 553—581.
445. Wnuk M. P., Knauss W. G. Delayed fracture in viscoelastic-plastic so-
solids.—Int. J. Solids and Structures, 1970, v. 6, No 7, p. 995—1009.
446. Wu С. Н. Maximum energy release rate criterion applied to a tension.—
Composision specimen with crack.— J. Elast., 1978, v. 8, No 3, p. 235—257.
447. Yoffe E. H, The mowing Griffith crack.—Phil. Mag., 1951, v. 42, pt. 2,
p. 739—750.
Владимир Залманович Партой
Евгений Михайлович Морозов
МЕХАНИКА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО
РАЗРУШЕНИЯ
Редактор И. А. Марпузон
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор И. Ш. Апсельрод
Корректор И. Я. Нришталъ
ИБ Кг 12800
Сдано в набор 15.11.84. Подписано к печати
09.07.85. Т-12341. Формат 60x90'/ie. Бумага тип. № 2.
Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Усл.
печ. л. 31,5. Усл. нр.-отт. 31,56. Уч. изд.-л. 34,
Тираж 4100 экз. Заказ Хв 472. Цена 1 р. 40 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск-77, Станиславского, 25
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москиа В-71, Ленинский проспект, 15
ВЫШЛИ ИЗ ПЕЧАТИ
А н д р и а н о в И. В., Л е с н и ч а я В. А., Маневич Л. И.
Метод усреднения в статике и динамике ребристых оболочек.
Изложен асимптотический метод расчета подкрепленных
пластин и оболочек с учетом дискретности размещения ребер.
На его основе получены аналитические решения широкого
класса статических и динамических задач. Выявлены харак-
характерные особенности поведения важнейших типов подкреплен-
подкрепленных оболочек п оценены пределы применимости приближенных
инженерных методов их расчета. Полученные результаты мо-
могут быть использованы в теоретических исследованиях, а так-
также при расчете оболочечных конструкций в авиа-, ракето- и
судостроении, промышленном и гражданском строительстве.
Для научных работников и инженеров, занимающихся во-
вопросами теории и расчета тонкостенных конструкции.
Морозов Н. Ф. Математические вопросы теории трещин.
Рассмотрены двумерные статические задачи теории трещин.
В частности, изложена теория Гриффитса, проанализировано
напряженное состояние в окрестности вершины трещины в ли-
линейной и нелинейной постановках, рассмотрены формы мате-
математической интерпретации реальных трещин и особенности,
вносимые различными формами представления в описание про-
процесса хрункого разрушения, проведен учет структуры среды,
как с помощью момептной теории упругости, так и посредством
рассмотрения дискретных моделей.
Для научных и инженерно-технических работников, студен-
студентов и аспирантов, занимающихся вопросами механики раз-
разрушения.
Книга «Механика упругопластического разрушения»
В. 3. Партона и Е. М. Морозова лежит где-то между строгими
математическими трактатами Снеддона и Ловенгруба и книгой
Броека, являющейся самой строгой из прикладных книг. Ее си-
сила— в балансе, достигнутом между изложением физических ос-
основ разрушения (рассмотрена, например, классическая концеп-
концепция потери линейности пластической зоны Хана — Розенфилда)
и разнообразием представленной тонкой математической тех-
техники.
М. Ф, Каннинен. США.
(из отзыва на первое издание)
Книга В. 3. Партона и Е. М. Морозова — первая на русском
языке монография по данному предмету, построенная главным
образом на оригинальных исследованиях авторов,— затрагивает
вопросы нелинейной механики разрушения. В ней рассматрива-
рассматриваются некоторые упрутопластические задачи для тел, содержа-
содержащих трещины. Но основное содержание книги — это линейная
механика разрушения, а также некоторое ее развитие, которое
приводит к определяющим уравнениям, могущим быть нели-
нелинейными... Книга освещает одну чрезвычайно важную и инте-
интересную сторону проблемы и наряду с этим содержит много лю-
любопытных замечаний и соображений, подчас эскизного характе-
характера, но дающих пищу для размышлений и стимул для дальней-
дальнейшей работы.
Ю. П. Работное
(из предисловия к первому изданию)