ВЫСШЕЕ
ЭКОНОМИЧЕСКОЕ
ОБРАЗОВАНИЕ

В.А. Малугин

Математика для экономистов

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
анализ

Курс лекций

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению 080100 «Экономика»

Москва

Эксмо)
УДК 517
ББК 22.161
М 18

Об авторе:

Малугин В.А. — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
«Математические методы анализа экономики» экономического факуль-
тета МГУ им. М.В. Ломоносова

Рецензенты:

Данилин В.И. — доктор экономических наук, профессор, заведующий лабо-
раторией «Методы и механизмы управления предприятиями» ЦЭМИ
РАН

Фадеева Л.Н. — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
«Математические методы анализа экономики» экономического факуль-
тета МГУ им. М.В. Ломоносова

Малугин В.А.

М18 Математика для экономистов: Математический анализ. Курс
лекций. — М.: Эксмо, 2005. — 272 с. — (Высшее экономическое
образование).

ISBN 5-699-12624-4

Книга входит в состав учебного комплекса «Математика для экономистов», спе-
циально созданного для экономических вузов страны экономическим факультетом
МГУ им. М.В. Ломоносова. Ее цель — в ясной и удобной для восприятия форме дать
студенту-экономисту весь объем необходимых ему математических знаний в части
математического анализа. При этом студент четко сориентирован, для чего и когда ему
будет полезно знание тех или иных разделов дисциплины: каким образом применяется
в экономическом анализе математический аппарат дифференциального исчисле-
ния, как с помощью теории функции нескольких переменных можно построить
производственные функции, функции спроса на ресурсы, функции полезности,
изучаемые в микроэкономике, и т.д.

Издание предназначено для студентов и преподавателей экономических факуль-
тетов и вузов.

УДК 517

ББК 22.161

ISBN 5-699-12624-4

© В.А. Мялугви, 2005

© ООО «Издательство «Эксмо», 2005
Содержание

ПРЕДИСЛОВИЕ................................................... 9

ГЛАВА1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ.................... 11

Определение функции..................................... 12

Способы задания функций................................. 12

Декартова система координат............................. 13

Полярная система координат.............................. 13

Формы задания функций................................... 15

Основные свойства функций............................... 16

Преобразование графиков................................. 17

Элементарные функции. Обзор............................. 18

Вопросы для повторения....................................... 23

ГЛАВА 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ......................... 24

Сходимость последовательности........................... 24

Кванторы...............................................  25

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. 26

Ограниченность последовательности....................... 27

Теоремы о сходимости последовательности................. 28

Вопросы для повторения....................................... 29

ГЛАВА 3. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ...................................... 30

Понятие предела функции................................. 30

Свойства бесконечно малых функций....................... 33

«Связь» между существованием функции в точке х0
и существованием предела при х -> х0.................... 34

Свойства пределов функций............................... 36

Первый замечательный предел............................. 38
Второй замечательный предел............................ 39

Задача о непрерывном начислении процентов.............. 40

Символ Ландау (символ «о»-малое)....................... 43

Свойства символа «о»-малое............................. 44

Асимптотические равенства.............................. 46

Вопросы для повторения...................................... 49

ГЛАВА 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ.............................. 51

Определение непрерывности.............................. 51

Свойства непрерывных функций........................... 54

Точки разрыва функции. Их классификация................ 55

Свойства функций, непрерывных на отрезке............... 58

Вопросы для повторения...................................... 60

ГЛАВА 5. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ................. 61

Производная функции одной переменной................... 61

Дифференциал функции................................... 66

Правила вычисления производных......................... 67

Правила вычисления дифференциалов...................... 70

Производные некоторых элементарных функций
(таблица производных).................................. 71

’ Инвариантность формы первого дифференциала............ 75

Вопросы для повторения...................................... 75

ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ПРОИЗВОДНОЙ................................................. 77

Уравнение касательной к кривой......................... 77

Геометрический смысл производной
(производная как тангенс угла наклона)................. 78

Угол между кривыми..................................... 80

Геометрический смысл дифференциала..................... 81

Вопросы для повторения...................................... 82

ГЛАВА 7. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ............................................. 83

Производные высших порядков............................ 83

Дифференциалы высших порядков.......................... 84

Производные функций, заданных неявно................... 85

Производные функций, заданных параметрически........... 87

Вопросы для повторения...................................... 88
ГЛАВА 8. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ.................................................... 89

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши..................... 89

Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)........... 94

Сравнение функций по скорости роста
(теоретические задачи)................................... 96

Формулы Маклорена и Тейлора.............................. 98

Разложение элементарных функций по формуле Маклорена ..... 100

Вопросы для повторения......................................... 103

ГЛАВА 9. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНЫХ.................................................. 104

Условия возрастания и убывания функции.................. 104

Понятие экстремума...................................... 105

Необходимое условие экстремума.......................... 106

Первое достаточное условие экстремума................... 107

Второе достаточное условие экстремума.................... ПО

Наибольшее и наименьшее значения функции, непрерывной
на отрезке.............................................. 112

Выпуклость функции. Точки перегиба...................... 112

Схема исследования функции на выпуклость................ 114

Асимптоты графика функции............................... 115

Исследование функций и построение их графиков........... 119

Приложение. Эластичность функции........................ 123

Геометрическая интерпретация............................ 123

Свойства эластичности функции........................... 124

Эластичность элементарных функций....................... 126

Вопросы для повторения....................................... 127

ГЛАВА 10. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ...................... 128

Понятие функции как отображения......................... 128

Введение в функции нескольких переменных................ 129

Понятие функции нескольких переменных................. 129

Линии уровня.......................................... 133

Предел функции нескольких переменных.................. 135

Непрерывность........................................... 140

Непрерывность функции нескольких переменных........... 140

Свойства непрерывных функций нескольких переменных...... 142

Частные производные..................................... 143

Частные производные.................................   143

Геометрический смысл частной производной.............. 145
Понятие дифференцируемости................................ 146

Определение дифференцируемости.......................... 146

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью........ 148

Полный дифференциал....................................... 153

Полный дифференциал..................................... 153

Частные дифференциалы................................... 154

Сложные функции. Их производные........................... 155

Дифференцируемость сложной функции нескольких переменных.. 155

Производная функции Z = z(x,y) при x = x(t) и у = y(t) . 157

Производная функции z = z(u,v) при и = и(х,у) и v = v(x,y) 157

Производная функции z = z(u, v) при произвольном задании
аргументов.............................................. 158

Неявные функции. Их производные........................... 158

Уравнение F(x,y) = 0 в дифференциалах................... 159

Уравнение F(x,y) = 0 в производных...................... 159

Уравнение F(x,y,z) = 0 в дифференциалах................. 160

Уравнение F(x,y,z) = 0 в производных.................... 160

Система уравнений в дифференциалах...................... 161

Однородные функции........................................ 162

Производная по направлению................................ 163

Производная по направлению.............................. 163

Градиент................................................ 165

Свойства градиента...................................... 168

Производные и дифференциалы высших порядков............... 168

Производные высших порядков............................. 168

Дифференциалы высших порядков........................... 172

Формула Тейлора........................................... 175

Макроэкономическая функция Кобба-Дугласа.................. 179

Понятие производственной функции........................ 179

Требования к производственной функции................... 180

Функция Кобба-Дугласа как макроэкономическая
производственная функция................................ 181

Вопросы для повторения......................................... 185

ГЛАВА 11. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ.............................. 186

Понятие первообразной..................................... 186

Свойства неопределенного интеграла........................ 188

Табличные интегралы....................................... 189
Методы нахождения неопределенных интегралов............ 190

Вопросы для повторения...................................... 200

ГЛАВА 12. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ............................. 201

Площадь криволинейной трапеции......................... 201

Свойства определенного интеграла....................... 203

Производная интеграла с переменным
верхним пределом....................................... 206

Формула Ньютона-Лейбница............................... 207

Формула замены переменной
в определенном интеграле............................... 209

Формула интегрирования по частям....................... 210

Приближенное вычисление
определенных интегралов................................ 211

Оценка определенных интегралов......................... 212

Вычисление площадей плоских фигур...................... 213

Вопросы для повторения...................................... 216

ГЛАВА 13. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ........................... 217

Несобственныеинтегралы1-города......................... 217

Эталонный интеграл 1-го рода........................... 218

Несобственные интегралы 2-города....................... 219

Эталонный интеграл 2-го рода........................... 220

Исследование на сходимость несобственных интегралов 1-го и 2-го
рода от неотрицательных функций........................ 221

Исследование на сходимость интегралов
от знакопеременных функций............................  226

Использование интегралов в экономике................... 228

Вопросы для повторения.....................................  230

ГЛАВА 14. ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ................................. 231

Понятие двойного интеграла............................. 231

Основные свойства двойного интеграла................... 234

Нахождение двойных интегралов.......................... 235

Вопросы для повторения...................................... 239

ГЛАВА 15. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ.......................... 240

Необходимое и достаточное условия. Определения......... 240

Операции над множествами............................... 241

Булева алгебра......................................... 243

Вопросы для повторения...................................... 248
ГЛАВА 16. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА............................... 249

Понятие комплексного числа........................... 249

Арифметические операции над комплексными числами..... 250

Комплексная плоскость................................ 250

Функция комплексного переменного..................... 251

Тригонометрическая форма комплексного числа.......... 251

Формула Муавра....................................... 253

Извлечение корня из комплексного числа............... 254

Показательная форма комплексного числа............... 256

Свойства комплексной показательной функции........... 257

Вопросы для повторения.................................... 258

ТЕМАТИЧЕСКИЙ УКАЗАТЕЛЬ.................................... 259

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ......................................... 263
Предисловие

ir~i

===

Учебник написан в помощь студентам экономических
факультетов высших учебных заведений и дополнен сбор-
ником задач и упражнений по математическому анализу.
В учебнике кратко раскрыт важнейший теоретический
инструментарий математического анализа, необходимый
экономисту для его профессиональной деятельности.

Автору, в течение ряда лет ведущему математические
курсы на экономическом факультете МГУ им. М.В. Ломо-
носова, пришлось столкнуться с проблемами, связанны-
ми с отсутствием учебников и сборников задач по мате-
матике, отвечающих требованиям современной матема-
тизированной экономической науки.

Те пособия, которые сейчас рекомендуют студентам
экономических факультетов, стали устаревать (выпуски
60-х годов прошлого века). Современная же математичес-
кая литература ориентирована в основном на студентов
математических специальностей. А учебники, созданные
специально для студентов-экономистов, дают высшую
математику на элементарном уровне, недостаточном для
полноценного освоения специальных экономических дис-
циплин. В связи с этим существует потребность в обнов-
лении библиотеки учебной экономико-математической
литературы для студентов экономических факультетов и
вузов.

Данный курс по математическому анализу соответс-
твует требованиям университетского общеобразователь-
ного стандарта в области математики. Основой для этого
курса послужили работы 1-7 (см. в конце книги список ли-
тературы). Автор использовал наиболее интересные педа-
гогические находки из этой литературы в части изложения
материала в более доходчивой форме, а также наиболее
удачные примеры и иллюстрации.

В последние две главы вынесен материал, с которым
важно было бы познакомить студентов, но на который,
как правило, в течение первого года обучения не остается
времени.

В книге знаками ◄ и ► обозначаются соответственно
начало и конец доказательства основных утверждений и
теорем.
,»<	-^ai»..-1-*J^wbr?*4»ВЙД&»аЛ< *»* >.z»

Элементарные функции и их графики

> Определение функции

>	Способы задания функций

>	Декартова система координат

>	Полярная система координат

>	Формы задания функций

>	Основные свойства функций

>	Преобразование графиков

>	Элементарные функции. Обзор

При изучении природных явлений, процессов, обусловлен-
ных деятельностью человека, приходится рассматривать измене-
ние одной величины в зависимости от изменения другой, описы-
вая эти изменения функциональными зависимостями.

Понятие величины настолько широко и всеобъемлюще, что
ему трудно дать точное определение. Массы, давления, работы,
заряды, длины и объемы, целые и дробные числа — все это при-
меры величин. На первой стадии величиной можно считать то,
что, выраженное в определенных единицах (например, масса — в
граммах или тоннах и т. п.), характеризуется своим числовым зна-
чением. Так, площадь круга является величиной, поскольку она,
выраженная, например, в квадратных сантиметрах, полностью
характеризуется своим числовым значением (5, л и т.п.); сам
круг, конечно, не является величиной, так как для него характер-
на определенная форма, которая не выражается каким-либо чис-
лом.

За последние годы многие понятия, ранее воспринимавши-
еся лишь качественно (такие, например, как эффективность,
Математический анализ. Курс лекций
количество информации и даже степень правдоподобия), «по-
вышены в должности» и переведены в разряд величин. Каждый
такой перевод является радостным событием, так как он дает
возможность применить к указанным понятиям количествен-
ный математический анализ, что часто оказывается очень эф-
фективным.

В экономике наиболее часто используются следующие функ-
ции:

1.	Функция полезности—зависимость полезности, т. е. резуль-
тата, эффекта некоторого действия от уровня (интенсивности)
этого действия.

2.	Производственная функция — зависимость результата про-
изводственной деятельности от обусловивших его факторов.

3.	Функция выпуска — зависимость объема производства от
наличия или потребления ресурсов.

4.	Функция издержек — зависимость издержек производства
от объема продукции.

5.	Функции спроса, потребления и предложения — зависимость
объема спроса, потребления или предложения на отдельные това-
ры или услуги от различных факторов (например, цены, дохода
и т.п.) и другие.

Определение функции

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая
одно и то же значение. Переменной называется величина, которая
может принимать различные числовые значения. Если каждому
значению переменной х из множества X ставится в соответс-
твие одно вполне определенное значение другой величины у из
множества У, то величина у называется функцией величины х
и обозначается у = f(x). При этом величина х называется неза-
висимой переменной (или аргументом), величина у — зависимой
переменной (или функцией).

Способы задания функций

Существует несколько способов задания функции.

1.	Аналитический способ. Функция задается формулой вида
y = f(x).
2.	Табличный способ. Функция задается таблицей, содержа-
щей значения аргумента и с< члиетствующие им значения функции.

3.	Графический способ. На координатной плоскости изобра-
жается совокупность точек.

Положение каждой точки на плоскости можно определить
с помощью декартовой системы координат, или полярной систе-
мы координат.

Декартова система координат

На плоскости строятся две взаимно перпендикулярные пря-

мые — оси (например, горизонтальная (Ох > — абсцисса и верти-

У
1 к

У------<?М(х,у)

7л	х * х

Рис. 1.1

кальная (Оу) — ордината), которые масш-
табируются (рис. 1.1). Начальной точкой
отсчета (нулем) является точка пересече-
ния прямых. Направо и вверх по осям от-
кладываются положительные значения,
налево и вниз — отрицательные. Каждой
точке Мна такой координатной плоскости
соответствует пара значений переменных
(х, у) и обратно: каждой паре значений пе-

ременных (х, у) соответствует на плоскости одна точка. Совокуп-
ность таких точек будет представлять собой график функции.

Полярная система координат

На плоскости берется произвольная точка О — полюс. Из
него выходит полупрямая — полярная ось. Каждой точке М на
плоскости ставится в соответствие число р ( р > 0 ), выражающее
расстояние точки Мт полюса, и число <р (0<<р<2л) —величина
угла, образованного отрезком ОМ с полярной осью. Причем это
соответствие, как и в случае с декартовой системой координат
при условии (0 < <р < 2л), является взаим-
но-однозначным. Положительным на-
правлением отсчета угла <р считается на-
правление против часовой стрелки. Числа
р и <р называются полярными коорди-
натами точки М (рис. 1.2). Уравнение
р = У(<р) в полярной системе координат
определяет некоторую линию.
У	Легко установить связь между поляр-

ными и прямоугольными декартовыми
М/ координатами. Пусть начало прямоуголь-
у	ной системы координат совпадает с по-

V/'	люсом, а положительное направление

Xl ф	► оси Ох — с полярной осью. Из рис. 1.3

О	хх непосредственно следует:

Рис. 1.3
x = pcos<p, y = psin<p

и обратно:

р = у/х2+у2, <р=arctg (у/х\

ПРИМЕР 1. Построить график функции р = <р.

Решение. Составим таблицу значений (<р, р), записывая аргу-
мент <р в радианах, функцию р — в виде десятичной дроби:

ф	0	п  4	п  2	Зя ~4	п	Зя т	2я
р	0	0,79	1,57	2,35	3,14	4,71	6,28

Поворачивая радиус-вектор р на угол <р, строим график по
точкам. Он изображен на рис. 1.4.

-6

Рис. 1.4
Формы задания функций

Функция называется явной, если она задана формулой, в ко-
торой правая часть не содержит зависимой переменной, напри-
мер, функция у = х2 +5х-6.

Функция у аргумента х называется неявной, если она задана
уравнением F(x,y) = 0, не разрешенным относительно зависимой
переменной. Например, xlnx+ysiny = O.

Обратная функция. Пусть между переменными х и ^задан-
ными уравнением у - f(x), существует взаимно-однозначное со-
ответствие. Рассмотрим для примера функцию у = 2х-1. Выра-
зим в этом уравнении переменную х через у.

Как уравнение у = 2х -1, так и уравнение (1) описывают одну
совокупность точек на координатной плоскости. Связь между пе-
ременными одна и та же, различие лишь в форме записи. Эту
функцию х от аргумента у называют обратной по отношению к ис-
ходной. В уравнении (1) мы задаем значение переменной у, вы-
числяем значение переменной х. Обозначим независимую пере-
менную через х, зависимую переменную через у и перепишем
наше уравнение в виде

В дальнейшем под обратной мы будем подразумевать именно
такую функцию.

В общем виде, имея у = /(х), мы можем выразить х через у,
введя специальное обозначение аге, т.е. х = агс f(y). Это другая
форма записи исходной функциональной зависимости. Поменя-
ем переменные: у = агс/(х). Перед нами обратная функция. Об-
ратную функцию обозначают также в виде у = f ~' (х). Можно до-
казать, что для любой строго монотонной функции существует
обратная функция. Графики взаимно-обратных функций сим-
метричны относительно биссектрисы первого и третьего коорди-
натных углов.

Сложная функция. Пусть функция у = f(u) есть функция от
переменной и, определенной на множестве U с областью значе-
ний Y, а переменная и, в свою очередь, является функцией
и = <р (х) от переменной х, определенной на множестве X с об-
ластью значений U. Тогда заданная на множестве X функция
У= /1ф(Л) I называется сложной функцией аргумента х. Напри-
мер, у = In cosх — сложная функция.

Параметрическая функция. Если переменные х и у связаны
через третью переменную t, то функция задана параметрически.

Гх = 0,3/,

Например, <

|у = 2л

Функция, заданная в полярных координатах. Например,
р= у.

н /<Р

Основные свойства функций

1.	Область определения (или область допустимых значений)
аргумента. Множество X, на котором задана переменная х, назы-
вается областью определения функции или областью допустимых
значений аргумента (ОДЗ). В частном случае это может быть от-
резок [о;й],т.е. а<х<Ь, или интервал (я;А),т.е. а<х<Ь.

2.	Область изменения (или область значений) функции. Соот-
ветствующая всем возможным значениям аргумента совокуп-
ность значений функции называется областью изменения функ-
ции.

3.	Корни (нули) функции. Корнями функции называются те
значения аргумента, при которых функция обращается в нуль.

4.	Четность. Функция у- f(x) называется четной, если для
любых значений х из области определения справедливо соотно-
шение f (—х) - f(x), и нечетной, если f (-х) = -/(х). В противном
случае функция у = /(х) называется функцией общего вида.
График четной функции симметричен относительно оси орди-
нат, график нечетной симметричен относительно начала коор-
динат.

5.	Периодичность. Функция называется периодической, если
существуют такие постоянные числа, при прибавлении которых
к аргументу значение функции не изменяется. Наименьшее по-
ложительное из этих чисел называется периодом. Например, зна-
чение функции у = sinx не изменится, если к аргументу прибав-
лять любое число из множества 2пп, где neZ. Наименьшее
положительное из этих чисел 2л есть по определению — период
функции.
6.	Монотонность. Функция у = f(x) называется возрастаю-
щей (убывающей) на промежутке X, если большему значению аргу-
мента из этого промежутка соответствует большее (меньшее)
значение функции. Возрастающие и убывающие функции назы-
ваются монотонными. К монотонным функциям, наряду с возрас-
тающими и убывающими, относятся неубывающие и невозраста-
ющие функции.

7.	Экстремумы функции (локальные максимумы и миниму-
мы). Окрестностью данной точки х0 называется произвольный
интервал (с; Ь), содержащий эту точку внутри себя. Если сущест-
вует такая окрестность точки х0, во всех точках которой
/(х)</(х0), х * х0, то точка х0 называется точкой максимума
функции /(х), а значение /(х0) — локольнылгл/с/ссг/лгумомфунк-
ции. Аналогично, при выполнении неравенства /(х)> /(х0) воз-
никает локальный минимум /(х0).

8.	Асимптоты. Если при стремлении аргумента х к беско-
нечности (х—> °°) функция у стремится к постоянному числу а,
то прямая у = а называется горизонтальной асимптотой. Напри-
мер, функция у = 2+— будет неограниченно приближаться к чис-
х

лу2при (х—> °®). Следовательно, у = 2 — горизонтальная асимп-

тота.

Если при стремлении аргумента х функции y = f(x) к пос-
тоянному числу Ь модуль функции |у| неограниченно возраста-
ет, то прямая х = Ь называется вертикальной асимптотой. Напри-

,	1 г-

мер, функция у = —- будет неограниченно возрастать по модулю,

X ’ 1

если х -> 1. Поэтому прямая х = 1 есть вертикальная асимптота.

Преобразование графиков

График функции y-ft(x)± f2(x) можно получить, построив
два вспомогательных графика y-fA{x) и y = f2(x) и затем сло-
жив (вычтя) их ординаты при одинаковых значениях х. Анало-

гично строятся графики y = J\(x) f2(x) и у = ——.

/2(х)

График функции у = /(х) + с можно получить путем сдвига
графика функции у = /(х) вдоль оси ординат на с единиц вверх,
если с > 0, и на с единиц вниз, если с < 0.
График функции y = f(x+a) можно получить путем сдвига
графика функции У = ./(х) вдоль оси абсцисс на а единиц впра-
во, если а < 0, и на а единиц влево, если а > 0.

График функции у = f(kx) можно получить путем сжатия
графика функции y-f(x) вдоль оси абсцисс в к раз.

График функции y = kf(x) можно получить путем растяже-
ния графика функции y = f(x) вдоль оси ординат в к раз.

Элементарные функции. Обзор

Основными элементарными функциями называются следую-
щие аналитически заданные функции:

1.	Степенная функция у-ха, где а — любое действительное
число.

2.	Показательная функция у=ах, где а>0, а*1.

3.	Логарифмическая функция у = loga х, где а > 0, а * 1.

4.	Тригонометрические функции: у=sin х, у = cos х, у = tg х,
у = ctg х, у = sec х, у - cosec х.

5.	Обратные тригонометрические функции: y = arcsinx,
у = arccos х, у = arctg х, у = arcctg х, у = arcsec х, у = arccosec х.

Элементарной называется функция, которая может быть за-
дана одной формулой вида у=/(х), где справа стоящее выраже-
ние составлено из основных элементарных функций и постоян-
ныхприпомощиконечногочислаоперацийсложения,вычитания,
умножения, деления и взятия функции от функции. На основа-
нии определения следует, что элементарные функции являются
функциями, заданными аналитически. Элементарные функции
делятся на алгебраические и неалгебраические (трансцендент-
ные). Алгебраической называется функция, в которой над аргу-
ментом проводится конечное число алгебраических действий.
К ним относятся:

целая рациональная функция:

у=aQxn + ^х""' +...+а„_,х+ап;

дробно-рациональная функция:

аох"+д|хл~| +...+а„_,х+ая .

Ьйх” л-буХ*-1 + ...+bn_xx+bn '
иррациональная функция, если ее аргумент содержится под
знаком корня.

Функция, не являющаяся алгебраической, называется транс-
цендентной. Например, это любая тригонометрическая функция.

Рассмотрим графики некоторых основных элементарных
функций.

Степенная функция у = ха (рис. 1.5; 1.6).

Квадратный трехчлен у = ахг +Ьх+с (рис.1.7).

Показательная функция у = ах (рис. 1.8).
Логарифмическая функция у = logo х (рис. 1.9).

Тригонометрические функции (рис. 1.10—1.13).
Обратные тригонометрические функции (рис. 1.14— 1.17).
Введем дополнительно две функции. Первая из них
y = sgnx,
называется «сигнум х», т. е. знак переменной х:

1, х>0,
О, х = 0,
-1, х<0.

Вторая называется «антъех» (целая часть переменной х) и за-
писывается в виде:

у = [*1-

Их графики представлены на рис. 1.18 и 1.19.

y=sgnx

1-4
Вопросы для повторения

1.	Сформулировать определение функции.

2.	Сформулировать определения явной и неявной функций, сложной,
обратной, параметрической функций.

3.	Что такое полярная система координат?

4.	Перечислить и определить основные свойства функций.

5.	Каковы правила преобразования графиков функций?

6.	Какая функция называется элементарной?

7.	Нарисовать графики показательной, логарифмической, тригономет-
рических и обратных тригонометрических функций. Описать их
свойства.

8.	Дать определения функций «сигнум х» и «антьех».
Числовые последовательности

>	Сходимость последовательности

>	Кванторы

>	Бесконечно большие и бесконечно малые последова-
тельности

>	Ограниченность последовательности

>	Теоремы о сходимости последовательности

Сходимость последовательности

Если каждому числу п из натурального ряда по некоторому
закону поставлено в соответствие определенное действительное
число ап, то говорят, что задана числовая последовательность
а1, а2, ... аП, .... Числа at, а2, ... ап, ... называют членами или эле-
ментами последовательности, ап называют общим членом после-
довательности. Последовательность обозначается так: {а„}. На-
пример, л}. Введем понятие предела последовательности,
причем дадим три равносильных определения.

Определение 1. Последовательность называется сходящейся,
если существует такое число а, что в любой окрестности а нахо-
дятся все члены последовательности, начиная с некоторого номе-
ра. Эта окрестность называется е -окрестностью. Число а назы-
вается пределом последовательности и записывается в виде
lima„=a (lim — от латинского слова limes, или французского
limite, что означает ограничение, предел, грань).

Определение 2. Последовательность называется сходящейся,
если существует такое число а, что для любого как угодно малого
положительного числа е существует номер п0 такой, что все чле-
ны последовательности с номерами п>п0 удовлетворяют нера-
венству \ап -й|<е .

Кванторы

Кванторами называются символы: 3 — «существует», 3 — не
существует, V — «любой». С помощью этих логических символов
определение предела последовательности выражается следую-
щим образом:

Определение 3. Последовательность {а„} называется сходящей-
ся, т.е. liman =а, если

Зое R, Ve>0 Зл^е N | \/п>п0 => \а„ -й|<е.

Читается запись в кванторах следующим образом: «существу-
ет такое действительное число а, что для любого положительного
е существует номер числовой последовательности п(> такой, на-
чиная с которого для всех членов последовательности справедли-
во неравенство \ап - а\ < е ». Последнее неравенство означает, что
почти все члены последовательности лежат в е -окрестности чис-
ла а, т.е. а-Е<аП <а+Е. Вне этого интервала может оказаться
лишь конечное множество точек данной последовательности.

Рассмотрим последовательность {«„} = •

i+t!>
п

Если взять

Е =

1^, то, начиная с номера nti=3, справедливо неравенство

|а„ -1| < . На рис. 2.1 построена эта последовательность. Точка-
ми указаны члены последовательности, е- окрестность числа 1,

равная (1-е;1+е) =

выделена двумя пунктирными линия-
ми, указано число д, = 3, начиная с которого все члены последо-

вательности оказываются внутри е - окрестности. Если взять чис-

ло Е| « е, то и в этом случае найдется такой номер д', что все
члены последовательности с номером, большим или равным n{t,

окажутся внутри полосы (l-Epl+Ej, то есть число 1 есть предел

числовой последовательности

п

Определение. Последовательность {«„} называется расходящей-

ся, если она не имеет конечного или бесконечного предела.

Бесконечно большие
и бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность {«„} называется бесконечно
большой, если для любого сколь угодно большого числа е > 0 су-
ществует номер п0 такой, начиная с которого все члены последо-
вательности по модулю будут больше е.

Используя математические символы, определение можно за-
писать так:

если Уе>0 З^еN | Уя>До => |ал|>£.

Мы пишем р этом случае, что lima„ =°°.

Последовательность называется положительной бесконечно
большой, если lima„ =+~, что означает в кванторах:

УоОЗДцеТУ | Уи>До =>«„>£.

Последовательность называется отрицательной бесконечно
большой, если lima, =— ©О *

(У£>ОЗДое7У | Уи>До =>а„<-Е).

Последовательность {«„} называется бесконечно малой, если
lima, =0.

В кванторах:

Уе>0 ЗДцеТУ | Уи^Дц => |ал|<Е.
Ограниченность последовательности

Определение. Последовательность {«„} называется ограничен-
ной сверху, если существует число М, такое, что ап<М Vne N.
Если такое М существует, оно не является единственным.

Определение. Последовательность {«„} называется ограничен-
ной снизу, если существует число т, такое, что ап>т Vne N.

Определение. Последовательность {«„} называется ограничен-
ной, если она ограничена и сверху, и снизу, т. е. если существуют
числа т и М, такие, что т < ап < М .

Геометрически это означает, что все точки, изображающие
члены последовательности {ал}, лежат на отрезке [т; М}.

ПРИМЕР. Последовательность {«„} с общим членом

(-D1
п

ограничена: при всяком п имеем 0 < ап < 1,5.

Сформулируем определение ограниченности последователь-

ности с помощью логических символов.

Последовательность {«„} называется ограниченной, если

Зе>0 |	=>|й„|<е.

Определение неограниченной последовательности можно по-
лучить из предыдущего определения заменой квантора «сущест-
вует» на квантор «любой», квантора «любой» на квантор «сущест-
вует» и изменением знака неравенства. Этот подход справедлив
при формулировке любого определения с отрицанием.
Последовательность {о„} называется неограниченной, если

Ve>0 | Зие TV =>

ПРИМЕР. Последовательность {и+(-1)лл} неограниченная.
Она изображена на рис. 2.2.

Теоремы о сходимости последовательности

ТЕОРЕМА 1. (Об ограниченности сходящейся последова-
тельности.)

Всякая сходящаяся последовательность ограничена, т. е. су-
ществуют числа т и М, такие, что т <ап < М Vne N.

◄Пусть lima„ = а. Возьмем какое угодно е > 0. Тогда найдет-
ся такой номер и0, что все члены с номерами п > ntl будут содер-
жаться в интервале а-Е<ап<а+г. Вне этого интервала мотуг на-
ходиться лишь точки а), а2,... а^, количество которых является
конечным числом. Обозначим наименьший из этих элементов
через от|П, наибольший — через оП],1Х. Пусть т — наименьшее из
двух чисел amin и а -е, и пусть М— наибольшее из двух чисел лП1ах
и а+Е. Тогда на отрезке [т; М\ будут находиться все члены пос-
ледовательности независимо от номера, что и означает ее ограни-
ченность. ►

Определение. Последовательность {«„} называется убываю-
щей, еслиа) >а2>...>ап>... .

Определение. Последовательность {ап} называется возраста-
ющей, еслио, <а2 <...<а„ <....

Определение. Последовательность {«„} называется неубываю-
щей, если < а2 <... < ап <....

Определение. Последовательность {о„} называется невозрас-
тающей, если я, >а2 >...>ап >....

Определение. Последовательность {а„} называется монотон-
ной, если она является одной из вышеперечисленных.

Неубывающая последовательность {ал} ограничена снизу сво-
им первым элементом. Она будет ограниченной с обеих сторон
или просто ограниченной, если она ограничена сверху, т. е. если
существует такое число М, что ап<М .
Невозрастающая последовательность {ол} ограничена сверху
своим первым элементом. Она будет ограниченной, если она ог-
раничена снизу, т. е. если существует число т, такое, что
а„ > т \п.

ТЕОРЕМА 2. (О существовании предела у монотонной огра-
ниченной последовательности.)

Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет
предел.

◄ Пусть для определенности последовательность монотонно
не убывает. Из всех возможных чисел, ограничивающих сверху
последовательность, возьмем наименьшее, такое М, что ап<М
для Vne N. В силу монотонности

Ve>0 ЗЦцеТУ | УпкИд =>ап>М-е.

Тогда при л>/Ц) имеем М-е<ап <М . Из всех частей нера-
венства вычтем М: -г<ап-М <0. Полученное неравенство ум-
ножим на-1: с > М - ап > 0 > е. Из последнего соотношения сле-
дует: \а -Л/|<£,т.е. limo = М>-

Вопросы для повторения

1.	Что такое числовая последовательность?

2.	Сформулировать определение сходящейся последовательности.

3.	Что такое кванторы?

4.	Какая последовательность называется ограниченной сверху, снизу,
просто ограниченной?

5.	Сформулировать определение бесконечно большой и бесконечно
малой последовательности.

6.	Сформулировать и доказать теорему об ограниченности сходящейся
последовательности.

7.	Сформулировать и доказать теорему о существовании предела у мо-
нотонной ограниченной последовательности.
Предел функции

>	Понятие предела функции

>	Свойства бесконечно малых функций

>	«Связь» между существованием функции в точке х0
и существованием предела при х х0

>	Свойства пределов функций

>	Первый замечательный предел

>	Второй замечательный предел

>	Задача о непрерывном начислении процентов

• > Символ Ландау (символ «о»-малое)

>	Свойства символа «о»-малое

>	Асимптотические равенства

Понятие предела функции

Понятие предела функции является одним из основных в ма-
тематическом анализе. Определения производной, интеграла,
непрерывности и т. д. основаны на использовании предела.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности X
точки х0, кроме, быть может, самой точки х0.

Определение (по Гейне). Число b называется пределом функции
f(x) при х —>х0, если для любой сходящейся к х0 последователь-
ности %], х2,... хп,... (х,^ х0) соответствующая последователь-
ность /(Х]),/(х2), .../(х„)... значений функции f(x) сходится к Ь.

Определение (по Коши). Число b называется пределом функции
f(x) при х -> х0, если для любого числа е > О, которое может быть
как угодно малым, существует зависящее от е число б>0, такое,
чтодлявсеххизинтервала х0-8<х<х0 +8, где х^х(|,соответст-
вующие значения функции попадают в интервал b - е < f(x) <Ь+е.

Обозначается предел так:

lim f(x)-b.

Последнее определение удобно записать в кванторах:
lim f(x) = b, если

Ve>0 38(е)>0 | Vx: 0<|х-х0|<8 =>|/(x)-Z>|<£.

Дадим геометрическую интерпретацию понятия предела
функции в точке. На рис. 3.1 изображен график функции у = f(x).
Предположим, что функция имеет при х пределом число Ь.
Возьмем произвольное сколь угодно малое число е > 0. Окружим
число b е -окрестностью (6-е; Ь+е). Найдем на оси ОХ такую ок-
рестность точки х0: (х0 -8; х0 +8), при попадании в которую зна-
чений аргумента х соответствующие значения функции попадут
в е-окрестность числа Ь. При уменьшении числа е интервал
(b - е; b+е) будет стягиваться к числу Ь. Соответствующий ему ин-
тервал (х0 - 8; х0 + 8) будет стягиваться к числу х0. Это и доказыва-
ет, что lim/(x) = 6.

ПРИМЕР. Доказать, что lim(x+l) = 3

х-у2

Решение. Функция /(х) = х+1 определена всюду, включая
точку х0 = 2, в которой /(2) = 3. Возьмем любое е>0. Для того,

Рис. 3.1
чтобы неравенство |(х+1)-2|<е было верным, необходимо взять
8=е. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенство |х-1|<8,
будет справедливо неравенство |(х +1) - 2| < е. Это означает, что
число 3 есть предел функции f(x) = х+1 в точке х0 = 2.

Замечание 1. Величина 8 зависит от е , это иногда не записы-
вается явно, но всегда подразумевается: 8=8(e).

Замечание 2. Требование е>0 и 8>0 не всегда является обя-
зательным. При формулировании некоторых определений удоб-
нее брать, например, е < 0.

Замечание 3. В определении предела точка х = х0 из рассмот-
рения исключается. К чему это приводит, рассмотрим ниже.

Замечание 4. Перестановка в определении: «ддя любого 8 > 0
существует е > 0 » не допускается, так как в этом случае формули-
руется лишь условие ограниченности функции.

Замечание 5. Нахождение пределов с использованием опреде-
ления часто представляет собой весьма трудоемкую задачу, поэ-
тому развиты эффективные методы, позволяющие найти предел.

Замечание 6. Переменная х может стремиться к числу х0 не
только по произвольному закону, но и, например, только справа:
х —> + 0, или только слева: х х() - 0. Переменная х может стре-
миться к бесконечности: х—>«>, х—> + «>, х—>-«>. Соответствую-
щие значения функции могут приближаться к числу b по произ-
вольному закону (у->£), сверху (у->#+0), снизу (у-»6-0).
Функция может неограниченно возрастать (у->+°°), убывать
(у -> -оо), неограниченно возрастать по модулю (|у| ->).

Это приводит к существованию определений 36 пределов
функции в точке.

Сформулируем для примера несколько определений преде-
лов.
Бесконечный предел. Функция имеет бесконечный предел при
x-^Xg (lim/(x) = <=<>), если

Ve>0 38(е)>0 | Vx: 0<|х-х0|<8 =>|/(х)|>£.

Такая функция называется бесконечно большой.

Односторонний предел. Функция имеет односторонний пре-
дел справа при х->хо+О (lim f(x) = b), если

Ve>0 38(е)>0 | Vx: х0<х<х^ + 8 =>|/(x)-Z>|<e.

Предел функции на бесконечности. Функция имеет предел при
,х->-оо (lim f(x) = b), если

Ve>0 38(е)>0 | Vx<-8 =>|/(x)-b\<e.

Определение. Функция y-a(x) называется бесконечно малой
функцией при х -> х0, если

lima(x) = 0,T. е.

х->х0

Ve>0 38>0| Vx: 0<|х-х0|<8=>|а(х)|<£.

Например, функция у = х2 является бесконечно малой при
х -> 0, а у = Ух является бесконечно малой при х ->

Свойства бесконечно малых функций

1.	Если а(х) и Р(х) — бесконечно малые функции при х -> х0,
то функции а(х)±Р(х) есть также бесконечно малые при х-ьх0.

2.	Если функция а(х) является бесконечно малой функцией
при х -> х0, а функция f(x) ограничена в окрестности точки х0, то
произведение a(x) f(x) есть бесконечно малая при х->х0.

3.	Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности
точки хп, кроме, быть может, самой точки х„, и lim f(x) = b. Тог-
х->х°

да /(х) = #+а(х), где а(х) — бесконечно малая функция при
х->х0.

◄ Из определения предела lim f(x)~b следует, что для любо-

*->-*()

го сколь угодно малого £ >0 найдется такое 8> 0, что для всех х
из интервала 0<|х-х0|<8 справедливо неравенство |/(х)-6|<£.
Обозначим	а(х). Тогда в указанном интервале |а(х)| <£.

Это означает, что а(х) — бесконечно малая функция при
х-+х0>-

«Связь» между существованием функции в точке х0
и существованием предела при х —> х0

В определении предела функции в точке значение функ-
ции в точке х0 не влияет на предел функции в этой точке. Функ-
ция может быть не определена в этой точке. Проиллюстрируем
это с помощью трафиков, рассмотрев несколько случаев. Пусть
х>0 и х->2.

1. Пусть дана функция у = х. График изображен на рис. 3.2.

При х=2 функция существует и равна 2. При х->2 предел

существует и limx=2. Значение функции и предел в точке х = 2
х->2

равны.

Таким образом,

/(2) = 2,
lim/(x) = 2.

2. Пусть дана функция У -

х при х*2,
1 при х-2.

График изображен

на рис. 3.3. При х-2 функция существует, ее значение равно 1.
При х->2 предел существует и limx = 2. Значение функции
и предел в точке х-2 существуют, но не равны.
Рис. 3.4

Г/(2) = 1,

Таким образом,

. л->2

3. Пусть дана функция у -

х прих^2,	_ ,

_ График
не существует при х = 2.

изображен на рис. 3.4. При х = 2 функция не существует. При
х -> 2 предел существует и lim х=2.

Итак,

/(2) = не сущ.,
lim/(x) = 2.

х(х—2)

4. Пусть дана функция у = —тр. График изображен на

рис. 3.5. При х = 2 функция не существует. При х -> 2 предел не

существует, но существует предел справа lim х = 2 и предел слева
_	х—>2+0

lim х--2.

Таким образом,

/(2) = не сущ.,

lim/(x) = 2, lim/(x) = -2.

л->2+0	зс^2-О

х(х-2)

5. Пусть дана функция у =

|х-2|

при х 2,

2 прих = 2.

График изображен на рис. 3.6. При х = 2 функция существу-
ет и равна 2. При х -> 2 предел не существует, но существует пре-
дел справа lim х - 2 и предел слева lim х = -2.

jc—>2+0	jc—>2-0
Таким образом,

У(х) = 2,
lim f(x)-2, lim f(x) = -2.

х->2+0	' '	’ x^.2-0J ' >

Вывод, который можно сделать из рассмотрения этих случа-
ев: никакой связи между существованием функции в точке х0
и существованием предела при х -> нет.

Свойства пределов функций

Приведем свойства пределов без доказательства.

1.	Если функция f (х) имеет предел в точке x(j, то этот предел
единственный.

2.	Если f (х) < ф(х) для всех х из некоторой окрестности точ-
ки х(|, кроме, быть может, самой точки х0, и каждая из функций
/(х) и ф(х)вточке х0 имеет предел, то 1пп/(х)<1йпф(х).

3.	Если /(х) < ф(х) < п(х) для всех х в некоторой окрестности
точки х(), кроме, быть может, самой точки х0, и функции /(х)
и о(х) в точке х0 имеют один и тот же предел Ь, то и функция
ф(х) в точке х0 имеет предел, равный этому же числу Ь.

Пусть функции /(х) и ф(х) определены в некоторой окрест-
ности точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, и пусть су-
ществуют lim/(x)=a и 1нпф(х)=£.

Х-*Хц
Тогда:

4.	lim(/(x)±<p(x)) = lim/(x)±lim<p(x) = a±6.

X—>Xq	X—>Хд	X—>Лф

5-	x)) = lim /(x)lim y(x)=ab.

X—>Х() '	X—>Xq	X—>Хд

f(х)	а

6.	£,

^(р(х) lim<p(x) b

X-^Xq

если

7.	\\mkj\x}=ka.

X-^Xq

При выполнении некоторых дополнительных условий (не-
прерывности функций, о чем ниже) имеют место свойства:

8.	lim/(<p(x)) = /(lim<p(x)] = /(#).
X—>Х0	\Х—>Xf)	/

9.	limf/Cx))^'= 1пп(/(х))^<р(х) =afc.

Замечание. Свойства, касающиеся пределов суммы, произве-
дения, частного, обобщаются на случай любого конечного числа
функций, имеющих предел.

Если предельные значения оказываются равными 0 или то
могут возникнуть неопределенности различных видов. При этом
надо четко отделять возникающие неопределенности от внешне
похожих вполне определенных получаемых величин — опреде-
ленностей. При вычислении пределов могут появиться неопреде-
ленности вида:

О °°	лО / 	\0 V’

--, -, ОО-оо, и ,	°О/ , 1

и другие. Соотношения вида:

О ОО	.	.

—>  1 ОО+°О, 0“, (+°°)”

ОО О

являются примерами определенностей. Действительно,

[0+~]=>0,[(+°°) “]=>0 итакдалее.

Для преодоления этих трудностей (раскрытия неопределен-
ностей) существуют различные методы. Некоторые сводятся
к определенным очевидным преобразованиям. Другие требуют
теоретического обоснования.
Первый замечательный предел

Пусть х — угол, выраженный в радианах. Тогда lim-'-— = 1.

х->0 х

◄ Для доказательства рассмотрим круг радиусом R с центром
в точке О. Пусть ОВ — подвижный радиус, образующий угол х
(0 < х < ^) с осью ОХ (рис. 3.7). Из геометрических соображений
следует, что площадь треугольника А ОВ меньше площади сектора
АОВ, которая, в свою очередь, меньше площади прямоугольного
треугольника АОС, т. е.

-Я2 sin x<-/?2x<i/?2tg х.
2	2	2

1	7

Разделим части двойного неравенства на —R sin х, получим

1<

X 1	SUI X

----<	, откуда 1 >	> cos х. Функция у = cos х имеет
sin х cos х-----------х

при х->0 limcosx = l. Таким образом, две функции /(х) = 1
и ip(x) = cosx имеют при х->0 предел, равный единице. Потре-
sin х , .

тьему свойству пределов получаем lim-------= 1. ►

х->° X

Рис. 3.7
Второй замечательный предел

Бином Ньютона. Введем определение факториала как произ-
ведения п первых членов натурального ряда: 1-2-3-...-л=л!. На-
пишем выражение для суммы двух слагаемых в квадрате, затем
в кубе в таком виде:

(а+6)2 = а2 + 2ab+b2 = а2 +—ab+^-b2,
v ’	1!	2!

(а+Ь)~ - а3 + За2Ь+ЗаЬ2 +b' -а3 + — a2b+^~-аЬг +	-Ь3.

{	'	1!	2!	3!

При возведении в степень п суммы двух слагаемых:

(а+Ь)п = а" +^ап 'Ь+-^^а" 2Ь2 +

+ n(n-l)...(n-k + l)a„_kbk t , я(я-1)...21у
Л!	л!

где коэффициент перед Ьп, очевидно, равен единице. Эта
формула называется биномом Ньютона.

( 1Y

Рассмотрим числовую последовательность ап = 1+— . Вы-
k п)
числим значения нескольких членов последовательности: а1=2,
а2 = 2,25, а3 =2,37, аЛ =2,44, а5 = 2,49. Можно предположить, что
последовательность является возрастающей. Для доказательства
воспользуемся формулой бинома Ньютона:

а । П” 11 я 1 । "О*"1) 1 । , л(и-1)(и-2)„.(и-(и-1)) 1

" ( п) Г.п 2! п2 "	п\	я"

Преобразуем полученное выражение:

При увеличении п увеличивается как число положительных
слагаемых, так и величина каждого слагаемого, следовательно,
последовательность {а„} является монотонно возрастающей. Эта
последовательность ограничена сверху:
Стоящая в правой части сумма, начиная со второго слагаемо-
го, представляет собой сумму (и—1) члена геометрической про-

грессии:

9-1	0,5-1	1 2"-1

Поэтому

( 1Y

а„ = 1 + - <2+S„ ,<2+1 = 3.

" п J

Последовательность {а„} монотонно возрастает и ограниче-
на сверху. Следовательно, она имеет предел. Теория числовых ря-
дов позволяет вычислить его величину. Это иррациональное чис-
ло, приблизительно равное 2,71828.... Обозначим его через е.

Можно доказать, что функция

не только при натуральном п, но при любом действительном

( 1 Y
числе х -> +°° или х ->	имеет предел, равный е: lim 1 + — = е.

х)

Число е (число Эйлера) было названо именем швейцарского
математика и физика Эйлера (1707—1783), который свыше 30 лет
прожил в Петербурге и нашел там благоприятные условия для
своей научной деятельности. Число е используется при выводе
производных от некоторых функций и играет важную роль в ма-
тематическом анализе. К использованию числа е приводит' ана-
лиз таких процессов, как рост народонаселения, распад радия,
размножение бактерий и так далее. Можно предложить также
учебную экономическую задачу.

Задача о непрерывном начислении процентов

Пусть вклад 50 ден. ед. положен в банк под р процентов го-
довых. Найти размер вклада через Т лет при условии, что начис-
ление процентов производится п раз в год.

Решение. В результате одноразового начисления процентов
величина вклада станет равной
*$1 -*$) 1 +

Р
100л

где — — процент начисления за — часть года,
л	л

За год проценты на вклад будут начислены л раз. Воспользо-
вавшись формулой сложных процентов, получим величину вкла-
да через год:

Следует указать, что при таком подходе вкладчик за год полу-
чит сверхдоход, поскольку

50 1 +

Р
100л

'о

Р
100

Действительно, найдем разность

Д5 = 50 1+

Р
100л

'о

5° Г 100 ’

разложив Sn по формуле бинома Ньютона. При р« 100 ограни-
чимся первыми тремя членами разложения:

b.S~SG

t р Ф-Of р
100	2! [100л

2 [100 )

Н

2л[100 )

Для больших значений л вторым слагаемым можно пренеб-
речь. Получим величину сверхдохода вкладчика:

и2

2 [100 )

Через Т лет величина вклада окажется равной

$пт Д R

Р
100л

,лГ

Предположив, что л , получим величину вклада при не-
прерывном начислении процентов:

Se = lim 50| 1 +

Р
100л

,лГ	/

= 50 lim 1 +

Р
100л

100л Р гг
ГгГшппТ П
=V00.
Зависимость величины вклада от времени имеет экспонен-
циальный характер.

Формула завышает вклад по сравнению с тем, который рас-
считан по формуле сложных процентов:



ST

На рис. 3.8 изображена зависимость суммы вклада величиной
1 ед. от времени при вычислении по формуле сложных процентов
и по экспоненциальному закону при годовой процентной ставке
5%. Экспонента удовлетворительно описывает рост величины
вклада, особенно в первые годы. С течением времени расхожде-
ние увеличивается и, например, через 10 лет составит 1,2%. В таб-
лице для сравнения приведены величины вкладов через год хра-
нения вклада и через 10 лет, рассчитанные по формуле сложных
процентов и по экспоненциальному закону.

	Через 1 год	Через 10 лет
5Т=1 (1+-^-)  Т ( 100 J	1,05	1,62889
рТ	1,05127	1,64872
100% ST	0,127%	1,217%
Символ Ландау (символ «о»-малое)

Пусть а(х) и р(х) — две бесконечно малые функции при
х->х0-

Если

lim с* О,
а(х)

то функции а(х) и р(х) называются бесконечно малыми одного
порядка при х -> х0.

то функции а(х) и р(х) называются эквивалентными при х—>х0,
что записывается как

Р(х)~а(х).

Если

1ипД4=0,
х^х« а(х)

то функция р(х) называется бесконечно малой более высокого
порядка по сравнению с функцией а(х) при х —> х0.

Из определения предела следует, что

Р(х) ,с
а(х)

в некоторой 5-окрестности точки х0, или |р(х)|<е|а(х)|. Говорят,
что р(х) имеет более низкий порядок роста, чем а(х). Запишем
последнее выражение в виде

|р(х)|=о(|а(х)|),

где символ «о» называется «о»-малое. Рассматривая функцию р(х)
как бесконечно малую более высокого порядка по сравнению с
а(х) при х —> х0, можем пренебречь знаками обеих функций: из-
менение знака не приводит к изменению порядка функции. Поэ-
тому в дальнейшем, где это удобно, модули будем снимать:

Р(х) = о(а(х)).
ПРИМЕР 1. lim— = 0, поэтому х1 =о(х) при х->0.

ПРИМЕР 2. limу-0, поэтому х=о(1) при х->0.

Свойства символа «««-малое

◄Это следует из того, что

lim о(а(х)) = lim р(х) = 0

X ~^Xq	' X —> Xq

по определению бесконечно малой. ►

2.	к-о(а(х))=«(«(х)), где к — любое постоянное число, не
равное нулю.

◄ Пусть lim = 0. Тогда р(х)=о(а(х)). Разделим обе час-
^а(х)	v '

г ₽(х)
ти lim  — -
а(х)

= 0 на коэффициент к и внесем к под знак предела:

1	3(х) Р(х) .•

—lim *-7—^ = lim и , =1пп— — =0,
а(х) *-»*ь Jt a(x) *-**0 а(х)

откуда следует
и

Р(х) = о(А>а(х))
|р(х)=о(а(х)).
К-

Мы получили для р(х) три различных выражения. Прирав-
няем их.

Р(х)=о(к  а(х)) = к  о(а(х)) = о(а(х)).>

3.	о(а(х))±о(р(х))=о(а(х)).

◄ Докажем равенство для суммы. Пусть р, (х) и р2 (х) — бес-
конечно малые более высокого порядка, чем а(х).
Тогда

^(x^eJaCx)!
и

|Р2(х)|<е2|а(х)|.

Сложим эти неравенства, введя рз(х) и е3:

₽з (х) = |₽i (*)|+|₽2 (х)1 < Ei |a(x)|+е2 |а(х)|=(е, +е2)|а(х)| = е3 |а(х)|.

Получив

0<рз(х)<Е3|а(х)|,

можем записать

рз(х)=о(а(х)).

С другой стороны

Р,(х)=о(а(х))
и

Р2(х)=о(а(х)).

Сложим эти соотношения.

рз(х) = р,(х)+р2(х) = о(а(х))+о(а(х)).

Таким образом, p3(x)=o(a(x))+o(a(x))=o(a(x)).

При рассмотрении разности введем к - -1.

o(a(x)) -о(а(х))=о(а(х))+к - о(а(х))=о(а(х))+о(а(х))=о(а(х)). ►

4.	о(а(х) р(х)) = а(х) о(р(х))=р(х)-о(а(х))=а(х) р(х) о(1).
Доказывается аналогично.

5.	Если	= 1 ,то p(x) = a(x)+o(a(x)).

*-«<>а(х)	'

Р(х)

◄ Из определения предела следует: т -1«

в некоторой окрестности точки х0. Приведем к общему знамена-

телю и умножим обе части неравенства на знаменатель
|P(x)-a(x)|<E-|a(x)|.

Из неравенства следует: р(х) - а(х)=о(а(х))
или

Р(х) = а(х)+о(а(х)). ►

Замечание 1. Запись р(х) = а(х)+о(а(х)) означает, что к фун-
кции а(х) прибавляется некоторая другая функция, о которой
известно только то, что она является бесконечно малой по срав-
нению с а(х).

Замечание 2. Если две различные функции р(х) и у(х) уда-
лось представить в виде

Р(х) = а(х)+о(а(х)),
у(х) = а(х)+о(а(х)),
то это не означает, что р(х)=у(х). Под о(а(х)) в первом случае
скрывается одна бесконечно малая функция, а во втором — дру-
гая бесконечно малая.

Рассмотрим некоторые теоретические задачи, которые помо-
гут нам построить таблицу эквивалентных бесконечно малых
функций при х —> 0, или, если использовать символ «о», асимпто-
тических равенств.

Асимптотические равенства

Пусть переменная х —> 0. Тогда:

1)	sin х=х+о(х);

2)	tgx = x+o(x);

Y2

3)	cosx = l——+о(х2);

4)	arcsinx = x+o(x);

5)	arctgx = x+o(x);

6)	ln(l+x) = x+o(x);

7)	ex = l + x+o(x);

8)	(l+x)p = l + px+o(x).

i ™	v sin x i

1.	Из первого замечательного предела lim-----= 1 следует

х->0 V

асимптотическое равенство

sinx = x+o(x).

tfi X

2.	Найдем предел отношения —— при х —> 0:
х

.. tg х .. sin х	sin х .. 1 , , ,

lim —— = lim------= lim-----lim------= 11 = 1.

x-»0 x	x->° cosx • x X COS X
Поэтому tgx-x+o(x).

.1

3.	Докажем, что cos х = 1 ——+о

Решение.

1-cosx
lim ;—
x->0 v2

= lim
х->0

2sin2 —
2

sm— sin—

= lim----lim-----2- = ll=l.

x->0 X x->0 X

2	2	2	2

Следовательно, l-cosx =—+o

откуда и получаем искомое соотношение.
. „	arcsin х „	„

4.	Рассмотрим lim--------. Заменим arcsin х- у. Тогда

х

x = siny и у->0.

arcsin х у	1	1	1 ,

lim-------= hm —— = lim — =---------: = - -1.

х-»о х ^°siny sin у limsin у 1

у >->0 у

Следовательно,

5. Аналогично,

и тогда

arcsin х = х+о(х).

х->0 х

arctg х = х+о(х).

6.	Найдем предел lim—-------

х-»° х

Решение.

Ит^1^^ = lim—1п(1+х) = Цт1п(1+х)^ =lnflim(l+x)* )=lne = l.

х->0 х	X ' х-»°	'	I х->0	I

Получаем

1п(1+х) = х+о(х).

7.	Нетрудно показать, что lim------= 1.
Положим ех-1 = у. Отсюда х = In(1+у). Ясно, что у->0 при
х—>0.

Следовательно,

ех-1	v	1

lim----= lim—-— = lim 7—;----- = 1.

х_о х x^oin(l + y) х->о ln(l + y)

У

Поэтому

ех =1+х+о(х).

о тт	г (1 + *)Р-1

8.	Докажем, что lim------= р.

*>° х

Решение. Положим (1 + х)р -1 = у. Очевидно, у -> 0 при х -» 0.
Тогда

(1 + х)р =1 + у,
откуда

pln(l + x) = ln(l + y).

Поэтому

.. (1 + х)р-1 .. у .. f у

lim--------= lim—= lim ——-—-

х->0 jq х->0	х->0I ln(l+y)

Из этого следует, что (1+х)р = 1+рх+о(х).

Использование полученных асимптотических формул дает
мощный метод раскрытия неопределенностей при вычислении
пределов.

tc Юх—5х	'

ПРИМЕР 1. Найти lim ё
х-»о 2х

Решение. При х —> 0 имеем неопределенность — . Восполь-

зуемся заменой функции tglOx на асимптотически равную ей
функцию 10х+о(10х). Получим
. 5х+о(х)

= lim——— =

х-»° 2х

tg 10х-5х .. Юх+о(10х)-5х
lim—--------= lim----------- 

х->о 2х	2х

= lim
х->0

*(5+о(!))

2х

= lim

х->0

5

2

(Г-1

ПРИМЕР 2. Найти lim-—-
х->0 х

Решение. Здесь также неопределенность типа I . Предста-

вим ах = е,п“’ =ех'па и заменим асимптотической формулой

l + xlna+o(xlna).

.. ах \ exlno-1 .. l + xlna+o(xlna)-l
lim-----= lim------= lim------------------— =

x->0 x x->0 X	X

x(lna+o(l))	.

= lim—-------= lim(lno+o(l)) = Ina.

з/о 3 .

ПРИМЕР 3. Найти lim-- -

Решение. Для раскрытия неопределенности вида

вос-

пользуемся последней формулой в списке асимптотических ра-

венств:

>/8х3 +5
lim-----------= lim

-1 lim

! 1 5

1 + -—-г + О
3 8х3

Вопросы для повторения

1.	Сформулировать определение предела функции по Гейне при х—>х0.

2.	Сформулировать определение предела функции по Коши при х—>х0.

3.	Определить понятия бесконечного предела, одностороннего преде-
ла, предела функции в бесконечности.
4.	Сформулировать определение бесконечно малой функции, перечис-
лить свойства бесконечно малых функций.

5.	Существует ли связь между существованием функции в точке х0 и
существованием предела при х —> х0? Ответ обосновать.

6.	Перечислить свойства пределов.

7.	Что такое неопределенности?

8.	Доказать первый замечательный предел.

9.	Рассмотреть второй замечательный предел.

10.	Что такое символ Ландау? Перечислить его свойства.

11.	Привести список асимптотических равенств. Доказать справедли-
вость каждого из них.
Непрерывность функции

----------------------------------------------

>	Определение непрерывности

>	Свойства непрерывных функций

>	Точки разрыва функции. Их классификация
> Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение непрерывности

Понятие непрерывности функции, так же как и понятие пре-
дела, является одним из основных понятий математического
анализа. Когда устанавливалось понятие предела функции /(х)
при х —> х0, то считалось, что х х(1. А если функция существова-
ла в этой точке, то это не учитывалось. Рассмотрим теперь слу-
чай, когда f(x0) существует, причем lim f(x) =f(xQ). Итак, пусть
х~+х0

функция f(x) определена в самой точке х0 и ее некоторой ок-
рестности.

Определение 1. Функция f{x) называется непрерывной в точке
хй, если:

a)	f(x) существует в точке х0;

б)	f(x) имеет предел в точке л:0;

в)	lim/(x)=/(x0).

х^хо

Из определения и из того, что Umx=x0,
следует

f(x0 )=/(Um(x)| = Um /(х).

Следовательно, для непрерывной функции символ Um пре-
дельного перехода и символ/функции можно менять местами.
Рис. 4.1

t y=sgn(x)

Рис. 4.2

ПРИМЕР. Исследовать непрерывность в точке х=0 следую-
щих функций:

1)у = ->	2) y=sgn(x),

X	,

3)y = |sgn(x)|,	4)y = Jx’X*°’

[1, х = 0.

1.	В точке х = 0 функция у = — не является непрерывной, так
х

как нарушено первое условие непрерывности — существование
ДО) (рис. 4.1).

2.	В точке х = 0 функция у = sgn(x) (рис. 4.2) не является не-
прерывной — первое условие непрерывности выполнено, /(0)
существует и равна нулю, второе условие нарушено — не су-
ществует limsgn(x), хотя существуют конечные односторонние
х->0

пределы limsgn(x) = l и limsgn(x) = -l.
х-»+0	х->-0

3.	В точке х = 0 функция у - |sgn(x)| не является непрерыв-
ной (рис. 4.3). Первые два условия непрерывности выполнены,
поскольку

/(0)=|sgn(0)|=0,

lim f (х) = limlsgn(x)l = 1,

х-*0	х->01	1

но нарушено третье условие:

lim|sgn(x)|*/(0).

— х*0

4.	В точке х = 0 функция у = х ’	’ (рис. 4.4) непрерывна,

1, х = 0

так как выполнены все три условия непрерывности: /(0) = 1,
lim/(x) = l и lim/(x)=/(0).
Замечание 1. Последний случай интересен тем, что функция

X

у =—, не являющаяся непрерывной в точке х = О, модифицирова-

на так, что новая функция у =

-,х*0,
х	стала непрерывной в Лю-

1, х=0

бой точке на числовой оси (говорят, что функция дополнена до
непрерывности).

Замечание 2. График непрерывной функции в точке х = 0 ри-
суется при прохождении этой точки без отрыва ручки от листа бу-
маги.

Замечание 3. На языке (е-5) определение непрерывности
повторяет определение предела, за исключением поведения
функции в точке х0.

Определение 2. Функция /(х) называется непрерывной в точке
х0, если для любого числа е > О существует число 5(e) > 0, такое,
что для всех хиз промежутка |х-х0|<5 выполняется неравенство
|/(х)-/(х0)|<е.

Наконец, в кванторах определение непрерывности функции
выглядит так.

Определение 3. Функция /(х) непрерывна в точке х0, если

Ve>0 Э5(е)>0 | Vx:

|х-х0|<5 => |/(х)-/(х0)| < Е.

Для доказательства непрерывности в точке х0 функции /(х)
удобно воспользоваться результатами следующих рассуждений.
Одним из условий непрерывности в точке х0 выступает
lim,/'(х) = f (х0). Обозначим х-х0 = Ах. Тогда условие непрерыв-
Х->Хо

ности можно переписать:

lim/(x0+Ax)=/(xi)).
По определению предела

|/(х0+Ах)-/(х0)|<е.

Обозначим /(х0+Ах)-/(х0) через а(х), т.е.

/(х0 + Ах) - Дх0) = а(х).

Итак, получаем |о(х)|<е. Но последнее означает, что а(х)
есть бесконечно малая функция, т. е. lim а(х) = 0. Следовательно,
доказательством непрерывности в точке х0 может служить рав-
ный нулю результат вычисления предела

Um(/(x0+Ax)-/(x0)).

Этот подход может служить практическим приемом доказа-
тельства непрерывности функции в точке, а равенство lim А/ = 0

Дг->0
называется разностным условием непрерывности функции в точке.

ПРИМЕР. Покажем, что функция у = х2 непрерывна во вся-
кой точке х0 числовой оси. В нашем случае

/(х0 + Ах) - /(х0)=(Xq + Ах)2 - Xq2 ,
lim (/(х0 + Ах) -/(х0)) = Нт((х0 + Ах)2 -х2) =

= Um(2x„Ax+(Ax)2

Дх->0'

Значит, функция у = х2 непрерывна в любой точке х(1.

По аналогии с определениями предела справа и предела сле-
ва вводятся понятия непрерывности справа

Um /(х) = /(хо+О)

и непрерывности слева

Um /(х)=/(хо-О).

х~+хо-О

Определение. Функция называется непрерывной на промежут-
ке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства непрерывных функций

Пусть функции /(х)и g(x) определены в точке х0 и ее неко-
торой окрестности и непрерывны в точке х0.

1.	Если, кроме того, f(x) непрерывна в окрестности точки
х0 и /'(х(|)^0, то существует окрестность точки х0, в которой

= lim(Ax(2xn +Лх)) = 0.
функция не обращается в нуль и сохраняет свой знак (знак числа
Ж))-

2.	Функции f(x)+g(x), f(x)g(x), (при дополнитель-
g(x)

ном условии g(x) 0) непрерывны в точке х0.

3.	Сложная функция f(g(x)) непрерывна в точке х(1, то есть

lim f(g(x)) - /(lim g(x)) - f(g(x0)).
А --г-Хр	у Л	f

Можно доказать, что все основные элементарные функции
непрерывны в каждой точке своей области определения. Функ-
ции, которые получаются из основных с помощью конечного
числа арифметических операций, а также операций взятия функ-
ции от функции, примененных конечное число раз, также явля-
ются непрерывными функциями.

ПРИМЕР. Доказать непрерывность функции у = sin х.

Решение. Составим разность sin(x+Ax)-sinx и возьмем пре-
дел разности при Ах -> 0:

2х+Дх

2

lim(sin (x+Ax)-sin х) = lim2sin-----cos

Лх->0	Дх->0	2

Разложим функцию, используя «о»-малое: sin— =—+о(Ах).

Получим	2

2 lim —-+о(Дх)

Ах->о| 2

 lim cos

Дх-»0

2х+Дх
2

= 2limАх —+o(l) cosx = 0-cosх = 0.

Дх->0 I 2 I

Это означает, что функция у - sin х непрерывна в любой точ-
ке х числовой оси.

Точки разрыва функции. Их классификация

Пусть функция /(х) определена в некоторой окрестности
точки х0. Согласно определению, непрерывность функции /(х)
в точке х0 выражается соотношением

lim/(x) = /(x0).

X~>Xq
Пользуясь односторонними пределами функции, это равенс-
тво можно заменить равносильным ему равенством

lim /(х)=f(x0 - 0) = lim f(x)=f(x0 + 0) = f(x).

x-^Xg-0	x-^Xq+Q

Таким образом, функция f(x) непрерывна в точке х0 тогда
и только тогда, когда в этой точке существуют пределы слева
и справа, они равны между собой и равны значению функции
/(х) в точке х0.

Определение. Если в точке х0 функция /(х) не является непре-
рывной, то говорят, что /(х) разрывна в этой точке. Точку х0 на-
зывают точкой разрыва функции /(х), причем функция /(х) мо-
жет быть не определена в точке х0.

Точки разрыва функции классифицируются в зависимости
от того, какое условие непрерывности нарушено.

Определение. Если в точке х0 функция /(х) имеет предел слева
и предел справа и они равны между собой, но не равны значению
функции в точке х0, т. е.

lim /(х)= lim /(xI^/Cxq),
->jco-O	x-»xo+O

то точка х0 называется точкой устранимого разрыва функции /(х).

Подобный разрыв можно устранить, если дополнить разрыв-
ную функцию до непрерывности так:

Е(хН

/(х),	Х*Х^,

lim /(х), х = х(1.

х2 —1

ПРИМЕР 1. Пусть у — ~—

Имеем	х~^

.. х2-1	(х-1)(х+1) ... о

lim----= lim ----—-----= lim (х+1) = 2.

х->1-0 Х~ 1	х—1	х->1-0

Точно так же

.. х2-1	(х-1)(х+1)

lim------- lim '-----—----- =

х->1+0 х — 1 x->ti<)	X —1

= lim(x+l) = 2.
В точке х -1 функция не существует, но правый и левый пре-
делы существуют и равны между собой (рис. 4.5). Если изменить
значение данной функции в точке х-1, положив /(1) = 2, то по-

х2 —1

лучим непрерывную всюду функцию у = < х-1 ’

х*1,

2, х = 1.

ПРИМЕР 2. Функция у = -У имеет в точке х = 0 устрани-
х

мый разрыв. Дополнив ее значением у = 1 в точке х = О, получим
непрерывную функцию

1, х = 0.

Мы устранили разрыв, изменив значение функции в одной
точке х = 0.

Определение. Если в точке х0 функция /(х) имеет конечные
пределы слева и справа, но они не равны между собой —

lim /(х)* lim /(х),
:->хо-О	x-xxq+O

то точка х0 называется точкой неустранимого разрыва первого
рода, или точкой разрыва с конечным скачком функции. (При
этом безразлично, совпадает или нет /(х0) с одним из односто-
ронних пределов.)

ПРИМЕР. Пусть у=sgn х. В точке х = 0 функция имеет раз-
личные правый и левый пределы:

lim sgnx=-l, limsgnx=+l.

х->х0- 0	х->хо+О

Значит, в точке х=1 существует неустранимый разрыв перво-
го рода.

Определение. Если в точке х0 функция /(х) имеет бесконеч-
ный предел слева или справа или один из этих пределов не сущес-
твует, то точка х0 называется точкой разрыва второго рода.

£

ПРИМЕР. Пусть у = ех.

Для данной функции точка х = 0 есть точка разрыва второго
рода. Это обнаруживается при нахождении правостороннего пре-
дела:
lim ех - Ге+“ 1 - +°=.

х->+0 L J

Левосторонний предел оказывается конечной величиной:

£

lime* =Ге“1 = О.

х-»-о L J

Свойства функций, непрерывных на отрезке

В первой половине XIX века происходило становление мате-
матического анализа из разрозненных знаний как систематизи-
рованной, логически стройной науки. Значительную роль в этом
сыграли чешский теолог и математик Бернард Больцано (1781—
1848), французский математик, член Парижской АН Огюстен
Луи Коши (1789—1857) и немецкий математик, профессор Бер-
линского университета Карл Вейерштрасс (1815—1897). Они изу-
чали свойства непрерывных функций. Приведем без доказательс-
тва некоторые важные свойства непрерывных функций.

ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО-КОШИ (о нуле непре-
рывной функции).

Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а; Ь] и на концах
его имеет значения, противоположные по знаку, то Дх) обращает-
ся в нуль по крайней мере в одной точке интервала (а; Ь).

Геометрически результат теоремы очевиден. ЕслиДа)Д6)<0,
то точки А(а, f (а)) и B(b, f(b)) лежат в разных полуплоскостях, на
которые ось Ох делит плоскость хОу. График непрерывной функ-
ции y=f(x), соединяющий эти точки, обязательно пересечет ось
Ох по крайней мере в одной точке (рис. 4.6).

Требование непрерывности функ-
ции Дх) на отрезке [а; 6] является не-
обходимым: функция, имеющая раз-
рыв хотя бы в одной точке, может пе-
рейтиототрицательногозначениякпо-
ложительному и не обращаясь в нуль.
Так будет, например, с функцией

1, х>0,
-1, х<0.
ВТОРАЯ ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО-КОШИ (о промежуточ-
ных значениях непрерывной функции).

Пусть функция f{x) непрерывна на отрезке [а; Ь], причем
f{a) = А, f{b) = В. Тогда, каким бы ни было число С, заключен-
ное между числами А и В, на отрезке [а; Ь] найдется по крайней
мере одна точка с, такая, что Дс) = С.

Эти теоремы устанавливают, что, переходя от одного своего
значения к другому, функция хотя бы один раз принимает каждое
свое промежуточное значение между ее значениями на концах от-
резка.

ПЕРВАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА (об ограниченности
непрерывной на отрезке функции).

Если функция у — f{x) непрерывна на отрезке [а; Ь}, то она
ограничена на нем сверху и снизу, т. е. существуют такие числа т
и М, что для всех хе [а; />] справедливо неравенство т < ,/(х) < М.

Замечание 1. Если функция Дх) непрерывна на интервале
(а; Ь), то она необязательно ограничена на нем. Например, функ-
ция Дх)=— непрерывна на полуинтервале (0; 1], но не ограниче-
х
на на нем.

Замечание 2. Если функция Дх) не яв-
ляется непрерывной на отрезке [а, Ь], то
она может не достигать своих наименьше-
го и наибольшего значений. Например,
,	[х, 0<х<1,

функция y = i , не достигает
[0, х = 1

своего наибольшего значения на отрезке
[0;1](рис. 4.7).

Как уже указывалось, функция называется ограниченной свер-
ху, если ЗМеВ\ f{x)<M. Наименьшее из всех возможных значе-
ний М называется точной верхней гранью и обозначается
sup/(x) = min М {supremum — наивысший).

Функция называется ограниченной снизу, если 3/и е R: Дх) > т.
Наибольшее из всех возможных значений т называется точной
нижней гранью и обозначается inf Дх)= max т {infimum — наиниз-
ший).
0 а Х|	Ь

Рис. 4.8

ется важным. Рассмотренная ранее функция у =

ВТОРАЯ ТЕОРЕМА ВЕЙЕРШТРАССА (о достижении не-
прерывной на отрезке функции своих верхней и нижней граней).

Если функцияДх) непрерывна на отрезке [а; 6], то она дости-
гает на этом отрезке своих точной нижней и точной верхней гра-
ней, т.е. на отрезке [а; Ь] найдутся
такие точки х, и х2, что

f(x,) = т = inff(x)
xe[a; b]

И

f{x2) = M = sup /(x).
xefa; b]

Иными словами, найдутся та-
кие точки х, и Xj, что значения
функции /(х) в этих точках будут
наименьшим и наибольшим из всех

возможных ее значений на отрезке [а; 6] (рис. 4.8).

Замечание 1. Условие хе [а; 6] существенно: функция fix) = х
непрерывна на интервале (0; 1) и ограничена на нем, но ее точная
верхняя грань sup/(x) = 1 не достигается, т. е. нет такого х2 е (0; 1),
при котором /(х2) = 1.

Замечание 2. Условие непрерывности на отрезке также явля-
х, 0<х<1,
не
0, х = 1

достигает своего наибольшего значения на отрезке [0;1], хотя
sup/(x) = l.

Вопросы для повторения

1.	Сформулировать определение функции, непрерывной в точке.

2.	В чем заключается практический прием доказательства непрерыв-
ности в точке?

3.	Перечислить свойства непрерывных функций.

4.	Что такое точка разрыва функции? Привести принятую классифика-
цию точек разрыва функции.

5.	Сформулировать первую и вторую теоремы Больцано-Коши, первую
и вторую теоремы Вейерштрасса о свойствах непрерывной функции.

6.	Какая функция называется ограниченной снизу? сверху? просто ог-
раниченной?

7.	Будет ли ограниченной функция, непрерывная на интервале?

8.	Может ли функция на отрезке не достигать своего наименьшего или
наибольшего значения? Привести пример.
Производная и дифференциал функции

>	Производная функции одной переменной

>	Дифференциал функции

>	Правила вычисления производных

>	Правила вычисления дифференциалов

>	Производные некоторых элементарных функций
(таблица производных)

>	Инвариантность формы первого
дифференциала

Производная функции одной переменной

Основной задачей дифференциального исчисления является
нахождение по заданной функции y-f(x) ее производной
у'— f\x). Пусть задана функция у-f(x). Возьмем какое-нибудь
значение х0 из области определения функции. Соответствующее
значение функции в этой точке y = f(xQ). Зададим аргументу х
приращение Дх. Получим значение функции в новой точке
y = f(x0 +Ах). Приращением функции y-f(x) в точке х0, соот-
ветствующим приращению аргумента Лх = х-х0, называется ве-
личина

&y = f(x0+bx)-f(x0).

Производной у'(х) от функции y = f(x) называется предел

отношения — при Дх->0, если он существует. Таким образом,

Дх
по определению
У(х0) = f'(Xq) = lim= lim —— ’	= lim7- 2	,

Лх-^°Лх 'v^° Дх	х^хо х —х0

где х = х0 +Лх. Эти обозначения производной принадлежат Лаг-
ранжу.

Определение. Функция y-f(x) имеет производную на интер-
вале (а; Ь), если производная /'(х(|) существует в каждой точке х(|
этого интервала. Учитывая это, будем опускать индекс у величи-
ны X,, и записывать производную так: /'(х).

ПРИМЕР. Найдем производную функции у = х2 в любой
точке х области определения.

,, .	(х+Дх)2—х2	х2+2х-Дх+(Дх)2-х2

у (х) - lim'---------= lim--------------— -----=

Дх->0 Ах	Дх->0	Ах

- цт А*(2х+Ах) _ цт х+дх) _ 2Х
Дх-*0 Ах Лх-эО

Следовательно, функция у=х2 имеет во всякой точке х про-
изводную ,у'(х) = 2х.

Введем понятия левой, правой и бесконечной производной.

Определение. Правой производной у'+ функции у =flx) в данной
точке х называется величина

y'+=f'(x) = f'(x+0)=

Дх->+0 Дх
а левой производной — величина

у'. = fAx) = f\x - 0) = lim ,

Лх->-0 Дх

если эти пределы существуют.

Пользуясь понятием односторонних пределов функции, по-
лучаем: для того чтобы в точке х существовала производная /'(х),
необходимо и достаточно, чтобы в точке х функция у = /(х) име-
ла правую и левую производные, и эти производные были равны
между собой:

у'Ах) = у'+(х) = у\х).

ПРИМЕР 1. Рассмотрим функцию /(х) = |х|. Для этой функ-
ции предел отношения

Um|xo+Ax|-|x0|

л*->° Дх
в точке х(| - 0 имеет вид

11т!21МЛ=ПтМ.

Л*-»0 Дх Дх->0 Ах

Чтобы найти предел, необходимо раскрыть модуль. Рассмот-
рим случай Ах > 0. Это означает, что к точке х0 = 0 мы приближа-
емся справа (Ах = х-х0). Правая производная:

|Ах| дх ,
lim!—-=lim — = 1.

Л*->° Дх Лх^ОДх

Рассмотрим теперь область Ах<0. К точке х0 =0 мы прибли-
жаемся слева. Левая производная:

|Ах| -дх
ши1—lim---------=-1.

А*->° Дх Дх-*0 Дх

Правая и левая производные существуют, но не равны. Вы-
вод: функция /(х) = |х| в точке х0 = 0 не имеет производной, од-
нако имеет левую и правую производные.

ПРИМЕР 2. Исследуем существование производной у функ-
ции /(х) = х|х| в точке хо=О.

Um /(х0+Ах)-/(х0) = Цт (зд,+Дх)|х0+Дх|-х0|х0| =

А*->0	Дх	Дх

= Нт - цт | Дх|.

Ах->0 Дх Ах-эО1 1

Очевидно, последний предел равен нулю. Правая и левая
производные существуют и равны. Вывод: функция /(х) = х|х|
в точке хо=О имеет производную /'(0), причем /'(0)=0.

Определение. Функция у = /(х) имеет в точке х бесконечную
производную, если в этой точке

/'(х) = Кт —=оо.

Дх-ЛДХ

Символ “° может быть уточнен: f\x)=+°° или /'(х)— —оо.

ПРИМЕР 3. Исследуем существование производной у функ-
ции f(x)-4x в точке х0 = 0. К этой точке можно подойти только
справа. Правая производная:
г yjxo+^x-yfx^ л/Дх 1
/+(0)= lim ----------—-= lim--------= lim -j= = +°o.

Л*->+0 Дх	Дх->+0 Дх Дх->+ол/Дх

Левый предел и, соответственно, левая производная не сущес-
твуют. Вывод: функция f(x) = 4x в точке х0 =0 не имеет произ-
водной, но имеет правую бесконечную производную, равную +“=.

ТЕОРЕМА 1 (о непрерывности функции в точке).

Если функция У = /(х) имеет конечную производную в точке
х(|, она непрерывна в этой точке.

◄Действительно, существование производной в точке х(| оз-
начает, что

/'(x0) = lim—.

J V 07 Дх~>0Дх

По определению предела

у^-/'(х0) = а(Лх),

где ос(Дх) есть бесконечно малая функция при Дх -> 0. Отсюда

Ду = /,(Jco)Ax+a(Ax)Ax-

Применим практический прием доказательства непрерыв-
ности функции в точке, а именно, найдем предел приращения
функции в точке х0:

Нт Ду = lim (/'(х0)  Дх+а(Дх) • Дх) - lirn Дх(/'(х0) + а(Дх)) - 0.

Это и означает непрерывность функции y = в данной
точке х(|.>

Замечание 1. Обратное заключение не всегда верно: если функ-
ция Дх) непрерывна в некоторой точке х0, она может и не иметь
производной в этой точке.

Например, функция /(х) = |х| непрерывна в любой точке х,
она имеет конечную производную во всех точках числовой оси за
исключением точки х0 = 0. В этой точке, как было показано выше,
производная не существует.

Замечание 2. Требование существования конечной производ-
ной является важным. Например, у функции у = sgn х производ-
ная в точке х0 =0
lim sgn (x0+Ax)-sgnx0 = Ит sgn (Ax)-sgn (0) = Um sgn (Ax)

Дх->0	ДХ	Дх->0	Дх	Дх->0 Дх

с * л 1- sgn (Ах) ,.1	1А л

Если Ах>0, то hm——-—lim— = +°о. Если Ах<0, то

Дх->0 Дх	Лх->+0 Дх

lim^^lim^-.

Дх->о Дх	Лх->-0 Дх

Правая и левая производная равны +«>, однако, как мы зна-
ем, эта функция разрывна в точке х0 = 0.

Определение. Функция у = /(х) называется дифференцируемой
в точкех, если приращение функции, соответствующее прираще-
нию аргумента, можно представить в виде

Ду = А  Дх + ос(Ах) • Ах,

где А — число, не зависящее от Дх, а ос(Дх) есть бесконечно малая
функция при Дх -> 0.

Следующая теорема выражает необходимое и достаточное
условие дифференцируемости функции.

ТЕОРЕМА 2 (о необходимом и достаточном условии диффе-
ренцируемости).

Для того чтобы функция y = f(x) была дифференцируемой
в точке х, необходимо и достаточно, чтобы у - f(x) имела в этой
точке конечную производную.

◄ Необходимость. Пусть функция у = /(х) дифференцируема
в точке х. Докажем, что в этой точке существует производная
/'(х). Действительно, из дифференцируемости функции у=f(x)
в точке х следует, что приращение функции, отвечающее прира-
щению аргумента, можно представить в виде

Ду = А  Дх + ос(Ах)  Дх,

где ос(Дх) есть бесконечно малая функция при Дх->0.

Отсюда	— = Л+ос(Дх) или —-Л = ос(Ах).

Ах	Дх

По определению бесконечно малой функции: для любого

сколь угодно малого е > 0 38 > 0 такое, что для VAx, удовлетво-

ряющих условию Дх| < 8, справедливо неравенство |ос(Дх)| < е.

Значит, и

—-А <е. Но тогда lim — -А. Следовательно,
Дх	Лх->°Дх

f'(x) = А. Существование производной доказано. ►
^Достаточность. Пусть функция fix) в точке х имеет конеч-
ную производную /'(х). Докажем, что fix) в этой точке диффе-
ренцируема. Действительно, существование производной f'(x)

означает, что при Дх->0 существует предел отношения —
и что

1пп^ = Л*).

л*->0Дх

Отсюда

7^ = /'(х)+а(Лх),
Ах

где а(Дх)->0 при Дх->0.

Поэтому

Ду =/'(х)Лх+а(Дх)Лх.

В правой части последней формулы величина f'(x) не зави-
сит от Дх, а а(Дх)->0 при Дх—>0. Это доказывает, что функция
y~f{x) дифференцируема в точке х>

Теорема устанавливает, что для функции y=f(x) дифферен-
цируемость в данной точке х и существование конечной произ-
водной в этой точке — понятия равносильные. Поэтому опера-
цию нахождения производной функции называют также
дифференцированием этой функции.

Дифференциал функции

Пусть функция у =fix) дифференцируема в точке х, т. е. при-
ращение этой функции можно представить в виде суммы двух
слагаемых: линейного относительно Дх и нелинейного членов

Ду =/'(х) • Дх+а(Дх) • Дх,

где а(Дх) —> 0 при Дх -> 0.

(Определение. Дифференциалом функции называется линейная
относительно Дх часть приращения функции. Она обозначается
как dy wutdf(x). Таким образом,

dy=f'(x)Ax.

Замечание 1. Дифференциал функции составляет основную
часть ее приращения. Например, приращение функции у = х2
в точке х0=1, вызванное приращением аргумента Дх = 0,1, есть
величина Ду=(х0 + Ах)2-х£ =(1 + 0,1)2-I2 =0,21. Дифференциал
функции в этой точке равен dy = f'(x0')-^x = 2x0 Дх = 210,1 = 0,2.
Таким образом, на нелинейную часть приращения приходится
величина 0,01 из полной величины приращения 0,21. Поэтому
дифференциал называют главной частью приращения функции,
линейной относительно Ах.

Замечание 2. Наряду с понятием дифференциала функции
вводится понятие дифференциала аргумента. По определению
дифференциал аргумента есть приращение аргумента

dx = Дх.

Удобство такого определения можно проиллюстрировать на
примере функции у = х. С одной стороны,

dy = d(x) = dx.

С другой стороны,

dy = х'  Ах = 1 • Ах = Ах.

Поэтому

dy = dx = Дх.

Замечание 3. Формулу для дифференциала функции можно
записать в виде

dy = f\x)dx.

Отсюда получим

т. е. производная может быть представлена как обыкновенная
дробь — отношение дифференциалов функции и аргумента. По-
добное обозначение для производной ввел Г. В. Лейбниц (1646—
1716), немецкий математики философ.

Правила вычисления производных

Пусть функции ы(х) и v(x) имеют производные в точке х.
Тогда:

1.	(с ы(х)) =с и\х), если с — постоянная величина.

2.	(ы(х)±т(х)) = u'(x) ± v'(x).
3.	(м(х)-у(х)) =w'(x)v(x)+u(x)v'(x).

4	( и(х) Y_ u'(x)v(x)-u(x)v'(x) , ф 0

[v(x) J	v2(x)

5.	Пусть функции y=y(u) и u=u(x) имеют производные со-
ответственно в точках и() = ы(х0) и х,). Тогда

(У(«(х)))=/(«)Ц и(х)|х=х0-

Более короткая запись выглядит так:

х=к-<-

Или в дифференциалах:

dy _ dy du

dx du dx

6.	Пусть для функции у = у(х) имеется взаимно однозначное
соответствие между значениями переменных у и х в области зада-
ния этих переменных, причем у0 = у(х0).

Тогда

1

или

Докажем некоторые из этих соотношений.

1.	◄Пусть задана функция у=с-и(х). Ее производная нахо-
дится по определению

, Ду с и(х+Дх)-с и(х) с-Ли Ли

у = lim —= lim—-----------— = lim------с lim — =си .►

Ах'>0 Дх	Л*->0 Дх Лх-^ОДх

2.	◄Для функции y = u(x) + v(x) производную можно полу-
чить так:

, Ду
у - lim — = lim

Лх-эО Ду Ах->0

[w(x+Дх)+v(x+Дх)] - [и( х)+v(x)]
Дх

Km [w(x + Дх) - м(х)] + [v(x + Дх) - v(x)]

Дх-»0	Ах
Далее, перейдя к сумме пределов, получим ответ

Дм+Ду .. дм Дг ,. .	,, . .

lim--------- lim—+ lim — = u(x) + v(x).k

At-»° Дх	Ax-Я) Дх Лх-»0 Дх

3.	◄ Если функция имеет вид у - м(х) • v(x), то ее производная
вычисляется следующим образом:

у' = lim—= lim “(х+^)' v<x+~ “(х) • у(х) =

At-»0 Дх Дх-»°	Дх

(м(х)+Дм)  (v(x)+Д у) - М • V

Ах-»0	Дх

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим

.. м(х)-Ду+у(х)Дм	.... Ду	.... Дм

lim ---------—----=м(х)  1пп —+v(x) - lim—=

А*-»0	Дх	Ах->0Дх	Ах-»°Дх

=м(х) - у'(х)+v(x) • м'(х).

Мы учли, что м(х) и v(x) можно вынести за знак предела как
постоянные величины, не зависящие от Дх.>

4.	◄Производную функции	вычисляем по такой

схеме:	v^x'

м(х+Дх) м(х)] 1 lim

м(х)+Ди м(х) 1

y'=lim —-------------------= шп-------------—------.

Л» >|)[ у(х+Дх) v(x)J Дх д*-»°[у(х)+Ду v(x)J Дх

Приведем выражение в квадратных скобках к общему знаме-
нателю, опустим для упрощения записи аргумент х. Получим

Дм Ду

*	* v-------------м-----

lim —- v U—— - lim —--------------—=

Лх-»Оу.(у + Ду).Дх Дх-»° у2+у.Ду

lim

Дх-»°

[Дм Ду1
у----м--

Дх Axj

1ппГу2 + у-Ду1

Дх—>0L	J

Дм Ду
у-ши-----м-lim—	,	,

Ах-+0 Дх	Ах—>0 Ду VU — UV

у2

у2

5.	◄Правило нахождения производной сложной функции
можно проиллюстрировать, используя дифференциалы. Пусть
заданы функции у = у(и) и м=м(х). Для функции У~у(и) имеем:
, _dy

Уи du

Для функции ы = ы(х) аналогично и = —
х dx

Тогда

,	dy	dy du	,	,	.

1 = — - ------= y -и .►

x	dx	du dx	“	x

6.	◄Для нахождения х'у в зависимости у = у(х) также вос-
пользуемся дифференциалами.

, _ dx _ 1 _ 1

Ху dy dy/ у'х
/dx

Замечание. Пункты 5 и 6 нельзя рассматривать, как доказа-
тельства правил нахождения производной сложной и обратной
функций. Мы использовали здесь факт инвариантности первого
дифференциала (о чем ниже), который устанавливается именно
при помощи теоремы о дифференцируемости сложной функции.

Правила вычисления дифференциалов

1.	d(c • м(х)) = с  du(x), где с — постоянная величина.

2.	d(i/(x)±v(x)) = t/i/(x)±Jv(x).

3.	d(ы(х) • v(x)) - м(х) • dv(x) + v(x) • du(x).

. /ы(хЙ v du-u dv / x n

4.	dl	, где v(x) *0.

I v(x) 1 v

Докажем эти правила.

1.	◄ Пусть функция имеет вид у - с ы(х). Возьмем дифферен-
циал от функции у и воспользуемся тем, что для функции у - /(х)
дифференциал dy = f(x) dx. Получим

dy = d(c- ы(х))=(с • ы(х)) dx-c- и\х) dx = c- (и(х)  dx) - с  du(x). ►

2.	◄Зададим функцию в виде y = «(x)±v(x). Дифференциал
этой функции будет иметь вид

dy = d(ы(х)± v(x)) = (ы(х) ± v(x)) • dx = (и\х)±v'(x)) • dx =

= u'(x)dx +v'(x)  dx - du(x) ± dv(x). ►
3.	◄Если функция задается как y = u(x)v(x), то ее диффе-
ренциал вычисляется следующим образом:

dy = d(и(х)  г(х))=(и(х)  г(х))  dx - (и(х)  v(x)+v'(x)  и(х))  dx.

Раскроем скобки, перегруппируем сомножители, получим

у(х) • (и(х) • dx)+и(х)(у'(х)  dx) = v(x)  du(x)+u(x)  dv(x). ►

4.	Рассмотрим последнюю функцию у =	. Возьмем диф-

ференциал

I v(x) I I v(x)

_ v(x) • (и'(х)  dx) - и(х)  (v'(x)  dx)
v2(x)

v(x) du(x) - u(x)  dv(x)
v2

Что и требовалось доказать.

Производные некоторых элементарных функций
(таблица производных)

1.	(с) = 0, где с — постоянная.

2.	(ха) = аха-1.

3.	(ах) =(Г Ino.

4.	(ех) = ех.

5.	(logax) =^—.
х-1па

6-	(М =^-

7.	(sinx) = cosx.

8.	(cosx) =-sinx.

9.	(tgx) =—L_.
COS X

10.	(ctgx) =--Д-.
sm x

11.	(arcsinx) = . * ..

yl-x2

12.	(arccosx) =

13.	(arctgx) =т-Ц-.

1 + x

14.	(arcctg x) =---.

1 + x

Докажем справедливость этих формул. Будем руководство-
ваться определением производной, а также методами нахождения
пределов, в частности, методом с использованием «о»-малого.
1.	у = с, где с — константа.

◄ Производная у' = lim —- = lim — = 0. ►
Дх->0 Дх Дх->0 Дх

2. у = ха.

.а

(х + Лх)а — хи

◄Производная у' = lim ------------= lim

Дх->0 Ду	Дх->0

.а

-1

Дх

Поскольку-----> 0 при х —> 0, воспользуемся асимптотичес-

кой формулой для функции 1 +

lim

Дх->0

1 + а—+о — -1
х х )
Дх

- = lim

Дх->0

—(а+<Х1))

Для нашего предела величина х“-1 является постоянной (не
зависящей от Дх) и может быть вынесена за знак предела. Вос-
пользуемся также тем, что

lim (а+о(1)) = lim а + lim о(1) = а .

Дх->(Г	3 * * * 7 Дх->0	Дх—>0

Тогда

ха 1  lim Ах.(а+Оф) -хи 1 .Цт(а+о(1)) = а ха
Дх->0 Ду	Дх->0v	'

3. у = ах.

◄Находим производную:

ах+Дх _ах ах (а^ -1) ах (e&xina -
у' = lim----------- lim —--------- = lim —--------

Л*->0 Дх А*-»0 Дх Av-»0 Дх

Воспользуемся асимптотической формулой для показатель-
ной функции, а также вынесем ах за знак предела, как постоян-
ную для предела величину, получим

lim

Дх->0

ах (1+Дх • In а+о(Дх • In а) -1)

Дх

Дх-1па (1+о(1))
= ahm------------------------ =

Л*-»0 Дх

=ах lnt71im(l+o(l))=ax Ina.k
4.	Производная функции у-ех находится аналогично.

5.	y = logax.

◄ Ищем производную:

. f, ДхЛ , f, ДхА

, .. log (x+Ar)-log x	I x I I x I

у - lim ——----------- 11 m----*--------l -11 m —*--1.

а*-»0 Дх	д*->о Ax д*->о Ax-Ina

Используем асимптотическое разложение логарифма. В этом
случае

, (, ДхА	Дх (ДхА	дх,

tal+T	Т+"Т	7(|+'Х|»

lim —*-------' = lim---*--* = lim ~------=

дх->о Дх-lna дх->о Дх-lna д*-»0 Дх-lna

=-J- lim - (1+о(1)) =—}—.►
Ina д*-»о x	xlna

6.	Производная функции у = 1пх находится аналогично.

7.	у = sin х.

◄ Ищем производную, пользуясь формулой разности сину-
сов и первым замечательным пределом:

,, . Дх 2х+Дх

, .. sin(x+Ax)-sinx .. sin 2 C°S 2
у - lim —---------------- lim-------------—

Л*->0 Дх	А*-»0 Дх

. Дх

.. sinT г	2х+Дх

= lim--—  lim cos------- cosx. ►

Дх->0 Дх Дх->0	2

т

8.	Производная функции у = cos х находится аналогично.

9.	y = tg х.

◄Ищем производную по определению, преобразуя разность
тангенсов:

sin(x+Ax) sinx

yf = lim tg(x+Ax)-tgx = Hm cos(x+Ax) cosx =
Дх->о Дх Лх-*° Дх

= lim

Дх->0

sinAx 1
cos(x+Ax) cosx Дх
Далее используем первый замечательный предел:

sinAx ,.1	1

lim--------lim-----------------= —5- •

Лх->() Дх Ax->0cOS(x+ Ax)cosx COS X

10.	Производная функции y = ctg х находится аналогично.

11.	у = arcsin х.

◄ Выразим х через у. Полученная функция x = siny наинтер-

л л	,

вале <у<— имеет положительнУю производную x?,=cosx.

Поэтому

, 111 1 1
у = — =-----= —	— = —===== — —=====.

х' cosy ^l-sin2y 71~s'n2(arcs*nx) л/1-х2

12.	у = arccos х.

◄Для нахождения производной воспользуемся известной

тригонометрической формулой arcsin х+arccos х=.

Тогда

у' - (arccos х)' - - arcsin х - (arcsinx)' - -	

13.	y = arctgx.

◄ Найдем х: х=tg у
Поэтому

л л
при ~2<У<2'

1	2 COS2 у

-----— = cos у = —----~-

1	sin у+cos у

cos2 у

1 1 1

l + tg2y l + tg2(arctgx) 1 + x2

14.	y=arcctgx.

ТС

◄ Воспользуемся тождеством arctg x+arcctg х= —.

Получим

y'=(arcctgx)
Инвариантность формы первого дифференциала

Рассмотрим функцию у = у(х). Ее дифференциал есть

dy = yx(x)dx,

где символ ух означает производную по х. Обычно нижний ин-
декс не ставится в производных от функций одной переменной
в отличие от функций многих переменных. Однако мы его поста-
вим: далее появится еще одна переменная. Определим теперь
функцию у = у(х) как сложную, т. е. пусть аргумент х есть функ-
ция от новой переменной: х = x(t). Дифференциал функции х есть

dx = x'(t)dt.

Поэтому

dy = у' (x)dx=у' (х)  x’(t)dt.

Но выражение y'(x)x'(Z) есть производная у' сложной
функции у = y(x(t)). Тогда

dy = ух(х)  x'(t)dt = y'dt.

Таким образом, форма дифференциала не изменится, если
независимая переменная х станет зависимой. В обоих случаях
дифференциал функции есть произведение производной этой
функции по конечному аргументу на дифференциал этого аргу-
мента. Итак, инвариантность формы означает отсутствие вариан-
тов (безвариантность) вида первого дифференциала функции.

Вопросы для повторения

1.	Что такое приращение аргумента и приращение функции?

2.	Сформулировать определение производной.

3.	Сформулировать определения левой и правой производных в точке.

4.	Привести пример функции, которая имеет разные левую и правую
производные. Обосновать.

5.	Опираясь на понятия левой и правой производных в точке, сформу-
лировать необходимое и достаточное условия существования произ-
водной в точке.

6.	Какова связь между непрерывностью функции в точке и существова-
нием конечной производной в этой точке?

7.	Какая функция называется дифференцируемой в точке?
8.	Сформулировать и доказать теорему о необходимом и достаточном
условиях дифференцируемости функции в точке.

9.	Что такое дифференциал функции? аргумента?

10.	Какова связь между дифференциалом и приращением функции?

11.	Представить производную через дифференциалы аргумента и функ-
ции.

12.	Привести правила вычисления производных, доказать их.

13.	Привести правила вычисления дифференциалов, доказать их.

14.	Привести таблицу производных. Доказать каждую из формул таб-
лицы.

15.	В чем заключается инвариантность формы первого дифференци-
ала?
Геометрические приложения производной

>	Уравнение касательной к кривой

>	Геометрический смысл производной

(производная как тангенс угла наклона)

>	Угол между кривыми

>	Геометрический смысл дифференциал а

Уравнение касательной к кривой

Для вывода уравнения касательной будем кривую описывать
уравнением z = z(x), а прямую — уравнением y=k$+b. Назовем
касательной прямую линию y = kx+b, наилучшим образом опи-
сывающую исходную функцию z-z(x) в окрестности точки х0.
«Наилучшим образом» означает, что z(x)-(kx+b) = a в окрест-
ности точки х0, где а = а(х-х0) есть бесконечно малая функция
при х->х0.

◄В соответствии с определением производной

. .. z(x)-z(x0) Z-Zq
z (х0) = lim	= lim-----

*->*<> х-хо х^*>Х-Х0

Здесь введено обозначение z.(xfl) = zn.

По определению предела	——Z()=P, где Р = Р(х-х0) —

х~ Хо
бесконечно малая функция при х —> х0.

Отсюда

z=z^x+z0-z^x0+P(x-x0).
Здесь а=р(х-х0) — бесконечно малая функция при
х—>Xq.

Обозначим Л = b-=zn -Zg -х0. Тогда в окрестности точки
х0 уравнение кривой z = z(x) можно представить как z = kx+b+a.

Следовательно, y-kx+b есть по определению уравнение ка-
сательной к кривой z = z(x) в точке х0. ►

Нормалью называется прямая, перпендикулярная касатель-
ной и проходящая через точку касания х0.

Геометрический смысл производной
(производная как тангенс угла наклона)

Вернемся к прежнему обозначению произвольной функции
y=fix). Углом наклона между кривой и осью х в точке х0 называет-
ся угол между касательной к этой кривой в точке х0 и положи-
тельным направлением оси х. Рассмотрим график касательной
y = kx+b ккривой у = /(х) на рис. 6.1.

Дадим аргументу х значения х, и х2. Получим соответствую-
щие значения функции у, и у2. Построим прямоугольный треу-
гольник АВС с острым углом <р. Вычислим tg<p.

tg	- ^2 +Ь~(кХ, +b)^k

А^-Х]	Х2~Х1

Таким образом, величина к = у'о =у'(х0) есть тангенс угла на-
клонакгркяе& у = у(х) в точке х0 косих.
Если в точке х() функция у =fix) непрерывна и имеет правую
и левую производные f' и причем f'* f', то в точке х()
(рис. 6.2) график функции у -fix) касательной не имеет. Но су-
ществуют две односторонние полукасательные, или, что то же са-
мое, правая и левая касательные. Точку на графике функции, в ко-
торой происходит излом графика, называют в этом случае угло-
вой точкой кривой у =fix).

Если функция у =fix) непрерывна в точке х0, а ее правая и ле-
вая производные в этой точке бесконечны, то возможны четыре
различных случая:

1)	ZU)=ZU)=+~;

2)	AU)=ZU)=-oo;

з)	f'(xo)=+°°’ Л'0%)=-~;

4)	/+'(х0) = -оо, ffixn) = +°°.

На рис. 6.3—6.6 представлены графики кривых у =fix), кото-
рые проходят через точку М под углом 90° и отвечают случаям

Рис. 6.3
1—4. Очевидно, во всех случаях касательная перпендикулярна оси
х, в последних двух случаях образуются нижний и верхний «клю-
вики».

Угол между кривыми

Углом между кривыми на плоскости в их общей точке М(х0, у0)
называется наименьший из двух возможных угол между касатель-
ными к этим кривым в данной точке (рис. 6.7). Пусть к кривым,
описываемым уравнениями У=/(х) и y = f2(x), проведены каса-
тельные в их общей точке М(х0, у0), уравнения которых у - х+b
n y = k2x+b2. Угол между касательными будет равен <р - а - Р. Что-
бы можно было использовать производные в данной точке для
вычисления угла, найдем тангенс угла <р:

/2(^о) Л(*о) __ ^2 kj
1 + (х0 )f2 (х0) 1+k2k{

tg <p=tg(a-P) =
Тангенс острого угла — величина положительная. Если вы-
численный tg <р оказался меньше нуля, значит, найден тупой угол
ф = л-<р.

tg ф = tg(n- <р) = - tg <р.

Таким образом, угол между кривыми в точке их пересечения
может быть найден по формуле

<p=arctg

1+Axo)f'(xo)

Условие параллельности двух прямых
<р=0 —> (g<p=O —> fc|=fc2,

т. е. коэффициенты при переменной х должны быть равны.
Поэтому уравнение прямой, параллельной данной прямой
у — у	у — у

-—— - к, имеет вид -—— = к.

х-х,	х-х2

Здесь первая прямая проходит через точку с координатами
(х,; у (), вторая — через точку с координатами (х2; у2).

Условие перпендикулярности двух прямых

л

Ф=2

Отсюда уравнение прямой, перпендикулярной данной пря-

у — у

мой -—— = кн проходящей через ту же точку (х,; у,), имеет вид
х-х(

У~У, = 1

x-х; к

Геометрический смысл дифференциала

Пусть имеем кривую, заданную уравнением у=/(х), где/(х) —
дифференцируемая в точке х0 функция. Проведем касательную
к этой кривой в точке М(х0; у0) и отметим на кривой еще точку
М} с абсциссой x0+dx.

Рассмотрим треугольник МАВ (рис. 6.8). Поскольку /'(х0)
есть угловой коэффициент касательной, то

AB = MBtg, <p=dx-f\x0)-dy.
Таким образом, дифференциал dy есть вертикальный катет
в прямоугольном треугольнике, в котором гипотенузой является
отрезок касательной, а другим катетом — дифференциал аргу-
ментах

Из рисунка видно, что

Ду =f(x0+dx)~ f(x0) = BMf =BA+AMf = f'(x)dx+a&x.

Поскольку а=а(Дх) есть бесконечно малая функция, то
AMt«ВА. Следовательно, приращение функции в основном
описывается ее дифференциалом: Ду = dy.

Вопросы для повторения

1.	Вывести уравнение касательной к кривой.

2.	В чем заключается геометрический смысл производной?

3.	Как ведет себя функция в точке, в которой левая и правая производ-
ные бесконечны?

4.	Как найти угол между кривыми?

5.	Привести условие параллельности двух прямых.

6.	Привести условие перпендикулярности двух прямых.

7.	В чем заключается геометрический смысл дифференциала?
Производные и дифференциалы
высших порядков

> Производные высших порядков

> Дифференциалы высших порядков

> Производные функций, заданных неявно

> Производные функций, заданных параметрически

Производные высших порядков

Если функция Дх) имеет производную в каждой точке х об-
ласти определения, то/'(х) есть функция от х. Функция у  f\x),

в свою очередь, может иметь производную, которую называют
производной второго порядка функции Дх) (или второй производ-

ной) и обозначают символом/"(х).

Таким образом, Д'(х)) - lim

х~>* * * * * * * * * хо х-хо

Функция у=Д'(х) имеет производную на интервале (а; Ь),
если ее производная f*(x0) существует в каждой точке х0 этого
интервала. Имея это ввиду, будем опускать индекс у величины х0
и записывать производную так: f\x). Таким образом,

f\x) = (f'(x)).

Производные более высоких порядков определяются анало-
гично. Именно, производная и-го порядка функции Дх) есть про-
изводная от производной (и—I) порядка этой функции.

/(n)(x) = (/<n”(x))Z.

Число п, указывающее порядок производной, заключают
в скобки.
Дифференциалы высших порядков

Пусть функция у =f(x) зависит от переменной х и дифферен-
цируема в точке х. Может оказаться, что в точке х дифференциал
dy - f'(x)dx, рассматриваемый как функция от х, есть также диф-
ференцируемая функция. Тогда существует дифференциал от
дифференциала d(dy) данной функции, который называется
дифференциалом второго порядка функции у =j(x) и обозначается
d(dy) = d2y.

Аналогично определяются дифференциалы более высоких
порядков. Дифференциалом и-го порядка d"y функции у =f(x)
называется дифференциал от дифференциала (и— 1) порядка этой
функции:

dny = d(dn~'y).

Найдем формулы, выражающие дш}>ференциалы высших по-
рядков. Задачу нахождения дифференциалов более высоких по-
рядков разделим на два случая.

1.	Случай независимой переменной. Пусть y=fix) есть функ-
ция независимой переменной х, имеющая дифференциалы лю-
бого порядка. Тогда

dy=f'(x) dx,
где dx-tex есть некоторое приращение независимой переменной
х, которое мы задаем сами и которое не зависит от х. По определе-
нию

d2y = d(dy) = d(f\x)dx).

Переменной является аргумент х. Значит, для дифференциа-
ла величина dx является постоянной и может быть вынесена за
знак дифференциала. Поэтому

d2y = d(dy)=d(f'(x)dx) = dx  d(f'(x)).

Для вычисления d(f'(x)) применим формулу дифференциала
первого порядка к функции f'(x). Получим

d(f’(x)) = (f’(x))’dx = dx-f(x) dx=/'(x) dx2.

Следовательно,

d2y = f(x)dx2,

где dx2 обозначает (dx)2.
Рассматривая последовательно дифференциалы все более вы-
сокого порядка, получим формулу дифференциала и-го порядка

d”x=f(n\x)dx,t,

где введено обозначение dx" =(dx)n.

2.	Случай зависимой переменной. Пусть теперь у- f(u), где
и = и(х) — дифференцируемая функция. Тогда в силу инвариант-
ности формы первого дифференциала

dy = f’(u)du.

Здесь du - u'(x)dx в общем случае не является постоянной ве-
личиной. Поэтому дифференциал от величины f'(u) du берем
как дифференциал от произведения

d2y = d(f'(u)du)=d(f'(u))  du+f'(x)  d(du)) = f”(u)du2 + f'(u) d2u.

Сравнивая эту формулу с формулой d2y = f\u) du2), где и —
независимая переменная, делаем вывод, что уже второй диффе-
ренциал инвариантностью формы не обладает.

Производные функций, заданных неявно

Пусть функция у-у(х) задана в неявном виде, т.е. уравне-
нием, не разрешенным относительно у,

F(x,y) = 0.

Воспользуемся дифференциалом функции нескольких пере-
менных z = F(x,y), о чем будет подробно изложено в разделе
«Функции нескольких переменных (векторного аргумента)».
Дифференциалом такой функции является величина

dz = F'(x,y) dx+F'(x,y)  dy,

где нижний индекс означает дифференцирование функции
F(x,y) по обозначенной переменной. Предположим, что урав-
нение F(x,y) = 0 разрешено относительно зависимой перемен-
ной у. Подставив функцию у = у(х) в уравнение F(x,y)=Q, по-
лучим тем самым тождество F(x,y(x)) = 0. Возьмем дифференци-
ал от обеих частей тождества. Получим

dF(x,y) = F'(x,y) dx+F'(x,y) • dy = 0.	(1)
Полагая, что F'(x,y)^0 и деля обе части уравнения на
/^'(х,у) • dx, будем иметь

аУ - у'(Х)- F'^y\

dx х F'(x,y)

Другой подход заключается в следующем. Дифференциал
функции у = у(х) есть величина dy-y'x(x)dx. Подставим вели-
чину dy в левую часть уравнения (1) и вынесем dx за скобки:

Fx(x,y)dx+F'(x,y) dy = F'(x,y) dx+F'(x,y) yx(x) dx =
= (F'(x,y) + F'(x,y)  yx (x)) • dx.

Тогда наше уравнение будет иметь вид

(F'(x,y)+F'(x,y) y'x(x)) dx = 0.

Поскольку величина dx является постоянной и в общем слу-
чае не равной нулю, последнее уравнение принимает вид

F'(x,y) + F'(x,y) ух(х) = 0.

Откуда

Подобный подход дает алгоритм нахождения производной
функции у(х), заданной в неявном виде. Необходимо продиффе-
ренцировать обе части уравнения, рассматривая у как функцию
отх, а затем из полученного уравнения найти производную у'.

ПРИМЕР 1. Найти производную функции у=у(х), заданную
уравнением sin х - х • у(х)+In у(х) -2 = 0.

Решение. Дифференцируя обе части равенства по аргументу х,
получим:

cos х - у(х) - ху'(х)+= 0.

У<х)

Откуда

cosx-y(x)

1

X------

У(х)
Для нахождения второй производной у'(х) мы обычным об-
разом находим производную от первой производной, заменяя по-
лучаемые в правой части равенства функции у'(х) их значения-
ми. Для сокращения записи зависимость у от х часто не
указывается в явном виде, но подразумевается.

ПРИМЕР 2. Функция у = у(х) задана уравнением у2 = 2рх.
Найти у"(х).

Решение. Находим первую производную

2у-/=2р,

откуда

, Р -I

У =~ = Р У -

У

Находим вторую производную у"=р • (-1) • у~2 • у'.

Заменяем в полученном выражении величину у’ на р-у~\

Получим

у'=р (-1) Г2-р у’1 = -^-.

У

Производные функций, заданных параметрически

Пусть функция у = у (х) задана в параметрической форме

x = x(t),
y=y(t),

где функции х - х(/) и у - y(t) определены и непрерывны на не-
котором интервале изменения t. Напишем уравнения в диффе-

ренциалах. Получим

dx-x'dt,
dy = y’dt.

в	dy

Разделим второе уравнение на первое и учтем, что -у- = ух.
г аУ > У,	dX

Тогда -2-=у =£t.

dx х,	,,

* d у

С целью нахождения второй производной у„ = —сделаем
dx

следующие преобразования:
XXX К =

dy'x

dy'x _ dt _ (У'Л
dx dx x'

dt

X,
X'

ПРИМЕР. Найти y^ для функцииу=у(х), заданной парамет-
рически

х = 1п/,
V=A

Решение. Найдем первую производную



Найдем вторую производную

у" =

'ХХ >	\/

1	/

Вопросы для повторения

1.	Сформулировать определение производной второго порядка.

2.	Сформулировать определение дифференциала второго порядка.

3.	Обосновать неинвариантность формы второго дифференциала.

4.	Каков алгоритм нахождения производной «функции, заданной в не-
явном виде?

5.	Как найти производную функции, заданной параметрически?
Основные теоремы
дифференциального исчисления

>	Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

>	Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)

>	Сравнение функций по скорости роста
(теоретические задачи)

>	Формулы Маклорена и Тейлора

>	Разложение элементарных функций

по формуле Маклорена

В подготовке современных методов дифференциального ис-
числения значительную роль сыграли французы: юрист и матема-
тик, автор выдающихся работ в области математики Пьер Фер-
ма (1601—1665), математики, члены Парижской АН Мишель
Ролль (1652—1719) и Жозеф Луи Лагранж (1736—1813), автор ме-
тода решения задач на условный экстремум, Огюстен Луи Коши
(1789—1857).

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши

Рассмотрим основные теоремы дифференциального исчис-
ления, лежащие в основе приложений производной.

ТЕОРЕМА ФЕРМА (о равенстве нулю производной).

Пусть функция у = /(х):

1)	дифференцируема на интервале (а;Ь);

2)	достигает наибольшего или наименьшего значения в точке
х0 е (а; Ь).
Тогда производная функции в этой точке равна нулю, т.е.

Л^)=о.

◄Пусть функция у = f(x) дифференцируема на интервале
(а; Ь) и в точке х0 (рис. 8.1) принимает наибольшее значение при
х0 е (а; Ь). По определению производной

f'(x0) = lim

x-x0

причем предел не зависит от того, будет ли х -> х0 справа или
слева. Но при х > х0

f(x)-f(x0)^Q

х-х0

откуда следует, что /'(х0)<0. При х<х0 имеем

/(х)-/(х0)^0
х-х0

следовательно, /"(х0)>0.

По условию функция у = /(х) дифференцируема в точке х0,
следовательно, ее предел при х —> х0 не должен зависеть от выбо-
ра направления приближения аргумента х к точке х0, т. е.

lim /(х)-/(х0)_ Um /(х)-/(х0)

х-^+0 Х-Хо x^xj-О Х-Хо



Получаем систему

Л*о)^О,
/'(х0)>0,

из которой следует /'(хо) = О.
Аналогично рассматривается случай, когда функция принимает
в точке х0 наименьшее значение. ►

Геометрический смысл теоремы Ферма очевиден: в точке на-
ибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри про-
межутка, касательная к графику функции параллельна оси абс-
цисс.

ТЕОРЕМА РОЛЛЯ (о нуле производной функции, прини-
мающей на концах отрезка равные значения).

Пусть функция у=/(х):

1)	непрерывна на отрезке [а; 6];

2)	дифференцируема на интервале (а; Ь);

3)	на концах отрезка [а; А] принимает равные значения:
f(a)=f(b).

Тогда на интервале (а; Ь) найдется по крайней мере одна точ-
ка х0, в которой /'(хо) = О.

◄Функция у = /(х) непрерывна на отрезке [а; 6]. В силу
второй теоремы Вейерштрасса она на этом отрезке принимает
наименьшее и наибольшее значения. Пусть это будут значения
тнМ.

Могут представиться два случая:

1.	М = т. В этом случае т < /(х) < т, функция у = /(х) имеет
постоянное значение на отрезке [а; 6]. Поэтому /'(х) = 0 на всем
интервале (а; Ъ), теорема верна.

2.	М>т. Тогда даже в том крайнем случае, когда, например,
функция у -fix) наибольшее свое значение принимает на конце
отрезка /(о)=	наименьшее значение она будет прини-

мать уже внутри отрезка. Следовательно, найдется точка х0 е (а; Ь),
вкоторой /(х0) = т. Но тогда по теореме Ферма /'(хо) = О.к

Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: най-
дется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функ-
ции будет параллельна оси абсцисс.

Если f(a)=f(b) = 0, то теорему Ролля можно сформулировать
так: между двумя последовательными нулями дифференцируе-
мой функции имеется хотя бы один нуль производной.

ТЕОРЕМА ЛАГРАНЖА (о конечных приращениях).

Пусть функция у = /(х):

1)	непрерывна на отрезке [а; 6];

2)	дифференцируема на интервале (а; Ь).
Тогда на интервале (а; Ь) найдется по крайней мере одна точ-
ка хп, такая, что

/(*)-/(«) = „хА

◄Введем вспомогательную функцию L(x) на отрезке fa;b],
определив ее так:

Цх)=/(х)-/(а)-^^(х-а).

b-a

Эта функция на отрезке [а; А] удовлетворяет всем условиям
теоремы Ролля. Действительно, она непрерывна на [а;Ь], пос-
кольку непрерывны все слагаемые £(х). На интервале (а; Ь)
функция £(х) имеет производную, так как каждое слагаемое
в выражении £(х) имеет производную на этом интервале. Нако-
нец, в результате непосредственной проверки убеждаемся в том,
что Ца) = ЦЬ) = 0.

В силу теоремы Ролля, существует хотя бы одна точка
х0 е (а; Ь), в которой Г'(х0) = 0. Следовательно,

L'(xo)=f'(xo)-^^-~f^--O.

b—a

Отсюда f'(x0) =	, х0 е (а; Ь).►

Ь—а

Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа,
когда Да)=/(/>).

Геометрический смысл теоремы Лагранжа. Отношение
f{b)~f{a)	. .	AD С'/ \

--	есть угловой коэффициент хорды АВ, a f (х0) естьуг-

Ь-а

ловой коэффициент касательной к кривой у =/(х) в точке с абс-
циссой х0 (рис. 8.2). Таким образом, утверждение теоремы Лаг-
ранжа сводится к следующему: на кривой у =fix) между точками а
и b найдется точка М(х0; f(x0)), такая, что через эту точку можно
провести касательную, параллельную хорде АВ.

Доказанная формула называется формулой Лагранжа, или
формулой конечных приращений. Она может быть переписана
в виде

f(b)-f(a) = f(x0)(b-a).

ТЕОРЕМА КОШИ (об отношении конечных приращений
двух функций).

Если функции y-f(x) и j=g(x):
1)	непрерывны на отрезке [а; 6];

2)	дифференцируемы на интервале (а; Ь);

3)	производная g'(x) ф 0 на интервале (а; Ь), тогда на интер-
вале (а; Ь) найдется по крайней мере одна точка х0, такая, что

/\хй)

g(b)-g(a) g'(x0)'

◄Из условия теоремы следует, что g'(x) ф 0. Это означает, что
разность g(b)-g(a)*Q. Действительно, если бы g(6)-g(o) = 0, то
функция y=g(x), являясь непрерывной и дифференцируемой,
удовлетворяла бы условиям теоремы Ролля, и в таком случае g'(x)
была бы равна нулю по крайней мере в одной точке х0 интервала
(а; Ь), что противоречит условию.

Введем вспомогательную функцию

K(x)^f(x)-f(a)-^p^(g(x)-g(a)).

g(b)-g(a)

Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.
В самом деле:

1)	функция К(х) непрерывна на отрезке [а; 6], так как непре-
рывны функции у =fix) и у = #(х);

2)	функция К(х) имеет производную всюду на интервале
(а; Ь), поскольку каждое слагаемое в правой части равенства име-
ет производную на этом интервале;

3)	K(a) = K(b)=Q, что подтверждает непосредственная про-
верка.

Применяя теорему Ролля, делаем вывод о существовании
между а и b такой точки х0, что К'(х0) - 0. Поэтому
g(fe)-g(a)

Отсюда следует
/Ы	(а) *

g'(x0) g(b)-g(a)

Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши:
достаточно в теореме Коши взять g(x) = х.

Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя)

Сформулированные и доказанные теоремы легли в основу
доказательства метода раскрытия неопределенностей, который
нашел швейцарский ученый И. Бернулли, но опубликовал фран-
цузский математик Мишель Лопиталь (1661—1704).

ТЕОРЕМА (ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ) (о нахождении преде-
ла отношения функций через предел отношения их производных).

Пусть функции y-f(x) и y = g(x):

1)	дифференцируемы в окрестности точки а, кроме, быть мо-
жет, самой точки а;

2)	g(x) / 0 и g'(x) + 0 в этой окрестности;

3)	lim/(x) = 0, limg(x) = 0;
х-эа	х-эс

..	/'(х)	,

4)	lim- — существует конечный или бесконечный.

g (х)

п	г /(х) г /(х) г /Xх)

Тогда существует lim , причем lim	- пт- у- -.

х^а g(x)	g(x) g (х)

◄В теореме ничего не сказано о значениях у = f(x) и у = g(x)
в точке х- а. Положим /(a) = g(a) = 0. Так как теперь lim/(x) =
= f(a) и limg(x) = g(a), то функции y=f(x) и y=g(x) будут не-
прерывны в точке а. Поэтому на отрезке [а;х], где х—какая угод-
но точка окрестности точки а, функции у = f(x) и у = g(x) удов-
летворяют всем условиям теоремы Коши. Следовательно, между
а и х найдется по крайней мере одна точка х0, такая, что

/(х) _ Дх)-/(а) Ахо)

g(x) g(x)-g(a) g'(x0) ’
Величина х0 зависит от х, причем при —i---1----1—

х->а точка х0 также будет стремиться а х
к а (рис. 8.3).	Рис. 8.3

Поэтому lim^—= lim Z и lim^ = lim .

х^а g(x) x<^ag(x0)	^g(x) ^eg(x0)

Из последних двух соотношений следует, что

.. /(х) .. f'(x)
lim^-i = lim	'. ►

Л>0 g(x) ™ g (х)

Последнее равенство выражает правило Лопиталя, по кото-
рому вычисление предела отношения двух функций может быть
заменено при выполнении условий теоремы вычислением преде-
ла отношения производных этих функций. Это один из наиболее
мощных методов нахождения пределов.

Замечание 1. Правило Лопиталя распространяется на случай
неопределенности типа — I при х -+а, поскольку можно дока-

I 00 I

зать теорему Лопиталя при условии, что
lim/(x)= ©о и limg(x) = ©о.
х->п	х->а

ПРИМЕР. Найти lim .

*->° ctg х

Решение.

Inx fool sin2x sinx	_ n

lim----= — =-lim-------= -lim----limsinx = 10 = 0.

ctg x L°°J x x-*° x *->0

Замечание 2. Правило Лопиталя распространяется на случай
х оо. Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену х =
и воспользоваться результатом теоремы.

ПРИМЕР. Найти lim^.

Х-»<» у] %

Решение.

I

lim^^=[— = lim—^Ц- = 31ш1-Д= = 0.

х—х/I о©	X—>°° J    X—>°°

V L J	з	V

3

Замечание 3. Иногда приходится применять правило Лопита-
ля последовательно несколько раз (делать несколько шагов), если
от неопределенности не удается избавиться на первом шаге. Од-
нако условия теоремы на каждом шаге должны оставаться спра-
ведливыми.

ех
ПРИМЕР. Найти lim—.

Решение.	х

= lim-----?

*->“ 20х3

= lim-—у

*->“ 60х2

= lim——
*->“120х

= lim4-

Замечание 4. Хотя правило Лопиталя работает только с неоп-

ределенностями

О’

О

неопределенности других типов мо-

гут быть раскрыты с помощью этого правила, если путем преоб-

разований удастся привести изучаемую неопределенность к типу

Г°1	Г°°1

[о]	L~J

ПРИМЕР. Найти liml xsin— ].

х)

Решение.

liml x sin— j=[o° 01 = lim

*->“1 х I *->“

. a
sin—
___x _

£
x

= lim---x — = a lim cos—=a.

*->“	-1	*->“ x

Данную задачу можно решить, используя первый замечатель-
ный предел. Действительно,

liml x sin— ]= lim

. a	.a

sm—	sin—

—~ = a-lim—— = al = a.
1	*-»~ a

x	x

Сравнение функций по скорости роста
(теоретические задачи)

Рассмотрим некоторые функции, возрастающие при х -» +«>.
Составим из них ряд

y = logox, а>1; у = хк, к>0;	у = ах,а>1;	y=xl; у = хх
и докажем, что чем правее в ряду находится функция, тем быст-
рее она растет. Будем искать предел отношения рядом стоящих

функций при х -» + °°.

1

, .. logox
1. lim - у -
Х->+оо

правило х1пл

Лопиталя *->+“ кх *->+“

кх*1па

х >"• кх‘

следовательно, функция у = х*, к > 0, растет быстрее при х -> +°°,
чем функция у = logo х, а > 1.

„ хк правило

2. lim — =

%->+«. ах [Лопиталя

кх*

- пт—

Jt-1

х->+~ах1па

Для любого к > 1, в том числе и сколь угодно большого, спра-
ведливо неравенство п -1 < к < п, где п — натуральное число. При-
менив правило Лопиталя п раз, получим

*->+“ ах\ппахп

где величина п - к > 0. Числитель дроби — постоянное число, зна-
менатель неограниченно возрастает, предел этой дроби равен

нулю. Итак, функция у-ах, а>1, функция растет быстрее при

х-»+°°,чем у = хк, к>0.

и

3.	Найдем lim —. Аналогично второму случаю для любого

а>1 верно неравенство п<а<п+1. Запишем дробь следующим
образом:

ах а а а а а<а" ( а
х! 1 2 и п+1 х и! [и+1

где произведение последних правильных (х—и) дробей заменено
на наибольшую из них дробь в степени х—и.

X	И Г \Х " Л f	\х—л

...	а а ( а i а". I а \

Тогда lim—< lim— ---------- =—lim ---------- =0,

*->+“х! х-»+~л! [и+lj и.'*->+“^и+1)

а	. „	ах	с

так как-----< 1. С другой стороны, отношение — не может быть

и+1	х!

отрицательным. Итак, предел рассматриваемого отношения функ-
ций ограничен сверху нулем и не может быть меньше нуля. Поэ-
.. ах _

тому пт — = 0.

х—>+<»
... х! 1 2 х 1 .. 2 .. х

4.	lim — = lim—= lim — • lim —... lim —.

x-‘+“XX	x->+“XX X x-»+“X X~>+”X x^""X

Первый из этих пределов lim — = 0. Величина всех остальных
х-»+“Х

пределов заключена между нулем и единицей. Следовательно,

произведение этих пределов есть нуль. Итак, lim —=0. Функция
х->+~ХЛ

у = хх самая быстрорастущая из перечисленных функций при
х—>+°°.

Формулы Маклорена и Тейлора

В 1715 году Брук Тейлор (1685—1731) опубликовал формулу
для разложения функции в степенной ряд, которая явилась мощ-
ным инструментом для исследования функций и приближенных
вычислений. Частный случай этой формулы, наиболее часто ис-
пользуемый в практике математического анализа, исторически
неправильно приписывается шотландскому математику Колину
Маклорену (1698—1746). Формулы Тейлора и Маклорена являют-
ся одними из основных формул математического анализа и име-
ют многочисленные приложения.

Рассмотрим многочлен и-й степени

Р(х)-а0 +а1х+а2х2 + ... +апх".

Его можно представить в виде суммы степеней переменной х,
взятых с некоторыми коэффициентами. Продифференцируем
его п раз по х, найдем значения многочлена и его производных
в точке х = 0, представим коэффициенты ай,щ,...уап из каждого
полученного выражения, разместив результаты в трех столбцах
соответственно:

Р(х)=ай +aix+a1x2 +...+апх”	Р(О)=ао	ао=Р(0)
Р'(х)=а, +2а2х+За3х2...+па„х"~'	Р'(0)=а,	г
Р'(х)=2а2 +3-2а3х...+п(п-1)апх"~2	Р'(0)=21а2	Л) 2!
Р'(х)=3-21а3...+н(и-1)(п-2)а„х"~3	Р'(0) = 3-2-1а3	7^(0) °3	3!
Рм(х)=п(н-1)(п-2)...21а/1	Р{п)(х)=п(п-1)- (л-2)...21в„	Р<п)(0) а"= и!
Вернемся к нашему многочлену, подставив вместо его коэф-
фициентов aQ, at,ап выражения из третьего столбца. Получим

DZ X П^ПЧ W	Р'(0) 2 ^(0) 3	Р(Л,(0) „

Р(х) = Р(0)+ ,, х+ ' х + ' х + ... +-----f^x.

1!	2!	3!	и!

Это формула Маклорена для многочлена Р(х) степени п. Рас-
суждая аналогичным образом, можно разложить многочлен Р(х)
по степеням разности (х—а), где а — любое число.

Будем иметь

о/ ч о/ ч	ч Р\а).	.2 Р’(а).	.3

Р(х)=Р(л)+—-^(х-«)+—~(х-а)2+—^(х-а)3 + ... +-^(х-а)".

1!	2!	3!	п!

Это выражение называется формулой Тейлора для многочлена
Р(х), или формулой разложения многочлена Р(х) по степеням
(х-а).

Пусть теперь в окрестности точки х = 0 задана функция
У =fix), не являющаяся многочленом, но имеющая в этой окрест-
ности производные до л-го порядка включительно.

Вычислим величины /(0),/'(0),/'(0), .../<л)(0) и зададим
функцию

o.w=/(0)+^+^+^+... +£^>х-

Q„(x) есть многочлен степени п. Он называется приближаю-
щим многочленом для функции у=Дх). Если бы исходная функция
У = f(x) являлась многочленом степени п, то выполнялось бы тож-
дество /(х) = Q„(x) для всех значений х из рассматриваемой ок-
рестности. Поскольку это не так, положим /(х) = 0„(х)+Яи(х),
где Р„(х) называется остаточным членом. В курсе математичес-
кого анализа доказывается, что Rn(x)=o(x").

Тогда формула разложения функции у = Дх) в ряд по степе-
ням х принимает вид:

№)=/(о)+Лх+тчтч...+^-+0<х-).

1!	2!	3!	п\

Эту формулу разложения функции у = Дх) по степеням х с ос-
таточным членом в форме Пеано называют формулой Маклорена.
Для остаточного члена получены выражения, позволяющие дать
оценку его величине. Данная формула показывает, что, заменив
у = f(x) в окрестности точки х = 0 приближающим многочленом
и-й степени, мы совершим ошибку, которая при х—>0 будет
бесконечно малой более высокого порядка, чем хп.

Проводя аналогичные рассуждения при разложении функ-
ции у =Дх) в окрестности точки х=а, получим формулу Тейлора
/(х) = /(а)+^^(х-а)+^^(х-а)2+^^(х-а)3 + ...

/Ла)

...+Z__W(x_a)" +о (х-а)п
п!

Отсюда вывод: поведение любой п раз дифференцируемой
функции в окрестности точки х=а (в частности, х = 0) можно
описать многочленом достаточно точно, а при и -> +°° — со сколь
угодно высокой степенью точности.

Хотя формула Маклорена есть частный случай формулы Тей-
лора, в наших приложениях именно формула Маклорена будет
определяющей. Формула Тейлора может быть приведена к фор-
муле Маклорена подстановкой х - а = у.

Разложение по формуле Маклорена элементарных функций

Разложим в ряд Маклорена следующие элементарные функ-
ции:

ех; sinx; cosx; 1п(1 + х),х>-1; (1+х)“,х>-1.

С этой целью составим таблицу производных этих функций
и значений производных в точке х=0.

/(X)	ЛО)	Г(Х)	Л0)	Их)	ЛО)	Лх)	Л0)
ех	1	ех	1	ех	1	ех	1
sinx	0	cosx	1	-sinx	0	—cosx	-1
cosx	1	—sinx	0	—cosx	-1	sinx	0
ln(l+x)	0	1 1+х	1	1 (1+х)2	-1	12 (1+х)5	2!
(1+х)“	1	а(1+х)"~'	а	а(а-1)(1+х)“"2	а(а-1)		
Подставляя в формулу Маклорена значения производных,
взятые из четных столбцов таблицы, получим разложения в ряд
для каждой функции:

2	3

х , X X X	. К

е =1+—+—+—+о(х ).

1! 2! 3!

sinx = 0+—х+—х2 +—х3+—х4 +о (х4) = х——+о(х4).

1!	2!	3!	4!	3! V '

, -1 2 0 з 1 4 0 5	5 t X2 X4 . 5.

COSX-1 + X +— X +— X +—X +о (х ) =1----+ -— + о(х ).

2!	3!	4!	5!	2! 4!

2	3

,	.XX X z 3.

In(1+x) = --—+—+о(х3)-

,,	, а а(а-1) 2	. 2.

(1+х) =1+—х+ ух +о(х )

Замечание 1. Анализируя ряд разложения функции, легко за-
метить закономерности образования ряда и выписать следующие
члены разложения.

ПРИМЕР. Разложить по формуле Маклорена функцию sinx.

„3	5 „7	„2fc-l

Решение. sinx = x-—+—+ ... +(-1)*-1-------+...

3! 5! 7!	(2Jt-l)!

На рис. 8.4 изображен жирной линией график функции

Yt =sinx,
тонкими линиями его приближение одним членом ряда Маклорена

приближение четырьмя отличными от нуля членами ряда

3	5	7

X X X

Г> = Х-3?+«-7!

и, наконец, приближение семью не равными нулю членами ряда

„3	5	7	9	11	13

Г Г	А/

.-X-----+------+------+---.

4	3! 5! 7! 9! 11! 13!

Замечание 2. Эти формулы дают возможность проводить раз-
ложения в ряд некоторых функций без использования общей схе-
мы, в которой предполагается нахождение производных высоко-
го порядка.

ПРИМЕР. Разложить по формуле Маклорена функцию е2л'1
до о(х4).

Решение. Разложим функцию в окрестности х=0 до
о(х4). Воспользуемся разложением функции ех в ряд, заменив
в правой части этого ряда величину х на 2х:

=е 1+2х+2х2 +-х3 + о (х4)
2

9	,

= е+2ех+2ех +-ех + о(х )

Замечание 3. Ранее мы установили асимптотические форму-
лы для некоторых элементарных функций, например,
sinx = x+o(x). Мы пользовались ими при вычислении простей-
ших пределов. Для нахождения некоторых более сложных преде-
лов такого асимптотического приближения может оказаться не-
достаточно и следует брать следующие члены разложения.

ПРИМЕР. Найти предел lim—'—-—.

Решение. Если ограничиться разложением sinx = x+o(x), то
в пределе получается выражение:

x-sinx х-(х+о(х))	хо(1)	о(1)

lim--z— = hm—-—l  ’ - lim—= lim-Ц^.

X-»0	X-)0	JQ5	X-»0	X->0 yf

Чему равен такой предел, сказать невозможно. Неизвестно,
какая бесконечно малая функция скрывается под о(1). Поэтому
правильное решение выглядит так:
x-sinx
hm------т— = lim

л-->0 у1 хчО

X- Х- —+ о(х4)

„3

= lim

х->0

3( 1 , .

х 3!+ОХ

v3

“6’

Замечание 4. Если в разложении для функции (1+х)“ поло-
жить а = п, где п — натуральное число, то все члены этой форму-
лы, начиная с (л+1)-го, исчезают, и формула Маклорена превра-
щается в известную формулу бинома Ньютона

(1 + х)л = 1+—х+^~——х2 + ... +х",

V. 21

т. е. бином Ньютона является частным случаем разложения функ-
ции (1 + х)“ в ряд Маклорена.

Вопросы для повторения

1.	Сформулировать и доказать теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа
и Коши.

2.	В чем геометрический смысл теоремы Ролля?

3.	В чем геометрический смысл теоремы Лагранжа?

4.	Как в смысле общности соотносятся между собой теоремы Ролля,
Лагранжа и Коши?

5.	Сформулировать и доказать правило Лопиталя при х-*а.

6.	Можно ли распространить правило Лопиталя на случай х ->+~? Как
это обосновать?

7.	На какие типы неопределенностей распространяется правило Лопи-
таля?

8.	Провести сравнение степенной, показательной и логарифмической
функций по скорости роста при х -> + ~.

9.	Назвать наиболее медленно растущую функцию из известных вам
и наиболее быстро растущую при х -> +~.

10.	Разложить многочлен n-й степени в ряд, используя формулу Макло-
рена.

11.	Привести в общем виде формулы Тейлора и Маклорена разложения
функции в степенной ряд.

12.	Разложить функции ех, sin х, cos х, ln(l+х), (1+х)“ в ряд Маклорена.

13.	Как соотносятся между собой асимптотические формулы и формула
Маклорена разложения функции в степенной ряд?
Исследование функций
с помощью производных

>	Условия возрастания и убывания функции

>	Понятие экстремума

>	Необходимое условие экстремума

>	Первое достаточное условие экстремума

>	Второе достаточное условие экстремума

>	Наибольшее и наименьшее значения функции,
непрерывной на отрезке

>	Выпуклость функции. Точки перегиба

>	Схема исследования функции на выпуклость

>	Асимптоты графика функции

>	Исследование функций и построение их графиков

>	Приложение. Эластичность функции

Условия возрастания и убывания функции

Изучим условия возрастания (неубывания) и убывания (не-
возрастания) функций. Напомним, что функция y = f(x) назы-
вается возрастающей на промежутке, если большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует большее значение
функции, т. е. из неравенства х2 > х, следует неравенство
f{x2)> f^Xy). Функция называется убывающей на промежутке,
если из х2 > х, следует /(х2) < f(x}).

Функция y = f(x) называется неубывающей на промежутке,
если из неравенства х2>х, следует неравенство /(х2)>/(х,),
и невозрастающей, если из условия х2 > Х| следует /(х2)</(х!).
ТЕОРЕМА 1 (об условии возрастания (убывания) монотон-
ной функции).

Если f\x)>0 на некотором промежутке X, то функция
У - f(x) возрастает на этом промежутке, если f'(x) < 0 на проме-
жутке X, то функция у - f(x) убывает на этом промежутке.

◄Для функции y-f(x) выполняются условия теоремы Лаг-
ранжа на отрезке [%]; х2]е X, поэтому существуетточка х0 е (х,; х2),
в которой

Л*2 )-/(*)) = /'(х0 )  (х2 - X,).

Анализируем это равенство: если /,(х0)>0, то из неравенс-
тва х2>х, следует неравенство /(х2)>/(х,), и обратно: если
/'(хо)<®> то из неравенства х2>х, следует неравенство
/(*2) </(*,)•►

Замечание 1. Обратное утверждение формулируется несколь-
ко иначе. Если функция возрастает на промежутке, то /,(х0)>0
или не существует.

ПРИМЕР 1. Функция у = х3 возрастает на всей числовой
оси, соответственно /'(*)> но в точке х = 0 производная
Г(О)=о.

Г2х х>0

ПРИМЕР 2. Функция у = ( '	’ не имеет производной

|х, х<0

в точке х = 0 (левая и правая производные различны), однако она
возрастает при всех значениях х, в том числе и в точке х = 0.

Замечание 2. Опираясь на более «мягкие» условия, можно
сформулировать прямую теорему: если производная функции,
непрерывной на промежутке, неотрицательна, то функция на
этом промежутке не убывает. Прямая и обратная теоремы форму-
лируются иначе: для того чтобы непрерывная на промежутке
функция y-f(x) была неубывающей, необходимо и достаточно,
чтобы /'(Хо)-О-

Понятие экстремума

Определение. Точка х0 называется точкой локального максиму-
ма функцииДх), если существует такая окрестность точки х0, что
для всех х из этой окрестности /(х) < /(х0).

Определение. Точка х0 называется точкой локального минимума
функции fx), если существует такая окрестность точки х0, что
для всех х из этой окрестности /(х)>/(х0). Значение функции
в точке максимума называется локальным максимумом, значение
функции в точке минимума — локальным минимумом данной фун-
кции. Максимум и минимум функции называются ее локальными
экстремумами {extremum — крайний).

Термин «локальный (относительный, местный) экстремум»
обусловлен тем, что введенное понятие экстремума связано с ок-
рестностью данной точки в области определения функции, а не
со всей этой областью. Функция может иметь несколько экстре-
мумов, причем может случиться, что минимум в одной точке
больше максимума в другой. Мы будем рассматривать лишь точ-
ки строгого максимума и минимума.

Определение. Точка х0 называется точкой строгого локального
максимума (минимума) функции у = /(х), если для всех х из ок-
рестности точки х0 будет справедливо строгое неравенство
f(x)<f(x0) (соответственно /(х)>/(х0)).

Замечание. В приведенном определении локального экстре-
мума мы не предполагаем непрерывности функции в точке х0.

[х2 х^О

ПРИМЕР. Функция у =	’ разрывна в точке х = 0, но

|1, х=0

имеет в этой точке локальный максимум, поскольку существует
окрестность точки х=0, в которой /(х) < /(х0).

Наибольшее либо наименьшее значение функции на проме-
жутке называется глобальным экстремумом. Глобальный экстре-
мум может достигаться либо в точках локального экстремума,
либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

ТЕОРЕМА 2 (о необходимом условии экстремума).

Если функция y=f(x) имеет экстремум в точке х0, то ее
производная /'(х0) либо равна нулю, либо не существует.

◄Если в точке х0 функция имеет экстремум и дифференци-
руема, то в некоторой окрестности этой точки выполнены усло-
вия теоремы Ферма, следовательно, производная функции в этой
точке равна нулю.

Но функция у = f(x) может иметь экстремум и не быть диф-
ференцируемой в этой точке. Достаточно привести пример. При-
мером может служить функция у = |х|, которая имеет минимум
в точке х = 0, однако не дифферен-
цируема в этой точке. ►

Замечание 1. Геометрическую
иллюстрацию теоремы дает рис. 9.1.
Функция у - f(x), график которой
представлен на этом рисунке, имеет
экстремумы в точках х,,х3,х4, при
этом в точке х, производная не су-
ществует, в точке х3 она равна ну-
лю, в точке х4 обращается в беско-
нечность. В точках х?, х5 функция
экстремума не имеет, причем в Точ-

® X] Х2 Xj х4 Xj

Рис. 9.1

ке х2 производная обращается в бесконечность, в точке х5 про-

изводная равна нулю.

Замечание 2. Точки, в которых выполняется необходимое ус-
ловие экстремума для непрерывной функции, называются кри-
тическими точками этой функции. Они определяются как реше-
ния уравнения f'(x)=Q (стационарные точки) или /'(*)=00 •

Замечание 3. Не в каждой своей критической точке функция
обязательно имеет максимум или минимум.

ПРИМЕР. Рассмотрим функцию у = х3. Критической для
этой функции является точка х = 0, что следует из уравнения
f\x) = Зх* 1 2 3 = 0. Однако эта функция при всех значениях х являет-
ся возрастающей и экстремума не имеет.

Первое достаточное условие экстремума

ТЕОРЕМА 3 (о достаточных условиях экстремума).

Пусть для функции у = /(х) выполнены следующие усло-
вия:

1) у = /(х) непрерывна в окрестности точки х0;

2) /,(х) = 0 или /'(х) = °° в точке х0;

3) f'(x) при переходе через точку ,х0 меняет свой знак.

Тогда в точке х-ха функция у = /(х) имеет экстремум, при-
чем это:

• минимум, если при переходе через точку х0 производная
меняет свой знак с минуса на плюс;

• максимум, если при переходе через точку х0 производная
меняет свой знак с плюса на минус.
Если производная f\x) при переходе через точку х0 не меня-
ет своего знака, экстремума в точке х = х0 нет.

◄Условия теоремы можно свести в следующую таблицу

Знаки производной до и после перехода через точку х0		Экстремум
—	+	минимум
+	—	максимум
—	—	нет
+	+	нет

Так как по условию/'(х) < 0 при х<х0, то на левом относи-
тельно точки х0 интервале функция /(х) убывает. Так какДх) > О
при х> х0, то на правом относительно точки х0 интервале функ-
ция/(х) возрастает. Следовательно, /(х0) есть наименьшее зна-
чение функции /(х) в окрестности точки х0, а это означает, что
/(х0) есть локальный минимум функции/(х). Если при переходе
с левого интервала на правый функция продолжает убывать, то
в точке х0 не будет достигаться минимальное значение функции
(экстремума нет).

Аналогично доказывается существование максимума. ►

На рис. 9.2 а—з представлены возможные случаи наличия или
отсутствия экстремума непрерывной функции, производная ко-
торой в критической точке равна нулю или обращается в беско-
нечность.
Замечание. Если условие непрерывности функции в самой
точке х0 не выполнено, вопрос о наличии экстремума остается
открытым.

ПРИМЕР 1. Рассмотрим разрывную
.	„ ч |-х+1,х<0,

в точке х0 функцию /(х) = <!

|х, х>0

(рис. 9.3). Производная этой функции ме-
няет знак при переходе через точку х0 =0,
однако функция в точке х0 = 0 экстремума
не имеет.

ПРИМЕР 2. Пусть дана функция

Дх) =

х2,х*0,
1,х = 0

(рис. 9.4). Как видно из

рисунка, /(х) имеет локальный максимум
в точке х0 = 0, однако функция имеет раз-
рыв в точке х0 = 0.

Замечание. Если функция имеет в точ-

ке х0 экстремум, например, минимум, то необязательно слева от
точки х0 функция монотонно убывает, а справа от х0 монотонно

возрастает.

ПРИМЕР. Пусть дана функция ,/(х) =

2Л,	1

х 2-cos—

I	х

х^О,

0, х = 0

(рис. 9.5). Можно показать, что в точке х = 0 данная функция не-

прерывна и имеет минимум.

Рис. 9.5
Производная функции

f'(x) = 2x\ 2-cos— ]— sin—
х) х

в любой окрестности точки х = 0 меняет знак бесконечно много
раз. Поэтому функция f(x) не является монотонно убывающей
или возрастающей ни слева, ни справа от точки х=0.

Схема исследования функции на экстремум:

I)	найти производную/'(х);

2)	найти критические точки, т. е. такие значения х, в которых
./'(*)=0 или /'(х)=~;

3)	исследовать знак производной слева и справа от каждой
критической точки. Если при переходе через критическую точку
производная/'(х) меняет свой знак с плюса на минус, то в точке
х0 функция/(х) имеет максимум, если знак/'(х) меняется с ми-
нуса на плюс, то в точке х0 функция /(х) имеет минимум. Если
при переходе через критическую точку х0 знак f'(x) не меняется,
то в точке х0 функция/(х) не имеет ни максимума, ни минимума;

4)	найти значения функции в экстремальных точках.

Второе достаточное условие экстремума

ТЕОРЕМА 4 (о достаточных условиях экстремума).

Пусть для функции y-f(x) выполнены следующие усло-
вия:

1)	у = /(х) непрерывна в окрестности точки х0;

2)	/*(х) = 0 в точке х0;

3)	f *(х)*0 в точке х0.

Тогда, в точке х0 достигается экстремум, причем, если
/'(Л,) > 0, то в точке х = х0 функция у - f(x) имеет минимум; если
/'(х0)<0,то в точке x-xQ функция у = /(х) имеет максимум.

◄ По определению второй производной

lim /'(Х)-/'(Х0)

J (%о ) — Нт
x-xG

Но величина /'(хо) = О по условию теоремы.

Поэтому /у(х0) - lim -	.

Л'^Л«х-х0
Если /'(xG) >0, то дробь 7 >0 в некоторой окрестности
точки х = х0. При х<х0 дробь положительна, если /,(х)<0. При
х > х0 дробь положительна, если f'(x) > 0. Следовательно, произ-
водная f\x) при переходе через точку х = х0 меняет знак, поэто-
му есть экстремум. Если знак производной меняется с минуса на
плюс, значит, это минимум. Аналогично доказывается случай
Г(х0)<0>

/'(х)	—	+

-------------•---------------->

Рис. 9.6

ПРИМЕР 1. Исследовать на экстремум функцию
у-х2 + 2х+3:

1)	находим производную у'-2х+2;

2)	находим критические точки, для чего приравниваем
к нулю производную:

у'=2х+2-0, -»х0=-1;

3)	изучаем знак производной слева и справа от этой точки
(рис. 9.6). Поскольку знак производной меняется с минуса на
плюс, в точке х = — 1 достигается минимум;

4)	находим величину минимума: ymin(-l) = 2.

ПРИМЕР 2. Исследовать на экстремум функцию у = tfx2 +1:

..	' 2 1

1)	находим производную у =

ЗЦх

2)	критической точкой является х = 0, т.к. в этой точке
Л0)=оо;

3)	исследуем знак у' слева и справа от точки х = 0. Очевидно,
/'(х)< 0, если х< х0, и f\x) > 0, если х >х0. Таким образом, точ-
ка х = 0 есть точка минимума данной функции;

4)	ymin(0) = l.

ПРИМЕР 3. Исследовать на экстремум функцию у = е

1)	находим первую производную: у' --Ixe ^’,.

2)	приравнивая производную нулю, находим единственную
критическую точку х = 0;
3)	далее находим вторую производную: у* = ~2е~^ +4х2е~*г.
Ее значение в точке х=0 равно - 2;

4)	делаем вывод о наличии максимума функции и вычисляем:
Утах(0) = 1.

Наибольшее и наименьшее значения функции,
непрерывной на отрезке

Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а; Ь],
то, согласно второй теореме Вейерштрасса, она на этом отрезке
достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Если свое наибольшее значение М функция f(x) принимает в
точке х0, находящейся внутри отрезка [а; Ь], то М = f(x0) будет
локальным максимумом функции f(x), т..к. в этом случае сущест-
вует окрестность точки х0, такая, что значения f(x) для всех точек
х из этой окрестности будут не больше /(х0).

Однако свое наибольшее значение М функция /(л) может
принимать и на концах отрезка [а; Ь]. Поэтому, чтобы найти наи-
большее значение Л/ непрерывной на отрезке [а; Ь| функции f(x),
надо найти все максимумы функции на интервале (а; Ь) и значе-
ния f(x) на концах отрезка [а; Ь] и выбрать среди них наиболь-
ший. Вместо исследования на максимум можно ограничиться на-
хождением значенийфункциивкритическихточках. Наименьшим
значением т непрерывной на отрезке [а; 6] функции f(x) будет
наименьший минимум среди всех минимумов функции f(x)
на интервале (а; Ь) и значений /(а) и f(b).

Выпуклость функции. Точки перегиба

Определение. График функции
У = f(x)> дифференцируемой на
интервале (а; Ь), имеет на этом
интервале выпуклость, направ-
ленную вверх (вниз), если график
этой функции в пределах интер-
вала (а; Ь) лежит не выше (не
ниже) любой своей касательной
(рис. 9.7).
ТЕОРЕМА 5

(об условиях направленности выпуклости вверх или вниз)

Пусть функция у = /(л ) определена на интервале (а; Ь) и име-
ет непрерывную, не равную нулю в точке х0 е (а; Ь) вторую произ-
водную. Тогда, если f(x) > 0 всюду на интервале (а; Ь), то функ-
ция имеет выпуклость вниз на этом интервале, если f(x) < 0, то
функция имеет выпуклость вверх.

◄Пусть в точке
М(х0,/(х0)) (рис. 9.8) пря-
мая / касается кривой у = f(x).
Обозначим через у перемен-
ную ординату точки прямой I.
Тогда уравнение прямой /, ка-
сательной к кривой у = f(x),
имеет вид

У = Кхй)+f\x0)(x-x0).

Функцию у = f(x) разло-
жим в ряд Тейлора в окрест-
ности точки х0:

y = f(x) = f(x0)+^^-(x-x0)+^~^-(x-x0)2+o(x-xv)\

Возьмем произвольное значение х из окрестности точки х0
и найдем разность у - у:

У - У = f(x)-^/(х0)+- х0) J

Заменим функцию у = f(x) рядом Тейлора. Получим:

y-y=pUo)+;^T^(x-xo)+^-^U-^o)2 + 0U-^o)2 )-

После раскрытия скобок будем иметь

У-У = ^~^-(х-х0)2+ о(х-х0)2.
В полученном выражении первое
слагаемое в правой части определяет
величину и знак разности у - у, второе
слагаемое является бесконечно малой
величиной.

Из равенства следует, что знак
разности у-у совпадает со знаком
f(x0). Поэтому, если /'(х0)>0, то
у-у>0 для всех точек х*х0, доста-
точно близких к точке xQ. Точки кри-
вой расположены выше своей каса-

тельной, и в соответствии с определением кривая выпукла вниз.
Если fr(x0)<0, то у-у<0. Точки кривой расположены ниже
своей касательной, и кривая выпукла вверх. ►

Определение. Точкой перегиба графика функции y=f(x) называ-
ется точка /(%,)), разделяющая промежутки выпуклости
вверх и вниз. Иными словами, точка М (х,, f(xx)) — точка переги-
ба кривой, если в этой точке кривая переходит с одной стороны
касательной на другую, меняя направление выпуклости (рис. 9.9).

ТЕОРЕМА 6 (о необходимом условии существования точки
перегиба).

Если функция у = f(x) имеет перегиб в точке М(хх, /(%,)),
то /'(•х|) = 0 или не существует.

ТЕОРЕМА 7 (о достаточном условии существования точки
перегиба).

Если:

1)	первая производная f\x) непрерывна в окрестности точки х,;

2)	вторая производная f”(x) = 0 или не существует в точке х,;

3)	f"{x) при переходе через точку х, меняет свой знак,
тогдавточке Л/(х,,/(х,)) функция у-/(х) имеет перегиб.

Схема исследования функции на выпуклость

1.	Найти вторую производную функции.

2.	Найти точки, в которых вторая производная равна нулю
или обращается в бесконечность.

3.	Исследовать знак производной слева и справа от каждой
найденной точки и сделать вывод об интервалах выпуклости
и точках перегиба.
Лх) -	+

-------------е	►

П 1 U X
Рис. 9.10

4.	Найти значения функции в точках перегиба.

ПРИМЕР. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба
функции у-х2 -Зх2 +х-1.

Находим вторую производную функции:
у'=3х2-6х + 1, у'=6х-6.

Находим точку, в которой вторая производная равна нулю:
у'=0 прих= 1.

Исследуем знак второй производной слева и справа от най-
денной точки. Для этого рисуем числовую ось и указываем на ней
знаки второй производной (рис. 9.10). Делаем заключение об ин-
тервале выпуклости вверх слева от точки х = 1 и интервале выпук-
лости вниз справа от этой точки.

Делаем вывод о наличии перегиба в точке (1;-2).

Асимптоты графика функции

Напомним определения вертикальной и горизонтальной
асимптот, а также введем понятие наклонной асимптоты.

Прямая х = х0 называется вертикальной асимптотой графика
функции у = fix), если хотя бы одно из предельных значений
lim fix) или lim fix) равно или -<*>, т.е.

Х-»Хо~О	Х~4Хо+О

, +О°’
— оо
|x~wco+Oj	L

Прямая у = у0 называется горизонтальной асимптотой гра-
фика функции у = fix), если хотя бы одно из предельных значений
lim fix) или lim fix) равно b. График функции может иметь
только правую горизонтальную асимптоту или только левую.

Прямая y = kx+b называется наклонной асимптотой графика
функции у = fix), если

lim(/(x) - kx - b) = 0,

т. е. когда функция при х -» °° представима в виде

fix) = kx + b+ctfx), где lima(x) = 0.
х—
Существование асимптоты y = kx + b у кривой у = f(x) при
х -» оо означает, что при х -» °° функция ведет себя «почти как
линейная», т. е. отличается от линейной функции у = kx+b беско-
нечно мало (рис. 9.11). Наклонная асимптота может быть как
правой, так и левой.

ТЕОРЕМА 8 (об условиях существования наклонной асимп-
тоты).	f(x}

Если для функции y-f(x) существуют пределы lirrr =к
и Mm[f(x)-kx)-b, то функция имеет наклонную асимптоту
у = кх+Ь при х-»оо.

◄Из существования первого предела следует, что
£^—к = $(х),
х

где Р(х) — бесконечно малая функция. Тогда

f(x) = kx+x$(x).

Отнимем от обеих частей этого равенства величину кх и най-
дем предел при х ->

lim(/(x) - кх) - lim х  Р(х).

Из lim(/(x)-fcc) = 6 следует limx-p(x) = Z>. Поэтомух Р(х) =
X—'	X—

= 6+а(х), где а(л) — бесконечно малая функция.

Следовательно,

f(x) = кх + х • Р(х) = кх+b+а(х). ►

ПРИМЕР. Найти наклонные асимптоты графика функции
У = у]х(х-2).
f(x)
Решение. Найдем последовательно пределы lim-—

X

и lim(/(x)-kx). Второй предел находится при условии, что пер-

вый из них конечен.

.. f(x) .. у]х(х-2) Wy1 х
lim^^ = hm—-------------- = lim—5

X-*°° JQ X-»«x> JQ	X—JQ

Если x > 0, то модуль раскрываем co знаком плюс и получаем

1 2

хЛ—
lim———
х->+~ X

2

= lim. 1-- = 1.

Х~>+°° у X

Следовательно, k= 1.

Если х < 0, модуль раскрывается с минусом:

Здесь £=-1

Найдем величину второго предела, домножив числитель и зна-
менатель (который равен единице) на сопряженное выражение:

lim (f(x)-kx)= lim (Jx(x-2)-x) = lim

x(x-2)-x2 _
y/x(x-2) + x

-2x
= lim , r_=

1--+1
X

r -2 i
= lim  •	— = -1.

J1--+1
V x

х

Таким образом, правая наклонная асимптота имеет вид
у = х-1.

Аналогично рассматривается случай х ->

lim (f(x)-kx) = lim {^jx(x-2) + xj = lim

х(х-2)-х2

jx(x-2)-x
Тогда получим левую наклонную асимптоту у = -х+1. Гра-
фик исходной функции со своими асимптотами представлен на
рис. 9.12.

Значительно короче можно решить пример, используя «о»-
малое.

У = у]х(х-2) =

Поскольку х -> оо, заменим скобку асимптотическим равенс-
твом. Получим

y=|x|-fl--Y =|х|[1-1 -+of-Y|=|x|-—+о(1) •

•	1 I	у I	1 Ч	) у	I у II	11 -у

I	Л» f	I	Лх» »Лх	I »Лх f 1	хЛх

Пусть х->+оо.Тогда у=|х|-—+о(1) = х-1 + о(1).

Пусть х->-оо.Тогда у = |х|-—+о(1) = -х+1+о(1).

х

Как известно, о(1) есть бесконечно малая величина. Правая
у = х-1 и левая у = -х+1 наклонные асимптоты получены.

Замечание 1. Прямая х = х0 не может быть вертикальной
асимптотой, если функция непрерывна в точке х-х0. Поэтому
вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функ-
ции.

Замечание 2. Горизонтальная асимптота является частным
случаем наклонной при к = 0.
Замечание 3. Если при нахождении горизонтальной асимпто-
ты получается, что lim f(x) - <*>, то функция может иметь наклон-
ную асимптоту.

Замечание 4. Кривая у = f(x) может пересекать свою асимпто-
ту, причем многократно.

Исследование функций и построение их графиков

При построении графика функции необходимо провести ее
предварительное исследование. Построение сразу по точкам, за
исключением элементарных случаев, может привести к потере на
графике важных свойств функции. Примерная схема исследова-
ния функции с целью построения ее графика представлена ниже.

1.	Область определения D(y) и область допустимых значений
Е(у) функции.

2.	Симметрия и периодичность.

3.	Точки разрыва и промежутки непрерывности функции.

4.	Нули функции и промежутки постоянного знака.

5.	Экстремумы и промежутки монотонности.

6.	Точки перегиба и промежутки выпуклости.

7.	Асимптоты.

Замечание 1. Схема представлена как примерная. Пункты ис-
следования можно опускать, если они дают банальную информа-
цию, или переставлять, если обнаруживаются интересные осо-
бенности поведения графика. Однако без нахождения разрывов,
экстремумов, асимптот и исследования на выпуклость часто не-
возможно получить график, правильно отражающий поведение
функции.

Замечание 2. Для уточнения графика можно найти некоторые
дополнительные точки, но иногда удается обойтись и без них.

Замечание 3. Рекомендуется строить график одновременно
с исследованием функции, нанося на координатную плоскость
информацию по завершении каждого пункта исследования.

ПРИМЕР 1. Провести полное исследование функции

1

у=----7 и построить график.

1	+ х

1.	Областью определения является вся числовая ось.

2.	Функция четная: /(-х) = /(х), так что ее график симметри-
чен относительно оси ординат. Из четности функции следует, что
max

У(х) + ,

перегиб

х

X

Рис. 9.13

Рис. 9.14

достаточно построить ее график в правой полуплоскости, а затем
отразить его в левую полуплоскость.

3.	Точек разрыва нет, функция непрерывна на всей число-
вой оси.

4.	При х = 0 имеем у = 1. Функция положительна при всех х,
так что график функции лежит в верхней полуплоскости.

2х

5.	у'=-----. Функция возрастает при х < 0 и убывает при

(1+х у

х>0. Точка х = 0 — критическая. При переходе х через точку х = 0
производная у'(х) меняет знак с плюса на минус (рис. 9.13). Сле-
довательно, точка х=0 — точка максимума, у (0) = 1.

1	—Зх3

6.	у'=-2-----j-у. Вторая производная обращается в нуль

1

в точках х-±—р=
у/З

„ 1 „ 1

. Исследуем точку х = -=. При х>—= имеем
V3	V3

3

у" >0, т. е. кривая выпукла вниз; при х <	получаем у" < 0 (кри-

вая выпукла вверх) (рис. 9.14). Следовательно, точка х = -±= —
точка перегиба графика функции.

7.	lim—z- = 0. График имеет горизонтальную асимптоту
*-*+”1 + Х

у=0, наклонных асимптот нет.

Строим график в правой полуплоскости и симметрично от-
ражаем его в левую полуплоскость. График функции изображен
на рис. 9.15.

ПРИМЕР 2. Провести полное исследование функции
(х+1)3
у =	и построить график.

1.	Область определения функции х * 1, т.е. Г>(у)=(-°°;1)о
lj(1; +оо).
Так как при х = -1 у<0, а при х>-1 у>0, и
lim j(x) = _oo> lim j(x)=+°°, то множество значений функции
X—*~оо	X—

Е(у)=(—оо;+оо).

2.	Функция у(х) не является периодической. Она ни четная,
ни нечетная, т. е. ее график не обладает симметрией. (Этот оче-
видный для данной функции пункт можно было опустить.)

3.	В точке х= 1 функция имеет разрыв второго рода, т.к.
lim у(х) = +<=о, lim у(х) = +<*>.
х->1-0	х-*1+0

4.	Точки пересечения с осями у^ху _
координат: х-0, у-1, и х=— 1, ---------------•-----------

у = 0. Промежутки постоянного	1

знака представлены на рис. 9.16.	Рис-916

5.	Найдем интервалы возрастания, убывания и экстремумы
функции. Для этого вычислим первую производную:

, 3(х+1)2(х-1)2-2(х-1)(х+1)3 (х + 1)2(х-5)

у ~	(х-1)4	(Х-1)3

Отсюда получим:

У'(х)

Рис. 9.17

а)	у'>0 при х < 1 и х > 5, сле-
довательно, на этих промежут-
ках функция возрастает, а при
хе (1,5) у'<0 и функция убывает
(рис. 9.17);

б)	у'=0 при х=5 ив точке (5; 27/2) функция имеет локаль-
ный минимум. Точка х=-1 тоже является критической точкой
у(-1 )=0, но локального экстремума функции в этой точке нет.

6.	Найдем интервалы выпуклости функции. Для этого вычис-

24(х+1)

лим вторую производную: у'= —-—Тогда у"<0 при х<-1
(х-1)
перегиб
/(*) _ +
-------------•-----—О

г> —1 и 1

Рис. 9.18

и функция выпукла вверх, а на про-
межутках-1 <х<1их> 1у">0ифун-
кция выпукла вниз. Точка (—1,0) —
точка перегиба графика функции
(рис. 9.18).

7.	Прямая х= 1 будет вертикальной асимптотой графика фун-
кции. Наклонными асимптотами графика функции будут пря-
мые, заданные уравнениемy=kx+b, где коэффициенты Ли b оп-
ределяются равенствами

Л=1йп^

b — lim(/(x)-fcx).

Поскольку

(х + 1)3	.

Л= hm;——=1,
^±“(х-1)2х

b — lim

(х + 1)3	<-

------т-х =5,
(х-1)2

то единственной наклонной асимптотой будет прямая у=х+5.

Рис. 9.196
График данной функции, построенный по результатам иссле-
дования, представлен на рис. 9.19о. На другом рисунке (рис. 9.196)
представлен график этой же функции, рассчитанный и построен-
ный компьютерной программой «Mathematica 5.0». Сравнивая
графики, можно сказать, что все характерные черты функции
удалось выявить и представить графически.

Приложение. Эластичность функции

В экономических исследованиях часто используется понятие
эластичности функциии.

Определение. Эластичностью функции Ех(у) называется пре-
дел отношения относительного приращения функции y=f(x)
к относительному приращению аргумента хпри Дх -> 0:

Ду

Если эластичность функции представить в виде

то легко увидеть, что эластичность функции показывает прибли-
женно, на сколько процентов изменится функция y = f(x) при
изменении независимой переменной х на 1%.

Пользуясь понятием дифференциала, эластичность можно
представить иначе:

dy

Е (v)^xdy = у =^1п^
х у dx dx^ d(\nx)

Геометрическая интерпретация

Эластичность функции у = /(х) можно найти из графика
х . х
этой функции. По определению эластичности Ех(у) = — у =—tga,

У У

где а — угол, образуемый касательной к функции у = f(x) в точке
С(х0, у0) с положительным направлением оси Ох (рис. 9.20).
Из треугольника ACD:

CD у0 . .	. .

---= ——=sin(7t-а) = sma.

АС АС

Из треугольника BCL :

Откуда

х0

= cos(k- a) = -cosa.

ВС ВС

АС Уо . у0

sin a

т. е. эластичность убывающей функции равна отношению рассто-
яний по касательной от точки С с координатами (х0,у0) до ее пе-
ресечения с осями ординат и абсцисс, взятому со знаком минус.
Таким образом, если аккуратно построить график функции
y=f(x) и провести касательную к кривой в исследуемой точке
С(х0, у0), можно приблизительно определить величину эластич-
ности функции в этой точке.

Свойства эластичности функции

Пусть функция y = f(x) имеет конечную или бесконечную
производную на промежутке. Вспомним, что производная есть
, ,	, dy

отношение дифференциалов у =—.
ах
1.	Эластичность есть безразмерная величина
Ex{y)=Eax{by).

◄Доказательство очевидно:
г ,, . axdiby) xdy х ,
by d(ax) у dx у

2.	Эластичности обратных функций есть обратные величины

◄ Для доказательства также перейдем к дифференциалам

Е =	= —____►

х ydx ydx Еу(х)
xdy

3.	Эластичность произведения функций и-и(х) и v = v(x)
равна сумме их эластичностей

Ex(uv) = Ex(u)+Ex(y).

◄ При доказательстве свойства воспользуемся следующим
свойством дифференциала d(uv) = vdu+udv. Тогда

_ . х х d(uv) х vdu+udv xdu xdv „ . . „ . 4 .
£x(i/v) - -—=--------------=	= Ex(u}+ДД v)>

uv dx uv dx и dx v dx

4.	Эластичность отношения функций u = u(x) и v = v(x) рав-
на разности их эластичностей:

Е,

\=Ех(и)-Ех(у).

◄Доказательство аналогично:

Е,

х I v) xvdu-udv xdu xdv r. , x x
---J =------73--= -3----3-	= ^»(«) - £x(y) • ►
и dx и vdx и dx v dx
v v

5.	Эластичность суммы функций и = и(х) и v = v(x) равна
сумме их эластичностей, взятых с соответствующими весами:

Е(и+г) - —Ех(и) + — ЕМ.
U+V	U+V
◄Доказательство:

, х d(u+v) х du и х dvv

Е (u+v)=------- =--------—+-------—-

u+v dx u+vdxu u+vdxv

и xdu	v xdv	и „ . .	v_..

-------— *------~r~  --E (u)+---E (v). ►

«+v udx u+v v dx u + v u + v

Эластичность элементарных функций

Вычислим эластичности некоторых функций.

1.	Степенная функция у - ха. Ее эластичность:

, х _ х oxa~'dx
х ха dx ха dx

2.	Показательная функция у = ах.

_ . х d(ax) х axln.a dx ,
ЕЛа )  ----3—- =-----------= xlna.

сг dx a dx

3.	Логарифмическая функция у = 1пх.

ш dx Inx

4.	Линейная функция у-ах + Ь.

_ ,	.. х d(ax+b) ах

Ех(ах+Ь) =----.

ax+b dx ax+b

Функция в зависимости от величины своей эластичности мо-
жет быть

совершенно эластичная	(^(t)|=+°°
эластичная	1<|£л(у)|<+оо
неэластичная	0<|£х(у)|<1
совершенно неэластичная	ЗД = 0

Эластичность функций используется, например, при анализе
спроса и потребления, в процессе анализа проектных рисков
в ходе исследования изменений критериев оценки проектной эф-
фективности в зависимости от изменении факторов риска.
Так, эластичность спроса Q по цене Р EP(Q) =

PdQ
QdP

показы-

вает величину относительного изменения спроса на какой-либо
товар при изменении цены этого товара. Она характеризует «чувс-
твительность» потребителей к изменению цен на продукцию.

Вопросы для повторения

1.	Сформулировать и доказать теорему о производной монотонной
функции.

2.	Сформулировать определение локального максимума и минимума
функции.

3.	Сформулировать и доказать теорему о необходимом условии экстре-
мума.

4.	Сформулировать и доказать теорему о первом достаточном условии
экстремума.

5.	Сформулировать и доказать теорему о втором достаточном условии
экстремума.

6.	Привести схему исследования функции на экстремум.

7.	Сформулировать определение наибольшего и наименьшего значе-
ний функции.

8.	Сформулировать определение выпуклости функции.

9.	Сформулировать и доказать теорему об условиях направленности
выпуклости функции вверх или вниз.

10.	Дать определение точки перегиба и сформулировать необходимое
и достаточное условия существования точки перегиба.

11.	Привести определения вертикальной, горизонтальной и наклонной
асимптот графика функции.

12.	Привести схему полного исследования функции с целью построения
ее графика.

13.	Сформулировать определение эластичности функции, дать ее гео-
метрическую интерпретацию.

14.	Перечислить свойства эластичности функции и доказать их.
Функции нескольких переменных

>	Понятие функции как отображения

>	Введение в функции нескольких переменных

>	Непрерывность

>	Частные производные

>	Понятие дифференцируемости

>	Полный дифференциал

>	Сложные функции. Их производные

>	Неявные функции. Их производные

>	Однородные функции

>	Производная по направлению

>	Производные и дифференциалы высших порядков

>	Формула Тейлора

>	Макроэкономическая функция Кобба-Дугласа

Понятие функции как отображения

Расширение понятия функции одной переменной на случай
функции нескольких переменных совершенствует математичес-
кий аппарат, позволяя изучать зависимость исследуемого объекта
одновременно от многих причин.

((пре/)еление. Отображением множества Е в множество F, или
функцией, определенной на Е со значениями в F, называется пра-
вило, по которому каждому элементу хе Е ставится в соответс-
твие определенный элемент ye F.

Элемент хе Е называют независимым переменным, или аргу-
ментом функции, элемент ye F называют значением функции,
или образом', при этом элемент хе Е называется прообразом эле-
мента ye F.
Отображение (функцию) обычно обозначают буквой f или
символом f'.E^F, указывая тем самым, что f отображает мно-
жество Ев F. Иногда функцию удобно задавать посредством ра-
венства у = fix), в котором содержится закон соответствия. На-
пример, можно задать функцию равенством у = х2 +1.

Как образ, так и прообраз могут быть либо скалярной вели-
чиной, либо вектором.

По этому признаку функции можно классифицировать так:

1.	Скалярная функция скалярного аргумента. Эти функции
изучались нами как функции одной переменной.

2.	Скалярная функция векторного аргумента. Обычно гово-
рят: функция нескольких или многих переменных. Эти функции
рассматриваются в настоящей главе.

3.	Векторная функция скалярного аргумента.

4.	Векторная функция векторного аргумента.

Введение в функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных

Переменная величина z называется функцией двух переменных
х, у , если каждой совокупности их значений из данной области
D соответствует единственное определенное значение Z- Соот-
ветствующая зависимость записывается в виде z = f{x,y) или
z = z(x,у). Если имеется п переменных величин х1; х2, ..., хп,
то функциональная зависимость имеет вид z = f(xi ,х2,...,хП). Вве-
дем обозначение x = (xt, х2, ..., хл). Назовем совокупность п
переменных величин вектором, а сами величины — координата-
ми вектора. Тогда функция нескольких переменных может быть
названа функцией векторного аргумента. Множество D называет-
ся областью определения функции.

Пусть функция z =f(x,y) определена в некоторой области D
на плоскости хОу. Каждой точке (х,у) на плоскости будет соот-
ветствовать точка M(x,y,z) трехмерного пространства. Множество
таких точек M(x,y,z) в трехмерной декартовой системе коорди-
нат представляет собой некоторую поверхность и называется гра-
фиком функции z-f{x,y). Для построения графика функции
z=f(x,y) следует рассматривать функции одной переменной
Z = f(x0,y) и z~ f(x,yD), представляющие сечения графика плос-
костями, параллельными координатным плоскостям xOz и yOz.
Поверхности в трехмерном пространстве за малым исключением
сложно нарисовать без компьютерной поддержки. Поэтому мно-
гие рассуждения, нуждающиеся в геометрическом представле-
нии, будут построены на простых объемных геометрических фи-
гурах. К их числу относятся шар, конус, цилиндр, параболоид
вращения. В таблице 10 приведены эти фигуры, а также описыва-
ющие их уравнения.

Примером сложной поверхности, прорисовка которой не-
доступна большинству студентов, может служить график функ-
ции z = sinxy, изображенный на рис. 10.1 в области значений
W<3, М<3.

2

Рис. 10.1
Таблица 10

Фигуры вращения
Продолжение таблицы
Среди функций нескольких переменных перечислим следу-
ющие:

1.	Линейная функция

2 =	+Ь.

<=1

2.	Квадратичная функция

z=tJaiJxixJ.

i.j=t

При выполнении условия ау -afi квадратичная функция на-
зывается квадратичной формой переменных xt, х2, хП.
Она играет важную роль в линейной алгебре.

3.	Функция Кобба-Дугласа

/=1

Для двух переменных она принимает вид

Z-axf'x22.

С помощью функции Кобба-Дугласа строят производствен-
ные функции, выражающие результат производственной деятель-
ности в зависимости от различных факторов х,, х2, хп.

Линии уровня

Определение. Линией уровня функции z- f(x,y) называется та-
кая линия f(x,y) = С на плоскости хОу, в точках которой функ-
ция принимает постоянное значение z = С. Например, функция
z = x2+y2, описывая поверхность, называемую параболоидом
вращения, имеет линии уровня вида х2 + у2 = С. Задавая парамет-
ру С различные значения из области С > 0, получим несколько
линий уровня в виде совокупности концентрических окружнос-
тей с центром в начале координат (рис. 10.2). Эта совокупность
называется фрагментом карты линий уровня.

Линия уровня может быть получена при пересечении графи-
ка функции z = f(x,y) плоскостью z - С, параллельной плоскости
хОу. Затем эту линию следует спроектировать на плоскость хОу.

Определение. Поверхностью уровня функции u = u(x,y,z) назы-
вается поверхность, на которой эта функция сохраняет постоян-
ное значение u[x,y,z) = C.
ПРИМЕР. Построить фрагмент карты линий уровня функ-
ции z = arcsinxy в области | х| <1, |у| < 1.

Решение. Пусть z = C. Тогда xy^sinC. При С-0 линиями
уровня будут прямые х = 0 и у = 0. При х*0 имеем у = s‘n —. за-
х
давая параметру С различные значения от до , получим
фрагмент карты линий уровня в области |х| < 1, |у|<1 (рис. 10.3).
На рисунке оттенками серого цвета закрашены области между
линиями разного уровня.
ПРИМЕР. Построить фрагмент карты линий уровня функ-
I/ у
ции Кобба-Дугласа z=xI/4x£4.

Решение. Функция Кобба-Дугласа играет важную роль в эко-
номико-математических задачах, поэтому рассмотрим ее подроб-
нее. Возьмем z-C. Соответствующие линии уровня имеют вид

1	16

х, =—г. При С-1 и С-2 получим х, =-^ и х. = —г. На рис. 10.4

-Л<2	Л2	Л2

I/ 3/

представлена функция Кобба-Дугласа z = хрх^4, которую пересе-
кают плоскости z = 1 и z = 2. Линии уровня для z - 1 и z = 2 пред-
ставлены белым и черным цветом. Вид сверху на трехмерный
график спроектирован на рис. 10.5, где на плоскости xf 0х2 по-

0	0.5 I 1 5	2	2.5 % 3
строена совокупность этих линий. Так получается карта линий
уровня функции. На рис. 10.5 выделены линии уровня, соответс-
твующие z = l (белый цвет) и z-'l (черный цвет). Оттенками серо-
го цвета закрашены области между линиями разного уровня.

Предел функции нескольких переменных

Определение. 8 -окрестностью точки Л/(х0,у0) называется круг
радиусом 3, содержащий точку М внутри себя. Для функции трех
переменных 8-окрестностью точки М(х0,у0,^0) называется шар
радиусом 8, содержащий точку М. В общем случае функции п пе-
ременных 8-окрестностью точки Л/(х1°,Х2,...,х“) называется п-
мерный шар радиусом 8 с точкой Л/внутри.

На плоскости хОу введем расстояние между точками
М(хй,у0) и N(x,y\.

р = у/(х-х0)2 + (у-у0)2.

Тогда условием нахождения точки N внутри круга радиуса 8
является выполнение условия р<8 (рис. 10.6).

Определение. Число а называется предел ом функции z = f(x,y)
при х —> х0, у->у0 (или в точке (х0,у0)), если для любого числа
е>0 найдется число 8>0, такое, что для всех точек N(x,y), от-
личных от точки Л/(х0,у0) и отстоящих от этой точки нарасстоя-
ниер (0<р<8), выполняется неравенство |/(х,у)-а|<е. Мате-
матическое обозначение:
lim f(x, у) = limf(x, у) = a.

x-^Xq '	' N->M '	'

У^Уо

Дадим геометрическую интерпретацию понятия предела
в трехмерном пространстве. Рассмотрим функцию z = f(x,y).
Она определена на всей плоскости хОу, причем f(x0,y0)=a.
Покажем, что предел этой функции в точке М(хд,у0) равен а.
Выберем произвольное число е>0. Тогда условие |/(х,у)-о|<е
выполнено для всех точек на плоскости хОу , которые лежат меж-
ду изображенными на рисунке линиями уровня (см. рис. 10.7).
Спроектируемточку А, лежащую на графике функции z = f(x,y),
на плоскость хОу. Соответствующую точку Л/(х0,у0) на плос-
кости выберем центром такого круга радиуса 8, все точки кото-
рого будут находиться между линиями уровня. Тогда для всех то-
чек N{x,y) этого круга, отличных отточки Л/(х0,у0) и отстоя-
щих от этой точки на расстояние 0 < р < б, выполняется неравен-
ство |/(х,у)-о|<е.
Замечание. Вычисление пределов функции двух переменных
является более сложной задачей по сравнению с вычислением
пределов функции одной переменной. Это связано с тем, что точ-
ка N может стремиться к точке М по любому направлению на
плоскости в отличие от функции одной переменной, где пере-
менная х может стремиться к числу х0 на числовой прямой толь-
ко справа или слева. Получающиеся при этом многочисленные
пределы функции двух переменных должны совпадать друг с дру-
гом. Легче доказать отсутствие предела функции z- f(x,y) при
х х0, у -> у0. Достаточно выбрать два таких направления, дви-
жение по которым приводит к различным пределам.

ПРИМЕР. Найти предел функции /(x,y) = SmA^ при
х->0, у^О.	У

Решение. Функция /(х,у) определена всюду, кроме линии
у = 0. функция в точке (0,0) не определена. При нахождении пре-
дела следует умножить числитель и знаменатель на х, сделать за-
мену ху=р, а затем воспользоваться первым замечательным пре-
делом	.	.	z -	\

sinxy ,. xsinxy ( smp i n
lim---- = lim----- = lim x----- 1=0.

x->0	V	x^O	jrv	x->01	О	I

y~>0	*	y->0 J	p->0 \	'	)

График функции представлен на рис. 10.8 и иллюстрирует
факт существования предела. Функция описывает гладкую по-
верхность за исключением плоскости у = 0. Стрелка на графике
указывает на линию пересечения плоскости у = 0 и поверхности,
описываемой нашей функцией. К точке с координатами (0,0,0),
увеличенной на графике для наглядности, можно подойти по
любому пути по поверхности, получая каждый раз одинаковые
значения.

ПРИМЕР. Существует ли предел у функции f(x,y)-J— при
х->0, у—>0?

Решение. Выберем направление движения к точке (0,0) по
линии у = кх. Ясно, что при х -> 0 переменная у -> 0. Получим

lim
х->0

При различных значениях к предел имеет различные значе-
ния. Наблюдается зависимость величины предела от пути, по
которому точка (х,у) стремится к точке (0,0). Предел не сущес-
твует.

При нахождении пределов удобным бывает другое определе-
ние предела функции в точке.

Определение. Число а называется пределом функции f(M)
в точке Мо, если для любой сходящейся к точке Мо последова-
тельности точек {Л/п} (Л/л^Л/0) соответствующая последова-
тельность значений функции {/(Л/„)} сходится к числу а.

Понятие предела функции нескольких переменных пред-
полагает одновременное стремление всех аргументов к своим
предельным значениям. Наряду с понятием предела вводится

понятие повторного предела.
Предел называется повтор-
ным, если он получен при пос-
ледовательном стремлении
каждого аргумента к предель-
ному значению при фиксиро-
ванных остальных аргументах.
На рис. 10.9 переход от точки
N(x,y) к точке М(х0,у0) при
нахождении повторного пре-
дела возможен по одному пути,

Рис. 10.9
где фиксируется сначала аргумент у, затем х, и по другому пу-
ти с последовательным фиксированием сначала аргумента х,
затем у.

ПРИМЕР. Найти повторные пределы функции

2	2

прих->0’

Решение. Функция f(x,y) определена всюду, кроме точки
0(0,0). Устремим переменную х к нулю, оставляя переменную
у постоянной и не равной нулю. Затем устремим переменную у
к нулю. Тогда

limf lim~ |= lim|	|= lim(-l) = -1.

_р-*01 х->0 X2 + у2 I у2 I '

Теперь оставляем постоянной величину х, а переменную у
устремим к нулю. Потом находим предел при х -> 0:

liml lim^z—1= liml	j=lim(l) = l.

x->0l х2 + у2 1 X I '
В итоге повторные пределы оказались разными. Причину

можно усмотреть на рис. 10.10, где построен график функции

х2-у2

при

| х| < 4, | у| < 1. Если вначале двигаться по поверх-

ности вдоль оси х от +4 к 0 при фиксированной переменной у
(направление движения указано белой стрелкой), мы попадаем в
ложбину и затем вдоль оси у по середине ложбины в точку

(0,0,-1). Если же начать движение вдоль оси у от+1 кОпри фик-
сированной переменной х (направление движения указано чер-
ной стрелкой), мы попадаем на гребень и затем вдоль оси х по
гребнювточку (0,0,1).

Непрерывность

Непрерывность функции нескольких переменных

Определение. Функция f(x,y) называется непрерывной в точ-
ке (х0, у0), если она:

1)	определена в точке (х0, у0);

2)	имеет конечный предел при х -» х0 , у -> у0;

3)	Iitn/(x,y) = /(x0,y0).

х~^х0
У~>Уо

Определение непрерывности можно сформулировать на язы-
ке (Е-б)-окрестностей.

Определение. Функция f(x,y) называется непрерывной в точ-
ке М (х0, >’п), если для любого числа е > 0 найдется число 5 > 0, та-
кое, 4то для всех точек JV(x,у), отстоящих отточки Л/(х0,у0) на
расстояние р < 5, выполняется неравенство |/(х,у)- f (х0,у0 )| <е.

Последнее определение непрерывности функции близко по
форме к определению предела функции. Однако есть существен-
ные отличия. Предполагается, что функция имеет конечное зна-
чение /(х0, у0) в исследуемой точке, и при стремлении х->х0,
У-^Уо по любому пути функция стремится к этому значению.
Другими словами, функция в точке Л/(х0, у0) не имеет разрывов
и не является проколотой. На рис. 10.11 изображена поверхность
Р, описываемая некоторой функцией. В точке (х,, у,) функция
/(х, у) непрерывна. В точках (х2, у2) и (х3, у3) функция /(х, у)
имеет разрыв.
Непрерывность, определение которой дано выше, представ-
ляет собой непрерывность по совокупности переменных х и у.
Это означает, что попадание в точку (х0,у0) происходит при
х -> х0, У -> У() независимо от закона перемещения по поверхнос-
ти. В этом случае функция оказывается непрерывной и по каждой
из переменных х и у в отдельности. Если же функция непрерыв-
на в точке (х0, у0) по каждой из переменных х и у, функция мо-
жет и не быть непрерывной по совокупности переменных. На
рис. 10.11 указана точка (х4,у4) в которой функция непрерывна
по каждой из переменных х и у. В точку (х4, у4) можно попасть,
двигаясь по поверхности Р как вдоль оси х, так и вдоль оси у.
Движение по более сложной линии, например, по спирали, не-
возможно из-за наличия разрыва при условии, что точки на ли-
нии разреза (разрыва) не входят в область определения функции.

Функция называется непрерывной в области определения,
если она непрерывна в каждой точке области. Точки, в которых
функция не является непрерывной, называются точками разры-
ва. Эти точки могут быть как изолированными, так и составлять
линии разрыва.

Свойства непрерывных функций нескольких переменных

Пусть функции /(х,у) и g(x,y) непрерывны в точке
М(х0,у0). Тогда:

1)функции f(x,y)±g(x, у) непрерывны в точке Л/(х0,у0);
2)	функция /(х, y) g(x, у) непрерывна в точке Af(x0, у0);
/(х, у)

3)	функция —-----г при условии л(х„,у„')^0 непрерывна

g(x, у)	'

в точке М(х0,у0).

Для доказательства непрерывности в точке М(х0,у0) функ-
ции f(x,y) воспользуемся результатами следующих рассуж-
дений. Одним из условий непрерывности в точке х0 выступает
lim/(x,y) = /(x0,y0). Обозначим х-х0=Дх и у-у0=Ду. Тогда
*-**0

условие непрерывности можно переписать:

Кт/(хо +^х,Уо +^У)=Дх0,у0).

Лу->0

По определению предела

|/(х0 +Дх,у0 + Ду)-/(х0,у0)|<£ .

Обозначим

/(х0 + Дх,у0+Ду)-/(л^,у0) через а(Дх,Ду),
то есть

/(х0+Дх,у0 + Ду)-/(х0,у0) = а(Дх,Ду).

Значит,

|а(Дх,Ду)|<£.

Но последнее означает, что а(Дх, Ду) есть бесконечно малая
функция:

1пп<х(Дх,Ду)=0.

Дх-»0 '	’

Др—>0

Следовательно, доказательством непрерывности в точке
М (х0, у0) может служить равный нулю результат вычисления пре-
дела

Пт(/(х0 + Дх,у0+Ду)-/(х0,у0)).	(1)

Др-»0

Этот подход может служить практическим приемом доказа-
тельства непрерывности функции в точке, а равенство lim ДТ=О

Дх->0

Ду->0
называется разностным условием непрерывности функции в точке.
ПРИМЕР. Исследовать на непрерывность функцию z = xy
в точке (х0,у0).

Решение. Воспользуемся разностным условием непрерывнос-
ти (1).

lim((x0 + Дх)(у0 + Ду) - х()у0) = lim (хоуо + х0 Ду+у0 Дх +ДхДу - хоуо) =
Дх->0	Дх->0

Ду->0	Ду—>0

= Нт(х0Ду + у0Дх+ДхДу) = 0.

Ду->0

Следовательно, функция z - ху непрерывна в точке (х0 ,у0).

Частные производные

Частные производные

Дадим аргументам функции z- f(x,y) приращения Дх и Ду,
оставаясь в области определения. Функция в точке (х+Дх,у+Ду)
будет равна /(х+Дх,у+Ду). Разность между значениями функ-
ции в точках (х+Дх,у+Ду) и (х,у) называется полным прираще-
нием функции А/.

Af =f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y).

Частным приращением функции по аргументу х называется
величина

Axf=f(x+Ax,y)-f(x,y).

Частным приращением функции по аргументу у называется
величина

Ayf=f(x,y+Ay)-f(x,y).

ПРИМЕР. Найти полное приращение и частные прираще-
ния функции z = ху.

Решение. Полное приращение функции

AZ = (х+Дх)(у+Ду) - ху = хДу+уДх+ДхДу.

Частные приращения функции

ДЛ2 = (х+Дх)у-ху = уДх, ДЛ,г = х(у+Ду)-ху = хДу.

Пример показывает, что Az*A.xz + A.yz.
Составим отношения —— и	. Они являются функциями

Дх Ду

соответственно Дх и Ду. Аргументы х и у в данной точке (х,у)
являются постоянными величинами. Устремим Дх и Ду к нулю.

Определение. Частной производной функции /(х,у) в точке

(х,у) по переменной х называется предел отношения —— при
Дх

л a cz	rr

Дх->0 и обозначается символами f или —.

Эх

, Э/ .. ДУ .. /(х+Дх,у)-/(х,у)
f=^-~ lim	= lim —'-----------  .

Эх ^->0 Дх Лл“>0	Дх

Определение. Частной производной функции /(х,у) в точке

(х,у) по переменной у называется предел отношения при
ЭЛ	Ау

Ду->0 и обозначается символами Г или
.	Эу

Эу Л>’~>0 Ду Ах-»0	Ду

Замечание 1. При нахождении частной производной по одной
переменной другая переменная остается постоянной. Поэтому
правила вычисления частных производных совпадают с правила-
ми вычисления производной функции одной переменной с пара-
метрами.

Замечание 2. В приблизительных расчетах частные произ-
„ э/ ду
водные можно заменять отношениями приращении —,
-}f д f	Эх Дх

. Результат вычисления будет тем более точным, чем
Эу Ду
меньшими по абсолютной величине будут приращения аргумен-
тов.

ПРИМЕР. Найти частные производные функции z = sin(x2y3).

Решение. Считаем аргумент у постоянной величиной, берем
производную по х:

4 =2xy3cos(x2y3).

Теперь х — константа, изменяется аргумент у:

z'=3x2y2cos(x2y}).
Геометрический смысл частной производной

Геометрический смысл частной производной аналогичен
геометрическому смыслу производной функции одной пере-
менной. Это тангенс угла, образуемого касательной, проведен-
ной к поверхности в исследуемой точке, с осью Ох или Оу.

Действительно, пусть уравнение z = z(x,y) есть уравнение
поверхности, изображенной на рис. 10.12. На данном рисунке
нарисована поверхность, описываемая функцией Кобба-Дуг-
2 2

ласа z = x2y2. Возьмем на поверхности произвольную точку
M(xo,yo,Zo). Проведем через эту точку плоскость х0 = const. На
рисунке треугольник АВС лежит в этой плоскости. Оставляя х
неизменным, дадим переменной у приращение Ду - FC. Фун-
кция z = z(x,y) получит приращение

М=г(хо’Уо +4у)~ М Wo)= DE-

Д z

Отношение равно тангенсу угла, образуемого секущей
Ду

ME с положительным направлением оси Оу
При Ду -> 0 с одной стороны iim -Z- -—, с другой стороны
Лу-Л Ду Эу

угол Z.EMD будет приближаться к углу Z.BMD, образованному
касательной ВА к поверхности в точке М с положительным на-
правлением оси Оу. Следовательно,

lim — -—
^у~>0 Ду Эу

= tg(p.

Зная, что z - х2у2, окончательно будем иметь

/I =11А

^'^(•«в.Уо.го) 2l Х{)

= tgq>.

Таким же способом обосновывается равенство частной про-
„ dz

изводнои — тангенсу угла наклона касательной к положитель-
дх

ному направлению оси Ох.

Понятие дифференцируемости

Определение дифференцируемости

Понятие дифференцируемости формализуется в следующем
определении.

Определение. Функция /(х,у) называется дифференцируемой
в точке (х,у) области ее определения, если полное приращение
функции можно представить в виде

taf -/(х+Дх,у+Ду)-/(х,у) = ЛДх + БДу+а-Дх+рДу,
где Л и Б—некоторые постоянные для точки (х,у) числа, аир —
бесконечно малые функции, зависящие от Дх и Ду и стремящи-
есякнулюпри Дх->0 и Ду->0.

Дифференцируемая функция, согласно определению, есть
сумма линейных по Дх и Ду слагаемых и нелинейной бесконеч-
но малой по сравнению с Дх и Ду добавки.

Выясним смысл постоянных Л и В.
ТЕОРЕМА (о существовании частных производных у диф-
ференцируемой функции).

Если функция /(х,у) дифференцируема в точке (х,у) об-
ласти ее определения, то она имеет в этой точке частные произ-

Э/ Э/	Э/ . df о

водные — и —, причем —=А и — = В.

Эх оу	Эх Эу

◄Пусть функция /(х,у) дифференцируема в точке (х,у).
Тогда ее частное приращение по переменной х равно

Дх/ = /(х+Дх,у)-/(х,у) = Л-Дх+а-Дх,

где <х = <х(Дх). Разделим равенство на Дх:

= Л+а(Дх).

Дх v ’

Поскольку <х(Дх) — бесконечно малая функция при Дх ->0,
то для любого е > 0 существует 8 > 0, такое, что для всех |Дх| < 8

Д,/ Л ъ

справедливо неравенство —А <е. Это означает по определе-
Дх	Д f

нию предела функции одной переменной, что lim —= А. С дру-

Дг->0 Дх

„ ДУ Э/
гои стороны, по определению частной производной lim —.

Дх Эх

Следовательно, в точке (х,у) существует частная производная
функции /(х,у) по переменной х, равная

Эх

Такие же рассуждения с частным приращением функции по
переменной у обосновывают существование частной производ-
ной по у и приводят к равенству

Эу

СЛЕДСТВИЕ (о приращении дифференцируемой функции).

Если функция /(х,у) дифференцируема в точке (х,у) об-
ласти ее определения, то полное приращение функции может
быть представлено в виде

Af=—Дх+—Ду+а -Дх+р Ду .

Эх Эу

Доказательство очевидно.
При рассмотрении вопросов дифференцируемости какой-
либо функции последние два слагаемых в приращении функции
удобно записать в другой форме. Обозначим расстояние между
точками (х,у) и (х + Дх,у + Ду) через р:

р = 7(Дх)2+(Ду)2.

Ясно,что р->0 при Дх->0 и Ду->0.

Тогда

* о *	( Дх „Ду^

<хДх+р-Ду= а—+р— -р = у-р,
I Р Р )

где у=а—+р— есть бесконечно малая функция при Дх->0
Р Р

и Ду-> 0. Полное приращение функции /(х,у) в случае ее диф-
ференцируемости будет иметь вид

*/ У * Э/ А

Д/ = ^-Дх+т7-Ду+ур.

Эх Эу

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью

Рассмотрим связь между дифференцируемостью функции
в некоторой точке и непрерывностью этой функции в данной
точке. Эта связь для функции нескольких переменных значитель-
но сложнее по сравнению с функцией одной переменной.

ТЕОРЕМА (о непрерывности дифференцируемой функции).

Если функция /(х,у) дифференцируема в точке (х,у) об-
ласти ее определения, то она непрерывна в этой точке.

◄Пусть функция /(х,у) дифференцируема в точке (х,у).
Тогда ее полное приращение равно

Д/ = Л-Дх+/Г Ду+а-Дх+Р-Ду.

Здесь Дх->0 и Ду->0, а = а(Дх,Ду) и р = р(Дх,Ду) — беско-
нечно малые функции. А и В— постоянные для точки (х,у) вели-
чины. Тем самым,

1ппДГ= 1пп(/(х+Дх,у+Ду)-/(х,у)) = 0.

АХ->0	Дх->0' '	/	\	//

Ду~>0	Ду-И)
Разностное условие непрерывности в точке (х,у) выполне-
но. Функция /(х,у) непрерывна. ►

Замечание. Следствием дифференцируемости функции в точ-
ке является существование частных производных в этой точке.
Поэтому непрерывная в точке функция имеет в этой точке част-
ные производные, вообще говоря, необязательно непрерывные.
Однако, если частные производные непрерывны в рассматривае-
мой точке, то при определенных дополнительных условиях функ-
ция станет дифференцируемой.

ТЕОРЕМА (о дифференцируемости функции, имеющей не-
прерывные частные производные).

Если функция /(х,у) имеет частные производные в окрест-
ности точки (х,у), причем эти производные непрерывны в самой
точке, то функция дифференцируема в точке (х,у).

Дифференцируемость функции в точке, как мы установили,
приводит к ее непрерывности. Поэтому из непрерывности част-
ных производных функции вытекает непрерывность самой функ-
ции в точке. Приведенная теорема позволяет упростить исследо-
вание функции нескольких переменных на непрерывность в рас-
сматриваемой точке. Достаточно установить факт непрерывности
частных производных этой функции в данной точке. Связь между
дифференцируемостью и непрерывностью функции /(х,у) вточ-
ке можно свести к схеме, представленной на рис. 10.13.

ПРИМЕР. Функцию z-i/^У исследовать на дифференциру-
емость в точке (0,0).

Решение. Исследуя функцию на дифференцируемость в точке
(0,0), заменим приращения аргументов значениями этих аргу-
ментов. Это допустимо, поскольку Дх = х - х0 = х - 0 - х.
Найдем частные производные функции в точке (х,у).

Вычислим z'(0,0) и z'(0,0) как предельные значения:

zx (©>©)=lim/ (х,0) - lim

-0.



Воспользуемся разностным условием непрерывности

т. е. найдем предел

у-»0

Устремим переменную у к нулю по пути у=кх, где к =const.
Тогда соответствующий предел

оказывается зависимым от величины к. Рассматриваемый предел



не существует. Производная

3^

не является непрерывной в точке (0,0). О дифференцируемости
функции z = tfxy ничего сказать нельзя.

Изберем другой способ исследования на дифференцируе-
мость. Выясним, имеет ли место равенство
. dz . dz .

Аг = — Ах+—Ду+Yp,
дх ду

в котором

Итак,

Эг=0
дх ’ ду

уху -ОЛх+О-Лу+ур.

(1)

Равенство верно при условии, что у=у(х,у) есть бесконечно
малая функция при х -> 0, у -> 0. Проверим это. Найдем у, рас-
сматривая (1) как уравнение относительно у:

и вычислим предел

Можно доказать, что он не равен нулю. Достаточно выбрать
путь стремления к нулю по прямой у = х > 0.

tfxy _Х% _ 1

yjx2+y2 2х

Функция у=у(х,у) не является бесконечно малой при
х->0, у->0. Условия дифференцируемости функции в точке
(0,0) не выполнены.

На рис. 10.14 построен график функции	в области

0 < z < 1,5. От графика функции z = tfxy он отличается отражени-
ем областей с разными знаками х и у в верхнее полупространс-
тво. В точке (0,0), указанной стрелкой, функция не дифференци-
руема. Это значит, что ее нельзя представить в виде линейного
приближения с бесконечно малой добавкой. Впрочем, на линиях
х = 0 и у = 0 ситуация такая же.

Для сравнения на рис. 10.15 представлен график функции
z=|ху| в области 0<z<3. В точке (0,0), указанной стрелкой,
функция z = |xy| дифференцируема, однако на линиях х = 0
и у = 0 — не дифференцируема.
Рис. 10.14

На рис. 10.16 представлен график функции z-x2y2, которая
дифференцируема во всех точках области определения, включая
точку (0,0) и линии х = 0 и у = 0.
Полный дифференциал

Полный дифференциал

Определение. Пусть функция z = f(x,y) дифференцируема
в точке (х,у). Полным дифференциалом dz функции называется
Э/ а У *
линейная относительно Дх и Ду часть приращения —• Дх+--Ду

. а/ . У л	ах ау

этой функции dz = — Дх+— Ду.

ах оу

Следовательно, полный дифференциал функции отличается
от ее приращения на сумму последних слагаемых а  Дх+0  Ду:

Дг=бк+аДх+Р-Ду.

Поскольку а Дх+р Ду = у(Дх,Ду) р, где у(Дх,Ду) есть (на-
помним) бесконечно малая функция при Дх-»0, Ду-»0, а
р = А/(Дх)2 +(Ду)", то сумма последних слагаемых является беско-
нечно малой более высокого порядка, чем слагаемые линейной
части и может быть записана как о(р):

Дг=й?г+о(р) или t±z~dz.
Замечание 1. Последняя формула означает, что при задании
достаточно малых приращений Ах и Ду соответствующее прира-
щение функции может быть заменено полным дифференциалом,
который легко рассчитывается.

Замечание 2. Из определения дифференциала вытекает его
единственность.

Замечание 3. Для тождества f = g справедливо df = dg. Это
означает, что можно брать дифференциал от обеих частей тож-
дества.

Замечание 4. Изучая поведение функции нескольких пере-
менных, мы будем опираться на дифференциал функции. В этом
существенное отличие от функции одной переменной, где глав-
ным инструментом в изучении поведения функции являлась про-
изводная.

Полный дифференциал называется главной частью прираще-
ния функции при условии dz * 0.

Назовем приращения аргументов Ах и Ду дифференциала-
ми этих аргументов: fxx = dx, Ay=dy и перепишем формулу пол-
ного дифференциала в виде

j df , df ,

dz = ^~ dx+^- dy.	(2)

дх ду

Частные дифференциалы

Частными дифференциалами dxz и dyz функции z = f(x,y)
называются линейные относительно Ах и Ду части приращения
df А df „ .

— Ах и — Ду этой функции:

Эх Эу

<Z = ^- Ax, d z=~&y.	(3)

Эх	Эу

Из формул (2) и (3) следует, что dz = dxz + dyz.

ПРИМЕР 1. Найти приращение функции z-x2 + у2 в точ-
ке (1,1).

Решение. Заменим приращение функции дифференциалом.
Получим

Az = cfe = |^-Ax+—Ау = 2х|х=| Ах+2у | Ау - 2 Ах+2 Ау.

Эх Эу £=|	*.=|
Возьмем, например, Ах = -0,1 и Ду=-0,1, т.е. выйдем из точ-
ки (1,1) по биссектрисе первой четверти по направлению к началу
координат. Функция изменится на величину = -0,4.

ПРИМЕР 2. Для функции Кобба-Дугласа z = Ax“y₽ найти
связь между дифференциалами аргументов при условии, что диф-
ференциал функции останется равным нулю.

Решение. Найдем полный дифференциал функции и прирав-
няем его нулю:

dz = zxdx+z'ydy = 0.

Отсюда	,	,

dx _ Zy
dy Zx ‘

Подставим частные производные функции Кобба-Дугласа
dx _ k^xayp~‘ _ р х
dy коха~'у$ ay

Полученная формула содержит важное экономическое по-
нятие — предельную норму замены трудовых ресурсов у капита-
лом х. На языке экономического анализа пример 2 формулирует-
ся так: на какую величину Дх следует изменить объем вложенного
капитала х, чтобы при изменении трудовых ресурсов у на вели-
чину Ду выпуск продукции z оставался постоянным: Аг = 0?

Сложные функции. Их производные

Дифференцируемость сложной функции
нескольких переменных

ТЕОРЕМА (о дифференцируемости сложной функции)

Пусть функции х = х(/) и у = у(/) дифференцируемы в неко-
торой точке t, а функция z = z(x,y) дифференцируема в соответс-
твующей точке (х,у). Тогда сложная функция z = z(x(/),y(/))
дифференцируема в точке t, причем

dz dzdx dz dy
dt Эх dt dy dt

◄Дадим аргументу t приращение Д/. Тогда переменные х
и у также получат некоторые приращения Дх и Ду. Это приве-
дет к появлению приращения Аг, которое можно по определению
дифференцируемости в точке (х,у) представить в виде

. r dz . dz .	. о .

Af- Ах+—Ау+аДх+р-Ау.
dx dy

Разделим равенство на At:

Az dz Ах dz Ay Ax o Ay
— — -----+~----+ ot---+p-

At dx At dy At At At

..Az

и найдем предел lim— > который по определению есть производ-
ная —:

Ж Az (dz Ах dz Ay Ax o Ay)
lim— = lim|------------+------—+ct---+B — =

л<-»оД/ л'-'О^дх At dy At At At J

(dz Ax} (dz Ay'i ( Ax o Ay A ...

= lim|-----|+iiml------—1+liml a---+B — .	(4)

dx At J A'->ol dy At 1 A'->ol At At I

it	dz dz	/ x

Частные производные —, —, как постоянные в точке (х,у)
величины, можно вынести за знаки пределов. По условию теоре-
мы существуют пределы

Ах	, dx	Ay	, dy

lim—-x -— и lim—=y

A'~>0 At dt	At dt

Из существования производных следует непрерывность
функций х = x(t) и у - у(/) в некоторой точке t. Тогда по разно-
стному условию непрерывности Ах->0 и Ау->0 при At —>0. Со-
ответственно а(Ах,Ау)->0 и Р(Ах,Ау)->0. Приходим к выводу,
что пределы в правой части равенства (4) существуют и могут быть
вычислены. Итак,

dz .. Az dz t- fAx'l dz (Ay A .. ( Ax a Ay A

— = lim—- — lim — 1+—lim — |+ liml a-------+B-— =

dt л'->° At dx А/ J dy Л'->°^Д/ J At At J
dz dx^dz dy
dx dt dy dt'

Использование дифференциалов дает мощный метод нахож-
дения производной сложной функции с любой степенью вложе-
ния от нескольких переменных. Достаточным условием исполь-
зования метода является непрерывность всех частных производ-
ных функций, которые составляют сложную функцию. ►
Производная функции z - z(x,y)
при x = x(t) и y = y(t)

1.	Пусть z = z(x,y), где x = x(t) и у = у(/)_ Тогда дифферен-
циал функции

dz = zxdx+z'ydy.	(5)

Для функций x = x(f) и y = y(t) дифференциалы равны
dx = x'dt и dy = y'dt. Подставим их в (5):

dz = z'xdx+z'ydy = z'xx'dt+zyy'dt = (z'x'+zyy')dt.

Откуда

dz > i > , >

-^=Z,=Zxx +zyy.

Производная функции z - z{u,v)
при и = u(x,y) и v = v(x,j>)

2.	Пусть z = z(u,v), где u = u(x,y) и v = v(x,y) и условия не-
прерывности всех частных производных выполнены.

С одной стороны,

dz = z!udu+z'vdv,
причем

du = u'dx+u'ydy и dv = vxdx + v'ydy.

Подставим du, dv в dz‘.

dz = z'u(u'xdx+u'ydy)+z^,(vxdx+vydy)^(z^u'x+zivx)dx+(zyy +&y)dy.

С другой стороны,

Z=z(u(x,y), v(x,y)) - z(x,y)
есть функция двух конечных аргументов х и у. Поэтому
dz = zxdx+zydy.

Сравним дифференциалы:

cfe =	+ &'х )dx+(zX + z>;) dy,

dz=	z'xdx+	Zydy.
В силу единственности дифференциала, а также учитывая,
что равенства должны выполняться при произвольных задавае-
мых нами малых приращениях аргументов dx, dy, будем иметь

Zx=Zuux+zvv'x,

Zy = ZllUy + ZvVy..

Производная функции z-z(u,v)
при произвольном задании аргументов

3.	Пусть z = z(u,v,t), причем u=u(x,t) и v = v(y,/), x = x(t),
у = y(t). Найдем все дифференциалы

dz = z'udu+z'„dv+z'dt,
du-uxdx+u'dt,
dv = v'ydy+v'dt,
dx = x'dt,
dy - y’dt.

Подставим последние дифференциалы в первое равенство

dz = (z' (uxx'+u't)+(v'y'+v;)+z')dt

ИЛИ

dz

= Z (u'xx+u't) + Zv (vyy'+<)+,

dz	,

где----полная производная функции z по независимой пере-

, dz

меннои t, a z, =--частная производная по t, при вычислении

ot

которой зависимые аргументы и, у, х, у принимаются за посто-

янные.

Неявные функции. Их производные

Напомним, что функция у=у(х) называется неявной, если
она задана уравнением F(x,y) = 0 , не разрешенным относитель-
но у. Подстановка функции у = у(х) в уравнение /7(х,у) = О об-
ращает его в тождество

F(x,y(x)) = O.	(6)
ПРИМЕРЫ.

Уравнение еху - 2 = 0 задает единственную неявную функцию

у - у(х). Ее можно выразить в явном виде у=

х

Уравнение sinxy = 0 задает бесконечное множество явных

.	.. пп	,,

функции у = —, где n&Z.

х

Уравнение у2 + х2 + 2-0 ни при каких значениях аргумента
х не определяет у как действительную функцию от х.

Вопрос о существовании и единственности функции у - у (х),
заданной уравнением F(x,y) - 0, разрешается положительно при
условии непрерывности функции Е(х,у) вместе со своими част-
dF dF

ными производными — и —в некоторой окрестности точки
( Хо, у0 ), В которой	Эу

*0-
dy х=х„.

Решение задачи о нахождении производной у неявной фун-
кции у = у(х) сводится к решению уравнения (системы уравне-
ний) с дифференциалами или к решению уравнения (системы
уравнений) с частными производными.

Уравнение F{x,y) = Q в дифференциалах

1А. Если неявная функция задана уравнением /"(х^) = 0, то,
взяв дифференциал от равенства (6), получим

JF(x,y(x))sc?(0)=0 или F'dx+F'dy = Q.

Откуда следует при условии F' 0

dy_ = _K

dx F'

Уравнение F(x,y) = 0 в производных

1Б. Другой способ заключается в нахождении дифференциа-
ла от тождества (6) и в подстановку dy = y'dx.

F'dx+F'y'dx = (F'+F'y') dx = 0.
Дифференциал dx в общем случае не равен нулю. Следова-

,	, ,	, F'

тельно, F + Fy = 0 и у = —£-
х * J f

У

Уравнение F(x,y,z} = ® в дифференциалах

2А. Пусть неявная функция z = z(x,y) определена уравнени-
ем F(x,y,z) = 0. Возьмем дифференциал от тождества
F(x,y,z(x,y)) = 0:

dF = F'dx+F'dy + F'dz = O-	(7)

Решим это уравнение относительно dz, считая F'ф 0:
F' F'
dz = --^dx—^dy.

Поскольку z есть функция аргументов х, у, то dz = z'xdx +
+ z'ydy. Сравним дифференциалы

F' F'

dz = --^dx—^-dy и dz= z'dx+zvdy.

F F	* у

Очевидно, что

F'	F'

z' = —z' = —— 
* F-	F'z

(8)

Уравнение F[x,y,z}-Q в производных

2Б. Предложим другой способ нахождения частных произ-
водных неявной функции z = z(x,y).B уравнение для дифферен-
циалов (7) подставим dz- z'xdx+z'ydy. Тогда

F'dx + F'dy + F’ (z'xdx+z'ydy)=0.

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми дифференциалами:

«+<4	+(Fy+4'4 )dy=°-

Равенство должно выполняться независимо от величин диф-
ференциалов dx и dy. Поэтому

<+<4=о.

Из этих равенств следует (8).
Выражения

DF
Dx

DF	,	,	DF	,	,,

, = F +F 7 и = F + F 7

’ Dx	х	zx	Dy	у	zy

называются полными частными производными функции F[x,y,z).

Рассмотренные в пунктах 1А, 1Б и 2А, 2Б теоретические зада-
чи позволяют сформулировать два способа нахождения произ-
водных неявной функции:

а)	следует взять дифференциал от функции F и, приравняв
результат нулю, решить уравнение в дифференциалах;

б)	найти полную частную производную от функции F и, при-
равняв ее нулю, решить уравнение с частными производными.

Система уравнений в дифференциалах

3.	Пусть неявные функции и = и(х,у) и v=v(x,y) заданы сис-
темой уравнений

F(x,y,u,v) = 0,

G(x,y,u,v) = 0.

Подставим в систему функции и = и(х,у) и v = v(x,y) и най-
дем дифференциалы тождеств системы

dF = F'dx+F'dy+F'du+F'dv = 0,

dG- G'xdx+G'ydy+G'udu+G'vdv = 0.

Решим систему линейных уравнений относительно перемен-
ных du и dv методом Крамера.

Из системы

F'du+F'dv=-F'xdx - F'dy,
G'du+G'dv=-Gxdx - G'ydy,

при условии, что

Ф 0, следует решение

-Fxdx-F'dy F’

-G’xdx-G'ydy G'y
f' р'
и V

G' G'
и V
Л' -Fxdx-F'dy

G' -G'dx-G'dy

G' G'
и v

f;
к
f;
g;

g:

f:

f:

G'u

g;

Опираясь на разложения дифференциалов du = u'xdx+u'dy
ndv = vxdx+v'ydy, окончательно получим

«х

f; g;

F' G'x

G'u G'

F' G'

и и

F' G'

X___X

fT~f:

g: g;

F' G'
и и

F' G'

У У

F' F'
U V

G' G'
U V

Однородные функции

Определение. Функция z = z(x,у) называетсяоднороднойфунк-
цией степенир, если для любой точки (х,у) из области определе-
ния и переменной t выполняется равенство z(tx,ty)=tpz(x,y').
Это равенство является тождеством, так как справедливо для лю-
бой точки (х,у). Например, функция z = xy*-х3у2 является од-
нородной функцией пятой степени. Действительно,

z(tx,ty) = (Zx)(<y)4 - (tx )3 (<у)2 = f (ху4 - х3у2)=f z(x,y).

ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА (о формуле для однородной функции).

Если функция z=z(x,y) на некотором множестве диффе-
ренцируема и является однородной степени р, то выполняется
равенство

Эг(х,у)	dz(x,y)

_L—^-х + —з—-y=pz{x,y}.	(9)

Эх	ду

◄ Рассмотрим сложную функцию аргумента t: z = z(x(l),y(l)),
где x = xot, y = yot, a x0, y0 — координаты произвольной точки
области определения, являющиеся в равенстве постоянными
величинами.

Найдем дифференциал от обеих частей тождества
z{txo,tyo) = tpz(xQ,yoy.

dz =(z'x (tx0,ty0) x0 + zy (tx0,ty0)• y0)dt = p• z(x0,y0)• tp~' • dt.
Откуда следует

^(&0>О’0)-х0 + г;(£г0,О’0)-у0 = pz(x0,y0)tp~' .

Положим в равенстве / = 1. Для каждой точки множества
х0, у0 будем иметь

z'Axo,yo)-xo+Zy(xo,yo)-yo = pz(x0,y0).

Следовательно, равенство (9) верно. ►

Производная по направлению

Производная по направлению

dz dz

Мы познакомились с частными производными — и —.
дх ду

Каждая из них представляет приращение функции вдоль соот-
ветствующей оси (х или у) при неизменной второй переменной

3z _ Az и dz Az
дх AxOTt Эу~Аух=соп/

Во многих приложениях функций векторного аргумента,
включая экономические, требуется определять изменение функ-
ции не только вдоль оси х или у, но и вдоль любого направления
на координатной плоскости хОу.

Пусть функция z-z(x,y) задана в некоторой окрестности
точки М0(х0,у0) и описывает поверхность S (рис. 10.17). Изоб-
разим на рисунке ось /, в направлении которой нужно найти про-
изводную. При перемещении в направлении / отточки М0(х0,у0)
в точку М(х,у) функция получит приращение

^lz = z(x,y')-z(x0,y0'),
соответствующее приращению А/.

Поскольку х = х0+Лх, у = у0+Ду, приращение в направле-
нии I составит А/ = ^(Дх)2 + (Ду)2.

д £

Определение. Предел отношения -А- при Д/ -> 0 называется
Д/

производной по направлению I от функции z-z(x,y) в точке
М0(х0,у0).
э/ д/

Возьмем произвольную перемещающуюся вдоль оси I точку
М(х,у), отстоящую от стационарной точки М0(х0,у0) на расстоя-
ние / (рис. 10.18). Координаты точки М(х,у) связаны с координа-
тамиточки М0(х0,у0) соотношениями х = х0 +/cosa, у = у0 +/cosp.
Рассмотрим функцию z = z(x,y) как сложную функцию пере-
менной / и найдем ее производную по Г.

dz	dz dx	dz dy	dz	dz	„

— --—-+  —cosa+—cosp.
dl	Эх dl	dy dl	dx	dy

Из рис. 10.18 видно, что р = ^-а. Производную по направле-
нию в двухмерном случае можно записать иначе:

dz dz	dz 

— = —cosa+—since.
dl dx	dy

x

Рис. 10.17
Рис. 10.18

Для трехмерного случая производная по направлению для
функции u = u(x,y,z) имеет вид

ди ди	ди	„ ди

— = —cosa+—cosp+—cosy,
dl дх	dy dz

где а, Р, у — углы между направлением I и координатными ося-
ми соответственно Ox, Оу, Oz.

ПРИМЕР. Найти производную функции z = x2 + y2 в точке
Л/(1, 2) в направлении радиус-вектора этой точки.

Решение. Найдем углы, задающие направление радиус-век-
тора:

х0 1	• Ул 2

cos a = -т= 	= -^, sinn = —-л°	=—.

^о+Уо	+ У о

Производная по направлению равна

dz
dl

dz
cosa+—
dy

sin a = 2 -^=+4--^= = 2y/5 .

y/5	y[5

Л=2

Градиент

Вспомним из школьной программы, что скалярным произве-
дением двух векторов а и b называется число, которое определя-
ется по правилу (а, Ь)=|л| |ft|cos<p, где |а|, |Л| — длины векторов,
<р — угол между векторами. Координатами вектора называются
координаты его конечной точки (х, у), если начальная точка век-
тора совпадает с началом координат.

Пусть л = (х,,у1), b = (х2,у2).Тогда:

1)	1«1=А2 +уЬ 1*1=7х2 +з;22 ;
2)	a + b = (X'+x2,

3)	(a,6) = x,x2+y,y2+z1Z2.

Определение. Градиентом функции z = z(x,y) в точке М(х,у)
dz dz г,

называется вектор с координатами — и —. Для градиента вве-
dx dy

дено обозначение

(dz dz)
dx dy J

Построим в направлении / единичный вектор a- (cos a, cosp)
(рис. 10.19) и найдем скалярное произведение векторов gradz и а.
(gradz, a)=^cosa+|^cosp.
dx dy

Следовательно, скалярное произведение градиента gradz
и единичного вектора а, задающего направление I, есть произ-
водная по этому направлению.

= (gradz, a) = ^cosa+^cosp.
dl	dx dy

Введем угол <p между градиентом gradz и вектором а и пере-
пишем скалярное произведение в другом виде:

=(gradz, а)=|grad|  lai • coscp=|grad| • coscp.
dl

dz

Исследование зависимости — от величины угла <р показы-
dl

вает, что при <р=0 производная по направлению достигает своего

dz
максимального значения —-

dl

= |gradz| (рис. 10.19).
max

Таким образом, градиент характеризует направление и вели-
чину максимальной скорости изменения функции в точке. На-
правление вектора gradz указывает направление возрастания
функции. Для функции z = z(x,y) на рис. 10.19 изображены две
линии уровня z(x,y) = Zi и z(x,y) = z2, причем z2>zr Если <р = ±^,
то —=0, т.е. в этом направлении функция не изменяется. Это
dl

направление линии уровня функции.
Например, у функции z = x2+y2 линии уровня представляют
концентрические окружности х2 + у2 = С радиусами 4С. В каж-
дой точке окружности градиент направлен перпендикулярно ка-
сательной к окружности. Поле градиентов функции z - х2 + у2
изображено на рис. 10.20.

Рис. 10.20
Свойства градиента

Сведем в таблицу основные свойства градиента.

1.	Градиент перпендикулярен к линии уровня.

2.	Градиент направлен в сторону возрастания функции.

3.	Длина градиента равна максимальной величине произ-
водной по направлению в данной точке, другими словами, произ-
водная по направлению принимает максимальное значение в том
направлении, куда «смотрит» градиент, причем

dz

Э/

max

=(grad z{=y/z?+z^.

Для функции трех переменных u-u(x,y,z) рассмотрим по-
верхность уровня, описываемую равенством u(x,y,z) = С. Диффе-
ренциал равенства в точке М(x,y,z)

d(u(x, у, г))=~dx+~dy+^-dz - 0.
v ' dx dy dz

Последнее равенство можно представить как скалярное про-
изведение градиента функции

grad и =

du du du

Эх’ Эх’ Эх

на вектор с координатами (dx, dy, dz), лежащий в плоскости,
касательной к поверхности u(x,y,z)-C в точке M(x,y,z). Вейлу
равенства скалярного произведения нулю градиент перпендику-
лярен (ортогонален) к этой поверхности в точке М(x,y,z).

Производные и дифференциалы
высших порядков

Производные высших порядков

тт	dz(x,y)

Пусть частная производная —т—- функции z = z(x,y) су-
Эх

ществует в некоторой области. Тогда в этой области можно опре-
dz(x,y)

делить частную производную от функции ——- по аргументам
Эх

х или у
Эр— j	9z(x + Ax,y) _ 3z(x,y)

— ) _ । jm------дх---------дх—

дх	Дх

Э| j д?(х,у+Ду) _ dz(x,y)

——- = lim-----—--------—— •

ду ду-»°	Ку

Эти производные называются вторыми частными производ-
ными или частными производными второго порядка функции
Z = z(x,y) и обозначаются

эр-1	эГ—)

ldxj_ э fdz\d2z_ , и д pzL 92z _ „

дх Эх[Эх J дх2 Zxx ду Эу[Эх J дудх Zxy

Так же вводятся вторые частные производные при диффе-
dz(x,y)
ренцировании функции —i-----

ду

эЛН afe'l
W а‘<	. „ W а!г	.

ду ду2	дх	дхду **

Среди четырех полученных частных производных z't,
z^> Си zfx Две из них — С* и z”*y ~~ называются смешанными,
поскольку получаются последовательным дифференцированием
по обеим переменным.

Подобным образом определяются частные производные бо-
лее высоких порядков.

Дадим интерпретацию поведения функции z = z(x,y) при
известном знаке какой-либо второй производной. Мы уже знаем,
что условие — >0 означает рост, условие — <0 — убывание

Эх	Эх

функции z=z(x,y) с увеличением аргумента х при неизменном

значении другого аргумента. Выполнение условий — >0 или
dz	дх

— <0 означают неубывание и невозрастание функции соот-
Эх
ветственно при постоянном значении аргумента у.
Изменение производной — с изменением аргумента х, т. е.

—у , можно приближенно записать в виде малых приращений
дх

afe'l дрй

Эх2 Эх1 Эх I дх Дх

1	и	Э2г л

1.	Неравенство —т>0 означает, что с ростом аргумента х
Эх2

функция z = z(x,y) растет быстрее, т.е. с ростом аргумента х
происходит все большее изменение функции на единицу прира-
щения аргумента при постоянном значении другого аргумента.

327

2.	Неравенство —=- < 0 означает, соответственно, что с рос-
Эх

том аргумента х функция изменяется во все меньшей степени на
единицу приращения аргумента при неизменном значении аргу-
мента у.

d2Z

3.	Для неравенства —?>0 справедлива следующая интер-
Эх

претация поведения функции: с ростом аргумента х рост функ-
ции не замедляется при условии, что аргумент у - const.

4.	Соответственно, неравенство —f < 0 указывает на то, что
Эх

рост функции не ускоряется с ростом аргумента х, если у-const.

Перейдем к интерпретации поведения функции при опреде-

„ d2z Q

ленном знаке второй смешанной производной-----. Запишем ее

приближенно в виде	^*Эу

Э2г

э|—
1 Эу

4*

1 Эу

ЭхЭу Эх

Э27

1.	Смешанная производная положительна:-------> 0. Условие

ЭхЭу

показывает, что функция z = z(x,y) с ростом аргумента у растет
быстрее в расчете на единичное изменение аргумента х. Другими
словами, изменение (возрастание) функции с увеличением аргу-
мента у при увеличении значений другого аргумента х растет.
д Z

2.	Отрицательное значение смешанной производной--< О

дхду
означает, что изменение (возрастание) функции с увеличением
аргумента у при увеличении значений другого аргумента х ста-
новится все меньше (убывает).

3.	Смешанная производная неотрицательна:--> 0. Это ве-

дхду

дет к тому, что изменение (возрастание) функции с увеличением
аргумента у при увеличении значений другого аргумента х не
уменьшается, т.е. рост функции постоянен или увеличивается.

^2

4.	Смешанная производная неположительна: —--<(). Ин-
дхду

терпретация следующая: изменение (возрастание) функции с уве-
личением аргумента у при увеличении значений другого аргу-
мента х не увеличивается, т.е. рост функции постоянен или
уменьшается.

Знание поведения функции в зависимости от знака какой-
либо второй производной потребуется при описании свойств
производственной функции, вытекающих из общеэкономичес-
ких соображений.

Среди частных производных высоких порядков смешанные
производные обладают важным для практического использова-
ния свойством.

ТЕОРЕМА (о порядке дифференцирования непрерывных
смешанных производных)

Если функция z = z(x,y) имеет непрерывные смешанные
производные п -го порядка, значение любой смешанной произ-
водной не зависит от того порядка, в каком производятся после-
довательные дифференцирования.

◄ Ради простоты доказательство проведем для случая сме-
шанных частных производных второго порядка, т. е. докажем, что
д ля функции z = z(x,y) верно равенство Z^=z'x-

Рассмотрим основную функцию

F=^(х+Ьх,у+&у)^(х+Ьх,у)^-^(х,у+&у)^(х,у)\
и введем для нее вспомогательную функцию

f(y) = f(x, у + Ay) ~f(x,y).
Тогда основная функция может быть представлена через вспомо-
гательную так:

F = /(x+Ax)-/(x).

Воспользуемся теоремой Лагранжа о конечных приращениях
и запишем F как

Т = /Дх+81Дх)-Дх = [г'(х+8|Дх,у+Ду)-гх(х+8|Дх,у)]-Дх,
где 0 < 8, < 1. Выражение

4 (х+8, Дх,у+Ду) - z'x (х+8, Дх,у) s zx (у+Ay) - Zx (у)
есть приращение функции z', которая зависит от переменной у.
Поэтому применим теорему Лагранжа еще раз:

^' = С(х+81Дх’^ + 82А^)ДхД3;’	0°)

где 0 < 82 < 1. Рассмотрим основную функцию F, слагаемые кото-
рой сгруппируем иначе:

^=[г(х+Дх,у+Ду)-г(х,у+Ду)]-[г(х+Дх,у)-г(х,у)],
и введем для нее свою вспомогательную функцию

g(x) = /(x+Ax,y)-/(x,y).

Повторяя рассуждения для функции g(x), получим

Т = 4(х+£,Дх,у+£2Ду)ДуДх,	(11)

где 0<е, < 1, 0<е2<1. Следовательно, выражения(10)и(11)равны

F = z^, (х+8, Дх, у+82 Ду)  ДхДу = z"x (х+£j Дх,у+в2Ду)  ДуДх.

Разделив обе части равенства на ДхДу, возьмем предел при
Дх->0, Ду->0. В силу непрерывности вторых смешанных
частных производных пределы существуют и равны частным
значениям функций z^ и z*x вточке (х,у). Окончательно <' (х,у) =
= 4(^)>

Дифференциалы высших порядков

Пусть функция z = z(x,y) имеет в области определения не-
прерывные частные производные до второго порядка включи-
тельно. Напомним, что из непрерывности частных производных
следует дифференцируемость функции. Тогда дифференциал
dz=—dx+—dy, который является функцией переменных х и у,
Эх dy

есть дифференцируемая функция, т.е. его приращение может
быть представлено в виде

, , , d(dz)	d(dz)

&(dz) = ——-Дх + \ 'Ду+аДх+рДу ,
Эх эу

d2z

где а и Р —бесконечно малые функции при Дх—>0, Ду—>0.

Пусть приращения dx и Дх, а также dy и Ду одинаковы, т. е.
Дх=dx и Ду - dy. Обозначим главную линейную часть прираще-
ния дифференциала через d2z и преобразуем его:

,2 Э (dz , dz . 1 . Э (dz , dz ,	.

d z = — —dx+—dy dx+— —dx+—dy \dy.

Эх1Эх Эу Эу1Эх Эу I

Приращения аргументов dx и dy задаются нами произволь-
ным образом. Они не зависят от переменных х и у. Поэтому, ме-
няя х и у, можем считать приращения dx и dy постоянными
величинами. Следовательно,

,2 Э (dz
dz — —I —

Эх I Эх

(<b)’+A[fc

v ' Эх1Эу

drJy+— —

Эу1 Эх

. , d (dz
dxdy+— —

Эу1 Эу

^У)2.

Э
Эх

Обозначим (dx)2 -dx2, (dy)2 = dy2. Вследствие непрерывности
смешанных производных

Эу J Эу^Эх

и для d2z получаем формулу

d2z = ^-^dx2 +2^ z dxdy+^-^-dy2.

Эх2 ЭхЭу Эу2

(12)

Замечание 1. Можно было бы определить d2z как дифферен-
циал от дифференциала d (dz). В этом случае получится тот же ре-
зультат. Действительно,

d2z=d(dz)-d(—dx+—dy^=d(—^dx+d[— dy =

I Эх Эу ) ^Эх ) ^Эу J

=^-^dx2 + Z dxdy+ Z dxdy+^-^-dy2

Эх2 ЭхЭу ЭуЭх Эу2 ’
откуда и получается формула (12).

Замечание 2. При нахождении второго дифференциала пред-
полагалось, что переменные х и у независимы. В противном
случае формула для второго дифференциала будет выглядеть ина-
че. Пусть задана функция z-z(x,y), аргументы которой в свою
очередь являются функциями x = x(u,v), у = y(u,v). Первый диф-

ференциал выглядит так же: dz-—dx+—dy. Однако прираще-
Эх ду

ния dx, dy не являются независимыми величинами. Они есть
функции независимых приращений du, dv. Поэтому

d(dz) = d

—dx+—dy ]= d (—1 dx+—• d (dx) + d\ — | dy+
дх dy I I Эх J Эх ' I Эу I

+|^d(Jy)= d2z +|^

цу	х,унезависимые	dX

J	переменные

d2x+—d2y
dy

где d2z определяется формулой (12).
x, у-независимые

переменные

Введем формальный символ (оператор) — dx+—dy, услов-
Эх dy

ное умножение которого на функцию z приводит к выражению

Э? . dz .	z	ч

—dx+—dy, а квадрат символа (и не только квадрат) раскрывает-
Эх dy

ся по формулам сокращенного умножения

(д , Э , Y Э2 , 2 _ Э2 , , Э2 2
—dx+—dy =—ydx + 2——dxdy+—2dy .

I Эх dy I Эх dxdy dy

Тогда

dz(x,y)=\ ^-dx+^-dy | z.

^Эх	Эу J

^(x,y)=f^-rfx+^-Jyl z.

^Эх	dy )

d2u(x,y,z)=(—dx+—dy+~dz] u.
I Эх dy dz J

В общем случае для функции и = w(x1 ,x2,...,xk), имеющей не-
прерывные частные производные п -го порядка,
-^—dx, +-^—dx7 +...+-^-tfcct
v 1 2 k> [Эх, Эх2	dxk

v

u.

ПРИМЕР. Найти третий дифференциал от функции двух пе-
ременных.

Решение. Пусть функция z = z(x,y) имеет непрерывные вто-
рые частные производные. Для раскрытия скобок в выражении
для третьего дифференциала

d3z(x,y)=[^-dx+^-dy} z

^Эх Эу )
воспользуемся алгебраической формулой сокращенного умно-
жения

(а+b)3 -а3 +3a1b + 3ab1 +Ь3.

Получим

d3z=f—dx+—Jy 1 г=—rdx3 + 3	dx2dy+3 z dxdy2 + dy3

dy J dx3 dx2dy dxdy2 Л dy3

Формула Тейлора

Английский математик Брук Тейлор (1685—1731) нашел
в 1712 году общую формулу д ля разложения функций в степенные
ряды. Пусть функция z = z(x,y) имеет непрерывные частные
производные до п -го порядка включительно во всех точках (х,у)
некоторой 8 -окрестности точки (х0,у0). Возьмем точку (х,у) из
этой окрестности с координатами х = х0 +/Дх, у - у0 +/Ду, где t —
новая независимая переменная. Тогда dx = kxdt, dy = txydt.

Функция z-z(x,y) является сложной функцией z = z{x(t),
y(t)) = z(t) переменной t на отрезке [0,1]. Разложим функцию од-
ной переменной z(t) в ряд Тейлора в окрестности точки Z = 0:

,. .... ЦО) Ц°),	.

г(')-г(°)=4г'+4г' + "+7^¥' +

где 0<0<1.

В частном случае при t = l имеем
причем

*'(0) *'(<>L .

1!	2!

(л-1)! л!

(13)

Z(!)-Z(O)-

г(1) = ф()+Ах,у0+Ду),
z(O) = z(xo,yo),





г-(0)=$

Хб’Уо



(*Ь»Уо)

Найдем первый дифференциал dz функции
z=z(x(/),y(/)) = z(z):

dz , dz ,
—dx+—dy

dx dy

1=0

= —dt/Ух+—dttxy

lax ay

1=0

( dz A	dz А

= —Дх +—Ду

I dx dy

dt.

t=O

Тогда

1=0

(dz a dz *
dx dy

1=0



Найдем второй дифференциал d2z рассматриваемой функ-
ции:

J2 (dz j	dz j Y	d2z	. г ~ d2Z	. j d2Z	.г

d2z=\—dx+—dy = —Tdx2 +2—-—dxdy+—rdy1.

|^X	dy j	dx dxdy dy

Используя dx = tyx dt, dy=by-dt, получим

d2z-^-^(dttyxf +2	J/AxJ/Ду+^-^(dttxy}2 =

dx	dx^y	dy

(d2Z * 2 т d2Z . * d2Z * 2
lax2 dxdy dy2

!t2=(—дх+—Ду dt2
I ax ay ;
Это позволит найти вторую производную z'(0):



»=0

(Э?. Т

I Эх Эу 1

»=0

В общем случае k-я производная может быть получена после
нахождения дифференциала fc-ой степени

dk

(Эх: л	dz Y

Z=l — Дх+—Ду

I Эх	Эу	J

dtk.



»=0

(э? dz. Y
I Эх Эу I

Z=0

Соотношение / = 0 означает, что производные находятся в
точке (х0,у0). Подставим найденные производные в формулу 13.

dz . dz .

—Дх+—Ду

Эх Эу



ifdz dz. А2

+— —Дх+—Ду

2!l Эх Эу I

OWo)

1

dz . dz .

(п-1)!1Эх Эу

,1 ( dz . dz .

+—I —Дх +—Ду
л! I Эх Эу

(х0+едх,у„+еду)

|*»л)

Полученная формула дает разложение функции z = z(x,y)
в ряд с центром разложения в точке (х0,у0) и называется форму-
лой Тейлора. Последнее слагаемое справа

dz . dz .

—Дх+—Ду

Эх Эу

(Хв+вЛх.Л'о +ВЛу)

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Замечание 1. Каждое слагаемое в разложении есть бесконечно
малая величина по сравнению с предыдущим слагаемым при
Дх -> О, Ду —> 0. Для обоснования этого факта найдем отношение
к -го слагаемого ак к (&-1) -му ак_х.
ак
ак-\

dz - . dz а

Дх+ Ду
dx dy

1 f dz
(£-1)!(Эх

* dz A
Дхч---Ay

dy

Разделим и умножим числитель и знаменатель на величину
р = 7(Ах)2 + (Ау)2. Получим

1

dz Ax dz Ду

ак
°к-\

(£)!^Эх p dy p

dz &X dz Ду

(fc-l)!(3x p Эу p

Р*

----= ^Р’

р*-1

1

где К — отношение суммы конечного числа ограниченных сла-

гаемых к другой сумме также конечного числа слагаемых при ус-

ловии

^ЭгДх ) ЭгДу
Эх р Эу р

ф 0. Поэтому величина К конечна. При

Ах —> 0, Ду —> 0 величина р —> 0. Таким образом, каждый после-
дующий член разложения, включая и остаточный, в р (р -> 0 ) раз
меньше предыдущего, т. е. представляет собой бесконечно малую
функцию по отношению к предыдущему члену

ак~К ? ак_х или ак = о(ак_х) = о(р* 1).

Замечание 2. Слагаемые в правой части представляют развер-
нутые дифференциалы различного порядка. Поэтому формулу
Тейлора можно записать в компактном виде

Azi. ,=<feL +±-d2z	+...+	+о(ря|).

гол) «л) 2!	,	,	(п—1)!	•(’«.л)	'	'

Ио 'Ус)	V /

Замечание 3. Из формулы Тейлора легко получить, как
частный случай, формулу Маклорена, когда рассматривается
разложение в окрестности точки (0,0). Положив хо = О, уо = О,
Дх = х, Ду = у, напишем формулу Маклорена разложения в ряд
до третьего порядка:

z(*,y)-z(o,o)=4(o,o) x+z;(0,0)-y+^[zL(0,0) х2 +

+ 2z'(0,°)xy+z'(°,°) у2]+о(р2).
Формула Тейлора позволяет вычислить приращение функ-
ции векторного аргумента в конкретной точке с любой степенью
точности, которая определяется числом взятых членов разложе-
ния. Формула Тейлора будет положена в основу при изучении
экстремумов функции векторного аргумента. Для серьезного изу-
чения таких экстремумов требуется привлечение аппарата линей-
ной алгебры, который будет рассмотрен в учебнике «Линейная
алгебра» в разделе «Классические методы оптимизации».

В этой главе в качестве приложения к теории функций не-
скольких переменных рассмотрим макроэкономическую функ-
цию Кобба-Дугласа.

Макроэкономическая функция Кобба-Дугласа

Понятие производственной функции

В качестве примера разберем макроэкономическую произ-
водственную функцию, построенную на основе функции Кобба-
Дугласа двух переменных.

Производственной функцией (в дальнейшем ПФ) называет-
ся зависимость между объемами затрачиваемых или используе-
мых ресурсов и объемом выпускаемой продукции. В качестве од-
ного из ресурсов рассматривают объем используемого в течение
некоторого промежутка времени капитала: xt = К. Другим ресур-
сом является затрачиваемый в течение этого промежутка времени
живой труд: х2 = D. Третьим фактором может служить объем ис-
пользуемых за это время природных ресурсов.

Общий вцд производственной функции (ПФ)

У = /(Х„Х2,...,ХЯ),

где переменные х}, х2,..., хп есть объемы затрачиваемых ресурсов,
а зависимая переменная у имеет смысл величины объема выпус-
ка продукции. В экономике обычно принимается условие

х, >0, где i-l,2,...n.

Если переменные х1,х2,...,хП являются независимыми вели-
чинами, ПФ называется статической. В случае зависимости пере-
менных х1,х2,...,хп от времени

х2=х2(1), ..., x„=x„(t)

ПФ становится динамической и сложной функцией аргумента I.
Требования к производственной функции

Предполагается, что функция f удовлетворяет некоторым
условиям (не обязательно всем), вытекающим из общеэкономи-
ческих соображений.

1.	/(0,0,...,0) = 0.

Условие означает, что выпуск при отсутствии ресурсов невоз-
можен.

2.	При х'>х(, где /=1,2,..., л, справедливо неравенство
/(xf,x;,...,x' ) >/(х, ,х2,...,х„).

Функция является возрастающей по всем переменным, т. е.
при увеличении затрат всех ресурсов выпуск будет расти.

3.	— >0 для всех / = 1,2,...,п.

Эх,

При увеличении затрат любого ресурса и неизменных осталь-
ных выпуск не уменьшается.

Э2 f

4.	—з-<0 для всех /=1,2,...,л.

Эх,

Это свойство означает, что с ростом затрат любого ресурса
при неизменных остальных прирост выпуска на каждую допол-
нительную единицу этого ресурса не увеличивается.

Э2 f

5.	/ >0 для всех / = 1,2,...,л; 7 = 1,2,...,л.

Эх,Эху

Неотрицательность всех смешанных производных второго
порядка означает, что эффективность затрат любого из ресурсов
при увеличении затрат какого-либо другого ресурса и неизмен-
ных остальных не снижается.

6.	/(/• х,,/• х2,...,/• х„) =/'/(х,,х2,...,х„).

Равенство утверждает однородность функции у - f(xx,x1,...,xn'\
со степенью р>0. При р>1 увеличение затрат ресурсов в t раз
приводит к увеличению объема выпуска в tp > t раз.

Иногда требуется, чтобы ПФ помимо указанных свойств об-
ладала и некоторыми другими.

Конкретный вид ПФ выводят, исходя из гипотез об экономи-
ческой деятельности и из ее характеристик. В литературе предло-
жено множество конкретных ПФ. Рассмотрим одну из них, пост-
роенную на основе функции Кобба-Дугласа двух переменных.
Функция Кобба-Дугласа

как макроэкономическая производственная функция

При моделировании макроэкономических процессов часто
используется производственная функция вида

yKD=a0KaD\

где К — объем используемого капитала, D — затраты труда. Вы-
бор значений параметров ай, ос, р определяется статистически-
ми данными за определенный период времени. Их обработка, на-
пример, методом наименьших квадратов, позволяет дать оценку
этим параметрам. В таблице приведены значения макроэкономи-
ческих параметров, взятые из учебника О.О. Замкова, А. В. Толс-
топятенко, Ю.Н. Черемных «Математические методы анализа
экономики» для стран США и СССР. Коэффициент а0 положим
равным единице.

Страна	Годы	Параметры		Вид функции
		а	₽	
США	1934-1956	0,26	0,74	„США 1x0,26 п0,74  Ую = А v
СССР	1960-1985	0,54	0,46	„СССР 1x0.54  УKD	= A D

На рис. 10.21 и 10.22 построены функции Кобба-Дугласа yKD
для стран США и СССР соответственно.

Между данными, по которым построены функции yKD, вре-
менной промежуток — несколЬко десятилетий. Полагая, что за
столь длительное время на первое место выступает технический
прогресс, проанализируем участие капитала и труда в достиже-
нии одинакового объема производства. На обоих графиках про-
ведены горизонтальные плоскости на уровне К“£₽ = 0,5, пересе-
кающие функцию yKD. Видно, что линия уровня за десятилетия
сдвинулась направо и к нам. Это означает, что доля капитала в до-
стижении одинакового объема производства увеличилась, доля
живого труда уменьшилась. Труд стал более производительным.
Сравнительное участие труда D и капитала К в достижении оди-
наковых результатов показано на рис. 10.23. На следующем
рис. 10.24 представлена разность между функциями у^СР и у™А.
Для улучшения обзора на рис. 10.24 проведена плоскость у - 0.

Полученная статистическими методами ПФ позволяет рас-
считывать ряд важных характеристик, описывающих различные
стороны исследуемой производственной деятельности. Рассмот-
рим некоторые их них.

Рис. 10.23
r)v

1.	Предельная производительность Она показывает уве-
dx,.

личение выпуска при увеличении затрат i-ro ресурса при неиз-
менных значениях других переменных. Рассчитанную предель-
ную производительность поместим в таблицу:

	США (40-е годы)	СССР (70-е годы)
дУкв  ЪК	О  >! to о о	О  >! to о е  &
^Укр  3D	SO SO © о сГ	С>  Os  to  е ©  у

2.	Эластичность выпуска по i-му фактору —. Показы-
Уко ^7

вает, на сколько процентов увеличится выпуск при увеличении
затрат i -го ресурса на 1% при неизменных значениях других пе-
ременных. Представим эластичности в таблице:

	США (40-е годы)	СССР (70-е годы)
К ^Укр  Укр дК	0,26	0,54
D дУцр  Укр дЭ	0,74	0,46

3.	Предельная норма замены одного фактора другим

уКР =const

Эта характеристика показывает количество i-ro фактора, которое
требуется для замещения единицы j-ro фактора при неизменных
значениях других переменных. В разделе «Частные дифференци-
алы» для этого отношения была получена формула
Расчет по этой формуле дает выражения, помещенные в таб-
лице ниже:

	США (40-е годы)	СССР (70-е годы)
ЛК	К\	„ ГХЛ
	2,85 —	0,85 —
yKI>=const	J	
dD	п D\	Л
	0,35 —	1,18 —
	И J	И )

Существуют и другие важные характеристики, описываемые
ПФ. Сбор статистического материала, их обработка методами ма-
тематической статистики и эконометрики позволяют выбрать
ПФ и оценить ее параметры. Эти материалы, полученные в ана-
литическом, графическом и табличном видах, дают возможность
экономисту-аналитику проводить исследования экономических
показателей производственной деятельности экономического
субъекта, начиная от мелкого предпринимателя-ларечника и кон-
чая страной в целом. Содержание подобного исследования суть
микро- и макроэкономических дисциплин.

Вопросы для повторения

1.	Дать определение линии уровня функции двух переменных.

2.	Сформулировать определение предела функции двух переменных
при х-4х0, у->у0.

3.	Сформулировать определение непрерывности функции двух пере-
менных при х —> JQ,, у —> у0 .

4.	Что называется частной производной функции нескольких перемен-
ных?

5.	Какая функция нескольких переменных называется дифференцируе-
мой в точке?

6.	Какова связь между дифференцируемостью и непрерывностью функ-
ции?

7.	Что называется полным дифференциалом?

8.	Найти производную сложной функции Z = z(x,y) при х = х(/) и

9.	Найти производную ух, решив уравнение J’(x,y) = 0 в дифферен-
циалах.

10.	Сформулировать теорему Эйлера.

11.	Как определяется производная по направлению?

12.	Что такое градиент функции?
Неопределенный интеграл

Ft

>	Понятие первообразной

>	Свойства неопределенного интеграла

>	Табличные интегралы

>	Методы нахождения неопределенных интегралов

Понятие первообразной

В интегральном исчислении основной задачей является на-
хождение функции y = f(x) по ее известной производной
y'=f'(x).

Определение. Функция F(x) называется первообразной д ля фун-
кции у=/(х) на промежутке X, конечном или бесконечном, если
функция F(x) дифференцируема в каждой точке этого промежут-
ка и ее производная F\x) = f(x).

Равенство F’(x) - f(x) запишем через дифференциалы

dF

—=f(x) или dF - f(x) dx.

ПРИМЕР. Функция -F(x) = — является первообразной для

функции f (х)=х, так как F'(x) =

Замечание. Первообразная F(x) имеет конечную производ-
ную, следовательно, является непрерывной функцией. Это следу-
ет учитывать при нахождении интегралов.
ТЕОРЕМА 1 (о бесконечном множестве первообразных для
функции).

Если Fix) является первообразной для функции fix) на
промежутке X, то и функция Ф(х) = Fix)+С, где С — произволь-
ная постоянная, будет первообразной для fix) на этом проме-
жутке.

◄В самом деле, Ф'(х) = (1(х)+С) =F'(x)~ /(%).►

Таким образом, если функция y = f(x) имеет первообраз-
ную, то она имеет бесконечное множество первообразных. Меж-
ду двумя различными первообразными для одной и той же функ-
ции существует тесная связь, которая устанавливается следующей
теоремой.

ТЕОРЕМА 2 (об общем виде представления первообразной
для функции).

Если Fix) и Ф(х) — две любые первообразные для функции
у - fix), то их разность равна некоторой постоянной

Ф(х) - Fix) = С, С— const.

◄Пусть Ф(х) и F(x) — первообразные для функции f(x), т. е.
&'ix)=fix) и F'(x) = fix), и пусть £(х) = Ф(х)-Fix). Найдем про-
изводную функции L(x):

L'ix) = (Ф(х) - Fix)) = Ф'(х) - F\x)=fix) - fix) = 0.

Это означает, что производная функции £(х) равна нулю на
всем промежутке.

Возьмем на рассматриваемом промежутке отрезок [с;х]. По те-
ореме Лагранжа о конечныхприращениях Z(x) - If а)=£'(0 -(х-а),
где а < £ < х. В любой точке промежутка, а значит, и в точке £ отрез-
ка [а;х] имеем £'(^) = 0. Отсюда следует Ifx)-Ifa) = £'(£)(х-а) = 0,
или Цх) = Ifa) для любого значения х, принадлежащего проме-
жутку. Это означает, что функция £(х)=Ф(х)- Fix) постоянна
на промежутке. Обозначим Ца) = С. Тогда Ф(х)~ Fix) = Lia) = C,
что и требовалось доказать. ►

Эту теорему можно было сформулировать так: каждая функ-
ция, первообразная для fix), может быть представлена в виде
Fix)+C.
Определение. Совокупность всех первообразных функции f(x),
определенных на промежутке, называется неопределенным интег-
ралом от функции f(x) и обозначается символом

Таким образом,

jf(x)dx.

J f(x)dx = F(x)+С.

Здесь знак J называется знаком интеграла, выражение
f(x)dx — подынтегральным выражением, сама функция Дх) —
подынтегральной функцией, а х называется переменной интегриро-
вания.

Операцию нахождения первообразной или неопределенного
интеграла от функции Дх) называют интегрированием функции
Дх). Интегрирование представляет собой операцию, обратную
дифференцированию.

Свойства неопределенного интеграла

1.	Дифференциал от неопределенного интеграла равен по-
дынтегральному выражению.

◄ d^f(x)dx^=d{F{x)+C)-dF{x)-F\x)dx = f(x)dx .►

2.	Производная от неопределенного интеграла равна подын-
тегральной функции.

◄ (J/(x)rfr) =(Г(х)+С) =Г(х) = /(х)>

3.	Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой
функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.

◄ jdF(x) = jF'(x)dx-jf(x)dx = F(x)+C .►

4.	Постоянный множитель можно выносить за знак неопре-
деленного интеграла или вносить под знак интеграла.

J а • f(x)dx = а J f(x)dx.

◄ По второму свойству левая часть равенства (Ja. f(x)dx} =
-af(x). По свойству производной правая часть равенства
г	г

(aj/(x)dr) =a(J/(x)dx} = a - Дх). Таким образом, левая и пра-
вая части равенства в четвертом свойстве равны. ►

5.	Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух
функций равен алгебраической сумме неопределенных интегра-
лов от этих функций.

J (Дх) ± g(x))dx = J f(x)dx ± J g(x)dx.

◄По второму свойству

(J(/(x)±g(x))dx) = f(x)+g(x).

По свойству производной

(J/(x)cfr±Jg(x)<fr) = (J/(x)dx) ±(Jg(x)<fr) =f(x)±g(x).

Таким образом, J(/(x)±g(x))dx и jf(x)dx±jg(x)dx являют-
ся первообразными для одних и тех же функций Дх) ± g(x). Сле-
довательно, они отличаются друг от друга не более чем на некото-
рую постоянную величину. ►

Замечание. Равенства, описывающие четвертое и пятое свойс-
тва, справедливы и в том случае, если к любой части уравнения
добавить константу С. Это означает, что знак равенства при на-
хождении интегралов носит условный характер: левая часть ра-
венства равна правой части с точностью до произвольной посто-
янной величины.

Табличные интегралы

Рассмотрим некоторые элементарные функции F(x) и их
производные Дх). Формулу, их связывающую: F\x) = f(x) — за-
пишем в виде dF{x)-f{x)dx. По известному дифференциалу
dF(x) функции //х) восстановим саму функцию, пользуясь треть-
им свойством:

JdF(x) = F(x)+С - J f(x)dx,

где С — const. Таким путем получаются основные интегралы,
представленные ниже в виде таблицы:
1.	JO-rfx=C.

2.	jl-dx = x+C.

3.	fxadx=—+C,

3	а+1

где а ф -1, х >0.

4.	J— = 1п|х|+С, х*0.

5.	fa*dx = —+С.

3	ША

6.	je*dx = e* +С.

7.	Jsinxdx = -cosx+C.

8.	jcosx<&=sinx+C.

9.

10.

11.

tlx ,
---5—= -Ctg Х + С.

Sin X

—= tg х+С.

COS X

dx	 X

.	= arcsm £ + С,

Г 2	2	&

\1а -х

г dx 1	. х „

12.	—---r = -arctg-+С.

3 а +х а а

з. 1-Ат4ш

3 а -х 2а

а+х

а-х

«высокий» логарифм.

«длинный» логарифм.

Замечание 1. Не все интегралы можно свести к табличным.
Если операция дифференцирования элементарных функций
всегда приводит к элементарным функциям, то операция интег-
рирования непрерывных функций может привести к таким функ-
циям, которые не выражаются через элементарные. Например,
интеграл Пуассона je~x2dx, играющий большую роль в теории ве-
роятностей, существует в силу непрерывности подынтегральной
функции, однако он не выражается через известные элементар-
ные функции.

Замечание 2. Операция сведения интегралов к табличным мо-
жет быть достаточно сложной как с идейной, так и с технической
точек зрения. Существует огромное количество различных методов,
позволяющих это сделать. Ниже мы рассмотрим некоторые из них.

Методы нахождения неопределенных интегралов

1.	Приведение к табличному виду

С помощью тождественных преобразований подынтеграль-
ной функции интеграл сводится к интегралу, к которому приме-
нимы основные правила интегрирования и возможно использо-
вание таблицы основных интегралов.

ПРИМЕР 1. Найти j(ax2 + bx+c)dx.

Решение.

J(ax2 +bx+c)dx=jax2dx+jbxdx+jcdx = ^j- + ^-+cx + C.

ПРИМЕР 2. Найти j23x'dx.

Решение. [ 23*'1 dx=\^—dx-	+С.

J 1 2	61п2

2.	Подведение под знак дифференциала

В формуле неопределенного интеграла величина dx означа-
ет, что берется дифференциал от переменной х. Можно исполь-
зовать некоторые свойства дифференциала, чтобы, усложнив
выражение под знаком дифференциала, тем самым упростить
нахождение самого интеграла. Для этого воспользуемся форму-
лой y'(x)dx = dy(x). Если нужная функцияу(х) отсутствует, иног-
да ее можно образовать путем алгебраических преобразований.

ПРИМЕР 1. Доказать, что 2dx-d(2x + 3).

Решение. Если нужно образовать под знаком дифференциала.
2х+3, то делим и умножаем dx на 2:

dx=^-2 dx=~ d(2x) = ~ d(2x+3).

ПРИМЕР 2. Внести переменную х под знак дифференциала.

Решение. Если перед дифференциалом dx стоит переменная х,
то легко получить под знаком дифференциала функцию х2:

(x2\ 1
xdx=dl — = -d(x2).

I 2	2

2

ПРИМЕРЗ. Внести функцию cos2x под знак дифференциала.

Решение. cos2x • dx = cos2x • i • d(2x) = i • (/(sin 2x).

В общем виде справедливо равенство

J7(X*))  У\х)  dx = jf(y(x)) - dy(x).
◄ Для доказательства равенства находим производные интег-
ралов, стоящих в его левой и правой частях. Производная по х от
левого интеграла равна

(|/(Ях))  У'(х)  dx) =	 у'(х).

Производная по х от правого интеграла находится как произ-
водная сложной функции

(J/(y(*)) dy(x)) * = (F(y(x))+С) х = F'(y(x))  у'(х)=Ду(х)) - у'(х).

Правые части последних двух равенств одинаковы, следова-
тельно, исходное равенство верно с точностью до константы. ►

ПРИМЕР 1. Найти

J3-5x

Решение.

=	5XL-l-JJ(3-5x)zz_l-ln|3-5x| + C.

J3-5x J 3-5x 5J 3-5x	5 1	1

ПРИМЕР 2. Найти jxex2dx.

Решение.

3.	Интегрирование заменой переменной, или методом подстановки

Пусть х-<р(/), где функция <р(/) имеет непрерывную произ-
водную <р'(0»а между переменными хи t существует взаимно од-
нозначное соответствие. Тогда справедливо равенство

j/(x)t/x = j/(<p(O) <$\t)dt.

◄ Выражение в правой части получается, если воспользовать-
ся значением дифференциала dx.

dx - q\t)dt.

Доказательство аналогично предыдущему случаю. Берем
производные от обеих частей равенства

(J/(x)t/x)*=/(x).
Производную по х от правого интеграла находим по правилу
дифференцирования сложной функции с промежуточным аргу-
ментом t. Учитывая, что производная обратной функции равна
х 1	1

/ = —	, получим

х, <р(Х)

(J/(<p(O)<p'(O<fr)x =(J/(<p(O)<p'(OA)/ •< =/(яКО)ф,(О-^=/(х) •

Так как производные интегралов равны, то эти интегралы оп-
ределяют одно и то же семейство первообразных. ►

ПРИМЕР. Найти .

Jl-2x

Решение. Положим / = 1-2х, откуда х = 0,5-0,5/,т.е.вводится
функция х = <р(О, имеющая непрерывную производную и одно-
значно связывающая переменные хи /.Находим dx=-0,5dt.

Подставляем это в интеграл:

_ о,5Jy=-0,51n|l - 2x|+С.

4.	Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называется интегрирование по
формуле

judv=uv-

◄Пусть функции м(х) и v(x) имеют непрерывные производ-
ные и'(х) и v\x). Тогда, по правилу дифференцирования произ-
ведения, будем иметь

(m(x)v(x)) =u(x)v'(^)+w,(-^)v(x) .

Отсюда, используя v\x)dx=dv и u\x)dx-=du, получим
j(ы(х)v(x)) dx ± uv,

j (u(x)v'(x)+u\x)v(x))dx - j u(x)v\x)dx+j u\x)v(x)dx=j иdv+j vdu.

Таким образом, judv+jvdu=uv.

Окончательно, ludv=uv-[vdu.>
Замечание 1. При нахождении функции v по ее дифференци-
алу dv можно брать любое значение постоянной интегрирования
С, так как она в конечный результат не входит (для проверки это-
го достаточно в последнюю формулу подставить v+C вместо г).
Поэтому для удобства будем брать С= 0.

Замечание 2. Использование формулы интегрирования по
частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование
упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование
не усложняет другой.

Замечание 3. При интегрировании по частям удобно исполь-
зовать определенную форму записи, позволяющую избежать
ошибок подстановки типа «берем не то и подставляем не туда».

ПРИМЕР. Найти интеграл jxcosxJx.

Решение. Здесь следует ввести «(х) = х и tZv = cosxJx=t/(sinx).
Тогда

| = xsinx- jsinxJx =

jxcosxJx =

и = х, du = dx,
dv-cosxdx, v = sinx

= xsinx+cosx + C.

Выше в фигурных скобках стоят четыре равенства. Далее рас-
сматриваем правые части этих равенств (члены равенств). Берем
произведение левого верхнего члена равенства на правый ниж-
ний (uv = xsinx) минус интеграл от произведения правого нижне-
го члена равенства на правый верхний (= jsinxJx ).

Замечание 4. К нахождению интеграла jvdu в правой части
формулы можно снова применять интегрирование по частям.

ПРИМЕР. Найти jx2exdx.

Решение.

jx2exdx-

и = х2, du-2xdx,
dv = exdx,v-ex

-2jxexdx.

Последний интеграл возьмем тем же методом:

Гм = х, du-dx,
хе dx-<

[dv = exdx, v = ex

= хех - fexdx = хех - ех.

Окончательно получим

Jx2exdx = х2ех - 2 jхехdx = х2ех - 2хех + 2ех + С.
5.	Интегрирование рациональных дробей

г.	<= Л(Х)

Рациональная дробь —— называется правильной, если сте-
Q„(x)

пень многочлена числителя меньше степени многочлена знаме-
нателя, т. е. т<п. Если т>п, дробь называется неправильной.
Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель
по правилу деления многочленов, можно получить многочлен
плюс правильную дробь.

• y2 —2х + 2

ПРИМЕР. Найти [-—^-—-^-dx.

п	J Y-1

Решение.	Л 1

(X2-2x4-2 ,	((	, 1k „ с 2	1| II

j-----1—dx = JI х- 1-ь--- Idx-Q,5x — x4-ln|x—1|4-C.

Если дробь правильная, рассмотрим следующие случаи:

1. В знаменателе подынтегральной функции стоит линейный
двучлен /(х)=—Ц- :

ах+Ь

г dx
ax+b

b

Х4- —

а

2. В знаменателе интегрируемой функции квадратный трех-
член /(х)=-	1----.

ах +Ьх+с

Преобразуем его, выделив полный квадрат.

,( И

d Х4- —

г Jx l г	dx	Ir V 2аJ

'ax2+bx+c а^ , b b2 b2 с ah b Y 4ac-b2

2a 4a 4a a I 2a I 4a2

Мы получили табличный интеграл, величина которого равна

арктангенсу, если

4ас-Ь2

4а2

4ас-Ь2
4а2

>0, и «высокому» логарифму, если

<0.

Другой подход к решению заключается во введении новой
переменной, за которую принимается производная квадратного
трехчлена t = 2ах+Ь. Это приведет к исчезновению в знаменателе
линейного слагаемого, в результате чего получится табличный
интеграл. Найдем х = ~— и dx = ^~. Сделаем подстановку в ис-
ходный интеграл:

di

f dx f_____________2q________

3ax2+bx+c J (t-b'f .(t-b}

a -	+£ l+c

2a J 2a J

После раскрытия скобок и приведения подобных получим
интеграл

г 2dt

t2 + (4ac-b2) ’

который в зависимости от знака числа 4ас-Ь2 даст либо арктан-
генс, либо «высокий» логарифм.

-гт	.	\ тх+п

3. Подынтегральная функция имеет вид /(х)=—т-------.

ах + Ьх+с

Аналогично вводится подстановка t=2ax+b, в результате интег-
рал приводится к сумме двух интегралов:

тх+п
ах2 +Ьх+с

, t tdt
ох=а|-5—+

J/2+y

31 +y

где а, p, у — некие коэффициенты.

Первый из этих интегралов приводит к логарифму

аг^	«1^

J/2+y 2j t2+y 2 1

а значение второго интеграла есть либо арктангенс, либо «высо-
кий» логарифм.

6. Метод неопределенных коэффициентов

Этот метод основан на использовании двух теорем.

Определение. Простыми дробями называются рациональные
дроби

А Вх+С
------и —т--------
(х-а)" (x2+px+q)m

где п, т>1, р2 -4</<0.
ТЕОРЕМА 1 (о разложении многочлена на множители).

Многочлен и-ой степени может быть разложен на произведе-
ние сомножителей следующим образом:

1)	квадратный трехчлен раскладывается так:

ах2 + bx + c = a(x-xl)(x-x2), если Ь2 -4ас>0;

2)	многочлен 3-й степени:

ах3 +bx2 +cx+d = a(x-x\)(x-x2)(x-x2), или

ах3 + bx2 + сх + d=а(х - х, )(х2 + рх + q), если р2 -4q< 0;

3)	многочлен 4-й степени:

ах4 +bx3 +сх2+</х+е=а(х-х1)(х-х2)(х-х3)(х-х4), или

ах4 +bx3 +сх2 +dx+e = a(x-xi)(x-x2)(x2 + px+q), если

р2 -4q<0, или

ах4 +bxi +сх2 +dx + e = а(х2 + p}x+q})(x2 + р2х+?2), если

р2 - 4q, < 0, р2 - 4<?2 < 0, и так далее.

ТЕОРЕМА 2 (о разложении правильной рациональной дро-
би на сумму простых дробей).

Каждая правильная рациональная дробь
которой имеет вид

е„(х)

знаменатель

Q„ (х) = (х - х,)" (х - х2 )и ...(х2 + р, х+?,)*...,

может быть разложена и притом единственным образом на сумму
простых дробей по правилу

Р„(х) А	АВ.	Вт

т' ' ___ i .	.	п 1	1.	।	т

---------------F... Ч---------1-------1-... т--------

Q„(x) х-Х] (х-х,)" х-х2 (х-х2)

C.x+D.	C.x+D.

+ -у-5--5 +... +------------у + ... ,

х +px+qt	(х2 +p*x+qk)

где все А, В, С, D — действительные постоянные числа, часть ко-
торых в разложении может обратиться в нуль.

В частности, если в знаменателе стоит квадратный трехчлен, то

Р^х) А В
где ^(х) = ’

[ах+Ь;

если многочлен 3-й степени, то в зависимости от числа и крат-
ности действительных корней разложение будет иметь вид:

Р2(х)_________ А + В + С

(Х-Х|)(Х-Х2)(Х-Х3) Х-Х] х-х2 х-х3

или

Р2(х)	_ Л | Д | С

(x-Xj)(x-x2)2 Х-Х) х—х2 (x-Xj)2 ’
или

______Р2(х)______ А । Вх+С
(х-Х])(х2 + px+q) х-Х] x2 + px+q’

где Р2(х) =

ах+Ь,
ах2+Ьх+с.

Замечание 1. Метод неопределенных коэффициентов позво-
ляет проинтегрировать любую рациональную дробь. При этом
могут получиться лишь многочлены, рациональные дроби, лога-
рифмы и арктангенсы.

Замечание 2. Разложение имеет место для любых х из области
определения. Это утверждение лежит в основе нахождения неиз-
вестных постоянных Л, В, С, D. Для нахождения этих постоянных
правую часть разложения приведем к общему знаменателю. При-
равнивая числители левой и правой частей разложения, получим
равенство двух многочленов, тождественное относительно х. Те-
перь можно приравнять коэффициенты при одинаковых степе-
нях х. Получим систему уравнений, из которой находим искомые
постоянные.

Второй способ нахождения искомых коэффициентов состоит
в том, что в получаемом относительно х тождестве аргументу х
придают значения корней, в результате чего получаются уравне-
ния для нахождения постоянных. Он более удобен, если корни
некратные. На практике чаще используется комбинация обоих
способов.
Последовательность нахождения интеграла методом неопределенных
коэффициентов

1.	Если рациональная дробь является неправильной, то надо
разделить «уголком» числитель на знаменатель, в результате чего
получим многочлен и правильную дробь.

2.	Знаменатель полученной правильной дроби разложить на
произведение линейных и квадратичных множителей.

3.	Правильную дробь разложить на сумму простейших дро-
бей.

4.	Найти постоянные коэффициенты.

5.	Найти интегралы от каждого слагаемого в отдельности
и просуммировать результат.

ПРИМЕР. Найти интеграл Г-Д^—6*+ 2 dx.

1 х -Зх + 2х

Дробь является правильной. Знаменатель раскладывается на
множители

х3 -Зх2 +2х-х(х-1)(х-2).

Тогда подынтегральное выражение может быть разложено на
сумму простых дробей так:

Зх2-6х+2 АВ С

•  —	ZZ -f-	--- *

х3-Зх24-2х х х —1 х-2

Приведем правую часть к общему знаменателю и приравняем
числители. Получим

Зх2 - 6x4-2 = А(х - 1)(х - 2) 4- Вх(х -2)4- Сх(х -1).	(1)

Раскроем скобки и напишем равенство в виде многочлена от-
носительно х:

(А+В+С-3)х2+(-ЗА-2В-С + 6)х + (2А-2)=0.

Этот многочлен тождественно (т. е. при любых х) должен быть
равен нулю. Последнее возможно в том единственном случае,
когда все коэффициенты равны нулю. Получим систему линей-
ных уравнений:

ГЛ + В+С-3=0,
|-ЗЛ-2В-С4-6=0,
[2Л-2 = 0.
Решая ее, найдем А-1, В=1, С-1.

Наш интеграл теперь можно представить в ввде суммы интег-
ралов и найти ее.

гЗх2-6х+2 , ri,	ri	f 1 ,

—;——5—— dx= —dx + -----dx+ \~—dx =

ix3-3x2 + 2x	Jx	Jx-1	Jx-2

= ln|x|+ln|x -1|+ln|x - 2| = ln|x3 - 3x2 + 2x|+C.

В равенстве (1) можно, раскрыв скобки, приравнять коэффи-
циенты при одинаковых степенях х, получим ту же систему урав-
нений.

Если воспользоваться вторым способом, то найти постоян-
ные будет проще. В равенстве (1) возьмем

х=0, получим 2=2А, откуда >4=1;

х=1, получим —1=— В, откуда В=1;

х=2, получим 2=2С, откуда С=1.

Вопросы для повторения

1.Что такое первообразная для функции у = /(х)?

2.	Сформулировать и доказать теорему о бесконечном множестве перво-
образных для данной функции.

3.	Сформулировать и доказать теорему об общем виде представления
первообразной для данной функции.

4.	Привести и обосновать свойства неопределенного интеграла.

5.	Привести таблицу интегралов. Доказать каждую формулу таблицы.

6.	Перечислить известные вам методы нахождения интегралов.

7.	Сформулировать теоремы, на которых основано интегрирование ра-
циональных дробей.

8.	В чем заключается сущность метода неопределенных коэффициен-
тов?
Определенный интеграл

о--------------------------------

>	Площадь криволинейной трапеции

>	Свойства определенного интеграла

>	Производная интеграла с переменным верхним
пределом

>	Формула Ньютона-Лейбница

>	Формула замены переменной в определенном интеграле
> Формула интегрирования по частям

>	Приближенное вычисление определенных интегралов

>	Оценка определенных интегралов
> Вычисление площадей плоских фигур

Площадь криволинейной трапеции

К понятию определенного интеграла приводит задача отыс-
кания площади криволинейной трапеции. Фигуру, ограничен-
ную графиком положительно определенной функции y=f(x),
вертикальными прямыми х=а, х=Ь и осью ОХ назовем криво-
линейной трапецией (рис. 12.1).

Для нахождения площади плоской фигуры ABCD разобьем
отрезок [а, Ь] на п частей точками

а = х0 <хх <х2 <...<хп] <хп-Ь.

На каждом частичном отрезке [хк_,;хк] возьмем по одной
произвольной точке и построим прямоугольник с основанием
Дх* =хк-хки высотой, равной /(£*). Площадь этого прямо-
угольника будет равна Д5=/(^*)Дх*. Таких прямоугольников,
покрывающих площадь криволинейной трапеции, будет п штук.
В результате такого построения получим «ступенчатую» фигуру,
площадь которой будет равна

S„ +f(^)&x2 +...+№)△*« =±/(№к 

*=i

Величина

s„=tf(№k

называется интегральной суммой.

Будем теперь увеличивать число п делений отрезка [а, Ъ}. Тог-
да «ступенчатая» фигура будет все меньше отклоняться от криво-
линейной трапеции ABCD. Введем тахЛх — длину наиболыпе-
го из'рассматриваемых частичных отрезков. При maxAxt ->0
число частичных отрезков будет неограниченно увеличиваться,
а их длины будут стремиться к нулю. Пусть предел интегральной
суммы при тахДХд. ->0 существует, конечен и не зависит ни от
способа разбиения отрезка [а, Ъ}, ни от выбора точек Е,А, тогда он
принимается за площадь криволинейной трапеции ABCD и на-
зывается определенным интегралом, т. е.

Я

5= lim 5 = lim У/(£ )Дх = lf(x)dx.

тахДх.-И) " max ->()«-'	* J

k=i	a
Числа а и b называются соответственно нижним и верхним
пределами интегрирования; х называется переменной интегриро-
вания,/^) — подынтегральной функцией, f(x)dx— подынтеграль-

ным выражением.

Замечание 1. Введенное понятие определенного интеграла

дает возможность в некоторых случаях узнать, чему он равен, хотя
мы пока не знаем, как его вычислить в общем случае.

।

ПРИМЕР 1. J1 • dx = 1, так как площадь, ограниченная прямой
о

j=l, вертикальными прямыми х=0 и х=1 и осью ОХ (площадь
прямоугольника) равна 1 (рис. 12.2).

1	1

ПРИМЕР 2. jx dx = - .
о
у=х(рис. 12.3).

Интеграл есть площадь под прямой

Замечание 2. Определенный и неопределенный интегралы —
это разные понятия. Неопределенный интеграл есть семейство
функций, а определенный интеграл есть число.

Замечание 3. Непрерывность функции f(x) на отрезке [а, £]
является достаточным условием ее интегрирования. Однако тре-
бования к функции можно ослабить. Если функция ограничена
на [а, £] и имеет конечное число точек разрыва, то она интегриру-
ема. В дальнейшем будем считать подынтегральную функцию не-
прерывной.

Свойства определенного интеграла

1.	Если поменять местами пределы интегрирования, интег-
рал поменяет знак.

Действительно, если построить интегральную сумму так, что
Ь < а, т. е. все Дх* = хк - хк} < 0, тогда
b	а

jf(x)dx=-jf(x)dx.
а	b

2.	Интеграл, пределы интегрирования которого равны, равен
нулю.

а	а	а

Если а=Ь, то J f(x)dx = -\f (x)dx, откуда следует J f (x)dx =0.
а	а	а

3.	Определенный интеграл зависит только от величины ниж-
него и верхнего пределов интегрирования и от вида подынтег-
ральной функции, он не зависит от переменной интегрирования.
Поэтому величина определенного интеграла не изменится, если
переменную х заменить любой другой переменной:

ь	ь

j f(x)dx-J f(y)dy.
а	а

4.	Постоянный множитель можно выносить за знак опреде-
ленного интеграла:

[af(x)dx = lim Уа-/(^)Дх* =а Um У/(^Дх*=а]7(х)Лх.

J	maxAxt->0f",T	max Ах, —>0	J

а	*=1	л=1	а

5.	Определенный интеграл от алгебраической суммы двух
функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функ-
ций:

ь	ь	ь

j(f(x)+g(x))dx=$f(x)dx+jg(x)dx.
а	а	а

Для доказательства следует обратиться к пределу интеграль-
ной суммы двух функций и воспользоваться тем, что предел сум-
мы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих
функций.

6.	Для любых чисел а, Ь, с имеет место равенство
b	с	Ь

$f(x)dx=$f(x)dx+$f(x)dx.
а	а	с

Рассмотрим два случая.

6.1.	Пусть а < с <Ь. Отрезок [а; Ь] разобьем на два отрезка
[а; с] и [с; £] и составим интегральные суммы на каждом отрезке.
Пределы этих интегральных сумм и будут определенными интег-
ралами на каждом таком отрезке, а их сумма есть определенный
интеграл на отрезке [а; £].
6.2.	а < b < с. Из пункта 6.1 следует

с	b	с

jf(x)dx =^f(x)dx+J/(x)dx,
a	a	b

откуда находим, что

b	с	с	с	Ь

J f(x)dx = j f(x)dx - J f(x)dx =J f(x)dx+J f(x)dx.
a	a	b	a	c

b	b

7.	Если /(x)<g(x), то $f(x)dx<jg(x)dx,
т. e. неравенство можно интегрировать.

Это следует из того, что справед ливо неравенство

и» if^k * ii™ 0i8^k 

max Дхк —>0	max Дхк —>0

i&ten *=i

8.	Если функция у - f(x) непрерывна и ограничена на отрез-
ке [а; Ь\, т.е. т<	то

1 ь

т<----\f(x)dx<M.

b~a3a

Поскольку т < f(x) < М, то по седьмому свойству получим
ь ь	ь

fmdx < j f(x)dx < J Mdx.
a	a	a

Левый и правый интегралы легко берутся (см. пример 1).

m(b~a)< jf(x)dx<М(Ь-а),
откуда

1 4

т < -—J f(x)dx <М .

В силу непрерывности функция у=f(x) принимает все про-
межуточные значения, заключенные между т и М. Поэтому по
второй теореме Больцано-Вейерштрасса найдется такое число х0
(а<х0 <Ь),что

1 4
Это значение функции называется средним значением на от-
резке [а; . Последнее выражение можно переписать в виде v
f(x0)(b-a) = jf(x)dx.

Производная интеграла с переменным
верхним пределом

Если функцияДх) непрерывна на отрезке [а; Ь], тогда она ин-
тегрируема на любом отрезке [a; t], вложенном в [а; Ь]. Рассмот-
рим определенный интеграл

Ф(1) = 1/(х)с1х.

а

ТЕОРЕМА 1

(о существовании производной у интеграла с переменным
верхним пределом)

Пустьфункция /(х) непрерывна на отрезке [а; £]. Тогда функ-

/

ция Ф(1) = jf(x)dx имеет производную в любой точке te[a; £],
причем Ф'(1) = f(f).

◄ Найдем производную функции Ф(/) по определению.

/+Л/	/	t+Ai

J f(x)dx-jf(x)dx f f(x)dx

Ф'(Г) = Um0(/+A/)	= lim-г-------а-----= lim-!-----.

Д/-»0	Д/	Д/-»0	Д/	Д/->0 д/

В силу непрерывности функции f(x) на отрезке [г, t+Л/| най-
дется такая точка t0, что

J f(x)dx=
t

Подставим это выражение в наш предел

/+Л/

J f(x)dx

ф\1) = кт-1----= lim^^=lim/(r())=f(t),

''	Д/^0 Д/	Д/->0 д^ Д1->07'°

поскольку /0 лежит между t vit+At.
Другими словами, производная от определенного интеграла
п$ его верхнему пределу равна значению подынтегральной функ-
ции в верхнем пределе. ►

Замечание 1. Если функция f(x) непрерывна, для нее существу-
ет первообразная функция, причем не одна: j/(x)dx = f(x)+C.
Но Ф(х) есть также первообразная для/(х), так как Ф'(х)=f(x) 
Совокупность всех первообразных для f(x) имеет вид F(x)+C,
следовательно, Ф(х) — есть одна из семейства F(х) +Си при неко-
тором значении С справедливо равенство Ф(х)=7(х)+С.

Замечание 2. Первообразные для определенного интеграла
с переменным верхним пределом Ф(х) и неопределенного интег-
рала F(x)+C одни и те же. Отсюда вывод: Ф(х) и F(x)+C нахо-
дятся по одним и тем же правилам интегрирования.

Формула Ньютона-Лейбница

На этих страницах не раз упоминались имена Лейбница и
Ньютона. Следует отметить их выдающуюся роль в развитии
дифференциального и интегрального исчисления. Готфрид
Вильгельм Лейбниц (1646—1716) — немецкий философ и мате-
матик, физик и юрист, историк и языковед. Он ввел определе-
ния дифференциала и интеграла, ему мы обязаны использова-
нием знаков дифференциала d и интеграла J, использованием
терминов «функция», «переменная», «координаты», «абсцисса»
и многим другим. Английский физик и математик Исаак Нью-
тон (1643—1727) — родом из деревни, в юности бедный студент,
чудом спасшийся во время эпидемии чумы. С. Вавилов писал,
что «на всей физике лежит индивидуальный отпечаток его мыс-
ли; без Ньютона наука развивалась бы иначе». Закон тяготе-
ния Ньютона, бином Ньютона, формула Ньютона-Лейбница —
перечень научных открытий, которыми мы обязаны ему, огро-
мен. Если составить список выдающихся умов, внесших на-
ибольший вклад в развитие наук, в частности, в развитие мате-
матического анализа, Ньютон и Лейбниц, по-видимому, разде-
лили бы первое-второе места.

ТЕОРЕМА 2 (об основной формуле интегрального исчисления).

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а; Ь], а функция
F(х) есть одна из первообразных на этом отрезке. Тогда
ь

^f(x)dx = F(b)-F(a).
Эта формула Ньютона-Лейбница называется также основной
формулой интегрального исчисления.

◄ Функция Ф(х) является первообразной на отрезке [а;х]
для функции fix). Если F(х) — все семейство первообразных для
функции/(х),то Ф(х)-Г(х)+С.

Найдем С. При х=а Ф(а)=() и Ф(а)=Г(а)+С. Отсюда F(a)~
=—С. Тогда 0(x)=f(x)-f(o) при всех хе [о; 6]. В частности, при
х-b Ф(Ь) = F(b)-1(a). Окончательно получаем

ь

Ф(Ь) - J f(x)dx = F(b) - F(a). ►
а

Замечание 1. Формула Ньютона-Лейбница сводит вычисле-
ние определенного интеграла от функции /(х) к нахождению ее
первообразной F(х).

Замечание 2. Первым шагом при вычислении определенного
интеграла является нахождение первообразной, вторым — вы-
числение значения первообразной функции в точках Ьна. Поэ-
тому удобно формулу Ньютона-Лейбница записать в таком виде:

ь

\f(x)dx = F(x)\\ = F(b)-F(a).
а

1

ПРИМЕР 1. Найти Jxdx.

О

„	Г л хг 1 1 п 1

Решение.	I ха = — = — 0 = —.

J	2 2	2

о	z о z	z

Замечание. Этот интеграл был приведен в качестве примера
в начале раздела для иллюстрации того факта, что, не зная спосо-
ба нахождения интеграла, мы тем не менее смогли указать его ве-
личину. Теперь у нас есть инструмент для его вычисления. Это
формула Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР 2. Найти Jsinxdx.

о

л

Решение.	jsinxt/x=-cosx|* =-cosn-(-cosO) = 2.

о
Формула замены переменной
в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 3 (о замене переменной под знаком интеграла)
ь

Пусть дан интеграл jf(x)dx, где функция /(х) непрерывна
на отрезке [о, £]. Введем новую переменную равенством х = <р(/),
где:

1)	между переменными хи /существует взаимно однозначное
соответствие;

2)	х = <р(/) непрерывна на отрезке [а; р];

3)	<р(а) = о,

4)	<р'(/) непрерывна на [а; 0].

Тогда , „

j/Wdx=f/(<p(0)4>W'.

◄ F(x) есть первообразная для/(х), Л(<р(/)) —первообразная
для f((p(f))(p'(f).

Поэтому

jf(x)dx = F(a)-F(b)

₽

J fW№'(t)dt = F(<p(P)) - f(<p(a)) = F(b) - F(a).

a

Это и означает справедливость рассматриваемого равенства. ►

ПРИМЕР. Найти pi-x2dx.

О

Решение. Сделаем замену x = sin/. Функция sin/ является не-
прерывной вместе со своей производной. При 0<х<1 справед-
ливо неравенство 0 < sin х<1, решение которого 2nn<t<n+2nn,
где n^Z. Из этого бесконечного множества промежутков выбе-
рем промежуток 0 < / < ^, в пределах которого каждому значению
переменной /соответствует единственное значение переменной х
и обратно, причем при изменении переменной х от 0 до 1 пере-

менная /изменяется от 0 до . Получим
п	п

1  ______	2 ___________ 2

- x2dx - JV1 - sin21 costdt = J|cosi|cosZ</t

0	0	0

На промежутке ()</<^ функция cos/ неотрицательна, поэ-
тому модуль раскрывается со знаком плюс. Далее используем

.	l+cos2/

формулу cos t =------

Тогда

л
2

л

J|cos/| costdt =

О	0

dt- — +
2

Формула интегрирования по частям

ТЕОРЕМА 4 (об интегрировании по частям).

Пусть функции и = и(х) и v = v(x) имеют на отрезке [а; ^не-
прерывные производные. Тогда имеет место равенство

ь	ь

fudv=uv]a -jvdu.
а	а

◄ Функция uv является первообразной для функции uv+v'u.
По формуле Ньютона-Лейбница

ь

j(u'v+v'u)dx = uvla.

а

Преобразуем левую часть:

j(w'v+v'u)dx = ju'vdx+1 v'udx = jvdu+judv.

b	b

Из равенства jvdu+judv = uv{a получаем искомую формулу. ►
a	a

n

ПРИМЕР. Вычислить jxcosxJx.

0

л	л	л

Решение, JxcosxJx - jxd(sinx) - xsinx|* - Jsinxdx = cosx|* = -2.
0	0	0
Приближенное вычисление определенных интегралов

Точное вычисление определенного интеграла может пред-
ставлять собой трудоемкую задачу, а иногда и невозможную.
Поэтому развиты приближенные методы вычисления, позволяю-
щие с заранее заданной точностью найти значение интеграла.
Рассмотрим простейший из них — метод трапеций.
ь

Пусть требуется вычислить интеграл jf(x)dx, где функция
/(х) непрерывна на отрезке [а, 6]. Для упрощения рассуждений
будем считать, что f (х) > 0.

Разобьем отрезок [а, Ь] на п равных частей точками
а - х0 < х, < х2 <... < хя_, < хп = b.

Через эти точки проведем вертикальные прямые до пересече-
ния с графиком функции /(х) и соседние точки пересечения со-
единим между собой (рис. 12.4). Получим п прямолинейных
и прямоугольных трапеций. Пусть /(о) = >’(),/(х| ) = >’,,...,
f(x„) = y„ — основания трапеций, их высоты Сумма пло-
п

щадей этих трапеций приближенно равна площади криволиней-
ной трапеции ABCD.
Получим

f z-z b-a. . b-a. . b-a. .

lf(x)dx« —— (y0+y,)+—— (y, +y2)+...+—-(y„, +y„) =

*	Zn	Zn	Zn

b-a( У0+Уп
n 2

+y,+y2+- + y„4

или

ff(x)dx = ^^Уо +У„+ 2^Ук j-

Замечание 1. Данная формула получила название формулы
трапеций. Ее точность зависит от п, и при возрастании п погреш-
ность формулы убывает.

Замечание 2. Для величины погрешности е при вычислении
интеграла по формуле трапеций было получено ограничение

сверху:

lei < Hiax|/'(^)| • _ °г
1 1 osxst1 1 12л2

5

ПРИМЕР. Вычислить приближенно интеграл je * dx.

о

Решение. Разобьем отрезок [0; 5] на пять равных частей.

Получим Jc х	—-—+е_| +е“4+е"9+е“16 =0,9.

Погрешность при п=5 довольно велика (-100%).

Оценка определенных интегралов

В некоторых случаях можно отказаться от приближенного
вычисления, достаточно сделать оценку интеграла. Она основана
на восьмом свойстве определенных интегралов. Если функция
у = f(x) ограничена на отрезке [а; Ь], т.е. т< f(x)<M, то

ь

m(b - а) < J f(x)dx<M(b-a).
а


ПРИМЕР. Оценить интеграл jv2-sin2xdx.

о
Решение. Оценим подынтегральное выражение. Поскольку
хе 0; —1, то

. 2]

0<sin2x<l,

l<2-sin2x<2,

1	< V2-sin2x < -72.

Теперь мы сможем оценить сам интеграл:

Л

1 -ol< |72-sin2xJx<-72f“01.

Л

2	_______

Окончательно 1,57 ~ — < jV2—sin2 xdx < -= ~ 2,23.

2 0	v2

Вычисление площадей плоских фигур

1.	Пусть функция у -f(x) непрерывна и неотрицательна на
отрезке [а; 6]. Тогда по геометрическому смыслу определенного
интеграла площадь S под кривой (площадь криволинейной тра-
пеции) численно равна определенному интегралу

ь
jf(x)dx.
а

ПРИМЕР 1. Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой у = х2, прямыми х=0, х = 1 и осью ОХ.

п	о	г	2.	х3'	1

Решение.	S= \xdx=—	-

J	3	3

о	J о	J

2.	Пусть функция у-f(x) непрерывна и неположительна на
отрезке [а; Ь] (рис!2.5). Отразим функцию у- f(x) относительно
оси ОХ, получим функцию у=-/(х), расположенную над осью
ОХ. Площадь под кривой у=-/(х) будет равна

b	ь

S = j(-/(x))Jx = - j/(x)Jx.
Рис. 12.5

ь

Следовательно, величина найденного интеграла J/(x)5x бу-
дет отличаться знаком от величины площади S.

ПРИМЕР 2. Найти площадь фигуры, ограниченной парабо-
лой у = -х\ прямыми х - 0, х = 1 и осью ОХ.

Решение.

3.	Пусть функции y = f}(x) и y-f2(x) непрерывны на отрез-
ке [а; Ь], причем /2(х)>/(х) (рис. 12.6). Тогда площадь фигуры,
ограниченная кривыми у = /(х) и у = /2(х), будет равна разности
площадей криволинейных трапеций, ограниченных этими лини-
ями:

S^(f2(x)-f(x))dx.

а)	Рис. 12.6а:

S = J/2(x)</x - J/(x)5x = j(/2(x) - X (x))dx.
a	a	a

б)	Рис. 12.65:

S = j(-f}(x))dx-j(-f2(x))dx = j(f2(x)-fl(x))dx.
у y = f2(x)

: y = fi(x): х

J-----------! ►

а	b

Рис. 12.6а

Рис. 12.6в

Рис. 12.6г

в)	Рис. 12.6в:

b	b	ь

S = jf2(x)dx+j(-fl(x))dx = j(f2(x)-fl(x))dx.
а	а	а

г)	Рис. 12.6г.

Площадь на последнем рисунке может быть вычислена, как
сумма площадей криволинейных трапеций видов, изображенных
на рис. 12.6 a-в, и, следовательно, по той же формуле.

ПРИМЕР 3. Найти площадь фигу-
ры, ограниченной линиями

у-2-х2,

1у=-х

Решение. Найдем точки пересечения
графиков заданных функций (рис. 12.7):
2-х2--х, откуда х, =-1, х2 =2.
Искомая площадь

2	(

S - J(2-x2 -(-х))</х = 2х-

-1	I

= 4,5.

Вопросы для повторения

1.	Сформулировать и решить задачу о нахождении площади криволи-
нейной трапеции.

2.	Что называется интегральной суммой? определенным интегралом?

3.	В чем основное отличие определенного интеграла от неопределенно-
го?

4.	Привести и обосновать свойства определенного интеграла.

5.	Сформулировать определение среднего значения функции на от-
резке.

6.	Сформулировать и доказать теорему о существовании производной
у интеграла с переменным верхним пределом.

7.	Почему первообразные для интеграла с переменным верхним преде-
лом и для неопределенного интеграла находятся по одним и тем же
правилам интегрирования?

8.	Вывести формулу Ньютона-Лейбница.

9.	Обосновать формулу замены переменной в определенном интеграле.

10.	Обосновать формулу интегрирования по частям в определенном ин-
теграле.

11.	Как приближенно вычислить определенный интеграл?

12.	Как сделать оценку определенного интеграла?

13.	Привести и обосновать формулу нахождения площади плоской фигу-
ры, ограниченной двумя или несколькими кривыми.
ГЛАВА 13
_____________' - _____  -_-

Несобственные интегралы

>	Несобственные интегралы 1-го рода

>	Эталонный интеграл 1-го рода

>	Несобственные интегралы 2-го рода

>	Эталонный интеграл 2-го рода

>	Исследование на сходимость несобственных
интегралов 1-го и 2-го рода от неотрицательных
функций

>	Исследование на сходимость интегралов
от знакопеременных функций

>	Использование интегралов в экономике

Мы изучали понятие определенного интеграла для случая ко-
нечного промежутка и непрерывной ограниченной функции.
Обобщим понятие определенного интеграла на случаи бесконеч-
ного промежутка и неограниченной на промежутке функции.

Несобственные интегралы 1-го рода

Пусть функция /(х) определена для всех х>а и интегрируе-
ма на каждом конечном отрезке [а; i].

Определение. Несобственным интегралом 1-го рода J f(x)dx
называется lim f/(x)Jx.

t—>+оо J
Если этот предел существует и конечен, несобственный ин-
теграл называется сходящимся, в противном случае — расходя-
щимся.

Таким же образом вводятся понятия несобственного интегра-
ла 1-го рода на неограниченных промежутках (-«>; а] и	+<*>).

а	а

J f(x)dx = lim jf(x)dx.

*°°	Z	a	Z

f f (x)dx = lim f f (x)dx = lim f f (x)dx + lim [ f (x)dx.

J	J	Z~>+°°*

?—>+<»	t .	a

Последний интеграл называется сходящимся, если сходятся
оба интеграла в правой части равенства независимо от выбора
числа а.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл или установить его расходи-
мость [	.

J 1+х2

Решение.

f = lim f = lim (arctg xt) = lim (arctg 1-arctg 0)=^.

j 1+x '->+“jl+x	°'	2

r,	л

Данный интеграл сходится, его величина равна —.

Эталонный интеграл 1-го рода

+°°

Рассмотрим интеграл Г—.
J г

По определению f — = lim f— = lim(lnxl') = lim(lnt) = +<=o,
J Y	Y t~>+“\	/ t—7

т. e. интеграл расходится.

n	+fdx

Рассмотрим интеграл J —

, где p*l. Выясним условия схо-

димости этого интеграла.

7</х .. [dx ..

— = lim — = lim

I	/->+<*> J JqP t-++°c,

д-р


Обобщая результаты исследования сходимости двух послед-
них интегралов, имеем: несобственный интеграл 1-го рода [ —
[ хр
сходится при р > 1 и расходится при р < 1. Он называется эталон-
ным интегралом 1-го рода.

Замечание. Нижний предел интегрирования был взят из сооб-
ражений простоты вычислений. Рассуждения останутся справед-
ливыми, если вместо числа х -1 взять любое число а, удовлетво-
ряющее условию а > 0.

Полученные результаты имеют простой геометрический
смысл. Рассмотрим область S, ограниченную сверху кривой

у = — , снизу — осью Ох, слева — прямойх=1 (рис. 13.1).Еепло-
хр

щадь оказывается конечной величиной, если р > 1, и бесконечно
большой величиной, если р < 1.

Несобственные интегралы 2-го рода

Пусть функция у = f(x) неограниченна на конечном проме-
жутке [а; Ь), причем lim f(x) zz ОО.

x->b-0

b

Определение. Несобственным интегралом 2-го рода

О

на промежутке [а; Ь) называется lim Г f(x)dx.

8->+0 J
Если предел существует и конечен, несобственный интеграл
называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично, если функция y=f(x) неограниченна на ко-
нечном промежутке (а; д], причем lim f(x) = °°, или если функ-
ция y — f(x) неограниченна на конечном промежутке [а; 6], при-
чем во внутренней точке этого промежутка обращается
в бесконечность lim f(x) - <*>, а<с<Ь, то несобственный интеграл
2-го рода определяется так:
b	ь

J/(x)</x=lim J f(x)dx,
а	а+8

ИЛИ
b	с-Ъ	b

jf(x)dx =lim J /(x)dx+lim j f(x)dx.
a	a	c+y

Последний интеграл называется сходящимся, если сходятся
оба интеграла в правой части равенства.

ПРИМЕР. Вычислить интеграл или установить его расходи-
r dx
мость г —.

Решение. Подынтегральная функция f(x)=—=2= интегриру-

Vl-x2

ется на конечном промежутке. При х —> 1 - 0 функция /(х) —> +°о.

Следовательно,

f Ф = lim [ .	= lim(arcsinх|'~8) = limarcsin(l-8) = —.

Эталонный интеграл 2-го рода

„	'rdx 'rdx	.

Рассмотрим два интеграла — — и —,где р*1.

* V	•

О л	о -А

Их величины [ — = lim [ — - lim In xl' = lim (In 1 - In 8)=+<»,
* Y	у 5->+0	® 5->+0'	'

О	б л
Суммируя результаты, можем сказать, что несобственный
интеграл 2-го рода (он называется эталонным интегралом 2-го
рода) [— сходится при р<1 и расходится при р>\.

J -ур

0Л

Замечание. Верхний предел интегрирования был взят из сооб-
ражений простоты вычислений, как и в случае несобственного
интеграла 1-го рода. Рассуждения останутся справедливыми, если
вместо числа х = 1 взять любое число а, удовлетворяющее усло-
вию а>0.

Геометрическая интерпретация интеграла заключается в сле-
дующем. Рассмотрим область 5, ограниченную сверху кривой
у -	, снизу — осью Ох, слева и справа — прямыми х=0 и х=1

(рис. 13.2). Ее площадь оказывается конечной величиной, если
р<1, и бесконечно большой величиной, если р>1 (сравните
с рис. 13.1).

Исследование на сходимость несобственных интегралов
1-го и 2-го рода от неотрицательных функций

Как известно, нахождение интеграла может представлять со-
бой достаточно сложную задачу. Было бы большим разочарова-
нием заняться вычислением несобственного интеграла и обнару-
жить в конце пути, что он расходится. Поэтому представляют
интерес методы, позволяющие без серьезных вычислений по од-
ному виду функции сделать заключение о сходимости или расхо-
димости несобственного интеграла. Первая и вторая теоремы
сравнения, которые будут рассмотрены ниже, в значительной
степени помогают исследовать несобственные интегралы на схо-
димость.

Пусть /(х) > 0. Тогда функции

t	b-6

F^t) = ^f(x)dx и Т>( 8)= J f(x)dx
а	а

являются монотонно возрастающими от переменных t или -8
(поскольку берем 8>0, -8 стремится к нулю слева). Если при
возрастании аргументов функции и Т2(-8) остаются огра-
ниченными сверху, это означает, что соответствующие несобс-
твенные интегралы сходятся. На этом основана первая теорема
сравнения для интегралов от неотрицательных функций.

ТЕОРЕМА 1-1 (сравнения для несобственных интегралов 1-
го рода).

Пусть для функций /(х) и g(x) при х>а выполнены усло-
вия:

1)	0</(x)<g(x);

2)	функции /(х) и g(x) непрерывны.

Тогда из сходимости интеграла | g(x)dx следует сходимость
интеграла | f(x)dx, а из расходимости интеграла j f(x)dx следу-
а +°°	а

ет расходимость j g(x)dx.

а

◄ Поскольку 0 < /(х) < g(x) и функции непрерывны, то

jf(x)dx< jg(x)dx .

а	а

По условию интеграл j g(x)dx сходится, т. е. имеет конечную
величину. Следовательно, интеграл j f (x)dx сходится также.

Пусть теперь интеграл j f(x)dx расходится. Предположим,
+ оо	а

что интеграл j g(x)dx сходится, но тогда должен сходиться ин-
теграл j f(x)dx, что противоречит условию. Наше предположе-
ние неверно, интеграл j g(x)dx расходится. ►

а

ТЕОРЕМА 1-II (сравнения для несобственных интегралов
2-го рода).

Пусть для функций f(x) и g(x) на промежутке [а; Ь) выпол-
нены условия:

1)	0</(x)<g(x);

2)	функции /(х) и g(x) непрерывны;

3)	lim /(х) = +°° и Um g(x) = +oo.
ь

Тогда из сходимости интеграла	Jg(x)i/x	следует	сходимость

ь	°	ь

интеграла jf(x)dx, а из расходимости интеграла	jf(x)dx	следует

° ь	°

расходимость jg(x)Jx.
____________а____________________________________________

Доказательство теоремы для несобственных интегралов 2-го
рода в точности совпадает с доказательством теоремы для несобс-
твенных интегралов 1-го рода. Отличие состоит лишь в обозначе-
ниях несобственного интеграла.

Замечание. Если интегралы умножить на произвольные не
равные нулю числа тип, выводы теорем останутся справедли-
выми.

4-00 dX

ПРИМЕР 1. Исследовать на сходимость интеграл [ —=—== .

2>/х —УХ

Решение. Функция у = —==—-у=- непрерывна и положительна
Ух-ух

на промежутке [2;+о°), причем —=—=>^-. Несобственный
+оо	УХ-УХ ХУ1

г dx

интеграл J —у представляет собой эталонный интеграл 1-го
рода, который при р=J^<1 является расходящимся, следова-
тельно, по 1-й теореме сравнения для несобственных интегралов
,	7 dx

1-го рода интеграл I—= расходится также.

2 УХ-л/х
ПРИМЕР 2. Исследовать на сходимость интеграл I —=—-.

jVx+x2

Решение. Функция У = —- непрерывна, положительна на
у/Х+Х

промежутке (0; 2], неограниченно возрастает при х —> +0. Для нее
при х—>+0 справедливо неравенство	—-<—^7. Несобствен-

, ,	Л1Х+Х2 х/2

} dx	„	0

ныи интеграл I есть эталонный интеграл 2-го рода, который
ох'2

при P=J/2<1 сходится; следовательно, по 1-й теореме сравнения
_	f dx

для несобственных интегралов 2-го рода интеграл |-=—- схо-
дится также.	о х+х

ТЕОРЕМА 2-1 (сравнения для несобственных интегралов
1-го рода)

Пусть для функций /(х) и g(x) на промежутке [а; + о°) вы-
полнены условия:

1)	g(x)>0;

2)	Дх) и g(x) непрерывны;

3)	lim^^=Jl>0.

Тогда интегралы j f(x)dx и j g(x)dx сходятся или расходят-
ся одновременно. «	°

-f,	.. Дх) ,

◄Из равенства lim	= к по определению предела следу-
ет, что	£(х}

Ve>0 Эх„ I Vx>xn		<£
	g(x)	

Возьмем любое е, например, е
Тогда

/(*)
g(x)

Прибавим ко всем частям неравенства число к и умножим не-
равенство на g(x) >0. Получим

0,5А• g(x)< Дх)<l,5k-g(x).
По первой теореме сравнения из сходимости интеграла

J l,5A>g(x)Jx	следует сходимость	интеграла J f(x)dx, а	из расхо-

*0	+ОО	А0

димости интеграла J 0,5Лг	g(x)dx	следует расходимость	интегра-

+ ОО	*0

ла J f(x)dx. Полученные выводы справедливы для интегралов

J f(x)dx и ^g(x)dx при поскольку интегралы j/(x)dx
а	а	х0

а

и J g(x)dx являются собственными, а значит, конечными, и на

сходимость исследуемых несобственных интегралов не влияют. ►

ТЕОРЕМА 2-II

(сравнения для несобственных интегралов 2-го рода)

Пусть для функций /(х) и g(x) на промежутке [а,Ь) выпол-
нены условия:

1)	/(*)>0, g(x)>0;

2)	/(х) и g(x) непрерывны;

3)	lim /(х) = +оо, lim g(x) =+oo;
х >Z>-0	х—

4)	lim^^ = Jt>0.

x->6-0g(X)
b	b

Тогда интегралы J/(x)i/x и Jg(x)Jx сходятся или расходятся
одновременно. «	«

Доказательство справедливости утверждения в точности сов-
падает с доказательством теоремы 2-1, следует лишь внести изме-
нения в обозначения интегралов.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость интеграл

V xdx

1 л/х^ + л/х+1

Решение. Функция у= ____ ------ непрерывна и положи-

ух5 +>/х + 1

n	X	1

тельна. При х —>+<»  --------~	.

Vx5+a/x + 1 х'1 2
Глава 13. Несобственные интегралы
Действительно,
х

Несобственный интеграл J—— есть эталонный интеграл
1 х'2

1-го рода, который при	сходится, следовательно, схо-

дится и исходный интеграл.

Исследование на сходимость интегралов
от знакопеременных функций

Определение. Интеграл j f(x)dx называется абсолютно сходя-
а

щимся, если сходится интеграл от модуля функции j |/(x)|Jx.
а

Определение. Если интеграл j/(x)Jx сходится, а интеграл
а

J|/(x)|Jx расходится, то j J\x)dx называется условно сходящимся
интегралом.

ТЕОРЕМА 3

(о сходимости абсолютно сходящегося интеграла)

Если интеграл j |/(x)|Jx сходится, то интеграл j f{x)dx схо-
дится также.

◄ Из очевидно верного неравенства

-|/(х)|</(х)<|/(х)|

следует

0<|/(х)|+/(х)<2|/(х)|.
По первой теореме сравнения интеграл

J (|ЛХ)|+f(x))dx
а

сходится в силу сходимости по условию интеграла

j 2|/(x)|Jx.

а

Представим

/(х) = (/(х)+|/(х)|)-|/(х)|,
откуда

J/(x)Jx=J (|/(x)|+/(x))Jx-J |/(x)|Jx.

Первое слагаемое в правой части равенства является конеч-
ной величиной (интеграл сходится в соответствии с доказательс-
твом, приведенным выше), второе слагаемое конечно по усло-
вию, следовательно, интеграл j J\x)dx есть конечная величина,
т. е. он сходится. ►

Замечание. В другой формулировке теорема выглядит так:
если интеграл абсолютно сходится, то он сходится.

ПРИМЕР. Исследовать на сходимость интеграл f ^^-dx.

Решение. Найдем для подынтегральной функции границу
сверху и воспользуемся первой теоремой сравнения для несобс-
твенных интегралов 1-го рода:

sinx

„2

1_

„.2 ‘

+ <Ю |

Интеграл f —^dx сходится как эталонный интеграл 1-го рода.
1 х

Тогда сходится интеграл J

sinx
х2

dx, а подсказанной теореме и ин-

7°sinx ,
теграл I —z— dx.

i х2
Использование интегралов в экономике

Рассмотрим экономические примеры, в которых нам придет-
ся воспользоваться умением брать интегралы.

Задача о неравномерном распределении доходов

Предположим, что проведен статистический опрос населе-
ния с целью определения величины доходов на душу населения.
По результатам опроса, используя методы математической ста-
тистики, выведем формулу, связывающую долю доходов у и долю
населения х, имеющего эти доходы. При равном распределении
доходов зависимость доли населения от доли населения, имею-
щего эти доходы, должна выражаться прямой у = х. Наши иссле-
дования дают формулу у = 2*-1. Оценим степень неравенства
в распределении доходов. Она характеризуется коэффициентом
Джинни, равным отношению площади фигуры ОАВ к площади
треугольника ОАС.

р __ $ОАВ

"“Джинни

^ОАС

Коэффициент Джинни удовлетворяет условию 0 < кд^^ < 1.
Чем он выше, тем больше неравномерность распределения дохо-
дов среди населения и, следовательно, тем сильнее концентрация
денежных средств в руках немногих.

Вычислим этот коэффициент.

^Джинни

$ОЛВ _ $ОЛС SpBAC

аОАС	kJOAC

Площадь фигуры S0BAC удобно найти, взяв определенный

интеграл.

к

Джинни

= 1-2  ---х

I 1п2

= l-2f——1

I 1п2

= 0,11.

о

Линия ОБА называется кривой Лоренца. Ее предложил нидер-
ландский физик и математик Лоренц в 1905 году. Кривая Лоренца
строится как нарастающая доля в процентах или долях одной вели-
чины в зависимости от нарастающей доли другой величины, начи-
ная с наименьшей. Например, кривая Лоренца может отражать
относительное неравенство размера фирм на рынке.
Задача замены оборудования

В процессе работы оборудования с течением времени t ухуд-
шаются его полезные характеристики: оно изнашивается, падает
производительность, снижаются качество изготавливаемой про-
дукции и надежность работы, растут эксплуатационные расходы.
Момент времени Т замены оборудования определяется желани-
ем минимизировать возрастающие затраты в расчете на единицу
времени. Они складываются из затрат на эксплуатацию С (г) и за-
трат к на приобретение нового оборудования.

Пусть по результатам обслуживания удалось оценить затраты
3

на эксплуатацию и описать их формулой С(/) = 2t+—t2. Стоимость

нового оборудования равна 36 ед. Требуется найти тот момент
времени Т > 0, в который оборудование следует заменить при ус-

ловии минимизации затрат.

Решение. Составим функцию F(7’) = y|
дуем ее на максимум.

а

т

т	л

[C(t)dt+k и иссле-
о	/

т

t

- 2—

з?

2 з

+36 =74-Т2

36

т

2

о

о

2 Т
Найдем производную функции F(T] и, приравняв ее нулю,
определим все критические точки.

Г+Г-36 = (^-3)(Г2+4Г+12)
Г	г

При Т > 0 существует одна критическая точка Т=3, произ-
водная в которой при возрастании Т меняет знак с минуса на
плюс. В точке Т = 3 достигается минимум. Если время в задаче
выражено в годах, то через три года оборудование следует заме-
нить на новое. Именно тогда будет достигнут минимум затрат на
эксплуатацию и замену оборудования.

Вопросы для повторения

1.	Сформулировать определение несобственных интегралов 1-го и
2-го рода.

2.	Сформулировать определение несобственного интеграла 1-го рода,
обосновать условия его сходимости.

3.	Сформулировать определение несобственного интеграла 2-го рода,
обосновать условия его сходимости.

4.	Сформулировать и доказать первую теорему сравнения для интегра-
лов 1-города.

5.	Сформулировать и доказать первую теорему сравнения для интегра-
лов 2-го рода.

6.	Сформулировать и доказать вторую теорему сравнения для интегра-
лов 1-го рода.

7.	Сформулировать и доказать вторую теорему сравнения для интегра-
лов 2-го рода.

8.	Дать определения абсолютно и условно сходящихся интегралов.

9.	Сформулировать и доказать теорему о сходимости абсолютно сходя-
щегося интеграла.
Двойные интегралы

>	Понятие двойного интеграла

>	Основные свойства двойного интеграла
> Нахождение двойных интегралов

Понятие двойного интеграла

Двойные интегралы широко используются в теории вероят-
ностей, в некоторых экономических приложениях, поэтому да-
дим краткое описание этого раздела интегрального исчисления.
Понятие двойного интеграла базируется на теории функций век-
торного аргумента. Геометрически функция двух переменных
описывает некоторую поверхность в трехмерном пространстве.
Понятие двойного интеграла можно ввести, решая задачу вычис-
ления объема цилиндрического тела.

Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плос-
костью хОу, некоторой поверхностью z=f{x, у), где x,yeD,
и цилиндрической поверхностью, образующие которой парал-
лельны оси z (рис. 14.1).

Пусть z - f(x, у) — непрерывная функция, и f(x, у) > 0 в об-
ласти D, f(x, у) = 0 вне области D. Для нахождения объема разо-
бьем область D на ряд областей (рис. 14.2). Построим покрываю-
щую решетку с ячейками (частичными областями) Лх,Л.ур где
i-l,2,...,n, j=l,2,...,m и возьмем в каждой ячейке точку (^,цу).
Заменим объем каждого объемного тела, стоящего на ячейке как
на основании (рис. 14.3), объемом параллелепипеда Д1<у с осно-
ванием ДХ/Ayj и высотой /(£,,ц,). Просуммируем все такие па-
раллелепипеды:
V„.m = A^,1 +	+- + Д^1 +Д^,2 + Д^.з +

+... + ДКи + ... + ДК = У У ДИ
i,w	п,т	i,j

i=l J=1

Поскольку Д^у =

то
пт	пт

К,т=ЁХа(<-.7 =££я^>т1РАх1д^ •

i=l у=1	i=l j=l
Рис. 14.3

Величина Vn m называется интегральной суммой для функции
z — f(x,y) по области D, соответствующей данному разбиению
этой области на п т частичных областей (ячеек) и данному вы-
бору точек (£,. ,т|у) в этих ячейках.

Введем понятие предела интегральной суммы:

п т

Jr.

Дх,->0, ТТ ТТ	J	J

Если существует конечный предел данной интегральной сум-
мы, не зависящий ни от способа разбиения области D на частич-
ные области, ни от выбора точек (^, ,т|у) в частичных областях, то
он называется двойным интегралом от функции z=f(x,y) и обоз-
начается символом

D

Итак,
п т
Нт	= fff(x,y)dx<fy = I-

Сама функция называется функцией, интегрируемой в облас-
ти D, f(x,y)dxdy — подынтегральным выражением, dxdy=dS —
элементом площади (дифференциал площади), D — областью ин-
тегрирования.
Геометрический смысл указанного двойного интеграла есть
объем прямого цилиндрического тела, построенного на области
D, как на основании, и ограниченного сверху поверхностью
z - f(x,y) > 0. Если z = f(x,y) < 0, то объем равен

/ = -Д/(х,у)йхф.

D

Если в области D функция принимает как положительные,
так и отрицательные значения, то двойной интеграл представляет
алгебраическую сумму объемов частей тела, взятых со знаком
плюс, если они расположены над плоскостью хОу, и объемов час-
тей тела, взятых со знаком минус, если они расположены под
плоскостью хОу.

Сформулируем достаточные условия интегрируемости.

ТЕОРЕМА

Всякая функция f(x,y), непрерывная в ограниченной зам-
кнутой области D, интегрируема в этой области.

Основные свойства двойного интеграла

1.	Если функция z = f{x,y) интегрируема в области D и эта
область разбита на две области Д и Д, то функция интегрируе-
ма в каждой из областей Д и Д, причем

Д f(x,y)dxdy = jj f(x,y)dxdy +Д f(x,y)dxdy.

D	D,	D2

2.	Если функция z = f (x,y) интегрируема в области Диа —
любое действительное число, то

Да • f (x,y)dxdy = аД/(х,у)с/хс/у.
D	D

3.	Если функции z-f(x,y) и z = <^x,y) интегрируемы в об-
ласти Д то

$(f(x,y) + <^x,y))dxdy = $f(x,y)dxdy ± $<p(x,y)dxdy.
D	D	D

4.	Если f(x, у) = 1 в области Д двойной интеграл есть площадь
области D:

Д 1-dxdy- S.

D
5.	Если функции z- f(x,y) и z = <p(x,y) интегрируемы в об-
ласти D и всюду f(x, у) < <р(х, у), то

tff(x,y)dxdy < JJ q(x,y)dxdy.
в	в

Нахождение двойных интегралов

Рассмотрим способ вычисления двойного интеграла, заклю-
чающийся в сведении его к последовательному нахождению двух
обыкновенных интегралов.

1. Случай прямоугольной области.

Пусть область D — прямоугольник со сторонами, параллель-
ными осям координат (рис. 14.4):

D-{а < х < Ь, с < у < d}.

Рис. 14.4
Выберем в области D произвольную точку с координатами
(х,у) и образуем элементарную площадку dS = dxdy. Объем па-
раллелепипеда, опирающегося на эту площадку и ограниченного
поверхностью z=f(x,y), будет равен &V = f(x,y)dxdy. Просум-
мируем все такие параллелепипеды вдоль оси х, т. е. возьмем ин-
теграл по переменной х, переменная у при этом не меняется. По-
лучим

\f(x,y)dxdy=dy$f(x,y)dx.
а	а

Это объем параллелепипеда, ограниченного:

•	плоскостями, перпендикулярными оси х и проходящими
через точки а и Ь,

•	плоскостями, перпендикулярными оси Оу и проходящи-
ми через точки у и y+dy,

•	плоскостью хОу,

•	поверхностью z =f(x,y).

Суммируя все такие параллелепипеды вдоль оси у, получим
d(b	Л

П [f(x,y)dx ldy = jjf(x,y)dxdy.

с I a	J	D

Выражение, стоящее в левой части формулы, содержит две
последовательные операции обыкновенного интегрирования
функции z=f(x,y) по области D. Эти интегралы называются пов-
торными интегралами от функции z - f(x,y) по области D.

Суммируя объемы сначала вдоль оси у, затем вдоль оси х, по-
лучим ту же величину объема. Следовательно,

d(b	Л	b(d	'I

J $f(x,y)dx = J jf(x,y)dyjdx,
Да	J	al c	J

t. e. значения повторных интегралов от непрерывной функции не
зависят от порядка интегрирования.

ПРИМЕР. Найти jj(x+y)dxdy, где область интегрирования
Л={0<х<2,1<у<3}. л

Решение.

3/2	\	3/2

fl(x+y)dxdy = П ](x+y)dx юу = J —+ху

D	1^0	J

= j(2+2y)Jy = (2y+y2)|^=12.
	у
2.	Область интегрирования D ограничена слева и справа пря-
мыми х-х[ и х = х2,а снизу и сверху — непрерывными кривыми
у=<р,(х) и у = <р2(х), каждая из которых пересекается с вертика-
лью только в одной точке (рис. 14.5). Возьмем в области D произ-
вольную точку с координатами (х,у) и построим на ней прямо-
угольник со сторонами dx и dy. Объем параллелепипеда,
опирающегося на эту площадку и ограниченного поверхностью
Z=f(x,y), будет равен AV - f(x,y)dxdy. Просуммируем все та-
кие параллелепипеды вдоль оси Оу, получим

У=<Р2<*)

J /(x,y)t/ydr,

У=<Р|(х)

где величина х, очевидно, является постоянной.

Это объем бесконечно тонкого параллелепипеда (полосы),
стоящего на площадке (<p2(x)-<p1(x)) dx. Просуммируем теперь
все такие параллелепипеды от наименьшего значения х до наи-
большего. В результате получим

$f(x,y)dxdy= J

D	х=х,

гу=ф2(х)

J f(x,y)dy

L У=Ф|(*)

х=х2 у=Ф2(х)

dx= J dx J f(x,y)dy.

X=X, У=ф|(х)

Вычисление двойного интеграла здесь сведено к повторным
интегралам.

3.	Область интегрирования снизу и сверху ограничена пря-
мыми у=у, и у = у2, а слева и справа непрерывными кривыми
х=П1 О') и х =И? (>’), каждая из которых пересекается с горизон-
талью только в одной точке (рис. 14.6). Поступая аналогично слу-
чаю 2, берем произвольную точку с координатами (х,у) и стро-
им прямоугольник со сторонами dx и dy, получаем объем парал-
лелепипеда, опирающегося на эту площадку и ограниченного
поверхностью z =f(x,y): AV = f(x,y)dxdy.

Суммируя сначала вдоль оси Ох, затем вдоль оси Оу, полу-

чим

У=У1
fjf(x,y)dxdy= J
в	y=yt

<х=л2(>')	Л у=у2 х=л2(у)

J f(x,y)dx dy= j dy J f(x,y)dx.

x=My)	J	Х=Т1,(Л-)

Замечание. Если область интегрирования имеет другой вид
или некоторые прямые (вертикальные или горизонтальные) пе-
ресекают ее границу более чем в двух точках, область интегриро-
вания разбивается на ряд областей перечисленных видов и берет-
ся алгебраическая сумма интегралов.

ПРИМЕР. Найти JJ(2x - у+3)dxdy, где область/) ограничена
D

линиями у = х и у = х2.

Найдем точки пересечения линий у = х и у = х2: (0,0) и (1,1)
и изобразим область интегрирования D (рис. 14.7). Возьмем внут-
ри области произвольную точку с координатами (х, у) и зададим
прямоугольник со сторонами dx и dy, на котором построим эле-
ментарный параллелепипед объемом AV ~(2х-у+3)dxdy.

Суммируем объемы параллелепипедов сначала вдоль оси Оу,
затем вдоль оси Ох. Тогда
1 X	1	х

jj(2x-y + 3)dxdy = jdxj(2x-y+3)dy = j[2xy-0,5y2 + 3у)| dx-

D	Ох2	о	х2

1

= |(3х - 1,5х2 - 2х3 + 0,5х4 )</х = 0,6.
о

Вопросы для повторения

1.	Дать понятия двойного интеграла, цилиндрического тела, интеграль-
ной суммы.

2.	Привести основные свойства двойного интеграла.

3.	Какие интегралы называются повторными?

4.	На какие области делится координатная плоскость при нахождении
двойного интеграла?
Элементы теории множеств

> Необходимое и достаточное условия. Определения

> Операции над множествами

> Булева алгебра

Будем называть утверждением всякое высказывание, в отно-
шении которого можно говорить, истинно оно или ложно. На-
пример, утверждениями являются предложения «1 больше 0», «он
студент». Предложения «покиньте аудиторию», «кто отсутству-
ет?» не являются утверждениями. В математических дисциплинах
принято некоторые словесные выражения заменять символами.
Например, символом V заменяют выражения «для произвольно-
го» или «для любого», символом 3 — выражения «существует»
или «найдется». Напомним, что символы V и 3 называются
кванторами.

Необходимое и достаточное условия. Определения

Пусть b — некоторое утверждение. Всякое утверждение а, из
которого следует Ь, называется достаточным условием для Ь. Вся-
кое утверждение а, которое вытекает из Ь, называется необходи-
мым условием для Ь. Например, пусть утверждения а и b таковы:

•	а: «число х равно нулю»;

•	Ь: «произведение ху равно нулю».

Тогда а является достаточным условием для Ь. Действитель-
но, для того чтобы произведение ху равнялось нулю, достаточно,
чтобы число х было равно нулю. Для того чтобы х было равно
нулю, необходимо, чтобы произведение ху было равно нулю. Од-
Математический анализ. Курс лекций

нако, b не является достаточным для а: из того, что произведение
ху равно нулю, не вытекает, что обязательно число х равно нулю.

Утверждение: «если истинно утверждение а, то истинно ут-
верждение Ь», можно записать так: а => b и выразить любой из
следующих формулировок:

•	а является достаточным условием для fe;

•	b является необходимым условием для а.

Если высказывания а и b таковы, что из каждого из них выте-
кает другое, т. е. а=$Ь и Ь=> а, то говорят, что каждое из высказы-
ваний а и b является необходимым и достаточным условием для
другого, и пишут а<^>Ь.

Другие формулировки:

•	для того чтобы было верно а, необходимо и достаточно, что-
бы выполнялось Л;

• а имеет место в том и только в том случае, если выполня-
ется Ь.

Операции над множествами

Математическое понятие множества элементов принадлежит
к числу первичных, неопределяемых понятий. Под термином
«множество» будем понимать любую совокупность элементов.
Множество задается правилом или признаком, согласно которо-
му определяем, принадлежит ли данный элемент этому множест-
ву или не принадлежит.

Множество обозначают символом М={х|5 х2, ..., хя} или
любой другой прописной буквой А, В, С,.... Здесь х„ х2,..., хп —
элементы множества М.

Будем пользоваться обозначениями:

N={1,2,3,...} — множество всех натуральных чисел;

Z ={0, ±1, ± 2,...} — множество всех целых чисел;

К — множество всех действительных чисел;

Е — универсальное множество, которому принадлежат все
множества рассматриваемой задачи;

запись а& А (или А э а) означает, что элемент а принадлежит
множеству А;

запись а<£ А означает, что элемент а не принадлежит мно-
жеству А.
Множество В, все элементы которого принадлежат множест-
ву А, называется подмножеством множества А, и при этом запи-
сывают: В<^А (или Л=>Б)(рис. 15.1).

Пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного
элемента, обозначим символом 0. Любое множество содержит
пустое множество в качестве своего подмножества.

Если А с Е, то множество элементов множества Е, не прина-
длежащих А, называется дополнением множества А к множеству
Е и обозначается: Е\А (рис. 15.2).

Если А с Е, В с Е, то дополнение множества В к множеству
А называется разностью множеств А и В и обозначается А \ В
(рис. 15.3).

Объединением или дизъюнкцией множеств А и В называется
множество A<jB (рис.15.4).

Пересечением или конъюнкцией множеств А и В называется
множество АглВ (рис. 15.5).

Симметрической разностью множеств А н В называется
множество, определяемое объединением разностей А\В и В\А.
Обозначается как А Д В (рис. 15.6).

Рис. 15.1

Рис. 15.2

Рис. 15.4
Множество называется конечным, если оно состоит из неко-
торого натурального числа элементов. Например, конечным яв-
ляется множество всех студентов университета, а также множест-
во всех молекул воды в Мировом океане. Непустое множество
называется бесконечным, если оно не является конечным. Так,
множество N = {1, 2,...} всех натуральных чисел является беско-
нечным множеством.

Пусть А и В — некоторые множества. Между множествами
А и Б существует взаимно-однозначное соответствие, если каж-
дому элементу множества А поставлен в соответствие один эле-
мент множества В, и обратно: каждому элементу множества
В поставлен в соответствие некоторый элемент множества А.
Если между двумя конечными множествами Ли В удалось уста-
новить взаимно-однозначное соответствие, то множества
А и Б имеют одинаковое число элементов. Такие множества на-
зываются эквивалентными (А ~В).

Бесконечное множество А называется счетным, если можно
установить взаимно-однозначное соответствие между множест-
вом А и множеством ^натуральных чисел, т. е. если А~ N. Каждое
бесконечное множество содержит счетное подмножество.

Булева алгебра

В середине XIX века английский математик и логик профес-
сор Джордж Буль построил математическую теорию логических
высказываний, введя символьные обозначения и операции над
символами, которая получила название булевой алгебры — раздела
математической логики.
Рассмотрим частный случай множества М, элементы которо-
го хр х2, хп могут принимать только значения 0 или 1. Иначе
говоря, все элементы множества М принадлежат множеству
Е={0,1}. Определим над элементами множества М следующие
операции.

1.	Эквивалентность или равенство с обозначением «=», на-
пример, х1-х2.

2.	Конъюнкция, обозначаемая как « • », например, xt  х2; знак
умножения можно опускать. Операцию называют также опера-
цией «И».

3.	Дизъюнкция, обозначаемая как «+», например, xt +х2.
Другое название — операция «ИЛИ».

4.	Отрицание, обозначаемое через х:. Операция отрицания
называется операцией «НЕ».

Эти операции для двух элементов xt и х2 вводятся по опре-
деленному правилу и представлены в таблице истинности.

Х|	*2	х,х2	%! +Х2	х.	*2
1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	0	1
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

Определение. Совокупность элементов х,, х2, ..., х„ множества
М, на котором определены операции равенства, конъюнкции,
дизъюнкции и отрицания, подчиняющиеся таблице истинности,
называется булевой алгеброй.

Сложные понятия, которые могут быть составлены из эле-
ментов х,, х2, ..., хп, соединенных логическими операциями, на-
зываются формулами или выражениями булевой алгебры. Над
формулами булевой алгебры возможны булевы алгебраические
преобразования. Например,

(х, +х2)(х| +х2) = х|х| +х,х2 +х2х, + х2х2 =х,х2 +х2х,.

""Г	о-‘

Определение. Булевой называется функция, которая вместе со
своими аргументами принимает значения 0 или 1. Например,
функция /(х,, х2) = х, х2 + х2х, есть булева функция. Ее значения
могут быть записаны в виде таблицы истинности.
X,		х2	хг	/(*,, *2)
1	0	1	0	0
1	0	0	1	1
0	1	1	0	1
0	1	0	1	0

Булева функция может зависеть от п аргументов f{x{, х2,	х„).

Таблица истинности булевой функции с п переменными имеет
2я значений, среди которых различных значений только два: О
и 1. Действительно, добавление новой переменной увеличивает
у функции число различных комбинаций из 0 и 1 ровно в два раза.
Уже рассмотренная булева функция двух переменных имеет 22 =4
значения (последний столбец таблицы).

С помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции
и отрицания {п, о, -} над элементами х{, х2, ...,хп можно по-
лучить любой набор из нулей и единиц, т. е. любую булеву функ-
цию. В этом смысле набор операций {о, п, -} является пол-
ным. Любая булева функция может быть представлена как
суперпозиция трех перечисленных логических операций над сво-
ими аргументами. Существуют специальные методы построения
булевых функций с заранее заданным набором нулей и единиц.
Это находит свое использование в различных отраслях знаний.
Например, работа компьютера построена на применении интег-
ральных микросхем, реализующих логические операции.

Введенные выше операции над множествами можно свести
к булевой алгебре, если значениям 0 и 1 в булевой алгебре поста-
вить в соответствие пустое множество 0 и универсальное мно-
жество Е. Это позволяет формализовать логические рассужде-
ния, сведя их к булевым алгебраическим преобразованиям, во
многом похожим на обыкновенные алгебраические преобразова-
ния.

Вернемся к логическим операциям над множествами и пред-
ставим в таблице аксиомы математической логики. Основные
предложения, взятые как аксиомы и вытекающие из определений
конъюнкции, дизъюнкции и отрицания {п, о, -}, мы запишем
с помощью логических символов, а также переведем на язык бу-
левой алгебры.
	Аксиомы	Операции над множествами	Булева алгебра
1.	Аксиомы	Ас\А = А	АА = А
2.	идемпотентности	A\jA = A	А + А = А
3.	Аксиомы	Ас\В = Вс\А	АВ=ВА
4.	коммутативности	Avj В = Bvj А	А+В=В+А
5.	Аксиомы	Аг>Вг>С = (АпВ)г>С = = Аг>(Вг>С)	АВС=(АВ)С = А(ВС)
6.	ассоциативности	ЛийиС=(Лий)иС =	А+В+С = (А+В)+С =
		= Лс(ВсС)	= А+(В+С)
7.	Аксиома дистрибутивности	Лп(£иС)= =(Лпй)и(йпС)	А(В+С)-АВ+АС
8.	Аксиомы	Ап(Е\А)=0	АА = 0
9.	противоречия	AvjE\A=E	А + А = 1
10.	Аксиомы	А(~\Е = А	А1=А
11.	единицы	AvjE = E	/1 + 1 = 1
12.  13.	Аксиомы нуля	Аг\0 = 0  Avj0 = A	Л-0=0  А+0 = А
14.  15.	Принцип двойственности	Е\(АиВ) = = (Е\А)п(Е\В)  £\(Лп£) = = (£\Л)и(£\В)	А+В=АВ  АВ=А+В

Не все аксиомы являются независимыми. Например, прин-
цип двойственности может быть получен из остальных аксиом.
Все аксиомы имеют простое обоснование.

ПРИМЕР 1. Обосновать вторую аксиому идемпотентности.

Решение. Нам надо доказать, что если С, -АиА и С2 = А, то
С\ - С2. Это значит, что надо доказать утверждения:

1)	Vxe => хе С2, откуда имеем сС2;

2)	Х/хе С2 => хе т. е. С2 с С,.
Пусть хеАиА, тогда хе А и одновременно хе А, т.е. хе А,
и тем самым справедливо включение А и А с А. Обратное вклю-
чение AcAtjA непосредственно следует из определения объ-
единения. Из двух последних включений вытекает равенство
A(jA = A.

ПРИМЕР 2. Обосновать первую аксиому принципа двойс-
твенности (14).

Решение. Пусть хе Е \ (А о Б). Тогда хе АиВ,т.е. хе Аи хе В
одновременно. Отсюда хе Е \ А и также хе Е \ В. Следовательно,
хе (Е\А)п(Е\В). Таким образом, Е\(ЛоБ)с(Е\А)г\(Е\В)
(а). Предположим теперь, что хе (Е \ А) л (Е \ В). Тогда хе Е \ А
и одновременно хе Е\В, т.е. хе А и хе В, а значит, хе A\jB,
и хе E\(A\jB). Отсюда Е\(А^В)а(Е\Д)л(Е\Б) (б). Из
включений (а) и (б) следует равенство (14).

На основе перечисленных аксиом легко доказываются более
сложные утверждения.

ПРИМЕР 3. Доказать утверждение:

Au(AriB) = A.

Решение. Переведем это утверждение на язык формализован-
ной логики:

А+АВ=А.

Доказательство:

. А + АВ = А\ + АВ^А(\ + В) = А\ = А.

ПРИМЕР 4. Доказать утверждение:

А и (В л С) = (ЛиБ) л (Л оС).

Решение. То есть докажем, что

А+ВС-(А + В)(А+С).

Доказательство:

(А + В)(А+С)=АА + АС+ВА+ВС =
= А+АС+ВА+ВС = А+ВА+ВС = А+ВС.

Л	Л

ПРИМЕР 5. Доказать утверждение:

Ло((Е\Л)лБ) = ЛоБ,
т. е. доказать, что А + АВ = А + В.

Решете. Доказательство (см. пример 4):

А+АВ = (А+А)(А+В) = 1(А+В) = А + В.

ПРИМЕР б^Доказать утверждение:

(Бп(£\Л))и(Лл(£\й))=(ЛиВ)п(Е\(ЛпБ)).

Решение. В обозначениях формализованной логики задача
формулируется так:

ВА+АВ = (А+В)АВ.

Доказательство:

ВА+АВ = ВА+АА+АВ+ВВ = А(В+А)+В(А+В) =
= (А+В)[А+В) = (А+В)АВ.

Вопросы для повторения

1.	Что такое утверждение?

2.	Что такое необходимое и достаточное условия?

3.	Дать определения дополнения, объединения, пересечения, симмет-
рической разности множеств.

4.	Что называется булевой алгеброй?

5.	Привести основные логические соотношения операций над мно-
жествами.
ГЛАВАU л

Комплексные числа

>	Понятие комплексного числа

>	Арифметические операции над комплексными числами

>	Комплексная плоскость

>	Функция комплексного переменного

>	Тригонометрическая форма комплексного числа

>	Формула Муавра

>	Извлечение корня из комплексного числа

>	Показательная форма комплексного числа

>	Свойства комплексной показательной функции

Понятие комплексного числа

С комплексными числами математики вплотную столкну-
лись в XVI веке. Было обнаружено, что уравнение высокой, на-
пример, 3-й степени с действительными коэффициентами, име-
ющее действительные корни, может быть решено, т.е. получены
эти действительные корни, в результате действий с числами, со-
держащими а/Д. Это содействовало признанию комплексных
чисел. Использование комплексных чисел делает многие матема-
тические решения в различных областях науки более единообраз-
ными и ясными.

Комплексным числом называется выражение вида z=x +iy, где
х и у — действительные числа, I - а/Д — мнимая единица.

Число х называется действительной частью числа z и обозна-
чается Re(z) (от франц, reele — «действительный»), а число у —
мнимой частью числа z и обозначается Im(z) (от франц, imaginai-
ге — «мнимый»), т. е. x=Re(z), у = /m(z).
Действительное число х является частным случаем комп-
лексного z=x+iy при у=0. Комплексные числа вида z-x+iy, не
являющиеся действительными, т.е. прих=0, называются мни-
мыми.

Числа z=x+iy и z -x—iy называются сопряженными.

Два комплексных числа z, = х, +iy, mz2=x2 + iy2 называются
равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е.
Х| = х2 и У] = у2.

Арифметические операции над комплексными числами

Арифметические операции на множестве комплексных чисел
определяются следующим образом.

1.	Сумма (разность) комплексных чисел:
Zl+z2=xl±x2+i(yl±y2).

2.	Произведение комплексных чисел:

Z& =(Xj +iy])(x2 +iy2) = (x]x2 +i2yly2)+i(xly2 +x2yt) =

- (x,x2 - yy2)+/(Xjy2 + ХгУ)).

3.	Деление двух комплексных чисел:

Zj = X, +fr, = (x1+/y,)(x2+Zy2) = (х,х, +yly2)+i(x2yl -х,у2)

г2 x2+iy2 (x2+iy2)(x2-iy2)	х2+у2

Комплексная плоскость

Если для геометрического изображения действительных чи-
сел используются точки числовой прямой, то для изображения
комплексных чисел служат точки координатной плоскости ОХУ
(рис. 16.1).

Плоскость называется комплексной, если каждому комплекс-

ному числу z-x+iy ставится в соответс-
твие точка плоскости М(х; у), причем
это соответствие взаимно однозначное.
Оси Ох и Оу, на которых расположены
действительные числа z-x+Qi-x и чисто
мнимые числа z=Q+iy=iy, называются
соответственно действительной и мни-
мой осями.
Функция комплексного переменного

На множестве комплексной плоскости определена функция
w=/(2), если каждому комплексному числу z из комплексной
плоскости ставится в соответствие комплексное число w. Таким
образом, функция w = f(z) отображает точки комплексной плос-
кости г на соответствующие точки комплексной плоскости w.

Пусть z = x+iy, w = u+iv. Тогда задание функции комплекс-
ного переменного w-f(z) будет равносильно заданию двух дейс-
твительных функций двух действительных переменных и = и(х,у),
v = v(x,y), где w = f(z)- и(х,у)+iv(x,y).

Функция ы(х,у) называется действительной частью функции
w =f(z), a v(x,y) — мнимой частью.

ПРИМЕР. Пусть w-z2 • Полагая z = x+iy, w = u+iv, получим

w = u+iv-(x+iy)2-х2-у2 +12ху.

Следовательно,

и=х2-у2, v = 2xy.

Тригонометрическая форма комплексного числа

С каждой точкой z (х,у) комплексной плоскости связан ради-
ус-вектор этой точки Oz, длина которого г называется модулем
комплексного числа z и обозначается |z|:

r=\z\ = Jx2 + y2 .

Угол <р, образованный радиусом-вектором Oz с осью ОХ, на-
зывается аргументом комплексного числа обозначается Arg^. Из
значений ср =Argz выделяется главное значение aigz, удовлетвори-
ТС
ющее условию -n<aigz<n. Например, arg5=0, arg(-3/)= —,
„ л	2

aig(l-/)=-—-
4

Очевидно (см. 16.1), что x = rcos<p, у = rsincp. Следовательно,
комплексное число z-x+iy можно представить как
£ = r(cos<p+zsin<p).

Представление комплексного числа в таком виде, где г- |г| > О,
Ф =Arg£, называется тригонометрической формой комплексного
числа.
Сформулируем некоторые свойства арифметических опера-
ций над комплексными числами.

1.	При сложении (вычитании) комплексных чисел их радиу-
сы-векторы складываются (вычитаются) по правилу параллелог-
рамма.

На рис. 16.2 показаны радиусы-векторы комплексных чисел
Z] и z2, их суммы zt +z2 и разности zt -z2.

2.	Модуль произведения двух комплексных чисел равен про-
изведению модулей этих чисел, а его аргумент — сумме аргумен-
тов этих чисел, т. е.

Z,Z2 = г,(со8ф, +«sin<pl)(r2cos<p2 + isinф2) =

- Jjr2(COS<P| COS<p2 - sin ф, 8И1ф2) + /(СО8ф, 8Шф2 +СО8ф2 8Шф,).

Используя формулы преобразования тригонометрических
функций, получим

Z,Z2 =r,r2(cos(9, + ф2) + /8Н1(ф, +ф2)).

Геометрически умножение числа z, на z2 означает измене-
ние длины радиуса-вектора г, в г2 раз и его поворот вокруг точки
О против часовой стрелки на угол ф2.

3.	Модуль частного двух комплексных чисел равен частному
модулей этих чисел, а его аргумент — разности аргументов этих
чисел, т. е.

7](СО8ф, -+zsin<p,)
Г2(СО8ф2 +/8Шф2)

А

=—(сов(ф, -ф2)+/яп(ф, -ф2))_
Г2

Результат можно получить, домножив числитель и знамена-
тель на величину совф2 -/8тф2 и сделав простые тригонометри-
ческие преобразования.
ПРИМЕР. Комплексные числа ?,=-!+/ и z2=yl3+i пред-
ставить в тригонометрической форме и найти их произведение
и отношение.

Решение. Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

г, =|^| = V(-D2+12 =V2

COSCpj = —

1 1

/2’Sin<P-?2

„	Зл

Отсюда ср, = —

Поэтому

rd Зя . . Зя
z, =V2 cos—+isin—

14	4

Аналогично r2 = |z2| = -J(^)2+l2 = 2, cos<p2 = 2~, sin<p2 = j-
Тогда

J л . . л
z2 -21 cos—+1 sin—
16	6

Теперь можно найти произведение этих комплексных чисел
и их отношение:

- ( (Зл л А . . f Зл л\\

zxz2\ cos —+- +isin —+- =

( I4 6/	(4 6JJ

n rd fllnA . . (11л

-2V2 cos —- +zsin —— .

I 12 I I 12 II

A

Л

6

I • • (3л
+zsin —

I I 4

Формула Муавра

Возведение комплексного числа в натуральную степень п
можно представить, как произведение п одинаковых сомножите-
лей. Следовательно, модули будут перемножаться, а аргументы
складываться. Получим формулу Муавра:

(r(cos<p+zsin<p))" =r"(cosn<p+isinn<p), п2.2, neN.
ПРИМЕР. Найти (-1+Z)20.

Решение. Поскольку -1+/ =

г=( Зл . . Зя')

2 cos—+/sm— ,то

14	4 J

= 1024(cos 15л+i sin 15л) = -1024.

Извлечение корня из комплексного числа

Пусть zt = ^Z = p(cosa+fsina).

Тогда, используя определение корня и формулу Муавра, по-
лучим

z = z" = (p(cosa+isina))" = p"(cosna+isinna).

Величина р"(cos ла+/sin ла) есть новое комплексное число,
которое в тригонометрической форме можно записать как
r(cos <р+i sin ф), т. е.

р"(cosпа+isin ла) = г(со8ф+»8Шф.

Два комплексных числа равны, если равны их действитель-

ная и мнимая части. Отсюда следует, что 

р" cos«a = rcos(p,
р" sin ла = г sin ф.

Возведя каждое уравнение в квадрат и сложив результат, по-
лучим р2" = г2, откуда р = Vr.

[cos па=cos ф,

Система примет вид ( .

|81ПЛа = 51Пф.

Решение первого уравнения:

ла = ±ф+2лк.

Решение второго уравнения:

ла = ф+2л&,

ла = л-ф+2лС

Решением системы является ла = ф+ 2лЛ,
откуда

^_(р+2пк

п

т «Г /	  х пг\ ф+^лк . . ф+znK

Тогда yjz = p(cosa+i since) = vn cos—-+»sm--- ,

\ w n )

где k-0,1,2,n-1.

При k=n, n+1,... значения корня уже будут повторяться.

Таким образом, корень п-й степени из комплексного числа
(не равного нулю) имеет п различных значений.

ПРИМЕР 1. Найти U-1+i.

Решение. Представим это число в тригонометрической форме:

-1+/ = х/2

Зл . . Зл

cos—+/sm—

4	4

Извлечем корень 3-й степени:

Зл _ ,
—- + 2пк
+zsin—------

3

к = 0,1,2.

Отсюда получаем три различных значения корня:

Рис. 16.3
— при к=0 z, = V21 cos—+isin— I,
(	4	4 J

. . 6/xf 11л . .

— прик=1 z> =v2| cos——+zsin— ,
(12	12 J

i 'i 6Fi( 19л . . 19л A

— прик=2 z3 =V2I cos-j^-H-zsin-j^- I.

На комплексной плоскости найденные значения корня пред-
ставляют равноотстоящие друг от друга точки , z2> z3, располо-
женные на окружности радиуса у/2 (рис. 16.3).

ПРИМЕР 2. Решить уравнение г3 =1.

Решение.

з/г	—л—• • з/гГ 0+2лЛ . . 0+2лЛ

z=y!l = (/l(cosO+zsmO) = vl| cos—-—+zsin—-—

2nk . . 2лЛ
cos——+1 sm ——

где k = 0,l,2.

При k = 0 zt = 1+01 = 1,

. . 2л . . 2л
при k = 1 z, = cos—+z sm—

2	3	3

, , 4л . . 4л 1 .V3
при k = 2 z,=cos—+zsm—=—--z—.

3	3	2	2

Показательная форма комплексного числа

Полагая величину <р переменной, разложим функцию е/ф вряд
Маклорена (допустимость такого разложения доказывается в кур-
се теории функций комплексного переменного) и вспомним раз-
ложения функций cosip и sintp вряд Маклорена. Получим

с>ф_1 /(Р </(Р)2	(*<Р)3 (/(Р)4	(*<Р)5

1!	2!	3!	4!	5!

2! 4!

3! 5!

=cos(p+z'sin<p.
Равенство

e'l? =costp+z sirup

называется формулой Эйлера.

Тогда любое комплексное число можно представить следую-
щим образом:

Z - r(cos <р+i sin <р) = re“t’.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством
и преобразуем правую часть равенства

g = f-e'V =е^г^ _^ln r+i<p _e«+i<p

где o = lnr.

Итак,

Z = x+iy = e“™f

есть представление комплексного числа в показательной форме.
Если а и <р являются переменными, можно говорить о комплекс-
ной функции.

Свойства комплексной показательной функции

1.	Для действительных чисел комплексная показательная
функция совпадает с обычной.

Действительно, при <р = 0 имеем z =	= еа.

2.	Для функции z = ea' Uf сохраняются правила умножения, де-
ления, возведения в степень и извлечения корня:

= ^я1+'Ф,^а,+/ф, =ео,+я2+/(Ф,+Ф,).

7 z>«i +'ф|

•Ч _  = £Я1	+,< Vl -«>2 ) 

Z2

=	= е"

3.	Комплексная показательная функция является периоди-
ческой с периодом 2л/.

В самом деле, для любого к	- ел"^

поскольку

е'2кк - cos 2пк+i sin 2пк = 1 + /О = 1.
ПРИМЕР 1. Представить комплексное число z=-l+i в по-
казательной форме.

Решение. -l+i = >/2 cos—+isin— UVle 4 =ео,5Ш2+/о,75к
I 4	4 J

ПРИМЕР 2. Пусть комплексное число z=-l. Найти Inz.

Решение. Представим это число в показательной форме:

Тогда

Итак,

Z=-l=-l+iO = lein.

Ine'" = mine=in.
lnz = ln(-l) = m.

Вопросы для повторения

1.	Сформулировать определение комплексного числа.

2.	Перечислить арифметические операции над комплексными числами.

3.	Сформулировать понятие комплексной плоскости.

4.	Что такое тригонометрическая форма комплексного числа?

5.	Вывести формулу Муавра.

6.	Как извлечь корень из комплексного числа?

7.	Что такое показательная форма комплексного числа?

8.	Сформулировать определение функции комплексного переменного.

9.	Перечислить свойства комплексной показательной функции.
Тематический указатель

Арифметические операции над комплексными числами 251  Асимптотические равенства 46  Асимптоты графика функции 115	Геометрический смысл частной производной 146  Градиент 166  д  Декартова система координат 13
Б	Дифференциал функции 66  Дифференциалы высших поряд-
Бесконечно большие и бесконеч- но малые последовательности 26 Булева алгебра 244	ков 84  Дифференциалы высших поряд- ков функции нескольких пере- менных 173
В	Дифференцируемость сложной функции нескольких перемен- ных 156
Второе достаточное условие экс- тремума ПО  Второй замечательный предел 39  Выпуклость функции 112  Вычисление площадей плоских фигур 214	3  Задача замены оборудования 230  Задача о неравномерном распре- делении доходов 229  Задача о непрерывном начисле-
Г	нии процентов 40
Геометрический смысл диффе- ренциала 81  Геометрический смысл производ- ной (производная как тангенс уг- ла наклона) 78	И  Извлечение корня из комплекс- ного числа 255  Инвариантность формы первого дифференциала 75
Использование интегралов в эко-
номике 229

Исследование на сходимость ин-
тегралов от знакопеременных
функций 227

Исследование на сходимость не-
собственных интегралов 1-го и
2-го рода от неотрицательных
функций 222

Исследование функций и постро-
ение их графиков 119

К

Кванторы 25

Комплексная плоскость 251

Л

Линии уровня 133

м

Методы нахождения неопреде-
ленных интегралов 191

н

Наибольшее и наименьшее значе-
ния функции, непрерывной на
отрезке 112

Нахождение двойных интегра-
лов 236

Необходимое и достаточное усло-
вия. Определения 241

Необходимое условие экстрему-
ма 106

Непрерывность функции не-
скольких переменных 141

Несобственные интегралы 1-го
рода 218

Несобственные интегралы 2-го
рода 220

О

Ограниченность последователь-
ности 27

Однородные функции 163

Операции над множествами 242

Определение дифференцируе-
мости функции нескольких пере-
менных 147

Определение непрерывности 51

Определение функции 12

Основные свойства двойного ин-
теграла 235

Основные свойства функций 16

Оценка определенных интегра-
лов 213

п

Первое достаточное условие экс-
тремума 107

Первый замечательный пре-
дел 38

Площадь криволинейной трапе-
ции 202

Показательная форма комплекс-
ного числа 257

Полный дифференциал функции
нескольких переменных 154

Полярная система координат 13

Понятие двойного интеграла 232

Понятие комплексного числа 250

Понятие первообразной 187

Понятие предела функции 30

Понятиепроизводственнойфунк-
ции 180

Понятие функции как отображе-
ния 128

Понятие функции нескольких
переменных 129
Понятие экстремума 105

Правила вычисления дифферен-
циалов 70

Правила вычисления производ-
ных 67

Предел функции нескольких пе-
ременных 136

Преобразование графиков 17

Приближенное вычисление опре-
деленных интегралов 212

Производная интеграла с пере-
менным верхним пределом 207

Производная по направле-
нию 164

Производная функции Z-z(x,y)
при х = х(/) и y = y(t) 158

Производная функции z = z(u,v)
при и = и(х,у) и v = v(x,y) 158
Производная функции z = z(u,v)
при произвольном задании аргу-
ментов 159

Производная функции одной пе-
ременной 61

Производные высших поряд-
ков 83

Производные высших порядков
функции нескольких перемен-
ных 169

Производные некоторых элемен-
тарных функций (таблица произ-
водных) 71

Производные функций, задан-
ных неявно 85

Производные функций, задан-
ных параметрически 87

Р

Разложение элементарных функ-
ций по формуле Маклорена 100

Раскрытие неопределенностей
(правило Лопиталя) 94

С

Свойства бесконечно малых фун-
кций 33

Свойства градиента 169

Свойства комплексной показа-
тельной функции 258

Свойства неопределенного ин-
теграла 189

Свойства непрерывных функций
нескольких переменных 142

Свойства непрерывных функ-
ций 54

Свойства определенного интег-
рала 204

Свойства пределов функций 36

Свойства символа «о»-малое 44

Свойства функций, непрерывных
на отрезке 58

Связь между дифференцируемос-
тью и непрерывностью функции
нескольких переменных 149
»

«Связь» между существованием
функции в точке х0 и существо-
ванием предела при х—>х(! 34
Символ Ландау (символ «о»-ма-
лое) 43

Система уравнений в дифферен-
циалах 162

Способы задания функций 12

Сравнение функций по скорости
роста 96

Схема исследования функции на
выпуклость 114

Схема исследования функции на
экстремум ПО

Сходимость последовательнос-
ти 24
Табличные интегралы 190  Теоремы о сходимости последо- вательности 28  Теоремы Ферма, Ролля, Лагран- жа, Коши 89  Точки перегиба 114  Точки разрыва функции. Их клас- сификация 55  Требования к производственной функции 181  Тригонометрическая форма ком- плексного числа 252  Угол между кривыми 80  Уравнение /’(х,у) = 0 в диффе- ренциалах 160  Уравнение F(x,y,z) = 0 в диффе- ренциалах 161  Уравнение F(x,y) = 0 в произ- водных 160  Уравнение F(x,y,z) = 0 в произ- водных 161  Уравнение касательной к кри- вой 77  Условия возрастания и убывания функции 104	Формулазамены переменной воп- ределенном интеграле 210  Формула интегрирования по час- тям 211  Формула Муавра 254  Формула Ньютона-Лейбница 208  Формула Тейлора 176  Формулы Маклорена и Тейлора 98  Формы задания функций 15  Функция Кобба-Дугласа как мак- роэкономическая производствен- ная функция 182  Функция комплексного перемен- ного 252  Частные дифференциалы 155  Частные производные 144  э  Эластичность функции 123  Элементарные функции. Об- зор 18  Эталонный интеграл 1-го ро- да 219  Эталонный интеграл 2-го ро- да 221
Список литературы

1.	Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математи-
ческому анализу. М.: Высшая школа, 1999.

2.	Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. В 2 т. М.:
АЛЬФА, 1998.

3.	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М.:
Наука, 1995.

4.	Краснов М.Л. и другие. Высшая математика. Т. 1,2,4. М.: Эдиториал
УРСС, 2000.

5.	Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.:
Юнити, Банки и биржи, 1998.

6.	Ляшко И.И. и другие: Справочное пособие по высшей математике.
Т 1. М.: УРСС, 1995.

7.	Красс М.С. Математика для экономических специальностей. М.:
ДЕЛО, 2002.
Малугин Виталий Александрович

МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ:

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Курс лекций

Ответственный редактор И. Ескевич
Редакторы Г. Косолапова, Б. Улищенко
Художественный редактор Е Брынчик
Технический редактор Н. Тростянская
Компьютерная верстка А. Мусаев
Корректор М. Тройченко

ООО «Издательство «Эксмо»

127299, Москва, ул. Клары Цеткин, д. 18/5. Тел.: 411-68-86,956-39-21.
Home раде: www.eksmo.ru E-mail: lnfoOeksmo.ru

Подписано в печать 19.10.2005

Формат 60x90 716- Гарнитура «Таймс». Печать офсетная.
Бумага тип. Усл. печ. л. 17,0.

Тираж 4000 экз. Заказ Ns 5873

Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати»

432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14